УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ 5 КЛАССА
УЧРЕЖДЕНИЙ ОБЩЕГО СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
С РУССКИМ ЯЗЫКОМ ОБУЧЕНИЯ
МИНСК
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ ОБРАЗОВАНИЯ
2013
МАТЕМАТИКА
Допущено
Министерством образованияРеспублики Беларусь
Под редакцией профессора
Л. Б. Шнепермана
В 2 частях
Часть 1
2-е издание, пересмотренное и дополненное
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
Ìàòåìàòèêà : ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ 5-ãî êë. ó÷ðåæ-
äåíèé îáù. ñðåä. îáðàçîâàíèÿ ñ ðóñ. ÿç. îáó÷åíèÿ :
â 2 ÷. / Å. Ï. Êóçíåöîâà [è äð.] ; ïîä ðåä. Ë. Á. Øíå-
ïåðìàíà. — 2-å èçä., ïåðåñì. è äîï. — Ìèíñê : Íàö.
èí-ò îáðàçîâàíèÿ, 2013. — ×. 1. — 224 ñ. : èë.
ISBN 978-985-559-198-7.
ÓÄÊ 51(075.3=161.3=161.1)
ÁÁÊ 22.1ÿ721
ISBN 978-985-559-198-7 (÷. 1) © Îôîðìëåíèå. ÍÌÓ «Íàöèîíàëüíûé
ISBN 978-985-559-197-0 èíñòèòóò îáðàçîâàíèÿ», 2013
ÓÄÊ 51(075.3=161.3=161.1)
ÁÁÊ 22.1ÿ721
Ì34
Ì34
À â ò î ð û:
Å. Ï. Êóçíåöîâà, Ã. Ë. Ìóðàâüåâà, Ë. Á. Øíåïåðìàí,
Á. Þ. ßùèí, Þ. Ê. Âîéòîâà
Ð å ö å í ç å í ò
ó÷èòåëü ìàòåìàòèêè âûñøåé êàòåãîðèè ãîñóäàðñòâåííîãî ó÷ðåæ-
äåíèÿ îáðàçîâàíèÿ «Áðàñëàâñêàÿ ãèìíàçèÿ» Ä. Ã. Ìàöêåâè÷
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
Äîðîãèå ðåáÿòà!
Çíàêîìñòâî ñ ìàòåìàòèêîé íà÷èíàëîñü äëÿ âàñ â ìëàä-
øèõ êëàññàõ â îñíîâíîì ñ àðèôìåòèêè — íàóêè î ÷èñëå.
 5-ì êëàññå âû ïðîäîëæèòå çàíÿòèÿ àðèôìåòèêîé è óçíàå-
òå, ÷òî òàêîå íàòóðàëüíûå ÷èñëà è èõ äåëèòåëè è ÷òî òàêîå
êîîðäèíàòíûé ëó÷, íàó÷èòåñü âûïîëíÿòü ðàçëè÷íûå äåéñò-
âèÿ íàä ìíîãîçíà÷íûìè ÷èñëàìè, ðåøàòü àðèôìåòè÷åñêèå
çàäà÷è, à òàêæå ïðîäîëæèòå çíàêîìñòâî ñ íåêîòîðûìè ãåî-
ìåòðè÷åñêèìè ôèãóðàìè è èõ ñâîéñòâàìè.
* * *
Óïðàæíåíèÿ â ó÷åáíîì ïîñîáèè îáîçíà÷àþòñÿ çíà-
êîì è íóìåðóþòñÿ ïî ãëàâàì. ×èñëî ïåðåä òî÷êîé îáî-
çíà÷àåò íîìåð ãëàâû, ÷èñëî ïîñëå òî÷êè — íîìåð óïðàæíå-
íèÿ. Íàïðèìåð, 1.81 — 81-å óïðàæíåíèå 1-é ãëàâû. Àíàëî-
ãè÷íî ïóíêò òåîðèè 4.3 îçíà÷àåò 3-é ïóíêò èç 4-é ãëàâû.
Óïðàæíåíèÿ, êîòîðûå äîëæíû óìåòü ðåøàòü âñå, îòìå-
÷åíû êðóæêîì (íàïðèìåð, 2.56°). Îñòàëüíûå çàäàíèÿ àä-
ðåñîâàíû òåì, êòî õî÷åò ëó÷øå çíàòü ìàòåìàòèêó è ïîëó-
÷àòü îòìåòêè âûøå, ÷åì 5—6 áàëëîâ. Íàèáîëåå òðóäíûå
çàäàíèÿ ïîìå÷åíû çâåçäî÷êîé (íàïðèìåð, 5.87*).
Íàèáîëåå âàæíûå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ñîïðîâîæäà-
þòñÿ çíàêîì .
Çíàê ïîñòàâëåí òàì, ãäå åñòü âîçìîæíîñòü ñðàâíè-
âàòü âàðèàíòû ðåøåíèé èëè èõ îôîðìëåíèÿ.
Èñòîðè÷åñêèå ñâåäåíèÿ âûäåëåíû â òåêñòå çàêðàøåííû-
ìè êâàäðàòàìè �.
Çíàêîì îòìå÷åíû ìàòåðèàëû è çàäà÷è íà ïîâòî-
ðåíèå.
Æåëàåì óñïåõîâ!Àâòîðû
3
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÅ ×ÈÑËÀ
1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü.
Íàòóðàëüíûé ðÿä
Êîãäà íàñ ó÷àò ñ÷èòàòü, òî ïåðâûì íàçûâàþò ÷èñ-
ëî 1, çàòåì íàçûâàþò ÷èñëî 2, çàòåì — ÷èñëî 3, ÷èñ-
ëî 4, ÷èñëî 5 è ò. ä. Ýòè ÷èñëà, âîçíèêàþùèå ïðè
ñ÷åòå, ïîëó÷èëè íàçâàíèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà.
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà óïîòðåáëÿþòñÿ íå òîëüêî ïðè
ñ÷åòå. Èõ åùå èñïîëüçóþò, ÷òîáû âûðàçèòü ðåçóëüòàòû
èçìåðåíèÿ ðàçëè÷íûõ âåëè÷èí: äëèíû, ïëîùàäè, âðå-
ìåíè, ñêîðîñòè. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà íåîáõîäèìû íàì
äëÿ ðåøåíèÿ ñàìûõ ðàçíûõ çàäà÷.
Êðîìå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìû çíàåì åùå ÷èñëî 0
(íóëü).
×èñëî 0 íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì.
Ñòàðåéøàÿ (ÕÕÕ â. äî í. ý.) èçâåñòíàÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ çàïèñü÷èñëà íàéäåíà â 1937 ã. îêîëî äåðåâíè Âåñòîíèöå â Ìîðàâèè(×åõèÿ). Íà ëó÷åâîé êîñòè ìîëîäîãî âîëêà äëèíîé 18 ñì ñäåëàíî55 çàðóáîê, âèäèìî, òàê îòìå÷àëè òðîôåè îõîòíèêîâ.
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ... ,
çàïèñàííûå â òîì ïîðÿäêå, â êàêîì èõ íàçûâàþò ïðè
ñ÷åòå, îáðàçóþò íàòóðàëüíûé ðÿä.
1ГЛАВА
4
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
×òî â ýòîé çàïèñè îçíà÷àåò ìíîãîòî÷èå?
 íàòóðàëüíîì ðÿäó çà êàæäûì ÷èñëîì ñëåäóåò
åùå îäíî ÷èñëî, íà 1 áîëüøåå. Ïåðå÷èñëåíèå íàòó-
ðàëüíûõ ÷èñåë íå èìååò êîíöà; ãîâîðÿò, ÷òî íàòóðàëü-
íûé ðÿä áåñêîíå÷åí. Âåñü íàòóðàëüíûé ðÿä çàïèñàòü
íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðà-
çîì: âûïèñûâàþò ïîäðÿä íåñêîëüêî ïîñëåäîâàòåëüíûõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íà÷èíàÿ ñ 1, ïîñëå ÷åãî ñòàâÿò
ìíîãîòî÷èå.
Ïåðâûì íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ, êîíå÷íî, 1,
à âîò ïîñëåäíåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ñóùåñòâóåò.
Èòàê, ñâîéñòâà íàòóðàëüíîãî ðÿäà ñëåäóþùèå:
1.  íàòóðàëüíîì ðÿäó åñòü ïåðâîå ÷èñëî — 1.
2.  íàòóðàëüíîì ðÿäó äëÿ êàæäîãî ÷èñëà ñó-
ùåñòâóåò ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî.
3.  íàòóðàëüíîì ðÿäó íåò ïîñëåäíåãî ÷èñ-
ëà, îí áåñêîíå÷åí.
Çàìåòèì åùå, ÷òî êàæäîå ÷èñëî â íàòóðàëüíîì
ðÿäó, êðîìå 1, èìååò ïðåäøåñòâóþùåå åìó ÷èñëî,
íà 1 ìåíüøåå.
Ïî ó÷åíèþ ôèëîñîôà è ìàòåìàòèêà Äðåâíåé Ãðå-öèè Ïèôàãîðà (îê. 580—500 ãã. äî í. ý.), ÷èñëî 2îçíà÷àëî ãàðìîíèþ; 5 — öâåò; 6 — õîëîä; 7 —ðàçóì, çäîðîâüå; 8 — ëþáîâü è äðóæáó... Êàæäîåíàòóðàëüíîå ÷èñëî ïîñëåäîâàòåëè Ïèôàãîðà ðàñ-ñìàòðèâàëè êàê ñîáðàíèå åäèíèö, ñàìó æå åäèíè-öó îíè ÷èñëîì íå ïðèçíàâàëè è ïî÷èòàëè åå êàêíå÷òî ñîâåðøåííî îñîáîå.×èñëî 10, ðàâíîå ñóììå ïåðâûõ ÷åòûðåõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà(10 = 1 + 2 + 3 + 4), îíè íàçûâàëè «ñâÿùåííîé ÷åòâåðèöåé».
5
1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä
Ïèôàãîð
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
6
Âîïðîñû
1. Äëÿ ÷åãî èñïîëüçóþòñÿ íàòóðàëüíûå ÷èñëà?
2. Íàçîâèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ìåíüøèå 10. Ñêîëüêî èõ?
3. Êàêîå èçâåñòíîå âàì ÷èñëî íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì?
4. Åñòü ëè â íàòóðàëüíîì ðÿäó ïåðâîå (ïîñëåäíåå) ÷èñëî?
5. Äëÿ êàæäîãî ëè ÷èñëà â íàòóðàëüíîì ðÿäó ñóùåñòâóåò
ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî?
6. Êàæäîå ëè ÷èñëî â íàòóðàëüíîì ðÿäó èìååò ïðåäøåñò-
âóþùåå åìó ÷èñëî?
Óïðàæíåíèÿ
1.1.1.1.1.11111.....° Çàïèøèòå ïåðâûå äåñÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
1.1.1.1.1.22222..... Çàïèøèòå íàòóðàëüíûì ÷èñëîì êîëè÷åñòâî:
1) ó÷åíèêîâ â êëàññå;
2) äåâî÷åê â êëàññå;
3) ñòîëîâ â êàáèíåòå;
4) ñòðàíèö â ýòîì ó÷åáíèêå.
1.1.1.1.1.33333..... Óçíàéòå è çàïèøèòå êîëè÷åñòâî:
1) ïÿòèêëàññíèêîâ â øêîëå;
2) ó÷èòåëåé â øêîëå;
3) êíèã â øêîëüíîé áèáëèîòåêå;
4) ÷èòàòåëåé â øêîëüíîé áèáëèîòåêå.
1.1.1.1.1.44444..... Çàïèøèòå êîëè÷åñòâî èçîáðàæåííûõ (ðèñ. 1):
1) òðåóãîëüíèêîâ; 2) êâàäðàòîâ.
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
Ðèñ. 1
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
7
6 –2300 00
10242
12200 м
302
3023
A
0493 BX-2
1.1.1.1.1.55555..... Çàïèøèòå äëÿ ýòîé êíèãè êîëè÷åñòâî:
1) ñòðàíèö â ïåðâîé ãëàâå;
2) áóêâ «í» è «ù» â ïîñëåäíåé ñòðîêå ñòðàíèöû 7.
1.1.1.1.1.66666.....° Íà ðèñóíêå 2 èçîáðàæåíû ÷åòûðå îòðåçêà, êîòî-
ðûå ÷åðòî÷êàìè ðàçäåëåíû íà ÷àñòè ñàíòèìåòðîâîé
äëèíû. Çàïèøèòå äëèíó êàæäîãî îòðåçêà.
1.1.1.1.1.77777..... Íàéäèòå è íàçîâèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà ðèñóí-
êå 3. Îáúÿñíèòå íàçíà÷åíèå êàæäîãî íàòóðàëüíîãî
÷èñëà.
1.1.1.1.1.88888.....° Íàçîâèòå (åñëè ýòî âîçìîæíî):
1) äåñÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
2) ÷èñëî, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ íàòóðàëüíûì;
3) íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî;
4) íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî.
1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä
Ðèñ. 2
Ðèñ. 3Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
8
1.1.1.1.1.99999.....° Çàïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ñëåäóåò çà
÷èñëîì:
1) 1; 2) 999;
3) 7249; 4) 4320;
5) 65 0561); 6) 303 303.
1.1.1.1.1.1010101010..... Çàïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå ïðåäøåñò-
âóåò ÷èñëó:
1) 10; 2) 27;
3) 5931; 4) 94 310;
5) 23 188; 6) 627 924.
1.1.1.1.1.1111111111..... Íàçîâèòå ÷èñëà, êîòîðûìè íàäî çàïîëíèòü òàá-
ëèöó:
à 537 444
à + 1 729
à – 1 328
1.1.1.1.1.1212121212..... Óêàæèòå òðè ÷èñëà, ñòîÿùèå â íàòóðàëüíîì ðÿ-
äó ïîñëå ÷èñëà:
1) 499; 2) 78;
3) 51 590; 4) 72 837.
1.1.1.1.1.1313131313..... Óêàæèòå òðè ÷èñëà, ñòîÿùèå â íàòóðàëüíîì ðÿäó
äî ÷èñëà:
1) 947; 2) 992;
3) 90 001; 4) 52 903.
1.1.1.1.1.1414141414..... Çàïèøèòå âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êîòîðûå:
1) ðàñïîëîæåíû ìåæäó 999 è 1002;
2) áîëüøå 98 è ìåíüøå 106.________
1) Ïðè çàïèñè áîëüøèõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë èñïîëüçóþò
ïðîáåëû — çà÷åì ýòî äåëàþò, áóäåò ïîÿñíåíî â ï. 1.5.
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
9
1.1.1.1.1.1515151515.....* Ïóñòü à + 2 — íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Çà-
ïèøèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî:
1) ñëåäóþùåå çà íèì;
2) ïðåäøåñòâóþùåå åìó.
1.1.1.1.1.1616161616.....°  òàáëèöå çàïèñàíû 16 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Âû-
ïèøèòå èç íèõ êàæäîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî â òàáëèöå
åñòü:
1) ïðåäøåñòâóþùåå åìó ÷èñëî;
2) ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî;
3) ïðåäøåñòâóþùåå åìó è ñëåäóþùåå çà íèì ÷èñëî.
23 19 17 9
100 14 24 98
99 10 102 15
22 96 16 8
1.1.1.1.1.1717171717..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) õ + 1 = 100; 2) õ + 1 = 1000;
3) õ − 1 = 10; 4) õ − 1 = 10 000.
1.1.1.1.1.1818181818.....* 1) Ñåìèçíà÷íûé íîìåð òåëåôîíà Àëåøè — ýòî
òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷èñëà íàòóðàëüíîãî ðÿäà. Îïðå-
äåëèòå íîìåð Àëåøèíîãî òåëåôîíà.
2) Òðåõçíà÷íûé øèôð êîäîâîãî çàì-
êà íà ïîðòôåëå ñîñòàâëåí èç äâóõ ïîñëå-
äîâàòåëüíûõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà,
çàïèñàííûõ â îáðàòíîì ïîðÿäêå (ðèñ. 4).
Îïðåäåëèòå øèôð êîäîâîãî çàìêà.
1.1.1.1.1.1919191919.....* Ñ ïîìîùüþ ÷åòûðåõ ÷åòâåðîê, çíàêîâ àðèôìå-
òè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê ñîñòàâüòå ÷èñëîâûå âû-
ðàæåíèÿ, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëü-
íîñòü: 4, 8, 16, 64, 128, 256.
Ðèñ. 4
1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿäНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
10
1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü
Âû óæå çíàåòå, êàê èçîáðàæàþòñÿ òî÷êà è ïðÿìàÿ.
Âû âèäèòå èõ èçîáðàæåíèå íà ðèñóíêàõ 5 è 6:
Òî÷êó îáîçíà÷àþò ïðîïèñíîé (áîëüøîé) áóêâîé ëà-
òèíñêîãî àëôàâèòà.
Ïðÿìóþ îáîçíà÷àþò ñòðî÷íîé (ìàëîé) áóêâîé ëà-
òèíñêîãî àëôàâèòà. Ïðÿìàÿ áåñêîíå÷íà, îíà íå èìååò
íè íà÷àëà, íè êîíöà, ïîýòîìó íà ðèñóíêå ìîæíî èçîá-
ðàçèòü ëèøü ÷àñòü ïðÿìîé.
Îòìåòèì íà ïðÿìîé b òî÷êó K
(ðèñ. 7).
Ãîâîðÿò: «òî÷êà K ëåæèò íà
ïðÿìîé b» èëè «ïðÿìàÿ b ïðîõî-
äèò ÷åðåç òî÷êó K».
×åðåç îäíó òî÷êó ìîæíî ïðîâåñòè ëþáîå ÷èñëî
ïðÿìûõ. Íà ðèñóíêå 8 ÷åðåç òî÷êó P ïðîõîäÿò ÷åòû-
ðå ïðÿìûå. Ãîâîðÿò, ÷òî îíè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå P.
Êîãäà äâå òî÷êè M è N ëåæàò íà ïðÿìîé ñ (ðèñ. 9),
òî ýòó ïðÿìóþ òàêæå íàçûâàþò «ïðÿìàÿ MN».
×åðåç ëþáûå äâå òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè ïðÿ-
ìóþ, è òîëüêî îäíó.
Ðèñ. 5 Ðèñ. 6
Ðèñ. 7
Ðèñ. 8 Ðèñ. 9
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
11
Ïîâåðõíîñòè ñòîëà, êëàññíîé äîñêè, îêîííîãî ñòåê-
ëà äàþò ïðåäñòàâëåíèå î ÷àñòè ïëîñêîñòè. Èçîáðàçèòü
æå âñþ ïëîñêîñòü íåâîçìîæíî, ïîòîìó ÷òî îíà áåñêî-
íå÷íà. Íà ðèñóíêå èçîáðàæàåòñÿ òîëüêî ÷àñòü ïëîñ-
êîñòè (ðèñ. 10). Òî÷êè è ïðÿìûå ìîãóò ëåæàòü â ïëîñ-
êîñòè. Íàïðèìåð, ïðÿìûå à è b, ïåðåñåêàþùèåñÿ â
òî÷êå C, ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè (ðèñ. 11).
Ïî îäíîé âåðñèè, ñëîâî «òî÷êà» â ðóññêîì ÿçûêå îçíà÷àëî êîíåöçàòî÷åííîãî ãóñèíîãî ïåðà, êîòîðûì ðàíüøå ïèñàëè, è ïðîèñõîäèò
îò ñëîâà «òî÷èòü» (ðèñ. 12).Ïî äðóãîé âåðñèè, ñëîâî «òî÷êà» ïðîèñõîäèò îò ãëàãîëà «òêíóòü»òàê æå, êàê ðàâíîçíà÷íîå ñëîâî «ïóíêò» ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãîñëîâà pungo — «óêàëûâàþ» (ðèñ. 13).
Âîïðîñû
1. Êàê îáîçíà÷àåòñÿ: à) òî÷êà; á) ïðÿìàÿ?
2. Ñêîëüêî ïðÿìûõ ìîæíî ïðîâåñòè ÷åðåç îäíó òî÷êó?
÷åðåç äâå òî÷êè? ÷åðåç òðè òî÷êè?
3. Ìîãóò ëè äâå ïðÿìûå ïåðåñåêàòüñÿ áîëåå ÷åì â îäíîé
òî÷êå?
Ðèñ. 10 Ðèñ. 11
Ðèñ. 12 Ðèñ. 13
1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòüНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
12
E
O
P F
T
N C
F
KE
a A
O MD
а) б)
Óïðàæíåíèÿ
1.1.1.1.1.2020202020.....° Íàçîâèòå ïðÿìûå, èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 14:
1.1.1.1.1.2121212121.....° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè ÷åòûðå ïðÿìûå è îáîçíà÷ü-
òå èõ ìàëûìè áóêâàìè ëàòèíñêîãî àëôàâèòà.
1.1.1.1.1.2222222222.....° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè òðè ïðÿìûå, îòìåòüòå íà
êàæäîé èç íèõ ïî äâå òî÷êè. Íàçîâèòå ýòè ïðÿìûå,
èñïîëüçóÿ îòìå÷åííûå òî÷êè.
1.1.1.1.1.2323232323.....° Íàçîâèòå òî÷êè, ëåæàùèå è íå ëåæàùèå íà ïðÿ-
ìîé a (ðèñ. 15).
1.1.1.1.1.2424242424.....° Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè M è N. Ïðîâåäèòå ÷å-
ðåç íèõ ïðÿìóþ. Îòìåòüòå è îáîçíà÷üòå åùå òðè òî÷êè:
1) íà ïðÿìîé MN;
2) íå ëåæàùèå íà ïðÿìîé MN.
Ðèñ. 14
Ðèñ. 15
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
a
c
d
а)b c a
d
km
б)
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
13
1.1.1.1.1.2525252525..... Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êó M è ïðîâåäèòå ÷åòûðå
ïðÿìûå, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó M. Îòìåòüòå è îáî-
çíà÷üòå íà êàæäîé ïðÿìîé åùå ïî îäíîé òî÷êå. Çàïè-
øèòå íàçâàíèå êàæäîé ïðÿìîé.
1.1.1.1.1.2626262626..... Íàçîâèòå èçîáðàæåííûå íà ðèñóíêå 16 ïðÿìûå,
ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó:
1) À; 2) Â;
3) Ñ; 4) D;
5) E.
1.1.1.1.1.2727272727.....° Ïðîâåðüòå, ìîæíî ëè ïðîâåñòè ïðÿìóþ ÷åðåç
òî÷êè A, B è C íà ðèñóíêå 17.
1.1.1.1.1.2828282828..... Èçîáðàçèòå òðè òî÷êè A, B è C òàê, ÷òîáû îíè:
1) ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé;
2) íå ëåæàëè íà îäíîé ïðÿìîé.
1.29.1.29.1.29.1.29.1.29. Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè M, P, T, íå ëåæàùèå
íà îäíîé ïðÿìîé. ×åðåç êàæäûå äâå òî÷êè ïðîâåäè-
òå ïðÿìóþ. Ñêîëüêî ïîëó÷èëîñü ïðÿìûõ? Çàïèøè-
òå èõ.
Ðèñ. 17
à)
C
À
B
á)
AB
C
C
ã)
A
B
â)
A
B
C
Ðèñ. 16
E
B
D
AC
1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòüНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
14
1.1.1.1.1.3030303030..... Êàêèå èç ïðÿìûõ íà ðèñóíêå 18 ìîãóò ïåðåñå-
êàòüñÿ â ïðåäåëàõ ñòðàíèöû ýòîé êíèãè?
1.1.1.1.1.3131313131.....° Îïðåäåëèòå, íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëèò ïëîñêîñòü:
1) îäíà ïðÿìàÿ (ðèñ. 19);
2) äâå ïðÿìûå (ðèñ. 20);
3) òðè ïðÿìûå (ðèñ. 21).
Ðèñ. 18
Ðèñ. 19
Ðèñ. 20
Ðèñ. 21
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
á) â)
à)
à)
á)
1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Çàïèñûâàòü íàòóðàëüíûå ÷èñëà ìû óæå óìååì. Òîò
ñïîñîá çàïèñè ÷èñåë, êîòîðûì ìû ïîëüçóåìñÿ, íàçû-
âàåòñÿ äåñÿòè÷íîé ñèñòåìîé ñ÷èñëåíèÿ. ×èñëà â
íåé çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ äåñÿòè çíàêîâ:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
15
Ýòè çíàêè íàçûâàþòñÿ öèôðàìè.
Êàêîå ÷èñëî îçíà÷àåò öèôðà, îïðåäåëÿåòñÿ
íå òîëüêî ñàìîé ýòîé öèôðîé, íî è ïîçèöèåé
(ìåñòîì), ãäå îíà ñòîèò â çàïèñè íàòóðàëü-
íîãî ÷èñëà.
Òàê, â çàïèñè ÷èñëà 285 öèôðà 5 îçíà÷àåò 5 åäè-
íèö, à â çàïèñè ÷èñëà 528 öèôðà 5 îçíà÷àåò 5 ñîòåí.
Ïîýòîìó ãîâîðÿò, ÷òî äåñÿòè÷íàÿ ñèñòåìà ñ÷èñëå-
íèÿ ïîçèöèîííàÿ.
Ñóùåñòâóþò è íåïîçèöèîííûå ñèñòåìû ñ÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð,
ðèìñêàÿ íóìåðàöèÿ, ãäå ÷èñëà çàïèñûâàþòñÿ ñ ïîìîùüþ ðèìñêèõ
öèôð:
I — 1, V — 5, X — 10, L — 50, C — 100, D — 500, M — 1000.
Äëÿ çàïèñè ÷èñåë èñïîëüçóþòñÿ ïðàâèëà ñëîæåíèÿ è âû÷èòàíèÿ.
Åñëè ìåíüøàÿ öèôðà ñòîèò ïîñëå áîëüøåé, òî îíà ïðèáàâëÿåòñÿ
ê áîëüøåé, à åñëè ìåíüøàÿ öèôðà ñòîèò ïåðåä áîëüøåé, òî îíà
âû÷èòàåòñÿ èç áîëüøåé. Íàïðèìåð:
III = 3, ò. å. 1 + 1 + 1; VII = 7, ò. å. 5 + 1 + 1; XXI = 21, ò. å. 10 + 10 + 1;
I V = 4, ò. å. 5 − 1; IX = 9, ò. å. 10 − 1; XIX = 19, ò. å. 10 + (10 − 1);
MCMXLV = 1945 (1000 + (1000 − 100) + (50 − 10) + 5).
Ðèìñêóþ íóìåðàöèþ ñåé÷àñ èñïîëüçóþò òîëüêî äëÿ çàïèñè ïîðÿä-
êîâûõ ÷èñëèòåëüíûõ. Òàê, çàïèñü «XXI â.» ÷èòàþò: «äâàäöàòü ïåð-
âûé âåê», à çàïèñü «V êëàññ» — «ïÿòûé êëàññ».
Çàïèñü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â äåñÿòè÷íîé ñè-
ñòåìå ñ÷èñëåíèÿ íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ íóëÿ.
×èñëî «íóëü» è êàæäîå èç ïåðâûõ äåâÿòè íàòó-
ðàëüíûõ ÷èñåë çàïèñûâàþòñÿ îäíîé öèôðîé; ýòè ÷èñ-
ëà íàçûâàþòñÿ îäíîçíà÷íûìè.
1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
16
Íàòóðàëüíîå ÷èñëî, çàïèñàííîå áîëåå ÷åì îäíîé
öèôðîé, íàçûâàåòñÿ ìíîãîçíà÷íûì. Ñðåäè ìíîãîçíà÷-
íûõ ÷èñåë äâóçíà÷íûå — ýòî òå, êîòîðûå çàïèñûâàþò-
ñÿ äâóìÿ öèôðàìè, òðåõçíà÷íûå — ýòî òå, êîòîðûå
çàïèñûâàþòñÿ òðåìÿ öèôðàìè, è ò. ä.
«Íóëü» ïî-àðàáñêè — «ñèôð», îòêóäà è ïîøëî íàçâàíèå öèôðà.Èíòåðåñíî, ÷òî ìû íàçûâàåì öèôðû 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 àðàá-ñêèìè, òàê êàê çàèìñòâîâàëè èõ ó àðàáîâ, íî ñàìè àðàáû íàçûâàþòýòè öèôðû èíäèéñêèìè, ïîñêîëüêó çàèìñòâîâàëè èõ ó èíäèéöåâ.
Âîïðîñû
1. Êàê íàçûâàåòñÿ ñïîñîá çàïèñè ÷èñåë, êîòîðûìè ìû
ïîëüçóåìñÿ?
2. Ñ ïîìîùüþ êàêèõ çíàêîâ çàïèñûâàþòñÿ ÷èñëà â äåñÿ-
òè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ? Êàê íàçûâàþòñÿ ýòè çíàêè?
3. ×åì îïðåäåëÿåòñÿ, êàêîå ÷èñëî îçíà÷àåò öèôðà â çàïèñè
÷èñëà?
4. Ñ êàêîé öèôðû íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ çàïèñü íàòóðàëü-
íîãî ÷èñëà?
Óïðàæíåíèÿ
1.1.1.1.1.3232323232.....° Ïðèâåäèòå ïðèìåð ÷èñëà:
1) äâóçíà÷íîãî; 2) òðåõçíà÷íîãî;
3) îäíîçíà÷íîãî; 4) ÷åòûðåõçíà÷íîãî.
1.1.1.1.1.3333333333.....° Ñðåäè ÷èñåë 137, 731, 317 íàéäèòå ÷èñëî, â êîòî-
ðîì öèôðà 1 íàõîäèòñÿ íà ïîçèöèè:
1) åäèíèö;
2) äåñÿòêîâ;
3) ñîòåí.
1.1.1.1.1.3434343434.....° Çàïèøèòå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, ó êîòîðûõ íà ïîçè-
öèÿõ åäèíèö è äåñÿòêîâ öèôðû îäèíàêîâûå. Ñêîëüêî
òàêèõ ÷èñåë ïîëó÷èëîñü?
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
17
1.1.1.1.1.3535353535..... Äàíî ÷èñëî: 1) 782; 2) 780. Çàïèøèòå âñå òðåõ-
çíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü èç ýòîãî
÷èñëà, ìåíÿÿ ïîçèöèè åãî öèôð. Ñêîëüêî òàêèõ ÷èñåë
ïîëó÷èëîñü?
1.1.1.1.1.3636363636..... Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî
ñîñòàâèòü èç öèôð:
1) 3 è 6; 2) 4 è 0;
3) 2, 0 è 8; 4) 1, 5 è 0.
1.1.1.1.1.3737373737..... Ïðî÷èòàéòå ÷èñëî:
1) 2569; 2) 7183;
3) 40 104; 4) 69 001.
Çàïèøèòå ÷èñëî, ñîñòàâëåííîå èç òåõ æå öèôð, íî â
îáðàòíîì ïîðÿäêå. Ïðî÷èòàéòå ïîëó÷åííîå ÷èñëî.
1.1.1.1.1.3838383838..... Çàïèøèòå ïåðâûå â íàòóðàëüíîì ðÿäó:
1) âîñåìü îäíîçíà÷íûõ ÷èñåë;
2) ÷åòûðå äâóçíà÷íûõ ÷èñëà;
3) òðè òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà;
4) äâà ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà.
1.1.1.1.1.3939393939..... Çàïèøèòå ïîñëåäíèå òðè â íàòóðàëüíîì ðÿäó:
1) îäíîçíà÷íûõ ÷èñëà;
2) äâóçíà÷íûõ ÷èñëà;
3) òðåõçíà÷íûõ ÷èñëà;
4) ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà.
1.1.1.1.1.4040404040..... Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå íàèáîëüøåå è íàèìåíü-
øåå ÷èñëà ñðåäè ÷èñåë:
1) äâóçíà÷íûõ; 2) òðåõçíà÷íûõ;
3) ïÿòèçíà÷íûõ; 4) øåñòèçíà÷íûõ.
1.1.1.1.1.4141414141.....° Ñêîëüêî öèôð èñïîëüçîâàíî äëÿ çàïèñè ÷èñåë
è ñêîëüêî ñðåäè íèõ ðàçëè÷íûõ:
1) 290 290; 2) 345 543;
3) 59 585; 4) 47 917?
1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
18
1.1.1.1.1.4242424242..... Ñîñòàâüòå:
1) âñå äâóçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ñóììà öèôð
êîòîðûõ ðàâíà 5;
2) âñå òðåõçíà÷íûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ñóììà öèôð
êîòîðûõ ðàâíà 4.
1.1.1.1.1.4343434343.....* Óñòàíîâèòå çàêîíîìåðíîñòü, çàïèøèòå è ïðî÷è-
òàéòå òðè ÷èñëà, ñëåäóþùèå çà óêàçàííûìè:
5; 50; 505; 5050; ... .
1.1.1.1.1.4444444444.....* Îáðàòèòå âíèìàíèå, ñ êàêîé ñòðàíèöû íà÷èíàåò-
ñÿ íóìåðàöèÿ â âàøåì ó÷åáíîì ïîñîáèè «Ìàòåìàòèêà».
1) Ñêîëüêî öèôð ïîòðåáîâàëîñü íàïå÷àòàòü äëÿ íó-
ìåðàöèè ñòðàíèö â ó÷åáíîì ïîñîáèè «Ìàòåìà-
òèêà»?
2) Ñêîëüêî ðàç âñòðå÷àåòñÿ êàæäàÿ èç öèôð?
1.1.1.1.1.4545454545.....* Äëÿ íóìåðàöèè ñòðàíèö â ñáîðíèêå «Çàäà÷è
íà ñìåêàëêó» ïîòðåáîâàëîñü 787 öèôð. Êàêîé íîìåð
èìååò ïîñëåäíÿÿ ïðîíóìåðîâàííàÿ ñòðàíèöà, åñëè ïåð-
âàÿ ïðîíóìåðîâàííàÿ ñòðàíèöà èìååò íîìåð 3?
1.1.1.1.1.4646464646.....* Ìåæäó ÷èñëàìè 1, 3, 5, 7, 9 ðàññòàâüòå çíàêè
àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáêè òàê, ÷òîáû çíà÷å-
íèå ïîëó÷åííîãî ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ áûëî ðàâíî:
1) 0; 2) 1; 3) 3;
4) 5; 5) 7; 6) 9.
1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà
Ïîçèöèÿ (ìåñòî), íà êîòîðîé â çàïèñè íàòóðàëü-
íîãî ÷èñëà ñòîèò öèôðà, íàçûâàåòñÿ ðàçðÿäîì. Ïåð-
âàÿ öèôðà ñïðàâà â çàïèñè ÷èñëà íàçûâàåòñÿ öèôðîé
ïåðâîãî ðàçðÿäà, âòîðàÿ öèôðà ñïðàâà — öèôðîé âòî-
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
19
ðîãî ðàçðÿäà, òðåòüÿ öèôðà ñïðàâà — öèôðîé òðåòüåãî
ðàçðÿäà è ò. ä. Ïåðâûé ðàçðÿä íàçûâàåòñÿ òàêæå ðàç-
ðÿäîì åäèíèö, âòîðîé ðàçðÿä — ðàçðÿäîì äåñÿòêîâ,
òðåòèé ðàçðÿä — ðàçðÿäîì ñîòåí è ò. ä.
Öèôðû â ðàçðÿäàõ ïîêàçûâàþò, ÷òî, íàïðèìåð, ÷èñ-
ëî 9702 ñîñòîèò èç 9 òûñÿ÷, 7 ñîòåí, 0 äåñÿòêîâ è
2 åäèíèö, ò. å.
9702 = 9000 + 700 + 0 + 2 = 9 . 1000 + 7 . 100 + 0 . 10 + 2 . 1.
×èñëà 9000, 700, 0 è 2 íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè
ñëàãàåìûìè ÷èñëà 9702.
Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ.
×èñëà 1, 10, 100 è ò. ä. íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè
åäèíèöàìè:
1 — åäèíèöà ïåðâîãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà åäèíèö,
10 — åäèíèöà âòîðîãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà äåñÿòêîâ,
100 — åäèíèöà òðåòüåãî ðàçðÿäà — ðàçðÿäà ñîòåí
è ò. ä.
Êàæäàÿ åäèíèöà ñëåäóþùåãî ðàçðÿäà â 10 ðàç áîëü-
øå åäèíèöû ïðåäûäóùåãî ðàçðÿäà, ò. å. 10 åäèíèö
ëþáîãî ðàçðÿäà ñîñòàâëÿþò 1 åäèíèöó ñëåäóþùåãî
ðàçðÿäà. Èìåííî ïîýòîìó íàøà ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ íà-
çûâàåòñÿ äåñÿòè÷íîé.
Ïåðâàÿ öèôðà ñëåâà â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
íàçûâàåòñÿ öèôðîé âûñøåãî ðàçðÿäà. Òàê êàê çàïèñü
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íå ìîæåò íà÷èíàòüñÿ ñ íóëÿ, òî
öèôðà âûñøåãî ðàçðÿäà âñåãäà îòëè÷íà îò íóëÿ.
Àáà́ê — ñ÷åòíûé ïðèáîð — ïîÿâèëñÿ ó äðåâíèõ àðàáîâ (ðèñ. 22).Ëàòèíñêîå ñëîâî calculare — «ñ÷èòàòü» (îòñþäà «êàëüêóëÿòîð»(ðèñ. 23), «êàëüêóëÿöèÿ») — ïðîèñõîäèò îò ñëîâà calculus —«êàìåøåê».
1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
20
Ìåñòà äëÿ îòäåëüíûõ ðàçðÿäîâ ÷èñåë áûëè íå òîëüêî íà àáàêå, íîè, íàïðèìåð, íà ñ÷åòàõ, íà ðàçãðàôëåííîé äîñêå (áóìàãà â êëåòêóâ òåòðàäÿõ ïî ìàòåìàòèêå íàì åå íàïîìèíàåò). Íà ðèñóíêå 24, à, á,ïîêàçàíî ñëîæåíèå ÷èñåë 123 è 64.
Âîïðîñû
1. ×òî íàçûâàåòñÿ ðàçðÿäîì?
2. Êàêèå ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ðàçðÿäíûìè åäèíèöàìè?
3. Ïî÷åìó íàøà ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ íàçûâàåòñÿ äåñÿ-
òè÷íîé?
4. Êàêàÿ öèôðà â çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íàçûâàåòñÿ
öèôðîé âûñøåãî ðàçðÿäà?
Óïðàæíåíèÿ
1.1.1.1.1.4747474747.....° Ñêîëüêî åäèíèö ïåðâîãî ðàçðÿäà, âòîðîãî ðàçðÿ-
äà, òðåòüåãî ðàçðÿäà, ÷åòâåðòîãî ðàçðÿäà ñîäåðæèòñÿ
â ÷èñëå:
1) 2946; 2) 3052; 3) 9107;
4) 1840; 5) 6010; 6) 2002?
Ðèñ. 22 Ðèñ. 23
Ðèñ. 24
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1 2 3
6 4
а) б)
8 71
+
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
21
1.1.1.1.1.4848484848..... ×òî ïîêàçûâàåò öèôðà 4 â çàïèñè ÷èñëà:
1) 641; 2) 29 451;
3) 70 340; 4) 948 356;
5) 40 404; 6) 3 244 444?
1.1.1.1.1.4949494949.....° Ñðåäè ÷èñåë 5137, 7351, 3715 è 1573 íàéäèòå
÷èñëî, ó êîòîðîãî öèôðà 5 çàïèñàíà â ðàçðÿäå:
1) åäèíèö; 2) äåñÿòêîâ;
3) ñîòåí; 4) òûñÿ÷.
1.1.1.1.1.5050505050.....  êàæäîì ÷èñëå íàçîâèòå ðàçðÿä, â êîòîðîì íà-
õîäèòñÿ öèôðà 9:
1) 9; 2) 98;
3) 139; 4) 9507;
5) 19 342; 6) 916 001.
1.1.1.1.1.5151515151.....° Çàïèøèòå ÷èñëî, â êîòîðîì:
1) 4 åäèíèöû øåñòîãî ðàçðÿäà, 5 åäèíèö ÷åòâåðòîãî
ðàçðÿäà, 7 åäèíèö òðåòüåãî ðàçðÿäà, 3 åäèíèöû
ïåðâîãî ðàçðÿäà;
2) 9 åäèíèö øåñòîãî ðàçðÿäà, 4 åäèíèöû ïÿòîãî
ðàçðÿäà, 7 åäèíèö òðåòüåãî ðàçðÿäà, 1 åäèíèöà
âòîðîãî ðàçðÿäà.
1.1.1.1.1.5252525252..... Çàïèøèòå íàèìåíüøåå ÷èñëî, â êîòîðîì:
1) 6 òûñÿ÷, 2 äåñÿòêà, 3 åäèíèöû;
2) 4 òûñÿ÷è, 3 ñîòíè, 5 åäèíèö;
3) 8 òûñÿ÷, 6 äåñÿòêîâ;
4) 9 òûñÿ÷, 4 ñîòíè.
1.1.1.1.1.5353535353..... Íàçîâèòå ðàçðÿäíûå ñëàãàåìûå ÷èñëà:
1) 325; 2) 786; 3) 7896; 4) 9341;
5) 6021; 6) 3203; 7) 2090; 8) 5004.
1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
22
1.1.1.1.1.5454545454..... Ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ
÷èñëî:
1) 542; 2) 5420;
3) 5042; 4) 5402;
5) 504 020; 6) 500 204.
1.1.1.1.1.5555555555..... Çàïèøèòå ÷èñëî, çàäàííîå ñóììîé ðàçðÿäíûõ ñëà-
ãàåìûõ:
1) 3 . 100 + 8 . 10 + 6 . 1;
2) 3 . 1000 + 8 . 100 + 6 . 1;
3) 3 . 10 000 + 8 . 100 + 6 . 10;
4) 3 . 100 000 + 8 . 10 000 + 6 . 1000.
1.1.1.1.1.5656565656..... Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë:
1) 100 + 20 + 9;
2) 5000 + 800 + 80 + 1;
3) 4 000 000 + 700 + 8;
4) 500 000 + 30 000.
1.1.1.1.1.5757575757..... Ïî çàïèñè ÷èñëà â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëà-
ãàåìûõ íàçîâèòå ðàçðÿä, ãäå íàõîäèòñÿ öèôðà 6:
1) 5 . 10 000 + 6 . 1000 + 8 . 10 + 2;
2) 6 . 100 000 + 3 . 10 000 + 6 . 100.
1.1.1.1.1.5858585858..... Çàïèøèòå â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ
íàèáîëüøåå ÷èñëî:
1) äâóçíà÷íîå; 2) òðåõçíà÷íîå;
3) ÷åòûðåõçíà÷íîå; 4) ïÿòèçíà÷íîå.
1.1.1.1.1.5959595959..... Ìàëüâèíà ïðåäëîæèëà Áóðàòèíî çàäàíèå: ïîä-
÷åðêíè öèôðó â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ â êàæäîì ÷èñëå:
345 637, 198 054 163. Áóðàòèíî âûïîëíèë åãî òàê:
345 637, 198 054 163.
Ïî÷åìó Ìàëüâèíà ñêàçàëà, ÷òî Áóðàòèíî âûïîëíèë
ýòî çàäàíèå íåïðàâèëüíî?
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
23
1.1.1.1.1.6060606060.....* Íàéäèòå íàèáîëüøåå ÷èñëî, êîòîðîå ìîæíî ïî-
ëó÷èòü ñ ïîìîùüþ ÷èñåë 1, 3, 5, 7, 9, âçÿòûõ ïî îäíîìó
ðàçó, çíàêîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê.
1.1.1.1.1.6161616161.....* Âðà÷ ïðåäïèñàë áîëüíîìó ïðèíÿòü 5 òàáëåòîê
ïî îäíîé ÷åðåç êàæäûå ïîëòîðà ÷àñà. Ïåðâóþ òàáëåòêó
áîëüíîé ïðèíÿë â 8 ÷ 30 ìèí. Êîãäà îí ïðèíÿë ïî-
ñëåäíþþ òàáëåòêó?
1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà
×òîáû áûëî óäîáíî ïðî÷èòàòü ìíîãîçíà÷íîå ÷èñëî,
åãî ðàçðÿäû îáúåäèíÿþò â ãðóïïû, ïî òðè ðàçðÿäà â
êàæäîé ãðóïïå, íà÷èíàÿ ñ ïåðâîãî ðàçðÿäà, ò. å. ñïðàâà
íàëåâî. Êàæäàÿ òàêàÿ ãðóïïà íàçûâàåòñÿ êëàññîì.
 êëàññå öèôðû ñïðàâà íàëåâî îáîçíà÷àþò ÷èñëî åäè-
íèö, äåñÿòêîâ è ñîòåí ýòîãî êëàññà.
Íàçâàíèÿ ïåðâûõ ÷åòûðåõ êëàññîâ è ðàçðÿäîâ, âõî-
äÿùèõ â ýòè êëàññû, ïðèâåäåíû â òàáëèöå.
åäèíèöû
Êëàññ åäèíèö äåñÿòêè
ñîòíè
åäèíèöû òûñÿ÷
Êëàññ òûñÿ÷ äåñÿòêè òûñÿ÷
ñîòíè òûñÿ÷
åäèíèöû ìèëëèîíîâ
Êëàññ ìèëëèîíîâ äåñÿòêè ìèëëèîíîâ
ñîòíè ìèëëèîíîâ
åäèíèöû ìèëëèàðäîâ
Êëàññ ìèëëèàðäîâ äåñÿòêè ìèëëèàðäîâ
ñîòíè ìèëëèàðäîâ
... ...
1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
24
Íàçâàíèå ìèëëèîí ïîÿâèëîñü â 1500 ã. â Èòàëèè, à íàçâàíèå ìèë-ëèàðä — â 1871 ã. âî Ôðàíöèè.
Çà êëàññîì ìèëëèàðäîâ ñëåäóåò êëàññ òðèëëèîíîâ
(òðèëëèîí — ýòî åäèíèöà ñ 12 íóëÿìè). À çà êëàñ-
ñîì òðèëëèîíîâ èäåò êëàññ êâàäðèëëèîíîâ (êâàäðèë-
ëèîí — ýòî åäèíèöà ñ 15 íóëÿìè). Íî íàòóðàëüíûé
ðÿä áåñêîíå÷åí, ïîýòîìó âñå êëàññû ïåðå÷èñëèòü íå-
âîçìîæíî.
Ïðè çàïèñè ÷èñëà êëàññ îò êëàññà óäîáíî îòäåëÿòü
íåáîëüøèì ïðîìåæóòêîì. Ýòî äåëàåòñÿ äëÿ òîãî, ÷òî-
áû áûëî óäîáíî ÷èòàòü ìíîãîçíà÷íûå ÷èñëà.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 1. 1. 1. 1. 1. Ïðî÷èòàòü ÷èñëî:
à) 239073972; á) 43231000732.
Îáúÿñíåíèå. à) Âûäåëèì â ýòîì ÷èñëå êëàññû:
239 073 972.
Íàçîâåì ÷èñëî åäèíèö êàæäîãî êëàññà ñëåâà íà-
ïðàâî:239 ìèëëèîíîâ 73 òûñÿ÷è 972.
Íàçâàíèå êëàññà åäèíèö íå ïðîèçíîñèòñÿ.
Öèôðà 0 îçíà÷àåò îòñóòñòâèå åäèíèö ñîîòâåòñòâó-
þùåãî ðàçðÿäà è ïðè ÷òåíèè íå ïðîèçíîñèòñÿ.
á) Âûäåëèì â ýòîì ÷èñëå êëàññû:
43 231 000 732
è ïðî÷òåì åãî:
43 ìèëëèàðäà 231 ìèëëèîí 732.
Íàçâàíèå êëàññà, âñå òðè öèôðû êîòîðîãî íóëè, íå
ïðîèçíîñèòñÿ.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Çàïèñàòü öèôðàìè ÷èñëî 51 ìèëëèàðä 28 òû-
ñÿ÷ 935.
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
25
Ðåøåíèå. Ïèøåì ñëåâà íàïðàâî. Â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ ìèë-
ëèàðäîâ 5, çàòåì â êàæäîì ðàçðÿäå — êîëè÷åñòâî åäè-
íèö ýòîãî ðàçðÿäà. Åñëè åäèíèöà êàêîãî-ëèáî ðàçðÿ-
äà îòñóòñòâóåò, òî ïèøåì öèôðó íóëü. Â ðåçóëüòàòå
ïîëó÷àåì: 51 000 028 935.
Çàìåòèì, ÷òî: ìèëëèîí ñåêóíä (1 000 000 ñ) ïðî-
òåêàþò ìåíüøå ÷åì çà 2 íåäåëè, à ìèëëèàðä ñåêóíä
(1 000 000 000 ñ) äëÿòñÿ ñâûøå 3 ëåò.
×åëîâå÷åñêèé âîëîñ, óâåëè÷åííûé â ìèëëèîí ðàç,
èìåë áû òîëùèíó 70 ì, à åñëè óâåëè÷èòü â ìèëëèîí
ðàç êîìàðà, òî îí áûë áû äëèíîé 5 êì.
Âîïðîñû
1. Êàê ðàçáèòü ÷èñëî íà êëàññû?
2. Êàêèå êëàññû è ðàçðÿäû âû çíàåòå (íàçîâèòå èõ, èñïîëü-
çóÿ òàáëèöó)?
Óïðàæíåíèÿ
1.1.1.1.1.6262626262.....° Çàïèøèòå öèôðàìè ÷èñëî:
1) äâàäöàòü øåñòü òûñÿ÷ òðè;
2) ñåìüñîò îäèí ìèëëèîí îäèííàäöàòü òûñÿ÷;
3) âîñåìüäåñÿò ìèëëèàðäîâ äâàäöàòü ïÿòü òûñÿ÷;
4) øåñòü ìèëëèàðäîâ øåñòüñîò øåñòü.
1.63.1.63.1.63.1.63.1.63. Çàïèøèòå ÷èñëà, èçîáðàæåííûå íà àáàêå (ðèñ. 25).
а)
г)
б)
д)
в)
Ðèñ. 25
1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
26
1.1.1.1.1.6464646464.....° Ïðî÷èòàéòå è çàïèøèòå ÷èñëà, çàäàííûå òàáëèöåé.
5 6 7 5 6 7 5 6 7 5 6 7
6 3 4 8
1 9 1 9 1 9
3 7 3 7 3 7
1 6 3 4 5 1 1
7 3 9 1 6 6 5
1.1.1.1.1.6565656565.....° Ðàçáåéòå íà êëàññû è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî:
1) 94012; 2) 836100;
3) 37001285; 4) 203748108;
5) 230001003005; 6) 900300573296.
1.1.1.1.1.6666666666..... Ïðî÷èòàéòå ÷èñëà:
1) 378; 2) 1529;
3) 478916; 4) 401238;
5) 23000501; 6) 7600800009.
Çàïèøèòå ÷èñëà, êîòîðûå ìîæíî ïîëó÷èòü, ïåðåïèñàâ
èõ ñïðàâà íàëåâî. Ïðî÷èòàéòå ïîëó÷åííûå ÷èñëà.
1.1.1.1.1.6767676767.....  çàïèñè ÷èñëà 7054932816 ïî îäíîìó ðàçó èñ-
ïîëüçîâàíà êàæäàÿ èç äåñÿòè öèôð. Îïðåäåëèòå, êà-
êàÿ öèôðà çàïèñàíà íà ìåñòå:
1) ðàçðÿäà ñîòåí êëàññà åäèíèö;
2) ðàçðÿäà äåñÿòêîâ êëàññà òûñÿ÷;
Êëàññ
åäèíèö
Êëàññ
ìèëëèàðäîâ
Êëàññ
ìèëëèîíîâ
Êëàññ
òûñÿ÷
ñîòíè
ìèëëèàðäîâ
äåñÿòêè
ìèëëèàðäîâ
åäèíèöû
ìèëëèàðäîâ
ñîòíè
ìèëëèîíîâ
äåñÿòêè
ìèëëèîíîâ
åäèíèöû
ìèëëèîíîâ
ñîòíè
òû
ñÿ÷
äåñÿòêè
òû
ñÿ÷
åäèíèöû
òû
ñÿ÷
ñîòíè
åäèíèöû
äåñÿòêè
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
27
3) ðàçðÿäà åäèíèö êëàññà ìèëëèîíîâ;
4) ðàçðÿäà åäèíèö êëàññà ìèëëèàðäîâ.
Íàçîâèòå ðàçðÿäû, êëàññû, â êîòîðûõ çàïèñàíû öèô-
ðû 1, 2, 5.
1.1.1.1.1.6868686868..... Ñêîëüêî òûñÿ÷ ñîäåðæèòñÿ â:
1) 6 äåñÿòêàõ òûñÿ÷;
2) 7 òûñÿ÷àõ è 3 ñîòíÿõ;
3) 4 ñîòíÿõ òûñÿ÷, 7 äåñÿòêàõ òûñÿ÷ è 1 òûñÿ÷å;
4) 1 ñîòíå òûñÿ÷, 2 äåñÿòêàõ òûñÿ÷, 3 òûñÿ÷àõ è
4 ñîòíÿõ?
1.1.1.1.1.6969696969..... Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷èòñÿ,
åñëè 514 çàïèñàòü ïîäðÿä:
1) òðè ðàçà; 2) ÷åòûðå ðàçà.
1.1.1.1.1.7070707070..... Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ïîëó÷èòñÿ,
åñëè ÷èñëî 72 çàïèñàòü ïîäðÿä:
1) ïÿòü ðàç; 2) øåñòü ðàç.
1.1.1.1.1.7171717171..... Ñêîëüêî åäèíèö êàæäîãî êëàññà ñîäåðæèòñÿ â
÷èñëå:
1) 61901000; 2) 8001004;
3) 40501040009; 4) 510402060020?
1.1.1.1.1.7272727272..... Íàçîâèòå è çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ñîäåðæèò:
1) 13 åäèíèö êëàññà ìèëëèàðäîâ, 13 åäèíèö êëàññà
ìèëëèîíîâ, 13 åäèíèö êëàññà òûñÿ÷, 13 åäèíèö
êëàññà åäèíèö;
2) 801 åäèíèöó êëàññà ìèëëèàðäîâ, 108 åäèíèö êëàñ-
ñà ìèëëèîíîâ, 801 åäèíèöó êëàññà òûñÿ÷, 108 åäè-
íèö êëàññà åäèíèö.
1.1.1.1.1.7373737373..... Çàïèøèòå öèôðàìè èíôîðìàöèþ î Ñîëíöå:
1) ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè Ñîëíöà — 6 ìèëëèàðäîâ
87 ìèëëèîíîâ êâàäðàòíûõ êèëîìåòðîâ;
2) âîçðàñò Ñîëíöà — 5 ìèëëèàðäîâ ëåò.
1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
28
1.1.1.1.1.7474747474..... Çàïèøèòå è ïðî÷èòàéòå ÷èñëî, êîòîðîå ñîäåðæèò:
1) 5 ìèëëèàðäîâ, 7 ìèëëèîíîâ, 9 òûñÿ÷, 6 åäèíèö;
2) 12 ìèëëèàðäîâ, 51 ìèëëèîí, 79 åäèíèö.
1.1.1.1.1.7575757575..... Ñêîëüêî ìèëëèîíîâ ñîäåðæèòñÿ â:
1) 4 ñîòíÿõ ìèëëèîíîâ è 4 äåñÿòêàõ ìèëëèîíîâ;
2) 7 äåñÿòêàõ ìèëëèîíîâ è 9 ìèëëèîíàõ?
1.1.1.1.1.7676767676.....* Ïåðâûå ñòî ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà çàïèñàëè
áåç ïðîïóñêîâ è ïîëó÷èëè ÷èñëî
12345678910111213141516...979899100.
Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà:
1) öèôð; 2) êëàññîâ.
1.1.1.1.1.7777777777.....*  ÷èñëå 139506 íå áîëåå òðåõ öèôð ìîæíî çà-
ìåíèòü ðàçíûìè öèôðàìè, êîòîðûõ íåò â çàïèñè ÷èñ-
ëà. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî è êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñ-
ëî ìîæíî ñîñòàâèòü òàêèì îáðàçîì?
1.1.1.1.1.7878787878.....* Ìåæäó ÷èñëàìè 3, 2, 1 ðàññòàâüòå çíàêè àðèôìå-
òè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáêè òàê, ÷òîáû ïîëó÷åííîå
÷èñëîâîå âûðàæåíèå ïðèíèìàëî çíà÷åíèå:
1) 0; 2) 1; 3) 2;
4) 3; 5) 4; 6) 5;
7) 6; 8) 7; 9) 9.
1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà
Ïóñòü K è L — òî÷êè íà ïðÿ-
ìîé. Âñå òî÷êè ïðÿìîé, ëåæàùèå
ìåæäó íèìè, âìåñòå ñ òî÷êàìè K
è L îáðàçóþò îòðåçîê (ðèñ. 26).
Òî÷êè K è L íàçûâàþòñÿ êîíöà-Ðèñ. 26
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
29
ìè îòðåçêà. Îòðåçîê ñ êîíöàìè K è L îáîçíà÷àåò-
ñÿ KL èëè LK. ×èòàþò òàê: «îòðåçîê KL», «îòðå-
çîê LK».
Äâà îòðåçêà, êîòîðûå ìîæíî ñîâìåñòèòü íà-
ëîæåíèåì, íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè.
Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 27 èçîáðàæåíû ðàâíûå îò-
ðåçêè AB è CD.
Äëÿ èçìåðåíèÿ äëèíû îòðåçêà èñïîëüçóþò ðàç-
ëè÷íûå åäèíèöû èçìåðåíèÿ.  áîëüøèíñòâå ñòðàí çà
îñíîâíóþ åäèíèöó èçìåðåíèÿ äëèíû ïðèíÿò ìåòð,
à äðóãèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ äëèíû, ñîîòâåòñòâåííî,
ñâÿçàíû ñ ìåòðîì. Ìåòð äåëèòñÿ íà 10 äåöèìåòðîâ,
äåöèìåòð — íà 10 ñàíòèìåòðîâ, ñàíòèìåòð — íà 10 ìèë-
ëèìåòðîâ:
1 ì = 10 äì = 100 ñì = 1000 ìì.
Áîëüøèå ðàññòîÿíèÿ èçìåðÿþòñÿ êèëîìåòðàìè:
1 êì = 1000 ì.
Îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ïðèíÿòà çà åäèíèöó
èçìåðåíèÿ, íàçûâàþò åäèíè÷íûì îòðåçêîì.
Ïóñòü â êà÷åñòâå åäèíè÷íîãî îòðåçêà âçÿò îòðåçîê
äëèíîé 1 ìì. Òîãäà, åñëè íàäî èçìåðèòü äëèíó îòðåç-
Ðèñ. 27
C DA
B
1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
30
êà AB, åå òîæå îáîçíà÷àþò ÀÂ, êàê è ñàì îòðåçîê, òî
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ëèíåéêîé ñ ìèëëèìåòðîâûìè
äåëåíèÿìè (ðèñ. 28).
Èçìåðèòü äëèíó îòðåçêà — ýòî çíà÷èò íàé-
òè, ñêîëüêî åäèíè÷íûõ îòðåçêîâ ñîäåðæèò-
ñÿ â äàííîì îòðåçêå.
Åñëè îòðåçêè ðàâíû, òî è äëèíû èõ ðàâíû.
Åñëè äëèíû îòðåçêîâ ðàâíû, òî è îòðåçêè
ðàâíû.
Äëèíó îòðåçêà ÀÂ íàçûâàþò òàêæå ðàññòîÿíèåì
ìåæäó òî÷êàìè À è Â.
Åñëè òî÷êà ðàçáèâàåò îòðåçîê íà äâå ÷àñòè, òî äëè-
íà îòðåçêà ðàâíà ñóììå äëèí åãî ÷àñòåé. Íàïðè-
ìåð, ÀÂ = ÀÑ + ÑÂ (ðèñ. 29).
Îòðåçêè ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ
èëè ñ ïîìîùüþ èçìåðåíèÿ èõ äëèí.
 ñòàðèíó èñïîëüçîâàëè è äðóãèå ìåðû äëèíû: âåðñòó, ñàæåíü,àðøèí, âåðùîê, ôóò, äþéì è ò. ä.Ñ 1504 ã. â äîêóìåíòàõ óïîìèíàåòñÿ è îñîáûé áåðåñòåéñêèé àðøèí,÷òî ãîâîðèò îá èçâåñòíîñòè Áðåñòà êàê òîðãîâîãî ãîðîäà.
Ðèñ. 29
Ðèñ. 28
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
A BAB 87� мм
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
31
Âîïðîñû
1. Èçîáðàçèòå íà ïðÿìîé îòðåçîê è íàçîâèòå åãî êîíöû.
2. Êàê îáîçíà÷àåòñÿ îòðåçîê?
3. Êàêèå îòðåçêè íàçûâàþò ðàâíûìè?
4. Êàêèå åäèíèöû èçìåðåíèÿ äëèíû âû çíàåòå?
5. ×òî òàêîå åäèíè÷íûé îòðåçîê?
6. ×òî çíà÷èò: èçìåðèòü äëèíó îòðåçêà?
7. ×òî íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó òî÷êàìè À è Â?
8. Êàê ñðàâíèâàþòñÿ îòðåçêè?
Óïðàæíåíèÿ
1.1.1.1.1.7979797979.....° Îòìåòüòå â òåòðàäè òî÷êè À è Â. Ñ ïîìîùüþ
ëèíåéêè ïîñòðîéòå îòðåçîê ÀÂ. Îòìåòüòå íà ýòîì îò-
ðåçêå òî÷êè M è N. Íàçîâèòå îòðåçêè, íà êîòîðûå
ýòè òî÷êè äåëÿò îòðåçîê ÀÂ.
1.1.1.1.1.8080808080..... Èçîáðàçèòå â òåòðàäè îòðåçîê ÀÑ è îòìåòüòå íà
íåì òî÷êè M è N. Çàïèøèòå âñå ïîëó÷èâøèåñÿ îò-
ðåçêè.
1.1.1.1.1.8181818181.....° Óêàæèòå òî÷êè íà ðèñóíêå 30, êîòîðûå:
1) ëåæàò íà îòðåçêå MN;
2) íå ëåæàò íà îòðåçêå MN.
1.1.1.1.1.8282828282..... Óêàæèòå, êàêèå èç òî÷åê íà ðèñóíêå 31 ëåæàò
ìåæäó òî÷êàìè:
1) A è C; 2) K è D;
3) A è B; 4) B è D.
Ðèñ. 30
1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
32
1.1.1.1.1.8383838383..... Âåðíî ëè ðàâåíñòâî (ðèñ. 32):
1) ÀÂ = AD + DB; 2) AB = AD + PB;
3) KR = KE + KD; 4) KD = KE + ED?
1.1.1.1.1.8484848484..... Èçîáðàçèòå â òåòðàäè îòðåçîê ÀÂ, èçìåðüòå åãî
äëèíó. Èçîáðàçèòå îòðåçîê KM, äëèíà êîòîðîãî áîëü-
øå äëèíû îòðåçêà ÀÂ, è îòðåçîê KN, äëèíà êîòîðîãî
ìåíüøå äëèíû îòðåçêà ÀÂ.
1.1.1.1.1.8585858585.....° Èçìåðüòå äëèíó îòðåçêà (ðèñ. 33):
1) KP; 2) KS;
3) KM; 4) PM;
5) PS; 6) SM.
1.86.1.86.1.86.1.86.1.86. Ñêîëüêî îòðåçêîâ ïîëó÷àåòñÿ,
åñëè íà ïðÿìîé îòìå÷åíà:
1) 1 òî÷êà; 2) 2 òî÷êè;
3) 3 òî÷êè; 4) 4 òî÷êè?
1.1.1.1.1.8787878787..... Íàéäèòå íà ðèñóíêå 34 ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè:
1) A è B; 2) A è M;
3) A è P; 4) B è M;
5) B è P; 6) P è M.
Ðèñ. 31
Ðèñ. 32
Ðèñ. 33
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
33
1.1.1.1.1.8888888888..... 1) Èçîáðàçèòå òî÷êè P, S è N òàê, ÷òîáû îíè ëå-
æàëè íà îäíîé ïðÿìîé è òî÷êà P ëåæàëà ìåæäó òî÷-
êàìè S è N.
2) Ïðîâåðüòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî SP + PN = SN, âû-
ïîëíèâ íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ.
1.1.1.1.1.8989898989..... Èçîáðàçèòå äâà ïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêà AN è PK,
îáîçíà÷üòå òî÷êó èõ ïåðåñå÷åíèÿ áóêâîé O. Íàéäèòå:
1) äëèíû ïîëó÷èâøèõñÿ îòðåçêîâ;
2) ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òî÷êàìè A è P, A è K, N è K,
N è P.
1.1.1.1.1.9090909090..... Íàéäèòå ðàâíûå îòðåçêè (ðèñ. 35).
1.1.1.1.1.9191919191..... Íà÷åðòèòå îòðåçêè, ðàâíûå îòðåçêàì, èçîáðàæåí-
íûì íà ðèñóíêå 36.
Ðèñ. 34
Ðèñ. 35
Ðèñ. 36
1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
34
1.1.1.1.1.9292929292..... Íàéäèòå íà ðèñóíêå 37 ðàâíûå îòðåçêè.
1.1.1.1.1.9393939393..... Íà ðèñóíêå 38 èçîáðàæåíû ïðÿìûå à, b è îòðåç-
êè BC, KL è FR. Ïåðåñåêàþòñÿ ëè:
1) a è BC; 2) a è KL;
3) BC è FR; 4) b è KL;
5) b è BC; 6) BC è KL?
1.1.1.1.1.9494949494..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 5 ì 29 ñì + 3 ì 44 ñì;
2) 7 äì 3 ìì + 26 äì 59 ìì;
3) 1 ì 13 äì + 50 äì 4 ñì;
4) 28 äì 2 ñì + 2 äì 17 ìì.
Ðèñ. 37
Ðèñ. 38
à) á)
â) ã)
A
B C
D P
S
V
T
A M P
K
C
N
F
E
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
35
1.1.1.1.1.9595959595.....* Äåíèñ, Þðà è Âàäèì ñîáðàëè 48 ìåøêîâ êàðòî-
ôåëÿ. Âàäèì ñîáðàë íà 10 ìåøêîâ ìåíüøå, ÷åì Þðà,
à Äåíèñ íà 5 ìåøêîâ áîëüøå, ÷åì Âàäèì. Ñêîëüêî
ìåøêîâ êàðòîôåëÿ ñîáðàë êàæäûé?
1.1.1.1.1.9696969696..... Âî âðåìÿ èñïûòàíèÿ íà ïîëèãîíå íîâûé àâòîìî-
áèëü çà ïåðâûé äåíü ïðîåõàë 93 êì 860 ì, à çà âòî-
ðîé — íà 15 êì 390 ì áîëüøå. Îïðåäåëèòå îáùèé
ïðîáåã àâòîìîáèëÿ çà äâà äíÿ èñïûòàíèé.
1.1.1.1.1.9797979797.....* Ïðûæîê çàéöà â 2 ðàçà êîðî÷å, íî â 3 ðàçà
÷àùå, ÷åì ó âîëêà. Êòî áûñòðåå ïðåîäîëååò ðàññòîÿ-
íèå â 1 êì?
1.1.1.1.1.9898989898.....* ×åáóðàøêà çàïèñàë íà äîñêå ÷èñëîâûå ðàâåí-
ñòâà. À ñòàðóõà Øàïîêëÿê ñòåðëà âñå çíàêè àðèôìå-
òè÷åñêèõ äåéñòâèé. Âîññòàíîâèòå èõ.
1) 1 2 3 = 4; 2) 1 2 3 4 5 = 5;
3) 1 2 3 4 5 = 6; 4) 1 2 3 4 5 6 = 7;
5) 1 2 3 4 5 6 7 = 8; 6) 1 2 3 4 5 6 7 8 = 9.
1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Êàê óçíàòü, êàêîå èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
áîëüøå, à êàêîå ìåíüøå?
Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå òî, êî-
òîðîå ïðè ñ÷åòå íàçûâàåòñÿ ðàíüøå.
Òàêèì îáðàçîì, èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíü-
øèì ñ÷èòàåòñÿ òî, êîòîðîå â íàòóðàëüíîì ðÿäó
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, ...
ðàñïîëîæåíî ëåâåå, à áîëüøèì — òî, êîòîðîå ðàñïî-
ëîæåíî ïðàâåå.
1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
36
Ñðàâíèòü äâà ÷èñëà — ýòî çíà÷èò îïðåäå-
ëèòü, êàêîå èç íèõ ìåíüøå, à êàêîå áîëüøå.
 íàòóðàëüíîì ðÿäó ÷èñëî 7 ðàñïîëîæåíî ëåâåå
÷èñëà 11, çíà÷èò, 7 ìåíüøå 11.
Ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ äâóõ ÷èñåë çàïèñûâàþò ïðè
ïîìîùè çíàêîâ áîëüøå «>» è ìåíüøå «<».
Òàê, 7 < 11, à 11 > 7. Òàêèå çàïèñè íàçûâàþò íåðà-
âåíñòâàìè.
Ïðè ñðàâíåíèè äâóõ ÷èñåë ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ, ÷òî
ïåðâîå ÷èñëî ìåíüøå âòîðîãî ÷èñëà, èëè áîëüøå åãî,
èëè ðàâíî åìó.
Äëÿ ñðàâíåíèÿ ìíîãîçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùèìè äâóìÿ ïðàâèëàìè.
1. Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñ ðàçíûì êî-
ëè÷åñòâîì ðàçðÿäîâ ìåíüøå òî, ó êîòîðîãî
ðàçðÿäîâ ìåíüøå.
Íàïðèìåð, ñðàâíèì ÷èñëà 9879 è 12 893. Òàê êàê
ó ÷èñëà 9879 ÷åòûðå ðàçðÿäà, à ó ÷èñëà 12 893 ïÿòü
ðàçðÿäîâ, òî 9879 < 12 893.
2. Äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà ñ îäèíàêîâûì êî-
ëè÷åñòâîì ðàçðÿäîâ ñðàâíèâàþò ïîðàçðÿä-
íî, íà÷èíàÿ ñ âûñøåãî ðàçðÿäà (ñëåâà íàïðà-
âî). Ìåíüøå òî ÷èñëî, ó êîòîðîãî öèôðà íàè-
áîëüøåãî îòëè÷àþùåãîñÿ ðàçðÿäà ìåíüøå.
Ïîÿñíèì ýòî ïðàâèëî íà äâóõ ïðèìåðàõ.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Ñðàâíèòü ÷èñëà 2739 è 5300.
Îáúÿñíåíèå. Âûñøèé ðàçðÿä êàæäîãî èç íèõ ÷åòâåðòûé.
Ó ïåðâîãî ÷èñëà 2 åäèíèöû ÷åòâåðòîãî ðàçðÿäà, ó âòî-
ðîãî — 5 åäèíèö. Çíà÷èò, ïåðâîå ÷èñëî ìåíüøå âòî-
ðîãî: 2739 < 5300.
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
37
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Ñðàâíèòü ÷èñëà 2789 è 2769.
Îáúÿñíåíèå. Âûñøèé ðàçðÿä êàæäîãî èç íèõ ÷åòâåðòûé.
Ïîñëåäîâàòåëüíî óáåæäàåìñÿ, ÷òî â ÷åòâåðòîì è â òðåòü-
åì ðàçðÿäàõ ñòîÿò îäèíàêîâûå öèôðû (ò. å. êîëè÷å-
ñòâî òûñÿ÷ è êîëè÷åñòâî ñîòåí ó ýòèõ ÷èñåë îäèíàêî-
âîå). À âîò âî âòîðîì ðàçðÿäå ó ïåðâîãî ÷èñëà ñòîèò 8,
à ó âòîðîãî — 6 (ò. å. êîëè÷åñòâî äåñÿòêîâ ó ïåðâîãî
÷èñëà 8, à ó âòîðîãî — 6). Çíà÷èò, ïåðâîå ÷èñëî áîëü-
øå âòîðîãî: 2789 > 2769.
Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî íóëü ìåíüøå ëþáîãî íàòóðàëüíîãî
÷èñëà.
Íàïðèìåð, íóëü ìåíüøå ñåìè. Ýòî çàïèñûâàåòñÿ
òàê: 0 < 7.
Âîïðîñû
1. Êàêîå èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå? áîëüøå?
2. ×òî çíà÷èò: ñðàâíèòü äâà ÷èñëà?
3. Ïðè ïîìîùè êàêèõ çíàêîâ çàïèñûâàåòñÿ ðåçóëüòàò ñðàâ-
íåíèÿ äâóõ ÷èñåë? Êàê íàçûâàþò òàêèå çàïèñè?
4. Èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë êàêîå ìåíüøå (áîëüøå),
åñëè ó íèõ êîëè÷åñòâî ðàçðÿäîâ: à) ðàçíîå; á) îäèíà-
êîâîå?
Óïðàæíåíèÿ
1.1.1.1.1.9999999999.....° Íàçîâèòå äâà ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ áîëüøå
÷èñëà:
1) 312; 2) 9999; 3) 1; 4) 0.
1.1.1.1.1.100100100100100.....° Íàçîâèòå äâà ÷èñëà, êàæäîå èç êîòîðûõ ìåíüøå
÷èñëà:
1) 99; 2) 10 000;
3) 3524; 4) 12 345.
1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
38
1.1.1.1.1.101101101101101.....° Ïðî÷èòàéòå çàïèñè:
1) 1 < 8; 2) 30 > 2;
3) 92 < 100; 4) 378 > 360;
5) a > 18; 6) m < 20.
1.1.1.1.1.102102102102102.....° Èñïîëüçóÿ çíàê «>», çàïèøèòå ðåçóëüòàò ñðàâ-
íåíèÿ ÷èñåë:
1) 257 910 è 259 710;
2) 1 300 531 è 130 531.
1.1.1.1.1.103103103103103.....° Èñïîëüçóÿ çíàê «<», çàïèøèòå ðåçóëüòàò ñðàâ-
íåíèÿ ÷èñåë:
1) 78 290 132 è 7 830 132;
2) 4 893 910 è 4 903 810.
1.1.1.1.1.104104104104104..... Ñðàâíèòå ÷èñëà, ðåçóëüòàò ñðàâíåíèÿ çàïèøèòå
ñ ïîìîùüþ çíàêîâ «>» èëè «<»:
1) 809 è 908;
2) 5588 è 8555;
3) 475 869 è 475 870;
4) 1 111 431 è 11 111 431.
1.1.1.1.1.105105105105105..... Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë ðàñïîëîæåíî â íàòóðàëü-
íîì ðÿäó ëåâåå:
1) 772 èëè 812; 2) 92 756 èëè 100 000;
3) 1000 èëè 1001; 4) 54 321 èëè 54 317?
1.1.1.1.1.106106106106106..... Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë ðàñïîëîæåíî â íàòóðàëü-
íîì ðÿäó ïðàâåå:
1) 820 324 èëè 820 410;
2) 5 670 435 èëè 5 670 436;
3) 110 110 110 èëè 110 110 100;
4) 50 000 000 èëè 499 999 999?
1.1.1.1.1.107107107107107..... Çàïèøèòå âñå ïÿòèçíà÷íûå ÷èñëà, êîòîðûå:
1) ìåíüøå 10 003; 2) áîëüøå 99 996.
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
39
1.1.1.1.1.108108108108108..... Íàçîâèòå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòîðîå:
1) áîëüøå ÷èñëà 163 831 è îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 0;
2) ìåíüøå ÷èñëà 79 000 321 è îêàí÷èâàåòñÿ öèô-
ðîé 5.
1.1.1.1.1.109109109109109..... Çàïèøèòå:
1) â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êî-
òîðûå áîëüøå 93;
2) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êîòî-
ðûå äåëÿòñÿ íà 2 è áîëüøå 90.
1.1.1.1.1.111111010101010..... Ñðàâíèòå âåëè÷èíû è çàïèøèòå îòâåò ñ ïîìîùüþ
çíàêîâ «>», «<», «=»:
1) 978 ñì è 9 ì; 2) 4782 ì è 4 êì;
3) 27 920 êã è 28 ò; 4) 3 êã è 3400 ã;
5) 6 ÷ è 600 ìèí; 6) 370 ñ è 6 ìèí 30 ñ.
1.1.1.1.1.111111111111111.....* Âìåñòî ñèìâîëà ☺ âñòàâüòå (åñëè ýòî âîçìîæíî)
öèôðó òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü âåðíîå íåðàâåíñòâî:
1) 905 > 9☺4; 2) 908 > 9☺9;
3) ☺☺1 > 991; 4) 9☺☺ < ☺00;
5) ☺☺8 < 99☺; 6) 7☺2 < 796.
1.1.1.1.1.111111212121212.....* Ñ ïîìîùüþ äåñÿòè åäèíèö è çíàêîâ àðèôìåòè-
÷åñêèõ äåéñòâèé ñîñòàâüòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå, çíà-
÷åíèå êîòîðîãî ðàâíî:
1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4;
5) 5; 6) 6; 7) 7; 8) 8;
9) 9; 10) 10; 11) 11; 12) 12.
1.8. Ëó÷
Òî÷êà Î, ëåæàùàÿ íà ïðÿìîé (ðèñ. 39), äåëèò åå
íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç íèõ íàçûâàåòñÿ ëó÷îì ñ
íà÷àëîì â òî÷êå Î. Ó ëó÷à íåò êîíöà.
1.8. Ëó÷Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
40
Ëó÷, êàê è ïðÿìóþ, îáîçíà÷àþò äâóìÿ ïðîïèñíûìè
(áîëüøèìè) áóêâàìè. Íà ïåðâîå ìåñòî ñòàâèòñÿ áóêâà,
îáîçíà÷àþùàÿ íà÷àëî ëó÷à, íà âòîðîå — áóêâà, îáî-
çíà÷àþùàÿ ëþáóþ òî÷êó íà ëó÷å. Íà ðèñóíêå 40 èçî-
áðàæåíû ëó÷è ÎÀ è ÎÂ. ×èòàþò: «ëó÷ ÎÀ», «ëó÷ λ.
Âîïðîñû
1. ×òî íàçûâàåòñÿ ëó÷îì?
2. Ïðÿìûå ÀÂ è CD ïåðåñåêàþòñÿ â
òî÷êå K (ðèñ. 41). Ïðè ýòîì îáðà-
çóþòñÿ ëó÷è. Íàçîâèòå ýòè ëó÷è.
Ñêîëüêî èõ?
Óïðàæíåíèÿ
1.1.1.1.1.111111313131313.....° Íàçîâèòå è çàïèøèòå ëó÷è, èçîáðàæåííûå íà
ðèñóíêå 42:
1.1.1.1.1.111111414141414..... Íàçîâèòå ëó÷è íà ïðÿìîé MN, âûõîäÿùèå èç
òî÷êè D (ðèñ. 43).
Ðèñ. 40Ðèñ. 39
Ðèñ. 41
Ðèñ. 42
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
O
A
B
KO
C
D
A
E
B
F
R
Q T
S O
а) б) в) г)
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
41
1.1.1.1.1.111111515151515..... Ñêîëüêî ëó÷åé ñ íà÷àëîì â òî÷êå K èçîáðàæå-
íî íà ðèñóíêå 44?
1.1.1.1.1.111111616161616.....° Îòìåòüòå òî÷êó F. Ïðîâåäèòå òðè ëó÷à ñ íà÷à-
ëîì â òî÷êå F. Îáîçíà÷üòå è çàïèøèòå èõ.
1.1.1.1.1.111111717171717..... Ïåðåñåêàþòñÿ ëè íà ðèñóíêå 45 ïðÿìàÿ AB è
ëó÷:
1) OM; 2) RL; 3) DP; 4) ST?
1.1.1.1.1.111111818181818..... Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ PS è îòìåòüòå íà íåé äâå
òî÷êè A è E. Íàçîâèòå âñå ëó÷è è îòðåçêè, êîòîðûå
îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå.
1.1.1.1.1.111111919191919..... Èçîáðàçèòå ëó÷ KR è îòìåòüòå íà íåì òî÷êè L
è S. Çàïèøèòå ëó÷è, êîòîðûå îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå.
Ðèñ. 43 Ðèñ. 44
Ðèñ. 45
1.8. Ëó÷
D
P
R
LA
B
O
M
S
T
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
42
1.1.1.1.1.120120120120120..... Èçîáðàçèòå ïðÿìûå MK è NR òàê, ÷òîáû îíè
ïåðåñåêàëèñü â òî÷êå Å. Íàçîâèòå âñå ëó÷è, îáðàçî-
âàâøèåñÿ íà ðèñóíêå.
1.1.1.1.1.121121121121121..... Îòìåòüòå òî÷êó Ñ è ïðîâåäèòå ÷åðåç íåå:
1) 2 ïðÿìûå; 2) 3 ïðÿìûå;
3) 4 ïðÿìûå; 4) 5 ïðÿìûõ.
Îïðåäåëèòå ÷èñëî ëó÷åé ñ íà÷àëîì â òî÷êå Ñ.
1.1.1.1.1.122122122122122..... Íà÷åðòèòå ëó÷ PL. Ïðîâåäèòå ëó÷ PT òàê, ÷òîáû
ëó÷è PL è PT:
1) áûëè ëó÷àìè îäíîé ïðÿìîé;
2) íå áûëè ëó÷àìè îäíîé ïðÿìîé.
1.1.1.1.1.123123123123123..... Ïðèíàäëåæàò ëè ëó÷è, èçîáðàæåííûå íà ðèñóí-
êå 46, îäíîé ïðÿìîé?
1.1.1.1.1.124124124124124..... Íà ðèñóíêå 47 èçîáðàæåíû òî÷êè A, B, C, D, K, T.
Íàçîâèòå òî÷êè, ïðèíàäëåæàùèå, è òî÷êè, íå ïðèíàä-
ëåæàùèå ëó÷ó: 1) ÎÌ; 2) ÌÎ.
Ðèñ. 46
Ðèñ. 47
à)M
â)
á)
ã)
O
P F T
D E E K
K B C T
F
T
A T
O
B
C
M KD
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
43
1.1.1.1.1.125125125125125..... Èçîáðàçèòå ëó÷ ÀÑ. Ïîñòðîéòå íà íåì îòðåçîê:
1) ÀÂ = 1 ñì; 2) ÀÌ = 5 ñì;
3) AD = 1 äì; 4) AP = 45 ìì.
Ìîæíî ëè íà ëó÷å ÀÑ îòëîæèòü îòðåçîê äëèíîé 1 ì,
100 ì, 1 êì?
1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷
Èçîáðàçèì ëó÷ ñ íà÷àëîì â òî÷êå Î. Çàäàäèì íà
íåì åäèíè÷íûé îòðåçîê OE (ðèñ. 48).
Ëó÷ ñ çàäàííûì íà íåì åäèíè÷íûì îòðåçêîì
íàçûâàþò êîîðäèíàòíûì ëó÷îì.
Áóäåì ïîñëåäîâàòåëüíî îòêëàäûâàòü åäèíè÷íûé
îòðåçîê îò íà÷àëà êîîðäèíàòíîãî ëó÷à. Òåì ñàìûì
ìû îòìåòèì íà ëó÷å òî÷êè. Ïðîòèâ êàæäîé îòìå÷åí-
íîé òî÷êè çàïèøåì ÷èñëî, êîòîðîå ïîêàçûâàåò, ñêîëü-
êî ðàç îòëîæèëè åäèíè÷íûé îòðåçîê îò íà÷àëà ëó÷à
(ñì. ðèñ. 48).
Íà ðèñóíêå 48 ÷èñëî 7 èçîáðàæàåòñÿ òî÷êîé K íà
êîîðäèíàòíîì ëó÷å. ×èñëî 7 íàçûâàþò êîîðäèíàòîé
òî÷êè K è ïèøóò: K(7). Ãîâîðÿò òàêæå: «òî÷êà K
ñ êîîðäèíàòîé 7» èëè ïðîñòî: «òî÷êà 7».
Òî÷êà Î — íà÷àëî ëó÷à — èìååò êîîðäèíàòó 0 (íóëü).
Îáû÷íî êîîðäèíàòíûé ëó÷ ðàñïîëàãàþò ãîðèçîí-
òàëüíî ñëåâà íàïðàâî (ñì. ðèñ. 48). Òî÷êà Ñ(4) ñ ìåíü-
øåé êîîðäèíàòîé ðàñïîëîæåíà íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å
Ðèñ. 48
1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
44
ëåâåå òî÷êè K(7). Ïðè ñðàâíåíèè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
èñïîëüçóþò ïðàâèëî:
èç äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ìåíüøå òî, êîòî-
ðîå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ðàñïîëîæåíî ëåâåå.
Âîïðîñû
1. ×òî íàçûâàþò êîîðäèíàòíûì ëó÷îì?
2. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî ñðàâíåíèÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
ñ ïîìîùüþ êîîðäèíàòíîãî ëó÷à.
Óïðàæíåíèÿ
1.1.1.1.1.126126126126126.....° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êè, ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ÷èñëàì 1, 2, 5, 7, 8, 10, åñëè åäèíè÷íûé îò-
ðåçîê ðàâåí:
1) 2 ìì; 2) 5 ìì; 3) 8 ìì; 4) 12 ìì.
1.1.1.1.1.127127127127127.....° Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì,
ðàâíûì 10 ìì, îòìåòüòå òî÷êè À(3), Â(5), Ñ(6), D(9).
Êàêèå èç ýòèõ òî÷åê ëåæàò íà îòðåçêå:
1) AD; 2) AC; 3) BD; 4) BC?
1.1.1.1.1.128128128128128..... Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì,
ðàâíûì 1 ñì, îòìåòüòå òî÷êè, íàõîäÿùèåñÿ îò íà÷àëà
ëó÷à íà ðàññòîÿíèè:
1) 4 ñì; 2) 3 ñì; 3) 7 ñì; 4) 6 ñì.
Îáîçíà÷üòå ýòè òî÷êè è çàïèøèòå èõ êîîðäèíàòû.
1.1.1.1.1.129129129129129.....° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì
îòðåçêîì, ðàâíûì ñòîðîíå îäíîé êëåòêè â òåòðàäè,
÷èñëà:
1) 0, 2, 4, 6, 12, 16, 20, 24;
2) 1, 5, 7, 11, 13, 15, 17, 19.
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
45
1.1.1.1.1.130130130130130..... Êàêèì ÷èñëàì ñîîòâåòñòâóþò íà êîîðäèíàòíîì
ëó÷å òî÷êè A, B, C, D (ðèñ. 49)?
1.1.1.1.1.131131131131131.....° Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êè:
1) À(0), Â(4), Ì(8), Ð(12), åñëè åäèíè÷íûé îòðåçîê
ðàâåí 2 êëåòêàì1);
2) G(1), Q(2), R(3), S(4), åñëè åäèíè÷íûé îòðåçîê
ðàâåí 5 êëåòêàì.
1.1.1.1.1.132132132132132..... Íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å ñ åäèíè÷íûì îòðåçêîì,
ðàâíûì 5 ìì, îòìåòüòå òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ îò íà÷à-
ëà ëó÷à íà ðàññòîÿíèè:
1) 10 ìì; 2) 25 ìì; 3) 4 ñì; 4) 5 ñì.
Îáîçíà÷üòå ýòó òî÷êó è çàïèøèòå åå êîîðäèíàòû.
1.1.1.1.1.133133133133133..... Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ è îòìåòüòå íà íåé òî÷êó Î.
Îòñòóïèâ âïðàâî îò òî÷êè Î íà ÷åòûðå êëåòêè, îáî-
çíà÷üòå òî÷êó À(2). Îòìåòüòå íà ïðÿìîé òî÷êó:
1) K(4); 2) D(3); 3)M(5); 4) L(8).
Ðèñ. 49
________
1) Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî îòðåçîê ðàâåí, íàïðèìåð, 2 êëåòêàì,
òî èìåþò â âèäó, ÷òî åãî äëèíà ðàâíà óäâîåííîé äëèíå
ñòîðîíû îäíîé êëåòêè â òåòðàäè.
1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷
O A
1
B C D
O A
2
B C D
O A
3
B C D
O A
4
B C D
1)
2)
3)
4)
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
46
1.1.1.1.1.134134134134134..... Èçîáðàçèòå ïðÿìóþ è îòìåòüòå íà íåé òî÷êó Î.
Îòñòóïèâ âïðàâî îò òî÷êè Î íà ïÿòü êëåòîê, îáîçíà÷ü-
òå òî÷êó N(10). Îòìåòüòå íà ïðÿìîé òî÷êó:
1) T(2); 2) F(8); 3) E(20); 4) S(30).
1.135.1.135.1.135.1.135.1.135. Çàïèøèòå êîîðäèíàòû îòìå÷åííûõ òî÷åê, èñ-
ïîëüçóÿ ðèñóíîê 50, íà êîòîðîì èçîáðàæåíà ÷àñòü
êîîðäèíàòíîãî ëó÷à.
1.1.1.1.1.136136136136136..... Âûáåðèòå åäèíè÷íûé îòðåçîê è îòìåòüòå íà êî-
îðäèíàòíîì ëó÷å òî÷êó:
1) F(16); 2) K(20); 3) Z(24); 4) V(40).
1.1.1.1.1.137137137137137..... Êàêàÿ èç òî÷åê — À(12) èëè Â(19) — ðàñïîëî-
æåíà áëèæå ê òî÷êå Ñ(15)?
1.1.1.1.1.138138138138138..... Íàçîâèòå êîîðäèíàòû òî÷åê, óäàëåííûõ íà êîîð-
äèíàòíîì ëó÷å îò òî÷êè Ò(21) íà 6 åäèíèö.
1.1.1.1.1.139139139139139..... Íàçîâèòå êîîðäèíàòû êàêèõ-ëèáî òî÷åê, óäàëåí-
íûõ íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å îò òî÷êè Ò(7) íà îäèíàêî-
âîå ðàññòîÿíèå.
1.1.1.1.1.140140140140140..... Íà ðèñóíêå 51 èçîáðàæåíà ÷àñòü êîîðäèíàòíîãî
ëó÷à, íà êîòîðîì îòìå÷åíû êîîðäèíàòû äâóõ òî÷åê.
Óêàæèòå êîîðäèíàòû îñòàëüíûõ îòìå÷åííûõ òî÷åê.
Ðèñ. 50
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
M
10
N K
100
L
M
1000
N K
6000
L
1)
2)
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
47
AA
2424
CCBB
MM
1313
KKNN PP
AA
9292
CCBB
MM KKNN
2626
PP
1)1)
2)2)
3)3)
4)4)
3232
1717
9696
3434
KK
FF
1.1.1.1.1.141141141141141..... Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å òðè òî÷êè ñ
êîîðäèíàòàìè:
1) ìåíüøå 4;
2) áîëüøå 6;
3) áîëüøå 1 è ìåíüøå 7;
4) áîëüøå 0 è ìåíüøå 5.
1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Åñëè â ðåçóëüòàòå èçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó
äâóìÿ ãîðîäàìè îêàæåòñÿ, ÷òî îíî ðàâíî 392 êì, òî
ìû ñêàæåì, ÷òî îíî ïðèìåðíî ðàâíî 400 êì. À åñëè
îêàæåòñÿ, ÷òî ðàññòîÿíèå ïîëó÷èëîñü ðàâíûì 303 êì,
òî ñêàæåì, ÷òî îíî ïðèìåðíî ðàâíî 300 êì.
 îáîèõ ñëó÷àÿõ ìû çàìåíÿåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî
áëèæàéøèì ê íåìó «êðóãëûì» ÷èñëîì, ò. å. ÷èñëîì,
îêàí÷èâàþùèìñÿ íóëÿìè (îäíèì èëè íåñêîëüêèìè).
Òàêàÿ çàìåíà íàçûâàåòñÿ îêðóãëåíèåì. À ÷èñëî, êî-
òîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå îêðóãëåíèÿ, íàçûâàåò-
ñÿ ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì äàííîãî íàòóðàëüíîãî
÷èñëà.
Ðèñ. 51
1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
48
Íàòóðàëüíûå ÷èñëà îêðóãëÿþò äî äåñÿòêîâ, ñîòåí,
òûñÿ÷, äåñÿòêîâ òûñÿ÷ è ò. ä.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ ÷èñëî:
à) 374; á) 377; â) 375.
Ðåøåíèå. à) ×òîáû îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ ÷èñëî 374,
íóæíî èç äâóõ ÷èñåë 370 è 380, ìåæäó êîòîðûìè îíî
ðàñïîëîæåíî (ðèñ. 52), âûáðàòü òî, êîòîðîå áëèæå
ê 374. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ÷èñëî 370.
Ðåçóëüòàò îêðóãëåíèÿ çàïèñûâàåòñÿ òàê:
374 ≈ 370.
×èòàåòñÿ: «òðèñòà ñåìüäåñÿò ÷åòûðå ïðèáëèæåí-
íî ðàâíî òðåìñòàì ñåìèäåñÿòè».
Çàìåòèì, ÷òî, îêðóãëÿÿ ÷èñëî 374 äî äåñÿòêîâ, ìû
çàìåíèëè öèôðó â ðàçðÿäå åäèíèö íóëåì.
á) Àíàëîãè÷íî îêðóãëÿåòñÿ äî äåñÿòêîâ ÷èñëî 377.
Îíî áëèæå ê 380, ÷åì ê 370, ïîýòîìó 377 ≈ 380.
Çàìåòèì, ÷òî, îêðóãëÿÿ ÷èñëî 377 äî äåñÿòêîâ, ìû
çàìåíèëè öèôðó â ðàçðÿäå åäèíèö íóëåì è óâåëè-
÷èëè öèôðó â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ íà åäèíèöó.
â) ×èñëî 375 ðàñïîëîæåíî íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿ-
íèè îò ÷èñåë 370 è 380.  òàêèõ ñëó÷àÿõ ÷èñëî îêðóã-
ëÿåòñÿ â áîëüøóþ ñòîðîíó: 375 ≈ 380.
×òîáû îêðóãëèòü ÷èñëî äî îïðåäåëåííîãî
ðàçðÿäà, íóæíî:
1) âñå ñëåäóþùèå çà ýòèì ðàçðÿäîì öèô-
ðû çàìåíèòü íóëÿìè;
Ðèñ. 52
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
370 372 374 376 378 380
371 373 375 377 379
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
49
2) åñëè ïåðâàÿ çàìåíåííàÿ íóëåì öèôðà 5,
6, 7, 8 èëè 9, òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî óâåëè÷èòü
íà åäèíèöó ðàçðÿäà, äî êîòîðîãî îêðóãëÿåì;
3) åñëè ïåðâàÿ çàìåíåííàÿ öèôðà 0, 1, 2, 3
èëè 4, òî ïîëó÷åííîå ÷èñëî îñòàâèòü áåç
èçìåíåíèÿ.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Îêðóãëèòü äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷ ÷èñëî:
à) 183 398; á) 295 301; â) 4987.
Ðåøåíèå.
à) 183 398 ≈ 180 000;
á) 295 301 ≈ 300 000;
â) 4987 ≈ 0 äåñÿòêîâ òûñÿ÷.
Ïðèáëèæåííîå çíà÷åíèå ñòàðèííûõ ìåð äëèíû: 1 âåðñòà ≈ 1 êì,1 ñàæåíü ≈ 2 ì, 1 àðøèí ≈ 71 ñì, 1 âåðøîê ≈ 45 ìì, 1 ôóò ≈ 30 ñì,
1 äþéì ≈ 25 ìì.
Âîïðîñû
1. ×òî çíà÷èò: îêðóãëèòü ÷èñëî äî äåñÿòêîâ? äî òûñÿ÷?
2. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ ïðèáëèæåííûì çíà÷åíèåì äàí-
íîãî ÷èñëà?
3. Ñôîðìóëèðóéòå ïðàâèëî îêðóãëåíèÿ ÷èñëà.
Óïðàæíåíèÿ
1.1.1.1.1.142142142142142..... Îïðåäåëèòå, êàêèå çíà÷åíèÿ òî÷íûå, à êàêèå —
ïðèáëèæåííûå:
1) â øêîëå ðàáîòàþò 124 ó÷èòåëÿ;
2) â øêîëüíîé áèáëèîòåêå áîëåå 25 000 êíèã;
3) ðàññòîÿíèå îò Ìèíñêà äî Ãîìåëÿ îêîëî 325 êì;
4) ïîåçä îò Ãîìåëÿ äî ñòàíöèè Çÿáðîâêà èäåò ïî÷-
òè 30 ìèí.
1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
50
1.1.1.1.1.143143143143143.....° Íàçîâèòå êàêîå-íèáóäü ÷èñëî, êîòîðîå íà êîîð-
äèíàòíîì ëó÷å íàõîäèòñÿ ìåæäó 23 è 32:
1) áëèæå ê 23; 2) áëèæå ê 32.
1.1.1.1.1.144144144144144.....° Íàïèøèòå êàêîå-íèáóäü ÷èñëî, êîòîðîå íà êî-
îðäèíàòíîì ëó÷å íàõîäèòñÿ:
1) ìåæäó 91 è 100 è áëèæå ê 91;
2) ìåæäó 158 è 198 è áëèæå ê 198;
3) ìåæäó 2467 è 2471 è áëèæå ê 2471;
4) ìåæäó 76 800 è 76 900 è áëèæå ê 76 800.
1.1.1.1.1.145145145145145..... Êàêîå èç ïðèáëèæåííûõ ðàâåíñòâ, ïîëó÷åííîå
ïðè îêðóãëåíèè äî äåñÿòêîâ, âåðíîå:
1) 67 ≈ 60 èëè 67 ≈ 70;
2) 236 ≈ 240 èëè 236 ≈ 230;
3) 4904 ≈ 4910 èëè 4904 ≈ 4900;
4) 6875 ≈ 6870 èëè 6875 ≈ 6880?
1.1.1.1.1.146146146146146.....° Ïðî÷èòàéòå ïðèáëèæåííûå ðàâåíñòâà è îïðåäå-
ëèòå, äî êàêîãî ðàçðÿäà îêðóãëèëè ÷èñëî:
1) 973 ≈ 970; 2) 3182 ≈ 3000;
3) 4767 ≈ 4800; 4) 34 983 ≈ 35 000;
5) 57 442 ≈ 60 000; 6) 978 105 ≈ 1 000 000.
1.1.1.1.1.147147147147147..... Îêðóãëèòå ÷èñëî: à) äî äåñÿòêîâ; á) äî ñîòåí;
â) äî òûñÿ÷; ã) äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷:
1) 73 649; 2) 57 034;
3) 1245; 4) 4678.
1.1.1.1.1.148148148148148..... Îêðóãëèòå ÷èñëà:
1) 4 027 482, 352 996, 520 808 äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷;
2) 173 936, 37 078 520, 62 860 012 äî ñîòåí òûñÿ÷.
1.1.1.1.1.149149149149149..... Ïîñëå îêðóãëåíèÿ ÷èñëà 1 275 409 Ëåíà ïîëó-
÷èëà ÷èñëî 1 300 000, Øóðà — 1 275 000, à ó Êîëè
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
51
ïîëó÷èëîñü ÷èñëî 1 275 410. Îïðåäåëèòå, äî êàêèõ
ðàçðÿäîâ êàæäûé èç íèõ âûïîëíÿë îêðóãëåíèå.
1.1.1.1.1.150150150150150..... 1) Þëÿ çàäóìàëà ÷èñëî è, îêðóãëèâ åãî äî äå-
ñÿòêîâ, ïîëó÷èëà 60. Êàêîå ÷èñëî ìîãëà çàäóìàòü
Þëÿ?
2) Ëåíà çàäóìàëà ÷èñëî è, îêðóãëèâ åãî äî ñîòåí,
çàïèñàëà 300. Êàêîå ÷èñëî ìîãëà çàäóìàòü Ëåíà?
1.1.1.1.1.151151151151151..... Íàçîâèòå íàèáîëüøåå ÷èñëî è íàèìåíüøåå ÷èñ-
ëî, ïðè îêðóãëåíèè êîòîðûõ äî òûñÿ÷ ïîëó÷èòñÿ ÷èñ-
ëî 798 000.
1.1.1.1.1.152152152152152..... Â ðóññêî-íåìåöêîì ñëîâàðå ñîäåðæèòñÿ 9752 ñëî-
âà. Óêàæèòå ïðèìåðíîå êîëè÷åñòâî ñëîâ, îêðóãëèâ
äàííîå ÷èñëî äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷.
1.1.1.1.1.153153153153153..... Çàïèøèòå ðÿä ÷èñåë, êîòîðûé ïîëó÷èòñÿ, åñëè
ïîñëåäîâàòåëüíî îêðóãëÿòü ÷èñëî 39 602 649 äî äå-
ñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷ è ò. ä.
1.1.1.1.1.154154154154154..... Ïðîäîëæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë, èñïîëü-
çóÿ îêðóãëåíèå:
1) 9 090 909, 9 090 910, 9 090 900, ... ;
2) 6 794 238, 6 794 240, 6 794 200, ... .
1.1.1.1.1.155155155155155..... Îïðåäåëèòå, ìåæäó êàêèìè ÷èñëàìè íàòóðàëü-
íîãî ðÿäà íàõîäÿòñÿ ÷èñëà, êîòîðûå ïðè îêðóãëåíèè
äî òûñÿ÷ ïðèáëèæåííî ðàâíû:
1) 1000; 2) 57 000;
3) 10 000; 4) 90 000.
1.1.1.1.1.156156156156156..... Ïðèâåäèòå ïðèìåðû ÷èñåë, êîòîðûå ïðè îêðóã-
ëåíèè äî äåñÿòêîâ, ñîòåí, òûñÿ÷ ïðèáëèæåííî ðàâíû
îäíîìó è òîìó æå íàòóðàëüíîìó ÷èñëó.
1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
52
1.1.1.1.1.157157157157157..... Îêðóãëèòå äî êèëîãðàììîâ:
1) 8 êã 360 ã; 2) 29 êã 500 ã;
3) 1 êã 980 ã; 4) 44 830 ã.
1.1.1.1.1.158158158158158..... Îêðóãëèòå äî öåíòíåðîâ:
1) 3 ö 56 êã; 2) 9 ö 90 êã;
3) 781 êã; 4) 909 êã.
1.1.1.1.1.159159159159159..... Îêðóãëèòå äî äåöèìåòðîâ:
1) 4 äì 3 ñì; 2) 768 ìì;
3) 29 ñì; 4) 549 ñì.
1.1.1.1.1.160160160160160.....* Íàéäèòå íàèìåíüøåå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, ó êî-
òîðîãî ñóììà öèôð áîëüøå, ÷åì:
1) ó ëþáîãî ÷èñëà, êîòîðîå ìåíüøå èñêîìîãî;
2) ó ëþáîãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà, êîòîðîå ìåíüøå
èñêîìîãî.
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
1.1.1.1.1.161161161161161..... Âû÷èñëèòå:
1) 86 + 2473; 2) 66 + 5634;
3) 123 + 73 563; 4) 947 + 48 432.
1.1.1.1.1.162162162162162..... Âû÷èñëèòå:
1) 3248 − 359; 2) 6056 − 132;
3) 4802 − 995; 4) 2093 − 535.
1.1.1.1.1.163163163163163..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 5086 . 40; 2) 3110 . 80;
3) 180 414 : 9; 4) 226 804 : 4.
1.1.1.1.1.164164164164164..... Âûïîëíèòå äåéñòâèå:
1) 702 . 69; 2) 537 . 201;
3) 3952 : 38; 4) 28 334 : 457.
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
53
1.1.1.1.1.165165165165165..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 320 − (56 . 2 + 120 : 6);
2) 320 − 56 . 2 + 120 : 6;
3) 738 : 6 − 861 : 7;
4) 1872 : 8 − 29 . 8;
5) (225 − 875 : 5) : 25;
6) 7992 : (207 − 135) : 3.
1.1.1.1.1.166166166166166..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 5 êì 320 ì + 1 êì 906 ì;
2) 6 ì 4 äì − 2 ì 48 ñì;
3) 1 ì 25 ñì + 9 äì 15 ìì;
4) 8 äì 62 ìì + 3 ì 48 ñì.
1.1.1.1.1.167167167167167..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 1 ÷ 28 ìèí + 3 ÷ 43 ìèí;
2) 8 ìèí 42 ñ − 6 ìèí 53 ñ;
3) 1 ÷ 3 ìèí 27 ñ + 2 ÷ 48 ìèí 38 ñ;
4) 3 ÷ 57 ìèí 41 ñ + 34 ìèí 29 ñ.
1.1.1.1.1.168168168168168..... Ó Ëèçû 8 êîìïàêò-äèñêîâ ñ ìóçûêàëüíûìè çàïè-
ñÿìè. À ó Îëè íà 3 äèñêà áîëüøå. Ó Íàñòè ñòîëüêî æå
êîìïàêò-äèñêîâ, ñêîëüêî ó Îëè. Íà äåíü ðîæäåíèÿ
Íàñòå ïîäàðèëè åùå 2 äèñêà. Ñêîëüêî âñåãî äèñêîâ
ó äåâî÷åê?
1.1.1.1.1.169169169169169..... Íà òðåõ àâòîáóñàõ âåçóò äåòåé íà ýêñêóðñèþ â
Áðåñòñêóþ êðåïîñòü. Â ïåðâîì àâòîáóñå åõàëî 40 äå-
òåé, âî âòîðîì — â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì,
à â òðåòüåì — íà 10 äåòåé ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì
è âòîðîì àâòîáóñàõ âìåñòå. Ñêîëüêî äåòåé åõàëî â
òðåòüåì àâòîáóñå?
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
1.1.1.1.1.170170170170170..... Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ óêðàøåíèÿ èç áèñåðà Ãàëèíà
ïîäãîòîâèëà 250 øòóê çåëåíîãî áèñåðà, æåëòîãî —
íà 70 øòóê áîëüøå, ÷åì çåëåíîãî, à îðàíæåâîãî —
íà 150 øòóê ìåíüøå, ÷åì çåëåíîãî è æåëòîãî âìåñòå.
Ñêîëüêî âñåãî áèñåðà ïîäãîòîâèëà Ãàëèíà?
1.1.1.1.1.171171171171171..... Âðåìÿ ïðèáûòèÿ ïàññàæèðñêîãî ïîåçäà èç Ìèí-
ñêà â Ïîëîöê ïî ðàñïèñàíèþ — 23 ÷ 27 ìèí. Îäíàêî
èç-çà ðåìîíòíûõ ðàáîò ïóòåé ïîåçä áûë çàäåðæàí íà
1 ÷ 24 ìèí. Çàòåì îòñòàâàíèå áûëî ñîêðàùåíî íà
40 ìèí. Îïðåäåëèòå âðåìÿ ïðèáûòèÿ ïàññàæèðñêîãî
ïîåçäà.
1.172.1.172.1.172.1.172.1.172. Íà÷àëî ïåðâîãî ñåàíñà â êèíîòåàòðå «Ìèð» —
10 ÷ 30 ìèí. Îïðåäåëèòå âðåìÿ íà÷àëà ñëåäóþùèõ äâóõ
êèíîñåàíñîâ, åñëè äëèòåëüíîñòü ñåàíñà 2 ÷ 15 ìèí,
à ïåðåðûâ ìåæäó ñåàíñàìè ñîñòàâëÿåò 20 ìèí.
1.1.1.1.1.173173173173173..... Â îäèí ðÿä àëëåè ñ ïðîìåæóòêîì 4 ì áûëè
ïîñàæåíû 15 äåðåâüåâ. Êàêîâà äëèíà ðÿäà àëëåè?
1.1.1.1.1.174174174174174..... Âî ñêîëüêî ðàç ïîäúåì ñ ïåðâîãî ýòàæà íà âòî-
ðîé êîðî÷å ïîäúåìà ñ ïåðâîãî ýòàæà íà äåñÿòûé?
1.1.1.1.1.175175175175175.....* Ó äâóõ ìàëü÷èêîâ èìååòñÿ îäèíàêîâîå êîëè-
÷åñòâî êîíôåò. Íà ñêîëüêî êîíôåò ó îäíîãî èç íèõ
ñòàíåò ìåíüøå, ÷åì ó äðóãîãî, åñëè îí îòäàñò åìó òðè
êîíôåòû?
1.1.1.1.1.176176176176176.....* Íàéäèòå ÷èñëî, ðàâíîå óäâîåííîé ñóììå åãî
öèôð.
1.1.1.1.1.177177177177177.....* Ïîñìîòðåâ â êàëåíäàðü, Ôåäÿ ñêàçàë, ÷òî ñ íà-
÷àëà ìåñÿöà ïðîøëî 16 äíåé, à äî êîíöà ìåñÿöà îñòà-
ëîñü îòîðâàòü â êàëåíäàðå 13 ëèñòêîâ. Íàçîâèòå äåíü
è ìåñÿö, êîãäà Ôåäÿ ïðîâåë íàáëþäåíèå.
54
à ë à â à 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
1.1.1.1.1.178178178178178.....* Íàéäèòå òàêîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî, âû÷åðêèâàÿ
èç êîòîðîãî îäíó öèôðó, ìîæíî ïîëó÷èòü ÷èñëî 73.
Íàéäèòå âñå òàêèå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà. Ñêîëüêî èõ?
1.1.1.1.1.179179179179179.....* 1) Ñêîëüêî ïîòðåáóåòñÿ öèôð, ÷òîáû çàïèñàòü
âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 5 äî 35?
2) Íàòóðàëüíûå ÷èñëà çàïèñàíû ïîäðÿä, íà÷èíàÿ
ñ 5 è çàêàí÷èâàÿ 35. Êàêàÿ öèôðà â ïîëó÷èâøåìñÿ
÷èñëå ñòîèò íà 17 ìåñòå? íà 35 ìåñòå?
1.1.1.1.1.180180180180180.....* Èñïîëüçóÿ öèôðû 6 è 9, ñêîëüêî ìîæíî çàïè-
ñàòü:
1) äâóçíà÷íûõ ÷èñåë;
2) òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë?
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
2ГЛАВА
ÑËÎÆÅÍÈÅ È ÂÛ×ÈÒÀÍÈÅ
ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÕ ×ÈÑÅË
2.1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Êàê ñëîæèòü äâà íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, íàïðèìåð, 7è 4?
Âîçüìåì â íàòóðàëüíîì ðÿäó ÷èñëî 7 (ðèñ. 53). Îòñ÷è-
òàåì ñëåäóþùèå çà íèì ÷åòûðå ÷èñëà: 8, 9, 10, 11.
Ïîñëåäíåå ïîëó÷åííîå ïðè ñ÷åòå ÷èñëî 11 íàçû-
âàåòñÿ ñóììîé ÷èñåë 7 è 4:
11 = 7 + 4.
Ñóììîé ÷èñåë 7 è 4 íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå 7 + 4,
à ñàìè ýòè ÷èñëà íàçûâàþòñÿ ñëàãàåìûìè.
Êîãäà ê ÷èñëó 7 ïðèáàâëÿþò ÷èñëî 4, ãîâîðÿò òàê-
æå, ÷òî ÷èñëî 7 óâåëè÷èâàþò íà 4.
Åñëè îäíî èç ñëàãàåìûõ ðàâíî íóëþ, òî ñóì-
ìà ðàâíà äðóãîìó ñëàãàåìîìó,
ò. å. ïðè ëþáîì ÷èñëå à
à + 0 = 0 + à = à
Íàïðèìåð, 17 + 0 = 0 + 17 = 17; 0 + 0 = 0.
Ðèñ. 53
56
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü ñëåäóþùèõ äâóõ
ïðèìåðîâ è îáúÿñíèòå, êàê ñêëàäûâàþòñÿ ÷èñëà ñòîë-
áèêîì.
Âîïðîñû
1. Êàê íàçûâàþò ÷èñëà 19 è 23 â ðàâåíñòâå 19 + 23 = 42?
À ÷èñëî 42?
2. Êàê íàçûâàåòñÿ çàïèñü 19 + 23?
3. Ïî êàêîìó ïðàâèëó ñêëàäûâàþò ÷èñëî ñ íóëåì?
Óïðàæíåíèÿ
22222.....11111.....° Ïðî÷èòàéòå çàïèñü:
1) 307 + 672; 2) 3009 + 601;
3) 480 001 + 7003; 4) 0 + 0.
22222.....22222.....° Çàïèøèòå ñóììó ÷èñåë è íàéäèòå åå çíà÷åíèå:
1) 0 è 689; 2) 2525 è 0;
3) 4601 è 2; 4) 7 è 77 777.
22222.....33333.....° Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë:
1) 48 + 521; 2) 196 + 83;
3) 521 + 480; 4) 160 + 740.
22222.....44444.....° Âû÷èñëèòå:
1) 679 234 + 48 976;
2) 57 080 + 742 931;
3) 7 068 946 + 485 068;
4) 789 456 + 2 213 579.
à) á)
2.1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
57
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
58
22222.....55555.....° Âûïîëíèòå ñëîæåíèå ÷èñåë:
1) 999 è 1; 2) 1 è 9999;
3) 99 999 è 1; 4) 1 è 99 999.
22222.....66666..... Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå áîëüøå:
1) 711 íà 389;
2) 920 íà 180;
3) ñóììû ÷èñåë 32 è 78 íà 120;
4) ñóììû ÷èñåë 26 è 91 íà 158.
22222.....77777..... ×åìó ðàâíà ñóììà íàèáîëüøåãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà è:
1) íàèìåíüøåãî îäíîçíà÷íîãî ÷èñëà;
2) íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà;
3) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íûõ ÷èñëà;
4) íàèìåíüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà?
22222.....88888..... Íàéäèòå ñóììó íàèìåíüøåãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà
è íàèáîëüøåãî:
1) øåñòèçíà÷íîãî ÷èñëà;
2) ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà.
22222.....99999..... Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ 20,
òàê, ÷òîáû êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî áûëî íà 31 áîëü-
øå ïðåäûäóùåãî.
22222.....1010101010..... Çàïèøèòå âñå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, íà÷èíàÿ ñ 125
òàê, ÷òîáû êàæäîå ñëåäóþùåå ÷èñëî áûëî íà 125 áîëü-
øå ïðåäûäóùåãî.
2.12.12.12.12.11.1.1.1.1. Ñóììà äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ öèô-
ðîé 9. Êàêèìè öèôðàìè ìîãóò îêàí÷èâàòüñÿ ñëàãàåìûå?
22222.....1212121212..... Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 24 â âèäå ñóììû:
1) ÷åòûðåõ ðàâíûõ ñëàãàåìûõ;
2) òðåõ íåðàâíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
59
22222.....1313131313..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 4 êì 540 ì + 790 ì;
2) 8 ì 70 ñì + 13 ì 9 ñì;
3) 42 ì 76 ñì + 1 ì 54 ñì;
4) 12 êì 39 ì + 9 êì 24 ì.
22222.....1414141414..... Ìàøà íà÷àëà ãîòîâèòü óðîêè â 16 ÷ 40 ìèí è
çàòðàòèëà íà ïîäãîòîâêó 50 ìèí.  êîòîðîì ÷àñó
Ìàøà çàêîí÷èëà äåëàòü óðîêè?
22222.....1515151515..... Ýêñïåäèöèÿ âûåõàëà 14 ìàÿ è âîçâðàòèëàñü ÷å-
ðåç 4 ìåñÿöà 21 äåíü. Êîãäà ýêñïåäèöèÿ âîçâðàòèëàñü
îáðàòíî?
22222.....1616161616..... Îò ðóëîíà òêàíè îòðåçàëè 10 ì 75 ñì, ïîñëå
÷åãî îñòàëîñü åùå 8 ì 15 ñì. Ñêîëüêî òêàíè áûëî â
ðóëîíå?
22222.....1717171717.....* Âàíÿ ïðîïëûâàåò äèñòàíöèþ çà 2 ìèí. Çà âòî-
ðóþ ìèíóòó îí ïðîïëûë 56 ì, ÷òî íà 8 ì ìåíüøå,
÷åì çà ïåðâóþ ìèíóòó. Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîïëûë
Âàíÿ?
22222.....1818181818.....* Èç 10 ëèñòèêîâ áóìàãè íåêîòîðûå ðàçðåçàëè íà
4 ÷àñòè. Ïîëó÷èëñÿ âñåãî 31 ëèñòèê. Ñêîëüêî ëèñòè-
êîâ áóìàãè ðàçðåçàëè?
2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ
Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð. Â ñïîðòèâíóþ øêîëó ïðèâåçëè 18 ôóòáîëüíûõ
è 23 âîëåéáîëüíûõ ìÿ÷à. Ñêîëüêî âñåãî ìÿ÷åé ïðè-
âåçëè â øêîëó?
Ðåøåíèå. Îòâåò íà ýòîò âîïðîñ ìîæíî ïîëó÷èòü, ïðè-
áàâèâ ê ÷èñëó ôóòáîëüíûõ ìÿ÷åé ÷èñëî âîëåéáîëüíûõ
2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
60
ìÿ÷åé: 18 + 23 = 41. À ìîæíî ê ÷èñëó âîëåéáîëüíûõ
ìÿ÷åé ïðèáàâèòü ÷èñëî ôóòáîëüíûõ ìÿ÷åé: 23 + 18 == 41. Ïðè ëþáîì ñïîñîáå ïîäñ÷åòà ÷èñëà ìÿ÷åé ðå-
çóëüòàò áóäåò îäíèì è òåì æå, ò. å. 18 + 23 = 23 + 18.
Åñëè âìåñòî ÷èñåë 18 è 23 ìû âîçüìåì ëþáûå
÷èñëà a è b, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
a + b = b + a
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íà-
çûâàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûì çàêîíîì ñëîæåíèÿ.
Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
îò ïåðåñòàíîâêè ñëàãàåìûõ ñóììà íå ìå-
íÿåòñÿ.
Âîïðîñû
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ?
2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çà-
êîí ñëîæåíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
22222.....1919191919.....° Óêàæèòå ðàâíûå ñóììû:
1) 154 + 318; 2) 19 + 555;
3) 5807 + 2090; 4) 555 + 19;
5) 2090 + 5807; 6) 318 + 154.
22222.....2020202020.....° Óêàæèòå, çíà÷åíèå êàêîé ñóììû áîëüøå:
1) 39 999 + 218 888 èëè 218 888 + 38 999;
2) 284 367 + 358 347 èëè 353 874 + 284 367.
22222.....2121212121..... Âåðíî ëè, ÷òî:
1) 60 000 + 400 + 3 < 3 + 90 + 400 + 60 000;
2) 1 + 40 + 700 + 8000 > 8000 + 600 + 40 + 1?
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
61
22222.....2222222222.....° Íà äîðîæíîì óêàçàòåëå (ðèñ. 54) óêàçàíû ðàñ-
ñòîÿíèÿ äî íàñåëåííûõ ïóíêòîâ Ëåòî è Çèìà. Îïðå-
äåëèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó íàñåëåííûìè ïóíêòàìè.
Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
22222.....2323232323.....° Äëÿ îêëåéêè ñòåí êîìíàòû êóïèëè îáîè äâóõ
âèäîâ: îäíîòîííûå è ñ ðèñóíêîì. Îäíîòîííûõ êóïèëè
20 ì, ñ ðèñóíêîì — 75 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ îáîåâ áû-
ëî êóïëåíî? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
22222.....2424242424.....° Âàäèì ðàññòàâèë ñâîè êíèãè íà äâóõ ïîëêàõ.
Íà íèæíþþ — ó÷åáíèêè è ñïðàâî÷íóþ ëèòåðàòóðó,
âñåãî 24 êíèãè. Íà âåðõíþþ — õóäîæåñòâåííóþ ëè-
òåðàòóðó, âñåãî 38 êíèã. Ñêîëüêî êíèã ðàçìåñòèë Âà-
äèì íà äâóõ ïîëêàõ? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
22222.....2525252525..... Ñàøà è Âèòÿ èäóò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñî ñêî-
ðîñòÿìè 80м
мин è 60
м
мин ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ. 55).
Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîéäóò ìàëü÷èêè çà 1 ìèí? Ðåøè-
òå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
Ðèñ. 54
43 êì Çèìà Ëåòî 54 êì
Ñàøà Âèòÿ
Ðèñ. 55
2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ
60м
мин
80м
мин
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
62
22222.....2626262626..... Êàòÿ è Âèêà ïîáåæàëè â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòî-
ðîíû ñî ñêîðîñòÿìè 130м
мин è 120
м
мин (ðèñ. 56).
Êàêîå ðàññòîÿíèå áóäåò ìåæäó äåâî÷êàìè ÷åðåç 1 ìèí?
Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
22222.....2727272727..... Ïëîùàäü Áåðåçèíñêîãî çàïîâåäíèêà 76 200 êì2.
Íàéäèòå ïëîùàäü çàïîâåäíèêà «Áåëîâåæñêàÿ ïóùà»,
åñëè îíà íà 11 300 êì2 áîëüøå.
22222.....2828282828..... Ïî ðàñïèñàíèþ ïîåçä äîëæåí ïðèáûòü íà ñòàí-
öèþ â 22 ÷ 38 ìèí. Íàçîâèòå âðåìÿ ïðèáûòèÿ, åñëè
ïîåçä îïîçäàë íà:
1) 20 ìèí; 2) 40 ìèí; 3) 1 ÷ 30 ìèí.
22222.....2929292929.....* Îïðåäåëèòå öèôðû íà ÷åòûðåõçíà÷íîì íîìåðå
àâòîìîáèëÿ, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïåðâàÿ è ÷åòâåðòàÿ
öèôðû îäèíàêîâûå, âòîðàÿ è òðåòüÿ öèôðû òàêæå
îäèíàêîâûå, íî ÷åòâåðòàÿ öèôðà â 2 ðàçà ìåíüøå
òðåòüåé, à ñóììà ïåðâîé è âòîðîé öèôð ðàâíà 12.
2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ
Ïðèìåð. Ïðèìåð. Ïðèìåð. Ïðèìåð. Ïðèìåð. Ñàøå è Äèìå â ñóááîòó è âîñêðåñåíüå íàäî
ïðî÷èòàòü òðè ðàññêàçà.  ïåðâîì ðàññêàçå 14 ñòðà-
íèö, âî âòîðîì — 21 ñòðàíèöà, â òðåòüåì — 11 ñòðà-
íèö. Ñàøà ïðî÷èòàë â ñóááîòó ïåðâûé è âòîðîé ðàñ-
ñêàçû, à â âîñêðåñåíüå — òðåòèé. Äèìà ïðî÷èòàë â
Ðèñ. 56
Êàòÿ Âèêà
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
120м
мин
130м
мин
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
63
ñóááîòó ïåðâûé ðàññêàç, à â âîñêðåñåíüå — âòîðîé
è òðåòèé. Ñêîëüêî âñåãî ñòðàíèö ïðî÷èòàë êàæäûé
èç ìàëü÷èêîâ?
Ðåøåíèå. Ñàøà ïðî÷èòàë â ñóááîòó (14 + 21) ñòðàíèö,
à â âîñêðåñåíüå — 11 ñòðàíèö. Âñåãî Ñàøà ïðî÷èòàë
(14 + 21) + 11 = 35 + 11 = 46 (ñòðàíèö).
Äèìà ïðî÷èòàë â ñóááîòó 14 ñòðàíèö, à â âîñêðå-
ñåíüå — (21 + 11) ñòðàíèö. Âñåãî Äèìà ïðî÷èòàë
14 + (21 + 11) = 14 + 32 = 46 (ñòðàíèö).
Ñàøà è Äèìà ïðî÷èòàëè îäíè è òå æå ðàññêàçû,
ïîýòîìó íå óäèâèòåëüíî, ÷òî ðåçóëüòàòû ñëîæåíèÿ
îäèíàêîâûå:
(14 + 21) + 11 = 14 + (21 + 11).
Åñëè âìåñòî ÷èñåë 14, 21 è 11 ìû âîçüìåì ëþáûå
÷èñëà a, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
(à + b) + ñ = à + (b + ñ)
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íà-
çûâàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûì çàêîíîì ñëîæåíèÿ. Åãî
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
÷òîáû ê ñóììå äâóõ ÷èñåë ïðèáàâèòü òðåòüå
÷èñëî, ìîæíî ê ïåðâîìó ÷èñëó ïðèáàâèòü
ñóììó âòîðîãî è òðåòüåãî.
Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëè-
ðîâàòü è ïî-äðóãîìó:
îò èçìåíåíèÿ ðàññòàíîâêè ñêîáîê ñóììà íå
ìåíÿåòñÿ.
2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
64
Ïîñêîëüêó ñóììà íå çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêî-
áîê, òî ñêîáêè ìîæíî âîîáùå íå ïèñàòü:
(à + b) + ñ = à + (b + ñ) = à + b + ñ
Èç ïåðåìåñòèòåëüíîãî è ñî÷åòàòåëüíîãî çàêîíîâ
ñëîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
ñëàãàåìûå â ñóììå ìîæíî ìåíÿòü ìåñòàìè
è çàêëþ÷àòü â ñêîáêè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì.
Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíåíèå ïåðåìåñòèòåëüíîãî è
ñî÷åòàòåëüíîãî çàêîíîâ ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü
âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð, âû÷èñëèì ñóììó:
43 + 236 + 64 + 47 = (43 + 47) + (236 + 64) = 90 + 300 = 390.
Âîïðîñû
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ?
(Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.)
2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí
ñëîæåíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
22222.....3030303030.....° Íàéäèòå ñóììó íàèáîëåå óäîáíûì ñïîñîáîì:
1) 26 + 19 + 34 + 51;
2) 32 + 29 + 28 + 41;
3) 630 + 40 + 160 + 70;
4) 350 + 130 + 250 + 270.
22222.....3131313131.....° Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ, ïðèìåíÿÿ ñî÷åòàòåëüíûé
çàêîí ñëîæåíèÿ:
1) (637 + 1004) + 996;
2) 729 + (47 + 271);
3) 398 989 + (201 011 + 6482);
4) 15 824 + (37 301 + 24 176).
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
65
22222.....3232323232..... Âû÷èñëèòå, èñïîëüçóÿ çàêîíû ñëîæåíèÿ:
1) 5807 + 2090 + 1103;
2) 154 + 318 + 46 + 182;
3) 29 + 97 + 31 + 43;
4) 145 + 981 + 19 + 555.
22222.....3333333333.....° Íàéäèòå ñóììó ÷èñåë:
1) 6 + 32 + 27 + 4 + 28 + 13;
2) 81 + 143 + 455 + 1000 + 67 + 19 + 345;
3) 182 + 4593 + 29 561 + 5407 + 818 + 70 439;
4) 6001 + 472 + 80 109 + 999 + 528 + 1891.
22222.....3434343434..... Íàéäèòå ñóììó íàèáîëüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà,
íàèìåíüøåãî øåñòèçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèìåíüøåãî
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà.
22222.....3535353535..... Ó÷åíèêè òðåõ ïÿòûõ êëàññîâ ñàæàëè äåðåâüÿ íà
óëèöàõ ïîñåëêà. Ó÷åíèêè 5 «À» êëàññà ïîñàäèëè 14 äå-
ðåâüåâ, ó÷åíèêè 5 «Á» ïîñàäèëè íà 5 äåðåâüåâ áîëüøå,
à ó÷åíèêè 5 «Â» — íà 2 äåðåâà áîëüøå, ÷åì ó÷åíèêè
5 «À». Ñêîëüêî äåðåâüåâ ïîñàäèëè ïÿòèêëàññíèêè?
22222.....3636363636..... Äÿäÿ Ôåäîð, Øàðèê è êîò Ìàòðîñêèí îòïðàâè-
ëèñü èç Ïðîñòîêâàøèíî â Ñìåòàíèíî ÷åðåç Êåôèðîâî
è Òâîðîæüå (ðèñ. 57). Îïðåäåëèòå, ñêîëüêî êèëîìåò-
ðîâ ïðåäñòîèò ïðîéòè äÿäå Ôåäîðó, Øàðèêó è êîòó
Ìàòðîñêèíó.
Ïðîñòîêâàøèíî
Êåôèðîâî
Òâîðîæüå
Ñìåòàíèíî
Ðèñ. 57
2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
66
22222.....3737373737..... Â ïåðâûé äåíü òóðèñòû ïðîøëè 23 êì, ÷òî íà
6 êì ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü.  òðåòèé äåíü
îíè ïðîøëè íà 4 êì áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü.
Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîøëè òóðèñòû çà òðè äíÿ?
22222.....3838383838..... Ìàññà îäíîãî ÿáëîêà 175 ã, è îíà íà 35 ã ìåíüøå
ìàññû ãðóøè. À ìàññà îäíîãî àïåëüñèíà íà 40 ã áîëü-
øå ìàññû ãðóøè. Êàêîâà ìàññà òðåõ ôðóêòîâ?
22222.....3939393939..... Êàê èçìåíèòñÿ ñóììà, åñëè îäíî ñëàãàåìîå:
1) óâåëè÷èòü íà 15, à âòîðîå óìåíüøèòü íà 15;
2) óìåíüøèòü íà 8, à âòîðîå óâåëè÷èòü íà 9?
22222.....4040404040.....* Èç òðåõ ñòàðûõ îëîâÿííûõ ëîæåê è íîæà ïî-
ëó÷èòñÿ 10 îëîâÿííûõ ñîëäàòèêîâ; èç ëîæêè, äâóõ
âèëîê è äâóõ íîæåé — 9; èç äâóõ âèëîê è íîæà —
5 ñîëäàòèêîâ. Ñêîëüêî îëîâÿííûõ ñîëäàòèêîâ ïîëó-
÷èòñÿ èç äâóõ ëîæåê, äâóõ âèëîê è äâóõ íîæåé?
22222.....4141414141.....* Èìååòñÿ 11 ÿáëîê. Ñ ïîìîùüþ âåñîâ ìîæíî îïðå-
äåëèòü ìàññó ëþáûõ äâóõ ÿáëîê. Êàê ñ ïîìîùüþ ñåìè
âçâåøèâàíèé îïðåäåëèòü îáùóþ ìàññó âñåõ ÿáëîê?
2.4. Óãîë
Îòìåòèì íà ïëîñêîñòè òî÷êó À è ïðîâåäåì äâà
ëó÷à À è AC ñ îáùèì íà÷àëîì â òî÷êå À (ðèñ. 58).
Îíè äåëÿò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç ýòèõ
÷àñòåé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ óãëîì. Òî÷êà À íàçû-
âàåòñÿ âåðøèíîé óãëà, à ëó÷è À è ÀÑ — ñòîðî-
Ðèñ. 58 Ðèñ. 59
A
B
C
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
67
A
B C
D
íàìè óãëà. Ëþáîé èç óãëîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóí-
êå 58, ìîæíî îáîçíà÷èòü ∠ BAC èëè ∠ CAB. Åñòü è
áîëåå êîðîòêàÿ çàïèñü: ∠ A. Çíàê «∠ » çàìåíÿåò ñëîâî
«óãîë». Çàìåòèì, ÷òî åñëè óãîë îáîçíà÷àåòñÿ òðåìÿ
áóêâàìè, òî áóêâà, îáîçíà÷àþùàÿ âåðøèíó, ïèøåòñÿ
ïîñåðåäèíå. À åñëè óãîë îáîçíà÷àåòñÿ îäíîé áóêâîé,
òî òîé, êîòîðîé îáîçíà÷åíà âåðøèíà.
Íà ðèñóíêå 59 óãîë KLM îòìå÷åí äóãîé. Òî÷êà P
ëåæèò âíóòðè ýòîãî óãëà, à òî÷êà Q — âíå åãî. Òî÷-
êà R ëåæèò íà ñòîðîíå óãëà.
Óãëû ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ.
Äâà óãëà íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè, åñëè îäèí
èç íèõ ìîæíî íàëîæèòü íà äðóãîé òàê, ÷òî
îíè ñîâìåñòÿòñÿ.
Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 60 ∠ BAC = ∠ PQR. Ãîâîðÿò:
«óãîë ÂÀÑ ðàâåí óãëó PQR». Ðàâíûå óãëû ÷àñòî îò-
ìå÷àþò îäèíàêîâûì ÷èñëîì äóã.
Íà ðèñóíêå 61 èçîáðàæåíû ðàâíûå óãëû ABD è
DBC, à óãîë ÀÂÑ áîëüøå óãëà DBC.
Ðèñ. 61
2.4. Óãîë
Ðèñ. 60
Q
PRА
B
CА
P
R( )Q C
B
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
68
Âîïðîñû
1. Êàê èçîáðàçèòü óãîë íà ïëîñêîñòè?
2. Êàê ìîæíî îòìå÷àòü è îáîçíà÷àòü óãîë?
3. Êàê ìîæíî ñðàâíèâàòü óãëû?
4. Êàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ ðàâíûìè?
Óïðàæíåíèÿ
22222.....4242424242..... Ïðî÷èòàéòå è çàïèøèòå óãëû, èçîáðàæåííûå íà
ðèñóíêå 62. Íàçîâèòå âåðøèíó è ñòîðîíû êàæäîãî
óãëà.
22222.....4343434343..... Èçîáðàçèòå òðè ëó÷à ÀK, AB, AE.
1) Çàïèøèòå âñå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.
2) Íà ñêîëüêî ÷àñòåé äåëÿò ïëîñêîñòü òðè ëó÷à ñ
îáùåé âåðøèíîé?
22222.....4444444444.....° Èçîáðàçèòå äâå ïåðåñåêàþùèåñÿ ïðÿìûå AB è
MN. Îáîçíà÷üòå òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ áóêâîé Î.
Çàïèøèòå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.
22222.....4545454545..... ×åðåç âåðøèíó K óãëà AKB ïðîâåäèòå ïðÿìóþ SP
è çàïèøèòå âñå îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.
22222.....4646464646..... Íà ïðÿìîé DE îòìåòüòå òî÷êó S è òî÷êó F íå
íà ýòîé ïðÿìîé. Èçîáðàçèòå ëó÷ SF. Çàïèøèòå âñå
îáðàçîâàâøèåñÿ óãëû.
Ðèñ. 62
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
А
B
CM
NP
а) б) в) г)
F
E
K
D
Q
T
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
69
22222.....4747474747.....° Íà ðèñóíêå 63 èçîáðàæåíû òðè ïàðû ðàâíûõ
óãëîâ. Çàïèøèòå ðàâíûå óãëû.
22222.....4848484848..... Âûðåæüòå èç ëèñòà áóìàãè òðè ðàçíûõ óãëà.
Ïîñòðîéòå â òåòðàäè óãëû, ðàâíûå âûðåçàííûì.
22222.....4949494949..... Èçîáðàçèòå óãîë MBE è ïðÿìóþ AC, ïåðåñåêà-
þùóþ ñòîðîíû óãëà MBE. Îòìåòüòå íà ïðÿìîé AC
òî÷êó:
1) D òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà âíóòðè óãëà MBE;
2) P òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà âíå óãëà MBE;
3) F òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà íà ñòîðîíå BM óãëà MBE;
4) K òàê, ÷òîáû îíà ëåæàëà íà ñòîðîíå BE óãëà MBE.
2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû.
Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû
Îòìåòèì íà ïëîñêîñòè òî÷êó À è ïðîâåäåì ÷åðåç
íåå ïðÿìóþ ÂÑ (ðèñ. 64). Ëó÷è À è ÀÑ äåëÿò ïëîñ-
êîñòü íà äâå ÷àñòè. Êàæäàÿ èç ýòèõ ÷àñòåé ïëîñêîñòè
ÿâëÿåòñÿ óãëîì. Òàêîé óãîë íàçûâàåòñÿ ðàçâåðíóòûì.
Ïåðåãíåì ëèñò áóìàãè òàê, ÷òîáû ëó÷è À è ÀÑ
ñîâïàëè, à çàòåì ðàñïðàâèì åãî. Ïðè ýòîì îáðàçóåòñÿ
ëèíèÿ ñãèáà KL (ðèñ. 65). Óãëû BAK è CAK ñîâìåùà-
A
B
C
Q L
HP
M
NX
T
Y
OS F
E
D
K
Ðèñ. 63
Ðèñ. 64
2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëû
B A C
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
70
þòñÿ ïðè íàëîæåíèè, çíà÷èò, îíè ðàâíû. Êàæäûé èç
ýòèõ ðàâíûõ óãëîâ íàçûâàåòñÿ ïðÿìûì óãëîì.
Ïðÿìîé óãîë ÷àñòî îòìå÷àþò ñïåöèàëü-
íûì çíà÷êîì (ðèñ. 66).
Ìû âèäèì, ÷òî
ïðÿìîé óãîë — ýòî ïîëîâèíà ðàçâåðíóòîãî
óãëà.
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðÿìîãî óãëà ìîæíî èñïîëüçîâàòü
÷åðòåæíûé òðåóãîëüíèê — óãîëüíèê (ðèñ. 67).
Ñ ïîìîùüþ óãîëüíèêà ìîæíî ñðàâíèòü èçîáðàæåí-
íûé óãîë ñ ïðÿìûì. Íà ðèñóíêå 68 ïîêàçàíî, êàê ñ
Ðèñ. 65
Ðèñ. 66
Ðèñ. 67
Ðèñ. 68
K
M
N
A
B
C
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
71
ïîìîùüþ óãîëüíèêà îïðåäåëèëè, ÷òî óãîë KMN áîëü-
øå ïðÿìîãî, à óãîë ABC ðàâåí ïðÿìîìó.
Ïóñòü ÂÀÑ — ðàçâåðíóòûé óãîë (ðèñ. 69). Ïðîâå-
äåì ëó÷ ÀÅ è ðàññìîòðèì óãëû ÂÀÅ è ÑÀÅ.
Ó íèõ îäíà ñòîðîíà ÀÅ îáùàÿ, à äâå äðóãèå — ÀÂ
è ÀÑ — îáðàçóþò ïðÿìóþ. Òàêèå óãëû íàçûâàþòñÿ
ñìåæíûìè.
Ïóñòü ïðÿìàÿ MK ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðÿìîé PN â òî÷-
êå Î (ðèñ. 70). Óãëû MOP è NOK, êîòîðûå îáðàçóþò-
ñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè ýòèõ ïðÿìûõ, íàçûâàþò âåðòè-
êàëüíûìè. Óãëû MON è POK òîæå âåðòèêàëüíûå.
Çàìåòèì, ÷òî
âåðòèêàëüíûå óãëû ðàâíû.
Íà ðèñóíêå 70 ìîæíî óêàçàòü è
íåñêîëüêî ïàð ñìåæíûõ óãëîâ. Íà-
ïðèìåð, ∠ ÌÎÐ è ∠ ÌÎN.
Âîïðîñû
1. Êàê èçîáðàçèòü ðàçâåðíóòûé óãîë?
2. ×òî òàêîå ïðÿìîé óãîë?
3. Êàê èçîáðàçèòü ñìåæíûå óãëû?
4. Óêàæèòå íà ðèñóíêàõ 70, 71 è 72 âñå
ïàðû: à) ñìåæíûõ óãëîâ; á) âåðòè-
êàëüíûõ óãëîâ.
5. Êàêèå èç óãëîâ íà ðèñóíêàõ 71 è 72
ïðÿìûå?
Ðèñ. 69 Ðèñ. 70
B A C
E
Ðèñ. 72
R
E
O S
TF
Ðèñ. 71
M N
T
Q
P
2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû, âåðòèêàëüíûå óãëûНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
72
A DB
CM
S
K TEE
Óïðàæíåíèÿ
22222.....5050505050.....° Íàéäèòå íà ðèñóíêå 73 è çàïèøèòå:
1) ðàçâåðíóòûå óãëû;
2) ñìåæíûå óãëû;
3) âåðòèêàëüíûå óãëû.
22222.....5151515151..... Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûé óãîë ABC è îòìåòüòå
åãî äóãîé. Íàçîâèòå âåðøèíó è ñòîðîíû óãëà. Îòìåòü-
òå òî÷êè:
1) F è D, ïðèíàäëåæàùèå óãëó ABC;
2) E è O, íå ïðèíàäëåæàùèå óãëó ABC.
22222.....5252525252.....° 1) Íà ðèñóíêå 74 íàéäèòå âñå
óãëû, ñìåæíûå ñ óãëîì:
à) BQD; á) AQF;
â) KQB; ã) DQK.
2) Ïî ðèñóíêó 74 íàçîâèòå ïàðû
âåðòèêàëüíûõ óãëîâ.
22222.....5353535353..... Íà÷åðòèòå äâå ïðÿìûå AF è BK, ïåðåñåêàþùèå-
ñÿ â òî÷êå N. Çàïèøèòå îáðàçîâàâøèåñÿ íà ðèñóíêå:
1) ðàçâåðíóòûå óãëû;
2) ïàðû ñìåæíûõ óãëîâ;
3) ïàðû âåðòèêàëüíûõ óãëîâ.
22222.....5454545454..... Íà÷åðòèòå òðè ëó÷à ñ îáùèì íà÷àëîì òàê, ÷òî-
áû ïîëó÷èëèñü ñìåæíûå óãëû:
1) íåðàâíûå; 2) ðàâíûå.
Ðèñ. 73
Ðèñ. 74
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
73
22222.....5555555555.....° Èçîáðàçèòå ðàçâåðíóòûé óãîë KOM è ïðîâåäèòå
÷åðåç òî÷êó Î ïðÿìóþ ÑD. Çàïèøèòå:
1) ïàðû ñìåæíûõ óãëîâ;
2) ïàðû âåðòèêàëüíûõ óãëîâ.
22222.....5656565656..... Èçîáðàçèòå äâà óãëà ñ îáùåé ñòîðîíîé, êîòîðûå:
1) ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè;
2) íå ÿâëÿþòñÿ ñìåæíûìè.
22222.....5757575757..... Ñòîðîíàìè êàêîãî óãëà ÿâëÿþòñÿ áîëüøàÿ è ìà-
ëåíüêàÿ ñòðåëêè íà ÷àñàõ, åñëè îíè ïîêàçûâàþò:
1) 18 ÷; 2) 15 ÷; 3) 21 ÷?
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.  ñóááîòó è âîñêðåñåíüå Ìàøå íàäî ïðî÷èòàòü
ðàññêàç, â êîòîðîì 49 ñòðàíèö. ×àñòü ðàññêàçà Ìà-
øà ïðî÷ëà â ñóááîòó, à â âîñêðåñåíüå — îñòàâøèåñÿ
28 ñòðàíèö. Ñêîëüêî ñòðàíèö ïðî÷ëà Ìàøà â ñóááîòó?
Ðåøåíèå. ×èñëî ñòðàíèö, ïðî÷èòàííûõ Ìàøåé â ñóááîòó,
îáîçíà÷èì áóêâîé k. Òîãäà óñëîâèå çàäà÷è ìîæíî çà-
ïèñàòü òàê:
k + 28 = 49.
 ýòîì ðàâåíñòâå íàäî íàéòè íåèçâåñòíîå ñëàãàå-
ìîå k. Îíî íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ âû÷èòàíèÿ:
k = 49 − 28.
×èñëî k íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ÷èñåë 49 è 28.
Âîçüìåì òåïåðü âìåñòî ÷èñåë 49 è 28 ïðîèçâîëü-
íûå ÷èñëà a è b.
Ðàçíîñòüþ ÷èñåë a è b íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî k,
ïðè ñëîæåíèè êîòîðîãî ñ b ïîëó÷àåòñÿ a:
k + b = a.
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
74
Ðàçíîñòü ÷èñåë a è b îáîçíà÷àåòñÿ òàê: a − b.
k = a − b.
Ðàçíîñòüþ ÷èñåë a è b íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå
a − b. ×èñëî à íàçûâàåòñÿ óìåíüøàåìûì, ÷èñëî b —
âû÷èòàåìûì.
Êîãäà èç ÷èñëà 49 âû÷èòàþò ÷èñëî 28, ãîâîðÿò, ÷òî
÷èñëî 49 óìåíüøàþò íà 28.
Ðàçíîñòü 49 − 28 = 21 ïîêàçûâàåò, ÷òî ÷èñëî 49 áîëü-
øå ÷èñëà 28 íà 21. Ñëåäîâàòåëüíî,
÷òîáû óñòàíîâèòü, íà ñêîëüêî îäíî ÷èñëî áîëü-
øå äðóãîãî, íàäî èç áîëüøåãî ÷èñëà âû÷åñòü
ìåíüøåå.
Óáåäèòüñÿ, ÷òî âû÷èòàíèå âûïîëíåíî ïðà-
âèëüíî, ìîæíî òàê: ñëîæèòü ðàçíîñòü è âû-
÷èòàåìîå — â ðåçóëüòàòå äîëæíî ïîëó÷èòü-
ñÿ óìåíüøàåìîå.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ÷èñëà à èìååì:
à − 0 = à , òàê êàê à + 0 = à;
à − à = 0 , òàê êàê 0 + à = à.
Îáðàòèòå âíèìàíèå: ìû çíàåì íàòóðàëüíûå ÷èñëà
è íóëü. À ñ ïîìîùüþ ýòèõ ÷èñåë âû÷èñëèòü ðàç-
íîñòü à − b ìîæíî òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëî à áîëü-
øå b èëè à ðàâíî b.
ðàçíîñòü
óìåíüøàåìîå âû÷èòàåìîå
a − b k=
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
75
Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü äâóõ ïðèìåðîâ
è îáúÿñíèòå, êàê ÷èñëà âû÷èòàþòñÿ ñòîëáèêîì.
 ÕV â. âïåðâûå ïîÿâèëñÿ çíàê ñëîæåíèÿ «Ð~» (îò ëàòèíñêîãî ñëîâàplus) è çíàê âû÷èòàíèÿ «m~» (îò ëàòèíñêîãî ñëîâà minus).  êîíöåÕV â. íåìåöêèå ìàòåìàòèêè ñòàëè èñïîëüçîâàòü ñîâðåìåííûåçíàêè «+» è «−».
Âîïðîñû
1. Êàê íàçûâàþòñÿ ÷èñëà 42, 23, 19 â ðàâåíñòâå 42 − 23 = 19?
2. ×òî íàçûâàåòñÿ ðàçíîñòüþ ÷èñåë à è b?
3. Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå à − b?
4. Ïî êàêîìó ïðàâèëó èç ÷èñëà à âû÷èòàåòñÿ: à) íóëü;
á) ÷èñëî à?
5. Êîãäà ìîæíî âû÷èñëèòü ðàçíîñòü à − b?
6. Êàê óñòàíîâèòü, íà ñêîëüêî îäíî ÷èñëî áîëüøå äðóãîãî?
7. Êàê ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî âû÷èòàíèå âûïîëíåíî ïðà-
âèëüíî?
Óïðàæíåíèÿ
22222.....5858585858.....° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå:
1) 28 903 − 7661; 2) 1 429 506 − 917 830;
3) 269 001 − 50 003; 4) 3 030 303 − 100 100.
22222.....5959595959.....° Íàéäèòå ðàçíîñòü:
1) 178 − 107; 2) 600 − 200;
3) 9632 − 632; 4) 7814 − 7014.
− −37854
5423
32431
37854
5963
31891
à) á)
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
76
22222.....6060606060..... Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå:
1) 4391 − (32 + 190); 2) 40 404 + (761 − 39);
3) (89 − 15) + 501; 4) (9410 + 472) − 76.
22222.....6161616161.....° Çàïèøèòå ðàçíîñòü ÷èñåë è íàéäèòå åå:
1) 750 è 729; 2) 1256 è 128;
3) 40 000 è 3; 4) 790 861 è 1861.
22222.....6262626262.....° Âû÷èñëèòå:
1) 10 000 − 6996; 2) 26 560 − 5794;
3) 35 000 − 19 673; 4) 79 607 − 9999.
22222.....6363636363.....° Íàéäèòå ðàçíîñòü ÷èñåë:
1) 70 504 è 34 086;
2) 60 250 è 37 839;
3) 8 000 000 è 6 888 888;
4) 5 021 060 è 3 049 879.
22222.....6464646464..... 1) Óìåíüøàåìîå ðàâíî 120, à âû÷èòàåìîå íà 60
ìåíüøå. ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü?
2) Óìåíüøàåìîå ðàâíî 150, ðàçíîñòü 124. Íàéäèòå
âû÷èòàåìîå.
22222.....6565656565..... Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå è íà ñêîëüêî:
1) 1720 èëè 1801; 2) 39 200 èëè 39 019?
22222.....6666666666..... Êàêîå èç ÷èñåë ìåíüøå è íà ñêîëüêî:
1) 147 èëè 174; 2) 11 871 èëè 11 859?
22222.....6767676767..... Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî
2063 + 5971 = 8034,
âû÷èñëèòå:
1) 8034 − 2063; 2) 8035 − 5971;
3) 8034 − 2063; 4) 8034 − 5971.
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
77
22222.....6868686868..... Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 100 â âèäå ðàçíîñòè äâóõ ÷èñåë:
1) òðåõçíà÷íîãî è äâóçíà÷íîãî;
2) ÷åòûðåõçíà÷íîãî è òðåõçíà÷íîãî;
3) øåñòèçíà÷íûõ;
4) äåâÿòèçíà÷íûõ.
22222.....6969696969..... Âûïîëíèòå ñëîæåíèå ÷èñåë è ïðîâåðüòå ðåçóëü-
òàò âû÷èòàíèåì:
1) 1692 + 5024; 2) 40 297 + 13 711;
3) 144 691 + 56 419; 4) 325 432 + 524 568.
22222.....7070707070..... Íàéäèòå ðàçíîñòü ÷èñåë è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò
ñëîæåíèåì:
1) 1406 − 711; 2) 13 915 − 9526;
3) 385 796 − 196 886; 4) 52 555 − 51 767.
22222.....7171717171..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 6 ò − 372 êã;
2) 23 ö 5 êã − 12 ö 9 êã;
3) 687 ì − 9 ì 64 ñì;
4) 18 äì 3 ñì − 99 ñì;
5) 6 ÷ 12 ìèí − 72 ìèí;
6) 42 ìèí 2 ñ − 27 ìèí 5 ñ.
22222.....7272727272..... Íàéäèòå ðàçíîñòü íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî:
1) äâóçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
2) ÷åòûðåõçíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.
22222.....7373737373..... Íàéäèòå ðàçíîñòü äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë:
1) íàèìåíüøåãî øåñòèçíà÷íîãî è íàèáîëüøåãî ïÿòè-
çíà÷íîãî;
2) íàèáîëüøåãî øåñòèçíà÷íîãî è íàèáîëüøåãî òðåõ-
çíà÷íîãî.
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
78
22222.....7474747474..... 1) Ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ íóëåì. Êà-
êèìè öèôðàìè îêàí÷èâàþòñÿ óìåíüøàåìîå è âû÷è-
òàåìîå? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.
2) Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü ÷èñåë, åñëè óìåíüøàå-
ìîå è âû÷èòàåìîå óâåëè÷èòü íà îäíî è òî æå ÷èñëî?
Ïðèâåäèòå ïðèìåð.
22222.....7575757575..... 1) Ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë ðàâíà íóëþ. ×òî ìîæíî
ñêàçàòü îá ýòèõ ÷èñëàõ? Ïðèâåäèòå ïðèìåð.
2) Äâà ÷èñëà è èõ ðàçíîñòü îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé
öèôðîé. Êàêàÿ ýòî öèôðà?
22222.....7676767676..... Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü, åñëè:
1) óìåíüøàåìîå óâåëè÷èòü íà 10;
2) âû÷èòàåìîå óìåíüøèòü íà 5;
3) óìåíüøàåìîå óâåëè÷èòü íà 20, à âû÷èòàåìîå
óìåíüøèòü íà 3?
22222.....7777777777.....* Êàê èçìåíèòñÿ ðàçíîñòü, åñëè óìåíüøàåìîå:
1) óìåíüøèòü íà ðàçíîñòü;
2) óâåëè÷èòü íà âû÷èòàåìîå?
22222.....7878787878.....° Ïëîùàäü âîäíîé ïîâåðõíîñòè Çåìëè ñîñòàâëÿåò
361 ìëí êì2, à ïëîùàäü ìàòåðèêîâ è îñòðîâîâ ðàâíà
149 ìëí êì2. Íà ñêîëüêî êâàäðàòíûõ êèëîìåòðîâ
âîäíàÿ ïîâåðõíîñòü Çåìëè áîëüøå ïîâåðõíîñòè ñóøè?
22222.....7979797979..... Âðàùàÿñü âîêðóã Çåìëè, Ëóíà ïðèáëèæàåòñÿ ê
Çåìëå íà ðàññòîÿíèå 356 400 êì — ïåðèãåé è óäàëÿ-
åòñÿ îò Çåìëè íà ðàññòîÿíèå 406 700 êì — àïîãåé
(ðèñ. 75). ×åìó ðàâíà ðàçíîñòü ìåæäó àïîãååì è
ïåðèãååì?
22222.....8080808080.....° Äëèíà ýêâàòîðà Çåìëè 40 075 704 ì, à äëèíà
çåìíîãî ìåðèäèàíà íà 67 156 ì ìåíüøå (ðèñ. 76).
×åìó ðàâíà äëèíà çåìíîãî ìåðèäèàíà?
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
79
22222.....8181818181..... Ïîåçä îïàçäûâàåò íà 1 ÷ 45 ìèí. Êàêèì áóäåò
îïîçäàíèå, åñëè çà ñ÷åò óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè îòñòàâà-
íèå óäàëîñü ñîêðàòèòü íà:
1) 20 ìèí; 2) 50 ìèí; 3) 1 ÷ 30 ìèí?
22222.....8282828282..... 1) Àâòîìîáèëü çà òðè äíÿ ïðîåõàë 1475 êì. Çà
ïåðâûå äâà äíÿ îí ïðîåõàë 964 êì. Ñêîëüêî êèëî-
ìåòðîâ àâòîìîáèëü ïðîåõàë çà êàæäûé èç ýòèõ äíåé,
åñëè âî âòîðîé äåíü îí ïðîåõàë íà 245 êì áîëüøå,
÷åì çà òðåòèé äåíü?
2) Â òðåõ êîðîáêàõ áûëî 2 êã 423 ã êîíôåò. Â ïåð-
âîé è âòîðîé êîðîáêàõ — 1 êã 489 ã êîíôåò, âî âòîðîé
è òðåòüåé — 1 êã 589 ã. Ñêîëüêî êîíôåò áûëî â êàæ-
äîé êîðîáêå?
22222.....8383838383..... Â ÿùèêå 925 ì ïðîâîëîêè — ñèíåãî, çåëåíîãî, êðàñ-
íîãî è æåëòîãî öâåòà. Ñèíåãî, çåëåíîãî è êðàñíîãî
öâåòà âìåñòå — 728 ì, çåëåíîãî, êðàñíîãî è æåëòîãî
öâåòà — 799 ì, ñèíåãî, êðàñíîãî è æåëòîãî öâåòà —
682 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîâîëîêè êàæäîãî öâåòà â
îòäåëüíîñòè?
22222.....8484848484.....* Êàêàÿ öèôðà ñòîèò â ÷èñëå
345 673 456 734 567...
íà 100-ì ìåñòå? íà 2015-ì ìåñòå?
Ðèñ. 75 Ðèñ. 76
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
мер
ид
иан
мер
ид
ианЗемля
апогей
перигей
Луна
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
80
2.7. Ëîìàíàÿ
Âîçüìåì íà ïëîñêîñòè òî÷êè À è F, ñîåäèíèì èõ
ëèíèåé, ñîñòîÿùåé èç îòðåçêîâ (ðèñ. 77), êîíåö êàæ-
äîãî èç êîòîðûõ, êðîìå ïîñëåäíåãî, ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì
ñëåäóþùåãî, ïðè ýòîì ñîñåäíèå îòðåçêè íå ëåæàò íà
îäíîé ïðÿìîé. Òàêàÿ ëèíèÿ íàçûâàåòñÿ ëîìàíîé, îò-
ðåçêè, ñîñòàâëÿþùèå åå, çâåíüÿìè ëîìàíîé, à èõ êîí-
öû — âåðøèíàìè ëîìàíîé. Ëîìàíóþ íà ðèñóíêå 77
íàçûâàþò «ëîìàíàÿ ABCDEF».
Ëîìàíàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 77, íàçûâàåò-
ñÿ íåçàìêíóòîé. À ëîìàíàÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóí-
êå 78, íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé. Çàìêíóòóþ ëîìàíóþ
ìîæíî íàçûâàòü, íà÷èíàÿ ñ ëþáîé âåðøèíû. Íàïðè-
ìåð, ëîìàíóþ íà ðèñóíêå 78 íàçûâàþò KLMNPQ èëè
PQKLMN.
Äëèíîé ëîìàíîé íàçûâàåòñÿ ñóììà äëèí åå
çâåíüåâ.
Âîïðîñû
1. ×òî òàêîå: à) çâåíüÿ ëîìàíîé; á) âåðøèíû ëîìàíîé?
Íàçîâèòå çâåíüÿ è âåðøèíû ëîìàíûõ, èçîáðàæåííûõ
íà ðèñóíêàõ 77, 78.
2. ×òî íàçûâàåòñÿ äëèíîé ëîìàíîé?
AB
CD
EF
K
LM
N
P
Q
Ðèñ. 77 Ðèñ. 78
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
81
Óïðàæíåíèÿ
22222.....8585858585.....° Íàçîâèòå ïî ðèñóíêó 79:
1) çàìêíóòóþ ëîìàíóþ;
2) íåçàìêíóòóþ ëîìàíóþ.
22222.....8686868686..... Ìåæäó ïàíñèîíàòàìè «Âåòåðîê» è «×àéêà» ïðî-
ëîæåíû òðè ìàðøðóòà (ðèñ. 80). Êàêîé ìàðøðóò
ñàìûé êîðîòêèé?
22222.....8787878787.....° Íà÷åðòèòå ëîìàíóþ, ñîñòîÿùóþ èç òðåõ çâåíüåâ.
Íàéäèòå äëèíó êàæäîãî çâåíà ëîìàíîé. Ïîñòðîéòå
îòðåçîê, äëèíà êîòîðîãî ðàâíà äëèíå ëîìàíîé.
22222.....8888888888..... Îäíî çâåíî ëîìàíîé èìååò äëèíó 1 äì 3 ñì,
äðóãîå — íà 8 ñì áîëüøå, à òðåòüå — íà 1 äì 4 ñì
áîëüøå âòîðîãî. Íàéäèòå äëèíó ëîìàíîé.
22222.....8989898989..... Äëèíà çàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç òðåõ
çâåíüåâ, ðàâíà 23 ñì. Äâà çâåíà ëîìàíîé ðàâíû ìåæ-
äó ñîáîé, à òðåòüå íà 5 ñì áîëüøå êàæäîãî èç íèõ.
Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ.
N
MB
A
C
D
E
BM
K
L
P
T
Q
Z Y
X
Sа) б) в) г)
Ðèñ. 79
Ðèñ. 80
2.7. Ëîìàíàÿ
Пансионат«Ветерок»
Пансионат«Чайка»
I маршрут
II маршрут
III маршрут
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
82
22222.....9090909090..... Äëèíà íåçàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç ÷åòû-
ðåõ çâåíüåâ, ðàâíà 22 ñì, à êàæäîå åå çâåíî íà 1 ñì
áîëüøå ïðåäûäóùåãî. Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ.
22222.....9191919191..... Èçâåñòíû äëèíû îòðåçêîâ ÀÂ = 5 ñì, ÀÑ = 8 ñì,
ÂÑ = 7 ñì, AD = 10 ñì, DB = 12 ñì. Íàéäèòå äëèíó
íåçàìêíóòîé ëîìàíîé:
1) ÀÂÑ; 2) ADB; 3) DACB; 4) DABC.
22222.....9292929292.....* Èçîáðàçèòå òàêóþ ëîìàíóþ, ó êîòîðîé äëèíà
êàæäîãî çâåíà âûðàæåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàí-
òèìåòðîâ, à äëèíà ëîìàíîé ðàâíà:
1) 2 ñì; 2) 3 ñì; 3) 4 ñì;
4) 5 ñì; 5) 6 ñì; 6) 7 ñì.
22222.....9393939393..... Èçîáðàçèòå íåçàìêíóòóþ ëîìàíóþ òàê, ÷òîáû ðàñ-
ñòîÿíèå ìåæäó åå êðàéíèìè âåðøèíàìè áûëî ðàâíî:
1) 2 ñì; 2) 8 ñì; 3) 4 ñì; 4) 5 ñì.
2.8. Ìíîãîóãîëüíèê
Çàìêíóòàÿ ëîìàíàÿ ABC, ñîñòîÿùàÿ èç òðåõ çâåíü-
åâ, ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà äâå ÷àñòè: âíóòðåííþþ è
âíåøíþþ (ðèñ. 81). ×àñòü ïëîñêîñòè, íàõîäÿùàÿñÿ
âíóòðè ëîìàíîé, âìåñòå ñ ýòîé ëîìàíîé îáðàçóþò
òðåóãîëüíèê.
Òî÷êè À,  è Ñ íàçûâàþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëü-
íèêà, îòðåçêè ÀÂ, ÂÑ è ÀÑ íàçûâàþòñÿ ñòîðîíàìè
òðåóãîëüíèêà, à ∠ À, ∠ Â è ∠ Ñ — óãëàìè òðåóãîëü-
íèêà.
Íà ðèñóíêå 82 èçîáðàæåíà ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ
çàìêíóòîé ëîìàíîé, ñîñòîÿùåé èç ÷åòûðåõ çâåíüåâ, —
òàêàÿ ôèãóðà íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèêîì.
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
83
Òðåóãîëüíèê è ÷åòûðåõóãîëüíèê — ýòî âèäû ìíî-
ãîóãîëüíèêîâ. Íà ðèñóíêå 83 èçîáðàæåíî åùå íå-
ñêîëüêî ìíîãîóãîëüíèêîâ: ïÿòèóãîëüíèê, øåñòèóãîëü-
íèê è ñåìèóãîëüíèê.
Ðàññìàòðèâàÿ ýòè ìíîãîóãîëüíèêè, äåëàåì âûâîä:
÷èñëî óãëîâ ìíîãîóãîëüíèêà ðàâíî ÷èñëó åãî âåð-
øèí è ðàâíî ÷èñëó åãî ñòîðîí.
Òðåóãîëüíèê, èçîáðàæåííûé íà ðèñóíêå 81, íàçû-
âàþò òàê: òðåóãîëüíèê ÀÂÑ, èëè ÀCB, èëè BAC, èëè
CBA è ò. ä. ×åòûðåõóãîëüíèê, èçîáðàæåííûé íà ðè-
ñóíêå 82, ìîæíî íàçâàòü òàê: ÷åòûðåõóãîëüíèê KLMN,
èëè ÷åòûðåõóãîëüíèê MNKL, èëè NMLK è ò. ä.
Ñóììó äëèí âñåõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà íà-
çûâàþò åãî ïåðèìåòðîì. Ïåðèìåòð ìíîãî-
óãîëüíèêà îáîçíà÷àåòñÿ ëàòèíñêîé áóêâîé Ð.
Çàìåòèì, ÷òî ÷àñòî âìåñòî ñëîâ «äëèíà ñòîðîíû»
ãîâîðÿò ïðîñòî «ñòîðîíà».
Ðèñ. 81 Ðèñ. 82
Ðèñ. 83
2.8. Ìíîãîóãîëüíèê
K
N
L
M
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
84
A
B C
D
E
N
E F
H
K
M
а) б)
Âîïðîñû
1. Íàçîâèòå ìíîãîóãîëüíèê, èçîáðàæåí-
íûé íà ðèñóíêå 84, åãî âåðøèíû, ñòî-
ðîíû, óãëû. Ñêîëüêî èõ? À ñêîëüêî èõ
ó ìíîãîóãîëüíèêà íà ðèñóíêå 82?
2. ×òî íàçûâàåòñÿ ïåðèìåòðîì ìíîãî-
óãîëüíèêà?
Óïðàæíåíèÿ
22222.....9494949494.....° Íàçîâèòå ìíîãîóãîëüíèêè, èçîáðàæåííûå íà ðè-
ñóíêå 85, èõ âåðøèíû, ñòîðîíû è óãëû (ðèñ. 85).
22222.....9595959595.....° Îïðåäåëèòå âèä ìíîãîóãîëüíèêà ïî åãî îáîçíà÷å-
íèþ, íàçîâèòå åãî âåðøèíû, ñòîðîíû è óãëû:
1) ABC; 2) ABCD; 3) ACBD; 4) ABCEP.
22222.....9696969696..... Èçìåðüòå äëèíû ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà è íàéäè-
òå åãî ïåðèìåòð (ðèñ. 86).
Ðèñ. 86
Ðèñ. 84
Ðèñ. 85
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
P
Q
R
S
T
P
S
T B
A FK
MN
E
DLV
C
H
JO
K
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
85
AB
C D
O FR S
KM
E
P
а) б)
а)а) б)б) в)в)
PP
NNMMLL
KK
TTSS RR
AA
BB
CC
DD
NN
MM
PP
22222.....9797979797.....° Èçîáðàçèòå ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD. Ñîåäèíèòå
îòðåçêàìè òî÷êè A è C, B è D. Íàçîâèòå ïîëó÷èâøèå-
ñÿ íà ÷åðòåæå òðåóãîëüíèêè.
22222.....9898989898..... Èçîáðàçèòå ïÿòèóãîëüíèê EHFKM. Ñîåäèíèòå
âåðøèíó F ñ íåñîñåäíèìè âåðøèíàìè ïÿòèóãîëüíèêà.
Êàêèå ìíîãîóãîëüíèêè îáðàçîâàëèñü íà ðèñóíêå?
22222.....9999999999.....* Îòìåòüòå òî÷êè A, B, C, D. Óñòàíîâèòå, ñêîëüêî
òðåóãîëüíèêîâ ìîæíî ïîñòðîèòü ñ âåðøèíàìè â òðåõ
èç óêàçàííûõ òî÷åê.
22222.....100100100100100..... Çàïèøèòå âñå òðåóãîëüíèêè, èçîáðàæåííûå íà ðè-
ñóíêå 87.
22222.....101101101101101..... Íàçîâèòå ðàâíûå ñòîðîíû è ðàâíûå óãëû êàæ-
äîãî ìíîãîóãîëüíèêà, èçîáðàæåííîãî íà ðèñóíêå 88.
Ðèñ. 87
Ðèñ. 88
2.8. ÌíîãîóãîëüíèêНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
86
22222.....102102102102102..... Íà÷åðòèòå òðåóãîëüíèê. Èçîáðàçèòå îòðåçîê,
äëèíà êîòîðîãî ðàâíà ïåðèìåòðó ýòîãî òðåóãîëüíèêà.
22222.....103103103103103..... Â ïÿòèóãîëüíèêå ABCDE ìåíüøàÿ ñòîðîíà AB
ðàâíà 3 ì, à êàæäàÿ ñëåäóþùàÿ íà 2 ì áîëüøå ïðå-
äûäóùåé. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïÿòèóãîëüíèêà.
2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë
ïî èõ ñóììå è ðàçíîñòè
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð.....  äâóõ êîðçèíàõ 70 ÿáëîê.  ïåðâîé êîðçèíå
íà 14 ÿáëîê áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé. Ñêîëüêî ÿáëîê
â êàæäîé êîðçèíå?
Ðåøåíèå. Ñäåëàåì ñõåìàòè÷åñêèé ðèñóíîê óñëîâèÿ
(ðèñ. 89).
Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè èç ïåðâîé êîð-
çèíû âûíóòü 14 ÿáëîê, òî â íåé ñòàíåò ñòîëüêî æå
ÿáëîê, ñêîëüêî âî âòîðîé. À â äâóõ êîðçèíàõ ñòàíåò
íà 14 ÿáëîê ìåíüøå, ò. å. 70 − 14 = 56 (ÿáëîê). Òàê
êàê â ïåðâîé è âî âòîðîé êîðçèíàõ ÿáëîê ñòàëî ïî-
ðîâíó, òî â êàæäîé èç íèõ 56 : 2 = 28 (ÿáëîê). Ýòî
ñòîëüêî, ñêîëüêî ïåðâîíà÷àëüíî áûëî âî âòîðîé êîðçè-
íå. À â ïåðâîé êîðçèíå áûëî íà 14 ÿáëîê áîëüøå, ò. å.
28 + 14 = 42 (ÿáëîêà).
Îòâåò: 42; 28.
70 ÿáëîê
14 ÿáëîê ïåðâîé êîðçèíå
Âî âòîðîé êîðçèíå
Ðèñ. 89
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
87
Ýòó çàäà÷ó ìîæíî ðåøèòü ïî-äðóãîìó:
1) 70 + 14 = 84 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî áû â îáåèõ
êîðçèíàõ âìåñòå, åñëè áû âî âòîðîé êîðçèíå áûëî
ñòîëüêî æå ÿáëîê, ñêîëüêî â ïåðâîé;
2) 84 : 2 = 42 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî â ïåðâîé
êîðçèíå;
3) 42 − 14 = 28 — ñòîëüêî ÿáëîê áûëî âî âòîðîé
êîðçèíå.
Îòâåò: 42; 28.
Óïðàæíåíèÿ
22222.....104104104104104..... Â äâóõ êîðçèíàõ 80 áîðîâèêîâ. Â ïåðâîé êîð-
çèíå íà 10 áîðîâèêîâ ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé. Ñêîëüêî
áîðîâèêîâ â êàæäîé êîðçèíå?
22222.....105105105105105..... Íà îâîùíóþ áàçó ïðèâåçëè 150 êîíòåéíåðîâ
ñ îãóðöàìè è ïîìèäîðàìè. Êîíòåéíåðîâ ñ îãóðöàìè
áûëî íà 30 áîëüøå, ÷åì êîíòåéíåðîâ ñ ïîìèäîðàìè.
Ñêîëüêî êîíòåéíåðîâ ñ ïîìèäîðàìè è ñêîëüêî êîíòåé-
íåðîâ ñ îãóðöàìè ïðèâåçëè íà áàçó?
22222.....106106106106106..... Ìîäåëü òåëåáàøíè âûñîòîé 4 ì 70 ñì ñîñòîèò
èç äâóõ áëîêîâ. Êàêîâà âûñîòà âåðõíåãî è íèæíåãî
áëîêîâ, åñëè íèæíèé áëîê íà 130 ñì êîðî÷å âåðõ-
íåãî?
22222.....107107107107107..... Äîñêà áûëà ðàçðåçàíà íà äâå ÷àñòè. Îäíà ÷àñòü
íà 30 ñì êîðî÷å äðóãîé. Êàêîâà äëèíà êàæäîé ÷àñ-
òè, åñëè äëèíà äîñêè áûëà 2 ì 90 ñì?
22222.....108108108108108..... Â øâåéíîå àòåëüå ïîñòóïèëî 480 ì äæèíñîâîé
òêàíè è äðàïà. Äæèíñîâîé òêàíè ïîñòóïèëî íà 140 ì
2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ðàçíîñòèНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
88
áîëüøå, ÷åì äðàïà. Ñêîëüêî ìåòðîâ äæèíñîâîé òêàíè
ïîñòóïèëî â àòåëüå?
22222.....109109109109109..... Ñ òðåõ ÿáëîíü ñîáðàëè 30 êã ÿáëîê. Ñ ïåðâîé
ÿáëîíè ñîáðàëè íà 4 êã ìåíüøå, ÷åì ñî âòîðîé, à ñ
òðåòüåé ÿáëîíè íà 4 êã áîëüøå, ÷åì ñî âòîðîé. Ñêîëü-
êî êèëîãðàììîâ ÿáëîê ñîáðàëè ñ êàæäîé ÿáëîíè?
22222.....111111010101010..... Çà òðè äíÿ âûñòàâêó ïîñåòèëè 1500 ó÷àùèõñÿ.
Âî âòîðîé äåíü âûñòàâêó ïîñåòèëè íà 120 ó÷àùèõ-
ñÿ ìåíüøå, ÷åì â ïåðâûé äåíü, â òðåòèé äåíü — íà
120 ó÷àùèõñÿ ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü. Ñêîëüêî
ó÷àùèõñÿ ïîñåòèëè âûñòàâêó â êàæäûé èç òðåõ äíåé?
22222.....111111111111111..... Â òðåõ ïàêåòàõ 1 êã 800 ã êîíôåò. Â ïåðâîì
ïàêåòå íà 250 ã ìåíüøå, ÷åì âî âòîðîì, à â òðåòüåì
íà 250 ã ìåíüøå, ÷åì â ïåðâîì. Êàêîâà ìàññà êàæ-
äîãî ïàêåòà?
22222.....111111212121212.....* Åñëè ñëîæèòü óìåíüøàåìîå, âû÷èòàåìîå è ðàç-
íîñòü, òî ïîëó÷èòñÿ 120. Íàéäèòå êàæäîå èç íèõ, åñëè
ðàçíîñòü ìåíüøå óìåíüøàåìîãî íà 24.
2.10. Óðàâíåíèå
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåð 1èìåð 1èìåð 1èìåð 1èìåð 1..... Ìàìà êóïèëà Ïåòå 8 òåòðàäåé, è òåïåðü ó
íåãî 21 òåòðàäü. Ñêîëüêî òåòðàäåé áûëî ó Ïåòè äî
ìàìèíîé ïîêóïêè?
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì íåèçâåñòíîå ÷èñëî òåòðàäåé áóê-
âîé x, ò. å. äî ïðèõîäà ìàìû ó Ïåòè áûëî x òåòðàäåé,
à ïîñëå åå ïðèõîäà ñòàëî (x + 8) òåòðàäåé. Ïî óñëî-
âèþ çàäà÷è x + 8 = 21. Òàêîå ðàâåíñòâî íàçûâàåòñÿ
óðàâíåíèåì ñ îäíèì íåèçâåñòíûì x.
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
89
Ðàâåíñòâî, ñîäåðæàùåå îäíî íåèçâåñòíîå, íà-
çûâàåòñÿ óðàâíåíèåì ñ îäíèì íåèçâåñòíûì.
 ðàâåíñòâå x + 8 = 21 áóêâà x îáîçíà÷àåò íåèç-
âåñòíîå ñëàãàåìîå. Ìû çíàåì, ÷òî íåèçâåñòíîå ñëàãàå-
ìîå íàõîäÿò âû÷èòàíèåì:
x = 21 − 8,
x = 13.
Çíà÷èò, ó Ïåòè áûëî 13 òåòðàäåé.
(Åñëè â ðàâåíñòâå x + 8 = 21 âìåñòî áóêâû x ïîä-
ñòàâèòü ÷èñëî 13, òî ïîëó÷èòñÿ âåðíîå ÷èñëîâîå ðà-
âåíñòâî 13 + 8 = 21.)
Îòâåò: 13 òåòðàäåé.
Çíà÷åíèå íåèçâåñòíîãî, ïðè êîòîðîì óðàâíå-
íèå îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî,
íàçûâàåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ.
Ðåøèòü óðàâíåíèå — ýòî çíà÷èò íàéòè âñå
åãî êîðíè.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Ðåøèòü óðàâíåíèå 11 − õ = 9.
Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå âû÷èòàåìîå, íàäî
èç óìåíüøàåìîãî âû÷åñòü ðàçíîñòü:
õ = 11 − 9,
õ = 2.
Îòâåò: 2.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 33333..... Ðåøèòü óðàâíåíèå (x − 10) + 3 = 15.
Ðåøåíèå. ×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå ñëàãàåìîå, íàäî èç
ñóììû âû÷åñòü èçâåñòíîå ñëàãàåìîå:
x − 10 = 15 − 3,
x − 10 = 12.
2.10. ÓðàâíåíèåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
90
×òîáû íàéòè íåèçâåñòíîå óìåíüøàåìîå, íàäî ê ðàç-
íîñòè ïðèáàâèòü âû÷èòàåìîå:
x = 12 + 10,
îòêóäà x = 22.
Îòâåò: 22.
Âîïðîñû
1. ×òî íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì?
2. ×òî íàçûâàåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ?
3. ×òî çíà÷èò: ðåøèòü óðàâíåíèå?
4. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå: à) ñëàãàåìîå; á) óìåíüøàåìîå;
â) âû÷èòàåìîå?
Óïðàæíåíèÿ
22222.....111111313131313.....° Ñðåäè ÷èñåë 0, 6, 9, 13, 35, 37, 38, 49, 72 íàéäèòå
êîðåíü óðàâíåíèÿ:
1) õ + 14 = 23; 2) 78 + õ = 78;
3) õ − 16 = 22; 4) y − 49 = 0;
5) 24 − y = 11; 6) 72 − y = 72.
22222.....111111414141414.....° Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) õ + 1042 = 1042; 2) 51 724 − õ = 0;
3) õ − 173 812 = 0; 4) 934 507 − õ = 934 507;
5) õ − 0 = 25 306; 6) 0 + õ = 79 442.
22222.....111111515151515..... Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå, êîðåíü êîòîðîãî ðàâåí:
1) 3; 2) 0; 3) 12;
4) 21; 5) 16; 6) 100.
22222.....111111616161616..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) õ + 518 = 518 + 979;
2) 3452 + 729 = 3452 + õ;
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
91
3) õ + (7048 + 961) = (504 + 7048) + 961;
4) 14 007 + (õ + 53) = (14 007 + 299) + 53.
22222.....111111717171717..... Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî
27 093 + 52 907 = 80 000,
ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) õ + 52 907 = 80 000;
2) 27 093 + õ = 80 000;
3) õ − 27 093 = 52 907;
4) 80 000 − õ = 27 093.
22222.....111111818181818..... Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî
135 418 − 99 322 = 36 096,
ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) 135 418 − õ = 36 096;
2) 135 418 − õ = 99 322;
3) õ + 36 096 = 135 418;
4) 99 322 + õ = 135 418.
22222.....111111919191919..... Íàéäèòå êîðåíü óðàâíåíèÿ:
1) õ + 8930 = 14 301; 2) 672 105 − y = 999;
3) k − 302 = 86 041; 4) m + 3821 = 6 080 281.
22222.....120120120120120..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) (õ − 49) + 71 = 145; 2) 94 + (õ − 76) = 211;
3) (õ + 179) − 178 = 1; 4) 134 − (õ + 100) = 0;
5) 276 − (227 − õ) = 51; 6) 358 − (843 − õ) = 5;
7) 437 − (õ − 83) = 20; 8) (õ + 463) − 440 = 27.
22222.....121121121121121..... Ñîñòàâüòå çàäà÷ó ïî óðàâíåíèþ èç óïðàæíåíèÿ
2.120 è ðåøèòå åå.
22222.....122122122122122..... Äèìà çàäóìàë ÷èñëî, ïðèáàâèë ê íåìó 48, çàòåì
âû÷åë 94 è ïîëó÷èë 21. Êàêîå ÷èñëî îí çàäóìàë?
2.10. ÓðàâíåíèåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
92
22222.....123123123123123..... Ñîñòàâüòå óðàâíåíèå ïî óñëîâèþ çàäà÷è è ðå-
øèòå åãî.
1) Èðå õ ëåò, à Òàíÿ íà 5 ëåò ñòàðøå è åé 12 ëåò.
Ñêîëüêî ëåò Èðå?
2) Ó Âåðû áûëî 42 íàêëåéêè, îíà âûèãðàëà õ íà-
êëååê, 15 íàêëååê îíà îòäàëà ñåñòðå, è ó íåå
îñòàëîñü ðîâíî 50 íàêëååê. Ñêîëüêî íàêëååê
âûèãðàëà Âåðà?
22222.....124124124124124..... Ðåøèòå ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ çàäà÷ó.
1) Â ìîòêå áûëî íåñêîëüêî ìåòðîâ øïàãàòà. Ïîñëå
òîãî êàê îò ìîòêà øïàãàòà îòðåçàëè 6 ì, â íåì
îñòàëñÿ 41 ì. Ñêîëüêî ìåòðîâ øïàãàòà áûëî â
ìîòêå?
2) Ðåéñîâûé àâòîáóñ áûë â ïóòè 2 ÷ 5 ìèí. Íà
åçäó îí çàòðàòèë 1 ÷ 27 ìèí. Ñêîëüêî âðåìåíè
çàíÿëè îñòàíîâêè?
22222.....125125125125125..... Ïîñëå òîãî êàê èç êîðçèíû ñ ãðèáàìè âçÿëè
10 ãðèáîâ, à çàòåì â íåå ïîëîæèëè 14 ãðèáîâ, â êîð-
çèíå ñòàëî 85 ãðèáîâ. Ñêîëüêî ãðèáîâ áûëî â êîðçèíå
ïåðâîíà÷àëüíî?
22222.....126126126126126.....* Àâòîìîáèëü åäåò ñî ñêîðîñòüþ 60км
.ч
Íà ñêîëü-
êî äîëæíà óâåëè÷èòüñÿ ñêîðîñòü, ÷òîáû àâòîìîáèëü
ñòàë ïðîåçæàòü 1 êì íà ïîëìèíóòû áûñòðåå?
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
22222.....127127127127127..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) (4024 − 3949) ⋅ (67 + 29) : 120;
2) 308 . 21 : 12 + 6021 − 2326;
3) (5049 + 1999) . 102 − 3248 : 16;
4) ((460 . 73 − 246) + 47 918) : 148.
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
93
22222.....128128128128128..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 258 + (134 + 144) + (742 + 856);
2) (183 + 347) + (514 + 653) + 817;
3) (3829 + 1008) + (7071 + 1002);
4) (4052 + 379) + (9621 + 7948).
22222.....129129129129129..... Îêðóãëèòå ÷èñëî 19 972:
1) äî äåñÿòêîâ; 2) äî ñîòåí;
3) äî òûñÿ÷; 4) äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷.
22222.....130130130130130..... Îêðóãëèòå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû äî òû-
ñÿ÷ è çàïèøèòå ðåçóëüòàò, èñïîëüçóÿ äðóãóþ åäèíèöó
èçìåðåíèÿ:
1) 15 823 ã; 2) 28 518 êã;
3) 803 êã; 4) 4378 ö.
22222.....131131131131131..... Îêðóãëèòå ÷èñëîâîå çíà÷åíèå âåëè÷èíû äî ñîòåí
è çàïèøèòå ðåçóëüòàò, èñïîëüçóÿ äðóãóþ åäèíèöó èç-
ìåðåíèÿ:
1) 445 êã; 2) 983 ñì;
3) 993 ì; 4) 960 êã.
22222.....132132132132132..... ×èñëî 1���5 îêðóãëèëè äî äåñÿòêîâ, äî ñîòåí
è äî òûñÿ÷ è ïîëó÷èëè îäèí è òîò æå ðåçóëüòàò —
11 000. Íàéäèòå ýòî ÷èñëî.
22222.....133133133133133..... Ïðè îêðóãëåíèè ÷èñëà 1���6 äî äåñÿòêîâ, äî
ñîòåí, äî òûñÿ÷ è äî äåñÿòêîâ òûñÿ÷ áûëî ïîëó÷åíî
îäíî è òî æå ÷èñëî — 20 000. Êàêîå ÷èñëî îêðóãëÿëè?
22222.....134134134134134..... 1) Ñóììà òðåõ ÷èñåë 749 013. Ïåðâîå ÷èñëî
185 640 íà 859 áîëüøå âòîðîãî. Íàéäèòå òðåòüå
÷èñëî.
2) Ïåðâîå ÷èñëî 7570, è îíî íà 38 ìåíüøå âòîðîãî
è íà 430 ìåíüøå òðåòüåãî. Íàéäèòå ñóììó òðåõ ÷èñåë.
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
22222.....135135135135135..... Áàáóøêà ñâàðèëà íà çèìó âàðåíüå. Êëóáíè÷íîãî
âàðåíüÿ îêàçàëîñü 9 áàíîê, ñëèâîâîãî — â 2 ðàçà áîëü-
øå. Âàðåíüÿ èç ÿáëîê â 3 ðàçà áîëüøå, ÷åì âàðåíüÿ
èç ñëèâ. Ñêîëüêî âñåãî áàíîê âàðåíüÿ èç êëóáíèêè,
ñëèâ è ÿáëîê çàãîòîâëåíî íà çèìó?
22222.....136136136136136..... Ó Ïåòè áûëî 5 îðåõîâ, ó Ñàøè — íà 12 îðåõîâ
áîëüøå, à ó Îëè â 2 ðàçà ìåíüøå îðåõîâ, ÷åì ó Ïåòè
è Ñàøè âìåñòå. Ñêîëüêî îðåõîâ áûëî ó äåòåé?
22222.....137137137137137..... Òóðèñò â ïåðâûé äåíü ïðîåõàë íà âåëîñèïåäå
68 êì, ÷òî íà 12 êì áîëüøå, ÷åì âî âòîðîé äåíü.
 òðåòèé äåíü îí ïðîåõàë íà 15 êì ìåíüøå, ÷åì âî
âòîðîé äåíü. Êàêîå ðàññòîÿíèå òóðèñò ïðîåõàë çà òðè
äíÿ?
2.138.2.138.2.138.2.138.2.138.* Íà êëóìáå âîçëå øêîëû ðîñëè ðàçíûå öâåòû.
Ãåîðãèí è õðèçàíòåì áûëî 12 êóñòîâ, õðèçàíòåì è
ïèîíîâ — 9 êóñòîâ, ïèîíîâ è ãåîðãèí áûëî 11 êóñ-
òîâ. Ñêîëüêî öâåòîâ êàæäîãî âèäà ðîñëî íà êëóìáå?
22222.....139139139139139.....* Ó Ïåòè è Ñàøè — 17 íàêëååê, ó Ñàøè è Ñëà-
âû — 18 íàêëååê, à ó Ïåòè è Ñëàâû — 25 íàêëååê.
Ñêîëüêî íàêëååê ó êàæäîãî ìàëü÷èêà?
22222.....140140140140140.....* Âû÷èñëèòå:
1) 20 + 40 + 60 + ... + 460 + 480 + 500;
2) 30 + 60 + 90 + ... + 540 + 570 + 600.
22222.....141141141141141.....* Óñòàíîâèòå çàêîíîìåðíîñòü è íàïèøèòå åùå
5 ÷èñåë, ñëåäóþùèõ çà óêàçàííûìè:
1) 2, 4, 8, 16, 32, ... ; 2) 2, 6, 10, 14, 18, ... ;
3) 1, 1, 2, 3, 5, ... ; 4) 1, 2, 2, 4, 8, ... .
à ë à â à 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
94
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
22222.....142142142142142.....* Äàíû ÷èñëà 5, 6, 7, 8, 9. Îíè èçìåíÿþòñÿ â
íåñêîëüêî ýòàïîâ. Íà êàæäîì ýòàïå ìîæíî ê ëþáûì
äâóì èç èìåþùèõñÿ ÷èñåë ïðèáàâëÿòü ïî 1. Ìîãóò
ëè íà êàêîì-òî ýòàïå âñå ïîëó÷èâøèåñÿ ïÿòü ÷èñåë
îêàçàòüñÿ ðàâíûìè?
22222.....143143143143143.....* Âñå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ìåíüøèå 11, çàïèñàíû
îäíî çà äðóãèì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëîñü ìíîãîçíà÷-
íîå ÷èñëî. Îïðåäåëèòå â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà êîëè-
÷åñòâî:
1) âñåõ öèôð; 2) äåâÿòîê;
3) åäèíèö; 4) øåñòåðîê.
22222.....144144144144144.....* Âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, ìåíüøèå 60, çàïèñàíû
îäíî çà äðóãèì.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èëîñü ìíîãîçíà÷-
íîå ÷èñëî. Îïðåäåëèòå â çàïèñè ýòîãî ÷èñëà êîëè-
÷åñòâî:
1) âñåõ öèôð; 2) íóëåé;
3) åäèíèö; 4) øåñòåðîê.
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
ÓÌÍÎÆÅÍÈÅ È ÄÅËÅÍÈÅ
ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÕ ×ÈÑÅË
3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ìû çíàåì, ÷òî óìíîæèòü, íàïðèìåð, ÷èñëà 23 è 9 —
îçíà÷àåò íàéòè ñóììó 9 ñëàãàåìûõ, êàæäîå èç êîòî-
ðûõ ðàâíî 23, ò. å.
23 . 9 = 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 + 23 = 207.
Òàêèì îáðàçîì,
23 . 9 = 207.
×èñëî 207 íàçûâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ÷èñåë 23
è 9. Òàê æå íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå 23 . 9, à ñàìè
÷èñëà 23 è 9 íàçûâàþòñÿ ìíîæèòåëÿìè.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåð.èìåð.èìåð.èìåð.èìåð.  îäíîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ñêîëüêî áàíàíîâ
â ïÿòè ñâÿçêàõ? ßñíî, 7 . 5. À â òðåõ? Êîíå÷íî, 7 . 3.
Ìîæíî è äëÿ îäíîé ñâÿçêè çàïèñàòü ÷èñëî áàíàíîâ
â òàêîì æå âèäå, êàê äëÿ ïÿòè è òðåõ ñâÿçîê, — ïî-
ëó÷èòñÿ 7 . 1. Íî â îäíîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ïîýòîìó
ïðèíÿòî, ÷òî 7 . 1 = 7.
À ñêîëüêî áóäåò áàíàíîâ, åñëè ÷èñëî ñâÿçîê ðàâíî
íóëþ (ò. å. íåò íè îäíîé ñâÿçêè)? ßñíî, 0 áàíàíîâ.
Åñëè æå çàïèñàòü îòâåò íà ýòîò âîïðîñ â òàêîì æå
âèäå, êàê äëÿ ïÿòè è òðåõ ñâÿçîê, òî ïîëó÷èì 7 . 0 áà-
íàíîâ. Ïîýòîìó ïðèíÿòî, ÷òî 7 . 0 = 0.
3ГЛАВА
96
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
Âîîáùå, ïðè ëþáîì ÷èñëå à ïðèíÿòî:
a . 1 ===== a a . 0 ===== 0
Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çàïèñü òðåõ ïðèìåðîâ
è îáúÿñíèòå, êàê ÷èñëà óìíîæàþòñÿ ñòîëáèêîì.
Âîïðîñû
1. Êàê â ðàâåíñòâå 7 . 4 = 28 íàçûâàþòñÿ: à) ÷èñëà 7 è 4;
á) ÷èñëî 28?
2. Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå 7 . 4?
3. Ïî êàêîìó ïðàâèëó ÷èñëî à óìíîæàþò: à) íà 1; á) íà 0?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....11111.....° Çàïèøèòå ñóììó â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ è âû÷èñëèòå:
1) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1;
2) 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0;
3) 12 + 12 + 12 + 12 + 12;
4) 101 + 101 + 101 + 101 + 101.
33333.....22222.....° Çàïèøèòå â âèäå ñóììû ïðîèçâåäåíèå:
1) 21 . 4; 2) 31 . 5;
3) 992 . 3; 4) 215 . 6.
33333.....33333.....° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå:
1) 212 . 1; 2) 105 . 0;
3) 400 . 70; 4) 90 . 50.
×
++
478
130
000
1434
478
62140
á) ×
++
478
103
1434
000
478
49234
â) 478
13
1434
478
6214
×
+
à)
3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
97
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
98
33333.....44444..... Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå áîëüøå ÷èñëà:
1) 201 â 2 ðàçà; 2) 76 â 10 ðàç;
3) 14 â 20 ðàç; 4) 1 â 999 ðàç.
33333.....55555..... Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) 258 . 7; 2) 4907 . 3;
3) 81 709 . 6; 4) 416 103 . 5.
33333.....66666..... Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) 1320 . 19; 2) 6704 . 14;
3) 609 372 . 65; 4) 26 840 . 78.
33333.....77777..... Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) 36 . 4739; 2) 803 . 503;
3) 591 . 1351; 4) 201 . 59 372.
33333.....88888..... Ñîñòàâüòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç ïÿòè íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë, â êîòîðîé ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî:
1) 5, à êàæäîå ñëåäóþùåå ïîëó÷àåòñÿ óìíîæåíèåì
ïðåäûäóùåãî íà 4;
2) 111, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 2 ðàçà áîëüøå ïðåäû-
äóùåãî.
33333.....99999..... Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 400 â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ:
1) îäíîçíà÷íîãî è äâóçíà÷íîãî ÷èñåë;
2) äâóõ äâóçíà÷íûõ íå ðàâíûõ ÷èñåë.
33333.....1010101010..... Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë:
1) íàèáîëüøåãî òðåõçíà÷íîãî è íàèìåíüøåãî ÷åòû-
ðåõçíà÷íîãî;
2) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íîãî è íàèìåíüøåãî
âîñüìèçíà÷íîãî.
33333.....1111111111..... Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë â 32 ðàçà áîëüøå ïåð-
âîãî ìíîæèòåëÿ. ×åìó ðàâåí âòîðîé ìíîæèòåëü?
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
99
33333.....1212121212..... Âî ñêîëüêî ðàç óâåëè÷èòñÿ ÷èñëî, åñëè ê íåìó
ñïðàâà ïðèïèñàòü:
1) îäèí íóëü; 2) äâà íóëÿ;
3) ïÿòü íóëåé; 4) äåâÿòü íóëåé?
33333.....1313131313..... Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà:
1) 18 è ñóììû ÷èñåë 38 è 6;
2) 21 è ðàçíîñòè ÷èñåë 28 è 11.
33333.....1414141414..... Ñåìüÿ ñêâîðöîâ çà 1 äåíü óíè÷òîæàåò äî 800 ëè-
÷èíîê âðåäèòåëåé. Êàêîå êîëè÷åñòâî ëè÷èíîê óíè÷òî-
æàåò åæåäíåâíî êîëîíèÿ èç 25 ñåìåé ñêâîðöîâ?
33333.....1515151515..... Çà êàêîå âðåìÿ Ëåíÿ ðåøèë 6 ïðèìåðîâ, åñëè
íà êàæäûé ïðèìåð åìó òðåáîâàëîñü 1 ìèí 15 ñ?
33333.....1616161616.....° Îòðåçîê ÀÂ ðàçáèò íà 26 îòðåçêîâ ïî 12 ñì â
êàæäîì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà ÀÂ.
33333.....1717171717..... 1) Äëÿ èçãîòîâëåíèÿ îäíîé äåòàëè íóæíî 28 ìèí.
Êàêîå âðåìÿ ïîòðåáóåòñÿ äëÿ èçãîòîâëåíèÿ 22 òàêèõ
äåòàëåé?
2) Íà îêðàñêó 4 áëþäåö òðåáóåòñÿ 3 ìèí. Êàêîå
âðåìÿ ïîòðåáóåòñÿ íà îêðàñêó 32 òàêèõ æå áëþäåö?
33333.....1818181818..... Â äâóõ ÿùèêàõ ëåæàò àïåëüñèíû. Â ïåðâîì ÿùè-
êå â 2 ðàçà áîëüøå àïåëüñèíîâ, ÷åì âî âòîðîì. Ñêîëü-
êî àïåëüñèíîâ â îáîèõ ÿùèêàõ, åñëè âî âòîðîì 8 êã?
33333.....1919191919..... Â ïåðâîé êîðîáêå ôëîìàñòåðîâ â 3 ðàçà ìåíüøå,
÷åì âî âòîðîé, è â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â òðåòüåé.
Ñêîëüêî ôëîìàñòåðîâ â òðåõ êîðîáêàõ, åñëè â òðåòüåé
èõ 12 øòóê?
33333.....2020202020.....* Èñïîëüçóÿ òðè ðàçëè÷íûå öèôðû, íå ðàâíûå íó-
ëþ, ñîñòàâüòå èç íèõ âñå âîçìîæíûå òðåõçíà÷íûå ÷èñ-
ëà è íàéäèòå èõ ñóììó. Ïðè äåëåíèè ýòîé ñóììû íà
ñóììó òðåõ âûáðàííûõ öèôð ïîëó÷èòñÿ 222. Ïî÷åìó?
3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
100
3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ
Íà ðèñóíêå èçîáðàæåíû êðóæêè. Îíè ðàñïîëî-
æåíû â 4 ñòðîêàõ è 7 ñòîëáöàõ. Ñêîëüêî êðóæêîâ
èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 90?
Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê. Â êàæäîé ñòðîêå 7 êðóæ-
êîâ, à òàêèõ ñòðîê 4. Çíà÷èò, âñåãî êðóæêîâ 7 . 4.
À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Â êàæäîì
ñòîëáöå 4 êðóæêà, à òàêèõ ñòîëáöîâ 7. Çíà÷èò,
âñåãî êðóæêîâ 4 . 7.
Íî ÷èñëî êðóæêîâ íà ðèñóíêå íå çàâèñèò îò òîãî,
êàêèì ñïîñîáîì ìû åãî ïîäñ÷èòûâàåì. Ïîýòîìó
4 . 7 = 7 . 4.
Åñëè âìåñòî ÷èñåë 4 è 7 ìû âîçüìåì ëþáûå ÷èñëà
à è b, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
a . b = b . a
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íà-
çûâàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ.
Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
îò ïåðåñòàíîâêè ìíîæèòåëåé ïðîèçâåäåíèå
íå ìåíÿåòñÿ.
Ðèñ. 90
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
101
Âîïðîñû
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ?
2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ïåðåìåñòèòåëüíûé çà-
êîí óìíîæåíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....2121212121.....° Âåðíî ëè, ÷òî:
1) 67 . 32 = 32 . 67;
2) 54 . 49 = 49 . 45;
3) 29 + 29 + 29 + 29 = 4 . 29;
4) 5 . 13 = 13 + 13 + 13 + 13;
5) 89 . 51 > 50 . 89;
6) 103 . 120 < 115 . 103?
33333.....2222222222.....° Âìåñòî ñèìâîëà ☺ âñòàâüòå ÷èñëî òàê, ÷òîáû ïî-
ëó÷èëîñü âåðíîå ðàâåíñòâî:
1) ☺ . 27 190 = 27 190 . 36 363;
2) 2 000 201 . ☺ = 1 . 2 000 201.
33333.....2323232323.....° Ïðåäñòàâüòå ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë â âèäå ñóììû
ñëàãàåìûõ äâóìÿ ñïîñîáàìè:
1) 4 . 6; 2) 2 . 5; 3) 7 . 3; 4) 9 . 1.
33333.....2424242424.....° Ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë 25 è 248 ðàâíî 6200. ×åìó
ðàâíî ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë 248 è 25?
33333.....2525252525..... Èñïîëüçóÿ äàííîå ðàâåíñòâî, íàéäèòå çíà÷åíèÿ
äâóõ âûðàæåíèé:
1) 36 . 49 = 1764; 49 . 36 = ?; (40 + 9) . 36 = ?;
2) 52 . 35 = 1820; 35 . 52 = ?; 35 . (55 − 3) = ?;
3) 105 . 8 = 840; 8 . 105 = ?; (10 − 2) . 105 = ?;
4) 95 . 45 = 4275; 45 . 95 = ?; 45 . (100 − 5) = ?.
3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
102
33333.....2626262626..... Â ñàäó ïîñàäèëè êóñòû ñìîðîäèíû (ðèñ. 91).
Ñêîëüêî êóñòîâ ñìîðîäèíû ïîñàäèëè? Ðåøèòå çàäà÷ó
äâóìÿ ñïîñîáàìè.
33333.....2727272727.....*  îäíîì èç äâóõ ïÿòûõ êëàññîâ íà 22 ó÷åíèêà
ìåíüøå, ÷åì â îáîèõ ïÿòûõ êëàññàõ, à â äðóãîì —
íà 25 ó÷åíèêîâ ìåíüøå, ÷åì â îáîèõ êëàññàõ. Ñêîëü-
êî ó÷åíèêîâ â êàæäîì èç ïÿòûõ êëàññîâ?
3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí
óìíîæåíèÿ
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð..... Ìàãàçèí ïðîäàë 72 ÿùèêà áàíàíîâ.  êàæäîì
ÿùèêå 16 ñâÿçîê, à â êàæäîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ. Ñêîëü-
êî áàíàíîâ ïðîäàë ìàãàçèí?
Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê. Óçíàåì ñíà÷àëà, ñêîëüêî
áàíàíîâ â îäíîì ÿùèêå: 7 . 16. Òàê êàê ÿùèêîâ 72,
òî âñåãî ìàãàçèí ïðîäàë (7 . 16) . 72 áàíàíîâ.
À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Óçíàåì ñíà-
÷àëà, ñêîëüêî ñâÿçîê â 72 ÿùèêàõ: 16 . 72. Òàê
êàê â êàæäîé ñâÿçêå 7 áàíàíîâ, òî áûëî ïðîäàíî
7 . (16 . 72) áàíàíîâ.
×èñëî ïðîäàííûõ áàíàíîâ íå çàâèñèò, êîíå÷íî, îò
ñïîñîáà, êàêèì îíî ïîäñ÷èòûâàåòñÿ. Ïîýòîìó
(7 . 16) . 72 = 7 . (16 . 72).
Ðèñ. 91
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
103
Åñëè âìåñòî ÷èñåë 7, 16 è 72 ìû âîçüìåì ëþáûå
÷èñëà à, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
(a . b) . c = a . (b . c)
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íà-
çûâàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ. Åãî
ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
÷òîáû ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü
íà òðåòüå ÷èñëî, ìîæíî ïåðâîå ÷èñëî óìíî-
æèòü íà ïðîèçâåäåíèå âòîðîãî è òðåòüåãî.
Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ìîæíî ñôîðìóëè-
ðîâàòü è ïî-äðóãîìó:
îò èçìåíåíèÿ ðàññòàíîâêè ñêîáîê ïðîèçâåäå-
íèå íå ìåíÿåòñÿ.
Áëàãîäàðÿ ñî÷åòàòåëüíîìó çàêîíó ïðîèçâåäåíèå íå
çàâèñèò îò ðàññòàíîâêè ñêîáîê. Ïîýòîìó ñêîáêè
ìîæíî âîîáùå íå ïèñàòü:
(a . b) . c = a . (b . c) = a . b . c
Ïîêàæåì, êàê ñî÷åòàòåëüíûé è ïåðåìåñòèòåëüíûé
çàêîíû ïðèìåíÿþòñÿ ïðè óìíîæåíèè íåñêîëüêèõ ÷è-
ñåë. Ýòî ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íà-
ïðèìåð, âû÷èñëèì ïðîèçâåäåíèå:
125 . 873 . 8 = (125 . 8) . 873 = 1000 . 873 = 873 000.
Èç çàêîíîâ óìíîæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî
ìíîæèòåëè â ïðîèçâåäåíèè ìîæíî ìåíÿòü
ìåñòàìè è çàêëþ÷àòü â ñêîáêè ïðîèçâîëü-
íûì îáðàçîì.
3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
104
Âîïðîñû
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ?
(Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.)
2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí
óìíîæåíèÿ?
3. ×òî ñëåäóåò èç ïåðåìåñòèòåëüíîãî è ñî÷åòàòåëüíîãî çà-
êîíîâ óìíîæåíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....2828282828.....° Âû÷èñëèòå:
1) 25 . 52 . 4; 2) 17 . 5 . 20;
3) 2 . 21 . 50; 4) 125 . 9 . 8;
5) 2 . 439 . 5; 6) 4 . 110 . 5.
33333.....2929292929.....° Âûïîëíèòå óìíîæåíèå:
1) 2 . 10 . 639 . 5; 2) 21 . 100 . 50 . 2;
3) 8 . 29 . 125; 4) 25 . 63 . 8 . 125 . 4.
33333.....3030303030..... Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) 4 . 21 . 25 . 3;
2) 2 . 14 . 2 . 5 . 5;
3) 2 . 3 ⋅ 2 . 2 . 5 . 11 . 5 . 5;
4) 2 . 2 . 2 . 2 . 5 . 3 . 5 . 5 . 5.
33333.....3131313131..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 2 . 37 . 25; 2) 128 . 5;
3) 50 . 73; 4) 39 . 125 . 4.
33333.....3232323232.....° Íàçîâèòå ÷èñëî, êîòîðîå íóæíî ïîñòàâèòü âìåñòî
ñèìâîëà ☺, ÷òîáû ïîëó÷èëîñü âåðíîå ðàâåíñòâî:
1) 50 . 84 . ☺ = 84 . 39 . 50;
2) 125 . ☺ . 9 = 9 . 125 . 962;
3) 125 . 39 . ☺ = 39 000;
4) 4 . ☺ . 25 = 7800.
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
105
33333.....3333333333..... Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî
3 . 37 = 111,
âû÷èñëèòå:
1) (37 . 5) . 3; 2) 2 . (37 . 5) . 3;
3) 25 . (37 . 4) . 3; 4) (37 . 125) . 24;
5) 75 . (37 . 4) . 6; 6) 37 . (28 . 3) . 25.
33333.....3434343434..... Èçâåñòíî, ÷òî à . b = 90. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) a . (4 . b); 2) 3 . (a . 2) . b;
3) 2 . a . (b . 5) . 7; 4) a . (a . b) . 2 . b.
33333.....3535353535..... Èçâåñòíî, ÷òî à . b = 110. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) a . 2 . 3 . b; 2) a . 3 . b . 3;
3) a . 2 . b . 5 . 4; 4) 2 . a . 2 . 5 . b . 5.
33333.....3636363636..... Èñïîëüçóÿ âåðíîå ðàâåíñòâî
7 . 11 . 13 = 1001,
âû÷èñëèòå:
1) (3 . 7) . 11 . 13; 2) (22 . 7) . 65;
3) 25 . (91 . 28) . 11; 4) 28 . (125 . 13) . 88.
3.37.3.37.3.37.3.37.3.37. Äëÿ ïåðåâîçêè ÿèö èñïîëü-
çóþò êàðòîííûå ÿùèêè, â êîòî-
ðûå óêëàäûâàþò ëîòêè â øåñòü
ñëîåâ ïî 2 ëîòêà â êàæäîì ñëîå
(ðèñ. 92). Ñêîëüêî ÿèö ïîìåùà-
åòñÿ â ÿùèêå, åñëè â ëîòêå 30 ÿèö? Ðåøèòå çàäà÷ó
äâóìÿ ñïîñîáàìè.
33333.....3838383838..... ×åòûðå ÷åðíåíüêèõ ÷óìàçåíüêèõ ÷åðòåíêà ÷åð-
òèëè ÷åðíûìè ÷åðíèëàìè ÷åðòåæ. Ñêîëüêî ôëàêîíîâ
÷åðíèë èçðàñõîäîâàëè ÷åðòÿòà, åñëè êàæäûé íà÷åð-
òèë ïî 4 ÷åðòåæà, à íà âûïîëíåíèå îäíîãî ÷åðòåæà
óõîäèëî ïî 5 ôëàêîíîâ ÷åðíèë? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ
ñïîñîáàìè.
Ðèñ. 92
3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
106
3.39.3.39.3.39.3.39.3.39. Äëÿ áëàãîóñòðîéñòâà èãðîâîé
ïëîùàäêè ïðèâåçëè 4 ïîääîíà, â
êîòîðûõ òðîòóàðíàÿ ïëèòêà óëî-
æåíà â äåñÿòü ñëîåâ ïî 5 ïëèòîê
â øèðèíó è ïî 8 ïëèòîê â äëèíó
(ðèñ. 93). Ñêîëüêî âñåãî ïðèâåçëè
ïëèòîê? Ðåøèòå çàäà÷ó íåñêîëüêèìè ñïîñîáàìè.
33333.....4040404040..... Êàê èçìåíèòñÿ ïðîèçâåäåíèå, åñëè îäèí ìíîæè-
òåëü óâåëè÷èòü:
1) â 6 ðàç, à äðóãîé — óìåíüøèòü â 2 ðàçà;
2) â 3 ðàçà, à äðóãîé — óìåíüøèòü â 3 ðàçà?
33333.....4141414141..... Êàê ìîæíî èçìåíèòü ìíîæèòåëè, ÷òîáû ïðîèçâå-
äåíèå óâåëè÷èëîñü:
1) â 10 ðàç; 2) â 7 ðàç?
33333.....4242424242.....* Ãóñåíèöà ïîëçëà ââåðõ ïî äåðåâó. Çà äåíü îíà
óñïåâàëà ïðîïîëçòè 3 ì, à çà íî÷ü îïóñêàëàñü íà 2 ì.
Íà êàêîé äåíü îíà äîñòèãëà âûñîòû 7 ì?
3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà
ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì
Ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à, íàçûâà-
åòñÿ êâàäðàòîì ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ à2 (÷èòàåòñÿ
«à â êâàäðàòå»), ò. å.
a2 = a . a
Íàïðèìåð, 52 = 5 . 5 = 25.
Ïðîèçâåäåíèå òðåõ ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à, íàçû-
âàåòñÿ êóáîì ÷èñëà à è îáîçíà÷àåòñÿ à3 (÷èòàåòñÿ
«à â êóáå»), ò. å.
a3 = a . a . a
Íàïðèìåð, 53 = 5 . 5 . 5 = 125.
Ðèñ. 93
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
107
Âîîáùå, ïðîèçâåäåíèå n ìíîæèòåëåé, ðàâíûõ à,
îáîçíà÷àåòñÿ àn (÷èòàåòñÿ «à â ñòåïåíè n» èëè «à â
n-é ñòåïåíè»), ò. å.
an = a . a . ... . a
n ðàç
×èñëî à íàçûâàåòñÿ îñíîâàíèåì ñòåïåíè, ÷èñëî n —
ïîêàçàòåëåì ñòåïåíè, an — ñòåïåíüþ.
Íàïðèìåð,
35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243.
(×èòàåòñÿ: «òðè â ïÿòîé ñòåïåíè ðàâíî äâóìñòàì
ñîðîêà òðåì».)
Çäåñü 3 — îñíîâàíèå ñòåïåíè, 5 — ïîêàçàòåëü ñòå-
ïåíè, 243 — ïÿòàÿ ñòåïåíü ÷èñëà 3.
Çàìåòèì, ÷òî êâàäðàò ÷èñëà à — ýòî âòîðàÿ ñòåïåíü
÷èñëà à; êóá ÷èñëà à — ýòî òðåòüÿ ñòåïåíü ÷èñëà à.
Ïèôàãîðåéöû çàìåòèëè, ÷òî 100 = 13 + 23 + 33 + 43.
Âîïðîñû
1. ×òî òàêîå êâàäðàò ÷èñëà à? êóá ÷èñëà à?
2.* ×òî òàêîå âòîðàÿ, òðåòüÿ, ïÿòàÿ ñòåïåíü ÷èñëà à?
3. Êàê ÷èòàåòñÿ è ÷òî îçíà÷àåò âûðàæåíèå an?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....4343434343.....° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå. Íàçîâèòå ïîêàçàòåëü ñòå-
ïåíè, îñíîâàíèå ñòåïåíè:
1) 42; 2) 73;
3) 57; 4) 132;
5) 105; 6) 9908;
7) 10 00021; 8) 500013.
3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåìНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
108
33333.....4444444444..... Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå:
1) 62 + 92; 2) (6 + 9)2;
3) 43 + 73; 4) (4 + 7)3;
5) (12 − 2)5; 6) 122 − 24;
7) (15 − 6)8; 8) 159 − 63.
33333.....4545454545.....° Ïðåäñòàâüòå ïðîèçâåäåíèå â âèäå ñòåïåíè. Íàçî-
âèòå ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, îñíîâàíèå ñòåïåíè:
1) 17 . 17; 2) 29 . 29 . 29;
3) 603 . 603 . 603 . 603; 4) 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4;
5) p . p . p . p . p; 6) t . t . t . t . t . t . t.
33333.....4646464646.....° Ïðåäñòàâüòå ñòåïåíü íàòóðàëüíîãî ÷èñëà â âèäå
ïðîèçâåäåíèÿ:
1) 1302; 2) 763; 3) 2504; 4) 5265;
5) 16113; 6) 75032; 7) 17; 8) 96344.
33333.....4747474747.....° Âû÷èñëèòå:
1) 153; 2) 2842;
3) 202 + 23; 4) 25 + 104.
33333.....4848484848.....° Âû÷èñëèòå:
1) 32 . 53; 2) 23 . 44;
3) 52 . 34; 4) 53 . 62;
5) 62 . 72; 6) 73 . 22.
33333.....4949494949.....° Âû÷èñëèòå: à) êâàäðàòû ïåðâûõ äåñÿòè íàòó-
ðàëüíûõ ÷èñåë; á) êóáû ïåðâûõ äåñÿòè íàòóðàëüíûõ
÷èñåë.
33333.....5050505050.....° Âû÷èñëèòå ïåðâûå äåñÿòü ñòåïåíåé ÷èñëà:
1) 2; 2) 3.
33333.....5151515151..... Ïðîäîëæèòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë:
1) 1, 4, 9, 16, ... , ... , ... ;
2) 1, 8, 27, 64, ... , ... , ... .
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
109
33333.....5252525252..... Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî â âèäå êâàäðàòà èëè êóáà
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà:
1) 125; 2) 121;
3) 729; 4) 216;
5) 343; 6) 1000.
33333.....5353535353..... Âû÷èñëèòå:
1) 1002; 2) 1003;
3) 10002; 4) 10003;
5) 10 0002; 6) 10 0003.
33333.....5454545454..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 52 . 22 + 210; 2) 42 . 52 − 26;
3) 62 . 52 − 34; 4) 34 . 72 + 43.
33333.....5555555555..... Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 32 + 42 = 52;
2) 62 + 82 = 102;
3) 32 + 42 + (3 . 4)2 = 132;
4) 42 + 62 + 122 = 142?
33333.....5656565656..... Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 13 + 23 = 32;
2) 13 + 63 + 83 = 93;
3) 33 + 43 + 53 = 63;
4) 113 + 123 + 133 + 143 = 203?
33333.....5757575757..... Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ âñåõ îäíîçíà÷íûõ:
1) ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2;
2) ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2;
3) ÷èñåë.
33333.....5858585858..... Íàéäèòå ñóììó êóáîâ âñåõ îäíîçíà÷íûõ:
1) ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2;
2) ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2;
3) ÷èñåë.
3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåìНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
110
33333.....5959595959..... Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ïðåäñòàâëåíî â âèäå
ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ:
1) 7 . 103 + 3; 2) 7 . 102 + 3 . 10;
3) 7 . 103 + 3 . 10; 4) 7 . 103 + 3 . 102.
33333.....6060606060..... Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî â âèäå ñóììû ðàçðÿäíûõ ñëà-
ãàåìûõ, èñïîëüçóÿ ñòåïåíè ÷èñëà 10:
1) 904 001 523; 2) 1 634 785;
3) 28 912 765; 4) 5 007 001 232.
33333.....6161616161.....  êà÷åñòâå øèôðîâ òðåõçíà÷íûõ êîäîâûõ çàìêîâ
÷åìîäàíà Îëåã íàáðàë ñëåâà íàèìåíüøåå, à ñïðàâà —
íàèáîëüøåå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ êâàäðà-
òàìè íåêîòîðûõ ÷èñåë (ðèñ. 94). Íàéäèòå øèôðû çàì-
êîâ, êîòîðûå óñòàíîâèë Îëåã.
33333.....6262626262.....* Êàêîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâ-
íåíèÿ:
1) a2 = a; 2) a3 = a;
3) x2 = x3; 4) 2 . x2 = x3;
5) y2 = 11 . y; 6) 25 . y = y3?
33333.....6363636363.....* 1) Ïðåäñòàâüòå 24 â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ íà-
òóðàëüíûõ ÷èñåë, íà êàæäîå èç êîòîðûõ äåëèòñÿ 24.
2) Ïðåäñòàâüòå 72 â âèäå ñóììû êóáîâ íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë, íà êàæäîå èç êîòîðûõ äåëèòñÿ 72.
33333.....6464646464.....* Ïÿòü êîøåê ïîéìàþò ïÿòü ìûøåê çà ïÿòü ìè-
íóò. Ñêîëüêî ìûøåê ïîéìàþò 10 êîøåê çà 10 ìèí?
Ðèñ. 94
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
111
3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò
×åòûðåõóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå óãëû ïðÿìûå, íà-
çûâàåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì.
Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâ-
íû: AB = CD è BC = AD (ðèñ. 95).
Äâå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, êîòîðûå èìåþò îá-
ùóþ âåðøèíó, íàçûâàþòñÿ äëèíîé è øèðèíîé (ðèñ. 96).
Äëèíà è øèðèíà ïðÿìîóãîëüíèêà íàçûâàþòñÿ åãî èç-
ìåðåíèÿìè.
Åñëè ñòîðîíû íåêîòîðîãî ïðÿìîóãîëüíèêà à è b
(ñì. ðèñ. 96), òî åãî ïåðèìåòð P íàõîäèì òàê:
P = 2 . (a + b)
Ïðÿìîóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå ñòîðîíû ðàâíû, íà-
çûâàåòñÿ êâàäðàòîì.
A
B C
D
Ðèñ. 95
äëèíà
øèðèíà
äëèíà
øèðèíà
à) á)
Ðèñ. 96
3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. ÊâàäðàòНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
112
Åñëè Ð — ïåðèìåòð êâàäðàòà ñî ñòî-
ðîíîé à (ðèñ. 97), òî:
P = a + a + a + a = a . 4 = 4 . a,
ò. å.
P = 4 . a
Óñòàíîâèòü, ðàâíû ëè äâà ïðÿìîóãîëüíèêà (êâàäðà-
òà), ìîæíî ñ ïîìîùüþ íàëîæåíèÿ: åñëè ïðè íàëîæå-
íèè èõ ìîæíî ñîâìåñòèòü, òî îíè íàçûâàþòñÿ ðàâíû-
ìè. Âîîáùå,
äâå ôèãóðû íàçûâàþò ðàâíûìè, åñëè èõ ìîæ-
íî ñîâìåñòèòü ïðè íàëîæåíèè.
Âîïðîñû
1. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ïðÿìîóãîëüíèêîì; á) êâàäðàòîì?
2. Íàçîâèòå ñâîéñòâî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ïðÿìî-
óãîëüíèêà.
3. Êàê íàçûâàþò ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà?
4. ×åìó ðàâåí ïåðèìåòð Ð: à) ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíà-
ìè à è b; á) êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé à?
5. Êàê óñòàíîâèòü, ðàâíû ëè äâà ïðÿìîóãîëüíèêà (êâàäðàòà)?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....6565656565.....° Íàçîâèòå ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëü-
íèêà (ðèñ. 98).
Ðèñ. 98
a
a
Ðèñ. 97
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
113
33333.....6666666666.....° Íàçîâèòå ðàâíûå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà (ñì.
ðèñ. 98).
33333.....6767676767.....° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè:
1) 6 ñì è 4 ñì; 2) 20 ìì è 45 ìì.
33333.....6868686868.....° Íà÷åðòèòå â òåòðàäè êâàäðàò ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé:
1) 3 ñì; 2) 55 ìì.
33333.....6969696969..... Â ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD äëèíû ñòîðîí ÀÂ è BC
ðàâíû ïî 9 ñì. Íàéäèòå åãî ïåðèìåòð.
33333.....7070707070..... Ïðîâåäèòå íåîáõîäèìûå èçìåðåíèÿ è íàéäèòå
ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà (ðèñ. 99).
33333.....7171717171.....° Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè:
1) 12 ìì è 19 ìì;
2) 7 ñì 3 ìì è 11 ñì 9 ìì.
33333.....7272727272..... Íàéäèòå ïåðèìåòð êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé:
1) 82 ìì;
2) 4 ì 8 äì 2 ñì 5 ìì.
33333.....7373737373..... Èç ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD âû-
ðåçàëè êâàäðàò AMNK (ðèñ. 100).
Âåðíî ëè, ÷òî ïåðèìåòð ïðÿìî-
óãîëüíèêà ABCD ðàâåí ïåðèìåòðó
ìíîãîóãîëüíèêà BCDKNM?
Ðèñ. 99
Ðèñ. 100
3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò
A
B C
D
M N
K
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
114
3.74.3.74.3.74.3.74.3.74. Îò ëèñòà êàðòîíà êâàäðàòíîé ôîðìû
îòðåçàëè ïðÿìîóãîëüíèê (ðèñ. 101). Âåðíî
ëè, ÷òî ïåðèìåòð îñòàâøåéñÿ ôèãóðû ðà-
âåí ïåðèìåòðó èñõîäíîãî êâàäðàòà?
33333.....7575757575..... Ïðÿìîóãîëüíèê, øèðèíà êîòîðîãî
ðàâíà 5 ñì, à äëèíà — 7 ñì, ðàçáèëè íà
äâå ôèãóðû — ïðÿìîóãîëüíèê è êâàäðàò. Íàéäèòå
ïåðèìåòðû ïîëó÷èâøèõñÿ ôèãóð.
33333.....7676767676..... Êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 6 ñì ðàçäåëèëè íà äâà ðàâ-
íûõ ïðÿìîóãîëüíèêà. Íàéäèòå ïåðèìåòð êàæäîãî èç
íèõ.
33333.....7777777777..... Ïðÿìîóãîëüíèê, èçìåðåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû 4 äì
è 6 äì, ðàçäåëèëè íà äâà ðàâíûõ ïðÿìîóãîëüíèêà.
Íàéäèòå ïåðèìåòðû ïîëó÷èâøèõñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîâ.
Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à?
33333.....7878787878..... Íà÷åðòèòå ïðÿìîóãîëüíèê, ïåðèìåòð êîòîðîãî
ðàâåí 12 ñì. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à, åñëè èç-
ìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà âûðàæåíû íàòóðàëüíûì
÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ?
33333.....7979797979..... Íà÷åðòèòå êâàäðàò, ïåðèìåòð êîòîðîãî ðàâåí ïå-
ðèìåòðó ïðÿìîóãîëüíèêà ñ èçìåðåíèÿìè 6 ñì è 8 ñì.
33333.....8080808080..... Îäíà èç ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 39 ñì,
à äðóãàÿ â 3 ðàçà ìåíüøå. Íàéäèòå åãî ïåðèìåòð.
33333.....8181818181..... Íàéäèòå ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè åãî äëèíà
â 4 ðàçà áîëüøå øèðèíû, à ïåðèìåòð ðàâåí 90 ñì.
33333.....8282828282.....*  ÷åòûðåõ ìåøî÷êàõ ñîäåðæèòñÿ êðóïà.  ïåð-
âîì ìåøî÷êå åå íå ìåíüøå, ÷åì â êàæäîì èç îñòàëü-
íûõ, à âî âòîðîì — íå áîëüøå, ÷åì â êàæäîì èç
îñòàëüíûõ. Âåðíî ëè, ÷òî â ïåðâîì è âî âòîðîì ìå-
øî÷êàõ êðóïû áîëüøå, ÷åì â äðóãèõ?
Ðèñ. 101
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
115
3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà.
Åäèíèöû ïëîùàäè
×òîáû èçìåðÿòü ïëîùàäè, íàäî âûáðàòü åäèíèöó
èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé. Êâàäðàò, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà
åäèíèöå èçìåðåíèÿ äëèíû, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì.
Ïëîùàäü åäèíè÷íîãî êâàäðàòà ïðèíèìàåòñÿ çà åäè-
íèöó èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé. Íàïðèìåð:
� ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 ì ðàâíà îäíî-
ìó êâàäðàòíîìó ìåòðó (ïèøåì: 1 êâ. ì, èëè 1 ì2);
� ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé 1 ñì ðàâíà îäíî-
ìó êâàäðàòíîìó ñàíòèìåòðó (ïèøåì: 1 êâ. ñì,
èëè 1 ñì2).
Íàçâàíèå åäèíèöû ïëîùàäè ïîëó÷àåòñÿ èç íàçâà-
íèÿ åäèíèöû äëèíû ïðèñîåäèíåíèåì ïðèëàãàòåëü-
íîãî «êâàäðàòíûé».
Åñëè ôèãóðó ìîæíî ðàçáèòü íà åäèíè÷íûå êâàä-
ðàòû, òî ïëîùàäü ôèãóðû ðàâíà ÷èñëó ñîñòàâëÿþùèõ
åå åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ.
Ïðîùå âñåãî èçìåðèòü ïëîùàäü ïðÿìî-
óãîëüíèêà. Íàïðèìåð, ïëîùàäü ïðÿìîóãîëü-
íèêà íà ðèñóíêå 102 ðàâíà 12 åäèíè÷íûõ
êâàäðàòîâ, ò. å.
S = 3 . 4 = 12 (ñì2).
Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäå-
íèþ åãî èçìåðåíèé, ò. å. ïðîèçâåäåíèþ äëè-
íû è øèðèíû.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíèêà
à è b åäèíèö äëèíû, à åãî ïëîùàäü S, òî:
S = a . b
Ðèñ. 102
3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäèНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
116
Êîãäà ïðÿìîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì ñî ñòî-
ðîíîé à, òî a = b è
S = a2
(Èìåííî ïîýòîìó à2 ÷èòàåòñÿ: «à êâàäðàò» èëè
«à â êâàäðàòå».)
Ðàâåíñòâî S = a2 äàåò âîçìîæíîñòü âûðàçèòü îäíè
åäèíèöû ïëîùàäè ÷åðåç äðóãèå. Íàïðèìåð:
1 ì2 = 1 ì . 1 ì = 100 ñì . 100 ñì = 1002 ñì2 = 10 000 ñì2;
1 êì2 = 1 êì . 1 êì = 1000 ì . 1000 ì = 10002 ì2 == 1 000 000 ì2.
Åùå äâå åäèíèöû ïëîùàäè — ãåêòàð è àð —
óïîòðåáëÿþòñÿ äëÿ èçìåðåíèÿ ïëîùàäåé çåìåëüíûõ
ó÷àñòêîâ.
1 ãåêòàð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 ãà) — ýòî ïëîùàäü êâàä-
ðàòà ñî ñòîðîíîé 100 ì. Òàêèì îáðàçîì,
1 ãà = 100 ì . 100 ì = 1002 ì2 = 10 000 ì2.
1 àð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 à) — ýòî ïëîùàäü êâàäðàòà
ñî ñòîðîíîé 10 ì. Òàêèì îáðàçîì,
1 à = 10 ì . 10 ì = 102 ì2 = 100 ì2.
 îáèõîäå îäèí àð íàçûâàåòñÿ òàêæå «ñîòêîé»;
ãîâîðÿò: «äà÷íûé ó÷àñòîê 6 ñîòîê».
Çàìåòèì åùå, ÷òî 1 ãà = 100 a (ïðîâåðüòå).
Âîïðîñû
1. Êàêîé êâàäðàò íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì?
2. ×òî ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ ïëîùàäè?
3. ×òî òàêîå: à) 1 ì2; á) 1 ñì2?
4. ×åìó ðàâíà ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà?
5. ×åìó ðàâíà ïëîùàäü êâàäðàòà?
6. ×òî òàêîå: à) 1 ãåêòàð; á) 1 àð?
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
117
Óïðàæíåíèÿ
33333.....8383838383.....° Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû (â êâàäðàòíûõ ñàíòè-
ìåòðàõ), èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 103.
33333.....8484848484.....° Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé
1 ñì ìîæíî ðàçáèòü ïðÿìîóãîëüíèê ñ èçìåðåíèÿìè:
1) 1 ñì è 3 ñì; 2) 5 ñì è 8 ñì;
3) 1 äì è 3 ñì; 4) 2 äì è 3 ì?
33333.....8585858585..... Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà â êâàäðàòíûõ
ñàíòèìåòðàõ (ðèñ. 104).
33333.....8686868686.....° Íà ñêîëüêî ðàâíûõ êâàäðàòîâ ñî ñòîðîíîé 1 ñì
ìîæíî ðàçáèòü êâàäðàò ñî ñòîðîíîé:
1) 6 ñì; 2) 3 ñì?
1см2 а) б)
Ðèñ. 103
Ðèñ. 104
3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäèНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
118
33333.....8787878787..... Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êâàäðàòîâ ìîæíî ðàçáèòü
ïðÿìîóãîëüíèê ñ èçìåðåíèÿìè 3 ì è 4 ì, åñëè ñòî-
ðîíà åäèíè÷íîãî êâàäðàòà ðàâíà:
1) 1 ì; 2) 1 äì; 3) 1 ñì; 4) 1 ìì?
33333.....8888888888.....° Íàéäèòå ïëîùàäü êâàäðàòà ñî ñòîðîíîé:
1) 14 ñì; 2) 17 äì;
3) 30 ìì; 4) 11 ì.
33333.....8989898989.....° Íà÷åðòèòå êâàäðàò, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà:
1) 25 ñì2; 2) 9 ñì2;
3) 4 ñì2; 4) 16 ñì2.
33333.....9090909090.....° Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ñ èçìåðåíèÿìè:
1) 1 ñì è 8 ñì; 2) 8 ìì è 21 ìì;
3) 7 äì è 6 ì; 4) 12 ìì è 9 äì.
33333.....9191919191..... Íà÷åðòèòå ïðÿìîóãîëüíèê, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà:
1) 12 ñì2; 2) 8 ñì2;
3) 14 ñì2; 4) 5 ñì2.
33333.....9292929292..... Ñóùåñòâóåò ëè êâàäðàò, ñòîðîíà êîòîðîãî âûðà-
æåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ, à ïëîùàäü
ðàâíà:
1) 4 ñì2; 2) 10 ñì2;
3) 1 äì2; 4) 12 äì2?
Åñëè òàêîé êâàäðàò ñóùåñòâóåò, òî íàéäèòå åãî ñòî-
ðîíó.
33333.....9393939393..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 1 êì2 72 ì2 + 3 êì2 39 ì2;
2) 3 à 68 ì2 + 7 à 56 ì2;
3) 42 ãà 425 ì2 + 4 ãà 978 à;
4) 71 ãà 76 à + 5 ãà 217 ì2.
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
119
33333.....9494949494..... Íàéäèòå ïëîùàäü çàêðàøåííîé ÷àñòè êâàäðàòà íà
ðèñóíêå 105, ïîëàãàÿ, ÷òî âñå ðàçìåðû óêàçàíû â ìåò-
ðàõ è ñòîðîíà êâàäðàòà ðàçäåëåíà íà ðàâíûå ÷àñòè.
33333.....9595959595..... 1) Èç ïðÿìîóãîëüíèêà, èç-
ìåðåíèÿ êîòîðîãî ðàâíû 8 ñì è
10 ñì, áûëè âûðåçàíû êâàäðàòû
ñî ñòîðîíîé 2 ñì (ðèñ. 106). Íàé-
äèòå ïëîùàäü îñòàâøåãîñÿ çàêðà-
øåííîãî ìíîãîóãîëüíèêà.
2) Êàêîå êîëè÷åñòâî êåðàìè÷åñêîé ïëèòêè ðàçìå-
ðîì 20 ñì × 20 ñì íåîáõîäèìî äëÿ ïîêðûòèÿ ïàíåëè
íàä ðàáî÷èì ñòîëîì, åñëè ðàçìåð ïàíåëè 80 ñì × 800 ñì
(ðèñ. 107)?
33333.....9696969696..... Ðàçìåðû êàæäîé ôèãóðû óêàçàíû â ìåòðàõ
(ðèñ. 108, 109). Âû÷èñëèòå ïëîùàäü ôèãóðû, èçîáðà-
æåííîé íà ðèñóíêå:
1) 108, à; 2) 108, á;
3) 109, à; 4) 109, á.
4
3
а) б) в)
4
Ðèñ. 105
2080
20
800
Ðèñ. 106
Ðèñ. 107
3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäèНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
120
33333.....9797979797..... Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè îäíà èç
åãî ñòîðîí ðàâíà:
1) 36 ñì, à äðóãàÿ íà 4 ñì áîëüøå;
2) 18 ñì, à äðóãàÿ â 2 ðàçà ìåíüøå.
33333.....9898989898..... Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 60 ñì2, îäíà èç
ñòîðîí ðàâíà:
1) 12 ñì; 2) 4 ñì;
3) 1 äì; 4) 3 äì.
Âû÷èñëèòå äðóãóþ ñòîðîíó ïðÿìîóãîëüíèêà.
33333.....9999999999..... Âûðàçèòå â êâàäðàòíûõ ìåòðàõ:
1) 7 ãà; 2) 40 à;
3) 90 ãà 6 à; 4) 3 910 êì2.
33333.....100100100100100..... Íàéäèòå äëèíó ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà, çíàÿ
åãî øèðèíó à è ïëîùàäü S:
1) S = 2 ãà, à = 500 ì;
2) S = 4 à, à = 10 ì;
3) S = 5 ì2, à = 400 ñì2;
4) S = 8 êì2, à = 20 ì.
Ðèñ. 108
Ðèñ. 109
а) б)
2
2
66
6
12
10
46 2
2 4
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
а) б)
22
2
23 45
7
11
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
121
33333.....101101101101101.....* Ôåäÿ, Æîðà, Ñàøà è Âëàä ðîäèëèñü 17 îêòÿáðÿ,
27 ìàÿ, 17 èþíÿ, 21 îêòÿáðÿ. Æîðà è Ñàøà ðîäèëèñü
â îäíîì ìåñÿöå, à ó Ñàøè è Ôåäè äåíü ðîæäåíèÿ âû-
ðàæåí îäíèì ÷èñëîì. Óêàæèòå äåíü ðîæäåíèÿ êàæ-
äîãî ìàëü÷èêà.
3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí
Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð. Ìàãàçèí ïîëó÷èë 3 êîíòåéíåðà ñ òåëåâèçîðà-
ìè.  êàæäîì êîíòåéíåðå 19 æèäêîêðèñòàëëè÷åñêèõ
òåëåâèçîðîâ è 16 ïëàçìåííûõ. Ñêîëüêî âñåãî òåëåâè-
çîðîâ ïîëó÷èë ìàãàçèí?
Ìîæíî ðàññóæäàòü òàê. Ñíà÷àëà óçíàåì, ñêîëüêî òå-
ëåâèçîðîâ â îäíîì êîíòåéíåðå: 19 + 16. Çàòåì óçíàåì,
ñêîëüêî òåëåâèçîðîâ â òðåõ êîíòåéíåðàõ: (19 + 16) . 3.
À ìîæíî ðàññóæäàòü ïî-äðóãîìó. Óçíàåì,
ñêîëüêî æèäêîêðèñòàëëè÷åñêèõ òåëåâèçîðîâ ïî-
ëó÷èë ìàãàçèí: 19 . 3 è ñêîëüêî ïëàçìåííûõ: 16 . 3.
Òîãäà âñåãî ìàãàçèí ïîëó÷èë (19 . 3 + 16 . 3) òåëåâè-
çîðîâ.
Òàê êàê êîëè÷åñòâî òåëåâèçîðîâ íå çàâèñèò îò ñïî-
ñîáà, êàêèì îíî ïîäñ÷èòûâàåòñÿ, òî
(19 + 16) . 3 = 19 . 3 + 16 . 3.
Åñëè âìåñòî ÷èñåë 19, 16 è 3 ìû âîçüìåì ëþáûå
÷èñëà à, b è c, òî ïîëó÷èì ðàâåíñòâî:
(a + b) . c = a . c + b . c
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íà-
çûâàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ
îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ. Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü
òàê:
3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîíНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
122
ïðîèçâåäåíèå ñóììû ÷èñåë è ÷èñëà ðàâíî ñóì-
ìå ïðîèçâåäåíèé êàæäîãî ñëàãàåìîãî è ýòîãî
÷èñëà.
Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü
ïî-äðóãîìó:
÷òîáû ñóììó äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü íà ÷èñëî,
ìîæíî êàæäîå ñëàãàåìîå óìíîæèòü íà ýòî
÷èñëî è ïîëó÷åííûå ïðîèçâåäåíèÿ ñëîæèòü.
Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí âåðåí íå òîëüêî äëÿ äâóõ,
íî è äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ. Íàïðèìåð,
(5 + 7 + 9 + 11) . 13 = 5 . 13 + 7 . 13 + 9 . 13 + 11 . 13.
Êîãäà à áîëüøå èëè ðàâíî b, òî
(a − b) . c = a . c − b . c
Ñâîéñòâî ÷èñåë, âûðàæåííîå ýòèì ðàâåíñòâîì, íà-
çûâàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûì çàêîíîì óìíîæåíèÿ
îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ.
Åãî ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê:
÷òîáû ðàçíîñòü äâóõ ÷èñåë óìíîæèòü íà ÷èñ-
ëî, ìîæíî óìåíüøàåìîå è âû÷èòàåìîå óìíî-
æèòü íà ýòî ÷èñëî è èç ïåðâîãî ïðîèçâåäå-
íèÿ âû÷åñòü âòîðîå.
Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ïîçâîëÿåò
ìåíÿòü ìåñòàìè ìíîæèòåëè. Ïîýòîìó áåçðàçëè÷íî, ãäå
ñòîèò ìíîæèòåëü ñ — ïåðåä ñêîáêîé èëè ïîñëå íåå.
Ïîêàæåì, êàê ïðèìåíåíèå ðàñïðåäåëèòåëüíîãî çà-
êîíà ïîçâîëÿåò èíîãäà óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðè-
ìåð, âû÷èñëèì ñóììó:
743 . 37 + 112 . 37 + 145 . 37 = 37 . (743 + 112 + 145) == 37 . 1000 = 37 000.
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
123
Âîïðîñû
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæå-
íèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ? (Äàéòå îáå ôîðìóëèðîâêè.)
2. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çà-
êîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ?
3. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæå-
íèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ? (Äàéòå äâå ôîðìóëèðîâêè.)
4. Êàêèì ðàâåíñòâîì âûðàæàåòñÿ ðàñïðåäåëèòåëüíûé çà-
êîí óìíîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî âû÷èòàíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....102102102102102.....° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå:
1) (69 − 9) . 5; 2) 2 . (125 + 75);
3) 32 . 19 + 68 . 19; 4) 83 . 47 − 73 . 47.
33333.....103103103103103.....° Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) (10 + 1) . 32; 2) (1 + 100) . 64;
3) 25 . (1000 + 4); 4) 20 . (8 + 10 000);
5) 40 . (500 − 1); 6) (1000 − 1) . 101.
33333.....104104104104104.....° Âû÷èñëèòå ïðîèçâåäåíèå:
1) 11 . 64; 2) 92 . 9;
3) 101 . 35; 4) 1001 . 56;
5) 72 . 99; 6) 24 . 999.
33333.....105105105105105..... Âû÷èñëèòå:
1) 125 . 5 + 3 . 125;
2) 53 . 11 + 53 . 89;
3) 74 . 97 − 64 . 97;
4) 23 . 99 − 99 . 13;
5) 137 . 85 + 137 . 15 − 137 . 90;
6) 213 . 27 + 213 . 96 − 213 . 113.
3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîíНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
124
33333.....106106106106106..... Íà ïîë èãðîâîé êîìíàòû äåòñêîãî ñàäà ïîëî-
æèëè êâàäðàòíóþ ïëèòêó äâóõ öâåòîâ — çåëåíîãî è
ñåðîãî (ðèñ. 110).
Ïîêðûòèå çåëåíîãî ó÷àñòêà ñîñòàâëåíî èç 6 ðÿäîâ
ïî 5 ïëèòîê â êàæäîì ðÿäó, ñåðîãî — èç 6 ðÿäîâ
ïî 7 ïëèòîê â êàæäîì. Ñêîëüêî ïëèòîê óøëî íà ïî-
êðûòèå ïîëà? Ðåøèòå çàäà÷ó äâóìÿ ñïîñîáàìè.
33333.....107107107107107..... Äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà 25 ñì, 17 ñì è 13 ñì.
Íàéäèòå ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî â
2 ðàçà áîëüøå.
33333.....108108108108108.....  òðåõ ïÿòûõ êëàññàõ ó÷èòñÿ ïî 12 ìàëü÷èêîâ
è ïî 18 äåâî÷åê. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ â ýòèõ êëàññàõ?
33333.....109109109109109..... Ó÷àñòîê èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà øèðèíîé
6 ì è äëèíîé 12 ì. Îäíà åãî ÷àñòü ðàçìåðîì 6 ì × 7 ì
çàñàæåíà ãàçîííîé òðàâîé, äðóãàÿ — ðîçàìè (ðèñ. 111).
Íàéäèòå ïëîùàäü ó÷àñòêà, îòâåäåííîãî ïîä ðîçû.
33333.....111111010101010.....* Ñóììà äâóõ ÷èñåë 781. Îäíî èç íèõ îêàí÷è-
âàåòñÿ íóëåì. Åñëè â ýòîì ÷èñëå íóëü çà÷åðêíóòü,
òî ïîëó÷èòñÿ äðóãîå ÷èñëî. Íàéäèòå ýòè ÷èñëà.
Ðèñ. 110
Ðèñ. 111
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
125
3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê.
Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè
Êîãäà ìû ÷èòàåì ðàâåíñòâî
(a + b) . c = a . c + b . c
ñëåâà íàïðàâî, ò. å. ïåðåõîäèì îò ïðîèçâåäåíèÿ
(a + b) . c ê ñóììå a . c + b . c, òî ãîâîðèì, ÷òî ðàñêðû-âàåì ñêîáêè.
Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî
(a + b) . c = a . c + b . c
ñïðàâà íàëåâî:
a . c + b . c = (a + b) . c
Êîãäà ìû ïåðåõîäèì îò ñóììû a . c + b . c ê ïðîèç-
âåäåíèþ (a + b) . c, òî ãîâîðèì, ÷òî âûíîñèì îáùèéìíîæèòåëü çà ñêîáêè.
Àíàëîãè÷íî äëÿ ðàâåíñòâ
(a − b) . c = a . c − b . c è a . c − b . c = (a − b) . c
Èíîãäà âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêè
ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü âû÷èñëåíèÿ. Íàïðèìåð,
112 . 6 − 22 . 6 = (112 − 22) . 6 = 90 . 6 = 540;
57 . 316 + 43 . 175 − 57 . 16 + 43 . 125 == (57 . 316 − 57 . 16) + (43 . 175 + 43 . 125) =
= 57 . (316 − 16) + 43 . (175 + 125) == 57 . 300 + 43 . 300 = 300 . (57 + 43) =
= 300 . 100 = 30 000.
Âîïðîñû
1. Êàê ìîæíî íàçâàòü ïåðåõîä îò ïðîèçâåäåíèÿ (a + b) ⋅ cê ñóììå a ⋅ c + b ⋅ c?
2. Êàê ìîæíî íàçâàòü ïåðåõîä îò ñóììû a ⋅ c + b ⋅ c ê ïðî-
èçâåäåíèþ (a + b) ⋅ c?
3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêèНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
126
Óïðàæíåíèÿ
33333.....111111111111111..... Ñðàâíèòå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé:
1) 6 . 5 + 8 . 5 è 5 . (6 + 8);
2) 12 . 9 − 9 . 10 è 9 . (12 − 10);
3) 13 . 6 + 5 . 6 + 8 . 6 è 6 . (13 + 5);
4) 24 . 8 − 6 . 8 − 2 . 8 è 8 . (24 − 6 − 8).
33333.....111111212121212.....° Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 10 + 2 . (5 + 3) = 10 + 10 + 3;
2) 10 + 2 . (5 − 3) = 10 + 10 − 6;
3) 10 + (5 − 3) = 10 + 5 − 3;
4) 10 + (5 + 3) = 10 + 5 + 3?
33333.....111111313131313..... Ðàñêðîéòå ñêîáêè íå âû÷èñëÿÿ:
1) 2 . (5 + 7) − 11;
2) 3 . (7 − 5) + 13;
3) 17 . (52 − 19) + 19 . (17 − 4);
4) 15 . (43 + 19) + 43 . (17 − 15).
33333.....111111414141414..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 92 . 375 − 92 . 625; 2) 51 . 134 + 49 . 134;
3) 81 . 120 − 31 . 120; 4) 147 ⋅ 38 − 38 . 47.
33333.....111111515151515..... Âû÷èñëèòå:
1) 362 . 25 + 228 . 25 + 410 . 25;
2) 723 . 40 − 121 . 40 − 102 . 40;
3) 958 . 50 − 235 . 50 − 323 . 50;
4) 897 . 75 − 326 . 75 + 429 . 75.
33333.....111111616161616..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 9 . 7 + 9 . 3 + 100 . 13 − 100 . 4;
2) 60 . 5 + 15 . 5 + 13 . 10 + 12 . 10;
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
127
3) 25 . 11 + 25 . 9 + 30 . 8 + 30 . 5 + 7 . 30;
4) 6 . 47 − 2 . 47 + 24 . 4 + 36 . 4 + 18 . 4.
33333.....111111717171717..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 52 . 71 + 28 . 71 − 40 . 71 − 71;
2) 100 . 51 + 10 . 51 − 99 . 51 − 51;
3) 874 . 64 + 874 . 132 + 3 . 874 + 874;
4) 45 . 210 + 45 . 11 − 45 − 45 . 20.
33333.....111111818181818..... Êàê èçìåíèòñÿ ñóììà äâóõ ñëàãàåìûõ, åñëè êàæ-
äîå ñëàãàåìîå óâåëè÷èòü:
1) â 2 ðàçà; 2) íà 2;
3) íà 10; 4) â 10 ðàç?
33333.....111111919191919..... Ìåñòà äëÿ ïàðêîâêè àâòîìîáèëåé íà àâòîñòîÿíêå
ðàçìå÷åíû ðÿäàìè: 8 ðÿäîâ ïî 34 ìåñòà â êàæäîì
ðÿäó è 8 ðÿäîâ ïî 36 ìåñò â êàæäîì ðÿäó. Êàêîå
êîëè÷åñòâî àâòîìàøèí ìîæíî ðàçìåñòèòü íà àâòî-
ñòîÿíêå?
33333.....120120120120120..... Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà, åñëè åãî
ñòîðîíû ðàâíû:
1) 28 ñì è 62 ñì;
2) 7 ñì 5 ìì è 25 ìì;
3) 3 ì 65 ñì è 2 ì 40 ñì;
4) 1 ì 90 ñì è 33 äì.
33333.....121121121121121..... Õâàòèò ëè 1 ì ïðîâîëîêè, ÷òîáû èçãîòîâèòü
êàðêàñíóþ ìîäåëü ïðÿìîóãîëüíèêà, ñòîðîíû êîòîðîãî
ðàâíû 24 ñì è 29 ñì?
33333.....122122122122122..... Ïîä ïàñòáèùå îòâåëè ó÷àñòîê ëóãà ïðÿìîóãîëü-
íîé ôîðìû øèðèíîé 110 ì è äëèíîé 140 ì. Ñêîëüêî
ìåòðîâ ïðîâîäà ïîòðåáóåòñÿ äëÿ åãî îãðàæäåíèÿ?
3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæèòåëÿ çà ñêîáêèНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
128
33333.....123123123123123.....* Íåçíàéêà íåïðàâèëüíî ñïèñàë ñ äîñêè óñëîâèå
ïðèìåðà íà ñëîæåíèå íåñêîëüêèõ ÷èñåë.  îäíîì èç
ñëàãàåìûõ âìåñòî öèôðû åäèíèö 5 îí íàïèñàë 8, â
äðóãîì — âìåñòî öèôðû äåñÿòêîâ 4 îí íàïèñàë 9 è
â îäíîì èç îñòàâøèõñÿ ñëàãàåìûõ öèôðó ñîòåí 3
ïðèíÿë çà 1.  ñóììå ïîëó÷èëîñü 55 561. Íàéäèòå
âåðíóþ ñóììó.
3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð.Ïðèìåð. Ñàìîñâàë ïåðåâîçèò çà îäèí ðåéñ 7 ò ïåñêà.
Ñêîëüêî ðåéñîâ íóæíî ñäåëàòü, ÷òîáû ïåðåâåçòè 112 ò
ïåñêà?
Ðåøåíèå. ×èñëî ðåéñîâ, êîòîðûå äîëæåí ñäåëàòü ñàìî-
ñâàë, îáîçíà÷èì áóêâîé p. Òîãäà óñëîâèå çàäà÷è ìîæ-
íî çàïèñàòü òàê: 7 . p = 112. Â ýòîì ðàâåíñòâå íàäî
íàéòè íåèçâåñòíûé ìíîæèòåëü p. Îí íàõîäèòñÿ ñ ïî-
ìîùüþ äåëåíèÿ: p = 112 : 7. ×èñëî p íàçûâàåòñÿ ÷à-
ñòíûì ÷èñåë 112 è 7.
À òåïåðü âìåñòî ÷èñåë 112 è 7 âîçüìåì ïðîèç-
âîëüíûå ÷èñëà à è b.
×àñòíûì ÷èñåë à è b íàçûâàåòñÿ òàêîå ÷èñëî p,
ïðè óìíîæåíèè íà êîòîðîå ÷èñëà b ïîëó÷àåòñÿ à:
b . p = a.
×àñòíîå ÷èñåë à è b îáîçíà÷àåòñÿ a : b:
p = a : b.
×àñòíûì ÷èñåë à è b íàçûâàåòñÿ è âûðàæåíèå a : b.
×èñëî à íàçûâàåòñÿ äåëèìûì, ÷èñëî b — äåëèòåëåì.
Óáåäèòüñÿ, ÷òî äåëåíèå âûïîëíåíî ïðàâèëüíî, ìîæ-
íî òàê: óìíîæèòü äåëèòåëü íà ÷àñòíîå; â ðåçóëüòà-
òå äîëæíî ïîëó÷èòüñÿ äåëèìîå.
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
129
Íàïðèìåð, 96 : 8 = 12, òàê êàê 8 . 12 = 96.
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à
èìååì:
a : 1 = a , òàê êàê 1 . a = a;
a : a = 1 , òàê êàê a . 1 = a.
Òàêèì îáðàçîì, ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî
äåëèòñÿ íà 1 è ñàìî íà ñåáÿ.
Ïðè äåëåíèè íóëÿ íà ëþáîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî ÷àñòíîå ðàâíî íóëþ:
0 : b = 0 , òàê êàê b . 0 = 0.
Äåëèòü íà íóëü íåëüçÿ!
Ïîñìîòðèòå âíèìàòåëüíî íà çà-
ïèñü ÷åòûðåõ ïðèìåðîâ è îáúÿñíè-
òå, êàê âûïîëíèòü äåëåíèå ÷èñåë
óãîëêîì.
Ñîâðåìåííîå îáîçíà÷åíèå çíàêîâ äåëåíèÿ è óìíîæåíèÿ ââåë íå-ìåöêèé ìàòåìàòèê Ãîòôðèä Ëåéáíèö (1646—1716). Çíàê äåëåíèÿ «:»ïîÿâèëñÿ â 1684 ã., à çíàê óìíîæåíèÿ « . » — â 1698 ã.
à)
á) â) ã)
3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
130
Âîïðîñû
1. Êàê íàçûâàþòñÿ ÷èñëà 60, 5, 12 â ðàâåíñòâå 60 : 5 = 12?
2. ×òî íàçûâàåòñÿ ÷àñòíûì ÷èñåë à è b?
3. Êàê íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå a : b?
4. ×åìó ðàâíî ÷àñòíîå a : 1?
5. Åñëè à — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ÷åìó ðàâíî ÷àñòíîå:
à) 0 : a; á) a : a?
6. Ìîæíî ëè äåëèòü íà íóëü?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....124124124124124.....° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå:
1) 60 : 6; 2) 75 : 1;
3) 143 : 143; 4) 505 : 5.
33333.....125125125125125.....° Íàéäèòå:
1) ÷àñòíîå, åñëè äåëèìîå ðàâíî 60, à äåëèòåëü ðà-
âåí 20;
2) äåëèìîå, åñëè äåëèòåëü ðàâåí 25, à ÷àñòíîå 0;
3) äåëèòåëü, åñëè äåëèìîå ðàâíî 624, à ÷àñòíîå 1;
4) ÷àñòíîå, åñëè äåëèòåëü ðàâåí 10, à äåëèìîå 0.
33333.....126126126126126.....° Âûïîëíèòå äåëåíèå:
1) 48 : 12; 2) 60 : 15;
3) 80 : 20; 4) 100 : 25.
33333.....127127127127127.....° Âû÷èñëèòå:
1) 107 : 107; 2) 1000 : 1000;
3) 1000 : 1; 4) 0 : 100.
33333.....128128128128128.....° Íàéäèòå ÷àñòíîå:
1) 6 813 040 : 16; 2) 859 265 : 11;
3) 6 221 660 : 20; 4) 357 100 : 50.
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
131
33333.....129129129129129..... Âûïîëíèòå äåëåíèå è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò ñ ïî-
ìîùüþ óìíîæåíèÿ:
1) 82 836 : 354; 2) 260 428 : 497;
3) 976 860 : 243; 4) 215 040 : 168.
33333.....130130130130130..... Âûïîëíèòå äåëåíèå è ïðîâåðüòå ðåçóëüòàò ñ ïî-
ìîùüþ äåëåíèÿ:
1) 92 500 : 37; 2) 1920 : 15;
3) 393 254 : 83; 4) 71 325 : 951.
33333.....131131131131131.....° Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 8200 : 100 = 82; 2) 56 000 : 1000 = 560;
3) 920 : 10 = 92; 4) 370 000 : 100 = 370?
33333.....132132132132132.....° Íàéäèòå ÷àñòíîå:
1) 30 500 : 100;
2) 142 000 : 100;
3) 234 000 : 1000;
4) 816 036 000 : 1000.
33333.....133133133133133.....° Âû÷èñëèòå:
1) 1800 : 900; 2) 270 : 30;
3) 10 000 : 250; 4) 3 330 000 : 300.
33333.....134134134134134.....° Óìåíüøèòå â 9 ðàç ÷èñëî:
1) 549; 2) 4689;
3) 9 900 909; 4) 900 900 900.
33333.....135135135135135..... Çàïèøèòå ÷èñëî, êîòîðîå ìåíüøå ÷èñëà:
1) 12 â 3 ðàçà; 2) 100 â 25 ðàç;
3) 150 â 10 ðàç; 4) 1000 â 8 ðàç.
33333.....136136136136136..... Êàêîå èç ÷èñåë áîëüøå è âî ñêîëüêî ðàç:
1) 25 èëè 75;
2) 57 èëè 19;
3) 2 ìëí èëè 2 òûñ.?
3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
132
33333.....137137137137137..... Êàêîå èç ÷èñåë ìåíüøå è âî ñêîëüêî ðàç:
1) 10 000 èëè 10 000 000;
2) 5757 èëè 57;
3) 55 ìëí èëè 11 òûñ.?
33333.....138138138138138..... ×èñëî 288 óìåíüøèëè â 2 ðàçà, à çàòåì â 9 ðàç.
Âî ñêîëüêî ðàç óìåíüøèëè ÷èñëî 288?
33333.....139139139139139..... Âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 300 : 150 = 2 : 1; 2) 550 : 55 = 50 : 5;
3) 135 : 15 = 45 : 5; 4) 70 : 10 = 14 : 2?
33333.....140140140140140..... Èçâåñòíî, ÷òî 916 ⋅ 205 = 187 780. Íå âûïîëíÿÿ
äåéñòâèé, îïðåäåëèòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 187 780 : 205 = 916;
2) 187 780 : 916 = 205;
3) 205 . 916 = 187 780;
4) 916 . 187 780 = 205.
33333.....141141141141141..... Èçâåñòíî, ÷òî 34 020 : 108 = 315. Íå âûïîëíÿÿ
äåéñòâèé, îïðåäåëèòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî:
1) 108 . 315 = 34 020; 2) 34 020 : 315 = 108;
3) 315 . 34 020 = 108; 4) 315 . 108 = 34 020.
33333.....142142142142142..... Êàê èçìåíèòñÿ ÷àñòíîå, åñëè äåëèìîå óâåëè÷èòü:
1) â 6 ðàç, à äåëèòåëü óâåëè÷èòü â 3 ðàçà;
2) â 8 ðàç, à äåëèòåëü óâåëè÷èòü â 2 ðàçà?
33333.....143143143143143..... Êàê ìîæíî óìåíüøèòü äåëèìîå è äåëèòåëü,
÷òîáû ÷àñòíîå:
1) óâåëè÷èëîñü â 5 ðàç;
2) óìåíüøèëîñü â 4 ðàçà?
33333.....144144144144144..... Ñîñòàâüòå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷è-
ñåë, â êîòîðîé ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî:
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
133
1) 729, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 3 ðàçà ìåíüøå ïðå-
äûäóùåãî;
2) 1024, à êàæäîå ñëåäóþùåå ïîëó÷àþò èç ïðåäû-
äóùåãî äåëåíèåì íà 2.
33333.....145145145145145..... Íàéäèòå ÷àñòíîå:
1) íàèáîëüøåãî ÷åòûðåõçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèáîëü-
øåãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà;
2) íàèìåíüøåãî ïÿòèçíà÷íîãî ÷èñëà è íàèìåíüøå-
ãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà.
33333.....146146146146146..... Íà äâîðå òðàâà, íà òðàâå äðîâà. Îïðåäåëèòå
÷èñëî îäèíàêîâûõ ïîëåíüåâ, êîòîðûå ïëîòíî óëîæåíû
â îäèí ðÿä íà òðàâÿíîì ãàçîíå ïëîùàäüþ 240 äì2,
åñëè îäíî ïîëåíî çàíèìàåò 2 äì2 (ðèñ. 112).
33333.....147147147147147..... Äåòè ðàññûïàëè 216 öâåòíûõ êàðàíäàøåé è
ðàçëîæèëè èõ â 18 êîðîáîê ïîðîâíó. Ñêîëüêî êàðàí-
äàøåé îêàçàëîñü â êàæäîé êîðîáêå?
33333.....148148148148148..... Çàêëàäûâàÿ íîâóþ ïëàíòàöèþ íîâîãîäíèõ åëîê,
ëåñîïîñàäî÷íàÿ ìàøèíà ôîðìèðóåò 32 îäèíàêîâûõ
ðÿäà. Ñêîëüêî åëîê áóäåò ïîñàæåíî â êàæäîì ðÿäó,
åñëè îáùåå êîëè÷åñòâî ñàæåíöåâ 1440 øòóê?
33333.....149149149149149..... Â êàæäîé êîðîáêå 60 óïàêîâîê ìåëêîâ, à â êàæ-
äîé óïàêîâêå 80 ìåëêîâ. Åæåäíåâíî íà óðîêàõ ìàòå-
ìàòèêè ðàñõîäóåòñÿ 16 ìåëêîâ. Íà ñêîëüêî äíåé äëÿ
óðîêîâ ìàòåìàòèêè õâàòèò îäíîé êîðîáêè?
Ðèñ. 112
3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
134
90 см 20 см
33333.....150150150150150..... Íà èçãîòîâëåíèå îäíîé ñêàòåðòè òðåáóåòñÿ êó-
ñîê ëüíÿíîãî ïîëîòíà îïðåäåëåííîé øèðèíû äëèíîé
90 ñì, à íà èçãîòîâëåíèå øåñòè ñàëôåòîê êâàäðàòíîé
ôîðìû óõîäèò êóñîê ýòîãî æå ïîëîòíà äëèíîé 20 ñì
(ðèñ. 113). Ñêîëüêî òàêèõ êîìïëåêòîâ ìîæíî èçãî-
òîâèòü èç ëüíÿíîãî ïîëîòíà äëèíîé 33 ì? Îïðåäåëèòå
øèðèíó ïîëîòíà.
33333.....151151151151151.....* Äåëèìîå â 7 ðàç áîëüøå äåëèòåëÿ, à äåëèòåëü
íà 2 áîëüøå ÷àñòíîãî. Íàéäèòå äåëèìîå, äåëèòåëü,
÷àñòíîå.
33333.....152152152152152.....* Èçâåñòíî, ÷òî 5 êðàñíûõ ñòåðæíåé äîðîæå
6 ÷åðíûõ ñòåðæíåé. ×òî äîðîæå: 9 êðàñíûõ ñòåðæ-
íåé èëè 10 ÷åðíûõ?
3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë
ïî èõ ñóììå è ÷àñòíîìó
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåð.èìåð.èìåð.èìåð.èìåð. Ïåòÿ è Âàñÿ ïîéìàëè âäâîåì 42 ðàêà. Ñêîëü-
êî ðàêîâ ïîéìàë êàæäûé èç íèõ, åñëè Ïåòÿ ïîéìàë
â 5 ðàç áîëüøå ðàêîâ, ÷åì Âàñÿ?
Ðåøåíèå. Ñäåëàåì ñõåìàòè÷åñêèé ðèñóíîê óñëîâèÿ
(ðèñ. 114).
Èç ýòîãî ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè ðàêîâ, ïîéìàííûõ
Âàñåé, ïðèíÿòü çà 1 ÷àñòü, òî ðàêè, ïîéìàííûå Ïåòåé,
Ðèñ. 113
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
135
ñîñòàâëÿþò 5 òàêèõ ÷àñòåé. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå ïîé-
ìàííûå ðåáÿòàìè ðàêè ñîñòàâëÿþò 1 + 5 = 6 (÷àñòåé).
Íà ýòè 6 ÷àñòåé ïðèõîäèòñÿ 42 ðàêà. Çíà÷èò, íà îäíó
÷àñòü ïðèõîäèòñÿ 42 : 6 = 7 (ðàêîâ). Ýòî ñòîëüêî ðàêîâ,
ñêîëüêî ïîéìàë Âàñÿ. À Ïåòÿ ïîéìàë â 5 ðàç áîëüøå,
ò. å. 7 . 5 = 35 (ðàêîâ).
Îòâåò: Ïåòÿ ïîéìàë 35 ðàêîâ, à Âàñÿ — 7 ðàêîâ.
Çàïèøèòå ðåøåíèå çàäà÷è ïî äåéñòâèÿì.
À âîò ðåøåíèå ýòîé æå çàäà÷è ñ ïîìîùüþ
óðàâíåíèÿ.
Ïóñòü õ ðàêîâ ïîéìàë Âàñÿ, òîãäà õ . 5 ðàêîâ ïîé-
ìàë Ïåòÿ. Ïîñêîëüêó âìåñòå îíè ïîéìàëè 42 ðàêà, òî
ñîñòàâèì óðàâíåíèå:
õ + õ . 5 = 42.
Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì õ = 7.
Âîïðîñû
1. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå äåëèìîå, çíàÿ äåëèòåëü è ÷àñòíîå?
2. Êàê íàéòè íåèçâåñòíûé äåëèòåëü, çíàÿ äåëèìîå è ÷àñòíîå?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....153153153153153.....° Â äâóõ ðóëîíàõ 1080 ì òêàíè. Â îäíîì èç íèõ
â 3 ðàçà áîëüøå òêàíè, ÷åì â äðóãîì. Ñêîëüêî ìåò-
ðîâ òêàíè â êàæäîì ðóëîíå?
Ðèñ. 114
Ïåòèíû ðàêè
Âàñèíû ðàêè42 ðàêà
3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå è ÷àñòíîìóНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
136
33333.....154154154154154.....°  äâóõ ïàêåòàõ 1350 ã ïå÷åíüÿ.  îäíîì èç
íèõ ïå÷åíüÿ â 2 ðàçà áîëüøå, ÷åì â äðóãîì. Ñêîëüêî
ãðàììîâ â êàæäîì ïàêåòå?
33333.....155155155155155.....° Â ìàãàçèíå çà äåíü ïðîäàíî 1020 êã êàðòîôåëÿ.
Ïîñëå îáåäà ïðîäàíî êàðòîôåëÿ â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì
äî îáåäà. Ñêîëüêî êàðòîôåëÿ áûëî ïðîäàíî äî è ïî-
ñëå îáåäà?
33333.....156156156156156..... Äëÿ ñïîðòèâíîãî êëóáà êóïèëè 70 áîëüøèõ
è ìàëåíüêèõ ìÿ÷åé. Áîëüøèõ ìÿ÷åé êóïèëè â 4 ðàçà
ìåíüøå, ÷åì ìàëåíüêèõ. Ñêîëüêî êóïèëè áîëüøèõ
ìÿ÷åé è ñêîëüêî ìàëåíüêèõ?
33333.....157157157157157..... Íà òðåõ ïîëêàõ ðàññòàâèëè 36 ÷àøåê òàê, ÷òî
íà âåðõíåé ïîëêå ÷àøåê âäâîå áîëüøå, ÷åì íà íèæ-
íåé, à íà ñðåäíåé ïîëêå ÷àøåê â 3 ðàçà áîëüøå, ÷åì
íà âåðõíåé. Ñêîëüêî ÷àøåê íà êàæäîé ïîëêå?
33333.....158158158158158..... Íà òðåõ ïîëêàõ 44 êíèãè ðàñïîëîæèëè òàê, ÷òî
íà âåðõíåé ïîëêå êíèã âäâîå áîëüøå, ÷åì íà íèæíåé,
à íà ñðåäíåé ïîëêå êíèã â 4 ðàçà áîëüøå, ÷åì íà âåðõ-
íåé. Ñêîëüêî êíèã íà êàæäîé ïîëêå?
33333.....159159159159159..... Êîòîðûé òåïåðü ÷àñ, åñëè ïðîøåäøàÿ ÷àñòü ñó-
òîê â 3 ðàçà ìåíüøå îñòàâøåéñÿ?
33333.....160160160160160..... Êîòîðûé òåïåðü ÷àñ, åñëè îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü ñó-
òîê â 2 ðàçà ìåíüøå ïðîøåäøåé?
33333.....161161161161161.....* Ýäèê, Ïàøà è Äèìà â ïðûæêàõ â âûñîòó ïî-
êàçàëè ðåçóëüòàòû 105 ñì, 100 ñì è 95 ñì. Ýäèê ïðûã-
íóë íå íèæå Ïàøè, à Äèìà ïðûãíóë íå âûøå Ïàøè.
Íà êàêóþ âûñîòó ïðûãíóë êàæäûé èç ìàëü÷èêîâ?
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
137
3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë
ïî èõ ðàçíîñòè è ÷àñòíîìó
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåð.èìåð.èìåð.èìåð.èìåð.  ïëàöêàðòíîì âàãîíå íà 36 ìåñò áîëüøå,
÷åì â êóïåéíîì. Ñêîëüêî ìåñò â ïëàöêàðòíîì âàãî-
íå, åñëè â íåì â 3 ðàçà áîëüøå ìåñò, ÷åì â êóïåéíîì?
Ðåøåíèå. Ñäåëàåì ñõåìàòè÷åñêèé ðèñóíîê óñëîâèÿ
(ðèñ. 115).
Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî åñëè ìû ïðèìåì ÷èñëî ìåñò
â êóïåéíîì âàãîíå çà 1 ÷àñòü, òîãäà ÷èñëî ìåñò â
ïëàöêàðòíîì âàãîíå ñîñòàâëÿåò 3 ÷àñòè.
 ïëàöêàðòíîì âàãîíå ìåñò áîëüøå, ÷åì â êóïåé-
íîì, íà
3 − 1 = 2 (÷àñòè).
Íà îäíó ÷àñòü ïðèõîäèòñÿ
36 : 2 = 18 (ìåñò).
Çíà÷èò, â ïëàöêàðòíîì âàãîíå
18 . 3 = 54 (ìåñòà).
Îòâåò: 54 ìåñòà.
Ïóñòü â êóïåéíîì âàãîíå õ ìåñò, òîãäà â
ïëàöêàðòíîì — õ . 3 ìåñò. Ïîñêîëüêó â ïëàö-
êàðòíîì âàãîíå íà 36 ìåñò áîëüøå, ÷åì â êóïåéíîì,
òî ñîñòàâèì óðàâíåíèå:
õ . 3 − õ = 36.
Ðåøèâ åãî, ïîëó÷èì õ = 18.
×èñëî ìåñò â ïëàöêàðòíîì
âàãîíå
×èñëî ìåñò â êóïåéíîì
âàãîíå36 ìåñò
Ðèñ. 115
3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ðàçíîñòè è ÷àñòíîìóНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
138
Âîïðîñû
1. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå âû÷èòàåìîå, çíàÿ óìåíüøàåìîå
è ðàçíîñòü?
2. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå óìåíüøàåìîå, çíàÿ âû÷èòàåìîå
è ðàçíîñòü?
3. Êàê íàéòè íåèçâåñòíîå äåëèìîå, çíàÿ äåëèòåëü è ÷àñòíîå?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....162162162162162.....° Ñîâåðøàÿ îäíîäíåâíûé ïîõîä, ó÷àùèåñÿ ñäå-
ëàëè ïðèâàë. Îáñóäèâ äàëüíåéøèé ìàðøðóò, îíè ïðè-
øëè ê âûâîäó, ÷òî èì îñòàëîñü ïðîéòè ïóòü â 3 ðàçà
ìåíüøèé è îí íà 8 êì êîðî÷å ïðîéäåííîãî. Íàéäèòå
äëèíó âñåãî òóðèñòñêîãî ìàðøðóòà.
33333.....163163163163163..... Ìàëü÷èê ðàçðåçàë ïðîâîä íà äâå ÷àñòè òàê, ÷òî
îäíà èç íèõ îêàçàëàñü â 6 ðàç äëèííåå äðóãîé. Íàé-
äèòå ïåðâîíà÷àëüíóþ äëèíó ïðîâîäà, åñëè áîëüøàÿ
÷àñòü íà 35 ñì äëèííåå ìåíüøåé.
33333.....164164164164164.....°  ëèòåðàòóðíîì êðóæêå â 3 ðàçà ìåíüøå ó÷à-
ùèõñÿ, ÷åì â ìàòåìàòè÷åñêîì êðóæêå. Ñêîëüêî âñå-
ãî ó÷àùèõñÿ çàíèìàþòñÿ â ýòèõ êðóæêàõ, åñëè â ëè-
òåðàòóðíîì íà 16 ó÷åíèêîâ ìåíüøå, ÷åì â ìàòåìàòè-
÷åñêîì?
33333.....165165165165165..... Â æåëòîé ïàïêå â 4 ðàçà áîëüøå ëèñòîâ áóìàãè,
÷åì â êðàñíîé. Ñêîëüêî âñåãî ëèñòîâ áóìàãè â ýòèõ
ïàïêàõ, åñëè â êðàñíîé ïàïêå íà 30 ëèñòîâ ìåíüøå,
÷åì â æåëòîé?
33333.....166166166166166..... Ó Íàòàøè â 7 ðàç áîëüøå îòêðûòîê, ÷åì ó Òà-
íè. Ñêîëüêî âñåãî îòêðûòîê ó äåâî÷åê, åñëè ó Íàòàøè
íà 24 îòêðûòêè áîëüøå, ÷åì ó Òàíè?
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
139
33333.....167167167167167..... Òóðáþðî â òå÷åíèå ëåòíåãî ïåðèîäà ïðîäàëî â
3 ðàçà ìåíüøå ïóòåâîê â ñàíàòîðèè, ÷åì íà òóðáàçó,
íî íà 88 ïóòåâîê áîëüøå, ÷åì â ïðîôèëàêòîðèè. Ñêîëü-
êî âñåãî ïðîäàíî ïóòåâîê, åñëè íà òóðáàçó áûëî ïðîäà-
íî íà 312 ïóòåâîê áîëüøå, ÷åì â ñàíàòîðèè?
33333.....168168168168168..... Íà ýëåâàòîð ïîñòóïèëî ïøåíèöû â 2 ðàçà áîëü-
øå, ÷åì ðæè, à îâñà — â 3 ðàçà ìåíüøå, ÷åì ðæè.
Ñêîëüêî çåðíà êàæäîé êóëüòóðû ïîñòóïèëî íà ýëåâà-
òîð, åñëè ïøåíèöû ïîñòóïèëî íà 720 ò áîëüøå, ÷åì ðæè?
33333.....169169169169169.....* Íà êíèæíîì ñêëàäå ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå
áûëî â 4 ðàçà áîëüøå, ÷åì ïî èñòîðèè, ïî ëèòåðàòó-
ðå — â 2 ðàçà ìåíüøå, ÷åì ïî èñòîðèè. Ó÷åáíèêîâ
ïî ëèòåðàòóðå áûëî íà 30 450 ìåíüøå, ÷åì ïî ìàòå-
ìàòèêå. Ñêîëüêî ó÷åáíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå âûâåçëè
ñî ñêëàäà, åñëè èõ îñòàëîñü íà 28 620 ìåíüøå, ÷åì
âûâåçëè?
33333.....170170170170170.....* Îò äà÷íîãî ó÷àñòêà äî æåëåçíîäîðîæíîé ñòàí-
öèè è îáðàòíî äà÷íèê íà âåëîñèïåäå åäåò 24 ìèí.
Åñëè îí äî ñòàíöèè ïîåäåò íà âåëîñèïåäå, à íàçàä
ïîéäåò ïåøêîì, òî çàòðàòèò 42 ìèí. Çà êàêîå âðåìÿ
äà÷íèê ïðîéäåò ïóòü ïåøêîì îò äà÷è äî ñòàíöèè è
îáðàòíî?
3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ
Íàïîìíèì, ÷òî çàïèñü, ñîñòàâëåííàÿ èç ÷èñåë, çíà-
êîâ àðèôìåòè÷åñêèõ äåéñòâèé è ñêîáîê, íàçûâàåòñÿ
÷èñëîâûì âûðàæåíèåì.
Çíà÷åíèåì ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñ-
ëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ â ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ âñåõ
óêàçàííûõ â ýòîì âûðàæåíèè äåéñòâèé.
3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
140
Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå íàçûâàþòñÿ äåéñò-
âèÿìè ïåðâîé ñòóïåíè. Óìíîæåíèå è äåëåíèå
íàçûâàþòñÿ äåéñòâèÿìè âòîðîé ñòóïåíè.
Íàïîìíèì ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé ïðè âû-
÷èñëåíèè çíà÷åíèé ÷èñëîâûõ âûðàæåíèé.
1. Åñëè â âûðàæåíèè íåò ñêîáîê è îíî ñîäåðæèò
äåéñòâèÿ òîëüêî îäíîé ñòóïåíè, òî ýòè äåéñòâèÿ
âûïîëíÿþò ïî ïîðÿäêó ñëåâà íàïðàâî.
Íàïðèìåð:
à) 283 − 13 + 105 = 270 + 105 = 375;
á) 340 : 17 . 45 = 20 . 45 = 900.
2. Åñëè â âûðàæåíèè íåò ñêîáîê è îíî ñîäåðæèò
äåéñòâèÿ ðàçíûõ ñòóïåíåé, òî ñíà÷àëà âûïîëíÿþò
óìíîæåíèå è äåëåíèå (ñëåâà íàïðàâî), à çàòåì ñëîæå-
íèå è âû÷èòàíèå (ñëåâà íàïðàâî).
Íàïðèìåð:
475 − 750 : 10 + 20 . 15 = 475 − 75 + 300 == 400 + 300 = 700.
3. Åñëè â âûðàæåíèè åñòü ñêîáêè, òî ñíà÷àëà âû-
ïîëíÿþò âñå äåéñòâèÿ â ñêîáêàõ (ñëåâà íàïðàâî),
à çàòåì âñå äåéñòâèÿ â ïîëó÷åííîì âûðàæåíèè (ñëå-
âà íàïðàâî).
Íàïðèìåð:
475 − 750 : (10 + 20) . 15 = 475 − 750 : 30 . 15 == 475 − 25 . 15 = 475 − 375 = 100.
Îáðàòèòå âíèìàíèå, âûðàæåíèÿ
475 − 750 : 10 + 20 . 15 è 475 − 750 : (10 + 20) . 15
îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ñêîáêàìè. Íî ñêîáêè ìåíÿþò ïî-
ðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé, ïîýòîìó çíà÷åíèÿ ó ýòèõ
âûðàæåíèé ðàçíûå, ñîîòâåòñòâåííî, 700 è 100.
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
141
Âîïðîñû
1. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ÷èñëîâûì âûðàæåíèåì; á) çíà÷å-
íèåì ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ?
2. Êàêèå äåéñòâèÿ íàçûâàþò äåéñòâèÿìè: à) ïåðâîé ñòó-
ïåíè; á) âòîðîé ñòóïåíè?
3. Êàêîâ ïîðÿäîê âûïîëíåíèÿ äåéñòâèé ïðè âû÷èñëåíèè
çíà÷åíèé ÷èñëîâûõ âûðàæåíèé?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....171171171171171..... Ïðî÷èòàéòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî
çíà÷åíèå:
1) 42 + 69; 2) 97 − 11;
3) 47 . 25; 4) 33 : 3.
33333.....172172172172172.....° Ïðî÷èòàéòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî
çíà÷åíèå:
1) 18 : 9 + 11 . 6; 2) 511 + 804 : 12;
3) (86 + 67) : 17; 4) (34 + 19) . (62 + 5);
5) (159 − 29) : (98 − 33); 6) 23 . (76 − 41).
33333.....173173173173173..... Ñîñòàâüòå ÷èñëîâîå âûðàæåíèå è íàéäèòå åãî
çíà÷åíèå:
1) ñóììà ÷èñëà 39 è ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë 11 è 7;
2) ñóììà ïðîèçâåäåíèÿ ÷èñåë 21 è 8 è ÷àñòíîãî
÷èñåë 305 è 61;
3) ïðîèçâåäåíèå ñóììû ÷èñåë 83 è 27 è ÷èñëà 25;
4) ÷àñòíîå ðàçíîñòè ÷èñåë 69 è 21 è ÷èñëà 12.
33333.....174174174174174..... Íàéäèòå çíà÷åíèå ÷èñëîâîãî âûðàæåíèÿ:
1) 10 . (324 230 + 125) − 346 210 : 2;
2) (526 280 − 3625) : 5 + 3104 . 323;
3) 130 800 : 25 . 137 − (17 260 + 668);
4) (732 534 − 37 200) + 304 : 2 . 326.
3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
142
33333.....175175175175175..... Ñðàâíèòå çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé:
1) 5642 − (2483 − 987) è 5642 − (2483 − 984);
2) 6142 − (1542 − 947) è 6142 − (1542 − 949);
3) 48 913 + (981 − 799) è 48 910 + (981 − 799);
4) 53 204 + (473 − 194) è 53 207 + (473 − 192).
33333.....176176176176176..... ×èñëî 36 ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû äâóõ ñëàãàå-
ìûõ òàê, ÷òîáû îäíî èç íèõ áûëî áîëüøå äðóãîãî:
1) íà 12; 2) â 5 ðàç.
33333.....177177177177177..... Ìàññà áåãåìîòèõè äîñòèãàåò 550 êã, à ìàññà åå
äåòåíûøà â 5 ðàç ìåíüøå. Êàêîâà îáùàÿ ìàññà áåãå-
ìîòèõè è åå äåòåíûøà?
33333.....178178178178178..... Äëèíà ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà 18 äì, à øèðèíà —
íà 17 äì ìåíüøå. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà.
33333.....179179179179179..... Íà îòðåçêå KÌ (ðèñ. 116) îòìåòèëè òî÷êè À è Â
òàê, ÷òî äëèíà îòðåçêà KÀ ðàâíà 4 ñì, äëèíà îòðåç-
êà ÀÂ íà 1 ñì ìåíüøå äëèíû îòðåçêà KÀ, à äëèíà
îòðåçêà ÂÌ ðàâíà ñóììå äëèí îòðåçêîâ KÀ è ÀÂ.
Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà KÌ.
33333.....180180180180180..... Äëÿ øêîëüíîãî ïðàçäíèêà áûëî êóïëåíî 93 øà-
ðèêà òðåõ öâåòîâ. Êðàñíûõ øàðèêîâ áûëî íà 12 ìåíü-
øå, ÷åì áåëûõ, à ñèíèõ íà 12 áîëüøå, ÷åì áåëûõ. Ñêîëü-
êî øàðèêîâ êàæäîãî öâåòà êóïèëè äëÿ ïðàçäíèêà?
33333.....181181181181181..... Ñîñòàâüòå çàäà÷ó ïî ÷èñëîâîìó âûðàæåíèþ:
1) (32 + 45) . 2; 2) 64 : 8 − 72 : 9.
33333.....182182182182182..... Ñîñòàâüòå ñóììó ÷åòûðåõ ÷èñåë, ïåðâîå èç êîòî-
ðûõ ðàâíî 12, à êàæäîå ñëåäóþùåå íà 5 áîëüøå ïðå-
äûäóùåãî. Íàéäèòå çíà÷åíèå ýòîãî âûðàæåíèÿ.
Ðèñ. 116
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
143
33333.....183183183183183..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ:
1) 43 578 + 41 200 : 200 − 812 . 13;
2) ((526 + 375) . 68 − 14 . (674 + 348)) : 16;
3) ((3026 + 2175) . 8 − 2 . (3074 + 2050)) : 16;
4) 43 500 780 + 412 000 : 2000 − 81 201 . 13.
33333.....184184184184184..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) 86 + õ + 138 = 250;
2) 250 − (175 − y) = 125;
3) (x − 84) . 11 = 176;
4) 723 − (246 + õ) = 123;
5) 24 . (94 − y) = 384;
6) 76 659 : y + (32 . 22 − 62) : 507 = 101.
33333.....185185185185185..... Äëèíà îòðåçêà ÀÂ ðàâíà 16 äì 8 ñì, äëèíà îò-
ðåçêà CD — 420 ìì. Âî ñêîëüêî ðàç äëèíà îòðåçêà CD
ìåíüøå äëèíû îòðåçêà ÀÂ?
33333.....186186186186186.....* Íàéäèòå òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ
÷èñëà, åñëè èõ ñóììà ðàâíà 840.
33333.....187187187187187.....* Ïåòÿ çàäóìàë íàòóðàëüíîå ÷èñëî ìåíüøå 100.
Ïîêàæèòå, ÷òî âû ìîæåòå îïðåäåëèòü ýòî ÷èñëî, çàäàâ
Ïåòå íå áîëåå 7 âîïðîñîâ, íà êîòîðûå îí áóäåò äàâàòü
îòâåòû ñëîâàìè «äà» èëè «íåò».
3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Ðàññòîÿíèå îò òóðèñòñêîãî ëàãåðÿ äî ãîðîäà
Áîðèñîâà 28 êì. Òóðèñòû èäóò èç ëàãåðÿ â ãîðîä ñî
ñêîðîñòüþ 4км
.ч
Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò Áîðèñîâà
îíè áóäóò:
à) ÷åðåç 2 ÷; á) ÷åðåç 3 ÷; â) ÷åðåç t ÷?
3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìèНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
144
Ðåøåíèå.
à) Çà 2 ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . 2 êì. Çíà÷èò, ÷åðåç
2 ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè
28 − 4 . 2, ò. å. 20 êì.
á) Çà 3 ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . 3 êì. Çíà÷èò, ÷åðåç
3 ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè
28 − 4 . 3, ò. å. 16 êì.
â) Çà t ÷ òóðèñòû ïðîøëè 4 . t êì. Çíà÷èò, ÷åðåç
t ÷ îíè áóäóò îò Áîðèñîâà íà ðàññòîÿíèè
(28 − 4 . t) êì.
Çàïèñü, ñîñòîÿùàÿ èç ÷èñåë, áóêâ, çíàêîâ äåé-
ñòâèé è ñêîáîê, íàçûâàåòñÿ áóêâåííûì âû-
ðàæåíèåì.
Òåïåðü, åñëè íóæíî áóäåò óçíàòü, íà êàêîì ðàñ-
ñòîÿíèè îò Áîðèñîâà òóðèñòû áóäóò ÷åðåç 5 ÷, ìû
ïðîñòî ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå 28 − 4 . t âìåñòî áóê-
âû t ÷èñëî 5 è âû÷èñëèì çíà÷åíèå ïîëó÷åííîãî ÷èñ-
ëîâîãî âûðàæåíèÿ:
28 − 4 . 5 = 8 (êì).
 áóêâåííîì âûðàæåíèè 28 − 4 . t áóêâà t, âìåñòî
êîòîðîé ìîæíî ïîäñòàâëÿòü ðàçëè÷íûå ÷èñëà, íàçû-
âàåòñÿ ïåðåìåííîé, à ñàìî âûðàæåíèå — âûðàæå-
íèåì ñ ïåðåìåííîé. Âîîáùå, ïåðåìåííûå — ýòî áóê-
âû, âõîäÿùèå â áóêâåííîå âûðàæåíèå, êîòîðûå ìîãóò
ïðèíèìàòü ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ.
Åñëè â âûðàæåíèå ñ ïåðåìåííûìè âìåñòî ïåðå-
ìåííûõ ïîäñòàâèòü ÷èñëà, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñ-
ëîâîå âûðàæåíèå. Åãî çíà÷åíèå íàçûâàåòñÿ
çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ïðè
äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ.
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
145
Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2. Íàéòè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 17 ⋅ a − b : 3 ïðè
à = 4, b = 33.
Ðåøåíèå. Ïðè à = 4 è b = 33 ïîëó÷èì
17 . a − b : 3 = 17 . 4 − 33 : 3 = 68 − 11 = 57.
Îòâåò: 57.
Ãîâîðèì: «Ïðè à, ðàâíîì ÷åòûðåì, è b, ðàâíîì òðèä-
öàòè òðåì, âûðàæåíèå 17 . a − b : 3 ïðèíèìàåò çíà÷å-
íèå, ðàâíîå 57».
Ïðèìåð 3.Ïðèìåð 3.Ïðèìåð 3.Ïðèìåð 3.Ïðèìåð 3. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè p çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
5 . p + 3 . (p + 1) ðàâíî 19?
Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí óìíîæå-
íèÿ îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ:
5 . p + 3 . (p + 1) = 5 . p + 3 . p + 3 . 1 == (5 + 3) . p + 3 = 8 . p + 3.
Ðåøèâ óðàâíåíèå 8 . p + 3 = 19, ïîëó÷èì p = 2.
Îòâåò: ïðè p = 2.
Âîïðîñû
1. ×òî íàçûâàåòñÿ áóêâåííûì âûðàæåíèåì?
2. ×òî òàêîå ïåðåìåííàÿ?
3. ×òî íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè
ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....188188188188188.....° Ïðî÷èòàéòå âûðàæåíèå:
1) 32 . b; 2) 14 . c;
3) 117 . n; 4) 48 . a + b;
5) 35 . m − n2; 6) 44 . b3 + 2;
3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìèНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
146
7) 3 . n + 4 . m5; 8) 95 . x7 − 14 . y;
9) 81 . p2 + q3 − 65; 10) 35 . t4 − s2 + 2.
33333.....189189189189189.....° Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå ïî óñëîâèþ çàäà÷è.
1) Îäíî ÷èñëî ðàâíî à, à äðóãîå â 5 ðàç áîëüøå.
×åìó ðàâíî âòîðîå ÷èñëî?
2) Îäíî ÷èñëî ðàâíî b, à äðóãîå íà 5 áîëüøå. ×åìó
ðàâíî âòîðîå ÷èñëî?
3) Òàíå 10 ëåò, à Èðà â n ðàç ìëàäøå. Ñêîëüêî
ëåò Èðå?
4) Â øêîëó Ñòåïà èäåò 15 ìèí, à îáðàòíî — íà
ñ ìèí äîëüøå. Ñêîëüêî âðåìåíè ó íåãî óõîäèò
íà äîðîãó â øêîëó è îáðàòíî?
33333.....190190190190190..... Çàïèøèòå ñóììó è ïðîèçâåäåíèå äâóõ âûðàæåíèé:
1) 25 + 36 è 80 − à; 2) 91 . f è 101 . k;
3) 14 : t è 29 + b; 4) 134 . m è 45 : n.
33333.....191191191191191..... Çàïèøèòå ðàçíîñòü è ÷àñòíîå äâóõ âûðàæåíèé:
1) 130 − à è 25 . à; 2) 14 + m è n + 36;
3) õ − 16 è ó − 95; 4) 72 . t è 121 : k.
33333.....192192192192192..... Ðàñêðîéòå ñêîáêè:
1) 12 + (16 − 4 . à); 2) 12 + (8 − 4 . å);
3) 2 . (3ð − 40) − 18; 4) 4 . (3ð + 25) + 17.
33333.....193193193193193..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ ïðè à = 1:
1) 38 + à; 2) à2 + 1;
3) 29 . à + à2; 4) 50 . à − 25 . à2.
33333.....194194194194194.....° Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 38 6301 + à, åñëè à = 2 906 715;
2) 56 093 201 − b, åñëè b = 46 901 203;
3) (13 901 − t) . 2, åñëè t = 1894;
4) (1597 + k) − 32 . k, åñëè k = 35.
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
147
33333.....195195195195195..... Óïðîñòèòå âûðàæåíèå, èñïîëüçóÿ çàêîíû ñëîæå-
íèÿ è óìíîæåíèÿ:
1) 2 . b + 29 + 3 . b − 4; 2) 87 + 3 . c + 6 . c + 3;
3) 64 + 60 . c − 54 . c; 4) 105 . n − 4 − 50 . n;
5) 4 . (12 − m); 6) (k − 13) . 7;
7) 14 + 2 . (b − 5); 8) 8 ⋅ n + (5 + n) . 4.
33333.....196196196196196..... Ïðè êàêîì çíà÷åíèè t çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
3 . t + 2 . (5 − t) ðàâíî:
1) 14; 2) 29; 3) 33; 4) 108?
33333.....197197197197197.....* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ p è q çíà÷åíèå âûðàæå-
íèÿ 3 . (p − 2 . q) + 6q − 12 ðàâíî:
1) 12; 2) 33; 3) 36; 4) 99?
33333.....198198198198198.....* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ k è m çíà÷åíèå âûðàæå-
íèÿ k + 3 . (4 . m + 5) − 12m − 11 ðàâíî:
1) 35; 2) 63; 3) 707; 4) 2121?
33333.....199199199199199.....* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ m è p çíà÷åíèå âûðàæå-
íèÿ 4 . p + 2 . (4 − 2 . p) − 8 + 64 : m ðàâíî:
1) 2; 2) 16; 3) 32; 4) 64?
33333.....200200200200200.....* Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à è b çíà÷åíèå âûðàæå-
íèÿ 4a + 2 . (3 . b − a) − 6 . b + 10 ðàâíî:
1) 10; 2) 12; 3) 30;
4) 40; 5) 28; 6) 64?
33333.....201201201201201..... Óïðîñòèòå âûðàæåíèå:
1) 5 . (2 . m + 3 . p) + 2 . (3 . p − 5 . m);
2) 3 . (4 . p − 2 . q) + 4 . (5 . q − 3 . p);
3) 134 . k − 10 . l + 5 . (2 . l − 17 . k);
4) 48 . n + 18 . t + 8 . (3 . t − 2 . n).
3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìèНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
148
33333.....202202202202202..... Ïà÷êà ïå÷åíüÿ ñòîèò à ðóáëåé, ïàêåò ñîêà —
b ðóáëåé. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòîè-
ìîñòè ïîêóïêè, åñëè êóïèëè:
1) 4 ïà÷êè ïå÷åíüÿ è 2 ïàêåòà ñîêà;
2) 5 ïà÷åê ïå÷åíüÿ è 4 ïàêåòà ñîêà.
33333.....203203203203203.....  êëàññå 14 äåâî÷åê, à ìàëü÷èêîâ íà m ÷åëîâåê
áîëüøå. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà
ó÷åíèêîâ â êëàññå è íàéäèòå åãî çíà÷åíèå ïðè m,
ðàâíîì:
1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 5.
33333.....204204204204204..... Ïåðâîå ÷èñëî ðàâíî n, âòîðîå íà 5, à òðåòüå â
2 ðàçà áîëüøå ïåðâîãî. Ñîñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ
îïðåäåëåíèÿ ñóììû ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå åãî çíà÷å-
íèå ïðè n, ðàâíîì:
1) 9; 2) 16; 3) 39; 4) 51.
33333.....205205205205205..... Ñóììà ñîñòîèò èç ïÿòè ñëàãàåìûõ, ïåðâîå ðàâ-
íî n, à êàæäîå ñëåäóþùåå íà 5 áîëüøå ïðåäûäóùåãî.
Çàïèøèòå ñóììó ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå åå çíà÷åíèå
ïðè n, ðàâíîì:
1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 5.
33333.....206206206206206..... Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñîñòîèò èç øåñòè ÷èñåë,
ïåðâîå ðàâíî à, à êàæäîå ñëåäóþùåå â 6 ðàç áîëüøå
ïðåäûäóùåãî. Çàïèøèòå ñóììó ýòèõ ÷èñåë è íàéäèòå
åå çíà÷åíèå ïðè à, ðàâíîì:
1) 1; 2) 2; 3) 6; 4) 8.
33333.....207207207207207.....* Âî âëàäåíèÿõ Ñíåæíîé Êîðîëåâû 12 ëåäÿíûõ
äîìèêîâ è êàæäûå äâà äîìèêà ñîåäèíåíû äîðîãîé.
Ñêîëüêî äîðîã â êîðîëåâñòâå?
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
149
3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ìàðìåëàäà èç ñëèâ íà
5 ÷àñòåé ñëèâîâîãî ïþðå íàäî âçÿòü 3 ÷àñòè ñàõàðà.
Ñêîëüêî íåîáõîäèìî âçÿòü ñàõàðà, ÷òîáû ïðèãîòîâèòü
ìàðìåëàä èç 10 êã ñëèâîâîãî ïþðå?
Ðåøåíèå. Ïî óñëîâèþ çàäà÷è 10 êã ñëèâîâîãî ïþðå ñî-
ñòàâëÿþò 5 ÷àñòåé.
Çíà÷èò, íà îäíó ÷àñòü ïðèõîäèòñÿ
10 : 5 = 2 (êã).
Ñàõàðà íàäî âçÿòü 3 òàêèå ÷àñòè, çíà÷èò,
2 . 3 = 6 (êã).
Îòâåò: 6 êã.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222.....  êíèãå âîëøåáíèêîâ íàïèñàíî, ÷òî äëÿ ïðè-
ãîòîâëåíèÿ ëåêàðñòâà îò æàäíîñòè íàäî âçÿòü 7 ÷àñ-
òåé ùåäðîñòè, 5 ÷àñòåé äîáðîòû è 2 ÷àñòè ñïðàâåäëè-
âîñòè. Ñêîëüêî âñåãî ïîëó÷èòñÿ ëåêàðñòâà îò æàä-
íîñòè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî èñïîëüçîâàí 21 ã ùåäðîñòè?
Ðåøåíèå. Çàïèñü ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è (ïî âîïðîñàì).
1) Ñêîëüêî ãðàììîâ ùåäðîñòè ïðèõîäèòñÿ íà îäíó
÷àñòü ëåêàðñòâà?
21 : 7 = 3 (ã).
2) Ñêîëüêî âñåãî ðàâíûõ ÷àñòåé íóæíî äëÿ ïðèãî-
òîâëåíèÿ ëåêàðñòâà?
7 + 5 + 2 = 14 (÷àñòåé).
3) Ñêîëüêî ãðàììîâ ëåêàðñòâà ïîëó÷èòñÿ?
3 . 14 = 42 (ã).
Îòâåò: 42 ã.
3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòèНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
150
À ìîæíî, ðåøàÿ ýòó çàäà÷ó, ñîñòàâèòü âûðà-
æåíèå. Ïîñêîëüêó 21 ã ïðèõîäèòñÿ íà 7 ÷àñòåé,
à âñå ëåêàðñòâî ñîäåðæèò (7 + 5 + 2) ÷àñòåé, òî ïîëó-
÷èòñÿ âûðàæåíèå 21 : 7 . (7 + 5 + 2), çíà÷åíèå êîòîðî-
ãî 42 (îíî ðàâíî ìàññå ëåêàðñòâà â ãðàììàõ).
Îòâåò: 42 ã.
Âîïðîñû
1. Ñîñòàâüòå çàäà÷ó íà ÷àñòè ïî âûðàæåíèþ
48 : 12 ⋅ (12 + 3 + 8).
2. Êàê ìîæíî ðåøèòü çàäà÷ó íà ÷àñòè (ñì. âîïðîñ 1)?
Óïðàæíåíèÿ
33333.....208208208208208.....° Ìîðîæåíîå ñîäåðæèò 4 ÷àñòè âîäû, 2 ÷àñòè ìî-
ëî÷íîãî æèðà è 4 ÷àñòè ñàõàðà. Ñêîëüêî íàäî âîäû,
æèðà è ñàõàðà äëÿ ïîëó÷åíèÿ 2 êã ìîðîæåíîãî?
33333.....209209209209209.....° Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ðèñîâîé êàøè íàäî âçÿòü
2 ÷àñòè ðèñà, 3 ÷àñòè ìîëîêà è 5 ÷àñòåé âîäû. Ñêîëü-
êî ìîëîêà è ñêîëüêî âîäû ïîíàäîáèòñÿ, åñëè âçÿëè
180 ã ðèñà?
33333.....210210210210210..... Äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ ìàííîé êàøè áåðóò 10 ÷àñ-
òåé êðóïû, 2 ÷àñòè ñàõàðà, 50 ÷àñòåé ìîëîêà è 1 ÷àñòü
ìàñëà. Ñêîëüêî ïîòðåáóåòñÿ êðóïû, ñàõàðà è ìàñëà,
÷òîáû ñâàðèòü êàøó, èñïîëüçóÿ 1 ë ìîëîêà (1 ë ìî-
ëîêà ≈ 1000 ã).
33333.....212121212111111..... Êîìïîò èç ñóõîôðóêòîâ ñîäåðæèò 3 ÷àñòè èçþ-
ìà, 4 ÷àñòè ÿáëîê, 2 ÷àñòè ãðóø è 35 ÷àñòåé âîäû.
1) Ñêîëüêî ÿáëîê ñîäåðæèòñÿ â 6600 ã êîìïîòà?
2) Ñêîëüêî ïîëó÷èòñÿ êîìïîòà, åñëè ãðóø 200 ã?
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
151
33333.....212212212212212..... Äëÿ îâîùíîãî ðàãó íóæíî âçÿòü 4 ÷àñòè ìîð-
êîâè, 2 ÷àñòè ëóêà è 6 ÷àñòåé êàðòîôåëÿ.
1) Ñêîëüêî êàðòîôåëÿ òðåáóåòñÿ äëÿ 900 ã ðàãó?
2) Ñêîëüêî ïîëó÷èòñÿ ðàãó, åñëè âçÿòü 180 ã ëóêà?
33333.....213213213213213..... Òåñòî äëÿ «ëåíèâûõ» âàðåíèêîâ ñîäåðæèò 14 ÷àñ-
òåé òâîðîãà, 4 ÷àñòè ìóêè, 2 ÷àñòè ìàñëà, 3 ÷àñòè
ñìåòàíû è 2 ÷àñòè ñàõàðà. Íàéäèòå ìàññó êàæäîãî
ïðîäóêòà, íåîáõîäèìîãî äëÿ ïðèãîòîâëåíèÿ 2 êã òåñòà.
33333.....214214214214214..... Ñîñòàâüòå è ðåøèòå çàäà÷ó ïî ñõåìå (ðèñ. 117):
1) 2)
3) 4)
33333.....215215215215215..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) 2 . x + 6 . x + 4 . x − 1472 = 10 528;
2) 3 . a + 2 . a + 7 . a + 8654 = 32 654;
3) 19 . c + 8 . c + 12 . c + 80 039 = 95 639;
4) 11 . b + 14 . b + 9 . b − 14 671 = 87 329.
33333.....216216216216216.....* Ïðîèçâåäåíèå íåñêîëüêèõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ
íå÷åòíûõ ÷èñåë îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 9. Êàêîå íàè-
ìåíüøåå ÷èñëî ìíîæèòåëåé ìîæåò áûòü â ýòîì ïðî-
èçâåäåíèè?
? ?
15 ãà 28 à
36 êã 9 êã
Ðèñ. 117
3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
152
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
33333.....217217217217217..... Âûïîëíèòå äåéñòâèÿ è ðåçóëüòàò îêðóãëèòå:
à) äî äåñÿòêîâ; á) äî ñîòåí:
1) 59 285 : (821 . 17 − 13 952) + 7003;
2) (7007 − 5777) : 15 . 2;
3) 12 . (5369 + 2651) − 19 176 : 47;
4) (6284 : 2 + 683) . 43 − 1617;
5) 806 . (5432 − 2345) : 7 + 368 : 16;
6) (918 341 − 14 867) : 78 + (3482 + 4623) . 12.
33333.....218218218218218..... Ðàñïîëîæèòå ÷èñëà 37 861, 820 012, 23 045,
23 545, 82 100, 37, 880 â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ.
33333.....219219219219219..... Çàïèøèòå âñå:
1) ÷èñëà áîëüøå 6037 è ìåíüøå 6056, ñîäåðæàùèå
öèôðó 5 â ðàçðÿäå äåñÿòêîâ;
2) òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, â êîòîðûõ ÷èñëî äåñÿòêîâ
íà 8 áîëüøå ÷èñëà åäèíèö, à ÷èñëî ñîòåí íà 7
áîëüøå ÷èñëà åäèíèö.
33333.....220220220220220..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) 72 + õ = 149 − 12;
2) õ − 14 . 2 = 60;
3) 13 . õ = 5 . (11 + 2);
4) (37 + 28) − õ = 47 − 24.
5) 39 + õ + 51 = 182 : 2;
6) õ − 81 : 9 = 100 : 25;
7) 505 : 5 − õ = 112 : 2;
8) õ + (170 − 58) = 1000.
33333.....221221221221221.....* Ðåøèòå çàäà÷ó ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ. Âåðíî
ëè, ÷òî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷èñëî:
1) 1509 â âèäå ñóììû ÷èñëà 829 è ÷åòûðåõ ðàâíûõ
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
153
2) 49 275 â âèäå ñóììû îäèííàäöàòè íàòóðàëüíûõ
÷èñåë è ÷èñëà 48 010?
33333.....222222222222222..... Íà ëåâîé ÷àøå âåñîâ ñòîÿò ãèðè 2 êã, 3 êã è
5 êã, à íà ïðàâîé — àðáóç. Êàêîâà ìàññà àðáóçà, åñëè
äëÿ ðàâíîâåñèÿ ïðèøëîñü ïîëîæèòü íà ïðàâóþ ÷àøó
âåñîâ 2 êã 250 ã?
33333.....223223223223223..... Â ìàãàçèí ïðèâåçëè 180 êîðîáîê, â êàæäîé êî-
ðîáêå ïî 46 ïà÷åê ïå÷åíüÿ. Êàêîâà ìàññà âñåãî ïå-
÷åíüÿ, åñëè ìàññà îäíîé ïà÷êè 120 ã?
33333.....224224224224224..... Ïåðåä ñïîðòèâíûìè ñîðåâíîâàíèÿìè âñåõ ó÷åíè-
êîâ ïÿòûõ è øåñòûõ êëàññîâ ïîñòðîèëè â 12 êîëîíí.
 êàæäîé êîëîííå 6 ðÿäîâ ïî 8 ÷åëîâåê. Ñêîëüêî
ó÷åíèêîâ ó÷àñòâîâàëî â ñîðåâíîâàíèè?
33333.....225225225225225..... Ëåñíèê îòìåòèë äëÿ âûðóáêè 58 äåðåâüåâ —
ñîñåí, áåðåç è îñèí. Ñîñåí è îñèí èì îòìå÷åíî 47,
ñîñåí è áåðåç — 24. Ñêîëüêî áåðåç, ñêîëüêî ñîñåí è
ñêîëüêî îñèí îòìå÷åíî ëåñíèêîì?
33333.....226226226226226..... Â äâà ìàãàçèíà ïðèâåçëè 350 ñïîðòèâíûõ êîñ-
òþìîâ. Êîãäà â îäíîì èç íèõ ïðîäàëè 21 êîñòþì,
à â äðóãîì — 9 êîñòþìîâ, òî êîñòþìîâ â ìàãàçè-
íàõ ñòàëî ïîðîâíó. Ñêîëüêî êîñòþìîâ áûëî â êàæäîì
ìàãàçèíå?
33333.....227227227227227.....* Êàê ìîæíî äåòàëü ìàññîé 29 ã óðàâíîâåñèòü
íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ, èñïîëüçóÿ òîëüêî ãèðè ìàññîé
3 ã è 5 ã?
33333.....228228228228228.....* Îäèí äðàíèê ñ îäíîé ñòîðîíû æàðèòñÿ íà ñêî-
âîðîäêå îäíó ìèíóòó. Çà êàêîå âðåìÿ áûñòðåå âñå-
ãî ìîæíî ïîäæàðèòü 9 äðàíèêîâ íà äâóõ îäèíàêî-
âûõ ñêîâîðîäêàõ, åñëè íà îäíîé óìåùàåòñÿ òîëüêî
3 äðàíèêà?
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
33333.....229229229229229.....* Èç âîñüìè îäèíàêîâûõ êîëåö îäíî íåñêîëüêî
ëåã÷å îñòàëüíûõ. Íàéäèòå åãî ïðè ïîìîùè íå áîëåå
÷åì äâóõ âçâåøèâàíèé íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ.
33333.....230230230230230.....* Â äâóõ ñóìêàõ ëåæàò 100 îãóðöîâ. Ìîæåò ëè
÷èñëî îãóðöîâ â îäíîé èç ñóìîê áûòü â äâà ðàçà áîëü-
øå, ÷åì â äðóãîé?
33333.....231231231231231.....* Êàê, èìåÿ ëèøü äâà ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 3 ë
è 4 ë, íàëèòü èç âîäîïðîâîäíîãî êðàíà 2 ë?
33333.....232232232232232.....* Åñëè ê íåêîòîðîìó äâóçíà÷íîìó ÷èñëó ïðèïè-
ñàòü ñïðàâà 0, òî îíî óâåëè÷èòñÿ íà 504. Íàéäèòå
ýòî ÷èñëî.
33333.....233233233233233.....* Ïîñòàâüòå âìåñòî çâåçäî÷åê çíàêè àðèôìåòè÷å-
ñêèõ äåéñòâèé «+», «−», «.», «:» òàê, ÷òîáû çíà÷åíèå
âûðàæåíèÿ 76 � 4 � 51 � 3 áûëî ðàâíî 36.
33333.....234234234234234.....* Íàçîâèòå ïîñëåäíþþ öèôðó ïðîèçâåäåíèÿ âñåõ
òðåõçíà÷íûõ ÷èñåë, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2.
33333.....235235235235235.....* Êàêîé öèôðîé îêàí÷èâàåòñÿ ðàçíîñòü
1 . 2 . 3 . ... . 21 . 22 − 1 . 3 . 5 . ... . 13 . 15?
33333.....236236236236236.....* Ñêîëüêî èìååòñÿ ïÿòèçíà÷íûõ ÷èñåë, ó êîòî-
ðûõ ñóììà öèôð íå äåëèòñÿ íà 2?
33333.....237237237237237.....* Çàäà÷à-øóòêà. Ó êàðòîííîãî êâàäðàòà îòðåçàëè
3 óãëà. Ñêîëüêî óãëîâ îñòàëîñü?
à ë à â à 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
ÄÅËÈÌÎÑÒÜ
ÍÀÒÓÐÀËÜÍÛÕ ×ÈÑÅË
4.1. Äåëèòåëè è êðàòíûå
Ïóñòü à è b — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ãîâîðÿò, ÷òî
÷èñëî à äåëèòñÿ íà ÷èñëî b, åñëè ñóùåñòâóåò òà-
êîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî s, ÷òî
a = b . s
Íàïðèìåð, ÷èñëî 112 äåëèòñÿ íà 7, òàê êàê 112 = 7 . 16.
 ðàâåíñòâå a = b . s ÷èñëî b íàçûâàåòñÿ äåëèòå-
ëåì ÷èñëà à. Òàêèì îáðàçîì, äåëèòåëü ÷èñëà à —
ýòî ÷èñëî, íà êîòîðîå äåëèòñÿ à.
Íàïðèìåð, âñå äåëèòåëè ÷èñëà 30 — ýòî ÷èñëà 1, 2,
3, 5, 6, 10, 15, 30.
×èñëà 42, 78 è 24 äåëÿòñÿ íà 6, òàê êàê 42 = 6 . 7,
78 = 6 . 13, 24 = 6 . 4. Ñóììà ýòèõ ÷èñåë òîæå äåëèòñÿ
íà 6, òàê êàê
42 + 78 + 24 = 6 . 7 + 6 . 13 + 6 . 4 = 6 . (7 + 13 + 4) = 6 . 24.
Âîîáùå,
åñëè êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà íåêîòîðîå
÷èñëî, òî è ñóììà äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî.
È, ñîîòâåòñòâåííî, åùå îäíî ñâîéñòâî äåëèìîñòè
ñóììû:
155
4ГЛАВА
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
156
åñëè îäíî ñëàãàåìîå íå äåëèòñÿ íà íåêîòî-
ðîå ÷èñëî, à îñòàëüíûå äåëÿòñÿ, òî ñóììà
íå äåëèòñÿ íà ýòî ÷èñëî.
Íàïðèìåð, ÷èñëà 42 è 78 äåëÿòñÿ íà 6, à ÷èñëî 21
íå äåëèòñÿ íà 6. Ïîýòîìó èõ ñóììà 42 + 78 + 21 = 141
íà 6 íå äåëèòñÿ.
Åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî à äåëèòñÿ íà íàòóðàëüíîå
÷èñëî b, òî ÷èñëî à íàçûâàåòñÿ êðàòíûì ÷èñëà b
(ãîâîðÿò åùå «÷èñëî à êðàòíî ÷èñëó b»). Äðóãèìè
ñëîâàìè, êðàòíîå ÷èñëà b — ýòî ÷èñëî, êîòîðîå äå-
ëèòñÿ íà b.
Âîò, íàïðèìåð, íåñêîëüêî êðàòíûõ ÷èñëà 7:
7, 14, 28, 42, ... .
Çàïèøåì òåïåðü íàòóðàëüíûé ðÿä
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, ...
è óìíîæèì êàæäîå ÷èñëî â íàòóðàëüíîì ðÿäó íà 6:
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, ... .
Ýòî ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 6. Òàê êàê íàòóðàëüíûé
ðÿä áåñêîíå÷åí, òî è ðÿä êðàòíûõ ÷èñëà 6 áåñêîíå÷åí.
Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî 6 èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî êðàò-
íûõ. Òî÷íî òàê æå ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî èìå-
åò áåñêîíå÷íî ìíîãî êðàòíûõ.
Âîïðîñû
1. Êîãäà ãîâîðÿò, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî à äåëèòñÿ íà íà-
òóðàëüíîå ÷èñëî b?
2. Íà êàêîå ÷èñëî äåëèòñÿ ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî?
3. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ êðàòíûì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà b?
4. Ñêîëüêî êðàòíûõ èìååò ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî?
5. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à?
6.* Ñôîðìóëèðóéòå ñâîéñòâà äåëèìîñòè ñóììû.
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
157
Óïðàæíåíèÿ
44444.....11111.....° ßâëÿåòñÿ ëè îäíî ÷èñëî äåëèòåëåì äðóãîãî:
1) 24 è 3; 2) 35 è 5;
3) 68 è 8; 4) 83 è 3;
5) 92 è 2; 6) 100 è 25?
Åñëè äà, òî îáúÿñíèòå ïî÷åìó.
44444.....22222.....° Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëî 7 ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà:
1) 28; 2) 54; 3) 140;
4) 367; 5) 231; 6) 353 535?
44444.....33333.....° Íàéäèòå âñå äåëèòåëè ÷èñëà:
1) 11; 2) 29; 3) 33;
4) 31; 5) 47; 6) 62.
44444.....44444..... Îòìåòüòå íà êîîðäèíàòíîì ëó÷å âñå äåëèòåëè
÷èñëà:
1) 8; 2) 10; 3) 13; 4) 18.
44444.....55555.....° Âåðíî ëè, ÷òî êðàòíûì ÷èñëà 35 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî:
1) 105; 2) 700;
3) 31 745; 4) 43 540?
44444.....66666.....° Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó:
1) 3; 2) 5; 3) 7; 4) 10.
44444.....77777..... Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 13; 2) 21; 3) 31; 4) 42.
44444.....88888..... Ñðåäè ÷èñåë 1, 2, 3, 6, 9, 18, 36, 54, 72, 90, 108
óêàæèòå:
1) äåëèòåëè ÷èñëà 18;
2) êðàòíûå ÷èñëà 18.
4.1. Äåëèòåëè è êðàòíûåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
158
44444.....99999..... Êàêèå èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20,
24, 30, 40 ÿâëÿþòñÿ:
1) äåëèòåëÿìè ÷èñëà 60;
2) äåëèòåëÿìè ÷èñëà 80;
3) êðàòíûìè ÷èñëà 6;
4) êðàòíûìè ÷èñëà 10?
44444.....1010101010..... Çàïèøèòå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ âñå äåëèòåëè
÷èñëà:
1) 100; 2) 318.
44444.....1111111111..... Çàïèøèòå â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ âñå äåëèòåëè ÷èñëà:
1) 90; 2) 442.
44444.....1212121212..... Çàïèøèòå âñå òðåõçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 90; 2)125; 3) 150; 4) 250.
44444.....1313131313..... Çàïèøèòå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 25, êîòîðûå â
íàòóðàëüíîì ðÿäó ðàñïîëîæåíû ìåæäó ÷èñëàìè:
1) 400 è 500; 2) 925 è 1000;
3) 3054 è 3126; 4) 45 318 è 45 486.
44444.....1414141414..... Çàïèøèòå ÷èñëà, ìåíüøèå 72 è êðàòíûå:
1) 5; 2)8; 3) 12; 4) 16.
44444.....1515151515..... Çàïèøèòå ïÿòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äëÿ êîòîðûõ:
1) 16 áóäåò êðàòíûì;
2) 16 áóäåò äåëèòåëåì.
44444.....1616161616..... Íàçîâèòå:
1) íàèáîëüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êðàòíîå 75;
2) íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êðàòíîå 300.
44444.....1717171717..... Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî:
1) 52 029 êðàòíî ÷èñëó 141;
2) 273 ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà 7098;
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
159
3) 49 200 íå êðàòíî ÷èñëó 68;
4) 175 íå ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà 162 495.
44444.....1818181818..... Íà ñêîëüêî ó÷åíèêîâ ìîæíî ïîðîâíó ðàçäåëèòü
18 òåòðàäåé?
44444.....1919191919..... Â ïîõîä ñîáèðàþòñÿ èäòè 36 ïÿòèêëàññíèêîâ.
Èõ íàäî ðàçáèòü íà ãðóïïû ñ ðàâíûì ÷èñëîì ó÷åíè-
êîâ. Ñêîëüêî ó÷åíèêîâ ìîæåò áûòü â êàæäîé ãðóïïå
è ñêîëüêî ìîæåò áûòü òàêèõ ãðóïï?
44444.....2020202020..... Ìèíåðàëüíàÿ âîäà ðàñôàñîâàíà â ïëàñòèêîâûå
óïàêîâêè ïî 6 áóòûëåé. Ñêîëüêî áóòûëåé ìèíåðàëü-
íîé âîäû ìîãëè ïðèâåçòè â êèîñê, åñëè äîñòàâêà ïðî-
èçâîäèòñÿ öåëûìè óïàêîâêàìè, à çàêàçàíî íå áîëåå
50 áóòûëåé?
44444.....2121212121.....* Äåäóøêèí õðîíîìåòð îòñòàåò çà êàæäûé ÷àñ íà
10 ìèí, íî â äàííûé ìîìåíò ïîêàçûâàåò òî÷íîå âðå-
ìÿ. Îïðåäåëèòå, ÷åðåç êàêîé íàèìåíüøèé ïðîìåæóòîê
âðåìåíè õðîíîìåòð âíîâü ïîêàæåò òî÷íîå âðåìÿ.
4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2
×òîáû îòâåòèòü íà âîïðîñ, äåëèòñÿ ëè îäíî ÷èñëî
íà äðóãîå, ìîæíî ïðîñòî ðàçäåëèòü ïåðâîå ÷èñëî íà
âòîðîå. Íî äëÿ íåêîòîðûõ äåëèòåëåé åñòü ñïîñîá áîëåå
óäîáíûé: äëÿ íèõ ñóùåñòâóþò ïðèçíàêè äåëèìîñòè.
Ïðèçíàêîì íàçûâàþò ïðàâèëî, ïîëüçóÿñü êî-
òîðûì óäîáíî âûÿñíèòü, âûïîëíÿåòñÿ ëè
íåêîòîðîå ñâîéñòâî.
Ðàññìîòðèì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2. Äëÿ ýòîãî
âûïèøåì ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 2:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, ... .
4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
160
Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé
èç öèôð 0, 2, 4, 6, 8. Èç ýòîãî ìîæíî ñäåëàòü âûâîä:
åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåòñÿ îäíîé
èç öèôð 0, 2, 4, 6, 8, òî îíî äåëèòñÿ íà 2.
Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 2 íå
äåëÿòñÿ.
Ýòî ïðàâèëî íàçûâàåòñÿ ïðèçíàêîì äåëèìîñòè íà 2.
×èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 2 (÷èñëà, êðàòíûå 2),
íàçûâàþòñÿ ÷åòíûìè.
×èñëà, êîòîðûå íå äåëÿòñÿ íà 2 (÷èñëà, íå êðàò-
íûå 2), íàçûâàþòñÿ íå÷åòíûìè.
Ïðèìåð 1.Ïðèìåð 1.Ïðèìåð 1.Ïðèìåð 1.Ïðèìåð 1. ×èñëî 3 758 992 425 îêàí÷èâàåòñÿ öèô-
ðîé 5. Ïîýòîìó îíî íå äåëèòñÿ íà 2 è, ñëåäîâàòåëüíî,
íå÷åòíîå.
Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2.Ïðèìåð 2. ×èñëî 3 758 992 426 îêàí÷èâàåòñÿ öèô-
ðîé 6. Ïîýòîìó îíî äåëèòñÿ íà 2 è, ñëåäîâàòåëüíî,
÷åòíîå.
Îñíîâîïîëîæíèêàìè òåîðèè äåëèìîñòè ÿâëÿþòñÿ ïèôàãîðåéöû.Îíè ðàçáèëè ÷èñëà íà ÷åòíûå (ìóæñêèå) è íå÷åòíûå (æåíñêèå).
Âîïðîñû
1. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2.
2. Êàêîå ÷èñëî íàçûâàåòñÿ: à) ÷åòíûì; á) íå÷åòíûì?
Óïðàæíåíèÿ
44444.....2222222222.....° Êàêèå èç ÷èñåë 48, 3442, 7807, 4926, 4557, 71 090,
699 114, 13 141 513 äåëÿòñÿ íà 2?
44444.....2323232323.....° Âûïèøèòå ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ ÷èñëà 122, ïÿòü
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà ÷èñëî 2.
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
161
44444.....2424242424..... Âûïèøèòå ïîäðÿä, íà÷èíàÿ ñ ÷èñëà 475, ïÿòü
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, íå äåëÿùèõñÿ íà ÷èñëî 2.
4.25.4.25.4.25.4.25.4.25. Èç ÷èñåë 422, 940, 95, 82, 9, 2, 2710, 64 823,
130 025, 630 264, 80 136, 67 451 âûïèøèòå:
1) â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ ÷èñëà, äåëÿùèåñÿ íà 2;
2) â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ ÷èñëà, íå äåëÿùèåñÿ íà 2.
44444.....2626262626.....° Çàïèøèòå âñå îäíîçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó 2.
44444.....2727272727..... Çàïèøèòå âñå äâóçíà÷íûå ÷èñëà îò 57 äî 68, íå
êðàòíûå 2.
44444.....2828282828.....° Ñðåäè ÷èñåë 221, 23, 32, 114, 129, 500, 448, 5047,
885, 6086 íàéäèòå:
1) ÷åòíûå ÷èñëà; 2) íå÷åòíûå ÷èñëà.
44444.....2929292929..... Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë, ðàñïîëîæåí-
íûõ â íàòóðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè:
1) 12 è 18; 2) 81 è 99;
3) 189 è 201; 4) 4126 è 4136.
44444.....3030303030..... ×åòíûì èëè íå÷åòíûì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî:
1) a + 1; 2) a + 2;
3) a . 2; 4) a . 3,
åñëè èçâåñòíî, ÷òî ÷èñëî a: à) ÷åòíîå; á) íå÷åòíîå?
44444.....3131313131..... ×åòíîé èëè íå÷åòíîé ÿâëÿåòñÿ ñóììà:
1) äâóõ ÷åòíûõ ÷èñåë;
2) äâóõ íå÷åòíûõ ÷èñåë;
3) òðåõ ÷åòíûõ ÷èñåë;
4) òðåõ íå÷åòíûõ ÷èñåë?
Ñâîè îòâåòû ïîäòâåðäèòå ïðèìåðàìè.
4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
162
44444.....3232323232..... Íå âûïîëíÿÿ ñëîæåíèÿ, óñòàíîâèòå, ïðàâèëüíî
ëè íàéäåíà ñóììà:
1) 78 305 + 412 634 + 83 107 = 574 047;
2) 23 423 + 58 799 + 14 103 = 96 326.
44444.....3333333333..... ×åòíûì èëè íå÷åòíûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ çíà÷å-
íèå âûðàæåíèÿ:
1) 8534 . 1007;
2) 9684 : 807;
3) (893 − 567) . 499;
4) (52 063 + 23 687) : 101?
44444.....3434343434.....* Äâà ìàëü÷èêà õîäÿò ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ.
Ó íèõ íà äâîèõ åñòü îäèí âåëîñèïåä, íà êîòîðîì îíè
åçäÿò òàêæå ñ îäèíàêîâîé ñêîðîñòüþ. Êàê îíè ìîãóò,
íà÷àâ îäíîâðåìåííî äâèæåíèå èç îäíîãî ïóíêòà, îä-
íîâðåìåííî ïðèáûòü â äðóãîé ïóíêò, åñëè èçâåñòíî,
÷òî êàæäûé èç íèõ ëèáî äâèãàåòñÿ ïåøêîì, ëèáî åäåò
íà âåëîñèïåäå?
4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10
Âûïèøåì ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, ... .
Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëà ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ îäíîé
èç öèôð 0 èëè 5.
Âîîáùå, åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâà-
åòñÿ îäíîé èç öèôð 0 èëè 5, òî îíî äåëèòñÿ
íà 5. Âñå îñòàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 5
íå äåëÿòñÿ.
Òàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5.
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
163
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... à) ×èñëî 3 758 992 425 îêàí÷èâàåòñÿ öèô-
ðîé 5, ïîýòîìó îíî äåëèòñÿ íà 5.
á) ×èñëî 3 758 992 420 äåëèòñÿ íà 5 (ïî÷åìó?).
â) ×èñëî 3 758 992 423 íå äåëèòñÿ íà 5 (ïî÷åìó?).
×òîáû íàéòè ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10, íàäî âûïè-
ñàòü ðÿä ÷èñåë, êðàòíûõ 10 (ñäåëàéòå ýòî ñàìîñòîÿ-
òåëüíî). À òåïåðü îñòàåòñÿ çàìåòèòü, ÷òî âñå ÷èñëà
ýòîãî ðÿäà îêàí÷èâàþòñÿ öèôðîé 0.
Âîîáùå, åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî îêàí÷èâàåò-
ñÿ öèôðîé 0, òî îíî äåëèòñÿ íà 10. Âñå îñ-
òàëüíûå íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 10 íå äåëÿòñÿ.
Òàê ôîðìóëèðóåòñÿ ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... ×èñëî 3 758 992 420 äåëèòñÿ íà 10, à ÷èñëî
3 758 992 425 íå äåëèòñÿ íà 10 (ïî÷åìó?).
Âîïðîñû
1. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 5.
2. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 10.
Óïðàæíåíèÿ
44444.....3535353535.....° Ñðåäè ÷èñåë 10, 15, 54, 105, 555, 550, 8375, 9410,
5553 íàéäèòå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 5; 2) 10.
44444.....3636363636..... Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíÿòü ñèìâîë ☺ â
çàïèñÿõ: à) 26☺, 3☺0, 61☺, 49☺; á) 537☺, 2☺95, 2☺30,
371☺ òàê, ÷òîáû (åñëè ýòî âîçìîæíî) êàæäîå ïîëó-
÷åííîå ÷èñëî äåëèëîñü:
1) íà 5; 2) íà 10;
3) íà 2 è íà 5; 4) íà 2?
4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
164
44444.....3737373737.....° Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó:
1) 5; 2) 10.
44444.....3838383838..... Çàïèøèòå ïÿòü ÷åòíûõ ÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 5.
Âåðíî ëè, ÷òî ýòè ÷èñëà êðàòíû 10?
44444.....3939393939..... Èñïîëüçóÿ êàæäóþ èç öèôð 0, 1 è 5 ïî îäíîìó
ðàçó, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 5; 2) 10.
44444.....4040404040..... Èñïîëüçóÿ öèôðû 0, 2, 5 è 8 íå áîëåå îäíîãî
ðàçà êàæäóþ, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå òðåõçíà÷íûå
÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 5; 2) 10.
44444.....4141414141..... Èñïîëüçóÿ ïî îäíîìó ðàçó êàæäóþ èç öèôð 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ñîñòàâüòå íàèáîëüøåå è íàèìåíü-
øåå äåñÿòèçíà÷íûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñëó:
1) 5; 2) 10.
44444.....4242424242..... Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë, êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 5
è ðàñïîëîæåíû â íàòóðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè:
1) 4 è 23; 2) 15 è 38;
3) 129 è 153; 4) 4789 è 4800.
44444.....4343434343..... Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà,
êîòîðûå äåëÿòñÿ íà 10 è ðàñïîëîæåíû ìåæäó ÷èñëàìè:
1) 1 è 45; 2) 56 è 99;
3) 148 è 200; 4) 14 395 è 14 425.
44444.....4444444444..... Íàéäèòå ñóììó ïåðâûõ:
1) ïÿòè ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà, êðàòíûõ 5;
2) äåñÿòè ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà, êðàòíûõ 10.
44444.....4545454545..... Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà äâóõ ÷èñåë, êðàòíûõ 5, äå-
ëèòñÿ íà 10? Îòâåò îáúÿñíèòå è ïîäòâåðäèòå ïðèìå-
ðàìè.
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
165
44444.....4646464646..... Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà äâóõ ÷èñåë, êðàòíûõ 10, äå-
ëèòñÿ íà 10? Îòâåò îáúÿñíèòå è ïîäòâåðäèòå ïðèìå-
ðàìè.
44444.....4747474747..... Çàïèøèòå äâà ÷èñëà — ÷åòûðåõçíà÷íîå è òðåõ-
çíà÷íîå — êðàòíûå 5. Âåðíî ëè, ÷òî áóäåò äåëèòüñÿ
íà 5 èõ:
1) ñóììà; 2) ðàçíîñòü; 3) ïðîèçâåäåíèå?
44444.....4848484848..... Çàïèøèòå ÷åòûðåõçíà÷íîå è òðåõçíà÷íîå ÷èñëà,
êðàòíûå 10. Âåðíî ëè, ÷òî áóäåò äåëèòüñÿ íà 10 èõ:
1) ñóììà; 2) ðàçíîñòü; 3) ïðîèçâåäåíèå?
44444.....4949494949..... Äâà ó÷åíèêà óìíîæèëè îäíî è òî æå íàòóðàëü-
íîå ÷èñëî: Âîëîäÿ — íà 5, Âàíÿ — íà 10. Âîëîäÿ
ïîëó÷èë â ðåçóëüòàòå 3665. Êàêîé ðåçóëüòàò ïîëó÷èë
Âàíÿ?
44444.....5050505050..... Íå ïðîèçâîäÿ âû÷èñëåíèé, îïðåäåëèòå, äåëèòñÿ
ëè çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ: íà 5, íà 10, íà 5 è íà 10:
1) 575 . 122; 2) 435 . 1023;
3) 5875 − 905; 4) 23 885 − 3780;
5) 438 + 502; 6) 9963 − 5888.
44444.....5151515151..... Íå âûïîëíÿÿ óìíîæåíèÿ, îïðåäåëèòå, äåëèòñÿ ëè
íà 10 ïðîèçâåäåíèå:
1) 1 . 2 . 3 . 4 . 5; 2) 13 . 14 . 15;
3) 146 . 147 . 148; 4) 205 . 206 . 207 . 208.
44444.....5252525252..... Çàïèøèòå ïÿòü ÷èñåë, êðàòíûõ 100.
1) Êàêèìè öèôðàìè îêàí÷èâàþòñÿ ÷èñëà, êîòîðûå
äåëÿòñÿ íà 100?
2) Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè ÷èñåë íà 100.
44444.....5353535353..... Íàéäèòå ñóììó ïåðâûõ ïÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë,
äåëèòåëåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 100.
4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
166
44444.....5454545454..... Íàéäèòå ñóììó âñåõ ÷èñåë ïåðâîé òûñÿ÷è, äåëè-
òåëåì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 100.
44444.....5555555555.....* Äîêàæèòå, ÷òî èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 20
íåëüçÿ âûáðàòü 15 ÷èñåë òàê, ÷òîáû èõ ñóììà áûëà
ðàâíà ñóììå îñòàëüíûõ ÷èñåë.
4.4. Îêðóæíîñòü
Åñëè óñòàíîâèòü îñòðèå öèðêóëÿ â
íåêîòîðîé òî÷êå Î (ðèñ. 118) è âðàùàòü
íîæêó ñ êàðàíäàøîì, òî êàðàíäàø íà-
÷åðòèò íà ïëîñêîñòè ëèñòà ëèíèþ, êî-
òîðàÿ íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ. Òî÷-
êà Î íàçûâàåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè.
Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé öåíòð îêðóæ-
íîñòè ñ ëþáîé òî÷êîé íà îêðóæíîñòè,
íàçûâàåòñÿ ðàäèóñîì. Íà ðèñóíêå 119
ðàäèóñû — ýòî îòðåçêè OP è OQ. Âñå
ðàäèóñû ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òàê êàê
äëèíà ëþáîãî ðàäèóñà — ýòî ðàññòîÿ-
íèå ìåæäó îñòðèåì öèðêóëÿ è êîí÷è-
êîì êàðàíäàøà.
Âñå òî÷êè îêðóæíîñòè óäàëåíû îò åå öåíò-
ðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå äëèíå ðàäèóñà.
×àñòî ñëîâî «äëèíà» îïóñêàþò è âìåñòî «äëèíà
ðàäèóñà» ãîâîðÿò ïðîñòî «ðàäèóñ». Íàïðèìåð, ãîâîðÿò:
«Èçîáðàæåíà îêðóæíîñòü ñ ðàäèóñîì, ðàâíûì 2 ñì».
Îòðåçîê, êîíöû êîòîðîãî ëåæàò íà îêðóæíîñòè,
íàçûâàåòñÿ õîðäîé. Íà ðèñóíêå 120 îòðåçêè PQ è ÀÂ
ÿâëÿþòñÿ õîðäàìè.
Ðèñ. 118
Ðèñ. 119
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
167
Õîðäà, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð
îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ åå äèàìåòðîì.
Íà ðèñóíêå 120 îòðåçîê ÀÂ ÿâëÿåòñÿ
äèàìåòðîì. Î÷åâèäíî, ÷òî äèàìåòð
îêðóæíîñè ðàâåí äâóì åå ðàäèóñàì.
Ñëîâî «ðàäèóñ» ïðîèñõîäèò îò ëàòèíñêîãî ñëîâà radius, êîòîðîåïåðåâîäèòñÿ êàê «ñïèöà â êîëåñå, ëó÷».Ñëîâî «äèàìåòð» îáðàçîâàíî îò ãðå÷åñêîãî ñëîâà diametros, êî-òîðîå îáîçíà÷àåò «ïîïåðå÷íèê».
Âîïðîñû
1. Êàêîé ïðåäìåò, íàïîìèíàþùèé ïî
ôîðìå îêðóæíîñòü, âû ìîæåòå íà-
çâàòü?
2. ×òî òàêîå: à) ðàäèóñ îêðóæíîñòè;
á) õîðäà îêðóæíîñòè; â) äèàìåòð
îêðóæíîñòè?
3. Êàêîé îòðåçîê íà ðèñóíêå 121 (òî÷êà Î — öåíòð îêðóæ-
íîñòè) ÿâëÿåòñÿ: à) ðàäèóñîì îêðóæíîñòè; á) õîðäîé
îêðóæíîñòè; â) äèàìåòðîì îêðóæíîñòè?
Óïðàæíåíèÿ
44444.....5656565656.....° Ïî ðèñóíêó 122 íàçîâèòå òî÷êè:
1) ëåæàùèå íà îêðóæíîñòè;
2) íå ëåæàùèå íà îêðóæíîñòè.
Ðèñ. 120
Ðèñ. 121
4.4. Îêðóæíîñòü
à) á)
Ðèñ. 122
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
168
44444.....5757575757.....° Èçìåðüòå ðàäèóñ è äèàìåòð îêðóæíîñòåé, èçîáðà-
æåííûõ íà ðèñóíêå 123 (òî÷êè Î, À, Q — èõ öåíòðû).
44444.....5858585858.....° Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü:
1) ðàäèóñîì 3 ñì; 2) äèàìåòðîì 9 ñì;
3) äèàìåòðîì 80 ìì; 4) ðàäèóñîì 4 ñì 2 ìì.
4.59.4.59.4.59.4.59.4.59. Íàéäèòå äèàìåòð îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì:
1) 1 äì; 2) 27 ñì;
3) 6 ì 86 ñì; 4) 2 äì 7 ñì.
44444.....6060606060..... Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè ñ äèàìåòðîì:
1) 5 äì; 2) 46 ñì;
3) 8 ì 2 ñì; 4) 7 äì 6 ñì.
44444.....6161616161..... Ïî ðèñóíêó 124 íàçîâèòå äëÿ îêðóæíîñòè (òî÷-
êà P — åå öåíòð) åå:
1) ðàäèóñû;
2) äèàìåòðû;
3) õîðäû.
44444.....6262626262..... Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì
â òî÷êå Ì è ðàäèóñîì ÌÒ = 3 ñì.
×åðåç òî÷êó Ò ïðîâåäèòå 4 õîðäû.
44444.....6363636363..... Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è ðà-
äèóñîì ÎÀ = 4 ñì. Ïðîâåäèòå õîðäû ÀÂ, ÂÑ, ÑD, DM,
MN äëèíîé 4 ñì êàæäàÿ. Ñîåäèíèòå òî÷êè À è N,
èçìåðüòå äëèíó õîðäû ÀN.
Ðèñ. 123
Ðèñ. 124
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
P
E
F
A
B
CНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
169
44444.....6464646464..... Ïîñòðîéòå îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è
ðàäèóñîì ÎÌ = 35 ìì. Ïðîâåäèòå ÷åðåç òî÷êó M õîð-
äó òàê, ÷òîáû îíà áûëà:
1) ìåíüøå ðàäèóñà; 2) ðàâíà ðàäèóñó;
3) áîëüøå ðàäèóñà; 4) ðàâíà äèàìåòðó.
44444.....6565656565..... Íà ðèñóíêå 125 èçîáðàæåíû äâå îêðóæíîñòè ñ
öåíòðàìè Î è C. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ êàæäîé îêðóæ-
íîñòè, åñëè ÌK = 2 äì 1 ñì.
4.66.4.66.4.66.4.66.4.66. Íà ðèñóíêå 126 èçîáðàæåíû äâå îêðóæíîñòè ñ
öåíòðàìè O è C òàê, ÷òî îíè èìåþò îäíó îáùóþ òî÷-
êó Å. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ áîëüøåé îêðóæíîñòè, åñ-
ëè ÐR = 24 ñì, à ðàäèóñ ìåíüøåé îêðóæíîñòè ðàâåí
3 ñì.
44444.....6767676767.....* Íà ðèñóíêå 127 äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè
O1 è O
2 èìåþò ðàäèóñû, ðàâíûå 5 ñì. Íàéäèòå äëè-
íó îòðåçêà O1Î
2, åñëè:
1) BD = 19 ñì; 2) BD = 12 ñì;
3) BD = 24 ñì; 4) BD = 43 ñì.
Ðèñ. 126Ðèñ. 125
Ðèñ. 127
4.4. Îêðóæíîñòü
O1
B DO2 O1
B DO2
а) б)
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
170
44444.....6868686868.....* Íà ðèñóíêå 128 îêðóæíîñòè
ñ öåíòðàìè O1
è O2 èìåþò ñîîòâåò-
ñòâåííî ðàäèóñû 3 ñì è 5 ñì. Íàé-
äèòå äëèíó îòðåçêà:
1) O1O
2, åñëè ÌK = 20 ñì;
2) PF, åñëè ÌK = 30 ñì;
3) PF, åñëè MK áîëüøå PF â 2 ðàçà.
44444.....6969696969..... à) Íà ñêîëüêî ðàâíûõ ÷àñòåé ìîæíî ðàçáèòü
îêðóæíîñòü, åñëè âçÿòü íà íåé:
1) 2 òî÷êè; 2) 3 òî÷êè;
3) 4 òî÷êè; 4) 15 òî÷åê?
á) Íà ñêîëüêî ðàâíûõ ÷àñòåé ìîæíî ðàçáèòü îò-
ðåçîê, åñëè âçÿòü íà íåì:
1) 3 òî÷êè; 2) 4 òî÷êè;
3) 5 òî÷åê; 4) 14 òî÷åê?
4.5. Êðóã
Îêðóæíîñòü ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé
ëèíèåé. Îíà ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü íà
äâå ÷àñòè — âíóòðåííþþ è âíåøíþþ
(ðèñ. 129).
×àñòü ïëîñêîñòè, íàõîäÿùàÿñÿ âíóòðè îêðóæ-
íîñòè, âìåñòå ñ ýòîé îêðóæíîñòüþ íàçûâà-
åòñÿ êðóãîì.
Ãîâîðÿò åùå, ÷òî êðóã — ýòî ÷àñòü ïëîñêîñòè, îãðà-
íè÷åííàÿ îêðóæíîñòüþ. Öåíòðîì êðóãà íàçûâàåòñÿ
öåíòð ýòîé îêðóæíîñòè. Ðàäèóñîì êðóãà íàçûâàåòñÿ
ðàäèóñ ýòîé îêðóæíîñòè. Äèàìåòðîì êðóãà íàçû-
âàåòñÿ äèàìåòð ýòîé îêðóæíîñòè. Õîðäîé êðóãà íà-
çûâàåòñÿ õîðäà ýòîé îêðóæíîñòè.
Ðèñ. 128
Ðèñ. 129
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
171
Íàïîìíèì, ÷òî îêðóæíîñòü ñîñòîèò èç òî÷åê, óäà-
ëåííûõ îò åå öåíòðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå åå ðàäèóñó.
Êðóã ñîñòîèò èç òî÷åê, óäàëåííûõ îò äàí-
íîé òî÷êè (åãî öåíòðà) íà ðàññòîÿíèå, ìåíü-
øåå èëè ðàâíîå åãî ðàäèóñó.
Âîïðîñû
1. Êàêèå ïðåäìåòû, íàïîìèíàþùèå ïî ôîðìå êðóã, âû ìî-
æåòå íàçâàòü?
2. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) êðóãîì; á) öåíòðîì êðóãà; â) ðà-
äèóñîì êðóãà; ã) äèàìåòðîì êðóãà; ä) õîðäîé êðóãà?
3. Èç êàêèõ òî÷åê ñîñòîèò: à) îêðóæíîñòü; á) êðóã?
Óïðàæíåíèÿ
44444.....7070707070.....° Ïóñòü Î — òî÷êà íà ïëîñêîñòè. Êàêóþ ôèãóðó
îáðàçóþò âñå òî÷êè ïëîñêîñòè, íàõîäÿùèåñÿ íà ðàñ-
ñòîÿíèè 4 ñì 5 ìì îò òî÷êè Î?
Íà÷åðòèòå ýòó ôèãóðó.
44444.....7171717171.....° Íà ðèñóíêàõ 130 è 131 íàçî-
âèòå òî÷êè, ëåæàùèå:
1) âíóòðè êðóãà;
2) âíå êðóãà;
3) íà îêðóæíîñòè. Ðèñ. 130
Ðèñ. 131
4.5. Êðóã
С ED
A B
F
B
P
E
OA
FR
L
T
Q
F
AN
C
S
K
M
а) б)Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
172
44444.....7272727272..... Èçîáðàçèòå êðóã ñ ðàäèóñîì 3 ñì è îòìåòüòå
òðè òî÷êè, ëåæàùèå:
1) âíóòðè êðóãà; 2) âíå êðóãà;
3) íà îêðóæíîñòè; 4) íà åãî äèàìåòðå.
44444.....7373737373..... Èçîáðàçèòå êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå Î è äèàìåò-
ðîì, ðàâíûì 12 ñì. Îòìåòüòå òî÷êè À, Â, Ñ, D, Å òàê,
÷òîáû âûïîëíÿëèñü óñëîâèÿ: ÎÀ = 5 ñì, ÎÂ = 7 ñì,
ÎÑ = 6 ñì, OD = 12 ñì, ÎÅ = 60 ìì.
44444.....7474747474..... Íàéäèòå äèàìåòð êðóãà, åñëè åãî ðàäèóñ ðàâåí:
1) 4 äì; 2) 19 ñì;
3) 2 ì 99 ñì; 4) 6 äì 5 ñì.
44444.....7575757575..... Íàéäèòå ðàäèóñ êðóãà, åñëè åãî äèàìåòð ðàâåí:
1) 13 äì; 2) 24 ñì;
3) 1 ì 32 ñì; 4) 15 äì 4 ñì.
44444.....7676767676.....* Ïîñòðîéòå äâà êðóãà òàê, ÷òîáû ðàäèóñ îäíîãî
êðóãà áûë ðàâåí 6 ñì è ðàâåí äèàìåòðó äðóãîãî êðó-
ãà, à ýòè êðóãè èìåëè òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó. Îïðå-
äåëèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó öåíòðàìè äàííûõ êðóãîâ.
4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì
Îäíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî íå âñåãäà äåëèòñÿ íà äðó-
ãîå. Áóäåì äåëèòü, íàïðèìåð, 47 íà 6:
47 6
42 7
5
Çíà÷èò, 47 íå äåëèòñÿ íà 6.  ÷èñëå 47 ñîäåðæèò-
ñÿ 7 ðàç ïî 6 è åùå 5. Èìååì:
47 = 6 . 7 + 5,
÷òî îçíà÷àåò, ÷òî ìû ðàçäåëèëè 47 íà 6 ñ îñòàòêîì 5.
−
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
173
×èñëî 47 íàçûâàåòñÿ äåëèìûì, ÷èñëî 6 — äåëè-
òåëåì, ÷èñëî 7 — ÷àñòíûì (ãîâîðÿò åùå íåïîëíûì
÷àñòíûì), à ÷èñëî 5 — îñòàòêîì ïðè äåëåíèè
47 íà 6.Çàìåòèì, ÷òî
îñòàòîê ìåíüøå äåëèòåëÿ.
Ðåçóëüòàò äåëåíèÿ 47 íà 6 ìîæíî çàïèñàòü è òàê:
47 = 6 . 7 (îñò. 5).
Ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì íàòóðàëüíîå ÷èñëî à
íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî b — ýòî çíà÷èò íàé-
òè òàêèå ÷èñëà ñ è r, ÷òîáû äëÿ íèõ áûëî
âåðíî ðàâåíñòâî
a = b ⋅⋅⋅⋅⋅ c + r, ãäå r < b.
Åñëè îäíî ÷èñëî äåëèòñÿ íà äðóãîå, òî ìû åùå
ãîâîðèì, ÷òî «îíî äåëèòñÿ ñ îñòàòêîì, ðàâíûì íó-
ëþ», èëè «äåëèòñÿ áåç îñòàòêà», èëè «äåëèòñÿ
íàöåëî».
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Ðåçóëüòàò äåëåíèÿ ñ îñòàòêîì çàïèñàëè â
âèäå ðàâåíñòâà
17 = 23 . ñ + r.
Îïðåäåëèòü ÷èñëà ñ è r.
Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó ñ = 0 (ïîÿñíèòå ïî÷åìó), òî r = 17.
Îòâåò: ñ = 0; r = 17.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Ðàçäåëèòü 78 ñ îñòàòêîì íà:
à) 38; á) 39; â) 81.
Ðåøåíèå. à) 78 = 38 . 2 (îñò. 2);
á) 78 = 39 . 2 (îñò. 0);
â) 78 = 81 . 0 (îñò. 78).
4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîìНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
174
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî
îñòàòîê îò äåëåíèÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî÷èñëà íà 10 ðàâåí ïîñëåäíåé öèôðå ýòîãî
÷èñëà.
Êðîìå òîãî, ïî ïîñëåäíåé öèôðå ÷èñëà ìîæíî ñó-
äèòü î åãî äåëèìîñòè íà 2, íà 5, íà 10. À ïî÷åìó?
Ðàçîáðàòüñÿ ñ ýòèì ïîìîæåò äåëåíèå ñ îñòàòêîì.
Íàïðèìåð, ðàçäåëèâ ÷èñëî 9735 ñ îñòàòêîì íà 10,
ïîëó÷èì:
9735 = 973 . 10 + 5.
 ïðàâîé ÷àñòè ÷èñëî 973 . 10 — ïåðâîå ñëàãàåìîå
ñóììû äåëèòñÿ è íà 2, è íà 5, è íà 10. À âòîðîå
ñëàãàåìîå, ðàâíîå 5, — ýòî îñòàòîê îò äåëåíèÿ 9735
íà 10. Âòîðîå ñëàãàåìîå íå äåëèòñÿ íà 2 (íà 10), ïî-
ýòîìó è ñóììà íå äåëèòñÿ íà 2 (íà 10). Âòîðîå ñëà-
ãàåìîå äåëèòñÿ íà 5, ïîýòîìó è ñóììà äåëèòñÿ íà 5.
Âîïðîñû
1. ×òî çíà÷èò: ðàçäåëèòü ñ îñòàòêîì ÷èñëî à íà ÷èñëî b?
2. Êàê ìîæíî çàïèñàòü ðåçóëüòàò äåëåíèÿ 79 íà 12 ñ îñ-
òàòêîì? Óêàæèòå â ïîëó÷åííîé çàïèñè: äåëèìîå, äåëè-
òåëü, ÷àñòíîå (íåïîëíîå ÷àñòíîå), îñòàòîê.
3. Ìîæåò ëè ïðè äåëåíèè îñòàòîê áûòü: à) áîëüøå äåëè-
òåëÿ; á) ðàâåí äåëèòåëþ; â) ðàâåí äåëèìîìó; ã) ìåíüøå
÷àñòíîãî; ä) ðàâåí ÷àñòíîìó; å) áîëüøå ÷àñòíîãî?
4.* Îò ÷åãî çàâèñèò äåëèìîñòü ÷èñëà: à) íà 2; á) íà 5;
â) íà 10?
Óïðàæíåíèÿ
44444.....7777777777.....° Ìîæåò ëè (ïîÿñíèòå ïî÷åìó) ïðè äåëåíèè ÷èñåë
íà 7 ïîëó÷èòüñÿ îñòàòîê:
1) 1; 2) 0; 3) 7;
4) 6; 5) 9; 6) 3?
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
175
44444.....7878787878..... Ñêîëüêî îñòàòêîâ (íàçîâèòå èõ) ìîæåò ïîëó÷èòü-
ñÿ ïðè äåëåíèè ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íà:
1) 4; 2) 8; 3) 5;
4) 14; 5) 32; 6) 50?
44444.....7979797979.....° Êàêèå îñòàòêè ìîãóò ïîëó÷èòüñÿ ïðè äåëåíèè
íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà:
1) 1; 2) 2; 3) 3;
4) 6; 5) 11; 6) 16?
44444.....8080808080.....° Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëå-
íèè íà 2 ÷èñëà:
1) 49; 2) 71;
3) 194; 4) 398;
5) 38 787; 6) 890 105.
44444.....8181818181.....° Ðàçäåëèòå ñ îñòàòêîì:
1) 55 íà 9; 2) 29 íà 4;
3) 1593 íà 18; 4) 3491 íà 20;
5) 798 íà 987; 6) 495 íà 549.
44444.....8282828282..... Íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 10 ÷èñëà:
1) 990; 2) 2763;
3) 60 109; 4) 1 000 008.
44444.....8383838383..... Íàéäèòå îñòàòîê ïðè äåëåíèè íà 5 ÷èñëà:
1) 8; 2) 26;
3) 4601; 4) 43 827.
5) 6785; 6) 27 830.
44444.....8484848484..... Íå âûïîëíÿÿ äåëåíèÿ, îïðåäåëèòå, êàêèå îñòàòêè
ïîëó÷àþòñÿ ïðè äåëåíèè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë 3598,
73 704, 58 165, 149 356 íà:
1) 2; 2) 5; 3) 10.
4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîìНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
176
44444.....8585858585..... Ðàçäåëèòå ñ îñòàòêîì è ñäåëàéòå ïðîâåðêó:
1) 47 534 íà 23; 2) 48 245 íà 46;
3) 136 017 íà 214; 4) 257 250 íà 315.
44444.....8686868686..... Ïðîâåðüòå, âåðíî ëè ðàâåíñòâî, è íàçîâèòå äåëè-
ìîå, äåëèòåëü, ÷àñòíîå è îñòàòîê:
1) 9566 = 326 . 29 + 25; 2) 2446 = 147 . 16 + 94;
3) 6419 = 493 . 13 + 10; 4) 224 = 325 . 0 + 224.
44444.....8787878787..... Èñïîëüçóÿ òàáëèöó, çàïèøèòå â âèäå ðàâåíñòâà
ñâÿçü ìåæäó äåëèìûì, äåëèòåëåì, ÷àñòíûì è îñòàò-
êîì. Óêàæèòå çíà÷åíèÿ p, k, q, l, s, m, d, n.
Äåëèìîå 61 35 42 43 s 125 d 140
Äåëèòåëü 14 k 8 7 5 25 12 n
×àñòíîå p 3 5 l 11 5 3 5
Îñòàòîê 5 2 q 1 3 m 7 15
44444.....8888888888..... Íàéäèòå íàèìåíüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå
ïðè äåëåíèè ñ îñòàòêîì:
1) íà 2 äàåò â îñòàòêå 1;
2) íà 3 äàåò â îñòàòêå 2;
3) íà 25 äàåò â îñòàòêå 13;
4) íà 15 äàåò â îñòàòêå 14.
44444.....8989898989..... Íàéäèòå òðè íàòóðàëüíûõ ÷èñëà, êîòîðûå ïðè
äåëåíèè ñ îñòàòêîì íà 8 äàþò â îñòàòêå ÷èñëî:
1) 1; 2) 2; 3) 5; 4) 7.
44444.....9090909090.....* Íàéäèòå íàèìåíüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êîòîðîå
ïðè äåëåíèè ñ îñòàòêîì:
1) íà 2 è íà 3 äàåò îñòàòîê 1;
2) íà 5 è íà 8 äàåò îñòàòîê 4;
3) íà 4 è íà 12 äàåò îñòàòîê 1;
4) íà 3, íà 4 è íà 5 äàåò îñòàòîê 2.
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
177
44444.....9191919191..... Ñðåäè ÷èñåë 15, 40, 145, 560, 712, 855, 889, 990,
1001, 1540 óêàæèòå ÷èñëà, êîòîðûå:
1) äåëÿòñÿ íà 2;
2) äåëÿòñÿ íà 5;
3) äåëÿòñÿ è íà 2, è íà 5.
44444.....9292929292..... Çàïèøèòå òðåõçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äåëÿ-
ùååñÿ íà 5, è ïÿòèçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå äåëÿ-
ùååñÿ íà 5. Âåðíî ëè, ÷òî ñóììà è ðàçíîñòü ýòèõ
÷èñåë íå äåëÿòñÿ íà 5?
44444.....9393939393..... Çàïèøèòå ïÿòèçíà÷íîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êðàò-
íîå 5, è äâóçíà÷íîå ÷èñëî, êðàòíîå 10. Âåðíî ëè, ÷òî
èõ ñóììà, ðàçíîñòü, ïðîèçâåäåíèå äåëÿòñÿ íà 2 è íà 5?
44444.....9494949494..... Êàêîé îñòàòîê ïîëó÷èòñÿ ïðè äåëåíèè ñóììû
äâóõ ÷èñåë íà 5, åñëè:
1) ïåðâîå ñëàãàåìîå êðàòíî 5, âòîðîå äåëèòñÿ íà 5
ñ îñòàòêîì 3;
2) ïåðâîå ñëàãàåìîå ïðè äåëåíèè íà 5 äàåò îñòàòîê 1,
âòîðîå — 2?
44444.....9595959595..... Êàêèì áóäåò îñòàòîê ïðè äåëåíèè ñóììû äâóõ
÷èñåë íà 10, åñëè èçâåñòíû îñòàòêè ïðè äåëåíèè ñëà-
ãàåìûõ íà 10 (ñì. òàáëèöó)?
Íîìåð
çàäàíèÿ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Îñòàòêè ïðè
äåëåíèè ïåð-
âîãî ñëàãàå-1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 7 3 6
ìîãî íà 10
Îñòàòêè ïðè
äåëåíèè âòî-
ðîãî ñëàãàå-3 4 6 1 7 9 2 3 8 6 9 5 2
ìîãî íà 10
4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîìНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
178
44444.....9696969696..... Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 ñóììà:
1) 30 + 45; 2) 84 + 90;
3) 29 810 + 5360; 4) 7400 + 3012?
44444.....9797979797..... Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 ïðîèçâå-
äåíèå:
1) 7219 . 4000; 2) 3749 . 1001;
3) 38 200 . 55; 4) 740 235 . 102?
44444.....9898989898..... Äåëèòñÿ ëè íà êàæäîå èç ÷èñåë 2, 5, 10 çíà÷åíèå
âûðàæåíèÿ:
1) 32 . 10 + 6; 2) 49 . 100 + 25;
3) 649 . 1000 + 80; 4) 168 . 10 + 71?
44444.....9999999999..... ×èñëî m êðàòíî 2. Êàêèå îñòàòêè ïðè äåëåíèè
íà 10 ìîæåò äàòü çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) m + 12; 2) m − 3;
3) 5 . m; 4) 5 . m + 9;
5) 10 . m − 6; 6) m . 100 − 42?
44444.....100100100100100.....* ×èñëî à êðàòíî 5. Êàêèå îñòàòêè ïðè äåëåíèè
íà 10 ìîæåò äàòü çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) à + 8; 2) à − 4;
3) à + 15; 4) 2 . à;
5) 2 . à + 4; 6) 4 . à − 1?
44444.....101101101101101..... Ñ êîðàáëÿ íà áåðåã íàäî îäíîâðåìåííî ïåðåâåçòè
129 ïàññàæèðîâ. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî 12-ìåñò-
íûõ ëîäîê ïîòðåáóåòñÿ äëÿ ýòîãî?
44444.....102102102102102..... Ñêîëüêî íàäî 3-ëèòðîâûõ áàíîê, ÷òîáû ïåðåëèòü
â íèõ ìîëîêî èç 10-ëèòðîâîãî âåäðà?
44444.....103103103103103..... Â ÿùèê ïîìåùàåòñÿ 20 êã ÿáëîê. Ñêîëüêî ÿùè-
êîâ íàäî ïîäãîòîâèòü, ÷òîáû óëîæèòü íà õðàíåíèå
250 êã ÿáëîê?
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
179
44444.....104104104104104..... à) Â êóïåéíîì âàãîíå 36 ìåñò, â êàæäîì êóïå
4 ìåñòà. Â êàêîì êóïå íàõîäèòñÿ ïàññàæèðñêîå ìåñòî:
1) ¹ 8; 2) ¹ 15; 3) ¹ 25; 4) ¹ 31?
á) Êàêèå åùå íîìåðà ìåñò ðàñïîëîæåíû â êóïå, â êî-
òîðîì íàõîäèòñÿ ìåñòî:
1) ¹ 23; 2) ¹ 10; 3) ¹ 30; 4) ¹ 27?
44444.....105105105105105..... Íà êàæäîì ýòàæå äåâÿòèýòàæíîãî äîìà íàõî-
äèòñÿ 4 êâàðòèðû. Â êàêîì ïîäúåçäå è íà êàêîì ýòà-
æå íàõîäèòñÿ êâàðòèðà:
1) ¹ 128; 2) ¹ 215;
3) ¹ 302; 4) ¹ 337?
44444.....106106106106106.....* Óêàæèòå îáùèé âèä âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êî-
òîðûå ïðè äåëåíèè íà 3 äàþò â îñòàòêå: à) 0; á) 1; â) 2.
4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè
íà 9 è íà 3
Ìû çíàåì, ÷òî äåëèìîñòü ÷èñëà íà 2, íà 5 è íà 10
çàâèñèò òîëüêî îò åãî ïîñëåäíåé öèôðû. À âîò ñóäèòü
ïî ïîñëåäíåé öèôðå, äåëèòñÿ ëè ÷èñëî íà 9 èëè íà 3,
íåëüçÿ.
Íàïðèìåð, è ÷èñëî 18, è ÷èñëî 28 îêàí÷èâàþòñÿ
öèôðîé 8. Ïåðâîå èç íèõ äåëèòñÿ íà 9, à âòîðîå íå
äåëèòñÿ.
Óêàæåì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9:
åñëè ñóììà öèôð1) ÷èñëà äåëèòñÿ íà 9, òî
è ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 9. Âñå îñòàëüíûå
íàòóðàëüíûå ÷èñëà íà 9 íå äåëÿòñÿ.________
1) Äëÿ óïðîùåíèÿ ôîðìóëèðîâîê äîãîâàðèâàþòñÿ ñóì-
ìîé öèôð íàçûâàòü ñóììó ñîîòâåòñòâóþùèõ îäíîçíà÷íûõ
÷èñåë.
4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
180
Íàïðèìåð, ñóììà öèôð ÷èñëà 3267 = 3 + 2 + 6 + 7 = 18,
îíà äåëèòñÿ íà 9. Ïîýòîìó è ÷èñëî 3267 äåëèòñÿ íà 9.
Ñóììà öèôð ÷èñëà 3266 ðàâíà 17, îíà íå äåëèòñÿ
íà 9. Ïîýòîìó è ñàìî ÷èñëî 3266 íå äåëèòñÿ íà 9.
Ïîÿñíèì, ïî÷åìó äåëèìîñòü ÷èñëà íà 9 çàâèñèò îò
ñóììû åãî öèôð. ×èñëî 3267 ïðåäñòàâèì â âèäå ñóì-
ìû åãî ðàçðÿäíûõ ñëàãàåìûõ (ñì. ï. 1.4) è ïðåîáðà-
çóåì åå:
3267 = 3 . 1000 + 2 . 100 + 6 . 10 + 7 == 3 . (999 + 1) + 2 . (99 + 1) + 6 . (9 + 1) + 7 =
= (3 . 999 + 2 . 99 + 6 . 9) + (3 + 2 + 6 + 7).
Ñóììà â ïåðâûõ ñêîáêàõ òðåòüåé ñòðîêè äåëèòñÿ
íà 9, òàê êàê êàæäîå ñëàãàåìîå äåëèòñÿ íà 9. È ñóì-
ìà âî âòîðûõ ñêîáêàõ (ýòî ñóììà öèôð äàííîãî ÷èñ-
ëà) òàêæå äåëèòñÿ íà 9. Ïîýòîìó è äàííîå ÷èñëî äå-
ëèòñÿ íà 9.
Óêàæåì ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3:
åñëè ñóììà öèôð ÷èñëà äåëèòñÿ íà 3, òî è
ñàìî ÷èñëî äåëèòñÿ íà 3. Âñå îñòàëüíûå íà-
òóðàëüíûå ÷èñëà íà 3 íå äåëÿòñÿ.
Íàïðèìåð, ñóììà öèôð ÷èñëà 3216 ðàâíà 12, îíà
äåëèòñÿ íà 3. Ïîýòîìó è ÷èñëî 3216 äåëèòñÿ íà 3.
Ñóììà öèôð ÷èñëà 3214 ðàâíà 10, îíà íå äåëèòñÿ
íà 3. Ïîýòîìó è ñàìî ÷èñëî 3214 íå äåëèòñÿ íà 3.
Ïîÿñíåíèå ïðèçíàêà äåëèìîñòè íà 3 àíàëîãè÷íî
ïîÿñíåíèþ ïðèçíàêà äåëèìîñòè íà 9.
Âîïðîñû
1. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 9.
2. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 3.
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
181
Óïðàæíåíèÿ
44444.....107107107107107.....° Ñðåäè ÷èñåë 15, 18, 30, 90, 126, 417, 585, 9990,
30 335 íàéäèòå ÷èñëà, êîòîðûå äåëÿòñÿ:
1) íà 3; 2) íà 9;
3) íà 2 è íà 3; 4) íà 5 è íà 9.
44444.....108108108108108.....° Ñðåäè ÷èñåë 3756, 64 953, 17 193, 5 558 247,
10 010 001, 303 003 009 íàéäèòå òå, êîòîðûå äåëÿòñÿ:
1) íà 3;
2) íà 9;
3) íà 3, íî íå äåëÿòñÿ íà 9.
44444.....109109109109109..... Âåðíî ëè (îòâåò îáúÿñíèòå), ÷òî åñëè ÷èñëî:
1) äåëèòñÿ íà 3, òî îíî äåëèòñÿ è íà 9;
2) äåëèòñÿ íà 9, òî îíî äåëèòñÿ è íà 3?
44444.....111111010101010..... Âåðíî ëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå äâóõ íàòóðàëüíûõ
÷èñåë, êðàòíûõ ÷èñëó 3, äåëèòñÿ íà 9? Ïðèâåäèòå
ïðèìåðû.
44444.....111111111111111..... Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíèòü ñèìâîë ☺ â
çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî,
êðàòíîå: à) 3; á) 9, åñëè:
1) n = 1☺3; 2) n = 89☺;
3) n = 5☺61; 4) n = 47☺2?
44444.....111111212121212..... Íàéäèòå ñóììó âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòî-
ðûå äåëÿòñÿ: à) íà 3; á) íà 9 è ðàñïîëîæåíû â íàòó-
ðàëüíîì ðÿäó ìåæäó ÷èñëàìè:
1) 1 è 12; 2) 17 è 23;
3) 56 è 72; 4) 199 è 210.
44444.....111111313131313.....° Íàéäèòå ñóììó âñåõ äâóçíà÷íûõ ÷èñåë áîëü-
øèõ 60 è ìåíüøèõ 86:
1) êðàòíûõ ÷èñëó 9; 2) êðàòíûõ ÷èñëó 3.
4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
182
44444.....111111414141414..... Íàéäèòå ñóììó íàèìåíüøåãî è íàèáîëüøåãî òðåõ-
çíà÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, êîòîðûå îáà:
1) äåëÿòñÿ íà 3; 2) êðàòíû ÷èñëó 9.
44444.....111111515151515..... Äåëèòñÿ ëè íà 3 è äåëèòñÿ ëè íà 9 çíà÷åíèå
âûðàæåíèÿ:
1) 828 + 315; 2) 273 . 411;
3) 1125 − 105; 4) 102 : 17?
44444.....111111616161616.....* Âåðíî ëè (ïðèâåäèòå ïðèìåðû), ÷òî:
1) ñóììà òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷è-
ñåë äåëèòñÿ íà 3;
2) ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë êðàòíî ÷èñëó 3?
44444.....111111717171717..... Äåëÿòñÿ ëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà 63 366 933 039,
993 693 330 093, 333 333 333, 6 666 600 333 íà:
1) 3; 2) 9?
4.14.14.14.14.118.18.18.18.18. 1) Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëà 444 444, 777 777 777 777
êðàòíû ÷èñëó 3?
2) Âåðíî ëè, ÷òî ÷èñëà 111 111 111, 888 888 888,
9 999 999, 666 666 666 666 êðàòíû ÷èñëó 9?
44444.....111111919191919..... Óêàæèòå íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, êîòî-
ðîå äåëèòñÿ: à) íà 3; á) íà 9, èñïîëüçóÿ â åãî çàïèñè
òîëüêî öèôðó:
1) 2; 2) 4; 3) 5; 4) 6.
44444.....120120120120120..... Âàäèì è Àëåøà çàïèñàëè îäíî è òî æå ÷èñëî.
Âàäèì óìíîæèë ÷èñëî íà 3 è ïîëó÷èë 8721. Àëåøà
óìíîæèë ýòî ÷èñëî íà 9. Êàêîå çíà÷åíèå ïðîèçâåäå-
íèÿ ïîëó÷èë Àëåøà?
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
183
44444.....121121121121121..... Çàïèøèòå îñòàòêè, êîòîðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷å-
íû ïðè äåëåíèè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà:
1) 3; 2) 9; 3) 6; 4) 12.
44444.....122122122122122.....* Äåëèòñÿ ëè íà 3 ñóììà äâóõ ÷èñåë, åñëè èçâå-
ñòíû èõ îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 3 (ñì. òàáëèöó)?
Îñòàòîê ïðè äåëåíèè
íà 3 ïåðâîãî ñëàãàåìîãî0 1 2 2 2 0
Îñòàòîê ïðè äåëåíèè
íà 3 âòîðîãî ñëàãàåìîãî1 1 0 1 2 0
44444.....123123123123123..... Êàêèìè äîëæíû áûòü îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 9
êàæäîãî ñëàãàåìîãî ñóììû äâóõ ÷èñåë, ÷òîáû îíà
áûëà êðàòíà ÷èñëó 9?
44444.....124124124124124..... 1) Çàïèøèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñ-
ëó 3 è çàêëþ÷åííûå ìåæäó ÷èñëàìè 420 è 456.
2) Ïîä÷åðêíèòå òå èç âûïèñàííûõ ÷èñåë, êîòîðûå
êðàòíû ÷èñëó 6.
3) Äåëÿòñÿ ëè ïîä÷åðêíóòûå ÷èñëà íà 2?
4) Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íàòóðàëüíîãî
÷èñëà íà 6.
44444.....125125125125125..... Êàêèìè öèôðàìè ìîæíî çàìåíèòü ñèìâîë ☺ â
çàïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü ÷èñëî,
êðàòíîå ÷èñëó 6, åñëè:
1) n = 978☺; 2) n = 500☺;
3) n = 811☺; 4) n = 964☺?
44444.....126126126126126..... 1) Çàïèøèòå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, êðàòíûå ÷èñ-
ëó 3 è çàêëþ÷åííûå ìåæäó ÷èñëàìè 732 è 768.
2) Ïîä÷åðêíèòå òå èç âûïèñàííûõ ÷èñåë, êîòîðûå
êðàòíû ÷èñëó 5.
3)* Ñôîðìóëèðóéòå ïðèçíàê äåëèìîñòè íàòóðàëü-
íîãî ÷èñëà íà 15.
4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
184
44444.....127127127127127.....* Êàêîé öèôðîé ìîæíî çàìåíÿòü ñèìâîë ☺ â çà-
ïèñè íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n, ÷òîáû ïîëó÷èòü (åñëè ýòî
âîçìîæíî) ÷èñëî, êðàòíîå ÷èñëó 15, åñëè:
1) n = 3☺3☺; 2) n = 5☺5;
3) n = 23☺☺; 4) n = ☺99☺?
44444.....128128128128128..... Âåðíî ëè, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà, êðàòíîãî
÷èñëó 3, è ÷èñëà, êðàòíîãî ÷èñëó 4, äåëèòñÿ íà 12?
Ïðèâåäèòå ïðèìåðû.
44444.....129129129129129.....* Ìîæíî ëè ïðèäóìàòü òàêîé ïðèìåð íà äåëå-
íèå ñ îñòàòêîì, ÷òîáû äåëèìîå îêàí÷èâàëîñü íà 9,
äåëèòåëü — íà 1, ÷àñòíîå — íà 7, à îñòàòîê îêàí÷è-
âàëñÿ íà 3?
4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä.
Êóá
Ïðåäñòàâëåíèå î ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïå-
äå äàþò, íàïðèìåð, ñïè÷å÷íûé êîðîáîê, êèðïè÷ è äð.
(ðèñ. 132). Ïîâåðõíîñòü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïè-
ïåäà ñîñòîèò èç 6 ãðàíåé, êàæäàÿ èç íèõ ÿâëÿåòñÿ
ïðÿìîóãîëüíèêîì (ðèñ. 133). Ñòîðîíû ýòèõ ïðÿìî-
óãîëüíèêîâ íàçûâàþòñÿ ðåáðàìè, à âåðøèíû ïðÿìî-
óãîëüíèêîâ — âåðøèíàìè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà. Ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 12 ðå-
áåð è 8 âåðøèí (ñì. ðèñ. 133).
Ðèñ. 132
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
185
Ïðîòèâîïîëîæíûå ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-
ðàëëåëåïèïåäà ðàâíû.
Íèæíþþ è âåðõíþþ ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-
ðàëëåëåïèïåäà íàçûâàþò åãî îñíîâàíèÿìè, îñòàëüíûå
ãðàíè — áîêîâûìè ãðàíÿìè (ðèñ. 134). Íàçâàíèÿ
«íèæíÿÿ ãðàíü», «âåðõíÿÿ ãðàíü», «áîêîâàÿ ãðàíü» óñ-
ëîâíû. Íàïðèìåð, íà ðèñóíêàõ 135 è 136 èçîáðàæåí
îäèí è òîò æå ïàðàëëåëåïèïåä, à åãî âåðõíèå ãðàíè
íà ýòèõ ðèñóíêàõ ðàçëè÷íû.
Òðè ðåáðà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, êîòî-
ðûå èìåþò îáùóþ âåðøèíó, íàçûâàþòñÿ åãî èçìåðå-
íèÿìè: äëèíîé, øèðèíîé è âûñîòîé. Íàçâàíèÿ
«äëèíà», «øèðèíà», «âûñîòà» óñëîâíû. Òàê, íà ðè-
ñóíêàõ 135 è 136 èçîáðàæåí îäèí è òîò æå ïðÿìî-
Ðèñ. 133 Ðèñ. 134
Ðèñ. 135 Ðèñ. 136
4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåïèïåä. Êóá
A
B C
D
E
F K
L
верхняягрань
боковаягрань
вершина
ребро
нижняягрань
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
186
óãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, à åãî âûñîòîé, íàïðèìåð,
íàçâàíû ðàçíûå ðåáðà.
Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä, ó êîòîðîãî
âñå ðåáðà ðàâíû, íàçûâàåòñÿ êóáîì (ðèñ. 137).
Âîïðîñû
1. Êàêèå ïðåäìåòû, èìåþùèå ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-
ðàëëåëåïèïåäà, âû ìîæåòå íàçâàòü?
2. Êàêóþ ôîðìó èìåþò ãðàíè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà?
3. ×òî íàçûâàåòñÿ: à) ðåáðîì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëå-
ïèïåäà; á) âåðøèíîé ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?
4. Ñêîëüêî ó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà: à) ãðàíåé;
á) ðåáåð; â) âåðøèí?
5. ×òî òàêîå èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?
6. Êàê íàçûâàþòñÿ èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëå-
ïèïåäà?
7. ×òî òàêîå êóá?
Óïðàæíåíèÿ
44444.....130130130130130.....° Èñïîëüçóÿ èçîáðàæåíèÿ êóáà (ñì. ðèñ. 137) è
ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 138), íàçîâèòå:
1) âåðøèíû, ÷èñëî âåðøèí;
2) ðåáðà, ÷èñëî ðåáåð, ðàâíûå ðåáðà;
3) ãðàíè, ÷èñëî ãðàíåé, ðàâíûå ãðàíè.
A
B C
D
M
N K
P AM AB AD� �
Ðèñ. 137
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
187
44444.....131131131131131.....° Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð ïðÿìîóãîëüíî-
ãî ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè åãî èçìåðåíèÿ ðàâíû:
1) 9 ñì, 4 ñì, 15 ñì;
2) 25 ñì, 11 ñì, 8 ñì;
3) 3 ñì 2 ìì, 5 ñì 8 ìì, 1 äì;
4) 3 äì 5 ñì, 4 äì 9 ñì, 45 ìì.
44444.....132132132132132.....° Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð êóáà â ñàíòè-
ìåòðàõ, åñëè åãî ðåáðî ðàâíî:
1) 12 ñì; 2) 17 äì;
3) 150 ìì; 4) 2 ì 3 ñì.
44444.....133133133133133..... Äëèíà ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíà
24 ñì, øèðèíà â 6 ðàç ìåíüøå äëèíû, à âûñîòà íà
5 ñì áîëüøå øèðèíû. Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðå-
áåð ïàðàëëåëåïèïåäà.
44444.....134134134134134..... Íàéäèòå ñóììó ïëîùàäåé âñåõ ãðàíåé êóáà, åñëè
ñóììà âñåõ åãî ðåáåð ðàâíà:
1) 60 ñì; 2) 108 äì;
3) 144 ì; 4) 252 ì.
44444.....135135135135135..... Ñêîëüêî êâàäðàòíûõ äåöèìåòðîâ êàðòîíà ïîòðå-
áóåòñÿ äëÿ èçãîòîâëåíèÿ ïîäàðî÷íîé êîðîáêè, äëèíà
êîòîðîé 30 ñì, øèðèíà 40 ñì, âûñîòà 20 ñì?
44444.....136.136.136.136.136.* Èç êàæäîé áóìàæíîé ðàçâåðòêè (ðèñ. 139, 140)
èçãîòîâèëè ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Êàêèå îò-
ðåçêè, îáîçíà÷åííûå íà ðàçâåðòêå, ïðè ýòîì ñîâïàëè?
Ðèñ. 138
4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåïèïåä. Êóá
P
R S
T
F
K L
E
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
188
44444.....137.137.137.137.137.* Ñóììà äëèí òðåõ èçìåðåíèé ïðÿìîóãîëüíîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíà 72 ñì. Ñóììà äëèíû è âûñîòû
ðàâíà 50 ñì, à øèðèíû è âûñîòû — 40 ñì. Íàéäèòå
ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè ïàðàëëåëåïèïåäà, ò. å. ñóììó
ïëîùàäåé âñåõ åãî ãðàíåé.
4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìà
×òîáû èçìåðèòü îáúåì, íàäî âûáðàòü åäèíèöó
èçìåðåíèÿ îáúåìîâ. Êóá, ðåáðî êîòîðîãî ðàâíî
åäèíèöå èçìåðåíèÿ äëèíû, íàçûâàåòñÿ åäèíè÷íûì.
Îáúåì åäèíè÷íîãî êóáà ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó
èçìåðåíèÿ îáúåìîâ. Íàïðèìåð:
� îáúåì êóáà ñ ðåáðîì 1 ì ðàâåí îäíîìó êóáè÷å-
ñêîìó ìåòðó (ïèøåì: 1 êóá. ì èëè 1 ì3);
� îáúåì êóáà ñ ðåáðîì 1 ñì ðàâåí îäíîìó êóáè÷å-
ñêîìó ñàíòèìåòðó (ïèøåì: 1 êóá. ñì èëè 1 ñì3).
Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî íàçâàíèå åäèíèöû îáúåìà
ïîëó÷àåòñÿ èç íàçâàíèÿ åäèíèöû äëèíû ïðèñîåäè-
íåíèåì ïðèëàãàòåëüíîãî «êóáè÷åñêèé».
Åñëè ôèãóðó ìîæíî ðàçáèòü íà åäèíè÷íûå êóáû,
òî îáúåì ôèãóðû ðàâåí ÷èñëó ñîñòàâëÿþùèõ åå åäè-
íè÷íûõ êóáîâ.
Ðèñ. 139 Ðèñ. 140
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
189
Ïðîùå âñåãî èçìåðèòü îáú-
åì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà. Íàïðèìåð, íà ðè-
ñóíêå 141 èçîáðàæåíû åäè-
íè÷íûé êóá è ïðÿìîóãîëü-
íûé ïàðàëëåëåïèïåä, äëèíà
êîòîðîãî ðàâíà 5 ñì, øèðè-
íà — 4 ñì è âûñîòà — 3 ñì. Åãî ìîæíî ðàçáèòü íà
3 ñëîÿ, â êàæäîì ñëîå — 5 . 4 åäèíè÷íûõ êóáîâ.
Âñåãî òàêèõ êóáîâ (5 . 4) . 3 = 60. Çíà÷èò, îáúåì ýòîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà
V = 5 . 4 . 3 = 60 (ñì3).
Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðà-
âåí ïðîèçâåäåíèþ åãî èçìåðåíèé, ò. å. ïðîèç-
âåäåíèþ äëèíû, øèðèíû è âûñîòû.
Èòàê, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà a, b è c åäèíèö äëèíû, à åãî îáúåì V, òî:
V = a . b . c
Åñëè S — ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-
ðàëëåëåïèïåäà, òî S = a . b. Ñëåäîâàòåëüíî,
V = S . c
Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâåí
ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ è âûñîòû.
Êîãäà ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä ÿâëÿåòñÿ
êóáîì ñ ðåáðîì à, òî a = b = c è
V = a3
(Èìåííî ïîýòîìó à3 ÷èòàåòñÿ «à êóá» èëè «à â êóáå».)
5
4
3
11
1
Ðèñ. 141
4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
190
Ðàâåíñòâî V = a3 äàåò âîçìîæíîñòü âûðàæàòü îäíè
åäèíèöû îáúåìà ÷åðåç äðóãèå. Íàïðèìåð:
1 ì3 = 1 ì . 1 ì . 1 ì = 100 ñì . 100 ñì . 100 ñì == 1003 ñì3 = 1 000 000 ñì3;
1 êì3 = 1 êì . 1 êì . 1 êì = 1000 ì . 1000 ì . 1000 ì == 10003 ì3 = 1 000 000 000 ì3.
Åäèíèöà îáúåìà 1 äì3 èìååò åùå è äðóãîå íàçâà-
íèå — ëèòð (îáîçíà÷àåòñÿ 1 ë). Ëèòð èñïîëüçóåòñÿ,
íàïðèìåð, äëÿ èçìåðåíèÿ îáúåìà æèäêîñòåé.
Âîïðîñû
1. ×òî òàêîå åäèíè÷íûé êóá?
2. ×òî ïðèíèìàåòñÿ çà åäèíèöó èçìåðåíèÿ îáúåìîâ?
3. ×åìó ðàâåí îáúåì ôèãóðû, êîòîðóþ ìîæíî ðàçáèòü íà
åäèíè÷íûå êóáû?
4. ×åìó ðàâåí îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà?
êóáà?
Óïðàæíåíèÿ
44444.....138138138138138.....° Ïðîçðà÷íóþ êîðîáêó çàïîëíÿþò êóáèêàìè ñ ðåá-
ðîì, ðàâíûì 1 ñì (ðèñ. 142). Ñêîëüêî êóáèêîâ âîéäåò
â êîðîáêó? Îïðåäåëèòå îáúåì êîðîáêè.
Ðèñ. 142
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
191
Торт12 дм
9 дм
6 дм40 cм
30 cм
15 cм
а) б)
Песок
44444.....139139139139139.....° Íàéäèòå îáúåì êîðîáêè, èìåþùåé ôîðìó ïðÿìî-
óãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 143).
44444.....140140140140140.....° Âû÷èñëèòå îáúåì ÿùèêà è êîðîáêè, èìåþùèõ
ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ. 144).
44444.....141141141141141.....° Íàéäèòå îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïè-
ïåäà, åñëè åãî èçìåðåíèÿ ðàâíû:
1) 4 ñì, 6 ñì, 8 ñì;
2) 3 äì, 5 äì, 10 äì;
3) 6 ñì 2 ìì, 6 äì 2 ñì, 6 ì 2 äì;
4) 1 äì 2 ñì, 3 äì 8 ñì, 1 ì 5 ñì.
44444.....142142142142142.....° Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè åãî ðåáðî ðàâíî:
1) 2 ì; 2) 4 äì;
3) 5 ñì 4 ìì; 4) 1 ì 1 äì.
44444.....143143143143143..... Âûðàçèòå â êóáè÷åñêèõ äåöèìåòðàõ:
1) 1 ì3, 6 ì3, 45 ì3; 2) 14 ì3, 7 ì3, 13 ì3.
Ðèñ. 143
Ðèñ. 144
4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
192
44444.....144144144144144.....° Ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êóáîâ îáúåìîì 1 ñì3 íóæíî
âçÿòü, ÷òîáû ïîñòðîèòü èç íèõ ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàë-
ëåëåïèïåä ñ èçìåðåíèÿìè:
1) 1 ñì, 3 ñì, 8 ñì; 2) 5 ñì, 4 ñì, 1 äì;
3) 1 äì, 2 äì, 5 ñì; 4) 7 ñì, 6 ñì, 1 äì 5 ñì;
5) 2 ì, 3 äì, 40 ñì; 6) 30 ñì, 1 ì 21 ñì, 7 äì?
44444.....145145145145145..... Íà ñêîëüêî åäèíè÷íûõ êóáîâ îáúåìîì 1 ñì3
ìîæíî ðàçáèòü êóá ñ ðåáðîì:
1) 3 ñì; 2) 10 ñì;
3) 2 äì; 4) 5 äì 2 ñì?
44444.....146146146146146..... Â êàêóþ èç äâóõ êîðîáîê, èçîáðàæåííûõ íà ðè-
ñóíêå 145, ïîìåñòèòñÿ áîëüøå êóáèêîâ ñ ðåáðîì, ðàâ-
íûì 6 ñì, è íà ñêîëüêî áîëüøå?
44444.....147147147147147..... Ñðàâíèòå:
1) 90 ìì3 è 9 ñì3;
2) 500 ñì3 è 5 äì3;
3) 80 000 äì3 è 8 ì3;
4) 2000 ñì3 è 2 ì3;
5) 40 000 ìì3 è 4 äì3;
6) 1 ì3 25 äì3 è 1 250 000 ñì3.
44444.....148148148148148..... Íàéäèòå îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïå-
äà, åñëè åãî âûñîòà 12 ñì è ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ðàâíà:
1) 14 ñì2; 2) 98 ñì2;
3) 3 ì2; 4) 12 äì2.
54 см24 см
18 см30 см
18 см36 см
Ðèñ. 145
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
193
44444.....149149149149149..... Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 3024 äì3.
Íàéäèòå ïëîùàäü åãî îñíîâàíèÿ, åñëè âûñîòà ðàâíà:
1) 18 äì; 2) 7 äì;
3) 140 ñì; 4) 1200 ìì.
44444.....150150150150150..... Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè äëèíà åãî ðåáðà ðàâíà:
1) 7 ñì; 2) 9 äì;
3) 4 ì; 4) 10 ìì.
44444.....151151151151151..... Íàéäèòå îáúåì êóáà, åñëè ïëîùàäü åãî íèæíåé
ãðàíè ðàâíà:
1) 25 ñì2; 2) 64 äì2;
3) 121 ì2; 4) 10 000 ìì2.
44444.....152152152152152..... Êàêèå èçìåðåíèÿ ìîæåò èìåòü ïðÿìîóãîëüíûé
ïàðàëëåëåïèïåä îáúåìîì V, åñëè êàæäîå åãî èçìåðå-
íèå âûðàæåíî íàòóðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ è:
1) V = 2 ñì3; 2) V = 3 ñì3;
3) V = 4 ñì3; 4) V = 30 ñì3?
44444.....153153153153153..... Ñóùåñòâóåò ëè êóá, äëèíà ðåáðà êîòîðîãî âûðà-
æåíà íàòóðàëüíûì ÷èñëîì, à îáúåì ðàâåí:
1) 4 ñì3; 2) 1000 ìì3;
3) 100 äì3; 4) 64 ì3?
44444.....154154154154154..... Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà 8 äì3.
Íàéäèòå èçìåðåíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè âñå îíè
âûðàæåíû ðàçëè÷íûìè íàòóðàëüíûìè ÷èñëàìè.
44444.....155155155155155..... Äëèíà àêâàðèóìà 90 ñì, øèðèíà 40 ñì, âûñîòà
60 ñì. Ñêîëüêî ëèòðîâ âîäû ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû íà-
ïîëíèòü àêâàðèóì?
4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåïèïåäà. Åäèíèöû îáúåìàНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
194
44444.....156156156156156.....* Âîäó èç ïîëíîñòüþ çàïîëíåííîãî àêâàðèóìà,
èìåþùåãî ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà,
ïåðåëèëè â àêâàðèóì â ôîðìå êóáà. Êàêèì íàòó-
ðàëüíûì ÷èñëîì ñàíòèìåòðîâ âûðàæåíà äëèíà ðåáðà
ýòîãî êóáà, åñëè èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî àêâàðèóìà
ðàâíû:
1) 10 ñì, 40 ñì, 20 ñì;
2) 25 ñì, 60 ñì, 18 ñì?
44444.....157157157157157.....* Ïî äàííûì íà ðèñóíêå 146 âû÷èñëèòå îáúåì
ôèãóðû.
4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Ïîåçä èäåò ñî ñêîðîñòüþ 67км
.ч
Êàêîå ðàñ-
ñòîÿíèå îí ïðîéäåò çà 5 ÷?
Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü ïîåçäà ÷èñëåííî ðàâíà ðàññòîÿíèþ,
êîòîðîå îí ïðîõîäèò çà åäèíèöó âðåìåíè. À ïî óñëî-
âèþ çàäà÷è çà 1 ÷ ïîåçä ïðîåçæàåò 67 êì. Çíà÷èò,
çà 5 ÷ îí ïðîéäåò
67 . 5 = 335 (êì).
Îòâåò: 335 êì.
Ðèñ. 146
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
4 дм
8 дм
3 дм
1д
м
2 дм5 дм
а) б)
27 см
18 см
48 см
12 с
м12
см
3 см
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
195
Òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû íàéòè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå, íàäî
ñêîðîñòü äâèæåíèÿ óìíîæèòü íà âðåìÿ äâè-
æåíèÿ.
Åñëè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå îáîçíà÷èòü áóêâîé s,
ñêîðîñòü äâèæåíèÿ áóêâîé v, à âðåìÿ äâèæåíèÿ áóê-
âîé t, òî ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
s = v . t
Ðàññòîÿíèå s ìîæåò èçìåðÿòüñÿ â êèëîìåòðàõ, ìåò-
ðàõ, ñàíòèìåòðàõ è äðóãèõ åäèíèöàõ äëèíû. Âðå-
ìÿ t — â ÷àñàõ, ìèíóòàõ, ñåêóíäàõ è äðóãèõ åäèíèöàõ
âðåìåíè.
Ñêîðîñòü, íàïðèìåð, ïîåçäà, ïåøåõîäà, àâòîìîáè-
ëÿ — ýòî ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå èìè çà åäèíèöó
âðåìåíè. Ïîýòîìó åäèíèöû, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ
äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè, çàâèñÿò îò òîãî, â êàêèõ
åäèíèöàõ èçìåðÿþòñÿ ðàññòîÿíèå è âðåìÿ. Åäèíèöû
èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè çàïèñûâàþò òàê:км км м
, ,ч мин с
. Íà-
ïðèìåð, çàïèñü 67км
ч ÷èòàåòñÿ: «67 êèëîìåòðîâ â ÷àñ».
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Ñàäîâàÿ óëèòêà ïðîïîëçëà 120 ñì çà 5 ìèí.
Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îíà ïîëçëà?
Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü óëèòêè — ýòî ðàññòîÿíèå, êîòîðîå
îíà ïðîïîëçëà çà 1 ìèí. Çà 5 ìèí îíà ïðîïîëçëà
120 ñì, çíà÷èò, çà 1 ìèí — â 5 ðàç ìåíüøå. Ñëåäîâà-
òåëüíî, ñêîðîñòü óëèòêè
120 : 5 = 24см
.мин
Îòâåò: 24см
.мин
4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
196
Òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû íàéòè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, íàäî ïðîé-
äåííîå ðàññòîÿíèå ðàçäåëèòü íà âðåìÿ äâè-
æåíèÿ.
Èñïîëüçóÿ áóêâû, ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
v = s : t
×òîáû íàéòè âðåìÿ äâèæåíèÿ, íàäî ïðîé-
äåííîå ðàññòîÿíèå ðàçäåëèòü íà ñêîðîñòü
äâèæåíèÿ.
Èñïîëüçóÿ áóêâû, ýòî ïðàâèëî ìîæíî çàïèñàòü òàê:
t = s : v
Âîïðîñû
1. Êàê íàéòè ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå, çíàÿ ñêîðîñòü äâèæå-
íèÿ è âðåìÿ äâèæåíèÿ?
2. Êàê íàéòè ñêîðîñòü äâèæåíèÿ, çíàÿ ïðîéäåííîå ðàññòîÿ-
íèå è âðåìÿ äâèæåíèÿ?
3. Êàê íàéòè âðåìÿ äâèæåíèÿ, çíàÿ ïðîéäåííîå ðàññòîÿíèå
è ñêîðîñòü äâèæåíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
44444.....158158158158158.....° Ïåøåõîä øåë 3 ÷ ñî ñêîðîñòüþ 4км
ч è 4 ÷ ñî
ñêîðîñòüþ 5км
ч. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå
ïåøåõîäîì.
44444.....159159159159159.....° Êîñìè÷åñêàÿ ðàêåòà ïðîëåòåëà çà t ìèí
24 640 êì. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ëåòåëà ðàêåòà? Ñî-
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
197
ñòàâüòå âûðàæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è è íàéäèòå
åãî çíà÷åíèå ïðè t, ðàâíîì:
1) 40; 2) 55; 3) 44; 4) 56.
44444.....160160160160160.....° Êîñìè÷åñêàÿ ðàêåòà ïðîëåòåëà s êì ñî ñêîðîñòüþ
580км
мин. Ñêîëüêî ìèíóò ëåòåëà ðàêåòà? Ñîñòàâüòå
âûðàæåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è è íàéäèòå åãî çíà÷å-
íèå ïðè s, ðàâíîì:
1) 2320; 2) 4060;
3) 12 180; 4) 16 820.
44444.....161161161161161..... Òóðèñòû ïðîåõàëè íà àâòîáóñå â 8 ðàç áîëüøåå
ðàññòîÿíèå, ÷åì ïðîøëè ïåøêîì çà 3 ÷. Êàêîå ðàñ-
ñòîÿíèå ïðîåõàëè òóðèñòû íà àâòîáóñå, åñëè ïåøêîì
çà 1 ÷ îíè ïðîõîäèëè 4 êì?
44444.....162162162162162..... Ïëîâåö ïðîïëûë äèñòàíöèþ çà 9 ìèí. Ïåðâûå
5 ìèí îí ïëûë ñî ñêîðîñòüþ 85м
мин, ïîñëå ÷åãî åãî
ñêîðîñòü óìåíüøèëàñü íà 6м
мин. Íàéäèòå äëèíó äèñ-
òàíöèè.
44444.....163163163163163..... Çà äâà ýòàïà âåëîãîíêè âåëîñèïåäèñò ïðîåõàë
376 êì. Ïåðâûé ýòàï äëèíîé 216 êì îí åõàë ñî ñêî-
ðîñòüþ 36км
ч, à âòîðîé ýòàï — ñî ñêîðîñòüþ íà 4
км
ч
ìåíüøåé, ÷åì íà ïåðâîì ýòàïå. Çà êàêîå âðåìÿ âåëî-
ñèïåäèñò ïðîåõàë âñþ äèñòàíöèþ?
44444.....164164164164164..... Çà 6 ÷ òåïëîõîä ïðîïëûë 210 êì, à ïîåçä çà 4 ÷
ïðîåõàë 420 êì. Âî ñêîëüêî ðàç ñêîðîñòü ïîåçäà áîëü-
øå ñêîðîñòè òåïëîõîäà?
4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
198
44444.....165165165165165..... Ïîëîâèíó ïóòè âåðòîëåò ïðîëåòåë çà 3 ÷ ñî ñêî-
ðîñòüþ 240км
ч, à îñòàëüíîå ðàññòîÿíèå — ñî ñêî-
ðîñòüþ 180км
ч. Ñêîëüêî âðåìåíè âåðòîëåò íàõîäèëñÿ
â ïîëåòå?
44444.....166166166166166..... ×åðåç 5 ìèí ïîñëå âûëåòà ïåðâîãî ñàìîëåòà â
òîì æå íàïðàâëåíèè âûëåòåë âòîðîé ñàìîëåò è ñïóñ-
òÿ 15 ìèí äîãíàë ïåðâûé. Ñêîðîñòü ïåðâîãî ñàìîëåòà
ñîñòàâëÿëà 6км
мин. Êàêîâà ñêîðîñòü âòîðîãî ñàìîëåòà?
44444.....167167167167167.....* Êîãäà ïî÷òàëüîí Ïå÷êèí ïðîåõàë 300 ì, âñëåä
çà íèì íà âåëîñèïåäå âûåõàë ìàëü÷èê, çà êîòîðûì
óâÿçàëñÿ ïåñ Øàðèê. Øàðèê äîãíàë ïî÷òàëüîíà Ïå÷-
êèíà, ïîòîì âåðíóëñÿ ê ìàëü÷èêó è áåãàë ìåæäó
ìàëü÷èêîì è Ïå÷êèíûì äî òåõ ïîð, ïîêà ìàëü÷èê
íå äîãíàë ïî÷òàëüîíà. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîáåæàë çà
ýòî âðåìÿ Øàðèê, åñëè åãî ñêîðîñòü 500м
мин, ñêî-
ðîñòü ïî÷òàëüîíà Ïå÷êèíà 200м
мин, à ñêîðîñòü ìàëü-
÷èêà 250м
мин?
4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ
è ïðîòèâ òå÷åíèÿ
Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà äâèæåíèå ïî ðåêå íàäî ó÷è-
òûâàòü ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè. Ýòà ñêîðîñòü îïðåäå-
ëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì, íà êîòîðîå òå÷åíèå îòíîñèò ëþ-
áîé ïëàâàþùèé ïðåäìåò çà åäèíèöó âðåìåíè (ðèñ. 147).
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
199
Ñî ñêîðîñòüþ òå÷åíèÿ äâèæóòñÿ ïî ðåêå ïëîò, íà-
äóâíîé êðóã, ìÿ÷.
Ìîòîðíûå è âåñåëüíûå ëîäêè, êàòåðà è òåï-
ëîõîäû èìåþò ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü, êîòî-
ðàÿ ðàâíà èõ ñêîðîñòè â ñòîÿ÷åé âîäå.
Åñëè ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà ðàâíà 15км
ч,
à ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè — 2км
ч, òî ïðè äâèæåíèè
êàòåðà ïî òå÷åíèþ ðåêè òå÷åíèå ïîìîãàåò åìó ïëûòü,
è ñêîðîñòü ðàâíà
км15 2 17
ч
+ = ,
à ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ òå÷åíèÿ — ìåøàåò, è ñêî-
ðîñòü ðàâíà
км15 2 13
ч
− = .
Ãîâîðÿò, ÷òî: 17км
ч— ñêîðîñòü êàòåðà ïî òå÷å-
íèþ, à 13км
ч— ñêîðîñòü êàòåðà ïðîòèâ òå÷åíèÿ.
Ðèñ. 147
4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
200
Ñêîðîñòü ïî òå÷åíèþ íàõîäÿò ñëîæåíèåì
ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè è ñêîðîñòè òå÷åíèÿ.
×òîáû íàéòè ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ íà-
äî èç ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè âû÷åñòü ñêîðîñòü
òå÷åíèÿ.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 11111..... Ïðè äâèæåíèè ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè ïðî-
ãóëî÷íûé êàòåð ïðîïëûë 24 êì çà 2 ÷. Íàéòè ñêî-
ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, åñëè ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà
14км
ч.
Ðåøåíèå. Ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé êàòåð ïëûë ïðîòèâ òå÷å-
íèÿ, ðàâíàкм
24 : 2 12 .ч
= Òàê êàê ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðàâíà ðàçíîñòè
ñîáñòâåííîé ñêîðîñòè êàòåðà è ñêîðîñòè òå÷åíèÿ, ñêî-
ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè îïðåäåëÿåì êàê íåèçâåñòíîå âû-
÷èòàåìîå:км
14 12 2 .ч
− = Îòâåò: 2
км
ч.
ÏðÏðÏðÏðÏðèìåðèìåðèìåðèìåðèìåð 22222..... Ñêîðîñòü ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè 23км
ч, à
ïðîòèâ òå÷åíèÿ — 17км
ч. Íàéòè ñîáñòâåííóþ ñêî-
ðîñòü ëîäêè è ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè.
Ðåøåíèå. Ñëîæèâ ñêîðîñòè ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè è
ïðîòèâ åå òå÷åíèÿ, ïîëó÷èì óäâîåííóþ ñêîðîñòü ëîä-
êè â ñòîÿ÷åé âîäå:км
23 17 40 .ч
+ =
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
201
Çíà÷èò, ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü ëîäêè 20км
ч, à ñêî-
ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè — 3км
ч.
Îòâåò: 20км
ч; 3
км
ч.
 ìîðåõîäíîé ïðàêòèêå èñïîëüçóþòñÿ ñïåöèàëüíûå åäèíèöû äëÿèçìåðåíèÿ ðàññòîÿíèé:� 1 êàáåëüòîâ = 185 ì 2 äì;� 1 ìîðñêàÿ ìèëÿ = 10 êàáåëüòîâûõ = 1852 ì,à òàêæå åäèíèöû äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè:
� 1 óçåë =ìîðñêàÿ ìèëÿ ì
1 = 1852 .÷ ÷
Âîïðîñû
1. Êàê, çíàÿ ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü ñóäíà è ñêîðîñòü òå÷å-
íèÿ ðåêè, íàéòè åãî ñêîðîñòü: à) ïî òå÷åíèþ; á) ïðîòèâ
òå÷åíèÿ?
2. Êàê íàéòè ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè, çíàÿ ñêîðîñòü ñóäíà
ïî òå÷åíèþ è åãî ñêîðîñòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ?
Óïðàæíåíèÿ
44444.....168168168168168.....° Ñîáñòâåííàÿ ñêîðîñòü ëîäêè 8км
ч. Ñêîðîñòü òå-
÷åíèÿ ðåêè 3км
ч. Íàéäèòå:
1) ñêîðîñòü ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè;
2) ñêîðîñòü ëîäêè ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè;
3) ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ëîäêîé ïî òå÷åíèþ ðåêè
çà 3 ÷;
4) ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå ëîäêîé ïðîòèâ òå÷åíèÿ
ðåêè çà 4 ÷.
4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
202
44444.....169169169169169..... Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïðè÷àëàìè 90 êì. Ñîá-
ñòâåííàÿ ñêîðîñòü êàòåðà 14км
ч, ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðå-
êè 4км
ч. Çà êàêîå âðåìÿ êàòåð ïðåîäîëååò ýòî ðàñ-
ñòîÿíèå, åñëè áóäåò ïëûòü:
1) ïî òå÷åíèþ ðåêè;
2) ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè?
44444.....170170170170170.....° Ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðè÷àëàìè 120 êì. Ñîáñòâåí-
íàÿ ñêîðîñòü òåïëîõîäà 25км
ч. Åñëè òåïëîõîä ïëûâåò
âíèç ïî ðåêå (çíà÷èò, ïî åå òå÷åíèþ), òî ýòî ðàññòîÿ-
íèå îí ïðåîäîëåâàåò çà 4 ÷. Íàéäèòå:
1) ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè;
2) âðåìÿ, çà êîòîðîå òåïëîõîä ïðåîäîëååò ýòî ðàñ-
ñòîÿíèå ââåðõ ïî ðåêå, ò. å. ïðîòèâ åå òå÷åíèÿ.
44444.....171171171171171.....° Ñêîðîñòü ìîòîðíîé ëîäêè ïî òå÷åíèþ ðåêè
27км
ч, à ïðîòèâ òå÷åíèÿ 19
км
ч. Íàéäèòå:
1) ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè;
2) ñêîðîñòü ìîòîðíîé ëîäêè ïî îçåðó.
44444.....172172172172172..... Ëîäêà, èìåþùàÿ ñîáñòâåííóþ ñêîðîñòü 6км
ч,
ïëûëà 3 ÷ ïî òå÷åíèþ ðåêè è 5 ÷ ïðîòèâ òå÷åíèÿ
ðåêè. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîïëûëà ëîäêà, åñëè ñêî-
ðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè 2км
ч?
44444.....173173173173173..... Ñêîðîñòü òå÷åíèÿ ðåêè 5км
ч. Òåïëîõîä ïðîïëûë
ïî òå÷åíèþ 240 êì çà 8 ÷. Êàêîå âðåìÿ íåîáõîäèìî
çàòðàòèòü åìó íà îáðàòíûé ïóòü, åñëè ñîáñòâåííàÿ
ñêîðîñòü òåïëîõîäà íå èçìåíèëàñü?
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
203
44444.....174174174174174.....* Ñëîíåíîê è óäàâ íà÷àëè äâèæåíèå íàâñòðå÷ó
äðóã äðóãó, íàõîäÿñü íà ðàññòîÿíèè 1 êì äðóã îò äðóãà.
Ñëîíåíîê äâèãàëñÿ ñî ñêîðîñòüþ 107м
мин, à óäàâ —
93м
мин. Âñå ýòî âðåìÿ ìåæäó ñëîíåíêîì è óäàâîì
áåãàëà îáåçüÿíêà è ëåòàë ïîïóãàé, ïîäãîíÿÿ òî óäàâà,
òî ñëîíåíêà (ðèñ. 148). Ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîáåæàëà
îáåçüÿíêà è ñêîëüêî ìåòðîâ ïðîëåòåë ïîïóãàé äî òîãî
âðåìåíè, ïîêà ñëîíåíîê è óäàâ íå âñòðåòèëèñü, åñëè
ñêîðîñòü îáåçüÿíêè 150м
мин, à ïîïóãàÿ — 140
м
мин?
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
44444.....175175175175175..... Îêðóãëèòå äî ñîòåí ÷èñëà:
1) 72 835; 2) 247 348;
3) 7 197 153; 4) 5 824 715.
Ðèñ. 148
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå
107м
мин93
ммин
1 км
140м
мин
150 ммин
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
204
44444.....176176176176176..... Âû÷èñëèòå è ðåçóëüòàò îêðóãëèòå äî òûñÿ÷:
1) 705 399 + 13 245 − 34 760 : 632;
2) (795 328 − 53 794) : 6 + 141 . 352;
3) 937 120 − 423 . 132 + 342 612 : 372;
4) 816 651 : (65 724 − 64 481) + 2318 . 139.
44444.....177177177177177..... Ñðàâíèòå:
1) 53 − 33 è (5 − 3)3;
2) 52 + 22 è (5 + 2)2;
3) 152 − 112 è (15 − 11) . (15 + 11);
4) 23 + 43 è (2 + 4)3.
44444.....178178178178178..... Èñïîëüçóÿ öèôðû 0 è 2, ñîñòàâüòå âñå âîçìîæíûå:
1) äâóçíà÷íûå ÷èñëà;
2) òðåõçíà÷íûå ÷èñëà;
3) ÷åòûðåõçíà÷íûå ÷èñëà.
44444.....179179179179179..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 93 . a − 27 . a − 46 . a ïðè à = 1378;
2) 15 . m + 84 − 5 . m − 52 ïðè m = 7541;
3) (57 . p − 38 ⋅ ð) : 19 ïðè p = 2907;
4) (75 . q − 35 ⋅ q) : 20 ïðè q = 5432.
44444.....180180180180180..... Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ
p − (108 − (59 − k)) + (t + 64)
ïðè ð = 206, k = 57, t = 36.
44444.....181181181181181..... Êàêîå èç ÷èñåë 8, 12, 16 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâ-
íåíèÿ 96 : õ = 22 − õ?
44444.....182182182182182..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) õ . 299 = 0; 2) 79 . y = 79;
3) 225 : õ = 1; 4) y : 794 = 0.
44444.....183183183183183..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) (723 + ò) + (1257 − 452) = 1805;
2) (n − 17 274) . (118 + 714 : 7) = 126 500.
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåëНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
205
44444.....184184184184184..... Ðåøèòå óðàâíåíèå:
1) 67 . õ − 59 . õ = 576;
2) 31 . õ + 4 . õ − 34 . õ + 8 = 118;
3) 122 . (õ − 52) = 362;
4) 62 + 5 . õ = 432 : 12.
44444.....185185185185185..... Íàéäèòå ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà, ñóììà äëèíû
è øèðèíû êîòîðîãî 62 ñì, à èõ ðàçíîñòü — 6 ñì.
44444.....186186186186186..... Ñàøà ðåøèë ïîéòè â ãîñòè ê Ìèøå ïåøêîì,
ïîýòîìó îí çàòðàòèë â 7 ðàç áîëüøå âðåìåíè, ÷åì
åñëè áû îí åõàë íà àâòîáóñå. Êàêîå âðåìÿ ïîòðà-
òèë áû Ñàøà, ïîåõàâ íà àâòîáóñå, åñëè íà äîðîãó
ïåøêîì óøëî íà 36 ìèí áîëüøå?
44444.....187187187187187.....* Ñêîëüêèìè íóëÿìè îêàí÷èâàåòñÿ ïðîèçâåäåíèå
âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 30 äî 80?
44444.....188188188188188.....* Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷åòûðåõ ïîñëåäîâà-
òåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë äåëèòñÿ:
1) íà 4; 2) íà 8.
44444.....189189189189189.....*  òðåõ ïàññàæèðñêèõ ïîåçäàõ ðàçëè÷íîå ÷èñëî
ìåñò: 236, 295, 472. Ñêîëüêî âàãîíîâ â êàæäîì ïîåçäå
è ñêîëüêî ìåñò â êàæäîì âàãîíå, åñëè âî âñåõ âàãî-
íàõ ÷èñëî ìåñò îäèíàêîâîå?
44444.....190190190190190.....* Ê äâóçíà÷íîìó ÷èñëó ïðèáàâèëè 5, è ñóììà
îêàçàëàñü êðàòíîé 5. Êîãäà îò íåãî îòíÿëè 3, òî ðàç-
íîñòü îêàçàëàñü êðàòíîé 3. Êîãäà åãî ïîäåëèëè íà 2,
òî îêàçàëîñü, ÷òî è ÷àñòíîå äåëèòñÿ íà 2. Íàéäèòå
ýòî ÷èñëî.
44444.....191191191191191.....* Êàê, èìåÿ ëèøü äâà ñîñóäà âìåñòèìîñòüþ 5 ë
è 7 ë, à òàêæå ñëèâíóþ ðàêîâèíó, íàëèòü èç âîäîïðî-
âîäíîãî êðàíà 6 ë?
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèåНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
44444.....192192192192192.....* Èìååòñÿ 8 êã ñàõàðà è ÷àøå÷íûå âåñû áåç ãèðü.
Ìîæåò ëè ñ èõ ïîìîùüþ ïðîäàâåö âçâåñèòü òðåì ïî-
êóïàòåëÿì 1 êã, 3 êã è 4 êã ñàõàðà?
44444.....193193193193193.....* Ñêîëüêî îäèíàêîâûõ èçäåëèé ïîìåùàåòñÿ â
îäíîé êîðîáêå, åñëè â 13 êîðîáêàõ èõ ìåíüøå 118,
à â 20 êîðîáêàõ áîëüøå 179?
44444.....194194194194194..... Ïî òå÷åíèþ ðåêè ïëûâåò ìîòîðíàÿ ëîäêà, à íà-
âñòðå÷ó — êàòåð. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå íà÷àëà äâè-
æåíèÿ ëîäêà è êàòåð âñòðåòÿòñÿ, åñëè îíè îäíîâðåìåííî
íà÷àëè äâèæåíèå ñ ñîáñòâåííûìè ñêîðîñòÿìè, ñîîòâåò-
ñòâåííî ðàâíûìè 12км
ч è 15
км
ч, íàõîäÿñü íà ðàññòîÿ-
íèè 54 êì äðóã îò äðóãà?
44444.....195195195195195..... Âûðàçèòå â êóáè÷åñêèõ äåöèìåòðàõ:
1) 40 ì3; 2) 4000 ñì3;
3) 5 êì3; 4) 2 ì3.
44444.....196196196196196..... Çàïîëíèòå òàáëèöó (à, b, ñ — èçìåðåíèÿ ïðÿ-
ìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, V — åãî îáúåì).
à 8 ñì 60 ìì ? ñì
b 13 ñì ? ìì 130 ìì
ñ ? ñì 4 ñì 80 ìì
V 520 ñì3 216 ñì3 2600 ñì3
44444.....197197197197197..... Íàéäèòå ñóììó äëèí âñåõ ðåáåð êóáà, îáúåì êî-
òîðîãî ðàâåí 343 äì3.
44444.....198198198198198.....* Àêâàðèóì, èìåþùèé ôîðìó ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-
ðàëëåëåïèïåäà, èçãîòîâëåí èç ïÿòè îäèíàêîâûõ êóñêîâ
ñòåêëà, îáùåé ïëîùàäüþ 12 500 ñì2. Ñêîëüêî ëèòðîâ
âîäû ïîòðåáóåòñÿ äëÿ çàïîëíåíèÿ äîâåðõó òðåõ òàêèõ
æå àêâàðèóìîâ?
à ë à â à 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
206
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
Îòâåòû
ÃËÀÂÀ 1
1.4. à) 3 òðåóãîëüíèêà, êâàä-
ðàòîâ íåò; á) íåò òðå-
óãîëüíèêîâ, 5 êâàäðà-
òîâ; â) 8 òðåóãîëüíèêîâ,
2 êâàäðàòà; ã) 7 òðå-
óãîëüíèêîâ, 3 êâàäðàòà.
1.11. à: 728; 329;
à + 1: 538; 445; 330;
à – 1: 536; 443; 727.
1.14. 2) 99; 100; 101; 102;
103; 104; 105.
1.15. 1) à + 3.
1.16. 1) 9; 10; 15; 16; 17;
23; 24; 99; 100;
2) 8; 9; 14; 15; 16; 22;
23; 98; 99;
3) 9; 15; 16; 23; 99.
1.17. 1) 99; 3) 11.
1.18. 1) 9 899 100; 2) 109.
1.19. 4 + 4 ⋅ (4 − 4) = 4;
(4 + 4) ⋅ 4 : 4 = 8;
4 ⋅ 4 ⋅ 4 : 4 = 16;
4 ⋅ 4 + 4 ⋅ 4 = 32;
(4 + 4) ⋅ (4 + 4) = 64;
(4 + 4) ⋅ 4 ⋅ 4 = 128;
4 ⋅ 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 256.
1.31. 1) 2; 3) à) 7; á) 4;
â) 6.
1.33. 1) 731; 3) 137.
1.34. 9.
1.35. 1) 6; 2) 4.
1.36. 2) 40; 44; 4) 10; 15;
11; 51; 50; 55.
1.40. 2) 999; 100;
4) 999 999; 100 000.
1.42. 2) 103; 112; 121; 130;
202; 211; 220; 310; 400.
1.43. 50 505; 505 050;
5 050 505.
1.45. Íîìåð 299.
1.46. 1) 1 + 3 ⋅ 5 – (7 + 9);
2) (1 + 3 ⋅ 5) : (7 + 9);
3) ((1 + 3) ⋅ 5 + 7) : 9);
4) 1 + 3 ⋅ (5 + 7) : 9;
5) 1 + 3 + 5 + 7 – 9;
6) (1 ⋅ 3 + 5 – 7) ⋅ 9.
1.51. 1) Íàïðèìåð, 405 703.
1.52. 2) 4305; 4) 9400.
1.54. 2) 5000 + 400 + 20;
4) 5000 + 400 + 2;
6) 500 000 + 200 + 4.
1.55. 1) 386; 3) 30 860.
1.56. 2) 5881; 4) 530 000.
1.58. 2) 900 + 90 + 9;
4 ) 90 000 + 9000 ++ 900 + 90 + 9.
1.61. Â 14 ÷ 30 ìèí.
207
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
208
1.62. 2) 701 011 000;
4) 6 000 000 606.
1.67. 1) 8; 3) 4.
1.68. 2) 7; 4) 123.
1.72. 2) 801 108 801 108.
1.75. 2) 79.
1.76. 1) 192; 2) 64.
1.77. 879 546; 124 506.
1.78. 1) 3 − 2 − 1;
2) 3 − 2 ⋅ 1;
3) 3 − 2 + 1;
4) 3 ⋅ (2 − 1);
5) 3 + 2 − 1;
6) 3 + 2 ⋅ 1;
7) 3 ⋅ 2 ⋅ 1;
8) 3 ⋅ 2 + 1;
9) 3 ⋅ (2 + 1).
1.90. ÀÂ = FH = NP,
SE = CD.
1.92. á) PS = ST = TV = PV,
SV = PT;
ã ) EC = EF = EN.
1.93. 1) Äà; 3) íåò; 5) íåò.
1.94. 2) 33 äì 6 ñì 2 ìì;
4) 30 äì 3 ñì 7 ìì.
1.95. 11; 16; 21.
1.96. 203 êì 110 ì.
1.97. Çàÿö.
1.98. 1) 12 : 3 = 4;
2) 1 + 2 + 3 + 4 − 5 = 5;
3) 12 : 3 : 4 + 5 = 6;
4) 12 : 3 + 4 + 5 − 6 = 7;
5) 12 : 3 ⋅ 4 + 5 − 6 − 7 = 8;
6) 12 ⋅ 3 : 4 − 5 + 6 ++ 7 − 8 = 9.
1.102. 2) 1 300 531 > 130 531.
1.103. 1) 7 830 132 << 78 290 132.
1.104. 2) 5588 < 8555;
4) 1 111 431 << 11 111 431.
1.105. 1) 772; 3) 1000.
1.106. 2) 5 670 436;
4) 499 999 999.
1.107. 1) 10 000; 10 001;
10 002.
1.109. 1) 94; 95; 96; 97; 98;
99.
1.110. 2) 4782 ì > 4 êì;
4) 3 êã < 3400 ã;
6) 370 ñ < 6 ìèí 30 ñ.
1.111. 1) 0; 3) íåâîçìîæíî;
5) ïîäõîäèò ëþáàÿ
öèôðà.
1.114. á) DC, DF.
1.115. à) 2.
1.117. 1) Íåò; 3) äà.
1.123. à) Äà; â) äà.
1.124. 2) Òî÷êè  è Î ïðè-
íàäëåæàò ëó÷ó ÌÎ, à
òî÷êè À, Ò, Ñ, K è D
íå ïðèíàäëåæàò.
1.130. 2) À(2), Â(6), Ñ(16),
D(20); 4) A(4), B(16),
C(20), D(36).
1.135. 1) M(20), N(50), K(90),
L(110).
1.137. À.
1.138. 15 è 27.
1.139. Íàïðèìåð, 2 è 12.
1.145. 2) 236 ≈ 240;
4) 6875 ≈ 6880.
1.146. 2) Äî òûñÿ÷; 4) äî òû-
ñÿ÷; 6) äî ñîòåí òûñÿ÷.
ÎòâåòûНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
209
1.147. 1) a) 73 650; á) 73600;
â) 74 000; 2) 70 000;
3) à) 1250; á) 1200;
â) 1000; ã) 0.
1.148. 2) 200 000; 37100 000;
62 900 000.
1.149. Ëåíà — äî ñîòåí òû-
ñÿ÷, Øóðà — äî òû-
ñÿ÷, Êîëÿ — äî äå-
ñÿòêîâ.
1.155. 1) 500 è 1499;
3) 9500 è 10 499.
1.157. 1) 8 êã; 3) 2 êã.
1.158. 2) 10 ö; 4) 9 ö.
1.159. 1) 4 äì; 3) 3 äì.
1.160. 199.
1.161. 1) 2559; 3) 73 686.
1.162. 2) 5924; 4) 1558.
1.163. 1) 203 440; 3) 20 046.
1.164. 2) 107 937; 4) 62.
1.165. 1) 188; 3) 0; 5) 2.
1.166. 2) 3 ì 92 ñì;
4) 43 äì 4 ñì 2 ìì.
1.167. 1) 5 ÷ 11 ìèí;
3) 3 ÷ 52 ìèí 5 ñ.
1.168. 32.
1.169. 50.
1.170. 990.
1.171. 0 ÷ 11 ìèí.
1.172. 13 ÷ 05 ìèí;
15 ÷ 40 ìèí.
1.173. 56 ì.
1.174. Â 9 ðàç.
1.175. 6.
1.176. 18.
1.177. 17 ôåâðàëÿ.
1.178. 29 ÷èñåë.
1.179. 1) 57.
1.180. 2) 8.
ÃËÀÂÀ 2
2.6. 2) 1100; 4) 275.
2.7. 1) 99; 3) 10 098.
2.8. 2) 100 000.
2.10. 125; 250; 375; 500;
625; 750; 875.
2.13. 1) 5 êì 330 ì;
3) 44 ì 30 ñì.
2.14. Â 17 ÷ 30 ìèí.
2.15. 5 îêòÿáðÿ.
2.16. 18 ì 90 ñì.
2.17. 120 ì.
2.18. 7.
2.20. 2) Ïåðâàÿ.
2.21. 1) Äà.
2.23. 95 ì.
2.24. 62.
2.25. 140 ì.
2.26. 250 ì.
2.27. 87 500 êì2.
2.28. 1) 22 ÷ 58 ìèí;
2) 23 ÷ 18 ìèí;
3) 0 ÷ 8 ìèí.
2.29. 4884.
2.30. 2) 130; 4) 1000.
2.31. 1) 2637; 3) 606 482.
2.33. 1) 110; 3) 111 000.
2.34. 200 000.
2.35. 49.
2.36. 15 êì.
2.37. 85 êì.
2.38. 635 ã.
2.39. 1) Íå èçìåíèòñÿ.
2.40. 12.
Ãëàâà 2Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
210
2.47. ∠NMP = ∠XTY,
∠BAC = ∠QLH,
∠KSO = ∠DEF.
2.57. 1) 180°; 2) 90°; 3) 90°.2.63. 1) 36 418;
3) 1 111 112.
2.64. 2) 26.
2.68. Íàïðèìåð,
2) 1807 − 987;
4) 123 456 789 −− 123 456 689.
2.71. 1) 5 ò 628 êã;
3) 677 ì 36 ñì;
5) 5 ÷.
2.72. 2) 8999.
2.74. 2) Íå èçìåíèòñÿ.
2.75. 1) Ýòè ÷èñëà ðàâíû.
2.76. 2) Óâåëè÷èòñÿ íà 5.
2.77. 1) Îáðàòèòñÿ â íóëü.
2.78. Íà 212 ìëí êì2.
2.79. 50 300 êì.
2.80. 40 008 548 ì.
2.81. 1) 1 ÷ 25 ìèí;
3) 15 ìèí.
2.82. 2) Â ïåðâîé êîðîáêå
834 ã, âî âòîðîé —
655 ã, â òðåòüåé —
934 ã.
2.83. Ñèíåãî öâåòà 126 ì,
çåëåíîãî — 243 ì,
êðàñíîãî — 359 ì,
æåëòîãî — 197 ì.
2.84. Íà 100-ì ìåñòå
ñòîèò öèôðà 7, è íà
2015-ì — öèôðà 7.
2.88. 6 äì 9 ñì.
2.89. 6 ñì, 6 ñì, 11 ñì.
2.90. 4 ñì, 5 ñì, 6 ñì, 7 ñì.
2.91. 1) 12 ñì; 3) 25 ñì.
2.99. 4, 3 èëè íè îäíîãî.
2.100. á) EFR, ESR, EFS,
EKM, EPM, EKP.
2.101. à) MN = MP, ∠N = ∠P;
â) KL = KT, LM = ST,
MN = RS, PN = PR,
∠L = ∠T, ∠N = ∠R,
∠M = ∠S.
2.103. 35 ì.
2.104. 35 è 45.
2.105. 60 è 90.
2.106. 3 ì è 1 ì 70 ñì.
2.107. 1 ì 30 ñì è 1 ì 60 ñì.
2.108. 310 ì.
2.109. 6 êã, 10 êã, 14 êã.
2.110. 620; 500; 380.
2.111. 600 ã, 850 ã, 350 ã.
2.112. 60; 24; 36.
2.113. 1) 9; 3) 38; 5) 13.
2.116. 2) 729; 4) 299.
2.117. 1) 27 093; 3) 80 000.
2.118. 2) 36 086; 4) 36 086.
2.119. 1) 5371; 3) 86 343.
2.120. 2) 193; 4) 34; 6) 490;
8) 4.
2.122. 67.
2.123. 1) 7.
2.124. 2) 38 ìèí.
2.125. 81.
2.127. 1) 60; 3) 718 693.
2.128. 2) 2514; 4) 22 000.
2.130. 2) 29 ò; 4) 400 ò.
2.131. 1) 4 ö; 3) 1 êì.
2.132. 10 995.
2.133. 19 996.
ÎòâåòûНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
211
2.134. 1) 378 592; 2) 23 178.
2.135. 81.
2.136. 33.
2.137. 165 êì.
2.138. Ïèîíîâ — 4, õðèçàí-
òåì — 5, ãåîðãèí — 7.
2.139. Ó Ñàøè — 5, ó Ïå-
òè — 12, ó Ñëàâû —
13.
2.140. 2) 6300.
2.141. 1) 64; 128; 256; 512;
1024; 3) 8; 13; 21;
34; 55.
2.142. Ìîãóò.
2.143. 1) 10; 3) 2.
2.144. 2) 5; 4) 5.
ÃËÀÂÀ 3
3.5. 1) 1806; 3) 490 254.
3.6. 2) 93 856; 4) 2 093 520.
3.7. 1) 170 604; 3) 798 441.
3.8. 2) 111; 222; 444; 888;
1776.
3.11. 32;
3.12. 2) Â 100 ðàç;
4) â 1 000 000 000 ðàç.
3.13. 1) 792.
3.14. 20 000.
3.15. 7 ìèí 30 ñ.
3.16. 3 ì 12 ñì.
3.17. 1) 10 ÷ 16 ìèí;
2) 24 ìèí.
3.18. 24 êã.
3.19. 108.
3.21. 2) Äà; 4) íåò; 6) íåò.
3.22. 2) 1.
3.24. 6200.
3.26. 6 ⋅ 4 = 24.
3.27. 22 è 25.
3.28. 2) 1700; 4) 9000;
6) 2200.
3.29. 1) 63 900; 3) 29 000.
3.30. 2) 1400; 4) 30 000.
3.31. 1) 1850; 3) 3650.
3.32. 2) 962; 4) 78.
3.33. 1) 555; 3) 11 100;
5) 66 600.
3.34. 2) 540; 4) 16 200.
3.35. 1) 660; 3) 4400.
3.36. 2) 10 010;
4) 4 004 000.
3.37. 360.
3.38. 80.
3.39. 1600.
3.40. 2) Íå èçìåíèòñÿ.
3.42. 5.
3.45. 1) 172; 3) 6034; 5) p5.
3.48. 2) 2048; 4) 4500;
6) 1372.
3.52. 2) 112; 4) 63; 6) 103.
3.53. 1) 10 000; 3) 1 000 000;
5) 100 000 000.
3.54. 2) 336; 4) 4033.
3.55. 1) Äà; 3) äà.
3.56. 2) Äà; 4) äà.
3.57. 1) 120; 2) 165; 3) 285.
3.58. 1) 800; 2) 1225;
3) 2025.
3.59. 1) 7003; 3) 7030.
3.60. 2) 1 ⋅ 106 + 6 ⋅ 105 ++ 3 ⋅ 104 + 4 ⋅ 103 ++ 7 ⋅ 102 + 8 ⋅ 10 + 5;
4) 5 ⋅ 109 + 7 ⋅ 106 +
Ãëàâà 3Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
212
+ 1 ⋅ 103 + 2 ⋅ 102 ++ 3 ⋅ 10 + 2.
3.61. 100 è 961.
3.62. 2) 1; 4) 2; 6) 5.
3.64. 20.
3.71. 1) 62 ìì.
3.72. 2) 19 ì 3 äì.
3.73. Äà.
3.74. Äà.
3.75. 14 ñì, 20 ñì.
3.76. 18 ñì.
3.77. 14 äì èëè 16 äì.
3.78. Òðè ðåøåíèÿ.
3.79. Ñòîðîíà êâàäðàòà ðàâ-
íà 7 ñì.
3.80. 1 ì 4 ñì.
3.81. 9 ñì, 36 ñì.
3.82. Íå âñåãäà.
3.84. 2) 40; 4) 6000.
3.86. 2) Íà 9.
3.88. 2) 289 äì2; 4) 121 ì2.
3.89. 1) Ñòîðîíà êâàäðàòà
ðàâíà 5 ñì; 3) ñòîðîíà
êâàäðàòà ðàâíà 2 ñì.
3.90. 2) 168 ìì2;
4) 108 ñì2.
3.92. 2) Íåò; 4) íåò.
3.93 1) 4 êì2 111 ì2;
3) 55 ãà 82 à 25 ì2.
3.95. 1) 64 ñì2.
3.96. 1) 26 ì2; 2) 36 ì2;
3) 36 ì2; 4) 64 ì2.
3.97. 1) 1440 ñì2.
3.98. 2) 15 ñì; 4) 2 ñì.
3.99. 1) 70 000 êì2;
3) 900 600 ì2.
3.100. 2) 40 ì; 4) 400 êì.
3.101. Ôåäÿ — 17 èþíÿ,
Æîðà — 21 îêòÿáðÿ,
Ñàøà — 17 îêòÿáðÿ,
Âëàä — 27 ìàÿ.
3.103. 1) 352; 3) 25 100;
5) 19 960.
3.104. 2) 828; 4) 56 056;
6) 23 976.
3.105. 1) 1000; 3) 970;
5) 1370.
3.106. 72.
3.107. 110 ñì.
3.108. 90.
3.109. 30 ì2.
3.110. 71 è 710.
3.111. 1) Ðàâíû; 3) áîëüøå.
3.112. 2) Äà; 4) äà.
3.113. 1) 2 ⋅ 5 + 2 ⋅ 7 − 11;
3) 17 ⋅ 52 − 17 ⋅ 19 ++ 19 ⋅ 17 − 19 ⋅ 4.
3.114. 2) 13 400; 4) 3800.
3.115. 1) 25 000; 3) 20 000.
3.116. 2) 625; 4) 500.
3.117. 1) 2769; 3) 174 800.
3.118. 2) Óâåëè÷èòñÿ íà 4;
4) óâåëè÷èòñÿ â10 ðàç.
3.119. 560.
3.120. 2) 20 ñì; 4) 10 ì 4 äì.
3.121. Íå õâàòèò.
3.122. 500 ì.
3.123. 55 708.
3.128. 2) 78 115; 4) 7142.
3.129. 1) 234; 3) 4020.
3.130. 2) 128; 4) 75.
3.131. 1) Äà; 3) äà.
3.132. 2) 1420; 4) 816 036.
3.138. 18.
ÎòâåòûНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
213
3.139. 1) Äà; 3) äà.
3.140. 2) Äà; 4) íåò.
3.141. 1) Äà; 3) íåò.
3.142. 2) Óâåëè÷èòñÿ â
4 ðàçà.
3.143. 1) Íàïðèìåð, äåëèìîå
óâåëè÷èòü â 10 ðàç,
à äåëèòåëü óâåëè÷èòü
â 2 ðàçà.
3.144. 2) 512; 256; 128; 64;
32; 16; 8; 4; 2; 1.
3.145. 1) 101.
3.146. 120.
3.147. 12.
3.148. 45.
3.149. 300.
3.150. 30 êîìïëåêòîâ;
120 ñì.
3.151. 63 : 9 = 7.
3.152. 9 êðàñíûõ.
3.153. 270 ì, 810 ì.
3.154. 450 ã, 900 ã.
3.155. 680 êã, 340 êã.
3.156. 14; 56.
3.157. 4; 8; 24.
3.158. 4; 8; 32.
3.159. 6 ÷.
3.160. 16 ÷.
3.161. Ýäèê — 105 ñì,
Ïàøà — 100 ñì,
Äèìà — 95 ñì.
3.162. 16 êì.
3.163. 49 ñì.
3.164. 32.
3.165. 50.
3.166. 32.
3.167. 692.
3.168. Îâñà — 240 ò,
ðæè — 720 ò,
ïøåíèöû — 1440 ò.
3.169. 31 710.
3.170. 1 ÷.
3.173. 1) 116; 3) 2750.
3.174. 1) 3 070 445;
2) 1 107 123;
3) 698 856;
4) 744 886.
3.175. 1) Áîëüøå;
3) áîëüøå.
3.176. 2) 36 = 6 + 30.
3.177. 660 êã.
3.178. 38 äì.
3.179. 14 ñì.
3.180. Êðàñíûõ — 19, áå-
ëûõ — 31,ñèíèõ— 43.
3.182. 78.
3.183. 1) 33 228; 3) 1960.
3.184. 2) 50; 4) 354; 6) 759.
3.185. Â 4 ðàçà.
3.186. 279; 280; 281.
3.192. 2) 20 − 4å;
4) 12ð + 117.
3.193. 1) 39; 2) 2; 3) 30;
4) 25.
3.194. 1) 3 293 016;
2) 9 191 998;
3) 24 014; 4) 512.
3.195. 1) 5b + 25; 3) 6c + 64;
5) 48 – 4m; 7) 2b + 4.
3.196. 2) 19; 4) 98.
3.197. 1) p = 8, q — ëþáîå;
3) p = 16, q — ëþáîå.
3.198. 2) k = 59, m — ëþáîå;
4) k = 2117, m — ëþ-
áîå.
Ãëàâà 3Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
214
3.199. 1) m = 32, p — ëþ-
áîå; 3) m = 2, p —
ëþáîå.
3.200. 2) a = 1, b — ëþáîå;
4) a = 15, b — ëþ-
áîå; 6) a = 27, b —
ëþáîå.
3.201. 1) 21p; 3) 49k.
3.202. 2) 5à + 4b.
3.203. m + 28.
3.204. 4n + 5.
3.205. 5n + 50.
3.206. 9331a; 2) 18 662;
4) 74 648.
3.207. 66.
3.208. Âîäû — 800 ã,
æèðà — 400 ã,
ñàõàðà — 800 ã.
3.209. Ìîëîêà — 270 ã,
âîäû — 450 ã.
3.210. Êðóïû — 200 ã,
ñàõàðà — 40 ã,
ìàñëà — 20 ã.
3.211. 1) 600 ã; 2) 4 êã 400 ã.
3.212. 1) 450 ã; 2) 1 êã 80 ã.
3.213. Òâîðîã — 1120 ã,
ìóêà — 320 ã,
ìàñëî — 160 ã,
ñìåòàíà — 240 ã,
ñàõàð — 160 ã.
3.215. 1) 1000; 3) 400.
3.216. 2.
3.217. 1) à) ≈ 18 860;
á) ≈ 18 900;
3) à) ≈ 95 830;
á) ≈ 95 800;
5) à) ≈ 355 470;
á) ≈ 355 500.
3.219. 1) 6050; 6051; 6052;
6053; 6054; 6055.
3.220. 2) 88; 4) 42; 6) 13;
8) 888.
3.221. 1) Âåðíî.
3.222. 7 êã 750 ã.
3.223. 993 êã 600 ã.
3.224. 576.
3.225. Áåðåç — 11, ñîñåí —
13, îñèí — 34.
3.226. 181; 169.
3.227. 29 = 3 ⋅ 8 + 5 ⋅ 1 == 3 ⋅ 3 + 5 ⋅ 4.
3.228. 3 ìèí.
3.229. Ïîëîæèòü ïî òðè
êîëüöà íà êàæäóþ
÷àøó âåñîâ.
3.230. Íåò.
3.231. (3; 0) → (3; 3) →→ (2; 4) → (2; 0).
3.232. 56.
3.233. 76 : 4 + 51 : 3.
3.234. 5.
3.235. 5.
3.236. 45 000.
3.237. 7.
ÃËÀÂÀ 4
4.5. 1) Äà; 3) äà.
4.7. 1) 13; 26; 39; 52; 65;
78; 91; 3) 31; 62; 93.
4.10. 2) 1; 2; 3; 6; 53; 106;
159; 318.
4.11. 1) 90; 45; 30; 18; 15;
10; 9; 6; 5; 3; 2; 1.
4.13. 1) 425; 450; 475;
3) 3075; 3100; 3125.
ÎòâåòûНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
215
4.16. 2) 300.
4.20. 6, èëè 12, èëè 18, èëè
24, èëè 30, èëè 36, èëè
42, èëè 48.
4.21. 72 ÷ èëè 144 ÷.
4.25. 1) 2; 82; 422; 940;
2710; 80 136; 630 264;
2) 130 025; 67 451;
64 823; 95; 9.
4.29. 1) 30; 3) 1170.
4.30. 2) à) ×åòíîå; á) íå÷åò-
íîå; 4) à) ÷åòíîå;
á) íå÷åòíîå.
4.31. 1) ×åòíàÿ; 3) ÷åòíàÿ.
4.32. 2) Íåò.
4.33. 1) ×åòíîå; 3) ÷åòíîå.
4.36. 2) à) 0; á) íåâîçìîæíî;
4) à) 0; 2; 4; 6; 8;
á) íåâîçìîæíî.
4.40. 2) 250; 280; 520; 580;
820; 850.
4.41. 1) 9 876 543 210;
1 023 467 895.
4.42. 2) 110; 4) 9585.
4.43. 1) 100; 3) 850.
4.44. 1) 75; 2) 550.
4.45. Íåò.
4.46. Âåðíî.
4.49. 7330.
4.51. 1) Äà; 3) íåò.
4.53. 1500.
4.54. 5500.
4.59. 1) 2 äì; 3) 13 ì 72 ñì.
4.60. 2) 2 äì 3 ñì;
4) 3 äì 8 ñì.
4.65. 7 ñì.
4.66. 9 ñì.
4.67. 1) 9 ñì; 3) 14.
4.68. 2) 14 ñì.
4.69. à) 1) 2; 3) 4;
á) 1) 4; 3) 6.
4.74. 2) 38 ñì; 4) 30 äì 8 ñì.
4.75. 1) 6 äì 5 ñì; 3) 66 ñì.
4.77. 1) Äà; 3) íåò; 5) íåò.
4.81. 1) 55 = 9 ⋅ 6 (îñò. 1);
3) 1593 = 18 ⋅ 88
(îñò. 9);
5) 798 = 987 ⋅ 0
(îñò. 798).
4.82. 2) 3; 4) 8.
4.85. 1) 47 534 = 23 ⋅ 2066 ++ 16; 3) 136 017 == 214 ⋅ 635 + 127.
4.87. ð = 4; k = 11; q = 2 ;
l = 6; s = 58; m = 0 ;
d = 43; n = 25.
4.88. 2) 11; 4) 14.
4.90. 2) 44; 4) 62.
4.94. 2) 3.
4.95. 1) 4; 3) 9; 5) 2; 7) 9;
9) 7; 11) 6; 13) 8.
4.96. 2) Íåò; 4) íåò.
4.97. 1) Äà; 3) äà.
4.98. 2) Íåò; 4) íåò.
4.100. 2) 1 èëè 6; 4) 0; 6) 9.
4.101. 11.
4.102. 4.
4.103. 13.
4.104. à) 2) Êóïå ¹ 4; 4) êó-
ïå ¹ 8; á) 2) ¹ 9, 11,
12; 4) ¹ 25, 26, 28.
4.105. 1) 4-é ïîäúåçä 5-é
ýòàæ; 3) 9-é ïîäúåçä
4-é ýòàæ.
Ãëàâà 4Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
4.106. à) 3 ⋅ n; á) 3 ⋅ n + 1;
â) 3 ⋅ n + 2, ãäå n —
ëþáîå íàòóðàëüíîå
÷èñëî èëè 0.
4.107. 1) 15; 18; 30; 90; 126;
417; 585; 9990;
3) 18; 30; 90; 126;
9990.
4.108. 2) 64 953; 5 558 247;
303 003 009.
4.109. 1) Íå âñåãäà.
4.110. Âåðíî.
4.111. 1) à) 2, 5, 8; á) 5;
3) à) 0, 3, 6, 9; á) 6.
4.112. 2) à) 39; á) 18;
4) à) 612; á) 207.
4.113. 2) 1665.
4.114. 1) 1101.
4.115. 2) Äà; 4) íà 3 äåëèò-
ñÿ, íà 9 íå äåëèòñÿ.
4.116. 1) Âåðíî.
4.117. 2) Íåò, íåò, äà, íåò.
4.118. 1) Âåðíî.
4.119. 2) à) 444;
á) 444 444 444;
4) à) 6; á) 666.
4.120. 26 163.
4.121. 2) 3, 4, 5, 6, 7, 8;
4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, 10, 11.
4.122. Íåò, íåò, íåò, äà, íåò,
äà.
4.123. 1 è 8, 2 è 7, 3 è 6,
4 è 5, 0 è 0.
4.125. 1) 0; 6; 3) 2; 8.
4.126. 3) ×èñëî äîëæíî äå-
ëèòüñÿ è íà 3, è íà 5.
4.127. 1) 0; 3) 5.
4.128. Âåðíî.
4.129. Íåëüçÿ.
4.131. 1) 112 ñì; 3) 760 ìì.
4.132. 2) 204 ñì;
4) 2446 ñì.
4.133. 148 ñì.
4.134. 2) 486 äì2; 4) 2646 ì2.
4.135. 52 äì2.
4.137. 3352 ñì2.
4.138. à) 30.
4.139. à) 1620 ñì3;
á) 1080 ñì3.
4.140. à) 648 äì3;
á) 18 000 ñì3.
4.141. 1) 238 328 000 ìì3 == 238 328 ñì3.
3) 216 äì3.
4.142. 2) 64 äì3; 4) 1331 äì3.
4.143. 1) 1 ì3 = 1000 äì3;
6 ì3 = 6000 äì3;
45 ì3 = 45 000 äì3.
4.144. 2) 200; 4) 630;
6) 254 100.
4.145. 1) Íà 27; 3) íà 8000.
4.146. Â ïåðâóþ íà 18 êó-
áèêîâ áîëüøå.
4.147. 1) Ìåíüøå; 3) áîëü-
øå; 5) ìåíüøå.
4.148. 2) 1176 ñì3;
4) 14 400 ñì3.
4.149. 1) 168 äì2; 3) 216 äì2.
4.150. 2) 729 äì3; 4) 1 ñì3.
4.151. 1) 125 ñì3; 3) 1331 ì3.
4.153. 1) Íåò; 3) íåò.
4.154. 1 äì, 2 äì, 4 äì.
4.155. 216 ë.
Îòâåòû
216
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
4.156. 2) 30 ñì.
4.157. à) 86 äì3;
á) 3240 ñì3.
4.158. 32 êì.
4.159.24 640 км
;минt
1) 616 км
мин;
3) 560 км
мин.
4.160. 580
sìèí; 2) 7 ìèí;
3) 29 ìèí.
4.161. 96 êì.
4.162. 741 ì.
4.163. 11 ÷.
4.164. 3.
4.165. 7 ÷.
4.166. 480км
ч.
4.167. 3 êì.
4.168. 2) 5км
ч
; 4) 20 êì.
4.169. 1) 5 ÷.
4.170. 2) 6 ÷.
4.171. 1) 4км
ч.
4.172. 44 êì.
4.173. 12 ÷.
4.174. 750 ì, 700 ì.
4.175. 1) 72 800;
3) 7 197 200.
4.176. 2) 173 221 ≈ 173 000;
4) 322 859 ≈ 323 000.
4.177. 1) Áîëüøå; 3) ðàâíû.
4.178. 2) 200; 202; 220; 222.
4.179. 1) 27 560; 3) 2907.
4.180. 200.
4.181. 16.
4.182. 2) 1; 4) 0.
4.183. 1) 277; 2) 17 849.
4.184. 2) 110; 4) 0.
4.185. 952 ñì2.
4.186. 6 ìèí.
4.187. 13.
4.189. 4, 5 è 8 âàãîíîâ; â
êàæäîì ïî 59 ìåñò.
4.190. 60.
4.191. (0; 7) → (5; 2) →→ (0; 2) → (2; 0) →→ (2; 7) → (5; 4) →→ (0; 4) → (4; 0) →→ (4; 7) → (5; 6) →→ (0; 6).
4.192. Ìîæåò.
4.193. 9.
4.194. 2 ÷.
4.197. 84 äì.
4.198. 375 ë.
Ãëàâà 4Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
Ëàòèíñêèé àëôàâèò
Aa Aa à Nn Nn ýí
Bb Bb áý Oo Oo î
Cc Cc öý Pp Pp ïý
Dd Dd äý Qq Qq êó
Ee Ee ý Rr Rr ýð
Ff Ff ýô Ss Ss ýñ
Gg Gg æå Tt Tt òý
Hh Hh àø Uu Uu ó
Ii Ii è Vv Vv âý
Jj Jj æè Ww Ww äóáëü-âý
Kk Kk êà Xx Xx èêñ
Ll Ll ýëü Yy Yy èãðåê
Mm Mm ýì Zz Zz çýò
Íà÷åðòàíèå
ïðÿìîåêóðñèâ-
íîå
Íàçâà-
íèå
Íà÷åðòàíèå
ïðÿìîåêóðñèâ-
íîå
Íàçâà-
íèå
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
À
àð 116
Â
âåðøèíà ïðÿìîóãîëüíîãî
ïàðàëëåëåïèïåäà 184
— òðåóãîëüíèêà 82
— óãëà 66
âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæè-
òåëÿ çà ñêîáêè 125
âûðàæåíèå áóêâåííîå 144
— ñ ïåðåìåííîé 144
âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-
ðàëëåëåïèïåäà 185
Ã
ãðàíü ïðÿìîóãîëüíîãî ïà-
ðàëëåëåïèïåäà 184
— áîêîâàÿ 185
— âåðõíÿÿ 185
Ä
äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷è-
ñåë 128, 129
— — — áåç îñòàòêà 173
— — — íàöåëî 173
— — — ñ îñòàòêîì 172,
173, 174
äèàìåòð êðóãà 170
— îêðóæíîñòè 167
äëèíà ëîìàíîé 80
— îòðåçêà 30
— ïðÿìîóãîëüíèêà 111
— ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàë-
ëåëåïèïåäà 185
Å
åäèíèöà èçìåðåíèÿ äëè-
íû 30
— — îáúåìà 188
— — ïëîùàäè 115
Ç
çàêîí ïåðåìåñòèòåëüíûé
ñëîæåíèÿ 60
— — óìíîæåíèÿ 100
çàêîí ðàñïðåäåëèòåëüíûé
óìíîæåíèÿ 121, 122
çàêîí ñî÷åòàòåëüíûé ñëî-
æåíèÿ 63, 64
— — óìíîæåíèÿ 103
çâåíî ëîìàíîé 81
çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 139
È
èçìåðåíèÿ ïðÿìîóãîëüíè-
êà 111
ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà 190
219
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
Ê
êâàäðàò 111
— åäèíè÷íûé 115
— ÷èñëà 106
êëàññ â çàïèñè íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë 23
êîîðäèíàòà òî÷êè íà ëó-
֌ 44
êðàòíîå 156
êðóã 170
êóá 186
— åäèíè÷íûé 188
— ÷èñëà 106
Ë
ëèòð 194
ëîìàíàÿ 80
— çàìêíóòàÿ 80
— íåçàìêíóòàÿ 80
ëó÷ 39
— êîîðäèíàòíûé 43
Ì
ìåòð 29
ìíîãîóãîëüíèê 83
ìíîæèòåëü 96
Î
îáúåì êóáà 189
— ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàë-
ëåëåïèïåäà 189
îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ
÷èñåë 47
îêðóæíîñòü 166
îñíîâàíèå ñòåïåíè 107
îñòàòîê ïðè äåëåíèè 176
îòðåçêè ðàâíûå 29
îòðåçîê 28
— åäèíè÷íûé 29
Ï
ïåðèìåòð êâàäðàòà 113
— ìíîãîóãîëüíèêà 83
— ïðÿìîóãîëüíèêà 113
ïëîñêîñòü 11
ïëîùàäü êâàäðàòà 116
— ïðÿìîóãîëüíèêà 117
ïîêàçàòåëü ñòåïåíè 107
ïðèçíàê äåëèìîñòè 159
— — íà 2 159, 160
— — íà 5 è íà 10 162,
163
— — íà 9 è íà 3 179, 180
ïðÿìàÿ 10
ïðÿìîóãîëüíèê 111
ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëå-
ëåïèïåä 184
Ð
ðàäèóñ êðóãà 170
— îêðóæíîñòè 166
ðàçðÿäíûå åäèíèöû 19
— ñëàãàåìûå 19
ðàçðÿäû â çàïèñè íàòóðàëü-
íûõ ÷èñåë 18
ðàñêðûòèå ñêîáîê 125
ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êà-
ìè 30
ðÿä íàòóðàëüíûé 4
Ñ
ñâîéñòâà íàòóðàëüíîãî ðÿ-
äà 5
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü
220
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
ñèñòåìà ñ÷èñëåíèÿ äåñÿ-
òè÷íàÿ 14
— — ïîçèöèîííàÿ 15
ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷è-
ñåë 35
ñòåïåíü ÷èñëà 106, 107
ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà 82
— óãëà 66, 67
Ò
òî÷êà 10
òðåóãîëüíèê 82
Ó
óãëû âåðòèêàëüíûå 71
— ðàâíûå 67
— ñìåæíûå 71
óãîë 66
— ïðÿìîé 70
— ðàçâåðíóòûé 69
— òðåóãîëüíèêà 82
óðàâíåíèå 89
Ô
ôèãóðû ðàâíûå 112
Õ
õîðäà îêðóæíîñòè 166
— êðóãà 170
Ö
öåíòð êðóãà 170
— îêðóæíîñòè 166
öèôðà 15
×
÷àñòíîå 131, 173
— íåïîëíîå 173
÷åòûðåõóãîëüíèê 82
÷èñëî ìíîãîçíà÷íîå 16
— íàòóðàëüíîå 4
— íå÷åòíîå 160
— îäíîçíà÷íîå 15
— ÷åòíîå 160
Ø
øèðèíà ïðÿìîóãîëüíèêà
111
— ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàë-
ëåëåïèïåäà 185
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëüНациональный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
Îãëàâëåíèå
ÃËÀÂÀ 1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà
1.1. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà è íóëü. Íàòóðàëüíûé ðÿä
1.2. Òî÷êà, ïðÿìàÿ, ïëîñêîñòü ...............................
1.3. Çàïèñü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .............................
1.4. Ðàçðÿäû â çàïèñè ÷èñëà ................................
1.5. Êëàññû â çàïèñè è ÷òåíèè ÷èñëà ....................
1.6. Îòðåçîê. Äëèíà îòðåçêà ................................
1.7. Ñðàâíåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .......................
1.8. Ëó÷ .............................................................
1.9. Êîîðäèíàòíûé ëó÷ .........................................
1.10. Îêðóãëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................
ÃËÀÂÀ 2. Ñëîæåíèå è âû÷èòàíèå
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
2.1. Ñëîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .........................
2.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ ..................
2.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí ñëîæåíèÿ .......................
2.4. Óãîë .............................................................
2.5. Ðàçâåðíóòûé è ïðÿìîé óãëû. Ñìåæíûå óãëû,
âåðòèêàëüíûå óãëû .......................................
2.6. Âû÷èòàíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................
2.7. Ëîìàíàÿ .......................................................
2.8. Ìíîãîóãîëüíèê .............................................
2.9. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå
è ðàçíîñòè ....................................................
2.10. Óðàâíåíèå .....................................................
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................
ÃËÀÂÀ 3. Óìíîæåíèå è äåëåíèå
íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
3.1. Óìíîæåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ........................
3.2. Ïåðåìåñòèòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ...............
4
10
14
18
23
28
35
39
43
47
52
56
59
62
66
69
73
80
82
86
88
92
96
100
222
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
3.3. Ñî÷åòàòåëüíûé çàêîí óìíîæåíèÿ ....................
3.4. Ñòåïåíü ÷èñëà ñ íàòóðàëüíûì ïîêàçàòåëåì .....
3.5. Ïðÿìîóãîëüíèê. Êâàäðàò ................................
3.6. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà. Åäèíèöû ïëîùàäè
3.7. Ðàñïðåäåëèòåëüíûé çàêîí .............................
3.8. Ðàñêðûòèå ñêîáîê. Âûíåñåíèå îáùåãî ìíîæè-
òåëÿ çà ñêîáêè ..............................................
3.9. Äåëåíèå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë .............................
3.10. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ñóììå
è ÷àñòíîìó ...................................................
3.11. Çàäà÷è íà íàõîæäåíèå äâóõ ÷èñåë ïî èõ ðàçíîñ-
òè è ÷àñòíîìó ..............................................
3.12. ×èñëîâûå âûðàæåíèÿ ...................................
3.13. Âûðàæåíèÿ ñ ïåðåìåííûìè ...........................
3.14. Çàäà÷è íà ÷àñòè ............................................
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................
ÃËÀÂÀ 4. Äåëèìîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë
4.1. Äåëèòåëè è êðàòíûå ......................................
4.2. Ïðèçíàê äåëèìîñòè íà 2 ...............................
4.3. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 5 è íà 10 ..................
4.4. Îêðóæíîñòü .................................................
4.5. Êðóã .............................................................
4.6. Äåëåíèå ñ îñòàòêîì .......................................
4.7. Ïðèçíàêè äåëèìîñòè íà 9 è íà 3 ..................
4.8. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Êóá ............
4.9. Îáúåì ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Åäè-
íèöû îáúåìà ................................................
4.10. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ......................................
4.11. Çàäà÷è íà äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå-
÷åíèÿ ...........................................................
Çàäà÷è íà ïîâòîðåíèå ............................................
Îòâåòû .................................................................
Ïðèëîæåíèå .........................................................
Ïðåäìåòíûé óêàçàòåëü ............................................
102
106
111
115
121
125
128
134
137
139
143
149
152
155
159
162
166
170
172
179
184
188
194
198
203
207
218
219
223
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования
(Íàçâàíèå è íîìåð ó÷ðåæäåíèÿ îáùåãî ñðåäíåãî îáðàçîâàíèÿ)
20 /
20 /
20 /
20 /
20 /
Ó÷åáíûé
ãîäÈìÿ è ôàìèëèÿ ó÷àùåãîñÿ
Ñîñòîÿíèå
ó÷åáíîãî
ïîñîáèÿ
ïðè
ïîëó÷åíèè
Îöåíêà
ó÷àùåìóñÿ çà
ïîëüçîâàíèå
ó÷åáíûì
ïîñîáèåì
Ó÷åáíîå èçäàíèå
Êóçíåöîâà Åëåíà ÏàâëîâíàÌóðàâüåâà Ãàëèíà Ëåîíèäîâíà
Øíåïåðìàí Ëåâ Áîðèñîâè÷ è äð.
МАТЕМАТИКА
Учебное пособие для 5 классаучреждений общего среднего образования
с русским языком обучения
В 2 частях
Часть 1
2-е издание, пересмотренное и дополненное
Íà÷. ðåäàêöèîííî-èçäàòåëüñêîãî îòäåëà Ã. È. Áîíäàðåíêî
Ðåäàêòîð Ò. Â. Ïðèìà÷åíîê
Îáëîæêà õóäîæíèêà È. À. Óñåíêî
Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà À. Í. Êèñåëåâà
Êîððåêòîðû Í. È. Ïîðõóí, Â. Ï. Øêðåäîâà
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 12.04.2013. Ôîðìàò 60×90/16. Áóìàãà îôñåòíàÿ.
Ïå÷àòü îôñåòíàÿ. Óñë. ïå÷. ë. 14,00. Ó÷.-èçä. ë. 5,38 + 0,38 ôîðç.
Òèðàæ 89 670 ýêç. Çàêàç
Íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêîå ó÷ðåæäåíèå «Íàöèîíàëüíûé èíñòèòóò îáðàçîâàíèÿ»
Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ Ðåñïóáëèêè Áåëàðóñü. ËÈ ¹ 02330/0494469
îò 08.04.2009. Óë. Êîðîëÿ, 16, 220004, ã. Ìèíñê
ÎÀÎ «Ïîëèãðàôêîìáèíàò èì. ßêóáà Êîëàñà». ËÏ ¹ 02330/0150496îò 11.03.2009. Óë. Êîðæåíåâñêîãî, 20, 220024, ã. Ìèíñê
Национальный
институт
образования
Правообладатель Национальный институт образования