DIPLOMSKI RAD - foam-extend.fsb.hr · Budući da ﬁzikalni problemi koje proučava mehanika kontinuuma najčešće ne- maju analitičko rješenje, potrebno ih je riješiti numerički

SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

DIPLOMSKI RAD

Damir Rigler

Zagreb, 2014.

SVEUČILIŠTE U ZAGREBUFAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE

DIPLOMSKI RAD

Mentor: Student:

Prof. dr. sc. Hrvoje Jasak, dipl. ing. Damir Rigler

Zagreb, 2014.

Izjavljujem da sam ovaj rad izradio samostalno koristeći stečena znanja tijekom studija i

navedenu literaturu.

Zahvaljujem se profesoru Jasaku, bez čije pomoći i podrške izrada ovog rada ne bi bila

moguća. Želim zahvaliti profesoru Tukoviću na vrlo vrijednim savjetima, te profesorici

Singer na pomoći oko uređivanja teksta.

Damir Rigler

Damir Rigler Diplomski rad

Sadržaj

Popis slika iii

Popis tablica vii

1. Uvod 5

2. Metoda uronjene granice 82.1. Općenito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2. Prethodne i povezane studije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1. Pristup s kontinuiranim izvorskim članom . . . . . . . . . . . 112.2.2. Pristup s diskretnim izvorskim članom . . . . . . . . . . . . . 14

3. Matematički model 183.1. Osnove mehanike kontinuuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2. Osnovni zakoni mehanike kontinuuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3. Nestlačivo izotermno strujanje Newtonovskog fluida . . . . . . . . . . 203.4. Modeliranje turbulencije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.5. Dvofazno strujanje fluida sa slobodnom površinom . . . . . . . . . . . 263.6. Početni i rubni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. Diskretizacija jednadžbi 294.1. Diskretizacija jednadžbi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2. Metoda uronjene granice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5. Validacija 345.1. Strujanje oko simetričnog 2D profila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5.1.1. Mreža konačnih volumena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.1.2. Laminarno strujanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.1.3. Turbulentno strujanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.2. Strujanje oko krila Onera M6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.3. Strujanje oko polu-uronjenog hidroprofila . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4. Simulacija strujanja fluida sa slobodnom površinom oko KCS trupa

broda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Fakultet strojarstva i brodogradnje i


6. Zaključak 81

7. Bibliografija 82

Fakultet strojarstva i brodogradnje ii


Popis slika

2.1 IBM cilindar u kanalu, mreža. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 IBM cilindar u kanalu, neaktivne ćelije . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 IBM cilindar u kanalu, polje brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 IBM cilindar u kanalu, polje tlaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.5 Točke u blizini IBM-a [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Interpolacija u IB ćelijama [7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.2 Interpolacija u IB ćelijama, lokalni koordinatni sustav [7] . . . . . . . 32

5.1 Munk M3 aeroprofil, geometrija [12] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Munk M3 aeroprofil, površinska mreža . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža. . 365.4 Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža,

detalj profila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.5 Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža,

detalj graničnog sloja napadnog brida. . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.6 Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža,

detalj graničnog sloja izlaznog brida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.7 Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža. . . . . . . . . . 385.8 Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj. . . . . . 385.9 Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj napad-

nog brida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.10 Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj izlaznog

brida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.11 Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, neaktivne ćelije. 405.12 Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje

tlaka p [Pa]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.13 Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje tlaka p [Pa]. . . 415.14 Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje

tlaka p [Pa], detalj profila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.15 Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje tlaka p [Pa],

detalj profila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Fakultet strojarstva i brodogradnje iii


5.16 Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, poljebrzine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.17 Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje brzine. . . . . . . 435.18 Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje

brzine U [m/s], detalj profila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.19 Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje brzine U [m/s],

detalj profila. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445.20 Munk M3 aeroprofil, konvergencija sile tlaka, x-smjer. . . . . . . . . . 455.21 Munk M3 aeroprofil, konvergencija sile tlaka, y-smjer. . . . . . . . . . 455.22 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prila-

godljive mreže, polje tlaka p [Pa], detalj profila . . . . . . . . . . . . . 465.23 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice,

polje tlaka p [Pa], detalj profila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.24 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prila-

godljive mreže, polje brzine, detalj profila . . . . . . . . . . . . . . . . 475.25 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice,

polje brzine, detalj profila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.26 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prila-

godljive mreže, turbulentna viskoznost, detalj profila . . . . . . . . . 485.27 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice,

turbulentna viskoznost, detalj profila . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.28 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prila-

godljive mreže, turbulentna kinetička energija, detalj profila . . . . . 495.29 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice,

turbulentna kinetička energija, detalj profila . . . . . . . . . . . . . . 505.30 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prila-

godljive mreže, disipacija turbulentne kinetičke energije, detalj profila 505.31 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice,

disipacija turbulentne kinetičke energije, detalj profila . . . . . . . . . 515.32 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, konvergencija sile tlaka,

x-smjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.33 Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, konvergencija sile tlaka,

x-smjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.34 Onera M6 krilo, geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.35 Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, “farfield” . . 545.36 Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, “farfield” . . . . . . . . . 545.37 Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, simetrija . . 55

Fakultet strojarstva i brodogradnje iv


5.38 Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, simetrija . . . . . . . . . 555.39 Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek,

detalj krila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.40 Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila . . . 565.41 Onera M6, polje tlaka, metoda površinski prilagodljive mreže, pre-

sjek, detalj krila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.42 Onera M6, polje tlaka, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila . 575.43 Onera M6, polje brzine, metoda površinski prilagodljive mreže, pre-

sjek, detalj krila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.44 Onera M6, polje brzine, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila 585.45 Onera M6, turbulentna viskoznost, metoda površinski prilagodljive

mreže, presjek, detalj krila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.46 Onera M6, turbulentna viskoznost, metoda uronjene granice, presjek,

detalj krila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.47 Onera M6, turbulentna kinetička energija, metoda površinski prila-

godljive mreže, presjek, detalj krila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.48 Onera M6, turbulentna kinetička energija, metoda uronjene granice,

presjek, detalj krila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.49 Onera M6, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda površin-

ski prilagodljive mreže, presjek, detalj krila . . . . . . . . . . . . . . . 615.50 Onera M6, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda uronjene

granice, presjek, detalj krila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.51 Onera M6, kontura tlaka za p = 2 [Pa], detalj krila . . . . . . . . . . 625.52 Onera M6, kontura tlaka za p = 2 [Pa], detalj krila 2 . . . . . . . . . 625.53 Onera M6, sile tlaka, x-smjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.54 Onera M6, sile tlaka, y-smjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.55 Onera M6, sile tlaka, z-smjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.56 Onera M6, moment tlaka, x-os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.57 Onera M6, moment tlaka, y-os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.58 Onera M6, moment tlaka, z-os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.59 Hidroprofil, geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.60 Hidroprofil, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže . . . . . . . 675.61 Hidroprofil, mreža, metoda uronjene granice . . . . . . . . . . . . . . 675.62 Hidroprofil, polje dinamičkog tlaka i polje brzine, metoda površinski

prilagodljive mreže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.63 Hidroprofil, polje dinamičkog tlaka i polje brzine, metoda uronjene

granice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Fakultet strojarstva i brodogradnje v


5.64 Hidroprofil, turbulentna kinetička energija i disipacija, metoda povr-šinski prilagodljive mreže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.65 Hidroprofil, turbulentna kinetička energija i disipacija, metoda uro-njene granice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.66 Hidroprofil, slobodna površina, t=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.67 Hidroprofil, slobodna površina, t=6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.68 Hidroprofil, sile tlaka, x-smjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.69 KCS trup, geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.70 KCS trup, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže . . . . . . . 735.71 KCS trup, mreža, metoda uronjene granice . . . . . . . . . . . . . . . 735.72 KCS trup, mreža sa prikazom pojedinih faza, metoda površinski pri-

lagodljive mreže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.73 KCS trup, mreža sa prikazom pojedinih faza, metoda uronjene granice 745.74 KCS trup, polje brzine, metoda površinski prilagodljive mreže . . . . 755.75 KCS trup, polje brzine, metoda uronjene granice . . . . . . . . . . . . 755.76 KCS trup, polje dinamičkog tlaka, metoda površinski prilagodljive

mreže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.77 KCS trup, polje dinamičkog tlaka, metoda uronjene granice . . . . . . 765.78 KCS trup, turbulentna kinetička energija, metoda površinski prila-

godljive mreže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.79 KCS trup, turbulentna kinetička energija, metoda uronjene granice . 775.80 KCS trup, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda površin-

ski prilagodljive mreže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.81 KCS trup, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda uronjene

granice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.82 KCS trup, slobodna površina, usporedba, t=3 . . . . . . . . . . . . . 795.83 KCS trup, slobodna površina, usporedba, t=6 . . . . . . . . . . . . . 795.84 KCS trup, sile tlaka, x-smjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Fakultet strojarstva i brodogradnje vi


Popis tablica

5.1 Munk M3 laminarno strujanje, podaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2 Munk M3 turbulentno strujanje, podaci . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3 Onera M6, početni i rubni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.4 Hidroprofil, početni i rubni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.5 KCS trup, početni i rubni uvjeti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Fakultet strojarstva i brodogradnje vii


Popis oznaka

FLOPS - Floting point operations per second (operacija s pomičnim zarezom posekundi)CAD - Computer aided design (konstruiranje uz pomoć računala)CFD - Computer fluid dynamics (računalna mehanika fluida)DNS - Direct numerical simulation (izravna numerička simulacija)RANS - Raynolds avareged Navier-Stokes (Vremenski osrednjene Navier-Stokes jed-nadžbe)IBM - Immersed Boundary Method (Metoda uronjene granice)VOF - Volume of Fluid (Udio kapljevine)RU - Rubni uvjetiLES - Large eddy simulation (Simulacija velikih vrtloga)MPPM - Metoda površinski prilagodljive mrežeMUG - Metoda uronjene graniceUG - Uronjena granica

Fakultet strojarstva i brodogradnje 1


Oznaka Opis Jedinica~Xi m Proizvoljan radij-vektor točke na IB-vlaknut s Vrijeme~u m/s Vektor brzine~fm N Sila na IB vlaknaFi N Sila na pojedinu točku IB vlaknaδ Diracova funkcija~x m Radijvektorκ Konstanta~Xei m Ravnotežni progibK Permeabilnost porpznog medijaϕ Proizvoljna varijablaC Konstantaω Geometrijski koeficijentρ kg/m3 Gustoćaσij N/m2 Tenzor naprezanjae J/kg Specifična energijaQ J Volumenski izvor toplines J/kgK Specifična entropijaT ◦C Specifična entropijaΓ Koeficijent difuzije~qϕ,i m2/s Površinski izvor/ponorsϕ m3/s Volumni izvor/ponorp Pa TlakR J/kgK Univerzalna plinska konstantaT K Termodinamička temperaturaδij Kroneckerov koeficijentµ Pas Dinamička viskoznostµt Pas Turbulentna dinamička viskoznostk J/kg Turbulentna kinetička energijaε J/kgs Disipacija turbulentne kinetičke energije



Abstract

This thesis describes the design, implementation and validation of the ImmersedBoundary Method (IBM) for finite volume based Computational Fluid Dynamics(CFD).In CFD, objects are usually described using body conformal meshes (structured orunstructured), where boundary conditions are imposed on the boundary faces of amesh. Boundary conditions (BC) provide the information necessary to properly des-cribe object geometry and flow parameters. Generation of such meshes still requiressome effort, even for simple geometries, and can be very difficult or even impossiblefor complicated ones. If an object changes its position or form during time, meshmotion, or even topological changes of the mesh are required. Both require certaincomputational effort and can result in an unusable mesh. These obstacles can beavoided with an alternative approach: Immersed Boundary Method (IBM).IBM does not use a body-conformal mesh. Instead, an “empty” volume mesh is usedfor the flow domain together with a separate surface mesh for the object outline.Generation of the surface mesh is not related to the generation of the volume meshmaking it significantly easier, since a simple structured hexaedral mesh can be usedfor the domain volume. As the object is not described using boundary faces, it isnecessary to use a surface mesh for imposition of boundary conditions. The surfacemesh is then immersed into the domain volume and the calculation matrix is modi-fied to account for the geometry of the object. This enables very fast solutions fordifferent geometries on the same background mesh. Furthermore, moving the sur-face mesh through the background mesh is significantly (computationally) simplerthan any mesh-manipulation method.For this work IBM has been implemented into the open-source software OpenFOAMusing a discrete forcing approach, where discretized equations are only affected inthe cells touching the IB (direct imposition of boundary conditions (BC)). Directimposition of BC preserves sharpness of the object surface. Wall functions are usedto handle high Reynolds number flows. Dirichlet and Neumann BC are implemen-ted using quadratic interpolation, where unknown coefficients are determined usinga least square method on extended stencil.Implementation into OpenFOAM enables use of polyhedral background meshes andautomatic mesh refinement.The IBM implementation is validated on four test cases that cover transient andsteady-state, laminar and turbulent, single phase and two-phase free surface flow.Both integral values (such as force on the object) and certain fields (such as pre-



ssure, or free surface) are compared with experimental results from literature andshow satisfactory agreement.



1. Uvod

Numeričke metode postale su nezaobilazne u istraživanju i razvoju novih pro-izvoda. Alati za proračun čvrstoće konačnim elementima standardno se implementi-raju u CAD alate, a i CFD alati postaju sve pristupačniji krajnjem korisniku. Važanfaktor kod korištenja ovih metoda je računalno vrijeme („computing time”) koje jeu posljednjih desetak godina pojeftinilo oko 450 puta[16] a i daljnji pad cijene semože očekivati u budućnosti. Zbog toga se može očekivati još veći interes za ovemetode u inženjerskoj praksi.

Kontinuum podrazumijeva da se materija u promatranom dijelu prostora sastojiod čestica koje u potpunosti popunjavaju promatrani prostor, tj. da u njemu nemapraznina. Računalna mehanika fluida ne opisuje međudjelovanje među elementar-nim česticama, ali taj opis nije sadržan niti u klasičnoj mehanici fluida. Isto tako,polje pojedine fizikalne veličine podrazumijeva da je ta veličina definirana u svakojtočki prostora, u svim vremenskim trenucima.

Mehanika kontinuuma proučava fizikalne pojave koje se mogu opisati sa petosnovnih zakona očuvanja: mase, količine gibanja, momenta količine gibanja te prvii drugi glavni stavak Termodinamike.

Budući da fizikalni problemi koje proučava mehanika kontinuuma najčešće ne-maju analitičko rješenje, potrebno ih je riješiti numerički putem. Kako bi to bilomoguće, problem je potrebno diskretizirati. Diskretizacija je pretvaranje diferenci-jalne jednadžbe u sustav algebarskih jednadžbi. Taj se sustav nakon linearizacijerješava rješavačima linearnih algebarskih jednadžbi.

Upravo zbog tih svojstava kontinuuma moguće je nelinearne, parcijalno-diferencijalneNavier-Stokesove jednadžbe, diskretizirati na gore spomenuti način i rješavati ih ko-rištenjem računala. Međutim, navedeno vrijedi za bilo koju parcijalno-diferencijalnujednadžbu, pa je tako moguće rješavati širok spektar fizikalnih problema kao što suelektromagnetizam, smjer i brzina kemijskih reakcija (uključujući izgaranje), biolo-ški i drugi fenomeni.

Diskretizacija podrazumijeva diskretizaciju prostorne (proračunska mreža) i vre-menske domene, te jednadžbi. Najčešće korištene metode diskretizacije su: metodakonačnih razlika, metoda konačnih elemenata te metoda konačnih volumena. Uovom radu korištena je isključivo diskretizacija metodom konačnih volumena. Tametoda postala je posebno popularna za simuliranje strujanja fluida, posebno uzkorištenje nestrukturiranih poliedarskih mreža[6] koje je jednostavnije generirati u



odnosu na strukturirane, heksaedarske mreže[14]. Međutim, generiranje mreže idalje može biti komplicirano, čak i kada se opisuje jednostavna geometrija.

Izrada mreže uključena je u postupak pretprocesiranja koji može uključivati iizradu geometrije, a obavlja se prije samog proračuna. U klasičnim simulacijama,geometrija promatranog objekta definirana je mrežom tj. oblikom površina („faces”)koje opisuju konačne volumene na samom objektu i predstavljaju rub domene. Napovršine koje opisuju rub domene zadaju se rubni uvjeti ("Boundary conditions").

Navier-Stokesove jednadžbe u potpunosti opisuju ponašanje pojedinog fluida,uključujući turbulenciju, te se kao takve mogu diskretizirati i koristiti u „izravnimračunalnim simulacijama” (DNS). U tom slučaju zahtijevaju izrazito finu diskreti-zaciju kako bi se opisale sve skale vrtloga, od najveće (Taylorove) skale do najmanje(Kolmogorove) skale. To je posebno zahtjevno na računalne resurse, te je kao takvodanas još uvijek neprimjenjivo u praksi.

Turbulencija se može opisati kao trodimenzionalna, nestacionarna, nasumičnagibanja fluida, koje karakterizira velika disipacija energije te nepovratnost u termo-dinamičkom smislu. Ta gibanja se manifestiraju u obliku vrtloga različitih skala,od kojih oni najmanji disipiraju najviše energije, a vrtlozi od srednjih do najvećihskala predaju energiju vrtlozima nižih skala.

Prema tome, turbulenciju je potrebno modelirati. Danas su najčešća dva pris-tupa: RANS i LES.

RANS je model turbulencije prema kojem se vrijednosti brzine i tlaka rastavena osrednjenu i oscilirajuću komponentu, te kao rezultat daju vremenski osrednjeneveličine. Taj pristup se široko primjenjuje u inženjerskoj praksi budući da dajezadovoljavajuće rezultate uz osrednju potrebu za računalnim resursima. S drugestrane, LES simulira sve skale vrtloga ali ne i Kolmogorovu, koja se modelira. Ovametoda omogućava simuliranje velikih i srednjih (najzanimljivijih) vrtloga uz snažnupotrebu za računalnim resursima iako još uvijek manju nego DNS [4].

Ukoliko objekt mijenja svoju poziciju ili oblik tijekom simulacije, potrebno jekoristiti pomičnu mrežu[14] ili čak metode koje mijenjaju topologiju mreže tijekomproračuna, što stvara dodatne zahtjeve na računalne resurse i produžuje vrijemesimulacije. Nadalje implementacija ove tehnologije nije trivijalna, te može rezultiratineupotrebljivom mrežom.

Dvofazni tok sa slobodnom površinom može se simulirati pomoću različitihmetoda, a u ovom radu je korištena VOF metoda. Riječ je o Eulerovom opisustrujanja dvofaznog toka gdje je područje koje zauzima pojedini fluid definiranoposebnom identifikacijskom funkcijom. Ovaj pristup koristi jedinstveni skup N-Sjednadžbi za opisivanje strujanja, a za identifikaciju ćelija u kojima se nalazi poje-



dina faza koristi se skalarno polje.Nakon proračuna slijedi analiza rezultata. Ono može uključivati prikaze poje-

dinih vektorskih ili skalarnih polja te integralnih veličina (npr. sila na objekt ilikoeficijenti sile).

Kao alternativa pristupu s mrežom koja je prilagođena obliku objekta, u ovomradu nudi se IB metoda, koja je objašnjena u sljedećim poglavljima.



2. Metoda uronjene granice

U prethodnom poglavlju, dan je uvod u numeričke metode u mehanici kontinu-uma, s naglaskom na računalnu mehaniku fluida. O poglavlju koje slijedi, dan je opismetode uronjene granice (eng. “Immersed Boundary Method”, IBM) s naglaskomna prethodne implementacije.

2.1. Općenito

Metoda uronjene granice (MUG) je zanimljiva alternativa metodi površinski pri-lagodljive mreže (MPPM), gdje izrada površinske mreže koja opisuje geometrijuobjekta nije direktno povezana s izradom volumne mreže (konačnih volumena). Toznači da je moguće izraditi jednostavnu, strukturiranu volumensku mrežu konačnihvolumena te u nju umetnuti površinsku mrežu MUG (kao što je prikazano na slici2.1. Korištenje ove metode može značajno skratiti vrijeme potrebno za pretproce-siranje, tj. izradu mreže, budući da se površinska mreža koja opisuje objekt stvaraneovisno od volumne (pozadinske) mreže.

Slika 2.1: IBM cilindar u kanalu, mreža.

Ta činjenica se može iskoristiti u slučajevima kada je potrebno simulirati puno



slučajeva koji se ne razlikuju značajno geometrijski, na način da nije potrebno stva-rati novu mrežu za svaki slučaj. To može biti posebno korisno kod optimizacijegeometrije određenog objekta.

Nakon što se površinska mreža umetne u volumensku, proračunska matrica seprilagodi na način opisan u nastavku (kako bi se uzela u obzir površinska mreža),te se pristupi proračunu. Ćelije unutar uronjene granice (UG) se ne koriste u pro-računu, te budući da više ne pripadaju u proračunsku domenu postaju neaktivne.Neaktivne ćelije prikazane su na slici 2.2 plavom bojom, a aktivne u kojima se vršiproračun crvenom bojom. Ukoliko se centar određene ćelije nalazi unutar UG (tj.površinske mreže), ona se proglašava neaktivnom.

Slika 2.2: IBM cilindar u kanalu, neaktivne ćelije

Na slikama 2.3 i 2.4 prikazana su polja tlaka i brzine za prethodni primjer. Riječje o 2D slučaju strujanja fluida u kanalu, gdje je cilindar opisan MUG. Radi se onestlačivom laminarnom strujanju.

Nadalje, budući da dvije mreže nisu direktno povezane, simulacija objekata kojimijenjaju svoju poziciju ili oblik tijekom vremena je značajno jednostavnija od pri-mjene bilo koje metode dinamičke mreže.



Slika 2.3: IBM cilindar u kanalu, polje brzine

Slika 2.4: IBM cilindar u kanalu, polje tlaka



2.2. Prethodne i povezane studije

Prvu inačicu IBM metode razvio je Peskin 1972. g. kako bi simulirao strujanjekrvi kroz srce, te mehaniku srca. Pozadinska mreža bila je Kartezijska, te nije bilaprilagođena geometriji srca. Od tada su predložene mnoge modifikacije tog modela.

Definicija rubnih uvjeta na IBM-u, tj. na granici između fluida i promatranogobjekta glavni je izazov kod formiranja IBM metode. Postoji više načina kakose ta definicija može implementirati, od kojih su neke objašnjene u nastavku. Umetodi koja je opisana u poglavlju 3. i validirana u ovom radu korišten je pristups kontinuiranim izvorskim članom (eng. „Discrete forcing approach”), s direktnimzadavanjem rubnih uvjeta.

Dva su glavna pristupa modifikaciji diskretiziranih jednadžbi. U prvom se po-moću izvorskog člana (eng. „forcing function”) imitira granica između objekta ifluida, pri čemu je sve jednadžbe potrebno rješavati na čitavoj domeni. Promjenesu uvedene prije diskretizacije prostorne domene. U drugom se pristupu prostornadomena diskretizira neovisno o IBM-u, a nakon toga se modificira diskretizacijskamatrica u ćelijama blizu IBM-a.

2.2.1. Pristup s kontinuiranim izvorskim članom

U pristupu s kontinuiranim izvorskim članom, on je primijenjen na jednadžbukontinuiteta i jednadžbu količine gibanja te se nakon diskretizacije rješava na čitavojdomeni. Krute i elastične objekte potrebno je tretirati na različite načine.

Implementacija s pomičnim granicama objekta

MUG prvotno je korištena za simuliranje rada srca. Proračun strujanja fluidarješava se pomoću Eulerovog pristupa CFD-om, korištenjem Navier-Stokesovih jed-nadžbi za nestlačivo strujanje. Prostorna domena je diskretizirana Kartezijskommrežom. Objekt je opisan pomoću MUG, tj. vlaknima UG. Ta vlakna su zapravoniz točaka koje se opisuju Lagrangianovim pristupom. Pomoću izvorskog člana ra-čuna se sila objekta UG na fluid. U jednadžbi 2.1 definiran je radij-vektor i-te točkevlakna MUG.

∂ ~Xi

∂t= ~u

(~Xi, t

). (2.1)

„Vlakna” su opisana pomoću matematičkih točaka (koje nemaju masu), a njihovpoložaj određen je iz lokalne brzine fluida i naprezanja mišića, koje je modeliranoHookovim zakonom. To naprezanje je dodano kao dodatni izvorski član.



~fm(~x, t) =∑i

~Fi(t)δ(|~x− ~Xi|

). (2.2)

Praćenje položaja opisane matematičke točke opisano je jednadžbom 2.1, a iz-vorski član (eng. „forcing term”) je opisan u jednadžbi 2.2, gdje je δ Dirac-ovafunkcija.

Točke na vlaknima MUG ne podudaraju se nužno sa točkama na Kartezijskojmreži, te je potrebno distribuirati silu koja nastaje na uronjenoj granici na nekolikosusjednih ćelija. Zbog toga je δ funkcija zamijenjena kontinuiranom funkcijom d

koja je prikladnija za korištenje na diskretiziranoj domeni.Postoji nekoliko primjera ovog pristupa od raznih autora: Mehanika srčanog mi-

šića (Peskin 1981), Mehanika pužnice (Beyer 1992), gibanje vodene životinje (Fauci& McDonald 1994), dinamika mjehurića (Unverdi & Tryggvason 1992), tok uz elas-tična vlakna (Zhu & Peskin 2003). [8]

Implementacija s neelastičnim granicama objekta

Metoda opisana u prethodnom odjeljku nije prigodna za opisivanje problemas neelastičnim granicama budući da su opisani drugim temeljnim zakonima. Tajproblem se može riješiti tako da se na objekt simulacije nametne ekstremna krutost.Na taj način, zapravo se simulira elastični objekt vrlo male elastičnosti.

Objašnjen je pristup u kojem se smatra da je objekt pričvršćen za oprugu uravnotežnom položaju (Beyer & Leveque (1992), Lai & Peskin (2000)). Sila nastalareakcijom opruge opisana je jednadžbom 2.3, gdje je κ pozitivna konstanta a ~Xe

i jeravnotežni progib i-te Lagrangijanske točke na UG.

~Fi(t) = −κ(~Xi − ~Xe

i (t)). (2.3)

Kako bi se u ovom slučaju točno zadali rubni uvjeti, κ mora imati jako velikuvrijednost. Taj pristup kao posljedicu ima kruti sustav diferencijalnih jednadžbi, tj.potencijalno numeričko nestabilni sustav (Lai & Peskin (2000), Stockie & Wetton(1998)). Ovaj model može se promatrati kao poseban slučaj modela koji su razviliGoldstein at al. (1993). Interakcija između fluida i UG opisana je pomoću izvorskogčlana u transportnoj jednadžbi 2.4. U sustav jednadžbi se nameće takva virtualnasila da iznos brzine na stijenci bude jednak 0.

~F (t) = α

∫ t

0

~u(τ) dx+ β ~u(t). (2.4)



Jednadžba 2.4 ima fizikalno značenje prigušenog oscilacijskog sustava s povrat-nom vezom, točnije PI kontrolera [2] (Iaccarino & Verzicco (2003)).

Ova metoda korištena je za simulaciju nestacionarnog toka oko cilindra pri sred-njim Raynoldsovim brojevima, te strujanje oko prepreke u kanalu pri niskim Raynol-dsovim brojevima (Goldstein et al. 1993). Rezultati su se pokazali obećavajućim zastrujanje pri niskim Raynoldsovim brojevima.

Međutim, kako bi se zadao željeni rubni uvjet na UG, potrebno je da α i β buduvrlo veliki negativni brojevi. To uzrokuje nestabilnost u sustavu, te zahtjeva vrlokratke vremenske korake prilikom proračuna. Nadalje, kako bi se postigla glatkapovršina objekta, Gaussova distribucija je uvedena u izvorski član. Zbog toga segubi na oštrini promatranog objekta, ali to se može riješiti povećanjem rezolucijemreže [2].

Druga metoda (Angot et al. (1999) i Khadra et al.(2000)) ovog tipa uključujeizvorski član sličan onome iz jednadžbe 2.4. Pretpostavlja se strujanje s poroznomstrukturom koje je opisano Navier-Stokes/Brinkmanovim jednadžbama. U tom slu-čaju K predstavlja permeabilnost poroznog medija (0 za kruto tijelo, ∞ za fluid).Prema tome, funkcija sile je aktivna samo unutar krutog tijela gdje poništava poljebrzine. [2]

~F =µ

K~u. (2.5)

U praksi, K je izrazito velik ili izrazito malen i to u kombinaciji sa distribucijomsile na samoj granici objekta uzrokuje grešku u polju brzine na granici objekta.

U jednadžbi 2.5 izvorski član može se zapisati koristeći koeficijente α i β, uzα = 0 i β = (µ/K). Jasno je da sve prethodno navedene primjedbe za 2.4, kao štoje numerička stabilnost vrijede i za ovaj slučaj.

Ova metoda je korištena za simulaciju strujanja oko cilindra te „obrnute stepe-nice” (Khadra et al. 2000) za vrlo niske Raynoldsove brojeve [8].

Zaključak o pristupu s kontinuiranim izvorskim članom

U slučaju simuliranja strujanja fluida oko elastičnih objekata ovaj pristup imačvrste fizikalne temelje te ga je jednostavno implementirati. Zbog toga je primjenaovog modela česta u simulacijama bioloških objekata, dvofaznog toka (ali ne nanačin korišten u ovom radu).

S druge strane, ovaj pristup nije primjeren za simulacije s krutom stijenkom,vrlo je teško raditi simulacije koje ne uključuju interakciju fluida i objekta u toku.Pojednostavljeni modeli koji imitiraju krutu stijenku imaju loš utjecaj na numeričku



stabilnost i točnost rješenja. Nadalje, kod ovih metoda teško je zadržati oštrinu nagranici objekta i fluida, a to ima posebno loš utjecaj kod simulacije strujanja svisokim Raynoldsovim brojevima.

Valja napomenuti da ovaj pristup zahtjeva rješavanje diskretnih jednadžbi i unu-tar UG, što je u suprotnosti sa težnjom za što manjim zahtjevima na računalnovrijeme [8].

2.2.2. Pristup s diskretnim izvorskim članom

U pristupu s diskretnim izvorskim članom, sustav jednadžbi prvo se diskretizirana uobičajen način, neovisno o površinskoj mreži. Nakon toga, promjene se uvodeu diskretizacijsku matricu, s obzirom na blizinu uronjene granice. Ta promjenezapravo predstavljaju implementaciju rubnih uvjeta povezanih s MUG. Ovaj pristupje primjereniji za visoke Raynoldsove brojeve.

Indirektna definicija rubnih uvjeta

Za jednostavne probleme koji se mogu riješiti analitičkim putem, moguće jeizvesti izvorski član kojom je definiran točno određeni rubni uvjet na uronjenojgranici (Beyer & Leveque 1992). Obzirom da Navier-Stokesove jednadžbe nemajuanalitičko rješenje taj pristup je neprimjenjiv. Zbog toga su svi navedeni pristupi uprethodnom poglavlju su na neki način aproksimirali izvorski član.

Kako bi se izbjegao taj problem, Mohd-Yosuf (1997) i Verzicco et al. (2000) surazvili metode kojima se izvorski član izvodi direktno iz numeričkog rješenja za kojeje prethodno moguće pretpostaviti rješenje.

Prednost ovog pristupa u odnosu na prethodne je što se izvorski član računa iznumeričkog rješenja a ne zadaje se direktno. Na taj se način zaobilaze problemivezani uz numeričku stabilnost rješenja. Međutim, kao i prethodnim slučajevima,izvorski član je kontinuirana funkcija čime se smanjuje oštrina uronjene granice.Nadalje, svojstva ove implementacije snažno ovise o metodi diskretizacije.

Simulacije su izvršene za turbulentno strujanje u motoru s unutrašnjim izga-ranjem (Verzicco et al. (2000)), 2D (Balaras 2004) i 3D (Verzicco et al. (2000))strujanje oko tupih tijela, te cilindričnom spremniku (Verzicco (2003)) [8].

Direktna definicija rubnih uvjeta

Prethodno opisanim metodama u potpunosti je riješeno strujanje sa niskim isrednjim Raynoldsovim brojevima. Kod strujanja sa višim Raynoldsovim brojevimavelik problem je u rješavanju graničnih slojeva, budući da nisu poravnati sa licima



(eng. „faces”) mreže. Nadalje, spomenuta neoštrina IBM granica između fluida iobjekta ima vrlo loš utjecaj na točnost takvih simulacija.

Zbog toga se u ovom pristupu oštrina granice između objekta i fluida nastojise održati modifikacijom diskretizacijske matrice na način da se rubni uvjet zadajedirektno na IBM-u. Postoje dva pristupa ovom problemu:

• Metoda konačnih razlika sa virtualnim ćelijama:

Rubni uvjet na IBM-u zadaje se pomoću virtualnih ćelija, koje su definiranekao ćelije u objektu simulacije koje imaju barem jednu susjednu ćeliju kojasadrži fluid. Za svaku virtualnu ćeliju se zatim provodi interpolacijska shemakoja implicitno zadaje rubni uvjet na granici IBM-a. Postoji više načina nakoji se ona može implementirati a jedan je dan u jednadžbi 2.6.

ϕ = C1x1x2 + C2x1 + C3x2 + C4. (2.6)

Slika 2.5: Točke u blizini IBM-a [3].

Koeficijenti u jednadžbi 2.6 mogu se odrediti iz vrijednosti ϕ-a u točkama F1

do F4 prema slici 2.5, uz rubni uvjet zadan u točki B2. Odabir točke F4 ovisio smjeru normale na površini IBM-a. Nadalje isto se može postići korištenjemtočaka od F1 do F3, uz korištenje točaka P1 i P2.

Primjenjive su i druge sheme interpolacije (Ghias et al. (2004)); one mogu bitimanje točne, linearne (C1 = 0), koje su primjenjive za strujanja sa visokim



Raynoldsovim brojevima ako je prva točka na mreži nalazi unutar viskoznogpodsloja graničnog sloja (Iccarino & Verzicco (2003)). Ukoliko taj uvjet nijezadovoljen, mogu se koristiti interpolacije višeg reda kao npr. (Majumdar etal. 2001):

ϕ = C1n2 + C2nt+ C3n+ C4t+ C5. (2.7)

U tom slučaju n i t su koordinate točaka u smjeru normale i tangente u odnosuna IBM. Naravno, postoje i druge sheme interpolacije (Ghias et al. 2004).

Neovisno o tome, vrijednost u virtualnoj ćeliji može se zapisati kao:

∑ωiϕi = ϕv, (2.8)

pri čemu se zbrajanje odvija za sve čvorove na diskretizacijskoj matrici a ωi jegeometrijski koeficijent. Jednadžba 2.8 predstavlja modifikaciju diskretizacij-ske matrice te se rješava istovremeno sa Navier-Stokesovim jednadžbama zastrujanje na ostatku domene.

Ova metoda primijenjena je na stlačivo strujanje oko cilindra te aeroprofila(Ghias et al. (2004)) na Raynoldsovim brojevima do 105 i ostalo (vodeni pogon(Mittal et al.2004), protok kroz orebrenu serpentinu (Iaccarino et al. 2003),turbulentno strujanje oko motornog vozila (Kalitzin et al. 2003).) [8].

• Metoda presijecanja ćelija:Niti jedna do sada spomenuta metoda ne zadovoljava zakone očuvanja u ćeli-jama blizu UG. Metodom konačnih volumena može se jamčiti globalni i lokalnikontinuitet što je bila glavna motivacija za razvoj ove metode. Primijenjena jena neviskozno strujanje (Clarke et al. 1986), a kasnije i na viskozno (Udayku-mar et al. (1996); Ye et al. (1999)).

U ovoj metodi kao i u do sada nabrojanima, površinska mreža se „ubacuje”unutar pozadinske volumne mreže. Ukoliko se centar pojedine presječene ćelijenalazi van IBM, tj. unutar fluida, ćelija se preoblikuje na način da se odbacidio ćelije koji se nalazi unutar promatranog objekta. Odsječci ćelija čiji secentri nalaze unutar objekta, spajaju se sa susjednim ćelijama.

Nakon toga, potrebno je izračunati vrijednosti polja ϕ na pojedinim licimanovonastalih ćelija što se rješava interpolacijom (Ye et al. (1999)). To efek-tivno daje diskretizaciju drugog reda točnosti te lokalno i globalno zadovoljavazakone očuvanja neovisno o rezoluciji mreže.



Ova metoda korištena je za simuliranje strujanja sa pomičnim i fiksnim gra-nicama, uključujući vibracije uzrokovane strujanjem (Mittal et al. 2003), po-mične aeroprofile (Mittal et al. 2002), slobodni pad objekata kroz fluid (Mittalet al. 2004) itd.

Primjena ove metode u trodimenzionalnom prostoru nije trivijalna, jer zah-tjeva generiranje kompleksne poliedarske mreže, a time se zapravo udaljava odideje MUG [3].

Zaključak o pristupu s diskretnim izvorskim članom

Prethodno spomenute metode zadaju rubni uvjet direktno u diskretizirane jed-nadžbe. Prema tome, implementacija rubnog uvjeta na UG direktno je povezanasa procedurom diskretizacije. Zbog toga ove metode su nešto kompliciranije zaimplementaciju od onih iz pristupa s kontinuiranim izvorskim članom.

Međutim, ove metode omogućavaju zadržavanje oštrine na UG, što omogućavasimulacije sa višim Raynoldsovim brojevima. Nadalje, ove metode ne stvaraju po-teškoće u smislu numeričke stabilnosti, te ne zahtijevaju rješavanje NS jednadžbi naUG.

Nedostatak ovog pristupa je nešto kompliciranija implementacija gibanja UGkroz pozadinsku mrežu [3].

U ovom poglavlju opisana je metoda uronjene granice s osvrtom na predhodneimplementacije. U sljedećem poglavlju dan je opis matematičkog modela korištenogu ovom radu.



3. Matematički model

U prethodnom poglavlju, opisana je metoda uronjene granice, s posebnim nagla-skom na povijest metode i na prisutne implementacije. U ovom poglavlju, opisan jematematički model i metode korištene u ovom radu.

3.1. Osnove mehanike kontinuuma

Vremenske i prostorne skale zanimljive za inženjerske probleme u mehanici konti-nuuma značajno su veće od gradivnog materijala kontinuuma. Zbog toga je mogućekontinuum promatrati kao prostor potpuno ispunjen materijom.[6] To vrijedi sve dokje srednji slobodni put molekula značajano kraći od inženjerski zanimljivih skala.To npr. ne vrijedi za visoke vakuume, gdje se gibanje molekula opisuje statistički.

U Lagrangijanovom pristupu mehanici kontinuuma, prati se pozicija pojedineparcele materije kako se giba kroz prostor. Materijalna derivacija opisuje vremen-sku promjenu određenog intenzivnog fizikalnog svojstva ϕ, određene parcele konti-nuuma. Ona je veza između Lagrangianovog i Eulerovog pristupa opisu kontinuuma.

Jednadžba 3.1 daje matematički prikaz materijalne derivacije. Raynoldsov tran-sportni teorem je integralna inačica materijalne derivacije. Jednadžba 3.1 može sejednostavnije zapisati kao jednadžba 3.2.

dϕ

dt

∫Vm(t)

ρϕ(~x, t) dV =∂

∂t

∫Vm(t)

ρϕ(~x, t) dV +

∮Sm(t)

ρϕ(~x, t)~v~n dS. (3.1)

D

Dt

∫Vm

ρϕ dV =∂

∂t

∫V

ρϕ dV +

∮S

ρϕnivi dS. (3.2)

Jednadžba 3.2 može se transformirati uz pomoć Green-Gaussovog teorema [15].

D

Dt

∫Vm

ρϕ dV =∂

∂t

∫V

ρϕ dV +

∫V

∂

∂xi(ρϕvi) dV. (3.3)

Desna strana prethodnih jednadžbi opisuje Eulerov pristup mehanici fluida, gdjeje brzina promjene određenog intenzivnog fizikalnog svojstva ϕ opisana za određenikontrolni volumen koji ne mijenja svoju geometriju ili poziciju tijekom vremena.Vrijednost ϕ ovisi o fluksu tog svojstva kroz granice kontrolnog volumena te izvorimai ponorima unutar volumena.



Univerzalni zakon očuvanja intenzivnog fizikalnog svojstva ϕ može se zapisatikao[14]:

D

Dt

∫Vm

ρϕ dV =

∫V

∂qϕ,i∂xi

dV +

∫V

sϕ dV. (3.4)

Pri čemu su članovi na desnoj strani jednadžbe 3.4 površinski (plošni) i volumniizvorski, tj. ponorski. Prvi od tih članova se smatra površinskim i predstavljadifuzijski tok 3.5 [14]:

qϕ,i = −γϕ∂ϕ

∂xi. (3.5)

U jednadžbi 3.5 γ predstavlja koeficijent difuzije, a jednadžba ima negativnipredznak budući da se difuzijski tok odvija suprotno od smjera vektora gradijentasvojstva ϕ. Na primjer, izmjena topline provođenjem, gdje se toplina uvijek provodis više temperature na nižu (suprotno vektoru gradijenta). Ako se jednadžba 3.5uvrsti u 3.3 slijedi:

d

dt

∫V

ρϕ dV +

∫V

∂

∂xi(ρϕvi) dV −

∫V

∂

∂xi

(ργϕ

∂ϕ

∂xi

)dV =

∫V

sϕ dV, (3.6)

što predstavlja opći oblik transportne jednadžbe intenzivnog fizikalnog svojstvaϕ [14].

3.2. Osnovni zakoni mehanike kontinuuma

U nastavku je dano pet osnovnih zakona očuvanja prema prethodno izvedenimjednadžbama. Masa i energija imaju konzervativno svojstvo, što znači da ne mogunastati niti nestati. Brzina promjene količine gibanja jednaka je sumi svih sila načesticu fluida (drugi Newtonov zakon), a brzina promjene toplinske energije parcelekontinuuma jednaka je razlici intenziteta izmjene topline parcele s nj. okolinom irada koji je čestica izvršila (prvi glavni stavak termodinamike).

• Zakon očuvanja mase

d

dt

∫V

ρ dV +

∫V

∂

∂xiρvi dV = 0. (3.7)

• Zakon očuvanja količine gibanja

d

dt

∫V

ρvi dV +

∫V

∂

∂xiρvivj dV =

∫V

ρgi dV +

∫V

∂

∂xiσij. dV. (3.8)



• Zakon očuvanja momenta količine gibanja

d

dt

∫V

ρεkijrivj dV +

∫V

∂

∂xl(ρvlεkijrivj) dV =

∫V

ρεkijrigj dV+

+

∫V

εkijri∂σsj∂xs

dV.

(3.9)

Iz jednadžbi 3.8 i 3.9 slijedi da je σij (σsj) simetrični tenzor drugog reda.

• Zakon očuvanja energije (prvi glavni stavak termodinamike)

d

dt

∫V

ρe dV +

∫V

∂

∂xi(ρvie) dV =

∫V

ρgvi dV +

∫V

∂

∂xi(σijvj) dV−

−∫V

∂

∂xiqi dV +

∫V

ρQ dV.

(3.10)

• Prirast entropije (drugi glavni stavak termodinamike)

d

dt

∫V

ρs dV +

∫V

∂

∂xiρvis dV ≥

∫V

∂

∂xi

(qiT

)dV +

∫V

ρQ

TdV. (3.11)

Čime su dane jednadžbe pet osnovnih zakona očuvanja. Valja napomenuti da jebroj broj nepoznanica u gore navedenim jednadžbama veći od broja jednadžbi paje sustav nedefiniran[4][6].

3.3. Nestlačivo izotermno strujanje Newtonovskog

fluida

U nastavku su dani izrazi koji u potpunosti opisuju nestlačivo, izotermno stru-janje Newtonovskog fluida budući da se u ovom radu simulira isključivo takav tipstrujanja.

Budući da je strujanje nestlačivo, gustoća fluida ne ovisi o tlaku pa zbog togaviše ne vrijedi jednadžba stanja (3.12) koja povezuje tlak i gustoću fluida:

p = ρRT. (3.12)

Zbog toga više nije potrebno rješavati energetsku jednadžbu ukoliko se ne pro-učava raspodjela temperature ili pojave uzrokovane izmjenom topline u sustavu.



Pretpostavljeno je da se viskoznost fluida ne mijenja tijekom proračuna.Jednadžba 3.7 vrijedi za nestacionarno, stlačivo strujanje. Za nestlačivo strujanje

jednadžba kontinuiteta se može zapisati kao 3.13 budući da se gustoća fluida nemijenja s vremenom. ∫

V

∂

∂xiρvi dV = 0. (3.13)

Gornja jednadžba govori da polje brzine mora biti bezizvorno ili solenoidalno.Jednadžba kontinuiteta se u nestlačivom strujanju koristi kako bi se osigurala glo-balna konzervativnost, i kao jednadžba za tlak.

Tenzor naprezanja za nestlačive Newtonovske fluide definiran je generaliziranimNewtonovim zakonom viskoznosti:

σij = −pδij + µ

[∂vi∂xj

+∂vj∂xi

]. (3.14)

Gdje je δij Kroneckerov koeficijent, p tlak a µ dinamička viskoznost fluida. Prematome, jednadžba količine gibanja može se pisati kao:

d

dt

∫V

ρvi dV +

∫V

∂

∂xi(ρvivj) dV =

∫V

ρgi dV +

∫V

∂

∂xi

(µ∂vi∂xj

)dV −

∫V

∂

∂xip dV.

(3.15)Jednadžbom 3.15 je potpuno definiran sustav jednadžbi za nestlačivo strujanje

[14].

3.4. Modeliranje turbulencije

Strujanje fluida u inženjerskim problemima najčešće je turbulentno. U nastavkuje dan kratak pregled pristupa modeliranju turbulencije.

Direktna numerička simulacija

Navier-Stokesove jednadžbe sadržavaju sve potrebne informacije za simuliranjeturbulencije. Dakle turbulenciju nije potrebno modelirati, već se može direktnoračunati numeričkom integracijom danih jednadžbi. Takav pristup je vrlo zahtjevanu računalnom smislu, budući da je prostornu i vremensku diskretizaciju potrebnoprovesti dovoljnom razlučivosti kako bi se numeričkom metodom razriješile sve skaleturbulentnih vrtloga, od najvećih (Taylorova skala) do najmanjih (Kolmogorovamikroskala). Ovakav pristup naziva se Direktna Numerička Simulacija (DNS).

Za ovu metodu može se tvrditi da je točnija od eksperimenta, obzirom na ne-točnosti povezane s mjerenjem te činjenicu da mjerna oprema najčešće utječe na



rezultate mjerenja. Trenutna cijena računalnog vremena još uvijek ne dopušta ši-roku upotrebu ovog pristupa u inženjerskoj praksi, a to se ne očekuje ni u bližojbudućnosti[4][6].

Simuliranje velikih vrtloga

Budući da su vrtlozi najmanjih skala homogeniji i izotropniji od onih koji "pos-toje" na većim skalama, lakše ih je modelirati. Prema tome, kada se u DNS simulacijifiltriraju vrtlozi najmanje skale niskopropusnim filterom te se umjesto simuliranjamodeliraju, dani su temelji za Large Eddy Simulation (LES) pristup.

Modeliranje tih najmanjih vrtloga može se shvatiti i kao prostorno osrednjava-nje rezultata. Postoji više pristupa samom modeliranju najmanjih skala „sub-gridscales” (SGS), a često se temelje na „Eddy viscosity” modelu, tj. koriste turbulentnuviskoznost. Prostorna i vremenska diskretizacija zahtjeva nešto manju razlučivostnego kod DNS metode. Ove simulacije i dalje su prilično zahtjevne na računalneresurse, ali se u nekim slučajevima rutinski primjenjuju (prvenstveno za simuliranjeizgaranja)[4].

Vremenski osrednjene Navier-Stokesove jednadžbe

Iako računalna tehnologija izrazito brzo napreduje te cijena računalnog vremenastalno pada, još uvijek nije moguće rutinski primjenjivati LES. U industrijskoj pri-mjeni, zahtjevi na trajanje simulacije („turn-around time”) ograničavaju točnostsimulacija.

Zbog toga, turbulencija se najčešće modelira vremenski osrednjenim Navier-Stokesovim jednadžbama („Reynolds averaged Navier-Stokes”).

U ovom pristupu, vrijednosti brzine i tlaka se rastavljaju na vremenski osred-njenu komponentu i vremenski osrednjenu vrijednost oscilacija 3.16

p = p̄+ p′.

vi = v̄i + v′i.(3.16)

Ovaj pristup daje vremenski osrednjene rezultate, tj. uklanja nestacionarneefekte turbulencije. Nadalje, on omogućava provođenje 2D simulacija za geometrijekoje ne variraju u prostoru, budući da osrednjava 3D efekte turbulencije. Međutim,potreban je model turbulencije kako bi se zatvorio sustav jednadžbi.

Kada se jednadžbe 3.16 primjene na Navier-Stokesove jednadžbe dobiju se vre-menski osrednjene Navier-Stokesove jednadžbe. U nastavku 3.17 su dane u diferen-



cijalnom obliku za nestlačivo strujanje:

d

dtv̄i +

∂

∂xiv̄iv̄j −

∂

∂xi

(ν∂v̄i∂xj

)= − ∂p̄

∂xi+

∂

∂xiu′iu′j. (3.17)

Pri čemu se član u′iu′i = Rij naziva Raynoldsovim tenzorom naprezanja koji semože modelirati pomoću:

Rij = µt

[∂vi∂xj

+∂vj∂xi

]. (3.18)

gdje je član µt turbulentna viskoznost (eng. „turbulent viscosity”,„eddy visco-sity”). Do njega se došlo dimenzijskom analizom te ima jednaka svojstva kao iviskoznost, ali njena vrijednost nije konstantna i nije jednaka nad čitavom prora-čunskom domenom. Kako bi se µt izračunao iz trenutnih vrijednosti pojedinih poljau proračunu, potrebno ju je modelirati. Postoji velik broj različitih pristupa ovommodelu, a budući da je u ovom radu isključivo korišten k − ε model, on će bitinačelno opisan u nastavku.

Navedeni k− ε model turbulencije podrazumijeva rješavanje dvije dodatne tran-sportne jednadžbe; za k (Turbulentna kinetička energija) i ε (Disipacija turbulentnekinetičke energije). Transportna jednadžba za k dana je sljedećim izrazom:

d

dt

∫V

ρk dV +

∫V

∂

∂xi(ρv̄ik) dV =

∫V

∂

∂xi

[µtσk

∂k

∂xi

]dV+

+

∫V

(Pk + Pb) dV −∫V

ρε dV −∫V

Ym dV +

∫V

Sk dV.

(3.19)

a transportna jednadžba za ε dana je izrazom:

d

dt

∫V

ρε dV +

∫V

∂

∂xi(ρv̄iε) dV =

∫V

∂

∂xi

[µtσε

∂ε

∂xi

]dV+

+

∫V

C1εε

k(Pk + C3εPb) dV −

∫V

C2ερε2

kdV +

∫V

Sε dV.

(3.20)

Pri čemu se turbulentna viskoznost modelira sa:

µt = ρCµk2

ε. (3.21)

te uz Pk = µt(√

SijSij)2 i ostale članove i konstante čini zatvoren sustav jed-

nadžbi.Ovo je jedan od prvih modela turbulencije, koji polako svoje mjesto prepušta

točnijim modelima (kao npr. k−ω). Prednosti ovog modela su u tome što ga je lakoimplementirati, numerički je stabilan te za određena strujanja fluida daje relativno



dobre rezultate. Glavni nedostatak mu je točnost.

Funkcije zida u RANS pristupu

Kada se simulira strujanje oko nekog objekta, to nužno uključuje granične slojevefluida. Pod graničnim slojem se podrazumijeva područje strujanja u kojem brzinaraste od brzine na objektu, do brzine podalje od stijenke. Prisutni su veliki gradijentibrzine i turbulencije.

Kako bi se ti gradijenti riješili, moguća su dva pristupa. Moguće ih je direktnorješavati finom prostornom diskretizacijom ili funkcijama zida. Budući da debljinagraničnih slojeva pada s Reynoldsovim brojem, s brzinom rastu zahtjevi na razlu-čivost mreže, a fina prostorna diskretizacija komplicira generiranje mreže. Nadalje,u tom slučaju obično je potrebno koristiti određene funkcije prigušenja blizini zida,kako bi se rezultati pojedinih veličina u blizini zida približili eksperimentalnim (iliDNS). Ovi modeli najčešće zahtijevaju y+ reda veličine 0.1 ili manji.

U drugom pristupu se koriste funkcije zida. One modificiraju jednadžbe kojeopisuju (k i ε u slučaju ovog rada). To je prihvatljivo budući da za inženjerskuupotrebu detalji strujanja u blizini zida nisu važni, već samo njihovi utjecaji naintegralne veličine (sila, koeficijent koeficijenti sile, itd). U tom slučaju se spomenutigradijenti modeliraju funkcijama zida. Ova metoda zahtjeva y+ reda veličine 30-50,ali i veći su prihvatljivi [4].

U nastavku je dan kratak pregled implementacije funkcija zida[5]:

1. Potrebno je odrediti vrijednost k i udaljenost između prve ćelije uz stijenku istijenke (y)

2. Izračunati vrijednost y* na temelju laminarne viskoznosti νl blizu stijenke

y∗ =C0.25ν

√k

νl(3.22)

3. Ukoliko je y∗ u području inercijalnog podsloja, potrebno je izračunati k i ε, teuzeti u obzir smično naprezanje na zidu modificiranjem viskoznosti u ćeliji uzstijenku

G =µeff n · (∇u)w

C0.25µ ky

(3.23)

ε =C0.75ν k1.5

ky(3.24)

νw = C0.25ν

ky

νl→ τw = νw n · (∇u)w (3.25)



U ćeliji uz stijenku u i k se računaju, a y∗ je funkcija intenziteta turbulen-cije. Brzina se modificira u odnosu na y∗ kako bi bio postignut profil brzineinercijalnog podsloja.

Funkcije zida u metodi uronjene mreže

Kao što je navedeno u poglavlju 4, vrijednosti u ćelijama oko površinske mreže seinterpoliraju metodom najmanjih kvadrata. To je prihvatljivo za strujanja sa niskimRe brojem, ali daje loše rezultate za strujanja sa visokim Re brojem (poglavlje2.). Zbog toga uvode se funkcije zida u metodu uronjene mreže (eng. “ImmersedBoundary Wall Functions”).

Budući da kod metode uronjene granice lica mreže nisu paralelna sa stijenkomobjekta simulacije, brzinu je potrebno rastaviti na normalnu i tangencijalnu kom-ponentu u odnosu na stijenku. Funkcije zida primjenjuju se samo na tangencijalnukomponentu brzine.

Budući da se vrijednosti oko uronjene granice interpoliraju za sve veličine, nijemoguće implementirati standardni algoritam funkcija zida. Vrijednosti za k i n·(∇u)

moraju se odrediti iz aktivnih ćelija podalje od stijenke.Pregled algoritma dan je u nastavku [5]:

1. Vrijednosti za pojedinu IB ćeiju (ćelije u kojima se vrijednost interpolira)potrebno je uvesti točku interpolacije, na 1.5 udaljenosti te ćelije od stijenke,u smjeru živih ćelija.

2. U toj točki provesti interpolaciju metodom najmanjih kvadrata za sva polja,a bez ostalih IB ćelija.

3. Na temelju rezultata interpolacije, izračunati vrijednosti tangencijalne brzine,laminarne viskoznosti te turbulentne kinetičke energije.

4. Nakon toga, potrebno je izračunati vrijednost y∗ za točku interpolacije natemelju njene udaljenosti od stijenke te vrijednosti k

5. Ukoliko y∗ ukazuje da se točka nalazi u inercijalnom podsloju, provodi seinterpolacija inercijalnog podsloja. U slučaju da se točka interpolacije nalazivan inercijalnog podsloja, vrijednost brzine se interpolira metodom najmanjihkvadrata, νeff = νl, a G = ε = 0

6. Algoritam za provedbu interpolacije inercijalnog podsloja dan je u nastavku[5]:



Potrebnoj je modificirati vrijednosti G i νeff u IB točki (iako se zapravo te vri-jednosti ne koriste u proračunu, već u analizi rezultata). Nakon toga potrebnoprovesti interpolaciju tangencijalne komponente brzine kako bi bio zadovoljenprofil brzne inercijalnog podsloja. Normalna komponenta se određuje meto-dom najmanjih kvadrata.

Prema tome, efektivna udaljenost y koja se koristi sa metodom uronjene graniceiznosi 1.5 udaljenosti središta prve ćelije do zida. Ta vrijednost može se smanjitiprofinjavanjem mreže uz samu uronjenu granicu. U odnosu na metodu površinskiprilagodljive mreže, metoda uronjene granice neće imati tako glatku vrijednost yduž stijenke. Vrijednost intenziteta turbulencije se ne proračunava, već interpolira.

3.5. Dvofazno strujanje fluida sa slobodnom povr-

šinom

U ovom radu korišten je Eulerski pristup simuliranju strujanja dvofaznog fluida.Za strujanje obje faze fluida koristi se jednistveni s ustav jednadžbi, te se pretpos-tavlja da se fluidi ne miješaju. Na cijeloj domeni definiran je jedan fluid kome sesvojstva naglo mijenjaju na slobodnoj površini.

Skalarno polje koje opisuje pojedine faze fluida označava se sa α, a svojstvapojedinog fluida mogu se definirati kao:

ρ = αρ1 + (1− α)ρ2,

µ = αµ1 + (1− α)µ2,(3.26)

pri čemu su indeksima 1 i 2 označene pojedine faze fluida. Nadalje, α se možedefinirati kao skokovita funkcija:

α =V1V, (3.27)

gdje je V ukupni volumen, a V1 volumen promatranog dijela. Navedeni matematičkimodel naziva se „Volume of Fluid” (VOF). U tom slučaju jednadžbe za ρ i µ nisuderivabilne na cijeloj domeni zbog skoka α na slobodnoj površini.

Kako bi se riješio taj problem, α se definira tako da ima kontinuirani prijelazizmeđu 0 i 1 na slobodnoj površini, a taj pristup naziva se „Continuum Surface Force(CSF) [13].

Za volumen fluida koja se giba sa slobodnom površinom funkcija α može sedefinirati kao:

Dα

Dt=∂α

∂t+ vi

∂α

∂xi, (3.28)



a ako se jednadžba kontinuiteta za nestlačivo strujanje pomnoži s indikatorskomfunkcijom:

α∂vi∂xi

= 0. (3.29)

Zbrajanjem jednadžbi 3.28 i 3.29 slijedi:

∂α

∂t+ vi

∂α

∂xi+ α

∂vi∂xi

=∂α

∂t+

∂

∂xi(vi α) = 0. (3.30)

Kod primjene ove metode, najveći problem je očuvanje oštrine slobodne površine.Zbog toga su razvijene posebne sheme diskretizacije jednadžbe indikatorske funk-cije. Drugi problem predstavlja implementacija površinske napetosti, budući daimplicitna definicija slobodne površine uzrokuje probleme u definiciji zakrivljenostii izračunu normala slobodne površine. Kako bi se to riješilo, razvijene su metodekoje pretvaraju površinske sile u masene, međutim, one mogu dovesti do nestabil-nosti ili raspada slobodne površine [14].

3.6. Početni i rubni uvjeti

Budući da se proračuni vrše iterativnim rješavačima, potrebno je zadati početnorješenje na čitavoj domeni. Ti početni uvjeti mogu biti rješenje nekog prethodnogproračuna ili pretpostavka rješenja.

Rubni se zadaju na licima konačnih volumena koji se nalaze na kraju domene.Dirichletov rubni uvjet propisuje fiksnu vrijednost na licima ruba domene, a gra-dijenti se računaju. S druge strane, ukoliko je gradijent jednak 0, zadaje se vonNeumannov rubni uvjet, a sama vrijednost fizikalne veličine ϕ se računa na granici.Naravno, može se propisati gradijent različit od 0.

Postoji niz numeričkih rubnih uvjeta, koji se uglavnom svode na te osnovne ti-pove. Zanimljivi su „slip”, koji predstavlja strujanje oko stijenke bez viskoznog tre-nja, rubni uvjet ravnine simetrije koji se koristi ukoliko se želi simulirati simetričnageometrija. Ovaj rubni uvjet stvori virtulane ćelije s druge strane ruba domene,kako bi se mogli ispravno tretirati vektori. Tu su još i rubni uvjeti koji omogućujuinterpolaciju vrijednosti s jednog ruba domene na drugi pa se na taj način možesimulirati geometrija koja se ponavlja, ili ukoliko je jedan dio domene pokretan.

U smislu ovog rada, najzanimljiviji je naravno Immersed Boundary koji je de-taljnije objašnjen na kraju ovog poglavlja.



U ovom poglavlju dan je pregled matematičkih modela korištenih u ovome radu.U sljedećem poglavlju su dane su osnove diskretizacije jednadžbi te detalji imple-mentacije uronjene granice.



4. Diskretizacija jednadžbi

U predhodnom poglavlju dan je pregled matematičkih modela korištenih u ovomradu. O ovom poglavlju dane su osnove diskretizacije jednadžbi, te su dane osnovemetode uronjene mreže u OpenFOAM.

4.1. Diskretizacija jednadžbi

Svrha diskretizacije je svesti sustav parcijalnih diferencijalne jednadžbe na sustavalgebarskih jednadžbi. Riješenja tih, algebarskih jednadžbi u unaprijed određenimtočkama u prostoru i vremenu, moraju odgovarati rješenjima izvornih jednadžbi.Poznate su diskretizacija prostorne i vremenske domene, te jednadžbi [6].

U nastavku dan je opći oblik transportne jednadžbe u integralnom obliku, sanaznačenim članovima:

d

dt

∫V

ρφ dV︸︷︷︸Vremenski član

+

∫V

∂

∂xi(ρφvi) dV︸︷︷︸

Konvekcijski član

−∫V

∂

∂xi

(ργφ

∂φ

∂xi

)dV︸︷︷︸

Difuzijski član

=

∫V

sφ dV.︸︷︷︸Izvorski član

(4.1)

Diskretizacija nestacionarnog člana

Diskretizacija koja osigurava prvi red točnosti [13] dana je Eulerovom implicit-nom metodom: ∫

V m

∂ρφ

∂tdV = Vm

∂(ρφ)

∂t= VM

(ρφ)n − (ρφ)o

δt, (4.2)

pri čemu se oznaka n odnosi na novu vrijednost u centru kontrolnog volumena, a ona staru vrijednost. Ukoliko se članovi u jednadžbi diskretiziraju u odnosu na starivremenski korak, radi se o eksplicitnoj metodi, a u slučaju da se diskretiziraju uodnosu na novi vremenski korak radi se o implicitnoj metodi.

Diskretizacija drugog reda točnosti dana je u nastavku [13]:∫V m

∂

∂tdV = VM

∂ρφ

∂t= VM

23(φρ)n − 2(ρφ)o + 1

2(ρφ)oo

δt, (4.3)

a naziva se „Backward Diferencing Scheme”. Pretprošli vremenski trenutak označenje s oo, te u implementaciji ove metode pretposljednji korak mora biti poznat.



Diskretizacija konvekcijskog člana

Diskretizacija konvekcijskog člana može se zapisati kao [13]:∫V m

∂ρviφ

∂xidV =

∮S

(ρviφ)ni dS =∑f

Sfi (ρviφ)f =∑f

Fφf , (4.4)

gdje oznaka f označava lica kontrolnih volumena. Nadalje, ni označava vektorvanjske normale na površinu kontrolnog volumena, a vektor Sfi ima jednak smjer kaoi normala ali iznos površine. F predstavlja maseni protok kroz stranice volumena.

Budući da je potrebna vrijedost varijable φ na licima kontrolnih volumena po-trebno je uvesti sheme interpolacije koje će interpolirati vrijednost na licu izmeđucentara pripadajućih volumena. Dvije najvažnije sheme su: shema centralnih dife-rencija (eng. „Central Differencing Scheme”), uzvodna shema (eng. „Upwind Diffe-rencing”).

Diskretizacija difuzijskog člana

Diskretizacija difuzijskog člana može se zapisati kao [13]:∫V m

∂

∂xi

(ργφ

∂φ

xi

)dV =

∮S

ργφ∂φ

∂xini dS =

∑f

(ργφ)f Sfi∂φf

∂xi. (4.5)

Ako se vektor di definira kao vektor koji spaja središta dva susjedna volumena, teako je parallelan sa vektorom normale na lice konačnog volumena Si može se zapisati[13]:

Sfi =∂φf

∂xi= |Sfi |

φS − φM

|di|+ ki

(λ

1

VM

∑f

Sfi φf0 + (1− λ)

1

VM

∑f

Sfi φf0

), (4.6)

pri čemu su φM i φS vrijednosti u središtim susjedih volumena.

Diskretizacija izvorskog člana

Izvorski članovi su svi članovi koji se ne mogu okarakterizirati kao nestacionarni,konvekcijski ili difuzijski. Oni mogu biti i nelinearni, a u tom slučaju ih je potrebnolinearizirati. Prema tome, vrijedi [13]:

Sφ(φ) = Su + Spφ. (4.7)



Prilikom te linearizacije, nelinearne članove je potrebno tretirati što više implicitno.Izvorski članovi su svi članovi koji se ne mogu okarakterizirati kao nestacionarni,konvekcijski ili difuzijski. Oni mogu biti i nelinearni, a u tom slučaju ih je potrebnolinearizirati.

Diskretizacija izvorskih članova može se pisati kao [13]:∫V

Sφ(φ)dV = SuV + SpV φM . (4.8)

4.2. Metoda uronjene granice

U ovom radu validirana je metoda uronjene granice implementirana u Open-FOAM. Implementacija koristi pristup diskretnog izvorskog člana, gdje se promjeneu diskretizacijskoj matrici uvode nakon same diskretizacije. Nadalje, rubni uvjetizadani su direktno, tj. utjecaj IB prisutan je samo na ćelijama koje se nalaze uzpovršinsku mrežu.

Prednosti ove metode su jednostavna izrada mreže, činjenica da metoda radi napoliedarskoj pozadinskoj mreži te jednostavno pomicanje objekta kroz proračunskudomenu. Kao mane ove metode mogu se navesti relativno komplicirano zadavanjerubnih uvjeta te zahtjevi na rezoluciju mreže, koja je u blizini objekta je otprilike50% finija nego kod istovjetne površinski prilagodljive mreže.

Vrijednost fizikalne veličine ϕ u IB ćelijama računa se pomoću interpolacije.Interpolacija se provodi iterativno, između susjednih aktivnih ćelija (u kojima sevrijednosti računaju pomoću CFD-a) te vrijednosti rubnog uvjeta na IB-u. To jeprikazano na slici 4.1.

Slika 4.1: Interpolacija u IB ćelijama [7]



Interpolacija se provodi kvadratnom interpolacijom, a Dirichletov rubni uvjetzadan je jednadžbom [7]:

φP = φIB + C0 (xP − xIB) + C1 (yP − yIB) + C2 (xP − xIB) (yP − yIB) +

+C3 (xP − xIB)2 + C4 (yP − yIB)2(4.9)

S druge strane, Neumannov rubni uvjet provodi se u lokalnom koordinatnomsustavu prema slici 4.2.

Slika 4.2: Interpolacija u IB ćelijama, lokalni koordinatni sustav [7]

Interpolacija se vrši u odnosu na lokalni koordinatni sustav x′y′ pri čemu se osx′ podudara s normalom IB površine u određenoj točki, kao što je prikazano na slici4.2.

Vrijednost u centru volumena P računa se prema [7]:

φP = C0 + [~nIB · (∇φ)IB]x′P + C1y′P + C2x

′Py′P + C3 (x′P )

2+ C4 (y′P )

2, (4.10)

pri čemu se nepoznati koeficijenti u jednadžbama 4.9 i 4.10 određuju metodomnajmanjih kvadrata.

Kako bi se odredila prostorna udaljenost od stijenke koju će obuhvatiti interpo-lacija, moguće je koristiti dva pristupa. U prvom se udaljenost određuje inverznomkvadratnom funkcijom prema 4.11 a u drugom kosinusnom funkcijom prema 4.12[7].

wi =1

r2i(4.11)

wi =1

2

[1 + cos

(π

riSrMax

)](4.12)



Zbog tako zadane brzine, rubni uvjet za tlak nije neophodan, međutim, tlak naIB stijenci potreban je za jednadžbu količine gibanja. Diskretizirana jednadžba zatlak dana je jednadžbom [7]:

∑f

(1

aP

)f

~nf · (∇p)f Sf =∑f

~nf ·(HP

aP

)f

Sf +∑f,IB

~nf,IB · ~vf,IBSf,IB, (4.13)

pri čemu je [7]:

~vfIB =1

2(~vP + ~vN,IB) . (4.14)

Na kraju, brzina u IB licima ~vf,IB mora biti skalirana kako bi uvjet nepromoči-vosti stjenke bio zadovoljen [7].



5. Validacija

U predhodnom poglavlju opisana je diskretizacija jednadžbi, te su dani detaljiimplementacija metode uronjene mreže u OpenFOAM. U nastavku su dani detaljivalidacije.

5.1. Strujanje oko simetričnog 2D profila

Za validaciju dvodimenzionalnog strujanja korišten je simetrični 2D profil, “NACAM3 airfoil” [9]. Simulacije su provedene u laminarnom i turbulentnom režimu stru-janja. Geometrijski prikaz profila dan je na slici 5.1

Slika 5.1: Munk M3 aeroprofil, geometrija [12]

Nadalje, na slici 5.2 prikazana je površinska mreža, točnije .stl (eng. “Stereolit-hography”) reprezentacija profila. Navedeni format opisuje površinu pomoću troku-



taste mreže. Ovaj format je danas često korišten, i s njime može baratati gotovo savdostupni software za manipulaciju 3D objektima. Opisana površinska mreža imasvoje zahtjeve na kvalitetu koji utječu na stabilnost izvođenja IB simulacije, te seje zbog toga potrebno osigurati kvalitetu .stl objekta koji se koristi.

U nastavku ovog rada, svi .stl objekti će biti obojani istom bojom kao na slici5.2, kako bi se naglasilo da se razlikuju u odnosu na rubna lica mreže u BF pristupu.

Iako su simulacije ovog profila, metodom površinski prilagodljive mreže (MPPM)i metodom uronjene granice (MUG), izvršene za 2D strujanje, dana reprezentacijaobjekta je trodimenzionalna. Razlog za to je što se 2D simulacije u OpenFOAM-uvrše na 3D mreži debljine jedne ćelije gdje se prednjim i stražnjim licima mreže(onima koji se šire u treću dimenziju) dodjeljuje poseban tip rubnog uvjeta (eng.“empty”).

Slika 5.2: Munk M3 aeroprofil, površinska mreža

5.1.1. Mreža konačnih volumena

Kao što je spomenuto, radi usporedbe rezultata, provedene su simulacije MUG iMPPM. Mreža korištena za MPPM dana je slikama 5.3 - 5.6. Obje korištene mreženačinjene su u OpenFOAM-u.

Na slikama 5.4 i 5.5 prikazana je mreža na kojoj su vidljive ćelije u području gra-ničnog sloja. Ovaj oblik mreže omogućava razrješavanje velikih gradijenata brzine



Slika 5.3: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža.

Slika 5.4: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža, detaljprofila.

blizu stijenke obzirom na debljinu prve ćelije. U ovom slučaju korištene su funkcijezida.

Nadalje, na slikama 5.7 - 5.10 dani su prikazi mreže IB verzije aeroprofila. Na



Slika 5.5: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža, detaljgraničnog sloja napadnog brida.

Slika 5.6: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive granice, mreža, detaljgraničnog sloja izlaznog brida.



slikama je prikazana i površinska IB mreža.

Slika 5.7: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža.

Slika 5.8: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj.



Slika 5.9: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj napadnogbrida.

Slika 5.10: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, detalj izlaznogbrida.

Nadalje, na slici 5.11 dan je prikaz aktivnih ćelija (prikazanih crveno) te neaktiv-nih ćelija čija se središta nalaze unutar aeroprofila (prikazanih plavo). U neaktivnim



ćelijama ne provodi se proračun.

Slika 5.11: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, mreža, neaktivne ćelije.

5.1.2. Laminarno strujanje

Simulirano je laminarno strujanje oko aerprofila. Početni i rubni uvjeti dani suu tablici 5.1. Budući da je gustoća konstantna i ne ovisi o tlaku, u proračunu će seraditi s razlikom tlaka, te je on u početnom trenutku zadan proizvoljnom vrijednosti(0 u ovom radu).

v∞ [m/s] ν [m2/s] Re [−] L [m]20 1.5e− 2 1333.3333 1

Tablica 5.1: Munk M3 laminarno strujanje, podaci

U tablici 5.1, Re predstavlja Reynoldsov broj a računa se prema: Re = vLν.

Reynoldsov broj predstavlja omjer inercijskih i viskoznih sila, a L predstavlja hi-draulički radius.

Strujanje se može smatrati laminarnim pri Reynoldsovim brojevima manjim od2500, što je i ovdje slučaj.

U nastavku su dani rezultati opstrujavanja aeroprofila u laminarnom režimu.Informacije o prikazanim poljima nalaze se u opisu slika.



Slika 5.12: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje tlakap [Pa].

Slika 5.13: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje tlaka p [Pa].

Iz slika 5.12-5.15 vidljivo je da se polja tlaka u slučaju laminarnog opstrujavanjaprofila jako dobro poklapaju.

Iz slika 5.16-5.19 vidljivo je dobro poklapanje polja brzine u opstrujavanju profila.



Slika 5.14: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje tlakap [Pa], detalj profila.

Slika 5.15: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje tlaka p [Pa], detaljprofila.

U slučaju laminarnog opstrujavanja profila rezultati dobiveni MUG dobro sepoklapaju s rezultatima dobivenim MPPM.



Slika 5.16: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje brzine.

Slika 5.17: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje brzine.

Na grafu 5.20 prikazana je konvergencija sila tlaka u smjeru glavne osi profila.Vidljivo je da se rezultati ne poklapaju. Razlika nije zanemariva, te se u trenutkupisanja ovog rada smatra da je ona posljedica pogreške u algoritmu koji računa silu.To se pretpostavlja zbog toga što polja tlaka pokazuju odlično poklapanje.



Slika 5.18: Munk M3 aeroprofil, metoda površinski prilagodljive mreže, polje brzineU [m/s], detalj profila.

Slika 5.19: Munk M3 aeroprofil, metoda uronjene granice, polje brzine U [m/s],detalj profila.

Sile u y-smjeru pokazuju odlično poklapanje, te su jednake 0 kao što se i očekujeza simetrični profil pod napadnim kutom od 0◦.



-10

-5

0

5

10

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

F [

N]

Iteracija [-]

Munk M3 sile tlaka u x-smjeru

IBBF

Slika 5.20: Munk M3 aeroprofil, konvergencija sile tlaka, x-smjer.

-10

-5

0

5

10

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

F [

N]

Iteracija [-]

Munk M3 sile tlaka u y-smjeru

IBBF

Slika 5.21: Munk M3 aeroprofil, konvergencija sile tlaka, y-smjer.



5.1.3. Turbulentno strujanje

U nastavku dani su rezultati za turbulentno opstrujavanje aeroprofila. U tablici5.2 dani su početni vrijednosti početnih i rubnih uvjeta. Informacije o prikazanimpoljima nalaze se u opisu slika.

v∞ [m/s] ν [m2/s] Re [−] L [m] k [J/kg] ε [J/kgs]35 1.5e− 5 3 500 000 1 1.24 1.0529

Tablica 5.2: Munk M3 turbulentno strujanje, podaci

Slika 5.22: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagod-ljive mreže, polje tlaka p [Pa], detalj profila

Na slikama 5.22 i 5.23 prikazana su polja tlaka za obje metode. Može se primjetitivrlo mala razlika u položaju točke zastoja na napadnom bridu.

Na slikama 5.24 i 5.25 prikazana su polja brzine za obje metode. U oba slučajapostoji odvajanje strujanja, a kod MUG, zona recirkulacije je veća.

Na slikama 5.26-5.31 prikazana su polja veličina vezanih uz model turbulencije.Iz navedenih slika može se sveukupno zaključiti da MUG daje veći intenzitet turbu-lencije.

Nadalje, MUG nije moguće opisati detalje koji su manji od veličine najmanjegvolumena. Prema tome, u ovom slučaju nije moguće ispravno opisati izlazni brid



Slika 5.23: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice,polje tlaka p [Pa], detalj profila

Slika 5.24: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagod-ljive mreže, polje brzine, detalj profila

profila, što uzrokuje veći intenzitet turbulencije (sl. 5.29) na izlaznom bridu. To jemogući razlog povećanog recirkulacijskog mjehura na izlaznom bridu kod MUG.

Na grafovima 5.32 i 5.33 prikazana je konvergencija sile tlaka u smjeru strujanja.



Slika 5.25: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice,polje brzine, detalj profila

Slika 5.26: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagod-ljive mreže, turbulentna viskoznost, detalj profila

Odstupanja su značajna i kao što je već spomenuto za slučaju laminarnog strujanja:moguće je da su posljedica pogreške algoritmu za računanje sile.



Slika 5.27: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice,turbulentna viskoznost, detalj profila

Slika 5.28: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagod-ljive mreže, turbulentna kinetička energija, detalj profila



Slika 5.29: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice,turbulentna kinetička energija, detalj profila

n

Slika 5.30: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda površinski prilagod-ljive mreže, disipacija turbulentne kinetičke energije, detalj profila



Slika 5.31: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, metoda uronjene granice,disipacija turbulentne kinetičke energije, detalj profila

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

F [

N]

Iteracija [-]

Munk M3 turbulentno sile tlaka u x-smjeru

IBBF

Slika 5.32: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, konvergencija sile tlaka, x-smjer



-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

F [

N]

Iteracija [-]

Munk M3 turbulentno sile tlaka u y-smjeru

IBBF

Slika 5.33: Munk M3 aeroprofil, turbulentno strujanje, konvergencija sile tlaka, x-smjer



5.2. Strujanje oko krila Onera M6

Ovo krilo je klasični slučaj koji se koristi za validaciju CFD modela te jednofaz-nog turbulentnog strujanja u aerodinamici [11]. Nastalo je 70-ih godina, a radi se osimetričnom profilu kome je dan kut strijele. U ovom radu korišteno je za ispitivanjenestlačivog turbulentnog strujanja s korištenjem IB rubnog uvjeta.

Simulacije za obje metode vršene su za četiri napadna kuta: za 0◦, 3◦, 6◦i 9◦.Radi uštede prostora u nastavku su prikazani rezultati nulti napadni kut, ukolikodrugačije nije navedeno.

Površinska mreža dana je na slici 5.34. U tablici 5.3 dani su podaci o simulaciji.

Slika 5.34: Onera M6 krilo, geometrija

v∞ [m/s] ν [m2/s] Re [−] l [m] k [J/kg] ε [J/kgs]20 1.5e− 5 861 427 0.64607 0.24 0.353

Tablica 5.3: Onera M6, početni i rubni uvjeti

Na slikama 5.35-5.38 dan je prikaz mreže na čitavoj domeni. Na mreži korištenojsa MPPM ne koriste se funkcije zida. Mreža korištena sa MUG načinjena je natemelju te mreže u OpenFOAM-u.

Na slikama 5.39 i 5.40 dan je prikaz mreže u presjeku. Normala ravnine presjekausmjerena je u smjeru normale krila, a nalazi se na sredini krila.



Slika 5.35: Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, “farfield”

Slika 5.36: Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, “farfield”

Na slikama 5.42 i 5.41 prikazana su polja tlaka za obje metode u presjeku (prema5.39 i 5.40). Na slici 5.42 obrisane su ćelije u kojima se ne provodi proračun. Iz oveslike vidljiva je karkateristika MUG prema kojoj nije moguće opisati detalje manjeod najmanje ćelije.



Slika 5.37: Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, simetrija

Slika 5.38: Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, simetrija

Prikazi polja tlaka za obje metode pokazuju dobro poklapanje. Primjetno je daje tlak u zaustavnoj točko kod MUG nešto niži, što se može objasniti time da kodMUG ne postoji oštri napadni brid (kao kod MPPM).

Na slikama 5.43 i 5.43 prikazana su polja brzine za oba slučaja na dvije ravnine.



Slika 5.39: Onera M6, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek, detaljkrila

Slika 5.40: Onera M6, mreža, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila

Prva ravnina presjeca krilo na pola, a druga ravnina je proizvoljno orjentirana iotprilike prati kut strijele krila.

Vrijednosti brzine izgledaju vrlo slično na napadnom bridu, dok se na izlaznombridu razlikuju. To se objašnjava činjenicom da su mreže pojedinih metoda prilično



Slika 5.41: Onera M6, polje tlaka, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek,detalj krila

Slika 5.42: Onera M6, polje tlaka, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila

različite, te činjenicom da kod MUG ne postoji oštri izlazni brid, kao kod MPPG.Svojstva Turbulencije opisana su na slikama 5.46-5.50. Kao i kod simulacije

opstrujavanja Munkovog aeroprofila, mogu se primjetiti razlike.



Slika 5.43: Onera M6, polje brzine, metoda površinski prilagodljive mreže, presjek,detalj krila

Slika 5.44: Onera M6, polje brzine, metoda uronjene granice, presjek, detalj krila



Slika 5.45: Onera M6, turbulentna viskoznost, metoda površinski prilagodljivemreže, presjek, detalj krila

Slika 5.46: Onera M6, turbulentna viskoznost, metoda uronjene granice, presjek,detalj krila



Slika 5.47: Onera M6, turbulentna kinetička energija, metoda površinski prilagod-ljive mreže, presjek, detalj krila

Slika 5.48: Onera M6, turbulentna kinetička energija, metoda uronjene granice,presjek, detalj krila



Slika 5.49: Onera M6, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda površinskiprilagodljive mreže, presjek, detalj krila

Slika 5.50: Onera M6, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda uronjenegranice, presjek, detalj krila



Slika 5.51: Onera M6, kontura tlaka za p = 2 [Pa], detalj krila

Slika 5.52: Onera M6, kontura tlaka za p = 2 [Pa], detalj krila 2

Na slikama 5.51 i 5.52 prikazane su konture tlaka za p = 2[Pa], pri čemu je crvenooznačena kontura dobivena MPPM, a plavom kontura dobivena MUG. Poklapanjemeđu konturama je vrlo dobro.

Na grafovima 5.53-5.58 prikazane su sile i momenti tlaka u odnosu na napadni



-1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sila

[N

]

Napadni kut α [°]

OneraM6 usporedba IB i BF sile tlaka u x-smjeru

BFIB

Slika 5.53: Onera M6, sile tlaka, x-smjer

-10

0

10

20

30

40

50

60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sila

[N

]

Napadni kut α [°]

OneraM6 usporedba IB i BF sile tlaka u y-smjeru

BFIB

Slika 5.54: Onera M6, sile tlaka, y-smjer

kut. Vidljivo je da su odstupanja istog reda veličine kao i za opstrujavanje Munkovogaeroprofila.



-1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sila

[N

]

Napadni kut α [°]

OneraM6 usporedba IB i BF sile tlaka u z-smjeru

BFIB

Slika 5.55: Onera M6, sile tlaka, z-smjer

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mo

me

nt

[Nm

]

Napadni kut α [°]

OneraM6 usporedba IB i BF moment tlaka oko x-osi

BFIB

Slika 5.56: Onera M6, moment tlaka, x-os



-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mo

me

nt

[Nm

]

Napadni kut α [°]

OneraM6 usporedba IB i BF moment tlaka oko y-osi

BFIB

Slika 5.57: Onera M6, moment tlaka, y-os

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Mo

me

nt

[Nm

]

Napadni kut α [°]

OneraM6 usporedba IB i BF moment tlaka oko z-osi

BFIB

Slika 5.58: Onera M6, moment tlaka, z-os



5.3. Strujanje oko polu-uronjenog hidroprofila

Provedena je simulacija strujanja turbulentnog dvofaznog toka sa slobodnompovršinom oko polu-uronjenog hidroprofila. Simulacija je nestacionarna, te je pro-vedena VOF metodom. Vrijednosti u tablici 5.4 navedene su za kapljevinu [1].

v∞ [m/s] ν [m2/s] Re [−] F [m] k [J/kg] ε [J/kgs]1.887 1.1417004e− 06 3 059 708 1.21 0.013 0.0024

Tablica 5.4: Hidroprofil, početni i rubni uvjeti

Slika 5.59: Hidroprofil, geometrija

Na slici 5.59 dan je prikaz površinske mreže hidroprofila.Na slikama 5.60 i 5.61 dan je prikaz mreže na čitavoj domeni za obje metode.

Mreža korištena sa MUG (5.61) napravljena je u OpenFOAM-u.Na slici 5.62 dan je prikaz polja brzine i dinamičkog tlaka za MPPM, a na

slici 5.63 dan je prikaz istih polja za MUG. Primjetna je razlika brzine na slobodnojpovršini. Budući da su simulacije dvofaznog toka za MPPG provedene proračunskimpaketom (navalFoam) koji drugačije tretira jednadžbu za identifikacijsku funkciju(alpha1) i to može biti uzrok razlikama.

Razlike su vidljive i u polju tlaka. Valja naglasiti da iako se pojedina poljarazlikuju po iznosu, te razlike nisu značajne. Nadalje, karakteristike pojedinih poljase poklapaju (položaj valova, visina slobodne površine).



Slika 5.60: Hidroprofil, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže

Slika 5.61: Hidroprofil, mreža, metoda uronjene granice



Slika 5.62: Hidroprofil, polje dinamičkog tlaka i polje brzine, metoda površinskiprilagodljive mreže

Slika 5.63: Hidroprofil, polje dinamičkog tlaka i polje brzine, metoda uronjene gra-nice



Slika 5.64: Hidroprofil, turbulentna kinetička energija i disipacija, metoda površinskiprilagodljive mreže

Slika 5.65: Hidroprofil, turbulentna kinetička energija i disipacija, metoda uronjenegranice’

U veličinama koje opisuju turbulenciju (slike 5.64 i 5.65) vidljive su razlike, kakou položaju tako i u iznosu.



Slika 5.66: Hidroprofil, slobodna površina, t=3

Slika 5.67: Hidroprofil, slobodna površina, t=6

Na slikama 5.66 i 5.67 prikazana je kontura slobodne površine za dva vremenskatrenutka: t = 3 i t = 6. Vidljive su razlike u visini i poziciji valova, ali one nisuznačajne.

Na slici 5.68 dan je prikaz sila tlaka na hidroprofil u smjeru strujanja. Iako je



0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 1 2 3 4 5 6

Sila

[N

]

Vrijeme [s]

Hidroprofil sile tlaka u x-smjeru

IBBF

Slika 5.68: Hidroprofil, sile tlaka, x-smjer

vidljivo da sile tlaka osciliraju, iznosom prate vrijednost dobivenu MPPM.



5.4. Simulacija strujanja fluida sa slobodnom po-

vršinom oko KCS trupa broda

Simulirano je strujanje dvofaznog toka oko trupa kontejnerskog broda. Korištenageometrija također je standard u validiranju CFD metoda [10]. U tablici 5.5 dani supočetni i rubni uvjeti simulacije. Simulacija je provedena VOF metodom, sa k − εmodelom turbulencije. U tablici su navedeni podaci za kapljevitu fazu.

Prilikom izvođenja simulacije s MPPM, korištena je polovica broda, dok te sepretpostavja simetrično strujanje. Ta potrepostavka je načinjena radi uštede raču-nalnog vremena. S druge strane, u IB simulaciji korištena je čitava geometrija brodakako bi se mogao definirati uvjet nepromočivosti IB-a.

v∞ [m/s] ν [m2/s] Re [−] L [m] k [J/kg] ε [J/kgs]2.196 1.1417004e− 06 14 849 009 7.72 0.375 14.855

Tablica 5.5: KCS trup, početni i rubni uvjeti

Slika 5.69: KCS trup, geometrija

Na slici 5.69 dan je prikaz geometrije broda.Na slici 5.70 dan je prikaz mreže na čitavoj domeni korištene prilikom simulacije

MPPM. Posebno su označena lica koja predstavljaju rubni uvjet zida, kojim je



Slika 5.70: KCS trup, mreža, metoda površinski prilagodljive mreže

Slika 5.71: KCS trup, mreža, metoda uronjene granice

definiran trup broda. Na slici 5.71 prikazana je mreža korištena za simulaciju MUG,a načinjena je u OpenFOAM-u.

Na slikama 5.72 i 5.73 dan je prikaz mreže u presjeku duž ravnine simetrije broda,kako bi se prikazala razina profinjenja u blizini površinske mreže.



Slika 5.72: KCS trup, mreža sa prikazom pojedinih faza, metoda površinski prila-godljive mreže

Slika 5.73: KCS trup, mreža sa prikazom pojedinih faza, metoda uronjene granice

Na slikama 5.74 i 5.75 dan je prikaz polja brzine za obje metode. Vidljivo jeda se profili razlikuju, što se može pripisati nedovoljnoj razini profinjenja mrežekod MUG, te drugačijem tretiranju jednadžbe indikatorske funkcije kod MPPM uodnosu na MUG.



Slika 5.74: KCS trup, polje brzine, metoda površinski prilagodljive mreže

Slika 5.75: KCS trup, polje brzine, metoda uronjene granice

Na slici 5.76 prikazano je polje dinamičkog tlaka za MPPG, a na slici 5.77 pri-kazano je polje dinamičkog tlaka za MUG.

Na slikama 5.78-5.81 dan je prikaz polja veličina vezanih uz turbulenciju. Iznavedenih slika su vidljive međusobne razlike pojedinih veličina.



Slika 5.76: KCS trup, polje dinamičkog tlaka, metoda površinski prilagodljive mreže

Slika 5.77: KCS trup, polje dinamičkog tlaka, metoda uronjene granice

Na slici 5.82 dan je prikaz usporedbe visine slobodne površine za vremenskitrenutak t = 3 [s]. Plavom bojom označena je slobodna površina dobivena MPPM,a crvenom površina dobivena MUG. Na slici 5.82 slobodne površine su prikazane zavremenski trenutak t = 6 [s].



Slika 5.78: KCS trup, turbulentna kinetička energija, metoda površinski prilagod-ljive mreže

Slika 5.79: KCS trup, turbulentna kinetička energija, metoda uronjene granice



Slika 5.80: KCS trup, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda površinskiprilagodljive mreže

Slika 5.81: KCS trup, disipacija turbulentne kinetičke energije, metoda uronjenegranice



Slika 5.82: KCS trup, slobodna površina, usporedba, t=3

Slika 5.83: KCS trup, slobodna površina, usporedba, t=6



-600

-400

-200

0

200

400

600

0 1 2 3 4 5 6

Sila

[N

]

Vrijeme [s]

KCS trup sile tlaka u x-smjeru

IBBF

Slika 5.84: KCS trup, sile tlaka, x-smjer

Na grafu 5.84 dan je prikaz usporedbe sila tlaka u smjeru glavne osi broda. I uovom slučaju prisutne su oscilacije tlaka.

U ovom poglavlju dana je validacija IB metode. U sljedećem poglavlju dan jezaključak rada.



6. Zaključak

U prethodnom poglavlju obrađena je validacija MUG. U ovom poglavlju dani suzaključci rada.

MUG uključuje dvije vrlo važne prednosti u odnosu na MPPM: pojednostavljujegeneriranje mreže, čime se značajno ubrzava sveukupno vrijeme izvođenja simula-cije. To je posebno korisno prilkom korištenja metoda računalne mehanike fluida zaoptimizaciju oblika.

Možda i najvažnija prednost MUG u odnosu na MPPM pristup je jednostavnostkorištenja (sa pomičnim i nepomičnim objektom) u odnosu na MPPM. Trenutnaimplementacija MUG omogućava jednostavnu implementaciju sa postojećom funk-cinalnostima i rješavačima u OpenFOAM-u.

Nadalje, za razliku od ostalih metoda dostupnih u literaturi, ova je metoda upotpunosti funkcionalna pri visokim Re brojevima, zahvaljujući funkcijama zidaMUG.

Najveći nedostatak MUG je točnost. Kao što je prikazano u simulacijama izvr-šenim u sklopu validacije, rezultati BF i IB simulacija ne pokazuju idealno pokla-panje. S druge strane, simulacije strujanja oko jednostavnih objekata su pokazaledobro poklapanje, čak i kod visokih Re brojeva.

Pokazalo se da stabilnost proračuna i točnost rješenja kod MUG ovisi o kvalitetipovršinske mreže, što se može smatrati nedostatkom ali i kod MPPM postoji istiproblem (iako se tamo radi o volumnoj mreži) i izraženiji je.

Nadalje, pokazalo se da MUG nije stabilna kod izrazitog profinjenja volumnemreže, kao i kod paralelnih proračuna, te u ovom radu nije ustanovljen uzrok tome.Nije ustanovljen niti uzrok oscilacija sile tlaka kod prikazanih dvofaznih simulacija.

Nakon izvršenja svih simulacija provedenih u sklopu ovog rada, ostaje jasno daje potrebno nastaviti razvoj na polju paralelizacije koda, stabilnosti kod izrazitogprofinjenja mreže, implementacije sofisticiranijih modela turbulencije te analizi re-zultata.



7. Bibliografija

[1] S. Bal, Prediction of wave pattern and wave resistance of surface piercing bo-dies by a boundary element method, International Journal for Numerical Met-hods in Fluids, 56 (2008), pp. 305–329.

[2] H. Bandringa, Immersed boundary methods, Master’s thesis, University ofGroningen, Faculty of applied Mathematics and natural sciences, the Nether-lands, 2010.

[3] G. Iaccarino, Immersed Boundary technique for turbulent flows with indus-trial applications, PhD thesis, Politecnico di Bari, 2004.

[4] H. Jasak, Numerical solution algorithms for compressible flows. Unpublishedlecture notes for class in FSB Zagerb.

[5] , Wall function implementation for the immersed boundary method. High-Re flows with Immersed Boundary Walls, unpublished.

[6] , Error Analysis and Estimation for the Finite Volume Method with Ap-plications to Fluid Flows, PhD thesis, Department of Mechanical Engineering,Imperial College of Science, Technology and Medicine, 1996.

[7] H. Jasak and Ž. Tuković, Immersed boundary method in OpenFOAM. 5th

Dutch OpenFOAM Users Day, TU Delft. 12.2.2013.

[8] R. Mittal and G. Iccarino, Immersed boundary methods, Annual Reviewof Fluid Mechanic, 37 (2005), pp. 239–261.

[9] Munk M3, NACA/Munk M3 airfoil. http://airfoiltools.com/airfoil/

details?airfoil=m3-il. Pristupljeno: 21.12.13.

[10] R. S.Enger, M.Perić, Simulation of flow around KCS-HULL. A Workshopon CFD in Ship Hydrodynamics. Gothenburg 2010.

[11] J. Slater, NPARC Alliance Validation Archive – ONERA M6 Wing. http:

//www.grc.nasa.gov/WWW/wind/valid/m6wing/m6wing.html. Pristupljeno:2.12.13.



[12] UIUC Applied Aerodynamics Group, NACA/Munk M3 airfoil. http:

//aerospace.illinois.edu/m-selig/ads/afplots/m3.gif. Pristupljeno:21.12.13.

[13] V. Vukčević, Primjena računalne dinamike fluida u analizi gibanja plovnihobjekata, Master’s thesis, Department of Mechanical Engineering, University ofZagreb, 2013.

[14] Ž. Tuković, Metoda kontrolnih volumena na domeni promjenjivog oblika, PhDthesis, Department of Mechanical Engineering, University of Zagreb, 2005.

[15] Wikipedia, Divergence theorem. http://en.wikipedia.org/wiki/

Divergence_theorem. Pristupljeno: 1.12.13.

[16] , FLOPS; hardware costs. http://en.wikipedia.org/wiki/FLOPS#

Hardware_costs. Pristupljeno: 22.11.13.


Documents

DIPLOMSKI RAD - foam-extend.fsb.hr · Budući da ﬁzikalni problemi koje proučava mehanika kontinuuma najčešće ne- maju analitičko rješenje, potrebno ih je riješiti numerički