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Matemática Básica Unidade 4
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Unidade 4
Números reais
Metas
Esta unidade é sobre a noção de números reais, conjunto numérico criado para a
representação matemática de grandezas contínua, e que amplia o conjunto dos números
racionais.
Objetivos
Ao final desta unidade você deve:
conhecer os números reais, assim como a sua representação em notação decimal e
geométrica;
conhecer a noção de ordem dos números reais;
conhecer a noção de módulo;
conhecer as duas operações básicas entre números reais;
saber resolver inequações.
Matemática Básica Unidade 4
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Um pouquinho de história
A escola pitagórica acreditava que tudo que há no universo poderia ser descrito
pela Matemática. Mais precisamente, os pitagóricos pregavam que os números
formavam a base de todas as representações das ideias humanas, isto é, que os números
governavam o mundo. A noção de número, na época (século VI a.C.), representava as
quantidades inteiras positivas, e até as quantidades fracionárias.
Na base do conhecimento matemático desenvolvido pelos pitagóricos, havia
uma premissa que admitia que dois segmentos quaisquer são sempre comensuráveis, ou
seja, a e b são segmentos comensuráveis se existe um segmento u e números inteiros p e
q tais que a = pu e b = uq, ou seja, se a e b são múltiplos de uma mesma unidade fixada.
Contudo, a descoberta, feita pelos próprios pitagóricos, de que a diagonal de um
quadrado e seu lado não são comensuráveis (o que é equivalente ao fato de que 2 não
é racional) gerou a primeira crise matemática da história, pois invalidava todas as
demonstrações que haviam sido feitas usando essa premissa.
Esta dificuldade foi superada somente com um grande esforço por parte dos
gregos, quando Eudoxo (408-355 a.C.) apresentou sua teoria geométrica do contínuo.
Euclides, por volta de 300 a.C., apresentou uma compilação dos resultados da
Matemática conhecidos até então em seus Elementos. Para fugir das deficiências dos
números (para a época), Euclides passou a trabalhar questões numéricas a partir de
representações geométricas, ou seja, a partir do enfoque geométrico.
A necessidade de ampliar o conjunto dos números racionais
Este episódio da história da Matemática deixou marcas fortíssimas que são
percebidas até hoje em dia (passados mais de 2 mil anos). Reflexos desta crise
matemática e de como os gregos lidaram com ela influenciaram diretamente, por
exemplo, o ensino da Matemática até algumas poucas décadas atrás. Não é nosso
objetivo discutir este episódio, nem suas consequências, mas é interessante que o leitor
entenda melhor como ocorreu esta crise.
Nós já falamos sobre a questão de associar grandezas a números, o chamado
processo de quantificação. As grandezas que podem ser quantificadas são chamadas de
grandezas escalares. Em física, é comum fazer referência a grandezas discretas e
contínuas. (Você sabia que existem outros tipos de grandezas? Mas isto é conversa para
a Álgebra Linear.) Por exemplo, tempo, rapidez e comprimento são casos de grandezas
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escalares contínuas. Já população e moléculas de um gás são exemplos de grandezas
escalares discretas. É claro que estes exemplos podem variar. Se quisermos medir o
tempo em termos de dias decorridos, podemos quantificar a grandeza tempo associando-
a aos números inteiros; o que a tornaria uma grandeza discreta neste caso.
Vamos, agora, nos preocupar com as grandezas contínuas. Só para fixar ideia,
vamos considerar a grandeza comprimento. Vimos, na unidade 2, que podemos obter
um bom processo de quantificação desta grandeza fazendo uma associação com os
números racionais. É uma boa quantificação porque os números racionais permitem
considerar submúltiplos da unidade. Em particular, permite medir comprimentos com
uma precisão tão grande quanto se queira. Para isto, basta escolher um submúltiplo da
unidade suficientemente pequeno. Por exemplo, você pode usar a unidade metro para
fazer medições. Se necessitar de mais precisão na medida, pode usar o centímetro,
unidade que é um centésimo do metro. Se quiser mais precisão na medida, pode, então,
escolher o milímetro, que é um milésimo do metro. Se ainda for necessário trabalhar
com maior precisão de medida, existem instrumentos capazes de medidas ainda mais
precisas, permitindo trabalhar com submúltiplos da unidade ainda menores. Em resumo,
os números racionais parecem formar um bom conjunto numérico para ser usado na
quantificação de grandezas contínuas.
Na prática, num processo de medição real, sem ser teórico, não é fácil
determinar o número racional exato que corresponde a um segmento dado. Por exemplo,
podemos medir um segmento com uma régua que tem marcação de centímetros e
milímetros e obter o valor 3,2 cm. Contudo, este valor pode não ser muito preciso, o
avaliador pode ficar na dúvida se a medida é mesmo 3,2 ou se não pode ser 3,3. Neste
caso, pode-se recorrer a instrumentos auxiliares. Por exemplo, com o auxílio de uma
lupa, ou de um microscópio, pode-se tranquilamente tirar esta dúvida, digamos que o
valor seja 3,2 mesmo. Ainda assim, com a melhoria do instrumento de medição, pode
aparecer outra dúvida, será que a medida mais precisa é 3,26 ou 3,27? Ainda do ponto
de vista prático, a evolução da forma de avaliação do tamanho de um segmento não
garantirá uma avaliação definitiva, pois sempre é possível ampliar a graduação da reta,
com novos submúltiplos obtidos a partir do novo instrumento de medição, o que causa o
aparecimento de uma nova casa decimal na representação numérica que mede o
segmento. Assim, sempre é possível encontrar um número racional que se aproxime
tanto quanto se queira da medida real. Mas, por outro lado, sempre fica a dúvida se esta
medida corresponde exatamente ao segmento avaliado.
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Nesta nossa história, uma questão sobre a associação de grandezas a números
continua incompleta. Vimos que grandezas de natureza contínua não ficam
completamente determinadas por números inteiros. Por exemplo, nem todo segmento
pode ser representado por um número inteiro. Depois, vimos que grandezas contínuas
podem ser associadas a números racionais, pois, do ponto de vista prático, todo
processo de medição possui limitações de precisão, enquanto que sempre podemos
encontrar números racionais tão próximos quanto se queira. Contudo, não sabemos
realmente se qualquer estado de uma grandeza contínua pode ser sempre associado a
exatamente um número racional, ou, ainda, se cada número racional corresponde a um
único estado da grandeza. Por exemplo, será que todo segmento pode ser associado a
um número racional e vice-versa?
A história sobre esta pergunta é bastante conhecida e foi ela que deu origem a
primeira crise matemática. Este problema foi abordado pela escola pitagórica (século VI
a.C.) quando se perguntou sobre a medida da diagonal de um quadrado de lado 1. Na
época, eles perceberam que a diagonal de um quadrado de lado 1 não pode ser
representada por um número racional.
De fato, se a é um número então, pelo teorema de Pitágoras para triângulo
retângulo, vale que a2 = 1
2 + 1
2, donde a
2 = 2. Contudo, é um fato bem conhecido que
não existe um número da forma q
p que satisfaça tal equação. Ou seja, não existe um
número racional que represente o segmento a. Assim, instalou-se uma crise, pois a
utilidade da matemática neste processo de quantificação era limitada.
Observe que se a diagonal do quadrado de lado 1 fosse um número, ele
representaria o 2 , pois satisfaz a equação a2 = 2.
Atividade 1 Em um papel milimetrado, utilize um segmento grande como unidade
(utilize como unidade um segmento que seja 100 vezes o menor quadrado da folha).
Reproduza o desenho acima e meça o segmento que representa a diagonal do quadrado.
1
1
a
a 0 1
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Você achará um número com duas casas decimais. Veja se esta aproximação coincide
com o valor obtido de uma calculadora para 2 . De outro modo, calcule o quadrado
do número que você obteve e eleve ao quadrado. Veja se o resultado faz sentido.
O conjunto dos números reais
Apesar da necessidade de um conjunto numérico que ampliasse os números
racionais ter sido percebida desde a verificação de que a medida da diagonal de um
quadrado de lado 1 não é um número racional, em torno do século VI a.C., foi
necessário cerca 2500 anos para que os matemáticos criassem um novo conjunto
numérico. Só em 1872, com a publicação de um ensaio sobre o assunto, por Richard
Dedekind, o conjunto conhecido como o conjunto dos números reais foi finalmente
formalizado. Enfim, completou-se a história da criação de uma extensão numérica do
conjunto dos racionais que pudesse oferecer uma associação completa às grandezas
contínuas.
O conjunto dos números reais, denotado por , é o conjunto criado pelos
matemáticos que estende o conjunto dos números racionais ( ) e está em completa
correspondência com as grandezas escalares contínuas. Uma definição precisa deste
conceito é assunto de estudo de uma disciplina mais avançada. Para o estudante
iniciante, basta conhecer bem as principais formas de representações de , assim como
as representações de suas operações.
O conjunto dos números reais tem uma peculiaridade no que diz respeito às suas
possíveis representações, nem todo número real possui uma representação numérica que
possa ser obtida a partir dos números racionais e que seja finita. Por exemplo, temos 0,5
como uma representação do número que representa a metade da unidade. Esta é uma
representação decimal finita. O número que representa um terço da unidade pode ser
representado como 0,3333... . Esta é uma representação decimal infinita. Contudo, a
mesma quantidade pode ser representada por 3
1, agora, sim, uma representação finita.
Para o conjunto dos números reais, existem elementos que só podem ser
representados finitamente se for através de símbolos não numéricos. Um exemplo disso
é o número , que representa o comprimento de um círculo de diâmetro 1. Outro
exemplo é o número e que está associado a várias aplicações importantes do nosso
cotidiano, como medição de resfriamento de um corpo, datação de objetos antigos
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através de medição de desintegração radioativa e cálculo de juros contínuos. Como
exemplo também não podemos esquecer do número 2 . Só por curiosidade, a sua
representação decimal é parcialmente dada pela expressão
1,41421356237309504880116887242097... . Este é um dos problemas da representação
decimal para números reais que não são racionais. Só podemos fazer referência a eles de
forma parcial. Por exemplo, na sequência de casas decimais do número 2 , não tem
como saber, de imediato, qual será a próxima casa decimal. Este caso é bem diferente
do número cuja representação fracionária é 3
1, pois se consideramos uma representação
decimal parcial, por exemplo, 0,333..., sabemos que a próxima casa decimal é 3, e
depois dela também é 3, e assim sucessivamente.
Não é difícil entender que todo número real possui uma representação decimal.
Lembre-se, leitor, que o conjunto dos números reais foi criado para ser o conjunto
matemático que pode ser associado a grandezas escalares contínuas. Um exemplo deste
tipo de grandeza é o comprimento. Se o tamanho de um segmento não é múltiplo da
unidade, podemos encontrar uma medida inteira que aproxima do segmento, digamos a.
Mas, podemos melhorar, com a escolha de um submúltiplo da unidade, a medição do
segmento. Para isto, dividimos a reta graduada em dez partes e podemos, então, avaliar
melhor o segmento, digamos que a + 10
1a seja a melhor aproximação, mas que não seja a
medida exata. Assim, é preciso dividir o submúltiplo da unidade em dez partes para
obter uma medição melhor, digamos a + 10
1a +
100
2a. Se esta representação numérica não
for a medida exata, é preciso dividir novamente em dez partes a fim de buscar uma
medida mais aproximada, digamos, a + 10
1a +
100
2a +
1000
3a. Note que esta forma de
escrever um número é equivalente a notação decimal, a,a1a2a3. Se o segmento medido
não está associado a um número racional (e já vimos que isto é possível, é o caso de
2 ), o processo de subdivisão da unidade terá que ser repetido sempre,
indefinidamente, o que irá gerar uma representação decimal infinita, a,a1a2a3...an... .
Assim, todo número real pode ser representado através de uma notação decimal infinita.
Atividade 2 Determine se o número real dado é racional ou não.
a) 2,124 b) 0,1111111 c) 1,04237237237237...
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d) 4,01001000100001... e) 9,1423684579454445677777732355654...
Assim como os números racionais, os números reais possuem uma representação
geométrica que funciona da seguinte maneira. Considere uma reta r e fixe uma unidade
de medida, OU. O conjunto dos números reais, denotado por , é representado pelo
conjunto dos segmentos da reta r da forma OA, isto é,
= {a = OA : Ar}.
Nesta representação geométrica, todo segmento com uma extremidade sobre o ponto O
representa um único número real.
O conjunto dos números reais diferentes de 0 e contidos na semi-reta OU é
chamado conjunto dos números reais positivos e denotado por +. O conjunto dos
números reais diferentes de 0 e contidos na semi-reta oposta a OU é chamado conjunto
dos números reais negativos e denotado por . Em linguagem simbólica,
+ = {a : a OU e a 0}
e
= {a : a OU e a 0}.
Observação: Com estas últimas notações, temos = +
{0}.
Observação: Parece que as notações + e
não são utilizadas no ensino básico. Neste
caso, pode-se escrever e
, respectivamente.
Atividade 3 Podemos facilmente obter outros segmentos que não podem representar
nenhum número racional. Veja o desenho a seguir.
r O U A
A = AO
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a) Verifique, via teorema de Pitágoras, que os dois novos segmentos obtidos
representam a raiz da equação x2 = 3 e x
2 = 4, respectivamente. Repita o processo
ilustrado na figura para obter segmentos que representem 5 e 6 . (Procure usar um
compasso.)
b) Reproduza o desenho anterior numa folha, sobre uma reta graduada pela unidade
dada pelo centímetro. Utilize uma régua com milímetros para medir os segmentos
obtidos. Utilize uma calculadora para obter valores aproximados de 2 , 3 , 5 e
6 . Verifique se estes valores coincidem com as medidas obtidas no seu desenho.
(Utilize régua, compasso e esquadro para construir os desenhos.)
Com a ampliação dos números racionais para os números reais, a reta graduada
passa a ter novas possíveis marcas. Veja um exemplo.
Leitor, é possível que você esteja incomodado com este novo conjunto
numérico. Realmente, no nosso cotidiano é muito difícil se deparar com um número real
que não é racional. Contudo, por mais incrível que pareça, existem muito mais números
reais que não são racionais do que os que são racionais. Podemos enumerar alguns
explicitamente, como , e, 2 , 3 , 5 e 6 , ou toda raiz n , onde n e n não é
o quadrado de um número. Na próxima seção você verá como produzir mais números
reais e, assim, verá que o conjunto destes números é maior do que o conjunto dos
números racionais. Inclusive, existe um nome para os números reais que não são
racionais, são os números irracionais.
As operações adição e multiplicação de
2 0 1 3 2
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Provavelmente, o maior problema de se considerar as representações decimais
para os números reais seja na hora de definir as operações adição e multiplicação. Por
exemplo, se você considerar a representação decimal parcial, 1,41, no lugar de 2 ,
verá que esta representação decimal não satisfaz a equação x2 = 2. Neste momento a
representação geométrica se mostra muito útil. Veja, através de desenhos, como as
operações adição e multiplicação de números reais podem ser entendidas.
Representação geométrica da soma de dois segmentos.
Representação geométrica do produto de dois segmentos.
Veja como fica o desenho do produto 2 × 2 . O resultado é o esperado, 2.
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Apesar do que se costuma divulgar, o conjunto dos números irracionais é muito
maior do que conjunto dos números racionais. Para entender isto melhor, basta ver que
se a é racional e x é irracional então a + x é irracional. De fato, se a + x = b é racional
então temos x = b a como racional, pois a diferença de racionais é racional. Mas, isto
é um absurdo, pois um número não pode ser racional e irracional. Assim, por exemplo,
todos os números da forma a + 2 , onde a , é irracional.
Só por curiosidade, se fôssemos representar geometricamente só os números
racionais e depois só os números irracionais, teríamos algo parecido com os seguintes
desenhos.
Propriedades operacionais
No caso dos números reais, , nem sempre é adequado, ou viável, utilizar
representações numéricas ou geométricas nos cálculos operacionais. Nesta caso, a
melhor opção é fazer uso da Álgebra elementar. Isto significa que, para um estudo
inicial, a melhor maneira de se trabalhar com as operações é usar e abusar das
propriedades operacionais dadas a seguir.
a) (x + y) + z = x + (y + z);
Reta com todos os reais marcados
Reta só com os racionais marcados
Reta só com os irracionais marcados
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b) 0 + x = x + 0 = x;
c) x + (–x) = (–x) + x = 0;
d) x + y = y + x;
e) x + a = b x = b + (a);
f) a + x = a + y x = y;
g) (xy)z = x(yz);
h) 1.x = x.1 = x;
i) se x 0, xx1
= x1
x = 1;
j) xy = yx;
l) se a 0, ax = b x = a1
b;
m) se a 0, ax = ay x = y;
n) x(y + z) = xy + xz;
o) (x + y)z = xz + yz;
p) xy = 0 x = 0 ou y = 0;
q) (a)b = a(b) = ab.
Atividade 4
a) Estude o seguinte desenvolvimento de contas. Identifique as propriedades utilizadas
ao longo das contas.
3( 7 5 2) + 7 5 = 3 7 5 + 6 + 7 5 = 3 7 5 + 7 5 + 6 = 3. 7 5 + 1. 7 5 + 6 =
= (3 + 1). 7 5 + 6 = 2 7 5 + 6.
b) Desenvolva as contas dadas a seguir realizando o máximo de transformações
possível.
i)
2/32)32(2 ii) 3
5 + 5.3
4 2.3
3 + 12.3
2.
c) Encontre a média aritmética de 21, 21, 10, 28, 33, 33, 28, 10, 10, 28, 21 e 21 (soma
dos valores dividida por 12), mas evitando ao máximo de fazer contas grandes.
d) Resolva a equação 7 5 x + 2 = x .
e) Resolva o sistema de equações,
5 323
2
yx
yx .
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A relação de ordem em
O conjunto + permite definir uma relação de ordem entre os números reais, a
saber, dizemos que x < y (ou y > x) se y x +. Com esta notação, temos que x > 0 se,
e só se, x + e x < 0 se, e somente se, x
.
A relação x < y pode ser representada na reta da seguinte maneira.
É claro que a noção de ordem é um fato bastante intuitivo, mas devemos tomar
certo cuidado com a apresentação deste conceito. Dizer que x < y se “x está à esquerda
de y” é um pouco impreciso. Se uma pessoa virar a folha de cabeça para baixo ou olhá-
la pelo seu verso, verá a relação x < y mudar para y < x.
Juntando o significado de x < y com o significado de x > 0, temos que x < y se, e
só se, y x > 0. Esta última equivalência é muito útil para verificações.
Escreve-se x y para significar que x < y ou x = y.
Na verdade, o que torna esta relação de ordem especial é o fato de ela ser
compatível com as operações de . De fato, a relação de ordem que definimos goza das
seguintes propriedades.
Propriedades Básicas de ordem
O1) x > 0 e y > 0 x + y > 0 e xy > 0.
O2) Dado x , uma, e só uma, das três alternativas ocorre: ou x = 0, ou x > 0 ou x < 0.
Aluno, com a sua experiência adquirida neste curso, como você olha estas duas
propriedades? Estas aparecem para você apenas como um conjunto de regras?
Provavelmente seja difícil antever a importância das propriedades, mas certamente você
é capaz de interpretar e entender o significado das afirmações. Para isto, basta
identificar cada elemento dos enunciados. Por exemplo, em (O1), o que significa x > 0 e
y > 0? O que significa x + y? Sabemos, neste caso, que x e y estão contidos na semi-reta
OU , donde a justaposição dos segmentos x e y também está contido na semi-reta OU .
Ou seja, x + y > 0. Se estes argumentos não ficaram exatamente claros, faça uma
representação geométrica destas condições. Para ajudar a entender melhor ainda o
O U x y
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enunciado, pense no que poderia acontecer se x fosse menor do que zero. Ainda
podemos garantir que x + y é maior do que zero?
Procure argumentar sobre afirmações feitas no texto, caro aluno Tente não
aceitar propriedades matemáticas como regras a serem decoradas. Tente entendê-las.
Temos várias outras propriedades importantes que relacionam a noção de ordem
com as operações de . As seguintes propriedades decorrem das propriedades básicas
da noção de ordem.
a) x < y e y < z x < z.
b) Dados x, y , exatamente uma das seguintes possibilidades ocorre: x = y, x < y
ou y < x.
c) x < y e z x + z < y + z.
d) x < y e z + xz < yz.
e) x < y e z yz < xz.
f) x 0 x2 > 0.
g) x < 0 e y > 0 xy < 0.
h) x > 0 x1
> 0.
i) x, y > 0 e x < y y1
< x1
.
j) Dado x , x < x + 1.
k) 0 < x < y xn < y
n.
Como acabamos de falar, não é interessante decorar estas propriedades. É claro
que em primeiro lugar é importante saber que elas existem. No futuro, se fizer
manipulações algébricas em um inequação (expressão com desigualdade, em vez de
igualdade), você deve saber que existem certas regras a serem seguidas. Contudo,
também é importante ter uma noção da justificativa destas propriedades. A vantagem de
se entender e interpretar os fatos é que, precisando ou na dúvida do enunciado, pode-se
deduzir uma propriedade na hora, para não correr riscos de erro.
Veja dois exemplos de dedução de propriedade.
Verificação da propriedade (c): Se x < y e z , então
0 < y x = y + 0 x = y + z z x = y + z (x + z),
ou seja, (y + z) (x + z) > 0.
Assim, verificamos que x < y e z x + z < y + z.
Verificação da propriedade (a): Basta desenhar a propriedade.
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Pelo desenho, fica claro que se x < y e y < z então teremos também x < z.
Observação: Veja, na verificação da propriedade (c), como o conhecimento das
propriedades operacionais ajuda a montar argumentos de justificativas. Por outro lado,
veja, na verificação da propriedade (a), como que a representação geométrica pode ser,
em certos casos, extremamente útil, e de simples utilização. Atenção! Não é o objetivo
deste curso fazer verificações de todas as propriedades, muito menos verificações
rigorosas. Mas acreditamos que fazer algumas verificações, mesmo que de forma
intuitiva, pode ser uma boa oportunidade para preparar melhor o leitor para estudos
futuros. Para o aluno mais interessado, é um ótimo exercício tentar verificar todas as
propriedades anteriores.
O conhecimento das propriedades sobre desigualdade é muito útil para a
resolução de inequações.
Exemplo: Vamos resolver a inequação 3x + 1 < 2x. O procedimento é bastante parecido
com o de resolução de equações. (Mas não é igual!) Utilizando a propriedade (c) duas
vezes, temos:
3x + 1 < 2x 3x + 1 + (2x) < 2x + (2x) x + 1 < 0
x + 1 + (1) < 0 + (1) x < 1
Assim, 3x + 1 < 2x x < 1. Ou seja, a solução da inequação, 3x + 1 < 2x, é todo x
tal que x < 1.
Exemplo: Vamos resolver a inequação 4x < 3. Só precisamos isolar x. Para isto,
segundo a propriedade (d), basta multiplicar os dois lados da inequação por 4
1, para,
então, obter 4
1.4x <
4
1.3. Daí, x <
4
3.
Aluno, é preciso ter muita consciência no uso destas propriedades. Por exemplo,
a propriedade (c) não tem nenhuma restrição e o resultado tem uma certa simetria. Ele
afirma que se x < y então x + z < y + z. Já no caso do resultado (d), existe uma restrição,
x y z
Matemática Básica Unidade 4
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ele só vale para z > 0. Contudo, ainda existe uma simetria. Quando x < y e z >0, temos
xz < yz. No caso da propriedade (e), a restrição é que se tenha z < 0 e existe uma
assimetria no resultado. Quando x < y e z < 0, temos xz > yz. Note como que o sinal
troca de lado.
Exemplo: Para resolver a inequação, 1 2x < 2, podemos proceder assim:
1 2x < 2 (1) + 1 2x < (1) + 2 2x < 1 2x < 1
(
). ( 2)x > (
).1 x >
.
Não deixe de notar a troca de sinal no momento da multiplicação dos dois membros por
um número negativo, aluno.
Atividade 5
a) Diga se é verdadeiro ou falso: a .
b) Resolva a inequação dada
1. 2x + 1 x + 6 2. 2 3x x + 14 3. x x
2
1
3 4. 2(x + 3) > 3(1 x)
5. 3(1 2x) < 2(x + 1) + x 7 6. 2 x + 1 < 2
3x
c) Existe um maior número inteiro que seja solução da inequação 1793
x
? E um
número real?
d) Justifique porque a implicação a < x e b < y a b < x y é falsa (utilize a
representação geométrica).
e) Justifique porque a equação x2 = a não tem solução quando a < 0.
f) Considere a inequação
2 Descubra a propriedade que foi desrespeitada no
desenvolvimento a seguir:
2 2
logo o conjunto solução é uma união de
intervalos, a saber S= ( ) (
).
Note que esse conjunto contém números que não resolvem a inequação, como x
= 2, x = 1/2. Onde está o erro???
Intervalo e módulo
Matemática Básica Unidade 4
16
Uma noção importante que decorre da relação de ordem é a de intervalo. Dados
a, b , com a < b, o subconjunto de formado pelos pontos que estão entre a e b é
chamado intervalo limitado. Para distinguir o intervalo que contém, ou não, os pontos
extremos, a e b, usa-se os termos fechado ou aberto, à direita ou à esquerda. Os quatro
tipos de intervalos limitados são:
[a,b] = {x | a x b} é dito um intervalo fechado;
(a,b) = {x | a < x <b} é dito um intervalo aberto;
[a,b) = {x | a x < b} é dito um intervalo fechado à esquerda e aberto à
direita;
(a,b] = {x | a < x b} é dito um intervalo aberto à esquerda e fechado à
direita;
O nome intervalo também pode ser associado a outros tipos de subconjuntos
conhecidos como intervalos ilimitados. Os cinco casos de intervalos ilimitados são:
(,b] = {x | x b} é dito um intervalo fechado à direita;
(,b) = {x | x < b} é dito um intervalo aberto à direita;
[a,+) = {x | a x} é dito um intervalo fechado à esquerda;
(a,+) = {x | a < x} é dito um intervalo aberto à esquerda;
(,+) = , o conjunto também é visto como um intervalo.
Notação: a < b < c significa que a < b e b < c.
Atividade 6
a) É sempre muito interessante trabalhar com a representação gráfica da noção de
intervalo. Por exemplo, um intervalo da forma (a,b] pode ser representado graficamente
por
Represente geometricamente cada tipo de intervalo.
b) Diga se é verdadeiro ou falso.
A interseção de dois intervalos é sempre um intervalo.
A união de dois intervalos é sempre um intervalo.
a b
Matemática Básica Unidade 4
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c) Escreva o conjunto X = {x | x 0} em termos de intervalos (você vai ter que usar
a união).
Desafio: Dados a, b , a média aritmética destes valores sempre pertence ao intervalo
aberto (a, b), pois a < 2
ba < b (você conseguiria verificar estas desigualdades?)
A primeira aplicação da notação para intervalos é na descrição de soluções de
inequações. Em exemplo anterior, sobre a inequação 3x + 1 < 2x, foi determinado que a
solução da inequação é dada por todo x tal que x < 1. Uma maneira de expressar
tal fato, usando a linguagem de conjuntos, é dizer que o conjunto, S, de soluções de 3x +
1 < 2x é dado por
S = {x | x < 1}.
Pela notação introduzida, este conjunto pode ser expresso de forma abreviada por
S = (, 1).
Se você quiser, a solução pode ser representada geometricamente, na reta graduada.
Neste caso temos S representado na reta da seguinte maneira.
Atividade 7 Dê a resposta de cada inequação do item (b) da atividade 5 em termos de
intervalo. Represente cada solução graficamente.
A noção de intervalo aparece com mais força quando se fala em sistema de
inequações. Vejamos um caso.
Exemplo: Vamos resolver o sistema de inequações
63
512
x
x. Lembre que resolver
um sistema de inequações significa determinar os números que são soluções de todas as
inequações ao mesmo tempo. Vejamos em detalhes.
A primeira inequação é simplificada para 2x < 4, donde x < 2. Assim, o conjunto
solução da primeira inequação é dado por S1 = (, 2).
0 1
Matemática Básica Unidade 4
18
A segunda inequação é simplificada para x < 3, donde x > 3. Assim, o
conjunto solução da primeira inequação é dado por S1 = (3, +).
E o conjunto solução do sistema? Sabemos que x é solução do sistema se, e só
se, é solução das duas inequações. Assim, x S, conjunto solução do sistema, se, e só
se, x S1 e x S2, ou seja, x S1 S2.
Vejamos isto numa representação gráfica. A seguir, temos os conjuntos S1 e S2
em destaque na reta graduada.
As soluções do sistema de inequações devem atender às duas condições
simultaneamente. Os pontos da reta que satisfazem esta condição são facilmente
determinados pelo desenho. Confira a seguir.
Assim, pelo desenho, o conjunto solução do sistema de inequações é dado por S
= (3, 2).
Para que não fique dúvidas sobre o que foi feito, verifique que S é o conjunto
solução. Pegue alguns pontos do intervalo e substitua no sistema. Veja se as relações
são atendidas. Só para ficar mais claro, pegue alguns pontos menores do que 3 e outros
maiores do 2 e veja o que acontece com as inequações do sistema para estes valores.
Atividade 8 Resolva os sistemas de inequações. Represente o conjunto solução
graficamente e em termos de intervalo.
1.
93
62
x
x 2.
143
914
xx
x 3.
1432
612
xx
xx
4.
43
012
x
x 5.
013
084
x
x
Vamos agora falar um pouco sobre uma situação bem mais rica onde a noção de
intervalo é bastante usada. Nós já conversamos sobre a noção de ordem. Do ponto de
0 2
0 3
0 2 3
Matemática Básica Unidade 4
19
vista geométrico, este conceito está mais relacionado com a posição do número real
sobre a reta do que com o tamanho do segmento que este número representa. Por
exemplo, o 5 é representado geometricamente por um segmento de reta bem maior do
que o segmento que representa o 2. Mas, levando em consideração a posição dos
números, a relação de ordem que conhecemos diz que o número 2 é maior do que 5. O
próximo conceito considera melhor esta questão.
Definição: Dado x , o valor absoluto (ou módulo) de x é o número |x| = máx{x, x}.
Observação: máx{a, b} significa o máximo, ou maior, de a e b. Note que a existência
deste máximo é garantida pela propriedade (b) de ordem.
Observação: A definição de módulo é equivalente a:
0 se ,
0 se ,
xx
xxx .
Interpretação geométrica: Dado x , o valor |x| representa o tamanho do número x.
Assim, 31 representa um número negativo, menor do que 3, 0 ou 2, por exemplo.
Mas, o comprimento da sua representação geométrica é maior do que o comprimento da
representação geométrica de 3, 0 e 2. De fato, o comprimento de 31 é |31| = 31 que
é maior do que |3| = 3, |0| = 0 e |2| = 2.
A manipulação da noção de módulo se relaciona com a noção de intervalos a
partir da seguinte propriedade.
Propriedade: Dados x, a , com a > 0, temos a seguinte equivalência:
a x a |x| a
Justificativa: Como entender que as duas relações são equivalentes? Podemos montar
um argumento baseado na representação geométrica das relações. Como seria o desenho
de uma reta com um número a > 0, com o número a e um número x satisfazendo a
x a? Agora, o primeiro desenho também representa a relação |x| a? É fácil verificar
que sim.
a a x 0 |x|
Matemática Básica Unidade 4
20
Pela interpretação geométrica da noção de módulo, podemos argumentar da
seguinte maneira. A relação a x a significa que o número x está entre os números
a e a, o que quer dizer que o tamanho de x está entre 0 e a, o que significa que |x| a.
Uma consequência direta desta última propriedade é que, dados a, x, , com
> 0, tem-se
|x a| a x a + .
Os resultados acima ainda valem com < no lugar de . Assim, vale a relação mais
completa e muito útil,
x (a , a + ) a < x < a + |x a| <
A razão de olhar com calma para uma expressão do tipo |x a| é que ela tem
uma interpretação geométrica muito importante. A saber, se os números reais forem
usados como marcadores de posição em uma reta, o valor |y x| pode ser visto como a
distância entre x e y. Notação: d(x, y) = |y x|.
Exemplo: Vamos resolver o sistema
4|1|
3|5|
x
x. Em vez de usarmos a definição
0 se ,
0 se ,
xx
xxx , como normalmente é feito, usando a relação com intervalos, temos
mais diretamente
|x 5| < 3 d(x, 5) < 3 x (2,8)
e
|x + 1| 4 d(x, 1) 4 x (5, 3).
Estas relações podem ser representadas graficamente pelo seguinte desenho. Na
primeira linha, temos os pontos cuja distância a 5 é menor do 3. Na segunda linha,
temos os pontos cuja distância a 1 é maior do que ou igual a 4.
No desenho, podemos ver que a solução é dada por todo x tal que 3 x < 8
(a interseção das duas soluções), ou seja, o conjunto solução é o intervalo [3, 8).
0 5 5 + 3 5 3
0 1 1 + 4 1 4
Matemática Básica Unidade 4
21
Atividade 9
a) Represente graficamente, sobre a reta, o conjunto solução da inequação:
i) |x 3| < 5 ii) |x 1| 1
b) determine uma inequação envolvendo módulo que seja representada graficamente
pelo conjunto de pontos destacado a seguir.
Desafio: Sejam x, y +. Mostre que
2
yxxy
. (A justificativa desta desigualdade é
uma técnica muito útil para vários exercícios de Matemática – dica: 0 (a + b)2.)
Raiz n-ésima – a solução da equação xn = a
Outra vantagem na construção dos números reais é saber que sempre existe uma
solução para equações do tipo xn = a, quando a > 0 e n *
. Vamos, a seguir, dar uma
ideia de porque este fato é verdadeiro. Entenda, leitor, que é apenas uma ideia. Os
argumentos apresentados aqui não são argumentos matemáticos, propriamente dito, e
um trabalho assim necessitaria de uma melhor fundamentação sobre o conjunto dos
números reais (o que é feito na disciplina de Análise). Isto aqui é apenas uma ideia do
porque os números reais devem incluir as raízes.
É fato que sempre existe um número real, b, tal que bn < a. Por exemplo, se b =
p10
1 então b
n =
np
n
p 10
1
10
1
= 0,000...01 (com np casas decimais). Ou seja, se p é
um número grande, muito grande, bn vai ser um número pequeno, muito pequeno (tão
pequeno quanto queiramos, é só pegar p suficientemente grande). Assim, escolhendo p
adequado podemos ter bn < a. Procedendo de forma análoga, podemos afirmar que
existe um número real, c, tal que a < cn (por exemplo, fazendo c = 10
p, com p bem
grande).
Temos que existe um número real, b, tal que bn < a e que existe um número real,
c, tal que a < cn. Note também que, quando x, y > 0, temos x
n < y
n x < y
(consequência da propriedade (k) sobre desigualdades).
0
Matemática Básica Unidade 4
22
Sejam X = { x : xn < a } e Y = { y : y
n > a }. Pelo que acabamos de ver,
X e Y são conjuntos diferentes de vazio e todos os elementos de X são menores do que
todos os elementos de Y, vice-versa. Veja, no desenho, como estes conjuntos podem
estar na reta.
Caso houvesse um espaço entre os conjuntos X e Y, como no desenho,
poderíamos pegar um elemento z > 0 tal que z X e z Y. Isto significa que não temos
zn < a, nem z
n > a. O que resta para z
n? Pela propriedade (O2), só resta z
n = a e, assim,
encontramos a solução da equação.
E se não existe o espaço entre os conjuntos X e Y? Neste caso, temos + = X
Y. Note que X e Y devem ser intervalos e X deve ser um intervalo limitado. Podemos ter
X = (0, d] e Y = (d, +) ou X = (0, d) e Y = [d, +).
Para se continuar esta linha de argumentação, não tem como deixar de ser
técnico. O máximo de intuitivo que podemos ser segue agora. Se X é da forma (0, d]
então d X, donde dn < a. Agora, se pegarmos um número só um pouco maior do que
b, com uma diferença muito pequena, digamos, d + , ainda pode se esperar que (d + )n
< a. (a explicação técnica para isto é obtida a partir da conhecida desigualdade de
Bernoulli, (1 + x)n 1 + nx). Vamos ficar com só com esta pequena ideia intuitiva.
Continuando, vimos que (d + )n < a, o que significa que d + X, o que é
absurdo, pois d era o maior elemento do conjunto X. Logo, só podemos ter X = (0, d).
De modo análogo, pode-se deduzir que Y tem que ser da forma Y = (d, +).
Neste caso, temos que d X e d Y. Ou seja, temos que ter um espaço entre os
conjuntos X e Y. Pelo que já foi analisado, fica garantido que existe uma solução para a
equação xn = a, quando a > 0 e n *
.
Se o leitor observar o argumento anterior, verá que garantimos a existência de
solução para a equação xn = a, quando a > 0 e n *
, e que esta solução é positiva. Na
verdade, podemos facilmente verificar que a solução positiva encontrada é única
(veremos isto na unidade 7). Em resumo, dada uma equação xn = a, com a > 0 e n *
,
existe um único número b + (isto é, b é real e b > 0) que satisfaz tal equação. Em
0 1
X Y
Matemática Básica Unidade 4
23
particular, dados a > 0 e n *, sempre podemos falar em n a , a única solução de x
n =
a. Quando a < 0 e n * é ímpar, é possível mostrar que o símbolo n a também faz
sentido, pois a equação xn = a também tem solução e esta é única. Quando a = 0 e n
*, o símbolo n a tem significado óbvio, pois 0
n = 0.
Quando estudar a disciplina Cálculo, o aluno verá uma nova explicação intuitiva
para a existência de raízes.
Gabarito das atividades
Atividade 2:
Solução:
a) e b)Racionais, pois possuem um número finito de casa decimais.
c) Racional, pois indica uma dízima periódica composta. A representação pode ser
escrita como 1,04 23 ̅̅ ̅̅ ̅.
d) Irracional, pois a representação decimal é infinita e não faz indicação de ser dízima
periódica.
e) É indeterminado. O fato da representação parcial não indicar padrão de repetição não
significa que depois da última casa decimal indica, 4, não teremos uma dizima
periódica.
Atividade 3:
a)
A figura acima mostra que ( 2) 2 3, logo o comprimento da
hipotenusa é a raiz positiva da equação x2 = 3 e é igual ao raio do arco da
circunferência tracejada. Assim, marcamos o comprimento 3 na reta orientada.
Matemática Básica Unidade 4
24
Analogamente, ( 3) 3 .
Para obtermos os segmentos e , observe a figura a seguir.
Atividade 4:
Soluções:
a) 3(
2 )
⏟ )
3
( 3) ( 2)
⏟ )
3
⏟ )
3
⏟ )
3
⏟ )
( 3 )
⏟ )
2
b) ) ( )
⁄
ii) 3 3 2 3 2 3 3 ( 3 )3 2 2 2
c) Média =
12
212128101028333328102121
12
33.228.310.321.4
228772
161414
4
)1114514(2
12
)11.228107.4(3
d)
2
2 (
) 2
2
e)
e
.
Matemática Básica Unidade 4
25
Atividade 5:
Solução:
a) Nada podemos afirmar. Se a > 0 então –a < 0. Mas, se a < 0 então –a > 0.
b)
1. 2x + 1 x + 6 2xx 6 1 x 5.
Assim, S = {x | x 5}.
2. 2 3x x + 14 x 3x 14 2 4x 12 x 4
12
x 3.
Assim, S = {x | x 3}.
3. 22233
1
23
1
2
xxx
xxxx.
Assim, S = {x | x 2}.
4. 2(x + 3) > 3(1 x) 2x + 6 > 3 – 3 x 5x>3 x>3/5.
Assim, S = {x | x>3/5}.
5. 3(1 2x) < 2(x + 1) + x 7 3 6x < 2x + 2 + x 7 9x < 8 x >
9
8
x >
9
8.
Assim, S = {x | x > 8/9}.
6. 2
2
( 2
)
(
)
(
)
, (note que a mudança de sinal ocorreu
porque 2 <
). Assim, { |
c) Temos que 1793
x
3
x< 8 x < 24. Assim, o maior número inteiro que é
solução da inequação 1793
x
é o maior número inteiro x tal que x < 24. Ou
seja, x = 23. No entanto, não existe um maior número real no interior do
intervalo ( , 24), que seja solução desta desigualdade. (Isso é uma
curiosidade, por enquanto. Em outras disciplinas mais para frente do curso você
irá ver o porquê. É consequência de uma propriedade do conjunto dos números
Matemática Básica Unidade 4
26
reais. Sempre existirá um número real maior do que qualquer outro que você
imaginar e menor que um outro que você imaginar no interior de um intervalo
aberto.)
d) Note que a b < x y . Portanto, se
tomarmos a < x tal que a distância de x a a, x a, seja menor ou igual à
distância de y a b, y b, teremos , portanto a
desigualdade do enunciado é falsa, pois não vale em geral.
Tome por exemplo a=2, x=3, b=1 e y=4, então a < x, b < y, porém 1= a b >
x y = 1. Há uma infinidade de outros exemplos, encontre outros. Acompanhe
a explicação a partir do desenho a seguir.
e) Observe que , , logo não existe x real cujo quadrado seja
negativo. Assim a equação dada não tem solução no conjunto dos números
reais.
f) Só podemos dizer que
2 2 quando x > 0.
Atividade 6:
Solução:
a)(a,b)
[a,b)
[a,b]
a b x y
Matemática Básica Unidade 4
27
)
( )
(
( )
( )
b)
A afirmação é verdadeira. Bom, isto considerando o caso em que a interseção é
diferente do conjunto vazio, é claro. Neste caso, a interseção de intervalos (a, b)
e (c, d) é o intervalo (m, n), onde m = máximo{a, c} e n = mínimo{b, d}. Faça
um desenho para ilustrar o narrado aqui. Para os outros tipos de intervalos a
afirmativa também é verdadeira. Faça esboços.
Esta afirmação é falsa. Por exemplo, a união de (2, 0) e (1, 5) não é um
intervalo. Verifique isto com um desenho.
c) Basta fazer X = (, 0) (0, +).
Desafio:
Solução:
Considerando o intervalo (a, b), está implícito que a < b. Assim, 2
2 , logo dividindo por 2 obtemos que
.
Atividade 7:
Solução:
Matemática Básica Unidade 4
28
1. (
2. (- ,-3]
3. [-2, + )
4. (
)
5. (
)
6. (
)
Atividade 8:
Solução:
1. 2 3 e 3 3. Fazendo a interseção entre os dois
intervalos, obtemos ( 3 ( 3 ) ( 3 3
2. 2 e 3 2 .
Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos ( 2
) 2
3. 2 e 2 3 2 3 .
Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos (
( 3 ( 3 .
Matemática Básica Unidade 4
29
4. 2 2
e 3
. Fazendo a
interseção entre os dois intervalos, obtemos (
] (
) (
.
5. 2 e 3 3
. Fazendo a interseção entre os dois intervalos, obtemos .
Atividade 9:
Solução:
a-i) ( 2 )
a-ii) ( 0] 2 )
b) |x (2)| < 3, isto é, |x + 2| < 3.
Desafio:
Solução:
Dados , temos que ( ) 2 2
. Em particular, para temos para e √ a
desigualdade √ √ ( ) ( )
.
OBS: A desigualdade acima significa que a média geométrica entre dois números reais
não negativos é menor do que ou igual à média aritmética entre os dois. Seguindo a
0 3 8 = 5 + 3 2 = 3 5
1 +1 = 0 1 2 = 1 + 1
Matemática Básica Unidade 4
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demonstração acima, veja que a igualdade só vale quando a=b, isto é quando √ ,
donde quando x=y.