Neodlucivost u matematici

Poplocavanje ravni

Poznato je da se ravan moze poplocati, tj. pokriti bez preklapanja ipraznina, kvadratima, jednakostranicnim trouglovima i pravilnimsestouglovima, a da se ne moze poplocati, na primer, pravilnimpetouglovima.

Mnogi drugi oblici mogu poplocati ravan, kao, na primer, svaki odnepravilnih petouglova prikazanih na narednoj slici.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 4 / 24

Neodlucivost u matematici

Poplocavanje ravni

Razmatranje poplocavanja ravni prilicno se komplikuje povecavanjem brojaoblika.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 5 / 24

Neodlucivost u matematici

Poplocavanje ravni

Sva poplocavanja ravni prikazana naprethodnim slikama su periodicna.Grubo govoreci, to znaci da postoje bardva razlicita pravca u poplocanoj ravni ina svakom od njih beskonacno mnogotacaka iz kojih mozemo posmatratipoplocanu ravan a da ono sto vidimobude jedan te isti sablon, odnosno danam poplocana ravan izgleda potpunoisto kada je posmatramo iz bilo koje odpomenutih tacaka.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 6 / 24

Neodlucivost u matematici

Poplocavanje ravni

Matematickim jezikom, poplocavanje jeperiodicno ako postoje dve nezavisnetranslacije ravni koje uocenopoplocavanje prevode u sebe. Za svakoperiodicno poplocavanje ravni postojitzv. paralelogram perioda odredjenvektorima translacija koje topoplocavanje prevode u sebe.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 7 / 24

Neodlucivost u matematici

Poplocavanje ravni

Postoje plocice kojima se ravan moze poplocavati i periodicno ineperiodicno.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 8 / 24

Neodlucivost u matematici

Poplocavanje ravni

Postoji li konacan skup dozvoljenih oblika koji se mogu redjati samoneperiodicno? Postoji – Robinsonov aperiodican skup plocica.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 9 / 24

Neodlucivost u matematici

Poplocavanje ravni

Postoji jos aperiodicnih skupova plocica: Penrouzove plocice – zmaj istrelica.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 10 / 24

Neodlucivost u matematici

Poplocavanje ravni

Kako i zasto su otkriveni aperiodicni skupovi plocica?

Hao Vang je 1961. godine formulisao je problem: Postoji li postupak zaresavanje problema poplocavanja, tj. postoji li neki algoritam kojim semoze utvrditi da li dati skup mnogougaonih plocica moze poplocati ravan?

Dokazao je da ce ovakav algoritam postojati ako se dokaze da svaki skupplocica koji poplocava ravan zaparavo je poplocava periodicno.(U to vreme se verovalo da aperiodicni skupovi plocica ne postoje).

M. R. Robinson, Undecidability and nonperiodicity for tilings of the plane,Invent. Math. 12, 1971.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 11 / 24

Neodlucivost u matematici

Neodlucivost problema poplocavanja ravni

Sustinska ideja dokaza neodlucivosti problema poplocavanja ravni jestesimulacija Tjuringovih masina pomocu plocica. Sama simulacija jezanimljiva sama po sebi jer omogucava da pakovanje plocica zamisljamokao model izracunljivosti.

Simuliracemo rad proizvoljne Tjuringove masine na praznoj traci jer: nepostoji algoritam koji odlucuje da li se proizvoljna Tjuringova masinazaustavlja ako zapocne rad na praznoj traci.

Umesto opsteg problema poplocavanja ravni razmatracemo tzv. problempoplocavanja ravni sa pocetnim zahtevima.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 12 / 24

Neodlucivost u matematici

Neodlucivost problema poplocavanja ravni

Za simulaciju rada Tjuringovih masina na praznoj traci koristicemo sledeceplocice.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 13 / 24

Neodlucivost u matematici

Neodlucivost problema poplocavanja ravni

Zadatak 23. Ispitati rad na praznoj traci Tjuringove masine date sa:

q001Lq1, q101Rq2, q111Rq1, q211Rq0.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 14 / 24

Neodlucivost u matematici

Primer q001Lq1, q101Rq2, q111Rq1, q211Rq0

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 22 / 24

Neodlucivost u matematici

Primer q001Lq1, q101Rq2, q111Rq1, q211Rq0

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 23 / 24

Neodlucivost u matematici

Neodlucivost problema poplocavanja ravni

Oznacimo sa 〈T 〉 skup plocica odredjenih Tjuringovom masinom T .Napomena. 〈T 〉 je konacan skup plocica.

Tjuringova masina T se ne zaustavlja na praznoj traciakko

plocicama iz 〈T 〉 je moguce prekriti poluravan sa odgovarajucom prvomvrstom.

(Matematicki fakultet, Beograd) 18.12.2014. 24 / 24