Omurtag M.H. Dinamik – 1. Baskı – © 2011 ISBN 978-975-511-556-6 © Bu kitabın her hakkı saklıdır ve Türkiye’de tüm yayın hakları “BİRSEN BASIM, YAYIN DAĞITIM ve SANAYİ

LİMİTED ŞİRKETİ’ne” aittir. Bu kitabın tamamı veya herhangi bir bölümü yayınevinin yazılı izni olmaksızın yayınlanamaz, basılamaz, mikrofilme çekilemez, dolaylı dahi olsa kullanılamaz, TEKSİR, FOTOKOPİ veya başka bir teknikle çoğaltılamaz, bilgisayarlarda, dizgi makinalarında işlenebilecek bir ortama aktarılamaz.

Aksi davranışlarda bulunanlar 5846 sayılı yasanın 7.6.1995 tarihli değiştirilen 4110 No. lu kanunda belirtilen

maddelerce Yazarın ve Yayınevinin maddi ve manevi zararını kabul etmiş olurlar. Bu kanunun mercii makamı T.C. İstanbul Mahkemeleridir.

Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında

yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. Kod No. : Y.0029 ISBN : 978-975-511-556-6 Sertifika No : 17341 Kitabın Adı : Dinamik Yayın Hakkı : © 2011 Birsen Yayınevi Ltd. Şti. Kitabın Yazarı : Mehmet Hakkı Omurtag e-posta : omurtagm@itu.edu.tr http://web.itu.edu.tr/~omurtagm/ Yayınlayan : Birsen Yayınevi Ltd. Şti. Cağaloğlu Yokuşu, Evren Çarşısı, No. 29/13 Tel : 0212-527 85 78, 0212-522 08 29 Belgegeç : 0212-527 08 95 e-posta : birsenyayin@isbank.net.tr http://www.birsenyayin.net.tr

Teşekkür : firmasının yüksek öğretime verdiği karşılıksız destek için

yazar şükranlarını sunar.

e-posta : info@yolsu.com.tr http://www.yolsu.com.tr Baskı : Cenkler Matbaacılık Amb. San. ve Tic. Ltd. Şti. İ. Karaoğlanoğlu Cad. Civan Sok. No. 7/1, Seyrantepe – 4. Levent İstanbul Tel : 0212-264 18 21, 0212-269 04 99, 0212-283 02 77 Belgegeç : 0212-264 05 31 e- posta : cenkler@cenkler.com.tr / cenklermatbaa@yahoo.com http://www.cenkler.com Kapak Tasarımı : Ceyda Tavukçular Bülbüloğlu (Cenkler Matbaası)

İnsan Sevgisiyle Dolu

Paylaşımcı ve Yardımsever Kişiliğinin Yanı Sıra Üst Düzey Bilim Adamı

Merhum Prof. Dr. Yavuz Başar (1935-2002)

anısına

İÇİNDEKİLER

Sayfa Önsöz Xi Gösterimler xiii

1  GİRİŞ 1

1.1 Giriş 1 1.2 Tarihçe 1 1.3 Temel Kavramlar 2 1.4 Birim Sistemleri 3 Örnek 4 PROBLEMLER 4

PARÇACIĞIN DİNAMİĞİ

2  PARÇACIĞIN KİNEMATİĞİ 7

2.1 Giriş 7 2.2 Doğrusal Hareket 8 Örnekler 12 2.3 Doğrusal Hareket – Analitik İntegrasyon 15 Örnekler 18 2.4 Düzlemde Eğrisel Hareket 23 2.5 Düzlemde Eğrisel Hareket: Kartezyen Koordinat Takımı 25 Örnekler 27 2.6 Düzlemde Eğrisel Hareket: Doğal Koordinatlar 30 Örnekler 34 2.7 Düzlemde Eğrisel Hareket: Kutupsal Koordinatlar 37 Örnekler 41 2.8 Uzayda Eğrisel Hareket 44 Örnekler 48 2.9 Birbirine Bağlı Parçacıklarda Kısıtlanmış Hareket 52 Örnekler 53 2.10 İki Parçacık Arasında Bağıl Hareket 57 Örnekler 58 2.11 Bağıl Hareket 60 Örnek 64 PROBLEMLER 68

3  PARÇACIĞIN KİNETİĞİ: KUVVET, KÜTLE VE İVME 97

3.1 Newton’un Hareket Denklemi 97 3.2 Kütle ve Ağırlık 98 3.3 Kinetikte Karşılaşılan Problem Çeşitleri 99 3.4 Kartezyen Takımında Hareket Denklemleri 100 Örnekler 101 3.5 Düzlemde Hareket Denklemleri: Doğal ve Kutupsal Koordinatlar 105 Örnekler 107 3.6 Uzayda Hareket Denklemleri: Silindirik ve Küresel Koordinatlar 110 Örnekler 111 PROBLEMLER 115

vi DİNAMİK

4  PARÇACIĞIN KİNETİĞİ: İŞ VE ENERJİ 123

4.1 Konuya Bakış 123 4.2 Bir Kuvvetin İşi 123 Örnek 124 4.3 Korunumlu Kuvvet ve Potansiyel 124 Örnekler 126 4.4 Potansiyel Enerji 128 Örnek 130 4.5 İş ve Enerji İlkesi 131 Örnek 132 4.6 Enerjinin Korunumu 133 Örnekler 135 4.7 Güç ve Verim 138 Örnekler 139 PROBLEMLER 140

5  PARÇACIĞIN KİNETİĞİ: İMPULS VE MOMENTUM 147

5.1 Konuya Bakış 147 5.2 Doğrusal İmpuls Momentum İlkesi 147 Örnekler 149 5.3 Doğrusal Momentumun Korunumu 151 Örnek 152 5.4 Açısal İmpuls Momentum İlkesi 152 5.5 Açısal Momentumun Korunumu 154 5.6 Düzlemsel Hareket 154 Örnekler 155 PROBLEMLER 158

6  PARÇACIKLAR TOPLULUĞUNUN KİNETİĞİ 163

6.1 Konuya Bakış 163 6.2 Genelleştirilmiş Newton Hareket Denklemi 164 Örnek 165 6.3 Parçacıklar Topluluğunda İş ve Enerji 166 Örnek 168 6.4 Parçacıklar Topluluğunda Doğrusal İmpuls Momentum 169 6.5 Parçacıklar Topluluğunda Doğrusal Momentumun Korunumu 170 Örnekler 171 6.6 Parçacıklar Topluluğunda Açısal İmpuls Momentum 175 PROBLEMLER 177

7  PARÇACIĞIN KİNETİĞİ: ÖZEL KONULAR 183

7.1 Konuya Bakış 183 7.2 Çarpışma 183 Örnekler 187 7.3 Merkezsel Hareket - Gök Mekaniği 190 Örnekler 197 7.4 Sürekli Kütle Akımı 200 Örnekler 202 7.5 Değişken Kütle 205 Örnekler 207 PROBLEMLER 209

İÇİNDEKİLER vii

 

RİJİT CİSMİN DİNAMİĞİ

8  MEKANİK TİTREŞİMLER 217

8.1 Konuya Bakış 217 8.2 Tanımlar 217 8.3 Mekanik Titreşimler 218 Örnek 219 8.4 Serbest Cisim Diyagramı (SCD) ve Kinetik Diyagramı 220 8.5 Tek Serbestlik Dereceli Sistem 221 8.6 Sönümsüz Serbest Titreşim 223 Örnekler 225 8.7 Sönümsüz Zorlanmış Titreşim 227 Örnek 230 8.8 Sönümlü Serbest Titreşim 231 Örnek 234 8.9 Sönümlü Zorlanmış Titreşim 235 Örnek 236 PROBLEMLER 238

9  RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE KİNEMATİĞİ 243

9.1 Konuya Bakış 243 9.2 Cismin Düzlemde Serbestlik Derecesi 245 9.3 Ötelenme 245 9.4 Sabit Bir Eksen Etrafında Dönme 246 Örnekler 249 9.5 Bir Nokta Etrafında Dönen Bir Vektörün, Sabit Takımda Zamana Göre Türevi 250 9.6 Cismin Düzlemde Genel Hareketi 251 9.7 Ötelenen Takımda Bağıl Hareket 253 Örnekler 255 9.8 Ani Dönme Merkezi (ADM) 258 Örnekler 259 9.9 Ötelenen ve Dönen Takımda Bağıl Hareket 262 Örnekler 264    PROBLEMLER  269

10 RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE KİNETİĞİ: KUVVET, KÜTLE VE İVME 275

10.1 Konuya Bakış 275 10.2 Kütle Eylemsizlik Momentleri 277 Örnekler 284 10.3 Cismin Düzlemsel Hareketine Ait Denklemler 287 10.4 Cismin Düzlemde Ötelenmesi 290 Örnekler 290 10.5 Cismin Düzlemde Sabit Bir Eksen Etrafında Dönmesi 294 Örnekler 295 10.6 Cismin Düzlemde Genel Hareketi 298 Örnekler 300 PROBLEMLER 305

viii DİNAMİK

 

11 RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE KİNETİĞİ: İŞ VE ENERJİ 313

11.1 Konuya Bakış 313 11.2 İş 313 Örnekler 315 11.3 Kinetik Enerji 316 Örnek 318 11.4 İş ve Enerji İlkesi 319 Örnekler 320 11.5 Güç 324 Örnek 325 PROBLEMLER 326

12 RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE KİNETİĞİ: İMPULS VE MOMENTUM 331

12.1 Konuya Bakış 331 12.2 Cisimde Doğrusal İmpuls Momentum İlkesi 331 12.3 Cisimde Açısal Momentum 332 Örnek 336 12.4 Cisimde Açısal İmpuls Momentum İlkesi 337 Örnekler 337 12.5 Momentumun Korunumu 340 Örnek 341 PROBLEMLER 342

13 RİJİT CİSMİN UZAYDA KİNEMATİĞİ 345

13.1 Konuya Bakış 345 13.2 Ötelenme 345 13.3 Sabit Bir Eksen Etrafında Dönme 345 13.4 Sonlu ve Sonsuz Küçük Dönmeler 346 13.5 ÖtelenenDönen Takımdaki Bir Vektörün Sabit Takımda Zamana Göre Türevi 348 Örnekler 349 13.6 Cismin Uzayda Genel Hareketi 351 Örnekler 353 PROBLEMLER 356

14 RİJİT CİSMİN UZAYDA KİNETİĞİ 359

14.1 Konuya Bakış 359 14.2 Eylemsizlik Momentleri 359 Örnekler 362 14.3 Uzayda Açısal Momentum 366 14.4 Kartezyen Takımda Açısal Momentum 367 Örnek 368 14.5 İmpulsMomentum İlkesi 369 14.6 Kinetik Enerji 369 Örnek 371 PROBLEMLER 372

İÇİNDEKİLER ix

KAYNAKLAR 375EK-A Birim Çevirmeleri 377 USCS ve SI Sistemlerinde Birimlerin Kısaltmaları 377 SI Sisteminde Ön Ekler 378 Grek Alfabesi 378EK-B Bazı Özel Fonksiyonların İntegralleri 379EK-C Trigonometrik Bağıntılar 380EK-D Vektör Cebri 381EK-F Üç Boyutlu ve Homojen Bazı Cisimlerin Kütle Merkezleri 387CEVAP ANAHTARI 389DİZİN 401TÜRKÇE – İNGİLİZCE TEKNİK TERİMLER 405

x DİNAMİK

ÖNSÖZ  

MÜHENDİS OLMAK İSTİYORSAK 

DİNAMİK ETKİLERİN TASARIMA YANSIMALARINI YORUMLAYABİLMELİYİZ 

Dinamik problemler çok basitten çok karmaşığa giden oldukça geniş bir alana yayılıdır. Diğer bir deyişle dinamik ucu açık bir alandır. O nedenle bu kitapta, problemler zorlaştıkça bazı daraltmalar yapılarak konular belli sınırlar içinde tutulmuştur. Daha ileri düzeydeki problemler ise ancak lisansüstü programları kapsamında ele alınabilir. Dinamik problemler statik problemlere göre çok daha fazla günlük hayatımızın içindedir. İçinde seyahat ettiğiniz tüm araçlar (araba, uçak, gemi, asansör gibi), işyerindeki hareketli aksamı olan her türlü makine, yürürken yaptığımız hareketler, yapı-yapı ya da yapı-akışkan etkileşimleri ve saymakla bitmeyecek kadar pek çok olay özünde dinamik davranışlar barındırır. O nedenle dinamiği algılamadan mühendislik problemlerine çözüm aramak aslında ciddi bir eksikliktir. Zaten o nedenledir ki, inşası/imalatı tamamlandıktan bir süre sonra karşılaştığımız yapısal sorunların/hasarların altında, büyük ölçüde projenin tasarım aşamasında gözden kaçmış ve hesaplara katılmamış dinamik etkiler yatmaktadır.

Ciddi bir eğitim için tek başına konunun önemini benimsemiş ve bunu gençlere aktarmayı hedef edinmiş bir eğitmen yeterli olamaz. Bir de ona destek verecek, sınırları iyi çizilmiş bir alan içinde konuları ele alan ve pedagojik yapısı doğru kurgulanmış bir ders kitabını eklemeliyiz. Buradan yola çıktığımızda aklımıza şöyle bir soru geliyor:

“Dinamik hak ettiği ilgiyi mühendislik eğitimi içinde görüyor mu?”

Eğer bu sorunun cevabı “evet” ise, iki alanda ciddi ilerleme sağlandığını düşünebiliriz. Birincisi; mesleğinizin bir parçası olan dinamik problemleri algılamaya ve bunları mühendislik bakış açısıyla yorumlamaya hazırsınız demektir. İkincisi ise, dinamik problemleri çözebilmek için gereksinim duyduğunuz matematik altyapı size geri planda mühendisliğiniz için gereksinim duyacağınız kıvrak düşünme yeteneğini kazandıracaktır. Kitapta çözülmüş toplam örnek sayısı 123 ve çözülmek üzere konu arkalarında verilmiş problemlerin toplam sayısı da 529 dur. Eserin arkasında Cevap Anahtarı ekinde bölüm sonlarındaki tüm problemlerin cevapları mevcuttur. Konu arkası problemlerinin açıklamalı çözümleri ise yazarın DİNAMİK - ÇÖZÜMLÜ PROBLEMLER (Birsen Yayınevi, İstanbul, 2011) isimli yardımcı ders kitabında bulunabilir. Seçilen örnekler ile konu arkalarındaki sorular; yerli/yabancı kaynaklardan da yararlanılarak özgün bir yapı içinde derleme yapılarak, İTÜ İNŞAAT FAKÜLTESİ bünyesinde geçmiş yıllarda hazırlanmış sınav soruları taranarak ve yazarın kişisel soru bankasının bir araya getirilip harmanlanmasıyla belirlenmiştir. Kitapta SI birim sistemi kullanılmıştır.

Kitabın arkasında dinamik konusu ile sınırlı tutularak hazırlanmış TÜRKÇE-İNGİLİZCE TEKNİK TERİMLER ekinin amacı, sadece İngilizce eğitim yapan kurumlarda okuyan gençlere Türkçe-İngilizce geçişlerinde kolaylık sağlamak olmayıp, aynı zamanda Türkçe eğitim veren kurumlardaki gençlerimize de İngilizce teknik karşılıkları kazandırmaktır.

Uluslar arası kalitede bir eser hedeflendiğinde, sadece içerik yeterli olmuyor. Bunun yanı sıra, pedagojik altyapıyla iç içe geçmiş görsel tamlık ta gerekiyor. Alanında ulusal ve uluslararası önemli projelere imza atmış YOLSU Mühendislik Hizmetleri Ltd. Şti. bu noktadan yola çıkarak, yüksek öğrenime destek verebilmek amacıyla siz yarının mühendisleri için elinizdeki kitaba karşılıksız destek oldu. Gençlere, kaliteye, iş ahlakına, etiğe, kitaba ve yazara büyük değer veren ve YOLSU Mühendislik Hizmetleri Ltd. Şti. ‘nin kurucusu olan Sayın Yük. Müh. Gökdal OKAY’a bu bağlamda şükranlarımı ve saygılarımı sunarım.

xii DİNAMİK

Bu eser vesilesiyle, üç yıldan fazla süren yoğun yazım aşamasında, başımın tacı Annem Kimya Y.Müh Hayrünnisa Omurtag ile Babam Prof.Dr. A. Cemal Omurtag’a ve arkamdaki büyük destek Eşim Prof.Dr. Gülden Z. Omurtag ile Kızlarım Veteriner Hekim B. İrem Omurtag ve Kimyager P.Sinem Omurtag’a bana gösterdikleri büyük sabır ve anlayış nedeniyle minnettarım.

Ayrıca ilk baskıdaki çok değerli katkıları nedeniyle Sayın Araş.Gör. Akif KUTLU ile Sayın Doç.Dr. Beytullah TEMEL’e içten ve özel olarak teşekkür ediyorum. Kitabın basım aşamasında olumlu yaklaşımı nedeniyle Sayın Bahadır ALGIN’a ve şahsında BİRSEN Yayınevi çalışanlarına, titiz basım konusunda hiç bir özveriden kaçmayan ve bunu eğitime/öğretime bir hizmet olarak addeden Sayın Adnan TAVUKÇULAR’a ve şahsında CENKLER Matbaası çalışanlarına teşekkür ederim. Kitabın ve parçalarının bütün hakları yazara aittir. Kitap hakkında yapılacak önerilerin yazara iletilmesi halinde, bunlar büyük bir titizlikle incelemeye alınacaktır.

Saygılarımla.

Prof.Dr. Mehmet H. OMURTAG İstanbul Teknik Üniversitesi, İnşaat Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Maslak 34469, İstanbul omurtagm@itu.edu.tr http://web.itu.edu.tr/~omurtagm/ İstanbul 2011

GÖSTERİMLER       a   :  ivme, elipsin büyük yarı eksen uzunluğu 

  /B Aa   :  B noktasının A noktasına göre bağıl ivmesi 

  A   :  Alan   b   :  Elipsin küçük yarı eksen uzunluğu 

  ÇB   :  Büyütme çarpanı 

  c   :  Sönüm sabiti   e   :  Çarpışma katsayısı, dışmerkezlik 

  ,t ne e   :  Doğal takımda birim vektörler 

  ,r e e   :  Kutupsal takımda birim vektörler 

  , ,r ze e e   :  Silindirik takımda birim vektörler 

  , ,r e e e   :  Küresel takımda birim vektörler 

  f   :  Sıklık (frekans) 

  if   :  İç kuvvetlerin bileşkesi olan vektör 

  F   :  Kuvvet   g   :  Yer çekimi ivmesi 

  G   :  evrensel çekim sabiti   G   :  Doğrusal momentum vektörü   H   :  Açısal momentum vektörü   , ,i j k   :  Kartezyen takımda birim vektörler 

  i   :  eylemsizlik yarıçapı   I   :  İmpuls, eylemsizlik momenti   k   :  Yay sabiti, eylemsizlik yarıçapı   m   :  Kütle   M , M , M   :  Menzil, Kütle merkezi, moment vektörü   N   :  Normal kuvvet   P   :  Güç   r   :  Konum vektörü 

  /B Ar   :  B noktasının A noktasına göre konum vektörü 

  ,r   :  Kutupsal takım 

  , ,r z   :  Silindirik takım 

  , ,r   :  Küresel takım 

  s   :  Kat edilen yol 

  os   :  Sönüm oranı 

  t   :  Zaman   T   :  Kinetik enerji,  

  T ,  sT   :  tekrar süresi (periyot), sönümlü tekrar süresi 

xiv DİNAMİK

  ,t n   :  Doğal takım 

  U   :  İş   v   :  hız   V   :  Potansiyel enerji, hacim 

  /B Av   :  B noktasının A noktasına göre bağıl hızı 

  W   :  Ağırlık kuvveti   x   :  Konum 

  öx ,  hx   :  Özel çözüm, homojen çözüm 

  , ,x y z   :  Kartezyen takım 

      :  Açısal ivme 

  st   :  Statik uzama 

    :  Potansiyel 

    :  Eğrilik     :  Pi sayısı     :  Sürtünme katsayısı 

    :  Eğrilik yarıçapı, yoğunluk 

    :  Açısal hız 

  ,  d   :  açısal sıklık (frekans), doğal açısal sıklık (frekans) 

  s   :  sönümlü açısal doğal sıklık (frekans) 

      :  Türev operatörü nabla     :  Toplam   x   :  x  in zamana göre birinci türevi  d / dx t  (hız)   x   :  x  in zamana göre ikinci türevi  2 2d / dx t  (ivme)     ADM  :  Ani dönme merkezi   SCD  :  Serbest cisim diyagramı