1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Kompleksitas dunia industri yang berkembang pesat di era globalisasi

menimbulkan berbagai masalah terkait produktivitas dan efisiensi suatu perusahaan.

Guna mencapai produktivitas yang tinggi suatu perusahaan harus mampu mengatasi

permasalahan-permasalahan yang terjadi dalam perusahaan tersebut. Perusahaan

haruslah mengetahui efisiensi dari lini produksinya,aliran pendistribusian yang

efektif,jumlah pengangkutan agar diperoleh keuntungan maksimum, persoalan

transportasi, jumlah teknisi yang harus digunakan agar produktivitas maksimum dan

yang tidak kalah penting adalah strategi yang harus digunakan dalam menghadapi

pesaing. Sehingga dengan mengetahui permasalahan yang ada dalam suatu

perusahaan akan dapat dilakukan penilaian kinerja agar tujuan yang ditetapkan

perusahaan dapat tercapai.

Pengelola sebuah perusahaan harusnya bisa mengabil sebuah keputusan yang

tepat dalam mengambil sebuah keputusan guna mengatasi permasalah tersebut.

Keputusan yang diambil oleh pengelola selayaknya merupakan keputusan yang

memberikan keuntungan yang semaksimal mungkin. Guna memperoleh keputusan

yang optimal PT State menunjuk sebuah jasa konsultan sebagai sebuah alternative

mengukur kinerja perusahaannya dan memberikan alternatif solusi bagi masalah

yang terjadi di PT State. Pengunaan jasa konsultan ini diharapkan agar PT State

dapat mencapai produktivitas, efisiensi dan efektivitas yang tinggi.

1.2 Rumusan Masalah

Permasalahan yang dialami oleh PT State adalah terkait dengan permasalahan

Markov Chain , Linear Programming , Persoalan Transportasi ,Teori Antrian ,

Knapsack , Stagecoach dan Game Theory. Evaluasi dilakukan agar diperoleh solusi

dari masalah agar PT State dapat mencapai kondisi perusahaan yang optimal.

2

1.3 Batasan Masalah

Masalah yang ada pada perusahaan diselesaikan dengan menggunakan Penelitian

Operasional seperti Markov Chain , Linear Programming , Persoalan Transportasi

,Teori Antrian , Knapsack , Stagecoach dan Game Theory

1.4 Tujuan Penulisan

Tujuan Penulisan laporan ini adalah :

Memberikan solusi atas permasalahan yang terjadi dalam PT State.

Memberi solusi yang dapat memberikan keuntungan maksimal untuk PT

State

Mengevaluasi kinerja perusahaan

1.5 Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN

Berisi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, dan sistematika

penuliasan laporan

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

Berisi teori-teori dan metode yang digunakan, meliputi Markov Chain , Linear

Programming , Persoalan Transportasi ,Teori Antrian , Knapsack , Stagecoach dan

Game Theory.

BAB III PENGUMPULAN DAN PENGOLAHAN DATA

Berisi data yang ada di dalam PT State, yang akan digunakan untuk mengevaluasi

kinerja.

BAB IV ANALISIS

Berisi analisis atas pengolahan data dan solusi yang diperoleh.

BAB V PENUTUP

Berisi kesimpulan dan saran terhadap PT State

3

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

2.1 Teori Marcov

Rantai Markov (Markov Chains) adalah suatu teknik matematika yang biasa

digunakan untuk melakukan pemodelan (modelling) bermacam-macam sistem dan

proses bisnis. Teknik ini dapat digunakan untuk memperkirakan perubahan-

perubahan di waktu yang akan datang dalam variabel-variabel dinamis atas dasar

perubahan-perubahan dari variabel-variabel dinamis tersebut di waktu yang lalu.

Teknik ini dapat digunakan juga untuk menganalisis kejadian-kejadian di waktu-

waktu mendatang secara matematis. Analisa Markov hampir sama dengan decision

analysis, bedanya adalah analisa rantai Markov tidak meberikan keputusan

rekomendasi, melainkan hanya informasi probabilitas mengenai situasi keputusan

yang dapat membantu pengambil keputusan mengambil keputusan.

(Diktat kuliah OR2 2002, halaman 52)

2.1.1 Syarat Penerapan Analisa Rantai Marcov

Untuk dapat menerapkan analisa rantai Markov ke dalam suatu kasus, ada

beberapa syarat yang harus dipenuhi :

Jumlah probabilitas transisi untuk suatu keadaan awal dari sistem sama

dengan 1

Probabilitas probabilitas tersebut berlaku untuk semua partisipasi

dalam sistem

Probabilitas transisi konstan sepanjang waktu

Kondisi merupakan kondisi yang independent sepanjang waktu

Dengan demikian, analisa rantai Markov bukanlah teknik optimisasi, tetapi

adalah teknik deskriptif yang menghasilkan informasi probabilitas dimasa

mendatang. Markov Chain bisa diterapkan diberbagai bidang antara lain

ekonomi, politik, kependudukan, industri, pertanian dan lain-lain. Dalam

4

realita, penerapan analisa Markov bisa dibilang cukup terbatas karena sulit

menemukan masalah yang memenuhi semua sifat yang diperlukan untuk

analisa Markov, terutama persyaratan bahwa probabilitas transisi harus

konstan sepanjang waktu (probabilitas transisi adalah probabilitas yang terjadi

dalam pergerakan perpindahan kondisi dalam sistem). Apabila suatu kejadian

tertentu dari suatu rangkaian eksperimen tergantung dari berbagi kemungkinan

kejadian, maka rangkaian ekesperimen tersebut disebut Proses Stokastik.

Proses dikatakan terhingga (finite) apabila seluruh kemungkinan kejadian

yamg dapat terjadi, terhingga. Terdapat banyak tipe Proses Stokastik dan

dikelompokkan berdasarkan sifat-sifat fungsi peluangnya.

(Diktat kuliah OR2 2002, halaman 52)

2.1.2 Sifat-sifat Rantai Markov

Beberapa sifat Rantai Markov adalah:

Jumlah state terbatas (0, 1, 2, , m)

Mempunyai sifat Markovian

Probabilitas transisi stasioner/steady state

Mempunyai nilai probabilitas awal P(X0 = 1) untuk semua i

2.1.3 Spesifikasi State Rantai Markov

Bila status j dapat diakses dari status i, dan status i dapat diakses dari j

maka status i dan status j saling berkomunikasi

Jika dalam Markov Chain semua status salinberkomunikasi, maka

Markov Chain adalah irreducible

Status i dikatakan recurrent jika fii = 1 sedangkan jika fii

5

2.1.4 First Passage Times

Untuk menentukan berapa periode yang dibutuhkan state i menuju state j

diberikan rumus :

jk

kjikij P1 ; untuk i j ........(2.1)

2.1.5 Probabilitas Steady State

Persamaan untuk menentukan probabilitas steady state diberikan oleh

persamaan :

m

j

m

i

ijij

j

P

0

j

0

1

n0,1,2,..., juntuk ;

0

............................................................................(2.2)

2.1.6 Expected Average Cost per Unit Time

Perkiraan biaya rata-rata per unit waktu diberikan oleh persamaan :

m

j

j

n

t

tNn

jCXCn

ELim01

1

...(2.3)

Xt merupakan biaya penyimpanan atau holding cost per periode.

2.1.7 Expected Average Cost per Unit Time for Complex Cost Function

m

j

jj

n

t

ttNn

KDXn

Lim01

1 ,1

....(2.4)

Biaya-biaya yang terdapat dalam kasus ini dapat berupa :

Biaya pesan (pada saat kekurangan stok)

Biaya pengiriman

Biaya penalti, bila demand tidak terpenuhi

6

(Diana Puspitasari,2009)

2.1.8 Software Minitab

Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun

menurut baris dan kolom. Bilangan bilangan yang terdapat di suatu matriks

disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks,

perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya

misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan

lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti

dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan.

(Wikipedia, 2011)

2.2 Linear Programming

2.2.1 Programa Linear Bilangan Bulat

Programa linear berkaitan dengan teknik penyelesaian permasalahan

pengalokasian sumber-sumber yang terbatas diantara beberapa aktivitas yang

bersaing , dengan cara terbaik yang mungkin dilakukan. Programa linier

merupakan teori pendukung dalam membuat suatu keputusan. Programa linier

merupakan model yang mempunyai satu fungsi objektif(tujuan) yang harus

dioptimalkan baik minimasi maupun maksimasi berdasarkan suatu set

konstrain(pembatas/kendala) tertentu.

f.objektif:

Maks/Min z=c1x1+c2x2+.+cnxn(2.5)

Subject to(s/t)

a11x1+a12x2+.+a1nxn () b1

7

am1x1+am2x2+.+amnxn () bm...(2.6)

X1 +X2,..,Xn

Xj;j=1,2,3,n=variabel keputusan

aij, bi , cj, dimana i=1,2,3,.,m adalah parameter model

a,b,c = konstanta

Solusi Model LP terdiri dari berbagai terminologi :

Solusi fisibel adalah penyelesaian yang memenuhi semua

konstrain/pembatas

Daerah fisibel adalah kumpulan dari semua solusi fisibel

Solusi optimal adalah solusi fisibel yang memberikan nilai terbaik bagi

fungsi tujuan baik minimasi maupun maksimasi.

Dalam pesoalan Linear Programming ada beberapa asumsi yang harus

diperhatikan yaitu:

Asumsi kesebandingan (Proporsionality)

Kontribusi variabel keputusan terhadap fungsi tujuan adalah

sebanding dengan nilai variabel keputusan dan kontribusi suatu

variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas juga

sebanding dengan nilai varisbel keputusan itu.

Asumsi penambahan(additivity)

Kontribusi setiap variabel keputusan terhadap fungsi tujuan tidak

bergantung pada nilai dari variabel keputusan yang lain. Kontribusi

suatu variabel keputusan terhadap ruas kiri dari setiap pembatas

bersifat tidak bergantung pada niali dari variabel keputusan yang lain.

Asumsi pembagian (divisibility)

Variabel keputusan dapat berbentuk bilangan pecahan.

Asumsi kepastian (certainty)

Koefisien cj,aij,dan bi diketahui nilainya.

8

(Diana Puspitasari,2009)

2.2.2 Solusi Pada Model Programa Linier

Ada 3 macam solusi pada model programa linier :

Feasible

Solusi feasible terjadi bila terdapat titik solusi yang masuk

ke daerah feasible. Daerah feasible dari programa linier adalah set

dari seluruh titik yang memenuhi seluruh pembatas, termasuk

pembatas tanda. Untuk persoalan maksimasi, solusi optimal dari

persoalan programa linier adalah suatu titik pada daerah feasible

dengan nilai fungsi tujuan terbesar. Pada persoalan minimasi, solusi

optimal adalah suatu titik pada daerah feasible dengan nilai fungsi

tujuan terkecil.

Infeasible

Solusi infeasible terjadi bila tidak terdapat ruang solusi atau

tidak ada daerah yang memenuhi seluruh pembatas. Dalam hal ini

daerah feasiblenya kosong sehingga dengan sendirinya tidak ada

solusi optimum.

Unbounded

Kasus ini terjadi apabila ruang solusi tidak terbatas sehingga

nilai fungsi tujuan dapat meningkat/menurun secara tidak terbatas.

Pada umumnya, kasus ini terjadi karena kesalahan dalam

memformulasikan persoalan.

9

Gambar 2.1 Ilustrasi Grafis Solusi dalam Linier Programming

(Tjutju T.D, Operations Research ,2003, hal 41-45)

2.2.3 Programa Bilangan Bulat

Programa bilangan bulat atau Integer programming (IP) adalah bentuk

lain dari programa linier atau linier programming dimana divisibilitasnya

melemah atau hilang sama sekali . Bentuk ini muncul karena dalam

kenyataannya tidak semua variabel keputusan dapat berupa bilangan pecahan.

Misalnya,jika variabel keputusan yang dihadapi adalah produk yang harus

diproduksi untuk mencapai keuntungan maksimal,maka jawabannya 1

adalah sangat tidak mungkin memproduksi produk setengah-setengah. Dalam

hal ini haruslah ditentukan apakah akan memproduksi satu atau dua produk.

Pendekatan pembulatan dari solusi nilai pecahan tidak dapat memenuhi semua

kendala dan menyimpang cukup jauh dari solusi bulat yang tepat. Integer

10

programming merupakan teknik dari linier programming dengan tambahan

persyaratan semua atau beberapa variabel bernilai bulat nonnegatif.

2.2.4 Jenis Integer Programming

Ada tiga jenis Integer programming yaitu:

Pure Integer programming (programa bilangan bulat murni)

Apabila seluruh variabel keputusan dari permasalahan programa linier

harus berupa bilangan bulat bulat. Disini asumsi divisibilitasnya hilang

sama sekali.

Contoh : min Z= 3x1+5x2

S/t 2x1+4x2 4

3x1+2x2 5

x1,x2 0 , x1,x2integer

Mixed Integer programming (programa bilangan bulat campuran)

Apabila sebagian variabel keputusan dari permasalahan programa

linier harus berupa bilangan bulat bulat. Disini asumsi divisibilitasnya

melemah.

Contoh : min Z= 3x1+5x2

S/t 2x1+4x2 4

3x1+2x2 5

x1,x2 0 , x2integer

Zero one Integer programming (programa bilangan bulat nol satu)

Apabila seluruh variabel keputusan dari permasalahan programa linier

harus berupa bilangan bulat bulat. Disini asumsi divisibilitasnya hilang

sama sekali.

Contoh : min Z= 3x1+5x2

S/t 2x1+4x2 4

3x1+2x2 5

x1,x2= 0 atau 1

(Tjutju T.D, Operations Research ,2003)

11

2.2.5 Metode Pemecahan Programa Bilangan Bulat

1.Metode Grafis

Metode ini sama seperti pada pemecahan dalam bentuk grafis,namun

dengan tambahan pembatas sebagian atau semuanya bilangan bulat. Metode

ini kadang tidak mampu memberikan solusi yang optimal sesuai yang diminta.

2.Metode Round Off

Metode ini memberikan cara kolot terhadap permasalahan programa

bilangan bulat yakni dengan melakukan pembulatan ( Round Off ) terhadap

solusi optimal bila dimngkinkan Namun metode ini kadang tidak memberikan

metode yang optimal.

3.Metode Branch and Bound

Metode ini dilakukan dengan mengibaratkan suatu permasalahan senagai

pohon,kemudian permasalahan tersebut dibuat percabangan (Branching )

kedalam subset yang lebih kecil. Dari subset tersebut diselesaiakan dengan

membatasi (bounding) solusi optimal dari subset-subset yang lain. Apabila

suatu subset sudah tidak dapat memberikan informasi yang berguna ,maka

subset tersebut dikatakan fathomed. Jadi metode ini dilakukan dalam 3 tahap :

Branching

Bounding

fathomed.

Metode ini sangat baik diterapkan pada pure maupun mixed integer

programming.

( Diana Puspitasai,2009)

12

2.3 Transportasi

Metode transportasi dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa persoalan

optimasi. Persoalan transportasi berkenaan dengan pemilihan route (jalur)

pengangkutan yang mengakibatkan biaya total daripengangkutan itu minimum.

Perumusan persoalan pertama kali dikemukakan oleh F.L. Hitchock pada tahun

1941, kemudian diperluas oleh T.C. Koopmans. Padatahun 1953, W.W. Cooper dan

A. Charnes mengembangkan metode STEPPING-STONE, dan selanjutnya pada

tahun 1955, sebagai modifikasi dari metode Stepping-Stone, dikembangkan metode

MODI (MODIFIED DISTRIBUTION)

Model transportasi berkaitan dengan suatu situasi dimana suatukomoditas

hendak di kirim dari sejumlah sources ( sumber ) menuju kesejumlah destination

(tujuan ). Tujuan dari persoalan tersebut adalah menentukan jumlah komoditas yang

harus di kirim dari tiap-tiap source ke tiap-tiap destination sedemikian hingga biaya

total pengiriman dapat diminimumkan, dan pada saat yang sama pembatas yang

berupa keterbatasan pasokan dan kebutuhan permintaan tidak dilanggar.

(Setiawan ; 2006)

Secara umum persoalan transportasi dapat di gambarkan sebagai berikut :

Gambar 2.2 Model Dasar Model Dasar Transportasi

Transportasi adalah model pemindahan penumpang atau barang dari satutempa

ke tempat lain. Menurut Taha (1996; 202) sesuai dengan namanya, model ini

13

berkaitan dengan penentuan rencana biaya terendah untuk mengirim

susuatudari sejumlah sumber ke sejumlah tujuan.

Data ini mencakup:

a. Tingkat penawaran di setiap sumber dan jumlah permintaan di setiap

tujuan.

b. Biaya transportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan.

Tujuan dari model menentukan jumlah yang harus dikirim dari setiap sumber

kesetiap tujuan sedemikian rupa sehingga biaya transportasi total

diminimumkan. Menurut Tarliah (1999; 129) ciri-ciri khusus transportasi

adalah sebagai berikut:

1. Terdapat sejumlah sumber dan tujuan.

2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber

dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu.

3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan

besarnya sesuai dengan permintaan dan kapasitas sumber.

4. Biaya transportasi komoditas dari suatu sumber ke suatu tujuan besarnya

tertentu.

Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan dalam gambar 2.1

berikut ini :

Misalkan ada sumber dan n buah tujuan.

14

Gambar 2.3 Diagram Model Transportasi

Keterangan:

- Masing-masing sumber mempunyai kapasitas = 1,2,3, m.

- Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak, bj, j = 1,2,3,... n.

- Jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber I ke tujuan J. adalah

sebanyak xij.

- Ongkos pengiriman per unit dari sumber i ke tujuan j adalah cij.

Dengan demikian, maka formulasi program linearnya adalah sebagai berikut:

Meminimkan: Max.z = (2.7)

Berdasarkan pembatas : =1 = ai, i = 1, 2, , m.

=1 = aj, i = 1, 2, , m.

xij > 0 untuk seluruh i dan j

Sebagai ilustrasi, jika ada 2 buah sumber dan 3 tujuan (m = 2, n = 3)

Formulasi matematis :

Min Z = C11X11+ C12X12+ C13X13+ C21X21+ C22X22+ C23X23

15

Berdasarkan pembatas(S/t):

X11+X12+X13 = a1

X21+X22x+X23 = a2 (2.8)

X11+X21 = b1

X12+X22 = b2

X13+X23 = b3

Dan matriks persoalan transportasinya adalah sebagai berikut :

(Pdf Universitas Gunadarma, 2009)

2.3.1 Metode Transportasi

Dalam penyelesaian persoalan transportasi, harus dilakuan langkah-langkah

sebagai berikut:

o Tentukan solusi fesibel awal.

o Tentukan entering variable dari variable-variabel non basis. Bila

semua variable sudah memenuhi kondisi optimum, STOP. Bila

belum, lanjutkan langkah c.

o Tentukan leaving variable diantara variable-variebel basis yang ada,

kemudian hitung solusi baru. Kembali ke langkah b.

Menentukan solusi fesibel awal.

Ada beberapa metode yang digunakan untuk menentukan solusi fesibel

awal yaitu :

1. Metode North West Corner Method

Metode North West Corner Method diperkenalkan oleh Charnes dan

Cooper, kemudian dikembangkan oleh Danzig. Caranya sebagai berikut :

Pembatas sumber

Pembatas tujuan

16

o Mulai dari pojok barat laut pada tabel persoalan transportasi.

o Teruskan langkah ini, setapak demi setapak, menjauhi pojok barat

laut, sehingga akhirnya harganya telah dicapai pada pojok

tenggara dari tabel.

(Siagian, 1987; 159)

2. Metode Ongkos Terkecil (Least Cost Method)

Langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut :

o Identifikasi sel dalam tabel transportasi dengan biaya terendah, dan

alokasikan sebanyak mungkin arus sel lain. Bila ada pertalian, pilih

sel yang berhubungan dengan busur dimana paling banyak unit

yang dikirim. Bila masih terdapat pertalian, pilih salah satu dari sel

yang bertalian.

o Kurangi baris penawaran dan kolom permintaan sebesar jumlah

arus yang dilokasikan ke sel yang diidentifikasikan dalam langkah

a.

o Bila semua baris penawaran dan kolom permintaan telah habis,

STOP. Bila tidak dilanjutkan dengan d.

o Bila baris penawaran sekarang nol, hapus garis itu dari

pertimbangan lebih lanjut dengan menggambar satu garis

melaluinya.Jika kolom permintaan nol, hapus kolom itu dan

menggambar garis yang melaluinya.

o Teruskan dengan langkah a untuk semua baris dan kolom yang

tidak bergaris.

(Anderson, dkk, 1993; 326)

3. Metode Vogel ataua Vogel Aproximation Method (VAM)

Metode Vogel merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk

mengatur alokasi dari beberapa sumber ke beberapa daerah pemasaran.

Menurut Subagyo, dkk, (1990; 100) langkah-langkah untuk

mengerjakannya adalah sebagai berikut :

17

o Susunlah kebutuhan, kapasitas masing-masing sumber dan biaya

pengangkutan kedalam matriks.

o Carilah perbedaan dari dua biaya terkecil (dari nilai absolute), yaitu

biaya terkecil kedua untuk setiap baris dan kolom.

o Pilih satu nilai perbedaan-perbedaan tersebut diantara semua nilai

perbedaan pada kolom dan baris.

o Isilah pada satu segi empat yang termasuk dalam kolom atau baris

terpilih, yaitu pada segi empat yang biayanya terendah diantara segi

empat yang lain pada kolom atau baris itu. Isinya sebanyak mungkin

yang bisa dilakukan.

o Hilangkan baris atau kolom tersebuat karena baris tersebut sudah

diisi sepenuhnya sehingga tidak mungkin diisi lagi.

o Tentukan kembali perbedan (selisih) biaya pada langkah b untuk

kolom dan baris yang belum terisi. Ulangi langkah c sampai dengan

langkah e, sampai semua kolom dan baris teralokasi.

o Setelah terisi semua, hitung biaya transportasi secara keseluruhan.

4. Penyelesaian Optimalisasi.

Metode yang digunakan untuk uji optimalisasi adalah:

a. Metode Batu Loncatan (Stepping Stone)

Untuk menentukan entering variable dan leaving variable terlebih

dahulu dibuat suatu loop tertutup bagi setiap variable non basis. Loop

tersebut berawal dan berakhir pada variable non basis, dimana setiap

sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh

variable-variabel basis dalam tabel transportasi. Loop digunakan

untuk memeriksa kemungkinan diperolehnya penurunan ongkos jika

variable non basis dimasukkan menjadi basis. Cara yang dilakukan

adalah dengan memeriksa semua variabel non basis yang terdapat

dalam suatu interaksi, sehingga dapat ditentukan entering variable.

b. Metode MODI (Modified Distribution)

18

Metode MODI tidak lain dari algoritma batu loncatan (Stepping Stone)

dengan teknik yang sudah diperhalus untuk menghitung indeks yang

akan ditingkatkan. Perbedaan antara kedua cara ini terletak pada

langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan yang

mana terdapat jejak tertutup yang akan ditelusuri. Metode MODI

menghitung indeksi yang akan ditingkatkan ialah tanpa

menggambarkan semua jejak tertutup. Cara MODI cukup menelusuri

satu saja jejak tertutup. Sama seperti pada batu loncatan, dalam cara

MODI dengan aturan pojok barat laut. Sesudah itu baru diteruskan

dengan cara MODI dengan melakukan langkah-langkah penyelesian

secara berurutan.

Adapun langkah-langkahya sebagai berikut :

1. Mengetes kemerosotan, alat tes ialah dengan menguji apakah (m + n

1) sama dengan jumlah sel yang terisi. Apabila jumlah sel yang terisi

sama maka bukan persoalan merosot, tapi bila jumlah sel yang terisi

tidak sama maka persoalan merosot, dan pemecahannya dilakukan

seperti pada batu loncatan.

2. Menghitung harga indeks A dan T.

Langkah kedua adalah menghitung bilangan indeks, baik indeks

baris(Ai) mauun indeks kolom (Tj ). Ini dilaksanakan dengan menitik

beratkan pada sel yang sudah terisi, dimana berlaku rumus :

Ai + Tj = Cij, i, j = 1, 2, 3.....(2.9)

Dimana:

Ai = Indeks baris

Tj = Indeks kolom

Cij = Harga dari tiap sel (i, j) yang terisi

3. Menghitung indeks yang ditingkatkan atau sel yang tidak terisi.

19

Langkah ini dilakukan begitu harga baris dan kolom sudah dihitung

menggunakan sel yang sudah terisi. Langkah ini dapat dilakukan

dengan menggunakan rumus :

Iij = Cij Ai Tj..(2.10)

Dimana :

Iij = Indeks yang akan ditingkatkan untuk tiap sel yang belum terisi

Cij = Biaya pada baris ke i dan kolom ke j yang belum terisi

Ai = Baris ke i

Tj = Kolom ke j

4. Jawab Optimal

Untuk mendapat jawaban optimal, kalau semuanya sudah positif.

Apabila sudah dicapai keadaan dimana :

Ai + Tj < atau Iij > 0

Dimana i = 1, 2, .. m, j = 1, 2, n.

Maka jawab optimal sudah dicapai.

(Tarliah1999; 133)

Contoh persoalan transportasi:

1.Menyusun tabel transporasi

2.Penyelesaian Awal (Metoda sudut barat laut)

20

3. Uji Perbaikan

Uji perbaikan pada segi empat WB:

Bagaimana seandainya ditempatkan muatan ke segi empat WB? Jika

satu muatan akan ditempatkan pada segi empat WB, maka harus

dikurangi satu muatan dari segi empat WA, ditambah satu muatan pada

segiempat YA dan dikurangi satu muatan pada segi empat YB (supaya

total kapasitas dan total kebutuhan/ jumlah ke kanan dan jumlah ke

bawah tetap)

Perhatian sekarang pada segi empat-segi empat WB, WA, XA dan XB.

Jika satu muatan ditempatkan pada segi empat WB, maka penempatan

sekarang menjadi

21

Lakukan perbaiakan secara terus menerus hingga diperoleh hasil akhr

sebagai berikut :

4.Memilih Segiempat dengan kotak perbaikan paling bagus

Dari ke empat segi empat yang diuji, ternyata segi empat XC memiliki

indeks perbaikan paling bagus (pengurangan biaya paling besar), segi

empat XC inilah yang dipilih.

22

(Tarliah, 1999; 137)

2.4 Teori Permainan

Teori permainan adalah bagian dari ilmu matematika yang mempelajari interaksi

antar agen, di mana tiap strategi yang dipilih akan memiliki payoff yang berbeda

bagi tiap agen. Pertama kali dikembangkan sebagai cabang tersendiri dari ilmu

matematika oleh Oskar Morgenstern dan John von Neumann, cabang ilmu ini telah

berkembang sedemikian pesat hingga melahirkan banyak tokoh peraih nobel, seperti

John Nash (AS), Reinhard Selten (Jerman), dan John Harsanyi (AS) pada tahun

1999 dan Thomas Schelling (AS), Robert Aumann (Israel) pada tahun 2005, dan

Leonid Hurwicz (Amerika Serikat) pada tahun 2007.

2.4.1 Model Teori Permainaan

Model teori permainan dapat diklasifikasikan dengan sejumlah cara seperti

jumlah pemain, jumlah keuntungan dan kerugian serta jumlah strategi yang

digunakan dalam permainan.

Permainan Dua-Pemain : bila jumlah pemain adalah dua.

Jika jumlah keuntungan dan kerugian adalah nol, disebut permainan

jumlah- nol! Atau jumlah-konstan. Sebaliknya bila tidak sama dengan nol,

permainan disebut permainan bukan jumlah nol (non zero zum game)

2.4.2 Unsur Dasar Teori Permainan

23

Angka dalam matriks pay off merupakan hasil dari strategi

permainan yang berbeda.

Suatu strategi permainan merupakan suatu kegiatan menyeluruh dari

pemain sebagai aksi maupun reaksi yang akan diberikan.

Aturan permainan menunjukan kerangka dari strategi masing-

masing.

Strategi dikatakan dominan apabila suatu pay off dalam strategi

superior terhadap pay off yang lain.

Strategi optimal merupakan kegiatan menyeluruh yang memberikan

keuntungan maksimal.

2.4.3 Penyelesaian Masalan Teori Permainan

Strategi Murni (Pure Strategy Game)

Dalam strategi Murni, strategi optimal untuk setiap pemain adalah

dengan menggunakan strategi tunggal.Melalui aplikasi kriteria maximin

dan kriteria minimax.Nilai yang dicapai harus merupakan maksimum

dari minimaks baris dan minimum dari minimaks kolom, titik ini

dikenal sebagai titik pelana (saddle point).

Strategi Campuran (Mixed Strategy Game)

Penyelesaian masalah dengan strategi campuran dilakukan apabila

strategi murni yang digunakan belum mampu menyelesaikan masalah

permainan atau belum mampu memberikan pilihan strategi yang

optimal bagi masing-masing pemain/perusahaan. Dalam strategi ini

seorang pemain atau perusahaan akan menggunakan campuran/lebih

dari satu strategi untuk mendapatkan hasil optimal

(Diana Puspita, 2009)

2.4.4 Software Gambit

Gambit adalah library perangkat lunak teori permainan dan alat-alat untuk

pembangunan dan analisis permainan yang luas dan strategis terbatas.

Gambit dirancang untuk menjadi portabel di seluruh platform, dan berjalan

24

pada Linux, Mac OS X, dan Windows. Proyek Gambit menyediakan:

Sebuah antarmuka pengguna grafis, berdasarkan perpustakaan wxWidgets,

menyediakan antarmuka umum dengan asli tampilan dan nuansa seluruh

platform. Sebuah perpustakaan C + + kode sumber untuk mewakili game,

cocok untuk digunakan dalam aplikasi lain. Sebuah API Python untuk

aplikasi scripting. Sebuah antarmuka pengguna berbasis browser baru,

Game Theory Explorer (GTE), untuk masukan dari permainan yang luas

dan strategis.

(Wikipedia, 2011)

2.5 Teori antrian

Teori antrian adalah cabang dari terapan teori probabilitas yang awalnya digunakan

untuk mempelajari kemacetan lalu lintas telepon, Pertama kali diperkenalkan oleh

seorang ahli matematika dari Denmark, Agner Kramp Erlang (1878-1929). Proses

antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seorang pelangan

pada suatu fasilitas pelayanan kemudian menunggu dalam suatu baris atau antrian

karena pelayannya sedang sibuk dan akhirnya meninggalkan sistem setelah selesai

dilayani. Sedangkan yang dimaksud dengan sistem antrian adalah himpunan pelanggan,

pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para pelanggan dan pemrosesan

masalahnya

2.5.1 Elemen Sistem Antrian

Elemen sistem antrian merupakan komponen yang merupakan bagian atau anggota

dari sistem antrian, yaitu :

Pelanggan

Pelanggan adalah orang atau barang yang menunggu untuk dilayani. Arti

dari pelanggan tidak harus berupa orang, misalnya saja antrian pada loket

pembayaran di supermarket.

Pelayan

25

Pelayan adalah orang atau sesuatu yang memberikan pelayanan. Seperti

halnya pelanggan, pelayan juga tidak harus berupa orang. Misalnya pada

pengambilan uang melalui ATM, mesin ATM dalam hal ini merupakan

pelayan.

Antrian

Antrian merupakan kumpulan pelanggan yang menunggu untuk dilayani.

(Diana Puspita, 2009)

2.5.2 Karakteristik Antrian

Karakteristik yang dapat dilihat dari suatu sistem antrian antara lain :

Distribusi kedatangan ( kedatangan tunggal atau kelompok) Distribusi

kedatangan dari pelanggan dapat dilihat dari waktu antar kedatangan 2

pelanggan yang berurutan (interarrival time) . Pola kedatangan ini dapat

bersifat deterministik ( pasti) maupun stokastik (acak).

Distribusi waktu pelayanan (pelayanan tunggal atau kelompok) Distribusi

pelayanan dapat bersifat deterministik maupun stokastik. Waktu pelayanan

yang sifatnya tetap disebut deterministik.

Sarana pelayanan (stasiun serial, paralel atau jaringan) Pada rancangan

sarana pelayanan ini, didalamnya termasuk juga jumlah server (pelanggan)

yang dimiliki oleh sistem pelayanan.

Peraturan pelayanan (FCFS, LCFS, SIRO) dan prioritas pelayanan

Peraturan yang dimaksud adalah prosedur yang dapat digunakan oleh para

pelayan untuk memutuskan urutan pelanggan yang dilayani dari antrian.

Ukuran antrian (terhingga atau tidak terhingga. Ukuran antrian artinya

jumlah maksimum pelanggan yang diijinkan berada dalam sistem

pelayanan (dalam antrian dan dalam pelayanan).

Sumber pemanggilan (terhingga atau tidak terhingga) Ukuran sumber

pemanggilan merupaka ukuran populasi yang potensial untuk menjadi

pelanggan (calling population).

26

Perilaku manusia (perpindahan, penolakan, atau pembatalan). Dalam

sistem antrian, terkadang terjadi perilaku pelanggan yang keluar dari

prosedur. Reneging (pembatalan) yaitu meninggalkan antrian sebelum

dilayani, balking (penolakan) yaitu menolak untuk memasuki antrian.

2.5.3 Tata Letak Model Antrian

Singel Chanel Single Phase

Sistem ini adalah yang paling sederhana. Single channel berarti bahwa

hanya adasatu jalur untuk memasuki sistem pelayanan atau ada satu

fasilitas pelayanan. Singlephase menunjukkan bahwa hanya ada satu

fasilitas pelayanan. Single phasemenunjukkan bahwa hanya ada satu

stationpelayanan atau sekumpulan tunggaloperasi yang dilaksanakan.

Setelah menerima pelayanan, individu-individu keluar darisistem.

Contoh untuk model struktur ini adalah seorang tukang cukur, pembelian

tiket kertetaapi antarkota kecil yang dilayani oleh satu loket, seorang

pelayan took, dan sebagainya.

Single channel-Multiphase

Istilah multiphase menunjukkan ada dua atau lebih pelayanan yang

dilaksanakansecara berurutan (dalam phase-phase). Sebagai contoh, lini

produksi massa, pencucianmobil, tukang cat mobil, dan sebagainya.

Multichannel-Single Phase

Sistem multichannel-single phase terjadi (ada) kapan saja dua atau lebih

fasilitaspelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Sebagai contoh model ini

adalah pembeliantiket yang dilayani oleh lebih dari satu loket pelayanan

potong rambut oleh beberapatukang potong, dan sebagainya.

Multichannel-Multiphase

Contoh model ini yaitu herregistrasi para mahasiswa di universitas,

pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran, diagnosa,

penyembuhan sampai pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai

beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu

individu dapat dilayani pada suatu waktu. Pada umumnya, jaringan antrian

27

ini terlalu kompleks untuk dianalisa dengan teori antrian,mungkin simulasi

lebih sering digunakan untuk menganalisa sistem ini.

2.5.4 Proses Kelahiran dan Kematian

Kelahiran adalah kedatangan unit yang baru dalam system antrian sedangkan

kematian adalah kepergian unit yang telah dilayani. Proses kelahiran-kematian

biasanya digunakan untuk menganalisa sistemsistemyang bersifat masa seperti

sistem jaringan telekomunikasi dan komputer(dimana sistem mempunyai

pelanggan dalam jumlah besar). Proses ini cocokuntuk pemodelan perubahan-

perubahan pada jumlah populasi.

2.5.5 Ukuran Steady State Kinerja Antrian

Kondisi transient berlaku ketika perilaku sistem terus bergantung pada waktu,

seperti halnya proses kelahiran murni dan kematian murni. Sedangkan antrian

dengan gabungan kedatangan dan keberangkatan dimulai berdasarkan kondisi

transient dan secara bertahap mencapai kondisi steady state setelah cukup

banyak waktu berlalu, asalkan paremeter dari sistem tersebut memungkinkan

dicapainya steady state (laju kedatangan > laju pelayanan tidak akan

mencapai steady state tanpa bergantung pada waktu yang telah lalu, karena

ukuran antrian akan meningkat dengan waktu)

(Diana Puspita, 2009)

2.5.6 Struktur Model Antrian

Teori antrian bertujuan untuk mengetahui / menentukan besaran kinerja

system antrian.Kinerja system dapat kita lihat dari:

Paanjang antrian rata-rata

Jumlah pelanggan rata-rata dalam SA

Waktu tunggu (waktu antri rata-rata)

Waktu rata-rata sekarang pelanggan dalam system antrian

28

Adapun dasar karakteristik operasi dari sistem M/M/s/K ini adalah :

1. Probabilitas sistem menganggur

K

sn

Snsns

n Ssn

P

!

1

!

1

10

1

0..(2.11)

2. Jumlah maksimum pelanggan yang berada dalam antrian (Q)

3. Jumlah maksimum pelanggan yang berada dalam sistem

K = Q + s...(2.12)

4. Probabilitas n pelanggan dalam sistem antrian

Pn = P(n-1)n

1

untuk n s, Pn = P(n-1)

s

1

untuk s < n K.(2.13)

5. Probabilitas seorang pelanggan datang dan menunggu dalam antrian

Pw =

2

)(nP

untuk n s(2.14)

6. Jumlah pelanggan yang diperkirakan berada di dalam antrian

Lq =

SSK

SP

SS

SSK

111

1!

02

2

.(2.15)

7. Jumlah pelanggan yang diperkirakan berada didalam sistem :

Karena mekanisme pelayanan memuat lebih dari satu pelayanan dimana

tiap saluran mempunyai laju sama dengan , maka laju pelayanan

seluruh mekanisme pelayanan di dalam sistem ialah dikalikan dengan

jumlah saluran yaitu s. Karena itu s disebut

laju pelayanan mekanisme dan disebut laju pelayanan saluran. Jadi

untuk sistem saluran ganda kita peroleh :

L = Lq +

(1 P(K) )................................................................(2.16)

8. Jumlah pelanggan yang dapat dilayani dalam masa sibuk

29

Lb =)( snP

Lq

=

Pw

Lq

.. .(2.17)

9. Waktu dalam masa sibuk

Wb = )( snP

Wq

=

Pw

Wq

..(2.18)

10. Waktu menunggu yang diperkirakan bagi pelanggan untuk berada di

dalam antrian :

Wq =

Lq

(1 P(k)).....(2.19)

11. Tingkat kedatangan efektif

Ef = )()( nPn

12. Rata-rata pelanggan yang tidak terlayani karenasistem dalam keadaan

penuh(B)

B = - Tingkat kedatangan efektif....(2.20)

13. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat server dalam

keadaan sibuk per satuan waktu

Cs(L Lq) = Csp....(2.21)

14. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat server dalam

keadaan menganggur (idle) per satuan waktu

A = Ci(s - ) = Ci(s L + Lq)........................................................(2.22)

15. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat pelanggan

menunggu dalam antrian per satuan waktu

B = CwWq( )()( nPn )..(2.23)

16. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat pelanggan

mendapatkan pelayanan per satuan waktu

C = Cu(W Wq)( )()( nPn )....(2.24)

17. Biaya total yang dikeluarkan oleh perusahaan pada saat pelanggan tidak

terlayani karena sistem dalam keadaan penuh

30

D = CbB...(2.25)

18. Biaya total yang dikeluarkan saat server dalam keadaan sibuk

E = Cs ( L Lq ) .(2.26)

19. Total biaya yang dikeluarkan

A + B + C + D + E...(2.27)

(Diana Puspita, 2011)

2.5.7 Software QA

Perangkat lunak (QA) terdiri dari alat pemantauan proses rekayasa perangkat

lunak dan metode yang digunakan untuk memastikan kualitas. Metode yang

dicapai banyak dan beragam, dan mungkin termasuk memastikan kesesuaian

dengan satu atau lebih standar, seperti ISO 9000 atau model seperti CMMI.

QA meliputi seluruh proses pengembangan perangkat lunak, yang mencakup

proses seperti definisi persyaratan, perancangan perangkat lunak, coding,

kontrol kode sumber, review kode, manajemen perubahan, manajemen

konfigurasi, pengujian, manajemen rilis, dan integrasi produk. SQA diatur

menjadi gol, komitmen, kemampuan, kegiatan, pengukuran, dan verifikasi.

(Wikipedia, 2011)

2.7 Programa Dinamis

Pemrograman dinamis ini pertama kali dikembangkan oleh seorang ilmuwan

benama Richard Bellman pada tahun 1957. Apabila dalam riset operasional yang

lain, memiliki formulasi standar untuk memecahkan masalah, maka dalam

pemrograman dinamis ini tidak ada formulasi yang standar, artinya setiap masalah

dalam pemrograman dinamis memerlukan pola pendekatan atau penyelesaian yang

berbeda satu dengan lainnya. Oleh karena itu perlu berlatih soal sebanyak mungkin

untuk mendapatkan banyak bentuk penyelesaian kasus yang berbeda-beda.

Pemrograman dinamis adalah teknik matematik yang dapat diterapkan pada

berbagai jenis persoalan. Ia dapat digunakan untuk menyelesaikan pesoalan dalam

area seperti alokasi, pemuatan kargo, penggantian, pembuatan jadwal, dan

inventory. Meskipun demikian, program dinamik adalah 'pendekatan' untuk

31

penyelesaian persoalan dan bukan algoritma tunggal yang dapat digunakan untuk

menyelesaikan semua jenis persoalan. Jadi, diperlukan algoritma terpisah untuk

menyelesaikan setiap jenis persoalan.

Pendekatan program dinamik meliputi optimisasi proses keputusan multi tahap,

yaitu membagi suatu persoalan ke dalam tahap-tahap atau sub problem dan

kemudian menyelesaikan sub problem itu secara berurutan sampai persoalan awal

akhirnya dapat diselesaikan. Jantung pendekatan program dinamik adalah asas

optimalitas Bellman yang mengatakan bahwa suatu kebijaksanaan optimal

mempunyai sifat bahwa apapun keadaan awal atau keputusan awal,keputusan tersisa

harus merupakan kebijaksanaan optimal terhadap keadaan yang dihasilkan

keputusan pertama.

Karakteristik Persoalan Program Dinamis

Persoalan dapat dibagi menjadi beberapa tahap (stage), yang pada setiap

tahap hanya diambil satu keputusan.

Masing-masing tahap terdiri dari sejumlah status (state) yang berhubungan

dengan tahap tersebut. Secara umum, status merupakan bermacam

kemungkinan masukan yang ada pada tahap tersebut.

Hasil dari keputusan yang diambil pada setiap tahap ditransformasikan dari

status yang bersangkutan ke status berikutnya pada tahap berikutnya.

Ongkos (cost) pada suatu tahap meningkat secara teratur (steadily) dengan

bertambahnya jumlah tahapan.

Ongkos pada suatu tahap bergantung pada ongkos tahap-tahap yang sudah

berjalan dan ongkos pada tahap tersebut.

Keputusan terbaik pada suatu tahap bersifat independen terhadap keputusan

yang dilakukan pada tahap sebelumnya.

Adanya hubungan rekursif yang mengidentifikasikan keputusan terbaik

untuk setiap status pada tahap k memberikan keputusan terbaik untuk setiap

status pada tahap k + 1.

Prinsip optimalitas berlaku pada persoalan tersebut

32

(Haryanto,2008)

2.7 Stagecoach

Masalah stagecoach adalah masalah klasik dalam programa dinamis. Latar belakang

untuk masalah ini adalah diibaratkan sebagai seorang salesman. Dia bepergian dari

kota S ke kota kota T, namun tidak ingin membayar lebih untuk transportasi dari

yang diperlukan. Sarana transportasi stagecoache, yang dijadwalkan antara kota-

kota kecil di daerah itu. Biaya perjalanan yang dapat ditemukan dengan

menambahkan ongkos perjalanan. Mengingat peta skematis dari rute yang mungkin

dalam bentuk grafik di bawah ini dengan biaya dari individu membentang terkait

dengan busur, masalah dapat dirumuskan sebagai mencari biaya total jalur termurah

dari S ke T dalam grafik. Tujuan dari metode ini adalah mencari biaya termurah

yang dapat dirumuskan. Pertama kita mendefinisikan grafik dengan biaya perjalanan

termurah dari n ke T. Kemudian mencari biaya minimum yang berasal dari

rangkaian rute.

( Harianto, 2008)

2.8 Persoalan Knapsack

Knapsack Problem merupakan suatu persoalan yang menarik untuk diteliti dan

diimplementasikan pada situasi nyata. Persoalan ini banyak diterapkan pada situasi

nyata utamanya pada bidang jasa, seperti pengangkutan barang pada peti kemas atau

dalam skala kecil pada pengangkutan barang dalam kemasan. Inti dari permasalahan

ini adalah bagaimana menentukan kombinasi barang yang akan diangkut untuk

memperoleh keuntungan yang maksimal, dengan pertimbangan tidak melebihi

kapasitas alat angkut yang digunakan. Distribusi barang merupakan sebuah proses

pengiriman barang dari pemasok atau pabrik ke konsumen. Dalam proses ini

tentunya dikeluarkan biaya dalam proses pengiriman, apalagi jarak antar tempat

pengiriman berbeda-beda dan cukup jauh. Agar biaya yang dikeluarkan sedikit dan

memperoleh keuntungan yang maksimal, maka barang-barang yang didistribusikan

sebaiknya dipilih secermat mungkin. Sebagai contoh adalah pada pendistribusian

buah dalam kemasan. Untuk optimalisasi proses distribusi, maka hal-hal yang perlu

33

diperhatikan adalah berat dan volume buah, waktu keawetan, tingkat kebutuhan

pasar, dan keuntungan dari tiap buah kemasan.

(Adityawan, 2009).

Knapsack Problem merupakan masalah optimasi kombinatorial. Sebagai contoh

adalah suatu kumpulan barang masing-masing memiliki berat dan nilai, kemudian

akan ditentukan jumlah tiap barang untuk dimasukkan dalam koleksi sehingga total

berat kurang dari batas yang diberikan dan nilai total seluas mungkin (wikipedia,

2009). Knapsack problem merupakan salah satu dari persoalan klasik yang banyak

ditemukan dalam literatur-literatur lama dan hingga kini permasalahn tersebut masih

sering ditemukan dalam kehidupan sehari-hari. Contoh nyata dari Knapsack

Problem ini misalnya, jika ada seorang pedagang barang kebutuhan rumah tangga

yang berkeliling menggunakan gerobak. Tentu saja gerobaknya memiliki kapasitas

maksimum, sehingga ia tidak bisa memasukkan semua barang dagangannya dengan

seenak hatinya. Pedagang tersebut harus memilih barang-barang mana saja yang

harus ia angkut, dengan pertimbangan berat dari barang yang dibawanya tidak

melebihi kapasitas maksimum gerobak dan memaksimalkan profit dari

barangbarang yang dibawa (Adit, 2009). Sebuah Knapsack memiliki kapasitas total

V, dimana terdapat n buah item berbeda yang dapat ditempatkan dalam knapsack.

Item i memmiliki bobot vi dan profitnya bi. Jika Xi adalah jumlah item i yang akan

dimasukkan dala Knapsack yaitu bernilai 1 dan 0, maka secara umum tujuan yang

harus tercapai adalah:

34

Dimana V: keuntungan

w: Berat

X : barang

W: Kapasitas Knpasack

Tujuan Knapsack problem adalah agar mendapatkan keuntungan yang maksimum

dari pemilihan barang tanpa melebihi kapasitas daya tampung media transportasi

tersebut.

Penyelesaian Knapsack dengan Greedy :

1. Greedy by Profit

Pada setiap langkah Knapsack diisi dengan obyek yang mempunyai keuntungan

terbesar. Strategi ini mencoba memaksimumkan keuntungan dengan memilih

objek yang paling menguntungkan terlebih dahulu. Pertama kali dilakukan

adalah menurutkan secara menurun obyek-obyek berdasarkan profitnya.

Kemudian obyek-obyek yang dapat ditampung oleh knapsack diambil satu

persatu sampai knapsack penuh atau (sudah tidak ada obyek lagi yang bisa

dimasukan).

2. Greedy by Wight

Pada setiap langkah, knapsack diisi dengan objek yang mempunyai berat paling

ringan. Strategi ini mencoba memaksimumkan keuntungan dengan memasukan

35

sebanyak mungkin objek kedalam knapsack. Pertama kali yang dilakukan

adalah mengurutkan secara menaik objek-objek berdasarkan weight-nya.

Kemudian obyek-obyek yang dapat ditampung oleh knapsack diambil satu

persatu sampai knapsack penuh atau (sudah tidak ada obyek lagi yang bisa

dimasukan).

3. Greedy By Density

Pada setiap langkah, knapsack diisi dengan obyek yang mempunyai densitas

terbesar (perbandingan nilai dan berat terbesar). Strategi ini mencoba

memaksimumkan keuntungan dengan memilih objek yang mempunyai

keuntungan per unit berat terbesar. Pertama kali yang dilakukan adalah mencari

nilai profit per unit/ density dari tiap-tiap objek. Kemudian obyek-obyek

diurutkan berdasarkan densitasnya. Kemudian obyek-obyek yang dapat

ditampung oleh knapsack diambil satu persatu sampai knapsack penuh atau

(sudah tidak ada obyek lagi yang bisa dimasukan).

(wikipedia, 2009)

36

BAB III

PROFILE COMPANY

3.1 Sejarah Perusahaan

Power Synergic Consultant berdiri pada tahun 2013 sebagai biro konsultan lepas

untuk Sistem Manajemen Mutu. Power Synergic Consultant sebagai perusahaan swasta

yang bergerak di manajemen perdagangan umum, dan konsultan manajemen selalu

menekankan pada aspek profesional, berorientasi pada kualitas dan ketepatan waktu

untuk melayani kebutuhan yang makin berkembang dalam manajemen perusahaan agar

semakin maju. Dengan usia perusahaan yang relatif muda, Power Synergic Consultant

mempunyai visi untuk menjadi perusahaan terbaik yang bisa menyelesaikan semua

masalah perusahaan, baik dari perusahaan dengan skala kecil hingga skala besar

sehingga tujuan perusahaan dapat tercapat dengan maksimal, sesuai dengan motto kami

: The Right Solution for Your Business Needs.

3.2 Logo Perusahaan

Arti Lambang :

Bola dengan garis garis di dalamnya memberikan arti perusahaan yang bersinergi dalam

segala aspek dan selalu bekerjasama dalam mencapai tujuan. Warna orange

melambangkan sosialisasi, penuh harapan dan percaya diri, membangkitkan semangat,

37

vitalitas dan kreatifitas. Warna biru melambangkan kestabilan dan konsistensi

perusahaan dalam kompetensinya untuk melaksanakan tugas. Warna hijau

melambangkan bersinergi dengan lingkungan sekitar dan sebagai symbol keseimbangan

pada perusahaan.

3.3 Visi dan Misi Perusahaan

Visi

Menjadi perusahaan business consultant terbaik yang bisa menyelesaikan semua

masalah perusahaan, baik dari perusahaan dengan skala kecil hingga skala besar

sehingga tujuan perusahaan dapat tercapat dengan maksimal.

Misi

Memberikan pelayanan yang terbaik bagi seluruh klien kami dan memeberikan

solusi terbaik untuk memecahkan masalah yang ada pada perusahaan.

3.4 Struktur Organisasi

38

BAB IV

PENGOLAHAN DATA

4.1 Pengumpulan Data

4.1.1Kasus 1:

Tujuan : Memenuhi permintaan konsumen dengan biaya paling optimal

Persoalan :

Setiap akhir minggu akan dilakukan pemeriksaan mengenai jumlah unit televise

dalam showroom, dan jika demand dating akan diterima pada awal minggu

selanjutnya. Berdasarkan kebijakan pimpinan PT Pisces bila pada akhir minggru

produk jenis Sonic dalam pemeran kurang dari 4 maka PT Pisces akan memesan

kepada PT State sebanyak 6 unit. Untuk produk televise Golden akan dilakukan

pemesanan jika jumlah televise dalam showroom kurang dari 3. Jika jumlah

televisi tinggal 2 maka probabilitas memesan 6 adalah 0.45 probabilitas

memesan 5 adalah 0.35 dan probabilitas memesan 4 adalah 0.20. Jika jumlah

televise tinggal 1 maka probabilitas memesan 7 adalah 0.50, probabilitas

memesan 6 adalah 0.35 dan probabilitas memesan 5 adalah 0.15. Jika televise

Golden habis pada akhir minggu maka probabilitas memesan 8 adalah 0.40

sedang kebijakan memesan 7 atau 6 memiliki probabilitas yang sama.

Sedangkan untuk televise Paragon akan dilakukan pemesanan jika jumlah

televise dalam showroom kurang dari 2. Jika jumlah televise tinggal 1 maka

probabilitas mememsan 5 adalah 0.45 probabilita smemesan 4 adalah 0.35dan

probabilitas memesan 3 adalah 0.20. Sedangkan jika jumlah televise paragon

habis pada akhir minggu maka probabilita smemesan 6 adalah 0.50 sedang

kebijakan memesan 5 atau 4 adalah sama.

Inventori akan menyebabkan biaya simpan yang berbeda-beda tergantung dari

jumlah inventori pada minggu itu untuk televise baik Sonic, Golden maupun

Paragon yang diinventorikan akan menimbilkan biaya simpan sebesar 5 %. Jika

permintaan konsumen tidak terpenuhi karena terbatasnbya inventori televise atau

39

inventori mengalami kerusakan, hal ini menyebabkan biaya penalty sebesar 25

% dari harga jual tertinggi dari 3 produk tersebut. Seiring dengan permintaan

terhadap produk yang semakin meningkat PT Pisces membuat suatu

perencanaan mengenai tingkat inventori. K emingkinannya adalah 5 minggu

yang akan dating masih ada 1 unit produk Sonic, Golden dan Paragon, inventori

awal habis dan kapan terjadi kondisi steady state. Demand PT Pisces untuk

produk televise jenis Sonic rata-rata tiap minggu ada;lah 6, untuk Golden 5 dan

untuk Paragon adalah 2unit sehingga dari department logistic PT Pisces harus

melakukan pemesanan kepada PT State untuk memenuhi demand tersebut PT

Pices saat ini memamerkan 10 unit televise jenis Sonic, 8 golden dan 5 unit

Paragon.

Penyelesaian :Menggunakan Rantai Markov

4.1.1Kasus 2

Tujuan : Menentukan jumlah produk basic dan 3D untuk menghasilkan

keuntungan yang maksimum

Persoalan :

Tabel 4. 1 Tabel Persoalan Programa Linier

Penyelesaian :

Menggunakan Integer Linier Programming (ILP)

40

Tujuan : Zmax: 3.000.000X1+6.765.000X2

S/t: 250.000X1+590.000X2250000000

28.000X1 +34.000X2 98000000

X1 ,X2 0

4.1.3 Kasus 3

Tujuan : Menentukan ukuran pendistribusian produk untuk meminimumkan

biaya distribusi

Persoalan :

Produk X DC = 27 14 7 2424 21 21 1124 22 26 5

Gudang X DC = 21 28 6 1727 23 19 1829 17 11 25

Kapasitas gudang yang dimilki PT State adalah :

Tabel 4. 2 Tabel Kapasitas Gudang

Produk

Gudang

A B C

Sonic 19 25 28

Golden 26 31 20

paragon 28 29 20

Solusi: Diselesaikan dengan metode transportasi

4.1.4 Kasus 4

TUJUAN: menentukan apakah perlu adanya penambahan seorang pegawai lagi

di PT.STATE

41

Persoalan:PT STATE memilki 11 mesin tetapi hanya memiliki 9 opeator untuk

mengoprasikan 9 mesin secara bersamaan, dengan kata lain terdapat 2 mesin

sebagai mesin standby untuk digunakan jika ada mesin lain yang rusak. Waktu

mesin rusak berdistribusi eksponensial dengan waktu rata-rata kerusakan selama

26 hari. Untuk waktu perbaikan mesin memiliki distribusi eksponesial dengan

rata-rata waktu perbaikan selama 18 hari.Pada PT STATE hanya memiliki 1

teknisi saja untuk memperbaiki mesin yang rusak. Alternatif yang diberikan

perusahaan adalah dengan menambah seorang lagi teknisi. Dimana Gaji setiap

teknisi perusahaan sekitar Rp 280.000,00 per hari. Perakitan lost profit yang

disebabkan oleh delapan mesin operasi untuk mengassembly part-part adalah Rp

410.000,00 per hari untuk setiap mesin rusak.

Solusi : Masalah ini dapat diselesaikan dengan Teori Antrian yaitu dengan

membandingkan antara single server dan multipleserver

4.1.5 Kasus 5

Tujuan : Menentukan jumlah server kerja agar diperoleh strategi terbaik dan

tidak terjadi bottle neck.

Persoalan :

Produk-produk hasil assembly akan muncul setiap 19 menit dan akan dicek oleh

2 stasiun pengecekan, di stasiun 1 lamanya waktu pengecekan yaitu 21menit,

sedangkan pada stasiun 2 lamanya waktu pengecekan adalah 28menit untuk

setiap produk. Biaya yang dikeluarkan untuk assembly produk sebesar Rp4900,-

/jam, dan apabila perusahaan dalam keadaan sibuk biaya assembly meningkat

menjadi sebesar Rp5500,-/jam, sedangkan dalam keadaan menganggur biaya

assembly sebesar Rp3200,-/jam. Jumlah antrian mksimal dalam sistem ini

adalah sebanyak 10 produk. Dimana setiap antrian produk akan dikenakan biaya

pengecekan yaitu sebesar Rp 2000/jam.

42

4.1.6 Kasus 6

Tujuan : meminimumkan biaya angkut bahan baku berdasarkan kapasitas

angkut yang dimiliki

Persoalaan :

Tabel 4. 3 Tabel Persoalan Knapsack

Bahan

baku(I)

Berat (Wi) Biaya (Pi)

LCD 90 Rp.1.555.000-1.460.000

=95000

Speaker 390 Rp.1.555.000-1.105.000

=450000

chasis 60 Rp.1.555.000-1.500.000

=55000

Solusi : menggunakan metode Knapsack

43

4.1.7 Kasus 7

Tujuan : Menentukan rute terpendek yang menghasilkan biaya minimal.

Persoalan :

Gambar 4. 1 Rute Persoalan Stagecoach

Solusi : untuk meyelesaikan persoalan tersebut kita gunakan Stagecoach

4.1.8 Kasus 8

Tujuan : menentukan strategi yang tepat dari PT state dalam menghadapi

pesaingnya dimasing-masing wilayah.

Persoalan :

PT. State mempunyai pesaing :

Di Kalimantan bersaing dengan PT Smirnov dengan matriks payoff sebagai

berikut

44

Tabel 4. 4 Matriks payoff Persaingan Wilayah Kalimantan

Di Sumatera dengan PT Pearson dengan matriks payoff sebagai berikut

Tabel 4. 5 Matriks payoff Persaingan Wilayah Sumatera

PT Person

PT State 1 2 3

1 5 3 2

2 9 -12 5

3 3 2 -11

Di Sulawesi bersaing dengan PT Bayers dan PT Gauss dengan matriks payoff

sebagai berikut

Tabel 4. 6 Matriks payoff Persaingan Wilayah Sulawesi

1 2

1

1 19 14 16 19 16 19

2 -17 -15 -16 16 -15 -16

2

1 -23 14 -15 -14 14 -6

2 12 -12 15 -16 22 15

3 1 15 -13 -16 -14 18 16

2 -13 -14 16 -7 -15 9

PT Smirnov

PT

State

1 2 3

1 4 2 -3

2 -12 -6 -25

45

Solusi : Permasalahan tersebut diselesaikan dengan Teori Permainan.

4.2 Pengolahan Data

4.2.1 Kasus 1

Rantai Markov

4.2.2 Kasus 2

Integer Linier Programming

Tujuan : Zmax: 3.000.000X1+6.765.000X2

S/t: 250.000X1+590.000X2250000000

28.000X1 +34.000X2 98000000

X1 ,X2 0

a.Manual

b.Software QS

4.2.3 Kasus 3

Transportasi

1.Sonic

a.Manual

menetukan solusi awal dengan metode VAM

46

Sonic

DC 1 2 3 4

KAPAS

ITAS

Gudan

g

penal

ti 1

penal

ti 2

penal

ti 3

penal

ti 5

A 21

28

7

6 17 19 11 4 4

15

12

B

1

27

23

19 24 18 25 1 5 9

-

C 1 4 29 17

11

25 28 6 8 4

-

14

Dema

nd 27 14 7 24

penalti

1

6

6

5

1

penalti

2

6

6

-

1

penalti

3

6

-

-

1

penalti

4

6

-

-

-

Perhitungan biaya manual :

47

(12x52500) + (7x15000)+(1x67500)+(24x45000)+(14x72500)+(14x42500) =

Rp.3.492.500

Melakukan metode steping stone

Ca2 = (28-21)+(29-17)=19

Cb2 = (23-27)+(29-17)= 8

Cb3= (19-27)+(21-6)= 7

Cc3=(11-6)+(21-29)= -3

Ca4=(17-21)+(27-18)=5

Cc4=(25-18)+(27-29)=5

Keterangan :

Pada perhitungan dengan metode steping stone ditemukan angka

minus yaitu pada Cc3 sebesar -3 hal ini menunjukkan masih bisa

dilakukan perbaikan untuk mengurangi biaya.

Maka dilakukan pengalokasian pada Cc3 sehingga diperoleh tabel

transportasi baru seperti dibawah ini

48

Sonic

DC 1 2 3 4

KAPAS

ITAS

Gudan

g

A 21

28

6 17 19

19

B

1

27

23

19 24 18 25

C 7 29 17

7

11

25 28

14

Dema

nd 27 14 7 24

Biaya yang dihasilkan setelah perbaikan adalah

(19x52500)+(1x67500)+(7x72500)+(24x45000)+(7x72500)+(14x42500)+(7x 27500) =

Rp.3.440.000,00

Terlihat setelah diadakannya perbaikan mampu menurunkan biaya sebesar

Rp.52.000,00

b.Output Software.

49

Keterangan :

50

Hasil biaya yang diperoleh antara perhitungan manual dan software

sama yaitu sebesar Rp.3.440.000. Yaitu dengan mengalokasikan produk Sonic

dari gudang 1 mengalokasikan seluruh produk dengan jumlah 19 buah.

Sedangkan pada pabrik 2 dialokasikan ke tujuan DC 1 sebanyak 1 buah dank e

DC 3 sebanyak 24 buah. Dari gudang 3 dialokasikan ke DC 1 sebanyak 7 buah

produk sonic, 14 buah untuk distribusi center 2 dan 7 buah lagi untuk DC 3.

2.Golden

a.Manual

Menentukan Solusi Awal dengan VAM

Golden

DC 1 2 3 4

KAPAS

ITAS

Gudan

g

penal

ti 1

penal

ti 2

penal

ti 3

penal

ti 4

penal

ti 5

A 5 21

28

21

6 17 26 11 4 4 -

15

B

19

27

1

23

19 18 31 1 5 5 -

-

11

C

29 20 17

11

25 20 6 8 - -

-

Dema

nd 24 21 21 11 77

51

penalti

1

6

6

5

1

penalti

2

6

6

-

1

penalti

3

6

6

-

1

penalti

4

-

-

-

-

Perhitungan biaya :

(5x71400)+(21x20400)+(19x91800)+(1x78200)+(11x61200)+(20x57800)=

Rp.4.437.000

Melakukan Metde Stepping Stone

C12=c12-C11+C21-C22=28-21+27-23=11

C31=C31-C17+c22-c12=29-17+23-27=8

C14=c14-c11+c11-c24=17-21+27-18=5

C23=b23-c13+c11-c21=19-6+21-27=7

C33=-c11+c31-c33+c11= -21+29-11+6=3

C34=C34-C23+C22-C24=25-17+23-18=13

Karena pada perhitungan stepping stone semua bertanda plus menunjukkan bahwa

pengalokasian biaya sudah optimal dan tidak dapat dikurangi lagi

52

b.Software QS

Keterangan :

Perhitungan biaya diatribusi yang minimum untuk produk golden baik

menggunakan perhitungan manual ataupun menggunakan software QS

menghasilkan biaya yang sama yaitu Rp.4.437.000,00. Yaitu dengan

mengalokasikan produk Golden dari gudang 1 sebanyak 5 produk dengan

tujuan DC 1 dan 21 Produk dengan tujuan DC 3. Untuk gudang 2 produk

Golden sebanyak 19 buah ke tujuan DC 1, 1 produk ke DC 2 dan 11 produk ke

DC 4. Sedangkan pada gudang 3 semua produk yang berjumlah 20 buah

dialokasikan ke tujuan DC 2

3.Paragon

a.Manual

Menentukan Solusi Awal dengan VAM

53

Paragon

DC 1 2 3 4

KAPAS

ITAS

Gudan

g

penal

ti 1

penal

ti 2

penal

ti 3

penal

ti 4

penal

ti 5

A 21

28

26

6

17 28 11 6 6 -

15

2

B

22

27

2

23

19 5 18 29 1 5 5 5

-

C

29 20 17

11

25 20 6 8 - -

-

Dema

nd 24 22 26 5 77

penalti

1

6

6

5

1

penalti

2

6

6

-

1

penalti

3

6

5

-

1

penalti

4

-

-

-

-

54

Perhitungan Biaya:

(2x86100)+(26x24600)+(22x110700)+(2x94300)+(5x73800)+(20x69700)=

Rp.5.198.800

Melakukan Metode Stepping Stone

Ca2=-21+28-23+27=11

Cc1=29-27+23-17=8

Cb3=19-27+21-6=7

Cc4=25-17+23-18=13

Cc3=11-17+23-6=11

Ca4=17-6+21-21+23-18=16

Keterangan : Karena dalam perhitungan metode steping stone semua bernilai

positif maka biaya distribusi sudah optimum yaitu sebesar Rp.5.198.800.

b.Software QS

55

Katerangan :

Perhitungan biaya distribusi minimum dengan software menunjukkan

hasil yang sama yaitu sebesar Rp.5.198.800. Yaitu dengan mengalokasikan

produk paragon dari gudang 1 sebanyak 1 produk dengan tujuan DC 1 dan 26

Produk dengan tujuan DC 3. Untuk gudang 2 produk paragon sebanyak 22 buah

ke tujuan DC 1, 2 produk ke DC 2 dan 5 produk ke DC 4. Sedangkan pada

gudang 3 semua produk dialokasikan ke tujuan DC 2

4.2.4 Kasus 4

Single Server

Cn =120 1

for n = 1,2,.....

C0 = 1

C1 = 0

1 =

0,342

0,056 = 6,11

C2 = 10

21 =

0,342 0,342

0,056 0,056 = 37,30

C3 = 210

321 =

0,342 0,342 0,342

0,056 0,056 0,056 = 227,78

C4 = 320

431 =

0,3040,342 0,342

0,056 0,056 0,056 =1236,52

C5 = 430

541 =

0,266 0,304 0,342

0,056 0,056 0,056 = 5873,45

C6 = 540

654 =

0228 0,266 0,342

0,056 0,056 0,056 = 23913,34

C7 = 654

761 =

0,19 0,228 0,342

0,056 0,056 0,056 = 81134,54

C8 = 760871

= 0,152 0,19 0,342

0,056 0,056 0,056 = 220222,33

C9 = 870

981 =

0,114 0,152 0,342

0,056 0,056 0,056 = 448309,75

56

C10 = 980

1091 =

0,076 0,114 0,342

0,056 0,056 0,056 = 608420,37

C11 = 870

981 =

0,038 0,076 0,342

0,056 0,056 0,056 = 0,0

Single server (s = 1)

= , = 0,1,2, ,

0 N

= , for n= 1,2,...

0 = ( 11-0)1/24 = 0.458

1 = ( 11-1)1/24 = 0.417

2 = ( 11-2)1/24 = 0.375

3 = ( 11-3)1/24 = 0.334

4 = ( 11-4)1/24 = 0.292

5 = ( 11-5)1/24 = 0.250

6 = ( 11-6)1/24 = 0.208

7 = ( 11-7)1/24 = 0.167

8 = ( 11-8)1/24 = 0.125

9 = ( 11-9)1/24 = 0.084

10 = ( 11-10)1/24 = 0.042

11 = ( 11-11)1/24 = 0.000

1 = 1/18 = 0,056

57

=1

Cn =0

= 0.0000005

Pn = Cn. Po

P0 = C0 x Po

= 1 x 0.0000005

= 0.0000005

P1 = C1 x Po

= 6,11 x 0.0000005

= 0.000003

P2 = C2 x Po

= 37,30x 0.0000005

= 0.00019

P3 = C3 x Po

= 227,78x 0.0000005

= 0.000114

P4 = C4 x Po

= 1236,52x0.0000005

= 0.000618

P5 = C5 x Po

= 5873,45x 0.0000005

58

= 0.00237

P6 = C6 x Po

= 23913,34x0.0000005

= 0.011957

P7 = C7 x Po

= 81134,54x 0.0000005

= 0.040567

P8 = C8 x Po

= 220222,33x 0.0000005

= 0.110111

P9 = C9 x Po

= 448309,75x 0.0000005

= 0.224155

P10 = C10 x Po

= 608420,37x 0.0000005

= 0,30421

P11 = C10 x Po

= 0,0 x 0.0000005

= 0

G(n) = Lost Profit( n-2)

59

G0 = 410.000 (0-2)

= 410.000x -2 = -820.000 = 0

G1 = 410.000 (1-2)

= 410.000x -1 = -410.000= 0

G2 = 410.000 (2-2)

= 410.000x 0 = 0

G3 = 410.000 (3-2)

= 410.000x 1 = 410.000

G4 = 410.000 (4-2)

= 410.000x 2 = 820.000

G5 = 410.000 (5-2)

= 410.000x 3 = 1.230.000

G6 = 410.000 (6-2)

= 410.000x 4 = 1.640.000

G7 = 410.000 (7-2)

= 410.000x 5 = 2.050.000

G8 = 410.000 (8-2)

= 410.000x 6 = 2.460.000

G9 = 410.000 (9-2)

= 410.000x 7 = 2.870.000

G10 = 410.000 (10-2)

60

= 410.000x 8 = 3.280.000

G11 = 410.000 (11-2)

= 410.000x 8 = 3.690.000

E (CW)n = G(n) x P (n)

E (CW)0 = G(0) x P (0)

= -820000 x 0,0000

= 0

E (CW)1 = G(1) x P (1)

= -410000 x 0,0000222

= 0

E (CW)2 = G(2) x P (2)

= 0x 0,0000222

= 0

E (CW)3 = G(3) x P (3)

= 410000 x 0,000114

= 46,74

E (CW)4 = G(4) x P (4)

= 820000 x 0,000618

= 506,9716

61

E (CW)5 = G(5) x P (5)

= 1230000 x 0,002937

= 3612,173

E (CW)6 = G(6) x P (6)

= 1640000 x 0,011957

= 19608,94

E (CW)7 = G(7) x P (7)

= 2050000 x 0,040567

= 83162,91

E (CW)8 = G(8) x P (8)

= 2460000 x 0,110111

= 270873,5

E (CW)9 = G(9) x P (9)

= 2870000 x 0,224155

= 643324,5

E (CW)10 = G(10) x P (10)

= 3280000 x 0,304210

= 0

E (CW)11 = G(10) x P (11)

= 3690000 x0

= 0

Biaya = E(CW)total + GajiTeknisi

62

= 2018945 + 280.000

= Rp. 2.298.945

Alternatifketikateknisimesin 1 orang

Tabel 4.12 Teori Antrian Single Server

Multi Server

Cn =1201

for n = 1,2,.....

Multi server (S=3)

= , = 0,1,2, ,

0 N

= , for n = 1,2, s

, for n = s, s + 1

=1

Cn =0

= 0,003652

63

Pn = Cn. Po

P0 = C0 x Po

= 0 x 0,003652

= 0

P1 = C1 x Po

= 2,088643 x 0,003652

= 0,007628

P2 = C2 x Po

= 2,088643 x 0,003652

= 0,007628

P3 = C3 x Po

= 23,08163x 0,003652

= 0,084294

P4 = C4 x Po

= 36,54592x 0,003652

= 0,133466

P5 = C5 x Po

= 49,59804x 0,003652

= 0,181132

P6 = C6 x Po

= 56,09302x 0,003652

= 0,204852

P7 = C7 x Po

64

= 50,75083x 0,003652

= 0,185342

P8 = C8 x Po

= 34,43806x 0,003652

= 0,125768

P9 = C9 x Po

= 15,57912x 0,003652

= 0,056895

P10 = C10 x Po

= 3,523849 x 0,003652

= 0

= 0,012869

P11 = C11 x Po

= 0 x 0,003652

= 0

G(n) = Lost Profit( n-2)

G0 = 410.000(0-2)

= 410.000 x -2 = -820.000 = 0

G1 = 410.000(1-2)

= 410.000 x -1 = -410.000 = 0

G2 = 410.000(2-2)

65

= 410.000 x 0 = 0

G3 = 410.000(3-2)

= 410.000 x 1 = 410.000

G4 = 410.000(4-2)

= 410.000 x 2 = 820.000

G5 = 410.000(5-2)

= 410.000 x 3 = 1230000

G6 = 410.000(6-2)

= 410.000 x 4 = 1640000

G7 = 410.000(7-2)

= 410.000 x 5 = 2050000

G8 = 410.000(8-2)

= 410.000 x 6 = 2460000

G9 = 410.000(9-2)

= 410.000 x 7 = 2870000

G10 = 410.000(10-2)

= 410.000 x 8 = 3280000

G11 = 410.000(11-2)

= 410.000 x 8 = 3690000

66

E (CW)n = G(n) x P (n)

E (CW)0 = G(0) x P (0)

= 0 x 0

= 0

E (CW)1 = G(1) x P (1)

= 0 x 0,007628

= 0

E (CW)2 = G(2) x P (2)

= 0x 0,007628

= 0

E (CW)3 = G(3) x P (3)

= 410000 x 0,084294

=34560,59

E (CW)4 = G(4) x P (4)

= 820000 x 0,133466

= 109441,9

E (CW)5 = G(5) x P (5)

= 1230000 x0,181132

= 222792,4

E (CW)6 = G(6) x P (6)

= 1640000 x 0,204852

= 335956,8

E (CW)7 = G(7) x P (7)

67

= 2050000 x0,185342

= 379951,1

E (CW)8 = G(8) x P (8)

= 2460000 x 0,125768

= 309388,8

E (CW)9 = G(9) x P (9)

= 2870000 x 0,056895

= 163288,5

E (CW)10 = G(10) x P (10)

=3280000 x 0,012869

= 42210,64

E (CW)11 = G(11) x P (11)

=3690000 x0

= 0

Biaya = E(CW)total + GajiTeknisi

= 1.597.591 + 280.000

= Rp. 1.877.591

68

Alternatif ketika teknisi mesin ditambah 1 orang

Tabel 4.13 Teori Antrian Multi Server

Tabel 4.14 Rekapitulasiuntukbiaya 1 teknisi

E(CW) E(SC)

L.

Profit

2.298.945 280000 410000

Tabel 4.15 Rekapitulasiuntukbiaya2teknisi

E(CW) E(SC)

L.

Profit

1.877.591 280000 410000

Keterangan:

Dari data hasil perhitungan diperoleh hasil bahwa PT STAGE

disarankan/direkomendasikan untuk menggunakan 2 teknisi, karena berdasarkan

69

perhitungan tersebut diperoleh kesimpulan bahwa penggunaan 2 teknisi memerlukan

biaya yang relatif lebih kecil dibanding dengan1 teknisi dikarenakan waktu untuk

mengassembly menjadi jauh lebih cepat sehingga biayanya menjadi relatif rendah.

E(CW) = total expected waiting ost per periodewaktu

4.2.4 Kasus 5

Teori Antrian Metode Terbatas

UntukJumlah Server=2

a. Perhitungan Manual

Jumlahmaksimumantrian Q = 10

Jumlah server S = 2

Biaya-biaya :

Cu = Biaya assembly

= Rp 4900/jam

Cs = biaya assembly dalamkeadaansibuk (busy/jam)

= Rp. 5500/jam

Ci = biaya assembly dalamkeadaanmenganggur (idle)/jam

= Rp. 3200/jam

Cw = Biayaprodukmenungguuntukdiproses

= Rp 2000,-/jam

Tingkat Performansi (L, Lq, W, Wq, Pw, Lb, Wb) dariSistem Yang Ada Sekarang

Jumlah rata-rata pelanggan yang datang per satuanwaktu

44,222821

60

x

70

Jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuanwaktu

16,319

60

K

sn

Snss

n

n

Ssn

Po

!

1

!

1

1

1

0

0,215

88,4

16,3....

88,4

16,3

88,4

16,3

44,2

16,3

!2

1

!1

44,2

16,3

!0

44,2

16,3

1

44,22

16,3

44,2

16,3

!2

1

44,2

16,3

!

1

1

8102

10

2

221

0

K

n

n

n

n

n

Pn = P(n-1)n

1

untuk n s

P2 = P(1) 0,27901,2950820,2151

1

44,2

16,3

x

P3 = P(2) 0,18030,6475410,27902

1

44,2

16,3

x

Pn = P(n-1)s

1

untuk s < n K

P4 = P(3) 0,11630,6475410,18032

1

44,2

16,3

x

71

P5 = P(4) 0,07500,6475410,11632

1

44,2

16,3

x

P6 = P(5) 0,04840,6475410,07502

1

44,2

16,3

x

P7 = P(6) 0,03120,6475410,04842

1

44,2

16,3

x

P8 = P(7) 0,02010,6475410,03122

1

44,2

16,3

x

P9 = P(8) 0,01300,6475410,02012

1

44,2

16,3

x

P10 = P(9) 0,00840,6475410,01302

1

44,2

16,3

x

P11 = P(10) 0,00540,6475410,00842

1

44,2

16,3

x

P12 = P(11) 0035,00,6475410054,02

1

44,2

16,3

x

Tingkat Kedatangan Dan Probabilitas Pelanggan Dalam Sistem Sekarang Dengan

Jumlah Server = 2

Tabel 4.16TabelTingkat Kedatangan Dan Probabilitas Pelanggan Dalam Sistem

Sekarang Dengan Jumlah Server = 2

N n P(n) n x P(n)

0 10 0,2168 2,168

72

1 10 0,2796 2,796

2 10 0,1803 1,803

3 10 0,1163 1,163

4 10 0,0750 0,750

5 10 0,0484 0,484

6 10 0,0312 0,312

7 10 0,0201 0,201

8 10 0,0130 0,130

9 10 0,0084 0,084

10 10 0,0054 0,054

11 10 0,0035 0,035

12 10 0,0022 0,022

1 10

Rata-rata panjang antrian

0,683138

))244,2/16,3(1()244,2/16,3)212()244,2/16,31)0,6475411(!2

)244,2/16,3()44,2

16,3(0,215

)1()(1)1(!

)/(

1010

2

2

2

xxx

x

sKs

PoLq sKsK

s

Rata-rata jumlah konsumen yang berada pada sistem

1,958634

)0,0151231(44,2/16,30,683138

)1(/ 10

PLqL

73

Waktu tunggu dalam antrian

0,31433

)015123,01(16,3/0,682655

)1(/

PLqWq

Waktu tunggu dalam sistem

0,90047

)015123,01(16,3/1,958634

)1(/ 12

PLW

Biaya-biaya :

Biaya assembly dalam keadaan menganggur (idle)

2318,411 Rp

0,682655)1,958634/jam(23200, Rp

Lq)LCi(sA

Biaya produk menunggu untuk diproses

628,1374

1)0,313847(/,2000

))()((

Rp

jamRp

nPWqCwB

Biaya assembly

,7142,791

2,485859)0,3138470,900249(/,4900

))()((

Rp

jamRp

nPWqWCuC

Biaya assembly dalam keadaan sibuk

,7015,231

)0,6826551,958151(/,5500

)(

Rp

jamRp

LqLCsD

74

Total biaya dari sistem sekarang :

A + B + C + D = Rp17.104,57

-

b. Perhitungan Software

Jumlah server 2

Gambar 4.25 Input Software Server 2

Total Cost

Gambar 4.26 Output Software Server 2

75

Jumlah Server 3

Jumlah Server 4

76

Jumlah Server 5

77

Jumlah Server = 6

78

Jumlah Server = 7

79

Jumlah server = 8

80

Grafik

81

Grafik antar server

Perubahan Lamda

82

Perubahan Miu

Grafik perubahan miu

4.2.6 Kasus 6

Knapsack

4.2.7 Kasus 7

83

Stagecoach

Gambar 4. 2 Rute Stagecoach

Keterangan:

Pada persoalan ini biaya diperoleh dari menghitung jarak (S) x harga 1 liter bensin ,

jarak diperoleh dari mengalikan waktu tempuh dengan kecepatan (85 km/jam). Setelah

diperoleh dibagi dengan 15 km karena 1 liter bensin dapat menempuh jarak 15 km,

kemudian dikalikan Rp 5000.

Perhitungan Stagecoach dilakukan dengan cara mundur atau Backward . Dalam

menghitung stagecoach terdapat fungsi basis dan rekurens seperti dibawah ini :

Basis : f5S = CX5

Fungsi Rekurens :

84

a. Perhitungan Manual

Stage 5

S F(5)*C1 X5*

Pekalongan 47400 Semarang

Salatiga 53.900 Semarang

Stage 4

X4

S

f4(C5,X4+f5*(X4) f4* X4*

Pekalongan Salatiga

Batang 75200 - 75200 Pekalongan

Magelang - 87900 87900 Magelang

Stage 3

X3

S

f3(C5,X3+f4*(X3) f3* X3*

Batang Magelang

Bojonegoro 167300 180000 167300 Batang

Magetan 154300 167000 154300 Batang

85

Stage 2

X2

S

f2(C5,X2+f3*(X2) f2* X2*

Bojonegoro Magetan

Gresik 251800 242700 242700 Magetan

Lamongan 251800 242700 242700 Magetan

Sidoharjo 251800 242700 242700 Magetan

Stage 1

X1

S

f2(C5,X2+f4*(X3) f1* X1*

Gresik Lamongan Sidoharjo

Surabaya 358900 383800 358000 358000 Sidoharjo

Malang 384100 378200 380400 378200 Lamongan

Purbalingga 359500 365700 370200 359500 Gresik

Jember 381600 364600 368800 364600 Lamongan

Madiun 365700 383800 381000 365700 Gresik

86

b.Software QS (Dynamic Proggaming )

Gambar 4. 3 Input Pada Persoalan Stagecoach

Surabaya (PT Sony)

Gambar 4. 4 Output Software QS untuk Surabaya Semarang

87

Malang (PT LG)

Gambar 4. 5 Output Software QS untuk Malang Semarang

Purbalingga (PT Samsung )

Gambar 4. 6 Output Software QS untuk Purbalingga Semarang

Jember (PT Panasonic)

Gambar 4. 7 Output Software QS untuk Jember Semarang

88

Madiun

Gambar 4. 8 Output Software QS untuk Madiun Semarang

Keterangan :

Perusahaan supplier yang dipilih PT State adalah PT Sony yang berlokasi di Surabaya

dengan rute yang ditempuh adalah Surabaya-Sidoharjo--Magetan-Batang-Pekalongan-

Semarang dengan biaya Rp.358000,00.

Hasil yang diperoleh antara rekomendasi rute perhitungan manual dengan software QS

menghasilkan rute yang sama dengan manual yaitu Surabaya-Sidoharjo--Magetan-

Batang-Pekalongan-Semarang dengan biaya Rp.358000,00.

4.2.8 Kasus 8

Teori Permainan

a.Manual

Persaingan PT State dengan PT Sminrov (Wilayah Kalimantan )

a.Perhitungan Manual

89

PT Smirnov Min baris

PT State 1 2 3

1 4 2 -3 -3(maksimin)

2 -12 -6 -28 -28

Maks kolom 4 2 -3(minimaks)

Solusi :

Untuk memenangkan persaingan digunakan strategi murni karena nilai minimaks dan

maksimin sama yaitu -3 yang merupakan sadle point, dimana daerah pemasaran agar PT

State meperoleh keuntungan yang maksimal adalah dengan strategi 1 dan bagi PT

Smirnov menggunakan strategi 3.

b. Software Gambi

Gambar 4. 9 Perhitungan Payoff Wilayah Kalimantan

Persaingan PT State dengan PT Pearson Wilayah Sumatera

a.Perhitungan Manual

90

PT Pearson Min Baris

PT State B1 B2 B3

A1 5 3 2 2(Minimax)

A2 9 -12 5 -12

A3 3 2 -11 -11

Max Kolom 9 3(Maksimin) 5

Karena nilai maximin dan minimax tidak sama maka lihat adakah dominasi

B1 mendominasi B2 maka Coret B1

PT Pearson

PT State B1 B2 B3

A1 5 3 2

A2 9 -12 5

A3 3 2 -11

Kemudian Lihat A ternyata juga ditemukan adanya dominasi , yaitu A3 mendominasi

maka coret A3

91

PT Pearson

PT State B1 B2 B3

A1 5 3 2

A2 9 -12 5

A3 3 2 -11

Maka matriks payoffnya menjadi

PT Pearson Min Kolom

PT State B2 B3

A1 3 2 2

A2 -12 5 -12

Max Kolom 3 5

92

Gunakan mix Strategy

Untuk PT State

PT Pearson Min Kolom

PT State B1 B2

A1 3 2 P

A2 -12 5 1-p

Max Kolom -12+15p 5-3p

93

-12+15p = 5-3p

15p+3p = 17

18p = 17

P =17

18 =0,94

1-P =1-0,94

=0,06

Artinya PT Sate menggunakan strategi:

A1 : 94% dan A2 : 6%

Keuntungan yang diperoleh PT State

Mengunakan Strategi A1 : -12+15(0,94)=2,1

Mengunakan Strategi A2 : 5-3(0,06) =4,82

Untuk PT Pearson

PT Pearson Min Kolom

PT State B1 B2

A1 3 2 2+q

A2 -12 5 -17q+5

Max Kolom Q 1-q

2+q = -17q+5

q+17q = 5-2

18q = 3

q = 3

18= 0,167 =

0,17=17%

1- q = 1-0,17

=0,83=83%Artinya PT

Pearson mengunakan

strategi B2 sebaesar 17%

dan strategi B3 sebesar 83%

Keuntungan yang diperoleh PT

Pearson

Menggunakan Strategi 2 :

2+q=2+0,17=2,17

Menggunakan Strategi 3:

-17q+5 = -17(0,17)+5=2,11

94

b. Software Gambit

Gambar 4. 10 Solusi Akhir Wilayah Sumatera

Keterangan perhitungan baik mengunakan cara manual maupun menggunakan

software gambit memberikan rekomendasi strategi yang sama yaitu untuk PT

State menggunakan A1 : 94% ( 17

18)dan A2 : 6%(

1

18) dan untuk PT Pearson

strategi B2 sebaesar 17% ( 1

6)dan strategi B3 sebesar 83% (

5

6). Sadle point

yang diperoleh adalah ( 13

6)

95

Wilayah Sulawesi

Pengisian payoff

Dominasi

96