Notas Optimizacion Dinamica 2015

Macroeconomade Precios y Cantidades

Danilo Trupkin

Maestra en Economa

Universidad de Buenos Aires, 2015

Optimizacion Dinamica

en Macroeconoma

Introduccion

Un problema de optimizacion dinamica

Tomemos un consumidor que decide su corriente de consumo para Tperodos, con preferencias representadas por:

U(c0, c1, ..., cT ) =T

t=0

tu(ct)

U() es la utilidad total a lo largo del horizonte de planificacion. u() es la utilidad periodica o instantanea (asumida estacionaria). El factor de descuento 0 < < 1 se asume constante, y muestra el

peso intertemporal de cada consumo en la utilidad total.

Nos concentraremos por ahora en un horizonte finito; luego, veremosel caso de horizonte infinito (T ).

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ceceNota adhesivaTiempo finito.

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ceceNota adhesivaO sea que cada perodo da la misma utilidad?

Introduccion

Metodos de solucion

Estudiaremos 2 metodos alternativos para resolver problemas deoptimizacion dinamica (en tiempo discreto):

1. Metodo Secuencial (ej., Lagrange, Kuhn-Tucker): se eligen lassecuencias optimas de las variables endogenas del problema.

2. Metodo Recursivo (ej., programacion dinamica): se hallanecuaciones funcionales que describen decisiones optimas, y que serepiten perodo a perodo.

Comenzaremos con la metodologa secuencial. Mas adelanteveremos metodos recursivos, especialmente aplicados a modelosestocasticos.

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Introduccion

Modelo de crecimiento optimo

Consideremos el modelo neoclasico de crecimiento en tiempo finito,en terminos del planificador social :

max{ct ,kt+1}Tt=0

Tt=0

tu(ct)

sujeto a ct + kt+1 f (kt) F (kt , n) + (1 )kt

ct 0, kt+1 0 t = 0, ...,T ; k0 dado.

donde

c: consumo

k: stock de capital fsico

f (k): ingreso como funcion de la acumulacion de capital

F (k, n): tecnologa, como funcion del capital (k) y el trabajo (n)

: tasa de depreciacion del capital (constante)

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ceceNota adhesivaSi consumo todo hoy, entonces no puedo dejar capital para maana, y por ende no genero ingresos (mi sendero de consumo termina en el primer ao).

Introduccion

Supuestos

F es continuamente diferenciable, estrictamente creciente,homogenea de grado 1, estrictamente cuasiconcava, y cumple con:

F (0, n) = 0

limk0

Fk (k, n) = , limk

Fk (k , n) = 0; para n 6= 0.

f es continuamente diferenciable, estrictamente creciente,estrictamente concava, y cumple con:

f (0) = 0

limk0

f (k) = , limk

f (k) = 1

u es estrictamente creciente, con limc0 u(c) =. La restriccion de recursos estara siempre binding y ct = 0 nunca

sera optimo.

ceceNota adhesivaCondiciones de Inada.Refleja productividad marginal decreciente de la tecnologa?

ceceNota adhesivaEl capital es determinante para que haya ingresos?

ceceResaltado

ceceNota adhesivaf sera la productividad del capital.

ceceResaltado

ceceNota adhesivaBinding=activa?

Introduccion

Resolucion por Kuhn-Tucker

Construimos el Lagrangeano:

L =T

t=0

t{u(ct) + t [f (kt) ct kt+1] + tkt+1}

donde

t : multiplicador de la restriccion presupuestaria

t : multiplicador de la restriccion de no-negatividad del capital

Introduccion

Resolucion por Kuhn-Tucker

Las condiciones necesarias para un maximo son:

Lct = t [u(ct) t ] = 0 (1)

Lkt+1 = t [t + t ] + t+1t+1f (kt+1) = 0, t < T (2)

LkT +1 = T [T + T ] = 0, t = T (3)

Lt = ct + kt+1 f (kt) = 0 (4)

kt+1 0, t 0 (5)

tkt+1 = 0 (6)

Introduccion

La Condicion de Transversalidad

Sustituyendo (1) en (2), y reordenando, encontramos

u(ct) t = u(ct+1)f (kt+1), t < T (7)

Utilizando nuevamente (1), y dado que u(c) > 0 para todo c , de(3) tenemos que

u(cT ) = T = T > 0

Luego, la condicion complementaria de holgura (6), para t = T ,implica

kT +1 = 0

Esta condicion se la llama Condicion de Transversalidad, i.e. lacondicion terminal de nuestro problema de optimizacion.

Introduccion

La Ecuacion de Euler

Sabemos que ct > 0 t, y f (0) = 0. Luego, de la restriccion de recursos debe cumplirse que kt+1 > 0

para t < T , lo que implica que t = 0 para t < T .

Dado lo anterior, podemos reescribir (7) de la siguiente manera:

u(ct) = u(ct+1)f (kt+1), t < T (8)

Esta es la Ecuacion de Euler, clave para explicar el comportamientointertemporal.

El lado izquierdo es el costo marginal del ahorro. El lado derecho es su beneficio marginal descontado, compuesto por:

1. la utilidad por unidad adicional de consumo futuro: u(ct+1).

2. el retorno futuro por unidad invertida: f (kt+1).

Introduccion

Resumen de la solucion

La solucion a nuestro problema de crecimiento puede describirse atraves de las siguientes condiciones necesarias (y suficientes):

1. Restriccion de recursos

2. Condicion inicial: k0 > 0 dado

3. Condicion de Transversalidad: kT +1 = 0

4. Ecuacion de Euler

Si introducimos la restriccion de recursos en la ecuacion de Euler,

u(f (kt) kt+1) = u(f (kt+1) kt+2)f (kt+1), t = 0, ...,T 1,

tendremos como solucion un sistema de T ecuaciones de Euler, 1condicion inicial, y 1 condicion terminal, para determinar unasecuencia de T + 2 valores de k .

Si u y f son concavas, habra solucion unica (ej., u logartmica y fCobb-Douglas).

Introduccion

Modelo con horizonte de planificacion infinito

En general, se formulan modelos con horizonte infinito debido a Altruismo: los individuos se interesan por sus herederos, pudiendose

interpretar cada t como el peso asignado a la t-esima familia.

Simplicidad tecnica: los modelos de horizonte infinito sonestacionarios por naturaleza.

Con horizonte infinito, solo cambia la condicion de transversalidad,que pasa a ser:

limt

tu(ct)kt = 0

No puede ser optima una secuencia para el capital, tal que su valorpresente fuera positivo por siempre.

Introduccion

Equilibrio Competitivo

Hasta aqu hemos analizado el problema del planificador social.

Nos preguntamos ahora, que estructura de mercado, o mecanismode asignaciones, podra resolver el problema descentralizado?

Para ello, veremos un modelo con equilibrio competitivo, donde lasfamilias (dinastas) planifican con horizonte infinito.

Asumiremos familias identicas sin capacidad para influir sobre losprecios Agente Representativo.

Introduccion

Overview del modelo

Tanto el capital como el trabajo son propiedad de las familias. La tecnologa es propiedad de las firmas. Decision de las familias cantidad ofrecida de factores y cantidad

demandada de bienes de consumo.

Decision de las firmas volumen de produccion y demanda defactores.

Luego, un Equilibrio Competitivo es un vector de precios ycantidades que satisfacen la consistencia agregada, i.e. losmercados se vacan:

1. Las familias eligen las cantidades que maximizan su utilidad, dadoslos precios y su riqueza.

2. Las firmas maximizan sus beneficios, dados los precios.

3. El conjunto de eleccion de las cantidades es feasible(factible).

Introduccion

Intercambios al Momento 0 Vs. Secuencial

Dado que queremos formular el equilibrio para un modelo dinamico,debemos especificar como ocurriran las transacciones en el tiempo.

Cuestion central: definir el conjunto de commodities involucradas enlas transacciones, para cada punto del tiempo.

1. Una forma directa de extender el concepto de equilibrio estatico a suversion dinamica es hacer que los bienes sean fechados (c0, c1, ...),como si hubiera una secuencia infinita de commodities.

Arreglo economico a` la Arrow-Debreu: todas las transaccionesocurren al momento 0, de una vez y para siempre.

2. Alternativamente, se pueden introducir activos de forma de permitirtransacciones secuenciales.

Equilibrio con Intercambio Secuencial.

Introduccion

Equilibrio con Intercambios al Momento 0

Se dota al consumidor con una unidad de tiempo para cada t, con0 nt 1.

Tanto u como F son las definidas antes. En cada periodo, el consumidor alquila el capital a las firmas a

cambio de un retorno rt .

En cada periodo, el consumidor alquila los servicios de su trabajo ala firma a cambio de un salario wt .

1. Definimos como pt al precio del bien de consumo para cada t.

2. Definimos como ptrt al precio de los servicios del capital, en terminosde consumo.

3. Definimos como ptwt al precio de los servicios del trabajo, enterminos de consumo.

Definicion 1: Un equilibrio competitivo es un set de secuencias de:

Precios: {pt }t=0,{rt }t=0,{wt }t=0, yCantidades: {ct }t=0,{kt+1}t=0,{nt }t=0tales que

Introduccion

Definicion de Equilibrio Competitivo

1. {ct }t=0,{kt+1}t=0,{nt }t=0 resuelven el problema del consumidor:

{ct , kt+1, nt }t=0 = arg max{ct ,kt+1,nt}t=0

{ t=0

tu(ct)

}

sujeto a

t=0

pt [ct + kt+1] =

t=0

pt [rt kt + (1 )kt + wt nt ]

ct 0, kt+1 0 t; k0 dado.

Notemos que, en tanto wt > 0, luego nt = 1 t.

Introduccion


2. {kt }t=0,{nt }t=0 resuelven el problema de la firma:

t : (kt , 1) = arg maxkt ,nt{pt F (kt , nt) pt rt kt pt wt nt}

Notemos que la firma resuelve un problema estatico. Toda la dinamica del modelo viene de la acumulacion del capital por

parte del consumidor.

Esta condicion tambien puede escribirse como

t : (rt ,wt ) satisfacen:rt = Fk (k

t , 1)

wt = Fn(kt , 1)

Introduccion


3. Feasibility (Equilibrio de Mercado):

ct + kt+1 = F (k

t , 1) + (1 )kt

Introduccion

Caracterizacion del equilibrio

De las condiciones de primer orden para el consumo,

[ct ] : tu(ct ) = p

t

[ct+1] : t+1u(ct+1) = p

t+1

En consecuencia,pt

pt+1=

u(ct )u(ct+1)

(9)

Por otro lado,

[kt+1] : pt =

pt+1[rt+1 + 1 ]

Luego,pt

pt+1= rt+1 + 1 (10)

Introduccion


Si sustituimos por el precio de los servicios del capital que surge delproblema de las firmas, la ecuacion (10) queda

ptpt+1

= Fk (kt+1, 1) + 1 (11)

Combinando las condiciones (9) y (11), obtenemos finalmente laEcuacion de Euler hallada en el problema del planificador:

u(ct ) = u(ct+1)[Fk (k

t+1, 1) + 1 ].

Esto muestra que el equilibrio competitivo es Pareto optimo, dadoque satisface el problema del planificador (Primer Teorema delBienestar).

Introduccion

Equilibrio con Intercambio Secuencial

En este mecanismo de asignaciones, se introduce el mercado deactivos.

Denotamos como at al monto de prestamos, por un periodo, almomento t.

Y denotamos los precios de la siguiente manera:

1. El precio de los servicios del capital en t: rt .

2. El precio del trabajo: wt .

3. El retorno sobre los prestamos: ra,t .

Definicion 2: Un equilibrio competitivo es una secuencia

{rt , ra,t ,wt , ct , kt+1, nt , at+1}t=0tal que:

Introduccion


1. {ct , kt+1, nt , at+1}t=0 resuelve el problema del consumidor:

{ct , kt+1, nt , at+1}t=0 = arg max{ct ,kt+1,nt ,at+1}t=0

{ t=0

tu(ct)

}

sujeto a ct + kt+1 + at+1 = rt kt + w

t nt + at(1 + r

a,t) + (1 )kt

k0 > 0, a0 = 0 dados.

NPG condition : limt at+1

[ t=0

(1 + ra,t)

]1= 0.

Introduccion


2. {kt , nt }t=0 resuelve el problema de la firma:

t : (kt , 1) = arg maxkt ,nt{F (kt , nt) rt kt wt nt}

Introduccion


3. Feasibility

Equilibrio en el mercado de bienes:

ct + kt+1 = F (k

t , 1) + (1 )kt , para todo t

O bien, equilibrio en el mercado de activos (recordar Ley de Walras!):

at = 0, para todo t

Introduccion


Nuevamente, de las condiciones de primer orden para el consumo,

[ct ] : tu(ct ) =

tt[ct+1] :

t+1u(ct+1) = t+1t+1,

hallamos la condicion intertemporal para el consumidor:

tt+1

=u(ct )

u(ct+1)

Asimismo, de

[kt+1] : tt =

t+1t+1[rt+1 + 1 ],

tenemos quett+1

= [rt+1 + 1 ]

Introduccion


Ademas,[at+1] :

tt = t+1t+1[1 + r

a,t+1]

Luego, la condicion de no-arbitraje implica:

ra,t+1 = rt+1

Asimismo, del problema de la firma tenemos:

rt = Fk (kt , 1)

wt = Fn(kt , 1)

lo cual implica que:

ra,t+1 = Fk (kt+1, 1)

Introduccion

Conclusion

Finalmente, de las condiciones anteriores obtenemos la mismaEcuacion de Euler hallada en el problema del planificador:

u(ct ) = u(ct+1)[Fk (k

t+1, 1) + 1 ]

Esto muestra que,1. el equilibrio competitivo en su forma secuencial es equivalente al

equilibrio a` la Arrow-Debreu, y

2. ambos son Pareto optimos, ya que resultan en las mismasasignaciones que el problema del planificador.

Introduccin

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