Transcript
Page 1: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

LUND UNIVERSITY

PO Box 117221 00 Lund+46 46-222 00 00

On the determination of diffusion coefficients in bone

Shokry, Abdallah

2015

Link to publication

Citation for published version (APA):Shokry, A. (2015). On the determination of diffusion coefficients in bone. Division of solid mechanics, LundUniversity.

Total number of authors:1

General rightsUnless other specific re-use rights are stated the following general rights apply:Copyright and moral rights for the publications made accessible in the public portal are retained by the authorsand/or other copyright owners and it is a condition of accessing publications that users recognise and abide by thelegal requirements associated with these rights. • Users may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpose of private studyor research. • You may not further distribute the material or use it for any profit-making activity or commercial gain • You may freely distribute the URL identifying the publication in the public portal

Read more about Creative commons licenses: https://creativecommons.org/licenses/Take down policyIf you believe that this document breaches copyright please contact us providing details, and we will removeaccess to the work immediately and investigate your claim.

Page 2: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Department of Construction Sciences

Solid Mechanics

ISRN LUTFD2/TFHF-15/1052-SE(1-132)ISBN: 978-91-7623-313-9ISBN: 978-91-7623-314-6

ON THE DETERMINATIONOF DIFFUSION COEFFICIENTS IN BONE

Doctoral Thesis by

Abdallah Shokry Mahmoud Ali

Copyright c© 2015 by Abdallah Shokry Mahmoud AliPrinted by Media-Tryck AB, Lund, Sweden

For information, adress:Division of Solid Mechanics, Lund University, Box 118, SE-221 00 Lund, Sweden

Homepage: http://www.solid.lth.se

Page 3: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 4: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�������

��� ���� ������� �� ��� ��� ������� �� �� ����� ��� �� �� �� ������

����� ���� �� �� ��������� �� � � � �� ��� � ����� � �� ��� ��� ���

! ����� � �� �� ���� "���� ���� #�� � � �� � � � �� ��� � ����� � �� ���

��� �� ��� $�� �� ������� #��� ! ����� � �� �� ���� ��� !���� �� "% ��� %

��������� �� &����� ��� �� ���� %��� �� ��� ������� �� �� ����� �� ����� ��

��� ��� ���

���� �� ���� �� ���� ������ �� � �� ������� ��� ��'���� � � � �� ��� � ����(

� �� ��� ��� �� ��� � �� ����� �� ��� ���� � ����� ��� ��� ��� ��� �

�� �����)�� ��� ��� � ��� �� ! �� ������� �� # ��� ������� !%� � ����� ��(

������� �� * ���� ��� "% ��� %� ��� ��� �� ��� ��� � ��� ����� �� � �

��� �� �� ������%���� �����%���� �� �����

! ����� � �� �� �+��� �� ������ �� � �� ������� #)� "� ,��� � -����� �������

�������� ��%����� ��������� �� ����� ��� �� % �� ������� � "% ��� %� &��(

���� �� "% ��� %� .� �� ��� ��� ������� ������� "�(������� ����� ��� "(

% ��� % ���������� &������ �� "% ��� %� /���� ��� �� �� ������ ��������

#�� �� 0����� "����� � 0��)�� -������� 1 ������ �# ��� ��� � ������ �� ������%�(

����

! �� %������� �� �� ������%�� �� ��� ���)�� �� ��� � � � �� ��� � ����� ��

��� ��� �� ��� ��� � � � ���� �� ������ ��� % �� ��� �� # ) % ���� �� ��

"%��� � �� �� ���� ����� ��� �� #���� &��2�� ������� #)������ 3��� #����

������ &����� #���� ����� #)�����2�� ����� ������� /�%��� �� 3��� ��)����

��� ��� �� � �� ���� ! ���� ��� � �� �����

# %���� ���� �� �� ������� ��� ��� ��� ��� $��� � ��� �� �� �� �� � � %��� ����

�� ���� -��� �� ��� ��)��� �������� �� �� )������� �������� ��� ��� � ������

�� ������%����� & ����� � ������ ���� �� �� )������ � ��� &������ �� �� ������

� �� 0���� �������� �� ������� ��� ��� � ������ �� � ��� � ��� % ���� �����

��� ��� ��� #�� � ���4

#)������ ������ ������� #�

Page 5: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 6: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������

�������� �� ��� �� � ��� ��� � ����� �� ��� ������� ���������� ��

���� ��� �� ���� � ������� ��� �� �������� ��� ������ ���� ������ �����

�� �� ������� ������� �� � ����� ��������� �� �� ���� �� ���� � ������� ��������

������ �� ������ ��� ������ � ����� �� �� ������� �� ��� �� ������ �������� �������

�� ����� �������� ��� �� ���� �� ������� ������� �� ����� ��� �� ��

�� ���� ����� �� ����� �������� ����� ��� �� ��� ���� �� ������� ���� ��������

������ �� ��� �� ������ ����� !� ������� ������ �� �������� ���� ������ ��

����������� �� �� ���� �� �� ������ �� ������ ��� �� �

�� � "��� �� ��� �� ������� ��� �� ���� �� � �� ������ ������ ���� ���#

����� ������ ������� ��������� $���� �� �� ��� ����� ���� �� ��� ��������

�� �� ������ �� �� ���� ���� �� �� ��#�� ������ ������ ���� ����� �������� �����

�� �� ������ ������ �� ��� � ��� ����� �� �� ���� ������� %���� �� ����

� �������� ���� ������� ���� �� �� ������� �� � ���� ��� !��� � �����

�� �� ������� �� �� ������ �� �������� ������� !� �� �� �� ������� ���#

"����� ���� ��� �������� �� ����� ��� � &�� �� "��� �� �� �� '����� ��

������� �������� ��� '��� ��� ��� ���� �������� ������� �� �������� ����

�������� !� &�� �� "��� ���� ���� ���� �� ���� �� ������ ���� ��� ����

���� �������� !� ������ ��� �� &�� �� "��� ������ �� ������� �� �� ������� ��

���������� ���� ��� ���� ��� �� � ����� �������� �� ���� ���� ����� ���������� �� �#

������ �� ���� ����'� � ��� �� �� �� ������� �������� �� ������ ������

���� ��� ������� �� ��� �� ���� �� ���������� ���� ���� !� ������� �� ��� �

&�� �� "��� �� ����� �� ����� ���� ��� ���� � ���� � (������ � ���

�� �� �� �� ������� ������� �� �� ������ �������� �� ������ ��� �� ���

�� ���� !� ��� �� ��� �� � ������������ �������� ���� ���� � �������

������� �� �������� ���� �������� !� ����� �� ���� ����� "��� � �� ������������

��� � �� ������ �� ������������� ��� ������ !� ��� �� ������ ������� ����

������� �� �������� �������� �� ��� ��� �����

���

Page 7: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 8: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Abstract (Arabic)

����

���� .��� � ������ ��� � ���� ����� �� ��� �� ��� � ! ��"�! ��� � �� #�$�%&� "�� '

(�)�'"� (*+,�� �-,/ .��� � 0�"�! (�" � �� ����1 ��"�! �"1��� 2+1 ���3/ "�� ' ��

�� 453/ ��� (�6�'7�8� (��, � ( �#5 (�9��� :;� ����1 ����<�� #�$�%&� =���,

>6��% ?�� @AB3� �*! �� (�,1C� D�� 5�E� F;A,�� "�� ' .(�3� ��� � (E9%!

G� � �� #�$�%&� =H�� � I��J (<�9� (J'"K ��5�� � L3�� �+1 �� G/ 5M� .(�J�JN

�A� �/A�� 5'#A�O� ( �$,� "J�� ('"$J� ��� � �� =���� P)� G�' Q#�B�R�� .S"J��

P� ��,� (���TA/ �� �A� �/A��� 5'#A�O� =��#�U #�$�%� 5'7' L�N V"<J,� ��,� ��

.��7� #�"�

(<�/"� "� #�$�%� W�A�� (9%�E�� ���,� G� � #����� G/ Q(K�9��� @�! F;A,% ��

"� ���� (�'A<� ��� � #��3� �� G� � (��� XY� ��5�* Z�" ,� �� [%! "� QPMA,��

�(��-� "-�! \�B/� ] A�,� ^'AE�� �� _"J�� :;� �5'�7�� (';�8% =�; (9%�E��

�� :;� PMA,�� ]�/"� #�$�%� ��� � (��)� G/ :; �*� ��� ."R`� \<9� _"J�

5J .(� M�� "-�! >6��% ?�� @AB3� � ����3,� ��A* P�# ?� S�a' �,� V�%�b F;A,%

�� #�$�%� =H�� � ?�� @AB3� �*� �� "��� X�,�� ?,9/ (�9O� (J'"K ��5�� � G/

"��� X�,�� (J'"K +RY/ .[��� [M5� PMA,�� ]�/",� #�$�%&�� c��-� #�$�%&� ���N

(<�/"� (� �9N =�; �dE6��% "�� / �,� V#����&� �� � =H�� ,� ��<R!� I��J� ��<R!

�5�� Z�"3%&� e�E� ('�� � f"�J/ X! eE' ���� =H�� ,� (�6�5�� G�J� #���R��

=��TA�� (�A3B� #�$�%&� =�"�g�� 5'53� (J'"K f�"�M� G/ Q#�Kh� �+1 ��� ._#�J��

?�� ����,��� "��� X�,�� ��5�� �� (J'"<� 2+1 G��J/ G/ .(�6�5�� G�J� #���R� (�8�O

#�$�%&� ��� � 5'53� (J'"K i�J�U� G/ �"�R!� .=���"<)&�� (%�"J� � �5A� =� ��M

G�' [��� 5�j��� !5�� ?�� (J'"<� 2+1 5,� / L�N V��� � =���� �� (%�",� W�AR�

(J'"K ��5�� �� ���A � 2+1 ��E'� G/ 5M� .�� �C�� �O$�� (<�/"� ���A� ��5�� �

�� ��O (J'"<� 2+1 G��J/ G/ .=�AE8� �� @�OUC� k � :;� ���53,� "T�� �

.����J�JN ����N ?�� �dJ��<�� �O�%�O�,� lA�9�� #�$�%&�

iv

Page 9: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 10: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������������

� ������� ��� �� ���� �� ���� ��� ������� �������� � ������� ������������ ���

��������� ��� �� ���� � �� ���������� ����� ���� � � ����� ����� ����� �����

��� ��� ������ �� ��� ��� ������ ��� ������� !� ��� �� ������������ �������� �

����������� � ��� ������ ������ �� ��� ��� ����� �� ���� "�� ��������� ���

������� �� ��� ������� � �" ��� ���� ��� ��� ��� ������ �"���� �� ��� ��� �����

���� ���� #�� �� �� � ��� ����� ���� �� ��������� �� �������� � ��� ���

��� ��� �� ��� �� �� $�� ������ �� ��� ������� ��� ������� � ����� ����

���� � ������������ ��� ���� �������� ����� ���������� %��������� ���� �����

��&������ ��� ������� �� ��� � �� ��� ����� � ������ ��� ���� ��� ��������� � ���

���������� ������� �������� � ����� ���� � �� ��������� ��� �� ���� �� '��� �������

��� �� �� ���� � $�&������� ��� ����� ��� ��������� ������� �� �������

��������������� �� ���� ��� �� ��� ���� �� ���������� ��� �������� � ������������

����� ��� �� ���� ��� ����������

(� ��������� ����� ��� ����� ��� �� ���� �� �� ����������������� ��� �������

��� ������� � ������� $�� �� ���� �� ������ ��� �������� ��� ��������� ��� ���

��� ������ �� ������� �������� ������� ��� �" ������ ��� ������� ������ ����������

� �������� !� �� ����� ���� ��� �� ����������� ������ ��� ����� �� ���� ���� ��

� ����� �� ����� ��� �� � ��� ���� �� � ��� �� � ��� ����� ��� �������� �

������� ��� ����� ��� ������� �� �� ����� ��� �� ��&�������� ��� ���� � �� �����

��� ���� �� � ��� �������������� �� ��� ��� ������ � ��� ��������� ��� ������� �

������ ��"�� ��� ��� �� � ��� ����� ��� � �������� �� ���� ()�������� �� �����������

� ����� ���� �� ���� ��)��� ���� �� ���� ���� ��� ��� *�� �� ���� � ��������� ��

��� �������� �� ��� �� � ���� ������ ���� ���� ��� �� ��� � �� ������ �� �������

�� ���� ��� �� ����� ��� �������

(� ������� ���� ��� ������ ��� ��� ����+����� � �" ����� �� �������� � �������

����� ���������� $�� �� ��� ��� ���� ������ ���� ����� ������ ��� $�� +��� ����

�� �������� ���� �� ��� �������� ��&����� ��� ������ ��� ��� �"��� �� ����

��� ��������� ������ ��� ���� ��� ������� ����� ������� ����� �)���������

,���� ����� �������� �� �� ���� ���� ����� ��� �� ��� ��&���������������� � ���

������� !������ ���� �� �� �� ����� ����� ��� ��&������ ����� �������� ���

������ �� � ��� �������� ������� � �������� �� ��������������� ���� ��� ���

����������� !�������� ����� �� � ������� �� ���������

*�� �� � ��� ����� �� ���� ��������� �� �� ������ ������ - �� + ��������

��� �� '�� ����� � ��� �� ��� �� ��������� �� �������� ��� � ����� ����� ��� ��

�� ��� �� ��� ��������� � ������� � � ����� ���� ��� � ��� ����� � �� ������ ��

�� .������������ ����� ���� �� �� ������ ����� � +��� � �������������� �������

$�&���������� �� ��� ����� ��� ��&���������/������� ��� ������ ������ �� � �

���� ����� ��� "����"� ������ '�� ������� ��� ��� ����������� 0��� ���� ���� ��

�� �� ������ ��� ��&���������/������� ������ ���� � ����� � ���� ����� ��

����� �� ������������������� ��� ��"���� ��� ��&����� � ����� ����� ����� ���� %�����

"���� �� ��� ������������� �� ��� ��� �� ����� ��� ������� !�� ��� � � ������� ��

���

Page 11: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ������ ���� � ������ ��������� � � ������������ ���� ��� ��� ��������� ������ �

�������� ���� �������� ��� ��� �� ����������� ��� � ������ � � ����

����

Page 12: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� ����� �����

���� ������ ������ �� ��� �� ��� ��������� ����������

����� �

�� ���� ��� �� ������ �� ������ �� � �!������ "#$%&'������������ ��� ��� ��������� �� ����� ��� �� ����� ��� ������� ���� ���

����� ��������� (���� �� )*�������� �� +���������� ,����������� !����� #� �����#� ���� -#&.-&#�

����� �

�� ����� "#$%/'� �������� � ���� ������ ����� � ��������� �������� ���������� �� ��������

���� ��������

�� ������ �� ���������� �� ��������

����� �

�� ������ 0� ��1��� �� � �!������ "#$%/'������������ ��������� ��������� ��� ��� ���������� �� ����� ��� ���� ������

�������� ������ �� ���������� �� ��������

�����

�� ������ �� ���� ��� �� 2����� �� 0� ��1��� "#$%/'� ��������� ���������� � ���� ����� ��� ��� ��� ������� ���������� �������� ���

� ����������

�� ������ �� ���������� �� ��������

�� ������������

��� ���� �� ���� ������ �� ������� �� �� ������ �� �������� ��� 2��� 3����� �� ��� �� � ��� +� ��� ���� �� ���� ��� ��� ������� ����� �� ����� ����*��������� ��!������� ��� �������� �� ������ ��� ���� 4����� ��� ���� ��������� �� �� ����� ��� ����������� ������� �� ������� �� ����� �� �� ��������� 5 �� ���� ����� ���� ��� ��.������

�*

Page 13: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 14: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������

� ���������� �

� � ���� ������ �

� � ���� � ���� �

� � ���� ������������ �

� ������ ����� ������� �

� ������� ��� �������� �

��� ����� ����� ������� �� �������� ���������� �� ������ ���� �� ���� ��

������������ ������ ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� ����� � �������� � ��� ���� !�� �� "���� �� ����� ��� ������� ����#

����� ��� ��������� ������ ���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � $

��% ����� & ����� ������� �� ��������� ��������� �������� ���� ����� �� ������

���� ���� !�� �� "���� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��' ����� � (������������ ���������� ��� ����������� �� �������� ��� �������

���� ����� �� �������� ������ �������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �%

� ��������� ��

�!�� "

�!�� #

�!�� �

�!�� �

)�

Page 15: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 16: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

��� ������ �� ��� �� ����� �� ������ � ������ �� � �� �� � ��� ���� ���� ���� ������ ���� � � �� ������ ���� � ��� ���� � � � ���� ������� �� ��� ��� ����� � ������� ����� �� ����� ���� � �� ������� � ����������� �� ���� ������� � ��� ���� ������ ��� ������ �� ��� ��� ��� ���� ���� ���� ����� � ��� ����� ������ �� ��� ������ ����� ����� � ������� � ����� � �������� ����� !!!"�

#���� ����� ������ � �� �� � ������� �� ��� �� ������� �� �� ���� ���� ��� ������ ��� � ���� ���� � ��� ���������� � ������ �� ��� ��� �������� ����� � ��� ���� ����� � � ��� �������� ��� $����� �� ���� ����� �� ����� ���������� ��� ����� �%���&$���� �� ���� !''( )������ �� ���� !'*"� ��� ������ ������� �� �� ��� ������� ����� ��� ���� � �� �������� ���� �� �������� � ������� ���� ����� ��� ����� ��� � � ��� �� ���� ����� �� � ������ ��� ������� ����������� �� ��� ��� �������� ����� � ��� ���� ����� � � ��� �������� ��� ���� �������������� � �� � ������� ��� � ��� � ��� �+����� ��������� �� ����� �� ���������� �� �� �������

����� �� � ����� ������� � �� ������ ���� � �� ���� � ����� ������� , ����������� ����+��� �� �� ������� ,�� ��� ��� �� ������ ���������� ��� �� �� �� �������� �� �+����� � ������� ��� ������� � ����� ������� ������� ������ �� �� � �������� ��� ����� ����� ��� ����� ����� �� ��� �� ��� � ���� �������� ,�� ������ ����+ ��� ��� ���� �� � ��� ���� ���� ��� ������� ������ � �� ��� ����������������� ��� �� �������� ��� ������ �������� �-�" �� ������� �� ���������� ������ ���� � �./"� ��� �� � ���� ����� �� ������ ���� � � �� ���� ������ ������� ������ ��� �+���� � � ��� � �� ����������� ��� ��� ��� �������������� ��� ������ .���������� ���� ���� ����� �� �� �� ���� ����� ���� �� ���� � ����� ������� , ������ ������ �� ��� � ���������� �� � ��� �� ���������� ����� � ��� ��� ������ �� � ������ � ��� ��� ������

� ������ � ����� ����� �� ��� � ����� ������� � ��+������ ������ ���� � ���� ��� ������� � ������������ 0� �� � ����� �� ���� � ���� ���� � ������ ���� ����� � ��� �� ������ ��� �������� ������ �1-�" �� �� ��� �� ��������� ������� �������� ��� ����� ��� ������ �2 ���� ��� ��� ��������� �������� �� ���� ���������� �� ���� ����� 3� �′� ��� � �������

4+��������� ������� ��� ������ ������� � ��� � ���� ���� ��� ��� � �� � ������ � ���������� ��� � ��������� ���� ��� ���������� ��� ����� �� ��� ���������� ����� �+����� �5�� �� ����������� � �������� ����� ������� 5� ������� �&������� ���� ���� ����� �� ����� �� ��������� 5� ������� ���� �������� ��������� ���� ��� ������ ������ ���� ���� ��� ���� � ���������������� ����������� �� � �� &����� ����� ������� ����� � � ���� ��� ���� ����� � ��� ��� 1���� ������ � ����� � �������� �������� ���������� ��� ����� ��� � ����� ����������� � �� ��� ������ ����� 6��� �� ���� �� ����� ��� � ��� ������������� �� ����������� �� �������� �1����� '78!"� ,��� �� ������ �� ������� � ����� ��

'

Page 17: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�� ���� ������� ��� �� ���� ���� ���� ����������� �� ������� ���������� �� ���������� ����� ��� �������� ������������ � ������ ��� �� ��� �� ������ ��� ������� ������������ ������� �� ������� ���� ���������� �� � ����������� �� ������� ��� ������ ������� ��������� � ��� ����� ���� ������� �� ��� ������ ��� ���������� �� �������� ����� ���� ������� ��� ��������� �� ��������� �� ��� ������ ��� �� ������� ������� ���������� ��� �������� ������������ �� ��� ���� ������� � �� �� ������� �������� ���� ��� �������� �� ������������ ���� ��� ������ ��� �� ������� ������� ���������� �� �� ������ �� ��������� ������� �� ����� �� ������!�� ��� ����� ��� �� ��� �� ��� ������ ���� �������� �� ���� �� �� ������ ������� "���������� ����� ���� ������� � ������������ ����� �� ������� ��� ������� ��������� �� ������� �� ���� �� � ���� ������ ���� �������� ������ ����� �� ����� �� ��� ����� ��� ����� �� ���� ������� ������������ �� ��� ������ #�$ � ����� �� �� �� ��� ��� �����

� �������� ���

� ������������ ������������ �� ������� �� � �������� ������ �� �$��������� �������� ��!������� ��� �������� �� ��� ������� ��������� �� ������ �������� �� ������ �������� �� ������� �� ��� ���� �� ���������� ���� ����������

�� ������� �������� �� ���� �������� �� ���������� ��������� ������ �� "��% ′����� �� �������� �� ������ ��� ��� �� ����� ���� ������ ������ � ���� ��� �� ����������� �� ��� ������������ �� ���� ����� �� ���� ���� ����� �������������� �������� ��� "��%′� �� ��� �� ������� ��

&'(J = −D∇C

���� J �� ��� #�$ ����� ���� �������� ��� ��� �� ����� ������ �� ���� ���� D ����� ������� ���������� C �� ��� ������������� �� ∇ �� ��� �� ���� ����� �� � )���������� ������ �������

&*(∇ =

(∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

).

+������ ��� ������� ������ ��� � ���� �� �� �������� � �� ��� �� ������ �� �������� ������������ ���� ������ �� ���� �� ����� �� "��% ′� ����� ��� �� ������� ��

&,(∂C

∂t= −∇ · J = ∇(D∇C)

���� t �� ��� ����� �� ������� ��������� �� -!�� &,( �� &'( ��� �� ���� ��� �� ��������� ���������

����� ����� ����+��� ��������� �� -!� &,( �� ����������� �� �������������� �������� �� ������

������� �� ���� �� ��� ������ ��� ������� ��� ��� ���� &��� ���� )��% &'./0((����� ������� �������� �� ���������� ��� �� ������ �� ��� ������� �������� )���

��!������� ��� ������� �� "��%′� ���� ������ ���� ������� �� ��� ���� ��� �� ��� �� ������� �� "��%��� �������� )����������� ����� ������� �������� �� �� ����� ����"��%���

*

Page 18: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������� �� � ������ � � ������ ��������� � �������� ����� ������� � � ��� � ��������� � �� ����� ���� � �� ���� ��� ��� ! �� �� ������ � "�� ���� �� ����# �� ��� ��� �����$�� ��� ���������# �% � &������ � ��� '(()!� *�� �� ��������� ����������� ����� ��� �������� �� � �� ������� ���� �� ���� �*�� ��� �� �!� +"��� ��������"� � ���� ����# " # , ��� ��� ������ �� �������� ����� ,# "�� ��� � �������- �������� � ��� '(��!

� �������� �� ��

.� �� ������ �� ��,�� ��� ���" �� ����� � ���� � �� �� ���� ,���� �# � � ��"���� � � ���# �� �� ������ � ���� ���� � �� ���� ,���� �� �� �����,� � ��������������� .� �� ������ "�� ���" �� �"���� �� ��� �� ,�� "� ,����"� �� �� �� ���� ������"�� ��� � ���# ,��� -�� �"������� �� /���� ��� ,�� ����� �� ��� ��,# �/ ������ �� � ��� � ������ �� � �����������# � �� �� � �� ������ ,�� �������+���� ,�� � ����� �� /���� �� ����� �� �� ,�� �������� ��� �� ���� �� �������� #��� �� ���� ,�� ������"��� 0��/��� "�� ,��� �� �������� ������ �� ��"��� � � �� ��� �� �������� ��1����� �� �"���� �� �� ,���� " ��" ��� � "���� ��,��� ,�� � ���� �� ,�� �"������ ��������

0��/��� ,��� �������� �� ,�� " # , ����� ��� ������ ����� ��� �� �� � �� ���� ,�� ���� � "� �� ��� ,�� � ���� �� ��� � �� � ��� �� ,�� ��� ��������� ����� ��� �� "#��" � � ��� �� � �� ��� �� �� �� �" ���� �� �� ,�� " ���/ �� ���� �� ,�� ������ .� "� �� ��� �� "#��" ,�� � ��� " � �� ,�� / � �� �������,� �� �� ���� �&����� �� 2���3 � '(�(!� *���������� �� ,�� ��� ���� /���� ,��� ,�� " �� �� �����# � ��� ��� /���� ������ � �� ,�� � ��� ������ � �� ���� �� �� ����� +� ��� � ����� /��� "� �� ��� �� "#��" � ���� � �����/��� ����������� ���/ ����� ���������# �� � ���" � ���������# �� �� ,�� " ���/ �4���� ��� '((5!�

6����� � ,�� ���"� ����� �(7 �� �� ,�� " �� �8 �� � ��� '(�(!� �������� ��#��� ������� �� ����� � �������� ��� "�� �����# � ��� �� �� ������ �� ���������� /��� ,��# ,� �� ������ � ,�� �� ��� �� ������� +���� � �� ��",� �� ���� �� � � �� � ��� �� �� ������ � ,��� �� /���� ,���� ����� � �� �������� /���� ���/��������� �� �9#�� �� "�� ���" �� ,���� ����� �� �� ,��� .� �������# �� �������� � ,��� ��� �� ����" �� ����� �� �� ����� � ��� ���" )��(7 /��� ������ ������ � �� ��3� ���� � ���/� 6. �" � ��� ��"� �� ,���� ,�� � "�� �� � � �� ���� �� �� ���" �"�� ,���

� �������� � �������

+� 9���"�� � ������� /�� �� �������� " ��� � � , �����/� �� ��" �� �� ��� ������ �� ���� �� ���"�� �� �������� ��1������ �� � �������� � � ,����� �� �� ���� ���� ��" �� �� ��" � ��"��9 �� 9����� /��� ����� � "��

Page 19: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������������

���� �� �� ����� � � ��� � ������ � � ���� ����� � ��� ���� � � ����� �� μ� ������ �� ����������� �� ���� !"#�

������ �������� �������� � ��� ��� �� ���� � ����������� ��� �������� ��� ��������� ��������� � ���� ��� �������� ����� ��� �������� ��������� � � ������� ����������� ������ �� ��� !�����" #$%&�� '� ��� ���� ���� �(��������� �� ��������� ��)������*������ �� ����� ��� ��������� ����� �+������� �� ���" #$$,- .�������/������ �� ���"0110�� !�� �� �������� ��� ���� ����� !�� ���� �� ������� �� ��������� �������� ������� �� ���� � �������� ��� ��� ������� ������� ���� �� � ��)����� ������!�� �� ����� ��� �� ���� �� ������ ��)���� �������� ������ � ��� ����� ����� ��� ��� ����� �� �� ������ �����������

2�)���� �������� �������� ������� ����'� �� ��������� �� � �� ���������� � ��� �� ������3�� �������� �� ���" #$4&�� !�� ���' ������3�� �� ����� � ��� �����������/���� � ���� ��)���� ��������� �� ���� ��(�� �� �� ������ '� ����" ��� ��)������� ����� �� 3���� ���� �� ��� ����� ���� �� ��� ������ 5���3������" ��� ������3�� ��� ������ � ����� ��� ��������� ��������� �� ������� �����" �� ������� � ������������ ���� ��)���� ��*������

.���������� ���������" ��� ������� ����� ��� � ��������� ���� ������� �����" �� ������ � 6��������� ��������� ���������� �.5��� '� �� ������ ��������� �� ����� �� ����#$70�� '� ���� ������3��" � ���� ��������� ����� 6��������� ��� � ������ ���� ������������ 6�������� ���������� !�� ��������� ������� ���" ��� ����3������ 6������� ���6��������� ���������� !�� 6��������� �� ����� ��� ����� !�� ��)���� ��*����� ����� ���������� ��� 6��������� �����

8 ���� �����( ����� ��� �� 3����������� ������������ ������� ��� ������������� �� ���� �� ���� � � ������� ��� ��)���� ��*������� !�� ����� ������ ��������� � ��� ������ ��� � ������ � �������� ������� �� ��*����� ���� � �� ���� ������ ���������� 8���� ����" ��� ������� ��� 3��� �� ������ �� ��������� ����" ��� ����� ���������� � ���� �(��� ��� ���������� ��������� ������� ��� ��� ������ �������� ������.������" ��� ����������� � ��� ������� ��� ��� ��� ������ ��� ������ �� ������������� �� ����� ��� ����� .���0 ��� ����� ��)����� ������ �� ������ ����������� ���

9

Page 20: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ���������� ��� ��������

���� �� ��� ����� ���� ��� ����� ���� ����� � �� ���� ������� ��� ��� ��� ����� � ��� �� ������ ���� ��� ���� ��� � ������� ��� ����� ��� ���� ��� �� ������ �� � �� ����� �� ��� ����� ������������� �������� ��� ��� �� ������ ��������� ��� ���������� ��� ������� � ��� � ������ � ������������� ����� ��� ������ !���"

��� ���� ��� ��������� �� ��� ����� ��� ��� �� ���������� � ��� �������� ��� ��������������� ��� ������������� ��� ��� ���������� �

���ξ = A+B

L

∫ L

0

C(x, t)

����� ξ � ��� ����������� A ��� B ��� ��� ��� ���� ���� ��� ������ ��� �������� ���������� ������������� ��� ��� ����������� ��� L � ��� ���� ���� ������� � ��� ��������������� C� � �������� � ����� ��� � � ���� !��!�� ������� ��� ������� ��������� � "� ����#!�������� ��� ������� ��������� ���

�$�C(x, 0) = C0, %�� 0&x&L �� t'0,

����� C0 � ��� ������� �������������� ��� t � ��� ���� ��� ����� ��� ������� ��������� ���

�(�C(0, t) = C(L, t) = 0, %�� t≥0 .

��� ������� %�� C(x, t) %�� ��� ���� ���� ��� � ���� � )���� �*+,$� �

�,�C(x, t) =4C0

π

∞∑n=0

1

2n+ 1exp{−D(2n+ 1)2π2t/L2} sin (2n+ 1)πx

L.

$

Page 21: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ������ ��� C(x, t) ��� �� � ����� ������� ����� � ��� � ��� ������� D(x) � ������ �� �� �� � ���

���D(x) = Do(1− x

L) +D1

x

L,

��� Do > 0 � D1 > 0� ����� D0 � D1 �������� ��� ����� �������� � ��������� � � ������� � ���� ��� ������������

� ������ ��� ���� ��

��� ���� �� � ��� �� �� ! �� � �������� "#$% �! �� � "#$%�� & ! �� '���� � ��������� ������ �� � ����� ������ �� �(�� �� � � ���� ���� � ������������ ����� ���� ��� ���� ��� �(������ � � � � )���� ��� ! �� '���� � ������� �(�� �� ��� ����� ��������� * ��� ��� ! �� '���� ������ �� ��� ����������������� � ��������� & ���� �� ��� ��� ��� ������� �� ��� � � ������ � ������ ��� �������� �� ��� � � ������� ��� ���������� ��� ��� ��������� � � ������ ���������� � � � �� ��� �������� � � ������� ��� ��� �� �� ��� ! �� '���� � � ���� �� ���� ���� +��� �"#�,��

��� ��������� � � ������ �� ��� ��

�#�xk+1 = xk +Kk{z − ζ(xk)}

����� x � n×1 ������ �� � ��������� ��� ������ � � ������� z � N ×1 ������ �� ���� � ��� �� ��������� ζ � N × 1 ������ �� � �������� �������� �� ����������� ��� �������� � � ������� x� k � ��� ����� � Kk � ������ ��� ! �� � �� � � ������ �� ��-� ��� ��� � �� ����� �� ��� � � ������� ��� ! �� � ���� ��

�"%�Kk = PkH�

k (HkPkH�

k +R)−1

����� Pk � n × n � ��( �� � �������� ��� ��� � �� ����� �� ��� � � ������� R� N × N � ��( �� � ��������� ��� ��� � �� ����� �� ��� �� ��������� Hk � N × n . ��� � ��( �� � ��������� � � �� �� �������� �� �������� ��� ��������� �� ��� ��� ������ � � ������

�""�Hk/

⎡⎢⎢⎢⎢⎣∂ζ1∂x1

· · · ∂ζ1∂xn

������

���∂ζN∂x1

· · · ∂ζN∂xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .

��� Pk � ��� ��� �

�"0�Pk+1 = (I −KkHk)Pk +Q

$

Page 22: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� Q �� ��� �������� ���� ��� ���������� ����� ������ ��� x0 ��� P0 ������������ ��������� ��� ��������� ����� � x0 ��� P0 �� ����� � ��� � ������ ���������� ������ ��� ����������� ������ ��� � �� ����� ���� ���� � �� ������������� ������� ����� R ��� Q ��� � �� ����� ����� � ������������ ��� ��������������� ��� ����� �� ��������� �� ��� ������� ����� ��� ����������� x� ��� ������ ������� ��������� ��� � ����� � � ��� ������� ���� ��� ����� !���� ���������� �����������"�

� ������� � ������� �

#� ���� ������� � ������� � ��� �������� ������ ��� ���������� $��� ��� ������ ��� ������ ��� ��������� ��� ����������

��� ����� ����� ������� �� �������� ���������� �� ������ ����

�� ���� �� ������������ ������ ���

#� ����� $� ��� ������� ��%����� �� ���� ��� �� ������ �� � �������� ����� &��'����������� � ������� ��� ������� ��%������ �� �(���������� ���)�� �� ��������� *�)��� ���� ���)��� ��� ���������� �������� ������� ��� ���� ������ �� � ������������� ��� ������ ��� ���������� ��������� ����� �� ����� �� ����� $ ������ ����)��� ������� ��� ���������� ��� ��� ����������� �� ����� ��� ������� ��%����� ������������ ����� ��� ����� !���� ������������� ������� ��%������ D� �� ���������� � +, �������� ���� ��� �������� ���

������ ��-� �� ����(������� +. �� ����� ������� ��� ���������� ������ � ��� &��'���������� ���� ������ �������� �� �������� A ��� B ����� �� ��� ������� ��%�����D ���� ��� � �� �(������������ ���������� ���� /�� �," "� ��� �� �������� A ��� ���� ������� � �� ������� �� t = 0� ����� ����� B ��� D ��� � �� ����������� ��� ����� !���� �� ������� � ��������� ��� �� �������� ����� �� �������� ������� ���������������� �������� ���� � ����� ����� ��� ������ ���� � ����� ������ ��� � ����� $ � ����������"�&����� 0 ���� ��� ��������� D ��� B � � ���� ��� ������ ���� ��� �(�������

����� ��� ����� !���� ��� ��� ���� ������� �������� ����� � ��� +� 1� +.� ��� ,. ����������#� �� ������� ���� ���� ��� ������� �������� �������� ������� ����� � ���� � ��� ��� +�������� �� �� &��� 0�� ����� �� ������ � ������ � ������� ���� � ���� ���� �� ������ &��� 0�� �� ��� �� #� ��� ���� ��!���� �������� ���� ��� ���� ������ ���� ���������� ������������ ��� ��� ��������� ������������ �� ������ � ���� ����� ��� ����� D ���� ��� ������� ����� ��� ����� !���� ��� �� �� ��������� ���� ��� ��������'���� ���������� ������� � D ��� B� ������� ����� ����� !���� � �� ���� ���

������� ������ ���� ��� ��������� �(���������� ���� ��� ���� �� &��� ,� ��� !�������� � �� !����� ������� ��� ���������� ������� ��� ��� �(���������� ���� � ����������� ��� ����� D ��� B � ��� +, �������� ������� ��� � ����� �������� ���� ��

2

Page 23: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10x 10 3

40

41

42

43

44

45

46

47

48

D [mm2/min]

B [μ

S/m

m]

(a)

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10x 10 3

40

41

42

43

44

45

46

47

48

D [mm2/min]

B [μ

S/m

m]

(b)

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10x 10 3

40

41

42

43

44

45

46

47

48

D [mm2/min]

B [μ

S/m

m]

(c)

6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5 10x 10 3

42

43

44

45

46

47

48

D [mm2/min]

B [μ

S/m

m]

(d)

���� �� ����������� � D �� B �� ��� �� ���� ����� �� ��� ��� ���� � � � � �������� ����� � ���� ��� ��� � ���� ���� ��� �� ���� ���� �� ��� �� ���� ����

0 500 1000 15000

10

20

30

40

50

60

70

t [min]

Con

duct

ivity

[μS/

mm

]

Data, sample 1Analytic, sample 1Data, sample 2Analytic, sample 2

���� �� ������� � �� ������ � �� �� ���� �� ������� �� �� D �� B ��� ��� �� ���� ����� �� ��� � ������� !"��� ����� �� �� ���� ������ �� ��� ������� � ��� �����

Page 24: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ��� �� ����� � ���� ��� � ����� �� ��� ���� ����� �� ������ ��������� �� �������

�� ����� ���� ��� �� ���� ��� ��������� ��� ��� �� ���� � ����� �� � �������2���� ���� ����� �������� �� ������ ��2����� �� ������ ���� ��� ��������� ���� ���� ������� ���� ����� �������� ������ �� ���� ���� ��� �������� !����"��� �#�

��� ����� � �� �������� ��� ����� ������ �� �� � �� ������

�� ����� ������ ��� ���� ����� ��� ���������� �

$� "��� %& ��� '��� (���� ������ � ������� ���� ������ �� ��(���� )��� � �� ��������� ������� �� ��� �������� ����� �� ��� �� ������� �� ������� ����� ��*����� ��� � ��� ��� '��� (����� �� (� � ��� �� ��� ���+ ���� � ������ ������ � ��� ������ ���� ��� ������� � �� ����� ��� �� ��� �� ������ �� ���� � ����������� ����� ��� ��� �� ������� �� ������� � �� ����� ��� � � � ���+����� ��� ������ ���� ��� (� � �� ����� ��� �� ������ �� ��������� ��� ���� ������������ �� ����� ��� � ��� ��� ���� ��� ����� ��� � ��� ��� ����� �� "��� ��

�� ����� �� ��� �������� ����� ��� ��� �� ������� & R& �� ������� & Q& � ���� ������ � ��� �������� �� ���� �������� ��� � ���� ��, �� ���,� -��� R ���� ���� ��� '��� ��� ��� �.������ ���� /*� !��#& ����� ��� ��� ��� ����� ����� ���� ���� �� ����� �� ������� Q �� �� �����������& ����� �������� �� ��� ���� ��� ��� ������ D ��� ���� R � ���� �� )��� 0� � ���� �� )��� 0 ���

0 2 4 6 8 100.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

p

Num

ber o

f con

verg

ent D

5/tota

l num

ber o

f D5

(a)

Divergence of D5

Convergence of D5

0 2 4 6 8 100

0.4

0.8

1.2

1.6

2

2.2

p

Stan

dard

dev

iatio

n or

mea

n va

lue

standard deviation of D5/Dmean value of D5/D

(b)

���� �� ��� ����� Q � ��� ��� D5/D �� �� ������ ������ ��� ������ �� ������ ��� ������ ����� �� � � ��� ���� � ��� � ���� ���� ��������� ���� � �� � � ���������� ��� !" � �� ������������� ��� ����� Q � ����� � �� p �������� ��� ����� ����� #� #�� ����� ���� �� �� � �� �������� � �� � ��� ��#������ �������� ��� �������� ��# �� �� ��� ���� #������

���������� �� ��� ����� � ��� Q ����� � � )������& ��� ����� �������� ����� � ��� Q ����� � ���� �� )��� 0& ����� ����� � ��� ��� �� ������������ 1�� �� ����� �� � ��� ���� Q ���� ���� '��� ��� ���& �� ��� ����� �� ���������

Page 25: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ���� R �� ���� Q ���� �� � ������ ��� �� ��� ����� ����� ��������� ����� ��� �� ��������� ������� �� ��������� ��� ���� �� �����������

��� ���� ��� ������� ���������� ����� ��� ��� ��� �� ����� ���� ���� R �� Q������� ��� �� ���� �� ��� ������ ���� ��� ������� � ����� �!� ��� ��� �� ����� ����Q = 0 �� �"� ��� ��� �� ����� ���� � #�� ����$ ��� Q ���� �� ��� ������� ����%���� ������� ��� �� ���� ���� ��� ������� ���������� ���� ��� ������� � ���� �&���� ���'������ ����� �(����� ���� ���� )���� * ��� ��� �������� +�� , ����� � ��������� �� ��� ������� D50/D ��� ��� ���� ������� ������ %���� �� ����� ��� ������������ D50/D �� B50/B� ����� ��� ��������� ������ ��� �� ��� �� ����������� %� ����� ��

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4(a)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4(b)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4(c)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4(d)

���� �� ����� ���� ��� D50/D ��� � �� ������� ���� ���� (D50/D�B50/B) ��� � � �� ����� ��� ��� D0/D ��� B0/B ���� �� ���� ��� ���� ��� ������ ���� � �� ��� R ��� ��� Q� ��� ���������� � �� p = 0� ��� ������ ���� � �� p = 0.01� ��� ��� ����� ��� ���� ����� ����� !�� ������ ����� ����� ���� � �� � �� � �� ��� ��� ������� �� ���� ��� ���������

��� ������ ��� �������� �� ��� � ��� ������� ��������� � ��� ��� ������ ����� ��������� R ��� Q ����� ������ ������� ��� ������ ���� �� � ������� ��� ��� ����� ���� ��� ���� ����� � !��"����

#���� �!��� ��� ��� ������� ��������� � ��� ������ ����� ���� ����� R ��� Q

"�

Page 26: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ��� ������� �� ��� ������ ��� �� �� �� � ��� ��� ����� �� ���� ������� �� ��� ������ ��� �� �� ��� � ��� ��� ���� ��� �� ������� ����� � �� ������� �� ��� ������ ��� ���� ����� �� �� �� � p = 0.01 �� ������ ���� ������� �� ���� �� �� � ��� ��� ����� �� �� ����� �� �� �� � ����� R �� Q ������ �� !� ���� �� ����� �� ��"��� ��#��� � �� � ���� ��!�!��� $ �� �������� �� ��� �� �� ���� �� � � �������� � �� ���� � ���� ����� � �!� �� �������� ������ ����% �� ��� ���� �� ����� �� �� �� � �� Q �� ���� ��� � �� ������ � � �� ����� �� �� ������ �� ��� �� �� ������ ���� ������� �� �� ���� !� ������ ���� �� �� ����� � �!� �� �������� ������ ����

��� ����� ����� ������� �� ��������� ��������� �������� �����

����� �� ������ ���� ����� ��� �� �����

&���� '� � ���� �� (��)�� ��"��� �� � ��� � ������ ������ ��� �� ����� ���*��$ ���� ��� �� ��� ������� �� � ��"��� ������ �� �� �� ������$ ������ ������� � ����� �� !� ���� ���)���� ���� +�� ,�-� .�� �/������ �� �� ��� �� ������� � &���� * �� ��� ���� ���� ��� �� � �� ����� �� �� ������ �� ����� ������� ��� � ������ ��"��� ��#��� ��

.�� � ��� � �� �� � ��$ �� �� � ������� � ������ ����� ��������� !� ��� �� !� ���� ���)��� �� ����� � � �� ���� $ ��������� ��� �� ��� ��� ������� ��� ������� ���� !�� ��� � �� �� ��� ��� ,0��� 1��1-� ��� � �/ � � ��!������� �� �� ��"����� $ �� �������� �� � �� ���� $� ����� ���� �� ��"��� �� ��� ��������� ��� �� ��� ��� ������� �� ����� ��� ��������

.�� ��"��� ��#��� � D0 �� D1 � �� ��� ��� �� �� ����� ��� �������� ������� ����$ ��� �� ������ ���� ����� �� �� �� �� ������� ����� ��� � ������ ��"��� �� � +�� ,�- ,��� &���� ' �� ��� �� ����-� (��� � ���� �� ���$ ���� ����� ����� �� ������� ������ ��� ! ���� !$ �� ����� �� �� ������ ���� ���� ��"��� ������� �� ��� ������ �� ����� �� � !� ������� *� � �������� �� �/������ ���� � �� �� ������ �� ��� ����� �� � (��� �� *� � �� !� ��� � �� ������ �� ����$ ���� ������� �� ���� � ����� ����� �� �/������ �� �� � �� �� �� ��� ���� �� �������� ��� �� ���������� * ����!�� ���� �� �� �� �� ���� � � ����� � ��� � ������ ���� ��� $ ���� 1� 2������ � ����� � �� �� �� ������� ��� �� ���� �������� �� .�� 2������� � ����� � ������� �� ���$ ���� ��� � � ���� �������� �� ���� * ���$ �� � �� !� ��� �� ���$ ���� ����� � �� �� �/������ ���� � �� ����

.�� ������ ����� � �� ! � D0 �� D1 ! ���� !$ ����� �� �� �� �� ��� ������� ��� � (��� �� .�� ����� ���� �� D0 ������� �����3� ���4��� (��� ,��-�� D1 ������� ����1� ���4��� (��� ,�!- �� �� ��!�� � � ��� �� ��������� �� !� ��� �� D1 ��������� � �� !����� �� �� ��!�� � � ��� �� ��������� �� �������� ���� � �� �������� ������ .��� ��������� !������� ���� !� ��� ����� � �� �������� � �� ����� � �� �� ��� ������ ���� P0� &����� �/������� �������� �� �� ��� ���� !� � ����� 5������� �� ��"����� $ ������� � �� !�� ����

��

Page 27: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ��� �������� ��� ��� � �� ��� �������� � ���� �� ��� �� ������ � ���� � �� ������ ����������� �� ��� �� ��

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

Experimental dataAnalytical 1, MSE=418.2Analytical 2, MSE=67.04Analytical 5, MSE=0.067

���� �� �������� ����� ���� �� ������ ������� ��� ������ ��� ���� ���� ������ ��� ����������� �� ��� ������ �� �� �� ������ ��������� ����� �� �� ����� �� ���� ������� �� � �� �� ��� ���� � ���� �� ��������

0 10 20 30 40 505.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5.8

5.9

6

6.1

6.2 x 10 3

Number of iterations

Endo

stea

l diff

usiv

ity, D

0

(a)

0 10 20 30 40 501.9

1.95

2

2.05

2.1

2.15 x 10 3

Number of iterations

Perio

stea

l diff

usiv

ity, D

1

(b)

���� �� �� !�"���#��� #��� ���� �� ��������� �� ������� ��"���#���� D0� ��� �� ���������"���#���� D1�

���� � � ��� ��� ����� ������� ��������� ������� ���� ���� ����� �� ��� �� ����� ���� ���� �������! ���� D0 ��� D1 ���� � � �������� �� ��� "����� #��� �� ��� ����� ���� ������ $�� #�� � ��� ���� ��� �������� ����� ��� ���� ���� �������� �� � ���� ����� ������� � ������� ��������� �������� %��! �� ���� � � ������������ ��� �������� �� ����� �� ����� ���� ��� �� ���� �� ��� ���� ���� �������� ���� ����� �� �� ���� ��� ����� �������� ��� ��� � �� $�� �� ��� �������� �� ��� ������

&'

Page 28: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�� ��� ���� � ���� ���� ����� �� ���� ��� ������� ��� ������ �������� ������������������� ���������� �� �������� ��� ����� ���� � ��� ���� �������

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

Diff

usio

n [m

m2 /m

in]

x/Lendosteal periosteal

���� �� ������ ������ �������� ��� ��� �������� ��� ������ �� �� ���� ���� ��� �� �

������ ��� ������ ��� ������ ���������� �� ������� ������

��� ����� ������ ���� � ���������� � � ��������� � � ������ �

��� ������� ���������� � �������� � � �� ���������

�� ���� � ������ �� ��������� ������� �������� ��������� �� ����� ������ ������ �� ��� �������� �� ������� ����� ����� ������������� �� ����� ������ ���������� ���������� !�� ������ �� ���� �� ��� ������ ���������� ����� ��� ���������� ������"�� ��� ��� ����� �� ���� ������

#����� $% ����� �� ������ �� ���� ���� ��� � �� ���� ������ ������ �����& ���������� ����� �� ������� ��� ����� & ' � �� � ����� ����� ������ ���������!�� �(�������� ������ ��� ��� ����� ��� ���� ��� ��� ��� ���� ��� ��� ������������� ����� �� �� ������ ��� ��� ����� �� ��� ������� ���� ��� ����� ���� ����� ��� ���� �������

!�� ������ ���� ��� ��� ���������� ����� ��� ��� �������� ������� �������� � ��� ������"� �������� ���� #��� $$�� &� ����� �� #��� $$� ��� ���������� ����� ��� ��� ��������������� ��� �������� � ��� ���� ��"� ��������� �� ���� ���� ���� ���������( �� ����������� ��� ���������� ������ ���� ��������� ������ �� ��� ���� �� ��� ����� )��� ��� ���������� ������ �� ������� �� ���� ����� ��� x1 ��������� �� ������� x2

��������� ��� �������� ���� ��"�� ���� a �� b �� x1 �� x2 ���������� ����������(� !�� a������ b �� ��� ���� ���� �����

!�� ������������� ������ �� ����� ��� ������ ���� ���� �� �� � �� $ �� $$ ��#��� $% �� ������� ��� ���������( �� ��� ����� ������ � ������� �*���� !�������� ���� ��� ��� ��������� ������� ��� ����� �� ��� ������ ���������( ����� �����

$+

Page 29: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ���������� ��� � � � ���� � � � ���������� ������� ���� ��������� ��� ��

��� �� � � � ����� ��� � � ��������� ������� ������������ �� ���� � ������ �������

�� ��� ��� � � � ����� ��� � � ��������� ������� ����������� ��� � � ����������

����� � � � ���� � �������� �� � � �������� ������� � � ������ ������� � ������

������ �� � � ���� �� ���� ��� � � ������� � � � ������ ������ �� � � ����

�� �� �����

���� ��� � ������ ��� ��� �� �� �������� ��������� ����� ��� ������ ���������� � ������ ���� �� ����� ������ ��� �� ���� ����� � �� ����������

100 1010

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

k

Cor

rect

ion

fact

or

(a)

100 101 1020

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

k

Cor

rect

ion

fact

or

(b)

���� ��� �������� �� ���������� ������ ��� �� ����� ��� ��!��" k" �� ��� x1#��������� $����� �����% ��� ����� x2#��������� $������ �����% ��� ���� � $×% " & $◦%" � $�% ��� ' $�% ��� �� ����� ��� ��!�� $�%���������� ������ ��� �� ���(��� $% ���������� ������ ��� ������� �������

��

Page 30: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

��� ������� ���� ��� ��� �������� ����� �� �� ��� �� ������ ��� ��������� ��

�������� ������ � ���� �� ������ ����� � �������� ������� ������ ��� ������������

� ��� ��� �������� �� �� ����� � ��� ������� ��������� �� �� ��� ���� �

������� � � ����� �������� ���� ��� ������� ��� ��� �������� ����� ��� �����

�������� ���� ��� ������� ������� ���� �������� ��� ������� ��� ������� ��� ���

��� �������� ���� ��� ������� ������� ������� � ��� �������� �������� ���� ���

�� ����� ������ �� ��������� ������� �� �������� ������ ��� ������� ������� �������

� ��� ����� �������� ���� ��� ������� ������� �� ���� �

��� ������ ���������� �� ��� ���� ������ �� �� ������������ ��� ��� ���������

������� ���������� ���� ����� ��� �������� ������������ � ����� �� �������� �� ��

�� � � ��� ������ ��������� �� ��� �������� �� ��� ���� ����� ����� ���� � ������

�� ������� ��� ������ � � ���� �� ������ ����� �������� � �������� ��� ��� ��

������������

!������ � ������� �� �� �� ������� � �������� ��������� �� ������ �������

�� ����� �� ����� ��� ����� �� � ����������� ����� � ��"� ������ � ���������� ��

������ � ��� ����� �� ���� ��� � ��� ��� ������� �� ������� ��� ��������� �

��� ������ �� ���� �� ��� ������ ���� ������ ��� �� ��� ������������� ��������� �

��� ����� ������� ���������� ��� ���� ����� ��� �������� ������

#$

Page 31: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������

��������� �� � ��� �� �������� �� ���� �� ����� � ���� ������ ������� ��� ���� �����! � �� ������ �� �"���#�� $� �� � �#� ����#���#�� �%� &�' %()**�

����� +� ����� ,���! �� !������ �� �" �� #�� �#� ���� ������ ��� � �� �� ��� �!����� �� ���� #���!�� ��� " ������# !"���� -����� , ����"�� �� ���#��� . ����!/%0 &1' 2(�)20��

���-� 3� 4� �20%� �� ���"# ��� � ����� ��!�� ���/��� ��� 5� �� 6 ����!� 7�� 0�8��/ ��- 9����

�"�� ��� :� 4��/ $� �� ;�� �� <� �� 4��� 3� =�/ �� :� �22%� :�>"���� �� � ���" �� �� #�� ��!� �� ���"��� �/ �"#��� �!�� �# �������#� &�$3' ���# ���#��/ ���� �!��!� ?�"��� �� �� �������# ������#� �� &*' *1@)*(0�

+���� ?� �2(@� A�� � �� � �#� �� ��>"����� BC����D +��������

=�������������� $� <� 8���� �� �� 8���� =� 8� ����� :�>"���� �� �C#���!���� -� ���� #�� �#� ���� � "���� �/ �"#��� �!�� �# �������#�� �����/��#� E�"��� 0� &�' @��)@�2�

4�#�� �� $� �� ����� :�>"���� �� ������ 8��/ �� ���#���#� ��- 9����

5� �� 3� �� �21�� < ��- ������#� � ����� 6 ����! ��� �����# ��� ����� �� ?�"����� ="��� ��!�������! 0� &�' %@)*@�

�������! 4� ��������� �� � ��� �� �������� �� ���%� < -���� ������� ��� ���� ���� ������ ��>"���� �� ���� ���"�� +� �" �� � ���� �� ��� �#����#� ��� ��� ���#���!�������! �0 &@' *@()*1(�

$�!�� :� ���� �� 8��� 8� 8� �2(�� A��� ��/�� �# F"# "� ���� �� � ���# ��!�/� � − ���"�� �� �/ F"����#��#� #����� ��� ���# ���#��/� ��/��#� 3����- �� ����2 &��' (�@�

$����� 5��:� ;���#�� 8� =��� ?� �20@� ������>"���� �$3 � �!��! "���! � � "�� �� �#����� ?�"��� �� $�!�� �# 3������#� &�212' 1* &%' *(2)*01�

$�����" +� :���"�� �� ����� :�>"���� -��!� �� �!�� �# �������#� � �!��! �� � ��� � �# ���� �������D < ��� ����� ��� ��� �� �������� ��� ����!� +��#�� ��� ������1 &�' ��)%��

B���!�� �� �2%�� 3�#����#� ��� ���� �� ����������� ���#������ �� ��/��#� 3����- %( &*'*�@�

������ �� <� 3������ +� A� �20%� ��" � ��>"���� �� �-��� � ������� ��� �� <��- ����/� ?�"��� �� � ����� �#���#� �@ &%' �(@)�0(�

�1

Page 32: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� �� �� ����� �� �������� �� ��� ��� �� ���� �� ������� ����� ������� �� ���������� �������!���" # ��������������� �� � �������� ���� �����

���$� ��� %� ������� &� �'() �*�� ��+����� ,������,����- �*�� ������ �� ��� *������� ��� ��,�.��*������ /��� !������� ��� $������ �� ���,���� *������ 0� 1�2� �334�'�

5�� 6����!��� 7 �� 7���� �� ��������� 7 �� �8����9� � ���) :� ��� �**���������� ��/� ′� ��; �� ��+����� �� ����,�!������ �����,� %���*��� $������ �� *������ �( 1)2�'��

<��!� =� >�,��� &� ?��!� =� #��!� @� ����� 6� ���� A����,����� ���,�������� ������ ������ ��!�������! 5�� � 6��!�� B ����*��� ����������

C���!� ? D� <��!� �� E��F��� & A� #��� %� ���0 7��� ,����; ��+����� �� ��.���*������- ���������� ;��� G����������� 6 ��+����� �,�!��! &������ �� 6�!����� �������� ,�!��! �' 1�2� ���4��3

�H

Page 33: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 34: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Paper A

G. Lindberg, A. Shokry, W. Reheman and I. Svensson (2014)

Determination of diffusion coefficients in bovine bone by means ofconductivity measurement

International Journal of Experimental and Computational Biomechanics,volume 2, issue 2, pages 324-342

Page 35: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 36: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������������ ��� ��� ��������� �� �����

��� �� ����� ��� ������� ���� ������

������ ���� ��� ������� ���� ����� �� ����� �������

� �� � �������

��������� �� ��� �� ���� �� ��� ����������� ����� ���� �����

��������� ����������� ����������� ����� ����������� !"#�$ ������ �����

����������� �� %����� � ������������ ��� ����������� ����� ���� �����

��������

������� � � ������� �� ������ ��������� ������� ��� � ������ ���

����� ��� ������ ���� ��� �� ���� �������� �������� � ������� ����� � ��

�� �� ��������� ���� ���� ����� �� �� �� ��������� � �� ���� ������� ����

���� � ���� ����� ��������� ��� �� � ��������� ����� �� ������� ���� ���

������� !��� ��� � ��������� ������ �� �������� � ����� ��� � ��� ����� � ��

!�� ��� ���� ��� � � ������� �� �� �������� �� ���������� " � ������� !��� ���

����� ���� � � ������ �� ������ ��������� ����� ��� � � ����� �������

���� # � � ��� ����� � � ��� ������� !��� ��� ������� !���� �� � � ���

������� �� � � !���� !�� ��������� ���� ���� �������� ����� ���$��� ���′���! !�� �������� �� �� ���� �� %���� $����� � ������� ��� � � �����

������� �� �������� � ����� ���� ��� � ���������

Page 37: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

�� �� ���� �� ���� �� ���� ���� ����� ������� ��� ��� ����� � ������������� ���� ����� ��� ���� �� ������� ������ ������ ��������� �� ���� ������ ������� � ���������� ������� �� ����� ������� ��� ������� �� ��������� �� � ������������ ���� ������ ������ � �� � ������� ������� �� ������ � �� ����������� ������ �� ������� � ��� �������� � � ����� ���� �� ��� ������ ��������� ��������� �� � ���� ������ ��� ����� � �������� � ����� ����� �� ������ ������������ ������� ��������� ������ � �� �� � ������� ���� ��� ����� ����� ���� ����� ���� ��� ���� �� � ��� � ������ ��� ������� � ��������� ������ ��� ��������� ������ �������� � ��� � ������ �������� �� �������� � ��������� ������� ����������� ��� �� ������ �� ��� �� ��� !"##$%� ��� ������� � &���� �� ��� !'(")% ��*���� �� �� ��� !'((#% ����� ��������� ��� � ��� �������� ������� �� ���� ���� �� ����� �� ������ ������� � +�� ��� �� ��� !'(")�% � ����� �� ������ ����� �������� ������� ������� ����� ��� ������� �� � ������ ��� ���� ������ ��� � ������ ����� � ������ ����� ��,���� ���� ����� � ������� ���� ��� ������������ �������� ��� ������� � ������� ����� ���� ����� ����� ��,��� � � ������ �� �������� �-����.���� �� ��� !'(""%� ���� �� ��� !'(((% ���������� ���� ���������� ���� �� ������� ��� ������� � ��� �� ������ �� � ��������� �������� ��� � �������/����� �� .��� !"##(% �������� � ������������ ���� � ����� ������������� ������ � ��� ����������������� ������ � � ���� ��������� ���� �� �� ���� �� ���� ����������������� �� ��� � ������� � � ���������� �� ���� ���� � ���� �� ��� � � ����� �� ������� �������� ��� � ��� �������� .�� ����������� ������� �������� ���� ���� �������� ������ ��� ������� ��������� ������ ��,��������� � ������ �,��� ������ � ��������� ��� ����� ����� ��� ���������� ������� �������� ������ ������ !-��� �� .������ '(("0 ��� �� �������� "#1#%� ����� �������� �� �� ��� ���� ����� �� � ���� �������� ����� ��,��� ��2����� ������������ � �� �� �� �� ��� ���� ��� ��,������� � ���������� � �� ����3��������� ��� � ���� �� !/����� �� ���� '((4%�-������ � ��� ������ ���� �� ���� ���������� �� ��� � ��� ����� ���� ��

�������� ����� � ��� ����������������� ������ ���� ������ �� � ���������� ������ �������� � ��,��� � � �� 5���� ����������� ��� ��������� � ��,��� � �� ������� ��� � ������� �� ��� �,���� � ��������� ��� ��������� � ����� � ���������� ���� �������� ��� ��,��� ���� ������� ������ ����� !67�% �� ������������� ������ !867% ������ ���� �� ���� � ������������ ��� ���������� ���������� ��� ������� � � !-������ �� ���� "##)0 .����� �� ���� '((1%� .������������� ���� ����������� ��� ��������� � �� ������ ������� � �� �� �� ��������� � ��� ����� ������� ���� ��� ����� � �������� ������ �� ������������ �� ���������� ���� � � ��� ������� ��������� �� ��,���� ����� ����� � �������� ���� ����������� ����� �������� �� ��� � ��� ������ � ����� ������� !*�������.���� �� ���� '(('0 6������� "#9#0 6������ �� ���� "##'%� -����� ���������� � �����,��� � � �� ����� � �������� �������� �� ������� ��������� � ���� ������ � ��������� ���� ��������� �� ��� ��������� � � �� �������� �������

'

Page 38: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ��� ����� �� ��� ���� ����� ��� ��������� ��� ��� ��� ���� �������� ������ ����������� ������ ��� �� �� ������� � �� �� �� ���� ����� �������� ������ ��� ����� � �� �������� � �� �� �� ������ ���� ����� �� ����� ���� �� ��������� ���� ��� ������ ��� �� ����� ���� �� ������� � �� �������� � ������� ����� �� �� �� !�� �� ��� "#$$%& ���'� ���� ���������� �� ������� ���������� �������� ��� �� ��� "(%%)& ��� ���� ���� �� � ��� ������� ���� ��������� ���� � ����������� ��������� �� ���� �������� ������������

*� ������ �� � ��������� �� ������ ������ ��� ��������� ������� ������� ����� ���� ����� ������ ������ �� ���������� ��������� ��������� "���� +,-� .*�������� ���&� *� ���� �������� �� ��� �� ���� ��������� �� ��������� '�� ��� � ���� �� � �� ��������� ���� � ���� �� ������� ��������� ��� ����� ��� � ���������� �������� ������ � ��� ����� ������ *�� ���� ���������� ��� �������� ���� ��� ����������� ����� �� ��� /����� 0������� ��� /����� "#$1%&� *�� � �������� ����� � ���� ���� �� �� ��������� ������� ��� ��������� ����� �� ����'����������� ���� ���� ��� ���� *�� ����������� ������� ������ ���� ��� ���� ������������

2��� ���'�� ����� ����� �� ��� ���� ���� ������� ��� ��������� *�� �� � �������� ��� ����� ��������� � ��� �� �� ������ ���� ���� ��� ������ ��� ���� �����'�� � ��� ���� �� �� ��� ��������� � � ������ ���� ��� ����� ���������� ��������� ����� �� /.�� � ����� ���� ��� � ��� �� � ��� ����� �� �� ������� ������� ���� ������������ �� ��� �� �� �� ������ ��� ��������� � �� �� ������ �� ���������� ������ ���� ���'�� �� ��� ���������

� ������

*�� ���� � � ���� �� � #3 ����� �� ���� ����� �� ���� .������� '�� ���� �� ���� ��� �� ����� ���� ���� ������������ �� ��� # ��3� ��� *���� #� ���� � ����� �� #1 ������*�� ���� '�� �� � ��� ��� ����� ��������� �� � ��� ���� � �� ���� ����� � ��� �� '�� ��� ���� ��� ��� ������ �

����� �� ��� ���� ���� ��� ����� � ��������� �� ��� ��� ������ �� ��� �����

�������� �� ��� � ���� ������� �������� ����

4��� $�$5 %�67

-� �� $�5% %�13

*�������� $�5) %�7)

4� �������� ���� �� ��� ������� '��� ��� ��� ���� �� ���� ����� �� ��� ����� ���� ������� "����� �� �� �� ���������& �� '���� ������� �� ��� ���� ���� ���� '������� ����� *�� #1 ����� '��� ����� ���� ��� ������ ���� ��� ������������� ��� ��� #�

4� ���� ������� �'� ����� '��� ����� ����� ��� � ����� �� �'� ����' ��� � ��������� ��� #� � ���� ��' ��� ������� '��� ������ ���� # �� )� '���� # � ��� ������

6

Page 39: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� �������� �� ���

������� �� ��� ���� � ��� �� � ������� �� ��� ���� � ���� ����� ������ ��� � ��� ������ � �� � ���� ���������� ���� ��� �� ���� ��� ��� ��� �������� ��� �� ��� ��������� ����� ����� �� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ��� �� ��� ������� ���� �� �������� ��� ���� ����� ��� � ��� ��� ��� ���� � ���� ��������� ���� ��� �� ���� ������ ��� �������� ��� �� ��� ����� ���� �� ��� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ��� ����� ������� ����� ����� ��� ������ ��� ������ ��� ���� �� ����� � ������ ������� ����� ��� �� ����� ! ������ "������� � ���� ��� ���� � ��� ������

#� ��� � � �� �������� � �� ��� �� � ����� � � � ��� ��� ��� ����� �� ���� ����� ����� ��� �� � ���� ��� ����� � �� ����� � � ��� �� �� �� ���� � �� ���$"� �������� ����� � � ���� ��� �� �� ������ %& � �� �� $"� �� '(( � �� �� ���������� ��� $"� � � ������ ����� �� � � ���� ������ �� ������� ����������� ����� ����� ���� ����� ��� �� �������� ��� �� ����� �� ��� ����� � �� ���� ���� ��� ���� �� ��������������� ������� ���� �� �������� ��� �� ��� � � �� � ���� ��� � ��� ��� )�������� ��� � � *��� ��� ������� �� �� ��� ����� �� �� � ��� � �� � ���� ������ �� ��� ����� ����� �� ��� *������ ��� ���� ������ ��� ��� �� ��� �� ��� �� !� ���� ����������� �� �� ���� ������� ����� ��� ����� ���� ��� +������ ����� ���� ���������� ��� ������� ����� ���� � �� �� ���� ������ �� �������� �� ��� �� ����� ��� � � �� � ������ � ��������� �� ��� ���� ��� �� � �������� ���� ������� ��� ,��� !� ��������� �� !� ���� � � � ��� �� ��� ��������� �� � ���� � � ������ �� � �� ��� � ������ �� ���� ���� �� ��������� ����� �����

���� �� ���� � � ������ ����� ��� ���� ����� ��� ����� �� ��� ���

��� �������� � � ���� �� �� �� -( �������� ��� ����� ��� �� �������� �� ������� �������� ��� ��� �� � �� �������� ��� ���� �� �� � �� ���� ������� ����� ���

Page 40: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���������� ��������� ���� � �� ��� ���� ��� �� ���� ���������� ������ ������ �������� ���� ����� �� ��� �� �������� ���� �� �� ��� ���� ������ ����� �� ������� ������������ �� ������� ���� � ���� � ��� �� � ������� ��� ��� ��!����������� ��� �������� ���� ��� ����� ��� ����� �� ����������

"� ����� ��� ������������ ��� ��������� �����#� �$% ���� &������ "����� ���� ���� ���� ���� ��� �� ��� ��������� ����� "�� ���� ���� ��� �� �� �� �����%% �� �������� ���� ����� ��� ��� ��� ��� ���� ��� '(� �� ��� ���� ��!��� ������� ���� �� ������ �� ������������� "�� ������� ������������ � ��������� ��������� �� ��������� ���� �� ��� )� ���� ��� ��� ����� ����� ��� ��������� ����� �� ���� ������ �� ����� �� ����� ���������� ������������� *����� ����� ����������� ������� � ���� ��� ��� ���� � ��� ���� ����� ������ "�� ����� ��������� ���� ��� ������ ������ ������ ���� ����� ��� ��� ������ ����� �� ����� ����� ��� �� ����� �� �������� �� ��� ����������� ��+�� ��� ��� ���������� ���� �� ,��� $�

���� �� ��� �������� ������ ��

-� ������ ������������ � ������ �� ������ ��� ������ ����� ������� μ���� �����μ � ��� ���.� ��� �%−6� "�� ������������ ξ �� ������� � ����������

/�0ξ = GK =1

ρK ,

����� G 1�2 � ��� ���������� �� ��� ����� ����� � ��� ������ �� ��� ������� ρ 1Ω2�"�� ���� ������� �� ����� ������� K 1��−12 � ����.� ��� ��� ��� ����� �� ����� ����� ���� �� ��� ������ ������� ��� ��������� �� ��� �� �� ��� ���������� "�� ���������� ��� �� ���������� ����� � ���� �� ��������� ��� �� ���� ��� ��� ��� �����

"�� ���������� ��� ���� �� ���������� ���������� ����� ������� ������ ���+������� �� )) ������ (����� 3������� �� �� ��� ��� ��� ��������� ��� ��� ���!����� �� ��� �������� ���������� ������ ��� ��+����� ���������� ����������

4

Page 41: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ����� ��� � ��� ��� ������ ���� ��� ��������� ����� �� ����� �� ���� �������� ��� �� � ����� ��� ���� �� ������ �� ���� �������� ��� ����� ��� � ��������� ��� ������� �� �� ��� �� �� ��� ��������� � ���� ��� �� ���� �� �� � !��"#

�!#ξref =1

1 + (α/100)(Tref − T )

K

ρ.

$� � α � ��� ����� ��� � �� ���� ����� � Tref � ��� ����� ��� ��� ����� ��� � ��T � ��� ������ ����� ��� � �� ��� ������� %� α � ��� �� &� � ��� ������ ��������� ����� ������ � ���� ����� � '(� ��#� )�� �� ���� ����� � ���� ��� ��

�*#α =(ξT2 − ξT1)100

(T2 − T1)ξT1

,

�� ��� �� ��� ���� ��� ���� ��� �� α+���!� ���� � � � �� !��, �� ��� �������� ���� �� ���� ����

� ������

��� ������ �� ����

)�� -�� ����� J �� � �������� �������� ��� ��� �� ���� �������� ��� �� �.� ����� ����� ��� �� ����� �

�/#J = −D∇c .

$� � D � ��� �.��� ���0��� �� ��� ������������ ������ �� ∇c � ��� � ��������� �� ��� ����� ��� ��� �

�"#∇ = (∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z)

� 1� ���� ��� ���� ������� 2���� � ������� �� �� ���� ��� �� ��� ��� � ������ ���� �� ��� -�� J ������ �� ��� ����� ��� ��

�3#∇J = −c ,

��� � ��� ��� ������ ��� �� ����� ��� ������ �� ���� %� J � ������� �� ��� '(��/#� ��� ��� ���� �� '(� �3# �������

�4#c = ∇(D∇c) .

%� ��� �.��� ���0��� D � ������� �� �� �� ������� �� ��� �� �� ����� ���� �������� ������� �� ������ ��� ����� '(� �4# �� ������ ��

�5#c = D( d2cdx2

+d2c

dy2+

d2c

dz2

),

3

Page 42: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� ��� ���� �� ������ ������� �� ������ ��� �� � �� � � ������ � ���������������� ���� ��� �� ������ � ������ �� ������ ��� �������� ����������� ���������� ���� ��������� ����������� ��� ������������ �� ��� ���� ���� �� ��� ������������ ��� ��� ����� ������ �� ��� �������� �� ��� ����� ��������� �������������� �� �������� �� �� �������� ��� ���� ������ ��� ����� ������ �� �� ��� ��� � ������� ��� ��� ������ �������� ������ ����� �� ����� � ��� ����� ��� �������������� �� ����� �� ��� ��� ����� ��� ��� ��� ��������� ��� �� ��� ���������� ���� ����� ��� ��������� �� ����� ���� x �� ������ �� r �� !�� "#$ �� ������ �

"%$c = D(d2cdr2

+d2c

dy2+

d2c

dz2

).

� ���������� ����

& �������� �� ��� �������������� ��' ′� ������ �� ���� ������� �� ����� ���(������� ��

")*$C(r, t) = X(r)T (t) ,

���� ��� ���� ����� �������� �� ����� ����� � "��' �� ��� )%+,$�

"))$C(r, t) =∞∑

m=1

(Am sin(λmr) + Bm cos(λmr)

)e(−λ2

mDt) .

-� ��� ��������� ��� ����� �� ������ �� ).)** �� ��� ��������� ���� �� ������ ����������� ������ �� ��� ��� �� ������� �� ��� ������ ���������� �������� � �������� /�� 0������ �� �� "1*)2�$ �� �������� ���� ��� ��� ������� ������ �� ����������� � ��� �������� �� ���������� ���

� �������������� ��� ����� � ������ ����������� �� C0 � t = 0 �� 0 < r < a�� ��� ������� ������ ���������� C = 0 � ��� �������� r = 0 �� r = a� ��� ���3� ��� �������� �������

���� �� ������������� ���

")1$C(r, t) = C0

∞∑n=1

e−λ2nDtAn sin

[λnr],

+

Page 43: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�����

����An =4

π

1

(2n− 1)

����λn = (2n− 1)π

a.

��� ������ ���� ������ ������� �������� � �� ���� � ���� ��� �������� ���� ��������� �� �� !�� �� "��� Cb �� ��� ��������� � ��� ��� ����� �� ��"� ������ ��� ������ �� #$� ���� �"�� � � ��� ��"��� �� �� ��� �������� ����� a ������� �%������� �

��&�Cb(t) = Cb01

a

∞∑n=1

e−λ2nDtAn

∫ a

0

sin(λnr)dr ,

����� ���% b �� ��� ���� '���"�� ��� ������ ��� �� "��� �� ��� ��������� � ������ ����� �������

��(�Cb(t) = Cb0

∞∑n=1

e−((2n−1)πa)2Dt 8

π2(2n− 1)2.

)��� ��� �%�������� ��� �������"��� ξ � ��� ��������� ���� ��������� ��� ��� ������� ���������� �"�� ����� !�� ���������� ������ �������"��� � ��������� ��� *+� ������ �� ����� ������ ����� !�� ������ ������ ��������� � �������"������ *+� ������ �� ��������� ��

��,�C =ξ

V,

����� V -l3. �� ��� "����� �� ��� ������/ �� ��� ��� 01l ���� � l �� ��� ���� ����� ����!�� ������� V -0 l21����. �� ��� ���� �������"��� �� ��� ������� !�� ��������� +-����1l3. �� ����� � ��� ������� �� �� ��������� �� ��� ����� �� �%����� ����� ������� mi ��"���� �� ��� "����� �� ��� �������� !�� ������� �� ��� ��������� �� *+�� ��� ��� ����� ��� ��� � ��� ��������� ���� �� ���� �� ��������� ��

��2�ΔCb =−Δmi

Vb

.

0��� ��� ��� ���� Δmi �� *+� �� ������� ��� �� ��� ��������� ����/ ��� ������ ����������� �� *+� � ��� ���� �������

��3�ΔCw =Δmi

Vw

,

����� ���% w �� ��� ����� 4��� #$�� ��,�/ ��2� � ��3� ��� ���� �� �������"��� ����� ���� � �� �%������� �

2

Page 44: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����−Δξw = wVbΔCb .

��� �� �� �������� ξw �� ��� ������� ���� �� ���� �� �� ���� ��

����ξw(t) = A−B∞∑n=1

e−((2n−1)πa)2Dt 8

π2(2n− 1)2.

���� A ���l� �� ��� �� ���� �� ��� �� �������� �!�! ��� �� �������� ���� ����� ������ ���� ��� ���������� ������� �����"�� ���� � #���! A − B �� ��� �������� �!�! ξt=0 ���� ��� ������� �$��� � ��� t = 0! %� �� �� ��� ���� ��������" �� ������� ��� ����� B ���l� � ���� � ��� �&���� ���'���� D! %� B �� ������� ��� �� ������� ��� ��� ���� � ���� A �� ��� �� �������� ���� �� �� ��� ������������� � �� ���� ���� ���� �&������!

��� ������ ��� ��

% �� �� �� �(���� ��� �&���� ���'���� )�� ����� �� ��� ! ��� �����$�� �������� ��"��* ��� � �� ���� ���� ��� ���������� ����� +������ +��������� ���� � ��� ��� �$����� �,���� �������� � �� ���� � ! ��� �����$���� ���� ���� "�� ������� ����� �� ����� �� �� �����#��� �� ��� �� �$������� �� ��� �&����� ������ ��� ������ �� �������� ��� �� ��!

��� )�� ����� �� �������� �������� ��� �"������ �+����� ����������� ������� � ���������� ��+���� ������� �� ��� �� �� +������� D B ������A−B �� ����� ������� ���� ��������� ���� ����� ������ ��� �(+������ �����!- ���� ����� �� ��� )�� ����� �� �!"! ��� � .��� ��/01�! )�� ����� ����������$����� �� �(+����� �

����xk = x−k +Kk[z − h(x−

k )],

��1�Kk = PkHTk R

−1,

��2�Pk =[(P−

k )−1 +HTk R

−1Hk

]−1.

���� xk = [Dk Bk]T �� � ���������� ������� ������ �� ��� ���� ��� ����� ��� ���

�3�� +������� D B � ������� k! ��� ������ x−k �� � ������ ������� ������

��� ��� ���� � ������� k Kk �� ���� ��� �+���� )�� "�! %� �� ���� ��� �� �����#� ��� ����� �� ��� � ���������� ������� � ������� k! ��� ������ z �������� ������ �� �������� � ����� ti! ��� ������ h(x−

k ) �� ������ ��� ����� ��������� ������ �!�! 4$! ���� ���" ��� � ������ ������� +������� x−

k � ����� ti!��� )�� "� Kk �� ��� � 4$! ��1� ���" Pk ����( �����" ��� � ����������

������� �� ��� ����� R ����� �� ���� "���" ��� �(���� �&����� ������ ���

/

Page 45: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������� z �� �� ���� �� ������� �� �������� �� ���� ����� ������ �� ������Hk �� �� ���������� ��� ����� � �� B �� D �� h(x−

k ) �� �� ������ k �� �� ����� ti��� ���� �� ���������� ��� ������ ��� ���� h(x−

k ) �� � ���������� ���� �������������� ��� ��� � �� ������������� �� �������� ��� D �� B �� �� ������ D(1) ≤ D ≤ D(3)

�� B(1) ≤ B ≤ B(3)� ���� D(1)� D(3)� B(1) �� B(3) ��� ���� �� �� ���� � ��! �������� �� ��� �� ����� ��� � �� ���� �� ���� �� D �� B� �� ��������� ������D(2) = (D(1) + D(3))/2 �� B(2) = (B(1) + B(3))/2� �� �� ���� �� �� ��� ��������������� �� �� �������� � ���� ��� D �� B� �� �������� �� ��� ��� ��� ���� �������������� x0� �� ������� ����� ������ x0 = [D0 B0]

T ��� ���� �� 11× 11 = 121 ���������������� �� �� ����� D(1) ≤ D ≤ D(3) �� B(1) ≤ B ≤ B(3)� �� ���� �� ���������� ��� ������ ��� ����� ��� ������ ����� �� �������� ���� ��� "������� ������������� ��

��# [h(x−

k )]i=

3∑p=1

3∑q=1

[(3∏

m=1 �=p

Dk −D(m)

D(p) −D(m)

)(3∏

n=1 �=q

Bk −B(n)

B(q) −B(n)

)ξpq

],

����[h(x−

k )]i�� ������� i� ��� ���� t = ti� �� h(x−

k )� $������ ξpq �� �� ������� ����

�� ����� ��� ������ ��� D = D(p) �� B = B(q)� �� ���� t = ti � ����� �� ������ � �� ������ Hk �� ������� �� ��%��� �� ��������� �� �� ����������� ��� ��������� ���� �� �� �������� ��

��& Hk =

[∂h(x−

k )

∂Dk

,∂h(x−

k )

∂Bk

].

' ������ ��������� �������� ���� �� �������� ���� �� � ������ ��%��� ������� ������� ������� �� ��������� �� �� ���� ��� �((( ����� ���� ���� � ��� �� ��� ��� ������������ �� ������������� �������� �� ��� ��# � ��������� � ������ � ����� �� � ��� � ��� ���� ��� � ���������� ������ �� ������� �����

�� �������� R� ����� � �)���� � ������� ����������� �� ���� ����� �� �������� �� ������� �)���� � �� �� ������ ��� �� ������������� ����

��* R = maxi=1,2,..

(∣∣(z − h(x−0 ))i

∣∣) ,���� �� ���� i ������ �� ������ ������� i� �� ��������� �� ����������� ������ ���� �� ���� t = ti� �� ����� R �� ������� �� ����� ��������� +������� �� ��������� ��� �� ������ ��� ���� �� �� ���� ����������� �� ���������� ���������� �� R��������� R �� ���� �� �� ����� � ����� �� ��� ��* �� �� ����� ��� �� ���� ��� ����� ��� ������� ����� ������ ��� x0 ��� �� ��� ��� ��������� �� ����������� �� ����� R�)��� ���� ��� ���� ��� � �� �������

�� ,����� -���� ����� ��������� ��� ����� ��

��. x−k+1 = xk

��

��/ P−k+1 = Pk +Q,

�(

Page 46: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� Q �� ������ � �� �� �� ����� ������� ��������� ������ ��� � �� �� � ���������� ������ ����� �� ������ � ��

����P0 =

[100 0

0 100

].

��� ������� �� ������� �� �!���� ��������� �� ������ ��� �"���� ��� �� �� ���#��� ��� ��� �� ��� �� ���� ��� �� ��� � � ������� ��� � ��� � �� $�� �������� ���� �� ��� ����% �� �� ���� �� ������� ��� ����� ������� σe �� ���"������ ������ �� ����������� �� �� �� ������ ���������� &����� �� ��������� ������� �

����σe =√

1N

∑(z − h(x−

k ))2i ,

����� N �� �� � ���� �� ���� ������� '� ����� � �� $��� σe ��� ���� ������ �� ������

� �������� �� ���� �

��� ���������� �� �� �" ���� ���(���� D �� �� ������ B ��� �� ����� ���������� ���� �� ����� �������� ���� )*2� �� �������� � �� ������� ��� ��� ���� ���#���� ������ �� ���� ���� %� ��� ��� �� ��� �� ��������� ���� ��� ��������������������� �� ��� ��� ��� ������ ������ �"���� ��� ��� �� �� D0 ���� � $�� ������� �� ������� 0.0001 � 0.1001 ��2+��� ��� �� ������ 0.0501� ,�� B0 �� ������������ �"���� ��� ��� �� ���� ����� �� �� ������� 10 � 90 μ-+�� ��� �� ��#���� 50� ����� ��� �� ���� ������ � ���� �� �� �������% ��� � ��� �� �� ��� ���� ������������� �� ����������% � ��� $�� ��� ��

��� ���� ������ ���� ������ ��� ������� ��� � �� ������ ��� ��� �� ��� � � (#�����% ����� ����� ������� ������ �� ���� �� ���� �� ��� ����% ��� �� ����� ��� �� �� ��� �� ��� ����� �� ����� .�

����� �� ������ �� D B �� σe ��� ���� � ����� � �� ����� ��� ������ ��2

��� ��� D0

���������� ��� B0

����D

�������B

μ�����σe

����

������#������ ��#�� ������� ��/��0 �����

������#���/�� ��#�� ����.�. �/���1 /����

������#������ ��#�� ����10� /����� ��/��

����0�#������ /�#/� ����1/� /.���2 ��.��

��� ����������� �� D �� B �� x0 ������ � � ��� ��� �� ���� ���� ���� �"������������ ��� �� $��� ������ �� �� �� ��� � � ��% ������ � ����� �� �"��������� ��� �� ��� ��� ��

��

Page 47: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(a)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(b)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(c)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(d)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(e)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.040

50

100

150

200

250

D [mm2/min]

B [m

icro

S/m

m]

(f)

���� �� ����������� ����� D � 2� ��� ��� B �� � ���� ��� ������� �������� ��� �� ��� ��2

����� ����� �� �� ����������� ���� ! ������� ��� ��2 � ����������� ���� " �������� ��� ��2 �� ����������� ���� !# �������� ��� ��2 �� ����������� ���� $# �������� ��� ��2 �� ����������� ����!"# �������� ��� ��2 �� ����������� ���� %## �������� ��� ��2& '(� ������ ��� ������ ��� ��)��* (� �+����&

��

Page 48: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ��� ����� ��� �� � ��� � ��������� � �� ��� �� � � ���� � � ���������� �� �� � ��� ����� ����� ��� ��������� � ��� ��� ��� �� ���� �� ������ � �������� ������ ���� ���� �� ����� ��� D � � �� ������� ������� ��� ������ �� ������� �� ����������� � ���� D ��� B �� �� � ! �" �" �!" ��� �"" ��� ������ ������ #$2 ��� �� ��� ������ %�� ��� ����� ����� �� ����� �� �� � �� � � �������

& � ��� ��� ��������� � ���� �� � ��� ���� ���� n �� ������ � ���� � ������� �� ����� �� � �� ����� ��� '(� )!�*� + ������ �� ����� ���� ��� � ��������� �� �" """ ����� '� ������ �� ���� �� ����� � ��� � �� ���� ������ �� �� �������� �� �,���� ���-��� ������� � ���� ��� 5 ·10−6 ��2.��� ����� ����� �� �����" """ ���� ��� ���� � �� � ����

%�� ���� �,���� � �� � � � ������ ��� ������ � � �� �������� �� �� � ��� ������#$2 � ��� /�

0 500 1000 15000

7

14

21

28

35

42

49

56

63Medial posterior 2

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.0003 [mm2/min] B=335 [micro S/mm]

(a)

0 500 1000 15000

5

10

15

20

25

30

35

40

45Medial posterior 2

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.00212 [mm2/min] B=94.09 [micro S/mm]

(b)

0 500 1000 15000

4

8

12

16

20

24

28

32

36Medial posterior 2

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.0076 [mm2/min] B=41.91 [micro S/mm]

(c)

0 500 1000 15000

4

8

12

16

20

24

28

32

36Medial posterior 2

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.00749 [mm2/min] B=42.80 [micro S/mm]

(d)

���� �� ������ ��������� ��� ������ ������ ��� ��� ��� ���� ������ ������ � ����� � ��������� ��2� ��� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ����� � ����� � ��� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ����� ����� � ����� � ��� �� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ����� � ����� � � � �� �� �� ��� ��� ��� ��������� ����� � ����� ��

%��� ! ����� � � ��� / ���� �� �� �� �������� �� ������ �� ���� �������� �� 0����� �� �� ��� D ��� B ��� 0.0074906 ��2.�� ��� 42.8049 μ1.�� ������ ����

�2

Page 49: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ��� ��2 �� ����� ����� � ��������� �� ��� �� �� ��� �� �� ��� ��� ��� ��������

�� � �� �� ��1� ��� ������� ��������� � ��� ������ ����� �� �� ����� !� ��2"����� ��� �� � �� # ���� ��� ��� ������� ���� �$2� �� � ���������� �� �����!!���2"���� ���� ��� � �� � ����� �� ��%� & �� �� �� ��� ��� ���� � %������� ���� ��� �'�������� ���

0 500 1000 15000

10

20

30

40

50

60

70Lateral posterior 1

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.01436 [mm2/min] B=73.57 [micro S/mm]

(a)

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 16000

10

20

30

40

50

60

70Lateral anterior 2

t [min]

Con

duct

ivity

[mic

ro S

/mm

]

DataAnalytic, D=0.01066 [mm2/min] B=72.71 [micro S/mm]

(b)

���� �� ���������� � �� �� ��� ������� ��� ������ ���� �� ���� �� �������� �� ��������� �����

(�� ����)���� � ��� ��� �'�������� �� ��� �� ���)� ���� ���� ����� ����'������� � ��� ��� �� ��� ������%� ��� ���� ��� ��� � ��� ��� *� � ���� � ������ �� ������%������ �� ��� ���� ���� � %����� ����� ���� ��� ������������ ����� ���� �� � �����% �� %�� ����� *� �� � ��� ������� ) �� ���� ��� + ��, ��� �� �� ������ ��� )��%� ) �� �� ��� ����� ��)����� �� ��� ���� �� ������� D = 0.0110± 0.0069 ��2"���� ���� ) �� �� ����)�� ���% ��� ,� ���������������� D ��� ��� �� ��

� ����������

$� �'�������� ���� ����������% ��� ������� ��������� ��� +- �� ��)��� ���� ���������� ���% �� � ����� � �.������� �� ���� �� ��������)��� ������ ��� ���� ������� �� ��� ������� �� ��� ���������� ���� ������� ��� �������� �� ��� ������������� ������� � �������� �� �������� ���� ���% ������� ���� �'����� �� ���������� ��������� � ������� ���� ��� �'�������� �� ���% + �� , �����%� $�)��%� ) �� �� ����� ��)����� �� D �� ��� ���� �� � ���� ��� �� ��� ���� �������� ���� ��� ) �� �� �� � �� ������ D = 0.0110± 0.0069 ��2"���� �������������� �� ��� ) �� �� ��� ������� ��������� ��� ��� �� � � .���� �%�� ��� ���� �'� ���� �����%� ���� ��)��� ���� ����% � ������%����� ����� �� ���������� ��� �'�������� ������� ��� �'�������� ��� ��� �)�� ���� �������� �� ���

��

Page 50: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� �������� ������ D� � �������� B ��� σe ��� ��� ����

������ D ������� B �μ����� σe �μ�����

��� �������� ��� ����

��� ������� ���� ���

��� ������� ������ �����

��� �������� ��� � �����

��� ����� ��� �����

��� �������� ���� �����

��� ������ ������ �� ��

��� ���� �� ����� �����

��� ������� � ��� ����

��� �������� ������ ���

��� ������ ����� ���

��� ���� ��� ��� �� �����

��� �������� ��� �� ���

��� �������� ����� ����

������ �������� ����� ��� �������� �� ���� ! �� "����# � $�� � ��%" ��� &�� ���� ���" ��� "����# � ������ $�� ��'������� #������ ��� ��%" ��� (�� �� ����� ��� ������� #�$��� ����%������%��� #�� ��� � ��� ������#����� �$ ��� )* %�+�� ��� #� ��%�+������� (��� �����! ����� ����� ���������� �����+ ��� %������%���� ���� �� ��%"������� ����+� �� ��!���������! �$ ��� ������%��� �� ��"����� #! ��� )� %�� , ���� (�� �������� ��-������ σe

�$ ��� ��'������ #������ ��� ��"���%���� ���� ��� ��� �#������ �""����%���� )� %������ $�� ���� ��%" �� �� ��,��� �� .�� /��0� �� ��� ���� �� (�# � �� 1� ��+��,���� ��'������#������ ��� ��'����� �������� $��% ����� ��� #��� ��%" �� ���� ��2�� ��� �����-�� ����� ����!�

(�� ���� �� ��� � #� ��%"���� �� ��� ,����+� �$ ���� �� � � /����0� (��! ���� 34���3 ���������� 4���-��! �$��� �����# ������+� �� %������ ��� ��'����� ���5����� �� #�-���#���� (��! $���� ���� ��� "��%��#� ��! �$ ������� #��� ��'��� �������-� ! ��"�����+ ������ ��+�� ��� � ��� ��������� ���� �� �������� ��-��+ -� ��� $�� D �� ��� ��+������� ��������� �� ��� ���+� �$ 94.20 ± 5.23 �� 6.11 · 10−6 ± 2.37 · 10−7 ��2����� � �� ������� ��� ���� ��� �� ���� � ��� ������� �� ���� � ��!����� �" #�� ������ �� ����� ��� �" ��� ��� $ ��� � %��� �" D = 0.0198± 0.0036 ��2����& ����������� #�� ���� ��� �� � ������� ���� �" '() *�� +� � ����� �" ,� � �������-�& "� � ����� � $ ���� ����� � �� � ������� �� $� � ��!�������.����� �" /% ��! �� 0������ #�� ���� � �� � �� ��� ���� 1���� ��� " ��D = 0.0039±0.0013 "� 2%�������& 3' ��� *�& �� D = 0.0177±0.0028 ��2���� "� ������#�� ����& '() *�� +� �� ���� ��� ����� �� ����� ��� �� ���� �% ���� ��� ������ ��%�������� � ���$� ���� ����� � ��� 4$��� �� ���� ��� � #�� ���� � �� �� ��� ���� ������� ��� 56�� � #�� ���� � �� � �% � ������� ���� " ��'() �� 3' ��� *� ���$� � �� (3 *� "� 56�� ����� � �" � �������� ������ ��

7�

Page 51: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������� �� ��� �

����� �� ������� �� ������� ����� � ��� � ����� ������ ���

����� ����� ����� � ������ ���� D ��������

���� �� �� ���� � ������ �������� ��� ���� ±������

���� �� �� ���� � ������ ����������� ��� ������±������

��� �� �� ���� � !�"� �������� ��� ����#$±������

�� �� �� ����#� !�"� �������� ��� ������±�����$

�� �� �� ����#� !�"� �������� � ��� �����#±������

%������ ����& ������ �������� � ������±�����#

'� ���(����� �'� � '���� �� �'� )%� �������� *� �����' �� (+� �'� ���� �(����������� "� �� ����& "'�"+�� ����� �'� "�"����� ��,����� "��-"���� �������� �� ./������ 0��'���' ./� ���� (��� 1��� �� (���1�� 2�� �'��� ��(������� ���"� �� ����� *������� *'�� �'� �(���� *��� �� �'� )%� ��������� 32 �'�� �� ���� �'� ������� �'�* �'� �'����� �� �'� (����� �2 �'� �(���� �� ���� # 4 �2 �'� ���� �2 �'� ��������� 2��� � '����� 3��� �'� �(���� *��� "���� �� �������� 0� ������ �5������ �'� ��� ���� �2 �'�"����"�����& *��� �� �'� "������ A6 ��� ./� ����� '� ���� ���� "� �� �5������� �A − B� 7��"� �'�� ����& ���� ��������� *���6 �'� ���� ���� �2 �'� "����"�����& �� �"'(�����(��� �� ���& ��*6 "���� �� 8���� �& �'� A ≈ B6 (����� �'� B "� '��� ��������� �� �� �'� ��� ����� 0� "� �� ���� �� ��� � �'� ��� ���� ��,��� ��(� 2��(�(��� �� �(���� '� ������ 2�� �'�� �� ������� 9�� ����� �� �'� �'� ����(� �2 �'��(���� ��,��� 2�* ��� "���� 3� ������ ����� ����(� ����"��� ����� (���� �2 )%��� '��"� '��'�� ��� ���� �2 "����"�����&� :�� ��(� �(���� �'�� *� ��� �'� "��� 9���5������� 2�� �'�� "���� �� �'� �'� ������& ���� �'� ���� (��'� ��&6 ����"���� �'�(��� �� ���� ��� *��� "���� �� ������ ������ �'� ���� �(�����

3� *���� �� ����������� �� ����& �(���� �2 ��,����� ��8�� �� 2����� �������� 0 ��������2 �'� ��(������� "���� ����� �������� ��8� �,�"��6 �������� �������"� �������6 ���������2 �'� ���(�� ���5�� ;�5 �� ��� �,�"�� �'� ���� *'�� �'� �� �2 �'� ���� ���� ���(�� "�(���� �� �'� �����' �� �'� ����"���� �2 �'� ;�5�

������� �'� �� �(���� ��(� (�����(���� *��� ���2��(�� 2�� ���� ���"�� �'� '���� ���� �� �'� )%���������� ��2��� ����� ���� �'� ��������� *���� 02��� � '���� �'� "�����"�����& �� �'� ��������� *��� '� ��"'�� ���� � μ7<(( 2�� �'��� �(����6 ���� �������� % �2 �'� ��� ����� �'�*� �� ��� �� �& �'� �'� ��,����� "��-"����� "�"�����'��� "���� �� ��� �� �� 2�� �����& )%� �'����' ���� ������6 ��� ��'�� )%� (�5�� *��' �(�� ��� �2 ���� ������"�� (����� �'����' �'� ���� �������

� ����������

'� ��� �2 �'�� ����& �� �'� �����(������ �2 ��,����� "��-"����� �� (����� "��������� ���� ������ *��� �� (��� ����& ""�������� 7��"� �'� "�"����� ����� �2 �'� ��,�����"��-"����� �� �� ���� *��' ��'�� �������6 � ���"����� �� �������� ��"����6 �'�� (��'�� "����

��

Page 52: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�� ��������� � � ������ � ������� ����� ��� ������ �� ��������� �������������� ��� ��� ��������� ������ �� ���� ������� �� ���������� ��� ���� ������������ �� ���� �� �� ����� �� ���������� �� ��� ��������� ����� ����� ����������� ������������� � ���� �������

�������������

��� ����� ����� ���� �� ���������� ��� �������� ������� �� ��� ����� � ���������� ����� � !������� "� #������� �� $� %����� ����� ���� �� ������������� #������ %����� &������ � ������ ���� ������ !������� '� #���� ����� ���� ������ ��� ����� ������ '����� ( )������ ' ������ ����� �� )� � )� #�*��� ���� +������� � #���� ��������� !��� ,��������� � ��� ������ �������� �� ��������������� ��� ����� ����� ���� �� ���� ���-������� .-��� #����� � ���� ��������� ������ �����

���������

/��� %�� #����� '�� (001� %��������� �2���� � ������� 3��� �� ��������� ��������������� !����� 4 56789� (66:(64�

/���7#����� !�� #�*���� )�� #�������� "�� ���;� <�� (011� #��� ����� ������ � ������������ � ��� �������� �� ��� ��������� ����������� (60 519� 6=:88�

/���� %� �� 14>6� "���������� �� ���� ����� ������ �� ?��� @������� A��� >�$���� <�� B���

/������� +�� �� �� !�� .���� '� !�� ���� %�� ���� /� +�� 1446� +�2����� � ����������� �� ������ � ������ �� ����� ������� ������� 5<�%9 ����������� ��������� C���� � ��������� ����� 11 589� 8DE:8=>�

&����� !�� ������� #� )�� ����� �� /����� ��� &����� #� &�� (016� '������ �� �����7���� � ���� �������� ���������� �� ���������� 3��� 3��� C���� � �����������8D 5(9� (E6:(DE�

&��� C�� �� ��� 14=E� ��� ��������� � ��2������ A��� (� &������ ���� F� ���

+���� %� +�� !��� C� .�� (00E� ����������� ������������� �� ������ ��������C��� $���� G #����,%! �������������� �������������������������� ���������������

��� ���� ��!�����"� ������#��$�������%�

��� H�� %��� ��� I��� !�� ������ �� &�� '����7/�������� &�� .�� &� ��� %����� &��<���� �� #�� %����� C�� (008� <���� ����� ������� ������ ������ � ����� ���7κ/ ����� �� ������������� ��������� �� ���� ��� ����� ������ ������������18E 5(9� =E1:=E4�

1=

Page 53: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�������������� �� � ������ � �� ������ �� �� ����� �������� �� ������������ �� ���� ��� ���� ���� � ����� �! ������� "���� �� ���������� #��$�!����� %������ &� '() *��+*�,�

��� �� � -� �������" � ���,� ����� ��� ���� � ����$�� �� ����. /����������"������ ������� ���� ����� ��0��� �� /��� "�������� 1( 213�

4���5�"�� �� 6� ����� �������� �� ������� ����! 7�� 8��5�

9�� �� ���� � �� :� ;��� � (,,�� -��� �������� 6 � �������� ��� ���� ���� "������ �� �0� �� �� ����� ���� ���� ��"������� �� �� �� ��� �0����� �"���� ��"��� �� ��#��� (( '1) �*2+�<<�

=��"�� >� 6� (,<�� ��� �$$����� � ������ ?� ����� ��� $����� ��� $�����"�� 9�������� ������ 6���������� &� '() 2*+1*�

=����! � �� �� @� ������ �� #�������5 �� -� -��0������ 9� �� 6�� ���� 9� �����*� �����"�� �� �$$���� �������� ���A���� �� ���"�� ��� �������� �� �� ��0�� ������ ��"��� ���5�. B�� ��� ��$������� (� >�������! �2* '�) *<,+*31�

=����� >� C� ��� � (,,�� ����� ���� "���� ��� � ����������� �� /��� /�� �� �������������������� �� ���5 �� ���� ������ 9������ �� ���"�������� �2 '�) (3(+(&��

�� �� 8�� �� ���D�� �� #� ���� �� ���,� @�� ��$������! �� ���� � �������� ��"�������� ����� ��� ���$� �� �� �� ����� #��� 1* '*) (�(3+(��2�

�������� 4� #��5������ �� E��� -� 0������ B� ��(2�� �����"�������� "���� ���� ���� ���0�� �������� �� ���� ������ ;�"$� �� "� ���� �� ���"�������� ��� ���"����������������� (& '*) 1*3+1<3�

�������� 4� E��� -� 0������ B� ��(2�� $�� ���� ��� ����!��� �� ���������� ��������� ���" � $��"����� ����� �� � � ?�� � 0���"� ��� ������ � ��F���� �G@���H'@�C��2�&&)H(�&H'��(2)�

�������� � (,3,� -�!�������"���� $��$�� ��� �� �� ������ ��� ������ ��� �� ������ ���� ����� � �(*+�,��

�������� � ��������"�� >� -�$$�� I� (,,�� @�� ���� �� �� �� $�� ����!��� ����������� �� ���� � ����$�� �� ��� ������ � ������ ��� ����� ��� �� ���� ��� �� 2**+23(�

-� �� >� IJ����! 9� #�� � K���%� � =�� �� @� � �� ���1� �� ��"��� �� $���"������ ! �� ��� ���� ���� � "�� �$�� ���� � ������ ����� /���������� ����0��! �� ��$�� ���������� �����F���� B�. -��� *(� ����� I> ��� ���� K��� (1(�

��"��� 6� ;�� C� ;��� -� #!���� � ��� 8��L� 4�� :� #���� @� ���&��������������� �> "� ���� ��� ���� � ��� ��� ��� �0��� ���� ����� �� >�������� ���������� *, '() �&+2,�

(&

Page 54: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ��� ���� � ��� ����� ����� �� ���������� ��������� �� � ������� ������ ���������� � ��!�����"� ���! �� �"������ �# $#%� ��&�'��(��

����� � )�� *��"+� ��� ,������� �� -�������� ��� .///� 0� ���� ������������� �� ��������"�� 1��� 1�� �� �!� ��� ��2�� ��� ��� �������� ��� �"������ ��� ���"����� ����"��������! ���"����� ����������� 3����� �� 45��������� 6�� �� ./& $��%� .#&#'.#(7�

8��� 9�� 8��� :�� ;��� :�� ;��������� *� ��� ����+�� �� 3�� 8���2���� *�� *"!�<��� � 6�� .//7� 0� ���� ����������� �� �� ��� ��������� �� �!� 2��� �"�����"��� �"� ��������� ���"������ �� �!� -������ "����� �� *"���"�� �� �!� =����� *����� �� ����"��/. $&&%� �����'����>�

8���2���� *�� ������ *�� ?��� :�� ���(� ���� ��� �!� �5"������� �� �����"���� 2���"!���"� ����������"�� 2��� 1��� �!��� ��������� 3����� �� 2����"!���"� .# $&%�&&�'&>/�

��

Page 55: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 56: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Paper B

A. Shokry (2015)

A methodology for using Kalman filter to determine material parametersfrom uncertain measurements

Submitted for international publication

Page 57: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 58: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ��������� ��� ��� ������ �����

�� ��������� �������� ����������

���� �������� ���� �������

�������� �������

��������� �� ��� �� ���� �� ��� ����������� ����� ���� �����

��������� ����������� ����������� ����� ����������� !"#�$ ������ �����

��������

� ������ ��� ��� � �� � ����� ������ ������� ���� ������

�������� ���� ������ ������ ��� ����������� ������ ��� � ��� ������

������� ���� ���� � ���� ����� ������� �� �� �������� ����� �����������

������ �� ��������� ����� �� ������ ��� ���� ��� ��� ��� ���� ����

��� � ������� �� � ��������� �� ���� ���� � ���� � ����� ���

� ����� � ������� ��� � ������ �� ��� � ��� ������ ��� ���� ��

���� ������� �� �� �� � ���� � ��� ��� ����� ����� �� ��

!��� ��� ���"� �� ���� ������� �� �� ���� #���� �� ��������� ����

�� ������ ��� � �� ����� ���� �� � ��������� ��������� �� � ��� �� ��

����� $����� � ������ ��� �� �� ���� �� � ���� ���� ��� � � ����

������� ��� ������ �� ���� �� � ��� ����������� �� �� � ������

��� ��� ����� � ��� ���� �� ������ � ���� ��� � ��� � ������� �������

��� � ������� ������ ���� %�� � ��������� �� ������ � ��� ���� ���

���� �� �� �� ������� &�� ���� ��'��� ��� ����� ��� �� ����� � � � ���

� �� �� ��� ��� �

Page 59: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

��� ������ ��� � �� ����� � ����� � �������� �������� �� �������� � ��� ������� ��� ���� ��� � ��� �� ���� ��� ��� �� ��� �� � � � �� ��� ���� �� ������������� ������ ��� �� �� �������� �� � ��� �� ������ ��� � ��� �� ��� ���! ������ ��� "�� ��������# �� � � � �� ������ � ����� ��� ������ ����� ��"�� � �������$� �� ���� %���� ����� ������ �� ��� �� �������# � "������� %��" ��� &���� "������ ������"��� � �� ������ ��� � ����� �� '���� ���()�� ��� ��������� "�� �� ����� ����� ��*���� ������ ���� �� � �� �� ���� ��*���� ��� �"�� ��" ��� ��+�" �,����� � ���# ���-. /��� � ���# 0���. &����� � ���# 0����# "��!��� � �� �&�� ��� ������# 0���. ,�� � ���# 0����# ��� ������ ����"� �1�"���� ���2��� ����# 0���. /� � ���# 0���. 1��� �� ��� �����# 0��0��

0

Page 60: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������

αij �������� �� ��� ��� ���� � �� ������� ����� a� ��� b�

P−k � P k �� ��� ������ �� ��� ���������� ������ ��� ����� ����� � ������ �� ����� �� k

Qk� Q ��� ��� ����� �� ��� ���������� �� ����� �� k� ������� ��� ���

Rk� R(i) ��� ��� ����� ��� ������������ �� ����� �� k� ������� ��� ��� �� � � ��

���������� i

xk ���� �� ��� ����� ����� �� ����� �� ����� �� k

H� Hk ���� � �� ��� ���� �� �� h� �� ����� �� k

Kk n×N ���� � ���������� ������ �� �

M(x) ���� ������ ����� ������� z ��� h

ν� νk ����� �� N ������ �� ��� ������������� �� ����� �� k

Φ ��� �� ��� ������� ��� ����� ������� z ��� h

ϑi �������� �� �� �� ����� w� ��� v

ζ(t) ����� �� �� ������ ��� �� � �� t

a� b ��� ������� �����

A� B� R ����� ��������

D� Dk � ��� �� ���������� �� ����� �� k

h ���� �� N ���� ��� ������������

L � �� ������ �� ���� ������

N � n� M ������ �� ������������� ����� �� ������ ����� ���

p � �� �� ��� ����� ����� � �� ���

T ���������

t � ��

w� wk ����� �� n ��������� ��� �� ��� ����� �� ������ �� ����� �� k

wD� wB �� �� �� ���������� D� ��� B

x� x� x0 ����� �� n �������� ���������� � � �� ����� �� �����

z� zk� zav ����� � �� N ������������� �� ����� �� k� ������� z

Page 61: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ���� �� �� � �� �� �������� ������� ������� ��� ������� ��� �������� ��� ������ � ���� �� ��� ������ � �� ������ ���� �� �������� �� ��� ������� ����� � �� ����� � �� � � ���� �� ������� �������� � �!���� �� ��� ������� "������ ��� ��� ������ ����# ��� � � ��� �� � � �� ��� ������ �!�� � ���$�"��� �� � � ������� � �� �# � �� ������ � �� � � ��� �� ��$�"��� �� �� �����$�� �� �������" ��� ������ �� �%� ��!���� ������ �� ���� � � �������������� �� ��&�$�"��� ������� ����� ������� $�� ������ ������" �� ��'�� � �������� (��"����� �� ��� �)***�� � �� ����� � �� � � � ������� $���� �� � � ������� ���� %��� �"������ %�� � � � �������� �� ��$��� %��# ��� � � ������� �""� ��� $���� �� � � �����" ������� �!�� � � � ������� ������� �

+������ ��� �� �)**�� ����������� ������ ���� �� �������� ��� ��−��� ����� ����� ������� �� � �� ������� � ��" �� �������� ������������ � �� �� �$��� �� � � ������� � �� $���� �� � � ������� ��$�"�� �� � ���� ���� ���# ������ �� ��� ������ �� �# �� �� �� � � ��$�"��� ����� ���# � � ������� �� ����������� � ��� �����" �� �������� �� � ��" ������ ���� �� �������� � � �������� �������� �� � ���� ����� ���� �����" �+������ ��� ,��# )**��� -��.�� �� ��� �)**)�� �� ������ ���� �� �������� ������� �� � � � �$� �� ������ � �� ������ � ������ � � ����� �������� ���%��� ��$�"��� ������� � �����# ��� � � �� �� �� � ��������� ���� ������� ��" � �� ������ �� � ��" � � ����� ������ ���� �� ���������������

/������ �� ��� �)**0� � �� ������ ���� �� �������� ����� ��� ��� ��!� ��� �������� �� � ��� ������� ���� ���� � �� � ������� � � ������� ��� � � ����� ����� � � ��$�"���# % � ����� �� �� �� �� � ���� %�� ���%� $���� � ���� � �������� �� /������ �� ��� �)**�� �� �������� �"�� ���� ������� �� ��� ����������� ��� � ��" ������ ����� � � ������� �� �1����� �� �����" � � ����� ��� ����$�"��� �����

������ ���� � �� �2���� %�� �� ���� ��� � �1��������� ���� �� ������������ ��������� ������� � 3�%�$�# � � ������� �""� ��� ������� �'���� �� ������ ���� ���� �� � �� �������# �� �$��� ��� � ���� ������� �� �# � � �$����� �� �� � �������� ��� � ���� � � ���� �� �� .��# % � ��% � � ��� �� ��$�"��� ��� ��" ����� �� ��� � �� ��� ����� ��� ��� �� � � ������� ������� �

4� � � ����# � ��� �����"� %��� �� ������� �� � ��" ������ ���� �� ��������������� ������� � ��" ������� ��� ������ � � � ��� �����"� ��� �� � %���� �� �� � � ���� '��� �� �� �� � ��������� ������� �""� ��� ������� �'������ ������ ����# ��� �����%�� �� � �""� ��� %�� �� �� � � � �$����� �� �� ��� ���� ��� ��� ������ � � � ������������ �� ��!� ��� ��2���� �� ��$��� ���� ��"������� ���� %�� ��!���� ��� � ���� ��� ���%� ������� %��� �� ������� � �� � ����� � ��� ��� ������ %��� �� � �� �� ��

5

Page 62: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� �������

��� ��� ���

������ ���� � ���� ��� �������� N ����������� ���� �� �� � ����� � ���� ������ ��� ������������ ���� ����� ��� ��������� � ������� z� � �� N ����������������������� �� ��� ����� ���� ��� ��� ����� � �������

� � ������� �� ���� �� ��� ����������� � ������ h = h(x) � ����� � �� h �� �� ������ �� N ���� �� �� �� �������� ��� �������� x � � ������ �� n ���� ����������� �� � ��� ����� ����� � ��� ����� ���� �� ��� � �� ������������ � ��� ���� ������� ����� ���������� ��! ����� �� ��� ����� �� ��� �!���� ������ �� ����� ��� ��������! �� � � ���� � ��� ������ ����!� x � � � ��� �� ���������� ����� � � ��� ����� ���

����������� ����!� ����� �!������ � �� ���!������ � ������ ��� �� ���������� �� � ���� �������� ��� ������ ��� � ��� �������� ������ "����� �� � � ��������� �� ��������� � ������ ��� ��� ���� ����� ������ ��! ��#� �� � ����� ����������� �� �� ������ �� �� ����� �������� ����� �� ���������� ���� ���!������ � ��������� �� ������� "������ ��� ������� ���������� �� ����� �� ���� �� ��� �� � ������� ��� ���� � ��� ���� ��� ������� ���� ��� ������ � �� ���� ���� �� ����!� ����� �� � ������ ������ ����� �� ���� �! �� �� � ����� ���� � ��� � ���� ����� �� � ����� ��!� ��� ���������� $��� ���� ��� � �� ��� ����� ����� ������� ��� ���� ����z = h(x)� %���� ��! ���!������ � ������ �� � �� � ��� ������ ��� ����� � �� ����� ���������� i ��

&'(z = h(x) + v ,

����� v � � ������ � �� N ������ ��� �� �������� ����������� z� ��� ���� ���������x ��������� � �� ��� � � ���� ���������� i ������ � �� ������ � ��

&)(x*x+ w ,

����� w � � ������ � �� n ������ ������ �! ��� ��������� ��� �� ��� ��� ������� �� v�� w ��� ������� �� �� ������������ ��� ������� �� w �� v ��� �������� �� �� ��������� � ��� ���� ������� �� �������� � � ��� ��� � �� ��� ���� � �� �� � ��� ����� ��������� ��� &+���� ',-.(�

����� � ���� � ��� �� ���������� xk � � ��� ���� ��� � ��������� �� x� � ������� ��� ���� xk+1 ��! �� ���� �� �! �� � � ��� /�� �� � � ��!��� ��� �� �� ��� ���

&.(h(xk+1)≈h(xk) +H(xk)(x− xk) ,

����� #������ � �� � ���� ����� ����� �� x ��� ��������� 0 ���� ���� ��������� ����� ���

&1(h(x)*

⎡⎢⎣h(1)

���

h(N)

⎤⎥⎦ , H(x)*

⎡⎢⎢⎢⎢⎣∂h(1)

∂x1

· · · ∂h(1)

∂xn���

� � ����

∂h(N)

∂x1

· · · ∂h(N)

∂xn

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ , x =

⎡⎢⎣x1���

xn

⎤⎥⎦ .

2

Page 63: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� H �� �� N × n � ������ ������

��� �����������

��� ����� �� �������� �� �� ��������� ����� ������ ���� ��� �� ��� �� ������ ����N ������ ��� �� ��� �� ������� ���� ����� n� ��� ���� �� �� ��� ������������� ����� ��� � �� ��� �� �� ������� ��������� ���� � �������� ����� ��� ��!����� ������� �������������� z ��� ��� ���������� h(x)� ��� ������� x �� �������� �� � ������ �� ���������� ����� ���� �� ��� ������� ����� x ≈ xk� ����� k �� ��� ��������� �� ���� ��� ����������� ����� x0 �� �� �� ������� ����� ����� �� �������� ������ ����� ���� ��� ���� ����� �������� �� ����� �� ���� ������������

"�������� ��� ���������� ����� � #��� $������� $% �� �� �������� ������������ $��� ��� ���� ��� &������'������ ����� ������� �� ����� ��������� ����� ��� ����������������� ��� ��

#(%xk+1 = xk + (H�

kHk)−1H�

k {z − h(xk)},����� Hk �� �� N ×n ����� ��� � ������� �� xk� )� ��������� �� ������� � ���� ���� � �� ��� �� �� ������� ��������� ��� ���� ������ �� ��� ������ ��� � � ��������������� ���� �� �� ������ ��� ������� �� ��� ����� �� ���� ��������� �� ��� ���������������� ��� �� ���� ������ �� ��� � ������ ����� ����� �� x �� ������ ���������� �� ���� ����������� ���� �� ��������� ��������� ���� ��� ������ ���� ��� ������ *������� ��� �������� �� �� ������� � ������� +���������� ���� ���� ��������� ���� ����� �� ���� ���������� ���� ���� �� �� ������ �� ���� �� ����������� ������ �� #,������� -.(/%�

�� ������ ������

��� ����� �� ������������� ���� ��� ���� ��� ���������� �� ��� ������ v ��� w �� �������������� ��� ����� ��� ������������ ���� ������ 0������ �� ����� ��� 1�� �� ����� ����������� �� ��� ����� ����� ����� ��� ����� � ������ �� �� ��� ������ ���� ��� ���� ������ ��� ����� �� �� � ����� ��� �� ��� ������������� ����� �� �� ���������� ���� � ����� ������� ���� ���� ����� �� ����� ��� ����� �� �� ������� ������� ��� ������� ��������� ���� ��� ��������� �������� �� �!������� ������ ����� ����� ���� #2�����-.34%� )� �� ���� ��������� ���� ������� �� ���� ��� �� �� ����� �� ���� ������ �������� ������� ������ ���� ������� ���� �� ������ �������� �� ��� ������� ����� ��� ������ ���� ��� �������� �� �� ��������� ���� ��� ���� � ����� �� ���������� ��� 1�� �� ����� �� ��������� ���� �� �� �� �� �!����� ����� �� ����� ����� ���� � ����� ����� ���� ��������� ����� ��� ������� �������� �� ������ ��� ������� �� ��� ����� ����������������� ��� ������� ��������� ��� ������ ��� ν ��� w ��� ��������� ����� ���

$��� ��� ���� ��� ������� ���� �� ��� �������� ���� ����� �� ��� ���� � ����������� ����� ���� ��� �������� �� ������ �� ����� �� 5�� #-% �� �� ���� ���� �� ���� ��� �����ν � ������������ ���� � ��� ��� ������

)�������� � ��� �� ���� ����� x0 �� ������� ����� �� � ������ ����� ����� ��� ����� ������ ���� ����� �� � �� �� ���� ��������� �� ��������� ����� ����� *�� ����� ���

6

Page 64: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���������� ��� ��������� �� ��� ����� �� �������� �� ��� ���� ���� �� ��� �������������������� ���� ��� �� �� �����

���xk+1 = xk +Kk{zk − h(xk)} ��� k�0, 1, 2, ...M ,

����� Kk �� �� n×N ������ ����� ��� ����� ���� �� M �� ��� ���!�� �� �����������"� ��� ���� #����� ��� ����� �������� �������� �� ����� ������������ ��� !� ����� ���� ��� ����� ���� �� �� ��� ��� ���� ��� ������������� $��� ��� !� ������������ ���������� ��������� ����� ��� ������ �������� %���� �� �� ��� ������������� ����� ����� ������� "� ��� ������� ��� � ���������� ��� ������������ ����&��� � �������������$�� �������� �� ��� ����� ���� ���� '���� �� (� �� !��� �� ������������ � � ��������� �� �� ��� ������� ���� �� ��� )����

$�� ������ Kk ���� ������&�� ��� ���� ������ ����� �� ���� !�

�*�Kk = P−k H

k (HkP−k H

k +Rk)−1 ,

����� P−k �� ��� ������� �� ��� ������ �� ��� ���������� !����� ��� �������� �� ��� ��

Rk �� N × N ������ ����� ���� ��� ��������� ����� �� ��� ������������ ���� ������� ��

�+�Rk = ,��(vk) .

$�� P−k+1 �� �������� ��

�-�P−k+1 = (I −KkHk)P

−k +Qk ,

����� Qk �� �� n×n ������ ���������� ��� ��������� ������ ��� ��� ����� ���������� ������ ������� ��

�./�Qk = 2,��(wk).

$�� �������� �� Kk P−k Rk �� Qk ��� ���� �� ����� �� '���� �� (�

$�� �������� ����� �������� ��� �� ��� ���� ��� �*� �� �-�� $�� ����������������� ��� �� ���� �������� ���� ��� !� ��������� ���� � ����� ����������� �� �������������� 0�� ��������� ���!��� ���� ���� ��� !� ������� ���� ��������������� ��� �!����� � '� �� ��������� ��� ������ �������� ������ ��� !� �������� �� ��� �������� ���������� xn P−

n ���� ������� ���������� �� ��� ������ ��� ��� �������� ����������� '�� Qk �� Rk ��� !� � 1���� !��� �� ��� ������ ��������������� �� �!����� � "� ��� ������� ��� � � ������������ ��� ���� �� � ����� ��� ���� N������������ ������� ���� zk = z �� � �������� ����� ���� N �������� $�� ���!���� �������� ����� �� M �� k = 1, 2, ...,M ����� M �� �������!� �� ��� ������� $���������� �� �������� �� ������ � ������� ����� ��� � ��������� ���!��� "� �������� xk Hk P k �� ��������� Kk �� �� ��� �

(� ������� Rk = RI �� ��� �*� �� ���� ��%��� ��� ������� ����� �� R → 0 ����!����� Kk = H�

k (HkH�

k )−1 = (H�

kHk)−1H�

k � '���� ��������� ���� ���� ��� ��� �� �� ��� ������ ���� ��� ����� �� � ������ �� ���� �� ��� ��������� ���� ������� ����� ��� ��� ����$�� ����� �� �� ���� ��� �� P−

k �� ����������� ��� �� ���� ��� �� Qk�

*

Page 65: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ���������

�� ���� �� � � ����� ����� �� �� ������� �� ����� �� � ������� ��� Rk �������� �� �� �� ������!� �" ��� ������� ��� �� ��� Qk #�� �� ������ �� ��$���� �� ������ ����%� ��� Rk #�� �� ������ � ��� ��&������ ������� ��� ��������� �� �������� �� ����� ��� ������� ��� �� ��� Qk �� ������ �� �� ����%�'������! �� �� �� (��

)� ��� ��� *�� +��� ��� ������� Qk �� Rk� �� ����� #��� "�� x0 ��P−

0 �#� �� �� ��+���� �� ��� "�����!� ��&����� �����!��� "�� �������! ����� #��� ������������

,�� ������ ��!� �" ��� *�� +���� ��� ������ ���� �� Rk = ��(νk) �� Qk =2��(wk) �������! �� -.�� �/� �� � ��� )���� #������� �� ������ �� �� ����� �

������� � ��� ��0����%� )�� ��"������� �% �� ���� �� �0 ������� �� ����#��"��� ��� ������ ������������ ����! �!� #����% �" �% �������� 1��� ��� �������� ���� �������#�%� ��� ������� � �� "�� ����! Qk �� Rk �� ���� � "�������� �" ����� �������� ����

)�� *�� !��� !�#�� �% -.� ���� ���� ��� ������� Qk �� Rk� ������$�� ��� �.��������� �" ��� ������� xk �" x� � ��������� "�� ��� ����#���� �� ��� h(x) �� ���� "��������" ��� ������� x� �� ��� ������ ����%� h(x) �� ���2���� "������� �" x� )�� �� �� ��"������ �����!% "�� �������! ��� "��� ������� Rk �� Qk� ��� ��������% �������!�� -.�� �/� �� � ��� �� ��� ��� �.��� �" ��� �����

� �M(x) =1

N��(z − h(x)) ,

�� ������$��� )�� ����% ���� ��� ���� � �� �� �0�����#� �� ��� ���������� �� �� ��2�� �� ���� �� ��� ����%� )�� �������� �" ������ �� �����% ���� �� ���#��!�������� 1��� ���� ��!� �" ������! #���� �������% ��� ������� ���#��!�� ���������� ��!� �" �������� �� ����� �� �� ��� ���� �" "���� �� �������! ���#��!��! ������ �� )����� ����#��!�� �� �� ���������� �� ��� �������� �" ������ �������� "���������! Rk �� Qk�

�� ��� +��� �� �" ��� ����%� ��� ����� ������� x0 �� ������� �� ��#�� ��#�������� �" �!������ ���� ��!� �" #���� 3���� ���� ������������� ���� ����� �� ����"�� ���2���� ������� �� ������� !��������� �� �%����! ��� "�� ����� � �%���������� ����� �� "����� ����� �% �� ��� !���� ���� 1��� ��� ���������� �� ������ ���2���� ������� �������� �" +�� ������� ��!�� ����! ��!��% +���� �������%���� ���% ��% "�� ����� ������� x0 �� �� ����������� 4��� ����#��� ������!� �" ����� ������� �� �0����� � ��!��� ��� ��� �.��� ����� M(x0)� )�� ���� �� ����� � �#�� ������ �" ��� ����������� �" "�� ���#��!���� �� ��5������ �������" ������ �� ������ ��� ����� ����

)�� ������ �� ��� ��� ����! �" ��!!����� ������ �� ��� ���! ��� �������! ���#��2!���� ���� ��� ����% �" �������! ���#��!��� ������� �� ��� ������!� �" ���#��!��������� "��� ��!� �" ��� ����� ������� ���� ����� ������� �������� � "���������� �� ��������� �� ������� 6� �

/

Page 66: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ��������� Qk � R

�� ��� ������� ���� ��� ��� �� �� ��������

����Qk = 2p2xx� ��� ��� Qk = 0,

��� ��� ���� ��� ��������� p �� �� � ������ �������� �� ����� ������������ �� ����� �������� p �� ��� ����� ���������� �� � ������� ���� ������ � ��� ��

����� ���� ���� �� ��� �������� ����� ��� ��� ����� ���������� x ��� ��� ���� �

������ �������� Qk ��� �� ������ ��� ��� �� ��� ��� ������� �� ��� ������� ������ ���� �� x0 ��� !������� ����� ��� ��� ��� �� ��� ����� ������ �� ��������� �� ��� ����������������� �� ���� � �������� Qk ��� ���������� � � �� ��� ��� ����������� ����� "���� ���������� ������� ��� �������� xk �� ������� �� � ������ �������� ��� Qk ��� ����� !���� �� ���� Qk �� � �� ��� ���� #��� ��� ��������� �� x ����� wk = px� ���� ���� x �� ���� ����� �� ���� �����$����� ���� xk� ��� ���� �� � ����� ��%�� ��&� ���� �������

��'�Qk = 2p2(��(xk) .

��� Rk �� �� ��

��)�R(i) = v(i)I, i = 1, 2, ....U,

����� �� ����� �� �� � �������� � �����$������� �� %�� �*�� ����� ���������� �����v(i) �� ����� ��

��+�v(i) = max|(���zN − hN(x(i)0 ))|],

����� ��$ ����� �� ��� ��$��� �� �� �� U �� ��� ����� �� ������ ������������� ��� ������� ������ ��� Qk �� R(i) ��� ������ ��� ���� �� �� ���� �� ���

��� ����� �������� �� %��� �,� �� �-�� ��� ����+ ��� �$� �������� ����� ��� ������� ���.� ��� / ��� ������� ��� ����� ��� p = 0 �� %�� ����� �� ��� ������� ����� ���p = 0.01 ���� ����� ��� ��� ��� ������ �������� �� ������ ���������� �� ���������������� �0����� �� �� ��� p� ��� ���� �� �� ��� � ����� �� ���� ����� ���� 1��� )�� �������� ������ �� Rk ��

��2�R = [max|(���zN − hN(x))|]I ,

��� ��� R �� ��� ������ ����� � ����� ��� ��� �������� �� ��� �0������ ������� ���������� z� �� ������� ��� ���� ������ !���� Q �� R ������ k ���$ ����� ������������������� ���� �����������

��� ����� ����� �� ��� ���3 ����� ���� ������ ������ ����� �� ������� �� ������Rk → 0 �� �� �� ������� �� ������ ��'�

-

Page 67: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ��� ������ ���� ��� ��������� ����� P−0

��� ������� ������� �� ���� �� P−0 �� �� n×n ���� ���� �������� ��� ������� ����

��� �� ��� ��� ������� ��� ������� �� ���� xk ��� ��� ������� ������� �� ����x0 ����� ��� ��� �������� ���� ������ ��� P

−0 �� ������ ��

����P−0 = �(x

(max)0 − x

(min)0 ) ,

���� x(max)0 ��� x

(min)0 �� ��� ��� ������ ���� ������� ��� � ��� ��� � �� ���

�������� ������� ������ �� ��� �� ����� ��� ������ �� P−0 �� ��� �� � �� ��� ����� �� ���

����� ����!� "��! ��� ��#� ������� ����� �� ������ ����� ��� P−0 ��������� ��� �������

������� ��� ������# �� ���� ��� ��� ������� �� �����

��� ������� �� �������

� �� �! �� ��� ��� ���� ������ ���� ��� ������#� �� �����#��� ������ ��� ����������� �$�%&� �� ���� ����� �� ������� �� ����� ��

����� �� ������� ����

'����� Q R P 0 $�%&

(�� �� ���� � ���##����� ������

Q = P 0 �� �� )*� �+,� )*� �+-� )*� ���� .+�/.

(�� �� ���� + )*� ��+� ���� p = 0 )*� ��-� )*� ���� 0/�./

(�� �� ���� , )*� ��+� ���� p = 0.01 )*� ��-� )*� ���� 0/��.

%�������� ����� �*���� 111 / 111 2/�.,

� ���� �����

��� ���� ������� �� ��� ��3����� ���4����� �� � �� ���� ����# �������� ���� �������� �� �� � ���� ����!� $�3����� ��� ������! ���� ��##����� �� ��! �� � �������� �� ��������# ���������� �� ��� ���� ��������� �� ��� ���� ��������� �� ������������5 ������# ��� ��3����� ���4������ �� �� �� ���� �� � ����� �� #��� �*�������� ����� �� ����#� �� ���������� ������� �#� � ���� ��� �6�� ���� � ������#��� ���� ������#�

7� ��� ����� ����!5 ��� ����� ��� ������ �� ����� �� ������ �� ������ ������� #������� ���� ��� ��� ��� �3������ ����� �� ����� �� � ���� �� ��� ���� ���������� ��� ��� ���� ��� ������ ��� � ���� �� ���� ���� ������ ������ ���� �� ������� ��� �� ���� � �������� ���� ��������� ����� $���# ������# �� � ��� �����������!5ζ(t)5 �� ��� ���� �������� �� ������ �� ��� ����� ������������� ��� ���� ��� ������� �� 8�����# �� ��� �+/�2�� 9���� ���� �� ��� ���� ��� ���� ���#�� L =�/�� �� � ������ ���# ���� ��� ����� ��� ������������ ��� ������ ����# � :����)��!

�/

Page 68: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� �������� ��� ��� ����� ������ �� �� �������� �� ����� �� �� ������������� ������ ����� �������� �� ����� �� � ����� � ��� ��� � ��� !"�#$%�

��� �������� ���� � �������� ��� �� �������� �� � ������ �� �& t&

!#'%ζ(t) = A−B

M∑m=1

8

π2(2m− 1)2exp{−(2m− 1)2π2D

t

L2} ,

����� D � �� �(���� ���)���& ��� A ��� B ��� ��*���� �������� ��� ���� � ���� �� ��*′� ��� ���� ������� ������� ��������

��� ������� A ��� B ������ �� ������ ����� �� ���������� � �� ����� ��� ��� �� �������� � �� ������ ����� +��� t = 0 ����

!#,%A = ζ(0) + B ,

����� ζ(0) �*�� � � �� �������� ������� � t = 0� -� ���� h(t) = ζ(t)− ζ(0) ���� ������� .����& �� �������� ���� � � ����&

!"�%h(t) = B(1−M∑

m=1

8

π2(2m− 1)2exp{−(2m− 1)2π2D

t

L2}) .

��� �� �� ���� ������� D ��� B ��� ���� ��� ���� �� /�� �� 0���� ��������� ��� ����� � ��� ��� � ��� !"�#$%�

�� �� ����� �� � ����� � ���� 1���� �� �� "�� 0��� ������ ��� ����� �����2��� ��� � ���� �� ������ ���� ��� ������� ��� � �������� ���� �� ���� ����3.�� !#% ��� !"�% � �� ��� �� ������ �� ����� z� �� ������ ������ �������&� ������ � ����� � �� ��� ���� ���� D ��� B ��� � �� ������ ���� �� �����& � ����� ���� �� ��& ��� |wD| < 0.05D ��� |wB| < 0.05B& � ������ 4� �� �� ����& ����� ν �� #��& ��� ��� #��� ��� ������� � �� �������� ������ ��� z& ���

z = h(t)+ ν& ����� ν = q1

N

∑h(ti) ��� q �.���� ��#& ��� ��� #� �� ��� � ������ ��

��� �� "$ �(���� �� �� ������ ��� ������& �� wD& wB ��� ν ��� �������������� �� ��� � �� ����� � ������ ��� �� � � �� �� �������� ����� 5��� ������� ��� ���� ������ ��� ��� ������������ ����&

!"#%1��!ϑi, ϑj) =

{ϑ2i � i = j

0 � i = j,

����� ϑi ��� ϑj �������� �� ��� ��� �� ���� ���� ����� wD& wB ��� ν � ������� ������ ��� i ��� j�

5� � ������ ��� 3.� !"�%& �� ���� ����� �� � �� � ������� � L2/D� 5����� ����� �� ���� ��� ������ ##�6 � ���& ���& 0 ≤ t ≤ 11.7L2/D �� �������� ������ ��� �*�� � � ������� �� ������ 0.0032L2/D�

4� �� �� � � � �� ���� ���2����� ��� ����� �� 3.� !"�%& � �� 2����� ������ � � ���� ���� � ��0���� ��� �*�� ��� �� �� ���� �� 3.� !"�% ��� � ���

##

Page 69: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����h∗(t) = B∗ + f(D, t) ,

�����

h∗(t) = log {h(t)} , B∗ = log(B),

f(D, t) = log

(1−

M∑m=1

8

π2(2m− 1)2exp{−(2m− 1)2π2D

t

L2}),

����� ���� h∗(t)� � ����� ������ �� B∗ ����� f(D, t) �� ��� �� �� ������ � ���� �������� log(1 − e−x) → e−x �� x → ∞ � ��������� f(D, t) ����� ����������� ��� ��������� �������� �� � ����� ���� ��� ����������� ���� ������� �� D �������

� ������� � ��� ������

��� �������� �� ��� ������ � � � ��!� ��� ����� � ���� ���� �� ����� ��� �� ����������� �� �� ����� ���� ��� � ��� �� ��� � m �� �� ����� �� �� ���� �!! ��� � ������� � �������� �� ""�"# � ��� ��� �� ��� �� ��� �� t = 0� $����� �� ��� ���� ������ �� �� t = 0.0003L2/D ��� ���� ��� � ��� �� ���� �� ����� ��� �� � ���������%�� ����� � ���� ����� � ���� �� ���� � �������� ��� ��� �������� �� ��� � ��� ����� � � ��� ������ ���� ��&� ���������� �� ������� �� �� '���&��� ���� ���� �� ����� ��� ��� ����� � ��� ��� ����������� ����� �� &��� ��� �� � ���� ��� ����� ����� ��� ����������� ����� �� ���� M = 200 ��� ��

(������ ��� ��� ������� ��� ��� D � B ���� wD = 0.1D� wB = 0.1B�

� v = 0.1zav ����� zav �� ��� �&����� �� ��� ������� ������ ��� ��� zav =1

N

∑zi�

��� ��� )�� � *��� ��� ��� �� ����� ������� ����� �� D � B� ���� ��� �� *������ ��� �+����� ��� � � ��!�� � ��� ��� ��� ������ �������� ��� � � ����� ���� ���� ��� �������� � *�� ��� ����� � ���� ����� �� ��� ������� ������ ��� ����� �,���� ����� ���� ����� ��� ���� ��� � � ��!� � ��� � � ���� ��������&������� ����� � ���� ����� M(x) ��� ��������� ���� � � �--�� ��� �+����� ��� ��&�M(x) = 15% ����� ��� ������ �������� ��� ��&� .!#� %�� ��� ����� �� ����� ��� �������������� ��� �� ��&� �� � ��� ��� � � ��!� �� ��� � ��� ������ ��������

$��� �� ���� ��� ���� ���� �� ��� ���� ����� D � B �� �������� ��� )�� �*������ ��� �� ��&���� ��� ������ &����� ���� ��� ��&���� ����� �� ������� �,������� ��� ���� &������ �� ������� ���� ���� ���� ��� �� � ���� ����� �� ��������� ���� &��� ��� ���� �� ������ &������ (�� � ���� ����� ���� ������ �� ��� ����� �� ������������� ���� �� ��� ������ ������� D0 � B0 ������� �� ���� ���� ��� ���� &����� �� D �B� �� ��������� ��� ��� �� ��&�� � ����� &������ �� ������ &����� � ��� -!- &�������� D � ��� ���� -!- &����� ��� B ��� ���� ��� ��� ��&��� &����� �� D0 ����� ��� 0.001D �� 100D � &����� �� B0 ��� 0.01B �� 100B� %��� - ����� ��� �� � ���� �������� ��� ������ &����� �� D0 � B0 ��� ��� ��������� ����

-�

Page 70: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

D0/D

B0/B

10 3 10 2 10 1 100 101

10 1

100

101

102

Mean square error0

1

2

3

4

5

6

7

8

���� �� ��� ���� ���� �� �� �� ����� ��� � ����� ���� �� ������ ��� ��� ����� �� �� ��� ���

��� ��� ����� � ����� D0/D ��� B0/B� ��� ������ �� �� �� ���� ��� �� ����� �� ��� ���� ���������� ��

������� �� ��� �������� ��� ����� � ��� � ��� ��� ��� D0/D ���������� ����� � (B0/B)−2� �� ������ ��� ������ � ��� �� �������� ���������� � � ���� ����� �� � ���� ��� ��� ���� � ������� ����� ����� � �� �� � ������ �� ��� D0 ��� ���� B0 � ������� �� ���� ��� � ��� ����� � ����������� ��� �� ��� ������� ������� ����� ��� � �������� �� ��� ������� ����� � � ������ ��� ����������� ��� � � ����� � �� ����� ����� �� ����� �� ��� ���� �� � ����������� ��� � ���� � �� �� �� ��� ������ � �������� � � ��� ������� ���� ������ ����� �� ����� ������ � � ��� �D ��� B� �� ���� �� ����� � ��!������ � � ����� ������ ��� � � ��������� ������ �� "�� #$%&�

'�� � ���� �� � (� ��� ) �� ����������� z ��� �������� ��� $*% ������������� � ��� ������ 0 ≤ t ≤ 11.7L2/D� +� �� ����� D ��� B ��� ����� ���������� � �� � ��� ���� �� ��� �� ����� � � ����� � � �� � ���� ����� �� � �

������ ������ �� � �� �������� � '��� ,� � ���� ���� �������� �� ����������� ���� �������������

�� (� ��� ) �� �� ������ � ������� ,% �������� ���������� ������ ������������ �� $* ������������ ��� ��� ���������� �� ������ ������ �� �*- ������������ ��� �,%-� �*%-� ��� �,%%- ��� ������������ ��� �������� � ����������� ����� zi� �.,�$�/������$*%� �� ����� �� ���� ��� ����� �� ��� ����� ���� 0.1D� 10D ��� D0 ��� ���� 0.1B � 10B ��� B0�

�� ����� ��������� ����� P−0 �� �� ���� ��������� � "�� #,0& �� �� ���

#$/&P−0 =

[9.92D2

0 0

0 9.92B20

].

,/

Page 71: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� P−k �� ����� ����� �� ����

��� ������ R �� Qk

���� R(i) ����� �� ������� � �� �� ����� ��� R(i) �� �� ������ ����� ������ ���� ������ ���������� �� ��� ���� �� �� ���� ������ ������ k�

��� � �� �� Qk �� ������ �! ������

�"��Qk =

[(Dk −D0)

2 0

0 (Bk − B0)2

].

���� ���� � Qk �������� � �� ������� �������� ��� �#����� � �� �� � �� ���$�������� �� �������� %�� ��������� Qk� &���� �� ������� � ����� �� �� ��������������

����" ���%� ����� ��� �� �� ������ ����� ��� D1/D� ���� � �� ������ �� ����������� ��'��� �� � �� �������� ���% �� ������ ����� �� D1/D �� B1/B �����(��� )���� ��� ���� ����� ����� D0/D �� B0/B� ��� ������ (D1/D�B1/B)������ �� ������� ���� �� �#������ ���� ����������� ��� � �'� � �� �� ��� ����� �� ����� ���� ��� %��� ��� �� �� )���� ���� "��*+ �� �� ������ D1/D � ������ ��� ������ ����� %�� �� ��!���� ������� ,���������!� ��� ���� � �������������� �� �����%��� ������ ����� �� �#������� ��� �� �� �� ����� ����� %���� ������� ������� ������ - ���� ��� ��� (��� ���� Kk� ����� � �� �� ������ %���� ���� ������ � �� ���� �! ������� R ����� �� �� �� �� ����������� %���� �� ���%�

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(a)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(b)

���� �� ����� ���� �� Dk � � ���� �� �� D0 ��� B0� ��� ������ �� ��� ��� �� � �� �� ��� ���� ��Dk ��� Bk ��� ��� ���� � � �� ���� �� �� �� � ��� ������ ��� k = 1 ����� ��� ��� ��� k = 20 ����� ����� � ��� �� ��� ��� ��������� ��� ��! ��� ��� ����������

���� "� ���%� �� ����� �� ����������� ��� ��� ". �������� / �� �� ���� ������ ����� ����� ���Qk �������� �� �� �� ����������� �� �� �������� ���� ������������ "��*+ � ""��+�

��� � �� �� R ����� �� �� ��������� D1/D �� ���%� �� ���� 0� ��� )���� ���%�� �� �������� �� �� ������ �� ��������� D1/D ���� �� �� ������ �� D1/D

��

Page 72: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ���� �� �� ��� R ����� �������� ���� ��������B2 �� ���B2� ����� ���� �� ������� ������� �� �� �� ��� R �������� �� �B2� ��� �� ������ ���� ���� ���� ������������� ������ ������ ��� R� � �������� ����� �� ���� ��� ���� ��� ���� ������� ����� ����� R ����� ���������!�� �"��� �� R � ����� �������� � ��� ������ ��� ���� � #��� ��� !��

$���� ����� ���� ��� ����� ������� �������� �� ��� R �������� ����� R = 1.5B2���� �� �������� �����%� ���� ��� ��� ����� �������� �� ��� R �������� �� ���&B2� ���� �������� ����� !�� R/B2 ' ����( � ��� ����� ���� �������� R ��� �����% ���� $���� ���� � ��� ������� ����� �� z � ��� )� ����������� ����� ��� R =(0.1zav)

2� ����� �� �� ��� ������� ����� *� ����� �� ���� ����� �������� � ��������� ��� ������� ����� �� ��������� ���� ��� ������� ������ �� D ��� ������ +������%�"���� ������� ��� ������ ����� ���� ���������� ����� ����� �� ��� �,����� �����

10 4 10 3 10 2 10 1 100 1010.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

R/B2

Num

ber o

f non

nega

tive

D1/ T

otal

num

ber o

f D1

(a)

Negative D1

Non negative D1

10 4 10 3 10 2 10 1 100 1015

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

R/B2

Stan

dard

dev

iatio

n or

mea

n va

lue

standard deviationmean values

R/B2 (Kalman)

(b)

���� �� ����� �� R �� D1/D �� ��� ������ �� D1/D � �� ����� ������ �� D1/D �� ���������� ������� ��� ���� ������ ��� �������� �� ������ ����� � �� � ��� �������� ���� ��� ����� Q = 0

���� �� ��� ��� � ��� � �� ����� ������ � Q ����� 0.01 ≤ p ≤ 1 ��� R �� ����� ����� ���� � ��� ��������� ������� � D5/D ��� ���� ������ � D5/D� �� �� ����������� ���� ��� ������ � ��������� D5/D ��������� �� ��� p ���������� ���� ����� Q �������� R � ���� ��� !����� ���� ���������" ���� ���� �� � #������ ������

������ ��� ��� � ��� � p � ��� �������� ��������� ��� ���� ������ �� ��� �������D5/D� $�� %���� ��� ���� �������� �������� ��������� �� p ���������" ��� ���� ������#��� ����� ��& �� ��� p ���������� '�� ����� ���� �� ���� ����� ����� ������ � Q �������� ������ �� R ��������� ��� !����� ���� ���#� $�� Q ����� �� p = 0.71" ����� ��("��� �)��" �*+,�" ��� �� p = 1 " ��� ��������� �������� �� �� ��� ��,�" ��� �� ���������%���� � ��� � ��� �������� ��������� ��� ���� ������� - ��.������ ���� ������� � �����" � �� �� �/#����� � ���� � ��� ��� ��� ���������� $�� p ����� �� ����� ��0�0� ���� ���� �������� �������� �������� ��� ������� #��������� � ������ � ���������D ��� ���� ������ � D � �� �� ����� ���� $���� ���

�1

Page 73: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

p

Num

ber o

f con

verg

ent D

5/Tot

al n

umbe

r of D

5

Divergent of D5

Convergent of D5

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

p

Stan

dard

dev

iatio

n or

mea

n va

lue

Standard deviation of D5/DMean value of D5/D

p=0.71, Q=var(wk)p=1, Q=2var(wk)

(b)

���� �� ��� ����� �� p � D5/D �� � �������� �� D5/D ���� ����� ����� �� D5/D �� ���������������� �� ��� ������ �� D5/D R �� ����� �� � �� ���

��� ����� R � Q

�� ������� ��� �� ��� ��� ��� ���� �� �� �������� ���� ������� R ����� ��������� ������� �� ����� �� ��� �������� ������� ��� Dk� ��� !� ��� � ���� ��������� p ��� ���������� ���� R ���� ��������� ��� ��������� �� ��� ��"��� �� ��������� D5 �� �#� ������ �� ���������� ���� ���� p > 0 ��� R ���� ������ � ��� ���� �� ������� ����"��������� ���������

0 2 4 6 8 100.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1

p

Num

ber o

f con

verg

ent D

5/tota

l num

ber o

f D5

Convergence of D5

(a)

Divergence of D5

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

p

Stan

dard

dev

iatio

n or

mea

n va

lue

standard deviation of D5/Dmean value of D5/D

p=1, Q=2var(wk)

p>7.8, optimal Qp=0.71, Q=var(wk)

(b)

���� �� ��� ����� �� p � D5/D ���� R ����� �� �������� �� D5/D ���� ����� ����� �� D5/D �� ������� ��������� �� ��� ������ �� D5/D ��� ����� R �� ����� �� � �� ���

$�� �%��� �� Q �� ��� �������� ���������� ��� "��� ������ �� ��� �������� D5/D ������ � �� ��� !�� &� ��� �� ���� ���� ��� �������� ��������� ��� "��� ����� �������� ����� p ���������� ������ ����"�� �� �������� ��� p > 7.8� '���� ��������� p ������ ��� ������ ����������� '���� ���� ����� �� ��� �%��� �� ���(��������� �� ��� "�����

&� ��� �� ��������� ���� ���� R ��� Q ���� ��������� ��� ����������� �� ������������� � ��� ���� �� D0 ��� B0 ��� ������ ��� ���������� ���� �� ����"������ $� ������

)*

Page 74: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

R ��� ����� ���� � ������ vs �� ��� � ��� ������� ����� �� ���� ������ �������� � z,� � ��������� h(x0) ��� ���� � ����� ���������� �� ����� ��

����vs = [v(1)v(2)....v(1681)]T ,

����� s �� ��� ���� �� � ����� ���������� ��� s = 1, 2, ...., 1681 � � v(i) ����� ������� �� ��� ���� ��� ��� R ���� �� ����� �� ��� ������ ���� � ��� ����� � ��������������� ����� ���� � ��

�� �R = max(vs)I.

!� ������ Q ����� ��� Q �� ����� �� �� ���� �� P−0 �� � ��� ��"� �� �� ��� Q

������� �� ��� ����� �� ������ ��� ���#� � ���������� � � � ��� � �����������$��� � ����� ���� ��� ������� � ������ ����� � �������� �� � ����� R � � Q = 0

��������� �� %�&' �������� ���� ��� ������� � ������ �� ����' ��� ��(��� � R ����� ������ � $��� ��� )� ���� ��������� �� %�*' ����� �+ �������� � �� � ����� R � � Q ������ � $��� � �������� �� ��� ������� � ������ �� ���,' ��� ��(��� � R � � Q ������� ���� � $��� ���

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(a)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(b)

���� �� ����� ���� ��� Dk ������ ��� �� ������ ���� ������� (Dk�Bk) ��� ������� �������� ������ D0

��� B0 ����� ��� � ���������� ��� ����� R ��� Q = 0� ��� ��� �� ���������� ��� ����� R ��� ����� Q� Q ��������� �� �� ����� ��� ����� �� P−

0 �� �� ��� ����� ���� R �� ���� �� �� ��� ����� ����� ��� �!" ����� ���������� ��� ���" ��� �� �������������

�� ��� �� ����� ���� ���� �� �� �� R ��� Q ������� ��� ���������� �� ����������� � �� Dk� ��� � � ���� ��� ���� �� ����������� � ���� � ��� � ��� ��� ��

��� ������ ��� ��

��� ������ ��� ��� � ����� �� Q ��� R� �������� ��� ��� ������ ��� ����� ������ ������ ������ ���� ��� ��� ���� � ����� ���� ��� �������� � ��� � �� ��� R� ��� ����� ��� ���� ������ ����� � ��� ������ � ������ ������� �������������� z� ��� ��������� ���� ��� ��� ���� h(x) � � !"� #��$� ��� P−

0 ��� ��� �������� ���� ������ ����� � � !"� #��$� ��� ��� � � ��� ������� �������

�%

Page 75: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ��� ���� � ��� � ��� ������� �������� D0/D ��� B0/B ���� ��������� ��������� ������� ���������� ����� ����� � ���� ������ ��� �������� � ���� ����� ����������! ���� ��� ���� ���� "���# $��� ���� �� ��� ��� %��& ��'�� �������� � �����'� %��� ����� ��� ���������� (�� )��'�� *���� ��� p = 0.01 ����� ��'�� ��� ��'���������� ���� � D50/D �� ��� )��'�� *���� ��� p = 0 ����� ���! $�� �� �%���� ��� ����� ���������� �� ��� �� ���� ��! ���� )��'�� *���� ��� p = 0 ����� � ����� ��'$�� ���������� �� ��� %���'����� � ������� �� ��� �� ���� �$� (�� ��+������ ����� �,������%���� ��� ���� � ���������� $�� ��� ������ � ��� ������� �������� %���'����� ���� ������������� ������� �� ������� ��������� �� ��� �� ���� ���

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(a)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(b)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(c)

D0/D

B0/B

10 1 100 10110 1

100

101

Dk(Dk,Bk)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3(d)

���� �� ����� ���� ��� D50/D ��� � �� ������� ���� ���� (D50/D�B50/B) ��� � � �� ����� ��� ��� D0/D ��� B0/B ���� �� ���� ��� ���� ��� ����� ������ ���� � �� ��� R ��� ��� Q� ��������� ���� � �� p = 0� ��� ������ ���� � �� p = 0.01 � ��� ��� ����� ��� ���� ������ ����� !������� ���� � �� �� �� �� ��" ��� �������� ��� �#�" ��� ���������

(�� ��������� )��'�� *���� ����� � ���� ����� � ��� ������� �������� ������ �� D0

��� B0 ���� ���� ��������� ������� �� ������� D50 ���� )��'�� *���� ��� p = 0! )��'��*���� ��� p = 0.01! ��� ��+������ ����� �,������ (��� '�#�� �� �� �%%�%����� '���� ������'��� ������� �������� �� ��� � ������ ����'���� �� ���� � ����� �� � ����� ���������� ��� %���'�����! ���� �� $�� �� �� ��+�'������ '�������� ���! �� �%���� ��� ����� ����������� (�� )��'�� *���� ��� p = 0.01 '���� $� � �� ����� �� ��� � ������

��

Page 76: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������� �� � ���� �� ��� �� � ����� �������� �� ����� ����� � ������������� ������ ���� � �� �� ��� ��� ����� ���� �� ������� �� �� ����� ��� D0 ���B0�

� � � �� ������ ����� ��� D0 ��� B0 ������� � �������� ��������� ��� �������� ��� � ���� ����� ���� � ��������� �� ���� �� ���� � � ����� �� �� ���� ����� ���� � ����� ���� ��� �� ��� � ���� ���� ��

!"#$1

iD< �� �� ������� ����� < iD,

!" $1

i B< �� �� ������� ����� < iB,

�� i = 1.2, 1.6, 2, ......, 10� � %��� ���� ��� � �������� �������� ��� ��� ������ ��� �� i �� ����� � ����� ��� ��� ���� � ��� � ����� �� ������� ���������� ���� �� � ����� �� ���� &� �� � ���� � ��� '����� %��� ��� p = 0.01 ����� ������� �������� �������� ��� � ������� ���� ���� �������� ��������� ����� �� '����� %��� ��� p = 0� (� � ��� ���� � ��� ����� ������� �)������� ���� �� ����� �� � � ������� ����� � ��� �� ������ ��� ���� ���� ����� ��� � ������� ���� ��� '����� %��� ��� p = 0.01 ���� ����������� � ��� ���� (� � ������)� � ��������� ���� ������ ���� ��) ��������� ��� �������� ��������� ��� i > 1.6� �� ����� �� ���� " ��� * ���� ���� ����� �� ���� �� ���� �� ��� ���� ���� ��� ����� ��� D5/D �� ���� �� ���� �� �������� ����� ��� ��� �� � ������� ����� ��� ������� ���� � ���������� �� �� ������� ������ ����� ��� D5/D�

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

i

Stan

dard

dev

iatio

n

Suggested Kalman filterKalman filter, p=0Kalman filter, p=0.01Non linear least square

(a)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

i

Mea

n va

lue

Suggested Kalman filterKalman filter, p=0Kalman filter, p=0.01Non linear least square

(b)

���� �� �������� ������� ��� ���� �� ��� �� ��� ������ D5/D ������ ������ � �� ����� ��� ���������� �� ��� ��� ������ ����� � �������� ��� �������� ������� ��� ��� ���� �� ���� ����������� ���� ��� ���� � ��� �� ���������� ��� ���� �� �������������

����+ ���� � �������� ��������� ��� ��� ����� �� � ������� Dk� k = 1, 2, .., 100������� ����� �� ��������� ��� ���� ������� ����� i = 10� ��� � ���� ������ ��������� �������� ����� ��� Dk ��� � ������� '����� %��� � ��� �����) �� �� #,

-+

Page 77: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���������� �� ��� ���� ����� �������� �� ������ �� ���������� ��������� �� �� ������������ ������ �� ������ ����� ����� ��� ������ ��� ���� �� ���� �� ��� ������� ����� �� Dk

���� ����� �� ����� ����� �� �� ��� �� ���������� �� ��� ���� ����� ����� �� Kk ��������� ������ �� ��� ������� ����� �� �� � ���� ������ ������

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Number of iterations

Stan

dard

dev

iatio

n

Suggested Kalman filterKalman filter, p=0Kalman filter, p=0.01Non linear least square

(a)

0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Number of iterations

Mea

n va

lue

Suggested Kalman filterKalman filter, p=0Kalman filter, p=0.01Non linear least square

(b)

���� �� �������� ������� ��� ���� �� ��� �� ������ Dk ������ ������ � ������� �� ��� ��������� ����� � �������� ��� �������� ������� ��� ��� ���� �� ���� �� ��������� ���� ��� ����� ��� �� ���������� ��� ���� �� ������������� � ���� ��� � ��� ��� ���� � ��� �� ���� ������ �������

��� ������ � ������� �� ���� ����� ����� ��� ������ ����� ���� p = 0 ������������� �� ��� ������ �� ���������� ���������� ���� �� ������� ����� R �� ��� ����� �������� ������ �� � ����� ���� �� Q ������� ����� ����� ��� ������ ���� �� ������ �� �������� ��� ��� ������ � ������� �� ���� ����� �� Dk ��� ������ ����� ���� p = 0.01�� ��� ��� ������ ����� �!����� ��� ���� !������ ���� ��� ������� ���� �� �� ������������� ������ " �� # ��� �� ��� �$���� �� �� ��� ������� ����������� ����������� �%������� ��� ������� �����������

��� ������������ �� �$����� ���&������ ��� �������� ��� ���� �'( ��������������� �� �'�( �� �)��( ������������ ����� ������ ������ ��� ���� ���� �� �� �'(���������� ����� �� �)�( ������������ ������ ����� * ����� ��� ������ � ����������� ����� �� ��� ���������� �� ������� �� ��� ������ D50/D � �� ����� ������ ��D50/D +,�-(. ��� ��� ������� ����� ���� i = 10 ��� ��� ���� �������

��� ����� ����� ���� ��� �������� ������ ����� �� �� ���������� ������� ����������� ��� ����� ������� ��� ���� ��������� �$������ �� ��� ���������� �� ��� �������D50/D ���� �� � ��� ������ ������� +����� /*(. ���� �� ���� �� �� ����� ������� ������� ������ ����� ����� ���� ������������� �� �������� ��� �$����� ���&������ ���� ���������� ������� ����� � �� �� ��� � ����� ����� �� ��� ������������ ����� �� �� �)��(���� ����� ���� ����� ���� ��� �������� ������ ����� ����� ��� ���� �� ��� ������� ������ �� ������ ����� ���� p = 0.01 �� ��� ������ ����� �!����� ��� ���� ������ ,�-(� 0���������� ������ � ������� �� ���� ����� �� �� ��� ����� ��� ������ � ���������� ������ ����� ���� p = 0 �� � ��� ������� ����� ����� ��� ����� ������ �� ������� ����� ��� ������ � ��� ���� ��� ��� ������ ����������� 1 ������ ��� ���� �� ������

*�

Page 78: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� �������� �������� ��� ������ ��� ���� �� ��� ������ D50/D �� ��� ��� �����

��� ���� � ��� �� ���� ����� ��� ����� ����� ��� ����� �� ������ �����

������ ���� ���� ������� �������� �� ���� D.N%

���� ������ ������ ���� ���� ���� �����

������ ����� p = 0 ���� ���� �����

������ ����� p = 0.01 ���� ���� �����

��� ����� ���� �!���� ��"������ ���� �����

�#�� ������ ������ ���� ���$ ���� ����$

������ ����� p = 0 ��#� ���$ ����"

������ ����� p = 0.01 ����� ���� ���$"

��� ����� ���� �!���� $�������� ���� �#�$�

����� ������ ������ ���� ���� ��$� �����

������ ����� p = 0 ��$$ ���� �#���

������ ����� p = 0.01 ���� ��$$ �#�$$

��� ����� ���� �!���� ���$� ��$� ����"

���� %��� p = 0 &������ �� ���' ��(��� )����� %��� ����� ������ ���� ��)� %��&����� ��� ��������� �� ��� *�� &������&� +� ���� �� ������� ����� &�� ,�))��� (&����' *�� ,��� ��� ��� ��-&��� ��*�������� �,��� �� �.��� )����������� &�� , �))��� *�� � %�� ���� �* ������� )��������

/� ,������ �* ��� �!��� ���� *�� � ��&�� ��� ,���� ,�� ���)� �� *���� �������� ��� �� �� ������ �� �� 0��� �� /� ������� )���&�� )������� D0 ��� B0 ��&���� �� , 41 × 41 &��,��������� %��� 0.001 < D0 < 0.1 ���1��� ��� 6 < B0 < 600μ 1��� %��&� &������&� � ���� &��,�������� ,�%� �� ������� )�������� /� �������)���&�� )������� ���� P−

0 � &�������& ���� *�� �� )������� Q� ��� &�������&���� *�� �� ��������� R �� &���� ,��� �� ,��� ������� ����� ��� ���&��,��������� 0��� �� ���%� �� &������& )��� *�� �� �%� )������� D ��� B �����,����� ����� �� ������� ������ ���� *�� �� ��� ���)� �*�� �� ��� #�� ��� �#�����������

/� ������� )���&�� )������� ���� ��� &������� ������ *�� Dk �� *���� �� ,����� *��� �� &��,�������� ���� &������ ������ � �)&��& ��� �*�� ��� ��������� ���� �� ��� #� ��������� 2� 0��� ��3� 4����� ���#� �* ��� &������ �� �� �.��� �� .��%� )������� D = 0.0144 ���1��� ��� B = 73.602 μ 1�� �*�� #� ���������� %����� "�#� �*� &������ �� �� ��� )��& ������ �*�� �#� ���������� ���� ������ ������)� �� �� "�#� ����� , � )����,� ����� *�� �� ���%�' &������&� /� &������&��� �� 5)&�� ���& �� ��� �!��� ���� ��� ������ ����� ����� ���� ��� �� ���%� ��0��� ��

/� &����&�����' ����� ��� *�� ����'��&�� ���� 6!� 2��3 ����� D ��� B �,����� ,'�� ������� ������ ���� ��� 5)������� ���� *�� �� ��� ���)� �� ���%� �� 0��� ���/� ���� ���%� ���� �� ����'��&�� *��&���� ��� ��' %�� %��� �� 5)������� �����&&��)���� %��� ��� �!��� ���� �* ���# 2μ 1��3��

��

Page 79: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1101

102

103

D [mm2/min]

B [μ

S/m

m]

after 1 iterationafter 10 iterationsafter 50 iterationsafter 250 iterations

���� ��� ����������� ����� Dk �� Bk ����� ����� ������� ���� ��� � ���� ������ ��� �� ���

��� �� ��� ��������

0 300 600 900 1200 15000

10

20

30

40

50

60

70

t [min]

Con

duct

ivity

[μS/

mm

]

Experimental dataAnalytical function

���� ��� ��� ������ ������ ��� ��� ��������� �� ����������� ��� �� ���� �������

��

Page 80: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

���� ����� �� ����� � �� ����� ������� ��������� ���������� ����� ��� ����������� ���������� ����� ��� ����������� ������� ��� ������ ����� ��� ������������ ���������� ��������� � ���������� �� ��� ����� ��� ����� ��� � ��� �� ����������� ���� ��� �������� ���� �� ����� ����� �� ����� ���������� ���� �������� ��������� ��� ������ ����� ����� � ���� ����� �� ��� ������� ����������� ��� ��� �������� ���� ��� ����� ������ ������ �� ��� ������ ���� ����������� ������� ��� ��!������ �� ����������� ����� ��� ������ ��������� ��� �� ���� ����� �� ��� ���� �� ����������� ��� ��� ���� ��� ����� ������ "��#��� ����� ��� �!����� ��� �$���� ���%����� �� !����� !��� � � ��� ��#�

������ ��� ���

��� ��������� ������&����� ��� ����������' (���� )��� *����� + ��� ��������� ��� �� !��� ������� ,�� -�������# ��� � ������ .� /�0��� �� ��#��� -�������#��� � ������ ��� ���� �� *� /����#�

�� ��� ������ �� � ��� ����� �

��� �� �� ��� ����� ������ � �������

1* �2Φ = (z − h)�(z − h).

3# ������ ��� ��������� �� Φ ���� �� ��� �� x �� &���� � �� �� n �������� � �!������

1* +2∂Φ

∂x40 ⇒ H(x)�{z − h(x)} = 0 .

5������� �� (�� 162 ���� (�� 1* +2 ���� ��� ����������

1* 62H�{z − h(xk)} ≈ H�H(x− xk) .

.����� ���� ��� n × n �����7 H�H � ��� �������� ��� �!���� ��� ��������� � ��7� �������

1* 82x ≈ xk + (H�H)−1H�{z − h(xk)}.

��� ������ #��� ��� 9���!��� H � ��� ����� �� x� ����� ���� ��� ������� �� (��1* 82 �7����

+6

Page 81: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�������� � ��� ���� ���������

��� ������� � ��� ���� � ��� ��������� ������ P−k � ��� ������ P k� ��� ��������� ������

���

�����P−k = ���(xk − xk−1), ��� P k����(xk − xk) .

��� ������ ���(a) � �� l × l ������ ���� ��� ������� αij ����� �� ��� ���� a =(a1, ...al)

� � ���� � � �!����� ��� "������� �#$%�

���&�αij = '(xixj)− '(xi)'(xj) ,

����� E(ϑ) � ��� ���� ���� ���� ����� � ��� ��� �� �������� ϑ "���� ��� ������ P k ��� P−

k−1 ��� ������� ���� ��� ����� �� n× n ( ��� ') ����� ��� �&�� � ������� ������� P−

k ��� P k � ������� � �

���%�P−k+1 = ���(xk+1 − xk) = ���(x+ wk+1 − xk) = ���(xk − wk + wk+1 − xk)

= ���(xk − xk) + ���(−wk + wk+1) = ���(xk − xk) + &���(wk) = P k +Qk.

����� Qk = 2���(wk) � �� n × n ������ *�� ���� ��� ������� � ��� ��� �������������� )�������� (x− xk) ��� wk �� �������� ���� ��

+� ��� ���� ����� �� �������� xk �� ') ����� �� � ��� ') �,�� P k �� �� ����� ���

P k = ���[xk − (xk−1 +Kk{zk − h(xk−1)})] .

-������� zk ������ � ') ��� ���� �

P k = ���(xk − xk−1 −Kk{h(xk) + vk − h(xk−1)})= ���(xk − xk−1)−Kk!��h(xk)− h(xk−1), xk − xk−1)

− !�(xk − xk−1, h(xk)− h(xk−1))K�

k +Kk���(h(xk)− h(xk−1))K�

k

+Kk���(vk)K�

k ,���.�

����� ��� ������ !�(a, b) ���� ��� ������� � ��� ��� �� ���� a ��� b ��������� !�(a, b) � �� m×m ������ ���� ��� ������� αij ����� �� ��� ��� �� �������� a = (a1, ...am)

� ��� b = (b1, ...bm)� � ���� � � �!����� ��� "������� �#$%��

���$�αij = '(aibj)− '(ai)'(bj) .

/� � � �� ���� ��� ������� ������� ��� ������� � h(xi) ��� vk �� ��� i ��� k���� �� ��� ����� ���� �� ') �%� ������ h(xk)− h(xk−1) = Hk(xk − xk−1) �� ��� ��

���,�P k = P−k −KkHkP

−k − P−

k H�

kK�

k +KkHkP−k H

kK�

k +KkRkK�

k

= (I −KkHk)P−k (I −KkHk)

� +KkRkK�

k ,

&.

Page 82: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� Rk �� ��� �������� ���� ��� ������������ ��� �� N × N ������ ������ �� ����

�����Rk = ���(vk) .

����� ��� xk ��� vk ��� �������� ������������ P k ������ � ������� ������ ����������� ����� ������� ��� ���������� �� �� ��� � ��� �� ��������� ��� Kk ���� ������ ����� ���� ��� �� ������� �� ��!��� ��� �������� ��� ����� "�(P k) ���� ������� � Kk

��� ������� �� �#��� � ��$ "�!��� ��� ����� ��� ���� �#������ �� %#$ ���&� ������

���'�"�(P k) = "�(P−k )− "�(KkHkP

−k )− "�(P−

k H�

kK�

k ) + "�(KkHkP−k H

kK�

k )

+ "�(KkRkK�

k ).

(���� ������ ���������� � ��� ������ ������ � $ �)������� ��� )�������� *++'�

���,�"�(P−k H

kK�

k ) = "�(KkHkP−k ) ,

∂"�(AC)

∂A-CT ���

∂"�(AFAT )

∂A-2AF .

"�� ���� �#������ ��#����� ���� ��� ������ F �� ���������$ "�� �������� %#$ ���'����� ������� � Kk ��� �� �������

���.+�∂"�(P k)

∂Kk

= −2P−k H

k + 2KkHkP−k H

k + 2KkRk.

"�� ������ Kk ��� �� ������� �� ������� ��� ����� ���� �� %#$ /��.+0 � �� ������

���..�Kk = P−k H

k (HkP−k H

k +Rk)−1 .

"�� P k ��������� � ��� ������ Kk ��� �� ������� �� �� %#$ /��.*0 �� ������������%#$ /��..0 ��� %#$ ���&� �� ����

P k = (I −KkHk)P−k + {−P−

k H�

k +Kk(HkP−k H

k +Rk)}K�

k .

(���� %#$ ���..� ������� ����

���.*�P k = (I −KkHk)P−k ,

��� ����#������

���.1�P−k+1 = (I −KkHk)P

−k +Qk .

*2

Page 83: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������

���� ��� ����� ��� ���� ������ ����� ���� ��� �������� ���� ���� �������� ��� ��!����� "���� � #����� $���� %� &'(� %�%%)%� *�

����+� ,�� -���� ��� ���� ��� �%%� .�������� ��� �� !���� �� +������ ����� ���� �����/������ ,���� ���� ��� 0� &�(� %0�1)%2 ��

���� ,�� � ���� ��� ,������� 3�� 4��� ��� ��� %��1� 5�����!����� � 6��� ′� ��������������� �� ���� ��� �� !����� $ �������� 3�������� %� &'(� 2�%)2�'�

7���� 6�� -������ 8�� 3����� 6�� �� � #��� ���� ������!����� � � �����+� ����� ����� ��� �� !����� $ ���� 3����� �� ������� 3�������� ��� 9���������� %�% & 2(� :01) :1%�

7�;�� 8� 6�� %�:*� 5�������� � ���� ������ �������� ��� ��� �� !�������� /�� :�<���� 4�; =���

$�������� ��� 3������� ,�� �������� 7�� ���� 5�����!����� � 6���−�+������� ���>���� ��� ���� ����� +�� ��� �� !������� ������?�� 5� ������ 5����������� @���� �������� %�0 &0(� *0�)*1*�

$����� 8�� A������� ��� %�2*� 3����� � 3���� ������ #������ &5������������ 4�; =���%�2*(� /�� '*�

��� ��� 8� 9�� %�'�� � ��; ������� � ������ !������� ��� ��������� ����� �� "����� -���� 9���������� : &%(� *2)02�

B�������� 6�� ,����� ��� 8��� ��� <�� ,+������ 5�� �%0� ����� ������ � ��C�����D������ �� �+��� ��� �� ���� � ������+��� ����� ���� 5����������� "����� 9����� ����� ��� $ �������� 7� �������� &0(� * 0)*0 �

3�������� A� B�� A���� ��� #�� ���� 9��� ��� ��� �� !���� ��!������� ��� ���������� ���� ;��� ��� ������� ��� 3����� <������ 8�+��; %*1 &% (� 0* 2)0*0*�

3������ ��� ����� 3�� �% � ��� ���� ���� ��� ������� ��� �� !���� ;��� ��� ;�������������� ��� ���������� ���E 9����� ���� ;��� ���� ����+������ #�� ��� ���������������� %'� &*(� * %)***�

4��� ��� ��� 6� =�� ��1� 5�����!����� � �������−������� ��������� ���� ����� ��������� ����� ���������� ��� ��+���� ��������� 3�������� � �������� *� &0(� *0�)*2'�

4��� ��� ��� B�� =�� ��1� ����� ������ � �������� ��������� � ���� �� ����������� �� ������� +�� ��+���� ��������� 5����������� @���� � ����� ��� �������� 00 &'(�%���) ����

#�������� �� 7�� #�������� 3� ,�� ��:� ��� ����� ����� ��������� .��+������ ���� ���� 1)%2�

'

Page 84: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������� �� � �� ���� �������� �� ����� ������� ����

���� �� ����� � ���� !� "�� #����� $����%&���' �'�(��)� ������� *�� ���+����'�,����� +��� �����+� (��������� ��' ���'���, ������� ���(��� -������������ ��������* �&��� ��' .�������� /������ � 0�12� � 345� "

�������� 6 !� /���� 6� 7���� �� � 3 �������� �� �������� &�������� ������� ����� ���8���'�' �����)�� ������ $���� 9����(��� ��' :��������� �,������ -::: �������������� ;; 0�2� ";"5"<�

=�''�'�� �� .�������� �� ������ �� "��; -�)���� ����,��� *�� ��������� ��������'�>����� ������� $&��%����*����' ���(������ 9��� ���������� �� 0�2� �335� ;

=�''�'�� �� .�������� �� ������ �� "��3 -�)���� ����,��� �� '�������� �,����������(��(������ �� $&�� ����*����' ���(������ ������� �* ���(����� ��������� <� 0;2� ;� 5;;<

7���� �%#� #��� /%!� ��� �%#� "��4 =�'�� �&?��� �������� ����� �'�(��)� ������$���� ������� �* =����� /������������ ��' -���� �(����������� �3 042� �� �5�"�1

7�� /%/� ����� 6%�� /���� �% � @����� �� "��� 9����������� �* ���(���� �,����� �������' ��������� &���' �� ��� �����&�� ������ $���� 0:�#�2 ������� �* ��� 9����(������������� 43 0�"2� ;1�45;1""

"3

Page 85: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 86: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Paper C

A. Shokry, P. Stahle and I. Svensson (2015)

Determination of spatially dependent diffusion parameters in bovine boneusing Kalman filter

Submitted for international publication

Page 87: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 88: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������������ ������ � ��������� �������

���������� �� ����� ���

����� �� ��� � ���

�������� �������� � ������� ��� ����� ���������

��������� �� ��� �� ���� �� ��� ����������� ����� ���� �����

��������� ����������� ����������� ����� ����������� !"#�$ ������ �����

����������� �� %����� � ������������ ��� ����������� ����� ���� �����

��������

������ ��� ������ ���� ���� ���� ��� ��������� �������� �������� ������ �� ������������ ��������� �� ��� ���� ������ ���� ���� ������� ������������� ��� ����� ��������� �� ��� ���� ��������� �� ��� ��� ������ ��� �������� �� ��������� �� ��� ���� ������ �� �������� �� �������� �� ��� ���� ������� ������������ ���� ��� � �� ������������ ��� � �� ��� ����� ������ ���� �������� ������������ �������� �������� �� �!� ���� �� ���� ��������� ����� ��� ��� ���������� �� ��� ����� ��� ��������� ������� ���� �� ��� ���� ������� ������� �� �� �������� ����� ������� ��� ��� �������� �� ��� ���������� ��� �������� � ���������������� �������� ��������� ������������ ����� ��������� ��� ������� ��������� ���� ��� ������� ���������� �� ��� ����� ��� ���������� ��� � ������"���� ������#�� ��� ���������� ��� �������� ��������� �� ��������� ��� ����������������� ��� ���� �� �� (12.8± 4.7)× 10−11 ��� (5± 3.5)× 10−11 ��$� ����������� ���� ������������ ����� ������� ��� ��� �������� ������� ���������� "�� ��� ���� ���� ��� ������������ ���� ���� ���� �#��� ����� ������ ���� 0.06 × 10−6 ��0.183× 10−6 �μ%$�!��

Page 89: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

�������� �� � �� ��� � ��� ������� � ����� ����� �� ���������� ���� ��� ��� �� ������ �� ������ � ������ �� ����� �������� ������ ������ ����� !�� ������������ ��������� ������������� �� ��� �������� ������� ��� �� � ���� �� �� ����������� ������� �� ��� ��"����� #��� ′� �� $��� �� ���� ��������� ����������������� ���������� ���� �� �� ����%� �� ��� ������ ��� �� �������� �� ��� �������� ���� �&�'����� ())�* +������� �� � � ()��* ��� �� � � ())�* ,����� ())��

-�� �� ��� ���� ����� #���′� ��� �� � ������ �� ��� �����������' �������� �� �������� ������� &��� ����� ����� ���� �������� ��%��%�� ��� �������� �� ��������� ���.�'�� ���� ��'� ������������� �� ��� ���� %������ �� ���� ������������� �� ��� ��������� #�� �.����� ������ ��������' ��������� �%� ��� ��������� �� ������� �� ��������' ����� ��� �� ������� ���� ������� ����� �� &/��/� ()�0* 1���2"$����� �� � �())�* 3��� �� 4������ ())5* 3��� ())(* 4������� �� ,���������� ()�(� -���������� �%� ��� ��������� ��� ��� ���������'� �� ����� ��� ��� ������ �� ������� � ��� ��� �#���6���2 �� � � ()�(* 4������� �� � � ())�* 3���� �� � � ())5� 4����� ������� ���%�� �������� �%� ��� ��''����� �� ��� � �������� ���� �� ��� �������������� �������� ���� ��� ����� ������� ��������� ��� ��%��� ������� ��� �� ��� ���' ����� ��� ������ ���������� ��� ������ 3 ���"���������� ����� ��� ����� ���%�� ���������� ��� ��������� �� ��� ��������� � $���"4���� �� � �()��� !��� ����� �� ���������� � ������ ����� �7�����' �� � � ()�0� ����� ���"���������� ����� ��������' ��������� ���%�� �������� �� ���������

4�%��� ������� �%� ��%����'��� ��� ��� ��������� �� ��� ������ �������� ���8"����� ����' �'����� �������� ��'��' �$���� �� � � ())�* ������ ()�0* 3��� �� � �())�� !�� ����� ������ �� %��� ������ ��� ������' ���������� ��� ��� ������������������� �� ��� ��� 3 ���� ������. ������ ��� ����������' ��� �������� ���8����� ����� ���������� � 7�����' �� � �()�9� !��� ���� � �.��������� ��� �� ����� ����������� ��������%��� �� ��������� ���� ��� �� ��� �������' �������� ���� ������' ����������� ��� ������ �� ������� �%�� ���� #������� ��� �������� ������� ������������ ���� ����' ��� �������� �� � ������� ����� �������' �� ��� �.�������"�� �� ����' :��� ������' ������;�� :��� ����� ����� � ���� � �������%������� �� ����� �� �.���� ������� �������� ���� ����� �.��������� ����������� <� ���%���� �������� ������� ��� %��� ������. ��������� �� ���� ��� �������� ��������� ������ �� � ����������� �� ��� �������� �� ��� ��� ��� !�� �������� �� ���������� ������� ��� '����� �� ������ ��� ������' '��� ��%�������� ��� ��� �����"����' �� ��� �����' !��������� �� �� �������� �� '�� ����� �����������' �� ����������� ������� �� ��������� ��� �������� ��%��%�� $��� �� ��� ����� �� �%� ��"���������� ��������' �������� ���� ����� �������� �� ����� �������� �� ������� ���������� ����* ����� �� � � ())�� 4���� �� �� ����%�� ��� ������%��� �������� � ����������� ��������� ��� ����%�� %������ �� ��� �������� �������� ��� ���������� ������ �������� ������� �� ������� ������� ���� ����� �������� �� ����� ���������� ���

<� ���� ������ ���"���������� ����� ��� ����� �������� �� ��� ���� ���������� �"

(

Page 90: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ���� ������ ��������� ��������� ���� �� ��������� �������� � ��� ���������� �������� �� ����� ��������� � �������� �� ��� ��� �������� ��� ��� ���� �� ����� ������� �� ��� �������� ���� ������ ��� �������� ������ �� ������� ����� ���� �� ��� ��� ����� ���� �� ��������� ��� ���������� ������ ����� ���� ���� ����������

� �������� �� ���� �

��� �������� � �����

��� �������� �� �������� ������� �� ��� �������� �� ���� ������ ���� �� �������� ��������� ��� � �� ��� ��� ����� �� ������� ��� ���� �� ���� ���� �� !������������� "� �� ���� ��� ������� �� #��� $% � ������� ���� ��������� ���� ������� ������������� ����� ������� ����� �� ����� ��� ��� �������� "������ �������������� ����% ���� ��� ������ �� ��� ���� �� �� ��������� ����� �� ��� ���������������� "&������ �� ��� '($)%�

���� �� ������ �� � � ����� ������ ����� ����� ��� ���� ���� � � ����� �������� �� ������� �� �� �������� ��� � � ���� �� �� � � ���� � �� ����� � ���� �� � ��� �� � �������� ������ ����� � ��� � ���������� ����� ��� ����� � � � ���� �

��� ���� ����� ��� ��� ���� ������ ������� �� #��� $�� ��� ��� ��� *��� ������ � ����� �� ������ ���� ��� ���� ������ ��� ���� ��� ���� ����� ������ ����� ���� � ����� �� ���� ��� ���������� �� ��� ���� ������ � ����� �� ���� $�+��� ��� ��� ��,� �� ��� ��� ��������� L� ��������� �� ��� ��� ���� ���� �� ��� �����

��� ������ ��� ����� � ���� �) ◦- �� ���,� �� ��� � � �� �� �������� ��� �� .��� ����� ��� ���������� ��� ��� ����� �� ��� �������� �� ���

/

Page 91: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� ������ ������ � ��� L h �� b �������� �� ��� ��� � ������ �������� �� ������������� � ������������

������ � � �

L ��� ��� ���� ��� ��� ���

h ��� ���� ���� ���� ���� ����

b ��� ��� ���� ���� �� ���

����� ��� ������� ���� ���� ��������� ���� ��� ����� ����� !�� � "����� ���� �! ��� �������� ��������� ���!�"� ��� ��� ���������� ���!�"� ���� "�#���� � � �� �� �! ������$ �!������ "����� ��� ������ ��� ������ �%� ����$ ��� ���!�"�� ���� �&��� ��� ���������� ����������"����� ���� ������$ ���#��� ��� ��� ���������� ��� ��������� ���!�"�� ���� �� ����� ��'��� ��

�� �� ��� ����� � ���� �������� ����� ����� �z� �� �������� �y� ��������� ��� ������ ���������x� � ���� ���� ��� ��������� ���� � � ��������� ���� ��� ���� ��� � ���� ���

��� ������� ���� ���� ��� �� � ��������� ��������� "�������$ ()�$ �������� !�� ������$ ���"� �� �������� �� �� ��*"����� ���� !�� ��� ()� ���� �� ��%��� ���� ��� ��������� ���� � !���� "������� "��"��������� �� �"���#�� ���� +������& + !�� ������� � +!���,������ �� ��������� ����� !�� ������ � ��"����$ ��� ������� ���� -���� ��������� �� ����� �! ��������� ����� ���"� ������ ��� ��������� ��� "������� ���� �� ��%��� ������� ������� �� ��� ���!�"� ����� ��� ��"��� ���� ��� ����������� ������ ��� "����"��#�� ����� ����������� ����� ��� �������� ��"� ��� ��"��� ����� � ��#��.�� �� "����"��#�� ����� !��� /������ ������� ��� ���������� ��� �� �""���" �! ����0 �! ��� ��������#����� ��� �1������� ��� "��������� �� �� ◦) ��� ������ ��������� ���������� ��� ���������� ��� ����������� ���� � "����� �! "���������� ��� �������� �� ��� �����#�� �2� ◦)�

��� �������� �� ��

3������ �� ��� ����� ��� 3���� ����� ������� ��� ������� �! ����� ���� ����� !���!������ �! ��%����� ���� ��� ������������ ���� ��4�� �� ����� ��%����� ��������� �� ���

Page 92: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ����� � � ��� ����� �������� � � �������� ������� ��� � ������ � ����������� ��� ����� � ����� � ��������� ���� � �������� ������� � � ��� ������������ � � � ���� ������� ��� �� ���� � � �� ��

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

5

10

15

20

25

x/Lendosteum periosteum

Poro

sity

(%)

10 19 years old40 49 years old70 79 years old

���� �� �������� ���� ������� ��� �������� �� ��� �� �������� �� �� � ��� �� �� ���� �� ������ � ���� ���� ��� �� ���� �� ������� ��� ������� �����

�� � ��� � � ���� � ��� �� ��� ��� ���� � ��� ���� � �� ������ � � ����� � � � � � ��� ���� ���� � � ����� ����� � � ��� � ��� � ��� � � ��� � ����� ����� �� ��� � � � ��� � �� � � �� ���� � ����� � �� � � ���� ��� �� ������������ � � ��� � � � ��� �� ��� ��� ����� � � � ���� ���������� � �������� � ������ ��� ������ � ���� �������� ������ ��������� ������ ��� ����� ����� ������ � ��������

��� � ��� �� ��������� ������ �� � ������ �� x � ������ �� ���� �� � �����

� !D(x) = Do(1− x

L) +D1

x

L,

� Do > 0 ��� D1 > 0� ���� Do ��� D1 ��� � � ��� �� ��������� � � ����������� ��� ����� �������� ������ �����

�� ���� ��� � � ���������� �� �� ������ � � "���� �� ����� ��� ������ ���������� ��� ��� ����� �������� ��� �� ����� � � ��� �� � ���� ��� � ������� ������ x#�� � ����� � ����� ��� ����� ���� � � �� $!� �� ���� ��� ����� �� � ��� ��0 ≤ x ≤ L� ���� x = 0 � � �������� ������� ��� x = L � � ��� ����� �������� ��� %� �� � ���� ��� � �# ��� %#� ��� ���� h ��� b� ��� �� ���� ������ 2L � ������ 3L����� ����� �

�� � ��� � � � ������� � �� � ���� �� �� � x#����� ��� ��� �� �� &����� ��#���� �� �� � ��� �� � � y − z ������ ���� � � ��� � � ��������� D = D(x)� ' �

(

Page 93: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ���� ��� �� ���� � ��� ��� � ����� ������ ��� �������� ��� ��� ��������������� ���� � ���������� � ���� ��� ����� ������ ������� ��������� ��� ����������� � � ������ � x ��� ��� ���� t� ���� �� � ������� ���� ��� ������ � ������������� ���� ��� ��� ����� ��� ′� ��� � �� ����������� ��� ���� ������

!"∂C(x, t)

∂t=

∂x

(D(x)

∂C(x, t)

∂x

),

����� C(x, t) �� ������� ��� ���������� � ��� � �������������� ��� ���������� � �� ��� � �� ������� � ��� ����� � ��� � ������

����

#"C(x, 0) = C0, �� 0$x$L �� t%0.

&���� ��� ������������� ��� � ����� � ����� � � ������ ��� ��� ������ ����������������� � ��� ������ '��� ��� �� ��� ������ � ��� ����� (���� � ������ � �����(�� ���� ��� ���������� � ��� ������ � (��� ����� ������� �� ������ ������� ���� ��� ���������� �� ��� �������� � ��� ��� �� ��� �� ������� � �� ���������)��� ��� ������� ������ �� x = 0 ��� x = L� ��������� �����

*"C(0, t) = C(L, t) = 0, �� t≥0 .

� (������ �� ����� � �� ���� � ��(� ��� ����� ���� ����� ����� ���������+�� !" �� ������� �����

,"C(x, t) = X(x)T (t) .

�������� �� +�� !"� ��� �(��

-"1

X

∂x

(D(x)

∂X

∂x

)=

1

T

∂T

∂t.

'��� ��� ���� ��� � � ������ ��� � t ��� ��� ���� ��� � � ������ ��� � x� ������� ��� �� �������� �� � �������� ���� �� ��(������� �������� � �� −λ2� +�� -" ��� � �� �� �� ������ ��������� +���.

/"1

T

�T

�t= −λ2 ,

0"1

X

∂x

(D(x)

∂X

∂x

)= −λ2 ,

����� λ � �� �������� ���� �������� ��� ����� � ��� 1��� ���� +�� /" � ������������ ��

2"T = ke−λ2t ,

-

Page 94: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� k �� �� ������� � �������� ��� �� � ��� �� ���� ��� ��� � ��� ���� ���������� �� �������� � �� � ��

������

����D(x)�2X

�x2+D′(x)

�X

�x+ λ2X = 0 ,

����� D′(x) �� �� ��������� � D(x) ��� ������ x� ��� � � ���� � �� !�����" ����� ��� ��� � �#��#��" X(x) ��� U(ξ) #���"

����ξ(x) =2L

D1 −D0

√D(x) � � 0≤x≤L .

��� ���� �� � ���� ��� ��� ���� ��� ��� ���� � � �� ���

��$��2U(ξ)

�ξ2+

1

ξ

�U(ξ)

�ξ+ λ2U(ξ) = 0 ,

����� �� �����%�� �� &����!'� ��(������! ���� ��� � !#� � ��

��)�U(ξ) = R1J0 (λξ) +R2Y0 (|λξ|) � � ξ(0)≤ξ(x)≤ξ(L) ,

����� R1 ��� R2 ��� � ������� ���! � ������ ��� J0 ��� Y0 �������� �� *�� +� ���� &����! �#��� �� � �� %�� ��� �� ��� �� ,��� �-��,��� $�����&� #���" �� #����� � ���� �� ��� �.�� ��� �� ��%��� � ��� ����� �� � !! ���"

����� �� �����+

��.�

[J0 (λξ(0)) Y0 (|λξ(0)|)J0 (λξ(L)) Y0 (|λξ(L)|)

][R1

R2

]=

[0

0

],

��� �� � λ = λn� - � �������! � !#� � ���#����

��/�J0 (λξ(0))Y0 (|λξ(L)|)− J0 (λξ(L))Y0 (|λξ(0)|) = 0 .

��� � � λ = λn � ��� ��/� ��� #��� "������ � � ��!�� ����� � �� " ��!�#��� �� �� �� ��"� � 0 < x < L� ��� � !#� � cn � � λ = λn� #���" ���� �/� 0� �)��� ���

��1�cn(x, t) = [J0 (λnξ(0))Y0 (|λnξ(x)|)− J0 (λnξ(x))Y0 (|λnξ(0)|)] e−λ2nt

�� �#!%!!� �� #����� � ���� ��� 2�� # ! �� � "�����!��� k �� ��� �0� ��� ��� �# #���� -� ���" �� ���#��� !������� �� ��� �$�� � "�����! � !#� � �� ����� ��

��3�C(x, t) =∞∑n=1

Qncn(x, t) ,

����� Qn ��� ������� � ������ ��� �����! � ���� �� ��� �)� ���#��� �� �� Qn

� � ����� �#!%!! �� � ���� �

3

Page 95: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����C0 =∞∑n=1

Qncn(x, 0) .

�� ����� ��� �� �� �� ������� � �� �� ���� ���� cn(x, t) �� �� �� �� ����∫ L

0

cn(x, t)cs(x, t)�x �������� �� n = s� ����� �� � ����� �� ��� ���� ��� �� ���� ��

cn(x, 0) ��� �� ���� �� ���� �� ������� ��� �� L� ����� �����

�� �Qn = C0

∫ L0cn(η, 0)�η∫ L

0c2n(η, 0)�η

.

!� � �� ���� � ��� ��� �� ���� ��"� �#� � � �� ��� �� �� �������� �� ����� �M � �� ���� �� ����� ���� �� ������� ��� �� ����� �� �� ������

�$%�M = bh

∫ L

0

(C0 − C(x, t))�x = bh∞∑n=1

Qn

∫ L

0

{cn(x, 0)− cn(x, t)} �x .

&���� ��� �� � ��� ����� �� cn(x, t) = cn(x, 0)e−λ2

nt �����

�$��M = bh

∞∑n=1

Qn

∫ L

0

cn(x, 0)�x (1− e−λ2nt) = bhC0

∞∑n=1

(∫ L

0cn(x, 0)�x

)2∫ L

0c2n(x, 0)�x

(1− e−λ2nt) ,

����� b �� �� ��� � ��� h �� �� ����� �� �� ������� ����� ��� ���� ��� ������ ��� � �� �� ����� �� �� ���'�� �� ������� � �� ���� ���� � �� ����� � �� �������� � ��������� ������� ��� ���� �� ��� ������ ���� �� ����� &�� ���� � (%� ���� �� � ����� ��������� ������ ��� � ζ0 ����� ��� ��� �� ��� ������ �� ���� ��� ������ ��� ��ζ� �� ��������� ��

�$$�ζ = ζ0 +B′ M,

����� B′ �� �� ���������� ��� �� �� �� ��� �� ������ ��� � �� ��� �� ���� �� �� ���'������ ���� �� ����� �� ������ �� ���� ��"� $�� $$�� ��� �� �� ����� �� ��� �$�� ���

����� �� �����) *�+�� ������������ ���,���������� �������� ��� �� ������� �� �����-

�$.�pn =2λnL√D0

��� m(1− D1

D0

.

��� ����� ��� �� ���������� ���� ��� ��� ����� �� m� ������� �� ������� � λnξ(x)�� �� *���� ���� ���� ������ ����� �� ���� �����) / ��� � ���� �� ���� ������ �������� ��� � �� ����� ��

�$0�ζi = ζ0 +B

L

∞∑n=1

Fo

F1 + F2 + F3

{1− exp(−p2nD0

4L2ti)} ,

����� ζi �� �� ������ ��� � ��� ti �� �� ��� �� �� i- � ���������� � ζ0 �� �'�� �� ����� �� ������ ��� � � ti = 0� B = B′C0bh� pn �� ����� �� �����) /� ��� �� �� �����F0 � F3 ��� ����� �� �����) *�

Page 96: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� ������ ��� ��������

������ �� ������ ��������� �� ������� �� � ��� ������ �� ����� ��������� �� � ����� z = {z1, ...zN}� ���� N ��������� �� �� �������������

��� ��������� ��� � ������� ����� ��� ��� ��� ������ �� �� ���� �� ������ ���� � ����� �� N ���������� ζ = {ζ1, ...ζN}�� �� ��������� ����� �� � ���������� β ��� ζ = ζ(β) ��� β = {D0, B,m}� �� �� ��!���� ���� �������� ���� ����"������� �������� D0 �� �� ������� ������ �� ������������ ������� B ��� �����#���������� ������� ������� m ��� ���� �$ ��% ��� ��� �

&�������� ������ ������ ��������� ��� ���#��������� ����� �� �� ��������#������ �� ������� ����������� ���� ���������� �������� '���������� ��� (��� ��������� ��� �� ��� �� ��� ��"���� ���� �� ���� ��� �� �������� ��������)��� ���� ���������� �� ���� ����� � ����� �� �� ��� ���� z = ζ(β) ��������� ����� ��� � *���� ����� ���� ��������� ����+����� �� �� ���� ���� ���#������������� �� �����

*� �� ����� �������� �� ������� �� ������ �� ������� �������� β� �� ������ �� ����� �� B ��� ���#����� �� D0 ��� m ����� ���������� �� ����� ���������*� � ,����� -��� �� ��� ��������� �� ������ ��+������ ������� ������� �� β� ������� �� ����� ���� �� ����� �� ����#������ ���� �� ������� �������� ������� �� ��!� �������� �� �� ������� ����������� �������� �� ���#��������� �����.��� ���� ���� ���� ������ �� ��������� ��� � ������ ��������� �� �� ��������������� �� �������� �� �� ,����� -����

�� ������� ������� ������� ����� βk �� ������ ����� �� ��������� ���������/

��0 βk+1 = βk +Kk{z − ζ(βk)} ,��� Kk �� � 3×N ����� ����� �� ,����� ����� �� Kk �� ������ �� ��� ������������ �� �������

��1 Kk = PkH�

k (HkPkH�

k +R)−1 ,

��� Pk �� � 3× 3 ����� ���� �������� �� ��������� ����� ��� �� �������� ����� �������� ��������� ��

��2 Pk+1 = (I −KkHk)Pk +Q .

�� �������� Q ��� R �� ��� �� ��������� �� ���������� ���� �� ��������� ���� ����� �.���� $34% � �� ����� ���� �� �� ,����� -��� ��� � ������ ������������������� �������� �� ���� �� ������ Q ��� R� *���� �� �� ����� ��������Q ��� R �� ��� �� ������ �������� �� �������� �� ���������� �� ����� H �� ��N × 3 5������� ����� �-�� �� �������

��4 H6

⎡⎢⎢⎢⎢⎣∂ζ1∂D0

∂ζ1∂B

∂ζ1∂m

������

���

∂ζN∂D0

∂ζN∂B

∂ζN∂m

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ .

Page 97: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�� ������� ����� ��� �� ζ(β) ����� �� �� ������ ���� ��� �� ��� ��� ����� β0 =[D00 B0 m0]

T �� β� � ���������� �� ������ ��� �� � ����� ��� ���� �� ���� ���� ��������� ��� ��� ������ �� ��� �� D00� B0 ��� m0 �� ����� ��� ��������� �� ������ ��� ��� ����� ���� � ��������� � ζ�

ζ(β) =3∑

p=1

3∑q=1

3∑r=1

[(3∏

u=1 �=p

D0 −Du00

Dp00 −Du

00

)(3∏

v=1 �=q

B − Bv0

Bq0 − Bv

0

)(3∏

w=1 �=r

m−mw0

mr0 −mw

0

)ζ(β0)

pqr

],

�!"

����� ζ(β0)pqr = ζ(D0, B,m) �� #�� �$"� ��� �� ������ ��� D0� B� ��� m ������ ��

������ Dp00 = {Dmin

00 ,1

2(Dmin

00 + Dmax00 ), Dmax

00 }� Bq0 = {Bmin

0 ,1

2(Bmin

0 + Bmax0 ), Bmax

0 }� ���

mr0 = {mmin

0 ,1

2(mmin

0 +mmax0 ),mmax

0 } ����� ���� ��� ��� �� p, q, r = {1, 2, 3}�%� �� ������ � �� ����� ������ ����� Q ��� R ��� ���� ��� ��� ���������� �

�������

&'"Q =

⎡⎢⎣ (Dmax

00 −Dmin00 )2 0 0

0 (Bmax0 − Bmin

0 )2 0

0 0 (mmax0 −mmin

0 )2

⎤⎥⎦ ,

&("R = max(θi)I

��� )��*� �'(+"� ����� ��� ��� ��� ���� �� � �� ������� ��� ������� ������ ��� �� ��� ��� ������ �� ������ ���� ���� Dmax

00 �� �� ������� ��� ��� ������ �� ����� ��� �������� �� D0� ��� θi �� � �� �� �� �� ���� �� ������� ������ ��,������ �� �������������� �� z� ��� ����� ���� ��� �� �� ������ ����� ζ(β0)� ��� θi = (z − ζ(βi

0))2�

��� P0 �� ���� �� � �� ����� �� ���� �� ���*��� ��� ������ �� ������ ���� )��� P0

�������� �� ���� ��� �� ������ ���� �� ��� ��� ����� �� P0 �� ���� �� � �� ������ ����� � Q �� #�� &'"�

� ������� � ��� ������

��� ����� �� ��*�� � ������� ��� ��� ��� ������� ���� ���� �� ����� �� #��� &"��� $"� D0 �� ������� � � ����� �� ������ �� � �� -������ �� �������� � ��� �'($"������ m �� �� �� ��� ���� ������� ���� � '� '�+ ��� '�!� ��� m 0 ����� �� ���,����� ������ �� ���������� �� �� ���� ��� �� �� ���� ���� �� ���� ��� .��� $ ����� �� ���� �� ��� ������ �� ������� �� ����� �� #�� (�" ���� � ��� ���� � ��� �������� ���� n = 1� % �� �� ���� �� �� ����� ���-��� �� ��� ��� ��� ������� ���� ������� ��,���� m ������� /���� � �� �� �� ��� �� �� ����� �� � m = 0.5 ��� 0.9 �� �� ���� �� �� �� �� ���������� ���� ��� ����� �� � m = 0�

��� ��� ��� � � � ������ β0 = [D00 B0 m0]T ���� ���� �� � �� �� ��� ��������

�� � �� ���� � �� ��� �� ���������� ����� �� ���� ��� � ζ(β)� �� �� #�� �!"�

('

Page 98: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x/L

C/C

0

m=0, η=1m=0.5, η=1.1819m=0.9, η=1.5649

���� �� ������������ ����� ��� ����� ��� ���� �D = 2× 10−11����� ���� ����� t = 0 ��m = 10−5, 0.5, �� 0.9�� � ������� � ��� ��� ������ ���� ���� η�

�������� � �� ����� ����� � �� ����� ����� �������� �� ������ ���� �� 0.011±0.0069 ��2���� ��� ���� ���������� �� n ���� � ����� ����� ���� �� ��!��� ����� ���� ��� ���� ���� ������ ����" �� ����� �� ���� �� �� �� ����� �� #������������ � �� ���� ����� � ����� ��� ��� !��� ���$� ��2���� ��� D00 �� ���� %�� �%� ��� ��� !��� �&� μ ��� ��� B0 �� ���� ���$ � ���$ ��� ��� !��� ���$ ���m0� '�� ��� ����� ����� ( )� ������ �� �*!������� �� �� ������ � ���������� �� +��� #��� �� ���!��� �������� �,

&��MSE =1

N

N∑j=1

(zj − ζ(βk)j)2.

'�� �- ���������� ������ �� �������� ����� !������ ��� ��!�� � ���������� ��� !��� ��� .� ������� ��� ( ) �� ��%�� μ ����� � / ��� �� ������ ������� ���� �� �������� �������� � �� ��������� !���" �� ��������� �� ����� ������� �� D00" ���� ( ) �� ������� ���� +��� #��� ���0� ���� ��� ���� ����� ��!������ ���� ����!����� �� �����" ��!��� !�������� �� ��������� �� ����� ������� ���� !!���� ���� ���� #��� �� ������ ������ �� ������ ����� ���*!������� �� '��� � ������ �� �� �������� ����� �� ����� ��� ��!�� �" �������� !������ ����� +��� #���" �� ( )" �� �� ����������� !���� 12� ������ ����� �� �����

3���$ ����� �� ������� ����� ���� �� ������ ����� ����� �� �*���� !������� ���� ������ �� ����� �� +��� #��� ��� �� #�� �������� ����� �� ������'�� !����� #��� �� ���� ����� �� �*!������� � ���� ��!�� � ����� ��� ��!������� �� 3��� $�

/� ����� �� '��� � �� 3��� $" �� ���������� �� D0" B �� m ���� ���������� #�� ������� !���� ��� �� #�� ������� ������ '�� ( ) �� ����� � �� ����

��

Page 99: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� ��� ��������� ��� ����� ���� �� ������ �� ������ D0� B� m� MSE �� �� �� ����

��� ��� ����� ���� �

������� ���� D0���� ���� B �μ� ��� m MSE ��μ� ����� ��

�����≤ D00 ≤�����

������� ������� ����� ������ ���≤ B0 ≤���

����≤ m0 ≤����

�����≤ D00 ≤�����

������� ������� ����� ����� ���≤ B0 ≤���

����≤ m0 ≤����

�����≤ D00 ≤�����

������� ������� ����� ����� ���≤ B0 ≤���

����≤ m0 ≤����

�����≤ D00 ≤�����

������� ������ ����� ����� ���≤ B0 ≤���

����≤ m0 ≤����

�����≤ D00 ≤�����

������� ������ ����� ����� ���≤ B0 ≤��

���≤ m0 ≤���

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

t [min]

Con

duct

ivity

[μS

/mm

]

Experimental dataAnalytical 1, MSE=418.2Analytical 2, MSE=67.04Analytical 3, MSE=28.98Analytical 4, MSE=0.386Analytical 5, MSE=0.067

�� �� �������� ������ ��� ��� �� ����� � ������ � �� ��� ����� ���� � ��� ��� ��� ���

����� ����� ���� ����� ������ �� ������ � � ���� � ������ ��� ��� ��

��

Page 100: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������� ���� � � ��� ������� ����� ��� � �� ���� ������ ���� � � ��� ������������� ���� �� �������� ����� ������ ���� � � ���� � !�� ���� "���� �� !� ��� � �#������� � � ������ �� � � ��� $��� ������� ����� ����� � � ����� � � � � � ��%����� ������� ��&!���� � �#����� � �� ����� ����� '� ������� ���

45

67

8

x 10 3

70

75

80

85

900.55

0.6

0.65

0.7

0.75

D00B0

m0

(a)

45

67

8

x 10 3

70

75

80

85

900.55

0.6

0.65

0.7

0.75

D00B0

m0

(b)

45

67

8

x 10 3

70

75

80

85

900.55

0.6

0.65

0.7

0.75

D00B0

m0

(c)

45

67

8

x 10 3

70

75

80

85

900.55

0.6

0.65

0.7

0.75

D00B0

m0

(d)

���� �� ����������� ����� D0 � �� ���� B �� �� ��� m ��� �� ��� ������ ��� ����� ����� ��� � ���� ��� � �������� �� � ��������� ��� � ��������� ��� ��� ! ��������"

��� $� �� �� !� ���� ��� �� ������� � ������ �� ������� � � �#���� ����� ��� $���������� � �� �� !� �� "��� ��� ��� � �#������� ������� � �� �� �� �����$� ���� ����� ������� ������� �� �� �� !� �� "��� ��& ��� �� �� �����$� ���� ����� �� ������� �� �� �� !��� "��� ��� "�����(& ���( � �#����� �� �� ��( �� � ��� ����� '� ������� �� �� �� !� ��"������ ) � ������ ���� �& �� ���� ��� *���� $���� ����+�� ��� ,�- ���!��� ��� ������&��� ��� #�� � � ��� ,�- ������� � �������� �� ��� � �#����� ���� � ��� � �#������ ��� ������ !��� ��� � �#����� �����

��� ���� $����� ���!��� ����(����� ��� ��� ������� �( *���� $���� ��� ��������������� ��� ������ !��� ��� ����� ,�- �� � �� � �� ��� � ��� !���� ��� �� ���� !���� �#����� �� ��� $��� ������� ����� �����& �� �� !� �� "��� '�

��� ��� �� ������ ��� �������� � � � �� ������ �& �& .& ��� '� *� !��� ���� � ���� �� ��� ���� � �������& ��� ��� ��� ������� � � ����� � � ������ ���� ��� ������������ ������ ����� �� ��� � ��� ������ ��� � ������ �� � ��� �� ���� � �#����� � �!

�.

Page 101: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�������� ���� �� ��� � ��� ������� ���� ����� �� �� ������ ��� � ���� � ��� ���� ���� � � � ��� ��� �������� � ��� ���� ����� ����� ��� ��� �������� � �������� ������ � ����� ���� �� ���� � �� � ��� �� ����� ������� � � ���� ������ � � ��� ������������ ���� � �� ���� ����� �� �� ��� ��� ������� ��������� � !����� "���� ��� �#���������� ���� �� ����� $ ��� ��

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

10

20

30

40

50

60

70

t [min]

Con

duct

ivity

[μS/

mm

]

Data, sample 1Analytic, sample 1Data, sample 2Analytic, sample 2

���� �� ���������� � �� �� �� ���� ������ ����� �� ���������� � ��� �����

�������� ���� ��� ������ ��� ���� � �� ��

%�� ��� � � ��� ��������� ������� � !����� "������� � ��� �#���������� ������ ��� "�� ����� ��� ����� ��� �����&�� �� %���� �� %�� ��� � � ��� ���������D1 �� ��� ����� ��� ������� ��� '(� ���� ��� ��� ��� �� �������� �� ��� ������������ ���� ��� )*' � ��� ���� ������ ��� '(� �����

��� �� ���� �� D0, B � m� D1 �� ��� � ������ �� ���� �������

*����� D0 +���,���- B +μ*,��- m D1 +���,���- )*' +�μ*,����-

$ .�../0� �����1 .�0$/ .�...1 .�$0�

� .�.$.�$ 0����� .��$� .�..�$ .�$��

� .�..0.� �$�.�� .���1 .�..�0 .�.1/

/ .�..�20 0����� .�2/$ .�..�. .�.2�

� .�..1/1 /����� .��11 .�..�0 .�.��

%�� ��� � � ��� ��� �� ��������� D0 ��� D1 ��� ������� ��� ����� ��� ������ �� �#������� � ��� ���������� � ��� ��� ��������� D0 ����� ��� .�../0� �.�.$.�$ ���,��� ����� D1 ����� ��� .�...1 � .�..�$ ���,���� ������� ��� ��� � ���� ��� �� ��������� D �� ��� ������ � ��� ��� ����� D = (D0+D1)/2� � �� �� �����3���� ���� ��� ����� ��4 �� ������ ��� ��� 5� ����� ��4� �� �� ���� ������� ��� ��� �� ������ �� ��� � ��� ��� ������� ���0×$.−11 ��� /��1×$.−11 ��,

$/

Page 102: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� �� ������ ������� �� �� ���� ����� ���� �� ���� ����� ������� �� ���� ������ ����� ��������� ��� ���� �� ��� ����� �� ��� ������� !��"��� ���� #�� �������� �� ����� ����$���� %�#� �� ��� ����� ����� ��� �� ������& ��"!��� ����� ������ ����� ��� �������#�� ���� �� ��� �������� �� �� ��� ����� "������ ������� ���'������ �� ( � �)�������*�������� ����� �����" *��������� ��)���$+,� ��)���$��,� !� ����"��� ��� � ��$��"��� �� "���� ������ �� ����� ���� �� ��� ����� ������� ��� ������� ���'������ ��*�������� �&� �����" *��������� �� "��� �� ����� ������� �� ��� ����� ���������� ���������� ���'����� �� -.� ���� ����!�� ��" �� ��� ������� ���� ��"!��� ���� ���������#����

����� �� ������ �� � �� ����� ��������� ���� �� ���� ������

D /"�0�1 �� �� ���� ����� ���� �� ���� ����� ������� �� ���� ����� 2 ���� ������� ����������� "����

��" ���×��−11 �3×��−11 ��34×��−11 ��3�×��−11

�� +���×��−11 +�×��−11 ����×��−11 �+���×��−11

��� ����������� �� ��� �!������& ��!������ ������� !��"���� �� ��� ( � ��"!��� ����������� �� � ��"���5�� ��������� �� ��� ���� #��� ����� ��� ���� �� 6��� 4� ��� (������#� ���� D �������� #��� ��� ��������� �������� #���� "�& �������� ���� ��� ��������"�� "�� ����� ��� ���� !���� #��� ��"��� ����� �� ��� !�������� �������

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

x/Lendosteal periosteal

Diff

usio

n [m

m2 /m

in]

Sample 1Sample 2Sample 3Sample 4Sample 5

�� �� �������� �������� �� ����� ��������� ������ �������� �� � ���� ���� ��� � ��� ��������

�� ������� ��� ������ ���������� � �������� ��������

��� ������ �������� �� �!������& ��!������ ������� ������ ��� ���� #��� ��� 6���4����� #��� #��� ��� (������ �������� �& 7��� ����� ������� !�����& �� ��� ���� #��� ��� 6��� +�� #��� � ����� ����� � ���� ����� ��& �������� �� ���� !�����& ���������

�8

Page 103: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

� ��������� ���� � ������� �������� ����� � ����� � ��������� �� � ������ ��� �� ����� � ����� �� �������� ���� �� � ���������� �� � � �� ���� � � ����� �� ������� ��� �������� ���� �� � ����� ���������� � ��������� !���� ������������� �������� �� � ��� � ������� ����� "#� ��$�� %���� ��� ������� ���������� ��������� �� � &���� '���� � �� �(����� ��� ����� )�� ����� ���������� ��� ��� ��� � (12.8 ± 4.7) × 10−11 � � (5 ± 3.5) × 10−11 ��*� �� ��� � ������� � � ����������������� ������������ )�� ������� ����� ����� ��� ����� �� ��� � � %��� ��� %��� ������� � %�� ������� %��+ �, �� ���� ���-. /� � �� ���� ���0. , ���� �� �������$�� ��+ � ����� � � � � � ������� �� �� ������� �� )�� ��� �#���� ����� ��������� 0.06× 10−6 �� 0.183× 10−6 �μ1*���� )�� ��������� � ����� �� �� ����� ��� ��������� ���� �� � ����� ���������� ��������� �� ������� � �������� ������ ��� ����� �� ����� ��� ��� �� � � � ������� %�� ���� ���� ��������� ����� ��� ����������% ���� ��� ������ �� �� �� ����� ��� ��� � � %��� �� � �� ������ �� � ������� �� � ����� �

������ ��� ���

)�� �����% � ���� 2��� � ��� ��+ �%������3 "������ 4� ��� ���� � ��� ' � ���������� �� ��� �������� ,� � 5 ������ ��� ������� � 6� 1�7��� � � 8����� 5 ��������� ������� � ��� ��� �� �� 1��+���

�� ��� ������� �� ��� ���

!���� ���������� %��� ����� �� � �� ���� � %�� ��� ������ ��� )��� $ ������+ ��� �� �� ����� �� �� � ��� ��� � � ������� ��� ����� � ����� 1 �� ���������� ��+�� � ������� ��� ��� ��% �������� ��� ����� ���������� %��� ���������� � ��%�� ��� ��� ��%��� ����� )��� $� %��� � �� ��� ��� ��#���� � ���� ��� ���� � �� ����� ���� � � ������� 8����� ���%� ��� �� �� ����� ��� � � ������ ���'�� ����� � ���� ��� � �� � � ���� ���� '��� ���� ��� ����� �� "#� ��9�� ��� m 0� � m = 0.9�

)�� ������� ����� ���� �$ ����� ���� � � ���� ��� ��� � � �� ����� ���� ���� � �������� + �% � ���� � ����� ����� �� D %�� ��� � ������ ����� � � � ���������� ��� � � �� ����� ��� � � ��������

�� ��� � �� �� ��� F0, F1, F2, ��� F3

)�� �����% � �������� � ���� ����� �� ��� ��� �������� ������ �� ��� ������������� ��#���� �� ����� ��� �������� ����� ��� ����������� �����3

�0

Page 104: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x/L

C/C

0

t=0t=15 minutest=60 minutest=300 minutest=720 minutes

m=0, η=1

(a)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

x/L

C/C

0

t=0t=15 minutest=60 minutest=300 minutest=720 minutes

m=0.9, η=1.5649

(b)

���� ���� ������������ ������� ��� ���� � ��� ����� ��� ������� � � ��� ���� �������D = 2× 10−11 ��� ��� t = 0, 15, 60, 300 ��� 720 ����� ��� m = 10−5� ��� m = 0.9� ��� �������� ��� ��� ���� ���� ����� η� ��� ���� ��� ������������ ������ ��� ���� ��� ��� � ��� �����������

�����τn =Pn

m

√1− mx

L.

��� �� �� ���� �� �� ������� ���� �� �� ���� ���

�����

(∫ L

0

cn(x, 0)�x

)2

= F0

����� F0 �� ���� ���

F0 =

(−2L

Pn

√1−m

[J0

(Pn

m

)Y0

(Pn

m

√1−m

)−J0

(Pn

m

√1−m

)Y0

(Pn

m

)]+

4Lm

πP 2n

)2

,

�����

��

�����

∫ L

0

c2n(x, 0)�x = F1 + F2 + F3

����� F1, F2, �� F3 ��� ���� ���

��� �

F1 = −(Lm

P 2n

)Y 20

(Pn

m

){[(Pn

m

√1−m

)2(J20

(Pn

m

√1−m

)

+ J21

(Pn

m

√1−m

))]−[(

Pn

m

)2(J20

(Pn

m

)+ J2

1

(Pn

m

))]},

�!

Page 105: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�����

F2 =

(2Lm

P 2n

)J0

(Pn

m

)Y0

(Pn

m

){[(Pn

m

√1−m

)2

J0

(Pn

m

√1−m

)

Y0

(Pn

m

√1−m

)]+

[(Pn

m

√1−m

)2

J1

(Pn

m

√1−m

)Y1

(Pn

m

√1−m

)]−[(

Pn

m

)2(J0

(Pn

m

)Y0

(Pn

m

)+ J1

(Pn

m

)Y1

(Pn

m

))]},

�����

F3 = −(Lm

P 2n

)J20

(Pn

m

){[(Pn

m

√1−m

)2(Y 20

(Pn

m

√1−m

)

+ Y 21

(Pn

m

√1−m

))]+

[(Pn

m

)2(Y 20

(Pn

m

)+ Y 2

1

(Pn

m

))]},

�������� � �� λ

�� �� ����� �� ����������� �������� �� �� �� ����� �� λ �� � ������� �� �� ��������

�����J0

(P

m

)Y0

(∣∣∣∣Pm∣∣∣∣√1−m

)− J0

(P

m

√1−m

)Y0

(∣∣∣∣Pm∣∣∣∣)

= 0

�� ����� ��� λ �� � ! ����� �� ������ ��������"! #� ��$ �����$ %���� ���� �� ������� 2nπ ��� � ������� D$ �!! ��� m = 0$ �! �����%$ �&�'�! (��� �� ����)� �� �� ����� �� � )���������� �� Pn ��� ����� m �� ����� �� ������ �� �� ����

���*�Pn = 2nπ(1− m

4η)

��� n �� �� ����� �� �� ���� �� η �� � ����� ���� ����� �� ����� ��� � ������� �+����� �,���! �� ������ ��� n = 1 �� 10 �� ��� �+��� -�� �� ��������� ��D(x) ���� m = 0.9,0.7, 0.5, 0.1, 0.01 �� -��� �� �������!

����� ��� η ������ �� ���� � m

m .!& .!� .!' .!� .!.�

η(n = 1) �!'�/& �!0�*� �!�1�& �!.*�� �!..*�

η(n = 10) �!'*.. �!*&*/ �!���� �!.*�/ �!..**

�� ����� ����� ���� �� ���� ����- � )����� ���� ��� ��- �� � ! ���*� ����η = 1 �� � �� �� ���� �� ��� ���� �1!*2 ��� m < 0.5!

�1

Page 106: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������

�������� � � ��� ���� �� ������ � �� �������� � �� ������ � �� �������� � ������ �� ��� ����� �� �!� � " �#"���$ %��!���%��$! �� ��$ � �� %��� & ��'��$�"��! ���"� �%�'��' �( )*+� ,-�.,*/

���"��� 0� 1!�� � 2� 0������ �� � 3 � �� � ���!$��� � 4� ���* 5��%�& �� 6 � �$�%����!�'� 6 � � �! !"� �� %�"� !$��"$��� �7 " %��$�$� ��� !�%���$� � 6 � �� ��'�����8$� � �� %�$�����! �( )�9+� :�*/.:�(�

���%� 4� ���� 0�� � �"$ 6 !��6�"� "����$��� � & ��� ������' �� � ��; �� $�� "��$�"��!�<� ��6�"$ ��$��%�$�"�� ��� " %��$�� % ������' :- )�+� 9�,-.9��/

�%����� =� �&����� >� ���* � �����"$��� %�"��� 8�� � '�"�� % ��� 6 $�� � ��8�%����$������' ��� ���� 4 ����� 6 ��"����"!8�?� ���! �- )*+� ��(.�:(

��6���� @ �� ���9 ���! 4 A���� ��$��%�$�"�� %�$� �! 6 � >�7!�"�!$! ���8" ��$?�"���%�" >��!!

������� �� ����� ��� 4� >��B�<� �� >��'� 4� ��% �� � �� ���"��C� �� ���"��C� 4� >����<���� ���� =��'� !$�" ����� 6 �������$ �� �!� � " �#"���$! $ �� ����$��$� ����'� 6� %%���'���$ ���$����� � �� %��� & ��!� �! ��� ���� 3 ����� 6 ���� � '7 *� ):+� -*�.-**

����!8����!� D� �$E���� >� ����!! �� �� ����<� F� ��99 �$���� ������ $���!� �$ 6 � � ��% �����' �$ $�� ���� !$��� !��6�"� ��$��%�$�"�� �� !"���"�! �:� )9+� :(.//

��� �� �� ��9� G!��' $�� '������$ 6 ��%�� " �$�"�� � �� �� ���$��! $ ��$��%��� �'�8����$�� � �� "���'�! ��� ��$��! ��" '����� &���! G�$��! ��� �� %���"��� H �� � '7:, )*+� �(�.�,9

� �!! �� �� �������� �� ���' $� �� ��"��$� I� � "��� � �� � ���!� � �� D����84���$�$� �8�� D���� � 48=� ���9 =�!$����$� � 6 ��$��" �$�"�� � � !�$7 �� ��%��%��6�% ��� " �$�J �7 �'� ��� '����� 4 ����� 6 � �� ��� ������� ��!���"� 9* )(+�9:�,.9:9(

�� &�� � @� 9�,: ��$� ��"$� � $ ���� % !�'��� ����7!�! ��� K��%�� L�$����' � � ,A���7 F�& 2 ��

�������� �� ��9: A�$�� �� �!� � �� "��"��� �! � �� ��"� � � �! ��� ��! � � �! ��8$�����! 9(,� :/.:,

��7��� 5 F� >�������$�� � �� ���<����8����"�!� 5� ������ �� ���� 1� % �����' %��$�8" %� ���$ �� �!� � ��!��� $�� � � �! �� �� 6 ! ��� J��� 6��� "���! �!��' 5�"� ′! % ���4 ����� 6 > &�� � ��"�! 9�� )�+� /*(./(/

�� �� �82� �M6$M� �� ��9: ��%���$� � 6 ����8�%����$ � �� ������' ��� $ �%%����$�� ����' �� ���$�� �%����$ $���$%��$! 4 ����� 6 �� %�"����"! /* )-+� ,(9.,(,

9�

Page 107: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ �� ��� � ���� �������������� ������� �� ������������ �� ���� �� ��!�

������ �� ��� "������� "�� �������� #�� �$$� %����������� �������������& ��'����� �������������� (��) ������� ������� ��'��� �� ������ *������ ����� +����������� �� ��� ,����������� -& ������������� ������� ��) ��.�������. �������� �/� �$��� �0$ �000�

����1� ��� �2� +�� ����������� �� )�3������ 45���)& ������)���

6���7�)�8� ��� "���9�:-8���� ��� #���9��8� ,�� �$�� ;�������� �������� �� � )�3���'�������:�)� ��'� ���� ����)�����. ������� <������������ ������� �� ����)� ��) ����������0 �2�� �$!2 �$��

"���8:������� #�� "�����:-8���� ��� =�� ��� ��� >�����?� #�� �$$2� <�(����� �� ��������.� ��8� �� ��� ������ �� ���. ���� ������.& � ��� ��������� ���)�� ������� �� �������:���� �����.� ��2 ��� $2 �

@�� A�� B��� @�� ����C��� #� ��� A��.� @�� �$$� +�� )� ��)���� �� ������ )�3����� ����������� ���.�� ��) ��� � �� ������ ����� ���� 02 �2�� $� $���

@��)���.� "�� ���1�:������ @�� ��D���� *�� �'������� <�� �$�� - ���:)���������� ��)�� ��������� )��'�� )�3����� �� ���� ������� ��� ���� �����)� �� ������������ ��) �����)������.�������. ! �2�� 02� 0/��

@��)���.� "�� ���1��� -�� ,������� A�� �'������� <�� �$0� >������������ �� )�3��������E������ �� ��'��� ���� �� ����� �� ���)����'��� ������������ <������������ ��������� F5 ��������� ��) ��� ��������� ������������ � �0�� ��0 �0��

#��.����� >�� �$$� %���.���8����� �� ������������) ������� ��������& 6��1 ′� ��� �� )�3�:����� *������� ,�'��� F � �2�� $2�/$�

;������ -�� �$$� -� �������� �� �������� )�3����� �����)��. �� 6��1 ′� ��� ��) ��� ���:���� ���������� ����'��� �� � .����:������:���������) ��� ������ #�������� �� ��� �����#�������� 02 ���� �� ��/�

�� �����1� -�� ;��1�������� G�� �$�� - �������) 6<�:+>" H���� ������� � ����� ������ ��������� �������� �� ��� ��) �)'������−)�3�����−�������� �I������� ���� � ��:������ �� � �����.������� ��)�� ��� ���� �������� ������.� <������������ ������� ���;�������� #����)� �� F�.�������. � ���� �$ ���

���1��� -�� �$2� - �����)���.� ��� ����. 1����� H���� �� )�������� �������� ������������� ��������� ������������ � ��J�'&2$��$�2�/' K���):��������:���L�

���)������� M� -�� +������� -�� "�������� 4�� ������� ��:#�� *�������� >� *�� �$$� *��)��:���� �� ���� )������ �����) ����� �)�� �� ����� )���'����. ��� ��� ������� ������� �������������� 0� ��� �$/ ��

�$

Page 108: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� ��� ����� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� ��� �������� ��� ������� �������� �� ��� �� ����� � �!�� ���� "��� �� �� ��� !������#����!���!�� $ ���%� &'�() *�����! ��� '+,-�

��!������ '�� .��� �� /�� )�$���� ��� ��,,� &������ &��� ′ ���! �� ���!$0 1��� �� # � ��� ���� �����"� ������ ������ 1��� �!��� ���� �������� *�����! � &��� (���#����� ,�+ 2,3� ,4+5,+��

�,

Page 109: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 110: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Paper D

A. Shokry, G. Lindberg, G Kharmanda, and P. Stahle (2015)

Superposition principles for calculation of diffusion and elastic parametersof sparsely porous materials

Submitted for international publication

Page 111: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination
Page 112: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������� ��������� �� ���������

� ������� �� ������ ���������

� �������� ������ ��������

�������� �������� ����� ��������� ���� �������� �

��� �� �������

��������� �� ��� �� ���� �� ��� ����������� ����� ���� �����

��������� ����������� ����������� ����� ����������� !"#�$ ������ �����

��������

������� ������� �������� ��� ���������� ����� � ������ �������� ��������

���� ����� �� �� ������� ����� ��� ����� �� �������� ��� �������� ��� �������� ����

���������� ��� ��� ���������� �������� ���� ��� �� ��� ����������� �� �������������

��� �� �� ������� ����� ���� �� ��������� �� ����� ��� ������������ ����� ��

�� ������� ������� ��� � ������� ����� �� ���� ��� ��� �������� �� ��� ��

���������� ���������� ������ ��� ����� ���� ��� ��� �����

�� ��������� ��� ������ ��� � ������� ���� ��� ��� ��� ��� �������� ���������

��� ��� ��� ��� ������� ������� ��� �� �� ����� ����������� ��� ��� � �������� ����

�� ��� �� ��� ��������� ��� ��� �� ��� ���������� ��� � ��� �������������� �����

� ����� ������� �� ����� ���� �� �� �� �� �� ��� ��� !� ��� ��������� ���

�� �� ������� ����� �� �� �� ���� ���� ���� ����� ����� ������ ������������� ���

��������� ����� ���� ���� ��� ���������� � ���� �� ��� ����� �� ��� ���� �� �����

���� �� ���� ���� ������ "#$� ��� ������� �� ��� ������� �������� ������� ��

��� ������ ���� ��� �� ����� ��� ����� ����� ���� ��� �� �� ������� ������

������� ��� ������ �� ��� �������� ��������� ���� � ������ ������ ��� ���� �� ����

����� �������� ������������ ���� ���� ������ %#$� � ������ �������� �� ��������

��� ��� ������� �������

Page 113: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ����������

���� �� � ����� � ������ �� � � �� ������� �� ���������� ��� ����� ���� ����� ���� ���� ��� �� �� ��� ����� �� ��� ���� �� � ����� �� ���� ������ �� ���� ���� ����� ���� �� � �������� �������� ��� ���� �� ������� ��� ���� �� ����� ��� � ����� ������ ���� �� � ����� �� ������� ������������ ���� �������� �� ��� ������ � �� ���������� ���� �� ����������� ��� ����� � �� ���� ��� ��� ��� �������� ��� ! � "!#��� ���� ������ �� � �� ��� ��� ��� �� ��� ���� ����� �� $����������� � �� ������� ���� ��������� �� ���� �� ��� �� ���� ������ ��� ��� �� �� �� ��������� �� �������������� �� � %&�"!# ����� �� ������� ����� �� �������� ������ '� ����� ��� � �� ���� ������ ������ ��� ���� ��� �� �������� �� ��� ����� �� � ������ ����� �� ���� � ������ �� ��� �� �� �� ��� � �� � ������ ���������� ��� ������ �� �� �� ��� ���� ������ ���� �� � !�(&# ����� � ��� ������� ��� �� ���� )*������ ���� (&+(, -������ ���� (&+./�

��� ����� � �� ���� �� � �� ������ � � ��� �� ���� �� ������� ��� ������ � � ����� �� ��� ��� ������ � ���� ���� �� �� ���� � ��� ��� ��� ��� ��� � ����� ������� �� ���� �� ������ �� ������ �� 0���� � ��� �� ��������� � �� ���� � ���� �� 1�������� ����� ���� ����� �� � � ��� �� ���� ��� �� ���� ������ �� �� ������� ������ ����� �� �� ������� ��� � ������ �� ����� �� ��������� ���� ��� �� � � ������� ���� �� �� �� � ��� �� �� '��� �� �� ���� )��� � +"%+, 2��� ��� 3������ +"45,1����� ��� (&&&, 3����� (&&./� 6� ���� ������ �� ������ �� '���� ��� ���� �� �� �������� ��� �� ���� ���� ��� ��� ����������� ��� �������� �������� � �� ������� ���� �� �� ��� ���� ���� �� ���� ���� �� �� ��� �� ����� ������� �����0��� )7� ��� ���� (&&%, *��� � ���� (&&!, 8� � ���� (&&", 8������� � ���� (&+%/� 9�� ���� �� ���������������� � �� �� �� �� ��������� ���� ����� ��� ���� ��� � ����� �� -�����::� � ���)(&+%�/ ��� -�����::� � ��� )(&+%�/� ;������ �������� �������� � �� ���� �� ��� �� ������� ��� �� ������ � ��� ������ �� ���� ����� �� �� ���� �� ��� ��� � ��� ������ ������� ��� ���� ���������� ��� ���� ��������

��� ��������� ���� ��� ���� �� ���� �� ������ �� ���� ��� ���� �� �� �� �����:�� ��� ����� ���� �� �� �� ��� � �� �� ������ ������� �� ���� �� ��� ��:� ��� ������ � ���� �� �� ���� ������� � ��� ��0������ ��� ���� ������ �� ���� �� ��� ��:���� �� ���� �� ������ �� �� �� �������� ����� ������ �� ������� ����� ��� ���� �������� ��������� �� �� ��� ��:� ��������� )1���<�� ��� ����� +"==, ����� � ���� (&&4,>���� � ���� (&++/� 6 �� ����� �� �� �� ������� ���� ��� �� ����� � ���� � �������� ����� ����� ��� �� ����� �� �� � ���� ���������� ����� ��������� �� �� ���� ���� � ��� ��:� ��� ���� �� �� ���� � ���� ��

6� ��� ����� �� �������� �������� � ��� �� ���� �� ������ �� � ��� �������� �� � ��������� ���� ��� �������� �� �������� �� � ������� ��� ������� ������ � ����� ������� ���� ����� $�$?@1 ��� ���� )$�$?@1� (&+%/� $ � ��� ���������� ���� ���� ��� �� ���� �� ����� � ��� �� � �� �� ������ � � ��� �� ���� �� ������� �� ��� ���� ���� ��� ����� ��� $ ������ ��� ��� �� �� �� ����� ��� � ��� ����� ������ ��� ������� ��� ��:�� ����� �� �� ��� � ����� ������� ����� A�� � � ����������� ��� �� �� ����������� ��� ���� �� ���� �� � ������ �� �� ���� ���� �� ������� �� �

(

Page 114: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����� ��� ������ ��� ����� ��� ��� ������ ����� ���� �� ��� ���������� ������ ����� ������� �����

� �������� ���

���� � � ����������� ��������� ��� ��� ������ ��� ����� D ������ � ������� ����� ������ ����������� �� ��� ������ ���� �������� �� ��� ������ �� �������� ��������� ����� � ���������� ��� � ����� ���� �� ���� ���������� ���� ����� ����� ���� �������� �� � ��� ��� �������� ���� ′ ��� ���� ���� �������� ��� ��������� ��� ��������� ��� ����������� ���� �������

����� ��� ����� ��� ������ ��� ����� � �� �� Dw� ����� w ���� ��� ������ ��� ������� ���� ��� ����� ��� ������ ��� ����� � �� �� Db� ����� b � ��� ����� �� ��� J� ������ �� ��� ������������� ��������� �� ���������� ����� ������� � ���!�������������� ������� ������� ���� �� ��� ���� ��� ��� ���� �� ������ ������� �� ������ ���������� �� � ������� �� ���������� ��� ���������� θ ��� κ ���� ��� ���������� �� ������������ ����������� ��� ���� ���� ��� �������� ��� ���� ��� ������ ��� �� �����������

" #������� ���������� ���� xi ≡ x1�x2�x3 � ���������� ���� �������� ����������� ������� ��� � �������� $������� ������� i, j, ���� = 1, 2, 3� �� �% ������ Ji ��� ������� ������ �� ��� ���� ����������� ������� �� �� ��������� �� ��������������� �������

&'(Ji = −Dc,i ,

����� c,i � ��� �������� ������ �� ��� �������������� ������ , i ������ ������� ������������������ ������ �� xi� ���� c,i = ∂c/∂xi� �� �������� ��������� D � ��� ������ ��� ������� ��� ������!���� ����� "�� ������ � �������� ������ ����

&)(∂c

∂t= −Ji,i .

�� � �������� ���� ��� ������������� �� ������ �� ��� �������� ��� ��� ������ ��������� ��� � � �����!����� ∂c/∂t = 0� � ����� �� ����*���� � ���� ��� �%������ ��� ������ ���� �� ���������� ����� ����

&+((Dc,i),i = 0 .

�� ��������� ,*� &+( ��� ����� ��� ��� ������� ���������

&-(c,2 = 0

�� 0 < x1 < h ��� x2 = 0 ��� x2 = w� �������

&.(c = 0

�� x1 = 0 ��� 0 ≤ x2 ≤ w � ���

+

Page 115: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���c = c1, c2, cα, cβ �� Δc

�� x1 = h �� 0 ≤ x2 ≤ w �� �� �� � ���� ���� �� ���� �������� � ����� �� ��� � ��� ���� ������� �

���� ������ ����� ��� ������ h0� ����� � ����� �� �������� �� � ���� ����� ��� ����������� ��� ��� ������ � ������ !� ��� ���� ������� ��� �������� ��� ��� ��� ����� � ���� D0� �� ������ � ��������� ��� �� ��� �������� ������� ��� �"� �� ��� ���� �� ��� ������� �� �� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� ��� ��� ��� ����� Dw �� �� �� �� #��� D0

�� �������� ��� ��� ��� ����� D1 ��� ��� ������ ���� ��� �� ���������

���� �� � ���� ������ �������� � �� h0 × w0 ��� ����

��� $�% ������� ��� ���� ������ ��� ���� �� �������� �� ��� ���������� � � ����� �� ��� ��������

�&�J1 = −D1c1h

��

�'�J1 = −D0Δc

h0

,

����( )( ��������� *+ �&� �� �'� D1 � � ����� �

�,�D1 = D0hΔc

h0c1.

��� ��-���� ������������� �������� Δc ����� ��� ��������( ������ ���� ������ ���.������� ��� ���� �� � � ����� �(

��/�Δc = cβ − cα

0

Page 116: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��� �� �� ���� �� �� ��� ����

� �h = h0 + hα + hβ .

�� ��� ��� �� ���� �� �� ���� ���� ����� hβ �� ������� ��

� ��J1 = −Dbc1 − cβhβ

.

�� �� ��� ��� �� ������������ cα ��� � ������ ��

� �cα = −J1hα

Db

.

!� ����� "#�� � $� ��� � �% "#� � �� ��� ���&� ��&

� '�J1 = −Dbc1 −Δc− cαh− h0 − hα

��� �� �������� cα ��������� �� "#� � �% �� ��� ����

� (�J1 = −Dbc1 −Δc

h− h0

.

�� ��&���� �������� hα ��� hβ ������ ���� cα ��� cβ �� ��� ��������� "#� � (���� � �)������� ����

� *�Δc =J1Db

(h− h0) + c1 .

�� ���� �� ������ ���� "#� �+�% D1 ��� � ������ ��

� ,�D1 = D0

h

(J1Db(h− h0) + c1

)h0c1

.

�� J1h �� ������ �� −D1c1 ��������� �� "#� �,�% ��� c1 ��� � �������� ���� "#� � ,������ ��� ��& �� �������� ��

� -�D1 =D0

h0

(−D1

Db

(h− h0) + h).

.��� ��� �)���������% �� /��� �������� ��� �� 0���� ��0����� ��1���� ��� ������ ���� �� ��� �������� �� ���� ��

� +�D1 = Db

(1−(1− Db

D0

)h0

h

)−1

.

2�� � ���� ���� �� ��� �������� �� ��������% � ��� ��

(

Page 117: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� ���� �� ��� �������� � � ������ �� � ������

�� ��������� �� � ��� ������� � �� �� De ��� �� ���� ����� � �� �� ��� ���� J2 ������ �� ����� �� � ���� � ��

����J2 = −Dec2h

.

�� ������� �� ���� � �� �� ���� ������ ���� �� ����� � ��� �� ��� � ���� !��� � �� ����"� ���� �� �� ����� ��

��#�J2w = −Dbc2h(w − w0)−D1

c2hw0 .

$� %&�� ���� ��� �#'� �� � � �� �� ���� ��� D1� �� � %&� ��#� � ���

����De = Db

(1 +

[1−Db/D0

1− (1−Db/D0)h0

h

]h0w0

hw

).

(� � ��� � ������ h0w0/hw � ��� � �� � ������� �� �� h0w0� �� �� �� � �� �� �������� hw� (� ���� � � ���� &������ � � )���� De �� �� � ���� ������ h0/h� �� �� ������� h0w0/hw ��� �� ����� �� �� ��������� ��������� Db/D0�* �� ���� � ������ ��� ���"� ������� ���! � �� %&� ���� �� ��� � �� � ��� ��

��������� �� �� � �� �� !�� � Ap� �� h0w0 �� %&� ���� �� � � !�� � ���� θAp� �� � θ �� � ��� ���� ������ (� ��� ���� θ �� �!!�� � �� �� � ��� � ������ ��� �������� �� � �� ��� ��� �� !�� � �� �� ���! � ��� ������� �� �� !�� ���� � �! � �� �� �+ �� ���� �� �� � ! �� � �� �� � ���� ����� h0/h ��� %&� ����� �� � � !�� ����� a/h ���� � ��� ���� ����� κ� (� !�� � �� ��� � �� ������ � ��� ���� �� ������� � �� ��� Dw� ,��� �� ������� � �� �� D0 � !�� � ���� Dw� �� ����������!!��+� ����� �� �� � ��� ������� � �� �� �� ������ � ��

-

Page 118: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����De = Db

(1 +

θs

(1− κs ah)

Ap

hw

)

�����

���s = 1−Db/Dw .

�� ����� ��� �� ��� ���� � �������� �� �� � ������������ ����� ��� ������� ���� ����� �� Ap/hw� �� ��������� ����� θ ��� κ ��� � ����� ��� ��� �� ����� ���� ���� � ��!����� ������� ����������� � �� �������� �� ��� De/Db � �������� � � ����� ���� ��√Ap/hw � ������

��"�(De

Db

− 1)hw

sAp

= α1 + α2

(Ap

hw

) 12

+ α3Ap

hw+ α4

(Ap

hw

) 32

+O

((Ap

hw

)2)

,

����� α1 �� α4 ��� ����� ���� ��� ����� �� ��� ������� ���� ������ �� �� ��� ���� �� ������� ���� ��� Ap� ��� ��� ���� � ��� O ����� ���� ��� ������� ������� ��� ������� ����� ������� ���� ���� �� ��������� ���� ������ �� ��� ������� �� ��� ���� ��� �� ��� �� �� ���� ��� ���� ���� �� ���������� ����� �� ��� ���������� !� "#$% �� ����� ������� ��� � ��� ��� ���&����� α1 �� α4� '( �������� !� "#)% � � ����� ���� � κsa/h ��� ������� ������

"#*%(De

Db

− 1)hw

sAp

= θ(1− κsa

h)−1 = θ

(1 + κs

a

h+ (κs

a

h)2 + (κs

a

h)3 +O((κs

a

h)4))

�� �� �� �� ������( θ �� κ �( �������� !� "#$% �� "#*% �� �� ��� ���&����α1 �� α2�

��� �������� ��� �� ���&���� � ����� �

"#+%De = −Jah

Δc,

����� Δc � ��� ��������� ���������� �� x1 = h �� Ja � ��� ������� ����� � � ���� ����� ���( ���� ����� �

"#,%Ja =1

w

∫ w

0

J2�x2 �� x1 = h .

��� �������� ��� ����( ���&���� De �� �� ���� ����� ��� ����� ���� ����� ����������� � ������ ����� -� � ����� ���� ��� ���(� ����� ���� � ��� � ��� ������ ������ �� �� �������� ��� �� �� � �� � �� � ��������� �����

"#.%De = Db

(1 +

s

hw

N∑i=1

θ(i)A(i)p

1− sκ(i) a(i)

h

),

����� ������ � ��������� ��� N ����� ��� �(������ ���� � ���� θ(i) �� κ(i) ���� ��/� � ��� �� �� ��� � ������ �����

+

Page 119: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

� ������� ���

�� ���� ������ � ���� � ������ �� ������� ���� �������� ��� ������� � ����� ��� ��� �� �������� � ��� ���� ��������� �� ���� �� ���� ��� ������ � ����� ��� ���������� ����� ������ ��� �������� ��� ������� σij ��� ������� εij �� ��� ������������ ui� ��� �������� ��� ����� �� ����� ��� ��

�� !σij =E

1 + ν(εij +

ν

(1− 2ν)δijεkk)

�� ��� ������� εij ���� ��� ������ � �� ����� ��� �"�� ��

��#!εij =1

2(ui,j + uj,i) .

��� �$������ � �$��������� σij,j = 0 ����� �������� � %$�� �� ! �� ��#! ���� ����$�����

��&!ui,jj +1

1− 2νuj,ij = 0.

%$� ��&! ������ ��� ������ ������� �������� � ��� � �� '� ������ ������ �� ��� x1

������� ��� ��� ��� �� ����� ���

���!u1 = 0 �� 0 ≤ x2 ≤ w �� x1 = 0

��

��(!u1 = Δu �� 0 ≤ x2 ≤ w �� x1 = h.

)���� �������� � ��������� � ��� x2 = 0 0 < x1 < h �� x2 = w 0 < x1 < h������� '������ ����� �������� � ��� � ��� �������

��� ������� �������� �� x1 = h ��� ��������� ��

��*!σa =1

w

∫ w

0

σ22 x1.

��� �+������ � ���� � ���������� �� �"�� ��

��,!Ee = σah

Δu.

��� �������� � ���� ���� ������ ��� ��������� ������� ��� ���+���� � ��� ��� ������������� � ��� �� ������ � �� �������"����� ���� ���������� �������� ��� ������ ��� �������"����� �� ����� ��������� ���� ��� ��������� ��� �� ����� ���� � � ����������� ��� ��� ��� ���� � ���� ���� ����� ��� �� ������� ����� ������ �� �� ��������� ���� ��� ������ �-���� � ���� ����� ����� ���� ��� �� �� � ��� ��� b ������ ������� ��� �� ��� �������� ��� ������� �� ����� � �� $�� ����� ���� ��� ������ �-���� b� ��� ��� ���� %$� �&�!!� � ����� � ��� ������� � ��� ���� ���� ����� ��� �$���� � ���

.

Page 120: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

������ ������ �� �� �������� �� �������� �� �� ������ ������ �������� �� ������� ���� ������� ��������� ��� ���� �� �� � �������� � ����������

����Ee = Eb

(1− θE

b2

hw

)

��� ������ �� �� x1 ��������� �� �������� θE �� � �� � � ����� ��������� ���������� ���� ������ � ��� ���� �� ��� b ���� �� ��������� �� �� ������� �� ��� ����

�� �� ��� �� �� ���� ��������� ����� ��� ������������ ����� �� b/√hw� �� ������ ��

�������� θE! ��������� ����� �� Ee ��� ������ ��� ���������� ��� �"����� ��� ��#�� ������������ ����� �� ����� ������� ����� $ ���� �� ������ ��� ����� ���� �� �� ���� �������!

��%�(Ee

Eb

− 1)hw

b2= α1 + α2

b√hw

+ α3b2

hw+ α4

(b√hw

)3

+O

((b√hw

)4).

�� ����� α1 �� α4 ��� ���� �� �� ��������� ����� Ee ��� �"����� ��� �� �� �������������� �� �� ������ ������� �� ��������� ���� θE �� ������� �� �� ��������� α1�

&�� � ����� ��� ��� ����� �� ����! �� �"���� � ������ �� ����������! Ee! ��� ����������� ����� �� ���� �� �� ������� ����� �� �� ��� �� �"����� ����� �� ������������� ������� ��

��'�Ee = Eb

(1− 1

hw

N∑i=1

θ(i)E

(b(i))2 )

,

���� ��������� �� ������� ��� N ����� $��� ��� �� � ������ �� ��� �� θ(i)E ���

�� ��(�� ���� ���� ��� ������� �� ��

� ������� �� ���

�� ����� ������� ��� �������� � � ���� ������� ����� �� $)$*+, ��� ���� ��-���� �$)$*+,! ./01�� �� ������ �"��� �� ���������� �� ��� ��� ������� ������������ �����-����� �"������ ��� ��� �� �� �� ������ �������� ��� �"����� �� ��� ��.��� �� �� ������ �������� ��� ����������� �� ������� ���� ������ �� ��� � ��� �������� 0 ≤ x1 ≤ h �� 0 ≤ x2 ≤ w ����� � ���� ��� ��� ��� �� ���������� 2-��� �������������� %-��� ��� ��������� ��������� &��� ����������� �� ���� ,��� ������� ����� ��� ��� ��� �� �"����� �� �� ���������� �������� $ �� ��������� � ���� �� ������ &��� ��

�� ����� �� �� ������ ������ �� �3����� �������� ��� �� �� ���� ��� . �� ������������� 0�.� $ �� ���� ��� �� ����� � �� ���� �� ��� ������ ���� �� ��� �� ���������� ���-��� �� ����-��� ��� ��������� ���� ���������

'

Page 121: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� � ������� �� �� ��� ��� �� ��� ���� h/a = w/b = 2 �� ��� �� �� ������ ��� ���

� ������� � ������� �

� ������ � ��� ����� � � � �� ������ �� ����� ��� ���� ��� �� ����� �� �� ������ ����� � �� ��� ���� !� �� ����� �� "� � ���� � �� � �� �� ��� 1 × 1 × 3 �3 � ��������� �� � � � #��� ����� �� x1$�%�� �� �� ��� ������ ������ � � �� � �� ���� ������� �� �� ������� ���� ��� ��� x2$�%�� �� �� �� ��� ���������� ������ � � ��� � ��� �� ���� �� �� � ���������� ������ � �� �� ��� ���� �� ������������ � ��� ����� ���� ����� �� ���� ��� �� x1$�%�� � �� �� � ��� ��� ����� ���� � "���� ��� ���� ����������

�� � �� � ��� ���&�� � � ' ��� ������� � ��������� ��� #������ � ������ ���� ���������� �� � ������� ������� � ��� � �� � �� ���� �� (����� �� "��� ��� �� �������������� � ��� ������� � ��� ��� �� "� �� ��� ��� (� ��� �� � ��� ���� ��� ��� ������ ��� ���������

� � ��� ����� � ������ � ������� � � ��)����� ��� ����� � �� ��*�� ��� ������� �� ��*����� �������� � � ��� ��)����� ������� �� �� ������ ��� �#������� ������� �� ��� ����� � ���#�� ��)����� ��*�� ��� ����� �������� ��� ����� �� ���� � � �" ��)������ ������������ �������� �� � ��� � �� "��� ������ � ��� ��� �� ��)��� � ��� � ������ ��� � �������� ��� +� ��)��� � ���� ��� �,����� ���� ������ ���� ��� ���������

�� ������ �%���� � ��� � ��� �� b ������������ � ��� ������ � � ��� � ����� ���� ���� ��� #������ ������ � �� ��� ��� ��� a �� ��� #������ ������ � ��� �#� ���� �� �� ���� ����� -�%� �� ���� a/b ��� �� � �� + � � � �� � � ��+. � � � �� '� ��� ���� �� ������ � ������ �� �� ��%���� "���� ��� ��%�� ��*� �� � �� � � μ�� ���� � ��� ������� � ��� � � ��� �/ � '/ ���� ��� �������� � ��� � ��� � � ' ��� ���� ��� � ����� 90◦ � &"���

��

Page 122: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ������ � ��� ������� ��� ������ ��� ���� a/b ��� �� ���� � ��� �� � ���� � ��� ���

�� ��

���� �� �� ����� �� � �� �� ���� ������ �������� � ���� ������ �� ����� �� �� �� �� ��� ��� �� �������!� !����� "#������� �� �� �������� �� � ������ $� ������� ����� �� � ��$�� ���!����� �� � ����� ����%� $� � ��!������� �� ����� �� ����� �� �� �� �� �

��� �� �� ��� � ����� � � �� ��� !��������� �& � & � ��� ���� 90◦� '��� �!��� ���� ���� �� ��(�� ��)��

���� a b a/b Ap

� � � ��� ��

! � � �" �"

# � $ ��� ��

� � � ��" �%

�� � � ���� �%

#� $ � ��" ��

!� � � �� �"

�� � � ���� ��

��� ������ �� ���� �������

&�� ��������� ��� ��� ���� � � ���� ��� ��'���� �(���� �� ����� )����� ������ ��� Dw/Db = 20000� &�� ����������� ��� ��������� ��������� ������ ��������� ��*�� �� ���� �� +�*� "� &�� *�����, �������� � ���� �� ��� �� +�*�

��

Page 123: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�� ��� ���� ��� ��� ��� � ��� ����� � ��� �� ��� ������ �� ��� �������� h × w� ��� �� � �� �� ��� �������� ��� �� ��� � �� �� ��� ���� �� �� ����� � a/b = h/w� ��� � ��� ��� �������� �������� ��� ��� ���� ��� ��� ������ �� ��� �� �� ��� ���� ���� �� � �� ��� �������� Ap/hw = 0.09� ��� �� ��� ������ ������ �� � ��� ������������ �� ��� ���� ����� ���� �� � � �� �� ���� ��� ��������

��� ������ �������� ���� �� �������� ���� ��� ���� �� �!��� � �� � ��� ����"�������� �� ��� ����# ���� � ���� � ���� � �� ��� �� ��� ������� ��� �������������� ��� �� ������� ���������� � �� ��� �������� ��� ����� ��� ��� ����� ������ ����� ��� ���� ��� ����� � �!��� ������� �� �� ������� ��� ����� ����� ������� ��� ���� �� �!��� � �� �� ���� � � ����� ��������� �������� ����� �� ��� �� ���� ���� �� ��� ��������# ��� �!��� �� !����� �� ���������� �� ��� ����� ��� !����� ����� ��� �� �� ��� ��� ��� ������ �� ��� ����$�� ��� �%�

���� �� ����������� � ��� � �������� ��� ����� ��� �� ����� ��� ��� ������ ����� �� ���� ��

���� � ����� ����� ����� ������ ���������� ��� ��� ��������� ����

��� � ���� ��� ���� ���� ��� �� ��# Jah/(DbΔc)# ����� Δc ��� �!������ � ���"����� ��� ������� x1 = 0 �� x1 = h ��� �!����� �� ������� �� �!����� ���� ��#

��� ��� � ��� &� ��� ���� � ��# ��� ��� �� ���√

Ap/hw = 0 Jh/(DbΔc) = 1�

��� & ��� �� � ��� �� �������� ���� � ��� ���� �� ���� ��� ' � �� ����#���� ��� �� �� ��� ���� �() �� ��� �� �� ��� �������� �� # ��� �� � ��� ������� ����� �) �� *() � ���� �� � ��� ���� � �� � ��� ����� �� ����� +��� ��� �� �� ��� ���� ,() �� ��� �������� �� # ��� �� ���� ��� ��� ��� ���� � ���

��� -� ���� θ = (De

Db

− 1)hw

sAp

# ����� De ��.��� ������� �� /-� $01% ���� �

20

Page 124: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� �������� ����� �� Jah/(DbΔc) ��� ���� � ��� � � �◦�� � ��� �� � �×� ����� ����� ���� �� �� ���� ������ �� �� ����������� ���� � �� � ���� ����� �� � �������� �� �� ��� �� √Ap/hw!

���� � �� � ���� � ��� � �� ����� ���� θ = θ(√

Ap/hw)� �� �������� ��� ����� ������

��� ����� � ��� � ��� ��� ��������� θ� ��� ���� � ��� ����� �� ����� ��

�!"�θ = limAphw

→0

θ .

� �����#� � ����� �� ������� ��� ������� #���� � � θ� ���� ��� #������� $��� ����������� �� ������� ���% ��� � � � ����� � ���� ��� �������� $��� ��� ������ ������ �����&�� � '���� ���� ���� ���� %� ��� ����� ����� (� �� ��� � (� ��� � �)������α1 � α4�

��� � �)����� θ = α1 �� κ =α2

θs��� ��#� � �� �� ��

��� �� θ �� κ ����� ��� �� ���� � �� � �� �� �� ��!

���� � * + , �- *- +- ,-

θ = α1 .�/" .�&" ��0" ��"" !�&" ��"" ���" ��/"

κ =α2

θs1.�." 1�"& 1"�.. 1"�.. 1"�". 1"�./ 1"�"� 1"�"2

��� ����� �� ��������� � ���� 0� � ����� ���� �� ���#�� �� � ��� ������ ������1�� �� ��� θ �������� �� ��� ������ ���� a/b �������� � $��� � �� �������� ��� ������� � � ������ � ��� ��������� � ��� �� �������� �� � � ��� � � ,-� ��� ��3��#��%� � ��� ��������� � ��� �� ������� � ��� x1 �� x2 ������� �� ��� ������ ��� � �������������� $���� �������� ���� ����� ��� � �� �4����� ������� �������� ��� ����� ��������% ��� ������ ���� ����� ���� 0��

.�

Page 125: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� �� �������� �� ���� θ ��� ���� � ��� � � �◦�� � ��� �� � �×� � ���� ���� � �� �� � �� ���

����� �� ����� ������� ���� � � � �� ��� ���� � ������� �� �� ���� ���√Ap/hw�

���� �� θ �� � �� ��� ��� a/b ��� ���� � � � �� �� � �� ����� ×�� !�� θ ��� �" ������������ ��� a/b = 2.5, 2, 1.5, 1, 0.67, 0.5 �� � � �������� ������ ���

��

Page 126: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

Eb

ν = 0.3h Δu

σ1h/EbΔua/b = 1.5

σ1h/EbΔu = 1

σ1h/EbΔu a/b = 1.5x1

σb = EbΔu/hσe/σb = Ee/Eb σe√

Ap/hw < 0.3 √Ap/hw = 1

Page 127: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ��� �������� ���� �������� ������ σe/σb ��� ����� � ��� � � �◦�� � ��� � � �×� �������� ��� � �� �� �� ���� ������ � ��� �������� �� � ����� � �� � ������ �� ��� ��� ������ � ���� �����√Ap/hw� σb �� ��� ������ � � � ������� �����

���� ���� ��� �� �� ����� ��� ����� ������� ����

��� ������� θE � �������√Ap/hw ������ �� ���� �� �� � ��� �� ���� �� ���

� ��� ��� ������� θE �� ��������� � ��� �� ������ ������ θE �������� �� ��� ������ �������� ����� �� �� �������� ���� ����� � ��� ������ � ������� � ��� ��������� ���������� �������� �� ������ ��� ����

��� ������� θ � ��� �� �� ��� � � !" ����� ��� ��� a/b �� ���� �� �� � �#�� ����� � ���� �� ������ �� ������� $�� �� � ��� ������ ��� � ��� % ������� ������ ����� �� ��� ��� �� ��� ���� � ��� ��� ����� �� b � ���� &� �� '����� ���' ��������� ���� ��� � ������� �� ��� ��������� � � ���' �������� � ����' ���� �� ������� ���� ��� ����� ������� ��� ������ � ������� �� ��� ���' ������������� � ��� ����� �������� ��� ����� ����� � � ���' �� θE = π/2� ���'��� ����� θE = 8/π � � ������ �� �� ����� � �� � ��� ��� ����� �� ������� ������ ��� ��� ���������� ������ � �� ������� �������� ����� ��� ���� � ������ ��� ���()��'����������� �*+,- � ��� ���� a > b ��� ������ ����� �� ������� ���� ��� �� �������� a ����� ��� . � (,/-� ���� ������ ��� θE� ��� ������� ��� ���� ��� �� b� ��������������� �� �� ��0����� ��� ������ �� ��� ��� �������

� �������� ��� ����

��� ����� �� ������� �� ������� ��� ���������� ������ �� � � ��� ����� � ���������1����� ��� ������� ������� ��� ��� � �� � ��� ��� � �� �� � 2 �� ������ ���� �� �� �� ����� �� ��� � �� ���� ������� ��� � ��� � � ��� ��'�� ���� ���

�3

Page 128: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

���� ��� �������� ���� θE �� ��� � ��� � � �◦�� � ��� ��� � �×� � ��� ���� � ��� �� �� ���

������ � �� ���� ������ ��� � � ��� ��� ���� � �� ������� ��� ��� √

Ap/hw

���� ��� θE ������ ��� ���� ���� a/b ��� ���� �� �� ��� ������� �×�� ��� θE ��� �� ��������������� ��� ��� ����� a/b = 2.5, 2, 1.5, 1, 0.5, 0.67 ��� ���� �������� ���� ��� ������� ���� ��� ��������� � a � ��� ������� �� ��� ����� ��� ����� ��� ������ �� a/b →�� ��� ��� � ��� ������ �

θE =π

2�� ��������

��

Page 129: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

��������� �������� �� ������ � ����� ������� ����������� ��� ��������� ����� ����� ������� ������������� �������� ��� ��������� �� ����� ��������� ��� ����� �� � De,��� =1.033Db �� ��� ������ !x1" ���������� ��� 1.071Db ��� ���������� !x2" ��������� ���� ���������� ���� ��� ������������� ������#�� ����������� $ ��� %# !�&" ���� ��� ������De,sup = 1.030Db� ��� 1.068Db �� ������ ��� ���������� ���������� ��������'��$ ��� ��������� �� �� ��� ���������� �� ��� �� ����� ��������� �� ��� ��� Db ��� ������'� ������������� �� ��� ������������� ������#�� '����� ��� ����� ������� ������������ ��� �� ����� ����� ������ ��������� �� 0.03/0.033 = 0.91 (� ��� ���������� ��������� ��� ������������������ �� 0.068/0.071 = 0.96� �� �� ��� ������ ��� ���������� ���������� ��� �������������������#�� ��'�� �� 9% ��� 4% ������� ���������� ���� ��� ����� ������� ������#�� ��������� ����� � ���� ����� �� �� ����������� ������ ��� ����� ���� �� ��� ����$ ��������

)�� ��� ������� ������� ����� ��� ����� ������� ����������� ��� ��������� ����� ��*�&������� ������������� �������� ��� ��������� ������� ������� ��� ����� �� � Ee,��� =0.895Eb �� ��� ������ ��������� ��� 0.955Eb �� ��� ���������� ��������� ��� �������������������#�� ��'�� Ee,sup = 0.889Eb �� ��� ������ ��������� ��� 0.948Eb �� ��� ������������������� ��� ����� �� ��� ���������� ��� �� ��� ������������� ������#�� �� 6% ��� ��������� ��������� ��� 16% ��� ��� ���������� ���������� ������ ���� ��� ���������� � ���������� ��� ��� ����� ������� ������ ��� ������ ��� ����� �� ������� ��������� �� �������������� ��� ������� ������� �� ��� ��� �������� �������� �������

��� ����� ���� �� ���� $ �������� ���� ��� ����� ��� ����� ����� �� �� ��������������θ ��� ��� �� ����� ���� ��� �� �'����������� θE ��� ��� ������� ���� ���� ����� ���� ����� ��������� �� ��� � ������ ������ ��� ����� �� ����� �����$ �+����� ��� �������

� ����������

,������������ ���������� ��� ����'�� ���� �����$ ����������� ������� �� �������� ����������� ��� ������� ���� �� ��$����������$ �+��� ��� ������������ ������ �� ���� �� ��������� ������� ��� ��������� ������������ �� �������� ���������� ��� �� ����� ��� ����������� ���������$ ������ ��������� ��� �� ����� ��������� �� )��- ′� ��� ��� ��� ������� ��������� .��-�′� ��� ��� �������

��� ������ �� �'������� �� �'��� ����� ��������� ��� ��� �� ����� ��� �������������� ������������� ������� ��� �������� ���� ���� ����� ����� ������� ������� ,���������$���� ������ �� ��� �� ����� ��������� ��� ��� ������ �� ��� ������� ������� ������ �� ����������� �� ������ ��� �������� ���� ��� ������������� ����� ������� ������� ��� �������� ��� ������������� ��������� ��� �� ����� ��'���� ���� / �� &0 ���� ��� ����� ������������� ��� ������������� ��'������� ��� ��� ������� ������� ��� � �� ��0 ��� ����������� �� ����� ��� ��#��������� ���� ��� ����� ������ � ������ ���� ����� �� ���� '�������� ����� '����� �� ���� ���� �10

��

Page 130: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

����������

������� ��� ��� ��� �������������� �������� �������� ������� ������������

������ ��� �������� �� !��"���� #�� $� %&��� �' �������� �� �&����(� ���"���� ���&�������)������ *���+ ��� ������� ���������� �' �������� ,��� �� ��-./ � 0����1��&������ ���������� ������ �-� 2������ �' �-� ���������� ������� �' ������� � *3+� �4�5�4�$�

����� � ��� �6��� 7������ �-���� �' �-���1����������� �������������� 2������ �' ��������-����� � *+� �885� ��

��9��� �� ��� 3� � ��������" �' ����������� �������������� �� �������� �' ������ ������1����� ��������� �� ������ ����� 8 *�1+� 3858 �

7������ ��� :��� 7�� #������� ;� 2�� !��"���� #�� ��� � �9�1��������� ����� �' �-��&����(� ������� ������ '�� �������� ,���� 2������ �' ,�����-����� �� *4+� � �5� 8�

!�� ;�� <��� !�� ��-�=��� � ��� ;��"� !�� 6� �-� ���������� �' ������ ��&����� ����������� 9��"-� ��� �-��� �� ������ ,���� ���� �8 *8+� ��$5�3�

!���,��"� 7�� �-�>��� ��� :�-����� ;�� �(������� ?�� ��� ������������� �' ��&��������)������ �� ,�(��� ,��� ,� ����� �' ��������(��� ������������ ?������������ 2�������' %@���������� ��� ������������� ������-����� *�+� 3�53��

������ :� �� �� ���� �3� A������������ A@'���� �������� #�����

�����..�� B�� ����� B�� �����..�� ��� ���� ;���� ����>� ��� �9�����" �� ���"�� ���,����C'��� -���� '���� -���� ��������� � *�+�

�����..�� B�� ����� B�� ��������� ��� ��������� �� �����..�� ��� ��,� %@��������������� �' ��&����� ���)������ �' 9���� �-���"- �-� �����"��/ ������� �������� �� -�������,������ ,��� ������� ��� �� �������- ������������� ���

��>-����-(���� D�� �683� ���� ����� #��,���� �' �-� ��-�������� �-���� �' %����������#� D����-�& !��� 7�����"��� E�������

#����� :�� AF!����� 2�� �-���� ��� ����G�� ��� H���-� ����� �� �� ��������" �-� ���1���,����� �' �������� ,��� �� �������� ���"�- ������ ����" I���������� ����(��� �'����-���,����-��" ���-��J���� ?�/ #��� 8��� ������ A:� �����"� ���� ����

#������� ��� ?��>����� #�� ��K-��� #�� �3� �� ���"��� :������-"���� �:!-���/LL�@�������"L���3��L:7����36 ��44�

:���� 2� :�� ������� � #�� �6$ � ���� ,���� ������ ��&����� ��������� '�� I���1���������������� ������ ����� 9��- ���������,�� ������������� :�(��9� �' 7���-����� �� *+� $5���

�6

Page 131: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination

�������� �� ����� �� ���� �������� �� ������� ����� ������ �� �������� ���������� ������� �� ������������ � !�"� �#$�%

���&������ '� ((( ������� �� ����)������� ����� ������� �� ������������ �������� ��������������� *� !�"� #�($#+(

,��-� .� ,��-� /� 0��� /� 0��������� � 1� �2��3�� ' �� ,�������� �� �������� �� ((* 4� ���� ����������� �� ������ ��������� �� ��� ���� �������)����������������� 5��������-� �� ��� 6������� 7������ �� �������� �� ��� 8����� ������ �� 7�������( !##"� �����$����%

,��3�������� � 7� (� 9���������� ������������ 1'1 5����� :.� 8�7

(

Page 132: On the determination of diffusion coefficients in bone Shokry, … · Shokry, Abdallah 2015 Link to publication Citation for published version (APA): Shokry, A. (2015). On the determination