МАТЕМАТИКА - adu.by · ãè÷íî ïóíêò òåîðèè 4.3 îçíà÷àåò 3-é ïóíêò èç 4-é ãëàâû. Óïðàæíåíèÿ, êîòîðûå äîëæíû óìåòü

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ 5 КЛАССА

УЧРЕЖДЕНИЙ ОБЩЕГО СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

С РУССКИМ ЯЗЫКОМ ОБУЧЕНИЯ

МИНСК

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ОБРАЗОВАНИЯ

2013

МАТЕМАТИКА

Допущено

Министерством образованияРеспублики Беларусь

Под редакцией профессора

Л. Б. Шнепермана

В 2 частях

Часть 1

2-е издание, пересмотренное и дополненное

Национальный

институт

образования

Правообладатель Национальный институт образования

Ìàòåìàòèêà : ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ 5-ãî êë. ó÷ðåæ-

äåíèé îáù. ñðåä. îáðàçîâàíèÿ ñ ðóñ. ÿç. îáó÷åíèÿ :

â 2 ÷. / Å. Ï. Êóçíåöîâà [è äð.] ; ïîä ðåä. Ë. Á. Øíå-

ïåðìàíà. — 2-å èçä., ïåðåñì. è äîï. — Ìèíñê : Íàö.

èí-ò îáðàçîâàíèÿ, 2013. — ×. 1. — 224 ñ. : èë.

ISBN 978-985-559-198-7.

ÓÄÊ 51(075.3=161.3=161.1)

ÁÁÊ 22.1ÿ721

ISBN 978-985-559-198-7 (÷. 1) © Îôîðìëåíèå. ÍÌÓ «Íàöèîíàëüíûé

ISBN 978-985-559-197-0 èíñòèòóò îáðàçîâàíèÿ», 2013

ÓÄÊ 51(075.3=161.3=161.1)

ÁÁÊ 22.1ÿ721

Ì34

Ì34

À â ò î ð û:

Å. Ï. Êóçíåöîâà, Ã. Ë. Ìóðàâüåâà, Ë. Á. Øíåïåðìàí,

Á. Þ. ßùèí, Þ. Ê. Âîéòîâà

Ð å ö å í ç å í ò

ó÷èòåëü ìàòåìàòèêè âûñøåé êàòåãîðèè ãîñóäàðñòâåííîãî ó÷ðåæ-

äåíèÿ îáðàçîâàíèÿ «Áðàñëàâñêàÿ ãèìíàçèÿ» Ä. Ã. Ìàöêåâè÷


институт



Äîðîãèå ðåáÿòà!

Çíàêîìñòâî ñ ìàòåìàòèêîé íà÷èíàëîñü äëÿ âàñ â ìëàä-

øèõ êëàññàõ â îñíîâíîì ñ àðèôìåòèêè — íàóêè î ÷èñëå.

Â 5-ì êëàññå âû ïðîäîëæèòå çàíÿòèÿ àðèôìåòèêîé è óçíàå-

òå, ÷òî òàêîå íàòóðàëüíûå ÷èñëà è èõ äåëèòåëè è ÷òî òàêîå

êîîðäèíàòíûé ëó÷, íàó÷èòåñü âûïîëíÿòü ðàçëè÷íûå äåéñò-

âèÿ íàä ìíîãîçíà÷íûìè ÷èñëàìè, ðåøàòü àðèôìåòè÷åñêèå

çàäà÷è, à òàêæå ïðîäîëæèòå çíàêîìñòâî ñ íåêîòîðûìè ãåî-

ìåòðè÷åñêèìè ôèãóðàìè è èõ ñâîéñòâàìè.

* * *

Óïðàæíåíèÿ â ó÷åáíîì ïîñîáèè îáîçíà÷àþòñÿ çíà-

êîì è íóìåðóþòñÿ ïî ãëàâàì. ×èñëî ïåðåä òî÷êîé îáî-

çíà÷àåò íîìåð ãëàâû, ÷èñëî ïîñëå òî÷êè — íîìåð óïðàæíå-

íèÿ. Íàïðèìåð, 1.81 — 81-å óïðàæíåíèå 1-é ãëàâû. Àíàëî-

ãè÷íî ïóíêò òåîðèè 4.3 îçíà÷àåò 3-é ïóíêò èç 4-é ãëàâû.

Óïðàæíåíèÿ, êîòîðûå äîëæíû óìåòü ðåøàòü âñå, îòìå-

÷åíû êðóæêîì (íàïðèìåð, 2.56°). Îñòàëüíûå çàäàíèÿ àä-

ðåñîâàíû òåì, êòî õî÷åò ëó÷øå çíàòü ìàòåìàòèêó è ïîëó-

÷àòü îòìåòêè âûøå, ÷åì 5—6 áàëëîâ. Íàèáîëåå òðóäíûå

çàäàíèÿ ïîìå÷åíû çâåçäî÷êîé (íàïðèìåð, 5.87*).

Íàèáîëåå âàæíûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ñîïðîâîæäà-

þòñÿ çíàêîì .

Çíàê ïîñòàâëåí òàì, ãäå åñòü âîçìîæíîñòü ñðàâíè-

âàòü âàðèàíòû ðåøåíèé èëè èõ îôîðìëåíèÿ.

Èñòîðè÷åñêèå ñâåäåíèÿ âûäåëåíû â òåêñòå çàêðàøåííû-

ìè êâàäðàòàìè �.

Çíàêîì îòìå÷åíû ìàòåðèàëû è çàäà÷è íà ïîâòî-

ðåíèå.

Æåëàåì óñïåõîâ!Àâòîðû

3


институт



ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ

1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü.

Íàòóðàëüíûé ðÿä

Êîãäà íàñ ó÷àò ñ÷èòàòü, òî ïåðâûì íàçûâàþò ÷èñ-

ëî 1, çàòåì íàçûâàþò ÷èñëî 2, çàòåì — ÷èñëî 3, ÷èñ-

ëî 4, ÷èñëî 5 è ò. ä. Ýòè ÷èñëà, âîçíèêàþùèå ïðè

ñ÷åòå, ïîëó÷èëè íàçâàíèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà.

Íàòóðàëüíûå ÷èñëà óïîòðåáëÿþòñÿ íå òîëüêî ïðè

ñ÷åòå. Èõ åùå èñïîëüçóþò, ÷òîáû âûðàçèòü ðåçóëüòàòû

èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ âåëè÷èí: äëèíû, ïëîùàäè, âðå-

ìåíè, ñêîðîñòè. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà íåîáõîäèìû íàì

äëÿ ðåøåíèÿ ñàìûõ ðàçíûõ çàäà÷.

Êðîìå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìû çíàåì åùå ÷èñëî 0

(íóëü).

×èñëî 0 íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì.

Ñòàðåéøàÿ (ÕÕÕ â. äî í. ý.) èçâåñòíàÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ çàïèñü÷èñëà íàéäåíà â 1937 ã. îêîëî äåðåâíè Âåñòîíèöå â Ìîðàâèè(×åõèÿ). Íà ëó÷åâîé êîñòè ìîëîäîãî âîëêà äëèíîé 18 ñì ñäåëàíî55 çàðóáîê, âèäèìî, òàê îòìå÷àëè òðîôåè îõîòíèêîâ.

Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... ,

çàïèñàííûå â òîì ïîðÿäêå, â êàêîì èõ íàçûâàþò ïðè

ñ÷åòå, îáðàçóþò íàòóðàëüíûé ðÿä.

1ГЛАВА

4


институт



×òî â ýòîé çàïèñè îçíà÷àåò ìíîãîòî÷èå?

Â íàòóðàëüíîì ðÿäó çà êàæäûì ÷èñëîì ñëåäóåò

åùå îäíî ÷èñëî, íà 1 áîëüøåå. Ïåðå÷èñëåíèå íàòó-

ðàëüíûõ ÷èñåë íå èìååò êîíöà; ãîâîðÿò, ÷òî íàòóðàëü-

íûé ðÿä áåñêîíå÷åí. Âåñü íàòóðàëüíûé ðÿä çàïèñàòü

íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðà-

çîì: âûïèñûâàþò ïîäðÿä íåñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíûõ

íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íà÷èíàÿ ñ 1, ïîñëå ÷åãî ñòàâÿò

ìíîãîòî÷èå.

Ïåðâûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, 1,

à âîò ïîñëåäíåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò.

Èòàê, ñâîéñòâà íàòóðàëüíîãî ðÿäà ñëåäóþùèå:

1. Â íàòóðàëüíîì ðÿäó åñòü ïåðâîå ÷èñëî — 1.

2. Â íàòóðàëüíîì ðÿäó äëÿ êàæäîãî ÷èñëà ñó-

ùåñòâóåò ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî.

3. Â íàòóðàëüíîì ðÿäó íåò ïîñëåäíåãî ÷èñ-

ëà, îí áåñêîíå÷åí.

Çàìåòèì åùå, ÷òî êàæäîå ÷èñëî â íàòóðàëüíîì

ðÿäó, êðîìå 1, èìååò ïðåäøåñòâóþùåå åìó ÷èñëî,

íà 1 ìåíüøåå.

Ïî ó÷åíèþ ôèëîñîôà è ìàòåìàòèêà Äðåâíåé Ãðå-öèè Ïèôàãîðà (îê. 580—500 ãã. äî í. ý.), ÷èñëî 2îçíà÷àëî ãàðìîíèþ; 5 — öâåò; 6 — õîëîä; 7 —ðàçóì, çäîðîâüå; 8 — ëþáîâü è äðóæáó... Êàæäîåíàòóðàëüíîå ÷èñëî ïîñëåäîâàòåëè Ïèôàãîðà ðàñ-ñìàòðèâàëè êàê ñîáðàíèå åäèíèö, ñàìó æå åäèíè-öó îíè ÷èñëîì íå ïðèçíàâàëè è ïî÷èòàëè åå êàêíå÷òî ñîâåðøåííî îñîáîå.×èñëî 10, ðàâíîå ñóììå ïåðâûõ ÷åòûðåõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà(10 = 1 + 2 + 3 + 4), îíè íàçûâàëè «ñâÿùåííîé ÷åòâåðèöåé».

5

1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä

Ïèôàãîð


институт



6

Âîïðîñû

1. Äëÿ ÷åãî èñïîëüçóþòñÿ íàòóðàëüíûå ÷èñëà?

2. Íàçîâèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ìåíüøèå 10. Ñêîëüêî èõ?

3. Êàêîå èçâåñòíîå âàì ÷èñëî íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì?

4. Åñòü ëè â íàòóðàëüíîì ðÿäó ïåðâîå (ïîñëåäíåå) ÷èñëî?

5. Äëÿ êàæäîãî ëè ÷èñëà â íàòóðàëüíîì ðÿäó ñóùåñòâóåò

ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî?

6. Êàæäîå ëè ÷èñëî â íàòóðàëüíîì ðÿäó èìååò ïðåäøåñò-

âóþùåå åìó ÷èñëî?

Óïðàæíåíèÿ

1.1.1.1.1.11111.....° Çàïèøèòå ïåðâûå äåñÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.

1.1.1.1.1.22222..... Çàïèøèòå íàòóðàëüíûì ÷èñëîì êîëè÷åñòâî:

1) ó÷åíèêîâ â êëàññå;

2) äåâî÷åê â êëàññå;

3) ñòîëîâ â êàáèíåòå;

4) ñòðàíèö â ýòîì ó÷åáíèêå.

1.1.1.1.1.33333..... Óçíàéòå è çàïèøèòå êîëè÷åñòâî:

1) ïÿòèêëàññíèêîâ â øêîëå;

2) ó÷èòåëåé â øêîëå;

3) êíèã â øêîëüíîé áèáëèîòåêå;

4) ÷èòàòåëåé â øêîëüíîé áèáëèîòåêå.

1.1.1.1.1.44444..... Çàïèøèòå êîëè÷åñòâî èçîáðàæåííûõ (ðèñ. 1):

1) òðåóãîëüíèêîâ; 2) êâàäðàòîâ.

Ã ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà

Ðèñ. 1


институт



7

6 –2300 00

10242

12200 м

302

3023

A

0493 BX-2

1.1.1.1.1.55555..... Çàïèøèòå äëÿ ýòîé êíèãè êîëè÷åñòâî:

1) ñòðàíèö â ïåðâîé ãëàâå;

2) áóêâ «í» è «ù» â ïîñëåäíåé ñòðîêå ñòðàíèöû 7.

1.1.1.1.1.66666.....° Íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíû ÷åòûðå îòðåçêà, êîòî-

ðûå ÷åðòî÷êàìè ðàçäåëåíû íà ÷àñòè ñàíòèìåòðîâîé

äëèíû. Çàïèøèòå äëèíó êàæäîãî îòðåçêà.

1.1.1.1.1.77777..... Íàéäèòå è íàçîâèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà ðèñóí-

êå 3. Îáúÿñíèòå íàçíà÷åíèå êàæäîãî íàòóðàëüíîãî

÷èñëà.

1.1.1.1.1.88888.....° Íàçîâèòå (åñëè ýòî âîçìîæíî):

1) äåñÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;

2) ÷èñëî, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì;

3) íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî;

4) íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.


Ðèñ. 2

Ðèñ. 3Национальный

институт



8

1.1.1.1.1.99999.....° Çàïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ñëåäóåò çà

÷èñëîì:

1) 1; 2) 999;

3) 7249; 4) 4320;

5) 65 0561); 6) 303 303.

1.1.1.1.1.1010101010..... Çàïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ïðåäøåñò-

âóåò ÷èñëó:

1) 10; 2) 27;

3) 5931; 4) 94 310;

5) 23 188; 6) 627 924.

1.1.1.1.1.1111111111..... Íàçîâèòå ÷èñëà, êîòîðûìè íàäî çàïîëíèòü òàá-

ëèöó:

à 537 444

à + 1 729

à – 1 328

1.1.1.1.1.1212121212..... Óêàæèòå òðè ÷èñëà, ñòîÿùèå â íàòóðàëüíîì ðÿ-

äó ïîñëå ÷èñëà:

1) 499; 2) 78;

3) 51 590; 4) 72 837.

1.1.1.1.1.1313131313..... Óêàæèòå òðè ÷èñëà, ñòîÿùèå â íàòóðàëüíîì ðÿäó

äî ÷èñëà:

1) 947; 2) 992;

3) 90 001; 4) 52 903.

1.1.1.1.1.1414141414..... Çàïèøèòå âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êîòîðûå:

1) ðàñïîëîæåíû ìåæäó 999 è 1002;

2) áîëüøå 98 è ìåíüøå 106.________

1) Ïðè çàïèñè áîëüøèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èñïîëüçóþò

ïðîáåëû — çà÷åì ýòî äåëàþò, áóäåò ïîÿñíåíî â ï. 1.5.

Ã ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный

институт



9

1.1.1.1.1.1515151515.....* Ïóñòü à + 2 — íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Çà-

ïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî:

1) ñëåäóþùåå çà íèì;

2) ïðåäøåñòâóþùåå åìó.

1.1.1.1.1.1616161616.....° Â òàáëèöå çàïèñàíû 16 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Âû-

ïèøèòå èç íèõ êàæäîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî â òàáëèöå

åñòü:

1) ïðåäøåñòâóþùåå åìó ÷èñëî;

2) ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî;

3) ïðåäøåñòâóþùåå åìó è ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî.

23 19 17 9

100 14 24 98

99 10 102 15

22 96 16 8

1.1.1.1.1.1717171717..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:

1) õ + 1 = 100; 2) õ + 1 = 1000;

3) õ − 1 = 10; 4) õ − 1 = 10 000.

1.1.1.1.1.1818181818.....* 1) Ñåìèçíà÷íûé íîìåð òåëåôîíà Àëåøè — ýòî

òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñëà íàòóðàëüíîãî ðÿäà. Îïðå-

äåëèòå íîìåð Àëåøèíîãî òåëåôîíà.

2) Òðåõçíà÷íûé øèôð êîäîâîãî çàì-

êà íà ïîðòôåëå ñîñòàâëåí èç äâóõ ïîñëå-

äîâàòåëüíûõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà,

çàïèñàííûõ â îáðàòíîì ïîðÿäêå (ðèñ. 4).

Îïðåäåëèòå øèôð êîäîâîãî çàìêà.

1.1.1.1.1.1919191919.....* Ñ ïîìîùüþ ÷åòûðåõ ÷åòâåðîê, çíàêîâ àðèôìå-

òè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê ñîñòàâüòå ÷èñëîâûå âû-

ðàæåíèÿ, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëü-

íîñòü: 4, 8, 16, 64, 128, 256.

Ðèñ. 4

1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿäНациональный

институт



10

1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü

Âû óæå çíàåòå, êàê èçîáðàæàþòñÿ òî÷êà è ïðÿìàÿ.

Âû âèäèòå èõ èçîáðàæåíèå íà ðèñóíêàõ 5 è 6:

Òî÷êó îáîçíà÷àþò ïðîïèñíîé (áîëüøîé) áóêâîé ëà-

òèíñêîãî àëôàâèòà.

Ïðÿìóþ îáîçíà÷àþò ñòðî÷íîé (ìàëîé) áóêâîé ëà-

òèíñêîãî àëôàâèòà. Ïðÿìàÿ áåñêîíå÷íà, îíà íå èìååò

íè íà÷àëà, íè êîíöà, ïîýòîìó íà ðèñóíêå ìîæíî èçîá-

ðàçèòü ëèøü ÷àñòü ïðÿìîé.

Îòìåòèì íà ïðÿìîé b òî÷êó K

(ðèñ. 7).

Ãîâîðÿò: «òî÷êà K ëåæèò íà

ïðÿìîé b» èëè «ïðÿìàÿ b ïðîõî-

äèò ÷åðåç òî÷êó K».

×åðåç îäíó òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè ëþáîå ÷èñëî

ïðÿìûõ. Íà ðèñóíêå 8 ÷åðåç òî÷êó P ïðîõîäÿò ÷åòû-

ðå ïðÿìûå. Ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå P.

Êîãäà äâå òî÷êè M è N ëåæàò íà ïðÿìîé ñ (ðèñ. 9),

òî ýòó ïðÿìóþ òàêæå íàçûâàþò «ïðÿìàÿ MN».

×åðåç ëþáûå äâå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿ-

ìóþ, è òîëüêî îäíó.

Ðèñ. 5 Ðèñ. 6

Ðèñ. 7

Ðèñ. 8 Ðèñ. 9


институт



11

Ïîâåðõíîñòè ñòîëà, êëàññíîé äîñêè, îêîííîãî ñòåê-

ëà äàþò ïðåäñòàâëåíèå î ÷àñòè ïëîñêîñòè. Èçîáðàçèòü

æå âñþ ïëîñêîñòü íåâîçìîæíî, ïîòîìó ÷òî îíà áåñêî-

íå÷íà. Íà ðèñóíêå èçîáðàæàåòñÿ òîëüêî ÷àñòü ïëîñ-

êîñòè (ðèñ. 10). Òî÷êè è ïðÿìûå ìîãóò ëåæàòü â ïëîñ-

êîñòè. Íàïðèìåð, ïðÿìûå à è b, ïåðåñåêàþùèåñÿ â

òî÷êå C, ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 11).

Ïî îäíîé âåðñèè, ñëîâî «òî÷êà» â ðóññêîì ÿçûêå îçíà÷àëî êîíåöçàòî÷åííîãî ãóñèíîãî ïåðà, êîòîðûì ðàíüøå ïèñàëè, è ïðîèñõîäèò

îò ñëîâà «òî÷èòü» (ðèñ. 12).Ïî äðóãîé âåðñèè, ñëîâî «òî÷êà» ïðîèñõîäèò îò ãëàãîëà «òêíóòü»òàê æå, êàê ðàâíîçíà÷íîå ñëîâî «ïóíêò» ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãîñëîâà pungo — «óêàëûâàþ» (ðèñ. 13).

Âîïðîñû

1. Êàê îáîçíà÷àåòñÿ: à) òî÷êà; á) ïðÿìàÿ?

2. Ñêîëüêî ïðÿìûõ ìîæíî ïðîâåñòè ÷åðåç îäíó òî÷êó?

÷åðåç äâå òî÷êè? ÷åðåç òðè òî÷êè?

3. Ìîãóò ëè äâå ïðÿìûå ïåðåñåêàòüñÿ áîëåå ÷åì â îäíîé

òî÷êå?

Ðèñ. 10 Ðèñ. 11


1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòüНациональный

институт



12

E

O

P F

T

N C

F

KE

a A

O MD

а) б)


1.1.1.1.1.2020202020.....° Íàçîâèòå ïðÿìûå, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 14:

1.1.1.1.1.2121212121.....° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè ÷åòûðå ïðÿìûå è îáîçíà÷ü-

òå èõ ìàëûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà.

1.1.1.1.1.2222222222.....° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè òðè ïðÿìûå, îòìåòüòå íà

êàæäîé èç íèõ ïî äâå òî÷êè. Íàçîâèòå ýòè ïðÿìûå,

èñïîëüçóÿ îòìå÷åííûå òî÷êè.

1.1.1.1.1.2323232323.....° Íàçîâèòå òî÷êè, ëåæàùèå è íå ëåæàùèå íà ïðÿ-

ìîé a (ðèñ. 15).

1.1.1.1.1.2424242424.....° Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè M è N. Ïðîâåäèòå ÷å-

ðåç íèõ ïðÿìóþ. Îòìåòüòå è îáîçíà÷üòå åùå òðè òî÷êè:

1) íà ïðÿìîé MN;

2) íå ëåæàùèå íà ïðÿìîé MN.

Ðèñ. 14

Ðèñ. 15


a

c

d

а)b c a

d

km

б)


институт



13

1.1.1.1.1.2525252525..... Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êó M è ïðîâåäèòå ÷åòûðå

ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó M. Îòìåòüòå è îáî-

çíà÷üòå íà êàæäîé ïðÿìîé åùå ïî îäíîé òî÷êå. Çàïè-

øèòå íàçâàíèå êàæäîé ïðÿìîé.

1.1.1.1.1.2626262626..... Íàçîâèòå èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 16 ïðÿìûå,

ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó:

1) À; 2) Â;

3) Ñ; 4) D;

5) E.

1.1.1.1.1.2727272727.....° Ïðîâåðüòå, ìîæíî ëè ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç

òî÷êè A, B è C íà ðèñóíêå 17.

1.1.1.1.1.2828282828..... Èçîáðàçèòå òðè òî÷êè A, B è C òàê, ÷òîáû îíè:

1) ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé;

2) íå ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé.

1.29.1.29.1.29.1.29.1.29. Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè M, P, T, íå ëåæàùèå

íà îäíîé ïðÿìîé. ×åðåç êàæäûå äâå òî÷êè ïðîâåäè-

òå ïðÿìóþ. Ñêîëüêî ïîëó÷èëîñü ïðÿìûõ? Çàïèøè-

òå èõ.

Ðèñ. 17

à)

C

À

B

á)

AB

C

C

ã)

A

B

â)

A

B

C

Ðèñ. 16

E

B

D

AC

1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòüНациональный

институт



14

1.1.1.1.1.3030303030..... Êàêèå èç ïðÿìûõ íà ðèñóíêå 18 ìîãóò ïåðåñå-

êàòüñÿ â ïðåäåëàõ ñòðàíèöû ýòîé êíèãè?

1.1.1.1.1.3131313131.....° Îïðåäåëèòå, íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëèò ïëîñêîñòü:

1) îäíà ïðÿìàÿ (ðèñ. 19);

2) äâå ïðÿìûå (ðèñ. 20);

3) òðè ïðÿìûå (ðèñ. 21).

Ðèñ. 18

Ðèñ. 19

Ðèñ. 20

Ðèñ. 21


á) â)

à)

à)

á)

1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Çàïèñûâàòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà ìû óæå óìååì. Òîò

ñïîñîá çàïèñè ÷èñåë, êîòîðûì ìû ïîëüçóåìñÿ, íàçû-

âàåòñÿ äåñÿòè÷íîé ñèñòåìîé ñ÷èñëåíèÿ. ×èñëà â

íåé çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ äåñÿòè çíàêîâ:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.


институт



15

Ýòè çíàêè íàçûâàþòñÿ öèôðàìè.

Êàêîå ÷èñëî îçíà÷àåò öèôðà, îïðåäåëÿåòñÿ

íå òîëüêî ñàìîé ýòîé öèôðîé, íî è ïîçèöèåé

(ìåñòîì), ãäå îíà ñòîèò â çàïèñè íàòóðàëü-

íîãî ÷èñëà.

Òàê, â çàïèñè ÷èñëà 285 öèôðà 5 îçíà÷àåò 5 åäè-

íèö, à â çàïèñè ÷èñëà 528 öèôðà 5 îçíà÷àåò 5 ñîòåí.

Ïîýòîìó ãîâîðÿò, ÷òî äåñÿòè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëå-

íèÿ ïîçèöèîííàÿ.

Ñóùåñòâóþò è íåïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð,

ðèìñêàÿ íóìåðàöèÿ, ãäå ÷èñëà çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðèìñêèõ

öèôð:

I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000.

Äëÿ çàïèñè ÷èñåë èñïîëüçóþòñÿ ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ.

Åñëè ìåíüøàÿ öèôðà ñòîèò ïîñëå áîëüøåé, òî îíà ïðèáàâëÿåòñÿ

ê áîëüøåé, à åñëè ìåíüøàÿ öèôðà ñòîèò ïåðåä áîëüøåé, òî îíà

âû÷èòàåòñÿ èç áîëüøåé. Íàïðèìåð:

III = 3, ò. å. 1 + 1 + 1; VII = 7, ò. å. 5 + 1 + 1; XXI = 21, ò. å. 10 + 10 + 1;

I V = 4, ò. å. 5 − 1; IX = 9, ò. å. 10 − 1; XIX = 19, ò. å. 10 + (10 − 1);

MCMXLV = 1945 (1000 + (1000 − 100) + (50 − 10) + 5).

Ðèìñêóþ íóìåðàöèþ ñåé÷àñ èñïîëüçóþò òîëüêî äëÿ çàïèñè ïîðÿä-

êîâûõ ÷èñëèòåëüíûõ. Òàê, çàïèñü «XXI â.» ÷èòàþò: «äâàäöàòü ïåð-

âûé âåê», à çàïèñü «V êëàññ» — «ïÿòûé êëàññ».

Çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â äåñÿòè÷íîé ñè-

ñòåìå ñ÷èñëåíèÿ íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ íóëÿ.

×èñëî «íóëü» è êàæäîå èç ïåðâûõ äåâÿòè íàòó-

ðàëüíûõ ÷èñåë çàïèñûâàþòñÿ îäíîé öèôðîé; ýòè ÷èñ-

ëà íàçûâàþòñÿ îäíîçíà÷íûìè.

1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



16

Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàïèñàííîå áîëåå ÷åì îäíîé

öèôðîé, íàçûâàåòñÿ ìíîãîçíà÷íûì. Ñðåäè ìíîãîçíà÷-

íûõ ÷èñåë äâóçíà÷íûå — ýòî òå, êîòîðûå çàïèñûâàþò-

ñÿ äâóìÿ öèôðàìè, òðåõçíà÷íûå — ýòî òå, êîòîðûå

çàïèñûâàþòñÿ òðåìÿ öèôðàìè, è ò. ä.

«Íóëü» ïî-àðàáñêè — «ñèôð», îòêóäà è ïîøëî íàçâàíèå öèôðà.Èíòåðåñíî, ÷òî ìû íàçûâàåì öèôðû 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 àðàá-ñêèìè, òàê êàê çàèìñòâîâàëè èõ ó àðàáîâ, íî ñàìè àðàáû íàçûâàþòýòè öèôðû èíäèéñêèìè, ïîñêîëüêó çàèìñòâîâàëè èõ ó èíäèéöåâ.

Âîïðîñû

1. Êàê íàçûâàåòñÿ ñïîñîá çàïèñè ÷èñåë, êîòîðûìè ìû

ïîëüçóåìñÿ?

2. Ñ ïîìîùüþ êàêèõ çíàêîâ çàïèñûâàþòñÿ ÷èñëà â äåñÿ-

òè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ? Êàê íàçûâàþòñÿ ýòè çíàêè?

3. ×åì îïðåäåëÿåòñÿ, êàêîå ÷èñëî îçíà÷àåò öèôðà â çàïèñè

÷èñëà?

4. Ñ êàêîé öèôðû íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ çàïèñü íàòóðàëü-

íîãî ÷èñëà?


1.1.1.1.1.3232323232.....° Ïðèâåäèòå ïðèìåð ÷èñëà:

1) äâóçíà÷íîãî; 2) òðåõçíà÷íîãî;

3) îäíîçíà÷íîãî; 4) ÷åòûðåõçíà÷íîãî.

1.1.1.1.1.3333333333.....° Ñðåäè ÷èñåë 137, 731, 317 íàéäèòå ÷èñëî, â êîòî-

ðîì öèôðà 1 íàõîäèòñÿ íà ïîçèöèè:

1) åäèíèö;

2) äåñÿòêîâ;

3) ñîòåí.

1.1.1.1.1.3434343434.....° Çàïèøèòå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, ó êîòîðûõ íà ïîçè-

öèÿõ åäèíèö è äåñÿòêîâ öèôðû îäèíàêîâûå. Ñêîëüêî

òàêèõ ÷èñåë ïîëó÷èëîñü?


институт



17

1.1.1.1.1.3535353535..... Äàíî ÷èñëî: 1) 782; 2) 780. Çàïèøèòå âñå òðåõ-

çíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ýòîãî

÷èñëà, ìåíÿÿ ïîçèöèè åãî öèôð. Ñêîëüêî òàêèõ ÷èñåë

ïîëó÷èëîñü?

1.1.1.1.1.3636363636..... Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî

ñîñòàâèòü èç öèôð:

1) 3 è 6; 2) 4 è 0;

3) 2, 0 è 8; 4) 1, 5 è 0.

1.1.1.1.1.3737373737..... Ïðî÷èòàéòå ÷èñëî:

1) 2569; 2) 7183;

3) 40 104; 4) 69 001.

Çàïèøèòå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç òåõ æå öèôð, íî â

îáðàòíîì ïîðÿäêå. Ïðî÷èòàéòå ïîëó÷åííîå ÷èñëî.

1.1.1.1.1.3838383838..... Çàïèøèòå ïåðâûå â íàòóðàëüíîì ðÿäó:

1) âîñåìü îäíîçíà÷íûõ ÷èñåë;

2) ÷åòûðå äâóçíà÷íûõ ÷èñëà;

3) òðè òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà;

4) äâà ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà.

1.1.1.1.1.3939393939..... Çàïèøèòå ïîñëåäíèå òðè â íàòóðàëüíîì ðÿäó:

1) îäíîçíà÷íûõ ÷èñëà;

2) äâóçíà÷íûõ ÷èñëà;

3) òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà;

4) ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà.

1.1.1.1.1.4040404040..... Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå íàèáîëüøåå è íàèìåíü-

øåå ÷èñëà ñðåäè ÷èñåë:

1) äâóçíà÷íûõ; 2) òðåõçíà÷íûõ;

3) ïÿòèçíà÷íûõ; 4) øåñòèçíà÷íûõ.

1.1.1.1.1.4141414141.....° Ñêîëüêî öèôð èñïîëüçîâàíî äëÿ çàïèñè ÷èñåë

è ñêîëüêî ñðåäè íèõ ðàçëè÷íûõ:

1) 290 290; 2) 345 543;

3) 59 585; 4) 47 917?

1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



18

1.1.1.1.1.4242424242..... Ñîñòàâüòå:

1) âñå äâóçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ñóììà öèôð

êîòîðûõ ðàâíà 5;

2) âñå òðåõçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ñóììà öèôð

êîòîðûõ ðàâíà 4.

1.1.1.1.1.4343434343.....* Óñòàíîâèòå çàêîíîìåðíîñòü, çàïèøèòå è ïðî÷è-

òàéòå òðè ÷èñëà, ñëåäóþùèå çà óêàçàííûìè:

5; 50; 505; 5050; ... .

1.1.1.1.1.4444444444.....* Îáðàòèòå âíèìàíèå, ñ êàêîé ñòðàíèöû íà÷èíàåò-

ñÿ íóìåðàöèÿ â âàøåì ó÷åáíîì ïîñîáèè «Ìàòåìàòèêà».

1) Ñêîëüêî öèôð ïîòðåáîâàëîñü íàïå÷àòàòü äëÿ íó-

ìåðàöèè ñòðàíèö â ó÷åáíîì ïîñîáèè «Ìàòåìà-

òèêà»?

2) Ñêîëüêî ðàç âñòðå÷àåòñÿ êàæäàÿ èç öèôð?

1.1.1.1.1.4545454545.....* Äëÿ íóìåðàöèè ñòðàíèö â ñáîðíèêå «Çàäà÷è

íà ñìåêàëêó» ïîòðåáîâàëîñü 787 öèôð. Êàêîé íîìåð

èìååò ïîñëåäíÿÿ ïðîíóìåðîâàííàÿ ñòðàíèöà, åñëè ïåð-

âàÿ ïðîíóìåðîâàííàÿ ñòðàíèöà èìååò íîìåð 3?

1.1.1.1.1.4646464646.....* Ìåæäó ÷èñëàìè 1, 3, 5, 7, 9 ðàññòàâüòå çíàêè

àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáêè òàê, ÷òîáû çíà÷å-

íèå ïîëó÷åííîãî ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ áûëî ðàâíî:

1) 0; 2) 1; 3) 3;

4) 5; 5) 7; 6) 9.

1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà

Ïîçèöèÿ (ìåñòî), íà êîòîðîé â çàïèñè íàòóðàëü-

íîãî ÷èñëà ñòîèò öèôðà, íàçûâàåòñÿ ðàçðÿäîì. Ïåð-

âàÿ öèôðà ñïðàâà â çàïèñè ÷èñëà íàçûâàåòñÿ öèôðîé

ïåðâîãî ðàçðÿäà, âòîðàÿ öèôðà ñïðàâà — öèôðîé âòî-


институт



19

ðîãî ðàçðÿäà, òðåòüÿ öèôðà ñïðàâà — öèôðîé òðåòüåãî

ðàçðÿäà è ò. ä. Ïåðâûé ðàçðÿä íàçûâàåòñÿ òàêæå ðàç-

ðÿäîì åäèíèö, âòîðîé ðàçðÿä — ðàçðÿäîì äåñÿòêîâ,

òðåòèé ðàçðÿä — ðàçðÿäîì ñîòåí è ò. ä.

Öèôðû â ðàçðÿäàõ ïîêàçûâàþò, ÷òî, íàïðèìåð, ÷èñ-

ëî 9702 ñîñòîèò èç 9 òûñÿ÷, 7 ñîòåí, 0 äåñÿòêîâ è

2 åäèíèö, ò. å.

9702 = 9000 + 700 + 0 + 2 = 9 . 1000 + 7 . 100 + 0 . 10 + 2 . 1.

×èñëà 9000, 700, 0 è 2 íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè

ñëàãàåìûìè ÷èñëà 9702.

Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü

â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ.

×èñëà 1, 10, 100 è ò. ä. íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè

åäèíèöàìè:

1 — åäèíèöà ïåðâîãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà åäèíèö,

10 — åäèíèöà âòîðîãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà äåñÿòêîâ,

100 — åäèíèöà òðåòüåãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà ñîòåí

è ò. ä.

Êàæäàÿ åäèíèöà ñëåäóþùåãî ðàçðÿäà â 10 ðàç áîëü-

øå åäèíèöû ïðåäûäóùåãî ðàçðÿäà, ò. å. 10 åäèíèö

ëþáîãî ðàçðÿäà ñîñòàâëÿþò 1 åäèíèöó ñëåäóþùåãî

ðàçðÿäà. Èìåííî ïîýòîìó íàøà ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ íà-

çûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé.

Ïåðâàÿ öèôðà ñëåâà â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà

íàçûâàåòñÿ öèôðîé âûñøåãî ðàçðÿäà. Òàê êàê çàïèñü

íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ íóëÿ, òî

öèôðà âûñøåãî ðàçðÿäà âñåãäà îòëè÷íà îò íóëÿ.

Àáà́ê — ñ÷åòíûé ïðèáîð — ïîÿâèëñÿ ó äðåâíèõ àðàáîâ (ðèñ. 22).Ëàòèíñêîå ñëîâî calculare — «ñ÷èòàòü» (îòñþäà «êàëüêóëÿòîð»(ðèñ. 23), «êàëüêóëÿöèÿ») — ïðîèñõîäèò îò ñëîâà calculus —«êàìåøåê».

1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëàНациональный

институт



20

Ìåñòà äëÿ îòäåëüíûõ ðàçðÿäîâ ÷èñåë áûëè íå òîëüêî íà àáàêå, íîè, íàïðèìåð, íà ñ÷åòàõ, íà ðàçãðàôëåííîé äîñêå (áóìàãà â êëåòêóâ òåòðàäÿõ ïî ìàòåìàòèêå íàì åå íàïîìèíàåò). Íà ðèñóíêå 24, à, á,ïîêàçàíî ñëîæåíèå ÷èñåë 123 è 64.

Âîïðîñû

1. ×òî íàçûâàåòñÿ ðàçðÿäîì?

2. Êàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè åäèíèöàìè?

3. Ïî÷åìó íàøà ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ íàçûâàåòñÿ äåñÿ-

òè÷íîé?

4. Êàêàÿ öèôðà â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ

öèôðîé âûñøåãî ðàçðÿäà?


1.1.1.1.1.4747474747.....° Ñêîëüêî åäèíèö ïåðâîãî ðàçðÿäà, âòîðîãî ðàçðÿ-

äà, òðåòüåãî ðàçðÿäà, ÷åòâåðòîãî ðàçðÿäà ñîäåðæèòñÿ

â ÷èñëå:

1) 2946; 2) 3052; 3) 9107;

4) 1840; 5) 6010; 6) 2002?


Ðèñ. 24


1 2 3

6 4

а) б)

8 71

+


институт



21

1.1.1.1.1.4848484848..... ×òî ïîêàçûâàåò öèôðà 4 â çàïèñè ÷èñëà:

1) 641; 2) 29 451;

3) 70 340; 4) 948 356;

5) 40 404; 6) 3 244 444?

1.1.1.1.1.4949494949.....° Ñðåäè ÷èñåë 5137, 7351, 3715 è 1573 íàéäèòå

÷èñëî, ó êîòîðîãî öèôðà 5 çàïèñàíà â ðàçðÿäå:

1) åäèíèö; 2) äåñÿòêîâ;

3) ñîòåí; 4) òûñÿ÷.

1.1.1.1.1.5050505050..... Â êàæäîì ÷èñëå íàçîâèòå ðàçðÿä, â êîòîðîì íà-

õîäèòñÿ öèôðà 9:

1) 9; 2) 98;

3) 139; 4) 9507;

5) 19 342; 6) 916 001.

1.1.1.1.1.5151515151.....° Çàïèøèòå ÷èñëî, â êîòîðîì:

1) 4 åäèíèöû øåñòîãî ðàçðÿäà, 5 åäèíèö ÷åòâåðòîãî

ðàçðÿäà, 7 åäèíèö òðåòüåãî ðàçðÿäà, 3 åäèíèöû

ïåðâîãî ðàçðÿäà;

2) 9 åäèíèö øåñòîãî ðàçðÿäà, 4 åäèíèöû ïÿòîãî

ðàçðÿäà, 7 åäèíèö òðåòüåãî ðàçðÿäà, 1 åäèíèöà

âòîðîãî ðàçðÿäà.

1.1.1.1.1.5252525252..... Çàïèøèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî, â êîòîðîì:

1) 6 òûñÿ÷, 2 äåñÿòêà, 3 åäèíèöû;

2) 4 òûñÿ÷è, 3 ñîòíè, 5 åäèíèö;

3) 8 òûñÿ÷, 6 äåñÿòêîâ;

4) 9 òûñÿ÷, 4 ñîòíè.

1.1.1.1.1.5353535353..... Íàçîâèòå ðàçðÿäíûå ñëàãàåìûå ÷èñëà:

1) 325; 2) 786; 3) 7896; 4) 9341;

5) 6021; 6) 3203; 7) 2090; 8) 5004.

1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëàНациональный

институт



22

1.1.1.1.1.5454545454..... Ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ

÷èñëî:

1) 542; 2) 5420;

3) 5042; 4) 5402;

5) 504 020; 6) 500 204.

1.1.1.1.1.5555555555..... Çàïèøèòå ÷èñëî, çàäàííîå ñóììîé ðàçðÿäíûõ ñëà-

ãàåìûõ:

1) 3 . 100 + 8 . 10 + 6 . 1;

2) 3 . 1000 + 8 . 100 + 6 . 1;

3) 3 . 10 000 + 8 . 100 + 6 . 10;

4) 3 . 100 000 + 8 . 10 000 + 6 . 1000.

1.1.1.1.1.5656565656..... Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë:

1) 100 + 20 + 9;

2) 5000 + 800 + 80 + 1;

3) 4 000 000 + 700 + 8;

4) 500 000 + 30 000.

1.1.1.1.1.5757575757..... Ïî çàïèñè ÷èñëà â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëà-

ãàåìûõ íàçîâèòå ðàçðÿä, ãäå íàõîäèòñÿ öèôðà 6:

1) 5 . 10 000 + 6 . 1000 + 8 . 10 + 2;

2) 6 . 100 000 + 3 . 10 000 + 6 . 100.

1.1.1.1.1.5858585858..... Çàïèøèòå â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ

íàèáîëüøåå ÷èñëî:

1) äâóçíà÷íîå; 2) òðåõçíà÷íîå;

3) ÷åòûðåõçíà÷íîå; 4) ïÿòèçíà÷íîå.

1.1.1.1.1.5959595959..... Ìàëüâèíà ïðåäëîæèëà Áóðàòèíî çàäàíèå: ïîä-

÷åðêíè öèôðó â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ â êàæäîì ÷èñëå:

345 637, 198 054 163. Áóðàòèíî âûïîëíèë åãî òàê:

345 637, 198 054 163.

Ïî÷åìó Ìàëüâèíà ñêàçàëà, ÷òî Áóðàòèíî âûïîëíèë

ýòî çàäàíèå íåïðàâèëüíî?


институт



23

1.1.1.1.1.6060606060.....* Íàéäèòå íàèáîëüøåå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïî-

ëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ÷èñåë 1, 3, 5, 7, 9, âçÿòûõ ïî îäíîìó

ðàçó, çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê.

1.1.1.1.1.6161616161.....* Âðà÷ ïðåäïèñàë áîëüíîìó ïðèíÿòü 5 òàáëåòîê

ïî îäíîé ÷åðåç êàæäûå ïîëòîðà ÷àñà. Ïåðâóþ òàáëåòêó

áîëüíîé ïðèíÿë â 8 ÷ 30 ìèí. Êîãäà îí ïðèíÿë ïî-

ñëåäíþþ òàáëåòêó?

1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà

×òîáû áûëî óäîáíî ïðî÷èòàòü ìíîãîçíà÷íîå ÷èñëî,

åãî ðàçðÿäû îáúåäèíÿþò â ãðóïïû, ïî òðè ðàçðÿäà â

êàæäîé ãðóïïå, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî ðàçðÿäà, ò. å. ñïðàâà

íàëåâî. Êàæäàÿ òàêàÿ ãðóïïà íàçûâàåòñÿ êëàññîì.

Â êëàññå öèôðû ñïðàâà íàëåâî îáîçíà÷àþò ÷èñëî åäè-

íèö, äåñÿòêîâ è ñîòåí ýòîãî êëàññà.

Íàçâàíèÿ ïåðâûõ ÷åòûðåõ êëàññîâ è ðàçðÿäîâ, âõî-

äÿùèõ â ýòè êëàññû, ïðèâåäåíû â òàáëèöå.

åäèíèöû

Êëàññ åäèíèö äåñÿòêè

ñîòíè

åäèíèöû òûñÿ÷

Êëàññ òûñÿ÷ äåñÿòêè òûñÿ÷

ñîòíè òûñÿ÷

åäèíèöû ìèëëèîíîâ

Êëàññ ìèëëèîíîâ äåñÿòêè ìèëëèîíîâ

ñîòíè ìèëëèîíîâ

åäèíèöû ìèëëèàðäîâ

Êëàññ ìèëëèàðäîâ äåñÿòêè ìèëëèàðäîâ

ñîòíè ìèëëèàðäîâ

... ...

1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëàНациональный

институт



24

Íàçâàíèå ìèëëèîí ïîÿâèëîñü â 1500 ã. â Èòàëèè, à íàçâàíèå ìèë-ëèàðä — â 1871 ã. âî Ôðàíöèè.

Çà êëàññîì ìèëëèàðäîâ ñëåäóåò êëàññ òðèëëèîíîâ

(òðèëëèîí — ýòî åäèíèöà ñ 12 íóëÿìè). À çà êëàñ-

ñîì òðèëëèîíîâ èäåò êëàññ êâàäðèëëèîíîâ (êâàäðèë-

ëèîí — ýòî åäèíèöà ñ 15 íóëÿìè). Íî íàòóðàëüíûé

ðÿä áåñêîíå÷åí, ïîýòîìó âñå êëàññû ïåðå÷èñëèòü íå-

âîçìîæíî.

Ïðè çàïèñè ÷èñëà êëàññ îò êëàññà óäîáíî îòäåëÿòü

íåáîëüøèì ïðîìåæóòêîì. Ýòî äåëàåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òî-

áû áûëî óäîáíî ÷èòàòü ìíîãîçíà÷íûå ÷èñëà.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 1. 1. 1. 1. 1. Ïðî÷èòàòü ÷èñëî:

à) 239073972; á) 43231000732.

Îáúÿñíåíèå. à) Âûäåëèì â ýòîì ÷èñëå êëàññû:

239 073 972.

Íàçîâåì ÷èñëî åäèíèö êàæäîãî êëàññà ñëåâà íà-

ïðàâî:239 ìèëëèîíîâ 73 òûñÿ÷è 972.

Íàçâàíèå êëàññà åäèíèö íå ïðîèçíîñèòñÿ.

Öèôðà 0 îçíà÷àåò îòñóòñòâèå åäèíèö ñîîòâåòñòâó-

þùåãî ðàçðÿäà è ïðè ÷òåíèè íå ïðîèçíîñèòñÿ.

á) Âûäåëèì â ýòîì ÷èñëå êëàññû:

43 231 000 732

è ïðî÷òåì åãî:

43 ìèëëèàðäà 231 ìèëëèîí 732.

Íàçâàíèå êëàññà, âñå òðè öèôðû êîòîðîãî íóëè, íå

ïðîèçíîñèòñÿ.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Çàïèñàòü öèôðàìè ÷èñëî 51 ìèëëèàðä 28 òû-

ñÿ÷ 935.


институт



25

Ðåøåíèå. Ïèøåì ñëåâà íàïðàâî. Â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ ìèë-

ëèàðäîâ 5, çàòåì â êàæäîì ðàçðÿäå — êîëè÷åñòâî åäè-

íèö ýòîãî ðàçðÿäà. Åñëè åäèíèöà êàêîãî-ëèáî ðàçðÿ-

äà îòñóòñòâóåò, òî ïèøåì öèôðó íóëü. Â ðåçóëüòàòå

ïîëó÷àåì: 51 000 028 935.

Çàìåòèì, ÷òî: ìèëëèîí ñåêóíä (1 000 000 ñ) ïðî-

òåêàþò ìåíüøå ÷åì çà 2 íåäåëè, à ìèëëèàðä ñåêóíä

(1 000 000 000 ñ) äëÿòñÿ ñâûøå 3 ëåò.

×åëîâå÷åñêèé âîëîñ, óâåëè÷åííûé â ìèëëèîí ðàç,

èìåë áû òîëùèíó 70 ì, à åñëè óâåëè÷èòü â ìèëëèîí

ðàç êîìàðà, òî îí áûë áû äëèíîé 5 êì.

Âîïðîñû

1. Êàê ðàçáèòü ÷èñëî íà êëàññû?

2. Êàêèå êëàññû è ðàçðÿäû âû çíàåòå (íàçîâèòå èõ, èñïîëü-

çóÿ òàáëèöó)?


1.1.1.1.1.6262626262.....° Çàïèøèòå öèôðàìè ÷èñëî:

1) äâàäöàòü øåñòü òûñÿ÷ òðè;

2) ñåìüñîò îäèí ìèëëèîí îäèííàäöàòü òûñÿ÷;

3) âîñåìüäåñÿò ìèëëèàðäîâ äâàäöàòü ïÿòü òûñÿ÷;

4) øåñòü ìèëëèàðäîâ øåñòüñîò øåñòü.

1.63.1.63.1.63.1.63.1.63. Çàïèøèòå ÷èñëà, èçîáðàæåííûå íà àáàêå (ðèñ. 25).

а)

г)

б)

д)

в)

Ðèñ. 25


институт



26

1.1.1.1.1.6464646464.....° Ïðî÷èòàéòå è çàïèøèòå ÷èñëà, çàäàííûå òàáëèöåé.

5 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7

6 3 4 8

1 9 1 9 1 9

3 7 3 7 3 7

1 6 3 4 5 1 1

7 3 9 1 6 6 5

1.1.1.1.1.6565656565.....° Ðàçáåéòå íà êëàññû è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî:

1) 94012; 2) 836100;

3) 37001285; 4) 203748108;

5) 230001003005; 6) 900300573296.

1.1.1.1.1.6666666666..... Ïðî÷èòàéòå ÷èñëà:

1) 378; 2) 1529;

3) 478916; 4) 401238;

5) 23000501; 6) 7600800009.

Çàïèøèòå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü, ïåðåïèñàâ

èõ ñïðàâà íàëåâî. Ïðî÷èòàéòå ïîëó÷åííûå ÷èñëà.

1.1.1.1.1.6767676767..... Â çàïèñè ÷èñëà 7054932816 ïî îäíîìó ðàçó èñ-

ïîëüçîâàíà êàæäàÿ èç äåñÿòè öèôð. Îïðåäåëèòå, êà-

êàÿ öèôðà çàïèñàíà íà ìåñòå:

1) ðàçðÿäà ñîòåí êëàññà åäèíèö;

2) ðàçðÿäà äåñÿòêîâ êëàññà òûñÿ÷;

Êëàññ

åäèíèö

Êëàññ

ìèëëèàðäîâ

Êëàññ

ìèëëèîíîâ

Êëàññ

òûñÿ÷

ñîòíè


äåñÿòêè


åäèíèöû


ñîòíè

ìèëëèîíîâ

äåñÿòêè

ìèëëèîíîâ

åäèíèöû

ìèëëèîíîâ

ñîòíè

òû

ñÿ÷

äåñÿòêè

òû

ñÿ÷

åäèíèöû

òû

ñÿ÷

ñîòíè

åäèíèöû

äåñÿòêè


институт



27

3) ðàçðÿäà åäèíèö êëàññà ìèëëèîíîâ;

4) ðàçðÿäà åäèíèö êëàññà ìèëëèàðäîâ.

Íàçîâèòå ðàçðÿäû, êëàññû, â êîòîðûõ çàïèñàíû öèô-

ðû 1, 2, 5.

1.1.1.1.1.6868686868..... Ñêîëüêî òûñÿ÷ ñîäåðæèòñÿ â:

1) 6 äåñÿòêàõ òûñÿ÷;

2) 7 òûñÿ÷àõ è 3 ñîòíÿõ;

3) 4 ñîòíÿõ òûñÿ÷, 7 äåñÿòêàõ òûñÿ÷ è 1 òûñÿ÷å;

4) 1 ñîòíå òûñÿ÷, 2 äåñÿòêàõ òûñÿ÷, 3 òûñÿ÷àõ è

4 ñîòíÿõ?

1.1.1.1.1.6969696969..... Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷èòñÿ,

åñëè 514 çàïèñàòü ïîäðÿä:

1) òðè ðàçà; 2) ÷åòûðå ðàçà.

1.1.1.1.1.7070707070..... Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷èòñÿ,

åñëè ÷èñëî 72 çàïèñàòü ïîäðÿä:

1) ïÿòü ðàç; 2) øåñòü ðàç.

1.1.1.1.1.7171717171..... Ñêîëüêî åäèíèö êàæäîãî êëàññà ñîäåðæèòñÿ â

÷èñëå:

1) 61901000; 2) 8001004;

3) 40501040009; 4) 510402060020?

1.1.1.1.1.7272727272..... Íàçîâèòå è çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ñîäåðæèò:

1) 13 åäèíèö êëàññà ìèëëèàðäîâ, 13 åäèíèö êëàññà

ìèëëèîíîâ, 13 åäèíèö êëàññà òûñÿ÷, 13 åäèíèö

êëàññà åäèíèö;

2) 801 åäèíèöó êëàññà ìèëëèàðäîâ, 108 åäèíèö êëàñ-

ñà ìèëëèîíîâ, 801 åäèíèöó êëàññà òûñÿ÷, 108 åäè-

íèö êëàññà åäèíèö.

1.1.1.1.1.7373737373..... Çàïèøèòå öèôðàìè èíôîðìàöèþ î Ñîëíöå:

1) ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà — 6 ìèëëèàðäîâ

87 ìèëëèîíîâ êâàäðàòíûõ êèëîìåòðîâ;

2) âîçðàñò Ñîëíöà — 5 ìèëëèàðäîâ ëåò.


институт



28

1.1.1.1.1.7474747474..... Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ñîäåðæèò:

1) 5 ìèëëèàðäîâ, 7 ìèëëèîíîâ, 9 òûñÿ÷, 6 åäèíèö;

2) 12 ìèëëèàðäîâ, 51 ìèëëèîí, 79 åäèíèö.

1.1.1.1.1.7575757575..... Ñêîëüêî ìèëëèîíîâ ñîäåðæèòñÿ â:

1) 4 ñîòíÿõ ìèëëèîíîâ è 4 äåñÿòêàõ ìèëëèîíîâ;

2) 7 äåñÿòêàõ ìèëëèîíîâ è 9 ìèëëèîíàõ?

1.1.1.1.1.7676767676.....* Ïåðâûå ñòî ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà çàïèñàëè

áåç ïðîïóñêîâ è ïîëó÷èëè ÷èñëî

12345678910111213141516...979899100.

Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà:

1) öèôð; 2) êëàññîâ.

1.1.1.1.1.7777777777.....* Â ÷èñëå 139506 íå áîëåå òðåõ öèôð ìîæíî çà-

ìåíèòü ðàçíûìè öèôðàìè, êîòîðûõ íåò â çàïèñè ÷èñ-

ëà. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî è êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñ-

ëî ìîæíî ñîñòàâèòü òàêèì îáðàçîì?

1.1.1.1.1.7878787878.....* Ìåæäó ÷èñëàìè 3, 2, 1 ðàññòàâüòå çíàêè àðèôìå-

òè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáêè òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííîå

÷èñëîâîå âûðàæåíèå ïðèíèìàëî çíà÷åíèå:

1) 0; 2) 1; 3) 2;

4) 3; 5) 4; 6) 5;

7) 6; 8) 7; 9) 9.

1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà

Ïóñòü K è L — òî÷êè íà ïðÿ-

ìîé. Âñå òî÷êè ïðÿìîé, ëåæàùèå

ìåæäó íèìè, âìåñòå ñ òî÷êàìè K

è L îáðàçóþò îòðåçîê (ðèñ. 26).

Òî÷êè K è L íàçûâàþòñÿ êîíöà-Ðèñ. 26


институт



29

ìè îòðåçêà. Îòðåçîê ñ êîíöàìè K è L îáîçíà÷àåò-

ñÿ KL èëè LK. ×èòàþò òàê: «îòðåçîê KL», «îòðå-

çîê LK».

Äâà îòðåçêà, êîòîðûå ìîæíî ñîâìåñòèòü íà-

ëîæåíèåì, íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè.

Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 27 èçîáðàæåíû ðàâíûå îò-

ðåçêè AB è CD.

Äëÿ èçìåðåíèÿ äëèíû îòðåçêà èñïîëüçóþò ðàç-

ëè÷íûå åäèíèöû èçìåðåíèÿ. Â áîëüøèíñòâå ñòðàí çà

îñíîâíóþ åäèíèöó èçìåðåíèÿ äëèíû ïðèíÿò ìåòð,

à äðóãèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ äëèíû, ñîîòâåòñòâåííî,

ñâÿçàíû ñ ìåòðîì. Ìåòð äåëèòñÿ íà 10 äåöèìåòðîâ,

äåöèìåòð — íà 10 ñàíòèìåòðîâ, ñàíòèìåòð — íà 10 ìèë-

ëèìåòðîâ:

1 ì = 10 äì = 100 ñì = 1000 ìì.

Áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ èçìåðÿþòñÿ êèëîìåòðàìè:

1 êì = 1000 ì.

Îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ïðèíÿòà çà åäèíèöó

èçìåðåíèÿ, íàçûâàþò åäèíè÷íûì îòðåçêîì.

Ïóñòü â êà÷åñòâå åäèíè÷íîãî îòðåçêà âçÿò îòðåçîê

äëèíîé 1 ìì. Òîãäà, åñëè íàäî èçìåðèòü äëèíó îòðåç-

Ðèñ. 27

C DA

B

1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêàНациональный

институт



30

êà AB, åå òîæå îáîçíà÷àþò ÀÂ, êàê è ñàì îòðåçîê, òî

ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ëèíåéêîé ñ ìèëëèìåòðîâûìè

äåëåíèÿìè (ðèñ. 28).

Èçìåðèòü äëèíó îòðåçêà — ýòî çíà÷èò íàé-

òè, ñêîëüêî åäèíè÷íûõ îòðåçêîâ ñîäåðæèò-

ñÿ â äàííîì îòðåçêå.

Åñëè îòðåçêè ðàâíû, òî è äëèíû èõ ðàâíû.

Åñëè äëèíû îòðåçêîâ ðàâíû, òî è îòðåçêè

ðàâíû.

Äëèíó îòðåçêà ÀÂ íàçûâàþò òàêæå ðàññòîÿíèåì

ìåæäó òî÷êàìè À è Â.

Åñëè òî÷êà ðàçáèâàåò îòðåçîê íà äâå ÷àñòè, òî äëè-

íà îòðåçêà ðàâíà ñóììå äëèí åãî ÷àñòåé. Íàïðè-

ìåð, ÀÂ = ÀÑ + ÑÂ (ðèñ. 29).

Îòðåçêè ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ

èëè ñ ïîìîùüþ èçìåðåíèÿ èõ äëèí.

Â ñòàðèíó èñïîëüçîâàëè è äðóãèå ìåðû äëèíû: âåðñòó, ñàæåíü,àðøèí, âåðùîê, ôóò, äþéì è ò. ä.Ñ 1504 ã. â äîêóìåíòàõ óïîìèíàåòñÿ è îñîáûé áåðåñòåéñêèé àðøèí,÷òî ãîâîðèò îá èçâåñòíîñòè Áðåñòà êàê òîðãîâîãî ãîðîäà.

Ðèñ. 29

Ðèñ. 28


A BAB 87� мм

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


институт



31

Âîïðîñû

1. Èçîáðàçèòå íà ïðÿìîé îòðåçîê è íàçîâèòå åãî êîíöû.

2. Êàê îáîçíà÷àåòñÿ îòðåçîê?

3. Êàêèå îòðåçêè íàçûâàþò ðàâíûìè?

4. Êàêèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ äëèíû âû çíàåòå?

5. ×òî òàêîå åäèíè÷íûé îòðåçîê?

6. ×òî çíà÷èò: èçìåðèòü äëèíó îòðåçêà?

7. ×òî íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè À è Â?

8. Êàê ñðàâíèâàþòñÿ îòðåçêè?


1.1.1.1.1.7979797979.....° Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè À è Â. Ñ ïîìîùüþ

ëèíåéêè ïîñòðîéòå îòðåçîê ÀÂ. Îòìåòüòå íà ýòîì îò-

ðåçêå òî÷êè M è N. Íàçîâèòå îòðåçêè, íà êîòîðûå

ýòè òî÷êè äåëÿò îòðåçîê ÀÂ.

1.1.1.1.1.8080808080..... Èçîáðàçèòå â òåòðàäè îòðåçîê ÀÑ è îòìåòüòå íà

íåì òî÷êè M è N. Çàïèøèòå âñå ïîëó÷èâøèåñÿ îò-

ðåçêè.

1.1.1.1.1.8181818181.....° Óêàæèòå òî÷êè íà ðèñóíêå 30, êîòîðûå:

1) ëåæàò íà îòðåçêå MN;

2) íå ëåæàò íà îòðåçêå MN.

1.1.1.1.1.8282828282..... Óêàæèòå, êàêèå èç òî÷åê íà ðèñóíêå 31 ëåæàò

ìåæäó òî÷êàìè:

1) A è C; 2) K è D;

3) A è B; 4) B è D.

Ðèñ. 30


институт



32

1.1.1.1.1.8383838383..... Âåðíî ëè ðàâåíñòâî (ðèñ. 32):

1) ÀÂ = AD + DB; 2) AB = AD + PB;

3) KR = KE + KD; 4) KD = KE + ED?

1.1.1.1.1.8484848484..... Èçîáðàçèòå â òåòðàäè îòðåçîê ÀÂ, èçìåðüòå åãî

äëèíó. Èçîáðàçèòå îòðåçîê KM, äëèíà êîòîðîãî áîëü-

øå äëèíû îòðåçêà ÀÂ, è îòðåçîê KN, äëèíà êîòîðîãî

ìåíüøå äëèíû îòðåçêà ÀÂ.

1.1.1.1.1.8585858585.....° Èçìåðüòå äëèíó îòðåçêà (ðèñ. 33):

1) KP; 2) KS;

3) KM; 4) PM;

5) PS; 6) SM.

1.86.1.86.1.86.1.86.1.86. Ñêîëüêî îòðåçêîâ ïîëó÷àåòñÿ,

åñëè íà ïðÿìîé îòìå÷åíà:

1) 1 òî÷êà; 2) 2 òî÷êè;

3) 3 òî÷êè; 4) 4 òî÷êè?

1.1.1.1.1.8787878787..... Íàéäèòå íà ðèñóíêå 34 ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè:

1) A è B; 2) A è M;

3) A è P; 4) B è M;

5) B è P; 6) P è M.

Ðèñ. 31

Ðèñ. 32

Ðèñ. 33


институт



33

1.1.1.1.1.8888888888..... 1) Èçîáðàçèòå òî÷êè P, S è N òàê, ÷òîáû îíè ëå-

æàëè íà îäíîé ïðÿìîé è òî÷êà P ëåæàëà ìåæäó òî÷-

êàìè S è N.

2) Ïðîâåðüòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî SP + PN = SN, âû-

ïîëíèâ íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ.

1.1.1.1.1.8989898989..... Èçîáðàçèòå äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêà AN è PK,

îáîçíà÷üòå òî÷êó èõ ïåðåñå÷åíèÿ áóêâîé O. Íàéäèòå:

1) äëèíû ïîëó÷èâøèõñÿ îòðåçêîâ;

2) ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè A è P, A è K, N è K,

N è P.

1.1.1.1.1.9090909090..... Íàéäèòå ðàâíûå îòðåçêè (ðèñ. 35).

1.1.1.1.1.9191919191..... Íà÷åðòèòå îòðåçêè, ðàâíûå îòðåçêàì, èçîáðàæåí-

íûì íà ðèñóíêå 36.

Ðèñ. 34

Ðèñ. 35

Ðèñ. 36


институт



34

1.1.1.1.1.9292929292..... Íàéäèòå íà ðèñóíêå 37 ðàâíûå îòðåçêè.

1.1.1.1.1.9393939393..... Íà ðèñóíêå 38 èçîáðàæåíû ïðÿìûå à, b è îòðåç-

êè BC, KL è FR. Ïåðåñåêàþòñÿ ëè:

1) a è BC; 2) a è KL;

3) BC è FR; 4) b è KL;

5) b è BC; 6) BC è KL?

1.1.1.1.1.9494949494..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:

1) 5 ì 29 ñì + 3 ì 44 ñì;

2) 7 äì 3 ìì + 26 äì 59 ìì;

3) 1 ì 13 äì + 50 äì 4 ñì;

4) 28 äì 2 ñì + 2 äì 17 ìì.

Ðèñ. 37

Ðèñ. 38

à) á)

â) ã)

A

B C

D P

S

V

T

A M P

K

C

N

F

E


институт



35

1.1.1.1.1.9595959595.....* Äåíèñ, Þðà è Âàäèì ñîáðàëè 48 ìåøêîâ êàðòî-

ôåëÿ. Âàäèì ñîáðàë íà 10 ìåøêîâ ìåíüøå, ÷åì Þðà,

à Äåíèñ íà 5 ìåøêîâ áîëüøå, ÷åì Âàäèì. Ñêîëüêî

ìåøêîâ êàðòîôåëÿ ñîáðàë êàæäûé?

1.1.1.1.1.9696969696..... Âî âðåìÿ èñïûòàíèÿ íà ïîëèãîíå íîâûé àâòîìî-

áèëü çà ïåðâûé äåíü ïðîåõàë 93 êì 860 ì, à çà âòî-

ðîé — íà 15 êì 390 ì áîëüøå. Îïðåäåëèòå îáùèé

ïðîáåã àâòîìîáèëÿ çà äâà äíÿ èñïûòàíèé.

1.1.1.1.1.9797979797.....* Ïðûæîê çàéöà â 2 ðàçà êîðî÷å, íî â 3 ðàçà

÷àùå, ÷åì ó âîëêà. Êòî áûñòðåå ïðåîäîëååò ðàññòîÿ-

íèå â 1 êì?

1.1.1.1.1.9898989898.....* ×åáóðàøêà çàïèñàë íà äîñêå ÷èñëîâûå ðàâåí-

ñòâà. À ñòàðóõà Øàïîêëÿê ñòåðëà âñå çíàêè àðèôìå-

òè÷åñêèõ äåéñòâèé. Âîññòàíîâèòå èõ.

1) 1 2 3 = 4; 2) 1 2 3 4 5 = 5;

3) 1 2 3 4 5 = 6; 4) 1 2 3 4 5 6 = 7;

5) 1 2 3 4 5 6 7 = 8; 6) 1 2 3 4 5 6 7 8 = 9.

1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Êàê óçíàòü, êàêîå èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

áîëüøå, à êàêîå ìåíüøå?

Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå òî, êî-

òîðîå ïðè ñ÷åòå íàçûâàåòñÿ ðàíüøå.

Òàêèì îáðàçîì, èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíü-

øèì ñ÷èòàåòñÿ òî, êîòîðîå â íàòóðàëüíîì ðÿäó

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ...

ðàñïîëîæåíî ëåâåå, à áîëüøèì — òî, êîòîðîå ðàñïî-

ëîæåíî ïðàâåå.

1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



36

Ñðàâíèòü äâà ÷èñëà — ýòî çíà÷èò îïðåäå-

ëèòü, êàêîå èç íèõ ìåíüøå, à êàêîå áîëüøå.

Â íàòóðàëüíîì ðÿäó ÷èñëî 7 ðàñïîëîæåíî ëåâåå

÷èñëà 11, çíà÷èò, 7 ìåíüøå 11.

Ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ äâóõ ÷èñåë çàïèñûâàþò ïðè

ïîìîùè çíàêîâ áîëüøå «>» è ìåíüøå «<».

Òàê, 7 < 11, à 11 > 7. Òàêèå çàïèñè íàçûâàþò íåðà-

âåíñòâàìè.

Ïðè ñðàâíåíèè äâóõ ÷èñåë ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ, ÷òî

ïåðâîå ÷èñëî ìåíüøå âòîðîãî ÷èñëà, èëè áîëüøå åãî,

èëè ðàâíî åìó.

Äëÿ ñðàâíåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè äâóìÿ ïðàâèëàìè.

1. Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ ðàçíûì êî-

ëè÷åñòâîì ðàçðÿäîâ ìåíüøå òî, ó êîòîðîãî

ðàçðÿäîâ ìåíüøå.

Íàïðèìåð, ñðàâíèì ÷èñëà 9879 è 12 893. Òàê êàê

ó ÷èñëà 9879 ÷åòûðå ðàçðÿäà, à ó ÷èñëà 12 893 ïÿòü

ðàçðÿäîâ, òî 9879 < 12 893.

2. Äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà ñ îäèíàêîâûì êî-

ëè÷åñòâîì ðàçðÿäîâ ñðàâíèâàþò ïîðàçðÿä-

íî, íà÷èíàÿ ñ âûñøåãî ðàçðÿäà (ñëåâà íàïðà-

âî). Ìåíüøå òî ÷èñëî, ó êîòîðîãî öèôðà íàè-

áîëüøåãî îòëè÷àþùåãîñÿ ðàçðÿäà ìåíüøå.

Ïîÿñíèì ýòî ïðàâèëî íà äâóõ ïðèìåðàõ.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Ñðàâíèòü ÷èñëà 2739 è 5300.

Îáúÿñíåíèå. Âûñøèé ðàçðÿä êàæäîãî èç íèõ ÷åòâåðòûé.

Ó ïåðâîãî ÷èñëà 2 åäèíèöû ÷åòâåðòîãî ðàçðÿäà, ó âòî-

ðîãî — 5 åäèíèö. Çíà÷èò, ïåðâîå ÷èñëî ìåíüøå âòî-

ðîãî: 2739 < 5300.


институт



37

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Ñðàâíèòü ÷èñëà 2789 è 2769.

Îáúÿñíåíèå. Âûñøèé ðàçðÿä êàæäîãî èç íèõ ÷åòâåðòûé.

Ïîñëåäîâàòåëüíî óáåæäàåìñÿ, ÷òî â ÷åòâåðòîì è â òðåòü-

åì ðàçðÿäàõ ñòîÿò îäèíàêîâûå öèôðû (ò. å. êîëè÷å-

ñòâî òûñÿ÷ è êîëè÷åñòâî ñîòåí ó ýòèõ ÷èñåë îäèíàêî-

âîå). À âîò âî âòîðîì ðàçðÿäå ó ïåðâîãî ÷èñëà ñòîèò 8,

à ó âòîðîãî — 6 (ò. å. êîëè÷åñòâî äåñÿòêîâ ó ïåðâîãî

÷èñëà 8, à ó âòîðîãî — 6). Çíà÷èò, ïåðâîå ÷èñëî áîëü-

øå âòîðîãî: 2789 > 2769.

Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî íóëü ìåíüøå ëþáîãî íàòóðàëüíîãî

÷èñëà.

Íàïðèìåð, íóëü ìåíüøå ñåìè. Ýòî çàïèñûâàåòñÿ

òàê: 0 < 7.

Âîïðîñû

1. Êàêîå èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå? áîëüøå?

2. ×òî çíà÷èò: ñðàâíèòü äâà ÷èñëà?

3. Ïðè ïîìîùè êàêèõ çíàêîâ çàïèñûâàåòñÿ ðåçóëüòàò ñðàâ-

íåíèÿ äâóõ ÷èñåë? Êàê íàçûâàþò òàêèå çàïèñè?

4. Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàêîå ìåíüøå (áîëüøå),

åñëè ó íèõ êîëè÷åñòâî ðàçðÿäîâ: à) ðàçíîå; á) îäèíà-

êîâîå?


1.1.1.1.1.9999999999.....° Íàçîâèòå äâà ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ áîëüøå

÷èñëà:

1) 312; 2) 9999; 3) 1; 4) 0.

1.1.1.1.1.100100100100100.....° Íàçîâèòå äâà ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ ìåíüøå

÷èñëà:

1) 99; 2) 10 000;

3) 3524; 4) 12 345.

1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



38

1.1.1.1.1.101101101101101.....° Ïðî÷èòàéòå çàïèñè:

1) 1 < 8; 2) 30 > 2;

3) 92 < 100; 4) 378 > 360;

5) a > 18; 6) m < 20.

1.1.1.1.1.102102102102102.....° Èñïîëüçóÿ çíàê «>», çàïèøèòå ðåçóëüòàò ñðàâ-

íåíèÿ ÷èñåë:

1) 257 910 è 259 710;

2) 1 300 531 è 130 531.

1.1.1.1.1.103103103103103.....° Èñïîëüçóÿ çíàê «<», çàïèøèòå ðåçóëüòàò ñðàâ-

íåíèÿ ÷èñåë:

1) 78 290 132 è 7 830 132;

2) 4 893 910 è 4 903 810.

1.1.1.1.1.104104104104104..... Ñðàâíèòå ÷èñëà, ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ çàïèøèòå

ñ ïîìîùüþ çíàêîâ «>» èëè «<»:

1) 809 è 908;

2) 5588 è 8555;

3) 475 869 è 475 870;

4) 1 111 431 è 11 111 431.

1.1.1.1.1.105105105105105..... Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë ðàñïîëîæåíî â íàòóðàëü-

íîì ðÿäó ëåâåå:

1) 772 èëè 812; 2) 92 756 èëè 100 000;

3) 1000 èëè 1001; 4) 54 321 èëè 54 317?

1.1.1.1.1.106106106106106..... Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë ðàñïîëîæåíî â íàòóðàëü-

íîì ðÿäó ïðàâåå:

1) 820 324 èëè 820 410;

2) 5 670 435 èëè 5 670 436;

3) 110 110 110 èëè 110 110 100;

4) 50 000 000 èëè 499 999 999?

1.1.1.1.1.107107107107107..... Çàïèøèòå âñå ïÿòèçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå:

1) ìåíüøå 10 003; 2) áîëüøå 99 996.


институт



39

1.1.1.1.1.108108108108108..... Íàçîâèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå:

1) áîëüøå ÷èñëà 163 831 è îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 0;

2) ìåíüøå ÷èñëà 79 000 321 è îêàí÷èâàåòñÿ öèô-

ðîé 5.

1.1.1.1.1.109109109109109..... Çàïèøèòå:

1) â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êî-

òîðûå áîëüøå 93;

2) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êîòî-

ðûå äåëÿòñÿ íà 2 è áîëüøå 90.

1.1.1.1.1.111111010101010..... Ñðàâíèòå âåëè÷èíû è çàïèøèòå îòâåò ñ ïîìîùüþ

çíàêîâ «>», «<», «=»:

1) 978 ñì è 9 ì; 2) 4782 ì è 4 êì;

3) 27 920 êã è 28 ò; 4) 3 êã è 3400 ã;

5) 6 ÷ è 600 ìèí; 6) 370 ñ è 6 ìèí 30 ñ.

1.1.1.1.1.111111111111111.....* Âìåñòî ñèìâîëà ☺ âñòàâüòå (åñëè ýòî âîçìîæíî)

öèôðó òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü âåðíîå íåðàâåíñòâî:

1) 905 > 9☺4; 2) 908 > 9☺9;

3) ☺☺1 > 991; 4) 9☺☺ < ☺00;

5) ☺☺8 < 99☺; 6) 7☺2 < 796.

1.1.1.1.1.111111212121212.....* Ñ ïîìîùüþ äåñÿòè åäèíèö è çíàêîâ àðèôìåòè-

÷åñêèõ äåéñòâèé ñîñòàâüòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå, çíà-

÷åíèå êîòîðîãî ðàâíî:

1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4;

5) 5; 6) 6; 7) 7; 8) 8;

9) 9; 10) 10; 11) 11; 12) 12.

1.8. Ëó÷

Òî÷êà Î, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé (ðèñ. 39), äåëèò åå

íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç íèõ íàçûâàåòñÿ ëó÷îì ñ

íà÷àëîì â òî÷êå Î. Ó ëó÷à íåò êîíöà.

1.8. Ëó÷Национальный

институт



40

Ëó÷, êàê è ïðÿìóþ, îáîçíà÷àþò äâóìÿ ïðîïèñíûìè

(áîëüøèìè) áóêâàìè. Íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèòñÿ áóêâà,

îáîçíà÷àþùàÿ íà÷àëî ëó÷à, íà âòîðîå — áóêâà, îáî-

çíà÷àþùàÿ ëþáóþ òî÷êó íà ëó÷å. Íà ðèñóíêå 40 èçî-

áðàæåíû ëó÷è ÎÀ è ÎÂ. ×èòàþò: «ëó÷ ÎÀ», «ëó÷ ÎÂ».

Âîïðîñû

1. ×òî íàçûâàåòñÿ ëó÷îì?

2. Ïðÿìûå ÀÂ è CD ïåðåñåêàþòñÿ â

òî÷êå K (ðèñ. 41). Ïðè ýòîì îáðà-

çóþòñÿ ëó÷è. Íàçîâèòå ýòè ëó÷è.

Ñêîëüêî èõ?


1.1.1.1.1.111111313131313.....° Íàçîâèòå è çàïèøèòå ëó÷è, èçîáðàæåííûå íà

ðèñóíêå 42:

1.1.1.1.1.111111414141414..... Íàçîâèòå ëó÷è íà ïðÿìîé MN, âûõîäÿùèå èç

òî÷êè D (ðèñ. 43).

Ðèñ. 40Ðèñ. 39

Ðèñ. 41

Ðèñ. 42


O

A

B

KO

C

D

A

E

B

F

R

Q T

S O

а) б) в) г)


институт



41

1.1.1.1.1.111111515151515..... Ñêîëüêî ëó÷åé ñ íà÷àëîì â òî÷êå K èçîáðàæå-

íî íà ðèñóíêå 44?

1.1.1.1.1.111111616161616.....° Îòìåòüòå òî÷êó F. Ïðîâåäèòå òðè ëó÷à ñ íà÷à-

ëîì â òî÷êå F. Îáîçíà÷üòå è çàïèøèòå èõ.

1.1.1.1.1.111111717171717..... Ïåðåñåêàþòñÿ ëè íà ðèñóíêå 45 ïðÿìàÿ AB è

ëó÷:

1) OM; 2) RL; 3) DP; 4) ST?

1.1.1.1.1.111111818181818..... Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ PS è îòìåòüòå íà íåé äâå

òî÷êè A è E. Íàçîâèòå âñå ëó÷è è îòðåçêè, êîòîðûå

îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå.

1.1.1.1.1.111111919191919..... Èçîáðàçèòå ëó÷ KR è îòìåòüòå íà íåì òî÷êè L

è S. Çàïèøèòå ëó÷è, êîòîðûå îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå.


Ðèñ. 45

1.8. Ëó÷

D

P

R

LA

B

O

M

S

T


институт



42

1.1.1.1.1.120120120120120..... Èçîáðàçèòå ïðÿìûå MK è NR òàê, ÷òîáû îíè

ïåðåñåêàëèñü â òî÷êå Å. Íàçîâèòå âñå ëó÷è, îáðàçî-

âàâøèåñÿ íà ðèñóíêå.

1.1.1.1.1.121121121121121..... Îòìåòüòå òî÷êó Ñ è ïðîâåäèòå ÷åðåç íåå:

1) 2 ïðÿìûå; 2) 3 ïðÿìûå;

3) 4 ïðÿìûå; 4) 5 ïðÿìûõ.

Îïðåäåëèòå ÷èñëî ëó÷åé ñ íà÷àëîì â òî÷êå Ñ.

1.1.1.1.1.122122122122122..... Íà÷åðòèòå ëó÷ PL. Ïðîâåäèòå ëó÷ PT òàê, ÷òîáû

ëó÷è PL è PT:

1) áûëè ëó÷àìè îäíîé ïðÿìîé;

2) íå áûëè ëó÷àìè îäíîé ïðÿìîé.

1.1.1.1.1.123123123123123..... Ïðèíàäëåæàò ëè ëó÷è, èçîáðàæåííûå íà ðèñóí-

êå 46, îäíîé ïðÿìîé?

1.1.1.1.1.124124124124124..... Íà ðèñóíêå 47 èçîáðàæåíû òî÷êè A, B, C, D, K, T.

Íàçîâèòå òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå, è òî÷êè, íå ïðèíàä-

ëåæàùèå ëó÷ó: 1) ÎÌ; 2) ÌÎ.

Ðèñ. 46

Ðèñ. 47

à)M

â)

á)

ã)

O

P F T

D E E K

K B C T

F

T

A T

O

B

C

M KD


институт



43

1.1.1.1.1.125125125125125..... Èçîáðàçèòå ëó÷ ÀÑ. Ïîñòðîéòå íà íåì îòðåçîê:

1) ÀÂ = 1 ñì; 2) ÀÌ = 5 ñì;

3) AD = 1 äì; 4) AP = 45 ìì.

Ìîæíî ëè íà ëó÷å ÀÑ îòëîæèòü îòðåçîê äëèíîé 1 ì,

100 ì, 1 êì?

1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷

Èçîáðàçèì ëó÷ ñ íà÷àëîì â òî÷êå Î. Çàäàäèì íà

íåì åäèíè÷íûé îòðåçîê OE (ðèñ. 48).

Ëó÷ ñ çàäàííûì íà íåì åäèíè÷íûì îòðåçêîì

íàçûâàþò êîîðäèíàòíûì ëó÷îì.

Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî îòêëàäûâàòü åäèíè÷íûé

îòðåçîê îò íà÷àëà êîîðäèíàòíîãî ëó÷à. Òåì ñàìûì

ìû îòìåòèì íà ëó÷å òî÷êè. Ïðîòèâ êàæäîé îòìå÷åí-

íîé òî÷êè çàïèøåì ÷èñëî, êîòîðîå ïîêàçûâàåò, ñêîëü-

êî ðàç îòëîæèëè åäèíè÷íûé îòðåçîê îò íà÷àëà ëó÷à

(ñì. ðèñ. 48).

Íà ðèñóíêå 48 ÷èñëî 7 èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé K íà

êîîðäèíàòíîì ëó÷å. ×èñëî 7 íàçûâàþò êîîðäèíàòîé

òî÷êè K è ïèøóò: K(7). Ãîâîðÿò òàêæå: «òî÷êà K

ñ êîîðäèíàòîé 7» èëè ïðîñòî: «òî÷êà 7».

Òî÷êà Î — íà÷àëî ëó÷à — èìååò êîîðäèíàòó 0 (íóëü).

Îáû÷íî êîîðäèíàòíûé ëó÷ ðàñïîëàãàþò ãîðèçîí-

òàëüíî ñëåâà íàïðàâî (ñì. ðèñ. 48). Òî÷êà Ñ(4) ñ ìåíü-

øåé êîîðäèíàòîé ðàñïîëîæåíà íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å

Ðèñ. 48

1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷Национальный

институт



44

ëåâåå òî÷êè K(7). Ïðè ñðàâíåíèè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

èñïîëüçóþò ïðàâèëî:

èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå òî, êîòî-

ðîå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ðàñïîëîæåíî ëåâåå.

Âîïðîñû

1. ×òî íàçûâàþò êîîðäèíàòíûì ëó÷îì?

2. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî ñðàâíåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîãî ëó÷à.


1.1.1.1.1.126126126126126.....° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êè, ñîîòâåò-

ñòâóþùèå ÷èñëàì 1, 2, 5, 7, 8, 10, åñëè åäèíè÷íûé îò-

ðåçîê ðàâåí:

1) 2 ìì; 2) 5 ìì; 3) 8 ìì; 4) 12 ìì.

1.1.1.1.1.127127127127127.....° Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì,

ðàâíûì 10 ìì, îòìåòüòå òî÷êè À(3), Â(5), Ñ(6), D(9).

Êàêèå èç ýòèõ òî÷åê ëåæàò íà îòðåçêå:

1) AD; 2) AC; 3) BD; 4) BC?

1.1.1.1.1.128128128128128..... Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì,

ðàâíûì 1 ñì, îòìåòüòå òî÷êè, íàõîäÿùèåñÿ îò íà÷àëà

ëó÷à íà ðàññòîÿíèè:

1) 4 ñì; 2) 3 ñì; 3) 7 ñì; 4) 6 ñì.

Îáîçíà÷üòå ýòè òî÷êè è çàïèøèòå èõ êîîðäèíàòû.

1.1.1.1.1.129129129129129.....° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì

îòðåçêîì, ðàâíûì ñòîðîíå îäíîé êëåòêè â òåòðàäè,

÷èñëà:

1) 0, 2, 4, 6, 12, 16, 20, 24;

2) 1, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19.


институт



45

1.1.1.1.1.130130130130130..... Êàêèì ÷èñëàì ñîîòâåòñòâóþò íà êîîðäèíàòíîì

ëó÷å òî÷êè A, B, C, D (ðèñ. 49)?

1.1.1.1.1.131131131131131.....° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êè:

1) À(0), Â(4), Ì(8), Ð(12), åñëè åäèíè÷íûé îòðåçîê

ðàâåí 2 êëåòêàì1);

2) G(1), Q(2), R(3), S(4), åñëè åäèíè÷íûé îòðåçîê

ðàâåí 5 êëåòêàì.

1.1.1.1.1.132132132132132..... Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì,

ðàâíûì 5 ìì, îòìåòüòå òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ îò íà÷à-

ëà ëó÷à íà ðàññòîÿíèè:

1) 10 ìì; 2) 25 ìì; 3) 4 ñì; 4) 5 ñì.

Îáîçíà÷üòå ýòó òî÷êó è çàïèøèòå åå êîîðäèíàòû.

1.1.1.1.1.133133133133133..... Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ è îòìåòüòå íà íåé òî÷êó Î.

Îòñòóïèâ âïðàâî îò òî÷êè Î íà ÷åòûðå êëåòêè, îáî-

çíà÷üòå òî÷êó À(2). Îòìåòüòå íà ïðÿìîé òî÷êó:

1) K(4); 2) D(3); 3)M(5); 4) L(8).

Ðèñ. 49

________

1) Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî îòðåçîê ðàâåí, íàïðèìåð, 2 êëåòêàì,

òî èìåþò â âèäó, ÷òî åãî äëèíà ðàâíà óäâîåííîé äëèíå

ñòîðîíû îäíîé êëåòêè â òåòðàäè.

1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷

O A

1

B C D

O A

2

B C D

O A

3

B C D

O A

4

B C D

1)

2)

3)

4)


институт



46

1.1.1.1.1.134134134134134..... Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ è îòìåòüòå íà íåé òî÷êó Î.

Îòñòóïèâ âïðàâî îò òî÷êè Î íà ïÿòü êëåòîê, îáîçíà÷ü-

òå òî÷êó N(10). Îòìåòüòå íà ïðÿìîé òî÷êó:

1) T(2); 2) F(8); 3) E(20); 4) S(30).

1.135.1.135.1.135.1.135.1.135. Çàïèøèòå êîîðäèíàòû îòìå÷åííûõ òî÷åê, èñ-

ïîëüçóÿ ðèñóíîê 50, íà êîòîðîì èçîáðàæåíà ÷àñòü

êîîðäèíàòíîãî ëó÷à.

1.1.1.1.1.136136136136136..... Âûáåðèòå åäèíè÷íûé îòðåçîê è îòìåòüòå íà êî-

îðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êó:

1) F(16); 2) K(20); 3) Z(24); 4) V(40).

1.1.1.1.1.137137137137137..... Êàêàÿ èç òî÷åê — À(12) èëè Â(19) — ðàñïîëî-

æåíà áëèæå ê òî÷êå Ñ(15)?

1.1.1.1.1.138138138138138..... Íàçîâèòå êîîðäèíàòû òî÷åê, óäàëåííûõ íà êîîð-

äèíàòíîì ëó÷å îò òî÷êè Ò(21) íà 6 åäèíèö.

1.1.1.1.1.139139139139139..... Íàçîâèòå êîîðäèíàòû êàêèõ-ëèáî òî÷åê, óäàëåí-

íûõ íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å îò òî÷êè Ò(7) íà îäèíàêî-

âîå ðàññòîÿíèå.

1.1.1.1.1.140140140140140..... Íà ðèñóíêå 51 èçîáðàæåíà ÷àñòü êîîðäèíàòíîãî

ëó÷à, íà êîòîðîì îòìå÷åíû êîîðäèíàòû äâóõ òî÷åê.

Óêàæèòå êîîðäèíàòû îñòàëüíûõ îòìå÷åííûõ òî÷åê.

Ðèñ. 50


M

10

N K

100

L

M

1000

N K

6000

L

1)

2)


институт



47

AA

2424

CCBB

MM

1313

KKNN PP

AA

9292

CCBB

MM KKNN

2626

PP

1)1)

2)2)

3)3)

4)4)

3232

1717

9696

3434

KK

FF

1.1.1.1.1.141141141141141..... Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òðè òî÷êè ñ

êîîðäèíàòàìè:

1) ìåíüøå 4;

2) áîëüøå 6;

3) áîëüøå 1 è ìåíüøå 7;

4) áîëüøå 0 è ìåíüøå 5.

1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Åñëè â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó

äâóìÿ ãîðîäàìè îêàæåòñÿ, ÷òî îíî ðàâíî 392 êì, òî

ìû ñêàæåì, ÷òî îíî ïðèìåðíî ðàâíî 400 êì. À åñëè

îêàæåòñÿ, ÷òî ðàññòîÿíèå ïîëó÷èëîñü ðàâíûì 303 êì,

òî ñêàæåì, ÷òî îíî ïðèìåðíî ðàâíî 300 êì.

Â îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû çàìåíÿåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî

áëèæàéøèì ê íåìó «êðóãëûì» ÷èñëîì, ò. å. ÷èñëîì,

îêàí÷èâàþùèìñÿ íóëÿìè (îäíèì èëè íåñêîëüêèìè).

Òàêàÿ çàìåíà íàçûâàåòñÿ îêðóãëåíèåì. À ÷èñëî, êî-

òîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå îêðóãëåíèÿ, íàçûâàåò-

ñÿ ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì äàííîãî íàòóðàëüíîãî

÷èñëà.

Ðèñ. 51

1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



48

Íàòóðàëüíûå ÷èñëà îêðóãëÿþò äî äåñÿòêîâ, ñîòåí,

òûñÿ÷, äåñÿòêîâ òûñÿ÷ è ò. ä.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ ÷èñëî:

à) 374; á) 377; â) 375.

Ðåøåíèå. à) ×òîáû îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ ÷èñëî 374,

íóæíî èç äâóõ ÷èñåë 370 è 380, ìåæäó êîòîðûìè îíî

ðàñïîëîæåíî (ðèñ. 52), âûáðàòü òî, êîòîðîå áëèæå

ê 374. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ÷èñëî 370.

Ðåçóëüòàò îêðóãëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ òàê:

374 ≈ 370.

×èòàåòñÿ: «òðèñòà ñåìüäåñÿò ÷åòûðå ïðèáëèæåí-

íî ðàâíî òðåìñòàì ñåìèäåñÿòè».

Çàìåòèì, ÷òî, îêðóãëÿÿ ÷èñëî 374 äî äåñÿòêîâ, ìû

çàìåíèëè öèôðó â ðàçðÿäå åäèíèö íóëåì.

á) Àíàëîãè÷íî îêðóãëÿåòñÿ äî äåñÿòêîâ ÷èñëî 377.

Îíî áëèæå ê 380, ÷åì ê 370, ïîýòîìó 377 ≈ 380.

Çàìåòèì, ÷òî, îêðóãëÿÿ ÷èñëî 377 äî äåñÿòêîâ, ìû

çàìåíèëè öèôðó â ðàçðÿäå åäèíèö íóëåì è óâåëè-

÷èëè öèôðó â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ íà åäèíèöó.

â) ×èñëî 375 ðàñïîëîæåíî íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿ-

íèè îò ÷èñåë 370 è 380. Â òàêèõ ñëó÷àÿõ ÷èñëî îêðóã-

ëÿåòñÿ â áîëüøóþ ñòîðîíó: 375 ≈ 380.

×òîáû îêðóãëèòü ÷èñëî äî îïðåäåëåííîãî

ðàçðÿäà, íóæíî:

1) âñå ñëåäóþùèå çà ýòèì ðàçðÿäîì öèô-

ðû çàìåíèòü íóëÿìè;

Ðèñ. 52


370 372 374 376 378 380

371 373 375 377 379


институт



49

2) åñëè ïåðâàÿ çàìåíåííàÿ íóëåì öèôðà 5,

6, 7, 8 èëè 9, òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî óâåëè÷èòü

íà åäèíèöó ðàçðÿäà, äî êîòîðîãî îêðóãëÿåì;

3) åñëè ïåðâàÿ çàìåíåííàÿ öèôðà 0, 1, 2, 3

èëè 4, òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî îñòàâèòü áåç

èçìåíåíèÿ.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷ ÷èñëî:

à) 183 398; á) 295 301; â) 4987.

Ðåøåíèå.

à) 183 398 ≈ 180 000;

á) 295 301 ≈ 300 000;

â) 4987 ≈ 0 äåñÿòêîâ òûñÿ÷.

Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ñòàðèííûõ ìåð äëèíû: 1 âåðñòà ≈ 1 êì,1 ñàæåíü ≈ 2 ì, 1 àðøèí ≈ 71 ñì, 1 âåðøîê ≈ 45 ìì, 1 ôóò ≈ 30 ñì,

1 äþéì ≈ 25 ìì.

Âîïðîñû

1. ×òî çíà÷èò: îêðóãëèòü ÷èñëî äî äåñÿòêîâ? äî òûñÿ÷?

2. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì äàí-

íîãî ÷èñëà?

3. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî îêðóãëåíèÿ ÷èñëà.


1.1.1.1.1.142142142142142..... Îïðåäåëèòå, êàêèå çíà÷åíèÿ òî÷íûå, à êàêèå —

ïðèáëèæåííûå:

1) â øêîëå ðàáîòàþò 124 ó÷èòåëÿ;

2) â øêîëüíîé áèáëèîòåêå áîëåå 25 000 êíèã;

3) ðàññòîÿíèå îò Ìèíñêà äî Ãîìåëÿ îêîëî 325 êì;

4) ïîåçä îò Ãîìåëÿ äî ñòàíöèè Çÿáðîâêà èäåò ïî÷-

òè 30 ìèí.


институт



50

1.1.1.1.1.143143143143143.....° Íàçîâèòå êàêîå-íèáóäü ÷èñëî, êîòîðîå íà êîîð-

äèíàòíîì ëó÷å íàõîäèòñÿ ìåæäó 23 è 32:

1) áëèæå ê 23; 2) áëèæå ê 32.

1.1.1.1.1.144144144144144.....° Íàïèøèòå êàêîå-íèáóäü ÷èñëî, êîòîðîå íà êî-

îðäèíàòíîì ëó÷å íàõîäèòñÿ:

1) ìåæäó 91 è 100 è áëèæå ê 91;

2) ìåæäó 158 è 198 è áëèæå ê 198;

3) ìåæäó 2467 è 2471 è áëèæå ê 2471;

4) ìåæäó 76 800 è 76 900 è áëèæå ê 76 800.

1.1.1.1.1.145145145145145..... Êàêîå èç ïðèáëèæåííûõ ðàâåíñòâ, ïîëó÷åííîå

ïðè îêðóãëåíèè äî äåñÿòêîâ, âåðíîå:

1) 67 ≈ 60 èëè 67 ≈ 70;

2) 236 ≈ 240 èëè 236 ≈ 230;

3) 4904 ≈ 4910 èëè 4904 ≈ 4900;

4) 6875 ≈ 6870 èëè 6875 ≈ 6880?

1.1.1.1.1.146146146146146.....° Ïðî÷èòàéòå ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà è îïðåäå-

ëèòå, äî êàêîãî ðàçðÿäà îêðóãëèëè ÷èñëî:

1) 973 ≈ 970; 2) 3182 ≈ 3000;

3) 4767 ≈ 4800; 4) 34 983 ≈ 35 000;

5) 57 442 ≈ 60 000; 6) 978 105 ≈ 1 000 000.

1.1.1.1.1.147147147147147..... Îêðóãëèòå ÷èñëî: à) äî äåñÿòêîâ; á) äî ñîòåí;

â) äî òûñÿ÷; ã) äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷:

1) 73 649; 2) 57 034;

3) 1245; 4) 4678.

1.1.1.1.1.148148148148148..... Îêðóãëèòå ÷èñëà:

1) 4 027 482, 352 996, 520 808 äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷;

2) 173 936, 37 078 520, 62 860 012 äî ñîòåí òûñÿ÷.

1.1.1.1.1.149149149149149..... Ïîñëå îêðóãëåíèÿ ÷èñëà 1 275 409 Ëåíà ïîëó-

÷èëà ÷èñëî 1 300 000, Øóðà — 1 275 000, à ó Êîëè


институт



51

ïîëó÷èëîñü ÷èñëî 1 275 410. Îïðåäåëèòå, äî êàêèõ

ðàçðÿäîâ êàæäûé èç íèõ âûïîëíÿë îêðóãëåíèå.

1.1.1.1.1.150150150150150..... 1) Þëÿ çàäóìàëà ÷èñëî è, îêðóãëèâ åãî äî äå-

ñÿòêîâ, ïîëó÷èëà 60. Êàêîå ÷èñëî ìîãëà çàäóìàòü

Þëÿ?

2) Ëåíà çàäóìàëà ÷èñëî è, îêðóãëèâ åãî äî ñîòåí,

çàïèñàëà 300. Êàêîå ÷èñëî ìîãëà çàäóìàòü Ëåíà?

1.1.1.1.1.151151151151151..... Íàçîâèòå íàèáîëüøåå ÷èñëî è íàèìåíüøåå ÷èñ-

ëî, ïðè îêðóãëåíèè êîòîðûõ äî òûñÿ÷ ïîëó÷èòñÿ ÷èñ-

ëî 798 000.

1.1.1.1.1.152152152152152..... Â ðóññêî-íåìåöêîì ñëîâàðå ñîäåðæèòñÿ 9752 ñëî-

âà. Óêàæèòå ïðèìåðíîå êîëè÷åñòâî ñëîâ, îêðóãëèâ

äàííîå ÷èñëî äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷.

1.1.1.1.1.153153153153153..... Çàïèøèòå ðÿä ÷èñåë, êîòîðûé ïîëó÷èòñÿ, åñëè

ïîñëåäîâàòåëüíî îêðóãëÿòü ÷èñëî 39 602 649 äî äå-

ñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷ è ò. ä.

1.1.1.1.1.154154154154154..... Ïðîäîëæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë, èñïîëü-

çóÿ îêðóãëåíèå:

1) 9 090 909, 9 090 910, 9 090 900, ... ;

2) 6 794 238, 6 794 240, 6 794 200, ... .

1.1.1.1.1.155155155155155..... Îïðåäåëèòå, ìåæäó êàêèìè ÷èñëàìè íàòóðàëü-

íîãî ðÿäà íàõîäÿòñÿ ÷èñëà, êîòîðûå ïðè îêðóãëåíèè

äî òûñÿ÷ ïðèáëèæåííî ðàâíû:

1) 1000; 2) 57 000;

3) 10 000; 4) 90 000.

1.1.1.1.1.156156156156156..... Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ÷èñåë, êîòîðûå ïðè îêðóã-

ëåíèè äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷ ïðèáëèæåííî ðàâíû

îäíîìó è òîìó æå íàòóðàëüíîìó ÷èñëó.


институт



52

1.1.1.1.1.157157157157157..... Îêðóãëèòå äî êèëîãðàììîâ:

1) 8 êã 360 ã; 2) 29 êã 500 ã;

3) 1 êã 980 ã; 4) 44 830 ã.

1.1.1.1.1.158158158158158..... Îêðóãëèòå äî öåíòíåðîâ:

1) 3 ö 56 êã; 2) 9 ö 90 êã;

3) 781 êã; 4) 909 êã.

1.1.1.1.1.159159159159159..... Îêðóãëèòå äî äåöèìåòðîâ:

1) 4 äì 3 ñì; 2) 768 ìì;

3) 29 ñì; 4) 549 ñì.

1.1.1.1.1.160160160160160.....* Íàéäèòå íàèìåíüøåå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ó êî-

òîðîãî ñóììà öèôð áîëüøå, ÷åì:

1) ó ëþáîãî ÷èñëà, êîòîðîå ìåíüøå èñêîìîãî;

2) ó ëþáîãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà, êîòîðîå ìåíüøå

èñêîìîãî.

Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå

1.1.1.1.1.161161161161161..... Âû÷èñëèòå:

1) 86 + 2473; 2) 66 + 5634;

3) 123 + 73 563; 4) 947 + 48 432.

1.1.1.1.1.162162162162162..... Âû÷èñëèòå:

1) 3248 − 359; 2) 6056 − 132;

3) 4802 − 995; 4) 2093 − 535.

1.1.1.1.1.163163163163163..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:

1) 5086 . 40; 2) 3110 . 80;

3) 180 414 : 9; 4) 226 804 : 4.

1.1.1.1.1.164164164164164..... Âûïîëíèòå äåéñòâèå:

1) 702 . 69; 2) 537 . 201;

3) 3952 : 38; 4) 28 334 : 457.


институт



53


1) 320 − (56 . 2 + 120 : 6);

2) 320 − 56 . 2 + 120 : 6;

3) 738 : 6 − 861 : 7;

4) 1872 : 8 − 29 . 8;

5) (225 − 875 : 5) : 25;

6) 7992 : (207 − 135) : 3.


1) 5 êì 320 ì + 1 êì 906 ì;

2) 6 ì 4 äì − 2 ì 48 ñì;

3) 1 ì 25 ñì + 9 äì 15 ìì;

4) 8 äì 62 ìì + 3 ì 48 ñì.


1) 1 ÷ 28 ìèí + 3 ÷ 43 ìèí;

2) 8 ìèí 42 ñ − 6 ìèí 53 ñ;

3) 1 ÷ 3 ìèí 27 ñ + 2 ÷ 48 ìèí 38 ñ;

4) 3 ÷ 57 ìèí 41 ñ + 34 ìèí 29 ñ.

1.1.1.1.1.168168168168168..... Ó Ëèçû 8 êîìïàêò-äèñêîâ ñ ìóçûêàëüíûìè çàïè-

ñÿìè. À ó Îëè íà 3 äèñêà áîëüøå. Ó Íàñòè ñòîëüêî æå

êîìïàêò-äèñêîâ, ñêîëüêî ó Îëè. Íà äåíü ðîæäåíèÿ

Íàñòå ïîäàðèëè åùå 2 äèñêà. Ñêîëüêî âñåãî äèñêîâ

ó äåâî÷åê?

1.1.1.1.1.169169169169169..... Íà òðåõ àâòîáóñàõ âåçóò äåòåé íà ýêñêóðñèþ â

Áðåñòñêóþ êðåïîñòü. Â ïåðâîì àâòîáóñå åõàëî 40 äå-

òåé, âî âòîðîì — â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì,

à â òðåòüåì — íà 10 äåòåé ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì

è âòîðîì àâòîáóñàõ âìåñòå. Ñêîëüêî äåòåé åõàëî â

òðåòüåì àâòîáóñå?

Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèåНациональный

институт



1.1.1.1.1.170170170170170..... Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ óêðàøåíèÿ èç áèñåðà Ãàëèíà

ïîäãîòîâèëà 250 øòóê çåëåíîãî áèñåðà, æåëòîãî —

íà 70 øòóê áîëüøå, ÷åì çåëåíîãî, à îðàíæåâîãî —

íà 150 øòóê ìåíüøå, ÷åì çåëåíîãî è æåëòîãî âìåñòå.

Ñêîëüêî âñåãî áèñåðà ïîäãîòîâèëà Ãàëèíà?

1.1.1.1.1.171171171171171..... Âðåìÿ ïðèáûòèÿ ïàññàæèðñêîãî ïîåçäà èç Ìèí-

ñêà â Ïîëîöê ïî ðàñïèñàíèþ — 23 ÷ 27 ìèí. Îäíàêî

èç-çà ðåìîíòíûõ ðàáîò ïóòåé ïîåçä áûë çàäåðæàí íà

1 ÷ 24 ìèí. Çàòåì îòñòàâàíèå áûëî ñîêðàùåíî íà

40 ìèí. Îïðåäåëèòå âðåìÿ ïðèáûòèÿ ïàññàæèðñêîãî

ïîåçäà.

1.172.1.172.1.172.1.172.1.172. Íà÷àëî ïåðâîãî ñåàíñà â êèíîòåàòðå «Ìèð» —

10 ÷ 30 ìèí. Îïðåäåëèòå âðåìÿ íà÷àëà ñëåäóþùèõ äâóõ

êèíîñåàíñîâ, åñëè äëèòåëüíîñòü ñåàíñà 2 ÷ 15 ìèí,

à ïåðåðûâ ìåæäó ñåàíñàìè ñîñòàâëÿåò 20 ìèí.

1.1.1.1.1.173173173173173..... Â îäèí ðÿä àëëåè ñ ïðîìåæóòêîì 4 ì áûëè

ïîñàæåíû 15 äåðåâüåâ. Êàêîâà äëèíà ðÿäà àëëåè?

1.1.1.1.1.174174174174174..... Âî ñêîëüêî ðàç ïîäúåì ñ ïåðâîãî ýòàæà íà âòî-

ðîé êîðî÷å ïîäúåìà ñ ïåðâîãî ýòàæà íà äåñÿòûé?

1.1.1.1.1.175175175175175.....* Ó äâóõ ìàëü÷èêîâ èìååòñÿ îäèíàêîâîå êîëè-

÷åñòâî êîíôåò. Íà ñêîëüêî êîíôåò ó îäíîãî èç íèõ

ñòàíåò ìåíüøå, ÷åì ó äðóãîãî, åñëè îí îòäàñò åìó òðè

êîíôåòû?

1.1.1.1.1.176176176176176.....* Íàéäèòå ÷èñëî, ðàâíîå óäâîåííîé ñóììå åãî

öèôð.

1.1.1.1.1.177177177177177.....* Ïîñìîòðåâ â êàëåíäàðü, Ôåäÿ ñêàçàë, ÷òî ñ íà-

÷àëà ìåñÿöà ïðîøëî 16 äíåé, à äî êîíöà ìåñÿöà îñòà-

ëîñü îòîðâàòü â êàëåíäàðå 13 ëèñòêîâ. Íàçîâèòå äåíü

è ìåñÿö, êîãäà Ôåäÿ ïðîâåë íàáëþäåíèå.

54


институт



1.1.1.1.1.178178178178178.....* Íàéäèòå òàêîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, âû÷åðêèâàÿ

èç êîòîðîãî îäíó öèôðó, ìîæíî ïîëó÷èòü ÷èñëî 73.

Íàéäèòå âñå òàêèå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà. Ñêîëüêî èõ?

1.1.1.1.1.179179179179179.....* 1) Ñêîëüêî ïîòðåáóåòñÿ öèôð, ÷òîáû çàïèñàòü

âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 5 äî 35?

2) Íàòóðàëüíûå ÷èñëà çàïèñàíû ïîäðÿä, íà÷èíàÿ

ñ 5 è çàêàí÷èâàÿ 35. Êàêàÿ öèôðà â ïîëó÷èâøåìñÿ

÷èñëå ñòîèò íà 17 ìåñòå? íà 35 ìåñòå?

1.1.1.1.1.180180180180180.....* Èñïîëüçóÿ öèôðû 6 è 9, ñêîëüêî ìîæíî çàïè-

ñàòü:

1) äâóçíà÷íûõ ÷èñåë;

2) òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë?


институт



2ГЛАВА

ÑËÎÆÅÍÈÅ È ÂÛ×ÈÒÀÍÈÅ

ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÕ ×ÈÑÅË

2.1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Êàê ñëîæèòü äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, íàïðèìåð, 7è 4?

Âîçüìåì â íàòóðàëüíîì ðÿäó ÷èñëî 7 (ðèñ. 53). Îòñ÷è-

òàåì ñëåäóþùèå çà íèì ÷åòûðå ÷èñëà: 8, 9, 10, 11.

Ïîñëåäíåå ïîëó÷åííîå ïðè ñ÷åòå ÷èñëî 11 íàçû-

âàåòñÿ ñóììîé ÷èñåë 7 è 4:

11 = 7 + 4.

Ñóììîé ÷èñåë 7 è 4 íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå 7 + 4,

à ñàìè ýòè ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ñëàãàåìûìè.

Êîãäà ê ÷èñëó 7 ïðèáàâëÿþò ÷èñëî 4, ãîâîðÿò òàê-

æå, ÷òî ÷èñëî 7 óâåëè÷èâàþò íà 4.

Åñëè îäíî èç ñëàãàåìûõ ðàâíî íóëþ, òî ñóì-

ìà ðàâíà äðóãîìó ñëàãàåìîìó,

ò. å. ïðè ëþáîì ÷èñëå à

à + 0 = 0 + à = à

Íàïðèìåð, 17 + 0 = 0 + 17 = 17; 0 + 0 = 0.

Ðèñ. 53

56


институт



Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü ñëåäóþùèõ äâóõ

ïðèìåðîâ è îáúÿñíèòå, êàê ñêëàäûâàþòñÿ ÷èñëà ñòîë-

áèêîì.

Âîïðîñû

1. Êàê íàçûâàþò ÷èñëà 19 è 23 â ðàâåíñòâå 19 + 23 = 42?

À ÷èñëî 42?

2. Êàê íàçûâàåòñÿ çàïèñü 19 + 23?

3. Ïî êàêîìó ïðàâèëó ñêëàäûâàþò ÷èñëî ñ íóëåì?


22222.....11111.....° Ïðî÷èòàéòå çàïèñü:

1) 307 + 672; 2) 3009 + 601;

3) 480 001 + 7003; 4) 0 + 0.

22222.....22222.....° Çàïèøèòå ñóììó ÷èñåë è íàéäèòå åå çíà÷åíèå:

1) 0 è 689; 2) 2525 è 0;

3) 4601 è 2; 4) 7 è 77 777.

22222.....33333.....° Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë:

1) 48 + 521; 2) 196 + 83;

3) 521 + 480; 4) 160 + 740.

22222.....44444.....° Âû÷èñëèòå:

1) 679 234 + 48 976;

2) 57 080 + 742 931;

3) 7 068 946 + 485 068;

4) 789 456 + 2 213 579.

à) á)

2.1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

57


институт



58

22222.....55555.....° Âûïîëíèòå ñëîæåíèå ÷èñåë:

1) 999 è 1; 2) 1 è 9999;

3) 99 999 è 1; 4) 1 è 99 999.

22222.....66666..... Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå áîëüøå:

1) 711 íà 389;

2) 920 íà 180;

3) ñóììû ÷èñåë 32 è 78 íà 120;

4) ñóììû ÷èñåë 26 è 91 íà 158.

22222.....77777..... ×åìó ðàâíà ñóììà íàèáîëüøåãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà è:

1) íàèìåíüøåãî îäíîçíà÷íîãî ÷èñëà;

2) íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà;

3) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà;

4) íàèìåíüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà?

22222.....88888..... Íàéäèòå ñóììó íàèìåíüøåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà

è íàèáîëüøåãî:

1) øåñòèçíà÷íîãî ÷èñëà;

2) ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà.

22222.....99999..... Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ 20,

òàê, ÷òîáû êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî áûëî íà 31 áîëü-

øå ïðåäûäóùåãî.

22222.....1010101010..... Çàïèøèòå âñå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ 125

òàê, ÷òîáû êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî áûëî íà 125 áîëü-

øå ïðåäûäóùåãî.

2.12.12.12.12.11.1.1.1.1. Ñóììà äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ öèô-

ðîé 9. Êàêèìè öèôðàìè ìîãóò îêàí÷èâàòüñÿ ñëàãàåìûå?

22222.....1212121212..... Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 24 â âèäå ñóììû:

1) ÷åòûðåõ ðàâíûõ ñëàãàåìûõ;

2) òðåõ íåðàâíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.

Ã ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



59

22222.....1313131313..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:

1) 4 êì 540 ì + 790 ì;

2) 8 ì 70 ñì + 13 ì 9 ñì;

3) 42 ì 76 ñì + 1 ì 54 ñì;

4) 12 êì 39 ì + 9 êì 24 ì.

22222.....1414141414..... Ìàøà íà÷àëà ãîòîâèòü óðîêè â 16 ÷ 40 ìèí è

çàòðàòèëà íà ïîäãîòîâêó 50 ìèí. Â êîòîðîì ÷àñó

Ìàøà çàêîí÷èëà äåëàòü óðîêè?

22222.....1515151515..... Ýêñïåäèöèÿ âûåõàëà 14 ìàÿ è âîçâðàòèëàñü ÷å-

ðåç 4 ìåñÿöà 21 äåíü. Êîãäà ýêñïåäèöèÿ âîçâðàòèëàñü

îáðàòíî?

22222.....1616161616..... Îò ðóëîíà òêàíè îòðåçàëè 10 ì 75 ñì, ïîñëå

÷åãî îñòàëîñü åùå 8 ì 15 ñì. Ñêîëüêî òêàíè áûëî â

ðóëîíå?

22222.....1717171717.....* Âàíÿ ïðîïëûâàåò äèñòàíöèþ çà 2 ìèí. Çà âòî-

ðóþ ìèíóòó îí ïðîïëûë 56 ì, ÷òî íà 8 ì ìåíüøå,

÷åì çà ïåðâóþ ìèíóòó. Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîïëûë

Âàíÿ?

22222.....1818181818.....* Èç 10 ëèñòèêîâ áóìàãè íåêîòîðûå ðàçðåçàëè íà

4 ÷àñòè. Ïîëó÷èëñÿ âñåãî 31 ëèñòèê. Ñêîëüêî ëèñòè-

êîâ áóìàãè ðàçðåçàëè?

2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ

Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð. Â ñïîðòèâíóþ øêîëó ïðèâåçëè 18 ôóòáîëüíûõ

è 23 âîëåéáîëüíûõ ìÿ÷à. Ñêîëüêî âñåãî ìÿ÷åé ïðè-

âåçëè â øêîëó?

Ðåøåíèå. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðè-

áàâèâ ê ÷èñëó ôóòáîëüíûõ ìÿ÷åé ÷èñëî âîëåéáîëüíûõ

2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿНациональный

институт



60

ìÿ÷åé: 18 + 23 = 41. À ìîæíî ê ÷èñëó âîëåéáîëüíûõ

ìÿ÷åé ïðèáàâèòü ÷èñëî ôóòáîëüíûõ ìÿ÷åé: 23 + 18 == 41. Ïðè ëþáîì ñïîñîáå ïîäñ÷åòà ÷èñëà ìÿ÷åé ðå-

çóëüòàò áóäåò îäíèì è òåì æå, ò. å. 18 + 23 = 23 + 18.

Åñëè âìåñòî ÷èñåë 18 è 23 ìû âîçüìåì ëþáûå

÷èñëà a è b, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:

a + b = b + a

Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íà-

çûâàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûì çàêîíîì ñëîæåíèÿ.

Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:

îò ïåðåñòàíîâêè ñëàãàåìûõ ñóììà íå ìå-

íÿåòñÿ.

Âîïðîñû

1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ?

2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çà-

êîí ñëîæåíèÿ?


22222.....1919191919.....° Óêàæèòå ðàâíûå ñóììû:

1) 154 + 318; 2) 19 + 555;

3) 5807 + 2090; 4) 555 + 19;

5) 2090 + 5807; 6) 318 + 154.

22222.....2020202020.....° Óêàæèòå, çíà÷åíèå êàêîé ñóììû áîëüøå:

1) 39 999 + 218 888 èëè 218 888 + 38 999;

2) 284 367 + 358 347 èëè 353 874 + 284 367.

22222.....2121212121..... Âåðíî ëè, ÷òî:

1) 60 000 + 400 + 3 < 3 + 90 + 400 + 60 000;

2) 1 + 40 + 700 + 8000 > 8000 + 600 + 40 + 1?


институт



61

22222.....2222222222.....° Íà äîðîæíîì óêàçàòåëå (ðèñ. 54) óêàçàíû ðàñ-

ñòîÿíèÿ äî íàñåëåííûõ ïóíêòîâ Ëåòî è Çèìà. Îïðå-

äåëèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó íàñåëåííûìè ïóíêòàìè.

Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.

22222.....2323232323.....° Äëÿ îêëåéêè ñòåí êîìíàòû êóïèëè îáîè äâóõ

âèäîâ: îäíîòîííûå è ñ ðèñóíêîì. Îäíîòîííûõ êóïèëè

20 ì, ñ ðèñóíêîì — 75 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ îáîåâ áû-

ëî êóïëåíî? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.

22222.....2424242424.....° Âàäèì ðàññòàâèë ñâîè êíèãè íà äâóõ ïîëêàõ.

Íà íèæíþþ — ó÷åáíèêè è ñïðàâî÷íóþ ëèòåðàòóðó,

âñåãî 24 êíèãè. Íà âåðõíþþ — õóäîæåñòâåííóþ ëè-

òåðàòóðó, âñåãî 38 êíèã. Ñêîëüêî êíèã ðàçìåñòèë Âà-

äèì íà äâóõ ïîëêàõ? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.

22222.....2525252525..... Ñàøà è Âèòÿ èäóò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñî ñêî-

ðîñòÿìè 80м

мин è 60

м

мин ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 55).

Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîéäóò ìàëü÷èêè çà 1 ìèí? Ðåøè-

òå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.

Ðèñ. 54

43 êì Çèìà Ëåòî 54 êì

Ñàøà Âèòÿ

Ðèñ. 55

2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ

60м

мин

80м

мин


институт



62

22222.....2626262626..... Êàòÿ è Âèêà ïîáåæàëè â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòî-

ðîíû ñî ñêîðîñòÿìè 130м

мин è 120

м

мин (ðèñ. 56).

Êàêîå ðàññòîÿíèå áóäåò ìåæäó äåâî÷êàìè ÷åðåç 1 ìèí?

Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.

22222.....2727272727..... Ïëîùàäü Áåðåçèíñêîãî çàïîâåäíèêà 76 200 êì2.

Íàéäèòå ïëîùàäü çàïîâåäíèêà «Áåëîâåæñêàÿ ïóùà»,

åñëè îíà íà 11 300 êì2 áîëüøå.

22222.....2828282828..... Ïî ðàñïèñàíèþ ïîåçä äîëæåí ïðèáûòü íà ñòàí-

öèþ â 22 ÷ 38 ìèí. Íàçîâèòå âðåìÿ ïðèáûòèÿ, åñëè

ïîåçä îïîçäàë íà:

1) 20 ìèí; 2) 40 ìèí; 3) 1 ÷ 30 ìèí.

22222.....2929292929.....* Îïðåäåëèòå öèôðû íà ÷åòûðåõçíà÷íîì íîìåðå

àâòîìîáèëÿ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðâàÿ è ÷åòâåðòàÿ

öèôðû îäèíàêîâûå, âòîðàÿ è òðåòüÿ öèôðû òàêæå

îäèíàêîâûå, íî ÷åòâåðòàÿ öèôðà â 2 ðàçà ìåíüøå

òðåòüåé, à ñóììà ïåðâîé è âòîðîé öèôð ðàâíà 12.

2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ

Ïðèìåð. Ïðèìåð. Ïðèìåð. Ïðèìåð. Ïðèìåð. Ñàøå è Äèìå â ñóááîòó è âîñêðåñåíüå íàäî

ïðî÷èòàòü òðè ðàññêàçà. Â ïåðâîì ðàññêàçå 14 ñòðà-

íèö, âî âòîðîì — 21 ñòðàíèöà, â òðåòüåì — 11 ñòðà-

íèö. Ñàøà ïðî÷èòàë â ñóááîòó ïåðâûé è âòîðîé ðàñ-

ñêàçû, à â âîñêðåñåíüå — òðåòèé. Äèìà ïðî÷èòàë â

Ðèñ. 56

Êàòÿ Âèêà

Ã ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

120м

мин

130м

мин


институт



63

ñóááîòó ïåðâûé ðàññêàç, à â âîñêðåñåíüå — âòîðîé

è òðåòèé. Ñêîëüêî âñåãî ñòðàíèö ïðî÷èòàë êàæäûé

èç ìàëü÷èêîâ?

Ðåøåíèå. Ñàøà ïðî÷èòàë â ñóááîòó (14 + 21) ñòðàíèö,

à â âîñêðåñåíüå — 11 ñòðàíèö. Âñåãî Ñàøà ïðî÷èòàë

(14 + 21) + 11 = 35 + 11 = 46 (ñòðàíèö).

Äèìà ïðî÷èòàë â ñóááîòó 14 ñòðàíèö, à â âîñêðå-

ñåíüå — (21 + 11) ñòðàíèö. Âñåãî Äèìà ïðî÷èòàë

14 + (21 + 11) = 14 + 32 = 46 (ñòðàíèö).

Ñàøà è Äèìà ïðî÷èòàëè îäíè è òå æå ðàññêàçû,

ïîýòîìó íå óäèâèòåëüíî, ÷òî ðåçóëüòàòû ñëîæåíèÿ

îäèíàêîâûå:

(14 + 21) + 11 = 14 + (21 + 11).

Åñëè âìåñòî ÷èñåë 14, 21 è 11 ìû âîçüìåì ëþáûå

÷èñëà a, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:

(à + b) + ñ = à + (b + ñ)


çûâàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûì çàêîíîì ñëîæåíèÿ. Åãî

ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:

÷òîáû ê ñóììå äâóõ ÷èñåë ïðèáàâèòü òðåòüå

÷èñëî, ìîæíî ê ïåðâîìó ÷èñëó ïðèáàâèòü

ñóììó âòîðîãî è òðåòüåãî.

Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëè-

ðîâàòü è ïî-äðóãîìó:

îò èçìåíåíèÿ ðàññòàíîâêè ñêîáîê ñóììà íå

ìåíÿåòñÿ.

2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿНациональный

институт



64

Ïîñêîëüêó ñóììà íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêî-

áîê, òî ñêîáêè ìîæíî âîîáùå íå ïèñàòü:

(à + b) + ñ = à + (b + ñ) = à + b + ñ

Èç ïåðåìåñòèòåëüíîãî è ñî÷åòàòåëüíîãî çàêîíîâ

ñëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî

ñëàãàåìûå â ñóììå ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè

è çàêëþ÷àòü â ñêîáêè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì.

Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíåíèå ïåðåìåñòèòåëüíîãî è

ñî÷åòàòåëüíîãî çàêîíîâ ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü

âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, âû÷èñëèì ñóììó:

43 + 236 + 64 + 47 = (43 + 47) + (236 + 64) = 90 + 300 = 390.

Âîïðîñû

1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ?

(Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.)

2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí

ñëîæåíèÿ?


22222.....3030303030.....° Íàéäèòå ñóììó íàèáîëåå óäîáíûì ñïîñîáîì:

1) 26 + 19 + 34 + 51;

2) 32 + 29 + 28 + 41;

3) 630 + 40 + 160 + 70;

4) 350 + 130 + 250 + 270.

22222.....3131313131.....° Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ, ïðèìåíÿÿ ñî÷åòàòåëüíûé

çàêîí ñëîæåíèÿ:

1) (637 + 1004) + 996;

2) 729 + (47 + 271);

3) 398 989 + (201 011 + 6482);

4) 15 824 + (37 301 + 24 176).


институт



65

22222.....3232323232..... Âû÷èñëèòå, èñïîëüçóÿ çàêîíû ñëîæåíèÿ:

1) 5807 + 2090 + 1103;

2) 154 + 318 + 46 + 182;

3) 29 + 97 + 31 + 43;

4) 145 + 981 + 19 + 555.

22222.....3333333333.....° Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë:

1) 6 + 32 + 27 + 4 + 28 + 13;

2) 81 + 143 + 455 + 1000 + 67 + 19 + 345;

3) 182 + 4593 + 29 561 + 5407 + 818 + 70 439;

4) 6001 + 472 + 80 109 + 999 + 528 + 1891.

22222.....3434343434..... Íàéäèòå ñóììó íàèáîëüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà,

íàèìåíüøåãî øåñòèçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèìåíüøåãî

íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.

22222.....3535353535..... Ó÷åíèêè òðåõ ïÿòûõ êëàññîâ ñàæàëè äåðåâüÿ íà

óëèöàõ ïîñåëêà. Ó÷åíèêè 5 «À» êëàññà ïîñàäèëè 14 äå-

ðåâüåâ, ó÷åíèêè 5 «Á» ïîñàäèëè íà 5 äåðåâüåâ áîëüøå,

à ó÷åíèêè 5 «Â» — íà 2 äåðåâà áîëüøå, ÷åì ó÷åíèêè

5 «À». Ñêîëüêî äåðåâüåâ ïîñàäèëè ïÿòèêëàññíèêè?

22222.....3636363636..... Äÿäÿ Ôåäîð, Øàðèê è êîò Ìàòðîñêèí îòïðàâè-

ëèñü èç Ïðîñòîêâàøèíî â Ñìåòàíèíî ÷åðåç Êåôèðîâî

è Òâîðîæüå (ðèñ. 57). Îïðåäåëèòå, ñêîëüêî êèëîìåò-

ðîâ ïðåäñòîèò ïðîéòè äÿäå Ôåäîðó, Øàðèêó è êîòó

Ìàòðîñêèíó.

Ïðîñòîêâàøèíî

Êåôèðîâî

Òâîðîæüå

Ñìåòàíèíî

Ðèñ. 57

2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿНациональный

институт



66

22222.....3737373737..... Â ïåðâûé äåíü òóðèñòû ïðîøëè 23 êì, ÷òî íà

6 êì ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü. Â òðåòèé äåíü

îíè ïðîøëè íà 4 êì áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü.

Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîøëè òóðèñòû çà òðè äíÿ?

22222.....3838383838..... Ìàññà îäíîãî ÿáëîêà 175 ã, è îíà íà 35 ã ìåíüøå

ìàññû ãðóøè. À ìàññà îäíîãî àïåëüñèíà íà 40 ã áîëü-

øå ìàññû ãðóøè. Êàêîâà ìàññà òðåõ ôðóêòîâ?

22222.....3939393939..... Êàê èçìåíèòñÿ ñóììà, åñëè îäíî ñëàãàåìîå:

1) óâåëè÷èòü íà 15, à âòîðîå óìåíüøèòü íà 15;

2) óìåíüøèòü íà 8, à âòîðîå óâåëè÷èòü íà 9?

22222.....4040404040.....* Èç òðåõ ñòàðûõ îëîâÿííûõ ëîæåê è íîæà ïî-

ëó÷èòñÿ 10 îëîâÿííûõ ñîëäàòèêîâ; èç ëîæêè, äâóõ

âèëîê è äâóõ íîæåé — 9; èç äâóõ âèëîê è íîæà —

5 ñîëäàòèêîâ. Ñêîëüêî îëîâÿííûõ ñîëäàòèêîâ ïîëó-

÷èòñÿ èç äâóõ ëîæåê, äâóõ âèëîê è äâóõ íîæåé?

22222.....4141414141.....* Èìååòñÿ 11 ÿáëîê. Ñ ïîìîùüþ âåñîâ ìîæíî îïðå-

äåëèòü ìàññó ëþáûõ äâóõ ÿáëîê. Êàê ñ ïîìîùüþ ñåìè

âçâåøèâàíèé îïðåäåëèòü îáùóþ ìàññó âñåõ ÿáëîê?

2.4. Óãîë

Îòìåòèì íà ïëîñêîñòè òî÷êó À è ïðîâåäåì äâà

ëó÷à ÀÂ è AC ñ îáùèì íà÷àëîì â òî÷êå À (ðèñ. 58).

Îíè äåëÿò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç ýòèõ

÷àñòåé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ óãëîì. Òî÷êà À íàçû-

âàåòñÿ âåðøèíîé óãëà, à ëó÷è ÀÂ è ÀÑ — ñòîðî-


A

B

C


институт



67

A

B C

D

íàìè óãëà. Ëþáîé èç óãëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóí-

êå 58, ìîæíî îáîçíà÷èòü ∠ BAC èëè ∠ CAB. Åñòü è

áîëåå êîðîòêàÿ çàïèñü: ∠ A. Çíàê «∠ » çàìåíÿåò ñëîâî

«óãîë». Çàìåòèì, ÷òî åñëè óãîë îáîçíà÷àåòñÿ òðåìÿ

áóêâàìè, òî áóêâà, îáîçíà÷àþùàÿ âåðøèíó, ïèøåòñÿ

ïîñåðåäèíå. À åñëè óãîë îáîçíà÷àåòñÿ îäíîé áóêâîé,

òî òîé, êîòîðîé îáîçíà÷åíà âåðøèíà.

Íà ðèñóíêå 59 óãîë KLM îòìå÷åí äóãîé. Òî÷êà P

ëåæèò âíóòðè ýòîãî óãëà, à òî÷êà Q — âíå åãî. Òî÷-

êà R ëåæèò íà ñòîðîíå óãëà.

Óãëû ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ.

Äâà óãëà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îäèí

èç íèõ ìîæíî íàëîæèòü íà äðóãîé òàê, ÷òî

îíè ñîâìåñòÿòñÿ.

Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 60 ∠ BAC = ∠ PQR. Ãîâîðÿò:

«óãîë ÂÀÑ ðàâåí óãëó PQR». Ðàâíûå óãëû ÷àñòî îò-

ìå÷àþò îäèíàêîâûì ÷èñëîì äóã.

Íà ðèñóíêå 61 èçîáðàæåíû ðàâíûå óãëû ABD è

DBC, à óãîë ÀÂÑ áîëüøå óãëà DBC.

Ðèñ. 61

2.4. Óãîë

Ðèñ. 60

Q

PRА

B

CА

P

R( )Q C

B


институт



68

Âîïðîñû

1. Êàê èçîáðàçèòü óãîë íà ïëîñêîñòè?

2. Êàê ìîæíî îòìå÷àòü è îáîçíà÷àòü óãîë?

3. Êàê ìîæíî ñðàâíèâàòü óãëû?

4. Êàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè?


22222.....4242424242..... Ïðî÷èòàéòå è çàïèøèòå óãëû, èçîáðàæåííûå íà

ðèñóíêå 62. Íàçîâèòå âåðøèíó è ñòîðîíû êàæäîãî

óãëà.

22222.....4343434343..... Èçîáðàçèòå òðè ëó÷à ÀK, AB, AE.

1) Çàïèøèòå âñå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.

2) Íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëÿò ïëîñêîñòü òðè ëó÷à ñ

îáùåé âåðøèíîé?

22222.....4444444444.....° Èçîáðàçèòå äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå AB è

MN. Îáîçíà÷üòå òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ áóêâîé Î.

Çàïèøèòå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.

22222.....4545454545..... ×åðåç âåðøèíó K óãëà AKB ïðîâåäèòå ïðÿìóþ SP

è çàïèøèòå âñå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.

22222.....4646464646..... Íà ïðÿìîé DE îòìåòüòå òî÷êó S è òî÷êó F íå

íà ýòîé ïðÿìîé. Èçîáðàçèòå ëó÷ SF. Çàïèøèòå âñå

îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.

Ðèñ. 62


А

B

CM

NP

а) б) в) г)

F

E

K

D

Q

T


институт



69

22222.....4747474747.....° Íà ðèñóíêå 63 èçîáðàæåíû òðè ïàðû ðàâíûõ

óãëîâ. Çàïèøèòå ðàâíûå óãëû.

22222.....4848484848..... Âûðåæüòå èç ëèñòà áóìàãè òðè ðàçíûõ óãëà.

Ïîñòðîéòå â òåòðàäè óãëû, ðàâíûå âûðåçàííûì.

22222.....4949494949..... Èçîáðàçèòå óãîë MBE è ïðÿìóþ AC, ïåðåñåêà-

þùóþ ñòîðîíû óãëà MBE. Îòìåòüòå íà ïðÿìîé AC

òî÷êó:

1) D òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà âíóòðè óãëà MBE;

2) P òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà âíå óãëà MBE;

3) F òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà íà ñòîðîíå BM óãëà MBE;

4) K òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà íà ñòîðîíå BE óãëà MBE.

2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû.

Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû

Îòìåòèì íà ïëîñêîñòè òî÷êó À è ïðîâåäåì ÷åðåç

íåå ïðÿìóþ ÂÑ (ðèñ. 64). Ëó÷è ÀÂ è ÀÑ äåëÿò ïëîñ-

êîñòü íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç ýòèõ ÷àñòåé ïëîñêîñòè

ÿâëÿåòñÿ óãëîì. Òàêîé óãîë íàçûâàåòñÿ ðàçâåðíóòûì.

Ïåðåãíåì ëèñò áóìàãè òàê, ÷òîáû ëó÷è ÀÂ è ÀÑ

ñîâïàëè, à çàòåì ðàñïðàâèì åãî. Ïðè ýòîì îáðàçóåòñÿ

ëèíèÿ ñãèáà KL (ðèñ. 65). Óãëû BAK è CAK ñîâìåùà-

A

B

C

Q L

HP

M

NX

T

Y

OS F

E

D

K

Ðèñ. 63

Ðèñ. 64

2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû

B A C


институт



70

þòñÿ ïðè íàëîæåíèè, çíà÷èò, îíè ðàâíû. Êàæäûé èç

ýòèõ ðàâíûõ óãëîâ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì óãëîì.

Ïðÿìîé óãîë ÷àñòî îòìå÷àþò ñïåöèàëü-

íûì çíà÷êîì (ðèñ. 66).

Ìû âèäèì, ÷òî

ïðÿìîé óãîë — ýòî ïîëîâèíà ðàçâåðíóòîãî

óãëà.

Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîãî óãëà ìîæíî èñïîëüçîâàòü

÷åðòåæíûé òðåóãîëüíèê — óãîëüíèê (ðèñ. 67).

Ñ ïîìîùüþ óãîëüíèêà ìîæíî ñðàâíèòü èçîáðàæåí-

íûé óãîë ñ ïðÿìûì. Íà ðèñóíêå 68 ïîêàçàíî, êàê ñ

Ðèñ. 65

Ðèñ. 66

Ðèñ. 67

Ðèñ. 68

K

M

N

A

B

C


институт



71

ïîìîùüþ óãîëüíèêà îïðåäåëèëè, ÷òî óãîë KMN áîëü-

øå ïðÿìîãî, à óãîë ABC ðàâåí ïðÿìîìó.

Ïóñòü ÂÀÑ — ðàçâåðíóòûé óãîë (ðèñ. 69). Ïðîâå-

äåì ëó÷ ÀÅ è ðàññìîòðèì óãëû ÂÀÅ è ÑÀÅ.

Ó íèõ îäíà ñòîðîíà ÀÅ îáùàÿ, à äâå äðóãèå — ÀÂ

è ÀÑ — îáðàçóþò ïðÿìóþ. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ

ñìåæíûìè.

Ïóñòü ïðÿìàÿ MK ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðÿìîé PN â òî÷-

êå Î (ðèñ. 70). Óãëû MOP è NOK, êîòîðûå îáðàçóþò-

ñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè ýòèõ ïðÿìûõ, íàçûâàþò âåðòè-

êàëüíûìè. Óãëû MON è POK òîæå âåðòèêàëüíûå.

Çàìåòèì, ÷òî

âåðòèêàëüíûå óãëû ðàâíû.

Íà ðèñóíêå 70 ìîæíî óêàçàòü è

íåñêîëüêî ïàð ñìåæíûõ óãëîâ. Íà-

ïðèìåð, ∠ ÌÎÐ è ∠ ÌÎN.

Âîïðîñû

1. Êàê èçîáðàçèòü ðàçâåðíóòûé óãîë?

2. ×òî òàêîå ïðÿìîé óãîë?

3. Êàê èçîáðàçèòü ñìåæíûå óãëû?

4. Óêàæèòå íà ðèñóíêàõ 70, 71 è 72 âñå

ïàðû: à) ñìåæíûõ óãëîâ; á) âåðòè-

êàëüíûõ óãëîâ.

5. Êàêèå èç óãëîâ íà ðèñóíêàõ 71 è 72

ïðÿìûå?


B A C

E

Ðèñ. 72

R

E

O S

TF

Ðèñ. 71

M N

T

Q

P

2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëûНациональный

институт



72

A DB

CM

S

K TEE


22222.....5050505050.....° Íàéäèòå íà ðèñóíêå 73 è çàïèøèòå:

1) ðàçâåðíóòûå óãëû;

2) ñìåæíûå óãëû;

3) âåðòèêàëüíûå óãëû.

22222.....5151515151..... Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûé óãîë ABC è îòìåòüòå

åãî äóãîé. Íàçîâèòå âåðøèíó è ñòîðîíû óãëà. Îòìåòü-

òå òî÷êè:

1) F è D, ïðèíàäëåæàùèå óãëó ABC;

2) E è O, íå ïðèíàäëåæàùèå óãëó ABC.

22222.....5252525252.....° 1) Íà ðèñóíêå 74 íàéäèòå âñå

óãëû, ñìåæíûå ñ óãëîì:

à) BQD; á) AQF;

â) KQB; ã) DQK.

2) Ïî ðèñóíêó 74 íàçîâèòå ïàðû

âåðòèêàëüíûõ óãëîâ.

22222.....5353535353..... Íà÷åðòèòå äâå ïðÿìûå AF è BK, ïåðåñåêàþùèå-

ñÿ â òî÷êå N. Çàïèøèòå îáðàçîâàâøèåñÿ íà ðèñóíêå:

1) ðàçâåðíóòûå óãëû;

2) ïàðû ñìåæíûõ óãëîâ;

3) ïàðû âåðòèêàëüíûõ óãëîâ.

22222.....5454545454..... Íà÷åðòèòå òðè ëó÷à ñ îáùèì íà÷àëîì òàê, ÷òî-

áû ïîëó÷èëèñü ñìåæíûå óãëû:

1) íåðàâíûå; 2) ðàâíûå.

Ðèñ. 73

Ðèñ. 74


институт



73

22222.....5555555555.....° Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûé óãîë KOM è ïðîâåäèòå

÷åðåç òî÷êó Î ïðÿìóþ ÑD. Çàïèøèòå:

1) ïàðû ñìåæíûõ óãëîâ;

2) ïàðû âåðòèêàëüíûõ óãëîâ.

22222.....5656565656..... Èçîáðàçèòå äâà óãëà ñ îáùåé ñòîðîíîé, êîòîðûå:

1) ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè;

2) íå ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè.

22222.....5757575757..... Ñòîðîíàìè êàêîãî óãëà ÿâëÿþòñÿ áîëüøàÿ è ìà-

ëåíüêàÿ ñòðåëêè íà ÷àñàõ, åñëè îíè ïîêàçûâàþò:

1) 18 ÷; 2) 15 ÷; 3) 21 ÷?

2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð. Â ñóááîòó è âîñêðåñåíüå Ìàøå íàäî ïðî÷èòàòü

ðàññêàç, â êîòîðîì 49 ñòðàíèö. ×àñòü ðàññêàçà Ìà-

øà ïðî÷ëà â ñóááîòó, à â âîñêðåñåíüå — îñòàâøèåñÿ

28 ñòðàíèö. Ñêîëüêî ñòðàíèö ïðî÷ëà Ìàøà â ñóááîòó?

Ðåøåíèå. ×èñëî ñòðàíèö, ïðî÷èòàííûõ Ìàøåé â ñóááîòó,

îáîçíà÷èì áóêâîé k. Òîãäà óñëîâèå çàäà÷è ìîæíî çà-

ïèñàòü òàê:

k + 28 = 49.

Â ýòîì ðàâåíñòâå íàäî íàéòè íåèçâåñòíîå ñëàãàå-

ìîå k. Îíî íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ âû÷èòàíèÿ:

k = 49 − 28.

×èñëî k íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ÷èñåë 49 è 28.

Âîçüìåì òåïåðü âìåñòî ÷èñåë 49 è 28 ïðîèçâîëü-

íûå ÷èñëà a è b.

Ðàçíîñòüþ ÷èñåë a è b íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî k,

ïðè ñëîæåíèè êîòîðîãî ñ b ïîëó÷àåòñÿ a:

k + b = a.

2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



74

Ðàçíîñòü ÷èñåë a è b îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a − b.

k = a − b.

Ðàçíîñòüþ ÷èñåë a è b íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå

a − b. ×èñëî à íàçûâàåòñÿ óìåíüøàåìûì, ÷èñëî b —

âû÷èòàåìûì.

Êîãäà èç ÷èñëà 49 âû÷èòàþò ÷èñëî 28, ãîâîðÿò, ÷òî

÷èñëî 49 óìåíüøàþò íà 28.

Ðàçíîñòü 49 − 28 = 21 ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷èñëî 49 áîëü-

øå ÷èñëà 28 íà 21. Ñëåäîâàòåëüíî,

÷òîáû óñòàíîâèòü, íà ñêîëüêî îäíî ÷èñëî áîëü-

øå äðóãîãî, íàäî èç áîëüøåãî ÷èñëà âû÷åñòü

ìåíüøåå.

Óáåäèòüñÿ, ÷òî âû÷èòàíèå âûïîëíåíî ïðà-

âèëüíî, ìîæíî òàê: ñëîæèòü ðàçíîñòü è âû-

÷èòàåìîå — â ðåçóëüòàòå äîëæíî ïîëó÷èòü-

ñÿ óìåíüøàåìîå.

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à èìååì:

à − 0 = à , òàê êàê à + 0 = à;

à − à = 0 , òàê êàê 0 + à = à.

Îáðàòèòå âíèìàíèå: ìû çíàåì íàòóðàëüíûå ÷èñëà

è íóëü. À ñ ïîìîùüþ ýòèõ ÷èñåë âû÷èñëèòü ðàç-

íîñòü à − b ìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëî à áîëü-

øå b èëè à ðàâíî b.

ðàçíîñòü

óìåíüøàåìîå âû÷èòàåìîå

a − b k=


институт



75

Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü äâóõ ïðèìåðîâ

è îáúÿñíèòå, êàê ÷èñëà âû÷èòàþòñÿ ñòîëáèêîì.

Â ÕV â. âïåðâûå ïîÿâèëñÿ çíàê ñëîæåíèÿ «Ð~» (îò ëàòèíñêîãî ñëîâàplus) è çíàê âû÷èòàíèÿ «m~» (îò ëàòèíñêîãî ñëîâà minus). Â êîíöåÕV â. íåìåöêèå ìàòåìàòèêè ñòàëè èñïîëüçîâàòü ñîâðåìåííûåçíàêè «+» è «−».

Âîïðîñû

1. Êàê íàçûâàþòñÿ ÷èñëà 42, 23, 19 â ðàâåíñòâå 42 − 23 = 19?

2. ×òî íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ÷èñåë à è b?

3. Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå à − b?

4. Ïî êàêîìó ïðàâèëó èç ÷èñëà à âû÷èòàåòñÿ: à) íóëü;

á) ÷èñëî à?

5. Êîãäà ìîæíî âû÷èñëèòü ðàçíîñòü à − b?

6. Êàê óñòàíîâèòü, íà ñêîëüêî îäíî ÷èñëî áîëüøå äðóãîãî?

7. Êàê ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âû÷èòàíèå âûïîëíåíî ïðà-

âèëüíî?


22222.....5858585858.....° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå:

1) 28 903 − 7661; 2) 1 429 506 − 917 830;

3) 269 001 − 50 003; 4) 3 030 303 − 100 100.

22222.....5959595959.....° Íàéäèòå ðàçíîñòü:

1) 178 − 107; 2) 600 − 200;

3) 9632 − 632; 4) 7814 − 7014.

− −37854

5423

32431

37854

5963

31891

à) á)


институт



76

22222.....6060606060..... Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå:

1) 4391 − (32 + 190); 2) 40 404 + (761 − 39);

3) (89 − 15) + 501; 4) (9410 + 472) − 76.

22222.....6161616161.....° Çàïèøèòå ðàçíîñòü ÷èñåë è íàéäèòå åå:

1) 750 è 729; 2) 1256 è 128;

3) 40 000 è 3; 4) 790 861 è 1861.

22222.....6262626262.....° Âû÷èñëèòå:

1) 10 000 − 6996; 2) 26 560 − 5794;

3) 35 000 − 19 673; 4) 79 607 − 9999.

22222.....6363636363.....° Íàéäèòå ðàçíîñòü ÷èñåë:

1) 70 504 è 34 086;

2) 60 250 è 37 839;

3) 8 000 000 è 6 888 888;

4) 5 021 060 è 3 049 879.

22222.....6464646464..... 1) Óìåíüøàåìîå ðàâíî 120, à âû÷èòàåìîå íà 60

ìåíüøå. ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü?

2) Óìåíüøàåìîå ðàâíî 150, ðàçíîñòü 124. Íàéäèòå

âû÷èòàåìîå.

22222.....6565656565..... Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå è íà ñêîëüêî:

1) 1720 èëè 1801; 2) 39 200 èëè 39 019?

22222.....6666666666..... Êàêîå èç ÷èñåë ìåíüøå è íà ñêîëüêî:

1) 147 èëè 174; 2) 11 871 èëè 11 859?

22222.....6767676767..... Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî

2063 + 5971 = 8034,

âû÷èñëèòå:

1) 8034 − 2063; 2) 8035 − 5971;

3) 8034 − 2063; 4) 8034 − 5971.


институт



77

22222.....6868686868..... Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 100 â âèäå ðàçíîñòè äâóõ ÷èñåë:

1) òðåõçíà÷íîãî è äâóçíà÷íîãî;

2) ÷åòûðåõçíà÷íîãî è òðåõçíà÷íîãî;

3) øåñòèçíà÷íûõ;

4) äåâÿòèçíà÷íûõ.

22222.....6969696969..... Âûïîëíèòå ñëîæåíèå ÷èñåë è ïðîâåðüòå ðåçóëü-

òàò âû÷èòàíèåì:

1) 1692 + 5024; 2) 40 297 + 13 711;

3) 144 691 + 56 419; 4) 325 432 + 524 568.

22222.....7070707070..... Íàéäèòå ðàçíîñòü ÷èñåë è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò

ñëîæåíèåì:

1) 1406 − 711; 2) 13 915 − 9526;

3) 385 796 − 196 886; 4) 52 555 − 51 767.


1) 6 ò − 372 êã;

2) 23 ö 5 êã − 12 ö 9 êã;

3) 687 ì − 9 ì 64 ñì;

4) 18 äì 3 ñì − 99 ñì;

5) 6 ÷ 12 ìèí − 72 ìèí;

6) 42 ìèí 2 ñ − 27 ìèí 5 ñ.

22222.....7272727272..... Íàéäèòå ðàçíîñòü íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî:

1) äâóçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;

2) ÷åòûðåõçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.

22222.....7373737373..... Íàéäèòå ðàçíîñòü äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:

1) íàèìåíüøåãî øåñòèçíà÷íîãî è íàèáîëüøåãî ïÿòè-

çíà÷íîãî;

2) íàèáîëüøåãî øåñòèçíà÷íîãî è íàèáîëüøåãî òðåõ-

çíà÷íîãî.


институт



78

22222.....7474747474..... 1) Ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì. Êà-

êèìè öèôðàìè îêàí÷èâàþòñÿ óìåíüøàåìîå è âû÷è-

òàåìîå? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.

2) Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü ÷èñåë, åñëè óìåíüøàå-

ìîå è âû÷èòàåìîå óâåëè÷èòü íà îäíî è òî æå ÷èñëî?

Ïðèâåäèòå ïðèìåð.

22222.....7575757575..... 1) Ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë ðàâíà íóëþ. ×òî ìîæíî

ñêàçàòü îá ýòèõ ÷èñëàõ? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.

2) Äâà ÷èñëà è èõ ðàçíîñòü îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé

öèôðîé. Êàêàÿ ýòî öèôðà?

22222.....7676767676..... Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü, åñëè:

1) óìåíüøàåìîå óâåëè÷èòü íà 10;

2) âû÷èòàåìîå óìåíüøèòü íà 5;

3) óìåíüøàåìîå óâåëè÷èòü íà 20, à âû÷èòàåìîå

óìåíüøèòü íà 3?

22222.....7777777777.....* Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü, åñëè óìåíüøàåìîå:

1) óìåíüøèòü íà ðàçíîñòü;

2) óâåëè÷èòü íà âû÷èòàåìîå?

22222.....7878787878.....° Ïëîùàäü âîäíîé ïîâåðõíîñòè Çåìëè ñîñòàâëÿåò

361 ìëí êì2, à ïëîùàäü ìàòåðèêîâ è îñòðîâîâ ðàâíà

149 ìëí êì2. Íà ñêîëüêî êâàäðàòíûõ êèëîìåòðîâ

âîäíàÿ ïîâåðõíîñòü Çåìëè áîëüøå ïîâåðõíîñòè ñóøè?

22222.....7979797979..... Âðàùàÿñü âîêðóã Çåìëè, Ëóíà ïðèáëèæàåòñÿ ê

Çåìëå íà ðàññòîÿíèå 356 400 êì — ïåðèãåé è óäàëÿ-

åòñÿ îò Çåìëè íà ðàññòîÿíèå 406 700 êì — àïîãåé

(ðèñ. 75). ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü ìåæäó àïîãååì è

ïåðèãååì?

22222.....8080808080.....° Äëèíà ýêâàòîðà Çåìëè 40 075 704 ì, à äëèíà

çåìíîãî ìåðèäèàíà íà 67 156 ì ìåíüøå (ðèñ. 76).

×åìó ðàâíà äëèíà çåìíîãî ìåðèäèàíà?


институт



79

22222.....8181818181..... Ïîåçä îïàçäûâàåò íà 1 ÷ 45 ìèí. Êàêèì áóäåò

îïîçäàíèå, åñëè çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè îòñòàâà-

íèå óäàëîñü ñîêðàòèòü íà:

1) 20 ìèí; 2) 50 ìèí; 3) 1 ÷ 30 ìèí?

22222.....8282828282..... 1) Àâòîìîáèëü çà òðè äíÿ ïðîåõàë 1475 êì. Çà

ïåðâûå äâà äíÿ îí ïðîåõàë 964 êì. Ñêîëüêî êèëî-

ìåòðîâ àâòîìîáèëü ïðîåõàë çà êàæäûé èç ýòèõ äíåé,

åñëè âî âòîðîé äåíü îí ïðîåõàë íà 245 êì áîëüøå,

÷åì çà òðåòèé äåíü?

2) Â òðåõ êîðîáêàõ áûëî 2 êã 423 ã êîíôåò. Â ïåð-

âîé è âòîðîé êîðîáêàõ — 1 êã 489 ã êîíôåò, âî âòîðîé

è òðåòüåé — 1 êã 589 ã. Ñêîëüêî êîíôåò áûëî â êàæ-

äîé êîðîáêå?

22222.....8383838383..... Â ÿùèêå 925 ì ïðîâîëîêè — ñèíåãî, çåëåíîãî, êðàñ-

íîãî è æåëòîãî öâåòà. Ñèíåãî, çåëåíîãî è êðàñíîãî

öâåòà âìåñòå — 728 ì, çåëåíîãî, êðàñíîãî è æåëòîãî

öâåòà — 799 ì, ñèíåãî, êðàñíîãî è æåëòîãî öâåòà —

682 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîâîëîêè êàæäîãî öâåòà â

îòäåëüíîñòè?

22222.....8484848484.....* Êàêàÿ öèôðà ñòîèò â ÷èñëå

345 673 456 734 567...

íà 100-ì ìåñòå? íà 2015-ì ìåñòå?


2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

мер

ид

иан

мер

ид

ианЗемля

апогей

перигей

Луна


институт



80

2.7. Ëîìàíàÿ

Âîçüìåì íà ïëîñêîñòè òî÷êè À è F, ñîåäèíèì èõ

ëèíèåé, ñîñòîÿùåé èç îòðåçêîâ (ðèñ. 77), êîíåö êàæ-

äîãî èç êîòîðûõ, êðîìå ïîñëåäíåãî, ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì

ñëåäóþùåãî, ïðè ýòîì ñîñåäíèå îòðåçêè íå ëåæàò íà

îäíîé ïðÿìîé. Òàêàÿ ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé, îò-

ðåçêè, ñîñòàâëÿþùèå åå, çâåíüÿìè ëîìàíîé, à èõ êîí-

öû — âåðøèíàìè ëîìàíîé. Ëîìàíóþ íà ðèñóíêå 77

íàçûâàþò «ëîìàíàÿ ABCDEF».

Ëîìàíàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 77, íàçûâàåò-

ñÿ íåçàìêíóòîé. À ëîìàíàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóí-

êå 78, íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé. Çàìêíóòóþ ëîìàíóþ

ìîæíî íàçûâàòü, íà÷èíàÿ ñ ëþáîé âåðøèíû. Íàïðè-

ìåð, ëîìàíóþ íà ðèñóíêå 78 íàçûâàþò KLMNPQ èëè

PQKLMN.

Äëèíîé ëîìàíîé íàçûâàåòñÿ ñóììà äëèí åå

çâåíüåâ.

Âîïðîñû

1. ×òî òàêîå: à) çâåíüÿ ëîìàíîé; á) âåðøèíû ëîìàíîé?

Íàçîâèòå çâåíüÿ è âåðøèíû ëîìàíûõ, èçîáðàæåííûõ

íà ðèñóíêàõ 77, 78.

2. ×òî íàçûâàåòñÿ äëèíîé ëîìàíîé?

AB

CD

EF

K

LM

N

P

Q



институт



81


22222.....8585858585.....° Íàçîâèòå ïî ðèñóíêó 79:

1) çàìêíóòóþ ëîìàíóþ;

2) íåçàìêíóòóþ ëîìàíóþ.

22222.....8686868686..... Ìåæäó ïàíñèîíàòàìè «Âåòåðîê» è «×àéêà» ïðî-

ëîæåíû òðè ìàðøðóòà (ðèñ. 80). Êàêîé ìàðøðóò

ñàìûé êîðîòêèé?

22222.....8787878787.....° Íà÷åðòèòå ëîìàíóþ, ñîñòîÿùóþ èç òðåõ çâåíüåâ.

Íàéäèòå äëèíó êàæäîãî çâåíà ëîìàíîé. Ïîñòðîéòå

îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà äëèíå ëîìàíîé.

22222.....8888888888..... Îäíî çâåíî ëîìàíîé èìååò äëèíó 1 äì 3 ñì,

äðóãîå — íà 8 ñì áîëüøå, à òðåòüå — íà 1 äì 4 ñì

áîëüøå âòîðîãî. Íàéäèòå äëèíó ëîìàíîé.

22222.....8989898989..... Äëèíà çàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç òðåõ

çâåíüåâ, ðàâíà 23 ñì. Äâà çâåíà ëîìàíîé ðàâíû ìåæ-

äó ñîáîé, à òðåòüå íà 5 ñì áîëüøå êàæäîãî èç íèõ.

Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ.

N

MB

A

C

D

E

BM

K

L

P

T

Q

Z Y

X

Sа) б) в) г)

Ðèñ. 79

Ðèñ. 80

2.7. Ëîìàíàÿ

Пансионат«Ветерок»

Пансионат«Чайка»

I маршрут

II маршрут

III маршрут


институт



82

22222.....9090909090..... Äëèíà íåçàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç ÷åòû-

ðåõ çâåíüåâ, ðàâíà 22 ñì, à êàæäîå åå çâåíî íà 1 ñì

áîëüøå ïðåäûäóùåãî. Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ.

22222.....9191919191..... Èçâåñòíû äëèíû îòðåçêîâ ÀÂ = 5 ñì, ÀÑ = 8 ñì,

ÂÑ = 7 ñì, AD = 10 ñì, DB = 12 ñì. Íàéäèòå äëèíó

íåçàìêíóòîé ëîìàíîé:

1) ÀÂÑ; 2) ADB; 3) DACB; 4) DABC.

22222.....9292929292.....* Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ, ó êîòîðîé äëèíà

êàæäîãî çâåíà âûðàæåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàí-

òèìåòðîâ, à äëèíà ëîìàíîé ðàâíà:

1) 2 ñì; 2) 3 ñì; 3) 4 ñì;

4) 5 ñì; 5) 6 ñì; 6) 7 ñì.

22222.....9393939393..... Èçîáðàçèòå íåçàìêíóòóþ ëîìàíóþ òàê, ÷òîáû ðàñ-

ñòîÿíèå ìåæäó åå êðàéíèìè âåðøèíàìè áûëî ðàâíî:

1) 2 ñì; 2) 8 ñì; 3) 4 ñì; 4) 5 ñì.

2.8. Ìíîãîóãîëüíèê

Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ ABC, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ çâåíü-

åâ, ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè: âíóòðåííþþ è

âíåøíþþ (ðèñ. 81). ×àñòü ïëîñêîñòè, íàõîäÿùàÿñÿ

âíóòðè ëîìàíîé, âìåñòå ñ ýòîé ëîìàíîé îáðàçóþò

òðåóãîëüíèê.

Òî÷êè À, Â è Ñ íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëü-

íèêà, îòðåçêè ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ íàçûâàþòñÿ ñòîðîíàìè

òðåóãîëüíèêà, à ∠ À, ∠ Â è ∠ Ñ — óãëàìè òðåóãîëü-

íèêà.

Íà ðèñóíêå 82 èçîáðàæåíà ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ

çàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç ÷åòûðåõ çâåíüåâ, —

òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîì.


институт



83

Òðåóãîëüíèê è ÷åòûðåõóãîëüíèê — ýòî âèäû ìíî-

ãîóãîëüíèêîâ. Íà ðèñóíêå 83 èçîáðàæåíî åùå íå-

ñêîëüêî ìíîãîóãîëüíèêîâ: ïÿòèóãîëüíèê, øåñòèóãîëü-

íèê è ñåìèóãîëüíèê.

Ðàññìàòðèâàÿ ýòè ìíîãîóãîëüíèêè, äåëàåì âûâîä:

÷èñëî óãëîâ ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíî ÷èñëó åãî âåð-

øèí è ðàâíî ÷èñëó åãî ñòîðîí.

Òðåóãîëüíèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 81, íàçû-

âàþò òàê: òðåóãîëüíèê ÀÂÑ, èëè ÀCB, èëè BAC, èëè

CBA è ò. ä. ×åòûðåõóãîëüíèê, èçîáðàæåííûé íà ðè-

ñóíêå 82, ìîæíî íàçâàòü òàê: ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN,

èëè ÷åòûðåõóãîëüíèê MNKL, èëè NMLK è ò. ä.

Ñóììó äëèí âñåõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà íà-

çûâàþò åãî ïåðèìåòðîì. Ïåðèìåòð ìíîãî-

óãîëüíèêà îáîçíà÷àåòñÿ ëàòèíñêîé áóêâîé Ð.

Çàìåòèì, ÷òî ÷àñòî âìåñòî ñëîâ «äëèíà ñòîðîíû»

ãîâîðÿò ïðîñòî «ñòîðîíà».


Ðèñ. 83

2.8. Ìíîãîóãîëüíèê

K

N

L

M


институт



84

A

B C

D

E

N

E F

H

K

M

а) б)

Âîïðîñû

1. Íàçîâèòå ìíîãîóãîëüíèê, èçîáðàæåí-

íûé íà ðèñóíêå 84, åãî âåðøèíû, ñòî-

ðîíû, óãëû. Ñêîëüêî èõ? À ñêîëüêî èõ

ó ìíîãîóãîëüíèêà íà ðèñóíêå 82?

2. ×òî íàçûâàåòñÿ ïåðèìåòðîì ìíîãî-

óãîëüíèêà?


22222.....9494949494.....° Íàçîâèòå ìíîãîóãîëüíèêè, èçîáðàæåííûå íà ðè-

ñóíêå 85, èõ âåðøèíû, ñòîðîíû è óãëû (ðèñ. 85).

22222.....9595959595.....° Îïðåäåëèòå âèä ìíîãîóãîëüíèêà ïî åãî îáîçíà÷å-

íèþ, íàçîâèòå åãî âåðøèíû, ñòîðîíû è óãëû:

1) ABC; 2) ABCD; 3) ACBD; 4) ABCEP.

22222.....9696969696..... Èçìåðüòå äëèíû ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà è íàéäè-

òå åãî ïåðèìåòð (ðèñ. 86).

Ðèñ. 86

Ðèñ. 84

Ðèñ. 85


P

Q

R

S

T

P

S

T B

A FK

MN

E

DLV

C

H

JO

K


институт



85

AB

C D

O FR S

KM

E

P

а) б)

а)а) б)б) в)в)

PP

NNMMLL

KK

TTSS RR

AA

BB

CC

DD

NN

MM

PP

22222.....9797979797.....° Èçîáðàçèòå ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Ñîåäèíèòå

îòðåçêàìè òî÷êè A è C, B è D. Íàçîâèòå ïîëó÷èâøèå-

ñÿ íà ÷åðòåæå òðåóãîëüíèêè.

22222.....9898989898..... Èçîáðàçèòå ïÿòèóãîëüíèê EHFKM. Ñîåäèíèòå

âåðøèíó F ñ íåñîñåäíèìè âåðøèíàìè ïÿòèóãîëüíèêà.

Êàêèå ìíîãîóãîëüíèêè îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå?

22222.....9999999999.....* Îòìåòüòå òî÷êè A, B, C, D. Óñòàíîâèòå, ñêîëüêî

òðåóãîëüíèêîâ ìîæíî ïîñòðîèòü ñ âåðøèíàìè â òðåõ

èç óêàçàííûõ òî÷åê.

22222.....100100100100100..... Çàïèøèòå âñå òðåóãîëüíèêè, èçîáðàæåííûå íà ðè-

ñóíêå 87.

22222.....101101101101101..... Íàçîâèòå ðàâíûå ñòîðîíû è ðàâíûå óãëû êàæ-

äîãî ìíîãîóãîëüíèêà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 88.

Ðèñ. 87

Ðèñ. 88

2.8. ÌíîãîóãîëüíèêНациональный

институт



86

22222.....102102102102102..... Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê. Èçîáðàçèòå îòðåçîê,

äëèíà êîòîðîãî ðàâíà ïåðèìåòðó ýòîãî òðåóãîëüíèêà.

22222.....103103103103103..... Â ïÿòèóãîëüíèêå ABCDE ìåíüøàÿ ñòîðîíà AB

ðàâíà 3 ì, à êàæäàÿ ñëåäóþùàÿ íà 2 ì áîëüøå ïðå-

äûäóùåé. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïÿòèóãîëüíèêà.

2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë

ïî èõ ñóììå è ðàçíîñòè

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð..... Â äâóõ êîðçèíàõ 70 ÿáëîê. Â ïåðâîé êîðçèíå

íà 14 ÿáëîê áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé. Ñêîëüêî ÿáëîê

â êàæäîé êîðçèíå?

Ðåøåíèå. Ñäåëàåì ñõåìàòè÷åñêèé ðèñóíîê óñëîâèÿ

(ðèñ. 89).

Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè èç ïåðâîé êîð-

çèíû âûíóòü 14 ÿáëîê, òî â íåé ñòàíåò ñòîëüêî æå

ÿáëîê, ñêîëüêî âî âòîðîé. À â äâóõ êîðçèíàõ ñòàíåò

íà 14 ÿáëîê ìåíüøå, ò. å. 70 − 14 = 56 (ÿáëîê). Òàê

êàê â ïåðâîé è âî âòîðîé êîðçèíàõ ÿáëîê ñòàëî ïî-

ðîâíó, òî â êàæäîé èç íèõ 56 : 2 = 28 (ÿáëîê). Ýòî

ñòîëüêî, ñêîëüêî ïåðâîíà÷àëüíî áûëî âî âòîðîé êîðçè-

íå. À â ïåðâîé êîðçèíå áûëî íà 14 ÿáëîê áîëüøå, ò. å.

28 + 14 = 42 (ÿáëîêà).

Îòâåò: 42; 28.

70 ÿáëîê

14 ÿáëîêÂ ïåðâîé êîðçèíå

Âî âòîðîé êîðçèíå

Ðèñ. 89


институт



87

Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïî-äðóãîìó:

1) 70 + 14 = 84 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî áû â îáåèõ

êîðçèíàõ âìåñòå, åñëè áû âî âòîðîé êîðçèíå áûëî

ñòîëüêî æå ÿáëîê, ñêîëüêî â ïåðâîé;

2) 84 : 2 = 42 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî â ïåðâîé

êîðçèíå;

3) 42 − 14 = 28 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî âî âòîðîé

êîðçèíå.

Îòâåò: 42; 28.


22222.....104104104104104..... Â äâóõ êîðçèíàõ 80 áîðîâèêîâ. Â ïåðâîé êîð-

çèíå íà 10 áîðîâèêîâ ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé. Ñêîëüêî

áîðîâèêîâ â êàæäîé êîðçèíå?

22222.....105105105105105..... Íà îâîùíóþ áàçó ïðèâåçëè 150 êîíòåéíåðîâ

ñ îãóðöàìè è ïîìèäîðàìè. Êîíòåéíåðîâ ñ îãóðöàìè

áûëî íà 30 áîëüøå, ÷åì êîíòåéíåðîâ ñ ïîìèäîðàìè.

Ñêîëüêî êîíòåéíåðîâ ñ ïîìèäîðàìè è ñêîëüêî êîíòåé-

íåðîâ ñ îãóðöàìè ïðèâåçëè íà áàçó?

22222.....106106106106106..... Ìîäåëü òåëåáàøíè âûñîòîé 4 ì 70 ñì ñîñòîèò

èç äâóõ áëîêîâ. Êàêîâà âûñîòà âåðõíåãî è íèæíåãî

áëîêîâ, åñëè íèæíèé áëîê íà 130 ñì êîðî÷å âåðõ-

íåãî?

22222.....107107107107107..... Äîñêà áûëà ðàçðåçàíà íà äâå ÷àñòè. Îäíà ÷àñòü

íà 30 ñì êîðî÷å äðóãîé. Êàêîâà äëèíà êàæäîé ÷àñ-

òè, åñëè äëèíà äîñêè áûëà 2 ì 90 ñì?

22222.....108108108108108..... Â øâåéíîå àòåëüå ïîñòóïèëî 480 ì äæèíñîâîé

òêàíè è äðàïà. Äæèíñîâîé òêàíè ïîñòóïèëî íà 140 ì

2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ðàçíîñòèНациональный

институт



88

áîëüøå, ÷åì äðàïà. Ñêîëüêî ìåòðîâ äæèíñîâîé òêàíè

ïîñòóïèëî â àòåëüå?

22222.....109109109109109..... Ñ òðåõ ÿáëîíü ñîáðàëè 30 êã ÿáëîê. Ñ ïåðâîé

ÿáëîíè ñîáðàëè íà 4 êã ìåíüøå, ÷åì ñî âòîðîé, à ñ

òðåòüåé ÿáëîíè íà 4 êã áîëüøå, ÷åì ñî âòîðîé. Ñêîëü-

êî êèëîãðàììîâ ÿáëîê ñîáðàëè ñ êàæäîé ÿáëîíè?

22222.....111111010101010..... Çà òðè äíÿ âûñòàâêó ïîñåòèëè 1500 ó÷àùèõñÿ.

Âî âòîðîé äåíü âûñòàâêó ïîñåòèëè íà 120 ó÷àùèõ-

ñÿ ìåíüøå, ÷åì â ïåðâûé äåíü, â òðåòèé äåíü — íà

120 ó÷àùèõñÿ ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü. Ñêîëüêî

ó÷àùèõñÿ ïîñåòèëè âûñòàâêó â êàæäûé èç òðåõ äíåé?

22222.....111111111111111..... Â òðåõ ïàêåòàõ 1 êã 800 ã êîíôåò. Â ïåðâîì

ïàêåòå íà 250 ã ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîì, à â òðåòüåì

íà 250 ã ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì. Êàêîâà ìàññà êàæ-

äîãî ïàêåòà?

22222.....111111212121212.....* Åñëè ñëîæèòü óìåíüøàåìîå, âû÷èòàåìîå è ðàç-

íîñòü, òî ïîëó÷èòñÿ 120. Íàéäèòå êàæäîå èç íèõ, åñëè

ðàçíîñòü ìåíüøå óìåíüøàåìîãî íà 24.

2.10. Óðàâíåíèå

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåð 1èìåð 1èìåð 1èìåð 1èìåð 1..... Ìàìà êóïèëà Ïåòå 8 òåòðàäåé, è òåïåðü ó

íåãî 21 òåòðàäü. Ñêîëüêî òåòðàäåé áûëî ó Ïåòè äî

ìàìèíîé ïîêóïêè?

Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì íåèçâåñòíîå ÷èñëî òåòðàäåé áóê-

âîé x, ò. å. äî ïðèõîäà ìàìû ó Ïåòè áûëî x òåòðàäåé,

à ïîñëå åå ïðèõîäà ñòàëî (x + 8) òåòðàäåé. Ïî óñëî-

âèþ çàäà÷è x + 8 = 21. Òàêîå ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ

óðàâíåíèåì ñ îäíèì íåèçâåñòíûì x.


институт



89

Ðàâåíñòâî, ñîäåðæàùåå îäíî íåèçâåñòíîå, íà-

çûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ îäíèì íåèçâåñòíûì.

Â ðàâåíñòâå x + 8 = 21 áóêâà x îáîçíà÷àåò íåèç-

âåñòíîå ñëàãàåìîå. Ìû çíàåì, ÷òî íåèçâåñòíîå ñëàãàå-

ìîå íàõîäÿò âû÷èòàíèåì:

x = 21 − 8,

x = 13.

Çíà÷èò, ó Ïåòè áûëî 13 òåòðàäåé.

(Åñëè â ðàâåíñòâå x + 8 = 21 âìåñòî áóêâû x ïîä-

ñòàâèòü ÷èñëî 13, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå ÷èñëîâîå ðà-

âåíñòâî 13 + 8 = 21.)

Îòâåò: 13 òåòðàäåé.

Çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî, ïðè êîòîðîì óðàâíå-

íèå îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî,

íàçûâàåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ.

Ðåøèòü óðàâíåíèå — ýòî çíà÷èò íàéòè âñå

åãî êîðíè.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Ðåøèòü óðàâíåíèå 11 − õ = 9.

Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå âû÷èòàåìîå, íàäî

èç óìåíüøàåìîãî âû÷åñòü ðàçíîñòü:

õ = 11 − 9,

õ = 2.

Îòâåò: 2.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 33333..... Ðåøèòü óðàâíåíèå (x − 10) + 3 = 15.

Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîå, íàäî èç

ñóììû âû÷åñòü èçâåñòíîå ñëàãàåìîå:

x − 10 = 15 − 3,

x − 10 = 12.

2.10. ÓðàâíåíèåНациональный

институт



90

×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå óìåíüøàåìîå, íàäî ê ðàç-

íîñòè ïðèáàâèòü âû÷èòàåìîå:

x = 12 + 10,

îòêóäà x = 22.

Îòâåò: 22.

Âîïðîñû

1. ×òî íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì?

2. ×òî íàçûâàåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ?

3. ×òî çíà÷èò: ðåøèòü óðàâíåíèå?

4. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå: à) ñëàãàåìîå; á) óìåíüøàåìîå;

â) âû÷èòàåìîå?


22222.....111111313131313.....° Ñðåäè ÷èñåë 0, 6, 9, 13, 35, 37, 38, 49, 72 íàéäèòå

êîðåíü óðàâíåíèÿ:

1) õ + 14 = 23; 2) 78 + õ = 78;

3) õ − 16 = 22; 4) y − 49 = 0;

5) 24 − y = 11; 6) 72 − y = 72.

22222.....111111414141414.....° Ðåøèòå óðàâíåíèå:

1) õ + 1042 = 1042; 2) 51 724 − õ = 0;

3) õ − 173 812 = 0; 4) 934 507 − õ = 934 507;

5) õ − 0 = 25 306; 6) 0 + õ = 79 442.

22222.....111111515151515..... Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå, êîðåíü êîòîðîãî ðàâåí:

1) 3; 2) 0; 3) 12;

4) 21; 5) 16; 6) 100.

22222.....111111616161616..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:

1) õ + 518 = 518 + 979;

2) 3452 + 729 = 3452 + õ;


институт



91

3) õ + (7048 + 961) = (504 + 7048) + 961;

4) 14 007 + (õ + 53) = (14 007 + 299) + 53.


27 093 + 52 907 = 80 000,

ðåøèòå óðàâíåíèå:

1) õ + 52 907 = 80 000;

2) 27 093 + õ = 80 000;

3) õ − 27 093 = 52 907;

4) 80 000 − õ = 27 093.


135 418 − 99 322 = 36 096,

ðåøèòå óðàâíåíèå:

1) 135 418 − õ = 36 096;

2) 135 418 − õ = 99 322;

3) õ + 36 096 = 135 418;

4) 99 322 + õ = 135 418.

22222.....111111919191919..... Íàéäèòå êîðåíü óðàâíåíèÿ:

1) õ + 8930 = 14 301; 2) 672 105 − y = 999;

3) k − 302 = 86 041; 4) m + 3821 = 6 080 281.


1) (õ − 49) + 71 = 145; 2) 94 + (õ − 76) = 211;

3) (õ + 179) − 178 = 1; 4) 134 − (õ + 100) = 0;

5) 276 − (227 − õ) = 51; 6) 358 − (843 − õ) = 5;

7) 437 − (õ − 83) = 20; 8) (õ + 463) − 440 = 27.

22222.....121121121121121..... Ñîñòàâüòå çàäà÷ó ïî óðàâíåíèþ èç óïðàæíåíèÿ

2.120 è ðåøèòå åå.

22222.....122122122122122..... Äèìà çàäóìàë ÷èñëî, ïðèáàâèë ê íåìó 48, çàòåì

âû÷åë 94 è ïîëó÷èë 21. Êàêîå ÷èñëî îí çàäóìàë?

2.10. ÓðàâíåíèåНациональный

институт



92

22222.....123123123123123..... Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïî óñëîâèþ çàäà÷è è ðå-

øèòå åãî.

1) Èðå õ ëåò, à Òàíÿ íà 5 ëåò ñòàðøå è åé 12 ëåò.

Ñêîëüêî ëåò Èðå?

2) Ó Âåðû áûëî 42 íàêëåéêè, îíà âûèãðàëà õ íà-

êëååê, 15 íàêëååê îíà îòäàëà ñåñòðå, è ó íåå

îñòàëîñü ðîâíî 50 íàêëååê. Ñêîëüêî íàêëååê

âûèãðàëà Âåðà?

22222.....124124124124124..... Ðåøèòå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ çàäà÷ó.

1) Â ìîòêå áûëî íåñêîëüêî ìåòðîâ øïàãàòà. Ïîñëå

òîãî êàê îò ìîòêà øïàãàòà îòðåçàëè 6 ì, â íåì

îñòàëñÿ 41 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ øïàãàòà áûëî â

ìîòêå?

2) Ðåéñîâûé àâòîáóñ áûë â ïóòè 2 ÷ 5 ìèí. Íà

åçäó îí çàòðàòèë 1 ÷ 27 ìèí. Ñêîëüêî âðåìåíè

çàíÿëè îñòàíîâêè?

22222.....125125125125125..... Ïîñëå òîãî êàê èç êîðçèíû ñ ãðèáàìè âçÿëè

10 ãðèáîâ, à çàòåì â íåå ïîëîæèëè 14 ãðèáîâ, â êîð-

çèíå ñòàëî 85 ãðèáîâ. Ñêîëüêî ãðèáîâ áûëî â êîðçèíå

ïåðâîíà÷àëüíî?

22222.....126126126126126.....* Àâòîìîáèëü åäåò ñî ñêîðîñòüþ 60км

.ч

Íà ñêîëü-

êî äîëæíà óâåëè÷èòüñÿ ñêîðîñòü, ÷òîáû àâòîìîáèëü

ñòàë ïðîåçæàòü 1 êì íà ïîëìèíóòû áûñòðåå?



1) (4024 − 3949) ⋅ (67 + 29) : 120;

2) 308 . 21 : 12 + 6021 − 2326;

3) (5049 + 1999) . 102 − 3248 : 16;

4) ((460 . 73 − 246) + 47 918) : 148.


институт



93


1) 258 + (134 + 144) + (742 + 856);

2) (183 + 347) + (514 + 653) + 817;

3) (3829 + 1008) + (7071 + 1002);

4) (4052 + 379) + (9621 + 7948).

22222.....129129129129129..... Îêðóãëèòå ÷èñëî 19 972:

1) äî äåñÿòêîâ; 2) äî ñîòåí;

3) äî òûñÿ÷; 4) äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷.

22222.....130130130130130..... Îêðóãëèòå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû äî òû-

ñÿ÷ è çàïèøèòå ðåçóëüòàò, èñïîëüçóÿ äðóãóþ åäèíèöó

èçìåðåíèÿ:

1) 15 823 ã; 2) 28 518 êã;

3) 803 êã; 4) 4378 ö.

22222.....131131131131131..... Îêðóãëèòå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû äî ñîòåí

è çàïèøèòå ðåçóëüòàò, èñïîëüçóÿ äðóãóþ åäèíèöó èç-

ìåðåíèÿ:

1) 445 êã; 2) 983 ñì;

3) 993 ì; 4) 960 êã.

22222.....132132132132132..... ×èñëî 1��5 îêðóãëèëè äî äåñÿòêîâ, äî ñîòåí

è äî òûñÿ÷ è ïîëó÷èëè îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò —

11 000. Íàéäèòå ýòî ÷èñëî.

22222.....133133133133133..... Ïðè îêðóãëåíèè ÷èñëà 1��6 äî äåñÿòêîâ, äî

ñîòåí, äî òûñÿ÷ è äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷ áûëî ïîëó÷åíî

îäíî è òî æå ÷èñëî — 20 000. Êàêîå ÷èñëî îêðóãëÿëè?

22222.....134134134134134..... 1) Ñóììà òðåõ ÷èñåë 749 013. Ïåðâîå ÷èñëî

185 640 íà 859 áîëüøå âòîðîãî. Íàéäèòå òðåòüå

÷èñëî.

2) Ïåðâîå ÷èñëî 7570, è îíî íà 38 ìåíüøå âòîðîãî

è íà 430 ìåíüøå òðåòüåãî. Íàéäèòå ñóììó òðåõ ÷èñåë.


институт



22222.....135135135135135..... Áàáóøêà ñâàðèëà íà çèìó âàðåíüå. Êëóáíè÷íîãî

âàðåíüÿ îêàçàëîñü 9 áàíîê, ñëèâîâîãî — â 2 ðàçà áîëü-

øå. Âàðåíüÿ èç ÿáëîê â 3 ðàçà áîëüøå, ÷åì âàðåíüÿ

èç ñëèâ. Ñêîëüêî âñåãî áàíîê âàðåíüÿ èç êëóáíèêè,

ñëèâ è ÿáëîê çàãîòîâëåíî íà çèìó?

22222.....136136136136136..... Ó Ïåòè áûëî 5 îðåõîâ, ó Ñàøè — íà 12 îðåõîâ

áîëüøå, à ó Îëè â 2 ðàçà ìåíüøå îðåõîâ, ÷åì ó Ïåòè

è Ñàøè âìåñòå. Ñêîëüêî îðåõîâ áûëî ó äåòåé?

22222.....137137137137137..... Òóðèñò â ïåðâûé äåíü ïðîåõàë íà âåëîñèïåäå

68 êì, ÷òî íà 12 êì áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü.

Â òðåòèé äåíü îí ïðîåõàë íà 15 êì ìåíüøå, ÷åì âî

âòîðîé äåíü. Êàêîå ðàññòîÿíèå òóðèñò ïðîåõàë çà òðè

äíÿ?

2.138.2.138.2.138.2.138.2.138.* Íà êëóìáå âîçëå øêîëû ðîñëè ðàçíûå öâåòû.

Ãåîðãèí è õðèçàíòåì áûëî 12 êóñòîâ, õðèçàíòåì è

ïèîíîâ — 9 êóñòîâ, ïèîíîâ è ãåîðãèí áûëî 11 êóñ-

òîâ. Ñêîëüêî öâåòîâ êàæäîãî âèäà ðîñëî íà êëóìáå?

22222.....139139139139139.....* Ó Ïåòè è Ñàøè — 17 íàêëååê, ó Ñàøè è Ñëà-

âû — 18 íàêëååê, à ó Ïåòè è Ñëàâû — 25 íàêëååê.

Ñêîëüêî íàêëååê ó êàæäîãî ìàëü÷èêà?

22222.....140140140140140.....* Âû÷èñëèòå:

1) 20 + 40 + 60 + ... + 460 + 480 + 500;

2) 30 + 60 + 90 + ... + 540 + 570 + 600.

22222.....141141141141141.....* Óñòàíîâèòå çàêîíîìåðíîñòü è íàïèøèòå åùå

5 ÷èñåë, ñëåäóþùèõ çà óêàçàííûìè:

1) 2, 4, 8, 16, 32, ... ; 2) 2, 6, 10, 14, 18, ... ;

3) 1, 1, 2, 3, 5, ... ; 4) 1, 2, 2, 4, 8, ... .


94


институт



22222.....142142142142142.....* Äàíû ÷èñëà 5, 6, 7, 8, 9. Îíè èçìåíÿþòñÿ â

íåñêîëüêî ýòàïîâ. Íà êàæäîì ýòàïå ìîæíî ê ëþáûì

äâóì èç èìåþùèõñÿ ÷èñåë ïðèáàâëÿòü ïî 1. Ìîãóò

ëè íà êàêîì-òî ýòàïå âñå ïîëó÷èâøèåñÿ ïÿòü ÷èñåë

îêàçàòüñÿ ðàâíûìè?

22222.....143143143143143.....* Âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ìåíüøèå 11, çàïèñàíû

îäíî çà äðóãèì. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëîñü ìíîãîçíà÷-

íîå ÷èñëî. Îïðåäåëèòå â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà êîëè-

÷åñòâî:

1) âñåõ öèôð; 2) äåâÿòîê;

3) åäèíèö; 4) øåñòåðîê.

22222.....144144144144144.....* Âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, ìåíüøèå 60, çàïèñàíû

îäíî çà äðóãèì. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëîñü ìíîãîçíà÷-

íîå ÷èñëî. Îïðåäåëèòå â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà êîëè-

÷åñòâî:

1) âñåõ öèôð; 2) íóëåé;

3) åäèíèö; 4) øåñòåðîê.


институт



ÓÌÍÎÆÅÍÈÅ È ÄÅËÅÍÈÅ


3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Ìû çíàåì, ÷òî óìíîæèòü, íàïðèìåð, ÷èñëà 23 è 9 —

îçíà÷àåò íàéòè ñóììó 9 ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòî-

ðûõ ðàâíî 23, ò. å.

23 . 9 = 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 = 207.

Òàêèì îáðàçîì,

23 . 9 = 207.

×èñëî 207 íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ÷èñåë 23

è 9. Òàê æå íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå 23 . 9, à ñàìè

÷èñëà 23 è 9 íàçûâàþòñÿ ìíîæèòåëÿìè.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåð.èìåð.èìåð.èìåð.èìåð. Â îäíîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ñêîëüêî áàíàíîâ

â ïÿòè ñâÿçêàõ? ßñíî, 7 . 5. À â òðåõ? Êîíå÷íî, 7 . 3.

Ìîæíî è äëÿ îäíîé ñâÿçêè çàïèñàòü ÷èñëî áàíàíîâ

â òàêîì æå âèäå, êàê äëÿ ïÿòè è òðåõ ñâÿçîê, — ïî-

ëó÷èòñÿ 7 . 1. Íî â îäíîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ïîýòîìó

ïðèíÿòî, ÷òî 7 . 1 = 7.

À ñêîëüêî áóäåò áàíàíîâ, åñëè ÷èñëî ñâÿçîê ðàâíî

íóëþ (ò. å. íåò íè îäíîé ñâÿçêè)? ßñíî, 0 áàíàíîâ.

Åñëè æå çàïèñàòü îòâåò íà ýòîò âîïðîñ â òàêîì æå

âèäå, êàê äëÿ ïÿòè è òðåõ ñâÿçîê, òî ïîëó÷èì 7 . 0 áà-

íàíîâ. Ïîýòîìó ïðèíÿòî, ÷òî 7 . 0 = 0.

3ГЛАВА

96


институт



Âîîáùå, ïðè ëþáîì ÷èñëå à ïðèíÿòî:

a . 1 ===== a a . 0 ===== 0

Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü òðåõ ïðèìåðîâ

è îáúÿñíèòå, êàê ÷èñëà óìíîæàþòñÿ ñòîëáèêîì.

Âîïðîñû

1. Êàê â ðàâåíñòâå 7 . 4 = 28 íàçûâàþòñÿ: à) ÷èñëà 7 è 4;

á) ÷èñëî 28?

2. Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå 7 . 4?

3. Ïî êàêîìó ïðàâèëó ÷èñëî à óìíîæàþò: à) íà 1; á) íà 0?


33333.....11111.....° Çàïèøèòå ñóììó â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ è âû÷èñëèòå:

1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1;

2) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0;

3) 12 + 12 + 12 + 12 + 12;

4) 101 + 101 + 101 + 101 + 101.

33333.....22222.....° Çàïèøèòå â âèäå ñóììû ïðîèçâåäåíèå:

1) 21 . 4; 2) 31 . 5;

3) 992 . 3; 4) 215 . 6.

33333.....33333.....° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå:

1) 212 . 1; 2) 105 . 0;

3) 400 . 70; 4) 90 . 50.

×

++

478

130

000

1434

478

62140

á) ×

++

478

103

1434

000

478

49234

â) 478

13

1434

478

6214

×

+

à)

3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

97


институт



98

33333.....44444..... Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå áîëüøå ÷èñëà:

1) 201 â 2 ðàçà; 2) 76 â 10 ðàç;

3) 14 â 20 ðàç; 4) 1 â 999 ðàç.

33333.....55555..... Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:

1) 258 . 7; 2) 4907 . 3;

3) 81 709 . 6; 4) 416 103 . 5.


1) 1320 . 19; 2) 6704 . 14;

3) 609 372 . 65; 4) 26 840 . 78.


1) 36 . 4739; 2) 803 . 503;

3) 591 . 1351; 4) 201 . 59 372.

33333.....88888..... Ñîñòàâüòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç ïÿòè íàòóðàëü-

íûõ ÷èñåë, â êîòîðîé ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî:

1) 5, à êàæäîå ñëåäóþùåå ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì

ïðåäûäóùåãî íà 4;

2) 111, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 2 ðàçà áîëüøå ïðåäû-

äóùåãî.

33333.....99999..... Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 400 â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ:

1) îäíîçíà÷íîãî è äâóçíà÷íîãî ÷èñåë;

2) äâóõ äâóçíà÷íûõ íå ðàâíûõ ÷èñåë.

33333.....1010101010..... Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë:

1) íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íîãî è íàèìåíüøåãî ÷åòû-

ðåõçíà÷íîãî;

2) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íîãî è íàèìåíüøåãî

âîñüìèçíà÷íîãî.

33333.....1111111111..... Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë â 32 ðàçà áîëüøå ïåð-

âîãî ìíîæèòåëÿ. ×åìó ðàâåí âòîðîé ìíîæèòåëü?

Ã ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



99

33333.....1212121212..... Âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èòñÿ ÷èñëî, åñëè ê íåìó

ñïðàâà ïðèïèñàòü:

1) îäèí íóëü; 2) äâà íóëÿ;

3) ïÿòü íóëåé; 4) äåâÿòü íóëåé?

33333.....1313131313..... Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà:

1) 18 è ñóììû ÷èñåë 38 è 6;

2) 21 è ðàçíîñòè ÷èñåë 28 è 11.

33333.....1414141414..... Ñåìüÿ ñêâîðöîâ çà 1 äåíü óíè÷òîæàåò äî 800 ëè-

÷èíîê âðåäèòåëåé. Êàêîå êîëè÷åñòâî ëè÷èíîê óíè÷òî-

æàåò åæåäíåâíî êîëîíèÿ èç 25 ñåìåé ñêâîðöîâ?

33333.....1515151515..... Çà êàêîå âðåìÿ Ëåíÿ ðåøèë 6 ïðèìåðîâ, åñëè

íà êàæäûé ïðèìåð åìó òðåáîâàëîñü 1 ìèí 15 ñ?

33333.....1616161616.....° Îòðåçîê ÀÂ ðàçáèò íà 26 îòðåçêîâ ïî 12 ñì â

êàæäîì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà ÀÂ.

33333.....1717171717..... 1) Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ îäíîé äåòàëè íóæíî 28 ìèí.

Êàêîå âðåìÿ ïîòðåáóåòñÿ äëÿ èçãîòîâëåíèÿ 22 òàêèõ

äåòàëåé?

2) Íà îêðàñêó 4 áëþäåö òðåáóåòñÿ 3 ìèí. Êàêîå

âðåìÿ ïîòðåáóåòñÿ íà îêðàñêó 32 òàêèõ æå áëþäåö?

33333.....1818181818..... Â äâóõ ÿùèêàõ ëåæàò àïåëüñèíû. Â ïåðâîì ÿùè-

êå â 2 ðàçà áîëüøå àïåëüñèíîâ, ÷åì âî âòîðîì. Ñêîëü-

êî àïåëüñèíîâ â îáîèõ ÿùèêàõ, åñëè âî âòîðîì 8 êã?

33333.....1919191919..... Â ïåðâîé êîðîáêå ôëîìàñòåðîâ â 3 ðàçà ìåíüøå,

÷åì âî âòîðîé, è â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â òðåòüåé.

Ñêîëüêî ôëîìàñòåðîâ â òðåõ êîðîáêàõ, åñëè â òðåòüåé

èõ 12 øòóê?

33333.....2020202020.....* Èñïîëüçóÿ òðè ðàçëè÷íûå öèôðû, íå ðàâíûå íó-

ëþ, ñîñòàâüòå èç íèõ âñå âîçìîæíûå òðåõçíà÷íûå ÷èñ-

ëà è íàéäèòå èõ ñóììó. Ïðè äåëåíèè ýòîé ñóììû íà

ñóììó òðåõ âûáðàííûõ öèôð ïîëó÷èòñÿ 222. Ïî÷åìó?

3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



100

3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ

Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû êðóæêè. Îíè ðàñïîëî-

æåíû â 4 ñòðîêàõ è 7 ñòîëáöàõ. Ñêîëüêî êðóæêîâ

èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 90?

Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê. Â êàæäîé ñòðîêå 7 êðóæ-

êîâ, à òàêèõ ñòðîê 4. Çíà÷èò, âñåãî êðóæêîâ 7 . 4.

À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Â êàæäîì

ñòîëáöå 4 êðóæêà, à òàêèõ ñòîëáöîâ 7. Çíà÷èò,

âñåãî êðóæêîâ 4 . 7.

Íî ÷èñëî êðóæêîâ íà ðèñóíêå íå çàâèñèò îò òîãî,

êàêèì ñïîñîáîì ìû åãî ïîäñ÷èòûâàåì. Ïîýòîìó

4 . 7 = 7 . 4.

Åñëè âìåñòî ÷èñåë 4 è 7 ìû âîçüìåì ëþáûå ÷èñëà

à è b, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:

a . b = b . a


çûâàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ.


îò ïåðåñòàíîâêè ìíîæèòåëåé ïðîèçâåäåíèå

íå ìåíÿåòñÿ.

Ðèñ. 90


институт



101

Âîïðîñû

1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ?

2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çà-

êîí óìíîæåíèÿ?


33333.....2121212121.....° Âåðíî ëè, ÷òî:

1) 67 . 32 = 32 . 67;

2) 54 . 49 = 49 . 45;

3) 29 + 29 + 29 + 29 = 4 . 29;

4) 5 . 13 = 13 + 13 + 13 + 13;

5) 89 . 51 > 50 . 89;

6) 103 . 120 < 115 . 103?

33333.....2222222222.....° Âìåñòî ñèìâîëà ☺ âñòàâüòå ÷èñëî òàê, ÷òîáû ïî-

ëó÷èëîñü âåðíîå ðàâåíñòâî:

1) ☺ . 27 190 = 27 190 . 36 363;

2) 2 000 201 . ☺ = 1 . 2 000 201.

33333.....2323232323.....° Ïðåäñòàâüòå ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë â âèäå ñóììû

ñëàãàåìûõ äâóìÿ ñïîñîáàìè:

1) 4 . 6; 2) 2 . 5; 3) 7 . 3; 4) 9 . 1.

33333.....2424242424.....° Ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë 25 è 248 ðàâíî 6200. ×åìó

ðàâíî ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë 248 è 25?

33333.....2525252525..... Èñïîëüçóÿ äàííîå ðàâåíñòâî, íàéäèòå çíà÷åíèÿ

äâóõ âûðàæåíèé:

1) 36 . 49 = 1764; 49 . 36 = ?; (40 + 9) . 36 = ?;

2) 52 . 35 = 1820; 35 . 52 = ?; 35 . (55 − 3) = ?;

3) 105 . 8 = 840; 8 . 105 = ?; (10 − 2) . 105 = ?;

4) 95 . 45 = 4275; 45 . 95 = ?; 45 . (100 − 5) = ?.

3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿНациональный

институт



102

33333.....2626262626..... Â ñàäó ïîñàäèëè êóñòû ñìîðîäèíû (ðèñ. 91).

Ñêîëüêî êóñòîâ ñìîðîäèíû ïîñàäèëè? Ðåøèòå çàäà÷ó

äâóìÿ ñïîñîáàìè.

33333.....2727272727.....* Â îäíîì èç äâóõ ïÿòûõ êëàññîâ íà 22 ó÷åíèêà

ìåíüøå, ÷åì â îáîèõ ïÿòûõ êëàññàõ, à â äðóãîì —

íà 25 ó÷åíèêîâ ìåíüøå, ÷åì â îáîèõ êëàññàõ. Ñêîëü-

êî ó÷åíèêîâ â êàæäîì èç ïÿòûõ êëàññîâ?

3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí

óìíîæåíèÿ

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð..... Ìàãàçèí ïðîäàë 72 ÿùèêà áàíàíîâ. Â êàæäîì

ÿùèêå 16 ñâÿçîê, à â êàæäîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ñêîëü-

êî áàíàíîâ ïðîäàë ìàãàçèí?

Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê. Óçíàåì ñíà÷àëà, ñêîëüêî

áàíàíîâ â îäíîì ÿùèêå: 7 . 16. Òàê êàê ÿùèêîâ 72,

òî âñåãî ìàãàçèí ïðîäàë (7 . 16) . 72 áàíàíîâ.

À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Óçíàåì ñíà-

÷àëà, ñêîëüêî ñâÿçîê â 72 ÿùèêàõ: 16 . 72. Òàê

êàê â êàæäîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ, òî áûëî ïðîäàíî

7 . (16 . 72) áàíàíîâ.

×èñëî ïðîäàííûõ áàíàíîâ íå çàâèñèò, êîíå÷íî, îò

ñïîñîáà, êàêèì îíî ïîäñ÷èòûâàåòñÿ. Ïîýòîìó

(7 . 16) . 72 = 7 . (16 . 72).

Ðèñ. 91


институт



103


÷èñëà à, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:

(a . b) . c = a . (b . c)


çûâàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ. Åãî

ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:

÷òîáû ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü

íà òðåòüå ÷èñëî, ìîæíî ïåðâîå ÷èñëî óìíî-

æèòü íà ïðîèçâåäåíèå âòîðîãî è òðåòüåãî.

Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëè-

ðîâàòü è ïî-äðóãîìó:

îò èçìåíåíèÿ ðàññòàíîâêè ñêîáîê ïðîèçâåäå-

íèå íå ìåíÿåòñÿ.

Áëàãîäàðÿ ñî÷åòàòåëüíîìó çàêîíó ïðîèçâåäåíèå íå

çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê. Ïîýòîìó ñêîáêè

ìîæíî âîîáùå íå ïèñàòü:

(a . b) . c = a . (b . c) = a . b . c

Ïîêàæåì, êàê ñî÷åòàòåëüíûé è ïåðåìåñòèòåëüíûé

çàêîíû ïðèìåíÿþòñÿ ïðè óìíîæåíèè íåñêîëüêèõ ÷è-

ñåë. Ýòî ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íà-

ïðèìåð, âû÷èñëèì ïðîèçâåäåíèå:

125 . 873 . 8 = (125 . 8) . 873 = 1000 . 873 = 873 000.

Èç çàêîíîâ óìíîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî

ìíîæèòåëè â ïðîèçâåäåíèè ìîæíî ìåíÿòü

ìåñòàìè è çàêëþ÷àòü â ñêîáêè ïðîèçâîëü-

íûì îáðàçîì.

3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿНациональный

институт



104

Âîïðîñû

1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ?

(Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.)

2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí

óìíîæåíèÿ?

3. ×òî ñëåäóåò èç ïåðåìåñòèòåëüíîãî è ñî÷åòàòåëüíîãî çà-

êîíîâ óìíîæåíèÿ?


33333.....2828282828.....° Âû÷èñëèòå:

1) 25 . 52 . 4; 2) 17 . 5 . 20;

3) 2 . 21 . 50; 4) 125 . 9 . 8;

5) 2 . 439 . 5; 6) 4 . 110 . 5.

33333.....2929292929.....° Âûïîëíèòå óìíîæåíèå:

1) 2 . 10 . 639 . 5; 2) 21 . 100 . 50 . 2;

3) 8 . 29 . 125; 4) 25 . 63 . 8 . 125 . 4.


1) 4 . 21 . 25 . 3;

2) 2 . 14 . 2 . 5 . 5;

3) 2 . 3 ⋅ 2 . 2 . 5 . 11 . 5 . 5;

4) 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . 3 . 5 . 5 . 5.

33333.....3131313131..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:

1) 2 . 37 . 25; 2) 128 . 5;

3) 50 . 73; 4) 39 . 125 . 4.

33333.....3232323232.....° Íàçîâèòå ÷èñëî, êîòîðîå íóæíî ïîñòàâèòü âìåñòî

ñèìâîëà ☺, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü âåðíîå ðàâåíñòâî:

1) 50 . 84 . ☺ = 84 . 39 . 50;

2) 125 . ☺ . 9 = 9 . 125 . 962;

3) 125 . 39 . ☺ = 39 000;

4) 4 . ☺ . 25 = 7800.


институт



105


3 . 37 = 111,

âû÷èñëèòå:

1) (37 . 5) . 3; 2) 2 . (37 . 5) . 3;

3) 25 . (37 . 4) . 3; 4) (37 . 125) . 24;

5) 75 . (37 . 4) . 6; 6) 37 . (28 . 3) . 25.

33333.....3434343434..... Èçâåñòíî, ÷òî à . b = 90. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:

1) a . (4 . b); 2) 3 . (a . 2) . b;

3) 2 . a . (b . 5) . 7; 4) a . (a . b) . 2 . b.

33333.....3535353535..... Èçâåñòíî, ÷òî à . b = 110. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:

1) a . 2 . 3 . b; 2) a . 3 . b . 3;

3) a . 2 . b . 5 . 4; 4) 2 . a . 2 . 5 . b . 5.


7 . 11 . 13 = 1001,

âû÷èñëèòå:

1) (3 . 7) . 11 . 13; 2) (22 . 7) . 65;

3) 25 . (91 . 28) . 11; 4) 28 . (125 . 13) . 88.

3.37.3.37.3.37.3.37.3.37. Äëÿ ïåðåâîçêè ÿèö èñïîëü-

çóþò êàðòîííûå ÿùèêè, â êîòî-

ðûå óêëàäûâàþò ëîòêè â øåñòü

ñëîåâ ïî 2 ëîòêà â êàæäîì ñëîå

(ðèñ. 92). Ñêîëüêî ÿèö ïîìåùà-

åòñÿ â ÿùèêå, åñëè â ëîòêå 30 ÿèö? Ðåøèòå çàäà÷ó

äâóìÿ ñïîñîáàìè.

33333.....3838383838..... ×åòûðå ÷åðíåíüêèõ ÷óìàçåíüêèõ ÷åðòåíêà ÷åð-

òèëè ÷åðíûìè ÷åðíèëàìè ÷åðòåæ. Ñêîëüêî ôëàêîíîâ

÷åðíèë èçðàñõîäîâàëè ÷åðòÿòà, åñëè êàæäûé íà÷åð-

òèë ïî 4 ÷åðòåæà, à íà âûïîëíåíèå îäíîãî ÷åðòåæà

óõîäèëî ïî 5 ôëàêîíîâ ÷åðíèë? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ

ñïîñîáàìè.

Ðèñ. 92

3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿНациональный

институт



106

3.39.3.39.3.39.3.39.3.39. Äëÿ áëàãîóñòðîéñòâà èãðîâîé

ïëîùàäêè ïðèâåçëè 4 ïîääîíà, â

êîòîðûõ òðîòóàðíàÿ ïëèòêà óëî-

æåíà â äåñÿòü ñëîåâ ïî 5 ïëèòîê

â øèðèíó è ïî 8 ïëèòîê â äëèíó

(ðèñ. 93). Ñêîëüêî âñåãî ïðèâåçëè

ïëèòîê? Ðåøèòå çàäà÷ó íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè.

33333.....4040404040..... Êàê èçìåíèòñÿ ïðîèçâåäåíèå, åñëè îäèí ìíîæè-

òåëü óâåëè÷èòü:

1) â 6 ðàç, à äðóãîé — óìåíüøèòü â 2 ðàçà;

2) â 3 ðàçà, à äðóãîé — óìåíüøèòü â 3 ðàçà?

33333.....4141414141..... Êàê ìîæíî èçìåíèòü ìíîæèòåëè, ÷òîáû ïðîèçâå-

äåíèå óâåëè÷èëîñü:

1) â 10 ðàç; 2) â 7 ðàç?

33333.....4242424242.....* Ãóñåíèöà ïîëçëà ââåðõ ïî äåðåâó. Çà äåíü îíà

óñïåâàëà ïðîïîëçòè 3 ì, à çà íî÷ü îïóñêàëàñü íà 2 ì.

Íà êàêîé äåíü îíà äîñòèãëà âûñîòû 7 ì?

3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà

ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì

Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à, íàçûâà-

åòñÿ êâàäðàòîì ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ à2 (÷èòàåòñÿ

«à â êâàäðàòå»), ò. å.

a2 = a . a

Íàïðèìåð, 52 = 5 . 5 = 25.

Ïðîèçâåäåíèå òðåõ ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à, íàçû-

âàåòñÿ êóáîì ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ à3 (÷èòàåòñÿ

«à â êóáå»), ò. å.

a3 = a . a . a

Íàïðèìåð, 53 = 5 . 5 . 5 = 125.

Ðèñ. 93


институт



107

Âîîáùå, ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à,

îáîçíà÷àåòñÿ àn (÷èòàåòñÿ «à â ñòåïåíè n» èëè «à â

n-é ñòåïåíè»), ò. å.

an = a . a . ... . a

n ðàç

×èñëî à íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ñòåïåíè, ÷èñëî n —

ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, an — ñòåïåíüþ.

Íàïðèìåð,

35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243.

(×èòàåòñÿ: «òðè â ïÿòîé ñòåïåíè ðàâíî äâóìñòàì

ñîðîêà òðåì».)

Çäåñü 3 — îñíîâàíèå ñòåïåíè, 5 — ïîêàçàòåëü ñòå-

ïåíè, 243 — ïÿòàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 3.

Çàìåòèì, ÷òî êâàäðàò ÷èñëà à — ýòî âòîðàÿ ñòåïåíü

÷èñëà à; êóá ÷èñëà à — ýòî òðåòüÿ ñòåïåíü ÷èñëà à.

Ïèôàãîðåéöû çàìåòèëè, ÷òî 100 = 13 + 23 + 33 + 43.

Âîïðîñû

1. ×òî òàêîå êâàäðàò ÷èñëà à? êóá ÷èñëà à?

2.* ×òî òàêîå âòîðàÿ, òðåòüÿ, ïÿòàÿ ñòåïåíü ÷èñëà à?

3. Êàê ÷èòàåòñÿ è ÷òî îçíà÷àåò âûðàæåíèå an?


33333.....4343434343.....° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå. Íàçîâèòå ïîêàçàòåëü ñòå-

ïåíè, îñíîâàíèå ñòåïåíè:

1) 42; 2) 73;

3) 57; 4) 132;

5) 105; 6) 9908;

7) 10 00021; 8) 500013.

3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåìНациональный

институт



108

33333.....4444444444..... Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå:

1) 62 + 92; 2) (6 + 9)2;

3) 43 + 73; 4) (4 + 7)3;

5) (12 − 2)5; 6) 122 − 24;

7) (15 − 6)8; 8) 159 − 63.

33333.....4545454545.....° Ïðåäñòàâüòå ïðîèçâåäåíèå â âèäå ñòåïåíè. Íàçî-

âèòå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, îñíîâàíèå ñòåïåíè:

1) 17 . 17; 2) 29 . 29 . 29;

3) 603 . 603 . 603 . 603; 4) 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4;

5) p . p . p . p . p; 6) t . t . t . t . t . t . t.

33333.....4646464646.....° Ïðåäñòàâüòå ñòåïåíü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â âèäå

ïðîèçâåäåíèÿ:

1) 1302; 2) 763; 3) 2504; 4) 5265;

5) 16113; 6) 75032; 7) 17; 8) 96344.

33333.....4747474747.....° Âû÷èñëèòå:

1) 153; 2) 2842;

3) 202 + 23; 4) 25 + 104.

33333.....4848484848.....° Âû÷èñëèòå:

1) 32 . 53; 2) 23 . 44;

3) 52 . 34; 4) 53 . 62;

5) 62 . 72; 6) 73 . 22.

33333.....4949494949.....° Âû÷èñëèòå: à) êâàäðàòû ïåðâûõ äåñÿòè íàòó-

ðàëüíûõ ÷èñåë; á) êóáû ïåðâûõ äåñÿòè íàòóðàëüíûõ

÷èñåë.

33333.....5050505050.....° Âû÷èñëèòå ïåðâûå äåñÿòü ñòåïåíåé ÷èñëà:

1) 2; 2) 3.

33333.....5151515151..... Ïðîäîëæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë:

1) 1, 4, 9, 16, ... , ... , ... ;

2) 1, 8, 27, 64, ... , ... , ... .


институт



109

33333.....5252525252..... Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî â âèäå êâàäðàòà èëè êóáà

íàòóðàëüíîãî ÷èñëà:

1) 125; 2) 121;

3) 729; 4) 216;

5) 343; 6) 1000.

33333.....5353535353..... Âû÷èñëèòå:

1) 1002; 2) 1003;

3) 10002; 4) 10003;

5) 10 0002; 6) 10 0003.


1) 52 . 22 + 210; 2) 42 . 52 − 26;

3) 62 . 52 − 34; 4) 34 . 72 + 43.

33333.....5555555555..... Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:

1) 32 + 42 = 52;

2) 62 + 82 = 102;

3) 32 + 42 + (3 . 4)2 = 132;

4) 42 + 62 + 122 = 142?


1) 13 + 23 = 32;

2) 13 + 63 + 83 = 93;

3) 33 + 43 + 53 = 63;

4) 113 + 123 + 133 + 143 = 203?

33333.....5757575757..... Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ âñåõ îäíîçíà÷íûõ:

1) ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2;

2) ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2;

3) ÷èñåë.

33333.....5858585858..... Íàéäèòå ñóììó êóáîâ âñåõ îäíîçíà÷íûõ:

1) ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2;

2) ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2;

3) ÷èñåë.

3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåìНациональный

институт



110

33333.....5959595959..... Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ïðåäñòàâëåíî â âèäå

ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ:

1) 7 . 103 + 3; 2) 7 . 102 + 3 . 10;

3) 7 . 103 + 3 . 10; 4) 7 . 103 + 3 . 102.

33333.....6060606060..... Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëà-

ãàåìûõ, èñïîëüçóÿ ñòåïåíè ÷èñëà 10:

1) 904 001 523; 2) 1 634 785;

3) 28 912 765; 4) 5 007 001 232.

33333.....6161616161..... Â êà÷åñòâå øèôðîâ òðåõçíà÷íûõ êîäîâûõ çàìêîâ

÷åìîäàíà Îëåã íàáðàë ñëåâà íàèìåíüøåå, à ñïðàâà —

íàèáîëüøåå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ êâàäðà-

òàìè íåêîòîðûõ ÷èñåë (ðèñ. 94). Íàéäèòå øèôðû çàì-

êîâ, êîòîðûå óñòàíîâèë Îëåã.

33333.....6262626262.....* Êàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâ-

íåíèÿ:

1) a2 = a; 2) a3 = a;

3) x2 = x3; 4) 2 . x2 = x3;

5) y2 = 11 . y; 6) 25 . y = y3?

33333.....6363636363.....* 1) Ïðåäñòàâüòå 24 â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ íà-

òóðàëüíûõ ÷èñåë, íà êàæäîå èç êîòîðûõ äåëèòñÿ 24.

2) Ïðåäñòàâüòå 72 â âèäå ñóììû êóáîâ íàòóðàëü-

íûõ ÷èñåë, íà êàæäîå èç êîòîðûõ äåëèòñÿ 72.

33333.....6464646464.....* Ïÿòü êîøåê ïîéìàþò ïÿòü ìûøåê çà ïÿòü ìè-

íóò. Ñêîëüêî ìûøåê ïîéìàþò 10 êîøåê çà 10 ìèí?

Ðèñ. 94


институт



111

3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò

×åòûðåõóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå óãëû ïðÿìûå, íà-

çûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì.

Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâ-

íû: AB = CD è BC = AD (ðèñ. 95).

Äâå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, êîòîðûå èìåþò îá-

ùóþ âåðøèíó, íàçûâàþòñÿ äëèíîé è øèðèíîé (ðèñ. 96).

Äëèíà è øèðèíà ïðÿìîóãîëüíèêà íàçûâàþòñÿ åãî èç-

ìåðåíèÿìè.

Åñëè ñòîðîíû íåêîòîðîãî ïðÿìîóãîëüíèêà à è b

(ñì. ðèñ. 96), òî åãî ïåðèìåòð P íàõîäèì òàê:

P = 2 . (a + b)

Ïðÿìîóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå ñòîðîíû ðàâíû, íà-

çûâàåòñÿ êâàäðàòîì.

A

B C

D

Ðèñ. 95

äëèíà

øèðèíà

äëèíà

øèðèíà

à) á)

Ðèñ. 96

3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. ÊâàäðàòНациональный

институт



112

Åñëè Ð — ïåðèìåòð êâàäðàòà ñî ñòî-

ðîíîé à (ðèñ. 97), òî:

P = a + a + a + a = a . 4 = 4 . a,

ò. å.

P = 4 . a

Óñòàíîâèòü, ðàâíû ëè äâà ïðÿìîóãîëüíèêà (êâàäðà-

òà), ìîæíî ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ: åñëè ïðè íàëîæå-

íèè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü, òî îíè íàçûâàþòñÿ ðàâíû-

ìè. Âîîáùå,

äâå ôèãóðû íàçûâàþò ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæ-

íî ñîâìåñòèòü ïðè íàëîæåíèè.

Âîïðîñû

1. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ïðÿìîóãîëüíèêîì; á) êâàäðàòîì?

2. Íàçîâèòå ñâîéñòâî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ïðÿìî-

óãîëüíèêà.

3. Êàê íàçûâàþò ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà?

4. ×åìó ðàâåí ïåðèìåòð Ð: à) ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíà-

ìè à è b; á) êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé à?

5. Êàê óñòàíîâèòü, ðàâíû ëè äâà ïðÿìîóãîëüíèêà (êâàäðàòà)?


33333.....6565656565.....° Íàçîâèòå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëü-

íèêà (ðèñ. 98).

Ðèñ. 98

a

a

Ðèñ. 97


институт



113

33333.....6666666666.....° Íàçîâèòå ðàâíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà (ñì.

ðèñ. 98).

33333.....6767676767.....° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè:

1) 6 ñì è 4 ñì; 2) 20 ìì è 45 ìì.

33333.....6868686868.....° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè êâàäðàò ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé:

1) 3 ñì; 2) 55 ìì.

33333.....6969696969..... Â ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD äëèíû ñòîðîí ÀÂ è BC

ðàâíû ïî 9 ñì. Íàéäèòå åãî ïåðèìåòð.

33333.....7070707070..... Ïðîâåäèòå íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ è íàéäèòå

ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 99).

33333.....7171717171.....° Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè:

1) 12 ìì è 19 ìì;

2) 7 ñì 3 ìì è 11 ñì 9 ìì.

33333.....7272727272..... Íàéäèòå ïåðèìåòð êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé:

1) 82 ìì;

2) 4 ì 8 äì 2 ñì 5 ìì.

33333.....7373737373..... Èç ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD âû-

ðåçàëè êâàäðàò AMNK (ðèñ. 100).

Âåðíî ëè, ÷òî ïåðèìåòð ïðÿìî-

óãîëüíèêà ABCD ðàâåí ïåðèìåòðó

ìíîãîóãîëüíèêà BCDKNM?

Ðèñ. 99

Ðèñ. 100

3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò

A

B C

D

M N

K


институт



114

3.74.3.74.3.74.3.74.3.74. Îò ëèñòà êàðòîíà êâàäðàòíîé ôîðìû

îòðåçàëè ïðÿìîóãîëüíèê (ðèñ. 101). Âåðíî

ëè, ÷òî ïåðèìåòð îñòàâøåéñÿ ôèãóðû ðà-

âåí ïåðèìåòðó èñõîäíîãî êâàäðàòà?

33333.....7575757575..... Ïðÿìîóãîëüíèê, øèðèíà êîòîðîãî

ðàâíà 5 ñì, à äëèíà — 7 ñì, ðàçáèëè íà

äâå ôèãóðû — ïðÿìîóãîëüíèê è êâàäðàò. Íàéäèòå

ïåðèìåòðû ïîëó÷èâøèõñÿ ôèãóð.

33333.....7676767676..... Êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 6 ñì ðàçäåëèëè íà äâà ðàâ-

íûõ ïðÿìîóãîëüíèêà. Íàéäèòå ïåðèìåòð êàæäîãî èç

íèõ.

33333.....7777777777..... Ïðÿìîóãîëüíèê, èçìåðåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû 4 äì

è 6 äì, ðàçäåëèëè íà äâà ðàâíûõ ïðÿìîóãîëüíèêà.

Íàéäèòå ïåðèìåòðû ïîëó÷èâøèõñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîâ.

Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à?

33333.....7878787878..... Íà÷åðòèòå ïðÿìîóãîëüíèê, ïåðèìåòð êîòîðîãî

ðàâåí 12 ñì. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à, åñëè èç-

ìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà âûðàæåíû íàòóðàëüíûì

÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ?

33333.....7979797979..... Íà÷åðòèòå êâàäðàò, ïåðèìåòð êîòîðîãî ðàâåí ïå-

ðèìåòðó ïðÿìîóãîëüíèêà ñ èçìåðåíèÿìè 6 ñì è 8 ñì.

33333.....8080808080..... Îäíà èç ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 39 ñì,

à äðóãàÿ â 3 ðàçà ìåíüøå. Íàéäèòå åãî ïåðèìåòð.

33333.....8181818181..... Íàéäèòå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè åãî äëèíà

â 4 ðàçà áîëüøå øèðèíû, à ïåðèìåòð ðàâåí 90 ñì.

33333.....8282828282.....* Â ÷åòûðåõ ìåøî÷êàõ ñîäåðæèòñÿ êðóïà. Â ïåð-

âîì ìåøî÷êå åå íå ìåíüøå, ÷åì â êàæäîì èç îñòàëü-

íûõ, à âî âòîðîì — íå áîëüøå, ÷åì â êàæäîì èç

îñòàëüíûõ. Âåðíî ëè, ÷òî â ïåðâîì è âî âòîðîì ìå-

øî÷êàõ êðóïû áîëüøå, ÷åì â äðóãèõ?

Ðèñ. 101


институт



115

3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà.

Åäèíèöû ïëîùàäè

×òîáû èçìåðÿòü ïëîùàäè, íàäî âûáðàòü åäèíèöó

èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé. Êâàäðàò, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà

åäèíèöå èçìåðåíèÿ äëèíû, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì.

Ïëîùàäü åäèíè÷íîãî êâàäðàòà ïðèíèìàåòñÿ çà åäè-

íèöó èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé. Íàïðèìåð:

� ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 ì ðàâíà îäíî-

ìó êâàäðàòíîìó ìåòðó (ïèøåì: 1 êâ. ì, èëè 1 ì2);

� ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 ñì ðàâíà îäíî-

ìó êâàäðàòíîìó ñàíòèìåòðó (ïèøåì: 1 êâ. ñì,

èëè 1 ñì2).

Íàçâàíèå åäèíèöû ïëîùàäè ïîëó÷àåòñÿ èç íàçâà-

íèÿ åäèíèöû äëèíû ïðèñîåäèíåíèåì ïðèëàãàòåëü-

íîãî «êâàäðàòíûé».

Åñëè ôèãóðó ìîæíî ðàçáèòü íà åäèíè÷íûå êâàä-

ðàòû, òî ïëîùàäü ôèãóðû ðàâíà ÷èñëó ñîñòàâëÿþùèõ

åå åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ.

Ïðîùå âñåãî èçìåðèòü ïëîùàäü ïðÿìî-

óãîëüíèêà. Íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðÿìîóãîëü-

íèêà íà ðèñóíêå 102 ðàâíà 12 åäèíè÷íûõ

êâàäðàòîâ, ò. å.

S = 3 . 4 = 12 (ñì2).

Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäå-

íèþ åãî èçìåðåíèé, ò. å. ïðîèçâåäåíèþ äëè-

íû è øèðèíû.

Òàêèì îáðàçîì, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà

à è b åäèíèö äëèíû, à åãî ïëîùàäü S, òî:

S = a . b

Ðèñ. 102

3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäèНациональный

институт



116

Êîãäà ïðÿìîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì ñî ñòî-

ðîíîé à, òî a = b è

S = a2

(Èìåííî ïîýòîìó à2 ÷èòàåòñÿ: «à êâàäðàò» èëè

«à â êâàäðàòå».)

Ðàâåíñòâî S = a2 äàåò âîçìîæíîñòü âûðàçèòü îäíè

åäèíèöû ïëîùàäè ÷åðåç äðóãèå. Íàïðèìåð:

1 ì2 = 1 ì . 1 ì = 100 ñì . 100 ñì = 1002 ñì2 = 10 000 ñì2;

1 êì2 = 1 êì . 1 êì = 1000 ì . 1000 ì = 10002 ì2 == 1 000 000 ì2.

Åùå äâå åäèíèöû ïëîùàäè — ãåêòàð è àð —

óïîòðåáëÿþòñÿ äëÿ èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé çåìåëüíûõ

ó÷àñòêîâ.

1 ãåêòàð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 ãà) — ýòî ïëîùàäü êâàä-

ðàòà ñî ñòîðîíîé 100 ì. Òàêèì îáðàçîì,

1 ãà = 100 ì . 100 ì = 1002 ì2 = 10 000 ì2.

1 àð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 à) — ýòî ïëîùàäü êâàäðàòà

ñî ñòîðîíîé 10 ì. Òàêèì îáðàçîì,

1 à = 10 ì . 10 ì = 102 ì2 = 100 ì2.

Â îáèõîäå îäèí àð íàçûâàåòñÿ òàêæå «ñîòêîé»;

ãîâîðÿò: «äà÷íûé ó÷àñòîê 6 ñîòîê».

Çàìåòèì åùå, ÷òî 1 ãà = 100 a (ïðîâåðüòå).

Âîïðîñû

1. Êàêîé êâàäðàò íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì?

2. ×òî ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ ïëîùàäè?

3. ×òî òàêîå: à) 1 ì2; á) 1 ñì2?

4. ×åìó ðàâíà ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà?

5. ×åìó ðàâíà ïëîùàäü êâàäðàòà?

6. ×òî òàêîå: à) 1 ãåêòàð; á) 1 àð?


институт



117


33333.....8383838383.....° Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû (â êâàäðàòíûõ ñàíòè-

ìåòðàõ), èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 103.

33333.....8484848484.....° Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé

1 ñì ìîæíî ðàçáèòü ïðÿìîóãîëüíèê ñ èçìåðåíèÿìè:

1) 1 ñì è 3 ñì; 2) 5 ñì è 8 ñì;

3) 1 äì è 3 ñì; 4) 2 äì è 3 ì?

33333.....8585858585..... Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà â êâàäðàòíûõ

ñàíòèìåòðàõ (ðèñ. 104).

33333.....8686868686.....° Íà ñêîëüêî ðàâíûõ êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé 1 ñì

ìîæíî ðàçáèòü êâàäðàò ñî ñòîðîíîé:

1) 6 ñì; 2) 3 ñì?

1см2 а) б)

Ðèñ. 103

Ðèñ. 104


институт



118

33333.....8787878787..... Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ ìîæíî ðàçáèòü

ïðÿìîóãîëüíèê ñ èçìåðåíèÿìè 3 ì è 4 ì, åñëè ñòî-

ðîíà åäèíè÷íîãî êâàäðàòà ðàâíà:

1) 1 ì; 2) 1 äì; 3) 1 ñì; 4) 1 ìì?

33333.....8888888888.....° Íàéäèòå ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé:

1) 14 ñì; 2) 17 äì;

3) 30 ìì; 4) 11 ì.

33333.....8989898989.....° Íà÷åðòèòå êâàäðàò, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà:

1) 25 ñì2; 2) 9 ñì2;

3) 4 ñì2; 4) 16 ñì2.

33333.....9090909090.....° Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ñ èçìåðåíèÿìè:

1) 1 ñì è 8 ñì; 2) 8 ìì è 21 ìì;

3) 7 äì è 6 ì; 4) 12 ìì è 9 äì.

33333.....9191919191..... Íà÷åðòèòå ïðÿìîóãîëüíèê, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà:

1) 12 ñì2; 2) 8 ñì2;

3) 14 ñì2; 4) 5 ñì2.

33333.....9292929292..... Ñóùåñòâóåò ëè êâàäðàò, ñòîðîíà êîòîðîãî âûðà-

æåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ, à ïëîùàäü

ðàâíà:

1) 4 ñì2; 2) 10 ñì2;

3) 1 äì2; 4) 12 äì2?

Åñëè òàêîé êâàäðàò ñóùåñòâóåò, òî íàéäèòå åãî ñòî-

ðîíó.


1) 1 êì2 72 ì2 + 3 êì2 39 ì2;

2) 3 à 68 ì2 + 7 à 56 ì2;

3) 42 ãà 425 ì2 + 4 ãà 978 à;

4) 71 ãà 76 à + 5 ãà 217 ì2.


институт



119

33333.....9494949494..... Íàéäèòå ïëîùàäü çàêðàøåííîé ÷àñòè êâàäðàòà íà

ðèñóíêå 105, ïîëàãàÿ, ÷òî âñå ðàçìåðû óêàçàíû â ìåò-

ðàõ è ñòîðîíà êâàäðàòà ðàçäåëåíà íà ðàâíûå ÷àñòè.

33333.....9595959595..... 1) Èç ïðÿìîóãîëüíèêà, èç-

ìåðåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû 8 ñì è

10 ñì, áûëè âûðåçàíû êâàäðàòû

ñî ñòîðîíîé 2 ñì (ðèñ. 106). Íàé-

äèòå ïëîùàäü îñòàâøåãîñÿ çàêðà-

øåííîãî ìíîãîóãîëüíèêà.

2) Êàêîå êîëè÷åñòâî êåðàìè÷åñêîé ïëèòêè ðàçìå-

ðîì 20 ñì × 20 ñì íåîáõîäèìî äëÿ ïîêðûòèÿ ïàíåëè

íàä ðàáî÷èì ñòîëîì, åñëè ðàçìåð ïàíåëè 80 ñì × 800 ñì

(ðèñ. 107)?

33333.....9696969696..... Ðàçìåðû êàæäîé ôèãóðû óêàçàíû â ìåòðàõ

(ðèñ. 108, 109). Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ôèãóðû, èçîáðà-

æåííîé íà ðèñóíêå:

1) 108, à; 2) 108, á;

3) 109, à; 4) 109, á.

4

3

а) б) в)

4

Ðèñ. 105

2080

20

800

Ðèñ. 106

Ðèñ. 107


институт



120

33333.....9797979797..... Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè îäíà èç

åãî ñòîðîí ðàâíà:

1) 36 ñì, à äðóãàÿ íà 4 ñì áîëüøå;

2) 18 ñì, à äðóãàÿ â 2 ðàçà ìåíüøå.

33333.....9898989898..... Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 60 ñì2, îäíà èç

ñòîðîí ðàâíà:

1) 12 ñì; 2) 4 ñì;

3) 1 äì; 4) 3 äì.

Âû÷èñëèòå äðóãóþ ñòîðîíó ïðÿìîóãîëüíèêà.

33333.....9999999999..... Âûðàçèòå â êâàäðàòíûõ ìåòðàõ:

1) 7 ãà; 2) 40 à;

3) 90 ãà 6 à; 4) 3 910 êì2.

33333.....100100100100100..... Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, çíàÿ

åãî øèðèíó à è ïëîùàäü S:

1) S = 2 ãà, à = 500 ì;

2) S = 4 à, à = 10 ì;

3) S = 5 ì2, à = 400 ñì2;

4) S = 8 êì2, à = 20 ì.

Ðèñ. 108

Ðèñ. 109

а) б)

2

2

66

6

12

10

46 2

2 4

Ã ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

а) б)

22

2

23 45

7

11


институт



121

33333.....101101101101101.....* Ôåäÿ, Æîðà, Ñàøà è Âëàä ðîäèëèñü 17 îêòÿáðÿ,

27 ìàÿ, 17 èþíÿ, 21 îêòÿáðÿ. Æîðà è Ñàøà ðîäèëèñü

â îäíîì ìåñÿöå, à ó Ñàøè è Ôåäè äåíü ðîæäåíèÿ âû-

ðàæåí îäíèì ÷èñëîì. Óêàæèòå äåíü ðîæäåíèÿ êàæ-

äîãî ìàëü÷èêà.

3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí

Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð. Ìàãàçèí ïîëó÷èë 3 êîíòåéíåðà ñ òåëåâèçîðà-

ìè. Â êàæäîì êîíòåéíåðå 19 æèäêîêðèñòàëëè÷åñêèõ

òåëåâèçîðîâ è 16 ïëàçìåííûõ. Ñêîëüêî âñåãî òåëåâè-

çîðîâ ïîëó÷èë ìàãàçèí?

Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê. Ñíà÷àëà óçíàåì, ñêîëüêî òå-

ëåâèçîðîâ â îäíîì êîíòåéíåðå: 19 + 16. Çàòåì óçíàåì,

ñêîëüêî òåëåâèçîðîâ â òðåõ êîíòåéíåðàõ: (19 + 16) . 3.

À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Óçíàåì,

ñêîëüêî æèäêîêðèñòàëëè÷åñêèõ òåëåâèçîðîâ ïî-

ëó÷èë ìàãàçèí: 19 . 3 è ñêîëüêî ïëàçìåííûõ: 16 . 3.

Òîãäà âñåãî ìàãàçèí ïîëó÷èë (19 . 3 + 16 . 3) òåëåâè-

çîðîâ.

Òàê êàê êîëè÷åñòâî òåëåâèçîðîâ íå çàâèñèò îò ñïî-

ñîáà, êàêèì îíî ïîäñ÷èòûâàåòñÿ, òî

(19 + 16) . 3 = 19 . 3 + 16 . 3.


÷èñëà à, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:

(a + b) . c = a . c + b . c


çûâàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ

îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü

òàê:

3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîíНациональный

институт



122

ïðîèçâåäåíèå ñóììû ÷èñåë è ÷èñëà ðàâíî ñóì-

ìå ïðîèçâåäåíèé êàæäîãî ñëàãàåìîãî è ýòîãî

÷èñëà.

Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü

ïî-äðóãîìó:

÷òîáû ñóììó äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü íà ÷èñëî,

ìîæíî êàæäîå ñëàãàåìîå óìíîæèòü íà ýòî

÷èñëî è ïîëó÷åííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñëîæèòü.

Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí âåðåí íå òîëüêî äëÿ äâóõ,

íî è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð,

(5 + 7 + 9 + 11) . 13 = 5 . 13 + 7 . 13 + 9 . 13 + 11 . 13.

Êîãäà à áîëüøå èëè ðàâíî b, òî

(a − b) . c = a . c − b . c


çûâàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ

îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ.


÷òîáû ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü íà ÷èñ-

ëî, ìîæíî óìåíüøàåìîå è âû÷èòàåìîå óìíî-

æèòü íà ýòî ÷èñëî è èç ïåðâîãî ïðîèçâåäå-

íèÿ âû÷åñòü âòîðîå.

Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ïîçâîëÿåò

ìåíÿòü ìåñòàìè ìíîæèòåëè. Ïîýòîìó áåçðàçëè÷íî, ãäå

ñòîèò ìíîæèòåëü ñ — ïåðåä ñêîáêîé èëè ïîñëå íåå.

Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíåíèå ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çà-

êîíà ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðè-

ìåð, âû÷èñëèì ñóììó:

743 . 37 + 112 . 37 + 145 . 37 = 37 . (743 + 112 + 145) == 37 . 1000 = 37 000.


институт



123

Âîïðîñû

1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæå-

íèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ? (Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.)

2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çà-

êîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ?

3. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæå-

íèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ? (Äàéòå äâå ôîðìóëèðîâêè.)

4. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çà-

êîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ?



1) (69 − 9) . 5; 2) 2 . (125 + 75);

3) 32 . 19 + 68 . 19; 4) 83 . 47 − 73 . 47.

33333.....103103103103103.....° Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:

1) (10 + 1) . 32; 2) (1 + 100) . 64;

3) 25 . (1000 + 4); 4) 20 . (8 + 10 000);

5) 40 . (500 − 1); 6) (1000 − 1) . 101.

33333.....104104104104104.....° Âû÷èñëèòå ïðîèçâåäåíèå:

1) 11 . 64; 2) 92 . 9;

3) 101 . 35; 4) 1001 . 56;

5) 72 . 99; 6) 24 . 999.

33333.....105105105105105..... Âû÷èñëèòå:

1) 125 . 5 + 3 . 125;

2) 53 . 11 + 53 . 89;

3) 74 . 97 − 64 . 97;

4) 23 . 99 − 99 . 13;

5) 137 . 85 + 137 . 15 − 137 . 90;

6) 213 . 27 + 213 . 96 − 213 . 113.

3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîíНациональный

институт



124

33333.....106106106106106..... Íà ïîë èãðîâîé êîìíàòû äåòñêîãî ñàäà ïîëî-

æèëè êâàäðàòíóþ ïëèòêó äâóõ öâåòîâ — çåëåíîãî è

ñåðîãî (ðèñ. 110).

Ïîêðûòèå çåëåíîãî ó÷àñòêà ñîñòàâëåíî èç 6 ðÿäîâ

ïî 5 ïëèòîê â êàæäîì ðÿäó, ñåðîãî — èç 6 ðÿäîâ

ïî 7 ïëèòîê â êàæäîì. Ñêîëüêî ïëèòîê óøëî íà ïî-

êðûòèå ïîëà? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.

33333.....107107107107107..... Äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà 25 ñì, 17 ñì è 13 ñì.

Íàéäèòå ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî â

2 ðàçà áîëüøå.

33333.....108108108108108..... Â òðåõ ïÿòûõ êëàññàõ ó÷èòñÿ ïî 12 ìàëü÷èêîâ

è ïî 18 äåâî÷åê. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ â ýòèõ êëàññàõ?

33333.....109109109109109..... Ó÷àñòîê èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà øèðèíîé

6 ì è äëèíîé 12 ì. Îäíà åãî ÷àñòü ðàçìåðîì 6 ì × 7 ì

çàñàæåíà ãàçîííîé òðàâîé, äðóãàÿ — ðîçàìè (ðèñ. 111).

Íàéäèòå ïëîùàäü ó÷àñòêà, îòâåäåííîãî ïîä ðîçû.

33333.....111111010101010.....* Ñóììà äâóõ ÷èñåë 781. Îäíî èç íèõ îêàí÷è-

âàåòñÿ íóëåì. Åñëè â ýòîì ÷èñëå íóëü çà÷åðêíóòü,

òî ïîëó÷èòñÿ äðóãîå ÷èñëî. Íàéäèòå ýòè ÷èñëà.

Ðèñ. 110

Ðèñ. 111


институт



125

3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê.

Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè

Êîãäà ìû ÷èòàåì ðàâåíñòâî

(a + b) . c = a . c + b . c

ñëåâà íàïðàâî, ò. å. ïåðåõîäèì îò ïðîèçâåäåíèÿ

(a + b) . c ê ñóììå a . c + b . c, òî ãîâîðèì, ÷òî ðàñêðû-âàåì ñêîáêè.

Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî

(a + b) . c = a . c + b . c

ñïðàâà íàëåâî:

a . c + b . c = (a + b) . c

Êîãäà ìû ïåðåõîäèì îò ñóììû a . c + b . c ê ïðîèç-

âåäåíèþ (a + b) . c, òî ãîâîðèì, ÷òî âûíîñèì îáùèéìíîæèòåëü çà ñêîáêè.

Àíàëîãè÷íî äëÿ ðàâåíñòâ

(a − b) . c = a . c − b . c è a . c − b . c = (a − b) . c

Èíîãäà âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè

ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð,

112 . 6 − 22 . 6 = (112 − 22) . 6 = 90 . 6 = 540;

57 . 316 + 43 . 175 − 57 . 16 + 43 . 125 == (57 . 316 − 57 . 16) + (43 . 175 + 43 . 125) =

= 57 . (316 − 16) + 43 . (175 + 125) == 57 . 300 + 43 . 300 = 300 . (57 + 43) =

= 300 . 100 = 30 000.

Âîïðîñû

1. Êàê ìîæíî íàçâàòü ïåðåõîä îò ïðîèçâåäåíèÿ (a + b) ⋅ cê ñóììå a ⋅ c + b ⋅ c?

2. Êàê ìîæíî íàçâàòü ïåðåõîä îò ñóììû a ⋅ c + b ⋅ c ê ïðî-

èçâåäåíèþ (a + b) ⋅ c?

3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêèНациональный

институт



126


33333.....111111111111111..... Ñðàâíèòå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé:

1) 6 . 5 + 8 . 5 è 5 . (6 + 8);

2) 12 . 9 − 9 . 10 è 9 . (12 − 10);

3) 13 . 6 + 5 . 6 + 8 . 6 è 6 . (13 + 5);

4) 24 . 8 − 6 . 8 − 2 . 8 è 8 . (24 − 6 − 8).

33333.....111111212121212.....° Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:

1) 10 + 2 . (5 + 3) = 10 + 10 + 3;

2) 10 + 2 . (5 − 3) = 10 + 10 − 6;

3) 10 + (5 − 3) = 10 + 5 − 3;

4) 10 + (5 + 3) = 10 + 5 + 3?

33333.....111111313131313..... Ðàñêðîéòå ñêîáêè íå âû÷èñëÿÿ:

1) 2 . (5 + 7) − 11;

2) 3 . (7 − 5) + 13;

3) 17 . (52 − 19) + 19 . (17 − 4);

4) 15 . (43 + 19) + 43 . (17 − 15).


1) 92 . 375 − 92 . 625; 2) 51 . 134 + 49 . 134;

3) 81 . 120 − 31 . 120; 4) 147 ⋅ 38 − 38 . 47.

33333.....111111515151515..... Âû÷èñëèòå:

1) 362 . 25 + 228 . 25 + 410 . 25;

2) 723 . 40 − 121 . 40 − 102 . 40;

3) 958 . 50 − 235 . 50 − 323 . 50;

4) 897 . 75 − 326 . 75 + 429 . 75.


1) 9 . 7 + 9 . 3 + 100 . 13 − 100 . 4;

2) 60 . 5 + 15 . 5 + 13 . 10 + 12 . 10;


институт



127

3) 25 . 11 + 25 . 9 + 30 . 8 + 30 . 5 + 7 . 30;

4) 6 . 47 − 2 . 47 + 24 . 4 + 36 . 4 + 18 . 4.


1) 52 . 71 + 28 . 71 − 40 . 71 − 71;

2) 100 . 51 + 10 . 51 − 99 . 51 − 51;

3) 874 . 64 + 874 . 132 + 3 . 874 + 874;

4) 45 . 210 + 45 . 11 − 45 − 45 . 20.

33333.....111111818181818..... Êàê èçìåíèòñÿ ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ, åñëè êàæ-

äîå ñëàãàåìîå óâåëè÷èòü:

1) â 2 ðàçà; 2) íà 2;

3) íà 10; 4) â 10 ðàç?

33333.....111111919191919..... Ìåñòà äëÿ ïàðêîâêè àâòîìîáèëåé íà àâòîñòîÿíêå

ðàçìå÷åíû ðÿäàìè: 8 ðÿäîâ ïî 34 ìåñòà â êàæäîì

ðÿäó è 8 ðÿäîâ ïî 36 ìåñò â êàæäîì ðÿäó. Êàêîå

êîëè÷åñòâî àâòîìàøèí ìîæíî ðàçìåñòèòü íà àâòî-

ñòîÿíêå?

33333.....120120120120120..... Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè åãî

ñòîðîíû ðàâíû:

1) 28 ñì è 62 ñì;

2) 7 ñì 5 ìì è 25 ìì;

3) 3 ì 65 ñì è 2 ì 40 ñì;

4) 1 ì 90 ñì è 33 äì.

33333.....121121121121121..... Õâàòèò ëè 1 ì ïðîâîëîêè, ÷òîáû èçãîòîâèòü

êàðêàñíóþ ìîäåëü ïðÿìîóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî

ðàâíû 24 ñì è 29 ñì?

33333.....122122122122122..... Ïîä ïàñòáèùå îòâåëè ó÷àñòîê ëóãà ïðÿìîóãîëü-

íîé ôîðìû øèðèíîé 110 ì è äëèíîé 140 ì. Ñêîëüêî

ìåòðîâ ïðîâîäà ïîòðåáóåòñÿ äëÿ åãî îãðàæäåíèÿ?

3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêèНациональный

институт



128

33333.....123123123123123.....* Íåçíàéêà íåïðàâèëüíî ñïèñàë ñ äîñêè óñëîâèå

ïðèìåðà íà ñëîæåíèå íåñêîëüêèõ ÷èñåë. Â îäíîì èç

ñëàãàåìûõ âìåñòî öèôðû åäèíèö 5 îí íàïèñàë 8, â

äðóãîì — âìåñòî öèôðû äåñÿòêîâ 4 îí íàïèñàë 9 è

â îäíîì èç îñòàâøèõñÿ ñëàãàåìûõ öèôðó ñîòåí 3

ïðèíÿë çà 1. Â ñóììå ïîëó÷èëîñü 55 561. Íàéäèòå

âåðíóþ ñóììó.

3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð. Ñàìîñâàë ïåðåâîçèò çà îäèí ðåéñ 7 ò ïåñêà.

Ñêîëüêî ðåéñîâ íóæíî ñäåëàòü, ÷òîáû ïåðåâåçòè 112 ò

ïåñêà?

Ðåøåíèå. ×èñëî ðåéñîâ, êîòîðûå äîëæåí ñäåëàòü ñàìî-

ñâàë, îáîçíà÷èì áóêâîé p. Òîãäà óñëîâèå çàäà÷è ìîæ-

íî çàïèñàòü òàê: 7 . p = 112. Â ýòîì ðàâåíñòâå íàäî

íàéòè íåèçâåñòíûé ìíîæèòåëü p. Îí íàõîäèòñÿ ñ ïî-

ìîùüþ äåëåíèÿ: p = 112 : 7. ×èñëî p íàçûâàåòñÿ ÷à-

ñòíûì ÷èñåë 112 è 7.

À òåïåðü âìåñòî ÷èñåë 112 è 7 âîçüìåì ïðîèç-

âîëüíûå ÷èñëà à è b.

×àñòíûì ÷èñåë à è b íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî p,

ïðè óìíîæåíèè íà êîòîðîå ÷èñëà b ïîëó÷àåòñÿ à:

b . p = a.

×àñòíîå ÷èñåë à è b îáîçíà÷àåòñÿ a : b:

p = a : b.

×àñòíûì ÷èñåë à è b íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå a : b.

×èñëî à íàçûâàåòñÿ äåëèìûì, ÷èñëî b — äåëèòåëåì.

Óáåäèòüñÿ, ÷òî äåëåíèå âûïîëíåíî ïðàâèëüíî, ìîæ-

íî òàê: óìíîæèòü äåëèòåëü íà ÷àñòíîå; â ðåçóëüòà-

òå äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ äåëèìîå.


институт



129

Íàïðèìåð, 96 : 8 = 12, òàê êàê 8 . 12 = 96.

Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à

èìååì:

a : 1 = a , òàê êàê 1 . a = a;

a : a = 1 , òàê êàê a . 1 = a.

Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî

äåëèòñÿ íà 1 è ñàìî íà ñåáÿ.

Ïðè äåëåíèè íóëÿ íà ëþáîå íàòóðàëüíîå

÷èñëî ÷àñòíîå ðàâíî íóëþ:

0 : b = 0 , òàê êàê b . 0 = 0.

Äåëèòü íà íóëü íåëüçÿ!

Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çà-

ïèñü ÷åòûðåõ ïðèìåðîâ è îáúÿñíè-

òå, êàê âûïîëíèòü äåëåíèå ÷èñåë

óãîëêîì.

Ñîâðåìåííîå îáîçíà÷åíèå çíàêîâ äåëåíèÿ è óìíîæåíèÿ ââåë íå-ìåöêèé ìàòåìàòèê Ãîòôðèä Ëåéáíèö (1646—1716). Çíàê äåëåíèÿ «:»ïîÿâèëñÿ â 1684 ã., à çíàê óìíîæåíèÿ « . » — â 1698 ã.

à)

á) â) ã)

3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



130

Âîïðîñû

1. Êàê íàçûâàþòñÿ ÷èñëà 60, 5, 12 â ðàâåíñòâå 60 : 5 = 12?

2. ×òî íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ÷èñåë à è b?

3. Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå a : b?

4. ×åìó ðàâíî ÷àñòíîå a : 1?

5. Åñëè à — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ÷åìó ðàâíî ÷àñòíîå:

à) 0 : a; á) a : a?

6. Ìîæíî ëè äåëèòü íà íóëü?



1) 60 : 6; 2) 75 : 1;

3) 143 : 143; 4) 505 : 5.

33333.....125125125125125.....° Íàéäèòå:

1) ÷àñòíîå, åñëè äåëèìîå ðàâíî 60, à äåëèòåëü ðà-

âåí 20;

2) äåëèìîå, åñëè äåëèòåëü ðàâåí 25, à ÷àñòíîå 0;

3) äåëèòåëü, åñëè äåëèìîå ðàâíî 624, à ÷àñòíîå 1;

4) ÷àñòíîå, åñëè äåëèòåëü ðàâåí 10, à äåëèìîå 0.

33333.....126126126126126.....° Âûïîëíèòå äåëåíèå:

1) 48 : 12; 2) 60 : 15;

3) 80 : 20; 4) 100 : 25.

33333.....127127127127127.....° Âû÷èñëèòå:

1) 107 : 107; 2) 1000 : 1000;

3) 1000 : 1; 4) 0 : 100.

33333.....128128128128128.....° Íàéäèòå ÷àñòíîå:

1) 6 813 040 : 16; 2) 859 265 : 11;

3) 6 221 660 : 20; 4) 357 100 : 50.


институт



131

33333.....129129129129129..... Âûïîëíèòå äåëåíèå è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò ñ ïî-

ìîùüþ óìíîæåíèÿ:

1) 82 836 : 354; 2) 260 428 : 497;

3) 976 860 : 243; 4) 215 040 : 168.

33333.....130130130130130..... Âûïîëíèòå äåëåíèå è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò ñ ïî-

ìîùüþ äåëåíèÿ:

1) 92 500 : 37; 2) 1920 : 15;

3) 393 254 : 83; 4) 71 325 : 951.

33333.....131131131131131.....° Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:

1) 8200 : 100 = 82; 2) 56 000 : 1000 = 560;

3) 920 : 10 = 92; 4) 370 000 : 100 = 370?

33333.....132132132132132.....° Íàéäèòå ÷àñòíîå:

1) 30 500 : 100;

2) 142 000 : 100;

3) 234 000 : 1000;

4) 816 036 000 : 1000.

33333.....133133133133133.....° Âû÷èñëèòå:

1) 1800 : 900; 2) 270 : 30;

3) 10 000 : 250; 4) 3 330 000 : 300.

33333.....134134134134134.....° Óìåíüøèòå â 9 ðàç ÷èñëî:

1) 549; 2) 4689;

3) 9 900 909; 4) 900 900 900.

33333.....135135135135135..... Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ìåíüøå ÷èñëà:

1) 12 â 3 ðàçà; 2) 100 â 25 ðàç;

3) 150 â 10 ðàç; 4) 1000 â 8 ðàç.

33333.....136136136136136..... Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå è âî ñêîëüêî ðàç:

1) 25 èëè 75;

2) 57 èëè 19;

3) 2 ìëí èëè 2 òûñ.?


институт



132

33333.....137137137137137..... Êàêîå èç ÷èñåë ìåíüøå è âî ñêîëüêî ðàç:

1) 10 000 èëè 10 000 000;

2) 5757 èëè 57;

3) 55 ìëí èëè 11 òûñ.?

33333.....138138138138138..... ×èñëî 288 óìåíüøèëè â 2 ðàçà, à çàòåì â 9 ðàç.

Âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèëè ÷èñëî 288?


1) 300 : 150 = 2 : 1; 2) 550 : 55 = 50 : 5;

3) 135 : 15 = 45 : 5; 4) 70 : 10 = 14 : 2?

33333.....140140140140140..... Èçâåñòíî, ÷òî 916 ⋅ 205 = 187 780. Íå âûïîëíÿÿ

äåéñòâèé, îïðåäåëèòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî:

1) 187 780 : 205 = 916;

2) 187 780 : 916 = 205;

3) 205 . 916 = 187 780;

4) 916 . 187 780 = 205.

33333.....141141141141141..... Èçâåñòíî, ÷òî 34 020 : 108 = 315. Íå âûïîëíÿÿ

äåéñòâèé, îïðåäåëèòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî:

1) 108 . 315 = 34 020; 2) 34 020 : 315 = 108;

3) 315 . 34 020 = 108; 4) 315 . 108 = 34 020.

33333.....142142142142142..... Êàê èçìåíèòñÿ ÷àñòíîå, åñëè äåëèìîå óâåëè÷èòü:

1) â 6 ðàç, à äåëèòåëü óâåëè÷èòü â 3 ðàçà;

2) â 8 ðàç, à äåëèòåëü óâåëè÷èòü â 2 ðàçà?

33333.....143143143143143..... Êàê ìîæíî óìåíüøèòü äåëèìîå è äåëèòåëü,

÷òîáû ÷àñòíîå:

1) óâåëè÷èëîñü â 5 ðàç;

2) óìåíüøèëîñü â 4 ðàçà?

33333.....144144144144144..... Ñîñòàâüòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷è-

ñåë, â êîòîðîé ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî:


институт



133

1) 729, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 3 ðàçà ìåíüøå ïðå-

äûäóùåãî;

2) 1024, à êàæäîå ñëåäóþùåå ïîëó÷àþò èç ïðåäû-

äóùåãî äåëåíèåì íà 2.

33333.....145145145145145..... Íàéäèòå ÷àñòíîå:

1) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèáîëü-

øåãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà;

2) íàèìåíüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèìåíüøå-

ãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà.

33333.....146146146146146..... Íà äâîðå òðàâà, íà òðàâå äðîâà. Îïðåäåëèòå

÷èñëî îäèíàêîâûõ ïîëåíüåâ, êîòîðûå ïëîòíî óëîæåíû

â îäèí ðÿä íà òðàâÿíîì ãàçîíå ïëîùàäüþ 240 äì2,

åñëè îäíî ïîëåíî çàíèìàåò 2 äì2 (ðèñ. 112).

33333.....147147147147147..... Äåòè ðàññûïàëè 216 öâåòíûõ êàðàíäàøåé è

ðàçëîæèëè èõ â 18 êîðîáîê ïîðîâíó. Ñêîëüêî êàðàí-

äàøåé îêàçàëîñü â êàæäîé êîðîáêå?

33333.....148148148148148..... Çàêëàäûâàÿ íîâóþ ïëàíòàöèþ íîâîãîäíèõ åëîê,

ëåñîïîñàäî÷íàÿ ìàøèíà ôîðìèðóåò 32 îäèíàêîâûõ

ðÿäà. Ñêîëüêî åëîê áóäåò ïîñàæåíî â êàæäîì ðÿäó,

åñëè îáùåå êîëè÷åñòâî ñàæåíöåâ 1440 øòóê?

33333.....149149149149149..... Â êàæäîé êîðîáêå 60 óïàêîâîê ìåëêîâ, à â êàæ-

äîé óïàêîâêå 80 ìåëêîâ. Åæåäíåâíî íà óðîêàõ ìàòå-

ìàòèêè ðàñõîäóåòñÿ 16 ìåëêîâ. Íà ñêîëüêî äíåé äëÿ

óðîêîâ ìàòåìàòèêè õâàòèò îäíîé êîðîáêè?

Ðèñ. 112


институт



134

90 см 20 см

33333.....150150150150150..... Íà èçãîòîâëåíèå îäíîé ñêàòåðòè òðåáóåòñÿ êó-

ñîê ëüíÿíîãî ïîëîòíà îïðåäåëåííîé øèðèíû äëèíîé

90 ñì, à íà èçãîòîâëåíèå øåñòè ñàëôåòîê êâàäðàòíîé

ôîðìû óõîäèò êóñîê ýòîãî æå ïîëîòíà äëèíîé 20 ñì

(ðèñ. 113). Ñêîëüêî òàêèõ êîìïëåêòîâ ìîæíî èçãî-

òîâèòü èç ëüíÿíîãî ïîëîòíà äëèíîé 33 ì? Îïðåäåëèòå

øèðèíó ïîëîòíà.

33333.....151151151151151.....* Äåëèìîå â 7 ðàç áîëüøå äåëèòåëÿ, à äåëèòåëü

íà 2 áîëüøå ÷àñòíîãî. Íàéäèòå äåëèìîå, äåëèòåëü,

÷àñòíîå.

33333.....152152152152152.....* Èçâåñòíî, ÷òî 5 êðàñíûõ ñòåðæíåé äîðîæå

6 ÷åðíûõ ñòåðæíåé. ×òî äîðîæå: 9 êðàñíûõ ñòåðæ-

íåé èëè 10 ÷åðíûõ?


ïî èõ ñóììå è ÷àñòíîìó

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåð.èìåð.èìåð.èìåð.èìåð. Ïåòÿ è Âàñÿ ïîéìàëè âäâîåì 42 ðàêà. Ñêîëü-

êî ðàêîâ ïîéìàë êàæäûé èç íèõ, åñëè Ïåòÿ ïîéìàë

â 5 ðàç áîëüøå ðàêîâ, ÷åì Âàñÿ?


(ðèñ. 114).

Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè ðàêîâ, ïîéìàííûõ

Âàñåé, ïðèíÿòü çà 1 ÷àñòü, òî ðàêè, ïîéìàííûå Ïåòåé,

Ðèñ. 113


институт



135

ñîñòàâëÿþò 5 òàêèõ ÷àñòåé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ïîé-

ìàííûå ðåáÿòàìè ðàêè ñîñòàâëÿþò 1 + 5 = 6 (÷àñòåé).

Íà ýòè 6 ÷àñòåé ïðèõîäèòñÿ 42 ðàêà. Çíà÷èò, íà îäíó

÷àñòü ïðèõîäèòñÿ 42 : 6 = 7 (ðàêîâ). Ýòî ñòîëüêî ðàêîâ,

ñêîëüêî ïîéìàë Âàñÿ. À Ïåòÿ ïîéìàë â 5 ðàç áîëüøå,

ò. å. 7 . 5 = 35 (ðàêîâ).

Îòâåò: Ïåòÿ ïîéìàë 35 ðàêîâ, à Âàñÿ — 7 ðàêîâ.

Çàïèøèòå ðåøåíèå çàäà÷è ïî äåéñòâèÿì.

À âîò ðåøåíèå ýòîé æå çàäà÷è ñ ïîìîùüþ

óðàâíåíèÿ.

Ïóñòü õ ðàêîâ ïîéìàë Âàñÿ, òîãäà õ . 5 ðàêîâ ïîé-

ìàë Ïåòÿ. Ïîñêîëüêó âìåñòå îíè ïîéìàëè 42 ðàêà, òî

ñîñòàâèì óðàâíåíèå:

õ + õ . 5 = 42.

Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì õ = 7.

Âîïðîñû

1. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå äåëèìîå, çíàÿ äåëèòåëü è ÷àñòíîå?

2. Êàê íàéòè íåèçâåñòíûé äåëèòåëü, çíàÿ äåëèìîå è ÷àñòíîå?


33333.....153153153153153.....° Â äâóõ ðóëîíàõ 1080 ì òêàíè. Â îäíîì èç íèõ

â 3 ðàçà áîëüøå òêàíè, ÷åì â äðóãîì. Ñêîëüêî ìåò-

ðîâ òêàíè â êàæäîì ðóëîíå?

Ðèñ. 114

Ïåòèíû ðàêè

Âàñèíû ðàêè42 ðàêà

3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ÷àñòíîìóНациональный

институт



136

33333.....154154154154154.....° Â äâóõ ïàêåòàõ 1350 ã ïå÷åíüÿ. Â îäíîì èç

íèõ ïå÷åíüÿ â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â äðóãîì. Ñêîëüêî

ãðàììîâ â êàæäîì ïàêåòå?

33333.....155155155155155.....° Â ìàãàçèíå çà äåíü ïðîäàíî 1020 êã êàðòîôåëÿ.

Ïîñëå îáåäà ïðîäàíî êàðòîôåëÿ â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì

äî îáåäà. Ñêîëüêî êàðòîôåëÿ áûëî ïðîäàíî äî è ïî-

ñëå îáåäà?

33333.....156156156156156..... Äëÿ ñïîðòèâíîãî êëóáà êóïèëè 70 áîëüøèõ

è ìàëåíüêèõ ìÿ÷åé. Áîëüøèõ ìÿ÷åé êóïèëè â 4 ðàçà

ìåíüøå, ÷åì ìàëåíüêèõ. Ñêîëüêî êóïèëè áîëüøèõ

ìÿ÷åé è ñêîëüêî ìàëåíüêèõ?

33333.....157157157157157..... Íà òðåõ ïîëêàõ ðàññòàâèëè 36 ÷àøåê òàê, ÷òî

íà âåðõíåé ïîëêå ÷àøåê âäâîå áîëüøå, ÷åì íà íèæ-

íåé, à íà ñðåäíåé ïîëêå ÷àøåê â 3 ðàçà áîëüøå, ÷åì

íà âåðõíåé. Ñêîëüêî ÷àøåê íà êàæäîé ïîëêå?

33333.....158158158158158..... Íà òðåõ ïîëêàõ 44 êíèãè ðàñïîëîæèëè òàê, ÷òî

íà âåðõíåé ïîëêå êíèã âäâîå áîëüøå, ÷åì íà íèæíåé,

à íà ñðåäíåé ïîëêå êíèã â 4 ðàçà áîëüøå, ÷åì íà âåðõ-

íåé. Ñêîëüêî êíèã íà êàæäîé ïîëêå?

33333.....159159159159159..... Êîòîðûé òåïåðü ÷àñ, åñëè ïðîøåäøàÿ ÷àñòü ñó-

òîê â 3 ðàçà ìåíüøå îñòàâøåéñÿ?

33333.....160160160160160..... Êîòîðûé òåïåðü ÷àñ, åñëè îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ñó-

òîê â 2 ðàçà ìåíüøå ïðîøåäøåé?

33333.....161161161161161.....* Ýäèê, Ïàøà è Äèìà â ïðûæêàõ â âûñîòó ïî-

êàçàëè ðåçóëüòàòû 105 ñì, 100 ñì è 95 ñì. Ýäèê ïðûã-

íóë íå íèæå Ïàøè, à Äèìà ïðûãíóë íå âûøå Ïàøè.

Íà êàêóþ âûñîòó ïðûãíóë êàæäûé èç ìàëü÷èêîâ?


институт



137


ïî èõ ðàçíîñòè è ÷àñòíîìó

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåð.èìåð.èìåð.èìåð.èìåð. Â ïëàöêàðòíîì âàãîíå íà 36 ìåñò áîëüøå,

÷åì â êóïåéíîì. Ñêîëüêî ìåñò â ïëàöêàðòíîì âàãî-

íå, åñëè â íåì â 3 ðàçà áîëüøå ìåñò, ÷åì â êóïåéíîì?


(ðèñ. 115).

Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè ìû ïðèìåì ÷èñëî ìåñò

â êóïåéíîì âàãîíå çà 1 ÷àñòü, òîãäà ÷èñëî ìåñò â

ïëàöêàðòíîì âàãîíå ñîñòàâëÿåò 3 ÷àñòè.

Â ïëàöêàðòíîì âàãîíå ìåñò áîëüøå, ÷åì â êóïåé-

íîì, íà

3 − 1 = 2 (÷àñòè).

Íà îäíó ÷àñòü ïðèõîäèòñÿ

36 : 2 = 18 (ìåñò).

Çíà÷èò, â ïëàöêàðòíîì âàãîíå

18 . 3 = 54 (ìåñòà).

Îòâåò: 54 ìåñòà.

Ïóñòü â êóïåéíîì âàãîíå õ ìåñò, òîãäà â

ïëàöêàðòíîì — õ . 3 ìåñò. Ïîñêîëüêó â ïëàö-

êàðòíîì âàãîíå íà 36 ìåñò áîëüøå, ÷åì â êóïåéíîì,

òî ñîñòàâèì óðàâíåíèå:

õ . 3 − õ = 36.

Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì õ = 18.

×èñëî ìåñò â ïëàöêàðòíîì

âàãîíå

×èñëî ìåñò â êóïåéíîì

âàãîíå36 ìåñò

Ðèñ. 115

3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ðàçíîñòè è ÷àñòíîìóНациональный

институт



138

Âîïðîñû

1. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå âû÷èòàåìîå, çíàÿ óìåíüøàåìîå

è ðàçíîñòü?

2. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå óìåíüøàåìîå, çíàÿ âû÷èòàåìîå

è ðàçíîñòü?

3. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå äåëèìîå, çíàÿ äåëèòåëü è ÷àñòíîå?


33333.....162162162162162.....° Ñîâåðøàÿ îäíîäíåâíûé ïîõîä, ó÷àùèåñÿ ñäå-

ëàëè ïðèâàë. Îáñóäèâ äàëüíåéøèé ìàðøðóò, îíè ïðè-

øëè ê âûâîäó, ÷òî èì îñòàëîñü ïðîéòè ïóòü â 3 ðàçà

ìåíüøèé è îí íà 8 êì êîðî÷å ïðîéäåííîãî. Íàéäèòå

äëèíó âñåãî òóðèñòñêîãî ìàðøðóòà.

33333.....163163163163163..... Ìàëü÷èê ðàçðåçàë ïðîâîä íà äâå ÷àñòè òàê, ÷òî

îäíà èç íèõ îêàçàëàñü â 6 ðàç äëèííåå äðóãîé. Íàé-

äèòå ïåðâîíà÷àëüíóþ äëèíó ïðîâîäà, åñëè áîëüøàÿ

÷àñòü íà 35 ñì äëèííåå ìåíüøåé.

33333.....164164164164164.....° Â ëèòåðàòóðíîì êðóæêå â 3 ðàçà ìåíüøå ó÷à-

ùèõñÿ, ÷åì â ìàòåìàòè÷åñêîì êðóæêå. Ñêîëüêî âñå-

ãî ó÷àùèõñÿ çàíèìàþòñÿ â ýòèõ êðóæêàõ, åñëè â ëè-

òåðàòóðíîì íà 16 ó÷åíèêîâ ìåíüøå, ÷åì â ìàòåìàòè-

÷åñêîì?

33333.....165165165165165..... Â æåëòîé ïàïêå â 4 ðàçà áîëüøå ëèñòîâ áóìàãè,

÷åì â êðàñíîé. Ñêîëüêî âñåãî ëèñòîâ áóìàãè â ýòèõ

ïàïêàõ, åñëè â êðàñíîé ïàïêå íà 30 ëèñòîâ ìåíüøå,

÷åì â æåëòîé?

33333.....166166166166166..... Ó Íàòàøè â 7 ðàç áîëüøå îòêðûòîê, ÷åì ó Òà-

íè. Ñêîëüêî âñåãî îòêðûòîê ó äåâî÷åê, åñëè ó Íàòàøè

íà 24 îòêðûòêè áîëüøå, ÷åì ó Òàíè?


институт



139

33333.....167167167167167..... Òóðáþðî â òå÷åíèå ëåòíåãî ïåðèîäà ïðîäàëî â

3 ðàçà ìåíüøå ïóòåâîê â ñàíàòîðèè, ÷åì íà òóðáàçó,

íî íà 88 ïóòåâîê áîëüøå, ÷åì â ïðîôèëàêòîðèè. Ñêîëü-

êî âñåãî ïðîäàíî ïóòåâîê, åñëè íà òóðáàçó áûëî ïðîäà-

íî íà 312 ïóòåâîê áîëüøå, ÷åì â ñàíàòîðèè?

33333.....168168168168168..... Íà ýëåâàòîð ïîñòóïèëî ïøåíèöû â 2 ðàçà áîëü-

øå, ÷åì ðæè, à îâñà — â 3 ðàçà ìåíüøå, ÷åì ðæè.

Ñêîëüêî çåðíà êàæäîé êóëüòóðû ïîñòóïèëî íà ýëåâà-

òîð, åñëè ïøåíèöû ïîñòóïèëî íà 720 ò áîëüøå, ÷åì ðæè?

33333.....169169169169169.....* Íà êíèæíîì ñêëàäå ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå

áûëî â 4 ðàçà áîëüøå, ÷åì ïî èñòîðèè, ïî ëèòåðàòó-

ðå — â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì ïî èñòîðèè. Ó÷åáíèêîâ

ïî ëèòåðàòóðå áûëî íà 30 450 ìåíüøå, ÷åì ïî ìàòå-

ìàòèêå. Ñêîëüêî ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå âûâåçëè

ñî ñêëàäà, åñëè èõ îñòàëîñü íà 28 620 ìåíüøå, ÷åì

âûâåçëè?

33333.....170170170170170.....* Îò äà÷íîãî ó÷àñòêà äî æåëåçíîäîðîæíîé ñòàí-

öèè è îáðàòíî äà÷íèê íà âåëîñèïåäå åäåò 24 ìèí.

Åñëè îí äî ñòàíöèè ïîåäåò íà âåëîñèïåäå, à íàçàä

ïîéäåò ïåøêîì, òî çàòðàòèò 42 ìèí. Çà êàêîå âðåìÿ

äà÷íèê ïðîéäåò ïóòü ïåøêîì îò äà÷è äî ñòàíöèè è

îáðàòíî?

3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ

Íàïîìíèì, ÷òî çàïèñü, ñîñòàâëåííàÿ èç ÷èñåë, çíà-

êîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê, íàçûâàåòñÿ

÷èñëîâûì âûðàæåíèåì.

Çíà÷åíèåì ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñ-

ëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ âñåõ

óêàçàííûõ â ýòîì âûðàæåíèè äåéñòâèé.

3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿНациональный

институт



140

Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàçûâàþòñÿ äåéñò-

âèÿìè ïåðâîé ñòóïåíè. Óìíîæåíèå è äåëåíèå

íàçûâàþòñÿ äåéñòâèÿìè âòîðîé ñòóïåíè.

Íàïîìíèì ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé ïðè âû-

÷èñëåíèè çíà÷åíèé ÷èñëîâûõ âûðàæåíèé.

1. Åñëè â âûðàæåíèè íåò ñêîáîê è îíî ñîäåðæèò

äåéñòâèÿ òîëüêî îäíîé ñòóïåíè, òî ýòè äåéñòâèÿ

âûïîëíÿþò ïî ïîðÿäêó ñëåâà íàïðàâî.

Íàïðèìåð:

à) 283 − 13 + 105 = 270 + 105 = 375;

á) 340 : 17 . 45 = 20 . 45 = 900.

2. Åñëè â âûðàæåíèè íåò ñêîáîê è îíî ñîäåðæèò

äåéñòâèÿ ðàçíûõ ñòóïåíåé, òî ñíà÷àëà âûïîëíÿþò

óìíîæåíèå è äåëåíèå (ñëåâà íàïðàâî), à çàòåì ñëîæå-

íèå è âû÷èòàíèå (ñëåâà íàïðàâî).

Íàïðèìåð:

475 − 750 : 10 + 20 . 15 = 475 − 75 + 300 == 400 + 300 = 700.

3. Åñëè â âûðàæåíèè åñòü ñêîáêè, òî ñíà÷àëà âû-

ïîëíÿþò âñå äåéñòâèÿ â ñêîáêàõ (ñëåâà íàïðàâî),

à çàòåì âñå äåéñòâèÿ â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè (ñëå-

âà íàïðàâî).

Íàïðèìåð:

475 − 750 : (10 + 20) . 15 = 475 − 750 : 30 . 15 == 475 − 25 . 15 = 475 − 375 = 100.

Îáðàòèòå âíèìàíèå, âûðàæåíèÿ

475 − 750 : 10 + 20 . 15 è 475 − 750 : (10 + 20) . 15

îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ñêîáêàìè. Íî ñêîáêè ìåíÿþò ïî-

ðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé, ïîýòîìó çíà÷åíèÿ ó ýòèõ

âûðàæåíèé ðàçíûå, ñîîòâåòñòâåííî, 700 è 100.


институт



141

Âîïðîñû

1. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ÷èñëîâûì âûðàæåíèåì; á) çíà÷å-

íèåì ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ?

2. Êàêèå äåéñòâèÿ íàçûâàþò äåéñòâèÿìè: à) ïåðâîé ñòó-

ïåíè; á) âòîðîé ñòóïåíè?

3. Êàêîâ ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé ïðè âû÷èñëåíèè

çíà÷åíèé ÷èñëîâûõ âûðàæåíèé?


33333.....171171171171171..... Ïðî÷èòàéòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî

çíà÷åíèå:

1) 42 + 69; 2) 97 − 11;

3) 47 . 25; 4) 33 : 3.

33333.....172172172172172.....° Ïðî÷èòàéòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî

çíà÷åíèå:

1) 18 : 9 + 11 . 6; 2) 511 + 804 : 12;

3) (86 + 67) : 17; 4) (34 + 19) . (62 + 5);

5) (159 − 29) : (98 − 33); 6) 23 . (76 − 41).

33333.....173173173173173..... Ñîñòàâüòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî

çíà÷åíèå:

1) ñóììà ÷èñëà 39 è ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë 11 è 7;

2) ñóììà ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë 21 è 8 è ÷àñòíîãî

÷èñåë 305 è 61;

3) ïðîèçâåäåíèå ñóììû ÷èñåë 83 è 27 è ÷èñëà 25;

4) ÷àñòíîå ðàçíîñòè ÷èñåë 69 è 21 è ÷èñëà 12.

33333.....174174174174174..... Íàéäèòå çíà÷åíèå ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ:

1) 10 . (324 230 + 125) − 346 210 : 2;

2) (526 280 − 3625) : 5 + 3104 . 323;

3) 130 800 : 25 . 137 − (17 260 + 668);

4) (732 534 − 37 200) + 304 : 2 . 326.

3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿНациональный

институт



142

33333.....175175175175175..... Ñðàâíèòå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé:

1) 5642 − (2483 − 987) è 5642 − (2483 − 984);

2) 6142 − (1542 − 947) è 6142 − (1542 − 949);

3) 48 913 + (981 − 799) è 48 910 + (981 − 799);

4) 53 204 + (473 − 194) è 53 207 + (473 − 192).

33333.....176176176176176..... ×èñëî 36 ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàå-

ìûõ òàê, ÷òîáû îäíî èç íèõ áûëî áîëüøå äðóãîãî:

1) íà 12; 2) â 5 ðàç.

33333.....177177177177177..... Ìàññà áåãåìîòèõè äîñòèãàåò 550 êã, à ìàññà åå

äåòåíûøà â 5 ðàç ìåíüøå. Êàêîâà îáùàÿ ìàññà áåãå-

ìîòèõè è åå äåòåíûøà?

33333.....178178178178178..... Äëèíà ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 18 äì, à øèðèíà —

íà 17 äì ìåíüøå. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà.

33333.....179179179179179..... Íà îòðåçêå KÌ (ðèñ. 116) îòìåòèëè òî÷êè À è Â

òàê, ÷òî äëèíà îòðåçêà KÀ ðàâíà 4 ñì, äëèíà îòðåç-

êà ÀÂ íà 1 ñì ìåíüøå äëèíû îòðåçêà KÀ, à äëèíà

îòðåçêà ÂÌ ðàâíà ñóììå äëèí îòðåçêîâ KÀ è ÀÂ.

Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà KÌ.

33333.....180180180180180..... Äëÿ øêîëüíîãî ïðàçäíèêà áûëî êóïëåíî 93 øà-

ðèêà òðåõ öâåòîâ. Êðàñíûõ øàðèêîâ áûëî íà 12 ìåíü-

øå, ÷åì áåëûõ, à ñèíèõ íà 12 áîëüøå, ÷åì áåëûõ. Ñêîëü-

êî øàðèêîâ êàæäîãî öâåòà êóïèëè äëÿ ïðàçäíèêà?

33333.....181181181181181..... Ñîñòàâüòå çàäà÷ó ïî ÷èñëîâîìó âûðàæåíèþ:

1) (32 + 45) . 2; 2) 64 : 8 − 72 : 9.

33333.....182182182182182..... Ñîñòàâüòå ñóììó ÷åòûðåõ ÷èñåë, ïåðâîå èç êîòî-

ðûõ ðàâíî 12, à êàæäîå ñëåäóþùåå íà 5 áîëüøå ïðå-

äûäóùåãî. Íàéäèòå çíà÷åíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ.

Ðèñ. 116


институт



143


1) 43 578 + 41 200 : 200 − 812 . 13;

2) ((526 + 375) . 68 − 14 . (674 + 348)) : 16;

3) ((3026 + 2175) . 8 − 2 . (3074 + 2050)) : 16;

4) 43 500 780 + 412 000 : 2000 − 81 201 . 13.


1) 86 + õ + 138 = 250;

2) 250 − (175 − y) = 125;

3) (x − 84) . 11 = 176;

4) 723 − (246 + õ) = 123;

5) 24 . (94 − y) = 384;

6) 76 659 : y + (32 . 22 − 62) : 507 = 101.

33333.....185185185185185..... Äëèíà îòðåçêà ÀÂ ðàâíà 16 äì 8 ñì, äëèíà îò-

ðåçêà CD — 420 ìì. Âî ñêîëüêî ðàç äëèíà îòðåçêà CD

ìåíüøå äëèíû îòðåçêà ÀÂ?

33333.....186186186186186.....* Íàéäèòå òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ

÷èñëà, åñëè èõ ñóììà ðàâíà 840.

33333.....187187187187187.....* Ïåòÿ çàäóìàë íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìåíüøå 100.

Ïîêàæèòå, ÷òî âû ìîæåòå îïðåäåëèòü ýòî ÷èñëî, çàäàâ

Ïåòå íå áîëåå 7 âîïðîñîâ, íà êîòîðûå îí áóäåò äàâàòü

îòâåòû ñëîâàìè «äà» èëè «íåò».

3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Ðàññòîÿíèå îò òóðèñòñêîãî ëàãåðÿ äî ãîðîäà

Áîðèñîâà 28 êì. Òóðèñòû èäóò èç ëàãåðÿ â ãîðîä ñî

ñêîðîñòüþ 4км

.ч

Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò Áîðèñîâà

îíè áóäóò:

à) ÷åðåç 2 ÷; á) ÷åðåç 3 ÷; â) ÷åðåç t ÷?

3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìèНациональный

институт



144

Ðåøåíèå.

à) Çà 2 ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . 2 êì. Çíà÷èò, ÷åðåç

2 ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè

28 − 4 . 2, ò. å. 20 êì.

á) Çà 3 ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . 3 êì. Çíà÷èò, ÷åðåç

3 ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè

28 − 4 . 3, ò. å. 16 êì.

â) Çà t ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . t êì. Çíà÷èò, ÷åðåç

t ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè

(28 − 4 . t) êì.

Çàïèñü, ñîñòîÿùàÿ èç ÷èñåë, áóêâ, çíàêîâ äåé-

ñòâèé è ñêîáîê, íàçûâàåòñÿ áóêâåííûì âû-

ðàæåíèåì.

Òåïåðü, åñëè íóæíî áóäåò óçíàòü, íà êàêîì ðàñ-

ñòîÿíèè îò Áîðèñîâà òóðèñòû áóäóò ÷åðåç 5 ÷, ìû

ïðîñòî ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå 28 − 4 . t âìåñòî áóê-

âû t ÷èñëî 5 è âû÷èñëèì çíà÷åíèå ïîëó÷åííîãî ÷èñ-

ëîâîãî âûðàæåíèÿ:

28 − 4 . 5 = 8 (êì).

Â áóêâåííîì âûðàæåíèè 28 − 4 . t áóêâà t, âìåñòî

êîòîðîé ìîæíî ïîäñòàâëÿòü ðàçëè÷íûå ÷èñëà, íàçû-

âàåòñÿ ïåðåìåííîé, à ñàìî âûðàæåíèå — âûðàæå-

íèåì ñ ïåðåìåííîé. Âîîáùå, ïåðåìåííûå — ýòî áóê-

âû, âõîäÿùèå â áóêâåííîå âûðàæåíèå, êîòîðûå ìîãóò

ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ.

Åñëè â âûðàæåíèå ñ ïåðåìåííûìè âìåñòî ïåðå-

ìåííûõ ïîäñòàâèòü ÷èñëà, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñ-

ëîâîå âûðàæåíèå. Åãî çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ

çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ïðè

äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.


институт



145

Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2. Íàéòè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 17 ⋅ a − b : 3 ïðè

à = 4, b = 33.

Ðåøåíèå. Ïðè à = 4 è b = 33 ïîëó÷èì

17 . a − b : 3 = 17 . 4 − 33 : 3 = 68 − 11 = 57.

Îòâåò: 57.

Ãîâîðèì: «Ïðè à, ðàâíîì ÷åòûðåì, è b, ðàâíîì òðèä-

öàòè òðåì, âûðàæåíèå 17 . a − b : 3 ïðèíèìàåò çíà÷å-

íèå, ðàâíîå 57».

Ïðèìåð 3.Ïðèìåð 3.Ïðèìåð 3.Ïðèìåð 3.Ïðèìåð 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè p çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ

5 . p + 3 . (p + 1) ðàâíî 19?

Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæå-

íèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ:

5 . p + 3 . (p + 1) = 5 . p + 3 . p + 3 . 1 == (5 + 3) . p + 3 = 8 . p + 3.

Ðåøèâ óðàâíåíèå 8 . p + 3 = 19, ïîëó÷èì p = 2.

Îòâåò: ïðè p = 2.

Âîïðîñû

1. ×òî íàçûâàåòñÿ áóêâåííûì âûðàæåíèåì?

2. ×òî òàêîå ïåðåìåííàÿ?

3. ×òî íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè

ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ?


33333.....188188188188188.....° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå:

1) 32 . b; 2) 14 . c;

3) 117 . n; 4) 48 . a + b;

5) 35 . m − n2; 6) 44 . b3 + 2;


институт



146

7) 3 . n + 4 . m5; 8) 95 . x7 − 14 . y;

9) 81 . p2 + q3 − 65; 10) 35 . t4 − s2 + 2.

33333.....189189189189189.....° Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå ïî óñëîâèþ çàäà÷è.

1) Îäíî ÷èñëî ðàâíî à, à äðóãîå â 5 ðàç áîëüøå.

×åìó ðàâíî âòîðîå ÷èñëî?

2) Îäíî ÷èñëî ðàâíî b, à äðóãîå íà 5 áîëüøå. ×åìó

ðàâíî âòîðîå ÷èñëî?

3) Òàíå 10 ëåò, à Èðà â n ðàç ìëàäøå. Ñêîëüêî

ëåò Èðå?

4) Â øêîëó Ñòåïà èäåò 15 ìèí, à îáðàòíî — íà

ñ ìèí äîëüøå. Ñêîëüêî âðåìåíè ó íåãî óõîäèò

íà äîðîãó â øêîëó è îáðàòíî?

33333.....190190190190190..... Çàïèøèòå ñóììó è ïðîèçâåäåíèå äâóõ âûðàæåíèé:

1) 25 + 36 è 80 − à; 2) 91 . f è 101 . k;

3) 14 : t è 29 + b; 4) 134 . m è 45 : n.

33333.....191191191191191..... Çàïèøèòå ðàçíîñòü è ÷àñòíîå äâóõ âûðàæåíèé:

1) 130 − à è 25 . à; 2) 14 + m è n + 36;

3) õ − 16 è ó − 95; 4) 72 . t è 121 : k.

33333.....192192192192192..... Ðàñêðîéòå ñêîáêè:

1) 12 + (16 − 4 . à); 2) 12 + (8 − 4 . å);

3) 2 . (3ð − 40) − 18; 4) 4 . (3ð + 25) + 17.

33333.....193193193193193..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ ïðè à = 1:

1) 38 + à; 2) à2 + 1;

3) 29 . à + à2; 4) 50 . à − 25 . à2.

33333.....194194194194194.....° Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:

1) 38 6301 + à, åñëè à = 2 906 715;

2) 56 093 201 − b, åñëè b = 46 901 203;

3) (13 901 − t) . 2, åñëè t = 1894;

4) (1597 + k) − 32 . k, åñëè k = 35.


институт



147

33333.....195195195195195..... Óïðîñòèòå âûðàæåíèå, èñïîëüçóÿ çàêîíû ñëîæå-

íèÿ è óìíîæåíèÿ:

1) 2 . b + 29 + 3 . b − 4; 2) 87 + 3 . c + 6 . c + 3;

3) 64 + 60 . c − 54 . c; 4) 105 . n − 4 − 50 . n;

5) 4 . (12 − m); 6) (k − 13) . 7;

7) 14 + 2 . (b − 5); 8) 8 ⋅ n + (5 + n) . 4.

33333.....196196196196196..... Ïðè êàêîì çíà÷åíèè t çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ

3 . t + 2 . (5 − t) ðàâíî:

1) 14; 2) 29; 3) 33; 4) 108?

33333.....197197197197197.....* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ p è q çíà÷åíèå âûðàæå-

íèÿ 3 . (p − 2 . q) + 6q − 12 ðàâíî:

1) 12; 2) 33; 3) 36; 4) 99?

33333.....198198198198198.....* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ k è m çíà÷åíèå âûðàæå-

íèÿ k + 3 . (4 . m + 5) − 12m − 11 ðàâíî:

1) 35; 2) 63; 3) 707; 4) 2121?

33333.....199199199199199.....* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ m è p çíà÷åíèå âûðàæå-

íèÿ 4 . p + 2 . (4 − 2 . p) − 8 + 64 : m ðàâíî:

1) 2; 2) 16; 3) 32; 4) 64?

33333.....200200200200200.....* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à è b çíà÷åíèå âûðàæå-

íèÿ 4a + 2 . (3 . b − a) − 6 . b + 10 ðàâíî:

1) 10; 2) 12; 3) 30;

4) 40; 5) 28; 6) 64?

33333.....201201201201201..... Óïðîñòèòå âûðàæåíèå:

1) 5 . (2 . m + 3 . p) + 2 . (3 . p − 5 . m);

2) 3 . (4 . p − 2 . q) + 4 . (5 . q − 3 . p);

3) 134 . k − 10 . l + 5 . (2 . l − 17 . k);

4) 48 . n + 18 . t + 8 . (3 . t − 2 . n).


институт



148

33333.....202202202202202..... Ïà÷êà ïå÷åíüÿ ñòîèò à ðóáëåé, ïàêåò ñîêà —

b ðóáëåé. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòîè-

ìîñòè ïîêóïêè, åñëè êóïèëè:

1) 4 ïà÷êè ïå÷åíüÿ è 2 ïàêåòà ñîêà;

2) 5 ïà÷åê ïå÷åíüÿ è 4 ïàêåòà ñîêà.

33333.....203203203203203..... Â êëàññå 14 äåâî÷åê, à ìàëü÷èêîâ íà m ÷åëîâåê

áîëüøå. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà

ó÷åíèêîâ â êëàññå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå ïðè m,

ðàâíîì:

1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 5.

33333.....204204204204204..... Ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî n, âòîðîå íà 5, à òðåòüå â

2 ðàçà áîëüøå ïåðâîãî. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ

îïðåäåëåíèÿ ñóììû ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå åãî çíà÷å-

íèå ïðè n, ðàâíîì:

1) 9; 2) 16; 3) 39; 4) 51.

33333.....205205205205205..... Ñóììà ñîñòîèò èç ïÿòè ñëàãàåìûõ, ïåðâîå ðàâ-

íî n, à êàæäîå ñëåäóþùåå íà 5 áîëüøå ïðåäûäóùåãî.

Çàïèøèòå ñóììó ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå åå çíà÷åíèå

ïðè n, ðàâíîì:

1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 5.

33333.....206206206206206..... Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîèò èç øåñòè ÷èñåë,

ïåðâîå ðàâíî à, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 6 ðàç áîëüøå

ïðåäûäóùåãî. Çàïèøèòå ñóììó ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå

åå çíà÷åíèå ïðè à, ðàâíîì:

1) 1; 2) 2; 3) 6; 4) 8.

33333.....207207207207207.....* Âî âëàäåíèÿõ Ñíåæíîé Êîðîëåâû 12 ëåäÿíûõ

äîìèêîâ è êàæäûå äâà äîìèêà ñîåäèíåíû äîðîãîé.

Ñêîëüêî äîðîã â êîðîëåâñòâå?


институт



149

3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ìàðìåëàäà èç ñëèâ íà

5 ÷àñòåé ñëèâîâîãî ïþðå íàäî âçÿòü 3 ÷àñòè ñàõàðà.

Ñêîëüêî íåîáõîäèìî âçÿòü ñàõàðà, ÷òîáû ïðèãîòîâèòü

ìàðìåëàä èç 10 êã ñëèâîâîãî ïþðå?

Ðåøåíèå. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è 10 êã ñëèâîâîãî ïþðå ñî-

ñòàâëÿþò 5 ÷àñòåé.

Çíà÷èò, íà îäíó ÷àñòü ïðèõîäèòñÿ

10 : 5 = 2 (êã).

Ñàõàðà íàäî âçÿòü 3 òàêèå ÷àñòè, çíà÷èò,

2 . 3 = 6 (êã).

Îòâåò: 6 êã.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Â êíèãå âîëøåáíèêîâ íàïèñàíî, ÷òî äëÿ ïðè-

ãîòîâëåíèÿ ëåêàðñòâà îò æàäíîñòè íàäî âçÿòü 7 ÷àñ-

òåé ùåäðîñòè, 5 ÷àñòåé äîáðîòû è 2 ÷àñòè ñïðàâåäëè-

âîñòè. Ñêîëüêî âñåãî ïîëó÷èòñÿ ëåêàðñòâà îò æàä-

íîñòè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî èñïîëüçîâàí 21 ã ùåäðîñòè?

Ðåøåíèå. Çàïèñü ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è (ïî âîïðîñàì).

1) Ñêîëüêî ãðàììîâ ùåäðîñòè ïðèõîäèòñÿ íà îäíó

÷àñòü ëåêàðñòâà?

21 : 7 = 3 (ã).

2) Ñêîëüêî âñåãî ðàâíûõ ÷àñòåé íóæíî äëÿ ïðèãî-

òîâëåíèÿ ëåêàðñòâà?

7 + 5 + 2 = 14 (÷àñòåé).

3) Ñêîëüêî ãðàììîâ ëåêàðñòâà ïîëó÷èòñÿ?

3 . 14 = 42 (ã).

Îòâåò: 42 ã.

3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòèНациональный

институт



150

À ìîæíî, ðåøàÿ ýòó çàäà÷ó, ñîñòàâèòü âûðà-

æåíèå. Ïîñêîëüêó 21 ã ïðèõîäèòñÿ íà 7 ÷àñòåé,

à âñå ëåêàðñòâî ñîäåðæèò (7 + 5 + 2) ÷àñòåé, òî ïîëó-

÷èòñÿ âûðàæåíèå 21 : 7 . (7 + 5 + 2), çíà÷åíèå êîòîðî-

ãî 42 (îíî ðàâíî ìàññå ëåêàðñòâà â ãðàììàõ).

Îòâåò: 42 ã.

Âîïðîñû

1. Ñîñòàâüòå çàäà÷ó íà ÷àñòè ïî âûðàæåíèþ

48 : 12 ⋅ (12 + 3 + 8).

2. Êàê ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó íà ÷àñòè (ñì. âîïðîñ 1)?


33333.....208208208208208.....° Ìîðîæåíîå ñîäåðæèò 4 ÷àñòè âîäû, 2 ÷àñòè ìî-

ëî÷íîãî æèðà è 4 ÷àñòè ñàõàðà. Ñêîëüêî íàäî âîäû,

æèðà è ñàõàðà äëÿ ïîëó÷åíèÿ 2 êã ìîðîæåíîãî?

33333.....209209209209209.....° Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ðèñîâîé êàøè íàäî âçÿòü

2 ÷àñòè ðèñà, 3 ÷àñòè ìîëîêà è 5 ÷àñòåé âîäû. Ñêîëü-

êî ìîëîêà è ñêîëüêî âîäû ïîíàäîáèòñÿ, åñëè âçÿëè

180 ã ðèñà?

33333.....210210210210210..... Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ìàííîé êàøè áåðóò 10 ÷àñ-

òåé êðóïû, 2 ÷àñòè ñàõàðà, 50 ÷àñòåé ìîëîêà è 1 ÷àñòü

ìàñëà. Ñêîëüêî ïîòðåáóåòñÿ êðóïû, ñàõàðà è ìàñëà,

÷òîáû ñâàðèòü êàøó, èñïîëüçóÿ 1 ë ìîëîêà (1 ë ìî-

ëîêà ≈ 1000 ã).

33333.....212121212111111..... Êîìïîò èç ñóõîôðóêòîâ ñîäåðæèò 3 ÷àñòè èçþ-

ìà, 4 ÷àñòè ÿáëîê, 2 ÷àñòè ãðóø è 35 ÷àñòåé âîäû.

1) Ñêîëüêî ÿáëîê ñîäåðæèòñÿ â 6600 ã êîìïîòà?

2) Ñêîëüêî ïîëó÷èòñÿ êîìïîòà, åñëè ãðóø 200 ã?


институт



151

33333.....212212212212212..... Äëÿ îâîùíîãî ðàãó íóæíî âçÿòü 4 ÷àñòè ìîð-

êîâè, 2 ÷àñòè ëóêà è 6 ÷àñòåé êàðòîôåëÿ.

1) Ñêîëüêî êàðòîôåëÿ òðåáóåòñÿ äëÿ 900 ã ðàãó?

2) Ñêîëüêî ïîëó÷èòñÿ ðàãó, åñëè âçÿòü 180 ã ëóêà?

33333.....213213213213213..... Òåñòî äëÿ «ëåíèâûõ» âàðåíèêîâ ñîäåðæèò 14 ÷àñ-

òåé òâîðîãà, 4 ÷àñòè ìóêè, 2 ÷àñòè ìàñëà, 3 ÷àñòè

ñìåòàíû è 2 ÷àñòè ñàõàðà. Íàéäèòå ìàññó êàæäîãî

ïðîäóêòà, íåîáõîäèìîãî äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ 2 êã òåñòà.

33333.....214214214214214..... Ñîñòàâüòå è ðåøèòå çàäà÷ó ïî ñõåìå (ðèñ. 117):

1) 2)

3) 4)


1) 2 . x + 6 . x + 4 . x − 1472 = 10 528;

2) 3 . a + 2 . a + 7 . a + 8654 = 32 654;

3) 19 . c + 8 . c + 12 . c + 80 039 = 95 639;

4) 11 . b + 14 . b + 9 . b − 14 671 = 87 329.

33333.....216216216216216.....* Ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ

íå÷åòíûõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 9. Êàêîå íàè-

ìåíüøåå ÷èñëî ìíîæèòåëåé ìîæåò áûòü â ýòîì ïðî-

èçâåäåíèè?

? ?

15 ãà 28 à

36 êã 9 êã

Ðèñ. 117

3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè


институт



152


33333.....217217217217217..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ è ðåçóëüòàò îêðóãëèòå:

à) äî äåñÿòêîâ; á) äî ñîòåí:

1) 59 285 : (821 . 17 − 13 952) + 7003;

2) (7007 − 5777) : 15 . 2;

3) 12 . (5369 + 2651) − 19 176 : 47;

4) (6284 : 2 + 683) . 43 − 1617;

5) 806 . (5432 − 2345) : 7 + 368 : 16;

6) (918 341 − 14 867) : 78 + (3482 + 4623) . 12.

33333.....218218218218218..... Ðàñïîëîæèòå ÷èñëà 37 861, 820 012, 23 045,

23 545, 82 100, 37, 880 â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ.

33333.....219219219219219..... Çàïèøèòå âñå:

1) ÷èñëà áîëüøå 6037 è ìåíüøå 6056, ñîäåðæàùèå

öèôðó 5 â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ;

2) òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, â êîòîðûõ ÷èñëî äåñÿòêîâ

íà 8 áîëüøå ÷èñëà åäèíèö, à ÷èñëî ñîòåí íà 7

áîëüøå ÷èñëà åäèíèö.


1) 72 + õ = 149 − 12;

2) õ − 14 . 2 = 60;

3) 13 . õ = 5 . (11 + 2);

4) (37 + 28) − õ = 47 − 24.

5) 39 + õ + 51 = 182 : 2;

6) õ − 81 : 9 = 100 : 25;

7) 505 : 5 − õ = 112 : 2;

8) õ + (170 − 58) = 1000.

33333.....221221221221221.....* Ðåøèòå çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ. Âåðíî

ëè, ÷òî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷èñëî:

1) 1509 â âèäå ñóììû ÷èñëà 829 è ÷åòûðåõ ðàâíûõ

íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;


институт



153

2) 49 275 â âèäå ñóììû îäèííàäöàòè íàòóðàëüíûõ

÷èñåë è ÷èñëà 48 010?

33333.....222222222222222..... Íà ëåâîé ÷àøå âåñîâ ñòîÿò ãèðè 2 êã, 3 êã è

5 êã, à íà ïðàâîé — àðáóç. Êàêîâà ìàññà àðáóçà, åñëè

äëÿ ðàâíîâåñèÿ ïðèøëîñü ïîëîæèòü íà ïðàâóþ ÷àøó

âåñîâ 2 êã 250 ã?

33333.....223223223223223..... Â ìàãàçèí ïðèâåçëè 180 êîðîáîê, â êàæäîé êî-

ðîáêå ïî 46 ïà÷åê ïå÷åíüÿ. Êàêîâà ìàññà âñåãî ïå-

÷åíüÿ, åñëè ìàññà îäíîé ïà÷êè 120 ã?

33333.....224224224224224..... Ïåðåä ñïîðòèâíûìè ñîðåâíîâàíèÿìè âñåõ ó÷åíè-

êîâ ïÿòûõ è øåñòûõ êëàññîâ ïîñòðîèëè â 12 êîëîíí.

Â êàæäîé êîëîííå 6 ðÿäîâ ïî 8 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî

ó÷åíèêîâ ó÷àñòâîâàëî â ñîðåâíîâàíèè?

33333.....225225225225225..... Ëåñíèê îòìåòèë äëÿ âûðóáêè 58 äåðåâüåâ —

ñîñåí, áåðåç è îñèí. Ñîñåí è îñèí èì îòìå÷åíî 47,

ñîñåí è áåðåç — 24. Ñêîëüêî áåðåç, ñêîëüêî ñîñåí è

ñêîëüêî îñèí îòìå÷åíî ëåñíèêîì?

33333.....226226226226226..... Â äâà ìàãàçèíà ïðèâåçëè 350 ñïîðòèâíûõ êîñ-

òþìîâ. Êîãäà â îäíîì èç íèõ ïðîäàëè 21 êîñòþì,

à â äðóãîì — 9 êîñòþìîâ, òî êîñòþìîâ â ìàãàçè-

íàõ ñòàëî ïîðîâíó. Ñêîëüêî êîñòþìîâ áûëî â êàæäîì

ìàãàçèíå?

33333.....227227227227227.....* Êàê ìîæíî äåòàëü ìàññîé 29 ã óðàâíîâåñèòü

íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ, èñïîëüçóÿ òîëüêî ãèðè ìàññîé

3 ã è 5 ã?

33333.....228228228228228.....* Îäèí äðàíèê ñ îäíîé ñòîðîíû æàðèòñÿ íà ñêî-

âîðîäêå îäíó ìèíóòó. Çà êàêîå âðåìÿ áûñòðåå âñå-

ãî ìîæíî ïîäæàðèòü 9 äðàíèêîâ íà äâóõ îäèíàêî-

âûõ ñêîâîðîäêàõ, åñëè íà îäíîé óìåùàåòñÿ òîëüêî

3 äðàíèêà?


институт



33333.....229229229229229.....* Èç âîñüìè îäèíàêîâûõ êîëåö îäíî íåñêîëüêî

ëåã÷å îñòàëüíûõ. Íàéäèòå åãî ïðè ïîìîùè íå áîëåå

÷åì äâóõ âçâåøèâàíèé íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ.

33333.....230230230230230.....* Â äâóõ ñóìêàõ ëåæàò 100 îãóðöîâ. Ìîæåò ëè

÷èñëî îãóðöîâ â îäíîé èç ñóìîê áûòü â äâà ðàçà áîëü-

øå, ÷åì â äðóãîé?

33333.....231231231231231.....* Êàê, èìåÿ ëèøü äâà ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 3 ë

è 4 ë, íàëèòü èç âîäîïðîâîäíîãî êðàíà 2 ë?

33333.....232232232232232.....* Åñëè ê íåêîòîðîìó äâóçíà÷íîìó ÷èñëó ïðèïè-

ñàòü ñïðàâà 0, òî îíî óâåëè÷èòñÿ íà 504. Íàéäèòå

ýòî ÷èñëî.

33333.....233233233233233.....* Ïîñòàâüòå âìåñòî çâåçäî÷åê çíàêè àðèôìåòè÷å-

ñêèõ äåéñòâèé «+», «−», «.», «:» òàê, ÷òîáû çíà÷åíèå

âûðàæåíèÿ 76 � 4 � 51 � 3 áûëî ðàâíî 36.

33333.....234234234234234.....* Íàçîâèòå ïîñëåäíþþ öèôðó ïðîèçâåäåíèÿ âñåõ

òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2.

33333.....235235235235235.....* Êàêîé öèôðîé îêàí÷èâàåòñÿ ðàçíîñòü

1 . 2 . 3 . ... . 21 . 22 − 1 . 3 . 5 . ... . 13 . 15?

33333.....236236236236236.....* Ñêîëüêî èìååòñÿ ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë, ó êîòî-

ðûõ ñóììà öèôð íå äåëèòñÿ íà 2?

33333.....237237237237237.....* Çàäà÷à-øóòêà. Ó êàðòîííîãî êâàäðàòà îòðåçàëè

3 óãëà. Ñêîëüêî óãëîâ îñòàëîñü?


институт



ÄÅËÈÌÎÑÒÜ


4.1. Äåëèòåëè è êðàòíûå

Ïóñòü à è b — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ãîâîðÿò, ÷òî

÷èñëî à äåëèòñÿ íà ÷èñëî b, åñëè ñóùåñòâóåò òà-

êîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî s, ÷òî

a = b . s

Íàïðèìåð, ÷èñëî 112 äåëèòñÿ íà 7, òàê êàê 112 = 7 . 16.

Â ðàâåíñòâå a = b . s ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ äåëèòå-

ëåì ÷èñëà à. Òàêèì îáðàçîì, äåëèòåëü ÷èñëà à —

ýòî ÷èñëî, íà êîòîðîå äåëèòñÿ à.

Íàïðèìåð, âñå äåëèòåëè ÷èñëà 30 — ýòî ÷èñëà 1, 2,

3, 5, 6, 10, 15, 30.

×èñëà 42, 78 è 24 äåëÿòñÿ íà 6, òàê êàê 42 = 6 . 7,

78 = 6 . 13, 24 = 6 . 4. Ñóììà ýòèõ ÷èñåë òîæå äåëèòñÿ

íà 6, òàê êàê

42 + 78 + 24 = 6 . 7 + 6 . 13 + 6 . 4 = 6 . (7 + 13 + 4) = 6 . 24.

Âîîáùå,

åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå

÷èñëî, òî è ñóììà äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî.

È, ñîîòâåòñòâåííî, åùå îäíî ñâîéñòâî äåëèìîñòè

ñóììû:

155

4ГЛАВА


институт



156

åñëè îäíî ñëàãàåìîå íå äåëèòñÿ íà íåêîòî-

ðîå ÷èñëî, à îñòàëüíûå äåëÿòñÿ, òî ñóììà

íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî.

Íàïðèìåð, ÷èñëà 42 è 78 äåëÿòñÿ íà 6, à ÷èñëî 21

íå äåëèòñÿ íà 6. Ïîýòîìó èõ ñóììà 42 + 78 + 21 = 141

íà 6 íå äåëèòñÿ.

Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî à äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå

÷èñëî b, òî ÷èñëî à íàçûâàåòñÿ êðàòíûì ÷èñëà b

(ãîâîðÿò åùå «÷èñëî à êðàòíî ÷èñëó b»). Äðóãèìè

ñëîâàìè, êðàòíîå ÷èñëà b — ýòî ÷èñëî, êîòîðîå äå-

ëèòñÿ íà b.

Âîò, íàïðèìåð, íåñêîëüêî êðàòíûõ ÷èñëà 7:

7, 14, 28, 42, ... .

Çàïèøåì òåïåðü íàòóðàëüíûé ðÿä

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, ...

è óìíîæèì êàæäîå ÷èñëî â íàòóðàëüíîì ðÿäó íà 6:

6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ... .

Ýòî ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 6. Òàê êàê íàòóðàëüíûé

ðÿä áåñêîíå÷åí, òî è ðÿä êðàòíûõ ÷èñëà 6 áåñêîíå÷åí.

Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî 6 èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî êðàò-

íûõ. Òî÷íî òàê æå ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìå-

åò áåñêîíå÷íî ìíîãî êðàòíûõ.

Âîïðîñû

1. Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî à äåëèòñÿ íà íà-

òóðàëüíîå ÷èñëî b?

2. Íà êàêîå ÷èñëî äåëèòñÿ ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî?

3. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êðàòíûì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà b?

4. Ñêîëüêî êðàòíûõ èìååò ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî?

5. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à?

6.* Ñôîðìóëèðóéòå ñâîéñòâà äåëèìîñòè ñóììû.

Ã ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный

институт



157


44444.....11111.....° ßâëÿåòñÿ ëè îäíî ÷èñëî äåëèòåëåì äðóãîãî:

1) 24 è 3; 2) 35 è 5;

3) 68 è 8; 4) 83 è 3;

5) 92 è 2; 6) 100 è 25?

Åñëè äà, òî îáúÿñíèòå ïî÷åìó.

44444.....22222.....° Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëî 7 ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà:

1) 28; 2) 54; 3) 140;

4) 367; 5) 231; 6) 353 535?

44444.....33333.....° Íàéäèòå âñå äåëèòåëè ÷èñëà:

1) 11; 2) 29; 3) 33;

4) 31; 5) 47; 6) 62.

44444.....44444..... Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å âñå äåëèòåëè

÷èñëà:

1) 8; 2) 10; 3) 13; 4) 18.

44444.....55555.....° Âåðíî ëè, ÷òî êðàòíûì ÷èñëà 35 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî:

1) 105; 2) 700;

3) 31 745; 4) 43 540?

44444.....66666.....° Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó:

1) 3; 2) 5; 3) 7; 4) 10.

44444.....77777..... Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:

1) 13; 2) 21; 3) 31; 4) 42.

44444.....88888..... Ñðåäè ÷èñåë 1, 2, 3, 6, 9, 18, 36, 54, 72, 90, 108

óêàæèòå:

1) äåëèòåëè ÷èñëà 18;

2) êðàòíûå ÷èñëà 18.

4.1. Äåëèòåëè è êðàòíûåНациональный

институт



158

44444.....99999..... Êàêèå èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20,

24, 30, 40 ÿâëÿþòñÿ:

1) äåëèòåëÿìè ÷èñëà 60;

2) äåëèòåëÿìè ÷èñëà 80;

3) êðàòíûìè ÷èñëà 6;

4) êðàòíûìè ÷èñëà 10?

44444.....1010101010..... Çàïèøèòå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âñå äåëèòåëè

÷èñëà:

1) 100; 2) 318.

44444.....1111111111..... Çàïèøèòå â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âñå äåëèòåëè ÷èñëà:

1) 90; 2) 442.

44444.....1212121212..... Çàïèøèòå âñå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:

1) 90; 2)125; 3) 150; 4) 250.

44444.....1313131313..... Çàïèøèòå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 25, êîòîðûå â

íàòóðàëüíîì ðÿäó ðàñïîëîæåíû ìåæäó ÷èñëàìè:

1) 400 è 500; 2) 925 è 1000;

3) 3054 è 3126; 4) 45 318 è 45 486.

44444.....1414141414..... Çàïèøèòå ÷èñëà, ìåíüøèå 72 è êðàòíûå:

1) 5; 2)8; 3) 12; 4) 16.

44444.....1515151515..... Çàïèøèòå ïÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äëÿ êîòîðûõ:

1) 16 áóäåò êðàòíûì;

2) 16 áóäåò äåëèòåëåì.

44444.....1616161616..... Íàçîâèòå:

1) íàèáîëüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êðàòíîå 75;

2) íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êðàòíîå 300.

44444.....1717171717..... Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî:

1) 52 029 êðàòíî ÷èñëó 141;

2) 273 ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà 7098;


институт



159

3) 49 200 íå êðàòíî ÷èñëó 68;

4) 175 íå ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà 162 495.

44444.....1818181818..... Íà ñêîëüêî ó÷åíèêîâ ìîæíî ïîðîâíó ðàçäåëèòü

18 òåòðàäåé?

44444.....1919191919..... Â ïîõîä ñîáèðàþòñÿ èäòè 36 ïÿòèêëàññíèêîâ.

Èõ íàäî ðàçáèòü íà ãðóïïû ñ ðàâíûì ÷èñëîì ó÷åíè-

êîâ. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ ìîæåò áûòü â êàæäîé ãðóïïå

è ñêîëüêî ìîæåò áûòü òàêèõ ãðóïï?

44444.....2020202020..... Ìèíåðàëüíàÿ âîäà ðàñôàñîâàíà â ïëàñòèêîâûå

óïàêîâêè ïî 6 áóòûëåé. Ñêîëüêî áóòûëåé ìèíåðàëü-

íîé âîäû ìîãëè ïðèâåçòè â êèîñê, åñëè äîñòàâêà ïðî-

èçâîäèòñÿ öåëûìè óïàêîâêàìè, à çàêàçàíî íå áîëåå

50 áóòûëåé?

44444.....2121212121.....* Äåäóøêèí õðîíîìåòð îòñòàåò çà êàæäûé ÷àñ íà

10 ìèí, íî â äàííûé ìîìåíò ïîêàçûâàåò òî÷íîå âðå-

ìÿ. Îïðåäåëèòå, ÷åðåç êàêîé íàèìåíüøèé ïðîìåæóòîê

âðåìåíè õðîíîìåòð âíîâü ïîêàæåò òî÷íîå âðåìÿ.

4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2

×òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ, äåëèòñÿ ëè îäíî ÷èñëî

íà äðóãîå, ìîæíî ïðîñòî ðàçäåëèòü ïåðâîå ÷èñëî íà

âòîðîå. Íî äëÿ íåêîòîðûõ äåëèòåëåé åñòü ñïîñîá áîëåå

óäîáíûé: äëÿ íèõ ñóùåñòâóþò ïðèçíàêè äåëèìîñòè.

Ïðèçíàêîì íàçûâàþò ïðàâèëî, ïîëüçóÿñü êî-

òîðûì óäîáíî âûÿñíèòü, âûïîëíÿåòñÿ ëè

íåêîòîðîå ñâîéñòâî.

Ðàññìîòðèì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2. Äëÿ ýòîãî

âûïèøåì ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 2:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, ... .

4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2Национальный

институт



160

Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé

èç öèôð 0, 2, 4, 6, 8. Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä:

åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ îäíîé

èç öèôð 0, 2, 4, 6, 8, òî îíî äåëèòñÿ íà 2.

Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 2 íå

äåëÿòñÿ.

Ýòî ïðàâèëî íàçûâàåòñÿ ïðèçíàêîì äåëèìîñòè íà 2.

×èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2 (÷èñëà, êðàòíûå 2),

íàçûâàþòñÿ ÷åòíûìè.

×èñëà, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2 (÷èñëà, íå êðàò-

íûå 2), íàçûâàþòñÿ íå÷åòíûìè.

Ïðèìåð 1.Ïðèìåð 1.Ïðèìåð 1.Ïðèìåð 1.Ïðèìåð 1. ×èñëî 3 758 992 425 îêàí÷èâàåòñÿ öèô-

ðîé 5. Ïîýòîìó îíî íå äåëèòñÿ íà 2 è, ñëåäîâàòåëüíî,

íå÷åòíîå.

Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2. ×èñëî 3 758 992 426 îêàí÷èâàåòñÿ öèô-

ðîé 6. Ïîýòîìó îíî äåëèòñÿ íà 2 è, ñëåäîâàòåëüíî,

÷åòíîå.

Îñíîâîïîëîæíèêàìè òåîðèè äåëèìîñòè ÿâëÿþòñÿ ïèôàãîðåéöû.Îíè ðàçáèëè ÷èñëà íà ÷åòíûå (ìóæñêèå) è íå÷åòíûå (æåíñêèå).

Âîïðîñû

1. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2.

2. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ: à) ÷åòíûì; á) íå÷åòíûì?


44444.....2222222222.....° Êàêèå èç ÷èñåë 48, 3442, 7807, 4926, 4557, 71 090,

699 114, 13 141 513 äåëÿòñÿ íà 2?

44444.....2323232323.....° Âûïèøèòå ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ ÷èñëà 122, ïÿòü

íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà ÷èñëî 2.


институт



161

44444.....2424242424..... Âûïèøèòå ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ ÷èñëà 475, ïÿòü

íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå äåëÿùèõñÿ íà ÷èñëî 2.

4.25.4.25.4.25.4.25.4.25. Èç ÷èñåë 422, 940, 95, 82, 9, 2, 2710, 64 823,

130 025, 630 264, 80 136, 67 451 âûïèøèòå:

1) â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà 2;

2) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ÷èñëà, íå äåëÿùèåñÿ íà 2.

44444.....2626262626.....° Çàïèøèòå âñå îäíîçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 2.

44444.....2727272727..... Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà îò 57 äî 68, íå

êðàòíûå 2.

44444.....2828282828.....° Ñðåäè ÷èñåë 221, 23, 32, 114, 129, 500, 448, 5047,

885, 6086 íàéäèòå:

1) ÷åòíûå ÷èñëà; 2) íå÷åòíûå ÷èñëà.

44444.....2929292929..... Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë, ðàñïîëîæåí-

íûõ â íàòóðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè:

1) 12 è 18; 2) 81 è 99;

3) 189 è 201; 4) 4126 è 4136.

44444.....3030303030..... ×åòíûì èëè íå÷åòíûì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî:

1) a + 1; 2) a + 2;

3) a . 2; 4) a . 3,

åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëî a: à) ÷åòíîå; á) íå÷åòíîå?

44444.....3131313131..... ×åòíîé èëè íå÷åòíîé ÿâëÿåòñÿ ñóììà:

1) äâóõ ÷åòíûõ ÷èñåë;

2) äâóõ íå÷åòíûõ ÷èñåë;

3) òðåõ ÷åòíûõ ÷èñåë;

4) òðåõ íå÷åòíûõ ÷èñåë?

Ñâîè îòâåòû ïîäòâåðäèòå ïðèìåðàìè.

4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2Национальный

институт



162

44444.....3232323232..... Íå âûïîëíÿÿ ñëîæåíèÿ, óñòàíîâèòå, ïðàâèëüíî

ëè íàéäåíà ñóììà:

1) 78 305 + 412 634 + 83 107 = 574 047;

2) 23 423 + 58 799 + 14 103 = 96 326.

44444.....3333333333..... ×åòíûì èëè íå÷åòíûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ çíà÷å-

íèå âûðàæåíèÿ:

1) 8534 . 1007;

2) 9684 : 807;

3) (893 − 567) . 499;

4) (52 063 + 23 687) : 101?

44444.....3434343434.....* Äâà ìàëü÷èêà õîäÿò ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ.

Ó íèõ íà äâîèõ åñòü îäèí âåëîñèïåä, íà êîòîðîì îíè

åçäÿò òàêæå ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ. Êàê îíè ìîãóò,

íà÷àâ îäíîâðåìåííî äâèæåíèå èç îäíîãî ïóíêòà, îä-

íîâðåìåííî ïðèáûòü â äðóãîé ïóíêò, åñëè èçâåñòíî,

÷òî êàæäûé èç íèõ ëèáî äâèãàåòñÿ ïåøêîì, ëèáî åäåò

íà âåëîñèïåäå?

4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10

Âûïèøåì ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 5:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ... .

Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé

èç öèôð 0 èëè 5.

Âîîáùå, åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâà-

åòñÿ îäíîé èç öèôð 0 èëè 5, òî îíî äåëèòñÿ

íà 5. Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 5

íå äåëÿòñÿ.

Òàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5.


институт



163

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... à) ×èñëî 3 758 992 425 îêàí÷èâàåòñÿ öèô-

ðîé 5, ïîýòîìó îíî äåëèòñÿ íà 5.

á) ×èñëî 3 758 992 420 äåëèòñÿ íà 5 (ïî÷åìó?).

â) ×èñëî 3 758 992 423 íå äåëèòñÿ íà 5 (ïî÷åìó?).

×òîáû íàéòè ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10, íàäî âûïè-

ñàòü ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 10 (ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿ-

òåëüíî). À òåïåðü îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî âñå ÷èñëà

ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ öèôðîé 0.

Âîîáùå, åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåò-

ñÿ öèôðîé 0, òî îíî äåëèòñÿ íà 10. Âñå îñ-

òàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 10 íå äåëÿòñÿ.

Òàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... ×èñëî 3 758 992 420 äåëèòñÿ íà 10, à ÷èñëî

3 758 992 425 íå äåëèòñÿ íà 10 (ïî÷åìó?).

Âîïðîñû




44444.....3535353535.....° Ñðåäè ÷èñåë 10, 15, 54, 105, 555, 550, 8375, 9410,

5553 íàéäèòå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:

1) 5; 2) 10.

44444.....3636363636..... Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíÿòü ñèìâîë ☺ â

çàïèñÿõ: à) 26☺, 3☺0, 61☺, 49☺; á) 537☺, 2☺95, 2☺30,

371☺ òàê, ÷òîáû (åñëè ýòî âîçìîæíî) êàæäîå ïîëó-

÷åííîå ÷èñëî äåëèëîñü:

1) íà 5; 2) íà 10;

3) íà 2 è íà 5; 4) íà 2?

4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10Национальный

институт



164

44444.....3737373737.....° Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó:

1) 5; 2) 10.

44444.....3838383838..... Çàïèøèòå ïÿòü ÷åòíûõ ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 5.

Âåðíî ëè, ÷òî ýòè ÷èñëà êðàòíû 10?

44444.....3939393939..... Èñïîëüçóÿ êàæäóþ èç öèôð 0, 1 è 5 ïî îäíîìó

ðàçó, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:

1) 5; 2) 10.

44444.....4040404040..... Èñïîëüçóÿ öèôðû 0, 2, 5 è 8 íå áîëåå îäíîãî

ðàçà êàæäóþ, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå òðåõçíà÷íûå

÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:

1) 5; 2) 10.

44444.....4141414141..... Èñïîëüçóÿ ïî îäíîìó ðàçó êàæäóþ èç öèôð 0, 1,

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ñîñòàâüòå íàèáîëüøåå è íàèìåíü-

øåå äåñÿòèçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:

1) 5; 2) 10.

44444.....4242424242..... Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 5

è ðàñïîëîæåíû â íàòóðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè:

1) 4 è 23; 2) 15 è 38;

3) 129 è 153; 4) 4789 è 4800.

44444.....4343434343..... Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà,

êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 10 è ðàñïîëîæåíû ìåæäó ÷èñëàìè:

1) 1 è 45; 2) 56 è 99;

3) 148 è 200; 4) 14 395 è 14 425.

44444.....4444444444..... Íàéäèòå ñóììó ïåðâûõ:

1) ïÿòè ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà, êðàòíûõ 5;

2) äåñÿòè ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà, êðàòíûõ 10.

44444.....4545454545..... Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà äâóõ ÷èñåë, êðàòíûõ 5, äå-

ëèòñÿ íà 10? Îòâåò îáúÿñíèòå è ïîäòâåðäèòå ïðèìå-

ðàìè.


институт



165

44444.....4646464646..... Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà äâóõ ÷èñåë, êðàòíûõ 10, äå-

ëèòñÿ íà 10? Îòâåò îáúÿñíèòå è ïîäòâåðäèòå ïðèìå-

ðàìè.

44444.....4747474747..... Çàïèøèòå äâà ÷èñëà — ÷åòûðåõçíà÷íîå è òðåõ-

çíà÷íîå — êðàòíûå 5. Âåðíî ëè, ÷òî áóäåò äåëèòüñÿ

íà 5 èõ:

1) ñóììà; 2) ðàçíîñòü; 3) ïðîèçâåäåíèå?

44444.....4848484848..... Çàïèøèòå ÷åòûðåõçíà÷íîå è òðåõçíà÷íîå ÷èñëà,

êðàòíûå 10. Âåðíî ëè, ÷òî áóäåò äåëèòüñÿ íà 10 èõ:

1) ñóììà; 2) ðàçíîñòü; 3) ïðîèçâåäåíèå?

44444.....4949494949..... Äâà ó÷åíèêà óìíîæèëè îäíî è òî æå íàòóðàëü-

íîå ÷èñëî: Âîëîäÿ — íà 5, Âàíÿ — íà 10. Âîëîäÿ

ïîëó÷èë â ðåçóëüòàòå 3665. Êàêîé ðåçóëüòàò ïîëó÷èë

Âàíÿ?

44444.....5050505050..... Íå ïðîèçâîäÿ âû÷èñëåíèé, îïðåäåëèòå, äåëèòñÿ

ëè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: íà 5, íà 10, íà 5 è íà 10:

1) 575 . 122; 2) 435 . 1023;

3) 5875 − 905; 4) 23 885 − 3780;

5) 438 + 502; 6) 9963 − 5888.

44444.....5151515151..... Íå âûïîëíÿÿ óìíîæåíèÿ, îïðåäåëèòå, äåëèòñÿ ëè

íà 10 ïðîèçâåäåíèå:

1) 1 . 2 . 3 . 4 . 5; 2) 13 . 14 . 15;

3) 146 . 147 . 148; 4) 205 . 206 . 207 . 208.

44444.....5252525252..... Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ 100.

1) Êàêèìè öèôðàìè îêàí÷èâàþòñÿ ÷èñëà, êîòîðûå

äåëÿòñÿ íà 100?

2) Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè ÷èñåë íà 100.

44444.....5353535353..... Íàéäèòå ñóììó ïåðâûõ ïÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,

äåëèòåëåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 100.


институт



166

44444.....5454545454..... Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë ïåðâîé òûñÿ÷è, äåëè-

òåëåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 100.

44444.....5555555555.....* Äîêàæèòå, ÷òî èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 20

íåëüçÿ âûáðàòü 15 ÷èñåë òàê, ÷òîáû èõ ñóììà áûëà

ðàâíà ñóììå îñòàëüíûõ ÷èñåë.

4.4. Îêðóæíîñòü

Åñëè óñòàíîâèòü îñòðèå öèðêóëÿ â

íåêîòîðîé òî÷êå Î (ðèñ. 118) è âðàùàòü

íîæêó ñ êàðàíäàøîì, òî êàðàíäàø íà-

÷åðòèò íà ïëîñêîñòè ëèñòà ëèíèþ, êî-

òîðàÿ íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ. Òî÷-

êà Î íàçûâàåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè.

Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòð îêðóæ-

íîñòè ñ ëþáîé òî÷êîé íà îêðóæíîñòè,

íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì. Íà ðèñóíêå 119

ðàäèóñû — ýòî îòðåçêè OP è OQ. Âñå

ðàäèóñû ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òàê êàê

äëèíà ëþáîãî ðàäèóñà — ýòî ðàññòîÿ-

íèå ìåæäó îñòðèåì öèðêóëÿ è êîí÷è-

êîì êàðàíäàøà.

Âñå òî÷êè îêðóæíîñòè óäàëåíû îò åå öåíò-

ðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå äëèíå ðàäèóñà.

×àñòî ñëîâî «äëèíà» îïóñêàþò è âìåñòî «äëèíà

ðàäèóñà» ãîâîðÿò ïðîñòî «ðàäèóñ». Íàïðèìåð, ãîâîðÿò:

«Èçîáðàæåíà îêðóæíîñòü ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì 2 ñì».

Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî ëåæàò íà îêðóæíîñòè,

íàçûâàåòñÿ õîðäîé. Íà ðèñóíêå 120 îòðåçêè PQ è ÀÂ

ÿâëÿþòñÿ õîðäàìè.

Ðèñ. 118

Ðèñ. 119


институт



167

Õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð

îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ åå äèàìåòðîì.

Íà ðèñóíêå 120 îòðåçîê ÀÂ ÿâëÿåòñÿ

äèàìåòðîì. Î÷åâèäíî, ÷òî äèàìåòð

îêðóæíîñè ðàâåí äâóì åå ðàäèóñàì.

Ñëîâî «ðàäèóñ» ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãî ñëîâà radius, êîòîðîåïåðåâîäèòñÿ êàê «ñïèöà â êîëåñå, ëó÷».Ñëîâî «äèàìåòð» îáðàçîâàíî îò ãðå÷åñêîãî ñëîâà diametros, êî-òîðîå îáîçíà÷àåò «ïîïåðå÷íèê».

Âîïðîñû

1. Êàêîé ïðåäìåò, íàïîìèíàþùèé ïî

ôîðìå îêðóæíîñòü, âû ìîæåòå íà-

çâàòü?

2. ×òî òàêîå: à) ðàäèóñ îêðóæíîñòè;

á) õîðäà îêðóæíîñòè; â) äèàìåòð

îêðóæíîñòè?

3. Êàêîé îòðåçîê íà ðèñóíêå 121 (òî÷êà Î — öåíòð îêðóæ-

íîñòè) ÿâëÿåòñÿ: à) ðàäèóñîì îêðóæíîñòè; á) õîðäîé

îêðóæíîñòè; â) äèàìåòðîì îêðóæíîñòè?


44444.....5656565656.....° Ïî ðèñóíêó 122 íàçîâèòå òî÷êè:

1) ëåæàùèå íà îêðóæíîñòè;

2) íå ëåæàùèå íà îêðóæíîñòè.

Ðèñ. 120

Ðèñ. 121


à) á)

Ðèñ. 122


институт



168

44444.....5757575757.....° Èçìåðüòå ðàäèóñ è äèàìåòð îêðóæíîñòåé, èçîáðà-

æåííûõ íà ðèñóíêå 123 (òî÷êè Î, À, Q — èõ öåíòðû).

44444.....5858585858.....° Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü:

1) ðàäèóñîì 3 ñì; 2) äèàìåòðîì 9 ñì;

3) äèàìåòðîì 80 ìì; 4) ðàäèóñîì 4 ñì 2 ìì.

4.59.4.59.4.59.4.59.4.59. Íàéäèòå äèàìåòð îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì:

1) 1 äì; 2) 27 ñì;

3) 6 ì 86 ñì; 4) 2 äì 7 ñì.

44444.....6060606060..... Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì:

1) 5 äì; 2) 46 ñì;

3) 8 ì 2 ñì; 4) 7 äì 6 ñì.

44444.....6161616161..... Ïî ðèñóíêó 124 íàçîâèòå äëÿ îêðóæíîñòè (òî÷-

êà P — åå öåíòð) åå:

1) ðàäèóñû;

2) äèàìåòðû;

3) õîðäû.

44444.....6262626262..... Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì

â òî÷êå Ì è ðàäèóñîì ÌÒ = 3 ñì.

×åðåç òî÷êó Ò ïðîâåäèòå 4 õîðäû.

44444.....6363636363..... Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è ðà-

äèóñîì ÎÀ = 4 ñì. Ïðîâåäèòå õîðäû ÀÂ, ÂÑ, ÑD, DM,

MN äëèíîé 4 ñì êàæäàÿ. Ñîåäèíèòå òî÷êè À è N,

èçìåðüòå äëèíó õîðäû ÀN.

Ðèñ. 123

Ðèñ. 124

Ã ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

P

E

F

A

B

CНациональный

институт



169

44444.....6464646464..... Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è

ðàäèóñîì ÎÌ = 35 ìì. Ïðîâåäèòå ÷åðåç òî÷êó M õîð-

äó òàê, ÷òîáû îíà áûëà:

1) ìåíüøå ðàäèóñà; 2) ðàâíà ðàäèóñó;

3) áîëüøå ðàäèóñà; 4) ðàâíà äèàìåòðó.

44444.....6565656565..... Íà ðèñóíêå 125 èçîáðàæåíû äâå îêðóæíîñòè ñ

öåíòðàìè Î è C. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ êàæäîé îêðóæ-

íîñòè, åñëè ÌK = 2 äì 1 ñì.

4.66.4.66.4.66.4.66.4.66. Íà ðèñóíêå 126 èçîáðàæåíû äâå îêðóæíîñòè ñ

öåíòðàìè O è C òàê, ÷òî îíè èìåþò îäíó îáùóþ òî÷-

êó Å. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ áîëüøåé îêðóæíîñòè, åñ-

ëè ÐR = 24 ñì, à ðàäèóñ ìåíüøåé îêðóæíîñòè ðàâåí

3 ñì.

44444.....6767676767.....* Íà ðèñóíêå 127 äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè

O1 è O

2 èìåþò ðàäèóñû, ðàâíûå 5 ñì. Íàéäèòå äëè-

íó îòðåçêà O1Î

2, åñëè:

1) BD = 19 ñì; 2) BD = 12 ñì;

3) BD = 24 ñì; 4) BD = 43 ñì.

Ðèñ. 126Ðèñ. 125

Ðèñ. 127


O1

B DO2 O1

B DO2

а) б)


институт



170

44444.....6868686868.....* Íà ðèñóíêå 128 îêðóæíîñòè

ñ öåíòðàìè O1

è O2 èìåþò ñîîòâåò-

ñòâåííî ðàäèóñû 3 ñì è 5 ñì. Íàé-

äèòå äëèíó îòðåçêà:

1) O1O

2, åñëè ÌK = 20 ñì;

2) PF, åñëè ÌK = 30 ñì;

3) PF, åñëè MK áîëüøå PF â 2 ðàçà.

44444.....6969696969..... à) Íà ñêîëüêî ðàâíûõ ÷àñòåé ìîæíî ðàçáèòü

îêðóæíîñòü, åñëè âçÿòü íà íåé:

1) 2 òî÷êè; 2) 3 òî÷êè;

3) 4 òî÷êè; 4) 15 òî÷åê?

á) Íà ñêîëüêî ðàâíûõ ÷àñòåé ìîæíî ðàçáèòü îò-

ðåçîê, åñëè âçÿòü íà íåì:

1) 3 òî÷êè; 2) 4 òî÷êè;

3) 5 òî÷åê; 4) 14 òî÷åê?

4.5. Êðóã

Îêðóæíîñòü ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé

ëèíèåé. Îíà ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà

äâå ÷àñòè — âíóòðåííþþ è âíåøíþþ

(ðèñ. 129).

×àñòü ïëîñêîñòè, íàõîäÿùàÿñÿ âíóòðè îêðóæ-

íîñòè, âìåñòå ñ ýòîé îêðóæíîñòüþ íàçûâà-

åòñÿ êðóãîì.

Ãîâîðÿò åùå, ÷òî êðóã — ýòî ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðà-

íè÷åííàÿ îêðóæíîñòüþ. Öåíòðîì êðóãà íàçûâàåòñÿ

öåíòð ýòîé îêðóæíîñòè. Ðàäèóñîì êðóãà íàçûâàåòñÿ

ðàäèóñ ýòîé îêðóæíîñòè. Äèàìåòðîì êðóãà íàçû-

âàåòñÿ äèàìåòð ýòîé îêðóæíîñòè. Õîðäîé êðóãà íà-

çûâàåòñÿ õîðäà ýòîé îêðóæíîñòè.

Ðèñ. 128

Ðèñ. 129


институт



171

Íàïîìíèì, ÷òî îêðóæíîñòü ñîñòîèò èç òî÷åê, óäà-

ëåííûõ îò åå öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åå ðàäèóñó.

Êðóã ñîñòîèò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàí-

íîé òî÷êè (åãî öåíòðà) íà ðàññòîÿíèå, ìåíü-

øåå èëè ðàâíîå åãî ðàäèóñó.

Âîïðîñû

1. Êàêèå ïðåäìåòû, íàïîìèíàþùèå ïî ôîðìå êðóã, âû ìî-

æåòå íàçâàòü?

2. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) êðóãîì; á) öåíòðîì êðóãà; â) ðà-

äèóñîì êðóãà; ã) äèàìåòðîì êðóãà; ä) õîðäîé êðóãà?

3. Èç êàêèõ òî÷åê ñîñòîèò: à) îêðóæíîñòü; á) êðóã?


44444.....7070707070.....° Ïóñòü Î — òî÷êà íà ïëîñêîñòè. Êàêóþ ôèãóðó

îáðàçóþò âñå òî÷êè ïëîñêîñòè, íàõîäÿùèåñÿ íà ðàñ-

ñòîÿíèè 4 ñì 5 ìì îò òî÷êè Î?

Íà÷åðòèòå ýòó ôèãóðó.

44444.....7171717171.....° Íà ðèñóíêàõ 130 è 131 íàçî-

âèòå òî÷êè, ëåæàùèå:

1) âíóòðè êðóãà;

2) âíå êðóãà;

3) íà îêðóæíîñòè. Ðèñ. 130

Ðèñ. 131

4.5. Êðóã

С ED

A B

F

B

P

E

OA

FR

L

T

Q

F

AN

C

S

K

M

а) б)Национальный

институт



172

44444.....7272727272..... Èçîáðàçèòå êðóã ñ ðàäèóñîì 3 ñì è îòìåòüòå

òðè òî÷êè, ëåæàùèå:

1) âíóòðè êðóãà; 2) âíå êðóãà;

3) íà îêðóæíîñòè; 4) íà åãî äèàìåòðå.

44444.....7373737373..... Èçîáðàçèòå êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è äèàìåò-

ðîì, ðàâíûì 12 ñì. Îòìåòüòå òî÷êè À, Â, Ñ, D, Å òàê,

÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ: ÎÀ = 5 ñì, ÎÂ = 7 ñì,

ÎÑ = 6 ñì, OD = 12 ñì, ÎÅ = 60 ìì.

44444.....7474747474..... Íàéäèòå äèàìåòð êðóãà, åñëè åãî ðàäèóñ ðàâåí:

1) 4 äì; 2) 19 ñì;

3) 2 ì 99 ñì; 4) 6 äì 5 ñì.

44444.....7575757575..... Íàéäèòå ðàäèóñ êðóãà, åñëè åãî äèàìåòð ðàâåí:

1) 13 äì; 2) 24 ñì;

3) 1 ì 32 ñì; 4) 15 äì 4 ñì.

44444.....7676767676.....* Ïîñòðîéòå äâà êðóãà òàê, ÷òîáû ðàäèóñ îäíîãî

êðóãà áûë ðàâåí 6 ñì è ðàâåí äèàìåòðó äðóãîãî êðó-

ãà, à ýòè êðóãè èìåëè òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó. Îïðå-

äåëèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè äàííûõ êðóãîâ.

4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì

Îäíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî íå âñåãäà äåëèòñÿ íà äðó-

ãîå. Áóäåì äåëèòü, íàïðèìåð, 47 íà 6:

47 6

42 7

5

Çíà÷èò, 47 íå äåëèòñÿ íà 6. Â ÷èñëå 47 ñîäåðæèò-

ñÿ 7 ðàç ïî 6 è åùå 5. Èìååì:

47 = 6 . 7 + 5,

÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàçäåëèëè 47 íà 6 ñ îñòàòêîì 5.

−


институт



173

×èñëî 47 íàçûâàåòñÿ äåëèìûì, ÷èñëî 6 — äåëè-

òåëåì, ÷èñëî 7 — ÷àñòíûì (ãîâîðÿò åùå íåïîëíûì

÷àñòíûì), à ÷èñëî 5 — îñòàòêîì ïðè äåëåíèè

47 íà 6.Çàìåòèì, ÷òî

îñòàòîê ìåíüøå äåëèòåëÿ.

Ðåçóëüòàò äåëåíèÿ 47 íà 6 ìîæíî çàïèñàòü è òàê:

47 = 6 . 7 (îñò. 5).

Ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì íàòóðàëüíîå ÷èñëî à

íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî b — ýòî çíà÷èò íàé-

òè òàêèå ÷èñëà ñ è r, ÷òîáû äëÿ íèõ áûëî

âåðíî ðàâåíñòâî

a = b ⋅⋅⋅⋅⋅ c + r, ãäå r < b.

Åñëè îäíî ÷èñëî äåëèòñÿ íà äðóãîå, òî ìû åùå

ãîâîðèì, ÷òî «îíî äåëèòñÿ ñ îñòàòêîì, ðàâíûì íó-

ëþ», èëè «äåëèòñÿ áåç îñòàòêà», èëè «äåëèòñÿ

íàöåëî».

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Ðåçóëüòàò äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì çàïèñàëè â

âèäå ðàâåíñòâà

17 = 23 . ñ + r.

Îïðåäåëèòü ÷èñëà ñ è r.

Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ñ = 0 (ïîÿñíèòå ïî÷åìó), òî r = 17.

Îòâåò: ñ = 0; r = 17.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Ðàçäåëèòü 78 ñ îñòàòêîì íà:

à) 38; á) 39; â) 81.

Ðåøåíèå. à) 78 = 38 . 2 (îñò. 2);

á) 78 = 39 . 2 (îñò. 0);

â) 78 = 81 . 0 (îñò. 78).

4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîìНациональный

институт



174

Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî

îñòàòîê îò äåëåíèÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî÷èñëà íà 10 ðàâåí ïîñëåäíåé öèôðå ýòîãî

÷èñëà.

Êðîìå òîãî, ïî ïîñëåäíåé öèôðå ÷èñëà ìîæíî ñó-

äèòü î åãî äåëèìîñòè íà 2, íà 5, íà 10. À ïî÷åìó?

Ðàçîáðàòüñÿ ñ ýòèì ïîìîæåò äåëåíèå ñ îñòàòêîì.

Íàïðèìåð, ðàçäåëèâ ÷èñëî 9735 ñ îñòàòêîì íà 10,

ïîëó÷èì:

9735 = 973 . 10 + 5.

Â ïðàâîé ÷àñòè ÷èñëî 973 . 10 — ïåðâîå ñëàãàåìîå

ñóììû äåëèòñÿ è íà 2, è íà 5, è íà 10. À âòîðîå

ñëàãàåìîå, ðàâíîå 5, — ýòî îñòàòîê îò äåëåíèÿ 9735

íà 10. Âòîðîå ñëàãàåìîå íå äåëèòñÿ íà 2 (íà 10), ïî-

ýòîìó è ñóììà íå äåëèòñÿ íà 2 (íà 10). Âòîðîå ñëà-

ãàåìîå äåëèòñÿ íà 5, ïîýòîìó è ñóììà äåëèòñÿ íà 5.

Âîïðîñû

1. ×òî çíà÷èò: ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì ÷èñëî à íà ÷èñëî b?

2. Êàê ìîæíî çàïèñàòü ðåçóëüòàò äåëåíèÿ 79 íà 12 ñ îñ-

òàòêîì? Óêàæèòå â ïîëó÷åííîé çàïèñè: äåëèìîå, äåëè-

òåëü, ÷àñòíîå (íåïîëíîå ÷àñòíîå), îñòàòîê.

3. Ìîæåò ëè ïðè äåëåíèè îñòàòîê áûòü: à) áîëüøå äåëè-

òåëÿ; á) ðàâåí äåëèòåëþ; â) ðàâåí äåëèìîìó; ã) ìåíüøå

÷àñòíîãî; ä) ðàâåí ÷àñòíîìó; å) áîëüøå ÷àñòíîãî?

4.* Îò ÷åãî çàâèñèò äåëèìîñòü ÷èñëà: à) íà 2; á) íà 5;

â) íà 10?


44444.....7777777777.....° Ìîæåò ëè (ïîÿñíèòå ïî÷åìó) ïðè äåëåíèè ÷èñåë

íà 7 ïîëó÷èòüñÿ îñòàòîê:

1) 1; 2) 0; 3) 7;

4) 6; 5) 9; 6) 3?


институт



175

44444.....7878787878..... Ñêîëüêî îñòàòêîâ (íàçîâèòå èõ) ìîæåò ïîëó÷èòü-

ñÿ ïðè äåëåíèè ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà:

1) 4; 2) 8; 3) 5;

4) 14; 5) 32; 6) 50?

44444.....7979797979.....° Êàêèå îñòàòêè ìîãóò ïîëó÷èòüñÿ ïðè äåëåíèè

íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà:

1) 1; 2) 2; 3) 3;

4) 6; 5) 11; 6) 16?

44444.....8080808080.....° Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëå-

íèè íà 2 ÷èñëà:

1) 49; 2) 71;

3) 194; 4) 398;

5) 38 787; 6) 890 105.

44444.....8181818181.....° Ðàçäåëèòå ñ îñòàòêîì:

1) 55 íà 9; 2) 29 íà 4;

3) 1593 íà 18; 4) 3491 íà 20;

5) 798 íà 987; 6) 495 íà 549.

44444.....8282828282..... Íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 10 ÷èñëà:

1) 990; 2) 2763;

3) 60 109; 4) 1 000 008.

44444.....8383838383..... Íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 5 ÷èñëà:

1) 8; 2) 26;

3) 4601; 4) 43 827.

5) 6785; 6) 27 830.

44444.....8484848484..... Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, îïðåäåëèòå, êàêèå îñòàòêè

ïîëó÷àþòñÿ ïðè äåëåíèè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3598,

73 704, 58 165, 149 356 íà:

1) 2; 2) 5; 3) 10.


институт



176

44444.....8585858585..... Ðàçäåëèòå ñ îñòàòêîì è ñäåëàéòå ïðîâåðêó:

1) 47 534 íà 23; 2) 48 245 íà 46;

3) 136 017 íà 214; 4) 257 250 íà 315.

44444.....8686868686..... Ïðîâåðüòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî, è íàçîâèòå äåëè-

ìîå, äåëèòåëü, ÷àñòíîå è îñòàòîê:

1) 9566 = 326 . 29 + 25; 2) 2446 = 147 . 16 + 94;

3) 6419 = 493 . 13 + 10; 4) 224 = 325 . 0 + 224.

44444.....8787878787..... Èñïîëüçóÿ òàáëèöó, çàïèøèòå â âèäå ðàâåíñòâà

ñâÿçü ìåæäó äåëèìûì, äåëèòåëåì, ÷àñòíûì è îñòàò-

êîì. Óêàæèòå çíà÷åíèÿ p, k, q, l, s, m, d, n.

Äåëèìîå 61 35 42 43 s 125 d 140

Äåëèòåëü 14 k 8 7 5 25 12 n

×àñòíîå p 3 5 l 11 5 3 5

Îñòàòîê 5 2 q 1 3 m 7 15

44444.....8888888888..... Íàéäèòå íàèìåíüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå

ïðè äåëåíèè ñ îñòàòêîì:

1) íà 2 äàåò â îñòàòêå 1;



4) íà 15 äàåò â îñòàòêå 14.

44444.....8989898989..... Íàéäèòå òðè íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, êîòîðûå ïðè

äåëåíèè ñ îñòàòêîì íà 8 äàþò â îñòàòêå ÷èñëî:

1) 1; 2) 2; 3) 5; 4) 7.

44444.....9090909090.....* Íàéäèòå íàèìåíüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå

ïðè äåëåíèè ñ îñòàòêîì:

1) íà 2 è íà 3 äàåò îñòàòîê 1;



4) íà 3, íà 4 è íà 5 äàåò îñòàòîê 2.


институт



177

44444.....9191919191..... Ñðåäè ÷èñåë 15, 40, 145, 560, 712, 855, 889, 990,

1001, 1540 óêàæèòå ÷èñëà, êîòîðûå:

1) äåëÿòñÿ íà 2;

2) äåëÿòñÿ íà 5;

3) äåëÿòñÿ è íà 2, è íà 5.

44444.....9292929292..... Çàïèøèòå òðåõçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿ-

ùååñÿ íà 5, è ïÿòèçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå äåëÿ-

ùååñÿ íà 5. Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà è ðàçíîñòü ýòèõ

÷èñåë íå äåëÿòñÿ íà 5?

44444.....9393939393..... Çàïèøèòå ïÿòèçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êðàò-

íîå 5, è äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êðàòíîå 10. Âåðíî ëè, ÷òî

èõ ñóììà, ðàçíîñòü, ïðîèçâåäåíèå äåëÿòñÿ íà 2 è íà 5?

44444.....9494949494..... Êàêîé îñòàòîê ïîëó÷èòñÿ ïðè äåëåíèè ñóììû

äâóõ ÷èñåë íà 5, åñëè:

1) ïåðâîå ñëàãàåìîå êðàòíî 5, âòîðîå äåëèòñÿ íà 5

ñ îñòàòêîì 3;

2) ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðè äåëåíèè íà 5 äàåò îñòàòîê 1,

âòîðîå — 2?

44444.....9595959595..... Êàêèì áóäåò îñòàòîê ïðè äåëåíèè ñóììû äâóõ

÷èñåë íà 10, åñëè èçâåñòíû îñòàòêè ïðè äåëåíèè ñëà-

ãàåìûõ íà 10 (ñì. òàáëèöó)?

Íîìåð

çàäàíèÿ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Îñòàòêè ïðè

äåëåíèè ïåð-

âîãî ñëàãàå-1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 7 3 6

ìîãî íà 10

Îñòàòêè ïðè

äåëåíèè âòî-

ðîãî ñëàãàå-3 4 6 1 7 9 2 3 8 6 9 5 2

ìîãî íà 10


институт



178

44444.....9696969696..... Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 ñóììà:

1) 30 + 45; 2) 84 + 90;

3) 29 810 + 5360; 4) 7400 + 3012?

44444.....9797979797..... Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 ïðîèçâå-

äåíèå:

1) 7219 . 4000; 2) 3749 . 1001;

3) 38 200 . 55; 4) 740 235 . 102?

44444.....9898989898..... Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 çíà÷åíèå

âûðàæåíèÿ:

1) 32 . 10 + 6; 2) 49 . 100 + 25;

3) 649 . 1000 + 80; 4) 168 . 10 + 71?

44444.....9999999999..... ×èñëî m êðàòíî 2. Êàêèå îñòàòêè ïðè äåëåíèè

íà 10 ìîæåò äàòü çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:

1) m + 12; 2) m − 3;

3) 5 . m; 4) 5 . m + 9;

5) 10 . m − 6; 6) m . 100 − 42?

44444.....100100100100100.....* ×èñëî à êðàòíî 5. Êàêèå îñòàòêè ïðè äåëåíèè

íà 10 ìîæåò äàòü çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:

1) à + 8; 2) à − 4;

3) à + 15; 4) 2 . à;

5) 2 . à + 4; 6) 4 . à − 1?

44444.....101101101101101..... Ñ êîðàáëÿ íà áåðåã íàäî îäíîâðåìåííî ïåðåâåçòè

129 ïàññàæèðîâ. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî 12-ìåñò-

íûõ ëîäîê ïîòðåáóåòñÿ äëÿ ýòîãî?

44444.....102102102102102..... Ñêîëüêî íàäî 3-ëèòðîâûõ áàíîê, ÷òîáû ïåðåëèòü

â íèõ ìîëîêî èç 10-ëèòðîâîãî âåäðà?

44444.....103103103103103..... Â ÿùèê ïîìåùàåòñÿ 20 êã ÿáëîê. Ñêîëüêî ÿùè-

êîâ íàäî ïîäãîòîâèòü, ÷òîáû óëîæèòü íà õðàíåíèå

250 êã ÿáëîê?


институт



179

44444.....104104104104104..... à) Â êóïåéíîì âàãîíå 36 ìåñò, â êàæäîì êóïå

4 ìåñòà. Â êàêîì êóïå íàõîäèòñÿ ïàññàæèðñêîå ìåñòî:

1) ¹ 8; 2) ¹ 15; 3) ¹ 25; 4) ¹ 31?

á) Êàêèå åùå íîìåðà ìåñò ðàñïîëîæåíû â êóïå, â êî-

òîðîì íàõîäèòñÿ ìåñòî:

1) ¹ 23; 2) ¹ 10; 3) ¹ 30; 4) ¹ 27?

44444.....105105105105105..... Íà êàæäîì ýòàæå äåâÿòèýòàæíîãî äîìà íàõî-

äèòñÿ 4 êâàðòèðû. Â êàêîì ïîäúåçäå è íà êàêîì ýòà-

æå íàõîäèòñÿ êâàðòèðà:

1) ¹ 128; 2) ¹ 215;

3) ¹ 302; 4) ¹ 337?

44444.....106106106106106.....* Óêàæèòå îáùèé âèä âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êî-

òîðûå ïðè äåëåíèè íà 3 äàþò â îñòàòêå: à) 0; á) 1; â) 2.

4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè

íà 9 è íà 3

Ìû çíàåì, ÷òî äåëèìîñòü ÷èñëà íà 2, íà 5 è íà 10

çàâèñèò òîëüêî îò åãî ïîñëåäíåé öèôðû. À âîò ñóäèòü

ïî ïîñëåäíåé öèôðå, äåëèòñÿ ëè ÷èñëî íà 9 èëè íà 3,

íåëüçÿ.

Íàïðèìåð, è ÷èñëî 18, è ÷èñëî 28 îêàí÷èâàþòñÿ

öèôðîé 8. Ïåðâîå èç íèõ äåëèòñÿ íà 9, à âòîðîå íå

äåëèòñÿ.

Óêàæåì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9:

åñëè ñóììà öèôð1) ÷èñëà äåëèòñÿ íà 9, òî

è ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9. Âñå îñòàëüíûå

íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 9 íå äåëÿòñÿ.________

1) Äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóëèðîâîê äîãîâàðèâàþòñÿ ñóì-

ìîé öèôð íàçûâàòü ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîçíà÷íûõ

÷èñåë.


институт



180

Íàïðèìåð, ñóììà öèôð ÷èñëà 3267 = 3 + 2 + 6 + 7 = 18,

îíà äåëèòñÿ íà 9. Ïîýòîìó è ÷èñëî 3267 äåëèòñÿ íà 9.

Ñóììà öèôð ÷èñëà 3266 ðàâíà 17, îíà íå äåëèòñÿ

íà 9. Ïîýòîìó è ñàìî ÷èñëî 3266 íå äåëèòñÿ íà 9.

Ïîÿñíèì, ïî÷åìó äåëèìîñòü ÷èñëà íà 9 çàâèñèò îò

ñóììû åãî öèôð. ×èñëî 3267 ïðåäñòàâèì â âèäå ñóì-

ìû åãî ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ (ñì. ï. 1.4) è ïðåîáðà-

çóåì åå:

3267 = 3 . 1000 + 2 . 100 + 6 . 10 + 7 == 3 . (999 + 1) + 2 . (99 + 1) + 6 . (9 + 1) + 7 =

= (3 . 999 + 2 . 99 + 6 . 9) + (3 + 2 + 6 + 7).

Ñóììà â ïåðâûõ ñêîáêàõ òðåòüåé ñòðîêè äåëèòñÿ

íà 9, òàê êàê êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà 9. È ñóì-

ìà âî âòîðûõ ñêîáêàõ (ýòî ñóììà öèôð äàííîãî ÷èñ-

ëà) òàêæå äåëèòñÿ íà 9. Ïîýòîìó è äàííîå ÷èñëî äå-

ëèòñÿ íà 9.

Óêàæåì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3:

åñëè ñóììà öèôð ÷èñëà äåëèòñÿ íà 3, òî è

ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 3. Âñå îñòàëüíûå íà-

òóðàëüíûå ÷èñëà íà 3 íå äåëÿòñÿ.

Íàïðèìåð, ñóììà öèôð ÷èñëà 3216 ðàâíà 12, îíà

äåëèòñÿ íà 3. Ïîýòîìó è ÷èñëî 3216 äåëèòñÿ íà 3.

Ñóììà öèôð ÷èñëà 3214 ðàâíà 10, îíà íå äåëèòñÿ

íà 3. Ïîýòîìó è ñàìî ÷èñëî 3214 íå äåëèòñÿ íà 3.

Ïîÿñíåíèå ïðèçíàêà äåëèìîñòè íà 3 àíàëîãè÷íî

ïîÿñíåíèþ ïðèçíàêà äåëèìîñòè íà 9.

Âîïðîñû




институт



181


44444.....107107107107107.....° Ñðåäè ÷èñåë 15, 18, 30, 90, 126, 417, 585, 9990,

30 335 íàéäèòå ÷èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ:

1) íà 3; 2) íà 9;

3) íà 2 è íà 3; 4) íà 5 è íà 9.

44444.....108108108108108.....° Ñðåäè ÷èñåë 3756, 64 953, 17 193, 5 558 247,

10 010 001, 303 003 009 íàéäèòå òå, êîòîðûå äåëÿòñÿ:

1) íà 3;

2) íà 9;

3) íà 3, íî íå äåëÿòñÿ íà 9.

44444.....109109109109109..... Âåðíî ëè (îòâåò îáúÿñíèòå), ÷òî åñëè ÷èñëî:

1) äåëèòñÿ íà 3, òî îíî äåëèòñÿ è íà 9;

2) äåëèòñÿ íà 9, òî îíî äåëèòñÿ è íà 3?

44444.....111111010101010..... Âåðíî ëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ íàòóðàëüíûõ

÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 3, äåëèòñÿ íà 9? Ïðèâåäèòå

ïðèìåðû.

44444.....111111111111111..... Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíèòü ñèìâîë ☺ â

çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî,

êðàòíîå: à) 3; á) 9, åñëè:

1) n = 1☺3; 2) n = 89☺;

3) n = 5☺61; 4) n = 47☺2?

44444.....111111212121212..... Íàéäèòå ñóììó âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòî-

ðûå äåëÿòñÿ: à) íà 3; á) íà 9 è ðàñïîëîæåíû â íàòó-

ðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè:

1) 1 è 12; 2) 17 è 23;

3) 56 è 72; 4) 199 è 210.

44444.....111111313131313.....° Íàéäèòå ñóììó âñåõ äâóçíà÷íûõ ÷èñåë áîëü-

øèõ 60 è ìåíüøèõ 86:

1) êðàòíûõ ÷èñëó 9; 2) êðàòíûõ ÷èñëó 3.


институт



182

44444.....111111414141414..... Íàéäèòå ñóììó íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî òðåõ-

çíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå îáà:

1) äåëÿòñÿ íà 3; 2) êðàòíû ÷èñëó 9.

44444.....111111515151515..... Äåëèòñÿ ëè íà 3 è äåëèòñÿ ëè íà 9 çíà÷åíèå

âûðàæåíèÿ:

1) 828 + 315; 2) 273 . 411;

3) 1125 − 105; 4) 102 : 17?

44444.....111111616161616.....* Âåðíî ëè (ïðèâåäèòå ïðèìåðû), ÷òî:

1) ñóììà òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷è-

ñåë äåëèòñÿ íà 3;

2) ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëü-

íûõ ÷èñåë êðàòíî ÷èñëó 3?

44444.....111111717171717..... Äåëÿòñÿ ëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà 63 366 933 039,

993 693 330 093, 333 333 333, 6 666 600 333 íà:

1) 3; 2) 9?

4.14.14.14.14.118.18.18.18.18. 1) Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëà 444 444, 777 777 777 777

êðàòíû ÷èñëó 3?

2) Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëà 111 111 111, 888 888 888,

9 999 999, 666 666 666 666 êðàòíû ÷èñëó 9?

44444.....111111919191919..... Óêàæèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòî-

ðîå äåëèòñÿ: à) íà 3; á) íà 9, èñïîëüçóÿ â åãî çàïèñè

òîëüêî öèôðó:

1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 6.

44444.....120120120120120..... Âàäèì è Àëåøà çàïèñàëè îäíî è òî æå ÷èñëî.

Âàäèì óìíîæèë ÷èñëî íà 3 è ïîëó÷èë 8721. Àëåøà

óìíîæèë ýòî ÷èñëî íà 9. Êàêîå çíà÷åíèå ïðîèçâåäå-

íèÿ ïîëó÷èë Àëåøà?


институт



183

44444.....121121121121121..... Çàïèøèòå îñòàòêè, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷å-

íû ïðè äåëåíèè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà:

1) 3; 2) 9; 3) 6; 4) 12.

44444.....122122122122122.....* Äåëèòñÿ ëè íà 3 ñóììà äâóõ ÷èñåë, åñëè èçâå-

ñòíû èõ îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 3 (ñì. òàáëèöó)?

Îñòàòîê ïðè äåëåíèè

íà 3 ïåðâîãî ñëàãàåìîãî0 1 2 2 2 0

Îñòàòîê ïðè äåëåíèè

íà 3 âòîðîãî ñëàãàåìîãî1 1 0 1 2 0

44444.....123123123123123..... Êàêèìè äîëæíû áûòü îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 9

êàæäîãî ñëàãàåìîãî ñóììû äâóõ ÷èñåë, ÷òîáû îíà

áûëà êðàòíà ÷èñëó 9?

44444.....124124124124124..... 1) Çàïèøèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñ-

ëó 3 è çàêëþ÷åííûå ìåæäó ÷èñëàìè 420 è 456.

2) Ïîä÷åðêíèòå òå èç âûïèñàííûõ ÷èñåë, êîòîðûå

êðàòíû ÷èñëó 6.

3) Äåëÿòñÿ ëè ïîä÷åðêíóòûå ÷èñëà íà 2?

4) Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íàòóðàëüíîãî

÷èñëà íà 6.

44444.....125125125125125..... Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíèòü ñèìâîë ☺ â

çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî,

êðàòíîå ÷èñëó 6, åñëè:

1) n = 978☺; 2) n = 500☺;

3) n = 811☺; 4) n = 964☺?

44444.....126126126126126..... 1) Çàïèøèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñ-

ëó 3 è çàêëþ÷åííûå ìåæäó ÷èñëàìè 732 è 768.

2) Ïîä÷åðêíèòå òå èç âûïèñàííûõ ÷èñåë, êîòîðûå

êðàòíû ÷èñëó 5.

3)* Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íàòóðàëü-

íîãî ÷èñëà íà 15.


институт



184

44444.....127127127127127.....* Êàêîé öèôðîé ìîæíî çàìåíÿòü ñèìâîë ☺ â çà-

ïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü (åñëè ýòî

âîçìîæíî) ÷èñëî, êðàòíîå ÷èñëó 15, åñëè:

1) n = 3☺3☺; 2) n = 5☺5;

3) n = 23☺☺; 4) n = ☺99☺?

44444.....128128128128128..... Âåðíî ëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà, êðàòíîãî

÷èñëó 3, è ÷èñëà, êðàòíîãî ÷èñëó 4, äåëèòñÿ íà 12?

Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.

44444.....129129129129129.....* Ìîæíî ëè ïðèäóìàòü òàêîé ïðèìåð íà äåëå-

íèå ñ îñòàòêîì, ÷òîáû äåëèìîå îêàí÷èâàëîñü íà 9,

äåëèòåëü — íà 1, ÷àñòíîå — íà 7, à îñòàòîê îêàí÷è-

âàëñÿ íà 3?

4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä.

Êóá

Ïðåäñòàâëåíèå î ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïå-

äå äàþò, íàïðèìåð, ñïè÷å÷íûé êîðîáîê, êèðïè÷ è äð.

(ðèñ. 132). Ïîâåðõíîñòü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïè-

ïåäà ñîñòîèò èç 6 ãðàíåé, êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ

ïðÿìîóãîëüíèêîì (ðèñ. 133). Ñòîðîíû ýòèõ ïðÿìî-

óãîëüíèêîâ íàçûâàþòñÿ ðåáðàìè, à âåðøèíû ïðÿìî-

óãîëüíèêîâ — âåðøèíàìè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-

ëåïèïåäà. Ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 12 ðå-

áåð è 8 âåðøèí (ñì. ðèñ. 133).

Ðèñ. 132


институт



185

Ïðîòèâîïîëîæíûå ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-

ðàëëåëåïèïåäà ðàâíû.

Íèæíþþ è âåðõíþþ ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-

ðàëëåëåïèïåäà íàçûâàþò åãî îñíîâàíèÿìè, îñòàëüíûå

ãðàíè — áîêîâûìè ãðàíÿìè (ðèñ. 134). Íàçâàíèÿ

«íèæíÿÿ ãðàíü», «âåðõíÿÿ ãðàíü», «áîêîâàÿ ãðàíü» óñ-

ëîâíû. Íàïðèìåð, íà ðèñóíêàõ 135 è 136 èçîáðàæåí

îäèí è òîò æå ïàðàëëåëåïèïåä, à åãî âåðõíèå ãðàíè

íà ýòèõ ðèñóíêàõ ðàçëè÷íû.

Òðè ðåáðà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, êîòî-

ðûå èìåþò îáùóþ âåðøèíó, íàçûâàþòñÿ åãî èçìåðå-

íèÿìè: äëèíîé, øèðèíîé è âûñîòîé. Íàçâàíèÿ

«äëèíà», «øèðèíà», «âûñîòà» óñëîâíû. Òàê, íà ðè-

ñóíêàõ 135 è 136 èçîáðàæåí îäèí è òîò æå ïðÿìî-

Ðèñ. 133 Ðèñ. 134

Ðèñ. 135 Ðèñ. 136

4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåïèïåä. Êóá

A

B C

D

E

F K

L

верхняягрань

боковаягрань

вершина

ребро

нижняягрань


институт



186

óãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, à åãî âûñîòîé, íàïðèìåð,

íàçâàíû ðàçíûå ðåáðà.

Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, ó êîòîðîãî

âñå ðåáðà ðàâíû, íàçûâàåòñÿ êóáîì (ðèñ. 137).

Âîïðîñû

1. Êàêèå ïðåäìåòû, èìåþùèå ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-

ðàëëåëåïèïåäà, âû ìîæåòå íàçâàòü?

2. Êàêóþ ôîðìó èìåþò ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-

ëåïèïåäà?

3. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ðåáðîì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëå-

ïèïåäà; á) âåðøèíîé ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?

4. Ñêîëüêî ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà: à) ãðàíåé;

á) ðåáåð; â) âåðøèí?

5. ×òî òàêîå èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?

6. Êàê íàçûâàþòñÿ èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëå-

ïèïåäà?

7. ×òî òàêîå êóá?


44444.....130130130130130.....° Èñïîëüçóÿ èçîáðàæåíèÿ êóáà (ñì. ðèñ. 137) è

ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 138), íàçîâèòå:

1) âåðøèíû, ÷èñëî âåðøèí;

2) ðåáðà, ÷èñëî ðåáåð, ðàâíûå ðåáðà;

3) ãðàíè, ÷èñëî ãðàíåé, ðàâíûå ãðàíè.

A

B C

D

M

N K

P AM AB AD� �

Ðèñ. 137


институт



187

44444.....131131131131131.....° Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíî-

ãî ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè åãî èçìåðåíèÿ ðàâíû:

1) 9 ñì, 4 ñì, 15 ñì;

2) 25 ñì, 11 ñì, 8 ñì;

3) 3 ñì 2 ìì, 5 ñì 8 ìì, 1 äì;

4) 3 äì 5 ñì, 4 äì 9 ñì, 45 ìì.

44444.....132132132132132.....° Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð êóáà â ñàíòè-

ìåòðàõ, åñëè åãî ðåáðî ðàâíî:

1) 12 ñì; 2) 17 äì;

3) 150 ìì; 4) 2 ì 3 ñì.

44444.....133133133133133..... Äëèíà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíà

24 ñì, øèðèíà â 6 ðàç ìåíüøå äëèíû, à âûñîòà íà

5 ñì áîëüøå øèðèíû. Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðå-

áåð ïàðàëëåëåïèïåäà.

44444.....134134134134134..... Íàéäèòå ñóììó ïëîùàäåé âñåõ ãðàíåé êóáà, åñëè

ñóììà âñåõ åãî ðåáåð ðàâíà:

1) 60 ñì; 2) 108 äì;

3) 144 ì; 4) 252 ì.

44444.....135135135135135..... Ñêîëüêî êâàäðàòíûõ äåöèìåòðîâ êàðòîíà ïîòðå-

áóåòñÿ äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ïîäàðî÷íîé êîðîáêè, äëèíà

êîòîðîé 30 ñì, øèðèíà 40 ñì, âûñîòà 20 ñì?

44444.....136.136.136.136.136.* Èç êàæäîé áóìàæíîé ðàçâåðòêè (ðèñ. 139, 140)

èçãîòîâèëè ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Êàêèå îò-

ðåçêè, îáîçíà÷åííûå íà ðàçâåðòêå, ïðè ýòîì ñîâïàëè?

Ðèñ. 138

4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåïèïåä. Êóá

P

R S

T

F

K L

E


институт



188

44444.....137.137.137.137.137.* Ñóììà äëèí òðåõ èçìåðåíèé ïðÿìîóãîëüíîãî

ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíà 72 ñì. Ñóììà äëèíû è âûñîòû

ðàâíà 50 ñì, à øèðèíû è âûñîòû — 40 ñì. Íàéäèòå

ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïàðàëëåëåïèïåäà, ò. å. ñóììó

ïëîùàäåé âñåõ åãî ãðàíåé.

4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî

ïàðàëëåëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà

×òîáû èçìåðèòü îáúåì, íàäî âûáðàòü åäèíèöó

èçìåðåíèÿ îáúåìîâ. Êóá, ðåáðî êîòîðîãî ðàâíî

åäèíèöå èçìåðåíèÿ äëèíû, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì.

Îáúåì åäèíè÷íîãî êóáà ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó

èçìåðåíèÿ îáúåìîâ. Íàïðèìåð:

� îáúåì êóáà ñ ðåáðîì 1 ì ðàâåí îäíîìó êóáè÷å-

ñêîìó ìåòðó (ïèøåì: 1 êóá. ì èëè 1 ì3);

� îáúåì êóáà ñ ðåáðîì 1 ñì ðàâåí îäíîìó êóáè÷å-

ñêîìó ñàíòèìåòðó (ïèøåì: 1 êóá. ñì èëè 1 ñì3).

Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî íàçâàíèå åäèíèöû îáúåìà

ïîëó÷àåòñÿ èç íàçâàíèÿ åäèíèöû äëèíû ïðèñîåäè-

íåíèåì ïðèëàãàòåëüíîãî «êóáè÷åñêèé».

Åñëè ôèãóðó ìîæíî ðàçáèòü íà åäèíè÷íûå êóáû,

òî îáúåì ôèãóðû ðàâåí ÷èñëó ñîñòàâëÿþùèõ åå åäè-

íè÷íûõ êóáîâ.

Ðèñ. 139 Ðèñ. 140


институт



189

Ïðîùå âñåãî èçìåðèòü îáú-

åì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-

ëåïèïåäà. Íàïðèìåð, íà ðè-

ñóíêå 141 èçîáðàæåíû åäè-

íè÷íûé êóá è ïðÿìîóãîëü-

íûé ïàðàëëåëåïèïåä, äëèíà

êîòîðîãî ðàâíà 5 ñì, øèðè-

íà — 4 ñì è âûñîòà — 3 ñì. Åãî ìîæíî ðàçáèòü íà

3 ñëîÿ, â êàæäîì ñëîå — 5 . 4 åäèíè÷íûõ êóáîâ.

Âñåãî òàêèõ êóáîâ (5 . 4) . 3 = 60. Çíà÷èò, îáúåì ýòîãî

ïàðàëëåëåïèïåäà

V = 5 . 4 . 3 = 60 (ñì3).

Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðà-

âåí ïðîèçâåäåíèþ åãî èçìåðåíèé, ò. å. ïðîèç-

âåäåíèþ äëèíû, øèðèíû è âûñîòû.

Èòàê, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-

ëåïèïåäà a, b è c åäèíèö äëèíû, à åãî îáúåì V, òî:

V = a . b . c

Åñëè S — ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-

ðàëëåëåïèïåäà, òî S = a . b. Ñëåäîâàòåëüíî,

V = S . c

Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí

ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ è âûñîòû.

Êîãäà ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ÿâëÿåòñÿ

êóáîì ñ ðåáðîì à, òî a = b = c è

V = a3

(Èìåííî ïîýòîìó à3 ÷èòàåòñÿ «à êóá» èëè «à â êóáå».)

5

4

3

11

1

Ðèñ. 141

4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìàНациональный

институт



190

Ðàâåíñòâî V = a3 äàåò âîçìîæíîñòü âûðàæàòü îäíè

åäèíèöû îáúåìà ÷åðåç äðóãèå. Íàïðèìåð:

1 ì3 = 1 ì . 1 ì . 1 ì = 100 ñì . 100 ñì . 100 ñì == 1003 ñì3 = 1 000 000 ñì3;

1 êì3 = 1 êì . 1 êì . 1 êì = 1000 ì . 1000 ì . 1000 ì == 10003 ì3 = 1 000 000 000 ì3.

Åäèíèöà îáúåìà 1 äì3 èìååò åùå è äðóãîå íàçâà-

íèå — ëèòð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 ë). Ëèòð èñïîëüçóåòñÿ,

íàïðèìåð, äëÿ èçìåðåíèÿ îáúåìà æèäêîñòåé.

Âîïðîñû

1. ×òî òàêîå åäèíè÷íûé êóá?

2. ×òî ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ îáúåìîâ?

3. ×åìó ðàâåí îáúåì ôèãóðû, êîòîðóþ ìîæíî ðàçáèòü íà

åäèíè÷íûå êóáû?

4. ×åìó ðàâåí îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?

êóáà?


44444.....138138138138138.....° Ïðîçðà÷íóþ êîðîáêó çàïîëíÿþò êóáèêàìè ñ ðåá-

ðîì, ðàâíûì 1 ñì (ðèñ. 142). Ñêîëüêî êóáèêîâ âîéäåò

â êîðîáêó? Îïðåäåëèòå îáúåì êîðîáêè.

Ðèñ. 142


институт



191

Торт12 дм

9 дм

6 дм40 cм

30 cм

15 cм

а) б)

Песок

44444.....139139139139139.....° Íàéäèòå îáúåì êîðîáêè, èìåþùåé ôîðìó ïðÿìî-

óãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 143).

44444.....140140140140140.....° Âû÷èñëèòå îáúåì ÿùèêà è êîðîáêè, èìåþùèõ

ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 144).

44444.....141141141141141.....° Íàéäèòå îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïè-

ïåäà, åñëè åãî èçìåðåíèÿ ðàâíû:

1) 4 ñì, 6 ñì, 8 ñì;

2) 3 äì, 5 äì, 10 äì;

3) 6 ñì 2 ìì, 6 äì 2 ñì, 6 ì 2 äì;

4) 1 äì 2 ñì, 3 äì 8 ñì, 1 ì 5 ñì.

44444.....142142142142142.....° Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè åãî ðåáðî ðàâíî:

1) 2 ì; 2) 4 äì;

3) 5 ñì 4 ìì; 4) 1 ì 1 äì.

44444.....143143143143143..... Âûðàçèòå â êóáè÷åñêèõ äåöèìåòðàõ:

1) 1 ì3, 6 ì3, 45 ì3; 2) 14 ì3, 7 ì3, 13 ì3.

Ðèñ. 143

Ðèñ. 144


институт



192

44444.....144144144144144.....° Ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êóáîâ îáúåìîì 1 ñì3 íóæíî

âçÿòü, ÷òîáû ïîñòðîèòü èç íèõ ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàë-

ëåëåïèïåä ñ èçìåðåíèÿìè:

1) 1 ñì, 3 ñì, 8 ñì; 2) 5 ñì, 4 ñì, 1 äì;

3) 1 äì, 2 äì, 5 ñì; 4) 7 ñì, 6 ñì, 1 äì 5 ñì;

5) 2 ì, 3 äì, 40 ñì; 6) 30 ñì, 1 ì 21 ñì, 7 äì?

44444.....145145145145145..... Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êóáîâ îáúåìîì 1 ñì3

ìîæíî ðàçáèòü êóá ñ ðåáðîì:

1) 3 ñì; 2) 10 ñì;

3) 2 äì; 4) 5 äì 2 ñì?

44444.....146146146146146..... Â êàêóþ èç äâóõ êîðîáîê, èçîáðàæåííûõ íà ðè-

ñóíêå 145, ïîìåñòèòñÿ áîëüøå êóáèêîâ ñ ðåáðîì, ðàâ-

íûì 6 ñì, è íà ñêîëüêî áîëüøå?

44444.....147147147147147..... Ñðàâíèòå:

1) 90 ìì3 è 9 ñì3;

2) 500 ñì3 è 5 äì3;

3) 80 000 äì3 è 8 ì3;

4) 2000 ñì3 è 2 ì3;

5) 40 000 ìì3 è 4 äì3;

6) 1 ì3 25 äì3 è 1 250 000 ñì3.

44444.....148148148148148..... Íàéäèòå îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïå-

äà, åñëè åãî âûñîòà 12 ñì è ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ðàâíà:

1) 14 ñì2; 2) 98 ñì2;

3) 3 ì2; 4) 12 äì2.

54 см24 см

18 см30 см

18 см36 см

Ðèñ. 145


институт



193

44444.....149149149149149..... Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 3024 äì3.

Íàéäèòå ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ, åñëè âûñîòà ðàâíà:

1) 18 äì; 2) 7 äì;

3) 140 ñì; 4) 1200 ìì.

44444.....150150150150150..... Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè äëèíà åãî ðåáðà ðàâíà:

1) 7 ñì; 2) 9 äì;

3) 4 ì; 4) 10 ìì.

44444.....151151151151151..... Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè ïëîùàäü åãî íèæíåé

ãðàíè ðàâíà:

1) 25 ñì2; 2) 64 äì2;

3) 121 ì2; 4) 10 000 ìì2.

44444.....152152152152152..... Êàêèå èçìåðåíèÿ ìîæåò èìåòü ïðÿìîóãîëüíûé

ïàðàëëåëåïèïåä îáúåìîì V, åñëè êàæäîå åãî èçìåðå-

íèå âûðàæåíî íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ è:

1) V = 2 ñì3; 2) V = 3 ñì3;

3) V = 4 ñì3; 4) V = 30 ñì3?

44444.....153153153153153..... Ñóùåñòâóåò ëè êóá, äëèíà ðåáðà êîòîðîãî âûðà-

æåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, à îáúåì ðàâåí:

1) 4 ñì3; 2) 1000 ìì3;

3) 100 äì3; 4) 64 ì3?

44444.....154154154154154..... Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 8 äì3.

Íàéäèòå èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè âñå îíè

âûðàæåíû ðàçëè÷íûìè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè.

44444.....155155155155155..... Äëèíà àêâàðèóìà 90 ñì, øèðèíà 40 ñì, âûñîòà

60 ñì. Ñêîëüêî ëèòðîâ âîäû ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû íà-

ïîëíèòü àêâàðèóì?


институт



194

44444.....156156156156156.....* Âîäó èç ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîãî àêâàðèóìà,

èìåþùåãî ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà,

ïåðåëèëè â àêâàðèóì â ôîðìå êóáà. Êàêèì íàòó-

ðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ âûðàæåíà äëèíà ðåáðà

ýòîãî êóáà, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî àêâàðèóìà

ðàâíû:

1) 10 ñì, 40 ñì, 20 ñì;

2) 25 ñì, 60 ñì, 18 ñì?

44444.....157157157157157.....* Ïî äàííûì íà ðèñóíêå 146 âû÷èñëèòå îáúåì

ôèãóðû.

4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Ïîåçä èäåò ñî ñêîðîñòüþ 67км

.ч

Êàêîå ðàñ-

ñòîÿíèå îí ïðîéäåò çà 5 ÷?

Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü ïîåçäà ÷èñëåííî ðàâíà ðàññòîÿíèþ,

êîòîðîå îí ïðîõîäèò çà åäèíèöó âðåìåíè. À ïî óñëî-

âèþ çàäà÷è çà 1 ÷ ïîåçä ïðîåçæàåò 67 êì. Çíà÷èò,

çà 5 ÷ îí ïðîéäåò

67 . 5 = 335 (êì).

Îòâåò: 335 êì.

Ðèñ. 146


4 дм

8 дм

3 дм

1д

м

2 дм5 дм

а) б)

27 см

18 см

48 см

12 с

м12

см

3 см


институт



195


÷òîáû íàéòè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå, íàäî

ñêîðîñòü äâèæåíèÿ óìíîæèòü íà âðåìÿ äâè-

æåíèÿ.

Åñëè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå îáîçíà÷èòü áóêâîé s,

ñêîðîñòü äâèæåíèÿ áóêâîé v, à âðåìÿ äâèæåíèÿ áóê-

âîé t, òî ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê:

s = v . t

Ðàññòîÿíèå s ìîæåò èçìåðÿòüñÿ â êèëîìåòðàõ, ìåò-

ðàõ, ñàíòèìåòðàõ è äðóãèõ åäèíèöàõ äëèíû. Âðå-

ìÿ t — â ÷àñàõ, ìèíóòàõ, ñåêóíäàõ è äðóãèõ åäèíèöàõ

âðåìåíè.

Ñêîðîñòü, íàïðèìåð, ïîåçäà, ïåøåõîäà, àâòîìîáè-

ëÿ — ýòî ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå èìè çà åäèíèöó

âðåìåíè. Ïîýòîìó åäèíèöû, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ

äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè, çàâèñÿò îò òîãî, â êàêèõ

åäèíèöàõ èçìåðÿþòñÿ ðàññòîÿíèå è âðåìÿ. Åäèíèöû

èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè çàïèñûâàþò òàê:км км м

, ,ч мин с

. Íà-

ïðèìåð, çàïèñü 67км

ч ÷èòàåòñÿ: «67 êèëîìåòðîâ â ÷àñ».

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Ñàäîâàÿ óëèòêà ïðîïîëçëà 120 ñì çà 5 ìèí.

Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îíà ïîëçëà?

Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü óëèòêè — ýòî ðàññòîÿíèå, êîòîðîå

îíà ïðîïîëçëà çà 1 ìèí. Çà 5 ìèí îíà ïðîïîëçëà

120 ñì, çíà÷èò, çà 1 ìèí — â 5 ðàç ìåíüøå. Ñëåäîâà-

òåëüíî, ñêîðîñòü óëèòêè

120 : 5 = 24см

.мин

Îòâåò: 24см

.мин

4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèåНациональный

институт



196


÷òîáû íàéòè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, íàäî ïðîé-

äåííîå ðàññòîÿíèå ðàçäåëèòü íà âðåìÿ äâè-

æåíèÿ.

Èñïîëüçóÿ áóêâû, ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê:

v = s : t

×òîáû íàéòè âðåìÿ äâèæåíèÿ, íàäî ïðîé-

äåííîå ðàññòîÿíèå ðàçäåëèòü íà ñêîðîñòü

äâèæåíèÿ.

Èñïîëüçóÿ áóêâû, ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê:

t = s : v

Âîïðîñû

1. Êàê íàéòè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå, çíàÿ ñêîðîñòü äâèæå-

íèÿ è âðåìÿ äâèæåíèÿ?

2. Êàê íàéòè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, çíàÿ ïðîéäåííîå ðàññòîÿ-

íèå è âðåìÿ äâèæåíèÿ?

3. Êàê íàéòè âðåìÿ äâèæåíèÿ, çíàÿ ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå

è ñêîðîñòü äâèæåíèÿ?


44444.....158158158158158.....° Ïåøåõîä øåë 3 ÷ ñî ñêîðîñòüþ 4км

ч è 4 ÷ ñî

ñêîðîñòüþ 5км

ч. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå

ïåøåõîäîì.

44444.....159159159159159.....° Êîñìè÷åñêàÿ ðàêåòà ïðîëåòåëà çà t ìèí

24 640 êì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ëåòåëà ðàêåòà? Ñî-


институт



197

ñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è è íàéäèòå

åãî çíà÷åíèå ïðè t, ðàâíîì:

1) 40; 2) 55; 3) 44; 4) 56.

44444.....160160160160160.....° Êîñìè÷åñêàÿ ðàêåòà ïðîëåòåëà s êì ñî ñêîðîñòüþ

580км

мин. Ñêîëüêî ìèíóò ëåòåëà ðàêåòà? Ñîñòàâüòå

âûðàæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è è íàéäèòå åãî çíà÷å-

íèå ïðè s, ðàâíîì:

1) 2320; 2) 4060;

3) 12 180; 4) 16 820.

44444.....161161161161161..... Òóðèñòû ïðîåõàëè íà àâòîáóñå â 8 ðàç áîëüøåå

ðàññòîÿíèå, ÷åì ïðîøëè ïåøêîì çà 3 ÷. Êàêîå ðàñ-

ñòîÿíèå ïðîåõàëè òóðèñòû íà àâòîáóñå, åñëè ïåøêîì

çà 1 ÷ îíè ïðîõîäèëè 4 êì?

44444.....162162162162162..... Ïëîâåö ïðîïëûë äèñòàíöèþ çà 9 ìèí. Ïåðâûå

5 ìèí îí ïëûë ñî ñêîðîñòüþ 85м

мин, ïîñëå ÷åãî åãî

ñêîðîñòü óìåíüøèëàñü íà 6м

мин. Íàéäèòå äëèíó äèñ-

òàíöèè.

44444.....163163163163163..... Çà äâà ýòàïà âåëîãîíêè âåëîñèïåäèñò ïðîåõàë

376 êì. Ïåðâûé ýòàï äëèíîé 216 êì îí åõàë ñî ñêî-

ðîñòüþ 36км

ч, à âòîðîé ýòàï — ñî ñêîðîñòüþ íà 4

км

ч

ìåíüøåé, ÷åì íà ïåðâîì ýòàïå. Çà êàêîå âðåìÿ âåëî-

ñèïåäèñò ïðîåõàë âñþ äèñòàíöèþ?

44444.....164164164164164..... Çà 6 ÷ òåïëîõîä ïðîïëûë 210 êì, à ïîåçä çà 4 ÷

ïðîåõàë 420 êì. Âî ñêîëüêî ðàç ñêîðîñòü ïîåçäà áîëü-

øå ñêîðîñòè òåïëîõîäà?

4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèåНациональный

институт



198

44444.....165165165165165..... Ïîëîâèíó ïóòè âåðòîëåò ïðîëåòåë çà 3 ÷ ñî ñêî-

ðîñòüþ 240км

ч, à îñòàëüíîå ðàññòîÿíèå — ñî ñêî-

ðîñòüþ 180км

ч. Ñêîëüêî âðåìåíè âåðòîëåò íàõîäèëñÿ

â ïîëåòå?

44444.....166166166166166..... ×åðåç 5 ìèí ïîñëå âûëåòà ïåðâîãî ñàìîëåòà â

òîì æå íàïðàâëåíèè âûëåòåë âòîðîé ñàìîëåò è ñïóñ-

òÿ 15 ìèí äîãíàë ïåðâûé. Ñêîðîñòü ïåðâîãî ñàìîëåòà

ñîñòàâëÿëà 6км

мин. Êàêîâà ñêîðîñòü âòîðîãî ñàìîëåòà?

44444.....167167167167167.....* Êîãäà ïî÷òàëüîí Ïå÷êèí ïðîåõàë 300 ì, âñëåä

çà íèì íà âåëîñèïåäå âûåõàë ìàëü÷èê, çà êîòîðûì

óâÿçàëñÿ ïåñ Øàðèê. Øàðèê äîãíàë ïî÷òàëüîíà Ïå÷-

êèíà, ïîòîì âåðíóëñÿ ê ìàëü÷èêó è áåãàë ìåæäó

ìàëü÷èêîì è Ïå÷êèíûì äî òåõ ïîð, ïîêà ìàëü÷èê

íå äîãíàë ïî÷òàëüîíà. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîáåæàë çà

ýòî âðåìÿ Øàðèê, åñëè åãî ñêîðîñòü 500м

мин, ñêî-

ðîñòü ïî÷òàëüîíà Ïå÷êèíà 200м

мин, à ñêîðîñòü ìàëü-

÷èêà 250м

мин?

4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ

è ïðîòèâ òå÷åíèÿ

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà äâèæåíèå ïî ðåêå íàäî ó÷è-

òûâàòü ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè. Ýòà ñêîðîñòü îïðåäå-

ëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì, íà êîòîðîå òå÷åíèå îòíîñèò ëþ-

áîé ïëàâàþùèé ïðåäìåò çà åäèíèöó âðåìåíè (ðèñ. 147).


институт



199

Ñî ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ äâèæóòñÿ ïî ðåêå ïëîò, íà-

äóâíîé êðóã, ìÿ÷.

Ìîòîðíûå è âåñåëüíûå ëîäêè, êàòåðà è òåï-

ëîõîäû èìåþò ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü, êîòî-

ðàÿ ðàâíà èõ ñêîðîñòè â ñòîÿ÷åé âîäå.

Åñëè ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà ðàâíà 15км

ч,

à ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè — 2км

ч, òî ïðè äâèæåíèè

êàòåðà ïî òå÷åíèþ ðåêè òå÷åíèå ïîìîãàåò åìó ïëûòü,

è ñêîðîñòü ðàâíà

км15 2 17

ч

+ = ,

à ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ òå÷åíèÿ — ìåøàåò, è ñêî-

ðîñòü ðàâíà

км15 2 13

ч

− = .

Ãîâîðÿò, ÷òî: 17км

ч— ñêîðîñòü êàòåðà ïî òå÷å-

íèþ, à 13км

ч— ñêîðîñòü êàòåðà ïðîòèâ òå÷åíèÿ.

Ðèñ. 147

4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿНациональный

институт



200

Ñêîðîñòü ïî òå÷åíèþ íàõîäÿò ñëîæåíèåì

ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè è ñêîðîñòè òå÷åíèÿ.

×òîáû íàéòè ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ íà-

äî èç ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè âû÷åñòü ñêîðîñòü

òå÷åíèÿ.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè ïðî-

ãóëî÷íûé êàòåð ïðîïëûë 24 êì çà 2 ÷. Íàéòè ñêî-

ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, åñëè ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà

14км

ч.

Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé êàòåð ïëûë ïðîòèâ òå÷å-

íèÿ, ðàâíàкм

24 : 2 12 .ч

= Òàê êàê ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðàâíà ðàçíîñòè

ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè êàòåðà è ñêîðîñòè òå÷åíèÿ, ñêî-

ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè îïðåäåëÿåì êàê íåèçâåñòíîå âû-

÷èòàåìîå:км

14 12 2 .ч

− = Îòâåò: 2

км

ч.

ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Ñêîðîñòü ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè 23км

ч, à

ïðîòèâ òå÷åíèÿ — 17км

ч. Íàéòè ñîáñòâåííóþ ñêî-

ðîñòü ëîäêè è ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè.

Ðåøåíèå. Ñëîæèâ ñêîðîñòè ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè è

ïðîòèâ åå òå÷åíèÿ, ïîëó÷èì óäâîåííóþ ñêîðîñòü ëîä-

êè â ñòîÿ÷åé âîäå:км

23 17 40 .ч

+ =


институт



201

Çíà÷èò, ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü ëîäêè 20км

ч, à ñêî-

ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè — 3км

ч.

Îòâåò: 20км

ч; 3

км

ч.

Â ìîðåõîäíîé ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ ñïåöèàëüíûå åäèíèöû äëÿèçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé:� 1 êàáåëüòîâ = 185 ì 2 äì;� 1 ìîðñêàÿ ìèëÿ = 10 êàáåëüòîâûõ = 1852 ì,à òàêæå åäèíèöû äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè:

� 1 óçåë =ìîðñêàÿ ìèëÿ ì

1 = 1852 .÷ ÷

Âîïðîñû

1. Êàê, çíàÿ ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü ñóäíà è ñêîðîñòü òå÷å-

íèÿ ðåêè, íàéòè åãî ñêîðîñòü: à) ïî òå÷åíèþ; á) ïðîòèâ

òå÷åíèÿ?

2. Êàê íàéòè ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, çíàÿ ñêîðîñòü ñóäíà

ïî òå÷åíèþ è åãî ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ?


44444.....168168168168168.....° Ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü ëîäêè 8км

ч. Ñêîðîñòü òå-

÷åíèÿ ðåêè 3км

ч. Íàéäèòå:

1) ñêîðîñòü ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè;

2) ñêîðîñòü ëîäêè ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè;

3) ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ëîäêîé ïî òå÷åíèþ ðåêè

çà 3 ÷;

4) ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ëîäêîé ïðîòèâ òå÷åíèÿ

ðåêè çà 4 ÷.

4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿНациональный

институт



202

44444.....169169169169169..... Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðè÷àëàìè 90 êì. Ñîá-

ñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà 14км

ч, ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðå-

êè 4км

ч. Çà êàêîå âðåìÿ êàòåð ïðåîäîëååò ýòî ðàñ-

ñòîÿíèå, åñëè áóäåò ïëûòü:

1) ïî òå÷åíèþ ðåêè;

2) ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè?

44444.....170170170170170.....° Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðè÷àëàìè 120 êì. Ñîáñòâåí-

íàÿ ñêîðîñòü òåïëîõîäà 25км

ч. Åñëè òåïëîõîä ïëûâåò

âíèç ïî ðåêå (çíà÷èò, ïî åå òå÷åíèþ), òî ýòî ðàññòîÿ-

íèå îí ïðåîäîëåâàåò çà 4 ÷. Íàéäèòå:

1) ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè;

2) âðåìÿ, çà êîòîðîå òåïëîõîä ïðåîäîëååò ýòî ðàñ-

ñòîÿíèå ââåðõ ïî ðåêå, ò. å. ïðîòèâ åå òå÷åíèÿ.

44444.....171171171171171.....° Ñêîðîñòü ìîòîðíîé ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè

27км

ч, à ïðîòèâ òå÷åíèÿ 19

км

ч. Íàéäèòå:

1) ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè;

2) ñêîðîñòü ìîòîðíîé ëîäêè ïî îçåðó.

44444.....172172172172172..... Ëîäêà, èìåþùàÿ ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü 6км

ч,

ïëûëà 3 ÷ ïî òå÷åíèþ ðåêè è 5 ÷ ïðîòèâ òå÷åíèÿ

ðåêè. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîïëûëà ëîäêà, åñëè ñêî-

ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè 2км

ч?

44444.....173173173173173..... Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè 5км

ч. Òåïëîõîä ïðîïëûë

ïî òå÷åíèþ 240 êì çà 8 ÷. Êàêîå âðåìÿ íåîáõîäèìî

çàòðàòèòü åìó íà îáðàòíûé ïóòü, åñëè ñîáñòâåííàÿ

ñêîðîñòü òåïëîõîäà íå èçìåíèëàñü?


институт



203

44444.....174174174174174.....* Ñëîíåíîê è óäàâ íà÷àëè äâèæåíèå íàâñòðå÷ó

äðóã äðóãó, íàõîäÿñü íà ðàññòîÿíèè 1 êì äðóã îò äðóãà.

Ñëîíåíîê äâèãàëñÿ ñî ñêîðîñòüþ 107м

мин, à óäàâ —

93м

мин. Âñå ýòî âðåìÿ ìåæäó ñëîíåíêîì è óäàâîì

áåãàëà îáåçüÿíêà è ëåòàë ïîïóãàé, ïîäãîíÿÿ òî óäàâà,

òî ñëîíåíêà (ðèñ. 148). Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîáåæàëà

îáåçüÿíêà è ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîëåòåë ïîïóãàé äî òîãî

âðåìåíè, ïîêà ñëîíåíîê è óäàâ íå âñòðåòèëèñü, åñëè

ñêîðîñòü îáåçüÿíêè 150м

мин, à ïîïóãàÿ — 140

м

мин?


44444.....175175175175175..... Îêðóãëèòå äî ñîòåí ÷èñëà:

1) 72 835; 2) 247 348;

3) 7 197 153; 4) 5 824 715.

Ðèñ. 148


107м

мин93

ммин

1 км

140м

мин

150 ммин


институт



204

44444.....176176176176176..... Âû÷èñëèòå è ðåçóëüòàò îêðóãëèòå äî òûñÿ÷:

1) 705 399 + 13 245 − 34 760 : 632;

2) (795 328 − 53 794) : 6 + 141 . 352;

3) 937 120 − 423 . 132 + 342 612 : 372;

4) 816 651 : (65 724 − 64 481) + 2318 . 139.

44444.....177177177177177..... Ñðàâíèòå:

1) 53 − 33 è (5 − 3)3;

2) 52 + 22 è (5 + 2)2;

3) 152 − 112 è (15 − 11) . (15 + 11);

4) 23 + 43 è (2 + 4)3.

44444.....178178178178178..... Èñïîëüçóÿ öèôðû 0 è 2, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå:

1) äâóçíà÷íûå ÷èñëà;

2) òðåõçíà÷íûå ÷èñëà;

3) ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà.


1) 93 . a − 27 . a − 46 . a ïðè à = 1378;

2) 15 . m + 84 − 5 . m − 52 ïðè m = 7541;

3) (57 . p − 38 ⋅ ð) : 19 ïðè p = 2907;

4) (75 . q − 35 ⋅ q) : 20 ïðè q = 5432.

44444.....180180180180180..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ

p − (108 − (59 − k)) + (t + 64)

ïðè ð = 206, k = 57, t = 36.

44444.....181181181181181..... Êàêîå èç ÷èñåë 8, 12, 16 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâ-

íåíèÿ 96 : õ = 22 − õ?


1) õ . 299 = 0; 2) 79 . y = 79;

3) 225 : õ = 1; 4) y : 794 = 0.


1) (723 + ò) + (1257 − 452) = 1805;

2) (n − 17 274) . (118 + 714 : 7) = 126 500.


институт



205


1) 67 . õ − 59 . õ = 576;

2) 31 . õ + 4 . õ − 34 . õ + 8 = 118;

3) 122 . (õ − 52) = 362;

4) 62 + 5 . õ = 432 : 12.

44444.....185185185185185..... Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, ñóììà äëèíû

è øèðèíû êîòîðîãî 62 ñì, à èõ ðàçíîñòü — 6 ñì.

44444.....186186186186186..... Ñàøà ðåøèë ïîéòè â ãîñòè ê Ìèøå ïåøêîì,

ïîýòîìó îí çàòðàòèë â 7 ðàç áîëüøå âðåìåíè, ÷åì

åñëè áû îí åõàë íà àâòîáóñå. Êàêîå âðåìÿ ïîòðà-

òèë áû Ñàøà, ïîåõàâ íà àâòîáóñå, åñëè íà äîðîãó

ïåøêîì óøëî íà 36 ìèí áîëüøå?

44444.....187187187187187.....* Ñêîëüêèìè íóëÿìè îêàí÷èâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå

âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 30 äî 80?

44444.....188188188188188.....* Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷åòûðåõ ïîñëåäîâà-

òåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äåëèòñÿ:

1) íà 4; 2) íà 8.

44444.....189189189189189.....* Â òðåõ ïàññàæèðñêèõ ïîåçäàõ ðàçëè÷íîå ÷èñëî

ìåñò: 236, 295, 472. Ñêîëüêî âàãîíîâ â êàæäîì ïîåçäå

è ñêîëüêî ìåñò â êàæäîì âàãîíå, åñëè âî âñåõ âàãî-

íàõ ÷èñëî ìåñò îäèíàêîâîå?

44444.....190190190190190.....* Ê äâóçíà÷íîìó ÷èñëó ïðèáàâèëè 5, è ñóììà

îêàçàëàñü êðàòíîé 5. Êîãäà îò íåãî îòíÿëè 3, òî ðàç-

íîñòü îêàçàëàñü êðàòíîé 3. Êîãäà åãî ïîäåëèëè íà 2,

òî îêàçàëîñü, ÷òî è ÷àñòíîå äåëèòñÿ íà 2. Íàéäèòå

ýòî ÷èñëî.

44444.....191191191191191.....* Êàê, èìåÿ ëèøü äâà ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 5 ë

è 7 ë, à òàêæå ñëèâíóþ ðàêîâèíó, íàëèòü èç âîäîïðî-

âîäíîãî êðàíà 6 ë?


институт



44444.....192192192192192.....* Èìååòñÿ 8 êã ñàõàðà è ÷àøå÷íûå âåñû áåç ãèðü.

Ìîæåò ëè ñ èõ ïîìîùüþ ïðîäàâåö âçâåñèòü òðåì ïî-

êóïàòåëÿì 1 êã, 3 êã è 4 êã ñàõàðà?

44444.....193193193193193.....* Ñêîëüêî îäèíàêîâûõ èçäåëèé ïîìåùàåòñÿ â

îäíîé êîðîáêå, åñëè â 13 êîðîáêàõ èõ ìåíüøå 118,

à â 20 êîðîáêàõ áîëüøå 179?

44444.....194194194194194..... Ïî òå÷åíèþ ðåêè ïëûâåò ìîòîðíàÿ ëîäêà, à íà-

âñòðå÷ó — êàòåð. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå íà÷àëà äâè-

æåíèÿ ëîäêà è êàòåð âñòðåòÿòñÿ, åñëè îíè îäíîâðåìåííî

íà÷àëè äâèæåíèå ñ ñîáñòâåííûìè ñêîðîñòÿìè, ñîîòâåò-

ñòâåííî ðàâíûìè 12км

ч è 15

км

ч, íàõîäÿñü íà ðàññòîÿ-

íèè 54 êì äðóã îò äðóãà?

44444.....195195195195195..... Âûðàçèòå â êóáè÷åñêèõ äåöèìåòðàõ:

1) 40 ì3; 2) 4000 ñì3;

3) 5 êì3; 4) 2 ì3.

44444.....196196196196196..... Çàïîëíèòå òàáëèöó (à, b, ñ — èçìåðåíèÿ ïðÿ-

ìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, V — åãî îáúåì).

à 8 ñì 60 ìì ? ñì

b 13 ñì ? ìì 130 ìì

ñ ? ñì 4 ñì 80 ìì

V 520 ñì3 216 ñì3 2600 ñì3

44444.....197197197197197..... Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð êóáà, îáúåì êî-

òîðîãî ðàâåí 343 äì3.

44444.....198198198198198.....* Àêâàðèóì, èìåþùèé ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-

ðàëëåëåïèïåäà, èçãîòîâëåí èç ïÿòè îäèíàêîâûõ êóñêîâ

ñòåêëà, îáùåé ïëîùàäüþ 12 500 ñì2. Ñêîëüêî ëèòðîâ

âîäû ïîòðåáóåòñÿ äëÿ çàïîëíåíèÿ äîâåðõó òðåõ òàêèõ

æå àêâàðèóìîâ?


206


институт



Îòâåòû

ÃËÀÂÀ 1

1.4. à) 3 òðåóãîëüíèêà, êâàä-

ðàòîâ íåò; á) íåò òðå-

óãîëüíèêîâ, 5 êâàäðà-

òîâ; â) 8 òðåóãîëüíèêîâ,

2 êâàäðàòà; ã) 7 òðå-

óãîëüíèêîâ, 3 êâàäðàòà.

1.11. à: 728; 329;

à + 1: 538; 445; 330;

à – 1: 536; 443; 727.

1.14. 2) 99; 100; 101; 102;

103; 104; 105.

1.15. 1) à + 3.

1.16. 1) 9; 10; 15; 16; 17;

23; 24; 99; 100;

2) 8; 9; 14; 15; 16; 22;

23; 98; 99;

3) 9; 15; 16; 23; 99.

1.17. 1) 99; 3) 11.

1.18. 1) 9 899 100; 2) 109.

1.19. 4 + 4 ⋅ (4 − 4) = 4;

(4 + 4) ⋅ 4 : 4 = 8;

4 ⋅ 4 ⋅ 4 : 4 = 16;

4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 = 32;

(4 + 4) ⋅ (4 + 4) = 64;

(4 + 4) ⋅ 4 ⋅ 4 = 128;

4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 256.

1.31. 1) 2; 3) à) 7; á) 4;

â) 6.

1.33. 1) 731; 3) 137.

1.34. 9.

1.35. 1) 6; 2) 4.

1.36. 2) 40; 44; 4) 10; 15;

11; 51; 50; 55.

1.40. 2) 999; 100;

4) 999 999; 100 000.

1.42. 2) 103; 112; 121; 130;

202; 211; 220; 310; 400.

1.43. 50 505; 505 050;

5 050 505.

1.45. Íîìåð 299.

1.46. 1) 1 + 3 ⋅ 5 – (7 + 9);

2) (1 + 3 ⋅ 5) : (7 + 9);

3) ((1 + 3) ⋅ 5 + 7) : 9);

4) 1 + 3 ⋅ (5 + 7) : 9;

5) 1 + 3 + 5 + 7 – 9;

6) (1 ⋅ 3 + 5 – 7) ⋅ 9.

1.51. 1) Íàïðèìåð, 405 703.

1.52. 2) 4305; 4) 9400.

1.54. 2) 5000 + 400 + 20;

4) 5000 + 400 + 2;

6) 500 000 + 200 + 4.

1.55. 1) 386; 3) 30 860.

1.56. 2) 5881; 4) 530 000.

1.58. 2) 900 + 90 + 9;

4 ) 90 000 + 9000 ++ 900 + 90 + 9.

1.61. Â 14 ÷ 30 ìèí.

207


институт



208

1.62. 2) 701 011 000;

4) 6 000 000 606.

1.67. 1) 8; 3) 4.

1.68. 2) 7; 4) 123.

1.72. 2) 801 108 801 108.

1.75. 2) 79.

1.76. 1) 192; 2) 64.

1.77. 879 546; 124 506.

1.78. 1) 3 − 2 − 1;

2) 3 − 2 ⋅ 1;

3) 3 − 2 + 1;

4) 3 ⋅ (2 − 1);

5) 3 + 2 − 1;

6) 3 + 2 ⋅ 1;

7) 3 ⋅ 2 ⋅ 1;

8) 3 ⋅ 2 + 1;

9) 3 ⋅ (2 + 1).

1.90. ÀÂ = FH = NP,

SE = CD.

1.92. á) PS = ST = TV = PV,

SV = PT;

ã ) EC = EF = EN.

1.93. 1) Äà; 3) íåò; 5) íåò.

1.94. 2) 33 äì 6 ñì 2 ìì;

4) 30 äì 3 ñì 7 ìì.

1.95. 11; 16; 21.

1.96. 203 êì 110 ì.

1.97. Çàÿö.

1.98. 1) 12 : 3 = 4;

2) 1 + 2 + 3 + 4 − 5 = 5;

3) 12 : 3 : 4 + 5 = 6;

4) 12 : 3 + 4 + 5 − 6 = 7;

5) 12 : 3 ⋅ 4 + 5 − 6 − 7 = 8;

6) 12 ⋅ 3 : 4 − 5 + 6 ++ 7 − 8 = 9.

1.102. 2) 1 300 531 > 130 531.

1.103. 1) 7 830 132 << 78 290 132.

1.104. 2) 5588 < 8555;

4) 1 111 431 << 11 111 431.

1.105. 1) 772; 3) 1000.

1.106. 2) 5 670 436;

4) 499 999 999.

1.107. 1) 10 000; 10 001;

10 002.

1.109. 1) 94; 95; 96; 97; 98;

99.

1.110. 2) 4782 ì > 4 êì;

4) 3 êã < 3400 ã;

6) 370 ñ < 6 ìèí 30 ñ.

1.111. 1) 0; 3) íåâîçìîæíî;

5) ïîäõîäèò ëþáàÿ

öèôðà.

1.114. á) DC, DF.

1.115. à) 2.

1.117. 1) Íåò; 3) äà.

1.123. à) Äà; â) äà.

1.124. 2) Òî÷êè Â è Î ïðè-

íàäëåæàò ëó÷ó ÌÎ, à

òî÷êè À, Ò, Ñ, K è D

íå ïðèíàäëåæàò.

1.130. 2) À(2), Â(6), Ñ(16),

D(20); 4) A(4), B(16),

C(20), D(36).

1.135. 1) M(20), N(50), K(90),

L(110).

1.137. À.

1.138. 15 è 27.

1.139. Íàïðèìåð, 2 è 12.

1.145. 2) 236 ≈ 240;

4) 6875 ≈ 6880.

1.146. 2) Äî òûñÿ÷; 4) äî òû-

ñÿ÷; 6) äî ñîòåí òûñÿ÷.

ÎòâåòûНациональный

институт



209

1.147. 1) a) 73 650; á) 73600;

â) 74 000; 2) 70 000;

3) à) 1250; á) 1200;

â) 1000; ã) 0.

1.148. 2) 200 000; 37100 000;

62 900 000.

1.149. Ëåíà — äî ñîòåí òû-

ñÿ÷, Øóðà — äî òû-

ñÿ÷, Êîëÿ — äî äå-

ñÿòêîâ.

1.155. 1) 500 è 1499;

3) 9500 è 10 499.

1.157. 1) 8 êã; 3) 2 êã.

1.158. 2) 10 ö; 4) 9 ö.

1.159. 1) 4 äì; 3) 3 äì.

1.160. 199.

1.161. 1) 2559; 3) 73 686.

1.162. 2) 5924; 4) 1558.

1.163. 1) 203 440; 3) 20 046.

1.164. 2) 107 937; 4) 62.

1.165. 1) 188; 3) 0; 5) 2.

1.166. 2) 3 ì 92 ñì;

4) 43 äì 4 ñì 2 ìì.

1.167. 1) 5 ÷ 11 ìèí;

3) 3 ÷ 52 ìèí 5 ñ.

1.168. 32.

1.169. 50.

1.170. 990.

1.171. 0 ÷ 11 ìèí.

1.172. 13 ÷ 05 ìèí;

15 ÷ 40 ìèí.

1.173. 56 ì.

1.174. Â 9 ðàç.

1.175. 6.

1.176. 18.

1.177. 17 ôåâðàëÿ.

1.178. 29 ÷èñåë.

1.179. 1) 57.

1.180. 2) 8.

ÃËÀÂÀ 2

2.6. 2) 1100; 4) 275.

2.7. 1) 99; 3) 10 098.

2.8. 2) 100 000.

2.10. 125; 250; 375; 500;

625; 750; 875.

2.13. 1) 5 êì 330 ì;

3) 44 ì 30 ñì.

2.14. Â 17 ÷ 30 ìèí.

2.15. 5 îêòÿáðÿ.

2.16. 18 ì 90 ñì.

2.17. 120 ì.

2.18. 7.

2.20. 2) Ïåðâàÿ.

2.21. 1) Äà.

2.23. 95 ì.

2.24. 62.

2.25. 140 ì.

2.26. 250 ì.

2.27. 87 500 êì2.

2.28. 1) 22 ÷ 58 ìèí;

2) 23 ÷ 18 ìèí;

3) 0 ÷ 8 ìèí.

2.29. 4884.

2.30. 2) 130; 4) 1000.

2.31. 1) 2637; 3) 606 482.

2.33. 1) 110; 3) 111 000.

2.34. 200 000.

2.35. 49.

2.36. 15 êì.

2.37. 85 êì.

2.38. 635 ã.

2.39. 1) Íå èçìåíèòñÿ.

2.40. 12.

Ãëàâà 2Национальный

институт



210

2.47. ∠NMP = ∠XTY,

∠BAC = ∠QLH,

∠KSO = ∠DEF.

2.57. 1) 180°; 2) 90°; 3) 90°.2.63. 1) 36 418;

3) 1 111 112.

2.64. 2) 26.

2.68. Íàïðèìåð,

2) 1807 − 987;

4) 123 456 789 −− 123 456 689.

2.71. 1) 5 ò 628 êã;

3) 677 ì 36 ñì;

5) 5 ÷.

2.72. 2) 8999.


2.75. 1) Ýòè ÷èñëà ðàâíû.

2.76. 2) Óâåëè÷èòñÿ íà 5.

2.77. 1) Îáðàòèòñÿ â íóëü.

2.78. Íà 212 ìëí êì2.

2.79. 50 300 êì.

2.80. 40 008 548 ì.

2.81. 1) 1 ÷ 25 ìèí;

3) 15 ìèí.

2.82. 2) Â ïåðâîé êîðîáêå

834 ã, âî âòîðîé —

655 ã, â òðåòüåé —

934 ã.

2.83. Ñèíåãî öâåòà 126 ì,

çåëåíîãî — 243 ì,

êðàñíîãî — 359 ì,

æåëòîãî — 197 ì.

2.84. Íà 100-ì ìåñòå

ñòîèò öèôðà 7, è íà

2015-ì — öèôðà 7.

2.88. 6 äì 9 ñì.

2.89. 6 ñì, 6 ñì, 11 ñì.

2.90. 4 ñì, 5 ñì, 6 ñì, 7 ñì.

2.91. 1) 12 ñì; 3) 25 ñì.

2.99. 4, 3 èëè íè îäíîãî.

2.100. á) EFR, ESR, EFS,

EKM, EPM, EKP.

2.101. à) MN = MP, ∠N = ∠P;

â) KL = KT, LM = ST,

MN = RS, PN = PR,

∠L = ∠T, ∠N = ∠R,

∠M = ∠S.

2.103. 35 ì.

2.104. 35 è 45.

2.105. 60 è 90.

2.106. 3 ì è 1 ì 70 ñì.

2.107. 1 ì 30 ñì è 1 ì 60 ñì.

2.108. 310 ì.

2.109. 6 êã, 10 êã, 14 êã.

2.110. 620; 500; 380.

2.111. 600 ã, 850 ã, 350 ã.

2.112. 60; 24; 36.

2.113. 1) 9; 3) 38; 5) 13.

2.116. 2) 729; 4) 299.

2.117. 1) 27 093; 3) 80 000.

2.118. 2) 36 086; 4) 36 086.

2.119. 1) 5371; 3) 86 343.

2.120. 2) 193; 4) 34; 6) 490;

8) 4.

2.122. 67.

2.123. 1) 7.

2.124. 2) 38 ìèí.

2.125. 81.

2.127. 1) 60; 3) 718 693.

2.128. 2) 2514; 4) 22 000.

2.130. 2) 29 ò; 4) 400 ò.

2.131. 1) 4 ö; 3) 1 êì.

2.132. 10 995.

2.133. 19 996.


институт



211

2.134. 1) 378 592; 2) 23 178.

2.135. 81.

2.136. 33.

2.137. 165 êì.

2.138. Ïèîíîâ — 4, õðèçàí-

òåì — 5, ãåîðãèí — 7.

2.139. Ó Ñàøè — 5, ó Ïå-

òè — 12, ó Ñëàâû —

13.

2.140. 2) 6300.

2.141. 1) 64; 128; 256; 512;

1024; 3) 8; 13; 21;

34; 55.

2.142. Ìîãóò.

2.143. 1) 10; 3) 2.

2.144. 2) 5; 4) 5.

ÃËÀÂÀ 3

3.5. 1) 1806; 3) 490 254.

3.6. 2) 93 856; 4) 2 093 520.

3.7. 1) 170 604; 3) 798 441.

3.8. 2) 111; 222; 444; 888;

1776.

3.11. 32;

3.12. 2) Â 100 ðàç;

4) â 1 000 000 000 ðàç.

3.13. 1) 792.

3.14. 20 000.

3.15. 7 ìèí 30 ñ.

3.16. 3 ì 12 ñì.

3.17. 1) 10 ÷ 16 ìèí;

2) 24 ìèí.

3.18. 24 êã.

3.19. 108.

3.21. 2) Äà; 4) íåò; 6) íåò.

3.22. 2) 1.

3.24. 6200.

3.26. 6 ⋅ 4 = 24.

3.27. 22 è 25.

3.28. 2) 1700; 4) 9000;

6) 2200.

3.29. 1) 63 900; 3) 29 000.

3.30. 2) 1400; 4) 30 000.

3.31. 1) 1850; 3) 3650.

3.32. 2) 962; 4) 78.

3.33. 1) 555; 3) 11 100;

5) 66 600.

3.34. 2) 540; 4) 16 200.

3.35. 1) 660; 3) 4400.

3.36. 2) 10 010;

4) 4 004 000.

3.37. 360.

3.38. 80.

3.39. 1600.


3.42. 5.

3.45. 1) 172; 3) 6034; 5) p5.

3.48. 2) 2048; 4) 4500;

6) 1372.

3.52. 2) 112; 4) 63; 6) 103.

3.53. 1) 10 000; 3) 1 000 000;

5) 100 000 000.

3.54. 2) 336; 4) 4033.

3.55. 1) Äà; 3) äà.

3.56. 2) Äà; 4) äà.

3.57. 1) 120; 2) 165; 3) 285.

3.58. 1) 800; 2) 1225;

3) 2025.

3.59. 1) 7003; 3) 7030.

3.60. 2) 1 ⋅ 106 + 6 ⋅ 105 ++ 3 ⋅ 104 + 4 ⋅ 103 ++ 7 ⋅ 102 + 8 ⋅ 10 + 5;

4) 5 ⋅ 109 + 7 ⋅ 106 +


институт



212

+ 1 ⋅ 103 + 2 ⋅ 102 ++ 3 ⋅ 10 + 2.

3.61. 100 è 961.

3.62. 2) 1; 4) 2; 6) 5.

3.64. 20.

3.71. 1) 62 ìì.

3.72. 2) 19 ì 3 äì.

3.73. Äà.

3.74. Äà.

3.75. 14 ñì, 20 ñì.

3.76. 18 ñì.

3.77. 14 äì èëè 16 äì.

3.78. Òðè ðåøåíèÿ.

3.79. Ñòîðîíà êâàäðàòà ðàâ-

íà 7 ñì.

3.80. 1 ì 4 ñì.

3.81. 9 ñì, 36 ñì.

3.82. Íå âñåãäà.

3.84. 2) 40; 4) 6000.

3.86. 2) Íà 9.

3.88. 2) 289 äì2; 4) 121 ì2.

3.89. 1) Ñòîðîíà êâàäðàòà

ðàâíà 5 ñì; 3) ñòîðîíà

êâàäðàòà ðàâíà 2 ñì.

3.90. 2) 168 ìì2;

4) 108 ñì2.

3.92. 2) Íåò; 4) íåò.

3.93 1) 4 êì2 111 ì2;

3) 55 ãà 82 à 25 ì2.

3.95. 1) 64 ñì2.

3.96. 1) 26 ì2; 2) 36 ì2;

3) 36 ì2; 4) 64 ì2.

3.97. 1) 1440 ñì2.

3.98. 2) 15 ñì; 4) 2 ñì.

3.99. 1) 70 000 êì2;

3) 900 600 ì2.

3.100. 2) 40 ì; 4) 400 êì.

3.101. Ôåäÿ — 17 èþíÿ,

Æîðà — 21 îêòÿáðÿ,

Ñàøà — 17 îêòÿáðÿ,

Âëàä — 27 ìàÿ.

3.103. 1) 352; 3) 25 100;

5) 19 960.

3.104. 2) 828; 4) 56 056;

6) 23 976.

3.105. 1) 1000; 3) 970;

5) 1370.

3.106. 72.

3.107. 110 ñì.

3.108. 90.

3.109. 30 ì2.

3.110. 71 è 710.

3.111. 1) Ðàâíû; 3) áîëüøå.

3.112. 2) Äà; 4) äà.

3.113. 1) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 − 11;

3) 17 ⋅ 52 − 17 ⋅ 19 ++ 19 ⋅ 17 − 19 ⋅ 4.

3.114. 2) 13 400; 4) 3800.

3.115. 1) 25 000; 3) 20 000.

3.116. 2) 625; 4) 500.

3.117. 1) 2769; 3) 174 800.

3.118. 2) Óâåëè÷èòñÿ íà 4;

4) óâåëè÷èòñÿ â10 ðàç.

3.119. 560.

3.120. 2) 20 ñì; 4) 10 ì 4 äì.

3.121. Íå õâàòèò.

3.122. 500 ì.

3.123. 55 708.

3.128. 2) 78 115; 4) 7142.

3.129. 1) 234; 3) 4020.

3.130. 2) 128; 4) 75.

3.131. 1) Äà; 3) äà.

3.132. 2) 1420; 4) 816 036.

3.138. 18.


институт



213

3.139. 1) Äà; 3) äà.

3.140. 2) Äà; 4) íåò.

3.141. 1) Äà; 3) íåò.

3.142. 2) Óâåëè÷èòñÿ â

4 ðàçà.

3.143. 1) Íàïðèìåð, äåëèìîå

óâåëè÷èòü â 10 ðàç,

à äåëèòåëü óâåëè÷èòü

â 2 ðàçà.

3.144. 2) 512; 256; 128; 64;

32; 16; 8; 4; 2; 1.

3.145. 1) 101.

3.146. 120.

3.147. 12.

3.148. 45.

3.149. 300.

3.150. 30 êîìïëåêòîâ;

120 ñì.

3.151. 63 : 9 = 7.

3.152. 9 êðàñíûõ.

3.153. 270 ì, 810 ì.

3.154. 450 ã, 900 ã.

3.155. 680 êã, 340 êã.

3.156. 14; 56.

3.157. 4; 8; 24.

3.158. 4; 8; 32.

3.159. 6 ÷.

3.160. 16 ÷.

3.161. Ýäèê — 105 ñì,

Ïàøà — 100 ñì,

Äèìà — 95 ñì.

3.162. 16 êì.

3.163. 49 ñì.

3.164. 32.

3.165. 50.

3.166. 32.

3.167. 692.

3.168. Îâñà — 240 ò,

ðæè — 720 ò,

ïøåíèöû — 1440 ò.

3.169. 31 710.

3.170. 1 ÷.

3.173. 1) 116; 3) 2750.

3.174. 1) 3 070 445;

2) 1 107 123;

3) 698 856;

4) 744 886.

3.175. 1) Áîëüøå;

3) áîëüøå.

3.176. 2) 36 = 6 + 30.

3.177. 660 êã.

3.178. 38 äì.

3.179. 14 ñì.

3.180. Êðàñíûõ — 19, áå-

ëûõ — 31,ñèíèõ— 43.

3.182. 78.

3.183. 1) 33 228; 3) 1960.

3.184. 2) 50; 4) 354; 6) 759.

3.185. Â 4 ðàçà.

3.186. 279; 280; 281.

3.192. 2) 20 − 4å;

4) 12ð + 117.

3.193. 1) 39; 2) 2; 3) 30;

4) 25.

3.194. 1) 3 293 016;

2) 9 191 998;

3) 24 014; 4) 512.

3.195. 1) 5b + 25; 3) 6c + 64;

5) 48 – 4m; 7) 2b + 4.

3.196. 2) 19; 4) 98.

3.197. 1) p = 8, q — ëþáîå;

3) p = 16, q — ëþáîå.

3.198. 2) k = 59, m — ëþáîå;

4) k = 2117, m — ëþ-

áîå.


институт



214

3.199. 1) m = 32, p — ëþ-

áîå; 3) m = 2, p —

ëþáîå.

3.200. 2) a = 1, b — ëþáîå;

4) a = 15, b — ëþ-

áîå; 6) a = 27, b —

ëþáîå.

3.201. 1) 21p; 3) 49k.

3.202. 2) 5à + 4b.

3.203. m + 28.

3.204. 4n + 5.

3.205. 5n + 50.

3.206. 9331a; 2) 18 662;

4) 74 648.

3.207. 66.

3.208. Âîäû — 800 ã,

æèðà — 400 ã,

ñàõàðà — 800 ã.

3.209. Ìîëîêà — 270 ã,

âîäû — 450 ã.

3.210. Êðóïû — 200 ã,

ñàõàðà — 40 ã,

ìàñëà — 20 ã.

3.211. 1) 600 ã; 2) 4 êã 400 ã.

3.212. 1) 450 ã; 2) 1 êã 80 ã.

3.213. Òâîðîã — 1120 ã,

ìóêà — 320 ã,

ìàñëî — 160 ã,

ñìåòàíà — 240 ã,

ñàõàð — 160 ã.

3.215. 1) 1000; 3) 400.

3.216. 2.

3.217. 1) à) ≈ 18 860;

á) ≈ 18 900;

3) à) ≈ 95 830;

á) ≈ 95 800;

5) à) ≈ 355 470;

á) ≈ 355 500.

3.219. 1) 6050; 6051; 6052;

6053; 6054; 6055.

3.220. 2) 88; 4) 42; 6) 13;

8) 888.

3.221. 1) Âåðíî.

3.222. 7 êã 750 ã.

3.223. 993 êã 600 ã.

3.224. 576.

3.225. Áåðåç — 11, ñîñåí —

13, îñèí — 34.

3.226. 181; 169.

3.227. 29 = 3 ⋅ 8 + 5 ⋅ 1 == 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4.

3.228. 3 ìèí.

3.229. Ïîëîæèòü ïî òðè

êîëüöà íà êàæäóþ

÷àøó âåñîâ.

3.230. Íåò.

3.231. (3; 0) → (3; 3) →→ (2; 4) → (2; 0).

3.232. 56.

3.233. 76 : 4 + 51 : 3.

3.234. 5.

3.235. 5.

3.236. 45 000.

3.237. 7.

ÃËÀÂÀ 4

4.5. 1) Äà; 3) äà.

4.7. 1) 13; 26; 39; 52; 65;

78; 91; 3) 31; 62; 93.

4.10. 2) 1; 2; 3; 6; 53; 106;

159; 318.

4.11. 1) 90; 45; 30; 18; 15;

10; 9; 6; 5; 3; 2; 1.

4.13. 1) 425; 450; 475;

3) 3075; 3100; 3125.


институт



215

4.16. 2) 300.

4.20. 6, èëè 12, èëè 18, èëè

24, èëè 30, èëè 36, èëè

42, èëè 48.

4.21. 72 ÷ èëè 144 ÷.

4.25. 1) 2; 82; 422; 940;

2710; 80 136; 630 264;

2) 130 025; 67 451;

64 823; 95; 9.

4.29. 1) 30; 3) 1170.

4.30. 2) à) ×åòíîå; á) íå÷åò-

íîå; 4) à) ÷åòíîå;

á) íå÷åòíîå.

4.31. 1) ×åòíàÿ; 3) ÷åòíàÿ.

4.32. 2) Íåò.

4.33. 1) ×åòíîå; 3) ÷åòíîå.

4.36. 2) à) 0; á) íåâîçìîæíî;

4) à) 0; 2; 4; 6; 8;

á) íåâîçìîæíî.

4.40. 2) 250; 280; 520; 580;

820; 850.

4.41. 1) 9 876 543 210;

1 023 467 895.

4.42. 2) 110; 4) 9585.

4.43. 1) 100; 3) 850.

4.44. 1) 75; 2) 550.

4.45. Íåò.

4.46. Âåðíî.

4.49. 7330.

4.51. 1) Äà; 3) íåò.

4.53. 1500.

4.54. 5500.

4.59. 1) 2 äì; 3) 13 ì 72 ñì.

4.60. 2) 2 äì 3 ñì;

4) 3 äì 8 ñì.

4.65. 7 ñì.

4.66. 9 ñì.

4.67. 1) 9 ñì; 3) 14.

4.68. 2) 14 ñì.

4.69. à) 1) 2; 3) 4;

á) 1) 4; 3) 6.

4.74. 2) 38 ñì; 4) 30 äì 8 ñì.

4.75. 1) 6 äì 5 ñì; 3) 66 ñì.

4.77. 1) Äà; 3) íåò; 5) íåò.

4.81. 1) 55 = 9 ⋅ 6 (îñò. 1);

3) 1593 = 18 ⋅ 88

(îñò. 9);

5) 798 = 987 ⋅ 0

(îñò. 798).

4.82. 2) 3; 4) 8.

4.85. 1) 47 534 = 23 ⋅ 2066 ++ 16; 3) 136 017 == 214 ⋅ 635 + 127.

4.87. ð = 4; k = 11; q = 2 ;

l = 6; s = 58; m = 0 ;

d = 43; n = 25.

4.88. 2) 11; 4) 14.

4.90. 2) 44; 4) 62.

4.94. 2) 3.

4.95. 1) 4; 3) 9; 5) 2; 7) 9;

9) 7; 11) 6; 13) 8.

4.96. 2) Íåò; 4) íåò.

4.97. 1) Äà; 3) äà.

4.98. 2) Íåò; 4) íåò.

4.100. 2) 1 èëè 6; 4) 0; 6) 9.

4.101. 11.

4.102. 4.

4.103. 13.

4.104. à) 2) Êóïå ¹ 4; 4) êó-

ïå ¹ 8; á) 2) ¹ 9, 11,

12; 4) ¹ 25, 26, 28.

4.105. 1) 4-é ïîäúåçä 5-é

ýòàæ; 3) 9-é ïîäúåçä

4-é ýòàæ.


институт



4.106. à) 3 ⋅ n; á) 3 ⋅ n + 1;

â) 3 ⋅ n + 2, ãäå n —

ëþáîå íàòóðàëüíîå

÷èñëî èëè 0.

4.107. 1) 15; 18; 30; 90; 126;

417; 585; 9990;

3) 18; 30; 90; 126;

9990.

4.108. 2) 64 953; 5 558 247;

303 003 009.

4.109. 1) Íå âñåãäà.

4.110. Âåðíî.

4.111. 1) à) 2, 5, 8; á) 5;

3) à) 0, 3, 6, 9; á) 6.

4.112. 2) à) 39; á) 18;

4) à) 612; á) 207.

4.113. 2) 1665.

4.114. 1) 1101.

4.115. 2) Äà; 4) íà 3 äåëèò-

ñÿ, íà 9 íå äåëèòñÿ.

4.116. 1) Âåðíî.

4.117. 2) Íåò, íåò, äà, íåò.

4.118. 1) Âåðíî.

4.119. 2) à) 444;

á) 444 444 444;

4) à) 6; á) 666.

4.120. 26 163.

4.121. 2) 3, 4, 5, 6, 7, 8;

4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

9, 10, 11.

4.122. Íåò, íåò, íåò, äà, íåò,

äà.

4.123. 1 è 8, 2 è 7, 3 è 6,

4 è 5, 0 è 0.

4.125. 1) 0; 6; 3) 2; 8.

4.126. 3) ×èñëî äîëæíî äå-

ëèòüñÿ è íà 3, è íà 5.

4.127. 1) 0; 3) 5.

4.128. Âåðíî.

4.129. Íåëüçÿ.

4.131. 1) 112 ñì; 3) 760 ìì.

4.132. 2) 204 ñì;

4) 2446 ñì.

4.133. 148 ñì.

4.134. 2) 486 äì2; 4) 2646 ì2.

4.135. 52 äì2.

4.137. 3352 ñì2.

4.138. à) 30.

4.139. à) 1620 ñì3;

á) 1080 ñì3.

4.140. à) 648 äì3;

á) 18 000 ñì3.

4.141. 1) 238 328 000 ìì3 == 238 328 ñì3.

3) 216 äì3.

4.142. 2) 64 äì3; 4) 1331 äì3.

4.143. 1) 1 ì3 = 1000 äì3;

6 ì3 = 6000 äì3;

45 ì3 = 45 000 äì3.

4.144. 2) 200; 4) 630;

6) 254 100.

4.145. 1) Íà 27; 3) íà 8000.

4.146. Â ïåðâóþ íà 18 êó-

áèêîâ áîëüøå.

4.147. 1) Ìåíüøå; 3) áîëü-

øå; 5) ìåíüøå.

4.148. 2) 1176 ñì3;

4) 14 400 ñì3.

4.149. 1) 168 äì2; 3) 216 äì2.

4.150. 2) 729 äì3; 4) 1 ñì3.

4.151. 1) 125 ñì3; 3) 1331 ì3.

4.153. 1) Íåò; 3) íåò.

4.154. 1 äì, 2 äì, 4 äì.

4.155. 216 ë.

Îòâåòû

216


институт



4.156. 2) 30 ñì.

4.157. à) 86 äì3;

á) 3240 ñì3.

4.158. 32 êì.

4.159.24 640 км

;минt

1) 616 км

мин;

3) 560 км

мин.

4.160. 580

sìèí; 2) 7 ìèí;

3) 29 ìèí.

4.161. 96 êì.

4.162. 741 ì.

4.163. 11 ÷.

4.164. 3.

4.165. 7 ÷.

4.166. 480км

ч.

4.167. 3 êì.

4.168. 2) 5км

ч

; 4) 20 êì.

4.169. 1) 5 ÷.

4.170. 2) 6 ÷.

4.171. 1) 4км

ч.

4.172. 44 êì.

4.173. 12 ÷.

4.174. 750 ì, 700 ì.

4.175. 1) 72 800;

3) 7 197 200.

4.176. 2) 173 221 ≈ 173 000;

4) 322 859 ≈ 323 000.

4.177. 1) Áîëüøå; 3) ðàâíû.

4.178. 2) 200; 202; 220; 222.

4.179. 1) 27 560; 3) 2907.

4.180. 200.

4.181. 16.

4.182. 2) 1; 4) 0.

4.183. 1) 277; 2) 17 849.

4.184. 2) 110; 4) 0.

4.185. 952 ñì2.

4.186. 6 ìèí.

4.187. 13.

4.189. 4, 5 è 8 âàãîíîâ; â

êàæäîì ïî 59 ìåñò.

4.190. 60.

4.191. (0; 7) → (5; 2) →→ (0; 2) → (2; 0) →→ (2; 7) → (5; 4) →→ (0; 4) → (4; 0) →→ (4; 7) → (5; 6) →→ (0; 6).

4.192. Ìîæåò.

4.193. 9.

4.194. 2 ÷.

4.197. 84 äì.

4.198. 375 ë.


институт



Ëàòèíñêèé àëôàâèò

Aa Aa à Nn Nn ýí

Bb Bb áý Oo Oo î

Cc Cc öý Pp Pp ïý

Dd Dd äý Qq Qq êó

Ee Ee ý Rr Rr ýð

Ff Ff ýô Ss Ss ýñ

Gg Gg æå Tt Tt òý

Hh Hh àø Uu Uu ó

Ii Ii è Vv Vv âý

Jj Jj æè Ww Ww äóáëü-âý

Kk Kk êà Xx Xx èêñ

Ll Ll ýëü Yy Yy èãðåê

Mm Mm ýì Zz Zz çýò

Íà÷åðòàíèå

ïðÿìîåêóðñèâ-

íîå

Íàçâà-

íèå

Íà÷åðòàíèå

ïðÿìîåêóðñèâ-

íîå

Íàçâà-

íèå


институт



Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

À

àð 116

Â

âåðøèíà ïðÿìîóãîëüíîãî

ïàðàëëåëåïèïåäà 184

— òðåóãîëüíèêà 82

— óãëà 66

âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæè-

òåëÿ çà ñêîáêè 125

âûðàæåíèå áóêâåííîå 144

— ñ ïåðåìåííîé 144

âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-

ðàëëåëåïèïåäà 185

Ã

ãðàíü ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-

ðàëëåëåïèïåäà 184

— áîêîâàÿ 185

— âåðõíÿÿ 185

Ä

äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷è-

ñåë 128, 129

— — — áåç îñòàòêà 173

— — — íàöåëî 173

— — — ñ îñòàòêîì 172,

173, 174

äèàìåòð êðóãà 170

— îêðóæíîñòè 167

äëèíà ëîìàíîé 80

— îòðåçêà 30

— ïðÿìîóãîëüíèêà 111

— ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàë-

ëåëåïèïåäà 185

Å

åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëè-

íû 30

— — îáúåìà 188

— — ïëîùàäè 115

Ç

çàêîí ïåðåìåñòèòåëüíûé

ñëîæåíèÿ 60

— — óìíîæåíèÿ 100

çàêîí ðàñïðåäåëèòåëüíûé

óìíîæåíèÿ 121, 122

çàêîí ñî÷åòàòåëüíûé ñëî-

æåíèÿ 63, 64

— — óìíîæåíèÿ 103

çâåíî ëîìàíîé 81

çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 139

È

èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíè-

êà 111

ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-

ëåïèïåäà 190

219


институт



Ê

êâàäðàò 111

— åäèíè÷íûé 115

— ÷èñëà 106

êëàññ â çàïèñè íàòóðàëü-

íûõ ÷èñåë 23

êîîðäèíàòà òî÷êè íà ëó-

÷å 44

êðàòíîå 156

êðóã 170

êóá 186


— ÷èñëà 106

Ë

ëèòð 194

ëîìàíàÿ 80

— çàìêíóòàÿ 80

— íåçàìêíóòàÿ 80

ëó÷ 39

— êîîðäèíàòíûé 43

Ì

ìåòð 29

ìíîãîóãîëüíèê 83

ìíîæèòåëü 96

Î

îáúåì êóáà 189



îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ

÷èñåë 47

îêðóæíîñòü 166

îñíîâàíèå ñòåïåíè 107

îñòàòîê ïðè äåëåíèè 176

îòðåçêè ðàâíûå 29

îòðåçîê 28


Ï

ïåðèìåòð êâàäðàòà 113

— ìíîãîóãîëüíèêà 83


ïëîñêîñòü 11

ïëîùàäü êâàäðàòà 116


ïîêàçàòåëü ñòåïåíè 107

ïðèçíàê äåëèìîñòè 159

— — íà 2 159, 160

— — íà 5 è íà 10 162,

163

— — íà 9 è íà 3 179, 180

ïðÿìàÿ 10

ïðÿìîóãîëüíèê 111

ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëå-

ëåïèïåä 184

Ð

ðàäèóñ êðóãà 170


ðàçðÿäíûå åäèíèöû 19

— ñëàãàåìûå 19

ðàçðÿäû â çàïèñè íàòóðàëü-

íûõ ÷èñåë 18

ðàñêðûòèå ñêîáîê 125

ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êà-

ìè 30

ðÿä íàòóðàëüíûé 4

Ñ

ñâîéñòâà íàòóðàëüíîãî ðÿ-

äà 5

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü

220


институт



ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ äåñÿ-

òè÷íàÿ 14

— — ïîçèöèîííàÿ 15

ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷è-

ñåë 35

ñòåïåíü ÷èñëà 106, 107

ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà 82

— óãëà 66, 67

Ò

òî÷êà 10

òðåóãîëüíèê 82

Ó

óãëû âåðòèêàëüíûå 71

— ðàâíûå 67

— ñìåæíûå 71

óãîë 66

— ïðÿìîé 70

— ðàçâåðíóòûé 69

— òðåóãîëüíèêà 82

óðàâíåíèå 89

Ô

ôèãóðû ðàâíûå 112

Õ

õîðäà îêðóæíîñòè 166

— êðóãà 170

Ö

öåíòð êðóãà 170


öèôðà 15

×

÷àñòíîå 131, 173

— íåïîëíîå 173

÷åòûðåõóãîëüíèê 82

÷èñëî ìíîãîçíà÷íîå 16

— íàòóðàëüíîå 4

— íå÷åòíîå 160

— îäíîçíà÷íîå 15

— ÷åòíîå 160

Ø

øèðèíà ïðÿìîóãîëüíèêà

111



Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëüНациональный

институт



Îãëàâëåíèå

ÃËÀÂÀ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà


1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü ...............................

1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .............................

1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà ................................

1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà ....................

1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà ................................

1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .......................

1.8. Ëó÷ .............................................................

1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷ .........................................

1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................

Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................

ÃËÀÂÀ 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå

íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

2.1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .........................

2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ..................

2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ .......................

2.4. Óãîë .............................................................

2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû,

âåðòèêàëüíûå óãëû .......................................

2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................

2.7. Ëîìàíàÿ .......................................................

2.8. Ìíîãîóãîëüíèê .............................................

2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå

è ðàçíîñòè ....................................................

2.10. Óðàâíåíèå .....................................................


ÃËÀÂÀ 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå

íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................

3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ...............

4

10

14

18

23

28

35

39

43

47

52

56

59

62

66

69

73

80

82

86

88

92

96

100

222


институт



3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ....................

3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì .....

3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò ................................

3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè

3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí .............................

3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæè-

òåëÿ çà ñêîáêè ..............................................

3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .............................

3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå

è ÷àñòíîìó ...................................................

3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ðàçíîñ-

òè è ÷àñòíîìó ..............................................

3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ ...................................

3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ...........................

3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè ............................................


ÃËÀÂÀ 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë

4.1. Äåëèòåëè è êðàòíûå ......................................

4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2 ...............................

4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10 ..................

4.4. Îêðóæíîñòü .................................................

4.5. Êðóã .............................................................

4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì .......................................

4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3 ..................

4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Êóá ............

4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Åäè-

íèöû îáúåìà ................................................

4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ......................................

4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå-

÷åíèÿ ...........................................................


Îòâåòû .................................................................

Ïðèëîæåíèå .........................................................

Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ............................................

102

106

111

115

121

125

128

134

137

139

143

149

152

155

159

162

166

170

172

179

184

188

194

198

203

207

218

219

223


институт



(Íàçâàíèå è íîìåð ó÷ðåæäåíèÿ îáùåãî ñðåäíåãî îáðàçîâàíèÿ)

20 /

20 /

20 /

20 /

20 /

Ó÷åáíûé

ãîäÈìÿ è ôàìèëèÿ ó÷àùåãîñÿ

Ñîñòîÿíèå

ó÷åáíîãî

ïîñîáèÿ

ïðè

ïîëó÷åíèè

Îöåíêà

ó÷àùåìóñÿ çà

ïîëüçîâàíèå

ó÷åáíûì

ïîñîáèåì

Ó÷åáíîå èçäàíèå

Êóçíåöîâà Åëåíà ÏàâëîâíàÌóðàâüåâà Ãàëèíà Ëåîíèäîâíà

Øíåïåðìàí Ëåâ Áîðèñîâè÷ è äð.

МАТЕМАТИКА

Учебное пособие для 5 классаучреждений общего среднего образования

с русским языком обучения

В 2 частях

Часть 1

2-е издание, пересмотренное и дополненное

Íà÷. ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî îòäåëà Ã. È. Áîíäàðåíêî

Ðåäàêòîð Ò. Â. Ïðèìà÷åíîê

Îáëîæêà õóäîæíèêà È. À. Óñåíêî

Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà À. Í. Êèñåëåâà

Êîððåêòîðû Í. È. Ïîðõóí, Â. Ï. Øêðåäîâà

Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 12.04.2013. Ôîðìàò 60×90/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ.

Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 14,00. Ó÷.-èçä. ë. 5,38 + 0,38 ôîðç.

Òèðàæ 89 670 ýêç. Çàêàç

Íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêîå ó÷ðåæäåíèå «Íàöèîíàëüíûé èíñòèòóò îáðàçîâàíèÿ»

Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ Ðåñïóáëèêè Áåëàðóñü. ËÈ ¹ 02330/0494469

îò 08.04.2009. Óë. Êîðîëÿ, 16, 220004, ã. Ìèíñê

ÎÀÎ «Ïîëèãðàôêîìáèíàò èì. ßêóáà Êîëàñà». ËÏ ¹ 02330/0150496îò 11.03.2009. Óë. Êîðæåíåâñêîãî, 20, 220024, ã. Ìèíñê


институт



Documents

МАТЕМАТИКА - adu.by · ãè÷íî ïóíêò òåîðèè 4.3 îçíà÷àåò 3-é ïóíêò èç 4-é ãëàâû. Óïðàæíåíèÿ, êîòîðûå äîëæíû óìåòü