NUMERIKI REDOVI

Seminarski rad

Banja Luka, 2014.

NUMERIKI REDOVI

Seminarski rad

PREDMET: Matematika III

PREDMETNI NASTAVNIK:

STUDENT:

SADRAJ:

1. UVOD....................................................................................................................................4

2. NUMERIKI REDOVI.............................................................................................................5

2.1. DEFINICIJA I OSOBINE NUMERIKOG REDA........................................................5

3. INDEKS ZNAKOVA I SIMBOLA............................................................................................13

4. LITERATURA........................................................................................................................14

1. UVOD

Pojednostavljeno govorei, red je suma beskonano mnogo lanova nekog niza (an)n,

tj. a1 + a2 + ... + an + ....

Objekti a1, a2, ..., an, ..., koji se nazivaju lanovi reda, mogu oznaavati brojeve, funkcije,

vektore, matrice, itd. Ve prema tome ta su mu lanovi, red moe biti numeriki red,

funkcijski red, red vektora, red matrice. Umjesto navedenog, razvijenog zapisa reda, esto se

navodi skraeni zapis =1 k , ili jo krae k .

Formalno, red se definie kao granina vrijednost niza parcijalnih suma. Za lanove

niza (an)n definiemo novi niz (Sn)n, gdje je Sn zbroj prvih n lanova niza, tj.:

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

Sn = a1 + ... + an

Vrijednost Sn nazivamo n - tom parcijalnom sumom reda. Vrijednost S =

Sn tada

nazivamo redom (ili ponekad, sumom reda). Ako je vrijednost reda konana, za red kaemo da

je konvergentan. U suprotnom za red kaemo da je divergentan.

2. Numeriki redovi

2.1. Definicija i osobine numerikog reda

Neka je dat niz realnih brojeva a1, a2, ..., an, ... . Izraz:

naziva se beskonanim redom (1) s optim lanom an, ili realnim numerikim redom.

Najee emo jednostavno govoriti numeriki red ili samo red. Izraz:

itamo: sumiramo lanove an kada se n mijenja od 1 do . Veliinu n u datom izrazu

nazivamo broja i ona je fiktivna veliina u tom smislu da smo umjesto slova n mogli izabrati

proizvoljno drugo slovo, a da se smisao izraza ne gubi, naprimjer:

Zbirovi:

nazivaju se parcijalnim sumama reda (1), tj. za izraz:

kaemo da je n - ta parcijalna suma reda (1).

Definicija 1: Ako postoji konaan limes lim+

sn = s, niza (sn) parcijalnih suma reda (1),

onda kaemo da je red konvergentan i da mu je suma jednaka s. Tada piemo:

Za red koji ne konvergira (bilo da je lim+

sn = +, bilo da taj limes ne postoji) kaemo da

je divergentan.

Primjer 1: Posmatrajmo red:

gdje je q 0.

Dati red se naziva geometrijskim redom. Njegova n - ta parcijalna suma je:

ako je q 1. Odavde se lako vidi da vrijedi:

Ako je |q| 1, dati red divergira.

Specijalno, ako je q = -1, imamo red ija je n - ta parcijalna suma:

sn = 1 1 + 1 1+. . . 1 {1,

0,

pa u ovom sluaju lim+

sn ne postoji, tj. red je divergentan.

Primjer 2: Posmatrajmo red:

Opti lan datog reda moemo zapisati sa:

te je n - ta parcijalna suma jednaka:

Odavde sada imamo da je lim+

sn = +, pa je dati red divergentan.

Uporedo sa redom (1) posmatrajmo i red (2):

...

koga nazivamo n - ti ostatak reda (1) i oznaavamo ga sa rn. Veza konvergencije reda (1)

i konvergencije reda (2) data je u sljedeoj teoremi.

Teorema 1:

1. Red (1) konvergira ako i samo ako konvergira red (2).

2. Red (1) konvergira ako i samo ako njegov ostatak rn tei nuli kada n +.

Dokaz:

1. Oznaimo sa sn n - tu parcijalnu sumu reda (1) i sa sk k - tu parcijalnu sumu reda (2).

Oigledno tada vrijedi jednakost: sk = sn+k sn.

Ako je lim+

sn+k = s, onda je lim+

sk = s - sn , tj. iz konvergencije reda (1) slijedi

konvergencija reda (2).

Iz lim+

sk = s imali bi da je lim+

sn+k = s + sn, pa vai i obrnuto.

2. Red (1) moemo zapisati kao:

Ako taj red konvergira i ima sumu s, onda je rn = s sn, odakle je:

lim+

rn = lim+

(s sn) = 0.

Obrnuto, ako ostatak rn tei ka nuli kada n +, iz prvog dijela teoreme slijedi da red

(1) konvergira.

Iz ovoga tvrdenja lako se vidi da odbacivanje konanog broja lanova nekog reda hoe

uticati eventualno na sumu tog reda u smislu promjene vrijednosti te sume, ali nee uticati na

njegovu konvergenciju.

Primjer 3: Za geometrijski red:

vidjeli smo da konvergira za |q|< 1, i da je:

U kontekstu gornje primjedbe o odbacivanju konanog broja sabiraka reda i red:

e biti konvergentan, samo to je sada:

Sada emo dati jedan od najoptijih kriterijuma konvergencije numerikih redova.

Teorema 2: (Cauchyjev kriterijum konvergencije) Red (1) konvergira ako i samo ako

vrijedi:

( > 0)(n0 N)(n, p )(n > n0 |an+1 + an +2 + + an+p| < ) .

Dokaz ove tvrdnje neemo izvoditi. Primjetimo ipak da nam ovaj stav govori,

pojednostavljeno reeno, da je za konvergenciju reda (1) neophodno i dovoljno da proizvoljna

p-ta parcijalna suma, proizvoljnog n-tog ostatka reda se moe uiniti proizvoljno malenom, to

naravno direktno koincidira sa tvrdenjima u Teoremi 1.

Teorema 3: Neka su dati redovi:

Tada vrijedi:

1. Ako red:

konvergira, tada konvergira i red:

i pri tome vrijedi:

2. Ako oba reda konvergiraju, tada konvergira i red:

i pri tome vrijedi:

Dokaz:

1. Oznaimo sa sn = x1 + x2 + + xn, a sa Sn = ax1 + ax2 + + axn. Iz egzistencije granine

vrijednosti lim+

sn slijedi:

lim+

Sn = lim+

asn = a lim+

n = as.

2. Neka je sn = x1 + x2 + + xn i sn = y1 + y2 + + yn. Neka je:

lim+

sn = s i lim+

sn = s.

Ako sa Sn oznaimo n - tu parcijalnu sumu reda:

Imamo: lim+

Sn = lim+

((x1 + y2) + (x2 + y2) + ... + (xn + yn))

= lim +

((x1 + ... xn) + (y1 + ... yn)) = lim+

sn + lim+

sn

= s + s.

Sljedeom tvrdnjom dajemo neophodan uslov konvergencije numerikog reda.

Teorema 4: Ako red:

konvergira, onda vrijedi lim+

xn = 0.

Dokaz: Neka je red:

konvergentan. To znai da je niz njegovih parcijalnih suma konvergentan.

Iz jednakosti sn - sn-1 = xn (n > 1), direktno slijedi:

lim+

xn = lim+

(sn - sn-1) = lim+

sn - lim+

sn-1 = 0.

Da navedeni neophodan uslov konvergencije reda nije dovoljan, pokazaemo sledeim

primjerom.

Primjer 4: Posmatrajmo harmonijski red:

Opti lan ovog reda je xn = 1

i oigledno je lim

+xn = 0.

Primjetimo kao prvo da za svaki prirodan broj n vrijedi red (3):

1

+1 +

1

+2 + ... +

1

2 > n

1

2 =

1

2 .

Grupiemo li lanove naeg reda na slijedei nain:

koristei red (3), svaki od sabiraka u zagradi je vei od 1

2, pa je suma svih takvih brojeva

beskonana tj. dati red je divergentan.

Spomenimo ovdje jedan vaan red:

Teoremu 4 esto koristimo za dokazivanje divergencije nekog reda i to tako to ga

koristimo kao kontrapoziciju. Naime, nae tvrenje je oblika p q, gdje je p iskaz:

a iskaz q je:

Posljedica 1: Ako je lim +

xn 0, tada je red:

divergentan.

Primjer 5: Ispitajmo konvergenciju reda:

Kako je:

Dakle, opti lan reda ne tei ka 0, pa po navedenoj posljedici polazni red nije

konvergentan.

3. INDEKS ZNAKOVA I SIMBOLA

Zbir, suma (suminacija)

Zbir brojeva a1, a2,..., an

Limes niza ili granina vrijednost niza

Skup prirodnih brojeva

Skup realnih brojeva

Reimanov integral funkcije f na segmentu [a, b]

a1, a2, ..., an, ... lanovi reda

n Element skupa prirodnih brojeva

Pripada skupu, ...je element skupa

Sn Zbir prvih n lanova niza

, >, < Vee ili jednako, vee, manje

(an)n Pozitivni numeriki niz

Beskonanost

moe znaiti isto to i , ili moe biti oznaka

za funkcije

Sn(x) Niz parcijalnih suma

a, Za svako a, nije jednako - razliito

Kvantifikator egzistencije, postoji

f(x) Vrijednost funkcije f u x

Implikacija, ako ... onda ...

|...|, Apsolutna vrijednost, Numeriki ekscentricitet

4.LITERATURA

1. Lj. Gaji, S. Pilipovi i N. Teofanov: Integrali, redovi, funkcionalni nizovi i redovi,

Prirodno matematiki fakultet, Novi Sad (2002)

2. L. Stefanovi: Teorija nizova I Izdanje, Studentski kulturni centar Ni, Ni (2010)

3. L. Stefanovi, B. Ranelovi i M. Mateji: Teorija redova II Izdanje, SKC Ni, Ni (2013)

4. T. Pejovi: Matematika analiza II, Nauna knjiga, Beograd (1967)

5. N. Okii i V. Pai: Matematika II, Skripta za ETF, Univerzitet u Tuzli, Tuzla (2014)