Embed Size (px)
Citation preview
Методичний кабінет відділу освіти Старокостянтинівської РДА
Дидактичні матеріали з алгебри та початків аналізу
для 11 класу ( академічний рівень)
2011
2
Кручок Віта Михайлівна, Коротун Михайло Володимирович – вчителі Лажівської ЗОШ І-ІІІ ст. Старокостянтинівської районної ради Схвалено на засіданні ради районного методичного кабінету (протокол №___ від _______2011 р.) Кручок В. М., Коротун М.В. тема:Дидактичні матеріали з алгебри та початків аналізу для 11 класу ( академічний рівень)Посібник. Старокостянтинівський РМК, 2011р, 58 стор. Посібник містить вправи з алгебри для 11 класу загальноосвітніх шкіл. Призначений для використання на уроці , домашньої роботи, самостійної роботи учнів, підготовки учнів до контрольних робіт. Даний посібник містить тексти контрольних робіт згідно програми для 11 класу академічного рівня. Розрахований на вчителів математики , учнів 11 класу.
3
Зміст Означення похідної функції………………………….5 Правила обчислення похідних……………………….5 Похідна складеної функції……………………………7 Похідні тригонометричних функцій…………………7 Похідні вищих порядків……………………………….8 Дотична до графіка функцій………………………......9 Фізичний зміст похідної………………………………10 Дослідження функції на зростання ( спадання)……..10 Критичні точки, максимуми і мінімуми функції…….11 Побудова графіків функцій……………………………12 Найбільше і найменше значення функції…………….12 Показникова функція та її властивості……………….13 Показникові рівняння………………………………….13 Показникові нерівності………………………………..14 Логарифми та їх властивості………………………….15 Логарифмічна функція та її властивості……………..16 Логарифмічні рівняння………………………………..17 Логарифмічні нерівності………………………………18 Системи показникових і логарифмічних рівнянь……19 Похідна показникової функції та її застосування……20 Похідна логарифмічної функції та її застосування….22 Перестановки…………………………………………..24 Комбінації………………………………………………25 Розміщення……………………………………………..26 Біном Ньютона………………………………………….27 Класичне означення імовірності………………………28 Застосування формул комбінаторики для обчислення імовірності подій……………………………………….29 Теорема додавання імовірностей несумісних подій…30 Теорема множення імовірностей незалежних подій…31 Схема Бернуллі……………………………………..…..32 Первісна. Основна властивість первісної……..………33 Правила знаходження первісних…………..…………..34 Інтеграл. Формула Ньютона – Лейбніца..……….........36 Площа криволінійної трапеції…………………………38
4
Об’єм тіла обертання…………………………………..40 Застосування інтеграла в фізиці………………………40 Первісна показникової функції……………………….41 Похідна і первісна степеневої функції………………..42 Тематичні контрольні роботи………………………….45
5
Означення похідної функції 1. Знайти приріст функції f в точці х0 при вказаному прирості аргументу ∆х: 1) f(x) = 3x -2, x0 = -1, ∆x = 0,3; 2) f(x) = sinx, x0 = 0 , ∆x =
6 .
2. Для функції f(x) = cos 3x знайти .)0(
xxf
3. Користуючись означенням, знайти похідну функції: 1) f(x) = 1-2х; 2) f(x) = х2 +3х – 2.
Правила обчислення похідних 4. Знайти похідну функції:
1) f(x) = ;21 x 2) f(x) = x5 ;
3) f(x) = 3x2; 4) f(x) = ;6
2x
5) f(x) = x8; 6) h(x) = -4x4; 7) g(x) = x-3; 8) h(x) = -2x-10;
9) f(x) = ;14x
10) f(x) = ;56x
11) g(x) = ;21
8x 12) h(x) = .
53
10x
5. Знайти похідну функції:
1) f(x) = ;31
x 2) h(x) = ;5 32
x
3) y = ;23
x 4) g(x) = ;5 3x
5) f(x) = ;2
1
92
x 6) y =
4
7x
.
6
6. Знайти похідну функції:
1) f(x) = 3x ;3 x 2) y = ;4xx
3) f(x) = ;23
3
xx 4) f(x) = .tt
7. Знайти похідну функції:
1) y = 3x7 -6x5 – 4x2 +17; 2) y = x - ;4x
3) y = ;2831 6 xxx 4) y = .32
32 xx
8. Знайти похідну функції: 1) y = ( x3 – 2)(x2+ 1); 2) y = ;231 xx 3) y = ;23 2 xx 4) y = (x2 – 3x +1)(x4 – 3x+2). 9. Знайти похідну функції:
1) y = ;25
73x
x 2) y = ;
214
2
xx
3) ;352
x
xxy 4) y = ;432
2
2
xxx
5) y = ;1x
x 6) y = .14 x
x
10. Обчислити значення похідної даної функції в точці х0: 1) f(x) = x4 – 2x3 + x, x0 = -1;
2) f(x) = ,3223
23
xxx x0 = 3;
3) f(x) = ,16 2xx x0 = .41
11. Обчислити значення похідних даних функцій при вказаних значеннях незалежної змінної:
1) ?)2(,1
32)( /
fx
xxf ; 2) .?)3(,55)( /
3
3
fxxxf
7
12. Чи правильно, що f / (1) < g/ (1),якщо
?43
52)(,4)(x
xxgxxf
13. Розв’язати нерівність f/(x) + g/ (x) ≤ 0, якщо f(x) = 2x3 +12x2, g(x) = 9x2+ 72x.
Похідна складеної функції 14. Знайти похідну функції: 1) у= (3 –х)5; 2) у = (6х5 – 2х)8;
3) у = ;)3(
132 xx
4) у = 3(х – 2)5 +2(1 – х)4;
5) у = ;12 x 6) у = .23 xx 15. Обчислити значення похідної даної функції в точці х0: 1) f(x) = (x2 –5x + 1)10, x0 = 0;
2) f(x) = 51x , x0 =4;
3) f(x) = xx 25 2 , x0 = 2;
4) f(x) = ,3273 2
xx x0 = 2.
Похідні тригонометричних функцій
16. Знайти похідну функції:
;33
cossin33
)1 23
xxxy
2) y = 3x tgx;
3) y =tg x + ctg x; 4) y = ;sin1sin1
xx
5) y = x2 sin x; 6) y = .cos33x
x
17. Знайти похідну функції: 1) y= cos 6x; 2) y = sin2x;
8
3) y = x2cos ;1x
4) y = ctg ;6
3
x
5) y = ;2xtg 6) y = .1
3sinx
x
18. Обчислити значення похідної даної функції в точці х0 :
1) f(x) = sin ;6
5,5 0
xx
2) f(x) = tg x2 , x0 = ;2
3) f(x) =cos43x , x0 = ;9
4) f(x) = 3x sin 2x, x0 = .2
19. При яких значеннях х похідна функції f(x) = 3sin23
3xx
більша від нуля?
Похідні вищих порядків 20. Знайти другу похідну функції:
1) у = х3- 2х2 + 3х – 1; 3) у = x
x 42 ;
2) у = 3 sin ;3x 4) y = x cos x.
21. Знайти похідну третього порядку y = x4 .
22. Знайти похідну четвертого порядку функції: 1) y = cos 2x; 2) у = 3х3 +4х2 – 8х+10.
9
Дотична до графіка функцій 23. Знайти кутовий коефіцієнтдотичної до графіка функції
f(x) =3
3x -2x2 – 4x -2 в точці х0 = -2.
24. Знайти тангенс кута нахилу до осі абсцисс дотичної до
графіка функції f(x) = tg 3x в точці з абсциссою х0 = .12
25. Скласти рівняння дотичної до графіка функції: 1) f(x) = x3 – 5x в точці х0 = 2; 2) f(x) = 235 xx в точці х0 = 1; 3) f(x) = cos3x в точці x0 =π. 26. Знайти рівняння дотичної до графіка функції
f(x) =
62sin x в точці перетину його з віссю
ординат.
27. Знайти рівняння дотичної до графіка функції f(x) = 24
2
xx
в точці перетину його з віссю абсцис. 28. Знайти абсцису точки графіка функції у = х3 – 2,5х2 + х +4, в якій дотична до цього графіка
паралельна прямій у = 3х -5. 29. Знайти рівняння дотичної до графіка функції у = х2 – 4х + 6, яка паралельна прямій у = 4х +7. 30.Знайти рівняння горизонтальних дотичнихдо графіка
функції у = х4 – 4х2 – 8. 31. Знайти рівняння дотичної до графіка функції у = 3 2)2( x в точці х0 = 2. 32. Знайти в якій точці графіка функції у = х3 – 3х2- 8х + 7
дотична нахилена до осі абсцис під кутом 4 .
33. Під якими кутами парабола у = х2 + 3х -18 перетинає вісь абсцисс?
10
34. Обчислити площу трикутника, утвореного осями координат і дотичною до графіка функції у = х3 – х2 +6х -2 в точці з абсциссою х0 = 1.
35. При яких значеннях b і c парабола y = x2 +bx +c дотикається прямої у = 3х – 1 в точці з абсциссою х0 = 1?
Фізичний зміст похідної
36. Точка рухається прямолінійно за законом x(t) = 3t2 – 5t + 8
( час t вимірюється в секундах, переміщення х – в метрах) Знайти швидкість руху в момент часу t = 4.
37. Обертання тіла навколо осі здійснюється за законом φ (x) = 6t -2t2 . Знайти в який момент часу тіло зупиниться
(t - час в секундах, φ(x) - кут повороту в радіанах) 38. Тіло масою 5 кг рухається прямолінійно за законом s(t) = 4t3 – 3t2 + 10t. Знайти кінетичну енергію тіла і силу,
що діє на нього , в момент часу t = 2 ( t - вимірюється в секундах, s - в метрах).
Дослідження функції на зростання ( спадання)
39. Знайти проміжки зростання і спадання функції:
1) f(x) = x3 – 18x; 2) f(x) = ;25,22
xxx
3) f(x) = 1 +3x2 - ;43
43 xx 4) f(x) = ;42 xx
5) f(x) = 0,2x5 – x3 +2x -9; 6) f(x) = sin x- .23 x
40. Довести, що функція 521
31)( 23 xxxxf зростає на
множині всіх дійсних чисел.
41. Довести, що функція643
)(643 xxxxxf спадає на
проміжку );1[ .
11
42. Знайти при яких значеннях а зростає на R функція:
1) f(x) = ax2 +4x +5; 2) f(x) = ;10423
23
xaxx
3) f(x) = ;32212
3
23
aaxxax
4) f(x) = (2a-2)x3 +(3a -3)x2 + 36x.
Критичні точки, максимуми і мінімуми функції 43. Знайти критичні точки функції: 1) f(x) = 2x3 +2,5x2 –x; 2) f(x) = 3 2x ; 3) f(x) = ( x+1)2 (x -3)2. 44. Знайти при яких значеннях а не має критичних точок
функція f(x) = .)4()4( 3 xax 45. Знайти точки екстремуму функції:
1) f(x) = 3x4 + 4x3 – 36x2 +10; 2) f(x) = x + ;4x
3) f(x) = ( x – 3)3 ( x+ 2 )2; 4)f(x) = 25 x . 46. Знайти проміжки зростання і спадання та екстремуми
функції:
1) f(x) = ;3221
31 23 xxx 2) f(x) = ;
132
xxx
3) f(x) = x4 – 2x2 + 3; 4) h(x) = ;22 xx
5) g(x) = ;312
xx 6) f(x) = ;
32
3
xx
7) f(x) = (x+ 1)3 (x -2)4; 8) f(x) = .11
2
2
xx
47. Знайти при яких значеннях а функція f(x) = asin2x – (2a + 1)x:
1) не має критичних точок; 2) не має екстремумів.
12
Побудова графіків функцій 48. Дослідити функцію та побудувати її графік:
1) f(x) = 3x2 – x3; 2) f(x) = ;132
xxx
3) f(x) = ;441 24 xx 4) f(x) = 21
1x
;
5) f(x) = (x – 1)2 ( x + 2)2; 6) f(x) = .42 x
x
49. Дослідити функцію та побудувати її графік:
1) f(x) = x - ;x 2) f(x) = ;2
2
xx
3) f(x) = x .4 2x
Найбільше і найменше значення функції 50. Знайти найбільше і найменше значення функції на даному
проміжку: 1) f(x) = 1 -3x2 – x3, [ -1;2]; 2) y = x4 – 4x2 + 2, [-2;1];
3) f(x) = ,252
xx [3; 6];
4) g(x) = 2sin x +cos 2x, [0; π]. 51 .На яку множину функція f(x) = x3 - 3x2 + 2 відображає
відрізок [1; 3]? 52.Знайти найбільше i найменше значення функції f(x) = x3 - 2х │х - 2│на проміжку [0; 3]. 53. Число 36 представити у вигляді суми двох додатних
доданків так, щоб їx добуток був найбільшим. 54. Знайти додатне число, подвоєний квадратний корінь якого
більший за це число на найбільше значення.
13
55. Площа прямокутника дорівнює 400 см2. Якими мають бути його сторони, щоб периметр прямокутника був найменшим?
56. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює а, а гострий кут — α. Діагональ трапеції перпендикулярна бічній стороні. Знайти площу трапеції. При якому значенні а площа трапеції буде найбільшою?
Показникова функція та її властивості
57. Побудувати графік функції: 1) у = 3х; 2) у = 3х+1; 3)у = 2 – 3х; 4 ) у = 3х - 3; 4)у = ;3 x 6) у = .23 x .
58. Порівняти числа m і n, якщо: 1) 2,4m > 2,4n; 2) 0,9m > 0,9n;
3) nm
44 .
59. Порівняти a з одиницею, якщо:
1) 56
34
aa ; 2) a -1,8 > a -1,9; 3) a -0,4 < 1.
Показникові рівняння
60. Розв’язати рівняння 1) 5х = 625; 2) 114х – 3 = 118х; 3) ;119 2142
хх 4) 27х = 81;
5) ;55)2,0( 5,37162
хх 6) (3х -2)х – 4= ;31
7) ;2764
89
32
хх
8) .)21(21173 51 ххх
14
61. Розв’язати рівняння: 1) 5х +5х+2 = 130; 2) ;20232 133 хх 3) 2∙ 32х – 2 - 25∙ 32х – 3 = 375; 4) 212х – 1 – 46х – 1+84х – 1 -163х – 1 =640; 5) 23х +23х – 1 – 23х – 2 = 53х
+ 53х – 1 - 28∙ 53х – 2; 6) 4х – 3х – 0,5 = 3х + 0,5 – 22х – 1. 62. Розв’язати рівняння: 1) 52х – 30 ∙ 5х + 125 = 0; 2) 4х – 10 ∙ 2х-2 -24 = 0;
3) 32х +5 = 3х+2 +2; 4) ;032238322
хх
х
5) ;313
423
522
хх 6) .8024 22
cos1
xxtg
63. Розв’язати рівняння: 1) 3∙4х +2∙ 9х = 5 ∙6х; 2) 2∙81х = 36х + 3∙ 16х; 3) 4х - 2∙52х +10 = 0; 4) 76-х = х+2; 5) 3х-1+5х-1 = 34; 6) 2|x| = cos x. 64. При яких значеннях параметра а рівняння 25х – (а -4)5х – 2а2 + 10а -12 = 0 не має дійсних коренів?
Показникові нерівності
65. Розв’язати нерівність:
1) ;4917 х 2) (0,1)х > 0,001;
3) ;37
73 2142
хх
4) ;13,11092
ххх
5) 4∙(0,5)х(х+3) < (0,25)2х; 6) ;9111)3,0(
82
хх
7) ;2182
11 хх
8) .
443
92
41
хх
15
66. Розв’язати нерівність 1) 32x-1 + 32x-2 - 32x-4 ≤ 315; 2) 0,5x - 0,5 x+1 ≥ 256: 3) 5-2x-4 - 5-2x-5 2 ∙ 5-2x-6 ≤ 2 ∙ 3-2x-4 : 4) 10x - 4 ∙ 5x – 125 ∙ 2x +500≥0 : 67. Розв'язати нерівність 1) 72x+1 - 8∙7x+1 < 0 : 2) (0,2)2x-2 126 ∙ (0,2)x +5 ≥ 0 :
3) 3( 2 )x - 7∙ 4
2x
-20 ≥ 0 : 4) 9x+1 +26 ∙ 3x – 3 < 0 : 68. Розв'язати нерівність
1) 22x-1+ 3x+1 ∙ 2x-1 - 2∙ 32x < 0 :
2) 5∙ x1
25 + 3 ∙ x1
10 ≥ 2 ∙ x1
4 :
Логарифми та їх властивості
69. Знайти: 1) log2 36; 4) log5 5; 7) lg 10 000;
2) log17 171 ; 5) log2 0,125; 8) log9 27;
3) log19 1 6) log49 7; 9)log0,2 625. 70. Знайти значення виразу:
1) log0,5 log3 81; 6) ;10log0001,0log
4
4
2) log4 sin 6 ; 7) log 2 1024;
16
3) log169 13 – log3 811
+ 2log3 3 3 ; 8) 6 2log3 6 ;
4) log18 3 + log18 6; 9) 49 2log1 7 ;
5) log5 250 - log5 2; 10) 2 2log21
81 . 71. Розв’язати рівняння: 1) 4x=9; 2) 103x+1=8; 3)6x-5=24. 72. Обчислити значення виразу
3:78log
31
7log2
72
- 3 log94 3 99 .
73. Виразити через m і n log30 8, якщо m =log30 3, n =log30 5.
Логарифмічна функція та її властивості
74. Знайти область визначення функції: 1) y = log6 (4x + 7); 3) y = log2-x (x + 4); 2) y = log0,1 (3 – 2x – x2); 4) y = lg (arcsin x). 75. Порівняти з нулем: 1) log8 10; 2) log0,6 0,4;
3) log2 94
4) log31 11.
76. Порівняти m і n, якщо: 1) log3,8 m log3,8 n; 2) log0,1 m > log0,1 n. 77. Порівняти з одиницею основу логарифма, якщо:
1) loga 8,4 > loga 7,4; 2) loga 32 > loga
43 .
78. Побудувати графік функції: 1) y = - log4 x; 4) y = logx x; 2) y = lg (x + 3); 5) y = ;sin2log x 3) y = |log3 |x||; 6) y = log3 logx+1 (x + 1).
17
Логарифмічні рівняння 79. Розв’язати рівняння:
1) log4 x =21 ; 4) logx 128 = 7;
2) log0,1(x-7)= -1; 5) logx+3 256 = 4;
3) log811 (x2 + 26x)=-0,75; 6) logx 32 = -
35 ;
7) log4 log2 log 5 x = 21 ; 9) logx (2x2 – 3x - 4) = 2.
8) log2 (9 – 2x) = x + 2; 80. Розв’язати рівняння: 1) log
31 (2x2 + 4x - 7) = log
31 (x + 2);
2) lg (2x - 1) + lg (x - 9) = 2; 3) lg x + lg (x +1) = lg (5 – 6x) – lg 2; 4) log 5 (4x - 6) log 5 (2x - 2) = 2;
5) log6 2x + log36 (x - 11) = 1;
6) log3 (x - 5) – log3 2 - 21 log3 (3x - 20) = 0;
7) lg (1 + 4x2 - 4x) - 21 lg (8 + x2) = lg (1 – 2x);
8) log4 (x - 2)2 + log2 (1 - x) = log2 3 + 1. 81. Розв’язати рівняння: 1) 3 lg2 (x - 1) – 10 lg (x - 1) + 3 = 0; 2) log 2
3 x + 2 log3 x = 2; 3) log 2
2 x5 – 5 log x3 = 10;
4)xx lg1
4lg45
1
= 3;
5) log2 (2x2) * log2 (16x) = 29 log 2
2 x;
18
6) 2 log 21x (2x + 4) + logx-1 (2x + 4) = 1;
7) lg2 (100x) – lg2 (10x) + lg2x = 6; 8) log5 x + logx 25 = 3. 82.Розв’язати рівняння;
1) x 4log3 x = 271 ; 3) 126 6
26 loglog xx x .
2) xlgx = 1000x2; 83.З’ясувати, при яких значеннях a дане рівняння має корені,
та знайти їх: 1) log3 (4x + a) = log3 (1-2x); 2) lg (x2 – 3ax) = lg (x – 6a +2). 84.При якому значені b рівняння 21g(x +1) =lg bx має єдиний корінь?
Логарифмічні нерівності 85. Розв’язати нерівність: 1) log2 x > 4; 2) log9x < 2;
3) log0.1 x -3; 4) log41
161 x ;
5) log4 (2x - 1) > 3; 6) log9 (2x - 1) 21
;
7) log5 (5x - 1) > log5 (2 – 3x); 8) log0,6 (7x + 8) < log0,6 (2 – 5x);
9) log ;2135 2
41
x
x
10) 1 + log2 (x - 2) > log2 (x2 – 3x + 2);
11) log0,5 log8 0322
xxx ;
12) log3 (2 – x) + log31 (x – 1) > log 3 3;
19
13) 2 log2 (-x) log2 (x + 4); 14) log 0,8 + log 0,8 (x +1) log 0,8 (8 – x). 86. Розв’язати нерівність: 1) log 2
5,0 (2x – 1) 9; 2) lg2 x – lg x – 6 > 0; 3) 2 log 2
5 x – log5 x – 3 0; 4) log 2
2,0 (x – 1) + 6 > 5 log0,2 (x – 1). 87. Розв’язати нерівність: 1) log 2x(x2 – 5x + 6) < 1; 2) logx
2(3 – 2x) > 1. 88. При якихзначинях а число 3 є розв’язком нерівності loga(2x - 3) > 3.
Системи показникових і логарифмічних рівнянь 89. Розв’язати систему рівнянь:
1) ,5log2log2;8
yxxy
xy
2)
,1)2(log)2(log
;45,0313
22
yxyx
yx
3)
;2)(log,97223
3 yx
yx
4)
;0)(log,6)(log)14(log
4
22
yxyxx
5)
,58965
;3165 22
yx
yx
20
Похідна показникової функції та її застосування
90. Знайти похідну функції
1) y=e8x: 9 )y=4xe :
2) y=2xe -3x : 10) y=ecosx :
3) y=8-x : 11) y=93x+7:
4) y=93x+7: 12) y=5 ∙ 86,0 2
4 x : 5) y=ex(x2- 5x+6): 13) y=exsinx :
6) y=2
6x (2-x): 14) y=8
10x
x
:
7) y=79
x
x
ee : 15) y= 3
xtge :
8) y=295cos x : 16)y= x3 ∙ x :
91.Обчислити значення похідної даної функції в точці 0x :
1) f(x) = e4x + 22xe , 0x =0;
2) f(x) = 132 2
5 xx , 0x =1;
3) f(x)=e2x(x2-3), 0x = 2;
4) f(x) = x
e x
3cos
2
, 0x = .
92. Розв’язати нерівність f '(x) ≤ g'(x), якщо: 5) f(x)= e-x (x2+4x -3), g(x)= xe-x; 6) f(x)= 4-5x,g(x)=5∙21-x;
93. Скласти рівняння дотичної до графіка функції: 1) f(x) =x2e2x в точці x0 = 1
21
2) f(x) = 432 xxe в точці x0 = -1
3) f(x) =32x+3 в точці x0 = -1
94. Знайти рівняння дотичної до графіка функції: 1) f(x) =ex яка паралельна прямій y = ex+5; 2) f(x) = e4x+1 ex яка паралельна прямій y=4x-10;
95. Знайти рівняння горизонтальної дотичної до графіка функції f(x) = (2x-5) (2x-3).
96. Знайти проміжки зростання і спадання та екстремуми функції: 1) f(x) = ex- xe;
2) f(x) = 382 xxe ;
3) f(x) = 4xe ;
4) f(x) = (3x+2)e3x;
5) f(x) = x2 2x
e
;
6) f(x) = 2x
ex
;
7) f(x) = 53x-9∙52x+15∙5x; 97. Дослідити функцію та побудувати її графік:
1) f(x) = xe-x;
2) f(x) = 2
2x
xe
; 3) f(x) = x2 e-x;
4) f(x) = 2xe .
22
98. Знайти найбільше і найменше значення функції на даному проміжку: 1) f(x) = xe-2x,[0;1];
2) f(x) = 542
5 xx , [-4;-1]; 3) f(x) = 4x+4-x, [-2;1]; 4) f(x) = e4x+5 (3x2+2x), [-2;-0,5]; 5) f(x) = 23x+1-9∙22x+12∙2x,[0;2].
99. При яких значеннях функція f(x) = 3ex+ax-5 не має
критичних точок? 100. При яких значеннях функція f(x) =22x+1-2 a x ln2+8x
ln2 є зростаючою на множині всіх дійсних чисел? 101. Знайти проміжки зростання і спадання функції
f(x) = e-x+x-1 і довести нерівність e-x <1-x при x<0.
Похідна логарифмічної функції та її застосування 102. Знайти похідну функції: 1) xy 8log 3) xxy 2ln 2 ;; 2) xy 4ln ; 4) xy sinln ;
5) xy 4ln ; 6) xxy ln3 ;
7) xxy 22 ln35 ; 8) 2lnx
xy ;
9)x
xy 2
3
ln ; 10) 2lg xy ;
11) 1ln 32 xxy ; 12) xxy 104log 4 ;
13) 342log 23.0 xxy ; 14)
1ln
x
xxy .
23
103.Обчислити значення похідної в точці 0x : 1) 5.1,12ln 0 xxxf ;
2) 121,9ln
61
0 xxxf ;
3) 5,34log 02
4 xxxxf ;
4) 3
,2
cosln 0
xxxf .
104. Розв’язати нерівність xgxf , якщо xxgxxxf 2ln,25.1 2 .
105.Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції 235ln 22 xxxxf в точці 30 x .
106.Скласти рівняння дотичної до графіка функції: 1) 54ln2 xxxf в точці 10 x ; 2) 1ln2 xxf в точці перетину з віссю ординат; 3) 72log5 xxf в точці 90 x . 107.В якій точці графіка функції 23ln xxf дотична до
нього нахилена до осі абсцис під кутом 45 ? 108. Знайти проміжки зростання і спадання та точки
екстремуму функції: 1) xxxf ln1 ; 2) xxxf ln2 ;
3) xxxf 2ln3 ; 4) xxxf 33 log ;
5) x
xxf 2ln ; 6) xxxf ln3ln3 ;
7) 8log2log 22
42 xxxf ;
8) 6ln3221 2 xxxxf ;
9) 421ln2 2 xxxxf ; 10) 24ln4ln3 xxxxxxf .
24
109. Дослідити функцію та побудувати її графік:
1) 2ln2 xxxf ; 2) xxxf ln
;
3) 24ln xxf ; 4) 11ln
xxxf .
Перестановки 110. Скоротити дріб:
1) !
)!1(n
n ; 2) )!3(
!nn ; 3) ;
)!4()!2(
nn 4) .,
)!1()!1( kn
knn
111. Спостити вираз:
1) ;)!1(
1!
1
kk
2) .)!1(
!!
)!1(
nn
nn
112. Розв’язати рівняння: .72!
)!2(
n
n
113. Обчислити :
1) ;4
56
PPP 2) ;
11 10
1112
PPP 3) .
13
23
k
k
PP
114. Скількома способами можна розставити 6 книжок на
книжковій полиці? 115. На танцювальному майданчику зібралось п юнаків та п
дівчат. Скількома способами вони можуть розібратися на пари для участі в черговому танці?
116. Скільки різних п'ятицифрових чисел можна створити з цифр 0, 1, 3, 5, 7, якщо кожну з них використовувати тільки один раз?
117. Скільки різних слів можна одержати, переставляючи букви слова: 1) «школа»; 2) «краватка»; 3) «вишиванка»?
25
Комбінації
118. Обчислити: 1) ;3
7C 2) ;4
9C 3) ;0
4
2
4 CC
4) ;1
21C 5) .1
2000
2000
2000 CC 119. Довести , що:
1) ;3
8
3
7
2
7 CCC 2) .4
9
3
8
4
8 CCC 120. Спростити вираз:
1) ;2
62C n
nn 2) .
121 22
12C nnn
121. Обчислити: 1) ;20
21C 2) ;16
18C 3) .99
100C
122. Довести, що: 1) ;277
7
6
7
5
7
4
7
3
7
2
7
1
7
0
7 CCCCCCCC
2) .5
5
3
5
1
5
4
5
2
5
0
5 CCCCCC 123. Розв’язати рівняння:
1) ;615 CC Xx 2) ;31
6
30
7
30 CCC X
3) ;8
2019
8
19 CCC X 4) ;1202 C X
5) ;662 C X
X 6) );2(73
2
xC X
7) ;713 1
12
1
2 CC x
x
x
x
8) .56
4
3
1
CC
x
x
124. На бригаду робітників з 8 чоловік виділили всього три путівки до санаторію. Скількома способами можна сформувати групи ображених робітників?
125. На площині розміщено 20 точок, так, що ніякі три з них не лежать на одній прямій. Скільки існує прямих, що проходять через ці точки?
26
126. Скільки можна скласти з простих дільників числа 14630 складених чисел, які мають тільки два простих дільника?
127. Скількома способами групу туристів з 10 чоловік можна розмістити у чотиримісному та шестимісному наметах?
128. В загоні 7 офіцерів і 20 рядових. Скількома способами можна сформувати загін розвідників, до якого входять 3 офіцера та 12 рядових?
129. У футбольній команді 11 основних гравців і 8 запасних. Скількома способами можна зробити заміну зразу двох гравців?
130. На одній паралельній прямій позначено 7 точок, на другій — 12. Скільки існує трикутників з вершинами в цих точках?
131. У футбольній команді (11 чоловік) треба обрати капітана і його заступника. Скількома способами це можна зробити?
132. Скількома способами можна вибрати з повної колоди (52 карти) 8 карт так, щоб серед них було рівно два тузи?
Розміщення
133. Знайти значення виразу:
1) ;413
414
313
AAA
2) .12
316
1215
PAA
134. Довести, що Аnn = n! .
135. Розв’язати рівняння: 1) ;422 XA 2) ;423 22
1 xx AxC 3) ;1822 xA 4) .10122
2
xxx CA
136. Скількома способами в команді спортсменів з 10 чоловік можна розподілити три призових місця?
137. В ліцеї «Лідер» в 11 класі вивчають 16 предметів. Денний розклад містить 7 уроків. Скількома способами можна скласти денний розклад?
27
138. Скільки існує трицифрових чисел, всі цифри яких парні, різні і не містять нуля?
139. Скільки існує звичайних дробів, чисельник і знаменник яких — різні прості числа, не більші за 30?
140. Скільки існує правильних дробів, чисельник і знаменник яких прості числа, не більші за 30?
141. Скільки існує чотирицифрових чисел, всі цифри яких різні і парні?
Біном Ньютона
142. Знайти розклад степеня бінома: 1) (х + у)4; 2) (u +v)5; 3) (a – b)6; 4) ;)( 4yx
5) ;31
31
ba 6) (2x +1)5;
7) (m – 3n)4; 8) (b2 +1)5;
9) ;124
y 10) ( 1+a-2)4.
143. Довести тотожність .1)1(2)1(2....222 01122110 nn
nnn
nn
nn
nn
n CCCCC 144. Сума всіх біноміальних коефіцієнтів у розкладі бінома (х + у)n дорівнює 512. Знайти п. 145. Сума всіх біноміальних коефіцієнтів, які стоять на
непарних місцях у розкладі бінома (а + b)n, дорівнює 256. Знайти n.
146. Чому дорівнює сума біноміальних коефіцієнтів розкладу бінома (х + а)10, які стоять на парних місцях?
147. Довести, що сума всіх коефіцієнтів розкладу бінома (3х - 2у)n при будь-якому натуральному п дорівнює 1.
28
148. Довести, що сума всіх коефіцієнтів розкладу бінома ( 3х - 4у)n при будь-якому непарному n дорівнює -1. 149. Який член в розкладі бінома (а + b)15 містить b в степені
7?
150. Знайти п'ятий член в розкладі бінома .1 12
xx
151. Знайти шостий член в розкладі бінома .153 aa
152. Знайти середній член в розкладі бінома .1 8
xx
153. В розкладі бінома 101x
x знайти номер члена, який
не містить х
Класичне означення імовірності
154. Яка імовірність того, що при одному киданні грального кубика випаде число очок, що дорівнює: 1) одиниці; 3) непарному числу; 2) чотирьом; 4) числу, яке кратне 5?
155. Уяви собі, що в класі, в якому ти вчишся, розігрується
одна безкоштовна туристична поїздка до Лондона. Яка імовірність того, що до Лондона поїдеш ти?
156. Щоб здати екзамени з математики, треба вивчити 25 білетів. Учень не вивчив тільки один білет. Яка імовірність того, що він не здасть екзамен?
157. У гральній колоді 36 карт. Навмання вибирається одна карта. Яка імовірність того, що ця карта: 1) король; 2) бубновий король?
158. В класі вчиться 12 дівчаток і 17 хлопчиків. Один учень спізнився до школи. Яка імовірність того, що це був хлопчик?
29
159. Кидають дві однакові монетки. Яка імовірність того,що випадуть: 1) дві цифри; 2) різні сторони монеток?
160. В ящику знаходяться 50 кульок, з яких 20 білих. За-губили одну білу і дві не білі кульки. Яка імовірність того, що вибрана навмання одна кулька буде білою?
161. Яка імовірність того, що навмання вибране двоцифрове число ділиться на 15?
Застосування формул комбінаторики для обчислення імовірності подій
162. В ящику лежать 10 кульок, три з яких червоні. Яка імовірність того, що вибрані навмання три кульки будуть червоні?
163. Чотири картки пронумеровані цифрами і, 2, 3, 4. Яка імовірність того, що номери вибраних навмання трьох карток утворюють спадну арифметичну прогресію?
164. На картках написані натуральні числа від 1 до 7. Навмання вибираються дві з них. Яка імовірність того, що сума номерів вибраних карток дорівнює 5?
165. Навмання вибирають чотири літери слова «ласощі». Яка імовірність того, що з вибраних чотирьох літер можна скласти слово «сало»?
166. Вибирають навмання чотири літери слова «закон». Яка імовірність того, що вибрані чотири літери в послідовності вибору утворять слово «коза»?
167. В партії з 40 лампочок 7 бракованих. Яка імовірність того, що взяті навмання 4 лампочки будуть без дефекту?
168. З колоди у 36 карт навмання вибирають три карти. Яка імовірність того, що вибрані карти — три тузи?
169. На екзамен з математики виносять 50 питань. Учень підготував тільки 40. Білет складається з трьох питань. Яка імовірність того, що учень одержить п'ятірку
30
170. На екзамен з математики виносять 40 питань. Учень підготував тільки 35. Білет складається з п'яти питань. Щоб одержати п'ятірку, досить відповісти на чотири питання. Яка імовірність того, що учень одержить п'ятірку?
171. В ящику лежать 7 червоних і 4 чорних кульки. Яка імовірність того, що з чотирьох вибраних навмання кульок дві будуть червоні?
172. Знайти імовірність того, що дні народження 7 чоловік випадають на різні дні тижня.
Теорема додавання імовірностей несумісних подій
173. У корзині лежать фрукти, серед яких 30% бананів і 60% яблук. Яка імовірність того, що вибраний навмання фрукт буде бананом або яблуком?
174. Завод випускає 16% продукції вищого ґатунку, 24% — першого ґатунку, 48% — другого ґатунку, а все інше — брак. Знайти імовірність того, що навмання вибраний виріб не буде бракованим.
175. Відомий журнал мод наймає на роботу фотомоделей. Імовірність бути зарахованою за формою складає 0,6, а за розміром — 0,3. Яка імовірність позитивного тестування?
176.Магазин постачається трьома молокозаводами. Імо-вірність одержати неякісну продукцію з першого заводу дорівнює 0,04, з другого — 0,02, з третього — 0,03. Покупець купив сир, не звертаючи уваги на те, де його було виготовлено. Яка імовірність того, що сир буде гарної якості?
177. На змаганнях зі стрільби стрілець попадає в десятку з імовірністю 0,03, в дев'ятку — 0,2, у вісімку — 0,3. Яка імовірність того, що одним пострілом стрілець набере: 1) більше восьми очок; 2) менше восьми очок; 3) не менше восьми очок?
31
178. В коробці лежать 4 блакитних, 3 червоних, 9 зелених, 6 жовтих кульок. З коробки навмання витягли одну кульку. Яка імовірність того, що ця кулька буде не зеленою?
179. 25 випускників педінституту направили працювати з три села. В Хацапетівку попало 7 молодих спеціалістів, в Хачапурівку — 12, в Червоні Опупейці — решта. Яка імовірність того, що три друга будуть сіяти розумне, добре, вічне в одному селі?
Теорема множення імовірностей незалежних подій
180. Кидають два гральних кубика. Яка імовірність того, що випадуть дві шістки?
181. Кидають два гральних кубика. Яка імовірність того, що випадуть дві непарні цифри?
182. Кидають три монети. Яка імовірність того, що випадуть дві цифри і герб?
183. Гральний кубик кидають три рази. Яка імовірність того, що шістка випаде тільки другого разу?
184. На насосній станції паралельно працюють три насоси. Імовірність псування першого насоса дорівнює 10%, другого — 8%, третього — 5%. Яка імовірність того, що буде зовсім припинено подачу води?
185. В ящику лежать 5 червоних і 4 чорних кульки. Навмання з ящика достають дві кульки і кладуть їх назад. Цю ж операцію повторюють ще раз. Яка імовірність того, що всі витягнуті кульки були червоного кольору?
186. Магазин постачається трьома молокозаводами. Про-дукція першого заводу складає 60% , другого — 20% , причому 90% продукції першого заводу вищого ґатунку. Яка імовірність придбати продукт першого заводу вищого ґатунку?
187. Три контролера послідовно один за одним перевіряють якість продукції, що випускається заводом. Перший контролер виявляє брак з імовірністю 95%, другий —
32
96%, третій — 98%. Яка імовірність того, що бракований виріб не буде виявлено?
188. Три верстата виготовляють відповідно 50%, 40%, 10% всіх виробів. В їх роботі брак відповідно складає 1%, 2%, 4%. Яка імовірність того, що взятий навмання виріб буде бракованим?
189. Три стрільці незалежно один від одного по одному разу стріляють у ціль. Імовірність влучення першого стрільця складає 0,6, другого — 0,8, третього — 0,7. Яка імовірність того, що було: 1) три промахи; 2) хоча б одне влучення; 3) рівно два влучення?
190. В одному ящику лежать 6 червоних, 5 синіх, 9 зелених кульок, а в другому — 7 червоних, 1 синя, 5 зелених кульок. Навмання з кожного ящика беруть по одній кульці. Яка імовірність того, що вони будуть одного кольору?
191. Монету підкидають десять разів. Знайти імовірність того, що хоч один раз випаде цифра.
192. Два учні незалежно один від одного розв'язують одну задачу. Перший учень може розв'язати цю задачу з імовірністю 0,8, а другий — 0,9. Знайти імовірність того, що: 1) обидва учні розв'яжуть задачу; 2) жоден з учнів не розв'яже задачу; 3) хоча б один з учнів розв'яже задачу; 4) тільки один з учнів розв'яже задачу.
193. П'ять стрільців одночасно незалежно один від одного стріляють в одну ціль. Імовірність попадання кожного стрільця дорівнює 0,7. Поразка цілі відбувається за одне влучення. Знайти імовірність поразки цілі.
Схема Бернуллі
194. Монету підкидають 7 разів. Яка імовірність того, що цифра випаде: 1) два рази; 2) жодного разу; 3) менше двох разів; 4) не менше двох разів?
33
195. Верстат з програмним управлінням виготовляє бра-
ковану деталь з імовірністю 201 . Яка імовірність того, що
в партії з 15 деталей не буде бракованих? 196. По мішені стріляють десять разів. Імовірність влучення
в мішень під час кожного пострілу дорівнює .75 Яка
імовірність того, що у десяти пострілах буде зроблено три промахи?
197. В ящику лежать 5 білих і 6 чорних кульок. З ящика шість разів виймають по одній кульці і кладуть назад перед наступним випробуванням. Знайти імовірність того, що з шести вийнятих кульок білу кульку виймали: 1) жодного разу; 2) менше трьох разів; 3) не менше двох разів.
198. Гральний кубик підкидають вісім разів. Яка імовірність того, що одиниця випаде: 1) три рази; 2) більше трьох, але менше п'яти разів?
199. Гральний кубик підкидають дев'ять разів. Яка імо-вірність того, що непарна цифра випаде: 1) чотири рази; 2) не більше двох разів; 3) більше шести разів?
200. Що більш імовірно: виграти у рівноцінного гравця дві партії з трьох чи чотири партії з семи?
Первісна. Основна властивість первісної
201. Довести, що функція F є первісною для функції f на
вказаному проміжку: 1) F(x) = x3 – 3x + 9, f(x) = 3x2 – 3, x є R;
2) F(x) = 3x - x4 , f(x) = 3 + ,4
2x x є ( -∞; 0);
3) F(x) = 32 x , f(x) = );;5,1(,32
1
x
x
4) F(x) = cos ,5x f(x) = - Rxx
,5
sin51 ;
34
5) F(x) = 3tg 2x – 10, f(x) =
4;
4,
2cos62
xx
.
202. Чи є функція F(x) = 462 x
первісною для функції
312)(x
xf на проміжку:
1) ( 0; ∞) 2) ( -3; 3); 3) ( - ∞; 0]; 4) [ -5;0)? 203. Чи є функція 3)( xxF первісною для функції f(x) = 1
на проміжку : 1) (-1; 3); 2) ( -4; 1)? 204. Для даної функції f знайти первісну, графік якої
проходить через дану точку М:
1) f(x) = x2, M( 1; -2) 2) f(x) = sin x, M ( )1;3 ;
3) f(x) =
33;
6,
cos1
2M
x; 4) f(x) =
32;1,1
4 Mx
;
5) f(x) = ,3 x M(8; 15); 6) f(x) = 5 3
1x
, M( -1; 1).
Правила знаходження первісних
205. Для даної функції f знайти загальний вигляд первісної: 1) f(x) = 3 – x; 2) f(x) = 3x2 – 2x +1;
3) f(x) = 10x4+ 14 x6; 4) f(x) = x3 + x
6 ;
5) f(x) = ;3232 xx
6) f(x) = 3cos x - ;sin
42 x
7) f(x) = ;84 7xx 8) f(x) = 3
3 2 4x
x .
206. Для даної функції f знайти первісну F , що задовольняє даній умові:
1) f(x) = 6x2 + 4x – 3, F( -2) = -3;
35
2) f(x ) = 15x4 - x4
5 , F(1) = 0;
3) f(x) = 3 - 21x
, F( 0,5) =7.
207. Для даної функції f знайти загальний вигляд первісної: 1) f(x) = (3x-1)3; 2) f(x) = cos 7x;
3) f(x) = sin 5x ; 4) f(x) = ;
6cos
42 x
5) f(x) = ;12
8x
6) f(x) = .)34(
12x
208. Для даної функції f знайти первісну, графік якої проходить через задану точку А:
1) f(x) = )3;(,4cos43
sin31 Axx
2) f(x) = ;23;
6,
124sin
22
Ax
3) f(x) = ).1;3(,29
1 Ax
209. Знайти первісну функції f(x) = 2х -1, один із нулів якої дорівнює 3.
210. Знайти первісну функції f(x) = 3х2 -12х +3, один із нулів якої дорівнює -1.Знайти решту нулів первісної.
211.Знайти первісну функції f(x) = -4х +3, графк якої з прямою у = 3 має тільки одну спільну точку.
212. Знайти первісну функції f(x) = 7х – 4, для графіка якої пряма у = 10х +3 є дотичною.
213. Швидкість руху точки задається рівнянням v =6t2 + 1
(м/с). Знайти рівняння руху s = s(t) , якщо у момент часу t = 3с точка знаходилась на відстані s = 42м.
36
214. Знайти загальний вигляд первісної для даної функції:
1) f(x) = sin23x; 2) ctg24x
;
3) f(x) = ;122
34
xxx 4) sin 4x cos 3x.
215. F(x) – первісна функції f(x) = 3 -2x, графік якої має спільну точку з графіком функції f(x), що належить осі ординат. Знайти первісну F(x) та всі точки перетину графіків функцій f(x) і F(x).
216. Знайти формулу , якою задається функція у = f(х), графік якої проходить через точку М( -1; 4) , а кутовий коефіцієнт дотичної , проведеної до графіка в точці х, дорівнює 2 – 3х2.
Інтеграл. Формула Ньютона – Лейбніца
217. Обчислити інтеграл:
1)
3
1
)2( dxx ; 2) ;)3(5
0
2 dxxx
3) ;)51068(1
2
23 dxxxx
4)
2
3
2 ;)4( dxx
5) 2
1
4 ;)95( dxx 6)
2
5,23 ;
)32(8x
dx
7)
9
1
;21 dxx
8)
1
1
;54x
dx
9)
6
0
;
24 xdx 10)
6
;cos xdx
37
11)
2
;2
sin dxx 12)
4
32 ;
cos xdx
13) 9
12
2 ;3sin
xdx 14)
2
0
;4
cos2sin dxxx
15) 9
4
;dxx 16) ;27
8
3 dxx
17) ;16
1
4 3 dxx 18)
1
1
;1 dxx
19)
42
784
;2100
3x
dx 20)
14
13 2
.)19(
6xdx
218. Обчислити інтеграл:
1) 24
0
2 ;4
xdxtg 2)
02 ;
8cos2
dxx
3) 6
0
4 ;sin
xdx 4) ;3cos5cos2
8
dxxx
5)
2
3
22 ;)4( dxxx 6) 4
0
22 ;)( dxxx
7) 2
15
32
;4 dxxxx 8)
9
4
2
.57 dxx
xx
219. Обчислити інтеграл dxxf )(1
3
, якщо
.2,6
,2,)(
2
якщоххякщохx
xf
38
220. При яких значеннях а виконується нерівність:
1) a
dxx1
2 ;263 2) a
xdx3
?72
Площа криволінійної трапеції
221. Знайти площу фігури, обмеженої:
1) параболою у= х2 та прямими у = 0, х = 2 і х = 3;
2) графіком функції у = х4 та прямими у = 0, х =-1;
3) графіком функції у = sin x та прямими у = 0, х = 0, х =
;3
2
4) параболою у = 4х - х2 та віссю абсцис;
5) параболою у = х2 + 2х, віссю абсцис та прямою у = -3;
6) графіком функції xy та прямими у = 0, х = 1 , х =
4;
7) графіком функції 4 xy та прямими у = 0, х = 5;
8) графіком функції у = 2
cos x та прямими у= 0, 2
x ,
.2
x
222. Знайти пощу фігури , обмеженої:
1) параболою у= 5 – х2 та прямою у = 4;
2) параболою у = 4х =х2 та прямою у = -х +4;
39
3) параболою у = 2х – х2 , прямою у = 1 та віссю ординат;
4) параболою у = х2 + 2х + 1 та прямою у = х +3;
5) графіками функцій у = x та у = x21 ;
6) Параболою у = х2 – 4х+5 та прямою у = 5 – х;
7) Параболами у= х2 + 2х + 2 та у = 6 – х2;
8) Графіками функцій 4 xy та .34
31
xy
223. Знайти площу фігури, обмеженої:
1) графіками функцій у = x3 і у = x5 та віссю
абсцис;
2) графіком функції у =
хxппр
хприx
2sin3
,2
06
та
віссю абсцис;
3) графіками функцій у = 4 – х2, у = 1,5х + 1,5 та віссю
абсцис.
224. Використовуючи геометричний зміст інтегралу,
обчислити:
1)
22
22
2 ;8 dxx 2) 2
0
2 ;4 dxxx 3)
1
3
2 .67 dxxx
225. Знайти площу фігури, обмеженої параболою у = - х2 -2х,
дотичною проведеною доданої параболи в точці з
абсцисою х0 = -2, та віссю ординат.
40
226. Знайти, при якому значенні а площа фігури, обмежена
параболою у = 3х2 та прямими у = 0, х = а , х = а + 3.
буде набувати найменшого значення .
227. Знайти площу фігури, обмеженої графіками функцій
у = 42 x та у= 2 – х.
Об’єм тіла обертання
228. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі
абсцис фігури обмеженої:
1) графіком функції у = x та прямими х = 9, у = 0
2) косинусоїдою у = cos x та прямимих = 0, х = 6 , у = 0;
3) графіком функції у = 5 – х2 та прямими х= 0, х = 1,
у = 0.
229. Знайти обєм тіла, утвореного обертанням навколо осі
абсцис фігури, обмеженої графіками функцій у = х3, х ≥ 0,
у = 4х.
Застосування інтеграла в фізиці
230. Тіло рухається прямолінійно зі швидкістю v(t) = 30t- 6t2
(м/с). Обчислити шлях, який пройшло тіло:
1) за інтервал часу від t1= 1 с до t2 =3с;
2) від початку руху до зупинки.
41
231. Вантаж массою m= 3кг розтягує пружину, підвішену
вертикально, на довжину l = 0,04 м. Обчислити роботу,
яка при цьому виконується.
Первісна показникової функції
232. Для даної функції f знайти загальний вигляд первісної :
1)f(x) = 7x; 2) f(x) = 63xln6;
3) f(x) = e0,25x; 4) f(x) = e-x + 22x
;
5) f(x) = 37xln3 – e-2x; 6) f(x) = 16e4x -3 -12e5 -6x .
233. Для даної функції f знайти первісну, графік якої
проходить через дану точку В:
1) f(x)= 5xln5 +2xln2, B(2; -3);
2) f(x) = sinx – 3ex, B( 0;5);
3)f(x) = 16x3 - ,2x
e B( 1; -2 e ).
234. Обчислити інтеграл:
1) 4
1
;dxex 2) 5log
2
2
;2 dxx
3) 2
0
;)2443( dxexx 4) 21
0
21 ;dxe x
5)
0
1
32 ;5,0ln2 dxx 6)
2
2
2 ;)2cos7( dxxx
42
7) 4ln
0
22 ;)2( dxe x 8)
8ln
125,0ln
2
33 ;dxeexx
9) 2
0
;4
2712 dxx
xx
10)
1
23
3
.dxex
xex
x
235. Знайти площу фігури,обмеженої:
1) графіком функції у= 2х та прямими у = 0, х = -1, х = 2;
2) графіком функції у = е2х – 1 та прямими у = 0, х = 1, х =
3;
3) графіком функції у = ех та прямими у = 1, х = 2;
4) графіками функцій у = ех + 1, у = 3 – ех та прямою
х = 1.
Похідна і первісна степеневої функції
236. Знайти похідну функції:
1) у = ;81
x 2) у = ;10 7x 3) у = ;2042 xx
4) у = ;94
x 5) ;3612 x
y 6) у = (х -4) ;6x
7) у = ;71
x 8) у = ;10
5 4x 9) у = );3( 24 xx
10) у = ;6x 11) у = х3 4 x ; 12) у = ;1224 24 xxx
43
13) у = ;5 x 14) у = ;93 xx
15) у= .6
13 3 xx
237. Дослідити на монотонність функцію:
1) f(x) = );2(31
xx 2) f(x) = ).3(2 xx
238. Знайти загальний вигляд первісної функції:
1) f(x) = ;81
x 2) f(x) = ;94
x
3) f(x) = ;94
x 4) ;3612 x
y
5) h(x) = (х -4) ;6x 6) f(x) = ;71
x
7) f(x) = ;105 4x
8) у = );3( 24 xx
9 ) f(x) = ;6x 10) g(x) = х3 4 x ;
11) f(x) = ;5
2
7
3 x 12) f(x) = e3x – ( x+2) .2x
239. Обчислити інтеграл
1) 1
0
3 ;dxx 2) 1
0
8 5 ;dxx
3) ;27
8
3 dxxx 4) .)32(39
1
4 3 dxx
44
240. Обчислити площу фігури обмеженої:
1) графіком функції у = 41
x та прямими у = 0, х = 1 ,
х = 16;
2) графіком функції у = хе та прямими у = 0, х = е;
3) графіком функції у = х-5 та прямими у = 0, х = 2, х = 3;
4) графіками функцій у = 2x та у = .5x
5) графіком функції у = x6 та прямими у = 3, х = 4;
6) графіками функції у = x
yx 1,3 та прямою х = 8;
7) графіком функції у = 1
2x
та прямими х = 3, х = - 0.5.
241. Для первісної функції f знайти первісну, графік якої
проходить через дану точку М:
1) f(x) = 10x9 - x4 , M( 1; 2)
2) f(x) = ,23
12x
M ( 2; ln8);
3) f(x) = ,14
1 2xex
M(0; 1);
4) f(x) = ,182
73
5
xx
M( -2; -30).
45
Тематичні контрольні
роботи
46
Контрольна робота № 1 « Похідна»
І варіант
І рівень 1. (1бал)Знайти похідну функції у = 2х2 + х а) 4х2 +1; б) 2х+1; в) 2х; г) 4х + 1. 2. (1бал)Обчислити значення похідної функції: у = sin x у
точці .4
x
а) ;22
б) ;21 в) - ;
21 г) .
22
3. (1бал)Точка рухається за законом: s = 2+20t –t2. Знайти миттєву швидкість точки в момент t = 1с. ( s - вимірюється в метрах).
а) 12м/с; б) 30м/с; в) 10 м/ с; г) інша відповідь. ІІ рівень 4. (1бал)Знайдіть похідну функції:
1) у = ;231 23 xxx 2) у = .
232
xx
5. ( 2 бали)Знайдіть кут нахилу дотичної до графіка функції у = 2х2 в точці з абсцисою х0 = - 0,25. ІІІ рівень 6. ( 2 бали)Обчисліть похідну функції
23 2223)(
xxxxxxf в точці х = 1.
7. ( 2 бали)Користуючись означенням похідної знайти похідну функції f(x) = x2 – x в точці х0 = 1.
8. ( 2 бали)Знайти похідну функції h(x) = (7 + 8x)9 + ctg 5x.
47
ІІ варіант
І рівень 1. (1бал)Знайти похідну функції у = 1 + sin x . а) sin x; б) cos x; в) -cos x г) 1. 2. (1бал) Обчислити значення похідної функції у = 6х2 у
точці х = 4. а) 30; б) 45; в) 50; г) 48. 3. (1бал) Точка рухається за законом s = t3 + t2. Знайти
миттєву швидкість точки в момент t = 1с. ( s - вимі рюється в метрах)
ІІ рівень 4. (1бал) Знайти похідну функції
1) у = 3
32 x +2х2 – х; 2) у = .
114
xx
5. ( 2 бали)Знайти кут нахилу дотичної до графіка функції у = sin x в точці з абсцисою х0 = 0.
ІІІ рівень
6. ( 2 бали)Обчисліть похідну функції f(x) = 32
2
44
xx в точці х
= 2. 7. ( 2 бали)Користуючись означенням похідної знайти
похідну функції у = 4х + 1 в точці х0 = 2. 8. ( 2 бали)Знайти похідну функції g( x) = (5 + 6x)10 – tg3x.
48
Контрольна робота № 2 « Застосування похідної»
І варіант
І рівень 1. (1бал) Розв’язати рівняння у/ = 0 , якщо у = х2 – 4х. а) -4; б) -2; в) 2; г) 4. 2. (1бал)Знайти критичну точку функції у = 2х2 – 4х. а) -1; б) 1; в) 0; г) 2. 3. (1бал)Розв’язати нерівність у/ ≤ 0, якщо у = 10х – х2. а) (-∞; ∞); б) ( -∞; 5); в) (5; ∞); г) (-5; ∞). ІІ рівень 4. ( 2 бали)Знайти проміжок спадання функції у = х2 + 8х +1. 5. ( 2 бали)Знайдіть найменше значення функції у = х2 +3 на
проміжку [-3;0] ІІІ рівень 6. (3 бали)Дослідіть функцію і побудуйте її графік: у = х3 -
12х. 7. ( 2 бали) Записати число 20 у вигляді суми двох доданків
так, щоб сума квадрата першого доданка і куба другого доданка дула найбільшою.
49
ІІ варіант І рівень 1. (1бал)Розв’язати рівняння у/ = 0, якщо у = 8х + х2. а) -4; б) 2; в) -2; г) 5. 2. (1бал)Знайти китичну точку функції у = х2 – 4. а) 4; б) -4; в) 0; г) 2. 3. (1бал) Розв’язати нерівність у/ > 0, якщо у = 4х –х2. а) ( - ∞; 2); б) ( 4; ∞); в) (2; ∞); г) ( - ∞; 4). ІІ рівень 4. ( 2 бали) Знайти проміжок зростання функції у = х2 – 2х +13. 5. ( 2 бали)Знайти найбільше значення функції у = х2 + 8 на проміжку [0; 3].
ІІІ рівень 6.( 3 бали)Дослідіть функцію та побудуйте її графік
у = .931 3 xx
7. ( 2 бали)Записати число 52 у вигляді суми двох доданків так, щоб сума подвоєного першого доданка і квадрата другого доданка була найменшою.
50
Контрольна робота № 3
« Показникова і логарифмічна функція» І варіант
І рівень 1. (1бал)Яке з чисел додатне?
а) ;5log31 б) ;
21log2 в) ;5log3 г) .
41lg
2. (1бал) Порівняти числа m i n 3,8m < 3,8n. а) m > n; б) m < n ; в) m = n г) m≥ n. 3. (1бал)Обчислити значення виразу log36 – log32.
а) ;31 б) -4; в) -1; г) 1.
ІІ рівень 4. (1бал) Знайти область визначення функції у = lg (4x -1).
5. (1бал)Прологарифмувати вираз 3
27ba за основою 10 .
6. (1бал)Пропотенціювати вираз
lg с = 3lg a + lg x - 21 lg y.
ІІІ рівень 7. (3 бали)Знайти значення виразу:
1) ;343
1log214log1000lg 74
14 2) 25lg2100 ;
3) .3 3log3
4
8. (3 бали)Побудувати графік функції у = .log3 x
51
ІІ варіант І рівень 1. (1бал)Яке з чисел від’ємне ?
а) log112; б) ;61log
41 в) 6log
21 ; г) lg3.
2. (1бал)Порівняти числа m i n , якщо .32
32 nm
a) m > n; б) m≥ n; в) m < n; г) m = n. 3. (1бал)Знайти значення виразу log672 + log63. а) 6; б) 0,3; в) 3; г) інша відповідь. ІІ рівень 4. (1бал)Знайти область визначення функції у = ( 5 – 2х).
5. (1бал)Прологарифмувати вираз xy
ac3
за основою 10 .
6. (1бал)Пропотенціювати вираз lg у = 5lg x + lg a - blg21 .
ІІІ рівень 7. (3 бали)Знайти значення виразу:
1) ;3log2811log13log 3
33169 2) ;49 2log1 7
3) .2 2log21
81 8. (3 бали)Побудувати графік функції у = |log2x|.
52
Контрольна робота № 4 « Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності»
І варіант
І рівень
1. (1бал)Знайти х , якщо .221
x
А) 1; б) -1; в) 2; г) -2. 2. (1бал)Вказати число, яке є коренем рівняння log32x = log34. А) 3; б) 1; в) 2; г) інша відповідь. 3. (1бал) Розв’язати нерівність log7x < 1 a) (7; ∞) б) (0; 7); в) ( -∞; 7) ; г) ( -∞; -7). ІІ рівень 4. ( 1 бал) Знайти похідну функції: 1) у = ;8xe 2) у = ;ln4 xx 5. ( 2 бали)Розв’язати рівняння: 5 ∙ 5х - 3∙ 5х = 250. ІІІ рівень 6. ( 2 бали)Обчислити значення похідної функції f(x) =
,224 xx ee в точці x0 = 0.
7. ( 2 бали)Розв’язати рівняння 1) 4х – 3 ∙ 2х = 40; 2) log2 x + log2 (x -3) = 2. 8. ( 2 бали)Розв’язати нерівність log0,9(x – 4) ≥ log0,9(8 – x).
53
ІІ варіант
І рівень 1. (1бал)При якому значенні х 25х – 1 =1? а) -2; б) 0; в) 1; г) 2. 2. (1бал)Вказати число, яке є коренем рівняння log42x = 1. а) 2; б) 0,5; в) -1; г) 4. 3. (1бал)Розвя’зати нерівність 2х ≥ 4. а) ( -∞; 2]; б) ( - ∞; 1); в) [2; ∞); г) ( - ∞; ∞). ІІ рівень 4. (1бал) Знайти похідну функції 1) у =
4xe ; 2) ln(x2 – 5x). 5. ( 2 бали) Розв’язати рівняння: log0,1(10x – 7) = -3. ІІІ рівень 6. ( 2 бали)Обчислити значення похідної функції f(x) = ln(2x
+ 1) в точці х0 = 1,5. 7. ( 2 бали)Розв’язати рівняння: 1) 9х - 2 ∙ 3х = 63; 2) log5 x + log5( x- 4) = 1. 8. ( 2 бали)Розв’язати нерівність: 32х +1+ 8 ∙ 3х – 3 ≥ 0.
54
Контрольна робота № 5 « Елементи комбінаторики та початки теорії
ймовірностей» І варіант
І рівень 1. (1бал)Значення виразу 6! дорівнює: а) 600; б) 720; в) 120; г) інша відповідь. 2(1бал). Многочлен: х4 +8х3 + 24х2 + 32х +16 є біноміальним
розкладом степеня: А) ( х -5)4; б) (х + 2)4; в) ( х +1)4 г) ( х -2)4. 3. (1бал)У класі 30 учнів з них 16 дівчат. Яка ймовірність
того, що першим до класу зайде юнак?
А) ;157 б) ;
158 в) ;
87 г) .
163
ІІ рівень 4. ( 1бал)В коробці 20 паличок: 8 білих, 5 червоних, 2
зелених, решта – жовті. Яка ймовірність навмання витягнути жовту паличку?
5. ( 2 бали)У 9 класі 28 учнів . Вони обмінялись один з одним світлинами. Скільки всього було роздано світлин?
ІІІ рівень 6. ( 2 бали)Розв’язати рівняння: .10921
1
xCC x
x
x
x
7. ( 2 бали) Знайти член розкладу 204 aa , що містить а7. 8. ( 2 бали) В ящику є 10 деталей, 7 з них пофарбовані.
Вибирають навмання дві деталі. Знайти ймовірність того, що друга деталь пофарбована, якщо перша не пофарбована.
55
ІІ варіант І рівень 1. (1бал) Значення виразу 5! дорівнює: А) 120; б) 600; в) 720; г) інша відповідь 2. (1бал) Многочлен х5 – 5х4 +10х3 – 10х2 +5х – 1 є біноміальним розкладом степеня: А) (х – 1)5; б) (х +2)5; в) (х – 1)4; г) (х +1)5. 3. (1бал)В кабінеті є 15 мікрокалькуляторів, з них 3 зіпсовані. Яка ймовірність взяти навмання зіпсований калькулятор?
А) ;151 б) ;
51 в) ;
31 г) .
54
ІІ рівень 4.(1 бал)В картці спорт лото від 1 до 49 навмання закреслили
один номер. Яка ймовірність того, що закреслене число ділиться на 6?
5. ( 2 бали)Учневі потрібно скласти 4 екзамени протягом 15 днів. Скільки є варіантів розкладу екзаменів?
ІІІ рівень 6. ( 2 бали)Розв’язати рівняння : ).1(72 3
1
2
1
xCC x
x
x 7. ( 2 бали) Знайти член розкладу (х + х2)7, що містить х9. 8. ( 2 бали) В ящику є 10 деталей, 7 з них пофарбовані.
Вибирають навмання дві деталі. Знайти ймовірність того, що друга деталь пофарбована, якщо перша пофарбована.
56
Контрольна робота № 6 « Інтеграл та його застосування»
І варіант
І рівень 1. (1бал)Множина первісних для функції f(x) = 2 + sin x має
вигляд а) F(x) = 2x – cos x +c; в) F(x) = 2+ cos x +c; б) F(x) = 2x + cos x + c; г) F(x) = cos – 2 + c. 2. (1бал)Знайти загальний вид первісних для функції у = 5х4.
а) 20х3 +с; б) х5 + с; в) 4х5 +с; г) .5
5
cx
3. (1бал) Обчислити інтеграл: .0
1
dxex
а) e1
; б) ;11e
в) 1 – е; г) .11
e
ІІ рівень
4. (1бал)Обчислити інтеграл 1
0
2 )( dxxx .
5. (1бал)Знайти загальний вигляд первісних для функції У = 2х + 4cos x. 6. (1бал)Швидкість прямолінійного руху точки змінюється за
законом: v(t) = 3t2 -2t . Знайти шлях пройдений точкою за 1с.
ІІІ рівень 7. ( 2 бали)Обчислити інтеграл:
а) ;2
13 x
dx б) 6
02 .
cos
xdx
8. (4 бали) Обчислити площу фігури обмеженої графіками функцій
у = х2 – 2 та у = -х.
57
ІІ варіант І рівень 1. (1бал)Множина первісних функції f(x) = 5x а) F(x) = 5x + c; б) F(x) = 5xln5 +c;
в) F(x) = ;5lg
5 cx
г) F(x) = .5ln
5 cx
2. (1бал)Обчислити інтеграл : 1
0
5 .2 dxx
а) ;21 б) ;
31 в) - ;
31 г) .
41
3. (1бал)Знайти загальний вигляд первісних для функції у = х + 1.
а) ;2
2
cx б) ;1
2
2
cx в) ;
2
2
cxx г) х2 +х +с.
ІІ рівень
4. (1бал)Обчисли інтеграл .)1( 3 dxx
5. (1бал)Знайти загальний вигляд первісних для функції
.13
sin31)(
xxf
6. (1бал)Швидкість прямолінійного руху точки змінюється за законом: v(t) = 10 – t2. Знайдіть шлях, який пройшла точка за 3с.
ІІІ рівень 7. ( 2 бали)Обчислити інтеграл:
а) ;)64(1
2
3
dxxx б) 2
4
2 .sin
xdx
8.(4 бали) Знайти площу фігури, обмеженої графіками у = 4 – х2 та у = 2 –х.
58
