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Niedersachsen, Oktober/November 2006
Das Kerncurriculum Mathematik verstehen – Entstehungsgeschichte – Struktur – Beispiele –
Roland HenkeNiedersächsischesKultusministerium
Jan-Peter BraunKommission Kerncurriculum
Mathematik Realschule
Berthold FritschKommission Kerncurriculum
Mathematik Hauptschule
Wir müssen die Kinder und Jugendlichen mit der bestmöglichen mathematischen Bildung ausstatten, mit einer Bildung, die sie befähigt, persönliche Wünsche und Berufsvorstellungen in einer sich ständig ändernden Welt zu erfüllen.Mathematische Kompetenzen öffnen Türen zu einer produktiven Zukunft. Ein Mangel an mathematischen Kompetenzen verschließt diese Türen.(NCTM 2000)
Stimmen zum Kerncurriculum
„Kerncurricula sind das Gleiche wie Rahmenrichtlinien – alter Wein in neuen Schläuchen!“
„Kerncurricula sind eine Modeerscheinung – genauso wie die Mengenlehre werden auch Kerncurricula bald wieder in Vergessenheit geraten!"
„Die da oben verlangen immer mehr von uns! Bei dieser Erlassflut muss ich Schwerpunkte setzen. Das Kerncurriculum wird nicht mein Schwerpunkt."
„Für die jungen Lehrkräfte ist das sicherlich interessant. Ich habe noch 5 Jahre bis zum Ruhe-stand, da stelle ich mich nicht mehr um."
„Kerncurricula sind Standards – Ich möchte keine standardisierten Menschen!"
„In zwei Jahren denken die sich wieder was anderes aus.“
Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
Stimmen zum Kerncurriculum
„Das Kerncurriculum Mathematik sieht ja ganz anders aus als das Kerncurriculum Englisch, und dieses wiederum anders als das Kerncurriculum Deutsch – die wissen wohl selbst nicht, was sie wollen.“
„Was haben die sich denn da ausgedacht? Jetzt haben wir neben Bildungsstandards noch etwas, mit dem wir uns beschäftigen müssen!"
„Alles ist anders! – Wie soll ich das leisten?"
„In Klasse 5/6 sind 102 Erwartungen formuliert – Ich kann doch in realistisch für Unterricht zu Verfügung stehenden 300 Unterrichtsstunden nicht 102 Themen stopfen!"
„Jetzt heißt das eben nicht mehr Ziele sondern Kompetenzen.“
„Meine Schüler können nicht mal schriftlich dividieren und dann soll ich prozessbezogene Kompetenzen aufbauen?“
„Endlich wird sich der Unterricht in der Schule mal wirklich grundlegend verändern, dafür investiere ich gerne Zeit und Arbeit.“
Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
Stimmen zum Kerncurriculum
„Kerncurricula sind der Innovationsmotor für die Verbesserung des Bildungssystems – durch Kerncurricula schneidet Niedersachsen in der kommenden PISA-Studie deutlich besser ab."
„Habt Ihr es in Niedersachsen gut! Wir müssen selbst mit den Bildungsstandards zurechtkommen und diese auf die einzelnen Jahrgangsstufen herunterbrechen."
„Super, dass Ihr Euren Lehrern so etwas bietet. Ich nutze bereits die Entwurfsfassung für die Lehrerbildung in Kursen zur Umsetzung der Bildungsstandards."
„Wir als Fachdidaktiker sollten uns mit Kritik am Kerncurriculum sehr zurückhalten. Wir haben es in den vergangenen Jahrzehnten nicht geschafft, etwas Vergleichbares zu entwickeln."
„Endlich können wir uns auf die wesentlichen Inhalte beschränken.“
„Endlich ändert sich mal was. Wer braucht auch schon 6/18 : 7/15. Im Berufsleben müssen wir teamfähig sein, Probleme lösen und dabei technische Hilfsmittel sinnvoll einsetzen.“
Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
Teil II
Das Kerncurriculum verstehen- Entwicklung und Aufbau –
Kapitel 3 des Kerncurriculums … und mehr
(1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards
(2) Von den Bildungsstandards zum Kerncurriculum
(3) Die Struktur des Kerncurriculums
(4) Die prozessbezogenen Kompetenzbereiche verstehen
(5) Neues an den inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen verstehen
Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
(7) Förderung von Mädchen und Jungen
(8) Entwicklung von Aufgaben für die Kooperation von Schülern
(9) Verantwortung für das eigene Lernen stärken
(10)Prüfen - Erfassen und Rückmelden von Kompetenzzuwachs
(11)Qualitätssicherung innerhalb der Schule und Entwicklung schulübergreifender Standards
Module
(1) Weiterentwicklung der Aufgabenkultur
(2) Naturwissenschaftliches Arbeiten
(3) Aus Fehlern lernen
(4) Sicherung von Basiswissen - verständnisvolles Lernen auf unterschiedlichen Niveaus
(5) Zuwachs von Kompetenz erfahrbar machen — Kumulatives Lernen
(6) Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten
Zentrale Befunde
o die in den Lehrplänen gesetzten Ziele werden nicht erreicht
o die Leistungen der Schüler variieren stark
o im internationalen Vergleich liegen die Leistungen unter dem Durchschnitt
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
Jahr
TIMSS 1995
Untersuchung Gutachten
PISA 2000
PISA 2003
Steigerung derEffizienz des MNU
SIN
US
-Mod
ellv
.S
-T 2
S-T
Bildungsstandards
Bildungsstandards Mathe/NW
Kerncurricula Niedersachsen
KMK–Zentrale Handlungsfelder
Zentrale IdeeKooperationImpulse von außenFokussierung
(1) Von TIMSS zu den Bildungsstandards – ein Überblick –
KooperationImpulse von außenFokussierung
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
10/04
12/04
2/05
4/05
6/05
8/05
10/05
12/05
2/06
4/06
6/06
Jahr
InoffizielleDiskussion
mit Experten
InoffizielleEinbeziehungvon Experten
Kom
missio
nssitzu
ng
en
Erste Version im Internet
Expertenanhörung
Veröffentlichung
Informationsveranstaltung
Expertengutachten
Durchlauf durchs MK
Landtagsfassung
Druckfassung/Internetfassung
Sp
rech
er
Kommissionsbildung
Anhörfassung
8 Sitzungen a 2 ½ Tage
(tlw. 12 h am Tag)
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(1) Von den Bildungsstandards zum Kerncurriculum – ein Überblick –
Die Vorlage – NCTM Principles and Standards for School Mathematics
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Durch die Kommission gesetztePrämissen
• so kurz wie möglich
• so umfangreich wie zum Verständnis (auch für fachfremd unterrichtende Lehrkräfte) notwendig
• kurze und prägnante Hinweise zu den einzelnen Kompetenzbereichen
• kurze und prägnant formulierte Texte „drumherum“
• Abbildung des kumulativen Kompetenzaufbaus
• die formulierten Kompetenzen müssen überprüfbar sein
• Grundideen für Laien verständlich
• kompatibel zu bzw. anschlussfähig an länderübergreifende Publikationen/Materialien
• Mitdenken von Folgeprodukten– Lernentwicklungsdokumentation, Handreichungen, Schulcurriculum
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(3) Die Struktur des Kerncurriculum
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Gliederung des Kerncurriculums
Allgemeine Informationen zu den niedersächsischen Kerncurricula (2 Seiten)
1. Bildungsbeitrag des Faches (1 Seite)
2. Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum (5 Seiten)
3. Erwartete Kompetenzen (1 Seite)1. Prozessbezogene Kompetenzbereiche (6 Doppelseiten)
2. Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche (7 Doppelseiten)
4. Leistungsfeststellung und Leistungsbewertung (1 ½ S.)
5. Aufgaben der Fachkonferenz (1 Seite)
– Kerncurricula und Bildungsstandards
– Kompetenzen
– Kompetenzerwerb
– Struktur der Kerncurricula
– Befähigung zur praktischen Lebensbewältigung
– Befähigung zur Weltorientierung und zur Wahrnehmung der Mathematik als Kulturgut
– Befähigung zum rationalen Handeln und zum kritischen Vernunftgebrauch
– Befähigung zum sozialen Handeln und zum eigenverantwortlichen Lernen
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Die mathematischen Kompetenzbereiche
Mathematische Bereiche
– Zahlen und Operationen
– Größen und Messen
– Raum und Form
– Funktionaler Zusammenhang
– Daten und Zufall
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Mathematik
– Modellieren– Problemlösen– Argumentieren– Kommunizieren– Darstellen– Symbolische, formale und
technische Elemente
Der Kern jedes mathematischen Bereichs
Grundlegende Idee (Kern) eines mathematischen Bereichs(Kernkompetenz)– …
– …
– …
– …
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Mathematik
Formulierung von Kernkompetenzen (prozessbezogener Kompetenzbereich)
Problemlösen
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler –
erkennen ein mathematikhaltiges Problem und präzisieren es
→ …
→ …
setzen Problemlösestrategien ein → …
→ …
beurteilen Prozesse und Ergebnisseder Problemlösung
→ …
Kom
petenzaufbau
Anforderung
Schw
ierigkeit
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Formulierung von Kernkompetenzen(inhaltsbezogener Kompetenzbereich)
Zahlen und Operationen
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler –
besitzen sinntragende Vorstellungen vonZahlenbereichen
→ …
→ …
stellen Zahlen dar und nennenBesonderheiten derZahldarstellung
→ …
→ …
rechnen flüssig → …
schätzen und prüfenihre Ergebnisse
→ …
Kom
petenzaufbau
Schw
ierigkeit
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Kompetenzabbildung in einem prozessbezogenen Kompetenzbereich
DarstellenEnde Schuljahrgang 6
Ende Schuljahrgang 8
Ende Schuljahrgang 10
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler –
Erwartungen
Schülerinnen und Schüler –
Erwartungen
Schülerinnen und Schüler –
Erwartungen
Schülerinnen und Schüler –
… → … → … → …
erstellen mathematische Darstellungen
→ … → … → …
→ erstellen exakte Darstellungen
→ strukturieren Darstellungen übersichtlich
→ bereiten Darstellungen präsentations- gerecht auf
→ … → … → …
→ … → … → …
Kompetenzaufbau
Anforderung
Schwierigkeit
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Kompetenzabbildung in einem inhaltsbezogenen Kompetenzbereich
Raum und FormEnde Schuljahrgang 6
Ende Schuljahrgang 8
Ende Schuljahrgang 10
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler –
Erwartungen
Schülerinnen und Schüler –
Erwartungen
Schülerinnen und Schüler –
Erwartungen
Schülerinnen und Schüler –
Identifizieren und strukturieren ebene und räumliche Figuren in der Umwelt
→erkennen und benennen Eigenschaften einfacher Körper (Würfel, Quader)
→erkennen und benennen Eigenschaften von Prismen
→erkennen und benennen Eigenschaften geometrischer Grundkörper (Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel)
→ … → … → …
Kompetenzaufbau
Schwierigkeit
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Struktur
KompetenzbereichEnde Schuljahrgang 6
Ende Schuljahrgang 8
Ende Schuljahrgang 10
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler –
Erwartungen
Schülerinnen und Schüler –
Erwartungen
Schülerinnen und Schüler –
Erwartungen
Schülerinnen und Schüler –
… → … → … → …
→ … → …
→ … → …
… → … → … → …
→ …
… → … → … → …
→ …
Kompetenzaufbau
Anforderung
Schwierigkeit
Kom
petenzaufbau
Anforderung
Schw
ierigkeitTeil II: Das Kerncurriculum verstehen
BegriffsklärungenKompetenzaufbau – Anforderungen – Schwierigkeit – Kompetenzstufen
Kompetenzaufbau
Lern- undentwicklungspsychologisch bedingt und erklärbar
Anforderung
Kognitiver Anspruch(kognitive Komplexität)
Schwierigkeit
Empirisch ermittelbar(z.B. PISA-Kompetenzstufen,Erfahrungen von Lehrkräften)
Die fachdidaktische Lehr-/Lernforschung steht noch am Anfang
Das Kerncurriculum ist ein Kompetenzmodell
Anforderungsbereiche(bezogen auf prozessbezogene Kompetenzen)
I: Reproduzieren II: Zusammenhänge herstellenIII: Verallgemeinern und Reflektieren
Abhängig von- dem Thema/Stoff- den bereits aufgebauten Kompetenzen/Vorwissen- der Vertrautheit- …
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(4) Die prozessbezogenen Kompetenz-bereiche verstehen
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Modellieren
Problemlösen
Argumentieren
Kommunizieren
Darstellen
Symbolische, formale und technische Elemente
Modellieren
Ziel
• Mathematik in der Realität- erkennen- beurteilen
• Realitätsbezogene Situation mit mathematischen Mitteln- verstehen,- strukturieren- einer Lösung zuführen
Mittel
• Mathematisches Modell– vereinfachtes Abbild der Realität– Bindeglied zwischen Umwelt und
Mathematik– berücksichtigt nur Teilaspekte
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• stellen zu Sachsituationen Fragen, die sich mit mathematischen Mitteln bearbeiten lassen
• verbinden Realsituationen mit mathematischen Modellen
• arbeiten im Modell
• beurteilen das Ergebnis und das Modell in Bezug auf die Realsituation
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Eine Beispielaufgabe zum Modellieren
Tanken
Herr Stein wohnt in Trier, 20 km von der Grenze zu Luxemburg entfernt. Er fährt mit seinem VW Golf zum Tanken nach Luxemburg, wo sich direkt hinter der Grenze eine Tankstelle befindet. Dort kostet der Liter Benzin nur 1,05 €, im Gegensatz zu 1,30 € in Trier.
Lohnt sich die Fahrt für Herrn Stein? Begründe deine Antwort!
Lösungsweg
1. Problemsituation verstehen
Fragestellung/Problem strukturieren/präzisieren
2. Problem mathematisieren
3. Mathematisch arbeiten (im Modell arbeiten)
4. Ergebnis interpretieren und überprüfen
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Entscheidungsaufgabe: Lohnt es sich 20 km zur günstigeren Tankstelle zu fahren?Spare ich Geld, wenn ich
zur 20 km entfernten günstigeren Tankstelle fahre?
KDifferenz = KTrier - KLuxemburg
KTrier = (1,30€/l 45l) + (1,30€/l 2km 8l/100km)
KLuxemburg= (1,05€/l 45l) + (1,05€/l 40km 8l/100km)
Umgang mit Termen und Gleichungen, evtl. Grafen und technische Hilfsmittel
Die Fahrt lohnt …
… oder?
Beispielaufgabe zum Modellieren mit geringem Anspruchsniveau
Trinkpäckchen
Gegeben ist ein Trinkpäckchen mit angeklebtem Strohhalm.
a) Miss Länge, Breite und Höhe des Trinkpäckchens. Zeichne maßstabsgetreu ein Schrägbild.
b) Berechne das Volumen des Trinkpäckchens. Vergleiche mit der Angabe auf der Verpackung.
Einstichloch
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Geringes Anforderungsniveau, da
o lediglich einschrittiges Vorgehen notwendig
o das Modell vorgegeben ist
Problemlösen
Ziel• lösen eines mathematikhaltigen
Problems, bei dem– ein Lösungsansatz nicht
offensichtlich ist– ein Lösungsverfahren (Algorith-
mus) nicht zu Verfügung steht
Mittel• Zerlegungsprinzip
• Analogieprinzip
• Vorwärtsarbeiten
• Rückwärtsarbeiten
• Systematisches Probieren
• Veranschaulichen durch mathe-matische Figur, Skizze, Tabelle
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• erkennen ein mathematisches Problem und präzisieren es
• setzen Problemlösestrategien gezielt ein
• beurteilen Prozess und Ergebnis der Problemlösung
„In welche Teilprobleme lässt sich das Problem zerlegen?“
„Habe ich ein ähnliches Problem bereits gelöst?“
„Was lässt sich alles aus den gegebenen Daten folgern?“
„Was wird benötigt, um das Gesuchte zu erhalten?“
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
O
O O
O O O
1
2
3
4
5
6
Beispielaufgabe zum Problemlösen
Fläche
In das abgebildete Quadrat mit der Seitenlänge a sind zwei Halbkreise und eine Diagonale eingezeichnet.
Berechne den Inhalt der blauen Fläche.
Lösungsweg
1. Hilfslinie einzeichnen
2. Berechnung Flächeninhalt des Kreises
3. Berechnung Flächeninhalt des Halbkreises
4. Berechnung Flächeninhalt des Dreiecks
5. Ablau = (AHalbkreis – ADreieck) : 2
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Argumentieren
Ziel• Verbinden von Aussagen zu
Argumentationsketten
• Verstehen und kritisches Bewerten von Argumentationen
Mittel• Schüler zum Formulieren aufordern
– „Begründe …!“– „Überprüfe …!“– „Beweise …!“– „Widerlege …!“– „Kann es sein, dass …!“– „Warum ist das so?“– „Gilt das immer?“– „Warum sind dies alle Fälle, die...?“
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• hinterfragen mathematische Aussagen
• begründen Vermutungen
• bewerten Argumente
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Beispielaufgabe zum Argumentieren
Summe von Nachbarzahlen
Jette behauptet: „Die Summe von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist stets durch drei teilbar.“
Hat Jette recht? Begründe deine Antwort.
Mögliche Ansätze
1. Pragmatischer Ansatz
man nimmt 3 aufeinander folgende Zahlen, z. B. 3, 4, 5
(4 -1) + 4 + (4+1) = 4+4+4 = 3 · 4
2. Algebraischer Ansatz
Wenn n die erste dieser drei Zahlen ist, dann gilt:
n+(n+1)+(n+2) = 3n + 3 = 3 ·(n+1)
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
4. Inhaltlicher Ansatz
• eine der drei Zahlen muss durch 3 teilbar sein (3er-Reihe)
• eine der drei Zahlen lässt bei der Division durch 3 den Rest 1
• eine der drei Zahlen lässt bei der Division durch 3 den Rest 2
->der Rest (1+2 = 3) lässt sich durch 3 teilen, also ist die Summe durch 3 teilbar
5. Iterativer Ansatz
1+2+3 = 6; und 6 ist durch 3 teilbar
2+3+4 = 9; und 9 ist durch 3 teilbar
Die Summe wächst jeweils um 3 und bleibt deshalb durch 3 teilbar3. Zeichnerischer Ansatz
Kommunizieren
Ziel
• Verstehen von Texten und mündlichen Äußerungen
• verständliche (fachsprachliche) Darstellung von Überlegungen, Lösungswegen, Ergebnissen
Mittel
• Sprache
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• teilen mathematische Gedanken anderen schlüssig und klar mit
• vollziehen mathematische Argumentationen anderer nach, bewerten sie und diskutieren sachgerecht
• gehen konstruktiv mit Fehlern um
Abgrenzung zum Argumentieren:Der Adressatenbezug
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Beispielaufgabe zum Kommunizieren
Badewannen-Geschichte
Der obige Graf beschreibt den Wasserstand in einer Badewanne.
Erfinde eine Geschichte dazu!
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Darstellen
Ziel
• eigenständige Erzeugen von Darstellungen
• verständliche Umgehen mit vorgegebenen Darstellungen
Mittel– Diagramme
– Abbildungen
– Skizzen
– statistische Schaubilder
– Grafen
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• beschaffen sich aus Darstellungen mathematikhaltige Informationen
• erstellen mathematische Darstellungen
• bewerten gegebene Darstellungen
• dokumentieren ihren Lernprozess
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Beispielaufgabe zum Darstellen
Wahlen
Stelle das folgende Wahlergebnis in einem Kreisdiagramm dar:
Partei A: 30 % Partei B : 40 %Partei C: 25 % Sonstige: 5 %
Stelle folgendes Wahlergebnis in einem Diagramm dar:
Partei A: 30 % Partei B : 40 %Partei C: 25 % Sonstige: 5 %
Lösung
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
A
B
C
sonst
0
5
10
15
20
25
30
35
40
A B C sonst
05
1015202530354045
A B C sonst
Symbolische, formale und technische Elemente
Ziel
• Ausbildung entlastender Routinen
• Gebrauch mathematischer– Fakten („Wissen, dass …“)
– Fertigkeiten („Wissen, wie …“)
Mittel– Lösungs- und Kontrollverfahren
(Algorithmen) mit Schrittfolge
– geometrische Grundkonstruktionen / Werkzeuge
– Taschenrechner, Software
– Variable, Terme, Gleichungen, Funktionen
– Nachschlagewerke
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• verwenden mathematische Werkzeuge
• verwenden Variablen, Terme, Gleichungen (auch Formeln) und Funktionen
• wählen Informationsquellen und technische Hilfsmittel aus
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Erwartungen aus „Symbolische, formale und technische Elemente“
Achtung! Folgen beachten …
• Ende Schuljahrgang 8– nutzen dynamische
Geometriesoftware
– nutzen die Standardfunktionen des Taschenrechners
– nutzen Tabellenkalkulationssoftware
– wählen technische Hilfsmittel unter Berücksichtigung der Kriterien Genauigkeit, Zeitökonomie und Fehleranfälligkeit aus
Achtung! Folgen beachten …
• Ende Schuljahrgang 10– nutzen die erweiterten
Möglichkeiten des Taschenrechners (Speicher, statistische Funktionen, Editierfunktionen)
– nutzen Software oder einen grafikfähigen Taschenrechner zur Darstellung und Manipulation funktionaler Zusammenhänge
– nutzen Software zur Präsentation mathematischer Sachverhalte
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Aufbau prozessbezogener Kompetenzen
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Modellieren
Problemlösen
Argumentieren
Kommunizieren
Darstellen
Symbolische, formale und technische Elemente
Die prozessbezogenen Kompetenzen werden von den Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben.
(5) Neues an den inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen verstehen
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Zahlen und Operationen
Größen und Messen
Raum und Form
Funktionaler Zusammenhang
Daten und Zufall
Zahlen und Operationen
Achtung! Folgen beachten …
• Ende Schuljahrgang 6– wenden die 4 Grundrechenarten auf
Brüche mit überschaubarem Nenner in Sachsituationen an
– rechnen mit Dezimalbrüchen in Sachsituationen
– führen die Division mit einfachen mehrstelligen Divisoren aus
– rechnen im Kopf, halbschriftlich und schriftlich, wählen das Verfahren sinnvoll aus, nutzen dabei Rechenvorteile
• Ende Schuljahrgang 10– rechnen mit Zehnerpotenzen in
Anwendungszusammenhänge
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• besitzen sinntragende Vorstellungen von Zahlbereichen
• stellen Zahlen dar und nennen Besonderheiten der Zahldarstellung
• rechnen flüssig
• schätzen und prüfen ihre Ergebnisse
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Größen und Messen
Achtung! Folgen beachten …
• Ende Schuljahrgang 6– rechnen alltagsnahe Längen-,
Massen- und Zeiteinheiten in benachbarte Einheiten um
• Ende Schuljahrgang 10– bestimmen näherungsweise
den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flächen und das Volumen unregelmäßig geformter Körper
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• verwenden Größen und Einheiten sachgerecht
• schätzen und messen
• berechnen Größen
• nutzen Maßstäbe
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Raum und Form
Achtung! Folgen beachten …
• Ende Schuljahrgang 6– konstruieren
achsensymmetrische Figuren und setzen Muster fort
• Ende Schuljahrgang 10– konstruieren geometrische
Figuren mit Zirkel und Geodreieck sowie dynamischer Geometriesoftware
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• identifizieren und strukturieren ebene und räumliche Figuren aus der Umwelt
• stellen ebene und räumliche Figuren dar und operieren in der Vorstellung mit ihnen
• untersuchen Symmetrien und konstruieren symmetrische Figuren
• lösen innermathematische und realitätsbezogene geometrische Probleme
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Funktionaler Zusammenhang
Achtung! Folgen beachten …
• Gestrichen– „Definitionsmenge“,
„Lösungsmenge“
• Ende Schuljahrgang 8– wechseln zwischen
Funktionsgleichung, Graf, Tabelle und verbaler Beschreibung von linearen Zusammenhängen
– geben zu vorgegebenen Grafen und Funktionstermen Sachsituationen an
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• beschreiben Muster, Beziehungen und Funktionen
• nutzen mathematische Modelle zur Lösung von inner- und außermathematischen Problemen
• analysieren und formalisieren inner- und außermathematische Situationen unter funktionalem Aspekt
• analysieren Veränderungen in unterschiedlichen Zusammenhängen
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Daten und Zufall
Achtung! Folgen beachten …
„Daten und Zufall“ ist die neue Schwerpunktsetzung im inhaltlichen Bereich
Begründung: Die Mathematik als Kommunikationsmittel hat in den vergangenen beiden Jahrzehnten beständig an Bedeutung gewonnen.
Hinweis: Dieser Kompetenzbereich sollte – wo immer möglich – mit anderen Kompetenzbereichen verknüpft werden.
Kernkompetenzen
Schülerinnen und Schüler
• formulieren Fragen, sammeln Daten und stellen sie angemessen dar
• nutzen zur Analyse von Daten angemessene statistische Methoden
• interpretieren Daten
• beurteilen Zufallsphänomene mit den Prinzipien der Wahr-scheinlichkeit
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Aufbau inhaltsbezogener Kompetenzen
Die prozessbezogenen Kompetenzen werden von den Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erworben.
Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden (nachhaltig) von den Schülerinnen und Schülern durch mathematische Prozesse (Handlungen) erworben.
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
Teil III
Unterrichtsgestaltung mit dem KC
- Anregungen für einen kompetenzorientierten Unterricht –
Kapitel 2 des Kerncurriculums … und mehr
(1)Vorbemerkungen
(2)Kooperation von Schülerinnen und Schülern
(3) Verantwortung für das eigene Lernen
(4) Umgang mit Fehlern
(5) Individuelle Förderung
(6) Umgang mit Medien
Workshop I: Kompetenzorientierter Unterricht
(7) Die Rolle der Aufgabe
Workshop II: Kompetenzorientierte Aufgaben
Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
(7) Förderung von Mädchen und Jungen
(8) Entwicklung von Aufgaben für die Kooperation von Schülern
(9) Verantwortung für das eigene Lernen stärken
(10)Prüfen - Erfassen und Rückmelden von Kompetenzzuwachs
(11)Qualitätssicherung innerhalb der Schule und Entwicklung schulübergreifender Standards
Module
(1) Weiterentwicklung der Aufgabenkultur
(2) Naturwissenschaftliches Arbeiten
(3) Aus Fehlern lernen
(4) Sicherung von Basiswissen - verständnisvolles Lernen auf unterschiedlichen Niveaus
(5) Zuwachs von Kompetenz erfahrbar machen — Kumulatives Lernen
(6) Fächergrenzen erfahrbar machen - Fachübergreifendes und fächerverbindendes Arbeiten
Steigerung derEffizienz des MNU
Zentrale IdeeKooperationImpulse von außenFokussierung
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(1) Vorbemerkungen
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(1) Vorbemerkungen
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(1) Vorbemerkungen
Teil II: Das Kerncurriculum verstehen
(1) Vorbemerkungen
Die folgenden Informationen betrachten Sie bitte als
praxiserprobte Anregungen
für einen kompetenzorientierten Unterricht im Sinne des Kerncurriculums!
(2) Kooperation von Schülerinnen und Schülern
Kooperative Unterrichtsformen•Partner- und Gruppenarbeit
•Ich-Du-Wir-Prinzip
•Projektarbeit
•Aufgaben zur Kooperation von Schülern
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Prozessbezogene Kompetenzbereiche
Kommunizieren
ArgumentierenModul 8:
Entwicklung von Aufgaben für die Kooperation von Schülern
Kooperative Lernformen bilden die Grundlage dafür, dass kognitives Lernen und soziales Lernen im
Unterricht miteinander verbunden werden.Timo Leuders, 2006
(3) Verantwortung für das eigene Lernen
Individuelle Lernprozesse strukturieren
•Lerntagebuch
•Selbstdiagnose/Partnerdiagnose
•Lernzirkel/Lernen an Stationen
•Wochenplan
•Freiarbeit
•Problemlösekompetenz
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Modul 9:
Verantwortung für das eigene Lernen stärken
(4) Individuelle Förderung
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
• Definition von Basiswissen
• Sicherung von Basiswissen (Karteikarten, Übungs- und Wiederholungszirkel, ...)
• Aufgaben mit hohem Differenzierungsniveau
• Diagnose
• Gezielte Fördermaßnahmen für einzelne Schüler
Modul 4:
Sicherung von Basiswissen - Verständnisvolles Lernen auf
unterschiedlichen Niveaus
(5) Umgang mit Fehlern
Um- und Irrwege sind Teile des Modellierungs- und
Problemlöseprozesses.
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
• Trennung von Lern- und Leistungssituationen
• Fehler als Lerngelegenheit für beide Seiten – Lehrkräfte und Schüler
Modul 3:
Aus Fehlern lernen
Erfolg ist das Ergebnis richtiger Entscheidungen.
Richtige Entscheidungen sind das Ergebnis von Erfahrung.
Erfahrung ist das Ergebnis falscher Entscheidungen.
Anthony Robbins
(6) Umgang mit Medien
Taschenrechner
Dynamische Geometriesoftware
Grafikfähiger Taschenrechner
Internet
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Workshop I: Videodokumentation eines
kompetenzorientierten Unterrichts
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Workshop I: Videodokumentation eines
kompetenzorientierten Unterrichts
Aufgabe:
Welche Kompetenzbereiche werden in den gezeigten Unterrichten thematisiert?
Video Start
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
(7) Die Rolle der Aufgabe
(4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Aufgabentyp 1
Technische Aufgaben
Aufgabentyp 2
Rechnerische Problemlöse- und Modellierungsaufgaben
Aufgabentyp 3
Begriffliche Modellierungs- und Problemlöseaufgaben
Rechnen/konstruieren nach vorgegebenen Regeln (nach vorgegebenem Ansatz)
Anwendungsaufgaben/Problemlöseaufgaben (klassische Textaufgaben) bei der gesuchte Größe aus einem Ansatz heraus berechnet wird
Modellierungs- und Problemlöseaufgaben bei denen der Zusammenhang zwischen erworbenen Kompetenzen selbst hergestellt werden muss
Typisierung nach PISA 2003
(7) Die Rolle der Aufgabe
(4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Aufgabenvariationen
Endlich ist es soweit! Das Steinhuder Meer ist seit 15 Jahren mal wieder zugefroren und zum Schlittschuhlaufen freigegeben. Doch der 14jährige Nico darf mit seinen 2 Freunden die Eisfläche erst betreten, wenn der gesamte See vom Schnee befreit ist. Die 8
Arbeiter, die den Schnee räumen, versprechen, in 4 Stunden fertig zu sein. Nico und seine Freunde überlegen: Wann wäre die
Eisfläche frei, wenn wir mithelfen würden?
(7) Die Rolle der Aufgabe
(4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Aufgabenvariationen
Ein rechteckiger Hof ist 6,00 m lang und 5,30 m breit. Berechne die Fläche!
• Wie viel m² Stoff braucht Giesela für eine Tischdecke, die bei einem rechteckigen Tisch der Breite 80 cm und Länge 1,20 m auf jeder Seite 15 cm überhängen soll?
• Wie viel Stoff brauchst du für die Tischdecke zu deinem Tisch (Schule oder zu Hause)?
• Ein Parkplatz ist ungefähr so groß wie ein Fußballfeld. Wie viele Autos können in etwa darauf parken?
(7) Die Rolle der Aufgabe
(4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Aufgabenvariationen
• Vor einer Ampel stauen sich auf 100 m Autos. Gehe davon aus, dass ein Auto 4 m lang ist. Der Abstand beträgt 1 m von Auto zu Auto. Wie viele Autos stehen vor der Ampel?
• Vor einer Ampel stauen sich auf 200 m Autos. Wie viel Menschen stehen in Stau. Begründe deine Antwort!
(7) Die Rolle der Aufgabe
(4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Aufgabenvariationen
Die Tageszeitung wiegt 180g. Die Samstagszeitung wiegt doppelt soviel. Bernd muss 147 Zeitungen austragen. Wie viel kg muss er in der Woche austragen?
• Die Tageszeitung wiegt 180g. Die Samstagszeitung wiegt doppelt soviel. Bernd muss 147 Zeitungen austragen.
(7) Die Rolle der Aufgabe
(4) Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Aufgabenvariationen
• Berechne: 23 - (16 - 4) : (-2)
• Du hast die Ziffern des heutigen Datums 04/11/23 zur Verfügung. Setze Rechenzeichen so, dass -1 herauskommt.
Kompetenzorientierte Aufgaben gestalten einen kompetenzorientierten Unterricht.
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Kompetenzorientierte Aufgaben
• fordern nicht ausschließlich technische Fertigkeiten (Symbolische, technische und formale Elemente)
• sind nicht kalkül- und verfahrenstechnisch orientiert
• ermöglichen verschieden Lösungswege
• verknüpfen prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzbereiche.
(7) Die Rolle der AufgabeKompetenzorientierte Aufgaben
Workshop II: Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe
• Offenes Pflaster
• Bei einer wasserdurchlässigen Befestigung einer Garageneinfahrt mit Rasengittersteinen können die Niederschläge wieder im Erdreich versickern und in die Grundwasserströme ge langen. Dadurch bleibt der Wasserkreislauf erhalten und die Niederschlagswasser werden nicht direkt über den Kanal in die Flüsse abgeleitet.
• Das nebenstehende Bild zeigt einen solchen Rasengitter stein. Er besteht aus wasserdurchlässigen Öffnungen und wasserundurchlässigen Betonteilen.
• Der 40 cm × 60 cm × 10 cm große Rasengitterstein besteht aus 6 gleichartigen offenen Pflastersteinen.
• Das folgende Bild zeigt Form und Maße eines dieser offenen Pflastersteine:
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
a) Herrn Meiers Garageneinfahrt ist 8 m lang und 6 m breit. Wie viele solche Rasengittersteine werden benötigt?
b) Wie viel Prozent der gesamten Garageneinfahrt bestehen dann aus den wasserdurchlässigen Öffnungen?
c) Herr Meier entdeckt auf einer Palette im Hof eines Baumarktes einen Stapel mit Rasengittersteinen (siehe Bild).
Wie viele Rasengittersteine befinden sich auf der Palette, wenn sie lückenlos aneinandergereiht auf der Palette aufgestapelt sind?
Erläutere, wie du deren Anzahl bestimmst.
d) Kann man mit einem LKW mit 7,5 Tonnen Ladegewicht alle benötigten Rasengittersteine in einer Fahrt anliefern? (Dichte von Beton: 2,3 g/cm³)
Lege dar, wie du zu deiner Lösung gekommen bist.
Aufgabe:
Welche Kompetenzbereiche/Kernkompetenzen/Erwartungen werden in den Teilaufgaben konkretisiert?
Ordnen Sie die Teilaufgaben einem Anforderungsbereich zu.
Analyse einer kompetenzorientierten AufgabePflasteraufgabe a)
Pro
zessb
ezo
ge
ner K
om
peten
zbereich
Modellieren X wählen naheliegende Modelle lösen Aufgaben unter Anwendung mathematischer Modelle interpretieren das Ergebnis in Bezug auf die Realsituation
Problemlösen
Argumentieren
Kommunizieren
Darstellen X entnehmen Informationen aus komplexeren Grafiken sowie längeren Texten erstellen einfache Darstellungen für mathematische Situationen
Symbolische, formale und technische Elemente
X stellen Sachsituationen durch Gleichungen dar wählen Lösungs- und Kontrollverfahren und wenden sie an
Inh
altsbezo
gen
er K
om
peten
zbereich
Zahlen und Operationen
Größen und Messen X berechnen Flächeninhalt und Umfang von Quadrat und Rechteck rechnen alltagsnahe Flächen- und Volumeneinheiten in benachbarte Einheiten um
Raum und Form
Funktionaler Zusammenhang
Daten und Zufall
Anforderungsbereich II (Lesekompetenz)
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Analyse einer kompetenzorientierten AufgabePflasteraufgabe b)
Pro
zessb
ezo
ge
ner K
om
peten
zbereich
Modellieren X wählen naheliegende Modelle lösen Aufgaben unter Anwendung mathematischer Modelle interpretieren das Ergebnis in Bezug auf die Realsituation
Problemlösen
Argumentieren
Kommunizieren
Darstellen X entnehmen Informationen aus komplexeren Grafiken sowie längeren Texten
Symbolische, formale und technische Elemente
X stellen Sachsituationen durch Gleichungen dar wählen Lösungs- und Kontrollverfahren und wenden sie an
Inh
altsbezo
gen
er K
om
peten
zbereich
Zahlen und Operationen X lösen einfache Sachprobleme mit proportionaler Struktur (Zweisatz) verwenden Prozentrechnung sachgerecht und berechnen Zinsen
Größen und Messen X berechnen Flächeninhalt und Umfang zusammengesetzter Figuren rechnen alltagsnahe Flächen- und Volumeneinheiten in benachbarte Einheiten um
Raum und Form
Funktionaler Zusammenhang
Daten und Zufall
Anforderungsbereich II (Lesekompetenz und Mehrschrittigkeit)
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Analyse einer kompetenzorientierten Aufgabe
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Teil III: Unterrichtsgestaltung mit dem Kerncurriculum
Eine Umsetzung des Kerncurriculums kann nur gelingen, wenn der Lehrer vertraut ist
• mit der Idee, Leistung durch Kompetenzen zu beschreiben und mit dem hierfür verwendeten Kompetenzmodell (Prozessbezogene Kompetenzen, Inhaltsbezogene Kompetenzen, Anforderungsbereiche)
• mit der Analyse von Aufgaben, herkömmlicher wie neuartiger, mittels einer „Kompetenzbrille“
• mit der zielgerichteten Konstruktion bzw. Variation kompetenzorientierter Aufgaben
• mit dem variablen Einsatz solcher Aufgaben in einem auf Kompetenzentwicklung ausgerichteten Mathematikunterricht
• mit der Verwendung solcher Aufgaben für Diagnosen und Evaluationen
• mit der Umsetzung von Diagnose- und Evaluationsergebnissen in gezielte Fördermaßnahmen für einzelne Schüler oder für die ganze Klasse
Teil IV
Ausblick und Fragen- Das Unterstützungssystem –
Kapitel 4 und 5 des Kerncurriculum … und mehr
(1) Die Unterstützungssysteme zur Implementierung der Kerncurricula Mathematik
(2) Fragen
Das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik
Das offizielle Unterstützungssystem in Niedersachsen
• Veröffentlichung kompetenzorientierter Kerncurricula– enthalten theoretisch fundiertes, auf die Praxis ausgerichtetes und
in Teilen erprobtes Kompetenz- und Kompetenzaufbaumodell
– in der Form und Konsequenz u.W. deutschlandweit (ggf. weltweit) erstmalig
• Informationsveranstaltungen „Das Kerncurriculum verstehen“– Niedesachsen: Oktober/November 2006, 9.30 – 16.30 Uhr
– Teilnehmer: Fachleiter Mathematik
Teil IV: Ausblick und Fragen
Das offizielle Unterstützungssystem in NiedersachsenCurriculare Vorgaben
• Abschlussprüfungen Sek. I
• Bildungsstandards
• EPA
• Kerncurricula/Rahmenrichtlinien
• Leistungsüberprüfungen-9/10
• Operatoren
• Vergleichsarbeiten
• Zentralabitur
• Materialien
cuvo.nibis.deTeil IV: Ausblick und Fragen
Unterstützung der schulischen Fachgruppen
Wer? Die schulische Fachgruppe
Wann? Im Kalenderjahr 2007
Mit wem? In Kooperation mit 4 bis 6 weiteren Schulen der Region
Wo? In Ihrer Region (Regionale Lehrerfortbildung)
Zeitrahmen? 1 ½ Tage oder 4 Nachmittage
Was? Unterstützung der Schulen bei- Entwicklung/Auswahl/Variation/Einsatz von Aufgaben - dem Aufbau eines Schulcurriculums- der Dokumentation der individuellen Lernentwicklung- der Sicherung von Basiswissen
Durch wen? Ausgebildete Multiplikatoren (tlw. mit SINUS-Erfahrung)
Die Angaben stellen eine Planungsgrundlage dar. Änderungen sind möglich.
Teil IV: Ausblick und Fragen
Das offizielle länderübergreifende Unterstützungssystem
Veröffentlichungen
• Blum / Drüke-Noe / Hartung / Köller (Hrsg.): Bildungsstandards Mathematik: konkret. Oktober 2006 (Cornlesen)
www.iqb.hu-berlin.de
Teil IV: Ausblick und Fragen