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Exemplos resolvidos e algumas tecnicas de demonstração.
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André Gustavo Campos Pereira
Viviane Simioli Medeiros Campos
Análise Real
Números reais
Autores
aula
03
D I S C I P L I N A
Material APROVADO (conteúdo e imagens)( g ) Data: ___/___/___
Nome:______________________________________
Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzidasem a autorização expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Divisão de Serviços Técnicos
Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”
Coordenadora da Produção dos MateriaisVera Lucia do Amaral
Coordenador de EdiçãoAry Sergio Braga Olinisky
Projeto Gráfi coIvana Lima
Revisora de Estrutura e Linguagem
Thalyta Mabel Nobre Barbosa
Revisoras Tipográfi cas
Adriana Rodrigues Gomes
Margareth Pereira Dias
Nouraide Queiroz
Arte e Ilustração
Adauto Harley
Carolina Costa
Heinkel Hugenin
Leonardo Feitoza
Diagramadores
Joacy Guilherme de A. F. Filho
José Antonio Bezerra Junior
Adaptação para Módulo Matemático
Joacy Guilherme de A. F. Filho
Governo Federal
Presidente da RepúblicaLuiz Inácio Lula da Silva
Ministro da EducaçãoFernando Haddad
Secretário de Educação a Distância – SEEDCarlos Eduardo Bielschowsky
ReitorJosé Ivonildo do Rêgo
Vice-ReitoraÂngela Maria Paiva Cruz
Secretária de Educação a DistânciaVera Lucia do Amaral
Secretaria de Educação a Distância – SEDIS
Pereira, André Gustavo Campos.
Análise real / André Gustavo Campos Pereira, Viviane Simiolli de Medeiros Campos. – Natal, RN: EDUFRN, 2009.
196 p.
ISBN:
Conteúdo: Aula 01 – Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções; Aula 02 – Conjuntos fi nitos e enumeráveis; Aula 03 – Números reais; Aula 04 – Sequências de números reais; Aula 05 – Desigualdades, operações com sequências e limites infi nitos; Aula 06 – Séries numéricas; Aula 07 – Limite de funções; Aula 08 – Funções contínuas; Aula 09 – Funções deriváveis; Aula 10 – Máximos e mínimos.
1. Análise matemática. 2. Enumerabilidade. 3. Limite. 4. Continuidade. 5. Derivadas. I. Campos, Viviane Simiolli de Medeiros. II. Título.
CDD 515RN/UF/BCZM 2009/66 CDU 517
Aula 03 Análise Real 1
Apresentação
N a aula 02 - Conjuntos Finitos e Enumeráveis estudamos várias propriedades dosconjuntos , e , por exemplo, que eles são infinitos e enumeráveis. Nesta aulairemos estudar o conjunto dos números reais . Vamos entender o que significa
ser um corpo ordenado completo. Será que , e também são corpos ordenadoscompletos? E é infinito e enumerável? Resumindo, qual a diferença e qual a relação entreesses conjuntos?
ObjetivosEsperamos que ao final desta aula você seja capazde argumentar o que significa ser um corpo serordenado completo. Saiba demonstrar e aplicar al-gumas propriedades dos números reais bem como
VERSÃO DO PROFESSOR
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Aula 03 Análise Real2
Definições e operaçõesNo conjunto dos números reais, que indicaremos por estão definidas duas oper-
ações:
1. Adição: Que a cada par de elementos x, y ∈ faz corresponder x + y ∈ .
2. Multiplicação: Que a cada par de elementos x, y ∈ faz corresponder x.y ∈ .
E estas operações definidas em satisfaçam aos seguintes axiomas:
Associatividade: Para quaisquer x, y, z ∈ tem-se:
(x + y) + z = x + (y + z) e (xy)z = x(yz);
Elementos neutros: Existem em dois elementos distintos 0 e 1 tais que:
x + 0 = x e x.1 = x;
Comutatividade: Para quaisquer x, y ∈ , tem-se:
x + y = y + x e x.y = y.x;
Inversos: Todo x ∈ possui inverso aditivo −x ∈ tais que x + (−x) = 0 e se x �= 0,existe também um inverso multiplicativo x−1 ∈ tal que x.x−1 = 1.
Distributividade: Para quaisquer x, y, z ∈ , tem-se x(y + z) = xy + xz.
A todo conjunto que tem bem definida estas duas operações satisfazendo todas as pro-priedades acima chamamos de corpo, sendo assim, é um corpo.
Atividade 1Verifique se no conjunto dos números naturais as operações de adição e multiplicação
estão bem definidas e conclua se N é um corpo ou não.
Atividade 2Verifique se o conjunto dos números inteiros Z é um corpo.
Atividade 3Verifique se o conjunto dos números racionais Q é um corpo.
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Aula 03 Análise Real 3
Vamos demonstrar, nos exemplos a seguir, usando o fato de que é um corpo, váriaspropriedades dos números reais, todas conhecidas e muito utilizadas.
Exemplo 1Mostre que x.0 = 0,∀x ∈ .
Seja x ∈ . Temos x = x.1, pela existência do elemento neutro na multiplicação, ex.1 = x(1 + 0), pela existência do elemento neutro na adição. Pela distributividade, temosx(1 + 0) = x.1 + x.0 = x + x.0 ⇒ x = x + x.0. Somando (−x) em ambos os membros,temos x + (−x) = x + (−x) + x.0 ⇒ 0 = x.0. Logo, x.0 = 0,∀x ∈ .
Exemplo 2Mostre que se xy = 0, então ou x = 0 ou y = 0.
Suponhamos y �= 0. Assim, ∃y−1 ∈ tal que yy−1 = 1. Logo,
xy = 0 ⇒ (xy)y−1 = 0y−1 ⇒ x(yy−1) = 0 ⇒ x = 0.
O caso é análogo para x �= 0.
A soma x + (−y) será indicada por x − y e chamada diferença entre x e y. Se y �= 0,o produto xy−1 será representado por x
y e chamado quociente de x por y.
A operação que a cada par x, y ∈ associa x−y será chamada subtração, e a operaçãoque a cada par x ∈ , y ∈ − {0} associa
x
yserá chamada divisão.
Observação 1
Note quex
ysó fará sentido se y �= 0, pois
x
y= xy−1, e só existe y−1 para y �= 0.
Exemplo 3Mostre que o inverso aditivo de um número real é único.
Suponha que x ∈ possua dois inversos aditivos y, z ∈ . Logo, x + y = 0 ex + z = 0. Assim,
x + y = 0 = x + z ⇒ (x + y) + y = (x + z) + y
⇒ 0 + y = (x + y) + z = 0 + z
⇒ y = z.
∴ o elemento inverso aditivo é único.
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Aula 03 Análise Real4
Exemplo 4Mostre que o inverso multiplicativo de um número real é único.
Seja x ∈ , x �= 0 e y, z ∈ tais que xy = 1 e xz = 1. Assim,
xy = xz ⇒ (xy)y = (xz)y ⇒ y = xyz = z.
∴ o elemento inverso multiplicativo é único.
Exemplo 5Mostre que x(−y) = −(xy).
xy+x(−y) = x(y+(−y)) = x0 = 0, ou seja, xy+x(−y) = 0. Logo, pela unicidadedo elemento inverso, temos x(−y) = −(xy).
Exemplo 6Mostre que −(−x) = x.
Note que −(−x) é o inverso aditivo de −x. Como −x + x = 0, temos x = −(−x),pela unicidade do inverso aditivo.
Exemplo 7Mostre que x = y ⇔ −x = −y.
Inicialmente, mostremos que x = y ⇒ −x = −y.
x + (−x) = 0 ⇒ y + (−x) = 0 ⇒ y + (−y) + (−x) = 0 + (−y) ⇒ −x = −y.
Para mostrar que −x = −y ⇒ x = y, basta observar que
−x = −y ⇒ −(−x) = −(−y) ⇒ x = y.
Exemplo 8Mostre que (x − y)(x + y) = x2 − y2.
x2 − y2 = xx− yy = xx + xy − xy − yy = x(x− y) + y(x− y) = (x− y)(x + y).
Exemplo 9Mostre que se x2 = y2, então x = y ou x = −y.
x2 + (−y2) = y2 + (−y2) = 0 ⇒ x2 − y2 = 0 ⇒ (x − y)(x + y) = 0.
Disso, temos (x − y) = 0 ⇒ x = y ou (x + y) = 0 ⇒ x = −y.
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Aula 03 Análise Real 5
OrdenaçãoNo conjunto dos números reais existe um subconjunto, que denotaremos por + chama
conjunto dos números reais positivos que cumpre as seguintes condições:
i. A soma e o produto de números reais positivos são positivos, ou seja, se x, y ∈ +,então x + y ∈ + e xy ∈ +.
ii. Dado x ∈ , exatamente uma das três situações abaixo ocorre:
1. x = 0;
2. x ∈ +;
3. −x ∈ +.
Indicando − = {−x ∈ |x ∈ +} = {x ∈ |−x ∈ +}, pela propriedade 2 temos= − ∪ + ∪ {0}, e essa união é disjunta. − é chamado conjunto dos números reais
negativos, ou seja, os números y ∈ − são chamados números reais negativos.
Exemplo 10Mostre que todo número real x �= 0 tem quadrado positivo.
x ∈ − {0} ⇒ x ∈ + ou x ∈ −.
Se x ∈ +, então x.x ∈ +, ou seja, x2 ∈ +.
Se x ∈ −, então −x ∈ + e, conseqüentemente, (−x)(−x) = x.x = x2 ∈ +.
Garantida a existência de +, temos bem definida em a seguinte relação de ordem:
Dizemos que x é menor que y e escrevemos x < y quando x−y ∈ +, isto é, quandoexiste z ∈ + tal que y = x + z; neste caso, escreveremos também y > x e dizemos que y
é maior que x.
Em particular,x > 0 significa que existe z ∈ + tal que x = 0 + z = z ∈ +,isto é, se x > 0, então x é positivo, enquanto x < 0 significa que ∃z ∈ + tal que0 = x + z ⇒ 0 + (−z) = x + z + (−z) ⇒ −z = x + (z + (−z)) = x + 0 = x, isto é, sex < 0, então x é negativo.
Valem as seguintes propriedades da relação de ordem x < y em :
Transitividade: Se x < y e y < z, então x < z.
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Aula 03 Análise Real6
Tricotomia: Dados x, y ∈ , ocorre exatamente uma das seguintes alternativas: x = y,x < y ou x > y.
Monotonicidade da adição: Se x < y, então, para todo z ∈ , tem-se x + z < y + z.
Monotonicidade da multiplicação: Se x < y, então, para todo número real z > 0, tem-sexz < yz; porém, se z < 0, tem-se xz > yz.
Vamos demonstrar duas dessas propriedades:
Monotonicidade da adição
Demonstração
Se x < y, então, para todo z ∈ , tem-se x + z < y + z.
Hipótese: x < y ⇒ ∃w ∈ + tal que y = x + w.
Tese: z ∈ ⇒ x + z < y + z ⇔ ∃z′ ∈ tal que y + z < x + z + z′.
Por hipótese, temos x < y, ou seja, ∃w ∈ + tal que y = x + w. Assim, y + z =x + w + z ⇒ y + z = x + z + w ⇒ x + z < y + z.
Monotonicidade da multiplicação
Demonstração
Se x < y, então, para todo número real z > 0, tem-se xz < yz; porém, se z < 0,tem-se xz > yz.
Caso 1: z > 0.
Hipóteses: x < y e z > 0.
Tese: xz < yz.
De x < y, existe w ∈ + tal que y = x + w, e de z > 0, existe p ∈ + taisque z = 0 + p. Assim, y − x ∈ + e z ∈ +, que implicam z(y − x) ∈ +, isto é,zy − zx ∈ + ⇒ zy − zx > 0 ⇒ zy > zx.
Caso 2: z < 0.
Hipóteses: x < y e z < 0.
Tese: xz > yz.
De x < y e z > 0, temos y − x ∈ R+ e −z ∈ + ⇒ (y − x)(−z) ∈ + ⇒−yz + xz ∈ + ⇒ xz − yz ∈ + ⇒ xz > yz.
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Aula 03 Análise Real 7
Atividade 4Mostre que a relação de ordem x < y é transitiva.
Atividade 5Mostre que vale a tricotomia da relação de ordem x < y.
Exemplo 11Mostre que se x < x′ e y < y′, então x + y < x′ + y′.
De x < x′ e y < y′, temos x′ − x ∈ + e y′ − y ∈ +. Assim,
x′ − x + y′ − y ∈ + ⇒ x′ + y′ − (x + y) ∈ + ⇒ x′ + y′ > x + y.
Exemplo 12Mostre que se 0 < x < x′ e 0 < y < y′, então xy < x′y′.
Por hipótese, temos as seguintes informações:
De x ∈ + e y′ − y ∈ +, temos x(y′ − y) ∈ +, e de y′ ∈ + e x′ − x ∈ +,temos y′(x′ − x) ∈ +. Logo,
x(y′ − y) + y′(x′ − x) ∈ + ⇒ xy′ − xy + y′x′ − y′x ∈ +
⇒ y′x′ − xy ∈ + ⇒ y′x′ > xy.
Exemplo 13Mostre que se x > 0, então
1x
> 0.
Sabemos que x > 0 ⇒ x �= 0 ⇒ x2 ∈ +. Assim,
x−1 = 1.x−1 = xx−1x−1 = x(x−1)2 ∈ + ⇒ x
x2∈ + ⇒ 1
x∈ + ⇒ 1
x> 0.
Atividade 6Mostre que se x < 0, então
1x
< 0.
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Aula 03 Análise Real8
Exemplo 14Mostre que se 0 < x < y, então 0 <
1y
<1x
.
De x > 0, temos x−1 > 0, ou seja, x−1 ∈ +. Analogamente, de y > 0, temosy−1 ∈ +. Assim, x−1y−1 ∈ +.
Como x < y, por hipótese, temos:
x(x−1y−1) < y(x−1y−1) ⇒ (xx−1)y−1 < (yy−1)x−1 ⇒ y−1 < x−1.
Vamos mostrar que o conjunto dos números reais contém outros conjuntos numéri-cos conhecidos.
O exemplo 10 afirma que o quadrado de qualquer número real diferente de zero é posi-tivo portanto 1 = 12 ∈ +, ou seja, 1 é positivo. Note que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < · · · ,ou seja, 1 + 1 ∈ +, 1 + 1 + 1 ∈ +,... , e podemos concluir que ⊂ +. Mas + ⊂ ,portanto ⊂ .
Sabemos que 0 ∈ e acabamos de ver que todo número natural é um número real, ouseja, n ∈ implica em n ∈ . Como é um corpo, temos que n possui um inverso aditivo−n ∈ e podemos concluir que ⊂ .
Também podemos afirmar que ={m
n| m ∈ , n ∈ − {0}
}⊂ . Acabamos de
ver que todo número inteiro também é um número real, portanto, m ∈ . Como n ∈ −{0},então n ∈ − {0}; assim, ∃n−1 ∈ e mn−1 ∈ o que implica em
m
n∈ . Logo, para
todo q =m
n∈ , temos q ∈ , isto é, ⊂ .
Com isso, concluímos que � � ⊂ . Mais adiante veremos que � .
Exemplo 15Desigualdade de Bernoulli
Para todo número real x ≥ −1 e todo n ∈ , tem-se (1 + x)n ≥ 1 + nx.
Seja x um número real qualquer tal que x ≥ −1, ou seja, x = −1 ou x > −1.
Inicialmente, mostremos por indução que, para x = −1, a desigualdade é verdadeira,
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Aula 03 Análise Real 9
isto é, para todo n ∈ , tem-se:
(1 + (−1))n ≥ 1 + n(−1) ⇒ 0 ≥ 1 − n.
Para n = 1, temos 1 − 1 = 0 ≤ 0, isto é, a desigualdade é verdadeira. Suponhamosque para n = k a desigualdade é verdadeira, ou seja, 0 ≥ 1 − k. Para n = k + 1, temos:
1 − (k + 1) = 1 − k − 1 < 1 − k ≤ 0 ⇒ 1 − (k + 1) ≤ 0.
Logo, a desigualdade também vale para n = k + 1 e, portanto, 0 ≥ 1 − n, ∀n ∈ .
Agora, mostremos a desigualdade para x > −1, também por indução.
Para n = 1, temos (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1.x, ou seja, a desigualdade é válida.Suponhamos que a desigualdade é válida para n = k, isto é, (1 + x)k ≥ 1 + kx. Paran = k + 1, temos:
(1 + x)k+1 = (1 + x)k(1 + x) ≥ (1 + kx)(1 + x)
= 1 + x + kx + kx2 = 1 + (k + 1)x + kx2
> 1 + (k + 1)x.
Logo, (1 + x)k+1 ≥ 1 + (k + 1)x, ou seja, a desigualdade também é válida paran = k + 1. Assim, para x > −1, tem-se (1 + x)n ≥ 1 + nx,∀n ∈ .
Portanto, concluímos que
(1 + x)n ≥ 1 + nx,∀n ∈ , x ≥ −1.
Agora que sabemos o que significam x > 0 e x < 0, podemos definir o valor absoluto(ou módulo) de um número real:
|x| =
⎧⎪⎨⎪⎩
x, se x > 0;0, se x = 0;−x, se x < 0.
Note que |x| = max{x,−x}, pois:
a. se x > 0, então −x < 0 e max{x,−x} = x = |x|;
b. se x < 0, então −x > 0 e max{x,−x} = −x = |x|;
c. se x = 0, então −x = 0 e max{x,−x} = 0 = |0|.
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Aula 03 Análise Real10
Proposição 1
Para x ∈ , tem-se −|x| ≤ x ≤ |x|.
Demonstração
De |x| = max{x,−x}, temos:
|x| ≥ x e |x| ≥ −x ⇒ |x| ≥ x e − |x| ≤ x ⇒ −|x| ≤ x ≤ |x|.
Exemplo 16|x| é o único número maior que ou igual a zero tal que |x|2 = x2.
Que |x| ≥ 0 segue da definição. Para mostrar que |x|2 = x2, basta observar que
|x|2 = |x||x| =
{xx, se x ≥ 0;−x(−x), se x < 0.
De qualquer maneira, temos |x|2 = x2,∀x ∈ .
Agora, suponha que exista y ≥ 0, tal que y2 = x2. Logo,
y2 = x2 ⇒ y2 = x2 = |x|2 ⇒ y2 = |x|2 ⇒ y = |x| ou y = −|x|.
Não pode ocorrer y = −|x| ≤ 0 (para y �= 0) pois y ≥ 0. Portanto, y = |x|, ou seja,|x| é o único número maior que ou igual a zero tal que |x|2 = x2´.
Atividade 7Mostre que se x, y ≥ 0 e x2 = y2, então x = y.
Teorema 1
Se x, y ∈ , então |x + y| ≤ |x| + |y| e |xy| = |x||y|.
Demonstração
Sejam x, y ∈ . Sabemos que |x| = max{x,−x} ⇒ |x| ≥ x e que |y| = max{y,−y}|y| ≥ y. Assim, |x|+ |y| ≥ x+y. De modo análogo, temos |x| ≥ −x e |y| ≥ −y, e também|x| + |y| ≥ −x − y = −(x + y). Logo,
|x|+ |y| ≥ x + y e |x|+ |y| ≥ −(x + y) ⇒ |x|+ |y| ≥ max{x + y,−(x + y)} = |x + y|.
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Aula 03 Análise Real 11
Agora, vamos mostrar que |xy| = |x||y|. Note que |x| ≥ 0 e |y| ≥ 0 ⇒ |x||y| ≥ 0 eque |xy| ≥ 0. Sabemos também que:
|xy|2 = (xy)2 = (xy)(xy) = x2y2 = |x|2|y|2 = (|x||y|)2 ⇒ |xy| = |x||y|.
Teorema 2
Sejam a, x ∈ e δ ∈ +. Tem-se:
|x − a| < δ ⇔ a − δ < x < a + δ.
Demonstração
Parte 1. |x − a| < δ ⇒ a − δ < x < a + δ.
Hipóteses: a, x ∈ , δ ∈ + e |x − a| < δ.
Tese: a − δ < x < a + δ.
Da hipótese, temos:
|x − a| < δ ⇒ max{x − a,−(x − a)} < δ
⇒ x − a < δ e − (x − a) < δ
⇒ x − a < δ e x − a > −δ
⇒ x < δ + a e x > a − δ
⇒ a − δ < x < a + δ.
Parte 2. a − δ < x < a + δ ⇒ |x − a| < δ.
Hipóteses: a, x ∈ , δ ∈ + e a − δ < x < a + δ.
Tese: |x − a| < δ.
Da hipótese, temos:
a − δ < x < a + δ ⇒ a − δ < x e x < a + δ
⇒ x − a > −δ e x − a < δ
⇒ −(x − a) < δ e x − a < δ
⇒ max{x − a,−(x − a)} < δ
⇒ |x − a| < δ.
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Aula 03 Análise Real
x
12
Atividade 8Mostre que se a, x ∈ e δ ∈ +, então
|x − a| > δ ⇒ x < a − δ ou x > a + δ.
Usaremos as seguintes notações para representar tipos especiais de conjuntos de númerreais chamados intervalos:
1. [a, b] = {x ∈ |a ≤ x ≤ b}.
2. (a, b] = {x ∈ |a < x ≤ b}.
3. [a, b) = {x ∈ |a ≤ x < b}.
4. (a, b) = {x ∈ |a < x < b}.
5. (−∞, b] = {x ∈ |x ≤ b}.
6. (−∞, b) = {x ∈ |x < b}.
7. [a,+∞) = {x ∈ |x ≥ a}.
8. (a,+∞) = {x ∈ |x > a}.
9. (−∞, +∞) = .
Os intervalos 1, 2, 3 e 4 são limitados com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado,[a, b) é fechado à esquerda e aberto à direita, (a, b] é fechado à direita e aberto à esquerda, e(a, b) é aberto. Os intervalos 5, 6, 7, 8 e 9 são ilimitados. Quando a = b, o intervalo fechado[a, b] = {a} é chamado intervalo degenerado.
Com relação aos intervalos, o teorema 2 diz que x fatisfaz |x − a| < δ se, e somentese, x satisfaz a − δ < x < a + δ, ou seja, x ∈ (a − δ, a + δ).
Interpretação geométrica deImagine como uma reta e cada elemento x ∈ como um ponto desta reta.
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Aula 03 Análise Real
x y
distância = |y-x |
aa –s a +sx
|x-a |
|(a +δ) –a| = |s| = s
13
Vimos que = + ∪ − ∪ {0}, que x > 0 ⇒ x ∈ + e x < 0 ⇒ x ∈ −.Utilizaremos a relação de ordem para representar os pontos na reta, dizendo que x < y
significa que a posição ocupada por y é à direita de x. Assim, os intervalos são segmentosdessa reta e |y − x| representa a distância do ponto x ao ponto y.
Atividade 9Mostre que se a distância de x a y é δ, então a distância de −x a −y também é δ. Como
corolário, conclua que a distância de x a 0 é a mesma que de −x a 0.
Pelo teorema 2, temos que x ∈ (a − δ, a + δ) é equivalente a |x − a| < δ, ou seja, ointervalo (a − δ, a + δ) é formado pelos elementos cuja distância até a é menor que δ.
Até o momento, vimos que quaisquer que sejam x, y ∈ , temos x < y, x > y oux = y. A um corpo com esta propriedade chamamos corpo ordenado, isto é, somos ca-pazes de dizer quem é maior que quem. Em outras palavras, existe uma relação de ordembem definida entre seus elementos.
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Aula 03 Análise Real14
Atividade 10Podemos concluir que é um corpo ordenado?
O conjunto é um corpo ordenado completoQuando estudamos os números naturais vimos que X ⊂ é limitado se existe b ∈
tal que x ≤ b, para todo x ∈ X . Não nos preocupávamos, até então, com a parte inferior, jáque o 1 é o menor elemento de e, portanto, 1 ≤ x, para todo x ∈ X ⊂ . No conjunto
não existe um menor elemento, pois se x ∈ , então x − 1 ∈ e x − 1 < x (pois existe1 ∈ + tal que x = x − 1 + 1).
Atividade 11Mostre que não existe y ∈ tal que x ≤ y, ∀x ∈ .
Para falar de limitação em , precisamos falar de dois tipos de limitação: superior einferior.
Dizemos que X ⊂ é limitado superiormente se existe b ∈ tal que b ≥ x,∀x ∈ X .Neste caso, b é dito ser uma cota superior de X .
Exemplo 17O conjunto X = (−∞, 7) é limitado superiormente?
Sim, pois existe 8 ∈ tal que x ≤ 8,∀x ∈ X . Logo, 8 é cota superior de X . Note que10 também é cota superior de X , já que x ≤ 10,∀x ∈ X .
Atividade 12Seja X ⊂ limitado superiormente. Mostre que se b é cota superior de X , então
qualquer número real c ≥ b também é cota superior de X .
Se c é cota superior de X ⊂ , então podemos afirmar que qualquer número real b < c
também é cota superior de X? Não! Considere X = (−∞, 4] = {x ∈ |x ≤ 4}. O número4 é cota superior de x, mas 2 < 4 não é cota superior de X , pois existe 3 ∈ X tal que 2 < 3.
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Aula 03 Análise Real 15
Definição 1
Seja X ⊂ limitado superiormente e não-vazio. Chama-se supremo de X ao númerob ∈ que é a menor das cotas superiores de X , e denota-se b = supX . Mais explicita-mente:
S1. b é cota superior de X , ou seja, para todo x ∈ X , tem-se x ≤ b.
S2. Se c ∈ é tal que x ≤ c,∀x ∈ X , então b ≤ c. Isso significa que qualquer outra cotasuperior de X é, obrigatoriamente, maior que ou igual a b.
Podemos escrever a condição S2 da seguinte maneira:
S2′. Se d < b, então d não é cota superior de X , ou seja, existe x ∈ X tal que x > d. Issosignifica que nenhum número menor que b pode ser cota superior de X .
Podemos ainda reescrever S2′ da seguinte maneira:
S2′′. Qualquer que seja ε > 0, b− ε não é mais cota superior de X , ou seja, ∃x ∈ X tal quex > b − ε.
Dizer que é completo significa dizer que todo subconjunto X de limitado superior-mente possui supremo.
Exemplo 18Considere X = (−∞, 4]. Encontre b = supX .
Note que X �= ∅ e X é limitado superiormente, pois existe 10 ∈ tal que x ≤ 10,∀x ∈X . Mostremos que b = 4 satisfaz S1 e S2.
Para todo x ∈ X , temos x ≤ 4. Assim, 4 é cota superior de X , isto é, 4 satisfaz S1.Seja c ∈ tal que c ≥ x,∀x ∈ X . Temos c ≥ 4, pois 4 ∈ X . Logo, c ≥ b, isto é, c satisfazS2. Portanto, b = 4 = supX .
Podemos também mostrar que 4 satisfaz S2′ e S2′′, e o faremos a seguir.
Seja d < 4 e considere x =d + 4
2. Assim, d < x < 4 e x ∈ X . Como d < 4 foi
qualquer, para todo d < 4 existe x ∈ X tal que x > d. Logo, 4 satisfaz S2’.
Seja ε > 0. Tome x = 4 − ε
2. Note que:
ε > 0 ⇒ ε
2> 0 ⇒ 4 − ε
2< 4 ⇒ 4 − ε
2∈ X.
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Aula 03 Análise Real16
Também:ε >
ε
2⇒ −ε < −ε
2⇒ 4 − ε < 4 − ε
2= x.
Logo, 4 − ε não é mais cota superior de X .
Como ε > 0 tomado foi qualquer, 4−ε não é mais cota superior de X , para todo ε > 0.Portanto, 4 satisfaz S2′′.
Atividade 13Seja X = (1, 2) ∪ (2, 4] ∪ [7, 9]. Encontre b = supX .
Dizemos que X ⊂ é limitado inferiormente se existe d ∈ tal que, para todox ∈ X , tem-se d ≤ x. Neste caso, d é dito ser uma cota inferior de X.
Se d é cota inferior de X ⊂ , então qualquer número real c ≤ d também é cotainferior de X . De fato, temos d ≤ x,∀x ∈ X . Como c ≤ d, por transitividade, temosc ≤ d ≤ x,∀x ∈ X . Logo, c é cota inferior de X . Porém, não podemos afirmar quequalquer número real c′ > d é cota inferior de X . De fato, considereX = (0,∞). −1 é cota
inferior de X , mas 1 > −1 não é cota inferior de X , pois existe12∈ X tal que
12
< 1.
Definição 2
Seja X ⊂ limitado inferiormente e não-vazio. Chama-se ínfimo de X ao númerod ∈ que é a maior das cotas inferiores de X , e denota-se d = inf X . Em outras palavras,ao número d ∈ que satisfaz:
I1. d é cota inferior de X , ou seja, para todo x ∈ X , tem-se d ≤ x.
I2. Se c ∈ é tal que c ≤ x,∀x ∈ X , então c ≤ d. Isso significa que qualquer outra cotainferior de X é, obrigatoriamente, menor que ou igual a d.
Podemos escrever a condição I2 da seguinte maneira:
I2′. Se c > d, então c não é cota inferior de X , ou seja, existe x ∈ X tal que x < c. Issosignifica que nenhum número maior que d pode ser cota inferior de X .
Podemos ainda reescrever I2′ da seguinte maneira:
I2′′. Qualquer que seja ε > 0, d + ε não é mais cota inferior de X , ou seja, ∃x ∈ X tal quex < d + ε.
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Aula 03 Análise Real 17
Exemplo 19Seja X = (−3, 7). Encontre d = inf X .
d = −3 é cota inferior de X , pois x ∈ X ⇒ x > −3 ⇒ x ≥ d, ∀x ∈ X . Agoravamos mostrar que −3 é a maior das cotas inferiores de X . Seja c uma cota inferior de X ,ou seja, c ≤ x,∀x ∈ X . Temos duas possibilidades para tal c: ou c ≤ −3 ou c > −3. Casoocorresse c > −3 (c ≤ 7), teríamos:
−3 <c + (−3)
2< c ⇒ x =
c + (−3)2
∈ X e x < c,
isto é, c não seria cota inferior de X . Logo, c ≤ −3 e, portanto, d = −3 = inf X .
Atividade 14Mostre que se X é limitado superiormente, então −X = {y ∈ |− y ∈ X} é limitado
inferiormente.
Atividade 15Mostre que se b = supX , então −b = inf(−X).
Os próximos teoremas 3 e 4 a seguir serão utilizados no teorema 5, o qual garante quenão é enumerável.
Teorema 3
São verdadeiras as seguintes afirmações:
1. ⊂ não é limitado superiormente;
2. Se X ={
1n|n ∈
}, então inf X = 0;
3. Dados a, b ∈ +, existe n ∈ tal que na > b.
Demonstração
Item 1.
Hipótese: ⊂ .
Tese: não existe cota superior para .
Demostraremos este item por contradição.
∼Tese: existe cota superior para , isto é, ∃c ∈ tal que n ≤ c,∀n ∈ .
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Aula 03 Análise Real18
Sabemos que �= ∅ e ⊂ . Logo, pela completude de , existe d ∈ tal qued = sup . Assim, d − 1 não é supremo de , ou seja, ∃x ∈ tal que x > d − 1. Pelamonotonicidade de “ > ”, temos x + 1 > d − 1 + 1 = d, o que é absurdo, pois x + 1 ∈pelos axiomas de Peano (x + 1 é o sucessor de x).
Portanto, é ilimitado superiormente.
Item 2.
Hipótese: X ={
1n
, n ∈}
={
1,12,13, ...
}.
Tese: inf X = 0.
Inicialmente, devemos mostrar que 0 é cota inferior de X . Sabemos que n > 0,∀n ∈⇒ 1
n> 0,∀n ∈ ⇒ x > 0,∀x ∈ X . Logo, 0 é cota inferior de X .
Agora, mostremos que para todo c > 0, c não é cota inferior de X . Dado c > 0, temos1c
> 0, isto é1c
não é cota superior de , pois é ilimitado superiormente. Assim,
∃n ∈ tal que n >1c⇒ nn−1c >
1cn−1c ⇒ c >
1n
,
ou seja, existe x ∈ X , x =1n
, tal que x < c. Logo, c não é cota inferior de X .
Como c > 0 tomado foi qualquer, temos que, para todo c > 0, c não é cota inferior deX . Portanto, inf X = 0.
Item 3.
Hipótese: a, b ∈ +.
Tese: existe n ∈ tal que na > b.
Dados a, b ∈ +, temos a−1, b−1 ∈ +. Também a−1b ∈ + e a−1b não é cotasuperior de , pois é ilimitado superiormente. Assim, ∃n ∈ tal que n > a−1b, isto é,na > a−1ba, que implica na > b.
Atividade 16Demostre a equivalência entre os itens do teorema anterior, ou seja, mostre que 1 im-
plica 2, 2 implica 3 e 3 implica 1.
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Aula 03 Análise Real 19
Teorema 4
Intervalos encaixados
Dada uma seqüência decrescente I1 ⊃ I2 ⊃ · · · de intervalos fechados [an, bn] = In,então existe pelo menos um número real e tal que e ∈ In,∀n ∈ , isto é, e ∈
⋂n
In.
Demonstração
Hipótese: I1 ⊃ I2 ⊃ · · · .
Tese: ∃e ∈ tal que e ∈ In,∀n ∈ , ou equivalentemente, ∃e ∈ tal que e ∈⋂n
In.
I1 ⊃ I2 ⊃ · · · ⇒ [a1, b1] ⊃ [a2, b2] ⊃ · · · ⇒ a1 ≤ a2 ≤ · · · e b1 ≥ b2 ≥ · · · .
Será que aj ≤ bk,∀j, k ∈ ? Note que aj > bk não ocorre para nenhum j, k ∈ .Caso ocorresse, teríamos j > k, pois para j ≤ k temos a1 ≤ a2 ≤ · · · ≤ aj ≤ ak ≤ bk.Entretanto, se aj > bk para algum j > k, então bj ≥ aj ≥ bk, e isso é absurdo, pois dahipótese temos bj ≤ · · · ≤ bk ≤ · · · ≤ b2 ≤ b1. Logo, aj ≤ bk,∀j, k ∈ .
Considerando X = {bj |j ∈ }, temos X �= ∅, X ⊂ e X é limitado inferiormente.Assim, ∃e ∈ tal que e = inf X .
Considerando Y = {aj |j ∈ }, temos Y �= ∅, Y ⊂ e X é limitado superiormente.Assim, ∃f ∈ tal que f = supY .
Note que f ≤ e, pois como já vimos aj ≤ bk,∀j, k ∈ . Fixando j, temos aj ≤bk,∀k ∈ . Logo, aj é cota inferior de X ⇒ aj ≤ e = inf X . Note também que isso valepara todo j ∈ , ou seja, aj ≤ e,∀j ∈ . Logo, e é cota superior de Y ⇒ supY = f ≤ e.
Observe que [f, e] ⊂⋂n
In. De fato,
x ∈ [f, e] ⇒ f ≤ x ≤ e
⇒ aj ≤ supY = f ≤ x,∀j ∈ , e
x ≤ e = inf X ≤ bj ,∀j ∈⇒ aj ≤ x ≤ bj ,∀j ∈⇒ x ∈ [aj , bj ],∀j ∈⇒ x ∈
⋂n
In.
Note que [f, e] �= ∅, pois no mínimo [f, e] = {e} é um intervalo degenerado. Portanto,∃e ∈ tal que e ∈ In,∀n ∈ .
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Aula 03 Análise Real20
Teorema 5
não é enumerável.
Demonstração
Mostraremos que não existe uma função f : → sobrejetiva e, conseqüentemente,�f : → bijetiva.
Hipótese: f : → é uma função.
Tese: f não é sobrejetiva.
De fato, considerando f(1) ∈ , podemos construir um intervalo [a1, b1] tal quef(1) /∈ [a1, b1] = I1. Para f(2), temos duas prossibilidades: f(2) /∈ I1 ou f(2) ∈ I1.
Se f(2) /∈ I1, temos I2 = I1.
Se f(2) ∈ I1, temos:
[a2, b2] = I2 =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
[a1,
a1 + f(1)2
], se f(2) �= a1;[
f(1) + b1
2, b1
], se f(2) = a1.
Para f(3), também temos duas possibilidades: f(3) /∈ I2 ou f(3) ∈ I2.
Se f(3) /∈ I2, temos I3 = I2.
Se f(3) ∈ I2, temos:
[a3, b3] = I3 =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
[a2,
a2 + f(2)2
], se f(3) �= a2;[
f(2) + b2
2, b2
], se f(3) = a2.
Note que I1 ⊇ I2 ⊇ I3 ⊇ · · · . Logo, existe x ∈⋂n
In. Se x ∈ In, então
f(1), f(2), ..., f(n) /∈ In e, conseqüentemente, f(1), f(2), ..., f(n) �= x. Como x ∈⋂n
In,
temos x �= f(n),∀n ∈ . Portanto, f não é sobrejetiva, demonstrando o teorema.
O próximo resultado nos dá uma infinidade de exemplos de conjuntos não enumeráveis.
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Aula 03 Análise Real 21
Corolário 1
Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável.
Demonstração
Hipótese: I é um intervalo não-degenerado, isto é, I �= {c}.
Tese: I é não-enumerável.
Sabemos que se X é enumerável e Y ⊂ X , então Y é enumerável. Assim, se Y ⊂ X
é não-enumerável, então X é não-enumerável. Também,
I não-degenerado ⇒ ∃a, b ∈ I, a < b tais que (a, b) ⊂ I .
Considereϕ : (−1, 1) −→ (a, b)
x �−→ 12[(b − a)x + a + b]
Note que ϕ é bijetiva.
Considere tambémψ : −→ (−1, 1)
x �−→ x
1 + |x|
Vamos mostrar que ψ é bijetiva.
Note que x > 0 > y ⇒ ψ(x) > ψ(0) > ψ(y). Considere, agora, ψ(x) = ψ(y) (x e y
tem o mesmo sinal e x, y �= 0).
Se x, y > 0, temos:
ψ(x) = ψ(y) ⇒ x
1 + |x| =y
1 + |y| ⇒ x(1 + |y|) = y(1 + |x|)⇒ x + x|y| = y + y|x| ⇒ x + xy = y + yx
⇒ x = y.
Se x, y < 0, temos:
ψ(x) = ψ(y) ⇒ x
1 + |x| =y
1 + |y| ⇒ x(1 + |y|) = y(1 + |x|)⇒ x + x|y| = y + y|x| ⇒ x − xy = y − yx
⇒ x = y.
Logo, ψ é injetiva.
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Aula 03 Análise Real22
Para mostrar a sobrejetividade de ψ, devemos mostrar que ∀y ∈ (−1, 1), ∃x ∈ talque ψ(x) = y.
Se y = 0, então existe 0 ∈ tal que0
1 − 0= ψ(0) = 0 = y.
Se y > 0, procuremos x ∈ , x > 0 tal que ψ(x) = y. Assim,
x
1 + |x| = y ⇒ x
1 + x= y ⇒ x = (1 + x)y ⇒ x = y + xy
⇒ x − xy = y ⇒ x =y
1 − y.
Se y < 0, vamos procurar x ∈ , x < 0 tal que ψ(x) = y. Assim,
x
1 + |x| = y ⇒ x
1 − x= y ⇒ x =
y
1 + y.
Logo, ψ é sobrejetiva.
Portanto, ψ é bijetiva ⇒ (−1, 1) é não-enumerável ⇒ (a, b) é não-enumerável (pois ϕ
é bijeção). Como I ⊃ (a, b), então I é não-enumerável.
Exemplo de um número irracionalVamos encerrar esta aula mostrando que
√3 não é um número racional, ou seja, é irra-
cional e assim estaremos mostrando que Q � .
Suponha que√
3 é racional, isto é, existem m ∈ e n ∈ − {0} tais que√
3 =m
n.
Assim,√
3n = m ⇒ 3n2 = m2 ⇒ m|3n2 ⇒ 3|m2. Isto significa que 3 é fator primo dedecomposição de m2. Logo, 3|m e, conseqüentemente, a quantidade de 3 na decomposiçãode m2 é par. Temos então duas possibilidades para 3: (a) 3 é fator primo de n ou (b) 3 não éfator primo de n.
Se (a) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de n2 também é par. Logo,3n2 tem uma quantidade ímpar de 3. Isto é absurdo, pois 3n2 = m2.
Se (b) ocorre, então a quantidade de 3 na decomposição de 3n2 é 1, e isto também éabsurdo.
Portanto,√
3 é irracional.
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Aula 03 Análise Real 23
ResumoNesta aula aprendemos que é um corpo ordenado completo e não enumerável. Apli-
camos vários dos axiomas de corpo e a relação de ordem para demonstrar propriedadesinteressantes e bem conhecidas dos números reais. Estudando a completeza de aprende-mos os conceitos de supremo e ínfimo de conjuntos.
AutoavaliaçãoUsando o fato de ser um corpo, prove:
1) a unicidade do elemento neutro da adição, ou seja, se x + a = x para todo x ∈ entãoa = 0.
2) a unicidade do elemento neutro da muliplicação, ou seja, se x.u = x para todo x ∈então u = 1.
3) a unicidade do elemento inverso aditivo, ou seja, se x + y = 0 então y = −x.
4) a unicidade do elemento inverso multiplicativo, ou seja, se x.y = 1 então y = x−1.
Usando o fato de ser um corpo ordenado, prove que:
5) para quaisquer x, y, z ∈ vale: |x − z| ≤ |x − y| + |y − z| .
6) para quaisquer x, y ∈ vale: ||x| − |y|| ≤ |x − y|.
Usando o fato de ser um corpo ordenado completo, prove que:
7) se A e B são subconjuntos limitados de , satisfazendo A ⊂ B então supA ≤ supB einfA ≥ infB. Construa um exemplo que ilustre essas afirmações
8) Dados A e B subconjuntos limitados de e c ∈ . Mostre que:
a) o conjunto A + B = {x + y; x ∈ Aey ∈ B} é limitado.
b) sup(A + B) = sup(A) + sup(B)
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Aula 03 Análise Real24
c) inf(A + B) = inf(A) + inf(B)
d) sup(cA) = c.sup(A) se c ≥ 0
e) inf(cA) = c.inf(A) se c ≥ 0
f) sup(cA) = c.inf(A) se c ≤ 0
g) inf(cA) = c.sup(A) se c ≤ 0
10) Mostre que√
2 não é um número racional.
ReferênciasFIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Análise I. Rio de Janeiro: LTC, 1996.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar 1. São Paulo:Atual, 1993.
LIMA, Elon Lages. Análise Real, Volume 1.Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura eAplicada, Coleção Matemática Universitária, 1989.
MORAIS FILHO, Daniel Cordeiro de. Um convite à Matemática. Campina Grande: EDUFCG,2007.
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2º S
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EMENTA
> André Gustavo Campos Pereira
> Viviane Simiolli de Medeiros Campos
Conjuntos fi nitos, enumeráveis e não-enumeráveis. Números reais. Cortes de Dedekind. Sequências e séries de números reais. Topologia da reta. Limites de funções. Funções contínuas. Sequências e séries de funções. Panorama histórico.
Análise Real – MATEMÁTICA
AUTORES
AULAS
01 Revisando a linguagem matemática e o conceito de funções
02 Conjuntos fi nitos e enumeráveis
03 Números reais
04 Sequências de números reais
05 Desigualdades, operações com sequências e limites infi nitos
06 Séries numéricas
07 Limite de funções
08 Funções contínuas
09 Funções deriváveis
10 Máximos e mínimos
12