On thi-dh-tiep-tuyen-cua-do-thi-ham-so

Trung tâm Tài đức 281 Văn Chương Phạm Hồng Phong

Tiếp tuyến và sự tiếp xúc 1

§1. Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm

A. Tóm tắt lý thuyết

Cho y f x C .

1. Tiếp tuyến tại một điểm

Tiếp tuyến với C tại 0 0;M x f x là đường thẳng

0 0 0: ' y f x x x f x .

Ta cung noi răng tiếp xuc với C hay C tiếp xuc , hoăc

và C tiếp xuc nhau.

Chú ý. Khi noi đến tiếp tuyến của C tại M , ta phải hiểu răng M thuôc C và M là nơi xảy

ra sự tiếp xúc.

2. Tiếp tuyến qua một điểm

Tiếp tuyến qua M của C là tiếp tuyến với C tại môt điểm N nào đo. Điểm M co thể

thuôc C hoăc không, trong trường hơp thuôc C thi M lại co thể là tiếp điểm hoăc không

(xem cac hinh ve ơ dưới).

Bài toán. Viết phương trinh tiếp tuyến qua 1 1;M x y của C .

Phương pháp giải. B1 Viết phương trinh tiếp tuyến tại điểm co hoành đô 0x của C :

0 0 0: 'y f x x x f x .

B2 đi qua M khi và chỉ khi 1 0 1 0 0'y f x x x f x . Giải phương trinh này để tìm 0x .

B3 Thay mỗi 0x tim đươc ơ bước 2 vào phương trinh , ta đươc môt tiếp tuyến qua M của

C .

B. Các ví dụ

Δ

O

y

x

M x0;f x0

C( )

N

M

(C)

M

N

(C)

M≡N

(C)



Ví dụ 1. Cho 2

2

1

3 1

x xy

x

C . Viết phương trinh tiếp tuyến của C tại điểm M co hoành đô

băng 1.

Giải. Ta co

2

22

3 4 1'

3 1

x xy

x

. Lân lươt thay 1x vào cac biểu thưc của y và 'y , ta đươc

1

' 18

y và 1

14

y . Suy ra phương trinh tiếp tuyến với C tại M là:

1 1

: 18 4

y x 1 3

:8 8

y x .

Chu y. Ta co thể dung ky hiêu y và 'y thay cho f và 'f trong trường hơp bài toan chỉ đê câp

đến môt hàm sô.

Ví dụ 2. Cho 3 24 5 2y x x x C . Viết phương trinh cac tiếp tuyến của C tại những

giao điểm của C với trục hoành.

Giải. Tư phương trinh của C , cho 0y ta đươc:

3 24 5 2 0x x x 2

2 1 0x x 2

1

x

x

.

Suy ra C co hai giao điểm với trục hoành là 1 2;0M và 2 1;0M .

Tư 2' 3 8 5y x x suy ra ' 2 1y , ' 1 0y . Do đo phương trinh tiếp tuyến với C tại

cac điểm 1M , 2M lân lươt là:

1 : 1. 2 0y x 1 : 2y x ,

2 : 0. 1 0y x 2 : 0y .

Ví dụ 3. [ĐHB08] Cho 3 24 6 1y x x C . Viết phương trinh cac tiếp tuyến đi qua điểm

1; 9M của C .

Giải. Phương trinh tiếp tuyến của C tại điểm co hoành đô 0x là:

0 0 0: 'y y x x x f x

2 3 2

0 0 0 0 0: 12 12 4 6 1y x x x x x x .

Điêu kiên đi qua 1; 9M tương đương với



2 3 2

0 0 0 0 09 12 12 1 4 6 1x x x x x 3 2

0 0 08 6 12 10 0x x x 0

0

5

4

1

x

x

.

0

5

4x

0

0

15'

4

9

16

y x

y x

15 5 9

:4 4 16

y x

15 21

:4 4

y x .

0 1x

0

0

' 24

9

y x

y x

: 24 1 9y x : 24 15y x .

Vây phương trinh cac tiếp tuyến đi qua điểm M của C là 15 21

:4 4

y x , : 24 15y x .

C. Bài tập

Bài 1. Viết phương trinh tiếp tuyến của C biết răng:

1) C là đồ thị hàm sô 4 22 3y x x và hoành đô tiếp điểm băng 2 ;

2) C là đồ thị hàm sô 3 23 2y x x và tung đô tiếp điểm băng 2 ;

3) C là đồ thị hàm sô 2 3 4

1

x xy

x

và tiếp điểm là giao điểm của C với trục tung;

4) C là đồ thị hàm sô 3 22 3 5y x x và tiếp tuyến đi qua 19

;412

A

;

5) C là đồ thị hàm sô 3 23 2y x x và tiếp tuyến đi qua 1;4A .

Bài 2. Cho 3 22 3 12 1y x x x C . Tim những điểm thuôc C mà tiếp tuyến tại đo đi qua

gôc tọa đô.

D. Hướng dẫn và đáp số

Bài 1 1) 24 43y x ; 2) 2y , 9 7y x ; 3) 7 4y x ; 4) 12 15y x , 21 645

32 128y x ,

4y ; 5) 4y , 9 7

4 4y x . Bài 2 1;12M .



§2. Điều kiện tồn tại tiếp tuyến


Xét bài toan sau đây.

Bài toán. Cho đồ thị hàm sô y f x C . Tim điêu kiên của tham sô để C có tiếp tuyến

thỏa mãn môt điêu kiên nào đo.

Phương pháp giải. B1 Viết phương trinh tiếp tuyến tại điểm co hoành đô 0x của C :

0 0 0: 'y f x x x f x .

B2 Áp điêu kiên của bài toan lên đường thẳng để nhân đươc môt phương trinh ẩn 0x . Tiếp

tuyến tồn lại khi và chỉ khi phương trinh này có nghiêm 0x .

B. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho 1

1

xy x

x

C . Chưng minh qua điểm 1; 1I không tồn tại tiếp tuyến của

C .

Giải. Xét tiếp tuyến tại điểm co hoành đô 0x của C

0 0 0: 'y f x x x f x

0

02

00

12:

11

xy x x

xx

.

đi qua 1; 1I nghĩa là

0

02

00

121 1

11

xx

xx

0

0 0

121

1 1

x

x x

0

0

31

1

x

x

0 0

0

1 3

1 0

x x

x

0x .

Vây không tồn tại 0x để đi qua I . Nói cách khác qua I không có tiếp tuyến của C .

Ví dụ 2. Cho 24 3 6y x mx C . Tìm m để C co tiếp tuyến đi qua 1; 2A .

Giải. Phương trinh tiếp tuyến với C tại điểm co hoành đô 0x là:

0 0 0: 'y y x x x y x 2

0 0 0 0: 8 3 4 3 6y x m x x x mx .

C co tiếp tuyến đi qua 1; 2A khi và chỉ khi phương trinh sau đây co nghiêm đôi với 0x :

2

0 0 0 02 8 3 1 4 3 6x m x x mx . *

Ta có



* 2

0 04 8 3 8 0x x m ( ' 12 48m ).

Do đo * co nghiêm khi và chỉ khi

' 0 12 48 0m 4m .

Vây C co tiếp tuyến đi qua 1; 2A khi và chỉ khi 4m .

Ví dụ 3. Cho 2 1

2

xy

x

C . Tim trên đường thẳng 3x cac điểm mà qua đo co tiếp tuyến của

C .

Giải. Phương trinh tiếp tuyến của C tại điểm co hoành đô 0x ( 0 2x ) là:

0 0 0: 'y y x x x y x

002

00

2 15:

22

xy x x

xx

.

Điểm A năm trên đường thẳng 3x tọa đô A co dạng 3;A a .

Qua A co tiếp tuyến tới C khi và chỉ khi phương trinh sau đây co nghiêm đôi với 0x :

0

02

00

2 15: 3

22

xa x

xx

. 1

Ta thấy

1

2

0 0 0 0 0

0

2 5 3 2 1 2 2 0

2 0

a x x x x x

x

2

0 0 0 02 5 3 2 1 2a x x x x

2

0 02 2 2 1 4 17 0a x a x a . 2

Trường hợp 1. 2 0a 2a . Khi đo 2 trơ thành

010 21 0x 0

21

10x .

Trong trường hơp này 2 co nghiêm 1 co nghiêm.

Trường hợp 2. 2 0a 2a . Khi đo 2 là phương trinh bâc hai co 5 35a . Do đo,

trong trường hơp này 1 co nghiêm khi và chỉ khi 2 co nghiêm, tưc là



0 5 35 0a 7a .

Vây tâp hơp cac điểm thỏa mãn yêu câu bài toan là 3; 7A a a .

Ví dụ 4. [ĐHD02] Cho 22 1

1

m x my

x

C và :d y x . Tìm m để C tiếp xuc với d .


0 0 0: 'y y x x x y x

2 2

0

0

0 0

2 11:

1 1

m x mmy x x

x x

2 2 2

0

0

0 0 0

2 11 1:

1 1 1

m x mm my x x

x x x

.

C tiếp xuc với d khi và chỉ khi tồn tại 0x sao cho hai đường thẳng và d trùng nhau. Tưc là

hê sau đây co nghiêm đôi với 0x

2

0

2 2

0

0

0 0

11

1

2 110

1 1

m

x

m x mmx

x x

. *

Ta có

*

2

0

2

0

0

0

11 1

1

2 10 2

1

m

x

m x mx

x

.

1

0

0

0

1

1 1

1 1

x

x m

x m

0

0

0

1

2

x

x m

x m

.

1m 2 1m m 1 vô nghiêm * vô nghiêm.

1m : 1 0

0

2

x m

x m

. Thay 0x m vào vế trai của 2 ta có



22 1

2 01

m m mVT m

m

0x m là môt nghiêm của * * co nghiêm. Vây

C tiếp xuc với d khi và chỉ khi 1m .

Ví dụ 5. Cho 4 28 7y x x C . Tìm m để đường thẳng : 60d y x m tiếp xuc với C .

Với mỗi m tim đươc, hãy chỉ ra hoành đô tiếp điểm của d và C .

Giải. Phương trinh tiếp tuyến của C tại điểm co hoành đô 0x là:

0 0 0: 'y y x x x y x 0 0 0 0: ' 'y y x x x y x y x .

C tiếp xuc với d khi và chỉ khi tồn tại 0x sao cho và d trung nhau, điêu đo co nghĩa là hê

sau đây co nghiêm đôi với 0x

0

0 0 0

' 60

'

y x

x y x y x m

0

0 0

' 60 1

60 2

y x

m x y x

.

1 3

0 04 16 60x x 0 3x . Thay 0 3x vào 2 ta có 164m .

Vây d tiếp xuc với C khi và chỉ khi 164m . Khi đo hoành đô tiếp điểm là 0 3x .

C. Bài tập

Bài 1. Cho 1

xy

x

C . Chưng minh răng qua 1;1I của C , không tồn tại tiếp tuyến nào

của C .

Bài 2. Tìm m sao cho đồ thị hàm sô 1

x my

x m

co tiếp tuyến đi qua điểm 0; 2A .

Bài 3. Cho 4 22y x x C .

1) Tìm trên trục tung những điểm mà qua đo co thể kẻ đươc tiếp tuyến tới C ;

2) Tìm những điểm trên đường thẳng 3y mà qua đo co thể kẻ đươc tiếp tuyến tới C .


Bài 2 2

13

m . Bài 3 1) Những điểm cân tìm có dạng 0;A a với 1

3a ; 2) Những điểm cân

tìm có dạng ;3A a với ; 3 3;a

.



§3. Hệ số góc của tiếp tuyến

A. Giới thiệu

Ta biết răng 0'f x là hê sô góc tiếp tuyến của đồ thị hàm sô y f x tại điểm co hoành đô 0x

. Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiêu hơn đến hê sô góc của tiếp tuyến.

B. Các ví dụ

Ví dụ 1. Cho 3 222 2

3y x x x C . Viết phương trinh cac tiếp tuyến co hê sô goc băng 2

của C .

Giải. Ta co

0' 2y x

2

0 02 2 2 2x x 2

0 0 2 0x x 0

0

1

2

x

x

.

Ta có 7

13

y , 2

23

y . Suy ra cac tiếp tuyến thỏa mãn yêu câu bài toan là:

1

7: 2 1

3y x 1

13: 2

3y x ,

2

2: 2 2

3y x 2

14: 2

3y x .

Ví dụ 2. Cho 3 23 12 5y x x x C . Viết phương trinh tiếp tuyến co hê sô goc nhỏ nhất của

C .

Giải. Hê sô goc tiếp tuyến tại điểm co hoành đô 0x của C là:

22

0 0 0 0' 3 6 12 3 1 15 15k f x x x x 15k .

Dấu “” xảy ra khi và chỉ khi 0 1x . Do đo k nhỏ nhất băng 15 , đạt đươc khi và chỉ khi

0 1x . Ta có 1 9f , suy ra tiếp tuyến co hê sô goc nhỏ nhất của C là:

: 15 1 9y x : 15 6y x .

Ví dụ 3. [ĐHD10] Cho 4 2 6y x x C . Viết phương trinh tiếp tuyến vuông goc với đường

thẳng 1

: 16

d y x của C .

Giải. Gọi là tiếp tuyến với C tại điểm co hoành đô 0x co hê sô goc là 0'k y x .

d 1

16

k 6k 3

0 04 2 6x x 0 1x .

0 1x 0 4y x : 6 1 4y x : 6 10y x .



Vây tiếp tuyến vuông goc với d của C là : 6 10y x .

Chú ý. (Vị trí tương đôi và goc giữa hai đường thẳng co phương trinh dạng hê sô goc)

Cho 1 1 1: y k x m và

2 2 2: y k x m . Ta có:

1 2 1 2

1 2

k k

m m

;

1 2 1 2

1 2

k k

m m

;

1 2 1 2 1k k ;

Cho 0 ;90 , ta có: 1 tạo với 2 góc 1 2

1 2

tan1

k k

k k

;

Đăc biêt, nếu 2 0k thì: 1 tạo với 2 góc 1 tank .

Ví dụ 4. [ĐHD05] Cho 3 21 1

3 2 3

my x x

mC . Gọi M là điểm thuôc mC co hoành đô

băng 1 . Tìm m để tiếp tuyến tại M của mC song song với đường thẳng :5 0d x y .

Giải. Phương trinh tiếp tuyến tại M của mC là

: ' 1 1 1y y x y : 1 12

my m x : 1 1

2

my m x .

Ta có : 5d y x . Do đo d

1 5

1 02

m

m

4m .

Vây tiếp tuyến tại M của mC song song với đường thẳng d 4m .

Ví dụ 5. Cho 4 213 2

24y mx m x

mC . Gọi A và B lân lươt là cac điểm co hoành đô

băng 1 và 2 của mC . Tìm m để cac tiếp tuyến của mC tại A và B vuông goc với nhau.

Giải. Ta có 3 1' 4 6

12y x mx m x

hê sô goc cac tiếp tuyến của mC tại A và B lân

lươt là 1

' 1 1012

y m và 1

' 2 446

y m . Do đo cac tiếp tuyến của mC tại A và B

vuông goc với nhau khi và chỉ khi



' 1 ' 2 1y y 1 1

10 44 112 6

m m

2 16 71440 0

3 72m m

1

24

71

1320

m

m

.

C. Bài tập

Bài 1. Viết phương trinh tiếp tuyến của C biết

1) C là đồ thị hàm sô 3 23 5 1y x x x , tiếp tuyến co hê sô goc nhỏ nhất.

2) C là đồ thị hàm sô 3 215 2

3y x x x , tiếp tuyến co hê sô goc lớn nhất.

Bài 2. Cho 3 211

3y x mx x m C . Tìm m để hê sô goc của tiếp tuyến co hê sô goc nhỏ

nhất của đồ thị là 10 . Viết phương trinh cac tiếp tuyến đo.

Bài 3. Viết phương trinh tiếp tuyến của C biết răng

1) [ĐHB06] C là đồ thị hàm sô 2 1

2

x xy

x

và tiếp tuyến vuông goc với đường thẳng

: 1d y x .

2) C là đồ thị hàm sô 1 2

2 1

xy

x

và tiếp tuyến song song với đường thẳng : 4 1 0d x y .

3) C là đồ thị hàm sô 3 21 12 1

2 2y x x x và tiếp tuyến tạo với đường thẳng

: 3 1 0d x y góc 45 .

Bài 4. Tim tất cả cac điểm trên đồ thị C của hàm sô 31 2

3 3y x x mà tiếp tuyến tại đo

vuông goc với đường thẳng 1 2

:3 3

d y x .

Bài 5. Cho 3 211 3 4 1

3y mx m x m x

mC . Tim điêu kiên của m để mC co tiếp

tuyến vuông goc với đường thẳng 2012y x .


Bài 1 1) 2 2y x ; 2) 7

63

y x . Bài 2 3m , 3m thì tiếp tuyến là 1 : 10 11d y x ,

3m thì tiếp tuyến là 2 : 10 13d y x . Bài 3 1) 2 2 5y x , 2 2 5y x ; 2)



4 7y x 3) 1 1

2 2y x ,

1 229

2 54y x , 2 1y x ,

292

27y x . Bài 4 2;0

và

42;

3

.

Bài 5 1

48m hoăc

7

240m .



§4. Một số tính chất hình học của tiếp tuyến


Phân này sử dụng môt sô kiến thưc sau:

1. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho điểm 0 0;M x y và đường thẳng : 0ax by c . Ta co công thưc tính khoảng cach tư

M đến :

0 0

2 2;

ax by cd M

a b

.

2. Giao điểm của hai đường thẳng

Tọa đô giao điểm của hai đường thẳng là nghiêm của hê gồm cac phương trinh đường thẳng.

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. Cho 3 22 4y x x x C . Viết phương trinh cac tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến

tạo với Ox góc 45 .

Giải. Hê sô goc của tiếp tuyến tại điểm co hoành đô 0x của C là:

2

0 0 0' 6 8 1k y x x x .

Ta có

, 45Ox tan45k 1

1

k

k

.

1k 2

0 06 8 1 1x x 0

0

0

4

3

x

x

.

+) 0 0x 0 0y x : y x .

+) 0

4

3x 0

28

27y x

4 28: 1.

3 27y x

64:

27y x .

1k 2

0 06 8 1 1x x 0

0

1

1

3

x

x

.

+) 0 1x 0 1y x : 1 1y x : y x .



+) 0

1

3x 0

1

27y x

1 1:

3 27y x

8:

27y x .

Cac tiếp tuyến tạo với Ox góc 45 của C là: y x , 64

27y x , y x ,

8

27y x .

Ví dụ 2. Cho 1

2 1

xy

x

C . Viết phương trinh tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến cach

1 1;

2 2I

môt khoảng băng 3

10.

Giải. Phương trinh tiếp tuyến của C tại điểm co hoành đô 0x (0

1

2x ) là:

0 0 0: 'y y x x x y x

002

00

13:

2 12 1

xy x x

xx

2 2

0 0 0:3 2 1 2 4 1 0x x y x x

2 2

0 0 00

4 4

0 0

3 12 1 2 4 1

3 2 12 2;

9 2 1 9 2 1

x x xx

d I

x x

.

Do đo:

3

;10

d A

0

4

0

3 2 1 3

109 2 1

x

x

4 2

0 02 1 10 2 1 9 0x x

2

0

2

0

2 1 1

2 1 9

x

x

0

0

0

0

0

1

1

2

x

x

x

x

.

0 0x

0

0

' 3

1

y x

y x

: 3 1y x .

0 1x

0

0

' 3

2

y x

y x

: 3 1 2y x : 3 5y x .



0 1x

0

0

1'

3

0

y x

y x

1

3: 1y x

1 1

3 3: y x .

0 2x

0

0

1'

3

1

y x

y x

1

3: 2 1y x

1 5

3 3: y x .

Vây co bôn tiếp tuyến thỏa mãn yêu câu bài toan là: 3 1y x , 3 5y x , 1 1

3 3y x ,

1 5

3 3y x .

Ví dụ 3. Cho 3 2

1

xy

x

C .Viết phương trinh tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến cach đêu cac

điểm 7;6A và 3;10B .


0 0 0: 'y y x x x y x

002

00

3 25:

11

xy x x

xx

2 2

0 0 0:5 1 2 6 3 0x x y x x .

cach đêu cac điểm A và B khi và chỉ khi:

; ;d A d B

2 22 2

0 0 0 0 0 0

4 4

0 0

35 6 1 2 6 3 15 10 1 2 6 3

25 1 25 1

x x x x x x

x x

2 2

0 0 0 08 6 32 12 14 8x x x x 2 2

0 0 0 04 3 16 6 7 4x x x x

2 2

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0

4 3 16 6 7 4

4 3 16 6 7 4

x x x x

x x x x

2

0 0

2

0 0

2 6 0 ' 5 0

2 0

voânghieämx x

x x

0

0

1

2

x

x

.



0 1x

0

0

5'

4

1

2

y x

y x

5 1

4:

21y x

5 7

4 4: y x .

0 2x

0

0

' 5

7

y x

y x

: 5 2 7y x : 5 17y x .

Vây phương trinh cac tiếp tuyến cach đêu A và B của C là 5 7

4 4y x , 5 17y x .

Ví dụ 4. Cho 2 1

1

xy

x

C . Tim tọa đô điểm M C sao cho khoảng cach tư điểm 1;2I

tới tiếp tuyến của C tại M đạt gia trị lớn nhất.

Giải. Giả sử 0x là hoành đô của M tiếp tuyến tại M của ( )C co phương trinh:

0 0 0: 'y y x x x y x

02

00

3 3: 2

11y x x

xx

2 2

0 0 03 1 2 5 0x x y x x

2 2

0 0 00

4 42

0 002

0

3 2 1 2 2 1 6 1 6;

99 1 9 1 11

x x x xd I

x x xx

.

Theo bất đẳng thưc Cô-si:

2

02

0

91 2 9 6

1x

x

, suy ra , 6d I . Đẳng thưc xảy ra

khi và chỉ khi

2

02

0

91

1x

x

2

0 1 3x 0 1 3x .

Vây khoảng cach ;d I lớn nhất băng 6 , đạt đươc khi và chỉ khi 0 1 3x

1 3;2 3M hoăc 1 3;2 3M

Ví dụ 5. [ĐHD07] Cho 2

1

xy

x

C . Tim tọa đô điểm M thuôc C biết tiếp tuyến của C

tại M cắt hai trục Ox , Oy tại A , B sao cho tam giác OAB co diên tích băng 1

4.



Giải. Ta có

2

2'

1y

x

. Xét điểm M C , M co hoành đô

0x . Ta co phương trinh tiếp tuyến

với C tại M :

0 0 0: y f x x x f x

0

02

00

22:

11

xy x x

xx

2

0

2 2

0 0

22:

1 1

xxy

x x

.

A Ox

2

0

2 2

0 0:

22

1 1

0

A

xxy

x

y

x

2

0 ;0A x ,

B Oy

2

0

2 2

0 0:

22

1 1

0

B

xxy

x

x

x

2

0

2

0

2

10;

x

xB

.

Ta có 2

0OA x ,

2

0

2

0

2

1

xOB

x

4

0

2

0

.

2 1ABC

xOAOBS

x

.

1

4OABS

4

0

2

0

1

41

x

x

2

0 0

4 14x x

0 0

0

2

0

2

2 1

2 1

x x

x x

0 0

0 0

2

2

2 1 0

2 1 0 7 0 voânghieäm

x x

x x

0

10 2

1x

x

1;1

1; 2

2

M

M

.

C. Bài tập

Bài 1. Cho 4 212 3

2y mx m x

mC . Tìm m để tiếp tuyến của mC tại cac điểm co

hoành đô băng 1 và 3 tạo với nhau môt goc co cô-sin băng 3

13.

Bài 2. Cho 3

4

xy

x

C . Viết phương trinh tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến cach

4; 1A môt khoảng băng 7 2

5.



Bài 3. Cho 1

3 4

xy

x

C . Viết phương trinh tiếp tuyến của C biết khoảng cach tư điểm

4 1;

3 3I

tới tiếp tuyến đạt gia trị lớn nhất.

Bài 4. [ĐHA09] Cho 2

2 3

xy

x

C . Viết phương trinh tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến cắt

cac trục tọa đô tại cac điểm A , B sao cho tam giác OAB cân tại O .

Bài 5. Cho

3

2 1

xy

x

C . Viết phương trinh tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến cắt cac trục

tọa đô tại cac điểm A , B sao cho trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gôc tọa đô O .

Bài 6. Cho 2

2

xy

x

C . Viết phương trinh tiếp tuyến của C biết răng tiếp tuyến cắt cac

trục tọa đô Ox , Oy lân lươt tại hai điểm A , B phân biêt sao cho 2AB OA .


Bài 1. 1

48m hoăc

7

240m . Bài 2. Cac tiếp tuyến thỏa mãn yêu câu bài toan là:

7 15y x , 7 43y x , 1 3

7 7y x ,

1 25

7 7y x . Bài 3. Cac tiếp tuyến thỏa mãn yêu

câu bài toan là: 1y x , 7

3y x . Bài 4. Đồ thị co đung môt tiếp tuyến thỏa mãn yêu câu bài

toán là 2y x . Bài 5. Cac tiếp tuyến thõa mãn yêu câu bài toan là 3

2y x ,

5

2y x .

Bài 6. Đồ thị co đung môt tiếp tuyến thỏa mãn yêu câu bài toan là 4y x .



§5. Điều kiện tiếp xúc


1. Định nghĩa (Hình 1). Cho y f x C và y g x 'C .

C và 'C tiếp xuc với nhau tại điểm 0 0;M x y nếu cả hai điêu

kiên sau đây thỏa mãn:

M là môt điểm chung của C và 'C ;

Tiếp tuyến của hai đường cong tại M trùng nhau.

Điểm M đươc gọi gọi là tiếp điểm của hai đường cong đã cho.

Hình 1

2. Điều kiện tiếp xúc. Để xét sự tiếp xuc của hai đồ thị hàm sô y f x C và y g x

'C , ta xét hê:

' '

f x g x

f x g x

. *

Ta có:

C và 'C tiếp xuc nhau hê * co nghiêm đôi với x ;

Nghiêm của * chính là hoành đô tiếp điểm;

0x là hoành đô tiếp điểm tiếp tuyến chung của C và 'C tại điểm co hoành đô 0x

là: 0 0 0'y f x x x f x .

Hệ quả. Đường thẳng y kx m là tiếp tuyến của đồ thị hàm sô y f x C khi và chỉ khi

hê

'

f x kx m

f x k

co nghiêm đôi với x .

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1. [SGKNC] Cho 3 5

24

y x x C và 2 2y x x 'C . Chưng minh C và 'C

tiếp xuc nhau và viết phương trinh tiếp tuyến chung.

Giải. Ky hiêu 3 54

2f x x x và 2 2g x x x . Xét hê:

y

xO

y0

x0

M



' '

f x g x

f x g x

I .

Ta có I

3 2

''

3 2

52 2

4

52 2

4

x x x x

x x x x

3 2

4

2

0

53 2 1

4

xx x

x x

1

2x .

Vây C và 'C tiếp xuc nhau tại điểm co hoành đô băng 1

2.

1 5

2 4

1' 2

2

g

g

phương trinh tiếp tuyến chung là: 1 5

22 4

y x

hay 9

24

y x .

Ví dụ 2. [SGK] Chưng minh răng đường thẳng y kx m là tiếp tuyến của parabol

2y ax bx c ( 0a ) khi và chỉ khi phương trinh 2ax bx c kx m 1 co nghiêm kép.

Giải. Ta có

1 2 0ax b k x c m ( 2

4b k a c m ).

Do đo: 1 co nghiêm kép 0 2

4 0b k a c m .

Đường thẳng và parabol đã cho tiếp xuc nhau khi và chỉ khi hê sau đây co nghiêm đôi với x

I

2

2

ax bx c kx m

ax b k

.

Ta có I

2 0 1

22

ax b k x c m

k bx

a

.

I co nghiêm 2

k bx

a

là nghiêm của 1

2

02 2

k b k ba b k c m

a a

2 2

04 2

b k b kc m

a a

2

4 0b k a c m 1 co nghiêm kép (ĐPCM).



Ví dụ 3. [SGKNC] Viết phương trinh đường thẳng qua điểm 1; 2A và tiếp xuc với parabol

2 2y x x .

Giải. Phương trinh đường thẳng qua 1; 2A co hê sô goc k co dạng : 1 2y k x

: 2y kx k .

Xét phương trinh 2 2 2x x kx k hay 2 2 2x k x k 1 ( 2

2 4 2k k ).

tiếp xuc với parabol đã cho 1 co nghiêm kép 0 2

2

k

k

.

2k : 2 1 2y x : 2y x .

2k : 2 1 2y x : 2 4y x .

Vây qua điểm A co hai đường thẳng tiếp xuc với parabol là: 2y x và 2 4y x .

Ví dụ 4. [ĐHB08] Cho 3 24 6 1y x x C . Viết phương trinh cac tiếp tuyến đi qua điểm

1; 9M của C .

Giải. Đường thẳng qua M , hê sô goc k co phương trinh dạng : 1 9y k x .

là tiếp tuyến của C khi và chỉ khi hê sau đây co nghiêm

I

3 2

2

4 6 1 1 9 1

12 12 2

x x k x

x x k

.

Thế 2 vào 1 ta có:

3 2 24 6 1 12 12 1 9x x x x x 3 24 3 6 5 0x x x

5

4

1

x

x

.

Do đo: I co nghiêm 54

x là nghiêm của 2 hoăc 1x là nghiêm của 2 .

Thay 5

4x vào 2 ta có

15

4k

15: 1 9

4y x

15 21:

4 4y x .

Thay 1x vào 2 ta có 24k : 24 1 9y x : 24 15y x .

Vây phương trinh cac tiếp tuyến đi qua điểm M của C là 15 21

4 4y x , 24 15y x .



Ví dụ 5. [ĐHD02] Cho 22 1

1

m x my

x

C và :d y x . Tìm m để C tiếp xuc với d .

Giải. C tiếp xuc với d khi và chỉ khi hê sau đây co nghiêm đôi với x

I

' 1

f x x

f x

.

Ta có I

2

2

2 1

1

11

1

m x mx

x

m

x

22 1 1 1

2

1

m x m x x

x m

x m

x

Do đo I co nghiêm khi và chỉ khi

1

1

2 1

2 1

laønghieäm cuûa

laønghieäm cuûa

m

m

m

m

2

2

1

2 1 1

2 1

2 1 2 2 1

m

m m m m m

m

m m m m m

1

1

1

m

m

m

m

1m .

Vây C tiếp xuc với d 1m .

C. Bài tập

Bài 1. [SGK] Chưng minh cac đồ thị sau tiếp xúc nhau và viết phương trinh tiếp tuyến chung

1) 2 3 1y x x và 2 2 3

1

x xy

x

.

2) 2 3

2 2

xy x và

3

2

xy

x

.

3) 2 3 6y f x x x , 3 2 4y g x x x và 2 7 8y h x x x .

Bài 2. [SGK] Chưng minh có hai tiếp tuyến của parabol 2 3y x x đi qua điểm

3 5;

2 2A

và

chúng vuông góc với nhau.

Bài 3. Viết phương trinh tiếp tuyến qua A của đồ thị C trong cac trường hơp sau:

1) 23

; 29

A

, C là đồ thị hàm sô 3 23 2y x x .

2) 6;5A , C là đồ thị hàm sô 2

2

xy

x

.



Bài 4. Chưng minh răng qua 1;0A có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau của đồ thị hàm sô

2 2 2

1

x xy

x

.

Bài 5. Tìm m để đường thẳng 9y mx tiếp xúc với đồ thị 4 28 7y x x .


Bài 1 1) 5y x ; 2) 3

2y x ; 3) 5 7y x . Chú ý. Ba đồ thị hàm sô y f x , y g x ,

y h x tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hê

' ' '

f x g x h x

f x g x h x

có nghiêm đôi với x . Bài 2

Đường thẳng qua 3 5

;2 2

A

có hê sô góc k 3 5

:2 2

y k x

. Ta chưng minh tồn tại

hai giá trị của k có tích băng 1 sao cho phương trinh 2 3 53

2 2x x k x

có nghiêm kép.

Bài 3 1) 5 61

3 27y x , 9 25y x , 2y ; 2) 1y x ,

1 7

4 2y x . Bài 4 Chưng minh

tồn tại hai giá trị của k có tích băng 1 sao cho hê

2

'2

2 21

1

2 2

1

x xk x

x

x xk

x

có nghiêm. Bài 5

0m .

Documents

On thi-dh-tiep-tuyen-cua-do-thi-ham-so