A.Ü. FEN FAKÜLTESI DÖNER SERMAYE I Ş LETMESI

YAY INLARI NO:13

FONKSIYONEL ANALIZE Gilliş

( Yeniden Dilzentenmis Yedinci Bask ı)

Erwin Kreyszig'den Uyarlayan

Prof. Dr. Öner ÇAKAR

ANKARA 2007

BÜTÜN HAKLARI SAKLIDIR Yazarın yazı lı izni olmad ı kça, bu kitabın bir kısmı ya da tamam ı hangi yolla olursa olsun çoğaltı lıp sablamaz ve kullanı lamaz.

BÖLÜM 1. METRİ K UZAYLAR 1. O. Giri ş 1 1. l Metrik Uzay 2 1. 2. Metrik Uzaya İ li şkin Diger Örnekler 7 1. 3. Aç ık Küme, Kapal ı Küme, Kom ş uluk 13 1. 4. Yak ınsakl ık, Cauchy Dizisi, Taml ı k 19 1. 5. Taml ık İ spatlar ı na İ li şkin Örnekler 23 1. 6. Metrik Uzaylar ı n Tamlaş t ı nlmas ı 29

BÖLÜM 2. NORMLU UZAYLAR, BANACH UZAYLARI 2. 1. Vektör Uzay 35 2. 2. Normlu Uzay, Banach Uzay ı 42 2. 3. Normlu Uzaylara İ lişkin Diğer Özelikler 48 2. 4. Sonlu Boyutlu Normlu Uzaylar ve Altuzaylar 52 2. 5. Kompaktl ık ve Sonlu Boyut 55 2. 6. Lineer Operatörler 59 2. 7. S ı n ırl ı ve Sürekli Lineer Operatörler 66 2. 8. Lineer Fonksiyoneller 74 2. 9. Sonlu Boyutlu Uzaylarda Lineer Operatörler ve Fonksiyoneller 80 2.10. Normlu Operatör Uzaylan. Dual Uzay 84

BÖLÜM 3. İÇÇARPIM UZAYLARI. H İLBERT UZAYLARI 3. 1. İççarp ı m Uzayı . Hilbert Uzay ı 92 3. 2. İççarp ım Uzaylarmın Diğ er Özelikleri 97 3. 3. Ortogonal Tümleyenler ve Direkt Toplam 101 3. 4. Ortonormal Kümeler ve Diziler 108 3. 5. Ortonormal Dizi ve Kümelere İ lişkin Seriler 114 3. 6. Total Ortonormal Kümeler ve Diziler 120 3. 7. Legendre-Hermite ve Laguerre Polinomlan 125 3. 8. Hilbert Uzaylarmda Fonksiyonellerin Gösterimi 134 3. 9. Hilbert-Adjoint Operatör 139 3.10. Self-Adjoint, Üniter ve Normal Operatörler 143

BÖLÜM 4. NORMLU UZAYLAR VE BANACH UZAYLARI İÇIN TEMEL TEOREMLER

4. O. Giri ş 149 4. 1. Zorn Lemmas ı 149 4. 2. Hahn-Banach Teoremi 152 4. 3. Kompleks Vektör Uzaylan ve Normlu Uzaylar için Hahn-Banach

Teoremi 155 4. 4. Cja,b] Uzay ı Üzerinde Tan ı ml ı Sın ırlı lineer Fonksiyonellere

İ lişkin Uygulama 160 4. 5. Adjoint Operatör 164 4. 6. Yans ımalı Uzaylar 170 4. 7. Kategori Teoremi. Düzgün Sinirlilik Teoremi 175 4. 8. Kuvvetli ve Zayı f Yak ınsakl ık 182 4. 9. Operatör ve Fonksiyonel Dizilerinin Yak ınsaklığı 186 4.10. Dizilerin Toplanabilmesine İ lişkin Uygulama 190 4.11. Say ısal İntegrasyon ve Zayd Yak ınsakl ık 194 4.12. Açık Dönüşüm Teoremi 202 4.13. Kapal ı Lineer Operatörler. Kapal ı Grafik Teoremi

207

BÖLÜM 1

METRiK UZAYLAR

1.0. GIRIŞ Fonksiyonel Analiz, matemati ğ in, klasik analizden kaynaklanan, soyut bir dal ı olarak

tan ı mlananabilir. Geli ş imi yaklaşı k yüz y ı l önce baş lamış olan bu dal ı n ortaya ç ı kard ığı yöntem ve sonuçlar, günümüz matemati ğ inin çe ş itli alan ve uygulamalar ı nda çok önemli roller oynamaktad ı r. Fonksiyonel analizin ortaya ç ı kmas ı için yap ı lan zorlamalar, lineer cebir, lineer adi ve k ı smi diferensiyel denklemler, varyasyon hesab ı , yaklaşı m teorisi ve özellikle lineer integral denklemler teorisinden gelmi ş tir. Kolayca gözlenebilece ğ i gibi, matematikte farkl ı alanlardan gelen problemler ilgili alanlar ı n yap ı ve özelikleriyle yak ı ndan iliş kilidir. Bu durum, bu tip problemlere belirli bir yönden yakla ş ma eğ itimini kuvvetli k ı lmakta ve dolay ı s ı yla çözüme gidiş , bir çok önemsiz ayr ı nt ı lar yüzünden engellenmekte ya da zorla ş t ı r ı lmaktad ı r. Bu nedenle, bu gibi önemsiz ayr ı nt ı lar ı bir kenara b ı rakarak, sorunun temel özelikleriyle ilgili olan soyut bir yakla şı mla problemlere yaklaşmak bu tip engelleme ve zorla ş t ı rmalan ortadan kald ı racakt ı r.

Bu soyut yakla şı mda, çoğ unlukla, elemanlar ı belirli aksiyomlar ı gerçekleyen kümelerden yola ç ı k ı l ı r. Elemanlar ı n doğ al özelikleri belirlenmemi ş olarak b ı rak ı l ı r. Ve bu özellikle yap ı l ı r. Bu durumda söz konusu teori, aksiyomlardan ortaya ç ı kan mant ı ksal sonuçlardan oluşur. Bu ise, teorisi soyut yollarla geli ş tirilen, matematiksel yap ı lar ı n elde edilmesine olanak sa ğ lar. Bu yolla elde edilen genel teoremler ise, daha sonra, belirli aksiyomlan gerçekleyen özel kümelere uygulanarak, yukar ı da sözü edilen önemsiz ayr ı nt ı lar ı n neden olduğ u engelleme ve zorla ş t ı rmalar ortadan kald ı r ı l ı r.

Bu tip soyut yakla şı mlar ı n, örneğ in cebirde cisim, halka ve gruplarla yap ı lmas ı na karşı n, fonksiyonel analizde söz konusu yakla şı mlar soyut uzaylar yard ı m ıyla yap ı lmaktad ı r. Konular ı m ı z içinde bunlardan baz ı lar ı n ı (Banach Uzay ı , Hilbert Uzay ı , v.b.) ayr ı nt ı l ı olarak inceleyece ğ iz.

Bu arada, uzay kavram ı n ı n çok geniş ve şaşı rt ı c ı ş ekilde genel anlamlarda kullan ı ld ığı n ı da göreceğ iz. Bir soyut uzay belirli aksiyomlan gerçekleyen (tan ı mlanmam ış ) elemanlardan olu ş an bir küme olarak tan ı mlan ı r. Ve değ iş ik aksiyom gruplar ı seçilerek değ iş ik soyut uzaylar elde edilir. Soyut uzaylann kullan ı lma fikri M.Frechet'ye kadar uzanmaktad ı r.(1906).

Bu bölümde, klasik analizde R reel ekseninin oynad ığı role benzer bir rol oynamas ı nedeniyle çok önemli olan metrik uzaylar ı inceleyeceğ iz. Gerçekte, metrik uzay kavram ı R 'yi genelleş tirmekte olup, analizin çe ş itli dallar ı ndan gelen önemli problemlerin ortak bir

2 çözümü için bir temel olu ş turmak amac ı yla tan ı mlanm ış t ı r.

Önce, metrik uzaylar ı ve buna iliş kin kavramlar ı tan ı mlay ı p, tipik örneklerle ş ekillendirmeye çal ış acağı z. Uygulamada önem ta şı yan özel uzaylar ı ayr ı nt ı l ı olarak tart ış acağı z. Dikkatlerimizin çoğ unu, bir metrik uzay ı n sahip olabildiğ i ya da olamayabildiğ i bir özelik üzerinde, yani, taml ı k özeliğ i üzerinde yoğ unlaş t ı racağı z. Taml ı k kavram ı tüm konular ı m ı z için bir anahtar rolü oynayacakt ı r.

Önemli kavramlar ve temel konulara ili ş kin k ı sa bilgilendirme Bir metrik uzay (Bkz.1.1.1), üzerinde bir metrik tan ı mlanm ış bir X kümesidir. Metrik, X

'in herhangi bir eleman (nokta) çiftine bir uzakl ı k karşı l ı k getirir. Metrik, aksiyomatik olarak tan ı mlan ı r ve söz konusu aksiyomlar, a reel ekseni ya da C kompleks düzlemi üzerindeki noktalar aras ı ndaki, bilinen uzakl ı k kavram ı n ı n belirli temel özelikleri taraf ı ndan çağ rış t ı r ı lan özeliklerdir. Temel örnekler (1.1.2-1.2.3) bir metrik uzay kavram ı n ı n dikkati çekecek kadar genel oldu ğ unu göstermektedir. Bir metrik uzay ı n sahip olabileceğ i çok önemli bir ek özelik K ı s.1.5 ve 1.6 'da ayr ı nt ı l ı olarak incelenecek olan taml ı k özeliğ idir (Bkz.1.4.3). teorik ve uygulama aç ı s ı ndan ilginç olan diğ er bir kavram bir metrik uzay ı n aynlabilirliğ idir (Bkz.1.3.5). Ayr ı iabilir uzaylar ayr ı labilir-olmayanlardan daha basittir.

1.1.METR İ K UZAY

Klasik analizde, R üzerinde tan ı mlanan fonksiyonlar ı incelediğ imizi biliyoruz. Konuya k ı sa bir bak ış , limit iş lemlerinde ve diğ er çeş itli araş t ı rmalar ı m ı zda, R üzerinde uzakl ı k fonksiyonu ad ı n ı alan ve her x,y E R için d(x,y)=Ix — yl şeklinde tan ı mlanan bir d fonksiyonunun bulunduğ unu gösterir. Ş ekil 2 'de kulland ığı m ı z notasyonlar belirtilmi ş tir. Düzlemde ve al ışı lm ış üç-boyutlu uzayda da durum benzerdir.

k 5 1-c 4.2

1

3 8 -2.5 0 1.7

d(3, 8) = 13 - 8 1 5 d(1.7, - 2.5) = 11.7 - (-2.5) 1= 4.2

Ş ekil 2. R üzerinde uzakl ı k

Fonksiyonel analizde ise, daha genel uzaylar ı ve bunlar üzerinde tan ı mlanan fonksiyonlar ı inceleyeceğ iz. Yeterince genel ve esnek bir uzay kavram ı na aş ağı daki

ş ekilde ulaş abiliriz: Önce R reel say ı kümesi yerine, elemanlar ı n ı n özelikleri belirlenmemiş olarak b ı rak ı lan, soyut bir X kümesi al ı n ı r ve bunun üzerinde, R deki uzakl ı k fonksiyonunun en temel özeliklerinden baz ı lar ı na sahip bir uzakl ı k fonksiyonu tan ı mlan ı r.Ancak burada en temel sözcü ğ üyle neyi ifade etmek istedi ğ imiz pek aç ı k değ ildir. Gerçekte, bir tan ı mdaki aksiyomlar ı n seçimi ve formüle edilmesi daima, deneyim, uygulamal ı problemlere yak ı nl ı k ve belirgin bir hedefe gereksinim

3 göstermektedir. Seksen y ı ll ı k bir geliş imin sonunda ortaya ç ı kan ve fonksiyonel analiz ve onun uygulama alanlar ı nda çok yararl ı olan bir tan ı m ı aş ağı daki şekilde ifade edebiliriz:

1.1.1.TANIM (Metrik uzay ve metrik). Bir metrik uzay, X bir küme ve d, X üzerinde bir metrik (ya da bir uzakl ı k fonksiyonu), yani, X x X üzerinde, her x,y E X için,

(M1) d, reel değ erli, sonlu ve negatif olmayan,

(M2) d(x,y) O x y,

(M3) d(x,y) = d(y,x) (simetri) (M4) d(x,y) < d(x,z) + d(z,y) (üçgen eş itsizliğ i) olacak şekilde tan ı mlanan bir fonksiyon olmak üzere, bir (X,d) çifti olarak tan ı mlan ı r. X kümesine, (X,d) metrik uzay!~ temel kümesi denir ve bu kümenin elemanlar ı

nokta 'lar olarak adland ı r ı l ı r. Sabit x ve y noktalar ı na karşı l ı k gelen d(x,y) negati -olmayan say ı s ı ise x 'den y 'ye olan uzakl ı k ad ı n ı al ı r. (M1) - (M4) özelikleri ise, metrik aksiyomlandir. (M4) e üçgen e ş itsizliğ i denilmesinin nedeni, Ş ekil . 3 de de görüldüğ ü gibi, elemanter geometriden kaynaklanmaktad ı r.

Ş ekil 3. Düzlemde üçgen e ş itsizliğ i

(M4) den yararlanarak, tümevar ı mla genelleş tirilmiş üçgen eş itsizliğ ini elde edebiliriz

d(x ı ,x,i ) < d(x,,x2 ) + d(x2 ,x3 )

(1)

Herhangi bir yan ı lg ı tehlikesi olmad ığı sürece, (X,d) yerine, k ı saca, X yazabiliriz.

Eğ er, bir Y c X altkümesini al ı p, d fonksiyonunu Y x Y'ye k ı s ı tlarsak, (X,d) 'nin bir

(Y:J) altuzay ı n ı elde ederiz. Dolay ıs ı yla, Y üzerindeki ii 'ye, d taraf ı ndan Y üzerinde doğ urulan metrik ad ı verilir.

Ş imdi, baz ı lar ı n ı daha önceden de bildiğ iniz, elemanter metrik uzay örnekleri vereceğ iz. Aç ı kca görüldüğ ü gibi, her bir örnekte, verilen fonksiyonun bir metrik oldu ğ unu

göstermek için, (M1)-(M4) aksiyomlar ı n ı gerçeklediğ ini göstermek gerekir. Bu konuya ilişkin daha karma şı k örnekleri bundan sonraki k ı s ı mda göreceğ iz.

ÖRNEKLER 1.1.2. R Reel Ekseni. Bütün reel say ı lardan oluş an bu küme, üzerinde tan ı mlanan,

d(x,Y) = k — Y İ

(2)

metriğ ine göre bir metrik uzayd ı r. (Gösteriniz). 1.1.3. R 2 Euclid Düzlemi. x = y = (771,772),••. şeklindeki s ı ral ı reel say ı

çiftlerinden olu ş an kümeyi ve bunun üzerinde

d(x,y) = ,1(4 — 1) 2 + (42 — n2) 2 (k O)

N

4 ş eklinde tan ı mlanan Euclid metri ğ ini gözönüne al ı rsak, Euclid Düzlemi olarak adland ı r ı lan R 2 metrik uzay ı n ı elde ederiz.

Ayn ı küme üzerinde,

d (x,y) = - 7711+g2-7121

ş eklinde tan ı mlanan değ iş ik bir di metriğ i ile, diğ er bir metrik uzay elde etmemiz de mümkündür. (Ş ekil 4).

Ş ekil 4. Düzlemde Euclid metri ğ i

Bunlar ı n ışığı alt ı nda, farkl ı metrikler seçerek, verilen bir kümeden (birden fazla eleman içeren) de ğ iş ik metrik uzaylar elde edebilece ğ imizi görmekteyiz.

1.1.4.Üç Boyutlu Euclid Uzay ı , R. 3 . Bu metrik uzay, x =

Y = (n ı , q2,n3),v.b.s ı ral ı reel say ı üçlülerinin kümesiyle ,

d(x,y) = 41 (41 — 111) 2 + (2 —112) 2 + (3 — 113) 2 (k O)

ile tan ı mlanan Euclid metri ğ inden oluş ur.

1.1.5. R" Euclid Uzay ı , Cn Üniter Uzay ı , C Kompleks Düzlemi.Yukar ı da verdiğ imiz

örnekler, n-boyutlu Euclid uzay ı olarak adland ı r ı lan R," uzay ı n ı n özel halleridir. Bu uzay ise,

x = ( 1,,• • •, 4n), y = ( i71, • • •, 11n),v.b. şeklinde yaz ı lan, tüm s ı ral ı reel say ı n-lilerinin

kümesiyle,

d(x,Y) = — 1i) 2 +•••+(4.- 11,7) 2 (k O)

ile tan ı mlanan Euclid metriğ inden oluş ur. n-boyutlu Cn Üniter uzay ı ise, tüm s ı ral ı kompleks say ı n-lileriyle,

d(x,y) = ı — i1 ı i2 +... - )41 2 (? O)

(7)

ş eklinde verilen metrikten olu ş an bir uzay olarak tan ı mlan ı r. Bu örnekte, n = 1 al ı nmas ı halinde ise, al ışı lm ış

d(x,y) = Ix — yj

(8)

metriğ i alt ı nda kompleks C düzlemini elde ederiz. Cn 'e bazen n-boyutlu kompleks Euclid

uzay ı da denir.

(4)

(5)

(6)

5 1.1.6. t' Dizi Uzay ı . Bu ve bundan sonraki örnek, metrik uzay kavram ı n ı n ne kadar

genel bir nitelik ta şı d ığı konusunda bizlere ilk izlenimleri kazand ı racakt ı r. Bir X kümesi olarak, kompleks terimli tüm s ı n ı rl ı dizilerden olu ş an kümeyi alal ı m; yani, X'in her bir eleman', cx , x'e bağ l ı olduğ u halde, j 'ye bağ l ı olmayan reel bir say ı y ı göstermek üzere,

herj = 1,2,...için

olacak şekilde, kompleks terimli bir

ya da, k ı saca,

x = (./)

dizisidir. Ş imdi, bu küme üzerinde, y = ( ıiı ) e X ve N = {1,2,...} olmak üzere,

d(x,y) = supgi - JEN

ile tan ı mlanan bir metrik seçelim. Bu yolla elde edilen metrik uzay, genellikle V° sembolüyle belirtilir. X 'in her bir eleman ı bir dizi olduğ undan, r bir dizi uzay ı d ı r.

1.1.7 .C[a,b] Fonksiyon Uzay ı . X kümesi olarak, ba ğı ms ı z reel bir t değ iş keninin fonksiyonu olan ve verilen kapal ı bir J = [a,lı ] aral ığı üzerinde tan ı m!' ve sürekli tüm reel değ erli x,y,...fonksiyonlar ı ndan oluşan kümeyi alal ı m. Bu küme üzerinde,

(9)

d(x,y) = nlap(t) - y(t)I (10)

ile tan ı mlanan metriğ i göz önüne al ı rsak, C[a,b] sembolüyle belirtilen bir metrik uzay elde ederiz. (Burada kulland ığı m ı z C harfi "sürekli" sözcü ğ ünün ingilizce karşı lığı n ı n ilk harfinden esinlenilerek yaz ı lm ış t ı r.) C[a,b] 'nin her bir noktas ı bir fonksiyon oldu ğ undan, bu uzay bir fonksiyon uzay ı d ı r.

Burada, diferensiyel ve integral hesaptaki yakla şı m ile, ş imdiki yaklaş im ı m ız aras ı ndaki farka dikkat çekmemiz yerinde olacakt ı r. Birincisinde , ayn ı anda yaln ı zca bir ya da ancak bir kaç fonksiyonu gözönüne alabilmemize kar şı n, ikincisinde, bir fonksiyon, büyük bir uzay ı n yaln ı zca bir noktas ı haline gelmektedir.

1.1.8.Diskre Metrik Uzay. Herhangi bir X kümesi ve bunun üzerinde,

d(x,x) = 0

d(x,y) = 1 (x # y)

ile tan ı mlanan ve X'in diskre metri ğ i ad ı n ı alan bir metrik alal ı m. Bu yolla elde edilen (X, d) uzay ı na diskre metrik uzay ad ı verilir. Uygulamada pek s ı k karşı laşı lmamas ı na karşı n baz ı kavramlar ı aç ı klayabilmek için örneklerimizde kullanaca ğı z.

6

PROBLEMLER 1. Reel doğ runun bir metrik uzay oldu ğ unu gösteriniz.

2. d(x,y) = (x - y) 2 , tüm reel say ı lann oluş turduğ u küme üzerinde bir metrik tan ı mlar m ı ?

3. d(x,y) = - yl 'nin tüm reel say ı lar ı n oluş turduğ u küme üzerinde bir metrik

tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. 4. iki noktadan olu ş an bir X kümesi üzerinde tan ı ml ı bütün metrikleri bulunuz. Ayn ı

soruyu tek noktadan oluş an kümeler için tekrarlay ı n ı z. 5. d, X üzerinde bir metrik olsun.

(i) kd,

(ii) d + k

X üzerinde bir metrik olacak ş ekildeki tüm k sabitlerini bulunuz. 6. 1.1.6 'da verilen d metriğ inin üçgen eş itsizliğ ini gerçeklediğ ini gösteriniz. 7. A,Q°' dizi uzay ı n ı n yaln ı zca s ı f ı r ve bir'lerden olu ş an dizilerinin oluş turduğ u bir

altuzay ise, A üzerindeki metrik ne olur? 8. C[a,b] üzerindeki diğ er bir metriğ in,

d(x,y) Six(t) - y(t)idt

ile tantmlanan d metriğ i olduğ unu gösteriniz. 9. 1.1.8 'de verilen d fonksiyonunun bir metrik olduğ unu gösteriniz. 10. (Hamming uzakl ığı ). S ıf ı r ve bir'lerle yaz ı lan tüm s ı ral ı üçlülerin kümesi Xolsun. X

'in sekiz elemandan olu ş tuğ unu ve X üzerindeki bir d metriğ inin d(x,y) = x ve y 'nin farkl ı bileşenlere sahip olduğ u yerlerin say ı s ı

ile tan ı mlandiğı nt gösteriniz. 11. (1) 'de verilen genelle ş tirilmiş üçgen eş itsizliğ ini ispatlay ı n ı z. 12.(0çgen E ş itsizliğ i). (1) eş itsizliğ ini kullanarak,

Id(x,y) - d(z,w)1 < d(x,z)+ d(y,w)

olduğ unu gösteriniz. 13.Üçgen eş itsizliğ ini kullanarak,

id(x,z) - d(y,z)1 5 d(x,y)

olduğ unu gösteriniz. 14. (Metrik Aksiyomlar ı ). (Tan ı m ı değ iş tirmeksizin) (M1)-(M4) aksiyomlar ı yerine

baş ka aksiyomlar al ı nabilir. Örneğ in, (M3) ve (M4) 'ün, (M2) ile,

d(x,y) < d(x,z) + d(z,y)

`den elde edilebilece ğ ini gösteriniz. 15.Bir metriğ in negatif-olmayan bir fonksiyon oldu ğ unu (M2)-(M3) 'den yararlanarak

gösteriniz.

7 1.2. METRIK UZAYLARA ILIŞ KIN DIĞ ER ÖRNEKLER

Bir metrik uzay Kavram ı n ı , ve bir metriğ in ilgili aksiyomlar ı , özellikle (M4) üçgen

eş itsizliğ ini gösterme iş lemlerini daha anla şı l ı r hale getirmek için, üç örnek daha vereceğ iz.Bunlardan sonuncusu olan QP dizi uzay ı , uygulamalarda kar şı laşacağı m ı z en

önemli örneklerden birisi olacakt ı r. 1.2.1. s Dizi Uzay ı . Bu uzay kompleks terimli (s ı n ı rl ı ya da s ı n ı rs ı z) tüm dizilerin

kümesi ile x = (.;) ve y = (4i ) olmak üzere,

d(x,y) = v 1 2/ 1 + -

ile tan ı mlanan d metriğ inden oluş ur. Örnek 1.1.6 'da tan ı mlad ığı m ı z metriğ in burada

uygun olmayaca ğı na dikkat etmemiz gerekir. (Neden?) Kolayca görebilece ğ imiz gibi, (MI)-(M3) aksiyomlar ı gerçeklenir. Ş imdi (M4) 'ün

gerçeklendiğ ini gösterece ğ iz. Bu amaçla, R üzerinde,

f(t) = 1 + t

ile tan ı mlanan yard ı mc ı bir f fonksiyonu kullanaca'ğı z, Bu fonksiyonun türevini al ı rsak,

f (t) = (1÷1 ,)2 elde ederiz; bunun ise pozitif oldu ğ u görülmektedir. Dolay ı s ı yla, f , monoton

olarak artan bir fonksiyondur. Sonuç olarak,

la + bi 5 lal + !bi

olduğ undan,

JCIa + bi) $_ faal+ ibi)

yazabiliriz. Bunu aç ı k olarak yaz ı p, say ı lara ilişkin üçgen eş itsizliğ ini de kullan ı rsak,

la + bl < }al + ibi 1 + la + - 1 + kı l + 1bl

1 + lal + lb] 1+lal+ lbl < ial !bi - 1 + lal + 1 + İ bl

elde ederiz. Bu e ş itsizlikte, z = (4.,) olmak üzere, a = 4; - ve b = - yazarsak,

a + b = - ıij olacağı ndan,

14ı < + - 71ı 1

nı l - 1 + çil 1 +IÇ 'İ - rtil buluruz. Bu eş itsizliğ in her iki yan ı n ı 1/21 ile çarp ı p, daha sonra,/ üzerinden 1 'den co 'a

kadar toplarsak, sol tarafta, d(x,y)'yi ve sağ tarafta ise, d(x,z) ile d(z,y) 'nin toplarnin ı elde

ederiz:

d(x,y) 5 d(x,z) + d(z,y).

Böylelikle, (M4) gerçeklenmi ş ve s 'nin bir metrik uzay oldu ğ u gösterilmiş olur.

1.2.2.8(A) S ı n ı rl ı Fonksiyonlar Uzay ı .Tan ı m olarak, her bir x e B(A) eleman', verilen

bir A kümesi üzerinde tan ı ml ı ve s ı n ı rl ı bir fonksiyon olup, ilgili metrik,

d(x,y) = supk(0- y(t) I tEA

8 ile tan ı mlan ı r. A kümesinin bir A = [a,b] c R aral ığı olmas ı halinde, B(A) yerine B[a, bi gösterimini kullanaca ğı z.

Ş imdi, B(A) 'n ı n bir metrik uzay oldu ğ unu gösterelim. (M1) ve (M3) 'ün gerçeklendi ğ i aç ı kca görülmektedir. Ayr ı ca, d(x,x) = 0 olduğ u aş ikard ı r. Tersine olarak, d(x,y) = 0 olmas ı halinde, her t e A için, x(1) y(t) = 0 olaca ğı ndan, x = y bulunur. Bu ise, (M2) 'nin gerçeklendiğ ini gösterir. Bunun yan ı s ı ra, her t e A için,

!x(t) — y(t)I Ix(t) — z(t)I + Iz(t) — y(t)I

< sup İx(t) — z(t)I +sup Iz(t) — y(t)i rEA tc,4

yazabiliriz. Bu da x —y 'nin A üzerinde s ı n ı rl ı olduğ unu gösterir. Ikinci sat ı rda yaz ı lan s ı n ı r ı n t 'den ba ğı ms ı z olmas ı nedeniyle, sol tarafta supremum olarak (M4) 'ü elde ederiz.

1.2.3.QP Uzay ı . Q2 Hilbert Dizi Uzay ı , Toplamlara iliş kin Hölder ve Minkowski Eş itsizlikleri.

p > 1 sabit bir reel say ı olsun.Tan ı m olarak, V uzay ı ndaki her bir eleman,

g IP ± g21 1) -R • •

toplam ı yak ı nsak, yani,

Zgı IP < ao

(p > 1 ve sabit) (1)

olacak ş ekilde bir x = (,;j ) = (1,42,...) dizisi olup, ilgili metrik, y = ve

l ıb IP < co

olmak üzere,

d(x,y) = ,00

si ıp

2_,g • - Tur

\ J=1

(2)

ile tan ı mlan ı r. (1) 'i gerçekleyen dizilerden yaln ı zca reel olanlar ı n' al ı rsak, reel QP uzay ı n!,

kompleks olanlar ı n' al ı rsak, kompleks QP uzay ı n ı elde ederiz. P uzay ı n ı np = 2 özel haline karşı l ı k gelen uzay ise, me ş hur, Q 2 Hilbert Dizi Uzay ı '

d ı r.Buna iliş kin metrik ise,

d(x,y) = L4Iİ Tl»2

(3) J=i

ile verilir. Bu uzay ilk kez 1912'de D.Hilbert taraf ı ndan integral denkiemlere ili ş kin olarak tan ı mlanm ış ve incelenmi ş olup, bugün Hilbert Uzay ı olarak adland ı rd ığı m ı z uzaylann ilk örneğ idir. (Hilbert uzaylar ı n ı Bölüm 3'den itibaren inceleyece ğ iz.)

Ş imdi QP uzay ı n ı n bir metrik uzay oldu ğ unu ispatlayaca ğı z. Aş ikar olarak, (2) ile tan ı mlanan fonksiyon, sa ğ yandaki seri yak ı nsak olmak koş uluyla, (M1)-(M3) aksiyomlar ı n ı gerçekler. Ş imdi bu serinin yak ı nsak olduğ unu ve (M4) aksiyomunun sağ land ığı n ı ispatlayal ı m. Bu ispat ı yapmak için ad ı m ad ı m ilerleyerek

( a) önce bir yard ı mc ı eş itsizlik, (b) sonra, (a)'dan yararlanarak, Hölder E ş itsizliğ ini,

t

9 (c) (b) 'den yararlanarak Minkowski E ş itsizliğ ini

elde edecek ve (d) (c) 'den faydalanarak, (M4) üçgen e ş itsizliğ ini ç ı kartaca ğı z.

Ş imdi ayr ı nt ı lara geçelim: (a)p > 1 olsun ve q 'yu

P q =

(4 )

eş itliğ i ile tan ı mlayal ı m. p ve q say ı lar ı na eş lenik üsler ad ı verilir. (4) e ş itliğ inden,

I = Pq

pq = p + q, (p — 1)(q —1) = I p + q

'

(5)

yazabiliriz. Dolay ı s ı yla, 1/(p 1) = q — 1 olup, u = eş itliğ i, t = uq--1 sonucunu verir. a

ve /3 herhangi iki pozitif say ı olsun. Ş ekil 5 'de görülen dikdörtgenin alan ı a. fi olduğ undan, integrasyon yoluyla,

a. /3 < 1P-1 dt + uq- ldu = + PJ, (6) o o

eş itsizliğ ini elde ederiz. a = 0 ya da fl = 0 olmas ı halinde de bu eş itsizliğ in doğ ru olduğ u aş ikard ı r.

Ş ekil 5C) (6) / daki ilk integrale ve0, ikinci integrale kar şı l ı k gelmek üzere, (6) e ş itsizliğ i

(b) (Zi ) ve (ili),

Eizr = 1, = ı (7)

olacak ş ekilde iki dizi olsun. a = ve = 17/11 alarak, (6) ifadesinden

ı )3- ı z,IP +177,1q eş itsizliğ ini elde ederiz. Burada, j üzerinden toplam al ı p, (7) ve (4)'ü kullan ı rsak,

ırğ ı l 5 = 1 (8)

buluruz. Ş imdi, s ı fı rdan farkl ı herhangi bir x = (4i ) E QP ve y = (71j) E 12P alal ı m ve

1 0

(L4k1P) 1/P (»Ni g ) lig

( 9)

diyelim. Bu durumda (7) ifadesi gerçeklenir; dolay ı s ı yla (8) 'i uygulayabiliriz. (9) 'daki değ erleri, (8)'de yerine koyar ve elde edilen e ş itsizliğ i (9) 'daki paydalarla çarparsak, toplama iliş kin Hölder e ş itsizliğ i olarak bilinen

ııp (- l ıq

_ Egkr f E irn I i= I k=1

eş itsizliğ ini buluruz. (Önceden de söyledi ğ imiz gibi, burada p)1 olup, l ıp + 1/q = 1 dir.) Bu eş itsizlik ilk kez 1889'da O.Hölder taraf ı ndan verilmiş tir.

Eğ erp = 2 ise, tan ı m ı gereğ i q = 2 olur ve (10) ifadesi, toplama ili ş kin, Cauchy-Schwarz E ş itsizliğ i'ni verir:

Egiiİİ I Egki2

Lilin12 • J= 1 Y k=I m=1

p 'nin eş leniğ i olan q 'ya eş it olduğ u p = q = 2 hali hakk ı nda daha fazla söz söylemek için vakit daha çok erkendir. Ancak bu halin ilerideki bölümlerde çok önemli roller oynayaca ğı n ı ve bizi p # 2 hallerinden "daha güzel" olan bir uzaya, Hilbert uzay ı 'na yönelteceğ ini hat ı rlatmakta yarar görüyoruz.

(c) Ş imdi de, x = E el! y = ( ıii ) E QP vep > 1 olmak üzere

11p llp

< (Eg ki

p

) (12)

ş eklinde ifade edilen, toplama iliş kin, Minkowski Eş itsizliğ i'ni ispatlayaltm. Sonlu toplamlar için, bu e ş itsizlik 1896 'da H.Minkowski taraf ı ndan verilmiş tir.

p = 1 için bu eş itsizlik,say ı lara iliş kin üçgen e ş itsizliğ inden kolayca elde edilir. Bu nedenle, M alal ı m. Formülleri basitle ş tirebilmek amac ıyla, + = (o; yazaca ğı z.

Say ı lara iliş kin üçgen eş itsizliğ i bize,

1 0)./IP = 5 (gii 1 71ii)Ecor i sonucunu verir. Burada, j üzerinden, 1'den herhangi bir sabit n 'e kadar toplam al ı rsak,

lco./IP 5 giiicoir i Eir/iikoii

3)

elde ederiz. Sağ taraftaki ilk toplama Hölder e ş itsizliğ ini uygulayarak

g.iii£0.i1P1 [EgkIP ] lPM( İ comr 1 )1

buluruz. pq = p + q olduğ undan ((5)'e bak ı n ı z) sağ tarafta,

(p — 1)q = p

yazabiliriz. (13) 'deki son toplam ı da, ayn ı ş ekilde düzenlersek,

11 Libl ıcor' [E ı nk ıPriElconirr

elde ederiz. Bu iki sonucu birlikte ele al ı rsak,

»o, I P 5 {[Egk ıPr-F[E ıtikrr}(E ı com ıPr yazabiliriz. Bu e ş itsizliğ in her iki yan ı n ı sağ taraftaki son çarpan ile bölüp, ayr ı ca, 1 — = P olduğ unu da göz önüne al ı rsak, (12) formülünü, 00 yerine n gelmiş olarak elde

ederiz. Ş imdi, n 'i sonsuza götürelim. Bu i ş lem, x,y E QP olmas ı nedeniyle , sa ğ tarafta iki yak ı nsak seri meydana getirir. Dolay ı s ı yla sol taraftaki seri de yak ı nsak olur ve bu surette (12) ispatlanm ış olur.

(d) (12) 'den faydalanarak, QP'deki x ve y 'ler için, (2) 'de ad ı geçen serinin yak ı nsak olduğ unu söyleyebiliriz. (12) ifadesi, ayr ı ca, üçgen eş itsizliğ ini de verir. Gerçekten, herhangi x,y,z E QPalarak, z = (4"; ) al ı p, say ı lara iliş kin üçgen eş itsizliğ ini ve daha sonra da, (12) 'yi kullan ı rsak,

d(x.Y) = (Egi İDIP) IIP

(E[g .i — ç.il+Içi -7/ıı r) uP

5 (Egı + (Elçi — Ip) Ilp

= d(x,z) + d(z,y)

buluruz. Bu da, QP 'nin bir metrik uzay oldu ğ unu ispatlar. (10), (11) ve (12) no.lu e ş itsizlikler, çeş itli teorik ve uygulamal ı problemlerde son

derece gerekli araçlar olarak büyük önem ta şı rlar. Ilerideki çal ış malar ı m ı zda, bunlar ı çok say ı da kullanma f ı rsat ı bulacağı z.

PROBLEMLER

1.1.2.1'de, 1/21 yerine, E yak ı nsak olacak şekilde, p,)0 say ı s ı alarak, diğ er bir

metrik elde edebileceğ imizi gösteriniz. 2. (6) 'y ı kullanarak, iki pozitif say ı n ı n geometrik ortalamastn ı n, aritmetik

ortalamas ı ndan daha büyük olamayaca ğı n ı gösteriniz. 3. (11) no.lu Cauchy-Schwarz e ş itsizliğ inin,

(1411+...-f-g.1) 2 5_ n(g1( 2 +...+14.1 2 )

eş itsizliğ ini gerektirdi ğ ini gösteriniz. 4. (QP uzay ı ). ü 'a yak ı nsad ığı halde, 1 < p < co olmak üzere, hiç bir QP uzay ı nda yer

almayan bir dizi bulunuz. 5. x o Q 1 olmas ı na karşı n, p > 1 olmak üzere, QP uzay ı nda bulunan bir x dizisi

bulunuz. 6. (Çap,S ı n ı rl ı küme). Bir (X,d) metrik uzay ı nda bulunan, boş olmayan bir A

kümesinin 8(A) çap ı ,

12 6(A) = sup d(x,y)

,x,yEA

olarak tan ı mlan ı r. <5(A) < 00 ise, A kümesine s ı n ı rl ı 'd ı r denir. A c B ise, <5(A) < <5(B) olduğ unu gösteriniz.

7. 6(A) = 0 olmas ı için gerek ve yeter ko ş ulun, A 'n ı n tek noktadan olu ş mas ı olduğ unu gösteriniz. (Prob.6 'ya bak ı n ı z.

8. (Kümeler Aras ı ndaki Uzakl ı k). Bir (X,d) metrik uzay ı nda bulunan A ve B gibi boş -olmayan iki altküme aras ı ndaki D(A,B) uzakl ığı ,

D(A,B) = inf d(a,b) (1E4~

olarak tan ı mları n- . D 'nin, X'in kuvvet kümesi üzerinde bir metrik tan ı mlamad ığı n ı gösteriniz. (Bu nedenle, biz yine de d 'yi hat ı rlatan diğ er bir D sembolü kulland ı k.

9. Prob.8 'de, A n B t1L) ise D(A,B) = 0 olduğ unu gösteriniz. Tersi için ne söyleyebilirsiniz?

10. Prob. 8 'deki tan ı mla uyum içinde olmak üzere, bir x noktas ı ndan, (X,d) 'nin boş -olmayan bir B altkümesine olan D(x,B) uzakl ığı

D(x,B) = infd(x, b) bEB

olarak tan ı mlan ı r. Herhangi x,y E X için,

ID(x, B) — D(y, B) 1 < d(x,y)

olduğ unu gösteriniz. 11. (X,d) herhangi bir metrik uzay ise, X üzerinde diğ er metri ğ in,

— d(x,y) 1 d(x,y)

ile tan ı mland ığ in ı ve X 'in, -d metriğ inde s ı n ı rl ı olduğ unu gösteriniz. 12. Bir metrik uzayda bulunan, A ve B gibi iki s ı n ı rl ı kümenin, birleş iminin de s ı n ı rl ı bir

küme olduğ unu gösteriniz. (Prob.6 'daki tan ı ma bak ı n ız.) 13.(Metrik Uzaylar ı n Çarp ı m ı ). (X,c11) ve(X,d2) gibi iki metrik uzay ı n kartezyen

çarp ı m ı olan X= XI x X2 çeş itli yollardan bir (X, d) metrik uzay ı haline dönüş türülebilir. Örneğin,( x = = (y ı ,y2) olmak üzere, bir d metriğ inin,

d(x,y) = d ı (xl,yi) d2(x2,y2)

şeklinde tan ı mlanabildiğ ini gösteriniz. 14. Prob.13 'de Xüzerindeki di ğ er bir metriğ in,

d(x,y) = lid ı (x ı ,y1) 2 d2(x2,y2)2

ile tan ı mland ığı n ı gösteriniz. 15. Prob.13 'de, üçüncü bir metri ğ in,

13 d(x,y) = max[di (x ,y ı ),d2 (x2 >Y2)1

ile tan ı mland ığı n ı gösteriniz. (Prob.13-15 'de tan ı mlanan metrikler uygulama aç ı s ı ndan önemli olup, X üzerinde

baş ka metrikler tan ı mlamak da mümkündür.)

1.3. AÇIK KÜME, KAPALI KÜME, KOM Ş ULUK Metrik uzaylara ili ş kin olarak kullan ı lan çok say ı da yard ı mc ı kavram

bulunmaktad ı r. Bu k ı s ı mda, bunlardan bizim için gerekli olanlann ı görece ğ iz. Dolay ı s ı yla, notlar ı m ı z ı n bu k ı sm ı nda çok say ı da kavram yer alacakt ı r. Ancak bunlardan bir ço ğ unun, Euclid uzay ı na uygulanmas ı halinde, önceden bilinen kavramlar oldu ğ u görülecektir.

Önce, verilen bir X = (X,d) metrik uzay ı n ı n önemli altküme tiplerini inceleyeceğ iz. 1.3.1. TANIM (Yuvar ve küre). Bir xo E X noktas ı ve reel bir r > 0 say ı s ı verilmiş

olsun. Buna göre, üç tip küme tan ı m ı yapabiliriz:

(a)B(xo;r) = {x E X : d(x,xo) < r} (Aç ı k Yuvar)

(b) 73- (x0,r) = {x E X : d(x,xo) r} (Kapal ı Yuvar)

(c) S(xo;r) = {x e X : d(x,xo) = (Küre).

Her üç halde de, xo merkez, r ise, yar ı çap ad ı n ı al ı r. Bu tan ı ma göre, r yançapl ı bir aç ı k yuvar ı n, X 'in, yuvar ı n merkezine r 'den daha

yak ı n tüm noktalar ı ndan olu ş tuğ u görülmektedir. Ayr ı ca, yine bu tan ı mlar ı n ışığı alt ı nda,

S(xo;r) =7?(xo; r) — B(xo ; r)

(2)

yazabiliriz. Uyar ı : Metrik uzaylara ili ş kin çal ış malar ı m ı zda, Euclid geometrisindekilere benzer

terimler kullanmam ı z bize büyük kolayl ı klar sağ lar. Ancak, örneğ in, keyfi bir metrik uzaydaki yuvar ve kürelerin, t18 3 'deki yuvar ve kürelerle ayn ı özeliklere sahip oldu ğ unu düş ünmek gibi bir yan ı lg ı ya düş mememiz gerekir. Al ışı lm ışı n d ışı nda bir özelik olarak,

bir küre boş olabilir. Örneğ in, bir diskre metrik uzayda, r * 1 ise, S(xo;r) = P dir. (1.1.8'e bak ı n ız). (Bu durumda, yar ı çap ı 1 olan küreler hakk ı nda ne söyleyebilirsiniz?). Al ışı lm ışı n d ışı nda diğ er bir özeliğ e de ileride değ ineceğ iz.

Ş imdi, konuya iliş kin iki yeni kavram daha verelim. 1.3.2.TANIM (Aç ı k Küme, Kapal ı Küme). Bir Xmetrik uzay ı ve bunun bir M

altkümesini gözönüne alal ı m. Eğ er, M kümesi, her noktas ı n ı n etraf ı nda bir yuvar

içeriyorsa, M kümesi aç ı k't ı r denir. K, X 'in bir altkümesi olsun. E ğ er, K 'n ı n X'deki

tümleyeni, yani, K(' -= X— K aç ı k ise, K kapal ı 'd ı r denir. Verilen tan ı mlar ı n ışığı nda, okuyucu, bir aç ı k yuvar ı n, bir aç ı k küme, bir kapal ı

yuvar ı n ise, bir kapal ı küme olduğ unu kolayca görecektir. e yançapl ı bir B(x0; e) aç ı k yuvar ı na, xo ' ı n bir e — komsulu ğu da denir. (Burada,

Tan ı m.1.3.1 uyar ı nca, e > O 'd ı r. xo' ı n bir komş uluğ u deyimi ile, X'in, xo ' ı n bir e —komş uluğ unu içeren herhangi bir altkümesini anlatmak i ş tiyoruz,

14 Tan ı mdan, xo 'In her bir komş uluğ unun, xo içerdiğ ini , ya da, diğ er bir deyimle, xo

' ı n, kendisinin her bir kom ş uluğ unun bir noktas ı olduğ unu doğ rudan doğ ruya görürüz. Ve N, xo 'in bir komş uluğ u ise ve N c M olduğ u biliniyorsa, M'nin kendisi de x o 'in bir

komş uluğ udur. Bir M c X kümesini göz önüne alal ı m. Eğ er, M, xo ' ı n bir komş uluğ u ise, xo 'a, M

kümesinin bir içnoktas ı ad ı verilir. M 'nin içi ise, M 'nin tüm iç noktalar ı ndan oluş an küme olup, yayg ı n olarak kabul edilmi ş bir gösterim yok ise de M° ya da Int(M) şeklinde gösterilebilir. Int(M) aç ı k olup, M 'de içerilenen büyük aç ı k kümedir.

X 'in tüm aç ı k altkümelerinin, T olarak adland ı raca ğı m ı z, topluluğ unun aş ağı daki özelikleri gerçeklediğ ini göstermek zor değ ildir:

(T1) (1) e r, X E r,

(T2) T 'nun herhangi say ı da eleman ı n ı n birleş imi yine T 'nun bir eleman ı d ı r.

(T2) T 'nun sonlu say ı da eleman ı n ı n kesiş imi yine T 'nun bir eleman ı d ı r.

Ispat: 'D 'nin hiçbir eleman içermemesi nedeniyle aç ı k olduğ u ve X 'in de, aş ikar olarak, aç ı k olduğ u göz önüne al ı n ı rsa, (T1) 'in gerçeklendiğ i kolayca görülür. Ş imdi, (T2) 'yi ispatlayal ı m. Aç ı k kümelerin birleş imi olan U'nun herhangi bir x noktas ı bu kümelerden en az bir tanesine aittir; bu kümeyi M ile gösterelim. Aç ı k olmas ı nedeniyle, M kümesi, x etraf ı nda, bir B yuvar ı içerir. Dolay ı s ı yla, birleş imin tan ı m ı gereğ i, B c U olur. Bu ise (T2) 'yi ispatlar. Son olarak, e ğ er y, aç ı k kümelerinin kesi ş iminin herhangi bir noktas ı ise, bu durumda, her bir Mi, y etraf ı nda bir yuvar içerir ve bu

yuvarlar ı n en küçüğ ü bu kesiş imde içerilir. Bu da (T3) 'ü ispatlar. (T1)-(T3) özeliklerinin gerçekten çok önemli temel özelikler oldu ğ unu belirtmekte

yarar görüyoruz. Bunlar ı n kullan ı lmas ı yla, bir (X,T) topolojik uzay ı , bir X kümesiyle, X'in, (T1)-(T3) aksiyomlar ı n ı gerçekleyen altkümelerinin bir T toplulu ğ u olarak tan ı mlan ı r. kümesi, X için bir topoloji ad ı n ı al ı r. Bu tan ı mdan, hemen,

"Bir metrik uzay, bir topolojik uzay'd ı r" diyebiliriz. Aç ı k kümeler, sürekli dönü ş ümlere iliş kin konularda da önemli bir rol oynar. Burada

sözünü ettiğ imiz süreklilik, analizden bildi ğ imiz süreklilik kavram ı n ı n doğ al bir genelleş tirmesi olup, a ş ağı daki şekilde tan ı mlan ı r.

1.3.3.TANIM (Sürekli Dönüş üm). X = (X,d) ve Y = (Y, d) iki metrik uzay olsun. Bir T : X -4 Y dönüş ümünü göz önüne alal ı m. Eğ er, her bir e > 0 say ı s ı na karşı l ı k,

d(x,xo) < S koş ulunu gerçekleyen bütün x 'ler için,

d(Tx,Txo) < e

olacak ş ekilde bir d > 0 say ı s ı bulunabiliyorsa, T dönüş ümü, xo E X noktas ı nda sürekli'dir denir (Bkz. Ş ek.6).

15

Ş ekil 6.Tan ı m1.3.3`deki esitsizliklerin, X=R 2 ve Y---1R 2 Euclid düzlemi haline iliskin gösterimi

Sürekli dönü ş ümlerin, aç ı k kümeler cinsinden, a ş ağı daki ş ekilde karakterize edilebilmesi önemli ve ilginç bir konudur.

1.3.4. TEOREM (Sürekli Dönü ş üm). Bir X metrik uzay ı ndan, bir Y metrik uzay ı içine tan ı mlanan bir T dönü ş ümünün sürekli olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, Y 'nin herhangi bir aç ı k altkümesinin ters görüntüsünün, X 'in bir aç ı k altkümesi olmas ı d ı r.

ispat. (a) T 'nin sürekli oldu ğ unu varsayal ı m. S c Y aç ı k ve So, S 'nin ters görüntüsü

olsun. So = (I) ise aç ı kt ı r. So # 41) alal ı m. Herhangi bir xo E So için, yo = Txo olsun. S aç ı k olduğ undan, yo ' ı n bir N, E —komş uluğ u içerir; Ş ekil 7'e bak ı n ı z. T 'nin sürekli olmas ı nedeniyle, xo, N 'nin içine dönü ş türülen bir No 5 —kom ş uluğ una sahiptir. N c S olduğ undan, No c So yazabiliriz. Dolay ı s ı yla, xo e So noktas ı n ı n keyfi olarak seçildiğ ini de göz önüne al ı rsak, So ' ı n aç ı k olduğ u ortaya ç ı kar.

Ş ekil 7. Teorem 1.3.4'ün ispat ı n ı n (a) k ısm ı ndaki gösterim

(b) Tersine olarak, Y 'deki her aç ı k kümenin ters görüntüsünün X 'de aç ı k bir küme

olduğ unu kabul edelim. Bu durumda, her xo E X ve Tx o ' ı n herhangi bir N E —komş uluğ u

için, N 'nin aç ı k olmas ı ve No ı n xo ' ı içermesi nedeniyle, N 'nin ters görüntüsü olan No

aç ı kt ı r. Dolay ı s ı yla, No, xo 'in, N 'nin içine dönü ş türülen bir 8 —komş uluğ unu içerir.

(Çünkü, No 'in kendisi N 'nin içine dönü ş türülmektedir.) Sonuç olarak, tan ı m gereğ i, T 'nin xo 'da sürekli oldu ğ unu söyleyebiliriz. Buna göre, xo E X 'in keyfi olarak seçildi ğ ini

göz önüne al ı rsak, T 'nin sürekli olduğ u ortaya ç ı kar. Ş imdi, konuya iliş kin, iki yeni kavram ı tan ı tacağı z. M, bir X metrik uzay ı n ı n bir

altkümesi olsun. X 'in (M nin noktas ı olabilen ya da olmayan) bir xo noktas ı n ı ele alal ı m.

16 Eğ er, xo' ı n her bir kom ş uluğ u, xo 'dan farkl ı , en az bir y E M noktas ı içeriyorsa, xo noktas ı na, M 'nin bir y ığı lma noktas ı , (ya da, M 'nin bir limit noktas ı ) ad ı verilir. M 'nin noktalanyla, M 'nin y ığı lma noktalar ı ndan olu ş an kümeye ise, M 'nin kapan ış i denir ve Mile gösterilir. Bilindiğ i gibi, M, M 'yi içeren en küçük kapal ı kümedir.

Konuya devam etmeden önce, bir metrik uzayda tan ı mlanan yuvarlara ili ş kin, al ışı lm ışı n d ışı nda diğ er bir özelikten söz etmek istiyoruz. R. 3 'de, bir B(xo;r) aç ı k

yuvar ı n ı n kapan ış ' olan B(xo;r), B(xo;r) kapal ı yuvar ı olmas ı na karşı n, bu durum genel

bir metrik uzay üzerinde gerçeklenmeyebilir. (Bu gerçe ğ i bir örnekle görüntüleyiniz.) Kapan ış kavram ı n ı kullanarak, ilerideki çal ış malar ı m ı zda özellikle önemli olacak bir

tan ı m verelim: 1.3.5,TANIM (Yoğ un Küme, Ayr ı labilir Uzay). Bir X metrik uzay ı n ı n bir Maltkümesi

verildiğ inde, eğ er,

M = X

ise, M kümesi X 'de yoğ undur denir. E ğ er, X kümesi, X 'de yoğ un say ı labilir bir altkümeye sahip ise, ayr ı labilirdir diyeceğ iz.

Buna göre, eğ er M, X 'de yoğ un ise, ne kadar küçük olursa olsun, X 'deki her yuvar, M 'nin noktalar ı n' içerecektir; ya da di ğ er bir deyimle, bu durumda, M 'nin noktalar ı n' içermeyen bir kom ş uluğ a sahip hiç bir x E X noktas ı yoktur.

Ayr ı labilir metrik uzaylar ı n, aynlabilir-olmayanlara göre biraz daha basit oldu ğ unu ileride göreceğ iz. Ş imdilik, ayr ı labilir ve aynlabilir-olmayan uzaylara ili ş kin önemli örnekleri inceleyerek, bu kavramlara biraz daha a ş ina hale gelmekte yetineceğ iz.

Örnekler. 1.3.6. (Reel Eksen). R reel ekseni ayr ı labilirdir. ispat. Tüm rasyonel say ı lann kümesi olan Q say ı labilir olup, R 'de yo ğ undur.

1.3.7. (Kompleks Düzlem). C kompleks düzlemi aynlabilirdir. ispat. C 'nin say ı labilir yoğ un bir altkümesi, reel ve sanal k ı s ı mlar ı n ı n her ikisi de

rasyonel olan tüm kompleks say ı lardan oluş an bir kümedir. 1.3.8. (Diskre Metrik Uzay). Bir Xdiskre metrik uzay ı n ı n ayr ı labilir olmas ı için gerek

ve yeter koş ul,-X 'in say ı labilir olmas ı d ı r. (Tan ı m için, 1.1.8 'e bak ı n ı z). ispat. Söz konusu metri ğ in cinsi, X 'in hiçbir gerçek altkümesinin, X 'de yoğ un

olmas ı na imkan vermez. Bu da ispat ı tamamlar. 1.3.9. (12°'' Uzay ı ). r uzay ı ayr ı labilir değ ildir. (Tan ı m için, 1.1.6 'ya bak ı n ı z.) ispat. y = (711,q2,173,• • .), s ı f ı r ve bir'lerden olu ş an bir dizi olsun. Buna göre, y E e'

'dur. y dizisiyle, ikilik sisteme göre gösterimi,

+ /12 + 773 + 2 1 2 2 2 3

olan, reel bir y say ı s ı n ı eş leyelim. Ş imdi, [0,1] aral ığı ndaki noktalardan olu ş an kümenin say ı lamaz olduğ unu, her bir :y" c [0,1] say ı s ı n ı n ikilik sisteme göre bir gösterime sahip bulunduğ unu ve farkl ı .5)- 'lar ı n farkl ı gösterimlerle temsil edildiklerini söyleyebiliriz. O halde, s ı f ı r ve biderden olu ş an say ı lamaz çoklukta dizi vard ı r. ' üzerinde tan ı m! ı metrik, bunlardan birbirine e ş it olmayan herhangi ikisi aras ı ndaki uzakl ığı n 1 birim olmas ı n ı n gerektiğ ini gösterir. Eğ er, bu dizilerin her birini, küçük birer yuvam, örne ğ in, yar ı çap ı 1/3 olan bir yuvar ı n merkezi olarak düşünürsek, bu yuvarlar kesi ş meyeceklerdir ve bunlardan say ı lamayacak çoklukta bulabiliriz. Eğ er, M, V' 'da yoğ un herhangi bir küme ise, bu kesiş meyen yuvarlann her biri M'nin bir eleman ı n ı içermek zorunda olur. Ve dolay ı s ı yla, Msay ı labilir olamaz. M 'nin keyfi bir yo ğ un küme olmas ı nedeniyle, bu

17 durum, r° 'un say ı labilir yoğ un altkümelere sahip olamayaca ğı n ı gösterir. O halde, sonuç olarak, r ayr ı labilir değ ildir.

1.3.10. (P Uzay ı ). 1 < p < oo olmak üzere, QP uzay ı , ayr ı labilirdir. (Tan ı m için 1.2.3 'e bak ı n ı z).

Ispat. M,n herhangi bir pozitif tam say ı ve 'ler rasyonel olmak üzere,

y = )

şeklindeki tüm y dizilerinden olu ş an bir küme olsun. A4 say ı labilirdir.Ş imdi, M 'nin, QP 'de yoğ un olduğ unu göstermek istiyoruz. x = e QP keyfi bir dizi olsun. Her E > 0 say ı s ı için,

00

^ISYİ IP < ePI2 j=n+I

olacak ş ekilde (£ 'a ba ğ l ı ) bir n say ı s ı vard ı r. (Sol taraftaki toplam ı n, yak ı nsak bir serinin kalan k ı sm ı olduğ una dikkat ediniz.) Rasyonel say ı lar, R 'de yoğ un olduğ undan, her bir 4, için, buna yeterince yak ı n rasyonel nj say ı s ı vard ı r. O halde,

7/İ IP < eP/2

olacak ş ekilde biry e Mdizisi bulabiliriz. Buna göre, CO

[(10C,A] P = Egi Tİİ IP Egir < sP j=1 frn+1

yazabiliriz. Dolay ı s ı yla, d(x,y) < e elde eder ve M 'nin, Y' 'de yoğ un olduğ unu görürüz.

PROBLEMLER 1. (a) Herhangi bir aç ı k yuvar ı n, bir aç ı k küme,

(b) Herhangi bir kapal ı yuvar ı n, bir kapal ı küme, olduğ unu ispatlayarak, "aç ı k yuvar" ve "kapal ı yuvar" deyimlerini do ğ rulay ı n ız. 2. R üzerinde, B(x0;1) aç ı k yuvar ı nedir? Ayn ı soruyu, C 'de ve C[a,b] 'de

tekrarlay ı n ı z. Ş ekil 8 'i aç ı klay ı n ı z.

18

Ş ekil 8. xo(t)=t 2 ile verilen xo EC[-1, 1] fonksiyonunun, e=1/2

c=1/2 olmak üzere, e-komsulu ğ u olusturan tüm xeC[-I, 1] fonksiyonlar ı n ı n grafiklerini içeren bölge

3. C[0,27r] 'yi göz önüne al ı n ı z ve x( ı ) = sin t ve y(t) = cos t olmak üzere, y E 1-3(x; r) olacak şekilde en küçük r say ı s ı n ı belirleyiniz.

4.Boş -olmayan, herhangi bir A c (X,d) kümesinin aç ı k olmas ı için gerek ve yeter koş ul, bu kümenin, aç ı k yuvarlar ı n bir birle ş imi olmas ı d ı r. Gösteriniz.

5. Baz ı kümelerin, ayn ı zamanda, hem aç ı k , hem de kapal ı olabileceğ ini görmek önemlidir. (a) X ve cip için durumun daima böyle oldu ğ unu, (b) Diskre bir X metrik uzay ı nda her altkümenin, hem aç ı k, hem de kapal ı olduğ unu gösteriniz.

6. Eğ er xo, bir A c (X,d) kümesinin bir y ığı lma noktas ı ise, xo ' ı n herhangi bir komş uluğ unun, A 'n ı n sonsuz çoklukta noktas ı n ı içerdiğ ini gösteriniz.

7. Aş a ğı daki altkümelerin her birinin kapan ışı n ı belirleyiniz. (a) R üzerindeki tamsay ı lar, (b) 1 üzerindeki rasyonel say ı lar, (c) C 'de reel ve sanal k ı s ı mlar ı rasyonel olan kompleks say ı lar, (d) : 1z1(1} c C diski.

8. Bir metrik uzayda, bir B(xo;r) aç ı k yuvartn ı n kapan ış ' olan, B(xo;r) 'nin, B(xo;r) kapal ı yuvar ı ndan farkl ı olabileceğ ini gösteriniz.

9.Ac4,A- =A,AUB=AUT3,71- n -B-"c -A- rı T3 olduğ unu gösteriniz. 10. Kapal ı bir M c (X, d) kümesine ait olmayan bir x noktas ı , daima Mkümesinden

s ı fı rdan-farkl ı bir uzakl ı kta bulunur. Bunu göstermek için, x E olmas ı için gerek ve yeter koş ulun D(x,A) = 0 olduğ unu gösteriniz. (K ı s.1.2, Prob.10'a bak ı n ı z); Burada, A, X 'in boş -olmayan herhangi bir altkürnesidir.

11. (S ı n ı r). Bir A c (X,d) kümesiyle, X 'in (A 'ya ait olabilen ya da olmayan) bir x noktas ı n ı gözönüne alal ı m. Eğ er, x 'in her kom ş uluğ u, A 'ya ait olmayan noktalar ı n yan ı s ı ra, A 'ya ait noktalar ı da içeriyorsa, x 'e A kümesinin bir s ı n ı r noktas ı ad ı verilir. A 'n ı n tüm s ı n ı r noktalar ı n ı n oluş turduğ u küme ise, A 'n ı n s ı n ı r ı ad ı n ı al ı r. (a) Rüzerinde, (-1,1), [-1, 1), [-1,1] aral ı klann ı n; (b) R üzerindeki tüm rasyonel say ı lar ı n kümesinin;

(c) : tzl < c C ve {z : < 1} c C disklerinin s ı n ı rlar ı n ı belirleyiniz. 12. (B[a,b] Uzay ı ). a < b olmak üzere, B[a,b] 'nin ayr ı labilir-olmad ığı n ı gösteriniz.

(Tan ı m için, 1.2.2 'ye bak ı n ı z.) 13. Bir X metrik uzay ı n ı n ayr ı labilir olmas ı n ı n gerek ve yeter ko ş ulunun, X 'in

aş ağı daki özeliğ e sahip say ı labilir bir Y altkümesine sahip olmas ı olduğ unu gösteriniz: Her E > 0 say ı s ı ve her x E X için, d(x,y) < c olacak şekilde bir y E Y vard ı r.

19 14. (Sürekli Dönü ş üm). Bir T : X Y dönüş ümünün sürekli olmas ı için gerek ve

yeter ko ş ul herhangi bir kapal ı M c Y kümesinin ters görüntüsünün X 'de kapal ı bir küme olmas ı d ı r. Gösteriniz.

15. Aç ı k bir kümenin, sürekli bir dönü ş üm alt ı ndaki, görüntüsünün aç ı k olmak zorunda bulunmad ığı n ı gösteriniz.

1.4. YAKINSAKLIK, CAUCHY DiZiSi, TAMLIK Analizde reel say ı dizilerinin önemli bir rol oynad ığı n ı ve böyle bir dizinin yak ı nsakl ı k

kavram ı n ı tan ı mlayabilmek için, R üzerindeki metriğ i kulland ığı m ız ı biliyoruz. Ayn ı ş ey kompleks terimli diziler için de geçerlidir; Bu durumda, kompleks düzlem üzerindeki metriğ i kullanmam ız gerekir. Rastgele bir X = (X,d) metrik uzay ı nda da durum öncekilere oldukça benzerdir; yani, X 'in, x ı ,x2,...gibi elemanlar ı ndan olu ş an bir (xn) dizisini göz önüne alabilir ve d metriğ ini kullanarak, analizdekine benzer ş ekilde, yak ı nsakliğı tan ı mlayabiliriz:

1.4.1. TANIM (Bir Dizinin Yak ı nsakl ığı , Limit). Bir X = (X,d) metrik uzay ı nda bir (xn ) dizisini ele alal ı m. Eğ er,

iimd(x„,x) = 0

olacak ş ekilde bir x E X noktas ı varsa, (x„) dizisi yak ı nsak't ı r, ya da, x noktas ı na yak ı nsar denir. x noktas ı na (xn) dizisinin limit'i ad ı verilir ve

limx„ = x, n-0

ya da k ısaca,

x, x

yaz ı l ı r. (xn ) dizisi yak ı nsak değ ilse ı raksak't ı r denir. Burada, d metriğ inin bu tan ı mda nas ı l kullan ı ld ığı sorusunu sorabiliriz. Görüldü ğ ü

gibi, d metriğ i = d(x„,x) ş eklindeki reel say ı lardan olu ş an bir dizi beklemekte ve bu dizinin yak ı nsakl ığı , (xn ) dizisinin yak ı nsakl ığı n ı tan ı mlamaktad ı r. O halde, eğ er xn x ise, verilen bir E > 0 say ı s ı na karşı l ı k, n > N oldukça, tüm x„ terimleri x 'in bir E > 0 kom ş uluğ u olan B(x; e) 'un içinde kalacak ş ekilde bir N = N(s) say ı s ı n ı n varl ığı n ı söyleyebiliriz.

Aş ikar yanl ış anlamalardan kaç ı nmak için, 1.4.1'de, yak ı nsak bir dizinin limitinin, X uzay ı n ı n bir noktas ı olmas ı n ı n gerektiğ ini belirtmek zorunday ı z. Örneğ in, X,

d(x,y) = k — yi ile tan ı mlanan al ışı lm ış metriğ i ile, R üzerindeki (0,1) aç ı k aral ığı olsun. Bu durumda, (1/2, 1/3, 1/4,...) dizisi, "yak ı nsamak istediğ i nokta" olan O ' ı n X 'de olmamas ı nedeniyle, yak ı nsak değ ildir. ileride bu ve buna benzer durumlara yeniden döneceğ iz.

Önce, yak ı nsak dizilere ili ş kin, analizden bildiğ imiz, iki özeliğ in (limitin tekliğ i ve sinirlilik) ş u anda incelediğ imiz genel konumda da geçerli oldu ğ unu göstereceğ iz.

Boş -olmayan bir M c X altkümesini göz önüne alal ı m. Eğ er bu kümenin çap ı olan

8(M) = sup d(x,y) x,yeM

sonlu ise, M 'ye bir s ı n ı rl ı küme ad ı verilir. X 'deki bir (xn) dizisinin elemanlar ı ndan oluş an nokta kümesi X 'in s ı n ı rl ı bir altkümesi ise, (x,i ) dizisine bir s ı n ı rl ı dizi denir.

Aş ikar olarak, eğ er M s ı n ı rl ı ise, xo e X herhangi bir nokta ve r yeterince büyük reel bir say ı olmak üzere, M c B(xo;r) dir ve bunun tersi de do ğ rudur.

20 Ş imdi iddiam ı z ı aş ağı daki ş ekilde ifade edebiliriz: 1.4.2. LEMMA (S ı n ı rl ı l ı k,Limit). X= (X,d) bir metrik uzay olsun. Bu durumda, (a) X 'de yak ı nsak olan bir dizi s ı n ı rl ı olup, limiti tek'dir. (b) X 'de, x„ x ve y„ y ise,

d(x„,y„) d(x,Y)

dir. Ispat. (a) (x n ) x olduğ unu kabul edelim. Buna göre, E = 1 alarak, her n > N için,

d(xn ,x) < 1 olacak şekilde bir N say ı s ı bulabiliriz. Dolay ı siyla, (M4) üçgen eş itsizliğ i (K ı s.1.1) uyar ı nca her n için,

a = max-{d(xl,x),...,d(xN,x)}

olmak üzere, d(xn ,x) < 1 + a yazabiliriz. Bu ise, (x„) dizisinin s ı n ı rl ı olduğ unu gösterir.

x„ x ve x„ z olduğ unu varsayarak, (M4) uyar ı nca,

0 < d(x,z) < d(x,x,)+ d(x„,,z) 0 + 0

elde ederiz. Buradan da, (M2) 'yi göz önünde tutarak, limitin tekli ğ ini ifade eden, x = z

sonucuna var ı r ı z. (b) K ı s ı m 1.1 'deki (1) eş itsizliğ i uyar ı nca,

d(x,,,yn ) < d(xn,x) +' d(x,Y) -1- d(Y,Yn)

yazabiliriz. Buna göre,

d(x,Y) d(x,,,x)+ d(Yn,Y)

eş itsizliğ ini ve diğ er bir benzer e ş itsizliğ i de, xn ile x 'in ve yn ile y 'nin yerlerini de ğ iş tirip,

sonucu -1 ile çarparak elde ederiz. Bu ikisinin birlikte göz önüne al ı nmas ı ise, bize, n --> ce için,

id(xn,Yn) — d(x,Y)I d(xn,x) + d(y.,y) 0

sonucunu verir. Ş imdi de, ilerideki çal ış malar ı m ı za temel olu ş turacak olan, bir metrik uzay ı n taml ığı n ı

tan ı mlayaca ğı z. Bu arada, tam-olmayan metrik uzaylar ı n da var olmas ı nedeniyle, taml ığı n, K ı s ı m 1.1 'deki (M1)-(M4) aksiyomlar ı ndan ç ı kart ı lamayaca ğı n ı göreceğ iz. Diğ er bir deyimle, taml ı k, bir metrik uzay ı n sahip olabildiğ i ya da olamad ığı ek bir özeliktir.

Önce, analizden, reel ya da kompleks terimli bir (x n ) dizisinin, s ı ras ı yla, R reel ekseni

üzerinde, ya da C kompleks düzlemi içinde yak ı nsamas ı için gerek ve yeter ko ş ulun, bu

dizilerin Cauchy yak ı nsakl ı k kriteri 'ni gerçeklemesi oldu ğ unu hat ı rlayal ı m. Yani, söz

konusu dizilerin yak ı nsak olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, verilen her e > 0 say ı s ı na

karşı l ı k, her m,n > N için,

<

olacak ş ekilde bir N = N(c) say ı s ı n ı n varolmas ı d ı r. Bilindiğ i gibi, burada — x„I büyüklüğ ü, 118 reel ekseni üzerinde, ya da, C kompleks düzlemi içinde, x,„ ve x„ noktalar ı aras ı ndaki d(x,,,,x„) uzakl ığ ı d ı r. Dolay ı s ı yla, Cauchy kriterindeki e ş itsizliğ i,

d(x,,,,x„) < E (m,n > IV)

şeklinde yazabiliriz. Ve, e ğ er, bir (xn) disizi, Cauchy kriterindeki ko ş ulu gerçekliyorsa, bu

diziyi bir Cauchy dizisi olarak da adland ı rabiliriz. O halde, Cauchy kriteri bize k ı saca

21 ş unu söyler:Reel ya da kompleks terimli bir dizinin, s ı ras ı yla, R üzerinde, ya da, C içinde yak ı nsak olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, bu dizinin bir Cauchy dizisi olmas ı d ı r. Ancak, hemen belirtelim ki, bu söyledi ğ imiz, R ya da C 'deki duruma ili ş kindir. Maalesef, daha genel uzaylarda durum daha da karma şı k olabilir; örneğ in, bir dizi yak ı nsak olmad ığı halde, bir Cauchy dizisi olabilir. Bu durumda, böyle bir uzay, taml ı k olarak adland ı r ı lan, çok önemli bir özelikten yoksun bulunmaktad ı r. Bu inceleme, ilk kez 1906 'da M.Frechet tarafndan verilen, a ş a ğı daki tan ı m ı ortaya koymu ş tur:

1.4.3. TANIM (Cauchy Dizisi, Taml ı k). Bir X= (X,d) metrik uzay ı nda, bir (xn ) dizisini gözönüne alal ı m. Eğ er, her E > 0 say ı s ı na karşı l ı k, her m,n > N için

d(x„„x„) < s

( İ )

olacak ş ekilde bir N = N(e) say ı s ı bulunabiliyorsa, (xn ) dizisine bir Cauchy dizisi, ya da k ı saca, bir Cauchy 'dir denir. X 'deki her Cauchy dizisi yak ı nsak ise, (yani, yine X 'de bulunan bir limit noktas ı na sahip ise) X uzay ı tam 'd ı r denir.

Taml ı k kavram ı cinsinden, Cauchy kriterini a ş ağı daki ş ekilde ifade edebiliriz. 1.4.4. TEOREM (Reel Doğ ru, Kompleks Düzlem). Reel do ğ ru ve kompleks düzlem

tam metrik uzaylard ı r. Daha genel olarak, tar ı m ı n ışığı alt ı nda, tam metrik uzaylar ı n, (1) no.lu Cauchy

koş ulunun yak ı nsakl ı k için gerek ve yeter ko ş ul olma özeliğ ini sürdürdüğ ü uzaylar olduğ unu görebiliriz.

Uygulamada önem ta şı yan tam ve tam-olmayan metrik uzaylar, bundan sonraki k ı s ı mda, sistematik bir biçimde incelenecektir.

Ş imdilik, ş u ana kadar elde etti ğ imiz bir kaç tam-olmayan uzay örne ğ inden söz etmekle yetinelim. Reel do ğ rudan bir a noktas ı n ı n ç ı kart ı lmas ı , tam-olmayan 1 — {a} uzay ı n ı verir. Daha çarp ı c ı bir örnek olarak, reel do ğ rudan, tüm irrasyonel say ı lar ı ç ı kart ı rsak, tam-olmayan, Q rasyonel doğ rusu'nu elde ederiz. R 'deki metrik alt ı nda, (a,b) aç ı k aral ığı da yine diğ er bir tam-olmayan metrik uzay örne ğ idir.

Tanimdan da aç ı kça görüldü ğ ü gibi, keyfi bir metrik uzayda, (1) ko ş ulu, söz konusu uzay ı n tam olmayabileceğ i gerekçesiyle, art ı k yak ı nsakl ı k için yeterli olmayabilir. Bu durumun tümüyle, iyice anla şı lmas ı gerekir; bu nedenle, basit bir örne ğ i incelemekte yarar görüyoruz. d(x,y) = 1x — yl ile tan ı mlanan al ışı lm ış metrik alt ı nda, X— (O, I] kümesin' gözönüne alal ı m ve xn = 1 In (n = 1,2,...) olmak üzere, (x n ) dizisini tan ı mlayal ı m. Bu dizi bir Cauchy dizisi oldu ğ u halde, 0 noktas ı (yani, dizinin "yak ı nsamak istediğ i" nokta)X kümesinin bir noktas ı olmad ığı için, yak ı nsak değ ildir. Bu örnek, ayn ı zamanda, yak ı nsakl ı k kavram ı n ı n dizinin kendisine has bir özelik olmay ı p, dizinin üzerinde tan ı mland ığı uzaya da bağ l ı olduğ unu göstermektedir.Di ğ er bir deyimle, yak ı nsak bir dizi, tan ı mland ığı uzay ı n bir noktas ı na yak ı nsamak zorundad ı r.

(1) koş ulunun, yak ı nsakl ı k için yeter ko ş ul olmamas ı na karşı n, gerek koş ul olma özeliğ ini sürdürdüğ ünü hat ı rlatmam ı z yerinde olacakt ı r. Gerçekten, a ş ağı daki sonucu kolayca elde edebiliriz.

1.4.5. TEOREM ( Yak ı nsak Dizi). Bir metrik uzaydaki her yak ı nsak dizi, bir Cauchy dizisidir.

Ispat. xn x ise, her E > 0 say ı s ı için, n > N oldukça,

d(x,,,x) < el2

olacak şekilde bir N = N(e) say ı s ı vard ı r. Buna göre, üçgen e ş itsizliğ i uyar ı nca, m,n > N

için,

22 d(x„„xn) < d(x m,x) + d(x,x„) < e/2+8/2 = E

elde ederiz. Bu ise, (x„) dizisinin bir Cauchy oldu ğ unu gösterir. Ileride, örneğ in lineer operatörler teorisinde, çok say ı da temel sonucun, konuya ili ş kin

uzaylar ı n tam'l ığı na bağ l ı olduğ unu görece ğ iz. R reel doğ rusunun taml ı k özeliğ i, analizde, Q rasyonel doğ rusundan (R 'deki metrik alt ı nda tüm rasyonel say ı lar kümesi) daha çok, R 'nin kullan ı lmas ı n ı n esas nedenidir.

Notlar ı m ı z ı n bu k ı sm ı n ı , yak ı nsakl ı k ve taml ığ a ilişkin olup, daha sonra gereksinme duyaca ğı m ı z üç teorem ile bitirece ğ iz.

1.4.6. TEOREM (Kapan ış , Kapal ı Küme). M, bir (X,d) metrik uzay ı n ı n boş -olmayan bir altkümesi ve M bu kümenin kapan ış ' olsun. Buna göre,

(a) x e Molmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, M 'de, x„ x olacak ş ekilde bir (xn) dizisinin varolmas ı d ı r.

(b) M 'nin kapal ı olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul ise, x„ E M ve x„ x ise, x e M olmas ı d ı r.

Ispat. (a) x E M olsun. x e M ise, bu tip bir dizi, (x,x,...) dizisidir. x o M ise, x, M 'nin bir y ığı lma noktas ı d ı r. O halde, her bir n = 1,2,... için, B(x,11n) yuvan, bir x,„ e M eleman' içerir ve n -> CO için, lin -4 0 olduğ undan, xn x olur.

Tersine olarak, (x„), M 'de ve xn x ise, ya x e M olur, ya da, x 'in her kom ş uluğ u xn # x noktalar ı içerir; dolay ıs ı yla, x, M 'nin bir y ığı lma noktas ı d ı r. Buna göre, kapan ışı n tan ı m ı gereğ i, x E M yazanz.

(b) Bilindiğ i gibi, M 'nin kapal ı olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, M= M olmasidir. O halde, (b) 'nin ispat ı (a) 'dan kolayca elde edilir.

1.4.7. TEOREM (Tam Altuzay). Bir X tam metrik uzay ı n ı n bir Maltuzay ı n ı n da tam olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, M 'nin X 'de kapal ı bir küme olmas ı d ı r.

Ispat. M tam olsun. 1.4.6.(a) gere ğ ince, her x E M için, M 'de x 'e yak ı nsayan bir (xn ) dizisi vard ı r. 1.4.5 uyar ı nca, (xn ) bir Cauchy dizisi ve M tam olduğ undan, (xn ) dizisi M 'de yak ı nsak olup,1.4.2 uyar ı nca, limiti tek'dir. Dolay ı s ı yla, x e M yazabiliriz. Bu ise, x E M 'nin keyfi olarak seçilmiş olmas ı nedeniyle, M 'nin kapal ı olduğ unu ispatlar.

Tersine olarak, M kapal ı bir küme ve (x,,), M 'de bir Cauchy dizisi olsun. Buna göre, x,, x E X yazabiliriz. Bu ise, 1.4.6 (a) uyar ı nca, x E M sonucunu gerektirir. Ve kabul gereğ i, M= M olduğ undan, x E M bulunur. O halde, keyfi olarak al ı nan (xn ) Cauchy dizisi, M 'de yak ı nsamaktad ı r. Bu da, M 'nin taml ığı n ı ispatlar.

Çok yararl ı olan bu teoreme ileride s ı k s ı k gereksinme duyaca ğı z. Bundan sonraki k ı s ı mda göreceğ imiz Örnek 1.5.3 bu teoremin ilk tipik uygulamas ı olacakt ı r.

Son teoremimiz, bir dönü ş ümün sürekliliğ ine iliş kin olarak dizilerin yak ı nsakl ığı n ı n önemini ortaya koyacakt ı r.

1.4.8. TEOREM (Sürekli Dönü ş üm). Bir (X,d) metrik uzay ı ndan, bir (Y,d) metrik

uzay ı n ı n içine olan bir T : X Y dönü ş ümünün bir xo e X noktas ı nda sürekli olmas ı için

gerek ve yeter ko ş ul

-+ xo Txn Txo

olmas ı d ı r. Ispat. T 'nin xo noktas ı nda sürekli olduğ unu varsayal ı m; Tan ı m 1.3.3 'e bak ı n ız. Bu

durumda, verilen bir e > 0 say ı s ı için, d(x,xo ) < S oldukça, 7/(Tx,Txo) < E olacak ş ekilde

bir 8 > 0 say ı s ı vard ı r. xn xo olsun. n > N oldukça,

d(x„,x0) <

23 olacak ş ekilde bir N say ı s ı vard ı r. O halde, her n > N için,

c1(Tx„,Tx0) < E

yazabiliriz. Bunun anlam ı ise, tan ı m gereğ i, Tx„ Txo 'd ı r. Tersine olarak,

xn xo Txn --> Txo

olduğ unu varsayal ı m ve bu durumda, T 'nin xo 'da sürekli oldu ğ unu ispatlayal ı m. Bir an için, T 'nin, xo 'da sürekli olmad ığı n ı kabul edelim. Buna göre, her 8 > 0 say ı s ı için, d(x,xo) < 8 olduğ u halde, 7/(Tx, Txo) > s eş itsizliğ ini gerçekleyen biri # xo say ı s ı varolacak şekilde bir e > 0 say ı s ı vard ı r. Özel olarak, S = lln için, d(xn ,x0) < 1/n olduğ u halde, 71(Tx„,Tx0) > e eş itsizliğ ini gerçekleyen bir x n bulabiliriz. Aç ı kça görüldü ğ ü gibi, xn xo olduğ u halde, (Txn ) dizisi, Txo değ erine yak ı nsamamaktad ı r. Bu ise, Tx, -> Txo

gerçeğ iyle çeliş ir ve teoremin ispat ı tamamlanm ış olur.

PROBLEMLER 1. (Altdizi). Bir X metrik uzay ı nda, bir (x n ) dizisi yak ı nsak ve x limitine sahip ise, (xn)

'in her (x„,) altdizisinin de yak ı nsak olduğ unu ve ayni x limitine sahip oldu ğ unu gösteriniz.

2. (xn) bir Cauchy dizisi ise ve yak ı nsak bir altdiziye (xn, x, diyelim) sahip ise, (xn) dizisinin de x limitine yak ı nsad ığı n ı gösteriniz.

3. xn x olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, x 'in her V komş uluğ u için, n > no oldukça, xn E Volacak şekilde bir no tamsay ı s ı n ı n varolmas ı d ı r. Gösteriniz.

4. (Sinirlilik). Bir Cauchy dizisinin s ı n ı rl ı olduğ unu gösteriniz. 5. Bir metrik uzayda, bir dizinin sinirlili ğ i bu dizinin (a) Cauchy, (b) yak ı nsak olmas ı

için yeterli midir? 6. (xn ) ve (yn), bir (X,d) metrik uzay ı nda iki Cauchy dizisi ise, an = d(xn,Yn) olmak

üzere tan ı mlanan (an) dizisinin yak ı nsak olduğ unu gösteriniz. Aç ı klay ı c ı örnekler veriniz. 7. Lemma 1.4.2.(b) 'ye dolayl ı bir ispat veriniz. 8. d ı ve d2, ayn ı X kümesi üzerinde iki metrik ise ve her x,y E X için,

ad ı (x,Y) d2(x,y) bdi(x,y)

olacak ş ekilde, pozitif a ve b say ı lar ı varsa, (X,d ı ) ve (X,d2) 'deki Cauchy dizilerinin ayn ı olduğ unu gösteriniz.

9. Prob.8 'i kullanarak, K ı s.1.2, Prob.13-15 'deki metrik uzaylar ı n ayn ı Cauchy dizilerine sahip olduklar ı n ı gösteriniz.

10. R 'nin taml ığı n ı kullanarak, C 'nin taml ığı n ı ispatlay ı n ı z.

1.5.TAMLIK iSPATLARINA ILI Ş KIN ÖRNEKLER

Çeş itli uygulamalarda, bir X kümesi verilir (örneğ in, bir diziler kümesi ya da bir fonksiyonlar kümesi) ve X üzerinde bir d metriğ i seçilerek, X kümesi bir metrik uzay haline dönüş türülür. Bundan sonra yap ı lacak iş ise, (X,d) 'nin tam olma için gerekli özeliklere sahip olup olmad ığı n ı n araş t ı r ı lmas ı d ı r. Taml ığı ispatlamak için, X 'de keyfi bir

24 (x„) Cauchy dizisi al ı p bunun X 'de yak ı nsak olduğ unu gösteririz. Bu tür ispatlar, farkl ı uzaylar için, çe ş itli kar ışı kl ı klar gösterir ise de genel olarak izlenen yollar hemen hemen ayn ı d ı r:

(i) (Limit olarak kullan ı lmak üzere) Bir x eleman' belirlenir, (ii) x 'in incelenen uzayda bulundu ğ u ispatlan ı r, (ili) (Metrik anlam ı nda) xm x yak ı nsakl ığı gösterilir. Ş imdi teorik ve uygulamal ı ara ş t ı rmalarda s ı k s ı k ortaya ç ı kan baz ı uzaylar ı n

taml ığı na ilişkin ispatlar verece ğ iz. Okuyucu, inceleyeceğ imiz örneklerde (Örnek 1.5.1 - 1.5.5) reel do ğ runun ve kompleks düzlemin taml ığı ndan yararland ığı m ı za dikkat etmelidir. (Teorem 1.4.4 'e bak ı n ı z.)

ÖRNEKLER 1.5.1. R n ve C" 'in Taml ığı . R" Euclid uzay ı ve C" üniter uzay ı tam'd ı r, (Tan ı m için

1.1.5'e bak ı n ı z). ispat. Önce R" uzay ı n ı ele alal ı m. R" üzerindeki metri ğ in (Euclid metriğ i), x = ve

y = ( ıii ) olmak üzere, n

d(x,Y) = (E(.1 "q ı ) 2 ) 1/2 >=1

ile tan ı mland ığı n ı hat ı rl ı yoruz. (K ı s.1.1 'de (6) 'ya bak ı n ı z).

Ş imdi, x,„ = (4;m) ,...,4;,m) ) yazarak, R" 'de herhangi bir (x,„) Cauchy dizisini ele alal ı m. (xm) Cauchy oldu ğ undan, her E > 0 say ı s ı için, m,r > N oldukça,

d(x„„x„) = (E( j„,) _ ,şr)) 2 )1/2 < e

(i)

olacak şekilde bir N say ı s ı vard ı r. Kare alarak, m,r > N vej = n için,

( in) — ir) ) 2 < 62 ve kim) — fr) I < e

yazabiliriz. Bu ise, her sabit j için, (1 < j < n), (4, 1) 42) ,...) dizisinin, reel terimli bir

Cauchy dizisi oldu ğ unu gösterir. Bu dizi, Teorem 1.4.4 uyar ı nca yak ı nsakt ı r: m Go için,

4.; diyelim. Bu yolla elde edilen n tane limiti kullanarak, x =

tan ı mlayal ı m. Aç ı kça görüldü ğ ü gibi, x E R n 'dir. (1) 'den yararlanarak, r co için,

d(x,„,x) < e (In > IV)

yazabiliriz. Bu da, x 'in, (x.) dizisinin limiti olduğ unu gösterir ve (x„,) 'in keyfi bir Cauchy

dizisi olarak al ı nm ış olmas ı nedeniyle de, 118 n 'in taml ığı n ı ispatlar. C" 'in taml ığı da, ayn ı tür bir ispat yöntemiyle, Teorem 1.4.4 'den elde edilir. 1.5.2. r' 'un Taml ığı . r uzay ı tam'd ı r. (Tan ı m için, 1.1.6'ya bak ı n ı z).

ispat. x„, = ( m) ,, m) ,...) olmak üzere, (xm ), uzay ı nda herhangi bir Cauchy dizisi

olsun. Q' üzerindeki metrik, x = (4;) ve y = (rh) olmak üzere,

d(x,y) =sup I İ — Tİ,1

ile verildiğ inden ve (x.) Cauchy oldu ğ undan, verilen herhangi bir e > 0 say ı s ı na karşı l ı k,

her m,n > N için,

d(x„„x„) =sup 151") — <

olacak şekilde bir N say ı s ı vard ı r. Aş ikar olarak, her sabit j için,

25

_ < E (m,n > N) (2)

yazabiliriz.Buna göre, her sabit j için, (4i 1) ,_,2) ,...) say ı dizisi bir Cauchy dizisidir.

Teorem 1.4.4 uyar ı nca, bu dizi yak ı nsakt ı r: ın --> oc> için, .1(in) ,;.; diyelim. Sonsuz

çokluktaki bu limitlerini kullanarak, x = dizisini tan ı mlayal ı m ve x E Q' ve x„, x olduğ unu gösterelim. (2) 'den yararlanarak, n -> oc> için,

kr') 5- E (in > (21

yazabiliriz. x m = (4?) E Q olduğ undan, her] için, Wn1) 1 < k„, olacak şekilde reel bir km

say ı s ı vard ı r. O halde, üçgen e ş itsizliğ i yard ı m ı yla,

gı l S I 4,ç'n ) I + Win) I S F. + km (In >

elde ederiz. Bu e ş itsizlik, herj için geçerli olup, buna kar şı n, sağ taraf, j 'yi içermemektedir. Dolay ı s ı yla, dizisi s ı n ı rl ı bir say ı dizisidir. Bu durum, x = E Q"

sonucunu gerektirir. Ayr ı ca, (2*) 'dan,

d(xm,x) =sup I ğim) - Sİ I 5_ e (m > N) J

yazabiliriz. Bu ise, x„, x olduğ unu gösterir. Buna göre, (x„,) dizisinin keyfi bir Cauchy dizisi olarak al ı nd ığı n ı da gözönüne al ı rsak, r> dizi uzay ı n ı n taml ığı n ı ispatlam ış oluruz.

1.5.3. c 'nin Taml ığı . c dizi uzay ı , kompleks terimli tüm x = (;) yak ı nsak dizilerinden oluş ur ve Q' üzerinde tan ı mlanan metriğ e sahiptir.

c uzay ı tam'd ı r. Ispat. c uzay ı , Q' uzay ı n ı n bir altuzay ı d ı r. Buna göre, c 'nin Q' 'da kapal ı olduğ unu

gösterirsek, Teorem 1.4.7 gere ğ ince c 'nin taml ığı n ı söylemiş oluruz. c,c 'nin kapan ışı n ı göstermek üzere, herhangi bir x = (.;) E -u dizisini göz önüne

alal ı m. 1.4.6 (a) gere ğ ince, xn x olacak ş ekilde xn = (4) 11) ) e e dizileri vard ı r. O halde,

verilen herhangi bir e > 0 say ı s ı na karşı l ı k, n > N ve her j için (özel olarak, n = N ve her j için,

kin) - j I < d(x,,x) < 813

olacak ş ekilde bir N say ı s ı vard ı r. xN E c olduğ undan, bu dizinin 47') terimleri yak ı nsak bir

dizi oluş tururlar. Böyle bir dizi ise, bir Cauchy'dir. Dolay ı s ı yla,

WN) - di) I < £13 (j,k N ı )

olacak ş ekilde bir N i say ı s ı vard ı r. Bu durumda, üçgen e ş itsizliğ i, her j, k > Ni için

aş ağı daki eş itsizliğ i verir:

KK - 5- - fl) I + kr) - 1+ K KKr --4k ı < E

Bu da, x = ( j ) dizisinin yak ı nsak olduğ unu gösterir. O halde, x E e 'dir. x E "u 'nin keyfi

olarak al ı nd ığı n ı düşünürsek, bu sonuç, c 'nin Q" 'da kapal ı olduğ unu ispatlar ve e 'nin

taml ığı 1.4.7 'den elde edilir. 1.5.4. QP 'nin Taml ığı . p sabit ve 1 < p < -ı-oo olmak üzere, QP uzay ı tam'd ı r. (Tan ı m

için, 1.2.3 'e bak ı n ı z.)

ispat. x. = (4 (ım) Zm) ,...) olmak üzere, (xn ), P uzay ı nda herhangi bir Cauchy dizisi

olsun. Buna göre, verilen her s > 0 say ı s ı na karşı l ı k, her m,n > N için,

2 6 I p

d(x„,,x,,) =

<

(3)

olacak ş ekilde bir N say ı s ı vard ı r. Buradan, her j = I,2,... için,

ky n) _ j(n) < e (m,n > N)

(4)

yazabiliriz. Ş imdi, sabit bir j seçelim. (4) yard ı m ı yla, dizisinin, terimleri

say ı lar olan bir Cauchy dizisi oldu ğ unu görüyoruz. R ve C 'nin tam olmas ı nedeniyle, bu

dizi yak ı nsakt ı r: m oo için, ğ5m) -+ diyelim. Ş imdi de, bu limitleri kullanarak,

x = 1, ) dizisini tan ı mlay ı p, x E P ve xm x olduğ unu göstereceğ iz. (3) 'den, her m,n > N için,

k

ZW m) .1(n) I P < Ep

(k = 1,2,...) j=1

yazabiliriz.Buradan da, m > N olmak üzere, n -› oo için, k

Elm) IP <

elde ederiz. Buradan da, m > N olmak üzere, k -› oo için,

EWm) P < £1'

(5)

buluruz. Bu ise,

X. — X = ( ni) — E Qp

olduğ unu gösterir. xm E QP olduğ undan, Minkowski e ş itsizliğ i (K ı s.1.2, Formül (12) 'ye bak ı n ı z.) gereğ ince

x = x. + (x -xm ) E Qp

elde ederiz. Ayr ı ca, (5) 'deki seri, [d(x,,,,x)]P büyüklüğ ünü belirtiğ inden, (5) ifadesi, xm y x sonucunu gerektirir. (xm ) 'in P 'de keyfi bir Cauchy dizisi olarak seçildi ğ ini göz önünde bulundurursak, 1 < p < +oo olmak üzere P 'nin taml ığı n ı ispatlam ış oluruz.

1.5.5. C[a,b] 'nin Taml ığı . [a,b], R üzerinde, verilen herhangi bir kapal ı aral ı k olmak üzere, C[a,b] fonksiyon uzay ı tam'd ı r. (Tan ım için 1.1.7 'ye bak ı n ı z).

ispat. (xm ), C[a,b] 'de herhangi bir Cauchy dizisi olsun. Bu durumda, verilen herhangi bir e > O say ı s ı için, m,n > N oldukça, J = [a,b] olmak üzere,

d(x,„,x, ı ) = max km(t)-xn(t)1 < e

tcr

(6)

olacak ş ekilde bir N say ı s ı vard ı r. O halde, herhangi bir sabit t = to E J için,

lx.(to) -xn(to)l < e (m.n > N)

yazabiliriz. Bu ise, (x1(to),x2(to),...) dizisinin, reel terimli bir Cauchy dizisi oldu ğ unu gösterir. R. 'nin tam olmas ı nedeniyle (1.4.4 'e bak ı n ı z), bu dizi yak ı nsakt ı r: m oo için, xm (to) x(to) diyelim. Bu yolla, her bir t E J noktas ı yla, bir tek reel x(t) say ı s ı eş leyebiliriz. Bu ise, J üzerinde (noktasal) bir x fonksiyonu tan ı mlar ve ispat ı tamamlamam ı z için geriye, x E C[a,b] ve xm x olduğ unu göstermek kal ı r.

(6) yard ı m ıyla, n oo için,

(k = 1,2,...)

27 max Ix„,(t) -x(t)1 < E (m > N)

yazabiliriz. O halde, her t E J için,

ix„,(t) - x(t)I < e (m > N)

bulunur. Görüldü ğ ü gibi, bu sonuç, (xm(t)) 'nin, J üzerinde, x(t) 'ye düzgün olarak yak ı nsad ığı n ı ifade etmektedir. x„, 'lerin sürekli ve yak ı nsakl ığı n düzgün olmas ı nedeniyle, analizden de bildiğ imiz gibi (Prob.9 'a bak ı n ı z), limit fonksiyonu olan x de J

üzerinde süreklidir. O halde, x E C[a,b] yazabiliriz. Ayr ı ca, x. x 'dir. Bu da, C[a,b] 'nin tam'l ığı n ı ispatlar.

Yukar ı da vermiş olduğ umuz ispat, ayn ı zamanda, a ş ağı daki gerçeğ i de ispatlar: 1.5.6. TEOREM (Düzgün Yak ı nsakl ı k). C[a,b] uzay ı nda, xm x yak ı nsakl ığı

düzgündür; yani, (x.) dizisi, [a,b] üzerinde, x 'e düzgün olarak yak ı nsar. Buna göre, C[a,b] üzerindeki metrik, [a,b] üzerinde düzgün yak ı nsakl ığı

beklemektedir ve bu nedenle, bazen düzgün (üniform) metrik ad ı n ı da al ı r. Taml ı k ilkesini ve buna ili ş kin kavramlar ı daha iyi bir şekilde anlayabilmek için,

tam-olmayan baz ı metrik uzay örneklerinden de söz etmek istiyoruz. TAM-OLMAYAN METR İ K UZAY ÖRNEKLERI 1.5.7. Q Uzay ı . Bu uzay, x,y E Q olmak üzere, d(x,y) = - yl ile verilen al ışı lm ış

metrik alt ı nda, tüm rasyonel say ı lardan oluş ur ve rasyonel doğ ru ad ı n ı al ı r. Q tam değ ildir. ( İ spatlay ı n ı z).

1.5.8. Polinomlar. X, sonlu ve kapal ı bir J = [a,b] aral ığı üzerinde, t 'nin bir fonksiyonu olarak göz önüne al ı nan tüm polinornlann oluş turduğ u bir küme olsun. Ve X üzerinde, d metriğ ini,

d(x,y) =max lx(t) -y(t)I

ile tan ı mlayal ı m. Bu yolla elde edilen (X,d) metrik uzay ı tam değ ildir. Gerçekten, limiti X

'de bulunmayan bir Cauchy dizisi örne ğ i, J üzerinde bir polinoma değ il, sürekli bir fonksiyona düzgün olarak yak ı nsayan, herhangi bir polinom dizisi olarak veritebilir.

1.5.9. Sürekli Fonksiyonlar. X, J = [0,1] üzerinde, tüm sürekli, reel değ erli fonksiyonlardan oluş an bir küme ve

d(x,y) = J Ix(t) - y(t)idi

o

olsun. Bu ş ekilde elde edilen (X,d) metrik uzay ı tam değ ildir. Ispat. Ş ekil 9'daki x. fonksiyonlar ı bir Cauchy dizisi olu ş tururlar. Çünkü, d(x.,xn),

Ş ekil 10 'da görülen üçgenin alan ı olup, verilen her E > 0 say ı s ı için, m,n > lk oldukça,

d(x.,xn) < e

'dur. Ş imdi bu Cauchy dizisinin yak ı nsak olmad ığı n ı göstereceğ iz.

28

2

I

Ş ekil 9. Örnek 1.5.9 Ş ekil 10. Örnek 1.5.9

a m = 1/2 + 1/m olmak üzere,

x fli (t) = t E [O, 1/2]

ve

x m (1) = 1; t e [a m , 1]

yazabiliriz. Buna göre, her x E X için, 1/2 am

d(x x) = x m (t) — x(t)Idt = [x(t)Idt + i lx m (t) — x(t) ıdt + f il —x(r)idr o O 1 /2 am

bulunur. Integrantlar ı n negatif olmamaları nedeniyle, sağ taraftaki integrallerin her biri de negatif-olmayan de ğ erlerdir. O halde, d(x m,x) 0 isteğ i, her bir integralin s ı fı ra yaktaş mas ı n ı gerektirir ve x 'in sürekli olmas ı nedeniyle,

x(t) = O; t E [0,1/2)

x( ı ) = 1; t E (1/2, 1]

olmas ı gerekir. Bu ise, sürekli bir fonksiyon için mümkün değ ildir. Dolay ı s ı yla, (xm ) yak ı nsayamaz, yani, X 'de bir limite sahip olamaz. Bu da X 'in tam olmad ığı n ı ispatlar.

PROBLEMLER 1. a, b E R ve a < b olsun. [a, b] kapal ı aral ığı n ı n tam olmas ı na karşı l ı k, (a, b) aç ı k

aral ığı n ı n, R 'nin tam-olmayan bir altuzay ı olduğ unu gösteriniz. 2. X, x = (41,...,„) ş eklindeki tüm s ı ral ı reel say ı ikililerinden oluşan uzay ve y = (Ili)

olmak üzere,

d(x, y) =max ISi — ili

olsun.(X, d) 'nin tam oldu ğ unu gösteriniz. 3.M c r, ancak sonlu say ı da s ı f ı rdan farkl ı terim içeren tüm x = dizilerinden

oluş an bir altuzay olsun. M 'de öyle bir Cauchy dizisi bulunuz ki, bu dizi M 'de yak ı nsamas ı n ve dolay ı s ı yla M tam olmas ı n.

29 4. Prob.3 'de tan ı mlanan M uzay ı n ı n tam olmad ığı n ı Teorem 1.4.7 'yi uygulayarak

gösteriniz. 5. Tüm tamsay ı lardan oluş an X kümesinin, d(x,y) = İ m — ni ile tan ı mlanan d metriğ i

alt ı nda bir tam metrik uzay olu ş turduğ unu gösteriniz. 6. Tüm reel say ı lardan olu ş an kümenin

d(x,y) = tarctanx — arctanyl

ile tan ı mlanan metrik alt ı nda tam-olmayan bir metrik uzay olu ş turduğ unu gösteriniz. 7. X, tüm pozitif tamsay ı lar kümesi ve d(m, n) = — olsun. (X, d) 'nin tam

olmad ığı n ı gösteriniz. 8. C[a, b] Uzay ı . x(a) = x(b) koş uluna uygun tüm x = C[a,b] fonksiyonlar ı ndan olu ş an

Y c C[a,b] altuzay ı n ı n tam oldu ğ unu gösteriniz. 9. 1.5.5'de analiz derslerinden bildi ğ imiz bir teoremi kaynak gösterdik: [o, b]

üzerindeki sürekli fonksiyonlardan olu ş an bir (x.) dizisi [a,b] üzerinde yak ı nsaksa ve [a,b] üzerindeki bu yak ı nsakl ı k düzgün ise, limit fonksiyonu olan x de [a,b] üzerinde süreklidir. Bu teoremi ispatlay ı n ı z.

10. (Diskre Metrik). Diskre metrik uzay ı n tam olduğ unu gösteriniz. (Tan ı m için 1.1.8 'e bak ı n ı z).

11. (s Uzay ı ). s uzay ı nda (Bkz.1.2.1), x n = (4 n> ) ve x = (.;) olmak üzere, xn x

olmas ı için gerek ve yeter ko ş ulun, her j = 1,2,... için, 45") olduğ unu gösteriniz. 12.Prob.11 'i kullanarak, 1.2.1 'de tan ı mlanan s dizi uzay ı n ı n tam olduğ unu

gösteriniz. 13. 1.5.9. 'da diğ er bir Cauchy dizisinin

xn(t)=n ;0<t<n-2

xn (t) = t-I/2 ; 11-2 < t < 1

ile tan ı mlanan (xn) dizisi olduğ unu gösteriniz. 14. Prob.13 'de tan ı mlanan Cauchy dizisinin yak ı nsak olmad ığı n ı gösteriniz. 15. X, her biri ancak sonlu say ı da s ı f ı rdan farkl ı terim içeren tüm x = ( j) reel

dizilerinden olu şan metrik uzay ve y = (ni) olmak üzere, d(x,y) = — olsun.

Burada söz konusu toplaman sonlu oldu ğ una, fakat terim say ı s ı n ı n x ve y 'ye bağ l ı olduğ una dikkat ediniz. xn = (4" ) )ve

fl) =J ; j = I,...,n

= O ; > n

olmak üzere tan ı mlanan (xn ) dizisinin Cauchy oldu ğ unu, fakat, yak ı nsak olmad ığı n ı gösteriniz.

1.6. METR İ K UZAYLARIN TAMLAŞ TIRILMASI Q rasyonel doğ rusunun tam olmad ığı n ı (1.5.7), ancak, tam olan R reel doğ rusuna

geniş letilebileceğ ini biliyoruz. Ve ayr ı ca, Q , tamlaş tir ı lm ış i olan R 'de yoğ undur (1.3.5). Ileride de göreceğ imiz gibi, tam olmayan herhangi bir metrik uzay, benzer şekilde "tamlaş t ı r ı labilir". Konuya ilişkin olarak, uygun ve belirgin bir formülasyon için, ba ş ka uygulama alanlar ı na da sahip olan iki temel kavram ı kullanacağı z.

1.6.1. TANIM. (Izometrik Dönü ş üm, İ zometrik Uzaylar). X= (X, d) ve X7 = (X, d) iki

30 metrik uzay olsun.

(a) X 'den liçine bir T dönüş ümünü göz önüne alal ı m. Eğ er T dönüş ümü uzakl ı klar ı koruyorsa, yani, Tx ve Ty, s ı ras ı yla, x ve y 'nin görüntüleri olmak üzere, her x,y E X için,

71(Tx,Ty) = d(x,y)

ise, T dönüş ümüne bir izometrik dönü ş üm, ya da, bir izometri ad ı verilir.

(b) X 'den X üzerine bire-bir ve örten bir izometrinin varolmas ı halinde, X uzay ı '.71.;

uzayı ile izometrik'tir denir. Bu durumda, X veluzaylar ı izometrik uzaylar ad ı n ı al ı rlar. Buna göre, izometrik uzaylar ancak noktalar ı n ı n yap ı s ı yönünden farkl ı

olabilmelerinine kar şı n, metrik bak ış aç ı s ı ndan, birbirlerinden farkl ı olmayan uzaylard ı r. Ve noktalar ı n yap ı lar ı n ı n etkin olmad ığı incelemelerde, böyle iki uzay ı , ayn ı "soyut" uzay ı n iki kopyas ı olarak, birbirine denk iki uzay ş eklinde düş ünebiliriz.

Ş imdi, her metrik uzay ı n tamla ş t ı r ı labileceğ ine ilişkin bir teoremi ifade ve ispat edeceğ iz.

1.6.2. TEOREM (Tamla ş t ı rma). Bir X = (X,d) metrik uzay ı için, X ile izometrik olup,

'da yoğ un olan bir Waltuzay ı na sahip, tam bir 5\C = (Vs,d) metrik uzay ı vard ı r. Bu :;Y\

uzay ı , izometrileri d ışı nda , tek'dir; yani, eğ er X , X ile izometrik, yoğ un bir W altuzay ı na

sahip, herhangi bir tam metrik uzay ise, X ve ,Yizometriktir. Ispat. Teoremin ispat ı uzun olmakla birlikte, kolayca izlenebilir niteliktedir. Bu

nedenle, ispat ı m ı z ı dört ad ı mda tamamlayaca ğı z. Önce,

(a) k = (X\ ,d) metrik uzay ı n!,

(b) W = ;Y\ olmak üzere, X'in W üzerine bir izometrisini in ş a edecek, ve daha sonra da,

(c) .,Y‘ 'n ı n taml ığı n ı ,

(d) 5t''n ı n, izometrileri d ışı nda, tekliğ ini ispatlayacağı z. Kabaca söylersek, yapaca ğı m ı z ş ey, X 'de yak ı nsak olmayan Cauchy dizileriyle uygun timitleri e ş lemek olacakt ı r. Bununla birlikte, "çok fazla say ı da" limit tan ı mlayaca ğı z. Ancak, belirli dizilerin, sahip olduklar ı terimlerin "bir yerden itibaren birbirlerine istenildi ğ i kadar yak ı n olacağı " gerekçesiyle "ayn ı limite yak ı nsamak isteyecekleri" gerçe ğ ini gözönünde bulunduracağ' ı z. Sezgiye dayanan bu fikri, uygun bir denklik ba ğı nt ı s ı cinsinden matematiksel olarak ifade edebiliriz. (A ş a ğı da(1) no.lu fornmüle bak ı n ı z). lzleyece ğ imiz yol yapay olmay ı p, bu k ı sm ı n ba şı nda sözünü ettiğ imiz rasyonel doğ runun tamlaş t ı r ı lmas ı iş leminde izlenen yolun sonunda ortaya ç ı km ış t ı r.Ş imdi ispat ı n ayr ı nt ı lar ı na geçelim.

(X, d) 'n ı n in şas ı . (xn ) ve ()c in ), X 'de iki Cauchy dizisi olsun.

lim d(x„,x„1 ) = 0 (1)

olmas ı halinde, (x„) dizisini, (xn1 ) dizisine denk olarak tammlayal ı m ve (x„) (x„) yazal ı m Bu yolla elde edilen Cauchy dizilerinin denklik s ı n ı flar ı , ve bu denklik

s ı n ı flar ı n ı n tümünün olu ş turduğ u küme ise, .5?« olsun. (x n ) dizisinin, .2 'n ı n bir eleman ı (.••• s ı n ı fı n ı n bir temsilcisi) olduğ unu, (X ) E z yazarak ifade edelim. Ş imdi de, (xn ) E 'X' ve

(Ya) e 53 olmak üzere

=lim d(xa,Ya)

(2)

diyelim. Önce bu limitin varoldu ğ unu gösterelim.

31 d(x„,yn) d(Xn,Xm) d(x„„y„,)+ d(y,„,y,)

yazabiliriz. Buradan da,

d(x„,y,,)- d(x„„y,,) d(Xn,Xm) + d(y.,y,ı )

eş itsizliğ iyle, In ve n 'nin yer değ iş tirdiğ i benzer bir eş itsizliğ i elde ederiz. Bu iki e ş itsizliğ i birlikte gözönüne al ı rsak,

Id(x,,,y,,)- m)I d(xn,x.)+ d(ym,37n) (3) buluruz. (xn) ve (yn ) dizilerinin Cauchy olmalar ı nedeniyle, sağ taraf ı istediğ imiz kadar küçük yapabiliriz. Bu ise, lik'nin taml ığı nedeniyle, (2) 'deki limitin varl ığı n ı gerektirir.

Burada, ayr ı ca,(2) 'deki limitin, temsilci eleman ı n özel seçiminden ba ğı ms ı z olduğ unu göstermemiz gerekmektedir. Gerçekten, e ğ er (x.) (x,9) ve (yn) (y„' ) ise, (1) uyar ı nca, n 00 için,

ıd(x„,y,,)- d(x in,Y„)1 5_ d(x.,x ın) + O

buluruz; bu ise,

lim d(xn,,Yn) =tim d(x`n,Yin) n-■co

sonucunu gerektirir.

Ş imdi de, (2) 'de tan ı mlanan d 'n ı n, .;Y\ üzerinde bir metrik oldu ğ unu göstereceğ iz.

Aş ikar olarak, d, d(k, -X") = 0 eş itliğ inin yan ı s ı ra, K ı s.1.1 'de gördüğ ümüz (M1) ve (M3) aksiyomlar ı n ı gerçekler. Ayr ı ca,

= O = (x.) (yn) x =

gerektirmesi (M2) 'yi verir. d 'ya ili şkin (M4) aksiyomu ise, n 00 için,

d(xn,Yn) _5 d(xn,z.)+ d(ın,Yn)

eş itsizliğ inden elde edilir.

(b). Bir T : X --i W c X izometrisinin inşas ı . Her bir b e Xeleman ı ile, sabit (b,b,...)

Cauchy dizisini içeren, b E /Xs s ı n ı fı n' eş ieyelim. Bu eş leme, W = T(X) e ;Y\ altuzay ı üzerine bir T : X -+ Wdönüşümü tan ı mlar. Tan ı mlanan Tdönüş ümü, (b,b,...) E 7>

olmak üzere, b b = Tb ile verilmektedir. (2) e ş itliğ i, kolayca,

d(b,c) = d(b,c)

ş ekline dönü ş türülebileceğ inden, T 'nin bir izometri oldu ğ unu görebiliriz; burada, c , her n

için, yn = c olmak üzere, (y,,) s ı n ı fı d ı r. Bilindiğ i gibi , her izometri içine bir dönü şümdür ve T(X) = W olmas ı nedeniyle, T : X W üzerine bir dönü ş ümdür. Dolay ı s ıyla, W ve X izometriktir (Tan ı m 1.6.1(b) 'ye bak ı n ı z).

Ş imdi de, W 'nin X 'da yo ğ un olduğ unu göstereceğ iz. Herhangi bir 5'c e :İY alal ı m. (xn) E 5? olsun. Her e > O say ı s ı için,

d(xn ,xN) < e/2 (n > N)

olacak şekilde bir N say ı s ı vard ı r. (xN,x/v,...) e .'"Ar olsun. Bu durumda, zN C W olur. (2) gereğ ince,

-c-l( ,?,£ N) =lim d(x,,,xN) < 612 < 6

yazabiliriz. Bu ise, keyfi bir z E ;İ''''n ı n her E -komş uluğ unda W'nin bir eleman ı n ı n

32 bulundu ğ unu gösterir.O halde, W„'3'1' 'da yoğ undur.

(c) it' 'n ı n Taml ığı . (5?„), X 'da herhangi bir Cauchy dizisi olsun. W, X 'da yo ğ un olduğ undan, her ".'„ için,

ci(5 . < 1/n

(4)

olacak ş ekilde bir 'i n E W vard ı r. Üçgen eş itsizliğ i uyar ı nca,

71(2 n) < ckz„„3e m ) + + d(±„, z n ) < 1/m + e"/(.„„:5c,ı ) + 1/n

yazabiliriz ve bu değ er, (."„,) 'in Cauchy olmas ı nedeniyle, yeterince büyük m ve n say ı lar ı için, verilen herhangi bir s > 0 say ı s ı ndan daha küçüktür. 0 halde, (î„,) bir Cauchy dizisidir. T : X -+ Wdönüş ümü izometrik ve 2 -„, E W olduğ undan, z,,, = T-1 "z"„, olmak üzere

tan ı mlanan (zm ) dizisi, X 'de bir Cauchy olur. X E ',,(z„,) dizisinin ait oldu ğ u s ı n ı f olsun. Ş imdi, (Z"„) 'n ı n limitinin Z" olduğ unu göstereceğ iz. (4) uyar ı nca,

71(5? „, ') < d(xn, X) <± d(2„,:'x')

(5)

yazabiliriz. (zm) E 5d- ve E Wolduğ undan, (zn,z.,...) E olup, (5) eş itsizliğ i,

de±"„, < 1/n +lim d(z,„z.)

ş ekline dönüş ür ve sa ğ taraf, yeterince büyük bir n say ı s ı için, verilen herhangi bir e > 0

say ı s ı ndan daha küçüktür. O halde, X 'daki, gibi keyfi bir Cauchy dizisi, X E ıXs

limitine sahiptir ve dolayı siyla, ./X" tamd ı r.

w=

Ş ekil 11. Teorem 1.6.2 ı nin ispat ı n ı n (d) k ısm ı ndaki gösterimler

33 (d) ;Y 'n ı n İ zometrileri D ışı nda Tekliğ i. Eğ er, (X ,d), X 'da yoğ un ve X ile izometrik bir

W altuzay ı na sahip diğ er bir tam metrik uzay ise, herhangi x,yeX için, x„ ve y „

olacak ş ekilde, W'da ) ve ( -in ) dizilerini bulabiliriz; dolay ı s ı yla,

d (x,y) =limd (xr, ,y,, )

eş itliğ i, ((3)'e benzer bir e ş itsizlik olan

(;,;) )1 S d (;;;n ) (jr,y- ) O

ifadesinden elde edilir. W, W c X ile izometrik ve W = 5 s< olduğ undan, Ive -.X\ üzerindeki

uzakl ı klar ayn ı olmal ı d ı r. O halde, X7 ve ./X\ izometriktir. Bundan sonraki iki bölümde (özellikle, 2.3.2, 3.1.5 ve 3.2.3 'de), ispatlad ığı m ız bu

teoremin, tam olmayan uzaylara ve bu tip uzaylar ı n tüm s ı n ı flar ı na ilişkin temel uygulamalar ı göreceğ iz.

PROBLEMLER 1. Bir metrik uzay ı n, bir Y altuzay ı sonlu çoklukta noktadan olu ş uyorsa, Y 'nin tam

olduğ unu gösteriniz. 2. X, tüm rasyonel say ı lar kümesi ve d(x,y) — y ı ise, (X,d) 'nin tamlanm ışı nedir? 3. BirXdiskre metrik uzay ı n ı n tamlanm ışı nedir? (Tan ı m için,1.1.8 'e bak ı n ız.) 4. XI ve X2 izometrik ve XI tam ise, X2 'nin de tam olduğ unu gösteriniz. 5. (Homeomorfizm). Bir homeomorfizm, tersi de sürekli olan, sürekli, bire-bir ve örten

bir T : X -4- Ydönüş ümüdür; böyle bir durumda, Xve Y metrik uzaylar ı homeomorfik'dir denir. (a) X ve Y izometrik iseler, bunlar ı n homeomorfik olduklar ı n ı gösteriniz. (b) Bir tam ve bir de tam-olmayan metrik uzay ı n homeomorfik olabilece ğ ini bir örnekle aç ı klay ı n ı z.

6. C[0, l] ve C[a,brnin izometrik oldu ğ unu gösteriniz. 7. (X,d) tam ise, 71 = d/(1 + d) olmak üzere, (X,7/) 'n ı n da tam olduğ unu gösteriniz. 8. Prob.7 'de, (X, d) 'n ı n taml ığı n ı n, (X,d) 'nin taml ığı n ı gerektirdiğ ini gösteriniz. 9. (4) ve (xnı ), (X,d) 'de, (1) gerçeklenecek.ve xn Q olacak ş ekilde iki dizi ise, (x„)

dizisinin yak ı nsak ve limitinin Q olduğ unu gösteriniz. 10. (x„) ve (4) bir (X,d) metrik uzay ı nda yak ı nsak ve ayn ı Q limitine sahip iki dizi ise,

(1) bağı nt ı s ı n ı gerçeklediklerini gösteriniz. 11. (1) ba ğı nt ı s ı n ı n, X'in elemanlar ı ndan oluşan tüm Cauchy dizilerinin kümesi

üzerinde bir denklik ba ğı nt ı s ı olduğ unu gösteriniz. 12. (x„), (X,d) 'de bir Cauchy ve X'de (1) bağı nt ı s ı n ı gerçekliyorsa, (4) 'nün X

'de bir Cauchy oldu ğ unu gösteriniz. 13. (Pseudo (Sözde) Metrik). Bir X kümesi üzerinde, bir sonlu sözde-metrik, K ı s.1.1

'de verilen, (M1), (M3) (M4) ve

d(x,x) = 0 (M2*)

aksiyomlartn ı gerçekleyen bir d: XxX --> R fonksiyonudur. Bir metrik ile bir sözde-metrik aras ı ndaki fark nedir? x = (4 1 , 2 ) ve y = ( ıi i , ı72) olmak üzere, d(x,y) = — 'in tüm s ı ral ı reel say ı çiftleri kümesi üzerinde bir sözde-metrik tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. (Baz ı yazarlar ı n, sözde-metrik yerine yar ı -metrik (semi-metrik) deyimini kulland ığı n ı nt da unutmay ı n ı z).

34 14. X,

(i) [a, b] üzerinde tüm sürekli reel-de ğ erli fonksiyonlar ı n kümesi, (ii) [a, b] üzerinde Riemann anlam ı nda integrallenebilir tüm reel-de ğ erli

fonksiyonlann kümesi ise,

d(x , y) = flx(t) — y(t)Idt

X üzerinde, bir metrik ya da bir sözde-metrik tan ı mlar m ı ? 15. Eğ er (X, d) bir sözde-metrik uzay ise,

B(x0; r) = e X : d(x,xo) < r} (r > O)

kümesine, X 'de, xo merkezli ve r yar ı çapl ı bir aç ı k yuvar ad ı verilir. (Bu tan ı m ı n 1.3.1 'deki tan ı ma benzediğ ine dikkat ediniz). Prob.13 'de 1 yançap ı l ı aç ı k yuvar nedir?

BÖLÜM 2

NORMLU UZAYLAR, BANACH UZAYLARI Metrik uzaylar ı n en önemli ve yararl ı olanlar ı , bir vektör uzay ı ve bunun üzerinde bir

norm yard ı m ı yla tan ı mlanan bir metrikle olu ş turulanlar ı d ı r. Bu yolla elde edilen metrik uzaylara normlu uzay ve bunlar ı n tam olanlar ı na ise Banach uzay ı ad ı n ı vereceğ iz. Normlu uzaylar ve özellikle Banach uzaylar ı teorisi ve bunlar ı n üzerinde tan ı mlanan lineer operatörler teorisi, fonksiyonel analizin en geli ş miş k ı stmland ı r. Notlar ı m ı z ı n bu bölümü, an ı lan teorilere ili ş kin temel dü ş üncelere aynim ış t ı r.

Önemli kavramlar ve temel konulara ili ş kin k ı sa bilgilendirme Bir normlu uzay (Bkz.2.2.1), üzerinde bir norm (Bkz.2.2.1) yard ı m ı yla tan ı mlanm ış bir

metrik'e sahip bir vektör uzay'd ı r. Norm kavram ı , düzlemde ya da üç-boyutlu uzaydaki bir vektörün uzunluğ u kavram ı n ı genelle ş tiren bir kavramd ı r. Bir Banach uzay ı (Bkz.2.2.1) bir tam metrik uzay olan bir normlu uzayd ı r. Bir normlu uzay, bir Banach uzay ı olan bir tamlanm ış a sahiptir (Bkz.2.3.2). Bir normlu uzayda, bir sonsuz seriyi tan ı mlayabilir ve kullanabiliriz (Bkz. K ı s.2.3).

Bir normlu X uzaymdan, normlu bir Y uzay ı içine tan ı ml ı bir dönüş üme bir operatör ad ı verilir. X'den R ya da C skaler cismi içine yap ı lan dönüş ümler ise, bir fonksiyonel olarak adland ı r ı l ı n Özel öneme sahip dönüş ümler, sürekli olman ı n yan ı s ı ra, vektör uzay yap ı s ı n ı n avantajlar ı na da sahip olan ve s ı n ı rl ı lineer operatör (Bkz.2.7.1) ve s ı n ı rl ı lineer fonksiyonel (Bkz.2.8.2) olarak adland ı nlantard ı r. Gerçekten, Teorem 2.7.9, bir lineer operatörün sürekli olmas ı için gerek ve yeter ko şulun bu operatörün s ı n ı rl ı olmas ı olduğ unu ifade etmektedir. Bu temel bir sonuçtur. Ve vektör uzayiar, daha çok, üzerlerinde tan ı mlanan lineer operatörler ve fonksiyoneller aç ı s ı ndan önemlidir.

Verilen bir X normlu uzay ı ndan, verilen bir Y normlu uzay ı içine tan ı m!' tüm s ı n ı rl ı lineer operatörlerin kümesi, "X, Y) ile gösterilen bir normlu uzay haline dönü ş türülebilir. Benzer şekilde, X üzerinde tan ı ml ı tüm s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerin kümesi, X'in X ı dual uzay ı olarak adland ı r ı lan bir normlu uzay haline dönü ş ür. (Bkz.2.10.3).

Analizde, sonsuz boyutlu normlu uzaylar, sanki boyutlu uzaylardan daha önemlidir. Sonlu boyutlu olanlar daha basit olup (Bkz.2.4-2.5), bunlar üzerinde tan ı ml ı operatörler matrisler yard ı m ı yla gösterilebilirler (Bkz. K ı s.2.9).

Gösterimlere ilişkin uyar ı Uzaylan Xve Y, operatörleri büyük harflerle (tercihen T), x 'in T alt ı ndaki görüntüsünü

(parantezsiz olarak) Tx, fonksiyonelleri küçük harflerle (tercihen f) ve f 'in x 'deki değ erini (parantezli olarak) f(x) ile göstereceğ iz. Bu gösterimler uygulamada yayg ı n olarak kullan ı lmaktad ı r.

2.1. VEKTÖR UZAY Vektör uzay kavram ı , matematiğ in bir çok dal ve uygulamalar ı nda rol oynar.

Gerçekten, çe ş itli uygulamal ı (ve teorik) problemlerde, elemanlar ı , üç boyutlu uzayda, say ı dizileri uzay ı nda ya da fonksiyon uzaylannda vektörler olabilen bir X kümesi buluruz, Ve bu kümenin elemanlar ı , sonuçta ortaya ç ı kan vektör, yine X'in bir eleman, olacak şekilde, doğ al bir biçimde toplanabilmekte ve sabitlerle (sayfada) çarp ı labilmektedir. Bu soyut durum, bir vektör uzay kavram ı n ı aş ağı daki biçimde tan ı mlamam ı za yol açm ış t ı r. Tan ı mda genel olarak bir k cisminden söz edilmekle birlikte, fonksiyonel analizde bu k cismi, ya da C olarak al ı nacakt ı r. k 'n ı n elemanlanna skaler ad ı verilir; dolay ı s ı yla, söz

35

36 konusu skalerler, bizim incelemelerimizde reel ya da kompleks say ı lar olacakt ı r.

2.1.1. TAN1M (Vektör Uzay). Bir k cismi üzerinde, bir vektör uzay (ya da lineer uzay), vektör ad ı n ı taşı yan, x,y,... elemanlar ı ndan olu ş an ve üzerinde iki cebirsel i ş lem tan ı ml ı , boş -olmayan bir X kümesidir. Bu iş lemler, vektör toplam ı ve vektörlerin

skalerlerle (yani, k 'n ı n elemanlar ı yla) çarp ı m ı olarak adland ı nl ı r. Vektör toplam ı , her s ı ral ı (x,y) vektör çiftine, x ve y vektörlerinin toplam ı ad ı n ı taşı yan

ve aş ağı daki özelikler gerçeklenecek ş ekilde tan ı mlanan bir x + y vektörü karşı l ı k getirir. Vektör toplam ı , öncelikle, değ işme ve birleşme özeliğ ine sahiptir; yani, bütün vektörler için,

ve

yaz ı k. Ayr ı ca, bütün vektörler

ve

x+y=y+x

x+(y+z)=(x+y)+z

x+0=x

x + (—x) = 0

olacak şekilde, s ı fı r vektörü olarak adland ı rı lan bir 0 vektörü ve her x vektörü için bir —x vektörü vard ı r.

Skalerle çarp ı m ise, her x vektörü ve a skalerine, a ile x 'in çarp ı m ı ad ı n ı taşı yan ve bütün x,y vektörleri ve a, fi skalerleri için, a ş ağı daki özelikleri gerçekleyen bir ax vektörü karşı l ı k getirir:

a(fix) = (a/3)x

1 x = x

a(x + y) = ax + fiy

(a + fi)x = ax + fix.

Tan ı mdan, skalerle çarpma i ş leminin, bir k x X -› X dönüşümü olmas ı na karşı n, vektör toplam ı n ı n, bir X x X X dönüş ümü olduğ unu görmekteyiz.

k 'ya Xvektör uzay ı n ı n skaler cismi ad ı verilir. Eğ er, k = R (reel say ı cismi) ise, X 'e,

bir reel vektör uzay ı , k = C (kompleks say ı cismi) ise, kompleks vektör uzay ı denir.

sembolünün, s ı fı r vektörü için oldu ğ u gibi, s ı f ı r skaleri için de kulan ı lmas ı , genelde pek fazla yan ı lg ıya neden olmaz. Ancak biraz daha aç ı kl ı k getirilmek istenirse, s ıfı r vektörünü O ş eklinde gösterebiliriz.

Okuyucu, tüm vektör ve skalerler için,

ve

Ox —

a8 = e

(-1)x = —x

olduğ unu ispatlayabilir.

37 ÖRNEKLER

2.1.2. R n Uzay ı . Bu uzay, 1.1.5 'de tan ı mlad ığı m ı z Euclid uzay ı olup, x = ıı ),

Y = (q „) v.s. ş eklindeki tüm s ı ral ı reel say ı n-lilerinden olu şan bir temel kümedir. Ve ş imdi, doğ al bir biçimde,

x + y = ( ,;1+111,...,n+Tin)

ax = (a e R)

şeklinde tan ı mlanan iki cebirsei i ş leme sahip bir reel vektör uzay ı olduğ unu görüyoruz. 2.1.3. C" Uzay ı . 1.1.5 'de tan ı mlam ış olduğ umuz bu uzay, x = (41,...,4n),

y =• ,tin ) v.s. şeklindeki tüm s ı ral ı kompleks say ı n-lilerinden olu şmakta olup, a E C

olmak üzere, bir önceki örnekte tan ı mlanan cebirsel i ş lemlere sahip bir vektör uzay ı d ı r. 2.1.4. C[a,b] Uzay ı . 1.1.7 'de tan ı mlam ış olduğ umuz bu uzay ı n her bir noktas ı , [a,b]

üzerinde sürekli, reel de ğ erli bir fonksiyondur. Bu tipteki tüm fonksiyonlar ı n kümesi, al ışı lm ış ş ekilde tan ı mlanan,

(x + y)(t) = x(t) + y(1)

(ax)(t) = ax(t) (a e [k)

cebirsel iş lemleri alt ı nda, reel bir vektör uzay ı oluş turur. Gerçekten, x ve y, [a,b] üzerinde sürekli ve reel değ erli fonksiyonlar ve a reel bir katsay ı olmak üzere, x + y ve ax

fonksiyonlar ı da [a,b] üzerinde sürekli ve reel de ğ erli birer fonksiyondur. Konuya iliş kin, diğ er önemli vektör uzay örnekleri, (a) 1.2.2 'de tan ı mlanan B(A)

uzay ı , (b) R üzerinde türevlenebilen tüm fonksiyonlardan olu ş an vektör uzay ı , (c) [a,b]

üzerinde, herhangi bir anlamda integrallenebilen tüm reel de ğ erli fonksiyonlardan olu ş an vektör uzaylar ı d ı r. (Bu son örneklerde sözü edilen uzaylar ı n birer fonksiyon uzay ı olduklar ı na dikkat ediniz.)

2.1.5. Q2 Uzay ı .1.2.3. 'de tan ı mlanan bu uzay, dizilere ili ş kin olarak,

(41,42,•••) +(71,712,•••) (41+ T11,42 +1/2,•••)

a(4 1 ,•2 ,...) -- (41,42,- •)

ş eklinde belirlenen, cebirsel i ş lemler alt ı nda birer vektör uzay ı d ı r. Gerçekten, Minkowski eş itsizliğ inden de kolayca görüleceğ i gibi (K ı s.1.2, For.(12)'ye bak ı n ı z), x = e Q 2 ve y = (ri,) E V 2 ise, x + y E Q 2 olmak zorundad ı r. Ayr ı ca, ax E Q 2 olduğ u da gösterilebilir.

Noktalar ı diziler olan diğ er vektör uzay örnekleri ise, 1.1.6 'da gördü ğ ümüz Q",1.2.3.'de gördüğ ümüz ,QP (1 < p < co) ve 1.2.1 'de gördü ğ ümüz s uzaylar ı d ı r.

Bir X vektör uzay ı n ı n bir altuzay ı , X 'in heryby2 e Y, ve her a, fi skalerleri için, ay ı + fiy2 e Y özeliğ ini gerçekleyen, boş -olmayan bir Y altkümesidir. O halde, Y 'nin kendisi de bir vektör uzay olup, X üzerinde tan ı ml ı cebirsel i ş lemler, Y üzerinde de geçerlidir.

X 'in özel bir altuzay ı , yine kendisi olup, diğ er tüm altuzaylar ı , gerçek altuzay ı ad ı n ı al ı r. (Burada X 3r {O} olduğ una dikkat ediniz.).

Herhangi bir X vektör uzay ı n ı n diğ er bir özel altuzay ı ise, Y = {0} 'd ı r. Bir X vektör uzay ı n ı n elemanlar ı olan, x i ,...,xn, vektörlerinin bir lineer kombinasyonu,

a ,a„„ herhangi skalerler olmak üzere,

a ix + a 2x2 +... +a „,x,„

şeklinde bir ifadedir. Boş -olmayan herhangi bir M c X kümesi için, M 'deki vektörlerin tüm lineer

kombinasyonlar ı n ı n kümesine M 'nin geren' i (span'i) denir ve

38 SpanM

olarak yaz ı l ı r. Aş ikar olarak, bu küme, X 'in bir Y altuzay ı olup, Y uzay ı M taraf ı ndan

geriliyor deriz. Ş imdi de, ileride defalarca kullanaca ğı m ı z iki önemli kavram ı tan ı tal ı m.

2.1.6. TANIM (Lineer Ba ğı ms ı zl ı k, Lineer Ba ğı ml ı l ı k). Bir X vektör uzay ı ndaki, x i ,x 2 ,...,x„, vektörlerinden olu ş an bir M kümesini ele alal ı m. a ı ,a2,•..,a m skalerler olmak

üzere,

alxl + a2x2 +...+amx m = 0

(3)

eş itliğ i, ancak ve ancak, al = az —...= a m = 0 olmas ı halinde gerçekleniyorsa, vektörleri, di ğ er bir deyimle, M kümesi, lineer ba ğı ms ı z, aksi halde, lineer

ba ğı ml ı 'd ı r denir. X 'in keyfi bira/ altkümesini göz önüne alal ı m. Eğ er, M 'nin, boş -olmayan her sonlu

altkümesi lineer ba ğı ms ı z ise, M 'ye lineer ba ğı ms ı zd ı r denir. Aksi halde, M lineer bağı ml ı küme olarak adland ı r ı l ı r.

Tan ı mdan da anla şı laca ğı gibi, M = kümesinin lineer ba ğı ml ı olmas ı halinde, M 'nin vektörlerinden en az bir tanesi di ğ erlerinin bir lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilir. Örne ğ in, (3) e ş itliğ i, a m # 0 olmak üzere gerçekleniyorsa, M kümesi lineer ba ğı ml ı olup, xm 'i (3) eş itliğ inden faydalanarak çözebiliriz:

x„,— /3 / x1+...+fi,x,1 (13,= —gı la ğ„)-

Lineer ba ğı ml ı l ı k ve bağı ms ı zl ı k kavramlar ı n ı kullanarak, bir vektör uzay ı n boyutu'nu tan ı mlayabiliriz.

2.1.7. TANIM (Sonlu ve Sonsuz Boyutlu Vektör Uzay). n pozitif bir tamsay ı olmak üzere, bir X vektör uzay ı lineer bağı ms ı z n tane vektör içeriyor ve n + I ya da daha fazla

say ı da vektör lineer ba ğı ml ı oluyorsa, bu X vektör uzay ı sonlu boyutlu'dur denir. n say ı s ı na X 'in boyutu ad ı verilir ve n = dim X olarak yaz ı l ı r. Tan ı m olarak, X = {O} uzay ı sonlu boyutlu olup dim X = 0 'd ı r. Eğ er bir X uzay ı sonlu boyutlu değ ilse, sonsuz boyutlu

uzay olarak adland ı r ı l ı r. Analizde, sonsuz boyutlu vektör uzaylar sonlu boyutlu olanlardan daha çok ilgi

çekicidir. Örneğ in, [R, " ve C" 'in n —boyutlu olmalar ı na karşı n, Cla,b] ve C 2 uzaylar ı sonsuz

boyutlu uzaylard ı r. Eğ er, dim X= n ise, X 'in lineer ba ğı ms ı z bir vektör n —lisine, X için bir baz (ya da, X

'in bir baz' ı ) ad ı verilir. Bu durumda, örneğ in, {el,•..,en}..X 'in bir baz ı ise, her x E X

vektörü, baz vektörlerinin lineer bir kombinasyonu olarak, tek bir gösterime sahiptir:

x = aierı-...+anen

Örneğ in, R n 'in bir baz ı ,

el= (1,0,0,...,0)

e2= (0,1,0,...,0)

e n = (0,0,0,..., 1)

'd ı r. Bu baz'a, R" 'in kanonik baz' ı denir. Daha genel olarak, X, sonlu boyutlu olmas ı gerekmeyen, herhangi bir vektör uzay ı ve

B, X 'in, X 'i geren lineer ba ğı ms ı z bir altkümesi ise, s ı f ı rdan farkl ı her x E Xeleman ı , B

39 'nin elemanlar ı n ı n, katsay ı olarak s ı f ı rdan farkl ı skalerlerle olu ş turulan lineer bir kombinasyonu biçiminde, tek bir gösterime sahiptir.

Vektör uzaylara ili ş kin temel bir teoremi a ş ağı daki ş ekilde ifade edebiliriz:

Her X #{0} vektör uzay ı bir baz'a sahiptir.

Sonlu boyutlu halde teorem a ş ikard ı r. Sonsuz boyutlu herhangi bir vektör uzayda ise, böyle bir baz ı n varl ığı n ı n ispat ı Zorn lemmas ı ndan yararlan ı larak verilecektir. Bu nedenle, söz konusu ispat ı , Zorn lemmas ı n ı göreceğ imiz, K ı s.4.1'e erteliyoruz.

Burada, (sonlu ya da sonsuz boyutlu) verilen bir X vektör uzay ı n ı n tüm bazlar ı n ı n ayn ı kardinal say ı s ı na sahip olduğ unu söylememiz gerekmektedir. Bu say ı ya, X 'in boyut 'u ad ı verilir. Görüldü ğ ü gibi, bu tan ı m, Tan ı m 2.1.7 'yi içermekte ve a şmaktad ı r.

Ş imdi de, ileride gereksinme duyaca ğı m ı z basit bir teoremi ifade ve ispat edece ğ iz. 2.1.8. TEOREM. (Bir Altuzay ı n Boyutu). X, n —boyutlu bir vektör uzay olsun. Bu

durumda, X 'in herhangi bir gerçek Y altuzay ı , n 'den küçük bir boyuta sahiptir. ispat. n = 0 ise, X = {0} olup, gerçek bir altuzaya sahip de ğ ildir. dim Y = 0 ise, X Y

olduğ undan, dim X> 1 olmal ı d ı r. Ve aş ikar olarak, dim Y < dim X = n 'dir. dim Y = n

olsayd ı , Y attuzay ı , dim X= n olduğ undan, ayn ı zamanda, X 'in de bir baz ı olan, n

elemandan olu şan bir baza sahip olmas ı gerekirdi ki bu durum X = Y sonucunu verir. Bu ise, Y 'deki lineer ba ğı ms ı z herhangi bir vektör kümesinin, n 'den daha az say ı da eleman içerdiğ ini ve dim Y < n olduğ unu gösterir.

PROBLEMLER 1. Al ışı lm ış toplama ve çarpma i ş lemleri alt ı nda, tüm reel say ı lardan oluşan kümenin,

bir-boyutlu reel bir vektör uzay ı , tüm kompleks say ı lardan olu şan kümenin ise, bir-boyutlu kompleks bir vektör uzay ı oluş turduğ unu gösteriniz.

2. (1) ve (2) 'yi ispatlay ı n ız. 3. R 3 'de, M = «1,1,1),(0,0,2» kümesinin gerenini belirtiniz. 4, x = (4 1 ,42 ,4 3 ) olmak üzere, R 3 'ün, aşağı daki altkümelerinden hangisi, R 3 'ün bir

altuzay ı n ı oluş turur? (a) 41 = 4 2 ve 43 = 0 olmak üzere, tüm x 'ler, (b) 41 = 1 olmak üzere, tüm x 'ler, (c) 41,42,43 pozitif olmak üzere, tüm x 'ler, (d) 41 — 42 + 3 = k (sabit) olmak üzere, tüm x 'ler.

5. xj ( ı ) = tl olmak üzere, {xl,...x„} kümesinin, C[a,b] 'de lineer ba ğı ms ız bir küme olduğ unu gösteriniz.

6. n boyutlu bir Xvektör uzay ı nda, herhangi bir x eleman ı n ı n, verilen e i ,...,e„ baz vektörlerinin lineer kombinasyonu olarak ifade edilen gösteriminin tek oldu ğ unu ispatlay ı n ı z.

7. {e kompleks bir Xvektör uzay ı n ı n bir baz ı olsun. Reel bir vektör uzay olarak düş ünülmek üzere, X için bir baz bulunuz. Her iki halde de, X 'in boyutu nedir?

8. M, kompleks bir Xvektör uzay ı nda, lineer ba ğı ml ı bir küme ise, X reel bir vektör uzay olarak dü ş ünüldüğ ünde, M, X 'de lineer ba ğı ml ı m ı d ı r?

9. Sabit bir [a,b] c R aral ığı üzerinde tan ı ml ı , reel katsay ı l ı ve derecesi verilen bir n say ı s ı ndan daha büyük olmayan tüm polinomlarla, (derecesi tan ı ms ı z olan) x = 0 polinomundan olu şan X kümesini göz önüne alal ı m. X 'in al ışı lm ış toplama ve reel say ı larla çarpma i ş lemleri alt ı nda, n + 1 boyutlu reel bir vektör uzay oldu ğ unu gösteriniz.

40 X için bir baz bulunuz. Katsay ı lar ı kompleks olarak al ı p, benzer ş ekilde, kompleks bir "İ vektör uzay ı elde edebileceğ imizi gösteriniz. X, X'n ı n bir altuzay ı m ı d ı r?

10. Y ve Z, bir X vektör uzay ı n ı n altuzaylar ı ise, Y n z 'nin, X 'in bir altuzay ı olduğ unu, fakat, YU Z 'nin bir altuzay olmak zorunda bulunmad ığı n ı gösteriniz. Örnekler veriniz.

11. M LF bir Xvektör uzay ı n ı n herhangi bir altkümesi ise, span M 'nin, X 'in bir altuzay ı olduğ unu gösteriniz.

12. İ ki-sat ı rli tüm karesel matrisler kümesinin, bir X vektör uzay ı olu ş turduğ unu gösteriniz. X 'deki s ı f ı r vektörü hangisidir? dim X 'i belirleyiniz. X için bir baz bulunuz. X 'in altuzaylar ı na örnekler veriniz. x E X simetrik matrisleri bir altuzay olu ş turur mu? Singüler matrisler bir altuzay olu ş turur mu?

13. (Çarp ı m). Ayn ı cisim üzerinde tan ı ml ı iki vektör uzay ı n X = Xı x X2 kartezyen çarp ı mlann ı n, ilgili cebirsel i ş lemlerin,

(x l ,x2 ) + (y,,y2 ) = (x i +y i ,x2-4-yı )

a(X1,X2) (aXI,CtX2)

ile tan ı mlanmas ı halinde, bir vektör uzaya dönü ş tüğ ünü gösteriniz. 14. (Bölüm Uzay ı , Eş boyut). Y, bir X vektör uzay ı n ı n bir altuzay ı olsun. Bir x E X

eleman ı n ı n, Y 'ye göre, eş kümesi, x + Y ile gösterilir ve

x + Y {v : v = x +y, y e Y}

kümesi olarak tan ı mlan ı r (Ş ekil 12'ye bak ı n ı z). Farkl ı eşkümelerin, X 'in bir parçalan ış in ı oluş turduğ unu gösteriniz.

(w + Y) + (x + Y) = (w + x) + Y

a(x + Y) = ax + Y

ile tan ı mlanan cebirsel i ş lemler alt ı nda. bu eş kümelerin bir vektör uzay ı n ı n elemanlar ı n ı oluş turduğ unu gösteriniz (Ş ekil 13 ve 14 'e bak ı n ı z.). Bu uzaya, X 'in, Y 'ye, ya da, Y modülüne göre, bölüm uzay ı (bazen de, çarp ı m uzay ı ) ad ı verilir ve X/Y ş eklinde gösterilir. Bunun boyutu ise. Y 'nin e şboyutu ad ı n ı al ı r ve codim Y olarak gösterilir, yani,

codimY =elim (X/Y)

'dir.

(w + Y) + (x + + x) +

41

Ş ekil 12. prob.14'deki x+Ygösteriminin aç ı klamas ı Ş ekil 13. Bir bölüm uzay ı nda vektör toplam ı n ı n aç ı klamas ı

Ş ekil 14. Bir bölüm uzay ı nda skalarlerle çarp ı m ı n gösterimi (Prob.14'e bakma)

15. X = R. 3 ,ve Y = {(41,0,0) : 41 E tik} olsun. XIY, X/Xve X/{0} uzaylar ı n ı bulunuz.

42

2.2. NORMLU UZAY, BANACH UZAYI Bundan önceki k ı s ı mda verdiğ imiz örnekler, çoğ u hallerde, bir X vektör uzay ı n ı n, d

metriğ inin X üzerinde tan ı mlanm ış olmas ı nedeniyle, ayn ı zamanda bir metrik uzay olduğ unu göstermiş tir. Bununla birlikte, X 'in cebirsel yap ı s ı yla, metriğ i aras ı nda her hangi bir ba ğı nt ı bulunmamas ı halinde, cebirsel ve metrik kavramlar ı birleş tiren, yararl ı ve uygulanabilir bir teoriyi bekleyemeyiz. Bu nedenle, X 'in "cebirsel" ve "geometrik" özelikleri aras ı nda böyle bir ba ğı ntly ı garanti edebilmek için, X 'üzerinde bir d metriğ ini, aş ağı daki ş ekilde, özel bir yolla tan ı mlamam ı z gerekmektedir. Bunun için önce, vektör uzay ı n cebirsel iş lemlerini kullanan yard ı mc ı bir kavram (norm kavram ı ) verip daha sonra bu normu kullanarak arzu edilen tipte bir d metriğ ini elde edeceğ iz. Bu düşünce bizi bir normlu uzay kavram ı na götürecektir. Zengin ve ilginç bir teori için yeterli bir temel olan normlu uzaylar, uygulama aç ı s ı ndan önemli bir çok soyut modeli de içerecektir. Gerçekten, analizden bildi ğ imiz çok say ı da metrik uzay bir normlu uzay olarak dü ş ünülebilecektir. Bu nedenle, bir normlu uzay, en az ı ndan bugünkü uygulamalar ı m ı z aç ı s ı ndan, fonksiyonel analizdeki en önemli uzay tipi olmaktad ı r. Ş imdi bir normlu uzay ı n tan ı m ı n ı verelim:

2.2.1. TANIM (Normlu Uzay, Banach Uzay ı ). Üzerinde bir norm tan ı mlanm ış olan bir X vektör uzay ı na bir normlu uzay ad ı verilir. Bir tam normlu uzaya (norm taraf ı ndan tan ı mlanan metriğ e göre tam) ise, bir Banach uzay ı denir. Bir X vektör uzay ı üzerindeki norm ise, X üzerinde tan ı ml ı olup, bir x E X noktas ı ndaki değ eri,

'kil

ile gösterilen ve x ve y, X 'de keyfi vektörler ve e bir skaler olmak üzere, a ş ağı daki tizelikleri gerçekleyen, reel de ğ erli bir fonksiyondur:

(Ni) 11x11 .? 0 (N2) llxll=0<=ı x=0

(N3) Ilcall=lalilx11 (N4)+y115_11.411y11 (Üçgen E ş itsizliğ i)

X üzerindeki bir norm, X üzerinde,

d(x,y) yil (x,y € X)

(1)

ile verilen bir d metriğ i tan ı mlar ve bu metrik, norm taraf ı ndan yarat ı lan metrik olarak adland ı r ı l ı r. Tan ı mlam ış olduğ umuz normlu uzaylar ı (X, ii. 11), ya da k ı saca, X ile gösterece ğ iz.

Norma iliş kin, (N1)-(N4) özeliklerinin tan ı m ı , elemanter vektör cebrindeki bir x vektörünün ki uzunlu ğ undan esinlenilerek yap ı lm ış t ı r; O halde, bu özel durumda,

Ilxll = ixi yazabiliriz. Gerçekten, (N1) ve (N2), uzunlu ğ u s ı f ı r olan s ı f ı r vektörü d ışı nda, tüm vektörlerin pozitif bir uzunlu ğ a sahip olduklar ı n ı ifade eder. (N3) ise, bir vektörün bir skalerle çarp ı m ı nda, bu vektörün uzunlu ğ unun, skalerin mutlak de ğ eriyle çarp ı lacağı anlam ı na gelir. (N4) aksiyomu ise, Ş ekil 15 'de gösterildi ğ i gibi, bir üçgenin bir kenar ı n ı n uzunluğ unun, diğ er iki kenar ı n uzunluklar ı n ı n toplam ı ndan daha fazla olamayaca ğı n ı ortaya koyar.

43

Ş ekil 15. (N4) üçgen eş itsizliğ inin gösterimi

(N1)-(N4) aksiyomlar ı ndan faydalanarak, (1) 'in bir metrik tan ı mlad ığı n ı göstermek zor değ ildir. Dolay ı s ı yla, normlu uzaylar ve Banach uzaylan birer metrik uzayd ı r.

Banach uzaylar ı , tam olmayan normlu uzaylarda bulunmayan baz ı özeliklere sahip oldukları ndan önem ta şı rlar (Bölüm 4'e bak ı n ı z).

(N4)'den kolayca,

111), (1 — 11x111 _5_ ILY — xli (2)

sonucunu elde edebilir (Prob.3) ve bu sonuçtan yararlanarak, norma ili ş kin, aş ağı daki önemli özeliğ i ifade edebiliriz:

"Norm süreklidir, yani, x -.11x II fonksiyonu,(X, Ip'den R 'nin içine sürekli bir fonksiyondur."

Normlu uzaylar ı n ilk örnekleri, düzlemde ve üç boyutlu uzaydaki tüm vektörlerden oluş an, bildiğ imiz uzaylard ı r. Konuya iliş kin diğ er örnekler, K ı s.1.1 ve 1.2 'den bulunabilir. Çünkü, bu k ı s ı mlarda verdiğ imiz metrik uzaylardan baz ı lar ı , doğ al bir yolla, birer normlu uzay haline dönüş türülebilirler. Bununla birlikte, bir metrik uzay üzerindeki her metri ğ in bir normdan elde edilemeyeceğ ini biraz sonra göreceğ iz.

ÖRNEKLER. 2.2.2. Rn Euclid Uzay ı ve C" Üniter Uzay ı . 1.1.5 'de tan ı mlam ış olduğ umuz bu

uzaylar, 1/2

= E14.1 1 2 = 1/1411 2 +...+gnI2 (3) J=.1

)

ile tan ı mlanan norm alt ı nda birer Banach uzay ı d ı r. Gerçekten, Ok n ve C" 'in tam'l ığı n ı biliyoruz (1.5.1 'e bak ı n ı z) ve (3) e ş itliğ i, Kı s.1.1 'deki (7) metriğ ini verir:

d(x,y) =-11x — y lI = j - /711 2 — 71,71 2 •

R 3 'de özel olarak,

11x11 = ki= 114i + +

olduğ unu belirtmek istiyoruz. Bu durum, normun, bir vektörün elemanter lx1 uzunluk kavram ı n ı genelleş tirdiğ i konusunda yapm ış olduğ umuz uyar ı y ı doğ rulamaktad ı r.

2.2.3. t" Uzay ı . 1.2.3 'de tan ı mlanan bu uzay,

ile verilen norm alt ı nda bir Banach uzay ı d ı r. Gerçekten, bu norm, 1.2.3 'deki metri ğ i

doğ urmaktad ı r:

ilp

kil = Eg,IP) ,==-1

44 Ilp

d(x,y) = 11X = Yll =

(4)

tP uzay ı n ı n taml ığı n ı ise, 1.5.4 'de göstermi ş tik. 2.2.4. Uzay ı . 1.1.6 'da tan ı mlanan bu uzay ı n bir Banach uzay ı olduğ unu,

üzerindeki metri ğ in,

Ilx II ----suP 1411

ile tan ı mlanan normdan elde edilebildi ğ ini ve taml ığı n 1.5.2 'de gösterildiğ ini göz önüne alarak söyleyebiliriz.

2.2.5. C[a,b] Uzay ı . 1.1.7 'de tan ı mlanan bu uzay, J = [a,b] olmak üzere,

ilx Il =max lx(t)I rFJ

ile verilen norm alt ı nda bir Banach uzay ı d ı r. Taml ığı n ı ise, 1.5.5 'de göstermi ş tik. 2.2.6. Tam-Olmayan Normlu Uzaylar. 1.5.7, 1.5.8 ve1.5.9 'da verdi ğ imiz

tam-olmayan metrik uzaylardan, kolayca, tam-olmayan normlu uzaylar elde edebiliriz. Örneğ in, 1.5.9 'daki metrik,

x Il = [x(t)Idt o

ile tan ı mlanan norm taraf ı ndan doğ urulur. Burada, tam-olmayan her normlu uzay ı n tamlaş t ı r ı l ı p, tamlaş t ı r ı lamad ığı sorusunu

sorabiliriz. Bir metrik uzay olarak cevab ı n, 1.6.2 uyar ı nca, kesinlikle olumlu olduğ unu biliyoruz. Ancak, acaba normlu uzaylarda durum nedir? Notlar ı m ı z ı n bundan sonraki k ı sm ı nda, söz konusu i ş lemin yine mümkün olduğ unu göreceğ iz.

2.2.7. Tam-Olmayan bir Normlu Uzay ve Bunun Tamlanm ışı Olan L 2 [a,b] Uzay ı . [a,b] üzerindeki tüm sürekli, reel-de ğ erli fonksiyonlardan meydana gelen vektör uzay ı

b 1/2

= S x(1) 2 dt

(7 )

ile tan ı mlanan norm alt ı nda, normlu bir X uzay ı oluş turur. Bu uzay tam de ğ ildir. Örneğ in, [a,b] = [O, 1] ise, 1.5.9 'da tan ı mlad ığı m ı z dizi, burada ele ald ığı m ı z X uzay ı nda da bir Cauchy dizisidir; K ı s.1.5 'deki Ş ekil 8 'den bunu hemen hemen a ş ikar olarak görmekteyiz ve n > m için,

(n m) 2 Ilin — Xm 2 = j[X,(İ ) — Xm(t)] 2dt = <

3mn 2 3m 3n o

yazabilece ğ imiz için, integral alarak, sonucu forma) biçimde elde ederiz. Tan ı mlanan bu Cauchy dizisi yak ı nsak de ğ ildir. Bunu da, 1.5.9 'daki ispata benzer ş ekilde, 1.5.9 'daki metrik yerine, ş imdi kulland ığı m ı z metriğ i alarak gösterebiliriz. Genel bir [a, b] aral ığı için de, X 'de yak ı nsak olmayan, benzer bir Cauchy dizisi in ş a edebiliriz.

Ele ald ığı m ı z X uzay ı , Teorem 1.6.2 uyar ı nca, tamla ş t ı r ı labilir. Bulunacak tamlaş t ı r ı lm ış uzay ı L 2 [a,b] ile göstereceğ iz. Bu uzay, ayn ı zamanda, bir Banach uzay ı d ı r. Gerçekten, Teorem 2.3.2 'de görece ğ imiz gibi, X üzerindeki norm ve vektör uzay i ş lemleri, X 'in tamlaş t ı r ı lm ışı na geni ş letilebilir.

(5)

(6)

45 Daha genel olarak, herhangi bir, sabit p > 1 say ı s ı için, LP[a,b] Banach uzay ı , [a,b]

üzerinde tan ı ml ı , tüm sürekli ve reel-değ erli fonksiyonlardan olu ş an ve tip

IIxII p = Six(t)1Pdt

(8 )

ile tan ı mlanan norma sahip, normlu uzay ı n tamlaş t ı nlm ışı d ı r. Buradaki p indisi, tan ı mlanan normun, sabit olarak korunan p say ı s ı n ı n seçimine bağ l ı olduğ unu hat ı rlatmak amac ıyla konulmu ş tur. p = 2 için, (7) 'yi verdi ğ i aç ı kt ı r.

Lebesgue integrali kavram ı na eş ine olan okuyucular için bir hususu belitmekte yarar görüyoruz: Lqa, bi uzay ı , Lebesgue integrali ve 1x1P 'nin [a,lı ] üzerindeki Lebesgue integrali mevcut ve s ı n ı rl ı olacak şekilde, [a,b] üzerinde Lebesgue ölçülebilir x fonksiyonlar ı yard ı m ı yla doğ rudan bir yolla elde edilebilir. LP[a,b] 'nin elemanlar ı söz konusu fonksiyonlar ı n denklik s ı n ı flar ı d ı r. Burada x ve y elemanlar ı n ı n denkliğ i, k —yiP 'nin [a,b] üzerindeki Lebesgue integralinin s ı fı r olmas ı anlam ı nda tan ı mlanm ış t ı r. (Bu durumun, Aksiyom (N2) 'nin geçerliliğ ini garanti ettiğ ine dikkat ediniz.)

Lebesgue integrali konusunda yeterli bilgisi olmayan okuyucular da endi şeye kap ı lmas ı nlar. Asl ı nda bu örnek ilerideki konular ı m ı z için fazla önemli değ ildir. Görüldüğ ü gibi, böyle bir örnek, tamla ş t ı rman ı n bizi yeni tür elemanlara yöneltebildi ğ ini ve bunlar ı n yap ı lar ı n ı n ne olduğ unu bulmak zorunda b ı rakabildiğ ini göstermektedir..

2.2.8. s Uzay ı ."Bir vektör uzay üzerindeki her metrik bir normdan elde edilebilir mi?" sorusunun cevab ı "Hay ı r"d ı r. Bu konudaki bir kar şı t örnek, 1.2.1 'de tan ı mlad ığı m ı z s

dizi uzay ı d ı r. Gerçekten, s bir vektör uzayd ı r; fakat, bunun üzerinde,

d(x,y) Z 1 +1%; _ili 711 i=1

ile tan ı mlanan metrik, bir normdan elde edilemez. Bu durumu, bir normdan elde edilen bir d metriğ inin iki temel özeli ğ ini ifade eden a ş a ğı daki lemmadan hemen görebiliriz. (9a) ile ifade edilen ilk özelik, d 'nin öteleme değ iş mezliğ i olarak adland ı nl ı r.

2.2.9. LEMMA (öteleme De ğ işmezliğ i). Normlu bir X uzay ı üzerinde, bir norm

taraf ı ndan doğ urulan bir d metriğ i, her x,y,a e X ve her a skaleri için,

(9a) d(x + a,y + a) = d(x,y)

(9b) d(ax,ay) = lajd(x,y)

özeliklerini gerçekler. Ispat. Kolay bir hesaplamayla,

d(x + a,y + a) = fix + a (y + a)11 = flx — y = d(x,y)

ve

d(ax,ay) = ilax — ayli = —y = lad(x,y)

elde ederiz.

46

PROBLEMLER 1. x 'in normu olan, 11x11 büyüklüğ ünün, x 'den 0 'a kadar olan uzakl ı k olduğ unu

gösteriniz. 2. Düzlemde, ya da, üç boyutlu uzaydaki bir vektörün bilinen uzunlu ğ unun, norma

iliş kin (N1)-(N4) özeliklerini gerçekledi ğ ini gösteriniz. 3. (2) 'yi ispatlay ı n ı z. 4. Norm kavram ı n ı değ iş tirmeksizin, (N2) yerine,

114 = O <=> = O

ifadesini alabilece'ğ imizi gösteriniz. Bir normun negatif olmama özeli ğ inin (N3) ve (N4) 'den ç ı kart ı labileceğ ini gösteriniz.

5. (3) 'ün bir norm tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. 6. X, x = y = (ni,q2),••• ş eklindeki tüm s ı ral ı reel say ı çiftlerinden olu ş an

vektör uzay ı olsun. X üzerindeki normlar ı n,

11x11 1 =14 11+1421

11x11 2=(i + D 112

11x11. = max{141 1,1421} ile tan ı mland ığı n ı gösteriniz.

7. (4) 'ün (N1)-(N4) özeliklerini gerçekledi ğ ini gösteriniz. 8. S ı ral ı say ı n-lilerinden oluş an vektör uzay ı üzerinde, uygulama aç ı s ı ndan önem

taşı yan çeş itli normlar vard ı r; bunlardan baz ı lar ı ,

11x1H1411+1421+... +14.1

11x11p=(I +. • +14.1P )' IP, (1 < p < co)

Ilx II = max{1411,...,14.1} ile tan ı mlan ı r. Bunlardan her birinin, (N1)-(N4) özeliklerini gerçekledi ğ ini gösteriniz.

9. (5) 'in bir norm tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. 10. (Birim Küre). Normlu bir X uzay ı nda,

S(0;1) = {x E X : IIx1I = 1}

küresine birim küre ad ı verilir. Prob.6 'da tan ı mlanan normlar ile,

11.4 4 = Ş1)"4 eş itliğ iyie tan ı mlanan norm için söz konusu birim kürelerin Ş ekil 16'da gösterildi ğ i biçimde olduğ unu ispatlay ı n ı z.

47

Ş ekil 16. Prob.10 / daki birim küreler

11. (Konveks Küme, Dilim). Bir X vektör uzay ı n ı n bir A altkümesini ele alal ı m. Eğ er, x,y e A olduğ unda,

M = {Z E X : Z -= ax +(I - a)y, O a < 1} c A

oluyorsa, A kümesi konveks'dir denir. M 'ye, s ı n ı r noktalar ı x ve y olan kapal ı dilim, diğ er z e M noktalar ı na da M 'nin bir içnoktas ı ad ı verilir. Normlu bir X uzay ı nda,

h(0; I) = {x E X : 114 5_ 1}

kapal ı birim yuvar ı n ı n konveks olduğ unu gösteriniz. (Ş ek.17).

(a) Konveks (b) Konveks-olmayan

Ş ekil 17. Konveks ve konveks-olmayan küme örneklerine ili şkin gösterimler (Bkz.Prob.11)

12, Prob.11 'i kullanarak,

q)(x)= +J/142 1)2

48 fonksiyonunun, x = (41,2),... ş eklindeki tüm s ı ral ı reel say ı ikililerinden olu ş an vektör uzay ı üzerinde bir norm tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. cp(x) = 1 eğ risini çiziniz ve Ş ekil 18 ile karşı laş t ı r ı n ı z.

Ş ekil 18. Prob.12'deki T(x)=1 eğ risi

13. Bir X {O} vektör uzay ı üzerindeki diskre metri ğ in, bir normdan elde edilemeyeceğ ini gösteriniz. (Bkz.1.1.8).

14. d metriğ i, bir X {O} vektör uzay ı üzerinde bir normdan elde edilen bir metrik olsun. 7/ metriğ i,

71(x,x) = O, d(x,y) = d(x,y) +1 (x y)

şeklinde tan ı mlan ı yorsa, 7/ 'n ı n bir normdan elde edilemeyeceğ ini gösteriniz. 15. (S ı n ı rl ı Küme). Normlu bir X uzay ı nda bir Maltkümesinin s ı n ı rl ı olmas ı için gerek

ve yeter ko ş ul, her x e M için, 114 < c olacak şekilde, pozitif bir c say ı s ı n ı n varolmas ı d ı r. ispatlay ı n ı z. (Tan ı m için, K ı s.1.2 'deki Prob.6 'ya bak ı mı )

2.3. NORMLU UZAYLARA İ LiŞ KiN D İĞ ER OZEL İ KLER Normlu bir X uzay ı verilmiş olsun. X 'i bir vektör uzay olarak gözönüne al ı p, bir Y

altkümesini belirleyelim. Y altkümesi, X 'deki normun, Y altkümesi üzerine k ı s ı tlanmas ı yla elde edilen norm alt ı nda, tan ı m olarak, X 'in bir altuzay ı ad ı n ı al ı r. Görüldüğ ü gibi, Y üzerindeki bu norm, X üzerindeki norm taraf ı ndan doğ urulmuş tur. Eğ er, Y, X 'de kapal ı ise, Y 'ye X 'in bir kapal ı altuzay ı denir.

Tan ı m olarak, bir X Banach uzay ı n ı n, bir Y altuzay ı , normlu bir uzay olarak gözönüne al ı nan X uzay ı n ı n bir Yaltuzayd ı r. Burada Y 'nin kapal ı olmas ı n ı istemiyoruz. (Hemen belirtelim ki, baz ı yazarlar söz konusu tan ı mda, Y 'nin kapal ı olma koş ulunu da isterler. Bu nedenle değ iş ik kitaplardan çal ışı rken dikkatli olmal ı s ı n ız.)

Konuya iliş kin olarak, aşağı daki sonucu hemen vermesi nedeniyle, daha önce görmüş olduğ umuz Teorem 1.4.7 oldukça yararl ı d ı r.

2.3.1. TEOREM. (Bir Banach Uzay ı n ı n Altuzay ı ). Bir X Banach uzay ı n ı n, bir Y altuzay ı n ı n tam olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, Y 'nin X 'de kapal ı bir küme olmas ı d ı r.

Normlu bir uzayda, dizilerin yak ı nsakl ığı ve buna iliş kin kavramlar, metrik uzaylar için verdiğ imiz Tan ı m 1.4.1 ve 1.4.3 'den ve d(x,y) = - oluşundan faydalan ı larak

49 kolayca yap ı labilir:

(i) Normal bir X uzay ı nda bir (x,,) dizisi verilmiş olsun. Eğ er, X uzay ı ,

lim fix„ —x11 = O

olacak şekilde bir x eleman, içeriyorsa, (x„) dizisi yak ı nsakt ı r denir. Bu durum, x„ x

olarak yaz ı l ı r ve x 'e, (x„) dizisinin limiti ad ı verilir. (ii) Normlu bir X uzay ı nda bir (x„) dizisini ele alal ı m. Eğ er, her s > 0 say ı s ı için,

m,n > N oldukça,

11Xm Xn11 <s (İ )

olacak şekilde bir N say ı s ı varsa, (x„) dizisine bir Cauchy dizisi ad ı verilir. Dizi kavram ı n ı bir metrik uzayda bile tan ı mlayabildiğ imizi biliyoruz. Normlu bir uzayda

ise, önemli bir ad ı m daha atarak, a ş ağı daki şekilde, seri kavram ı n ı tan ı mlayabiliriz. Sonsuz seri kavram ı , analizdekine benzer biçimde tan ı mlanabilir. Gerçekten, (xk),

normlu bir X uzay ı nda bir dizi olarak verildi ğ inde, bu (xk) dizisiyle, n = 1,2,... olmak üzere,

sn = x ı + x2 +...+x„

k ı smi toplamlar ı ndan oluşan, (sn) dizisini eş leyebiliriz. Eğ er (s„) dizisi yak ı nsak ise, diğ er

bir deyimle,

Sn S, yani, ils„ — s 0

ise, aV

E Xk = XI +X2 +.. k=1

sonsuz serisi, ya da k ı saca, serisi yak ı nsakt ı r denir. s değ erine, bu serinin toplam ı ad ı verilir ve

07,

S = EXk = X1 + X2 +...

k=1

yaz ı l ı r. Iki II + ilx211 +... toplam ı n ı n yak ı nsamas ı halinde ise, (2) serisi mutlak yak ı nsakt ı r

denir. Bununla birlikte, burada okuyucuyu önemli bir konuda uyarmak zorunday ız: Normlu bir X uzay ı nda, mutlak yak ı nsakl ığı n, yak ı nsakl ığı gerektirmesi için gerek ve yeter koş ul, X 'in tam olmas ı d ı r. (Prob.7-9 'a bak ı n ız).

Bir serinin yak ı nsakl ı k kavram ı , bir baz tan ı m ı nda, aş ağı daki şekilde kullan ı labilir. Eğ er normlu bir X uzay ı , her x E X için,

IIx — (a ı s ı +...+a„e„) O (n 00)

olacak şekilde bir tek (a n) skaler dizisi varolmak üzere, bir (en) dizisi içeriyorsa, bu (en)

dizisine, X uzay ı n ı n bir Schauder baz ı denir. x toplam ı na sahip olan

E a ke k l<=1

serisine, x 'in (en ) baz ı na göre açtn ı m ı denir ve

x = E a ke k k=-1

(2)

(3)

50 yaz ı l ı r.

Örneğ in, 2.2.3 'de tan ı mlad ığı = QP uzay ı , e, = (4), yani, her bir en 'in n inci terimi 1, diğ er bütün terimleri 0 olmak üzere,

e l = (1,0,0,0,...)

e2 = (0,1,0,0, . ..)

( 4 )

şeklinde tan ı mlanan bir (e n ) Schauder baz ı na sahiptir denir. Bir Schauder baz ı na sahip olan normlu bir X uzay ı ayr ı labilirdir. (Tan ı m için 1.3.5 'e

bak ı n ı z). Bu teoremin basit olan ispat ı n ı okuyucuya b ı rak ı p, ifade olunan hükmün karşı t ı ile ilgilenelim. Acaba, her ayr ı labilir Banach uzay ı bir Schauder baz ı na sahip midir? Yakla şı k 65 y ı l önce, bizzat Banach taraf ı ndan ortaya at ı lan bu sorunun cevab ı , bilinen hemen hemen bütün ayr ı labilir Banach uzaylar ı n ı n bir Schauder baz ı na sahip olduklar ı gösterilebildiğ i için, olumlu olarak dü ş ünülmü ş ise de, 1973 'de P.Enflo, Schauder baz ı na sahip olmayan, ayr ı labilir bir Banach uzay ı in ş a etmeyi ba ş arm ış ve yukar ı daki sorunun cevab ı n ı n genelde "hay ı r" olduğ unu ortaya koymu ş tur.

Ş imdi de, son olarak, bundan önceki k ı s ı mda k ı saca sözünü ettiğ imiz, bir normlu uzay ı n tamlaş t ı r ı lmas ı problemine dönelim.

2.3.2. TEOREM (Tamlaş t ı rma). X = (X, II. 11) normlu bir uzay olsun. Bu durumda, bir

Banach uzay ı ve X 'den, yoğ un olan bir W altuzay ı üzerine bir A izometrisi

vard ı r. X uzay ı , izometrileri d ışı nda, tek'tir.

Ispat. Teorem 1.6.2 uyar ı nca, bir X = (X, --d) tam metrik uzay ı n ı n ve W, i'V‘ 'da yoğ un

olmak üzere, bir A : X -› W = A(X) izometrisinin varl ığı n ı ve X 'n ı n izometrileri d ışı nda

tek'liğ ini söyleyebiliriz. Buna göre, teoremimizi ispatlayabilmek için, X\' 'y ı bir vektör uzay

haline dönüş türmemiz ve daha sonra, X üzerinde uygun bir norm tan ı mlamam ı z gerekmektedir.

X üzerinde, bir vektör uzaya ili ş kin iki cebirsel iş lem tan ı mlayabilmek için, herhangi

E _X elemanlar ı yla, herhangi (x„) E :k- ve (y,i) E y temsilcilerini göz önüne alal ı m. 'X ve 5,- 'n ı n, X'deki Cauchy dizilerinin denklik s ı n ı flar ı olduklar ı n ı hat ı rl ı yoruz. z„ = x„ + y„ diyelim. Buna göre,

11z. — z.11-11x,i+y„ — (x„, + y„,) II ^Ilxn —xm ıı +Ilyas—Ym II

yaz ı labileceğ inden, (z,i ) dizisi de X 'de bir Cauchydir. -X ve y 'n ı n, î = z + -Y' toplam ı n ı , temsilci eleman] (z„) olan denklik s ı n ı fı olarak tan ı mlayal ı m; o halde, (z„) E 2' dir. Vermiş olduğ umuz bu tan ı m, X ve y 'ya ait Cauchy dizilerinin özel seçimlerinden bağı ms ı zd ı r. Gerçekten, K ı s.1.6 'daki (1) ifadesi, (x,,) (x,i) ve (yas ) () n ) olmas ı halinde,

llx„ +y„ — (x;, +y;,) :5. — Il 4- İ lYn - Ynı Il yaz ı labileceğ inden, (xn (x„ +y„' ) olduğ unu gösterir. Benzer ş ekilde, bir a

skaleriyle, X 'n ı n çarp ı m ı n ı , temsilci eleman' (ax„) olan, a:x". E ',Y çarp ı m ı olarak tan ı mlayaca ğı z. Burada da, yap ı lan tan ı m, 'X"' 'n ı n temsilci eleman ı n ı n özel seçiminden

bağı ms ı zd ı r. X 'n ı n s ı f ı r eleman ı , s ı fı ra yak ı nsayan tüm Cauchy dizilerini içeren denklik s ı n ı fı d ı r. Yukar ı da tan ı mlad ığı = iki iş lemin, tan ı m ı n gerektirdiğ i tüm özelikleri

51 gerçeklediğ ini kolayca gösterebiliriz; dolay ı s ı yla, .X' bir vektör uzayd ı r. Tan ı m ı ndan

yararlanarak, W üzerinde, X 'dan kaynaklanan vektör uzay i ş lemlerinin, A yard ı m ı yla X

'den elde edilen i ş lemlerle uyum içinde olduğ unu gösterebiliriz. Ayr ı ca, A, W üzerinde, her :1", = Ax E W 'deki değ eri 11511, = !kil olan bir L II i normu

doğ urur. W üzerinde buna kar şı l ı k gelen metrik ise, A 'nin izometrik olmas ı nedeniyle, 7/

'n ı n W 'ye k ı s ı tlamas ı d ı r. Her -.X' E X için, V? 11, = d('Ö,'"X) yazarak, it. II , normunu X 'ya

geniş letebiliriz. Gerçekten, II .II Z normunun, K ı s.2.2 'deki (N1) ve (N2) aksiyomlann ı gerçeklediğ i aş ikard ı r. Diğ er iki aksiyom olan (N3) ve (N4) ise, bir limit i ş lemiyle, L II,

normuna iliş kin özeliklerden elde edilir.

PROBLEMLER 1. c c Q" 'un, Q' 'un bir alt vektör uzay ı olduğ unu gösteriniz (Tan ı m için, 1.5.3 'e

bakma). Ayn ı soruyu, s ı f ı ra yak ı nsayan skaler terimli tüm dizilerin olu ş turduğ u co uzay ı için tekrarlay ı n ız.

2. Prob.1 'deki c o ' ı n, Q' 'un kapal ı bir altuzay ı olduğ unu ve dolay ı s ı yla, 1.5.2 ve 1.4.7 uyar ı nca, c o taml ığı n ı gösteriniz.

3. Q" 'da, yaln ı zca sonlu say ı da s ı f ı rdan-farkl ı terimi bulunan tüm dizilerden olu ş an altküme Y olsun. Y 'nin, Q' 'un bir altuzay ı olduğ unu, fakat, kapal ı bir altuzay ı olmad ığı n ı gösteriniz.

4. (Vektör Uzay i ş lemlerinin Normlu bir X uzay ı nda, vektör toplama ve skalerle çarpma i ş lemlerinin, norma göre, sürekli olduklar ı n ı , yani,

(x, y) x + y ve (a, x) -+ ax

ile tan ı mlanan dönüş ümlerin sürekli olduğ unu gösteriniz. 5. xn x ve yn y ise, x„ + y„ -+ x + y ve an a ve xn x ise, anx n -* ax olduğ unu

gösteriniz. 6. Normlu bir X uzay ı n ı n bir Y altuzay ı n ı ele alal ı m. Y 'nin kapan ış ! olan, T 'nin de

bir alt vektör uzay oldu ğ unu gösteriniz. 7. (Mutlak Yak ı nsakl ı k). by, II + lly2 + Ily3 ü +...'n ı n yak ı nsakl ığı n ı n, yi + y2 + y3 +...

'n ı n yak ı nsakl ığı n ı gerektirmeyebileceğ ini gösteriniz. (Yol Gösterme: Prob.3 'de

tan ı mlanan Y altuzay ı n ı ve y n = (775n) ), 17;:n) = 1 İn2 ve her j n için, rir = 0 olmak üzere,

tan ı mlanan (yn ) dizisini göz önüne al ı n ı z.) 8. Normlu bir X uzay ı nda, herhangi bir serinin mutlak yak ı nsakl ığı , daima, bu serinin

yak ı nsakl ığı n ı gerektiriyorsa, X'in tam oldu ğ unu gösteriniz. 9. Bir Banach uzay ı nda, mutlak yak ı nsak bir serinin yak ı nsak olduğ unu gösteriniz. 10. (Schauder Baz ı ). Bir Schauder baz ı na sahip olan normlu bir uzay ı n ayrtlabilir

olduğ unu gösteriniz. 11. en = olmak üzere, (en ) 'in, QP (I < p < oo) uzay ı için bir Schauder baz ı

olduğ unu gösteriniz. 12. (Yan-norm). Bir X vektör uzay ı üzerinde, K ı s.2.2 'de verilen (N1), (N3) ve (N4)

aksiyomlann ı gerçekleyen bir p : X ddnüş ümüne bir yan-norm ad ı verilir. (Baz ı yazarlar bu norma sözde (psedo)-norm demektedirler). Buna göre,

p(0) = 0.

Ip(x) - P(Y)I P(x -Y)

52

olduğ unu gösteriniz. (Dolay ı s ı yla, p(x) = 0 olduğ unda x = 0 oluyorsa, p bir normdur.) 13. Prob.12 'de, p(x) = 0 koş ulunu gerçekleyen x E X elemanlar ı n ı n, X 'in bir N

altuzay ı n ı oluş turduğ unu ve XIN üzerinde bir normun, x E X"' ve X E XIN olmak üzere, 113't Il o = p(x) ile tan ı mland ığı n ı gösteriniz. (Tan ı mlar için, K ı s.2.1 'de Prob.14 'e bak ı n ı z.)

14. (Bölüm Uzay ı ). Y, normlu bir (X, Ii. II) uzay ı n ı n kapal ı bir altuzay ı olsun. X/Y üzerinde bir iI. Il o normunun, "X' e X/Y, yani, 'J, Y 'nin herhangi bir e ş kümesi olmak üzere,

Irili ° =inf Ilx İ l XEX

ile tan ı mland ığı n ı gösteriniz. (K ı s.2.1, Prob.14 'e bak ı n ı z.) 15. (Normlu Uzaylar ı n Çarp ı m ı ). (XI, Ii. il i ) ve (X2, II. 112) iki normlu uzay olsun.

X = XI x X2 vektör uzay çarp ı m ı n ı n,

11x11 = max(11x ı ll i ,11x211 2 ) = (x ı ,x2))

ile tan ı mlanan norm alt ı nda bir normlu uzaya dönüş tüğ ünü gösteriniz.

2.4. SONLU BOYUTLU NORMLU UZAYLAR VE ALTUZAYLAR Sonsuz boyutlu normlu uzaylar ı n, sonlu boyutlu normlu uzaylardan daha önemli

olmalar ı na karşı n, sonlu boyutlu uzaylar, çeş itli alanlarda, örne ğ in, yaklaşı m teorisinde ve spektral teoride, önemli rol oynarlar. Bu konuda söylenecek çok say ı da ilginç şey vard ı r. Bu nedenle, bu ve bundan sonraki k ı s ı mda, bunlar hakk ı nda baz ı temel kavram ve özeliklere değ ineceğ iz.

Arzu edilen tipteki sonuçlar için önemli bir kaynak a ş ağı daki lemma olacakt ı r. 2.4.1. LEMMA. (Lineer Kombinasyon). {x l ,...,x„} (herhangi boyutlu) normlu bir X

uzay ı n ı n vektörlerinden oluş an lineer bağı ms ı z bir küme olsun.Bu durumda, ah..., an skalerlerinin her seçimi için,

Ila +...+anx„ c(la I +—Hani) (1)

olacak şekilde bir c > 0 say ı s ı vard ı r. ispat. s = la, I +...+Ia n i yazal ı m. s = 0 ise, a, 'lerin tümü birden s ı fı r olup, dolay ı s ıyla,

(1) eş itsizliğ i, herhangi bir c say ı s ı için gerçeklenir. s > 0 alal ı m. Bu durumda, (1) eş itsizliğ i, (1) 'in her iki yan ı n ı s ile bölüp, fij = a,ls yazarak elde edeceğ imiz,

(n

1113 ı x ı +...±(3,,xn Il c Elal = 1 (2)

r=1

eş itsizliğ ine denktir. O halde, »i l = 1 olmak üzere, her p i ,...,p, skaler n-lisi için, (2)

gerçeklenecek şekilde bir c > 0 say ı s ı n ı n varl ığı n ı ispatlamak yetertidir. Bir an için bunun doğ ru olmad ığı n ı varsayal ı m. Bu durumda,

n y. = fi(ini)x, = 1

olmak ve m 00 için,

11.Y.11 0

koş ulu gerçeklenmek üzere, bir (y.) vektör dizisi vard ı r. Elpr) I = 1 olduğ undan,

53 I fir (< 1 yazabiliriz. Bu nedenle, her bir sabit j için.

(Ar ' ) = (P2 ), P52 ', ) dizisi s ı n ı rl ı d ı r. Sonuç olarak, Bolzano-Weierstrass teoremi uyar ı nca, (firi) ) dizisinin

yak ı nsak bir altdiziye sahip oldu ğ u ortaya ç ı kar. fi l bu altdizinin limitini ve (y,,„,) ise, (ym )

'in söz konusu altdizisini belirtsin. Ayn ı düş ünceyle, (y ı ,.) dizisinin bir (y2,m) altdizisine

sahip olduğ unu söyleyebiliriz; burada da, [3 m) skalerlerinden olu ş an altdizi yak ı nsak olacakt ı r. Bu dizinin limitini ise /32 ile gösterelim. Bu yolla devam ederek, n ad ı m sonra, (y„,) 'in,

n,m) = n,I,Y n,2, • • • )

ş eklinde bir altdizisini elde ederiz. Bu dizinin terimleri,

y„,m = y.."'")x; ı=1 ı

n =

-1

ş eklinde olup, y51") skalerleri, m co için, (m) -› /3; koşulunu gerçekler. Dolay ı s ı yla,

= 1 olmak üzere, m y Go için,

Y n,m — Y = Eflixi

yazabiliriz. O halde, fi, 'lerin tümü birden s ıf ı r olamaz. lineer bağı ms ı z bir küme olduğ undan, y 0 olmal ı d ı r. Diğ er taraftan, normun süreklili ğ i nedeniyle, ynm -+ y

olmas ı ,I İ LY»,.11 -› Ily Il sonucunu gerektirir. Kabul gere ğ i, IlY.11 0 olduğ undan ve (y„„),

(y.) 'in bir altdizisi olduğ undan, 0 olmal ıd ı r. O halde, Ilyll = 0 olup, K ı s.2.2 'deki (N2) aksiyomu uyar ı nca, y = 0 bulunur. Bu ise, y # 0 sonucuyla çeliş ir ve lemma ispatlanm ış olur.

Bu lemman ı n ilk uygulamas ı olarak, aşağı daki temel teoremi ispatlayaca ğı z. 2.4.2. TEOREM. (Taml ı k). Bir X normlu uzay ı n ı n, sonlu boyutlu her Y altuzay ı

tam'd ı r. Özel olarak, sonlu boyutlu her normlu uzay tam'd ı r. ispat. Y 'de keyfi bir (y.) Cauchy dizisi ele al ı p, bu dizinin, Y 'de yak ı nsak olduğ unu

göstereceğ iz; dizinin yak ı nsayacağı limiti de y ile belirtelim. dim Y = n ve {e ı ,...,en }, Y 'nin herhangi bir baz ı olsun. Bu durumda her bir y.,

ym = a (im) ei +...+a;Men

şeklinde tek bir gösterime sahiptir. (ym ) bir Cauchy dizisi olduğ undan, her E > 0 say ı s ı için, m,r > N olmak üzere, bir c > 0 say ı s ı iç n,

n

E > IlYm - yr Il = E(a J alr)) el i=i

n

cElaf - aş' ) I j=1

yazabiliriz. Burada, c > 0 say ı s ı yla yapacağı m ız bölme iş lemi, m,r > N olmak üzere.

Ict m) - aJç r) I < E taJç') - J < EÎC — j=1

54 sonucunu verir. Bu ise,

(

a (nı ) ) = (a (1) a2) • " ) = 1,...,n) J J

ş eklinde ifade edilen n tane dizinin her birinin, R. 'de ya da C 'de Cauchy oldu ğ unu gösterir. O halde, bunlar yak ı nsakt ı r. Bu dizilerin yak ı nsad ığı limitleri aj ile belirtelim. a , an olarak bulduğ umuz bu n tane limiti kullanarak,

y = aie, +...+anen

tan ı m ı n ı yaparsak, y E Y olduğ unu aç ı kça görürürz. Ayr ı ca,

IlYm - Y11 = (a j(m) - aj)ej E laj(m) - ai t IIeİ II

yazabiliriz. Sağ tarafta, aj(m) ai olmaktad ı r. Dolay ı s ı yla, il ym - .32 İ I -+ 0, yani, ym y 'dir.

Bu ise, (ym ) dizisinin Y 'de yak ı nsak olduğ unu gösterir. Ve, (ym) 'in Y 'de keyfi bir Cauchy dizisi olarak seçilmi ş olmas ı nedeniyle, elde edilen bu sonuç, Y 'nin taml ığı n ı ispatlar.

lspatlad ığı m ı z bu teorem ile Teorem 1.4.7 'yi göz önüne al ı rsak, a ş ağı daki teoremi ifade edebiliriz:

2.4.3. TEOREM. (Kapal ı l ı k). Normlu bir X uzay ı n ı n, sonlu boyutlu her Y altuzay ı , X 'de kapal ı d ı r.

ilerideki çal ış malar ı m ı zda bu teoreme bir çok kez gereksinim duyaca ğı z. Burada, sonsuz boyutlu uzaylar ı n kapal ı olmak zorunda bulunmad ığı n ı belirtmemiz

gerekmektedir. Örnek. X = C[0,1] ve xı (t) = ti olmak üzere, Y = span(xo,x ı ,...) olsun. Dolay ıs ı yla, Y

kümesi tüm polinomlardan olu ş maktad ı r. Y, X 'de kapal ı değ ildir,(Neden?) Sonlu boyutlu bir X vektör uzay ı n ı n diğ er bir ilginç özeliğ i de, X üzerindeki bütün

normlann, bizi X için ayn ı topolojiye götürmesidir; yani, X üzerindeki normun özel seçimine bağ l ı olmaks ı z ı n, X üzerindeki aç ı k altkümeler ayn ı olmaktad ı r (K ı s.1.3 'e bak ı n ı z). Konuya biraz daha aç ı kl ı k getirmek için, a ş a ğı daki tan ı m ı verelim.

2.4.4.TANIM. (Eşdeğ er Normlar).Bir X vektör uzay ı üzerinde bir L Il normuyla, di ğ er bir İİ . İ l o normunu göz önüne alal ı m. Eğ er, her x E X için,

allxii o 5_ 114 5_ bilx IL°

( 3 ) olacak ş ekilde, pozitif a ve b say ı lar ı varsa, ll. ll ve II-Ilo normlar ı eşdeğ er'dir denir.

Bu kavram ı aş ağı daki hükümle ş ekillendirebiliriz:

X üzerindeki eşdeğer normlar, X için ayn ı topolojiyi tan ımlar.

Gerçekten bu hükmün do ğ ruluğ unu, (3) 'den ve bo ş olmayan her aç ı k kümenin aç ı k yuvarlar ı n bir birle ş imi olduğ u gerçeğ ini (Kı s.1.3, Prob.4) kullanarak gösterebiliriz. Format bir ispat için gerekli ayr ı nt ı lar ı (Prob.4) ve (X,11. ll) ve (X, L ll o) 'daki Cauchy

dizilerinin ayn ı olduğ unun gösterilmesini (Prob.5) okuyucuya b ı rak ı yoruz. 2.4.5. TEOREM (E şdeğ er Normlar). Sonlu boyutlu bir Xvektör uzay ı nda, herhangi

bir İİ . İİ normu, diğ er herhangi bir İ j. Il o normuna eşdeğ erdir.

ispat. dim X= n ve X 'in herhangi bir baz ı {el,...,e,i } olsun. Bu durumda, her x E X eleman, bir tek

x = a +...+anen

gösterimine sahiptir. Lemma 2.4.1 uyar ı nca,

55 Ilxll k c(ia +... +la n i)

olacak ş ekilde, pozitif bir c sabitinin varl ığı n ı söyleyebiliriz. Öte yandan,üçgen e ş itsizliğ i,

jlxll o Elaj I Ile, II o < (k =max Iki Il ) ı =1

sonucunu verir. Bu ikisini birlikte göz önüne al ı rsak, a = cl k > 0 olmak üzere,

aitx it o 5_ 'kil elde ederiz.

(3) 'deki diğ er eş itsizlik ise, yukar ı da izlediğ imiz düş ünce ş eklinde, ll. ll ile . Il o ' ı n

rolleri değ iş tirilerek elde edilir. Uygulama aç ı s ı ndan önemli olan bu teorem, örne ğ in, sonlu boyutlu bir vektör

uzay ı nda, bir dizinin yak ı nsakl ı k ya da ı raksakl ığı n ı n, bu uzay üzerindeki normun özel seçimine bağ l ı olmad ığı n ı belirtir.

PROBLEMLER 1. r ve 'nin, kapal ı olmayan altuzaylanna örnekler veriniz. 2. X= R 2 , XI (1, 0) ve xı = (0,1) al ı nmas ı halinde, (1) 'de ad ı geçen en büyük c

sabiti ne olur? Ayni soruyu, X = R 3 , x ı = (1,0,0), x2 = (0,1,0) ve x3 = (0,0,1) için tekrarlay ı n ı z.

3. Tan ı m 2.4.4 'de denkiik ba ğı nt ı s ı aksiyomlar ı n ı n gerçeklendiğ ini gösteriniz. 4. Bir X vektör uzay ı üzerindeki e ş değ er normlar ı n, X için, ayni topolojiyi

c ,,ğ urduğ unu gösteriniz. 5. 11. 11 ve 11. Il o , X üzerinde eşdeğ er normlar ise, (X, L 11) ve (X, II. 11 0) 'daki Cauchy

dizilerinin ayn ı olduklar ı n ı gösteriniz. 6. Teorem 2.4.5 uyar ı nca, K ı s.2.2, Prob.8 'de tan ı mlanan 11.11 2 ve 11. 11. normlar ı

eşdeğ erdir. Bu gerçe ğ i belirleyen direkt bir ispat veriniz. 7. L 11 2 normu, K ı s.2.2, Prob.8 'de verildi ğ i gibi al ı ns ı n ve II. jj, X uzay ı üzerindeki

herhangi bir norm olsun. (2.4.5 'i kullanmaks ı z ı n) her x için,

114 5 bIlx11 2

olacak şekilde pozitif bir b sabitinin varolduğ unu doğ rudan doğ ruya gösteriniz. 8. K ı s.2.2, Prob.8 'de verilen, II.1j ı ve H. 11 2 normlann ı n,

I llxll 1 _5 Ilx11 2 5 llxll ı

eş itsizliğ ini gerçekledi ğ ini gösteriniz. 9. Bir X vektör uzay ı üzerindeki Il. II ve 11 0 gibi iki norm eşdeğ er ise, (i)

Ilx. - x11 0 ve (ii) 11xn -x11 0 0 ifadelerinin karşı l ı kl ı olarak birbirlerini gerektirdi ğ ini

gösteriniz. 10. m ve n sabit say ı lar olmak üzere, kompleks terimli m x n tipindeki tüm A ---- (aik)

matrislerinin, mn -boyutlu bir Z vektör uzay ı oluş turduğ unu gösteriniz. Bu Z uzay ı için, K ı s.2.2, Prob.8 'deki H. H i ve 11. 11 2 'nin benzerleri ne olabilir.

2.5. KOMPAKTLIK VE SONLU BOYUT Sonlu boyutlu normlu uzaylarla, bunlar ı n altuzaylar ı n ı n diğ er baz ı temel özelikleri

kompaktl ı k kavram ı na iliş kindir. Bu kavram ı aş ağı daki şekilde tan ı mlayabiliriz.

56 2.5.1. TANIM (Kompaktl ı k). Bir X mekik uzay ı verilmiş olsun. Eğ er X 'deki her dizi

yak ı nsak bir altdiziye sahip ise, X uzay ı kompakt't ı r denir. X 'in bir M altkümesi, X 'in bir altuzay ı olarak ele al ı nd ığı nda kompakt oluyorsa, yani, M 'deki her dizi, limiti M 'nin bir eleman' olan yak ı nsak bir diziye sahip ise, M 'ye kompakft ı r diyeceğ iz.

Uyar ı : Burada tan ı mlad ığı m ı z kompaktl ı k, analizdeki en önemli kompaktl ı k tipi olan dizisel kompaktl ı k't ı r. Bu tan ı min d ışı nda iki tür daha kompaktl ı k varsa da, metrik uzaylarda bu üç kavram birbirine denk olmakta ve dolay ı s ı yla, çal ış malar ı m ı z s ı ras ı nda bu farktan söz etmememiz bir sak ı nca yaratmamaktad ı r.

Kompakt kümelere ait genel bir özeti ğ i aşağı daki lemmada ifade edece ğ iz. 2.5.2. LEMMA (Kompaktl ı k). Bir metrik uzay ı n kompakt bir Maltkümesi kapal ı ve

s ı n ı rl ı d ı r, ispat. Her x E M için, M 'de, xn x olacak ş ekilde bir (xn ) dizisi vard ı r; 1.4.6(a) 'ya

bak ı n ız. M 'nin kompakt olmas ı nedeniyle, x e M yazabiliriz. O halde, x E M keyfi olarak al ı nd ığı ndan, M 'nin kapal ı olduğ u ortaya ç ı kar. Ş imdi de M 'nin s ı n ı rl ı olduğ unu ispatlayaca ğı z. M s ı n ı rs ı z olsayd ı , b herhangi bir sabit eleman olmak üzere, d(yn,b) > n

olacak şekilde s ı n ı rs ı z bir (ya ) dizisi içerirdi. Lemma 1.4.2 uyar ı nca, yak ı nsak bir altdizinin s ı n ı rl ı olmas ı gerekeceğ inden, söz konusu dizi yak ı nsak bir altdiziye sahip olamaz. Bu da ispat ı m ı z ı tamamlar.

Bu lemman ı n karşı t ı , genelde, doğ ru değ ildir. ispat. Bu önemli gerçe ğ i ispatlayabilmek için, en = (8.), yani, n. terimi 1, diğ er bütün

terimleri 0 olmak üzere, Q 2 'de (en) dizisini göz önüne alal ı m (K ı s.2.3, For.(4)'e bak ı n ı z). İİ en İ(= 1 olduğ undan, bu dizi s ı n ı rl ı d ı r. Bu dizinin terimleri, y ığı lma noktas ı na sahip olmad ı klar ı için, kapal ı olan bir nokta kümesi olu ş turur. Ve ayn ı nedenle, bu nokta kümesi kompakt

Buna karşı l ı k, sonlu boyutlu normlu bir uzayda aş ağı daki teoremi verebiliriz: 2.5.3. TEOREM (Kompaktl ı k). Sonlu boyutlu normlu bir X uzay ı nda, herhangi bir

M c Xaltkümesinin kompakt olmas ı için gerek ve yeter koş ul, M 'nin kapal ı ve s ı n ı rl ı olmas ıd ı r.

ispat. Kompaktl ı k, Lemma 2.5.2 gere ğ ince, kapal ı l ı k ve sinirliliğ i gerektireceğ inden, teoremin karşı t k ı sm ı n ı ispatlamam ız yeterli olacakt ı r. M, kapal ı ve s ı n ı rl ı olsun. dimX = n alal ı m ve {e i ,••.,en }, M 'nin bir baz ı olsun. M 'de herhangi bir (x.) dizisini göz önüne alal ı m. Her bir x.,

x. = 4(i'") e İ + +4" )̀ e a

şeklinde bir gösterime sahiptir. M 'nin s ı n ı rl ı olmas ı nedeniyle, (x„,) de s ı n ı rlid ı r; her ın

için, Ilx„,11 5 k diyelim. Lemma 2.4.1 uyar ı nca, c > 0 olmak üzere,

k > İİ xm İİ = E inoe., ?_,E( not j-1

yazabiliriz. O halde, j sabit olmak üzere, ( .;frı ) ) say ı dizisi s ı n ı rl ı olup,

Bolzano-Weierstrass teoremi uyar ı nca, bir (1 < j < n) yığı lma noktas ı na sahiptir.

Buna göre, Lemma 2.4.1 'in ispat ı nda olduğ u gibi, (x.) dizisinin, z = E ej 'ye

yak ı nsayan bir (z.) altdizisine sahip oldu ğ u sonucunu ç ı kartabiliriz. M kapal ı olduğ undan, z E Molur. Bu ise. M 'deki keyfi bir (x.) dizisinin, M 'de yakinsayan bir altdiziye sahip olduğ unu gösterir. Dolay ıs ıyla, M kompaktt ı r.

İ ncelemelerimiz, EV 'de (ya da sonlu boyutlu herhangi bir normlu uzayda) kompakt

57 aitkümelerin, kesinlikle kapal ı ve sinirli altkümeler olduğ unu göstermi ş tir. Bu nedenle, bu özelik (kapal ı l ı k ve sinirlilik) kompaktl ığı n tan ı mlanmas ı için kullan ı labilir. Ancak sonsuz boyutlu uzaylarda bunu yapamay ı z.

Aşağı daki lemma, konuya iliş kin diğ er ilginç sonuçlar için bir kaynak niteli ğ indedir. 2.5.4. F.RIESZ LEMMASI. Y ve Z, herhangi boyutlu normlu bir X uzay ı n ı n

altuzaylar ı olsun. Y 'nin kapal ı olduğ unu ve ayn ı zamanda, Z 'nin gerçek bir altkümesi olduğ unu kabul edelim. Bu durumda, (0,1) aral ığı ndaki her O say ı s ı için,

Hz] = 1 ve her y e Y için hz -y Il _k O

olacak şekilde bir z E Z vard ı r. ispat. Herhangi bir v E Z- Yeleman ı n ı göz önüne alal ı m ve bunun Y 'ye olan

uzakl ığı n ı a ile gösterelim, yani,

a =inf Ii v - y il ',EY

olsun. (Ş ekil 19)

I

Ş ekil 19. Riesz Lemmas ı n ı n

ispat ı ndaki gösterimler

Y kapal ı olduğ undan, a > 0 olduğ u aç ı kça görülmektedir. Ş imdi herhangi bir

O E (0,1) alal ı m. infimum tan ı m ı gereğ ince,

a 5_ liv -yoti 5, al0

(i )

olacak şekilde, biryo E Y vard ı r (burada, 0 < O < 1 olduğ undan, al0 > a olduğ una dikkat

ediniz). c = 1/II v -yo II olmak üzere,

z = c(v -yo)

diyelim. Bu durumda, Ild = 1 'dir. Ve hery E Y için, Hz -yll > O olduğ unu gösterebiliriz:

y ı - yo + c'y olmak üzere,

Ilz —y II = 11c(v —yo) —yll

= e lli, —yo — c'y II = elly —y ı Il

58 yazabiliriz. y 'in yap ı s ı , yIEY olduğ unu gösterir. O halde, a 'n ı n tan ı m ı nedeniyle,

11 v -yi li > a 'd ı r. e 'nin değ erini yaz ı p, (1) 'i de kullanarak,

Ilz -Yll = clIv -y ı 11 ca = a > a = o

v - al°

elde ederiz. Bu ise, y E Y 'nin keyfi oldu ğ u hat ı rlan ı rsa, ispat ı tamamlar. Sonlu boyutlu normlu bir uzayda, kapal ı birim yuvar, Teorem 2.5.3 gere ğ ince,

kompaktt ı r. Tersine olarak, Riesz Lemmas ı , aş ağı daki yararl ı sonucu verir: 2.5.5.TEOREM (Sonlu Boyut). Normlu bir X uzay ı nda, kapal ı M= {x : 114 5 1}

birim yuvan kompakt ise, Xsonlu boyutludur.

ispat. M 'nin kompakt, fakat dim X = Go olduğ unu kabul edelim ve bu kabulün bizi bir çeliş kiye sürüklediğ ini gösterelim. Normu 1 olan, herhangi bir x i eleman! seçelim. Bu x i

elemanı , X 'in, bir boyutlu bir XI altuzay ı n ı oluş turur. Bu altuzay kapal ı olup (2.4.3 'e bak ı n ı z), dim X= co olduğ undan, X 'in bir gerçek altuzay ı d ı r. Riesz lemmas ı gereğ ince,

Ilx2 - x ı II = 1/2

olacak ş ekilde, normu 1 olan bir X2 E Xeleman ı vard ı r. x ı ve x2 elemanlar ı , X 'in iki boyutlu ve kapal ı gerçek bir X2 altuzay ı n ı oluş turur. Yine

Riesz lemmas ı uyar ı nca, her x E X2 için,

11x3 -x11 1/2

olacak ş ekilde, normu 1 olan bir x3 eleman, vard ı r. Özel olarak,

11x3 Il? 1/2

Ilx3 - x211 k. 1/2

dir. Tümevar ı m yoluyla,

Ilxm - x,11 > 1/2

olacak ş ekilde, xn E X elemanlar ı ndan oluş an bir (xn ) dizisi elde ederiz. Aç ı kca görüldüğ ü gibi, (xn) dizisi yak ı nsak bir altdiziye sahip olamaz. Bu ise, M 'nin kompaktl ığı ile çeliş ir. O halde, dim X = 00 kabulümüz hatal ı olup, dim X < co olur.

Çeş itli uygulama alanlar ı na sahip olan bu teoremi, kompakt operatörlere ili ş kin konularda temel bir araç olarak kullanaca ğı z.

Fonksiyonel analizde önemli bir yer tutan kompakt kümeler, sonlu kümelerinkine benzeyen ve kompakt olmayan kümelerce payla şı lmayan baz ı temel özeliklere sahiptir. Sürekli dönü ş ümlere iliş kin olarak ifade edilen önemli bir özelik, kompakt kümelerin kompakt görüntülere sahip olmas ı d ı r:

2.5.6. TEOREM (Sürekli Dönü ş üm). X ve Y metrik uzaylar ve T : X Y sürekli bir dönüş üm olsun (1.3.3 'e bak ı n ı z). Bu durumda, X 'in kompakt bir Maltkümesinin T

alt ı ndaki görüntüsü de kompaktt ı r. ispat. Kompaktl ığı n tan ı m ı gereğ i, T(M) c Y görüntüsündeki her (yn ) dizisinin, T(M)

'de yak ı nsayan bir altdiziye sahip oldu ğ unu göstermek yeterlidir. y n E T(/14) olduğ undan, bir xn E M için, yn E Txn yazabiliriz. M 'nin kompakt olmas ı nedeniyle, (xn) dizisi, M

'de yak ı nsayan, bir (x„) altdizisi içerir. (x„) 'n ı n görüntüsü ise, (yn ) 'in, T 'nin sürekli

olmas ı nedeniyle, 1.4.8 uyar ı nca, T(M) 'de yak ı nsayan bir altdizisidir. Dolay ı s ıyla, T(M) kompaktt ı r.

Bu teoremin ışığı alt ı nda, sürekli fonksiyonlar için analizden bildiğ imiz bir özeliğ i metrik uzaylara aktaran bir sonucu ç ı kartabiliriz:

59 2.5.7. SONUÇ (Maksimum ve Minimum). Bir X metrik uzay ı n ı n kompakt bir M

altkümesini, R 'nin içine dönü ş türen sürekli bir T dönüş ümü, M 'nin baz ı noktalar ı nda bir maksimum ve bir minimuma sahiptir.

Ispat. T(M) c D8 , Teorem 2.5.6 gere ğ ince kompakt olup, Lemma 2.5.2 uyar ı nca, kapal ı ve s ı nirl ı d ı r. Dolay ı s ı yla, inf T(M) E T(M) ve supT(M) e T(M) yaz ı labilir. Bu iki noktan ı n ters görüntüleri ise, M 'nin, Tx 'in, s ı ras ı yla, minimum ve maksimum değ erlere ulaş t ığı noktalardir.

PROBLEMLER 1. R" ve C" 'in kompakt olmad ığı n ı gösteriniz. 2. Sonsuz çoklukta noktadan olu ş an bir X diskre metrik uzay ı n ı n kompakt olmad ığı n ı

gösteriniz. (Tan ı m için, 1.1.8 'e bak ı n ı z.). 3. R, 2 düzleminde, kompakt ve kompakt-olmayan e ğ rilere örnekler veriniz. 4. s uzay ı n ı n sonsuz bir M altkümesinin kompakt olmas ı için gerek ko ş ulun, her

x = (i,(X)) E M için, gk(x); < Y k olacak şekilde, y 1,r2,... say ı lar ı n ı n varl ığı olduğ unu gösteriniz. (Bu koş ulun, M 'nin kompaktl ığı için yeterli oldu ğ u da gösterilebilir.). (s uzay ı n ı n tan ı m ı için, 2.2.8 'e bak ı n ı z.).

5. (Yerel Kompaktl ı k). Bir X metrik uzay ı verilmi ş olsun. Eğ er, X 'in her noktas ı kompakt bir kom ş uluğ a sahip ise, X 'e yerel kompakt't ı r denir. R ve C 'nin ve daha genel olarak, R" ve Cn 'in yerel kompakt olduğ unu gösteriniz.

6. Kompakt bir X metrik uzay ı n ı n yerel kompakt oldu ğ unu gösteriniz. 7. 2.5.4. Riesz lemmas ı nda, dim Y < co ise, 0 = 1 bile seçilebileceğ ini gösteriniz. 8. K ı s.2.4, Prob.7 'de (2.4.5 'i kullanmaks ı z ı n), allx Il 2 < IIX il olacak ş ekilde bir a > 0

say ı s ı n ı n var olduğ unu doğ rudan doğ ruya gösteriniz. (2.5.7 'yi kullan ı n ı z). 9. X, kompakt bir metrik uzay ve M c X kapal ı ise, M 'nin kompakt olduğ unu

gösteriniz. 10. Xve Y iki metrik uzay, X kompakt ve T : X -› Y dönüş ümü bire-bir , örten ve

sürekli olsun. T 'nin bir homeomorfizm olduğ unu gösteriniz (Tan ı m için, K ı s.1.6, Prob.5 'e bak ı n ı z.).

2.6. LiNEER OPERATÖRLER Analiz derslerinde, R reel doğ rusunu ve R 'nin (ya da, R 'nin bir altkümesinin)

üzerinde tan ı ml ı reel değ erli fonksiyonlar ı incelemiş tik. Aş ikar olarak, böyle herhangi bir fonksiyon, kendi tan ı m kümesinden, R. 'nin içine olan bir dönü ş ümdür. Fonksiyonel

analizde ise, metrik uzay ve normlu uzay gibi, daha genel uzaylar ı ve dönüş ümleri inceleyeceğ iz.

Vektör uzaylar ve özellikle, normlu uzaylar söz konusu oldu ğ unda tan ı mlanacak

dönüş ümlere bir operatör ad ı verilir. Ilginç olan operatörler, a ş ağı daki tan ı mda belirlendiğ i anlamda, vektör uzaya ili ş kin iki

cebirsel iş lemi koruyan operatörlerdir. 2.6.1. TANIM (Lineer Operatör). Bir T lineer operatörü, a ş ağı daki özelikleri

gerçekleyen bir operatördür: (i) T 'nin D(T) tan ı m bölgesi bir vektör uzay olup, R(T) 'değ er bölgesi, ayn ı cisim

üzerinde bir vektör uzayd ı r.

60 (ii) Her x,y E D(T) ve a skaleri için,

T(x + y) = Tx + Ty ( ı )

T(ax) = aTx

dir. Bundan böyle, fonksiyonel analizde standart olarak kullan ı lan bir gösterime bağ l ı

olarak, T(x) yerine Tx yazaca ğı z. Ayr ı ca, notlar ı m ı z ı n bundan sonraki k ı s ı mlar ı nda,

D(T) ile, T ' nin tanım bölgesini

R(7) ile,T !nin de ğer bölge sin

N(T) ile de, T 'nin s ıfır uzay ı n!

gösterece ğ iz. Tan ı m olarak, T 'nin s ı f ı r uzay ı , Tx = 0 koş ulunu gerçekleyen tüm x e D(T)

elemanlar ı ndan oluş ur. (S ı fı r uzay ı yerine kullan ı lan diğ er bir deyim de çekirdek'dir. Ancak biz çekirdek deyimini ileride integral denklemler teorisinde kullanmak amac ı yla saklayacağı z.)

T operatörünün D(T) tan ı m bölgesi ile, R(T) değ er bölgesi aras ı nda bir eş leme olduğ unu göz önünde bulundurursak, üzerine ve içine operatör tan ı mlar ı nr burada da verebiliriz. X ve Y, her ikisi de reel , ya da her ikisi de kompleks, iki vektör uzay olmak üzere, D(7') c X ve R(7) c Y olsun. Bu durumda, T, D(7) 'den R(7) üzerine bir operatör (ya da dönüş üm) olup,

T : D(7) R(T)

olarak yaz ı l ı r. D(T) 'den Y 'nin içine bir operatör ise,

T : D(T) --> Y

olarak belirtilir. E ğ er, D(7) tan ı m bölgesi, X uzay ı n ı n tümü ise, bu -ve yaln ızca bu-durumda,

T : X -› Y

yazaca ğı z. Aç ı kça görüldüğ ü gibi, (1) ifadesi,

T(ax + ğ3y) = aT(x) + ğ3T(y)

(2)

ile eşdeğ erdir. (1) 'de a = 0 alarak, ilerideki çal ış malar ı m ı zda s ı k s ı k gereksinme duyaca ğı m ız bir

formülü elde ederiz:

T O = O.

(3) (1) formülü, lineer bir T operatörünün, bir vektör uzay ı n (kendi tan ı m bölgesi) diğ er bir vektör uzay içine olan bir homomorfizmi oldu ğ unu ifade eder; yani, T dönüsümü, vektör uzaya iliş kin iki iş lemi, aş ağı daki anlamda, korur. (1) 'in sol taraf ı nda, önce bir vektör uzay iş lemi (toplama ya da skalerle çarpma) uygulay ı p, elde edilen vektörü, Y 'nin içine dönü ş türmemize karşı l ı k, sağ tarafta, önce x ve y 'yi Y 'nin içine dönü ş türüp, daha sonra, Y 'de vektör uzay i ş lemlerini uygularsak, her ikisinde de elde edece ğ imiz sonuç ayn ı olacakt ı r. Bu özelik lineer uzaylar ı önemli hale getirir. Bunun yan ı s ı ra, lineer operatörier vektör uzaylar üzerinde tan ı mland ığı ndan, vektör uzaylar fonksiyonel analizde önemli bir yer tutar.

61 Ş imdi, lineer operatörlere ili ş kin baz ı temel örneklerden söz edece ğ iz. Her bir

örnekteki operatörün lineer olup olmad ığı n ı n gösterilmesini okuyucuya b ı rak ı yoruz. ÖRNEKLER. 2.6.2. özdeş lik Operatörü. tv : X X özdeş lik operatörü, her x e X için, /xx = x

eş itliğ i ile tan ı mlan ı r. Kolayl ı k amac ı yla, tx, yerine yaln ı zca / yazaca ğı z; o halde, lx = x

olacakt ı r. 2.6.3. S ı f ı r Operatörü. O : X -› Y s ı f ı r operatörü, her x e X için, Ox = 0 ile tan ı mlan ı r. 2.6.4. Türev Operatörü. X, [a,b] üzerinde tan ı ml ı tüm polinomlardan olu ş an vektör

uzay olsun. O notasyonu, t 'ye göre türetmeyi göstermek üzere, her x e X için,

Tx(t) = x' (t)

yazarak, X üzerinde bir lineer T operatörü tan ı mlayabiliriz. Bu T operatörü X 'i kendi üzerine dönü ş türür.

2.6.5. İ ntegral Operatörü. ga,b] 'den kendi içine lineer bir T operatörü,

Tx(t) = S x( ı )dz (t E [a,b])

ile tan ı mlanabilir. 2.6.6. t ile Çarpma Operatörü. C[a,b] 'den kendi içine di ğer bir lineer operatör,

Tx(t) = ıx(t)

ile tan ı mlan ı r. 2.6.7. Elemanter Vektör Cebri. Bir çarpan ı sabit tutulmak koş uluyla, vektörel

çarp ı m,lineer bir Tl = 118 3 -+ R' operatörü tan ı mlar. Benzer ş ekilde, yine bir çarpan ı sabit tutulmak üzere, skaler çarp ı m lineer bir T2 : [I8 operatörü tan ı mlar: a = (a.,) E K 3

sabit olmak üzere,

T2x = x.a = 4 i cı i -ı<2a2+4 3 a 3 •

2.6.8. Matrisler. r sat ı rh ve n kolonlu„ reel bir A = (a k) matrisi,

y = Ax

eş itliğ i yard ı m ı yla, bir T : u8n -› BU operatörü tan ı mlar; burada, x = n tane bileşene, y = (ni ) ise, r tane bile ş ene sahip olup, her iki vektör de, matris çarp ı m ı na uygun

olabilmeleri için birer kolon vektörü olarak yaz ı l ı rlar. y = Ax 'i aç ı k olarak yazarsak,

r1 ı 1 r al ı a ı 2 • • • a ı n 5 ı

a2I a22 • • • azn

Tı r Ur! ar2 • • • cern 411

elde ederiz. Matris çarp ı m ı lineer bir iş lem olduğ undan, tan ı mlanan T operatörü lineerdir. Eğ er A matrisi kompleks olsayd ı , Cn 'den Cr içine lineer bir operatör tan ı mlard ı .

Matrislerin lineer operatörlere ili ş kin rolleri, K ı s.2.9 'da ayr ı nt ı l ı olarak incelenecektir. Verdiğ imiz bu örneklerde, lineer operatörlerin de ğ er bölgeleriyle, s ı f ı r uzaylar ı n ı n

birer vektör uzay olduğ unu kolayca gösterebiliriz. Bu tipik bir özeliktir. Ş imdi, lineerliğ in basit ispatlarda nas ı l kullan ı ld ığı n ı da görerek, bu gerçe ğ i ispatlayaca ğı z. Ve söz konusu teorem, ilerideki çal ış malar ı m ı zda da çeş itli uygulama alanlar ı na sahip olacakt ı r.

6 2 2.6.9 TEOREM (Değ er Bölgesi ve S ı f ı r Uzay ı ). T lineer bir operatör olsun. Bu

durumda, (a) R(7) değ er bölgesi bir vektör uzayd ı r. (b) dim D(7) = n < co ise, dim R(7) < n 'dir. (c) N(T) s ıf ı r uzay ı bir vektör uzay ı d ı r. Ispat. (a) Herhangi yi,y2 e R(7) elemanlar ı al ı p, herhangi a, fi skalerleri için,

ay ı + fiy2 E R(T) olduğ unu göstereceğ iz. y ı ,y2 E R(7) olduğ undan, uygun x ı ,x2 E D( 7) elemanlar ı için, y ı = Tx ı ve y2 = Tx2 yazabiliriz. Ayr ı ca, D(T) bir vektör uzay olduğ undan, ax ı + fix2 e D(T) 'dir. T °nin lineerliğ i nedeniyle de

T(ax, +13x2) = aTx ı + fix2 = ay ı + fiy2

elde ederiz. O halde, ay ı + fiy2 E R(T) 'dir. yi,y2 E R(r) elemanlar ı ve al ı nan skalerler keyfi olarak seçildiğ inden, bu sonuç R(T) 'nin bir vektör uzay oldu ğ unu ispatlar.

(b) R(7) 'den keyfi bir biçimde, n + 1 tane, y ı ,. • • yn+1 eleman ı seçelim. Buna göre, D(7) 'deki baz ı x ı ,...,x„+ , elemanlar ı için, y ı = Tx1,...yn+1 = Txnf ı yazabiliriz. dim

D(7) = n olduğ undan {xl,...,x„+ ,} kümesi lineer ba ğı ml ı olmal ı d ı r. Dolay ı s ı yla, hepsi birden s ı f ı r olmayan baz ı al, , a „Tl skalerleri için,

a ı x ı = 0

yazabiliriz. T lineer ve T O = 0 olduğ undan, T 'nin her iki yana uygulanmas ı ,

T(a ı x ı +...+am ı xn+ ı ) = Geo, ' +...+cı n+lyn+1 = 0

sonucunu verir. Bu ise, lerin hepsinin birden s ıfı r olmamas ı nedeniyle, {y ı ,...,yn+1}

kümesinin lineer ba ğı ml ı olduğ unu gösterir. R(7) 'nin bu altkümesinin keyfi bir biçimde seçildiğ ini hat ı rlarsak. R(T) 'nin n + 1 ya da, daha fazla say ıda eleman içeren lineer

bağı ms ı z bir altkümeye sahip olamad ığı sonucuna var ı m. Bunun anlam ı ise, tan ı m

gereğ i, dimR(T) < n olduğ udur. (c) Herhangi x ı ,x2 e N(T) alal ı m. Buna göre, Txi = Tx2 = 0 'd ı r. T lineer

olduğ undan, herhangi a, fi skalerleri için,

T(ax ı + fix2) = aTx ı + 13Tx2 = 0

yazabiliriz. Bu da, axi px2 E N(T) olduğ unu gösterir. Dolay ı s ıyla, N(7) bir vektör

uzayd ı r. (b) 'nin aş ikar bir sonucu olarak a ş ağı daki ifadeyi verebiliriz:

"Lineer operatorler lineer bağı ml ı lık korur."

Ş imdi de bir lineer operatörün tersini inceleyece ğ iz. Önce, bire-bir bir T : D(7) Y dönüşümünün tan ı m ı n ı hat ı rlayal ı m. Bilindiğ i gibi, bir T dönüş ümü, tan ı m bölgesindeki

farkl ı noktalara farkl ı görüntüler karşı l ı k getiriyorsa , yani, herhangi x ı , x2 E D(7') için,

x ı + x2 Tx, Tx2

ya da, buna eşdeğ er diğ er bir deyimle,

Tx ı = Tx2 = x ı = x2

oluyorsa, Tdönüşümüne, bire-bir dönüş üm ad ı verilir. Böyle bir durumda, her yo E R(T) eleman ı n ı , Txo = yo olacak şekilde, xo E D(T) üzerine dönüş türen bir

T-I : R(7) D(7)

<51 yo xo (yo = Txo)

63 dönü ş ümü vard ı r. (Ş ekil 20). T-, dönüş ümüne, T 'nin tersi ad ı n ı vereceğ iz.

Ş ekil 20. Bir dönü ş ümün tersine iliş kin gösterimler.Bkz (5)

(5) 'den yararlanarak , kolayca,

her x e D(T) için T I Tx = x

hery E R(T) için 7T- 'y = y

yazabiliriz. Vektör uzaylar üzerindeki lineer operatörlere ili ş kin durumu ise, a ş ağı daki şekilde

ifade edebiliriz. Bir lineer operatörün tersinin var olabilmesi için gerek ve yeter ko şul, söz konusu operatörün s ı f ı r uzay ı n ı n yaln ı zca s ı f ı r vektöründen oluş mas ı d ı r. Daha aç ı k olarak, ileride s ı k s ı k kullanacağı = yararl ı bir kriteri vermemiz yerinde olacakt ı r:

2.6.10. TEOREM (Ters Operatör). X ve Y, her ikisi de reel, ya da, her ikisi de kompleks iki vektör uzay olsun. Tan ı m bölgesi D(T) c X ve değ er bölgesi R(T) c Y olan lineer bir T : D(7) -+ Y operatörünü ele alal ı m. Bu durumda,

(a) T-1 R(T) D(7) ters operatörünün var olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul,

Tx=0x=0

'd ı r. (b) Eğ er T' mevcut ise, lineer bir operatördür. (c) dim D(T) = n < co ve T-1 mevcut ise, dim R(T) = dimD(T) 'dir.

Ispat. (a) Tx = 0 olduğ unda, x = 0 olduğ unu kabul edelim. T,x, = Tx2 olsun. T lineer

olduğ undan,

T(x ı -x2) = Tx 1 -7X2= 0

ve, hipotez gere ğ i, x i - x2 = 0 yazabiliriz. Dolay ı s ı yla, Tx1 = Tx2 olmas ı , x ı = x2 olmas ı n ı gerektirmektedir ve (4*) uyar ı nca, 1-1 mevcuttur. Tersine olarak, e ğ er T- '

mevcut ise, (4*) gerçeklenir. x2 = 0 olmak üzere, (4*) ve (3) formüllerini göz önüne al ı rsak,

Tx1 = 7D = O x ı = O

elde ederiz. Bu da, (a) 'n ı n ispat ı n ı tamamlar. (b) mevcut oldu ğ unu kabul edip, lineer oldu ğ unu gösterelim. T' 'in tan ı m

64 bölgesi R(T) olup, Teo.2.6.9(a) uyar ı nca, bir vektör uzayd ı r. Herhangi x ,x2 elemanlar ı yla, bunlar ı n görüntüleri olan,

y ı ---- Tx ı ve y2 = Tx2

elemanlar ı n ı gözönüne alal ı m. Buna göre,

x, = T-51 ve x2 = T-1y2

yazabiliriz. T lineer olduğ undan, herhangi a ve /3 skalerleri için,

ay ı + fiy2 = aTx ı + fiTx2 = T(ax ı + fix2)

buluruz. xj = T- ly, olduğ undan,

t(ayl + fly2) = ax ı + fix2 = + 137-52

elde ederiz. Bu da Tl 'in lineer olduğ unu ispatlar. (c) Teorem 2.6.9(b) uyar ı nca, dim R(7) < dim D(T) yazabiliriz. Ve ayn ı teoremin

'e uygulanmas ıyla da, dim D(7) < dim R(7) elde ederiz. Son olarak, lineer operatörlerin bile ş imlerinin tersi hakk ı nda yararl ı bir formülden söz

etmek istiyoruz. 2.6.11. LEMMA (Çarp ı m ı n Tersi). T : X Y ve S : Y -± Z bire-bir ve örten iki lineer

operatör olsun. (Burada, X, Y, ve Z birer vektör uzayd ı r.) Bu durumda, ST çarp ı m ı n ı n (bileş iminin) tersi olan (ST) - ' : Z X operatörü mevcut olup

(s7) -1 = r is-1

(6)

'dir. (Ş ekil 21). ispat. ST : X Z operatörü bire-bir ve örten olup, dolay ı s ı yla, (S7) -1 mevcuttur. Buna

göre, /z, Z üzerindeki özdeş lik operatörü olmak üzere,

ST(ST) - ' = IZ

yazabiliriz. Eş itliğ in her iki yan ı na S-1 'i uygulay ı p, S- 'S = Ir (Y üzerindeki özde ş lik operatörü) olduğ unu da hat ı rlarsak,

S-IST(ST) -1 = T(ST) -1 = S-'IZ =

elde ederiz.

S '

(S T) --- 1

Ş ekil 21. Lemma 2.6.11'deki gösterimier

Bu kez de, ri 'i uygulay ı p, T-1 T = lx eş itliğ ini kultan ı rsak, arzu edilen,

65 T- I T(ST) - I = (S7) - I =

sonucunu elde ederiz. Bu ise, ispat ı m ı z ı tamamlar.

PROBLEMLER 1. 2.6.2, 2.6.3 ve 2.6.4 'deki operatörlerin lineer olduklar ı n ı gösteriniz. 2. R 2 'den, R 2 içine, s ı ras ı yla,

( 1 , 42 ) (1 ,0)

(,, 2 ) (0, 2 )

(,, 2 ) (42 , İ )

(1,2) (r ı ,r42) ile tan ı mlanan, T ı ,T2 ı T3,T4 operatörlerinin lineer olduklar ı n ı gösteriniz ve bu operatörleri geometrik olarak yorumlay ı n ı z.

3. Prob.2 'de ad ı geçen Tl, T2 ve T3 operatörlerinin tan ı m bölgesi, değ er bölgesi ve s ı fı r uzaylar ı nedir?

4. (a) Prob.2 ' deki, T4 'ün, (b) 2.6.7 'deki, T, ve T2 'nin, (c) 2.6.4 'deki, T 'nin s ı fı r uzaylar ı nedir?

5. T : X -› Y bir lineer operatör olsun. X 'in bir V altuzay ı n ı n görüntüsünün ve dolay ı s ıyla, Y 'nin bir W altuzay ı n ı n ters görüntüsünün bir vektör uzay oldu ğ unu gösteriniz.

6. İ ki lineer operatörün çarp ı m ı (bileş imi) mevcut ise, bu çarp ı m ı n lineer olduğ unu gösteriniz.

7. (Komütatiflik). X herhangi bir vektör uzay ve S : X -› Xve T : X X herhangi iki

operatör olsun. Eğ er, ST = 7S, yani, her x e Xiçin, (ST)x = (TS)x ise, S ve T operatörleri komütatiftir denir. Prob.2 'deki T ı ve T3 operatörleri komütatif operatörler midir?

8. Prob.2 'deki operatörleri 2x2 tipindeki matrisler kullanarak yaz ı n ız. 9. 2.6.8 'de, y = Ax bileşenleri cinsinden yaz ı n ı z ve T 'nin lineer olduğ unu gösterip

örnekler veriniz. 10. 2.6.10(a) 'daki koş ulu, T 'nin s ı f ı r uzay ı cinsinden formüle ediniz. 11. X, 2 x 2 tipindeki tüm kompleks terimli matrislerden olu şan vektör uzay olsun.

T : X --> Xdönüşümünü, b E X sabit ve bx bilinen matris çarp ı rn ı n ı göstermek üzere, Tx = bx ile tan ı mlayal ı m. T 'nin lineer olduğ unu gösteriniz. Hangi koş ul alt ı nda T- I

mevcut olur? 12. 2.6.4. 'de tan ı mlanan T operatörünün tersi var m ı d ı r? 13. T : D(7) -* Y, tersi var olan, lineer bir operatör olsun. {xi,...xn }, D(T) 'de lineer

bağı ms ı z bir küme ise, {Txi,••.,Tx t,} kümesinin lineer ba ğı ms ı z olduğ unu gösteriniz. 14. T : X Y lineer bir operatör ve dim X = n < oo olsun. R(7) = Y olmas ı için gerek

ve yeter koş ulun, T-I 'in varl ığı olduğ unu gösteriniz. 15. R üzerinde tan ı ml ı olan ve R üzerinde her yerde, her mertebeden türevlenebilir

olan tüm reel değ erli fonksiyonlardan olu ş an Xvektör uzay ı n ı ele alal ı m. T:X->X dönüşümünü, y(t) = Tx(t) = x' (t) ile tan ı mlayal ı m. R(7) 'nin, X 'in tümü olduğ unu, fakat, 7-I 'in mevcut olmad ığı n ı gösteriniz. Bu problemi, Prob.14 ile kar şı laş t ı r ı n ı z ve

yorumlay ı n ı z.

66

2.7.SINIRLI VE SÜREKL İ L İ NEER OPERATÖRLER K ı s.2.6 'da, normdan hiç bir şekilde yararlanmad ığı m ı z dikkatinizden kaçmam ış t ı r.

Ş imdi, aş ağı daki temel tan ı mda normu yeniden göz önüne al ı yoruz. 2.7.1. TAN1M (S ı n ı rl ı Lineer Operatör). X ve Y normlu uzaylar ve D(T) c X olmak

üzere, T : D(7) --> Y lineer bir operatör olsun. E ğ er her x E D(T) için,

II TxJI cjix ji olacak ş ekilde, reel bir c say ı s ı varsa, T operatörü s ı n ı rl ı 'd ı r denir.

(1) 'de sözü edilen normlardan, sol taraftaki Y üzerinde, sağ taraftaki ise, X üzerindeki normdur. Kolayl ı k aç ı s ı ndan, her iki normu da, kan ş t ı rma tehlikesi olmaks ı z ı n, ayn ı L IJ sembolüyle gösteriyoruz. Alt indislerde yap ı lacak 'kil o , JITxII , v.b. farkl ı gösterimler burada gereksiz görülmü ş tür. (1) formülü, s ı n ı rl ı lineer bir operatörü, D(T) 'deki s ı n ı rl ı kümeleri, Y içindeki s ı n ı rl ı kümeler üzerine dönü ş türdüğ ünü göstermektedir. S ı n ı rl ı operatör deyimi de buradan kaynaklanmaktad ı r.

Uyar ı . Burada kulland ığı m ı z s ı n ı rl ı deyiminin, analizdekinden farkl ı olduğ una dikkat etmemiz gerekmektedir. Analizde, de ğ er bölgesi s ı n ı rl ı bir küme olan fonksiyonlara s ı n ı rl ı fonksiyon ad ı n ı veriyorduk. Fakat, ne yaz ı k ki, her iki deyim de standart hale gelmiş olup, az da olsa bir kar ış t ı rma tehlikesine ra ğ men, kullan ı lmaktad ı r.

(1) ifadesi, s ıf ı rdan farkl ı her X E D(7) için gerçeklenecek şekilde, mümkün olan en küçük c değ eri nedir diye sorabiliriz. (Burada, K ı s.2.6, For.(3) uyar ı nca, x = 0 için, Tx = 0 olaca ğı ndan, x = 0 halini hariç tutuyoruz). (1) ifadesinden, bölme i ş lemiyle,

JJ TxII <

iix II elde ederiz. Bu ise, c 'nin en az, sol taraftaki ifadenin, D(T) — {O} üzerinden al ı nan supremumu kadar büyük olabileceğ ini gösterir. O halde,sorumuzun cevab ı , (1) 'deki en küçük c 'nin söz konusu supremum oldu ğ udur. Bu büyüklük IJ 7] ile gösterilir; dolay ı s ı yla,

II T{I liTx

= sup Il

xeD(7) Iixll

dir. II Til büyüklüğ üne, T operatörünün normu denir. E ğ er, D(T) = {0} ise, Il Til = 0 olarak tan ı mlan ı r; bu durumda, K ı s.2.6, For.(3) gere ğ ince, T O = 0 olacağı ndan , T = 0 'dir.

(1) ifadesini, c = Il 711 alarak,

Il Txll S_ BTHIIx II şeklinde yazabiliriz. Çal ış malar ı m ı z s ı ras ı nda bu formülü s ı k s ı k kutlanacağı z.

Kuş kusuz, kulland ığı m ı z norm deyiminin nedenini aç ı klamak zorunday ı z. Bu aç ı klamay ı aş ağı daki lemma ile verece ğ iz.

2.7.2. LEMMA (Norm). T, 2.7.1 'de tan ı mland ığı ş ekliyle, s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Buna göre,

(a) T 'nin normu için değ iş ik bir diğ er form,

Il Til = sup ll Txll (4) xeD(7)

'dir.

(1)

(2)

(3)

(b) (2) ile tan ı mlanan norm, K ı s.2.2 'de verilen, (N1)-(N4) aksiyomlann ı gerçekler.

67 ispat. (a) IIx II = a yazal ı m ve x # 0 olmak üzere, y = (11a)x diyelim. Bu durumda,

IIYII = lIxIlla = I olup, T 'nin lineer olmas ı nedeniyle de, (2) ifadesi,

II TII = sup â II Tx II = sup Il = sup II Ty II xcD(T) xd:/(T) yd:)(/)

sonucunu verir. Sa ğ tarafta, y yerine x yazarsak, (4) 'ü elde ederiz. (b) (N1) aş ikard ı r ve dolay ı s ı yla, 110 II = 0 'd ı r. II TII = 0 idan,her x E D(7) için, Tx = 0

elde ederiz; O halde, T = 0 'd ı r. Buna göre, (N2) aksiyomu da gerçeklenir. Ayr ı ca, (N3) aksiyomu, x E D(7) olmak üzere,

sup IlaTxp =sup IallITx11 = la! sup IIx II =I Ilxll =1

'den elde edilir. Son olarak, (N4) aksiyomu, x E D(7') olmak üzere,

sup (Tl + T2)x II =sup IIT1x +T2xII <sup II T ı x II + sup II T2xIl d=l

ifadesinden ç ı kart ı l ı r. S ı n ı rl ı lineer operatörlerin genel özeliklerini incelemeden önce, s ı n ı rl ı lineer operatör

kavram ı n ı daha iyi anlamam ı za yard ı mc ı olacak baz ı tipik örneklere bakmam ızda yarar vard ı r.

ÖRNEKLER 2.7.3. Özdeş lik Operatörü. Normlu bir X # {O} uzay ı üzerindeki / : X -›X özdeş lik

operatörü s ı n ı rl ı olup IIIII = 1 normuna sahiptir. (Tan ı m için 2.6.2 'ye bak ı n ı z.) 2.7.4. S ıfı r Operatörü. Normlu bir X uzay ı üzerindeki 0 : X Ys ı fı r operatörü s ı n ı rl ı

olup, II0II = 0 normuna sahiptir. (Tan ı m için 2.6.3 'e bak ı n ı z.) 2.7.5. Türev Operatörü. X, J = [O, 1] üzerindeki tüm polinomlardan olu ş an ve

llxll = Inaxlx(t)I, t E J ile verilen norma sahip bir normlu uzay olsun. O sembolü t 'ye göre al ı nan türevi göstermek üzere, X üzerinde bir T türev operatörü

Tx(t) = (t)

ile tan ı mlan ı r. Bu operatör, lineer oldu ğ u halde, s ı n ı rl ı değ ildir. Gerçekten, n e N olmak üzere, x„(t) = tn alal ı m. Bu durumda, lix„ Ij = 1 'dir ve

Tx,,(t) = (t) =

olur; dolay ı s ı yla, II Tx„ II = n ve Tx„ = n bulunur. n E N keyfi olarak al ı nd ığı ndan,

bu sonuç, II TxnIIIIixn Il 5 c olacak şekilde, sabit bir c say ı s ı n ı n varolmad ığı n ı gösterir. Bunu ve (1) 'i göz önüne al ı rsak, T 'nin s ı n ı rs ı z olduğ u ortaya ç ı kar.

2.7.6. İ ntegral Operatörü. Bir T : C[0,1] -> C[0,1] integral operatörünü,

y(t) = k(t,r)x( ı )dı o

olmak üzere, y = Tx ile tan ı mlayabiliriz. Burada, k verilen bir fonksiyon olup, T 'nin çekirdeğ i ad ı n ı al ı r ve J=[0,1] olmak üzere, tı - düzlemindeki G = J x J kapal ı karesi üzerinde sürekli olduğ u varsay ı l ı r. Bu operatör lineerdir.

Ayr ı ca, T s ı n ı rl ı d ı r. Bunu ispatlayabilmek için, önce, k 'n ı n kapal ı kare üzerindeki

sürekliliğ inin, k 'n ı n s ı n ı rl ı l ığı n ı gerektirdiğ ine dikkat etmemiz gerekir; ko reel bir say ı olmak üzere, her (t,r) e G için, Ik(1,1-)I < ko diyelim. Bunun yan ı s ı ra,

ix(t)i s_rnax lx(t)I = Ilx II

yazabiliriz. O halde,

68

ily lI = II Tx Il =max tcJ

k(1,1-)x(r)dı o

5 max fik(t,r) !k(t) Ictı le•✓ o

ko llx II

bulunur. Sonuç olarak, Il Tx11 < kolk Ii bulmuş oluyoruz. Bu ise, c = ko al ı nmak üzere, (1) ifadesinden ba ş ka bir şey değ ildir. O halde, T s ı n ı rl ı d ı r.

2.7.7. Matris. r sat ı rl ı ve n kolonlu, reel bir A = (aik) matrisi,

y Ax

eş itliğ i yard ı m ı yla, bir T : [It n [18r operatörü tan ı mlar. Burada, x = (4,) ve y = (%), s ı ras ı yla, n ve r bileşenli kolon vektörleri olup, 2.6.8 'de tan ı mland ığı ş ekliyle, matris çarp ı m ı kullan ı lm ış t ı r. Bileşenler cinsinden yaz ı l ı rsa, (5) ifadesi,

rh =E ajkic = 1,...,r) lı=, 1

ş ekline dönüş ür. Matris çarp ı m ı lineer bir operatör olduğ undan, T lineerdir. T 'nin s ı n ı rl ı olduğ unu göstermek için, önce, 2.2.2 'den, ER n üzerinde,

njn

4 = E k 4„ =1 )

1/2

11

ile verilen norm ile, benzer şekilde, y E 118 r için verilen normu hat ı rlayal ı m. (5') ile, K ı s.1.2 'deki (11) no.lu Cauchy-Schwarz e ş itsizliğ ini göz önüne al ı rsak,

r r — 2

liTx 11 2 = ni = E Eafigk _I_ k=1

<E r [ 2 (E aik)1/2 2,ı )1/2

j-1 k=1 nr=1

r n

=1142EE alk j=1 k=1

elde ederiz. Son sat ı rdaki çift-toplam ı n x 'e bağ l ı olmad ığı görülmektedir. Bu nedenle, elde ettiğ imiz sonucu,

r n C2

= E a 2 j=1 lı=1

olmak üzere,

II Tx 11 2 c2 lix 11 2

şeklinde yazabiliriz. Bu ise, (1) ifadesini verir ve T 'nin s ı n ı rl ı lığı n ı n ispat ı n ı tamamlar.

69 Matrislerin lineer operatörlere ili ş kin rolleri K ı s.2.9 'da ayr ı ca incelenecektir. Bu

konuda sinirlilik tipik bir özelik olup, sonlu boyutlu hallerde kar şı laş aca ğı m ı z bu durumu, aş ağı daki teoremle belirlemek istiyoruz.

2.7.8.TEOREM (Sonlu Boyut). E ğ er normlu bir X uzay ı sonlu boyutlu ise, X üzerindeki her lineer operatör s ı n ı rl ı d ı r.

Ispat. dim X = n ve , e n }, X 'in bir baz ı olsun. Herhangi bir x = 5 eleman ı n ı ve X üzerinde herhangi bir lineer T operatörünü göz önüne alal ı m. T lineer olduğ undan (toplamlar 1 'den n 'e kadar al ı nmak üzere),

Tx Il = ;Te; II <}; I iIIITeill <max lJ Te kII

k

yazabiliriz. Son toplama, a, ve x, = e, olmak üzere, Lemma 2.4.1 'i uygularsak,

g.i ı 5- = ic--11x11 elde ederiz. Bulduğ umuz bu iki sonuç birlikte ele al ı n ı rsa, y =max II TekII olmak üzere,

k

llTxll YIIxII yaz ı l ı r. Bundan ve (1) 'den faydalanarak da T 'nin s ı n ı rl ı olduğ unu görürüz.

Ş imdi de, s ı n ı rl ı lineer operatörlerin önemli genel özeliklerini inceleyece ğ iz. Operatörler, asl ı nda, birer dönü ş üm olduklar ı ndan, süreklilik tan ı m ı n ı (1.3.3) bunlara

da uygulayabiliriz. Aş ağı da, lineer bir operatör için, süreklilik ve sinirlilik tan ı mlar ı n ı n eşdeğ er kavramlar haline geldiğ ini ayr ı nt ı l ı bir biçimde görece ğ iz.

X ve Y normlu uzaylar, D(7) c X olmak üzere, T : D(T) Y, lineer olmas ı zorunlu olmayan, herhangi bir operatör olsun. tan ı m 1.3.3 uyar ı nca, T operatörünün, bir xo E D(7) noktas ı nda sürekli olmas ı için, verilen bir say ı s ı na karşı l ı k, IIx—xoll < koş ulunu gerçekleyen her x E D(7) için,

II Tx — Txoll <

olacak ş ekilde bir S > 0 say ı s ı n ı n var olmas ı gerekmektedir. E ğ er her x E D(7) noktas ı nda T sürekli ise, T operatörü sürekli'dir denir.

Ş imdi, T 'nin lineer olmas ı halinde, aşağı daki önemli teoremi ifade ve ispat edebiliriz. 2.7.9. TEOREM (Süreklilik ve Sinirlilik). X ve Y normlu uzaylar, D(T) c Xolmak

üzere, T : D(7') -4- Y bir lineer operatör olsun. Bu durumda, (a) T 'nin sürekli olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, T 'nin s ı n ı rl ı olmas ı d ı r. (b) T bir tek noktada sürekli ise, her noktada süreklidir. Uyar ı . Baz ı yazarlar, yaln ı zca sürekli lineer operatörleri lineer operatör olarak

adland ı rmaktad ı rlar. Sürekli olmad ığı halde, uygulama aç ı s ı ndan büyük önem ta şı yan lineer operatörlerin varl ığı n ı göz önünde bulundurarak böyle bir deyimi kullanmaktan kaç ı n ı yoruz. Bu konuda ilk örneğ i, hat ı rlayaca ğı n ı z gibi, 2.7.5 'de vermiş tik.

ispat. (a) T = 0 için, ifade a ş ikard ı r. T # 0 alal ı m. Bu durumda, Il TII # 0 d ı r. T 'nin s ı n ı rl ı olduğ unu varsay ı p, herhangi bir X0 E D(T) noktas ı n ı göz önüne alal ı m. Herhangi bir E > 0 say ı s ı verilmiş olsun. Buna göre, T lineer olduğ undan, S = E/IITII olmak üzere, Ilx — xo Il < 8 olacak ş ekildeki her x E D(T) için,

Il Tx — Tx o = T(x — x o) İl S. ii T iix — xo < 11 7'11(5 = E

yazabiliriz. xo e D(T) 'nin keyfi olmas ı nedeniyle, bu sonuç , T 'nin sürekli oldu ğ unu gösterir.

Tersine olarak, T 'nin, keyfi bir x o e D(T) noktas ı nda sürekli oldu ğ unu varsayal ı m.

70 Buna göre, herhangi bir e > 0 say ı s ı verildiğ inde, I İ x - xo Il < S koş ulunu gerçekleyen her x E D(T) için,

llTx-TxoII < s

olacak şekilde bir <5 > 0 say ı s ı vard ı r. Ş imdi, D(T) 'de herhangi bir y 0 alal ı m ve

x = X0 y 'IYI'

yazal ı m. Bu durumda,

x - xo - y 'IYI'

olur. O halde, llx -xo Il = 8 olup, dolay ı s ı yla, (6) 'y ı kullanabiliriz. T 'nin lineer olmas ı nedeniyle,

fiTx- Txoil = NT(x - xo)ii = 111(113,8 H Y)11 = ı ly11 "TY"

yazabiliriz ve (6) ifadesi,

Ilvll Ii TY Il 5- E sonucunu gerektirir. Buradan dal Tyll < s Ilyll bulunur. Bu ise, c = £18 olmak üzere,

Tyll 5_ 411 şeklinde yaz ı labilir T 'nin s ı n ı rl ı olduğ unu gösterir. (b) T 'nin bir noktadaki sürekliliğ i, (a) 'n ı n ispat ı n ı n ikinci k ı sm ı gereğ ince, T 'nin

s ı n ı rl ı lığı n ı gerektirir; bu ise, (a) uyar ı nca, T 'nin sürekliliğ ini verir. 2.7.10. SONUÇ (Süreklilik , S ı f ı r Uzay ı ). T s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Buna

göre, (a) x„,x E D(7) olmak üzere, x„ x olmas ı , Txn Tx sonucunu gerektirir. (b) N(7) s ı fı r uzay ı kapal ıd ı r. ispat. (a) İ spat ı n bu k ısm ı , Teorem 2.7.9(a) ve 1.4.8 'den, ya da, n 00 için,

Il l'x ı, - = linxn - x)ii - --+ O

olmas ı nedeniyle, doğ rudan doğ ruya, (3) 'den elde edilir. (b) Her x E N(7') için, N(7) 'de, xn --> x olacak ş ekilde bir (x„) dizisi vard ı r; 1.4.6 (a) 'ya

bak ı n ız. O halde, Sonucumuzun (a) k ı sm ı uyar ı nca, Tx n -* Tx yazabiliriz. Ayr ıca, l'x,, = 0 olduğ undan, Tx = 0 'd ı r; dolay ı s ı yla, x e N(7) olur. Buna göre, x e N(T) 'nin keyfi olarak seçildiğ ini düş ünürsek, N(7) 'nin kapal ı olduğ u ortaya ç ı kar.

Bu arada, s ı n ı rl ı lineer bir operatörün, değ er bölgesinin kapal ı olmayabileceğ ini belirtmemiz yerinde olacakt ı r. (Prob.6 'ya bak ı n ız).

Okuyucular, X, Y,Z normlu uzaylar olmak üzere, T2 :X->Y,T İ :Y->ZveT:X-->X s ı n ı rl ı lineer operatörleri için geçerli olan diğ er bir yararl ı formülün, yani, daha aç ı k olarak yazarsak,

Ii Tı Tzll SIIT ı iiiirı ll, T" ii 5 ii (n e N) formülünün basit bir ispat ı n ı verebilirler.

Operatörlerin birer dönü ş üm olduklar ı n ı biliyoruz ve dönüş ümlere ilişkin, tan ı m bölgesi, değ er bölgesi ve bir operatörün s ı fı r uzay ı gibi baz ı kavramlar ı inceledik. Ş imdi bunlara, k ı s ı tlama ve geniş letme ad ı n ı vereceğ imiz, iki yeni kavram daha ekleyebiliriz. Asl ı nda bunu daha önce de yapabilirdik. Ancak, hemen ard ı ndan, ilginç bir uygulamas ı n ı verebileceğ imiz için, burada vermeyi tercih ediyoruz (Teorem 2.7.11'e bak ı m). Işe, operatörlerin e ş itliğ ini tan ı mlayarak baş layal ı m.

(6 )

71 Tl ve T2 gibi iki operatör verilmi ş olsun. Eğ er bunlar, ayni D(7)) = D(T2) tan ı m

bölgesine sahip ise ve her x E D(T,) = D(T2) için, Tix = T2x oluyorsa, Tl ve T2

operatörleri e ş it 'dir denir ve

Tı = T2

yaz ı l ı r. Bir T : D(7) -> Y operatörünün, bir B c D(7) altkümesine olan k ı s ı tlamas ı ,

T 1 B

ile gösterilen ve

TIB -+ Y, her x B için T 18x=Tx

ş eklinde tan ı mlanan bir operatördür. T 'nin bir M D D(T) kümesine olan geniş lemesi ise, D(T)= T, yani, her x E D(T)

için, Tx = Tx olacak ş ekilde tan ı mlanan bir

T:M-. Y

operatörüdür. (Buna göre, T, -1 'n ı n D(7) 'ye olan kis ı tlamas ı dir. ) Eğ er, D(T), M 'nin gerçek bir altkümesi ise, verilen bir T operatörü bir çok

geniş lemeye sahip olur. Bunlardan genellikle, pratik aç ı dan önemli olanlar!, örne ğ in, lineerlik ve sinirlilik gibi, baz ı temel özelikieri koruyan geni ş lemelerdir. Aşağı daki teorem, bu bak ı mdan, ilginçtir. Bu teorem, s ı n ı rl ı lineer bir operatörün, kendi tan ı m bölgesinin D(T) kapan ışı na olan ve geni ş letilmiş operatör yine s ı n ı rl ı ve lineer ve hatta ayn ı norma sahip olacak şekilde tan ı mlanm ış bir geniş lemesine iliş kindir. Bu durum, normlu bir X uzay ı ndaki yoğ un bir kümeden, X 'in tümüne yap ı lan bir geniş letmeyi de içerecektir. Ayr ı ca, normlu bir X uzay ı ndan, bu uzay ı n tamlanm ışı na olan (2.3.2) geni ş leme de kapsanm ış olacakt ı r.

2.7.11. TEOREM (S ı n ı rl ı Lineer Geniş leme). D(T), normlu bir X uzay ı nda bulunmak ve Y bir Banach uzay ı olmak üzere,

T : D(7) Y

s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Bu durumda, T operatörü, Y,

IITII = IIT ı I normuna sahip, s ı n ı rl ı lineer bir operatör olmak üzere, bir

-7':D(1) -* Y

geniş lemesine sahiptir. ispat. Herhangi bir x E D(T) göz önüne alal ı m. Teorem 1.4.6 (a) uyar ı nca, D(T) 'de,

x„ x olacak ş ekilde bir (x„) dizisi vard ı r. T lineer ve s ı n ı rl ı olduğ undan,

İ l Txn - TX.11 = IIT(x„ - xm)lI 5 IITIIIIx„` xm ll yazabiliriz. Bu ise, (x„) dizisinin yak ı nsak olmas ı nedeniyle, (Tx,,) dizisinin bir Cauchy dizisi olduğ unu gösterir. Kabulümüz gere ğ i, Y tam'd ı r; dolay ı s ı yla, (Tx„) yak ı nsakt ı r;

Tx„ ->yE Y

diyelim. T 'y ı ,

Tx = y

ile tan ı mlayal ı m. Ş imdi, bu tan ı m ı n, D(T) 'de x 'e yak ı nsayan bir dizinin özel seçimlerinden bağı ms ı z olduğ unu göstereceğ iz. x„ x ve ı n x olduğ unu varsayal ı m.

7 2 Buna göre, (v,,),

dizisi olmak üzere, z„, x yazabiliriz. O halde, (Tv.) dizisi, 2.7.10 (a) uyar ı nca, yak ı nsak

olup, (Tv.) 'in (Tx n ) ve (Tz n ) gibi iki altdizisi ayn ı limite sahip olmak zorundad ı r. Bu ise, 7' 'n ı n, her x E D(7) noktas ı nda tek olarak tan ı ml ı olduğ unu ispatlar.

Aç ı kça görüldüğ ü gibi, T lineerdir ve her X E D(7) için, T x = Tx 'dir; o halde, 7' , T 'nin bir geniş lemesidir. Ş imdi,

II Tx,j1 5_ II TIIIIxn II eş itsizliğ ini kullan ı p, n 'i sonsuza götürelim. Buna göre, Tx, y = T x elde ederiz. x -+ 11xli sürekli bir dönü ş üm tan ı mlad ığı ndan (K ı s.2.2 'ye bak ı n ı z),

i ı Tx Il Iki'

buluruz. Dolay ı s ı yla, 7' s ı n ı rl ı olup, 117 . 11 < 11711 'dir. Ku ş kusuz, bir supremum olarak

tan ı mland ığı hat ı rlan ı rsa, normun bir geni ş lemede azalmas ı söz konusu olamayacağı ndan, II 711 .? II Til 'dir. Bu iki sonuç ise, birlikte, 117'11 = II TII oldu ğ unu

gösterir. PROBLEMLER 1. (7) 'yi ispatlay ı n ı z. 2. X ve Y iki normlu uzay olsun. Bir lineer operatörünün s ı n ı rl ı olmas ı için gerek ve

yeter koş ul, T 'nin X'deki s ı n ı rl ı kümeleri, Y 'deki s ı n ı rl ı kümeler içine dönü ş türmesidir. Gösteriniz.

3. T # 0 s ı n ı rl ı lineer bir operatör ise, IIx il < 1 ko ş uluna uygun herhangi bir x E D(T) için, 11 Tx II < 11711 (kesin) e ş itsizliğ ini yazabileceğ imizi gösteriniz.

4. 2.7.9 (a) 'y ı kullanmaks ız ı n, 2.7.9 (b) için, doğ rudan bir ispat veriniz. 5. x = ıl; = .,/j olmak üzere, y = ( r7;) = Tx ile tan ı mlanan, T :

operatörünün lineer ve s ı n ı rl ı olduğ unu gösteriniz. 6. (Değ er Bölgesi). S ı n ı rl ı lineer bir T : X Y operatörünün R(7) değ er bölgesinin, Y

'de kapal ı olmak zorunda bulunmad ığı n ı gösteriniz. (Yol Gösterme. Prob.5 'deki T operatörünü kullan ı n ı z.)

7. (Ters Operatör). T, normlu bir X uzay ı ndan, normlu bir Y uzay ı üzerine, s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Her x E X için,

117'4 bfix11

olacak şekilde, pozitif bir b say ı s ı varsa, : Y -+ X 'in mevcut ve s ı n ı rl ı olduğ unu gösteriniz.

8. S ı n ı rl ı lineer bir T : X -› Yoperatörünün tersi olan, T- ' : R(T) -+ X operatörünün

s ı n ı rl ı olmak zorunda bulunmad ığı n ı gösteriniz. (Yol Gösterme: Prob.5 'deki T operatörünü kullan ı n ız.)

9. T : C[0,1] y C[0,1] operatörü,

y(t) = x(r)ch o

ile tan ı mlanm ış olsun. R(7) ve T' : R(7) --> C[0,1] bulunuz. 1"-1 lineer ve s ı n ı rl ı m ı d ı r?

10. C[0,1] üzerinde, S ve T 'yi, s ı ras ı yla,

73

y(s) = s x(t)dt, y(s) = sx(s) o

ile tan ı mlayal ı m. S ve T komütatif midir? IlSll, II T11, 115711, II TS11 'yi bulunuz.

11. X, Ek üzerinde,

=sup 1X(1)1 leR

ile tan ı ml ı norma sahip, tüm s ı n ı rl ı reel değ erli fonksiyonlardan olu ş an normlu bir uzay olsun ve T : X -› Xoperatörü, A > 0 bir sabit olmak üzere,

y(t) = Tx(t) = x(t —

ile tan ı mlans ı n. (Bu, y ç ı kt ı s ı , x girdisinin geciktirilmi ş versiyonu olan bir elektrik cihaz ı olan bir geciktirme hatt ı 'n ı n modeli olup geciktirme süresi A kadard ı r;Bkz. Ş ek.22). T

lineer midir? S ı n ı rl ı m ı d ı r?

geciktirme hatt ı

0 y<t) = x(t -

o

Ş ekil 22. Elektrik geciktirme hatt ı

12. (Matrisler). 2.7.7 'de gördü ğ ümüz gibi, r x n tipindeki bir A = (ak) matrisi, tüm

s ı ral ı say ı n-lilerinin oluş turduğ u X vektör uzay ı ndan, tüm s ı ral ı say ı r-lilerinin oluş turduğ u Y vektör uzay ı içine, lineer bir operatör tan ı mlar. X üzerinde herhangi bir

normunun ve Y üzerinde herhangi bir Il. 11 2 normunun verildiğ ini kabul edelim. K ı s.2.4,

Prob.10'dan, r ve n sabit olmak üzere, bu tip bütün matrislerden olu şan Z uzay ı üzerinde çeş itli normlar ı n varolduğ unu hat ı rl ı yoruz. Eğ er,

1lAx 112 S. 11A Il Ilx 11

yaz ı labiliyorsa, Z uzay ı üzerindeki II. Il normu, II ı ve II. Q Z normlar ıyla uyumlu'dur denir.

IIA ll =sup liAx 11 2

xEx 11x111

ile tan ı mlanan normun, Q. II, ve Q. 11 2 normlar ı yla uyumlu olduğ unu gösteriniz. Bu norma,

genellikle, Il. II , ve Il. 11 2 taraf ı ndan tan ı mlanan doğ al norm ad ı verilir. Iki! =max } ve J

113711 2 =max Itiji seçilmesi halinde, doğ al normun,

=max Elajkl

olduğ unu gösteriniz. 13. r = n al ı nmak üzere, 2.7.7 'de, uyumlu bir normun,

74 n n 1/2

IIA II = ct j2k

j=1 Is=1

ile tan ı mland ığı n ı , fakat, n > 1 için, bunun, [R n üzerindeki Euclid normu ile tan ı mlanan

doğ al norm olmad ığı n ı gösteriniz. 14. Prob.12 'de,

Ilx Il I = 11)211 2 = k=I

seçmemiz halinde, uyumlu bir normun,

11A k k=1

ile tan ı mland ığı n ı gösteriniz. 15. r = n için, Prob.14 'deki normun, bu problemde tan ı mlanan, il. Il 1 ve ii. 11 2

normlar ı na karşı l ı k gelen do ğ al norm olduğ unu gösteriniz.

2.8. LiNEER FONKSIYONELLER

Değ er bölgesi, L8 reel ekseni, ya da, C kompleks düzleminde bulunan bir operatöre bir fonksiyonel diyoruz. Ve fonksiyonel analiz, esas olarak, fonksiyonellerin analizidir. Fonksiyonelleri,fg,h,... gibi küçük harflerle,/ 'in tan ı m bölgesini D(J), değ er bölgesini R(1) ile ve/ 'in bir x e D(J) noktas ı ndaki değ erini del(x) ile göstereceğ iz.

Fonksiyonellerin birer operatör olmalar ı nedeniyle, daha önce verdi ğ imiz tan ı mlar bunlara da uygulan ı r. Ele al ı nacak fonksiyonellerin ço ğ unun lineer ve s ı n ı rl ı olmalar ı nedeniyle, a ş ağı daki iki tan ı ma, özellikle, gereksinme duyaca ğı z.

2.8.1. TANIM (Lineer Fonksiyonel). Tan ı m bölgesi bir X vektör uzay ı nda, değ er bölgesi ise, X 'in bir k skaler cismi içinde bulunan lineer bir f operatörüne bir lineer fonksiyonel ad ı verilir; dolay ı s ı yla, X reel ise, k = E ve X kompleks ise, k = C olmak üzere,

f : D(f) -› k

yaz ı l ı r. 2.8.2. TANIM (S ı n ı rl ı Lineer Fonksiyonel). D(J) tan ı m bölgesi, normlu bir X

uzay ı nda, değ er bölgesi ise, bu normlu X uzay ı n ı n skaler cismi içinde bulunan, s ı n ı rl ı lineer bir f operatörüne s ı n ı rl ı lineer fonksiyonel ad ı verilir. Buna göre, her x e D(J) için,

1f(x)1 cliz ı l )

olacak ş ekilde reel bir c say ı s ı vard ı r. Ayr ı ca,/ 'nin normu,

If(x) Ilfll

1

= sup (- 2a

xD(I) X 11

ya da,

IUII = sup If(x)1 (2b)

ıı 4-1

'dir. (K ı s.2.7. For(2) 'ye bak ı n ı z.)

75 Buna göre, K ı s.2.7 'deki (3) formülü,

Ax)I II/1111x li sonucunu gerektirir. Teorem 2.7.9 'un bir özel hali de a ş ağı daki ş ekilde ifade edilebilir.

2.8.3. TEOREM (Süreklilik ve Sinirlilik). Normlu bir uzayda, tan ı m bölgesi D(1) olan lineer birffonksiyonelinin sürekli olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, f 'in s ı n ı rl ı olmas ı d ı r.

ÖRNEKLER. 2.8.4. Norm. Normlu bir (X, Il. Il) uzay ı üzerinde, Il. II : X R normu, lineer olmayan

bir fonksiyoneldir. 2.8.5. Skaler Çarp ı m. Bir çarpan ı sabit tutulmak koş uluyla, bildiğ imiz skaler çarp ı m,

.f(x) = = + 42a2 + 4 3 a 3

yard ı m ı yla, birf : 08 3 -± R fonksiyoneli tan ı mlar; burada, a = (a.,) F 118 3 sabit olarak al ı nm ış t ı r. f 'nin lineer olduğ u kolayca görülebilir. Ayr ı ca,/ s ı n ı rl ı d ı r. Gerçekten,

1/(x)1 = lx. al 5 ilxil11 a 11 olup, normu 1 olan bütün x 'ler üzerinden supremum al ı rsak, (2b) uyar ı nca, MI 5_ elde ederiz. Diğ er taraftan, x = a al ı p, (3) 'ü de kullan ı rsak,

İi(a)I Ila Il 11/11 — — Pati

lia Il liall buluruz. O halde, f 'in normu = [ la 'd ı r.

2.8.6. Belirli İ ntegral. Analizde ço ğ u zaman yapt ığı m ı z gibi, bir tek fonksiyon için göz önüne ald ığı m ı zda, belirli integral bir say ı d ı r. Bununla birlikte, söz konusu integral, belli bir fonksiyon uzay ı ndaki tüm fonksiyonlar için ele al ı nd ığı nda, durum tamamen değ işmektedir. Bu durumda, belirli integral, bu uzay üzerinde bir f fonksiyoneli haline dönüş ür. Bir uzay olarak C[a,b] 'yi seçelim (Tan ı m için 2.2.5 'e bak ı n ı z). Bu durumda, f fonksiyoneli,

i(X) = Jx(t)dt, x e C[a,b]

ile tan ı mlan ı r. f 'nin lineer oldu ğ u aç ı kça görülmektedir. Ş imdi,f 'nin s ı n ı rl ı olduğ unu ve = b - a normuna sahip bulunduğ unu gösterelim. Gerçekten, J = [a, b] yaz ı p, C[a,b]

üzerindeki normu hat ı rlarsak,

iflx)1 = jx(t)dt 5_ (b - a) max ix(t)1 = (b - a)11x1I teJ

buluruz. Buradan, normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum alarak, b - a elde

ederiz. Mi > b - a olduğ unu görebilmek için, özel olarak, x = xo = 1 seçip, llx o ll = 1

olduğ unu göz önünde bulundurup, (3) 'ü kullan ı rsak, h

llfll )1 '&0 ?.: = lf(xol = J dt = b a iixoll

a

elde ederiz. 2.8.7. C[a,b] Uzay ı . C[a,b] üzerinde, uygulama aç ı s ı ndan önemli diğ er bir

fonksiyonel ise, sabit bir to E ./ = [a, b] seçilip,

(3 )

76

fi(x) = x(t o ), x

yaz ı larak elde edilir. f I 'in lineer olduğ u kolayca görülebilir. Ayr ı ca, f s ı n ı rl ı olup, VI Il = 1 normuna sahiptir. Gerçekten,

Ifı (x)1 = lx(ro)I 5- Iki'

yazabiliriz ve bu, (2) uyar ı nca, IV, II < 1 sonucunu gerektirir. Di ğ er taraftan, xo = 1 için, llxo II = I olup, (3) yard ı m ı yla,

VI II ?_ (x0 ) 1 = buluruz.

2.8.8. Q2 Uzay ı . t2 Hilbert uzay ı üzerinde (1.2.3 'e bak ı n ı z), sabit bir a = (aj) e t 2 seçip, x = ( .i) E t 2 olmak üzere,

00

1(x) = S.l al

yazarak, lineer bir f fonksiyoneli elde edebiliriz. K ı s.1.2 'deki (11) no.lu Cauchy-Schwarz eş itsizliğ i, toplamlar j üzerinden, 1 'den 00 'a kadar al ı nmak üzere,

if(x)i = IE4ı aı I 5 L4.igil 5_ Egi ı 2 = l ı x ıı ila Il

sonucunu vereceğ inden, bu seri mutlak yak ı nsakt ı r ve f s ı n ı rl ı d ı r. Bir X vektör uzay ı üzerinde tan ı ml ı tüm lineer fonksiyonellerden olu şan kümenin de

bir vektör uzay haline dönüş türülebileceğ ini belirtmemiz gerekmektedir. Bu uzay, X 'in cebirsel dual uzay ı olarak adland ı r ı l ı r ve X* ile gösterilir. (Uyar ı : Bu tan ı mda norm kavramtn ı n içerilmediğ ine dikkat edilmelidir. X üzerindeki tüm s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerden oluşan, X' dual uzay ı , Kı s.2.10 'da incelenecektir.) Bu uzaya ili ş kin, vektör uzay iş lemleri, aşağı daki şekilde, doğ al yolla tan ı mlan ı r. fi ve f2 gibi iki fonksiyonelin, f, + f2 toplam ı , her x E Xnoktas ı ndaki değ eri,

s(x) (fı + f2)(x) = fı (x) + f2(x)

olan bir s fonksiyonelidir; bir a skaleriyle, bir f fonksiyonelinin çarp ı m ı ise, x E X 'deki değ eri,

p(x) = (af)(x) = af(x)

olan birp fonksiyonelidir. Verilen tan ı mlar ı n, fonksiyonlarda al ışı lm ış toplam ve bir sabitle çarp ı m tan ı mları yla uyum içinde olduğ u da görülmektedir.

Burada bir ad ı m daha ileri giderek, X* 'in, elemanlar ı X* üzerinde tan ı ml ı lineer fonksiyoneller olan(X*)* cebirsel dualini inceleyebiliriz. (X")* ' ı , X** ile gösterecek ve X

'in ikinci cebirsel duali olarak adland ı racağı z. X** ' ı incelememizin nedeni, X ile X** aras ı nda, aşağı da göreceğ imiz, ilginç ve

önemli bağı nt ı lar ı n elde edilebilmesidir. Önce kullanaca ğı m ız notasyonlar ı seçelim.

Uzay Genel eleman Bir noktadaki de ğeri

X

x" f f(x) x** g X19

77 X* üzerinde tan ı ml ı lineer bir fonksiyonel olan, bir g E X** eleman ı n ı , sabit bir

x E X seçip,

g(f) = gx(1) = j(x) (x E X sabit, .f E X* değ işken)

(4)

yazarak elde edebiliriz. Buradaki x alt-indisi, g 'yi belli bir x E X eleman ı kullanarak elde ettiğ imiz konusunda ufak bir uyar ı c ı d ı r. Okuyucu, burada, x 'in sabit olmas ı na karşı n, f 'in değ işken olduğ unu unutmamal ı d ı r. Bunun ak ı lda tutmas ı halinde, incelemelerimizi anlamakta hiç bir güçlükle kar şı laşmayacakt ı r.

(4) 'de tan ı mland ığı haliyle, gx lineerdir. Bunu,

gx(afı + fif2) = (afi + f3f2)(x) = afı (x)+ ğJf2(x) = agx(fı ) + f3g,(f2)

yazarak görebiliriz. Dolay ı s ı yla, gx , tan ı m ı gereğ i, x** ' ı n bir eleman ı d ı r. Her bir x E X 'e , bir g, E X** karşı l ı k gelir. Bu ise, bir

C : X X**

x gx

dönüşümü tan ı mlar. C 'ye, X 'in X** içine olan kanonik dönü ş ümü ad ı verilir. Tan ı m bölgesinin bir vektör uzay olmas ı ve

(C(ax + fly))(f) = gax+py(f)

= f(ax + fay)

= af(x)+ fif(y)

= agx (f) + f3gy(f)

= a(Cx)(f) + fi(Cy)(1)

yaz ı labilmesi nedeniyle, C lineerdir. C 'ye, X 'in, X** içine olan kanonik gömülü ş ü de denir. Bu deyimi anlayabilmemiz

için, genel aç ıdan da ilginç olan, "izomorfizm" kavram ı n ı aç ı klamam ı z gerekir. Çal ış malar ı m ı z s ı ras ı nda çeş itli uzaylar ı ele ald ığı m ı z ı biliyoruz. Bunlar ı n hepsinde

ortak olan şey, her birinin bir küme ile (ad ı na X diyelim), X üzerinde tan ı ml ı bir "yap ı " "dan otuşmas ı d ı r. Bir metrik uzay için, bu yap ı , söz konusu metrik'dir. Bir vektör uzay için, iki cebirsel iş lem yap ı 'y ı oluş turur. Ve bir normlu uzay için, söz konusu yap ı , iki cebirsel iş lem ile normdan olu ş ur.

Ayn ı cinsten, X ve Xgibi iki uzay verildiğ inde (örneğ in, her ikisi de vektör uzay), X

ve '‘ı 'n ı n "esasta denk" olup olmad ığı n ı n , yani, en fazla, noktalar ı n ı n yap ı lar ı aç ı s ı ndan birbirinden farkl ı olup olmad ı klar ı n ı n bilinmesi önem taşı r. Eğ er böyle ise, X

ve '15" uzaylar ı - ayn ı "soyut" uzay ı n iki kopyas ı biçiminde- birbirine denk olarak düş ünülebilir. S ı k s ı k karşı m ı za ç ı kacak olan bu durum, bizi bir "izomorfızm" kavram ı na

götürmektedir. Tan ı m olarak, izomorfizm, X 'in X üzerine, yap ı y ı koruyan, bire-bir ve

örten bir dönüş ümüdür.

Buna göre, bir X= (X, d) metrik uzay ı n ı n, bir Yı" = (I, d) metrik uzay ı üzerine olan bir T izomorfizmi, uzakl ığı koruyan, yani, her x,y E X için,

aş(Tx,Ty) = d(x,y)

koşulunu gerçekleyen, bire-bir ve örten bir dönü şümdür. Bu durumda, X ile

78 izomorfik 'dir denir. Bu tan ı m bizim için yeni bir şey olmay ı p, Tan ı m 1.6.1 'de gördüğ ümüz, bire-bir ve örten bir izometri için di ğ er bir isimdir. Ş imdi verece ğ imiz tan ı m ise yenidir.

Ayn ı cisim üzerinde, bir X vektör uzay ı n ı n, bir X vektör uzay ı üzerine olan bir T

izomorfizmi, vektör uzaya ili ş kin iki cebirsel iş lemi koruyan, bire-bir ve örten bir dönüş ümdür. O halde, her x,y E X ve a skaleri için,

T(x + y) = Tx + Ty, T(ax) = aTx

yazabiliriz. Yani, T : X , bire-bir ve örten, lineer bir operatördür. Böyle bir

izomorfizmin var olmas ı halinde, X, X ile izomorfik' dir denir. Normlu uzaylara ili ş kin izomorfizm ise, normu da koruyan, vektör uzay

izomorfizmidir. Bu konudaki ayr ı nt ı l ı bilgiyi Kts.2.10 'da görece ğ iz. Ş imdilik, yaln ı zca, vektör uzay izomorfizmi ile ilgileniyoruz.

C kanonik dönüş ümünün, "içine" bir dönü ş üm olduğ u gösterilebilir. C lineer

olduğ undan, X 'in, R(C) c X** değ er bölgesi üzerine olan bir izomorfizmidir.

Eğ er, X, bir Y vektör uzay ı n ı n bir altuzay ı ile izomorfik ise, X, Y 'de gömülebilir'dir

denir. Dolay ı s ı yla, X, X** 'da gömülebilirdir ve C 'ye, X 'in X** içine kanonik gömülüş ü de denir.

Eğ er C, örten (ve dolay ı s ı yla, bire-bir ve örten) ise, R(C) = X** olup, X 'e cebirsel

yans ı mal ı uzay ad ı verilir. Bundan sonraki k ı s ı mda, X 'in sonlu boyutlu olmas ı halinde, cebirsel yans ı mal ı olduğ unu ispatlayaca ğı z.

Normlar ı da içine alan ve bizi normlu bir uzay ı n yans ı mal ı olma kavram ı na yöneltecek benzer bir incelemeyi, gerekli ön bilgileri ö ğ rendikten, özellikle, ünlü Hahn-Banach Teoremini gördükten sonra, K ı s.4.6 'da verece ğ iz.

PROBLEMLER 1. 2.8.7 ve 2.8.8 'de tan ı mlanan fonksiyonellerin lineer olduklar ı n ı gösteriniz. 2. ga,b] üzerinde,

f i (x) = x(t ) y o(t) dt (yoe C[a,b])

f2(x) = ax(a) + )3x(b) (a, 13 sabit)

ile tan ı mlanan fonksiyonellerin lineer ve s ı n ı rl ı olduğ unu gösteriniz. 3. C[-1, 1] üzerinde,

o

f(x) = x(t)dt - x(t)dt o

ile tan ı mlanan, f lineer fonksiyonelinin normunu bulunuz.

4. J = [a,b] olmak üzere,

fi (x) =max x(t) tc,1

f2(x) =min x(t)

'nin C [a, b] üzerinde birer fonksiyonel tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. Bunlar lineer midir?

79 S ı n ı rl ı m ı d ı r?

5. Herhangi bir X dizi uzay ı üzerinde, lineer bir f fonksiyonelini, x = (.;) olmak üzere,fix) = ğ n (n sabit) alarak tan ı mlayabileceğ imizi gösteriniz. X = Q"' olmas ı halinde, f s ı n ı rl ı m ı d ı r?

6. (Cla, bi Uzay ı ). C' [a, b] ya da, C[a, 6] uzay ı , J = b] üzerinde, sürekli türetilebilen tüm fonksiyonlar ı n oluş turduğ u,

Ilx =max ;x(t) I +max ıcJ rEJ

normuna sahip, bir normlu uzayd ı r. Norm aksiyomlar ı n ı n gerçeklendi ğ ini gösteriniz. c = (a + b)12 olmak üzere,fix) = x'(c) 'nin, C la, bi üzerinde, s ı n ı rl ı lineer bir fonksiyonel tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. f 'in C [a, bi 'nin tüm sürekli türetilebilen fonksiyonlar ı ndan olu ş an altuzay ı üzerinde bir fonksiyonel olarak göz önüne al ı nmas ı halinde, s ı n ı rl ı olmad ığı n ı gösteriniz.

7. Eğ er f, bir kompleks normlu uzay üzerinde, s ı n ı rl ı lineer bir fonksiyonel ise, 7 s ı n ı rl ı m ı d ı r? Lineer midir? (Burada, "---" sembolü kompleks e ş leniğ i göstermektedir.)

8. (S ı fı r Uzay ı ). Bir M* c X* kümesinin N(M*) s ı fı r uzay ı , her f E M* için, f(x) = 0 koş ulunu gerçekleyen tüm x e X elemanlar ı ndan oluş an küme olarak tan ı mlan ı r. N(M*) 'in bir vektör uzay oldu ğ unu gösteriniz.

9. f O, bir X vektör uzay ı üzerinde herhangi bir lineer fonksiyonel ve xo, N(f), f 'in s ı fı r uzay ı olmak üzere, X— N(/) 'in herhangi bir sabit eleman ı olsun. Herhangi bir x e X eleman ı n ı n, y E N(f) olmak üzere, tek bir x = a xo gösterimine sahip olduğ unu gösteriniz.

10. Prob.9 'da, x ı ,x2 E X gibi iki eleman ı n, XIN(1) bölüm uzay ı n ı n ayn ı eleman ı na ait olmas ı için gerek ve yeter koş ulun, f(x ı ) = f(x2) olduğ unu gösteriniz. (Tan ı m için K ı s.2.1, Prob.14 'e bak ı n ı z.)

11. Ayn ı vektör uzay ı üzerinde tan ı mlanan ve ayn ı s ı fı r uzay ı na sahip fi 0 ve f2 0 gibi iki lineer fonksiyonelin oranl ı (' olduğ unu gösteriniz.

12. (Hiper-Düzlem). Y bir X vektör uzay ı n ı n bir altuzay ı ve codim Y= 1 ise (K ı s.2.1,Prob.14 'e bak ı n ı z), XIY 'nin her eleman', Y 'ye paralel bir hiper-düzlem ad ı n ı al ı r. X üzerindeki herhangi bir f 0 lineer fonksiyoneli için, H ı = {x E X : f(x) = 1}

kümesinin, f 'in N(f) 'in s ı fı r uzay ı na paralel bir hiper-düzlem oldu ğ unu gösteriniz. 13. Y, bir X vektör uzay ı n ı n bir altuzay ı ve f ,f(Y), X 'in tüm skaler cismi

olmayacak ş ekilde, X üzerinde tan ı m!' lineer bir fonksiyonel olsun. Bu durumda, her y E Y için, f(y) = 0 olduğ unu gösteriniz.

14. Normlu bir X uzay ı üzerindeki bir f 0 s ı n ı rl ı lineer fonksiyonelinin 11/11 normunun, geometrik aç ı dan, baş lang ı ç noktas ı n ı n H = {x E X :/(x) = 1}

hiper-düzlemine olan 71 = inf filx : f(x) = 1} uzakl ığı n ı n tersi olarak yorumlanabileceğ ini gösteriniz.

15. (Yar ı m Uzay). f 0, bir X reel normlu uzay ı üzerinde tan ı m!' s ı n ı rl ı lineer bir

fonksiyonel olsun. Bu durumda, herhangi bir c skaleri için, H, = {x E X : f(x) = c} hiper-düzlemini elde ederiz ve ,

Xc ı ={x : .f(x) c} ve ={x:1(x) c}

gibi iki yar ı m düzlem belirler. c = VII olmak üzere, kapal ı birim yuvar ı n, X,' içinde bulunduğ unu, fakat, hiç bir E > 0 say ı s ı için, c = — E olmak üzere, Xc ı yar ı m

uzay ı n ı n, bu yuvart içermedi ğ ini gösteriniz.

80 9 SONLU BOYUTLU UZAYLARDA L İ NEER OPERATÖRLER VE

FONKSIYONELLER Sonlu boyutlu vektör uzaylar, sonsuz boyutlu olanlardan daha basit olup, bu

durumun, böyle bir uzay üzerinde tan ı mlanan lineer operatörler ve fonksiyoneller aç ı s ı ndan ne gibi kolayl ı klar getirdiğ i sorusu doğ al olarak akla gelir. Bu k ı s ı mda

inceleyeceğ imiz soru bu olacak ve bulaca ğı m ı z yan ı t, sonlu matrislerin lineer operatörlere ve bunun yan ı s ı ra, sonlu boyutlu bir X vektör uzay ı n ı n X* cebirsel dualinin yap ı s ı na ilişkin rollerinin ne olduğ u konusuna aç ı kl ı k getirecektir.

Aş ağı da da aç ı klayacağı m ız gibi, sonlu boyutlu vektör uzay üzerinde tan ı ml ı lineer operatörler, matrisler cinsinden ifade edilebilirler. Bu bak ı mdan, matrisler, sonlu boyutlu hallerde, lineer operatörlerin incelenmesi için en önemli araç haline dönü ş ür. Bu konuda yapaca ğı m ı z incelemeyi tümüyle anlayabilmemiz için, Teo.2.7.8 hat ı rlamam ı z gerekmektedir. Ş imdi ayr ı nt ı lara geçelim.

X ve Y , ayn ı cisim üzerinde, sonlu boyutlu iki vektör uzay ve T : X -+ Y lineer bir operatör olsun. E X için ve B = 'yi Y için bir baz olarak

seçelim; burada söz konusu vektörler, sabit olarak tutaca ğı m ı z, belirli bir s ı rada düzenlenmiş lerdir. Bu durumda, her bir x E X eleman!,

x = ı e ı (1)

şeklinde tek bir gösterime sahiptir. T lineer olduğ undan, x ,

y = Tx =T(Zkek)= E wek (2)

k=-1 k-1

görüntüsüne sahip olur. (1) gösteriminin tekli ğ ini göz önüne al ı rsak, ilk sonucumuzu ifade edebiliriz:

gibi n tane baz vektörünün yk = Tek görüntüleri belirlenmiş ise, T operatörü tek anlaml ı olarak ifade edilebilir.

y ve y k = Tek, Y 'de bulunduklar ı ndan, bunlar,

y = E TlJbi

Tek =Erikbi ı=1

ş eklinde birer tek gösterime sahiptir. Bunlar ı n (2) 'de yerine konulmas ı bize,

Y = E nik = E r n

= E E = E E Ti k4 A)bj

(

İ=I k--1 j=1 j=1

sonucunu verir. bi 'lerin lineer ba ğı ms ı z bir küme olu ş turmalar ı nedeniyle, sağ ve sol

yandaki her bir bi 'nin katsay ı lar ı ayn ı olmal ıd ı r; yani,

= E T.ikk J = 1,...,r (4) k- ı

'dir. Bu ise, bize ikinci sonucu verir:

x = E kek 'n ı n görüntüsü olan, y= Tx = E ilik (4) 'den elde edilebilir.

(3b) 'deki TJk 'n ı n j toplama indisinin al ışı lm ışı n d ışı ndaki konumuna dikkat etmemiz gerekir; bu durum, (4) 'deki toplama indisinin bilinen konumuna ula şabilmemiz

için zorunludur.

(3a)

(3b)

81 (4) 'deki katsay ı lar, r sat ı rl ı ve n kolonlu bir

TEB = ( Tik)

matrisi olu ş tururlar. Eğ er, X 'in E baz ı ve Y 'nin B baz ı , E ve B 'nin elemanlar ı belli bir s ı rada (keyfi, fakat sabit) düzenlenmi ş olmak üzere verilmi ş ise, TEB matrisi lineer T operatörü taraf ı ndan, tek olarak belirlenir. Bu durumda, TEB matrisi, bu bazlar cinsinden, T operatörünü temsil eder diyece ğ iz.

-X" = (4k) ve 5, = (rb) kolon vektörlerini tan ı mlayarak, (4) 'ü matris formunda yazabiliriz:

_P= TEB: - . Benzer ş ekilde, (3b) de, matris formunda yaz ı labilir:

Te = TE-Bh;

burada T e (kendileri de birer vektör olan) T e 1, ...,T e„ bileşenlerine sahip bir kolon vektör, h ise, b ı ,..„b„ bileş enlerine sahip bir kolon vektördür. Bu arada, (4) 'de ikinci indis olan k üzerinden toplam almam ı za karşı n, (3b) 'de ilk indis olan j üzerinden toplam almam ı z nedeniyle, TEB 'nin, TEB transpozunu kullanmak zorunda kald ığı m ı za dikkat etmemiz gerekir.

Incelemelerimiz, lineer bir T operatörünün, T 'yi, X ve Y 'nin verilen birer baz ı cinsinden temsil eden bir tek matrisi belirledi ğ ini göstermektedir; burada, bazlar ı n her birindeki vektörlerin sabit bir s ı rada düzenlenmi ş olduğ u varsay ı lmaktad ı r. Tersine olarak, r sat ı rl ı , n kolonlu her matris, X ve Y 'nin verilen bazlar ı cinsinden temsil ettiğ i lineer bir operatör belirler. (2.6.8 ve 2.7.7 'ye bak ı n ı z.)

Ş imdi, önceden de olduğ u gibi, dim X = n ve {el, e „} X 'in bir baz ı olmak

üzere, X üzerinde tan ı ml ı lineer fonksiyonellere dönelim. Bundan önceki k ı s ı mda da gördüğ ümüz gibi, bu fonksiyoneller X 'in X" cebirsel dualini olu ş tururlar. Böyle her f

fonksiyoneli ve her x = E i ej e X için,

j(x) = i ej = E ğ if(ei) = E aj ) i=i frat

yazabiliriz; burada,

ai = j = 1,...,n

olup, f , kendisinin, X 'in n tane baz vektöründeki aj değ erleri yard ı m ı yla, tek olarak belirlenir.

Tersine olarak, her ai,...,a, skaler n —lisi, X üzerinde, (5) yard ı m ı yla, lineer bir

fonksiyonel belirler. Özel olarak,

(I, O, O, ... O, O)

(0, 1, 0, ... 0, 0)

(O, 0, O, ... O, 1)

n —Illerini alal ı m. Bu seçim, (5) gere ğ ince, ile belirtilen ve

(4' )

(3b')

(Sa)

(5b)

82 0: j k

1 : j = k

değ erlerini, yani, k. baz vektörde 1 ve diğ er n — 1 baz vektöründe 0 de ğ erini alan, n

tane fonksiyonel verir. Burada ad ı geçen d,k 'ya Kroneker Deltas ı denir. {fı ,...,f„}, X 'in {el,...,en > baz ı n ı n dual baz ı olarak adland ı r ı l ı r. Buna iliş kin olarak aşağı daki teoremi verebiliriz.

2.9.1. TEOREM ( X* 'in Boyutu). X, n —boyutlu, bir vektör uzay ve E = {el,...,en}, X 'in bir baz ı olsun. Bu durumda, (6) ile verilen F = {fi,...,fn }, X 'in cebirset duali olan X* için bir baz olup, dim X* = dim X = n 'dir.

ispat. F lineer bağı ms ız bir kümedir. Çünkü, x = e, olmak üzere,

E J3kfli(x) = O (x X) ıı

eş itliğ i,

E fikfk(e.i) = E fik3,k = /3, = 0 Ic=1

sonucunu verir; dolay ı s ıyla, (7) 'deki bütün fi k 'lar s ı fı rd ı r. Ş imdi, her f e X* 'in, F 'in elemanlar ı n ı n lineer bir kombinasyonu olarak, tek bir biçimde temsil edilebildi ğ ini gösterece ğ iz. (5b) 'de olduğ u gibi, ftei) = ai yazal ı m. (5a) uyar ı nca, her x E X için,

AX) = E 4jai j=1

yazabiliriz. Öte yandan, (6) gere ğ ince,

= fi(ğı e ı ±...+4nen) --- 4i elde ederiz. Bu ikisini birlikte göz önüne al ı rsak,

J(x) = E aif,(x)

buluruz. O halde, X üzerinde, keyfi bir lineer fonksiyonelin, fonksiyonelleri cinsinden, tek gösterimi

f= al fı +...-Fanfn

'dir. Bu teoremin ilginç bir uygulamas ı na haz ı rl ı k olmak üzere, önce a şağı daki lemmay ı

ispatlayaca ğı z. (Keyfi normlu uzaylar için benzer bir lemma 4.3.4. 'de verilecektir.) 2.9.2.Lemma. (S ı f ı r Vektörü) X sonlu boyutlu normlu bir uzay olsun. Eğ er, X0 E X

eleman!, her f E X' için, f(xo) = 0 özeliğ ini gerçekliyorsa, xo = 0 'd ı r. ispat. <el,...,en } X 'in bir baz ı ve xo = E 40, ei olsun. Bu durumda, (5) ifadesi,

AXO) .1=1

şekline dönüşür. Kabulümüz gereğ i, bu, her f e X* için, yani, 'in her seçimi için, s ı fı rd ı r. Dolay ı s ıyla, 4o, 'lerin tümü s ı fı r olmal ı d ı r.

Ş imdi, bu lemmay ı da kullanarak, aş ağı daki teoremi elde edebiliriz.

fk(ei) = S;k = (6)

(7)

83 2.9.3. TEOREM (Cebirsel Yans ı ma). Sonlu boyutlu bir vektör uzay ı cebirsel

yans ı mal ı d ı r. Ispat. Bundan önceki k ı s ı mda incelediğ imiz C : X -> X** kanonik dönüşümü

lineerdir. C 'nin tan ı m ı gereğ ince, Cxo = 0 'in anlam ı , her .f e X* için,

(Cx0)(f) = gx„(1) f(xo) = 0

olduğ udur.Bu ise, Lemma 2.9.2 uyar ı nca, xo = 0 sonucunu gerektirir. O halde, Teorem 2.6.10 'dan faydalanarak, C dönüş ümünün, C-1 : R(C) -+ X ş eklinde bir tersinin var olduğ unu söyleyebiliriz. Ayr ı ca, yine ayn ı teorem gereğ ince, dimR(C) =dim X yazabiliriz. Teorem 2.9.1 uyar ı nca ise,

dimX** = dimX* = dimX

buluruz. Bunlar ı n birlikte göz önüne al ı nmas ı ise,

dimR(C) = dimX**

sonucunu verir. O halde, R(C) = X** 'd ı r. Çünkü, R(C) bir vektör uzay olup, Teorem 2.1.8 uyar ı nca, X** ' ı n, dim X** 'dan daha küçük bir boyuta sahip, gerçek bir altuzay ıd ı r. Bu ise, tan ı m gereğ ince, cebirsel yans ı man ı n ispat ı n ı verir.

PROBLEMLER 1.

1 3 2

-2 1 0

ile temsil edilen, T : IR 3 R 2 operatörünün s ı fı r uzay ı n, belirleyiniz. 2. T : R 3 -› 1i8 3 operatörü,

2)

ile tan ı mlanm ış olsun. R(T), N(T) 'yi ve T 'yi temsil eden bir matris bulunuz. 3. R 3 için, {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)} baz ı n ı n dual baz ı n ı bulunuz. 4. {fl,f2,f3}, R 3 'ün {ei,e2,e3} baz ı n ı n dual baz ı olsun; burada, el = (1,1,1),

e2 = (1,1,-1) ve e3 = (1,-1,-1) 'dir. x = (1,0,0) olmak üzere, fı (x), f2(x) ve f3(x)

bulunuz. 5.f, n -boyutlu bir X vektör uzay ı üzerinde, lineer bir fonksiyonel ise, N(f) s ıfı r

uzay ı n ı n boyutu ne olabilir? 6. R 3 üzerinde, x = (41,2,43) olmak üzere, f(x) = + -3 ile tan ı mlanan f

fonksiyonelinin s ı fı r uzay ı için bir baz bulunuz. 7.Prob.6 'daki soruyu, a l # 0 olmak üzere, f(x) = a ı ı + a22 +a33 için

tekrarlay ı n ı z. 8. Z, n -boyutlu bir X vektör uzay ı n ı n, (n - 1) -boyutlu bir altuzay ı ise, Z 'nin, X

üzerinde, skaler çarpmaya göre, tek olarak tan ı mlanan, uygun bir lineer f fonksiyonelinin s ı fı r uzay ı olduğ unu gösteriniz.

9. X, reel değ işkenli ve derecesi verilen bir n say ı s ı ndan daha küçük olan tüm polinomlarla, (derecesi tan ı ms ız olarak b ı rak ı lan) x = 0 polinomundan olu ş an vektör uzay olsun. f(x) = x(k) (a), yani, x E X 'in k. türevinin (k sabit) sabit bir a e R 'deki değ eri, olsun. f 'nin, X üzerinde lineer bir fonksiyonel oldu ğ unu gösteriniz.

10. Z, n -boyutlu bir X vektör uzay ı n ı n gerçek bir altuzay ı ve xo E X- Z olsun. X

84 üzerinde, f(x 0 ) = 1 ve her x E Z için, f(x) = 0 olacak ş ekilde lineer bir f fonksiyonelinin varoldu ğ unu gösteriniz.

11. Eğ er, x ve y, sonlu boyutlu bir X vektör uzay ı nda iki farkl ı vektör ise, j(x) r f(y) olacak şekilde, lineer bir f fonksiyonelinin varolduğ unu gösteriniz.

p < n olmak üzere, n —boyutlu bir X vektör uzay ı üzerinde, lineer fonksiyoneller ise, X 'de, fı (x) = 0 fp(x) = 0 olacak şekilde bir x 0 vektörünün varolduğ unu gösteriniz. Bu buldu ğ umuz sonuç, lineer denklemlere ili ş kin olarak ne gibi sonuçlar verir?

13. (Lineer Geniş leme). Z, n —boyutlu bir X vektör uzay ı n ı n bir gerçek altuzay ı ve f Z üzerinde lineer bir fonksiyonel olsun. f 'in X 'e lineer olarak geni ş letilebileceğ ini,

yani, X üzerinde, 7 iz =f olacak ş ekilde, lineer bir 7 fonksiyonelinin varoldu ğ unu gösteriniz.

14. R 2 üzerindeki f fonksiyoneli, x = (41,42) olmak üzere, f(x) = 441 — 342 ile tan ı mlanm ış olsun. R2 'yi R 3 'ün, S3 = 0 ile verilen bir altuzay ı olarak düş ünelim. f 'nin

R 2 'den R 3 'e, tüm lineer 7 geniş lemelerini belirleyiniz. 15. Z c R 3 , 42 = 0 ile belirlenen bir altuzay ve f , Z üzerinde, f(x) = ( 41— 43)12 ile

tan ı mlanan bir fonksiyonel olsun. f 'in, R 3 'e, 7(x0)= k (verilen bir sabit) olacak

ş ekilde, lineer bir 7 geniş lemesini buiunuz (Burada x o = (1,1,1) 'dir). 7 tek midir?

2.10. NORMLU OPERATÖR UZAYLARI. DUAL UZAY. K ı s. 2.7 'de bir s ı n ı rl ı lineer operatör kavram ı n ı tan ı mlam ış ve okuyucuya, bu

operatörlerin önemi hakk ı nda ilk izlenimleri kazand ı racak temel örnekleri vermi ş tik. Ş imdi, (ikisi de reel, ya da, ikisi de kompleks ) her- hangi iki X ve Y normlu uzay ı ile, X 'den Y 'nin içine olan tüm s ı n ı rl ı lineer operatörlerden olu ş an

B(X,Y)

kümesini göz önüne alal ı m. B(X,Y) 'nin de normlu bir uzay haline dönü ş türülebileceğ ini göstermek istiyoruz.

Yap ı lacak iş oldukça basittir. Her şeyden önce, Tl, T2 E B(X,Y) gibi iki operatörün T ı + T2 toplam ı n ı , doğ al bir şekilde,

( + T2)x T 1x + T2x

ile ve T E B(X,Y) 'nin bir a skaleriyle olan a T çarp ı m ı n ı

(al)x = aTx

ile tan ı mlarsak, B(X, Y) bir vektör uzay haline dönü ş ür. Ş imdi, Lemma 2.7.2 (b) 'yi hat ı rlay ı p istediğ imiz sonuca hemen ula ş abiliriz:

2.10.1. TEOREM ( B(X, Y) Uzay ı ). Normlu bir X uzay ı ndan, normlu bir Y uzay ı içine olan tüm s ı n ı rl ı lineer operatörlerden olu şan B(X,Y) vektör uzay ı n ı n kendisi de,

—sup —sup II Txil xEx ilx11 xEx s-0

ile tan ı mlanan norma sahip bir normlu uzayd ı r. Acaba hangi durumda, B(X, Y) bir Banach uzay ı olabilir? Temel bir nitelik ta şı yan bu

sorunun cevab ı n ı aşağı daki teoremde verece ğ iz. Görüleceğ i gibi, teoremdeki ko ş ul X 'i

içermemektedir; yani X tam olabilir ya da olmayabilir. 2.10.2. TEOREM (Taml ı k). Y 'nin bir Banach uzay ı olmas ı halinde, B(X, Y) bir

(i)

85 Banach uzay ı d ı r.

ispat. B(X, Y) 'de keyfi bir (T„) Cauchy dizisi ele al ı p, (T„) 'in bir T E B(X, Y) operatörüne yak ı nsad ığı n ı göstereceğ iz. (T,i) Cauchy olduğ undan, her e > 0 say ı s ı için,

IITn - Tmll < e (m,n > N)

olacak şekilde bir N say ı s ı vard ı r. Buna göre, her x E X ve m,n > N için,

Tnx Tmxii = Il 5 Ii Tmiiiix ii 5 Ellx ll

(2)

yazabiliriz (K ı s.2.7,For.(3) 'e bak ı n ı z). Ş imdi,herhangi bir sabit x ve verilen bir 7 için,

e,. 114 < 7 olacak şekilde bir s = ex seçebiliriz. Buna göre, (2) 'den, Il T„x - T„,x11 < elde eder ve (T„x) 'in, Y 'de bir Cauchy oldu ğ unu görürüz. Y tam olduğ undan, (T„.x) yak ı nsakt ı r; T„x -> y diyelim. Aş ikar olarak, y E Y limiti, x E X 'in seçimine bağ l ı d ı r. Bu ise, y = Tx olmak üzere, bir

T:X-+Y

operatörü tan ı mlar.

lim Tr,(cıx + j3z) = lim(aT„x (T„z) = alimT„x + filim Tnz)

olduğ undan, T operatörü lineerdir. Ş imdi de, T 'nin s ı n ı rl ı ve T,, -> T , yani, ll T„- T„,11 -> 0 olduğ unu ispatlayaca ğı z. Her m > N için, (2) gerçeklendiğ inden ve T„ix -> Tx olduğ undan, m 'yi sonsuza

götürebiliriz. Normun süreklili ğ ini kullanarak, (2) 'den, her n > N ve her x E X için,

Il Tnx Txii = IIT,,x -lim =lim - Tnix II elix Il

(3 )

elde ederiz. Bu da, n > N olmak üzere, (T,,- T) 'nin s ı n ı rl ı lineer bir operatör oldu ğ unu gösterir. T„ s ı n ı rl ı olduğ undan, T = T,,- (T,,- 7) operatörü de s ı n ı rl ı d ı r; yani, T e B(X, Y) 'dir. Ayr ı ca, (3) 'de, normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum al ı rsak,

T„ Til 5_ e (n > IV)

elde ederiz. O halde, T„ - T„, il -> 0 'dir. Bu teoremin, X 'in X' dual uzay ı na iliş kin, aşağı da tan ı m ı n ı vereceğ imiz, önemli bir

sonucu vard ı r. 2.10.3. TANIM (X' Dual Uzay ı ). X normlu bir uzay olsun. X üzerindeki tüm s ı n ı rl ı

lineer fonksiyonellerden olu şan küme,

Ilfii lf(x)I

=sup =sup jf(x)I xcx (4)

h.II=1

ile tan ı mlanan norma sahip olan, normlu bir uzay olu ş turur. Bu uzaya, X 'in dual uzay ı ad ı verilir ve X' sembolüyle gösterilir. (Bkz. K ı s.2.8,(2)).

X üzerindeki bir lineer fonksiyonel, X 'i, R ya da C 'nin (X 'in skaler cismi) içine dönüş türdüğ ünden ve R ya da C, al ışı lm ış metrikleri alt ı nda, tam olduklar ı ndan, Y = ill

ya da C olmas ı halinde, X' nün B(X, Y) uzay ı olduğ u ortaya ç ı kar. Dolay ı s ıyla, Teorem 2.10.2 'yi kullanabilir ve a şağı daki temel teoremi elde ederiz.

2.10.4. TEOREM (Dual Uzay). Nomı lu bir X uzay ı n ı n, X' dual uzay ı (X olsun ya da olmas ı n) bir Banach uzay ı d ı r.

Fonksiyonel analizin temel ilkelerinden biri, uzaylar ı n incelenmelerinin bunlar ı n dual uzaylar ı yla birlikte dü şünülmesidir. Bu nedenle, s ı k s ı k karşı m ıza ç ı kacak olan uzaylar ı incelememiz ve bunlar ı n duallerinin neler oldu ğ unu bulup ç ı karmam ız yerinde olacakt ı r.

86 Bu konuya iliş kin olarak, yapaca ğı m ı z incelemeleri anlayabilmemizde izomorfizm kavram ı yard ı mc ı olacakt ı r. K ı s.2.8 'deki bilgilerimizi hat ı rlayarak, a ş ağı daki tan ı m ı verebiliriz.

Normlu bir X uzay ı ndan, normlu bir /uzay ı üzerine olan bir izomorfizm, normu koruyan, yani, her x E X için,

liTxli = 113c11

eş itliğ ini gerçekleyen, bire-bir ve örten lineer bir

T : X ->

operatörüdür. (Dolay ı s ı yla, T izometriktir.) Bu durumda, X uzay ı X ile izomorfiktir

diyecek ve X ve X uzaylar ı na izomorfik normlu uzaylar ad ı n ı vereceğ iz. Soyut aç ı dan,

X ve 3<" özdeş olup, izomorfizm, (her bir noktaya bir T etiketi iliş tirerek) elemanlar ı n yeniden adland ı r ı lmas ı olmaktad ı r.

İ lk örneğ imiz, R" 'in dual uzay ı n ı n, EV ile izomorfik olduğ unu gösterecektir. Bu durumu, k ı saca, R" 'in duali 'dir diyerek ifade edece ğ iz. (Diğ er örneklerde de ayn ı yol izlenecektir.)

ÖRNEKLER 2.10.5. , R n uzay ı . R" 'in dual uzay ı R" 'dir. Ispat. Teorem 2.7.8 uyar ı nca, R n = * yazabiliriz. Ve her f e R" * , K ı s.2.9,

For.(5) ile verilen bir gösterime sahiptir:

Ax) = , r = ftek)

(toplam 1 'den n 'e kadar al ı nm ış t ı r). Cauchy-Schwarz e ş itsizliğ i (K ı s.1.2) gereğ ince,

y(x)i Egkykl 5_ (Ei)uz(ErX)ın = rJ)' 12

yazabiliriz. Burada, normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum al ı rsak,

MI 5_ ( r,?) 112

elde ederiz. Bununla birlikte, e ş itlik hali, x = (y İ , , y„) için, Cauchy-Schwarz eş itsizliğ inden elde edilebildi ğ inden, asl ı nda,

ıı z ilfli = r;)

elde etmemiz gerekmektedir. Bu ise, f 'in normunun Euclid normu oldu ğ unu ve c = (r k) E R" olmak üzere, VII = licif yaz ı labildiğ ini ispatlar. O halde, R n 'nün Cfk " üzerine olan ve

f c = (Y k), rk = .1(e k)

ile tan ı mlanan, dönü ş ümü, normu koruyan bir dönü ş ümdür ve ayr ı ca, lineer, bire-bir ve örten olmas ı nedeniyle de bir izomorfizmdir.

2.10.6. Q' Uzay ı . Q' uzay ı n ı n duali uzay ı d ı r. Ispat. e l için bir Schauder baz ı n ı n (e k ) olduğ unu biliyoruz. (Burada, e k = , yani,

k. yerdeki eleman ı 1, diğ er tüm elemanlar 0 'd ı r.) Buna göre, her x E Q I eleman ı ,

x = E kek

( 5) I

ş eklinde tek bir gösterime sahiptir. Q", Q' 'nin dual uzay ı olmak üzere, herhangi bir f E

87 kl' göz önüne alal ı m. f lineer ve s ı n ı rl ı olduğ undan, yk = f(ek) say ı lar ı , f taraf ı ndan,

tek anlaml ı olarak belirlenmiş olmak üzere, CO

AX) -= E 4kyk, yk = f(e k )

( 6) k-1

yazabiliriz. Ayr ı ca, IIekII = 1 ve

Tki = Ifick)i 11'11 Ilek II = suP !Tki Ç Etli

(7)

k

'dir. Dolay ı siyla, (yk) e Q' elde ederiz. Diğ er taraftan, her b = ( fik) e r için, QI üzerinde buna kar şı l ı k gelen, s ı n ı rl ı lineer

bir g fonksiyoneli bulabiliriz. Gerçekten, QI üzerinde, g 'yi, x = k) E t 1 olmak üzere,

g(x) = E/c fik k-1

ile tan ı mlayabiliriz. Bu durumda, g lineerdir ve sinirlili ğ i (toplamlar 1 'den cc 'a kadar

al ı nmak üzere)

İg(x)i < Ekk fik( 5_suP İ PilEgki = IIXII suP IPA J

'den görülür. O halde, g E t" 'dür. Son olarak, f 'in normunun, Q" uzay ı üzerindeki norm olduğ unu göstereceğ iz. (6)

'dan,

ıf(x) ı = rkl 5._sup = 11.4 sup IYJI

yazabiliriz. Normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum al ı rsak,

Itill <sUP IYJ I

olduğ unu görürüz. Bundan ve (7) 'den yararlanarak,

Ilfll =sup IYJI (

buluruz ki bu O' üzerindeki normdur. Dolay ı s ı yla, bu formül, c = (rj) E t' olmak üzere,

ı lf11 = 11c11.,0 şeklinde yaz ı labilir. Bu ise, ky 'nün, t' üzerine , f c = (yı ) ile tan ı mlanan,

bire-bir, örten lineer dönü ş ümün bir izomorfizm olduğ unu gösterir. 2.10.7. QP Uzay ı . QP 'nin dual uzay ı , 'dur; burada, 1 < p < -ı-oo olup, q, p 'nin

eş leniğ i, yani, 11p+11q = 1 'dir. Ispat. Q" için bir Schauder baz ı (e k) 'd ı r; burada ek = (8 ki ) bir önceki örnekte

tan ı mland ığı şekilde al ı nm ış t ı r. Buna göre, her x e QP eleman ı , bir tek

x = Er kek ( 9)

gösterimine sahiptir. QP', QP 'nin dual uzay ı olmak üzere, herhangi bir f E t"' göz önüne

alal ı m. f lineer ve sinirli olduğ undan,

.f(x) = E k7k, 7 k = f(ek) (10) k-1

(„k-1

/ n )1-11p

ı rk ı q = Lyalq

11q

lifil

88 yazabiliriz. q, p 'nin eş leniğ i olsun (1.2.3'e bak ı n ı z) ve

= Irkri/rk : k 5 n ve r k # 0

0 : k > n veya y k = O

olmak üzere,

X„ = ( ı((") )

'i göz önüne alal ı m. Bunu, (10) 'da yerine koyarsak,

f(x,7 ) = (ırn) ?' k = kl q k=1 11

elde ederiz. Ayr ı ca, (11) 'i ve (q - 1) p = q e ş itliğ ini kullan ı rsak, (toplamlar 1 'den n 'e kadar al ı nmak üzere)

fixn) IV II IIxII = l ıfıı (Ld n) I P) 1 / P

= (EIrkl (q-1)P) -1/P

= l ıfll (»kr')

buluruz. Bu sonuçlar ı birlikte göz önüne al ı rsak

,Axn) = 11f11 (Z ı rklq) 149

yazabiliriz. Son çarpan ile bölüp, 1 - 1/p = 1/q e ş itliğ ini kullanmam ı z halinde ise,

elde ederiz. n keyfi olduğ undan, n 'i sonsuza götürürsek,

LYklq)

Ilq

IUII k=1

buluruz. O halde, (ya) e Qg 'dur. Tersine olarak, herhangi bir b = (/3k) e Qg için, QP 'de buna karşı l ı k gelen sinirli lineer

bir g fonksiyoneli elde edebiliriz. Gerçekten, QP üzerindeki g fonksiyonelini, x = (y k) e QP olmak üzere,

g(x) = E kl3 k

k-I

yazarak tan ı mlayabiliriz. Bu durumda, g lineer olup, sinirliliğ i, K ı s.1.2'deki (10) no.lu

Hölder eş itsizliğ inden elde edilir. O halde, g e QP' 'dür. Son olarak, f 'nin normunun, Qq uzay ı üzerindeki norm olduğ unu göstereceğ iz. (10)

'dan ve Hölder e ş itsizliğ inden faydalanarak (toplamlar 1 'den Q0 'a kadar al ı nmak

üzere),

V(X), = IZ k y ki ki P)11p

(Eir klq) Ilq q = ıı x ıı (Eirk ı q)

yazabiliriz; buradan da, normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum alarak,

(12)

89 l ıfll (ElYklq) ug

elde ederiz. (12) 'den, e ş itlik iş aretinin geçerli olmas ı gerektiğ ini görmekteyiz; yani,

Ilfil = (Eirkl gr

(13)

'dur. Bu ise, c = (yk) E Pq ve yk = f(ek) olmak üzere, liffi = mi, ş eklinde yaz ı labilir. tP`

'den t' üzerine,f ile tan ı mlanan dönü ş üm, lineer, bire-bir ve örtendir. Ayr ı ca,bu dönüş ümün, normu koruyan bir dönü ş üm olduğ unu (13) 'den görmekteyiz. Dolay ı s ı yla, bir izomorfizmdir.

Burada, bu ve benzeri örneklerin öneminin ne oldu ğ u sorusu sorulabilir. Uygulamada, pratik aç ı dan önemli olan uzaylar üzerindeki s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerin genel formlar ı n ı n bilinmesi oldukça faydal ı d ı r. Ve bir çok uzay bu aç ı dan incelenir. Orneklerimiz, Rn , ve p > 1 olmak üzere, t" üzerindeki s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerin genel gösterimlerini vermi ş tir. C[a, b] uzay ı ise, K ı s.4.4 'de, gerekli ön bilgiler verildikten sonra incelenecektir.

Ayrı ca, K ı s.2.8 'de, X** ile gösterdiğ imiz, ikinci cebirsel dualin incelenmesini hat ı rlayarak, X 'in ikinci dual uzay ı olan Xn = 'nün incelenmesinin yararl ı olup olmad ığı n ı sorabiliriz. Bu sorunun "evet" olan cevab ı n ı , yine gerekli ön bilgilerden sonra vermek üzere, K ı s.4.6 'ya erteleyece ğ iz. Ş imdi ise, dikkatlerimizi, biraz daha basit olan iççarp ı m uzay ı ve Hilbert uzay ı konular ı na çeviriyoruz.

PROBLEMLER 1. B(X, Y) vektör uzay ı n ı n s ı f ı r eleman' nedir? Tan ı m 2.1.1 anlam ı nda, T E B(X, Y)

'nin tersi nedir? 2. Notlar ı m ızda, operatör ve fonksiyonellerin, X uzay ı n ı n tümü üzerinde

tammland ığı n ı görüyoruz. Fonksiyoneller söz konusu oldu ğ unda, bu varsay ı m olmaks ı z ı n da a ş ağı daki teoremi ifade edebilece ğ imizi gösteriniz. f ve g, tan ı m

kümeleri normlu bir X uzay ı nda bulunan s ı n ı rl ı lineer fonksiyoneller ise, s ı f ı rdan farkl ı herhangi a ve ğ3 skalerleri için, h = af + /3g lineer kombinasyonu, tan ı m kümesi D(h) = D(I) + D(g) olan s ı n ı rl ı lineer bir fonksiyoneldir.

3. Prob.2 'deki teoremi, s ı n ı rl ı lineer bir Tl ve T2 operatörlerine geni ş letiniz. 4. X ve Y normlu uzaylar ve T„ : X -› Y (n = 1,2,...) 'ler s ı n ı rl ı lineer operatörler

olsun. T„ T olmas ı halinde, verilen her e > 0 say ı s ı na karşı l ı k, her n > N ve verilen

herhangi bir kapal ı yuvar içindeki her x için, ► T„x - Txli < E olacak şekilde bir N say ı s ı n ı n varolduğ unu gösteriniz.

5. 2.5.8 ile, 2.10.5 'in uyum içinde oldu ğ unu gösteriz. 6. X, s ı ral ı reel say ı n -Iilerinden olu şan bir uzay ve x = olmak üzere,

lixj1 =max ise, X' dual uzay ı üzerinde buna karşı l ı k gelen norm hangisidir?

7. 2.10.6 'dan, tüm s ı ral ı reel say ı n -lilerinden oluş an X uzay ı na iliş kin ne gibi bir sonuç ç ı kartabiliriz?

8. co uzay ı n ı n dual uzay ı n ı n Q 1 olduğ unu gösteriniz, (Tan ı m için, K ı s.2.3, Prob.1 'e

bak ı n ı z.) 9.f , bir X vektör uzay ı üzerinde, lineer bir fonksiyonel olsun. f 'nin, X 'in bir Namel

baz ı üzerinde ald ığı değ erler cinsinden, tek anlaml ı olarak belirlenebildiğ ini gösteriniz. (K ı s.2.1 'e bak ı n ı z)

10. X ve Y {0} iki normlu uzay ve dim X = Go olsun. En az bir tane, s ı n ı rs ız lineer

90 T : X Y operatörünün varoldu ğ unu gösteriniz. (Bir Hamel baz ı kullan ı n ı z.)

11. X normlu bir uzay ve dim X = op ise, X' dual uzay ı n ı n, X' cebirsel dual uzay ı ile özdeş olmad ığı n ı gösteriniz.

12. (Taml ı k). Konu içinde verdiğ imiz örnekler, baz ı uzaylar ı n taml ı klar ı n ı n ispat ı nda kulian ı labilirler. Nas ı l? Ve hangi uzaylar için?

13. (S ı fı rlayan). M * cD , normlu bir X uzay ı n ı n herhangi bir altkümesi olsun. M 'nin

Ma s ı f ı rlayan ı , M üzerinde her yerde s ıf ı r değ erini alan ve X üzerinde tan ı ml ı tüm s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerden olu ş an küme olarak tan ı mlan ı r. O halde, Ma, X 'in X'

dual uzay ı n ı n bir altkümesidir. Ma 'n ı n, X "nün bir altvektör uzay ı olduğ unu ve kapal ı olduğ unu gösteriniz. Xa ve {O}° nedir?

14. M, n -boyutlu normlu bir X uzay ı n ı n, m -boyutlu bir altuzay ı ise, Ma 'n ı n, X'

'nün, (n m) - boyutlu bir altuzay ı olduğ unu gösteriniz. 15. M = «1,0,-1),(1,-1,0),(0,1,-1» c U olsun. Ma için bir baz bulunuz.

BÖLÜM 3. IÇÇARPIN.1 UZAYLARI, H İ LBERT UZAYLARI

Normlu bir uzayda, elemanter vektör cebrinde oldu ğ u gibi, vektörleri toplayabiiir ve skalerlerle çarpabiliriz. Ayr ı ca, norm kavram ı , böyle bir uzay üzerinde, bir vektörün elemanter uzunluk kavram ı n ı genelleş tirir. Bununla birlikte, genel bir normlu uzayda, yine de eksik olan, ya da , e ğ er mümkün ise, yapmay ı istediğ imiz ş ey, bilinen

a.b = a,p, +a2f32+a3p3

skaler çarp ı m ı n benzerini tan ı mlamak ve bunun sonucu olarak da,

IIaI İ = Ja•a

formülünü ve ortogonallik (diklik) için

a.b = 0

koş ulunu elde edebilmektir. Bu durumda, skaler çarp ı m ve diklik kavram ı n ı n keyfi vektör uzaylara genelle ş tirilip, genelle ş tirilemeyeceğ i sorusu ortaya ç ı kmaktad ı r. Gerçekte,bu genele ş tirmeler yap ı labilmekte ve bizi iççarp ı m uzay ı ve daha sonra da, Hilbert uzay ı ad ı verilen tam iççarp ı m uzaylar ı 'na götürmektedir.

ileride de göreceğ imiz gibi, iççarp ı m uzaylar ı , özel normlu uzaylar olup, genel normlu uzaylardan daha eski bir tarihe sahiptir. Teorileri de daha zengin olup, Euclid uzaylar ı na büyük benzerlik göstermekte ve ana kavram diklik olmaktad ı r. Asl ı nda, iççarp ı m uzaylar ı Euclid uzay ı n ı n en doğ al genelleş tirmesi olup, okuyucu bu alandaki kavram ve ispatlardaki büyük uyum ve güzelli ğ i sezinleyecektir. Teorinin tümü, D.Hilbert'in integral denklemler hakk ı ndaki bir çal ış mas ı ndan kaynaklanmaktad ı r, (1912). Bugün kullan ı lmakta olan gösterim ve deyimler, Euclid geometrisindekilere benzer olup, G.Kowalewski'nin önerileri do ğ rultusunda, E.Schmidt taraf ı ndan ortaya at ı lm ış t ı r (1908). Söz konusu uzaylar, günümüze değ in. fonksiyonel analizin pratik uygulamalar ı nda en yararl ı uzay olma özeli ğ ini hala korumaktad ı r.

Önemli kavramlar, temel konulara ili ş kin k ı sa bilgilendirme Bir X iççarp ı m uzay ı (Tan ı m 3.1.1), üzerinde bir < x,y > iççarp ı m ı tan ı ml ı olan bir X

vektör uzay ı d ı r. İ ççarp ı m, üç boyutlu uzaylarda vektörlerin skaler çarp ı m ı kavram ı n ı genelleş tiren ve

(I) İ lxll =< X,X > 112 ile bir II. Il normu, (Il) < x,y >= 0 ile dikliğ i tan ı mlamakta kullan ı l ı r.

Bir H Hilbert uzay ı , tam olan bir iççarp ı m uzay ı d ı r. iççarp ı m ve Hilbert uzaylar ı teorisi, genel normlu uzaylar ve Banach uzaylar ı teorisinden daha zengindir. Bu zenginli ğ i ortaya ç ı karan hususlar,

(i) H 'In, kapal ı bir altuzay ı ile bu altuzay ı n dik tümleyeninin direkt toplam ı olarak

belirtilmesi (Bkz.3.3.4), (ii) ortonormal kümeler ve diziler ve H ' ı n elemanlar ı n ı n bunlara karşı l ı k gelen

gösterimleri (Bkz. K ı s. 3.4, 3.5)

91

92 (iii) s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerin iççarp ı m yard ı m ı yla Riesz gösterimi (3.8.1), (iv) s ı n ı rl ı lineer bir T operatörünün Hilbert-adjoint operatörünün (Bkz. 3.9.1)

bulunmas ı d ı r. Ortonormal kümeler ve diziler, total olmalar ı halinde gerçekten ilginçtir (K ı s.3.6).

Hilbert-adjoint operatörler, uygulamada büyük önem ta şı yan operatör s ı n ı tlann ı n

(self-adjoint, üniter, normal) operatör s ı n ı flar ı n ı n tan ı mlanmas ı nda kullan ı labilir (Bkz. K ı s.3.10).

3.1. iççarpim Uzay ı . Hilbert Uzay ı . Bu bölümde inceleyeceğ imiz uzaylar ı n tan ı mlar ı n' vererek işe ba ş layal ı m. 3.1.1. Tan ı m (Iççarp ı m Uzay ı , Hilbert Uzay ı ). Bir iççarp ı m uzay ı (ya da, ön-Hilbert

uzay ı ), üzerinde bir iççarp ı m tan ı mlanm ış bir X vektör uzay ı d ı r. Bir Hilbert uzay ı ise, üzerindeki iççarp ı rnla tan ı mlanm ış metriğ e göre, tam olan bir iççarp ı m uzay ı d ı r. Burada sözü edilen iççarp ı m, Xx X 'den X 'in bir k skaler cisimi içine yap ı lan bir dönü ş ümdür; yani, X 'in her x ve y vektör çifti, x ve y 'nin vektörel çarp ı m ı olarak

adland ı r ı lan ve < x,y > ile gösterilen ve her x, y ve z vektörleri ve a skaleri için aşağı daki özelikleri gerçekleyen bir skalerle e ş lenmektedir:

(Iç 1) < x +y, z > = < x, z > + < y, z > ( İ ç 2) < ax,y > = a < x,y > (Iç 3) < x,y > = < y,x > (iç 4) < x,x > O

< x,x > = O <=> x = O. X üzerinde tan ı mlanan bir iççarp ı m, X üzerinde,

114 = x,x > (1)

ile verilen bir norm ve

d(x,y) = ilx - y ı l = İI(x- y,x- y) (2)

ile verilen bir metrik tan ı mlar. Buna göre, iççarp ı m uzaylar ı birer normlu uzay olup, Hilbert uzaylar ı ise birer Banach

uzay ı d ı r. (Iç 3) 'deki üst çizgi, kompleks e ş leniğ i göstermekte olup, X 'in reel bir vektör uzay

olmas ı halinde, kolayca,

< x,y >=< y,x > (simetri)

sonucunu elde ederiz. (1) ile tan ı mlanan fonksiyonun (N1)-(N4) norm aksiyomlar ı n ı gerçeklediğ ini bundan

sonraki k ı s ı mda gösterece ğ iz. (Iç 1)-(Iç 3) ifadelerinden ise, s ı k s ı k kullanacağı m ı z,

(a) < ax + 13y,z >= ct < x,z > +P < y,z >

(3)

(b) < x,ay >=cz < x,y >

(c) < x, ay + Pz > = â < x,y > +7-3 < x,z >

formüllerini elde ederiz. (3a) formülü, iççarp ı m ı n birinci çarpana göre lineer oldu ğ unu ortaya koyar. (3c) ise, sa ğ tarafta rı ve eş lenikleri bulunduğ undan, iççarp ı m ı n ikinci çarpana göre e ş lenik lineer olduğ unu gösterir. Bu iki özeli ğ i birlikte ifade ederek,

93 iççarp ı m ı n sesquilineer oldu ğ unu söyleyece ğ iz. Bunun anlam ı , eş lenik lineerliğ in, bazen, yar ı -lineer olarak adland ı rlmas ı nedeniyle, "1} kere lineer" demektir

Okuyucu, iççarp ı m uzay ı üzerindeki normun, paralelkenar e ş itliğ i olarak bilinen,

Ilx +311 2 + = 2(114 2 + (4)

eş itliğ ini gerçeklediğ ini, doğ rudan bir hesaplamayla, kolayca gösterebilir. Norm kavram ı n ı n, bir vektör uzunlu ğ unun elemanter kavram ı n ı n genelleş tirilmesi oldu ğ unu göz önünde bulundurursak, a ş ağı daki ş ekilde de görece ğ imiz gibi, elemanter geometrinin deyimlerine benzetilerek, bu ismin kullan ı lma nedenini anlayabiliriz. Böyle bir e ş itliğ in çok daha genel durumlarda da geçerlili ğ ini koruduğ unu belirtmemiz yerinde olacakt ı r.

X

Ş ekil 23. x ve y kenarlanna sahip paralelkenar

(4) eş itliğ ini gerçeklemeyen bir normun, (1) 'in kullan ı lmas ı yla, bir iççarp ı mdan elde edilemeyece ğ ini söyleyebiliriz. Böyle normlar vard ı r ve bunlara ili ş kin örnekler a ş a ğı da verilecektir. Bu nedenle, herhangi bir yanl ış anlamaya yer vermeksizin,

"Normlu uzaylar ı n hepsi bir iççarp ı m uzay ı değ ildir." diyebiliriz.

Orneklerimizi incelemeden önce, teorinin tümünde esas olan diklik (ortogonallik) kavram ı n ı tan ı mlamam ı z yerinde olacakt ı r. Üç boyutlu uzaylarda iki vektörün skaler çarp ı m ı n ı n s ı f ı r olmas ı halinde, bu iki vektörün dik olduklar ı n ı , ya da, en az bir tanesinin s ı f ı r vektörü oldu ğ unu biliyoruz. Bu durum bizi a ş a ğı daki tan ı ma götürmektedir:

3.1.2. TANIM (Diklik). Bir X iççarp ı m uzay ı n ı n, x ve y gibi, iki eleman ı verildiğ inde, eğ er,

< x,y > -= O

ise, x eleman ı , y eleman ı na dik'dir denir ve x ı y ş eklinde yaz ı l ı r. Benzer şekilde, A,

B c X altkümeleri verildi ğ inde, eğ er, her a E A için, x ı a ise, x ı A ve her a E A ve

her b E B için, a ı b ise, A ı B yazar ı z. ÖRNEKLER 3.1.3. k n Euclid Uzay ı . ilk" uzay ı , x = = ve y = (//ı ) = ( 711, ,r1n)

olmak üzere,

< x,y >= 11.1 1

(5) ile tan ı mlanan iççarp ı ma göre, bir Hilbert uzay ı d ı r.

Gerçekten, (5) 'den,

94 11X Il X,X > 1/2 = (j

ve bundan da,

d(x,y) = Ilx -yll x -y,x -y > I/2 = {(41-7/1 ) 2 -1-...±(4 n-il n ) 2 1 1/2

ile tan ı mlanan Euclid metriğ ini elde ederiz. Bu metri ğ e göre, ad ı geçen uzay ı n taml ığı n ı ise, 1.5.1 'de görmü ş tük.

n = 3 olmas ı halinde, (5) formülü. x = (1,2,3) ve y = (ril,7/2,773) 'ün, bilinen,

< x,y >= x.y = 1111 + 27/2 +43113

skaler çarp ı m ı n ı verir ve

< x,y >= x.y = O

dikliğ i, elemanter diklik kavram ı yla uyuş ur. 3.1.4. Cn Birim Uzay ı . Cn uzay ı ,

< x,y >= 1 -7T n (6)

ile verilen iççarp ı ma göre bir Hilbert uzay ı d ı r. Gerçekten, (6) 'dan,

11,4 = +...+4,znya +...414,1 2 ) 1/2

ile tan ı mlanan normu elde ederiz. Burada, ayr ı ca, (6) 'da neden "fr j kompleks e ş leniğ ini

almak zorunda olduğ umuzu da görmekteyiz; bu durum, < y,x > = < x,y > eş itliğ ini gerektirmektedir ki, bu da, (Iç3) 'den ba ş ka bir şey değ ildir. Dolay ı s ıyla, < x,x > reeldir.

3.1.5. L2 [a, bi Uzay ı . örnek 2.2.7 'deki norm, (b 1/2

IIX = X(02dt

ile tan ı mlan ı r ve

< x,y >= x(t)y(t)dtJ

(7)

a

ile tan ı mlanan iççarp ı mdan elde edilir. Kolayl ı k olmas ı nedeniyle, örnek 2.2.7 'deki fonksiyonlar ı n reel-değ erli fonksiyonlar

olduğ u varsay ı lm ış t ı . Ancak, belli uygulamalarda bu k ı s ı tlamay ı kald ı rmak ve fonksiyonlar ı (t E [a,lı ] olmak koş uluyla) kompleks-değ erli fonksiyonlar olarak almak baz ı avantajlar sa ğ lar. Bu fonksiyonlar,

< x,y f x(t) y(t) dt

(7*)

tan ı m ı n ı yapmam ız halinde, bir iççarp ı m uzay ı na dönüş ecek olan bir kompleks vektör uzay ı oluş tururlar. Burada kulland ığı m ı z üst çizgi yine kompleks e ş leniğ i göstermektedir.

Buna göre, (Iç 3) gerçeklenmekte ve dolay ı s ıyla, < x,x > yine reel olmaktad ı r. Bu

özeliğ e, x(t)x(t) = lx(t)1 2 olmas ı nedeniyle, 1/2

11X11 = fiX( İ )1 2di

\.a

ile tan ı mlanan norma iliş kin iş lemlerde yine gereksinme duyaca ğı z.

95 (7) 'ye kan şı l ı k gelen metrik uzay ı n tamlanm ışı reel L2 [a,b] uzay ı d ı r (2.2.7 'ye

bak ı n ı z). Benzer şekilde, (7*) 'a karşı l ı k gelen metrik uzay ı n tamlanm ışı ise, kompleks L 2 [a,b] uzay ı d ı r. Bundan sonraki k ı s ı mda, iççarp ı m ı n, bir iççarp ı m uzay ı ndan,bu uzay ı n tamlanm ışı na geniş letilebileceğ ini göreceğ iz. Bu durum, yapt ığı m ı z incelemelerle birlikte, L2 [a,b] uzay ı n ı n bir Hilbert uzay ı olmas ı n ı gerektirir.

3.1.6. Q2 Hilbert Uzay ı . (2 uzay ı ,

< x,y >= E .1 71.-; J- İ

ile tan ı mlanan iççarp ı ma göre bir Hilbert uzay ı d ı r. Buradaki serinin yak ı nsakl ığı , birinci bölümde gördü ğ ümüz Cauchy-Schwarz e ş itsizliğ inden ve x, y E C 2 varsay ı m ı ndan ç ı kmaktad ı r. Görüldüğ ü gibi, (8) ile tan ı mlanan iççarp ı m, (6) ile tan ı mlad ığı m ı z iççarp ı m ı genelleş tirmektedir. Q 2 'deki norm ise,

1/2

IIx ı I X,X > 112

,=,

ile tan ı mian ı r. V 2 uzay ı n ı n bu norma göre tam oldu ğ u ise, 1.5.4 'de ispatlanm ış t ı . Q 2 uzay ı Hilbert uzaylar ı n ı n ilk örneğ i olup, ilk kez, D.Hilbert taraf ı ndan integral

denklemlere ili ş kin bir çal ış mas ı nda tan ı mlanm ış ve incelenmiş tir (1912). Bununla birlikte, Hilbert uzay ı n ı n aksiyomatik tamm ı ,daha sonralar ı , J. von Neumann taraf ı ndan kuantum mekaniğ inin matematiksel temellerine ili ş kin bir çal ış mada verilmi ş tir (1927),s.15-16. Bu konuda, ayr ı ca, J. von Neumann (1929-30), s. 63-66 ve M.H.Stone (1932), s.3-4 'e bak ı n ı z. Bu tan ı m, Hilbert uzay ı n ı n "ayr ı labilme" koş ulunu içermektedir. Ancak,söz konusu ko ş ul, H.Löwig (1934), F.Rellich (1934) ve F.Riesz (1934) 'in çal ış malar ı sonucu, teorinin bir çok k ı s ı mlar ı nda gereksiz bir k ı s ı tlama olarak görülmüş ve kald ı r ı lm ış t ı r. (Bu çal ış malar Ek.3 'de s ı ralanm ış t ı r).

3.1.7. Qp Uzay ı . p 2 olmak üzere, QP uzay ı bir iççarp ı m uzay ı olmay ı p, dolay ı s ı yla, bir Hilbert uzay ı da değ ildir.

Ispat. Yukar ı daki ifademiz, p 2 olmak üzere, QP 'nin normunun bir iççarp ı mdan elde edilemeyeceğ i anlam ı na gelmektedir. Bu durumu, söz konusu normun, (4) 'deki paralelkenar eş itliğ ini gerçeklemediğ ini göstererek ispatlayabiliriz. Gerçekten, x = (1,1,0,0,...) e P ve y = (1,-1,0,0,...) E (P al ı rsak,

IIxll = IIYII = 2 uP, lix = İ lx -- Yll = 2

olduğ unu hesaplayabiliriz. Ve buradan da, p 2 olmas ı halinde, (4) 'ün gerçeklenmedi ğ ini görebiliriz.

QP uzay ı n ı n tam olduğ unu daha önce görmü ş tük. Buna göre, p 2 olmak üzere, QP

dizi uzay ı , Hilbert uzay ı olmayan bir Banach uzay ı d ı r. 3.1.8. C[a,b] Uzay ı . C[a,b] uzay ı , bir iççarp ı m uzay ı olmay ı p, dolay ı s ı yla, bir Hilbert

uzay ı da değ ildir. ispat. (4) 'deki paralelkenar e ş itliğ ini sağ lamamas ı nedeniyle,

Ilxtl =max lx(t)i (J = [a,b])

ile tan ı mlanan normun, bir iççarp ı mdan elde edilemeyece ğ ini göstermemiz gerekmektedir. Gerçekten, x(t) = 1 ve y(t) = (t - a)I(b - a) al ı rsak, 114 = 1, HA = 1 ve

x(t) + y(t) - 1 a

(8)

96 x(t) y(t) - 1 t a a

b - a

elde ederiz. Buna göre, Ilx +yil = 2, Ilx -yil = 1 ve

ilx+YI1 2 + lix - Y11 2 = 5 fakat,

2 (11XII 2 + IlY 11 2 ) = 4 bulunur ki, bu da ispat ı m ı z ı tamamlar.

Son olarak, a ş ağı daki ilgi çekici gerçeklerden söz etmek istiyoruz. Bilindi ğ i gibi, bir

iççarp ı ma, (1) ile verilen bir norm kar şı l ı k gelmektedir. Tersine olarak, iççarp ı m ı n, kendisine karşı l ı k gelen normdan elde edilebilece ğ ine dikkati çekmemiz de yerinde olacakt ı r. Gerçekten, elemanter i ş lemler sonucu, reel bir iççarp ı m uzay ı için,

< x,y >= 1 (11x +y11 2 + -y11 2 ) 4

yaz ı labileceğ i ve kompleks bir iççarp ı m uzay ı için de,

Re < x,y > = 4 (1Ix +y11 2 + lix -y11 2 )

Im < x,y > = â ( + iyli 2 + - 2 )

olduğ u gösterilebilir. (10) formüllerine, polarizasyon özde ş liğ i de denilmektedir.

PROBLEMLER 1. (4) 'ü ispatlay ı n ı z. 2. (Pythagoras Teoremi). Bir X iççarp ı m uzay ı nda, x ı y ise,

lix +YII 2 = İ lx11 2 + 11)11 2

olduğ unu gösteriniz. (Ş ek.24). Bu formülü, iki şer ikiş er dik, m tane vektör haline genelleş tiriniz.

x

Ş ekil 24. Düzlemde Pythagoras teoreminin gösterimi

3. Prob.2 'deki X 'in reel olmas ı halinde, verilen ba ğı nt ı ntn, tersine olarak, x L y

sonucunu gerektirdi ğ ini gösteriniz. X 'in kompleks olmas ı halinde bunun geçerli olmayabileceğ ini gösterip örnekler veriniz.

4. Bir X iççarp ı m uzay ı reel ise, Ilxll = IIYN ko ş ulunun, < x +y,x -y >= 0 sonucunu

gerektirece ğ ini gösteriniz. X = R 2 ise, bunun geometrik anlam ı nedir? X 'in kompleks

97 olmas ı halinde bu ko ş ul neyi ifade eder?

5. (Appolonius Özdeş liğ i). Bir iççarp ı m uzay ı ndaki herhangi elemanlar için,

liZ X11 2 11 2 -= -y11 2 — 2 11Z —(x + y)11 2 olduğ unu doğ rudan do ğ ruya hesaplayarak gösteriniz. Bu özde ş liğ in, ayn ı zamanda, paralelkenar eş itliğ inden de elde edilebilece ğ ini gösteriniz.

6. x 0 ve y 0 olsun. (a) x 1 y ise, {x,y} 'nin lineer ba ğı ms ı z bir küme oldu ğ unu gösteriniz. (b) Bu sonucu, ikişer ikiş er birbirine dik, s ı f ı rdan farkl ı , x ı ,...,x„, vektörleri için genelleş tiriniz.

7. Bir iççarp ı m uzay ı nda, her x için, < x,u > = < x,v > ise, u = v olduğ unu gösteriniz.

8. (9) ba ğı nt ı s ı n ı ispatlay ı roz. 9. (10) bağı nt ı lann ı ispatlay ı n ı z. 10. z ı ve z2 iki kompleks say ı olsun. < z ı , z2 > = z ı z-2- 'nin, kompleks düzlemdeki

bilinen metriğ i veren bir iççarp ı m tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. Hangi koş ul alt ı nda ortogonalliğ i elde ederiz.

11. X, bütün s ı ral ı kompleks say ı çiftlerinden olu ş an vektör uzay olsun. X üzerinde,

= 1411+ 1421 [x = (41,42)] ile tan ı mlanan normu bir iççarp ı mdan elde edebilir miyiz?

12. (a) 4„ = (b) l/n olmak üzere, x = (1,42,...) ise, 3.1.6 'daki IIx II nedir?

13. Sürekli fonksiyonlar için, 3.1.5. 'de verilen iççarp ı m ı n (iç 1)-(Iç 4) koş ullar ı n ı gerçekledi ğ ini gösteriniz.

14. C[a,b] üzerindeki normun, t = az + f3 lineer dönü ş ümü alt ı nda invaryant kald ığı n ı gösteriniz. Bu gerçe ğ i, [a,b] 'yi [0,1] üzerine dönü ş türüp, daha sonra da, T e [0,1] olmak üzere, 1- (ı ) = 1, 37(ı ) = z ile tan ı mlanan fonksiyonlar ı göz önüne alarak, 3.1.8. 'deki ifadeyi ispatlamak için kullan ı n ı z.

15. X sonlu boyutlu bir vektör uzay ve (e ;), X için bir baz ise, X üzerindeki bir iççarp ı m ı n, tamamiyle , kendisinin, yjk = < ek> değ erleriyle belirlenebilece ğ ini

gösteriniz. Böyle, yik skalerlerini tamamen keyfi biçimde seçebilir miyiz?

3.2. İ ÇÇARPIM UZAYLARININ DI Ğ ER ÖZELIKLERI İ lk olarak, yukar ı da verdiğ imiz (1) ba ğı nt ı s ı n ı n bir norm tan ı mlad ığı n ı göstermemiz

gerekmektedir. (N1) ve (N2) koş ullar ı , (iç 4) 'den ç ı kmaktad ı r. Ayr ı ca, (N3) koş ulu, (Iç 2) ve ( İ ç 3)

'den yararlan ı larak elde edilir; gerçekten,

ax Ii 2 =< ax,ax >= aâ < X, X >= lai 2 2 'dir. Son olarak, (N4) ko ş ulu, aş ağı daki lemmada içerilmektedir.

3.2.1. LEMMA (Schwarz E ş itsizliğ i, Üçgen E ş itsizliğ i). Bir iççarp ı m ve buna kar şı l ı k

gelen norm Schwarz e ş itsizliğ ini ve üçgen eş itsizliğ ini, aş ağı da belirtildiğ i ş ekilde, gerçekler:

(a) Eş itlik hali, ancak ve ancak, {x,y} 'nin lineer ba ğı ml ı olmas ı halinde geçerli olmak üzere,

98 l< x,y >I < IIxII IIYII (Schwarz e ş itsizliğ i) (1)

'dir. (b) Söz konusu norm, e ş itlik hali,ancak ve ancak, y = 0 ya da, x = cy (c reel ve

> 0) halinde geçerli olmak üzere,

11x +3, 11 5 IIxII +

(Üçgen Eş itsizliğ i) (2)

eş itsizliğ ini gerçekler. ispat. (a) y = 0 olmas ı halinde, < x,0 > = 0 oldu ğ undan, (1) gerçeklenir. y ı 0 olsun.

Her a skaleri için, O < 11x - ay11 2 = < x - ay, x - ay > = < x, x > < x,y > -ak y,x > —re < y,y >I

yazabiliriz. Buradan, kö ş eli parantez içindeki ifadenin, -o- = < y,x > / < y,y > almam ı z

halinde s ı f ı r olduğ unu görebiliriz. Geriye kalan e ş itsizlik,

< y,x > O << x,x > < x,y >=

x,y < Y,Y > ı ly ı l2

olup, burada, < y,x > = < x,y > eş itliğ ini kulland ı k. Bu ifadeyi, Ily1I 2 ile çarp ı p, son terimi sola geçirdikten sonra karekök al ı rsak (1) 'i elde ederiz. Bu formülde e ş itlik hali ancak ve ancak, y = 0 ya da 0 = Ilx ay11 2 olmas ı halinde ortaya ç ı kar. Bu durumda ise, x - ay = 0, yani, x = ay bulunur ki bu da lineer bağı ml ı l ığı gösterir.

(b) (2) eş itsizliğ ini ispatlayabilmek için önce,

Ilx +y11 2 = < x + y,x + y > = lix l ı 2 x,y > + < y,x > +11y11 2

yazabiliriz. Say ı lara iliş kin üçgen eş itsizliğ ini kullan ı rsak,

11x +Y il 2 5 + 2i< x,Y >1+

5 ilxii 2 + 2 11X II IlY + 1137 11 2 = (IIX II ILY 11) 2

elde ederiz. Her iki taraf ı n karekökünü alarak da (2) e ş itsizliğ i bulunur. Bu formülde de, e ş itlik hali, ancak ve ancak,

<x,y>+< Y,x>= 211x IIIlYII olmas ı halinde geçerlidir. Burada sol yan, Re reel k ı sm ı belirtmek üzere, 2 Re < x,y >

'dir. Bundan ve (1) 'den yararlanarak,

Re < x,y > = İ IxIIIIYII l< x,y

(3)

yazar ı z. Kompleks bir say ı n ı n reel k ı sm ı mutlak değ erinden daha büyük olamayaca ğı ndan, (3) 'de eş itlik hali geçerli olmal ı d ı r. Bu ise, a) gere ğ ince, lineer bağı ml ı l ığı gerektirmektedir. Yani, y = 0 ya da x = cy 'dir. Ş imdi, c 'nin reel ve k 0 olduğ unu gösterece ğ iz. Eş itlik halini göz önüne alarak, (3) 'den, Re < x,y >= I< x,y >I

yazabiliriz. Ancak, kompleks bir say ı n ı n reel k ı sm ı , bu say ı n ı n mutlak değ erine eş it ise,

sanal k ı s ı m' s ı f ı r olmak zorundad ı r. Buna göre, (3) 'den, < x,y > = Re < x,y > 0 bulunur ve

0 << x,y > = < cy,y, > =

'den de, c > 0 sonucu elde edilir. (1) Schwarz e ş itsizliğ i oldukça önemli olup, ispatlar ı m ı zda sürekli olarak

kullan ı lacakt ı r. Yine s ı k s ı k kullanaca ğı m ı z diğ er bir önemli özelik de iççarp ı m ı n

99 sürekliliğ idir:

3.2.2. LEMMA (iççarp ı m ı n Sürekliliğ i). Bir iççarp ı m uzay ı nda, x„ x ve y n y ise,

< > < x,y > 'd ir. ispat. Bir terim ekleyip ç ı kartarak, say ı lar için üçgen e ş itsizliğ ini ve son olarak da

Schwarz e ş itsizliğ ini kullanarak ve n -■ 00 için, y n - y --> 0 ve xn -x O olduğ unu göz önüne alarak,

l< xn ,Yn > - < x.y >I = l< Xn,Yn > —› < x n ,y > + < x,,,y > < x,y >I

l< xn ,yn —y >I+ i< x,, —x,y >I 11x,1111..vn —Y Ii + x II Hy Ii o

elde ederiz. Bu lemman ı n ilk uygulamas ı olarak, her iççarp ı m uzay ı n ı n tamlanabilece ğ ini

ispatlayaca ğı z. Tamlanm ış uzay bir Hilbert uzay ı olup (kendisine izomorf olanlar ı n d ışı nda) tek'dir. Burada söz konusu olan izomorfizmi a ş ağı daki ş ekilde tan ı mlayabiliriz:

Bir X iççarp ı m uzay ı n ı n, ayn ı cisim üzerinde tan ı ml ı diğ er bir 31.'" iççarp ı m uzay ı üzerine olan T izomorfizmi, iççarp ı m ı koruyan, yani, her x,y E X için,

< Tx,Ty >=< x,y >

olacak ş ekilde tan ı mlanan bire-bir ve üzerine bir lineer operatörüdür. Bu

koş ullara uygun X vel iççarp ı m uzaylar ı na izomorfik iççarp ı m uzaylar ı ad ı verilir.

Bire-bir ve üzerine olmayla lineerli ğ in, T 'nin X 'in, "İ üzerine bir vektör uzay izomorfizmi olmas ı n ı garantiledi ğ ini ve bu nedenle de, T 'nin iççarp ı m uzay ı n ı n tüm

yap ı s ı n ı koruduğ unu belirtmemiz yerinde olacakt ı r. X ve X" üzerindeki uzunluklar ı n, X

ve ...A."; üzerindeki iççarp ı mlarla tan ı mlanan normiar yard ı m ı yla belirlenmesi nedeniyle, T

ayn ı zamanda X 'in 31"; üzerine bir izometrisidir. Ş imdi de, bir iççarp ı m uzay ı n ı n tamlaş t ı r ı lmas ı na iliş kin teoremimizi ifade edelim. 3.2.3. TEOREM (Tamla ş t ı rma). Herhangi bir X iççarp ı m uzay ı için, bir H Hilbert

uzay ı ve X 'den W c H yoğ un altuzay ı üzerine bir A izomorfizmi vard ı r. H uzay ı , kendisine izomorf olanlar ı n d ışı nda tek'dir.

ispat. Teorem 2.3.2 gere ğ ince, bir H Banach uzay ı ve X 'den, H ' ı n H 'da yoğ un bir W altuzay ı üzerine bir A izomorfizmi vard ı r. Süreklilik nedeniyle, böyle bir izometri alt ı nda, X ve W 'deki elemanlar ı n toplamlar ı ve skaler çarp ı mlar ı , birbirlerine kar şı l ı k

gelir ve dolay ı s ı yla, A izometrisi, ayn ı zamanda, her ikisi de normlu uzaylar olarak göz önüne al ı nmak üzere, X 'in W üzerine bir izomorfizmi olur. Lemma 3.2.2, H üzerinde bir iççarp ı m ı n, Teorem 2.3.2 'deki gösterimlere benzer olarak, (x„) ve (y,), s ı ras ı yla, 'k"

H ve 5i- e H 'in temsilcileri olmak üzere,

< X , y >=1im< x„,y, >

yazarak tan ı mlanabileceğ ini göstermektedir. K ı s.3.1 'deki (9) ve (10) ba ğı nt ı lar ı n ı göz önüne alarak, A 'n ı n, X 'den W üzerine, her ikisi de iççarp ı m uzaylar ı olarak ele al ı nmak üzere, bir izomorfizm oldu ğ unu görürüz.

Teorem 2.3.2, ayn ı zamanda, H ' ı n izometrileri d ışı nda tek oldu ğ unu da garanti

eder; yani, X 'in H ve 7--/ gibi tamlanm ış lar ı , T : H -+ X şeklinde bir izometriyle

birbirlerine bağ l ı d ı r. Buradan, T 'nin, II Hilbert uzay ı n ı n, H Hilbert uzay ı üzerine bir

100 izomorfizmi olmas ı gerektiğ ini de söyleyebiliriz.

Bir X iççarp ı m uzay ı n ı n bir Y altuzay ı , X üzerindeki iççarp ı m, Y x Y üzerine k ı s ı tlanm ış olarak al ı nmak üzere, X 'in vektör altuzay ı olarak tan ı mlan ı r.

Benzer ş ekilde, bir H Hilbert uzay ı n ı n bir Y altuzay ı , H ' ı n, bir iççarp ı m uzay ı olarak düş ünülen bir altuzay ı olarak tan ı mlan ı r. Y 'nin bir Hilbert uzay ı olmas ı gerekmediğ ini belirtmeliyiz. Gerçekten, Teorem 2.3.1 ve 2.4.2 'den hemen a ş ağı daki teoremin (a) ve (b) ifadelerini elde ederiz:

3.2.4. TEOREM (Altuzay). Y bir H Hilbert uzay ı n ı n bir altuzay ı olsun. Bu durumda, (a) Y 'nin tam olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, Y 'nin H 'da kapal ı olmas ı d ı r. (b) Y sonlu boyutlu ise, tam'd ı r. (c) H ayr ı labilir ise, Yde ayr ı labilirdir.Daha genel olarak, ayr ı labilir bir iççarp ı m

uzay ı n ı n her altkümesi de ayr ı labilirdir. Burada (c) 'nin elemanter olan ispat ı nt okuyucuya b ı rak ı yoruz.

PROBLEMLER 1. IR 2 ve 'deki Schwarz e ş itsizliklerini ifade edip ispatlar ı n ı veriniz. 2. 'nin altuzaylar ı na örnekler veriniz. 3.X, x = 0 polinomu ile, K ı s.3.1 'deki (7) ile tan ı mlanan iççarp ı m alt ı nda reel

t E [a,b] için göz önüne al ı nan, t 'nin derecesi 2 'den büyük olmayan bütün reel polinomlar ı ndan oluş an bir iççarp ı m uzay ı olsun. X 'in tam olduğ unu gösteriniz. Y, X 'in bir altuzay ı m ı d ı r? 2 inci dereceden tüm x E X 'ler X 'in bir altuzay ı n ı oluş turur mu?

4. y s xn ve x„ x 'in birlikte, x 1 y sonucunu gerektirdiğ ini gösteriniz. 5. Bir X iççarp ı m uzay ı ndaki bir (x,,) dizisi için, lIxt ı -› Iki' ve < x„,x >-+ < x,x >

koş ullar ı n ı n, x„ x yak ı nsakl ığı n ı gerektirdiğ ini gösteriniz. 6. Prob.5 'deki ifadeyi, kompleks düzlem özel hali için ispatlay ı n ı z. 7. Bir iççarp ı m uzay ı nda, x s y olmas ı için gerek ve yeter koş ul, her a skaleri için,

ljx + ayll llx — ayil olmas ı d ı r. Ispatlay ı n ı z. (Bkz. Ş ek.25).

--oy

x + cry

x + ay = x --- fYy x + ay I — ay ı

Ş ekil 25. Prob.7'nin L. 2 Euclid düzlemindeki gösterimi

8. Bir uzay ı nda, x ı y olmas ı için gerek ve yeter koş ul, her a skaleri için, + ayll > Ilx olduğ unu gösteriniz.

9. V, J = [a,b] üzerinde tan ı ml ı tüm sürekli kompleks-değ erli fonksiyonlardan olu şan

101 vektör uzay olsun. ilxj1 c, =max lx(t)l olmak üzere, X I = (V,11.10) ve

(„1

Ilx 11 2 =< x,x >". < x,y >=, fx(t)y(t)dt

olmak üzere, X2 = . 112) alal ı m. X I 'in, X2 üzerine olan x x özdeş lik

dönüş ümünün sürekli olduğ unu gösteriniz. (Bu dönü ş üm, X2 'nin tam olmamas ı nedeniyle, bir homeomorfizm değ ildir.)

10. (S ı f ı r Operatörü). T : X X, kompleks bir X iççarp ı m uzay ı üzerinde s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Her x E X için, < Tx,x >= 0 ise, T = 0 olduğ unu gösteriniz. Bu durumun, reel bir iççarp ı m uzay ı nda geçerli olmad ığı n ı gösteriniz. (Yol Gösterme. Euclid düzleminin bir döndürülmesini göz önüne at ı n ı z.)

3.3. ORTOGONAL TÜMLEYENLER VE DIREKT TOPLAMLAR Bir X metrik uzay ı nda, bir x E X eleman ı ndan, boş olmayan bir M c X altkümesine

olan S uzakl ığı ,

=inf d(x,Y) (M 4r (D) 37€3.4

olarak tan ı mlan ı r. Bu tan ı m, normlu bir uzayda,

=inf Ilx (M # 37.m

ş ekline dönü ş ür. Bu tan ı mlara iliş kin ş ekilsel bir örnek Ş ekil 26 'da gösterilmiş tir.

(1)

Ş ekil 26. 11 2 düzleminde (1)'in gösterimi

Ileride,

8 = - Yli (2)

olacak ş ekilde bir y e M noktas ı n ı n bulunup bulunmad ığı n ı n bilinmesinin önemli olduğ unu göreceğ iz, Diğ er bir deyimle, verilen bir x eleman ı na en yak ı n olan biry e M noktas ı var m ı d ı r ve eğ er varsa tek midir? Bu soru bir varl ı k ve teklik problemi'dir. Ş ek.27, örneğ in, R 2 Euclid düzlemi gibi en basit uzaylarda bile (2) 'yi gerçekleyen hiç bir y 'nin var olmad ığı n ı , ya da bir tek y 'nin varoldu ğ u, ya da birden fazla y 'nin varolabileceğ ini göstermektedir. Di ğ er uzaylarda, özellikle, sonsuz boyutlu uzaylarda, durumun daha karma şı k olabileceğ ini dü ş ünebiliriz.

102 c\ x Tx

15 s/61 ■

(a) Hiç bir y (b) Bir tek y (c) Sonsuz çoklukta y

Ş ekil 27, M c: R. 2 verilen aç ı k uçlu bir doğ ru parças ı [(a) I da ve (b) f de ], ve dairesel bir yay [(c) ide]

olmak üzere, (2)'yi gerçekleyen yEM noktalann ı n varl ığı ve tekliğ i

Bununla birlikte, genel normlu uzaylarda durumun böyle olmas ı na karşı n (Bkz. Böl.6), Hilbert uzaylar ı için, durum diğ erlerine göre daha basit olmaktad ı r. Oldukça ilginç olan bu durumun bir çok teorik ve pratik sonuçlar ı vard ı r. Hilbert uzaylar ı teorisinin, genel Banach uzaylar ı teorisinden daha basit olmas ı n ı n önemli bir nedeni de budur.

Hilbert uzaylar ı için varl ı k ve teklik problemlerini inceleyebilmek için, konuya ili ş kin iki kavrama gereksinme duymaktay ı z. Önce bunlar ı görelim:

Bir X vektör uzay ı n ı n, verilen x ve y gibi iki eleman ı n ı birleş tiren doğ ru parças ı ,

z = ax + (1 a)y (a E 118,0 a < 1)

ş eklindeki tüm z E X elemanlar ı ndan oluş an küme olarak tan ı mlan ı r. X 'in bir M altkümesi verilmi ş olsun. Her x,y E M için, x ve y 'yi birleş tiren doğ ru

parças ı M 'de içeriliyorsa, M kümesi konveks'dir denir. Ş ekil 28 'de konveks bir küme içinde yer alan bir doğ ru parças ı görüyoruz.

Ş ekil 28. Konveks bir küme içindeki bir

bir doğ ru parças ı örneğ inin gösterimi

X 'in her Y altuzay ı da konveks olup, konveks kümelerin arakesitleri de konvekstir. Ş imdi de, bu k ı s ı mdaki önemli teoremlerden birisini ifade ve ispat edece ğ iz. 3.3.1. TEOREM (Minimumlaş t ı ran Vektör). X bir iççarp ı m uzay ı ve M el)

(iççarp ı mla doğ urulan metriğ e göre) tam olan konveks bir altküme olsun. Bu durumda, verilen her x e X için,

6 =inf llx — yll = l ı x —y ı l yckı

olacak şekilde bir tek y E M vard ı r. ispat. (a) Varl ı k. İ nfimum tan ı m ı gereğ ince, M 'de, 6n = lix — y.11 olmak üzere,

( 3)

103

Sn -› S (4)

olacak ş ekilde bir (yn ) dizisi vard ı r. Ş imdi, bu (y,,) dizisinin bir Cauchy dizisi olduğ unu

göstereceğ iz. y„ - x = v„ yazarsak, II = Sn ve

v„ + v„, = ilyn +y. - 2x = 2114(Y. +y.)-x II 2S

elde ederiz. Çünkü, M kümesi konveks olup, bu nedenle, -32-(y,, +ym) E M 'dir. Ayr ı ca,

y,, -ym = V?, - Vm 'dir. Buna göre, paralelkenar e ş itliğ i gereğ ince,

1lYn — Ym 2 Vn VM 11 2 = Vm 1/ 2 + 2(11 1'n 2 + 11Vm 2 ) 5 —(28) 2 4- 2(3;, + ı5„)

yazabiliriz ve (4) 'ü göz önüne al ı rsak, (yn) 'in bir Cauchy oldu ğ u ortaya ç ı kar. M tam olduğ undan, (y,,) yak ı nsakt ı r. y„ y E Mdiyelim. y E M olduğ undan, 11x -y11 ? S 'd ı r. Ayr ı ca, (4) gereğ ince,

İtx - Y11 lix - Yn II + IlYn - YII = Sn + iiYn 3

bulunur ki, bu da, l ı x = S olduğ unu gösterir. (b) Teklik. y E M ve yo E M 'in her ikisinin de,

l ı x — yfi = 8 ve Itx - yoll =

eş itliklerini gerçeklediklerini varsay ı p, yo = y olduğ unu gösterece ğ iz. Paralelkenar

eş itliğ i gereğ ince,

ii.Y - Yoll 2 = l ı (y—x) — (yo —x)11 2

11 2y -x11 2 + 211yo -x11 2 - 11(Y -x)+ (yo -x)11 2

= 26' 2 +2S2 - 22 111-(Y +Yo) - x11 2

yazabiliriz. Sağ tarafta, .1-(y +yo) E M olup, dolay ı s ıyla,

11 1-01-Y0)-x11?..5

'd ı r. Bu ise, sa ğ taraf ı n, 282 +2(52 _40,2 = 0 'dan küçük, ya da e ş it olmas ı n ı gerektirir.

Buna göre, 11y -yo 11 S 0 yazabiliriz. Aş ikar olarak, 11y 0 'd ı r. O halde, zorunlu

olarak, y = yo bulunur. Keyfi konveks kümelerden, altuzaylara dönerek, elemanter geometrinin bilinen

"verilen bir x noktas ı n ı n, verilen bir Y altuzay ı na en yak ı n olduğ u tek y noktas ı , x 'den Y 'ye bir dik indirilerek elde edilir" fikrini genelle ş tiren bir lemma elde edeceğ iz.

3.3.2. LEMMA (Ortogonallik). Teorem 3.3.1.'de, M, tam olan bir Y altuzay ı ve x E X sabit olsun. Bu durumda, z = x -y, Y 'ye ortogonaldir.

ispat. z ı Y doğ ru değ ilse,

104 < z,y >= # O

(5)

olacak ş ekilde bir y ı E Y varolmal ı d ı r. Aç ı kça görüldüğ ü gibi, y ı * 0 'd ı r; aksi halde, < z,y, > = 0 olmas ı gerekirdi. Ayr ı ca, herhangi bir a skaleri için,

Ilz - ay 1 11 2 =< z - ayı ,z - ay ı >

z,z > -71 < z,y > -ak y ı ,z > -71 <yhyi

z,z > -70 - arR - 71 < y ı , y ı >1

yazabiliriz.

?t" = <y ı ,y ı >

seçmemiz halinde, köşeli parantezin içindeki ifade s ı f ı rd ı r. (3) 'den, IIzII = Ilx-yll = yazabiliriz, ve buna göre, e ş itliğ imiz

'Iz _ ay, 11 2 = liz11 2 <y1131,y1 2 1 > < 62

sonucunu verir. Ancak, bu sonuç olanaks ızd ı r; çünkü, y2 = y+ ay ı E Y olmak üzere, z - ay ı = x - y2 yazabiliriz ve dolay ı s ı yla, (5 'n ı n tan ı m ı gereğ ince, Hz - ay ı II ?_ S 'd ı r. O halde, (5) geçerli olamaz ve lemma ispatlanm ış olur.

Burada amac ı m ı z, bir Hilbert uzay ı n ı n, ortogonallikten yararlanmas ı nedeniyle, özellikle basit ve uygun olan, bir direkt toplam olarak gösteremini elde etmektir.

3.3.3. TANIM (Direkt toplam). Bir X vektör uzay ı ve bunun Y ve Z gibi iki altuzay ı verilmiş olsun. Eğ er, her x e Xeleman ı , y e Y ve z e Z olmak üzere,

x = y + z

şeklinde tek bir gösterime sahip ise, X vektör uzay ı , Y ve Z altuzaylarm ı n direkt toplam ı 'd ı r denir ve

X= YEDZ

olarak yaz ı l ı r. Bu durumda, Z 'ye Y 'nin (ya da, Y 'ye Z 'nin)X 'deki cebirsel tümleyeni denir ve Y ve Z 'ye, X'deki altuzaylar ı n bir tümleyen çifti ad ı verilir.

Örneğ in, Y = R, R2 Euclid düzleminin bir altuzay ı d ı r. Aş ikar olarak, Y, R 2 'de, her biri bir reel eksen olan, sonsuz çoklukta cebirsel tümleyene sahiptir. Ancak bunlardan en uygunu "dik" olan bir tümleyendir. Bu konumdan, kartezyen koordinat sistemini seçtiğ imiz zaman yararlan ı yoruz. 118 3 'deki durum da, esas yönünden, ayn ı d ı r.

Benzer şekilde, genel bir H Hilbert uzay ı al ı nmas ı halinde, ilgi çekici esas konu, H ' ı n, kapal ı bir Y altuzay ı ile, bunun Y 'ye dik olan bütün vektörlerin olu ş turduğ u

Yi--,--.(zeH:z ı Y}

ortogonal tümleyeninin bir direkt toplam ı olarak gösterilebilmesidir. Bu konu, bu k ı s ı mdaki, ispattan sonra aç ı klayaca ğı m ı z nedenlerle, bazan izdü ş üm teoremi olarak da adland ı r ı lan, temel sonucu ortaya koymaktad ı r.

3.3.4. TEOREM (Direkt Toplam). Y bir H Hilbert uzay ı n ı n, herhangi bir, kapal ı altuzay ı olsun. Bu durumda,

H= YEDZ, Z =

(6)

'dir. Ispat. Birinci bölümden, H ' ı n tam ve Y 'nin kapal ı olmas ı halinde, Y 'nin de tam

105 olmas ı gerektiğ ini biliyoruz. Y konveks olduğ undan, Teorem 3.3.1 ve Lemma 3.3.2, her x E H için,

x=y+z zeZ= Yı

(7)

olacak ş ekilde bir y E Y'nin varl ığı n ı gerektirir. Tekliğ i ispatlamak için, y, y ı E Y ve z, 2. 1 e Z olmak üzere,

x=y+z=yı +z ı olduğ unu varsayal ı m. Bu durumda, y - y ı =z-z ı olmaktad ı r. z ı -z eZ= Yr iken, y-y ı E Y olduğ undan, y -y, E Yn P = {O} olduğ u ortaya ç ı kar. Bu da, y = y ı olmas ı n ı gerektirir. Dolay ı s ıyla, z = Z, 'dir.

(7)'deki z değ erine, x 'in Y üzerindeki dik izdü ş ümü (ya da k ı saca, izdü şümü) ad ı verilir. (7) eş itliğ i,

P : H-› Y

x-->y=Px

şeklinde bir dönüşüm tan ı mlamaktad ı r. P 'ye, H 'in Y üzerine (dik) izdüşümü (ya da izdüş üm operatörü)ad ı verilir (Bkz. Ş ek.29). Aç ı kça görüldüğ ü gibi, P sinirli lineer bir operatördür.

Ş ekil 29. Teo.3.3.4 ve For.(9)'a iliş kin gösterimler

P,

H Y ' nin üzerine,

Y iyi, kendi üzerine

Z = ise,{0} üzerine

106 dönüş türür ve e ş kuvvetli'dir, yani,

p2 = p

'dir. Buna göre, her x E H için,

P2x = P(Px) = Px

'dir. Dolays ı yla, P l y ,Y üzerindeki özde ş lik operatörü olmaktad ı r. Ve Z = Y-L olmas ı halinde a ş ağı daki lemmay ı elde ederiz.

3.3.5. LEMMA (S ı f ı r Uzay ı ). Bir H Hilbert uzay ı n ı n, kapal ı bir Y altuzay ı n ı n Y' ortogonal tümleyeni, H ' ı n Y üzerindeki P ortogonal izdü şümünün N(P) s ı f ı r uzay ı d ı r.

Bir X iççarp ı m uzay ı nda, bir M kümesinin M' ile gösterilen s ı f ı rlayan ı

= {xEX:x ı M}

kümesi olup, x E Mi olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, her v E M için, < x,v > = 0 olmas ı d ı r. Bu tar ı m ı n ışığı alt ı nda, bir ortogonal tümleyenin özel bir s ı fı rlayan olduğ unu söyleyebiliriz.

x,y E M al ı nmas ı halinde, her v E M ve her a, skalerleri için,

<ax+(3y,v>=a<x,v>+/3<y,v>=0

yaz ı labileceğ inden ve dolay ı s ı yla, ax + fiy E M' olduğ undan, MI 'nin de bir vektör uzay olduğ u ortaya ç ı kar.

M' 'in kapal ı olduğ u, okuyucu taraf ı ndan kolayca ispatlanabilir. (Prob.8) (M -T yerine, Mil yazaca ğı z. Genel olarak,

olmas ı nedeniyle,

M c

(8*) elde ederiz. Bununla birlikte, kapal ı altuzaylar için, bundan da öte, a ş ağı daki lemmay ı ifade edebiliriz.

3.3.6 LEMMA (Kapal ı Altuzay). Y, bir H Hilbert uzay ı n ı n kapal ı bir altuzay ı ise,

Y - Y' (8)

'dir. Ispat. (8*) gere ğ ince, Y c Yil 'dir. Ş imdi de, Y D olduğ unu göstereceğ iz. x E Y"'

alal ı m. (8*) 'dan dolay ı , y E Y c Yil olmak üzere, 3.3.4 gere ğ ince, x = y+ z yazabiliriz. r--` bir vektör uzay oldu ğ undan ve x E Y' varsay ı m ı ndan hareketle, ayr ı ca, z = x -y E Y-u- yazara ki, bu da bize, z ı Y' sonucunu verir. Ancak, 3.3.4 gere ğ ince, z E Yi 'dir. O halde, z ı z olup, buradan z= 0 olduğ u ve dolay ı s ı yla, x = y bulunur; yani, x E Y 'dir. x E Y' keyfi bir eleman oldu ğ undan, bu sonuç, Y Y' olduğ unu ispatlar.

(8) ba ğı nt ı s ı , bu konuda, kapal ı altuzaylara ili ş kin temel bir sonuçtur. ZL = YLL = Y olmas ı nedeniyle, (6) formülü,

H= ZEDZ°

ş eklinde de yaz ı labilir. Buradan, x z dönüş ümünün, H 'In Z üzerine,

Pz : H Z

(9)

olarak belirlenen ve yukar ı da incelenen P izdü ş ümünün özeliklerine benzer özeliklere sahip olan bir izdü ş üm tan ı mlad ığı ortaya ç ı kar. Hilbert uzaylar ı nda, geren'i (span'i) yoğ un olan kümelerin bir karakterizasyonu, Teorem 3.3.4 taraf ı ndan aş a ğı daki ş ekilde

107 ima edilmektedir.

3.3.7. LEMMA (Yoğ un Küme). Bir H Hilbert uzay ı n ı n, herhangi bir M

altkümesi verildiğ inde, M 'nin span'inin H 'da yoğ un olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, M1 = {0} olmas ı d ı r.

ispat. (a) x E Mi olsun ve V = span M 'in H 'da yoğ un olduğ unu varsayal ı m. Bu durumda, x e 17 = H 'd ı r. Bölüm 1 'de gördüğ ümüz gibi, V 'de, x„ x olacak şekilde

bir (x„) dizisi vard ı r. x E MI ve M- ı V olduğ unda, < x„,x > = 0 yazabiliriz. iççarp ı m ı n sürekli olmas ı (Bkz.Lemma 3.2.2), < x„,x > < x,x > sonucunu gerektirir. Buna göre, < x,x > Ilx11 2 = 0 ve dolay ı s ı yla, x = 0 bulunur. x e M' keyfi olduğ undan, bu sonuç Mi = {0} olduğ unu ispatlar.

(b) Tersine olarak, Mi = {0} oldu ğ unu varsayal ı m. x i V ise, x İ . M olup, dolay ı s ı yla, x E Mı ve x = 0 bulunur. Buna göre, VI = {O} 'd ı r. V 'nin, H ' ı n bir altuzay ı olduğ unu göz önüne al ı rsak, Y =ii almak üzere, 3.3.4 'den, -P = H elde ederiz.

PROBLEMLER 1. H bir Hilbert uzay, M c H konveks bir altküme ve (x„), M 'de, d =inf Iki' olmak

xEM

üzere, d olacak ş ekilde bir dizi olsun. (x„) dizisinin, H 'da yak ı nsak olduğ unu gösteriniz. R 2 ya da R 3 'de şekilsel bir örnek veriniz.

2. C' kompleks uzay ı nda, M = {y = (%) : E İ,,=1} altkümesinin tam ve konveks

olduğ unu gösteriniz. M 'de minimum norm vektörünü bulunuz. 3.(a) [—I, 1] üzerinde tan ı ml ı bütün reel-de ğ erli sürekli fonksiyonlardan olu şan X

vektör uzay ı n ı n, [—L 1] üzerinde tan ı ml ı , bütün sürekli tek fonksiyonlarla , bütün sürekli çift fonksiyonlar ı n direkt toplam ı olduğ unu gösteriniz.(b) 3 'ü, (i) bir altuzay ı ile, bunun ortogonal tümleyeninin, (ii) altuzaylann ı n herhangi tümleyen çiftinin bir direkt toplam ı olarak gösteriniz.

4. (a) Teorem 3.3.1 'deki içerme ba ğı nt ı s ı n ı n, X 'in bir Hilbert uzay ı ve M c X 'in kapal ı bir altuzay olmas ı halinde de geçerli oldu ğ unu gösteriniz. (b) Appolonius özdeş liğ ini, Teorem 3.3.1 'in ispat ı nda nas ı l kullanabiliriz?

5. X= (}8 2 olsun. (a)x = {41,2} # 0 olmak üzere, M = {x}, (b) M = {x ı ,x2} c X

lineer bağı ms ız kümesi olarak verildi ğ inde, bulunuz. 6. Y= {x : X= (4j ) E t2 ,2n = 0,n e N} kümesinin, Q 2 'nin kapal ı bir altuzay ı

olduğ unu gösteriniz ve bulunuz. ei = (Sik) olmak üzere, Y = span{e ı ,...,en } ise, yı nedir?

7. A ve B D A, bir X iççarp ı m uzay ı n ı n boş -olmayan altkümeleri olsunlar. (a) A c A'', (b) c Al, (c) A 111 = A` olduğ unu gösteriniz.

8. Bir X iççarp ı m uzay ı ndaki bir M kümesinin, M1 s ı fı rlayan ı , X 'in kapal ı bir

altuzay ı d ı r. Ispatlay ı n ı z. 9. Bir H Hilbert uzay ı n ı n bir Y altuzay ı n ı n kapal ı olmas ı için gerek ve yeter koş ul,

Y = olmas ıd ı r. Ispatlay ı n ız. 10. M # O, bir H Hilbert uzay ı n ı n herhangi bir altkümesi ise, Mu- 'in, H' ı n M'yi

içeren en küçük kapal ı altuzay ı olduğ unu, yani, Miı 'in, Y D M olacak şekilde kapal ı herhangi bir Y c H altuzay ı nda içerildiğ ini gösteriniz.

108 3.4. ORTONORMAL KÜMELER VE DIZILER K ı s ı m 3.1 'de tanimland ığı gibi, elemanlar ı n ortogonalliğ i, iççarp ı m uzaylar ı yla,

Hilbert uzaylannda önemli rol oynamaktad ı r. Bu durumu bundan önceki k ı s ı mda görmüş tük. Özel ilgi çekici bir küme grubu da, elemanlar ı ikişer ikiş er ortagonal olan kümelerdir. Bunu daha iyi anlayabilmek için, R' Euclid uzay ı ndaki bilinen durumu hat ı rlayal ı m. R" uzay ı nda bu çeş it bir küme, dik koordinat sistemindeki eksenlerin pozitif doğ rultular ı ndaki üç birim vektörden, yani, ei,e2, ve e3 vektörierinden olu ş an kümedir. Bu vektöller R,' için bir baz olu ş tururlar, yani, her x e Elk 3 eleman ı , tek bir,

x = alei +a2e2 + a3e3

gösterimine sahiptir ( Ş ek. 30).

Ş ekil 30. R 3 'de {e 1, e2,e 3 } ortogonal kümesi ve x-ale ı +a 2 e2+a 3 e3 gösterimi

Ş imdi de, ortogonalliğ in büyük bir yarann ı göreceğ iz. bir x verildiğ inde, al,a2,a3

bilinmeyen katsay ı lar ı iççarp ı m (skaler çarp ı m) al ı narak kolayca belirlenebilir. Gerçekten, örneğ in, al 'i elde etmek için, x 'in gösterimini e ı ile çarpmam ı z gerekmektedir, yani,

< x,e i >= al < e be > +a2 < e ı ,et > +a3 < e3,e1 >= al

vb. Daha genel iççarp ı m uzaylannda, buna benzer ve diğ er baz ı özelikler mevcut olup, bu özelikler, ortogonal ve ortonormal kümeler ve dizilere ili ş kin özeliklerdir. Bu tip küme ve dizilerin uygulamalar ı , iççarp ı m ve Hilbert uzaylar ı teorisinde oldukça önemli bir kesimi oluş turmaktad ı rlar. Bu nedenle, konuya ilişkin incelemelerimize, baz ı gerekli kavramlar ı tan ı tarak ba ş layal ı m.

3.4.1. TANIM (Ortonormal Kümeler ve Diziler). Bir X iççarp ı m uzay ı nda, elemanlar ı ikişer ikişer ortogonal olan bir M c X altkümesine ortogonal küme ad ı verilir. Bir M c X

ortonormal kümesi, X 'de, elemanlar ı 1 normuna sahip, yani, her x, y e M için,

< x,y > = (1)

olacak ş ekilde verilen, ortogonal bir kümedir. Eğ er, ortogonal, ya da, ortonormal bir M kümesi say ı labilir ise bunu bir (xn ) dizisi

olarak düzenleyebilir ve, s ı ras ı yla, ortogonal , ya da, ortonormal dizi olarak adland ı r ı r ı z. Daha genel olarak, numaralanm ış bir (xa ), a e I kümesi ya da ailesi verildi ğ inde,

eğ er, her a,fl e I, a # 13 için, xa 1 xft ise, bu aileye, ortogonal aile, ad ı verilir. Bir aile

109 ortogonal ise ve bütün X a 'lar 1 normuna sahip ise, yani, her cı ,fl E I için,

< xa ,Xp >= (5a13 = 0, a rt

1 , a =

(2)

yaz ı labiliyorsa, bu aileye ortonormal aile denir. (Burada 45 ap Kronecker Deltas ı d ı r.) Ş imdi de, ortogonal ve ortonormal kümelere ili ş kin baz ı basit özelik ve örnekleri

inceleyece ğ iz. x ve y ortogonal elemanlar ı için, < x, y > = 0 yaz ı labileceğ imiz için, kolayca

Pythagoras ba ğı nt ı s ı n ı elde ederiz:

ıı x+ y ı l 2= ıı xIi 2 +ily ı l 2 -

(3)

Ş ekil 31. 08 3 ı de (3) no.lu Pythagoras

bağı nt ı s ı

Ş ekil 31, bilinen bir örneğ i göstermektedir. Daha genel olarak, {x l ,...,x,} ortogonal bir küme ise,

11X1 +... +Xn 11 2 = llx ı 11 2 4-...+11X,11 2

(4)

'dir. Gerçekten, j # k ise, < xf,xk > = 0 olduğ undan, 2

(

Ex, = EXj,EXk ı =EE <x,,x, > - E <x,,x, k k

elde edilir (toplamlar 1 'den n 'e kadar al ı nm ış t ı r). Ayr ı ca a ş ağı daki lemmaya da dikkati çekmek istiyoruz.

3.4.2. LEMMA (Lineer Ba ğı ms ı zl ı k). Ortonormal bir küme lineer ba ğı ms ı zd ı r.

ispat. {e1,....e„} ortonormal bir küme olsun ve

a ı ei +...1-a ne„ = 0

denklemini göz önüne alal ı m. Sabit bir e., ile çarp ı m,

E ake k, e., E ak < ek,ei > = ai < eh ej > = aj = O

k

k

verir ve bu sonuç, herhangi bir sonlu ortonormal küme için, iineer ba ğı ms ı zl ığı ispatlar.

Bu ayn ı zamanda, lineer ba ğı ms ı zl ığı n tan ı m ı gereğ ince, verilen ortonormal kümenin

sonsuz olmas ı halinde de lineer ba ğı ms ı zl ığı gerektirir. ÖRNEKLER 3.4.3. R. 3 Euclid Uzay ı . 118 3 uzay ı nda, dik koordinat sisteminin üç ekseni

doğ rultusundaki, (1,0,0), (0,1,0) ve (0,0, I) birim vektörleri ortonormal bir küme oluş tururlar. ( Ş ekil 28 'e bak ı n ı z.)

3.4.4. C 2 Uzay ı . F 2 uzay ı nda, e„ = (45„) olmak üzere (n inci eleman ı 1, diğ erleri 0),

110 (e n ) dizisi ortonormal bir dizidir. (Bkz.3.1.6)

3.4.5. Sürekli Fonksiyonlar. X, [0,27r] üzerinde sürekli tüm reel de ğ erli fonksiyonlardan olu ş an ve

2 ır

< x,y >= x(t) y(t)J o

ile tan ı mlanan iççarp ı ma sahip bir iççarp ı m uzay ı olsun (Bkz. 3.1.5). Bu ş ekilde tan ı mlanan bir X uzay ı nda, bir ortogonal dizi,

un (r) = cos nt, n = O, I,...

olmak üzere verilen bir (un ) dizisidir. X 'deki diğ er bir ortogonal dizi de,

vn (t) = sirı nt, n = 1,2,...

olmak üzere tan ı mlanan (vn ) dizisidir. Gerçekten, integral alarak,

2 ır O, M 3 n

< um ,u n >= cosmtcosntdt = ır, m = n

o 27ı , m = n = O

elde ederiz. Benzer ş ekilde, (vn) için de ayn ı iş lem yap ı l ı r. Buna göre,

eo(t) = 1 , e n (t) "n(t) cos nt

(n = 1,2,...) ila ,,rfr

olmak üzere, ortonormal bir dizi, (e n i) dizisinden de,

?'n(r) vn (t) sin nt

(n = 1,2,...)

olmak üzere, ortonormal bir (?„) dizisi elde ederiz. Burada, her m ve n için, üstelik,

u,,, 1 vn olduğ unu da belirtmemiz yerinde olacakt ı r.(Ispat ?) Bu seriler, bundan sonraki k ı s ı mda inceleyece ğ imiz Fourier serilerinde ortaya ç ı kacakt ı r. Buraya de ğ in verdiğ imiz örnekler, konu hakk ı ndaki ilk izlenimleri edinmemiz için yeterlidir. Di ğ er önemli ortonormal dizi örneklerini daha sonraki k ı s ı mlarda inceleyeceğ iz. (Bkz. K ı s.3.7)

Ş imdi de, keyfi lineer ba ğı ms ı z diziler üzerinde tan ı mlanan ortonormal dizilerin büyük bir yarar ı ndan söz edeceğ iz. Verilen bir x 'in, ortonormal bir dizinin baz ı elemanlar ı n ı n lineer bir kombinasyonu olarak gösterilebildi ğ ini biliyorsak, bu durumda, ortonormallik, katsay ı lar ı n belirlenmesini çok kolayla ş t ı r ı r. Gerçekten, (e 1, e2, ...), bir X iççarp ı m uzay ı nda ortonormal bir dizi ve n sabit olmak üzere, x E span{e 1, . ,en } ise, span'in tan ı m ı gereğ ince,

x = a ke

(6) k- ı

yazabiliriz ve sabit bir e, ile iççarp ı m alarak da,

(x,c; ) = Makek,e,) = ak < ek,ej >= a,

elde ederiz. Bu katsay ı larla, (6) ifadesi,

X = E < x,ek > ek

(7) k=1

ş ekline dönüş ür. Bu ise, (6) 'daki bilinmeyen katsay ı lar ı n belirlenmesinin kolayl ığı n ı

(5)

111 göstermektedir. Ortonormalli ğ in diğ er bir üstünlü ğ ü de, (6) ve (7) 'ye diğ er bir an+Ien+1 terimini eklememiz halinde ortaya ç ı kmaktad ı r;

= x + an+le,,+1 E sparr{el,...,en+ İ }

inceleyebilmek için, diğ er katsay ı lar ı n değ iş meden kalmas ı nedeniyle, yaln ı zca bir fazla

katsay ı hesaplamam ı z gerekmektedir. Daha genel olarak, Y, = span{el,...,e,,} 'de bulunmas ı zorunlu olmayan, herhangi

bir x e X eleman ı n ı göz önüne al ı rsak, y e Y„ eleman ı n ı ,

y = 5 < x,ek > ek (8a) k—I

yazarak tan ı mlayabilir ve daha sonra, z eleman ı n ı ,

x=y+z, (8b)

yani, z = x -y yazarak tan ı mlayabiliriz. Ş imdi, z ı y olduğ unu göstermek istiyoruz.

Daha iyi anlayabilmek için konuya biraz aç ı kl ı k getirelim: Her y E Ya,

y akek

ş eklinde bir lineer kombinasyondur. Az önceki incelememizden de anla şı lacağı üzere, ak =< y,ek > 'd ı r. iddiam ı z, özel, ak =< x,ek >, k = 1,...,n, seçimi için, z = x-y i y olacak şekilde bir y elde edebileceğ imizdir.

Bunu ispatlayabilmek için, önce, ortonormallik nedeniyle,

11Y11 2 = < < x,ek > ek,E < x,en, > em > = Zl< x,ek >1 2

(9)

yaz ı labileceğ ini belirtmemiz gerekmektedir. Ş imdi bunu kullanarak, z ı y olduğ unu gösterebiliriz:

< z,y >=< x - y,y >=< x,y > < y,y >

= (x,E < x,ek > ek) - ily11 2

= < x,ek > < x,ek > -El< x,ek >1 2

--= O

bulunur. Buna göre, (3) no.lu Pythagoras ba ğı nt ı s ı ,

l ı x ıı 2 = ıı y11 2 + 11211 2 . ( la) sonucunu verir. (9) gere ğ ince de,

l ı z ı l 2 = ıı x i ı 2 - ı ly11 2 .= 114 2 -El< x,ek >12 (11)

bulunur. 11z11 > 0 olduğ undan, her n = 1,2,... için, n

Ll< x,ek >1 2 < 1142 (.1 2*)

k—I

elde ederiz. Bu toplamlar negatif olmayan terimlerden olu şmaktad ı rlar; bu nedenle,

monoton artan bir dizi oluş tururlar. Bu dizi, 11x11 2 taraf ı ndan s ı n ı rland ı r ı kl ığı ndan yak ı nsak

olup, ayn ı zamanda, sonsuz bir serinin de k ı smi toplamlar dizisi oldu ğ undan, bu seri de

yak ı nsakt ı r. Bu nedenle, (12*) 'in ışığı alt ı nda, aşağı daki teoremi ifade edebiliriz: 3.4.6. TEOREM (Bessel E ş itsizliğ i). (ek), bir X iççarp ı m uzay ı nda ortonormal bir dizi

112 olsun. Buna göre, her x E X için,

x,ek >j 2 < ilx11 2 (Bessel E ş itsizliğ i) (12) kH

'dir. (12) 'deki, < x,ek > iççarp ı mlar ı na, x 'in, (ek) ortonormal dizisine göre, Fourier

katsay ı lar ı ad ı verilir. X 'in sonlu boyutlu olmas ı halinde, X 'deki her ortonormal kümenin de, 3.4.2

gereğ ince lineer ba ğı ms ı z olmas ı nedeniyle, sonlu olmak zorunda oldu ğ unu belirtmemiz gerekmektedir. Dolay ı s ı yla, (12) 'de sonlu bir toplam bulunacakt ı r.

Buraya değ in, ortonormal dizilerin, çal ış malar ı m ı zda ne gibi kolayl ı klar sağ lad ığı n ı gördük. Geriye, keyfi bir lineer ba ğı ms ı z dizi verildiğ inde, ortonormal bir dizinin nas ı l elde edilebilece ğ i sorunu kalmaktad ı r. Bunu, bir iççarp ı m uzay ı nda, lineer ba ğı ms ı z bir (x,) 'nin ortonormalle ş tirilmesine iliş kin Gram-Schmidt i ş lemiyle yapaca ğı z. Bu iş lem sonucunda ortaya ç ı kan (e,) ortonormal dizisi, her n için,

=

özeliğ ine sahiptir. Ş imdi, ad ı m ad ı m Gram-Schmidt iş lemini aç ı klayal ı m. 1. ad ı m. (ek) 'n ı n birinci eleman],

1

= x ıjj iki

'dir. 2. ad ı m. x2,

x2 =< x2,e ı > el + v2

ş eklinde yaz ı labilir. Buna göre ( Ş ek.32),

V2 = X2 -< x2,e1 > et

vektörü, (x,) 'nin lineer ba ğı ms ı z olmas ı nedeniyle, bir s ı f ı r vektörü değ ildir; ayr ı ca, < v2,e ı > = O olduğ undan, v2 ı el olup, dolay ı s ı yla,

1

e2 — v2 ilvı il

alabiliriz.

113 n

—E k 1

xn. ek> ek

Şekil 33. Gram-Schmidt i ş lemi (n.ad ı m) Ş ekil 32. Gram-Schmidt i ş lemi (2.ad ı m)

3. ad ı m.

v3 = x3 ---<x 3 ,e l > e ı x3,e2 > e2

vektörü, s ı fı r vektörü de ğ ildir ve v3 e2 olup, ayn ı zamanda, v3 ı e l 'dir. Buna göre,

1 e 3 — V3 il 17 3

al ı r ı z.

n. ad ı m.

= Xt,—E <x„,ek> ek

k=1

bir s ı f ı r vektörü olmay ı p (Bkz. Ş ek 33), 'e ortogonaldir. Buradan,

1 en — vn

elde ederiz. Bunlar Gram-Schmidt yöntemine ili ş kin, E.Schmidt (1907) ve ayr ı ca J.P.Gram (1883)

taraf ı ndan düzenlenen genel formüllerdir.Burada, (13) 'ün sa ğ taraf ı nda x„ 'den ç ı kartt ığı m ı z toplam ı n, x„ 'in span{el, ,e,i} üzerindeki izdü ş ümü olduğ una dikkat

etmemiz gerekmektedir. Diğ er bir deyimle, her bir ad ı mda, x„ 'den, x„ 'in, daha önceki ad ı mlarda ortogonalleş tirilen vektörler do ğ rultusundaki "bileşenlerini" ç ı kartmaktay ı z. Bu iş lem v„ 'i vermekte ve daha sonra, v,,, 1/11v.11 ile çarpdarak, normu "1" olan bir vektör elde edilmektedir. v„, hiç bir n için s ı f ı r olmamaktad ı r. Gerçekten, e ğ er n, v„= 0 olacak şekilde en küçük indis ise, (13) ba ğı nt ı s ı , x,, 'in, lineer bir kombinasyonu olduğ unu gösterir. Dolay ı s ıyla, x,,, 'in lineer bir kombinasyonu olur ki, bu durum, {xl,...,x„} 'in lineer ba ğı ms ı z olma varsay ı m ı ile çeliş ir.

PROBLEMLER 1. (Sonlu) n boyutlu bir iççarp ı m uzay ı n ı n, ortonormal vektörlerden olu ş an,

<b ı ,.., bn} gibi bir baza sahip olduğ unu gösteriniz. (Sonsuz boyutlu hal, K ıs.3.6 'da

(1 4)

114 incelenecektir.)

2. r > n olmak üzere, (12*) ba ğı nt ı s ı n ı , BU 'de, geometrik olarak, nas ı l gösteririz? 3. Schwarz e ş itsizliğ ini (K ı s.3.2) (12*) 'dar ı elde ediniz. 4. (12) 'de kesin e ş itsizlik hali geçerli olacak ş ekilde, bir x e Q 2 dizisine örnek veriniz. 5. (ek), bir X iççarp ı m uzay ı nda ortonormal bir dizi ve x E X ise, y,

I?

y Eak ek, k=1

ak =< x,ek >

ile verilmek üzere, x —y 'nin, Y„ = altuzay ı na ortogonal olduğ unu gösteriniz.

6. (Fourier Katsay ı lar ı n ı n Minimum özeliğ i). n sabit olmak üzere, {e l ,...,en }, bir X

iççarp ı m uzay ı nda ortonormal bir küme olsun. x E X herhangi bir sabit eleman ve y = the, +...+13,,en olsun. Bu durumda, — y II, fil,.. 4,, 'e bağı ml ı d ı r. Doğ rudan bir hesaplamayla, lix — y II 'nin minimum olmas ı için gerek ve yeter koş ulun, = < x,ej >,

= 1,...,n) olduğ unu gösteriniz. 7. (e k ), bir X iççarp ı m uzay ı nda herhangi bir ortonormal dizi olsun. Herhangi

x,y E X için, o0

E l< x,ek >< y,ek >I 5_

olduğ unu gösteriniz. 8. Bir X iççarp ı m uzay ı n ı n, bir x eleman ı n ı n, (ek) verilen bir ortonormal dizi olmak

üzere, "büyük" < x,ek > Fourier katsay ı lar ı ndan "çok fazlas ı na" sahip olamayaca ğı n ı gösteriniz; daha aç ı k olarak, l< x,ek >1 > 1 Im koş uluna uygun < x,ek > 'lar ı n say ı s ı olan, n. 'in, n„, < m 2 114 2 eş itsizliğ ini gerçeklediğ ini gösteriniz.

9.

< x,y >= x(t) y(t) dt

-1

olmak üzere, [-1,1] aral ığı üzerinde, xj (t) = t" ile tan ı mlanan dizisinin ilk üç terimini ortonormalle ş tiriniz.

10. x i (t) = t2 , x2(t) = t ve x3(t) = 1 olsun. Prob.9 'da verilen iççarp ı ma göre, [-1, 1] aral ığı nda, x ı ,x2,x3 'ü bu s ı rada ortonormalleş tiriniz. Sonucu Prob.9 ile kar şı laş t ı r ı p

yorumlay ı n ı z.

3.5. ORTONORMAL DIZI VE KÜMELERE ILI Ş KIN SERILER

Bessel eş itsizliğ ine iliş kin olarak ortaya ç ı kan baz ı gerçekler ve sorular vard ı r. Bu k ı s ı mda, ilk olarak, "Fourier katsay ı lar ı " deyimini belirteyip, ortonormal dizilere ili ş kin sonsuz serileri inceleyip, say ı lamayan ortonormal kümelerin ilk incelemesini yapaca ğı z.

115 3.5.1. ÖRNEK (Fourier Serisi). Bir trigonometrik seri,

ao +(akcoskt + bksinkt)

ş eklinde bir seri olup, R üzerinde, reel de ğ erli bir x fonksiyonu verildi ğ inde, her t E R

için, x(t + p) = x(t) olacak ş ekilde, pozitif bir p say ı s ı (x 'in periyodu) varsa, x fonksiyonu periyodiktir denir.

x, 27r periyotlu ve sürekli bir fonksiyon olsun.Tan ı m gereğ i, x 'in Fourier serisi, ak

ve b k katsay ı lar ı , 2ıe

a0=-1 2

x(t)dt 1r

0

2ır

ak= 2T1 Jx(t)cosktdt k = 1,2,... (2) o

2 ır

bk = X(t)sinkt dt k = 1,2,... o

şeklinde Euler formülleriyle verilmek üzere, (1*) trigonometrik serisidir. Bu katsay ı lara, x 'in Fourier katsay ı lar ı ad ı verilir.

Eğ er x 'in Fourier serisi her ı için yak ı nsak ve x(t) toplam ı na sahipse,

x(t) = ao +E(akcoskt + bksinkt)

(1)

yazabiliriz. x 'in 2,r periyotlu olmas ı nedeniyle, (2) 'de, [0,2z] integrasyon aral ığı yerine, 27r

uzunluklu herhangi bir aral ığı , örneğ in, [-g,tr] aral ığı n! alabiliriz. Fourier serileri, ilk kez, D.Bernoulli (titre ş en sicimler, 1753) ve J.Fourier ( ı s ı kontrol,

1822) taraf ı ndan incelenen fiziksel problemlere ili ş kin olarak ortaya ç ı km ış t ı r. Bu seriler karma şı k periyodik fenomenlerin, basit periyodik fonksiyonlar (kosinüs ve sinüs) cinsinden ifade edilmesinde yard ı mc ı olmu ş tur. Bunlar ı n (titre ş im, ı s ı kontrol, potansiyel problemler, v.b gibi) diferensiyel denklemlere ili ş kin çeş itli fiziksel uygulamalar ı bulunmaktad ı r.

(2) 'den, Fourier katsay ı lar ı n ı n belirlenmesinin integrasyon i ş lemi gerektirdiğ ini görüyoruz. Fiziksel problemlerde ortaya ç ı kan Fourier serilerini daha önce görmemi ş olan okuyuculara yard ı m amac ı yla, önce, bir örnek olarak,

-tr/2 < t < at/2

- t, tr/2 < t < 3tr/2

ve x(t + 2,c) = x(t) ile verilen fonksiyonu göz önüne alal ı m. (Ş ekil 34 'e bak ı n ız)

x( t) =

116

Ş ekil 34. tE [—ıı 12,n12) ise, x(t)--t,

tE (tı /2,37ı /21 ise, x(t)= İı -t ile verilen, 2/ı periyotlu, periyodik x fonksiyonunun grafi ğ i

(2) 'den, k = O, 1,... için, ak = 0 elde ederiz. Ve [-7/12,3/r/2] aral ığı n ı uygun bir integrasyon aral ığı olarak seçip, k ı smi integrasyon i ş lemini uygulayarak,

nI2

1

3 ır/2

tsinkt dt 1 ( ır - Osin kt dt --x/2 ır12

ır/2

= k

[ COS kt rr2x12 ırk

+ı -

cos ktdt ır -n/2

3K/2

— --1 [(71" — cos kt] 372I2 --Lk

cos ktdt ırk 't - tek nI2

= sin Kk2 2

(k = 1,2,...)

buluruz. Buna göre, (1) e ş itliğ i,

x(t) = "-;1-r (sin t - sin 3t + 52sin 5t - +...

şeklini al ı r. Okuyucu, k ı smi toplamlardan ilk üçünün grafığ ini çizip bunlar ı , x 'in yukar ıda verilen grafığ i ile karşı laş t ı rabilir.

Ş imdi, genel Fourier serilerine dönelim. Aç ı kça görüldü ğ ü gibi, (1) 'deki kosinüs ve sinüs fonksiyonlar ı , 3.4.5 'deki (uk) ve (vk) fonksiyonlar ı na karşı l ı k gelmektedir, yani,

14(0 = coskt, vk(t) = sin kt

'dir. Buna göre, (1) ifadesini,

x(t) = aouo(t) + E[ak uk(t) + bk vk(t)]

(3)

şeklinde yazabiliriz. Ş imdi, (3) 'ü sabit bir u, ile çarp ı p, t 'ye göre, 0 'dan, 2tr 'ye kadar integre edelim. Bunun anlam ı , 3.4.5 'de tan ı mland ığı ş ekliyle, u, ile iççarp ı m almakt ı r. Burada, terim terim integrasyonun mümkün oldu ğ unu varsay ı p (düzgün yak ı nsakl ı k yeterli olacakt ı r), her j,k için, u, 1 vk özeliğ inin yan ı s ı ra, (uk) ve (v k ) 'n ı n ortogonalliğ inden yararlan ı yoruz. Buna göre,

117 < x, uj >= ao < uo,ui > +[ak < uk,ui > +b k < vk,ui >I

= aj < uj, ui >

2 ıcao, j = O

icat , j(1,2,...)

elde ederiz. (K ı s.3.4 'deki (5) ile karşı laş t ı r ı n ı z). Benzer ş ekilde, (3) 'ü v, ile çarp ı p, ayni iş lemleri tekrarlarsak, j = 1,2,... olmak üzere,

< x, v, >= bi llvj 2 = ırbi

sonucuna veririz. Buradan, af ve bi 'yi çözüp, ej = ve = - l vj olmak üzere, (e;) ve (e; ) dizilerini kullanarak,

a• =

bi =

ıı .,11 2

ıı v,h 2

< X, Ui >

< x, vj >

liui Il _ ı — Ili', Il

< x,ei >

< x,"j > (4)

elde ederiz. Bu sonuçlar (2) ile e şdeğ er olup, (3) 'de

1 akuk(t) - iiuk Il

< x,ek > Uk(t) = < x,ek > ek(t)

olduğ unu gösterir ve bkvk(t) için benzer formül yaz ı labilir. Buna göre, (1) Fourier serisi,

x x,e0 > eo +E[< x,e k > ek +< k > eki k=1

şeklinde yaz ı labilir. Bu sonuç, önceki kesimde kulland ığı m ı z "Fourier katsay ı lan" deyimine de aç ı klama

getirmektedir. Bu örneğ i tamamlarken, okuyucunun, Fourier serilerine bir giri ş i, W.Rogosinski

(1959)'da bulabilece ğ ini belirtmekte yarar görüyoruz. Ayr ı ca, R.V.Churchill (1963), s. 77-112 ve E.Kreyszig (1972), s.377-407 'ye de bakabilirsiniz.

Vermiş olduğ umuz örnek sonsuz serilere ili ş kin olup, konunun, diğ er ortonormal dizilere, nas ı l geniş letilebileceğ i ve bunlara kar şı l ı k gelen serilerin yak ı nsakl ı klar ı hakk ı nda neler söylenebilece ğ i sorusunu ortaya ç ı karmaktad ı r.

Bir H Hilbert uzay ı nda, herhangi bir ortonormal (ek) dizisi verildiğ inde, al, a2,... herhangi skalerler olmak üzere,

E akek k=1

ş eklindeki serileri göz önüne alabiliriz. Bilindi ğ i gibi, böyle bir serinin yak ı nsamas ı ve bir s

toplam ı na sahip olmas ı ,

sn = alet +...+anen

k ı smi toplamlar ı ndan olu ş an, (4) dizisi için, n -> co olduğ unda, Us, - sll 0 olacak şekilde bir s e H 'in varl ığı olarak tan ı mları n'.

3.5.2. TEOREM (Yak ı nsakl ı k). (ek), bir H Hilbert uzay ı nda ortonormal bir dizi olsun. Bu durumda,

= ai l[ 112

(5)

(6)

118 (a) (6) serisinin (H üzerindeki norma göre) yak ı nsak olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul,

Elakl 2

(7) k-1

serisinin yak ı nsamas ı d ı r. (b) (6) 'n ı n yak ı nsamas ı halinde, x, (6) 'n ı n toplam ı n ı belirtmek üzere, a k katsay ı lar ı ,

< x,ek > Fourier katsay ı lar ı d ı r. Bu durumda, (6),

x = < x,ek > ek

(8) k-1

olarak yaz ı labilir. (c) Herhangi x E I/ için, a k = < x,ek > al ı nmak üzere, (6) serisi (H 'daki norma göre)

yak ı nsakt ı r. ispat. (a) s,, = al e +...+a„ en ve an = la i l 2 +...+Ia,,1 2 olsun. Buna göre,

ortonormallik nedeniyle, herhangi m ve n > m için,

IISn -s. ll z = +... +an en 11 2

= la„,,, 1 2 +...+Ian[ 2 = —

yazabiliriz. O halde, (sa ) 'in H 'da bir Cauchy olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, (a n ) 'in, R 'de Cauchy olmas ı d ı r. H ve R 'nin tam oldu ğ unu göz önüne al ı rsak, teoremin birinci k ı sm ı n ı n ispat ı tamamlanm ış olur.

(b) s„ ve e, 'nin iççarp ı m ı n ı al ı p, ortonormalli ğ i kullanacak olursak, j = 1,...,k için,

< s„,ej > = aJ (k < n ve sabit)

yazabiliriz. Varsay ı m olarak, s„ x al ı nm ış t ı . Dolay ı s ı yla, iççarp ı m ı n sürekliliğ i nedeniyle de,

otj =< s„,e; >•< x,ej > U < k)

elde edilir. Burada. n 00 olmas ı nedeniyle, k (< n) say ı s ı n ı istediğ imiz kadar büyük alabilir

ve dolay ı s ı yla, her j = 1,2,... için, ai = < x, e; > elde ederiz. (c) Teorem 3.4.6 'daki Bessel e ş itsizliğ inden yararlanarak,

E l< x,ek > 12

serisinin yak ı nsak olduğ unu görürüz. Bundan ve (a) 'dan, (c) 'nin gerçeklenmek zorunda olduğ u görülür.

Bir X iççarp ı m uzay ı nda, ortonormal bir (e k), ıc E /, ailesi, (/ indeks kümesinin say ı lamaz olmas ı nedeniyle) say ı lamaz ise, K e I olmak üzere, bir x E X 'in, < x , eK >

Fourier katsay ı lann ı yine de olu ş turabiliriz. Her sabit m = 1,2,... için, l< x,e, >I> llm koşuluna uygun Fourier katsay ı lar ı n ı n say ı s ı n ı n sonlu olmak zorunda oldu ğ u sonucuna

varmak için, K ı s.3.4 7deki (12*) bağı nt ı s ı n ı kullanabiliriz. Bu sonuç, aş ağı daki önemli lemmay ı ispatlar:

3.5.3. LEMMA (Fourier Katsay ı lar ı ). Bir X iççarp ı m uzay ı nda herhangi bir x, X 'deki ortonormal bir (e,,), ıc E / ailesine göre, en fazla say ı labilir çoklukta, s ıf ı rdan farkl ı < x,ek > Fourier katsay ı s ı na sahip olabilir.

Buna göre, herhangi bir sabit x E H eleman ı n ı , (8) 'e benzer bir

119 E < x,e K > eK K(1

serisiyle eş leyebilir ve e K 'y ı < x,e K > # 0 olmak üzere, (9) serisi (8) ş eklini alacak şekilde, (e I, ez, ...) gibi bir dizi olarak düzenleyebiliriz. Yak ı nsakl ı k Teorem 3.5.2 'den ç ı kar. Ayr ı ca, toplam ı n, eK 'lar ı n dizi içindeki diziliş inin s ı ras ı na bağ l ı olmad ığı n ı da gösterebiliriz.

ispat. (w „,), (en ) 'in yeni bir düzenlemesi olsun. Bu varsay ı m, tan ı m gereğ i, N 'nin kendi üzerine, iki dizinin kar şı l ı kl ı terimleri e ş it, yani, wn,(„) = en olacak şekilde, bire-bir ve

üzerine bir n m(n) dönüş ümünün varl ığı n ı ifade eder.

an =< x>en >, p„,=< x,w„,>

ve

x, E an en X2 = E fimwm nı.-1

yazal ı m. Teorem 3.5.2 (b) gereğ ince,

a n =< x,e„ >=.< xı ,en >, pn, =< x,wm x2,wm

yazabiliriz. en = w,,,(n) olmas ı nedeniyle de,

< x ı — x, ,e „ >=< xbe n > — < x2,wm(n) >

= < x,e„ > — < x,w„,(n) >= O

ve benzer ş ekilde, < x, — x2,w. >= 0 elde ederiz. Bu ise,

Ik i —X211 2 = — x2, — fim wm

= E < x, —x2,e. > —E < x, _x2,wm >= o

olmas ı n ı gerektirir. Sonuç olarak, x ı — x2 = O ve x ı = x2 'dir. (en ) 'in (wm ) düzenlemesi keyfi olduğ undan, ispat ı m ı z tamamlanm ış olur.

PROBLEMLER 1. (6) yak ı nsak ve toplam ı x ise, (7) 'nin toplam ı n ı n IIX 11 2 olduğ unu gösteriniz. 2. (1) ve (2) 'den, (r 'nun) keyfi p periyotlu, bir z fonksiyonunun bir Fourier

gösterimini elde ediniz.

3 Yak ı nsak bir E < x,ek > ek serisinin, x toplam ı na sahip olmas ı gerekmediğ ini

bir ömekle gösteriniz. 4. (xj ), bir X iççarp ı m uzay ı nda, jjx, jj + 11x2 jj +... serisi yak ı nsak olacak şekilde bir

dizi ise, .4 = x ı +...+xn olmak üzere, düzenlenen (4) dizisinin bir Cauchy oldu ğ unu gösteriniz.

5. Bir H Hilbert uzay ı nda, Eilx,11 'nin yak ı nsakt ığı n ı n, Ex, 'nin yak ı nsakl ığı n ı gerektirdiğ ini gösteriniz.

6. (ej ), bir H Hilbert uzay ı nda, ortonormal bir dizi olsun.

(9 )

120 x = aie Y E Piei

i=1

serileri mutlak yak ı nsak olmak üzere, < x,y >= E a, R olduğ unu gösteriniz. -1

7. (ek), bir H Hilbert uzay ı nda ortonormal bir dizi olsun. Her x E H için,

y < x,e k > ek Ic=1

vektörünün H 'da mevcut ve x — y 'nin bütün ek 'lara ortogonal olduğ unu gösteriniz. 8. (ek), bir H Hilbert uzay ı nda ortonormal bir dizi ve M = span (ek) olsun. Her x E H

için, x E liolmas ı n ı n gerek ve yeter ko ş ulu, x 'in, katsay ı lar ı ak =< x,e k > olmak üzere, (6) ile gösterilebilmesidir. Ispatlay ı niz.

9. (e n ) ve (en ), bir H Hilbert uzay ı nda ortonormal iki dizi ve M, = span (en ) ve M2 = span (en ) olsun. Prob.8 kullanarak, Tt ı = R2 olmas ı için gerek ve yeter ko ş ulun,

(a) en =Z an.? n , (b)en= c nme , anm =< en,7m > M= nt-1

olduğ unu gösteriniz. 10. Lemma 3.5.3 'ün ispat ı ndaki ayr ı nt ı lar ı tamamlay ı n ız.

3.6. TOTAL ORTONORMAL KÜMELER VE DIZILER iççarp ı m uzaylar ı ve Hilbert uzaylar ı nda gerçekten ilgi çekici ortonormal kümeler,

uzaydaki her eleman, bu ortonormal kümeler yard ı m ı yla gösterilebilecek, ya da, yeterince sağ l ı kl ı yakla şı labilecek şekilde, "yeterli çoklukta" elemandan olu ş antard ı r. Sonlu boyutlu (n —boyutlu) uzaylarda durum basit olup, gereksinim duydu ğ umuz tek şey, n elemanl ı bir ortonormal kümedir. Esas sorun, sonsuz boyutlu uzaylarda neler yapabileceğ imizdir. Önce konuya iliş kin kavramlar ı verelim.

3.6.1. TANIM (Total Ortonormal Küme). Normlu bir X uzay ı nda, bir total küme (ya da, temel küme), span'i X 'de yoğ un olan bir M c X altkümesidir. Buna göre, bir X iççarp ı m uzay ı nda, X 'de total olan, bir ortonormal kümeye (ya da, diziye, ya da, aileye), s ı ras ı yla, X 'de bir total ortonormal küme (ya da, dizi, ya da, aile)ad ı verilir.

Tan ı mdan aç ı kça görüldüğ ü gibi, M 'nin X 'de total olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul,

spanM = X

olmas ı d ı r. X 'de bir total ortonormal aileye, bazen, X 'in ortonormal baz ı da denir. Bununla

birlikte, bunun, X bir vektör uzay ı olarak al ı nmak üzere, X sonlu boyutlu olmad ı kça, cebir anlam ı nda bir baz olmad ığı n ı önemle belirtmeyiz.

Her H # {O} Hilbert uzay ı nda, bir total ortonormal küme vard ı r. Sonlu boyutlu bir H için, bu aç ı kt ı r. sonsuz boyutlu ayr ı labilir bir H için (Bkz. 1.3.5)

ise, (adi) tümevar ı m yoluyla, Gram-Schmidt iş lemiyle elde edilebilir. Aynlabilir olmayan bir H uzay ı için (inş asal olmayan) bir ispat, K ı s ı m. 4.1 'de. ba şka bir amaç için vereceğ imiz ve aç ı klayaca ğı m ı z Zorn Lemmas ı ndan yararlan ı larak yap ı l ı r.

Verilen bir H {O} Hilbert uzay ı nda bütün total ortonormal kümeler ayn ı kardinaliteye sahiptir. Bu de ğ ere, H 'in Hilbert boyutu, ya da, ortogonal boyutu denir.

121 (H = {O} ise, bu boyut 0 olarak tan ı mlan ı r. )

Sonlu boyutlu bir H uzay ı için, Hilbert boyutu, cebir anlam ı ndaki boyutla ayn ı olaca ğı ndan, ifade a ş ikard ı r. Sonsuz boyutlu ayr ı labilir bir H uzay ı için, ifadenin doğ ruluğ u, aş a ğı da ispatlayaca ğı m ı z Teorm 3.6.4 'den kolayca elde edilir. Ve genel bir H için ifadenin ispat ı , kümeler teorisinden daha ileri bilgiler gerektirecektir; Bkz. E.Hewitt-K.Stromberg, Real and Abstract Analysis (1969) S.246.

Aş a ğı daki teorem, total ortonormal bir kümenin, yeni elemanlar eklenerek, daha geniş ortonormal bir kümeye geni ş letilemeyeceğ ini göstermektedir.

3.6.2. TEOREM (Totallik). M, bir X iççarp ı m uzay ı n ı n bir altkümesi olsun. Bu durumda,

(a) M, X 'de total ise, M 'nin bütün elemanlar ı na ortogonal olan, s ı f ı rdan farkl ı bir x e X eleman ı mevcut değ ildir; k ı saca,

o (1)

'd ı r. (b) X 'in tam olmas ı halinde , bu koş ul, ayn ı zamanda, M 'nin X 'de total olmas ı

için yeterlidir. lspat.(a) H, X 'in tamlanm ışı olsun (Bkz.3.2.3). Bu durumda, X, H ' ı n , H 'da yoğ un

bir altuzay ı olarak göz önüne al ı nabilir. Hipotez gereğ i, M, X 'de total olup, bu nedenle, span M, X 'de ve dolay ı s ı yla, H 'da yoğ undur. Buna göre, Lemma 3.3.7, M 'nin H 'daki ortogonal tümleyeninin {O} olmas ı n ı gerektirir. A ş ikar olarak, x e X ve x M ise, x = 0 bulunur.

(b) X bir Hilbert uzay ı ise ve M, (1) koş ulunu gerçekliyorsa, Ml = {O} olup, Lemma 3.3.7, M 'nin X 'de total olmas ı n ı gerektirir.

(b) 'de X 'in taml ığı esast ı r. Eğ er, X tam değ ilse, M, X 'de total olacak şekilde, ortonormal bir M c X kümesi mevcut olmayabilir. Buna ilişkin bir örnek, Dixmier,J. (1953) Acta Math. Szeged 15, 29-30 'da verilmi ş tir.

Totallik için, diğ er bir önemli kriter de, Bessel E ş itsizliğ inden elde edilebilir. Bu amaçla, bir H Hilbert uzay ı nda, verilen herhangi bir M ortonormal kümesini göz önüne alaca ğı z. Lemma 3.5.3 'den, her sabit x E H eleman ı n ı n, en fazla, say ı labilir çoklukta, s ı f ı rdan farkl ı Fourier katsay ı s ı na sahip olabileceğ ini ve bunlar ı bir dizi halinde, örne ğ in, < x,e ! >,‹ x,e2 > ş eklinde düzenleyebilece ğ imizi biliyoruz. Bessel e ş itsizliğ i, sol taraf ı sonsuz bir seri ya da sonlu bir toplam olmak üzere,

El< x,ek >12 < Iki! 2 (Bessel

(2)

k

'dir. Eş itlik iş aretiyle, bu ifade,

El< x,ek >12 = iix ıı 2

(Parseval Bağı nt ı s ı )

(3) k

şekline dönü ş ür ve totallik için diğ er bir kriter verir: 3.6.3. TEOREM (Totallik). Bir H Hilbert uzay ı nda, bir M ortonormal kümesinin, H

'da total olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, her x E H için, (3) no.lu Parseval ba ğı nts ı n ı n

gerçeklenmesidir. (Buradaki toplam, x 'in M 'e göre, s ı f ı rdan farkl ı bütün Fourier

katsay ı lar ı üzerinden al ı nmaktad ı r.) ispat. (a) M kı ta! değ ilse, Teorem 3.6.2 gereğ ince, H 'da, s ı fı rdan farkl ı , bir x ı M

vard ı r. x M olduğ undan, (3) 'de her k için, < x,ek >= 0 elde ederiz: dolay ı s ı yla,

llx1l 2 0 olmas ı na karşı n, (3) 'ün sol taraf ı s ı f ı rd ı r. Bu, (3) 'ün geçerli olmad ığı n ı

8xii 2 = << x,ek > ek,Z < x,e,„ > em k m

E <x,ek> < x,ek > k

122 gösterir. O halde, (3), her x E H için gerçekleniyorsa, M, H 'da total olmak zorundad ı r.

(b) M 'nin H 'da total olduğ unu varsayal ı m. Herhangi bir x e H eleman ı ve bunun, < x,e, >,< x,e2 >, ... gibi bir dizi olarak s ı ralanm ış ya da sonlu say ı da olmalar ı halinde, belli bir s ı rada yaz ı lm ış , s ı f ı rdan farkl ı Fourier katsay ı lar ı n ı göz önüne alal ı m. Ş imdi, y

'yi, sonsuz seri olmas ı halinde, yak ı nsakl ığı n Teorem 3.5,2 'den ç ı kacağı na dikkat ederek,

y = < x,ek > ek

( )

k

ile tan ı mlayal ı m. x - y ı M olduğ unu göstermek istiyoruz. Ortonormalli ğ i kullan ı rsak, (4) 'de ortaya ç ı kan her e, için,

< x - y, e; >=< x, e; > -E < x,ek >< ek,e, >=< x, e; > - < x, e; >= 0

yazabiliriz. Ve (4) 'de içerilmeyen her v e M için, < x,v >= 0 'd ı r. Dolay ı s ı yla,

< x - y,v >=< x,v > _E <x,ek >< ek,v >= O - O -= O k

bulunur. O halde, x-y ı M, yani, x-y E Ml 'dir. M 'nin H 'da total olmas ı nedeniyle, 3.3.7 'den, MI = {0} yazar ız. (4) 'ü ve yine ortonormalli ğ i kullan ı rsak, (3) 'den

elde ederiz ki, bu da ispat ı tamamlar. 3.6.4. TEOREM (Ayr ı labilir Hilbert Uzaylar ı ). H bir Hilbert uzay ı olsun. Buna göre, (a) H ayr ı labilir ise, H 'daki her ortonormal küme say ı labilirdir. (b) H, H 'da total, ortonormal bir dizi içeriyorsa, H ayr ı labilirdir. Ispat. (a) H ayr ı labilir, B, H 'da yoğ un herhangi bir küme ve M herhangi bir

ortonormal küme olsun. Bu durumda, M 'nin herhangi farkl ı iki x ve y elemanlar ı aras ı ndaki uzakl ı k,

Ilx -y11 2 x - y,x- y >=< x,x > + < y,y >= 2

olmas ı nedeniyle, J kadard ı r. Buna göre, x 'in ,/-2- /3 yar ı çapl ı Nx ve y 'nin ayn ı yar ı çapl ı Ny küresel komş uluklan ayr ı kt ı r. B 'nin H 'da yoğ un olmas ı nedeniyle, M 'de

bir b e B ve N,, 'de bir -I; e B vard ı r ve Nx n Ny = Ğ olduğ undan, b # b 'dir. Dolay ı s ı yla, M 'nin say ı lamaz olmas ı halinde, böyle iki şer ikiş er ayr ı k küresel kom ş uluklardan say ı lamaz çoklukta elde etmemiz gerekirdi ve bu nedenle, B say ı lamaz olurdu. B herhangi bir yoğ un küme olduğ undan, bu durum, H 'in say ı labilir yoğ un bir küme içermeyeceğ i anlam ı na gelirdi ki, bu ayr ı labilirlik tan ı m ıyla çeliş irdi. Buradan, M 'nin say ı labilir olmas ı gerektiğ i sonucunu ç ı kart ı nz.

(b) (ek), H 'da total ortonormal bir dizi ve A, y (k"> = + ib (k") ve a(kn> ve b;,") rasyonel

(H reel ise, lı ,n) = 0 olmak üzere,

y;n)ei +...+y;:")e„ (n = 1,2,...)

ş eklindeki bütün lineer kombinasyonlar ı n kümesi olsun. A 'n ı n say ı labilir olduğ u aç ı kça görülmektedir. Ş imdi, her x E H ve E > 0 için, Ilx - vll < E olacak şekilde bir v e A 'n ı n

varl ığı n ı göstererek, A 'n ı n H 'da yoğ un olduğ unu ispatlayaca ğı z. (ek) dizisi, H 'da total olduğ undan, Y„ = span{e ı ,...,en}, x 'e uzakl ığı , 6/2'den daha

küçük bir nokta içerecek şekilde bir n vard ı r. Özel olarak, x 'nin, Y„ üzerinde,

123 y = < x,ek > ek

k-1

ile verilen (Bkz.(8),K ı s.3.4), y dik izdüş ümü için, (lx-ylf < s/2 'dir. Buna göre,

X — < x,ek > ek k=1

yazabiliriz. Rasyonel say ı lar ı n, R 'de yoğ un olmalar ı nedeniyle, her < x,ek

rs

Z[.< x,e k > -y(klek < e12 4-1

olacak şekilde, (rasyonel reel ve sanal k ı s ı mlara sahip) bir y ş,") vard ı r.Buna göre,

V = E( rkn) ek

k= 1

ile tan ı mlanan v E A,

px -vjj = X — E(n) r k ek

li x- E ( < x,ek > eki' + İIE <x,ek > ek r kn)

eki'

< 8/2 +c/2 = e

ifadesini gerçekler. Bu sonuç, A 'n ı n H 'da yoğ un olduğ unu ispatlar ve A 'n ı n say ı labilir olmas ı nedeniyle de H ' ı n ayr ı labilir oldu ğ unu ortaya ç ı kart ı r.

Bu k ı s ı mdaki incelemelerimizi sonuçland ı rabilmek için, önemli olan ve Hilbert uzaylar ı n ı n izomorfizmi cinsinden ifade edilebilen diğ er baz ı özeliklere de ğ ineceğ iz.

Bir H Hilbert uzay ı n ı n, ayn ı cisim üzerinde, diğ er bir ri Hilbert uzay ı üzerine olan izomorfizmi, her x,y E H için,

< Tx,Ty >=< x,y >

(5)

olacak şekilde, bire-bir ve örten bir T : H lineer operatörüdür. Bu durumda, Hve uzaylar ı na izomorfik Hilbert uzaylar ı ad ı verilir. T operatörü lineer oldu ğ undan, vektör uzay yap ı s ı n ı korur ve (5), T 'nin izometrik oldu ğ unu gösterir. Bunu ve T 'nin bire-bir ve

örten oluş unu da göz önüne alarak, H ve H uzaylar ı n ı n, gerek cebirsel ve gerekse metrik özelikler aç ı s ı ndan farkl ı olmad ı klar ı n ı , elemanlar ı n ı n yap ı s ı d ışı nda esasta ayn ı olduklar ı n ı söyleyebiliriz. Dolay ı s ı yla, 'y ı , H ' ı n her bir eleman ı na bir T"etiketi"

iliş tirilmiş olarak dü ş ünebiliriz. Ya da, H ve 7-İ uzaylar ı n ı , n-boyutlu Euclid uzaylar ı nda yapt ığı m ı z gibi, ayn ı soyut uzay ı n iki kopyas ı (modeli) gibi gözönüne alabiliriz.

Bu incelemelerimizin en önemli yan ı , her bir Hilbert boyutu için, bir tek soyut reel Hilbert uzay ı ve yine bir tek soyut kompleks Hilbert uzay ı n ı n varl ığı n ı söyleyebilmemizdir.

Diğ er bir deyimle, ayn ı cisim üzerindeki iki soyut Hilbert uzay ı , ancak kendilerinin Hilbert

boyutlar ı aç ı s ı ndan birbirinden ayr ı labilirler. Bu durumu, genel olarak, a ş ağı daki teoremle belirtiyoruz.

3.6.5. TEOREM ( İ zomorfizm ve Hilbert Boyutu). Her ikisi de reel ya da kompleks , H

< el2

> için,

124 ve f̂i gibi iki Hilbert uzay ı n ı n izomorfik olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, bunlar ı n ayn ı Hilbert boyutuna sahip olmalar ı d ı r.

ispat. (a) H uzay ı H ile izomorfik ise ve T : H -› ri bir izomorfızm ise, (5) eş itliğ i, H 'daki ortonormal elemanlar ı n, T alt ı nda ortonormal görüntülere sahip oldu ğ unu gösterir. T 'nin bire-bir ve üzerine olmas ı nedeniyle, T 'nin, H 'daki her total ortonormal kümeyi, içinde yine total ortonormal bir kümeye dönü ş türdüğ ü sonucunu ç ı kartabiliriz. O halde, H ve 71 ayn ı Hilbert boyutuna sahiptir.

(b) Tersine olarak, H ve 'n ı n ayn ı Hilbert boyutuna sahip oldu ğ unu varsayal ı m.

H= {O} ve ri = {O} olmas ı halinde durum aş ikard ı r. 7-1 {0} olsun. Bu durumda,

H {O} 'd ı r ve H 'daki herhangi bir total ortonormal M kümesiyle, H 'daki M kümesi ayn ı kardinaliteye sahiptir ve dolay ı s ı yla, bu iki kümeyi ayn ı {k} indis kümesiyle

numaralayabilir ve M= (ek) ve H = (ek) yazabiliriz.

H ve T/ 'n ı n izomorfik olduğ unu göstermek için, H 'dan 7/ üzerine bir izomo ıfizm inş a etmemiz gerekmektedir. Her x e H için,

x =E <x,ek > ek k

yazabiliriz. Burada, sağ taraf, sonlu bir toplam ya da, sonsuz bir seri olup, Bessel

eş itsizliğ i gereğ ince, El< x,ek >1 2 < oo 'dur. Buna göre, k

3c- = Tx = E < x,ek > ek k

tan ı m ı n ı yaparak, 3.5.2 gere ğ ince, yak ı nsakl ığı elde ederiz; dolay ı s ı yla, 1". e 'd ir. iççarp ı m ı n, birinci çarpana göre, lineer olmas ı nedeniyle, T operatörü lineerdir. Ayr ı ca, önce (7) 'yi, daha sonra da (6) 'y ı kullanarak,

IIII z = IlTx11 2 = E < x,ek >1 2 = 114 2 k

yaz ı labileceğ inden, T 'nin izometrik olduğ u ortaya ç ı kar. Bu sonuçla, K ı s.3.1 'deki (9) ve (10) ifadelerini göz önüne al ı rsak, T 'nin iççarp ı m ı koruduğ unu görürüz. Ayr ı ca, izometri bire-bir olmay ı gerektirir. Gerçekten, Tx = Ty ise,

Ilx — YN = 11T(x — y)11 = 11Tx — Ty11 = 0

olup, bu nedenle, x = y 'dir ve T bire-bir bir dönü ş ümdür.

Son olarak da, T 'nin "üzerine" bir dönü ş üm olduğ unu gösterelim. 71 'da herhangi bir,

= E a k7 k k

verildiğ inde, Bessel eş itsizliğ i yard ı m ı yla , »1,12 < co yazabiliriz. Buna göre,

E akek

k

sonlu bir toplam, ya da, 3.5.2 gere ğ ince, bir x E H 'a yak ı nsayan bir seri olup, ayn ı teorem gere ğ ince ak =< x,ek > 'd ı r. Buna göre, (7) yard ı m ı yla, .ek- = Tx elde ederiz.

3-ı e 71 keyfi olarak al ı nd ığı ndan, bu sonuç, T 'nin üzerine bir dönüş üm olduğ unu gösterir ve ispat ı m ı z tamamlanm ış olur.

( 6)

( 7)

125

PROBLEMLER 1. F, bir X iççarp ı m uzay ı nda, ortonormal bir baz ise, her x E X eleman!, F 'nin

elemanlar ı n ı n lineer bir kombinasyonu olarak gösterilebilir mi? (Tan ı m gereğ i, bir lineer kombinasyon soniu çoklukta terimden olu ş ur.)

2. Bir H Hilbert uzay ı n ı n ortogonal boyutu sonlu ise, bu boyutun, H 'in bir vektör uzay olarak göz önüne al ı nmas ı halindeki boyutuna e ş it olaca ğı n ı gösteriniz. Tersine olarak, ikincisinin sonlu olmas ı halinde, birincisinin de sonlu olacağı n ı gösteriniz.

3. (3) ba ğı nt ı s ı , n —boyutlu Euclid uzay ı halinde,elemanter geometrinin hangi teoreminden elde edilir?

4. (3) 'den (ço ğ unlukla, Parseval ba ğı nt ı s ı olarak bilinen) aş ağı daki formülü ç ı kart ı n ı z:

< x,y >=Z< x,e k>< y, ek >. k

5. Bir H Hilbert uzay ı nda, ortonormal bir (e,), K E I ailesinin total olmas ı için gerek ve yeter koş ulun, Prob.4 'deki ba ğı nt ı n ı n, her x ve y E H için gerçeklenmesi olduğ unu gösteriniz.

6. H ayr ı labilir bir Hilbert uzay ı ve M, H ' ı n say ı labilir yoğ un bir altkümesi olsun. H 'in, Gram-Schmidt i ş lemiyle, M 'den elde edilebilen bir total ortonormal dizi içerdi ğ ini gösteriniz.

7. Bir H Hilbert uzay ı ayr ı labilir ise, H 'da total ortonormal bir kümenin varl ığı n ı n, Zorn lemmas ı kullan ı lmadan, ispatlanabilece ğ ini gösteriniz.

8. Ayr ı labilir bir H Hilbert uzay ı ndaki herhangi ortonormal F dizisi için, 'i içeren

total ortonormal bir P dizisinin varoldu ğ unu gösteriniz. 9. M, bir X iççarp ı m uzay ı nda total bir küme olsun. Her x E M için, < v.x > = < w,x >

ise v = w oldu ğ unu gösteriniz. 10. M, bir H Hilbert uzay ı n ı n bir altkümesi ve v,w e H olsun. Her x E M için,

< v.x > = < w,x > e ş itliğ inin v = w eş itliğ ini gerektirdiğ ini kabul edelim. Eğ er bu durum, her v,w e H için geçerli ise, M 'nin H 'da total oldu ğ unu gösteriniz.

3.7. LEGENDRE -HERMITE VE LAGUERRE POUNOMLARI Hilbert uzaylar ı teorisi, analizin çeş itli konular ı nda uygulama alanlar ı na sahiptir. Bu

k ı s ı mda, uygulamal ı problemlerde (örne ğ in, Bölüm 11 'de göreceğ imiz gibi, kuantum

mekaniğ inde) s ı k s ı k kullan ı lacak olan baz ı total ortogonal ve ortonormal dizileri ele alacağı z. Bu dizilerin özelikleri ayr ı nt ı l ı bir ş ekilde incelenmiş tir. Genel bir referans, Ek.3

'de bulaca ğı n ı z, A.Erdelyi ve Ark. (1953-55) 'n ı n kitab ı d ı r. Bu k ı sm ı n okutulmas ı isteğ e bağ l ı d ı r. 3.7.1. LEGENDRE POUNOMLARI. [-1,1] üzerinde tan ı ml ı tüm sürekli

fonksiyonlardan olu ş an ve

< x,y >= x(t) y(t) dt

iççarp ı m ı yla verilen X iççarp ı m uzay ı , Teorem 3.2.3 'e göre, tamla ş t ı rı labilir. Bu tamlaş t ı rma L 2 [-1,1] ile belirtilen bir Hilbert uzay ı verir; Örnek 3.1.5 'e de bak ı n ız.

126 L2 [-I, 1] uzay ı nda, kolayl ı kla inceleyebileceğ imiz fonksiyonlardan olu ş an, total

ortonormal bir dizi elde etmek istiyoruz. Polinomlar bu tip fonksiyonlar olup, çok basit bir fikir vermemizde yard ı mc ı olacakt ı r.

xo (t) = 1, x (t) = t, , x,(t) = t ' , (t E [-1,11) (1)

olmak üzere, xo, x, , x2,...kuvvetlerinden ba ş layal ı m. Bu dizi lineer ba ğı ms ızd ı r (ispat ?).

Gram-Schmidt yöntemini uygulayarak ortonormal bir (e n ) dizisi elde ederiz. Bu i ş lem s ı ras ı nda, x, 'lerin lineer kombinasyonlar ı n ı ald ığı m ı z için, e n 'lerin her biri birer polinomdur. ileride de göreceğ imiz gibi, en 'in derecesi n 'dir.

(en ), L 2 [-1, İ ] 'de totaldir. ispat. Teorem 3.2.3 uyar ı nca, W = A(X) 'in L2 [-1,1] 'de yoğ un olduğ unu

söyleyebiliriz. Bu nedenle, herhangi bir sabit x E L2 [-1,1] ve verilen bir e > 0 için,

11x - Y11 <

olacak şekilde, [-1, I] üzerinde tan ı ml ı sürekli bir y fonksiyonunun varl ığı n ı söyleyebiliriz. Bu y için, her t E [-1,1] 'e kar şı l ı k,

[y(t) - z(t)I <

olacak şekilde bir z polinomu vard ı r. Böyle bir z polinomunun varl ığı , K ı s.4.11 'de ispatlanacak olan Weierstrass teoreminden elde edilir ve

ily z 112 = j[y(t) - z(t)I 2dt < 2(--S—) 2 = EZ

2 iff 4

sonucunu gerektirir. Üçgen e ş itsizliğ inin de yard ı m ı yla,

11x - zI1 - Y11 + 11Y - z11 < e

bulunur. Gram-Schmidt yönteminin tan ı m ı , (1) uyar ı nca, yeterince büyük m için, z E span{e0,...,e n,} yazabileceğ imizi gösterir. x E L2 [-1,1] ve E > 0 keyfi olduğ undan,bu sonuç, (e n ) 'in totailiğ ini ispatlar.

Pratik amaçlar için aç ı k formüllere gereksinim vard ı r.

P n (t) = - on]

(2a)

olmak üzere,

e n(t) - 2n 2

+ 1 Pn (t) (n = 0,1,...) (2b)

olduğ unu ileri sürüyoruz. P,,, n. basamaktan Legendre polinomu olarak adland ı nl ı r. (2a) formülüne ise, Rodrigues formülü denir. (2b) 'deki karekök ise, gereksinim duymad ığı m ı z için ispatlamayaca ğı m ı z bir özelik olan P n(1) = 1 sonucunu doğ urur.

Binom teoremini (t 2 - O n 'e uygulay ı p, sonucu terim terim türetirsek, (2a) 'dan, n çift olduğ unda N = nI2 ve n tek olduğ unda N = (n - 1)/2 al ı nmak üzere,

(0 = z ı ( ___ İ ); (2n -- 2j)! tn_2,1 j)!(n - 2j)! .r=0

( 2 o)

elde ederiz. Buna göre,

127 P(t) = 1 P = t

P2(t) = i2-(3t2 — 1) P3(t) = -12-(5t 3 — 3t)

(21 P4(t) = -1,(35t4 — 3012 3) Ps(t) = +(63/ 5 — 70t 3 + 1 5t)

v.b. bulunur. (Bkz. Ş ekil 35)

Ş ekil 35. Legendre Polinomlar ı

(2a) ve (2b) 'nin ispat ı . ispat ı n (a) ad ı m ı nda, (2a) 'n ı n, — 1/2

11/3 /1 II = I PW) ılt _ —

eş itliğ ini gerektirdiğ ini göstereceğ iz. Dolay ı s ı yla, (2b) 'deki en , 1 'e eş it olan gerçek

normuyla elde edilecektir. ispat ı n (b) ad ı m ı nda ise, (P n ) 'in, L2 [-1,1] uzay ı nda ortogonal bir dizi olduğ nu ispatlayaca ğı z. Bu ispat, aş ağı da aç ı klayaca ğı = nedenle, (2a) ve (2b) 'yi olu ş turma= için yeterli olacakt ı r. İ lk olarak, (2b) 'nin sa ğ taraf ı n ı yn (t) ile gösterelim. Bu durumda, yn , n. dereceden bir polinom olup (a) ve (b) ad ı mlar ı , (yn) dizisinin, L 2 [-1, 1] 'de ortonormal bir dizi oldu ğ unu gösterecektir.

17n= span{eo, ...,e span{x0,...,x.}= span{yo,...,yn}

diyelim; burada, ikinci e ş itlik iş areti Gram-Schmidt yöntemindeki algoritmadan, son eş itlik ise, yo,...,y,, 'in 3.4.2 'de ifade edilen, lineer ba ğı ms ızl ığ lyla, dimYn = n + 1

oluş undan kaynaklanmaktad ı r. Dolay ı s ı yla, yn,

yn = E ai ej

(4)

.fro

gösterimine sahiptir. Ş imdi, ortogonallik nedeniyle,

yn ı Yn_ ı = span{yo,•••,y n_ ı } = }

yazabiliriz. Bu ise, k = O, ...,n — 1 için,

0 =< y„,e k >= Ea.1 <ei,ek >= ak

2

2n + 1 (3)

128 sonucunu gerektirir. Buna göre, (4) formülü, y,, = a n en 'e indirgenir. Burada,

ii Y n II = ilen II = 1 olduğ undan, !a n i = 1 'dir. Gerçekten, yn ve e n 'in her ikisi de reel olduğ undan, a n = +1 ya da —I 'dir. (2c) 'deki ı n 'in katsay ı s ı pozitif oldu ğ undan, yeterince büyük t için, yn (t)> 0 'd ı r. Ayr ı ca, x n(t) = t" oluş uyla ve K ı s.3.4 "deki (13) ve (14) 'den görece ğ imiz gibi, yeterince büyük t için, e„(t) > 0 'd ı r. Buna göre, a = +I ve yr, = e n olup, (2a) 'da verilen P„ ile birlikte (2b) elde edilir.

Bütün bu sonuçlar, yukar ı da sözü edilen (a) ve (b) ad ı mlar ı n ı n at ı lmas ı ndan sonra, ispat ı n tamamlanaca ğı n ı göstermektedir.

(a) (2a) 'dan (3) 'ü elde edebiliriz. u = t2- ' yazal ı m. u" ve türevleri olan (un)',...,(un)(n - I ) , t = ±1 noktalar ı nda s ı fı rd ı r ve (un) (2n) = (2n)! 'dir. Buna göre, k ı smi integrasyon yöntemiyle, n kez integre ederek, (2a) 'dan

(2n no2 2 = .f (un)(n)(un)(n)di

-1

1

= ( un)(n - 1)(un)(n) l 1 1 1(un)(n-1)(un)(n+l)dt

= (-1 )"(2n)! .f undt

= 2(2n)! j(1 — t2 ) dt

O ır/2

= 2(2n)! cosz"+ 1 z dz

O 22n+1(n !)2

(t = sin ı )

2n + 1

elde ederiz. (2"n!) 2 ile bölme ise, (3) 'ü verir. (b) 0 < m < n olmak üzere, < P., P n >=, 0 olduğ unu gösterelim. P. bir polinom

olduğ undan, xm , (1) ile tan ı mlanm ış olmak üzere, m < n için, < .x.,P, >= 0 olduğ unu göstermek yeterlidir. Bu da, k ı smi integrasyon yöntemiyle, m kez integral al ı narak elde edilir:

129

2nn! < x„,,Pn >= jI

J tm(un)(n)dt

= tm(un) (`" ) Ş i i tm-i(un) (n- Odt

= (-1)%! f(un) (n-m)dt

= (-1)mm İ (un) (n--in-1) 1 1 1 = O.

Bu sonuç da (2a) ve (2b) 'nin ispat ı n ı tamamlar. Legendre polinomlar ı , ünlü Legendre diferensiyel denklemi

(1 — t2 )/3 ,, — 2tP„' + n(n+1)P„ = 0

(5) 'in çözümleridir. Ve (2c), (5) 'e kuvvet serisi yöntemi uygulanarak da elde edilebilir.

Ayr ı ca, L2 [a,b] uzay ı nda, total ortonormal bir dizi,

qn = HpnIl p„, pn(t) = Pn(s), s = 1 -t- 2 tş_ ba (6)

olmak üzere tan ı mlanan, (qn ) dizisidir. ispat ise, a < t < b 'nin karşı l ı k geldiğ i ve ortogonalliğ in t s lineer dönüşümü alt ı nda korunduğ u göz önüne al ı nd ığı nda ortaya ç ı kar. Bu nedenle, Teorem 3.6.4 ş u sonucu gerektirir:

L 2 [a,b] reel uzayı ayrdabilirdir.

3.7.2. Hermite Polinomlar ı Uygulamada ilginç olan diğ er uzaylar, L2 (-00,-1-co), L 2 [a,-Foo), L2 (—co,b1 uzaylar ı d ı r. Bu

uzaylar ı 3.7.1 'de dikkate almam ış t ı k. Zira, integrasyon aral ı klann ı n sonsuz olmas ı nedeniyle, 3.7.1 'deki xo,x1,... kuvvetleri yaln ız başı na yeterli olmayacakt ı . Fakat, bunlar ı n her birini, yeterince h ı zl ı azalan basit bir fonksiyonla çarparsak, sonlu olan integraller elde etmeyi ümit edebiliriz. Uygun bir üs'se sahip bir üste) fonksiyon do ğ al bir seçim olarak görülmektedir.

Reel L 2(-00,+co) uzay ı n ı göz önüne alal ı m. İ ççarp ı m, -WD

< x,y >= x(t) y(t) dt

ile verilmektedir. Gram-Schmidt yöntemini

w(t) = e -42/2 , t w(t), t2 w(t),...

ile tan ı mlanan fonksiyonlar dizisine uygulayaca ğı z. Üs 'de yer alan 1/2 çarpan ı , tümüyle uygunluk aç ı s ı ndan seçilmiş olup daha derin bir anlam ı yoktur. Bu fonksiyonlar, L2 (—co,+co) 'un elemanland ı r. Gerçekten, bu fonksiyonlar R üzerinde s ı n ı rl ı olup

(itnw(01 < kn diyelim), ILO

e-'2/2 tn e-t2/2 dt k„,,„ e -1212 dt =

'dir.

130 Gram-Schmidt yöntemi,

en(t) = 1 e - ' 212 11,,(t) şr-)112

ve

Ho(1) = 1, 11 n( 1) = (-1 ) n e f ' Cdt„ (e -12 ) (n = 1 , 2 ,• • •) 7b)

olmak üzere, ortonormal (e n ) dizisini verir. (Bkz. Ş ekil 36).

Ş ekil 36_ (7a)'da Hermite polinomlann ı içeren e„ fonksiyonlar ı

Hn, n. basamaktan Hermite polinomu olarak adland ı r ı l ı r. (7b) 'de belirtilen türev alma i ş lemlerini gerçekleş tirerek, n çift olduğ unda N = n/2

ve n tek olduğ unda N = (n - 1)/2 olmak üzere,

n- 2 2j Hn (t) = n!E(-1).1

- 2)! t„-2j (7 C)

elde ederiz. Bunun, ayn ı zamanda,

Hn (t) = E n(n - 1) ...(n - 2j + 1)(20" -2.1 (7c)

1-0

olarak da yaz ı labileceğ ine dikkat ediniz. Ilk birkaç Hermite polinomunun aç ı k ifadeleri

How =

1 H ı (t) =

2t

H2(1) =

4t2 — 2 H3(1) =

8t 3 - 12t

(71 H4(t) = 16t4 — 48t2 + 12 H5(t) = 32t5 — 160t3 + 120t

"(7a) ve (7b) ile tan ı mlanan (e n) dizisi ortonormaldir."

Ispat. (7a) ve (7b), +00

e -' 2 H,n (t) Hn (t) dt =

olduğ unu ispatlamam ı z gerektiğ ini göstermektedir. (7c') 'yü türevleyerek, n çift

olduğ unda, M = (n - 2)/2 ve n tek olduğ unda, M((n - 1)/2) olmak üzere, n > 1 için,

11

(

n(t) = 2n (n 1)(n - (n - 2j)(20 1" -2-1 .1!

= 2n 11,1(0

elde ederiz.Bu formülü, m < n varsay ı p, (8) 'deki üs'sü kolayl ı k amac ı yla, v ile belirtip,

(7a)

0

men

2nn!

m = n

131 m kez k ı smi integrasyon yöntemini kullanarak H,„ 'e uygulayacağı z. Buna göre, (7b) gereğ ince,

+CO +00

(-1)" H,n (t) Hn (t) dt = f H„,(t) v<") dt

--o0 --00

-1-00

= (t) v (n-1) - 2mH„,_1(t)v (n-OdtJ

—2m Hm_1(t)v ("- i )dt

= • •

4=

= (-1 )"'2mm! Ho(t) ign-m) dt

buluruz. Burada, Ho(t) = 1 'dir. m < n ise, bir kez daha integral alarak, v ve türevlerinin t -> +oo ve t -+ -co için, s ı f ı ra yaklaşmalar ı nedeniyle, 0 elde ederiz. Bu sonuç, (en ) dizisinin ortogonalliğ ini ispatlar. Ş imdi, m = n için, (7a) gereğ ince, llen Il = 1 sonucunu gerektirecek olan (8) 'i ispatlayaca ğı z. m = n ise, son integral için (J diyelim)

J = e-12 dt =

yazabiliriz. Bu al ışı lm ış bir sonuçtur. Bunu doğ rulamak için, J2 'yi göz önüne al ı p, r, O

kutupsal koordinatlar ı n ı ve ds dt = r dr dO eş itliğ ini kullanarak, -KO 1,0 A-oo

= e -s2 ds e 12dt = J

J e -(32+t2)ds dt —GO —00

2 -1-co = S e-1'2 rdrd0

00

= 21r.2

= it

buluruz. Bu ise, (8) 'i ve dolay ı s ı yla, (en ) 'in ortonormalliğ ini ispatlar. Klasik biçimde söylersek, (8) ifadesi ço ğ unlukla, w, baş lang ı çta tan ı mlanan

fonksiyon olmak üzere, Hn 'lerin w 2 ağı rl ı k fonksiyonu cinsinden bir ortogonal dizi oluş turduğ u şeklinde ifade edilir.

(7a) ve (7b) ile tan ı mlanan (en ) dizisinin reel L 2 (--oo,+oo) uzay ı nda total olduğ u gösterilebilir. Dolay ı s ı yla, bu uzay ayr ı labilirdir. (Bkz.3.6.4).

Son olarak,

Hn " -2tHn + 2nH,, = 0

(9) Hermite diferensiyel denklemini gerçekleyen H n Hermite polinomlanndan söz edece ğ iz.

UYAR1: Ne yaz ı k ki, literatürdeki terminolojide birlik yoktur. Gerçekten,

Heo(t) Heo(t) = (- 1)nel212 d; (e-'212 ) n = 1,2,...

ile tan ı mlanan, He„ fonksiyonlar ı da "Hermite polinomlar ı " olarak adiand ı nlmaktad ı r. Ve iş i daha da kötü hale getirmek için, bu polinomlar bazen H n ile belirtilmektedir.

(10c)

132 Hermite polinomlar ı n ı n kuantum mekaniğ indeki bir uygulamas ı K ı s.11.3 'de ele

al ı nacakt ı r. 3.7.3. Laguerre Polinomlar ı . L 2 (-00,b] ya da L 2 [a,+00) uzaylar ı nda total ortonormal

bir dizi, L 2 [0,-1-00) uzay ı nda bu özeliğ e sahip bir diziden, s ı ras ı yla, t = b - s ve t = s+ a

dönüş ümüyle elde edilir. L 2 [0,-1-00) uzay ı n ı göz önüne alal ı m. e -t/2 , te l/2 t2e-t/2 ,

ile tan ı mlanan diziye Gram-Schmidt yöntemini uygulayarak ortonormal bir (en ) dizisi elde ederiz. (en ) dizisinin L 2 [0,+00) uzay ı nda total olduğ u ve

e n (t) = e -'12 L n (t) (n = 0,1 , ...) (10a)

ile verildiğ i gösterilebilir. (Bkz. Ş ekil 37). Burada, n. basamaktan Laguerre polinomu

Lo (t) = 1, ı n(o= -e2--! dt -

ci" (t" e-') (n = 1,2,...) ( ı ob) n

yani,

ı n (t) = ( n )ti J fro

ile tan ı mlan ı r.

Ş ekil 37. (10aYcla, Laguerre polinomlar ı n ı içeren e n fonksiyonları

İ lk bir kaç Laguerre polinomlar ı n ı n aç ı k ifadeleri

Lo(t) = 1

Li(t) = 1-t

L2(1) = l - 21+ -ft 2

L3(t) = 1 - 3f + .kt 3

L.4(t) = 1 - 4t + 3t2 - +t3 + *t4

'dür.

L„ Laguerre polinomlar ı ,

tL,,"1-(1 - t)L;, nL n = 0

Laguerre diferensiyel denkleminin çözümleridir. Daha ileri ayr ı nt ı lar için, A.Erdelyi ve Ark. (1953-55) 'e ve ayr ı ca, R.Courant ve

D.Hilbert (1953-62) Cilt 1 'e bak ı n ız.

133 PROBLEMLER

1. Legendre diferensiyel denkleminin,

[(I - t2 )P;,] ı = -n(n + 1)P „

olarak yaz ı labildiğ ini gösteriniz. Bu denklemi P„, ile çarp ı n ı z. P„, 'e karşı l ı k gelen denklemi, -P ile çarp ı p, bu iki denklemi toplay ı n ı z. Bulduğ unuz sonuç denklemini -1 'den, +1 'e kadar integre ederek, (P „) 'in, L 2 [-1,1] uzay ı nda ortogonal bir dizi olduğ unu gösteriniz.

2. (2b) 'den (2c) 'yi elde ediniz. 3. (Üretici Fonksiyon).

-

E P n(t)w n ,İ I - 2tw + w2

olduğ unu gösteriniz. Sol taraftaki fonksiyon, Legendre polinomlar ı n ı n bir üretici fonksiyonu olarak adland ı r ı l ı r. Üretici fonksiyonlar, çe ş itli özel fonksiyonlara iliş kin iş lemlerde yararl ı olmaktad ı r;Bkz. R.Courant ve David Hilbert (1953-62), A.Erdelyi ve Ark. (1953-55).

4. r, Ş ekil 38 'de gösterildi ğ i gibi, R. 3 'de verilen A ı ve A2 noktalar ı n ı n aras ı ndaki uzakl ı k ve r2 > 0 olmak üzere,

1 1 r Jr f + rz - 2r i r2 cos O

Epn(cos9)(1± . • r2 r2

,İ=o

olduğ unu gösteriniz. (Bu formül, potansiyel teoride yararl ı d ı r.)

Ş ekil 38. Prob. 4

5. Legendre polinomlar ı n ı , kuvvet serileri yöntemiyle, a ş ağı daki ş ekilde elde ediniz: Legendre denkleminde, x( ı ) = co + cit+ c2t 2 +... koyunuz ve katsay ı lar ı belirleyerek,

n(n + 1) t

2 +

(n 2)n(n + 1)(n + 3) 4 Xi (t) = 1 +...

2! 4! t

ve

x2(t) = t (n - 1)(n + 2)

t 3 + 5

(n - 3)(n - 1)(n + 2)(n + 4) t5 +...

3! ! olmak üzere, x = cox ı + c ı .x2 çözümünün elde edilece ğ ini gösteriniz. n E N için, bu fonksiyonlardan bir tanesinin, c„ = (2n)1/2 4 (n!) 2 seçilmesi halinde, P„ ile uyuşan bir polinoma indirgendiğ ini gösteriniz.

6. (Üretici Fonksiyon).

134 exp(2wt - w 2 ) = E --17-14,(1)W n

ır-0 ı 1 •

olduğ unu gösteriniz. Sol taraftaki fonksiyon, Hermite polinomlar ı n ı n bir üretici fonksiyonu olarak adland ı r ı l ı r.

7. (7b) 'yi kullanarak,

Hn+İ (t) = 2tHh(t)- Hn(t)

olduğ unu gösteriniz. 8. Prob.6 'daki üretici fonksiyonun t 'ye göre türevini alarak,

11;,(1) = 2nH,i(t) (n I)

olduğ unu gösteriniz. Ve Prob.7 'yi kullanarak, H„ 'in, Hermite diferensiyel denklemini gerçeklediğ ini gösteriniz.

9. y" +(2n + 1 - t2 )y = 0 diferensiyel denklemini, Hermite polinomlar ı cinsinden, çözünüz.

10. Prob.8 'i kullanarak,

(e°2 1-4) 1 = -2ne-£ 2 Hn

olduğ unu gösteriniz. Bu sonucu ve Prob.1 'de aç ı klanan yöntemi kullanarak, (7a) ile tan ı mlanan fonksiyonlann R. 'de ortogonal oldu ğ unu gösteriniz.

11. (Üretici Fonksiyon) (10c) 'yi kullanarak,

V'(t,w) = w exp[ tww ] - EL n (t)wn n=o

olduğ unu gösteriniz. 12. Prob.11 'deki ıff fonksiyonunun w 'ye göre türevini alarak,

(a) (n +1)Ln+I(t) - (2n + 1 - t)Ln (t) + nL,i(t) = 0

olduğ unu gösteriniz. yı fonksiyonunun t 'ye göre türevini alarak,

(b) L n_ ı (t) = L'„_.1 (t) - L', 7 (t)

olduğ unu gösteriniz. 13. Prob.12 'yi kullanarak,

(c) tL„f (t) = Ln (t) - nL n- ı (t)

olduğ unu gösteriniz. Bu sonucu ve Prob.12 'deki (b) 'yi kullanarak, Ln 'in (11) no.lu Laguerre diferensiyel denklemini gerçekledi ğ ini gösteriniz.

14. (10a) 'daki fonksiyonlann normunun 1 oldu ğ unu gösteriniz. 15. (10a) 'daki fonksiyonlar ı n, L2 [0,0o) uzay ı nda ortogonal bir dizi olu ş turduğ unu

gösteriniz. 3.8 H İ LBERT UZAYLARINDA FONKSIYONELLER İ N GÖSTER İ MLER İ Çeş itli uzaylar üzerinde, s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerin genel şekillerinin bilinmesi

uygulamada önem ta şı maktad ı r.Bu hususa, K ı s.2.10 'da değ inmiş ve aç ı klam ış t ı k.

Genel Banach uzaylar ı nda bu tip formül ve sonuçlar ı n oldukça karışı k olabilmesine karşı n, bir Hilbert uzay ı nda durum ş a şı rt ı c ı şekilde basittir:

3.8.1. RIESZ TEOREM İ (Hilbert Uzay ı Üzerinde Fonksiyoneller). Bir H Hilbert uzay ı üzerinde, her s ı n ı rl ı lineer f fonksiyoneli, iççarp ı m cinsinden ifade edilebilir, yani, z, f 'e

bağı ml ı olmak üzere,

135 j(x) = < x,z >,

eş itliğ iyle, f taraf ı ndan tek olarak belirlenmi ş olup,

ilzil = IVli normuna sahiptir.

ispat. ispat ı yapabilmek için, önce (a) f 'in (1) ş eklinde bir gösterime sahip olduğ unu, (b) (1) 'deki z 'nin tek olduğ unu ve (c) (2) formülünün sağ land ığı n ı göstermemiz gerekmektedir. Buna göre,

(a)f = 0 ise, (1) ve (2), z = 0 almam ı z halinde gerçeklenir.f 0 alal ı m. ispattaki fikri oluş turmak için, (1) gösteriminin mevcut olmas ı halinde, z 'nin hangi özeliklere sahip olmas ı gerektiğ ini araş t ı ral ı m. ilk olarak, z 0 'd ı r; çünkü, aksi halde f = 0 olmas ı gerekirdi. İ kinci olarak, 1(x) = 0 ko ş uluna uygun her x için. < x, ı > = O 'd ı r; yani, f 'in N(f) s ı fı r uzay ı ndaki bütün x 'ler için, < x,z >= O 'd ı r. Dolay ı s ı yla, z ı N(j) 'dir. Bu durum, N(f) ve bunun ortogonal tümleyeni olan N(f) 1 uzay ı n' göz önüne almam ı z ı ima etmektedir.

ikinci bölümden hat ı rlad ığı m ı z gibi, N(f) bir vektör uzay ı olup, kapal ı d ı r. Ayr ı ca, f 0 olmas ı , N(f) H ve dolay ı s ı yla, 3.3.4 izdü ş üm teoremi gere ğ ince, N(f) 1 {0} olmas ı n ı gerektirir. Buna göre, N(f) 1 , bir zo 0 eleman ı içerir. x e H keyfi olmak üzere,

v = f(x) zo —f(zo) x

yazal ı m. Buna,f 'i uygulayarak,

.f(v) f(x) f(z o) - f(zo) f(x) = 0

elde ederiz. Bu ise, v E N(f) olduğ unu gösterir. zo ı N(f) olduğ undan,

0 = < v,zo >=< f(x)zo — AZ0)X,Zo >

= ,AX) < Zo,Zo > < X,Zo >

buluruz. Buradan, < zo,z o >= 11411 2 0 olduğ unu da göz önüne alarak, f(x) çözersek, sonuç,

f(x) = <iz ,zr zi > < x,zo >

olur. Bu ise,

f(zo) Z = Zo < 20,Z0 >

olmak üzere, (1) şeklinde yaz ı labilir. Böylece, x e H keyfi olduğ undan, (1) ispatlanm ış olur.

(b) Ş imdi de, (1) 'deki z 'nin tek oldu ğ unu ispatlayal ı m. Her x e H için,

f(x) = < x,z, > < x,z2 >

olsun. Bu durumda, her x için, < X,Z1 Z2 > = 0 'd ı r. Özel olarak, x = ı l Z2 seçersek,

< x,z ı — z2 >=< z i z2,zi — Z2 >= HZ] — Z211 2 = 0

buluruz. Dolay ı s ı yla, zi z2 = 0, yani, z ı = z2 elde edilir ki, bu sonuç z 'nin tekliğ ini

ispatlar. (c) Son olarak, (2) 'yi ispatlayal ı m. f = 0 ise, z = 0 olup, (2) gerçeklenir.f 0 olsun.

Bu durumda, z 0 'd ı r. x = z al ı nmak üzere, (1) 'den ve K ı s.2.8 'deki (3) no.lu formülden yararlanarak,

1 36 Il Z II 2 =< Z, Z >= X') 5

elde ederiz. Bunu, 11z11 * 0 ile bölersek, lizil < IlflI buluruz. Geriye, VII 5 Ilzil olduğ unun gösterilmesi kalmaktad ı r. (1) 'den ve K ı s.3.2 'deki Schwarz eş itsizliğ inden,

If(x)1 = i< x,z >1 5 Ilxll Il ı fl

olduğ unu görürüz. Bu ise,

ilfll =sup l< x,z 5 ilzil

sonucunu gerektirir. (b) 'deki teklik ispat ı nda kulland ığı m ı z düş ünce, ilerideki çal ış malar ı m ızda yararl ı

olacakt ı r. 3.8.2. LEMMA (Eş itlik). Bir X iççarp ı m uzay ı ndaki her w için, < v i ,w >=< v2 , w >

ise, vi = v2 'dir. Özel olarak. her w E X için, < vi ,w >= 0 olmas ı , vi = 0 sonucunu gerektirir.

ispat. Hipotez gereğ i,her w için,

< Vi — V2, W >=< Vi ,W > — < V2, W O

'd ı r. w = v i - v2 için, bu eş itlik, Iyi - v2 11 2 = 0 sonucunu verir. Buna göre, vi - v2 = 0 ve dolay ı s ı yla, Vi = v2 bulunur. Özel olarak, w = vi olmak üzere, < v ] ,w >= 0 eş itliğ i, 11v, 11 2 = 0, yani, v i = 0 verir.

(1) gösterimi, Hilbert uzaylar ı ndaki operatörler teorisinde, oldukça önemlidir. Bu nedenle, baz ı önbilgileri vermemiz yerinde olacakt ı r.

3.8.3. TANIM (Sesquilineer Form). X ve Y, ayn ı bir k (=R ya da C) cismi üzerinde iki vektör uzay olsun. X x Y üzerinde bir h sesquilineer formu (ya da, sesquilineer fonksiyoneli), her x, x ı , x2 E X ve y, y ı , y2 E Y ve her a,fi skalerleri için,

(a) h(x + x2,y) = h(x 1,y) + h(x2,Y)

(b) h(x,yi + y2) = lı (x,y1)-1- h(x,y2)

(c) h(ax,y) = ah(x,y)

(d) h(x, fly) = h(x,y)

olacak şekilde bir,

h:Xx Y -+ k

dönüş ümüdür. Buna göre, h , birinci argümente göre lineer, ikinci argümente göre de e ş lenik

lineerdir. X ve Y reel ise (k = (3d) k ı saca,

h(x, fly) f3h(x,y)

olarak yaz ı l ı r ve h, her iki argümente göre de lineer oldu ğ undan, bilineer'dir denir.

X ve Y normlu uzaylar ise, ve her x, y için,

ih(x,y)I ci1x11IIYIl

olacak şekilde reel bir c say ı s ı varsa, h 'a s ı n ı rl ı 'd ı r denir ve

11 hIl = sup !11(x' Y)1 =sup Ih(x,y)1 xex-(o) lix ii Il Y Il fix 11=1

Yer- {0} İ lY11-1

say ı s ı na da, h ' ı n normu ad ı verilir.

(3)

(4)

(5)

137 Örneğ in, iççarp ı m, sesquilineer ve s ı n ı rl ı d ı r. (4) ve (5) 'den,

1 1-1 (x,Y)i IIhIIIIxIIIIYII ( 6,

elde edebilece ğ imizi de belirtmeliyiz. Tan ı m 3.8.1'de kulland ığı m ı z "form" ve "fonksiyonel" sözcüklerinin her ikisi de yayg ı n

olmakla birlikte, "form" sözcü ğ ünü iki-değ iş kenli hallerde kullan ı p, "fonksiyonel" sözcüğ ünü tek-de ğ iş kenli hallere saklamak baz ı kar ışı kl ı klar ı önlemek aç ı s ı ndan yararl ı d ı r.

Teorem 3.8.1 'den yararlanarak, Hilbert uzaylar ı üzerindeki sesquilineer formlar ı n genel bir gösterimini a ş ağı daki teoremle elde edebilmekteyiz.

3.8.4. TEOREM (Riesz Gösterimi). H, ve H2 iki Hilbert uzay ı ve

h : Il ı x H2 -› k

s ı n ı rl ı sesquilineer bir form olsun. Bu durumda, S : H ı --> H2 s ı n ı rl ı lineer bir operatör olmak üzere, h,

h(x,y) Sx,y >

ş eklinde bir gösterime sahiptir. S, h taraf ı ndan tek olarak belirlenmiş olup, normu

IlSil = Ilhll 'dir.

ispat. h(x,y) 'yi göz önüne alal ı m. Üst çizgi nedeniyle, bu ifade y 'ye göre lineerdir. Teorem 3.8.1 'in uygulanabilirliğ ini sağ lamak için, x 'i sabit tutal ı m. Bu durumda, söz konusu teorem, y değ iş ken olmak üzere, bir gösterim verir:

h(x,y) y,z >

diyelim. Buna göre,

h(x,y) z,y >

(9) yazabiliriz. Burada, z E I/2 tek olup, ku ş kusuz sabit tuttu ğ unuz x E 11, 'e bağ l ı d ı r. x değ işken olmak üzere, (9) 'un, z = Sx ile verilen bir

S : 1-11 --> H2

operatörü tan ı mlad ığı n ı söyleyebiliriz. (9) 'da, z = Sx yazarsak, (7) 'yi elde ederiz. S 'in lineer oldu ğ unu söyleyebiliriz. Gerçekten, S 'in tan ı m kümesi 1/1 vektör uzay ı

olup, (7) 'den ve sesquilineerlikten yararlanarak, H2 'deki her y için,

< S(ax ı + fix2),Y > = h(S(axi fix2),y)

ah(xl,Y)+ fili(x2,Y)

= a < Sxby > ÷ fi < SX2,Y >

= < aSxi + fiSx2,Y >

yazabilir ve dolay ı s ı yla, Lemma 3.8.2 gereğ ince,

S(ax + fix2) = aSx ı + fiSx2

elde ederiz. S, ayr ı ca, s ı n ı rl ı d ı r. Gerçekten, S = 0 aş ikar halini bir kenara b ı rak ı rsak, (5) ve (7)

'den,

138

IIhII =sup l< sx,Y >I >su sx,sx > 1 l ı sx ıı sup „ x = l ı s ı l

o ı ly - ,j) iki' Sx v.0 SYxO

elde ederiz. Bu ise, s ı n ı rl ı l ığı n yan ı s ı ra, IIhII > IISII oldu ğ unu ispatlar. Ş imdi, Schwarz e ş itsizliğ inin bir uygulamas ı olarak, Ilh Il 5 IISII 'in ortaya ç ı kt ığı n ı göz

önüne alarak, (8) 'i elde edebiliriz:

IIh II= sup i< Sx'y >I sup liSx ily

=11511. o Vi! Ilxli IlY ll Y.0

Ş imdi de, S 'nin tek oldu ğ unu gösterelim. Her x E H, ve y e H2 için,

h(x,y) = < Sx,y > = < Tx,y >

olacak ş ekilde, lineer bir T : H ı -> H2 operatörünün varl ığı n ı kabul edip, Lemma 3.8.2 gereğ ince, her x e H, için, Sx = Tx olduğ unu görebiliriz. O halde, tan ı m gereğ i, S = T 'dir.

PROBLEMLER 1. (118 3 Uzay ı ). R 3 üzerindeki herhangi birf lineer fonksiyonelinin,

J(x) = X.2 = Ğ iy I + 24-2 43Ç3

şeklinde bir iççarp ı mla gösterilebilece ğ ini ispatlay ı n ı z. 2. (Q2 Uzayı ). Q2 üzerindeki her s ı n ı rl ı lineer f fonksiyonelinin,

fix) = E = GI) E 2 )

.İ= 1

şeklinde gösterilebilece ğ ini gösteriniz. 3. z, bir X iççarp ı m uzay ı nda herhangi sabit bir eleman ise,f(x) x,z > 'nin, X

üzerinde, normu IIzII olan s ı n ı rl ı lineer bir f fonksiyoneli tan ı mlad ığı n ı gösteriniz.

4. Prob.3 'ü göz önüne al ı n ı z. z ile verilen X -4 dönüş ümü üzerine bir dönüş üm ise, X 'in bir Hilbert uzay ı olmas ı gerektiğ ini gösteriniz.

5. Reel Q 2 uzay ı n ı n dual uzay ı n ı n da Q 2 olduğ unu gösteriniz. (3.8.1 'i kullan ı n ı z.) 6. Teorem 3.8.1 'in, lineer olmad ığı halde, eş lenik lineer olan, yani,

az + fiv -> Tzfz +7ffs, koş uluna uygun bir T : H -+ H', z >4- f2 =<.,z > bire-bir ve örten bir izometrik dönüş ümü tan ı mlad ığı n ı gösteriniz.

7. Bir H Hilbert uzaytn ı n, H' dual uzay ı n ı n dajz (x) =< x,z > v.b. olmak üzere,

< fz ,f, >1 = < z,v > =< v,z >

ile tan ı mlanan <.,.> 1 iççarp ı m ı na göre, bir Hilbert uzay ı olduğ unu gösteriniz. 8. Bir H Hilbert uzay ı n ı n, kendisinin ikinci duali olan, H " = (H ')' uzay ı na izomorfik

olduğ unu gösteriniz. (Bu özeliğ e H 'In yans ı ma özeliğ i denir. Bu konu, K ı s.4.6 'da, normlu uzaylar için daha ayr ı nt ı l ı olarak incelenecektir.)

9. (Sif ı rlayan). M + 4) 'in, bir H Hilbert uzay ı n ı n altkümesi olmas ı durumunda, K ı s.2.10, Prob.l3 'deki Ma ile, K ı s.3.3 'deki M ı aras ı ndaki bağı nt ı y ı aç ı klay ı n ı z.

10. Bir X iççarp ı m uzay ı üzerindeki bir <.,.> iççarp ı m ı n ı n s ı n ı rl ı sesquilineer bir h formu olduğ unu gösteriniz. Bu durumda, II/711 nedir?

11. X bir vektör uzay ve h, X x X üzerinde bir sesquilineer form olsun. Bu durumda,

139 yo sabit olmak üzere, f (x) = h(x,y o ) ' ı n X üzerinde lineer bir ji , ve xo sabit olmak üzere, f2 (y) = h(ax ,y) 'in X üzerinde lineer bir f2 fonksiyoneli tan ı mlad ığı n ı gösteriniz.

12. X ve Y iki normlu uzay olsun. X x Y üzerindeki s ı n ı rl ı bir sesquilineer formun, her iki değ iş kene göre ortakla ş a sürekli olduğ unu gösteriniz.

13. (Hermityen Form). X bir k cismi üzerinde bir vektör uzay olsun. X x X üzerinde bir Hermityen sesquilineer form, ya da, k ı saca, bir h Hermityen form, her x,y,z e X ve a e k için,

h(x + y,z) = h(x,z) + h(y,z)

h(ax,y) = ah(x,y)

h(x,y) = h(y,x)

olacak şekilde, bir h : X x X -+ k dönüş ümüdür. k = R olmas ı halinde, son koş ul ne olur? h 'in X üzerinde bir iççarp ı m olabilmesi için, hangi koşul eklenmelidir?

14. (Schwarz E ş itsizliğ i). X bir vektör uzay ı ve h, X x X üzerinde bir Hermityen form olsun. Bu forma, her x E X için, h(x,x) > 0 olmas ı halinde, pozitif yar ı -tan ı ml ı ad ı verilir. h 'in,

h(x,y) I 2 h(x,x)+ h(y,y)

Schwarz eş itsizliğ ini gerçeklediğ ini gösteriniz. 15. (Yar ı -norm). h, Prob.14 'deki koş ullar ı gerçekliyorsa,

p(x) = (?_ O)

'in, X üzerinde bir yar ı -norm tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. (K ı s.2.3, Prob.12 'ye bak ı n ı z.)

3.9. HILBERT-ADJOINT OPERATÖR Bir önceki k ı s ı mda elde ettiğ imiz sonuçlar, bir Hilbert uzay ı üzerinde, s ı n ı rl ı lineer bir

operatörün Hilbert-adjoint operatörünü tan ı mlamam ı za olanak sa ğ lamaktad ı r. Söz konusu operatör, matrislere, lineer diferensiyel ve integrel denklemlere ili ş kin problemler nedeniyle ortaya ç ı km ış t ı r. Bu operatörün, ayn ı zamanda, self-adjoint, üniter ve normal operatör olarak adland ı r ı lan, üç önemli operatör s ı n ı fı n ı n tan ı mlanmas ı nda ve çeş itli

uygulamalar ı n ı n incelenmesinde anahtar rolü oldu ğ unu da göreceğ iz. 3.9.1. TANIM (T* Hilbert-Adjoint Operatör). Hi ve H2 Hilbert uzaylar ı olmak üzere,

T : H ı H2 s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. T 'nin, T* Hilbert-adjoint operatörü, her x E 1/1 ve y E H2 için,

< Tx,y (x,T*y >

(1)

olacak şekilde bir

T* : 112 111

operatörüdür. Kuşkusuz, önce, bu tan ı m ı n bir anlam ı n ı n olduğ unu, yani, verilen bir T için, böyle bir

T* ' ı n var olduğ unu göstermemiz gerekmektedir. 3.9.2. TEOREM (Varl ı k). Tan ı m 3.9.1. 'deki, T 'nin, T* Hilbert-adjoint operatörü

mevcuttur, tek'dir ve

ii = N TII ( 2)

140 normuna sahip, s ı n ı rl ı lineer bir operatördür.

Ispat. İ ççarp ı m ı n sesquilineer ve T 'nin lineer olmas ı nedeniyle,

h(y,x) y,Tx >

formülü, H2 >< H ı

üzerinde, sesquilineer bir form tan ı mlar. Gerçekten, söz konusu formun, e ş lenik lineerliğ i,

h(y,ax ı + fix2) =< y,T(ax ı + 13x2) >

_< y, aTx + fiTx2 >

= â < y,Txı > < y,Tx2 >

= h(y,x ı ) + h(y,x)

yaz ı larak hemen görülür. Ayr ı ca, h s ı n ı rl ı d ı r. Gerçekten, Schwarz e ş itsizliğ i yard ı m ı yla,

Ih(Y,x)1 = l< Y,Tx >i 5- 113, ii IITx İ I TITIZ Iixll IIYII yazabiliriz. Bu yaz ış , ayr ı ca, 111111 < IITII sonucunu da verir. Bunun yan ı s ı ra,

l< y,Tx >I l< Tx' Tx >1

lih ?sup — (I TTI x-4-cı IIYII IIxII -‹*0 II TxIIiix

eş itsizliğ inden, > elde ederiz. Bu ikisi birlikte,

Ilhll = IITII

sonucunu verir. Teorem 3.8.4, h için, bir Riesz gösterimi vermektedir; S yerine, T*

yazacak olursak,

h(y,x) =< T*y,x >

elde ederiz. Ve söz konusu teoremden, T* : H2 --> H ı 'in,

II T* Il = 111711 = Il Til normuna sahip olan ve tek olarak belirli s ı n ı rl ı lineer bir operatör olduğ unu biliyoruz. Bu sonuç '(2) ispatlar. Ayr ı ca, (3) ve (5) 'i kar şı laş ttr ı rsak, < y, Tx >=< T*y,x > olduğ unu görürüz. Eş lenik alarak da, (1) 'i elde ederiz ki, bu bize, T* ' ı n arad ığı m ı z tipte bir operatör oldu ğ unu gösterir.

Aş ağı daki lemman ı n kullan ı m ı , Hilbert-adjoint operatörlerin özeliklerine ili ş kin çal ış malar ı m ı zda kolayl ı k sağ layacakt ı r.

3.9.3. LEMMA (S ı f ı r Operatörü). X ve Y iççarp ı m uzaylar ı ve Q : X --> Y s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Buna göre,

(a) Q = 0 olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, her x e X ve y E Y için, < Qx,y >= 0 olmas ı d ı r.

(b) X kompleks ve her x E X için, < Qx,x >= 0 ise, Q = 0 'd ı r. ispat. (a) Q = O 'in anlam ı , her x için, Qx = 0 olup, bu durum,

< Qx,y >=< 0,y >= O < w,y) = O

olmas ı n ı gerektirir. Tersine olarak, her x ve y için, < Qx,y >= 0 olmas ı , 3.8.2. gereğ ince, her x için, Qx = 0 sonucunu verir ki, bu da, tan ı m gereğ ince, Q = 0 demektir.

(b) Hipotez gereğ i, her v = ax + y E X için, < Qv„v >= 0, yani,

0 =< Q(ax +y),ax +y >

=lalz < Qx,x > + < Qy,y > +a < Qx,y > +-Ğt- < Qy,x >

(3)

(4)

(5)

141

'dir. Sağ taraftaki ilk iki terim, kabul gere ğ i s ı fı rd ı r. a = 1 al ı n ı rsa,

< Qx,y > + < Qy,x >= O

bulunur. a = i ise, —cf = —i olup,

< Qx,y > < Qy,x >= O

bulunur. Taraf tarafa toplayarak, < Qx,y >= 0 ve (a) 'dan da, Q = 0 elde edilir. Bu lemman ı n (b) k ı sm ı nda , X 'in kompleks olmas ı esast ı r. Gerçekten, X 'in reel

olmas ı halinde sonuç geçerli olmayabilir. Buna ili ş kin bir karşı t örnek, R 2 düzleminin dik aç ı kadar bir Q döndürülmesidir. Q lineerdir ve Qx 1 x olup, bu nedenle, her x e R 2

için, < Qx,x >= 0 yaz ı l ı r. Ancak, Q * 0 'd ı r. (Kompleks düzlemde böyle bir döndürme için ne söyleyebilirsiniz?)

Ş imdi de, Hilbert-adjoint operatörlerin, uygulamada s ı k s ı k kullan ı lan, baz ı özeliklerini

s ı ralay ı p, ispatlar ı n ı yapaca ğı z. 3.9.4. TEOREM (Hilbert-adjoint Operatörlerin Özelikleri). H ı ve H2 Hilbert uzaylar ı ,

S : 111 -4 H2 ve T : H2 s ı n ı rl ı lineer operatörler ve a herhangi bir skaler olsun. Buna göre,

(a) < T* y,x >--=< y,Tx >

(x e y E H2 )

(b) (S + 7)* = S* + T*

(e) (a7)* ZrT*

(d) (T*)* = T

(6)

(e) il T* = il /T* Il = Tli 2

(f) T*T=0.c=>T= O

(g) (ST)* = T * S* (H2 = H ı varsayımı ile)

'dir. ispat. (a) (1) 'den (6a) 'y ı elde edebiliriz:

< T*y,x >=< x,r'y >=< Tx,y >=< y,Tx >.

(b) (1) 'den, her x ve y için,

< x, (S + 7)*y > = < (S + 7)x,y >

= < Sx,y > + < Tx,y >

= < x,S*y > + < x,T*y >

= < x„S'y > + < x,T*y >

yazil ı r. Buna göre, her y için, 3.8.2 uyar ı nca, (S+ 7)*y = (S* + T*)y olup, bu da, tan ı m gereğ i, (6b) 'dir.

(c) T* (ax) = aT*x formülüyle kar ış tı r ı lmamas ı gereken, (6c) formülü,a ş ağı daki hesaplamalar ve Lemma 3.9.3(a) 'n ı n Q = (a7)* — "Cı 'T* 'a uygulanmas ı sonucu elde edilir:

142 < (a7)*y,x > - < y, (a7)x >

= < y,a(Tx) >

= -Ct < y,Tx >

= < T * y,x >

= < y,x >

(d) (T*)*, r* olarak yaz ı l ı r ve her x e H ı ve y G H2 için, (6a) ve (1) 'den,

< (T*)*x,y >=< x, T* y >=< Tx,y >

yaz ı labileceğ inden, T 'ye e ş ittir ve (6d), Q = (T*)* - T al ı nmak üzere, Lemma 3.9.3 (a) 'dan elde edilir.

(e) T*T : H, 11 1 olduğ unu görebiliriz, ancak, // H2 -9. H2 'dir. Schwarz eş itsizliğ i yard ı m ı yla,

Tx11 2 =< Tx,Tx >=< T* Tx,x >< IIT* TxII IIxII :5_ IIT* TII Ilx ll z yaz ı labilir. Normu 1 olan tüm x 'ler üzerinden supremum al ı rsak, IlTll z < Il T*T il elde ederiz. Ayr ı ca,

Til 2 S ii r T11 lI T* IIllTIF = IlTll z yaz ı labileceğ inden, jI T*Tll = Il TI1 2 bulunur. T yerine, T* alarak ve yine, (2) 'yi kullanarak,

Il r* T* II = IIT* 11 2 = IITII 2 yaz ı k. Burada, (6d) gere ğ ince, T** = T olup, dolay ı s ıyla, (6e) ispatlan ı r.

(f) (6e) 'den yararlanarak hemen (6f) 'yi elde ederiz. (g) (1) 'in tekrarl ı uygulanmas ı ,

< x, (ST)* y >=< (S7)x,y >=< Tx, S* y >=< x, T * S* y >

sonucunu verir. Buna göre, 3.8.2 gere ğ ince, (S7)* y = T* S* y olup, bu da, tan ı m gereğ i, (6g) 'dir.

PROBLEMLER 1. 0* = 0 ve /* = 1 olduğ unu gösteriniz. 2. H bir Hilbert uzay ı ve T : H H, tersi de s ı n ı rl ı olan, bire-bir ve üzerine s ı n ı rl ı

lineer bir operatör olsun. (Tl' 'in mevcut ve (r)--1 = (1,--1)*

olduğ unu gösteriniz. 3. (T„), bir Hilbert uzay ı üzerindeki s ı n ı rl ı lineer operatörlerin bir dizisi ve T„ -› T

ise, 7;,` T* olduğ unu gösteriniz. 4. Hi ve H2 Hilbert uzaylar ı ve T : H ı -› H2 s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun.

T(M İ ) c M2 olacak ş ekilde, M ı c H ı ve M2 c H2 ise, MI T* (M - ) olduğ unu gösteriniz.

5. Prob.4 'deki, M ı ve M2 kapal ı altuzaylar olsun. T(M1) c M2 olmas ı için gerek ve yeter koş ulun, Mt D T* (MD olduğ unu gösteriniz.

6. Prob.4 'de, MI = N(7) = : Tx = 0} ise,

(a)r (H2 ) c Mi, (b)[T(Hffl ı c N(T*), (c)M i =[T* (H2))1

143 olduğ unu gösteriniz.

7. T I ve T2, kompleks bir H Hilbert uzay ı ndan kendi içine s ı n ı rl ı lineer operatörler olsun. Her x e H için, < Tlx,x >=< Ta,x > ise, Tl = T2 olduğ unu gösteriniz.

8. T s ı n ı rl ı ve lineer olmak üzere, S = I+ T* T : H -+ H olsun. S-1 : S(H) H ' ı n mevcut olduğ unu gösteriniz.

9. Bir H Hilbert uzay ı üzerindeki s ı n ı rl ı lineer bir T:H-+H operatörünün, soniu boyutlu bir de ğ er bölgesine sahip olmas ı için gerek ve yeter ko ş ulun, T 'nin,

Tx =Z < x,vi > wi (vi,wi E H)

şeklinde bir gösterime sahip olmas ı olduğ unu gösteriniz. 10. (Sağ Kayd ı rma Operatörü). (e n ), ayr ı labilir bir H Hilbert uzay ı nda, total

ortonormal bir dizi olsun. Ve sa ğ kayd ı rma operatörünü, n = 1,2,... için, Te n = en+1 olacak şekilde, lineer T : H H operatörü olarak tan ı mlayaltm. Bu deyimi aç ı klay ı n ı z. T 'nin değ er bölgesini, s ı fı r uzay ı n', normunu ve Hilbert-adjoint operatörünü bulunuz.

3.10. SELF-ADJONT, ÜNITER VE NORMALOPERATÖRLER Hilbert-adjoint operatör yard ı m ı yla, uygulamada büyük önemi olan baz ı s ı n ı rl ı lineer

operatör s ı n ıflann ı tan ı mlamak mümkündür. Bir H Hilbert uzay ı nda, s ı n ı rl ı lineer bir T : H -+ H operatörü verilmiş olsun.

T* = T ise, T 'ye self-adjolnt ya da Hermityen,

T bire-bir, üzerine ve T* = T -1 ise, T 'ye üniter,

77' = T* T ise, T 'ye normal operatör

ad ı verilir. T 'nin T* Hilbert-adjoint operatörü, K ı s.3.9 'daki (1) ile, yani,

< Tx,y >=< x, Ty >

ile tan ı mlan ı r. T self-adjoint ise, bu formül,

< Tx,y >=< x,Ty >

(1)

şekline dönüş ür. Tan ı mdan, a ş ikar olarak görebileceğ imiz üzere, T, self-adjoint ya da üniter ise,

normardir. Kuşkusuz, bir normal operatör, self-adjoint ya da üniter olmak zorunda de ğ ildir.

Örneğ in, / : H H özdeş lik operatörü ise, T* = -2i1 olmas ı nedeniyle, T = 2iI normaldir; dolay ı s ı yla, TT* = T*T = 41 olup, buna karşı l ı k, T* 7-1 = -+iI olmas ı n ı n

yan ı s ı ra, T' T'dir. Tan ı m 3.10.1 'deki deyimler, matrislere ili ş kin olarak da kullan ı lmaktad ı r. Ş imdi,

bunun nedenini aç ı klay ı p, baz ı önemli bağı nt ı lardan söz edeceğ iz. 3.10.2. ÖRNEK (Matrisler). C" 'i

< x,y xry (2)

ile tan ı mlanan içarp ı mla birlikte göz önüne alal ı m: burada, x ve y, kolon vektörleri olarak yaz ı lm ış olup, " T" transpoz anlam ı ndad ı r. Dolay ı s ı yla, xT = 4,2) olup, adi matris çarp ı m ı kullan ı lm ış t ı r.

144 T : C" C",(Teo.2.7.8 uyar ı nca s ı n ı rl ı olan) lineer bir operatör olsun. C" için bir baz

verildiğ inde, T ve T 'nin rHilbert-adjoint operatörünü, s ı ras ı yla, A ve B ad ı n ı vereceğ imiz, n —sat ı r! ı iki kare matrisle gösterebiliriz.

(2) 'yi, çarp ı m ı n transpozuna iliş kin, bilinen (Bx)T = xT BT kural ı n ı kullanarak,

< Tx,y (Ax)Ty = xTAT-y-

ve

<x,T*y>=xTBy

elde ederiz. Bu iki eş itlikte, sol taraflar, K ı s.3.9 'daki (1) gereğ ince, her x,y E C" için, eş ittir. Bu nedenle, AT = S olmas ı gerekmektedir. Sonuç olarak,

B =2 1-

bulunur ve bu da ispat ı m ı z ı tamamlar. Bu sonucu a ş ağı daki şekilde ifade edebiliriz: C" için bir baz verildiğ inde ve C" üzerindeki lineer bir operatör belirli bir matrisle

gösterilebiliyorsa, bu operatörün Hilbert-adjoint operatörü, bu matrisin kompleks e ş lenik

transpozu ile gösterilir. Sonuç olarak, gösterim matrisleri,

T self-adjoint (Hermityen) ise, Hermityen,

T üniter ise, üniter

T normal ise, normal.

'dir.

Benzer şekilde, bir T : ilk" R n lineer operatörü için, gösterim matrisleri,

T self-adjoint ise, reel-simetrik,

T üniter ise, normal

'dir. Konuya iliş kin olarak, baz ı tan ı mlar] hat ı rlamam ız yerinde olacakt ı r.Karesel bir

A = (ajk) matrisi verildiğ inde, A matrisine,

2T = A ise Hennityen, (dolayısıyla, Ttk = gik)

= —A ise Burgu-Hermityen, (dolay ısıyla, = —aik)

 T = A -1 ise, Üniter

A-A-T = -.A-TA ise, normal

'dir denir. Reel karesel bir A = (ajk) matrisine de,

AT = A ise, reel simetrik (dolay ıs ıyla, ak, = ajk)

A T = —A ise, reel burgu simetrik (dolay ısıyla, ak; = —Geik)

AT = A - ' ise, ortogonal

'dir denir. Buna göre, bir reel Hermityen matris bir ( reel) simetrik matris; bir reel burgu

145 Hermityen matris bir (reel) burgu hermityen matris; ve bir reel üniter matris bir ortogonal matristir. (Hermityen matris deyimi, Frans ı z matematikçisi Charles Hermite'in ad ı na izafeten verilmi ş tir (1822-1901)).

Ş imdi, yine, keyfi Hilbert uzaylar ı üzerinde tan ı m!' lineer operatörlere dönelim ve self-adjdoint olmaya ilişkin, önemli ve oldukça basit bir kriteri ifade edelim:

3.10.3. TEOREM (Self-adjointlik). T : H -+ H, bir H Hilbert uzay ı üzerinde s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Bu durumda,

(a) T self-adjoint ise, < Tx,x >, her x e H için, reeldir. (b) H kompleks ve < Tx,x >, her x e H için, reel ise, T operatörü self-adjointtir. ispat. (a) T self-adjoint ise, her x için,

< Tx,x > =< x,Tx >=< Tx,x >

'dil. O halde, < Tx,x > kendisinin kompleks eş leniğ ine eş ittir, yani reeldir. (b) < Tx,x >, her x için reel ise,

< Tx,x < Tx,x > = < x,T* x > =< T* x,x >

yazabiliriz. Buna göre,

O =< Tx,x > — < T* x,x >=.< (T — T*)x,x >

olup, H 'in kompleks olmas ı nedeniyle, Lemma 3.9.3 (b) gere ğ ince, T T* = 0 'd ı r. Teoremin (b) k ı sm ı nda, H ' ı n kompleks olmas ı esast ı r. Ve bu aç ı kça görülmektedir.

Çünkü, reel bir H için, iççarp ı m reel-değ erli olup, bu durumda, T lineer operatörü üzerine hiç bir varsay ı m koymaks ı z ı n, < Tx,x > reel olur.

Self-adjoint operatörlerin çarp ı mlar ı (bileş imleri) uygulamada s ı k s ı k ortaya ç ı kmaktad ı r. Bu nedenle aş ağı daki teorem yararl ı olacakt ı r.

3.10.4. TEOREM (Çarp ı m ı n Self-adjointliğ i). Bir H Hilbert uzay ı üzerinde, s ı n ı rl ı self-adjoint lineer iki S ve T operatörierinin çarp ı m ı n ı n self-adjoint olmas ı için gerek ve yeter koş ul bu operatörlerin komütatif yani,

ST = TS

olmas ı d ı r. ispat. Bundan önceki k ı s ı mda verdiğ imiz (6g) ve hipotezden,

(ST)* = T* S* -- TS

yazabiliriz. Buna göre,

ST = (ST)* <=> ST = TS

'dir. Bu da ispat ı tamamlar. Ş imdi de, çeş itli problemlerde ortaya ç ı kan self-adjoint operatör dizilerine ili ş kin bir

teorem vereceğ iz:

3.10.5. TEOREM (Self-adjoint Operatör Dizileri). (Tn), bir H Hilbert uzay ı üzerindeki

s ı n ı rl ı self-adjoint lineer T„ : H H operatörterinden olu ş an bir dizi olsun. (T„) 'in yak ı nsak olduğ unu varsayal ı m ve T„ T diyelim: yani, IJ. II, B(H,F1) üzerindeki norm

olmak üzere, II T„ — Til 0 olsun. Bu durumda, T limit operatörü, H üzerinde, s ı n ı rl ı self-adjoint lineer bir operatördür.

ispat. T* = T olduğ unu göstermemiz gerekmektedir. Bu ise, II T— 11 = 0 'dan elde

edilir. Bunu ispatlayabilmek için de, 3.9.4 ve 3.9.2 gere ğ ince,

IITn — T*I İ =iI(T„—T)* İİ =İİ (T„—T) İİ

146 yaz ı p, B(H, H) 'daki üçgen e ş itsizliğ i gereğ ince,

IIT - T* 11 5 IIT - Tn Il + - T;',11 + - T*11

NI +O+ Tll

= 211 T„ - O (n co)

elde edilerek ispatlan ı r. Ş imdi de, üniter operatörlere dönelim ve bunlar ı n baz ı temel özeliklerini inceleyelim. 3.10.6. TEOREM (Üniter Operatör). H bir Hilbert uzay ı olmak üzere,

U:H-4-11 ve V: H -+ H operatörleri üniter olsunlar. Buna göre, (a) U izometrikdir; dolay ı s ıyla, her x E H için, Il UxIl = llxll 'dir. (b) H {O} olmak üzere, Il Ull = 1 'dir. (c) U-1 (= U*) üniterdir. (d) UV üniterdir. (e) U normaldir. Ayr ı ca, (f) Bir kompleks H Hilbert uzay ı nda, s ı n ı rl ı lineer bir operatörün, üniter olmas ı için

gerek ve yeter ko ş ul, T 'nin izometrik ve üzerine olmas ı d ı r. Ispat. (a)

IjUxII Z =< Ux,Ux >=< (x, U* Ux >=< x,Ix >= 11x112 'den hemen görülür.

(b) Hemen, (a) 'dalı ç ı kart ı l ı r. (c) U bire-bir ve üzerine oldu ğ undan, U--1 de bire-bir ve üzerinedir ve 3.9.4

gereğ ince,

(U-1 )* = U** = U= (U-1 ) -1

yaz ı l ı r. (d) UV bire-bir ve üzerinedir ve 3.9.4 yard ı m ı yla,

(UV)* = V* U* = V-1 U-1 = (UV)-1

bulunur. (e) U-1 = U* ve UU-1 = U-1 U= I olduğ u göz önüne al ı narak elde edilir. (f) T 'nin, izometrik ve üzerine olduğ unu varsayal ı m. izometri bire-bir olmay ı gerektirir

ve dolay ı s ıyla, T bire-bir ve üzerinedir. T* = T-1 olduğ unu gösterece ğ iz. lzometri nedeniyle,

< T* Tx,x >=< Tx,Tx >=< x,x >=< lx,x >

yazabiliriz. Buna göre,

< (T*T - I)x,x >= O

ve Lemma 3.9.3(b) gere ğ ince, rr- ı = 0 olup, T*T = I bulunur. Bundan da,

TT* = Tl" (TT -I) = T(T*T)7-1 = TIT-1 = I

elde edilir. Bu ikisinden de, T* T = TT* = I ve dolay ı s ı yla, T* = T-1 bulunur, yani, T üniterdir.

İ spat ı n tersi, T 'nin, (a) gere ğ i, izometrik ve tan ı m gereğ i üzerine olmas ı nedeniyle

aş ikard ı r. Üzerine olmayabileceğ i için, izometrik bir operatörün, üniter olmas ı gerekmez. Buna bir örnek, x = (41 ) e Q2 olmak üzere,

147

ile verilen, T : Q 2 -› Q2 , sağ -kayd ı rma operatörüdür.

PROBLEMLER 1. S ve T, bir H Hilbert uzay ı üzerinde, s ı n ı rl ı self-adjoint lineer operatörler ise, a ve

)3 reel say ı lar olmak üzere, -1= aS + fiT 'nin de self-adjoint olduğ unu gösteriniz. 2. Bir H Hilbert uzay ı nda, Teorem 3.10.5 'i ispatlamak için, Teorem 3.10.3 'ü nas ı l

kullan ı m? 3. T : H -÷ H s ı n ı rl ı self-adjoint lineer bir operatör ise, n pozitif bir tamsay ı olmak

üzere, P 'nin de s ı n ı rl ı self-adjoint lineer bir operatör oldu ğ unu gösteriniz. 4. H üzerinde, herhangi s ı n ı rl ı lineer T operatörü için,

-2(T+ T* ) ve T2 = 2ı (T- r) operatörlerinin self-adjoint oldu ğ unu gösteriniz.

T = T, + iT2 , Tl — iT2

olduğ unu gösteriniz. Tekli ğ i gösteriniz; yani, S 1 ve S2 self-adjoint olarak al ı nmak üzere, + iT2 = S1 + iS2 eş itliğ inin S i = T, ve S2 -= T-, sonucunu gerektirdiğ ini gösteriniz. 5. C 2 üzerinde, T : C 2 --> C2 operatörü, x = (4 ,, 2) olmak üzere,

Tx = (41 + gı , ğı — i42) ile tan ı mlanm ış olsun. T*T = TT* = 21 olduğ unu gösteriniz. Prob.4 'de tan ı mland ığı şekilde, T ı ve T2 'yi bulunuz.

6.T:H-.11 s ı n ı rl ı self-adjoint lineer bir operatör ve T 0 ise, 7" 'd ı r. Bu önermeyi, (a) n = 2,4,6, 8, 16, ... , (b) Her n E N için ispatlay ı n ı z.

7. Üniter bir matrisin kolon vektörlerinin, C" üzerindeki iççarp ı ma göre, ortonormal bir küme oluş turduğ unu gösteriniz.

8. I, H üzerindeki özdeş lik operatörü olmak üzere, izometrik lineer bir T:11-*H operatörünün, T* T = I koş ulunu gerçeklediğ ini gösteriniz.

9. Üniter olmayan, izometrik lineer bir T : H H operatörünün, H Hilbert uzay ı n!, H 'In uygun bir kapal ı altuzay ı üzerine dönü ş türdüğ ünü gösteriniz.

10. X bir iççarp ı m uzay ı ve T : X X izometrik lineer bir operatör olsun. dimX < co

ise, T 'nin üniter olduğ unu gösteriniz. 11. (Üniter Denklik) S ve T, bir H Hilbert uzay ı üzerinde lineer operatörler olsun. H

üzerinde,

S = UTU-1 = UTU*

olacak ş ekilde, üniter bir Uoperatörü varsa, S operatörü, T 'ye üniter olarak denktir denir. T 'nin self-adjoint olmas ı halinde, S 'nin de self-adjoint olduğ unu gösteriniz.

12. T 'nin normal olmas ı için, gerek ve yeter ko şul, Prob.4 'de tan ı mlanan, Ti ve T2

'nin komütatif olmas ı d ı r. ispatlay ı n ı z. 13. : H -+ H (n = I, 2, ... ) normal lineer operatörler ve T„ T ise, T 'nin normal

lineer bir operatör olduğ unu gösteriniz. 14. S ve T, ST* = T*S ve TS* = S*T koş ullar ı n ı gerçekleyen normal lineer

operatörler ise, bunlar ı n S+ T toplamlar ı yla, ST çarp ı mlar ı n ı n da normal olduğ unu gösteriniz.

15. Kompleks bir H Hilbert uzay ı üzerinde, s ı n ı rl ı lineer bir T : H H operatörünün

148 normal olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, her x E H için, T* x il = II Tx Il olmas ı d ı r. ispatlay ı n ı z. Bunu kullanarak, normal lineer bir operatör için,

II11 = IlTil z olduğ unu gösteriniz.

BÖLÜM 4

NORMLUZAYLAR VE BANACH UZAYLARI IÇIN TEMEL TEOREMLER 4.0. GIRIŞ Bu bölüm, normlu uzaylarla, Banach uzayiar ı n ı n daha ileri teorilerinin esaslann ı

içerecek olup, bunlar ı n bilinmemesi, söz konusu uzaylar ı n yarar ve uygulamalar ı nda oldukça k ı s ı tl ı bir alanda kalmam ı za neden olacakt ı r. Banach uzaylar ı teorisinin köşe taş lar ı olarak nitelendirebilece ğ imiz dört teorem, Hahn-Banach Teoremi, Düzgün Sinirlilik Teoremi, Aç ı k Dönüş üm Teoremi ve Kapal ı Grafik Teoremi'dir. (Ad ı geçen ilk teorem herhangi bir normlu uzayda da geçerlidir.)

Temel konulara iliş kin k ı sa bilgilendirme 1. Hahn-Banach Teoremi 4.2.1 (de ğ iş ik formlar ı 4.3.1., 4.3.2). Bu teorem, vektör

uzaylar üzerinde tan ı m!' lineer fonsiyonellere ili ş kin bir geniş letme teoremidir. Bir normlu uzay ı n zengin bir biçimde lineer fonksiyonellerle donat ı labileceğ ini garanti eden bu teorem, uygun bir dual uzaylar teorisinin elde edilmesinin yan ı s ı ra, adjoint operatörlerin doyurucu bir teorisinin olu ş turulmas ı na da yard ı mc ı olur (K ı s.4.5,4.6).

2. Banach ve Steinhaus taraf ı ndan verilen Düzgün Sinirlilik Teoremi 4.7.3. Bu teorem, 'ler bir Banach uzay ı ndan bir normlu uzay içine tan ı ml ı , s ı n ı rl ı lineer operatörler olmak üzere, (II T n II) dizisinin s ı n ı rl ı olmas ı için yeterli koş ullar ı vermektedir. Bu teorem, analizde, örne ğ in, Fourier serileriyle (Bkz.4.7.5), zay ı f yak ı nsakl ı kla (Bkz.4.8,4.9), dizilerin toplanabilmesiyle (Bkz. 4.10), say ı sal integrasyonla (Bkz.4.11) ve benzerleri konularla ili ş kin (basit ya da ileri) uygulamalar ı sahiptir.

3.Açik Dönü şüm Teoremi (4.12.2). Bu teorem, bir Banach uzay ı ndan, bir Banach uzay ı üzerine tan ı m!' s ı n ı rl ı lineer bir operatörün bir aç ı k dönüş üm olduğ unu, yani, aç ı k kümeleri aç ı k kümelerin üzerine dönü ş türdüğ ünü ifade eder. Dolay ı s ıyla, T bire-bir ve örten ise, T- ' süreklidir (sınırlı invers teoremi).

4. Kapal ı Grafik Teoremi 4.13.2. Bu teorem, kapal ı lineer bir operatörün hangi koşullar alt ı nda sinirli olacağı n ı ifade eder (Bkz.4.13.1). Kapal ı lineer operatörler, fiziksel ve diğ er baz ı uygulamalarda önemlidir.

4.1. ZORN LEMMASI. Lineer fonksiyoneller için bir geni ş letme teoremi olup formüle ettiğ imiz zaman ifade edece ğ imiz nedenler yüzünden çok önemli olan Hahn-Banach Teoreminin ispat ı nda Zorn lemmas ı na gereksinme duyaca ğı z. Zorn lemmay ı , iki tanesini

bu k ı sm ı n sonunda görece ğ imiz, çok çeş itli uygulama alanlar ı na sahiptir. Bu lemmay ı üzerinde tan ı mlayaca ğı m ı z yap ı bir k ı smi s ı ral ı küme olacakt ı r:

4.1.1. TANIM (K ı smi S ı ral ı Küme, Zincir). K ı smi s ı ral ı bir M kümesi, üzerinde k ı smi s ı ralama ad ı verilen, yani, < şeklinde yaz ı l ı p, aş ağı daki koş ullar ı gerçekleyen bir ikili bağı nt ı n ı n tan ı mland ığı bir kümedir:

149

150 (KS 1) Her a E M için a < a 'd ı r (Yans ı ma)

(KS 2) a < b ve b < a ise, a b 'dir. (Ters simetri)

(KS 3) a < b ve b < e ise, a < e' dir (Geçişme)

"K ı smi" sözcüğ ü, M kümesinin, a < b ve b < a s ı ralamalar ı ndan her ikisine de

uygun olmayan a ve b elemanlar ı n ı içerebileceğ ini vurgulamaktad ı r. Bu tür a ve b

elemanlar ı na k ı yasianamaz elemanlar ad ı verilir.Tersine olarak, a < b ya da b < a

bağı nt ı s ı n ı (ya da her ikisini birden) gerçekleyen a ve b elemanlar ı na ise k ı yaslanabilir

elemanlar denir. Bir tam s ı ral ı küme, ya da zincir, herhangi iki eleman, k ı yaslanabilir olan bir k ı smi

s ı ral ı kümedir. Diğ er bir deyimle, k ı yaslanamaz eleman içermeyen k ı smi s ı ral ı küme

olarak tan ı mlan ı r. K ı smi s ı ral ı bir M kümesinin bir W altkümesinin bir üsts ı n ı r ı ,

her x E W için, x < u

olacak ş ekildeki bir u E M eleman ı d ı r. (M ve W 'ye bağ l ı olarak, böyle bir u

eleman' varolabilir ya da olmayabilir). M 'nin bir maksimal eleman' ise,

m<xm=x

olacak ş ekilde bir m E M eleman ı d ı r. (Burada da, M 'nin bir maksimal eleman ı olabilir ya da olmayabilir. Ayr ı ca, maksimal eleman bir üst s ı n ı r olmak zorunda değ ildir.)

ÖRNEKLER 4.1.2. Reel Say ı lar. Tüm reel say ı lar ı n kümesini ile gösterelim ve x < y bilinen

anlama sahip olsun. Bu ba ğı nt ı alt ı nda, R. tam s ı ral ı olup bir maksimal eleman! yoktur. 4.1.3. Kuvvet Kümesi. Verilen bir X kümesinin bütün altkümelerinden olu şan P(X)

kuvvet kümesi, A < B s ı ralamas ı , A c B, yani, A, B 'nin aitkümesi anlam ı nda al ı nmak üzere, k ı smi s ı ral ı bir küme olup, P(X) 'in tek maksimum eleman' X 'dir.

4.1.4. Say ı n-lileri. M, reel say ı lar ı n x = y = , gibi bütün s ı ral ı n-lilerinden oluşan bir küme olsun. Ve x < < bilinen anlam ı ta şı mak üzere, her j = 1,...,n için, < olduğ unu belirtsin. Bu ba ğı nt ı , M üzerinde bir k ı smi s ı ralama tan ı mlar.

4.1,5. Pozitif Tamsay ı lar. M = N, yani, pozitif tamsay ı lann kümesi olsun. m < n

bağı nt ı s ı , m 'nin n böldü ğ ü anlam ı na gelsin. Bu ba ğı nt ı , N üzerinde bir k ı smi s ı ralama bağı nt ı s ı d ı r.

Diğ er baz ı örnekler problemler aras ı nda verilmiş tir. Ş imdi, Tan ı m 4.1.1 'de verilen kavramlar ı kullanarak, bir aksiyom olarak

düş ündüğ ümüz, Zorn lemmas ı n ı formüle edebiliriz: 4.1.6. Zorn Lemmas ı . M (1) k ı smi s ı ral ı bir küme olsun. Her C c M zincirinin bir

üst s ı n ı ra sahip olduğ unu varsayal ı m. Bu durumda, M en az bir maksimal elemana sahiptir.

UYGULAMALAR 4,1.7. Hamel Baz ı . Her X {O} vektör uzay ı bir Hamel baz ı na sahiptir. ispat. M, X 'in lineer ba ğı ms ı z bütün altkümelerinin kümesi olsun. X {O}

olduğ undan, X kümesinde bir x 0 eleman ı varolup, {X} E M 'dir ve dolay ı s ı yla, M 'dir. Küme içerme ba ğı nt ı s ı M üzerinde bir k ı smi s ı ralama tan ı mlar (Bkz.4.1.3).Her C c M zinciri, X 'in C 'nin eleman' olan tüm altkümelerinin birle ş imi

151 olan, bir üsts ı n ı ra sahiptir. Zorn lemmas ı uyar ı nca, M 'nin bir B maksimal eleman'

vard ı r. Ş imdi, B 'nin X için bir Hamel baz ı olduğ unu gösterece ğ iz. Y = span B olsun. Bu

durumda, Y, X 'in bir altuzay ı olup Y = X 'dir. Çünkü, aksi halde, z E X, z o Y olmak

üzere, BU {z}, B 'yi gerçek bir altküme olarak içeren lineer ba ğı ms ı z bir küme olur ki,

bu da, B 'nin maksimal oluş uyla çeliş ir. 4.1.8. Total Ortonormal Küme. Her H * {O} Hilbert uzay ı nda total ortonormal bir

küme vard ı r. (Bkz.K ı s.3.6). ispat. M, H 'daki bütün ortonormal altkümelerin kümesi olsun. H * {0} olduğ undan,

bir x 0 eleman' varolup, H ' ı n bir ortonormal altkümesi, y = x olmak üzere, {y}

kümesidir. Dolay ı s ı yla, M 'dir. Küme içerme ba ğı nt ı s ı , M üzerinde bir k ı smi s ı ralama

tan ı mlar. Her C c M zinciri bir üst s ı n ı ra sahip olup, bu üsts ı n ı r, X 'in, C 'nin eleman ı olan bütün altkümelerin birle ş imidir. Zorn lemmas ı gereğ ince, M, bir F maksimal

eleman ı na sahiptir. Ş imdi, F 'nin, H 'da total oldu ğ unu gösterece ğ iz. Bir an bunun doğ ru

olmad ığı n ı varsayal ı m. Teorem 3.6.2 gereğ ince, zil.' olacak şekilde, s ı fı rdan farkl ı bir

z E II eleman' vard ı r. Buna göre, e = fizr i z olmak üzere, Fi = FU {e} ortonormal

olup, F, F 1 'in gerçek bir altkümesidir. Bu ise, F 'nin maksimal eleman oluş una ayk ı r ı d ı r.

PROBLEMLER 1. Örnek 4.1.3 'deki ifadeleri gerçekleyiniz. 2. X, [0,1] aral ığı üzerinde, tüm reel değ erli x fonksiyonlar ı n ı n kümesi olsun. Ve

x < y, her t E [0,1] için, x(t) < y(t) anlam ı na gelsin. Bu bağı nt ı n ı n bir k ı smi s ı ralama tan ı mlad ığı n ı gösteriniz. Bu s ı ralama bir tam s ı ralama m ı d ı r? X bir maksimal elemana sahip midir?

3. Bütün z = x + iy, w = u + iv,... kompleks say ı lar ı ndan oluşan kümenin, "s", reel say ı lar için bilinen anlamda kullan ı lmak üzere, z < w bağı ntis ı yia, x < u ve y < v olduğ unu belirterek tan ı mlayaca ğı m ı z bağı nt ı yard ı m ı yla, k ı smi s ı ralanabileceğ ini gösteriniz.

4. M kümesi, (a) {2,3,4,8) ve (b) bütün asal say ı lar kümesi olmak üzere, M 'nin 4.1.5 'deki k ı smi s ı ralama ba ğı nt ı s ı na göre, bütün maksimal elemanlar ı n ı bulunuz.

5. Sonlu k ısmi s ı ral ı bir A kümesinin en az bir maksimal elemana sahip oldu ğ unu gösteriniz.

6. (En Küçük Eleman, En Büyük Eleman). K ı smi s ı ralanm ış bir M kümesi verilmiş olsun. Her x E M için, a < x olacak şekilde, en fazla bir tek a eleman' ve yine, her x E M için, x < b olacak ş ekilde en fazla bir tek b eleman ı n ı n varolduğ unu gösteriniz. Eğ er böyle bir a (ya da b) eleman' varsa, buna, M 'nin en küçük eleman ı (ya da, en büyük eleman') ad ı verilir.

7. (Alt S ı n ı r). K ı smi s ı ral ı bir M kümesinin bir A * altkümesinin bir alt s ı n ı rı , her y E A için, x < y olacak şekilde bir x E M eleman ı d ı r. Örnek 4.1.5 'de, A = {4,6} altkümesinin üst ve alt s ı n ı rlar ı n ı bulunuz.

8. K ı smi s ı ral ı bir M kümesinin, bir A * d> altkümesinin bir en büyük alts ı n ı r ı , A 'n ı n herhangi bir P alt- s ı n ı r ı için, P < x koş ulunu gerçekleyen bir x alts ı n ı rı d ı r; Bunu, x = ebas A = inf A olarak yazaca ğı z. Benzer ş ekilde, A 'n ı n bir en küçük üst s ı n ı r ı , A 'n ı n herhangi bir u üsts ı n ı rı için, y < u koş ulunu gerçekleyen bir y üsts ı n ı rı d ı r; bunu da, y = eküs A = sup A olarak yazaca ğı z. (a) Eğ er A bir en büyük alts ı n ı ra sahip ise, bunun

152 tek olduğ unu gösteriniz. (b) Örnek 4.1.3 'de ebas{A,B} ve eküs{A,B} nedir?

9. (Örgü). M k ı smi s ı ral ı bir küme olsun. E ğ er, M 'nin herhangi iki x,y eleman' (x Ay olarak belirtilen) bir ebas 'a ve (x v y olarak belirtilen) bir eküs 'e sahip ise, bir örgü ad ı n ı al ı r. Örnek 4.1.3 'deki k ı smi s ı ral ı kümenin, AAB=AnB ve AVB=AUB al ı nmak üzere,bir örgü oldu ğ unu gösteriniz.

10. K ı smi s ı ral ı bir M kümesinde bir x E M eleman ı , y<x y = x olmas ı halinde, bir minimal eleman olarak adland ı r ı l ı r. Prob.4(a) 'daki tüm minimal elemanlar ı bulunuz.

4.2. HAHN-BANACH TEOREM İ Hahn-Banach teoremi, lineer fonksiyoneller için bir geni ş letme teoremi niteliğ inde

olup, s ı n ı rl ı lineer operatörlere ili şkin en önemli teoremlerden birisidir. Teoremin ifade ve ispat ı n ı vermeden önce, teoremde ad ı geçen bir sözcü ğ ü tan ı mlamam ı z yerinde olacakt ı r.

Bir X vektör uzay ı üzerinde, reel değ erli bir p fonksiyoneli verilmiş olsun. Eğ er p fonksiyoneli alttoplamsal, yani,

p(x + y) S p(x) + p(y) (her x,y e X için)

(1)

ve pozitif-homojen,yani,

p(ax) = ap(x) (118 . deki her a > 0 ve x E X için)

(2 )

ise, p fonksiyoneline altlineer fonksiyonel ad ı verilir. (Not. Normlu bir uzaydaki "norm"un böyle bir fonksiyonel oldu ğ unu hemen söyleyebiliriz.)

4.2.1. HAHN-BANACH TEOREM İ (Lineer Fonksiyonellerin Geni ş letilmesi). X reel bir vektör uzay ı ve p, X üzerinde altlineer bir fonksiyonel olsun. Ayr ı ca, f 'nin, X 'in bir Z altuzay ı üzerinde tan ı ml ı olup her x e Z için,

f(x) < p(x)

(3) koş ulunu gerçekleyen, lineer bir fonksiyonel oldu ğ unu kabul edelim. Bu durumda, f fonksiyoneli, Z 'den X 'e, her x E X için,

7(x) S p(x)

olacak şekilde, bir 7 lineer geniş lemesine sahiptir. Di ğer bir deyimle, 7, X üzerinde

lineer bir fonksiyonel olup, X üzerinde (3*) ' ı gerçekler ve her x E Z için, 7(x) = f(x) 'dir. ispat. Önemli olmas ı nedeniyle, ispatta izleyece ğ imiz s ı ray ı ad ı m ad ı m

belirtmemizde yarar olacakt ı r. (a)f 'nin D(g) tan ı m kümeleri üzerinde, g(x) < p(x) koşulunu gerçekleyen bütün

lineer geniş lemelerinin oluş turduğ u E kümesi k ı smi s ı ralanabilir olacak ve Zorn

lemmas ı E 'nin bir 7 maksimal eleman ı n ı n varl ığı n ı ortaya ç ı karacakt ı r. (b)7, X uzay ı n ı n tümü üzerinde tan ı ml ı olacakt ı r. (c) (b) 'de kullan ı lan yard ı mc ı bir bağı nt ı göz önüne al ı nacakt ı r. Ş imdi s ı rayla ispat ı m ıza baş layabiliriz. (a) E, f 'nin, her x E D(g) için,

(3-)

153 g(x) < p(x)

koş uluna uygun bütün g lineer geniş lemelerinin oluş turduğ u küme olsun. f e E olduğ undan, a ş ikar olarak, E 'dir. E üzerinde, "h, g 'nin bir geni ş lemesidir; yani, tan ı m gereğ i, D(h) D D(g) ve her x e D(g) için, h(x) = g(x) dir" anlam ı nda kullan ı lmak üzere, g < h ile bir k ı smi s ı ralama tan ı mlayabiliriz.

Herhangi bir C c E zinciri için, k' fonksiyonelini,

x E D(g) ise, ğ (x) = g(x) (g E C) ile tan ı mlayal ı m. lineer bir fonksiyonel olup, tan ı m kümesi, C 'nin bir zincir olmas ı nedeniyle, bir vektör uzay olan,

D(ğ ) =U D(g) gcC

'dir. "ğş 'n ı n tan ı m ı belirgin değ ildir. Gerçekten, g ı ,g2 e C olmak üzere, bir x e D(g ı ) fl D(g2 ) için, C 'nin bir zincir olmas ı nedeniyle, g ı (x) = g2(x) yazabiliriz;

dolay ı s ı yla, g ı < g2, ya da, g2 < g ı 'dir. Aş ikar olarak, her g e C için, g < 'd ı r. Buna

göre, ğ , C 'nin bir üst s ı n ı nd ı r. C c E keyfi oldu ğ undan, Zorn lemmas ı , E 'nin bir 7 maksimal eleman ı na sahip olmas ı n ı gerektirir. E 'nin tan ı m ı gereğ i, bu maksimal eleman, f 'nin

7(x) 5 p(x) x e D(f)

( 4 )

koşulunu gerçekleyen, lineer bir geni ş lemesidir.

(b) Ş imdi de, D«) 'n ı n, X 'in tümü olduğ unu göstereceğ iz. Bunun hatal ı olduğ unu

varsayal ı m. Bu durumda, bir y ı e X- D(7) seçebilir ve X 'in D(7) ve y ı taraf ı ndan

gerilen Y, altuzay ı n ı göz önüne alabiliriz. 0 e D(75 olmas ı nedeniyle, y ı # 0 olduğ u

görülmektedir. Herhangi bir x E Y, eleman ı n ı

x = y + ay ı (y e D(7))

ş eklinde yazabiliriz ve bu gösterim tek'dir. Gerçekten, 57 E DO5 olmak üzere,

y + ay ı = y + Ay ı eş itliğ i, y ı D(7) olmas ı na karşı n, y -y = DO)'.. olmak üzere,

y-y = (/3 - a)y ı eş itliğ ini gerektirir; dolay ı siyla, tek çözüm, y - y = 0 ve 13 - a = 0

olup, bu da tekliğ in ispat ı n ı tamamlar. Yi üzerinde bir g ı fonksiyoneli, c herhangi bir reel sabit olmak üzere,

g ı (y+ ay ı ) = 7(y) + ac

( 5) ile tan ı mlan ı r. g ı 'in lineer olduğ unu göstermek zor değ ildir. Ayr ı ca, a = 0 için,

g ı (y) = 7(y) yazabiliriz. Buna göre, g ,, 7 'n ı n bir gerçek geni ş lemesidir. Yani, D(75 ,

D(g ı ) 'in bir gerçek altkümesi olacak şekilde bir geniş lemesidir. Son olarak, her x E

D(g ı ) için,

g ı (x) p(x)

(6)

olduğ unu göstererek, g ı e E olduğ unu ispatlayabilirsek, bu sonuç, 7 'n ı n maksimal

eleman olu ş u gerçeğ iyle çeliş ecek ve dolay ı s ı yla, D(7)« # X varsay ı m ı hatal ı olup, D(7) = X doğ ru olacakt ı r.

(c) Buna göre, son olarak, g ı 'in, (5) 'deki uygun bir c için, (6) 'y ı gerçeklediğ ini

göstermemiz gerekmektedir.

D(f)- 'da herhangi y ve z 'yi göz önüne alal ı m. (4) ve (1) 'den,

154

7(y) - 7(z) = 7(y-z) < P(Y - z)

= P(Y +Y İ - y ı - z)

5 P(Y+Y İ )+P(-y ı - z)

elde ederiz. Son terimi sola ve 7(y) terimini sağ a geçirerek, y ı sabit olmak üzere,

-P(-.Y ı - z) - 7(z) 5 P(Y +Y ı ) - 7(Y)

yazabiliriz. Sol tarafta y ve sağ tarafta z bulunmad ığı ndan, buradaki eş itsizlik, sol

tarafta, z E D6.5 üzerinden supremum (mo diyelim), ve sa ğ tarafta, y e D(7) üzerinden

infimum (m ı diyelim) almam ız halinde de geçerli olacakt ı r. Buna göre, mu 5 m ı olup,

mo < c < m ı olacak ş ekildeki bir c say ı s ı için, (7) 'den,

-p(-y i -z) - 7(z) 5 c (her z E D(f) için) (8a)

e 5 p(y + y 1) -7(y) (her y E D6)- için) (8b)

yazabiliriz. (6) 'y ı , önce (5) 'deki negatif a ve sonra da pozitif a için ispatlayaca ğı z.

a < 0 için, (8a) 'y ı , z yerine, et - 'y alarak, yani,

- 74y) c

şeklinde kullanacağı z. Bu eş itsizliğ in, -a > 0 ile çarp ı m ı ,

ap(-y ı - kl y) + 7(y) 5 -ac

sonucunu verir. Bu e ş itsizlik ile, (5) 'den, y + ay ı = x kullanarak, istenilen,

gi(x) = 7(y) + ac < -ap(-yı - --(k) = p(ayi + y) = p(x)

eş itsizliğ ini elde ederiz.

a = 0 için, x E D(f) olup, ispatlanacak bir şey yoktur. a > 0 için, (8b) 'yi, y yerine a-ly yazarak,

c 5- P(âY 4- y ı ) - 7(7-1iY)

eş itsizliğ ini elde etmek için kullanaca ğı z. Bunun, a > 0 ile çarp ı m ı ise,

ac 5 aP(âY +Y ı ) - 7(Y) = P(r) - 7(Y) sonucunu verir. Bundan ve (5) 'den de,

g (x) = 7(y) + ac < p(x)

elde edilir. Zorn lemmas ı olmaks ı z ı n yolumuza devam edebilir miyiz? Bu soru; özellikle, söz

konusu lemman ı n bir inş a yöntemi vermemesi nedeniyle, ilginçtir. E ğ er (5) 'de, 7 yerine f

al ı rsak, her reel c say ı s ı için, f 'nin, D(f)u {y} taraf ı ndan gerilen Z ı altuzay ı na bir gjlineer geniş lemesini elde ederiz ve ispat ı n (c) k ı sm ı nda 7 yerine,/ al ı nmas ı halinde ortaya ç ı kacak durumdan da göreceğ imiz gibi, her x E Z ı için, g ı (x) < p(x) olacak ş ekilde bir c

seçebileceğ imizi görürüz. X = Z ı ise amaca ula şı lm ış t ı r. X Z, ise, biry2 E X-Zi al ı p, f Z ı ve y2 taraf ı ndan gerilen Z2 'ye geniş letmek için iş lemi tekrarlar ve bu şekilde devam

ederiz. Bu yöntem,her biri bir öncekini içeren Zi altuzaylar ı n ı n bir dizisini verir ve

155 dolay ı s ı yla,/ 'nin bu altuzaylar ı n birinden diğ erine lineer olarak geni ş letilebileceğ ini ve bu gi geniş lemelerinin, her x E Zi için gi(x) < p(x) koş ulunu gerçeklediğ ni gösterir.

Eğ er,

X = Zi

ise, n ad ı m sonra amaca ula şı nz. Eğ er,

X U Z-,

ise, adi tüme var ı m yöntemini kullanabiliriz. Bununla birlikte, X böyle bir gösterime sahip değ ilse, burada sundu ğ umuz ispatta Zorn lemmas ı na mutlaka gereksinim duyar ı z.

Ku ş kusuz, özel uzaylar için durum daha basit olabilir. örne ğ in, Hilbert uzaylar ı , Riesz gösterimi (3.8.1) nedeniyle bu tip uzaylard ı r. Bu durumu bundan sonraki kesimde inceleyeceğ iz.

4.3. KOMPLEKS VEKTÖR UZAYLARI VE NORMLU UZAYLAR IÇIN HAHN-BANACH TEOREM İ .

4.2.1. no.lu Hahn-Banach Teoremi reel vektör uzaylara ili ş kin olup, bu teoremin kompleks vektör uzaylar ı n ı da içeren bir genelle ş tirilmesi H.F.Bohnenblust ve A.Sobczyk (1938) taraf ı ndan elde edilmiş tir.

4.3.1. GENELLEST İ R İ LMIS HAHN-BANACH TEOREMI. X reel ya da kompleks bir vektör uzay ı ve p, X üzerinde alttoplamsal olan, yani, her x,y e X için,

p(x -1- y) < p(x) +1)(Y) eş itsizliğ ini gerçekleyen ve her a skaleri için,

p(ax) = laLp(x)

eş itliğ ine uygun, reel değ erli, bir fonksiyonel olsun. Ayr ı ca, f, X 'in bir Z altuzay ı üzerinde tan ı mlanan ve her x e Z için,

jf(x)i p(x)

13) eş itsizliğ ini gerçekleyen bir lineer fonksiyonel olsun. Bu durumda, f, Z 'den X 'e, her x E X için,

I7(x) I 5_ p(x)

(31 eş itsizliğ ini gerçekleyen bir f lineer geni ş lemesine sahiptir.

Ispat. (a) Reel Vektör Uzay ı . X reel ise, durum basittir. Bu durumda, (3) formülü, her x e Z için,f(x) < p(x) sonucunu verir. Dolay ı s ı yla, 4.2.1 Hahn-Banach Teoremi gereğ ince, Z 'den X 'e, her x G X için,

7(x) 5_ p(x) (4)

olacak şekilde bir 7 lineer geniş lemesi vard ı r. Bu sonuç ve (2) 'nin yard ı m ı yla,

-7(x) = 7(-x) p(x) = - -1 Ip(x) = p(x),

yani, 7(x) > -p(x) elde ederiz. Bu ise, (4) ile birlikte, bize (3*) ' ı verir.

(b) Kompleks Vektör Uzay ı . X kompleks olsun. Bu durumda, Z de bir kompleks

vektör uzay ı d ı r. O halde/ kompleks değ erli olup, f ı ve f2 reel-değ erli olmak üzere,

f(x) = fı (x) + if2(x) (x e Z)

156 yazabiliriz. Bir an için, X ve Z 'yi reel vektör uzaylar ı olarak düşünelim ve bunlar ı ,

s ı ras ı yla, X„ ve Z, ile gösterelim. Bu durum, skalerle çarpma i ş lemini (kompleks say ı lar yerine) reel say ı lara indirgediğ imizi ifade eder.); Z üzerinde lineer vefı ve f2 reel değ erli olduklar ı ndan,fi ve f2, Z, üzerinde lineer fonksiyonellerdir. Ayr ı ca, bir kompleks

say ı n ı n reel k ı sm ı , bu kompleks say ı n ı n mutlak değ erinden daha büyük olamayaca ğı ndan,fi(x) < jf(x)I yazabiliriz. Dolay ı s ı yla, (3) gereğ ince, her X E Z, için,

(x) 5 p(x)

elde ederiz. 4.2.1 Hahn-Banach Teoremi uyar ı nca,fi 'in Z„ 'den X, 'ye, her x E X, için,

7, (x) p(x)

(5)

olacak şekilde, bir fı lineer geniş lemesi vard ı r. öylece, fi için gerekli ko ş ulu elde ettiğ imize göre, ş imdi de f2 'ye bakal ı m. Z 'ye dönerek ve f = + if2 'yi kullanarak, her x E Z için,

i(fı (x) + if2(x)) = if(x) = f(ix) = fi(ix) + if2(ix)

elde ederiz. Her iki yandaki reel k ı s ı mlar birbirine e ş it olmal ı d ı r:

/2(x) (ix) (x E Z)

Buna göre, her x E X için,

7(x) = 7, (x) — i7, (ix) (x E X)

dersek, (6) 'dar ı , Z üzerinde, 7(x) = f(x) olduğ unu görürüz. Bu da bize, 7 'n ı n,/ 'in , Z 'den X 'e bir geniş lemesi olduğ unu gösterir. Bundan sonraki i ş imiz,

(i)7 'n ı n, X kompleks vektör uzay ı üzerinde bir lineer fonksiyonel oldu ğ unu ve

(ii)7 'n ı n X üzerinde, (3*) gerçekledi ğ ini ispat etmek olacakt ı r. (i) 'in gerçeklendi ğ ini, (7) 'yi, 7, 'n ı n X„ reel vektör uzay ı üzerindeki lineerliğ ini

kullanarak yapt ığı m ı z aşağı daki hesaplamalar sonucunda görebiliriz; burada, a + ib, a

ve b reel olmak üzere, herhangi bir kompleks skalerdir:

7((a + ib)x) = 7 ı (ax + ibx) i7 t (iax bx)

= a7 ı (x) + b7 i (ix) — i(a7 i (ix) — b7 1 (x))

= (a + ib)rf7(x) — 7 i (ix)]

= (a + ib)7(x).

Ş imdi de, (ii) 'yi ispatlayal ı m. (1) ve (2) gere ğ ince, p(x) = 0 olduğ undan, 7(x) = 0 olacak şekildeki herhangi bir x için, (ii) gerçeklenir. x 7(x) * 0 olacak şekilde alal ı m. Bu durumda, kompleks say ı lar ı n kutupsal formlann ı kullanarak,

7(x) = 17(x) I ei°

yazabiliriz ve dolay ı s ı yla,

I 7(x) I = 7(x). e -'6 -- 7(e' .x)

buluruz. I7(x) I reel oldu ğ undan, son ifade de reel olup, kendisinin reel k ı sm ı na eş ittir. O

halde (2) uyar ı nca,

1 7(x)I = 7(e» x) = 7, (e-'6 .x) p(e-19 x) = le -i° ip(x) = p(x)

yaztl ı r ve bu da ispat! tamamlar.

157 Hahn-Banach teoreminin süreklilik hakk ı nda doğ rudan doğ ruya bir ş ey

söylememesine karşı n, teoremin temel uygulamalar ı ndan birisi sinirli lineer fonksiyonellere ilişkindir.Bu da bizi, esas inceleme konumuz olan normlu uzaylara götürür. Gerçekten, Teorem 4.3.1 a ş ağı daki temel teoremi verir:

4.3.2. HAHN-BANACH TEOREMi (Normlu Uzaylar). f, normlu bir X uzay ı n ı n bir Z altuzay ı üzerinde s ı n ı rl ı lineer bir fonksiyonel olsun. Bu durumda, X üzerinde, f 'nin X 'e bir geniş lemesi olan ve

11711x =s„':xP I7(x) I z =sup ifix)1 l ı x11=1

olmak üzere, ayni

11 711 x = ıılıı z

(8 )

normuna sahip, s ı n ı rl ı lineer bir 7 fonksiyoneli vard ı r (ve Z = {O} aş ikar halinde, II/11 z = O 'dir).

Ispat. Z = {O} ise, f = 0 ve geniş lemesi olan 7 = 0 'd ı r. Z * {O} olsun. Teorem 'i kullanmak istiyoruz. O halde, önce uygun birp bulmaliy ı z. Her x E Z için,

if(x)i 5- 11111 z lix Il yazabiliriz. Bu ise,

P(x) = IUII z IIxIl

(9) al ı nmak üzere, (3) formundad ı r.

p 'nin X 'in tümü üzerinde tan ı ml ı olduğ unu görüyoruz. Ayr ı ca, üçgen e ş itsizliğ i nedeniyle,

IXx + Y) = 11111 z lix +y1I Ilf11,(11x II + IIYII) = p(x) +p(Y)

olduğ undan, p, X üzerinde, (1) gerçekler.

p(ax) = 11f11 z il ax11 = la] lifil z lIxti = Ict İP(x)

olmas ı nedeniyle, p, X üzerinde, (2) 'yi de gerçekler. O halde, art ı k Teorem 4.3.1. 'i uygulayabilir ve X üzerinde, f 'in geniş lemesi olan lineer bir 7 fonksiyonelinin varolduğ unu söyleyebiliriz. Normu 1 olan bütün x 'ler üzerinden supremum alarak,

11711 x =suP 17(x)1 5- lifil z

eş itsizliğ ini elde ederiz. Bir geni ş leme alt ı nda norm azalmayaca ğı ndan, ayn ı zamanda, 11711 x I(fli z yazabiliriz. Bu sonucu (8) ile birlikte gözönüne al ı rsak teoremin ispati

tamamlanm ış olur. Özel durumlarda konu çok daha basit hale gelebilmektedir. Örne ğ in, Hilbert uzaylar ı

bunlardan birisidir. Gerçekten, Z, bir X = H Hilbert uzay ı nin kapal ı bir altuzay ı ise f, Ilz Il = 1[111 olmak üzere, örneğ in,

f(x) x,z > (z E Z)

ş eklinde bir Riesz gösterimine sahiptir (3.8.1). iççarpim ı n, H 'in tümü üzerinde tan ı mlanm ış olmas ı nedeniyle, kuş kusuz, bu gösterimf 'in, Z 'den H 'a bir 7 geniş lemesini verir ve Teorem 3.8.1 gere ğ ince, 117 Ilzll = Ilill olduğ undan, 7, f ile

ayn ı norma sahiptir. O halde, bu durumda geni ş leme a ş ikard ı r. Ş imdi de, Teorem 4.3.2 'den, ileride çok kullanaca ğı m ı z, önemli bir sonucu

158 ç ı kartaca ğı z; kabaca söylersek, bu sonuç, normlu bir X uzay ı n ı n X' dual uzay ı n ı n X 'in farkl ı noktalar ı ndaki farkl ı l ı klar ı yans ı tacak, yeterli çoklukta s ı n ı rl ı lineer fonksiyonelden

oluş tuğ unu gösterir. Bu konu, adjoint operatörler (K ı s.4.5) ve zay ıf yak ı nsakl ı k (K ı s. 4.8)

konular ı na iliş kin durumlarda önemli olacakt ı r. 4.3.3.. TEOREM. (S ı n ı rl ı Lineer Fonksiyoneller). X normlu bir uzay ve x o # 0, X 'in

herhangi bir eleman ı olsun. Bu durumda, X üzerinde,

11711 = 1, 7(xo) = Ilxo il olacak ş ekilde, s ı n ı rl ı lineer bir 7 fonksiyoneli vard ı r.

Ispat. X 'in, a bir skaler olmak üzere, x = axo ş eklindeki tüm elemanlar ı ndan olu ş an

bir Z altuzay ı n ı göz önüne alal ı m. Z üzerinde lineer birf fonksiyonelini

J(x) = f(axo) = ailxo 11

şeklinde tan ı mlayabiliriz. f s ı n ı rl ı olup,

If(x)1 = Kax0)1 = laIllxo Il = ilaxo 11 = 11x11 olmas ı nedeniyle, Ilfil = 1 normuna sahiptir. Teorem 4.3.2 'nin ışığı alt ı nda, f 'in, Z 'den

X 'e, 11711 = l[fil = 1 normuna sahip bir 7 lineer geni ş lemesine sahip olduğ unu

söyleyebiliriz. (10) formülünden ise, 7(xo) =f(xo) = lIxo II olduğ unu görürüz. 4.3.4. SONUÇ. (Norm, S ı f ı r Vektörü). Norrniu bir Xuzay ı ndaki her x için,

l ı x II =sup !f(x)1 fax 1V11 fro

yazabiliriz. Buna göre, xo, her f E X için,f(xo) = 0 olacak şekilde bir eleman ise, xo = 0 'd ı r.

ispat. Teorem 4.3.3 'den, xo yerine x yazarak,

if(x)i > 17(x)1 _ Ilxll

fro

buluruz ve jj(x)I < VI& II olduğ unu göz önüne alarak,

If(x)1 sup feX 1[111

elde ederiz. PROBLEMLER 1.(Yar ı -norm). (1) ve (2) 'nin, p(0) = 0 ve p(x) > 0 sonuçlar ı n ı gerektirdiğ ini ve

dolay ı s ı yla, p 'nin bir yar ı -norm olduğ unu gösteriniz. (Bkz. K ı s.2.3, Prob.12) 2. (1) ve (2) 'nin, Ip(x) — p(y)I < p(x — y) eş itsizliğ ini gerektirdiğ ini gösteriniz.

3. (7) ile tan ı mlanan 7 'n ı n kompleks bir X vektör uzay ı üzerinde lineer bir

fonksiyonel olduğ unu göstermi ş tik. Bu amaç için, 7 (ix) = /7 (x) olduğ unun ispat edilmesinin yeterli oldu ğ unu gösteriniz.

4. p, bir X vektör uzay üzerinde tan ı mlanm ış olsun ve (1) ile (2) 'yi gerçeklesin.

Verilen herhangi bir X0 E X 'e karşı l ı k, X üzerinde, her x e X için, 7 (xo) = p(xo) ve

17(x) I < p(x) olacak şekilde bir 7 lineer fonksiyonelinin varolduğ unu gösteriniz.

5. Teorem 4.3.1. 'deki X bir normlu uzay ve baz ı k > 0 sabitleri için, p(x) < kjlxll ise,

11711 S k olduğ unu gösteriniz.

sup — 117 ii ııfıı fEY

( ı o)

159 6. Teorem 4.3.2 'yi görüntüleyebilmek için, R 2 Euclid düzlemi üzerinde,

f(x) = cıı 41+ a242, x = (41,2) ile tan ı mlanan bir f fonksiyoneli ile, bunun R 3 'e olan lineer 7 geniş lemesini ve bunlara kar şı l ı k gelen normlar ı inceleyiniz.

7. Teorem 4.3.3 'ün diğ er bir ispat ı n ı , ele al ı nan uzay ı n bir Hilbert uzay ı olmas ı halinde veriniz.

8. X normlu bir uzay ve X', X 'in dual uzay ı olsun. Eğ er X {O} ise, Xl dualinin {O} olamayaca ğı n ı gösteriniz.

9. Ayr ı labilir normlu bir X uzay ı için, Teorem 4.3.2 'nin, (Teorem 4.2.1. 'in ispat ı nda dolayl ı olarak kullan ı lan) Zorn lemmas ı ndan yararlan ı lmadan, doğ rudan ispatlanabilece ğ ini gösteriniz.

10. 4.3.4. 'deki ikinci ifadeyi, do ğ rudan doğ ruya, 4.3.3 'den elde ediniz. 11. Normlu bir X uzay ı üzerinde tan ı ml ı her s ı n ı rl ı lineerf fonksiyoneli için,

j(x) = j(y) ise, x = y olduğ unu gösteriniz. 12. Teorem 4.3.3 'ü görüntüleyebilmek için, X'i R 2 Euclid düzlemi olarak al ı p, 7

fonksiyonelini bulunuz.

13. Teorem 4.3.3 'ün varsay ı mlar! alt ı nda, X üzerinde, 11711 = l ı xo IL' ve 7(x0) = 1

olacak şekilde s ı n ı rl ı lineer bir 7 fonksiyonelinin varl ığı n ı gösteriniz. 14. (Hiperdüzlem). Normlu bir X uzay ı ndaki herhangi bir S(0 ; r) küresi ve herhangi

. — bir xo S(0; r) noktas ı ıç ı n, B(0; r) yuvar ı tümüyle, Ho ile belirlenen iki yar ı m uzay ı n birisi içinde bulunacak ş ekilde, bir No D xo hiperdüzleminin varoldu ğ unu gösteriniz. (Bkz. K ı s.2.8, Prob.12,15). Basit bir görüntüleme Ş ekil 39'da gösterilmi ş tir.

Ş ekil 39. Prob.14'ün ER 2 Euclid düzlemi için görüntüsü

15. Eğ er xo, normlu bir X uzay ı nda, normu 1 olan her f e X' için, ji(x0)1 5. e olacak şekilde bir eleman ise, lixo II < e oldu ğ unu gösteriniz.

160 4.4. C[a,b] ÜZERINDE TANIMLI SINIRLI L İ NEER FONKS İ YONELLERE ILI Ş KIN

UYGULAMA 4.3.2 Hahn-Banach teoremi bir çok önemli uygulamaya sahiptir. Bundan sonraki

k ı s ı mda, bunlardan bir tanesini göz önüne alaca ğı z. Bu k ı s ı mda ise, bu uygulamalardan bir diğ eri sunulacakt ı r (Bu k ı s ı m isteğ e bağ l ı d ı r. Yaln ı zca bir kez K ı s.9.9 'da gereksinim duyulacakt ı r.). Asl ı nda,Teorem 4.3.2 'yi, [a,b.] belirlenmiş kompakt bir aral ı k olmak üzere, C[a,b] 'de tan ı m!' s ı n ı rl ı lineer fonksiyoneller için, genel bir gösterim formülü elde etmek için kullanaca ğı z. Özel uzaylar üzerinde tan ı m!' fonksiyonellerin böyle genel gösterimlerinin önemi K ı s.2.10 'da aç ı klanm ış t ı . Ele ald ığı m ı z problemde, söz konusu gösterim Riemann-Stieltjes integrali cinsinden olacakt ı r. Bu nedenle, al ışı lm ış Riemann integralinin bir genelleş tirmesi olan bu integralin tan ı m ı n ı ve bir kaç dzeliğ ini hat ı rlamam ı z uygun olacakt ı r. Aş ağı daki kavram ı vererek işe baş layal ı m.

w, [a,b] üzerinde tan ı ml ı bir fonksiyon olsun. E ğ er,

Var(w) = sup ZIw(t,) — w(ti_1)1 (1) J= I

olmak ve söz konusu supremum, [a,b] aral ığı n ı n tüm

a = to < t l <...< t, = b (2)

parçalan ış lar ı üzerinden al ı nmak üzere, w fonksiyonunun [a,b] üzerindeki, Var(w) total sal ı n ı m ı sonlu ise, w total sal ı n ı ml ı fonksiyon olarak adland ı r ı l ı r; burada, n E N keyfi olmakla birlikte, [a,b] aral ığı nda, t

değ erlerinin seçimi (2) 'yi gerçeklemelidir.

Aş ikar olarak, [a,b] üzerinde s ı n ı rl ı sal ı n ı ml ı tüm fonksiyonlar bir vektör uzay oluş turur. Bu uzay üzerindeki bir norm da,

Ilwll = jw(a)1+ Var(w) (3) ile verilir. Bu şekilde tan ı mlanan normlu uzay da Blı[a,b] ile gösterilir; burada BV

sembolü, s ı n ı rl ı sal ı mmli (bounded variation) deyimini ça ğ nş t ı rmaktad ı r. Ş imdi, bir Riemann-Stieltges integrali kavram ı n ı a ş a ğı daki ş ekilde elde edebiliriz.

x E C[a,bJ ve w E BV[a,b] olsun. Pn, [a,b] aral ığı n ı n (2) ile verilen herhangi bir parçalan ışı olsun ve r/(P„), en büyük [t.,_1,1:1 ] aral ığı n ı n uzunluğ u, yani,

q(P,) = max(t ı — to,...,t„ — tn_ ı )

olsun. [a,b] 'nin her P„ parçalan ışı için,

s(P„) =Ex(t,)[ (1„) — w(th ı )] (4)

ı=1

toplam ı n ı göz önüne alal ı m. Her E > 0 say ı s ı için,

n) < 8 (5) oldukça,

IS—s(Pn)I < (6)

olacak ş ekilde bir 6 > 0 say ı s ı varolacak biçimde bir S say ı s ı vard ı r. Bu S say ı s ı , x [a,b] üzerinde, w 'ye göre, Riemann-Stieltjes integrali olarak adlandtr ı l ı r ve

x(t)dw(t) (7)

ile belirtilir. 0 halde, (7) 'yi, [a,b] 'nin, n co için, ri(P„)--> 0 koş ulunu gerçekleyen

161 parçalan ış lar ı n ı n bir (P „) dizisi için, (4) 'ün limiti olarak elde edebiliriz. ((5) ile karşı laş t ı r ı n ız).

w(t) = t al ı nmas ı halinde, (7) 'deki integralin, x fonksiyonunun [a,b] üzerindeki, bilinen Riernann integraline dönü ş tüğ üne dikkat ediniz.

Ayr ı ca, eğ er, x, [a,b] üzerinde sürekli ise ve w,[a,b] üzerinde integrallenebilen bir türeve sahip ise,

J x(t) dw(t) = x(t) (t) dt

( 8)

yazabiliriz; burada, ('), t 'ye göre türevi belirtmektedir. (7) 'deki integral, lineer olarak, x E C[a,b] 'ye bağ l ı d ı r; yani, her x ı , x2 E C[a,b] ve

a, fi skalerleri için,

[aX 1(0 -f- fix2(0idw(t) = ot x ı (t)dw(t) + fi x2(t)dw(t)

yazabiliriz.Söz konusu integral, ayn ı zamanda, w E BV[a,b] 'ye de lineer olarak bağı ml ı d ı r; yani, her w ı ,w2 E BV[a,b] ve r ve 8 skalerleri için,

J x(t)d(Yw i +Sw2 )(t) = r x(t)dw ı (t) + 8 j. x(t)dw2 (1)

'dir. Incelemelerimizde, J = [a,b] olmak üzere,

X(t) dw(t) 5max tx(t)! Var(w)

(9 )

a

eş itsizliğ ine de gereksinim duyaca ğı z. Bu eş itsizliğ in, diferensiyel ve integral hesaptan aş ina olduğ umuz bir formülü genelleş tirdiğ ini de belirtmekte yarar görüyoruz. Gerçekten, eğ er w(t) = t ise, Var(w) = b — a olup, (9) eş itsizliğ i,

x(t) dt S..max jx(t)1(b — a)

a

şeklini al ı r. C[a,b] üzerinde tan ı m'', s ı n ı rl ı lineer fonksiyonlar için, F.Riesz (1909) taraf ı ndan

ispatlanan gösterim teoremi a şağı daki ş ekilde ifade edilebilir. 4.4.1. RIESZ TEORENII. (C[a,b] üzerinde tan ı m!' fonksiyoneller). C[a,b] üzerinde

tan ı m,' her s ı n ı rl ı lineer fonksiyonel

J(x) = X(t) dw(t)

(İ o)

şeklinde bir Riemann-Stieltjes integraliyle gösterilebilir. Burada, w fonksiyonu [a,b]

üzerinde s ı n ı rl ı sal ı n ı ml ı olup,

Var(w) =

total sal ı n ı m ı na sahiptir. Ispat. Normlu uzaylara ili şkin 4.3.2 Hahn-Banach teoreminden,f 'nin, C[a,b] 'den,

162 [a,b] üzerinde tan ı ml ı tüm s ı n ı rl ı fonksiyonlardan olu ş an ve

Ilx II =sup pc(t)1 J = [a, b]

ile tan ı ml ı norma sahip, B[a,b] normlu uzay ı na bir 7 geniş lemesinin varl ığı n ı görebiliriz.

Ayr ı ca, ad ı geçen teorem uyar ı nca, 7 lineer fonksiyoneli s ı n ı rl ı olup, f ile ayn ı norma sahiptir; yani,

117 11 = lifil 'dir.

Ş imdi, (10) 7da gereksinim duyulan w fonksiyonunu tan ı mlayabiliriz. Bu amaçla Ş ekil 40'da gösterilen x, fonksiyonunu göz önüne alal ı m. Bu fonksiyon [a,b] üzerinde tan ı ml ı olup, tan ı m gereğ i, [a, t] üzerinde 1, aksi halde 0 de ğ erini almaktad ı r. Aş ikar olarak, x, E B[a,b] 'dir. x, 'nin, [a, ı ] aral ığı n ı n karakteristik fonksiyonu olarak

adland ı r ı ld ığı n ı da hat ı rlatal ı m. x, ve 7 fonksiyonelini kullanarak, [a,b] üzerinde bir w fonksiyonunu,

w(a) = 0 w(t) = 7(x i ) t E (a,b]

ile tammlayabiliriz. Ş imdi bu w fonksiyonunun, s ı n ı rl ı sal ı n ı ml ı olduğ unu ve Var(w) 5_ l[fli olduğ unu gösterelim.

•

Şekil 40. x, fonksiyonu

Bir kompleks büyüklük için, kutupsal formu kullanaca ğı z. Gerçekten, 9 = arg Ç alarak,

1 Ç=0

el° Ç O

olmak üzere,

= içi e(0

yazabiliriz. Ç -# 0 ise, KI = Ç/e ı8 = Ç e' olduğ unu görüyoruz. Buna göre, s ı fı r olsun ya da

olmas ı n herhangi bir Ç için,

IDI = Ç e(Ç)

elde ederiz; burada, üst çizgi, al ışı lm ış biçimde, kompleks e ş leniğ i göstermektedir.

Bundan sonraki formüllerimizi de sadele ş tirebilmek amac ı yla, ayr ı ca,

= e(w(t,) w(th ı ))

ve x,, = x, yazaca ğı z. Bu yolla, indisin indisinden de kurtulmu ş olacağı z. Bu durumda,

(12) uyar ı nca, herhangi bir (2) bölüntüsü için,

e(4) =

163 n n

Eiw( ıj) - ) 1 = 17(x + Erim - 70;_l ) j=1 fr-2

n

= 17(x i) + EJ17(t.i) - 7( t.h i) I j=2

= 7(6 IX ı + _ 1)

£ İ X1 + £;[x.; _ j=2

elde ederiz. Sağ tarafta, 11711 = l[fli olup (öncekine bak ı n ı z), diğ er Ilçarpan ı , = 1

olmas ı ve x, lerin tan ı m ı gereğ i, her bir t E {a,b] için, x1,x2 - x ı ,... terimlerinden

yaln ızca bir tanesinin s ı f ı rdan farkl ı (ve normu 1 ) olmas ı nedeniyle, 1 'e e ş ittir. Ş imdi,

sol tarafta, {a,b] 'nin tüm bölüntüleri üzerinden supremum alabiliriz. Ve bunun sonucunda,

Var(w)

(1 3)

elde ederiz. O halde, w, [a,b] üzerinde, s ı n ı rl ı sal ı n ı ml ı d ı r. Ş imdi, x E C[a, bi olmak üzere, (10) 'u ispatlayal ı m. (2) formundaki her P n bölüntüsü

için, (örneğ in, z(Pn ) ya da, zp„ yerine) k ı saca, zn ile belirteceğ imiz bir fonksiyon tan ı mlayal ı m ve zn 'in, yaln ı zca n 'e değ il, P „ 'e bağ l ı olduğ unu da akl ı m ı zdan ç ı karmayal ı m. Tan ı mlanan formül

Z n = X(t 0)X E x(ti-.1)[xı - I I J=2

'dir. Bu durumda, zn E B[a, bi 'dir. w 'nin tan ı m ı gereğ i,

7(Z n) = X(t0)7(x1) +E X(tj-1)[7(Xİ ) — 7(Xj-1)]

(1 5)

J=2 n

= x(to ) w(t ı )+ Ex (t,_,)[w(ti ) )1 j=2

= X(t.1.4)[W (ti ) — w(ti-1)] ı =1

bulunur; burada son eş itlik, w(to) = w(a) = 0 oluş undan kaynaklanm ış tı r. Ş imdi, [a, b] 'nin

bölüntülerinin, ti(P n) 0 olacak ş ekilde, herhangi bir (P n ) dizisini seçelim; Bkz. (5). (t.,,n

gibi kalabal ı k bir notasyonla göstermeksizin, yaln ı zca akl ı m ı zda tutarak, (15) 'deki t, 'nin

P ,, 'e bağ l ı olduğ una dikkat edeceğ iz.) n co olduğ unda, (15) 'in sa ğ taraf ı ndaki toplam,

(10) 'daki integrale yak ı nsar ve (10) elde edilir; burada 7(zn) -* 7(z) olup, bu da,

X E ([a,b] olmas ı nedeniyle, f(x) 'e eş ittir.

Ş imdi, 7(zn) 7(z) olduğ unu ispatlayal ı m. xt 'nin tan ı m ı n ı hat ı rlayarak (Bkz. Ş ekil

40), (14) 'deki toplam ı n t = a 'da s ı f ı r olmas ı nedeniyle, (14) 'ün z „(a) = x(a). I sonucunu verdi ğ ini görebiliriz. O halde, z „(a) - x(a) = 0 'd ı r. Ayr ı ca, (14) uyar ı nca,

tt_ ı < t 5 t, ise, zn (t) = x(t,_1) elde ederiz; Bkz. Ş ekil 40. Buradan da, böyle t 'ler için.

Izn (t) - x(t)I = lx((,-1) - x(t)1

11 7 1I

164 bulunur. Sonuç olarak, 71(P„) — 0 ise, x 'in [a, b] üzerinde sürekli, [a, bi 'nin kompakt

olmas ı nedeniyle de, düzgün sürekli olmas ı sonucu, —xII 0 yaz ı l ı r. Bu durumda,/

'in sürekliliğ i, 7(z„) 7(x) ve7(x) = .f(x) sonucunu gerektirir ve böylece, (10) elde edilir. Son olarak, (11) 'i ispatlayal ı m. (10) ve (9) 'dan

f f(x)I Smax lx(t)I Var(w) = lix il 7(z „) -4- .7(x)Var(w) tel

yazabiliriz. Normu 1 olan tüm x E C[a,b] 'ler üzerinden supremum alarak, VI < Var(w) yazabiliriz. Bu sonuç, (13) ile birlikte, (11) 'i verir.

Teoremdeki w 'nin tek olmad ığı na, ancak, w 'nin a noktas ı nda s ı f ı r ve sağ dan sürekli, yani,

w(a) 0, w(t + O) = w(t) (a < t < b)

normalleş tirme koş ulu alt ı nda tek yap ı labileceğ ine dikkat ediniz. Ayr ı nt ı lar için, A.E.Taylor (1958), S.197-200 'e bak ı n ı z. Ayr ı ca, F.Riesz B.Sz. Nagy (1955) s.111 ile karşı laş t ı r ı n ı z.

Riesz teoreminin, daha sonra modern integrasyon teorisine bir ba ş lang ı ç noktas ı olarak hizmet etmesi de ilginçtir. Daha fazla tarihsel uyar ı için N.Bourbaki (1955) S.169 'a bak ı n ı z.

4.5. ADJO İ NT OPERATÖR Normlu bir X uzay ı üzerinde, s ı n ı rl ı lineer bir T : X Y operatörü ile, T 'nin adjoint

operatörü ad ı verilen T" operatörünü e ş leyebiliriz. Tx operatörüne olan gereksinim, bunlar ı n, operatörleri içeren denklem sistemlerinin çözümünde sa ğ lad ığı yararlardan kaynaklanmaktad ı r. Bu k ı s ı mda, r< operatörünü tan ı mlayarak, özeliklerinden baz ı lar ı n ı ve K ı s ı m 3.9 'da tan ı mlanan T* Hilbert adjoint operatörlerte olan ili ş kisini inceleyece ğ iz. Burada yapaca ğı m ı z tart ış malar ı n Hahn-Banach Teoremine ba ğ l ı olaca ğı n ı ve bu olmaks ı z ı n fazla bir şey yapamayaca ğı m ı z ı belirtmemiz yerinde olacakt ı r.

X ve Y normlu uzaylar olmak üzere, s ı n ı rl ı lineer bir T : X -+ Y operatörünü göz önüne alal ı m. Ş imdi T 'nin, T' adjoint operatörünü tan ı mlamak istiyoruz. Bu amaçla, Y üzerinde tan ı ml ı herhangi bir s ı n ı rl ı lineer g fonksiyonelinden yola ç ı kar ı z. Aş ikar olarak,

g, her y E Y için tan ı ml ı d ı r. y = Tx diyerek, X üzerinde, f ad ı n ı vereceğ imiz bir

fonksiyonel elde ederiz:

f(x) = g(Tx) (x E X). (1)

g ve T lineer olduğ undan, f lineerdir. Ayr ı ca,

f(x)] = ig(Tx)1 < figll llTxll< BgII11Tllllx ll

yaz ı labileceğ inden, f s ı n ı rl ı d ı r. Normu 1 olan tüm x E X 'ler üzerinden supremum al ı rsak,

ligfil T (2)

eş itsizliğ ini elde ederiz. Bu ise, X', X 'in dual uzay ı n, göstermek üzere (Bkz.2.10.3), f E X' olduğ unu gösterir. Kabul gereğ i, g E Y' dür. Sonuç olarak, değ iş ken g e Y' için,

(1) formülü, Y' den X' içine, T 'nin adjoint operatörü ad ı n ı ta şı yan ve T ş eklinde

gösterilen bir operatör tan ı mlar. O halde,

165

X T

Y

(3 )

X +---- Y

elde ederiz. Burada, T 'nin X üzerinde tan ı mlanm ış olmas ı na karşı n, T" 'in Y' üzerinde tan ı m,' bir operatör oldu ğ una dikkat etmemiz gerekmektedir. K ı saca özetlersek:

4.5.1. TANIM. (T" Adjoint Operatörü). X ve Y normlu uzaylar olmak üzere, T : X Y s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Buna göre, X ' ve Y ' , s ı ras ı yla, X ve Y 'nin dual uzaylar ı olmak üzere, T 'nin T" : X --> Y' adjoint operatörü,

f(x) = (T"g)(x) = g(Tx) (g E Y ' ) ile tan ı mlan ı r.

Adjoint operatörün norma ile, esas operatörün normunun ayn ı olduğ unu, yani, her ikisinin de ayn ı norma sahip olduğ unu göstermek ilk hedefimiz olacakt ı r. Ileride de göreceğ imiz gibi, bu temel bir özeliktir. Bu özeli ğ in ispat ı nda, Hahn-Banach Teoreminden kaynaklanan, Teorem 4.3.3 'e gereksinme duyaca ğı z.

4.5.2. TEOREM (Adjoint Operatörün Normu). 4.5.1 'de tan ı mlad ığı m ız T" operatörü, lineer ve s ı n ı rl ı olup,

Il 7- II = IITII

(5) 'dir.

Ispat. Tan ı m kümesi olan Y' 'nün bir vektör uzay olmas ı nedeniyle operatörü lineerdir. Ve kolayca,

(T' (ag + 13g2))(x) = (agı + f3g2)(Tx)

ag (Tx) + fig2(Tx)

= a(r g 1)(x) + /3(r g2)(x)

elde ederiz. Ş imdi (5) 'i ispatlayal ı m. (4) 'den,,f= g yazabiliriz ve (2) uyar ı nca,

II rg 11 = Ilf11 11g11 117'11 elde edilir. Normu 1 olan tüm g E Y' 'ler üzerinden supremum alarak,

IITII 11 711

te) eş itsizliğ ini buluruz. O halde, (5) 'i elde etmek için, > II T11 olduğ unu göstermemiz gerekmektedir. Teorem 4.3.3 'ün ışığı alt ı nda, s ı f ı rdan farkl ı her xo E X için,

Ilgo 11 = 1 ve go(Txo) = il Tro

olacak şekilde, bir go E Y' 'nün varl ığı n ı söyleyebiliriz. Burada, 7- operatörünün tan ı m ı uyar ı nca go(Txo) (rgo)(x0) 'd ı r. Buna göre,f0 = T"go yazarak,

Il Tx0 N = go(Txo) = fo(xo)

Ilfo 1111xo II = Il Txgo II 11xo Il

IITNIIgoIlllxoIl

elde ederiz. Ij go Il = 1 olmas ı nedeniyle, her xo e Xiçin,

166 II Txo Il 5 Tx il 11xo II

bulunur. (TO = 0 oldu ğ undan, bu durum, xo = 0 halini de içerir.)Ancak, daima

II TxoIl 5 II TII

'd ı r ve burada, c = II TII, her X0 E X için, II Txo Il < clIxo II eş itsizliğ i gerçeklenecek ş ekilde bulunabilecek en küçük c sabitidir. O halde, II T" II, II Til 'den daha küçük olamaz, yani, II T" ii T ii olmal ı d ı r. Bu sonucu ve (6) 'y ı birlikte göz önüne al ı rsak, (5) 'i elde ederiz.

Ş imdi yapm ış olduğ umuz bu incelemeyi, operatörleri temsil eden matrisler yard ı m ı yla daha belirgin hale getirece ğ iz. Bu, ayn ı zamanda, okuyucular ı n kendi kendilerine örnek kurmas ı na da yard ı mc ı olacakt ı r.

4.5.3. ÖRNEK (Matris). n boyutlu R n Euclid uzay ı nda lineer bir T : 08n -›

operatörü matrisler yard ı m ı yla belirlenebilir. Burada, söz konusu böyle bir TE = (ı lk) matrisi, R" için, elemanlar ı sabit olarak tutulacak herhangi bir s ı rada düzenlenmi ş bir E = t, , e n } baz ı n ı n seçimine bağ l ı d ı r. x = = {rı ı , } kolon

vektörleri olarak al ı p, matris çarp ı m ı için bilinen gösterimleri kullanarak bir E baz ı seçelim. Buna göre, j = 1,...,n olmak üzere,

y = T Ex, bileş enler cinsinden ri; = E Tikk k=1

yazabiliriz. F E 'nin dual baz ı olsun (Bkz.K ı s.2.9). F, yine n boyutlu bir Euclid uzay ı olan (Ilkn)` için bir bazd ı r. Dolay ı s ı yla, her g E (118 n ) 1 eleman',

g = affa +...+a„fn

ş eklinde bir gösterime sahiptir. Dual baz tan ı m ı uyar ı nca, f3 (y) = fj(Enk e k) = 77İ yazabiliriz. Dolay ı s ı yla, (7) 'yi göz önüne al ı rsak,

n n

g(y) = g(TEx) = E ajrİİ = E E air.ikk fr-1 k=1

bulunur. Toplam ı n s ı ras ı n ı değ iş tirerek, bunu fik = E'ıjka; olmak üzere,

g(TEx) = fi k4 k k= ı

şeklinde yazabiliriz. Bu sonucu, X üzerindeki bir f fonksiyonelinin, g cinsinden, tan ı m ı olarak düş ünebiliriz; yani,

XX) = g(TEx) = E fik4k k=1

diyebiliriz. Adjoint operatörün tan ı m ı n ı hat ı rlayarak da, bu buldu ğ umuzu,

ajf = TEg, bileşenler cinsinden fik = ETjk

k= ı ş eklinde yazabiliriz. f3k 'da birinci indis üzerinden toplam ald ığı m ı za dikkat edersek (ki dolay ı s ı yla, TE 'nin bir kolonu üzerindeki bütün elemanlar ı toplam ış oluyoruz) aşağı daki

sonucu yazabiliriz: Eğer T, bir TE matrisiyle temsil ediliyorsa, T" adjoint operatörü, TE 'nin transpozu

yard ı m ı yla temsil edilir.

(8)

167 Bu sonucun, T 'nin, C" 'den C" içine bir lineer operatör olmas ı halinde de geçerli

olduğ unu söylemekte yarar görüyoruz. Adjoint operatörlerle yap ı lan çal ış malarda (9)-(12) no.lu formüller yard ı mc ı

olmaktad ı r; bunlar ı n, benzer şekildeki, ispatlar ı n ı okuyucuya b ı rak ı yoruz. S,T E B(X,Y) olsun (Bkz.K ı s.2.10). Bu durumda,

(S + I)"= Sx+P

(a7")" = aP

'dir. X,Y,Z normlu uzaylar ve T E B(X,Y) ve S E B(Y,Z) olsun. Buna göre, ST çarp ı m ı«

adjoint operatörü için,

(Sir = rsx ( ı l) yazabiliriz (Bkz. Ş ekil 41).

rxsx

Ş ekil 41.(11) no.lu formülün gösterimi

T E B(X,Y), T- ' mevcut ve T-' E B(Y,X) ise, (71 -4 de mevcut olup, (ii-, E B(X ',Y') ve

(71- ' = ( 7-1 ) x 'dir.

P ADJO İ NT OPERATÖRÜ İ LE HILBERT-ADJOINT OPERATÖRÜ ARASINDAK İ İ LIŞ KI (Bkz.K ı s.3.9).

X ve Y Hilbert uzaylar ı ise (örneğ in, X= H ı , ve Y = H2 diyelim), s ı n ı rl ı lineer bir

T : X --> Y operatörünün ele al ı nmas ı halinde, böyle bir iliş kinin varolduğ unu

göstereceğ iz. Bu durumda, önceden oldu ğ u gibi, verilen bir T operatörünün P operatörü,

(a) Pg = f (f e ITI ,g E I-T2 )

(b) g(Tx) = f(x)

ile tan ı mlanmak üzere,

168

111

H ıi

T ,, 112

T" 11 2

(13)

yazabiliriz (Ş ek.42). Buradaki yeni durum,f ve g 'nin Hilbert uzaylar ı üzerindeki fonksiyoneller olmalar ı nedeniyle

(a) f(x) = < X,X0 > (X0 E H ı )

(b) g(Y) = < Y,Y0 > ())0 E H2)

ş eklinde Riesz gösterimlerine sahip olmalar ı d ı r (Bkz,3.8.1) ve ayr ı ca, Teorem 3.8.1. 'den, xo ve yo 'in, s ı ras ı yla, f ve g yard ı m ı yla, tek anlaml ı olarak belirlendiklerini biliyoruz. Bu durum,

A If = x o yard ı m ı yla A l : H a y H ı

A ıg = yo yard ı m ı yla Az : HI2 H2

operatörlerini tan ı mlar. Teorem 3.8.1 'den, A, ve A2 'nin bire-bir ve üzerine oldu ğ unu görebiliriz. Ayr ı ca, IIA 1t1I = Ilxo II = Itfil olup, benzer e ş itlik A2 için de yaz ı labileceğ inden, Al ve A2 'nin izometrik oldu ğ unu söyleyebiliriz.

(16)

Ş ekil 42.(13) ve (17) no.lu formüllerdeki operatörler

Bunun yan ı s ı ra, A ı ve A2 operatörleri e ş lenik lineerdir (Bkz.K ı s.3.1). Gerçekten,

fi (x) =< x,x1 > vef2(x) =< x,x2 > dersek, bütün x 'ler ve a,f3 skalerleri için,

(afi + 13f2)(x) = afı (x) + l3f2(x)

(16)

a < x,x1 > +13 < x,x2 >

= < + -T3x2 >

yazabiliriz. Bu sonuç, A I 'in tan ı m ı uyar ı nca, eş lenik lineerliğ i gösterir:

Al (afı + 13f2 ) = Affa + 73-A

A2 için de ispat benzer ş ekilde yap ı l ı r. Yap ı lacak bir kompozisyon, T*yo = xo ile tan ı mlanan

T* = A ı T<A 1 : H2 -÷ ( ı l

operatörünü verir. (Bkz. Ş ekil 40).

169 TX lineer operatörüne ek olarak, e ş lenik lineer iki dönü ş üm içerdiğ inden, T* lineerdir.

Ş imdi, T* 'in, gerçekten, T 'nin Hilbert-adjoint operatörü oldu ğ unu gösterece ğ iz. (14)-(16) no.lu formüllerden, hemen

< Tx,y0 >- g(Tx) = f(x) x,x0 >=< x,ryo >

yazabiliriz ki, bu da, K ı s.3.9 'daki (1) formülünden ba şka bir şey değ ildir. Bu da bize ş u sonucu verir:

(17) formülü, bir Hilbert uzay ı üzerindeki lineer bir T operatörünün,r.Hilbert - adjoint operatörünü, T 'nin, T" adjoint operatörü cinsinden temsil eder.

Ayr ı ca, A ve A Z 'nin izometrileri ve (5) no.lu formülden, kolayca, II 7- II = 11 TII olduğ unu söyleyebiliriz.

Incelememizi tamamlamak için, X ve Y normlu uzaylar, H, ve H2 Hilbert uzaylar ı olmak üzere, T : X -* 'nin T" adjoint operatörü ile, T : tl, -› H2 'nin T* Hilbert adjoint operatörü aras ı ndaki temel farklardan baz ı lar ı n ı s ı ralamakta yarar görüyoruz.

T* ' ı n, doğ rudan doğ ruya, T 'nin değ er kümesini içeren uzay üzerinde tan ı mlanm ış olmas ı na karşı n, Tx , T 'nin değ er kümesini içeren uzay ı n duali üzerinde tan ı mlan ı r. T* 'in bu özeliğ i, kendilerinin Hilbert-adjoint operatörleri yard ı m ı yla, önemli operatör s ı n ı flar ı tan ı mlamam ı za olanak Sa ğ lar.

(10) uyar ı nca, T' için,

(an' =

yazabiliriz; ancak, 3.9.4uyar ı nca, T* için,

(aT)* = 71T*

yaz ı l ı r. Sonlu boyutlu halde, T', T 'yi belirleyen matrisin transpozu yard ı m ı yla temsil edilir.

Buna karşı n, T*, söz konusu matrisin, kompleks e ş lenik transpozu ile temsil edilir. (Ayr ı nt ı lar için 4.5.3 ve 3.10.2 'ye bak ı n ı z.)

PROBLEMLER 1. (1) formülü ile tan ı mlanan fonksiyonelin lineer oldu ğ unu gösteriniz. 2. Bir 0 s ı fı r operatörü ile, bir / özde ş lik operatörünün adjointleri nedir? 3. (9) 'u ispatlay ı n ı z. 4. (10) 'u ispatlay ı n ı z. 5. (11) 'i ispatlay ı n ı z. 6. (T")x = (P)" olduğ unu gösteriniz. 7. (11) no.lu formül ile, Örnek 4.5.3 'ü birle ş tirerek matrisler için hangi formülü elde

ederiz? 8. (12) 'yi ispatlay ı n ı z. 9. (S ı fı rlayan) Xve Y normlu uzaylar, T : X Y s ı n ı rl ı lineer bir operatör ve T 'nin

değ er bölgesinin kapan ış ! M= R(T) olsun.

Ma = N(r)

olduğ unu gösteriniz. (Kis. 2.10, Prob.13 ile kar şı laş t ı r ı n ı z.) 10. (S ı f ı rlayan) B normlu bir X uzay ı n ı n, Xi dual uzay ı n ı n bir altkümesi olsun. B 'nin

°B s ı f ı rlayan ı ,

170 ° B = {x E X : j(x) = 0 (her f E B için)}

şeklinde tan ı mlan ı r. Prob.9 'da,

R(7) G a N(r)

olduğ unu gösteriniz. Bir Tx = y denkleminin çözümünde bu ne anlama gelir?

4.6. YANSIMALI UZAYLAR Vektör uzaylar ı nm cebirsel yans ı mas ı K ıs.2.8 'de incelenmi ş ti. Bu k ı s ı mdaki

konumuz ise, normlu uzaylar ı n yans ı malar' olacakt ı r. Bir X vektör uzay ı verildiğ inde, C : X -+ X** kanonik dönüş ümünün üzerine olmas ı halinde, X uzay ı na cebirsel yans ı mal ı uzay denildiğ ini hat ı rl ı yoruz. Burada, X** = (X*)* X'in ikinci cebirsei duali olup, C dönüş ümü,

gx(f) = J(x) (f E X* değ iş ken)

(1)

olmak üzere, x g, ile tan ı mlan ı r; yani, herhangi bir x E X için görüntü, (1) ile tan ı mlanan gx lineer fonksiyonelidir. Xsonlu boyutlu ise, Xcebirsel yans ı mal ı d ı r. Bunu

Teorem 2.9.3 'de göstermi ş tik. Ş imdi esas konumuza dönelim. Normlu bir X uzay ı ile bunun 2.10.3 'de

tan ı mlad ığ im ız X' dual uzay ı n ı ve ayr ı ca, X ' nün duali olan, (X ')' dual uzay ı n ı göz önüne alal ı m. Bu uzay ı X " ile gösterip, X 'in ikinci cebirsel duali ad ı n ı vericeğ iz. (X" 'ye X'in bidual uzay ı da denir.)

Sabit bir x E Xseçip,

gx(f) = f(x) (f E Xi değ işken) (2)

diyerek, X' üzerinde, bir gx fonksiyoneli tan ı mlayal ı m. Bu tan ı m (1) 'e benzemekte ise de, burada f 'nin, s ı n ı rl ı olduğ unu belirtmemiz gerekmektedir. Ayr ı ca, aş ağı daki temel lemmam ı z alt ı nda gx fonksiyoneli de s ı n ı rl ı hale gelir:

4.6.1. LEMMA. (g, 'in Normu). Normlu birXuzay ı ndaki her sabit x için, (2) ile tan ı mlanan g, fonksiyoneli, X' üzerinde, s ı n ı rl ı lineer bir fonksiyonel olup, g, E X" 'dür ve

( 3)

ilg,11=-- sup igx ()51 - sup 11(x)i -11x il. (4) fev Ilf11 fEx 11/11 İ.0

Her x E X 'e (2) ile tan ı mlanan bir tek s ı n ı rl ı lineer g, E X" fonksiyoneli karşı l ı k gelir.

Bu da,bir

C X X

x -› g„ (5)

dönüşümü tan ı mlar. C 'ye, X 'in, X" içine olan kanonik dönüş ümü ad ı verilir. Ş imdi C 'nin, lineer, içine ve normu koruyan bir dönü ş üm olduğ unu göstermek istiyoruz. Bu durum, K ı s.2.10 'da tan ı mland ığı gibi, normlu uzaylar ı n bir izomorfızmi cinsinden ifade

IIgiII = Ilx Il normuna sahiptir.

Ispat. g„ 'in lineerliğ i, K ı s.2.8 'den bilinmektedir. (2) ve Sonuç 4.3.4 'den de (3) 'ü yazabiliriz:

171 edilebilir:

4.6.2. LEMMA. (Kanonik Dönü ş üm). (5) ile verilen C kanonik dönü ş ümü, normlu X uzay ı n ı n, normlu R(C) uzay ı (C 'nin değer kümesi) üzerine bir izomorfızmidir.

ispat.

g(ax±py)(1) = fiax + I3y) = af(x) + Igy) = agx(I) + figy(f) olduğ undan, C 'nin lineerliğ ini K ı s.2.8 'deki gibi görebiliriz. Özel olarak, gx - gy = gx.„ 'dir. Buna göre, (3) uyar ı nca,

Ilgi - gy = = IIx -Y II yazabiliriz. Bu ise, C 'nin izometrik olduğ unu ve normlar ı koruduğ unu gösterir. İ zometrik olma ise, bire-bir olmay ı gerektirecektir. Bunu, formüllerimizden de do ğ rudan doğ ruya görebiliriz: Gerçekten, x * y ise, K ı s.2.2 'deki (N2) aksiyomu gere ğ ince, gx * gy 'dir. Dolay ı s ı yla, C, kendi değ er bölgesi üzerine bir dönü ş üm olarak dü ş ünülebilen, bire-bir ve üzerine bir dönü ş ümdür.

Eğ er X, normlu bir Z uzay ı n ı n bir altuzay ı na izomorfik ise, X uzay ı , Z normlu uzay ı içine gömülebilir 'dir denir. Bu tan ı m, her ne kadar, K ı s.2.8 'dekine benzemekte ise de, burada, normlu uzaylar ı n izomorfizmi, yani, normu koruyan vektör uzaylar ı n izomo ıfızmleriyle uğ raş tığı m ı za dikkat çekmek zorunday ı z (Bkz. K ı s.2.10). Lemma 4.6.2, X 'in, X" 'de gömülebilir olduğ unu göstermektedir ve C 'ye, X 'in X" içine kanonik gömülüş ü de denir.

Genel olarak, C, üzerine olmayaca ğı ndan, R(C) değ er bölgesi. X" 'nün bir gerçek altuzay ı olacakt ı r. R(C) 'nin X" tümüne e ş it olduğ u, örten olma hali, kendisine bir isim verilmesine yetecek kadar önemlidir:

4.6.3. TANIM. (Yans ı ma). Normlu bir X uzay ı verilmiş olsun.

R(C) = X"

ise, X uzay ı na yans ı mal ı 'd ı r denir. Bu kavram, ilk olarak, H.Hahn (1927) taraf ı ndan ortaya at ı lm ış olup, "yans ı ma"

deyimi E.R.Lorch (1939) taraf ı ndan kullan ı lm ış t ı r. X yans ı mal ı ise, Lemma 4.6.2 uyar ı nca, X" ile izomorfık (dolay ı s ıyla izometrik)'dir.

Ancak, ilginçdir ki, bunun tersi R.C.James (1950,1951) taraf ı ndan da gösterildiğ i gibi, genellikle geçerli değ ildir.

Ayr ı ca, tam'l ı k, yans ı mal ı olmay ı gerektirmediğ i halde, tersi için, a şağı daki teoremi

ifade edebiliriz: 4.6.4. LEMMA. (Taml ı k). Normlu bir X uzay ı yans ı mal ı ise, tam'd ı r (dolay ı s ı yla, bir

Banach uzay ı d ı r). ispat. X", X' 'nün dual uzay ı olduğ undan, Teorem 2.10.4 uyar ı nca tam'd ı r. X 'in

yans ı mal ı olmas ı ,

R(C) =

olduğ unu gösterir. Buna göre, X 'in taml ığı , Lemma 4.6.2 uyar ı nca, X '"nün

taml ığı ndan elde edilir. Dikn yans ı mal ı d ı r. Bu durum,2.10.5 'den doğ rudan doğ ruya ç ı kart ı labilir. Bu da, sonlu

boyutlu normlu uzaylar ı n tipik bir özeliğ idir. Gerçekten, e ğ er dim X < co ise, X üzerindeki

her lineer fonksiyonel s ı n ı rl ıd ı r (Bkz.2.7.8). Dolay ı s ı yla, X ' = X* oluş u ve X 'in cebirsel yans ı mas ı (Bkz.2.9.3) göz önüne al ı narak aşağı daki teorem ifade edilebilir:

TEOREM 4.6.5. (Sonlu Boyut). Sonlu boyutlu her normlu uzay yans ı mal ı d ı r.

172 1 < p < +co olmak üzere, t" 'nin yans ı mal ı olduğ unu 2.10.7 'den görebiliriz. Benzer

ş ekilde, 1 < p < +GO olmak üzere, LP[a,b] 'nin yans ı mal ı olduğ u da gösterilebilir. Ayr ı ca, C[a,b] (Bkz. 2.2.5), QI (ispat' a ş ağı da), Li[a,b], (Bkz.2.2.4) ile, r"un altuzaylar ı olan c

ve co 'in yans ı mah-olmayan uzaylar oldu ğ u gösterilebilir. 4.6.6. TEOREM. (Hilbert Uzay ı ). Her H Hilbert uzay ı yans ı mal ı d ı r. ispat. Her g E H" için g = Cx olacak ş ekilde bir x E H ' ı n var oldu ğ unu göstererek,

C : H --> H" kanonik dönüş ümünün üzerine oldu ğ unu ispatlayaca ğı z. bir haz ı rl ı k olarak, A : H' H dönüş ümünü, z, 3.8.1'deki f(x) =< x,z > Riesz dönüş ümüyle verilmek üzere, Af = z ile tan ı mlayal ı m. 3.8.1 'den, A 'n ı n bire-bir, üzerine ve izometrik oldu ğ unu

biliyoruz. K ı s ı m 4.5 'deki (16) ba ğı nt ı s ı nda gördüğ ümüz gibi, A eş lenik lineerdir. H ' , 2.10.4 uyar ı nca, tam olup,

< fı ,f2 >, =< Af2,Af ı >

lççarp ı m ı alt ı nda bir Hilbert uzay ı d ı r. Bu tan ı m ı n her iki yan ı ndaki fı ve f2 'nin s ı ras ı na

dikkat etmemiz yerinde olacakt ı r. K ı s.3.1. 'de verdiğ imiz, (iç 1)-( İ ç 4) koş ullar ı kolayca

gerçeklenir. Özel olarak, (iç2) ko ş ulu, A 'n ı n eş lenik lineerliğ inden ç ı kart ı l ı r:

< afı ,f2 > ı =< Aj2,A(af ı ) >=< Af2,Tı Af ı >= a < f ı ,f2

g E H" keyfi olsun. g 'nin Riesz gösterimi de,

g(f) ffo > ı =< Afo,Af >

olsun. z = Af olmak üzere, f(x) =< x,z > olduğ unu hat ı rl ı yoruz. Buna göre, Afo = x yazarak,

< Afo,Af >=< x,z >= f(x)

elde ederiz. Bu son iki sonucu birlikte ele al ı rsak, g(J) = f(x), yani, C 'nin tan ı m ı uyar ı nca, g = Cx yazabiliriz. g E H " keyfi olduğ undan, C üzerinedir ve dolay ı s ıyla H yans ı mal ı d ı r.

Bazen, ayr ı labilir- olma ve ayr ı labilir-olmama durumu baz ı uzaylann yans ı mal ı olmad ı klar ı n ı n ispatlar ı nda iş imize yaramaktad ı r. Yans ı mal ı-olma ve ayr ı labilir-olma aras ı ndaki ilişki ilginç ve oldukça basittir. Bu konuda, X"nün ayr ı labilir olmas ı n ı n, X 'in ayr ı labilir olmas ı n ı gerektirdiğ ini (ki tersi genel olarak do ğ ru değ ildir) ifade eden aşağı daki Teorem 4.6.8 'e gereksinme duyaca ğı z. O halde, normlu bir Xuzay ı yans ı mal ı ise, 4.6.2 uyar ı nca, X", X ile izomorfik olacakt ı r; dolay ı s ı yla, bu durumda, X

'in ayr ı labilir olmas ı , X ' t 'nün ayr ı labilir olmas ı n ı gerektirecek ve 4.6.8 uyar ı nca, X'

uzay ı ayr ı labilir olacakt ı r. Bu durumu göz önüne alacak olursak, a ş ağı daki sonucu yazabiliriz:

X' dual uzay ı aynlabilir-olmayan, ayr ı labilir normlu bir X uzay ı yans ı mal ı olamaz. Örnek. tl uzay ı yans ı mal ı değ ildir. ispat. 1.3.10 uyar ı nca, t' ayr ı labilir olduğ u halde, (0 1 ) 1 = r ayr ı labilir değ ildir

(Bkz.2.10.6 ve 1.3.9). Gereksinme duyulan Toerm 4.6.8, a ş ağı daki lemmadan elde edilecektir. Lemmaya

iliş kin basit bir çizim, Ş ekil 41.'de gösterilmi ş tir. 4.6.7. LEMMA. (Bir Fonksiyonelin Varl ığı ). Y, normlu bir X uzay ı n ı n, kapal ı gerçek bir

altuzay ı olsun. xo E X— Y keyfi bir nokta ve

=inf IIY —xo II (6) yeY

Xo 'dan Y 'ye olan uzakl ı k olsun. Bu durumda,

173

11711 = her y e Y için 7(y) = 0, 7(x0) = 8

olacak şekilde bir 7 E X vard ı r. ispat. İ spattaki dü ş ünce ş ekli basittir. Önce, Y ve xo taraf ı ndan gerilen Z c X

altuzay ı n ı göz önüne al ı p, Z üzerinde,

f(z) = .f(y + axo) = a3

ile tan ı mlanan s ı n ı rl ı lineer bir f fonksiyoneli tan ı mlayarak, f 'nin (7) 'yi gerçekledi ğ ini gösterecek ve daha sonra, 4.3.2 uyar ı nca, f 'i, X 'e geniş leteceğ iz. Ş imdi ayr ı nt ı lar ı na girelim.

Her z E Z = span(Y U {xo}) tek bir

z y+ axo (Y E 17)

gösterimine sahiptir. Bunu (8) 'de kullanabiliriz. f 'nin lineerliğ i kolayca görülür. Ayr ı ca, Y kapal ı olduğ undan, S > 0 olup, dolay ı s ı yla, f 0 'd ı r. Ş imdi, a = 0 al ı nmas ı , her y E Y için, f(y) = 0 sonucunu verir. a = 1 ve y = 0 için de, f(xo) = 3 elde ederiz.

Ş ekil 43. Lemma 4.6.7'nin X=118 3 Euclid uzay ı için gösterimi.

Burada, Y, y 2=41/2,ğ 3=0 ile temsil edilmi ş olup xe=(1,3,0) / d ı r ve

dolay ıs ı yla, 8=,s, Z—span(YU{xo}), 142-dLizlemi dir ve f(z)=(-4 ı +g2)/15.idir.

Ş imdi de, f 'nin s ı n ı rl ı olduğ unu gösterelim. a = 0 al ı n ı rsa, j(z) = 0 bulunur. a # 0

olsun. (6) 'y ı kullanarak ve — (I/a)y E Y olduğ unu göz önüne alarak,

f(z)I = jag = lai inf py — xo ll yEr

lai II —71:( y — xo II

Ily axo ll

elde ederiz; yani, Jf(x)I < 114 'dir. O halde, f s ı n ı rl ı olup, 5_ 1 'dir. Ş imdi de, Iljli .? 1 olduğ unu gösterelim. infimum tan ı m ı gereğ ince, Y, Ilyn — xo II -›

olacak şekilde bir (yn ) dizisi içerir. ı n = yn —xo diyelim. a = olmak üzere, (8) uyar ı nca,

f(z„) = —(5 yazabiliriz. Ayr ı ca, n -+ 00 için,

(Y E Y)

(8 )

174 1 Km' _ —sup v(z)

zz Hz il izni Hzn II s

'dir. O halde, lin > 1 olup, dolay ı s ı yla, = 1 bulunur. Normlu uzaylara iliş kin Hahn-Banach teoremi (4.3.2) uyar ı nca, f normu büyütmeksizin, X 'e geniş letebiliriz.

Bu lemmay ı kullanarak, yukar ı da gereksinme duydu ğ umuz teoremi elde edece ğ iz: 4.6.8. TEOREM. (Aynlabilirlik). Normlu bir X uzay ı n ı n X' dual uzay ı ayr ı labilir ise, X

'in kendisi de aynlabilirdir. Ispat. X' 'nün ayr ı labilir olduğ unu kabul edelim. Bu durumda, U

= : I} c X ' birim küresi say ı labilir yoğ un bir altküme içerir; örne ğ in (f„) diyelim. f„ e U' olduğ undan,

IUnII = sup ıfn (x)i = 1 11x11-1

yazabiliriz. Supremum tan ı m ı gereğ ince,

if„(xn)I -›- 2.

olacak ş ekilde, normu 1 olan xn e X noktalar ı bulabiliriz. Y, span(xn ) 'in kapan ış ' olsun. Bu durumda, Y, say ı labilir yoğ un bir altküme, daha aç ı k olarak söylersek, x. ',erin, reel ve sanal k ı s ı mlar ı rasyonel olan katsay ı larla düzenlenmi ş tüm lineer kombinasyonlar ı n ı n kümesin', içerdiğ inden, Y ayr ı labilirdir.

Ş imdi, Y = X olduğ unu gösterelim. Bir an için, Y X olduğ unu kabul edelim. Y kapal ı olduğ undan, Lemma 4.6.7 gereğ ince, 11711 = 1 ve her y E Y için, 7(y) = 0

olacak şekilde bir 7 e X' vard ı r. x. e Y olduğ undan, 7(x„) = 0 yazabiliriz ve her ıl için, lix11 = 1 olmak üzere,

-1. ımx.)1= 1f.(x.)-7(xn),

= ı v-7xx.)1 lif -711 II

buluruz. O halde, lif —711 > z 'dir; ancak, bu sonuç (f,i ) 'in U"de yoğ un olduğ u

varsay ı m ı ile çeliş ir. Çünkü, 7 'n ı n kendisi de U' 'nün içindedir; gerçekten, 11711 = 1 'dir.

PROBLEMLER 1. X = R » al ı nmas ı halinde, (2) 'deki, f ve gx fonksiyonelleri nelerdir? 2. X 'in bir Hilbert uzay ı olmas ı halinde, Lemma 4.6.7 'nin daha basit bir ispat ı n ı

veriniz. 3. Normlu bir Xuzay ı yans ı mal ı ise, X' 'nün de yans ı mal ı olduğ unu gösteriniz. 4. Bir X Banach uzay ı n ı n yans ı mal ı olmas ı için gerek ve yeter ko ş ulun, duali olan X

'nün yans ı mal ı olmas ı olduğ unu gösteriniz. (Yol Gösterme: Yans ı mal ı bir Banach uzay ı n ı n, kapal ı bir altuzay ı n ı n da yans ı mal ı olduğ u gösterilebilir. Bu gerçe ğ i ispatlamadan kullan ı n ı z.)

5. Lemma 4.6.7 'nin varsay ı mlar' alt ı nda, X üzerinde,

II h II = 1/8, her y e Y için, h(y) = 0, h(xo) = 1

olacak şekilde, s ı n ı rl ı lineer bir h fonksiyonelinin varolduğ unu gösteriniz. 6. Normlu bir X uzay ı n ı n, Yı ve Y2 gibi farkl ı kapal ı altuzaylar ı n ı n, farkl ı

175 s ı f ı rlayanlara sahip olduklar ı n ı gösteriniz. (Bkz. K ı s.2.10, Prob.13.)

7. Y, normlu bir X uzay ı n ı n, Y 'nin üzerinde her yerde s ı f ı r olan her f E X ', tüm X uzay ı üzerinde, her yerde s ı f ı r olacak ş ekilde, kapal ı bir altuzay ı olsun. Bu durumda, Y = X olduğ unu gösteriniz.

8. M, normlu bir X uzay ı n ı n herhangi bir altuzay ı olsun. Gösteriniz ki, bir x o E X 'in, A = spanM 'in eleman ı olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, f 1 ti, = 0 olacak ş ekildeki her

.f e X' içinf(x o ) olmas ı d ı r. 9. (Total Küme). Normlu bir X uzayin ı n bir M altkümesinin, X 'de total olmas ı için

gerek ve yeter ko ş ul, M üzerinde, her yerde s ı f ı r olan, herf E X 'nün, X üzerinde her yerde s ı fı r olmas ı d ı r. Gösteriniz.

10. Gösteriniz ki, normlu bir X uzay ı , n elemandan olu ş an lineer ba ğı ms ı z bir altkümeye sahip ise, X' dual uzay ı da sahiptir.

4.7. KATEGORI TEOREMI. DÜZGÜN SINIRLILIK TEOREMI. S.Banach ve H.Steinhaus (1927) taraf ı ndan verilen düzgün sinirlilik teoremi (ya da

düzgün sinirlilik ilkesi) matematikte önemli bir yer tutar. Gerçekten, analizde bu teoremle iliş kili, ilk örnekleri H.Lebesgue taraf ı ndan yap ı lan incelemelerde görülen (1909), pek çok sonuç bulunmaktad ı r. Düzgün sinirlilik teoremi, ço ğ unlukla, normlu uzaylarda, fonksiyonel analizin kö şe ta ş lar ı ndan birisi olarak görülür. Bilindi ğ i gibi, bu konudaki diğ er köş e ta ş lar ı , Hahn-Banach Teoremi (K ı s.4.2, 4.3), Aç ı k Dönüş üm Teoremi (K ı s. 4.12) ve Kapal ı Grafik Teoremi (K ı s.4.13) 'dür. Hahn-Banach Teoreminden farkl ı olarak, bu dört teoremden üçü taml ı k ilkesine gereksinme duyar. Gerçekten bunlar,Banach uzaylar ı n ı n, normlu uzaylann genellikle sahip olmad ığı , çok önemli özelikleri karakterize eder.

Bu teoremlerin her üçünü de ortak bir kaynaktan elde etti ğ imizi söylememiz, herhalde, ilginç olacakt ı r. Daha aç ı k olarak söylersek; önce, Baire Kateogori Teoremi ad ı verilen bir teorem ispatlayacak ve daha sonra Aç ı k Dönüş üm Teoreminin yan ı s ı ra, Düzgün Yak ı nsakl ı k Teoremini elde edece ğ iz. Ileride de Kapal ı Grafik Teoremini ispatlayaca ğı z.

Baire kategori teoremi, fonksiyonel analizde daha ba ş ka uygulamalara da sahiptir ve kategori kavram ı n ı n çeş itili ispatlarda çe ş itli ispatlarda kar şı m ı za ç ı kmas ı n ı n da nedeni

budur. (Daha ileri düzeyde, örne ğ in, R,E.Edwards (1965) ve J.L.Kelley ve I.Namioka (1963) 'e bak ı niz.)

Tan ı m 4.7.1 'de, 4.7.2 No.lu Baire Kategori Teoremi için gerekli kavramlar ı ifade edeceğ iz. Her bir kavram için iki isim bulunmaktad ı r: bir yeni isim ve parantez içinde

verilen bir eski isim. "Kategori" (bu kitapta ortaya ç ı kmayan) tümüyle farkl ı matematiksel

amaçlarla kullan ı ld ığı ndan, eski isimler art ı k kullan ı lmamaktad ı r. 4.7.1. TANIM. (Kategori). Bir X metrik uzay ı n ı n bir M altuzay ı verilmi ş olsun.

(a) M 'nin kapani şı olan M hiç bir iç nokta içermiyorsa, M 'ye X 'de hiçbir yerde

yoğ un değ il (rare) dir denir. (b) Eğ er M, her biri, X 'de hiçbir yerde yo ğ un olmayan, say ı labilir çoklukta

kümenin birleş imi olarak ifade edilebiliyorsa, M, X 'de birinci kategoriden (meager) dir denir.

(c) X 'de birinci kategoriden olmayan bir M kümesine ise, ikinci kategoriden

(nonmeager) dir denir. 4.7.2. BAIRE KATEGORI TEOREM İ (Tam Metrik Uzaylar). Eğ er bir X N metrik

176 uzay ı tam ise, kendi içinde ikinci kategoridendir. Buna göre, X # tam ve

X = UAk

(A k kapal ı ) (1)

ise, Ak 'lardan en az bir tanesi, bo ş olmayan aç ı k bir altküme içerir. Ispat. İ spattaki dü ş ünce şekli oldukça basittir. X # (I) tam metrik uzay ı n ı n, kendi

içinde birinci kategoriden oldu ğ unu varsayal ı m. Buna göre, Mk 'lar ı n herbiri, X 'de hiçbir yerde yoğ un olmayan altkümeler olmak üzere,

X Mk (11

k=1

yazabiliriz. Ş imdi, p limiti (ki taml ı k nedeniyle mevcuttur) hiçbir Mk 'da bulunmayan bir (pk) Cauchy dizisi in ş a edecek ve bunun yard ı m ı yla, (1*) ile bir çeliş ki yarataca ğı z.

Kabulümüz gere ğ i, MI , X 'de hiçbir yerde yo ğ un olmayan bir kümedir; dolay ı s ı yla, tan ı m uyar ı nca, Mi boş olmayan bir aç ı k küme içermez. Fakat, X böyle bir küme içerir (örneğ in kendisini içerir). Bu durum, M1 * Xsonucunu gerektirir. O halde, M1 'in tümleyeni olan

= X - M 1

boş değ ildir ve aç ı kt ı r. Bu nedenle, M; 'de birp, noktas ı ve bunun komş uluğ unda, örneğ in,

B ı = B(p ı ;61) c (el < 1/2)

gibi bir aç ı k yuvar seçebiliriz. Benzer şekilde, M2, X 'de hiçbir yerde yoğ un olmayan bir küme olup, bu nedenle de M2 boş olmayan aç ı k bir yuvar içermez. Dolay ı s ı yla, B(p ı ; ı )/2 aç ı k yuvar ı n ı da içermez. Bu durum, r4 r1B(pi; E 112) 'nin boş olmad ığı n ı ve aç ı k olduğ unu gösterir. O halde, bu küme içerisinde, örne ğ in,

B2 = (p2;e2) c Mi nB(p 1 ;e 1 12) (e ı < el12)

gibi bir aç ı k yuvar seçebiliriz. Tüme var ı m yoluyla bu iş leme devam edersek, Bkn Mk=Q ve

Bk+1 C B(pk ;Ek12) c Bk (k = 1,2,...)

olacak ş ekilde bir

Bk = B(pk ;Ek) Ek <

aç ı k yuvarlar dizisi elde ederiz.

Ek < 2-k olduğ undan, merkezlerden olu şan (pk) dizisi bir Cauchy'dir ve varsay ı m gereğ i X 'in tam olmas ı nedeniyle, yak ı nsakt ı r: pk->pEX diyelim. Ayrı ca, her m ve n > m için, B,, c B(p„,;E.12) olup, dolay ı s ı yla, n --> oo için,

d(p.,p) 5_ d(p.,pn)+ d(pn,P)

< —1 eni + d(p.,P) -> 2em 2

yazabiliriz. O halde, her m için, p E B. 'dir. Bu durumda, B. c X, olduğ undan, her

m için, p M. olduğ unu görürürz; o halde, p ix U Mm = X 'dir. Bu ise, p E X

varsay ı m ı ile çeliş ir. Bu çelişki de Baire teoremini ispatlar. Burada, Baire teoreminin kar şı t ı n ı n genel olarak doğ ru olmad ığı n ı belirtmemiz

yerinde olacakt ı r. Kendi içinde, ikinci kategoriden olan, tam-olmayan normlu bir uzay

177 örneğ i, N.Bourbaki (1955, Örnek 6 S.3-4 'de verilmi ş tir.

Baire teoreminden yararlanarak, düzgün sinirlilik teoremini kolayca elde edebiliriz. Bu teorem, X 'in bir Banach uzay ı ve Ta G B(X,Y) operatörler dizisinin, her x E X noktas ı nda s ı n ı rl ı olmas ı halinde, bu dizinin düzgün sinirli oldu ğ unu ifade eder. Diğ er bir deyimle, noktasal sinirlilik, daha kuvvetli anlamda bir sinirlili ğ i gerektirir ki bu tür sinirliliğ i düzgün sinirlilik olarak adlandir ı yoruz. (Aş ağı daki (2) no.lu formülde ad ı geçen cx reel say ı s ı , asl ı nda, genel olarak, x 'e ba ğ l ı olarak değ iş ir. Bu gerçe ğ i c 'nin sağ alt köşesine yazd ığı m ı z x alt indisiyle belirtiyoruz; burada esas nokta cx 'in n 'e ba ğ li olmay ışı d ı r.

4.7.3. DÜZGÜN SINIRLILIK TEOREMI. (Ta), bir X Banach uzay ı ndan, normlu bir Y uzay ı içine olan, s ı n ı rl ı lineer Tn : X - ■ Y operatörlerinin bir dizisi olsun. Burada, (Iirnxii) dizisinin her x e X için sinirli olduğ unu varsay ıyoruz; yani, c, bir reel say ı olmak üzere,

T„.x n = 1,2,... (2)

al ı nmaktad ı r. Buna göre, ii Tn II normlar ı ndan oluş an dizi de s ı n ı rl ı d ı r yani,

IITnII < c n = 1,2,... (3) olacak şekilde bir c say ı s ı vard ı r.

Ispat. Her k e N için, Ak C X, her n say ı s ı na karşı l ı k,

II Tnx il 5_ k

koş ulunu gerçekleyen bütün x lerin olu ş turduğ u küme olsun. Ak kapal ı d ı r. Gerçekten, herhangi bir x e Ak için, Ak 'da x 'e yak ı nsayan bir (xj) dizisi vard ı r. Bu durum, Tn 'in ve de normun sürekli olmas ı nedeniyle (Bkz. K ı s.2.2), her sabit n için, liTnxj II < k yazabileceğ imizi ve ii Tnxil < k elde edeceğ imizi gösterir. O halde, x e Ak olup, Ak kapal ı d ı r.

(2) uyar ı nca, x e X ',erin her biri, Ak lardan birisine aittir. O halde,

X= UAk k=1

yazabiliriz. X tam olduğ undan, Baire teoremi. baz ı Ak 'lar ı n bir aç ı k yuvar içerdiğ ini ifade eder; örne ğ in,

Bo = B(xo;r) c Ak,

diyelim. x e X keyfi ve s ı f ı rdan farkl ı olsun.

z = xo+ yx - 211x11

yazal ı m. Bu durumda, liz - x o < r. olup, dolay ı s ıyla, z e Bo 'd ı r. (4) uyar ı nca ve Ak„ 'in

tan ı m ı ndan, her n için, liTnzil < ko elde ederiz. Ayr ı ca, xo e Bo olduğ undan, Tnxo ko yaz ı labilir. (5) 'den,

I ı x = Y —kz xo)

elde ederiz. Bu da, her n için,

117;,x11 = y liTn(z - xo)II 5- +( Il Tnz Il + 117;ixo II) 5- ilxIlko

sonucunu verir. Buna göre, her n için,

=sup II Tnx < p ko

178 yazabiliriz ki, bu da, c = 4ko/r olmak üzere, (3) formundad ı r.

UYGULAMALAR

4.7.4. Polinomlar Uzay ı . Tüm polinomlardan olu ş an ve

IIxII =max x 'in katsay ı lar ı )

(6)

ile tan ı mlanan norma göre normland ı r ı lm ış X uzay ı tam değ ildir. ispat. X üzerinde (2) 'yi gerçekledi ğ i halde, (3) 'ü gerçeklemeyen, s ı n ı rl ı lineer

operatörlerin bir dizisini olu ş turarak, X 'in tam olamayaca ğı n ı göstereceğ iz. Nx 'inci dereceden bir x * 0 polinomunu,

x(t) = > N, için, cti = O)

ş eklinde yazabiliriz. (x = 0 için derece tan ı mlanmaz. Ancak bu durum burada bir önem ta şı mamaktad ı r.) X üzerinde tan ı ml ı bir operatör dizisi olarak,

T,i0 = f„(0) = 0, T„x = f„(x) = ao + a l +...+a,,--1

( 7) ile tan ı mlanan T„ =fn fonksiyoneller dizisini alabiliriz. fn lineerdir. Ayr ı ca, (6) uyar ı nca, laj l < ilx11 olduğ undan ve dolay ı s ı yla, if,i (x)1 5 nilx II yaz ı labileceğ inden, f s ı n ı rl ı d ı r. Bunun yan ı s ı ra, her sabit x E X için, (if„(x)l) dizisi (2) 'yi gerçekler. Çünkü, Nx 'inci dereceden, bir x polinomu Nx + 1 tane katsay ı ya sahip olup, bu nedenle, (7) 'yi göz önüne al ı rsak,

Ifn(x)1 5 (Nx + 1) max Iaji = cx

yazabiliriz. Bu ise, (2) formundad ı r. Ş imdi, (f„) 'in (3) 'ü gerçeklemedi ğ ini, yani, her n için, 117'n il = l(f„ ii 5 e olacak

şekilde bir c say ı s ı n ı n varolmad ığı n ı göstereceğ iz. Bunu da, özel olarak, uygun olmayan polinomlar seçerek yapaca ğ' ız.fn için,

x(t) = 1 + t +... +tn

ile tan ı mlanan x polinomunu seçelim. (6) uyar ı nca, IIxII = 1 'dir ve

f.(x) = 1 + 1 = n /Akil bulunur. Dolay ı s ıyla, ilf„ ff„(x)Viixii = n olup, (l[fn lj) s ı n ı rs ı zd ı r.

4.7.5. Fourier Serisi. 3.5.1. 'den, 2 ır periyoduna sahip periyodik bir x fonksiyonunun Fourier serisinin, x fonksiyonunun Fourier katsay ı lar ı , Euler formülleri olarak bilinen,

2 ır 2ır

am ,-- x(t)costntdt, bm = —1 x(t)sintntılt 71-

O O

formülleriyle verilmek üzere,

2 1 —ao (ani cos ınt bm sinmt) (8)

m=1

ş eklinde olduğ unu hat ı rl ı yoruz.((8)'de ao/2 yazmam ı z ı n nedeni, (9) 'da yaln ı zca iki formül yazabilmektir. 3.5.1. 'de ao yazm ış ve üç Euler formülüne gereksinim duymu ş tuk.)

(8) serisinin, x 'in süreksiz olduğ u noktalarda bile yak ı nsak olabileceğ i iyi bilinmektedir. (Prob.15, bu konuda basit bir örnek vermektedir.) Bu durum, süreklili ğ in yak ı nsakl ı k için gerekli olmad ığı n ı göstermektedir. Süreklilik, sürpriz bir şekilde, yeterli

(9)

1.7 9 de değ ildir. (Süreklilik ve sa ğ ve sol türevlerin bir to noktas ı ndaki varl ığı , to noktas ı ndaki yak ı nsakl ı k için yeterlidir. (Bkz.W.Rogosinski (1959), s.70). Gerçekten, düzgün sinirlilik teoremini kullanarak a ş a ğı daki sonucu gösterebiliriz:

Fourier serileri verilen bir to noktas ı nda ı raksak olan reel de ğ erli sürekli fonksiyonlar vard ı r.

ispat. X, 2 ır periyotiu, tüm reel de ğ erli sürekli fonksiyonlar ı n,

ljx11 = max[x(t)1

( o) ile tan ı mlanan norma sahip bir normlu uzay olsun. 1.5.5'de a = 0 ve b = 2ır al ı narak görülebileceğ i gibi, X bir Banach uzay ı d ı r. Genellikten bir şey kaybetmeksizin, t o = 0 alabiliriz. ifademizi ispatlayabilmek için, 4.7.3 düzgün sinirlilik teoremini,f, ı (x), x 'in Fourier serisinin n. k ı smi toplam ı n ı n t = 0 'daki değ eri olmak üzere, Tn =f,, 'e uygulayacağı z. t = 0 için, sinüs terimi s ı f ı r ve kosinüs terimi bir oldu ğ undan, (8) ve (9) 'dan,

fii(x) = la° + E am 2 ral

2 ır = x(t) + cosmt dt

o

olduğ unu görürüz. Fonksiyonumuzun, integral işareti alt ı nda bir toplamla gösterimini elde etmek istiyoruz. Bu amaçla,

2 sin it E cosmt = E 2 sin ı tcosmt

2 2 rre=1 ~1

= sin(m - 1-)t + sin(m +

= -sin2 2 + sin(n + -1 -)t

hesaplamas ı n ı yapabiliriz. Burada, son ifade, pek çok terimin iki şer ikişer devre d ışı kalmas ı n ı n sonucunda ortaya ç ı km ış t ı r. Bu sonucu, sin -12-t ile bölüp her iki tarafa 1

eklersek,

sin(n + 1 + 2 E cosmt -

sin ıır=1 2 t

elde ederiz.Sonuç olarak,f„(x) 'e ili şkin formül, basit bir biçimde,

fn(x) - x(t)q„(t)cli,

o olarak yaz ı labilir. Bu sonucu kullanarak,fn lineer fonksiyonelinin s ı n ı rl ı olduğ unu gösterebiliriz. Gerçekten, (10) ve (11) 'den yararlanarak,

2n. maxix(01 f lq.(01 dt = 27tiqn (t)Idt o o

elde ederiz. Buradan da, f„ 'in s ı n ı rl ı olduğ unu görürüz. Ayr ı ca, normu bir olan tüm x 'ler üzerinden supremum alarak,

sin(n + ı )t qn(t) = 2

sin 2

[x(t) — y(t)]q n (t)dt

o

1 2 ır

<

180

lif. II S gir J Iq (t)Idt

o

buluruz. Asl ı nda, burada , ş imdi ispatlayaca ğı m ı z gibi, eş itlik iş areti geçerlidir. Bu amaçla, ilk olarak, qn (t) > 0 olacak ş ekildeki her t noktas ı nda y(t) = +1, ve diğ er noktalarda y(t) = -1 olmak üzere,

lq n (t)1 = y(t)q n (t)

yazal ı m. y 'nin sürekli olmamas ı na karşı n, verilen herhangi bir e > 0 için, normu 1 olan sürekli bir x fonksiyonuna, bu x için,

olacak ş ekilde, dönü ş türülebilir. Bu sonucu iki integral halinde yaz ı p, (11) 'i kullan ı rsak,

1 2ır

2 ır 2 ır

x(t)qn(t)dt - y(t)q n (t)dt o o

27(

= fn(x)-2 ır J Ign(t)Idt o

elde ederiz. e > 0 keyfi olarak al ı nd ığı ndan ve ilxil = 1 olduğ undan, bu sonuç istenilen formülü ispatlar:

2x

2ır n

Ilf.11 = lig (Oidt O

Ş imdi de, son olarak. (llf„ Il) dizisinin s ı n ı rs ı z olduğ unu gösterelim. qn 'in (11) deki değ erini (12) 'de yerine koyarak, t (0,2/ı ] için, I sin 2tI < +t gerçeğ ini kullan ı p,

+ = v konumunu yaparak, harmonik serinin ı raksak olmas ı nedeniyle,

2x sin(n + I)/ 2

11;11 = 2lir sin dt

O 2

2x

> r sin(n + gt) I

dt

j 2 t 0

(2,1+1)n = f Isin vl

dv -ır J

0

2n (k+ 1 )ır

=4-E f I sin vi dv

2n (k+l)n

> N" 1 Isinvidv ‘..-+ (k + 1)x l<=0

2n 2 'S" 1 00, n 00

7t2 k +1

elde ederiz. Dolay ı s ıyla, (11f,11) s ı n ı rs ı z olup, (7', =fh ) al ı nmak üzere (3) formülü gerçeklenmez. Xtam oldu ğ undan, bu sonuç, (2) 'nin tüm x 'ler için sa ğ lanmad ığı n ı gösterir. Buna göre, (lf,i (x)i) s ı n ı rs ı z olacak ş ekilde bir x E Xvarolmal ı d ı r. Fakat, bu

(12)

181 durum, in 'lerin tan ı m ı gereğ ince, x 'in Fourier serisinin t = 0 'da ı raksad ığı anlam ı na gelir.

Dikkat edilirse, yapm ış olduğ umuz varl ı k ispat ı , bir to noktas ı nda Fourier serisi ı raksak olan, sürekli bir x fonksiyonunun nas ı l bulunaca ğı n ı göstermemektedir. Böyle fonksiyonlara örnekler, L.Fejer (1910) taraf ı ndan verilmi ş tir; diğ er bir örnek de, W.Rogosinski (1959), s. 76-77 'de bulunabilir.

PROBLEMLER 1. Rasyonel say ı lar topluluğ u, (a) R 'de, (b) kendi içinde (al ışı lm ış metrik alt ı nda)

hangi kategoridendir? 2. Tam say ı lar topluluğ u, (a) R 'de, (b) kendi içinde hangi kategoridendir? (Burada, R

'den indirgenen metrik al ı nm ış t ı r.) 3. Bir X diskre metrik uzay ı nda, hiçbir yerde yo ğ un olmayan kümeler bulunuz. 4. R 2 'de birinci kategoriden yo ğ un bir altküme bulunuz. 5. Bir X metrik uzay ı n ı n bir M altkümesinin, X 'de hiçbir yerde yo ğ un olmamas ı için

gerek ve yeter ko ş ul (21-4)c 'nin X 'de yoğ un olmas ı d ı r. ispatlay ı n ız. 6. Bir X metrik uzay ı n ı n birinci kategoriden bir Maltkümesi verilsin. M 'nin tümleyeni

olan Mc 'nin ikinci kategoriden oldu ğ unu gösteriniz. 7. (Rezonans) X bir Banach uzay ı , Y bir normlu uzay ve T,, E B(X,Y), n = 1,2,...,

sup II Tnii = +00 olacak ş ekilde verilmiş dönüş ümler olsun. sup II Tnxo II = -ı-oo olacak

şekilde bir xo e X 'in varolduğ unu gösteriniz. (xo noktas ı na, çoğ unlukla, rezonans noktas ı ad ı verilir ve problemimiz, bizi düzgün sinirlilik teoremi için rezonans teorem deyimine yöneltir.)

8. Teorem 4.7.3 'de, X 'in taml ığı n ı n esas oldu ğ unu ve gözard ı edilemeyeceğ ini gösteriniz. (J, x'e bağ l ı olmak üzere, j>JE N için, 4; = 0 koşulunu gerçekleyen bütün x = 'terden olu ş an X c altuzay ı n ı göz önüne al ı p, T,, dönüşümünü, T„x = fi (x) = ıgn şeklinde tan ı mlay ı n ı z. )

9. S : Q2 -9. Q 2 operatörü, ( 1 ,42,4 3 ,...) (53, ile tan ı mlanmak üzere, T,, = S" olsun. 1lTnx11 için bir s ı n ı r bulunuz. Ayr ı ca, lim II Tnx II, II Tn II ve lim 11T„ 'i

)1-1,0

hesaplay ı n ı z.

10. (c o Uzay ı ). y = (ni), ni e C, her x = E Co için, yak ı nsak olacak şekilde

bir dizi olsun. Burada, co c s ı fı ra yak ı nsayan kompleks terimli diziler uzay ı d ı r. 4.7.3 'ü

kullanarak, »bi < c oldu ğ unu gösteriniz.

11. X bir Banach uzay ı , Y bir normlu uzay ve T„ e B(X,Y), (T„x) her x E X için, Y 'de Cauchy olacak şekilde verilen dönü ş ümler olsun. (117;,11) 'in s ı n ı rl ı olduğ unu

gösteriniz. 12. Prob.11 'deki koş ullara ek olarak, Y tam ise, T E B(X, Y) olmak üzere, T wx -* Tx

olduğ unu gösteriniz. 13. Eğ er (x„), bir X Banach uzay ı nda, her f e X' için, (f(x„)) s ı n ı rl ı olacak ş ekilde bir

dizi ise, (11x„ II) 'in s ı n ı rl ı olduğ unu gösteriniz. 14. X ve Y Banach uzaylari ve T„ e B(X,Y), n = 1,2,... ise, a şağı daki ifadelerin

eşdeğ er olduğ unu gösteriniz. (a) (11Tn 11) s ı n ı rl ı d ı r, (b) (11T,,x11) her x E X için s ı n ı rl ı d ı r, (c) (ig(T,,x)i) her x e X ve her g e Y' için s ı n ı rl ı d ı r. 15. Bir x fonksiyonunun Fourier serisinin, x 'in süreksiz oldu ğ u bir noktada bile

182 yak ı nsayabileceğ ini göstermek amac ı yla,

x(t) = , — ır < I < O

, 0<t<x ve x(t + 27r) = x(t)

fonksiyonunun Fourier serisini bulunuz. x 'in ve so,s ı ,s2,s3 k ı smi toplamlar ı n ı n grafiğ ini çiziniz ve Ş ekil 42 ile kar şı laş t ı r ı n ı z. Serimizin, t = ±nır noktas ı nda, x 'in sa ğ ve sol limitlerinin aritmetik ortalamas ı olan 1/2 değ erini ald ığı n ı gösteriniz. Bu durum Fourier serilerinin tipik bir davran ışı d ı r.

Ş ekil 44. Prob.15'deki ilk üç sl,s2,s3 k ı smi toplamlar ı n ı n grafiğ i

4.8 KUVVETLI VE ZAYIF YAKINSAKLIK Analizde, adi, koş ullu, mutlak ve düzgün yak ı nsakl ı k gibi, farkl ı tiplerde yak ı nsakl ı k

kavramlar ı tan ı mland ığı n ı biliyoruz. Bu durum, dizi ve serilere ili ş kin teori ve uygulamalarda büyük bir esneklik sağ lamaktad ı r. Fonksiyonel analizde de durum ayn ı olup, pratik aç ı dan yararl ı olan daha büyük olanaklar bulunmaktad ı r. Bu k ı s ı mda, özellikle, temel bir kavram olan zay ı f yak ı nsakl ı k kavram ı yla ilgileneceğ iz. Büyük ölçüde,

bundan önceki k ı s ı mda incelediğ imiz düzgün sinirlilik teoremine dayand ığı için, ş imdiye

kadar bu konuya değ inmedik. Gerçekten, inceleyece ğ imiz bu konu, sözü edilen teoremin en önemli uygulamas ı d ı r.

Normlu bir uzay ı n elemanlar ı ndan oluş an bir dizinin K ı s.2.3 'de tan ı mlad ığı m ız

yak ı nsakl ığı n ı , zay ı f yak ı nsakl ı kdan ay ı rtedebilmek için, bundan böyle, kuvvetli

yak ı nsakl ı k olarak adland ı racağı z. Bu tan ı m ı k ı saca hat ı rlayarak iş e baş layal ı m:

4.8.1. TANIM (Kuvvetli Yak ı nsakl ı k). Normlu bir X uzay ı nda bir (x„) dizisi verilmi ş olsun. Eğ er,

lim - x!) = 0

olacak ş ekilde bir x e X eleman! varsa, (x n ) dizisi kuvvetli yak ı nsak 'd ı r ya da norma

göre yak ı nsak 'd ı r denir ve bu durum,

liM xn = X rt..0

veya, k ı saca,

xn x

olarak yaz ı l ı r. x 'e, (x„) dizisinin kuvvetli limiti ad ı n ı verecek ve (x„) dizisi kuvvetli olarak

x 'e yak ı nsakt ı r diyeceğ iz. Zay ı f yak ı nsakl ı k ise, X üzerindeki s ı n ı rl ı lineer dönü ş ümler cinsinden aş ağı daki

ş ekilde tan ı mlan ı r:

183 4.8.2. TANIM (Zay ı f Yak ı nsakl ı k). Normlu bir X uzay ı nda bir (x„) dizisi verilmi ş olsun.

Eğ er her f e X için,

ilin n ) = f(z)

olacak şekilde bir x E X varsa, (x„) dizisi, zay ı f yak ı nsak 't ı r denir ve

x„ x

ya da, x„ x ş eklinde yaz ı l ı r. x eleman ı na, (x,,) dizisinin zay ı f limiti ad ı verilir ve (x n ) dizisi x 'e zay ı f yak ı nsar denir.

Zay ı f yak ı nsakl ı k, analizde (örneğ in, varyasyon hesap, genel diferensiyel denklemler teorisi gibi) çok çe ş itli uygulama alanlar ı na sahiptir. Bu kavram, fonksiyonel analizin temel iikelerinden birisini, ya da daha aç ı k söylersek, uzaylar ı n incelenmesinin, çoğ unlukla, bu uzaylar ı n dualleriyle ili ş kin olduğ u gerçeğ ini ortaya ç ı kar ı r.

Zay ı f yak ı nsakl ığı uygulayabilmek için, a ş ağı daki lemmada ifade edece ğ imiz, baz ı temel özeliklerini bilmemiz gerekmektedir. Görülece ğ i gibi, ispatta Hahn-Banach ve düzgün sinirlilik teoremini kullanaca ğı z. Bu ise, söz konusu teoremlerin zay ı f yakinsakl ığ a iliş kin olarak önemini ortaya koyacakt ı r.

4.8.3. LEMMA (Zay ı f Yak ı nsakl ı k). normlu bir X uzay ı nda zay ı f yak ı nsak bir dizi olsun: x„ x diyelim, Bu durumda,

(a) (x„) 'in zay ı f limiti olan x tek'dir. (b) (xn ) 'in her altdizisi, x 'e zay ı f yak ı nsar. (c) ( II) dizisi s ı n ı rl ı d ı r. Ispat. (a) x„ y x ve ayn ı zamanda, xn y olduğ unu varsayahm. Bu durumda,

f(xn ) f(y) olmas ı n ı n yan ı s ı ra,f(x n) f(x) yazabiliriz. (Axn)) bir say ı dizisi olduğ undan, limiti tek'dir. O halde,f(x) = f(y) olup, her f E X' için,

f(x) — f(y) = f(x — y) = 0

yazabiliriz. Bu ise, Sonuç 4.3.4 uyar ı nca, x —y = 0 olmas ı n ı gerektirir ve zay ı f limitin teldiğ ini gösterir.

(b) İ spat ı n bu k ı sm ı , (fix„)) dizisinin yak ı nsak bir say ı dizisi olmas ı gerçeğ inden kaynaklan ı r ve dolay ı s ı yla, (f(x,,)) dizisinin her altdizisi de yak ı nsak olup, dizi ile ayn ı limite sahiptir.

(c) (fixn)) yak ı nsak bir say ı dizisi olduğ undan, ayn ı zamanda s ı n ı rl ı d ı r; dolay ı s ıyla, cf , f 'e bağ l ı olduğ u halde, n 'e bağ l ı olmayan bir sabit olmak üzere, her n için, 1/(x,,)1 < cf diyebiliriz. C : X , X" kanonik dönüş ümünü (Bkz.K ı s.4.6) kullanarak, gn E X " 'yü,

gn(f) = n) (f E Xı )

ile tan ı mlayabiliriz. (Burada, alt indise yeniden bir alt indis vermekten kaç ı nmak için, g,„

yerine gn yazd ı k.) Buna göre, her n için,

= cf

bulunur; yani, (Ign(f)I) dizisi, her f e X' için s ı n ı rl ı d ı r. 2.10.4 uyar ı nca, X' tam olduğ undan, düzgün sinirlilik teoremi (4.7.3) uygulanabilir olup, (lig ?, dizisinin s ı n ı rl ı l ığı n ı gerektirir. Ş imdi, 4.6.1 'i göz önüne al ı rsak, jjgn jj = llx„II elde ederiz ve böylece (c) ispatlanm ış olur.

Okuyucu, zay ı f yak ı nsakl ığı n analizde neden bir rol oynamad ığı n ı merak edebilir. Bunun nedeni, sonlu boyutlu normlu uzaylarda, kuvvetli ve zay ı f yak ı nsakl ı k aras ı ndaki

fark ı n tümüyle ortadan kalkmas ıd ı r. Aş ağı daki teoremde bu gerçe ğ i ispatlayarak

1 Ş34 "kuvvetli" ve "zay ı f" terimlerinin kullan ı lma nedenlerini aç ı klayaca ğı z.

4.8.4. TEOREM (Kuvvetli ve Zay ı f Yak ı nsakl ı k). (x„), normlu bir X uzay ı nda bir dizi olsun. Bu durumda,

(a) Kuvvetli yak ı nsakl ı k, limit ayn ı kalmak üzere, zay ı f yak ı nsakl ığı gerektirir. (b) (a) 'n ı n tersi genelde doğ ru değ ildir. (c) dim X < x ise, zay ıf yak ı nsakl ı k, kuvvetli yak ı nsakl ığı gerektirir. ispat. (a) Tan ı m gereğ i x„ x olmas ı , - -4 0 anlam ı na gelir ve her f E X' için,

1/(x„) -f(x)i =II(xn - x)1 1111111x„- xil 0

sonucunu gerektirir. Bu ise, x„ - 14 x olduğ unu gösterir. (b) Ispat ı n bu k ı sm ı , bir H Hilbert uzay ı ndaki (en ) ortonormal dizisinden

yararlan ı larak yap ı labilir. Gerçekten, her f e H', bir j(x) =< x,z > Riesz gösterimine sahiptir. Dolay ı s ıyla, f(en ) e n,z > yaz ı labilir. Bu durumda, Bessel e ş itsizliğ i (Bkz.3.4.6),

El< en ,z >1 2 < 11211 2

sonucunu verir. O halde, sol taraftaki seri yak ı nsak olup genel terimi, n oo için, s ı fı ra yak ı nsar. Bu da,

f(en) e n,z >-• 0

olduğ unu ifade eder. f e H' keyfi olduğ undan, en s--+ 0 olduğ unu görürüz. Bununla birlikte,

Ilem — enll2 e,,,- e„,e„,- >= 2 (m # n)

olduğ undan, (en ) dizisi kuvvetli yak ı nsak değ ildir.

(c)x„ x ve dimX = k olduğ unu varsayal ı m. {el,...,ek}, X için bir baz olsun ve (n) (

Xn = a t ei+...+a n)k ek

ve

x = alei+...+ak ek

diyelim. Kabulümüz gereğ i, her f e X' için,f(x„) 'dir. Özel olarak,

fj(e,) = 1, f(em) = 0 (m # j)

ile tan ı mlanan, dizisini göz önüne alal ı m. (Bunun, {e1,...,ek} 'n ı n dual baz ı olduğ undan daha önce söz etmi ş tik;Bkz. Ks ı .2.9). Buna göre, f,(xn) fj(x) 'in, gri) -› a,

'yi gerektirdiğ ini söyleyebiliriz. Buradan da kolayca, n oo için,

k

11xn — x11 .= E(a •n) ai)ej

k

< E1(ctin) II -* 0 .fr I

elde ederiz. Bu ise, (xn ) dizisinin, x 'e kuvvetli olarak yak ı nsad ığı n ı gösterir.

Kuvvetli ve zay ı f yak ı nsakl ığı n denk kavramlar olarak karşı m ıza ç ı ktığı sonsuz

boyutlu uzaylar ı n da varolduğ undan söz etmek ilginç olacakt ı r. Bunlara bir örnek, I.Schur

(1921) taraf ı ndan verilen Qi uzay ı d ı r.

185 Son olarak, özellikle önemli iki tip uzayda zay ı f yak ı nsakl ığ a bir göz alal ı m. ÖRNEKLER

4.8.5. Hilbert Uzay ı . Bir Hilbert uzay ı nda, x„ x olmas ı için, gerek ve yeter ko ş ul, uzaydaki her z için, < x„,z x,z > olmas ı d ı r.

ispat. 3.8.1. uyar ı nca ispat aş ikard ı r. 4.8.6. P Uzay ı . 1 < p < oo olmak üzere, QP uzay ı nda, x„ x olmas ı için, gerek ve

yeter koş ul, (A) (ilx„ ) dizisinin s ı n ı rl ı ,

(B) x„ = (4.7') ve x = (.„) olmak üzere, n -› co için, her sabit j 'ye karşı l ı k,

4;;) olmas ı d ı r ispat. QP 'nin dual uzay ı , Qq 'dur (Bkz.2.10.7). P 'nun Schauder baz' ı ise, en =

n.elemant 1, diğ er elemanlar ı O olmak üzere, (en) 'dir. Span (e n ), Qg 'da yoğ un olup, aşağı daki lemman ı n ışığı alt ı nda arad ığı m ı z sonuca ula şı r ı z:

4.8.7. LEMMA (Zay ıf Yak ı nsakl ı k). Normlu bir X uzay ı nda, x„ x olmas ı için, gerek ve yeter ko ş ul,

(A) (11xn dizisinin s ı n ı rl ı , (B) Bir M c X' total aitkümesinin herf elemant için, j(xn) --*/(x)

olmas ı d ı r. ispat. Zay ı f yak ı nsakl ı k halinde, (A) şı kk ı ,Lemma 4.8.3. 'den elde edilir. (B) şı kk ı ise

aş ikard ı r. Tersine olarak, (A) ve (B) 'nin gerçeklendi ğ ini varsayal ı m. Herhangi bir f E X ' göz

önüne alarak, f(xn ) -> f(x) olduğ unu göstereceğ iz ki, bu da, tan ı m gereğ i zay ı f yak ı nsakl ı k anlam ı na gelecektir.

(A) uyar ı nca, c yeterince büyük bir say ı olmak üzere, her n için, ii 5 c ve

ilx11 < c yazabiliriz. M, X' 'de total olduğ undan, her f E X' için, span M 'de, f, f olacak şekilde bir (f,) dizisi vard ı r. Dolay ıs ıyla, verilen bir e > 0 say ı s ı na karşı l ı k,

—fll < 3e olacak şekilde bir j say ı s ı bulabiliriz. Ayrı ca, fi e span Molduğ undan, (B) varsay ı m ı gereğ ince, her n > N için,

jf,(x„) — .1(x)1 <

olacak şekilde bir N say ı s ı vard ı r. Bu iki eş itsizliğ i kullan ı p, üçgen eş itsizliğ ini de

uygulayarak, n > Niçin,

jf(xn)— f(x)I ..11(xn) f,(xn)1+ Ifi(xn) — fi(x)1 + lf,(x) —1(x)1 < lif — 1:11111x.11 + 3 +IU—filllxII

<+ + = e 3c 3 3c

elde ederiz. f E X' keyfi olduğ undan, bu sonuç, (x„) dizisinin x 'e zay ıf yak ı nsak

olduğ unu gösterir. PROBLEMLER

1. (Noktasal Yak ı nsakl ı k) x„ e C[a,b] ve x„ x e ga,b] ise, (x„) dizisinin [a,b]

üzerinde noktasal yak ı nsak olduğ unu, yani, her t e [a,b] için, (x„(t)) 'nin yak ı nsak

olduğ unu gösteriniz.

2. X ve Y normlu uzaylar, T e B(X,Y) ve (xn), X 'de bir dizi olsun. Eğer, x,, xo

ise, Tzn Txo olduğ unu gösteriniz.

186 3. (x„) ve (y n ) ayn ı bir normlu X uzay ı nda tan ı ml ı iki dizi ise, x r, x ve y n y

olmas ı halinde, xr, + x + y ve a bir skaler olmak üzere, ax„ ax olduğ unu gösteriniz.

4. x„ x ise, lim > llxo Il olduğ unu gösteriniz. (Yol.Gös. Teorem 4.3.3 'ü n—Kc ı

kullan ı n ı z.)

5. Normlu bir X uzay ı nda, x„ xo ise, Y = span(x„) olmak üzere, x o E Y olduğ unu gösteriniz. (Lemma 4.6.7 'yi kullan ı n ı z.)

6. (x,,) normlu bir X uzay ı nda, zay ı f yak ı nsak bir dizi ise (örne ğ in, x„ —÷z xo diyelim), (x„) dizisinin elemanlar ı n ı n lineer kombinasyonlar ı ndan oluşan ve xo 'a kuvvetli yak ı nsayan bir (y,n ) dizisinin varoldu ğ unu gösteriniz.

7. Normlu bir X uzaym ı n kapal ı herhangi bir Y altuzay ı n ı n, bu uzay ı n elemanlar ı ndan olu ş turulan zay ı f yak ı nsak bütün dizilerin limitlerini içerdi ğ ini gösteriniz.

8. (Zay ı f Cauchy Dizisi) Reel ya da kompleks normlu bir X uzay ı nda bir zay ı f Cauchy dizisi, herf E X ' için, (Ax„)), s ı ras ı yla, R ya da C 'de Cauchy olacak şekilde X 'de tan ı mlanan bir (x„) dizisidir. (Bu durumda, lim j(x„) 'in mevcut oldu ğ una dikkat ediniz.)

Bir zay ı f Cauchy dizisinin s ı n ı rl ı oldu ğ unu gösteriniz. 9. A, normlu bir X uzay ı nda, boş -olmayan her altkümesi bir zay ı f Cauchy dizisi

içeren bir küme olsun. A 'n ı n s ı n ı rl ı olduğ unu gösteriniz. 10. (Zay ıf Taml ı k) Normlu bir X uzay ı verilmiş olsun. X 'deki her zay ıf Cauchy dizisi,

X 'de zay ı f yak ı nsak ise, X 'e zay ı f tam 'd ı r denir. X yans ı mal ı ise, X 'in zay ı f tam olduğ unu gösteriniz.

4.9. OPERATÖR VE FONKSIYONEL DIZILERININ YAKINSAKLI Ğ I S ı n ı rl ı lineer operatör ve fonksiyonel dizileri, örne ğ in, Fourier serilerinin yak ı nsakl ı k

problemi, interpolasyon polinom dizileri, ya da say ı sal integrasyon yöntemleri gibi, yaln ı zca bir kaç tanesinin ad ı n ı sayd ığı m ı z, somut durumlar ı n soyut formülasyonu gibi konularda s ı k s ı k ortaya ç ı kar. Bu gibi durumlarda genellikle operatör ve fonksiyonel dizilerinin yak ı nsakliğ i, bunlara karşı l ı k gelen norm dizilerinin sinirlili ğ i ya da benzeri özeliklerle ilgilenilir.

Incelemeler, normlu bir uzaydaki eleman'lardan olu şan diziler için, daha önceki k ı s ı mlarda tan ı mlanan, kuvvetli ve zay ı f yak ı nsakl ı k kavramlar ı n ı n yararl ı olduğ unu göstermiş tir. Tn E B(X, Y) operatörlerinden olu ş turulan diziler için de, pratik de ğ erinin yan ı s ı ra teorik aç ı dan da önemli üç tip yak ı nsakl ı k tan ı mlamak mümkündür. Bunlar,

(1) B(X, Y) üzerindeki norma göre yak ı nsakl ı k, (2) (Tnx) 'in Y 'deki kuvvetli yak ı nsakl ığı , (3) (Tnx) 'in Y'deki zay ı f yak ı nsakl ığı d ı r. J.von Neumann (1929-30b) taraf ı ndan verilen tan ı m ve gösterimler a ş ağı daki gibidir: 4.9.1. TANIM. (Operatör Dizilerinin Yak ı nsakl ığı ) X ve Y normlu uzaylar olsun.

Tn E B(X, Y) operatörlerinden olu şan bir (Tn ) dizisini göz önüne alal ı m. (1) Eğ er, (Tn ) dizisi, B(X, Y) üzerindeki norma göre yak ı nsak ise, (Tn ) düzgün

operatör yak ı nsak't ı r denir. (2) Eğ er, (Tnx) dizisi, her x e X için, Y 'de kuvvetli yak ı nsak ise, (Tn ) dizisi, kuvvetli

operatör yak ı nsak't ı r denir. (3)Eğ er, (Tnx), her x E X için, Y 'de zay ı f yak ı nsak ise, (Tn ) dizisi, zay ıf operatör

187 yak ı nsak't ı r denir.

Formüle edecek olursak, bu tan ı mlar

Tn O,

11 Tnx - Txfi 0, (her x E X için)

jf(T„x) f(Tx)I 0 (her x e X ve her f E X' için)

olacak şekilde, bir T:X-> Y operatörünün var oldu ğ u anlam ı na gelir. T 'ye ise, (Tn ) 'in, s ı ras ıyla, düzgün, kuvvetli ve zay ı f operatör limiti ad ı verilir.

Uyar ı : Bu tan ı mlardaki "operatör" sözcü ğ ü, genellikle ihmal edilmekte ise de, konuya aç ı kl ı k getirmek bak ı m ı ndan kullanmakta yarar görüyoruz.

Önceki k ı s ı mlarda, çok daha basit durumlarda,örneğ in, diferensiyel ve integral hesapta bile, bir kaç farkl ı yak ı nsakl ı k kavram ı tan ı mlaman ı n bize büyük ölçüde esneklik kazand ı rd ığı n ı belirtmiş tik. Bununla birlikte, okuyucu az önce tan ı mlad ığı m ız çeş itli yak ı nsakl ı k kavramlar ı karşı s ı nda ş aşı rabilir ve operatör dizileri için üç çe ş it yak ı nsakl ı k kavram ı n ı n neden gerekli olduğ unu sorabilir. Bu sorunun yan ı t ı , uygulamal ı problemlerde ortaya ç ı kan bir çok operatörün, daha basit operatörlerin "bir çe ş it" limiti olarak verilebilmesidir. Ancak burada "bir çe ş it" sözcüğ üyle ne denilmek istendiğ inin ve dizinin özelikleri yard ı m ı yla limitleme operatörünün ne gibi özelikler kazand ığı n ı bilmemizde yarar vard ı r. Ayr ı ca, bir ara ş t ı rman ı n baş lang ı c ı nda, hangi anlamda bir limitin varolaca ğı her zaman bilinmeyebilir; bu nedenle, çe ş itli olanaklara sahip olmak yararl ı olur. Özel bir problemde, belki de, önce çok "yumu şak" bir anlamda bir yak ı nsakl ı k oluş turabiliriz; bu durumda en az ı ndan bir hareket noktas ı na sahip oluruz ve daha sonra daha kuvvetli anlamda bir yak ı nsakl ı k geliş tirip, bununla limit operatörünün "daha iyi" özeliklerini ortaya koyabiliriz. Bu, örne ğ in, k ı smi türevli denklemlerde ortaya ç ı kan tipik bir durumdur. Limit ayn ı kalmak üzere,

( 1 ) (2) = (3)

olduğ u kolayca gösterilebilir; ancak bunun kar şı t ı , aş ağı daki örneklerde de göreceğ imiz gibi, her zaman doğ ru değ ildir.

ÖRNEKLER 4.9.2. (Q2 Uzay ı ) Q 2 uzay ı nda, x = (41,42,...) e Q 2 olmak üzere,

T n(x) = (0,0,...,0 ,n+1 , n+2 , n+3 " • )

ntan e

ile tan ı mlanan, Tn : Q 2 Q 2 operatörleriyle olu ş turulan bir (Tn ) dizisini göz önüne

alal ı m. Bu T„ operatörü lineer ve s ı n ı rl ı d ı r. Aş ikar olarak, Tnx 0 = Ox olmas ı nedeniyle,

(Tn ) dizisi 0 'a kuvvetli operatör yak ı nsakt ı r. Ancak, II Tn - Ot) = IITn II = 1 olduğ undan,

(Tn ) dizisi, düzgün operatör yak ı nFak değ ildir.

4.9.3. (Q2 Uzay ı ). x = (41,2,...) E Q2 olmak üzere, TnQ 2 Q2 operatörlerinin diğ er

bir (Tn ) dizisini,

T n (x) = (0,0, • . • ,0 1 , 42 , 43 , •••) n tane

188 ile tan ı mlayabiliriz. Bu Tn operatörü de lineer ve s ı n ı rl ı d ı r. Ş imdi, (Tn ) 'in, 0 'a zay ı f

operatör oldu ğ u halde, kuvvetli operatör yak ı nsak olmad ığı n ı gösterece ğ iz. Q 2 üzerindeki s ı n ı rl ı lineer herf fonksiyoneli, 3.8.1 ile verilen bir Riesz gösterimine

sahiptir, yani, 3.1.6 uyar ı nca, z = (4;) e Q2 olmak üzere,

j(x) =< x, z I- 1

yaz ı labilir. Buna göre, j = n + k al ı p, Tn 'in tan ı m ı n ı kullan ı rsak,

f(T,,x) =< T,,x,z >= E 4,-n -Ç-J= E kç n+ k

pıt+1 k-1

elde ederiz. Cauchy-Schwarz e ş itsizliğ i ise,

If(T,,x)1 2=i< Tnx,z >! 25E14k1 2 E Iç m1 2 k-1

sonucunu verir. Son seri, yak ı nsak bir serinin kalan k ı sm ı d ı r. Dolay ı s ı yla, n oo için

eş itsizliğ in sağ taraf ı 0 'a yakla şı r. O halde, j(T„x) 0 =j(0x) 'dir. Sonuç olarak, (T n) dizisinin O 'a zay ı f operatör yak ı nsak olduğ unu söyleyebiliriz. Ancak, x = (1,0,0,...) için,

Tmx — Tnx11=11 2 + 1 2 =,11 (m n)

olduğ undan, (T„) dizisi kuvvetli operatör yak ı nsak Lineer fonksiyoneller, de ğ er bölgeleri R ya da C skaler cismi içinde bulunan, lineer

operatörlerdir. Bu nedenle, (1), (2) ve (3) no.lu tan ı mlar hemen uygulanabilir. Bununla birlikte, aş ağı daki nedenlerle, (2) ve (3) e şdeğ er hale gelir. Tnx e Y olduğ unu biliyoruz. Burada ise, fn(x) E Q8 (ya da C) 'dir. Dolay ı s ı yla, (2) ve (3) 'deki yak ı nsakl ı ktar, soniu boyutlu R, ya da, C uzay ı nda ortaya ç ı kmakta ve Teorem 4.8.4(c) uyar ı nca, bu iki kavram birbirine denk olmaktad ı r. Geriye kalan iki kavram ise, kuvvetli ve zay ı f* yak ı nsakl ı k (Okunuşu "zay ıf y ı ld ı z yak ı nsakl ı k") olarak adland ı r ı lmaktad ı r.

4.9.4. TANIM (Bir Fonksiyonel Dizisinin Kuvvetli ve Zay ı f* Yak ı nsakl ığı ). (f„), normlu bir X uzay ı üzerindeki s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerin bir dizisi olsun. Bu durumda,

(a) (f,,) dizisinin kuvvetli yak ı nsakl ığı , 1[4 0 olacak şekilde bir f E X ' 'nün varl ığı anlam ı na gelir. Ve bu durum,

fn -1

ş eklinde gösterilir. (b) (f,,) 'in zay ı f y ı ld ı z yak ı nsakl ığı ise, her x e X için, f„(x) j(x) olacak şekilde bir

f e X' 'nün varl ığı anlam ı na gelir. Ve bu durum,

fn f

ş eklinde gösterilir. (a) ve (b) tan ı mlar ı nda ad ı geçen f 'e, (fn) dizisinin, s ı ras ı yla, kuvvetli limiti ve zay ı f*

limiti ad ı verilir.

189 Yeniden T e B(X, Y) operatörlerine dönerek, (1), (2) ve (3) 'deki T : X Y limit

operatörü hakk ı nda ne söylenebileceğ ini sorabiliriz. Yak ı nsakl ı k düzgün ise, T e B(X, Y) 'dir; aksi halde, ii Tn - Til bir anlam ta şı maz. E ğ er

yak ı nsakl ı k kuvvetli ya da zay ı f ise, T yine de lineerdir. Fakat, X 'in tam olmamas ı halinde s ı n ı rs ı z olabilir.

ÖRNEK. Q2 'de, yaln ı zca sonlu say ı da s ı f ı rdan farkl ı terim içeren tüm x = dizilerinin oluş turduğ u X uzay ı , g üzerindeki metrikle birlikte göz önüne al ı nd ığı nda, tam değ ildir. X üzerinde, s ı n ı rl ı lineer operatörlerinin bir dizisi,

Tnx = • • • , ) yard ı m ı yla tan ı mlanabilir; dolay ı s ı yla, Tnx dizisinin terimleri, j < n j > n için, 4,

ş eklindedir. Bu (T„) dizisi, 77, = g, olmak üzere, Tx = (rb) ile tan ı mlanan s ı n ı rs ı z lineer T operatörüne kuvvetli yak ı nsakt ı r.

Ancak, X 'in tam olmas ı halinde, bu örnekle belirlemeye çal ış t ığı m ız durum, aş ağı da ispatlayaca ğı mtz temel nitelikli lemman ı n ışığı alt ı nda ortaya ç ı kmayacakt ı r.

4.9.5. LEMMA. (Kuvvetli Operatör Yak ı nsakl ı k). X bir Banach uzay ı ve Y bir normlu uzay olmak üzere, T„ E B(X, Y) olsun. Eğ er (T„) dizisi, bir T limitine kuvvetli operatör yak ı nsak ise, T e B(X, Y) 'dir.

ispat. T 'nin lineerliğ i, T,, 'in lineerliğ inden kolayca elde edilir. Her x E X için, T„x -› Tx olduğ undan, (T„x) dizisi, her x için s ı n ı rl ı d ı r. X 'in tam olmas ı nedeniyle,

düzgün sinirlilik teoremi uyar ı nca, (il T„ ii) dizisi s ı n ı rl ıd ı r; örneğ in, her n için, il < c diyelim. Bunu da gözönüne alarak, il Tnxli < IITnII IIx B < clix Il yaz ı labilir. Bu ise,

Txli < ılk sonucunu gerektirir. Kuvvetli yak ı nsakl ı k için yararl ı bir kriteri aş ağı daki teoremle verece ğ iz: 4.9.6. TEOREM. (Kuvvetli Operatör Yak ı nsakl ı k). X ve Y Banach uzaylar ı olmak

üzere, Tn E B(X,Y) operatörlerinden olu ş turulan bir (Tn ) dizisinin kuvvetli operatör yak ı nsak olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul,

(A) (il Th dizisinin s ı n ı rl ı , (B) X 'in bir M total altkümesindeki her x için, (Tnx) dizisinin Y 'de Cauchy

olmas ı d ı r. ispat. Her x E X için, Tnx - ■ Tx ise, (X 'in tam olmas ı nedeniyle) düzgün sinirlilik

teoremi uyar ı nca, (A) 'n ı n doğ ruluğ unu hemen görebiliriz. (B) ise a ş ikard ı r. Tersine olarak, (A) ve (B) 'nin gerçeklendi ğ ini varsayal ı m; dolay ı s ıyla, her n için,

II T„ II < c olsun. Ş imdi, herhangi bir x E X al ı p, (Tnx) 'in Y 'de kuvvetli yak ı nsak

olduğ unu gösterece ğ iz. s > 0 say ı s ı verilmiş olsun. span M, X 'de yoğ un olduğ undan,

< 3c olacak şekilde bir y e span M vard ı r. y e span M olduğ undan, (B) uyar ı nca, (T„y) dizisi

bir Cauchy'dir. Bu nedenle, m,n > N için,

liTnx - T mx Il :5 Tnx - Tnyll + IIT ny - Enyll + IIT,ny - T„,x1I

< 11 7;71111x - Y + 3 + IITmIIIIx - Y II

< + -§- + ct = ec

bulunur. Y 'nin tam olmas ı nedeniyle, (T„x) dizisi, Y 'de yak ı nsakt ı r. x e X keyfi

190 olduğ undan, bu sonuç, (T,i ) 'in kuvvetli operatör yak ı nsak olduğ unu ortaya koyar.

4.9.7. SONUÇ. (Fonksiyoneller). Bir X Banach uzay ı üzerindeki s ı n ı rl ı lineer fonksiyonellerden olu ş an bir (f,i ) dizisinin, X üzerindeki s ı n ı rl ı lineer bir fonksiyonele, zay ı r yak ı nsak olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul,

(A) (j[f,, ii) dizisinin s ı n ı rl ı , (B) X'in bir M total altkümesindeki her x için, (f„(x)) dizisinin Cauchy olmas ı d ı r.

PROBLEMLER 1. T„ E B(X,Y) olmak üzere, T,, --> Tdüzgün operatör yak ı nsakl ığı n ı n, T limiti ayn ı

kalmak üzere, kuvvetli operatör yak ı nsakl ığı n ı gerektirdiğ ini gösteriniz. 2. S„ ,T,, e B(X,Y) olmak üzere, (S„) ve (T„) dizileri, s ı ras ı yla, S ve T limitlerine,

kuvvetli operatör yak ı nsak ise, (S„ + T„) dizisinin, S+ T limitine kuvvetli operatör yak ı nsak olduğ unu gösteriniz.

3. B(X,Y) 'de, kuvvetli operatör yak ı nsakl ığı n, limit ayn ı kalmak üzere, zay ı f operatör yak ı nsakl ığı gerektirdiğ ini gösteriniz.

4. 6 nolu dipnotta sözü edilen zay ı f yak ı nsakl ığı n, zay ıf* yak ı nsakl ığı gerektirdiğ ini gösteriniz. X 'in yans ı mal ı olmas ı halinde, karşı t ı n ı n da doğ ru olduğ unu gösteriniz.

5. Kuvvetli operatör yak ı nsakl ı k düzgün operatör yak ı nsakl ığı gerektirmez. Bu

durumu,f,i(x) = 4„ ve x = (,,) olmak üzere, T,, = : -› R dönüş ümünü göz önüne alarak gösteriniz.

6. n = 1,2,... için, T„ e B(X,Y) olsun. Tan ı m 4.9.1 'deki "düzgün" deyimini aç ı klamak üzere, T„ --> T olmas ı için, gerek ve yeter ko ş ulun, verilen her e > 0 say ı s ı na karşı l ı k, her IZ > N ve normu 1 olan her x E X için,

Il T„x — Txli < e

olacak şekilde, yaln ızca, e 'a ba ğı ml ı bir N say ı s ı n ı n varl ığı olduğ unu gösteriniz. 7. X bir Banach uzay ı olmak üzere, T,, e B(X, Y) olsun. (T„) kuvvetli operatör

yak ı nsak ise, (il T„ 'in s ı n ı rl ı olduğ unu gösteriniz. 8. T,, E B(X,Y) olmak üzere, T„ T olsun. Her e > 0 ve her kapal ı K c X yuvar ı na

karşı l ı k, her iz > N her x E K için, T„x Tx11 < e olacak şekilde bir N say ı s ı n ı n varolduğ unu gösteriniz.

9. Lemma 4.9.5. 'de, jj TH <ti ın 11711 olduğ unu gösteriniz. 11-+00

10. X ayr ı labilir bir Banach uzay ı ve M c X' s ı n ı rl ı bir küme olsun. M 'nin elemanlanndan olu şan her dizinin, X "nün bir eleman ı na zay ı f* yak ı nsak bir altdizi içerdiğ ini gösteriniz.

4.10. DIZILERIN TOPLANAB İ LMESINE ILIŞ KIN UYGULAMA Zay ır yak ı nsakl ı k ı raksak diziler (ve seriler) teorisinde önemli uygulamalara sahiptir.

Bir ı raksak dizi bilinen anlamda bir limite sahip de ğ ildir. Ad ı geçen teoride amaç, belirli ı raksak dizilere, genelle ş tirilmiş anlamda bir "limit" eş lemektir. Bu amaç için izlenen yöntem, bir toplanabilme yöntemi olarak adland ı r ı l ı r.

Örneğ in, ı raksak bir x = (1,) dizisi verildi ğ inde,

= 41, 772 = 2 (4 ı + 2) ,• • •, rin = , • • •

aritmetik ortalamalar ı ndan oluşan bir y = (ii„) dizisini hesaplayabiliriz. Bu, toplanabilme

191 yöntemine,bir örnektir. E ğ'er y (bilinen anlamda) bir ri limitine yak ı nsak ise, x dizisi, bu yönteme göre, toplanabilirdir ve genelle ş tirilmiş limiti ii 'dil- denir. Örneğ in,

x = (0,I,0,1,0,...) ise y = (O , , , , ,

'dir ve x 'in genelleş tirilmiş limiti z 'dir.

Bir toplanabilme yöntemi,

y = Ax

şeklinde yaz ı labiliyorsa bir matris yöntemi olarak adland ı r ı l ı r; burada, x = (k) ve

y = (tl.) sonsuz kolon vektörleri olarak al ı nm ış olup, A = (ank), n,k = 1,2,... olmak üzere bir sonsuz matristir. y = Ax formülünde matris çarpim ı n ı kulland ı k; yani, y dizisi,

Iln = E ank 4k ( ı )

k-1

terimlerine sahiptir. Yukar ı daki örnek bir matris yöntemini belirler. (Matris nedir?) Aşağı da, konuya iliş kin terimleri belirteceğ iz. (1) ile verilen yöntem, kullan ı lan matris

A ile belirtildiğ inden, k ı saca, A -yöntemi olarak adland ı rı l ı r. Eğ er (1) deki tüm seriler yak ı nsak ise, ve y = (N) bilinen anlamda yak ı ns ıyorsa, bu dizinin limiti, x 'in A -limiti olarak adland ı r ı l ı r ve x dizisi A -toplanabilir' dir denir. A -toplanabilen tüm dizilerin kümesi ise A - yönteminin toplanabilme alan ı ad ı n ı al ı r.

Bir A - yönteminin toplanabilme alan ı tüm yak ı nsak dizileri içeriyor ve böyle her dizinin A -limiti, al ışı lm ış limitine eş itse, yani,

oluş u r

sonucunu gerektiriyorsa, A - yöntemi regüler (ya da, permanent) 'dir denir. Aş ikar olarak, regülerlik oldukça do ğ al bir istektir. Gerçekten, belirli yak ı nsak dizilere

uygulanamayan ya da onlar ı n limitlerini değ iş tiren bir yöntem uygulamada bir yarar sağ lamaz. Regülerlik için bir temel kriter, a ş ağı daki teoremle verilebilir.

4.10.1. TOEPLITZ LIMIT TEOREM İ (Regüler Toplanabilme Yöntemleri). A = (ank) matrisiyle verilen bir A -toplanabilme yönteminin regüler olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul,

lim atik = 0 (k--- 1,2,...) 12) 12-.0

ii. E anı, = 1 (3) k ı -,co

ve y, n 'e bağ l ı olmayan bir sabit olmak üzere,

Lankl 5 7 (n = 1 , 2,• • .) (4)

k-1

'dir. Ispat. (a) (2)-(4) 'ün regülerlik için gerek oldu ğ unu, ve

(b) (2)-(4) 'ün regülerlik için yeter oldu ğ unu göstereceğ iz. Ş imdi ayr ı nt ı lara geçelim:

(a) A - yönteminin regüler olduğ unu varsayal ı m. xk 'n ı n k. terimi 1 ve diğ er

bütün terimleri s ı fı r olsun. xk için, (1) 'de, li n = ank yazabiliriz. xk yak ı nsak ve limiti 0

olduğ undan, bu sonuç, (2) 'nin gerçeklenmesinin gerektiğ ini gösterir.

Ayrı ca, x = (1, 1,1,...) dizisinin limiti 1 'dir. Ve, (1)'den, N 'in (3) 'deki seriye e ş it

192 olduğ u görülür. O halde,(3) gerçeklenmelidir.

Ş imdi de, (4) 'ün regülerlik için gerekli oldu ğ unu ispatlayal ı m. c,

IIx II =suP git

ile tan ı mlanan norm alt ı nda, tüm yak ı nsak dizilerden olu şan Banach uzay ı olsun. (Bkz. 1.5.3). c üzerinde fn„, lineer fonksiyonelleri,

fn.(x) = anı, (m,n = 1,2,...)

(5)

k=1

ile tan ı mlanabilir. m m

Jf,,„,(x)1 5_sup g, I E a nk 4k = (Elankl) Ilx Il k- ı ı

olmas ı nedeniyle, her bir fmn s ı n ı rl ı d ı r. Regülerlik, her x E c için, (1) 'deki serinin yak ı nsakl ığı n ı gerektirir. Dolay ı s ı yla, (1), c üzerinde,

=f,i(x) = E ank k

(n = 1,2,...)

( 6) k=1

ile tan ı mlanan, lineer fonksiyonelleri tan ı mlar. (5) 'den, her x e c için, m co olduğ unda, f„„,(x) f,(x) olduğ unu görebiliriz. Bu ise, zay ı f* yak ı nsakl ı k olup, (T = f„

al ı narak) Lemma 4.9.5 uyannca,f, 'in sinirlili ğ i elde edilir. Ayr ı ca, (fn (x)), her x e c için yak ı nsakt ı r ve (iji,,11), Sonuç 4.9.7 uyar ı nca s ı n ı rl ı d ı r; her n için,

lifn Il r diyelim. Keyfi olarak belirlenmi ş bir m E N için,

la nkila nk ; k < in ve ank 0

0 ; k > m ve ank = O

tan ı m ı n ı yapal ı m. Buna göre, x„,„ = ( (kn 'm) ) e c yazabiliriz. Ayr ıca, x. O ise,

Il xnm II = 1 ve x n,n = 0 ise, fix ıinı II = 0 'd ı r. Bunun da ötesinde, her m için, m m

fnin(xmn) =

an = Zianki k-1 k=1

'd ı r. Dolay ı s ıyla,

(a) Lankl = f;.(xnm) 1lf. Il k=1

(b) lankl ILMI

bulunur. Bu da, (4) 'deki serinin yak ı nsakl ığı n ı gösterir ve (4), (7) 'den elde edilir. (b) Ş imdi de, (2)-(4) 'ün regülerlik için yeter oldu ğ unu ispatlayal ı m. c üzerinde, lineer

bir f fonksiyonelini, x = (4 k) e c olmak üzere,

j(x) = =lim k=o

ile tan ı mlayabiliriz. f 'nin sinirliliğ i,

jf(x)I = IDI 5_sup 14,1 = Ilx II

(7)

(8)

193 eş itsizliğ inden görülebilir. M c c, bir yerden itibaren terimleri e ş it olan dizilerin kümesi olsun. j, x 'e bağ l ı olmak ve

ğ j+1 = ğ j+2 =- • •— ğ

olmak üzere, x = (;) diyelim. Bu durumda, yukar ı da olduğ u gibi, f(x) = 4 olup, (1) ve (6) 'da

rfn =in(x) = sank ğ k ğ a nk

= Eank (k + 4 ank

elde ederiz. Buna göre, her x E M için, (2) ve (3) 'den ,

qn --/;,(x) 0 4.1 = = J(x)

(9) bulunur.

Ş imdi bir kez daha, Sonuç 4.9.7. 'yi kullanmak istiyoruz. Buna göre, üzerinde, (9) 'da ifade edilen yak ı nsakl ığı elde ettiğ imiz M kümesinin, c 'de yoğ un olduğ unu göstereceğ iz. k ğ olmak üzere, x = (k) E e olsun. Bu durumda, her E > 0 say ı s ı için, k > N oldukça,

iğ k < e

olacak şekilde bir N say ı s ı vard ı r. Aş ikar olarak,

= € M

ve

X — = • • • N+I ğ , • • •)

'dir. Buradan, lix — Yll < E bulunur. x e c keyfi olarak al ı nd ığı ndan, bu sonuç, M 'nin c 'de yoğ un olduğ unu gösterir. Son olarak, (4) uyar ı nca, her x E e ve her n için,

GO

If,i (x)I < ilx11 »41 5_ yllxll

elde edilir. Dolay ı s ı yla, ilf,, Ii _5 y , yani, (Ilfn s ı n ı rl ı d ı r. Ayr ı ca, (9) ifadesi, yo ğ un M kümesindeki her x için, fn(x) f(x) yak ı nsakl ığı n ı ortaya koyar. Bu da, Sonuç 4.9.7

uyar ı nca, fn f zay ı r yak ı nsakl ığı n ı gerektirir. Bu nedenle, 4 = lim4k limitinin varolmas ı halinde, ri n ii sonucunun elde edilebilece ğ ini göstermiş olduk. Tan ı m

gereğ i, bu durum, regülerliğ i ifade eder ve teorem ispatlanm ış olur. PROBLEMLER 1. C, Cesaro toplanabilme yöntemi

►n = +. • •±ğ n)

(n = 1,2,...)

ile tan ı mlan ı r; yani, aritmetik ortalama al ı n ı r. Bu yönteme karşı l ı k gelen A matrisini bulunuz.

2. Prob.1 'deki C ı yöntemini

(1,0,1,0,1,0,...) ve (1,o,- 1- Z 3 4 4 '

— — 8 ' 16 32' • • • )

dizilerine uygulay ı n ı z. 3. Prob.1 'de, („) dizisini, ( ıin ) cinsinden ifade ediniz. (71„) = (1/n) olacak ş ekilde

194 (4„) dizisini bulunuz.

4. C, -toplanabilir olmayan bir dizi elde etmek için, Prob.3 'deki formülü kullan ı n ı z. 5. Hölder toplanabilme yöntemi a ş ağı daki şekilde tan ı mlan ı r. H İ , Prob.1 'deki C ı

yöntemiyle eşdeğ erdir. H2 yöntemi, Win iki kez pe ş peşe uygulanmas ı ndan olu ş ur; yani, önce aritmetik ortalama al ı n ı r ve daha sonra yeniden aritmetik ortalamas ı al ı n ı r. H3

yöntemi, H ı 'in üç kez pe ş peşe uygulanmas ı ndan oluşur, v.b.. H ı ve H2 yöntemlerini (1,-3,5,-7,9,-11,...) dizisine uygulay ı n ı z. Sonucu yorumlay ı n ı z.

6. (Seriler). Bir sonsuz serinin k ı smi toplamlar dizisi A - toplanabilir ise, verilen seri A-toplanabilirdir denir. K ı smi toplamlar dizisinin A -limiti, serinin A -toplam ı olarak adland ı r ı l ı r. 1 + z + z2 +... serisinin, izi = 1 ve z * 1 için, C 1 -toplanabildiğ ini ve C, -toplam ı n ı n 1/(1 - z) olduğ unu gösteriniz.

7. (Cesaro Ck -yöntemi). (,,) verilmi ş bir dizi, a;,°) = ve (k) (k-1) (k1) (- = Cro <31 +... +Crk

1) n

olsun. Sabit bir k e N için, rj,k) = ani') I ( n+k -› il ise, (4 n) dizisi Ck -toplanabilirdir ve

Ck -limiti ıi 'd ı r denir. Bu yöntemin, a;,k) 'n ı n çok basit bir biçimde, 'ler cinsinden, n

crLk) = EI n+ k-1 - k-1

olarak ifade edilebilme avantaj ı na sahip olduğ unu gösteriniz.

8. Serilere ilişkin Euler yöntemi, verilen bir E(-1ya, serisine, J-0

A°ai = ai, Ana, = 4n ı ai -An-Ia;+l (j = 1,2,...)

olmak üzere,

Ana() Gr 2n+1 n=0

dönüş üm serisini karşı l ı k getirir. Burada, (-1)i,( a; 'nin pozitif olma zorunluluğ u olmad ığı ndan) uygunluk aç ı s ı ndan yaz ı lm ış t ı r. Bu yöntemin regüler oldu ğ u, dolay ı s ı yla verilen serinin yak ı nsakl ığı n ı n, toplam ı ayn ı kalmak üzere, dönü şüm serisinin yak ı nsakl ığı n ı gerektirdiğ i gösterilebilir. Bu yöntemin,

1 1 1 Qn 2 = 1 - -L 3 4 +•=

- 1.

+ 12 1 2.2 2 3.3 3 4.44

+.•. 2

sonucunu verdiğ ini gösteriniz. 9. Prob.8 'deki Euler yönteminin,

aretanl = 1 - -L + -L - +- = -1 (1 +-1-+ 1.2 ÷1,2„1 4 3 5 7 • " 2 \ 3 3,5 3.5.7 .• • ./

sonucunu verdiğ ini gösteriniz. 10. Euler yönteminin,

v (—on voyl 4n ---- 2 \ 8 )

o tr-o

sonucunu verdiğ ini gösteriniz. Yorum getiriniz.

4.11. SAYISAL ENTEGRASYON VE ZAYIF* YAKINSAKLIK Zay ı f* yak ı nsakl ı k, say ı sal integrasyon, türevleme ve interpolasyon konular ı nda

195 oldukça yararl ı sonuçlara sahip bulunmaktad ı r. Bu k ı s ı mda, say ı sal integrasyon konusunu, yani, verilen bir

x(t)dt

integrali için, yakla şı k değ erler elde etme problemi ile u ğ raş acağı z. Bu problem uygulama alan ı nda önemli bir konu olduğ undan, çözüm amac ı yla, yamuk kural ı , Simpson kural ı ve daha karma şı k olarak, Newton-Cotes ve Gauss taraf ı ndan verilen formüller gibi. çok çe ş itli yöntemler geli ş tirilmiş tir. (Konuya iliş kin elemanter bilgileri hat ı rlamak için, k ı s ı m sonundaki problemlerin gözden geçirilmesi yararl ı olur.)

Bu ve diğ er yöntemlerin karakteristik yan ı , önce, [a, 6] aral ığı nda düğ üm ad ı verilen noktalar seçilip, daha sonra, x 'in bu düğ üm noktalar ı ndaki değ erlerinin lineer bir kombinasyonu yard ı m ı yla integralin bilinmeyen değ erine yakla şı lmas ı d ı r. Düğ ümler ve lineer kombinasyonun katsay ı lar ı yönteme bağ l ı olup, x integrant ı na bağ l ı değ ildir. Kuşkusuz, bir yöntemin yaran, bu yöntemin verdi ğ i sonucun doğ ruluk derecesiyle belirlenir ve bu konuda çal ış ma yapan bir ki ş i, düğ üm noktalar ı n ı n say ı s ı n ı art ı rarak

gerçe ğ e daha yak ı n bir sonuca ula şmak isteyebilir. Bu k ı s ı mda, fonksiyonel analizin, bu konuda, bize sa ğ lad ığı kolayl ı klardan söz

edeceğ iz. Asl ı nda, bu tür yöntemler için, genel bir yap ı ortaya koyacak ve dü ğ üm

noktalar ı n ı n artmas ı halinde ortaya ç ı kan yak ı nsakl ı k durumunu inceleyece ğ iz. Incelemelerimiz s ı ras ı nda, sürekli fonksiyonlar ı gözönüne alacağı z. Bu durum,

J = [a, b] üzerinde tan ı ml ı , bütün sürekli, reel değ erli fonksiyonlar ı n oluş turduğ u ve

=max lx(01 tel

normuna sahip, X = C[a, bi Banach uzay ı n ı ele almam ı za yol açmaktad ı r. Bu durumda,

yukar ıdaki belirli integral, X üzerinde,

f(x) = X(t)Ch (1)

(2)

yard ı m ı yla, lineer bir f fonksiyoneli tan ı mlar. Say ı sal integrasyon için, daha önce sözünü

ettiğ imiz yöntemlerdekine benzer ş ekilde hareket edebiliriz. Dolay ı s ı yla, her pozitif n

tamsay ı s ı için,

a < 4”) <. . . < 4") < b

olacak şekilde, düğ üm ad ı verilen, ,(n) (n) tü ,..., ı n

gibi, n + 1 tane reel say ı seçelim. Daha sonra, katsay ı ad ı verilen,

,,(n) (n) o , , „

gibi, n + 1 tane reel say ı seçip,

fn(x) = a tk") x(Iln) )

n = 1,2,...

( 3) ı O

yazarak, X üzerinde, fn lineer fonksiyonellerini tan ı mlayal ı m. Bu durum, x verildiğ inde,

fn(x) değ eri f(x) 'e yaklaşmak üzere, say ı sal bir integralleme yöntemi tan ı mlar. i ş lemin

doğ ruluk derecesini ara ş t ı rmak için, fn 'lere aş ağı daki ş ekilde alal ı m.

196 Normun tan ı m ı gereğ i, Ix(t ş,n) I < 11.4 olduğ undan, her birfn s ı n ı rl ı d ı r. Sonuç olarak,

Ifn(x)I Ela(;)11.,(4,0) I 5_HA a (n)

kO

yazabiliriz. Daha sonra kullanmak üzere, fn 'in n

Ilfn11---Ela (kn) 1

(5) normuna sahip oldu ğ unu gösterebiliriz. Gerçekten, (4) ba ğı nt ı s ı , lifn II 'in, (5) 'in sağ taraf ı ndan daha büyük olamayaca ğı n ı gösterir. E ş itlik durumunu göstermek için de, J üzerinde, ixo(t)I < 1 olacak şekilde bir xo E X ve

(n) (n) 1 ; ct,") > 0 xo(t k sgna k

al ı rsak, ilxo Il = 1 olup, n

fn(x0) -= ak")

a k I a (kn) I le=0

elde ederiz. Verilen bir x E X için, (3) formülü, (1) 'deki j(x) 'in, fn (x) gibi bir yaklaşı k değ erini

verir. Kuşkusuz, daha önce de söylediğ imiz gibi, doğ ruluk derecesiyle ilgileniyoruz ve bunu da, n 'i art ı rarak, çoğ altmak istiyoruz. Bu durum a ş ağı daki kavram ı vermemize yol açmaktad ı r.

4.11.1. TANIM (Yak ı nsakl ı k). Bir x e X alal ı m. Eğ er, f , (1) ile tan ı mlanmak üzere,

fn(x) -› f(x) (n oo)

(6)

ise, (3) ile tan ı mlanan say ı sal integrasyon yöntemi, bu x için, yak ı nsak 't ı r denir.

Polinomlar ı n kesin integrasyonu kolay olduğ undan, a ş a ğı daki ifadeyi yazmam ı z doğ ald ı r:

4.11.2. Her n için, eğ er x, derecesi n 'den büyük olmayan bir polinom ise,

f,,(x) = f(x)

( 7) 'dir.

f„ 'ler lineer oldu ğ undan, (7) 'deki n + 1 tane terimi,

xo(t) = I, x ı (t) = t,...,x„(t) = t"

olarak almak yeterlidir. Gerçekten, x(t) = ti ile verilen, n 'inci dereceden bir

polinom için,

fn(x) = E fl jf,(xı ) =Z P:4(x j) = f(x)

elde ederiz. Buna göre,

(4)

(5)

—1 ; ak") < O

fri(x) = .Axı ) = 0,1,...,n)

(8) ş eklinde, n + 1 tane koş ul elde ettiğ imizi görmekteyiz.

Ş imdi bu koş ullar ı n gerçeklendiğ ini göstereceğ iz. n + 1 tane düğ üm ve n + 1 tane de

197 katsay ı olmak üzere, 2n + 2 tane parametre vard ı r. Bunlar ı n bir k ı sm ı n ı keyfi olarak seçebiliriz. ı <kn) düğ ümlerini seçelim ve bunlara kar şı l ı k gelen katsay ı lar ı n tek anlaml ı olarak belirlenebileceğ ini ispatlayal ı m. Bu durumda, x,(0) = (t(kn)., yazabiliriz; dolay ı s ı yla, (8) bağı nt ı s ı ,/ = 0,1,...,n olmak üzere,

k=-0 . + 1

c4,n) (t(kn) )j dt— 1 (b1+ 1 — )

(9)

ş eklini al ı r. Her sabit n için, bu ifade, c4") , , a5in) gibi, n + I tane bilinmeyene ba ğ l ı , n + 1 tane lineer denklemden olu şan, homojen olmayan bir sistemdir. Bu sistemin bir tek çözümü, ancak, kendisine karşı l ı k gelen,

E(t(,n)y = o = o,...,n) k=0

homojen sisteminin yaln ı zca, yo = — 0 aş ikar çözümüne sahip olmas ı , ya da, diğer bir deyimle, ayn ı durumun katsay ı lar matrisi, bir önceki sistemin katsay ı lar matrisinin transpozu olan,

E(t(kn) ) 7, = 0 (k = 0, . , n)

(1o)

sistemi için. geçerli olmas ı halinde vard ı r. Bu ise, (10) ifadesi, n 'inci dereceden olan,

E rJ tl

polinomunun, n + 1 düğ üm noktas ı nda, s ı fı r olduğ unu belirtmesi nedeniyle gerçeklenir; dolay ı s ı yla, bu ifade özde ş olarak s ı fı r olmal ı d ı r. Yani, bütün T, katsay ı lar ı s ı f ı rd ı r.

Elde ettiğ imiz bu sonuç, (2) 'yi gerçekleyen dü ğ ümlerin her seçimi için, 4.11.2 gerçeklenecek şekildeki katsay ı lar ı n tek anlaml ı olarak varl ığı n ı ortaya koymaktad ı r; dolay ı s ı yla, kendisine kar şı l ı k gelen iş lem bütün polinomlar için yak ı nsakt ı r. Burada, söz

konusu iş lemin, [c b] üzerindeki bütün reel de ğ erli sürekli fonksiyonlar için yak ı nsak olmas ı n ı sağ lamak amac ıyla koymam ı z gereken ek koş ullar ı n neler olduğ unu sorabiliriz.

Bu sorunun yan ı t ı , bir kriter olarak, 1933 'de G.Polya taraf ı ndan aş ağı daki teoremle

verilmiş tir: 4.11.3. POLYA YAKINSAKLIK TEOREM İ . (Say ı sal İ ntegrasyon). 4.11.2 'yi

gerçekleyen ve (3) ile tan ı mlanan bir say ı sal integrasyon i ş leminin, [a, b] üzerindeki reel

değ erli,sürekli bütün fonksiyonlar için sürekli olmas ı n ı n gerek ve yeter ko ş ulu, her n için,

(n) I a c k-0

olacak şekilde bir c say ı s ı n ı n varolmas ı d ı r. Ispat. Reel katsay ı l ı bütün polinomlann olu ş turduğ u W kümesi, ispat ı n ı aşağı da

vereceğ imiz, Weierstrass yakla şı m teoremi uyar ı nca, X= qa, bi reel uzay ı nda

yoğ undur; ve 4.11.2 uyar ı nca, her x E W için yak ı nsakl ığı söyleyebiliriz. (5) 'i gözönüne

al ı rsak, (1[/;, II ) dizisinin s ı n ı rl ı olmas ı için gerek ve yeter koş ulun, herhangi bir reel c

say ı s ı için, (11) 'in gerçeklenmesi oldu ğ unu görebiliriz. Buna göre, her x E X için,

in(x) yak ı nsakl ığı n ı n,f, 2-> f(x) zay ıf* yak ı nsakl ığı olmas ı nedeniyle,sonuç 4.9.7

198 'nin ışığı alt ı nda, teoremin ispat ı n ı elde etmiş oluruz.

Bu teoremde, polinomlar yerine, C[a, b] reel uzay ı nda yoğ un olan herhangi bir küme alabileceğ imiz, aç ı kca görülmektedir.

Ayr ı ca, bir çok integrasyon yönteminde, katsay ı lar negatif-olmayan say ı lard ı r. x = 1 alarak, 4.11.2 yard ı m ı yla,

fn (1) = E a;,") = E l c4") 1 = f(1) = dt = b - a k=0

yazabiliriz; dolay ı s ı yla, (11) gerçeklenir. Bu ise, a ş ağı daki teoremi ispatlar: 4.11.4. STEKLOV TEOREM İ (Say ı sal integrasyon). 4.11.2 'yi gerçekleyen ve

negatif-olmayan ak") katsay ı lar ı na sahip olan ve (3) ile tan ı mlanan bir say ı sal integrasyon yöntemi, sürekli her fonksiyon için yak ı nsakt ı r.

Ş imdi de, yukar ı da 4.11.3 'ün ispat ı nda kulland ığı m ı z bir teoremin ispat ı n ı verece ğ iz. 4.11.5. WEIERSTRASS YAKLAŞ IM TEOREM İ . (Polinomlar). Reel katsay ı l ı bütün

polinomlar ı n oluş turduğ u W kümesi, C[a,b] reel uzay ı nda yoğ undur. Buna göre, her X E C[a,b] ve verilen her e > 0 say ı s ı için, her t E [a,b] 'ye karşı l ı k,

lx(t)- p(t)I < E olacak şekilde bir p polinomu vard ı r ispat. Her x E C[a,b] fonksiyonu, J = [a,b] 'nin kompakt olmas ı nedeniyle, J

üzerinde düzgün süreklidir. Dolay ı s ı yla, her E > 0 say ı s ı için,

max lx(t) -y(t)I < 3

(12)

olacak şekilde, eğ risi bir poligon yay ı olan bir y yay ı vard ı r.Önce, x(a) = x(b) ve y(a) = y(b) olduğ unu varsayal ı m. y parçal ı lineer ve sürekli oldu ğ undan, y 'nin Fourier katsay ı lar ı , < k, la m i < klın2 , Ibm ! < k/m 2 şeklinde s ı n ı rlara sahiptir. Bunu, K ı s ı m 3.5.1 'de, [a,b] = [0,2g] alarak, am ve bm için verdiğ imiz formüllere, k ı smi integrasyon uygulayarak görebiliriz. (Ayr ı ca, bu k ı sm ı n sonundaki, Prob.10 'a bak ı n ı z.). Ohalde, y 'nin, (b - a periyotlu olup, y 'nin periyodik geni ş lemesini gösteren) Fourier serisi için, k ı saltmak amac ı yla, K = brl(b - a) alarak,

ao + E(ani cos ıcmt bm sinKmt) 5_ 2k 1 +E m2 = 2k(1 + -1-g2 ) (13)

elde ederiz. Bu ise, serinin, J üzerinde düzgün yak ı nsak olduğ unu gösterir. Sonuç olarak, n yeterince büyük al ı nmak üzere, n 'inci mertebeden, s n k ı smi toplam ı için,

max ly(t)-s„(t)1 < (14)

bulunur. sn 'deki sinüs ve kosinüs fonksiyonlar ı n ı n Taylor serileri de, J üzerinde düzgün yak ı nsak olduğ undan,

max Isn (t) - p(t)! < IEJ 3

olacak ş ekilde bir p polinomu vard ı r (Böyle bir polinom, örneğ in, söz konusu serilerin uygun k ı smi toplamlar ı ndan elde edilebilir.) Bu sonuç ile birlikte, (12), (14) ve

x(t) - p(t)I 5_ lx(t)- y(t)1+ ty(t) - sn (t)I +Isn(t)- p(t)i

eş itsizlğ ini göz önüne al ı rsak,

max k(t)-p(01 < e rEJ

,n--1 nr=I

(1 5)

Ş ekil 46. Yamuk kural ı Ş ekil 45. Dikdörtgen kural ı

199 yazabiliriz. Elde edilen bu ifade, x(a) = x(b) olacak ş ekildeki her x E C[a,b] için, bizi amac ı m ı za ulaş t ı r ı r. Eğ er, x(a) # x(b) ise, u(a) = u(b) olacak şekildeki bir y katsay ı s ı ile birlikte, u(t) = x(t) - y(t - a) al ı r ı z. Bu durumda, J üzerinde, lu(t)-q(t)1 < E eş itsizliğ ini gerçekleyen bir q polinomu vard ı r. Dolay ı s ı yla, x-p= u - q olduğ undan, p(t) = q(t) + yt a) polinomu (15) 'i gerçekler. O halde, E > 0 say ı s ı n ı n keyfi olmas ı nedeniyle, W 'nin C[a,b] 'de yoğ un olduğ unu söyleyebiliriz.

Bu teoremin ispat!, ilk kez, 1885 'de K.Weierstrass taraf ı ndan verilmiş olup, bunun d ışı nda daha bir çok ispat ı bulunmaktad ı r. Örneğ in bunlardan bir tanesi, S.N.Bernstein 'a (1912) ait olup, x cinsinden aç ı k olarak ifade edilmi ş düzgün yak ı nsak polinom dizilerini (Bernstein polinomlar ı n ı ) ortaya koymaktad ı r. Bernstein'n ı n bu ispat ı n ı K.Yosida (1971), s.8-9 'da bulabilirsiniz.

PROBLEMLER

1. Dikdörtgen kural ı , t'; = a + (k - -f)h olmak üzere,

x(t) dı h[x(i7) +...+x(t;,)], h - b - a

ş eklinde tan ı mlan ı r. (Ş ekil 45) Bu formül nas ı l elde edilebilir? Düğ üm ve katsay ı lar nelerdir?Formül ile verilen yakla şı k değ er için, hata s ı n ı rlar ı n ı nas ı l bulabiliriz?

2. Yamuk Kural ı , xk = x(tk) ve tk = a + kh olmak üzere,

x(t) dt M 2 (xo + x 1), h b a

to

ya da,

x(t) dt h(--Fxo + x ı + 2 xn)

formülleriyle verilir. x 'e noktasal lineer bir fonksiyon yard ı m ı yla yaklaş mam ı z halinde bu

formüllerin nas ı l elde edildiğ ini aç ı klay ı n ı z. (Ş ekil 46) 3. Simpson kural ı , n çift, xk = x(tk) ve tk = a + kh olmak üzere,

ya da,

200 rZ

x(t) dt —h (xo + 4x1 + x2) 3 1 0

h = b n- a

x(t) dt -3-(xo + 4x1 + 2x2 +... + x,i )

şeklinde verilir. Bu formüllerin, x 'e, [to,t2] üzerinde, to,t ı ,i2 'deki değ erleri, x 'in bu noktalardaki değ erlerine eş it olan bir karesel polinom yard ı m ı yla ([to,t2] v.b. üzerinde ayni şekilde) yaklaşmam ız halinde, elde edilebilece ğ ini gösteriniz. (Şekil 47)

Ş ekil 47.Simpson kural ı

4.fa , yamuk kural ıyla elde edilen yaklaşı m olmak üzere, f(x) =1;,(x)- e u (x) olsun. iki kez sürekli türetilebilen herhangi bir x fonksiyonu için, k„ = (b a) 3/12n2 ve m2 ile x" 'nün, [a,b] üzerindeki maksimum ve minimumfar ı olmak üzere.

kn /71' < en(x) < ku m2 hata s ı n ı rlar ı n ı bulabileceğ imizi gösteriniz.

5. Simpson kural ı uygulamada s ı kça kullan ı l ı r. Doğ ruluk derecesindeki art ışı görebilmek için,

/ = J e-t2dt

o integraline, n = 10 alarak, yamuk ve Simpson kurallarm ı n her ikisini de uygulay ı n ız ve

0.746211 ve 0.746825 değ erlerini (6 ondal ığ a kadar) gerçek değ er olan 0.746824 ile karşı laş t ı r ı n ız.

201 t e-'2

eJ V

-ı ■.0

N 0

0 C

, C

ı 0 C

>

C>

C>

C>

C>

0

C>

C>

1.000 000

0.990 050

0.960 789

0.913 931

0.852 144

0.778 801

0.697 676

0.612 626

0.527 292

0.444 858

0.367 879

6. Problem 4 'ü kullanarak, Problem 5 'deki, 0.746211 'in hata s ı n ı rlar ı n ı n, -0.001667 ve 0.000614 ve dolay ı s ı yla,

0.745597 < / < 0.747878

olduğ unu gösteriniz. 7. Üç-Sekiz Kural ı , xk = x(tk) ve tk = a + kh olmak üzere,

l3

j. x(1) dt-3-ğ11-(xo + 3xi + 3x2 +x3) to

formülüyle verilir. Bu formülün, x 'e, [to,t3] üzerinde, to,t1,t2,t3 dü ğ üm noktalar ı nda, x

'e eş it olan bir kübik polinom yard ı m ı yla yaklaşmam ız halinde elde edilebilece ğ ini gösteriniz. (Problem 2, 3 ve 7 'deki kurallar, Newton-Cotes formüller dizisinin ilk üyeleridir.)

8. r hatay ı göstermek üzere,

x(t) dt = 2hx(0) + r(x)

-h

integrasyon formülünü gözönüne alal ı m. x e Cl[-h,h], yani, x, J = [-h,h] üzerinde sürekli türetilebilir olsun. Bu durumda,

p(x) =max lx1 (t)1

olmak üzere, hatan ı n,

jr(x)i < h2p(x)

ş eklinde tahmin edilebileceğ ini gösteriniz. 9. x reel analitik ise,

x(t) dt = 2h(x(0) + x"(0)42f- + xgv(0) 115:: +... (16) -h

olduğ unu gösteriniz. integral için, 2h[a_ ı x(-h) + aox(0) + a ı x(h)] şeklinde bir yakla şı k ifadenin varl ığı n ı kabul edip, a_,,ao,a ı katsay ı lar ı n ı , olabildiğ ince çok say ıda, h, h2 ,...

kuvvetleri (16) ile uyu ş acak şekilde belirleyiniz. Bu sonucun,

202 x(t) d ı 6 (x(-h) 4x(0) + x(h))

Simpson kural ı n' verdiğ ini gösteriniz. Bu elde edili ş , kural ı n kübik polinomlar için neden kesin değ er verdiğ ini gösterir.

10. Weierstrass yakla şı m teoreminin ispat ı nda, sürekli ve parçal ı lineer bir fonksiyonun Fourier katsay ı lar ı için s ı n ı rlar kullandik. Bu s ı n ı rlar nas ı l elde edilebilir?

4.12. AÇIK DÖNÜ Ş ÜM TEOREM İ Daha önceki k ı s ı mlarda. Hahn-Banach teoremini ve düzgün sinirlilik teoremini

incelemiş tik. Ş imdi de, bu bölümdeki üçüncü "büyük" teorem olan, aç ı k dönü ş üm teoremini görece ğ iz. Doğ al olarak, bu teorem aç ı k dönüş ümlerle birlikte görülecektir. Bu tür dönüş ümlerde, her aç ı k kümenin görüntüsü yine bir aç ı k küme olmaktad ı r (tan ı m aş a ğı da). Aç ı k kümelerin konu içindeki önemini hat ı rlayacak olursak, aç ı k dönüş ümlerin ilginç yanlar ı kolayca ortaya ç ı kacakt ı r. Daha belirgin olarak, aç ı k dönü ş üm teoreminin, s ı n ı rl ı lineer bir operatörün, hangi ko ş ullar alt ı nda bir aç ı k dönü ş üm olduğ unu ifade ettiğ ini söyleyebiliriz. Düzgün sinirlilik teoreminde oldu ğ u gibi, burada da taml ı k özeliğ ine gereksinme duyuyoruz ve ispatlayaca ğ' ı m ı z teorem, Banach uzaylann ı n neden tam-olmayan normlu uzaylardan daha doyurucu oldu ğ unu ortaya koymaktad ı r. Bu teorem, ayr ı ca, s ı n ı rl ı lineer bir operatörün tersinin hangi ko ş ullar alt ı nda s ı n ı rl ı olduğ unu da göstermektedir. Aç ı k dönüş üm teoreminin ispat ı , K ı s ı m 4.7 'de ifade edilerek aç ı klanan Baire Kategori teoremine dayanmaktad ı r.

Aç ı k dönü şüm kavram ı n ı tan ı mlayarak iş e baş layal ı m. 4121 TAN}YW(Aç/kDönU ş Unn).XveY metrik uzaylar olsun. D(7) c X olmak üzere,

bir T : D(7) -■ Y dönüş ümünü gözönüne alal ı m. Eğ er D(T) 'deki her aç ı k kümenin, T alt ı ndaki görüntüsü, Y 'de aç ı k bir küme ise, T 'ye bir aç ı k dönü ş üm ad ı verilir.

Dönüş üm örten değ ilse, bu dönü ş ümün, (a) Tan ı m bölgesinden Y 'nin içine, (b) Tan ı m Bölgesinden değ er bölgesinin üzerine bir aç ı k dönü ş üm olmas ı aras ı ndaki

farka dikkat etmemiz gerekir. (b) hali, (a) halinden daha zay ı ft ı r. Örneğ in, X c Y ise, X

'den Y 'nin içine olan, x x donü ş ümünün aç ı k olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, X 'in, Y

'nin bir aç ı k altkümesi olmas ı d ı r. Buna kar şı l ı k, X 'den değ er bölgesi üzerine (ki bu X 'dir) olan x x donü ş ümü her . zaman aç ı kt ı r.

Ayr ı ca, bir yan ı lg ı ya neden olmamak için, Teorem 1.3.4 uyar ı nca, sürekli bir

T : X Y dönü ş ümünün, Y 'deki her aç ı k kümenin ters görüntüsünün, X 'de yine bir

aç ı k küme olmas ı özeliğ ine sahip olduğ unu hat ı rlamam ı z gerekmektedir. Bu durum, T 'nin, X 'deki aç ı k kümeleri, Y 'deki aç ı k kümelere donü ş türdüğ ü anlam ı na gelmez.

Örneğ in, t sin I ile tan ı mlanan, R -> dönü ş ümü sürekli oldu ğ u halde, (0,27r)

aral ığı n' [-I, I] aral ığı üzerine dönü ş türür. 4.12.2. AÇIK DÖNÜ Ş ÜM TEOREM İ , SINIRLI İ NVERS TEOREM İ . Bir X Banach

uzay ı ndan, bir Y Banach uzay ı üzerine olan s ı n ı rl ı lineer bir T operatörü bir aç ı k

dönüş ümdür. Dolay ı s ı yla, T , bire-bir ve üzerine ise, 7 -1 sürekli ve bu nedenle de

s ı nirl ı dir. Bu teoremin ispatini a ş ağı daki lemmadan sonra, kolayca verebilece ğ iz.

4.12.3. LEMMA (Aç ı k Birim Yuvar). Bir X Banach uzay ı ndan, bir Y Banach uzay ı

203 üzerine s ı n ı rl ı lineer bir T operatörü verilmiş olsun. Bu durumda, B o = B(0;1) c X aç ı k birim yuvarm ı n T(B0 ) görüntüsü, 0 e Y komş uluğ unda bir aç ı k yuvar içerir.

Ispat. Ad ı m ad ı m giderek, (a) B i = B(0; aç ı k yuvar ı n ı n görüntüsünün kapan ışı n ı n bir aç ı k B* yuvar ı

içerdiğ ini, (b) = B(0; 2-n) c X olmak üzere, T(B„) 'in, 0 e Y komş uluğ unda bir aç ı k Vn

yuvar ı içerdiğ ini, (c) T(B0) ' ı n, 0 e Y komş uluğ unda bir aç ı k yuvar içerdiğ ini gösterece ğ iz.

Ş imdi ayr ı nt ı lara geçelim: (a) A c X altkümelerine iliş kin olarak, (a bir skaler olmak üzere) aA ve (w E X

olmak üzere) A + w ile,

aA = {x E X : x = aa, a e A}

A+w= {x E X:x = a+w, a A}

şeklinde tan ı mlanan kümeteri gösterecek ve benzer gösterimleri Y 'nin altkümeleri için de yazaca ğı z.

Ş ekil 48.(1) formülünün gösterimi Ş ekil 49.(2) formülünün

B, = B(0; c X aç ı k yuvar ı n ı gözönüne alal ı m. k yeterince büyük bir reel say ı olmak üzere (k > 211x (I), herhangi bir sabit x E X eleman' kB, 'in içindedir. O halde,

t

X= UkBi k=1

yaz ı labilir. T, örten ve lineer oldu ğ undan, t

Y = T(X) = T(Uk Bi) =Uk T(131) =Uk T(131) ıc=1 Ic=1 le=1

'dir. Burada kapan ış almakla, birteş ime yeni noktalar eklemediğ imize dikkat etmemiz

gerekir; çünkü, birle ş im zaten Y uzay ı n ı n tümüdür. Y tam olduğ undan, 4.7.2 Baire

kategori teoremi gere ğ ince, kendi içinde, ikinci kategoridendir. Dolay ı s ı yla, (3) 'ün, 4.7.2

'deki (1) ifadesine benzerliğ ini de gözönünde bulundurarak, k T(B İ ) 'in mutlaka baz ı aç ı k

yuvarlar içermek zorunda olduğ u sonucunu ç ı kartabiliriz. Bu durumda T(BI) 'in de,

B* = B(y0;E) c T(B İ ) gibi bir aç ı k yuvar içerece ğ ini gösterir. Buradan,

B* — yo = B(0 ; 6) c T(B1)— yo

(3)

(4)

yazabiliriz.

204 (b) Bo teoremde verildi ğ i gibi al ı nmak üzere, B* - yo c T(B0 ) olduğ unu

ispatlayaca ğı z. Bunu da,

7(B1) - yo c T(Bo)

olduğ unu göstererek yapaca ğı z. y E T(B ı ) —yo olsun. Bu durumda, y +yo E T(B1) olup, ayr ı ca, yo E T(BI) 'dir. 1.4.6

(a) uyar ı nca,

y + yo olacak şekilde un = Twn E T(B ı )

ve

v„ yo olacak şekilde vn = Tzn E T(B1)

vard ı r. W n, n e B, olup, B i 'in yançap ı 1/2 olduğ undan,

liWn Zn Il + < 1/2 + 1/2 = 1

yazabiliriz; dolay ı s ıyla, wn -zn E Bo bulunur.

T(wn - Zn) = Twn Tzn = Un — Vn y

ifadesinden ise, y e T(B0) olduğ unu görürüz. y e T(B))-yo ' ı n keyfi olmas ı nedeniyle, bu sonuç, (5) 'i ispatlar. (4) 'ü gözönüne al ı rsak,

B* - yo = B(0;E) c T(B0)

elde ederiz. Bn = B(0;2-n) C X olsun. T lineer olduğ undan, T(Bn ) = 2*-"T(Bo)

yazabiliriz. Ve (6) yard ı m ı yla da,

Vn = B(0;d2") c T(Bn )

elde ederiz. (c) Son olarak, her y e Vi 'in T(Bo ) 'da olduğ unu göstererek,

V ı = B(0;E/2) c T(Bo)

olduğ unu ispatlayaca ğı z. y e Vi alal ı m. n = 1 için, (7) 'yi gözönüne al ı rsak, VI c T(B1)

yazabiliriz. O halde, y e 7'(B1) Teorem 1.4.6 uyar ı nca, y 'ye yeterince yak ı n,

örneğ in, Ily — v < El4 olacak ş ekilde bir v E T(B i ) varolmal ı d ı r. V e T(B ı ) koş ulu ise,

bir x ı E Bi için, v = Txi sonucunu gerektirir. Buna göre,

ilv — TxIII< £14

yazabiliriz. Bu e ş itsizliğ i ve n = 2 için, (7) 'yi gözönüne al ı rsak, y Tx E V2 c T(B2)

olduğ unu görürüz. Önceden olduğ u gibi, buradan da,

- Tr ı ) - Tx2I1 < e I 8

olacak ş ekilde bir x2 e B2 'nin varolduğ u sonucunu ç ı kartabiliriz. Dolay ı s ı yla,

y - Tıci - Tx2 e V3 C T(B3) 'dür. Bu ş ekilde devam edersek, n inci ad ı mda,

y - E Tx, <„,„+.

olacak ş ekilde bir xn E Bn seçebiliriz. zn = x l +...+xn olsun. xn E Bn olduğ undan,

Ilik < 1/2k 'dir. Bu ise, n > m için, m co olduğ unda,

Ilz„ - Zm I15 ^ llxkll< ^ o 2 k=m+1 k=m+1

sonucunu gerektirir. O halde, (zn ) dizisi Cauchy 'dir. X 'in tam olmas ı nedeniyle de, (zi,)

(5 )

(8)

205 yak ı nsakt ı r: zn •-■ x diyelim. Bo 'in yar ı çap ı I ve

Eikk II < E= 2k

olduğ undan, x E Bo 'd ı r. T 'nin sürekli olmas ı nedeniyle, Tz„ -› Tx yazabiliriz ve (8) ifadesi, Tx = y olduğ unu gösterir. O halde, y E T(Bo) 'd ı r.

Teorem 4.12.2 'nin ispat!. Ş imdi, her A c X aç ı k kümesi için, T(A) görüntüsünün Y 'de aç ı k olduğ unu gösterece ğ iz. Bunu da, her y = Tx e T(A) için, T(A) kümesinin, y = Tx komş uluğ unda bir aç ı k yuvar içerdiğ ini göstererek yapaca ğı z.

y = Tx E T(A) olsun. A aç ı k olduğ undan, x merkezli bir aç ı k içerir. O halde, A - x, 0 merkezli bir aç ı k yuvar içerir; bu aç ı k yuvar ı n yar ı çap ı r olsun ve k-11r, yani, r= Ilk diyelim. Bu durumda, k(A -x) kümesi B(0; 1) aç ı k birim yuvar ı n ı içerir. Lemma 4.12.3 uyar ı nca, T(k(A - x)) = k[T(A) - Tx] 'in ve dolay ı s ıyla, T(A) - Tx 'in, 0 komş uluğ unda bir aç ı k yuvar içerdi ğ ini söyleyebiliriz. O halde, T(A), Tx = y 'nin komş uluğ unda bir aç ı k yuvar içerir. y E T(A) keyfi olarak al ı nd ığı ndan T(A) aç ı kt ı r.

Son olarak, T-' : Y -› X dönüş ümü mevcut ise, T 'nin aç ı k olmas ı nedeniyle ve Teorem 1.3.4 uyar ı nca, süreklidir. Teorem 2.6.10 gere ğ ince, lineer olduğ undan, Teorem 2.7.9 'un ışığı alt ı nda, ayn ı zamanda, s ı n ı rl ı olduğ unu da söyleyebiliriz.

PROBLEMLER 1. (1,42) (el) ile tan ı mlanan T : R2 -4 R dönüş ümünün aç ı k olduğ unu gösteriniz.

(41,2) --> (1,0) ile verilen R 2 -+ R 2 dönüş ümü de bir aç ı k dönüş üm müdür? 2. Bir aç ı k dönüş iimün, kapal ı kümeleri, kapal ı kümeler üzerine dönü ş türmek

zorunda olmad ığı n ı gösteriniz. 3. (1) ve (2) 'yi geni ş leterek, A,B c X olmak üzere,

A+B={xEX:x=a+b,aeA,beB}

tan ı m ı n ı yapabiliriz. Bu gösterimi daha yak ı ndan tan ı yabilmek için, A = {1,2,3,4} olmak üzere, aA, A + w, A + A 'y ı bulunuz. Ş ekil 50 'yi aç ı klay ı n ı z.

Ş ekil 50. Düzlemde A, B ve A+B

k=1 k=1 (9)

206

4. (9) ifadesindeki e ş itsizliğ in kesin olduğ unu gösteriniz. 5. X, elemanlar ı yaln ı zca sonlu say ı da s ı f ı rdan farkl ı terim içeren kompleks terimli

x = (4;) dizileri olan ve 11x11 =sup gj i ile tan ı mlanan norma sahip bir normlu uzay olsun.

T:X-+X dönüş ümü,

y = Tx = 2/2, 43/3, • •)

ile tan ı mlans ı n. T 'nin lineer ve s ı n ı rl ı , fakat, T -1 'in s ı n ı rs ı z olduğ unu gösteriniz. Bu durum. 4.12.2 ile çeli ş ir mi?

6. X ve Y Banach uzaylar ı , T:X-+Y s ı n ı rl ı lineer ve "içine" bir operatör olsun. Gösteriniz ki, T-1 : R(T)- ■ X olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, R(1) 'nin Y 'de kapal ı olmas ı d ı r.

7. X ve Y Banach uzaylar ı olmak üzere, T : X Y s ı n ı rl ı lineer ve bir operatör olsun. T 'nin bire-bir ve üzerine olmas ı halinde, her x E X için, ailx11 11Txli 5 NA

olacak ş ekilde, pozitif reel a ve b say ı lar ı n ı n varoldu ğ unu gösteriniz. 8. (Eşdeğ er Normlar). 11.11, ve 11. 11 2 , bir X vektör uzay ı üzerinde, XI - (X, 11• 11 1 ) ve

X2 = (X, II. 11 2 ) tam olacak ş ekilde tan ı mlanm ış iki norm olsun. 11x,711 1 0 olmas ı halinde, daima llx„11 2 -* 0 oluyorsa, X ı 'deki yak ı nsakl ığı n, X2 'deki yak ı nsakl ığı

gerektirdi ğ ini ve tersinin de do ğ ru olduğ unu ve her x E X için,

a llxll ı 5_ Ilx11 2 Ş bilx11 1

olacak ş ekilde, pozitif a ve b say ı lar ı n ı n varoldu ğ unu gösteriniz. (Bu durumda, normlar ı n eş değ er olduğ una dikkat ediniz. Bkz. Tan ı m 2.4.4).

9. X ı = (X, 111) ve X2 = 11 2 ) Banach uzaylar ı olsun. Her x E X için,

Ilx 11 ı ellx11 2 olacak şekilde bir c sabiti varsa, her x E X için, 114 2 S kilxli İ olacak

şekilde bir k sabitini varolduğ unu gösteriniz. (Dolay ı s ı yla, Tan ı m 2.4.4'ün ışığı alt ı nda,

bu iki norm eşdeğ er olur.) 10. K ı s ı m 1.3 'den, bir X metrik uzay ı n ı n bütün aç ı k altkümelerinin olu ş turduğ u z-

kümesinin X için bir topoloji ad ı n ı ald ığı n ı biliyoruz. Dolay ı s ı yla, bir X vektör uzay ı üzerindeki her norm, X için bir topoloji tan ı mlar. Eğ er, X üzerinde, X ı = (X,11. II ,) ve

X2 = (X, II. 11 2 ) birer Banach uzay ı olacak ş ekilde iki norm varsa ve 11. 11, ve 11. 11 2

taraf ı ndan tan ı mlanan, Tl ve T2 topolojileri, z ı T2 koş ulunu gerçekliyorlarsa, z ı = T2

olduğ unu gösteriniz.

207

4.13. KAPALI LINEER OPERATÖRLER. KAPALI GRAFIK TEOREM İ Bilindiğ i gibi uygulamada önemi olan lineer operatörlerin tümü s ı n ı rl ı değ ildir.

Örneğ in, 2.7.5 'deki diferensiyel operatör s ı n ı rs ı zd ı r ve kuantum mekani ğ i ve diğ er baz ı uygulamalarda s ı k s ı k s ı n ı rs ı z operatörlere ihtiyaç duyulur. Ancak, analizciler, çoğ unlukla, kapal ı lineer operatör ad ı verilen lineer operatörlerle çal ış maktan haz duyarlar. Bu nedenle, normlu uzaylar üzerinde tan ı ml ı , kapal ı operatörleri tan ı mlay ı p bunlar ı n baz ı temel özeliklerini inceleyecek ve özellikle, bir Banach uzay ı üzerindeki kapal ı lineer bir operatörün s ı n ı rl ı olmas ı için yeterli koş ullar ı ifade eden ve dördüncü büyük teoremimiz olan kapal ı grafik teoreminden söz edeceğ iz.

Kapal ı ve Hilbert uzaylan üzerinde tan ı ml ı diğ er s ı n ı rs ı z operatörlerin daha ayr ı nt ı l ı incelenmesi Bölüm 10 ve kuantum mekaniğ ine uygulama ise Bölüm 11 'de ele al ı nacakt ı r.

Tan ı m ı m ı zia işe baş layal ı m. 4.13. TANIM (Kapal ı Lineer Operatör). X ve Y normlu uzaylar ve T : D(T) Y,

D(T) c X olmak üzere lineer bir operatör olsun. E ğ er T 'nin,

G(T) {(x,y) : x E D(7), y = Tx}

şeklinde tan ı mlanan grafiğ i, X x Y normlu uzay ı nda kapal ı ise, T 'ye bir kapal ı lineer operatör ad ı verilir; burada, X x Y 'deki vektör uzaya ilişkin iki cebirsel operatör, al ışı lm ış biçimde, yani, a bir skaler olmak üzere,

(xi,y1) + (x2,y2) = (x ı + x2,y ı +y2)

a(x,y) = (ax,ay)

şeklinde ve X x Y üzerindeki norm ise,

II (x,Y)II = Ilx + 113'11

(i)

olarak tan ı mlan ı r. (Diğ er normlar için Prob.2 'ye bak ı n ı z.) Kapal ı lineer bir operatörün, hangi ko ş ullar alt ı nda s ı n ı rl ı olacağı n ı n yan ı t ı aşağı daki

önemli teoremle verilecektir. 4.13.2. KAPALI GRAFIK TEOREM İ . X ve Y Banach uzaylar ı ve D(T) c X olmak

üzere, T : D(T) Y kapal ı lineer bir operatör olsun. E ğ er, D(T) tan ı m kümesi, X 'de kapal ı ise T operatörü s ı n ı rl ı d ı r.

Ispat. Önce, Xx Y 'nin (1) 'de tan ı mlanan norm alt ı nda tam olduğ unu gösterelim. z„ = (x„,y,„) olmak üzere, (z„) dizisi Xx Y 'de bir Cauchy olsun. Bu durumda, her E > 0

için,

IIZn — z. 11 = 11xn — x. 11 + ily. —y. 11 < E (m,n >

(2)

olacak şekilde bir N say ı s ı vard ı r. (xn) ve (y„) dizileri, s ı ras ı yla, X ve Y 'de birer

Cauchy olduklar ı ndan ve X ve Y 'nin tam olmalar ı nedeniyle de yak ı nsak olduklar ı ndan,

x„ x ve y,, -> y yazabiliriz. Bu durum, (2) 'den yararlanarak, m oo oldu ğ unda, n > N için, IIzn —d S. e yaz ı labileceğ inden, zn z = (x,y) sonucunu gerektirir. (z„) Cauchy

dizisi keyfi olarak al ı nd ığı ndan, Xx Y 'nin taml ığı n ı söyleyebiliriz. Varsay ı m gereğ i, G(7), X x Y'de ve D(T), X 'de kapal ıd ı r. Dolays ıyla, 1.4.7 uyar ı nca,

G(7) ve D(7) tam'd ı r. Ş imdi,

208 P : G(7) --+ D(T)

(x,Tx) x

dönü ş ümünü gözönüne alal ı m. P lineerdir.

11P(x,Tx)11 = 11x11 + 11Tx11 = 11(x,Tx)11

yaz ı labileceğ inden, P, ayn ı zamanda, s ı n ı rl ı d ı r. P bire-bir ve örten olup, gerçekten, ters dönü ş üm,

: D(T) G(7)

x -› (x,Tx)

ile verilir. G(T) ve D(7) tam olduğ undan, 4.12.2 'deki s ı n ı rl ı invers teoremini uygulayabilir ve 1) --1 'in s ı n ı rl ı olduğ unu görebiliriz; örne ğ in, her x e D(7) ve bir b say ı s ı için, 11(x, Tx)11 < b ı lx11 yazal ı m. O halde, her

x E D(7) için,

11Tx11 5 11Tx11 + Ilxll = 11(x,Tx)11 < bIlx11

yaz ı labildiğ inden, T 'nin s ı n ı rl ı olduğ unu söyleyebiliriz. Tan ı m gereğ i, G(T) 'nin kapal ı olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, z = (x,y) E G(T)

'nin, z E G(T) 'yi gerektirmesidir. Teorem 1.4.6 (a) gere ğ ince, z E G(T) olmas ı için gerek ve yeter ko ş ulun, ı n z olacak ş ekilde, zn = (x„,Tx„) E G(T) 'lerin varolmas ı n ı n olduğ unu biliyoruz; dolay ı s ı yla,

x,, x, Tx,, -› y

(3) ve z = (x,y) E G(T) olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, x E D(T) ve y = Tx olmas ı d ı r. Bu sonuç ise, bir lineer operatörün kapal ı l ığı n ı n tan ı m ı olarak da al ı nan bir özeliğ i ifade eden aş ağı daki yararl ı kriteri ispatlar:

4.13.3. TEOREM (Kapal ı Lineer Operatör). X ve Y Banach uzaylar ı ve D(7) c X olmak üzere, T : D(7) -› Y lineer bir operatör olsun. Bu durumda, T 'nin kapal ı olmas ı için gerek ve yeter ko ş ul, aşağı daki özeliğ e sahip olmas ı d ı r: xn e D(T) ve Txn y olmak üzere, xn x ise, x e D(T) ve Tx = y 'dir.

Bu özeliğ in, s ı n ı rl ı bir operatörün a ş ağı daki özeliğ inden farkl ı olduğ una dikkat etmemiz gerekmektedir. E ğ er, lineer bir T operatörü s ı n ı rl ı ve dolay ı s ı yla sürekli, ve (x„), D(T) 'de tan ı ml ı ve yine D(T) içinde yak ı nsak bir dizi ise, (Tx,,) dizisi de yak ı nsakt ı r (1.4.8 ile karşı laş t ı r ı n ı z). Bu özeliğ in, kapal ı lineer bir operatör için gerşeklenmesi gerekmez. Bununla birlikte, e ğ er T kapal ı ve T 'nin tan ı m kümesinde tan ı ml ı (xn ) ve (57,) gibi iki dizi ayn ı limite yak ı ns ı yor ve bunlara kar şı l ı k gelen (Tx,z) ve (n.) dizileri de yak ı nsak ise, bu son iki dizinin limiti de ayn ı d ı r. (Prob.6 'ya bak ı n ı z.)

4.13.4. ÖRNEK (Diferensiyel Operatör). X = C[0, I] olsun ve "üssü" notasyonu türevi belirtsin. D(T), sürekli bir türeve sahip olan x E X fonksiyonlar ı n ı n oluş turduğ u altuzay olmak üzere,

T : D(T) --> X

x

209 şeklinde tan ı mlanan dönüş ümü gözönüne alal ı m. Bu durumda, T sinirli olmad ığı halde kapal ı d ı r.

ispat. 2.7.5 gözönüne alarak, T 'nin s ı n ı rs ız olduğ unu söyleyebiliriz. Ş imdi, Teorem 4.13.3 'ü uygulayarak, T 'nin kapal ı olduğ unu gösterece ğ iz. D(T) 'de, (xn ) ve (Tx n ) 'in her ikisi de yak ı nsak olacak ş ekilde, bir (x,„) dizisi alal ı m ve

xn x ve Txn = xn -› Y diyelim. C[0,1] 'in normuna göre, yak ı nsakl ığı n, [0,1] üzerinde düzgün yak ı nsakl ı k olmas ı nedeniyle, x',, y yak ı nsamas ı ndan

t

Jy( ı ) dr = tim =lim xn (r) dı = x(1) -x(0),

nin rt.00

0 0 0

yani,

x(t) = x(0) -I- y(r) dı o

elde ederiz. Bu ise, x E D(T) ve x' = y olduğ unu gösterir. Teorem 4.13.3 de, bu durumda, T 'nin kapal ı olduğ u sonucunu verir.

Bu örnekte, D(7) 'nin X 'de kapal ı olmad ığı n ı belirtmemiz yerinde olur. Zira, aksi halde, kapal ı grafik teoremi uyar ı nca, T 'nin s ı n ı rl ı olmas ı gerekirdi.

Kapatd ı k bir lineer operatörün s ı n ı rlil ığı n ı gerektirmez. Tersine olarak da, sinirlilik kapal ı l ığı gerektirmez.

ispat. Ilk ifadenin do ğ ruluğ u, 4.13.4 arac ı l ığı yla görülebilir. İ kincinin doğ ruluğ unu ise, aş ağı daki örnekle aç ı klayacağı z. D(1) , normlu bir X uzay ı n ı n, gerçek ve yoğ un bir altuzay ı olmak üzere, T : D(7) -■ D(T) c X, D(T) üzerindeki özdeş lik operatörü olsun. Bu durumda, T 'nin lineer ve s ı n ı rl ı olduğ u aş ikard ı r. Bununla birlikte, T kapal ı değ ildir. Bunu da, Teorem 4.13.3. 'ün ışığı alt ı nda, bir x E X-D(7) ve D(7) 'de x 'e yak ı nsayan bir (xn ) dizisi alarak, kolayca görebiliriz.

Ş imdiki incelememizde, s ı n ı rs ı z operatörlere iliş kin olarak, tan ı m kümelerinin belirlenmesi ve geni ş leme problemlerinin önemli bir rol oynayabilece ğ ini göreceğ iz. Bu durum, Bölüm 10 'da ayr ı nt ı l ı olarak görece ğ imiz gibi, doğ ald ı r. Az önce ispatlad ığı m ı z ifade oldukça negatif bir yap ı ya sahiptir. Buna karşı n pozitif aç ı dan aş ağı daki lemmay ı verebiliriz.

4.13.5. LEMMA (Kapal ı Operatör). X ve Y normlu uzaylar olmak üzere, T : D(7) -› Y, tan ı m kümesi D(T) c X koş uluna uygun, s ı n ı rl ı lineer bir operatör olsun. Bu durumda,

(a) D(T) , X 'in kapal ı bir altkümesi ise, T kapal ı d ı r. (b) Eğ er, T kapal ı ve Y tam ise, D(7), X 'in kapal ı bir altkümesidir. ispat. (a) Eğ er (x n), D(7) 'de ise ve yak ı nsaksa (örneğ in, xn x diyelim) ve ayr ı ca,

(Tx„) de yak ı nsak olacak şekilde bir dizi ise, bu durumda, D(T) kapal ı olduğ undan ve T 'nin sürekli olmas ı nedeniyle, Tx„ -* Tx yaz ı labileceğ inden, x E D(T) = D(7) bulunur. O

halde, Teorem 4.13.3 uyar ı nca, T kapal ı d ı r.

(b) x E D(7) için, D(7) 'de, x„ x olacak şekilde bir (x„) dizisi vard ı r; Bkz.1.4.6. T s ı n ı rl ı olduğ undan,

11Tx„ - Tx„,11 = liT(x,, - x n )lj < 117111x „ x„,11

yazabiliriz. Bu ise, (Tx„) 'in bir Cauchy olduğ unu gösterir. Y 'nin tam olmas ı nedeniyle,

210 (Tx „) ayn ı zamanda yak ı nsakt ı r; Tx„ y E Y diyelim. T kapal ı olduğ undan, Teorem

4.13.3 uyar ı nca, x E D(T) ( ve Tx = y) 'dir. Dolay ı s ı yla, x e D(7) 'nin keyfi olarak

al ı nd ığı n ı gözönünde tutarsak, D(T) 'nin kapal ı olduğ unu söyleyebiliriz.

PROBLEMLER

1. (1) ifadesinin X x Y üzerinde bir norm tan ı mlad ığı n ı gösteriniz.

2. X ve Y normlu uzaylar ı n ı n X x Y çarp ı m ı üzerinde, s ı k s ı k kullan ı lan, diğ er

normlar da

(x,Y) = max -{Ilx ilY

ve

l ı (x,y)11 0 = ( 114 2 ÷ ily112)112

şeklinde tan ı mlan ı r. Bunlar için de norm ko ş ullar ı n ı n sağ land ığı n ı gösteriniz. 3. Lineer bir T : X -+ Y operatörünün G(T) grafiğ inin, X x Y 'nin bir alt vektör uzay ı

olduğ unu gösteriniz. 4. Tan ı m 4.13.1 'deki X ve Y uzaylar ı birer Banach uzay ı ise, V= Xx Y 'nin (1) 'de

tan ı mlanan norm alt ı nda bir Banach uzay ı olduğ unu gösteriniz. 5. ( ı nvers). Kapal ı lineer bir operatörün T -1 inversi mevcut ise, rl 'in de kapal ı lineer

bir operatör oldu ğ unu gösteriniz. 6. T kapal ı lineer bir operatör olsun. E ğ er, D(T) 'de, (xn ) ve („) gibi iki dizi

yak ı nsak ve ayn ı x limitine sahip ise ve (Tx „) ve (T „) dizilerinin her ikisi de yak ı nsak ise, (Tx„) ve (T ,,) dizilerinin de ayn ı limite sahip olduklar ı n ı gösteriniz.

7. Teorem 4.12.2 'deki ikinci ifadeyi, kapal ı grafik teoreminden elde ediniz. 8. X ve Y normlu uzaylar ve T : X -+ Y kapal ı lineer bir operatörlsun. (a) Kompakt

bir C c Xaltkümesinin görüntüsü olan A kümesinin Y 'de kapal ı olduğ unu gösteriniz. (b) Kompakt bir K c Y altkümesinin ters görüntüsü olan B kümesinin X 'de kapal ı olduğ unu gösteriniz. (Bkz. Tan ı m 2.5.1).

9. X ve Y normlu uzaylar ve Y kompakt olmak üzere, T : X -+ Y kapal ı lineer bir operatör ise, T 'nin s ı n ı rl ı olduğ unu gösteriniz.

10. X ve Y normlu uzaylar ve X kompakt olsun. Eğ er, T : X .Y bire-bir, örten, kapal ı lineer bir operatör ise, T- ' 'in s ı n ı rl ı olduğ unu gösteriniz.

11. (S ı f ı r Uzay ı ). Kapal ı lineer bir T : X Y operatörünün s ı f ı r uzay ı olan N(7) 'nin, X 'in kapal ı bir altuzay ı olduğ unu gösteriniz.

12. X ve Y normlu uzaylar olsun. T, : X -+ Y kapal ı lineer bir operatör ve T2EB(X,Y) ise, T, + T2 'nin kapal ı lineer bir operatör oldu ğ unu gösteriniz.

13. T, D(7) tan ı m kümesi bir X Banach uzay ı nda ve R(1) değ er kümesi normlu bir Y uzay ı nda bulunan kapal ı lineer bir operatör olsun. E ğ er T- ' mevcut ve s ı n ı rl ı ise, R(7) 'nin kapal ı olduğ unu gösteriniz.

14. u t + u2 +... serisinin terimlerinin, J = [0,1] aral ığı üzerinde sürekli türetilebilir fonksiyonlar oldu ğ unu, serinin .1 üzerinde düzgün yak ı nsak olup, x toplam ı na sahip bulunduğ unu varsayal ı m. Ayr ı ca, + u'2 +... serisinin de .1 üzerinde düzgün yak ı nsak olduğ unu kabul edelim. Bu durumda, x 'in, (0,1) üzerinde sürekli türetilebildi ğ ini ve

= +1/2 +... olduğ unu gösteriniz. 15. (Kapal ı Geniş leme). X ve Y Banach uzaylar ı , D(T) c X olmak üzere, G(T)

grafi ğ ine sahip, lineer bir operatör, T : D(7) Y olsun. T 'nin, G(7) grafiğ ine sahip kat2alı lineer bir 7' geniş lemesine sahip olmas ı için gerek ve yeter ko ş ulun, G(T) 'nin,

y 0 olmak üzere, (0,y) formunda bir eleman içermemesi oldu ğ unu gösteriniz.

143 17 < Tx,y >=< x,Ty >

165 7 ...T" X '-> X ' adjoint...

175 16 ...çeş itli ispatlarda çeş itli ispatlarda...

k

184 6 ...= E(tz" ) aj)ej

k

184 5 5. (a. ") --> aj) I ile, O

185 14 lf,(x n)- Ax)1 < f

187 5 ... her f E X' için)

189 2

208 4 P(x,Tx)ii = IIxII +ilTxll = ii(x,Tx)II 208 16 Xve Y Banach uzaylan....

210 22 ... bir operatorsun.

< Tx,y >=< x, T"y >

: Y X' adjoint...

çeş itli ispatlarda... k

E(aY') - ai)e

5_ El(ai") - aj)lije O

ifi(xn) - fi(x)i < f ... her fE Y' için)

11P(x,Tx)11 =II xII 5 IIxH+II Txi1 = II(x,Tx) II Xve Y normlu uzaylar

... bir operatör olsun.

Sayfa

20

25

Sat ı r Yanl ış 7

13. ...bu dizinin

Doğ ru

-x,2 1

..bu dizinin terimleri...

25 8 • Iğ, 5 - j") I +.. .

k ıc1 14j 4.5N) +...

26 11 El4r)--4,1'<eP El5m) 41 I P 5- L.P

31 15 W = T(X) EX\ W = T(X) 5?-

46 8 114 O x O IIxII=O= x= O

49 2 Normal bir X uzayı nda... NOMIKI bir X uzay ı nda...

56 13 ...M 'nin bir baz ı olsun. ..X'nin bir baz ı olsun.

58 6 ..y e Tx„ yazabiliriz. ...y = Tx. yazabiliriz.

69 12 y =max ij Tek ilaimak k

y= max Ted olmak ... k

87 16 1/(x)1= EKirki 5-- • - Ax)1 = IE 1,7k1

92 17 ...=11x- y = .1(x -y,x -y) - yll = j< x y,x y >

96 11 ...=+(fix +y11 2 + lix - y11 2) YI1 2 - 11x—Y11 2 )

96 13 ...=4(11x 4- Y 2 + IIX Yll 2 ) + YI1 2 — lix )11 2 ) 96 14 ...=-- (11x -1- /Y11 2 +11x -1-Y11 2) 411' — 11x — 41')

97 3 ...=+ 11x - y11 2 - ÷il.z - +(x+y)11 2 ...=4-11x -y11 2 + 21Iz - (x + y)11 2

98 12 .. = 11x11 2 - l'CV>12 •-• = 114 2 ity l2

102 10 Şekil 28. Konveks bir küme içindeki bir Ş ekil 28. Konveks bir küme içindeki

103 13 =112y —x11 2 +... ---211y -4 2 +...

105 7 ...y —y ı = z —z ı ... •..y -y ı = z ı - ı ... 105 10 (7) deki z değerine... (7) deki y değerine...

106 17 Y = Y = Yil

107 9 < x,x > llxp 2 = 0... <x,x>= 114 2 = 0...

112 2 El< x,e,i >1 2 5 Iİ X 11 2 k=1

El< x,ek >1 2 < 11x11 2 ka ı

120 8 ... önemle belirtmeyiz. önemle belirtrneliyiz.

122 14 Ms = {0} yazar ız. (4) 'ü ve yine ... Mj = {0}yazar ı z, Buradan x y = 0,

yani x = y ekle ederiz. (4)'ü ve yine...

137 5 Tan ı m 3.8.1 'de ... Tan ı m 3.8.3 'de

137 9 ...= h(S(crx ı + fix2),Y) ...= h(ax, + fix2,y)

142 11 ancak, TT* II2 H2 'dir. ancak, 77' : H2 H2 'dir.