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Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica – IMECC
Jogo da Velha e o Quadrado Mágico
Luan Martins Corrêa (RA 201672)
Professor Dr. Ricardo Miranda Martins (AM091)
Julho, 2020
INTRODUÇÃO
Nesse projeto explicarei o funcionamento de dois jogos populares, simples e de
fácil acesso, conhecidos como o “Quadrado Mágico” e o “Jogo da Velha”, assim
como a estratégia e a matemática envolvida na jogabilidade deles.
O “Quadrado Mágico” é um jogo de apenas um jogador, que tem como objetivo
completar uma tabela com a mesma quantidade n de linhas e colunas, portanto
com n2 espaços a serem completados, com números de 1 até n2. Esses números
devem ser distribuídos de forma que a soma total de todas as colunas, linhas e
das duas diagonais tenham todas o mesmo valor.
O caso mais simples de um quadrado mágico é com n=3. Nesse caso temos
uma tabela com 3 linhas, 3 colunas e 9 espaços para serem completados com
números de 1 a 9. O jogo ganho tem essa cara:
Podemos notar que a soma de todas as linhas, colunas e diagonais resultam em
15; mais para frente, mostrarei que 15 é o único resultado possível para um
quadrado mágico de dimensão n=3.
Já o jogo da velha, diferentemente do quadrado mágico é competitivo. Nele se
enfrentam dois jogadores, o jogador “X” e o jogador “O” (“bolinha”) numa tabela
com 3 linhas e 3 colunas, e consequentemente com 9 espaços em branco para
serem preenchidos.
A jogabilidade consiste em jogadas alternadas entre os dois (cada rodado um
jogador começa o movimento) com o objetivo de completar uma coluna ou uma
linha ou uma diagonal apenas com “X” ou apenas com “O”, sendo que o jogador
“O” poderá preencher os espaços apenas com “O” e o outro apenas com “X”.
O jogo quando ganho se parece com isso:
Podemos notar que a terceira coluna está completamente preenchida por “X”, o
que significa uma vitória para o jogador “X”.
UM POUCO DA HISTÓRIA
Não se sabe ao certo acerca da origem do jogo “Quadrado Mágico”, no entanto,
existem registros da sua existência na China e na Índia há cerca de 3000 anos.
O jogo possui esse nome devido à crença de que estes quadrados tivessem
poderes sobrenaturais.
Acredita-se que o Imperador Yu, o Grande, primeiro governante e fundador da
Dinastia Xia Chinesa (nascido em 2.059 a.C.), observava o rio Amarelo quando
viu uma tartaruga “divina”, e em seu casco estava o símbolo hoje conhecido
como “lo shu”. O imperador observou que no casco da tartaruga havia marcas
que formavam símbolos com “nós”, e que poderiam ser transformados em
números de 1 a 9 que somavam 15 em todas as direções.
O símbolo seria algo parecido com essa
imagem (podemos perceber que a soma
dos “nós” conectados gera um número e
que a soma desses números é 15 em
todas as direções).
Sendo assim, na China e na Índia pessoas usavam os quadrados mágicos
gravados em pedra ou em metal em forma de talismãs e amuletos, acreditando
que quem possuísse um quadrado mágico teria felicidade para toda a vida. Além
disso, acreditavam que o quadrado mágico reunia os princípios básico do
universo, onde os números ímpares simbolizavam o “princípio masculino” (Yang)
e os pares o “princípio feminino” (Yang). O número 5 representaria a Terra, que
ao seu redor possui os quatro elementos – água (1 e 6), fogo (2 e 7), metais (4
e 9) e madeira (3 e 8).
Posteriormente, os quadrados começaram a ficar conhecidos na Europa por
conta de uma obra do escritor bizantino Manuel Moschopoulos, “Tratado de
Quadrados Mágicos”, e foram até usados como amuletos mágicos gravados em
placas de prata contra a peste.
Bernand Frénicle de Bessy, Pierre Fermat, Leonhard Euler e Cleude-Gaspar
Bachet foram importantes nomes da matemática que tiveram grande interesse e
estudaram quadrados mágicos, formulando classificações e enumerações para
ele.
O “jogo da velha” por outro lado, não possui um significado sagrado que originou
crenças e grandes símbolos. Este jogo é um passatempo que alguns acreditam
ter se originado no século XIV a.C. no Egito, porém, a evidência mais antiga e
concreta existente do jogo é datada na Roma Antiga, onde os cidadãos romanos
jogariam um jogo chamado “Terni Lapilli” que é extremamente parecido com o
jogo da velha que conhecemos hoje, porém em “tabuleiros” redondos. Os
resquícios desses tabuleiros podem ser encontrados em vários lugares de Roma
e teriam mais ou menos essa forma:
Incrivelmente, existem evidências arqueológicas que mostram que o jogo da
velha teria sido desenvolvido de forma independente em regiões diferentes do
planeta, como na América pré-colombiana e na China Antiga.
É um jogo conhecido mundialmente por diferentes nomes, no inglês chamado de
“tic-tac-toe” e na China em 500 a.C. conhecido como “luk isut k-i”. Como o
passatempo teria progredido no tempo até os dias atuais ainda é incerto para os
historiadores: alguns dizem que existem registros do jogo na Idade Média, porém
a hipótese mais concreta é de que o jogo teria reaparecido no século 18, na
Inglaterra, como um jogo para crianças, e então sido levado para a América e
outros lugares do mundo através da colonização e imigração inglesa.
LÓGICA E ESTRATÉGIAS
QUADRADO MÁGICO
Como já descrito “o quadrado mágico” é um jogo de apenas um jogador que tem
o objetivo de completar um quadrado de n linhas e n colunas (para n ≥ 3) com
números de 1 a n2 sendo que a soma de todas as linhas, colunas e diagonais
principais sejam iguais, e essa soma, chamada de “constante mágica”, é única
para cada dimensão n do quadrado.
Portanto, podemos determinar uma fórmula que nos resultará no valor da
constante mágica dependendo da dimensão n do quadrado. Pensando no
quadrado mágico como uma matriz de dimensão n, em que suas entradas são
números distintos do conjunto 1, 2, 3, ..., n2, sabemos que esse conjunto é uma
Progressão Aritmética (P.A.) de n2 termos e razão 1. Sendo assim, a soma de
todos os termos é determinada pela fórmula de soma de uma P.A. que é dada
por:
𝑆𝑚 =(𝑎1 + 𝑎𝑚) ∗ 𝑚
2
Sendo 𝑎1 = 1 o primeiro termo, 𝑎𝑛 = 𝑛2 o último termo, 𝑚 = 𝑛2 o número de
termos da P.A. e 𝑆𝑚 a soma de todos os termos, temos que cada linha ou coluna
terá a soma de 𝑆𝑚
𝑚 que é a constante mágica (CM) e simplificada é equivalente
a:
𝐶𝑀 =𝑛 ∗ (1 + 𝑛2)
2
Ou seja, para um quadrado mágico de 3 dimensões consideramos 𝑛 = 3 e
obtemos que sua constante mágica é 15. Para 𝑛 = 4, 𝐶𝑀 = 34. Para 𝑛 = 5,
𝐶𝑀 = 65. Para 𝑛 = 6, 𝐶𝑀 = 111 e assim por diante.
Agora que aprendemos como calcular qual será a soma das linhas e colunas,
vamos entender alguns métodos usados para resolver os quadrados mágicos.
Primeiramente, veremos um método para resolução de qualquer quadrado de
ordem ímpar, ou seja, quadrados onde 𝑛 = 2𝑘 + 1, 𝑐𝑜𝑚 𝑘 = 1, 2, 3, …
Este método para resolução de um quadrado mágico de dimensão ímpar é
chamado de método de Simon, desenvolvido por Simon de la Loubére, um
embaixador francês na Tailândia, publicado em seu livro de 1963 “Du Royaume
de Siam”.
De forma a ilustrar o método, construirei um Quadrado Mágico de dimensão 5
(ímpar), que como já sabemos tem como constante mágica o número 65:
Este é um exemplo de quadrado mágico 5x5, onde denotei por 𝐿𝑛 a linha n e
𝐶𝑛 a coluna n.
MÉTODO DE SIMON
1° passo: Duplicar as 3 últimas linhas e as 3 primeiras colunas do quadrado, de
forma que a primeira linha encontre a última e a última coluna encontre a
primeira:
Sendo assim, todos elementos escritos na “cópia” da linha n ou da coluna n
também serão escritos nelas.
𝐿1
𝐿2
𝐿3
𝐿4
𝐿5
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5
𝐿3
𝐿4
𝐿5
𝐿1
𝐿2
𝐿3
𝐿4
𝐿5
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
2° passo: Escrever o número 1 na primeira linha da coluna central:
No caso o elemento da primeira linha e da coluna central é o elemento 𝐿1𝐶3.
3° passo: Seguir completando o quadrado em ordem crescente no sentido
nordeste, ou seja, uma casa para cima e uma para direita, e quando chegar
numa “parede” continuar na mesma diagonal na parte de baixo do quadrado e
no mesmo sentido até chegar em um número já preenchido novamente:
𝐿3
𝐿4
𝐿5
𝐿1 1
𝐿2
𝐿3
𝐿4
𝐿5
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
𝐿3
𝐿4 3
𝐿5 2
𝐿1 1
𝐿2 5
𝐿3 4
𝐿4 3
𝐿5 2
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
4° passo: Esse passo ocorre quando se torna impossível de continuar
completando o quadrado no sentido nordeste pois já existe um número
preenchido na próxima casa, portanto, preencheremos a casa imediatamente
abaixo da posição em que estamos, ainda em ordem crescente:
5° passo: Repetir o 3° e o 4° passo repetidamente até o quadrado estar
totalmente preenchido:
𝐿3
𝐿4 3
𝐿5 2
𝐿1 1
𝐿2 5
𝐿3 4 6
𝐿4 3
𝐿5 2
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
𝐿3
𝐿4 3
𝐿5 2 9
𝐿1 1 8
𝐿2 5 7
𝐿3 4 6
𝐿4 10 3
𝐿5 2 9
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
Preenchendo do 11 ao 15:
Preenchendo do 16 ao 20:
𝐿3
𝐿4 3
𝐿5 2 9
𝐿1 1 8 15
𝐿2 5 7 14
𝐿3 4 6 13
𝐿4 10 12 3
𝐿5 11 2 9
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
𝐿3
𝐿4 3
𝐿5 2 9
𝐿1 17 1 8 15 17
𝐿2 5 7 14 16
𝐿3 4 6 13 20
𝐿4 10 12 19 3
𝐿5 11 18 2 9
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
Preenchendo do 21 ao 25:
Temos então um quadrado mágico de dimensão 5 completo:
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
É perceptível que a soma de todas as linhas, colunas e diagonais principais
resultam na constante mágica 65.
Este foi um exemplo do método de Simon para um quadrado de ordem 5, porém
podemos aplicá-lo em qualquer quadrado de ordem ímpar com 𝑛 ≥ 3.
𝐿3
𝐿4 3
𝐿5 2 9
𝐿1 17 24 1 8 15 17 24
𝐿2 23 5 7 14 16 23
𝐿3 4 6 13 20 22
𝐿4 10 12 19 21 3
𝐿5 11 18 25 2 9
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
MÉTODO DE IBN AL-HAYTHAM
Existe ainda um método mais antigo para resolução de quadrados mágicos de
ordem ímpar, que foi desenvolvido por Ibn al-Haytham no século XI. O método
consiste em passos muito parecidos com o método de Simon, apenas com
algumas alterações:
1° passo: Duplicar as 3 primeiras linhas e as 3 primeiras colunas do quadrado,
de forma que a última linha encontre a primeira e a última coluna encontre a
primeira.
2° passo: Ao invés de escrevermos o número 1 na primeira linha da coluna
central, iremos escrever em alguma das seguintes casas adjacentes à casa
central:
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
𝐿1
𝐿2 X
𝐿3 X X
𝐿4 X
𝐿5
𝐿1
𝐿2
𝐿3
Ou seja, começaremos por alguma dessas 4 casas marcadas com “X”.
3° passo: Ao invés de seguir completando o quadrado em ordem crescente no
sentido nordeste, seguir em ordem crescente no sentido sudeste, ou seja, uma
casa para baixo e uma para direita, e quando chegar numa “parede” continuar
na mesma diagonal na parte de cima do quadrado e no mesmo sentido até
chegar em um número já preenchido novamente:
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
𝐿1 4
𝐿2 5
𝐿3 1
𝐿4 2
𝐿5 3
𝐿1 4
𝐿2
𝐿3
Supondo que tenhamos começado na casa à esquerda da casa central.
4° passo: Esse passo ocorre quando se torna impossível de continuar
completando o quadrado no sentido sudeste pois já existe um número
preenchido na próxima casa, portanto, preencheremos duas casas abaixo da
posição em que estamos, e se estivermos em alguma linha ou coluna fora do
quadrado começaremos a preencher duas casas abaixo da respectiva casa que
se refere a essa linha/coluna porém dentro do quadrado, ainda em ordem
crescente.
5° passo: Repetir o 3° e o 4° passo repetidamente até o quadrado estar
totalmente preenchido:
𝐶1 𝐶2 𝐶3 𝐶4 𝐶5 𝐶1 𝐶2 𝐶3
𝐿1 12 4
𝐿2 5 13
𝐿3 1 14
𝐿4 6 2 15
𝐿5 7 3 11
𝐿1 8 4
𝐿2 9
𝐿3 10
Nessa ilustração já foi aplicado o quarto passo duas vezes, onde pulamos de 5
para 6 e de 10 para 11.
Quadrado mágico de ordem 5 realizado pelo método de Ibn al-Haytham:
12 25 8 16 4
5 13 21 9 17
18 1 14 22 10
6 19 2 15 23
24 7 20 3 11
.
Porém, podemos perceber que há algo de estranho com esse quadrado mágico,
uma de suas diagonais não apresenta a soma 65. Esse seria o que é chamado
de quadrado mágico imperfeito, pois ele respeita a soma constante em suas
linhas e colunas e não em sua diagonal. Sendo assim, o método de Simon
garante um quadrado mágico perfeito, enquanto o método de Ibn al-Haytham
garante apenas um quadrado imperfeito
Exemplos de quadrados de ordem 5 imperfeitos obtidos pelo método de Ibn al-
Haytham, cada um obtido começando em uma das casas adjacentes ao centro:
11 24 7 20 3
16 4 12 25 8
4 12 25 8 16
9 17 5 13 21
17 5 13 21 9
22 10 18 1 14
10 18 1 14 22
15 23 6 19 2
23 6 19 2 15
3 11 24 7 20
17 5 13 21 9
12 25 8 16 4
10 18 1 14 22
5 13 21 9 17
23 6 19 2 15
18 1 14 22 10
11 24 7 20 3
6 19 2 15 23
4 12 25 8 16
24 7 20 3 11
É perceptível que todos esses quadrados possuem uma ou as duas diagonais
com uma soma diferente de 65.
Conclui-se então que o método mais aperfeiçoado é o método de Simon (que
veio a existir depois).
Foram vistos métodos de resolução para quadrados mágicos ímpares, agora
mostrarei mais dois métodos de resolução para quadrados de ordem par.
MÉTODO PARA RESOLUÇÃO DE QUADRADOS MÁGICOS DE
ORDEM PAR (não múltiplos de 4)
Este método é usado para a resolução de quadrados de ordem 𝑛 = 2 + 4𝑘,
𝑐𝑜𝑚 𝑘 = 1, 2, 3, … , ou seja, quando n é par, porém não é múltiplo de 4.
1° passo: dividir o quadrado mágico em 4 quadrantes (adicionando um eixo
horizontal e um eixo vertical) e dividir o conjunto 1, 2, 3, . . . , 𝑛2 em quatro partes
A, B, C, D, sendo que 𝐴 = 1, . . .,𝑛2
4 , 𝐵 =
𝑛2
4+ 1, … ,
𝑛2
2 , 𝐶 =
𝑛2
2+ 1, … ,
3𝑛2
4 e
𝐷 = 3𝑛2
4+ 1, … , 𝑛2. O conjunto A pertencerá ao 1° quadrante (esquerda/cima),
o conjunto B ao 3° quadrante (direita/baixo), o conjunto C ao 2° quadrante
(direita/cima) e o conjunto D ao 4° quadrante (esquerda/baixo).
𝑨 = 𝟏 𝒂 𝟗 𝑪 = 𝟏𝟗 𝒂 𝟐𝟕
𝑫 = 𝟐𝟖 𝒂 𝟑𝟔 𝑩 = 𝟏𝟎 𝒂 𝟏𝟖
Essas seriam as atribuições no caso de um quadrado de ordem n=6.
2° passo: Após atribuir cada conjunto ao seu devido quadrante (que se pode
notar ser de ordem ímpar) vamos resolver cada quadrante separadamente pelo
método de Simon com seu respectivo conjunto. Para utilizar o método de Simon
podemos considerar que o primeiro elemento de cada conjunto corresponde ao
número 1, o segundo ao número 2, o terceiro ao número 3 e assim por diante:
8 1 6 26 19 24
3 5 7 21 23 25
4 9 2 22 27 20
35 28 33 17 10 15
30 32 34 12 14 16
31 36 29 13 18 11
Pode-se notar que ainda não temos um quadrado mágico, para isso teremos
de realizar algumas trocas entre os quadrantes.
3° passo: Fazer marcações que ajudarão a concluir as trocas:
Realce 𝐴1 – marcar o quadrado superior à esquerda no quadrante A, que tem
como quatro vértices os elementos 𝐿1𝐶1, 𝐿1𝐶𝑘, 𝐿𝑘𝐶𝑘, 𝐿𝑘𝐶1, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =(𝑛−2)
4.
Realce 𝐴2 – marcar uma linha na linha central, a partir do elemento da segunda
coluna até o da coluna central, ou seja, de 𝐿𝑖𝐶2 até 𝐿𝑖𝐶𝑖, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑖 =(𝑛+2)
4.
Realce 𝐴3 – marcar o quadrado inferior à esquerda no quadrante A, que tem
como quatro vértices os elementos 𝐿𝑗𝐶𝑗 , 𝐿𝑗𝐶ℎ, 𝐿ℎ𝐶ℎ, 𝐿ℎ𝐶𝑗 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑗 =(𝑛+6)
4 𝑒 ℎ =
𝑛
2.
Realces 𝐷1, 𝐷2, 𝐷3 - são feitos de forma horizontalmente simétrica aos realces
𝐴1, 𝐴2, 𝐴3, no quadrante D.
Realces 𝐵 e 𝐶 – marcar totalmente as colunas de 𝐶𝑘 até 𝐶𝑛, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =(3𝑛+10)
4,
quando 𝑛 = 6 temos que 𝑘 = 7 portanto não precisamos fazer esses realces para
quadrados de ordem 6.
Ilustrando melhor o que seriam esses realces:
Caso 14x14:
Caso 10x10:
Caso 6x6:
4° passo: Realizar trocas “um-a-um” entre os quadrantes A e D e entre os
quadrantes B e C.
α
β
Ω
α
β
Ω
Ilustrando as trocas “um-a-um”, deve-se trocar α com α, β com β e assim por
diante.
Portanto, para um quadrado de ordem 6 já preenchido em cada quadrante pelo
método de Simon teremos:
8 1 6 26 19 24
3 5 7 21 23 25
4 9 2 22 27 20
35 28 33 17 10 15
30 32 34 12 14 16
31 36 29 13 18 11
Realizando as trocas:
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
Quadrado mágico de ordem 6 preenchido, pode-se notar que a soma de todas
as linhas colunas e diagonais principais resultam em 111.
MÉTODO PARA RESOLUÇÃO DE QUADRADOS MÁGICOS DE
ORDEM PAR (múltiplos de 4)
Este método é usado para a resolução de quadrados mágicos de ordem 𝑛 = 4𝑘,
𝑐𝑜𝑚 𝑘 = 1, 2, 3, … , ou seja, quando n é par e múltiplo de 4.
1° passo: Dividir o quadrado em 4 quadrantes, com um eixo vertical e um eixo
horizontal.
2° passo: Dentro de cada quadrante separadamente marcar pontos de maneira
que haja 𝑘 pontos tanto nas linhas quanto nas colunas.
Exemplo de um quadrado de ordem 8 - Percebe-se que cada coluna e cada
linha dentro de cada quadrante tem exatamente duas casas marcadas, e
existem diferentes maneiras de fazer essas marcações.
3° passo: Percorrer o quadrado (da esquerda para a direita, percorrendo uma
linha inteira para então trocar de coluna) contando números de forma crescente
a partir da primeira casa começando pelo número 1, e escrever o respectivo
número apenas nas casas marcadas.
1 4 5 8
10 11 14 15
18 19 22 23
25 28 29 32
33 36 37 40
42 43 46 47
50 51 54 55
57 60 61 64
4° passo: Percorrer o quadrado da mesma forma que no passo 3, porém
começando de 𝑛2 e contando de forma decrescente, preenchendo as casas que
não estão marcadas. Se preferível pode começar a preencher o quadrado da
última linha, da direita para esquerda e, portanto, preenchendo em ordem
crescente.
1 63 62 4 5 59 58 8
56 10 11 53 52 14 15 49
48 18 19 45 44 22 23 41
25 39 38 28 29 35 34 32
33 31 30 36 37 27 26 40
24 42 43 21 20 46 47 17
16 50 51 13 12 54 55 9
57 7 6 60 61 3 2 64
Temos então um quadrado de ordem 8 preenchido:
1 63 62 4 5 59 58 8
56 10 11 53 52 14 15 49
48 18 19 45 44 22 23 41
25 39 38 28 29 35 34 32
33 31 30 36 37 27 26 40
24 42 43 21 20 46 47 17
16 50 51 13 12 54 55 9
57 7 6 60 61 3 2 64
É perceptível que a soma de todas as linhas, colunas e diagonais principais
resultam em 260.
É interessante notar que o passo 2 pode ser realizado de várias formas, portanto
com o mesmo método conseguimos obter diferentes quadrados mágicos de
ordem par de múltiplos de 4.
Por exemplo, se preenchermos as casas iniciais de forma que:
Vale notar que a regra de duas casas preenchidas por coluna e por linha por
quadrante ainda está sendo respeitada.
Uma disposição de marcações iniciais da forma mostrada resultará num
quadrado mágico preenchido da forma:
64 63 3 4 5 6 58 57
56 10 11 53 52 14 15 49
17 18 46 45 44 43 23 24
25 39 38 28 29 35 34 32
33 31 30 36 37 27 26 40
41 42 22 21 20 19 47 48
16 50 51 13 12 54 55 9
8 7 59 60 61 62 2 1
É perceptível que a soma de todas as linhas, colunas e diagonais principais
resultam em 260.
Portanto, agora sabemos montar um quadrado mágico de qualquer ordem,
basta ver em que conjunto a ordem n se encaixa (ímpares, pares múltiplos
de 4 ou pares não múltiplos de 4) e aplicar o respectivo método.
LÓGICA E ESTRATÉGIAS
JOGO DA VELHA
Como já descrito, o “jogo da velha” é um jogo competitivo, jogado entre dois
jogadores, o jogador “X” e o jogador “O”, de forma que ambos possuem o objetivo
de, em jogadas alternadas, completar uma linha, coluna ou diagonal de um
tabuleiro 3x3 com apenas “O” ou apenas “X.
Vale destacar que este jogo de certa forma é “falho”, pois existem estratégias
que permitem ao jogador sempre ao menos empatar (o que é popularmente
chamado de “dar velha”). Ou seja, se ambos os jogadores souberem jogar bem,
o jogo empatará em todas as rodadas.
É importante entender a grande semelhança entre o jogo da velha e um
quadrado mágico de ordem 3. Imaginemos um jogo no qual existem dois
jogadores e cada um em vezes alternadas tem de escolher um número de 1 a 9
com o objetivo de que com 3 dos números escolhidos se forme a soma total de
15. Podemos imaginar que os números estão dispostos em um quadrado mágico
de ordem 3 e que os jogadores, ao escolherem um dos números, estão
posicionando “X” ou “O” no quadrado. Portanto conseguir a soma 15 significa
que ele também conseguiu dispor uma linha, coluna ou diagonal inteira do
quadrado apenas com “X” ou apenas com “O”; ou seja, esse jogo é análogo ao
jogo da velha.
Por exemplo, se os números escolhidos por cada jogador forem:
Jogador cinza: 8 2 6 1
Jogador azul: 4 5 7
8 1 6
3 5 7
4 9 2
Temos então que o jogador cinza venceu, pois conseguiu somar 15 com os
números 8, 1 e 6. Dispondo as jogadas em um quadrado mágico se percebe que
a primeira linha do quadrado foi completada, o que resulta em vitória para o
jogador cinza.
Foi vista então a semelhança entre o jogo da velha e o quadrado mágico. Agora
vejamos as estratégias existentes no jogo da velha.
Triângulos:
X X
X
X X X
X X X
X X X
Esses são os quatro triângulos possíveis no jogo da velha (desconsiderando
rotações do tabuleiro), os jogadores devem ter como objetivo conquistar algum
deles para deixar o oponente sem saída, de forma que se uma possível linha for
bloqueada o jogador ganhará formando outra. É perceptível que os dois
triângulos da linha de baixo são piores, pois eles possibilitam apenas duas
jogadas vencedoras, enquanto os de cima possibilitam 3 jogadas vencedoras.
Para jogar da melhor forma o jogador deve seguir esses movimentos (em ordem
de prioridade):
1. Ganhar: se tem duas peças alinhadas, ponha a terceira.
2. Bloquear: se o oponente tem duas peças alinhadas, ponha a terceira de
forma a bloqueá-lo.
3. Triângulo: Crie uma oportunidade em que você terá duas casas para
dispor sua próxima peça e ganhar.
4. Bloquear um triângulo:
Opção 1 – disponha duas peças em linha para forçar o oponente a se
defender de forma que se defendendo ele não forme um triângulo e vença.
Opção 2 – se existe uma forma que o oponente irá conquistar um triângulo
na próxima jogada, bloqueie-o.
5. Centro ou canto: jogue no centro ou jogue no canto (casas do tabuleiro
que são rodeadas por outras três casas)
Podemos perceber que os melhores triângulos são formados por peças nos
cantos ou no centro, por isso a preferência por jogadas no centro ou no canto e
não nas bordas (casas que estão rodeadas por outras cinco casas).
Triangulação: Conquistar um triângulo depende apenas do erro do adversário,
sendo assim não existe uma estratégia que permite a um jogador sempre
ganhar.
Triangulação pelo centro:
1. Comece jogando no centro.
2. Se o adversário jogar na borda, jogue ao lado desta borda, no canto.
3. O adversário terá de jogar no canto afastado para se defender.
4. Forme um triângulo, jogando no canto ou na borda que está na mesma
linha do canto conquistado
X X X X
X X O X O X O X O
O O
Triangulação pelo centro 2:
1. Comece jogando no centro.
2. Se o adversário jogar no canto, jogue no canto diagonalmente oposto.
3. Se o adversário jogar numa borda, jogue no canto que te possibilitará
formar um triângulo.
X X X X X
X X X O X O X O
O O O O
Triangulação pelo canto:
1. Comece jogando no canto.
2. Se o adversário jogar na borda, jogue no canto que o obrigará a jogar em
uma borda novamente, sem possibilitá-lo uma jogada vencedora.
3. Adversário jogará numa borda.
4. Forme um triângulo jogando no centro, ou jogando no canto que não está
alinhado à nenhuma peça do adversário.
X X X X X O X X O X
O O O O X O
Triangulação pelo canto 2:
1. Comece jogando no canto.
2. Se o adversário jogar no centro, jogue no canto que alinhará as três peças
no tabuleiro na diagonal.
3. Se o adversário jogar em um canto, jogue no outro canto formando um
triângulo.
X X X X O X O
O O O O
X X X X
São essas então, as principais estratégias que todo jogador de jogo da
velha deve saber. Sabendo isso você nunca perderá.
CURIOSIDADES
Número de possibilidades no jogo da velha:
Desconsiderando quando um jogador vence temos 362.880, ou seja, 9! maneiras
de se dispor 5 “X” e 4 “O” em um tabuleiro 3x3. Agora, considerando as jogadas
vencedoras, nas quais não necessariamente precisa-se dispor todas as peças
no tabuleiro, temos no total 255.168 jogos possíveis.
Considerando que o jogador “X” é o primeiro:
131.184 jogos finalizados são ganhos pelo jogador “X”:
1.440 são ganhos após 5 movimentos.
47.952 são ganhos após 7 movimentos.
81.792 são ganhos após 9 movimentos.
77.904 jogos finalizados são ganhos pelo jogador “O”:
5.328 são ganhos após 6 movimentos.
72.576 são ganhos após 8 movimentos.
46.080 jogos finalizados resultam em empate.
Porém, se ignorarmos jogadas simétricas (quando rotacionamos ou refletimos
o tabuleiro) existem apenas 138 jogos possíveis diferentes.
Considerando que o jogador “X” é o primeiro:
91 resultados únicos são ganhos pelo jogador “X”:
21 são ganhos após 5 movimentos.
58 são ganhos após 7 movimentos.
12 são ganhos após 9 movimentos.
44 resultados únicos são ganhos pelo jogador “O”:
21 são ganhos após 6 movimentos.
23 são ganhos após 8 movimentos.
3 resultados são empates:
O X O O X O X X O
O X X X O X O O X
X O X X O X X O X
Classificação dos quadrados mágicos:
Certos quadrados mágicos recebem nomes específicos devido a certas
singularidades:
Quadrados Imperfeitos/Defeituosos: são aqueles que não obedecem a todas as
regras de um quadrado mágico, por exemplo os quadrados de ordem 5 obtidos
pelo método de Ibn al-Haytham, nos quais uma ou duas de suas diagonais não
somavam 65 igual as linhas e colunas.
Quadrados Hipermágicos: são quadrados que possuem certas propriedades
adicionais, por exemplo, um quadrado no qual se trocando duas colunas de lugar
ainda é um quadrado mágico.
Quadrados Diabólicos: são aqueles que possuem muitas propriedades
adicionais ou com propriedades adicionais muito complexas.
Quadrado de Dürer:
É um quadrado diabólico que foi representado em uma das gravuras do pintor
alemão Albrecht Dürer, chamada “Melancholia I”:
Podemos observar o quadrado mágico no canto superior direito da gravura.
Além da soma de todas as colunas, linhas e diagonais principais do quadrado de
Dürer resultarem em 34, existem nele diversas propriedades adicionais:
1. As duas casas centrais da última linha do quadrado formam o número
1514 que é a data em que a gravura foi confeccionada.
2. Na última linha, o primeiro e último número representam as iniciais de
“Dürer, Albrecht”: 4 representa a letra D e 1 representa a letra A.
3. Diversas somas além das linhas, colunas e diagonais resultam em 34
(marcadas em azul):
16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13
5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8
9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12
4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1
16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13
5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8
9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12
4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1
16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13 16 3 2 13
5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8 5 10 11 8
9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12 9 6 7 12
4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1 4 15 14 1
16 3 2 13 16 3 2 13
5 10 11 8 5 10 11 8
9 6 7 12 9 6 7 12
4 15 14 1 4 15 14 1
BIBLIOGRAFIA
HUTTON, Charles. A philosophical and mathematical dictionary (1815). Magical Square.
BERTHELOT, Marcelin. Collection des anciens alchimistes grecs (3 vol., Paris, 1887–
1888).
LOPES, Tânia. A História dos Quadrados Mágicos. Disponível em:
http://www.mat.uc.pt/~mat0717/public_html/Cadeiras/1Semestre/O%20que%20%C3%
A9%20um%20quadrado%20m%C3%A1gico.pdf
Quadrado mágico. Wikipedia. Disponível em:
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadrado_m%C3%A1gico
Yu o Grande. Wikipedia. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Yu_o_Grande
Lo Shu Square. Wikipedia. Disponível em: https://en.wikipedia.org/wiki/Lo_Shu_Square
Jogo da Velha. Wikipedia. Disponível em: https://pt.wikipedia.org/wiki/Jogo_da_velha
SANTOS, Fausto. Quadrados Latinos e Quadrado Mágicos – Uma proposta didática.
UFPB, 2017. Disponível em: www.repositorio.ufpb.br
ZASLAVSKY, Claudia (1982). Tic Tac Toe: And Other Three-In-A Row Games from
Ancient Egypt to the Modern Computer. [S.l.]: Crowell. ISBN 0-690-04316-3
Qual é a origem do jogo da velha? Super interessante. Disponível em:
https://super.abril.com.br/mundo-estranho/qual-e-a-origem-do-jogo-da-velha/
What is the origin of Tic-Tac-Toe? Sorpcleblog. Disponível em:
https://www.sporcle.com/blog/2019/12/what-is-the-origin-of-tic-tac-toe/
How old is Tic-Tac-Toe? Wonderopolis. Disponível em:
https://wonderopolis.org/wonder/how-old-is-tic-tac-toe
Como resolver um quadrado mágico. Wikihow. Disponível em:
https://pt.wikihow.com/Resolver-um-Quadrado-M%C3%A1gico
Tic-Tac-Toe as a magic square. Blogspot. Disponível em:
http://ohboyigettodomath.blogspot.com/2015/05/tic-tac-toe-as-magic-square.html
