Nieliniowe modele powłok z 6 stopniami swobody bazujące na

Instytut Podstawowych Problemów TechnikiPolskiej Akademii Nauk

Praca doktorska

Nieliniowe modele powłok z 6 stopniami

swobody bazujące na dwustopniowych

aproksymacjach

Przemysław Panasz

Promotor: doc. dr hab. Krzysztof Wiśniewski

Warszawa 2008

Spis treści

Oznaczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1 Wstęp 41.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Cel rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Zawartość rozprawy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Podstawowe równania powłok 122.1 Trójwymiarowe kontinuum z rotacjami . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Rozszerzona przestrzeń konfiguracyjna . . . . . . . . . . . . . 122.1.2 Równanie więzów na rotacje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3 Równania równowagi i warunki brzegowe . . . . . . . . . . . . 132.1.4 Funkcjonał energii potencjalnej zawierający rotacje . . . . . . 14

2.2 Kinematyka i odkształcenia powłoki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.1 Baza odniesienia i bazy lokalne . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.2 Hipoteza Reissnera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Aproksymacja rotacji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.4 Gradient przemieszczenia i gradient deformacji . . . . . . . . . 182.2.5 Tensor odkształcenia Greena dla powłoki . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Związki konstytutywne dla powłoki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.1 Energia odkształcenia dla powłoki . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.2 Równania konstytutywne dla powłok . . . . . . . . . . . . . . 222.3.3 Warunek zerowego naprężenia normalnego . . . . . . . . . . . 232.3.4 Współczynnik korekcyjny dla ścinania poprzecznego . . . . . . 24

3 Metoda elementów skończonych dla powłok 273.1 Funkcjonał dla powłok zawierający rotację normalną . . . . . . . . . 273.2 Równania równowagi MES i operator styczny . . . . . . . . . . . . . 283.3 Obliczenia symboliczne w MES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.4 Metody rozwiązania równań nieliniowych . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4.1 Metoda Newtona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.4.2 Metoda długości łuku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

SPIS TREŚCI ii

4 Charakterystyka podstawowego 9-węzłowego elementu powłokowe-go 364.1 Funkcje kształtu i wektor niewiadomych . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Całkowanie funkcjonału F2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.1 Całkowanie analityczne po grubości powłoki . . . . . . . . . . 384.2.2 Całkowanie numeryczne po powierzchni środkowej . . . . . . . 39

4.3 Dobór wartości parametru regularyzującego . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Konsekwencje zniekształceń elementu w konfiguracji początkowej . . 434.5 Zagadnienie własne dla dwuwymiarowego 9-węzłowego elementu . . . 48

5 Metody eliminujące zakleszczanie 9-węzłowego elementu powłoko-wego 515.1 Charakterystyka zakleszczania w elementach powłokowych . . . . . . 51

5.1.1 Zakleszczanie od ścinania poprzecznego elementu belkowego . 525.1.2 Zakleszczanie membranowe elementu belkowego . . . . . . . . 575.1.3 Techniki eliminujące zakleszczanie w elementach belkowych . . 625.1.4 Zakleszczanie elementu powłokowego 9-węzłowego . . . . . . . 63

5.2 Dwustopniowa aproksymacja odkształceń . . . . . . . . . . . . . . . . 645.2.1 Warianty dwustopniowych aproksymacji odkształceń . . . . . 675.2.2 Element powłokowy 9-AS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2.3 Porównanie metody AS i ANS dla odkształceń ścinających

poprzecznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.3 Dwustopniowa aproksymacja gradientu przemieszczenia . . . . . . . . 73

5.3.1 Element powłokowy 9-ADG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.4 Selektywne zredukowane całkowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.4.1 Element powłokowy 9-SRI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6 Testy numeryczne 776.1 Test na wartości własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2 Testy bazowe (ang. ’patch tests’) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.1 Pięcioelementowy ’patch test’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.2 Jednoelementowy ’patch test’ - wypływ przesunięcia węzłów . 826.2.3 ’Patch test’ wyższego rzędu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3 Prosty wspornik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.4 Zakrzywiony wspornik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.5 Wycinek powłoki cylindrycznej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.6 Smukły wspornik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 966.7 Membrana Cooka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.8 Hak Raascha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.9 Panel cylindryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.10 Rozcięty pierścień kołowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1056.11 Cylinder z przeponami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.12 Półsfera z otworem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

SPIS TREŚCI iii

6.13 Skręcony wspornik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.14 Wspornik o przekroju ceowym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.15 Skręcany pierścień . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.16 Podsumowanie testów . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7 Podsumowanie 128

Literatura 130

Dodatki 138

A Parametryzacja kanoniczna tensora rotacji 138

SPIS TREŚCI iv

Streszczenie

Rozprawa dotyczy 9-węzłowych elementów powłokowych bazujących na kinematyceReissnera, odkształceniu Greena i funkcjonale energii potencjalnej. Uwzględnionoduże (nieograniczone) rotacje powłoki. Opracowane elementy posiadają następującecechy:

1. Uwzględniono rotację wokół wektora normalnego do powierzchni środkowejpowłoki, więc elementy mają 6 stopni swobody w każdym węźle, 3 przemiesz-czenia i 3 obroty. Rotacja normalna została wprowadzona za pomocą równa-nia więzów na rotacje, nałożonemu na funkcjonał energii potencjalnej metodąfunkcji kary.

2. Opracowano metodę dwustopniowej aproksymacji, aby uniknąć zakleszczaniaod ścinania poprzecznego i zakleszczania membranowego. Technikę tę zasto-sowano do pola odkształceń (ang. Assumed Strain (AS) method ) lub do polagradientu przemieszczenia (ang. Assumed Displacement Gradient (ADG) me-thod). W tym drugim przypadku, modyfikowane jest również równanie więzówna rotacje.

3. Zaproponowano modyfikację metody dwustopniowej aproksymacji polegającąna łącznym traktowaniu próbkowania i całkowania numerycznego. Prowadzi todo zastąpienia 6 punktów próbkowania przez 2 linie próbkowania, i poprawiaefektywność elementów. Dwustopniowa aproksymacja zastosowana została doskładowych w ortonormalnej bazie w środku elementu, co odróżnia opracowa-ny element od elementów z rodziny MITC, w których używane są składowekowariantne.

4. Zreinterpretowano technikę selektywnego zredukowanego całkowania (ang. Se-lective Reduced Integration (SRI)), które zostało zastosowane nie tylko doskładników energii odkształcenia odpowiedzialnych za zakleszczanie, lecz takżedo tych wywołujących przesztywnienie. Wyselekcjonowano reguły całkowaniadla poszczególnych części energii odkształcenia dla powłoki, otrzymując ele-ment o bardzo dobrej dokładności i efektywności.

Opracowane zostały cztery 9-węzłowe elementy powłokowe, które poddano szeregowitestów weryfikujących brak zakleszczania, niewrażliwość na zniekształcenia siatki idobrą dokładność dla rzadkich siatek elementów. Wyniki zostały porównane z rezul-tatami dla elementów MITC9 (ADINA) oraz S9R5 (ABAQUS), oraz z rezultatamiz literatury.

SPIS TREŚCI v

Summary

The thesis concerns 9-node quadrilateral shell elements derived for the Reissner’skinematics. They are based on the Green strain and the potential energy, and areapplicable to large (unrestricted) rotations. The characteristic features of the deve-loped elements are as follows:

1. Drilling rotation is included via the drill rotation constraint imposed by thepenalty method. Hence, the elements have 6 dofs per node, i.e. 3 displacements and3 rotational parameters, including drilling rotation.

2. Transverse shear and membrane locking are avoided using the two-level appro-ximation applied either to the strain (Assumed Strain method) or to the displace-ment gradient (Assumed Displacement Gradient method). The latter method affectsalso the drilling rotation constraint.

3. A modification of the two-level approximation method is proposed, consistingin treating the sampling and the numerical integration together, which results in 6sampling points being replaced by two sampling lines. The two-level approximationis applied to components in the ortho-normal basis at the element center, whichdiffers the developed elements from the MITC family of elements, which uses thecovariant strain components.

4. Selective reduced integration (SRI) approach is revised. The total functionalis split into several parts, and a suitable integration rule is found for each part,yielding an efficient element which shows very good mesh convergence.

Four 9-node shell elements are developed and subjected to a range of benchmarktests, to establish the sensitivity to mesh distortion, the coarse mesh accuracy, andto confirm the lack of locking. Obtained results are compared with results obtainedby the MITC9 element of ADINA, the S9R5 element of ABAQUS, and with otherpublished results.

SPIS TREŚCI 1

Podstawowe oznaczenia i skróty

{ik} globalny kartezjański układ współrzędnych, k = 1, 2, 3{ak} lokalna baza ortonormalna w konfiguracji aktualnej, k = 1, 2, 3{gk} lokalna baza naturalna w konfiguracji odniesienia, k = 1, 2, 3{tk} lokalna baza ortonormalna w konfiguracji odniesienia, k = 1, 2, 3t3 wektor normalny do powierzchni środkowej w konfiguracji odniesieniaG gradient przemieszczeniaF gradient deformacjiC prawy tensor deformacji Cauchy-GreenaE tensor odkształcenia Greenaξ = ξ1, η = ξ2 współrzędne naturalne, styczne do powierzchni środkowejζ współrzędna normalna do powierzchni środkowejξ wektor współrzędnych izoparametrycznychRi funkcje kształtu związane z punktami próbkowania, i = A,B,C,D,E, Fε tensor odkształcenia membranowego powłokiκ tensor odkształcenia zgięciowego powłokiχ funkcja deformacjiC przestrzeń konfiguracyjnaCext rozszerzona przestrzeń konfiguracyjnaR3 Euklidesowa przestrzeń trójwymiarowaSO(3) specjalna ortogonalna grupa obrotówB ciało odkształcalneQ ortogonalny tensor obrotuF2 funkcjonał 2 polowyFext funkcjonał sił zewnętrznychFdrill funkcjonał związany z równaniem więzów na rotacjeTa mnożnik Lagrange’aW energia odkształceniaW energia odkształcenia na jednostkę objętościγ parametr regularyzacyjnyS 2-gi tensor naprężenia Pioli-KirchhoffaP naprężenie nominalne, 1-szy tensor Pioli-Kirchhoffah grubość powłoki

SPIS TREŚCI 2

y wektor położenia dowolnego punktu powłoki przed deformacjąx, y, z współrzędne globalne wektora położenia y wzdłuż osi i1, i2, i3x wektor położenia dowolnego punktu powłoki po deformacjiNi funkcja kształtu związana z i-tym węzłemφ kanoniczny pseudo-wektor rotacjiφi rotacyjny stopień swobody, obrót wokół i-tej osiu wektor przemieszczeniau, v, w składowe wektora przemieszczenia wzdłuż osi i1, i2, i3J jakobian przekształcenia miedzy współrzędnymi naturalnymi a globalnymiR0 macierz transformacji do układu {ti}λ stała Lame’goν współczynnik PoissonaE moduł YoungaG moduł Kirchhoffak współczynnik korekcyjny dla ścinania poprzecznegoρR gęstość masy w konfiguracji odniesieniab wektor sił masowychn wektor normalny do powierzchni środkowej powłokiA powierzchnia środkowa powłokiV objętość ciała∂Bχ część brzegu ciała z warunkami na funkcję deformacji∂Bσ część brzegu ciała z warunkami na naprężenieI macierz jednostkowaZ tensor przesunięcia (ang. shifter)µ wyznacznik tensora przesunięciaB operator styczny dla zdyskretyzowanej postaci tensora odkształceniaq wektor niewiadomych z wszystkich węzłówbd operator styczny dla rotacyjnego równania więzówp zewnętrzne siły powłokowem zewnętrzne momenty powłokowef wektor sił wewnętrznychr wektor sił rezydualnychp wektor obciążeń zewnętrznychK macierz sztywnościWc funkcjonał energii dopełniającej

(...)0, (...)1 człon stały i liniowy rozwinięcia po grubości powłoki,(..)sh wielkości dotyczące powłoki (scałkowane po grubości powłoki)(..)I wielkość w węźle I

SPIS TREŚCI 3

⊗ diada - iloczyn tensorowy× iloczyn wektorowyDiv(.) operator dywergencji∇(...) operator gradientutr(...) operator śladu∂..(...) operator pochodnej cząstkowejδ(...) wariacjaδij delta Kroneckeraskew(.) część skośnie-symetryczna tensora, skew(.) = 1

2 [(.)− (.)T ]

MES metoda elementów skończonychURI jednolite zredukowane całkowanieSRI selektywne zredukowane całkowanieAS dwustopniowa aproksymacja odkształceńANS dwustopniowa aproksymacja odkształceń w układzie naturalnymADG dwustopniowa aproksymacja gradientu przemieszczeniaSVK Saint Venant-KirchhoffPSN płaski stan naprężeniaMITC ang. Mixed Interpolation of Tensorial Components

Rozdział 1

Wstęp

1.1 Wprowadzenie

Konstrukcje powłokowe zawdzięczają swoją popularność temu, że są w stanie prze-nieść bardzo duże obciążenie gdy pracują w stanie błonowym, mimo, że ich grubośćjest dużo mniejsza niż pozostałe wymiary. Dzięki krzywiźnie mogą pracować w staniebłonowym nawet dla obciążeń przyłożonych prostopadle do ich powierzchni. Kon-strukcje powłokowe mogą być projektowane jako bardzo cienkie i smukłe, o małejmasie, co ma zasadnicze znaczenie w przypadku wielu zastosowań np. w konstruk-cjach lotniczych.

Do modelowania powłok najczęściej stosuje się metodę elementów skończonych(MES). Najbardziej popularne są elementy powłokowe 4-węzłowe, które aproksymu-ją geometrię, przemieszczenia i parametry rotacyjne bi-liniowymi funkcjami kształ-tu. Bardziej złożone są elementy o kształcie czworoboku z 9 węzłami, które wy-korzystują funkcje bi-kwadratowe i w wielu przypadkach dają większą dokładnośćrozwiązań, szczególnie dla rzadkich siatek elementów. W niniejszej rozprawie opraco-wane zostaną elementy powłokowe należące do klasy izoparametrycznych elementów9-węzłowych.

Zakleszczanie w elementach powłokowych. Podstawowy 9-węzłowy izopara-metryczny element powłokowy wykazuje zakleszczanie rozwiązania (ang. locking)przy zginaniu, co powoduje, że przemieszczenia i rotacje konstrukcji są zbyt małe,tak jak gdyby sztywność elementu została znacznie zwiększona. To negatywne zjawi-sko jest spowodowane aproksymacjami odkształceń poprzecznych oraz błonowych,patrz np. [Bathe, Brezzi, Fortin, 1989] i [Bathe, Dvorkin, 1985].

Analogiczny problem występuje dla belek 3-węzłowych, patrz np.[Stolarski, Belytschko, 1982], dlatego można analizować pomocniczy problemzginania 3-węzłowej płaskiej belki.

(i) W przypadku odkształceń ścinających poprzecznych analizuje się prosty (nie-zakrzywiony) element belkowy, patrz np. [Huang, Hinton, 1984], i z warunku, że

1.1. WPROWADZENIE 5

aproksymowane odkształcenie powinno być równe odkształceniu analitycznemu dlaliniowego rozkładu momentu zginającego, otrzymuje się ξ = ±1/

√3. Są to tzw.

punkty Barlowa.(ii) W przypadku odkształceń błonowych rozważany jest zakrzywiony element

belkowy, patrz np. [Park, 1986], i z warunku, że odkształcenia powinny się zerowaćprzy czystym zginaniu, otrzymuje się te same punkty co dla odkształceń ścinającychpoprzecznych. Jednak wynik ten jest przybliżony i ważny tylko dla elementów omałej krzywiźnie.

Wyznaczone w powyższy sposób punkty Barlowa są używane także w elemen-tach powłokowych 9-węzłowych; istnieje kilka sposobów ich wykorzystania i są onedyskutowane w niniejszej rozprawie.

Następny problem związany z 9-węzłowymi izoparametrycznymi elementami po-włokowymi to zbyt sztywne zachowanie się tych elementów przy zginaniu w płasz-czyźnie, co spowodowane jest aproksymacjami odkształcenia ścinającego ε12. Pod-stawową obserwację stanowi to, że wartości ε12 w punktach Gaussa dla sche-matu całkowania 3 × 3 punkty są mniej dokładne niż w czterech punktach(ξ, η) = (±1/

√3,±1/

√3). Obserwacja ta stanowi podstawę do rozwijania metod

zapobiegających nadmiernej sztywności; kilka z nich jest wymienionych poniżej, aniektóre są opisane szczegółowo w dalszej części rozprawy.

Metody zapobiegające zakleszczaniu. W celu uniknięcia zakleszczania zapro-ponowanych zostało w literaturze kilka metod, które można scharakteryzować na-stępująco:

1. Jednolite zredukowane całkowanie (ang. Uniform Reduced Integration(URI)) połączone ze stabilizacją. Metoda ta została zaproponowana w[Zienkiewicz, Taylor, Too, 1971], ale daje ona osobliwą macierz sztywnościi wymaga stabilizacji. Metody stabilizacji macierzy sztywności były przed-miotem wielu prac, np. [Belytschko, Ong, Liu, 1985], [Park, Stanley, 1986],[Belytschko, Wong, Stolarski, 1989]. Warto zauważyć, że stosowane w tymwypadku całkowanie (2 × 2 punkty Gaussa) członu energii odkształceniadla ε12 nie powoduje powstawania zerowych wartości własnych, patrz[Belytschko, Liu, Ong, 1987].

2. Selektywne zredukowane całkowanie (ang. Selective Reduced Integration(SRI)), zostało zaproponowane w [Hughes, Cohen, Haroun, 1978]. Standar-dowe użycie tej metody, tzn. jednolicie zredukowane całkowanie (URI) czło-nów membranowych i pełne całkowanie członów zgięciowych, nie jest efek-tywne. Ponadto, pojawia się wtedy dodatkowa zerowa wartość własna, patrz[Huang, 1988].

W literaturze wskazywano także na inną wadę tej metody, a mia-nowicie słabą zbieżność przy zagęszczaniu siatki. Elementy typu SRIw niektórych testach zbiegały słabo, np. dla ściskanej półsfery (patrz

1.1. WPROWADZENIE 6

[Belytschko, Wong, Stolarski, 1989] str.405) i dla ściskanego cylindra (patrz[Jang, Pinsky, 1987] str.2407).

Metoda selektywnego zredukowanego całkowania opracowana w niniejszej roz-prawie wykorzystuje punkty Gaussa pokrywające się z punktami w którychodkształcenia są dokładne i nie ma wad wskazywanych w powyższych pra-cach.

Inne ograniczenie metody SRI stanowi fakt, że energia odkształcenia powłokimoże zostać rozprzężona na część membranową i zgięciową tylko wtedy gdywłasności materiałowe są stałe po grubości lub symetryczne względem po-wierzchni środkowej. To wyklucza użycie elementów typu SRI np. do plastycz-ności, bo wtedy materiał nie ma powyższej symetrii, a poza tym najczęściejużywa się wielu punktów całkowania po grubości powłoki.

3. Metoda założonych odkształceń (ang. Assumed Strain (AS)) w połączeniu zkoncepcją dwustopniowej aproksymacji. Podstawą tej koncepcji jest próbko-wanie (ang. sampling) składowych odkształcenia w wybranych punktach, anastępnie ekstrapolacja tych wartości na cały element.

Metoda AS była rozwijana dla płyt i powłok w wielu publikacjach, ta-kich jak np.: [MacNeal, 1978], [Hughes, Tezduyar, 1981],[MacNeal, 1982],[Dvorkin, Bathe, 1984], [Huang, Hinton, 1984], [Bathe, Dvorkin, 1985],[Bathe, Dvorkin, 1986], [Huang, Hinton, 1986], [Park, Stanley, 1986],[Jang, Pinsky, 1987], [Bucalem, Bathe, 1993] i wielu innych. Została takżeopisana w dwóch książkach, [Huang, 1988] and [Chapelle, Bathe, 2003]. Różnewersje tej metody zostały opracowane dla:

(a) odkształceń ścinających poprzecznych w 2-węzłowych belkach i 4-węzłowych elementach płytowych i powłokowych,

(b) odkształceń membranowych i ścinających poprzecznych w 3-węzłowychbelkach i 9-węzłowych elementach płytowych i powłokowych.

W literaturze spotyka się różne warianty tej metody różniące się składowymiodkształcenia które są próbkowane, lokalizacją punktów próbkowania, orazfunkcjami aproksymującymi odkształcenia.

W niniejszej rozprawie metoda AS została opracowana dla 9-węzłowego ele-mentu powłokowego z rotacją normalną, tzn. z 6-cioma stopniami swobody wwęźle.

1.2. CEL ROZPRAWY 7

1.2 Cel rozprawy

Celem niniejszej rozprawy jest opracowanie zagadnień teoretycznych i numerycznychzwiązanych z 9-węzłowymi nieliniowymi powłokowymi elementami skończonymi, ba-zującymi na kinematyce Reissnera oraz na tensorze odkształcenia Greena. Klasyczneprace poświęcone elementom 9-węzłowym zostały rozszerzone w następujący sposób:

1. Klasyczne sformułowania elementów 9-węzłowych ograniczone są do dwu-parametrowych reprezentacji rotacji, które muszą być zdefiniowane w bazielokalnej, a następnie przetransformowane do układu odniesienia.

W rozprawie zdefiniowana została rozszerzona przestrzeń konfiguracyjna, coumożliwia włączenie do sformułowania obrotu wokół wektora normalnego dopowierzchni powłoki (ang. drilling rotation). W efekcie uzyskuje się 3 rotacyjneparametry w każdym węźle elementu skończonego, a wektor rotacji może byćzdefiniowany bezpośrednio w układzie odniesienia.

Umożliwia to stosowanie opracowanych elementów do modelowania powłok zniegładką powierzchnią środkową, np. z narożami, i naturalne łączenie ich ztrójwymiarowymi elementami belkowymi posiadającym 6 stopni swobody wwęźle.

Sformułowanie opracowane w rozprawie uwzględnia duże (nieograniczone) ro-tacje powłoki.

2. Standardowe 9-węzłowe elementy powłokowe, wyprowadzone dla bi-kwadratowych wielomianów Lagrange’a, charakteryzują się bardzo małą do-kładnością, co spowodowane jest przez tzw. zakleszczanie, występujące dlapowłok cienkich i zakrzywionych. Dlatego w rozprawie opracowano metodyeliminujące zakleszczanie od ścinania poprzecznego i zakleszczanie membrano-we, takie jak:

(a) metodę dwustopniowej aproksymacji odkształceń (ang. Assumed Stra-in (AS)). Warto zauważyć, że w klasycznym sformułowaniu, np.[Huang, 1988], metoda ta była stosowana do liniowych powłok, podczasgdy w rozprawie została opracowana dla nieliniowych powłok, bazującychna tensorze odkształcenia Greena i z uwzględnieniem dużych (nieograni-czonych) rotacji.Zaproponowano szereg modyfikacji tej metody, zmierzających do popra-wienia jej dokładności i efektywności, m.in. zastosowano ją nie tylko dopola odkształceń lecz także do pola gradientu deformacji. W tym drugimprzypadku modyfikowane jest również równanie więzów na rotacje.

(b) metodę selektywnego zredukowanego całkowania (ang. Selective ReducedIntegration (SRI)), która została zastosowana nie tylko do składnikówenergii odkształcenia odpowiedzialnych za zakleszczanie, lecz także doinnych członów wywołujących przesztywnienie elementu.

1.3. ZAWARTOŚĆ ROZPRAWY 8

Opracowane sformułowanie tej metody nie ma wad opisywanych w lite-raturze i charakteryzuje się bardzo dobrą efektywnością.

3. Własności opracowanych elementów powłokowych zostały określone na pod-stawie szeregu rygorystycznych testów numerycznych, zarówno liniowych jaki nieliniowych, i porównane z wynikami podanymi w literaturze oraz rezulta-tami otrzymanymi za pomocą elementów z profesjonalnych programów MES,takich jak ADINA i ABAQUS. Niektóre z tych testów są bardzo zaawanso-wane i nie można ich przeprowadzić za pomocą elementów z profesjonalnychprogramów MES.

Rozprawa należy do dziedziny metod komputerowych w mechanice, do kierunku ba-dań związanego z rozwojem metod aproksymacyjnych, którego celem jest rozwijanieelementów skończonych o dużej dokładności i efektywności, wolnych od zakleszcza-nia i niewrażliwych na dystorsje kształtu.

1.3 Zawartość rozprawy

Rozprawa składa się z 7 rozdziałów, uwzględniając Wstęp i Podsumowanie, orazjednego Dodatku.

Rozdział 2 przedstawia podstawowe równania powłok.Podrozdział 2.1 omawia podstawowe równania trójwymiarowego kontinuum w

zmodyfikowanej wersji uwzględniającej rotację. Podstawą sformułowania jest roz-szerzona przestrzeń konfiguracyjna, zawierająca funkcję deformacji i rotacje, ograni-czone za pomocą równania więzów na rotacje. To ostatnie równanie jest równoważnepolarnemu rozkładowi gradientu deformacji, jednak ma postać bardziej dogodną wzastosowaniach numerycznych. Przytoczono niektóre argumenty dotyczące równo-ważności obu form równania więzów, a następnie, podano równania równowagi iwarunki brzegowe w postaci dla 2-go tensora naprężenia Pioli-Kirchhoffa.

Ponieważ w metodzie elementów skończonych (MES) wykorzystuje się równa-nia wariacyjne lub odpowiadające im funkcjonały, zdefiniowano funkcjonały energiiodkształcenia, obciążeń zewnętrznych, a także funkcjonał dla równania więzów narotacje. Ten ostatni funkcjonał zregularyzowano ze względu na mnożnik Lagran-ge’a, otrzymując funkcjonał dwupolowy, który jest następnie wykorzystywany dowyprowadzenia równań dla powłok.

W podrozdziale 2.2 zdefiniowano kinematykę powłoki. Podrozdział rozpoczy-na się od zdefiniowania baz lokalnych (naturalnej i ortonormalnej) na powierzchniśrodkowej powłoki dla konfiguracji odniesienia, oraz hipotezy Reissnera. Ponieważsformułowanie zawiera także rotację, określono sposób aproksymowania rotacji pogrubości powłoki i podano wzór na tensor rotacji dla parametryzacji za pomocąkanonicznego pseudo-wektora obrotu. Określono składowe gradientu przemieszcze-


nia w ortonormalnej bazie w środku elementu, a następnie składowe kowariantnetensora odkształcenia Greena.

Podrozdział 2.3 poświęcony jest równaniom konstytutywnym dla powłoki. Zdefi-niowano funkcję energii odkształcenia dla trójwymiarowego materiału izotropowegotypu Saint Venanta-Kirchhoffa (SVK) i podano jej postać dla liniowego rozkładutensora odkształcenia po grubości powłoki, wynikającego z hipotezy Reissnera. Na-stępnie zdefiniowano tensory sił i momentów przekrojowych dla powłoki i podanorównania konstytutywne dla powłoki z materiału SVK.

Ponieważ dla hipotezy Reissnera otrzymuje się odkształcenie w kierunku nor-malnym do powierzchni środkowej powłoki równe zeru, co jest rezultatem fizycz-nie nieprawdziwym, odkształcenie to jest dla zagadnień sprężystych wyliczane zwarunku, że naprężenie normalne w powłoce jest równe zeru. Następnie podanowyprowadzenie współczynnika korekcyjnego k = 5/6 dla ścinania poprzecznego,uwzględniającego paraboliczność naprężeń ścinających w kierunku normalnym dopowłoki.

Rozdział 3 przedstawia podstawowe zagadnienia związane z zastosowaniem me-tody elementów skończonych (MES) do powłok. Opisy mają charakter ogólny i de-finiują szerszy kontekst rozprawy; są także niezbędne do zrozumienia niektórychanaliz numerycznych opisanych w Rozdz.6.

W podrozdziale 3.1 omówiono modyfikacje dwupolowego funkcjonału dla trój-wymiarowego kontinuum, przeprowadzone w celu uzyskania odpowiadającego funk-cjonału dla powłok. Omówiono redukcję równania więzów na rotacje do jednego ska-larnego równania, zawierającego składową wektora rotacji normalnej do powierzchniśrodkowej powłoki.

Podrozdział 3.2 omawia wyprowadzenie równań równowagi w postaci całkowej,charakterystycznej dla MES. Omówiono postaci poszczególnych członów funkcjonałupowłokowego F2sh używane w MES, wyprowadzono równania równowagi w postacicałkowej, oraz zdefiniowano operator styczny, wykorzystywany w metodzie Newtonai metodzie długości łuku. Podane wyprowadzenia były niezbędne w implementacji9-węzłowych elementów opracowanych w rozprawie.

W podrozdziale 3.3 opisano możliwości zastosowania obliczeń symbolicznych dowyprowadzenia operatora stycznego i wektora residuum dla elementu powłokowego.Podano szereg ogólnych informacji dotyczących obliczeń symbolicznych, przytoczonoprzykład różniczkowania za pomocą metody ”w przód” i ”wstecz”.

Podrozdział 3.4 opisuje zastosowane metody rozwiązywania układów równań nie-liniowych: metodę Newtona i metodę długości łuku (kontynuacji). Rozdział ten macharakter uzupełniający, ponieważ w rozprawie wykorzystano wersje tych metodzaimplementowane w programie metody elementów skończonych FEAP.


Rozdział 4 omawia cechy podstawowego izoparametrycznego 9-węzłowego ele-mentu powłokowego z punktu widzenia MES.

W podrozdziale 4.1 podano postaci funkcji kształtu, omówiono numerację węzłówi zdefiniowano wektor stopni swobody (niewiadomych) dla elementu.

W podrozdziale 4.2 omówiono całkowanie funkcjonału F2 dla powłoki, w roz-biciu na całkowanie analityczne po grubości powłoki i całkowanie numeryczne popowierzchni środkowej. Podano szczegóły całkowania analitycznego energii odkształ-cenia powłoki, prowadzącego do rozprzężonej postaci energii powłoki, z oddzielnymiczłonami dla odkształceń powłokowych ε i κ.

Podrozdział 4.3 opisuje dobór wartości parametru regularyzacyjnego γ, zwią-zanego z członem funkcjonału dla równania więzów na rotację normalną. Opisanosposób przeprowadzenia weryfikacji zakresu dopuszczalnych wartości parametru ipodano wyselekcjonowaną wartość parametru. Trzy przykładowe rysunki uwidacz-niają wpływ parametru na wartość przemieszczeń dla wybranych przykładów testo-wych, liniowych i nieliniowych.

Podrozdział 4.4 charakteryzuje konsekwencje początkowych zniekształceń ele-mentu, rozumianych w sensie odstępstwa początkowego kształtu elementu od kształ-tu kwadratowego, z regularnie rozmieszczonymi węzłami.

Pokazano, że zniekształcenia tego typu mogą prowadzić do zmiany orientacji bazylokalnej, tzn. zmiany zwrotu wektorów stycznych i najeżenia wektora normalnego.W szczególności wart uwagi jest prosty jednowymiarowy przykład, który pokazuje,że duża zmiana położenia węzła środkowego prowadzi do zmiany zwrotu wektorabazy naturalnej. Przykład ten jest oryginalnym rezultatem rozprawy.

W podrozdziale 4.5 omówiono zagadnienie własne dla dwuwymiarowego 9-węzłowego elementu. Podano wartości własne i wykresy wektorów własnych dla kwa-dratowego elementu z regularnie rozmieszczonymi węzłami. Zidentyfikowano ruchsztywny elementu, związany z wektorami własnymi dla zerowych wartości własnych.

Rozdział 5 omawia metody eliminujące zakleszczanie 9-węzłowego elementu po-włokowego, szczególnie ważne dla powłok cienkich i zakrzywionych. Jest to zasad-niczy rozdział pracy.

W podrozdziale 5.1 podano ogólną charakterystykę zakleszczania elementów po-włokowych, wyróżniając zakleszczanie membranowe i zakleszczanie od ścinania po-przecznego. Ponieważ zjawisko zakleszczania występuje także dla elementów belko-wych typu Timoszenki, więc te, jako mniej skomplikowane, wykorzystano w rozwa-żaniach analitycznych.

Dla obu typów zakleszczania 3-węzłowego elementu belkowego, wyznaczono, zodpowiedniego równania kwadratowego, położenie punktów, w których wartościaproksymowanego odkształcenia ścinającego lub membranowego są równe warto-ściom analitycznym. Są to dwa punkty ξA,B = ±1/

√3. Rozważania dla elemen-

tów belkowych zakończono omówieniem dwóch sposobów unikania zakleszczania:2-punktowego (zredukowanego) całkowania oraz dwustopniowej aproksymacji od-kształceń. Scharakteryzowano konsekwencje wynikające z analiz 3-węzłowego ele-


mentu belkowego dla 9-węzłowego elementu powłokowego.

W podrozdziale 5.2 omówiono metodę dwustopniowej aproksymacji odkształ-ceń dla elementów powłokowych. Najpierw scharakteryzowano metodę ANS dla ele-mentów 4-węzłowych dla odkształceń ścinających poprzecznych, a następnie dla 9-węzłowego elementu powłokowego. Dokonano przeglądu wariantów dwustopniowychaproksymacji odkształceń dla elementów powłokowych 9-węzłowych opisanych w li-teraturze.

Następnie scharakteryzowano element 9-AS, który został opracowany w rozpra-wie. Opisano szereg modyfikacji metody dwustopniowej aproksymacji odkształceń(AS), które stanowią oryginalne elementy rozprawy, takie jak: (i) łączne traktowaniepróbkowania i całkowania numerycznego, co pozwala zastąpić 6 punktów próbko-wania przez 2 linie próbkowania, (ii) zastosowanie dwustopniowej aproksymacji doskładowych w ortonormalnej bazie w środku elementu, co odróżnia opracowane ele-menty od elementów z rodziny MITC.

W podrozdziale 5.3 opisano zastosowanie metody dwustopniowej aproksymacjido pola gradientu przemieszczenia, które zostało zaimplementowane w elemencie9-ADG. W tym ostatnim przypadku, na skutek użycia metody, modyfikowane jestrównież równanie więzów na rotację normalną. Zdefiniowano zastosowane schematyaproksymacji dla poszczególnych składowych części stałej i liniowej gradientu prze-mieszczenia. Opracowanie i przetestowanie tej wersji metody stanowi oryginalnyelementy rozprawy.

W podrozdziale 5.4 scharakteryzowano metodę selektywnego zredukowanego cał-kowania i opisano element powłokowy 9-SRI. Zaproponowano, by metodę SRI zasto-sować do członów energii nie wywołujących zakleszczania lecz nadmierną sztywnośći wyselekcjonowano schematy całkowania dla poszczególnych członów energii powło-ki. Schematy całkowania dobrano tak, by zachowana była odpowiednia ilość nieze-rowych wartości własnych elementu i nie była potrzebna dodatkowa stabilizacja.Opracowanie tej kwestii stanowi oryginalny element rozprawy.

Rozdział 6 zawiera testy numeryczne weryfikujące własności opracowanych w roz-prawie elementów 9-węzłowych. Podrozdziały 6.1-6.15 zawierają szczegółowe opisytestów i otrzymanych rezultatów, oraz porównania z wynikami referencyjnymi.

Podsumowanie testów umieszczono w Rozdz. 6.16, który zawiera: (1) ogólną cha-rakterystykę przeprowadzonych testów, (2) syntetyczną ocenę elementów własnychprzeprowadzoną na podstawie testów liniowych, oraz (3) uwagi ogólne dotyczącedokładności i przydatności poszczególnych elementów własnych.

Rozdział 7 zawiera podsumowanie oryginalnych rezultatów rozprawy.

Dodatek A zawiera krótkie omówienie parametryzacji tensora rotacji za pomocąkanonicznego pseudo-wektora obrotu.

Rozdział 2

Podstawowe równania powłok

2.1 Trójwymiarowe kontinuum z rotacjami

2.1.1 Rozszerzona przestrzeń konfiguracyjna

Klasyczna przestrzeń konfiguracyjna definiowana jest następująco: C .= {χ : B →R3}, gdzie χ jest funkcją deformacji zdefiniowaną na konfiguracji odniesienia ciałaB. W niniejszej pracy rozważana jest rozszerzona przestrzeń konfiguracyjna, zdefi-niowana za pomocą funkcji deformacji χ oraz rotacji Q ∈ SO(3). Rotacje mogąbyć traktowane na dwa sposoby: (1) pozostawać nieograniczone, jak np. w kontinu-um Cosserat, lub (2) być ograniczone przez rozkład polarny gradientu deformacjiF, lub przez równanie więzów na rotację

skew(QTF) = 0, (2.1)

gdzie F .= ∇χ. Wykorzystując równanie (2.1) można zdefiniować rozszerzonąprzestrzeń konfiguracji w następujący sposób:

Cext .= {(χ,Q) : B → R3 × SO(3) | χ ∈ C}. (2.2)

Należy zwrócić uwagę, że funkcja deformacji χ należy do klasycznej przestrzenikonfiguracyjnej C, tzn. jest identyczna jak dla klasycznego nie-polarnego kontinu-um Cauchy’ego. W niniejszej pracy używana jest rozszerzona przestrzeń konfiguracjizdefiniowana w równaniu (2.2).

2.1.2 Równanie więzów na rotacje

Aby wprowadzić rotacje do sformułowania 3-wymiarowego problemu, wykorzysty-wane jest równanie więzów na rotacje (2.1), które można wyprowadzić z rozkła-du polarnego gradientu deformacji. Z twierdzenia o rozkładzie biegunowym (po-larnym) dowolnego tensora nieosobliwego drugiego rzędu (patrz [Ogden, 1984],

2.1. TRÓJWYMIAROWE KONTINUUM Z ROTACJAMI 13

[Ostrowska-Maciejewska, 1994]) wynika, że gradient deformacji F można jedno-znacznie przedstawić w postaci

F = RU, (2.3)

gdzie U = (FTF)1/2 to prawy tensor rozciągnięcia, a R = FU−1 ∈ SO(3)jest tensorem rotacji. Podstawowe znaczenie mają własności tych tensorów. Prawytensor rozciągnięcia U jest symetryczny i dodatnio określony, natomiast R jesttensorem ortogonalnym. Wykorzystując ortogonalność tensora R, tzn. RTR =RRT = I, równanie (2.3) można zapisać w postaci

RTF = U. (2.4)

Rozkładając lewą stronę tego równania na część symetryczną i skośnie-symetrycznąotrzymuje się,

sym(RTF) + skew(RTF) = U. (2.5)

Biorąc pod uwagę symetrię tensora U, z równania (2.5) wynika, że

skew(RTF) = 0. (2.6)

Kwestię równoważności rozkładu polarnego F i równania więzów na rotacje poru-szono np. w pracy [Wisniewski, Turska, 2002].

Jeśli wprowadza się rotacje jako zmienne niezależne, wtedy należy, zamiast R =FU−1, użyć nowy tensor Q ∈ SO(3). Prowadzi to do równania więzów na rotacjeskew(QTF) = 0, które dołącza się do równań równowagi.

Opis wykorzystania równania więzów na rotacje w celu wzbogacenia kine-matyki powłoki można znaleźć np. w pracach [Wisniewski, Turska, 2000] oraz[Wisniewski, Turska, 2001].

2.1.3 Równania równowagi i warunki brzegowe

Lokalne równania równowagi oraz warunki brzegowe dla trójwymiarowego kontinu-um mają następującą postać:

1. Zasada zachowania pędu:DivP + ρRb = 0, (2.7)

gdzie P to naprężenie nominalne (jego transpozycja to 1-szy tensor PioliKirchhoffa), ρR jest gęstością masy w konfiguracji odniesienia, a b to siłymasowe działające na ciało.

2. Zasada zachowania momentu pędu:

F×P = 0 lub skew(PFT ) = 0, (2.8)

dla det F > 0. Pierwsze jest równaniem wektorowym, a drugie tensorowym.Ich równoważność wynika z relacji 1

2(F×P)× I = 12(FPT −PFT ).

2.1. TRÓJWYMIAROWE KONTINUUM Z ROTACJAMI 14

3. Warunki brzegowe:χ = χ na ∂Bχ, (2.9)

Pn = p na ∂Bσ, (2.10)

gdzie ∂Bχ oraz ∂Bσ oznaczają rozłączne części obszaru granicznego, naktórych zostały odpowiednio określone warunki brzegowe kinematyczne i sta-tyczne. Wektor normalny do powierzchni został oznaczony jako n, natomiastp to obciążenie zewnętrzne działające na powierzchnię.

Równania równowagi można zapisać w zależności od 2-go tensora naprężenia Pioli-Kirchhoffa S, który jest związany z naprężeniem nominalnym następującą zależ-nością

P = FS. (2.11)

Tensor naprężenia S jest symetryczny i sprzężony z miarą odkształcenia GreenaE, co zostanie wykorzystane przy konstrukcji funkcjonału energii odkształcenia.

Wykorzystując równanie (2.11) oraz równanie więzów na rotacje (3.1), równaniarównowagi wraz z warunkami brzegowymi tworzą następujący układ równań

Div(FS) + ρRb = 0,

skew(FSFT ) = 0,

skew(QTF) = 0,

χ = χ na ∂Bχ,

FSn = p na ∂Bσ.

(2.12)

2.1.4 Funkcjonał energii potencjalnej zawierający rotacje

W metodzie elementów skończonych (MES) wykorzystuje się równania wa-riacyjne, lub odpowiadające im funkcjonały, patrz np. [Bonet, Wood, 1997],[Simo, Hughes, 1989], [Zienkiewicz, Taylor, 2005]. W tym celu przekształca się rów-nania (2.12) do postaci wariacyjnej, a następnie dedukuje się postać funkcjonału, dlaktórego równania wariacyjne stanowią równania Eulera-Lagrange’a. W ten sposóbotrzymano podany poniżej trój-polowy funkcjonał zawierający rotacje.

Dla zagadnień sprężystości funkcjonał ma formę całkową na konfiguracji od-niesienia (początkowej) bądź konfiguracji aktualnej. Sformułowanie zagadnienia dlakonfiguracji odniesienia ma tą zaletę, że obszar całkowania nie zmienia się podczasprocesu deformacji.

Funkcjonał energii odkształcenia przyjęto w postaci zależnej od prawego tensoradeformacji Cauchy-Greena, C .= FTF,

W =∫

BW(FTF)dV, (2.13)

2.2. KINEMATYKA I ODKSZTAŁCENIA POWŁOKI 15

co zapewnia mu materialną obiektywność. W niniejszej pracy stosowana jest energiaodkształcenia dla materiału liniowego izotropowego sprężystego typu Saint Venanta-Kirchhoffa, patrz Rozdz.2.3.1.

Siły masowe oraz statyczne warunki brzegowe określone równaniem (2.10) sąuwzględnione w potencjale obciążenia zewnętrznego

Fext = −∫

BρRb · χdV −

∫

∂Bσp · χdA. (2.14)

Równanie więzów na rotacje (2.1) jest uwzględnione za pomocą mnożnika La-grange’a Ta, następująco

FRC =∫

BTa · skew(QTF)dV, (2.15)

gdzie Ta jest tensorem skośnie-symetrycznym.

W efekcie, z równań (2.12), otrzymuje się trój-polowy funkcjonał

F3(χ,Q,Ta).=∫

B

[W(FTF) + Ta · skew(QTF)

]dV + Fext. (2.16)

Regularyzując powyższy funkcjonał względem Ta uzyskujemy funkcjonał dwu-polowy

F2(χ,Q) .=∫

B

[W(FTF) +

γ

2Ta ·Ta

]dV + Fext, (2.17)

gdzie γ ∈ (0,∞) jest parametrem regularyzacyjnym. Podobne wyprowadzeniepodano np. w pracach [Hughes, Brezzi, 1989] i [Simo, Fox, Hughes, 1992].

2.2 Kinematyka i odkształcenia powłoki

2.2.1 Baza odniesienia i bazy lokalne

Globalną kartezjańską bazę odniesienia oznaczono jako {ik}, k = 1, 2, 3.

Wektor położenia powierzchni środkowej powłoki jest parametryzowany przezwspółrzędne naturalne ξ, η ∈ [−1,+1], tzn. y0(ξ, η). Dla konfiguracji początko-wej, używane są dwie bazy lokalne zdefiniowane na powierzchni środkowej powłoki:

1. Lokalna baza naturalna {gk} zdefiniowana jest następująco,

g1.= y0,ξ, g2

.= y0,η, g3 = g1 × g2, (2.18)

patrz Rys.2.1a. W ogólnym przypadku, wektory g1 i g2 nie są do siebie pro-stopadłe i nie są jednostkowe. Tworzą one płaszczyznę styczną do powierzchniśrodkowej, a wektor g3 jest wektorem normalnym do tej płaszczyzny.

Naturalna baza lokalna jest konstruowana w punktach całkowania Gaussa orazw środku elementu, wyznaczonym przez (ξ, η, ζ) = (0, 0, 0).


g3

g1

g2

h

x

a

a

b

t2t2

t1

g2

g2

g1

g1

t11

~ ~

Rysunek 2.1: a) Baza naturalna {gk}. b) Konstrukcja bazy ortonormalnej {tk}.

2. Lokalna baza ortonormalna {tk} zdefiniowana jest następująco

t1 =1√2

(t1 − t2), t2 =1√2

(t1 + t2), t3.= g3, (2.19)

gdzie wektory pomocnicze są zdefiniowane następująco

t1 =g1 + g2

‖g1 + g2‖, t2 = t3 × t1. (2.20)

Znormalizowane wektory bazy naturalnej oznaczono jako gk = gk/‖gk‖.

Wzajemne położenie wektorów stycznych baz lokalnych (naturalnej i ortonor-malnej) zostało pokazano na Rys.2.1b. Wektory g1 i t1 oraz g2 i t2

są równoodległe, a kąt między nimi oznaczono jako α.

Lokalna baza ortonormalna tej postaci była używana np. w pracach[Hughes, 1987] i [Huang, 1988].

2.2.2 Hipoteza Reissnera

Za pomocą hipotezy Reissnera sformułowanie 3-wymiarowe jest redukowane dodwóch wymiarów, i wtedy wszystkie wielkości kinematyczne zdefiniowane są na po-wierzchni środkowej powłoki.

Konfiguracja początkowa (odniesienia) powłoki parametryzowana jest poprzezξ = {ξα, 2ζ/h}, α = 1, 2, gdzie ξα ∈ [−1,+1] to współrzędne naturalne para-metryzujące powierzchnię środkową, natomiast ζ ∈ [−h/2,+h/2] to współrzędnaużywana w kierunku normalnym do tej powierzchni, gdzie h oznacza grubośćpowłoki.

Położenie dowolnego punktu powłoki w konfiguracji odniesienia (nieodkształco-nej) jest wyrażone następująco

y(ξα, ζ) = y0(ξα) + ζ t3(ξα), (2.21)


x1

x1

x2

x2

x3

i1

t1

a1

i2

t2

a2

i3

t3

x3

a3

x0

y0

u0

B

Bc,Q

c,Q

Rysunek 2.2: Ortonormalne bazy lokalne w konfiguracji początkowej i aktualnej.

gdzie y0 to położenie powierzchni odniesienia, a t3 jest wektorem normalnymdo tej powierzchni. Dla konfiguracji aktualnej, wektor położenia definiowany jest zapomocą hipotezy Reissnera,

x(ξα, ζ) = x0(ξα) + ζ Q0(ξα) t3(ξα), (2.22)

gdzie x0 to położenie powierzchni środkowej po deformacji, a Q0 ∈ SO(3) totensor rotacji, stały po grubości powłoki.

Fizycznie oznacza to, że prosta linia prostopadła do powierzchni środkowej, podeformacji zostaje również prosta, ale już nie prostopadła do tej powierzchni, tylkoobrócona zgodnie z Q0(ξα).

Hipoteza tej postaci prowadzi do równań uwzględniających odkształcenia ści-nające poprzeczne, natomiast nie uwzględnia odkształceń w kierunku normalnym.Odkształcenia w kierunku normalnym uwzględnia się w zagadnieniach dla materiałusprężystego poprzez założenie płaskiego stanu naprężenia, patrz rozdział 2.3.3.

2.2.3 Aproksymacja rotacji

Dwupolowy funkcjonał F2(χ,Q) wyrażony równ.(3.3) zawiera tensor rotacji Q,i dlatego należy określić rząd jego aproksymacji po grubości powłoki.

W niniejszej pracy przyjęto założenie, że rotacja jest stała po ζ, tzn. Q(ξα, ζ) ≈Q0(ξα), gdzie Q0(ξα) jest rotacją na powierzchni odniesienia. Aproksymacja ro-tacji w funkcjonale F2(χ,Q) jest taka sama jak w hipotezie Reissnera określonejrównaniem (2.22).


Oznaczymy przez φ kanoniczny pseudo-wektor rotacji. Tensor rotacji Q0jest parametryzowany za pomocą φ w następujący sposób,

Q0(φ) .= I +sinωωφ+

1− cosωω2

φ2, ω = ‖φ‖ =√φ · φ 0, (2.23)

gdzie φ.= φ×I ∈ TISO(3), tzn. tensor skośnie-symetryczny sprzężony z wektorem

rotacji należy do przestrzeni stycznej do SO(3) w Q0 = I. Wyprowadzeniepostaci tensora rotacji dla wektora kanonicznego umieszczono w Dodatku A.

2.2.4 Gradient przemieszczenia i gradient deformacji

W rozdziale tym przyjęto, że wszystkie wielkości pisane pogrubionym drukiem, ozna-czają tablice składowych wektorów lub tensorów w bazie odniesienia {ik}.

Przemieszczenie dowolnego punktu powłoki jest różnicą wektorów położeniaokreślonych wzorami (2.22) i (2.21), więc można zapisać

u(ζ) .= x(ζ)− y(ζ) = u0 + ζ(a3 − t3), (2.24)

gdzie wektory składowych są zdefiniowane następująco

u .=

u1

u2

u3

, x .=

x1

x2

x3

, y .=

y1

y2

y3

. (2.25)

Gradient przemieszczenia może zostać wyrażony w następujący sposób,

∇u .=∂u∂y

=∂u∂ξ

(∂y∂ξ

)−1

, (2.26)

gdzie ξ.= {ξ1, ξ2, ξ3}, i ξ3 .= 2ζ/h ∈ [−1,+1]. Poza tym, gradient przemieszcze-

nia względem współrzędnych naturalnych,

∂u∂ξ

= [u,ξ1 |u,ξ2 |u,ξ3 ] =

∂u1

∂ξ1∂u1

∂ξ2∂u1

∂ξ3

∂u2

∂ξ1∂u2

∂ξ2∂u2

∂ξ3

∂u3

∂ξ1∂u3

∂ξ2∂u3

∂ξ3

, (2.27)

i Jakobian przekształcenia między współrzędnymi globalnymi a naturalnymi,

J .=∂y∂ξ

= [g1 |g2 |g3] =

∂y1

∂ξ1∂y1

∂ξ2∂y1

∂ξ3

∂y2

∂ξ1∂y2

∂ξ2∂y2

∂ξ3

∂y3

∂ξ1∂y3

∂ξ2∂y3

∂ξ3

. (2.28)


Gradient przemieszczenia w lokalnej bazie ortonormalnej {tk} uzyskuje się zgradientu przemieszczenia w bazie odniesienia {ik} za pomocą transformacji

(∇u)L = RT0 ∇u R0, (2.29)

gdzie macierz rotacji R0.= [t1 | t2 | t3]. Można także zdefiniować gradient prze-

mieszczenia w bazie lokalnej w środku elementu,

(∇u)Lc.= RT

0c ∇u R0c, (2.30)

gdzie R0c.= R0|c = [tc1 | tc2 | tc3] to macierz rotacji w środku elementu. W oblicze-

niach jest używany (∇u)Lc, co sprawia, że elementy spełniają tzw. ’patch testy’ zRozdz.6.2.

Uwaga. Równanie (2.30) jest transformacją ∇u do bazy lokalnej {tk} w środkuelementu. Warto zauważyć, że np. w pracy [Huang, Hinton, 1986] używa się różnychbaz dla różnych składowych odkształcenia (patrz str.90). Dla odkształceń membra-nowych interpolacje przeprowadzane są w ortogonalnej bazie lokalnej, podczas gdyodkształcenia poprzeczne interpolowane są w naturalnej bazie lokalnej, a następnietransformowane do bazy ortonormalnej. W niniejszej pracy wszystkie interpolacjewykonywane są w ortonormalnej bazie w środku elementu.

Gradient deformacji może zostać wyrażony w następujący sposób,

F .=∂x∂y

=∂x∂ξ

J−1, (2.31)

gdzie Jakobian J został zdefiniowany w równ.(2.28).

2.2.5 Tensor odkształcenia Greena dla powłoki

W procesie deformacji ciała B, zdefiniowanej za pomocą funkcji deformacji x =χ(y), dowolny element liniowy (wektor) dy jest odwzorowywany na elementliniowy dx. Zmianę długości tego elementu definiuje się następująco

(ds)2 .= dy · dy− dx · dx, (2.32)

gdzie dx oznacza ten sam element liniowy (wektor) w konfiguracji aktualnej.Wykorzystując gradient deformacji, dx = F dy, powyższy warunek można zapisaćjako

(ds)2 = dy · (FTF− FT F)dy. (2.33)

gdzie F .= F|χ=0 to gradient odkształcenia dla zerowej funkcji deformacji, tzn. dlax = y. Wykorzystując powyższe równanie można zdefiniować tensor odkształceniaGreena

E .=12

(FTF− FT F). (2.34)


Jest on symetryczny i sprzężony z 2-gim tensorem naprężenia Pioli-Kirchhoffa Spoprzez energię odkształcenia. Tensor odkształcenia Greena jest również nazywanytensorem odkształcenia Lagrange’a.

Wykorzystując postać gradientu deformacji (2.31) otrzymuje się

2E .= J−T[∂x∂ξ

]T∂x∂ξ−[∂y∂ξ

]T∂y∂ξ

J−1 = J−T

[∂x∂ξ

]T∂x∂ξ

J−1 − I, (2.35)

gdzie wykorzystano definicję Jakobianu, ∂y/∂ξ = J. Dla ∂x/∂ξ .= [x,ξ1 |x,ξ2 |x,ξ3 ],otrzymuje się symetryczną macierz w następującej postaci

[∂x∂ξ

]T∂x∂ξ

=

xT,ξ1x,ξ1 xT,ξ1x,ξ2 xT,ξ1x,ξ3



.

Odkształcenie Greena w bazie lokalnej w środku elementu otrzymujemy za po-mocą transformacji

2Ec.= 2RT

0c E R0c = (J−1R0c)T[∂x∂ξ

]T∂x∂ξ

(J−1R0c)− I, (2.36)

gdzie R0c.= R0|c = [tc1 | tc2 | tc3] to macierz rotacji w środku elementu.

Zwykle, dla powłok, tensor Greena jest aproksymowany liniowo po ζ,

E(ζ) ≈ ε+ ζκ, (2.37)

gdzie powłokowe tensory odkształcenia są zdefiniowane następująco

ε.= E(ζ)|ζ=0 , κ

.=dE(ζ)dζ

∣∣∣∣∣ζ=0

.

Człony wyższego rzędu są zwykle pomijane w pierwszym przybliżeniu energiiodkształcenia powłoki, patrz np. [Pietraszkiewicz, 1979], [Pietraszkiewicz, 1984],[Pietraszkiewicz, 1989].

Uproszczona postać składowych odkształcenia Greena dla powłoki nie-zakrzywionej. Dla kinematyki Reissnera należy uwzględnić, że x(ξ3) = x0 +ξ3(h/2) a3, więc powyższe wyrażenia są dość skomplikowane. Dlatego nie podanoich pełnej formy, pomimo, że jest ona używana w obliczeniach numerycznych.

Dużo prostszą postać niż tę wykorzystywaną w obliczeniach numerycznych moż-na otrzymać dla założenia, że powłoka jest lokalnie płaska (niezakrzywiona). Wtedy,np. kowariantne składowe tensorów odkształcenia dla powłoki są następujące:

2.3. ZWIĄZKI KONSTYTUTYWNE DLA POWŁOKI 21

1. odkształcenia błonowe, εαβ.= gα · (εgβ),

2ε11.= x0,ξ · x0,ξ − g1 · g1, 2ε22

.= x0,η · x0,η − g2 · g2,

2ε12.= x0,ξ · x0,η − g1 · g2, (2.38)

2. odkształcenia giętno-skrętne, καβ.= gα · (κgβ),

2κ11 = x0,ξ · a3,ξ, 2κ22 = x0,η · a3,η (2.39)

2κ12 = κ21 = x0,ξ · a3,η + x0,η · a3,ξ

3. odkształcenia ścinające poprzeczne, εα3.= gα · (εg3),

2ε13 = 2ε31.= x0,ξ · a3, 2ε23 = 2ε32

.= x0,η · a3, (2.40)

4. odkształcenia poprzeczne normalne,

ε33.= g3 · (εg3) = 0, κ33

.= g3 · (κg3) = 0, (2.41)

gdzie gk (k = 1, 2, 3) są zdefiniowane w (2.18).

2.3 Związki konstytutywne dla powłoki

2.3.1 Energia odkształcenia dla powłoki

Dla materiału izotropowego typu Saint Venanta-Kirchhoffa, funkcja energii odkształ-cenia ma następującą formę

W(E) .= 12λ (trE)2 +G tr(E2), (2.42)

gdzie stałe Lame’go mogą być wyrażone za pomocą modułu Younga E i współ-czynnika Poissona ν następująco

λ =Eν

(1 + ν)(1− 2ν), G =

E

2(1 + ν). (2.43)

Należy podkreślić, że W(E) to praca wykonana przez naprężenie S podczas de-formacji z konfiguracji początkowej do aktualnej; praca ta jest niezależna od drogideformacji. Materiał sprężysty, dla którego istnieje funkcja energii odkształcenia na-zywany jest materiałem hipersprężystym bądź sprężystym w sensie Greena, patrznp. [Ogden, 2003], [Fung, 1989], [Green, Adkins,1970].

Dla kinematyki Reissnera określonej równ.(2.22), tensor odkształcenia Greenamoże być przybliżony następująco: E(ζ) ≈ ε+ ζκ. Całkując analitycznie energię


odkształcenia (2.42) po grubości powłoki, w sposób zdefiniowany w Rozdz.4.2.1,otrzymuje się energię odkształcenia dla powłoki w następującej addytywnej formie

Wsh =W0 +W1, (2.44)

gdzie

W0.= h W(ε), W1

.=h3

12W(κ), (2.45)

oznaczają energię związaną ze stanem błonowym i ścinaniem poprzecznym, orazenergię związaną ze stanem zgięciowym i skręceniem.

Z postacią energii odkształcenia określoną wzorem (2.42) wiążą się następująceograniczenia:

• zakłada się, że konfiguracja początkowa jest konfiguracją naturalną, tzn. nie-zdeformowaną, bez naprężeń wstępnych;

• postać energii SVK jest odpowiednia tylko dla małych odkształceń. Nie wy-klucza to jednak dużych przemieszczeń i rotacji powłoki.

2.3.2 Równania konstytutywne dla powłok

Równania równowagi z Rozdz.2.1.3 muszą zostać uzupełnione o tzw. równania kon-stytutywne. Charakteryzują one materiał definiując relację między naprężeniami aodkształceniami. Najważniejszą zasadą stosowaną przy formułowaniu równań kon-stytutywnych jest zasada materialnej obiektywności, tzn. muszą być one niezmien-nicze dla zmian układu odniesienia, patrz np. [Hill, 1978].

Praca wirtualna nominalnego naprężenia P może zostać przedstawiona jako

P · δF = 12S · δC, (2.46)

gdzie S to 2-gi tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa , a C .= FTF to prawy tensordeformacji Cauchy-Greena. Ponieważ 1

2δC = δE, to z równania (2.46) wynika,że tensor odkształcenia Greena E .= 1

2(C − I) jest sprzężony z S. Przyjmując,gęstość energii odkształcenia na jednostkę niezdeformowanej objętości, W , jakofunkcję C, spełnia się warunek obiektywności. Wariacja energii odkształcenia jestrówna

δW(C) = ∂CW(C) · δC = ∂EW(E) · δE. (2.47)

Z równania δW = S·δE uzyskuje się prawo konstytutywne zwane prawem Hooke’a

S = ∂EW(E) = λtr(E)I + 2GE. (2.48)

Równanie to jest liniowe ze względu na E, stąd też rozważane zagadnienie należydo liniowej sprężystości, a materiał typu Saint Venanta-Kirchhoffa określany jest


jako liniowy. W liniowej teorii sprężystości dla małych odkształceń zależność międzynaprężeniami a odkształceniami może zostać wyrażona także za pomocą tensorasztywności (sprężystości)

4C=

∂S∂E

=∂2W(E)∂E2 , (2.49)

który jest tensorem czwartego rzędu. Wtedy związek konstytutywny ma postać

S =4C E. (2.50)

Uwaga. Własności tensora sztywności4C były badane szczegółowo np. w pracy

[Truesdell, Noll, 1965]. Określono, że dla materiału anizotropowego liczba niezależ-nych stałych wynosi 21. Dla materiału symetrycznego względem powierzchni środ-kowej liczba ta zmniejsza się do 13, a dla materiałów ortotropowych do 9. Natomiastdla materiałów izotropowych, tensor sztywności zależny jest tylko od dwóch stałychmateriałowych określonych równ.(2.43) i przyjmuje postać

Cijkl = λ δijδkl + G (δikδjl + δilδjk), (2.51)

gdzie δij to delta Kroneckera.

Dla powłoki, energia odkształcenia składa się z energii W0, związanej z stanembłonowym i ścinaniem poprzecznym, oraz W1, tzn. z energii związanej ze stanemzgięciowym i skręceniem, patrz równ.(2.45). Tensory sił i momentów przekrojowychdefiniuje się w następujący sposób

N .=∫ +h

2

−h2S(ζ)µ(ζ) dζ, M .=

∫ +h2

−h2ζS(ζ)µ(ζ) dζ, (2.52)

gdzie µ(ζ) .= det Z(ζ), a Z(ζ) to tensor przeniesienia, patrz [Wisniewski, 1997],str.46. (Zwykle przyjmuje się w obliczeniach numerycznych, że µ(ζ) ≈ 1.) Wtedyrównania konstytutywne dla sił i momentów przekrojowych, zdefiniowane są analo-gicznie jak w równ.(2.48),

N .= ∂εW0 = h [λ(trε)I + 2Gε] , M .= ∂κW1 =h3

12[λ(trκ)I + 2Gκ] . (2.53)

2.3.3 Warunek zerowego naprężenia normalnego

Z hipotezy kinematycznej Reissnera, równ.(2.22), otrzymuje się, że odkształcenie wkierunku normalnym do powierzchni środkowej powłoki jest równe zeru, patrz równ.(2.41). Ponieważ jest to rezultat fizycznie nieprawdziwy, odkształcenie normalne dlazagadnień sprężystych jest zwykle wyliczane z pomocniczego warunku, że naprężenienormalne jest równe zeru.


Dla sprężystego, izotropowego materiału w stałej temperaturze, prawo Hooke’azgodnie z równaniem (2.48) ma postać

S = λtr(E)I + 2GE. (2.54)

Dla składowej normalnej S w lokalnej bazie {ti} otrzymamy następujące rów-nanie konstytutywne

S33 = λ(E11 + E22 + E33) + 2GE33. (2.55)

Korzystając z warunku zerowego naprężenia normalnego, S33 = 0, można wyliczyćodkształcenia w kierunku normalnym t3,

E33 =−λ

λ+ 2G(E11 + E22). (2.56)

Dla powłok stosuje się dwa warunki: zerowania się składowych normalnych siłi zerowania się momentów przekrojowych. Wykorzystując równania konstytutywnedla powłoki, równ.(2.53), zapisuje się warunki

N33 = 0, M33 = 0, (2.57)

z których otrzymuje się składowe normalne odkształceń membranowych i zgięcio-wych

ε33 =−λ

λ+ 2G(ε11 + ε22), κ33 =

−λλ+ 2G

(κ11 + κ22). (2.58)

Powyższe składowe odkształcenia wykorzystuje się do modyfikacji energii odkształ-cenia powłoki, równ.(2.45).

Uwaga. Gdy jeden wymiar ciała jest zdecydowanie mniejszy niż dwa pozostałe,wtedy zwykle stosuje się warunki płaskiego stanu naprężenia (PSN), które dotycząnie tylko naprężenia normalnego S33, ale także naprężeń ścinających poprzecznych,S31 i S32, dla których także przyjmuje się, że są równe zeru. Dla powłok typuReissnera wykorzystywany jest tylko warunek dla naprężenia normalnego S33,podczas gdy naprężenia ścinające poprzeczne pozostają niezerowe.

2.3.4 Współczynnik korekcyjny dla ścinania poprzecznego

Wartość współczynnika korekcyjnego dla ścinania poprzecznego k określa się nawiele sposobów, których przegląd można znaleźć np. w [Woźniak (ed), 2001]. Po-niżej przedstawiono wyprowadzenie współczynnika k dla założenia, że rozkładnaprężeń membranowych po grubości powłoki jest liniowy.

Rozkład naprężeń ścinających po grubości powłoki można wyznaczyć z trójwy-miarowych równań równowagi, zapisanych w ortonormalnej bazie lokalnej,

S1β,1 + S2β,2 + S3β,3 = 0, (2.59)


S13,1 + S23,2 + S33,3 = 0, (2.60)

gdzie β = 1, 2 odpowiadają współrzędnym Sβ związanym z wektorami bazowymitβ, a 3 odpowiada współrzędnej ζ ∈ [−h/2,+h/2]. Założono, że siły masowe sązerowe.

Zakładamy, że naprężenia membranowe są liniową funkcją współrzędnej po gru-bości ζ,

Sαβ(ζ) = S0αβ + ζS1

αβ, α, β = 1, 2. (2.61)

Wstawiając powyższą postać naprężeń do pierwszego z równań równowagi (2.59) icałkując po ζ, otrzymuje się naprężenia ścinające w postaci

S3β(ζ) = A− ζS0αβ,α −

ζ2

2S1αβ,α. (2.62)

Do określenia stałej całkowania A, wykorzystać można warunki brzegowe na górneji dolnej powierzchni ograniczającej powłokę, S3β(±h

2 ) = 0. Uwzględniając jeden ztych warunków, wylicza się stałą A, i otrzymuje

S3β =12

(h2

4− ζ2

)S1αβ,α =

h2

8

(1− ζ2)

S1αβ,α, (2.63)

gdzie ζ.= 2ζ/h ∈ [−1, 1].

Można zauważyć, że rozkład naprężeń ścinających po grubości powłoki jest pa-raboliczny. Z drugiej strony, dla kinematyki Reissnera odkształcenia ścinające po-przeczne są liniowe po ζ, a więc nie odpowiadają one parabolicznemu rozkładowinaprężeń ścinających. Jednakże można uwzględnić paraboliczność naprężeń ścinają-cych, wprowadzając współczynnik korekcyjny k.

Dla rozkładu naprężeń ścinających poprzecznych z równ.(2.63) otrzymuje sięnastępujące siły i momenty przekrojowe

N3β =∫ +h

2

−h2S3β(ζ)dζ =

h3

12S1αβ,α, (2.64)

M3β =∫ +h

2

−h2ζS3β(ζ)dζ = 0. (2.65)

Wyliczając S1αβ,α z równ.(2.71), można wyrazić naprężenia ścinające (2.63) w

zależności od sił poprzecznych

S3β(ζ) =3

2h

(1− ζ2)

N3β. (2.66)

Dla materiału liniowo sprężystego (SVK), gęstość energii komplementarnej wyrażasię następująco,

Wc.=

1 + ν

2E(S2

11 + S222 + S2

33 + 2S221 + 2S2

31 + 2S232)− ν

2E(S11 + S22 + S33)2, (2.67)


gdzie uwzględniona jest symetria składowych naprężenia. Rozważany będzie członzależący wyłącznie od naprężeń ścinających poprzecznych,

W3βc

.=1 + ν

2E2S2

3β =1

2GS2

3β, β = 1, 2. (2.68)

Wykorzystując równ.(2.66), otrzymuje się powłokowy odpowiednik energii W3βc ,

Σ3βc

.=∫ +h

2

−h2W3β

c (ζ) dζ =h

2

∫ +1

−1W3β

c (ζ) dζ =6

5h1

2GN2

3β. (2.69)

Wtedy z odwrotnego równania konstytutywnego dla powłoki wynika następującarelacja,

2ε3β.=∂Σ3β

c

∂N3β=

65h

1GN3β, (2.70)

z której oblicza się

N3β =56

E

2(1 + ν)h ε3β =

56

(2G)h ε3β. (2.71)

Zauważmy, że w wyrażeniu tym występuje współczynnik 56 . Tak więc, dla powłok

sprężystych, równanie konstytutywne, definiujące zależność między przekrojową siłątnącą N3β a odkształceniem ścinającym poprzecznym ε3β, zapisuje się następu-jąco

N3β = k (2G)h ε3β, (2.72)

gdzie k = 56 to współczynnik korekcyjny dla ścinania poprzecznego, uwzględniający

paraboliczność naprężeń ścinających po ζ.

Otrzymana powyżej wartość współczynnika korekcyjnego jest najczęściejstosowana w literaturze, patrz np. [Zienkiewicz, Taylor, 2005], [Huang, 1988],[Hughes, 1987] i [Belytschko, Liu, Moran, 2000]. Można także wyprowadzić współ-czynnik korekcyjny dla równania konstytucyjnego dla momentu M3β, jednak jeston rzadko stosowany, ponieważ w elementach powłokowych najczęściej pomija sięenergię od κ3β, jako wielkość drugiego rzędu.

Energia odkształceń ścinających poprzecznych z uwzględnieniem współczynnikak ma następującą postać,

W3β0

.=12N3β ε3β =

12k (2G)h ε2

3β. (2.73)

Rozdział 3

Metoda elementów skończonychdla powłok

3.1 Funkcjonał dla powłok zawierający rotacjęnormalną

Funkcjonał dla trójwymiarowego kontinuum z równania (2.17) został w niniejszejpracy zmodyfikowany dla powłok w następujący sposób:

1. użyto hipotezę kinematyczną Reissnera, zdefiniowaną w Rozdz.2.2.

2. równanie więzów na rotacje zredukowano do jednego równania skalarnego, wktórym występuje składowa wektora rotacji normalna do powierzchni środko-wej powłoki. To uproszczenie omówiono szczegółowo poniżej.

Rozważmy składowe równania więzów na rotacje (2.1) w lokalnej ortonormalnejbazie {ti}, patrz równ.(2.19) oraz Rys.2.2. Składowe α3 (α = 1, 2) tegorównania są zwykle pomijane, ale składowe ( · )12 i ( · )21 dla ζ = 0 prowadządo równania więzów dla rotacji normalnej w następującej postaci

x0,1 · a2 − x0,2 · a1 = 0, (3.1)

gdzie aα = Q0tα są wektorami obróconej bazy ortonormalnej {ai}, co pokazanona Rys.2.2. Oznaczając Cd

.= x0,1 · a2 − x0,2 · a1, można zapisać równanie (3.1)jako Cd = 0, a funkcję kary jako

Fdrill.=∫

B

γ

2skew(QT

0 F0) · skew(QT0 F0)dV ≈

∫

B

γ

2C2d dV. (3.2)

Zregularyzowany funkcjonał (2.17) zapiszemy dla powłoki w postaci

F2(χ,Q) .=∫

B

[W(FTF) +

γ

2C2d

]dV + Fext. (3.3)

Wartość parametru regularyzującego γ ustalana jest na podstawie testów nume-rycznych, patrz Rozdz.4.3.

3.2. RÓWNANIA RÓWNOWAGI MES I OPERATOR STYCZNY 28

3.2 Równania równowagi MES i operator styczny

Niech dowolny funkcjonał odnoszący się do powłoki będzie zdefiniowany następują-co,

(·)sh .=∫ +h

2

−h2(·) µdζ, (3.4)

gdzie (·) jest wielkością odnoszącą się do ciała trójwymiarowego (3D), nato-miast (·)sh jest wielkością dwuwymiarową odnoszącą się do powierzchni odnie-sienia (środkowej). Ponadto, µ

.= det Z, gdzie Z jest tensorem przesunięcia,patrz równ.(2.52).

Poniżej, najpierw zostaną zdefiniowane powłokowe odpowiedniki wszystkichskładników funkcjonału F2 określonego w równ.(3.3) w sposób podany wrówn.(3.4), a następnie zostanie obliczona ich wariacja,

δF2sh = δWsh + δ(Fdrill)sh − δ(Fext)sh, (3.5)

gdzie funkcjonał wynikający z równania więzów na rotacje jest określony wrówn.(3.2).

Poniżej rozpatrywane są oddzielnie poszczególne człony równ.(3.5).

(i) Praca wirtualna 2-go tensora naprężenia Pioli-Kirchhoffa dla ciała trójwymia-rowego określona jest jako δW =

∫V δE ·S dV , gdzie odkształcenie Greena E i

2-gi tensor naprężenia Pioli-Kirchhoffa S są sprzężoną parą. Dla powłoki, zgodniez założeniami kinematycznymi, odkształcenie jest wielomianową funkcją współrzęd-nej wzdłuż grubości powłoki ζ, czyli E = E(ζ). Więc naprężenie jest równieżfunkcją ζ, czyli S = S(ζ).

Separując całkowanie po grubości powłoki od całkowania po powierzchni odnie-sienia A, otrzymuje się,

δW =∫

AδWsh dA, (3.6)

gdzie praca wirtualna naprężenia w powłoce wynosi

δWsh.=∫ +h

2

−h2δE(ζ) · S(ζ) µdζ. (3.7)

Wykorzystując operator styczny dla odkształcenia B .= ∂E/∂q, można zapisać:

δE(ζ) = B(ζ) δq, δWsh = δq ·∫ +h

2

−h2BT(ζ) S(ζ) µdζ. (3.8)

(ii) Wariacja funkcjonału związanego z obrotem wokół normalnej, wynikającego zrównania więzów na rotacje jest postaci

δ(Fdrill)sh.=∫ +h

2

−h2Fdrill µdζ = h

γ

2δC2

d = h(γCd) δq · bd, (3.9)

gdzie operator styczny wynosi bd.= ∂Cd/∂q.

3.2. RÓWNANIA RÓWNOWAGI MES I OPERATOR STYCZNY 29

(iii) Praca wirtualna obciążenia zewnętrznego na dolną i górną powierzchnię po-włoki wynosi

δ(Fext)sh = δq ·{

pm

}, (3.10)

gdzie p i m to zewnętrzne siły i momenty typu powłokowego.

Zapisując powyższe wariacje funkcjonałów wg równania (3.5) w jedną całość,otrzymuje się postać całkową (słabą) równania równowagi

δq ·∫

A

[BT S + h(γCd) bd −

{pm

}]dA = 0. (3.11)

W równaniu tym można wprowadzić wektory używane w MES,∫

A

[BT (q) S(q) + h(γCd) bd

]dA

(MES)−→ f(q),∫

A

{pm

}dA

(MES)−→ p, (3.12)

gdzie f jest wektorem sił wewnętrznych uwzględniającym równanie więzów narotację normalną, a p jest wektorem obciążeń zewnętrznych typu powłokowego.Wtedy, wektor residuum r dla całego elementu jest zdefiniowany następująco

r .= f(q)− p. (3.13)

Wykorzystując powyższe wektory, warunek stacjonarności δF2sh = 0 zapiszemyw postaci

δq · r = 0. (3.14)

Są to równania równowagi zapisane w postaci całkowej (słabej). Oznaczając,G(q) .= δq · r, i po przeprowadzeniu linearyzacji G w q = q, otrzymujesię

G(q) ≈ G(q) +DG(q) ·∆q, (3.15)

gdzie DG(q) ·∆q to pochodna kierunkowa G w kierunku ∆q. Wtedy równanieG(q) = 0, przyjmuje następującą postać,

G(q) +DG(q) ·∆q = 0, (3.16)

gdzie operator styczny K : δqTK∆q .= DG(q)·∆q. Równanie powyższe jest wy-korzystywane do sformułowania metody Newtona. Proces znajdowania stacjonarno-ści funkcjonałów jest związany z wczesnymi pracami [Rayleigh, 1870] i [Ritz, 1908].

Można zauważyć, że zdyskretyzownay i scałkowany funkcjonał (3.3) jest wie-lomianem algebraicznym stopni swobody qi (i = 1, ..., N). Warunek stacjonar-ności tego wielomianu względem wektora stopni swobody (niewiadomych) q .={q1, ..., qN} prowadzi do układu równań,

r .=∂F2sh

∂q=

∂F2sh∂q1

...∂F2sh∂qN

= 0. (3.17)

3.3. OBLICZENIA SYMBOLICZNE W MES 30

Operator styczny K wyznaczony jest przez drugą pochodną

K .=∂2F2sh

∂q2=

∂r1∂q1

... ∂r1∂qN

... ... ...∂rN∂q1

... ∂rN∂qN

, (3.18)

i jest to macierz symetryczna, tzn. K = KT .

Wyrażenia algebraiczne potrzebne do obliczenia wektora r i macierzy K mogąbyć otrzymane za pomocą np. różniczkowania symbolicznego opisanego w Rozdz.3.3.Następnie, są one całkowane numerycznie za pomocą np. metody Gaussa dla każ-dego elementu z osobna i agregowane dla wszystkich elementów, w celu utworzeniaglobalnego wektora residuum i macierzy sztywności. Nieliniowy układ równań jestrozwiązywany metodami omówionymi w Rozdz.3.4.

3.3 Obliczenia symboliczne w MES

W ciągu ostatnich lat nastąpił wzrost zainteresowania użyciem przekształceń sym-bolicznych do wyprowadzania i analizy elementów skończonych. Stało się to moż-liwe dzięki systemom symbolicznych algebraicznych przekształceń, takim jak np.Mathematica ([Wolfram, 1991], [Mathematica]), AceGen ([Korelc, 2002],[AceGen]),Finger ([Wang, 1986]) i Sinapse ([Kant, 1993]). Dzięki nim można wyprowadzićmacierze i wektory dla elementu wykorzystując funkcje ułatwiające przekształceniaalgebraiczne i różniczkowanie. Wynik tych operacji jest następnie optymalizowanyi tłumaczony na język programowania w którym napisane są pozostałe procedurynumeryczne dla metody elementów skończonych, więc może być z nimi bezpośredniołączony.

Aby otrzymać wielkości takie jak gradienty czy hesjany, wymagane są skompliko-wane numeryczne przekształcenia oraz różniczkowanie. Dzięki obliczeniom symbo-licznym, w tym automatycznemu różniczkowaniu, otrzymać można pochodne algo-rytmów, patrz np. w pracy [Griewank, 1989]. Procedura automatycznego różniczko-wania została zaimplementowana np. w systemie AceGen, który został wykorzystanyw niniejszej pracy.

Automatyczne różniczkowanie polega na wygenerowaniu wyrażeń na pochodnefunkcji złożonych przy wykorzystaniu formuł na pochodne funkcji prostych. Tworzo-ny jest wektor nowych pomocniczych zmiennych, które są zdefiniowane w ten sposób,aby sukcesywnie upraszczać dane wyrażenie na pochodną funkcji. Tak skonstruowa-na funkcja, dzięki dodatkowym zmiennym, może być różniczkowana symbolicznie (zewzględu na pomocnicze funkcje) np. w środowisku programistycznym Mathematica.

Automatyczne różniczkowanie może zostać przeprowadzone na dwa sposoby: ”wprzód” oraz ”wstecz” (ang. forward and backward). Najprościej ilustruje to przykładzaczerpnięty z programu AceGen, który pokazuje różniczkowanie na dwa sposobyfunkcji złożonej, f3(qi, f1(qi), f2(qi, f1(qi))), zależnej od zmiennych qi, i = 1, .., n.

3.4. METODY ROZWIĄZANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH 31

Różniczkowanie ”w przód” funkcji f3 prowadzi do następujących wyrażeń:

v1 = f1(qi), ∂v1∂qi

= ∂f1∂qi, i = 1, ..., n

v2 = f2(qi, v1), ∂v2∂qi

= ∂f2∂qi

+ ∂f2∂v1

∂v1∂qi, i = 1, ..., n

v3 = f3(qi, v1, v2), ∂v3∂qi

= ∂f3∂qi

+ ∂f3∂v1

∂v1∂qi

+ ∂f3∂v2

∂v2∂qi, i = 1, ..., n.

(3.19)

Zmienne v1, v2, v3 są dodatkowymi funkcjami tworzonymi podczas procesu.

Różniczkowanie ”wstecz” wygląda dla tego przykładu następująco,

v3 = f3(qi, v1, v2), v3 = ∂v3∂v3

= 1,

v2 = f2(qi, v1), v2 = ∂v3∂v2

= ∂f3∂v2v3,

v1 = f1(qi), v1 = ∂v3∂v1

= ∂f3∂v1v3 + ∂f2

∂v1v2,

qi∂v3∂qi

= ∂f3∂qiv3 + ∂f2

∂qiv2 + ∂f1

∂qiv1, i = 1, ..., n.

(3.20)

Różniczkowanie ”wstecz” daje efektywniejsze algorytmy dla dużych n, ale jestbardziej czasochłonne.

Podejście symboliczne znacznie ułatwia sformułowanie elementu skończonego,i to nie tylko z powodu wysokiej efektywności automatycznie wygenerowanego izoptymalizowanego kodu, ale także z punktu widzenia przejrzystości zastosowanychw opisie formuł, które są zapisywane bardziej zwięźle niż w tradycyjnych językach,takich jak np. Fortran.

3.4 Metody rozwiązania równań nieliniowych

W poprzednich rozdziałach zdyskretyzowano równania równowagi powłoki, co do-prowadziło do układu równań algebraicznych postaci

r(q) = 0. (3.21)

Nieliniowości w równaniu (3.21) mogą mieć źródło w prawie konstytutywnym, bądźteż mieć charakter geometryczny.

W tym pierwszym przypadku mówi się o nieliniowości fizycznej, czyli braku li-niowej proporcjonalności pomiędzy naprężeniami S a odkształceniami E. Ztym typem nieliniowości mamy do czynienia np. dla materiałów sprężystych gumo-podobnych (nieściśliwych) i w zagadnieniach plastyczności. Użyty w niniejszej pracysprężysty materiał typu Saint Venanta-Kirchhoffa jest liniowy, patrz równanie kon-stytutywne (2.48).


W przypadku nieliniowości geometrycznej, występuje brak proporcjonalności po-między odkształceniami E a zmiennymi kinematycznymi (przemieszczeniami iparametrami rotacyjnymi) q. Duże przemieszczenia i duże rotacje powłok wyma-gają uwzględnienia tego typu nieliniowości. Umożliwia to np. tensor odkształceniaGreena, równ.(2.34), który jest wykorzystywany w niniejszej pracy.

Poniżej omówiono dwie metody rozwiązywania równań nieliniowych: (1) metodęNewtona, i (2) metodę długości łuku, której elementem składowym jest metodaNewtona.

3.4.1 Metoda Newtona

Dla rozwiązania układu równań algebraicznych MES dla zagadnień nieliniowychnajczęściej stosowana jest metoda Newtona, której zbieżność jest kwadratowa. Na-zywana jest ona również metodą Newtona-Raphsona, historyczne korzenie metodymówiono np. w pracy [Bicanic, Johnson, 1979]. Metoda ta jest stosowana także wniniejszej pracy.

Niech i oznacza numer iteracji. Aby rozwiązać równ.(3.21) na-leży je zlinearyzować, czyli obliczyć pochodną kierunkową (patrz np.[Dennis, Schnabel, 1983],[Marsden, Hughes, 1983])

ri+1 ≈ ri +∂ri

∂q∆qi = ri + Ki∆qi = 0, (3.22)

gdzie

Ki = K(qi) =∂ri

∂q=∂fi

∂q(3.23)

to operator styczny (macierz sztywności). W zależności od zagadnienia mechanicz-nego i stosowanych algorytmów, może być ona symetryczna lub niesymetryczna. Dlaopisywanych w niniejszej pracy zagadnień i stosowanych metod obliczeniowych Kjest symetryczna. W przypadku niesymetryczności, czasami stosowana jest syme-tryzacja, patrz np. [Simo, 1992], ale, w ogólnym przypadku, metoda ta nie powinnabyć stosowana.

W metodzie Newtona stosuje się następujący proces iteracyjny, polegający naznalezieniu kolejnych przyrostów ∆q,

Ki∆qi = −ri, qi = qi−1 + ∆qi. (3.24)

Jako pierwsze przybliżenie stosuje się najczęściej zero lub rozwiązanie otrzymane dlapoprzedniego przyrostu obciążenia. Iteracje kontynuowane są do uzyskania zbieżno-ści w odpowiedniej normie, zgodnie z przyjętą tolerancją. Dla normy energetycznejstosuje się np. warunek

∆qi · ri < 10−15. (3.25)


Dla zadania liniowego wykonywana jest tylko jedna iteracja. Łączne rozwiązanieotrzymuje się obliczając q =

∑ni=1 ∆qi. Graficzne przedstawienie kolejnych iteracji

dla jednego kroku metody Newtona dla jednej zmiennej pokazano na Rys.3.1. Abyuzyskać pełną krzywą obciążenie-przemieszczenie, należy metodę Newtona stosowaćsukcesywnie zwiększając obciążenie.

K1

K2

r1

r2

p

q1Dq1

1Dq1

2Dq1

3

Rysunek 3.1: Metoda Newtona dla jednej zmiennej. Zbieżność iteracji w jednymkroku.

3.4.2 Metoda długości łuku

W wielu zadaniach nieliniowych zachodzi potrzeba śledzenia ścieżki równowagi takżepo przekroczeniu punktu granicznego, co wymaga ujemnego przyrostu obciążenia.Można to zaobserwować w rozwiązaniach zadań testowych, np. w Rozdz. 6.9, 6.11,6.14, lub 6.15.

Aby uzyskać rozwiązania w tych przypadkach stosuje się metody kon-tynuacyjne. Istnieje obszerna literatura z tego zakresu, skupiająca się naposzczególnych aspektach tych metod, patrz np. [Riks, 1970], [Riks, 1972],[Wempner, 1971], [Bergan, Horrigmoe, Krakeland, Soreide, 1978], [Crisfield, 1980],[Ramm, 1981], [Waszczyszyn, 1981], [Allgower, Georg, 1990]. W metodach kontynu-acyjnych steruje się: przemieszczeniami, mnożnikiem obciążenia, bądź też długościąłuku.

W niniejszej pracy do rozwiązania szeregu zadań testowych użyto metody dłu-gości łuku (ang. arc-length method) z uaktualnianą płaszczyzną normalną (ang.updated normal plane). Została ona rozwinięta w pracach [Riks, 1970], [Riks, 1972],[Wempner, 1971] i [Ramm, 1981].

Rozważmy przestrzeń rozwiązań rozszerzoną o jedną zmienną µ, zwaną mnoż-


nikiem obciążenia. W przestrzeni {q, µ} równanie (3.14) przyjmuje postać

r(q, µ) .= f(q)− µp = 0. (3.26)

Podobnie, jak dla metody Newtona, można zlinearyzować to równanie otrzymując

ri+1 = ri +∂ri

∂q∆qi − ∂ri

∂µ∆µi = 0. (3.27)

Po oznaczeniu

Ki =∂ri

∂q, p = −∂ri

∂µ, (3.28)

można równanie zlinearyzowane przepisać w postaci

Ki ∆qi − p∆µi = −ri. (3.29)

Niewiadomymi są ∆qi i ∆µi, więc równ.(3.29) musi zostać uzupełnione o jednorównanie skalarne łączące ∆qi oraz ∆µi,

q1 ·∆qi + µ1∆µip2 = l2 dla i = 1

q1 ·∆qi + µ1∆µip2 = 0 dla i > 1

, (3.30)

gdzie l to długość łuku, p2 = p·p. Dla iteracji i = 1 zostaje określony parametrdługości łuku, i jest to faza predykcji, natomiast dla i > 1 ograniczeniem jestwarunek prostopadłości i jest to faza korekcji. Jako pierwsze przybliżenie stosuje sięq0 = 0 i µ0 = 0, a kolejne uzyskuje się iterując

qi = qi−1 + ∆qi, q =∑i=ni=1 ∆qi,

µi = µi−1 + ∆µi, µ =∑i=ni=1 ∆µi.

(3.31)

Wprowadzając oznaczenie ∆qp = (Ki)−1p oraz ∆qr = (Ki)−1ri można, dla fazykorekcji, zapisać rozwiązanie równania (3.29) jako

∆qi = ∆µi∆qp + ∆qr, (3.32)

Wstawiając to wyrażenie do równania (3.30) otrzymuje się

∆µi = − q1 ·∆qr

q1 ·∆qp + p2µ1. (3.33)

Ilustrację graficzną dla jednego kroku metody długości łuku z uaktualnianą płasz-czyzną normalną przedstawia Rys.3.2.

Wielkość mnożnika obciążenia oraz przyrost zmiennych niezależnych kontrolo-wane są przez parametr długości łuku l. Zmienia się on w każdym kroku metody


K1

K2r

1r

2

m

q1

Dq1

1Dq1

2Dq1

3

mm

2m

1

Dm2

Dm3

q1

q1

2q1

1

Rysunek 3.2: Jeden krok metody długości łuku dla zmiennych {q1, µ}.

Newtona podczas śledzenia ścieżki równowagi. Wartość początkowa dla pierwszegokroku (n = 1) powinna zostać ustalona przez użytkownika bezpośrednio, lub zapomocą mnożnika obciążenia, zgodnie z równaniem

µ11 = ± l1√

∆qp ·∆qp + 1. (3.34)

Dla następnych kroków (n > 0) długość łuku ln modyfikowana jest na podstawieszybkości zbieżności w poprzednim kroku

∆µreq =

√ireqin

∆µn, (3.35)

gdzie ireq oznacza pożądaną liczbę iteracji w jednym kroku.

W niektórych zadaniach mogą pojawić się trudności z obliczeniem długości łukui dobrym uwarunkowaniem równań. Przyczyną jest zróżnicowanie rzędów wielkościzmiennych niezależnych q (przesunięć, obrotów, czy ich pochodnych). Aby pomyśl-nie zaimplementować metodę długości łuku niezbędne jest skalowanie przestrzenirozwiązań, aby {q, µ} były wielkościami tego samego rzędu. Skalowanie takie moż-na przeprowadzić na wiele sposobów, patrz np. prace [Chroscielewski, Nolte 1985],[Schweizerhof, 1989]. W metodzie długości łuku zaimplementowanej np. w progra-mie Abaqus [ABAQUS] wprowadza się następujące przeskalowane zmienne:

q =q

max|qi| , p =p

(p · p)1/2, (3.36)

gdzie max|qi| oznacza maksymalną wartość bezwzględną wszystkich składowychwektora q.

Rozdział 4

Charakterystyka podstawowego9-węzłowego elementupowłokowego

4.1 Funkcje kształtu i wektor niewiadomych

Element powłokowy 9-węzłowy ma na płaszczyźnie współrzędnych naturalnych,ξ, η ∈ [−1,+1], węzły rozmieszczone i ponumerowane tak jak pokazano na Rys.4.1.

1 2

6

7

8 9

5

34

Rysunek 4.1: Położenie i numeracja węzłów elementu 9-węzłowego.

Wszystkie pola występujące w funkcjonale F2sh, tzn. pole położenia, przemiesz-czeń i parametrów rotacyjnych, interpolowane są za pomocą wielomianów Lagran-ge’a, które mają taką własność, że przyjmują wartość 1 w węźle I określonymwspółrzędnymi (ξi, ηi), a w pozostałych węzłach przyjmują wartość 0. W przy-padku jednowymiarowym, wielomian stopnia n tworzy się dla i-tego węzła wgwzoru

lni (ξ) =(ξ − ξ0)(ξ − ξ1)...(ξ − ξi−1)(ξ − ξi+1)...(ξ − ξn)

(ξi − ξ0)(ξi − ξ1)...(ξi − ξi−1)(ξi − ξi+1)...(ξi − ξn). (4.1)

4.1. FUNKCJE KSZTAŁTU I WEKTOR NIEWIADOMYCH 37

Dla przypadku dwuwymiarowego używana jest kombinacja dwóch wielomianów dlaprzypadków jednowymiarowych

NI(ξ, η) = lni (ξ) lmj (η). (4.2)

Dla elementu 9-węzłowego otrzymuje się następujące bi-kwadratowe wielomiany:

N1(ξ, η) = 14(ξ2 − ξ)(η2 − η), N2(ξ, η) = 1

4(ξ2 + ξ)(η2 − η),N3(ξ, η) = 1

4(ξ2 + ξ)(η2 + η), N4(ξ, η) = 14(ξ2 − ξ)(η2 + η),

N5(ξ, η) = 12(η2 + η)(1− ξ2), N6(ξ, η) = 1

2(ξ2 + ξ)(1− η2),N7(ξ, η) = 1

2(η2 + η)(1− ξ2), N8(ξ, η) = 12(ξ2 − ξ)(1− η2),

N9 = (1− ξ2)(1− η2).

(4.3)

Funkcje kształtu NI odpowiadają odpowiednio węzłom I = 1, ..., 9, ponumero-wanym jak na Rys.4.1. Przykładową aproksymację tymi funkcjami pokazano napoglądowym Rys.4.2.

Rysunek 4.2: Przykładowa interpolacja funkcjami Lagrange’a na elemencie 9-węzłowym.

Opracowany element 9-węzłowy jest izoparametryczny, tzn. identyczne funkcjekształtu używane są do aproksymacji składowych wektora położenia początkowegoi niewiadomych, czyli składowych wektora przemieszczenia i wektora rotacji,

y0(ξ, η) =9∑

I=1

NI(ξ, η) y0I , u0(ξ, η) =9∑

I=1

NI(ξ, η) u0I , φ(ξ, η) =9∑

I=1

NI(ξ, η)φI .

(4.4)

Wektor stopni swobody (niewiadomych) dla elementu. Rozważamy skła-dowe wektora przemieszczeń i wektora rotacji w bazie odniesienia {ik}. Składowewe wszystkich węzłach elementu 9-węzłowego można zapisać w postaci jednego wek-tora,

q .={

u0I

φI

}, I = 1, ..., 9, (4.5)

4.2. CAŁKOWANIE FUNKCJONAŁU F2 38

gdzie wektor przemieszczeń u0I = {u, v, w}I i wektor rotacji φI = {φ1, φ1, φ3}I .Stąd 9-węzłowy element ma 9 × 6 = 54 wartości węzłowe (stopnie swobody lubniewiadome).

4.2 Całkowanie funkcjonału F2

W opracowanych elementach 9-węzłowych zastosowano analityczne całkowanie pogrubości powłoki oraz numeryczne całkowanie po powierzchni środkowej. FunkcjonałF2 z równania (3.3) jest całkowany wg następującego schematu,

F2.=∫

A

∫ +h2

−h2F2 dζ

︸︷︷︸analitycznie

dA =∫

AF2sh dA

︸︷︷︸numerycznie

, (4.6)

gdzie F2sh.=∫+h

2

−h2F2 dζ.

4.2.1 Całkowanie analityczne po grubości powłoki

Zasadniczą część funkcjonału F2 stanowi gęstość energii odkształcenia W , i jejcałkowanie analityczne zostanie omówione poniżej.

Rozważamy gęstość energii odkształcenia dla liniowego izotropowego sprężystegomateriału SVK,

W(E) .= 12λ (trE)2 +G tr(E2), (4.7)

i obliczamy analitycznie jej całkę po grubości powłoki. Ponieważ przyjęto, że od-kształcenie powłoki E(ζ) ≈ ε+ ζκ, więc

(trE)2 = (trε)2 + 2ζ(trε)(trκ) + ζ2(trκ)2, trE2 = trε2 + 2ζtr(εκ) + ζ2trκ2,

i energię (4.7) można zapisać w postaci

W(E) =W(ε) + ζW∗(ε,κ) + ζ2W(κ), (4.8)

gdzieW(ε) .= 1

2λ (trε)2 +G tr(ε2), W(κ) .= 12λ (trκ)2 +G tr(κ2),

W∗(ε,κ) .= λ (trε)(trκ) + G tr(εκ).

Całkując energię odkształcenia (4.8) po grubości powłoki otrzymuje się

Wsh.=∫ +h

2

−h2W(E) dζ = hW(ε) +

h3

12W(κ), (4.9)

ponieważ poszczególne całki∫ +h

2

−h2W(ε)dζ = hW(ε),

∫ +h2

−h2ζ2W(κ)dζ =

h3

12W(κ),


∫ +h2

−h2ζW∗(ε,κ)dζ =W∗(ε,κ)

∫ +h2

−h2ζdζ = 0.

Tak więc, całkując analitycznie energię po grubości powłoki otrzymuje się energięodkształcenia powłoki w postaci rozprzężonej, t.j. jako sumę energii odkształceniadla tensorów odkształcenia zerowego i pierwszego stopnia, wynikających z liniowegorozwinięcia E.

4.2.2 Całkowanie numeryczne po powierzchni środkowej

Funkcjonał F2sh jest całkowany numerycznie po powierzchni środkowej powłokiza pomocą kwadratury Gaussa-Legendre’a.

Całkowanie numeryczne związane jest z wyborem określonej liczby punktów wograniczonym, unormowanym obszarze całkowania, obliczeniem wartości podcałko-wej funkcji w tych punktach oraz wykonaniem sumowania z wykorzystaniem war-tości wagowych. Podstawowym problemem w całkowaniu numerycznym jest do-bór punktów całkowania oraz wag dla określonych funkcji aproksymujących tak,aby zapewnić minimalny błąd. Szczegóły teoretyczne można znaleźć np. w pracy[Stroud, Secrest 1966].

Jedną z klasycznych i najbardziej efektywnych metod całkowania numerycznegojest kwadratura Gaussa-Legendre’a. Daje ona dokładne rozwiązania jeśli funkcjamiaproksymującymi są wielomiany nie przekraczające rzędu 2n−1. Dla funkcji jednejzmiennej ma ona postać

I =∫ +1

−1f(ξ) dξ =

n∑

i=1

f(ξi)wi,

gdzie n, ξi, wi oznaczają ilość punktów całkowania, ich położenie i wagi.

Tabela 4.1: Kwadratura Gaussa-Legendre’a dla funkcji jednej zmiennej.

Liczba punktów n Współrzędne ±ξi Wagi wi1 0 22 1√

31

3 0 89√

35

59

W przypadku powłoki, po analitycznym scałkowaniu energii po grubości powłoki,jest ona funkcją dwóch zmiennych, i stosowane jest następujące sumowanie

F2 =∫

AF2sh(ξ, η) dA =

n∑

i=1

m∑

j=1

F2sh(ξi, ηj)wiwj =nGP∑

GP=1

(F2sh)GP wGP ,


gdzie:GP - punkty całkowania Gaussa, oznaczone jak na Rys.4.3,nGP - liczba punktów Gaussa,(F2sh)GP - wartość funkcji w punkcie całkowania,wGP = wiwj - waga w punkcie Gaussa, obliczana jako iloczyn odpowiednich wag zTabeli 4.1.

b

b

- punkty Gaussa (GP)

XXX

X

X

XX

X XX

b b

1 2 3

4 5 6

7 8 9

Rysunek 4.3: Położenie punktów całkowania Gaussa w elemencie 9-węzłowym.b =

√3/5.

Na Rys.4.3 pokazany został schemat całkowania dla Lagrange’owskiegoelementu 9-węzłowego. Przyjmuje się, patrz np. [Hughes, 1987] lub[Zienkiewicz, Taylor, 1989], że rząd całkowania powinien wynosić n dla elementówn-węzłowych jednowymiarowych, oraz n × n dla elementów powierzchniowych,czworobocznych o ilości węzłów n× n. Stąd dla elementu 9-węzłowego używa się9 punktów całkowania, których położenie i wagi określa odpowiednia kombinacjawartości z Tab.4.1 dla n = 3. Całkowanie 3× 3 dla elementu 9-węzłowego nazy-wane jest całkowaniem pełnym. Standardowa (3× 3-punkty) kwadratura Gaussastosowana jest do całkowania macierzy sztywności oraz wektora sił wewnętrznych.Przy takim rzędzie całkowania macierz sztywności ma odpowiednią liczbę zerowychwartości własnych, patrz Rozdz.5.4.

Można zauważyć, że dzięki zastosowaniu całkowania analitycznego po grubościpowłoki, liczba punktów Gaussa jest zredukowana, co poprawia efektywność elemen-tu.

4.3. DOBÓR WARTOŚCI PARAMETRU REGULARYZUJĄCEGO 41

4.3 Dobór wartości parametru regularyzującego

W Rozdz.2 zdefiniowano dla powłoki dwu-polowy funkcjonał (3.3),

F2(χ,Q) .=∫

B

[W(FTF) +

γ

2C2d

]dV + Fext, (4.10)

który zawiera parametr regularyzujący γ. Wartość tego parametru ma wpływna dokładność rotacji normalnej, która jest związana z przemieszczeniami tylko zapomocą równania Cd = 0. Zbyt mała wartość γ może prowadzić do zbytmałych rotacji, natomiast zbyt duża, do przesztywnienia elementu w zagadnieniach,w których występuje deformacja ścinająca w płaszczyźnie stycznej elementu.

W pracy [Hughes, Brezzi, 1989], przeprowadzono zaawansowaną analizę teore-tyczną i zaproponowano γ = G, tzn. by wartość parametru była równa modułowiścinania Kirchhoffa. Jednak analiza ta nie uwzględnia własności funkcji aproksyma-cyjnych i dwustopniowych aproksymacji odkształceń.

W niniejszej pracy, wartość γ jest ustalana na podstawie testów numerycznych,przy czym badany był zakres wartości γ ∈ [10−15; 1015]. Obliczenia przeprowadzo-no dla większości przykładów z Rozdz.6, i we wszystkich testach otrzymano podobnerezultaty. Na podstawie testów numerycznych ustalono, że optymalna wartość to

γ = 2G× 10−3. (4.11)

Na Rys.4.4, 4.5 i 4.6, przedstawiono kilka reprezentatywnych rezultatów obliczeńnumerycznych.

1. Rys.4.4 wykonano dla skręconego wspornika z Rozdz.6.13, dla dwóch rodza-jów obciążenia. Widać, że wyselekcjonowana wartość γ daje dość dokładnewyniki niezależnie od rodzaju obciążenia.

2. Rys.4.5 wykonano dla półsfery z otworem z Rozdz.6.12. Można z niego od-czytać, że parametr γ może mieć większą wartość, jeśli użyje się do obliczeńgęstszej siatki elementów skończonych.

3. Na Rys.4.6 umieszczono wyniki analiz nieliniowych dla półsfery z otworem zRozdz.6.12. Wynika z nich, podobnie jak z Rys.4.4 i Rys.4.5, że zbyt dużawartość γ powoduje tzw. przesztywnienie półsfery, tzn. przemieszczenia sązbyt małe. Poza tym, dla skrajnych wartości parametru, metoda Newtona jestrozbieżna i nie możena otrzymać rozwiązania dla ustalonych wartości przyrostuobciążenia.

4.3. DOBÓR WARTOŚCI PARAMETRU REGULARYZUJĄCEGO 42

0

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

-15 -10 -5 0 5 10 15

Prz

emie

szcz

enie

log(’gamma’)

2G*10-3

w dla Pzv dla Py

Rysunek 4.4: Zależność przemieszczeń od parametru γ dla 2 typów obciążenia.

0.08

0.085

0.09

0.095

0.1

0.105

0.11

0.115

-15 -10 -5 0 5 10 15

u

log(’gamma’)

2G*10-3

u ref.siatka 4x4

siatka 16x16

Rysunek 4.5: Zależność przemieszczeń od parametru γ dla dwóch siatek.

4.4. KONSEKWENCJE ZNIEKSZTAŁCEŃ ELEMENTU W KONFIGURACJIPOCZĄTKOWEJ 43

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 1 2 3 4

P

u

ref. MITC9 siatka 8x8brak rozw. (1010;1015)

109

107

103

brak rozw. (10-15;102)

Rysunek 4.6: Zależność przemieszczeń od parametru γ dla testu nieliniowego.

4.4 Konsekwencje zniekształceń elementu w kon-figuracji początkowej

Stosując elementy izoparametryczne należy wziąć pod uwagę ograniczenia dotyczącerozmieszczenia węzłów elementu dla konfiguracji początkowej powłoki. Ogranicze-nia te wynikają ze sformułowania izoparametrycznego, sposobu definiowania bazlokalnych i schematu całkowania.

Optymalny jest kwadratowy kształt elementu 9-węzłowego, przy czym węzłykrawędziowe, o numerach 5, 6, 7 i 8, powinny leżeć w połowie odległości pomiędzywęzłami narożnymi, a węzeł centralny nr 9 powinien znajdować się w połowie od-ległości pomiędzy węzłami 5-7 i 6-8. Kształt optymalny na płaszczyźnie fizycznejpowinien być podobny do tego na płaszczyźnie współrzędnych naturalnych, pokaza-nego na Rys.4.1.

W praktyce, często stosuje się zniekształcone elementy, dlatego ważne jest byokreślić dopuszczalny zakres zniekształceń. Poniżej rozważane są konsekwencje od-stępstw od powyżej scharakteryzowanego regularnego początkowego kształtu ele-mentu.

(Warto zauważyć, że podobne zagadnienie występuje dla konfiguracji zdefor-mowanych w przypadku dużych odkształceń, jednak nie jest ono w tym rozdzialeomawiane.)


Przypadek jednowymiarowy. Przeprowadzana jest analiza jednowymiarowego3-węzłowego elementu pokazanego na Rys.4.7. Zakładamy, że węzeł 3 nie znajdujesię w środku elementu, lecz jego położenie jest określone przez współrzędną smierzoną od środka elementu. Badamy przy jakim stosunku a/b następuje zamianaznaku składowej poziomej wektora bazy naturalnej g1.

b

=1=-1 =0

1 23

L/2

s

L/2

x

y

a

Rysunek 4.7: Element 3-węzłowy. Pozycja węzła 3 jest określona przez s.

Położenie węzłów w układzie umieszczonym w środku elementu jest następujące,y0i = {−L/2, s, L/2}, gdzie s jest wartością współrzędnej x węzła środkowego.Położenie dowolnego punktu elementu o współrzędnej ξ to y0 = N y0i = s+ Lξ

2 −sξ2, dla wektora funkcji kształtu N = 1

2{ξ(ξ− 1), 2(1− ξ2), ξ(ξ + 1)}. Składowawektora bazy naturalnej wynosi g1 = y0,ξ = L

2 − 2sξ i może ona zmieniać znak wzależności od położenia węzła 3, czyli od s.

Np. dla s = −2/3 i L = 2, otrzymuje się wartości funkcji g1(ξ), ξ ∈ [−1,+1],pokazane na Rys.4.8. Widać, że w tym przypadku wartości g1 są ujemne dlaξ < −3/4, i wtedy zmienia się zwrot wektora bazy naturalnej g1.

-1 -0.5 0.5 1Ξ

0.5

1

1.5

2

g1

Rysunek 4.8: Wykres g1(ξ) dla s = −2/3 i L = 2.

Można sprawdzić wartość g1 dla niektórych punktów wybranych schematówcałkowania Gaussa:

• dla punktu schematu trój-punktowego i np. ξ = −√

35 otrzymuje się g1 =

0.2302,


• dla punktu schematu dwu-punktowego, ξ = −√

13 otrzymuje się g1 =

−0.0327, czyli zmienia się zwrot wektora bazy naturalnej g1.

Położenie węzła środkowego, w którym następuje zmiana znaku g1, wynika zwarunku

g1 = 0 =⇒ s =L

4ξ. (4.12)

Zamiast s można użyć parametrów a = L2 + s i b = L

2 − s oraz ilorazu a/b,który jest niezależny od długości elementu L. Dla obliczonej powyżej wartości swynosi on

a

b=

L2 + sL2 − s

=2ξ + 12ξ − 1

. (4.13)

Wykres rozwiązania nierówności g1(ξ, s) 0 dla L = 2 pokazano na Rys.4.9,gdzie na osi poziomej zaznaczono s, a na osi pionowej ξ. Wykres przedstawiazakres przesunięcia węzła środkowego dla którego nie następuje zmiana zwrotu wek-tora g1. Ponadto, zaznaczono położenie punktów całkowania dla 2- i 3-punktowegoschematu Gaussa. Widać, że dla zredukowanego 2-punktowego całkowania węzełśrodkowy ma szerszy zakres dozwolonych położeń.

L2

L2

0

1

-1

Ö3/5

Ö1/3

Ö3/5

Ö1/3

Rysunek 4.9: Wykres rozwiązania nierówności g1(ξ, s) 0 dla L = 2.

Przypadek dwuwymiarowy, powłoka. Przypadek dwuwymiarowy jest złoże-niem dwóch przypadków jednowymiarowych omówionych powyżej. Dodatkowymefektem zniekształcenia elementu jest to, że najeżenie wektorów normalnych t3

niekoniecznie jest zgodne. Najeżenie jest zgodne wtedy, gdy wszystkie wektory nor-malne lokalnych baz orto-normalnych w punktach Gaussa są zwrócone w tę samąstronę względem powierzchni odniesienia (środkowej) dla danego elementu,.

Wraz ze wzrostem przesunięć węzłów dokładność obliczeń może się pogarszać, aw przypadku gdy najeżenie wektorów normalnych t3 nie jest zgodne, wtedy roz-wiązań nie można uznać za wiarygodne. Sytuację tę dobrze obrazują Testy 6.2.2A


oraz 6.2.2B. Wskazują one, że element 9 (standardowe sformułowanie) daje złe wy-niki dla dużych przesunięć węzłów (w powyższych testach przesuwa się węzeł nr 9).Przyczyną jest zmiana orientacji bazy lokalnej dla dużych przesunięć węzłów, tzn.następuje zmiana kierunku wektora t3. Ma to swoje podłoże w dwóch mechani-zmach:

1. wektory bazy naturalnej zmieniają zwroty (Rys.4.10),

2. kąt rozwarcia pomiędzy wektorami bazy naturalnej przekracza 180◦ (Rys.4.11).

n=1

n=4

t =1 1g

t =2 2g

t =2 2g

t =1 1g

n=2

n=5

t =1 1g

t =2 2g

t =2 2g

t =1 1g

n=3

n=6

t =1 1g

t =2 2g

t =2 2g

t =1 1g

Rysunek 4.10: Bazy lokalne w punkcie Gaussa nr 4 dla wzrastającego n. Test 6.2.2A.

Przypadek pierwszy uwidacznia się w Teście 6.2.2. Przesunięciu w poziomie ulegawęzeł nr 9 i dla parametru przesunięcia n = 4 otrzymuje się błędny wynik. NaRys.4.10 przedstawione zostały wektory bazy naturalnej g1,g2, oraz wektory bazyortonormalnej t1, t2 w punkcie Gaussa nr 4 (ξ = −

√35 , η = 0, ζ = 0, patrz

Rozdz.4.2).

Wektory te zmieniają się dla zwiększającego się n, tak jak opisano w Te-ście 6.2.2A. Bazy te pokrywają się ze sobą dla n = 1, 2, 3. Dla wartości n = 4, 5, 6wektory g1 i t1 również się pokrywają, ale mają przeciwny zwrot. Dlatego t3,jako iloczyn wektorowy t1 i t2 (patrz Rozdz.2.2.1) również zmienia kierunek,i w konsekwencji rozwiązanie jest nieprawidłowe. Aby zbadać dokładnie w jakimzakresie położenia węzła 9 następuje opisana zmiana kierunku wektora t3 należyprzeprowadzić analizę analogiczną do tej dla przypadku jednowymiarowego.

Drugi mechanizm, który powoduje niezgodne najeżenie wektorów t3, możezostać przeanalizowany na przykładzie Testu 6.2.2B. W tym przypadku przesunięciewęzła nr 9 następuje po przekątnej elementu. Sprawdzane jest zachowanie się bazlokalnych w punkcie Gaussa nr 4, przedstawione na Rys.4.11. Można zauważyć, żedla n = 4, rozwarcie wektorów bazy naturalnej wynosi ponad 180◦, co powoduje


n=1

t2

g1

g2

t1

n=3n=2

g2

g2

g2 g2 g2

g1

g1

g1

g1

g1

n=4 n=6n=5

t1

t1

t1

t1

t1

t2 t2

t2t2

t2

Rysunek 4.11: Bazy lokalne w punkcie Gaussa nr 4 dla wzrastającego n. Test 6.2.2B.

zmianę orientacji wektorów t1 i t2, i w konsekwencji zmianę zwrotu t3 jakoich iloczynu wektorowego.

Powyższe obserwacje wskazują, że węzły elementu 9-węzłowego nie powinny byćrozmieszczone zbyt nieregularnie, kwestię tę podjęto w sposób bardziej precyzyjnyw testach z Rozdz.6.2.

4.5. ZAGADNIENIE WŁASNE DLA DWUWYMIAROWEGO 9-WĘZŁOWEGOELEMENTU 48

4.5 Zagadnienie własne dla dwuwymiarowego 9-węzłowego elementu

Mając macierz sztywności uzyskaną w sposób opisany w Rozdz.3.2 można sformu-łować następujące zadanie na wartości i wektory własne

Kνi = λiνi, i = 1, 2, 3, ..., n, (4.14)

gdzie λi to wartości własne, νi to wektory własne, a n to liczba stopni swobodyelementu. Jest to układ równań liniowych jednorodnych ze względu na νi,

(K− λiI)νi = 0. (4.15)

Równania (4.15) mają niezerowe rozwiązania jeśli spełniony jest warunek

det(K− λiI) = 0. (4.16)

Wartości i wektory własne tworzą pary {λi,νi}, tzn. każdej wartości własnejodpowiada określony wektor własny. Wartości własne λi mogą być podwójne iwtedy odpowiadające wektory własne νi są obrócone względem siebie. Przyjmującν = {ν1,ν2, ...} oraz λ = diag(λi) można zapisać

Kν = νλ. (4.17)

Korzystając z własności ortogonalności ν otrzymuje się

νTKν = λ. (4.18)

Wektory własne otrzymane z zadania (4.14) to przemieszczenia węzłów

νi = {uI , vI}i, (4.19)

dla I = 1, ..., 9 oznaczającego węzły. W celu lepszego przedstawienia graficznego,wektory własne można przeskalować, np.

νi =νi

max|νi|/5 , (4.20)

gdzie max|νi| oznacza maksymalną wartość bezwzględną wszystkich składowychνi.

Do wyznaczenia macierzy sztywności posłużono się 9-węzłowym dwu-wymiarowym elementem, o dwóch składowych wektora przemieszczenia w węźle,{u, v}. Liczba stopni swobody tego elementu jest równa 18, a wektory własne moż-na czytelnie przedstawić jako przemieszczenia węzłów na płaszczyźnie. (Wyniki testuna wartości własne dla opracowanych w pracy elementów powłokowych omówionow Rozdz.6.1.)


W celu zbadania wartości i wektorów własnych macierzy sztywności zdefiniowanojeden element w kształcie kwadratu, o boku jednostkowym i grubości h = 0.1, orazE = 106 i ν = 0.3. Nie zadano warunków brzegowych. Otrzymane wartości własnepodano w Tabeli 4.2.

Tabela 4.2: Wartości własne 9-węzłowego dwuwymiarowego elementu.

548501.63 548501.63 233586.42 216795.78157904.83 157904.83 112820.51 89421.6667625.54 67625.54 57929.49 44069.2527066.90 27066.90 16805.44 0

0 0

Przeskalowane wektory własne pokazano na Rys.4.12. Zostały one umieszczonew kolejności odpowiadającej wartościom własnym z Tabeli 4.2.

Kolorem szarym oznaczono pierwotny kształt elementu, a czarnym kształt ele-mentu po nałożeniu wektorów własnych, przeskalowanych zgodnie z wzorem (4.20).Węzły schematycznie połączono liniami prostymi, lecz ich rzeczywisty kształt tokrzywe 2-go stopnia, zgodnie z funkcjami kształtu z równ.(4.3). Trzy ostatnie ry-sunki przedstawiają ruch sztywny elementu i związane są z wektorami własnymi dlazerowych wartości własnych.

Podobną graficzną interpretację wektorów własnych, lecz dotyczącą elementu4-węzłowego, można znaleźć np. w [Bathe, Wilson 1976] lub [Kleiber, 1989].


Rysunek 4.12: Wektory własne 9-węzłowego dwuwymiarowego elementu.

Rozdział 5

Metody eliminujące zakleszczanie9-węzłowego elementupowłokowego

Standardowy 9-węzłowy element powłokowy charakteryzuje się bardzo małą do-kładnością, co spowodowane jest przez tzw. zakleszczanie, występujące dla powłokcienkich i zakrzywionych. Dlatego potrzebne są dodatkowe techniki poprawiającejego własności.

5.1 Charakterystyka zakleszczania w elementachpowłokowych

Zakleszczanie (ang. locking) to negatywne zjawisko występujące dla aproksymacjiniskiego rzędu. Na skutek zakleszczania, przemieszczenia cienkich powłok są silnieniedoszacowane, tak jak gdyby sztywność elementu została znacznie zwiększona, coprzedstawiono poglądowo na Rys.5.1. Inna nazwa zakleszczania to ”przesztyw-nienie” elementu, lub, np. w [Chroscielewski, Makowski, Pietraszkiewicz, 2004](str.381), to ”blokada” rozwiązania. Zakleszczanie powłok silnie zależy od gru-bości powłoki, która jest tzw. parametrem krytycznym. Zakleszczanie zwiększa sięprzy zmniejszaniu grubości.

Wyróżnić można dwa rodzaje zakleszczania elementów powłokowych:

• zakleszczanie od ścinania poprzecznego (ang. transverse shear locking), wywo-łane przez aproksymacje odkształceń ścinających poprzecznych, ε31, ε32, iwystępujące w elementach powłokowych płaskich i zakrzywionych,

• zakleszczanie membranowe (ang. membrane locking), wywołane przez aproksy-macje odkształceń błonowych ε11, ε22, ε12, i występujące tylko w elementachpowłokowych zakrzywionych.

5.1. CHARAKTERYSTYKA ZAKLESZCZANIA W ELEMENTACHPOWŁOKOWYCH 52

Rozwi¹zanie analityczne

Rozwi¹zanie numeryczne

1/h

Prz

em

ieszcze

nie

1

0

0

Rysunek 5.1: Zakleszczanie rozwiązania numerycznego.

Oba powyższe typy zakleszczania występują w elementach powłokowych 9-węzłowych.

Zakleszczanie jest efektem wynikającym m.in. z własności zastosowanych funkcjiaproksymujących, w szczególności tzw. ’niedopasowania’ aproksymacji poszczegól-nych członów energii, natomiast nie ma związku z dokładnością reprezentacji nume-rycznej zmiennych. Istnienie tego efektu można wykazać dla prostych przypadkówza pomocą metod analitycznych, a także przez porównanie rozwiązań numerycznychz rozwiązaniami analitycznymi.

Warto zauważyć, że efekt zakleszczania od ścinania poprzecznego i zakleszczaniamembranowego maleje wraz z zagęszczaniem siatki elementów. Jednak następuje topowoli. Dla rzadkich siatek elementy zakleszczające się są bardzo niedokładne.

5.1.1 Zakleszczanie od ścinania poprzecznego elementu bel-kowego

Zjawisko zakleszczania występuje także w elementach belkowych, i te, jako mniejskomplikowane od elementów powłokowych, są zwykle wykorzystywane w rozważa-niach analitycznych.

Równania belki Timoszenki. Składowe odkształcenia membranowego, od-kształcenia ścinania poprzecznego i odkształcenia zgięciowego dla belki Timoszenkio liniowej kinematyce są następujące

εxx = ux,x, 2εzx = w,x − φ, κxx = −φ,x, (5.1)

gdzie u to przemieszczenie styczne, w to przemieszczenie normalne, a φ to kątrotacji linii środkowej belki. Energię odkształcenia można wyrazić jako sumę energii

W =∫ L

0[W(εxx) +W(εzx) +W(κxx)] dx, (5.2)


gdzie

W(εxx) =12EAε2

xx, W(εzx) = k 2GAε2zx, W(κxx) =

12EI κ2

xx. (5.3)

Ponadto, A = bh to pole (prostokątnego) przekroju belki, I = bh3/12 tomoment bezwładności przekroju, h to wysokość, b to szerokość przekroju belki,a k = 5/6 to współczynnik korekcyjny dla ścinania poprzecznego.

Aproksymacja odkształcenia ścinającego w elemencie belkowym. W celuzidentyfikowania zakleszczania od ścinania poprzecznego rozważa się 3-węzłowy pro-sty (niezakrzywiony) element belkowy, patrz Rys.5.2. Dla elementu 3-węzłowego,

X

z

Rysunek 5.2: Element belkowy 3-węzłowy.

przemieszczenie normalne oraz rotacja są aproksymowane w następujący sposób

w(ξ) =3∑

I=1

NI(ξ)wI , φ(ξ) =3∑

I=1

NI(ξ)φI , (5.4)

gdzie kwadratowe funkcje kształtu są zdefiniowane następująco,

N1(ξ) =12ξ(ξ − 1), N2(ξ) =

12ξ(ξ + 1), N3(ξ) = 1− ξ2. (5.5)

Ponadto, ( · )I oznaczają wartości w węzłach, a współrzędna naturalna ξ ∈[−1,+1]. Po uwzględnieniu, że x = (L/2) ξ, gdzie L to długość belki, otrzymujesię

( · ),x = ( · ),ξ(dx

dξ

)−1

=( 2L

)( · ),ξ. (5.6)

Aproksymowane odkształcenie ścinające poprzeczne, obliczone wg równ.(5.1) zuwzględnieniem funkcji kształtu (5.5), ma następującą postać

2εMESzx =

2L

[(ξ − 1

2)w1 + (ξ +

12

)w2 − (2ξ)w3

]

−[12ξ(ξ − 1)φ1 +

12ξ(ξ + 1)φ2 + (1− ξ2)φ3

]. (5.7)


W ogólnym przypadku, aproksymowany rozkład odkształcenia ścinającego poprzecz-nego εMES

zx powinien być jak najbardziej zbliżony do rozkładu obliczonego anali-tycznie, εANAzx , co prowadzi do warunku

εMESzx − εANAzx = 0. (5.8)

Ponieważ w równ.(5.7), część zależna od wI jest liniową funkcją ξ, a część zależnaod φI jest kwadratową funkcją ξ, więc w niektórych przypadkach mogą wystę-pować problemy ze spełnieniem tego warunku. Poniżej, ta kwestia jest rozważonadla kilku założonych rozkładów εANAzx wzdłuż osi belki.

A. Zerowe odkształcenie ścinające poprzeczne. Dla bardzo wiotkich (cien-kich) belek, gdy h/L� 1, a także dla przypadku czystego zginania belki dwomamomentami, patrz Rys.5.3, wartość analityczna odkształcenia poprzecznego jeststała i równa zeru, tzn. εANAzx = 0.

MM

=1=-1 =0

1 23

L

X

z

Rysunek 5.3: Czyste zginanie prostego elementu 3-węzłowego.

Wtedy, warunek (5.8) redukuje się do

εMESzx = 0. (5.9)

W elemencie 2-węzłowym, zbudowanym za pomocą liniowych funkcji kształtu, otrzy-muje się εMES

zx = 0 tylko w punkcie środkowym (ξ = 0), natomiast w punktachξ = ±1/

√3 otrzymuje się εMES

zx 6= 0, więc element ten zakleszcza się, gdy jestcałkowany za pomocą 2 punktów Gaussa. Natomiast dla elementu 3-węzłowego, dlarozważanego obciążenia, zakleszczanie nie występuje. Można to pokazać w następu-jący sposób. Dla czystego zginania,

w1 = w2 = αL/4, w3 = 0, φ1 = φ, φ2 = −φ, φ3 = 0. (5.10)

gdzie αL/4 to analityczna wartość ugięcia. Można ją otrzymać także z warunku∫ L/20 2εzx dx = 0, z którego wynika

w3︸︷︷︸=0

−w1 =∫ L/2

0α(2xL− 1

)dx = −αL

4, (5.11)


gdzie wykorzystano symetrię εzx względem x = 0, i parametryzację φ = αξ =α(

2xL− 1

). Podstawiając warunki (5.10) do rón.(5.7) otrzymuje się

2εMESzx =

2L

[(ξ − 1

2) + (ξ +

12

)]αL

4−[12ξ(ξ − 1)α− 1

2ξ(ξ + 1)α

]=

2L

2ξαL

4+ξα = 0,

(5.12)tzn. odkształcenie ścinające jest równe zeru.

B. Stałe niezerowe odkształcenie ścinające poprzeczne. Rozważmy przy-padek zginania prostej belki siłą poprzeczną, patrz Rys.5.4.

P

=1=-1 =0

1 23

L

X

z

Rysunek 5.4: Zginanie prostego elementu 3-węzłowego siłą poprzeczną P .

W tym przypadku odkształcenie ścinające jest niezerowe i stałe po długości belki,

εANAzx =−Pk 2GA

. (5.13)

Aby znaleźć punkty, w których wartości εMESzx obliczone wg równ.(5.7) są równe

wartościom analitycznym εANAzx , trzeba rozwiązać równanie (5.8). Jest to równaniekwadratowe ze względu na ξ i jego pierwiastkami są ξA = + 1√

3i ξB = − 1√

3,

co pokazano na Rys.5.5. Obliczenia wykonano dla: L = 6, b = 0.2, P = 1, h =1/10, E = 107, ν = 0.3.

-1 -0.5 0 0.5 1x

0

Analityczne

Aproksymacja

ezx

x= x=

Rysunek 5.5: Porównanie rozkładów odkształceń ścinających. Stałe odkształcenieścinające.


C. Liniowe odkształcenie ścinające poprzeczne. Rozważmy przypadek zgi-nania prostej siłą poprzeczną rozłożoną o intensywności q, patrz Rys.5.6. W tym

q

=1=-1 =01 23

L

X

z

Rysunek 5.6: Zginanie prostego elementu 3-węzłowego siłą rozłożoną q.

przypadku odkształcenie ścinające jest niezerowe i zmienia się liniowo po długościbelki,

εANAzx =−q(L/2)(1− ξ)

k 2GA. (5.14)

Aby znaleźć punkty, w których wartości εMESzx obliczone wg równ.(5.7) są równe

wartościom analitycznym εANAzx , trzeba rozwiązać równanie (5.8). Jest to równa-nie kwadratowe ze względu na ξ. Podobnie jak w poprzednim przypadku, jegopierwiastkami są ξA = + 1√

3i ξB = − 1√

3, co pokazano na Rys.5.7. Obliczenia

wykonano dla: L = 6, b = 0.2, q = 1, h = 1/10, E = 107, ν = 0.3.

-1 -0.5 0 0.5 1

x

0

ezx

Analityczne

Aproksymacja

x= x=

Rysunek 5.7: Porównanie rozkładów odkształceń poprzecznych. Liniowe odkształce-nie ścinające poprzeczne.

Podsumowując przypadek stałego i liniowego rozkładu odkształceń ścinających,widać, że tylko w dwóch punktach ξA = + 1√

3i ξB = − 1√

3, wartości εMES

zx

są równe wartościom analitycznym εANAzx . Jeżeli do całkowania energii odkształ-cenia od ścinania, W(εzx), zastosuje się 3-punktowy schemat całkowania Gaussa,bazujący na punktach, ξ = ±

√3/5 i ξ = 0, to wtedy εMES

zx jest próbko-wane w punktach, gdzie jego wartości są niepoprawne. Jest to jedna z przyczynwywołujących efekt zakleszczania.


Uwaga na temat analizy w [Huang, 1988], str.50. Jeżeli warunek (5.9) nie jest speł-niony w każdym punkcie belki, to można żądać spełnienia słabszego warunku, byenergia odkształcenia poprzecznego (5.3) była równa zeru, tzn.

∫ L0 W(εMES

zx ) dx = 0.Można zauważyć, że energia odkształcenia poprzecznego (5.3) jest funkcją kwadra-tową εMES

zx . Zakładając, że rozkład GA jest stały po x, otrzymuje się warunek,∫ L

0(εMESzx )2 dx = 0. (5.15)

Ten warunek jest dość skomplikowany, dlatego np. w [Huang, 1988], str.50, rozwa-żany jest inny całkowy warunek

∫ L

0εMESzx dx = 0. (5.16)

Jednak należy krytycznie zauważyć, że jest to tylko słaba postać równ.(5.9), lecz niejest to warunek wystarczający dla spełnienia równ.(5.15).

Inna wada analizy przeprowadzonej w cytowanej pracy to założenie, że B =0, które wyjaśnimy poniżej. Całkę (5.16) można wyrazić w zmiennej naturalnej irozważać warunek ∫ +1

−1εMESξζ dξ = 0. (5.17)

Dla 3-węzłowego elementu, εMESξζ jest funkcją kwadratową, którą można zapisać

w postaci ∫ +1

−1(Aξ2 +Bξ + C) dξ = 0, (5.18)

gdzie A,B,C to stałe. Ponieważ, całka∫+1−1 ξ dξ = 0, więc wartość B może być

dowolna, ale tylko przy obliczaniu powyższej całki. Wtedy wyrażenie podcałkowejest postaci Aξ2 + C, i po scałkowaniu otrzymuje się A = −3C. Jednak niemożna zakładać dowolności B w równaniu Aξ2 + Bξ + C = 0, co w cytowanejpracy uczyniono, by otrzymać ξ = ±1/

√3.

5.1.2 Zakleszczanie membranowe elementu belkowego

Odkształcenie membranowe dla zakrzywionej belki. Odkształcenie błonoweprostej (niezakrzywionej) belki może zostać wyrażone za pomocą klasycznej formułyMarguerre’a [Marguerre, 1939],

εxx = u,x +12w2,x. (5.19)

Zakrzywienie belki można uwzględnić w uproszczony sposób wprowadzając wstęp-ne przemieszczenia belki, u0 i w0, odmierzane od postaci niezdeformowaneji niezakrzywionej. Wtedy przemieszczenie całkowite jest wyrażone w następującysposób:

u = u0 + u, w = w0 + w, (5.20)


i ze wzoru (5.19), otrzymuje się

εxx = u0,x + u,x +12w2

0,x + w0,xw,x +12w2,x. (5.21)

Zakładamy, że zakrzywienie nie wywołuje wstępnego odkształcenia, tzn. ε0xx =

u0,x + 12w

20,x = 0, i pomijamy człon wyższego rzędu, 1

2w2,x. Wtedy odkształce-

nie membranowe ma postać,

εxx = u,x + w0,xw,x. (5.22)

Analogiczną postać można otrzymać dla teorii powłok małowyniosłych Donnella-Musztariego-Własowa [Donnell, 1934].

Powyższa postać εxx zostanie poniżej wykorzystana do określenia punktów, wktórych odkształcenie membranowe jest prawidłowe. W ogólnym przypadku, aprok-symowany rozkład odkształcenia membranowego εMES

xx wzdłuż elementu powinienbyć jak najbardziej zbliżony do rozkładu obliczonego analitycznie, εANAxx , co pro-wadzi do warunku

εMESxx − εANAxx = 0. (5.23)

Poniżej, rozważymy ten warunek dla εANAxx = 0 wzdłuż osi belki.

Czyste zginanie zakrzywionego elementu 3-węzłowego. Poniżej rozważanyjest 3-węzłowy zakrzywiony element belkowy obciążony symetrycznie momentem,pokazany na Rys.5.8. Analiza tego elementu przeprowadzona jest podobnie jak w[Huang, 1988], str.84-7, usunięto jednak kilka błędów utrudniających jej zrozumieniei wyraźnie zdefiniowano założenia.

MM

X

z

w0

R

R

Rysunek 5.8: Zginanie zakrzywionego elementu 3-węzłowego o długości L.

W analizie tego elementu, wykorzystuje się następujące warunki dla węzłów ele-mentu:


1. wstępne ugięcie (zakrzywienie),

w01 = −h, w02 = −h, w03 = 0, (5.24)

2. przemieszczenie pionowe

w1 = w2, w3 = 0, (5.25)

3. przemieszczenie poziome

u1 = −u2, u3 = 0, (5.26)

gdzie h oznacza wysokość łuku. (W niniejszej pracy h oznacza grubość powłokibądź belki; tutaj uczyniono wyjątek w celu zachowanie zgodności z notacją użytą wpracy [Huang, 1988].)

Dla powyższych warunków otrzymuje się,

w0(ξ) =3∑

I=1

NI(ξ)w0I = −hξ2, w0,x = −2ξh/c, (5.27)

w(ξ) =3∑

I=1

NI(ξ)wI = w2ξ2, w,x = 2ξw2/c, (5.28)

u(ξ) =3∑

I=1

NI(ξ) uI = u2ξ, u,x = u2/c, (5.29)

gdzie współrzędną x węzła 2 oznaczono jako c = x2, i wykorzystano następująceprzybliżenie równ.(5.6)

( · ),x =( 2L

)( · ),ξ ≈ 1

c( · ),ξ, (5.30)

które jest dopuszczalne tylko dla belek małowyniosłych. Wprowadzając powyższerelacje do równ.(5.22) otrzymuje się

εMESxx =

u2c− 4hw2ξ2

c2. (5.31)

Ponieważ, dla przypadku czystego zginania belki dwoma momentami, wartość anali-tyczna odkształcenia membranowego jest równa zeru, tzn. εANAxx = 0, więc warunek(5.23) przyjmuje postać

u2c− 4hw2ξ2 = 0. (5.32)

Z tego równania wylicza się

ξ = ±12

√− ch

u2

w2. (5.33)


Powyższe wyrażenie można uprościć zakładając, że:

1. deformacja przekształca łuk kołowy o promieniu R, kącie środkowym θi wysokości h, w łuk kołowy o promieniu R′, kącie środkowym θ′ iwysokości h′,

2. θ′ ≈ θ + ∆θ, gdzie przyrost kąta ∆θ jest mały,

3. długość belki L w przybliżeniu nie ulega zmianie,

L = Rθ ≈ R′θ′, → R′ ≈ Rθ′/θ. (5.34)

Relacje te wykorzystuje się obliczając przemieszczenia węzła 2,

u2 = R′ sin θ′ −R sin θ, w2 = R′(1− cos θ′)−R(1− cos θ), (5.35)

i ich rozwinięcie liniowe względem ∆θ,

u2 ≈ ∆θR(cos θ − sin θ/θ), w2 ≈ ∆θR[sin θ − (1− cos θ)/θ] (5.36)

Tak więc,u2

w2=

θ cos θ − sin θcos θ + θ sin θ − 1

, (5.37)

a ponadto,c

h=

R sin θR(1− cos θ)

=sin θ

(1− cos θ). (5.38)

W efekcie, równ.(5.33) przyjmuje postać

ξ(θ) = ±12

√√√√− sin θ(1− cos θ)

(θ cos θ − sin θ)(cos θ + θ sin θ − 1)

, (5.39)

która zależy tylko od kąta θ. Wykres funkcji ξ(θ) pokazano na Rys.5.9. Wprzypadku granicznym belki prostej (niezakrzywionej), tzn. gdy θ → 0, otrzymujesię

limθ→0

ξ(θ) = ± 1√3. (5.40)

Rozkład odkształcenia błonowego wzdłuż osi elementu pokazuje Rys.5.10. Obli-czenia wykonano dla: θ = 1o, L = 6, b = 0.2, M = 1, h = 1/10, E = 107, ν = 0.3.Widać, że poprawną wartość odkształcenia membranowego εxx otrzymuje się tylkow dwóch punktach: ξA = − 1√

3i ξB = + 1√

3.


0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5kat @radD

0.525

0.55

0.575

0.6

0.625

0.65

0.675

Ξ

Rysunek 5.9: Wykres ξ(θ) dla czystego zginania zakrzywionego elementu 3-węzłowego. Linia pozioma to ξ = 1/

√3.

x

x= x=

exx

Rysunek 5.10: Rozkład odkształcenia błonowego dla zakrzywionego elementu 3-węzłowego.


5.1.3 Techniki eliminujące zakleszczanie w elementach bel-kowych

W podrozdziałach 5.1.1 i 5.1.2 zilustrowano efekty zakleszczania w 3-węzłowych ele-mentach belkowych i określono współrzędne dwóch punktów, w których odkształce-nia ścinające i membranowe mają prawidłowe wartości. Aby uniknąć efektu zaklesz-czania, zarówno membranowego jak i od ścinania poprzecznego, można zastosowaćdwa sposoby postępowania:

• całkować numeryczne tak, aby punkty Gaussa pokrywały się z punktami ξ =± 1√

3, co odpowiada zredukowanemu 2-punktowemu całkowaniu,

• aproksymować odkształcenie nowymi funkcjami, dobranymi z wykorzystaniemwartości w punktach ξ = ± 1√

3i stosować standardowe 3-punktowe całkowa-

nie.

Oba sposoby pokazano schematycznie na Rys.5.11, dla przypadku gdy analityczneodkształcenie (ścinające poprzeczne lub błonowe) jest równe zeru. Należy zwrócićuwagę, że powyższe sposoby nie są równoważne, co wynika z faktu, że energia jestkwadratową funkcją odkształcenia, patrz (5.3).

e

x

e

x

e

x

x=

»

rozwi¹zania:

OOOO

OO

O - punkty , dlaktórych odkszta³ceniejest poprawne

±

- punkty Gaussa

liniowa aproksymacja odkszta³cenia zredukowane ca³kowanie

Problem:

Odkszta³cenie powinnobyæ zerowe, a jestfunkcj¹ kwadratow¹

Rysunek 5.11: Eliminacja efektu zakleszczania dla 3-węzłowego elementu belkowego.


5.1.4 Zakleszczanie elementu powłokowego 9-węzłowego

Odkształcenia ścinające poprzeczne powłoki. Postaci aproksymowanego od-kształcenia ścinającego poprzecznego dla 9-węzłowego elementu powłokowego sąanalogiczne do równania (5.7) dla belki, więc mogą wywoływać zakleszczanie te-go elementu.

Z tego względu, postępowanie dla poszczególnych składowych odkształcenia ści-nającego poprzecznego powinno odpowiadać temu dla belki 3-węzłowej.

Odkształcenia membranowe zakrzywionej powłoki. Rozważamy zakrzywio-ną lecz małowyniosłą powłokę. Dla najprostszego wariantu teorii powłok Marguer-re’a [Marguerre, 1939] lub Donnella-Musztariego-Własowa [Donnell, 1934], składo-we tensora odkształcenia membranowego są następujące

εxx = u,x +12w2,x, εyy = v,y +

12w2,y, 2εxy = u,x + v,y + w,xw,y. (5.41)

Składowe εxx i εyy są analogiczne do równ.(5.19) dla zakrzywionych belek, dla-tego można postąpić analogicznie, uwzględniając zakrzywienie powłoki za pomocąwstępnych przemieszczeń, u0, v0 i w0, odmierzanych od postaci niezakrzywionejw następujący sposób:

u = u0 + u, v = v0 + v, w = w0 + w. (5.42)

Zakładając, że nie ma wstępnych odkształceń wywołanych przez zakrzywienie, tzn.ε0xx = u0,x + 1

2w20,x = 0 i ε0

yy = v0,x + 12w

20,y = 0, oraz pomijając człony wyższego

rzędu, 12w

2,x i 1

2w2,y, otrzymuje się

εxx = u,x + w0,xw,x, εyy = v,y + w0,yw,y. (5.43)

Te postaci odkształcenia są analogiczne do równ.(5.22) dla zakrzywionej belki,więc mogą wywoływać zakleszczanie elementu 9-węzłowego bazującego na funkcjachkształtu (4.3).

Z tego względu, postępowanie dla poszczególnych składowych odkształceniamembranowego w elemencie 9-węzłowym powinno odpowiadać temu dla belki 3-węzłowej.

Dla odkształceń ścinających w płaszczyźnie, po wprowadzeniu (5.42), otrzymujesię

2εxy = u0,x + u,x + v0,y + v,y + (w0,x + w,x)(w0,y + w,y), (5.44)

gdzie

(w0,x + w,x)(w0,y + w,y) = w0,xw0,y + w0,xw,y + w,xw0,y + w,xw,y.

5.2. DWUSTOPNIOWA APROKSYMACJA ODKSZTAŁCEŃ 64

Zakładając, że nie ma wstępnego odkształcenia wywołanego przez zakrzywienie,tzn. 2ε0

xy = u0,x + u0,y + w0,xw0,y = 0 i pomijając człon wyższego rzędu, w,xw,y,otrzymuje się

2εxy = u,x + v,y + w0,xw,y + w,xw0,y. (5.45)

Postawić można pytanie czy ta składowa odkształcenia może wywoływać zaklesz-czanie membranowe. Trudno znaleźć odpowiedź na to pytanie w sposób analityczny,jednak testy numeryczne wykazują, że gdy postępujemy tak jak w przypadku odpo-wiedzi twierdzącej, to wpływa to bardzo korzystnie na dokładność elementu.

5.2 Dwustopniowa aproksymacja odkształceń

Jednym ze sposobów eliminacji zakleszczania w elementach powłokowych jest dwu-stopniowa aproksymacja odkształceń, nazywana również metodą założonych od-kształceń (ang. Assumed Strain (AS) method).

Pierwszy stopień to aproksymacja odkształceń dla przemieszczeń i rotacji wy-rażonych za pomocą funkcji kształtu, natomiast drugi stopień to aproksymacja od-kształceń na podstawie ich wartości obliczonych w wybranych punktach.

Położenie punktów próbkowania dobiera się tak, by uzyskać pożądane wartościodkształcenia dla pewnych stanów deformacji, tzn. spełnić warunki

εMESξζ − εANAξζ = 0, εMES

ηζ − εANAηζ = 0, (5.46)

analogicznie jak dla elementu belkowego 3-węzłowego w Rozdz.5.1.1 i 5.1.2.

Element 4-węzłowy. Metoda ta została po raz pierwszy zastosowana do elimi-nacji zakleszczania od ścinania poprzecznego w elemencie płytowym 4-węzłowym,a następnie, była stopniowo rozwijana w szeregu prac, m.in. [MacNeal, 1978],[Hughes, Tezduyar, 1981], [MacNeal, 1982], a jej obecnie najczęściej wykorzystywa-na wersja przedstawiona została w pracy [Dvorkin, Bathe, 1984]. Odkształcenia ści-nające poprzeczne są w tej metodzie modyfikowane (próbkowane i aproksymowane)w naturalnym układzie współrzędnych, stąd nazwa metoda ANS (ang. AssumedNatural Strain method). Dopiero później opracowano tę metodę dla elementów 9-węzłowych, płytowych i powłokowych.

Metoda ANS polega na tym, że najpierw obliczane są wartości odkształceń wokreślonych punktach, nazywanych punktami próbkowania (ang. sampling points),odpowiednio rozmieszczonych w elemencie. Następnie, konstruuje się funkcję aprok-symującą odkształcenia wykorzystując te wartości. Wartości pierwotnego pola od-kształceń są w tych punktach równe wartościom nowego pola odkształceń poprzecz-nych.

Oznaczmy punkty próbkowania przez i = 1, ..., n, gdzie n to liczba punktów,wartości współrzędnych naturalnych przez (ξi, ηi), a wartości odkształcenia w


1

D

A

0

B

C

2

34

- punkty próbkowania

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

exz ehz

Rysunek 5.12: Punkty próbkowania i nowy rozkład odkształceń dla elementu 4-węzłowego.

tych punktach przez εiξζ = εξζ(ξi, ηi). Wykorzystując wartości odkształcenia wpunktach próbkowania, pole odkształceń można aproksymować następująco:

εξζ(ξ, η) =n∑

i=1

Ri(ξ, η) εiξζ , (5.47)

gdzie Ri(ξ, η) to funkcje aproksymujące, które powinny być dobrane tak, by wpunktach próbkowania spełnione były warunki

εξζ(ξi, ηi) = εiξζ , i = 1, ..., n, (5.48)

gdzie n to liczba punktów próbkowania. Dla składowej εηζ postępowanie jestanalogiczne.

W celu wyznaczenia położenia punktów próbkowania dla elementu powłokowego4-węzłowego, przeprowadza się, w sposób analogiczny jak dla elementu belkowego3-węzłowego w Rozdz.5.1.1 i 5.1.2, analizę dla elementu belkowego 2-węzłowego.Położenie punktów próbkowania pokazano na Rys.5.12. Np. dla odkształcenia ści-nającego poprzecznego εξζ wykorzystywane są 2 punkty, A i C, na linii ξ = 0.W efekcie odkształcenie to aproksymowane jest następująco

εξζ(η) = RA(η) εAξζ + RC(η) εCξζ , (5.49)

gdzie RA(η) .= 12(1 − η) i RC(η) .= 1

2(1 + η) to funkcje liniowe w kierunku η.Można zauważyć, że aproksymacja tej składowej odkształcenia jest stała po ξ.

Element 9-węzłowy. Metodę ANS dla 9-węzłowego elementu powłokowegowyprowadza się wykorzystując rezultaty dla elementu belkowego 3-węzłowegoz Rozdz.5.1.1 i 5.1.2, w sposób analogiczny jak dla elementu 4-węzłowego,


jednak inna jest ilość i położenie punktów próbkowania oraz postaci funkcjiaproksymujących. Rozwinięcie metody dwustopniowej aproksymacji odkształceńdla elementów 9-węzłowych, płytowych i powłokowych, przedstawiono w pracy[Huang, Hinton, 1984].

Dla odkształcenia ścinającego poprzecznego wyrażonego formułą

2εxz = (2/Lξ)w′ξ + φη, (5.50)

aproksymacje członów φη i w′ξ, dla standardowych funkcji kształtu dla elementu9-węzłowego, są następujące:

φη = φη(1, ξ, η, ξη, ξ2, ξ2η, η2, ξη2, ξ2η2), w′ξ = w′ξ(1, ξ, η, ξη, η2, ξη2). (5.51)

Zakłada się, że nowe pole odkształceń opisane jest analogicznym wielomianem jakw′ξ, tzn.

εξζ = εξζ(1, ξ, η, ξη, η2, ξη2), (5.52)

który jest liniowy po ξ i kwadratowy po η. Potrzeba 6 punktów próbkowaniado jednoznacznego określenia współczynników dla tych członów, i jeżeli np. punktyte umieszczone zostaną tak jak pokazano na Rys.5.13, to otrzymamy następującefunkcje aproksymujące

RA(ξ, η) = 14(1− ξ

a)(η2 − η), RB(ξ, η) = 1

4(1 + ξa)(η2 − η),

RC(ξ, η) = 14(1 + ξ

a)(η2 + η), RD(ξ, η) = 1

4(1− ξa)(η2 + η),

RE(ξ, η) = 12(1 + ξ

a)(1− η2), RF (ξ, η) = 1

2(1− ξa)(1− η2),

(5.53)

gdzie a = 1/√

3. Aproksymowane odkształcenie ścinające poprzeczne dla kierunkuξ ma postać

εξζ(ξ, η) = RAεAξζ +RBε

Bξζ +RCε

Cξζ +RDε

Dξζ +REε

Eξζ +RF ε

Fξζ . (5.54)

Wykres RA(ξ, η) pokazano na Rys.5.13. Aproksymowane odkształcenie poprzecz-

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

1

D

E F

A B

C

2

6

7

8 9

5

34

a a

- punkty próbkowania

RA

Rysunek 5.13: Punkty próbkowania i wykres funkcji aproksymującej RA(ξ, η).


ne εηζ dla kierunku η ma analogiczną formę jak εξζ ; wystarczy w formule (5.54)zamienić współrzędne, ξ → η oraz η → ξ.

Powyższe przykłady dwustopniowej aproksymacji odkształceń przedstawiono wpracach [Dvorkin, Bathe, 1984] i [Huang, Hinton, 1984]. Dotyczą one tylko odkształ-ceń ścinających poprzecznych i aproksymacja odkształceń dokonywana jest w na-turalnym układzie współrzędnych. Są to jedne z pierwszych prac dotyczących dwu-stopniowych aproksymacji; później metoda została użyta do modyfikacji odkształceńbłonowych, zastosowano interpolacje w lokalnym układzie kartezjańskim, a takżetestowano różne punkty próbkowania. Przegląd podstawowych wariantów przedsta-wiony został w następnym rozdziale.

5.2.1 Warianty dwustopniowych aproksymacji odkształceń

Poniżej omówiono warianty dwustopniowych aproksymacji odkształceń dla elemen-tów powłokowych 9-węzłowych.

D

D

D

E

E

F

F

AA

AB

B

B

C

C

Ca

a

ab

ba

b

ba

a

a

a

a) b) c)

Rysunek 5.14: Położenie punktów próbkowania.Zredukowana liczba punktów: a) w kierunku ξ, b) w kierunku η, c) w dwóch kierunkach.

Używając dwustopniowych aproksymacji zawsze zakłada się położenie punktówpróbkowania i wyznacza postaci funkcji aproksymujących. Jednak w metodzie tejjest pewna dowolność, dlatego opracowano różne jej warianty. Na Rys.5.14 pokazanotrzy zestawy punktów próbkowania, które są najczęściej stosowane. Są one powią-zane z funkcjami interpolującymi w sposób zdefiniowany poniżej. (Dla wszystkichprzedstawionych formuł a = 1/

√3.)

1. Dla składowych odkształcenia εαα i ε3α, (α = 1, 2) stosuje się punkty prób-kowania pokazane na Rys.5.14 a) i b) oraz używa się zestawu funkcji interpo-lujących zaproponowanych w [Huang, Hinton, 1984], [Huang, Hinton, 1986],


- dla zredukowanej liczby punktów w kierunku ξ, Rys.5.14 a),

RA(ξ, η) = 14(1− ξ

a)[(ηb)2 − η

b

], RB(ξ, η) = 1

4(1 + ξa)[(ηb)2 − η

b

],

RC(ξ, η) = 14(1 + ξ

a)[(ηb)2 + η

b

], RD(ξ, η) = 1

4(1− ξa)[(ηb)2 + η

b

],

RE(ξ, η) = 12(1 + ξ

a)[1− (η

b)2], RF (ξ, η) = 1

2(1− ξa)[1− (η

b)2].

(5.55)

Zestaw ten stosowany jest do odkształceń ε11 i ε31.

- dla zredukowanej liczby punktów w kierunku η, Rys.5.14 b),

RA(ξ, η) = 14(1− η

a)[( ξb)2 − ξ

b

], RB(ξ, η) = 1

4(1 + ηa)[( ξb)2 − ξ

b

],

RC(ξ, η) = 14(1 + η

a)[( ξb)2 + ξ

b

], RD(ξ, η) = 1

4(1− ηa)[( ξb)2 + ξ

b

],

RE(ξ, η) = 12(1 + η

a)[1− ( ξ

b)2], RF (ξ, η) = 1

2(1− ηa)[1− ( ξ

b)2].

(5.56)

Zestaw ten stosowany jest do odkształceń ε22 i ε32.

Dla kierunków w których liczba punktów nie jest redukowana, mogą one zostaćumiejscowione na dwa sposoby: na krawędzi elementu dla b = 1 lub wśrodku dla b =

√3/5, patrz [Huang, Hinton, 1986]. Odpowiednia wartość

b powinna zostać użyta także w funkcjach interpolujących dla tego punktu.

W cytowanej pracy autorzy preferują położenie punktów na krawędzi, ponie-waż: (i) zapewnia to ciągłość odkształceń ścinających pomiędzy sąsiadujący-mi elementami, (str.53), oraz (ii) jest spełniony tzw. ’patch test’ na ścinanie,patrz uwaga na str.90 i test na str.59. Druga wartość (b =

√3/5) używana

jest w pracy [Bucalem, Bathe, 1993], a także w niniejszej pracy, z uwagi nato, że wtedy jedna ze współrzędnych naturalnych dla tych punktów jest takasama jak dla punktów całkowania Gaussa.

2. Dla odkształcenia ścinającego ε12 stosowane są trzy różne podejścia:

(a) W [Park, Stanley, 1986] oraz [Huang, Hinton, 1986] zastosowano 6-punktowy schemat aproksymacji zgodny z (5.55) i (5.56) stosowany jestdo poszczególnych części ε12.

(b) W [Jang, Pinsky, 1987] także bazuje się na punktach próbkowania poka-zanych na Rys.5.14 a) i b), lecz używa inne funkcje aproksymujące:- dla zredukowanej liczby punktów w kierunku ξ, Rys.5.14 a),

RA(ξ, η) = 12(1− ξ

a)(1

6 − η2), RB(ξ, η) = 1

2(1 + ξa)(1

6 − η2),

RC(ξ, η) = 12(1 + ξ

a)(1

6 + η2), RD(ξ, η) = 1

2(1− ξa)(1

6 + η2),

RE(ξ, η) = 12(1 + ξ

a)2

3 , RF (ξ, η) = 12(1− ξ

a)2

3 .(5.57)

Zestaw ten stosowany jest do odkształceń εξ12.


- dla zredukowanej liczby punktów w kierunku η, Rys.5.14 b),

RA(ξ, η) = 12(1− η

a)(1

6 − ξ2), RB(ξ, η) = 1

2(1 + ηa)(1

6 − ξ2),

RC(ξ, η) = 12(1 + η

a)(1

6 + ξ2), RD(ξ, η) = 1

2(1− ηa)(1

6 + ξ2),

RE(ξ, η) = 12(1 + η

a)2

3 , RF (ξ, η) = 12(1− η

a)2

3 .(5.58)

Zestaw ten stosowany jest do odkształceń εη12.

(c) W [Bucalem, Bathe, 1993] stosuje się zredukowaną liczbę punktów prób-kowania w obu kierunkach, patrz Rys.5.14 c), i używane są następującefunkcje aproksymujące:

RA(ξ, η) = 14(1− ξ

a)(1− η

a), RB(ξ, η) = 1

4(1 + ξa)(1− η

a),

RC(ξ, η) = 14(1 + ξ

a)(1 + η

a), RD(ξ, η) = 1

4(1− ξa)(1 + η

a).

(5.59)

Użycie czterech punktów próbkowania jest wygodniejsze w przypadkuodkształceń nieliniowych.

Dla wszystkich powyższych schematów, składowa tensora odkształcenia ε, doktórej stosuje się dwustopniową aproksymację, jest wyrażona w następujący sposób:

ε(ξ, η) =∑

i

Ri(ξ, η) εi, (5.60)

gdzie i = A,B,C,D,E, F dla schematów z 6 punktami próbkowania, oraz i =A,B,C,D dla schematów z 4 punktami próbkowania, zgodnie z Rys.5.14.

5.2.2 Element powłokowy 9-AS

Dwustopniowe schematy pokazane na Rys.5.14a i b wykorzystują łącznie 12 punktówpróbkowania, co oznacza znaczny wzrost liczby dodatkowych obliczeń, w porów-naniu ze standardowym sformułowaniem elementu 9-węzłowego. Dlatego w pracy[Panasz, Wisniewski, 2007] zaproponowano modyfikację tego schematu. Jeżeli roz-waży się próbkowanie i całkowanie numeryczne jako elementy ze sobą związanepoprzez wartość b =

√3/5, to można uprościć całą procedurę dwustopniowej

aproksymacji, co zostało przedstawione poniżej.

Składowe tensora odkształcenia Greena w bazie lokalnej {tk} w środku elemen-tu otrzymujemy przez transformację składowych tego tensora w bazie odniesienia{ik}, patrz wzór (2.36).

Rozważmy odkształcenie ścinające poprzeczne ε13, które próbkujemy w zredu-kowanej liczbie punktów w kierunku ξ, patrz Rys.5.15a, i aproksymujemy za pomo-cą funkcji (5.55). Na Rys.5.15a zaznaczono także punkty całkowania dla schematucałkowania 3× 3 Gaussa.


a aa a

b b

b b

X XX XX X

X X

X

X XX X

X XX XX X

L1,L2

L1 L2- punkty próbkowania

- linie próbkowania- punkty Gaussa

Rysunek 5.15: Położenie: a) punktów próbkowania, b) linii próbkowania.

Widzimy, że gdy b =√

3/5, wtedy punkty próbkowania i punkty całkowaniależą na tych samych trzech liniach: η = −b, η = 0 i η = +b. Dlatego punktycałkowania próbkują odkształcenie ε13 dla właściwych wartości współrzędnej η,i nie ma potrzeby modyfikacji tego odkształcenia w kierunku η.

W konsekwencji, wystarczające jest zastosowanie dwustopniowej aproksymacjitylko w kierunku ξ. W ten sposób, zamiast 6-punktowej formuły z równania(5.60), można użyć znacznie prostszej, liniowej aproksymacji tylko w kierunku ξ,

εξ(ξ, η) =12

(1− ξ

a

)ε|ξ=−a +

12

(1 +

ξ

a

)ε|ξ=+a , (5.61)

gdzie wprowadzono oznaczenie ε.= ε13 i a = 1/

√3. Związek ten wprowadza dwie

linie próbkowania zamiast punktów próbkowania, co zostało pokazane na Rys.5.15b,gdzie linia L1 jest położona w ξ = −a, a linia L2 w ξ = a. Analogicznaformuła może zostać użyta dla odkształceń poprzecznych ε

.= ε23,

εη(ξ, η) =12

(1− η

a

)ε|η=−a +

12

(1 +

η

a

)ε|η=+a , (5.62)

ze zredukowaną liczbą punktów próbkowania w kierunku η, patrz Rys.5.14b irówn.(5.56).

Równania (5.61) i (5.62) stosuje się również dla odkształceń membranowychε11 i ε22 w bazie lokalnej {tk} w środku elementu. W stosunku do odkształceńścinających w płaszczyźnie stycznej elementu ε12 i skręcających κ12, reduk-cja stopnia wielomianu aproksymujacego następuje w dwóch kierunkach. Używa sięwtedy punkty próbkowania pokazane na Rys.5.14c razem z funkcjami aproksymu-jącymi wg równ.(5.59).


Uwaga. Zaproponowane funkcje aproksymacyjne, (5.61) i (5.62), mogą być za-stosowane tylko wtedy, gdy położenie punktów próbkowania określone jest przezb =

√3/5, tzn. leżą one na tych samych liniach co punkty Gaussa. Wykonane te-

sty, takie jak np. te omówione w Rozdz. 6.2.2 i 6.2.3 pokazują, że elementy w którychzastosowano b =

√3/5 są bardziej odporne na wstępne zniekształcenie kształtu

niż elementy w których zastosowano b = 1.

Zaproponowane formy dwustopniowych aproksymacji zostały zaimplementowanew elemencie powłokowym oznaczonym jako 9-AS i scharakteryzowanym w Tab.5.1.Do całkowania tego elementu używa się schematu 3× 3 punkty Gaussa.

Tabela 5.1: Metoda AS dla elementu powłokowego 9-AS.

Składowa odkształcenia Schemat aproksymacjiε11, ε13 równ.(5.61)ε22, ε23 równ.(5.62)ε12 równ.(5.59), Rys.5.14cκ12 równ.(5.59), Rys.5.14c

5.2.3 Porównanie metody AS i ANS dla odkształceń ścina-jących poprzecznych

Poniżej porównane zostaną dwa sposoby traktowania odkształceń ścinających po-przecznych w ramach metody dwustopniowych aproksymacji:

1. W elemencie własnym 9-AS zastosowano metodę AS do składowych odkształ-ceń ścinających poprzecznych w lokalnym ortonormalnym układzie {tk} wśrodku elementu. Składowe te są aproksymowane w każdym kierunku oddziel-nie.

2. Metoda ANS, zaproponowana w [Dvorkin, Bathe, 1984] dla elementu 4-węzłowego, może także być zastosowana w elementach 9-węzłowych.

W metodzie ANS, składowe odkształceń ścinających poprzecznych aproksy-mowane są następująco:

{ε31

ε32

}=[

t1 · g1 t2 · g1t1 · g2 t2 · g2

]−1 {εζξ

εζη

}, (5.63)

gdzie

εζξ =12∂x0

∂ξ· a3, εζη =

12∂x0

∂η· a3, (5.64)


to składowe kontrawariantne w bazie {gi}, które są aproksymowane w każ-dym kierunku oddzielnie, np. εζξ w kierunku η wg wzoru

εζξ(η) = RA(η) εζξA + RC(η) εζξC , (5.65)

który jest podobny do wzoru (5.49).

W celu porównania metody AS i ANS zaimplementowano je w elemencie 9-węzłowym i przeprowadzono przykładowe obliczenia dla cylindra z przeponami,patrz Rozdz.6.11. Jest to jeden z tych przykładów, w których silnie uwidacznia sięzakleszczanie od ścinania poprzecznego. W testowanych elementach modyfikowanowyłącznie odkształcenia ścinające poprzeczne, stąd oznaczenie elementów zawiera-jące literę (p), i sprawdzano zbieżność rozwiązania wraz z zagęszczaniem siatki.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0 2 4 6 8 10 12 14

-v x

105

liczba elem. wzdluz jednego boku

ref.9

9-ANS(p)9-AS(p)

Rysunek 5.16: Cylinder z przeponami. Zbieżność elementów: 9, 9-ANS(p), 9-AS(p).

Wyniki obliczeń numerycznych pokazano na Rys.5.16. Widać, że elementy 9-ANS(p) oraz 9-AS(p) dają dokładniejsze rezultaty niż standardowy element 9. Sto-sując do odkształceń ścinających poprzecznych metodę ANS uzyskuje się trochęlepszą zbieżność dla rzadkiej siatki niż dla metody AS, ale różnica ta maleje wraz zzagęszczaniem siatki. Charakterystycznym efektem jest brak monotoniczności roz-wiązania dla elementu 9-ANS(p), co uwidacznia się dla 4, 5 lub 6 elementów wzdłużjednej krawędzi.

Należy zauważyć, że w rozwiązaniach pokazanych na Rys.5.16 widoczne jest za-kleszczanie membranowe, które nie było eliminowane w testowych elementach 9-ANS(p) oraz 9-AS(p). Dla obu testowych elementów zbieżność jest relatywnie wol-na, ale i tak szybsza niż dla elementu 9.

5.3. DWUSTOPNIOWA APROKSYMACJA GRADIENTUPRZEMIESZCZENIA 73

5.3 Dwustopniowa aproksymacja gradientu prze-mieszczenia

Jednym ze sposobów eliminacji zakleszczania w elementach powłokowych jest dwu-stopniowa aproksymacja zastosowana do gradientu przemieszczenia ∇u. Ozna-czamy tę metodę jako metodę ADG (ang. Assumed Displacement Gradient (ADG)method). W metodzie tej próbkowane i aproksymowane są składowe ∇u w lokalnejkartezjańskiej bazie {tk} w środku elementu.

Wektor przemieszczenia punktu powłoki wyrażony jest następująco

u(ζ) .= x(ζ)− y(ζ) = u0 + ζ(a3 − t3), (5.66)

a gradient przemieszczenia w lokalnej bazie {tk} w środku elementu (patrzrówn.(2.30)) może zostać rozdzielony na część stałą oraz liniową po ζ,

G(ζ) = G0 + ζ G1, (5.67)

gdzie G0.= RT

0c ∇u0 R0c i G1.= RT

0c ∇(a3 − t3) R0c.

Niech g oznacza odpowiednią składową G0 lub G1. Dwustopniową aprok-symację stosuje się w analogiczny sposób jak dla odkształceń, tzn.

gξ(ξ, η) =12

(1− ξ

a

)g|ξ=−a +

12

(1 +

ξ

a

)g|ξ=+a , (5.68)

lubgη(ξ, η) =

12

(1− η

a

)g|η=−a +

12

(1 +

η

a

)g|η=+a , (5.69)

w zależności od składowej. Powyższe wzory są analogiczne do równań (5.61) i (5.62)dla odkształceń.

5.3.1 Element powłokowy 9-ADG

Zaproponowana forma dwustopniowych aproksymacji gradientu przemieszczenia zo-stała zaimplementowana w elemencie powłokowym oznaczonym jako 9-ADG i scha-rakteryzowanym w Tab. 5.2. Do całkowania tego elementu używa się 3 × 3 punktyGaussa.

Uwaga. Warto zauważyć, że powyższa modyfikacja gradientu przemieszczeniawpływa również na rotacyjne równanie więzów, skew(QT

0 F0) = 0, które zależyod F0 = I + G0, i na odpowiadający mu funkcjonał Fdrill, równ.(3.2). Zuwagi na to, że ∇u jest niesymetryczny, metoda ADG musi być zastosowanado większej liczby składowych niż metoda AS, która jest stosowana do składowychsymetrycznego tensora odkształcenia.

5.4. SELEKTYWNE ZREDUKOWANE CAŁKOWANIE 74

Tabela 5.2: Metoda ADG dla elementu powłokowego 9-ADG.

Część Składowa Schemat aproksymacjiG0 11, 13, 31 równ.(5.68)

22, 23, 32 równ.(5.69)12, 21 równ.(5.59), Rys.5.14c

G1 12, 21 równ.(5.59), Rys.5.14c

5.4 Selektywne zredukowane całkowanie

Jednym ze sposobów eliminacji zakleszczania w elementach powłokowych jest me-toda selektywnego zredukowanego całkowania (ang. Selective Reduced Integration(SRI)), zaproponowana w pracy [Hughes, Cohen, Haroun, 1978].

Metoda SRI opracowana w niniejszej rozprawie wykorzystuje punkty Gaussa po-krywające się z punktami w których odkształcenia są dokładne. Rzędy całkowaniaposzczególnych członów energii w metodzie SRI są tak dobierane, by nie była po-trzebna dodatkowa stabilizacja, co odróżnia ją od metody jednolicie zredukowanegocałkowania (ang. Uniformly Reduced Integration (URI)). Zaletą metody SRI jestto, że wzrasta szybkość obliczeń dzięki eliminacji dwustopniowych aproksymacji izmniejszeniu liczby punktów Gaussa.

5.4.1 Element powłokowy 9-SRI

W tym rozdziale omówiono sformułowanie elementu powłokowego 9-węzłowego ba-zującego na metodzie selektywnego zredukowanego całkowania (SRI).

Zakłada się, że własności materiału powłoki są symetryczne względem powierzch-ni środkowej po grubości powłoki. Założenie to obejmuje także najbardziej istotnydla zastosowań przypadek gdy własności materiałowe są stałe po grubości powłoki.

Dla tego założenia, energia odkształcenia powłoki, po scałkowaniu po grubościelementu, dekomponuje się na sumę dwóch części

Wsh =W0 +W1, (5.70)

gdzie W0 i W1 są zdefiniowane w równaniu (2.45) i uwzględniają odkształce-nia normalne (2.58), obliczone z warunków zerowych sił i momentów normalnych.Dzięki temu można stosować różne schematy całkowania dla poszczególnych czę-ści energii odkształcenia powłoki. Powyższe części są sumą następujących członówzwiązanych z odkształceniami

W0 =W0(ε211, ε

222, ε11ε22, ε

212, ε

231, ε

232), (5.71)

W1 =W1(κ211, κ

222, κ11κ22, κ

212), (5.72)


gdzieW0(ε2

11) = hc1ε211, W1(κ2

11) = h3

12c1κ211,

W0(ε222) = hc1ε

222, W1(κ2

22) = h3

12c1κ222,

W0(ε11ε22) = hc2ε11ε22, W1(κ11κ22) = h3

12c2κ11κ22,

W0(ε212) = hc3ε

212, W1(κ2

12) = h3

12c3κ212,

W0(ε231) = 5

6hc3ε231, W1(κ2

31) = 0,

W0(ε232) = 5

6hc3ε232, W1(κ2

32) = 0,

(5.73)

a współczynniki konstytutywne: c1.= 2G(λ+G)

λ+2G , c2.= 2Gλλ+2G i c3 = 2G.

Druga pochodna zdyskretyzowanej energii potencjalnej względem wektorazmiennych w węzłach elementu, prowadzi do następujących macierzy sztywności

K0 = K(ε211) + K(ε2

22) + K(ε11ε22) + K(ε212) + K(ε2

31) + K(ε232), (5.74)

K1 = K(κ211) + K(κ2

22) + K(κ11κ22) + K(κ212). (5.75)

Dodatkowo otrzymuje się macierz Kdrill(C2d), wynikającą z równania (3.2). Dla

każdej z tych macierzy traktowanej z osobna, może zostać dobrany odpowiedni sche-mat całkowania Gaussa.

Punkty całkowania w schematach 2× 3-punkty, 3× 2-punkty i 2× 2-punkty sązgodne z punktami próbkowania zaznaczonymi na Rys.5.14. Wagi przy całkowaniumożna obliczyć na podstawie Tabeli 4.1.

Uwaga. W pracy [Huang, Hinton, 1986], zredukowane całkowanie zostało zastoso-wane tylko do składników energii odkształcenia odpowiedzialnych za zakleszczanie,lecz, jak wykazały testy własne, można zastosować zredukowane całkowanie takżedo innych komponentów. W ogólności, metoda SRI nie może być traktowana jakocałkowicie równoważna technice AS.

Metoda SRI zwiększa dokładność elementu poprzez likwidację zakleszczania orazzwiększa szybkość obliczeń dzięki zmniejszeniu liczby punktów Gaussa. Należy jed-nak postępować ostrożnie, bowiem nadmierna redukcja rzędu całkowania prowadzido dodatkowych niepożądanych zerowych wartości własnych macierzy sztywności.W elemencie powłokowym powinno być nie więcej niż 6 zerowych wartości własnych,związanych z ruchem sztywnym elementu. Każda dodatkowa wartość zerowa może,chociaż nie musi, spowodować pojawienie się mechanizmów, i zmniejszyć stabilnośćelementu.

Różne schematy całkowania sprawdzono wykorzystując test na wartości własneopisany w Rozdz.6.1 . Testowano kilka elementów z selektywnym zredukowanym


całkowaniem, w celu sprawdzenia wpływu zredukowanego całkowania różnych kom-ponentów sztywności na liczbę zerowych wartości własnych. Rezultaty podano wTab.5.3. Można zauważyć, że

1. Element 9-URI to element poddany jednolicie zredukowanemu całkowaniu,który wymaga stabilizacji ponieważ ma 12 dodatkowych zerowych wartościwłasnych.

2. Porównując elementy 9-SRI(1) i 9-URI widzimy, że zredukowane 2×2-punktycałkowanie C2

d , czyli członu dla rotacji normalnej, wprowadza 5 dodatkowychzerowych wartości własnych.

3. Elementy 9-SRI(2) i 9-SRI(3) można uznać za klasyczne elemen-ty SRI, w których jednolicie podcałkowana jest sztywność związa-na ze ścinaniem poprzecznym i ewentualnie sztywność membrano-wa, patrz [Parish, 1979], [Huang, 1988], [Belytschko, Wong, Stolarski, 1989],[Kreja, Shmidt, Reddy, 1997]. Elementy te wymagają dodatkowej stabilizacji.

4. Element który ostatecznie wyselekcjonowano, oznaczony jako 9-SRI, nie wyma-ga stabilizacji. W Tabeli 5.4 podano schematy całkowania odpowiednich częścimacierzy sztywności dla tego elementu. Zredukowane 2×2-punkty całkowaniezostało zastosowane do kilku członów energii i nie powoduje to pojawienia siędodatkowych zerowych wartości własnych macierzy sztywności elementu.

Tabela 5.3: Liczba zerowych wartości własnych dla różnych schematów całkowania.

Element Schemat całkowania komponentu macierzy sztywności dla Liczba zerowychε2

31, ε232 ε2

11, ε222, ε11ε22, ε

212 κ2

11, κ222, κ11κ22, κ

212 C2

d wartości własnych9 3× 3 3× 3 3× 3 3× 3 6+09-URI 2× 2 2× 2 2× 2 2× 2 6+129-SRI(1) 2× 2 2× 2 2× 2 3× 3 6+79-SRI(2) 2× 2 2× 2 3× 3 3× 3 6+49-SRI(3) 2× 2 3× 3 3× 3 3× 3 6+19-SRI jak w Tab.5.4 6+0

Tabela 5.4: Schemat selektywnego całkowania elementu powłokowego 9-SRI.

Reguła całowania Komponent macierzy K dla3× 3 κ2

11, κ222, κ11κ22, C

2d

2× 3 ε211, ε

231

3× 2 ε222, ε

232

2× 2 ε212, ε11ε22, κ2

12

Rozdział 6

Testy numeryczne

W tym rozdziale opisane są testy numeryczne, które przeprowadzono w celu wery-fikacji własności opracowanych w rozprawie 9-węzłowych elementów powłokowych.

Cztery opracowane w rozprawie elementy powłokowe zostały scharakteryzowanew Tabeli 6.1. Elementy te są analitycznie całkowane po grubości, a całkowanie popowierzchni środkowej scharakteryzowane zostało w Tabeli 6.1, gdzie FI oznaczapełne całkowanie (3×3-punkty Gaussa). Szczegóły dotyczące całkowania omówionow Rozdz.4.2.

Tabela 6.1: Charakterystyka opracowanych elementów powłokowych.Elementy 9-węzłowe z 6 stopniami swobody w węźle.

Element Charakterystyka Całkowanie w warstwie Opisany w9 standardowy FI Rozdz.49-ADG ADG FI Rozdz.5.39-AS AS FI Rozdz.5.29-SRI SRI Tabela 5.4 Rozdz.5.4

W przypadku oceny dokładności elementów, nie są uwzględniane wyniki dla stan-dardowego elementu oznaczonego jako 9 - zostały one umieszczone jedynie w celachporównawczych.

Poza tym, w celach porównawczych używany jest 4-węzłowy element powłoko-wy, z gradientem przemieszczenia wzbogaconym przez 4 dodatkowe mody, oznaczonyjako 4-EADG4, (ang. Enhanced Assumed Displacement Gradient). Dla tego elemen-tu używane są siatki o takiej samej liczbie węzłów jak dla elementów 9-węzłowych.Oznacza to, że na każdy element 9-węzłowy przypadają 4 elementy 4-węzłowe.

Elementy własne zostały zaprogramowane przy użyciu programu AceGen,opracowanego przez J. Korelca, patrz [AceGen], [Korelc, 2002], i przetesto-wane w programie FEAP opracowanym przez R.L. Taylora, patrz [FEAP],[Zienkiewicz, Taylor, 1989].

6.1. TEST NA WARTOŚCI WŁASNE 78

Rezultaty porównawcze zostały uzyskane na drodze obliczeń własnych przepro-wadzonych za pomocą profesjonalnych programów MES [ADINA] i [ABAQUS]. Re-zultaty te zostały uzyskane za pomocą elementów opisanych w Tabli 6.2, gdzie URIoznacza jednolite zredukowane całkowanie.

Tabela 6.2: Referencyjne 9-węzłowe elementy powłokowe z 5 stopniami w węźle.

Element Charakterystyka Całkowanie w warstwie Ref.MITC9 AS FI [ADINA]S9R5 przem./napr. SRI [ABAQUS]γ − ψ URI+stabilizacja [Belytschko, Wong, Stolarski, 1989]

6.1 Test na wartości własne

Test na wartości własne macierzy sztywności jest podstawowym testem, sprawdzają-cym, czy w elemencie nie występują niepożądane mody deformacji tzw. mechanizmy.Test ten został opisany w Rozdz.4.5 dla elementu 9-węzłowego dwuwymiarowego.

Rysunek 6.1: Kształty elementów użytych w analizie wartości własnych.

Wartości własne wyliczane są dla pojedynczego elementu bez warunków brzego-wych, przy czym zastosowano dwa kształty elementu, patrz Rys.6.1. Pierwszy, tokwadrat o regularnym położeniu węzłów i długości boku równej 1. Drugi otrzymanoprzez przesunięcie jednego węzła narożnego kwadratu o wektor (0.5, 0.5) w płasz-czyźnie elementu, a inne węzły są przesunięte proporcjonalnie. Wszystkie krawędziepozostają proste, a węzły krawędziowe są równo oddalone od narożnych. Dane ma-teriałowe są następujące: E = 106, ν = 0.3, grubość powłoki h = 0.1. Wartościwłasne dla elementu powłokowego 9-AS o kształcie kwadratu zamieszczono w Ta-beli 6.3.

Liczba zerowych wartości własnych macierzy sztywności powinna być równa licz-bie stopni swobody związanych z ruchem sztywnym. W przypadku rozwijanych w

6.2. TESTY BAZOWE (ANG. ’PATCH TESTS’) 79

Tabela 6.3: Wartości własne elementu powłokowego 9-AS o kształcie kwadratu.

0.5261E+06 0.5261E+06 0.2238E+06 0.2168E+06 0.2146E+06 0.1524E+060.1524E+06 0.1026E+06 0.8953E+05 0.8815E+05 0.7143E+05 0.7143E+050.5793E+05 0.5549E+05 0.5549E+05 0.4366E+05 0.2809E+05 0.2655E+050.2655E+05 0.2405E+05 0.2121E+05 0.2121E+05 0.1690E+05 0.2700E+040.1928E+04 0.1928E+04 0.7507E+03 0.3368E+03 0.3368E+03 0.1864E+030.1784E+03 0.1754E+03 0.6067E+02 0.6067E+02 0.5637E+02 0.4740E+020.4397E+02 0.4397E+02 0.4066E+02 0.3436E+02 0.2823E+02 0.2823E+020.2346E+02 0.1367E+02 0.8488E+01 0.4117E+01 0.4117E+01 0.2338E+01

0 0 0 0 0 0

tej pracy elementów powłokowych oznacza to 6 zerowych wartości własnych: 3 zwią-zane z przemieszczeniami i 3 związane z obrotami jak ciało sztywne. Jeśli występujewięcej zerowych wartości własnych niż 6 to uznaje się, że wynik testu na wartościwłasne jest negatywny i macierz sztywności jest niewystarczającego rzędu (ang. rankdeficient).

Wszystkie opracowane elementy, tzn. 9, 9-ADG, 9-AS oraz 9-SRI, posiadają do-kładnie 6 zerowych wartości własnych.

6.2 Testy bazowe (ang. ’patch tests’)

Schemat przeprowadzania tych testów jest następujący. Dla prostej geometrii zakła-da się postaci przemieszczeń i rotacji tak by odkształcenia w całym obszarze byłystałe. Zadaje się warunki brzegowe na brzegu siatki, i oblicza przemieszczenia i ro-tacje w wewnętrznych węzłach siatki. Następnie są one porównywane z wartościamiobliczonymi dla założonych przemieszczeń i rotacji.

Testy te są dość proste, lecz dzięki nim można sprawdzić czy element zachowujesię prawidłowo. Są one wykonywane zaraz po teście na wartości własne, lecz przedwszystkimi innymi testami.

6.2.1 Pięcioelementowy ’patch test’

Pięcioelementowa siatka elementów skończonych pokazana na Rys.6.2 została zapro-ponowana w [Robinson, Blackham, 1979]. Siatka składa się z pięciu elementów onieregularnych kształtach, a węzły środkowe i krawędziowe w każdym z elementów sąrówno oddalone od węzłów narożnych. Ten test został włączony do katalogu testówsprawdzających dokładność elementów opracowanego w [MacNeal, Harder, 1985].


x

y

3

12

34

5 6

78

9

10

11

12

13 14 15

16

171819

20

21

22

23

24 25

0.24

0.1

2

Rysunek 6.2: 5-cio elementowy ’patch test’. E = 1.0× 106, ν = 0.25, h = 0.001.

Tabela 6.4: 5-elementowy ’patch test’. Współrzędne wewnętrznych węzłów i referen-cyjne wartości przemieszczeń i rotacji.

Współrzędne wewnętrznych węzłów Wart. ref. testu membranowego Wart. ref. testu zgięciowegowęzeł x y u v w φx φy

1 0.04 0.02 5.0000E-05 4.0000E-05 1.4000E-06 4.0000E-05 -5.0000E-052 0.18 0.03 1.9500E-04 1.2000E-04 1.9350E-05 1.2000E-04 -1.9500E-043 0.16 0.08 2.0000E-04 1.6000E-04 2.2400E-05 1.6000E-04 -2.0000E-044 0.08 0.08 1.2000E-04 1.2000E-04 9.6000E-06 1.2000E-04 -1.2000E-04

13 0.02 0.06 2.5000E-05 2.0000E-05 3.5000E-07 2.0000E-05 -2.5000E-0514 0.115 0.0125 1.2125E-04 7.0000E-05 7.4094E-06 7.0000E-05 -1.2125E-0415 0.21 0.015 2.1750E-04 1.2000E-04 2.3737E-05 1.2000E-04 -2.1750E-0416 0.205 0.0575 2.3375E-04 1.6000E-04 2.8559E-05 1.6000E-04 -2.3375E-0417 0.2 0.1 2.5000E-04 2.0000E-04 3.5000E-05 2.0000E-04 -2.5000E-0418 0.12 0.1 1.7000E-04 1.6000E-04 1.8200E-05 1.6000E-04 -1.7000E-0419 0.04 0.1 9.0000E-05 1.2000E-04 7.8000E-06 1.2000E-04 -9.0000E-0520 0.3 0.055 5.7500E-05 7.0000E-05 2.7875E-06 7.0000E-05 -5.7500E-0521 0.11 0.25 1.2250E-04 8.0000E-05 7.7375E-06 8.0000E-05 -1.2250E-0422 0.17 0.055 1.9750E-04 1.4000E-04 2.0637E-05 1.4000E-04 -1.9750E-0423 0.12 0.08 1.6000E-04 1.4000E-04 1.5200E-05 1.4000E-04 -1.6000E-0424 0.06 0.05 8.5000E-05 8.0000E-05 4.5500E-06 8.0000E-05 -8.5000E-0525 0.115 0.0525 1.4125E-04 1.1000E-04 1.1009E-05 1.1000E-04 -1.4125E-04


Test membranowy. Sprawdzana jest zdolność elementów do reprezentowaniastałego odkształcenia membranowego. Przyjmowane są następujące przemieszcze-nia i rotacje:

u = 0.001(x+ 12y), φx = 0,

v = 0.001(12x+ y), φy = 0,

w = 0, φz = 0.(6.1)

Wartości przemieszczeń u, v, w są zadane dla wszystkich węzłów na krawędziach,natomiast rotacje φx, φy, φz pozostają nieograniczone. Za pomocą elementów skoń-czonych wyliczane są wartości przemieszczeń dla wszystkich wewnętrznych węzłów,i powinny one być równe wartościom wyliczonym wg formuł (6.1) i podanym wTab.6.4.

Test zgięciowy. Sprawdzana jest zdolność elementu do reprezentowania stałegoodkształcenia zgięciowego i skręcającego. Przyjmowane są następujące przemiesz-czenia i rotacje:

u = 0, φx = 0.0005(x+ 2y),v = 0, φy = −0.0005(2x+ y),w = 0.0005(x2 + xy + y2), φz = 0.

(6.2)

Wartości przemieszczeń u, v, w i obrotów φx, φy są zadane dla zewnętrznychwęzłów, natomiast rotacja normalna, φz, pozostaje nieograniczona dla wszystkichwęzłów. Elementy przechodzą test zgięciowy wtedy, gdy wyliczone niewiadome wwęzłach zgodne są z wartościami uzyskanymi wg formuł (6.2) i podanymi w Tab.6.4.

Wszystkie elementy 9-węzłowe rozwijane w tej pracy przechodzą pozytywniepowyższe testy części błonowej i zgięciowej.

Uwaga. Warto zauważyć, że wartość φz = 0 w teście membranowym wynika zezlinearyzowanego równania więzów na rotacje, z którego możemy wyliczyć rotacjęnormalną,

φz(x, y) .= 12(ux,y − uy,x) = 0, (6.3)

dla ux i uy wg równ.(6.1). Rotacja normalna φz może zostać zadana wwęzłach brzegowych na kilka sposobów. Np. w pracy [Wisniewski, Turska, 2006] testten został przeprowadzony przy użyciu 3 różnych warunków brzegowych:

1. rotacja normalna została ograniczona dla wszystkich węzłów na brzegach,

2. rotacja normalna została ograniczona dla jednego węzła na brzegu,

3. rotacja normalna pozostała nieograniczona dla wszystkich węzłów na brzegach.

Trzecia forma jest najbardziej wymagająca i dlatego została tutaj zastosowana.


6.2.2 Jednoelementowy ’patch test’ - wypływ przesunięciawęzłów

A. Przesunięcie poziome węzła środkowego

W tym przypadku użyty został jeden element 9-węzłowy. Warunki brzegowe i pozo-stałe dane są takie jak w teście 5-elementowym z Rozdz.6.2.1.

Nieregularność w położeniu węzłów uzyskiwana jest poprzez przesunięcie środko-wego węzła o nr 9 wzdłuż poziomej linii do pozycji 9’, tak jak pokazano na Rys.6.3.Przesunięcie to powoduje, że linia łącząca węzły 7-9’-5 staje się parabolą. Wielkośćprzesunięcia wynosi ∆X = 0.02 n, gdzie n jest parametrem przyjmującymwartości od 0 do 6.

DX=n*0.02,

Rysunek 6.3: Jednoelementowy ’patch test’. Przesunięcie poziome węzła 9.

Przemieszczenia i rotacje zdefiniowano wg wzorów (6.1) i (6.2). Wyniki dla testumembranowego i zgięciowego zostały umieszczone w Tabeli 6.5, gdzie ’p’ oznacza,że element przeszedł test pozytywnie, tzn. przemieszczenia w węźle 9’ są zgodne zanalitycznymi, podczas gdy ’-’ oznacza wynik błędny. ’N’ oznacza, że otrzymanierozwiązania nie było możliwe i program zatrzymał się.

Ponadto, przemieszczenia otrzymane dla wzrastającego parametru n za pomo-cą testowanych elementów pokazano na Rys.6.4.

Tabela 6.5: Jednoelementowy ’patch test’. Przesunięcie poziome węzła 9.Wyniki testu membranowego/zgięciowego.

Element n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 69 p/p p/- p/- p/- -/- -/- -/-9-ADG p/p p/- p/- p/- -/- -/- -/-9-AS p/p p/- p/- p/- -/- -/- -/-9-SRI p/p p/- p/- p/- p/- p/- -/-MITC9 p/p -/- -/- N/N N/N N/N N/NS9R5 p/p p/- p/- p/- p/- p/- p/-4-EADG4 p/p p/p p/p p/p p/p p/p N/N


0

2e-05

4e-05

6e-05

8e-05

0.0001

0.00012

0.00014

0 1 2 3 4 5 6

u x

n

test membranowy

analitycznie9

9-ADG9-AS

9-SRIMITC9S9R5

0

2e-06

4e-06

6e-06

8e-06

1e-05

1.2e-05

0 1 2 3 4 5 6

u z

n

test zgieciowy

analitycznie9

9-ADG9-AS

9-SRIMITC9S9R5

Rysunek 6.4: Jednoelementowy ’patch test’. Przesunięcie poziome węzła 9.


Wszystkie testowane elementy przechodzą ten test dla węzła nr 9 położonegow środku, tzn. dla n = 0. Dla węzła przesuniętego, kiedy n > 0, sytuacjaprzedstawia się następująco:

1. Test błonowy, aż do n = 3, przechodzą wszystkie testowane elementy. Dlan = 4 następuje zmiana orientacji bazy lokalnej w elemencie (przy pełnymcałkowaniu) i nie można uzyskać prawidłowego rozwiązania. Wyjątkiem jestelement 9-SRI, dla którego zredukowane całkowanie na tym kierunku spowo-dowało, że możliwe jest większe przesunięcie węzła, patrz Rozdz.4.4.

2. Bardziej wymagający jest test zgięciowy, którego dla n > 0 nie przechodziżaden z testowanych elementów. Jednakże z Rys.6.4 widać, że błąd dla n ¬ 3jest mały. Podobne zachowanie się elementu 9-węzłowego γ − ψ opisano w[Belytschko, Wong, Stolarski, 1989].

Elementy porównawcze, MITC9 i S9R5, zostały użyte w tym teście z 5 stopnia-mi swobody w węźle, gdyż rotacja normalna może zostać uaktywniona dopiero poprzypisaniu jej odpowiedniego warunku brzegowego. To byłoby jednak sprzeczne zzałożeniami tego testu; patrz uwagi dotyczące równ.(6.3).

B. Przesunięcie węzła środkowego po przekątnej

Warunki brzegowe są identyczne jak w teście poprzedzającym, a przesunięcie węzła9 jest zadawane w sposób pokazany na Rys.6.5. W stosunku do poprzedniego testudochodzi dodatkowo przesunięcie wzdłuż osi OY , ∆Y = 0.01 n.

Rysunek 6.5: Jednoelementowy ’patch test’. Przesunięcie węzła 9 po przekątnej.


Wyniki testu zostały przedstawione w Tabeli 6.6 oraz na Rys.6.6. Otrzymanerezultaty są podobne do tych z Rozdz.6.2.2 i można je podsumować następująco:

1. Dla n = 4 kąty pomiędzy liniami izoparametrycznymi elementu są zbyt dużei nie można uzyskać rozwiązania.

2. Element 9-SRI nie daje lepszych wyników w tym teście niż inne elementywłasne.

3. Elementy 9-ADG, 9-AS i 9-SRI dają pozytywne wyniki w teście membrano-wym w podobnym stopniu co S9R5 i w dużo lepszym niż MITC9.

Tabela 6.6: Jednoelementowy ’patch test’. Przesunięcie węzła 9 po przekątnej.Wyniki testu membranowego/zgięciowego.

Element n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 69 p/p p/- p/- p/- -/- -/- -/-9-ADG p/p p/- p/- p/- -/- -/- -/-9-AS p/p p/- p/- p/- -/- -/- -/-9-SRI p/p p/- p/- p/- -/- -/- -/-MITC9 p/p -/- -/- N/N N/N N/N N/NS9R5 p/p p/- p/- p/- -/- -/- -/-4-EADG4 p/p p/p p/p p/p -/p -/p N/N


0

2e-05

4e-05

6e-05

8e-05

0.0001

0.00012

0.00014

0 1 2 3 4 5 6

u x

n

test membranowy

analitycznie9

9-ADG9-AS

9-SRIMITC9S9R5

0

2e-06

4e-06

6e-06

8e-06

1e-05

1.2e-05

0 1 2 3 4 5 6

u z

n

test zgieciowy

analitycznie9

9-ADG9-AS

9-SRIMITC9S9R5

Rysunek 6.6: Jednoelementowy ’patch test’. Przesunięcie węzła 9 po przekątnej.


C. Przesunięcie pionowe dwóch węzłów

W tym teście przesunięciu ulegają dwa węzły, środkowy o numerze 9 i krawędziowy onumerze 6. Zmiana położenia tych węzłów ma charakter proporcjonalny, tzn. węzły8, 9’ i 6’ leżą na jednej linii, patrz Rys.6.7.

DY=n*0.01

,

,

Rysunek 6.7: Jednoelementowy ’patch test’. Przesunięcie pionowe dwóch węzłów.

Tabela 6.7: Jednoelementowy ’patch test’. Przesunięcie pionowe dwóch węzłów.Wyniki testu membranowego/zgięciowego.

Element n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5 n = 69 p/p p/- p/- p/- p/- -/- -/-9-ADG p/p p/- p/- p/- p/- -/- -/-9-AS p/p p/- p/- p/- p/- -/- -/-9-SRI p/p p/- p/- p/- p/- -/- -/-MITC9 p/p -/- -/- N/N N/N N/N N/NS9R5 p/p p/- p/- p/- N/N N/N N/N4-EADG4 p/p p/- p/p p/- p/p p/- N/N

Analizując wyniki z Tabeli 6.7 oraz z Rys. 6.8 można stwierdzić, że, w przypad-ku testu membranowego, elementy sprawdzają się dla dużego zakresu przesunięciawęzłów, bo aż do n = 4.

Dla testu zgięciowego sytuacja przedstawia się podobnie jak w poprzednich te-stach, tzn. prawidłowa wartość rozwiązania uzyskiwana jest tylko dla n = 0, a dlan > 0 zauważalny jest niewielki błąd.


0.00015

0.000155

0.00016

0.000165

0.00017

0 1 2 3 4 5 6

u x

n

test membranowy

analitycznie9

9-ADG9-AS

9-SRIMITC9S9R5

1.2e-05

1.3e-05

1.4e-05

1.5e-05

1.6e-05

1.7e-05

1.8e-05

1.9e-05

0 1 2 3 4 5 6

u z

n

test zgieciowy

analitycznie9

9-ADG9-AS

9-SRIMITC9S9R5

Rysunek 6.8: Jednoelementowy ’patch test’. Przesunięcie pionowe dwóch węzłów.


6.2.3 ’Patch test’ wyższego rzędu

Na Rys.6.9 pokazana została siatka składająca się z dwóch czworobocznych elemen-tów. Linia graniczna pomiędzy elementami wyznaczona jest przez węzły 5-9-7. Kątnachylenia tej linii definiowany jest parametrem d. Dla d = 0 elementy są prosto-kątne, a zwiększając d zwiększamy zniekształcenie elementów. Należy zaznaczyć, żewęzły krawędziowe są umieszczone zawsze w równej odległości od węzłów narożnych.Zginanie w płaszczyźnie jest wymuszone poprzez parę przeciwnie skierowanych sił.

Test ten został zaproponowany w [Zienkiewicz, Taylor, 1989], jako sprawdzianczłonów wyższego rzędu w elementach bi-kwadratowych. Ewentualny błąd możewskazywać na niewłaściwy rząd wielomianów aproksymujących odkształcenia, takjak to się dzieje w przypadku elementów z jednolicie zredukowanym całkowaniem.

Wyniki zostały umieszczone w Tab.6.8, gdzie dla d = 1 nachylenie linii 5-9-7wynosi 45o, a elementy są trapezami.

Jak widać, wszystkie własne elementy 9-węzłowe dają dokładne wyniki, nato-miast elementy porównawcze mają problemy przy siatce nieregularnej. ElementS9R5 daje błędny rezultat nawet dla d = 0, co prawdopodobnie spowodowanejest zredukowanym całkowaniem. Widać, że w przypadku elementu własnego 9-SRI,selektywne zredukowane całkowanie nie pogarsza rozwiązania.

1 2

34

5

6

7

8 9

10 11

1213

14 15

y

x

10

dP

P

2

Rysunek 6.9: Dwuelementowy test. E = 102, ν = 0.3, h = 10, P = 5.

Tabela 6.8: Dwuelementowy test. Pionowe przemieszczenie w węźle 2.

Element d = 0 d = 19 0.75225 0.752259-ADG 0.75225 0.752259-AS 0.75225 0.752259-SRI 0.75225 0.75225MITC9 0.75225 0.74568S9R5 0.72770 0.740404-EADG4 0.75225 0.73550Wartość dokładna 0.75225

6.3. PROSTY WSPORNIK 90

6.3 Prosty wspornik

Test ten zaproponowano w [MacNeal, Harder, 1985]. Wspornik jest utwierdzony najednym końcu, a na drugim obciążony w różny sposób. Geometria i dane umieszczonezostały na Rys.6.10. Siatka MES składa się tylko z 6-ciu elementów o następującychkształtach: prostokątnym, trapezowym i równoległobocznym.

Oprócz typów obciążenia zaproponowanych w [MacNeal, Harder, 1985], dodat-kowo zbadane zostanie zginanie jednostkowym momentem wzdłuż osi y, dla któregowartość porównawcza obliczona jest wg wzoru,

φy =MyL

EJ, (6.4)

patrz np. [Warren, 1989].

Wyniki obliczeń zostały umieszczone w Tabeli 6.9. Wynika z nich, że kształtelementu nie ma zbyt dużego wpływu w przypadku elementów 9-węzłowych, w od-różnieniu od elementów 4-węzłowych. Pomimo niewielkich różnic w wynikach, widaćże najgorzej wypada element 9, czyli ten w którym nie zastosowano żadnej z metodeliminujących zakleszczanie (ADG, AS, SRI). W przypadku skręcania przez parę sił,wyniki wszystkich elementów są około 6% niższe niż wartość porównawcza podanaw pracy [MacNeal, Harder, 1985].

prostok¹tne

trapezowe

równoleg³oboczne

Rysunek 6.10: Prosty wspornik. E = 1.0× 107, ν = 0.3, h = 0.1.

6.3. PROSTY WSPORNIK 91

Tabela 6.9: Prosty wspornik. Wyniki dla 3 siatek i 4 przypadków obciążeń.

Elementy prostokątne trapezy równoległobokiścinanie w płaszczyźnie (uy × 10)

9 1.0703 1.0606 1.06179-ADG 1.0748 1.0715 1.07499-AS 1.0748 1.0715 1.07499-SRI 1.0748 1.0715 1.0746MITC9 1.0748 1.0646 1.0746S9R5 0.9344 0.9261 0.98544-EADG4 1.0737 0.7803 1.0146Ref. 1.0810

ścinanie poprzeczne (uz × 10)9 4.2719 4.2329 4.23979-ADG 4.2958 4.2812 4.29299-AS 4.2958 4.2812 4.29299-SRI 4.2958 4.2812 4.2929MITC9 4.2955 4.2823 4.2930S9R5 4.3100 4.3110 4.31104-EADG4 4.2850 4.2886 4.2886Ref. 4.3210

skręcanie przez parę sił (φx × 100)9 3.0176 3.0209 2.98369-ADG 3.0307 3.0360 3.02299-AS 3.0307 3.0334 3.02299-SRI 3.0277 3.0342 3.0212MITC9 2.9128 2.9130 2.9033S9R5 3.0400 3.0400 3.03004-EADG4 3.0313 3.0345 2.9150Ref. 3.2080

zginanie momentem (φy × 100)9 3.5927 3.5927 3.46129-ADG 3.5929 3.5930 3.53449-AS 3.5929 3.5930 3.53449-SRI 3.5929 3.5930 3.5340MITC9 3.5930 3.5928 3.5178S9R5 3.5995 3.5994 3.60004-EADG4 3.5919 3.5927 3.5923Ref. 3.6000

6.4. ZAKRZYWIONY WSPORNIK 92

6.4 Zakrzywiony wspornik

Zakrzywiony wspornik to jeden z testów z katalogu testów zaproponowanego w[MacNeal, Harder, 1985]. Geometria i dane materiałowe pokazano na Rys.6.11.Wspornik jest utwierdzony na jednym końcu, natomiast na drugim obciążony jestrozłożoną jednostkową siłą, w płaszczyźnie lub poprzeczną. Obliczenia przeprowa-dzono dla dwóch siatek, 1× 6 i 1× 24 elementy.

Wyniki obliczeń liniowych przedstawiono w Tabeli 6.10. Dla siły Py uzyskanewyniki przewyższają wartość referencyjną, co może wskazywać na jej niewłaściwąwielkość. Dla tego obciążenia własne elementy 9-węzłowe wykazują większą sztyw-ność niż element MITC9, a mniejszą niż element S9R5. Odwrotna sytuacja jestprzy obciążeniu siłą Pz, kiedy to element MITC9 jest wyraźnie sztywniejszy niżpozostałe.

y

x

90

PyPz

A

Rysunek 6.11: Zakrzywiony wspornik. E = 1.0× 107, ν = 0.25, h = 0.1.Promień wewnętrzny 4.12, promień zewnętrzny 4.32.

Tabela 6.10: Zakrzywiony wspornik. Przemieszczenie w punkcie A.

Obciążenie Py PzPrzemieszczenie −v × 102 w × 10Siatka 1× 6 1× 24 1× 6 1× 249 7.7246 8.8435 4.8448 4.89179-ADG 8.8236 8.8495 4.8847 4.89449-AS 8.8236 8.8495 4.8847 4.89449-SRI 8.8240 8.8495 4.8848 4.8944MITC9 8.9852 9.0041 4.8045 4.8131S9R5 7.3666 8.8476 4.8940 4.89404-EADG4 8.7355 8.8465 4.8776 4.8939Ref. 8.734 5.022

6.5. WYCINEK POWŁOKI CYLINDRYCZNEJ 93

6.5 Wycinek powłoki cylindrycznej

Utwierdzony wycinek powłoki cylindrycznej w kształcie zakrzywionego prosto-kątnego paska obciążony jest momentem zginającym, patrz Rys.6.12. Szerokośćpaska wynosi b = 0.025, promień krzywizny R = 0.1. Dane materiałowesą następujące: E = 2 × 105, ν = 0. Siatka elementów składa się z 6-ciu regularnych lub nieregularnych elementów. Test ten przeprowadzono np. w[Koschnick, Bischoff, Camprubi, Bletziger, 2005].

x

z

y

A

x

z

y

A

Rysunek 6.12: Wycinek powłoki cylindrycznej. Regularna i nieregularna siatka.

Obciążenie przyjęto w postaci Mz = (R/h)−3, tzn. jako funkcję R/h, ianalizy przeprowadzano zmieniając grubość powłoki. Jako rozwiązania porównawczewykorzystano rozwiązania dla zakrzywionej belki, patrz np. [Warren, 1989],

φz =πMzR

2EJ, v = uy =

MzR2

EJ, (6.5)

Rotacja φz i przemieszczenie v są monitorowane w punkcie A, patrz Rys.6.12.

W teście tym badany jest wpływ grubości powłoki na efekt zakleszczania mem-branowego, oraz efekt nieregularności siatki. Ponieważ moment zginający pozostajew niezmienionym stosunku do grubości, więc poprawne rozwiązanie powinno byćstałe dla zmieniającego się h. Jeśli element się zakleszcza to rotacja wraz ze wzro-stem parametru R/h będzie dążyć do zera.

Rotację φz otrzymaną z obliczeń numerycznych pokazano na Rys.6.13 i 6.14,dla siatki regularnej i nieregularnej.

Dla siatki regularnej rozwiązania wszystkich elementów własnych są poprawne,oprócz rozwiązania dla elementu 9, który zakleszcza się, zgodnie z przewidywaniami.

Natomiast dla siatki nieregularnej, obserwujemy wpływ grubości na rozwiązanie.Widać, że elementy 9-ADG, 9-AS, 9-SRI oraz 4-EADG4 zachowują się lepiej niżelement 9, ale dla R/h 100 rezultaty obarczone są dużym błędem.

Dla elementu porównawczego MITC9 wyniki można uzyskać tylko dlalog(R/h) = 1, 2 i są one bliskie analitycznym. Najlepiej w tym teście wypadł elementS9R9, dla którego błąd jest najmniejszy.

Przemieszczenie v otrzymane dla różnych wartości h pokazano na Rys.6.15i 6.16, gdzie na osi pionowej użyto skali logarytmicznej. Konkluzje są podobne jakdla rotacji φz.


-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5 6

obro

t wok

ol o

si z

log(R/h)

analitycznie4-EADG4

MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.13: Wycinek powłoki cylindrycznej. Rozwiązania dla siatki regularnej.

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 1 2 3 4 5 6

obro

t wok

ol o

si z

log(R/h)

analitycznie4-EADG4

MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.14: Wycinek powłoki cylindrycznej. Rozwiązania dla siatki nieregularnej.


-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 1 2 3 4 5 6

log(

-v)

log(R/h)

analitycznie4-EADG4

MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.15: Powłoka cylindryczna. Przemieszczenie v dla siatki regularnej.

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 1 2 3 4 5 6

log(

-v)

log(R/h)

analitycznie4-EADG4

MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.16: Powłoka cylindryczna. Przemieszczenie v dla siatki nieregularnej.

6.6. SMUKŁY WSPORNIK 96

6.6 Smukły wspornik

Test ten zaproponowano w celu określenia dokładności rotacji normalnej, dla defor-macji w płaszczyźnie elementu. Smukły wspornik jest utwierdzony na jednym końcu,a na drugim końcu przyłożono siłę Py = 1, patrz Rys.6.17. Grubość powłoki jestprostopadła do płaszczyzny X0Y .

x

y

y

z

0

P

P

y

y

L b

b

h

zdeformowany

poczatkowy

Rysunek 6.17: Smukły wspornik obciążony siłą ścinającą.E = 106, ν = 0.3, L = 100, b = 1, grubość h = 1.

Wspornik modelowany jest jedną warstwą elementów wzdłuż osi 0Y , oraz100 elementami wzdłuż osi 0X. Elementy są kwadratowe, dzięki czemu unikasię niekorzystnego wpływu wydłużenia kształtu elementu, a duża liczba elementówpowinna dać wystarczającą dokładność rozwiązania.

Wyniki obliczeń liniowych zamieszczono w Tabeli 6.11, gdzie podano przemiesz-czenia i rotację normalną dla górnego węzła na końcu wspornika.

Otrzymane rezultaty są bardzo dokładne dla wszystkich elementów własnych ireferencyjnych. Widać, że elementy własne 9, 9-ADG, 9-AS, 9-SRI zachowują sięprawie identycznie.

Dla elementu porównawczego MITC9, rotację normalną uzyskano wykorzy-stując komendę RIGIDNODES. Dla elementu S9R5 rotację normalną uzyskanopoprzez zadanie warunku φx = 0 w punkcie monitorowania φz.

6.6. SMUKŁY WSPORNIK 97

Tabela 6.11: Smukły wspornik. Wyniki dla górnego węzła.

Element ux × 102 uy φz × 102

9 -2.9992 3.9987 5.99869-ADG -2.9993 3.9989 5.99899-AS -2.9993 3.9989 5.99889-SRI -2.9993 3.9989 5.9988MITC9 -2.9993 3.9989 5.9988S9R5 -2.9999 4.0000 5.99974-EADG4 -2.9994 3.9991 5.9989Ref. -3.0000 4.0000 6.0000

Obliczenia nieliniowe przeprowadzono metodą długości łuku, stosując przyrostsiły ∆P = 5. Otrzymane krzywe dla górnego węzła na końcu wspornika pokazanona Rys.6.18. Widać, że krzywe dla elementów własnych pokrywają się z referencyj-nym rozwiązaniem dla elementu belkowego Timoshenki z dużymi rotacjami. Elementreferencyjny MITC9 jest nieco bardziej sztywny, i otrzymane rotacje są zbyt małe.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6

Py

z-rot

0

20

40

60

80

100

120

140

0 20 40 60 80 100

Py

przemieszczenie

belka

4-EADG4

MITC9

S9R5

9

9-ADG

9-AS

9-SRI

v-u

Rysunek 6.18: Smukły wspornik. a) Rotacja ψz. b) Przemieszczenie u = ux i v = uy.

6.7. MEMBRANA COOKA 98

6.7 Membrana Cooka

Test ten został zaproponowany w [Cook, 1976]. Trapezoidalna tarcza jest utwier-dzona z jednej strony, a z drugiej strony przyłożona została rozłożona jednostkowasiła ścinająca w płaszczyźnie, tak jak pokazano na Rys.6.19. W teście tym dominujeścinanie w płaszczyźnie i użyte zostały skośne trapezoidalne elementy. Do obliczeńliniowych użyto dwie siatki: 1× 1 element i 2× 2 elementy.

A

Rysunek 6.19: Membrana Cooka. E = 1.0, ν = 13 , h = 1.0, P = 1.

Tabela 6.12: Membrana Cooka. Pionowe przemieszczenie w punkcie A.

Element 1× 1 2× 29 19.643 23.2889-ADG 21.798 23.5769-AS 21.799 23.5769-SRI 21.799 23.576MITC9 22.208 23.613S9R5 26.540 23.9804-EADG4 21.037 23.014Ref. 23.810

Wyniki obliczeń umieszczono w Tabeli 6.12, gdzie podano przemieszczenie pio-nowe w punkcie A. Widać, że elementy referencyjne, MITC9 oraz S9R5, są dokład-niejsze niż elementy własne 9-ADG, 9-AS, 9-SRI. Widać także, iż elementy S9R5dają bardzo zawyżone rozwiązanie dla rzadkich siatek.

Na Rys.6.20 pokazano przemieszczenie pionowe w punkcie A dla rozwiązań nieli-niowych, otrzymanych metodą Newtona, dla ∆P = 0.1. Dla wszystkich elementów,z wyjątkiem MITC9, uzyskane krzywe są identyczne. Dla elementu MITC9 możli-we było uzyskanie tylko liniowej zależności przemieszczenia od obciążenia. Postaćdeformacji dla elementu 9-AS, siatki 8× 8 i P = 16 pokazano na Rys.6.21.

6.7. MEMBRANA COOKA 99

0

2

4

6

8

10

12

14

16

0 2 4 6 8 10 12 14 16

P

v

4-EADG4MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.20: Membrana Cooka. Pionowe przemieszczenie w punkcie A.Rozwiązania nieliniowe dla siatki 8× 8.

x

y

P

Rysunek 6.21: Membrana Cooka. Elementy 9-AS, deformacja dla P = 16.

6.8. HAK RAASCHA 100

6.8 Hak Raascha

Hak Raascha to prostokątna płyta o dwóch krzywiznach, z jednej strony utwierdzo-na, a z drugiej obciążona liniowo rozłożoną siłą działającą w płaszczyźnie stycznej.Geometria i dane materiałowe podano na Rys.6.22.

Zadanie to rozwiązywał I. Raasch, pracownik BMW w Niemczech, i zauważył,że element powłokowy z programu ANSYS daje błędne rezultaty; ugięcia są zbytduże, a poza tym wyniki są rozbieżne przy zagęszczaniu siatki.

xz

y

30

R=1446

2

x

y

z

A

20

P

Rysunek 6.22: Hak Raascha. Geometria i warunki brzegowe.P = 1, E = 3300, ν = 0.35, h = 2.0.

W teście tym stan deformacji jest złożony; odpowiada równoczesnemu skręcaniu,zginaniu i ścinaniu. Wartość referencyjnego rozwiązania dla tego testu nie zostałajednoznacznie ustalona w literaturze. Np. w [Knight, 1996] podawana jest wartość4.9352, uzyskana hybrydowymi elementami typu ’solid’, w dokumentacji [ABAQUS]podano wartość 5.02, uzyskaną dla siatki 20 × 144 × 2 elementów C3D20R, nato-miast w pracy [Schoop, Hornig, Wenzel, 2002] otrzymano, na podstawie teorii belek,wartość 4.7561.

Wyniki testów liniowych umieszczono w Tabeli 6.13. Rozwiązania uzyskano dlaróżnych siatek, i widać, że dla gęstszych siatek rozwiązania przewyższają wartość od-niesienia. Błąd nie jest jednak duży - nie przekracza 2% dla elementów 9-węzłowych.Najbardziej podatny okazał się element 4-węzłowy 4-EADG4.

Na Rys.6.23 umieszczono rozwiązania nieliniowe, otrzymane metodą Newtona,dla ∆P = 5. Dla większości elementów krzywe pokrywają się; wyjątkiem jestelement 9-ADG, który jest zbyt podatny. Elementem 9 uzyskuje się rozwiązanie

6.8. HAK RAASCHA 101

Tabela 6.13: Hak Raascha. Przemieszczenie w dla punktu A.

Element/siatka 2× 14 4× 28 8× 569 4.7454 4.9381 5.00909-ADG 4.9182 4.9640 5.01359-AS 4.9182 4.9640 5.01359-SRI 4.9188 4.9640 5.0135MITC9 4.8364 4.9163 4.9740S9R5 4.8350 4.9140 4.99404-EADG4 4.9478 5.0802 5.1715Ref. 4.9352

lekko przesztywnione, co uwidacznia się w małym przesunięciu krzywej rozwiązaniaw lewo; podobne rozwiązanie można znaleźć np. w [Eriksson, 2002].

0

200

400

600

800

1000

0 10 20 30 40 50 60 70 80

P

u

4-EADG4MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.23: Hak Raascha. Pionowe przemieszczenie w punkcie A.Rozwiązania nieliniowe dla siatki 2× 14.

6.9. PANEL CYLINDRYCZNY 102

6.9 Panel cylindryczny

Jest to jeden z podstawowych testów nieliniowych, który był używany w wielu pra-cach, np. [Ramm, 1981], [Simo, Fox, Rifai, 1990], [Sansour, Bednarczyk, 1995].

Powłoka cylindryczna o małej krzywiźnie obciążona jest centralnie siłą skupioną,patrz Rys.6.24. Proste brzegi są podwieszone, tzn. zablokowano przemieszczenia vi w oraz rotacje φy i φz, a zakrzywione brzegi są swobodne. Wykorzystano symetrie(geometrii powłoki, warunków brzegowych i obciążenia) i modelowana jest tylkojedna czwarta panelu. Zastosowano siatkę 2×2-elementy 9-węzłowe i 4×4-elementy4-węzłowe.

podwieszenie

swobodne

swobodne

podwieszenie

Rysunek 6.24: Panel cylindryczny. E = 310.275, ν = 0.3.

Rozwiązania liniowe zamieszczono w Tabeli 6.14; monitorowane jest przemiesz-czenie w w kierunku działania siły i w punkcie przyłożenia siły. Widać, że elementywłasne 9-ADG, 9-AS i 9-SRI, dają identyczne rozwiązanie, które jest trochę sztyw-niejsze niż rozwiązania dla elementów referencyjnych 9-węzłowych.

Tabela 6.14: Panel cylindryczny. P = 0.01

Element/siatka −w × 102

9 0.72489-ADG 1.05829-AS 1.05829-SRI 1.0582MITC9 1.0664S9R5 1.06554-EADG4 1.0084


Rozwiązania nieliniowe otrzymano metodą długości łuku, dla początkowego∆P = −0.05 × 4. Krzywe pokazane na Rys.6.25 wskazują, że element 9 jest lek-ko przesztywniony co przejawia się przesunięciem krzywej w lewą stronę. Pozostałeelementy własne 9-węzłowe (9-ADG, 9-AS, 9-SRI) oraz elementy referencyjne, dajątakie same rozwiązania.

Dla rzadkich siatek, uwidacznia się różnica między rozwiązaniami dla elemen-tów 9- i 4-węzłowych, pomimo takiej samej liczby stopni swobody. Np. krzywa dlaelementu 4-EADG4 jest w początkowej i środkowej fazie przesunięta w lewo, cowskazuje na lepszą dokładność elementów 9-węzłowych dla rzadkiej siatki.

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

P

-w

4-EADG4MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.25: Panel cylindryczny. Rozwiązania nieliniowe dla siatki 2× 2.


Końcową postać deformacji i rozkład przemieszczeń w dla elementu 9-AS iP = 2 pokazano na Rys.6.26.

przemieszczenie w

Rysunek 6.26: Panel cylindryczny. Mapa przemieszczeń dla elementu 9-AS i P = 2.

6.10. ROZCIĘTY PIERŚCIEŃ KOŁOWY 105

6.10 Rozcięty pierścień kołowy

Płyta w kształcie pierścienia kołowego jest rozcięta wzdłuż promienia, tak jak poka-zano na Rys.6.27. Jeden z brzegów rozcięcia utwierdzono, a do drugiego przyłożonoliniowo rozłożoną siłę skierowaną prostopadle do płyty. Przykład ten był analizowa-ny np. w [Basar, Ding, 1992] i [Buechter, Ramm, 1992]. W obliczeniach zastosowanosiatkę 2× 16 elementów 9-węzłowych.

swobodne utwierdzenierozciêcie

Rysunek 6.27: Rozcięty pierścień kołowy. E = 2.1× 108, ν = 0.0.

Wyniki analiz liniowych zamieszczono w Tabeli 6.15, gdzie podano przemieszcze-nie pionowe w w punkcie A dla p = 0.01. Widać, że elementy własne 9-ADG, 9-ASi 9-SRI, dają identyczne rozwiązanie, które jest trochę sztywniejsze niż rozwiązaniadla elementów referencyjnych 9-węzłowych.

Tabela 6.15: Rozcięty pierścień kołowy. Rozwiązania liniowe dla p = 0.01.

Element/siatka w9 0.10659-ADG 0.11349-AS 0.11349-SRI 0.1134MITC9 0.1135S9R5 0.11474-EADG4 0.1145

Do obliczeń nieliniowych zastosowano metodę długości łuku i początkową war-tość obciążenia pref = 0.1. Rezultaty nieliniowej analizy pokazano na Rys.6.28 imożna je scharakteryzować następująco:

1. Elementy własne 9-AS i 9-SRI oraz element porównawczy MITC9 mają po-dobne charakterystyki.

2. Krzywe dla elementu 9 oraz 9-ADG są przesunięte w lewą stronę, co oznaczaujawnienie się zjawiska zakleszczania. Oznacza to, że użycie dwustopniowychaproksymacji dla gradientu przemieszczenia w elemencie 9-ADG nie jest wtym teście efektywne.

6.10. ROZCIĘTY PIERŚCIEŃ KOŁOWY 106

3. Element porównawczy S9R5 jest najbardziej podatny; uzyskana dla niego krzy-wa jest najbardziej przesunięta w prawą stronę.

0

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 12 14 16

p

w

4-EADG4MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.28: Rozcięty pierścień kołowy. Krzywe przemieszczenia w dla pref = 0.1.

A

Rysunek 6.29: Rozcięty pierścień kołowy. Postać zdeformowana p = 7.62.

6.11. CYLINDER Z PRZEPONAMI 107

6.11 Cylinder z przeponami

Cylindryczna powłoka zamknięta dwoma sztywnymi przeponami jest ściskana przezdwie przeciwnie skierowane siły, działające w jednej linii. Z uwagi na symetrię po-włoki, warunków brzegowych i obciążenia, do obliczeń została użyta jedynie jednaósma powłoki pokazana na Rys.6.30, oczywiście z uwzględnieniem warunków syme-trii. Dane geometryczne i materiałowe podano w opisie rysunku.

z

y

xRL

sym.

sym.

sym

.

przepona

(u ,u , - zabl.)x y zf

P

h

Rysunek 6.30: Cylinder z przeponami. E = 3.0× 106, ν = 0.3.h = 3.0, R = 300, L = 300, P = 0.25.

Wyniki testu liniowego zostały umieszczone w Tab.6.16, gdzie podano pionoweprzemieszczenie v w miejscu przyłożenia siły P . Do obliczeń użyto dwóch siatek:2 × 2 elementy i 5 × 5 elementów. Porównanie rezultatów wskazuje, że elementywłasne dają lepsze rezultaty niż elementy porównawcze. Dla elementu 9 rozwiązaniejest silnie przesztywnione; jak wskazano np. w [Belytschko, Wong, Stolarski, 1989],jest to efektem bardziej zakleszczania poprzecznego niż membranowego.

Uwaga. W pracy [Jang, Pinsky, 1987], Rys.7, rozwiązanie dla elementu typu SRIzbiega się bardzo słabo, tak, że dla siatki z 17 węzłami/krawędź błąd jest rzędu 20%.Wynik własnego elementu 9-SRI ma błąd < 1% dla siatki z 11 węzłami/krawędź.Tak więc, opinia, że elementy typu SRI charakteryzują się słabą zbieżnością niezostała potwierdzona.

Rozwiązania nieliniowe otrzymano metodą długości łuku, dla początkowego∆P = 104. Pionowe przemieszczenie v w miejscu przyłożenia siły, w funkcjisiły P pokazano na Rys.6.31. Na krzywych zaznaczono co 10 punkt rozwiązania,dla wszystkich elementów z wyjątkiem MITC9 i S9R5. Rozwiązania dla elementów


Tabela 6.16: Cylinder z przeponami. Przemieszczenie pionowe (×105) pod siłą.

Element/siatka 2× 2 5× 59 0.0918 0.47019-ADG 1.4526 1.81929-AS 1.4535 1.81949-SRI 1.4547 1.8197MITC9 1.3180 1.7979S9R5 1.3870 1.8040γ − ψ 1.3449 –4-EADG4 1.3855 1.7548Wart. ref. 1.8249

własnych 9-AS oraz 9-SRI pokrywają się i są podobne do rozwiązań dla elementówporównawczych MITC9 i S9R5. Dla elementu 9 rozwiązanie jest silnie przesztyw-nione.

Dla elementu 4-węzłowego 4-EADG4 rozwiązanie jest prawie linią prostą, nato-miast dla elementów 9-węzłowych uwidacznia się wpływ wyższych postaci deforma-cji.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 20 40 60 80 100 120

P (

x106 )

-v

4-EADG4MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.31: Cylinder z przeponami. Rozwiązania nieliniowe dla siatki 10× 10.

Przykładową postać deformacji oraz mapę przemieszczeń pokazano na Rys.6.32i 6.33, uzyskano je za pomocą elementu własnego 9-AS.


1

2

3

Rysunek 6.32: Cylinder z przeponami. Deformacja dla 9-AS i P = 2× 106.

-1.00E+02

-8.99E+01

-7.98E+01

-6.98E+01

-5.97E+01

-4.96E+01

-3.96E+01

-2.95E+01

-1.94E+01

-9.36E+00

7.05E-01

-1.10E+02

1.08E+01

_________________Przemieszczenie v

Rysunek 6.33: Cylinder z przeponami. Mapa przemieszczeń dla 9-AS i P = 2× 106.

6.12. PÓŁSFERA Z OTWOREM 110

6.12 Półsfera z otworem

Półsfera z otworem obciążona jest układem sił zrównoważonych, dwiema siłami ści-skającymi wzdłuż osi 0Y i dwiema siłami rozciągającymi wzdłuż osi 0X, działającymiw płaszczyźnie XY. Po uwzględnieniu warunków symetrii, do obliczeń wykorzystanotylko ćwiartkę powłoki pokazaną na Rys.6.34, gdzie umieszczono również wszystkiedane. Test ten zaproponowano w [MacNeal, Harder, 1985] do testowania elementówdla deformacji zgięciowych.

x y

z

18

P=1

P=1

R=10

swobodne

w=0

Rysunek 6.34: Półsfera z otworem. E = 6.825× 107, ν = 0.3, h = 0.04.

Wyniki obliczeń liniowych zamieszczono w Tabeli 6.17, gdzie podano przemiesz-czenie w kierunku siły rozciągającej dla dwóch siatek 4 × 4 elementy i 8 × 8 ele-mentów. Wartość referencyjną przytoczono za [MacNeal, Harder, 1985]. Widzimy,że elementy własne są bardziej dokładne od elementu porównawczego MITC9.

Tabela 6.17: Półsfera z otworem. Rezultaty liniowe. Przemieszczenie u× 102.

Element/siatka 4× 4 8× 89 0.2066 2.41609-ADG 9.2449 9.34469-AS 9.3306 9.34739-SRI 9.3250 9.3473MITC9 8.1762 8.5687S9R5 9.3365 9.35134-EADG4 9.1566 9.3076Wart. ref. 9.4000


Wyniki dla elementu 9 świadczą o tym, że silnie manifestuje się zakleszczanie, i,jak wykazano w [Belytschko, Wong, Stolarski, 1989], jest to zakleszczanie membra-nowe. Dlatego ten przykład dobrze nadaje się do sprawdzania technik eliminującychten typ zakleszczania.

Obliczenia nieliniowe przeprowadzono stosując metodę Newtona i ∆P = 10.Krzywe otrzymane dla siatki 8 × 8 elementów pokazano na Rys.6.35 i 6.36, gdzieu i v to składowe przemieszczenia w kierunku siły rozciągającej i siły ściskającej.

Krzywe dla elementów własnych 9-AS i 9-SRI pokrywają się, a dla składoweju są zbliżone do krzywych dla elementów porównawczych. Dla składowej v,krzywe dla elementów własnych 9-AS i 9-SRI są zbliżone do krzywej dla elementuporównawczego S9R5, natomiast krzywa dla elementu porównawczego MITC9 jestprzesunięta w prawo, czyli element ten jest bardziej podatny. Elementy 9 i 9-ADGzakleszczają się.

Zbieżność metody Newtona zilustrowano na Rys.6.39 i 6.40, zamieszczając wy-kresy liczby iteracji przypadających na każdy krok tej metody w dwóch przypadkach:

1. stosując różne wartości przyrostów siły i siatkę 8× 8 elementów, Rys.6.39,

2. stosując różne siatki i przyrost siły P ref = 10, Rys.6.40.

Wyniki otrzymano za pomocą elementów własnych 9-AS oraz 9-SRI; są one iden-tyczne dla obu tych elementów. Można je podsumować następująco:

1. Z Rys.6.39 wynika, iż dla dużych kroków potrzebna jest większa ilość iteracji,aby uzyskać zbieżność. Dla P ref = 30 maksymalna liczba iteracji to 16, adla P ref = 1 już tylko 6.

2. Cechą charakterystyczną tego zadania jest lepsza zbieżność wraz z postępują-cymi krokami rozwiązania, co widoczne jest w zmniejszającej się liczbie iteracjiw kolejnych krokach.

3. Z Rys.6.40 wynika, że zbieżność rozwiązania w niewielkim stopniu zależnajest od gęstości siatki. Istnieje niewielka tendencja, że dla rzadszych siatekzbieżność uzyskuje się w mniejszej liczbie iteracji.

Postać zdeformowaną półsfery pokazano na Rys.6.37, a mapę przemieszczeń dlaelementu 9-AS i P = 200 pokazano na Rys.6.38.


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 1 2 3 4

P

u

MITC9S9R5

4-EADG49

9-ADG9-AS

9-SRI

Rysunek 6.35: Półsfera z otworem. Przemieszczenie u.Rozwiązania nieliniowe dla siatki 8× 8 elementów.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

P

-v

MITC9S9R5

4-EADG49

9-ADG9-AS

9-SRI

Rysunek 6.36: Półsfera z otworem. Przemieszczenie v.Rozwiązania nieliniowe dla siatki 8× 8 elementów.


Rysunek 6.37: Półsfera z otworem. Postać deformacji dla P = 200.

3.34E-01

6.69E-01

1.00E+00

1.34E+00

1.67E+00

2.01E+00

2.34E+00

2.67E+00

3.01E+00

3.34E+00

3.68E+00

0.00E+00

4.01E+00

_________________Przemieszczenie u

Rysunek 6.38: Półsfera z otworem. Mapa przemieszczeń. Element 9-AS, P = 200.


0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 20 40 60 80 100120140160180200

liczb

a ite

racj

i

P

Pref=1Pref=10Pref=20Pref=30

Rysunek 6.39: Półsfera z otworem. Liczba iteracji dla wybranych przyrostów siły.Siatka 8× 8 elementów. Elementy 9-AS i 9-SRI.

4

5

6

7

8

9

10

11

12

0 20 40 60 80 100120140160180200

liczb

a ite

racj

i

P

siatka 4x4siatka 8x8

siatka 16x16

Rysunek 6.40: Półsfera z otworem. Liczba iteracji w zależności od siatki. Przyrostsiły P ref = 10. Elementy 9-AS i 9-SRI.

6.13. SKRĘCONY WSPORNIK 115

6.13 Skręcony wspornik

Wspornik jest wstępnie skręcony, ale odkształcenia początkowe są zerowe. Podob-ne wstępne skręcenie jest charakterystyczne dla geometrii np. śmigła lub łopatekturbiny. Wspornik jest utwierdzony na jednym końcu, a siła przyłożona jest w środ-ku drugiego końca, patrz Rys.6.41, gdzie podano wymiary i dane materiałowe. Wtym teście elementy mają kształt hiperboliczno-paraboliczny. W obliczeniach użytosiatki 2× 12-elementów 9-węzłowych.

Test ten zaproponowano w [MacNeal, Harder, 1985], gdzie grubość wspornikawynosiła h = 0.32. W innych pracach używana jest mniejsza grubość, gdyż wtedysilniej uwidacznia się zakleszczanie membranowe i test staje się bardziej wymagający.Np. w [Belytschko, Wong, Stolarski, 1989] użyto h = 0.0032. W poniższych testachużywane są dwie grubości: h = 0.0032 i h = 0.032.

Analizowane są dwa przypadki obciążenia; siła skupiona skierowana jest wzdłużosi 0Z lub wzdłuż osi 0Y .

x

y

z

Pz

Py

A

Rysunek 6.41: Skręcony wspornik. E = 2.9× 107, ν = 0.22.Długość 12.0, szerokość 1.1, kąt skręcenia 90◦.

Wyniki testów linowych, przeprowadzonych dla h = 0.0032 i sił Py = Pz =10−6, podano w Tabeli 6.18. Monitorowana jest składowa wektora przemieszczeniaw punkcie A przyłożenia siły i w kierunku działania siły. Wyniki obliczeń możnapodsumować następująco:

1. Dla obciążenia poprzecznego, wyniki pokazują, że elementy własne 9-AS,9ADG i 9-SRI mają bardzo dobrą dokładność, lepszą od elemetu porównaw-czego MITC9.

2. W przypadku siły w płaszczyźnie elementy MITC9 oraz S9R5 są dokładniejszeod elementów własnych,

Wyniki dla elementu 9 pokazują, że w tym przykładzie zakleszczania jest bardzosilne. Element porównawczy S9R5 zbiega od góry dla obydwu przypadków.


Tabela 6.18: Skręcony wspornik.Przemieszczenie w punkcie A (×103) w kierunku siły.

Element/obciążenie w płaszczyźnie (Pz) poprzeczne (Py)9 0.4754 0.11639-ADG 5.1823 1.29369-AS 5.2283 1.29359-SRI 5.2280 1.2934MITC9 5.2468 1.2920S9R5 5.2683 1.29589-node γ − ψ 5.2297 1.30694-EADG4 5.1888 1.2861Wart. ref. 5.2560 1.2940

Analizy nieliniowe przeprowadzono metodą długości łuku, dla dwóch grubościpowłoki. Monitorowana jest składowa wektora przemieszczenia w punkcie A przy-łożenia siły i w kierunku działania siły. Wyniki podano następująco:

1. dla h = 0.032: na Rys.6.42 i 6.43.

2. dla h = 0.0032: na Rys.6.44 i 6.45.

Otrzymane wyniki można podsumować następująco:

1. Elementy własne 9-AS i 9-SRI, oraz element porównawczy MITC9, dają pra-wie identyczne wykresy dla obu grubości wspornika, co świadczy o ich dużejodporności na zakleszczanie.

2. Element referencyjny S9R5 traci zbieżność w obu przypadkach obciążenia.Dla grubości h = 0.0032: dla obciążenia Pz przy przemieszczeniu w ≈ 7,natomiast dla obciążenia Py przy przemieszczeniu w ≈ −4.5.

3. Mechanizm zakleszczania jest silniejszy dla cieńszego (i bardziej smukłego)wspornika, co widać gdy porówna się Rys.6.45 i Rys.6.43, oraz rozwiązaniadla elementów 9 oraz 9-ADG.

4. Dla cieńszego wspornika, rozwiązania dla własnych elementów 9-węzłowych9-AS i 9-SRI różnią się od rozwiązania dla elementu 4-węzłowego 4-EADG4.

Na Rys.6.46 pokazano przykładową mapę przemieszczeń, otrzymaną dla elementuwłasnego 9-AS, grubości h = 0.032 i obciążenia normalnego Py = 200.


0

20

40

60

80

100

0 2 4 6 8 10 12

Pz

w

4-EADG4MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.42: Skręcony wspornik, h = 0.032. Obciążenie w płaszczyźnie wspornika.Rozwiązania nieliniowe dla siatki 2× 12 elementów.

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5

Py

-w

4-EADG4MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.43: Półsfera z otworem, h = 0.032. Obciążenie prostopadłe do wspornika.Rozwiązania nieliniowe dla siatki 2× 12 elementów.


0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 2 4 6 8 10 12

Pz

w

4-EADG4MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.44: Skręcony wspornik, h = 0.0032. Obciążenie w płaszczyźnie wspornika.Rozwiązania nieliniowe dla siatki 2× 12 elementów.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 1 2 3 4 5 6

Py

-w

4-EADG4MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.45: Półsfera z otworem, h = 0.0032. Obciążenie normalne do wspornika.Rozwiązania nieliniowe dla siatki 2× 12 elementów.


1y

z

x

Time = 1.80E+01Time = 1.80E+01

-3.32E+00

-3.02E+00

-2.71E+00

-2.41E+00

-2.11E+00

-1.80E+00

-1.50E+00

-1.20E+00

-8.92E-01

-5.88E-01

-2.85E-01

-3.62E+00

1.86E-02

_________________Przemieszczenie w

Py

Rysunek 6.46: Skręcony wspornik. Mapa przemieszczeń.Rozwiązanie nieliniowe elementem 9-AS. Py = 200. h = 0.032.

6.14. WSPORNIK O PRZEKROJU CEOWYM 120

6.14 Wspornik o przekroju ceowym

Wspornik pokazany na Rys.6.47 jest utwierdzony na jednym końcu, a nadrugim obciążony jednostkową siłą skupioną. Test ten zaproponowano w[Chroscielewski, Makowski, Stumpf, 1992], aby zademonstrować zdolność elemen-tów do modelowania niegładkich połączeń konstrukcji powłokowych.

Analiza tego wspornika jest dość trudna, ponieważ, ze względu na sprzężenie sta-nu membranowego ze stanem zgięciowym i skrętnym, powstaje pofałdowanie struk-tury widoczne na Rys.6.49. Do obliczeń wykorzystano regularną siatkę 5 × 18elementów, z 5 elementami w kierunku poprzecznym i 18 wzdłuż osi wspornika.

x

yz

P

6

36

2

0.05

Rysunek 6.47: Wspornik o przekroju ceowym. E = 1× 107, ν = 0.333.

Rozwiązania linowe podano w Tabeli 6.19, gdzie w to przemieszczenie pionowew punkcie przyłożenia siły. Widać, że rozwiązania dla elementów własnych niewieleróżnią się od siebie. Rozwiązania uzyskane elementami referencyjnymi S9R5 i MITC9są mniej sztywne.

Tabela 6.19: Wspornik o przekroju ceowym. Rozwiązanie liniowe dla Pz = −1.Siatka 5× 18 elementów.

Element −w × 103

9 1.15439-ADG 1.15569-AS 1.15569-SRI 1.1556MITC9 1.2839S9R5 1.16284-EADG4 1.1541Ref. 1.1544


Uwaga. Rozwiązanie referencyjne w = −1.1544 × 10−3 otrzymano w[Chroscielewski, Makowski, Pietraszkiewicz, 2004] 16-węzłowym elementem CAMdla pełnego całkowania, αt = 0.01 i siatki (2 + 3 + 2)× 9 elementów.

Obliczenia nieliniowe przeprowadzono metodą długości łuku, dla początkowego∆P = 20. Otrzymane krzywe pokazano na Rys.6.48, gdzie na krzywych zaznaczonoco 5-ty punkt rozwiązania, dla wszystkich elementów z wyjątkiem MITC9. Rezultatymożna podsumować następująco:

1. Wykresy dla elementów własnych 9-AS oraz 9-SRI pokrywają się. Mniej do-kładne rozwiązanie uzyskano dla elementu 9-ADG, natomiast nie udało sięukończyć obliczeń (iteracje były rozbieżne) elementem 9.

2. Element porównawczy S9R5 utracił zbieżność dla w ≈ −2, 7 i daje on rozwią-zanie zbyt podatne w stosunku do tych podawanych w literaturze, patrz np.[Chroscielewski, Makowski, Stumpf, 1992], [Betsch, Gruttmann, Stein, 1996].

3. Krzywa dla elementu porównawczego MITC9 jest zbliżona do krzywych dlaelementów 9-AS i 9-SRI, jednak wykazuje on trochę mniejszą sztywność.

4. Element 4-węzłowy 4-EADG4 jest wyraźnie sztywniejszy od elementów 9-węzłowych 9-AS oraz 9-SRI.

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

P

-w

4-EADG4MITC9S9R5

99-ADG

9-AS9-SRI

Rysunek 6.48: Wspornik o przekroju ceowym. Charakterystyka nieliniowa.


1

2

3

P

Rysunek 6.49: Wspornik o przekroju ceowym. Postać deformacji dla elementu 9-ASi P = 112.

-5.76E+00

-5.17E+00

-4.59E+00

-4.01E+00

-3.42E+00

-2.84E+00

-2.26E+00

-1.67E+00

-1.09E+00

-5.07E-01

7.68E-02

-6.34E+00

6.60E-01

_________________Przemieszczenie w

Rysunek 6.50: Wspornik o przekroju ceowym. Mapa przemieszczeń dla elementu9-AS i P = 112.

6.15. SKRĘCANY PIERŚCIEŃ 123

6.15 Skręcany pierścień

Pierścień kołowy jest obciążony dwoma momentami skręcającymi, patrz Rys.6.51.Analiza przeprowadzana jest dla dużych wartości momentów, wywołujących bardzozłożone postaci deformacji. Test ten zaproponowano w [Goto, et al., 1992] i stanowion trudną weryfikację możliwości elementu w zakresie dużych obrotów i skręcania.

Ciekawą własnością pierścienia jest to, że po obciążeniu momentem skręcającym,redukuje on rozmiar do 1/3 wielkości początkowej, patrz Rys.6.54. Z tego względu,może być wykorzystany np. w inżynierii astronautycznej, gdyż będzie zajmował małomiejsca podczas transportu na orbitę.

1

2

3

M M

Rysunek 6.51: Skręcany pierścień.

W modelu dyskretnym MES, patrz Rys.6.52, przyjęto, że pierścień jest utwier-dzony punktowo z jednej strony, a z drugiej obciążony punktowo momentem skrę-cającym. Do obliczeń użyto siatki 1× 124 elementów 9-węzłowych.

x y

z

0.6

utwierdzenie

Mx

6

120

Rysunek 6.52: Skręcany pierścień. E = 2× 105, ν = 0.3.

Uwaga. Warto podkreślić, że dzięki szóstemu stopniowi swobody wprowadzonemuza pomocą równana więzów na rotacje (2.1), można przyłożyć moment normalnybezpośrednio do węzła elementu skończonego. Z powodu braku tej możliwości nieuzyskano rozwiązań za pomocą elementów porównawczych, MITC9 oraz S9R5. Abyominąć to ograniczenie, w niektórych pracach, np. [Rebel, 1998], stosowana jest do-datkowa sztywna płytka.


Wyniki analiz liniowych podano w Tabeli 6.20. Widać, że elementy 9 oraz 9-ADGnie wykazują zakleszczania i dają wyniki porównywalne do wyników dla elementów9-AS i 9-SRI. Rozwiązania dla elementów 9-AS i 9-SRI są identyczne. Rozwiązanieuzyskane elementem 4-węzłowym 4-EADG4 różni się o około 9% od rozwiązań dlaelementów 9-węzłowych 9-AS i 9-SRI.

Tabela 6.20: Skręcany pierścień. Rozwiązanie liniowe. Mx = 10.

Element Obrót φx × 102

9 1.98469-ADG 1.99589-AS 1.99719-SRI 1.99714-EADG4 1.8200

Wyniki analiz nieliniowych, przeprowadzonych metodą długości łuku dla∆Mx = 10, zamieszczono na Rys.6.53, gdzie na krzywych zaznaczono co 15-typunkt rozwiązania. Otrzymane krzywe mogą być skomentowane następująco:

1. Elementy własne 9-AS oraz 9-SRI dają identyczne krzywe, natomiast elementwłasny 9-ADG daje krzywą bardzo od nich odbiegającą. Krzywa dla elementu9 jest bliska krzywej dla elementów 9-AS oraz 9-SRI.

2. Elementy 9-węzłowe dają mniej sztywne rezultaty niż 4-węzłowy element 4-EADG4, dla którego krzywa jest przesunięta w lewą stronę.

3. W pracy [Goto, et al., 1992] nie uzyskano rozwiązań z ujemnym momentem,natomiast wyniki z Rys.6.53 potwierdzają rozwiązania z [Rebel, 1998], gdzie,pod koniec deformacji, moment przyjmuje wartość ujemną.

4. Przemieszczenia styczne w punkcie obciążenia pozostają zerowe podczas całegoprocesu deformacji, bez stosowania warunków brzegowych.

Kolejne stadia deformacji pierścienia, dla całego zakresu wartości momentu skręca-jącego, pokazano na Rys.6.54.


-200

0

200

400

600

800

0 1 2 3 4 5 6

Mom

ent

x-rot

4-EADG49

9-ADG9-AS

9-SRI

Rysunek 6.53: Skręcany pierścień. Wykres moment skręcający-kąt skręcenia wokółosi x w punkcie przyłożenia momentu.

1

2

31

2

3

1

2

3

1

2

31

2

31

2

3

1. 2. 3.

4. 5. 6.

M

Rysunek 6.54: Skręcany pierścień. Kolejne stadia deformacji.

6.16. PODSUMOWANIE TESTÓW 126

6.16 Podsumowanie testów

Szczegółowe omówienie zachowania się opracowanych elementów 9-węzłowych i po-równania z elementami odniesienia zamieszczono dla każdego z testów oddzielnie wpoprzednich rozdziałach. Poniżej zamieszczono charakterystyki i uwagi o charakterzeogólnym.

Ogólna charakterystyka przeprowadzonych testów. Łącznie przeprowadzo-no 17 testów numerycznych, wliczając w to 3 testy bazowe z Rozdz.6.2. Przeprowa-dzono analizy następujących typów:

1. zagadnienie na wartości własne: 1 test z Rozdz.6.1,

2. testy liniowe: 16 testów z Rozdz.6.2-6.15,

3. testy nieliniowe: 10 testów z Rozdz.6.6-6.15, z zastosowaniem metody New-tona lub metody długości łuku (kontynuacji).

Zestaw testów składa się z:

1. klasycznych testów z katalogu zaproponowanego w [MacNeal, Harder, 1985],np. test z Rozdz.6.3, 6.4, 6.7, 6.12, 6.13, przy czym niektóre z nich uzupełnionoo analizę nieliniową, oraz

2. nowszych testów wybranych z literatury, przy czym niektóre z nich wymagajązaawansowanych cech elementów powłokowych, takich jak:

(a) uwzględnianie dużych (nieograniczonych) rotacji, np. test z Rozdz.6.15,

(b) posiadanie rotacji normalnej jako stopnia swobody, przy czym jej wielkośćnie może być ograniczona, np. test z Rozdz.6.6, 6.8, 6.15,

(c) techniki eliminujące zakleszczanie membranowe i zakleszczania od ścina-nia poprzecznego, np. test z Rozdz.6.5, 6.11, 6.12, 6.13, 6.14.

Syntetyczna ocena elementów na podstawie testów liniowych. Aby mócporównać dokładność elementów w zakresie liniowym utworzono Tabelę 6.21, w któ-rej umieszczono uśrednione procentowe błędy dla tych testów liniowych dla którychznana była wartość odniesienia. Każdemu testowi przypisano 1 liczbę, uśredniającotrzymane wcześniej, dla różnych siatek i rodzajów obciążenia, wyniki. Rezultatyzawarte w Tabeli 6.21 świadczą o różnicach pomiędzy porównywanymi elementami;dokładność rozwiązań można oczywiście poprawić stosując gęstsze siatki.

Elementy własne, 9-AS, 9-SRI oraz 9-ADG, okazały się dokładniejsze od ele-mentów referencyjnych, MITC9 i S9R5. Różnica nie jest duża, ale w wielu testachwyraźnie zauważalna.

6.16. PODSUMOWANIE TESTÓW 127

Tabela 6.21: Uśrednione błędy w testach liniowych (w %) .

Średni procentowy błąd dla elementuTest (Rozdz.) 9 9-ADG 9-AS 9-SRI MITC9 S9R5 4-EADG4Prosty wspornik (6.3) 2.7 1.9 1.8 1.9 2.9 4.5 4.8Zakrzywiony wspornik (6.4) 4.1 1.9 1.9 1.9 3.6 5.2 1.7Smukły wspornik (6.6) 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0Membrana Cooka (6.7) 9.4 4.7 4.7 4.7 3.8 6.1 7.5Hak Raascha (6.8) 2.7 0.7 0.7 0.7 1.0 1.2 2.7Cylinder z przeponami (6.11) 84.6 10.4 10.3 10.3 14.6 12.6 14.0Półsfera z otworem (6.12) 86.1 1.1 0.6 0.7 10.9 0.6 1.8Skręcony wspornik (6.13) 91.0 0.7 0.3 0.3 0.2 0.2 0.9Sumaryczny średni błąd w % 35.1 2.7 2.5 2.6 4.6 3.8 4.2

Uwagi dotyczące przydatności poszczególnych elementów własnych.

1. Standardowy element 9 nie ma praktycznego znaczenia, ponieważ jest sil-nie przesztywniony, na skutek zakleszczania membranowego i od ścinania po-przecznego. Jest on stosowany wyłącznie w celach porównawczych, by zade-monstrować skuteczność metod eliminujących zakleszczanie zastosowanych winnych elementach.

2. Element 9-ADG w zakresie liniowym daje wyniki porównywalne do tych dlaelementów 9-AS i 9-SRI. Jednak w kilku nieliniowych testach, np. tych zRozdz.6.8, 6.10, 6.12, 6.13, element 9-ADG daje rezultaty odbiegające odpoprawnych. Jeśli uwzględnić bardziej skomplikowaną implementację meto-dy ADG w porównaniu z metodą AS, to wydaje się, że stosowanie metodyADG w obecnej wersji nie jest celowe.

3. Element 9-AS jest najdokładniejszy w testach liniowych, patrz Tabela 6.21, ibardzo dobrze zachowuje się w testach nieliniowych. Podsumowując zadaniatestowe, można stwierdzić, że zastosowana w tym elemencie metoda AS dlaskładowych odkształcenia w ortonormalnej bazie w środku elementu, nie ustę-puje w niczym metodzie opartej na składowych kowariantych odkształcenia,użytej w elemencie referencyjnym MITC9.

4. Element 9-SRI ma własności zbliżone do własności elementu 9-AS. Opracowa-na metoda SRI nie jest całkowicie równoważna technice AS, jednak element9-SRI jest efektywny i stabilny i dlatego może być stosowany do modelowaniapowłok sprężystych.

Podsumowując, elementy 9-AS i 9-SRI zbiegają monotonicznie wraz z zagęszcza-niem siatki i dają rozwiązania obarczone małym błędem, mniejszym niż elementyreferencyjne. Poza tym, charakteryzują się bardzo dobrą dokładnością i zbieżnościąw testach nieliniowych.

Rozdział 7

Podsumowanie

Zdaniem autora, w rozprawie otrzymano następujące oryginalne rezultaty:

1. Opracowano podstawy teoretyczne 9-węzłowych nieliniowych elementów po-włokowych bazujących na kinematyce Reissnera oraz na tensorze odkształce-nia Greena. Sformułowanie uwzględnia rotację wokół wektora normalnego dopowierzchni powłoki i dopuszcza duże (nieograniczone) rotacje.

2. Opracowano metodę dwustopniowej aproksymacji odkształceń (AS), eliminu-jącą zakleszczanie od ścinania poprzecznego i zakleszczanie membranowe, orazzaproponowano szereg jej modyfikacji, polegających na:

(a) łącznym traktowaniu próbkowania i całkowania numerycznego. Prowadzito do zastąpienia 6 punktów próbkowania przez 2 linie próbkowania, copoprawia efektywność elementów.

(b) zastosowaniu dwustopniowej aproksymacji do składowych w ortonormal-nej bazie w środku elementu, co poprawia efektywność i dokładność ele-mentu. Odróżnia to opracowane elementy od elementów z rodziny MITC,w których używane są składowe kowariantne odkształcenia.

(c) opracowaniu metody dwustopniowej aproksymacji nie tylko w zastosowa-niu do pola odkształceń (AS), ale także do pola gradientu przemieszczenia(ADG). W tym ostatnim przypadku modyfikowane jest również równaniewięzów na rotacje.

3. Zaproponowano aby technikę selektywnego zredukowanego całkowania (SRI)zastosować nie tylko do składników energii odkształcenia odpowiedzialnychza zakleszczanie, lecz także do innych członów wywołujących przesztywnienie.Wyselekcjonowano odpowiednio niskie reguły całkowania, otrzymując elemento bardzo dobrej dokładności i efektywności.

4. Opracowano kwestię początkowych zniekształceń elementu (Rozdz.4.4), ro-zumianych w sensie odstępstwa początkowego kształtu elementu od kształtukwadratowego, z regularnie rozmieszczonymi węzłami.

129

Pokazano, że zniekształcenia tego typu mogą prowadzić do zmiany orientacjibazy lokalnej, w tym najeżenia (zwrotu) wektora normalnego t3, co powodujeproblemy z dokładnością obliczeń. Podano prosty jednowymiarowy przykład,który pokazuje, że zmiana położenia węzła środkowego prowadzić może dozmiany zwrotu wektora stycznego bazy naturalnej.

5. Zaimplementowano 4 oryginalne 9-węzłowe elementy powłokowe i, w celu zwe-ryfikowania ich własności, poddano je szeregowi rygorystycznych testów linio-wych i nieliniowych; podsumowanie tych testów zamieszczono w Rozdz.6.16.

Testy te wykazują, że elementy oznaczone jako 9-AS i 9-SRI, posiadają bar-dzo dobre własności i w wielu testach wykazują wyższość nad elementami zprofesjonalnych pakietów MES.

Opracowane elementy powłokowe mogą być stosowane do modelowania powłok zniegładką powierzchnią środkową, np. z krawędziami i narożami, oraz być łączone ztrójwymiarowymi elementami belkowymi, posiadającym 6 stopni swobody w węźle.

Bibliografia

[ABAQUS] ABAQUS. Ver.6.6-2. 35, 78, 100

[AceGen] AceGen Manual (http://www.fgg.uni-lj.si/Symech/) 30, 77

[ADINA] ADINA. Ver.8.3.1. 78

[Allgower, Georg, 1990] Allgower E.L., Georg K.: Numerical Continuation Methods.Springer-Verlag (1990) 33

[Argyris, 1982] Argyris J.: An excursion into large rotations. Comput. MethodsAppl. Mech. Engng., Vol.32, 85–155 (1982)

[Basar, Ding, 1992] Basar, Y., Ding Y.: Finite-Rotation Shell Elements for the Ana-lysis of Finite-Rotation Shell Problems. Int. J. Num. Meth. Engng,Vol.34, 165-169 (1992) 139

105

[Bathe, Brezzi, Fortin, 1989] Bathe, K-J., Brezzi F., Fortin M.: Mixed interpolatedelements for Reissner-Mindlin plate. Int. J. Num. Meth. Engng, Vol.28,1787-1801 (1989) 4

[Bathe, Dvorkin, 1985] Bathe, K-J., Dvorkin E.N.: A four-node plate bending ele-ment based on Mindlin-Reissner plate theory and mixed interpolation.Int. J. Num. Meth. Engng, Vol.21, 367–383 (1985) 4, 6

[Bathe, Dvorkin, 1986] Bathe, K-J., Dvorkin E.N.: A formulation of general shellelements - The use of mixed interpolations of tensorial components. Int.J. Num. Meth. Engng, Vol.22, 697-722 (1986) 6

[Bathe, Wilson 1976] Bathe, K-J., Wilson, Edward L.: Numerical methods in finiteelement analysis. Prentice–Hall (1976) 49

[Belytschko, Liu, Moran, 2000] Belytschko T., Liu W.K., Moran B.: Nonlinear Fi-nite Elements for Continua and Structures. Wiley, 2000 26

[Belytschko, Liu, Ong, 1987] Belytschko T., Liu W. K., Ong J.S.: Mixed variationalprinciples and stabilization of spurious modes in the 9-node element,Comput. Methods Appl. Mech. Engng., Vol.62, 275–292 (1987) 5

BIBLIOGRAFIA 131

[Belytschko, Ong, Liu, 1985] Belytschko T., Ong J.S., Liu W.K.: A consistent con-trol of spurious singular modes in the 9-node Lagrangian element for theLaplace and Mindlin plate equations. Comput. Methods Appl. Mech.Engng., Vol.44, 269–295 (1985) 5

[Belytschko, Wong, Stolarski, 1989] Belytschko T., Wong B.L., Stolarski H.: Assu-med strain stabilization procedure for the 9-node Lagrange Shell element.Int. J. Num. Meth. Engng, Vol.28, 385–414 (1989) 5, 6, 76, 78, 84, 107,111, 115

[Bergan, Horrigmoe, Krakeland, Soreide, 1978] Bergan P.G., Horrigmoe G., Krake-land B., Soreide T.H.: Solution technigues for nonlinear finite elementproblems. Int. J. Num. Meth. Engng, Vol.12, pp.1677-1696 (1978)

[Betsch, Gruttmann, Stein, 1996] Betsch, P., Gruttmann, F., Stein, E.,: A 4-nodefinite shell element for the implementation of general hyperelastic 3D-elasticity at finite strains. Comput. Methods Appl. Mech. Engng.,Vol.130, 57-79 (1996) 33

121

[Bicanic, Johnson, 1979] Bicanic, N., Johnson, K.W.: Who was ’Raphson’? Int. J.Num. Meth. Engng, Vol 14, pp.148-152 (1979) 32

[deBoer, 1982] deBoer R.: Vector- und Tensorrechnung fur Ingenieure. Springer-Verlag (1982)

[Bonet, Wood, 1997] Bonet J., Wood R.D.: Nonlinear Continuum Mechanics forFinite Element Analysis Cambridge University Press, Cambridge (1997)139

14

[Bucalem, Bathe, 1993] Bucalem, M., L., Bathe K-J.: Higher-order MITC generalshell elements. Int. J. Num. Meth. Engng, Vol.36, 3729-3754 (1993) 6,68, 69

[Buechter, Ramm, 1992] Buechter N., Ramm E.: Shell theory versus degeneration- a comparison in large rotation finite element analysis. Int. J. Num.Meth. Engng, Vol.34, 39–59 (1992) 105

[Chapelle, Bathe, 2003] Chapelle D., Bathe K.J.: The finite element analysis ofshells-Fundamentals. Springer (2003) 6

[Chroscielewski, Nolte 1985] Chroscielewski J., Nolte L-P.: Strategien zur Losungnichtlinearer Probleme der Strukturmechanik und ihre modulare Au-fbereitung im Konzept MESY. Mitt Institut fur Mechanik, 48, Ruhr-Universitat, Bochum (1985) 35

BIBLIOGRAFIA 132

[Chroscielewski, Makowski, Stumpf, 1992] Chroscielewski J., Makowski J., StumpfH.: Genuinely resultant shell finite elements accounting for geometricand material nonlinearity. Int. J. Num. Meth. Engng, Vol.35, 63–94(1992) 120, 121

[Chroscielewski, Makowski, Pietraszkiewicz, 2004] Chróścielewski J., Makowski J.,Pietraszkiewicz W.: Statyka i dynamika powłok wielopłatowych. Nie-liniowa teoria i metoda elementów skończonych. Biblioteka MechanikiStosowanej. IPPT PAN Warszawa (2004) 51, 121

[Cook, 1976] Cook R.D.: Improved two dimensional finite element. J. Struct. Div.ASCE, Vol.100, 1851-1863 (1976) 98

[Crisfield, 1980] Crisfield M.A.: Incremental/iterative solution procedures for non-linear structural analysis. In C.Taylor, E.Hinton,D.R.J.Owen, andE.Onate, editors Numerical Methods for Nonlinear Problems PrineridgePress, Swansea (1980)

[Dennis, Schnabel, 1983] Dennis J.E., Schnabel R.B.: Numerical Methods for Un-constrained Optimization and Nonlinear Equations. Prentice-Hall (1983)33

32

[Dvorkin, Bathe, 1984] Dvorkin E.N., Bathe, K-J.: A continuum mechanics basedfour -node shell element for general nonlinear analysis. Eng. Comput.,Vol.1, 77-88 (1984) 6, 64, 67, 71

[Donnell, 1934] Donnell L.H.: A new theory for the buckling of thin cylinders underaxial compression and bending. Trans. Am. Soc. Mech. Engrs, Vol.56,p.795 (1934) 58, 63

[Eriksson, 2002] Eriksson A.: Some aspects of shell instability analyses. CanCNSM,Vancouver, June 19-23 (2002) 101

[FEAP] FEAP - A Finite Element Analysis Program. Version 8.1 User Manual77

[Fung, 1989] Fung Y.C.: Podstawy Mechaniki Ciała Stałego PWN, Warszawa (1969)21

[Goto, et al., 1992] Goto Y., Watanabe Y., Kasugai T., Obata M.: Elastic BucklingPhenomenon Applicable to Deployable Rings. International Journal ofSolids and Structures Vol.29, pp.893-909 (1992) 123, 124

[Goldstein, 1980] Goldstein H.: Classical Mechanics. 2nd Edition. Addison Wesley,Reading, Massachusetts (1980)

BIBLIOGRAFIA 133

[Green, Adkins,1970] Green A.E., Adkins J.E.: Large Elastic Deformations. 2ndEdition. Oxford Univ. Press (1970)

[Griewank, 1989] Griewank, A.: On Automatic Differentiation, Mathematical Pro-gramming: Recent Developments and Applications Kluwer Academic Pu-blisher, Amsterdam, 1989. 139

21

30

[Hill, 1978] Hill R.: Aspects of Invariance in Solids Mechanics. Advanced AppliedMechanics, Vol.18, 1-75 (1978) 22

[Huang, 1988] Hou-Cheng Huang: Static and Dynamic Analyses of Plates andShells. Theory, Software and Applications Springer-Verlag (1988) 5,6, 7, 16, 26, 57, 58, 59, 76

[Huang, Hinton, 1984] Huang H.C., Hinton E.: A nine node Lagrangian Mindlinplate element with enhanced shear interpolation. Eng. Comput., Vol.1,369-379 (1984) 4, 6, 66, 67

[Huang, Hinton, 1986] Huang H.C., Hinton E.: A new nine node degenerated shellelement with enhanced membrane and shear interpolation. Int. J. Num.Meth. Engng, Vol.22, 73-92 (1986) 6, 19, 67, 68, 75

[Hughes, Cohen, Haroun, 1978] Hughes, T.J.R., Cohen, M., Haroun, M.: Reducedand selective integration techniques in the finite element analysis of pla-tes. Nucl. Eng. Design, Vol.46, 203-222 (1978) 5, 74

[Hughes, 1987] Hughes, T.J.R.: The Finite Element Method. Linear Static and Dy-namic Finite Element Analysis. Prentice-Hall (1987) 16, 26, 40

[Hughes, Brezzi, 1989] Hughes T.J.R., Brezzi F.: On drilling degrees of freedom.Comput. Methods Appl. Mech. Engng., Vol.72, 105-121 (1989) 15, 41

[Hughes, Tezduyar, 1981] Hughes T.J.R., Tezduyar T.E.: Finite elements basedupon Mindlin plate theory with particular reference to the four-node iso-parametric element. J. Appl. Mech., Vol.48, 587-596 (1981) 6, 64

[Jang, Pinsky, 1987] Jang J., Pinsky P.M.: An assumed covariant strain based 9-node shell element. Int. J. Num. Meth. Engng, Vol.24, 2389-2411 (1987)6, 68, 107

[Kant, 1993] Kant E.: Synthesis of mathematical modeling software. IEEE SoftwareVol.10 30–41 (1993) 30

[Kleiber, 1989] Kleiber M.: Wprowadzenie do Metody Elementów Skończonych.IPPT PAN, PWN Warszawa - Poznań (1989) 49

BIBLIOGRAFIA 134

[Knight, 1996] Knight, N.F.Jr. The Raasch Challenge for Shell Elements. 37thAIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics, andMaterial Conference, Salt Lake City, CP 962, 450–460 (1996) 100

[Korelc, 2002] Korelc J.: Multi-language and multi-environment generation of nonli-near finite element codes. Engineering with Computers, Vol.18, pp.312-327 (2002) 30, 77

[Koschnick, Bischoff, Camprubi, Bletziger, 2005] Koschnick F., Bischoff G.A.,Camprubi N., Bletziger K.U.: The discrete strain gap method andmembrane locking. Comput. Methods Appl. Mech. Engng., Vol.194,2444-2463 (2005) 93

[Kreja, Shmidt, Reddy, 1997] Kreja I., Shmidt R., Reddy J.N.: Finite elements ba-sed on a first-order shear deformation moderate rotation shell theorywith applications to the analysis of composite structures. Int. J. Non-linear Mechanics, Vol.32, No.6 1123-1142 (1997) 76

[MacNeal, 1978] MacNeal, R.H.: A simple quadrilateral shell element, Computers& Structures, Vol.8, No.2, 175–183 (1978) 6, 64

[MacNeal, 1982] MacNeal, R.H.: Derivation of element stiffness matrices by assu-med strain distributions. Nuclear Engineering and Design, Vol.70, 3–12(1982) 6, 64

[MacNeal, Harder, 1985] MacNeal R.H., Harder R.L.: A proposed standard set ofproblems to test finite element accuracy. Finite Element in Analysis andDesign. Vol.1, pp.3-20 (1985) 79, 90, 92, 110, 115, 126

[Marguerre, 1939] Marguerre K.: Zur theorie der gekrummten platte grosser forman-derung. Proc Intl Congress Appl Mech 5-93 , 1939 57, 63

[Marsden, Hughes, 1983] Marsden J.E., Hughes T.J.R.: Mathematical foundationsof elasticity. Prentice-Hall, 1983 32

[Mathematica] Mathematica Manual (http://www.wolfram.com/) 30

[Ogden, 1984] Ogden R.: Non-Linear Elastic Deformations. Ellis Horwood, Chiche-ster, UK (1984) 12

[Ogden, 2003] Ogden R.: Nonlinear Elasticity with Application to Material Model-ling. IPPT AMAS, Lecture notes Vol.6 (2003) 21

[Ostrowska-Maciejewska, 1994] Ostrowska-Maciejewska J.: Mechanika Ciał Od-kształcalnych. IPPT PAN, Warszawa (1994) 13

[Panasz, Wisniewski, 2007] Panasz P., Wisniewski K.: Nine-node shell elements with6 dofs/node based on two-level approximations. Submitted (2007) 69

BIBLIOGRAFIA 135

[Parish, 1979] Parisch, H.: A critical survey of the 9 node degenerated shell elementwith special emphasis on thin shell application and reduced integration,Comput. Methods Appl. Mech. Engng.Vol.20, 323–350 (1979) 76

[Park, 1986] Park K.C.: Improved strain interpolation for curved C0 elements. Int.J. Num. Meth. Engng, Vol.22, 281–288 (1986) 5

[Park, Stanley, 1986] Park K.C, Stanley G.M.: A Curved C0 Shell Element Basedon Assumed Natural-Coordinate Strains. Transactions of the ASME,Vol.53, 278–290 (1986) 5, 6, 68

[Pietraszkiewicz, 1979] Pietraszkiewicz W.: Finite rotations and Lagrangean de-scription in the non-linear theory of shells. Polish Scientific Publisher,Warszawa - Poznan (1979) 20, 139

[Pietraszkiewicz, 1984] Pietraszkiewicz W.: Lagrangian description and incrementalformulation in the nonlinear theory of thin shells. Int. J. Nonlin. Mech.,Vol.19, 115-140 (1984) 20

[Pietraszkiewicz, 1989] Pietraszkiewicz W.: Geometrically nonlinear theories of thinelastic shells. Adv. Mech., Vol.12, 51-130 (1989) 20

[Pietraszkiewicz, Badur, 1983] Pietraszkiewicz W., Badur J.: Finite rotations in thedescription of continuum deformation. Int. J. Engng Sci., Vol.21, No.9,1097-1115 (1983)

[Rayleigh, 1870] Rayleigh (J.W. Strutt): On the theory of resonance Trans. Roy.Soc., London A161:77-118 (1870) 139

[Ramm, 1981] Ramm E.: Strategies for Tracing the Nonlinear Response Near LimitPoints. Proc. Europe-U.S. Workshop, Bochum 1980, 63-89. Wunderlich,Stein, Bathe (eds). Springer-Verlag (1981) 29

33, 102

[Rebel, 1998] Rebel G.: Finite rotation shell theory including drill rotations and itsfinite element implementation. Delft University Press (1998) 123, 124

[Riks, 1970] Riks, E.: On the numerical solution of snapping problems in the theoryof elastic stability. SUDAAR Vol.401, Stanford University (1970) 33

[Riks, 1972] Riks, E.: The application of of Newton’s method to the problem of elasticstability. J.Appl.Mech. Vol.39, 1060–1066 (1972) 33

[Ritz, 1908] Ritz, W.: Uber eine neue Methode zur Losung gewisser variarionspro-blem der mathematischen physik J. Reine angew. Math., Vol. 135, 1-61(1908) 29

BIBLIOGRAFIA 136

[Robinson, Blackham, 1979] Robinson J., Blackham S.: An evaluation of lower ordermembranes as contained in MSC/NASTRAN, ASA and PAFEC FEMSystems. Robinson and Associates, Dorset, England (1979) 79

[Sadlowski, 2007] Sadłowski P.: Parametryzacje rotacji i algorytmy rozwiązywaniarównań dynamiki z rotacyjnymi stopniami swobody. Praca doktorska,IPPT PAN, Warszawa (2007) 139

[Sansour, Bednarczyk, 1995] Sansour C., Bednarczyk H.: The Cosserat surface asa shell model, theory and finite-element formulation. Comput. MethodsAppl. Mech. Engng., Vol.120, 1–32 (1995) 102

[Schoop, Hornig, Wenzel, 2002] Schoop, H., Hornig, J., Wenzel, T.: Remarks on Ra-asch’s Hook. Technische Mechanik, Band 22, Heft 4, 259–270 (2002) 100

[Schweizerhof, 1989] Schweizerhof K.H.: Consistent linearization for path followingmethods in nonlinear FE analysis. Institut fur Baustatik, 9, UniversitatFridericiana, Karlsruhe (1989) 35

[Simo, 1992] Simo J.C.: The (symmetric) Hessian for geometrically nonlinear mo-dels in solid mechanics: Intrinsic definition and geometric interpreta-tion. Comput. Methods Appl. Mech. Engng., Vol.96, 189-200 (1992) 32

[Simo, Fox, Rifai, 1990] Simo J.C., Fox D.D., Rifai M.S.: On a stress resultant geo-metrically exact shell model. Part III: Computational aspects of the non-linear theory. Int. J. Num. Meth. Engng, Vol.79, 21-70 (1990) 102

[Simo, Fox, Hughes, 1992] Simo J.C., Fox D.D., Hughes T.J.R.: Formulations offinite elasticity with independent rotations. Int. J. Num. Meth. Engng,Vol.95, 227-288 (1992) 15

[Simo, Hughes, 1989] Simo, J.C., Hughes, T.J.R.: Computational Inelasticity. Sprin-ger, 1998 14

[Stolarski, Belytschko, 1982] Stolarski H., Belytschko T.: Membrane locking and re-duced integration for curved elements. J. Appl. Mech. ASME, Vol.49,172-6 (1982) 4

[Stroud, Secrest 1966] Stroud A.H., Secrest D.: Gaussian Quadrature FormulasPrentice-Hall (1966) 39

[Truesdell, Noll, 1965] Truesdell C., Noll W.: The Non-Linear Field Theory. Hand-buch der Physik, Vol.III/3, Springer-Verlag (1965) 23

[Wang, 1986] Wang P.S.: Finger: a symbolic system for automatic generation ofnumerical programs in finite element analysis J. Symbol Comput, Vol.2,305–316 (1986) 30

BIBLIOGRAFIA 137

[Warren, 1989] Warren C.Y.: Roark’s Formulas for Stress and Strain. 6-th Edition.Mc Graw-Hill, 1989. 90, 93

[Waszczyszyn, 1981] Waszczyszyn, Z.: Problemy numeryczne nieliniowej analizystateczności konstrukcji sprężystych. W: Współczesne metody analizystateczności konstrukcji (praca zbiorowa) Ossolineum, Wrocław, 341-380(1981) 33

[Wempner, 1971] Wempner G.: Discrete Approximations Related to Nonlinear The-ories of Solids. Int. J. Solids Struct., Vol.7, 1581-1599 (1971) 33

[Wisniewski, 1997] Wisniewski K.: Finite rotations of shells and beams. Extendedequations and numerical models. IFTR Reports 9/1997 23, 139

[Wisniewski, Turska, 2000] Wisniewski K., Turska E.: Kinematics of finite rotationshells with in-plane twist parameter. Comput. Methods Appl. Mech.Engng.Vol.190, No.8-10. 1117–1135 (2000) 13

[Wisniewski, Turska, 2001] Wisniewski K., Turska E.: Warping and in-plane twistparameter in kinematics of finite rotation shells, Comput. MethodsAppl. Mech. Engng.Vol.190, No.43–44, 5739–5758 (2001) 13

[Wisniewski, Turska, 2002] Wisniewski K., Turska E.: Second order shell kinematicsimplied by rotation constraint equation, J. Elasticity, Vol.67, pp.229-246(2002). 13

[Wisniewski, Turska, 2006] Wisniewski K., Turska E.: Enhanced Allman quadrilate-ral for finite drilling rotations. Comput. Methods Appl. Mech. Engng.,Vol.195, No.44-47, pp.6086-6109 (2006) 81

[Wolfram, 1991] Wolfram, S.: A system for Doing mathematics by ComputerAddison-Wesley, Reading, MA, 1991 30

[Woźniak (ed), 2001] Wozniak Cz. (ed): Mechanika Techniczna. Tom VIII. Mecha-nika sprężystych płyt i powłok. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa(2001) 24

[Zienkiewicz, Taylor, 1989] Zienkiewicz O.C, Taylor R.L.: The Finite Element Me-thod. Fourth Edition. Vol.1. Basic Formulation and Linear Problems.McGraw-Hill (1989) 40, 77, 89

[Zienkiewicz, Taylor, 2005] Zienkiewicz O.C, Taylor R.L.: The Finite Element Me-thod for Solid and Structural mechanics. Sixth Edition. Butteworth-Heinemann (2005) 14, 26

[Zienkiewicz, Taylor, Too, 1971] Zienkiewicz, O.C., Taylor, R.L., Too, J.M. ReducedIntegration Technique in General Analysis of Plates and Shells’. Int. J.Num. Meth. Engng, Vol.3, 275-290 (1971) 5

Dodatek A

Parametryzacja kanonicznatensora rotacji

Twierdzenie Eulera. Dla dwóch dowolnych baz ortonormalnych, istnieje wek-tor, oraz kąt taki, że obracając jedną z baz wokół tego wektora o wspomniany kąt,otrzymamy drugą z nich. Wektor ten jest równoległy do wektora własnego tenso-ra ortogonalnego przekształcającego jedną bazę na drugą odpowiadającego wartościwłasnej 1.

Korzystając z twierdzenia Eulera, można analizować obrót dowolnego wektorav wokół wektora jednostkowego e o kąt ω, patrz Rys.A.1.

e

v

Q

P’

Qv

P

e1

e2

Rysunek A.1: Obrót wektora v wokół wektora e.

Położenie obróconego wektora Qv uzyskuje się sumując wektory pomocnicze

Qv = v +−→PQ+

−→QP

′, (A.1)

gdzie −→PQ = (1− cosω) e2,

−→QP

′= (sinω) e1. (A.2)

139

Ortonormalne wektory bazy e1 i e2 zdefiniowane są za pomocą wektorów eoraz v w następujący sposób

e1 =e× v|e× v| , e2 = e× e1. (A.3)

Po podstawieniu, równ.(A.1) przyjmuje postać

Qv = v + sinωe1 + (1− cosω)e2. (A.4)

Wprowadźmy skośnie-symetryczny tensor S ∈ SO(3), taki, że wektor e jestjego wektorem osiowym, tzn. Se = 0. Dla tensora skośnie-symetrycznego zachodzirówność ST = −S. Może być on wyrażony za pomocą wektorów e1 i e2 leżącychw płaszczyźnie prostopadłej do e, co widać na Rys.A.1. Przyjmując S .= e1 ⊗e2 − e2 ⊗ e1, iloczyny wektorowe wyrażone formułami (A.3) mogą zostać zapisanejako,

e× v = Sv, e× (e× v) = S2v. (A.5)

Wtedy równanie (A.4) zapisuje się

Qv = v + sinωSv + (1− cosω)S2v = [I + (sinω)S + (1− cosω)S2]v. (A.6)

W ten sposób otrzymano tensor rotacji w postaci

Q = I + sinωS + (1− cosω)S2. (A.7)

Tensor ten należy do grupy tensorów ortogonalnych, SO(3), takich, że QTQ = Ioraz det Q = +1.

Parametryzacja trójparametrowa kanoniczna. Zdefiniujmy kanoniczny pseu-dowektor rotacji,

φ.= ω e. (A.8)

Odpowiadający mu tensor skośnie-symetryczny to φ = φ× I, gdzie iloczyn wek-torowy wektora i tensora zdefiniowano np. w [deBoer, 1982]. W efekcie mamy,

φ = ωS, ω = ‖φ‖ =√φ · φ 0, (A.9)

i tensor rotacji (A.7) przyjmuje postać

Q(φ) .= I +sinωωφ+

1− cosωω2

φ2. (A.10)

Ta postać nazywana jest formułą Rodriguesa, patrz np. [Argyris, 1982],[Goldstein, 1980].

Warto zauważyć, że opisana powyżej parametryzacja tensora Q jest jed-ną z wielu spotykanych w literaturze. Porównanie kilku z nich zawarto np. wpracach [Pietraszkiewicz, 1979], [Pietraszkiewicz, Badur, 1983], [Wisniewski, 1997],[Sadlowski, 2007]. Oczywistą zaletą tej parametryzacji jest użycie tylko 3 parame-trów, będących trzema składowymi wektora rotacji, φ

.= {φ1,φ2,φ3}.

Documents

Nieliniowe modele powłok z 6 stopniami swobody bazujące na