Notas para un seminario sobre la naturaleza de las Matemticas. Por Jess Muoz Daz - Universidad de Salamanca A veces, en soledad, tomamos conciencia de lo extrao que es el hecho de estar existiendo y de que el Mundo est ah, y nos preguntamos por qu hay algo y no nada. (1) Cuestin seca y radical, inaccesible a nuestros humanos medios. Pero s nos es dada la capacidad de indagar en lo Real, buscando caminos que, valga la paradoja, nos acerquen a la siempre infinitamente lejana ltima cuestin, dejando de lado sinsentidos, mostrando luces. Y tal parece que los hombres estemos sobre el Planeta para cumplir esta indagacin; estamos destinados a saber, o al menos a intentarlo. En las antiguas palabras de Jenfanes los dioses no revelaron a los hombres todas las cosas desde el principio sino que, con el paso del tiempo, investigando, descubren lo mejor. Probablemente Jenfanes escribi esto muy cerca del tiempo y lugar en que Pitgoras descubra la relacin numrica entre las notas musicales, basada en los tres primeros nmeros 1,2,3, con los que construye la escala de quintas que hoy llamamos Pitagrica. Este descubrimiento debi ser determinante en su filosofa: los nmeros enteros daban razn del Orden del Mundo; la esencia de todo lo existente era el nmero; lo ilimitado era el Mal, el Caos. En fecha incierta, probablemente hacia el 450 a.C. (2) los pitagricos demuestran que la diagonal y el lado del cuadrado son inconmensurables: ninguna unidad de medida que tomemos permitir expresar a la vez el lado y la diagonal mediante nmeros enteros. Dicho con otras palabras: el nmero de veces que el lado est contenido en la diagonal es inexpresable mediante fracciones, es un nmero irracional. Lo ilimitado se haca presente en una cuestin geomtrica elemental, lo que chocaba frontalmente con la mstica de los nmeros enteros de la escuela pitagrica. Dice Spengler (3): Para el alma antigua, el principio de lo irracional, esto es, la destruccin de la serie estatuaria de los nmeros enteros, representantes del orden perfecto del mundo, fue como un criminal atentado contra la divinidad misma. Sin embargo, haba que aceptar el hecho, porque la demostracin era incontestable. Por primera vez se pone de manifiesto la naturaleza propia de la verdad matemtica: no cabe negarla; su negacin es inconcebible, carente de sentido. Por eso la verdad matemtica no puede ser destruida, luego tampoco creada; no pertenece al orden de la Naturaleza: haya o no haya Mundo, la raz de dos es irracional. El clculo y la medida son actividades inmemoriales; las Matemticas instrumentales estaban muy desarrolladas en las antiguas culturas; los babilonios resolvan sistemas de ecuaciones, incluso de segundo grado; pero no hay en sus tablillas nada parecido a una demostracin matemtica; las reglas para el clculo se muestran sobre ejemplos numricos concretos (4). Es probable que los hombres del Neoltico que construyeron Stonehenge tuvieran una Astronoma ms precisa an que la de los babilonios, lo que exigira mtodos de clculo refinados (5). Pero la geometra prctica y los mtodos de clculo por si mismos no son todava matemticas. El descubrimiento del Mundo Matemtico como realidad perceptible por visin interior, cuyas verdades se alcanzan por demostracin que conduce a evidencia incontestable, es griego. Metafsica y Matemticas se desarrollan en Grecia en los mismos crculos, van de la mano. Segn la tradicin, Parmnides fue discpulo de un pitagrico. Platn estuvo relacionado con la flor de los matemticos de su tiempo: Teodoro, Teeteto, Eudoxo, Arquitas,..., y las

Matemticas eran para l el modelo del verdadero conocimiento, como se expresa, por ejemplo en el libro VII de la Repblica. Hablar de la influencia mutua de Matemticas y Metafsica en los Dilogos es algo que est lejos de mis posibilidades, pero viene al caso que comente un punto que toca a la fundamentacin de la nocin de nmero. La demostracin platnica de la existencia de infinitos nmeros es sta: partimos de lo Uno; la Idea de lo Uno es distinta de lo Uno y, juntos, hacen el Dos; la Idea del Dos es distinta del Dos; se aade y tenemos el Tres; y as sucesivamente. Aunque parezca chocante, esta construccin es la misma que se hace hoy da, cambiando las palabras Idea por Conjunto, en los textos de Teora de Conjuntos (6). En el Parmnides, la sucesin de nmeros se genera a partir de la diferencia entre lo Uno y el Ser (7). Las cuestiones de fundamentos son muy delicadas, en tiempos de Platn y siempre. Cuando se extrema la exigencia de rigor es fcil sentir que hay peticiones de principio en cualquier cimentacin de las Matemticas por debajo de los nmeros naturales; quiz haya que aceptar lo que deca Kronecker: Dios hizo los nmeros naturales y lo dems es cosa del hombre. Y aqu aparece una segunda caracterstica del Mundo Matemtico: no admite fundamentacin fuera de nuestras evidencias internas. Me explico: estamos absolutamente seguros de que nunca nadie en ningn tiempo y lugar encontrar tres enteros positivos tales que el cubo de uno de ellos sea la suma de los cubos de los otros dos; podemos apostar ms que la vida. Sin embargo, tambin estamos seguros, porque lo demostr Gdel en 1931 (8), de que no es posible encontrar un sistema formal que permita deducir todos los teoremas matemticos ( incluyendo los de la aritmtica elemental) a partir de un nmero finito de axiomas y reglas de inferencia. Viene a cuento aplicar aqu lo que dice Heisenberg en sus Dilogos sobre Fsica Atmica: Todo conocimiento se cierne sobre un abismo sin fondo (9). As que en las Matemticas tenemos un mundo de verdades necesarias, ajeno a toda contingencia y que no admite fundamentacin fuera de nuestro espritu. Y cuando digo nuestro queda entendido que el acceso al Mundo Matemtico es universal: todos encontraremos en l el mismo paisaje, salvo que no todos veremos la misma extensin de ese paisaje. Esa universalidad puede expresarse propiamente diciendo que el Mundo Matemtico es objetivo. Por esa razn los grandes matemticos no son creadores(quede el calificativo para los diseadores de moda, los cantautores, etc.) sino descubridores. Y se pueden dar muchos y muy importantes ejemplos de descubrimiento simultneo e independiente de una misma teora por varios matemticos. Por ejemplo, haca 1800 Gauss conoca la teora de las funciones elpticas, de la que no public nada; a partir de 1825 Abel y Jacobi, independientemente, descubren la misma teora; en carta a Bessel de 1828, Gauss comenta que los resultados, y hasta las notaciones de Abel coinciden con las suyas propias, aunque el no haba dicho nada sobre estos trabajos (10). Un mundo objetivo, ajeno al tiempo, presente a nuestra visin interna y que no admite una formalizacin completa, es decir, no-cibernetico; aunque pudiramos usar todas las partculas del Universo para construir un super-super-ordenador, ste no sera capaz de demostrar la totalidad de los teoremas de las Matemticas. Extraa cosa son las Matemticas. Por eso no sorprende que en De Harmonia Mundi Kepler diga que la Geometra es parte de la estructura divina y que, casi 400 aos despus, Grothendieck, el ms grande matemtico vivo, diga lo mismo (11). La flecha que seala la direccin del progreso en Matemticas apunta siempre hacia grados de abstraccin creciente. Aunque el rigor griego fue y es el modelo para el razonamiento matemtico, la Geometra Griega no puede escapar todava de la intuicin sensible en sus

fundamentos; as, la definicin de Punto en los Elementos de Euclides es lo que no tiene extensin. No disponan de notaciones adecuadas para las manipulaciones algebraicas y por eso no pudieron fundamentar las nociones geomtricas en las numricas, como se logr con la Geometra Analtica de Fermat y Descartes, posible tras el genial trabajo de su maestro, Franois Vite (1540-1603), que introdujo la moderna notacin algebraica, precisamente para estudiar el isomorfismo que observaba entre el lgebra de Diofanto y los italianos del siglo XVI y el Anlisis geomtrico de Euclides, Arquimedes y Apolonio; la logstica especiosa de Vietta era el arte de calcular con smbolos o especies que representan magnitudes indistintamente geomtricas o aritmticas. Puede considerarse como el hito que marca el nacimiento de la poca moderna en las Matemticas (12). Al identificar los puntos de una recta con los nmeros (nmeros reales, diramos hoy), los del plano con pares de nmeros, los del espacio con ternas de nmeros, la Geometra Analtica abre el camino para considerar espacios de cualquier dimensin, permitindonos escapar de la crcel de lo sensible. Pero disponer de espacios de dimensin arbitraria todava no es tener geometra en ellos. Sin salir de dimensin dos, del plano, podemos preguntarnos si la Geometra Eucldea es la nica posible. El Axioma V de los Elementos, el que dice que por un punto exterior a una recta pasa una paralela y solo una, parece tan claro a la intuicin como los restantes; sin embargo, por alguna razn que no se me alcanza, siempre hubo matemticos que pensaron que era posible una Geometra en que se verificaran todos los axiomas de Euclides menos ese, precisamente. Y tenan razn. Antes de 1800 Gauss tena una geometra no-eucldea, pero no public nada, como sola hacer; hacia 1820 Bolyai (hijo de un amigo de Gauss) y Lobatchewski encontraron modelos de esa misma geometra. Un modelo del plano de Lobatchewski, propuesto por Poincar, es el disco ordinario en el que se llama recta (recta no euclidea) a cada arco de circunferencia ortogonal a la del disco dado; este plano no- eucldeo tiene su propia nocin de distancia y de ngulo y el correspondiente grupo de movimientos que respeta tales distancias; son los desplazamientos de las figuras rgidas de esa geometra, que para nuestra intuicin eucldea no lo son. Es un ejemplo muy claro de cmo las Matemticas nos conducen a contemplar con todo rigor y claridad mundos a los que nuestra intuicin sensible nunca nos llevara. Las Matemticas nos sacan absolutamente de nuestra condicin de mamferos, si se me permite la expresin. En un famoso artculo publicado en 1960 titulado La irrazonable efectividad de las Matemticas en las Ciencias Naturales (13), el premio Nobel de Fsica E. P. Wigner dice, entre otras cosas muy interesantes, que la pura seleccin natural por necesidades de supervivencia, no puede llevar a la capacidad humana de encadenar de golpe miles de silogismos en cada paso de una demostracin matemtica. Podra decirse de otro modo, pero deja clara una vez ms la caracterstica de gratuidad, frente a la pura necesidad material, del conocimiento matemtico, la gratuidad de lo racional griego frente al clculo y medida de culturas anteriores. Claro que, a largo plazo, esa actividad gratuita ha conducido a la tcnica moderna, pero eso no podan saberlo los mecanismos de la seleccin natural, si se me permite hablar as. El plano de Lobatchewski, encontrado simplemente como un ejemplo de geometra en que no se verifica el axioma de las paralelas es la clave para tratar un problema que, en principio, no tiene nada que ver con esa cuestin: la clasificacin de las superficies de Riemann; un problema dentro de una teora de belleza y dificultad extremas, a la que no podemos asomarnos aqu. Slo quiero sealar otra caracterstica de las Matemticas: lo inesperado de muchos grandes descubrimientos; manda la propia estructura de las Matemticas, ella nos lleva y no al revs.

Los griegos no pudieron fundar la Geometra ms que en sus propias intuiciones, ordenadas en forma de axiomas a partir de los cuales deducir la cadena de los teoremas. Con la llegada de las notaciones algebraicas de Vietta fue posible la Geometra Analtica, que reduce las nociones geomtricas a nociones numricas, ms primarias. Y fue posible el Clculo Infinitesimal, que se desarroll en forma explosiva: la memoria de Leibnitz en el Acta Eruditorum en que aparece publicada la primera ecuacin diferencial de la Historia es de 1684; en 1696 estaba ya publicado el texto del Marqus de l'Hpital, en el que hay resultados tan finos que alguno se ha reencontrado en 1955 (14). Los dos hermanos Bernoulli, Jacobo y Juan, haban hecho el trabajo, compitiendo entre ellos y, a veces, con Newton. Los Principia de Newton, de 1686 son, en muchos sentidos, la mayor obra cientfica de la Historia, pero el estilo griego de Newton era menos gil, para quien no fuera Newton, que el menos riguroso de la escuela de Leibnitz, que fue el que acab imponindose. Pero esta es otra historia. Lo que quiero destacar a propsito del desarrollo asombroso del Clculo, por obra de tan pocos hombres y en tan poco tiempo, es la fecundidad de las verdaderas ideas, las que estn en la propia estructura de las Matemticas, que nunca son ocurrencias de creadores. Las ideas germinales del XVII se desarrollan en el trabajo de Euler, Gauss, Riemann, ..., hasta hoy, en la Geometra Diferencial, una rama de las Matemticas de la que depende toda la Fsica no-cuntica: Mecnica, Relatividad, Teora Clsica de Campos. En esta continuidad de ideas, a pesar del enorme progreso, la nocin de Punto sigue siendo, esencialmente, la de la primera Geometra Analtica. O hace mucho tiempo a mi maestro, el Prof. Sancho Guimer, que los hitos del desarrollo de las Matemticas los marca cada avance en el camino de la abstraccin en la nocin de Punto. Y es verdad, en la medida en que puede serlo una afirmacin tan esquemtica. En ese sentido, el siguiente paso decisivo en la direccin de lo abstracto vino de donde no poda esperarse que viniera ninguna nueva nocin de Punto: de la Teora de Nmeros. Desde los griegos sabemos que todo nmero entero se descompone de modo nico en factores primos. Cuando se estudian nmeros de un tipo ms general, los llamados enteros de un cuerpo de nmeros algebraicos, ya no es cierto en general el teorema. Para recuperar en ciertos casos la factorizacin nica introdujo Kummer, a mediados del diecinueve, los que llam nmeros ideales, entes ad hoc sin una definicin general. Ms de diez aos de trabajo solitario dedic Dedekind a buscar las ideas que permitieran dar una definicin de los nmeros ideales de Kummer hasta que, hacia 1870, encontr las claves fundando lo que hoy constituye el lgebra Conmutativa en un trabajo publicado como apndice a la Zahlentheorie de Dirichlet. En una memoria publicada en 1882 por Dedekind y Weber se adaptan las tcnicas de Dedekind de la teora de nmeros a la teora de funciones en curvas algebraicas. Cun por delante de su tiempo en grado de abstraccin estaba el trabajo de Dedekind se percibe en la correspondencia publicada de Dedekind con Lipschitz: durante bastantes aos estuvo resignado Dedekind a que solo le leyera Weber (15). En la memoria de Dedekind-Weber aparece por primera vez en Matemticas un cambio radical de punto de vista: el dato primordial ya no es el espacio (en ese caso la curva) considerado como conjunto de puntos, sobre el que despus de dado se definen las funciones, sino al revs: el dato primero es una estructura algebraica (en este caso un cuerpo de funciones algebraicas de una variable) y, a partir de ella, se construye cannicamente un espacio en el cual los objetos de la estructura previa son funciones. Permitidme que use un lenguaje demasiado libre para hacerme entender: el dato primordial es el conjunto de las observaciones; la propia estructura de este conjunto determina cannicamente aquello que es observado. Es el punto de vista

exactamente opuesto al que usamos para andar por la vida cmodamente, el que compartimos, al parecer, con los mamferos superiores: el mundo como totalidad de cosas preexistentes a toda observacin. Recuerda a lo que deca Wittgenstein en su famoso Tractatus: El mundo es la totalidad de los hechos, no de las cosas... Pero es mucho ms: no hay slo hechos-observaciones; hay, adems, un espritu-observador que decide qu es lo observado, mediante el conocimiento de la estructura de la totalidad de los observables dada en cada caso. El punto-cosa elemental est definido a partir del anillo-totalidad de observables. Por concretar, permtaseme usar un lenguaje tcnico preciso: en la teora de Dedekind-Weber un punto de la superficie de Riemann es una valoracin del cuerpo dado en abstracto como cuerpo de funciones algebraicas de una variable. En la lgica elemental de sujeto-predicado, los sujetos son los ideales maximales de un lgebra de Boole, el lgebra de predicados. En un esquema afn un punto es un ideal primo de un anillo dado; por ejemplo, el esquema que corresponde al anillo de los nmeros enteros ordinarios es el conjunto de los nmeros primos junto con el cero. Y, ahorrndome detalles, faltando un poco al rigor, en Mecnica Cuntica un estado puro es un ideal maximal de un anillo de observables generado por un conjunto completo de observables que conmutan; la imposibilidad de medir con precisin simultneamente todos los observables de un sistema mecnico-cuntico, el famoso Principio de Incertidumbre de Heisenberg, deriva de la no-conmutatividad. Hemos aprendido mucho desde que Euclides deca que un punto es lo que no tiene extensin, y Platon, en el Timeo explicaba el Mundo como una imagen, lo ms perfecta posible, del Dios eterno. Porque las Matemticas que el hombre va sacando de su interior parecen ser, como deca Galileo, el lenguaje en que est escrita la Naturaleza. Es como si lo Exterior fuera una realizacin de algo a lo que los hombres podemos asomarnos precisamente mirando dentro de nosotros mismos. Si hay tiempo y os apetece, podemos hablar de la Fsica Terica hasta 1930. De lo que ha venido despus no me atrevo a decir nada, porque no fui capaz de entenderlo; por eso me pas de la Fsica a las Matemticas. Las Matemticas son duras, pero honradas. Y bellsimas. (1) Es la pregunta que cierra el librito de M. Heidegger Qu es Metafsica? Traduccin de

X. Zubiri; ed. Renacimiento, 2003. (2) Sobre la fecha de este descubrimiento capital vase, B.L. Van der Waerden: Science Awakening I ; Ed. P. Noordhoff (Groningen), pag. 110.

Vase tambin, W. K. C. Guthrie: Historia de la Filosofa Griega I, Editorial Gredos, 1984, cita 181 en la pgina 255.

(3) O. Spengler: La decadencia de Occidente, Ed. Espasa Calpe, 1923, pg. 103 (4) Sobre la Matemtica Babilnica, vase el libro de Van der Waerden citado en (2) y

tambin, R. Taton (coordinador): Historia General de las Ciencias, vol. I, Ed. Destino, 1971.

(5) Fred Hoyle: De Stonehenge a la cosmologa contempornea. Nicolas Coprnico. Alianza Editorial, 1976.

(6) J. L. Kelley: Topologa General, EUDEBA, 1962. Ver en pgina 305, 122 Definicin. (7) Platn: Parmnides, traduccin de Jos Antonio Mguez en la edicin de Aguilar de

1977; en la pgina 970: ... Por tanto si se da lo Uno, necesariamente tambin habr nmero.

(8) K. Gdel: Obras Completas. Traduccin de Jess Mostern , Alianza Universidad, 1981. El artculo fundamental de Gdel es:

ber formal unentscheidbare Stze der principia Mathematica und verwandter Systeme I, Monatshefte fr Mathematik und Physik, 38 (1931). Para quien quiera acercarse a la lgica por el lado matemtico, es muy bueno: Martin Davis Computability and Unsolvability, Ed. Dover, 1982. Una introduccin mucho ms ligera al teorema de Gdel es: V. A. Uspensky: Gdel Incompleteness Theorem. Ed. Mir, Mosc 1987.

(9) W. Heisenberg: La parte y el todo. Conversando en torno a la fsica atmica, Ellago Ediciones, 2004 (Hay una edicin en la B. A. C. de 1972).

(10) G. Kowalewski: Grosse Mathematiker; J. F. Lehmanns, Verlag, Berln, 1939; pg. 268.

(11) A. Grothendieck: en una serie de artculos no publicados que circulan por ah el gran matemtico habla de su evolucin espiritual. Alguien me ha hecho llegar parte de esos escritos. En El viaje a Memphis (1). Errante declara esbozar un relato de su relacin con Dios. Es SUMAMENTE INTERESANTE. Ver, en particular, la cita 22 en la pgina 11. http://www.math.jussieu.fr/~leila/grothendieckcircle/biographic.php http://kolmogorov.unex.es/~navarro/res

(12) Ver Taton (citado en (4)), vol. II. (13) E. P. Wigner: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural

Sciences, Comm. Pure Appl. Math., 13 (1960). (14) LHpital. Analyse des infiniment petits, 1966. Reedicin en ACL- ditions, Pars,

1988. Ver la observacin 109 de este libro y comparar con Arnold: Huygens & Barrow; Newton & Hooke. Ed. Birhauser, 1990.

(15) Dokumente zur Geschichte der Mathematik, Band 2. R. Lipschitz, pg. 47. Ed. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1986.

http://www.math.jussieu.fr/%7Eleila/grothendieckcircle/biographic.php

Notas para un seminario sobre la naturaleza de las Matemticas. Por Jess Muoz Daz - Universidad de Salamanca