Nichtlineare Systeme Test auf Nichtlinearität Ausblickjeti.uni-freiburg.de/studenten_seminar/stud_sem07/vortrag2.pdf · Nichtlineare Zeitreihenanalyse Raimar Sandner Studentenseminar

Nichtlineare SystemeTest auf Nichtlinearität

Ausblick

Nichtlineare Zeitreihenanalyse

Raimar Sandner

Studentenseminar "Statistische Methoden in der Physik"2007

Raimar Sandner Nichtlineare Zeitreihenanalyse


Ausblick

Gliederung

1 Nichtlineare Systeme

Phasenraum

Chaos

Zeitreihen

2 Test auf Nichtlinearität

Surrogate

Kritik an Methoder der Surrogate

3 Ausblick



Ausblick

PhasenraumChaosZeitreihen

Gliederung


Phasenraum

Chaos

Zeitreihen


Surrogate


3 Ausblick



Ausblick


Charakterisierung

(Deterministisches) dynamisches System gegeben durch

Zustandsgrößen x ∈ Rn, bilden Phasenraum

Beispiel

x = (x1, . . . , xn) x =(

~x , ~̇x)

x = (T , V , p)

Vorschrift für Zeitentwicklung der Vektoren im Phasenraum

Zeitkontinuierlichdxdt = f (p, t , x), t ∈ R

Zeitdiskret

x t+1 = F (p, t , x t), t ∈ Z

Anfangsbedingungen, x(t0) bzw. x0 Trajektorie

Nichtlineare Dynamik: f bzw. F nichtlinear



Ausblick


Phasenraumvolumen

Betrachte gebundene Lösungen

Konservative Systeme: Phasenraumvolumen erhalten

Dissipative Systeme: Phasenraumvolumen schrumpft

div f < 0 bzw. |det JF | < 1 (im Mittel)

Physikalisch: Energie ist erhalten oder wird dem Systementzogen.

Phasenraum kann auch in eine Richtung gestreckt, in anderegestaucht werden.



Ausblick


Atraktoren

Assymptotisches Verhalten der Trajektorien

Definition (Atraktor A)

A kompaktA invariant unter Dynamik∃ offene Umgebung U ⊃ A, diesich auf A zusammenzieht

Einzugsbereich (Atraktorbecken)

Maximale Menge, die sich auf A kontrahiert.



Ausblick


Beispiele für Atraktoren

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8−2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Fixpunkt (ged. harm. Oszillator)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−3

−2

−1

0

1

2

3

Grenzzyklus (van der Pol Oszillator)

−20

0

20 −30 −20 −10 0 10 20 30

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Fraktaler Atraktor (Lorenz-Atraktor)



Ausblick


Gliederung


Phasenraum

Chaos

Zeitreihen


Surrogate


3 Ausblick


Stretch and Fold

Beispiel (Hénon-Map)

−1 −0.5 0 0.5 1

−1

−0.5

0

0.5

1

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

−8 −6 −4 −2 0 2−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Beispiel (Rössler-System)

−20

−10

0

10

20

30

−25−20−15−10−505101520

0

10

20

30

40


Ausblick


Fraktale Dimension eines Atraktors

chaotisches Verhalten: kleine Änderung großeAbweichung

topologische Dimension nicht-ganzzahlig

jede Bahn im Einzugsbereich kommt jedem Punkt desAtraktors beliebig nahe

Überdeckungsdimension (Boxcounting-Dimension)

überdecke A mit ε-Würfelnfür kleine ε: benötigte Anzahl N(ε) ∝ 1

εDB

DB = limε→0ln N(ε)

ln( 1ε)



Ausblick


Lyapunov-Exponent

Chaos: exponentielles Auseinanderlaufen naher Trajektorien

linearisiere System lokald(x+δx)

dt = f (x + δx) ≈ f (x) + δxDf (x), mit Jakobimatrix Df (x)

dδxdt

= δxDf (x) δx(t) = δx(0)eλt , Lyapunov-Exp. λ

Betrag größter Eigenwert λmax > 0 ⇒ Chaos

dissipatives System:∑

i λi < 0



Ausblick


Gliederung


Phasenraum

Chaos

Zeitreihen


Surrogate


3 Ausblick



Ausblick


Einbettung

Problem

Gegeben eindimensionale diskrete Zeitreihe {xi}Ni=1.

Wie ist Atraktor zu rekonstruieren?

wähle Einbettungsdimension m, delay τ

~xi =(

xi , xi−τ , xi−2τ , . . . , xi−(m−1)τ

)

Ergebnis sollte topologisch äquivalent zum Atraktor desSystems sein

mathematische Behandlung in embedding theorems,Bedingungen an m und τ



Ausblick


Beispiel Einbettung

Einbettung der x-Koordinate eines Lorenz-Atraktors. m = 3,τ = 1, 7, 20.

−20−10

010

20 −20−10

010

20−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20

−20

−10

0

10

20

−20

−10

0

10

20−20

−10

0

10

20

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 −20

0

20

−20

−15

−10

−5

0

5

10

15

20



Ausblick


Korrellationsdimension

Korrelationssumme

C(ε) = 2N(N−1)

∑Ni=1

∑Nj=i+1 Θ

(

ε − ‖~xi − ~xj‖)

Anteil aller möglichen Punktpaare, die näher als ε beieinanderliegen (hängt implizit von Einbettung ab)

Für ε → 0, N → ∞ sollte C(ε) ∝ εD

Korrelationsdimension D

d(N, ε) = ∂ ln C(ε,N)∂ ln ε

, D = limε→0 limN→∞d(N, ε)



Ausblick

SurrogateKritik an Methoder der Surrogate

Gliederung


Phasenraum

Chaos

Zeitreihen


Surrogate


3 Ausblick



Ausblick


Methode

Surrogate Daten

Lat: surrogatum, der Ersatz.„Ersatzdaten“ für eine gegebene Zeitreihe

stelle Nullhypothese

generiere Surrogaten unter Nullhypothese

berechne Teststatistik auf allen Surrogaten (QHi) und auf

echten Daten (QD)

verschiedene Teststatistiken denkbar



Ausblick


Zurückweisen der Nullhypothese

Test auf Gleichheit der Verteilungen

z.B. Kolmogorov-Smirnov-Testnur praktikabel wenn mehrereechte Zeitreihen existieren (oderStückeln der Daten)

Nehme QHigaußverteilt an

oft sinnvolle Näherungberechne Signifikanz:Abweichung QD vom Mittelwertder QHi

in Einheiten derStandardabweichung

8 9 10 11 12 13 14 15 16discriminating statistic

Häu

figke

it



Ausblick


Erzeugen der Surrogate

Surrogate als parametrischer Bootstrap

behalte „typisch lineare“ Parameter des Prozesses:Mittelwert, Powerspektrumzerstöre Phasenkorrelationen

Technisch

Periodogramm IX (ω) = 12πN

∣

∣

∣

∑Nt=1 Xt exp(−iωt)

∣

∣

∣

2

ziehe θj , unabhängig und gleichverteilt auf [0, 2π]Rücktransformation:X ∗

t = X +√

2πN

∑mj=1 2

√

IX (ωj) cos(ωj + θj)



Ausblick


Erzeugen der Surrogate

generierte Surrogate automatisch linear, Gaussch, stationär,stochastisch

verschiedene Spielarten

falls Zeitreihe nicht periodisch, falsche hochfrequenteAnteile „Windowed Fourier transform algorithm“falls Zeitreihe monotone nichtlineare Transformation eineslinearen gausschen Prozesses „Amplitude adjustedFourier transfom algorithm“



Ausblick


Teststatistiken

Zum Beispiel

Vorhersagefehler

Lyapunov-Exponenten

Korrelations-Dimension

Momente höherer Ordnung



Ausblick


Gliederung


Phasenraum

Chaos

Zeitreihen


Surrogate


3 Ausblick



Ausblick


Nullhypothese zu restriktiv

Nullhypothese

Daten liegt linearer, Gausscher, stationärer, stochastischerProzess zugrunde.

Nie erfüllt! ⇒ wird mit genug Daten immer zurückgewiesen

Aber:

sagt noch nichts über die Alternativenicht die durch Teststatistik suggerierte Alternative trifftautomatisch zu


Power der Surrogaten-Tests

Wann ist Aussage über bestimmte Alternative möglich?

Nur wenn. . .

Power für diese Alternative hochPower für alle anderen Alternativen niedrig

Beispiel

Modelliert: AR[2], leichte Verletzungen der StationaritätTestfeature: „getrimmte“ Korrelationsdimension


Ausblick


Außerdem. . .

erzeuge 1000 Prozesse unter Nullhypothese

schätze daraus Verteilung der Teststatistik, kritischen Wert

erzeuge für jeden 1000 Surrogate, jeweils 95%-Quantil 1000 „ersatz“-kritische Werte

Hoffnung

Test, der zurückweist, falls Teststatistik > kritischer Wertäquivalent zu

auf Surrogaten basierendem Test



Ausblick


Ergebnis

Surrogatentest hält zwar korrektes Level ein

Aber:

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.750

20

40

60

80

100

120

0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.750

20

40

60

80

100

120



Ausblick

Weiterführende Themen

Spektralanalyse auf nichtlinearenZeitreihenStochastische Einflüsse,Beobachtungsrauschen,Rauschen in der DynamikNichtlineareRauschunterdrückungModellbildung −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

8


Literatur

J Theiler, S Eubank, A Longtin, B Galdrikian,

and JD Farmer.Testing for nonlinearity in time-series - themethod of surrogate data.Physica D, 58:77–94, Sep 1992.

E Mammen and S Nandi.

Change of the nature of a test when surrogatedata are applied.Physical Review E, 70:016121, Jul 2004.

J Timmer.

Power of surrogate data testing with respect tononstationarity.Physical Review E, 58:5153–5156, Oct 1998.

J Timmer.

What can be inferred from surrogate datatesting?Physical Review Letters, 85:2647–2647, Sep2000.

H. Kantz and T. Schreiber.Nonlinear time series analysis.Cambridge University Press, 1997.

J. Kurths.Lineare und nichtlineare Methoden derZeitreihenanalyse.Vorlesungsskript, Okt 2000


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