Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava
Pružnost a plasticita, 2.ročník kombinovaného studia
Normálová napětí v prutech namáhaných na ohyb
• Základní vztahy a předpoklady řešení• Výpočet normálového napětí
• Dimenzování nosníků namáhaných na ohyb
• Složené případy namáhání
2
Pruty namáhané na ohyb
ba
M
l
M
M
M
+M
V
Při ohybu prutu vznikají v jeho průřezech ohybové momenty a zpravidla i posouvající síly.
Prostý ohyb
0, ≠yz MV0==== zxy MMVNV rovině xz platí:
Rovinný ohyb: vnitřní i vnější síly leží v rovině xy nebo xz – hlavní roviny.
0, ≠zy MV0==== yxz MMVNV rovině xy platí:
5
Normálová napětí při ohybu – základní předpoklady
b) podélná vlákna na sebe vzájemně netlačí
0== zy σσ
a) průřezy rovinné a kolmé k ose prutu před deformací zůstávajírovinnými a kolmými k deformované ose (Bernoulliovahypotéza)
Předpoklad má povahu deformačně – geometrickou.
a
M
b
M
z
x
z
y
y
z
Daniel Bernoulli(1700 - 1782)
Platí pouze v pružné oblasti – platnost Hookeova zákona!
6
Vztahy mezi vnitřními silami a napětími v průřezu prutu
+z
+x
+y
N
zV
yV
Průřez prutu
Těžiště průřezu
Střednice prutu
y
z
AN x d.d σ= ANA
xd∫= σ
xσxyτ
xzτ
( ) Adz.z.NMA
xy ∫== σ
obdobně
Působiště výslednice vnitřních sil
( ) Ady.y.NMA
xz ∫−=−= σ
dosazením
7
Určení normálového napětí za ohybu
Normálové napětí σx probíhajílineárně po výšce nosníku a extrémníhodnoty vznikají v krajních bodech. Naopak nulové hodnoty jsou v tzv. neutrálné ose (z = 0).
z
xσ
maxσ
maxσ
Neutrálná osa je s osou těžištní shodná pouze u jednoduchého zatížení.
zAB
C ED
ϕd
xd∆xd
x ′d
r
x = n
y
y
xI
z.M=σ
e
IW
y
y =
Extrémní napětí bude v krajních vláknech pro z = e.
y
y
y
y
W
Me
I
M==maxσ
e
9
Výpočet extrémních normálových napětí za ohybu (rovina xz)
Symetrický průřez
z
y
x
ílndo,y
y
ílndo,xW
M=σ
Horní vlákna: ( )horní,y
y
horníW
M−=σ
Dolní vlákna:
y
y
ílndomax,,xhornímax,,xW
M== σσ
horní,xσ
ílndo,xσ
záporné napětí
kladné napětí
!
10
Výpočet extrémních normálových napětí za ohybu (rovina xz)
x1e
z
y 2e
Neutrálná osa v těžišti průřezu
taženávláknaW
Me
I
M
ey
y
y
y
ex
1,
11, . ==σ
..2,
22, tlačvláknaW
Me
I
M
ey
y
y
y
ex ==σ
1
1e
IW
y
e,y =2
2e
IW
y
e,y =
… Průřezové moduly ke krajním vláknům [m3]
0=xσ
Nesymetrický průřez
hor
horW
M−=σ
dol
dolW
M=σ
ílndomax,,xhornímax,,x σσ ≠
vzdálenosti krajních vláken od těžištní osy e1,2 bývají často uváděny také jako c1,2
rozhodující je vzdálenější vlákno (větší napětí)→ rozhodující je Wy,menší
11
Návrh a posouzení ohýbaného prvku v pružném oboru - MSÚ
Posouzení návrhudle MS únosnosti
Návrh nosné konstrukce
Realizace
Dimenzování
dminEd f,W,M
dminRdEd f.WMM =≤
RdMzvětšit
d
Edmin
f
MW =
M
kd
ff
γ=
dEd MmaxM =
Předpoklad posouzení:u materiálu je stejná pevnost v tahu a tlaku, zanedbán vliv smykových napětí
12
Kombinace účinků
a
Raz
b
Rbzl
Rax
F
σx
A
N xN =σ
zI
M
y
yM =σ
N
M
V
Nσ MσMσ
0=Nσ
c
V průřezu c napětísuperponujeme a lze získat:
x = n
Posun neutrální osy
-
+- -
+
- - -
+ +
-
-
+
13
Závěry a omezená platnost odvozeného vztahu (rovina xz)
y
y
xI
z.M=σ
• Vztah platí pro případ prostého ohybu, stálého průřezu a h << l.
xz
xσ
maxσ
ha
Raz
b
Rbz
• Pokud je , vztah je pouze přibližný. Vz způsobuje smykovénapětí, zkosení, a tím i ztrátu rovinnosti průřezu. Je-li l > 5h, lzepoužít s dostatečnou přesností.
0≠zV
l
(tlak)
(tah)
14
Omezená platnost odvozeného vztahu
x
a
Raz
b
Rbzl
Vztah neplatí v místě náhlých průřezových změn.
h
y
y
xI
z.M=σ
15
Omezená platnost odvozeného vztahu
Výpočet normálového napětí
x
a
Raz
b
Rbzl
Vztah neplatí u stěn, kde l < 3h . Blíže předmět Pružnost a plasticita II.
h
z
Průběh hlavního napětí σσσσ 1
-1,4
158
-1,1
979
-1,5
275
-1,8
632
-1,0
186 1,
9644
9,19
22
6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00
[m]
[kN
/m2 ]
(tah)
(tlak)
y
y
xI
z.M=σ
16
Složená namáhání
z
y
y
y
xI
z.M=σ
z
zx
I
y.M−=σ
a b
Svislý ohyb Vodorovný ohyb
z
z
y
y
xI
y.M
I
z.M−=σ působí My i Mz – složené namáhání prutu
(prostorový ohyb)→
Svislý, vodorovný a prostorový ohyb (kap.7.1 učebnice)
19
Úkol
x
a b
U daného nosníku spočítejte reakce, vykreslete průběhy vnitřních sil a stanovte maximální hodnotu normálového napětí včetně určení místa, ve kterém toto maximálnínapětí působí.Dále spočítejte hodnoty normálových napětí ve všech označených bodech zvlášť od N, od M a celkové hodnoty napětí v těchto bodech. Označené body jsou v krajních vláknech, v ose průřezu a ve čtvrtinách výšky průřezu.Průběhy normálových napětí v zadaných průřezech vykreslete v měřítku.
lz
y
4l
4l
F
α
h
α = 10°,
(vyjde 0 - kontrola)
poměr l/h = 15,12328
20
Průřezové charakteristiky
Rovinná úloha:
Nosník: rovina xz → ohybový moment My, posouvající síla Vz
z
x
z
y
Průřez: rovina yz → charakteristiky k ose y
F
21
Průřezové charakteristiky –
Průřezová charakteristika pro normálová napětí za ohybu je moment setrvačnosti Iy
nebo z něj odvozený průřezový modul Wy
[m3]
3
12
1bhI =
464
44rd
Iππ
== 4
12
1aI =
jednoduché obrazce v tabulkách, složené obrazce-výpočet
2
6
1bhW =⇒
33
432
rdW
ππ==⇒
3
6
1aW =⇒[m3]
[m3]
[m4][m4]
[m4]
e
IW
y
y =vzdálenosti krajních vláken od těžištní osy e1,2 bývají často uváděny také jako c1,2
moment setrvačnostiprůřezový modul
22
Průřezové charakteristiky –
Složené průřezy
moment setrvačnostiprůřezový modul
Složené průřezy - nesymetrické
e
IW
y
y =
2e
IW
y
horní,y =
1e
IW
y
ílndo,y =
ílndo,yhorní,y WW ≠
23
Spočítejte průřezové charakteristiky: Wy1,2, iy, iz
Průřezové charakteristiky – úkol do příští přednášky
yT
zT
IPN-120
IPN-220
h cel
= 2
51,5
5 m
m58
T
24
Okruhy problémů k ústní části zkoušky
1. Průřezové charakteristiky
2. Ohyb nosníků v pružném stavu – předpoklady, napětí
3. Neutrálná osa, průřezový modul, ohyb prutůnesymetrického průřezu
4. Posunutí neutrálné osy při složeném namáhání
5. Návrh a posudek prutu namáhaného prostým ohybem
6. Složené případy namáhání prutu