Numerische Analyse von Runge-Kutta Verfahren im Kontext ... · Finite Elemente Methode zur Ortsdiskretisierung in Kapitel 2 vorgestellt. Die Zeitintegration mittels Runge- Die Zeitintegration

Numerische Analyse von

Runge-Kutta Verfahren im Kontext von

FEM Ortsdiskretisierungen am Beispiel derKonvektions-Diusions-Gleichung

Bachelorarbeit

von

Ramona Sasse

im Studiengang Technomathematik

Abgabedatum Juli 2013

Betreuer: Dr. Matthias Möller

Co-Betreuer: Prof. Dr. Stefan Turek

Lehrstuhl 3

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 2

2 Ortsdiskretisierung mit Finiten Elementen 3

3 Runge-Kutta Verfahren und Butcher-Tabellen 73.1 Allgemeine Bildung von Runge-Kutta Formeln und Butcher-Tabellen . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Vorteile von Butcher-Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Explizite Runge-Kutta Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.4 Implizite Runge-Kutta Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4 Diskretisiertes Konvektions-Diusions-Problem 10

5 Numerische Konvergenzanalyse 125.1 Numerischer Test bezüglich des Ortsfehlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 Numerischer Test bezüglich des Zeitfehlers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.3 Vergleich von verschiedenen

Ort-Zeit-Diskretisierungs-Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

6 Ezienzvergleich verschiedener Methoden 31

7 Fazit und Ausblick 34

Literaturverzeichnis 35

A Butcher-Tabellen 36

B Finite Elemente Gitter für numerische Testprobleme 38

1

Kapitel 1

Einführung

In dieser Bachelorarbeit wird das numerischer Verhalten von einer Finiten Elemente Ortsdiskretisierungin Kombination mit Runge-Kutta Zeitintegrationsverfahren numerisch analysiert. Dafür wird einleitend dieFinite Elemente Methode zur Ortsdiskretisierung in Kapitel 2 vorgestellt. Die Zeitintegration mittels Runge-Kutta Zeitschrittverfahren und ihre Darstellung in Butcher-Tabellen, sowie besondere Eigenschaften vonexpliziten und impliziten Runge-Kutta Verfahren werden in Kapitel 3 thematisiert.

Anhand der instationären Konvektions-Diusionsgleichung in 2D

∂u (x, t)

∂t+∇ · (v (x, t)u (x, t))− d∆u (x, t) = f (x, t) (1.1)

auf dem Raum-Zeit-Zylinder QT = Ω× [0, T ] ⊂ R2× [0,∞] mit divergenzfreiem Geschwindigkeitsfeld v (x, t),Diusionskoezient d und Lastfunktional f (x, t), sowie den Anfangs- und Randbedingungen

u (x, t) = u0 (x) in Ω zum Zeitpunkt t = 0

u (x, t) = gD (x, t) auf dem Dirichlet Rand ∂Ω× [0, T ]

und darauf basierenden Modellproblemen werden in Kapitel 5 die Diskretisierungsmethoden betrachtet undauf ihr Konvergenzverhalten untersucht. Dafür werden zunächst Orts- und Zeitdiskretisierung getrennt be-trachtet: Mit einem stationären Problem soll die numerische Konvergenzordnung der hier verwendeten FinitenElemente (vgl. Kapitel 2) untersucht werden (Unterkapitel 5.1). In Unterkapitel 5.2 wird der Zeitfehler wie-derum mit einem im Ort konstanten Modellproblem und diversen Runge-Kutta Methoden (vgl. Kapitel 3)jeweils in Hinblick auf deren Konvergenzordnung untersucht. Von besonderem Interesse sind die numerischenEigenschaften und die Gesamtordnung des Orts-Zeitfehlers bei einem sowohl im Ort als auch in der Zeitnicht konstanten Modellproblem. Wie in den Kapiteln 2 und 3 erläutert und in Kapitel 5 überprüft wird,konvergieren die verschiedenen Finiten Elemente und Runge-Kutta Verfahren unterschiedlich im Limes. Des-halb werden in Unterkapitel 5.3 verschiedene Kombinationen der Orts- und Zeitdiskretisierung betrachtetund die Bedeutung der Gesamtkonvergenz erörtert. Ziel ist es, die aus der theoretischen Überlegungen be-kannten Konvergenzordnungen für hinreichend glatte Probleme für ein Modellproblem anhand numerischerBeispielrechnungen zu überprüfen.

Abschlieÿend wird in Kapitel 6 eine Strategie entwickelt, um das exemplarische Konvektions-Diusions-Problem aus Unterkapitel 5.3 möglichst ezient zu lösen. Es werden verschiedene Kombinationen von Orts-und Zeitdiskretisierung in Hinblick auf die benötigte CPU-Zeit, die sie jeweils brauchen, um eine bestimmteFehlertoleranz zu erreichen, untersucht.

Am Ende dieser Arbeit wird ein Fazit (Kapitel 7) gezogen, welches die Ergebnisse der verschiedenen nume-rischen Tests zusammenfasst und einen Ausblick auf mögliche Verbesserungen zur Lösung von Konvektions-Diusions-Problemen gibt.

Für die numerischen Tests wird das Finite Elemente Programm des Studienprojekts 2012 verwendet.Entwickelt wurde der Code von den Technomathematik-Studierenden Mirco Altenbernd, Sophia Bremm,Florian Imorde, Jens Köhler, Ramona Sasse und Malte Schirwon im Rahmen eines zweisemestrigen Projektszur Modellbildung und Simulation.

2

Kapitel 2

Ortsdiskretisierung mit Finiten

Elementen

Ziel ist es, die Konvektions-Diusions Gleichung (1.1) mit der Linienmethode, d. h. zunächst im Ort unddann in der Zeit (vgl. Kapitel 3 und 4), zu diskretisieren. In diesem Kapitel wird die Ortsdiskretisierung mitder Finite Elemente Methode vorgestellt.

Die schwache Formulierung des Problems (1.1) lautet unter Ausnutzung der Dirichlet Randbedingungenund des Gauÿschen Integralsatzes:

Suche u (x, t) ∈ Vt, so dass ∀w ∈ W giltˆΩ

w∂u (x, t)

∂tdΩ +

ˆΩ

∇w (x, t) · d∇u (x, t) dΩ +

ˆΩ

w (x, t) (v (x, t) · ∇u (x, t)) dΩ =

ˆΩ

w (x, t) f (x, t) dΩ (2.1)

wobei Vt und W unendlich-dimensionale Funktionenräume sind. Vt wird auch Ansatzraum und W der Tes-traum genannt. Es gilt Vt =

v ∈ H1 (Ω) : v (x) = gD (x, t) für x ∈ ∂Ω

für einen beliebigen Zeitpunkt

t ∈ [0, T ] und W =w ∈ H1 (Ω) : w (x) = 0 für x ∈ ∂Ω

.

Das Gebiet Ω wird mittels einer Triangulierung Ωh = Ω1, ...,ΩM diskretisiert. Diese Gebietsapproxi-mation erfolgt in 2D zum Beispiel durch ein Dreicks- oder Vierecksgitter1. Es gilt also

Ωh =

M⋃i=1

Ωi und Ωj ∩ Ωk = ∅ ∀j 6= k

mit endlich vielen Teilgebieten Ωi ⊂ R2 mit einem stückweise glatten Rand Γi = ∂Ωi. Weiter gilt für jeweilszwei Finite Elemente Ej := Ωj ∪ Γj und Ek := Ωk ∪ Γk, dass ihre Vereinigung Ej ∪ Ek entweder einegemeinsame Kante, ein gemeinsamer Knoten oder die leere Menge ist [5].

Die Ansatz- und Testräume Vt undW werden mit endlich-dimensionalen Teilräumen Vt,h und Wh appro-ximiert. Hierbei wird vereinfachend angenommen, dass Vt,h =Wh gilt, d. h. das Problem habe nun homogeneDirichlet Randwerte gD (x, t) = 0 auf ∂Ω für alle Zeitpunkte t. Sei weiter B := ϕ1 (x) , ..., ϕN (x) eine La-grange Basis von diesem Raum, d. h. ϕ1 (x) , ..., ϕN (x) sind Lagrange Baispolynome. Lagrange Polynome(N − 1)-ten Grades auf Ωi werden mit Hilfe von N Stützstellen xk ∈ Ωi, k = 1, ..., N , gebildet. Sie werdenmit der Formel

ϕj (x) =

N∏k=1,k 6=j

xk − x

xk − xjj = 1, ..., N

konstruiert. Anhand dieser Formel weist man leicht nach, dass alle Basisfunktionen ϕj (x) die Kronecker-DeltaEigenschaft

ϕj (xk) = δjk

1In den Modellproblemen in Kapitel 5 und 6 wird ausschlieÿlich auf Vierecksgittern gerechnet.

3

KAPITEL 2. ORTSDISKRETISIERUNG MIT FINITEN ELEMENTEN 4

mit dem Kronecker-Delta

δjk =

1, j = k

0, j 6= k

erfüllen.Für eindimensionale Basisfunktionen gilt beispielweise die Kronecker-Delta Eigenschaft

ϕj (ξk) = δjk mit j, k = A, B

auf einem Referenzintervall IRef = ξ ∈ (−1, 1) mit den Ecken A = (−1) und B = (1) als Stützstellen. Dielinearen Basisfunktionen ϕA (ξ) = 1

2 (1− ξ) und ϕB = 12 (1 + ξ) auf IRef sind in Abb. 2.1 links dargestellt.

Abbildung 2.1: Basisfunktionen auf Referenzintervall

Aus diesen 1D Basisfunktionen lassen sich dann Basisfunktionen in d Dimensionen als d-Tensorproduktvon 1D Basisfunktionen entwickeln. Exemplarisch sind im Folgenden die bilinearen Basisfunktionen in 2Dauf dem Referenzelement

ΩRef := (ξ1, ξ2) ∈ (−1, 1)× (−1, 1)

mit den Eckpunkten A = (−1,−1) , B = (1,−1) , C = (1, 1) und D = (−1, 1) als Stützpunkte aufgeführt:

ϕA (ξ1, ξ2) = ϕA (ξ1) ϕA (ξ2) =1

4(1− ξ1 − ξ2 + ξ1ξ2)

ϕB (ξ1, ξ2) = ϕB (ξ1) ϕA (ξ2) =1

4(1 + ξ1 − ξ2 − ξ1ξ2)

ϕC (ξ1, ξ2) = ϕB (ξ1) ϕB (ξ2) =1

4(1 + ξ1 + ξ2 + ξ1ξ2)

ϕD (ξ1, ξ2) = ϕA (ξ1) ϕB (ξ2) =1

4(1− ξ1 + ξ2 − ξ1ξ2)

Diese erfüllen dann wieder die Kronecker-Delta Eigenschaft

ϕj (ξ1k, ξ2k

) = δjkmit j, k = A, B, C, D.

Analog werden die (bi-)quadratischen und (bi-)kubischen Lagrange Basispolynome mit Hilfe von zusätz-lichen Freiheitsgraden entwickelt. In 1D wird für quadratische Basispolynome in der Intervallmitte noch eineStützstelle hinzugefügt (siehe Abb. 2.1 rechts) und bei kubischen werden noch zwei zusätzliche Stützstelleneingefügt. Somit hätte man dann drei Basisfunktionen auf dem Referenzelement im Falle eines quadratischenAnsatzes und vier für einen kubischen Ansatz.


Die vorherige Herleitung beschränkt sich auf Lagrange Basisfunktionen. Allerdings gibt es noch eineVielzahl anderer Konstruktionsprinzipien, um Basisfunktionen für Ansatz- und Testräume zu entwickeln.Allgemein sollten die Basisfunktionen immer die Kronecker-Delta Eigenschaft erfüllen. Weiter sind sie Poly-nome vom Grad p = 1, 2, 3, ... , wobei in 1D lineare Basispolynome Grad p = 1, quadratische BasispolynomeGrad p = 2 und kubische Basispolynome Grad p = 3 haben. Analog sind Basisfunktionen in 2D Polynomeaus dem Aufspann span

xayb : a, b = 0, ..., n, a+ b ≤ p

mit Grad p = 1 für bilineare Polynome, Grad p = 2

für biquadratische Polynome und Grad p = 3 für bikubische Polynome. In dieser Arbeit werden ohne Be-schränkung der Allgemeinheit ausschlieÿlich Lagrange Basispolynome in 2D verwendet, die im Folgenden mitQp bezeichnet werden2, wobei (p+ 1) für hinreichend reguläre Probleme der Ordnung der Finiten ElementeDiskretisierung im L2- und L1-Fehler entspricht [5].

Wählt man in Gleichung (2.1) für die Testfunktion wh (x) sukzessive die Basisfunktionen ϕj ∈ B und sei

u (x, t) ≈ uh (x, t) =

N∑i=1

ui (t)ϕi (x)

sowie∂u (x, t)

∂t≈∂uh (x, t)

∂t=

N∑i=1

dui (t)

dtϕi (x) ,

dann folgt, dass für alle j = 1, ..., N

N∑i=1

ˆΩh

ϕj (x)ϕi (x) dΩh︸︷︷︸=:(ϕj ,ϕi)

dui (t)

dt+

N∑i=1

ˆΩh

∇ϕj (x) · d∇ϕi (x) + ϕj (x) (v (x, t) · ∇ϕi (x)) dΩh

︸︷︷︸

=:a(ϕj ,ϕi,t)

ui (t)

=

ˆΩh

ϕj (x) f (x, t) dΩh︸︷︷︸=:b(ϕj ,t)

gilt. Mit der eingeführten Bilinearform a (·, ·, t) und der Linearform b (·, t) ergibt sich in Matrixschreibweise

(ϕ1, ϕ1) · · · (ϕ1, ϕN )...

. . ....

(ϕN , ϕ1) · · · (ϕN , ϕN )

︸︷︷︸

=:M

du1(t)dt...

duN (t)dt

︸︷︷︸

=:du(t)dt

+

a (ϕ1, ϕ1, t) · · · a (ϕ1, ϕN , t)...

. . ....

a (ϕN , ϕ1, t) · · · a (ϕN , ϕN , t)

︸︷︷︸

=:A(t)

u1 (t)...

uN (t)

︸︷︷︸

=:u(t)

=

b (ϕ1, t)...

b (ϕN , t)

︸︷︷︸

=:b(t)

mit der sogenannte Massematrix M, der Steigkeitsmatrix A und dem Lastvektor b.Angemerkt sei, dass die Integrale in Linear- und Bilinearform nicht über die vollständige Triangulierung

Ωh gelöst werden sondern nur über den gemeinsamen Träger der jeweiligen Basisfunktionen. Die zu einemGitterknoten xj gehörende Basisfunktion ϕj besitzt einen kompakten Träger, der nur die an diesen Kno-ten angrenzenden Elemente enthält. Für die ggf. hinzugefügten inneren Knoten eines Elementes sind diezugehörige Basisfunktionen nur ungleich Null auf diesem einen Element.

In Matrixschreibweise erhält man dann das im Ort diskretisierte Problem

Mdu (t)

dt= b (t)−A (t)u (t)︸︷︷︸

=:F(t,u(t))

2Auf Vierecksgittern gelten im Folgenden die Abkürzungen:Q1 entspricht bilinearen Finiten ElementenQ2 entspricht biquadratischen Finiten ElementenQ3 entspricht bikubischen Finiten Elementen


bzw. das System gewöhnlicher Dierentialgleichungen

du (t)

dt= M−1F (t,u (t)) ,

auf welches dann Runge-Kutta Zeitschrittverfahren, welche im folgenden Kapitel beschrieben werden, ange-wendet werden können. In Kapitel 4 wird die Diskretisierung der Konvektions-Diusions-Gleichung mit derLinienmethode durch Zeitintegration vervollständigt.

Kapitel 3

Runge-Kutta Verfahren und

Butcher-Tabellen

In diesem Kapitel wird die Bildung von Runge-Kutta Verfahren und die Möglichkeit, diese Verfahren in sog.Butcher-Tabellen darzustellen, sowie die daraus resultierenden Vorteile, thematisiert. In weiteren Unterkapi-teln wird auf besondere Eigenschaften von expliziten und impliziten Runge-Kutta Verfahren eingegangen. AlsGrundlage für dieses Kapitel sind Auszügen aus der Seminararbeit Zeitintegrationsverfahren [7] verwendetworden.

3.1 Allgemeine Bildung von Runge-Kutta Formeln und Butcher-

Tabellen

Die numerische Approximation von Systemen gewöhnlicher Dierentialgleichungen der Form

dy (t)

dt= f (t, y (t)) , y

(t0)

= y0

mit y (t) = (y1 (t) , ..., yd (t))Tund f (t, x) = (f1 (t, x) , ..., fd (t, x))

T , wobei y : R −→ Rd undf : R × Rd −→ Rd, kann mit Runge-Kutta Formeln erfolgen. Eine s-stuge Runge-Kutta Formel hat dieForm

yn+1 = yn +∆t

s∑i=1

biki (3.1)

ki = f

tn +∆t ci, yn +∆t

s∑j=1

aijkj

(3.2)

mit der Notation yn = y(tn), ∆t = tn+1 − tn und geeignet gewählten Konstanten bi, ci und aij [8, 9]. JedesRunge-Kutta Verfahren dieser Form ist in einer Butcher Tabelle nach dem in Tabelle 3.1 gezeigtem Prinzipdarstellbar [8]:.

Tabelle 3.1: Butcher-Tabelle für Runge-Kutta Formel

c1 a11 a12 . . . a1s

c2 a21 a22 . . . a2s

......

......

cs as1 as2 assb1 b2 . . . bs

7

KAPITEL 3. RUNGE-KUTTA VERFAHREN UND BUTCHER-TABELLEN 8

Im Anhang A sind die im Code implementierten Runge-Kutta Verfahren mit ihrer jeweiligen Butcher-Tabelle angegeben und die besonderen Strukturen, die in den folgenden Unterkapiteln 3.3 und 3.4 herausge-stellt werden, erkennbar.

3.2 Vorteile von Butcher-Tabellen

Butcher-Tabellen bei Implementierungen für die Runge-Kutta Zeitintegration zu nutzen, ist dahin gehendsinnvoll, dass die Koezienten gebündelt in einer (s+ 1)× (s+ 1) Datenmatrix D

D =

c1 a11 a12 · · · a1s

c2 a21 a22 · · · a2s

......

.... . .

...cs as1 as2 · · · ass0 b1 b2 · · · bs

übergeben werden können. Aus dieser Matrix kann man dann die einzelnen Koezienten für die Zeitschritt-methode auslesen. Man könnte z. B. einen Vektor c, einen Vektor b und eine s × s Matrix A erstellen, sodass

c = D (1 : s, 1)

b = D(s+ 1, 2 : s+ 1)

A = D(1 : s, 2 : s+ 1)

gilt. Auf Basis der Vektoren b und c und der Matrix A kann man dann Runge-Kutta Verfahren implemen-tieren, indem man wiederum jeweils die einzelnen bi, ci und aij aus den Vektoren und der Matrix ausliest.Damit könnten man Runge-Kutta Verfahren allgemein implementiert werden, wobei die Summen in denGleichungen (3.1) und (3.2) durch for−Schleifen umgesetzt werden. Durch die übergebene Matrix D wirddann das jeweilige Runge-Kutta Verfahren speziziert. Es ist allerdings vorteilhaft, bei der Implementierungdie verschiedene Typen ERK (explizite Runge-Kutta Verfahren) (vgl. Unterkapitel 3.3), IRK/FIRK ((voll)implizite Runge-Kutta Verfahren), DIRK (diagonal implizite Runge-Kutta Verfahren) oder SDIRK (einfachdiagonal implizite Runge-Kutta Verfahren) (vgl. Unterkapitel 3.4) zu unterscheiden. Damit wäre es möglich,die besonderen Matrixstrukturen der Matrix A, die in den Unterabschnitten 3.3 und 3.4 erörtert werden, zuberücksichtigen und so den Code zu beschleunigen und damit ezienter zu machen [8].

3.3 Explizite Runge-Kutta Verfahren

Bei expliziten Runge-Kutta Formeln (ERK) gilt c1 = 0 und die die Summe in (3.2) läuft nur bis i− 1 stattbis s, weshalb für die resultierende Butcher-Tabelle folgt, dass

aij = 0 falls j ≥ i

und somit die Matrix A = aijni,j=1 eine untere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Hauptdiagonalen ist [9].Um nun eine s-stuge explizite Runge-Kutta Formel zu konstruieren, müssen gewisse Bedingungen, die Be-stimmungsgleichungen, erfüllt werden, um die Koezienten aij , bi und ci zu bestimmen. Der Zusammenhangfür ein- bis vier-stuge Runge-Kutta Verfahren zwischen der Anzahl der Stufen, der Anzahl der Koezientenund der Anzahl der Bedingungen ist in Tabelle 3.2 dargestellt [9].

Tabelle 3.2: Zusammenhang: Stufen, Koezienten und Bedingungen

Anzahl an Stufen s 1 2 3 4Anzahl an Koezienten 1 4 8 13Anzahl Bedingungen 1 3 4 11

KAPITEL 3. RUNGE-KUTTA VERFAHREN UND BUTCHER-TABELLEN 9

Wie aus der Tabelle ersichtlich wird, gibt es ab der Stufe 2 mehr unbekannte Parameter als zu erfüllendeBedingungen. Deshalb ist es möglich verschiedene explizite Runge-Kutta Verfahren zu bilden, die jedochdie gleiche Anzahl an Stufen besitzen. Um nun konkret ein explizites Runge-Kutta Verfahren aufzustellen,wählt man zuerst einige Koezienten und berechnet dann mittels der Bestimmungsgleichungen die übrigenParamter. Im Folgenden wird exemplarisch ein einstuges Verfahren und die jeweilige Bestimmungsgleichunggezeigt. Die Bestimmungsgleichungen für Verfahren der Stufen 2 und 3 werden ebenfalls mit aufgeführt.

Das explizite Runge-Kutta Verfahren der Stufe 1 entspricht dem expliziten Euler Verfahren,

yn+1 = yn +∆t f (tn,yn) ,

mit b1 = 1. Dieses Verfahren ist im Code in der ersten Butcher-Tabelle hinterlegt (siehe A, ERK(1,1)).Bestimmungsgleichungen für explizite Runge-Kutta Formeln der Stufe 2 [9]:

b1 + b2 = 1

b2c2 =1

2

b2a21 =1

2

Bestimmungsgleichungen für explizite Runge-Kutta Formeln der Stufe 3 [9]:

b1 + b2 + b3 = 1

b2c2 + b3c3 =1

2

b2c22 + b3c

23 =

1

3

b3c2a32 =1

6

Für explizite Runge-Kutta Formeln der Stufe 4 (und höher) gibt es ebenfalls Bestimmungsgleichungen,welche durch Taylorentwicklung im Abschneidefehler hergeleitet werden können. Weitere Beispiele für expli-zite Verfahren und ihre zugehörigen Butcher-Tabellen sind im Anhang A zu nden.

3.4 Implizite Runge-Kutta Verfahren

Grundsätzlich ist es möglich, dass die Matrix A vollbesetzt ist, d.h. es gilt

aij 6= 0, i, j = 1, ..., s .

Dann wird die Runge-Kutta Formel implizit (IRK) oder auch voll-implizit (FIRK) genannt. Die Runge-KuttaFormel heiÿt diagonal implizit (DIRK), falls die Matrix A eine untere Dreiecksmatrix ist, also

aij = 0 für j > i . (3.3)

Im Gegensatz zu den expliziten Verfahren können die Diagonalelemente von Null verschieden sein. Eineweitere Variante sind die einfach diagonal impliziten Runge-Kutta Formeln (SDIRK), bei denen zusätzlichzur Bedingung (3.3)

aii = λ für i ∈ 1, ..., smit einer Konstante λ ∈ R gilt [4]. Bei impliziten Runge-Kutta Formeln müssen im Allgemeinen mehrerenichtlineare Gleichungssysteme gelöst werden, um die Koezienten ki zu bestimmen. Nichtlineare Gleichungs-systeme kann man u. a. mit iterativen Lösungsverfahren wie z. B. der Newton Methode [6] lösen.

Im Weiteren werden die verwendeten Runge-Kutta Verfahren mit der Notation ERK(s,m), IRK(s,m),SIRK(s,m) und SDIRK(s,m) bezeichnet, wobei s wieder die Anzahl der Stufen ist und m die Ordnung desVerfahrens.

Kapitel 4

Diskretisiertes

Konvektions-Diusions-Problem

Dieses Kapitel vervollständigt die Diskretisierung der Konvektions-Diusionsgleichung (1.1). In Kapitel 2 istdas Problem bereits im Ort diskretisiert worden und wird nun entsprechend der Linienmethode durch dieAnwendung von Runge-Kutta Zeitschrittmethoden in der Zeit diskretisiert.

Die Ortsdiskretisierung liefert zum Ende von Kapitel 2 das nachstehende System gewöhnlicher Dieren-tialgleichungen

du (t)

dt= M−1F (t,u (t)) .

Auf diese System gewöhnlicher Dierentialgleichungen werden nun Runge-Kutta Zeitschrittmethoden ange-wendet, um jeweils den nächsten Zeitschritt un+1 = u

(tn+1

)zum Zeitpunkt tn+1 = tn + ∆t wie folgt zu

berechnen

un+1 = un + ∆t

s∑i=1

biki , (4.1)

wobei die unbekannten Vektoren ki in diesem Fall über

Mki = F

tn + ∆tci,un + ∆t

s∑j=1

aijki

(4.2)

berechnet werden. In diesem Fall hängt die Funktion F (t,u) = b (t)−A (t)u nur linear von der Unbekanntenu ab, so dass die Vektoren ki über das lineare ((N · s)× (N · s)) Gleichungssystem

M 0 · · · 0

0 M. . .

......

. . .. . . 0

0 · · · 0 M

k1

k2

...ks

−

F(tn +∆t c1, u

n +∆t∑sj=1 a1jkj

)F(tn +∆t c2, u

n +∆t∑sj=1 a2jkj

)...

F(tn +∆t cs, u

n +∆t∑sj=1 asjkj

)

=

00...0

(4.3)

berechnet werden können. Falls die Funktion F (t,u) nichtlinear wäre, könnte man die Vektoren ki z. B. mitder Newton Methode approximieren [6]. Für den Spezialfall zeitunabhängiger Bilinear- und Linearform, d. h.Geschwindigkeitsfeld und Lastfunktional im Sturm-Lioville-Problem (1.1) sind stationär, also v (x, t) ≡ v (x)und f (x, t) ≡ f (x), reduziert sich die diskretisierte rechte Seite zu F (t,un) = b − Aun und das lineareGleichungssystem vereinfacht sich zu

M + ∆t a1,1A ∆t a1,2A · · · ∆t a1,sA

∆t a2,1A M + ∆t a2,2A. . .

......

. . .. . . ∆t as−1,sA

∆t as,1A · · · ∆t as,s−1A M + ∆t as,sA

k1

k2

...ks

=

b−Aun

...b−Aun

. (4.4)

10

KAPITEL 4. DISKRETISIERTES KONVEKTIONS-DIFFUSIONS-PROBLEM 11

Die Vektoren ki können nun aus dem linearen Gleichungssystem z. B. mit einer iterativen Lösungsmethodewie dem BiCGStab-Verfahren bestimmt werden und zur Berechnung des nächsten Zeitschritts eingesetztwerden.

Kapitel 5

Numerische Konvergenzanalyse

In diesem Kapitel wird numerisch das Konvergenzverhalten des diskretisierten Konvektions-Diusions-Problembehandelt. Erst werden Ort- und Zeitdiskretisierungsfehler getrennt bewertet, indem einerseits erst ein statio-näres Modellproblem im Hinblick auf den Ortsfehler und dann wiederum ein im Ort konstantes Modellproblembezüglich des Zeitfehlers analysiert wird. Hierzu werden die L2-Fehler und die L1-Fehler zu unterschiedlichenGitterweiten h und mit verschiedenen Finiten Elementen bzw. zu unterschiedlichen Zeitschrittweiten ∆t fürverschiedene Runge-Kutta Verfahren untersucht. Es soll nachgewiesen werden, dass die Ortsdiskretisierungmit linearen (Q1) wie O

(h2), biquadratischen (Q2) wie O

(h3)und bikubischen Finiten Elementen (Q3) wie

O(h4)asymptotisch konvergiert. Ebenfalls soll überprüft werden, ob die jeweiligen Zeitschrittverfahren ihre

angegebene Konvergenzordnung (vgl. Anhang A) auch bestätigen.Nachdem Ort- und Zeitdiskretisierungen getrennt betrachtet wurden, wird ein Modellproblem behandelt,

welches sowohl instationär als auch nicht konstant im Ort ist. Hier werden verschiedene Kombinationen vonOrts- und Zeitdiskretisierungen unterschiedlicher Ordnung verglichen und der L2-Fehler betrachtet. Es ist zuerwarten, dass der L1-Fehler ähnlich konvergieren würde wie der L2-Fehler (vgl. 5.1 und 5.2). Ziel ist es hier,den Orts- und den Zeitfehler mittels bestimmter Diskretisierungskombinationen zu equilibrieren.

Angemerkt sei noch, dass die in diesem Kapitel benutzten Modellprobleme jeweils eine exakte und hin-reichend glatte Lösung besitzen und so der Fehler der approximierten Lösung gegenüber der exakten Lösungin der L2- bzw. L1-Norm mittels Gauss-Quadratur im integralen Sinne berechnet werden kann und nichtlediglich die inhärente Konvergenzordnung untersucht wird.

Die bei der numerischen Lösung der Modellprobleme auftretenden linearen Gleichungssysteme werden mitdem BiCGStab-Verfahren gelöst. Auf eine detaillierte Analyse des Lösers sei hier verzichtet mit der Anmer-kung, dass eine Optimierung des Lösers die Konvergenz der Fehler zusätzlich verbessern bzw. beschleunigenkönnte.

5.1 Numerischer Test bezüglich des Ortsfehlers

Die Konvergenzordnung der unterschiedlichen Finite Elemente Ansätze bzgl. des Ortsfehlers wird mit demfolgenden Modellproblem validiert:

Auf dem Ortsgebiet Ω = [0, 1]2 sei

∇ ·((

0.80.6

)u (x1, x2)

)− 0.4∆u (x1, x2) =

0.8π cos (πx1) sin (πx2) + 0.6π sin (πx1) cos (πx2) + 0.8π2 sin (πx1) sin (πx2)

mit der Dirichlet Randbedingung u (x1, x2) = 0 auf ∂Ω. Dieses Problem besitzt die exakte, stationäre Lösung

uex (x1, x2) = sin (πx1) sin (πx2) ,

was man durch Einsetzen in die obigen Gleichung leicht veriziert und welche ebenfalls einen DirichletNullrand hat. In Abbildung 5.1 ist die exakte Lösung dargestellt.

12

KAPITEL 5. NUMERISCHE KONVERGENZANALYSE 13

Abbildung 5.1: Exakte Lösung des ersten Testproblems

Stationäre Rechnungen

In diesem Abschnitt soll die Konvergenzordnung O(hp+1

)für einen Finite Element Ansatz Qp nachgewiesen

werden.Gelöst wird das Problem mit bilinearen (Q1), biquadratischen (Q2) und bikubischen Finiten Elementen

(Q3) auf sechs leicht unstrukturierten Gittern mit(24 · 4l−1

)Elementen, wobei l die Levelnummer ist. Exem-

plarisch ist in Abbildung 5.2 das Finite Elemente Gitter für Level 2 dargestellt. Die weiteren feineren Gitterergeben sich jeweils durch sukzessive Verfeinerung des nächst gröberen Gitters (siehe Anhang B).

Abbildung 5.2: Finite Elemente Gitter (Level 2) auf dem Gebiet[0, 1]2 ⊂ R2


Das Verhältnis von Konvektion zu Diusion ‖v‖d ist im Modellproblem so gewählt, dass für die hier ver-

wendeten Gitter die Péclet-Zahl Pe = ‖v‖h2d kleiner 1 ist [5], so dass keine Stabilisierung wie z. B. SUPG

erforderlich ist. Die charakteristische Gitterweite wird hierbei mit h ≈ 1√#(Anzahl der Elemente)

approxi-

miert.Um die Konvergenzordnug der Finiten Elemente Q1, Q2 und Q3 zu untersuchen, werden im Folgenden

die L2- und L1- Fehler betrachtet. Es soll eine asymptotische Konvergenzordnung aus der Formel

‖ uh − uex ‖= (h)α und ‖ uh

2− uex ‖=

(h

2

)αberechnet werden. Mittels Äquivalenzumformungen ergibt sich

‖ uh − uex ‖‖ uh

2− uex ‖

= 2α und α =

ln

(‖uh−uex‖‖uh

2−uex‖

)ln (2)

, (5.1)

wobei ‖ · ‖ die L2- oder L1-Norm bezeichnet und α die approximierte Konvergenzordnung ist.In Tabelle 5.1 sind die L2- und L1-Fehler für die verwendeten Gitter für die drei Finite Elemente Ansätze

dargestellt.

Tabelle 5.1: Fehler der verschiedenen Finiten Elemente Verfahren

Level 1 2 3 4 5 6

Q1 L2 0.41552 · 10−1 0.10499 · 10−1 0.26376 · 10−2 0.66045 · 10−3 0.16519 · 10−3 0.41302 · 10−4

L1 0.32183 · 10−1 0.82116 · 10−2 0.20645 · 10−2 0.51652 · 10−3 0.12916 · 10−3 0.32293 · 10−4

Q2 L2 0.38464 · 10−2 0.48577 · 10−3 0.60964 · 10−4 0.76206 · 10−5 0.95198 · 10−6 0.11894 · 10−6

L1 0.26583 · 10−2 0.31608 · 10−3 0.38506 · 10−4 0.47346 · 10−5 0.58682 · 10−6 0.73058 · 10−7

Q3 L2 0.27172 · 10−3 0.17795 · 10−4 0.11138 · 10−5 0.69087 · 10−7 0.42896 · 10−8 0.26699 · 10−9

L1 0.16831 · 10−3 0.10036 · 10−4 0.62722 · 10−6 0.39134 · 10−7 0.24406 · 10−8 0.15230 · 10−9

Hier lässt sich ablesen, dass sowohl L2- als auch L1-Fehler mit kleiner werdender Gitterweite jeweils stetigfallen, was auch in Abbildungen 5.3 und 5.4 durch die streng monoton fallenden Geraden gekennzeichnet ist.Weiter ist zu erkennen, dass bei gleich bleibendem Gitter die Fehler für Q1 gröÿer sind als die für Q2 unddiese wiederum gröÿer als die für Q3. Anschauchlich sieht man dies in den Abbildungen 5.3 und 5.4 daran,dass die Geraden zu Q1 über denen zu Q2 und diese wiederum über denen zu Q3 liegen.

Die mittels der Formel (5.1) aus den Fehlerwerten aus Tabelle 5.1 berechneten Konvergenzordnungen fürQ1, Q2 und Q3 sind in Tabelle 5.2 dargestellt.

Tabelle 5.2: Berechnete Konvergenzordnungen α der verschiedenen Finiten Elemente

Levelübergang 1 zu 2 2 zu 3 3 zu 4 4 zu 5 5 zu 6 Mittelwert erwarteter Limes

Q1 L2 1.9847 1.9929 1.9977 1.9993 1.9998 1.9949 2

L1 1.9705 1.9919 1.9989 1.9996 1.9999 1.9921 2

Q2 L2 2.9852 2.9942 3.0000 3.0009 3.0007 2.9962 3

L1 3.0721 3.0371 3.0238 3.0122 3.0058 3.0302 3

Q3 L2 3.9326 3.9979 4.0109 4.0095 4.0060 3.99143 4

L1 4.0678 4.0001 4.0025 4.0031 4.0023 4.0152 4

In dieser Tabelle ist zu erkennen, dass die Ordnungen für Q1 sowohl für den L2- als auch für den L1-Fehlersich bei α ≈ 2 , für Q2 bei α ≈ 3 und für Q3 bei α ≈ 4 einpendeln, was die aus der Theorie erwartetenOrdnungen (vgl. Kapitel 2) bestätigt. Hierbei sieht man, dass die Werte nicht stetig konvergieren.


Abbildung 5.3: Konvergenzgraph des L2-Fehlers der FE-Verfahren

Betrachtet man nun lediglich die Konvergenzgraphen (Abb. 5.3 und 5.4), so sieht man, dass die Fehlerwerte(Sternchen) jeweils genau eine Gerade bilden, was dafür spricht, dass die Fehler sich tatsächlich verhaltenwie ‖ uh−uex ‖= hα. Die Steigung der Geraden ist dabei jeweils α und entspricht damit der oben berechnetenKonvergenzordnung.

Abbildung 5.4: Konvergenzgraph des L1-Fehlers der FE-Verfahren

Würde man die Konvergenzgraphen für L2- und L1-Fehler übereinander legen, würde man - wie in Tabelle5.1 zu sehen - erkennen, dass die L1-Fehler immer etwas unterhalb der L2-Fehler des jeweiligen Finite ElementeVerfahrens liegen.

In Abbildung 5.5 ist die Entwicklung der approximierten Lösung mit Q2 auf den verschiedenen Gitterndargestellt. Hier wird noch einmal veranschaulicht, dass sich mit sinkender Gitterweite h, also h → 0, die


Approximation immer mehr an die exakte Lösung annähert, die in Abb. 5.1 zu sehen ist.

Abbildung 5.5: Entwicklung der Approximation mit bilinearen Finiten Elementen

Level 1 Level 2

Level 3 Level 4

Level 5 Level 6

Instationäre Rechnung

In diesem Abschnitt wird das stationäre Modellproblem einmal mit einem Pseudo-Zeitschrittverfahren ge-rechnet. Dafür wird die folgende Problemstellung instationär gerechnet bis ein stationärer Limes erreichtwird.

Auf dem Raum-Zeit-Zylinder QT = Ω× [0, T ] ⊂ R2 × [0,∞] mit dem Ortsgebiet Ω = [0, 1]2 sei

∂u (x1, x2, t)

∂t+∇ ·

((0.80.6

)u (x1, x2, t)

)− 0.4∆u (x1, x2, t) =

0.8π cos (πx1) sin (πx2) + 0.6π sin (πx1) cos (πx2) + 0.8π2 sin (πx1) sin (πx2)

mit der Dirichlet Randbedingung u (x1, x2, t) = 0 auf ∂Ω×[0, T ], sowie der Anfangsbedingung u (x1, x2, 0) = 0in Ω. Dieses Problem besitzt ebenfalls die exakte, stationäre Lösung

uex (x1, x2, t) = sin (πx1) sin (πx2) .

Gelöst wird mit einem impliziten Runge-Kutta Verfahren 2. Ordnung (vgl. Anhang A, IRK(2,2)) und derZeitschrittweite ∆t = 1

4 sowie mit biquadratischen Finiten Elementen (Q2) auf dem unstrukturierten Gitter


für Level 1 (vgl. Anhang B). Für das Abbruchkriterium soll immer der relative Unterschied der Lösung derletzten beiden Zeitschritte in der L2-Norm betrachtet werden und abgebrochen werden, sobald dieser kleinerals 10−10 ist.

Als Resultat ergibt sich, dass das Programm für dieses Problem nach 1354 Zeitschritten zum Zeitpunktt = 338.5 abbricht und sich als Fehlerwerte

‖ uapprox − uex ‖L2= 0.0038464

‖ uapprox − uex ‖L1= 0.0026583

ergeben, welche identisch sind mit denen, aus der stationären Rechnung (vgl. Tabelle (5.1)). Damit ist exem-plarisch gezeigt, dass die instationäre Rechnung im stationären Limes für t→∞ die gleichen Approximatio-nen und Fehlerwerte wie die stationäre Rechnung liefert.

In Abbildung 5.6 sind L2-Fehlerwerte zu ausgewählten Zeitpunkten (t = 0.25, 0.5, 0.75, 1.0, 2.0, 4.0, 10.0,20.0, 50.0, 100.0, 338.5) aufgetragen, welche die Konvergenz des L2-Fehlers bis zum stationären Limes derapproximiertenn Lösung zeigen. Hier sei angemerkt, dass die Werte für t → 338.5 in der Abbildung nichtidentische Werte haben, sondern die Änderungen der letzten Zeitschritte bei dem o. g. Abbruchkriterium unddieser Skalierung in der Abbildung nicht sichtbar sind.

Abbildung 5.6: L2-Fehler zu ausgewählten Zeitpunkten

5.2 Numerischer Test bezüglich des Zeitfehlers

Die Konvergenzordnung der unterschiedlichen Runge-Kutta Methoden bzgl. des Zeitfehlers wird mit demfolgenden Modellproblem validiert:

Auf dem Raum-Zeit-Zylinder QT = Ω× [0, 2] ⊂ R2 × [0,∞] mit dem Ortsgebiet Ω = [0, 1]2 sei

∂u (x1, x2, t)

∂t= − exp (−t)

mit den Dirichlet Randbedingungen u (x1, x2, t) = exp (−t) auf ∂Ω × [0, 1] sowie der Anfangsbedingungu (x1, x2, 0) = 1 auf Ω. Dieses Problem besitzt die exakte, im Ort konstante Lösung (vgl. Abb. 5.7)

uex (x1, x2, t) = exp (−t) ,


welche die gegebenen Randbedingungen erfüllt.

Abbildung 5.7

Dieses Problem ist mit biquadratischen Finiten Elementen (Q2) auf dem in Abbildung 5.2 dargestell-ten Gitter und mit unterschiedlichen expliziten und impliziten Runge-Kutta Verfahren zu verschiedenenZeitschrittweiten ∆t gelöst worden. Um die angebenen Konvergenzordnungen der verschiedenen Zeitschritt-verfahren (ERK(1,1), ERK(2,2), ERK(3,3), ERK(4,4), IRK(1,1), IRK(2,2), SIRK(2,2), SDIRK(2,2) undSDIRK(5,4), vgl. Anhang A) zu überprüfen, ist der L2-Fehler und der L1-Fehler zum Zeitpunkt T = 1ausgewertet worden. Im Folgenden wird verwendet, dass für ein im Ort konstantes Zeitschrittverfahren derOrdnung O

(∆tβ

)für den Fehler

‖ u∆t − uex ‖= (∆t)β und ‖ u∆t

2− uex ‖=

(∆t

2

)βgilt und somit

‖ u∆t − uex ‖‖ u∆t

2− uex ‖

= 2β und β =

ln

(‖u∆t−uex‖‖u∆t

2−uex‖

)ln (2)

(5.2)

wobei ‖ · ‖ die L2- oder L1-Norm bezeichnet. Die berechnete Konvergenzordnung β ist dann die Steigung desjeweiligen Fehlergraphs (vgl. Abb. 5.8, 5.9, 5.10 und 5.11).

Explizite Verfahren

Die sich ergebenden L2-Fehler und L1-Fehler bei Verwendung der expliziten Runge Kutta Verfahren (ERK(·, ·))sind in der folgenden Tabelle 5.3 aufgelistet.


Tabelle 5.3: Fehler der expliziten Runge Kutta Verfahren

∆t 12

14

18

116

132

164

ERK(1,1) L2 1.67145 · 10−1 8.03803 · 10−2 3.93878 · 10−2 1.9493 · 10−2 9.69628 · 10−3 4.83558 · 10−3

L1 1.63238 · 10−1 7.85017 · 10−2 3.84672 · 10−2 1.90374 · 10−2 9.46966 · 10−3 4.72256 · 10−3

ERK(2,2) L2 3.60711 · 10−4 4.49517 · 10−5 5.60303 · 10−6 6.99153 · 10−7 8.73104 · 10−8 1.09083 · 10−8

L1 3.52281 · 10−4 4.39011 · 10−5 5.47207 · 10−6 6.82812 · 10−7 8.52698 · 10−8 1.06534 · 10−8

ERK(3,3) L2 1.32982 · 10−5 8.3577 · 10−7 5.23088 · 10−8 3.27044 · 10−9 2.04421 · 10−10 1.27768 · 10−11

L1 1.29874 · 10−5 8.16241 · 10−7 5.10862 · 10−8 3.194 · 10−9 1.99643 · 10−10 1.24782 · 10−11

ERK(4,4) L2 1.32982 · 10−5 8.3577 · 10−7 5.23088 · 10−8 3.27044 · 10−9 2.0442 · 10−10 1.27763 · 10−11

L1 1.29874 · 10−5 8.16241 · 10−7 5.10862 · 10−8 3.194 · 10−9 1.99642 · 10−10 1.24777 · 10−11

Die aus den Fehlerwerten mit Formel (5.2) berechneten Konvergenzordnungen sind in Tabelle 5.4 darge-stellt.

Tabelle 5.4: Berechnete Konvergenzordnungen β der expliziten Verfahren

∆t 12 zu 1

414 zu 1

818 zu 1

16116 zu 1

32132 zu 1

64 Mittelwert erwarteter Limes

ERK(1,1) L2 1.0562 1.0291 1.0148 1.0075 1.0037 1.0223 1

L1 1.0562 1.0291 1.0148 1.0075 1.0037 1.0223 1

ERK(2,2) L2 3.0044 3.0040 3.0025 3.0014 3.0007 3.0026 3

L1 3.0044 3.0041 3.0025 3.0014 3.0007 3.0026 3

ERK(3,3) L2 3.9920 3.9980 3.9995 3.9999 3.9999 3.9979 4

L1 3.9920 3.9980 3.9995 3.9999 3.9999 3.9979 4

ERK(4,4) L2 3.9920 3.9980 3.9995 3.9999 3.9999 3.9979 4

L1 3.9920 3.9980 3.9995 3.9999 3.9999 3.9979 4

Das Zeitschrittverfahren ERK(1,1) hat die Konvergenzordnung O (∆t) [2], d. h. wenn sich die Zeitschritt-weite halbiert, sollte sich der Fehler auch halbieren. Berechnet man mit der Formel (5.2) in jedem Schrittdie Konvergenzordnung β, so ergeben sich stetig fallende Werte zwischen β ≈ 1.0519 und β ≈ 1.0037. AlsMittelwert ergibt sich β ≈ 1.0223. Damit wird die Konvergenzordnung nahezu erreicht. Es ist zu erwarten,dass für ∆t→ 0 der Limes für β gegen 1 konvergiert.

Für ERK(2,2) ist Ordnung 2 angegeben [2]. Mit dem hier verwendeten Code wird im Mittel eine Konver-genzordnung von β ≈ 3.0026 erreicht und als Grenzwert lässt sich β = 3 erwarten. Damit wäre das Verfahrengenauer als ursprünglich erwartet.

ERK(3,3) stellt ein Verfahren 3. Ordnung dar [2]. Mit diesem Programm wird eine bessere Konvergen-zordnung erreicht: Im Mittel wird eine Ordnung von β ≈ 3.9979 erreicht und als Grenzwert für ∆t → 0wird β = 4 erwartet. Somit wäre es ein Verfahren 4. Ordnung. Dasselbe gilt für ERK(4,4). Auällig ist, dassbeide Verfahren nahezu gleiche Fehlerwerte haben, was sich besonders im Konvergenzgraph 5.8 zeigt: DieGeraden für ERK(3,3) und für ERK(4,4) fallen zusammen (violette Gerade). Deshalb und wie aus Tabelle5.4 zu erkennen, beträgt hier die Konvergenzordnung ebenfalls im Grenzwert 4; tatsächlichwird wieder eineOrdnung von β ≈ 3.9979 im Mittel erreicht.


Abbildung 5.8: Konvergenzgraph: L2-Fehler der expliziten Verfahren

In dem Konvergenzgraph des L2-Fehlers ist zu erkennen, dass der Fehler, der bei Rechnung mit ERK(3,3)und ERK(4,4) auftritt, schneller fällt als der von ERK(1,1) und ERK(2,2). Weiter ist der Anfangsfehler [der1. Fehler bei ∆t = 0.5] geringer, wenn die Konvergenzordnung höher ist. Oensichtlich liefern die Verfahrender Ordnung nahe 4 genauere Ergebnisse, was auch in der Tabelle 5.3 deutlich wird.

Abbildung 5.9: Konvergenzgraph: L1-Fehler der expliziten Verfahren

Der L1-Fehler verhält sich ähnlich wie der L2-Fehler und es werden ähnliche Konvergenzordnungen erreicht(vgl. Tabelle 5.4): Für ERK(1,1) ergibt sich β ≈ 1.0223, für ERK(2,2) β ≈ 3.0026 und für ERK(3,3) undERK(4,4) jeweils β ≈ 3.9979 für die Konvergenzordnung imMittel. Die Grenzwerte entsprechen ebenso wie diegemittelten Ordnungen denen beim L2-Fehler. Bei dem L1-Fehler sind ebenfalls die Werte für ERK(3,3) undERK(4,4) nahezu identisch, weshalb wieder die Geraden im Konvergenzgraph (siehe Abb. 5.9) aufeinander


liegen.Im Konvergenzgraph zum L1-Fehler kann man ähnliche Beobachtungen machen wie beim L2-Fehler: Die

Geraden zu den Verfahren höherer Ordnung sind steiler, fallen also schneller für ∆t → 0 und haben einengeringeren Anfangsfehler. Vergleicht man beide Konvergenzgraphen (Abb. 5.8 und Abb. 5.9) miteinanderbzw. die Werte in Tabelle 5.3, so ist zu erkennen, dass der L1-Fehler immer etwas kleiner ist als der L2-Fehler.

Implizite Verfahren

In der nachstehenden Tabelle 5.5 sind die L1-Fehler und L2-Fehler für die impliziten Runge Kutta Verfahren(IRK(1,1), IRK(2,2), SIRK(2,2), SDIRK(2,2) und SDIRK(5,4)) aufgestellt. Wieder ist zu erkennen, dass derL1-Fehler immer etwas kleiner ist als der L2-Fehler.

Tabelle 5.5: Fehler der impliziten Runge Kutta Verfahren

∆t 12

14

18

116

132

164

IRK(1,1) L2 1.41529 · 10−1 7.39563 · 10−2 3.77805 · 10−2 1.90911 · 10−2 9.5958 · 10−3 4.81046 · 10−3

L1 1.38221 · 10−1 7.22278 · 10−2 3.68975 · 10−2 1.86449 · 10−2 9.37153 · 10−3 4.69803 · 10−3

IRK(2,2) L2 1.28081 · 10−2 3.212 · 10−3 8.03628 · 10−4 2.00946 · 10−4 5.0239 · 10−5 1.2599 · 10−5

L1 1.25088 · 10−2 3.13693 · 10−3 7.84845 · 10−4 1.9625 · 10−4 4.90648 · 10−5 1.22663 · 10−5

SIRK(2,2) L2 5.84739 · 10−3 1.513 · 10−3 3.84294 · 10−4 9.68058 · 10−5 2.42915 · 10−5 6.08402 · 10−6

L1 5.71073 · 10−3 1.47764 · 10−3 3.75313 · 10−4 9.45432 · 10−5 2.37237 · 10−5 5.94182 · 10−6

SDIRK(2,2) L2 1.16808 · 10−3 3.41107−4 9.14104 · 10−5 2.36175 · 10−5 5.9998 · 10−6 1.51187 · 10−6

L1 1.14078 · 10−3 3.33135 · 10−4 8.92739 · 10−5 2.30655 · 10−5 5.85958 · 10−6 1.47653 · 10−6

SDIRK(5,4) L2 4.27683 · 10−6 2.97502 · 10−7 1.95246 · 10−8 1.24909 · 10−9 7.89628 · 10−11 4.96317 · 10−12

L1 4.17687 · 10−6 2.90548 · 10−7 1.90683 · 10−8 1.21989 · 10−9 7.71173 · 10−11 4.84717 · 10−12

Die berechneten Konvergenzordnungen der impliziten Verfahren sind in Tabelle 5.6 dargestellt. Hier zeigtsich wieder, dass die Konvergenzordnungen des L1-Fehlers und des L2-Fehlers nahezu gleich verlaufen undsich somit meistens wieder gleiche Werte im Mittel und im Limes für die jeweilige Runge-Kutta Verfahrenergeben. Auÿerdem ist zu erkennen, dass die Konvergenzordnung für ∆t → 0 fast stetig wachsen und somitgegen einen Grenzwert konvergieren.

Tabelle 5.6: Berechnete Konvergenzordnungen β der impliziten Verfahren

∆t 12 zu 1

414 zu 1

818 zu 1

16116 zu 1

32132 zu 1

64 Mittelwert erwarteter Limes

IRK(1,1) L2 0.9364 0.9690 0.9847 0.9924 0.9962 0.9758 1

L1 0.9364 0.9690 0.9847 0.9924 0.9962 0.9758 1

IRK(2,2) L2 1.9955 1.9989 1.9997 1.9999 1.9955 1.9979 2

L1 1.9955 1.9989 1.9997 1.9999 1.9999 1.9988 2

SIRK(2,2) L2 1.9504 1.9771 1.9890 1.9946 1.9974 1.9817 2

L1 1.9504 1.9771 1.9890 1.9946 1.9974 1.9817 2

SDIRK(2,2) L2 1.7758 1.8998 1.9525 1.9769 1.9886 1.9187 2

L1 1.7758 1.8998 1.9525 1.9769 1.9886 1.9187 2

SDIRK(5,4) L2 3.8456 3.9295 3.9663 3.9836 3.9918 3.9434 4

L1 3.8456 3.9295 3.9664 3.9836 3.9918 3.9434 4

Das erste untersuchte implizite Runge-Kutta Verfahren ist das implizite Euler Verfahren (IRK(1,1)),welches die Konvergenzordnung O (∆t) hat [2]. Die berechneten Werte für die Konvergenzordnung liegenzwischen β ≈ 0.9364 und β ≈ 0.9962 und scheinen für ∆t→ 0 gegen β = 1 zu konvergieren.


Das implizite Verfahren IRK(2,2), das einfach implizite Verfahren SIRK(2,2) und das einfach diagonalimplizite Verfahren SDIRK(2,2) sind jeweils Verfahren 2. Ordnung [2]. Aus Tabelle 5.6 wird die Konvergen-zordnung im Limes für ∆t→ 0 bestätigt, wobei die berechneten Mittelwerte β ≈ 1.9979 beim L2-Fehler undβ ≈ 1.9988 beim L1-Fehler für IRK(2,2), β ≈ 1.9817 für SIRK(2,2) und β ≈ 1.9187 für SDIRK(2,2) jeweilsfür L2- und L1-Fehler betragen. Darüber hinaus ist in Tabelle 5.3 und in den Abbildungen 5.10 und 5.11 zuerkennen, dass die Fehler mit SDIRK(2,2) kleiner sind als die mit SIRK(2,2) und diese wiederum kleiner alsdie Fehler mit IRK(2,2).

Das vierstuge einfach diagonal implizite Verfahren (SDIRK(5,4)) hat die Konvergenzordnung O(∆t4

).

Für den Grenzwert für ∆t→ 0 ist β = 4 ebenfalls zu erwarten. Der berechnete Mittelwert liegt bei β ≈ 3.9434beim L2- und beim L1-Fehler.

Abbildung 5.10: Konvergenzgraph: L2-Fehler der impliziten Verfahren

Wie oben schon erläutert haben die Verfahren IRK(2,2), SIRK(2,2) und SDIRK(2,2) im Limes die gleicheKonvergenzordnung, nämlich β = 2. Dies spiegelt sich in den Konvergenzgraphen in den Abbildungen 5.10und 5.11 insofern wieder, dass die entsprechenden Geraden parallel verlaufen. Das Verfahren IRK(1,1) hatdie Ordnung O (∆t) und somit hat die jeweilige Gerade in den Konvergenzgraphen eine kleinere Steigungβ = 1 als die von IRK(2,2), SIRK(2,2) und SDIRK(2,2) mit β = 2. Dagegen hat die Gerade von SDIRK(5,4)eine gröÿere Steigung aufgrund der höheren Konvergenzordnung, nämlich Ordnung 4 im Grenzwert.

Zu ergänzen bleibt noch, dass wieder die Verfahren höherer Ordnung einen kleineren Anfangsfehlerbesitzen als die Verfahren niedriger Ordnung.


Abbildung 5.11: Konvergenzgraph: L1-Fehler der impliziten Verfahren

5.3 Vergleich von verschiedenen

Ort-Zeit-Diskretisierungs-Kombinationen

In diesem Unterabschnitt wird das wie folgt denierte Konvektions-Diusions-Problem mit verschiedenenKombinationen der Finite Elemente Orts- und der Runge-Kutta Zeitdiskretisierung betrachtet und der L2-Fehler untersucht. Das Modellproblem stellt dabei eine Kombination der beiden Musterprobleme aus denUnterkapiteln 5.1 und 5.2 dar.

Das Modellproblem

Auf dem Orts-Zeit-Zylinder QT = Ω× [0, 0.1] ⊂ R2 × [0,∞] mit dem Ortsgebiet Ω = [0, 1]2 sei

∂u (x1, x2, t)

∂t+

(0.80.4

)· ∇u (x1, x2, t)− 0.4∆u (x1, x2, t) =

exp(−0.8π2t

)π (0.8 cos (πx1) sin (πx2) + 0.6 sin (πx1) cos (πx2))

mit den Dirichlet Randbedingungen u (x1, x2, t) = 0 auf ∂Ω× [0, T ] und der Anfangsbedingung u (x1, x2, 0) =sin (πx1) sin (πx2) auf Ω. Dabei ist die exakte Lösung mit

uex (x1, x2, t) = exp(−0.8π2t

)sin (πx1) sin (πx2)

bekannt.

Vergleich expliziter und impliziter Runge-Kutta Verfahren

In diesem Unterabschnitt wird das Modellproblem für die vier expliziten Verfahren (ERK(·, ·), Anhang A) undfür das implizite Euler Verfahren (IRK(1,1), Anhang A) beispielhaft für eine Zeitschrittweite ∆t = 1

20 auf demzu Level 3 gehörenden Vierecksgitter mit Q2 gelöst. Es soll überprüft werden, ob explizite Zeitschrittverfahrenbei diesem Modellproblem sinnvoll angewendet werden können.

Die sich ergebenden L2-Fehler zum Zeitpunkt T = 0.1 sind in Tabelle 5.7 dargestellt.


Tabelle 5.7: L2-Fehler für ERK(·, ·) und IRK(1,1) auf Gitter für Level 3 mit ∆t = 120

ERK(1,1) ERK(2,2) ERK(3,3) ERK(4,4) IRK(1,1)

L2-Fehler 1.76885 3.28140 · 105 4.04763 · 1010 4.65217 · 1015 2.97311 · 10−2

Die berechneten Lösungen sind nicht beschränkt, obwohl für die exakte Lösung

‖ uex ‖L2<∞

auf QT gilt. Dies spiegelt sich in den L2-Fehlerwerten der expliziten Verfahren wieder, für die gilt

‖ uapprox − uex ‖L2−→∞.

Im Kontrast dazu liefert das implizite Verfahren einen deutlich kleineren L2-Fehler. Insgesamt lässt sichaus der Tabelle schlieÿen, dass der Zeitschritt für die expliziten Verfahren zu groÿ gewählt ist, um dasProblem stabil zu integrieren. Deshalb wird exemplarisch für das explizite Euler Verfahren (ERK(1,1)) dieZeitschrittweite verfeinert. Die Anfangsfehler zum ersten Zeitschritt ∆t und der Fehler zum Zeitpunkt T = 0.1(bzw. letzte Spalte T = 0.0001) sind in Tabelle 5.8 dargestellt.

Tabelle 5.8: L2-Fehler für ERK(1,1) und IRK(1,1) auf Gitter für Level 3

∆t = 120 ∆t = 1

40 ∆t = 180 ∆t = 0.00001

ERK(1,1) t = ∆t 3.44174 · 10−2 9.2355 · 10−3 2.45742 · 10−3 t = ∆t 6.08008 · 10−5

t = T 1.76885 8.16833 · 104 4.02303 · 1013 t = 10 ·∆t 6.07567 · 10−5

IRK(1,1) t = ∆t 2.14632 · 10−2 7.12558 · 10−3 2.07352 · 10−3 t = ∆t 6.08012 · 10−5

t = T 2.97311 · 10−2 1.60916 · 10−2 8.39974 · 10−3 t = 10 ·∆t 6.07507 · 10−5

Die Tabelle zeigt, dass auch wenn der Anfangsfehler bei der expliziten Methode in der gleichen Gröÿen-ordnung liegt wie der des impliziten Verfahrens, der Fehler zu einem Endzeitpunkt T unbeschränkt sein kann.In der letzten Spalte ist der Zeitschritt ∆t = 0.00001 gewählt und es wurden zehn Zeitschritte gerechnet.In diesem Fall sind die L2-Fehler für den expliziten und impliziten Euler in der gleichen Gröÿenordnung,jedoch wurde nicht bis T = 0.1 gerechnet und es ist möglich, dass sich zu diesem Zeitpunkt die Fehler wiederdeutlich unterscheiden. Dann wäre der Zeitschritt ∆t = 0.00001 immer noch zu groÿ gewählt.

Für die weiteren Berechnungen werden lediglich implizite Zeitschrittverfahren wie z. B. das implizite EulerVerfahren zur Zeitintegration verwendet und deren Fehlerverhalten ausführlicher geprüft und dokumentiert,da diese bei einer gröÿeren Zeitschrittweite das Problem stabil integrieren. Um mit expliziten Verfahrenzu rechnen, ist eine weitaus kleinere Zeitschrittweite erforderlich, was aufgrund der gröÿeren Anzahl zurechnender Zeitschritte bis zu dem gleichen Endzeitpunkt T wie für implizite Verfahren in einem höherenRechenaufwand resultieren würde.

Ausbalancierte Orts- und Zeitdiskretisierungen

In diesem Abschnitt werden ausbalancierte Orts- und Zeitdiskretisierung betrachtet mit der Erwartung, dasssich eine gemeinsame Ordnung von Orts- und Zeitdiskretisierung in der Konvergenzordnung des Gesamtfehlersfür feiner werdende Gitter- und Zeitschrittweiten widerspiegelt.

Analog zu den Formeln für die Fehlerordnungen α und β (siehe Gleichungen (5.1) und (5.2)) in denUnterkapiteln 5.1 und 5.2 lässt sich ebenfalls für diese Problemstellung die Konvergenzordnung γ des L2-Fehlers zum Zeitpunkt T = 0.1 aus der Formel

‖ u(h,∆t) − uex ‖‖ u (h, ∆t)

2− uex ‖

= 2γ und damit γ =

ln

(‖u(h, ∆t)−uex‖‖u (h, ∆t)

2

−uex‖

)ln (2)

(5.3)


berechnen.Zuerst werden zwei Kombinationen mit Verfahren der gleichen Konvergenzordnung betrachtet: Untersucht

werden bikubische Finite Elemente im Ort (Q3) mit dem Zeitschrittverfahren SDIRK(5,4) (vgl. Anhang A) ,welche jeweils der Ordnung 4 sind, sowie bilineare Finite Elemente im Ort (Q1) mit dem ZeitschrittverfahrenIRK(2,2) (vgl. Anhang A), d. h. Diskretisierungen der Ordnung 2. Dabei fällt die Auswertung der Kombina-tion für die Diskretisierungen 4. Ordnung detailierter aus, um auf Grundlage dieser Ergebnisse die Analyseder Verfahren der Ordnung 2 kürzer gestalten zu können.

Als erstes Beispiel seien nun Q3

(Ordnung O

(h4))

mit SDIRK(5,4)(Ordnung O

((∆t)

4))

(vgl. Anhang

A) kombiniert. Die sich ergebenden L2-Fehlerwerte sind in Tabelle 5.9 in Abhängigkeit vom Gitterlevel undder Zeitschrittweite ∆t ∈

110 ,

120 ,

140 ,

180 ,

1160 ,

1320

dargestellt.

Tabelle 5.9: L2-Fehlerwerte: Q4 und SDIRK(5,4)

Level 1 Level 2 Level 3 Level 4 Level 5

∆t = 110 1.85469 · 10−4 1.34329 · 10−4 1.33659 · 10−4 1.3363 · 10−4 1.33629 · 10−4

∆t = 120 1.28469 · 10−4 1.31193 · 10−5 9.88921 · 10−6 9.85709 · 10−6 9.85588 · 10−6

∆t = 140 1.28582 · 10−4 8.42527 · 10−6 9.35589 · 10−7 7.64855 · 10−7 7.63456 · 10−7

∆t = 180 1.28573 · 10−4 8.37616 · 10−6 5.28184 · 10−7 7.13563 · 10−8 6.31501 · 10−8

∆t = 1160 1.28573 · 10−4 8.37512 · 10−6 5.2362 · 10−7 3.30079 · 10−8 5.98221 · 10−9

∆t = 1320 1.28573 · 10−4 8.37508 · 10−6 5.23549 · 10−7 3.24898 · 10−8 2.08941 · 10−9

An den Fehlerwerten lässt sich erkennen, dass bei gleichbleibendem Gitterlevel der Fehler für kleinerwerdende Zeitschtittweiten in den ersten beiden Spalten gegen einen Wert zu konvergieren und dann zustagnieren scheint und sich nicht mehr wie gewünscht mit dem Faktor ungefähr 1

16 verkleinert. Gerade dannüberwiegt der Ortsfehler aufgrund des groben Gitters und weitere Zeitschrittverfeinerungen können denGesamtfehler nicht mehr verringern. Mit der Formel (5.2) für die Konvergenzordnung β in der Zeit sind dieWerte in Tabelle 5.10 für die (spaltenweise) Zeitkonvergenz berechnet worden. Der beschriebene Eekt derFehlerstagnation in den ersten beiden Spalten zeigt sich ebenfalls in Tabelle 5.10: An den entsprechendenZellen gilt β ≈ 0.

Tabelle 5.10: Spaltenweise Konvergenzordnungen β (Zeit) für Q3 und SDIRK(5,4)

Level 1 Level 2 Level 3 Level 4 Level 5

∆t = 110 zu 1

20 0.5298 3.3560 3.7566 3.7609 3.7611∆t = 1

20 zu 140 −0.0013 0.6389 3.4019 3.6879 3.6904

∆t = 140 zu 1

80 0.0001 0.0084 0.8248 3.4221 3.5957∆t = 1

80 zu 1160 0 0.0002 0.0125 1.1122 3.4000

∆t = 1160 zu 1

320 0 0 0.0002 0.0228 1.5176

Man erkennt, dass bei feineren Gittern die Konvergenzordnung steigt und sich Ordnung 4 annähert. Umdie tatsächliche zeitliche Konvergenz, d. h. die gewünschte Ordnung 4, zu überprüfen, müsste die Tabelle 5.9um weitere Spalten für Gitterverfeinerungen ergänzt werden, bis das Gitter so fein ist, dass der Ortsfehlervernachlässigbar klein wird.

Betrachtet man nun das Konvergenzverhalten pro Zeile in Tabelle 5.9 mit Hilfe der Formel (5.1) fürdie örtliche Konvergenz α, erhält man die in Tabelle 5.11 dargestellten Ordnungen. Ähnlich wie oben zeigtsich hier ebenfalls für die gröÿeren Zeitschrittweiten ∆t, dass der Fehler für feinere Gitter gegen eine Wertkonvergiert und schlieÿlich stagnieren könnte. In Tabelle 5.11 gilt in den entsprechenden Zellen analog α ≈ 0.


Tabelle 5.11: Zeilenweise Konvergenzordnungen α (Ort) für Q3 und SDIRK(5,4)

Level 1 zu 2 Level 2 zu 3 Level 3 zu 4 Level 4 zu 5

∆t = 110 0.4654 0.0072 0.0003 0

∆t = 120 3.2917 0.4078 0.0047 0.0002

∆t = 140 3.9318 3.1708 0.2907 0.0026

∆t = 180 3.9402 3.9872 2.8879 0.1763

∆t = 1160 3.9403 3.9995 3.9876 2.4641

∆t = 1320 3.9403 3.9997 4.0103 3.9588

Weiter erkennt man, dass der Zeitfehler für die Zeitschrittweite ∆t = 1320 bereits sehr klein ist, so dass

für die Gitterverfeinerung die Konvergenzordnung gegen die Ordnung 4 der Ortsdiskretisierung konvergiert.Die nicht ganz gleichmäÿige Konvergenz lässt sich u. a. darauf zurück führen, dass der Zeitschritt und dieGitterweite nicht optimal ausbalanciert sind.

Abschlieÿend wird nun die gesamte Konvergenzordnung γ der Diskretisierung mit Formel (5.3) analysiert,indem die Konvergenz pro Diagonale (Tabelle 5.9) von grobem Zeitschritt und grober Gitterweite zu feinemZeitschritt und feiner Gitterweite berechnet wird. Diese Ordnungen sind in Tabelle 5.12 aufgelistet.

Tabelle 5.12: Diagonale Konvergenzordnungen γ (Ort und Zeit) für Q3 und SDIRK(5,4)

Level 1 zu 2 Level 2 zu 3 Level 3 zu 4 Level 4 zu 5

∆t = 110 zu 1

20 3.8214 3.7638 3.7613 3.7611∆t = 1

20 zu 140 3.9306 3.8097 3.6926 3.6905

∆t = 140 zu 1

80 3.9403 3.9956 3.7128 3.5983∆t = 1

80 zu 1160 3.9403 3.9997 4.0002 3.5763

∆t = 1160 zu 1

320 3.9403 3.9997 4.0105 3.9816

Für die in der Tabelle blau hervorgehobene Diagonale erhält man die beste Konvergenz: Hier zeichnetsich eine Orts-Zeitkonvergenz nahe der theoretisch erwartbaren Ordnung 4 ab, Zeitschritt- und Gitterweiteerzielen jeweils einen Ausgleich von Zeit- und Ortsfehler. Allerdings, wie oben in Tabelle 5.11, ergibt sichkeine gleichmäÿige Konvergenz, was an einer nicht optimalen Zeitschritt-Gitterweitenbalance liegen könnte.Weiterhin bleibt mit den im Rahmen dieser Arbeit betrachteten Rechnungen oen, ob der Limes der Konver-genzordnung für (∆t, h) −→ 0 wider Erwarten gröÿer ist als die aus theoretischen Überlegungen erwartbareOrdnung 4 für beide Verfahren. Weitere Gitter- und Zeitschrittverfeinerungen würden hier Aufschluss geben.Für dieses Modellproblem und die hier behandelten Gröÿen sei in diesem Kontext die approximierte Konver-genzordnung 4 ausreichend.

Auf Basis der Ergebnisse für Q3 verknüpft mit SDRIRK(5,4) (vgl. Anhang A) wird nun die Kombinationaus Q1 mit einem Zeitschrittverfahren der Ordnung 2 (IRK(2,2)), vgl. Anhang A) für die in Tabelle 5.12 blaumarkierten und damit relativ ausbalancierten Zeitschritt-Gitterweiten-Kombinationen gerechnet. Angemerktsei hier, dass für ein Runge-Kutta Verfahren der Ordnung 2 bewusst das Verfahren IRK(2,2) ausgewähltwurde, obwohl nach Kapitel 5.2 die Verfahren SIRK(2,2) und SDIRK(2,2) ebenfalls von 2. Ordnung sind undsogar kleinere Fehler erzeugen. Betrachtet man die zugehörigen Butcher-Tabellen der Verfahren (Butcher-Tabellen 6 - 7, siehe Anhang A), ist zu erkennen, dass die Matrix für die Zeitintegration mittels Runge-KuttaMethoden (vgl. Gleichung (4.4)) für die Koezienten aij in Butcher-Tabelle 6 (IRK(2,2)) dünnbesetzterist als mit den Koeziten aij der Butcher-Tabellen 7 oder 8 (SIRK(2,2) bzw. SDIRK(2,2)). Die sich mitIRK(2,2) ergebende Matrix wird aufgrund ihrer Struktur schneller zu lösen sein, als die von SIRK(2,2) oderSDIRK(2,2) erzeugte Matrix.

Die sich ergebenden Fehlerwerte für die gewählte Kombination sind in Tabelle 5.13 dargestellt, sowie diedaraus resultierenden Gesamtfehlerordnungen in Tabelle 5.14. Als Vergleich seien die entsprechenden Werte


aus den Tabellen 5.9 und 5.12 für Q3 mit SDIRK(5,4) ebenfalls aufgeführt.

Tabelle 5.13: L2-Fehler ausbalancierter Verfahren

Level 1 2 3 4 5∆t 1

20140

180

1160

1320

Q1 mit IRK(2,2) 3.11803 · 10−2 8.19024 · 10−3 2.07659 · 10−3 5.21100 · 10−4 1.30402 · 10−4

Q3 mit SDIRK(5,4) 1.28469 · 10−4 8.42527 · 10−6 5.28184 · 10−7 3.30079 · 10−8 2.08941 · 10−9

Die berechneten Konvergenzordnungen γ konvergiert für Q1 mit IRK(2,2) für (h, ∆t) −→ 0 gegen Ord-nung 2. Damit wird für hinreichend kleine Orts- und Zeitschrittweiten die Konvergenz der Orts- sowie derZeitdiskretisierung erreicht.

Tabelle 5.14: Konvergenzordnungen γ der ausbalancierten Diskretisierungen

Levelübergang 1 zu 2 2 zu 3 3 zu 4 4 zu 5∆t 1

10 zu 120

120 zu 1

40140 zu 1

80180 zu 1

160 erwarteter Limes

Q1 mit IRK(2,2) 1.9287 1.9797 1.9946 1.9986 2

Q3 mit SDIRK(5,4) 3.9306 3.9956 4.0002 3.9816 4

Die im Grenzwert erwarteten Konvergenzordnungen spiegeln sich in den entsprechenden Steigungen derGeraden in Abbildung 5.12 wieder. Es ist zu erkennen, dass die Gerade der Kombination höherer Ordnung (Q3

mit SDIRK(5,4)) steiler verläuft. Darüber hinaus wird ebenfalls deutlich, dass diese Verbindung insgesamtdeutlich kleinere L2-Fehlerwerte liefert (vgl. Tabelle 5.13).

Abbildung 5.12: Ausbalancierte Orts-Zeit-Diskretisierungen

Unterschiedliche Orts- und Zeitdiskretisierungen

In diesem Abschnitt werden nicht ausbalancierte Orts- und Zeitdiskretisierung betrachtet, d. h. Kombinatio-nen von Orts- und Zeitdiskretisierung mit unterschiedlicher Ordnung. Es wird erwartet, dass die schwächere


Ordnung sich im Limes für (h, ∆t) −→ 0 durchsetzen wird für den Fall, dass sich eine Konvergenz desGesamtfehlers abzeichnet.

Begonnen wird mit einer Kombination aus einem Verfahren zweiter Ordnung im Ort und vierter Ord-nung in der Zeit, indem mit Q1 im Ort und SDIRK(5,4) in der Zeit (vgl. Anhang A) das Problem gelöstwird. Daraufhin wird Q2 (3. Ordnung) im Ort mit dem impliziten Euler Verfahren in der Zeit (1. Ordnung,IRK(1,1), siehe Anhang A) verwendet. Zum Abschluss wird dann ein Verfahren 4. Ordnung im Ort, in die-sem Fall Q3, und IRK(2,2) in der Zeit (2. Ordnung, siehe Anhang A) zur Lösung des Problems genutzt.In Tabelle 5.15 sind die Entwicklung des L2-Fehlers zum Zeitpunkt T = 0.1 bei simultaner Gitter- undZeitschrittweitenverfeinerung (vgl. Verfeinerungsstufen in Tabelle 5.13) wieder.

Tabelle 5.15: L2-Fehler nicht ausbalancierter Diskretisierungen

Levelübergang 1 2 3 4 5∆t 1

20140

180

1160

1320

Q1 mit SDIRK(5,4) 2.87932 · 10−2 7.64552 · 10−3 1.94279 · 10−3 4.87798 · 10−4 1.22086 · 10−4

Q2 mit IRK(1,1) 2.93069 · 10−2 1.60631 · 10−2 8.39974 · 10−3 4.29682 · 10−3 2.1735 · 10−3

Q3 mit IRK(2,2) 2.33555 · 10−3 5.79594 · 10−4 1.44746 · 10−4 3.61789 · 10−5 9.04428 · 10−6

Analog zu den Konvergenzordnungen im vorherigen Abschnitt lässt sich hier ebenfalls mit Formel (5.3)das Verhalten des L2-Fehlers untersuchen. Die sich ergebenden Werte für die Konvergenzordnungen γ für dienicht ausbalancierten Kombinationen sind in Tabelle 5.16 angegeben.

Tabelle 5.16: Konvergenzordnungen γ nicht ausbalancierter Diskretisierungen

Levelübergang 1 zu 2 2 zu 3 3 zu 4 4 zu 5∆t 1

20 zu 140

140 zu 1

80180 zu 1

1601

160 zu 1320 erwarteter Limes

Q1 mit SDIRK(5,4) 1.9130 1.9765 1.9938 1.9984 2Q2 mit IRK(1,1) 0.8675 0.9353 0.9671 0.9832 1Q3 mit IRK(2,2) 2.0106 2.0015 2.0003 2.0001 2

Hier wird deutlich, dass wenn man nicht ausbalancierte Verfahren für die Orts- und Zeitdiskretisierungverwendet, sich der Fehler im Limes für die Gitter- und Zeitschrittweite gegen Null gegen die niedrigereOrdnung der Diskretisierung konvergiert, d. h. es gilt

γ = min α, β .

Deshalb ist für die Kombination aus Q1 und SDIRK(5,4) der Ordnung O(h2 + (∆t)

4)zusammen als Grenz-

wert für die Fehlerordnung O(h2)für (h, ∆t) −→ 0 zu erwarten. Ebenso ergibt sich für die Kombination

aus Q2 mit IRK(1,1), insgesamt der Ordnung O(h3 + ∆t

), eine Konvergenz für (h, ∆t) −→ 0 von O (∆t).

Und analog für den Fall von Q3 in Verbindung mit IRK(2,2), die zusammen die Ordnung O(h4 + (∆t)

2)

besitzen, konvergiert der Grenzwert der Fehlerordnung für (h, ∆t) −→ 0 gegen die kleinere Ordnung der

verwendeten Verfahren, somit gegen O(

(∆t)2).

In der Tabelle 5.16 erkennt man, dass die Ortsdiskretisierung (anfangs) einen stärkeren Einuss auf denGesamtfehler hat als die Zeitdiskretisierung, auch wenn im Limes immer die schwächere Ordnung erwartetwird. In der ersten Zeile sieht man, dass bei bilinearen Finiten Elementen (Q2) kombiniert mit Runge-Kutta4. Ordnung, der Limes γ = 2 der Konvergenzordnung von unten angenähert wird. Die asymptotisch höhereOrdnung der Runge-Kutta Methode (Ordnung 4) fällt weniger ins Gewicht als der Ortsfehler 2. Ordnung.Vergleicht man damit nun die letzte Zeile mit einem Verfahren 4. Ordnung im Ort und 2. Ordnung in der Zeit,sieht man, dass hier der Limes γ = 2 im ersten Schritt von oben annähert. Anfangs ist die Konvergenzordnung


noch gröÿer als die hier schwächere Ordnung 2 des Zeitschrittverfahrens, fällt dann aber und konvergiert inden weiteren Schritten gleichmäÿig gegen γ = 2.

Abbildung 5.13: Nicht ausbalancierte Orts-Zeit-Diskretisierungen

Die berechneten Fehlerordnungen entsprechen den Steigungen der Geraden in Abbildung 5.13. In die-ser Abbildung wird die Behauptung, dass die erste und letzte Kombination (Q1 mit SDIRK(5,4); Q3 mitIRK(2,2)) im Limes die gleiche Konvergenzordnung besitzen, dahingehend unterstützt, dass die beiden Gera-den für Schrittweiten gegen Null parallel verlaufen. Angemerkt sei, dass wie im vorherigen Abschnitt grund-sätzlich die Kombination mit bikubischen Finiten Elementen (Q3) kleinere Fehlerwerte liefert als die Dis-kretisierung mit linearen Finiten Elementen (Q1). Dies bestätigt ebenfalls, dass die Ortsdiskretisierung hierstärkeren Einuss nimmt als die Zeitdiskretisierung. Um diesen Eekt auszugleichen bzw. ganz zu vermeiden,müssten sich die Ortsgitterweite und die Zeitschrittweite optimal equilibrieren.

Mit den oben beschriebenen Erkenntnissen wird klar, dass mit diesen Orts-Zeit-Diskretisierungen zu vielAufwand in die Berechnungen gesteckt wurde: Es wurden Ortsdiskretisierungen der Ordnung 3 und 4 ver-wendet und mit Zeitschrittverfahren der Ordnung 1 bzw. der Ordnung 2 kombiniert. Durch diese Koppelungkonnten die asymptotisch höheren Konvergenzordnungen der Finiten Elemente nicht erreicht werden und derGesamtfehler konvergiert lediglich wie die asymptotisch niedrigeren Ordnungen der Runge-Kutta Methoden.Ebenso wurde ein Zeitschrittverfahren der Ordnung 4 mit Finiten Elementen der Ordnung 2 verbunden.In diesem Fall konvergiert der Gesamtfehler entsprechend der Ordnung der Ortsdiskretisierung. Hier ist dieOrdnung des Ortsfehlers asymptotisch niedriger als die des Zeitfehlers.

Verfahren höherer Ordnung erfordern einen gröÿeren Rechenaufwand (vgl. Ezienzvergleich in Kapitel6) und sollten somit nur verwendet werden, wenn ihre Ordnung möglichst gehalten werden kann. Eine Mög-lichkeit dies zu erzielen, ist die Kombination von Orts- und Zeitverfahren der gleichen Ordnung.

Eine Alternative, den Orts- und Zeitfehler für Verfahren unterschiedlicher Ordnung zu equilibrieren unddie bessere Ordnung zu erhalten, besteht darin, ein Ortsverfahren niedriger Ordnung (hier: Ordnung 2) miteinem Zeitschrittverfahren höherer Ordnung (hier: Ordnung 4) bzw. umgekehrt, zu verbinden. Dann mussfür jede Verfeinerung in der Zeit zweimal im Ort verfeinert werden bzw. für die umgekehrte Variante musspro Gitterverfeinerung zweimal in der Zeit verfeinert werden. Exemplarisch werden dafür wieder Q1 mitSDIRK(5,4) (siehe Anhang A) genauso wie Q3 mit IRK(2,2) kombiniert. Untersucht man die L2-Fehler ausTabelle 5.17 jeweils für eine entsprechende Verfeinerungsstufe, bekommt man eine Ordnung nahe 4 bei beidenKombinationen. Es ist davon auszugehen, dass im Limes für (h, ∆t) −→ 0 die bessere Konvergenzordnung


der Kombinationen, also jeweils Ordnung 4, für das oben beschriebene Verfeinerungsprinzip erreicht wird.

Tabelle 5.17: L2-Fehler und Konvergenzordnung weiterer Kombinationen mit Schrittweitenanpassung

Level 3, ∆t = 120 Level 5, ∆t = 1

40 Ordnung δ

Q1 mit SDIRK(5,4) 1.94097 · 10−3 1.22 · 10−4 3.9918

Level 1, ∆t = 180 Level 2, ∆t = 1

320 Ordnung δ

Q3 mit IRK(2,2) 1.71308 · 10−4 1.07238 · 10−5 3.9977

Kapitel 6

Ezienzvergleich verschiedener

Methoden

Da die in dieser Arbeit thematisierten Orts- und Zeitdiskretisierungen für die Modellprobleme der Konvektions-Diusions-Gleichung die gewünschten Qualitäten erfüllen, wie in Kapitel 5 nachgewiesen wurde, soll nun einegeeignete Strategie entwickelt werden, um das 2D Konvektions-Diusions-Problem aus Unterkapitel 5.3 mög-lichst ezient zu lösen. Konkret bedeutet dies, dass zur Berechnung einer numerischen Lösung, die einevorgegebene Fehlertoleranz erfüllen soll, möglichst wenig Rechenzeit benötigt wird. Dafür werden jeweilsApproximationen mit verschiedene Kombinationen von möglichst ausbalancierten Orts- und Zeitdiskretisie-rungen zu unterschiedlichen Gitter- und Zeitschrittweiten (h, ∆t) berechnet und die benötigte CPU-Zeitverglichen. Hierbei werden ebenfalls nur die impliziten Runge-Kutta Verfahren benutzt, denn eine stabileZeitintegration mittels expliziten Runge-Kutta Verfahren würde für dieses Problem eine deutlich geringereZeitschrittweite ∆t erfordern (vgl. Unterkapitel 5.3). Dies resultiert wiederum in einem höheren Rechenauf-wand, weshalb die expliziten Verfahren in diesem Kontext nicht konkurrenzfähig wären.

Es werden nun die vier Methoden aus Unterkapitel 5.3 erneut betrachtet, die ausbalancierte Orts-Zeit-Diskretisierung ermöglichten und somit für die verwendeten Orts-Zeit-Verfahren jeweils die optimale Konver-genzordnung im Limes zeigten. Für die berechneten Lösungen, die hier verglichen werden, soll zum ZeitpunktT = 0.1 für den L2-Fehler

‖ uex − uapprox ‖L2< TOL

gelten mit der vorgegebenen Fehlertoleranz TOL = 2 · 10−4. Dafür wurden die Fehlerwerte in Tabellen 5.13und 5.17 für die entsprechenden Kombinationen verglichen und die passenden Gitterlevel und Zeitschritt-weiten ausgesucht. In Tabelle 6.1 sind die verwendeten Verfahren mit Diskretisierungseigenschaften undProblemgröÿen dargestellt.

31

KAPITEL 6. EFFIZIENZVERGLEICH VERSCHIEDENER METHODEN 32

Tabelle 6.1: Ezienzvergleich ausbalancierter Methoden

Ortsdiskretisierung Q1 Q1 Q3 Q3

Ordnung Ort 2 2 4 4

Zeitdiskretisierung IRK(2,2) SDIRK(5,4) IRK(2,2) SDIRK(5,4)

Ordnung Zeit 2 4 2 4

Level 5 5 1 2 1 2

∆t ∆t = 1320

∆t = 140

∆t = 180

∆t = 1320

∆t = 120

∆t = 140

Gesamtordnung 2 4 4 4 4 4

Anz. Freiheitsgrade

(nDOFs) 6, 273 6, 273 241 913 241 913

Anz. Stufen Zeit-

verfahrens (nStufen) 2 5 2 2 5 5

Anz. Zeitschritte

(nZeitschritte) 32 4 8 32 2 4

Unbekannte insg.

(nUnbekannte) 602, 208 150, 552 5, 784 87, 648 2, 892 20, 912

Anz. LGS d. Gröÿe 32 4 8 32 2 4(nStufen · nDOFs

)2 (12, 546)2 (31, 365)2 (482)2 (1, 826)2 (1, 205)2 (4, 565)2

L2-Fehler 1.22086 · 10−4 1.22 · 10−4 1.71308 · 10−4 1.07238 · 10−5 1.28469 · 10−4 8.42527 · 10−6

CPU-Zeit 11, 413.3s 3, 464.5s 26.73s 402.86s 16.64s 130.44s

Hierbei wird die Gesamtanzahl der Unbekannten, die im Programm mittels eines linearen Lösers (BiCG-Stab) aus den linearen Gleichungssystemen bzw. mit Vektoraddition berechnet werden, mit der Formel

nUnbekannte = nZeitschritte ·(nDOFs + nDOFs · nStufen

)berechnet. Für jeden Zeitschritt muss ein LGS zur Bestimmung der Vektoren ki (vgl. Gleichungen (4.2),(4.3) und (4.4)) gelöst werden, um damit dann den nächsten Zeitschritt mit Hilfe der Gleichung (4.1) zuberechnen. Damit ergibt sich die Gesamtanzahl der Unbekannten für jede Kombination aus dem Produktder Anzahl der Zeitschritte

(= nZeitschritte

)mit der Summe aus nDOF (= Gröÿe des Lösungsvektors) und

nDOFnStufen (= Gröÿe der ki multipliziert mit der Anzahl an Stufen). Weiter wird gesondert die Gröÿe derlinearen Gleichungssysteme angegeben, mit denen die Vektoren ki berechnet werden (vgl. Gleichung (4.4)).

Die verwendeten Verfahren liefern nun jeweils L2-Fehler kleiner der vorgegebenen Toleranz TOL. Ver-gleicht man in Tabelle 6.1 die Verfahren, welche bilineare Finite Elemente verwenden, mit den Verfahren,die mit bikubische Finite Elemente rechnen, ist zu erkennen, dass für Q3 gröbere Gitter (Level 1 und 2)ausreichen, während Q1 das feine Gitter auf Level 5 benötigt, um die gewünschte Genauigkeit zu erreichen.Dies resultiert dann in einer weitaus höheren Anzahl von Freiheitsgraden. Betrachtet man dann die Zeit-diskretisierung, fällt auf, dass die Kombinationen mit IRK(2,2) jeweils kleinere und somit mehr Zeitschrittebenötigen als die Kombinationen mit SDIRK(5,4), um die Toleranz im L2-Fehler zu erzielen.

Bei Betrachtung der Rechenzeit heben sich die Verfahren mit bikubischen Finiten Elemente deutlich vonden Verfahren mit bilinearen Finiten Elementen ab: Die gewünschte Genauigkeit ist mit der Kombinationin Spalte 3 bereits nach 26.73 Sekunden erreicht und in Spalte 5 sogar nach 16.64 Sekunden, während dieVerfahren mit bilinearen Finiten Elemente fast eine Stunde (Spalte 2) bzw. sogar länger 3 Stunden (Spalte1) rechnen.

Zu Vergleichszwecken wurden die schnellen bikubischen Finite Elementen ebenfalls noch auf einer weite-ren Verfeinerungsstufe gerechnet (Spalten 4 und 6). Diese Kombinationen benötigen ebenfalls nicht annäherndso viel Rechenzeit wie die bilinearen Finite Elemente: tatsächlich sind die Rechnungen schon nach etwas we-niger als 7 Minuten (Spalte 4) bzw. nach etwas mehr als 2 Minuten (Spalte 6) abgeschlossen. Darüber hinauswird hierbei sogar noch mindestens eine Stelle Genauigkeit im L2-Fehler zusätzlich gewonnen. Vergleicht mandabei die Gesamtanzahl an Unbekannten, zeigt sich, dass die Kombination in Spalte 4 mehr als halb so vieleUnbekannte besitzt und dabei weniger als 1

8 der Rechenzeit wie die Diskretisierung in Spalte 2 benötigt. Fürdie Rechenzeit ist die Gröÿe des zu lösenden LGS und die Anzahl der zu lösenden Gleichungssysteme, sprich

KAPITEL 6. EFFIZIENZVERGLEICH VERSCHIEDENER METHODEN 33

die Anzahl der benötigten Zeitschritte, ebenfalls entscheidend. Und in Spalte 4 ist 16 mal ein 1, 826× 1, 826Gleichungssystem (mit BiCGStab) zu lösen deutlich schneller als zweimal ein 31, 365 × 31, 365 System fürSpalte 2. Für andere lineare Löser wie dem Mehrgitterverfahren könnten sich ggf. niedrigere Laufzeiten aufGrund weniger Iterationen ergeben. Ein Vergleich mit anderen iterativen Lösern sei hier jedoch nicht weiterbetrachtet.

Um für diese Problemstellung eine optimale Diskretisierungsstrategie zu nden, werden auf Grund derbisherigen Erkenntnisse, die Verfahren mit bikubischen Finiten Elementen (Spalten 3-6) eingehender betrach-tet. Verbindet man diese Finiten Elemente mit einem quadratischen Zeitschrittverfahren (IRK(2,2)), benötigtman eine deutlich kleinere Zeitschrittweite als bei Verwendung eines Runge-Kutta Verfahrens der Ordnung4: Um ungefähr eine gleiche Gröÿenordnung im L2-Fehler zu erreichen, benötigt man auf dem Gitter desersten Levels für IRK(2,2) (Spalte 3) ein Viertel der Zeitschrittweite wie für SDIRK(5,4) (Spalte 5) und aufdem Gitter Level 2 sogar ein Achtel der Zeitschrittweite für SDIRK(5,4) (Spalte 6), um mit IRK(2,2) (Spalte4) zu rechnen. Der feinere Zeitschritt und die damit verbundene höhere Anzahl an Zeitschritten äuÿert sichbesonders in Spalte 4 in einer höheren Rechenzeit im Vergleich zu der Kombination in Spalte 6. Möchte mannun einen möglichst kleinen Fehler mit möglichst wenig Rechenaufwand erreichen, lohnt es sich in Verfahrenhöherer Ordnung - sowohl im Ort als auch in der Zeit - zu investieren und dafür bei der Zeitdiskretisierungein ggf. höher-stuges Runge-Kutta Verfahren und damit einhergehendes gröÿeres Gesamtgleichungssystem(vgl. Gleichung (4.4)) lösen zu müssen. Um die Rechenzeit dennoch gering zu halten, ist es nun möglichgrobe Gitter- und Zeitschrittweiten zu verwenden, um eine Genauigkeit der selben Gröÿenordnung zu errei-chen, die mit Verfahren niedrigerer Ordnung nur mit deutlich mehr Rechenaufwand und längerer Laufzeitzu erzielen wären. Für diese Problemstellung wären also bikubische Finite Elemente und das Runge-KuttaVerfahren 4. Ordnung (SDIRK(5,4)) zu empfehlen, denn diese zeichnen sich durch ihre geringe CPU-Zeit fürdie geforderte Fehlertoleranz aus. Der Fehler kann mit diesen Diskretisierungen hoher Ordnung durch wenigeVerfeinerungsstufen bei Bedarf weiter reduziert werden. Im Rahmen dieser Arbeit wird hier eine genauereLaufzeituntersuchung für weitere Gitter- und Zeitschrittenweitenverfeinerungen für diese Kombination nichteingehender betrachtet.

Kapitel 7

Fazit und Ausblick

Im Vordergrund dieser Bachelorarbeit steht die Untersuchung von Orts- und Zeitdiskretisierungen verschiede-ner Ordnung am Beispiel der Konvektions-Diusions-Gleichung. Hierbei wurde die Ortsdiskretisierung mittelsFiniter Elemente der Ordnung 2, 3 und 4 sowie die Zeitintegration via Runge-Kutta Verfahren der Ordnungen1, 2, 3 und 4 realisiert. Mittels numerischer Tests sind in Kapitel 5 die aus der Theorie bekannten Konvergen-zordnungen nachgewiesen worden. Bei den expliziten Runge-Kutta Verfahren wurden zum Teil sogar bessereKonvergenzordnungen erzielt.

Abschlieÿend konnte im letzten Kapitel (Kapitel 6) mittels einer Laufzeituntersuchung eine Strategieentwickelt werden, ein Modellproblem möglichst ezient mit einer geforderten Genauigkeit zu lösen. Hier hatsich herausgestellt, dass die Orts- und Zeitdiskretisierungsverfahren höherer Ordnung zu empfehlen sind. Dieseliefern bei groben Orts- und Zeitschrittweiten einen Gesamtfehler, der bei bilinearen Finiten Elementen undZeitschrittmethoden niedriger Ordnung nur mit deutlich kleineren Gitter- und Zeitschrittweiten erreichbarwäre und somit mehr Rechenzeit erfordern würde.

Die Rechenzeit ist allerdings auch stark vom verwendeten Löser für die Gleichungsysteme abhängig. Indiesem Bereich bendet sich noch Verbesserunspotential und eine genauere Analyse des verwendeten iterati-ven Lösers (BiCGStab), sowie der Vergleich mit weiteren linearen Lösern wie z. B. GMRES, SuperLU oderdem Mehrgitterverfahren könnte zu einer Ezienzsteigerung beitragen.

Neben der Löseroptimierung könnten weitere Runge-Kutta Verfahren (z. B. höherer Ordnung) getestetwerden. Ebenso könnte die Verwendung von eingebetteten Runge-Kutta Verfahren eine a posteriori Fehler-schätzung der Form

‖ en+1 ‖L2=‖ un+1 − un+1,∗ ‖L2

ermöglichen, mit der man dann wiederum die Zeitschrittweiten kontrollieren könnte [8]. Hierbei wird einezweite Approximation

un+1,∗ = un +∆t

s∑i=1

b∗iki

mittels zusätzlichen Koezienten b∗i in jedem Zeitschritt berechnet. Diese ist besonders kostengünstig, dadie Vektoren ki nach Gleichung (4.2) unabhängig von den Koezienten bi bzw. b∗i sind und so nur einmalberechnet werden müssen und dann ein zweites Mal benutzt werden können.

In dieser Bachelorarbeit wurden weiter keine SSP (Strong Stability Preserving) Runge-Kutta Verfahrenthematisiert. Eine genauere Untersuchung der Stabilität von Runge-Kutta Methoden, insbesondere mit wei-teren Modellproblemen, die möglichst auch explizite Zeitverfahren erlauben, könnte dieser Arbeit folgen.

Darüber hinaus könnte die Konvergenz der Finite Elemente Ortsdiskretisierung in Kombination mitRunge-Kutta Zeitintegration an Hand von anderen Modellproblemen mit z. B. weniger regulären Lösun-gen und auf komplizierteren Ortsgebieten getestet werden. Bei nicht hinreichend glatten Lösungen ist esmöglich, dass eine verminderte Konvergenzordnung eintritt. Interessant wäre es, ob die Lösungen dennochfür hinreichend kleine Werte von ∆t und h konvergieren und welche Ordnungen sich dann abweichend vonden Ordnungen für hinreichend glatte Probleme einstellen würden.

34

Literaturverzeichnis

[1] Hermes - Higher-Order Modular Finite Element System (Hermes 2D hp-FEM & hp-DG library). http://hpfem.org/hermes/. Abrufdatum: 17.04.2013

[2] hpfem / hermes : Quellcodes für Butcher Tables. https://github.com/hpfem/hermes/blob/master/

hermes_common/src/tables.cpp. Abrufdatum: 17.04.2013

[3] Using Arbitrary Runge-Kutta Methods (02-runge-kutta). http://hpfem.org/hermes/hermes-tutorial/doc/_build/html/src/hermes2d/C-transient/02-runge-kutta.html. Abrufdatum: 17.04.2013

[4] Hermann, M. : Numerik gewöhnlicher Dierentialgleichungen: Anfangs- und Randwertprobleme. Olden-bourg, 2004

[5] Möller, M. : Numerische Verfahren in der Strömungsmechanik, Teil 1. Juli 2012. Vorlesungsskript

[6] Rannacher, R. : Einführung in die Numerische Mathematik (Numerik 0). http://numerik.iwr.

uni-heidelberg.de/~lehre/notes/num0/numerik0.pdf. Vorlesungsskript; Abrufdatum: 10.07.2013

[7] Sasse, R. : Zeitintegrationsverfahren. Wintersemester 2012/13. Seminararbeit zum StudienprojektModellbildung und Simulation

[8] Solin, P. ; Korous, L. : Adaptive Higher-Order Finite Element Methods for Transient PDE ProblemsBased on Embedded Higher-Order Implicit Runge-Kutta Methods. In: Journal of Computational Physics231 (2012), 1635-1649. http://hpfem.org/~pavel/papers/2011/butcher.pdf

[9] Turek, S. : Numerische Methoden für Gewöhnliche Dierentialgleichungen. Vorlesungsskript

35

Anhang A

Butcher-Tabellen

Hier werden die Runge-Kutta Verfahren, die mittels ihrer zugehörigen Butcher-Tabellen und auf Basis derin der Open Source Software Hermes 2d bereitgestellten Methoden [13] im FE-Programm des Studienpro-jektes 2012 implementiert sind, aufgelistet. Erläuterungen zu der Darstellung von Runge-Kutta Verfahren inButcher-Tabellen sind in Kapitel 3 zu nden.

Explizite Verfahren

ERK(1,1) Explizites Euler Verfahren / ERK-Verfahren 1. Ordnung (Butcher-Tabelle 1)

0.0 0.01.0

ERK(2,2) ERK-Verfahren 2. Ordnung (Butcher-Tabelle 2)

0 0 023

23 014

34


0 0 0 00.5 0.5 0 01 −1 2 0

16

23

16


0 0 0 0 00.5 0.5 0 0 00.5 0.5 0 01 1 0

16

13

13

16

Implizite Verfahren

IRK(2,2) Implizites Euler Verfahren / IRK-Verfahren 1. Ordnung (Butcher-Tabelle 5)

1 11

IRK(2,2) IRK-Verfahren 2. Ordnung (Butcher-Tabelle 6)

36

ANHANG A. BUTCHER-TABELLEN 37

0 0 01 0.5 0.5

0.5 0.5

SIRK(2,2) SIRK-Verfahren 2. Ordnung, zweistug (Butcher-Tabelle 7)

3−√

2 5−3√

24

7−5√

24

1 1+√

24

3−√

24

1+√

24

3−√

24

SDIRK(2,2) SDIRK-Verfahren 2. Ordnung, zweistug (Butcher-Tabelle 8)

1− 1√2

1− 1√2

0

1 1√2

1− 1√2

1√2

1− 1√2

SDIRK(5,4) SDIRK-Verfahren 4. Ordnung, fünfstug (Butcher-Tabelle 9)

14

14 0 0 0 0

34

12

14 0 0 0

1120

1750 − 1

2514 0 0

12

3711360 − 137

272015544

14 0

1 2524 − 49

4812516 − 85

1214

2524 − 49

4812516 − 85

1214

Anhang B

Finite Elemente Gitter für numerische

Testprobleme

Hier sind alle Finiten Elemente Gitter dargestellt, die für die numerischen Tests verwendet werden. Dabeisind alle Gitter (Level 1-6) Diskretisierungen des Gebietes[0, 1]

2 ⊂ R2.

Level 1 Level 2

38

ANHANG B. FINITE ELEMENTE GITTER FÜR NUMERISCHE TESTPROBLEME 39

Level 3 Level 4

Level 5 Level 6

Documents

Numerische Analyse von Runge-Kutta Verfahren im Kontext ... · Finite Elemente Methode zur Ortsdiskretisierung in Kapitel 2 vorgestellt. Die Zeitintegration mittels Runge- Die Zeitintegration