N Dic 21_Vandiver - Summary of Results and Proofs on Fermat's Last Theorem

8/13/2019 N Dic 21_Vandiver - Summary of Results and Proofs on Fermat's Last Theorem

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V O L .1 7 ,1 9 3 MATHEMAT I C S :H . S . VANDIV ER

~ ~ t h a t, j Y OF R E S U LT SAND PROOFSON F E R M AT S7 , LAST THEOREM (S IXTH PAPER)

BY H . S . VA N D I V E R

DEPARTMENTOF M A T H E M A T I C S ,U N I V E R S I T YOF TEXAS

C o m m u n i c a t e dO c t o b e r2 6 ,1 9 3 1

I n a r c ; i tp ap er ' t h e w r i t e r p r o v e d a n u m b e ro f r e s u l t sc o n c e r n i n gF e r m a t ' s . - s tT h e o r e m . I n a n o t h e r a r t i c l e 2h e g a v e a n u m b e ro f s i d e -l i g h t sa n ) m m e n t so n t h e c o n t e n t s o f t h a t p a p e r , a s w e l la s e x t e n s i o n so f t h e ' r e m s t h e r e i n .I n t h e p r e s e n t p a p e r f u r t h e rr e s u l t sw i l lb eg i v e n a l c gt h e s el i n e s .

A s n o t e d i n N , T h e o r e mI V o f T i s q u i t ec o m p l i c a t e da n d i n t h e f o r m e rp a p e r a n o t h e r p r o o f i s i n d i c a t e d .I g i v eh e r e ,h o w e v e r , a m e t h o df o rp r o v i n gt h e s t a t e m e n tw h i c hi sf a rs i m p l e rt h a n e i t h e ro ft h o s e j u s tr e f e r r e dt o . We s h a l la s s u m et h e r e l a t i o n( 2 7 )o f T , t h a t i s

w + O _ O ( m o d ( 1 )

o m i t t i n g t h e s u p e r s c r i p t si n w a n d 0 . H e n c e t h e r e l a t i o n( 2 7 a )o f Tt a k e s t h e f o r m

( W+ r a o y= _ ( a W+ 0 ) c( m o d ) ( 2 )a = O, 2 , 3 , . . . , l -2 .

S e t f ( a )= ( + , a n d g ( a )= ( a c w+ 0 ) c .

E x p a n s i o no f ( 2 )g i v e sXc + C , c - l1a 0 + ( c ) , C - 2 . 2 a 0 2+ + ; a c o c

a c c + C r a ( c - i )( A c - l o+ ( c ) t a ( c - 2 ) , c - 2 0 2+

A s n o t e d b e f o r et h i s i s t r u e f o r a = 0 , 2 ,3 , . 1 - 2 . N o t i n g t h a tf ( l ) - g ( - 1 ) = 0 ( m o d9 3 )we t h e n o b t a i n

- f ( - 1 ) E f ( i ) - g ( l )+ E g ( i ) ( m o d 3 .i = o i = o

U s i n g ( a k ) - 1+ ( ) l 2 . . . + 1 = 0 f o rk 0 ( m o d1 ) ,a n d n o t i n g t h a tc < 1 ,t h i sg i v e s

l W -( w + l e 0 ) 0 6- ( r w+ 0 ) c( m o d9 3 )a n d u s i n g w _- 0 ( m o d9 t h i sr e d u c e s t o

- - ( 1 - 2 ) C ( m o d9 3 ) . ( 4 )

I n t h e s a m eway we h a v e

6 6 1


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MA T H EMA T I C S :H . S . VA N D IV E R

- A - 1 ) + E jF ' f ( i )I - 1

r ' l g ( l )+ E - g ( i ) ( m o d 1 )i=0

a n d t h i sg i v e sl c ( r - 2 -1 ) ( . c - 2_ 1 ) ( 1- 2 ) c

N ow i f c P 2 we h a v e I c - ( 1 - . 2 ) c ( m o d3 a n d c o m p a r i s o nw i t h( 4 )g i v e sc - ( m o d 3 , w h i c hi s i m p o s s i b l e .

F o r c 2 , we o b t a i n f r o m ( 1 )a n d ( 2 )

r ) _02= 1 1 ) 2 .S e t a = 2 , t h i sg i v e s

v_2= ( t -1) ( m o d 0 ) ( 5 )a n d t h e p l u ss i g ng i v e s

- t + . 2 = +

a n d

( 2 1 ) ( + 1 ) 0 ( m o d j

w h i c hi s i m p o s s i b l e ,s i n c e( D+ 1 ) i s a u n i t a n d ( 2 -1 ) i s a p r i m e i d e a lf a c t o ro f ( 1 ) ,w h i c hi s p r i m e t o p . Th e m i n u ss i g ni n ( 5 )g i v e s

( p 2+ 1 ) ( -1 ) e O ( m o d 3 ) ,w h i c hi s l i k e w i s ei m p o s s i b l e .

H e n c ewe h a v e p r o v e dt h a t c o + 0 i s d i v i s i b l eb y p i n ( 2 6 a )o f T .T h e a b o v e p r o o f a p p l i e si n c o n n e c t i o n w i t h T h e o r e mI V b u t n o t i n

c o n n e c t i o nw i t h t h e p r o o fo fT h e o r e mV o f T , s i n c ei n t h e l a t t e rc a s e t h e

p we a r e u s i n gi s n o t n e c e s s a r i l yl e s st h a n ( - 2- 1 ) . Th e a r g u m e n tf o rt h e p r o o f o f 0 + w = O ( m o dp ) w h i c hwa s u s e d i n T i n c o n n e c t i o n w i t ht h e p r o o f o fT h e o r e mI V i s n e c e s s a r yt o s u p p l ya s i m i l a rs t e p i nt h e p r o o fo fT h e o r e mV o fT ,s i n c et h a t p a r t o ft h e a r g u m e n ti nt h e p r o o fo fT h e o r e mI V d o e s n o td e p e n du p o nt h e f a c tt h a t p i s l e s st h a n ( 1 2- 1 ) .

We now c o n s i d e r t h e r e l a t i o n

a ,+ v I+ v O ( 6 )w h e r eI i s a r e g u l a rp r i m e ;a , j a n d y a r e i n t e g e r si n t h e f i e l dk ( r )none

z e r o ,a n d - q i s a g i v e nu n i t i n t h i sf i e l d . L e t u s a s s u m e f i r s tt h a t y i sp r i m e t o X = ( 1 - t ) . S i n c ewe m a y t a k e a a n d e a c h i n t h e f o r mf ( m o d X 2 ) ,i t f o l l o w st h a t a l = a ( m o dX 1 ) ,v = b ( m o dX 1 )a n d =- c( m o dX ) ,w h e r ea , b a n d c a r e r a t i o n a li n t e g e r s .R e d u c i n gou r e q u a t i o n( m o dX )we o b t a i n ,

6 6 2 P R O C .N . A . S .


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MA THEMA T I C S :H . S . VA N D IV E R

a + b i + i c 1= 0 ( m o dX ) .

S i n c e y i s p r i m e t o X i t f o l l o w st h a t

c 0 O ( m o dX ) ,h e n c ewe h a v e ,

1 7a ' + b '

( od V )

H e n c eI i sc o n g r u e n tt o a r a t i o n a li n t e g e r ,( m o dX ) ,a n d h e n c ei s p r i m a r yS i n c e t h e f i e l di s r e g u l a r ,h o w e v e r , 3i t f o l l o w sb y a k n o w nr e s u l tt h a ti s t h e I t hp o w e ro fa u n i t i n k ( r ) .H e n c eo u r r e l a t i o n( 6 )b e c o m e s

a , t+ , 8 I + Y 1 1= o ( 7 )

w h e r e ' y i s a n i n t e g e ri n k ( t ) .T h i s r e l a t i o ni s k n o w n 4t o b e i m p o s s i b l e ,h e n c e ( 6 )i s i m p o s s i b l ef o ry p r i m e t o X .

C o n s i d e rnow t h e c a s e w h e r e y i s d i v i s i b l eb y X i n ( 6 ) . I n b o t h t h ek n o w n 4p r o o f st h a t

a ,+ v I+ 7 1 = o

i s i m p o s s i b l ew h e r e y i s d i v i s i b l eb y X ; t h e a r g u m e n t si n c l u d ea p r o o ft h a t ( 6 ) i s i m p o s s i b l ef o r y d i v i s i b l eb y X . F o r t h e f i r s ts t e p si n t h e s ea r g u m e n t s t a k e t h e e q u a t i o n i n t h e g e n e r a lf o r m ( 6 ) . H e n c ewe m a ys t a t et h e

T H E O R E M .T h ee q u a t i o n

a , + v + i 7 o0i s i m p o s s i b l ef o ra , Aa n d y i n t e g e r si n t h ef i e l dk ( r )n o n ez e r ow h e r et qi sa g i v e nu n i ti n t h i sf i e l da n d I i s a r e g u l a rp r i m e .S o f a ri n c o n n e c t i o n w i t h k n o w np r o o f so f F e r m a t ' s L a s t T h e o r e m if o rr e g u l a rp r i m e s t h e d i s c u s s i o nh a s b e e n d i v i d e d i n t ot w o q u i t ed i s t i n c tp a r t s . Th e f i r s tp a r t i s c o n f i n e d t o t h e c a s e w h e r ex , y a n d z a r e p r i m et o e a c h o t h e r a n d x y z 0 0 ( m o d1 ) ,c a l l e dc a s e I , i nt h e r e l a t i o n

x ,+ y 1 + z t = O . ( 7 a )

T h es e c o n dp a r t o f t h e p r o o fc o n s i d e r st h e c a s e w h e r eo n e o f t h e i n t e g e r si s d i v i s i b l eb y 1 ,c a l l e dc a s e I I . T h e t r e a t m e n t s o f c a s e I I h a v e a l w a y si n v o l v e d s o m ef o r m o f F e r m a t ' s f a m o u sm e t h o do f i n f i n i t ed e s c e n t .T h ew r i t e r h a s c o n s t r u c t e d a p r o o ft h a t ( 6 ) i s i m p o s s i b l ei n t h e s p e c i a lc a s ew h e r ea , B a n d y b e l o n g t o t h e f i e l dQ ( r+ t - ' ) p r i m e t o e a c h o t h e r ,i nw h i c ht h e t r e a t m e n t o f c a s e I , t h a t i s when a , a n d y a r e p r i m e t o X ,a l s oi n v o l v e st h e m e t h o do f i n f i n i t ed e s c e n t .I n f a c t ,t h e a r g u m e n ti s s o

V O L .1 7 ,1 9 3 1 6 6 3


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MA THEMA T I C S :H . S . V AN D IV E R

c o n s t r u c t e d t h a t t h e t w o c a s e sa r e t r e a t e d s i m u l t a n e o u s l yd u r i n g t h e

d e s c e n t .T h e e q u a t i o n i s t a k e n i n t h e f o r m+ J l + S Y I= O . ( 7 b )

F o r t h e c a s e yp r i m e t o X we h a v e

0 +@a= 7 7 a a a a = O ,1 , . , I - 1 .We d e d u c e f r o m t h i sb y known m e t h o d st h e r e l a t i o n0 w ( m o dX I )a n dt h i sg i v e s

0 + , t a = ( 1 + )aTI

w h e r e' l ai s a r e a lu n i t i n k ( v ) .A l s o b y k n o w nm e t h o d swe h a v e f o rt h e c a s ew h e r e- yi s d i v i s i b l eb y X

t h e r e l a t i o n+ ' I

1 a =1 a P a .

Th e l a s tt w o r e l a t i o n sm a y b e c o m b i n e di n t ot h e s t a t e m e n t

1 ra -= 7 7 1 a ( aa =

1 , 2 , . . , - 1 . ( 8 )From t h i sr e l a t i o nwe o b t a i n

I 0 + @D 0 + , r Ia - i _ aa

w h e r ea - a i s o b t a i n e d f r o m 0 ab y t h e s u b s t i t u t i o nt / ( 1 . T h i s i s c o n -s i d e r e d( m o df l )w h e r e i s a p r i m ei d e a ld i v i s o ro f 0 + w c . U s i n gp o w e rc h a r a c t e r swe i n f e ra s i n a f o r m e rp a p e r b y t h e w r i t e r 4 a

{ E n } 4 =1 ; 2H e n c e

{ E n } = 1

w h e r e( 1 - 3 ) / 2

En= I I ( r - 2 i ) ? 2 i n =0

E ( 1- t - ( \/r b e i n g a p r i m i t i v er o o t o f1 . By t a k i n g t h e known e x p r e s s i o n sf o rp o w e r

6 6 4 P R O C .N . A . S .


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c h a r a c t e r so fu n i t si na c y c l o t o m i cf i e l dwe f i n da f t e rs o m et r a n s f o r m a t i o n s ,

t h e r e l a t i o n 0 1 , o ( m o dX I 1 ) .U s i n g ( 8 )we h a v e

0 + @- ( 1 0 .X ( 0+ w ) =

w h e r et h e e x p o n e n tt = 0 o r ( - 1 ) , a c c o r d i n g a s y i s n o t o r i s d i v i s i b l eb y X . E l i m i n a t i n g 0 a n d X f r o m t h e l a s tt h r e ee q u a t i o n s we o b t a i n

O l 4 - a f1 = 1 o 1 o

w h e r eq 'i s a u n i t i n k ( v ) . T h i s l e a d st o0 lP a _ 1 = ( 1 t ) t a r a ( 9 )

t h e a m b i g u o u ss i g nb e i n g p o s i t i v eo r n e g a t i v ea c c o r d i n g a s 7 i s n o t o ri s d i v i s i b l eb y X . U s i n g t h e r e l a t i o no b t a i n e d f r o m ( 9 )b y s u b s t i t u t i n g( - a ) f o r a t h r o u g h o u t a n d e m p l o y i n ga a 0 - - a( m o dX ' ) , we f i n d

t h a t W a /- a i s p r i m a r y,a n d

h e n c e ,s i n c et h e f i e l di s

r e g u l a r ,i ti s t h e

I t hp o w e ro f a u n i t i n s a i df i e l d . T a k i n ga = 1 , - 1 , i n ( 9 )t e g e t h e rw i t hX t ( 0 f 1+ a O - ) o T 7 O

a n d e l i m i n a t i n ga 1a n d a - , f r o m t h e t h r e er e s u l t i n ge q u a t i o n swe h a v e

T j T-1 + 6 1 T o= O

U s i n gt h e f a c tt h a t t - / i s an I t hp o w e rwe o b t a i n

O + I + a l a = O , ( 1 0 )w h i c hi st h e s a m ef o r ma s ( 7 b ) ,s i n c e0 1 ,w ,a n d y je a c h b e l o n gt o Q ( D+ F 1 )a n d a r e p r i m e t o e a c h o t h e r . We m a y now e m p l o yt h e s a m e t r a n s -f o r m a t i o n s o n ( 1 0 )a s w e r e u s e d i n c o n n e c t i o n w i t h ( 7 b )a n d w e s h a l lo b t a i n t h e r e l a t i o n

0 t + + 6 2 7 2 = 0

P r o c e e d i n gi n t h i swa y we f i n dt h a t we g e ta n i n f i n i t es e r i e so fe q u a t i o n so f t h i st y p e w i t h t h e s u c c e s s i v ey se a c h c o n t a i n i n gl e s si d e a lp r i m ef a c -t o r st h a n t h e p r e c e d i n g ,w h i c hi s i m p o s s i b l eu n l e s sa c e r t a i n7 yi s a u n i ti n k ( v ) . But t h i si s e a s i l ys h o w nt o l e a d t o a c o n t r a d i c t i o n .

An e x t e n s i o n o f t h i sm e t h o dl e a d st o t h e p r o o fo f t h e i m p o s s i b i l i t yo f( 7 b )w h e r ea i s r e p l a c e db y g i v e nt y p e s o fi n t e g e r si n k ( v ) .

V O L .1 7 ,1 9 3 1 6 6 5


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MA T H E M AT I C S :H . S . VA N D IV E R

D e t e r m i n a t i o n o f S o m e P r o p e r l y I r r e g u l a rC y c l o t o m i cF i e l d s . - T h e

i n t e g e rh w h i c hr e p r e s e n t st h e n u m b e ro f c l a s s e so f i d e a l si n a c y c l o t o m i cf i e l dd e f i n e d b y e 2 i / l ,w h e r eI i s a n o d d p r i m e , c a n b e w r i t t e n i n t h e f o r mh 1 h 2 ,w h e r eh i a n d h 2a r e b o t h i n t e g e r s . 1 0I f h = 0 ( m o d1 ) t h e f i e l di sc a l l e di r r e g u l a r .Th e n e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n t h a t h ib e d i v i s i -b l eb y I i s t h a t o n e o f t h e f i r s t( I - 3 ) / 2 B e r n o u l l in u m b e r sb e d i v i s i b l eb y 1 . A n e c e s s a r y ,b u t n o t a s u f f i c i e n t ,c on di t i on t h a t h 2b e d i v i s i b l eb yI i s t h a t h i b e d i v i s i b l eb y 1 . A c y c l o t o m i cf i e l di n w h i c hh i i s d i v i s i b l eb y 1 ,b u t h 2i sp r i m et o 1 ,i sc a l l e da p r o p e r l yi r r e g u l a rc y c l o t o m i cf i e l d .

I n a f o r m e r p a p e r I s h o w e dt h a t t h i sd e f i n i t i o no f a p r o p e r l yi r r e g u l a r

c y c l o t o m i cf i e l di s e q u i v a l e n t t o t h e s t a t e m e n t 5t h a t

n o n e o ft h e

u n i t sE n

a l r e a d y d e f i n e d ,a r e I t h p o w e r so f u n i t si n k ( r ) . I n a n o t h e r p a p e r b yM i s s E l i z a b et h T .S t a f f o r da n d m y s e l f 6i t w a s f o u n d t h a t a l l t h e i r r e g u l a rf i e l d s ,d e f i n e db y p r i m e sI < 2 1 1 ,w e r ea l s op r o p e r l yi r r e g u l a r .

I n o r d e r t o d e t e r m i n e i f a g i v e n c y c l o t o m i cf i e l di s p r o p e r l y i r r e g u l a rf o ra n I > 2 1 0 ,i t i s f i r s tn e c e s s a r y t o t e s tt h e s a m ea s t o r e g u l a r i t y .A sn o t e d i n a n o t h e r a r t i c l e , 7t h i st e s tw a s made b y M i s s E. M. B a d g e r , f o ra l lp r i m e s1 ; 2 1 0 < I < 2 6 9 . A l lw e r e f o u n dr e g u l a r b e t w e e nt h e s e l i m i t se x c e p t 2 3 3 ,2 5 7 a n d 2 6 3 ; f o re a c h I t h e o n l y B ' s d i v i s i b l eb y I i n t h e s e t

B I ,B a ,. . . . i B y _3 2 ) ( 1 1 )a r e a s f o l l o w s :

2 3 3 ,B 4 2 ;2 5 7 ,B 8 2 ;2 6 3 ,B 5 0

T h e s et e s t sw e r e c o n t i n u e d b y M r . M. M. A b e r n a t h ywh o e x a m i n e dt h e r e g u l a r i t yo f a l l p r i m e s1 ; 2 6 8 < I < 3 0 7 ,t h i sw o r kb e i n gi n c l u d e d i nh i sM . A .t h e s i sa t t h e U n i v e r s i t yo fT e x a s . A l lw e r e f o u n dr e g u l a rw i t h i nt h e l i m i t sj u s tm e n t i o n e de x c e p t 2 7 1 ,2 8 3 a n d 2 9 3 . T h e B e r n o u l l in u m -b e r s w e r e c o n g r u e n tt o 0 ( m o d1 )a s f o l l o w s :

2 7 1 ,B 4 2 ;2 8 3 ,B , o ; 2 9 3 ,B 7 8 .On p a g e 1 4 5 o f a f o r m e ra r t i c l e 'a m e t h o dwas d e s c r i b e d f o rt e s t i n gt h e

r e g u l a r i t yo f t h e p r i m eI = 1 2 7 . We d e p e n d e dp r i m a r i l yon t h e f o r m u l a[ 1 / 41 1

3 1 - 2 a 4 1 - 2 a 6 1 - 2 [ 2 - 1 + ( - ) a B a( m o d1 ) ps [ 1 / 6 1+ 1 4a

w h e r e 2 a < ( I - 1 ) a n d [ x ]d e n o t e s t h e g r e a t e s ti n t e g e ri n x . F o r ap a r t i c u l a rs t h e e x p r e s s i o n ss 2 a w e r ec o m p u t e df o rt h e s u c c e s s i v ev a l u e s

s t a r t i n gw i t h a = 1 2 . Th e t e s t so f M r . A b e r n a t h yr e f e r r e d t o a b o v ew e r e t h e s a m e a s j u s ti n d i c a t e d ,e x c e p t ,i n o r d e r t o a p p l yc e r t a i nc h e c k so n t h e a c c u r a c y o f t h e c o m p u t a t i o n s , t h e c o l u m n sw e r e i n c l u d e d c o r r e -

s p o n d i n g t o a l l t h e i n t e g e r sa = 1 , 2 , . . . 2 I t wa s t h e n e a s y t o

6 6 6 P R O C .N . A . S .


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MA THEMA T I C S : H .S . VA N D IV E R

s h o wt h a t t h e s u m o f t h e i n t e g e r st h a t w e r e c o n g r u e n t t o S 2 a - 'f o ra p a r -

t i c u l a rs , g i v e sa n

i n t e g e rd i v i s i b l eb y1 .

A l s o ,a f t e rt h e t o t a l so f a l lc o l u m n sw e r em a d e , t h e s u m o f t h e s et o t a l sm u s t b e c o n g r u e n t t o z e r o . 7F o r t h e c a s e s2 7 1 a n d 2 8 3 t h e c o r r e s p o n d i n gB e r n o u l l in u m b e r sw e r ef o u n d i n A d a m s ' Ta b l e s ,a n d t h e n u m e r a t o r sd i v i d e d b y t h e r e s p e c t i v ep r i m e sg a v e r e m a i n d e r so fz e r o i n e a c h c a s e .

H a v i n gd e t e r m i n e dt h a t t h e p r i m e s 2 3 3 ,2 5 7 ,2 6 3 ,2 7 1 ,2 8 3 a n d 2 9 3a r e a l l .i r r e g u l a r ,e a c h o n e w a s t e s t e da s t o b e i n g p r o p e r l yi r r e g u l a r ,b yc o n s i d e r i n gt h e u n i t E . a n d t h e p o s s i b i l i t yo f i t s b e i n g t h e I t hp o w e ro fa u n i t i n k ( t )f o rt h e v a l u e s o f n c o r r e s p o n d i n gt o t h e s u b s c r i p t so f t h eB e r n o u l l in u m b e r sd i v i s i b l eb y I i n e a c h c a s e . T h e m e t h o du s e d f o rt h ei r r e g u l a rp r i m e s< 2 1 1 i s d e s c r i b e d o n p a g e 1 4 8 o f a n o t h e r a r t i c l e . 6T h em e t h o de m p l o y e df o r t h e p r i m e s now u n d e r d i s c u s s i o nwas t h e s a m e ,a s i d ef r o m t h e f a c tt h a t t h e s ec o m p u t a t i o n sw e r e c a r r i e do u t much m o r es y s t e m a t i c a l l ya n d a n u m b e ro f new d e v i c e s f o rs h o r t e n i n gt h e c a l c u l a -t i o n sw e r eu s e d . I f

E i = 6 1 ( l l a )

w h e r ea i s a n i n t e g e ri n k ( v )l e tp b e t h e s m a l l e s tr a t i o n a lp r i m e ,s u c h t h a tp 1( m o d1 ) . T h e np d e c o m p o s e si n k ( v )i n t ot h e p r o d u c t o f ( I- 1 )d i s t i n c ti d e a lf a c t o r s .L e t d b e a n i n t e g e rs u c h t h a t d = 1( m o dp ) .T h e no n e o f t h e i d e a lf a c t o r sm e n t i o n e di s = ( D- d , p ) ,w h i c hg i v e s

= - d ( m o d$ ) . C o n s i d e rt h e e x p r e s s i o n( h l a )a s a c o n g r u e n c e( m o d1 3 ) ;i n v i e w o f t h e f a c tt h a t = d ( m o d ) we o b t a i n

E ( d ) = c ' ( m o dp )

w h e r ec i s a r a t i o n a li n t e g e r .O u rp r o b l e mi s now r e d u c e d t o d e t e r m i n i n gi f t h e i nd ex f o rE n ( d )i s d i v i s i b l eb y I i f we u s e a t a b l eo f i n d i c e sf o rt h em o d u l u sp . I n c a r r y i n gt h i so u t ,E n ( d )was w r i t t e n i n t h e f o l l o w i n gf o r m

( 1 - 3 ) / 2) , _ r I ' - 1 - 2 n ' i1 r--3

R 1r 1 + r + r 2 h+ + r 2h )2

h z 1 - 2 n .

Th e e x p o n e n tR i n t h e f i r s tf a c t o rr e d u c e s i m m e d i a t e l y ,m o d u l o1 ,t o

r- 1r l - 2 n- 1

Th e c o m p u t a t i o no f t h e i n d e x o f d R i n v o l v e s an o b v i o u s p r o c e d u r e ,we now c o n s i d e rt h e d e t e r m i n a t i o no f t h e i nd e xo f t h e o t h e r f a c t o r ,w h i c h

V O L .1 7 ,1 9 3 1 6 6 7


8/13

M AT H E M AT I C S :H . S . VA N D I V E R

f a c t o rwe s h a l lc a l lF . We s h a l ld e s c r i b et h e m a j o r p a r t o f t h e p r o c e d u r e

i n s o m ed e t a i la s

i t i sa

b i t e l a b o r a t e .As a n e x a m p l et a k e t h e c a s e I =

2 7 1 . H e r ep = 1 6 2 7a n d we t a k e f o rt h e p r i mi t i v e r oo t r o f2 7 1 ,t h e v a l u e2 6 9 s o t h a t we m a y e m p l o yJ a c o b i ' st a b l e so f i n d i c e sf o rt h e p r i m e 2 7 1 .A l s o n = 4 2 . A p a r t i a lt a b l eo f i n d i c e sf o r t h e p r i m e 1 6 2 7 w a s t h e nc o n s t r u c t e d b y t a k i n g t h e p r im it iv e r oo t 3 a n d f i n d i n g t h e l e a s tp o s i t i v er e s i d u e so f3 k ; k = 1 , 2 , . . , 2 7 1 . A c o m p a n i o nt a b l eg i v i n g t h e i n d i c e sc o r r e s p o n d i n gt o a l l t h e l e a s tr e s i d u e sj u s tm e n t i o n e d , w i t h b l a n ks p a c e sl e f tf o r t h e i n d i c e so f n u m b e r sn o t a p p e a r i n g i n t h i ss e t ,w a s a l s om a d e .O w i n gt o t h e f a c tt h a t o n l y t h e i n d i c e sr e d u c e d m o d u l oI w e r e r e q u i r e df o r t h e n u m b e r si n v o l v e d i n F , t h e p a r t i a lt a b l e s j u s td e s c r i b e d r e a d i l yy i e l d e d t h i si n f o r m a t i o n . F o r t h e p r i m e b e i n g c o n s i d e r e d t h e i n t e g e r dw a s t a k e n a s 3 6 ; t h e f i r s tt e n r o w s a n d c o l u m n sg i v i n g t h e c o m p u t a t i o n si n c o n n e c t i o nw i t h o u r p r i m e a r e e x h i b i t e db e l o w :

i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 6 9 4 2 6 3 1 6 2 3 9 6 4 1 4 3 2 5 6 3 0

6 r i 6 1 6 1 4 2 4 1 5 7 8 9 6 1 4 3 4 3 8 4 8 5 8 1 5 3 6 1 8 0d r i - 1 7 2 8 2 8 4 8 1 9 9 8 1 1 4 7 9 1 2 5 3 1 5 0 7 8 2 6 1 2 8 93 6 9

i n d ( d r t- 1 ) 3 9 7 8 1 6 7 1 5 4 1 4 6 1 3 1 3 8 2 6 1 9 3 1 1 8D ( i ) 3 9 8 9 2 5 8 2 6 3 1 3 8 1 2 5 1 5 91 6 7 1 9 6 1 0 2r 1 8 6 i

1 1 6 6 1 8 5 8 7 7 9 1 0 6 2 5 2 9 8 8 2 4 41 8 6 i 0 1 8 6 1 0 2 1 8 2 0 4 1 2 0 3 6 2 2 2 1 3 8 5 4K ( i ) 3 9 1 4 0 3 4 1 1 7 6 2 2 4 2 2 3 1 1 0 6 2 1 3 2 2 7

H e r e

D ( i ) = ind[-fl

d r i +_ I -g r 8 6 ii ) = i n d[ d r i +- r 1 8 6 _

Th e r o w s a n d c o l u m n sa r e c o n t i n u e d u p t o i = 1 3 4 i n c l u s i v e .Th ee l e m e n t so f t h e s e c o n dr ow a r e o b t a i n e d f r o m t h e t a b l e so f i n d i c e sm o d u l o2 7 1 . Th e t h i r dr ow i s o b t a i n e d i m m e d i a t e l yf r o m t h e s e c o n d a n d t h em u l t i p l i e r6 i s u s e d o w i n gt o t h e f a c tt h a t d = 3 6 . Th e e l e m e n t so f t h ef o u r t h r ow a r e o b t a i n e d f r o m t h e p a r t i a lt a b l eo f i n d i c e sm o d u l o1 6 2 7 ,a sw e l la s t h o s e o f t h e f i f t hr o w . Th e n u m b e ri n t h e s i x t hr ow a r e o b t a i n e db y a n o b v i o u ss u b t r a c t i o n o f c e r t a i ne l e m e n t s i n t h e p r e c e d i n gr o w . Th ee l e m e n t si n t h e e i g h t hr ow a r e o b t a i n e d b y r e d u c i n g1 8 6 im o d u l o2 7 0 ,a n df r o m t h e s e n u m b e r st h e d a t a i n t h e s e v e n t h r ow i s o b t a i n e d u s i n ga t a b l e

o f i n d i c e sf o r t h e p r i m e 2 7 1 . Th e c o r r e s p o n d i n ge l e m e n t s i n t h e s i x t ha n d s e v e n t h r o w s a r e t h e n m u l t i p l i e dt o g e t h e ra n d r e d u c e d m o d u l o2 7 1t o g i v e t h e n u m b e r si n t h e l a s tr o w , w h i c ha r e t h e n a d d e d t o g e t h e ra n dt h i st o t a li s i n t u r n a d d e d t o t h e i n d e x f o rd R t o o b t a i n t h e r e s i d u e w h e nt h e i n d e x o f E n ( d )i s r e d u c e dm o d u l o2 7 1 .

6 6 8 P R O C .N . A . S .


9/13


10/13


d e n o t e s a n i n t e g e ri s u c h t h a t i ( r - 1 ) = ( m o d1 ) ,a n d t h i sf o r m u l af u r -n i s h e st h e c h e c k .

T h e , t a b l e b e l o wg i v e st h e v a l u e s o f n , r , d , p a n d ? f o re a c h i r r e g u l a rp r i m e 1 ; 2 1 0 < 1 < 3 0 7 . Th e l a s tc o l u m nh e a d e d i n d E , ( d ) g i v e st h er e s i d u eo f t h i si n t e g e rm od I i n e a c h c a s e .

I n r d p p I n d E , , ( d )2 3 3 4 2 1 0 1 0 0 4 6 7 1 0 1 32 5 7 8 2 1 0 1 3 6 1 5 4 3 1 0 1 2 32 6 3 5 0 1 0 7 2 9 1 5 7 9 3 1 7 12 7 1 4 2 2 6 9 7 2 9 1 6 2 7 3 42 8 3 1 0 2 7 3 7 2 9 1 6 9 9 3 1 3 6

2 9 3 7 8 2 0 4 1 0 0 5 8 7 5 7 7 2 9 1

A s t h e t a b l es h o w s , t h e c o m p u t a t i o ne s t a b l i s h e dt h e f a c tt h a t E ( d )i s n o t d i v i s i b l eb y 1 ,a n d h e n c e E n ( t ) -i s n o t t h e I t hp o w e ro fa u n i t i n t h ef i l e dk ( v )f o ra n y o ft h e p r i m e sm e n t i o n e d . I t f o l l o w st h a t t h e c y c l o t o m i cf i e l d sd e f i n e db y e a c ho ft h e s ep r i m e sa r e p r o p e r l yi r r e g u l a rc y c l o t o m i cf i e l d s .

A l lt h e c a l c u l a t i o n so f t h e t y p e j u s tm e n t i o n e dw e r ec a r r i e do u t b y M r .M. E . T i t t l e ,M i s s B . B e n n e t t a n d M r . M. M. A b e r n a t h y,w i t h t h e a i do f f u n d s p r o v i d e db y t h e U n i v e r s i t yo f T e x a s . I n p a r t i c u l a r ,M r . T i t t l ed i s c o v e r e ds o m eo f t h e d e v i c e se m p l o y e df o rs h o r t e n i n gt h e c o m p u t a t i o n s .

A p p l i c a t i o no f P r o p e r l yI r r e g u l a rC y c l o t o m i cF i e l d st o F e r m a t ' sL a s tT h e o r e m . - I nT I p r o v e d a n u m b e ro f t h e o r e m s c o n c e r n i n g F e r m a t ' sl a s t t h e o r e m . I n t h e p r e s e n t p a p e r I s h a l lc o n s i d e r t h e a p p l i c a t i o nt os p e c i a le x p o n e n t si n t h e F e r m a tr e l a t i o no ft h e f o l l o w i n gt h e o r e m si n c l u d e di n T ( n u m b e r e da s i n T ) .

T H E O R E MI . U n d e rt h ef o l l o u w n ga s s u m p t i o n s :( 1 ) t h es e c o n df a c t o ro ft h e c l a s sn u m b e ro ft h ef i e l dk ( t )i s p r i m et o 1 ;( 2 ) n o n e o f t h eB e r n o u l l in u m b e r sB , , n 1 ,2 , . . . , ( I - 3 ) / 2 ,i s

d i v i s i b l eb y 1 8 ;t h ee q u a t i o n( 7 a )i s i m p o s s i b l ei n c a s e I I .

T H E O R E MI I I . I f I = 1 ( m o d4 ) a n d a l l t h en u m b e r si n ( 1 1 )w h i c ha r ed i v i s i b l eb y I h a v ee v e ns u b s c r i p t s ,t h e n( 7 a )i s i m p o s s i b l ei n r a t i p n a li n t e g e r sn o n e z e r o ,p r o v i d e d 8a l s ot h a tt h es e c o n df a c t o ro f t h ec l a s sn u m b e ro f k ( r )i s p r i m et o 1 .

THEOREMI V . U n d e rt h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n :N o n e

o f t h eu n i t s

E a ,a =

a , ,a 2 , . ,

a s ,i s c o n g r u e n tt o t h e

I t hp o w e r

o fa n i n t e g e ri n t h ef i e l dk ( r )m od $ , w h e r e 3i s a p r i m e i d e a l d i v i s o ro fp , pi s a p r i m e< ( 1 2- 1 )o ft h ef o r m1 m o d1 ,a n d a , ,a 2 , . . , a , a r e t h es u b s c r i p t si n t h eB e r n o u l l in u m b e r si n t h es e t( 1 1 )w h i c ha r e d i v i s i b l eb y1 ;

t h er e l a t i o n( 7 a )i s i m p o s s i b l ei n c a s e I I .

6 7 0 P R O C . N .A . S .


11/13

MA T H EMA T I C S :H . S . VA N D IV E R

THEOREMV . U n d e rt h ef o l l o w i n ga s s u m p t i o n s :

( 1 )t h e r ee x i s t sa r a t i o n a lp r i m n ei n t e g e rp s u c h t h a tt h ec o n g r u e n c eu 1+ v + w 1 O ( m o dp )

h a s n o s o l u t i o nu , v a n d w a l lr a t i o n a li n t e g e r sp r i m et op , a n d p 0 1 ( m o d 2 ) ;

( 2 )t h er e l a t i o n{ E a } 5 a 1

h o l d s ,w h e r ea r a n g e so v e rt h ev a l u e sa , ,

a 2 , . . . , , t h e s e i n t e g e r sb e i n gt h es u b s c r i p t so fB e r n o u l l in u m b e r si n t h es e t ( 1 1 )w h i c ha r ed i v i s i b l eb y 1 , a n d i s a p r i m ei d e a ld i v i s o ro fp ;

t h ee q u a t i o n( 7 a )i s i m p o s s i b l ei n r a t i o n a li n t e g e r sn o n ez e r o .I n T h e o r e mV t h e s y m b o l

{ f E n }

d e n o t e s t h e I t hp o w e r - c h a r a c t e ro fE n w i t h r e s p e c t t o t h e i d e a l1 3 .T h ep r o o f so ft h e a b o v e - m e n t i o n e dt h e o r e m sw e r emore o r l e s sd i f f e r e n t .

I n p a r t i c u l a r ,i f we s u b s t i t u t et h e a r g u m e n tg i v e n a t t h e b e g i n n i n go f t h ep r e s e n t p a p e r i nl i e uo ft h e a r g u m e n tg i v e no n p a g e s6 3 2 - 6 3 5f o rt h e p r o o ft h a t c o + 0 = ( m o dp ) ,t h e p r o o f o fT h e o r e mIV i s l a r g e l yd i f f e r e n tf r o mt h a t o f T h e o r e mV i f we r e t a i nt h e o r i g i n a la r g u m e n ta s t o w + 0 = 0( m o dp ) a s p a r t o f t h e p r o o f o f T h e o r e mV , a s i s n e c e s s a r y ,s i n c ei n t h el a t t e rc a s e we c a n n o t a s s u m ep = 1 + c l w i t h c < ( - 1 ) .

I n T , t h e f i r s tt h r e et h e o r e m sq u o t e d a b o v e w e r e a p p l i e dt o t h e p a r -t i c u l a rv a l u e s o f I < 2 1 1 ,w h i c h w e r e i r r e g u l a r .H e r e I s h a l lc o n s i d e rt h e a p p l i c a t i o no f t h e s et h r e et h e o r e m st o ( 7 a )f o r2 1 0 < I < 3 0 7 ,a n di r r e g u l a r ;a n d t h e a p p l i c a t i o no f T h e o r e mV t o a l l i r r e g u l a rv a l u e s o fI < 3 0 7 .

C o n c e r n i n gT h e o r e mI t h e f i r s ta s s u m p t i o nh o l d sf o ra l li r r e g u l a rp r i m e sI ,2 1 0 < I < 3 0 7 ,s i n c ewe h a v es h o w nt h a t a l l t h e c y c l o t o m i cf i e l d sd e f i n e db y t h e s e I s a r e p r o p e r l y i r r e g u l a r .A s t o t h e s e c o n d a s s u m p t i o ni nT h e o r e mI , t h i sw a s s h o w nt o h o l d f o rt h e c a s e s I = 2 3 3 ,2 5 7 a n d 2 6 3 ,a ss t a t e d i n N , p a g e 3 0 3 . T h i s a s s u m p t i o nwas e x a m i n e db y M r . M. M.A b e r n a t h yf o rt h e c a s e l = 2 7 1 ,wh o f o u n d

A 4 2 2 7 1 - 1 8 1 ( m o d2 7 1 2 ) ,w h e r e

1 _ l ) B x l( 2 2 u n l _1 )- ~ 2 2x n l

V O L .1 7 ,1 9 3 1 6 7 1


12/13

M AT H E M AT I C S :H . S . VA N D I V E R

Th e c a s eI = 2 8 3 w a s d i s p o s e do fb y M r . J . A . C l a c k , wh o f o u n d ,

A l o- 2 8 3 - 7 1 ( m o d2 8 3 2 )H e n c eT h e o r e mI p r o v e s t h e l a s tt h e o r e mf o ra l l i r r e g u l a rl s ,2 1 0 < 1 I

< 3 0 7 ,e x c e p t i n g2 9 3 ,f o rw h i c hl a t t e rp r i m e i t w a s n o t t e s t e d .Th e f i r s tt w o a s s u m p t i o n sm e n t i o n e di n T h e o r e mI I I a r e s a t i s f i e do n l y

f o rI = 2 3 3 ,2 5 7 a n d 2 9 3 ,w i t h i n t h er a n g e m e n t i o n e d . Th e t h i r da s s u m p -t i o nm e n t i o n e dh o l d s a s a l r e a d y s h o w n . H e n c eT h e o r e mI I I p r o v e s t h el a s tt h e o r e mf o rI = 2 3 3 ,2 5 7 a n d 2 9 3 .

A s t o t h e a p p l i c a t i o no fT h e o r e mI V , t h e r e s u l t so ft h e c o m p u t a t i o n si ne s t a b l i s h i n gt h e f a c tt h a t t h e i r r e g u l a rc y c l o t o m i cf i e l d sd e f i n e d b y t h ei r r e g u l a rp r i m e s 1 ,2 1 0 < I < 3 0 7 a r e p r o p e r l yi r r e g u l a r ,i n c i d e n t a l l ys h o wt h a t t h e a s s u m p t i o n si n T h e o r e m I Vh o l d s f o ra l l t h e s e p r i m e s , s i n c et h ev a l u e o fp s e l e c t e dw a s < ( 1 2- 1 )f o re a c h 1 . H e n c eT h e o r e mIV p r o v e st h e l a s tt h e o r e mf o ra l l i r r e g u l a rI ss u c h t h a t 2 1 0 < I < 3 0 7

T h e a p p l i c a t i o no f T h e o r e mV t o s p e c i a le x p o n e n t sh as n o t b e e n m e n -t i o n e d i n a n y o f m y p r e c e d i n gp a p e r s .Th e f i r s ta s s u m p t i o ni n i t s t a t e st h a t t h e r e e x i s t sa r a t i o n a lp r i m e i n t e g e rp s u c h t h a t t h e c o n g r u e n c e

i t '+ v i + w- 0 ( m o dp ) ( 1 4 )

h a s n o s o l u t i o nu , v a n d w a l l r a t i o n a l i n t e g e r sp r i m e t o p , a n d p 0 1( m o d 1 2 ) . Th e c o n g r u e n c em e n t i o n e dh a s o b v i o u s s o l u t i o n sw h e np1 ( m o d3 ) . U s i n g t h e r e s u l t so f D i c k s o n 9we n o t e t h at t h e c o n g r u e n c e( 1 4 )i si m p o s s i b l ef o rI = 3 7 ,p = 1 4 9 ,h e n c et h e f i r s ta s s u m p t i o no fT h e o r e mV h o l d s f o rI = 3 7 ,t h e s e c o n da s s u m p t i o nh o l d s ,s i n c e1 4 9 i s t h e v a l u e o fp u s e d i n v e r i f y i n gt h a t

J E 1 6 1

w h e r eI = 3 7 . I n a s i m i l a rwa y o u r c o m p u t a t i o n sc o n c e r n i n gt h e p r o p e r l yi r r e g u l a rc y c l o t o m i cf i e l d sm e n t i o n e di n T ,p a g e6 4 1 - 6 4 2 ,a n d i nt h e p r e s e n tp a p e r , t o g e t h e r w i t h D i c k s o n ' s r e s u l t sc o n c e r n i n gt h e t r i n o m i a lc o n g r u -e n c e ,p r o v e dt h e l a s tt h e o r e m ,f o r

I = 3 7 ,6 7 ,1 0 1 ,1 3 1 , 1 4 9 ,1 5 7 ,2 3 3 a n d 2 9 3 .

F o r t h e i r r e g u l a rp r i m e s < 3 0 7 n o t i n c l u d e d i n t h e l i s t j u s tm e n t i o n e d ,t h e v al ue s o f p w h i c hw e r e u s e d i n o u r i r r e g u l a rf i e l dc o m p u t a t i o n sa r e

i n e a c h c a s e o f t h e f o r m 6 1+ 1 ; c o n s e q u e n t l yt h e c o n g r u e n c e( 1 4 )h a ss o l u t i o n s .H e n c e , i n o r d e r t o t e s tT h e o r e mV f o rt h e e x c e p t i o n a lv a l u e so f I s u c h a s 5 9 ,1 0 3 ,e t c . ,i t w o u l db e n e c e s s a r yt o s e l e c ta v a l u e o fp s u c ht h a t p 0 1 ( m o d3 ) a n d n o t i n c l u d e d i n D i c k s o n ' s e x c e p t i o n s .We h a v en o t c a r r i e do u t s u c h c o m p u t a t i o n sa n d t h e q u e s t i o n sa s t o w h e t h e rT h e o r e m

6 7 2 P R O C .N . A . S .


13/13


V y i e l d sp r o o f so f t h e l a s tt h e o r e mf o ra l l i r r e g u l a rp r i m e s< 3 0 7 r e m a i n s

o p e n .I n T , p a g e 6 1 4 a n d e l s e w h e r e , 1 0t h e w r i t e rh a s r e f e r r e dt o K u m m e r ' sr e s u l t so n F e r m a t ' s l a s t t h e o r e m f o r i r r e g u l a rp r i m e e x p o n e n t s . Th ef i r s ta s s u m p t i o no f t h e t h e o r e m s t a t e st h at t h e f i r s tf a c t o ro f t h e c l a s sn u m b e ro f k ( v )i s d i v i s i b l eb y I b u t n o t b y 1 2 . H e n c e ,u n d e r t h i sr e s t r i c -t i o nK u m m e r ' sr e s u l t sm a y b e a p p l i e d t o s p e c i a le x p o n e n t si n t h e F e r m a tr e l a t i o n ,s i n c eh i sa s s u m p t i o n sI I a n d I I I a r e e q u i v a l e n t t o t h os e o fT h e o -r e m I o f T . H o w e v e r , o w i n gt o a s s u m p t i o nI , K u m m e r ' sa r g u m e n t ,a sc o r r e c t e d b y t h e w r i t e r , 1 1i s f a rs i m p l e r t h a n t h e p r o o f g i v eno fT h e o r e mIi n T ; t h e p r o o f o f t h e l a t t e rr e q u i r i n glemma I o f T w h i c hi n v o l v e s i n i t sp r o o f F u r t w a n g l e r ' sl a w o f r e c i p r o c i t y .A l s o t h e p r o o fo f t h e l e m m ad e p e n d i n gu p o n t h e r e s u l t so f T a k a g i i n v o l v e s t h e e x i s t e n c e o fa c l a s s -f i e l d . K u m m e r ' sp r o o f d e p e n d s o n c o n s i d e r a t i o n sm u c h s i m p l e r t h a nt h o s e i n v o l v e d i n t h e p r o o f o f t h e e x i s t e n c eo f a c l a s s - f i e l do r o f t h e l a wo f r e c i p r o c i t y .A l s o ,i n o t h e r r e s p e c t sK u m m e r ' sa r g u m e n ti s d i f f e r e n tf r o m t h a t I h a v e g i v e n o n p a g e s 6 2 1 - 6 2 4o fT H e n c ewe m a y r e g a r dh i sw o r ka s f u r n i s h i n gm o r eo r l e s sd i f f e r e n tp r o o f s o f t h e l a s tt h e o r e mf o ra l li r r e g u l a rI s< 3 0 7 ,e x c e p t i n g 1 5 7 ,i n w h i c h c a s e t h e f i r s tf a c t o ro f t h ec l a s sn u m b e ro fk ( r )i s d i v i s i b l eb y 1 5 7 2 .

T o s u m m a r i z e ,we s h a l lnow l i s tt h e i r r e g u l a rp r i m e s < 3 0 7 ,t o g e t h e rw i t h t h e n u m b e ro f d i f f e r e n tp r o o f s ,w h i c h h a v e b e e nm e n t i o n e di n t h i sp a p e r , i n e a c h c a s e :

3 7 , 5 ;5 9 , 3 ;6 7 , 3 ;1 0 1 , 5 ;1 0 3 , 3 ;1 3 1 , 4 ;1 4 9 , 4 ;1 5 7 , 3 ;2 3 3 , 5 ;2 5 7 , 4 ;2 6 3 , 3 ;2 7 1 , 3 ;2 8 3 , 3 ; 2 9 3 , 4 .

U s i n ga l s ot h e f a c tt h a t F e r m a t ' s l a s tt h e o r e mi s t r u e f o rr e g u l a rp r i m ee x p o n e n t s , we m a y t h e n s t a t et h a t t h e l a s tt h e o r e mh a s b e e n p r o v e df o ra l l e x p o n e n t s< 3 0 7 .

1 T r a n s . Am . M a t h .S o c . , 3 1 ,6 1 3 - 6 4 2( 1 9 2 9 ) .T h i s p a p e rw i l lb e r e f e r r e d t o a s T .2 T h e s eP R O C E E D I N G S ,1 6 ,2 9 8 - 3 0 5( 1 9 3 0 ) .T h i s p a p e rw i l lb e r e f e r r e dt o a s N .3 L a n d a u , Vo r l e s u n g e nu i b e rZ a h l e n t h e o r i e ,3 , 2 4 0 .4 Ku mmer, C r e l l e ,4 0 1 3 0 - 1 3 8( 1 8 5 0 ) ;L a n d a u ,l o c .c i t . ,2 7 1 - 2 7 4 .4 a T r a n s . Am . M a t h . S o c . ,3 1 ,6 3 3 ( 1 9 2 9 ) .5 T h e s eP R O C E E D I N G S ,1 6 , 7 4 3 - 7 4 9( 1 9 3 0 ) .8 I b i d . ,1 6 , 1 3 9 - 1 5 0( 1 9 3 0 ) .7 I b i d . ,1 6 ,3 0 3 ( 1 9 3 0 ) .7 aM i s s S t a f f o r d ' sp r e v i o u s c o m p u t a t i o n sc o n c e r n i n gt h e r e g u l a r i t yo f t h e p r i m e s

I s u c h t h a t 1 5 7 < I < 2 1 1 ,were c h e c k e db y M r . A b e r n a t h yb y t h e m e t h o d sj u s td e -s c r i b e d c o n c e r n i n gt h e s u m s o f t h e r o w s a n d c o l u m n s ,a n d M i s s S t a f f o r d ' sc o n c l u s i o nt h a t a l l s u c h p r i m e sa r e r e g u l a r ,wa s c o n f i r m e d .

8 C f .e r r a t a t o Vo l .3 3 o f t h e T r a n s .Am . M a t h . S o c .9 M e s s e n g e ro fM a t h . , [ 2 ] ,3 8 ,1 4 - 3 2 ( 1 9 0 8 ) .

1 0B u l l .N a t. Res . C o u n . ,6 2 ,F e b . ,1 9 2 8 ,3 4 ,4 4 .1 1B u l l .Am . M a t h . S o c . ,2 8 ,4 0 0 - 4 0 7( 1 9 2 2 ) ;t h e s e P R O C E E D I N G S ,1 2 , 7 6 7 - 7 7 2( 1 9 2 6 ) .

V O L .1 7 ,1 9 3 1 6 7 3

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