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O círculo trigonométrico & As propriedades

fascinantes de sinc

Flávia Carolina

Ribeiro VasconcelosMSc FC

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2020

2.º

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O círculo

trigonométrico &

As propriedades

fascinantes de

sinc

Flávia Carolina Ribeiro VasconcelosMestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino

Básico e no SecundárioDepartamento de Matemática

Ano 2020

Orientador Ana Oliveira, Professora Auxiliar, Faculdade Ciências da Universidade do

Porto

CoorientadorVladimiro Machado, Mestre, Escola Secundária de Valongo

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Todas as correções determinadas

pelo júri, e só essas, foram efetuadas.

O Presidente do Júri,

Porto, ______/______/_________

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Agradecimentos

Estou extremamente agradecida a minha colega de estagio, Patrıcia Oliveira, que foi a pessoaque mais esteve presente em toda esta experiencia (nao e que tivesse muita hipotese). Agradecotodo o companheirismo, todo o apoio e toda a energia contagiante que tem dentro dela.

Um sincero agradecimento a Professora Ana Oliveira por toda a disponibilidade e dedicacaoprestada na elaboracao deste Relatorio de Estagio como tambem agradeco todo o apoio e preo-cupacao no decorrer do mesmo.

Agradeco ao Professor Vladimiro Machado pela constante aprendizagem que me proporci-onou, pelas discussoes saudaveis sobre a atualidade e toda a bagagem que levo comigo para aminha pratica profissional futura.

Agradeco a todos os professores e auxiliares da Escola Secundaria de Valongo por me teremrecebido de bracos abertos e com uma incrıvel simpatia.

Agradeco aos pupilos do 10o CT2 e 12o CT1 que entenderam que era tanto como eles, alguemque tambem esta em aprendizagem, e me fizeram sentir, mesmo assim, uma professora. A todoseles desejo o melhor deste mundo.

Agradeco ao Ivo Ribeiro por todas as horas de apoio informatico, nas quais aprendi muito.Sem ti, o site nao tinha passado de uma ideia.

Agradeco ao Micael Sampaio tambem pelo apoio informatico (sem ti, nao era possıvel oupload dos vıdeos no site), pela ajuda na estetica e todo o apoio constante dado ao longo daelaboracao do relatorio.

Agradeco aos meus amigos por me terem tirado de casa para apanhar ar fresco e me daremtodo o suporte emocional e motivacao nesta experiencia.

Agradeco todas as mensagens de apoio recebidas ao longo deste ano letivo, principalmente,nesta reta final que se tornou bastante esgotante. Sinto-me agradecida por a minha vida estarpreenchida de pessoas que sentem orgulho em mim e fazem questao que o saiba.

Agradeco a minha irma por ter mantido a minha sanidade mental, principalmente, nesteperıodo de enclausuramento, obrigando-me a ver series e a cantarolar pela casa. Thanks for theabstract.

Deixo o melhor para o fim, nao havendo palavras que cheguem para tamanho agradecimento,aos meus pais que tornaram tudo isto possıvel: a concretizacao de um sonho.

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Resumo

Este presente relatorio de estagio divide-se em tres grandes partes: a analise crıtica doestagio, uma parte didatica e uma parte cientıfica.

A analise crıtica do estagio concede ao leitor uma visao global do que constituiu o mesmo,descrevendo e analisando detalhes relevantes que impulsionaram momentos de aprendizagem ede crescimento pessoal e que gracas a estes foi possıvel construir uma bagagem diversificadapara a minha pratica profissional futura.

Para a segunda parte do presente relatorio baseei-me no contacto frequente com alunos doensino secundario. Este mostrou-me que os alunos tendem a nao fazer uso do cırculo trigo-nometrico, apresentando bastantes dificuldades na sua compreensao e o nao aproveitamento dassuas potencialidades. Portanto, nesta parte didatica, apresento o site que desenvolvi, intituladode Cırculo Trigonometrico, dirigido a alunos do 11o ano e a todos os interessados por esse tema.

Inspirada no facto dos alunos do 12oano de escolaridade estudarem o limite notavel limx→0sin(x)x

para determinar as derivadas das funcoes seno e cosseno, a parte cientıfica, apresenta tres al-ternativas diferentes para determinar o valor desse limite notavel e uma alternativa para deter-minar essas derivadas usando integrais das funcoes seno e cosseno e propriedades dos mesmos.Definindo uma nova funcao, designada por funcao sinc, sera feito o seu estudo e analisadaspropriedades fascinantes da mesma.

Palavras-Chave: Cırculo trigonometrico; Potencialidades; limx→0sin(x)x ; Funcao sinc; De-

rivada; Propriedades; Formula de Viete

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Abstract

This present internship report is divided into three big parts: the critical analysis of theinternship, a didactic component and a scientific component.

The critical analysis of the internship provides the reader with a global vision of what formedit, by describing and analysing relevant details, that promoted learning and personal growth mo-ments. It was thanks to those that it was possible to build diversified baggage to my futureprofessional practice.

The second part of this report is based on the regular contact I had with the high school stu-dents. This experience revealed to me that students usually do not use the trigonometric circlesince they have many difficulties in understanding it, which results in not taking advantage ofits potential. As a way of overcoming this challenge, I developed a website for this didactic partcalled ”Trigonometric circle”, dedicated to the 11th-grade students and all people interested inthis subject.

The scientific section was inspired by the fact that 12th-grade students learn the notablelimit limx→0

sin(x)x to determinate the derivatives of the functions of the sine and cosine. This

section presents three different alternatives to calculate the value of this notable limit and analternative to determinate the derivatives using integrals of the sine and cosine functions andtheir properties. This section will also define a new function, called the sinc function, andexamine all of its fascinating properties.

Keywords: Trigonometric circle; Potential; limx→0sin(x)x ; Sinc Function; Derivatives; Pro-

perties; Viete Formula

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Conteudo

1 Introducao 1

2 Reflexao do Estagio 3

3 Parte Didatica 9

4 Parte Cientıfica 114.1 Tres formas diferentes de determinar limx→0

sin(x)x

. . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 As derivadas de sin(x) e cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3 Estudo da funcao sinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Integrais e Igualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 Consideracoes Finais 29

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Lista de Figuras

3.1 Menu do site . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Os tres nıveis de Aprendendo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1 Circunferencia trigonometrica e os pontos O, A, B e C . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Polıgono inscrito na circunferencia trigonometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 Triangulo isosceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.4 Graficos das funcoes tan(x) e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.5 Graficos das funcoes sinc, −sinc e sinc′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.6 Grafico da funcao sinc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

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Capıtulo 1

Introducao

Este presente relatorio de estagio e realizado no ambito do Mestrado em Ensino de Ma-tematica no 3ociclo do Ensino Basico e no Secundario. Este e a integracao de conhecimentosteoricos, adquiridos ao longo do mestrado, na pratica educativa, que conduziu a um processo dereflexao e aperfeicoamento constante sobre estas mesmas praticas.

O relatorio divide-se em tres grandes partes: a analise crıtica do estagio, uma parte didaticae uma parte cientıfica.

A primeira correspondente a analise crıtica do estagio descreve globalmente a pratica edu-cativa, analisando com detalhe alguns aspetos que considero relevantes para a minha praticaprofissional futura.

Para a parte didatica, foi desenvolvido um site intitulado de Cırculo Trigonometrico, que edirigido a alunos do 11o ano e a todos os interessados por esse tema. Neste relatorio, e explicadocomo esta organizado o site e a sua importancia educativa.

Na ultima parte, a parte cientıfica, apresenta tres alternativas diferentes para determinar ovalor desse limite notavel e uma alternativa para determinar essas derivadas usando integraisdas funcoes seno e cosseno e propriedades dos mesmos. Definindo uma nova funcao, designadapor funcao sinc, sera feito o seu estudo e analisadas propriedades fascinantes da mesma.

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Capıtulo 2

Reflexao do Estagio

Esta analise crıtica e sobre a minha pratica pedagogica que decorreu na Escola Secundariade Valongo, situada no distrito de Porto, desde Setembro de 2019 ate Maio de 2020. Eu e aminha colega Patrıcia Oliveira formamos o nucleo de estagio, orientado pelo Professor VladimiroMachado. Esta pratica apenas abrangeu o ensino Secundario, tendo possibilidade de trabalharcom a turma CT2 de 10o ano e com a turma CT1 de 12oano. Ambas as turmas eram bastanteheterogeneas.

As turmas

A turma de 10oano era constituıda, inicialmente, por 28 alunos, 21 dos quais eram raparigase 7 rapazes. Como um aluno, no final do 1o perıodo, decidiu mudar de biologia para geometriadescritiva, a turma ficou apenas com 27 alunos. Todos eles, no inıcio do ano, apresentavamelevadas expectativas para o seu futuro, tendo a maior parte afirmado querer seguir o ensinosuperior, apos o termino do secundario. Porem, o comportamento e o aproveitamento, em geral,no primeiro perıodo, nao foram muito satisfatorios. O facto de os alunos estarem a frequentar o10oano pela primeira vez, que corresponde a passagem do ensino basico para o ensino secundario,exige ao professor uma empatia para com esta adaptacao, distinta em cada aluno, ao novo cicloque se inicia.

Ja a turma de 12oano era constituıda por 28 alunos, dos quais 15 raparigas e 13 rapazes,estando todos eles a frequentar o 12oano pela primeira vez. Esta turma resultou de uma fusao deduas turmas distintas, o que foi notorio no que concerne a pontualidade e comportamento. Umaparte da turma era bastante brincalhona e um pouco imatura, chegando, por vezes, a perturbara funcionalidade da aula.

As reunioes

Para alem do horario relativo as aulas, o nucleo de estagio reunia-se uma hora semanalmentecom o professor cooperante, onde nos era dado feedback sobre as regencias, elogiando os nossospontos fortes e identificando pontos a serem melhorados, como tambem nos aconselhava e escla-recia aquando a preparacao de uma regencia.

Inicialmente, nas reunioes, foi analisado o perfil dos alunos a saıda da escolaridade obri-gatoria, como as aprendizagens essenciais, o programa de matematica do ensino secundario e oscadernos de apoio. Com o decorrer do estagio, foram discutidos alguns temas sobre a praticapedagogica e foi-nos dado a conhecer dois novos dispositivos reguladores da aprendizagem, os

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testes em duas fases e as tarefas de nıvel. Um teste em duas fazes e um teste que ocorre emdois momentos distintos, permitindo ao aluno, atraves do feedback escrito dado pelo professorna primeira fase, confrontar-se com os erros cometidos, dando-lhe oportunidade de refletir sobreeles e tentar ultrapassa-los. Enquanto que uma tarefa de nıvel corresponde a uma questao quevai sendo alterada aumentando o seu nıvel de dificuldade. Todos os alunos iniciam no nıvelum e so passam ao proximo nıvel se acertarem toda a questao, caso nao aconteca, voltam arepetir o nıvel. Estas tarefas sao indicadas para reforcar procedimentos, por exemplo: regrasdas potencias, resolucao de equacoes, ...

Quanto as reunioes de concelho de turma, estas foram um meio de maior aproximacao comos restantes professores, nas quais me senti completamente integrada. No inıcio do ano, decorreuuma reuniao de cada turma para dar as boas vindas ao novo ano letivo. Em cada perıodo e emcada turma, houve sempre uma reuniao intercalar com a presenca dos professores da turma, osrepresentantes dos encarregados de educacao, o delegado e subdelegado da turma, que serviapara discutir o aproveitamento dos alunos e o seu envolvimento e interesse em sala de aula. E,tambem, uma reuniao no termino do perıodo, para a discussao das notas e decidir que medidastomar para um melhor funcionamento do proximo perıodo.

As aulas

Nas aulas do professor cooperante, o estagio cingiu-se a observacao das aulas e ao esclareci-mento de duvidas nas aulas de resolucao de exercıcios. Fiz um registo dessas aulas num cadernodiario e resolvi todas as fichas de trabalho dadas pelo professor cooperante, de forma a sentir-mepreparada para eventuais questoes feitas pelos alunos, sempre ciente que poderiam haver outrasformas de resolucao.

Quanto as minhas regencias, ao todo foram 30 aulas de 45 minutos: no primeiro perıodoforam dadas 6 aulas a cada turma; no segundo perıodo foram dadas 6 aulas no 10oano e 10 aulasno 12oano; e, por fim, no terceiro perıodo foram dadas apenas 2 aulas ao 10oano. Tendo emconta que auxiliei em 3 aulas a distancia no 10o ano na resolucao de exercıcios ou correcao dostrabalhos de casa.

Os aspetos mais importantes das aulas

As minhas regencias iniciaram com o 12oano, na unidade de limites do tema das funcoesreais de variaveis reais. Os objetivos delineados para estas aulas eram rever o conceito de limitede uma sucessao e determinar esses limites e lecionar os teoremas de comparacao e teorema dassucessoes enquadradas.

Os alunos, na primeira aula, demonstraram grandes dificuldades em entender o conceito delimite e, consequentemente, dificuldades na determinacao dos mesmos. Eu nao conhecia as di-ficuldades dos alunos nesta unidade e, portanto, tinha criado um plano de aula completamenteinadequado para a situacao dos alunos. Senti-me completamente perdida e acabei nao saberfazer uma boa gestao da aula, focando-me no individual, em vez num todo.

Apos este desastre de aula, preparei uma aula apenas de revisoes para que os alunos sesentissem mais confiantes a trabalhar com limites. Senti-me muito mais segura no papel que meestava a ser confiado, chamando alunos ao quadro para a resolucao de exercıcios. Comecei a teruma pequena nocao do todo, criando momentos de turma quando era uma duvida comum.

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Durante um mes tive oportunidade de refletir sobre as minhas atitudes em sala de aula e,portanto, aquando dadas as aulas ao 10oano, senti-me muito mais bem preparada. Os objetivosdestas aulas eram lecionar os conceitos de distancia entre dois pontos no espaco, coordenadasdo ponto medio de um segmento de reta no espaco, plano mediador de um segmento de reta,superfıcie esferica e esfera.

O programa de Matematica A da especial relevancia a aplicacao da matematica ao mundoreal, portanto iniciei a minha primeira aula com um problema desse tipo, com o objetivo de melibertar da necessidade do contexto para obter algo mais abstrato. Ao intercalar a exposicaode materia com a resolucao de exercıcios e aliando o facto de ir circulando pela sala de aula,olhando para os cadernos dos alunos, percebendo se estavam a conseguir resolver ou de queforma estavam a resolver, dando dicas, identificando erros e encorajando durante o processo deresolucao, as aulas tornaram-se muito mais dinamicas.

Ser professor nao e so lidar com os conhecimentos, mas tambem lidar com comportamentos eatitudes. Nas aulas, havia um grupo de alunos na turma que estava sempre distraıdo, nao se em-penhava na resolucao dos exercıcios e aquando a minha exposicao mantinha conversas paralelas.Portanto, numa das aulas, fiz uma pausa para mencionar sobre o respeito mutuo. Expressei omeu desagrado quanto as suas atitudes e expliquei que apenas conseguimos obter o respeito dosoutros, quando somos capazes de os respeitar. Para que o clima nao ficasse demasiado pesado,manifestei o meu agrado pela turma, indiquei algumas das suas qualidades e mencionei que naoera o meu desejo apontar o desrespeito como uma caracterıstica do 10oCT2.

No segundo perıodo, comecei a lecionar novamente em finais de Janeiro, comecando com o12oano. Os temas das aulas foram as formulas da adicao e subtracao de angulos e de duplicacaode angulos para o seno e cosseno, a resolucao de equacoes trigonometricas, o limite notavel delimx→0

sin(x)x e derivadas de funcoes trigonometricas.

Neste conjunto de aulas aprendi muito sobre o preposito. Apercebi-me que os alunos sentem-se mais motivados para algo que tenha um preposito. Um exemplo disso foi a aula que prepareipara introduzir o limite notavel. No livro adotado tinha uma seccao dedicada a este limite, semqualquer seguimento, sem qualquer explicacao, sem qualquer intuito. Eu decidi que os alunosmereciam essa explicacao. Iniciei a aula a interrogar os alunos como seria a derivada, por exem-plo, da funcao seno. Para isso, comecaram por determinar a derivada do seno por definicao delimite, sendo que se existir limh→0

sin(x+h)−sin(x)h , o valor do limite e a derivada da funcao seno.

Ao determinar esse limite, os alunos depararam-se com dois limites, um deles e, pois, o limitenotavel que eu queria trabalhar naquela aula.

Em finais de Fevereiro voltei a dar aulas ao 10oano. As aulas tinham como objetivo estudar afamılia de funcoes g(x) = af(x−b)+c, sendo a, b, c ∈ R\{0}. Tinha decidido abordar este temaatraves de um ensino exploratorio. O professor cooperante indicou-me o texto Formacao de pro-fessores dos primeiros anos em articulacao com o contexto de pratica de ensino de matematicade Joao Ponte, Joana Pereira, Marisa Quaresma e Isabel Velez, que destaca a importancia deum ensino exploratorio, tendo por base tarefas desafiantes e momentos de discussao coletiva.

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Portanto, na primeira aula, decidi organizar a turma em grupos para trabalharem numa tarefaexploratoria sobre as famılias de funcoes f(x) + c e f(x− c), onde c ∈ R \ {0}, que consistia naobservacao das funcoes atraves da calculadora grafica e retirar conclusoes.

Esta aula nao correu muito bem e passo a explicar o porque: em primeiro lugar, maior partedos alunos nao tinham trazido calculadora grafica, haviam ao todo umas 7 calculadoras e aminha ideia inicial era agrupar a turma em grupos de pequena dimensao (2 ou 3 elementos),portanto passaram a ser grupos de maiores dimensoes (4 ou 5 elementos); e, em segundo lugar,deixei que eles formassem os seus proprios grupos, o que resultou em grupos que trabalhavammuito bem juntos ou em grupos que nao trabalhavam sequer, portanto a gestao de sala de aulapassou a ser mais complicada. Como tinha decidido no plano de aula organizar apresentacoessobre a tarefa, para contornar esta situacao imprevista, informei os alunos que, na aula seguinte,teriam de apresentar aos colegas as conclusoes que tinham retirado ao longo da tarefa, dando,assim, oportunidade aos grupos que pouco tinham trabalhado em contexto de sala de aula paratrabalhar em casa.

Acredito que a Escola e a principal responsavel por promover valores como a cooperacao, orespeito e solidariedade e, portanto, esta aula impulsionou-me a descobrir mais sobre grupos detrabalho, de forma a melhorar numa proxima aula deste tipo. Os grupos de trabalho promovemuma aprendizagem cooperativa, garantindo o desenvolvimento de competencias sociais dos alu-nos, sendo estas fundamentais para serem capazes de viver em sociedade. E, tambem, essencialque o professor conheca os alunos da turma para poder definir bem os grupos de trabalho, for-mando grupos heterogeneos, para que os alunos possam interagir e comunicar diversificadamente.

Quanto as apresentacoes, aprendi que os alunos devem ser incentivados a expor os seus pen-samentos e ideias para que possam gradualmente melhorar a sua comunicacao. O comentar asafirmacoes dos seus colegas ou, ate, complementar promove a interajuda e cria ambientes desolidariedade, em contexto de sala de aula. Ainda, aliando um bom questionamento oral peloprofessor, favorece o reconhecimento por parte dos alunos dos seus erros e, consequentemente,aumenta a possibilidade de aprendizagem efetiva. Para o professor, e um bom meio para regu-lar as aprendizagens dos seus alunos e, tambem, aumentar o seu conhecimento acerca dos seusproprios alunos.

O uso da calculadora, nesta tarefa, acompanhado de uma analise crıtica das experienciasfeitas nela e um meio incentivador do espırito de pesquisa. A calculadora foi usada para umaabordagem mais experimental do estudo de funcoes, onde os alunos tiveram hipotese de exploraras suas potencialidades: pedir os zeros da funcao, ajustar a janela ao domınio e contradomınioda funcao. Para as restantes transformacoes recorri as potencialidades do GeoGebra, sendo osalunos a dar exemplos de funcoes e a prever os resultados, que tambem se revelou interessante.

Para estas aulas sobre transformacoes de graficos de funcoes, desafiei-me a criar um quiz queusei como um promotor de feedback para os alunos. Com acesso a internet da escola, os alunospuderam usar o telemovel para participar no quiz e foram incentivados a obtencao da melhorpontuacao da turma. Com a concretizacao desta atividade, concluo que e necessario criar am-bientes estimulantes para aumentar o interesse e a motivacao dos alunos pela matematica.

Falando em ambientes estimulantes, o professor cooperante iniciou o ano letivo, em ambas as

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turmas, com uma aula dedicada a jogos e desafios matematicos que estimulavam a capacidadede identificar relacoes entre numeros ou padroes e que desenvolviam a logica e o raciocınio. Paraalem de desenvolver certas capacidades, gerou-se interesse e motivacao nos alunos para partici-par nos jogos ou resolver os desafios.

Aulas a distancia

Ja em regime de aulas a distancia, tive oportunidade de lecionar uma aula, que foi assistidapela orientadora cientıfica. Os objetivos da aula eram apresentar uma nova funcao, a funcaomodulo, e estudar a famılia de funcoes do tipo f(x) = a|x − b| + c, onde a, b, c ∈ R \ {0}.Para esta aula tive acesso a um quadro branco e, portanto, o computador projetava-o no ecra.Apoiada no quadro branco, o ambiente criado era parecido ao de sala de aula, apesar de cadaum de nos estar em sua casa. Alternei o uso do quadro com o recurso ao GeoGebra para quefossem facilmente identificadas as transformacoes que ocorriam nos graficos quando se alteravamos parametros.

Nas aulas a distancia, verifiquei que os alunos tendiam a participar pouco e, inclusive, al-guns mantinham as camaras desligadas e/ou microfones desligados. Estas aulas exigiram muitomais ao professor e ao aluno. Em algumas das aulas, o professor consegue desanimar um poucoquando sente que ninguem esta a ouvir e torna-se desgastante chamar constantemente a partici-par. Porem, reconheco que e necessario ser-se perseverante, mantendo essa atitude de estimularos alunos a participar, porque so assim conseguimos um feedback sobre as suas aprendizagens.Manter um questionamento oral frequente, de maneira a chegar a todos, e importante para quesintamos os alunos presentes na aula.

Os trabalhos de casa e o questionamento oral foram os principais regulares da aprendizagem,nestas aulas a distancia. Uma quantidade razoavel de trabalhos de casa foram uma forma deos alunos acompanharem as aulas e, ainda, o professor entender se realmente os alunos estao aaprender ou quais as suas dificuldades.

Atividades da Semana Aberta

Quanto as atividades extracurriculares, decorreram as atividades da Semana Aberta quesao uma oportunidade de os proprios alunos conhecerem a oferta formativa que a sua escolaproporciona assim como de participar numa serie de atividades. Neste caso, a semana abertacorrespondeu a dois dias de atividades de diversas areas, desenvolvidas pelos alunos para acomunidade escolar. As atividades envolviam desde o 7o ano ate ao 12o ano de escolaridade.Decorreram exposicoes, palestras, jogos educativos, torneios de diferentes desportos, olimpıadas,entre outros.

No ambito da matematica, ocorreram as Olimpıadas da Matematica, que contaram coma participacao de 6 alunos de cada uma das nossas turmas. As olimpıadas consistiam em 3problemas e funcionava da seguinte forma: apenas era entregue o proximo problema quandoterminavam o que estavam a fazer e os tempos que demoravam a resolver cada um deles eracontabilizado. Nesta atividade, ajudei a vigiar os alunos, a auxiliar na distribuicao de materialpara as provas e a apontar os tempos.

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Atividade do Dia Nacional da Matematica

O nucleo de estagio desenvolveu uma atividade para o Dia Nacional da Matematica queconsistia em palpites. Existiam 3 recipientes de diferentes formatos e cada um continha objetosdiferentes, por exemplo: uma garrafa com graos de arroz. O objetivo era investigar quantosgraos de arroz estariam na garrafa. O palpite teria de vir acompanhado de uma justificacaovalida. Com esta atividade, pretendia-se que os alunos trabalhassem com volumes de objetospara conseguirem um bom palpite. Esta nao chegou a decorrer, porque a escola acabou porencerrar no dia que iria decorrer a mesma devido ao covid-19.

Aula ao Ensino Profissional

O nosso nucleo de estagio foi convidado por um professor de matematica a dar uma aulaa um curso profissional de 10oano. O nucleo abracou esta experiencia, que se tornou bastantepositiva neste ano cheio de aprendizagens. A turma era constituıda apenas por rapazes, que deum modo geral se mostraram interessados e participadores. Havia apenas um aluno que estavacompletamente desinteressado, a jogar no telemovel (ja era habitual deixarem jogar para naodestabilizar a aula). A aula lecionada era sobre geometria no espaco (escrever coordenadas depontos no espaco e definir os planos xOz, xOy e yOz), pelo que me pareceu ter corrido bem,porque os alunos facilmente resolveram a ficha de trabalho. O professor mais tarde deu-nos ofeedback: os alunos adoraram e queriam saber quando voltavamos a dar outra aula.

Esta pratica de ensino supervisionada foi a componente mais importante para o meu processode formacao como professora. Permitiu-me ter contacto com estrategias de ensino diversifica-das e ao experimenta-las identificar que tipo de professora quero ser. Na minha pratica, tenhoconsciencia de que: trazer para a sala de aula atividades estimulantes, os alunos sentem-se maismotivados para aprender matematica; a exposicao de ideias pelos alunos deve ser incentivada eaproveitada para que eles mesmos possam retirar as suas proprias conclusoes, de forma a au-mentar a confianca nas suas capacidades; o trabalho colaborativo deve ser algo frequente emcontexto sala de aula porque e necessario que os alunos desenvolvam capacidades sociais, queaprendam a respeitar a opiniao do outro, que aprendam a aceitar e melhorar a sua capacidadede se expressar e comunicar com os outros, entre muitas outras coisas a ter em conta.

Termino, assim, este ano letivo ciente que uma coisa nao termina: a aprendizagem. De tudoo que aprendi, neste ano, o que mais achei fascinante em ser-se professor e sentir a necessidade deconhecer cada particularidade dos seus alunos para os ajudar e guiar da melhor forma possıvel.

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Capıtulo 3

Parte Didatica

Foi desenvolvido um site intitulado de Cırculo Trigonometrico que pode ser consultado cli-cando no seu nome. E dirigido a alunos do 11o ano de escolaridade e todos os interessados poreste tema. Foi pensado como um meio auxiliar que reforca a compreensao das potencialidades docırculo trigonometrico para identificar propriedades das razoes trigonometricas e estudar funcoestrigonometricas.

Pretende-se que, com este recurso, os alunos adquiram novos habitos, dispensando o criarformularios com todas as relacoes existentes entre angulos ou o criar de mnemonicas, passandoa existir uma reflexao sobre o todo o processo que se fez que levou a afirmar essas relacoes.Portanto, espera-se que os alunos facam um melhor aproveitamento do cırculo trigonometrico eque o vejam como uma ferramenta util no ambito da Trigonometria.

O site encontra-se organizado da seguinte forma:

Figura 3.1: Menu do site

A pagina inicial, designada de Cırculo Trigonometrico, contem um botao Vamos comecar?que reencaminha o visitante do site para a pagina Aprendendo. Esta, subdividida em tres nıveis,e onde esta concentrada toda a informacao sobre o cırculo trigonometrico. As restantes duaspaginas so podem ser acedidas quando clicado no menu: a pagina Propostas e apenas uma com-pilacao de todas as propostas que se encontram no site e a pagina Forum de duvidas, tal comoo nome indica, e o local onde os visitantes podem deixar as suas questoes ou duvidas acerca detoda a informacao disponibilizada.

Como foi dito, a pagina Aprendendo e a mais importante de todo o site. Esta encontra-sesubdividida em tres nıveis:

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Figura 3.2: Os tres nıveis de Aprendendo

O primeiro nıvel foca-se na facilidade de obter as coordenadas de qualquer ponto numa circun-ferencia trigonometrica, ou seja, dado um ponto P qualquer, na circunferencia trigonometrica,as coordenadas desse ponto sao (cos(α), sin(α)), sendo α o angulo formado pelo semieixo posi-tivo Ox e pelo segmento de reta OP . Os visitantes sao incentivados a resolver uma proposta(Proposta 1 ) que tem como objetivo determinar as coordenadas de um ponto na circunferenciatrigonometrica, pertencente ao 1o quadrante, e esta ideia e generalizada no vıdeo apos a re-solucao da proposta.

Ja no segundo nıvel, antes de se partir para a descoberta dessas relacoes, e necessario identi-ficar a tangente no cırculo trigonometrico para que se possam ser retiradas conclusoes acerca dasrelacoes existentes entre as tangentes dos angulos. Portanto, os primeiros dois vıdeos focam-seneste aspeto, tendo a Proposta 2 como apoio. Feita esta identificacao da tangente, seguem-sepropostas que incentivam a descoberta das relacoes que dao tıtulo a este nıvel e vıdeos queapoiam a sua resolucao.

Atraves do destaque visual feito nos vıdeos, mostra-se facilmente as relacoes existentes entreas razoes trigonometricas dos angulos, que e reforcada com o uso da geometria (criterios decongruencia de triangulos) ou uso da algebra (formulas trigonometricas).

Finalmente, o terceiro nıvel, tal como o nome indica, dedica-se ao estudo das tres funcoes tri-gonometricas apenas com o recurso ao cırculo trigonometrico. Para cada funcao e determinadoo seu domınio, contradomınio, perıodo fundamental, zeros, extremos e extremantes, paridade,sinal e monotonia. O primeiro vıdeo estuda a funcao cosseno como exemplo, esperando que osalunos sejam capazes de, posteriormente, fazer o estudo das outras duas funcoes.

Neste ultimo nıvel, o cırculo trigonometrico adquire grande relevancia, ao ser a unica ferra-menta necessaria para o estudo de funcoes trigonometricas. Atraves de imagens elucidativas e deanimacoes criadas em GeoGebra, consegue-se rapidamente retirar conclusoes acerca dos topicosmencionados acima para o estudo das funcoes, prevendo o grafico destas sem uso da calculadoragrafica ou outro recurso.

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Capıtulo 4

Parte Cientıfica

O facto dos alunos do 12oano de escolaridade estudarem o limite notavel limx→0sin(x)x para

determinar as derivadas das funcoes seno e cosseno inspirou-me nesta parte cientıfica.

Este capıtulo divide-se em quatro seccoes: numa primeira seccao serao apresentadas tresalternativas diferentes para determinar o valor desse limite notavel; na segunda seccao, abordar-se-a uma alternativa para determinar as derivadas das funcoes seno e cosseno usando integrais dasmesmas e propriedades desses integrais; numa terceira seccao sera definida uma nova funcao,designada por funcao sinc, que e bastante conhecida na Analise de Sinais, e sera feito o seuestudo; e, por fim, numa quarta seccao, serao provadas algumas das fascinantes propriedades dafuncao sinc, incluindo a deducao da formula de Viete, um resultado que expressa o numero π deuma forma bastante interessante.

4.1 Tres formas diferentes de determinar limx→0sin(x)

x

Nesta seccao vao ser apresentadas 3 formas diferentes que provam que o valor de limx→0sin(x)x

e igual a 1, geometricamente. A primeira e a mais conhecida que recorre ao Teorema das FuncoesEnquadradas (TFE), a segunda e a terceira recorrem a area e ao perımetro, respetivamente, deum polıgono inscrito numa circunferencia.

Apresenta-se de seguida a primeira prova do valor do limite. Seja x ∈]0, π2

[. Considere-se

uma circunferencia trigonometrica (a circunferencia centrada na origem do referencial e raioigual a 1) e nela os pontos O, A, B e C tais que a amplitude em radianos de < BOA seja x.

Figura 4.1: Circunferencia trigonometrica e os pontos O, A, B e C

11

Como se pode observar na figura acima,

Area 4 OBA ≤ Area 2 OBA ≤ Area 4 OCA

isto e,sin(x)

2≤ x

2≤ tan(x)

2=

1

2

sin(x)

cos(x)

e, como sin(x), cos(x) > 0,

1 ≤ x

sin(x)≤ 1

cos(x)

e

cos(x) ≤ sin(x)

x≤ 1.

Se −π2 < x < 0, entao 0 < −x < π

2 , pelo que

cos(−x) ≤ sin(−x)

−x≤ 1

e

cos(x) ≤ sin(x)

x≤ 1.

Assim, as desigualdades sao validas para qualquer x ∈]−π

2 ,π2

[, com x 6= 0 e, como

limx→0 cos(x) = 1, pelo TFE conclui-se que limx→0sin(x)x = 1.

Terminada a primeira prova, sucedem-se as duas provas que consideram uma circunferenciatrigonometrica e nela um polıgono inscrito decomposto em n triangulos isosceles com um verticeno centro da circunferencia e angulo correspondente α e um triangulo isosceles com um verticeno centro da circunferencia e angulo correspondente β onde 0 ≤ β ≤ α ≤ π, como se podeobservar na figura seguinte. Note-se que nα+ β = 2π.

Figura 4.2: Polıgono inscrito na circunferencia trigonometrica

Seja θ ∈]0, π[. Facilmente se ve que num triangulo isosceles em que os lados iguais medem 1 ecujo angulo diferente mede θ, a base mede 2 sin

(θ2

)e altura mede cos

(θ2

).

12

Figura 4.3: Triangulo isosceles

Como foi dito consegue-se provar o limite usando a area do polıgono, que e dada por

Apolıgono = nA(4α) +A(4β).

Como

A(4θ) = sin

(θ

2

)cos

(θ

2

)=

1

2sin(θ)

e β = 2π − nα, conclui-se que

Apolıgono = n1

2sin(α) +

1

2sin(β)

=2π − β

2× sin(α)

α+

1

2sin(β).

Repare-se que, quando α→ 0+, a area do polıgono tende para a area do cırculo, portanto tem-seque limα→0+ Apolıgono = π. Como

limα→0+

Apolıgono = π

⇔ 2π − 0

2× limα→0+

sin(α)

α+ 0 = π

⇔ limα→0+

sin(α)

α= 1,

entao limα→0+sin(α)α = 1, o que conclui a prova.

Considerando a situacao anterior, vai-se olhar agora para o perımetro do polıgono inscritona circunferencia. Este e dado por

Ppolıgono = n× base(4α) + base(4β)

= n× 2 sin(α

2

)+ 2 sin

(β

2

)=

2π − βα

× 2 sin(α

2

)+ 2 sin

(β

2

)= (2π − β)

sin(α2

)α2

+ 2 sin

(β

2

).

Novamente, quando α→ 0+, o perımetro do polıgono tende para o perımetro do cırculo, portanto

13

tem-se que limα→0+ Ppolıgono = 2π. Como

limα→0+

Ppolıgono = 2π

⇔ (2π − 0)× limα→0+

sin(α2

)α2

+ 0 = 2π

⇔ limα→0+

sin(α2

)α2

= 1,

entao, fazendo a mudanca de variavel x = α2 , prova-se que limx→0+

sin(x)x = 1.

14

4.2 As derivadas de sin(x) e cos(x)

A derivada das funcoes seno e cosseno sao usualmente obtidas recorrendo a definicao daderivada por limite, que depende do limx→0

sin(x)x , tal como e lecionado no ensino secundario.

Nesta seccao apresento uma alternativa, que me parece bastante original, para a determinacaodessas derivadas recorrendo aos integrais das funcoes seno e cosseno, estabelecendo algumaspropriedades e aplicando o Teorema Fundamental do Calculo (TFC).

Comecamos por apresentar sucintamente a primeira abordagem, assumindo a continuidadedas funcoes trigonometricas.

De limx→0sin(x)x = 1 decorre que

limx→0

sin(x)− sin(0)

x= 1

e portanto a funcao sin(x) e derivavel em 0 e sin′(0) = 1.

Seja x ∈]−π

2 ,π2

[com x 6= 0. Note-se que

cos(x)− cos(0)

x− 0=

cos(x)− 1

x=

(cos(x)− 1)(cos(x) + 1)

x(cos(x) + 1)=

cos2(x)− 1

x(cos(x) + 1)

=− sin2(x)

x(cos(x) + 1)=

sin(x)

x×(− sin(x)

cos(x) + 1

)Como limx→0

sin(x)x = 1 e limx→0− sin(x)

cos(x)+1 = 0, entao

limx→0

cos(x)− cos(0)

x− 0= 0

donde a funcao cos(x) e derivavel em 0 e cos′(0) = 0.

Usando os limites envolvidos nas derivadas de sin′(0) e cos′(0), deduz-se o seguinte:

Proposicao 4.2.1. As funcoes sin(x) e cos(x) sao derivaveis em R, sendo, para qualquer x ∈ R,

sin′(x) = cos(x) e cos′(x) = − sin(x).

Demonstracao. Tem-se que

sin(x+ h)− sin(x)

h=

cos(x) sin(h) + sin(x) cos(h)− sin(x)

h

= cos(x)× sin(h)

h+ sin(x)× cos(h)− 1

h

Como limh→0cos(h)−1

h = 0 e limh→0sin(h)h = 1, entao

limh→0

sin(x+ h)− sin(x)

h= cos(x)

e conclui-se que sin′(x) = cos(x). Analogamente se prova que cos′(x) = − sin(x).

15

Como alternativa ao apresentado anteriormente, vai-se obter as derivadas das funcoes sin(x)e cos(x) atraves de integrais das mesmas, usando o facto de as funcoes seno e cosseno seremcontınuas e assumindo as propriedades da integracao, especialmente a linearidade.

Definem-se as seguintes funcoes em R:

S(x) =

∫ x

0cos(t) dt e C(x) =

∫ x

0sin(x) dt

Do TFC decorre que, para qualquer x ∈ R,

S′(x) = cos(x) e C ′(x) = sin(x).

A ideia da prova e escrever as funcoes seno e cosseno em funcao de S(x) e C(x) e daı obter assuas derivadas. Para isso, vai-se usar as seguintes propriedades:

Proposicao 4.2.2. Para qualquer x, y ∈ R,

1. S(x+ y) = cos(x)[S(y) + S(x)]− sin(x)[C(y)− C(x)]

2. S(π) = 0

3. S(π + x) = −S(x)

Demonstracao.

1. Fazendo duas mudancas de variavel, obtem-se:

S(x+ y) =

∫ x+y

0cos(t) dt =

∫ y

−xcos(t+ x)dt

=

∫ 0

−xcos(t+ x) dt+

∫ y

0cos(t+ x) dt =

∫ x

0− cos(−t+ x) dt+

∫ y

0cos(t+ x) dt

=

∫ x

0cos(t− x) dt+

∫ y

0cos(t+ x) dt

e, usando formulas trigonometricas, tem-se

S(x+ y) =

∫ x

0cos(t− x) dt+

∫ y

0cos(t+ x) dt

=

∫ x

0[cos(t) cos(x) + sin(t) sin(x)] dt+

∫ y

0[cos(t) cos(x)− sin(t) sin(x)] dt

= cos(x)

∫ x

0cos(t) dt+ sin(x)

∫ x

0sin(t) dt+ cos(x)

∫ y

0cos(t) dt− sin(x)

∫ y

0sin(t) dt

= cos(x)S(x) + sin(x)C(x) + cos(x)S(y)− sin(x)C(y)

= cos(x)[S(y) + S(x)]− sin(x)[C(y)− C(x)]

2. Usando o facto de que π = π2 + π

2 e a Prop 4.2.2.1, tem-se:

S(π) = cos(π

2

) [S(π

2

)+ S

(π2

)]− sin

(π2

) [C(π

2

)− C

(π2

)]= 0

3. Fazendo uso da Prop 4.2.2.1, conclui-se:

S(π + x) = cos(π)[S(x) + S(π)]− sin(π)[C(x)− C(π)] = cos(π)S(x) = −S(x)

16

Estando estabelecidas as propriedades, retoma-se a ideia de compor uma expressao para senoe cosseno fazendo uso das funcoes C(x) e S(x).

Proposicao 4.2.3.

S(x) = sin(x)C(π)

2(4.2.1)

C(x) = (1− cos(x))C(π)

2(4.2.2)

Demonstracao. Note-se que S(x) pode ser escrita como S(x + 0) e, usando a Prop 4.2.2.1 e ofacto de S(0) = C(0) = 0, obtem-se:

S(x) = cos(x)[S(0) + S(x)]− sin(x)[C(0)− C(x)] = cos(x)S(x) + sin(x)C(x)

e

(1− cos(x))S(x) = sin(x)C(x). (a)

Por outro lado, usando a Prop 4.2.2, tem-se que:

−S(x) = cos(x)[S(π)+S(x)]−sin(x)[C(π)−C(x)]⇔ −S(x) = cos(x)S(x)−sin(x)[C(π)−C(x)]

e

(1 + cos(x))S(x) = sin(x)[C(π)− C(x)]. (b)

Sumando (a) e (b), retira-se que 2S(x) = sin(x)C(π), ou seja,

S(x) = sin(x)C(π)

2. (c)

Substituindo em (a), S(x), pela expressao obtida em (c), obtem-se:

(1− cos(x))C(π)

2sin(x) = sin(x)C(x)

e para x 6= kπ, k ∈ Z, C(x) = (1− cos(x))C(π)2 .

Como C(x) e cos(x) sao contınuas, entao

C(kπ) = limx→kπ

C(x) = limx→kπ

(1− cos(x))C(π)

2= (1− cos(kπ))

C(π)

2.

Concluindo-se que, para qualquer x ∈ R,

C(x) = (1− cos(x))C(π)

2.

17

O objetivo era escrever as funcoes seno e cosseno em funcao de S(x) e C(x), portanto, usandoas igualdades (4.2.1) e (4.2.2), retira-se que:

sin(x) = 2× S(x)

C(π)e cos(x) = 1− 2C(x)

C(π)

Recorrendo ao TFC e derivando em ordem a x:

sin′(x) =

(2S(x)

C(π)

)′=

2

C(π)cos(x)

cos′(x) =

(1− 2C(x)

C(π)

)′= −2 sin(x)

C(π), onde C(π) =

∫ π

0sin(t) dt

Para finalizar, falta determinar C(π). Sabe-se que a circunferencia trigonometrica e parametri-zada pelas funcoes x(t) = cos(t) e y(t) = sin(t) para 0 ≤ t ≤ 2π, portanto:

2π =

∫ 2π

0

√(y′(t))2 + (x′(t))2 dt =

∫ 2π

0

√(2

C(π)cos(t)

)2

+

(− 2

C(π)sin(t)

)2

dt

=

∫ 2π

0

∣∣∣∣ 2

C(π)

∣∣∣∣√sin2(t) + cos2(t) dt =

∫ 2π

0

∣∣∣∣ 2

C(π)

∣∣∣∣ dt =

∣∣∣∣ 2

C(π)

∣∣∣∣ 2πPortanto, obtem-se a igualdade 2π =

∣∣∣ 2C(π)

∣∣∣ 2π, onde se conclui que C(π) = 2, porque a funcao

seno em ]0, π[ e positiva. Prova-se, assim, que sin′(x) = cos(x) e cos′(x) = − sin(x).

18

4.3 Estudo da funcao sinc

A funcao sin(x)x esta definida para x ∈ R \ {0} e como ja foi visto na seccao 4.1 que

limx→0sin(x)x = 1 vai-se definir uma funcao contınua em R, designada por sinc, dada por:

sinc(x) =

sin(x)x , se x 6= 0

1, se x = 0

.

Na verdade, existem dois tipos de funcao sinc: a que acabamos de definir designa-se por funcaosinc nao-normalizada e existe a funcao sinc normalizada. Esta ultima e dada por sin(πx)

πx parax 6= 0 e tambem toma valor 1 em x = 0. A funcao sinc normalizada tem esse nome por-que

∫ +∞−∞

sin(πx)πx e igual a 1, enquanto que o da funcao sinc nao-normalizada e igual a π (ver

seccao 4.4). Na Analise de Sinais, por exemplo, e bastante utilizada a transformada de Fourierda funcao sinc normalizada, designada por funcao retangular (ver referencia [8]), que nao seratratada aqui. O nosso estudo vai-se incidir apenas na funcao sinc nao-normalizada, que seradenotada em todo o texto como, simplesmente, funcao sinc.

Nesta seccao pretende-se apresentar o grafico da funcao sinc e fazer um estudo desta, nome-adamente determinar os zeros, a paridade, os extremos, a monotonia e a concavidade da funcao.

Zeros, paridade e expressao da primeira derivada

Sendo que sinc(0) 6= 0, os zeros da funcao sinc sao facilmente determinados atraves da re-solucao da equacao sin(x) = 0 e conclui-se que eles sao os valores de x tais que x = kπ, k ∈ Z.

Quanto a paridade tem-se que, sendo x 6= 0,

sinc(−x) =sin(−x)

−x= −sin(x)

−x= sinc(x),

portanto a funcao e par, ou seja, o grafico da funcao e simetrico relativamente ao eixo Oy.

Para estudar os extremos e a monotonia vai-se comecar por determinar a primeira derivadada funcao. Para x 6= 0, sinc′(x) = cos(x)x−sin(x)

x2e para x = 0, a derivada vai ser determinada

recorrendo a definicao por limite. O calculo leva a indeterminacoes do tipo 00 que se resolvem

usando a regra de L’Hopital:

limx→0

sinc(x)− sinc(0)

x= lim

x→0

sin(x)x − 1

x= lim

x→0

sin(x)− xx2

= limx→0

cos(x)− 1

2x= lim

x→0−sin(x)

2= 0.

Fica, assim, determinada a primeira derivada da funcao sinc definida por

sinc′(x) =

cos(x)x−sin(x)

x2, se x 6= 0

0, se x = 0

.

Esta funcao tambem e contınua em R: para x 6= 0 e evidente que a funcao sinc′ e contınua e,

19

analogamente ao que foi feito acima para o limite, para x = 0, conclui-se quelimx→0 sinc′(x) = sinc′(0).

Extremos

Determinada a derivada da funcao sinc vai-se procurar os extremos (locais) atraves dos zerosda derivada. Para x 6= 0,

sinc′(x) = 0⇔ x cos(x)− sin(x) = 0

⇔ x =sin(x)

cos(x)∧ x 6= π

2+ kπ, k ∈ Z

⇔ x = tan(x) ∧ x 6= π

2+ kπ, k ∈ Z.

Na verdade, sinc′(π2 + kπ

)6= 0 e quando x = 0 satisfaz tambem a equivalencia acima entao,

para qualquer x,

sinc′(x) = 0⇔ tan(x) = x.

Figura 4.4: Graficos das funcoes tan(x) e x

O objetivo e identificar, de entre os valores de x que satisfazem x = tan(x), os que sao ma-ximizantes e os que sao minimizantes. Tendo em conta que a funcao sinc e par, vai-se limitar oestudo dos extremos a x ≥ 0. Para x = 0, como sinc(0) = 1 e, para qualquer x ∈ R, sinc(x) ≤ 1,a funcao sinc tem um maximo em x = 0. De facto, sinc(0) e o maximo absoluto da funcao (verpag.21).

Sendo x > 0, a equacao x = tan(x) e valida se sin(x) e cos(x) tiverem o mesmo sinal, ouseja, x ∈

]2kπ, π2 + 2kπ

[ou x ∈

]π + 2kπ, 3π

2 + 2kπ[, k ∈ N0. Para simplificar a escrita, vai-se

designar por Ik o intervalo]2kπ, π2 + 2kπ

[e por Jk o intervalo

]π + 2kπ, 3π

2 + 2kπ[, com k ∈ N0.

Facilmente se ve que a funcao h(x) = tan(x) − x e crescente em cada um dos intervalos Ike Jk, pois h′(x) = 1

cos2(x)− 1 = tan2(x) e h′(x) > 0 nos intervalos Ik e Jk.

Repare-se que quando x > 2kπ e proximo de 2kπ tem-se que h(x) < 0 e quando x < π2 + 2kπ

e proximo de π2 + 2kπ, h(x) > 0 e como se acabou de mostrar que a funcao h e crescente no

intervalo Ik, conclui-se que existe um e um so zero da funcao h, em cada intervalo Ik. Por

20

argumentos analogos, o mesmo se conclui para cada intervalo Jk.

Seja α > 0 tal que sinc′(α) = 0, isto e, α = tan(α).

Comecando pelo caso em que α ∈ Ik: se x ∈ Ik e x < α, entao por a funcao tan(x) − xser crescente nesse intervalo, tem-se que tan(x)−x < tan(α)−α = 0 e tan(x) < x. Em Ik, comocos(x) > 0,

sin(x)

cos(x)< x⇔ sin(x) < cos(x)x⇔ x cos(x)− sin(x) > 0

portanto sinc′(x) > 0. Se, por outro lado, x > α entao, pelos argumentos anteriores, tem-seque tan(x) > x e, consequentemente, que x cos(x) − sin(x) < 0 concluindo-se que sinc′(x) < 0.Portanto, para α ∈ Ik, α e um maximizante da funcao sinc.

No caso em que α ∈ Jk, os argumentos sao analogos excetuando que, em Jk, cos(x) < 0 o

que altera o sentido da desigualdade em sin(x)cos(x) < x tendo-se sinc′(x) < 0, no caso em que x < α

e em sin(x)cos(x) > x tendo-se sinc′(x) > 0, no caso em que x > α. Portanto, para α ∈ Jk, α e um

minimizante da funcao sinc.

Os extremos locais da funcao sinc sao, para k ∈ N0,

1. os valores da funcao quando x ∈[2kπ, π2 + 2kπ

[, tal que x = tan(x), sendo estes maximos

locais;

2. os valores da funcao quando x ∈]π + 2kπ, 3π

2 + 2kπ[, tal que x = tan(x), sendo estes

mınimos locais.

Os restantes decorrem pela simetria da funcao, obtendo-se os extremos locais da funcao sincpara x < 0.

Monotonia

Como o domınio da funcao e R (um intervalo) e a funcao sinc′(x) e contınua em R, entao estanao muda de sinal entre dois zeros consecutivos. Assim, sinc(x) vai alternando decrescimento(entre um maximizante e o minimizante seguinte) e crescimento (entre um minimizante e omaximizante seguinte).

Estudada a monotonia, pode-se concluir que, na verdade, a funcao sinc atinge um maximoabsoluto em x = 0 e e unico, porque entre zero, que e o primeiro maximizante, e o primeiro

minimizante, pertencente a]π, 3π

2

[, a funcao e estritamente decrescente e para x > 1,

∣∣∣ sin(x)x

∣∣∣ < 1.

Concavidade

Para estudar a concavidade, vai-se comecar por determinar a segunda derivada da funcao.Para x 6= 0, sinc′′(x) = −sinc(x) + 2 sin(x)

x3− 2 cos(x)

x2, e para x = 0 e analogo ao que foi feito para

a primeira derivada, concluindo-se que

limx→0

sinc′(x)− sinc(0)

x= −1

3= sinc′′(0).

21

Fica, assim, determinada a segunda derivada da funcao sinc definida por

sinc′′(x) =

−sinc(x) + 2 sin(x)x3− 2 cos(x)

x2, se x 6= 0

−13 , se x = 0

.

Note-se que sin′′(x) = − sin(x) e cos′′(x) = − cos(x) e, como foi visto anteriormente que

sinc′′(x) = −sinc(x) + 2 sin(x)x3− 2 cos(x)

x2(para x 6= 0), tem-se que, quando |x| → +∞,

sinc′′(x) ≈ −sinc(x).

Pela aproximacao acima conclui-se que sinc tem a concavidade voltada para cima aproximada-mente quando sinc(x) < 0 e voltada para baixo aproximadamente quando sinc(x) > 0. Estefacto pode ser confirmado pelo grafico abaixo onde estao representadas as funcoes sinc, −sinc esinc′′ a cor verde, vermelho e azul, respetivamente.

Figura 4.5: Graficos das funcoes sinc, −sinc e sinc′′

Terminado o estudo da funcao sinc, apresenta-se abaixo a representacao grafica da funcao.

22

Figura 4.6: Grafico da funcao sinc

4.4 Integrais e Igualdades

A funcao sinc tem propriedades bastante interessantes que vao ser foco desta nova seccao.

Valor de∫ +∞−∞ sinc(x) dx

A primeira propriedade que se destaca e o integral improprio∫ +∞−∞ sinc(x) dx designado por

integral de Dirichlet, ao qual vai ser dada alguma atencao determinando o seu valor.

Como a funcao sinc e par, vamos comecar apenas por estudar∫ +∞

0 sinc(x) dx. Note-se que

nao se pode exprimir uma primitiva de sin(x)x atraves das funcoes elementares do Calculo nossas

conhecidas e por isso nao se pode usar o TFC para estudar o integral. Antes de se calcular ovalor de

∫ +∞0 sinc(x) dx, vai-se provar que este integral converge e alguns resultados auxiliares.

Proposicao 4.4.1.

∫ +∞

0sinc(x) dx converge.

Demonstracao. Como a funcao sinc e contınua em R (portanto contınua em [0, 1]), tem-se que,para y > 1, ∫ y

0sinc(x) dx =

∫ 1

0sinc(x) dx+

∫ y

1sinc(x) dx.

Assim, basta considerar a convergencia de∫ +∞

1sin(x)x dx.

Considerando inicialmente∫ sin(x)

x dx e integrando por partes onde f(x) = − cos(x) e g(x) = 1x ,

tem-se que ∫sin(x)

xdx = −cos(x)

x−∫

cos(x)

x2dx.

23

Entao, ∫ y

1

sin(x)

xdx =

[−cos(x)

x−∫

cos(x)

x2dx

]y1

=

[−cos(x)

x

]y1

−∫ y

1

cos(x)

x2dx.

Portanto,∫ +∞

1

sin(x)

xdx = lim

y→+∞

∫ y

1

sin(x)

xdx = lim

y→+∞

([−cos(x)

x

]y1

−∫ y

1

cos(x)

x2dx

)= lim

y→+∞

(−cos(y)

y+ cos(1)−

∫ y

1

cos(x)

x2dx

).

Como cos(x) e limitada, entao limy→+∞cos(y)y = 0 e, conclui-se que∫ +∞

1

sin(x)

xdx = cos(1)− lim

y→+∞

∫ y

1

cos(x)

x2dx.

Para x ≥ 1, tem-se que 0 ≤∣∣∣ cos(x)

x2

∣∣∣ ≤ 1x2

, portanto, para y > 1, 0 ≤∫ y

1

∣∣∣ cos(x)x2

∣∣∣ dx ≤ ∫ y1 1x2dx.

Como∫ +∞

11x2dx converge, entao

∫ +∞1

cos(x)x2

dx converge absolutamente, logo converge, concluindo-

se que∫ +∞

1sin(x)x dx converge.

Resultados auxiliares 1. .

1.

∫ +∞

0e−xt dt =

1

x

2.

∫ +∞

0sin(x)e−xt dx =

1

1 + t2

Demonstracao. .

1. ∫ +∞

0e−xt dt = lim

y→+∞

∫ y

0e−xt dt = lim

y→+∞

[−e−xt

x

]y0

= limy→+∞

(−e−xy

x+

1

x

)=

1

x.

2. Usando duas vezes a integracao por partes onde f(x) = − e−xt

t e g(x) = sin(x), tem-se que∫sin(x)e−xt dx = −e

−xt

tsin(x)− e−xt

t2cos(x)− 1

t2

∫e−xt sin(x) dx.

Resolvendo a equacao em ordem a∫

sin(x)e−xt dx obtem-se(1 +

1

t2

)∫sin(x)e−xt dx = −e

−xt

t

(sin(x) +

cos(x)

t

)24

e (1 +

1

t2

)∫sin(x)e−xt dx = −e

−xt

t

(sin(x) +

cos(x)

t

)⇔∫

sin(x)e−xt dx = −e−xt

t (sin(x) + cos(x)t )

1+t2

t2

⇔∫

sin(x)e−xt dx = −e−xt(sin(x)t+ cos(x))

1 + t2.

Portanto,∫ +∞

0sin(x)e−xt dx = lim

y→+∞

∫ y

0sin(x)e−xt dx = lim

y→+∞

[−e−xt(sin(x)t+ cos(x))

1 + t2

]y0

= limy→+∞

(−e−yt(sin(y)t+ cos(y))

1 + t2+

1

1 + t2

)=

1

1 + t2.

Usando os resultados auxiliares anteriores, pode-se escrever∫ +∞

0sinc(x) dx =

∫ +∞

0

sin(x)

xdx =

∫ +∞

0sin(x)× 1

xdx

=

∫ +∞

0sin(x)

(∫ +∞

0e−xt dt

)dx

=

∫ +∞

0

(∫ +∞

0sin(x)e−xt dt

)dx.

Como o integral nao e absolutamente convergente nao ha um resultado geral que o afirme, masprova-se diretamente (ver referencia [9]) que se pode trocar a ordem de integracao sem alteraro resultado. Tem-se que∫ +∞

0sinc(x) dx =

∫ +∞

0

(∫ +∞

0sin(x)e−xt dt

)dx =

∫ +∞

0

(∫ +∞

0sin(x)e−xt dx

)dt

=

∫ +∞

0

1

1 + t2dt = lim

z→+∞

∫ z

0

1

1 + t2dt

= limz→+∞

(arctan(z)− arctan(0)) =π

2.

Pela simetria da funcao sinc tem-se que∫ +∞−∞ sinc(x) dx = 2

∫ +∞0 sinc(x) dx, entao conclui-se o

seguinte:

Proposicao 4.4.2.

∫ +∞

−∞sinc(x) dx = π.

Foi mencionada em 4.3 a diferenca entre a funcao sinc normalizada e a nao-normalizada, querecai sobre o valor do integral improprio destas duas funcoes. A prova de que∫ +∞−∞

sin(πx)πx dx = 1 e analoga a que se fez para

∫ +∞−∞ sinc(x) dx = π, pelo que nao sera aqui

apresentada.

25

Valor de∫ +∞−∞ sinc2(x) dx

Remetendo para o que foi dito no inıcio desta seccao, a funcao sinc admite propriedadesbastante interessantes. A segunda que se destaca e a seguinte:

Proposicao 4.4.3.

∫ +∞

−∞sinc(x) dx =

∫ +∞

−∞sinc2(x) dx.

Vai-se provar, portanto, que∫ +∞−∞ sinc2(x) dx = π.

Considere-se inicialmente∫

sinc2(x) dx, para x > 0. Tem-se que∫sinc2(x) dx =

∫sin2(x)

x2dx

e integrando por partes onde f(x) = − 1x e g(x) = sin2(x), obtem-se∫

sin2(x)

x2dx = −1

xsin2(x)−

∫−1

x× 2 sin(x) cos(x) dx

e ∫sin2(x)

x2dx = −sin2(x)

x+

∫sin(2x)

xdx

= −sinc(x) sin(x) +

∫sin(2x)

xdx.

Por sinc2 ser par, vamos estudar primeiro∫ +∞

0 sinc2(x) dx.∫ +∞

0sinc2(x) dx = lim

y→+∞

∫ y

0sinc2(x) dx

= limy→+∞

[−sinc(x) sin(x)]y0 + limy→+∞

∫ y

0

sin(2x)

xdx.

Fazendo a mudanca de variavel t = 2x em∫ sin(2x)

x dx, tem-se que∫ +∞

0sinc2(x) dx = lim

y→+∞[−sinc(x) sin(x)]y0 + lim

y→+∞

∫ 2y

0

sin(t)

tdt

= limy→+∞

(−sinc(y) sin(y) + sinc(0)× sin(0)) +

∫ +∞

0sinc(t) dt

e, como ja foi visto que∫ +∞

0 sinc(t) dt = π2 , obtem-se∫ +∞

0sinc2(x) dx = lim

y→+∞−sinc(y) sin(y) +

π

2.

Como limy→+∞ sinc(y) = 0 e sin(y) e limitada entao limy→+∞−sinc(y) sin(y) = 0. Assim,∫ +∞

0sinc2(x) dx =

π

2

e, pela simetria da funcao sinc2, tem-se que∫ +∞−∞ sinc2(x) dx = 2

∫ +∞0 sinc2(x) dx, conclui-se,

assim, que∫ +∞−∞ sinc2(x) dx = π.

26

Valor de∑+∞

n=1 sinc(n) e de∑+∞

n=1 sinc2(n)

Mais impressionante ainda sao as seguintes igualdades:

Proposicao 4.4.4.

∫ +∞

−∞sinc(x) dx =

∫ +∞

−∞sinc2(x) dx =

+∞∑−∞

sinc(n) =+∞∑−∞

sinc2(n).

Seja an uma serie convergente. Definimos∑+∞−∞ an como

+∞∑−∞

an =

−1∑n=−∞

an + a0 +

+∞∑n=1

an.

Como a funcao sinc e par, entao

+∞∑−∞

sinc(n) = 2×+∞∑n=1

sinc(n) + sinc(0).

Sabe-se pela referencia [6] que

+∞∑n=1

sinc(n) =+∞∑n=1

sinc2(n) =π

2− 1

2

portanto,+∞∑−∞

sinc(n) = 2×(π

2− 1

2

)+ 1 = π.

Como se sabe que∑+∞−∞ sinc(n) =

∑+∞−∞ sinc2(n), conclui-se, assim, que∑+∞

n=1 sinc(n) =∑+∞

n=1 sinc2(n) = π.

Formula de Viete

O ultimo resultado que apresentamos neste texto, publicado em 1593, deve-se a FrancoisViete, um matematico frances. Este resultado, designado por Formula de Viete, expressa onumero π pela primeira vez como um produto infinito.

Proposicao 4.4.5.2

π=

√2

2

√2 +√

2

2

√2 +

√2 +√

2

2...

Vamos provar esta igualdade. Tem-se que

sin(x) = 2 sin(x

2

)cos(x

2

)e, por sua vez,

sin(x

2

)= 2 sin

(x4

)cos(x

4

),

27

portanto sin(x) pode ser escrito

sin(x) = 4 sin(x

4

)cos(x

4

)cos(x

2

).

Atraves de um argumento indutivo, tem-se que

sin(x) = 2n sin( x

2n

)cos( x

2n

)cos( x

2n−1

)... cos

(x2

).

Sendo x 6= 0, multiplicando e dividindo o segundo termo da igualdade por x, tem-se:

sin(x) = x×sin(x2n

)x2n

cos( x

2n

)cos( x

2n−1

)... cos

(x2

)e

sin(x) = x× sinc( x

2n

)cos( x

2n

)cos( x

2n−1

)... cos

(x2

).

Como, a partir de uma certa ordem n, se tem que 2n > |x|, entao sinc(x2n

)a partir dessa ordem

nao se anula, e pode-se escrever

sin(x)

x× 1

sinc(x2n

) = cos( x

2n

)cos( x

2n−1

)... cos

(x2

),

isto e,sinc(x)

sinc(x2n

) = cos( x

2n

)cos( x

2n−1

)... cos

(x2

). (4.4.1)

Note-se que, quando n → +∞, x2n → 0 e limn→+∞ sinc

(x2n

)= 1, garantindo, assim, a con-

vergencia do produto. Portanto a igualdade (4.4.1), quando n→ +∞, fica:

sinc(x) =∞∏k=1

cos( x

2k

). (4.4.2)

Para x = 0, a igualdade (4.4.2) e satisfeita, portanto esta e valida para qualquer x.

Quando x = π2 , tem-se que sinc

(π2

)= cos

(π4

)× cos

(π8

)× cos

(π16

)....

Seja x ∈ [0, π2 ]. Pela formula trigonometrica cos(x2

)=

√1+cos(x)

2 = cos(x2

), tem-se

sinc(π

2

)= cos

(π4

)× cos

(π8

)× cos

( π16

)...

⇔ 2

π=

√2

2×

√1 +

√2

2

2×

√√√√√1 +

√1+√22

2

2× ...

⇔ 2

π=

√2

2×

√2 +√

2

4×

√2 +

√2 +√

2

4× ...

⇔ 2

π=

√2

2×√

2 +√

2

2×

√2 +

√2 +√

2

2× ... ,

como querıamos demonstrar.

28

Capıtulo 5

Consideracoes Finais

Este ano letivo foi muito gratificante, para mim. Para alem de estar todos os dias em con-tacto com os alunos e a realidade escolar, escrever este relatorio de estagio proporcionou-metambem muitos momentos de aprendizagem.

A parte mais desafiadora, neste relatorio foi a parte didatica, onde trabalhei com inumerascoisas de que nao percebia. Com todo o apoio recebido, aprendi a criar base de dados, a tornaro meu computador num host e descobri realmente de que era feita a internet. Senti-me umaverdadeira informatica. Mas nem e isso que esta em questao, e a quantidade de informacao queconseguimos absorver e que conseguimos integrar para sermos criativos.

Ser-se criativo. Um professor precisa de ser criativo. De estar em constante aprendizageme, por vezes, sair da sua zona de conforto para que consiga adaptar as suas aulas aos interessesdos seus alunos.

Agraceco mais uma vez a todos que me acompanharam e que acreditaram em mim.

29

30

Bibliografia

[1] William B. Gearhart and Harris S. Shultz ”The function sin(x)x ”The College Mathe-

matics Journal,vol.21, no. 2, pp. 90-99, 1990

[2] E.Maor Trigonometric Delights vol. XIV, Princeton University Press, 1998

[3] E.Maor ”A remarkable trigonometric identity”The Mathematics Teacher, vol. 70,pp. 452-455, 1997

[4] B. A. Cipra ”The derivatives of the sine and cossine functions”The college mathe-matics journal, vol. 18, pp. 139-141, 1987

[5] C. H. Edwards Advanced Calculus of Several Variables Academic Press, 1973

[6] R. J. Bailey ”Solutions to advanced problema”The American MathematicalMonthly, vol. 87, no. 6, pp. 497-498, 1980

[7] R. Baillie, D. Borwein & J. M. Borwein ”Surprising Sinc Sums and Integrals”TheAmerican Mathematical Monthly, vol. 115, no. 10, pp. 888-901, 2008

[8] Wikipedia – funcao retangular - Rectangular function

https://pt.qwe.wiki/wiki/Rectangular_function; Ultima visita a 15 de Ju-nho de 2020

[9] S.Maurer, Iterating a Double Improper Integral that Isn’t Absolutely Convergent

http://www.swarthmore.edu/NatSci/smaurer1/Math18H/doubleint.pdf;Ultima visita a 15 de Junho de 2020

[10] Manuais escolares do 11o ano - Tema: Trigonometria

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