http://marcolovatto.blogspot.com.br/2012/11/numero-de-courant-cfl-e-condicao-cfl.html Nmero de Courant, CFL e Condio CFL

Entenda a diferena entre eles A maioria da comunidade cientfica, atualmente, usa a mesma definio para CFL, condio CFL e Nmero de Courant. Mesmo que as diferenas sejam bem sutis, elas existem e proponho aqui uma explicao que pode ajudar os novos pesquisadores nesse domnio. Assim como qualquer trabalho cientfico ou livro, uma proposta, portanto toda sugesto bem-vinda. Resumo:

O Nmero de Courant (Co) uma varivel local do domnio fluido que representa o fluxo advectivo em cada volume finito.

O CFL um parmetro numrico constante que modifica a magnitude local do Nmero de Courant.

A Condio CFL o intervalo de CFL que permite a preciso fsica e estabilidade do clculo.

Nmero de Courant

Para um escoamento a massa especfica constante:

Onde a norma da magnitude de velocidade local, o passo de tempo e o tamanho local dos volumes finitos da malha. O Nmero de Courant tem a seguinte interpretao:

Essa grandeza adimensional representa, ento, por meio de uma razo de distncias, o fluxo advectivo que atravessa os volumes da malha em um dado intervalo de tempo. Se supormos uma malha e uma velocidade uniformes numa regio do domnio, o Nmero de Courant local torna-se o nmero de volumes da malha atravessados por uma perturbao naquele passo de tempo. Para um clculo a massa especfica constante, a grandeza que sofre adveco simplesmente a magnitude da velocidade. Por outro lado, se o clculo acontece em massa especfica varivel, a adveco de presso tambm importante e a velocidade do som influencia no

transporte dessas perturbaes de maneira que torna-se:

CFL (Courant-Friedrichs-Lewy)

Diferentemente do nmero de Courant, o CFL no representa o fluxo advectivo entre os volumes finitos da malha, mas se trata de um parmetro numrico constante que modifica a magnitude local do Nmero de Courant por meio do passo de tempo. Em outras palavras, o CFL um multiplicador do passo de tempo: representa o nmero de vezes que o passo de tempo do clculo superior ao passo de tempo que fornece um Nmero de Courant igual unidade:

Visto que o Nmero de Courant uma grandeza local, que varia no espao, o local de

referncia para o clculo de arbitrria, normalmente onde se tem o maior Nmero de Courant. Assim, o CFL funciona como um multiplicador de fluxo advectivo, modificando a magnitude local do Nmero de Courant.

Passo de tempo fsico

Uma soluo permanente (estacionria, mdias dos campos) pode ser obtida de duas maneiras:

Em formulao permanente: no h avano no tempo, apenas iteraes no espao.

Em formulao transiente com esquema temporal implcito ("transiente deformado"): so feitas iteraes no espao com avano no tempo, mas com passo de tempo grande e/ou avano no tempo sem convergir no espao.

O passo de tempo do clculo transiente deformado, como seu prprio nome nos alerta, to somente numrico, atingindo uma soluo permanente. Uma soluo transiente (no-estacionria) pode tambm ser obtida de duas maneiras, sempre em formulao transiente:

Com esquema temporal explcito: no so feitas iteraes no espao, apenas avano no tempo. Passo de tempo submetido a condies de preciso da fsica e de estabilidade do clculo.

Com esquema temporal implcito: so feitas iteraes no espao com avano no tempo. Passo de tempo submetido a condies de preciso, principalmente.

Para um clculo transiente, para qualquer esquema temporal, o objetivo ter uma representao fsica da dinmica do escoamento, ento iremos querer um passo de tempo fsico, ou seja, que respeite as condies de preciso.

Note que a utilizao de um esquema temporal implcito pode nos fornecer tanto uma soluo transiente (com um passo de tempo fsico) quanto uma soluo permanente (com um passo de tempo numrico, ou seja, que no respeita as condies de preciso). Com efeito, ns teremos um passo de tempo fsico unicamente se algumas condies forem respeitadas. A Condio CFL uma delas.

Condio CFL

A caracterstica que torna o passo de tempo fsico diferente do numrico est na capacidade de calcular um problema transiente corretamente. A preciso sempre exigida, isto , de nada serve um clculo estvel que no representa a fsica transiente. Lembrando, o CFL o multiplicador do passo de tempo que fornece um Nmero de Courant igual unidade. Um clculo transiente explcito (sem iteraes no espao) exige que o Nmero de Courant de cada volume da malha seja inferior unidade em todo o domnio. Ento, este clculo est submetido condio de um CFL inferior a 1, de onde vem o que chamamos de Condio CFL.

Resumindo, seja o vetor posio:

Poderamos dizer que o CFL est submetido a uma condio devida a uma limitao de nmero de Courant, a fim de se ter preciso fsica e estabilidade do clculo.

Garantir a Condio CFL

A Condio CFL acima respeita a condio para preciso fsica e estabilidade de um clculo transiente explcito, mesmo que ela no seja suficiente. Podemos garantir essa condio de duas maneiras diferentes:

pela definio de um Nmero de Courant mximo:

onde o passo de tempo ser escolhido pelo cdigo computacional a cada avano no tempo

(aps o clculo de em cada volume da malha).

pela definio de um passo de tempo constante:

onde a Condio CFL (CFL < 1) pode ser vista como uma limitao do passo de tempo. Se o cdigo no capaz de prever o passo de tempo para a prxima iterao por meio do clculo de Co em cada volume da malha, o usurio do cdigo deve fazer uma estimativa do

passo de tempo constante partir dos conhecidos da malha e (quem sabe

tambm c) estimados. Neste ltimo caso, um limiar de "segurana" para o CFL, como CFL = 0,7, indicado.

Condio CFL relaxada

Em contrapartida, para clculos transientes implcitos, a condio relaxada porque os esquemas temporais implcitos permitem a utilizao de um passo de tempo fsico maior (por meio de iteraes no espao). A Condio CFL ainda mais relaxada para se chegar a uma soluo permanente em transiente deformado. O consequente passo de tempo grande dito numrico porque ele no capaz de representar os fenmenos transientes, mas unicamente os campos mdios. Estes clculos permitem um CFL de vrias dezenas, quem sabe algumas centenas, uma flexibilidade que nos permite jogar facilmente com a difusividade numrica: aumentando o CFL para acelerar a obteno de uma soluo (permanente) ou diminuindo-o para diminuir as dificuldades de convergncia. Seja para os clculos permanentes, seja para os transientes, critrios mais precisos podem ser exigidos de acordo com os mtodos numricos utilizados (incluindo a ordem do esquema temporal implcito). Tudo para garantir a preciso fsica e estabilidade do clculo.

Outras condies

Alm de uma Condio CFL, outras condies podem ser necessrias para a estabilidade de

um clculo transiente. O Nmero de Fourier, por exemplo, representa o fluxo difusivo4 nos volumes da malha e uma limitao importante para o passo de tempo de esquemas temporais explcitos:

onde o coeficiente de difuso e a massa especfica do fluido. Esta condio, junto com CFL < 1, garantia de preciso fsica e estabilidade do clculo. Nos clculos explcitos, essa condio deve ser respeitada seja para os fenmenos de difuso da quantidade de movimento

( ), seja para os de difuso do calor ( ), onde a viscosidade dinmica

total5, a condutividade trmica e o calor especfico presso constante.

_________________ 1 Vamos manter nesse texto o nome simples "fluxo advectivo" para o nmero de Courant.

necessrio, entretanto, estar ciente que uma definio mais rigorosa no permitiria a palavra "fluxo" porque o nmero de Courant uma grandeza sem dimenso. Uma definio mais precisa poderia ser "fluxo numrico advectivo adimensionalizado pelas malhas espacial e temporal". 2 Veja a seo Outras condies. 3A Condio CFL < 1 relaxada (ou seja, pode-se ter CFL > 1 no domnio) se o clculo for implcito.

Veja a seo Condio CFL relaxada. 4De maneira respectiva, a primeira nota de fim de pgina tambm vlida. 5 a soma da viscosidade dinmica ( ) e dinmica turbulenta ( ).