132
On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination of diffusion coefficients in bone. Division of solid mechanics, Lund University. Total number of authors: 1 General rights Unless other specific re-use rights are stated the following general rights apply: Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authors and/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by the legal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private study or research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal Read more about Creative commons licenses: https://creativecommons.org/licenses/ Take down policy If you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will remove access to the work immediately and investigate your claim.

On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

LUND UNIVERSITY

PO Box 117221 00 Lund+46 46-222 00 00

On the determination of diffusion coefficients in bone

Shokry, Abdallah

2015

Link to publication

Citation for published version (APA):Shokry, A. (2015). On the determination of diffusion coefficients in bone. Division of solid mechanics, LundUniversity.

Total number of authors:1

General rightsUnless other specific re-use rights are stated the following general rights apply:Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authorsand/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by thelegal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private studyor research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal

Read more about Creative commons licenses: https://creativecommons.org/licenses/Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will removeaccess to the work immediately and investigate your claim.

Page 2: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Department of Construction Sciences

Solid Mechanics

ISRN LUTFD2/TFHF-15/1052-SE(1-132)ISBN: 978-91-7623-313-9ISBN: 978-91-7623-314-6

ON THE DETERMINATIONOF DIFFUSION COEFFICIENTS IN BONE

Doctoral Thesis by

Abdallah Shokry Mahmoud Ali

Copyright c© 2015 by Abdallah Shokry Mahmoud AliPrinted by Media-Tryck AB, Lund, Sweden

For information, adress:Division of Solid Mechanics, Lund University, Box 118, SE-221 00 Lund, Sweden

Homepage: http://www.solid.lth.se

Page 3: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 4: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�������

��� ���� ������� �� ��� ��� ������� �� �� ����� ��� �� �� �� ������

����� ���� �� �� ��������� �� � � � �� ��� � ����� � �� ��� ��� ���

! ����� � �� �� ���� "���� ���� #�� � � �� � � � �� ��� � ����� � �� ���

��� �� ��� $�� �� ������� #��� ! ����� � �� �� ���� ��� !���� �� "% ��� %

��������� �� &����� ��� �� ���� %��� �� ��� ������� �� �� ����� �� ����� ��

��� ��� ���

���� �� ���� �� ���� ������ �� � �� ������� ��� ��'���� � � � �� ��� � ����(

� �� ��� ��� �� ��� � �� ����� �� ��� ���� � ����� ��� ��� ��� ��� �

�� �����)�� ��� ��� � ��� �� ! �� ������� �� # ��� ������� !%� � ����� ��(

������� �� * ���� ��� "% ��� %� ��� ��� �� ��� ��� � ��� ����� �� � �

��� �� �� ������%���� �����%���� �� �����

! ����� � �� �� �+��� �� ������ �� � �� ������� #)� "� ,��� � -����� �������

�������� ��%����� ��������� �� ����� ��� �� % �� ������� � "% ��� %� &��(

���� �� "% ��� %� .� �� ��� ��� ������� ������� "�(������� ����� ��� "(

% ��� % ���������� &������ �� "% ��� %� /���� ��� �� �� ������ ��������

#�� �� 0����� "����� � 0��)�� -������� 1 ������ �# ��� ��� � ������ �� ������%�(

����

! �� %������� �� �� ������%�� �� ��� ���)�� �� ��� � � � �� ��� � ����� ��

��� ��� �� ��� ��� � � � ���� �� ������ ��� % �� ��� �� # ) % ���� �� ��

"%��� � �� �� ���� ����� ��� �� #���� &��2�� ������� #)������ 3��� #����

������ &����� #���� ����� #)�����2�� ����� ������� /�%��� �� 3��� ��)����

��� ��� �� � �� ���� ! ���� ��� � �� �����

# %���� ���� �� �� ������� ��� ��� ��� ��� $��� � ��� �� �� �� �� � � %��� ����

�� ���� -��� �� ��� ��)��� �������� �� �� )������� �������� ��� ��� � ������

�� ������%����� & ����� � ������ ���� �� �� )������ � ��� &������ �� �� ������

� �� 0���� �������� �� ������� ��� ��� � ������ �� � ��� � ��� % ���� �����

��� ��� ��� #�� � ���4

#)������ ������ ������� #�

Page 5: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 6: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������

�������� �� ��� �� � ��� ��� � ����� �� ��� ������� ���������� ��

���� ��� �� ���� � ������� ��� �� �������� ��� ������ ���� ������ �����

�� �� ������� ������� �� � ����� ��������� �� �� ���� �� ���� � ������� ��������

������ �� ������ ��� ������ � ����� �� �� ������� �� ��� �� ������ �������� �������

�� ����� �������� ��� �� ���� �� ������� ������� �� ����� ��� �� ��

�� ���� ����� �� ����� �������� ����� ��� �� ��� ���� �� ������� ���� ��������

������ �� ��� �� ������ ����� !� ������� ������ �� �������� ���� ������ ��

����������� �� �� ���� �� �� ������ �� ������ ��� �� �

�� � "��� �� ��� �� ������� ��� �� ���� �� � �� ������ ������ ���� ���#

����� ������ ������� ��������� $���� �� �� ��� ����� ���� �� ��� ��������

�� �� ������ �� �� ���� ���� �� �� ��#�� ������ ������ ���� ����� �������� �����

�� �� ������ ������ �� ��� � ��� ����� �� �� ���� ������� %���� �� ����

� �������� ���� ������� ���� �� �� ������� �� � ���� ��� !��� � �����

�� �� ������� �� �� ������ �� �������� ������� !� �� �� �� ������� ���#

"����� ���� ��� �������� �� ����� ��� � &�� �� "��� �� �� �� '����� ��

������� �������� ��� '��� ��� ��� ���� �������� ������� �� �������� ����

�������� !� &�� �� "��� ���� ���� ���� �� ���� �� ������ ���� ��� ����

���� �������� !� ������ ��� �� &�� �� "��� ������ �� ������� �� �� ������� ��

���������� ���� ��� ���� ��� �� � ����� �������� �� ���� ���� ����� ���������� �� �#

������ �� ���� ����'� � ��� �� �� �� ������� �������� �� ������ ������

���� ��� ������� �� ��� �� ���� �� ���������� ���� ���� !� ������� �� ��� �

&�� �� "��� �� ����� �� ����� ���� ��� ���� � ���� � (������ � ���

�� �� �� �� ������� ������� �� �� ������ �������� �� ������ ��� �� ���

�� ���� !� ��� �� ��� �� � ������������ �������� ���� ���� � �������

������� �� �������� ���� �������� !� ����� �� ���� ����� "��� � �� ������������

��� � �� ������ �� ������������� ��� ������ !� ��� �� ������ ������� ����

������� �� �������� �������� �� ��� ��� �����

���

Page 7: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 8: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Abstract (Arabic)

����

���� .��� � ������ ��� � ���� ����� �� ��� �� ��� � ! ��"�! ��� � �� #�$�%&� "�� '

(�)�'"� (*+,�� �-,/ .��� � 0�"�! (�" � �� ����1 ��"�! �"1��� 2+1 ���3/ "�� ' ��

�� 453/ ��� (�6�'7�8� (��, � ( �#5 (�9��� :;� ����1 ����<�� #�$�%&� =���,

>6��% ?�� @AB3� �*! �� (�,1C� D�� 5�E� F;A,�� "�� ' .(�3� ��� � (E9%!

G� � �� #�$�%&� =H�� � I��J (<�9� (J'"K ��5�� � L3�� �+1 �� G/ 5M� .(�J�JN

�A� �/A�� 5'#A�O� ( �$,� "J�� ('"$J� ��� � �� =���� P)� G�' Q#�B�R�� .S"J��

P� ��,� (���TA/ �� �A� �/A��� 5'#A�O� =��#�U #�$�%� 5'7' L�N V"<J,� ��,� ��

.��7� #�"�

(<�/"� "� #�$�%� W�A�� (9%�E�� ���,� G� � #����� G/ Q(K�9��� @�! F;A,% ��

"� ���� (�'A<� ��� � #��3� �� G� � (��� XY� ��5�* Z�" ,� �� [%! "� QPMA,��

�(��-� "-�! \�B/� ] A�,� ^'AE�� �� _"J�� :;� �5'�7�� (';�8% =�; (9%�E��

�� :;� PMA,�� ]�/"� #�$�%� ��� � (��)� G/ :; �*� ��� ."R`� \<9� _"J�

5J .(� M�� "-�! >6��% ?�� @AB3� � ����3,� ��A* P�# ?� S�a' �,� V�%�b F;A,%

�� #�$�%� =H�� � ?�� @AB3� �*� �� "��� X�,�� ?,9/ (�9O� (J'"K ��5�� � G/

"��� X�,�� (J'"K +RY/ .[��� [M5� PMA,�� ]�/",� #�$�%&�� c��-� #�$�%&� ���N

(<�/"� (� �9N =�; �dE6��% "�� / �,� V#����&� �� � =H�� ,� ��<R!� I��J� ��<R!

�5�� Z�"3%&� e�E� ('�� � f"�J/ X! eE' ���� =H�� ,� (�6�5�� G�J� #���R��

=��TA�� (�A3B� #�$�%&� =�"�g�� 5'53� (J'"K f�"�M� G/ Q#�Kh� �+1 ��� ._#�J��

?�� ����,��� "��� X�,�� ��5�� �� (J'"<� 2+1 G��J/ G/ .(�6�5�� G�J� #���R� (�8�O

#�$�%&� ��� � 5'53� (J'"K i�J�U� G/ �"�R!� .=���"<)&�� (%�"J� � �5A� =� ��M

G�' [��� 5�j��� !5�� ?�� (J'"<� 2+1 5,� / L�N V��� � =���� �� (%�",� W�AR�

(J'"K ��5�� �� ���A � 2+1 ��E'� G/ 5M� .�� �C�� �O$�� (<�/"� ���A� ��5�� �

�� ��O (J'"<� 2+1 G��J/ G/ .=�AE8� �� @�OUC� k � :;� ���53,� "T�� �

.����J�JN ����N ?�� �dJ��<�� �O�%�O�,� lA�9�� #�$�%&�

iv

Page 9: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 10: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������������

� ������� ��� �� ���� �� ���� ��� ������� �������� � ������� ������������ ���

��������� ��� �� ���� � �� ���������� ����� ���� � � ����� ����� ����� �����

��� ��� ������ �� ��� ��� ������ ��� ������� !� ��� �� ������������ �������� �

����������� � ��� ������ ������ �� ��� ��� ����� �� ���� "�� ��������� ���

������� �� ��� ������� � �" ��� ���� ��� ��� ��� ������ �"���� �� ��� ��� �����

���� ���� #�� �� �� � ��� ����� ���� �� ��������� �� �������� � ��� ���

��� ��� �� ��� �� �� $�� ������ �� ��� ������� ��� ������� � ����� ����

���� � ������������ ��� ���� �������� ����� ���������� %��������� ���� �����

��&������ ��� ������� �� ��� � �� ��� ����� � ������ ��� ���� ��� ��������� � ���

���������� ������� �������� � ����� ���� � �� ��������� ��� �� ���� �� '��� �������

��� �� �� ���� � $�&������� ��� ����� ��� ��������� ������� �� �������

��������������� �� ���� ��� �� ��� ���� �� ���������� ��� �������� � ������������

����� ��� �� ���� ��� ����������

(� ��������� ����� ��� ����� ��� �� ���� �� �� ����������������� ��� �������

��� ������� � ������� $�� �� ���� �� ������ ��� �������� ��� ��������� ��� ���

��� ������ �� ������� �������� ������� ��� �" ������ ��� ������� ������ ����������

� �������� !� �� ����� ���� ��� �� ����������� ������ ��� ����� �� ���� ���� ��

� ����� �� ����� ��� �� � ��� ���� �� � ��� �� � ��� ����� ��� �������� �

������� ��� ����� ��� ������� �� �� ����� ��� �� ��&�������� ��� ���� � �� �����

��� ���� �� � ��� �������������� �� ��� ��� ������ � ��� ��������� ��� ������� �

������ ��"�� ��� ��� �� � ��� ����� ��� � �������� �� ���� ()�������� �� �����������

� ����� ���� �� ���� ��)��� ���� �� ���� ���� ��� ��� *�� �� ���� � ��������� ��

��� �������� �� ��� �� � ���� ������ ���� ���� ��� �� ��� � �� ������ �� �������

�� ���� ��� �� ����� ��� �������

(� ������� ���� ��� ������ ��� ��� ����+����� � �" ����� �� �������� � �������

����� ���������� $�� �� ��� ��� ���� ������ ���� ����� ������ ��� $�� +��� ����

�� �������� ���� �� ��� �������� ��&����� ��� ������ ��� ��� �"��� �� ����

��� ��������� ������ ��� ���� ��� ������� ����� ������� ����� �)���������

,���� ����� �������� �� �� ���� ���� ����� ��� �� ��� ��&���������������� � ���

������� !������ ���� �� �� �� ����� ����� ��� ��&������ ����� �������� ���

������ �� � ��� �������� ������� � �������� �� ��������������� ���� ��� ���

����������� !�������� ����� �� � ������� �� ���������

*�� �� � ��� ����� �� ���� ��������� �� �� ������ ������ - �� + ��������

��� �� '�� ����� � ��� �� ��� �� ��������� �� �������� ��� � ����� ����� ��� ��

�� ��� �� ��� ��������� � ������� � � ����� ���� ��� � ��� ����� � �� ������ ��

�� .������������ ����� ���� �� �� ������ ����� � +��� � �������������� �������

$�&���������� �� ��� ����� ��� ��&���������/������� ��� ������ ������ �� � �

���� ����� ��� "����"� ������ '�� ������� ��� ��� ����������� 0��� ���� ���� ��

�� �� ������ ��� ��&���������/������� ������ ���� � ����� � ���� ����� ��

����� �� ������������������� ��� ��"���� ��� ��&����� � ����� ����� ����� ���� %�����

"���� �� ��� ������������� �� ��� ��� �� ����� ��� ������� !�� ��� � � ������� ��

���

Page 11: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ������ ���� � ������ ��������� � � ������������ ���� ��� ��� ��������� ������ �

�������� ���� �������� ��� ��� �� ����������� ��� � ������ � � ����

����

Page 12: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� ����� �����

���� ������ ������ �� ��� �� ��� ��������� ����������

����� �

�� ���� ��� �� ������ �� ������ �� � �!������ "#$%&'������������ ��� ��� ��������� �� ����� ��� �� ����� ��� ������� ���� ���

����� ��������� (���� �� )*�������� �� +���������� ,����������� !����� #� �����#� ���� -#&.-&#�

����� �

�� ����� "#$%/'� �������� � ���� ������ ����� � ��������� �������� ���������� �� ��������

���� ��������

�� ������ �� ���������� �� ��������

����� �

�� ������ 0� ��1��� �� � �!������ "#$%/'������������ ��������� ��������� ��� ��� ���������� �� ����� ��� ���� ������

�������� ������ �� ���������� �� ��������

�����

�� ������ �� ���� ��� �� 2����� �� 0� ��1��� "#$%/'� ��������� ���������� � ���� ����� ��� ��� ��� ������� ���������� �������� ���

� ����������

�� ������ �� ���������� �� ��������

�� ������������

��� ���� �� ���� ������ �� ������� �� �� ������ �� �������� ��� 2��� 3����� �� ��� �� � ��� +� ��� ���� �� ���� ��� ��� ������� ����� �� ����� ����*��������� ��!������� ��� �������� �� ������ ��� ���� 4����� ��� ���� ��������� �� �� ����� ��� ����������� ������� �� ������� �� ����� �� �� ��������� 5 �� ���� ����� ���� ��� ��.������

�*

Page 13: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 14: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������

� ���������� �

� � ���� ������ �

� � ���� � ���� �

� � ���� ������������ �

� ������ ����� ������� �

� ������� ��� �������� �

��� ����� ����� ������� �� �������� ���������� �� ������ ���� �� ���� ��

������������ ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ����� � �������� � ��� ���� !�� �� "���� �� ����� ��� ������� ����#

����� ��� ��������� ������ ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $

��% ����� & ����� ������� �� ��������� ��������� �������� ���� ����� �� ������

���� ���� !�� �� "���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��' ����� � (������������ ���������� ��� ����������� �� �������� ��� �������

���� ����� �� �������� ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%

� ��������� ��

�!�� "

�!�� #

�!�� �

�!�� �

)�

Page 15: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 16: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

��� ������ �� ��� �� ����� �� ������ � ������ �� � �� �� � ��� ���� ���� ���� ������ ���� � � �� ������ ���� � ��� ���� � � � ���� ������� �� ��� ��� ����� � ������� ����� �� ����� ���� � �� ������� � ����������� �� ���� ������� � ��� ���� ������ ��� ������ �� ��� ��� ��� ���� ���� ���� ����� � ��� ����� ������ �� ��� ������ ����� ����� � ������� � ����� � �������� ����� !!!"�

#���� ����� ������ � �� �� � ������� �� ��� �� ������� �� �� ���� ���� ��� ������ ��� � ���� ���� � ��� ���������� � ������ �� ��� ��� �������� ����� � ��� ���� ����� � � ��� �������� ��� $����� �� ���� ����� �� ����� ���������� ��� ����� �%���&$���� �� ���� !''( )������ �� ���� !'*"� ��� ������ ������� �� �� ��� ������� ����� ��� ���� � �� �������� ���� �� �������� � ������� ���� ����� ��� ����� ��� � � ��� �� ���� ����� �� � ������ ��� ������� ����������� �� ��� ��� �������� ����� � ��� ���� ����� � � ��� �������� ��� ���� �������������� � �� � ������� ��� � ��� � ��� �+����� ��������� �� ����� �� ���������� �� �� �������

����� �� � ����� ������� � �� ������ ���� � �� ���� � ����� ������� , ����������� ����+��� �� �� ������� ,�� ��� ��� �� ������ ���������� ��� �� �� �� �������� �� �+����� � ������� ��� ������� � ����� ������� ������� ������ �� �� � �������� ��� ����� ����� ��� ����� ����� �� ��� �� ��� � ���� �������� ,�� ������ ����+ ��� ��� ���� �� � ��� ���� ���� ��� ������� ������ � �� ��� ����������������� ��� �� �������� ��� ������ �������� �-�" �� ������� �� ���������� ������ ���� � �./"� ��� �� � ���� ����� �� ������ ���� � � �� ���� ������ ������� ������ ��� �+���� � � ��� � �� ����������� ��� ��� ��� �������������� ��� ������ .���������� ���� ���� ����� �� �� �� ���� ����� ���� �� ���� � ����� ������� , ������ ������ �� ��� � ���������� �� � ��� �� ���������� ����� � ��� ��� ������ �� � ������ � ��� ��� ������

� ������ � ����� ����� �� ��� � ����� ������� � ��+������ ������ ���� � ���� ��� ������� � ������������ 0� �� � ����� �� ���� � ���� ���� � ������ ���� ����� � ��� �� ������ ��� �������� ������ �1-�" �� �� ��� �� ��������� ������� �������� ��� ����� ��� ������ �2 ���� ��� ��� ��������� �������� �� ���� ���������� �� ���� ����� 3� �′� ��� � �������

4+��������� ������� ��� ������ ������� � ��� � ���� ���� ��� ��� � �� � ������ � ���������� ��� � ��������� ���� ��� ���������� ��� ����� �� ��� ���������� ����� �+����� �5�� �� ����������� � �������� ����� ������� 5� ������� �&������� ���� ���� ����� �� ����� �� ��������� 5� ������� ���� �������� ��������� ���� ��� ������ ������ ���� ���� ��� ���� � ���������������� ����������� �� � �� &����� ����� ������� ����� � � ���� ��� ���� ����� � ��� ��� 1���� ������ � ����� � �������� �������� ���������� ��� ����� ��� � ����� ����������� � �� ��� ������ ����� 6��� �� ���� �� ����� ��� � ��� ������������� �� ����������� �� �������� �1����� '78!"� ,��� �� ������ �� ������� � ����� ��

'

Page 17: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�� ���� ������� ��� �� ���� ���� ���� ����������� �� ������� ���������� �� ���������� ����� ��� �������� ������������ � ������ ��� �� ��� �� ������ ��� ������� ������������ ������� �� ������� ���� ���������� �� � ����������� �� ������� ��� ������ ������� ��������� � ��� ����� ���� ������� �� ��� ������ ��� ���������� �� �������� ����� ���� ������� ��� ��������� �� ��������� �� ��� ������ ��� �� ������� ������� ���������� ��� �������� ������������ �� ��� ���� ������� � �� �� ������� �������� ���� ��� �������� �� ������������ ���� ��� ������ ��� �� ������� ������� ���������� �� �� ������ �� ��������� ������� �� ����� �� ������!�� ��� ����� ��� �� ��� �� ��� ������ ���� �������� �� ���� �� �� ������ ������� "���������� ����� ���� ������� � ������������ ����� �� ������� ��� ������� ��������� �� ������� �� ���� �� � ���� ������ ���� �������� ������ ����� �� ����� �� ��� ����� ��� ����� �� ���� ������� ������������ �� ��� ������ #�$ � ����� �� �� �� ��� ��� �����

� �������� ���

� ������������ ������������ �� ������� �� � �������� ������ �� �$��������� �������� ��!������� ��� �������� �� ��� ������� ��������� �� ������ �������� �� ������ �������� �� ������� �� ��� ���� �� ���������� ���� ����������

�� ������� �������� �� ���� �������� �� ���������� ��������� ������ �� "��% ′����� �� �������� �� ������ ��� ��� �� ����� ���� ������ ������ � ���� ��� �� ����������� �� ��� ������������ �� ���� ����� �� ���� ���� ����� �������������� �������� ��� "��%′� �� ��� �� ������� ��

&'(J = −D∇C

���� J �� ��� #�$ ����� ���� �������� ��� ��� �� ����� ������ �� ���� ���� D ����� ������� ���������� C �� ��� ������������� �� ∇ �� ��� �� ���� ����� �� � )���������� ������ �������

&*(∇ =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

).

+������ ��� ������� ������ ��� � ���� �� �� �������� � �� ��� �� ������ �� �������� ������������ ���� ������ �� ���� �� ����� �� "��% ′� ����� ��� �� ������� ��

&,(∂C

∂t= −∇ · J = ∇(D∇C)

���� t �� ��� ����� �� ������� ��������� �� -!�� &,( �� &'( ��� �� ���� ��� �� ��������� ���������

����� ����� ����+��� ��������� �� -!� &,( �� ����������� �� �������������� �������� �� ������

������� �� ���� �� ��� ������ ��� ������� ��� ��� ���� &��� ���� )��% &'./0((����� ������� �������� �� ���������� ��� �� ������ �� ��� ������� �������� )���

��!������� ��� ������� �� "��%′� ���� ������ ���� ������� �� ��� ���� ��� �� ��� �� ������� �� "��%��� �������� )����������� ����� ������� �������� �� �� ����� ����"��%���

*

Page 18: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������� �� � ������ � � ������ ��������� � �������� ����� ������� � � ��� � ��������� � �� ����� ���� � �� ���� ��� ��� ! �� �� ������ � "�� ���� �� ����# �� ��� ��� �����$�� ��� ���������# �% � &������ � ��� '(()!� *�� �� ��������� ����������� ����� ��� �������� �� � �� ������� ���� �� ���� �*�� ��� �� �!� +"��� ��������"� � ���� ����# " # , ��� ��� ������ �� �������� ����� ,# "�� ��� � �������- �������� � ��� '(��!

� �������� �� ��

.� �� ������ �� ��,�� ��� ���" �� ����� � ���� � �� �� ���� ,���� �# � � ��"���� � � ���# �� �� ������ � ���� ���� � �� ���� ,���� �� �� �����,� � ��������������� .� �� ������ "�� ���" �� �"���� �� ��� �� ,�� "� ,����"� �� �� �� ���� ������"�� ��� � ���# ,��� -�� �"������� �� /���� ��� ,�� ����� �� ��� ��,# �/ ������ �� � ��� � ������ �� � �����������# � �� �� � �� ������ ,�� �������+���� ,�� � ����� �� /���� �� ����� �� �� ,�� �������� ��� �� ���� �� �������� #��� �� ���� ,�� ������"��� 0��/��� "�� ,��� �� �������� ������ �� ��"��� � � �� ��� �� �������� ��1����� �� �"���� �� �� ,���� " ��" ��� � "���� ��,��� ,�� � ���� �� ,�� �"������ ��������

0��/��� ,��� �������� �� ,�� " # , ����� ��� ������ ����� ��� �� �� � �� ���� ,�� ���� � "� �� ��� ,�� � ���� �� ��� � �� � ��� �� ,�� ��� ��������� ����� ��� �� "#��" � � ��� �� � �� ��� �� �� �� �" ���� �� �� ,�� " ���/ �� ���� �� ,�� ������ .� "� �� ��� �� "#��" ,�� � ��� " � �� ,�� / � �� �������,� �� �� ���� �&����� �� 2���3 � '(�(!� *���������� �� ,�� ��� ���� /���� ,��� ,�� " �� �� �����# � ��� ��� /���� ������ � �� ,�� � ��� ������ � �� ���� �� �� ����� +� ��� � ����� /��� "� �� ��� �� "#��" � ���� � �����/��� ����������� ���/ ����� ���������# �� � ���" � ���������# �� �� ,�� " ���/ �4���� ��� '((5!�

6����� � ,�� ���"� ����� �(7 �� �� ,�� " �� �8 �� � ��� '(�(!� �������� ��#��� ������� �� ����� � �������� ��� "�� �����# � ��� �� �� ������ �� ���������� /��� ,��# ,� �� ������ � ,�� �� ��� �� ������� +���� � �� ��",� �� ���� �� � � �� � ��� �� �� ������ � ,��� �� /���� ,���� ����� � �� �������� /���� ���/��������� �� �9#�� �� "�� ���" �� ,���� ����� �� �� ,��� .� �������# �� �������� � ,��� ��� �� ����" �� ����� �� �� ����� � ��� ���" )��(7 /��� ������ ������ � �� ��3� ���� � ���/� 6. �" � ��� ��"� �� ,���� ,�� � "�� �� � � �� ���� �� �� ���" �"�� ,���

� �������� � �������

+� 9���"�� � ������� /�� �� �������� " ��� � � , �����/� �� ��" �� �� ��� ������ �� ���� �� ���"�� �� �������� ��1������ �� � �������� � � ,����� �� �� ���� ���� ��" �� �� ��" � ��"��9 �� 9����� /��� ����� � "��

Page 19: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������������

���� �� �� ����� � � ��� � ������ � � ���� ����� � ��� ���� � � ����� �� μ� ������ �� ����������� �� ���� !"#�

������ �������� �������� � ��� ��� �� ���� � ����������� ��� �������� ��� ��������� ��������� � ���� ��� �������� ����� ��� �������� ��������� � � ������� ����������� ������ �� ��� !�����" #$%&�� '� ��� ���� ���� �(��������� �� ��������� ��)������*������ �� ����� ��� ��������� ����� �+������� �� ���" #$$,- .�������/������ �� ���"0110�� !�� �� �������� ��� ���� ����� !�� ���� �� ������� �� ��������� �������� ������� �� ���� � �������� ��� ��� ������� ������� ���� �� � ��)����� ������!�� �� ����� ��� �� ���� �� ������ ��)���� �������� ������ � ��� ����� ����� ��� ��� ����� �� �� ������ �����������

2�)���� �������� �������� ������� ����'� �� ��������� �� � �� ���������� � ��� �� ������3�� �������� �� ���" #$4&�� !�� ���' ������3�� �� ����� � ��� �����������/���� � ���� ��)���� ��������� �� ���� ��(�� �� �� ������ '� ����" ��� ��)������� ����� �� 3���� ���� �� ��� ����� ���� �� ��� ������ 5���3������" ��� ������3�� ��� ������ � ����� ��� ��������� ��������� �� ������� �����" �� ������� � ������������ ���� ��)���� ��*������

.���������� ���������" ��� ������� ����� ��� � ��������� ���� ������� �����" �� ������ � 6��������� ��������� ���������� �.5��� '� �� ������ ��������� �� ����� �� ����#$70�� '� ���� ������3��" � ���� ��������� ����� 6��������� ��� � ������ ���� ������������ 6�������� ���������� !�� ��������� ������� ���" ��� ����3������ 6������� ���6��������� ���������� !�� 6��������� �� ����� ��� ����� !�� ��)���� ��*����� ����� ���������� ��� 6��������� �����

8 ���� �����( ����� ��� �� 3����������� ������������ ������� ��� ������������� �� ���� �� ���� � � ������� ��� ��)���� ��*������� !�� ����� ������ ��������� � ��� ������ ��� � ������ � �������� ������� �� ��*����� ���� � �� ���� ������ ���������� 8���� ����" ��� ������� ��� 3��� �� ������ �� ��������� ����" ��� ����� ���������� � ���� �(��� ��� ���������� ��������� ������� ��� ��� ������ �������� ������.������" ��� ����������� � ��� ������� ��� ��� ��� ������ ��� ������ �� ������������� �� ����� ��� ����� .���0 ��� ����� ��)����� ������ �� ������ ����������� ���

9

Page 20: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ���������� ��� ��������

���� �� ��� ����� ���� ��� ����� ���� ����� � �� ���� ������� ��� ��� ��� ����� � ��� �� ������ ���� ��� ���� ��� � ������� ��� ����� ��� ���� ��� �� ������ �� � �� ����� �� ��� ����� ������������� �������� ��� ��� �� ������ ��������� ��� ���������� ��� ������� � ��� � ������ � ������������� ����� ��� ������ !���"

��� ���� ��� ��������� �� ��� ����� ��� ��� �� ���������� � ��� �������� ��� ��������������� ��� ������������� ��� ��� ���������� �

���ξ = A+B

L

∫ L

0

C(x, t)

����� ξ � ��� ����������� A ��� B ��� ��� ��� ���� ���� ��� ������ ��� �������� ���������� ������������� ��� ��� ����������� ��� L � ��� ���� ���� ������� � ��� ��������������� C� � �������� � ����� ��� � � ���� !��!�� ������� ��� ������� ��������� � "� ����#!�������� ��� ������� ��������� ���

�$�C(x, 0) = C0, %�� 0&x&L �� t'0,

����� C0 � ��� ������� �������������� ��� t � ��� ���� ��� ����� ��� ������� ��������� ���

�(�C(0, t) = C(L, t) = 0, %�� t≥0 .

��� ������� %�� C(x, t) %�� ��� ���� ���� ��� � ���� � )���� �*+,$� �

�,�C(x, t) =4C0

π

∞∑n=0

1

2n+ 1exp{−D(2n+ 1)2π2t/L2} sin (2n+ 1)πx

L.

$

Page 21: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ������ ��� C(x, t) ��� �� � ����� ������� ����� � ��� � ��� ������� D(x) � ������ �� �� �� � ���

���D(x) = Do(1− x

L) +D1

x

L,

��� Do > 0 � D1 > 0� ����� D0 � D1 �������� ��� ����� �������� � ��������� � � ������� � ���� ��� ������������

� ������ ��� ���� ��

��� ���� �� � ��� �� �� ! �� � �������� "#$% �! �� � "#$%�� & ! �� '���� � ��������� ������ �� � ����� ������ �� �(�� �� � � ���� ���� � ������������ ����� ���� ��� ���� ��� �(������ � � � � )���� ��� ! �� '���� � ������� �(�� �� ��� ����� ��������� * ��� ��� ! �� '���� ������ �� ��� ����������������� � ��������� & ���� �� ��� ��� ��� ������� �� ��� � � ������ � ������ ��� �������� �� ��� � � ������� ��� ���������� ��� ��� ��������� � � ������ ���������� � � � �� ��� �������� � � ������� ��� ��� �� �� ��� ! �� '���� � � ���� �� ���� ���� +��� �"#�,��

��� ��������� � � ������ �� ��� ��

�#�xk+1 = xk +Kk{z − ζ(xk)}

����� x � n×1 ������ �� � ��������� ��� ������ � � ������� z � N ×1 ������ �� ���� � ��� �� ��������� ζ � N × 1 ������ �� � �������� �������� �� ����������� ��� �������� � � ������� x� k � ��� ����� � Kk � ������ ��� ! �� � �� � � ������ �� ��-� ��� ��� � �� ����� �� ��� � � ������� ��� ! �� � ���� ��

�"%�Kk = PkH�

k (HkPkH�

k +R)−1

����� Pk � n × n � ��( �� � �������� ��� ��� � �� ����� �� ��� � � ������� R� N × N � ��( �� � ��������� ��� ��� � �� ����� �� ��� �� ��������� Hk � N × n . ��� � ��( �� � ��������� � � �� �� �������� �� �������� ��� ��������� �� ��� ��� ������ � � ������

�""�Hk/

⎡⎢⎢⎢⎢⎣∂ζ1∂x1

· · · ∂ζ1∂xn

������

���∂ζN∂x1

· · · ∂ζN∂xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .

��� Pk � ��� ��� �

�"0�Pk+1 = (I −KkHk)Pk +Q

$

Page 22: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� Q �� ��� �������� ���� ��� ���������� ����� ������ ��� x0 ��� P0 ������������ ��������� ��� ��������� ����� � x0 ��� P0 �� ����� � ��� � ������ ���������� ������ ��� ����������� ������ ��� � �� ����� ���� ���� � �� ������������� ������� ����� R ��� Q ��� � �� ����� ����� � ������������ ��� ��������������� ��� ����� �� ��������� �� ��� ������� ����� ��� ����������� x� ��� ������ ������� ��������� ��� � ����� � � ��� ������� ���� ��� ����� !���� ���������� �����������"�

� ������� � ������� �

#� ���� ������� � ������� � ��� �������� ������ ��� ���������� $��� ��� ������ ��� ������ ��� ��������� ��� ����������

��� ����� ����� ������� �� �������� ���������� �� ������ ����

�� ���� �� ������������ ������ ���

#� ����� $� ��� ������� ��%����� �� ���� ��� �� ������ �� � �������� ����� &��'����������� � ������� ��� ������� ��%������ �� �(���������� ���)�� �� ��������� *�)��� ���� ���)��� ��� ���������� �������� ������� ��� ���� ������ �� � ������������� ��� ������ ��� ���������� ��������� ����� �� ����� �� ����� $ ������ ����)��� ������� ��� ���������� ��� ��� ����������� �� ����� ��� ������� ��%����� ������������ ����� ��� ����� !���� ������������� ������� ��%������ D� �� ���������� � +, �������� ���� ��� �������� ���

������ ��-� �� ����(������� +. �� ����� ������� ��� ���������� ������ � ��� &��'���������� ���� ������ �������� �� �������� A ��� B ����� �� ��� ������� ��%�����D ���� ��� � �� �(������������ ���������� ���� /�� �," "� ��� �� �������� A ��� ���� ������� � �� ������� �� t = 0� ����� ����� B ��� D ��� � �� ����������� ��� ����� !���� �� ������� � ��������� ��� �� �������� ����� �� �������� ������� ���������������� �������� ���� � ����� ����� ��� ������ ���� � ����� ������ ��� � ����� $ � ����������"�&����� 0 ���� ��� ��������� D ��� B � � ���� ��� ������ ���� ��� �(�������

����� ��� ����� !���� ��� ��� ���� ������� �������� ����� � ��� +� 1� +.� ��� ,. ����������#� �� ������� ���� ���� ��� ������� �������� �������� ������� ����� � ���� � ��� ��� +�������� �� �� &��� 0�� ����� �� ������ � ������ � ������� ���� � ���� ���� �� ������ &��� 0�� �� ��� �� #� ��� ���� ��!���� �������� ���� ��� ���� ������ ���� ���������� ������������ ��� ��� ��������� ������������ �� ������ � ���� ����� ��� ����� D ���� ��� ������� ����� ��� ����� !���� ��� �� �� ��������� ���� ��� ��������'���� ���������� ������� � D ��� B� ������� ����� ����� !���� � �� ���� ���

������� ������ ���� ��� ��������� �(���������� ���� ��� ���� �� &��� ,� ��� !�������� � �� !����� ������� ��� ���������� ������� ��� ��� �(���������� ���� � ����������� ��� ����� D ��� B � ��� +, �������� ������� ��� � ����� �������� ���� ��

2

Page 23: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10x 10 3

40

41

42

43

44

45

46

47

48

D [mm2/min]

B [μ

S/m

m]

(a)

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10x 10 3

40

41

42

43

44

45

46

47

48

D [mm2/min]

B [μ

S/m

m]

(b)

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10x 10 3

40

41

42

43

44

45

46

47

48

D [mm2/min]

B [μ

S/m

m]

(c)

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10x 10 3

42

43

44

45

46

47

48

D [mm2/min]

B [μ

S/m

m]

(d)

���� �� ����������� � D �� B �� ��� �� ���� ����� �� ��� ��� ���� � � � � �������� ����� � ���� ��� ��� � ���� ���� ��� �� ���� ���� �� ��� �� ���� ����

0 500 1000 15000

10

20

30

40

50

60

70

t [min]

Con

duct

ivity

[μS/

mm

]

Data, sample 1Analytic, sample 1Data, sample 2Analytic, sample 2

���� �� ������� � �� ������ � �� �� ���� �� ������� �� �� D �� B ��� ��� �� ���� ����� �� ��� � ������� !"��� ����� �� �� ���� ������ �� ��� ������� � ��� �����

Page 24: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ��� �� ����� � ���� ��� � ����� �� ��� ���� ����� �� ������ ��������� �� �������

�� ����� ���� ��� �� ���� ��� ��������� ��� ��� �� ���� � ����� �� � �������2���� ���� ����� �������� �� ������ ��2����� �� ������ ���� ��� ��������� ���� ���� ������� ���� ����� �������� ������ �� ���� ���� ��� �������� !����"��� �#�

��� ����� � �� �������� ��� ����� ������ �� �� � �� ������

�� ����� ������ ��� ���� ����� ��� ���������� �

$� "��� %& ��� '��� (���� ������ � ������� ���� ������ �� ��(���� )��� � �� ��������� ������� �� ��� �������� ����� �� ��� �� ������� �� ������� ����� ��*����� ��� � ��� ��� '��� (����� �� (� � ��� �� ��� ���+ ���� � ������ ������ � ��� ������ ���� ��� ������� � �� ����� ��� �� ��� �� ������ �� ���� � ����������� ����� ��� ��� �� ������� �� ������� � �� ����� ��� � � � ���+����� ��� ������ ���� ��� (� � �� ����� ��� �� ������ �� ��������� ��� ���� ������������ �� ����� ��� � ��� ��� ���� ��� ����� ��� � ��� ��� ����� �� "��� ��

�� ����� �� ��� �������� ����� ��� ��� �� ������� & R& �� ������� & Q& � ���� ������ � ��� �������� �� ���� �������� ��� � ���� ��, �� ���,� -��� R ���� ���� ��� '��� ��� ��� �.������ ���� /*� !��#& ����� ��� ��� ��� ����� ����� ���� ���� �� ����� �� ������� Q �� �� �����������& ����� �������� �� ��� ���� ��� ��� ������ D ��� ���� R � ���� �� )��� 0� � ���� �� )��� 0 ���

0 2 4 6 8 100.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

p

Num

ber o

f con

verg

ent D

5/tota

l num

ber o

f D5

(a)

Divergence of D5

Convergence of D5

0 2 4 6 8 100

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.2

p

Stan

dard

dev

iatio

n or

mea

n va

lue

standard deviation of D5/Dmean value of D5/D

(b)

���� �� ��� ����� Q � ��� ��� D5/D �� �� ������ ������ ��� ������ �� ������ ��� ������ ����� �� � � ��� ���� � ��� � ���� ���� ��������� ���� � �� � � ���������� ��� !" � �� ������������� ��� ����� Q � ����� � �� p �������� ��� ����� ����� #� #�� ����� ���� �� �� � �� �������� � �� � ��� ��#������ �������� ��� �������� ��# �� �� ��� ���� #������

���������� �� ��� ����� � ��� Q ����� � � )������& ��� ����� �������� ����� � ��� Q ����� � ���� �� )��� 0& ����� ����� � ��� ��� �� ������������ 1�� �� ����� �� � ��� ���� Q ���� ���� '��� ��� ���& �� ��� ����� �� ���������

Page 25: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ���� R �� ���� Q ���� �� � ������ ��� �� ��� ����� ����� ��������� ����� ��� �� ��������� ������� �� ��������� ��� ���� �� �����������

��� ���� ��� ������� ���������� ����� ��� ��� ��� �� ����� ���� ���� R �� Q������� ��� �� ���� �� ��� ������ ���� ��� ������� � ����� �!� ��� ��� �� ����� ����Q = 0 �� �"� ��� ��� �� ����� ���� � #�� ����$ ��� Q ���� �� ��� ������� ����%���� ������� ��� �� ���� ���� ��� ������� ���������� ���� ��� ������� � ���� �&���� ���'������ ����� �(����� ���� ���� )���� * ��� ��� �������� +�� , ����� � ��������� �� ��� ������� D50/D ��� ��� ���� ������� ������ %���� �� ����� ��� ������������ D50/D �� B50/B� ����� ��� ��������� ������ ��� �� ��� �� ����������� %� ����� ��

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4(a)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4(b)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4(c)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4(d)

���� �� ����� ���� ��� D50/D ��� � �� ������� ���� ���� (D50/D�B50/B) ��� � � �� ����� ��� ��� D0/D ��� B0/B ���� �� ���� ��� ���� ��� ������ ���� � �� ��� R ��� ��� Q� ��� ���������� � �� p = 0� ��� ������ ���� � �� p = 0.01� ��� ��� ����� ��� ���� ����� ����� !�� ������ ����� ����� ���� � �� � �� � �� ��� ��� ������� �� ���� ��� ���������

��� ������ ��� �������� �� ��� � ��� ������� ��������� � ��� ��� ������ ����� ��������� R ��� Q ����� ������ ������� ��� ������ ���� �� � ������� ��� ��� ����� ���� ��� ���� ����� � !��"����

#���� �!��� ��� ��� ������� ��������� � ��� ������ ����� ���� ����� R ��� Q

"�

Page 26: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ��� ������� �� ��� ������ ��� �� �� �� � ��� ��� ����� �� ���� ������� �� ��� ������ ��� �� �� ��� � ��� ��� ���� ��� �� ������� ����� � �� ������� �� ��� ������ ��� ���� ����� �� �� �� � p = 0.01 �� ������ ���� ������� �� ���� �� �� � ��� ��� ����� �� �� ����� �� �� �� � ����� R �� Q ������ �� !� ���� �� ����� �� ��"��� ��#��� � �� � ���� ��!�!��� $ �� �������� �� ��� �� �� ���� �� � � �������� � �� ���� � ���� ����� � �!� �� �������� ������ ����% �� ��� ���� �� ����� �� �� �� � �� Q �� ���� ��� � �� ������ � � �� ����� �� �� ������ �� ��� �� �� ������ ���� ������� �� �� ���� !� ������ ���� �� �� ����� � �!� �� �������� ������ ����

��� ����� ����� ������� �� ��������� ��������� �������� �����

����� �� ������ ���� ����� ��� �� �����

&���� '� � ���� �� (��)�� ��"��� �� � ��� � ������ ������ ��� �� ����� ���*��$ ���� ��� �� ��� ������� �� � ��"��� ������ �� �� �� ������$ ������ ������� � ����� �� !� ���� ���)���� ���� +�� ,�-� .�� �/������ �� �� ��� �� ������� � &���� * �� ��� ���� ���� ��� �� � �� ����� �� �� ������ �� ����� ������� ��� � ������ ��"��� ��#��� ��

.�� � ��� � �� �� � ��$ �� �� � ������� � ������ ����� ��������� !� ��� �� !� ���� ���)��� �� ����� � � �� ���� $ ��������� ��� �� ��� ��� ������� ��� ������� ���� !�� ��� � �� �� ��� ��� ,0��� 1��1-� ��� � �/ � � ��!������� �� �� ��"����� $ �� �������� �� � �� ���� $� ����� ���� �� ��"��� �� ��� ��������� ��� �� ��� ��� ������� �� ����� ��� ��������

.�� ��"��� ��#��� � D0 �� D1 � �� ��� ��� �� �� ����� ��� �������� ������� ����$ ��� �� ������ ���� ����� �� �� �� �� ������� ����� ��� � ������ ��"��� �� � +�� ,�- ,��� &���� ' �� ��� �� ����-� (��� � ���� �� ���$ ���� ����� ����� �� ������� ������ ��� ! ���� !$ �� ����� �� �� ������ ���� ���� ��"��� ������� �� ��� ������ �� ����� �� � !� ������� *� � �������� �� �/������ ���� � �� �� ������ �� ��� ����� �� � (��� �� *� � �� !� ��� � �� ������ �� ����$ ���� ������� �� ���� � ����� ����� �� �/������ �� �� � �� �� �� ��� ���� �� �������� ��� �� ���������� * ����!�� ���� �� �� �� �� ���� � � ����� � ��� � ������ ���� ��� $ ���� 1� 2������ � ����� � �� �� �� ������� ��� �� ���� �������� �� .�� 2������� � ����� � ������� �� ���$ ���� ��� � � ���� �������� �� ���� * ���$ �� � �� !� ��� �� ���$ ���� ����� � �� �� �/������ ���� � �� ����

.�� ������ ����� � �� ! � D0 �� D1 ! ���� !$ ����� �� �� �� �� ��� ������� ��� � (��� �� .�� ����� ���� �� D0 ������� �����3� ���4��� (��� ,��-�� D1 ������� ����1� ���4��� (��� ,�!- �� �� ��!�� � � ��� �� ��������� �� !� ��� �� D1 ��������� � �� !����� �� �� ��!�� � � ��� �� ��������� �� �������� ���� � �� �������� ������ .��� ��������� !������� ���� !� ��� ����� � �� �������� � �� ����� � �� �� ��� ������ ���� P0� &����� �/������� �������� �� �� ��� ���� !� � ����� 5������� �� ��"����� $ ������� � �� !�� ����

��

Page 27: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ��� �������� ��� ��� � �� ��� �������� � ���� �� ��� �� ������ � ���� � �� ������ ����������� �� ��� �� ��

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

Experimental dataAnalytical 1, MSE=418.2Analytical 2, MSE=67.04Analytical 5, MSE=0.067

���� �� �������� ����� ���� �� ������ ������� ��� ������ ��� ���� ���� ������ ��� ����������� �� ��� ������ �� �� �� ������ ��������� ����� �� �� ����� �� ���� ������� �� � �� �� ��� ���� � ���� �� ��������

0 10 20 30 40 505.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

6

6.1

6.2 x 10 3

Number of iterations

Endo

stea

l diff

usiv

ity, D

0

(a)

0 10 20 30 40 501.9

1.95

2

2.05

2.1

2.15 x 10 3

Number of iterations

Perio

stea

l diff

usiv

ity, D

1

(b)

���� �� �� !�"���#��� #��� ���� �� ��������� �� ������� ��"���#���� D0� ��� �� ���������"���#���� D1�

���� � � ��� ��� ����� ������� ��������� ������� ���� ���� ����� �� ��� �� ����� ���� ���� �������! ���� D0 ��� D1 ���� � � �������� �� ��� "����� #��� �� ��� ����� ���� ������ $�� #�� � ��� ���� ��� �������� ����� ��� ���� ���� �������� �� � ���� ����� ������� � ������� ��������� �������� %��! �� ���� � � ������������ ��� �������� �� ����� �� ����� ���� ��� �� ���� �� ��� ���� ���� �������� ���� ����� �� �� ���� ��� ����� �������� ��� ��� � �� $�� �� ��� �������� �� ��� ������

&'

Page 28: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�� ��� ���� � ���� ���� ����� �� ���� ��� ������� ��� ������ �������� ������������������� ���������� �� �������� ��� ����� ���� � ��� ���� �������

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Diff

usio

n [m

m2 /m

in]

x/Lendosteal periosteal

���� �� ������ ������ �������� ��� ��� �������� ��� ������ �� �� ���� ���� ��� �� �

������ ��� ������ ��� ������ ���������� �� ������� ������

��� ����� ������ ���� � ���������� � � ��������� � � ������ �

��� ������� ���������� � �������� � � �� ���������

�� ���� � ������ �� ��������� ������� �������� ��������� �� ����� ������ ������ �� ��� �������� �� ������� ����� ����� ������������� �� ����� ������ ���������� ���������� !�� ������ �� ���� �� ��� ������ ���������� ����� ��� ���������� ������"�� ��� ��� ����� �� ���� ������

#����� $% ����� �� ������ �� ���� ���� ��� � �� ���� ������ ������ �����& ���������� ����� �� ������� ��� ����� & ' � �� � ����� ����� ������ ���������!�� �(�������� ������ ��� ��� ����� ��� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ��� ������������� ����� �� �� ������ ��� ��� ����� �� ��� ������� ���� ��� ����� ���� ����� ��� ���� �������

!�� ������ ���� ��� ��� ���������� ����� ��� ��� �������� ������� �������� � ��� ������"� �������� ���� #��� $$�� &� ����� �� #��� $$� ��� ���������� ����� ��� ��� ��������������� ��� �������� � ��� ���� ��"� ��������� �� ���� ���� ���� ���������( �� ����������� ��� ���������� ������ ���� ��������� ������ �� ��� ���� �� ��� ����� )��� ��� ���������� ������ �� ������� �� ���� ����� ��� x1 ��������� �� ������� x2

��������� ��� �������� ���� ��"�� ���� a �� b �� x1 �� x2 ���������� ����������(� !�� a������ b �� ��� ���� ���� �����

!�� ������������� ������ �� ����� ��� ������ ���� ���� �� �� � �� $ �� $$ ��#��� $% �� ������� ��� ���������( �� ��� ����� ������ � ������� �*���� !�������� ���� ��� ��� ��������� ������� ��� ����� �� ��� ������ ���������( ����� �����

$+

Page 29: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ���������� ��� � � � ���� � � � ���������� ������� ���� ��������� ��� ��

��� �� � � � ����� ��� � � ��������� ������� ������������ �� ���� � ������ �������

�� ��� ��� � � � ����� ��� � � ��������� ������� ����������� ��� � � ����������

����� � � � ���� � �������� �� � � �������� ������� � � ������ ������� � ������

������ �� � � ���� �� ���� ��� � � ������� � � � ������ ������ �� � � ����

�� �� �����

���� ��� � ������ ��� ��� �� �� �������� ��������� ����� ��� ������ ���������� � ������ ���� �� ����� ������ ��� �� ���� ����� � �� ����������

100 1010

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

k

Cor

rect

ion

fact

or

(a)

100 101 1020

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

k

Cor

rect

ion

fact

or

(b)

���� ��� �������� �� ���������� ������ ��� �� ����� ��� ��!��" k" �� ��� x1#��������� $����� �����% ��� ����� x2#��������� $������ �����% ��� ���� � $×% " & $◦%" � $�% ��� ' $�% ��� �� ����� ��� ��!�� $�%���������� ������ ��� �� ���(��� $% ���������� ������ ��� ������� �������

��

Page 30: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

��� ������� ���� ��� ��� �������� ����� �� �� ��� �� ������ ��� ��������� ��

�������� ������ � ���� �� ������ ����� � �������� ������� ������ ��� ������������

� ��� ��� �������� �� �� ����� � ��� ������� ��������� �� �� ��� ���� �

������� � � ����� �������� ���� ��� ������� ��� ��� �������� ����� ��� �����

�������� ���� ��� ������� ������� ���� �������� ��� ������� ��� ������� ��� ���

��� �������� ���� ��� ������� ������� ������� � ��� �������� �������� ���� ���

�� ����� ������ �� ��������� ������� �� �������� ������ ��� ������� ������� �������

� ��� ����� �������� ���� ��� ������� ������� �� ���� �

��� ������ ���������� �� ��� ���� ������ �� �� ������������ ��� ��� ���������

������� ���������� ���� ����� ��� �������� ������������ � ����� �� �������� �� ��

�� � � ��� ������ ��������� �� ��� �������� �� ��� ���� ����� ����� ���� � ������

�� ������� ��� ������ � � ���� �� ������ ����� �������� � �������� ��� ��� ��

������������

!������ � ������� �� �� �� ������� � �������� ��������� �� ������ �������

�� ����� �� ����� ��� ����� �� � ����������� ����� � ��"� ������ � ���������� ��

������ � ��� ����� �� ���� ��� � ��� ��� ������� �� ������� ��� ��������� �

��� ������ �� ���� �� ��� ������ ���� ������ ��� �� ��� ������������� ��������� �

��� ����� ������� ���������� ��� ���� ����� ��� �������� ������

#$

Page 31: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������

��������� �� � ��� �� �������� �� ���� �� ����� � ���� ������ ������� ��� ���� �����! � �� ������ �� �"���#�� $� �� � �#� ����#���#�� �%� &�' %()**�

����� +� ����� ,���! �� !������ �� �" �� #�� �#� ���� ������ ��� � �� �� ��� �!����� �� ���� #���!�� ��� " ������# !"���� -����� , ����"�� �� ���#��� . ����!/%0 &1' 2(�)20��

���-� 3� 4� �20%� �� ���"# ��� � ����� ��!�� ���/��� ��� 5� �� 6 ����!� 7�� 0�8��/ ��- 9����

�"�� ��� :� 4��/ $� �� ;�� �� <� �� 4��� 3� =�/ �� :� �22%� :�>"���� �� � ���" �� �� #�� ��!� �� ���"��� �/ �"#��� �!�� �# �������#� &�$3' ���# ���#��/ ���� �!��!� ?�"��� �� �� �������# ������#� �� &*' *1@)*(0�

+���� ?� �2(@� A�� � �� � �#� �� ��>"����� BC����D +��������

=�������������� $� <� 8���� �� �� 8���� =� 8� ����� :�>"���� �� �C#���!���� -� ���� #�� �#� ���� � "���� �/ �"#��� �!�� �# �������#�� �����/��#� E�"��� 0� &�' @��)@�2�

4�#�� �� $� �� ����� :�>"���� �� ������ 8��/ �� ���#���#� ��- 9����

5� �� 3� �� �21�� < ��- ������#� � ����� 6 ����! ��� �����# ��� ����� �� ?�"����� ="��� ��!�������! 0� &�' %@)*@�

�������! 4� ��������� �� � ��� �� �������� �� ���%� < -���� ������� ��� ���� ���� ������ ��>"���� �� ���� ���"�� +� �" �� � ���� �� ��� �#����#� ��� ��� ���#���!�������! �0 &@' *@()*1(�

$�!�� :� ���� �� 8��� 8� 8� �2(�� A��� ��/�� �# F"# "� ���� �� � ���# ��!�/� � − ���"�� �� �/ F"����#��#� #����� ��� ���# ���#��/� ��/��#� 3����- �� ����2 &��' (�@�

$����� 5��:� ;���#�� 8� =��� ?� �20@� ������>"���� �$3 � �!��! "���! � � "�� �� �#����� ?�"��� �� $�!�� �# 3������#� &�212' 1* &%' *(2)*01�

$�����" +� :���"�� �� ����� :�>"���� -��!� �� �!�� �# �������#� � �!��! �� � ��� � �# ���� �������D < ��� ����� ��� ��� �� �������� ��� ����!� +��#�� ��� ������1 &�' ��)%��

B���!�� �� �2%�� 3�#����#� ��� ���� �� ����������� ���#������ �� ��/��#� 3����- %( &*'*�@�

������ �� <� 3������ +� A� �20%� ��" � ��>"���� �� �-��� � ������� ��� �� <��- ����/� ?�"��� �� � ����� �#���#� �@ &%' �(@)�0(�

�1

Page 32: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� �� �� ����� �� �������� �� ��� ��� �� ���� �� ������� ����� ������� �� ���������� �������!���" # ��������������� �� � �������� ���� �����

���$� ��� %� ������� &� �'() �*�� ��+����� ,������,����- �*�� ������ �� ��� *������� ��� ��,�.��*������ /��� !������� ��� $������ �� ���,���� *������ 0� 1�2� �334�'�

5�� 6����!��� 7 �� 7���� �� ��������� 7 �� �8����9� � ���) :� ��� �**���������� ��/� ′� ��; �� ��+����� �� ����,�!������ �����,� %���*��� $������ �� *������ �( 1)2�'��

<��!� =� >�,��� &� ?��!� =� #��!� @� ����� 6� ���� A����,����� ���,�������� ������ ������ ��!�������! 5�� � 6��!�� B ����*��� ����������

C���!� ? D� <��!� �� E��F��� & A� #��� %� ���0 7��� ,����; ��+����� �� ��.���*������- ���������� ;��� G����������� 6 ��+����� �,�!��! &������ �� 6�!����� �������� ,�!��! �' 1�2� ���4��3

�H

Page 33: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 34: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Paper A

G. Lindberg, A. Shokry, W. Reheman and I. Svensson (2014)

Determination of diffusion coefficients in bovine bone by means ofconductivity measurement

International Journal of Experimental and Computational Biomechanics,volume 2, issue 2, pages 324-342

Page 35: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 36: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������������ ��� ��� ��������� �� �����

��� �� ����� ��� ������� ���� ������

������ ���� ��� ������� ���� ����� �� ����� �������

� �� � �������

��������� �� ��� �� ���� �� ��� ����������� ����� ���� �����

��������� ����������� ����������� ����� ����������� !"#�$ ������ �����

����������� �� %����� � ������������ ��� ����������� ����� ���� �����

��������

������� � � ������� �� ������ ��������� ������� ��� � ������ ���

����� ��� ������ ���� ��� �� ���� �������� �������� � ������� ����� � ��

�� �� ��������� ���� ���� ����� �� �� �� ��������� � �� ���� ������� ����

���� � ���� ����� ��������� ��� �� � ��������� ����� �� ������� ���� ���

������� !��� ��� � ��������� ������ �� �������� � ����� ��� � ��� ����� � ��

!�� ��� ���� ��� � � ������� �� �� �������� �� ���������� " � ������� !��� ���

����� ���� � � ������ �� ������ ��������� ����� ��� � � ����� �������

���� # � � ��� ����� � � ��� ������� !��� ��� ������� !���� �� � � ���

������� �� � � !���� !�� ��������� ���� ���� �������� ����� ���$��� ���′���! !�� �������� �� �� ���� �� %���� $����� � ������� ��� � � �����

������� �� �������� � ����� ���� ��� � ���������

Page 37: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

�� �� ���� �� ���� �� ���� ���� ����� ������� ��� ��� ����� � ������������� ���� ����� ��� ���� �� ������� ������ ������ ��������� �� ���� ������ ������� � ���������� ������� �� ����� ������� ��� ������� �� ��������� �� � ������������ ���� ������ ������ � �� � ������� ������� �� ������ � �� ����������� ������ �� ������� � ��� �������� � � ����� ���� �� ��� ������ ��������� ��������� �� � ���� ������ ��� ����� � �������� � ����� ����� �� ������ ������������ ������� ��������� ������ � �� �� � ������� ���� ��� ����� ����� ���� ����� ���� ��� ���� �� � ��� � ������ ��� ������� � ��������� ������ ��� ��������� ������ �������� � ��� � ������ �������� �� �������� � ��������� ������� ����������� ��� �� ������ �� ��� �� ��� !"##$%� ��� ������� � &���� �� ��� !'(")% ��*���� �� �� ��� !'((#% ����� ��������� ��� � ��� �������� ������� �� ���� ���� �� ����� �� ������ ������� � +�� ��� �� ��� !'(")�% � ����� �� ������ ����� �������� ������� ������� ����� ��� ������� �� � ������ ��� ���� ������ ��� � ������ ����� � ������ ����� ��,���� ���� ����� � ������� ���� ��� ������������ �������� ��� ������� � ������� ����� ���� ����� ����� ��,��� � � ������ �� �������� �-����.���� �� ��� !'(""%� ���� �� ��� !'(((% ���������� ���� ���������� ���� �� ������� ��� ������� � ��� �� ������ �� � ��������� �������� ��� � �������/����� �� .��� !"##(% �������� � ������������ ���� � ����� ������������� ������ � ��� ����������������� ������ � � ���� ��������� ���� �� �� ���� �� ���� ����������������� �� ��� � ������� � � ���������� �� ���� ���� � ���� �� ��� � � ����� �� ������� �������� ��� � ��� �������� .�� ����������� ������� �������� ���� ���� �������� ������ ��� ������� ��������� ������ ��,��������� � ������ �,��� ������ � ��������� ��� ����� ����� ��� ���������� ������� �������� ������ ������ !-��� �� .������ '(("0 ��� �� �������� "#1#%� ����� �������� �� �� ��� ���� ����� �� � ���� �������� ����� ��,��� ��2����� ������������ � �� �� �� �� ��� ���� ��� ��,������� � ���������� � �� ����3��������� ��� � ���� �� !/����� �� ���� '((4%�-������ � ��� ������ ���� �� ���� ���������� �� ��� � ��� ����� ���� ��

�������� ����� � ��� ����������������� ������ ���� ������ �� � ���������� ������ �������� � ��,��� � � �� 5���� ����������� ��� ��������� � ��,��� � �� ������� ��� � ������� �� ��� �,���� � ��������� ��� ��������� � ����� � ���������� ���� �������� ��� ��,��� ���� ������� ������ ����� !67�% �� ������������� ������ !867% ������ ���� �� ���� � ������������ ��� ���������� ���������� ��� ������� � � !-������ �� ���� "##)0 .����� �� ���� '((1%� .������������� ���� ����������� ��� ��������� � �� ������ ������� � �� �� �� ��������� � ��� ����� ������� ���� ��� ����� � �������� ������ �� ������������ �� ���������� ���� � � ��� ������� ��������� �� ��,���� ����� ����� � �������� ���� ����������� ����� �������� �� ��� � ��� ������ � ����� ������� !*�������.���� �� ���� '(('0 6������� "#9#0 6������ �� ���� "##'%� -����� ���������� � �����,��� � � �� ����� � �������� �������� �� ������� ��������� � ���� ������ � ��������� ���� ��������� �� ��� ��������� � � �� �������� �������

'

Page 38: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ��� ����� �� ��� ���� ����� ��� ��������� ��� ��� ��� ���� �������� ������ ����������� ������ ��� �� �� ������� � �� �� �� ���� ����� �������� ������ ��� ����� � �� �������� � �� �� �� ������ ���� ����� �� ����� ���� �� ��������� ���� ��� ������ ��� �� ����� ���� �� ������� � �� �������� � ������� ����� �� �� �� !�� �� ��� "#$$%& ���'� ���� ���������� �� ������� ���������� �������� ��� �� ��� "(%%)& ��� ���� ���� �� � ��� ������� ���� ��������� ���� � ����������� ��������� �� ���� �������� ������������

*� ������ �� � ��������� �� ������ ������ ��� ��������� ������� ������� ����� ���� ����� ������ ������ �� ���������� ��������� ��������� "���� +,-� .*�������� ���&� *� ���� �������� �� ��� �� ���� ��������� �� ��������� '�� ��� � ���� �� � �� ��������� ���� � ���� �� ������� ��������� ��� ����� ��� � ���������� �������� ������ � ��� ����� ������ *�� ���� ���������� ��� �������� ���� ��� ����������� ����� �� ��� /����� 0������� ��� /����� "#$1%&� *�� � �������� ����� � ���� ���� �� �� ��������� ������� ��� ��������� ����� �� ����'����������� ���� ���� ��� ���� *�� ����������� ������� ������ ���� ��� ���� ������������

2��� ���'�� ����� ����� �� ��� ���� ���� ������� ��� ��������� *�� �� � �������� ��� ����� ��������� � ��� �� �� ������ ���� ���� ��� ������ ��� ���� �����'�� � ��� ���� �� �� ��� ��������� � � ������ ���� ��� ����� ���������� ��������� ����� �� /.�� � ����� ���� ��� � ��� �� � ��� ����� �� �� ������� ������� ���� ������������ �� ��� �� �� �� ������ ��� ��������� � �� �� ������ �� ���������� ������ ���� ���'�� �� ��� ���������

� ������

*�� ���� � � ���� �� � #3 ����� �� ���� ����� �� ���� .������� '�� ���� �� ���� ��� �� ����� ���� ���� ������������ �� ��� # ��3� ��� *���� #� ���� � ����� �� #1 ������*�� ���� '�� �� � ��� ��� ����� ��������� �� � ��� ���� � �� ���� ����� � ��� �� '�� ��� ���� ��� ��� ������ �

����� �� ��� ���� ���� ��� ����� � ��������� �� ��� ��� ������ �� ��� �����

�������� �� ��� � ���� ������� �������� ����

4��� $�$5 %�67

-� �� $�5% %�13

*�������� $�5) %�7)

4� �������� ���� �� ��� ������� '��� ��� ��� ���� �� ���� ����� �� ��� ����� ���� ������� "����� �� �� �� ���������& �� '���� ������� �� ��� ���� ���� ���� '������� ����� *�� #1 ����� '��� ����� ���� ��� ������ ���� ��� ������������� ��� ��� #�

4� ���� ������� �'� ����� '��� ����� ����� ��� � ����� �� �'� ����' ��� � ��������� ��� #� � ���� ��' ��� ������� '��� ������ ���� # �� )� '���� # � ��� ������

6

Page 39: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� �������� �� ���

������� �� ��� ���� � ��� �� � ������� �� ��� ���� � ���� ����� ������ ��� � ��� ������ � �� � ���� ���������� ���� ��� �� ���� ��� ��� ��� �������� ��� �� ��� ��������� ����� ����� �� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ��� �� ��� ������� ���� �� �������� ��� ���� ����� ��� � ��� ��� ��� ���� � ���� ��������� ���� ��� �� ���� ������ ��� �������� ��� �� ��� ����� ���� �� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ��� ����� ������� ����� ����� ��� ������ ��� ������ ��� ���� �� ����� � ������ ������� ����� ��� �� ����� ! ������ "������� � ���� ��� ���� � ��� ������

#� ��� � � �� �������� � �� ��� �� � ����� � � � ��� ��� ��� ����� �� ���� ����� ����� ��� �� � ���� ��� ����� � �� ����� � � ��� �� �� �� ���� � �� ���$"� �������� ����� � � ���� ��� �� �� ������ %& � �� �� $"� �� '(( � �� �� ���������� ��� $"� � � ������ ����� �� � � ���� ������ �� ������� ����������� ����� ����� ���� ����� ��� �� �������� ��� �� ����� �� ��� ����� � �� ���� ���� ��� ���� �� ��������������� ������� ���� �� �������� ��� �� ��� � � �� � ���� ��� � ��� ��� )�������� ��� � � *��� ��� ������� �� �� ��� ����� �� �� � ��� � �� � ���� ������ �� ��� ����� ����� �� ��� *������ ��� ���� ������ ��� ��� �� ��� �� ��� �� !� ���� ����������� �� �� ���� ������� ����� ��� ����� ���� ��� +������ ����� ���� ���������� ��� ������� ����� ���� � �� �� ���� ������ �� �������� �� ��� �� ����� ��� � � �� � ������ � ��������� �� ��� ���� ��� �� � �������� ���� ������� ��� ,��� !� ��������� �� !� ���� � � � ��� �� ��� ��������� �� � ���� � � ������ �� � �� ��� � ������ �� ���� ���� �� ��������� ����� �����

���� �� ���� � � ������ ����� ��� ���� ����� ��� ����� �� ��� ���

��� �������� � � ���� �� �� �� -( �������� ��� ����� ��� �� �������� �� ������� �������� ��� ��� �� � �� �������� ��� ���� �� �� � �� ���� ������� ����� ���

Page 40: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���������� ��������� ���� � �� ��� ���� ��� �� ���� ���������� ������ ������ �������� ���� ����� �� ��� �� �������� ���� �� �� ��� ���� ������ ����� �� ������� ������������ �� ������� ���� � ���� � ��� �� � ������� ��� ��� ��!����������� ��� �������� ���� ��� ����� ��� ����� �� ����������

"� ����� ��� ������������ ��� ��������� �����#� �$% ���� &������ "����� ���� ���� ���� ���� ��� �� ��� ��������� ����� "�� ���� ���� ��� �� �� �� �����%% �� �������� ���� ����� ��� ��� ��� ��� ���� ��� '(� �� ��� ���� ��!��� ������� ���� �� ������ �� ������������� "�� ������� ������������ � ��������� ��������� �� ��������� ���� �� ��� )� ���� ��� ��� ����� ����� ��� ��������� ����� �� ���� ������ �� ����� �� ����� ���������� ������������� *����� ����� ����������� ������� � ���� ��� ��� ���� � ��� ���� ����� ������ "�� ����� ��������� ���� ��� ������ ������ ������ ���� ����� ��� ��� ������ ����� �� ����� ����� ��� �� ����� �� �������� �� ��� ����������� ��+�� ��� ��� ���������� ���� �� ,��� $�

���� �� ��� �������� ������ ��

-� ������ ������������ � ������ �� ������ ��� ������ ����� ������� μ���� �����μ � ��� ���.� ��� �%−6� "�� ������������ ξ �� ������� � ����������

/�0ξ = GK =1

ρK ,

����� G 1�2 � ��� ���������� �� ��� ����� ����� � ��� ������ �� ��� ������� ρ 1Ω2�"�� ���� ������� �� ����� ������� K 1��−12 � ����.� ��� ��� ��� ����� �� ����� ����� ���� �� ��� ������ ������� ��� ��������� �� ��� �� �� ��� ���������� "�� ���������� ��� �� ���������� ����� � ���� �� ��������� ��� �� ���� ��� ��� ��� �����

"�� ���������� ��� ���� �� ���������� ���������� ����� ������� ������ ���+������� �� )) ������ (����� 3������� �� �� ��� ��� ��� ��������� ��� ��� ���!����� �� ��� �������� ���������� ������ ��� ��+����� ���������� ����������

4

Page 41: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ����� ��� � ��� ��� ������ ���� ��� ��������� ����� �� ����� �� ���� �������� ��� �� � ����� ��� ���� �� ������ �� ���� �������� ��� ����� ��� � ��������� ��� ������� �� �� ��� �� �� ��� ��������� � ���� ��� �� ���� �� �� � !��"#

�!#ξref =1

1 + (α/100)(Tref − T )

K

ρ.

$� � α � ��� ����� ��� � �� ���� ����� � Tref � ��� ����� ��� ��� ����� ��� � ��T � ��� ������ ����� ��� � �� ��� ������� %� α � ��� �� &� � ��� ������ ��������� ����� ������ � ���� ����� � '(� ��#� )�� �� ���� ����� � ���� ��� ��

�*#α =(ξT2 − ξT1)100

(T2 − T1)ξT1

,

�� ��� �� ��� ���� ��� ���� ��� �� α+���!� ���� � � � �� !��, �� ��� �������� ���� �� ���� ����

� ������

��� ������ �� ����

)�� -�� ����� J �� � �������� �������� ��� ��� �� ���� �������� ��� �� �.� ����� ����� ��� �� ����� �

�/#J = −D∇c .

$� � D � ��� �.��� ���0��� �� ��� ������������ ������ �� ∇c � ��� � ��������� �� ��� ����� ��� ��� �

�"#∇ = (∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z)

� 1� ���� ��� ���� ������� 2���� � ������� �� �� ���� ��� �� ��� ��� � ������ ���� �� ��� -�� J ������ �� ��� ����� ��� ��

�3#∇J = −c ,

��� � ��� ��� ������ ��� �� ����� ��� ������ �� ���� %� J � ������� �� ��� '(��/#� ��� ��� ���� �� '(� �3# �������

�4#c = ∇(D∇c) .

%� ��� �.��� ���0��� D � ������� �� �� �� ������� �� ��� �� �� ����� ���� �������� ������� �� ������ ��� ����� '(� �4# �� ������ ��

�5#c = D( d2cdx2

+d2c

dy2+

d2c

dz2

),

3

Page 42: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� ��� ���� �� ������ ������� �� ������ ��� �� � �� � � ������ � ���������������� ���� ��� �� ������ � ������ �� ������ ��� �������� ����������� ���������� ���� ��������� ����������� ��� ������������ �� ��� ���� ���� �� ��� ������������ ��� ��� ����� ������ �� ��� �������� �� ��� ����� ��������� �������������� �� �������� �� �� �������� ��� ���� ������ ��� ����� ������ �� �� ��� ��� � ������� ��� ��� ������ �������� ������ ����� �� ����� � ��� ����� ��� �������������� �� ����� �� ��� ��� ����� ��� ��� ��� ��������� ��� �� ��� ���������� ���� ����� ��� ��������� �� ����� ���� x �� ������ �� r �� !�� "#$ �� ������ �

"%$c = D(d2cdr2

+d2c

dy2+

d2c

dz2

).

� ���������� ����

& �������� �� ��� �������������� ��' ′� ������ �� ���� ������� �� ����� ���(������� ��

")*$C(r, t) = X(r)T (t) ,

���� ��� ���� ����� �������� �� ����� ����� � "��' �� ��� )%+,$�

"))$C(r, t) =∞∑

m=1

(Am sin(λmr) + Bm cos(λmr)

)e(−λ2

mDt) .

-� ��� ��������� ��� ����� �� ������ �� ).)** �� ��� ��������� ���� �� ������ ����������� ������ �� ��� ��� �� ������� �� ��� ������ ���������� �������� � �������� /�� 0������ �� �� "1*)2�$ �� �������� ���� ��� ��� ������� ������ �� ����������� � ��� �������� �� ���������� ���

� �������������� ��� ����� � ������ ����������� �� C0 � t = 0 �� 0 < r < a�� ��� ������� ������ ���������� C = 0 � ��� �������� r = 0 �� r = a� ��� ���3� ��� �������� �������

���� �� ������������� ���

")1$C(r, t) = C0

∞∑n=1

e−λ2nDtAn sin

[λnr],

+

Page 43: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�����

����An =4

π

1

(2n− 1)

����λn = (2n− 1)π

a.

��� ������ ���� ������ ������� �������� � �� ���� � ���� ��� �������� ���� ��������� �� �� !�� �� "��� Cb �� ��� ��������� � ��� ��� ����� �� ��"� ������ ��� ������ �� #$� ���� �"�� � � ��� ��"��� �� �� ��� �������� ����� a ������� �%������� �

��&�Cb(t) = Cb01

a

∞∑n=1

e−λ2nDtAn

∫ a

0

sin(λnr)dr ,

����� ���% b �� ��� ���� '���"�� ��� ������ ��� �� "��� �� ��� ��������� � ������ ����� �������

��(�Cb(t) = Cb0

∞∑n=1

e−((2n−1)πa)2Dt 8

π2(2n− 1)2.

)��� ��� �%�������� ��� �������"��� ξ � ��� ��������� ���� ��������� ��� ��� ������� ���������� �"�� ����� !�� ���������� ������ �������"��� � ��������� ��� *+� ������ �� ����� ������ ����� !�� ������ ������ ��������� � �������"������ *+� ������ �� ��������� ��

��,�C =ξ

V,

����� V -l3. �� ��� "����� �� ��� ������/ �� ��� ��� 01l ���� � l �� ��� ���� ����� ����!�� ������� V -0 l21����. �� ��� ���� �������"��� �� ��� ������� !�� ��������� +-����1l3. �� ����� � ��� ������� �� �� ��������� �� ��� ����� �� �%����� ����� ������� mi ��"���� �� ��� "����� �� ��� �������� !�� ������� �� ��� ��������� �� *+�� ��� ��� ����� ��� ��� � ��� ��������� ���� �� ���� �� ��������� ��

��2�ΔCb =−Δmi

Vb

.

0��� ��� ��� ���� Δmi �� *+� �� ������� ��� �� ��� ��������� ����/ ��� ������ ����������� �� *+� � ��� ���� �������

��3�ΔCw =Δmi

Vw

,

����� ���% w �� ��� ����� 4��� #$�� ��,�/ ��2� � ��3� ��� ���� �� �������"��� ����� ���� � �� �%������� �

2

Page 44: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����−Δξw = wVbΔCb .

��� �� �� �������� ξw �� ��� ������� ���� �� ���� �� �� ���� ��

����ξw(t) = A−B∞∑n=1

e−((2n−1)πa)2Dt 8

π2(2n− 1)2.

���� A ���l� �� ��� �� ���� �� ��� �� �������� �!�! ��� �� �������� ���� ����� ������ ���� ��� ���������� ������� �����"�� ���� � #���! A − B �� ��� �������� �!�! ξt=0 ���� ��� ������� �$��� � ��� t = 0! %� �� �� ��� ���� ��������" �� ������� ��� ����� B ���l� � ���� � ��� �&���� ���'���� D! %� B �� ������� ��� �� ������� ��� ��� ���� � ���� A �� ��� �� �������� ���� �� �� ��� ������������� � �� ���� ���� ���� �&������!

��� ������ ��� ��

% �� �� �� �(���� ��� �&���� ���'���� )�� ����� �� ��� ! ��� �����$�� �������� ��"��* ��� � �� ���� ���� ��� ���������� ����� +������ +��������� ���� � ��� ��� �$����� �,���� �������� � �� ���� � ! ��� �����$���� ���� ���� "�� ������� ����� �� ����� �� �� �����#��� �� ��� �� �$������� �� ��� �&����� ������ ��� ������ �� �������� ��� �� ��!

��� )�� ����� �� �������� �������� ��� �"������ �+����� ����������� ������� � ���������� ��+���� ������� �� ��� �� �� +������� D B ������A−B �� ����� ������� ���� ��������� ���� ����� ������ ��� �(+������ �����!- ���� ����� �� ��� )�� ����� �� �!"! ��� � .��� ��/01�! )�� ����� ����������$����� �� �(+����� �

����xk = x−k +Kk[z − h(x−

k )],

��1�Kk = PkHTk R

−1,

��2�Pk =[(P−

k )−1 +HTk R

−1Hk

]−1.

���� xk = [Dk Bk]T �� � ���������� ������� ������ �� ��� ���� ��� ����� ��� ���

�3�� +������� D B � ������� k! ��� ������ x−k �� � ������ ������� ������

��� ��� ���� � ������� k Kk �� ���� ��� �+���� )�� "�! %� �� ���� ��� �� �����#� ��� ����� �� ��� � ���������� ������� � ������� k! ��� ������ z �������� ������ �� �������� � ����� ti! ��� ������ h(x−

k ) �� ������ ��� ����� ��������� ������ �!�! 4$! ���� ���" ��� � ������ ������� +������� x−

k � ����� ti!��� )�� "� Kk �� ��� � 4$! ��1� ���" Pk ����( �����" ��� � ����������

������� �� ��� ����� R ����� �� ���� "���" ��� �(���� �&����� ������ ���

/

Page 45: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������� z �� �� ���� �� ������� �� �������� �� ���� ����� ������ �� ������Hk �� �� ���������� ��� ����� � �� B �� D �� h(x−

k ) �� �� ������ k �� �� ����� ti��� ���� �� ���������� ��� ������ ��� ���� h(x−

k ) �� � ���������� ���� �������������� ��� ��� � �� ������������� �� �������� ��� D �� B �� �� ������ D(1) ≤ D ≤ D(3)

�� B(1) ≤ B ≤ B(3)� ���� D(1)� D(3)� B(1) �� B(3) ��� ���� �� �� ���� � ��! �������� �� ��� �� ����� ��� � �� ���� �� ���� �� D �� B� �� ��������� ������D(2) = (D(1) + D(3))/2 �� B(2) = (B(1) + B(3))/2� �� �� ���� �� �� ��� ��������������� �� �� �������� � ���� ��� D �� B� �� �������� �� ��� ��� ��� ���� �������������� x0� �� ������� ����� ������ x0 = [D0 B0]

T ��� ���� �� 11× 11 = 121 ���������������� �� �� ����� D(1) ≤ D ≤ D(3) �� B(1) ≤ B ≤ B(3)� �� ���� �� ���������� ��� ������ ��� ����� ��� ������ ����� �� �������� ���� ��� "������� ������������� ��

��# [h(x−

k )]i=

3∑p=1

3∑q=1

[(3∏

m=1 �=p

Dk −D(m)

D(p) −D(m)

)(3∏

n=1 �=q

Bk −B(n)

B(q) −B(n)

)ξpq

],

����[h(x−

k )]i�� ������� i� ��� ���� t = ti� �� h(x−

k )� $������ ξpq �� �� ������� ����

�� ����� ��� ������ ��� D = D(p) �� B = B(q)� �� ���� t = ti � ����� �� ������ � �� ������ Hk �� ������� �� ��%��� �� ��������� �� �� ����������� ��� ��������� ���� �� �� �������� ��

��& Hk =

[∂h(x−

k )

∂Dk

,∂h(x−

k )

∂Bk

].

' ������ ��������� �������� ���� �� �������� ���� �� � ������ ��%��� ������� ������� ������� �� ��������� �� �� ���� ��� �((( ����� ���� ���� � ��� �� ��� ��� ������������ �� ������������� �������� �� ��� ��# � ��������� � ������ � ����� �� � ��� � ��� ���� ��� � ���������� ������ �� ������� �����

�� �������� R� ����� � �)���� � ������� ����������� �� ���� ����� �� �������� �� ������� �)���� � �� �� ������ ��� �� ������������� ����

��* R = maxi=1,2,..

(∣∣(z − h(x−0 ))i

∣∣) ,���� �� ���� i ������ �� ������ ������� i� �� ��������� �� ����������� ������ ���� �� ���� t = ti� �� ����� R �� ������� �� ����� ��������� +������� �� ��������� ��� �� ������ ��� ���� �� �� ���� ����������� �� ���������� ���������� �� R��������� R �� ���� �� �� ����� � ����� �� ��� ��* �� �� ����� ��� �� ���� ��� ����� ��� ������� ����� ������ ��� x0 ��� �� ��� ��� ��������� �� ����������� �� ����� R�)��� ���� ��� ���� ��� � �� �������

�� ,����� -���� ����� ��������� ��� ����� ��

��. x−k+1 = xk

��

��/ P−k+1 = Pk +Q,

�(

Page 46: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� Q �� ������ � �� �� �� ����� ������� ��������� ������ ��� � �� �� � ���������� ������ ����� �� ������ � ��

����P0 =

[100 0

0 100

].

��� ������� �� ������� �� �!���� ��������� �� ������ ��� �"���� ��� �� �� ���#��� ��� ��� �� ��� �� ���� ��� �� ��� � � ������� ��� � ��� � �� $�� �������� ���� �� ��� ����% �� �� ���� �� ������� ��� ����� ������� σe �� ���"������ ������ �� ����������� �� �� �� ������ ���������� &����� �� ��������� ������� �

����σe =√

1N

∑(z − h(x−

k ))2i ,

����� N �� �� � ���� �� ���� ������� '� ����� � �� $��� σe ��� ���� ������ �� ������

� �������� �� ���� �

��� ���������� �� �� �" ���� ���(���� D �� �� ������ B ��� �� ����� ���������� ���� �� ����� �������� ���� )*2� �� �������� � �� ������� ��� ��� ���� ���#���� ������ �� ���� ���� %� ��� ��� �� ��� �� ��������� ���� ��� ��������������������� �� ��� ��� ��� ������ ������ �"���� ��� ��� �� �� D0 ���� � $�� ������� �� ������� 0.0001 � 0.1001 ��2+��� ��� �� ������ 0.0501� ,�� B0 �� ������������ �"���� ��� ��� �� ���� ����� �� �� ������� 10 � 90 μ-+�� ��� �� ��#���� 50� ����� ��� �� ���� ������ � ���� �� �� �������% ��� � ��� �� �� ��� ���� ������������� �� ����������% � ��� $�� ��� ��

��� ���� ������ ���� ������ ��� ������� ��� � �� ������ ��� ��� �� ��� � � (#�����% ����� ����� ������� ������ �� ���� �� ���� �� ��� ����% ��� �� ����� ��� �� �� ��� �� ��� ����� �� ����� .�

����� �� ������ �� D B �� σe ��� ���� � ����� � �� ����� ��� ������ ��2

��� ��� D0

���������� ��� B0

����D

�������B

μ�����σe

����

������#������ ��#�� ������� ��/��0 �����

������#���/�� ��#�� ����.�. �/���1 /����

������#������ ��#�� ����10� /����� ��/��

����0�#������ /�#/� ����1/� /.���2 ��.��

��� ����������� �� D �� B �� x0 ������ � � ��� ��� �� ���� ���� ���� �"������������ ��� �� $��� ������ �� �� �� ��� � � ��% ������ � ����� �� �"��������� ��� �� ��� ��� ��

��

Page 47: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(a)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(b)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(c)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(d)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(e)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(f)

���� �� ����������� ����� D � 2� ��� ��� B �� � ���� ��� ������� �������� ��� �� ��� ��2

����� ����� �� �� ����������� ���� ! ������� ��� ��2 � ����������� ���� " �������� ��� ��2 �� ����������� ���� !# �������� ��� ��2 �� ����������� ���� $# �������� ��� ��2 �� ����������� ����!"# �������� ��� ��2 �� ����������� ���� %## �������� ��� ��2& '(� ������ ��� ������ ��� ��)��* (� �+����&

��

Page 48: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ��� ����� ��� �� � ��� � ��������� � �� ��� �� � � ���� � � ���������� �� �� � ��� ����� ����� ��� ��������� � ��� ��� ��� �� ���� �� ������ � �������� ������ ���� ���� �� ����� ��� D � � �� ������� ������� ��� ������ �� ������� �� ����������� � ���� D ��� B �� �� � ! �" �" �!" ��� �"" ��� ������ ������ #$2 ��� �� ��� ������ %�� ��� ����� ����� �� ����� �� �� � �� � � �������

& � ��� ��� ��������� � ���� �� � ��� ���� ���� n �� ������ � ���� � ������� �� ����� �� � �� ����� ��� '(� )!�*� + ������ �� ����� ���� ��� � ��������� �� �" """ ����� '� ������ �� ���� �� ����� � ��� � �� ���� ������ �� �� �������� �� �,���� ���-��� ������� � ���� ��� 5 ·10−6 ��2.��� ����� ����� �� �����" """ ���� ��� ���� � �� � ����

%�� ���� �,���� � �� � � � ������ ��� ������ � � �� �������� �� �� � ��� ������#$2 � ��� /�

0 500 1000 15000

7

14

21

28

35

42

49

56

63Medial posterior 2

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.0003 [mm2/min] B=335 [micro S/mm]

(a)

0 500 1000 15000

5

10

15

20

25

30

35

40

45Medial posterior 2

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.00212 [mm2/min] B=94.09 [micro S/mm]

(b)

0 500 1000 15000

4

8

12

16

20

24

28

32

36Medial posterior 2

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.0076 [mm2/min] B=41.91 [micro S/mm]

(c)

0 500 1000 15000

4

8

12

16

20

24

28

32

36Medial posterior 2

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.00749 [mm2/min] B=42.80 [micro S/mm]

(d)

���� �� ������ ��������� ��� ������ ������ ��� ��� ��� ���� ������ ������ � ����� � ��������� ��2� ��� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ����� � ����� � ��� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ����� ����� � ����� � ��� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ����� � ����� � � � �� �� �� ��� ��� ��� ��������� ����� � ����� ��

%��� ! ����� � � ��� / ���� �� �� �� �������� �� ������ �� ���� �������� �� 0����� �� �� ��� D ��� B ��� 0.0074906 ��2.�� ��� 42.8049 μ1.�� ������ ����

�2

Page 49: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ��� ��2 �� ����� ����� � ��������� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ��� ��� ��������

�� � �� �� ��1� ��� ������� ��������� � ��� ������ ����� �� �� ����� !� ��2"����� ��� �� � �� # ���� ��� ��� ������� ���� �$2� �� � ���������� �� �����!!���2"���� ���� ��� � �� � ����� �� ��%� & �� �� �� ��� ��� ���� � %������� ���� ��� �'�������� ���

0 500 1000 15000

10

20

30

40

50

60

70Lateral posterior 1

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.01436 [mm2/min] B=73.57 [micro S/mm]

(a)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000

10

20

30

40

50

60

70Lateral anterior 2

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.01066 [mm2/min] B=72.71 [micro S/mm]

(b)

���� �� ���������� � �� �� ��� ������� ��� ������ ���� �� ���� �� �������� �� ��������� �����

(�� ����)���� � ��� ��� �'�������� �� ��� �� ���)� ���� ���� ����� ����'������� � ��� ��� �� ��� ������%� ��� ���� ��� ��� � ��� ��� *� � ���� � ������ �� ������%������ �� ��� ���� ���� � %����� ����� ���� ��� ������������ ����� ���� �� � �����% �� %�� ����� *� �� � ��� ������� ) �� ���� ��� + ��, ��� �� �� ������ ��� )��%� ) �� �� ��� ����� ��)����� �� ��� ���� �� ������� D = 0.0110± 0.0069 ��2"���� ���� ) �� �� ����)�� ���% ��� ,� ���������������� D ��� ��� �� ��

� ����������

$� �'�������� ���� ����������% ��� ������� ��������� ��� +- �� ��)��� ���� ���������� ���% �� � ����� � �.������� �� ���� �� ��������)��� ������ ��� ���� ������� �� ��� ������� �� ��� ���������� ���� ������� ��� �������� �� ��� ������������� ������� � �������� �� �������� ���� ���% ������� ���� �'����� �� ���������� ��������� � ������� ���� ��� �'�������� �� ���% + �� , �����%� $�)��%� ) �� �� ����� ��)����� �� D �� ��� ���� �� � ���� ��� �� ��� ���� �������� ���� ��� ) �� �� �� � �� ������ D = 0.0110± 0.0069 ��2"���� �������������� �� ��� ) �� �� ��� ������� ��������� ��� ��� �� � � .���� �%�� ��� ���� �'� ���� �����%� ���� ��)��� ���� ����% � ������%����� ����� �� ���������� ��� �'�������� ������� ��� �'�������� ��� ��� �)�� ���� �������� �� ���

��

Page 50: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� �������� ������ D� � �������� B ��� σe ��� ��� ����

������ D ������� B �μ����� σe �μ�����

��� �������� ��� ����

��� ������� ���� ���

��� ������� ������ �����

��� �������� ��� � �����

��� ����� ��� �����

��� �������� ���� �����

��� ������ ������ �� ��

��� ���� �� ����� �����

��� ������� � ��� ����

��� �������� ������ ���

��� ������ ����� ���

��� ���� ��� ��� �� �����

��� �������� ��� �� ���

��� �������� ����� ����

������ �������� ����� ��� �������� �� ���� ! �� "����# � $�� � ��%" ��� &�� ���� ���" ��� "����# � ������ $�� ��'������� #������ ��� ��%" ��� (�� �� ����� ��� ������� #�$��� ����%������%��� #�� ��� � ��� ������#����� �$ ��� )* %�+�� ��� #� ��%�+������� (��� �����! ����� ����� ���������� �����+ ��� %������%���� ���� �� ��%"������� ����+� �� ��!���������! �$ ��� ������%��� �� ��"����� #! ��� )� %�� , ���� (�� �������� ��-������ σe

�$ ��� ��'������ #������ ��� ��"���%���� ���� ��� ��� �#������ �""����%���� )� %������ $�� ���� ��%" �� �� ��,��� �� .�� /��0� �� ��� ���� �� (�# � �� 1� ��+��,���� ��'������#������ ��� ��'����� �������� $��% ����� ��� #��� ��%" �� ���� ��2�� ��� �����-�� ����� ����!�

(�� ���� �� ��� � #� ��%"���� �� ��� ,����+� �$ ���� �� � � /����0� (��! ���� 34���3 ���������� 4���-��! �$��� �����# ������+� �� %������ ��� ��'����� ���5����� �� #�-���#���� (��! $���� ���� ��� "��%��#� ��! �$ ������� #��� ��'��� �������-� ! ��"�����+ ������ ��+�� ��� � ��� ��������� ���� �� �������� ��-��+ -� ��� $�� D �� ��� ��+������� ��������� �� ��� ���+� �$ 94.20 ± 5.23 �� 6.11 · 10−6 ± 2.37 · 10−7 ��2����� � �� ������� ��� ���� ��� �� ���� � ��� ������� �� ���� � ��!����� �" #�� ������ �� ����� ��� �" ��� ��� $ ��� � %��� �" D = 0.0198± 0.0036 ��2����& ����������� #�� ���� ��� �� � ������� ���� �" '() *�� +� � ����� �" ,� � �������-�& "� � ����� � $ ���� ����� � �� � ������� �� $� � ��!�������.����� �" /% ��! �� 0������ #�� ���� � �� � �� ��� ���� 1���� ��� " ��D = 0.0039±0.0013 "� 2%�������& 3' ��� *�& �� D = 0.0177±0.0028 ��2���� "� ������#�� ����& '() *�� +� �� ���� ��� ����� �� ����� ��� �� ���� �% ���� ��� ������ ��%�������� � ���$� ���� ����� � ��� 4$��� �� ���� ��� � #�� ���� � �� �� ��� ���� ������� ��� 56�� � #�� ���� � �� � �% � ������� ���� " ��'() �� 3' ��� *� ���$� � �� (3 *� "� 56�� ����� � �" � �������� ������ ��

7�

Page 51: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������� �� ��� �

����� �� ������� �� ������� ����� � ��� � ����� ������ ���

����� ����� ����� � ������ ���� D ��������

���� �� �� ���� � ������ �������� ��� ���� ±������

���� �� �� ���� � ������ ����������� ��� ������±������

��� �� �� ���� � !�"� �������� ��� ����#$±������

�� �� �� ����#� !�"� �������� ��� ������±�����$

�� �� �� ����#� !�"� �������� � ��� �����#±������

%������ ����& ������ �������� � ������±�����#

'� ���(����� �'� � '���� �� �'� )%� �������� *� �����' �� (+� �'� ���� �(����������� "� �� ����& "'�"+�� ����� �'� "�"����� ��,����� "��-"���� �������� �� ./������ 0��'���' ./� ���� (��� 1��� �� (���1�� 2�� �'��� ��(������� ���"� �� ����� *������� *'�� �'� �(���� *��� �� �'� )%� ��������� 32 �'�� �� ���� �'� ������� �'�* �'� �'����� �� �'� (����� �2 �'� �(���� �� ���� # 4 �2 �'� ���� �2 �'� ��������� 2��� � '����� 3��� �'� �(���� *��� "���� �� �������� 0� ������ �5������ �'� ��� ���� �2 �'�"����"�����& *��� �� �'� "������ A6 ��� ./� ����� '� ���� ���� "� �� �5������� �A − B� 7��"� �'�� ����& ���� ��������� *���6 �'� ���� ���� �2 �'� "����"�����& �� �"'(�����(��� �� ���& ��*6 "���� �� 8���� �& �'� A ≈ B6 (����� �'� B "� '��� ��������� �� �� �'� ��� ����� 0� "� �� ���� �� ��� � �'� ��� ���� ��,��� ��(� 2��(�(��� �� �(���� '� ������ 2�� �'�� �� ������� 9�� ����� �� �'� �'� ����(� �2 �'��(���� ��,��� 2�* ��� "���� 3� ������ ����� ����(� ����"��� ����� (���� �2 )%��� '��"� '��'�� ��� ���� �2 "����"�����&� :�� ��(� �(���� �'�� *� ��� �'� "��� 9���5������� 2�� �'�� "���� �� �'� �'� ������& ���� �'� ���� (��'� ��&6 ����"���� �'�(��� �� ���� ��� *��� "���� �� ������ ������ �'� ���� �(�����

3� *���� �� ����������� �� ����& �(���� �2 ��,����� ��8�� �� 2����� �������� 0 ��������2 �'� ��(������� "���� ����� �������� ��8� �,�"��6 �������� �������"� �������6 ���������2 �'� ���(�� ���5�� ;�5 �� ��� �,�"�� �'� ���� *'�� �'� �� �2 �'� ���� ���� ���(�� "�(���� �� �'� �����' �� �'� ����"���� �2 �'� ;�5�

������� �'� �� �(���� ��(� (�����(���� *��� ���2��(�� 2�� ���� ���"�� �'� '���� ���� �� �'� )%���������� ��2��� ����� ���� �'� ��������� *���� 02��� � '���� �'� "�����"�����& �� �'� ��������� *��� '� ��"'�� ���� � μ7<(( 2�� �'��� �(����6 ���� �������� % �2 �'� ��� ����� �'�*� �� ��� �� �& �'� �'� ��,����� "��-"����� "�"�����'��� "���� �� ��� �� �� 2�� �����& )%� �'����' ���� ������6 ��� ��'�� )%� (�5�� *��' �(�� ��� �2 ���� ������"�� (����� �'����' �'� ���� �������

� ����������

'� ��� �2 �'�� ����& �� �'� �����(������ �2 ��,����� "��-"����� �� (����� "��������� ���� ������ *��� �� (��� ����& ""�������� 7��"� �'� "�"����� ����� �2 �'� ��,�����"��-"����� �� �� ���� *��' ��'�� �������6 � ���"����� �� �������� ��"����6 �'�� (��'�� "����

��

Page 52: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�� ��������� � � ������ � ������� ����� ��� ������ �� ��������� �������������� ��� ��� ��������� ������ �� ���� ������� �� ���������� ��� ���� ������������ �� ���� �� �� ����� �� ���������� �� ��� ��������� ����� ����� ����������� ������������� � ���� �������

�������������

��� ����� ����� ���� �� ���������� ��� �������� ������� �� ��� ����� � ���������� ����� � !������� "� #������� �� $� %����� ����� ���� �� ������������� #������ %����� &������ � ������ ���� ������ !������� '� #���� ����� ���� ������ ��� ����� ������ '����� ( )������ ' ������ ����� �� )� � )� #�*��� ���� +������� � #���� ��������� !��� ,��������� � ��� ������ �������� �� ��������������� ��� ����� ����� ���� �� ���� ���-������� .-��� #����� � ���� ��������� ������ �����

���������

/��� %�� #����� '�� (001� %��������� �2���� � ������� 3��� �� ��������� ��������������� !����� 4 56789� (66:(64�

/���7#����� !�� #�*���� )�� #�������� "�� ���;� <�� (011� #��� ����� ������ � ������������ � ��� �������� �� ��� ��������� ����������� (60 519� 6=:88�

/���� %� �� 14>6� "���������� �� ���� ����� ������ �� ?��� @������� A��� >�$���� <�� B���

/������� +�� �� �� !�� .���� '� !�� ���� %�� ���� /� +�� 1446� +�2����� � ����������� �� ������ � ������ �� ����� ������� ������� 5<�%9 ����������� ��������� C���� � ��������� ����� 11 589� 8DE:8=>�

&����� !�� ������� #� )�� ����� �� /����� ��� &����� #� &�� (016� '������ �� �����7���� � ���� �������� ���������� �� ���������� 3��� 3��� C���� � �����������8D 5(9� (E6:(DE�

&��� C�� �� ��� 14=E� ��� ��������� � ��2������ A��� (� &������ ���� F� ���

+���� %� +�� !��� C� .�� (00E� ����������� ������������� �� ������ ��������C��� $���� G #����,%! �������������� �������������������������� ���������������

��� ���� ��!�����"� ������#��$�������%�

��� H�� %��� ��� I��� !�� ������ �� &�� '����7/�������� &�� .�� &� ��� %����� &��<���� �� #�� %����� C�� (008� <���� ����� ������� ������ ������ � ����� ���7κ/ ����� �� ������������� ��������� �� ���� ��� ����� ������ ������������18E 5(9� =E1:=E4�

1=

Page 53: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�������������� �� � ������ � �� ������ �� �� ����� �������� �� ������������ �� ���� ��� ���� ���� � ����� �! ������� "���� �� ���������� #��$�!����� %������ &� '() *��+*�,�

��� �� � -� �������" � ���,� ����� ��� ���� � ����$�� �� ����. /����������"������ ������� ���� ����� ��0��� �� /��� "�������� 1( 213�

4���5�"�� �� 6� ����� �������� �� ������� ����! 7�� 8��5�

9�� �� ���� � �� :� ;��� � (,,�� -��� �������� 6 � �������� ��� ���� ���� "������ �� �0� �� �� ����� ���� ���� ��"������� �� �� �� ��� �0����� �"���� ��"��� �� ��#��� (( '1) �*2+�<<�

=��"�� >� 6� (,<�� ��� �$$����� � ������ ?� ����� ��� $����� ��� $�����"�� 9�������� ������ 6���������� &� '() 2*+1*�

=����! � �� �� @� ������ �� #�������5 �� -� -��0������ 9� �� 6�� ���� 9� �����*� �����"�� �� �$$���� �������� ���A���� �� ���"�� ��� �������� �� �� ��0�� ������ ��"��� ���5�. B�� ��� ��$������� (� >�������! �2* '�) *<,+*31�

=����� >� C� ��� � (,,�� ����� ���� "���� ��� � ����������� �� /��� /�� �� �������������������� �� ���5 �� ���� ������ 9������ �� ���"�������� �2 '�) (3(+(&��

�� �� 8�� �� ���D�� �� #� ���� �� ���,� @�� ��$������! �� ���� � �������� ��"�������� ����� ��� ���$� �� �� �� ����� #��� 1* '*) (�(3+(��2�

�������� 4� #��5������ �� E��� -� 0������ B� ��(2�� �����"�������� "���� ���� ���� ���0�� �������� �� ���� ������ ;�"$� �� "� ���� �� ���"�������� ��� ���"����������������� (& '*) 1*3+1<3�

�������� 4� E��� -� 0������ B� ��(2�� $�� ���� ��� ����!��� �� ���������� ��������� ���" � $��"����� ����� �� � � ?�� � 0���"� ��� ������ � ��F���� �G@���H'@�C��2�&&)H(�&H'��(2)�

�������� � (,3,� -�!�������"���� $��$�� ��� �� �� ������ ��� ������ ��� �� ������ ���� ����� � �(*+�,��

�������� � ��������"�� >� -�$$�� I� (,,�� @�� ���� �� �� �� $�� ����!��� ����������� �� ���� � ����$�� �� ��� ������ � ������ ��� ����� ��� �� ���� ��� �� 2**+23(�

-� �� >� IJ����! 9� #�� � K���%� � =�� �� @� � �� ���1� �� ��"��� �� $���"������ ! �� ��� ���� ���� � "�� �$�� ���� � ������ ����� /���������� ����0��! �� ��$�� ���������� �����F���� B�. -��� *(� ����� I> ��� ���� K��� (1(�

��"��� 6� ;�� C� ;��� -� #!���� � ��� 8��L� 4�� :� #���� @� ���&��������������� �> "� ���� ��� ���� � ��� ��� ��� �0��� ���� ����� �� >�������� ���������� *, '() �&+2,�

(&

Page 54: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ��� ���� � ��� ����� ����� �� ���������� ��������� �� � ������� ������ ���������� � ��!�����"� ���! �� �"������ �# $#%� ��&�'��(��

����� � )�� *��"+� ��� ,������� �� -�������� ��� .///� 0� ���� ������������� �� ��������"�� 1��� 1�� �� �!� ��� ��2�� ��� ��� �������� ��� �"������ ��� ���"����� ����"��������! ���"����� ����������� 3����� �� 45��������� 6�� �� ./& $��%� .#&#'.#(7�

8��� 9�� 8��� :�� ;��� :�� ;��������� *� ��� ����+�� �� 3�� 8���2���� *�� *"!�<��� � 6�� .//7� 0� ���� ����������� �� �� ��� ��������� �� �!� 2��� �"�����"��� �"� ��������� ���"������ �� �!� -������ "����� �� *"���"�� �� �!� =����� *����� �� ����"��/. $&&%� �����'����>�

8���2���� *�� ������ *�� ?��� :�� ���(� ���� ��� �!� �5"������� �� �����"���� 2���"!���"� ����������"�� 2��� 1��� �!��� ��������� 3����� �� 2����"!���"� .# $&%�&&�'&>/�

��

Page 55: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 56: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Paper B

A. Shokry (2015)

A methodology for using Kalman filter to determine material parametersfrom uncertain measurements

Submitted for international publication

Page 57: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 58: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ��������� ��� ��� ������ �����

�� ��������� �������� ����������

���� �������� ���� �������

�������� �������

��������� �� ��� �� ���� �� ��� ����������� ����� ���� �����

��������� ����������� ����������� ����� ����������� !"#�$ ������ �����

��������

� ������ ��� ��� � �� � ����� ������ ������� ���� ������

�������� ���� ������ ������ ��� ����������� ������ ��� � ��� ������

������� ���� ���� � ���� ����� ������� �� �� �������� ����� �����������

������ �� ��������� ����� �� ������ ��� ���� ��� ��� ��� ���� ����

��� � ������� �� � ��������� �� ���� ���� � ���� � ����� ���

� ����� � ������� ��� � ������ �� ��� � ��� ������ ��� ���� ��

���� ������� �� �� �� � ���� � ��� ��� ����� ����� �� ��

!��� ��� ���"� �� ���� ������� �� �� ���� #���� �� ��������� ����

�� ������ ��� � �� ����� ���� �� � ��������� ��������� �� � ��� �� ��

����� $����� � ������ ��� �� �� ���� �� � ���� ���� ��� � � ����

������� ��� ������ �� ���� �� � ��� ����������� �� �� � ������

��� ��� ����� � ��� ���� �� ������ � ���� ��� � ��� � ������� �������

��� � ������� ������ ���� %�� � ��������� �� ������ � ��� ���� ���

���� �� �� �� ������� &�� ���� ��'��� ��� ����� ��� �� ����� � � � ���

� �� �� ��� ��� �

Page 59: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

��� ������ ��� � �� ����� � ����� � �������� �������� �� �������� � ��� ������� ��� ���� ��� � ��� �� ���� ��� ��� �� ��� �� � � � �� ��� ���� �� ������������� ������ ��� �� �� �������� �� � ��� �� ������ ��� � ��� �� ��� ���! ������ ��� "�� ��������# �� � � � �� ������ � ����� ��� ������ ����� ��"�� � �������$� �� ���� %���� ����� ������ �� ��� �� �������# � "������� %��" ��� &���� "������ ������"��� � �� ������ ��� � ����� �� '���� ���()�� ��� ��������� "�� �� ����� ����� ��*���� ������ ���� �� � �� �� ���� ��*���� ��� �"�� ��" ��� ��+�" �,����� � ���# ���-. /��� � ���# 0���. &����� � ���# 0����# "��!��� � �� �&�� ��� ������# 0���. ,�� � ���# 0����# ��� ������ ����"� �1�"���� ���2��� ����# 0���. /� � ���# 0���. 1��� �� ��� �����# 0��0��

0

Page 60: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������

αij �������� �� ��� ��� ���� � �� ������� ����� a� ��� b�

P−k � P k �� ��� ������ �� ��� ���������� ������ ��� ����� ����� � ������ �� ����� �� k

Qk� Q ��� ��� ����� �� ��� ���������� �� ����� �� k� ������� ��� ���

Rk� R(i) ��� ��� ����� ��� ������������ �� ����� �� k� ������� ��� ��� �� � � ��

���������� i

xk ���� �� ��� ����� ����� �� ����� �� ����� �� k

H� Hk ���� � �� ��� ���� �� �� h� �� ����� �� k

Kk n×N ���� � ���������� ������ �� �

M(x) ���� ������ ����� ������� z ��� h

ν� νk ����� �� N ������ �� ��� ������������� �� ����� �� k

Φ ��� �� ��� ������� ��� ����� ������� z ��� h

ϑi �������� �� �� �� ����� w� ��� v

ζ(t) ����� �� �� ������ ��� �� � �� t

a� b ��� ������� �����

A� B� R ����� ��������

D� Dk � ��� �� ���������� �� ����� �� k

h ���� �� N ���� ��� ������������

L � �� ������ �� ���� ������

N � n� M ������ �� ������������� ����� �� ������ ����� ���

p � �� �� ��� ����� ����� � �� ���

T ���������

t � ��

w� wk ����� �� n ��������� ��� �� ��� ����� �� ������ �� ����� �� k

wD� wB �� �� �� ���������� D� ��� B

x� x� x0 ����� �� n �������� ���������� � � �� ����� �� �����

z� zk� zav ����� � �� N ������������� �� ����� �� k� ������� z

Page 61: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ���� �� �� � �� �� �������� ������� ������� ��� ������� ��� �������� ��� ������ � ���� �� ��� ������ � �� ������ ���� �� �������� �� ��� ������� ����� � �� ����� � �� � � ���� �� ������� �������� � �!���� �� ��� ������� "������ ��� ��� ������ ����# ��� � � ��� �� � � �� ��� ������ �!�� � ���$�"��� �� � � ������� � �� �# � �� ������ � �� � � ��� �� ��$�"��� �� �� �����$�� �� �������" ��� ������ �� �%� ��!���� ������ �� ���� � � �������������� �� ��&�$�"��� ������� ����� ������� $�� ������ ������" �� ��'�� � �������� (��"����� �� ��� �)***�� � �� ����� � �� � � � ������� $���� �� � � ������� ���� %��� �"������ %�� � � � �������� �� ��$��� %��# ��� � � ������� �""� ��� $���� �� � � �����" ������� �!�� � � � ������� ������� �

+������ ��� �� �)**�� ����������� ������ ���� �� �������� ��� ��−��� ����� ����� ������� �� � �� ������� � ��" �� �������� ������������ � �� �� �$��� �� � � ������� � �� $���� �� � � ������� ��$�"�� �� � ���� ���� ���# ������ �� ��� ������ �� �# �� �� �� � � ��$�"��� ����� ���# � � ������� �� ����������� � ��� �����" �� �������� �� � ��" ������ ���� �� �������� � � �������� �������� �� � ���� ����� ���� �����" �+������ ��� ,��# )**��� -��.�� �� ��� �)**)�� �� ������ ���� �� �������� ������� �� � � � �$� �� ������ � �� ������ � ������ � � ����� �������� ���%��� ��$�"��� ������� � �����# ��� � � �� �� �� � ��������� ���� ������� ��" � �� ������ �� � ��" � � ����� ������ ���� �� ���������������

/������ �� ��� �)**0� � �� ������ ���� �� �������� ����� ��� ��� ��!� ��� �������� �� � ��� ������� ���� ���� � �� � ������� � � ������� ��� � � ����� ����� � � ��$�"���# % � ����� �� �� �� �� � ���� %�� ���%� $���� � ���� � �������� �� /������ �� ��� �)**�� �� �������� �"�� ���� ������� �� ��� ����������� ��� � ��" ������ ����� � � ������� �� �1����� �� �����" � � ����� ��� ����$�"��� �����

������ ���� � �� �2���� %�� �� ���� ��� � �1��������� ���� �� ������������ ��������� ������� � 3�%�$�# � � ������� �""� ��� ������� �'���� �� ������ ���� ���� �� � �� �������# �� �$��� ��� � ���� ������� �� �# � � �$����� �� �� � �������� ��� � ���� � � ���� �� �� .��# % � ��% � � ��� �� ��$�"��� ��� ��" ����� �� ��� � �� ��� ����� ��� ��� �� � � ������� ������� �

4� � � ����# � ��� �����"� %��� �� ������� �� � ��" ������ ���� �� ��������������� ������� � ��" ������� ��� ������ � � � ��� �����"� ��� �� � %���� �� �� � � ���� '��� �� �� �� � ��������� ������� �""� ��� ������� �'������ ������ ����# ��� �����%�� �� � �""� ��� %�� �� �� � � � �$����� �� �� ��� ���� ��� ��� ������ � � � ������������ �� ��!� ��� ��2���� �� ��$��� ���� ��"������� ���� %�� ��!���� ��� � ���� ��� ���%� ������� %��� �� ������� � �� � ����� � ��� ��� ������ %��� �� � �� �� ��

5

Page 62: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� �������

��� ��� ���

������ ���� � ���� ��� �������� N ����������� ���� �� �� � ����� � ���� ������ ��� ������������ ���� ����� ��� ��������� � ������� z� � �� N ����������������������� �� ��� ����� ���� ��� ��� ����� � �������

� � ������� �� ���� �� ��� ����������� � ������ h = h(x) � ����� � �� h �� �� ������ �� N ���� �� �� �� �������� ��� �������� x � � ������ �� n ���� ����������� �� � ��� ����� ����� � ��� ����� ���� �� ��� � �� ������������ � ��� ���� ������� ����� ���������� ��! ����� �� ��� ����� �� ��� �!���� ������ �� ����� ��� ��������! �� � � ���� � ��� ������ ����!� x � � � ��� �� ���������� ����� � � ��� ����� ���

����������� ����!� ����� �!������ � �� ���!������ � ������ ��� �� ���������� �� � ���� �������� ��� ������ ��� � ��� �������� ������ "����� �� � � ��������� �� ��������� � ������ ��� ��� ���� ����� ������ ��! ��#� �� � ����� ����������� �� �� ������ �� �� ����� �������� ����� �� ���������� ���� ���!������ � ��������� �� ������� "������ ��� ������� ���������� �� ����� �� ���� �� ��� �� � ������� ��� ���� � ��� ���� ��� ������� ���� ��� ������ � �� ���� ���� �� ����!� ����� �� � ������ ������ ����� �� ���� �! �� �� � ����� ���� � ��� � ���� ����� �� � ����� ��!� ��� ���������� $��� ���� ��� � �� ��� ����� ����� ������� ��� ���� ����z = h(x)� %���� ��! ���!������ � ������ �� � �� � ��� ������ ��� ����� � �� ����� ���������� i ��

&'(z = h(x) + v ,

����� v � � ������ � �� N ������ ��� �� �������� ����������� z� ��� ���� ���������x ��������� � �� ��� � � ���� ���������� i ������ � �� ������ � ��

&)(x*x+ w ,

����� w � � ������ � �� n ������ ������ �! ��� ��������� ��� �� ��� ��� ������� �� v�� w ��� ������� �� �� ������������ ��� ������� �� w �� v ��� �������� �� �� ��������� � ��� ���� ������� �� �������� � � ��� ��� � �� ��� ���� � �� �� � ��� ����� ��������� ��� &+���� ',-.(�

����� � ���� � ��� �� ���������� xk � � ��� ���� ��� � ��������� �� x� � ������� ��� ���� xk+1 ��! �� ���� �� �! �� � � ��� /�� �� � � ��!��� ��� �� �� ��� ���

&.(h(xk+1)≈h(xk) +H(xk)(x− xk) ,

����� #������ � �� � ���� ����� ����� �� x ��� ��������� 0 ���� ���� ��������� ����� ���

&1(h(x)*

⎡⎢⎣h(1)

���

h(N)

⎤⎥⎦ , H(x)*

⎡⎢⎢⎢⎢⎣∂h(1)

∂x1

· · · ∂h(1)

∂xn���

� � ����

∂h(N)

∂x1

· · · ∂h(N)

∂xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ , x =

⎡⎢⎣x1���

xn

⎤⎥⎦ .

2

Page 63: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� H �� �� N × n � ������ ������

��� �����������

��� ����� �� �������� �� �� ��������� ����� ������ ���� ��� �� ��� �� ������ ����N ������ ��� �� ��� �� ������� ���� ����� n� ��� ���� �� �� ��� ������������� ����� ��� � �� ��� �� �� ������� ��������� ���� � �������� ����� ��� ��!����� ������� �������������� z ��� ��� ���������� h(x)� ��� ������� x �� �������� �� � ������ �� ���������� ����� ���� �� ��� ������� ����� x ≈ xk� ����� k �� ��� ��������� �� ���� ��� ����������� ����� x0 �� �� �� ������� ����� ����� �� �������� ������ ����� ���� ��� ���� ����� �������� �� ����� �� ���� ������������

"�������� ��� ���������� ����� � #��� $������� $% �� �� �������� ������������ $��� ��� ���� ��� &������'������ ����� ������� �� ����� ��������� ����� ��� ����������������� ��� ��

#(%xk+1 = xk + (H�

kHk)−1H�

k {z − h(xk)},����� Hk �� �� N ×n ����� ��� � ������� �� xk� )� ��������� �� ������� � ���� ���� � �� ��� �� �� ������� ��������� ��� ���� ������ �� ��� ������ ��� � � ��������������� ���� �� �� ������ ��� ������� �� ��� ����� �� ���� ��������� �� ��� ���������������� ��� �� ���� ������ �� ��� � ������ ����� ����� �� x �� ������ ���������� �� ���� ����������� ���� �� ��������� ��������� ���� ��� ������ ���� ��� ������ *������� ��� �������� �� �� ������� � ������� +���������� ���� ���� ��������� ���� ����� �� ���� ���������� ���� ���� �� �� ������ �� ���� �� ����������� ������ �� #,������� -.(/%�

�� ������ ������

��� ����� �� ������������� ���� ��� ���� ��� ���������� �� ��� ������ v ��� w �� �������������� ��� ����� ��� ������������ ���� ������ 0������ �� ����� ��� 1�� �� ����� ����������� �� ��� ����� ����� ����� ��� ����� � ������ �� �� ��� ������ ���� ��� ���� ������ ��� ����� �� �� � ����� ��� �� ��� ������������� ����� �� �� ���������� ���� � ����� ������� ���� ���� ����� �� ����� ��� ����� �� �� ������� ������� ��� ������� ��������� ���� ��� ��������� �������� �� �!������� ������ ����� ����� ���� #2�����-.34%� )� �� ���� ��������� ���� ������� �� ���� ��� �� �� ����� �� ���� ������ �������� ������� ������ ���� ������� ���� �� ������ �������� �� ��� ������� ����� ��� ������ ���� ��� �������� �� �� ��������� ���� ��� ���� � ����� �� ���������� ��� 1�� �� ����� �� ��������� ���� �� �� �� �� �!����� ����� �� ����� ����� ���� � ����� ����� ���� ��������� ����� ��� ������� �������� �� ������ ��� ������� �� ��� ����� ����������������� ��� ������� ��������� ��� ������ ��� ν ��� w ��� ��������� ����� ���

$��� ��� ���� ��� ������� ���� �� ��� �������� ���� ����� �� ��� ���� � ����������� ����� ���� ��� �������� �� ������ �� ����� �� 5�� #-% �� �� ���� ���� �� ���� ��� �����ν � ������������ ���� � ��� ��� ������

)�������� � ��� �� ���� ����� x0 �� ������� ����� �� � ������ ����� ����� ��� ����� ������ ���� ����� �� � �� �� ���� ��������� �� ��������� ����� ����� *�� ����� ���

6

Page 64: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���������� ��� ��������� �� ��� ����� �� �������� �� ��� ���� ���� �� ��� �������������������� ���� ��� �� �� �����

���xk+1 = xk +Kk{zk − h(xk)} ��� k�0, 1, 2, ...M ,

����� Kk �� �� n×N ������ ����� ��� ����� ���� �� M �� ��� ���!�� �� �����������"� ��� ���� #����� ��� ����� �������� �������� �� ����� ������������ ��� !� ����� ���� ��� ����� ���� �� �� ��� ��� ���� ��� ������������� $��� ��� !� ������������ ���������� ��������� ����� ��� ������ �������� %���� �� �� ��� ������������� ����� ����� ������� "� ��� ������� ��� � ���������� ��� ������������ ����&��� � �������������$�� �������� �� ��� ����� ���� ���� '���� �� (� �� !��� �� ������������ � � ��������� �� �� ��� ������� ���� �� ��� )����

$�� ������ Kk ���� ������&�� ��� ���� ������ ����� �� ���� !�

�*�Kk = P−k H

k (HkP−k H

k +Rk)−1 ,

����� P−k �� ��� ������� �� ��� ������ �� ��� ���������� !����� ��� �������� �� ��� ��

Rk �� N × N ������ ����� ���� ��� ��������� ����� �� ��� ������������ ���� ������� ��

�+�Rk = ,��(vk) .

$�� P−k+1 �� �������� ��

�-�P−k+1 = (I −KkHk)P

−k +Qk ,

����� Qk �� �� n×n ������ ���������� ��� ��������� ������ ��� ��� ����� ���������� ������ ������� ��

�./�Qk = 2,��(wk).

$�� �������� �� Kk P−k Rk �� Qk ��� ���� �� ����� �� '���� �� (�

$�� �������� ����� �������� ��� �� ��� ���� ��� �*� �� �-�� $�� ����������������� ��� �� ���� �������� ���� ��� !� ��������� ���� � ����� ����������� �� �������������� 0�� ��������� ���!��� ���� ���� ��� !� ������� ���� ��������������� ��� �!����� � '� �� ��������� ��� ������ �������� ������ ��� !� �������� �� ��� �������� ���������� xn P−

n ���� ������� ���������� �� ��� ������ ��� ��� �������� ����������� '�� Qk �� Rk ��� !� � 1���� !��� �� ��� ������ ��������������� �� �!����� � "� ��� ������� ��� � � ������������ ��� ���� �� � ����� ��� ���� N������������ ������� ���� zk = z �� � �������� ����� ���� N �������� $�� ���!���� �������� ����� �� M �� k = 1, 2, ...,M ����� M �� �������!� �� ��� ������� $���������� �� �������� �� ������ � ������� ����� ��� � ��������� ���!��� "� �������� xk Hk P k �� ��������� Kk �� �� ��� �

(� ������� Rk = RI �� ��� �*� �� ���� ��%��� ��� ������� ����� �� R → 0 ����!����� Kk = H�

k (HkH�

k )−1 = (H�

kHk)−1H�

k � '���� ��������� ���� ���� ��� ��� �� �� ��� ������ ���� ��� ����� �� � ������ �� ���� �� ��� ��������� ���� ������� ����� ��� ��� ����$�� ����� �� �� ���� ��� �� P−

k �� ����������� ��� �� ���� ��� �� Qk�

*

Page 65: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ���������

�� ���� �� � � ����� ����� �� �� ������� �� ����� �� � ������� ��� Rk �������� �� �� �� ������!� �" ��� ������� ��� �� ��� Qk #�� �� ������ �� ��$���� �� ������ ����%� ��� Rk #�� �� ������ � ��� ��&������ ������� ��� ��������� �� �������� �� ����� ��� ������� ��� �� ��� Qk �� ������ �� �� ����%�'������! �� �� �� (��

)� ��� ��� *�� +��� ��� ������� Qk �� Rk� �� ����� #��� "�� x0 ��P−

0 �#� �� �� ��+���� �� ��� "�����!� ��&����� �����!��� "�� �������! ����� #��� ������������

,�� ������ ��!� �" ��� *�� +���� ��� ������ ���� �� Rk = ��(νk) �� Qk =2��(wk) �������! �� -.�� �/� �� � ��� )���� #������� �� ������ �� �� ����� �

������� � ��� ��0����%� )�� ��"������� �% �� ���� �� �0 ������� �� ����#��"��� ��� ������ ������������ ����! �!� #����% �" �% �������� 1��� ��� �������� ���� �������#�%� ��� ������� � �� "�� ����! Qk �� Rk �� ���� � "�������� �" ����� �������� ����

)�� *�� !��� !�#�� �% -.� ���� ���� ��� ������� Qk �� Rk� ������$�� ��� �.��������� �" ��� ������� xk �" x� � ��������� "�� ��� ����#���� �� ��� h(x) �� ���� "��������" ��� ������� x� �� ��� ������ ����%� h(x) �� ���2���� "������� �" x� )�� �� �� ��"������ �����!% "�� �������! ��� "��� ������� Rk �� Qk� ��� ��������% �������!�� -.�� �/� �� � ��� �� ��� ��� �.��� �" ��� �����

� �M(x) =1

N��(z − h(x)) ,

�� ������$��� )�� ����% ���� ��� ���� � �� �� �0�����#� �� ��� ���������� �� �� ��2�� �� ���� �� ��� ����%� )�� �������� �" ������ �� �����% ���� �� ���#��!�������� 1��� ���� ��!� �" ������! #���� �������% ��� ������� ���#��!�� ���������� ��!� �" �������� �� ����� �� �� ��� ���� �" "���� �� �������! ���#��!��! ������ �� )����� ����#��!�� �� �� ���������� �� ��� �������� �" ������ �������� "���������! Rk �� Qk�

�� ��� +��� �� �" ��� ����%� ��� ����� ������� x0 �� ������� �� ��#�� ��#�������� �" �!������ ���� ��!� �" #���� 3���� ���� ������������� ���� ����� �� ����"�� ���2���� ������� �� ������� !��������� �� �%����! ��� "�� ����� � �%���������� ����� �� "����� ����� �% �� ��� !���� ���� 1��� ��� ���������� �� ������ ���2���� ������� �������� �" +�� ������� ��!�� ����! ��!��% +���� �������%���� ���% ��% "�� ����� ������� x0 �� �� ����������� 4��� ����#��� ������!� �" ����� ������� �� �0����� � ��!��� ��� ��� �.��� ����� M(x0)� )�� ���� �� ����� � �#�� ������ �" ��� ����������� �" "�� ���#��!���� �� ��5������ �������" ������ �� ������ ��� ����� ����

)�� ������ �� ��� ��� ����! �" ��!!����� ������ �� ��� ���! ��� �������! ���#��2!���� ���� ��� ����% �" �������! ���#��!��� ������� �� ��� ������!� �" ���#��!��������� "��� ��!� �" ��� ����� ������� ���� ����� ������� �������� � "���������� �� ��������� �� ������� 6� �

/

Page 66: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ��������� Qk � R

�� ��� ������� ���� ��� ��� �� �� ��������

����Qk = 2p2xx� ��� ��� Qk = 0,

��� ��� ���� ��� ��������� p �� �� � ������ �������� �� ����� ������������ �� ����� �������� p �� ��� ����� ���������� �� � ������� ���� ������ � ��� ��

����� ���� ���� �� ��� �������� ����� ��� ��� ����� ���������� x ��� ��� ���� �

������ �������� Qk ��� �� ������ ��� ��� �� ��� ��� ������� �� ��� ������� ������ ���� �� x0 ��� !������� ����� ��� ��� ��� �� ��� ����� ������ �� ��������� �� ��� ����������������� �� ���� � �������� Qk ��� ���������� � � �� ��� ��� ����������� ����� "���� ���������� ������� ��� �������� xk �� ������� �� � ������ �������� ��� Qk ��� ����� !���� �� ���� Qk �� � �� ��� ���� #��� ��� ��������� �� x ����� wk = px� ���� ���� x �� ���� ����� �� ���� �����$����� ���� xk� ��� ���� �� � ����� ��%�� ��&� ���� �������

��'�Qk = 2p2(��(xk) .

��� Rk �� �� ��

��)�R(i) = v(i)I, i = 1, 2, ....U,

����� �� ����� �� �� � �������� � �����$������� �� %�� �*�� ����� ���������� �����v(i) �� ����� ��

��+�v(i) = max|(���zN − hN(x(i)0 ))|],

����� ��$ ����� �� ��� ��$��� �� �� �� U �� ��� ����� �� ������ ������������� ��� ������� ������ ��� Qk �� R(i) ��� ������ ��� ���� �� �� ���� �� ���

��� ����� �������� �� %��� �,� �� �-�� ��� ����+ ��� �$� �������� ����� ��� ������� ���.� ��� / ��� ������� ��� ����� ��� p = 0 �� %�� ����� �� ��� ������� ����� ���p = 0.01 ���� ����� ��� ��� ��� ������ �������� �� ������ ���������� �� ���������������� �0����� �� �� ��� p� ��� ���� �� �� ��� � ����� �� ���� ����� ���� 1��� )�� �������� ������ �� Rk ��

��2�R = [max|(���zN − hN(x))|]I ,

��� ��� R �� ��� ������ ����� � ����� ��� ��� �������� �� ��� �0������ ������� ���������� z� �� ������� ��� ���� ������ !���� Q �� R ������ k ���$ ����� ������������������� ���� �����������

��� ����� ����� �� ��� ���3 ����� ���� ������ ������ ����� �� ������� �� ������Rk → 0 �� �� �� ������� �� ������ ��'�

-

Page 67: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ��� ������ ���� ��� ��������� ����� P−0

��� ������� ������� �� ���� �� P−0 �� �� n×n ���� ���� �������� ��� ������� ����

��� �� ��� ��� ������� ��� ������� �� ���� xk ��� ��� ������� ������� �� ����x0 ����� ��� ��� �������� ���� ������ ��� P

−0 �� ������ ��

����P−0 = �(x

(max)0 − x

(min)0 ) ,

���� x(max)0 ��� x

(min)0 �� ��� ��� ������ ���� ������� ��� � ��� ��� � �� ���

�������� ������� ������ �� ��� �� ����� ��� ������ �� P−0 �� ��� �� � �� ��� ����� �� ���

����� ����!� "��! ��� ��#� ������� ����� �� ������ ����� ��� P−0 ��������� ��� �������

������� ��� ������# �� ���� ��� ��� ������� �� �����

��� ������� �� �������

� �� �! �� ��� ��� ���� ������ ���� ��� ������#� �� �����#��� ������ ��� ����������� �$�%&� �� ���� ����� �� ������� �� ����� ��

����� �� ������� ����

'����� Q R P 0 $�%&

(�� �� ���� � ���##����� ������

Q = P 0 �� �� )*� �+,� )*� �+-� )*� ���� .+�/.

(�� �� ���� + )*� ��+� ���� p = 0 )*� ��-� )*� ���� 0/�./

(�� �� ���� , )*� ��+� ���� p = 0.01 )*� ��-� )*� ���� 0/��.

%�������� ����� �*���� 111 / 111 2/�.,

� ���� �����

��� ���� ������� �� ��� ��3����� ���4����� �� � �� ���� ����# �������� ���� �������� �� �� � ���� ����!� $�3����� ��� ������! ���� ��##����� �� ��! �� � �������� �� ��������# ���������� �� ��� ���� ��������� �� ��� ���� ��������� �� ������������5 ������# ��� ��3����� ���4������ �� �� �� ���� �� � ����� �� #��� �*�������� ����� �� ����#� �� ���������� ������� �#� � ���� ��� �6�� ���� � ������#��� ���� ������#�

7� ��� ����� ����!5 ��� ����� ��� ������ �� ����� �� ������ �� ������ ������� #������� ���� ��� ��� ��� �3������ ����� �� ����� �� � ���� �� ��� ���� ���������� ��� ��� ���� ��� ������ ��� � ���� �� ���� ���� ������ ������ ���� �� ������� ��� �� ���� � �������� ���� ��������� ����� $���# ������# �� � ��� �����������!5ζ(t)5 �� ��� ���� �������� �� ������ �� ��� ����� ������������� ��� ���� ��� ������� �� 8�����# �� ��� �+/�2�� 9���� ���� �� ��� ���� ��� ���� ���#�� L =�/�� �� � ������ ���# ���� ��� ����� ��� ������������ ��� ������ ����# � :����)��!

�/

Page 68: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� �������� ��� ��� ����� ������ �� �� �������� �� ����� �� �� ������������� ������ ����� �������� �� ����� �� � ����� � ��� ��� � ��� !"�#$%�

��� �������� ���� � �������� ��� �� �������� �� � ������ �� �& t&

!#'%ζ(t) = A−B

M∑m=1

8

π2(2m− 1)2exp{−(2m− 1)2π2D

t

L2} ,

����� D � �� �(���� ���)���& ��� A ��� B ��� ��*���� �������� ��� ���� � ���� �� ��*′� ��� ���� ������� ������� ��������

��� ������� A ��� B ������ �� ������ ����� �� ���������� � �� ����� ��� ��� �� �������� � �� ������ ����� +��� t = 0 ����

!#,%A = ζ(0) + B ,

����� ζ(0) �*�� � � �� �������� ������� � t = 0� -� ���� h(t) = ζ(t)− ζ(0) ���� ������� .����& �� �������� ���� � � ����&

!"�%h(t) = B(1−M∑

m=1

8

π2(2m− 1)2exp{−(2m− 1)2π2D

t

L2}) .

��� �� �� ���� ������� D ��� B ��� ���� ��� ���� �� /�� �� 0���� ��������� ��� ����� � ��� ��� � ��� !"�#$%�

�� �� ����� �� � ����� � ���� 1���� �� �� "�� 0��� ������ ��� ����� �����2��� ��� � ���� �� ������ ���� ��� ������� ��� � �������� ���� �� ���� ����3.�� !#% ��� !"�% � �� ��� �� ������ �� ����� z� �� ������ ������ �������&� ������ � ����� � �� ��� ���� ���� D ��� B ��� � �� ������ ���� �� �����& � ����� ���� �� ��& ��� |wD| < 0.05D ��� |wB| < 0.05B& � ������ 4� �� �� ����& ����� ν �� #��& ��� ��� #��� ��� ������� � �� �������� ������ ��� z& ���

z = h(t)+ ν& ����� ν = q1

N

∑h(ti) ��� q �.���� ��#& ��� ��� #� �� ��� � ������ ��

��� �� "$ �(���� �� �� ������ ��� ������& �� wD& wB ��� ν ��� �������������� �� ��� � �� ����� � ������ ��� �� � � �� �� �������� ����� 5��� ������� ��� ���� ������ ��� ��� ������������ ����&

!"#%1��!ϑi, ϑj) =

{ϑ2i � i = j

0 � i = j,

����� ϑi ��� ϑj �������� �� ��� ��� �� ���� ���� ����� wD& wB ��� ν � ������� ������ ��� i ��� j�

5� � ������ ��� 3.� !"�%& �� ���� ����� �� � �� � ������� � L2/D� 5����� ����� �� ���� ��� ������ ##�6 � ���& ���& 0 ≤ t ≤ 11.7L2/D �� �������� ������ ��� �*�� � � ������� �� ������ 0.0032L2/D�

4� �� �� � � � �� ���� ���2����� ��� ����� �� 3.� !"�%& � �� 2����� ������ � � ���� ���� � ��0���� ��� �*�� ��� �� �� ���� �� 3.� !"�% ��� � ���

##

Page 69: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����h∗(t) = B∗ + f(D, t) ,

�����

h∗(t) = log {h(t)} , B∗ = log(B),

f(D, t) = log

(1−

M∑m=1

8

π2(2m− 1)2exp{−(2m− 1)2π2D

t

L2}),

����� ���� h∗(t)� � ����� ������ �� B∗ ����� f(D, t) �� ��� �� �� ������ � ���� �������� log(1 − e−x) → e−x �� x → ∞ � ��������� f(D, t) ����� ����������� ��� ��������� �������� �� � ����� ���� ��� ����������� ���� ������� �� D �������

� ������� � ��� ������

��� �������� �� ��� ������ � � � ��!� ��� ����� � ���� ���� �� ����� ��� �� ����������� �� �� ����� ���� ��� � ��� �� ��� � m �� �� ����� �� �� ���� �!! ��� � ������� � �������� �� ""�"# � ��� ��� �� ��� �� ��� �� t = 0� $����� �� ��� ���� ������ �� �� t = 0.0003L2/D ��� ���� ��� � ��� �� ���� �� ����� ��� �� � ���������%�� ����� � ���� ����� � ���� �� ���� � �������� ��� ��� �������� �� ��� � ��� ����� � � ��� ������ ���� ��&� ���������� �� ������� �� �� '���&��� ���� ���� �� ����� ��� ��� ����� � ��� ��� ����������� ����� �� &��� ��� �� � ���� ��� ����� ����� ��� ����������� ����� �� ���� M = 200 ��� ��

(������ ��� ��� ������� ��� ��� D � B ���� wD = 0.1D� wB = 0.1B�

� v = 0.1zav ����� zav �� ��� �&����� �� ��� ������� ������ ��� ��� zav =1

N

∑zi�

��� ��� )�� � *��� ��� ��� �� ����� ������� ����� �� D � B� ���� ��� �� *������ ��� �+����� ��� � � ��!�� � ��� ��� ��� ������ �������� ��� � � ����� ���� ���� ��� �������� � *�� ��� ����� � ���� ����� �� ��� ������� ������ ��� ����� �,���� ����� ���� ����� ��� ���� ��� � � ��!� � ��� � � ���� ��������&������� ����� � ���� ����� M(x) ��� ��������� ���� � � �--�� ��� �+����� ��� ��&�M(x) = 15% ����� ��� ������ �������� ��� ��&� .!#� %�� ��� ����� �� ����� ��� �������������� ��� �� ��&� �� � ��� ��� � � ��!� �� ��� � ��� ������ ��������

$��� �� ���� ��� ���� ���� �� ��� ���� ����� D � B �� �������� ��� )�� �*������ ��� �� ��&���� ��� ������ &����� ���� ��� ��&���� ����� �� ������� �,������� ��� ���� &������ �� ������� ���� ���� ���� ��� �� � ���� ����� �� ��������� ���� &��� ��� ���� �� ������ &������ (�� � ���� ����� ���� ������ �� ��� ����� �� ������������� ���� �� ��� ������ ������� D0 � B0 ������� �� ���� ���� ��� ���� &����� �� D �B� �� ��������� ��� ��� �� ��&�� � ����� &������ �� ������ &����� � ��� -!- &�������� D � ��� ���� -!- &����� ��� B ��� ���� ��� ��� ��&��� &����� �� D0 ����� ��� 0.001D �� 100D � &����� �� B0 ��� 0.01B �� 100B� %��� - ����� ��� �� � ���� �������� ��� ������ &����� �� D0 � B0 ��� ��� ��������� ����

-�

Page 70: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

D0/D

B0/B

10 3 10 2 10 1 100 101

10 1

100

101

102

Mean square error0

1

2

3

4

5

6

7

8

���� �� ��� ���� ���� �� �� �� ����� ��� � ����� ���� �� ������ ��� ��� ����� �� �� ��� ���

��� ��� ����� � ����� D0/D ��� B0/B� ��� ������ �� �� �� ���� ��� �� ����� �� ��� ���� ���������� ��

������� �� ��� �������� ��� ����� � ��� � ��� ��� ��� D0/D ���������� ����� � (B0/B)−2� �� ������ ��� ������ � ��� �� �������� ���������� � � ���� ����� �� � ���� ��� ��� ���� � ������� ����� ����� � �� �� � ������ �� ��� D0 ��� ���� B0 � ������� �� ���� ��� � ��� ����� � ����������� ��� �� ��� ������� ������� ����� ��� � �������� �� ��� ������� ����� � � ������ ��� ����������� ��� � � ����� � �� ����� ����� �� ����� �� ��� ���� �� � ����������� ��� � ���� � �� �� �� ��� ������ � �������� � � ��� ������� ���� ������ ����� �� ����� ������ � � ��� �D ��� B� �� ���� �� ����� � ��!������ � � ����� ������ ��� � � ��������� ������ �� "�� #$%&�

'�� � ���� �� � (� ��� ) �� ����������� z ��� �������� ��� $*% ������������� � ��� ������ 0 ≤ t ≤ 11.7L2/D� +� �� ����� D ��� B ��� ����� ���������� � �� � ��� ���� �� ��� �� ����� � � ����� � � �� � ���� ����� �� � �

������ ������ �� � �� �������� � '��� ,� � ���� ���� �������� �� ����������� ���� �������������

�� (� ��� ) �� �� ������ � ������� ,% �������� ���������� ������ ������������ �� $* ������������ ��� ��� ���������� �� ������ ������ �� �*- ������������ ��� �,%-� �*%-� ��� �,%%- ��� ������������ ��� �������� � ����������� ����� zi� �.,�$�/������$*%� �� ����� �� ���� ��� ����� �� ��� ����� ���� 0.1D� 10D ��� D0 ��� ���� 0.1B � 10B ��� B0�

�� ����� ��������� ����� P−0 �� �� ���� ��������� � "�� #,0& �� �� ���

#$/&P−0 =

[9.92D2

0 0

0 9.92B20

].

,/

Page 71: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� P−k �� ����� ����� �� ����

��� ������ R �� Qk

���� R(i) ����� �� ������� � �� �� ����� ��� R(i) �� �� ������ ����� ������ ���� ������ ���������� �� ��� ���� �� �� ���� ������ ������ k�

��� � �� �� Qk �� ������ �! ������

�"��Qk =

[(Dk −D0)

2 0

0 (Bk − B0)2

].

���� ���� � Qk �������� � �� ������� �������� ��� �#����� � �� �� � �� ���$�������� �� �������� %�� ��������� Qk� &���� �� ������� � ����� �� �� ��������������

����" ���%� ����� ��� �� �� ������ ����� ��� D1/D� ���� � �� ������ �� ����������� ��'��� �� � �� �������� ���% �� ������ ����� �� D1/D �� B1/B �����(��� )���� ��� ���� ����� ����� D0/D �� B0/B� ��� ������ (D1/D�B1/B)������ �� ������� ���� �� �#������ ���� ����������� ��� � �'� � �� �� ��� ����� �� ����� ���� ��� %��� ��� �� �� )���� ���� "��*+ �� �� ������ D1/D � ������ ��� ������ ����� %�� �� ��!���� ������� ,���������!� ��� ���� � �������������� �� �����%��� ������ ����� �� �#������� ��� �� �� �� ����� ����� %���� ������� ������� ������ - ���� ��� ��� (��� ���� Kk� ����� � �� �� ������ %���� ���� ������ � �� ���� �! ������� R ����� �� �� �� �� ����������� %���� �� ���%�

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(a)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(b)

���� �� ����� ���� �� Dk � � ���� �� �� D0 ��� B0� ��� ������ �� ��� ��� �� � �� �� ��� ���� ��Dk ��� Bk ��� ��� ���� � � �� ���� �� �� �� � ��� ������ ��� k = 1 ����� ��� ��� ��� k = 20 ����� ����� � ��� �� ��� ��� ��������� ��� ��! ��� ��� ����������

���� "� ���%� �� ����� �� ����������� ��� ��� ". �������� / �� �� ���� ������ ����� ����� ���Qk �������� �� �� �� ����������� �� �� �������� ���� ������������ "��*+ � ""��+�

��� � �� �� R ����� �� �� ��������� D1/D �� ���%� �� ���� 0� ��� )���� ���%�� �� �������� �� �� ������ �� ��������� D1/D ���� �� �� ������ �� D1/D

��

Page 72: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ���� �� �� ��� R ����� �������� ���� ��������B2 �� ���B2� ����� ���� �� ������� ������� �� �� �� ��� R �������� �� �B2� ��� �� ������ ���� ���� ���� ������������� ������ ������ ��� R� � �������� ����� �� ���� ��� ���� ��� ���� ������� ����� ����� R ����� ���������!�� �"��� �� R � ����� �������� � ��� ������ ��� ���� � #��� ��� !��

$���� ����� ���� ��� ����� ������� �������� �� ��� R �������� ����� R = 1.5B2���� �� �������� �����%� ���� ��� ��� ����� �������� �� ��� R �������� �� ���&B2� ���� �������� ����� !�� R/B2 ' ����( � ��� ����� ���� �������� R ��� �����% ���� $���� ���� � ��� ������� ����� �� z � ��� )� ����������� ����� ��� R =(0.1zav)

2� ����� �� �� ��� ������� ����� *� ����� �� ���� ����� �������� � ��������� ��� ������� ����� �� ��������� ���� ��� ������� ������ �� D ��� ������ +������%�"���� ������� ��� ������ ����� ���� ���������� ����� ����� �� ��� �,����� �����

10 4 10 3 10 2 10 1 100 1010.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

R/B2

Num

ber o

f non

nega

tive

D1/ T

otal

num

ber o

f D1

(a)

Negative D1

Non negative D1

10 4 10 3 10 2 10 1 100 1015

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

R/B2

Stan

dard

dev

iatio

n or

mea

n va

lue

standard deviationmean values

R/B2 (Kalman)

(b)

���� �� ����� �� R �� D1/D �� ��� ������ �� D1/D � �� ����� ������ �� D1/D �� ���������� ������� ��� ���� ������ ��� �������� �� ������ ����� � �� � ��� �������� ���� ��� ����� Q = 0

���� �� ��� ��� � ��� � �� ����� ������ � Q ����� 0.01 ≤ p ≤ 1 ��� R �� ����� ����� ���� � ��� ��������� ������� � D5/D ��� ���� ������ � D5/D� �� �� ����������� ���� ��� ������ � ��������� D5/D ��������� �� ��� p ���������� ���� ����� Q �������� R � ���� ��� !����� ���� ���������" ���� ���� �� � #������ ������

������ ��� ��� � ��� � p � ��� �������� ��������� ��� ���� ������ �� ��� �������D5/D� $�� %���� ��� ���� �������� �������� ��������� �� p ���������" ��� ���� ������#��� ����� ��& �� ��� p ���������� '�� ����� ���� �� ���� ����� ����� ������ � Q �������� ������ �� R ��������� ��� !����� ���� ���#� $�� Q ����� �� p = 0.71" ����� ��("��� �)��" �*+,�" ��� �� p = 1 " ��� ��������� �������� �� �� ��� ��,�" ��� �� ���������%���� � ��� � ��� �������� ��������� ��� ���� ������� - ��.������ ���� ������� � �����" � �� �� �/#����� � ���� � ��� ��� ��� ���������� $�� p ����� �� ����� ��0�0� ���� ���� �������� �������� �������� ��� ������� #��������� � ������ � ���������D ��� ���� ������ � D � �� �� ����� ���� $���� ���

�1

Page 73: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

Num

ber o

f con

verg

ent D

5/Tot

al n

umbe

r of D

5

Divergent of D5

Convergent of D5

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

p

Stan

dard

dev

iatio

n or

mea

n va

lue

Standard deviation of D5/DMean value of D5/D

p=0.71, Q=var(wk)p=1, Q=2var(wk)

(b)

���� �� ��� ����� �� p � D5/D �� � �������� �� D5/D ���� ����� ����� �� D5/D �� ���������������� �� ��� ������ �� D5/D R �� ����� �� � �� ���

��� ����� R � Q

�� ������� ��� �� ��� ��� ��� ���� �� �� �������� ���� ������� R ����� ��������� ������� �� ����� �� ��� �������� ������� ��� Dk� ��� !� ��� � ���� ��������� p ��� ���������� ���� R ���� ��������� ��� ��������� �� ��� ��"��� �� ��������� D5 �� �#� ������ �� ���������� ���� ���� p > 0 ��� R ���� ������ � ��� ���� �� ������� ����"��������� ���������

0 2 4 6 8 100.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

p

Num

ber o

f con

verg

ent D

5/tota

l num

ber o

f D5

Convergence of D5

(a)

Divergence of D5

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

p

Stan

dard

dev

iatio

n or

mea

n va

lue

standard deviation of D5/Dmean value of D5/D

p=1, Q=2var(wk)

p>7.8, optimal Qp=0.71, Q=var(wk)

(b)

���� �� ��� ����� �� p � D5/D ���� R ����� �� �������� �� D5/D ���� ����� ����� �� D5/D �� ������� ��������� �� ��� ������ �� D5/D ��� ����� R �� ����� �� � �� ���

$�� �%��� �� Q �� ��� �������� ���������� ��� "��� ������ �� ��� �������� D5/D ������ � �� ��� !�� &� ��� �� ���� ���� ��� �������� ��������� ��� "��� ����� �������� ����� p ���������� ������ ����"�� �� �������� ��� p > 7.8� '���� ��������� p ������ ��� ������ ����������� '���� ���� ����� �� ��� �%��� �� ���(��������� �� ��� "�����

&� ��� �� ��������� ���� ���� R ��� Q ���� ��������� ��� ����������� �� ������������� � ��� ���� �� D0 ��� B0 ��� ������ ��� ���������� ���� �� ����"������ $� ������

)*

Page 74: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

R ��� ����� ���� � ������ vs �� ��� � ��� ������� ����� �� ���� ������ �������� � z,� � ��������� h(x0) ��� ���� � ����� ���������� �� ����� ��

����vs = [v(1)v(2)....v(1681)]T ,

����� s �� ��� ���� �� � ����� ���������� ��� s = 1, 2, ...., 1681 � � v(i) ����� ������� �� ��� ���� ��� ��� R ���� �� ����� �� ��� ������ ���� � ��� ����� � ��������������� ����� ���� � ��

�� �R = max(vs)I.

!� ������ Q ����� ��� Q �� ����� �� �� ���� �� P−0 �� � ��� ��"� �� �� ��� Q

������� �� ��� ����� �� ������ ��� ���#� � ���������� � � � ��� � �����������$��� � ����� ���� ��� ������� � ������ ����� � �������� �� � ����� R � � Q = 0

��������� �� %�&' �������� ���� ��� ������� � ������ �� ����' ��� ��(��� � R ����� ������ � $��� ��� )� ���� ��������� �� %�*' ����� �+ �������� � �� � ����� R � � Q ������ � $��� � �������� �� ��� ������� � ������ �� ���,' ��� ��(��� � R � � Q ������� ���� � $��� ���

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(a)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(b)

���� �� ����� ���� ��� Dk ������ ��� �� ������ ���� ������� (Dk�Bk) ��� ������� �������� ������ D0

��� B0 ����� ��� � ���������� ��� ����� R ��� Q = 0� ��� ��� �� ���������� ��� ����� R ��� ����� Q� Q ��������� �� �� ����� ��� ����� �� P−

0 �� �� ��� ����� ���� R �� ���� �� �� ��� ����� ����� ��� �!" ����� ���������� ��� ���" ��� �� �������������

�� ��� �� ����� ���� ���� �� �� �� R ��� Q ������� ��� ���������� �� ����������� � �� Dk� ��� � � ���� ��� ���� �� ����������� � ���� � ��� � ��� ��� ��

��� ������ ��� ��

��� ������ ��� ��� � ����� �� Q ��� R� �������� ��� ��� ������ ��� ����� ������ ������ ������ ���� ��� ��� ���� � ����� ���� ��� �������� � ��� � �� ��� R� ��� ����� ��� ���� ������ ����� � ��� ������ � ������ ������� �������������� z� ��� ��������� ���� ��� ��� ���� h(x) � � !"� #��$� ��� P−

0 ��� ��� �������� ���� ������ ����� � � !"� #��$� ��� ��� � � ��� ������� �������

�%

Page 75: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ��� ���� � ��� � ��� ������� �������� D0/D ��� B0/B ���� ��������� ��������� ������� ���������� ����� ����� � ���� ������ ��� �������� � ���� ����� ����������! ���� ��� ���� ���� "���# $��� ���� �� ��� ��� %��& ��'�� �������� � �����'� %��� ����� ��� ���������� (�� )��'�� *���� ��� p = 0.01 ����� ��'�� ��� ��'���������� ���� � D50/D �� ��� )��'�� *���� ��� p = 0 ����� ���! $�� �� �%���� ��� ����� ���������� �� ��� �� ���� ��! ���� )��'�� *���� ��� p = 0 ����� � ����� ��'$�� ���������� �� ��� %���'����� � ������� �� ��� �� ���� �$� (�� ��+������ ����� �,������%���� ��� ���� � ���������� $�� ��� ������ � ��� ������� �������� %���'����� ���� ������������� ������� �� ������� ��������� �� ��� �� ���� ���

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(a)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(b)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(c)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(d)

���� �� ����� ���� ��� D50/D ��� � �� ������� ���� ���� (D50/D�B50/B) ��� � � �� ����� ��� ��� D0/D ��� B0/B ���� �� ���� ��� ���� ��� ����� ������ ���� � �� ��� R ��� ��� Q� ��������� ���� � �� p = 0� ��� ������ ���� � �� p = 0.01 � ��� ��� ����� ��� ���� ������ ����� !������� ���� � �� �� �� �� ��" ��� �������� ��� �#�" ��� ���������

(�� ��������� )��'�� *���� ����� � ���� ����� � ��� ������� �������� ������ �� D0

��� B0 ���� ���� ��������� ������� �� ������� D50 ���� )��'�� *���� ��� p = 0! )��'��*���� ��� p = 0.01! ��� ��+������ ����� �,������ (��� '�#�� �� �� �%%�%����� '���� ������'��� ������� �������� �� ��� � ������ ����'���� �� ���� � ����� �� � ����� ���������� ��� %���'�����! ���� �� $�� �� �� ��+�'������ '�������� ���! �� �%���� ��� ����� ����������� (�� )��'�� *���� ��� p = 0.01 '���� $� � �� ����� �� ��� � ������

��

Page 76: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������� �� � ���� �� ��� �� � ����� �������� �� ����� ����� � ������������� ������ ���� � �� �� ��� ��� ����� ���� �� ������� �� �� ����� ��� D0 ���B0�

� � � �� ������ ����� ��� D0 ��� B0 ������� � �������� ��������� ��� �������� ��� � ���� ����� ���� � ��������� �� ���� �� ���� � � ����� �� �� ���� ����� ���� � ����� ���� ��� �� ��� � ���� ���� ��

!"#$1

iD< �� �� ������� ����� < iD,

!" $1

i B< �� �� ������� ����� < iB,

�� i = 1.2, 1.6, 2, ......, 10� � %��� ���� ��� � �������� �������� ��� ��� ������ ��� �� i �� ����� � ����� ��� ��� ���� � ��� � ����� �� ������� ���������� ���� �� � ����� �� ���� &� �� � ���� � ��� '����� %��� ��� p = 0.01 ����� ������� �������� �������� ��� � ������� ���� ���� �������� ��������� ����� �� '����� %��� ��� p = 0� (� � ��� ���� � ��� ����� ������� �)������� ���� �� ����� �� � � ������� ����� � ��� �� ������ ��� ���� ���� ����� ��� � ������� ���� ��� '����� %��� ��� p = 0.01 ���� ����������� � ��� ���� (� � ������)� � ��������� ���� ������ ���� ��) ��������� ��� �������� ��������� ��� i > 1.6� �� ����� �� ���� " ��� * ���� ���� ����� �� ���� �� ���� �� ��� ���� ���� ��� ����� ��� D5/D �� ���� �� ���� �� �������� ����� ��� ��� �� � ������� ����� ��� ������� ���� � ���������� �� �� ������� ������ ����� ��� D5/D�

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

i

Stan

dard

dev

iatio

n

Suggested Kalman filterKalman filter, p=0Kalman filter, p=0.01Non linear least square

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

i

Mea

n va

lue

Suggested Kalman filterKalman filter, p=0Kalman filter, p=0.01Non linear least square

(b)

���� �� �������� ������� ��� ���� �� ��� �� ��� ������ D5/D ������ ������ � �� ����� ��� ���������� �� ��� ��� ������ ����� � �������� ��� �������� ������� ��� ��� ���� �� ���� ����������� ���� ��� ���� � ��� �� ���������� ��� ���� �� �������������

����+ ���� � �������� ��������� ��� ��� ����� �� � ������� Dk� k = 1, 2, .., 100������� ����� �� ��������� ��� ���� ������� ����� i = 10� ��� � ���� ������ ��������� �������� ����� ��� Dk ��� � ������� '����� %��� � ��� �����) �� �� #,

-+

Page 77: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���������� �� ��� ���� ����� �������� �� ������ �� ���������� ��������� �� �� ������������ ������ �� ������ ����� ����� ��� ������ ��� ���� �� ���� �� ��� ������� ����� �� Dk

���� ����� �� ����� ����� �� �� ��� �� ���������� �� ��� ���� ����� ����� �� Kk ��������� ������ �� ��� ������� ����� �� �� � ���� ������ ������

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Number of iterations

Stan

dard

dev

iatio

n

Suggested Kalman filterKalman filter, p=0Kalman filter, p=0.01Non linear least square

(a)

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Number of iterations

Mea

n va

lue

Suggested Kalman filterKalman filter, p=0Kalman filter, p=0.01Non linear least square

(b)

���� �� �������� ������� ��� ���� �� ��� �� ������ Dk ������ ������ � ������� �� ��� ��������� ����� � �������� ��� �������� ������� ��� ��� ���� �� ���� �� ��������� ���� ��� ����� ��� �� ���������� ��� ���� �� ������������� � ���� ��� � ��� ��� ���� � ��� �� ���� ������ �������

��� ������ � ������� �� ���� ����� ����� ��� ������ ����� ���� p = 0 ������������� �� ��� ������ �� ���������� ���������� ���� �� ������� ����� R �� ��� ����� �������� ������ �� � ����� ���� �� Q ������� ����� ����� ��� ������ ���� �� ������ �� �������� ��� ��� ������ � ������� �� ���� ����� �� Dk ��� ������ ����� ���� p = 0.01�� ��� ��� ������ ����� �!����� ��� ���� !������ ���� ��� ������� ���� �� �� ������������� ������ " �� # ��� �� ��� �$���� �� �� ��� ������� ����������� ����������� �%������� ��� ������� �����������

��� ������������ �� �$����� ���&������ ��� �������� ��� ���� �'( ��������������� �� �'�( �� �)��( ������������ ����� ������ ������ ��� ���� ���� �� �� �'(���������� ����� �� �)�( ������������ ������ ����� * ����� ��� ������ � ����������� ����� �� ��� ���������� �� ������� �� ��� ������ D50/D � �� ����� ������ ��D50/D +,�-(. ��� ��� ������� ����� ���� i = 10 ��� ��� ���� �������

��� ����� ����� ���� ��� �������� ������ ����� �� �� ���������� ������� ����������� ��� ����� ������� ��� ���� ��������� �$������ �� ��� ���������� �� ��� �������D50/D ���� �� � ��� ������ ������� +����� /*(. ���� �� ���� �� �� ����� ������� ������� ������ ����� ����� ���� ������������� �� �������� ��� �$����� ���&������ ���� ���������� ������� ����� � �� �� ��� � ����� ����� �� ��� ������������ ����� �� �� �)��(���� ����� ���� ����� ���� ��� �������� ������ ����� ����� ��� ���� �� ��� ������� ������ �� ������ ����� ���� p = 0.01 �� ��� ������ ����� �!����� ��� ���� ������ ,�-(� 0���������� ������ � ������� �� ���� ����� �� �� ��� ����� ��� ������ � ���������� ������ ����� ���� p = 0 �� � ��� ������� ����� ����� ��� ����� ������ �� ������� ����� ��� ������ � ��� ���� ��� ��� ������ ����������� 1 ������ ��� ���� �� ������

*�

Page 78: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� �������� �������� ��� ������ ��� ���� �� ��� ������ D50/D �� ��� ��� �����

��� ���� � ��� �� ���� ����� ��� ����� ����� ��� ����� �� ������ �����

������ ���� ���� ������� �������� �� ���� D.N%

���� ������ ������ ���� ���� ���� �����

������ ����� p = 0 ���� ���� �����

������ ����� p = 0.01 ���� ���� �����

��� ����� ���� �!���� ��"������ ���� �����

�#�� ������ ������ ���� ���$ ���� ����$

������ ����� p = 0 ��#� ���$ ����"

������ ����� p = 0.01 ����� ���� ���$"

��� ����� ���� �!���� $�������� ���� �#�$�

����� ������ ������ ���� ���� ��$� �����

������ ����� p = 0 ��$$ ���� �#���

������ ����� p = 0.01 ���� ��$$ �#�$$

��� ����� ���� �!���� ���$� ��$� ����"

���� %��� p = 0 &������ �� ���' ��(��� )����� %��� ����� ������ ���� ��)� %��&����� ��� ��������� �� ��� *�� &������&� +� ���� �� ������� ����� &�� ,�))��� (&����' *�� ,��� ��� ��� ��-&��� ��*�������� �,��� �� �.��� )����������� &�� , �))��� *�� � %�� ���� �* ������� )��������

/� ,������ �* ��� �!��� ���� *�� � ��&�� ��� ,���� ,�� ���)� �� *���� �������� ��� �� �� ������ �� �� 0��� �� /� ������� )���&�� )������� D0 ��� B0 ��&���� �� , 41 × 41 &��,��������� %��� 0.001 < D0 < 0.1 ���1��� ��� 6 < B0 < 600μ 1��� %��&� &������&� � ���� &��,�������� ,�%� �� ������� )�������� /� �������)���&�� )������� ���� P−

0 � &�������& ���� *�� �� )������� Q� ��� &�������&���� *�� �� ��������� R �� &���� ,��� �� ,��� ������� ����� ��� ���&��,��������� 0��� �� ���%� �� &������& )��� *�� �� �%� )������� D ��� B �����,����� ����� �� ������� ������ ���� *�� �� ��� ���)� �*�� �� ��� #�� ��� �#�����������

/� ������� )���&�� )������� ���� ��� &������� ������ *�� Dk �� *���� �� ,����� *��� �� &��,�������� ���� &������ ������ � �)&��& ��� �*�� ��� ��������� ���� �� ��� #� ��������� 2� 0��� ��3� 4����� ���#� �* ��� &������ �� �� �.��� �� .��%� )������� D = 0.0144 ���1��� ��� B = 73.602 μ 1�� �*�� #� ���������� %����� "�#� �*� &������ �� �� ��� )��& ������ �*�� �#� ���������� ���� ������ ������)� �� �� "�#� ����� , � )����,� ����� *�� �� ���%�' &������&� /� &������&��� �� 5)&�� ���& �� ��� �!��� ���� ��� ������ ����� ����� ���� ��� �� ���%� ��0��� ��

/� &����&�����' ����� ��� *�� ����'��&�� ���� 6!� 2��3 ����� D ��� B �,����� ,'�� ������� ������ ���� ��� 5)������� ���� *�� �� ��� ���)� �� ���%� �� 0��� ���/� ���� ���%� ���� �� ����'��&�� *��&���� ��� ��' %�� %��� �� 5)������� �����&&��)���� %��� ��� �!��� ���� �* ���# 2μ 1��3��

��

Page 79: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1101

102

103

D [mm2/min]

B [μ

S/m

m]

after 1 iterationafter 10 iterationsafter 50 iterationsafter 250 iterations

���� ��� ����������� ����� Dk �� Bk ����� ����� ������� ���� ��� � ���� ������ ��� �� ���

��� �� ��� ��������

0 300 600 900 1200 15000

10

20

30

40

50

60

70

t [min]

Con

duct

ivity

[μS/

mm

]

Experimental dataAnalytical function

���� ��� ��� ������ ������ ��� ��� ��������� �� ����������� ��� �� ���� �������

��

Page 80: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

���� ����� �� ����� � �� ����� ������� ��������� ���������� ����� ��� ����������� ���������� ����� ��� ����������� ������� ��� ������ ����� ��� ������������ ���������� ��������� � ���������� �� ��� ����� ��� ����� ��� � ��� �� ����������� ���� ��� �������� ���� �� ����� ����� �� ����� ���������� ���� �������� ��������� ��� ������ ����� ����� � ���� ����� �� ��� ������� ����������� ��� ��� �������� ���� ��� ����� ������ ������ �� ��� ������ ���� ����������� ������� ��� ��!������ �� ����������� ����� ��� ������ ��������� ��� �� ���� ����� �� ��� ���� �� ����������� ��� ��� ���� ��� ����� ������ "��#��� ����� ��� �!����� ��� �$���� ���%����� �� !����� !��� � � ��� ��#�

������ ��� ���

��� ��������� ������&����� ��� ����������' (���� )��� *����� + ��� ��������� ��� �� !��� ������� ,�� -�������# ��� � ������ .� /�0��� �� ��#��� -�������#��� � ������ ��� ���� �� *� /����#�

�� ��� ������ �� � ��� ����� �

��� �� �� ��� ����� ������ � �������

1* �2Φ = (z − h)�(z − h).

3# ������ ��� ��������� �� Φ ���� �� ��� �� x �� &���� � �� �� n �������� � �!������

1* +2∂Φ

∂x40 ⇒ H(x)�{z − h(x)} = 0 .

5������� �� (�� 162 ���� (�� 1* +2 ���� ��� ����������

1* 62H�{z − h(xk)} ≈ H�H(x− xk) .

.����� ���� ��� n × n �����7 H�H � ��� �������� ��� �!���� ��� ��������� � ��7� �������

1* 82x ≈ xk + (H�H)−1H�{z − h(xk)}.

��� ������ #��� ��� 9���!��� H � ��� ����� �� x� ����� ���� ��� ������� �� (��1* 82 �7����

+6

Page 81: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�������� � ��� ���� ���������

��� ������� � ��� ���� � ��� ��������� ������ P−k � ��� ������ P k� ��� ��������� ������

���

�����P−k = ���(xk − xk−1), ��� P k����(xk − xk) .

��� ������ ���(a) � �� l × l ������ ���� ��� ������� αij ����� �� ��� ���� a =(a1, ...al)

� � ���� � � �!����� ��� "������� �#$%�

���&�αij = '(xixj)− '(xi)'(xj) ,

����� E(ϑ) � ��� ���� ���� ���� ����� � ��� ��� �� �������� ϑ "���� ��� ������ P k ��� P−

k−1 ��� ������� ���� ��� ����� �� n× n ( ��� ') ����� ��� �&�� � ������� ������� P−

k ��� P k � ������� � �

���%�P−k+1 = ���(xk+1 − xk) = ���(x+ wk+1 − xk) = ���(xk − wk + wk+1 − xk)

= ���(xk − xk) + ���(−wk + wk+1) = ���(xk − xk) + &���(wk) = P k +Qk.

����� Qk = 2���(wk) � �� n × n ������ *�� ���� ��� ������� � ��� ��� �������������� )�������� (x− xk) ��� wk �� �������� ���� ��

+� ��� ���� ����� �� �������� xk �� ') ����� �� � ��� ') �,�� P k �� �� ����� ���

P k = ���[xk − (xk−1 +Kk{zk − h(xk−1)})] .

-������� zk ������ � ') ��� ���� �

P k = ���(xk − xk−1 −Kk{h(xk) + vk − h(xk−1)})= ���(xk − xk−1)−Kk!��h(xk)− h(xk−1), xk − xk−1)

− !�(xk − xk−1, h(xk)− h(xk−1))K�

k +Kk���(h(xk)− h(xk−1))K�

k

+Kk���(vk)K�

k ,���.�

����� ��� ������ !�(a, b) ���� ��� ������� � ��� ��� �� ���� a ��� b ��������� !�(a, b) � �� m×m ������ ���� ��� ������� αij ����� �� ��� ��� �� �������� a = (a1, ...am)

� ��� b = (b1, ...bm)� � ���� � � �!����� ��� "������� �#$%��

���$�αij = '(aibj)− '(ai)'(bj) .

/� � � �� ���� ��� ������� ������� ��� ������� � h(xi) ��� vk �� ��� i ��� k���� �� ��� ����� ���� �� ') �%� ������ h(xk)− h(xk−1) = Hk(xk − xk−1) �� ��� ��

���,�P k = P−k −KkHkP

−k − P−

k H�

kK�

k +KkHkP−k H

kK�

k +KkRkK�

k

= (I −KkHk)P−k (I −KkHk)

� +KkRkK�

k ,

&.

Page 82: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� Rk �� ��� �������� ���� ��� ������������ ��� �� N × N ������ ������ �� ����

�����Rk = ���(vk) .

����� ��� xk ��� vk ��� �������� ������������ P k ������ � ������� ������ ����������� ����� ������� ��� ���������� �� �� ��� � ��� �� ��������� ��� Kk ���� ������ ����� ���� ��� �� ������� �� ��!��� ��� �������� ��� ����� "�(P k) ���� ������� � Kk

��� ������� �� �#��� � ��$ "�!��� ��� ����� ��� ���� �#������ �� %#$ ���&� ������

���'�"�(P k) = "�(P−k )− "�(KkHkP

−k )− "�(P−

k H�

kK�

k ) + "�(KkHkP−k H

kK�

k )

+ "�(KkRkK�

k ).

(���� ������ ���������� � ��� ������ ������ � $ �)������� ��� )�������� *++'�

���,�"�(P−k H

kK�

k ) = "�(KkHkP−k ) ,

∂"�(AC)

∂A-CT ���

∂"�(AFAT )

∂A-2AF .

"�� ���� �#������ ��#����� ���� ��� ������ F �� ���������$ "�� �������� %#$ ���'����� ������� � Kk ��� �� �������

���.+�∂"�(P k)

∂Kk

= −2P−k H

k + 2KkHkP−k H

k + 2KkRk.

"�� ������ Kk ��� �� ������� �� ������� ��� ����� ���� �� %#$ /��.+0 � �� ������

���..�Kk = P−k H

k (HkP−k H

k +Rk)−1 .

"�� P k ��������� � ��� ������ Kk ��� �� ������� �� �� %#$ /��.*0 �� ������������%#$ /��..0 ��� %#$ ���&� �� ����

P k = (I −KkHk)P−k + {−P−

k H�

k +Kk(HkP−k H

k +Rk)}K�

k .

(���� %#$ ���..� ������� ����

���.*�P k = (I −KkHk)P−k ,

��� ����#������

���.1�P−k+1 = (I −KkHk)P

−k +Qk .

*2

Page 83: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������

���� ��� ����� ��� ���� ������ ����� ���� ��� �������� ���� ���� �������� ��� ��!����� "���� � #����� $���� %� &'(� %�%%)%� *�

����+� ,�� -���� ��� ���� ��� �%%� .�������� ��� �� !���� �� +������ ����� ���� �����/������ ,���� ���� ��� 0� &�(� %0�1)%2 ��

���� ,�� � ���� ��� ,������� 3�� 4��� ��� ��� %��1� 5�����!����� � 6��� ′� ��������������� �� ���� ��� �� !����� $ �������� 3�������� %� &'(� 2�%)2�'�

7���� 6�� -������ 8�� 3����� 6�� �� � #��� ���� ������!����� � � �����+� ����� ����� ��� �� !����� $ ���� 3����� �� ������� 3�������� ��� 9���������� %�% & 2(� :01) :1%�

7�;�� 8� 6�� %�:*� 5�������� � ���� ������ �������� ��� ��� �� !�������� /�� :�<���� 4�; =���

$�������� ��� 3������� ,�� �������� 7�� ���� 5�����!����� � 6���−�+������� ���>���� ��� ���� ����� +�� ��� �� !������� ������?�� 5� ������ 5����������� @���� �������� %�0 &0(� *0�)*1*�

$����� 8�� A������� ��� %�2*� 3����� � 3���� ������ #������ &5������������ 4�; =���%�2*(� /�� '*�

��� ��� 8� 9�� %�'�� � ��; ������� � ������ !������� ��� ��������� ����� �� "����� -���� 9���������� : &%(� *2)02�

B�������� 6�� ,����� ��� 8��� ��� <�� ,+������ 5�� �%0� ����� ������ � ��C�����D������ �� �+��� ��� �� ���� � ������+��� ����� ���� 5����������� "����� 9����� ����� ��� $ �������� 7� �������� &0(� * 0)*0 �

3�������� A� B�� A���� ��� #�� ���� 9��� ��� ��� �� !���� ��!������� ��� ���������� ���� ;��� ��� ������� ��� 3����� <������ 8�+��; %*1 &% (� 0* 2)0*0*�

3������ ��� ����� 3�� �% � ��� ���� ���� ��� ������� ��� �� !���� ;��� ��� ;�������������� ��� ���������� ���E 9����� ���� ;��� ���� ����+������ #�� ��� ���������������� %'� &*(� * %)***�

4��� ��� ��� 6� =�� ��1� 5�����!����� � �������−������� ��������� ���� ����� ��������� ����� ���������� ��� ��+���� ��������� 3�������� � �������� *� &0(� *0�)*2'�

4��� ��� ��� B�� =�� ��1� ����� ������ � �������� ��������� � ���� �� ����������� �� ������� +�� ��+���� ��������� 5����������� @���� � ����� ��� �������� 00 &'(�%���) ����

#�������� �� 7�� #�������� 3� ,�� ��:� ��� ����� ����� ��������� .��+������ ���� ���� 1)%2�

'

Page 84: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������� �� � �� ���� �������� �� ����� ������� ����

���� �� ����� � ���� !� "�� #����� $����%&���' �'�(��)� ������� *�� ���+����'�,����� +��� �����+� (��������� ��' ���'���, ������� ���(��� -������������ ��������* �&��� ��' .�������� /������ � 0�12� � 345� "

�������� 6 !� /���� 6� 7���� �� � 3 �������� �� �������� &�������� ������� ����� ���8���'�' �����)�� ������ $���� 9����(��� ��' :��������� �,������ -::: �������������� ;; 0�2� ";"5"<�

=�''�'�� �� .�������� �� ������ �� "��; -�)���� ����,��� *�� ��������� ��������'�>����� ������� $&��%����*����' ���(������ 9��� ���������� �� 0�2� �335� ;

=�''�'�� �� .�������� �� ������ �� "��3 -�)���� ����,��� �� '�������� �,����������(��(������ �� $&�� ����*����' ���(������ ������� �* ���(����� ��������� <� 0;2� ;� 5;;<

7���� �%#� #��� /%!� ��� �%#� "��4 =�'�� �&?��� �������� ����� �'�(��)� ������$���� ������� �* =����� /������������ ��' -���� �(����������� �3 042� �� �5�"�1

7�� /%/� ����� 6%�� /���� �% � @����� �� "��� 9����������� �* ���(���� �,����� �������' ��������� &���' �� ��� �����&�� ������ $���� 0:�#�2 ������� �* ��� 9����(������������� 43 0�"2� ;1�45;1""

"3

Page 85: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 86: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Paper C

A. Shokry, P. Stahle and I. Svensson (2015)

Determination of spatially dependent diffusion parameters in bovine boneusing Kalman filter

Submitted for international publication

Page 87: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 88: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������������ ������ � ��������� �������

���������� �� ����� ���

����� �� ��� � ���

�������� �������� � ������� ��� ����� ���������

��������� �� ��� �� ���� �� ��� ����������� ����� ���� �����

��������� ����������� ����������� ����� ����������� !"#�$ ������ �����

����������� �� %����� � ������������ ��� ����������� ����� ���� �����

��������

������ ��� ������ ���� ���� ���� ��� ��������� �������� �������� ������ �� ������������ ��������� �� ��� ���� ������ ���� ���� ������� ������������� ��� ����� ��������� �� ��� ���� ��������� �� ��� ��� ������ ��� �������� �� ��������� �� ��� ���� ������ �� �������� �� �������� �� ��� ���� ������� ������������ ���� ��� � �� ������������ ��� � �� ��� ����� ������ ���� �������� ������������ �������� �������� �� �!� ���� �� ���� ��������� ����� ��� ��� ���������� �� ��� ����� ��� ��������� ������� ���� �� ��� ���� ������� ������� �� �� �������� ����� ������� ��� ��� �������� �� ��� ���������� ��� �������� � ���������������� �������� ��������� ������������ ����� ��������� ��� ������� ��������� ���� ��� ������� ���������� �� ��� ����� ��� ���������� ��� � ������"���� ������#�� ��� ���������� ��� �������� ��������� �� ��������� ��� ����������������� ��� ���� �� �� (12.8± 4.7)× 10−11 ��� (5± 3.5)× 10−11 ��$� ����������� ���� ������������ ����� ������� ��� ��� �������� ������� ���������� "�� ��� ���� ���� ��� ������������ ���� ���� ���� �#��� ����� ������ ���� 0.06 × 10−6 ��0.183× 10−6 �μ%$�!��

Page 89: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

�������� �� � �� ��� � ��� ������� � ����� ����� �� ���������� ���� ��� ��� �� ������ �� ������ � ������ �� ����� �������� ������ ������ ����� !�� ������������ ��������� ������������� �� ��� �������� ������� ��� �� � ���� �� �� ����������� ������� �� ��� ��"����� #��� ′� �� $��� �� ���� ��������� ����������������� ���������� ���� �� �� ����%� �� ��� ������ ��� �� �������� �� ��� �������� ���� �&�'����� ())�* +������� �� � � ()��* ��� �� � � ())�* ,����� ())��

-�� �� ��� ���� ����� #���′� ��� �� � ������ �� ��� �����������' �������� �� �������� ������� &��� ����� ����� ���� �������� ��%��%�� ��� �������� �� ��������� ���.�'�� ���� ��'� ������������� �� ��� ���� %������ �� ���� ������������� �� ��� ��������� #�� �.����� ������ ��������' ��������� �%� ��� ��������� �� ������� �� ��������' ����� ��� �� ������� ���� ������� ����� �� &/��/� ()�0* 1���2"$����� �� � �())�* 3��� �� 4������ ())5* 3��� ())(* 4������� �� ,���������� ()�(� -���������� �%� ��� ��������� ��� ��� ���������'� �� ����� ��� ��� ������ �� ������� � ��� ��� �#���6���2 �� � � ()�(* 4������� �� � � ())�* 3���� �� � � ())5� 4����� ������� ���%�� �������� �%� ��� ��''����� �� ��� � �������� ���� �� ��� �������������� �������� ���� ��� ����� ������� ��������� ��� ��%��� ������� ��� �� ��� ���' ����� ��� ������ ���������� ��� ������ 3 ���"���������� ����� ��� ����� ���%�� ���������� ��� ��������� �� ��� ��������� � $���"4���� �� � �()��� !��� ����� �� ���������� � ������ ����� �7�����' �� � � ()�0� ����� ���"���������� ����� ��������' ��������� ���%�� �������� �� ���������

4�%��� ������� �%� ��%����'��� ��� ��� ��������� �� ��� ������ �������� ���8"����� ����' �'����� �������� ��'��' �$���� �� � � ())�* ������ ()�0* 3��� �� � �())�� !�� ����� ������ �� %��� ������ ��� ������' ���������� ��� ��� ������������������� �� ��� ��� 3 ���� ������. ������ ��� ����������' ��� �������� ���8����� ����� ���������� � 7�����' �� � �()�9� !��� ���� � �.��������� ��� �� ����� ����������� ��������%��� �� ��������� ���� ��� �� ��� �������' �������� ���� ������' ����������� ��� ������ �� ������� �%�� ���� #������� ��� �������� ������� ������������ ���� ����' ��� �������� �� � ������� ����� �������' �� ��� �.�������"�� �� ����' :��� ������' ������;�� :��� ����� ����� � ���� � �������%������� �� ����� �� �.���� ������� �������� ���� ����� �.��������� ����������� <� ���%���� �������� ������� ��� %��� ������. ��������� �� ���� ��� �������� ��������� ������ �� � ����������� �� ��� �������� �� ��� ��� ��� !�� �������� �� ���������� ������� ��� '����� �� ������ ��� ������' '��� ��%�������� ��� ��� �����"����' �� ��� �����' !��������� �� �� �������� �� '�� ����� �����������' �� ����������� ������� �� ��������� ��� �������� ��%��%�� $��� �� ��� ����� �� �%� ��"���������� ��������' �������� ���� ����� �������� �� ����� �������� �� ������� ���������� ����* ����� �� � � ())�� 4���� �� �� ����%�� ��� ������%��� �������� � ����������� ��������� ��� ����%�� %������ �� ��� �������� �������� ��� ���������� ������ �������� ������� �� ������� ������� ���� ����� �������� �� ����� ���������� ���

<� ���� ������ ���"���������� ����� ��� ����� �������� �� ��� ���� ���������� �"

(

Page 90: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ���� ������ ��������� ��������� ���� �� ��������� �������� � ��� ���������� �������� �� ����� ��������� � �������� �� ��� ��� �������� ��� ��� ���� �� ����� ������� �� ��� �������� ���� ������ ��� �������� ������ �� ������� ����� ���� �� ��� ��� ����� ���� �� ��������� ��� ���������� ������ ����� ���� ���� ����������

� �������� �� ���� �

��� �������� � �����

��� �������� �� �������� ������� �� ��� �������� �� ���� ������ ���� �� �������� ��������� ��� � �� ��� ��� ����� �� ������� ��� ���� �� ���� ���� �� !������������� "� �� ���� ��� ������� �� #��� $% � ������� ���� ��������� ���� ������� ������������� ����� ������� ����� �� ����� ��� ��� �������� "������ �������������� ����% ���� ��� ������ �� ��� ���� �� �� ��������� ����� �� ��� ���������������� "&������ �� ��� '($)%�

���� �� ������ �� � � ����� ������ ����� ����� ��� ���� ���� � � ����� �������� �� ������� �� �� �������� ��� � � ���� �� �� � � ���� � �� ����� � ���� �� � ��� �� � �������� ������ ����� � ��� � ���������� ����� ��� ����� � � � ���� �

��� ���� ����� ��� ��� ���� ������ ������� �� #��� $�� ��� ��� ��� *��� ������ � ����� �� ������ ���� ��� ���� ������ ��� ���� ��� ���� ����� ������ ����� ���� � ����� �� ���� ��� ���������� �� ��� ���� ������ � ����� �� ���� $�+��� ��� ��� ��,� �� ��� ��� ��������� L� ��������� �� ��� ��� ���� ���� �� ��� �����

��� ������ ��� ����� � ���� �) ◦- �� ���,� �� ��� � � �� �� �������� ��� �� .��� ����� ��� ���������� ��� ��� ����� �� ��� �������� �� ���

/

Page 91: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� ������ ������ � ��� L h �� b �������� �� ��� ��� � ������ �������� �� ������������� � ������������

������ � � �

L ��� ��� ���� ��� ��� ���

h ��� ���� ���� ���� ���� ����

b ��� ��� ���� ���� �� ���

����� ��� ������� ���� ���� ��������� ���� ��� ����� ����� !�� � "����� ���� �! ��� �������� ��������� ���!�"� ��� ��� ���������� ���!�"� ���� "�#���� � � �� �� �! ������$ �!������ "����� ��� ������ ��� ������ �%� ����$ ��� ���!�"�� ���� �&��� ��� ���������� ����������"����� ���� ������$ ���#��� ��� ��� ���������� ��� ��������� ���!�"�� ���� �� ����� ��'��� ��

�� �� ��� ����� � ���� �������� ����� ����� �z� �� �������� �y� ��������� ��� ������ ���������x� � ���� ���� ��� ��������� ���� � � ��������� ���� ��� ���� ��� � ���� ���

��� ������� ���� ���� ��� �� � ��������� ��������� "�������$ ()�$ �������� !�� ������$ ���"� �� �������� �� �� ��*"����� ���� !�� ��� ()� ���� �� ��%��� ���� ��� ��������� ���� � !���� "������� "��"��������� �� �"���#�� ���� +������& + !�� ������� � +!���,������ �� ��������� ����� !�� ������ � ��"����$ ��� ������� ���� -���� ��������� �� ����� �! ��������� ����� ���"� ������ ��� ��������� ��� "������� ���� �� ��%��� ������� ������� �� ��� ���!�"� ����� ��� ��"��� ���� ��� ����������� ������ ��� "����"��#�� ����� ����������� ����� ��� �������� ��"� ��� ��"��� ����� � ��#��.�� �� "����"��#�� ����� !��� /������ ������� ��� ���������� ��� �� �""���" �! ����0 �! ��� ��������#����� ��� �1������� ��� "��������� �� �� ◦) ��� ������ ��������� ���������� ��� ���������� ��� ����������� ���� � "����� �! "���������� ��� �������� �� ��� �����#�� �2� ◦)�

��� �������� �� ��

3������ �� ��� ����� ��� 3���� ����� ������� ��� ������� �! ����� ���� ����� !���!������ �! ��%����� ���� ��� ������������ ���� ��4�� �� ����� ��%����� ��������� �� ���

Page 92: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ����� � � ��� ����� �������� � � �������� ������� ��� � ������ � ����������� ��� ����� � ����� � ��������� ���� � �������� ������� � � ��� ������������ � � � ���� ������� ��� �� ���� � � �� ��

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

x/Lendosteum periosteum

Poro

sity

(%)

10 19 years old40 49 years old70 79 years old

���� �� �������� ���� ������� ��� �������� �� ��� �� �������� �� �� � ��� �� �� ���� �� ������ � ���� ���� ��� �� ���� �� ������� ��� ������� �����

�� � ��� � � ���� � ��� �� ��� ��� ���� � ��� ���� � �� ������ � � ����� � � � � � ��� ���� ���� � � ����� ����� � � ��� � ��� � ��� � � ��� � ����� ����� �� ��� � � � ��� � �� � � �� ���� � ����� � �� � � ���� ��� �� ������������ � � ��� � � � ��� �� ��� ��� ����� � � � ���� ���������� � �������� � ������ ��� ������ � ���� �������� ������ ��������� ������ ��� ����� ����� ������ � ��������

��� � ��� �� ��������� ������ �� � ������ �� x � ������ �� ���� �� � �����

� !D(x) = Do(1− x

L) +D1

x

L,

� Do > 0 ��� D1 > 0� ���� Do ��� D1 ��� � � ��� �� ��������� � � ����������� ��� ����� �������� ������ �����

�� ���� ��� � � ���������� �� �� ������ � � "���� �� ����� ��� ������ ���������� ��� ��� ����� �������� ��� �� ����� � � ��� �� � ���� ��� � ������� ������ x#�� � ����� � ����� ��� ����� ���� � � �� $!� �� ���� ��� ����� �� � ��� ��0 ≤ x ≤ L� ���� x = 0 � � �������� ������� ��� x = L � � ��� ����� �������� ��� %� �� � ���� ��� � �# ��� %#� ��� ���� h ��� b� ��� �� ���� ������ 2L � ������ 3L����� ����� �

�� � ��� � � � ������� � �� � ���� �� �� � x#����� ��� ��� �� �� &����� ��#���� �� �� � ��� �� � � y − z ������ ���� � � ��� � � ��������� D = D(x)� ' �

(

Page 93: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ���� ��� �� ���� � ��� ��� � ����� ������ ��� �������� ��� ��� ��������������� ���� � ���������� � ���� ��� ����� ������ ������� ��������� ��� ����������� � � ������ � x ��� ��� ���� t� ���� �� � ������� ���� ��� ������ � ������������� ���� ��� ��� ����� ��� ′� ��� � �� ����������� ��� ���� ������

!"∂C(x, t)

∂t=

∂x

(D(x)

∂C(x, t)

∂x

),

����� C(x, t) �� ������� ��� ���������� � ��� � �������������� ��� ���������� � �� ��� � �� ������� � ��� ����� � ��� � ������

����

#"C(x, 0) = C0, �� 0$x$L �� t%0.

&���� ��� ������������� ��� � ����� � ����� � � ������ ��� ��� ������ ����������������� � ��� ������ '��� ��� �� ��� ������ � ��� ����� (���� � ������ � �����(�� ���� ��� ���������� � ��� ������ � (��� ����� ������� �� ������ ������� ���� ��� ���������� �� ��� �������� � ��� ��� �� ��� �� ������� � �� ���������)��� ��� ������� ������ �� x = 0 ��� x = L� ��������� �����

*"C(0, t) = C(L, t) = 0, �� t≥0 .

� (������ �� ����� � �� ���� � ��(� ��� ����� ���� ����� ����� ���������+�� !" �� ������� �����

,"C(x, t) = X(x)T (t) .

�������� �� +�� !"� ��� �(��

-"1

X

∂x

(D(x)

∂X

∂x

)=

1

T

∂T

∂t.

'��� ��� ���� ��� � � ������ ��� � t ��� ��� ���� ��� � � ������ ��� � x� ������� ��� �� �������� �� � �������� ���� �� ��(������� �������� � �� −λ2� +�� -" ��� � �� �� �� ������ ��������� +���.

/"1

T

�T

�t= −λ2 ,

0"1

X

∂x

(D(x)

∂X

∂x

)= −λ2 ,

����� λ � �� �������� ���� �������� ��� ����� � ��� 1��� ���� +�� /" � ������������ ��

2"T = ke−λ2t ,

-

Page 94: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� k �� �� ������� � �������� ��� �� � ��� �� ���� ��� ��� � ��� ���� ���������� �� �������� � �� � ��

������

����D(x)�2X

�x2+D′(x)

�X

�x+ λ2X = 0 ,

����� D′(x) �� �� ��������� � D(x) ��� ������ x� ��� � � ���� � �� !�����" ����� ��� ��� � �#��#��" X(x) ��� U(ξ) #���"

����ξ(x) =2L

D1 −D0

√D(x) � � 0≤x≤L .

��� ���� �� � ���� ��� ��� ���� ��� ��� ���� � � �� ���

��$��2U(ξ)

�ξ2+

1

ξ

�U(ξ)

�ξ+ λ2U(ξ) = 0 ,

����� �� �����%�� �� &����!'� ��(������! ���� ��� � !#� � ��

��)�U(ξ) = R1J0 (λξ) +R2Y0 (|λξ|) � � ξ(0)≤ξ(x)≤ξ(L) ,

����� R1 ��� R2 ��� � ������� ���! � ������ ��� J0 ��� Y0 �������� �� *�� +� ���� &����! �#��� �� � �� %�� ��� �� ��� �� ,��� �-��,��� $�����&� #���" �� #����� � ���� �� ��� �.�� ��� �� ��%��� � ��� ����� �� � !! ���"

����� �� �����+

��.�

[J0 (λξ(0)) Y0 (|λξ(0)|)J0 (λξ(L)) Y0 (|λξ(L)|)

][R1

R2

]=

[0

0

],

��� �� � λ = λn� - � �������! � !#� � ���#����

��/�J0 (λξ(0))Y0 (|λξ(L)|)− J0 (λξ(L))Y0 (|λξ(0)|) = 0 .

��� � � λ = λn � ��� ��/� ��� #��� "������ � � ��!�� ����� � �� " ��!�#��� �� �� �� ��"� � 0 < x < L� ��� � !#� � cn � � λ = λn� #���" ���� �/� 0� �)��� ���

��1�cn(x, t) = [J0 (λnξ(0))Y0 (|λnξ(x)|)− J0 (λnξ(x))Y0 (|λnξ(0)|)] e−λ2nt

�� �#!%!!� �� #����� � ���� ��� 2�� # ! �� � "�����!��� k �� ��� �0� ��� ��� �# #���� -� ���" �� ���#��� !������� �� ��� �$�� � "�����! � !#� � �� ����� ��

��3�C(x, t) =∞∑n=1

Qncn(x, t) ,

����� Qn ��� ������� � ������ ��� �����! � ���� �� ��� �)� ���#��� �� �� Qn

� � ����� �#!%!! �� � ���� �

3

Page 95: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����C0 =∞∑n=1

Qncn(x, 0) .

�� ����� ��� �� �� �� ������� � �� �� ���� ���� cn(x, t) �� �� �� �� ����∫ L

0

cn(x, t)cs(x, t)�x �������� �� n = s� ����� �� � ����� �� ��� ���� ��� �� ���� ��

cn(x, 0) ��� �� ���� �� ���� �� ������� ��� �� L� ����� �����

�� �Qn = C0

∫ L0cn(η, 0)�η∫ L

0c2n(η, 0)�η

.

!� � �� ���� � ��� ��� �� ���� ��"� �#� � � �� ��� �� �� �������� �� ����� �M � �� ���� �� ����� ���� �� ������� ��� �� ����� �� �� ������

�$%�M = bh

∫ L

0

(C0 − C(x, t))�x = bh∞∑n=1

Qn

∫ L

0

{cn(x, 0)− cn(x, t)} �x .

&���� ��� �� � ��� ����� �� cn(x, t) = cn(x, 0)e−λ2

nt �����

�$��M = bh

∞∑n=1

Qn

∫ L

0

cn(x, 0)�x (1− e−λ2nt) = bhC0

∞∑n=1

(∫ L

0cn(x, 0)�x

)2∫ L

0c2n(x, 0)�x

(1− e−λ2nt) ,

����� b �� �� ��� � ��� h �� �� ����� �� �� ������� ����� ��� ���� ��� ������ ��� � �� �� ����� �� �� ���'�� �� ������� � �� ���� ���� � �� ����� � �� �������� � ��������� ������� ��� ���� �� ��� ������ ���� �� ����� &�� ���� � (%� ���� �� � ����� ��������� ������ ��� � ζ0 ����� ��� ��� �� ��� ������ �� ���� ��� ������ ��� ��ζ� �� ��������� ��

�$$�ζ = ζ0 +B′ M,

����� B′ �� �� ���������� ��� �� �� �� ��� �� ������ ��� � �� ��� �� ���� �� �� ���'������ ���� �� ����� �� ������ �� ���� ��"� $�� $$�� ��� �� �� ����� �� ��� �$�� ���

����� �� �����) *�+�� ������������ ���,���������� �������� ��� �� ������� �� �����-

�$.�pn =2λnL√D0

��� m(1− D1

D0

.

��� ����� ��� �� ���������� ���� ��� ��� ����� �� m� ������� �� ������� � λnξ(x)�� �� *���� ���� ���� ������ ����� �� ���� �����) / ��� � ���� �� ���� ������ �������� ��� � �� ����� ��

�$0�ζi = ζ0 +B

L

∞∑n=1

Fo

F1 + F2 + F3

{1− exp(−p2nD0

4L2ti)} ,

����� ζi �� �� ������ ��� � ��� ti �� �� ��� �� �� i- � ���������� � ζ0 �� �'�� �� ����� �� ������ ��� � � ti = 0� B = B′C0bh� pn �� ����� �� �����) /� ��� �� �� �����F0 � F3 ��� ����� �� �����) *�

Page 96: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ������ ��� ��������

������ �� ������ ��������� �� ������� �� � ��� ������ �� ����� ��������� �� � ����� z = {z1, ...zN}� ���� N ��������� �� �� �������������

��� ��������� ��� � ������� ����� ��� ��� ��� ������ �� �� ���� �� ������ ���� � ����� �� N ���������� ζ = {ζ1, ...ζN}�� �� ��������� ����� �� � ���������� β ��� ζ = ζ(β) ��� β = {D0, B,m}� �� �� ��!���� ���� �������� ���� ����"������� �������� D0 �� �� ������� ������ �� ������������ ������� B ��� �����#���������� ������� ������� m ��� ���� �$ ��% ��� ��� �

&�������� ������ ������ ��������� ��� ���#��������� ����� �� �� ��������#������ �� ������� ����������� ���� ���������� �������� '���������� ��� (��� ��������� ��� �� ��� �� ��� ��"���� ���� �� ���� ��� �� �������� ��������)��� ���� ���������� �� ���� ����� � ����� �� �� ��� ���� z = ζ(β) ��������� ����� ��� � *���� ����� ���� ��������� ����+����� �� �� ���� ���� ���#������������� �� �����

*� �� ����� �������� �� ������� �� ������ �� ������� �������� β� �� ������ �� ����� �� B ��� ���#����� �� D0 ��� m ����� ���������� �� ����� ���������*� � ,����� -��� �� ��� ��������� �� ������ ��+������ ������� ������� �� β� ������� �� ����� ���� �� ����� �� ����#������ ���� �� ������� �������� ������� �� ��!� �������� �� �� ������� ����������� �������� �� ���#��������� �����.��� ���� ���� ���� ������ �� ��������� ��� � ������ ��������� �� �� ��������������� �� �������� �� �� ,����� -����

�� ������� ������� ������� ����� βk �� ������ ����� �� ��������� ���������/

��0 βk+1 = βk +Kk{z − ζ(βk)} ,��� Kk �� � 3×N ����� ����� �� ,����� ����� �� Kk �� ������ �� ��� ������������ �� �������

��1 Kk = PkH�

k (HkPkH�

k +R)−1 ,

��� Pk �� � 3× 3 ����� ���� �������� �� ��������� ����� ��� �� �������� ����� �������� ��������� ��

��2 Pk+1 = (I −KkHk)Pk +Q .

�� �������� Q ��� R �� ��� �� ��������� �� ���������� ���� �� ��������� ���� ����� �.���� $34% � �� ����� ���� �� �� ,����� -��� ��� � ������ ������������������� �������� �� ���� �� ������ Q ��� R� *���� �� �� ����� ��������Q ��� R �� ��� �� ������ �������� �� �������� �� ���������� �� ����� H �� ��N × 3 5������� ����� �-�� �� �������

��4 H6

⎡⎢⎢⎢⎢⎣∂ζ1∂D0

∂ζ1∂B

∂ζ1∂m

������

���

∂ζN∂D0

∂ζN∂B

∂ζN∂m

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .

Page 97: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�� ������� ����� ��� �� ζ(β) ����� �� �� ������ ���� ��� �� ��� ��� ����� β0 =[D00 B0 m0]

T �� β� � ���������� �� ������ ��� �� � ����� ��� ���� �� ���� ���� ��������� ��� ��� ������ �� ��� �� D00� B0 ��� m0 �� ����� ��� ��������� �� ������ ��� ��� ����� ���� � ��������� � ζ�

ζ(β) =3∑

p=1

3∑q=1

3∑r=1

[(3∏

u=1 �=p

D0 −Du00

Dp00 −Du

00

)(3∏

v=1 �=q

B − Bv0

Bq0 − Bv

0

)(3∏

w=1 �=r

m−mw0

mr0 −mw

0

)ζ(β0)

pqr

],

�!"

����� ζ(β0)pqr = ζ(D0, B,m) �� #�� �$"� ��� �� ������ ��� D0� B� ��� m ������ ��

������ Dp00 = {Dmin

00 ,1

2(Dmin

00 + Dmax00 ), Dmax

00 }� Bq0 = {Bmin

0 ,1

2(Bmin

0 + Bmax0 ), Bmax

0 }� ���

mr0 = {mmin

0 ,1

2(mmin

0 +mmax0 ),mmax

0 } ����� ���� ��� ��� �� p, q, r = {1, 2, 3}�%� �� ������ � �� ����� ������ ����� Q ��� R ��� ���� ��� ��� ���������� �

�������

&'"Q =

⎡⎢⎣ (Dmax

00 −Dmin00 )2 0 0

0 (Bmax0 − Bmin

0 )2 0

0 0 (mmax0 −mmin

0 )2

⎤⎥⎦ ,

&("R = max(θi)I

��� )��*� �'(+"� ����� ��� ��� ��� ���� �� � �� ������� ��� ������� ������ ��� �� ��� ��� ������ �� ������ ���� ���� Dmax

00 �� �� ������� ��� ��� ������ �� ����� ��� �������� �� D0� ��� θi �� � �� �� �� �� ���� �� ������� ������ ��,������ �� �������������� �� z� ��� ����� ���� ��� �� �� ������ ����� ζ(β0)� ��� θi = (z − ζ(βi

0))2�

��� P0 �� ���� �� � �� ����� �� ���� �� ���*��� ��� ������ �� ������ ���� )��� P0

�������� �� ���� ��� �� ������ ���� �� ��� ��� ����� �� P0 �� ���� �� � �� ������ ����� � Q �� #�� &'"�

� ������� � ��� ������

��� ����� �� ��*�� � ������� ��� ��� ��� ������� ���� ���� �� ����� �� #��� &"��� $"� D0 �� ������� � � ����� �� ������ �� � �� -������ �� �������� � ��� �'($"������ m �� �� �� ��� ���� ������� ���� � '� '�+ ��� '�!� ��� m 0 ����� �� ���,����� ������ �� ���������� �� �� ���� ��� �� �� ���� ���� �� ���� ��� .��� $ ����� �� ���� �� ��� ������ �� ������� �� ����� �� #�� (�" ���� � ��� ���� � ��� �������� ���� n = 1� % �� �� ���� �� �� ����� ���-��� �� ��� ��� ��� ������� ���� ������� ��,���� m ������� /���� � �� �� �� ��� �� �� ����� �� � m = 0.5 ��� 0.9 �� �� ���� �� �� �� �� ���������� ���� ��� ����� �� � m = 0�

��� ��� ��� � � � ������ β0 = [D00 B0 m0]T ���� ���� �� � �� �� ��� ��������

�� � �� ���� � �� ��� �� ���������� ����� �� ���� ��� � ζ(β)� �� �� #�� �!"�

('

Page 98: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x/L

C/C

0

m=0, η=1m=0.5, η=1.1819m=0.9, η=1.5649

���� �� ������������ ����� ��� ����� ��� ���� �D = 2× 10−11����� ���� ����� t = 0 ��m = 10−5, 0.5, �� 0.9�� � ������� � ��� ��� ������ ���� ���� η�

�������� � �� ����� ����� � �� ����� ����� �������� �� ������ ���� �� 0.011±0.0069 ��2���� ��� ���� ���������� �� n ���� � ����� ����� ���� �� ��!��� ����� ���� ��� ���� ���� ������ ����" �� ����� �� ���� �� �� �� ����� �� #������������ � �� ���� ����� � ����� ��� ��� !��� ���$� ��2���� ��� D00 �� ���� %�� �%� ��� ��� !��� �&� μ ��� ��� B0 �� ���� ���$ � ���$ ��� ��� !��� ���$ ���m0� '�� ��� ����� ����� ( )� ������ �� �*!������� �� �� ������ � ���������� �� +��� #��� �� ���!��� �������� �,

&��MSE =1

N

N∑j=1

(zj − ζ(βk)j)2.

'�� �- ���������� ������ �� �������� ����� !������ ��� ��!�� � ���������� ��� !��� ��� .� ������� ��� ( ) �� ��%�� μ ����� � / ��� �� ������ ������� ���� �� �������� �������� � �� ��������� !���" �� ��������� �� ����� ������� �� D00" ���� ( ) �� ������� ���� +��� #��� ���0� ���� ��� ���� ����� ��!������ ���� ����!����� �� �����" ��!��� !�������� �� ��������� �� ����� ������� ���� !!���� ���� ���� #��� �� ������ ������ �� ������ ����� ���*!������� �� '��� � ������ �� �� �������� ����� �� ����� ��� ��!�� �" �������� !������ ����� +��� #���" �� ( )" �� �� ����������� !���� 12� ������ ����� �� �����

3���$ ����� �� ������� ����� ���� �� ������ ����� ����� �� �*���� !������� ���� ������ �� ����� �� +��� #��� ��� �� #�� �������� ����� �� ������'�� !����� #��� �� ���� ����� �� �*!������� � ���� ��!�� � ����� ��� ��!������� �� 3��� $�

/� ����� �� '��� � �� 3��� $" �� ���������� �� D0" B �� m ���� ���������� #�� ������� !���� ��� �� #�� ������� ������ '�� ( ) �� ����� � �� ����

��

Page 99: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� ��� ��������� ��� ����� ���� �� ������ �� ������ D0� B� m� MSE �� �� �� ����

��� ��� ����� ���� �

������� ���� D0���� ���� B �μ� ��� m MSE ��μ� ����� ��

�����≤ D00 ≤�����

������� ������� ����� ������ ���≤ B0 ≤���

����≤ m0 ≤����

�����≤ D00 ≤�����

������� ������� ����� ����� ���≤ B0 ≤���

����≤ m0 ≤����

�����≤ D00 ≤�����

������� ������� ����� ����� ���≤ B0 ≤���

����≤ m0 ≤����

�����≤ D00 ≤�����

������� ������ ����� ����� ���≤ B0 ≤���

����≤ m0 ≤����

�����≤ D00 ≤�����

������� ������ ����� ����� ���≤ B0 ≤��

���≤ m0 ≤���

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

t [min]

Con

duct

ivity

[μS

/mm

]

Experimental dataAnalytical 1, MSE=418.2Analytical 2, MSE=67.04Analytical 3, MSE=28.98Analytical 4, MSE=0.386Analytical 5, MSE=0.067

�� �� �������� ������ ��� ��� �� ����� � ������ � �� ��� ����� ���� � ��� ��� ��� ���

����� ����� ���� ����� ������ �� ������ � � ���� � ������ ��� ��� ��

��

Page 100: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ���� � � ��� ������� ����� ��� � �� ���� ������ ���� � � ��� ������������� ���� �� �������� ����� ������ ���� � � ���� � !�� ���� "���� �� !� ��� � �#������� � � ������ �� � � ��� $��� ������� ����� ����� � � ����� � � � � � ��%����� ������� ��&!���� � �#����� � �� ����� ����� '� ������� ���

45

67

8

x 10 3

70

75

80

85

900.55

0.6

0.65

0.7

0.75

D00B0

m0

(a)

45

67

8

x 10 3

70

75

80

85

900.55

0.6

0.65

0.7

0.75

D00B0

m0

(b)

45

67

8

x 10 3

70

75

80

85

900.55

0.6

0.65

0.7

0.75

D00B0

m0

(c)

45

67

8

x 10 3

70

75

80

85

900.55

0.6

0.65

0.7

0.75

D00B0

m0

(d)

���� �� ����������� ����� D0 � �� ���� B �� �� ��� m ��� �� ��� ������ ��� ����� ����� ��� � ���� ��� � �������� �� � ��������� ��� � ��������� ��� ��� ! ��������"

��� $� �� �� !� ���� ��� �� ������� � ������ �� ������� � � �#���� ����� ��� $���������� � �� �� !� �� "��� ��� ��� � �#������� ������� � �� �� �� �����$� ���� ����� ������� ������� �� �� �� !� �� "��� ��& ��� �� �� �����$� ���� ����� �� ������� �� �� �� !��� "��� ��� "�����(& ���( � �#����� �� �� ��( �� � ��� ����� '� ������� �� �� �� !� ��"������ ) � ������ ���� �& �� ���� ��� *���� $���� ����+�� ��� ,�- ���!��� ��� ������&��� ��� #�� � � ��� ,�- ������� � �������� �� ��� � �#����� ���� � ��� � �#������ ��� ������ !��� ��� � �#����� �����

��� ���� $����� ���!��� ����(����� ��� ��� ������� �( *���� $���� ��� ��������������� ��� ������ !��� ��� ����� ,�- �� � �� � �� ��� � ��� !���� ��� �� ���� !���� �#����� �� ��� $��� ������� ����� �����& �� �� !� �� "��� '�

��� ��� �� ������ ��� �������� � � � �� ������ �& �& .& ��� '� *� !��� ���� � ���� �� ��� ���� � �������& ��� ��� ��� ������� � � ����� � � ������ ���� ��� ������������ ������ ����� �� ��� � ��� ������ ��� � ������ �� � ��� �� ���� � �#����� � �!

�.

Page 101: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�������� ���� �� ��� � ��� ������� ���� ����� �� �� ������ ��� � ���� � ��� ���� ���� � � � ��� ��� �������� � ��� ���� ����� ����� ��� ��� �������� � �������� ������ � ����� ���� �� ���� � �� � ��� �� ����� ������� � � ���� ������ � � ��� ������������ ���� � �� ���� ����� �� �� ��� ��� ������� ��������� � !����� "���� ��� �#���������� ���� �� ����� $ ��� ��

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

10

20

30

40

50

60

70

t [min]

Con

duct

ivity

[μS/

mm

]

Data, sample 1Analytic, sample 1Data, sample 2Analytic, sample 2

���� �� ���������� � �� �� �� ���� ������ ����� �� ���������� � ��� �����

�������� ���� ��� ������ ��� ���� � �� ��

%�� ��� � � ��� ��������� ������� � !����� "������� � ��� �#���������� ������ ��� "�� ����� ��� ����� ��� �����&�� �� %���� �� %�� ��� � � ��� ���������D1 �� ��� ����� ��� ������� ��� '(� ���� ��� ��� ��� �� �������� �� ��� ������������ ���� ��� )*' � ��� ���� ������ ��� '(� �����

��� �� ���� �� D0, B � m� D1 �� ��� � ������ �� ���� �������

*����� D0 +���,���- B +μ*,��- m D1 +���,���- )*' +�μ*,����-

$ .�../0� �����1 .�0$/ .�...1 .�$0�

� .�.$.�$ 0����� .��$� .�..�$ .�$��

� .�..0.� �$�.�� .���1 .�..�0 .�.1/

/ .�..�20 0����� .�2/$ .�..�. .�.2�

� .�..1/1 /����� .��11 .�..�0 .�.��

%�� ��� � � ��� ��� �� ��������� D0 ��� D1 ��� ������� ��� ����� ��� ������ �� �#������� � ��� ���������� � ��� ��� ��������� D0 ����� ��� .�../0� �.�.$.�$ ���,��� ����� D1 ����� ��� .�...1 � .�..�$ ���,���� ������� ��� ��� � ���� ��� �� ��������� D �� ��� ������ � ��� ��� ����� D = (D0+D1)/2� � �� �� �����3���� ���� ��� ����� ��4 �� ������ ��� ��� 5� ����� ��4� �� �� ���� ������� ��� ��� �� ������ �� ��� � ��� ��� ������� ���0×$.−11 ��� /��1×$.−11 ��,

$/

Page 102: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� ������ ������� �� �� ���� ����� ���� �� ���� ����� ������� �� ���� ������ ����� ��������� ��� ���� �� ��� ����� �� ��� ������� !��"��� ���� #�� �������� �� ����� ����$���� %�#� �� ��� ����� ����� ��� �� ������& ��"!��� ����� ������ ����� ��� �������#�� ���� �� ��� �������� �� �� ��� ����� "������ ������� ���'������ �� ( � �)�������*�������� ����� �����" *��������� ��)���$+,� ��)���$��,� !� ����"��� ��� � ��$��"��� �� "���� ������ �� ����� ���� �� ��� ����� ������� ��� ������� ���'������ ��*�������� �&� �����" *��������� �� "��� �� ����� ������� �� ��� ����� ���������� ���������� ���'����� �� -.� ���� ����!�� ��" �� ��� ������� ���� ��"!��� ���� ���������#����

����� �� ������ �� � �� ����� ��������� ���� �� ���� ������

D /"�0�1 �� �� ���� ����� ���� �� ���� ����� ������� �� ���� ����� 2 ���� ������� ����������� "����

��" ���×��−11 �3×��−11 ��34×��−11 ��3�×��−11

�� +���×��−11 +�×��−11 ����×��−11 �+���×��−11

��� ����������� �� ��� �!������& ��!������ ������� !��"���� �� ��� ( � ��"!��� ����������� �� � ��"���5�� ��������� �� ��� ���� #��� ����� ��� ���� �� 6��� 4� ��� (������#� ���� D �������� #��� ��� ��������� �������� #���� "�& �������� ���� ��� ��������"�� "�� ����� ��� ���� !���� #��� ��"��� ����� �� ��� !�������� �������

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

x/Lendosteal periosteal

Diff

usio

n [m

m2 /m

in]

Sample 1Sample 2Sample 3Sample 4Sample 5

�� �� �������� �������� �� ����� ��������� ������ �������� �� � ���� ���� ��� � ��� ��������

�� ������� ��� ������ ���������� � �������� ��������

��� ������ �������� �� �!������& ��!������ ������� ������ ��� ���� #��� ��� 6���4����� #��� #��� ��� (������ �������� �& 7��� ����� ������� !�����& �� ��� ���� #��� ��� 6��� +�� #��� � ����� ����� � ���� ����� ��& �������� �� ���� !�����& ���������

�8

Page 103: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

� ��������� ���� � ������� �������� ����� � ����� � ��������� �� � ������ ��� �� ����� � ����� �� �������� ���� �� � ���������� �� � � �� ���� � � ����� �� ������� ��� �������� ���� �� � ����� ���������� � ��������� !���� ������������� �������� �� � ��� � ������� ����� "#� ��$�� %���� ��� ������� ���������� ��������� �� � &���� '���� � �� �(����� ��� ����� )�� ����� ���������� ��� ��� ��� � (12.8 ± 4.7) × 10−11 � � (5 ± 3.5) × 10−11 ��*� �� ��� � ������� � � ����������������� ������������ )�� ������� ����� ����� ��� ����� �� ��� � � %��� ��� %��� ������� � %�� ������� %��+ �, �� ���� ���-. /� � �� ���� ���0. , ���� �� �������$�� ��+ � ����� � � � � � ������� �� �� ������� �� )�� ��� �#���� ����� ��������� 0.06× 10−6 �� 0.183× 10−6 �μ1*���� )�� ��������� � ����� �� �� ����� ��� ��������� ���� �� � ����� ���������� ��������� �� ������� � �������� ������ ��� ����� �� ����� ��� ��� �� � � � ������� %�� ���� ���� ��������� ����� ��� ����������% ���� ��� ������ �� �� �� ����� ��� ��� � � %��� �� � �� ������ �� � ������� �� � ����� �

������ ��� ���

)�� �����% � ���� 2��� � ��� ��+ �%������3 "������ 4� ��� ���� � ��� ' � ���������� �� ��� �������� ,� � 5 ������ ��� ������� � 6� 1�7��� � � 8����� 5 ��������� ������� � ��� ��� �� �� 1��+���

�� ��� ������� �� ��� ���

!���� ���������� %��� ����� �� � �� ���� � %�� ��� ������ ��� )��� $ ������+ ��� �� �� ����� �� �� � ��� ��� � � ������� ��� ����� � ����� 1 �� ���������� ��+�� � ������� ��� ��� ��% �������� ��� ����� ���������� %��� ���������� � ��%�� ��� ��� ��%��� ����� )��� $� %��� � �� ��� ��� ��#���� � ���� ��� ���� � �� ����� ���� � � ������� 8����� ���%� ��� �� �� ����� ��� � � ������ ���'�� ����� � ���� ��� � �� � � ���� ���� '��� ���� ��� ����� �� "#� ��9�� ��� m 0� � m = 0.9�

)�� ������� ����� ���� �$ ����� ���� � � ���� ��� ��� � � �� ����� ���� ���� � �������� + �% � ���� � ����� ����� �� D %�� ��� � ������ ����� � � � ���������� ��� � � �� ����� ��� � � ��������

�� ��� � �� �� ��� F0, F1, F2, ��� F3

)�� �����% � �������� � ���� ����� �� ��� ��� �������� ������ �� ��� ������������� ��#���� �� ����� ��� �������� ����� ��� ����������� �����3

�0

Page 104: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x/L

C/C

0

t=0t=15 minutest=60 minutest=300 minutest=720 minutes

m=0, η=1

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x/L

C/C

0

t=0t=15 minutest=60 minutest=300 minutest=720 minutes

m=0.9, η=1.5649

(b)

���� ���� ������������ ������� ��� ���� � ��� ����� ��� ������� � � ��� ���� �������D = 2× 10−11 ��� ��� t = 0, 15, 60, 300 ��� 720 ����� ��� m = 10−5� ��� m = 0.9� ��� �������� ��� ��� ���� ���� ����� η� ��� ���� ��� ������������ ������ ��� ���� ��� ��� � ��� �����������

�����τn =Pn

m

√1− mx

L.

��� �� �� ���� �� �� ������� ���� �� �� ���� ���

�����

(∫ L

0

cn(x, 0)�x

)2

= F0

����� F0 �� ���� ���

F0 =

(−2L

Pn

√1−m

[J0

(Pn

m

)Y0

(Pn

m

√1−m

)−J0

(Pn

m

√1−m

)Y0

(Pn

m

)]+

4Lm

πP 2n

)2

,

�����

��

�����

∫ L

0

c2n(x, 0)�x = F1 + F2 + F3

����� F1, F2, �� F3 ��� ���� ���

��� �

F1 = −(Lm

P 2n

)Y 20

(Pn

m

){[(Pn

m

√1−m

)2(J20

(Pn

m

√1−m

)

+ J21

(Pn

m

√1−m

))]−[(

Pn

m

)2(J20

(Pn

m

)+ J2

1

(Pn

m

))]},

�!

Page 105: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�����

F2 =

(2Lm

P 2n

)J0

(Pn

m

)Y0

(Pn

m

){[(Pn

m

√1−m

)2

J0

(Pn

m

√1−m

)

Y0

(Pn

m

√1−m

)]+

[(Pn

m

√1−m

)2

J1

(Pn

m

√1−m

)Y1

(Pn

m

√1−m

)]−[(

Pn

m

)2(J0

(Pn

m

)Y0

(Pn

m

)+ J1

(Pn

m

)Y1

(Pn

m

))]},

�����

F3 = −(Lm

P 2n

)J20

(Pn

m

){[(Pn

m

√1−m

)2(Y 20

(Pn

m

√1−m

)

+ Y 21

(Pn

m

√1−m

))]+

[(Pn

m

)2(Y 20

(Pn

m

)+ Y 2

1

(Pn

m

))]},

�������� � �� λ

�� �� ����� �� ����������� �������� �� �� �� ����� �� λ �� � ������� �� �� ��������

�����J0

(P

m

)Y0

(∣∣∣∣Pm∣∣∣∣√1−m

)− J0

(P

m

√1−m

)Y0

(∣∣∣∣Pm∣∣∣∣)

= 0

�� ����� ��� λ �� � ! ����� �� ������ ��������"! #� ��$ �����$ %���� ���� �� ������� 2nπ ��� � ������� D$ �!! ��� m = 0$ �! �����%$ �&�'�! (��� �� ����)� �� �� ����� �� � )���������� �� Pn ��� ����� m �� ����� �� ������ �� �� ����

���*�Pn = 2nπ(1− m

4η)

��� n �� �� ����� �� �� ���� �� η �� � ����� ���� ����� �� ����� ��� � ������� �+����� �,���! �� ������ ��� n = 1 �� 10 �� ��� �+��� -�� �� ��������� ��D(x) ���� m = 0.9,0.7, 0.5, 0.1, 0.01 �� -��� �� �������!

����� ��� η ������ �� ���� � m

m .!& .!� .!' .!� .!.�

η(n = 1) �!'�/& �!0�*� �!�1�& �!.*�� �!..*�

η(n = 10) �!'*.. �!*&*/ �!���� �!.*�/ �!..**

�� ����� ����� ���� �� ���� ����- � )����� ���� ��� ��- �� � ! ���*� ����η = 1 �� � �� �� ���� �� ��� ���� �1!*2 ��� m < 0.5!

�1

Page 106: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������

�������� � � ��� ���� �� ������ � �� �������� � �� ������ � �� �������� � ������ �� ��� ����� �� �!� � " �#"���$ %��!���%��$! �� ��$ � �� %��� & ��'��$�"��! ���"� �%�'��' �( )*+� ,-�.,*/

���"��� 0� 1!�� � 2� 0������ �� � 3 � �� � ���!$��� � 4� ���* 5��%�& �� 6 � �$�%����!�'� 6 � � �! !"� �� %�"� !$��"$��� �7 " %��$�$� ��� !�%���$� � 6 � �� ��'�����8$� � �� %�$�����! �( )�9+� :�*/.:�(�

���%� 4� ���� 0�� � �"$ 6 !��6�"� "����$��� � & ��� ������' �� � ��; �� $�� "��$�"��!�<� ��6�"$ ��$��%�$�"�� ��� " %��$�� % ������' :- )�+� 9�,-.9��/

�%����� =� �&����� >� ���* � �����"$��� %�"��� 8�� � '�"�� % ��� 6 $�� � ��8�%����$������' ��� ���� 4 ����� 6 ��"����"!8�?� ���! �- )*+� ��(.�:(

��6���� @ �� ���9 ���! 4 A���� ��$��%�$�"�� %�$� �! 6 � >�7!�"�!$! ���8" ��$?�"���%�" >��!!

������� �� ����� ��� 4� >��B�<� �� >��'� 4� ��% �� � �� ���"��C� �� ���"��C� 4� >����<���� ���� =��'� !$�" ����� 6 �������$ �� �!� � " �#"���$! $ �� ����$��$� ����'� 6� %%���'���$ ���$����� � �� %��� & ��!� �! ��� ���� 3 ����� 6 ���� � '7 *� ):+� -*�.-**

����!8����!� D� �$E���� >� ����!! �� �� ����<� F� ��99 �$���� ������ $���!� �$ 6 � � ��% �����' �$ $�� ���� !$��� !��6�"� ��$��%�$�"�� �� !"���"�! �:� )9+� :(.//

��� �� �� ��9� G!��' $�� '������$ 6 ��%�� " �$�"�� � �� �� ���$��! $ ��$��%��� �'�8����$�� � �� "���'�! ��� ��$��! ��" '����� &���! G�$��! ��� �� %���"��� H �� � '7:, )*+� �(�.�,9

� �!! �� �� �������� �� ���' $� �� ��"��$� I� � "��� � �� � ���!� � �� D����84���$�$� �8�� D���� � 48=� ���9 =�!$����$� � 6 ��$��" �$�"�� � � !�$7 �� ��%��%��6�% ��� " �$�J �7 �'� ��� '����� 4 ����� 6 � �� ��� ������� ��!���"� 9* )(+�9:�,.9:9(

�� &�� � @� 9�,: ��$� ��"$� � $ ���� % !�'��� ����7!�! ��� K��%�� L�$����' � � ,A���7 F�& 2 ��

�������� �� ��9: A�$�� �� �!� � �� "��"��� �! � �� ��"� � � �! ��� ��! � � �! ��8$�����! 9(,� :/.:,

��7��� 5 F� >�������$�� � �� ���<����8����"�!� 5� ������ �� ���� 1� % �����' %��$�8" %� ���$ �� �!� � ��!��� $�� � � �! �� �� 6 ! ��� J��� 6��� "���! �!��' 5�"� ′! % ���4 ����� 6 > &�� � ��"�! 9�� )�+� /*(./(/

�� �� �82� �M6$M� �� ��9: ��%���$� � 6 ����8�%����$ � �� ������' ��� $ �%%����$�� ����' �� ���$�� �%����$ $���$%��$! 4 ����� 6 �� %�"����"! /* )-+� ,(9.,(,

9�

Page 107: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ �� ��� � ���� �������������� ������� �� ������������ �� ���� �� ��!�

������ �� ��� "������� "�� �������� #�� �$$� %����������� �������������& ��'����� �������������� (��) ������� ������� ��'��� �� ������ *������ ����� +����������� �� ��� ,����������� -& ������������� ������� ��) ��.�������. �������� �/� �$��� �0$ �000�

����1� ��� �2� +�� ����������� �� )�3������ 45���)& ������)���

6���7�)�8� ��� "���9�:-8���� ��� #���9��8� ,�� �$�� ;�������� �������� �� � )�3���'�������:�)� ��'� ���� ����)�����. ������� <������������ ������� �� ����)� ��) ����������0 �2�� �$!2 �$��

"���8:������� #�� "�����:-8���� ��� =�� ��� ��� >�����?� #�� �$$2� <�(����� �� ��������.� ��8� �� ��� ������ �� ���. ���� ������.& � ��� ��������� ���)�� ������� �� �������:���� �����.� ��2 ��� $2 �

@�� A�� B��� @�� ����C��� #� ��� A��.� @�� �$$� +�� )� ��)���� �� ������ )�3����� ����������� ���.�� ��) ��� � �� ������ ����� ���� 02 �2�� $� $���

@��)���.� "�� ���1�:������ @�� ��D���� *�� �'������� <�� �$�� - ���:)���������� ��)�� ��������� )��'�� )�3����� �� ���� ������� ��� ���� �����)� �� ������������ ��) �����)������.�������. ! �2�� 02� 0/��

@��)���.� "�� ���1��� -�� ,������� A�� �'������� <�� �$0� >������������ �� )�3��������E������ �� ��'��� ���� �� ����� �� ���)����'��� ������������ <������������ ��������� F5 ��������� ��) ��� ��������� ������������ � �0�� ��0 �0��

#��.����� >�� �$$� %���.���8����� �� ������������) ������� ��������& 6��1 ′� ��� �� )�3�:����� *������� ,�'��� F � �2�� $2�/$�

;������ -�� �$$� -� �������� �� �������� )�3����� �����)��. �� 6��1 ′� ��� ��) ��� ���:���� ���������� ����'��� �� � .����:������:���������) ��� ������ #�������� �� ��� �����#�������� 02 ���� �� ��/�

�� �����1� -�� ;��1�������� G�� �$�� - �������) 6<�:+>" H���� ������� � ����� ������ ��������� �������� �� ��� ��) �)'������−)�3�����−�������� �I������� ���� � ��:������ �� � �����.������� ��)�� ��� ���� �������� ������.� <������������ ������� ���;�������� #����)� �� F�.�������. � ���� �$ ���

���1��� -�� �$2� - �����)���.� ��� ����. 1����� H���� �� )�������� �������� ������������� ��������� ������������ � ��J�'&2$��$�2�/' K���):��������:���L�

���)������� M� -�� +������� -�� "�������� 4�� ������� ��:#�� *�������� >� *�� �$$� *��)��:���� �� ���� )������ �����) ����� �)�� �� ����� )���'����. ��� ��� ������� ������� �������������� 0� ��� �$/ ��

�$

Page 108: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� ��� ����� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �������� ��� ������� �������� �� ��� �� ����� � �!�� ���� "��� �� �� ��� !������#����!���!�� $ ���%� &'�() *�����! ��� '+,-�

��!������ '�� .��� �� /�� )�$���� ��� ��,,� &������ &��� ′ ���! �� ���!$0 1��� �� # � ��� ���� �����"� ������ ������ 1��� �!��� ���� �������� *�����! � &��� (���#����� ,�+ 2,3� ,4+5,+��

�,

Page 109: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 110: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Paper D

A. Shokry, G. Lindberg, G Kharmanda, and P. Stahle (2015)

Superposition principles for calculation of diffusion and elastic parametersof sparsely porous materials

Submitted for international publication

Page 111: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 112: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������� ��������� �� ���������

� ������� �� ������ ���������

� �������� ������ ��������

�������� �������� ����� ��������� ���� �������� �

��� �� �������

��������� �� ��� �� ���� �� ��� ����������� ����� ���� �����

��������� ����������� ����������� ����� ����������� !"#�$ ������ �����

��������

������� ������� �������� ��� ���������� ����� � ������ �������� ��������

���� ����� �� �� ������� ����� ��� ����� �� �������� ��� �������� ��� �������� ����

���������� ��� ��� ���������� �������� ���� ��� �� ��� ����������� �� �������������

��� �� �� ������� ����� ���� �� ��������� �� ����� ��� ������������ ����� ��

�� ������� ������� ��� � ������� ����� �� ���� ��� ��� �������� �� ��� ��

���������� ���������� ������ ��� ����� ���� ��� ��� �����

�� ��������� ��� ������ ��� � ������� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ���������

��� ��� ��� ��� ������� ������� ��� �� �� ����� ����������� ��� ��� � �������� ����

�� ��� �� ��� ��������� ��� ��� �� ��� ���������� ��� � ��� �������������� �����

� ����� ������� �� ����� ���� �� �� �� �� �� ��� ��� !� ��� ��������� ���

�� �� ������� ����� �� �� �� ���� ���� ���� ����� ����� ������ ������������� ���

��������� ����� ���� ���� ��� ���������� � ���� �� ��� ����� �� ��� ���� �� �����

���� �� ���� ���� ������ "#$� ��� ������� �� ��� ������� �������� ������� ��

��� ������ ���� ��� �� ����� ��� ����� ����� ���� ��� �� �� ������� ������

������� ��� ������ �� ��� �������� ��������� ���� � ������ ������ ��� ���� �� ����

����� �������� ������������ ���� ���� ������ %#$� � ������ �������� �� ��������

��� ��� ������� �������

Page 113: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

���� �� � ����� � ������ �� � � �� ������� �� ���������� ��� ����� ���� ����� ���� ���� ��� �� �� ��� ����� �� ��� ���� �� � ����� �� ���� ������ �� ���� ���� ����� ���� �� � �������� �������� ��� ���� �� ������� ��� ���� �� ����� ��� � ����� ������ ���� �� � ����� �� ������� ������������ ���� �������� �� ��� ������ � �� ���������� ���� �� ����������� ��� ����� � �� ���� ��� ��� ��� �������� ��� ! � "!#��� ���� ������ �� � �� ��� ��� ��� �� ��� ���� ����� �� $����������� � �� ������� ���� ��������� �� ���� �� ��� �� ���� ������ ��� ��� �� �� �� ��������� �� �������������� �� � %&�"!# ����� �� ������� ����� �� �������� ������ '� ����� ��� � �� ���� ������ ������ ��� ���� ��� �� �������� �� ��� ����� �� � ������ ����� �� ���� � ������ �� ��� �� �� �� ��� � �� � ������ ���������� ��� ������ �� �� �� ��� ���� ������ ���� �� � !�(&# ����� � ��� ������� ��� �� ���� )*������ ���� (&+(, -������ ���� (&+./�

��� ����� � �� ���� �� � �� ������ � � ��� �� ���� �� ������� ��� ������ � � ����� �� ��� ��� ������ � ���� ���� �� �� ���� � ��� ��� ��� ��� ��� � ����� ������� �� ���� �� ������ �� ������ �� 0���� � ��� �� ��������� � �� ���� � ���� �� 1�������� ����� ���� ����� �� � � ��� �� ���� ��� �� ���� ������ �� �� ������� ������ ����� �� �� ������� ��� � ������ �� ����� �� ��������� ���� ��� �� � � ������� ���� �� �� �� � ��� �� �� '��� �� �� ���� )��� � +"%+, 2��� ��� 3������ +"45,1����� ��� (&&&, 3����� (&&./� 6� ���� ������ �� ������ �� '���� ��� ���� �� �� �������� ��� �� ���� ���� ��� ��� ����������� ��� �������� �������� � �� ������� ���� �� �� ��� ���� ���� �� ���� ���� �� �� ��� �� ����� ������� �����0��� )7� ��� ���� (&&%, *��� � ���� (&&!, 8� � ���� (&&", 8������� � ���� (&+%/� 9�� ���� �� ���������������� � �� �� �� �� ��������� ���� ����� ��� ���� ��� � ����� �� -�����::� � ���)(&+%�/ ��� -�����::� � ��� )(&+%�/� ;������ �������� �������� � �� ���� �� ��� �� ������� ��� �� ������ � ��� ������ �� ���� ����� �� �� ���� �� ��� ��� � ��� ������ ������� ��� ���� ���������� ��� ���� ��������

��� ��������� ���� ��� ���� �� ���� �� ������ �� ���� ��� ���� �� �� �� �����:�� ��� ����� ���� �� �� �� ��� � �� �� ������ ������� �� ���� �� ��� ��:� ��� ������ � ���� �� �� ���� ������� � ��� ��0������ ��� ���� ������ �� ���� �� ��� ��:���� �� ���� �� ������ �� �� �� �������� ����� ������ �� ������� ����� ��� ���� �������� ��������� �� �� ��� ��:� ��������� )1���<�� ��� ����� +"==, ����� � ���� (&&4,>���� � ���� (&++/� 6 �� ����� �� �� �� ������� ���� ��� �� ����� � ���� � �������� ����� ����� ��� �� ����� �� �� � ���� ���������� ����� ��������� �� �� ���� ���� � ��� ��:� ��� ���� �� �� ���� � ���� ��

6� ��� ����� �� �������� �������� � ��� �� ���� �� ������ �� � ��� �������� �� � ��������� ���� ��� �������� �� �������� �� � ������� ��� ������� ������ � ����� ������� ���� ����� $�$?@1 ��� ���� )$�$?@1� (&+%/� $ � ��� ���������� ���� ���� ��� �� ���� �� ����� � ��� �� � �� �� ������ � � ��� �� ���� �� ������� �� ��� ���� ���� ��� ����� ��� $ ������ ��� ��� �� �� �� ����� ��� � ��� ����� ������ ��� ������� ��� ��:�� ����� �� �� ��� � ����� ������� ����� A�� � � ����������� ��� �� �� ����������� ��� ���� �� ���� �� � ������ �� �� ���� ���� �� ������� �� �

(

Page 114: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� ��� ������ ��� ����� ��� ��� ������ ����� ���� �� ��� ���������� ������ ����� ������� �����

� �������� ���

���� � � ����������� ��������� ��� ��� ������ ��� ����� D ������ � ������� ����� ������ ����������� �� ��� ������ ���� �������� �� ��� ������ �� �������� ��������� ����� � ���������� ��� � ����� ���� �� ���� ���������� ���� ����� ����� ���� �������� �� � ��� ��� �������� ���� ′ ��� ���� ���� �������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ����������� ���� �������

����� ��� ����� ��� ������ ��� ����� � �� �� Dw� ����� w ���� ��� ������ ��� ������� ���� ��� ����� ��� ������ ��� ����� � �� �� Db� ����� b � ��� ����� �� ��� J� ������ �� ��� ������������� ��������� �� ���������� ����� ������� � ���!�������������� ������� ������� ���� �� ��� ���� ��� ��� ���� �� ������ ������� �� ������ ���������� �� � ������� �� ���������� ��� ���������� θ ��� κ ���� ��� ���������� �� ������������ ����������� ��� ���� ���� ��� �������� ��� ���� ��� ������ ��� �� �����������

" #������� ���������� ���� xi ≡ x1�x2�x3 � ���������� ���� �������� ����������� ������� ��� � �������� $������� ������� i, j, ���� = 1, 2, 3� �� �% ������ Ji ��� ������� ������ �� ��� ���� ����������� ������� �� �� ��������� �� ��������������� �������

&'(Ji = −Dc,i ,

����� c,i � ��� �������� ������ �� ��� �������������� ������ , i ������ ������� ������������������ ������ �� xi� ���� c,i = ∂c/∂xi� �� �������� ��������� D � ��� ������ ��� ������� ��� ������!���� ����� "�� ������ � �������� ������ ����

&)(∂c

∂t= −Ji,i .

�� � �������� ���� ��� ������������� �� ������ �� ��� �������� ��� ��� ������ ��������� ��� � � �����!����� ∂c/∂t = 0� � ����� �� ����*���� � ���� ��� �%������ ��� ������ ���� �� ���������� ����� ����

&+((Dc,i),i = 0 .

�� ��������� ,*� &+( ��� ����� ��� ��� ������� ���������

&-(c,2 = 0

�� 0 < x1 < h ��� x2 = 0 ��� x2 = w� �������

&.(c = 0

�� x1 = 0 ��� 0 ≤ x2 ≤ w � ���

+

Page 115: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���c = c1, c2, cα, cβ �� Δc

�� x1 = h �� 0 ≤ x2 ≤ w �� �� �� � ���� ���� �� ���� �������� � ����� �� ��� � ��� ���� ������� �

���� ������ ����� ��� ������ h0� ����� � ����� �� �������� �� � ���� ����� ��� ����������� ��� ��� ������ � ������ !� ��� ���� ������� ��� �������� ��� ��� ��� ����� � ���� D0� �� ������ � ��������� ��� �� ��� �������� ������� ��� �"� �� ��� ���� �� ��� ������� �� �� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� ��� ��� ��� ����� Dw �� �� �� �� #��� D0

�� �������� ��� ��� ��� ����� D1 ��� ��� ������ ���� ��� �� ���������

���� �� � ���� ������ �������� � �� h0 × w0 ��� ����

��� $�% ������� ��� ���� ������ ��� ���� �� �������� �� ��� ���������� � � ����� �� ��� ��������

�&�J1 = −D1c1h

��

�'�J1 = −D0Δc

h0

,

����( )( ��������� *+ �&� �� �'� D1 � � ����� �

�,�D1 = D0hΔc

h0c1.

��� ��-���� ������������� �������� Δc ����� ��� ��������( ������ ���� ������ ���.������� ��� ���� �� � � ����� �(

��/�Δc = cβ − cα

0

Page 116: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� �� �� ���� �� �� ��� ����

� �h = h0 + hα + hβ .

�� ��� ��� �� ���� �� �� ���� ���� ����� hβ �� ������� ��

� ��J1 = −Dbc1 − cβhβ

.

�� �� ��� ��� �� ������������ cα ��� � ������ ��

� �cα = −J1hα

Db

.

!� ����� "#�� � $� ��� � �% "#� � �� ��� ���&� ��&

� '�J1 = −Dbc1 −Δc− cαh− h0 − hα

��� �� �������� cα ��������� �� "#� � �% �� ��� ����

� (�J1 = −Dbc1 −Δc

h− h0

.

�� ��&���� �������� hα ��� hβ ������ ���� cα ��� cβ �� ��� ��������� "#� � (���� � �)������� ����

� *�Δc =J1Db

(h− h0) + c1 .

�� ���� �� ������ ���� "#� �+�% D1 ��� � ������ ��

� ,�D1 = D0

h

(J1Db(h− h0) + c1

)h0c1

.

�� J1h �� ������ �� −D1c1 ��������� �� "#� �,�% ��� c1 ��� � �������� ���� "#� � ,������ ��� ��& �� �������� ��

� -�D1 =D0

h0

(−D1

Db

(h− h0) + h).

.��� ��� �)���������% �� /��� �������� ��� �� 0���� ��0����� ��1���� ��� ������ ���� �� ��� �������� �� ���� ��

� +�D1 = Db

(1−(1− Db

D0

)h0

h

)−1

.

2�� � ���� ���� �� ��� �������� �� ��������% � ��� ��

(

Page 117: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� ���� �� ��� �������� � � ������ �� � ������

�� ��������� �� � ��� ������� � �� �� De ��� �� ���� ����� � �� �� ��� ���� J2 ������ �� ����� �� � ���� � ��

����J2 = −Dec2h

.

�� ������� �� ���� � �� �� ���� ������ ���� �� ����� � ��� �� ��� � ���� !��� � �� ����"� ���� �� �� ����� ��

��#�J2w = −Dbc2h(w − w0)−D1

c2hw0 .

$� %&�� ���� ��� �#'� �� � � �� �� ���� ��� D1� �� � %&� ��#� � ���

����De = Db

(1 +

[1−Db/D0

1− (1−Db/D0)h0

h

]h0w0

hw

).

(� � ��� � ������ h0w0/hw � ��� � �� � ������� �� �� h0w0� �� �� �� � �� �� �������� hw� (� ���� � � ���� &������ � � )���� De �� �� � ���� ������ h0/h� �� �� ������� h0w0/hw ��� �� ����� �� �� ��������� ��������� Db/D0�* �� ���� � ������ ��� ���"� ������� ���! � �� %&� ���� �� ��� � �� � ��� ��

��������� �� �� � �� �� !�� � Ap� �� h0w0 �� %&� ���� �� � � !�� � ���� θAp� �� � θ �� � ��� ���� ������ (� ��� ���� θ �� �!!�� � �� �� � ��� � ������ ��� �������� �� � �� ��� ��� �� !�� � �� �� ���! � ��� ������� �� �� !�� ���� � �! � �� �� �+ �� ���� �� �� � ! �� � �� �� � ���� ����� h0/h ��� %&� ����� �� � � !�� ����� a/h ���� � ��� ���� ����� κ� (� !�� � �� ��� � �� ������ � ��� ���� �� ������� � �� ��� Dw� ,��� �� ������� � �� �� D0 � !�� � ���� Dw� �� ����������!!��+� ����� �� �� � ��� ������� � �� �� �� ������ � ��

-

Page 118: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����De = Db

(1 +

θs

(1− κs ah)

Ap

hw

)

�����

���s = 1−Db/Dw .

�� ����� ��� �� ��� ���� � �������� �� �� � ������������ ����� ��� ������� ���� ����� �� Ap/hw� �� ��������� ����� θ ��� κ ��� � ����� ��� ��� �� ����� ���� ���� � ��!����� ������� ����������� � �� �������� �� ��� De/Db � �������� � � ����� ���� ��√Ap/hw � ������

��"�(De

Db

− 1)hw

sAp

= α1 + α2

(Ap

hw

) 12

+ α3Ap

hw+ α4

(Ap

hw

) 32

+O

((Ap

hw

)2)

,

����� α1 �� α4 ��� ����� ���� ��� ����� �� ��� ������� ���� ������ �� �� ��� ���� �� ������� ���� ��� Ap� ��� ��� ���� � ��� O ����� ���� ��� ������� ������� ��� ������� ����� ������� ���� ���� �� ��������� ���� ������ �� ��� ������� �� ��� ���� ��� �� ��� �� �� ���� ��� ���� ���� �� ���������� ����� �� ��� ���������� !� "#$% �� ����� ������� ��� � ��� ��� ���&����� α1 �� α4� '( �������� !� "#)% � � ����� ���� � κsa/h ��� ������� ������

"#*%(De

Db

− 1)hw

sAp

= θ(1− κsa

h)−1 = θ

(1 + κs

a

h+ (κs

a

h)2 + (κs

a

h)3 +O((κs

a

h)4))

�� �� �� �� ������( θ �� κ �( �������� !� "#$% �� "#*% �� �� ��� ���&����α1 �� α2�

��� �������� ��� �� ���&���� � ����� �

"#+%De = −Jah

Δc,

����� Δc � ��� ��������� ���������� �� x1 = h �� Ja � ��� ������� ����� � � ���� ����� ���( ���� ����� �

"#,%Ja =1

w

∫ w

0

J2�x2 �� x1 = h .

��� �������� ��� ����( ���&���� De �� �� ���� ����� ��� ����� ���� ����� ����������� � ������ ����� -� � ����� ���� ��� ���(� ����� ���� � ��� � ��� ������ ������ �� �� �������� ��� �� �� � �� � �� � ��������� �����

"#.%De = Db

(1 +

s

hw

N∑i=1

θ(i)A(i)p

1− sκ(i) a(i)

h

),

����� ������ � ��������� ��� N ����� ��� �(������ ���� � ���� θ(i) �� κ(i) ���� ��/� � ��� �� �� ��� � ������ �����

+

Page 119: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ������� ���

�� ���� ������ � ���� � ������ �� ������� ���� �������� ��� ������� � ����� ��� ��� �� �������� � ��� ���� ��������� �� ���� �� ���� ��� ������ � ����� ��� ���������� ����� ������ ��� �������� ��� ������� σij ��� ������� εij �� ��� ������������ ui� ��� �������� ��� ����� �� ����� ��� ��

�� !σij =E

1 + ν(εij +

ν

(1− 2ν)δijεkk)

�� ��� ������� εij ���� ��� ������ � �� ����� ��� �"�� ��

��#!εij =1

2(ui,j + uj,i) .

��� �$������ � �$��������� σij,j = 0 ����� �������� � %$�� �� ! �� ��#! ���� ����$�����

��&!ui,jj +1

1− 2νuj,ij = 0.

%$� ��&! ������ ��� ������ ������� �������� � ��� � �� '� ������ ������ �� ��� x1

������� ��� ��� ��� �� ����� ���

���!u1 = 0 �� 0 ≤ x2 ≤ w �� x1 = 0

��

��(!u1 = Δu �� 0 ≤ x2 ≤ w �� x1 = h.

)���� �������� � ��������� � ��� x2 = 0 0 < x1 < h �� x2 = w 0 < x1 < h������� '������ ����� �������� � ��� � ��� �������

��� ������� �������� �� x1 = h ��� ��������� ��

��*!σa =1

w

∫ w

0

σ22 x1.

��� �+������ � ���� � ���������� �� �"�� ��

��,!Ee = σah

Δu.

��� �������� � ���� ���� ������ ��� ��������� ������� ��� ���+���� � ��� ��� ������������� � ��� �� ������ � �� �������"����� ���� ���������� �������� ��� ������ ��� �������"����� �� ����� ��������� ���� ��� ��������� ��� �� ����� ���� � � ����������� ��� ��� ��� ���� � ���� ���� ����� ��� �� ������� ����� ������ �� �� ��������� ���� ��� ������ �-���� � ���� ����� ����� ���� ��� �� �� � ��� ��� b ������ ������� ��� �� ��� �������� ��� ������� �� ����� � �� $�� ����� ���� ��� ������ �-���� b� ��� ��� ���� %$� �&�!!� � ����� � ��� ������� � ��� ���� ���� ����� ��� �$���� � ���

.

Page 120: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ������ �� �� �������� �� �������� �� �� ������ ������ �������� �� ������� ���� ������� ��������� ��� ���� �� �� � �������� � ����������

����Ee = Eb

(1− θE

b2

hw

)

��� ������ �� �� x1 ��������� �� �������� θE �� � �� � � ����� ��������� ���������� ���� ������ � ��� ���� �� ��� b ���� �� ��������� �� �� ������� �� ��� ����

�� �� ��� �� �� ���� ��������� ����� ��� ������������ ����� �� b/√hw� �� ������ ��

�������� θE! ��������� ����� �� Ee ��� ������ ��� ���������� ��� �"����� ��� ��#�� ������������ ����� �� ����� ������� ����� $ ���� �� ������ ��� ����� ���� �� �� ���� �������!

��%�(Ee

Eb

− 1)hw

b2= α1 + α2

b√hw

+ α3b2

hw+ α4

(b√hw

)3

+O

((b√hw

)4).

�� ����� α1 �� α4 ��� ���� �� �� ��������� ����� Ee ��� �"����� ��� �� �� �������������� �� �� ������ ������� �� ��������� ���� θE �� ������� �� �� ��������� α1�

&�� � ����� ��� ��� ����� �� ����! �� �"���� � ������ �� ����������! Ee! ��� ����������� ����� �� ���� �� �� ������� ����� �� �� ��� �� �"����� ����� �� ������������� ������� ��

��'�Ee = Eb

(1− 1

hw

N∑i=1

θ(i)E

(b(i))2 )

,

���� ��������� �� ������� ��� N ����� $��� ��� �� � ������ �� ��� �� θ(i)E ���

�� ��(�� ���� ���� ��� ������� �� ��

� ������� �� ���

�� ����� ������� ��� �������� � � ���� ������� ����� �� $)$*+, ��� ���� ��-���� �$)$*+,! ./01�� �� ������ �"��� �� ���������� �� ��� ��� ������� ������������ �����-����� �"������ ��� ��� �� �� �� ������ �������� ��� �"����� �� ��� ��.��� �� �� ������ �������� ��� ����������� �� ������� ���� ������ �� ��� � ��� �������� 0 ≤ x1 ≤ h �� 0 ≤ x2 ≤ w ����� � ���� ��� ��� ��� �� ���������� 2-��� �������������� %-��� ��� ��������� ��������� &��� ����������� �� ���� ,��� ������� ����� ��� ��� ��� �� �"����� �� �� ���������� �������� $ �� ��������� � ���� �� ������ &��� ��

�� ����� �� �� ������ ������ �� �3����� �������� ��� �� �� ���� ��� . �� ������������� 0�.� $ �� ���� ��� �� ����� � �� ���� �� ��� ������ ���� �� ��� �� ���������� ���-��� �� ����-��� ��� ��������� ���� ���������

'

Page 121: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� � ������� �� �� ��� ��� �� ��� ���� h/a = w/b = 2 �� ��� �� �� ������ ��� ���

� ������� � ������� �

� ������ � ��� ����� � � � �� ������ �� ����� ��� ���� ��� �� ����� �� �� ������ ����� � �� ��� ���� !� �� ����� �� "� � ���� � �� � �� �� ��� 1 × 1 × 3 �3 � ��������� �� � � � #��� ����� �� x1$�%�� �� �� ��� ������ ������ � � �� � �� ���� ������� �� �� ������� ���� ��� ��� x2$�%�� �� �� �� ��� ���������� ������ � � ��� � ��� �� ���� �� �� � ���������� ������ � �� �� ��� ���� �� ������������ � ��� ����� ���� ����� �� ���� ��� �� x1$�%�� � �� �� � ��� ��� ����� ���� � "���� ��� ���� ����������

�� � �� � ��� ���&�� � � ' ��� ������� � ��������� ��� #������ � ������ ���� ���������� �� � ������� ������� � ��� � �� � �� ���� �� (����� �� "��� ��� �� �������������� � ��� ������� � ��� ��� �� "� �� ��� ��� (� ��� �� � ��� ���� ��� ��� ������ ��� ���������

� � ��� ����� � ������ � ������� � � ��)����� ��� ����� � �� ��*�� ��� ������� �� ��*����� �������� � � ��� ��)����� ������� �� �� ������ ��� �#������� ������� �� ��� ����� � ���#�� ��)����� ��*�� ��� ����� �������� ��� ����� �� ���� � � �" ��)������ ������������ �������� �� � ��� � �� "��� ������ � ��� ��� �� ��)��� � ��� � ������ ��� � �������� ��� +� ��)��� � ���� ��� �,����� ���� ������ ���� ��� ���������

�� ������ �%���� � ��� � ��� �� b ������������ � ��� ������ � � ��� � ����� ���� ���� ��� #������ ������ � �� ��� ��� ��� a �� ��� #������ ������ � ��� �#� ���� �� �� ���� ����� -�%� �� ���� a/b ��� �� � �� + � � � �� � � ��+. � � � �� '� ��� ���� �� ������ � ������ �� �� ��%���� "���� ��� ��%�� ��*� �� � �� � � μ�� ���� � ��� ������� � ��� � � ��� �/ � '/ ���� ��� �������� � ��� � ��� � � ' ��� ���� ��� � ����� 90◦ � &"���

��

Page 122: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ������ � ��� ������� ��� ������ ��� ���� a/b ��� �� ���� � ��� �� � ���� � ��� ���

�� ��

���� �� �� ����� �� � �� �� ���� ������ �������� � ���� ������ �� ����� �� �� �� �� ��� ��� �� �������!� !����� "#������� �� �� �������� �� � ������ $� ������� ����� �� � ��$�� ���!����� �� � ����� ����%� $� � ��!������� �� ����� �� ����� �� �� �� �� �

��� �� �� ��� � ����� � � �� ��� !��������� �& � & � ��� ���� 90◦� '��� �!��� ���� ���� �� ��(�� ��)��

���� a b a/b Ap

� � � ��� ��

! � � �" �"

# � $ ��� ��

� � � ��" �%

�� � � ���� �%

#� $ � ��" ��

!� � � �� �"

�� � � ���� ��

��� ������ �� ���� �������

&�� ��������� ��� ��� ���� � � ���� ��� ��'���� �(���� �� ����� )����� ������ ��� Dw/Db = 20000� &�� ����������� ��� ��������� ��������� ������ ��������� ��*�� �� ���� �� +�*� "� &�� *�����, �������� � ���� �� ��� �� +�*�

��

Page 123: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�� ��� ���� ��� ��� ��� � ��� ����� � ��� �� ��� ������ �� ��� �������� h × w� ��� �� � �� �� ��� �������� ��� �� ��� � �� �� ��� ���� �� �� ����� � a/b = h/w� ��� � ��� ��� �������� �������� ��� ��� ���� ��� ��� ������ �� ��� �� �� ��� ���� ���� �� � �� ��� �������� Ap/hw = 0.09� ��� �� ��� ������ ������ �� � ��� ������������ �� ��� ���� ����� ���� �� � � �� �� ���� ��� ��������

��� ������ �������� ���� �� �������� ���� ��� ���� �� �!��� � �� � ��� ����"�������� �� ��� ����# ���� � ���� � ���� � �� ��� �� ��� ������� ��� �������������� ��� �� ������� ���������� � �� ��� �������� ��� ����� ��� ��� ����� ������ ����� ��� ���� ��� ����� � �!��� ������� �� �� ������� ��� ����� ����� ������� ��� ���� �� �!��� � �� �� ���� � � ����� ��������� �������� ����� �� ��� �� ���� ���� �� ��� ��������# ��� �!��� �� !����� �� ���������� �� ��� ����� ��� !����� ����� ��� �� �� ��� ��� ��� ������ �� ��� ����$�� ��� �%�

���� �� ����������� � ��� � �������� ��� ����� ��� �� ����� ��� ��� ������ ����� �� ���� ��

���� � ����� ����� ����� ������ ���������� ��� ��� ��������� ����

��� � ���� ��� ���� ���� ��� �� ��# Jah/(DbΔc)# ����� Δc ��� �!������ � ���"����� ��� ������� x1 = 0 �� x1 = h ��� �!����� �� ������� �� �!����� ���� ��#

��� ��� � ��� &� ��� ���� � ��# ��� ��� �� ���√

Ap/hw = 0 Jh/(DbΔc) = 1�

��� & ��� �� � ��� �� �������� ���� � ��� ���� �� ���� ��� ' � �� ����#���� ��� �� �� ��� ���� �() �� ��� �� �� ��� �������� �� # ��� �� � ��� ������� ����� �) �� *() � ���� �� � ��� ���� � �� � ��� ����� �� ����� +��� ��� �� �� ��� ���� ,() �� ��� �������� �� # ��� �� ���� ��� ��� ��� ���� � ���

��� -� ���� θ = (De

Db

− 1)hw

sAp

# ����� De ��.��� ������� �� /-� $01% ���� �

20

Page 124: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� �������� ����� �� Jah/(DbΔc) ��� ���� � ��� � � �◦�� � ��� �� � �×� ����� ����� ���� �� �� ���� ������ �� �� ����������� ���� � �� � ���� ����� �� � �������� �� �� ��� �� √Ap/hw!

���� � �� � ���� � ��� � �� ����� ���� θ = θ(√

Ap/hw)� �� �������� ��� ����� ������

��� ����� � ��� � ��� ��� ��������� θ� ��� ���� � ��� ����� �� ����� ��

�!"�θ = limAphw

→0

θ .

� �����#� � ����� �� ������� ��� ������� #���� � � θ� ���� ��� #������� $��� ����������� �� ������� ���% ��� � � � ����� � ���� ��� �������� $��� ��� ������ ������ �����&�� � '���� ���� ���� ���� %� ��� ����� ����� (� �� ��� � (� ��� � �)������α1 � α4�

��� � �)����� θ = α1 �� κ =α2

θs��� ��#� � �� �� ��

��� �� θ �� κ ����� ��� �� ���� � �� � �� �� �� ��!

���� � * + , �- *- +- ,-

θ = α1 .�/" .�&" ��0" ��"" !�&" ��"" ���" ��/"

κ =α2

θs1.�." 1�"& 1"�.. 1"�.. 1"�". 1"�./ 1"�"� 1"�"2

��� ����� �� ��������� � ���� 0� � ����� ���� �� ���#�� �� � ��� ������ ������1�� �� ��� θ �������� �� ��� ������ ���� a/b �������� � $��� � �� �������� ��� ������� � � ������ � ��� ��������� � ��� �� �������� �� � � ��� � � ,-� ��� ��3��#��%� � ��� ��������� � ��� �� ������� � ��� x1 �� x2 ������� �� ��� ������ ��� � �������������� $���� �������� ���� ����� ��� � �� �4����� ������� �������� ��� ����� ��������% ��� ������ ���� ����� ���� 0��

.�

Page 125: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� �������� �� ���� θ ��� ���� � ��� � � �◦�� � ��� �� � �×� � ���� ���� � �� �� � �� ���

����� �� ����� ������� ���� � � � �� ��� ���� � ������� �� �� ���� ���√Ap/hw�

���� �� θ �� � �� ��� ��� a/b ��� ���� � � � �� �� � �� ����� ×�� !�� θ ��� �" ������������ ��� a/b = 2.5, 2, 1.5, 1, 0.67, 0.5 �� � � �������� ������ ���

��

Page 126: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Eb

ν = 0.3h Δu

σ1h/EbΔua/b = 1.5

σ1h/EbΔu = 1

σ1h/EbΔu a/b = 1.5x1

σb = EbΔu/hσe/σb = Ee/Eb σe√

Ap/hw < 0.3 √Ap/hw = 1

Page 127: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ��� �������� ���� �������� ������ σe/σb ��� ����� � ��� � � �◦�� � ��� � � �×� �������� ��� � �� �� �� ���� ������ � ��� �������� �� � ����� � �� � ������ �� ��� ��� ������ � ���� �����√Ap/hw� σb �� ��� ������ � � � ������� �����

���� ���� ��� �� �� ����� ��� ����� ������� ����

��� ������� θE � �������√Ap/hw ������ �� ���� �� �� � ��� �� ���� �� ���

� ��� ��� ������� θE �� ��������� � ��� �� ������ ������ θE �������� �� ��� ������ �������� ����� �� �� �������� ���� ����� � ��� ������ � ������� � ��� ��������� ���������� �������� �� ������ ��� ����

��� ������� θ � ��� �� �� ��� � � !" ����� ��� ��� a/b �� ���� �� �� � �#�� ����� � ���� �� ������ �� ������� $�� �� � ��� ������ ��� � ��� % ������� ������ ����� �� ��� ��� �� ��� ���� � ��� ��� ����� �� b � ���� &� �� '����� ���' ��������� ���� ��� � ������� �� ��� ��������� � � ���' �������� � ����' ���� �� ������� ���� ��� ����� ������� ��� ������ � ������� �� ��� ���' ������������� � ��� ����� �������� ��� ����� ����� � � ���' �� θE = π/2� ���'��� ����� θE = 8/π � � ������ �� �� ����� � �� � ��� ��� ����� �� ������� ������ ��� ��� ���������� ������ � �� ������� �������� ����� ��� ���� � ������ ��� ���()��'����������� �*+,- � ��� ���� a > b ��� ������ ����� �� ������� ���� ��� �� �������� a ����� ��� . � (,/-� ���� ������ ��� θE� ��� ������� ��� ���� ��� �� b� ��������������� �� �� ��0����� ��� ������ �� ��� ��� �������

� �������� ��� ����

��� ����� �� ������� �� ������� ��� ���������� ������ �� � � ��� ����� � ���������1����� ��� ������� ������� ��� ��� � �� � ��� ��� � �� �� � 2 �� ������ ���� �� �� �� ����� �� ��� � �� ���� ������� ��� � ��� � � ��� ��'�� ���� ���

�3

Page 128: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ��� �������� ���� θE �� ��� � ��� � � �◦�� � ��� ��� � �×� � ��� ���� � ��� �� �� ���

������ � �� ���� ������ ��� � � ��� ��� ���� � �� ������� ��� ��� √

Ap/hw

���� ��� θE ������ ��� ���� ���� a/b ��� ���� �� �� ��� ������� �×�� ��� θE ��� �� ��������������� ��� ��� ����� a/b = 2.5, 2, 1.5, 1, 0.5, 0.67 ��� ���� �������� ���� ��� ������� ���� ��� ��������� � a � ��� ������� �� ��� ����� ��� ����� ��� ������ �� a/b →�� ��� ��� � ��� ������ �

θE =π

2�� ��������

��

Page 129: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������� �������� �� ������ � ����� ������� ����������� ��� ��������� ����� ����� ������� ������������� �������� ��� ��������� �� ����� ��������� ��� ����� �� � De,��� =1.033Db �� ��� ������ !x1" ���������� ��� 1.071Db ��� ���������� !x2" ��������� ���� ���������� ���� ��� ������������� ������#�� ����������� $ ��� %# !�&" ���� ��� ������De,sup = 1.030Db� ��� 1.068Db �� ������ ��� ���������� ���������� ��������'��$ ��� ��������� �� �� ��� ���������� �� ��� �� ����� ��������� �� ��� ��� Db ��� ������'� ������������� �� ��� ������������� ������#�� '����� ��� ����� ������� ������������ ��� �� ����� ����� ������ ��������� �� 0.03/0.033 = 0.91 (� ��� ���������� ��������� ��� ������������������ �� 0.068/0.071 = 0.96� �� �� ��� ������ ��� ���������� ���������� ��� �������������������#�� ��'�� �� 9% ��� 4% ������� ���������� ���� ��� ����� ������� ������#�� ��������� ����� � ���� ����� �� �� ����������� ������ ��� ����� ���� �� ��� ����$ ��������

)�� ��� ������� ������� ����� ��� ����� ������� ����������� ��� ��������� ����� ��*�&������� ������������� �������� ��� ��������� ������� ������� ��� ����� �� � Ee,��� =0.895Eb �� ��� ������ ��������� ��� 0.955Eb �� ��� ���������� ��������� ��� �������������������#�� ��'�� Ee,sup = 0.889Eb �� ��� ������ ��������� ��� 0.948Eb �� ��� ������������������� ��� ����� �� ��� ���������� ��� �� ��� ������������� ������#�� �� 6% ��� ��������� ��������� ��� 16% ��� ��� ���������� ���������� ������ ���� ��� ���������� � ���������� ��� ��� ����� ������� ������ ��� ������ ��� ����� �� ������� ��������� �� �������������� ��� ������� ������� �� ��� ��� �������� �������� �������

��� ����� ���� �� ���� $ �������� ���� ��� ����� ��� ����� ����� �� �� ��������������θ ��� ��� �� ����� ���� ��� �� �'����������� θE ��� ��� ������� ���� ���� ����� ���� ����� ��������� �� ��� � ������ ������ ��� ����� �� ����� �����$ �+����� ��� �������

� ����������

,������������ ���������� ��� ����'�� ���� �����$ ����������� ������� �� �������� ����������� ��� ������� ���� �� ��$����������$ �+��� ��� ������������ ������ �� ���� �� ��������� ������� ��� ��������� ������������ �� �������� ���������� ��� �� ����� ��� ����������� ���������$ ������ ��������� ��� �� ����� ��������� �� )��- ′� ��� ��� ��� ������� ��������� .��-�′� ��� ��� �������

��� ������ �� �'������� �� �'��� ����� ��������� ��� ��� �� ����� ��� �������������� ������������� ������� ��� �������� ���� ���� ����� ����� ������� ������� ,���������$���� ������ �� ��� �� ����� ��������� ��� ��� ������ �� ��� ������� ������� ������ �� ����������� �� ������ ��� �������� ���� ��� ������������� ����� ������� ������� ��� �������� ��� ������������� ��������� ��� �� ����� ��'���� ���� / �� &0 ���� ��� ����� ������������� ��� ������������� ��'������� ��� ��� ������� ������� ��� � �� ��0 ��� ����������� �� ����� ��� ��#��������� ���� ��� ����� ������ � ������ ���� ����� �� ���� '�������� ����� '����� �� ���� ���� �10

��

Page 130: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������

������� ��� ��� ��� �������������� �������� �������� ������� ������������

������ ��� �������� �� !��"���� #�� $� %&��� �' �������� �� �&����(� ���"���� ���&�������)������ *���+ ��� ������� ���������� �' �������� ,��� �� ��-./ � 0����1��&������ ���������� ������ �-� 2������ �' �-� ���������� ������� �' ������� � *3+� �4�5�4�$�

����� � ��� �6��� 7������ �-���� �' �-���1����������� �������������� 2������ �' ��������-����� � *+� �885� ��

��9��� �� ��� 3� � ��������" �' ����������� �������������� �� �������� �' ������ ������1����� ��������� �� ������ ����� 8 *�1+� 3858 �

7������ ��� :��� 7�� #������� ;� 2�� !��"���� #�� ��� � �9�1��������� ����� �' �-��&����(� ������� ������ '�� �������� ,���� 2������ �' ,�����-����� �� *4+� � �5� 8�

!�� ;�� <��� !�� ��-�=��� � ��� ;��"� !�� 6� �-� ���������� �' ������ ��&����� ����������� 9��"-� ��� �-��� �� ������ ,���� ���� �8 *8+� ��$5�3�

!���,��"� 7�� �-�>��� ��� :�-����� ;�� �(������� ?�� ��� ������������� �' ��&��������)������ �� ,�(��� ,��� ,� ����� �' ��������(��� ������������ ?������������ 2�������' %@���������� ��� ������������� ������-����� *�+� 3�53��

������ :� �� �� ���� �3� A������������ A@'���� �������� #�����

�����..�� B�� ����� B�� �����..�� ��� ���� ;���� ����>� ��� �9�����" �� ���"�� ���,����C'��� -���� '���� -���� ��������� � *�+�

�����..�� B�� ����� B�� ��������� ��� ��������� �� �����..�� ��� ��,� %@��������������� �' ��&����� ���)������ �' 9���� �-���"- �-� �����"��/ ������� �������� �� -�������,������ ,��� ������� ��� �� �������- ������������� ���

��>-����-(���� D�� �683� ���� ����� #��,���� �' �-� ��-�������� �-���� �' %����������#� D����-�& !��� 7�����"��� E�������

#����� :�� AF!����� 2�� �-���� ��� ����G�� ��� H���-� ����� �� �� ��������" �-� ���1���,����� �' �������� ,��� �� �������� ���"�- ������ ����" I���������� ����(��� �'����-���,����-��" ���-��J���� ?�/ #��� 8��� ������ A:� �����"� ���� ����

#������� ��� ?��>����� #�� ��K-��� #�� �3� �� ���"��� :������-"���� �:!-���/LL�@�������"L���3��L:7����36 ��44�

:���� 2� :�� ������� � #�� �6$ � ���� ,���� ������ ��&����� ��������� '�� I���1���������������� ������ ����� 9��- ���������,�� ������������� :�(��9� �' 7���-����� �� *+� $5���

�6

Page 131: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�������� �� ����� �� ���� �������� �� ������� ����� ������ �� �������� ���������� ������� �� ������������ � !�"� �#$�%

���&������ '� ((( ������� �� ����)������� ����� ������� �� ������������ �������� ��������������� *� !�"� #�($#+(

,��-� .� ,��-� /� 0��� /� 0��������� � 1� �2��3�� ' �� ,�������� �� �������� �� ((* 4� ���� ����������� �� ������ ��������� �� ��� ���� �������)����������������� 5��������-� �� ��� 6������� 7������ �� �������� �� ��� 8����� ������ �� 7�������( !##"� �����$����%

,��3�������� � 7� (� 9���������� ������������ 1'1 5����� :.� 8�7

(

Page 132: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination