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平成１９年度 理数教育ステップアップ研修 実践記録

操作活動を通して数学的な見方・考え方をのばす指導の工夫

－中学校第３学年数学「図形と相似」の指導を通して－

（ ）実践者 新発田市立第一中学校 土田 哲也

今まで何気なく生活していた中で、理数の学習内容が利用されていることに気づいたとき、その

意外性や利便性に触れ、理数の面白さを感じた経験のある人は多い。

今回、パンタグラフという玩具のような道具を用いる。パンタグラフには「相似」が利用されて

おり、定規、コンパスでは描くことが困難な曲線や複雑な図形なども簡単に拡大・縮小図をかくこ

とができる。この実践では 「相似」の学習のまとめとして本時を設定し 「２倍の拡大図をかく、 、

パンタグラフの構造」について理解し、さらに「３倍の拡大図をかくパンタグラフの構造」を考え

ることで、相似の概念を広げたり、深めたりして 「理数の面白さや深く追究する楽しさ」を味わ、

わせたいと考えている。

１ 「理数の面白さや深く追究する楽しさなどを味わわせる」ための構想

（１）本単元における「数学の面白さや深く追究する楽しさなどを味わわせる」視点

比について、小学校では６年生の時に「比の表し方 「等しい比 「比の関係から数量を求める」、 」、

こと を学習している また 中学校では１年生の時に 平面図形 の中で 基本の作図 や 図」 。 、 「 」 、「 」 「

形の合同 「円とおうぎ形」について学習し、２年生の時に「平行線と角 「三角形の内角・外角」、 」、

の性質 「三角形の合同条件 「図形の性質と証明」について学習し、図形の性質などを論証する」、 」、

方法を学習する。

図形の拡大・縮小といった内容について学習するのは本単元が最初であるが、相似の概念は極め

て身近なものであり、拡大・縮小などの用語も日常的に用いている。また、三角形の相似を利用す

る例として土地の測量があり、実生活の中でも大いに役立っている。さらに、相似を活用している

例として、地図や様々な設計図、建築物の精密なミニチュアなど多くの場面で活用されている。

このように、数学が実生活で使われている場面を具体的にすることによって、生徒は数学の現実

的な有用性を知ることができ、またその重要性を確認することができる。曲線や複雑な形の図形の

拡大図は、定規、コンパスを用いて作図することもできるが手間がかかる。本時で用いる「パンタ

グラフ」は、誰もが見たことのある玩具のような構造だが、曲線や複雑な図形も、簡単な操作で容

易に拡大・縮小することができる 「パンタグラフ」に利用されている相似の概念に気づき、広げ。

たり深めたりすることで、数学の面白さや深く追究する楽しさなどを味わうことができる授業を展

開したい。

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（２）本時における「理数の面白さや深く追究する楽しさなどを味わわせる」指導の構想

① 指導計画

単元 節 項

図形と相似 図形と相似 ・相似な図形 （３時間）

・三角形の相似条件 （２時間）

・相似条件と証明 （３時間）

・縮図の利用 （１時間）

平行線と線分の比 ・平行線と線分の比 （４時間）

・中点連結定理 （２時間）

章末問題 ・章末問題 （３時間）

② 本時のねらい

本時において「理数の面白さや深く追究する楽しさなどを味わわせる」ために、以下の点に留

意して指導を行う。

・パンタグラフを利用してなぜ拡大図がかけるのかを既習事項を根拠として考え、理解しよう

とする。

・パンタグラフを用いて原図の拡大をする作業を通して、相似な図形や相似の考えが日常生活

の中に活用されていることを知り、関心をもつ。

③ パンタグラフについて

（ア）パンタグラフの使用方法

課題

・

Ｏ 原図

１ 課題の点Ｏの場所に、パンタグラフの点Ｏを固定する。

２ 上図のパンタグラフの点Ｐ′に鉛筆をさす。

３ 点Ｐが原図の辺の上をなぞるように鉛筆を動かし、用紙に図をかく。

（イ）パンタグラフの機能

・定規とコンパスを利用して２倍の拡大図をかく場合は、

直線を定規で引く。(ｱ)相似の中心Ｏから拡大する原図の頂点Ａを通る

(ｲ) 点Ａを求める。コンパスでＯＡ＝ＡＡ となるように距離を測り' '

この作業を何度も繰り返すことで、２倍の拡大図をかくことができる。

・パンタグラフを利用して２倍の拡大図をかく場合は、

(ｱ )点Ｏ，Ａ，Ａ の関係が常に一直線上にある（ ）' ' 定規としての役割

(ｲ )ＯＡ＝ＡＡの関係を常に保つ（ ）' ' コンパスとしての役割

この作業を同時に行い、２倍の拡大図をかくことができる。

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２ 授業の実際

（１）１時間目の授業

・課題として、点Ｏと校章をかいた用紙を配布する。

・

Ｏ

補助課題 点Ｏを相似の中心として校章を２倍に拡大してみよう。

・生徒の反応は、定規やコンパスを用いて２倍の図をかこうとするが、曲線のため上手くかけ

ずに悩んでいる生徒がほとんどであった。

・校章の上にいくつか点をとり、２倍の拡大図をかこうとした生徒がいた。

課題１ パンタグラフを用いて校章を２倍に拡大してみよう。

・パンタグラフを配布し、使用方法を説明する。

・実際にパンタグラフを用いて図をかいた。生徒の反応は、誤差はあるがほぼ２倍の校章がか

けることに驚き、パンタグラフに興味をもって作業に取り組んでいた。

・パンタグラフの構造について考えるために、下図のような三角形をパンタグラフを用いて２

倍に拡大した。

C'パンタグラフを利用して

△ＡＢＣを２倍に拡大した図

B'をかく。

A'

（実際にパンタグラフを用いてかいた図）

課題２ なぜ２倍の拡大図がかけるのか、パンタグラフの構造について考えよう。

・点Ｏ、Ａ、Ａ′に着目し、パンタグラフの構造を考え、なぜそうなるの

か理由を説明する。

Ｏ Ａ Ａ′

Ｏ Ａ

Ｂ

Ｃ

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生徒の解答

・パンタグラフの構造の中に「合同な三角形」や「相似な三角形」の性質が利用されており、

Ｏ、Ａ，Ａ′が一直線上に並び、ＯＡ：ＡＡ′＝１：１（ＯＡ：ＯＡ′＝１：２）となること

を確認した。

（２）２時間目の授業

・前時に生徒が使用したパンタグラフの３倍の大きさのものを用意する。

大きい方のパンタグラフを使用した場合、何倍の拡大図がかけるかを予想する。

予想される反応 ２倍（正解）

３倍（構造についての理解が不十分なために起こる誤答）

６倍（２倍の図をさらに３倍するという考えからくる誤答）

・パンタグラフを大きくしても３倍の図をかくことができないことを確認し、３倍の図をかく

ためのパンタグラフの構造を考える。

・実際にパンタグラフを組み立て、検証する。

①導入

Ｔ１ 大きいパンタグラフは小さいパンタグラフの３倍の大きさである。大きいパンタグラフ

で図をかいたとき、完成した図形はどのような大きさになるか予想してみよう。

１本の棒の長さが １０㎝ のパンタグラフを生徒全員に配布する。

１本の棒の長さが ３０㎝ のパンタグラフを用意し、生徒に提示する。

Ｓ１ ３倍だと思います。

Ｓ２ ２倍だと思います。

。 （ ）Ｓ３ ６倍だと思います 左：生徒用 右：１本の長さを３倍にしたもの

Ｔ２ それでは確認をします。自分の考えと同じものに手を挙げて下さい。

２倍と予想した生徒 ２人

３倍と予想した生徒 ２３人

６倍と予想した生徒 １人

無回答 ４人

Ｔ３ 実際にこの３倍の大きさのパンタグラフを用いて図をかいてみましょう。

（黒板に課題を貼り、図をかく ）。

Ｔ４ 完成した図の大きさは、何倍ですか。

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Ｓ４ ２倍です （生徒は意外な結果に不思議そうな表情であった ）。 。

Ｔ５ ３倍の拡大図をかくためにはパンタグラフの大きさではなく、構造に問題があるようで

す。３倍の図をかくためのパンタグラフの構造を考えてみましょう。

②展開

補助課題

△ＡＢＣを３倍に拡大した場合、どのようになるかを

予想し、△ＡＢＣをかいてみよう。' ' '

生徒の解答

（ア） （イ）

・点Ｏを相似の中心として、 ・マス目を利用して傾きを考え、長さを

： ＝ ： ＝ ： ＝ ： ３倍にする。OA OA' OB OB' OC OC' 1 3

※課題にマス目を利用したことで （イ）のようにＯＡ：ＡＡ≠１：２の状態である正解が出、 '

てきた。マス目は付けずに出題した方がよかった。

中心課題

、 （ ） 。・より多様な考え方を引き出したいと考え 生活班 ８班 に分けて相談しながら考えさせた

、 。各班にパンタグラフをつくるために必要な道具を渡し それをヒントとしながら活動させた

Ｏ Ａ

Ｂ

Ｃ

３点Ｏ，Ａ，Ａ′に注目して、３倍の拡大図をかくためのパ

ンタグラフをつくってみよう。

Ｏ Ａ Ａ′

Ｏ Ａ

Ｂ

Ｃ

Ａ′

Ｂ′

Ｃ′

Ｏ Ａ

Ｂ

Ｃ

Ａ′

Ｂ′

Ｃ′

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ある班の解答 班の作品

考え方 の長さが の３倍になるように考えた。OA' OA

・８班中３つの班が、上記のような構造のパンタグラフであった。

・ある班は、Ｖの字を３つつないでやってみようとしていた。

上記の構造を早い段階で発見した班には、より多様な考え方を引き出すために「４本だけで３

に拡大するパンタグラフを考えてみよう」と発問をした。

・右の写真のようなパンタグラフを考えた班があった。

このパンタグラフは、固定した状態ではＯＡ：ＡＡ′＝１：２

であるが、動かすとその比が保たれない。点Ｏ，Ａ，Ａ′の間隔

だけでなく、２本の棒をどのようにピンで固定したらよいのかを

考察するための手立てが不十分であった。

・授業の中でも、生徒間での活発な意見交換があり、また授業後も自分の考えたパンタグラフ

を見せにくる生徒がいるなど、とても有意義な授業であった。

（３）３時間目の授業

・２時間目の授業で理解が不十分だった既習事項の確認とまとめ

１時間目の授業では、１つの場合の構造について考えたが、パンタグラフにおいて「伸びた状

」 「 」 、 、 。態 や 縮んだ状態 など どのような状態でも ２の(ｱ ) (ｲ )が成り立つことを確認するP. ' '

＜伸びた状態＞ ＜縮んだ状態＞

パンタグラフの構造に含まれる「合同な三角形」や「相似な三角形」について整理する。

△ＯＡＰ≡△ＡＡ′Ｑより △ＯＡＰ∽△ＯＡ′Ｔより

ＯＡ：ＯＡ′＝１：２ ＯＡ：ＯＡ′＝１：２

Ｏ Ａ Ａ'

Ｏ Ａ Ａ'

ＯＡ Ａ'

Ｐ Ｑ

Ｓ ＴＲ

ＯＡ Ａ'

Ｐ Ｑ

Ｓ ＴＲ

Ｏ Ａ Ａ′

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・ 合同な三角形」や「相似な三角形」をもとにして、３倍の拡大図をかくパンタグラフを考え「

る。

＜生徒の解答＞

、 、 「 」事後の授業で これらのことを振り返り 学習したところ ３倍の構造がわかってすっきしりた

という生徒もいた。

３ 実践の考察とまとめ

３倍の拡大図をかくためのパンタグラフの構造として、次のような場合が考えられる。

＜合同を用いた構造の考え方＞

・合同な三角形を横に並べた構造

ＯＡ：ＡＡ＝１：２'

（ＯＡ：ＯＡ＝１：３）'

＜相似を用いた構造の考え方＞

・相似比が１：２である相似な三角

形を用いた構造

・相似比が１：３である相似な三

角形を用いた構造

誤答ではあるが、次のようなパンタグラフの構造を考えた生徒がいた。

・静止状態ではＯＡ：ＡＡ＝１：２だが、 ・ＯＡ：ＡＡ＝１：２だが、連動性が' '

動かすと、比が保たれない構造 なく、比が保たれない構造

Ｏ Ａ Ａ′

Ｏ Ａ Ａ′

Ｏ Ａ Ａ′

Ｏ Ａ Ａ′

Ｏ Ａ Ａ′

Ｏ Ａ Ａ′ Ｏ Ａ Ａ′

Ｏ Ａ Ａ′

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パンタグラフは動きのある教材なので、生徒からも予想外の反応があり、思考を深めるためにとて

も有効であった。生徒はパンタグラフにとても興味を持ち、３倍の拡大図をかくパンタグラフをつく

るために意欲的に活動していた。今回の授業では、相似な図形のまとめとして行ったが、単元の導入

など、他の場面でも活用が可能である。理数の面白さや深く追究する楽しさを味わうことのできる教

材なので、ぜひ多くの方に実践していただきたいと思う。

《参考文献》 楽しさひろがる数学３ 指導書（啓林館）

《パンタグラフについて》

今回使用したパンタグラフは次のような点を工夫しながら製作した。

①材質…厚紙

（プラスチック、その他の紙、金属も試したが、

加工しやすく強度もある素材として厚紙を選んだ ）。

②棒と棒を止める金具…ハトメ玉

（外形を見ながら線を引くため、のぞける穴が必要

である。そのためにはハトメ玉が最適であった ） Ｏ Ａ Ａ′。

③点Ｏについて

点Ｏにもハトメ玉を付けた。そのハトメ玉を押さえることで、画鋲で固定しなくてもパン

タグラフが点Ｏを中心として自由に回転することができる。

④点Ａについて

点Ａの場所にはガムテープを貼り、コンパスで穴を空けた。ハトメ玉の穴は大きすぎるた

め、図形の外形を見てかくときに誤差が大きくなる。できるだけ誤差を少なくするために穴

を小さくする必要がある。

⑤点Ａ′について

点Ａ′は鉛筆をさす穴なので、他の穴のように穴空けパンチを使用すると大きすぎて形が

乱れてしまう。それを防ぐためにキリを使用して穴を空けた。

（その他に使用した道具）

①１つ穴用 穴空けパンチ

２つ穴用のものは穴の位置が見えないため、右の写真のよ

うな道具を使用した。

②割れピン

授業の中で生徒がパンタグラフを製作するには、ハトメ玉を使用すると一度固定すると移動

することができない。今回の授業では、取り外しが簡単な割れピンを使用した。