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TP N ondes et vibrations.
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Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 1
Université Dr. Moulay Tahar de Saida
Faculté de Technologie
2ème
Année TC.
Travaux pratiques
ondes et vibrations
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 2
TP N°01
1- Pendule tournant d’après Pohl
(Harmoniques libres)
Objectif
Mesurer et analyser des oscillations tournantes harmoniques libres
Résume
Le pendule tournant d’après Pohl permet d’étudier des oscillations
tournantes harmoniques libres. Seuls les couples de rotation de rappel d’un
ressort en volute et le couple de rotation atténuant d’un frein à courant de
Foucault réglable agissent sur le pendule. Dans l’expérience, nous allons
démontrer l’indépendance du temps d’oscillation vis-à-vis de la déviation et la
vitesse initiales et analyser l’atténuation des amplitudes d’oscillation.
Généralités
Le pendule tournant d’après Pohl permet d’étudier des oscillations
tournantes harmoniques libres. Seuls les couples de rotation de rappel d’un
ressort en volute et le couple de rotation atténuant d’un frein à courant de
Foucault réglable agissent sur le pendule.
Équation de mouvement pour l’angle de déviation d’une oscillation
tournante libre du pendule tournant :
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 3
J : moment d’inertie
D : constante de rappel
k : coefficient d’atténuation
Tant que l’atténuation n’est pas trop grande et que la condition < w0 est
remplie, la solution de l’équation de mouvement est la suivante :
Dans ce cas, l’amplitude initiale 0 et l’angle de phase y sont des
paramètres quelconques qui dépendent de la déviation et de la vitesse du
pendule tournant à l’instant t=0. Le pendule oscille donc pendant
L’amplitude d’oscillation diminue au fil du temps d’après
Dans l’expérience, nous allons étudier des oscillations à différentes
atténuations déterminées par l’intensité de courant réglable du frein à courant de
Foucault. Le temps d’oscillation est mesuré à l’aide d’un chronomètre. Il
s’avère qu’à une atténuation donnée, le temps d’oscillation ne dépend pas de la
déviation initiale ni de la vitesse initiale.
Pour déterminer l’atténuation, on note les déviations décroissantes du
pendule à droite et à gauche, le pendule, pour des raisons de simplicité,
démarrant sans vitesse initial.
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 4
Evaluation
L’équation (4) définit l’amplitude d’oscillation comme une grandeur
positive. Il s’agit donc du nombre de déviations à droite et à gauche. En
appliquant le logarithme naturel de ces déviations par rapport au temps, on
obtient une droite de pente – . En réalité, on observe des écarts du
comportement linéaire, car la force des frottements n’est pas – comme supposé –
tout à fait proportionnelle à la vitesse.
2- Pendule tournant d’après Pohl
(Oscillations forcées)
Objectif
Mesurer et analyser des oscillations forcées.
Résume
Le pendule tournant de Pohl convient également pour étudier des
oscillations forcées. Pour cela, le système oscillant est relié à la barre de
l’excitateur qui est déplacée par un moteur à courant continu à régime réglable
et qui détend et contracte périodiquement le ressort de rappel en volute. Dans
l’expérience, nous allons mesurer pour différentes atténuations l’amplitude en
fonction de la fréquence d’excitation et observer le déphasage entre l’excitation
et l’oscillation.
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 5
Généralités
Le pendule tournant de Pohl convient également pour étudier des
oscillations forcées. Pour cela, le système oscillant est relié à la barre de
l’excitateur qui est déplacée par un moteur à courant continu à régime
réglable et qui détend et contracte périodiquement le ressort de rappel en
volute
L’équation de mouvement du système est
J: moment d’inertie
D: constante de rappel
k: coefficient d’atténuation
M0: amplitude du couple de rotation externe
wE: fréquence angulaire du couple de rotation externe
La solution de cette équation de mouvement se compose d’une part
homogène et d’une part inhomogène. La part homogène correspond à
l’oscillation atténuée libre qui est étudiée dans l’expérience TP1/1. Elle diminue
de façon exponentielle au fil du temps et, après la phase appelée « transitoire »,
elle devient négligeable par rapport à la part inhomogène.
En revanche, la part inhomogène
Est liée au couple de rotation externe et reste conservée aussi longtemps que
celui-ci agit. Son amplitude
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 6
Est d’autant plus grande que la fréquence d’excitation wE se situe à
hauteur de la fréquence propre w0 du pendule tournant. Dans le cas de wE= w0,
on parle de résonance.
Le déphasage
Indique que les déviations du pendule suivent l’excitation. Pour de très
petites fréquences, il est pratiquement nul, mais augmente avec la fréquence et
atteint 90° à hauteur de la fréquence de résonance. Enfin, en présence de très
fortes fréquences d’excitation, l’excitation et l’oscillation sont déphasées de
180°
Evaluation
Les amplitudes mesurées des oscillations atténuées sont représentées par
rapport à la fréquence d’excitation. Il en résulte différentes courbes de mesure
qui peuvent être décrites par l’équation (4), à condition d’avoir sélectionné les
bons paramètres d’atténuation .
On observe de faibles écarts par rapport aux valeurs trouvées pour
l’atténuation dans l’expérience TP1/1. Cela s’explique par le fait que le
frottement n’est pas – comme supposé – exactement proportionnel à la vitesse.
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 7
TP N°02
oscillations couplées
Objectif
Enregistrement et évaluation des oscillations de deux pendules identiques
couplés
Résume
L’oscillation entre deux pendules identiques couplés peut être caractérisée
par la période d’oscillation et la période de battement. La période de battement
représente l’écart entre deux moments où un pendule oscille à une amplitude
minimum. Les deux grandeurs peuvent être calculées à partir des deux périodes
de battement propres pour l’oscillation en phase et l’oscillation en opposition de
phase et des pendules couplés.
Généralités
Lorsque deux pendules couplés oscillent, de l’énergie va et vient entre
les deux pendules. Si les deux pendules sont identiques et qu’ils sont excités
de manière à ce qu’un pendule soit au repos au début, tandis que l’autre
oscille, la transmission d’énergie est totale. C’est-à-dire qu’un pendule est
entièrement au repos, tandis que l’autre oscille avec une amplitude
maximale. La durée entre les deux arrêts d’un pendule ou, d’une manière
générale, entre deux moments où le pendule oscille avec une amplitude
minimale, est la période de battement TΔ.
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 8
Les oscillations entre deux pendules mathématiques identiques couplés
peuvent être décrites comme superposition de deux oscillations propres. On peut
observer ces oscillations propres en excitant les deux pendules à des oscillations
en phase ou en opposition de phase. Dans le premier cas, les pendules sans
influence du couplage oscillent à la fréquence des pendules non couplés ; dans le
second cas, sous l’influence maximale du couplage, ils oscillent à la fréquence
propre maximale. Toutes les autres oscillations peuvent être représentées comme
des superpositions de ces deux oscillations propres.
On obtient pour le mouvement des pendules l’équation suivante :
g: Accélération de la pesanteur.
L: Longueur de pendule.
k: Constante de couplage.
Fig. 1: A gauche : oscillation couplée générale. Au milieu : oscillation couplée
en phase. A droite : oscillation couplée en opposition de phase.
Pour les grandeurs auxiliaires (arbitraires dans
un premier temps), on obtient les équations suivantes :
Leurs solutions
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 9
avec les fréquences angulaires
Correspondent aux oscillations propres décrites en cas d’excitation en
phase ou en opposition de phase ( += 0 en phase et -= 0 en opposition de
phase).
Les mouvements des pendules peuvent être calculés à partir de la somme ou la
différence des deux grandeurs auxiliaires. On obtient la solution
Dans un premier temps, les paramètres a+, a-, b+ et b- sont des grandeurs
quelconques qui peuvent être calculées depuis l’état d’oscillation des deux
pendules au moment t= 0.
Le cas le plus simple à interpréter est le suivant : au moment 0, le pendule
1 en position zéro possède une vitesse angulaire initiale ψ0, tandis que le pendule
2 en position zéro est au repos.
L’équation suivante s’applique alors aux vitesses des deux pendules :
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 10
Après la conversion mathématique, on obtient
Cela correspond à une oscillation des deux pendules avec la même
fréquence angulaire w, leurs amplitudes de vitesse ψ1et ψ2 étant modulées avec
la fréquence angulaire wΔ On désigne une telle modulation sous le terme de
battement. Dans le cas présenté ici, on peut même parler de battement maximum
parce que la valeur minimum atteinte par 'amplitude est zéro.
Fig. 2 Montage pour l'enregistrement et l'analyse des oscillations de deux
pendules couplés identiques
Le montage est illustré sur la Fig. 2.
• Barres de support d'une longueur de 1000 mm fixées sur le plan de travail à un
intervalle d'env.15 cm à l'aide de pinces-étaux.
• Fixer la barre de support courte à l'horizontale pour mieux stabiliser le
montage.
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 11
• Fixer le capteur angulaire à l'extrémité supérieure des barres de support
verticales à l'aide de manchons universels.
• Fixer les masses à l'extrémité inférieure des barres de pendule.
• Accrocher les barres de pendule sur les capteurs angulaires (des encoches sont
prévues dans les tiges des capteurs d'angle pour les aiguilles du dispositif de
suspension du pendule).
• Accrocher les ressorts à boudin dans les trous situés sur les barres de pendule,
qui se trouvent à env. 40 cm de la suspension.
• Connecter les câbles des deux capteurs angulaires au transformateur ; il est
indispensable d'utiliser les câbles marqués 12 V.
• Connecter 3B NETlog™ à l'ordinateur.
REALISATION
• Brancher 3B NETlog™ et lancer le programme informatique 3B NETlab™.
• Sélectionner « Laboratoire de mesure » et créer un nouveau fichier.
• Sélectionner les entrées analogiques A et B et régler chacune d'elles sur la
plage de mesure 2 V en mode tension continue (Vcc).
• Régler les paramètres de mesure suivants : Taux : 50 Hz, nombre de valeurs
de mesure : 600, mode : standard
• Raccorder les deux capteurs angulaires en veillant respecter la polarité (rouge:
pôle +, noir : pôle –) aux entrées de tension du 3B NETlog™.
EXEMPLE DE MESURE 1. Oscillation couplée équiphase
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 12
Fig. 3 Diagramme du temps d'élongation de l'oscillation couplée
équiphase (en bleu : pendule de gauche, en rouge : pendule de droite).
La graduation angulaire n'est pas étalonnée.
1. Enregistrement de l'oscillation équiphase :
• Tirer sur les deux pendules dans la même direction et avec le même angle
(réduit) et les relâcher aussitôt.
• Démarrer l'enregistrement de la valeur de mesure dans
3B NETlab™.
• Une fois cet enregistrement terminé, sélectionner « Retour » et enregistrer la
mesure sous un nom pertinent.
2. Enregistrement de l'oscillation en opposition de phase :
• Tirer sur les deux pendules dans la direction opposée et avec le même angle
(réduit) et les relâcher aussitôt.
• Lancer à nouveau l'enregistrement de la valeur de mesure dans 3B NETlab™.
• Une fois cet enregistrement terminé, sélectionner « Retour » et enregistrer la
mesure sous un nouveau nom.
3. Enregistrement d'une oscillation couplée avec battement maximum:
• Sélectionner « Modifier les réglages » et augmenter le nombre de valeurs de
mesure à 1200.
• Tirer sur une barre de pendule et maintenir l'autre en position zéro, puis
relâcher les deux en même temps.
• Lancer à nouveau l'enregistrement de la valeur de mesure dans 3B NETlab™.
• Une fois cet enregistrement terminé, sélectionner « Retour » et enregistrer la
mesure sous un nouveau nom.
EVALUATION 1. Déterminiez la période d'oscillation couplée équiphase
2. Déterminer la période d'oscillation couplée en opposition de phase
3. Déterminez la période d'oscillation couplée avec battement maximum
4. Compariez la période de battement et la période d'oscillation avec les valeurs
calculées à partir des périodes d'oscillation propre :
5. Déterminez la constante de rappel de ressort de couplage.
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 13
TP N° 3
ETUDE DES OSCILLATIONS LIBRES
D’UN CIRCUIT RLC SÉRIE
I. Objectifs :
- Mise en évidence du phénomène d’oscillations électriques dans un circuit
RLC.
- Observer l'influence des paramètres R, L, C sur les oscillations libres.
- Analyser les transferts d’énergie entre bobine et condensateur pendant les
oscillations.
II. INTRODUCTION :
Le circuit de la (fig.1.) est alimenté par une tension tel que :
{ ( )
( )
T : période du signal
(fig.1.)
Lorsque l’interrupteur K est fermé, le comportement du circuit est déterminé par
l’équation différentielle suivante :
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 14
∫
Dérivant les deux membres :
Ou
-trois cas sont à distinguer
Premier cas : circuit fortement amorti
(
)
-Deuxième cas: régime critique
(
)
Dans ce–cas la R est appelée résistance critique et elle est notée par Rc
Donc √
Les courbes ont la même allure que dans le premier cas ; seuls les
maximums de Vr et le minimum de Vi ont cependant une forte amplitude, et les
temps d’établissement sont très faibles.
Troisième cas : régime oscillatoire amorti (fig.3)
(
)
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 15
a :premier dépassement
b :secnod dépassement
Tr :pseudo-période avec
La tension Vc(t) possède l’allure indiquée par la (fig.4.) lorsque le circuit est
alimenté par signal en créneau.
(fig.4.)
-coefficient d’amortissement réduit « m ».
On a : exp ( )=
Et aussi : m=R/Rc avec R : résistance série du circuit et Rc : résistance critique
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 16
Coefficient de qualité « Q0 ».
-pseudo-pulsation .
√
-coefficient d’amortissement
-Le coefficient d’amortissement est homogène à l’inverse du temps
III. TRAVAIL DE PERPARATION.
1. Donner la résolution de l’équation différentielle du second ordre avec
second membre constant et à coefficient constant.
2. Donner la valeur de Vc(t) (tension aux bornes du condensateur)
(fig.1.).
3. Retrouver les résultats du coefficient de qualité Q0, et
d’amortissement.
4. Démontrer la relation qui existe entre la pseudo-pulsation wr et la
pulsation de résonance wo.
5. Déterminer Rc ; si L= 35mH et C=1nF, puis choisir R<Rc et
déterminer wr.
IV. MAINIPULATION.
(fig.5.)
1. Réaliser le circuit de la (fig.5.) en prenant
L=35mH et C=1nF.
2. Fixer la tension d’entrée V(t) a 1V crête à
crête.
3. Déterminer la résistance critique Rc.
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 17
4. Choisir une valeur de R>Rc et relever la courbe aux bornes de C, de L et de
R
5. Donner une autre valeur à R (toujours sup. à Rc), et refaire le même travail
que le 4.
6. Prendre L=40mH, C=4nF et R=1K
a) Relever le graphe de la tension aux bornes de C (Vc(t)).
b) Déterminer la pseudo-période (Tr), le coefficient
d’amortissement réduit (m) et le coefficient de qualité (Q0).
c) Comparer les résultats obtenus avec ceux du travail de
préparation.
7. commenter les courbes et donner vos conclusions.
Annexe
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 18
TP N°04
Ondes stationnaires (cordes vibrantes)
Objectif
Étudier des ondes stationnaires sur un ressort hélicoïdal tendu et une corde
tendue.
Résume
Des ondes mécaniques apparaissent par exemple sur un ressort hélicoïdal
tendu sous la forme d’ondes longitudinales ou sur une corde tendue sous la
forme d’ondes transversales. Dans les deux cas, il se forme des ondes
stationnaires si le support est fixé à l’une de ses extrémités, car l’onde incidente
et l’onde réfléchie à l’extrémité fixe de même amplitude et de même longueur
d’onde se superposent. Si l’autre extrémité est également fixe, les ondes ne
peuvent se propager que si des conditions de résonance sont remplies. Dans
l’expérience, le ressort hélicoïdal et la corde sont fixés à une extrémité. L’autre
extrémité est reliée à une distance Là un générateur de vibrations qu’un
générateur de fonctions amène à émettre des oscillations de faible amplitude et
de fréquence réglable f. Cette extrémité peut également être considérée comme
une extrémité à peu près fixe. On mesure les fréquences propres en fonction du
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 19
nombre de nœuds des ondes stationnaires. Ces données permettront de calculer
la vitesse d’onde.
Principe de fonctionnement :
L'encentrique du moteur tourne à une fréquence f qui entraine l'extrémité
de la corde à un mouvement circulaire de déplacement périodique se propageant
à une vitesse v le long de la corde, produisant ainsi une onde à polarisation
circulaire.
L'onde incidente et l'onde réfléchie interfèrent, produisant des ondes
stationnaires à condition que la longueur d'onde soit telle qu'un multiple entier
de
(
) de manière à ce que l'onde trouve place sur la longueur de la
corde.
Rappel théorique :
Soit une corde de longueur L tendue par une force F, U est le
déplacement transversal d'un élément dx de masse dm =s dx où s est la densité
linéaire (masse par unité de longueur). Les tensions T et T' sont pratiquement
égale, calculons leurs projections sur l'axe U; on aura alors :
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 20
Si on applique la loi de Newton à l'élément dx de masse dm on a :
L’équation d'une onde se propageant à une vitesse v est donc :
Avec
est la vitesse de propagation de l'onde transversale. Si les deux
extrémités de la corde sont fixées, l'onde incidente et réfléchie constituent une
onde stationnaire dont la distance des nœuds est tel que :
L : longueur de la corde.
: Longueur d'onde.
n : entier naturel.
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 21
TRAVAIL DE PERPARATION.
1. Remplir le tableau suivant pour une corde simple de longueur
L=0,485m et de masse linéaire s. On reportera les grandeurs avec une
précision de trois chiffres après la virgule.
Tracer le graphe ( ) sur une feuille de papier millimétrique. Pour
plus de clarté, on conseille l'utilisation de l'échelle suivante : 10cm=0.1N.
Déduire la valeur de la tangente à partir de la courbe
( ) Obtenue.
tan( )
En considérant que la fréquence imposée au système par le moteur soit
égale à f =44.8Hz, mettre l'expression de la masse linéaire sous la forme :
Donner la valeur expérimentale de s en g/cm. Arrondir à 2 chiffres après la
virgule. s=...
2. Remplir le tableau suivant en considérant la corde quadruple 4s de longueur
efficace
L=0,85m.
Par Gouni S / TP Ondes et vibrations Page 22
Tracer le graphe ( ) sur une feuille de papier millimétrique. Pour
plus de clarté, on conseille l'utilisation de l'échelle suivante : 10cm=0.1N.
Déduire la valeur de la tangente à partir de la courbe
( ) Obtenue.
tan( )
En considérant que la fréquence imposée au système par le moteur soit
égale à f =44.8Hz, mettre l'expression de la masse linéaire sous la forme :
Donner la valeur expérimentale de s en g/cm. Arrondir à 2 chiffres après la
virgule.
s=... 3. Conclusion : comparer les résultats obtenus pour s.
4. En utilisant les résultats trouvés pour la masse linéaire s, peut-on aboutir aux
mêmes conclusions si l'on considère une corde avec une masse linéaire 10s ou
plus.
5. On tend la corde simple L=0,485m pour obtenir deux (02) ventre
d'oscillations. Notez F indiquée par le dynamomètre.
F=... 6. On tend la corde quadruple avec une masse linéaire 4s et une longueur
L=0,35m. En lui appliquant la même force F que précédemment, notez le
nombre de ventre n obtenue.
n=... 7. Justifiez les résultats obtenus.