NELER ÖĞRENECEĞİZ? Çokgen kavramını, içbükey ve dışbükey

tanımlarını, Köşegen tanımı ve köşegen sayısını

bulmayı İç açı ve dış açı ölçülerini Kenarlar ile ilgili özellikleri Altıgenin özelliklerini Sekizgenin özelliklerini Çokgenin alanını bulmayı İçteğet ve çevrel çember yardımıyla alan

bulmayı

Öğreneceğiz.

•Çokgenlerin tanımı veÖzellikleri

•Düzgün Çokgenler

Tanım: 3n olmak üzere n tane noktada kesişen doğru parçalarının oluşturduğu birleşim kümesine çokgen

denir.

Çokgen şeklinin özellikleri: • Kenarları doğru parçası olacak. • Kenarları uç noktasında kesişecek. • Kenarlarının oluşturduğu bölge bir

kapalı alan oluşturacak.

n tane noktaya çokgenin köşeleri denir.

Oluşan doğru parçalarına çokgenin kenarları denir.

Köşeler A,B, C gibi büyük harflerle gösterilir.

Çokgenler kenar sayılarına göre adlandırılır.Üçgen, dörtgen, beşgen

vs.

• Bir çokgenin iki komşu kenarının oluşturduğu açılara çokgenin iç açıları, komşu bütünlerine de çokgenin dış açıları denir. • Bir çokgenin komşu olmayan iki

köşesini birleştiren her doğru parçasına çokgenin bir köşegeni

denir.

• Bir çokgenin içindeki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçası

tamamen çokgenin içinde kalıyorsa bu çokgene konveks (dış bükey) çokgen;

yoksa konkav (iç bükey) çokgen denir.

DI ŞBÜKEY(KONVEKS)

ÇOKGENİ N

ÖZELLİ KLERİ

Özellik 1:n 3 olmak üzere, n kenarlı bir

konveks çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n - 2) . 180° dir. İspat:

İSPAT

Bir çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegen sayısı,Çokgenin kenar sayısının 3 eksiği kadar yani (n-3) dür.Bu köşegenler çokgeni (n-2) tane üçgene ayırır.Her üçgenin iç açılar toplamı 180 derece olacağından çokgenin iç açılar toplamı (n-2).180 dir.

ÖRNEK:

ÖRNEK:

ÖRNEK:

ÖZellik 2:n 3 olmak üzere, n kenarlı bir

konveks

çokgenin

dış açılarının ölçüleri toplamı 360° dir. (sabittir, değişmez.) İspat:

İSPAT:

n kenarlı çokgenin iç açıları; a,b,c,….k olsun. (n kenarlı çokgende n tane iç açı vardır.)

O halde bu çokgenin dış açıları; 180-a,180-b,180-c,…,180-k olur.Çokgenin iç açılar toplamı;a+b+c+…+k= (n-2).180 dir.O halde dış açılar toplamı;(180-a)+(180-b)+(180-c)+…+(180-k)= 180.n -

(a+b+c+…k) =180.n – (n-2).180 =180.n – 180.n + 2.180 =2.180 = 360 olur.Böylece ispat

tamamlanmış olur.

ÖRNEK:

Özellik 3 :n > 3 olmak üzere, n kenarlı bir konveks çokgenin

köşegen sayısı : 2)3( nn

İspat:

ÖRNEK:

ÖRNEK:

ÖRNEK:

Özellik4: Bir çokgenin çizilebilmesi için en az (n - 2 ) tanesi uzunluk olmak üzere (2n - 3) eleman bilinmelidir. Buna belirli olabilme denir.

İspat:

Bir üçgenin belirli olabilmesi için, 1) Bir kenarı ile iki açısının 2) İki kenarı ile bir açısının yada 3) Üç kenarının Bilinmesi gerekir. Yani en az bir kenarı ve iki açısı ile bellidir.

ETKİNLİK:Şimdi herhangi bir ABCD dörtgenini ele alalım.

K

A B

C

D

}{[[ KBCAD

ABCD dörtgensel bölgesinin, KAB üçgensel bölgesinden KCD üçgensel Bölgesinin ayrılması ile elde edildiğini düşünebiliriz.

KAB üçgeni belli iken [CD] nin konumunu |AD|,|DC| yada |BC|

uzunluklarından en az biri ile C veya D açılarının ölçülerinden biri belirler.

Demek ki, verilen bir üçgenden belirli bir dörtgen ayırabilmemiz

için dörtgenin oluşacak kenarlarından en az birinin uzunluğu ile

oluşacak açılardan birinin ölçüsünün bilinmesi gerekir.

Her n-genin verilen bir (n- 1)genden bu şekilde elde edildiğini

düşünebiliriz.

O halde, n kenarlı bir çokgenin belli olabilmesi için

n=3 ise en az bir kenarı ve iki açısının

n=4 ise en az iki kenarı ve 3 açısının

n=5 ise en az üç kenarı ve 4 açısının

n=n ise en az n-2 kenarı ve n-1 açısının

ve toplamda 2n-3 elemanının bilinmesi gerekir.

Not: n kenarlı bir çokgenin bir köşesinden geçen köşegen sayısı n-3 tanedir. Bir köşeden geçen köşegenler bu köşegeni n-2 tane üçgensel bölgeye ayırır.

Örn: 6 kenarlı bir dışbükey çokgenin a) Çizilebilmesi için en az kaç elemanı verilmelidir? b) İç açıları toplamı kaç derecedir? c) Dış açıları toplamı kaç derecedir? d) bir köşesinden geçen köşegen sayısı kaçtır?

e) Bir köşesinden geçen köşegenler çokgeni kaç parçaya ayırır?

f) Bütün köşegenlerinin sayısı nedir?

DÜZGÜN ÇOKGENLER

Bütün kenarlarının uzunlukları eşit ve bütün açılarının

ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

a. şekildeki düzgün altıgende olduğu gibi düzgün çokgenlerin köşelerinden daima bir çember geçer. Bu çembere çevrel

çember denir.

b. Düzgün çokgenlerde eşit sayıda kenarı birleştiren köşegenler birbirine eşittir.

|AC|=|AE|=|BD| |AD|=|AE|=|CF|

DÜZGÜN ÇOKGENLERİ N ÖZELLİ KLERİ

n kenarlı düzgün bir çokgende bir içaçının ölçüsü:

Konveks çokgenlerin dış açıları toplamı 360° olduğundan düzgün çokgenin bir dış açısı:

ÖRNEK:

SORU : Bir iç açısının ölçüsü , bir dış açısının ölçüsünün 5 katı olan düzgün çokgenin köşegen sayısı kaçtır?

ÖRNEK:

ABCDEF düzgün altıgen , olduğuna göre;

oranı kaçtır ?

ÖRNEK :

ABCDE düzgün beşgen,B , C , K doğrusal, olduğuna göre ;

x kaçtır ?

ÖRNEK:

Çiftgenlerde karşılıklıKenarlar paraleldir.

Tekgenlerde köşeden karşı Kenara inilen dikme kenarı ikiEşit parçaya böler.

Ç=n.a

*Bir kenar uzunluğu a olan n kenarlı bir çokgenin çevresi ;

DÜZGÜN ÇOKGENLERİN ALAN VE ÇEVRESİ

ÖRN: Yarıçapı 2 cm olan bir çember içine çizilen düzgün

sekizgenin alanı kaç

2cm

dir?

Çevrel çemberinin yarıçapı birim olan bir düzgün sekizgenin

alanı kaç birimkaredir?

ÖRNEK:

ÖRNEK :

UYGULAMALAR

Şekildeki düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

C:10

ÖRNEK:

ÖRNEK:

ÖRNEK:

ÖRNEK:

ÖRN: Düzgün bir dokuzgenin dışaçı ölçüleri

8

1i kadar

büyütülerek yeni bir çokgen elde ediliyor. Bu çokgenin kenar sayısı nedir?

C:8

ÖRNEK:

ÖRNEK:

ÖRNEK:

Örn:

Örn:

Şekilde ABCDEF düzgün altıgen, EFKLM düzgün beşgendir.

m(KEA

)

kaç derecedir?

A) 66 B) 76 C) 84 D) 90 E) 132

Yandaki düzgün beşgende,

CFD

açısının ölçüsü kaç derecedir?

A) 35 B) 60 C) 72 D) 90 E) 108

Şekilde ABCDEF bir kenarı 3 cm olan düzgün altıgendir. AOEF eşkenar dörtgen olduğuna göre, taralı ABCDEO alanı kaç cm² dir?

A) 6

3

B) 9

3

C) 12

3

D) 15

3

E) 18

3