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RappelsL’oscillateur harmonique
N degrés de libertéConclusion
ENSTA - COURS MS 204DYNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES :
ONDES ET VIBRATIONS
Amphi 4
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RappelsL’oscillateur harmonique
N degrés de libertéConclusion
Rappels
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RappelsL’oscillateur harmonique
N degrés de libertéConclusion
REPRÉSENTATION DANS LA BASE MODALE : EDP EDO EN TEMPS
◮ On insère le développement :
w(x, t ) =+ ∞
p =1X p (t )φp (x)
◮ Projection des équations sur un mode φn :
∀n ≥ 1, m n Ẍ n (t ) + kn X n (t ) = f n (t)
⇒Innité d’équations indépendantes d’oscillateurs linéaires
◮ Force modale :f n (t ) = < φ n , f (x, t ) > = Ω f (x, t )φn dΩ
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RappelsL’oscillateur harmonique
N degrés de libertéConclusion
Oscillateur libreOscillateur forcé
L’oscillateur harmonique
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RappelsL’oscillateur harmonique
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Oscillateur libreOscillateur forcé
OSCILLATEUR HARMONIQUE CONSERVATIF
m
x(t)
f (t )
m ẍ(t) + kx (t) = f (t)
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RappelsL’oscillateur harmonique
N degrés de libertéConclusion
Oscillateur libreOscillateur forcé
OSCILLATEUR AMORTI
m
c
k
m ẍ + cẋ + kx = f (t )
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Oscillateur libreOscillateur forcé
Oscillations libres
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RappelsL’oscillateur harmonique
N degrés de libertéConclusion
Oscillateur libreOscillateur forcé
◮ Oscillations libres≡pas de forçage :m ẍ + kx = 0
◮ Recherche d’une solution harmonique de la forme x = eiωt ,
k
−ω2 m = 0
⇒ ω =
± k
m
◮ Solution générale du problème,
x(t) = ae iωt + be− iωt = A sin ωt + B cos ωt.◮ Les constantes A et B dépendent des conditions initiales,
x(t) = x0 cos ωt + ẋ0ω
sin ωt
◮ En posant tan ϕ = ẋ0 /ωx 0 ,
x(t) = 2ǫ0k cos( ωt −ϕ)avec ǫ0 ≡énergie mécanique initiale = k2 x20 + m2 ẋ20 .
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Oscillateur libreOscillateur forcé
t
x
x0
ẋ0
2ǫ0
k
Trajectoire dans l’espace des phasesր
x
ẋ
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N degrés de libertéConclusion
Oscillateur libreOscillateur forcé
CAS AVEC AMORTISSEMENT
◮ Oscillations libres≡pas de forçage :ω2 x + 2 ωζ ẋ + ẍ = 0 ,
avec ζ = c2mω
◮ Recherche d’une solution harmonique de la forme x = eλt ,
λ = ω −ζ ± i 1 −ζ 2 = −ζω ± iωa◮ Partie imaginaire : pulsation modiée : ωa = ω 1 −ζ 2Partie réelle : amortissement temporel : −ζω (ζ : taux d’amortissement).
ζ ωa /ω0 1
0.1 0.994990.2 0.979800.3 0.95394
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Oscillateur libreOscillateur forcé
OSCILLATIONS LIBRES
◮ Si ζ < 1,
x(t) = e− ωζt x0 cos ωa t + ζ
1 −ζ 2sin( ωa t ) + ẋ0
ωasin( ωa t ) ,
avec ωa = ω 1 −ζ 2 .◮ Si ζ > 1 , λ∈
R − , mouvement exponentiellement décroissant, sans oscillation(mouvement sur-amorti).
◮ Si ζ ≪1,x(t) ≃e− ωζt x0 cos ωt + ẋ 0ω sin( ωt )
= e− ωζt 2ǫ0K sin( ωt + φ)Diminution exponentielle de l’énergie mécanique totale.
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Oscillateur libreOscillateur forcé
t
x
տSinus amorti
Trajectoire dans l’espace des phasesր
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
ẋ
x
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Oscillateur libreOscillateur forcé
REPRÉSENTATION DU SYSTÈME DANS SA BASE MODALE,APPLICATION À LA CORDE PINCÉE
◮ Solutions temporelles du problème de cordepincée:
m l ∂ 2
y∂t 2 −T ∂ 2
y∂x 2 = 0
+conditions initiale y0 (x, t = 0) imposée,à vitesse nulle.
0 0.5 10
2.5
5
x 10−3
◮ Représentation base modale : y(x, t ) = N n =1 X n (t )Φn (x),où les modes normaux : Φn (x) = 2/L sin nπx/L , ωn = nπc/L .
Ẍ n + ω2n X n = 0
X n (t = 0) = X 0n =
L
0
y0 (x)Φ n (x)dx, Ẋ n (t = 0) = 0
◮ solution ∀n = 1 ...N : X n (t ) = X 0n cos ωn t◮ Problème de la troncature (choix de N):⊲ représentation de la C.I. : y0 (x, t = 0) = N n =1 X 0n Φn (x)⊲ représentation de la solution y(x, t ) pour tout t.
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RappelsL’oscillateur harmonique
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Oscillateur libreOscillateur forcé
L’oscillateur harmoniqueRéponse forcée
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Oscillateur libreOscillateur forcé
RÉPONSE IMPULSIONNELLE◮ Forçage ≡ pδ(t − t0 ) :
ẍ + 2 ωζ ẋ + ω2 x = pm
δ(t − t0 )
◮ δ(t) ≡distribution singulière de Dirac :
t 2
t 1δ(t − t0 )g(t)dt =
g(t0 ) si t0 ∈[t1 , t 2 ]0 sinon
◮ Intégration de l’équation du mouvement:
t 0 + ǫ
t 0 − ǫẍ + 2 ωζ ẋ + ω2 x dt =
pm
=⇒[ẋ]t 0 + ǫt 0 − ǫ + 2 ωζ [x]
t 0 + ǫt 0 − ǫ +
t0
+ ǫ
t 0 − ǫω2 xdt = p
m◮ Lorsque ǫ−→0, l’équation devient
ẋ0 |t 0 + − ẋ0 |t 0 − = pm
,
=⇒Forçage impulsionnel≡discontinuité nie de la vitesse.
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Oscillateur libreOscillateur forcé
APPLICATION : PLAQUE RECTANGULAIRE
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Oscillateur libreOscillateur forcé
DÉPLACEMENT DE LA PLAQUE ET DÉCOMPOSITION SELON SES PREMIERSMODES
t = 0
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Oscillateur libreOscillateur forcé
DÉPLACEMENT DE LA PLAQUE ET DÉCOMPOSITION SELON SES PREMIERSMODES
t = 1
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Oscillateur libreOscillateur forcé
RÉPONSE À UN FORÇAGE HARMONIQUE◮ Équation d’oscillateur forcé :
ω2 x + 2 ωζ ẋ + ẍ = F 0m
eiω f t (4)
◮ Réponse à la même fréquence que le forçage =⇒x = x0 eiω f t :
ω2 x0 + 2 iωζω f x0 −ω2f x0 eiω f t = F 0m
eiω f t (5)
◮ Fonction de transfert entre le forçage et le déplacement
H (ωf ) = x0F 0
= 1
m ω2 −ω2f + 2 iωζω f (6)
◮ En fonction de la fréquence réduite z = ωf /ω :
H (z) = 1
k (1 −z2 + 2 izζ )(7)
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Oscillateur libreOscillateur forcé
CARRÉ DE LA FONCTION DE TRANSFERT EN FONCTION DE z
10−1
100
101
10−2
10−1
100
101
102
103
Réponsequasi statique
Réponserésonante
Réponseinertielle
|H (z)|2
z
ζ = 0 . 02
ζ = 0 . 05
ζ = 0 . 1
ζ = 0 . 2
| H ( z ) | 2 ∼ 1 /k 2 | H (1) | 2 =1
4 ζ 2 k 2 | H ( z ) | 2 ∼
1
k 2 z 4
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Oscillateur libreOscillateur forcé
PHASE DE LA FONCTION DE TRANSFERT EN FONCTION DE z
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
arg (H )
z
ζ = 0 . 02
ζ = 0 . 2
−π
2
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RappelsL’oscillateur harmonique
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Oscillateur libreOscillateur forcé
FACTEUR DE QUALITÉ◮ On dénit le facteur de qualité Q :
Q = 12ζ
◮
Réponse en fréquence:H (z) =
1k(1 −z2 + iz/Q )
à la résonance : |H (1) | = Q
kla hauteur de la réponse en fréquence est Q
fois l’amplitude de la réponse quasi-statique.◮ Méthode de mesure:
On cherche les points z1 , 2 t.q. |H (z)|2 = H (1) 2
2 .cas ζ
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Oscillateur libreOscillateur forcé
RÉPONSE À UN FORÇAGE QUELCONQUE◮ Supposons désormais le forçage f (t ) quelconque:
ẍ + ω20 x + 2 ζω0 ẋ = 1m
f (t )
◮ En utilisant la transformée de Fourier (temporelle),ainsi que la linéarité de l’équation du mouvement, on obtient:
(−ω2 + ω20 + 2 iζω 0 ω)x̃(ω) = 1m
f̃ (ω)
◮ On reconnait la fonction de transfert H (ω), la réponse fréquentielle est doncdonnée simplement par:
x̃(ω) = H (ω) f̃ (ω)◮ On appelle réponse impulsionnelle ou fonction de Green la transformée de
Fourier inverse de H (ω), que l’on note G(t).◮ La solution à un forçage quelconque s’exprime simplement comme la
convolution entre la réponse impulsionnelle et le forçage considéré:
x(t) = T F − 1 [H (ω) f̃ (ω)]= ( G∗f )( t )
(8)
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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets
Systèmes à N degrés de liberté
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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets
SYSTÈMES À N DEGRÉS DE LIBERTÉ : CADRE GÉNÉRAL
◮ Système à N degrés de libertés x = [ x1 , x 2 ...x N ] t
◮ Système de N équations pour l’évolution des composantes de x :
M ẍ + K x = 0
◮ En général, les matrices M et K sont pleines (problème couplé).
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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets
EXEMPLE : OSCILLATEURS COUPLÉS
mmk k k
x1 x2
mẍ1 + kx 1 −k(x2 −x1 ) = 0m ẍ2 + kx 2 −k(x1 −x2 ) = 0
m 00 m ẍ + 2k −k−k 2k x = 0
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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets
ÉQUATIONS DE LAGRANGE◮ Lagrangien≡Énergie cinétique - énergie potentielle :
L= T ( q, ˙ q, t ) −V ( q, ˙ q, t ). (9)◮
Principe de moindre action :A =
t 2
t 1 L( q, ˙ q, t )dt (10)
est minimale pour la trajectoire correspondant à la solution.qi
t
C C ′
t1 t2◮ Conséquence : Équations de Larange
∂ L∂q i −
ddt
∂ L∂ q̇i
= 0 , i∈[1, N ]. (11)
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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets
EXEMPLE 1 : OSCILLATEURS COUPLÉS◮ Énergie cinétique :
T = m
2ẋ21 +
m2
ẋ22 (12)
◮ Énergie potentielle :
V = k2 x21 +
k2 x22 +
k2 (x2 −x1 )2 (13)
◮ Lagrangien :
L= T −V = m
2ẋ21 +
m2
ẋ22 − k2
x21 − k2
x22 − k2
(x2 −x1 )2 (14)◮ Équations de Lagrange :
∂ L∂x i −
ddt
∂ L∂ ẋ i
= 0 , i = 1 , 2 (15)
◮ Équations du mouvement :
m ẍ1 + kx 1 −k(x2 −x1 ) = 0m ẍ2 + kx 2 −k(x1 −x2 ) = 0 (16)
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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets
EXEMPLE 2 : BARREAU HOMOGÈNE MONTÉ SUR RESSORTS
l
mb
b
k1 k2
Variables du problème :◮ Déplacement vertical z(t)◮ Rotation autour de l’axe Oy
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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets
EXEMPLE 2 : BARREAU HOMOGÈNE MONTÉ SUR RESSORTS◮ Énergie cinétique :
T = 12
m ż2 + 12
I yy θ̇2 , (17)
Moment d’inertie de rotation par rapport à l’axe (Oy ) :
I yy = ρ
V
(x2 + z2 )dV = mb2 + l2
12. (18)
◮ Énergie potentielle :
V = 12
k1 z − lθ2
2+
12
k2 z + lθ2
2. (19)
◮ Lagrangien :
L= 12
m ż2 + 12
I θ̇2 − 12
(k1 + k2 ) z2 −12
(k1 + k2 ) l2 θ2
4 −12
(k2 −k1 ) lθz. (20)◮ Équations de Lagrange :
m z̈ + ( k1 + k2 )z + 12(k2 −k1 )lθ = 0 ,
I yy θ̈ + 14
(k1 + k2 )l2 θ + 12
(k2 −k1 )lz = 0 ,(21)
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Modes propres des systèmes discrets
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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets
RECHERCHE DE MODES PROPRES
◮ Forme générale des équations d’oscillateurs couplés : M ẍ + K x = 0◮ Recherche d’une solution harmonique :
x(t) = φe iωt
◮ L’équation devient(K −ω2 M ) φ = 0
◮ Solution non triviale si
det (K −λM ) = 0 ( λ ≡ω2 )(polynôme de degré N en λ =⇒N solutions)
◮ Modes propres vibratoires :
φn eiω n t
avec ωn = ± λn
ωn ≡pulsation propre , φn ≡Mode propre
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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets
PROPRIÉTÉS D’ORTHOGONALITÉ DES MODES PROPRES
◮ Vis-à-vis de la matrice de masse :
φntM φm = M̃ n δmn (22)
◮ Vis-à-vis de la matrice de raideur :
φntK φm = K̃ n δmn (23)
◮ Projection des équations sur la base modale :
x(t) = n qn (t ) φn
n q̈M φn + n qK φn = F (t )
φm t n q̈M φn + φmt
n qK φn = φmt F (t )
M̃ m q̈m + K̃ m qm = F̃ m =⇒N équations d’oscillateurs découplés !
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Cadre généralÉquations de LagrangeModes propres des systèmes discrets
DIAGONALISATION◮ Problème initial, dans la base “physique” : matrices pleines
M ẍ + K x = F (t ) (24)
◮ Nouveau problème, dans la base modale : matrices diagonales
. . .M̃
. . .
q̈ +
. . .K̃
. . .
q = F̃ (t ) (25)
◮ Matrices de passage :
P = φ1 · · · φN (26)
x = P q q = P − 1 x (27)
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EXEMPLE : OSCILLATEURS COUPLÉS
◮ Équations : m 0
0 m ẍ + 2k −k
−k 2k x =
0
◮ Solutions de la forme x(t) = φe iωt :◮ Problème aux valeurs propres :
2k −ω2 m −k−k 2k −ω2 m
φ = 0 .
◮ Solutions non-triviales si le déterminant s’annule :
ω1 = ±
km
ω2 = ±
3km
.
◮ Vecteurs propres correspondants :
φ1 = 1√ 2
11
φ2 = 1√ 2
1
−1.
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CONCLUSION
◮ Équations d’un milieu continu de dimension nie dans la base modale : Innité
d’oscillateurs découplés
◮ Oscillateur harmonique 1D : problème libre et problème forcé
◮ Oscillateurs harmoniques couplés : Différents types de problèmes
◮ Modes propres des oscillateurs couplés : Problème au valeurs propres
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LA SEMAINE PROCHAINE...
◮ Méthodes expérimentales
◮ Méthodes numériques
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