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7/27/2019 OnRubiksCube

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O n R u b i k ' s C u b e

O l o f B e r g v a l l , o l o f b e r g @ k t h . s e

E l i n H y n n i n g , e h y n n i n g @ k t h . s e

M i k a e l H e d b e r g , m i h e d @ k t h . s e

J o e l M i c k e l i n , j o e l m i @ k t h . s e

P a t r i c k M a s a w e , m a s a w e @ k t h . s e

S u p e r v i s o r s : S a n d r a D i R o c c o a n d C a r e l F a b e r

M a y 1 6 , 2 0 1 0


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A b s t r a c t

R u b i k ' s C u b e i s a t h r e e d i m e n s i o n a l m e c h a n i c a l p u z z l e . I n t h i s r e p o r t R u -

b i k ' s C u b e i s c o n s i d e r e d f r o m a m a t h e m a t i c a l p e r s p e c t i v e . W e s e e t h a t

R u b i k ' s C u b e c a n b e g i v e n t h e s t r u c t u r e o f a g r o u p a n d w e d e n e t h i s g r o u p

a n d d e d u c e s o m e o f i t s p r o p e r t i e s . F o r t h e r e a d e r u n f a m i l i a r w i t h g r o u p

t h e o r y , a s h o r t i n t r o d u c t i o n t o e l e m e n t a r y g r o u p t h e o r y i s p r o v i d e d .


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C o n t e n t s

1 O n R u b i k ' s C u b e 3

1 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1 . 2 I n t r o d u c t o r y G r o u p T h e o r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 2 . 1 G r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 . 2 . 2 T h e S y m m e t r i c G r o u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 . 2 . 3 S u b g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

1 . 2 . 4 H o m o m o r p h i s m s a n d I s o m o r p h i s m s . . . . . . . . . . . 1 2

1 . 2 . 5 G r o u p A c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4

1 . 2 . 6 Q u o t i e n t G r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5

1 . 2 . 7 D i r e c t a n d S e m i - D i r e c t P r o d u c t s . . . . . . . . . . . . 1 8

1 . 3 T h e C u b e G r o u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1

1 . 3 . 1 T h e f r e e g r o u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2

1 . 3 . 2 P o s i t i o n s o f e d g e p i e c e s a n d c o r n e r p i e c e s . . . . . . . 2 4

1 . 3 . 3 O r i e n t a t i o n o f e d g e p i e c e s a n d c o r n e r p i e c e s . . . . . . 2 7

1 . 3 . 4 R u b i k ' s G r o u p a n d i t s c a r d i n a l i t y . . . . . . . . . . . . 3 5

2 S h o r t S e q u e n c e s o f M o v e s o n R u b i k ' s C u b e

b y P a t r i c k M a s a w e 3 7

2 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7

2 . 1 . 1 P e r m u t a t i o n f o r t h e o r i e n t a t i o n s o f t h e c u b i e s . . . . . 3 8

2 . 1 . 2 C y c l i c a b e l i a n g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8

2 . 1 . 3 N o n a b e l i a n g r o u p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4

3 R u b i k ' s C u b e G r o u p E l e m e n t s o f O r d e r T w o

b y J o e l M i c k e l i n 5 4

3 . 1 C u b e e l e m e n t s o f o r d e r t w o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5

3 . 1 . 1 C o u n t i n g t h e e l e m e n t s o f o r d e r t w o . . . . . . . . . . . 5 5

3 . 1 . 2 E l e m e n t s p e r m u t i n g o n l y c o r n e r p i e c e s . . . . . . . . . 5 5

3 . 1 . 3 E l e m e n t s p e r m u t i n g o n l y e d g e p i e c e s . . . . . . . . . . 5 6

3 . 1 . 4 E l e m e n t s p e r m u t i n g b o t h e d g e p i e c e s a n d c o r n e r p i e c e s 5 7

3 . 1 . 5 S u m m a t i o n o f t h e e l e m e n t s o f o r d e r t w o . . . . . . . . 5 8

3 . 1 . 6 C o n c e r n i n g c o n j u g a c y c l a s s e s o f e l e m e n t s o f o r d e r t w o 5 8

1


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3 . 1 . 7 C o n j u g a t i v e s t a b i l i z e r s u b g r o u p s o f e l e m e n t s o f o r d e r

t w o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0

3 . 1 . 8 I s o m o r p h i s m s t o S 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2

4 A n E l e m e n t o f G r e a t e s t O r d e r

b y M i k a e l H e d b e r g 6 5

4 . 1 A b s t r a c t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5

4 . 2 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

4 . 3 T h e a b s t r a c t g r o u p o f R u b i k ' s C u b e . . . . . . . . . . . . . . 6 7

4 . 4 A n e l e m e n t o f g r e a t e s t o r d e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

5 T h e V o i d C u b e

b y O l o f B e r g v a l l 8 0

5 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0

5 . 2 S o l v e d S t a t e s o f t h e V o i d C u b e . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2

5 . 3 T r a n s p o s i t i o n s i n t h e V o i d C u b e . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8

5 . 4 T h e V o i d C u b e G r o u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0

5 . 5 T h e V o i d C u b e G r o u p a s a S u b g r o u p o f t h e R u b i k ' s C u b e

G r o u p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3

5 . 5 . 1 T h e I d e n t i t y S t a t e s S u b g r o u p . . . . . . . . . . . . . . 9 3

5 . 5 . 2 N o r m a l S u b g r o u p s o f t h e R u b i k ' s C u b e G r o u p . . . . 9 5

5 . 5 . 3 T h e R u b i k ' s C u b e G r o u p i n a N e w W a y . . . . . . . . 9 6

5 . 5 . 4 T h e V o i d C u b e S u b g r o u p . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9

5 . 6 G e n e r a l i s a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 1

6 T h e B l a c k - a n d - W h i t e C u b e

b y E l i n H y n n i n g 1 0 4

6 . 1 T h e B l a c k - a n d - W h i t e C u b e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

6 . 1 . 1 I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 5

6 . 1 . 2 T h e C o r n e r C o l o u r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 0 8

6 . 1 . 3 T h e S t r i p C o l o u r i n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 6

6 . 1 . 4 O t h e r c o l o u r i n g s w i t h l e s s t h a n s i x c o l o u r s . . . . . . . 1 2 0

2


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C h a p t e r 1

O n R u b i k ' s C u b e

1 . 1 I n t r o d u c t i o n

T h e a i m o f t h i s r e p o r t i s t o d e s c r i b e R u b i k ' s C u b e i n a m a t h e m a t i c a l w a y .

T h e m a t h e m a t i c a l s t r u c t u r e d e s c r i b i n g R u b i k ' s C u b e i s a g r o u p s t r u c t u r e ,

a n d w e w i l l t h e r e f o r e u s e a b s t r a c t a l g e b r a a n d g r o u p t h e o r y t o c l a s s i f y R u -

b i k ' s C u b e a s a m a t h e m a t i c a l o b j e c t .

T h e r s t s e c t i o n o f t h e r s t c h a p t e r i s d e v o t e d t o e l e m e n t a r y g r o u p t h e -

o r y a n d m a y b e s k i p p e d b y r e a d e r s f a m i l i a r w i t h t h e s e c o n c e p t s . H o w e v e r ,

r e f e r e n c e s w i l l b e m a d e t o t h i s c h a p t e r i n s u b s e q u e n t c h a p t e r s .

I n t h e s e c o n d s e c t i o n o f t h e r s t c h a p t e r w e d i s c u s s t h e m a t h e m a t i c a l

p r o p e r t i e s o f R u b i k ' s C u b e . W e s t a r t b y c o n s i d e r i n g s e q u e n c e s o f r o t a t i o n s

o f t h e f a c e s o f t h e c u b e , a n d l e t t h e m a c t o n t h e s e t o f f a c e t s o f t h e c u b e . W e

t h u s o b t a i n o n e i n n i t e g r o u p o f c o n c a t e n a t i o n s o f r o t a t i o n s a n d o n e n i t e

g r o u p o f s c r a m b l i n g s o f f a c e t s . T h r o u g h o b s e r v a t i o n s o f R u b i k ' s C u b e a n d

g r o u p t h e o r e t i c a r g u m e n t s w e d e s c r i b e t h e l a t t e r g r o u p a n d d e t e r m i n e i t s

c a r d i n a l i t y . S i n c e t h e c u b e h a s 54 f a c e t s , t h e l a t t e r g r o u p i s a s u b g r o u p o f S 54 . S i n c e t h i s i s a n e n o r m o u s g r o u p w e c h o o s e t o d i v i d e t h e c u b i e s o f t h e c u b e i n t o t w o s u b s e t s , c o r n e r s a n d e d g e s , a n d d e n e a c o n c e p t o f o r i e n t a t i o n

o f t h e c u b i e s . W e s h a l l s e e t h a t t h e p e r m u t a t i o n o f t h e c o r n e r c u b i e s m u s t

h a v e t h e s a m e s i g n a s t h e p e r m u t a t i o n o f t h e e d g e c u b i e s . W e s h a l l a l s o s e e

t h a t w e c a n n o t c h a n g e t h e o r i e n t a t i o n o f a s i n g l e c u b i e w i t h o u t c h a n g i n g t h e

o r i e n t a t i o n o f a n o t h e r c u b i e o f t h e s a m e k i n d .

T h e l a s t v e c h a p t e r s a r e d e v o t e d t o v a r i o u s s u b j e c t s r e l a t e d t o R u b i k ' s

C u b e .

3


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1 . 2 I n t r o d u c t o r y G r o u p T h e o r y

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l i n t r o d u c e a n d p r o v e n o t i o n s c o n c e r n i n g i n t r o d u c t o r y

g r o u p t h e o r y . P e o p l e w h o a r e f a m i l i a r w i t h b a s i c c o n c e p t s c o n c e r n i n g g r o u p s

m a y s k i p a h e a d t o t h e n e x t s e c t i o n .

1 . 2 . 1 G r o u p s

T h i s s u b s e c t i o n w i l l d e n e a n d p r o v e s o m e b a s i c p r o p e r t i e s o f g r o u p s .

D e n i t i o n 1 . 2 . 1 . A b i n a r y o p e r a t o r o n a s e t S i s a f u n c t i o n : S S S w h e r e S S i s t h e s e t o f o r d e r e d p a i r s o f e l e m e n t s i n S .

I t i s i m p o r t a n t t o n o t e t h a t i f

(s1, s2) S S t h e n

(s1, s2) = (s2, s1)i n g e n e r a l . I f (s1, s2) = (s2, s1) t h e n s1 a n d s2 a r e s a i d t o c o m m u t e . I f (s1, s2) = (s2, s1) f o r a l l (s1, s2) S S t h e n t h e b i n a r y o p e r a t o r i s s a i d t o b e A b e l i a n o r c o m m u t a t i v e .

R e m a r k 1 . 2 . 2 . I f (s1, s2) S S w e d e n o t e (s1, s2) a s s1 s2 o r s i m p l y a s s1s2 .

D e n i t i o n 1 . 2 . 3 . A g r o u p i s a s e t G w i t h a n a s s o c i a t e d b i n a r y o p e r a t o r

, s a t i s f y i n g :

( 1 ) A s s o c i a t i v i t y :

g1 (g2 g3) = ( g1 g2) g3,g1, g2, g3 G.

( 2 ) I d e n t i t y :

id G s u c h t h a t g G, g id = id g = g.

( 3 ) I n v e r s e :

g G t h e r e i s a g 1 G s u c h t h a t gg 1 = g 1 g = id.

R e m a r k 1 . 2 . 4 . A g r o u p G u n d e r t h e o p e r a t i o n i s d e n o t e d b y (G,) , ( o r s i m p l y b y G i f t h e b i n a r y o p e r a t o r i s c l e a r f r o m t h e c o n t e x t ) .

E x a m p l e 1 . T h e s e t o f c o n t i n u o u s , b i j e c t i v e f u n c t i o n s , F , o n R i s a g r o u p u n d e r t h e o p e r a t i o n o f c o m p o s i t i o n . W e c h e c k t h a t t h i s i s t r u e b y v e r i f y i n g

t h e g r o u p a x i o m s .

W e k n o w f r o m C a l c u l u s t h a t f 1, f 2, f 3 F f 1 (f 2 f 3) = ( f 1 f 2) f 3 , s o F i s a s s o c i a t i v e u n d e r c o m p o s i t i o n . T h e i d e n t i t y e l e m e n t i n t h i s c a s e i s f 0(x) = x , s i n c e f F f 0 f = f f 0 = f . I t i s a l s o c l e a r t h a t f F f 1 F s u c h t h a t f f 1 = f 1 f = x = f 0. W e h a v e t h u s s h o w n t h a t F i s a g r o u p u n d e r t h e o p e r a t i o n o f c o m p o s i t i o n .

B e l o w f o l l o w s o m e s i m p l e , b u t i m p o r t a n t , f a c t s a b o u t g r o u p s .

4


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P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 5 . I f G i s a g r o u p t h e n t h e f o l l o w i n g i s t r u e : ( 1 ) T h e i d e n t i t y ,

id, o f

Gi s u n i q u e .

( 2 ) I f g G t h e n t h e i n v e r s e o f g, g 1 , i s u n i q u e . ( 3 ) T h e i n v e r s e o f g1g2 , g1, g2 G , i s g

12 g

11 .

( 4 ) T h e i n v e r s e o f t h e i d e n t i t y , id , i s t h e i d e n t i t y i t s e l f . ( 5 ) I f g G , t h e n (g 1) 1 = g.

P r o o f . ( 1 ) L e t id1 a n d id2 b e i d e n t i t i e s o f G . T h e n id1g = gid1 = g,g Ga n d id2g = gid2 = g, f o r a l l g G . I n p a r t i c u l a r id1id2 = id2id1 = id2a n d id2 id1 = id1 id2 = id1 . H e n c e id1 = id1 id2 = id2 id1 = id2 , s o t h e i d e n t i t y i s u n i q u e .

( 2 ) L e t g b e a n e l e m e n t o f G a n d l e t g1 G a n d g2 G b e e l e m e n t s s u c h t h a t

gg1 = g1g = ida n d

gg2 = g2g = id. I f w e m u l t i p l y t h e l a t t e r e q u a t i o n

f r o m t h e l e f t b y g1 w e g e t

g1 (gg2) = g1 id,

(g1 g) g2 = g1,

(id) g2 = g1,

g2 = g1.

H e n c e , t h e i n v e r s e o f e v e r y e l e m e n t g G i s u n i q u e .( 3 ) M u l t i p l y g1g2 f r o m t h e r i g h t b y g

12 g

11 . T h i s g i v e s

(g1g2)(g 12 g

11 ) = g1(g2g

12 )g

11 = g1(id)g

11 = g1g

11 = id.

g 12 g 11 i s t h e r e f o r e a r i g h t i n v e r s e o f g1g2 .

N o w m u l t i p l y g1g2 f r o m t h e l e f t b y g 12 g

11 .

(g 12 g 11 )(g1g2) = g

12 (g

11 g1)g2 = id

H e n c e , t h e i n v e r s e o f g1g2 i s g 12 g

11 .

( 4 ) id id = id id 1 = id( 5 ) C o n s i d e r t h e e q u a t i o n g 1(g 1) 1 = id . M u l t i p l y i n g f r o m t h e l e f t b y

g g i v e s (g 1) 1 = g.

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 6 ( G e n e r a l i s e d A s s o c i a t i v e L a w ) . L e t G b e a g r o u p . F o r a n y g1, g2, . . . , gn G t h e v a l u e o f t h e e x p r e s s i o n g1g2 . . . gn i s i n d e p e n d e n t o f h o w t h e e x p r e s s i o n i s b r a c k e t e d .

P r o o f . L e t

1i=1 gi = g1 a n d d e n e

n +1i=1 gi r e c u r s i v e l y b y

n +1

i=1

gi =n

i=1

gi gn +1 .

5


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N o w , l e t n b e a x e d , n o n n e g a t i v e i n t e g e r a n d c o n s i d e r t h e e x p r e s s i o n

n

i=1

gim

j =1

gn + j .

W e w a n t t o p r o v e t h a t t h e a b o v e i s e q u a l t o

n + mi=1 gi .

B y d e n i t i o n , t h i s i s t h e c a s e f o r m = 1 . N o w a s s u m e t h a t t h e a b o v e h o l d s f o r m = k 1 a n d c o n s i d e r t h e c a s e m = k + 1 . W e h a v e

n

i=1

gik+1

j =1

gn + j =n

i=1

gik

j =1

gn + j gn + k+1 =

=n

i=1

gik

j =1

gn + j gn + k+1 =n + k

i=1

gi gn + k+1 =n + k+1

i=1

gi ,

w h i c h p r o v e s t h e c l a i m .

D e n i t i o n 1 . 2 . 7 . I f G i s a g r o u p a n d g G w e w i l l d e n o t e t h e e x p r e s s i o n g g . . . g

n t i m e s b y gn .

N o t e t h a t , b e c a u s e o f t h e g e n e r a l i s e d a s s o c i a t i v e l a w , gn i s w e l l d e n e d .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 8 . L e t G b e a g r o u p a n d l e t g1, g2 G . T h e n t h e e q u a t i o n s g1x = g2 a n d xg1 = g2 h a v e u n i q u e s o l u t i o n s i n G .

P r o o f . C o n s i d e r t h e e q u a t i o n g1x = g2 . M u l t i p l y b o t h s i d e s f r o m t h e l e f t b y g 11 . T h i s g i v e s x = g

11 g2 . B y P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 5 g

11 i s u n i q u e . H e n c e x i s

u n i q u e .

N o w c o n s i d e r t h e e q u a t i o n xg1 = g2 . M u l t i p l y b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n f r o m t h e r i g h t b y g 11 . T h i s g i v e s x = g2g

11 . S i n c e g

11 i s u n i q u e , s o i s x .

C o r o l l a r y 1 . 2 . 9 . T h e l e f t a n d r i g h t c a n c e l l a t i o n l a w s h o l d i n g r o u p s , ( i . e .

gx = gy i m p l i e s x = y a n d xg = yg i m p l i e s x = y ) .

P r o o f . T h i s f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m P r o p o s i t i o n 2 . 1 . 8 .

6


9/124

1 . 2 . 2 T h e S y m m e t r i c G r o u p

I n t h i s s u b s e c t i o n w e w i l l i n t r o d u c e t h e s y m m e t r i c g r o u p a n d c o n c e p t s a s s o -

c i a t e d w i t h t h i s g r o u p .

D e n i t i o n 1 . 2 . 1 0 . F o r a n y s e t A , a b i j e c t i o n : A A i s c a l l e d a p e r m u t a t i o n o f A .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 1 1 . T h e s e t o f a l l p e r m u t a t i o n s o n a s e t A , d e n o t e d S A , i s a g r o u p u n d e r t h e o p e r a t i o n o f c o m p o s i t i o n o f f u n c t i o n s .

P r o o f . ( 1 ) T h e a s s o c i a t i v e c o n d i t i o n h o l d s s i n c e p e r m u t a t i o n s a r e f u n c t i o n s ,

t h u s b e i n g a s s o c i a t i v e .

( 2 ) T h e i d e n t i t y e l e m e n t i s t h e p e r m u t a t i o n idA (a) = a , a A .( 3 ) L e t S A . i s b i j e c t i v e , h e n c e h a s a b i j e c t i v e i n v e r s e , 1 . 1 i s a b i j e c t i v e f u n c t i o n f r o m A t o A a n d t h e r e f o r e a n e l e m e n t o f S A .

N o t e t h a t A i s n o t a s s u m e d t o b e n i t e i n t h e a b o v e d e n i t i o n s . I n t h e f o l l o w i n g h o w e v e r , t h i s w i l l b e a s s u m e d .

D e n i t i o n 1 . 2 . 1 2 . A c y c l e i s a p e r m u t a t i o n o n a s u b s e t {a i } A ( A n i t e ) d e n e d b y a1 a2, a 2 a3, . . . , a n a1 . A c y c l e i s d e n o t e d

(a1a2 . . . a n ) a n d t h e n u m b e r n i s c a l l e d t h e l e n g t h o f t h e c y c l e . A c y c l e o f l e n g t h n i s c a l l e d a n n - c y c l e .

N o t e t h a t t h e r e a r e s e v e r a l w a y s o f w r i t i n g t h e s a m e c y c l e . F o r e x a m p l e

t h e c y c l e (a1a2 . . . a n ) i s t h e s a m e a s t h e c y c l e (an a1a2 . . . a n 1) . T h i s i s h o w e v e r n o t a p r o b l e m w h e n t h e c y c l e s a r e c o n s i d e r e d t o b e f u n c t i o n s . W e

m a y a l s o n o t e t h a t c o m p o s i t i o n s o f d i s j o i n t c y c l e s c o m m u t e .

W h e n w r i t i n g c o m p o s i t i o n s o f c y c l e s , t h e s i n g l e t c y c l e s , (a) , w i l l b e o m i t - t e d . C o m p o s i t i o n s o f p e r m u t a t i o n s w i l l a l s o b e r e f e r r e d t o a s p r o d u c t s o f

p e r m u t a t i o n s .

T h e r e i s a g e n e r a l i s a t i o n o f t h e c y c l e c o n c e p t t o b i j e c t i o n s o n a n y s e t , n o t

n e c e s s a r i l y n i t e . L e t b e a f u n c t i o n o n t h e s e t A . I f a A t h e s e q u e n c e

. . . , 2(a), 1(a), 0(a), 1(a), 2(a), . . .

i s c a l l e d t h e o r b i t o f a u n d e r a n d i s d e n o t e d O (a ) . N o t e t h a t i f A i s a n i t e s e t t h e o r b i t o f a i s j u s t t h e c y c l e (a (a) 2(a) . . . n (a)) w h e r e n i s

t h e l a r g e s t i n t e g e r s u c h t h a t n (a) = m (a) f o r a l l m < n , m 0.

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 1 3 . A n y p e r m u t a t i o n o n a s e t A c a n b e w r i t t e n a s a p r o d u c t o f d i s j o i n t c y c l e s .

P r o o f . T a k e S A . T h e o r b i t s o f t h e e l e m e n t s o f A u n d e r d e n e a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n , , o n A , b y a b p r e c i s e l y i f a = i (b) f o r s o m e i Z .T h i s c a n b e v e r i e d b y c h e c k i n g t h e a x i o m s f o r e q u i v a l e n c e r e l a t i o n s , n a m e l y

7


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( 1 ) a a ( R e e x i v i t y ) ( 2 )

a b b a( S y m m e t r y )

( 3 ) a b a n d b c a c ( T r a n s i t i v i t y )

( 1 ) I f a A t h e n 0(a) = a s o a a .( 2 ) I f a, b A a n d a b t h e n t h e r e i s a n i Z s u c h t h a t a = i (b) . B u t t h e n b = i (a) s o b a .( 3 ) I f a,b,c A , a b a n d b c t h e r e a r e i n t e g e r s i, j Z s u c h t h a t a = i (b) a n d b = j (c) . H e n c e a = i+ j (c) s o a c.

H e n c e i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n o n A . I t i s w e l l k n o w n t h a t a n e q u i v a - l e n c e r e l a t i o n i n d u c e s a p a r t i t i o n o n t h e u n d e r l y i n g s e t . H e n c e e a c h e l e m e n t

a A l i e s i n p r e c i s e l y o n e o r b i t . T h i s p r o v e s t h e c l a i m .

T h e o r e m 1 . 2 . 1 4 . A s s u m e t h a t

|A| = n. T h e n ,

|S A | = n!.

P r o o f . T a k e a1 A . T h i s e l e m e n t c a n b e m a p p e d b y S A i n n d i e r e n t w a y s . P i c k o n e o f t h e m . T a k e a n e w e l e m e n t a2 A s u c h t h a t a1 = a2 .T h e b i j e c t i v i t y o f g i v e s t h a t a2 c a n b e m a p p e d i n n 1 w a y s . I t e r a t i n g o v e r t h e e l e m e n t s o f A , w e s e e t h a t t h e n u m b e r o f p o s s i b l e p e r m u t a t i o n s i s n (n 1) . . . 2 1 = n!.

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 1 5 . E v e r y p e r m u t a t i o n m a y b e e x p r e s s e d a s a p r o d u c t o f

2 - c y c l e s .

P r o o f . C o n s i d e r t h e c y c l e (a1a2 . . . a n ) . T h i s c y c l e c a n b e e x p r e s s e d a s

(a1a2 . . . a n ) = ( a1an )(a1an 1) . . . (a1a3)( a1a2) . T h u s e v e r y c y c l e c a n b e e x p r e s s e d a s a p r o d u c t o f 2 - c y c l e s . B u t e v e r y p e r m u t a t i o n c a n b e e x p r e s s e d

a s a p r o d u c t o f d i s j o i n t c y c l e s , o f w h i c h e a c h c a n b e e x p r e s s e d a s a p r o d -

u c t o f 2 - c y c l e s . H e n c e , e v e r y p e r m u t a t i o n c a n b e e x p r e s s e d a s a p r o d u c t o f

2 - c y c l e s .

R e m a r k 1 . 2 . 1 6 . 2 - c y c l e s a r e a l s o c a l l e d t r a n s p o s i t i o n s .

D e n i t i o n 1 . 2 . 1 7 . L e t b e a p e r m u t a t i o n . I f c a n b e w r i t t e n a s a n e v e n n u m b e r o f t r a n s p o s i t i o n s w e s a y t h a t t h e p e r m u t a t i o n i s e v e n . S i m i l a r l y , i f c a n b e w r i t t e n a s a n o d d n u m b e r o f t r a n s p o s i t i o n s w e s a y t h a t i s o d d .

T h e o r e m 1 . 2 . 1 8 . N o p e r m u t a t i o n m a y b e w r i t t e n a s a p r o d u c t o f b o t h a n

e v e n n u m b e r o f t r a n s p o s i t i o n s a n d a n o d d n u m b e r o f t r a n s p o s i t i o n s .

P r o o f . N o t e t h a t S A , f o r |A| = n , i s i s o m o r p h i c t o t h e p e r m u t a t i o n s o f t h e r o w s i n t h e i d e n t i t y m a t r i x I n . W e k n o w f r o m l i n e a r a l g e b r a t h a t t h i s m a t r i x h a s d e t e r m i n a n t 1, a n d t h a t i n t e r c h a n g i n g t w o r o w s o f a n y m a t r i x w i l l c h a n g e t h e s i g n o f t h e d e t e r m i n a n t . T h u s , i f a n y m a t r i x c o u l d b e o b t a i n e d b y b o t h

a s e q u e n c e o f e v e n a n d a s e q u e n c e o f o d d p e r m u t a t i o n s , i t w o u l d h a v e b o t h

d e t e r m i n a n t 1 a n d 1. T h i s i s i m p o s s i b l e a n d t h e c l a i m f o l l o w s .

8


11/124

R e m a r k 1 . 2 . 1 9 . T h e p r o o f a b o v e s u g g e s t s t h e d e n i t i o n o f a s i g n f u n c t i o n

o n p e r m u t a t i o n s . W e d e n e t h e s i g n a t u r e o f t h e p e r m u t a t i o n S A t o b e 1 i f t h e d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x o f t h e p r o o f c o r r e s p o n d i n g t o i s 1 a n d 1 i f t h e d e t e r m i n a n t i s 1. W e s e e t h a t t h i s i s j u s t a n o t h e r w a y o f s a y i n g t h a t a p e r m u t a t i o n i s e v e n o r o d d , b u t n o n e t h e l e s s s o m e t i m e s u s e f u l .

D e n i t i o n 1 . 2 . 2 0 . F o r a p e r m u t a t i o n S X o n a n i t e s e t X , w e c a l l t h e s e t o f e v e n p e r m u t a t i o n s o n X t h e a l t e r n a t i n g g r o u p o n X , a n d w e d e n o t e t h i s

s e t AX .

T h e o r e m 1 . 2 . 2 1 . AX , a s d e n e d a b o v e , i s a g r o u p .

P r o o f . ( 1 ) C l o s u r e T a k e x, y AX . x c a n b e w r i t t e n a s a p r o d u c t o f 2nt r a n s p o s i t i o n s , w h i l e

yc a n b e w r i t t e n a s a p r o d u c t o f

2mt r a n s p o s i t i o n s ,

m, n Z . T h e p r o d u c t c a n b e w r i t t e n a s 2(m + n) t r a n s p o s i t i o n s , a n d i s t h e r e f o r e i n AX .

( 2 ) I d e n t i t y T h e i d e n t i t y , id , o f S X i s a p r o d u c t o f 0 t r a n s p o s i t i o n s .T h i s i s c l e a r l y a n e v e n n u m b e r o f t r a n s p o s i t i o n s s o id i s a l s o a n e l e m e n t o f AX .

( 3 ) I n v e r s e T h e i n v e r s e o f a n y p e r m u t a t i o n c a n b e o b t a i n e d b y r e v e r s i n g

t h e o r d e r o f i t s t r a n s p o s i t i o n s . T h e i n v e r s e o f a n e v e n p e r m u t a t i o n m u s t

t h e r e f o r e b e e v e n a n d t h u s a n e l e m e n t o f AX .

T h e o r e m 1 . 2 . 2 2 . T h e c a r d i n a l i t y o f AX i s n !2 i f |X | = n 2.

P r o o f . L e t u s d e n o t e t h e o d d p e r m u t a t i o n s o f X a s

BX . I f w e c a n n d a

b i j e c t i o n b e t w e e n AX a n d BX , w e h a v e p r o v e n t h e t h e o r e m , s i n c e t h e t w o s e t s m u s t t h e n h a v e t h e s a m e c a r d i n a l i t y .

L e t u s d e n e a b i j e c t i o n a s s u c h : T a k e a n y t r a n s p o s i t i o n ( w h i c h m u s t e x i s t , s i n c e |X | 2) S X , a n d d e n e (x) = x, x AX . x b e - i n g e v e n g i v e s t h a t (x) i s o d d , t h e r e f o r e (x) BX . N o t e t h a t x, y AX , (x) = (y) i m p l i e s x = y , a n d l e f t c a n c e l l a t i o n g i v e s x = y .T h e r e f o r e , i s o n e - t o - o n e . T h e c a n c e l l a t i o n l a w a l s o g i v e s t h a t f o r a n y BX , 1( ) = 1 AX . T h e r e f o r e , i s o n t o , a n d w e h a v e t h a t i s a b i j e c t i o n . T h e r e f o r e ,

|AX | = |BX |

|AX | + |BX | = n!w h i c h g i v e s t h a t |AX | = n !2 .

L e m m a 1 . 2 . 2 3 . T h e s e t S = {(1, 2), (2, 3), . . . , (n 1, n )} f o r n 2 g e n e r a t e s S n .

P r o o f . L e t (x, x + k ) b e a t r a n s p o s i t i o n i n S n . T h e n , (x, x + k) = ( x, x +1)(x + 1 , x + 2) (x + k 2, x + k 1)(x + k 1, x + k)(x + k 2, x +k 1 ) (x, x +1)( x + 1 , x + 2) . S o b y c o n j u g a t i o n o f t h e t r a n s p o s i t i o n s i n t h e s e t S w e c a n o b t a i n a n y t r a n s p o s i t i o n i n S n . I t t h e n f o l l o w s f r o m P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 1 5 t h a t S g e n e r a t e s S n .

9


12/124

T h e o r e m 1 . 2 . 2 4 . T h e a l t e r n a t i n g g r o u p , An , i s g e n e r a t e d b y t h e 3 - c y c l e s

(1, 2, 3), (2, 3, 4),... (n 2, n 1, n ) .

P r o o f . An i s g e n e r a t e d b y a l l p r o d u c t s o f t w o t r a n s p o s i t i o n s . T h u s i t s u c e s t o p r o v e t h a t w e c a n g e t a l l t h e p r o d u c t s o f t w o t r a n s p o s i t i o n s . C l e a r l y w e

c a n g e t a l l t h e p r o d u c t s o f t r a n s p o s i t i o n s t w o a d j a c e n t n u m b e r s :

(1, 2, 3) = (1 , 2)(2 , 3)(2, 3, 4) = (2 , 3)(3 , 4)

(3, 4, 5) = (3 , 4)(4 , 5).

.

.

(n 2, n 1, n ) = ( n 2, n 1)(n 1, n ).a n d i f o n e w o u l d l i k e t o o b t a i n t h e p a i r (x, x +1)( x + k, x + k + 1) t h i s c a n b e d o n e b y s u c c e s s i v e l y m u l t i p l y i n g t h e 3 - c y c l e (x, x + 1 , x + 2) b y t h e e l e m e n t s o f t h e r o w s b e t w e e n (x, x + 1 , x + 2) a n d (x + k, x + k + 1 , x + k + 2) , i . e .

(x, x +1)( x + k, x + k + 1) = ( x, x + 1 , x + 2) (x + k, x + k + 1 , x + k + 2) .

( T h i s c o r r e s p o n d s t o t a k i n g a w a l k d o w n t h e s t a i r s , s t a r t i n g a t

(x, x +1)( x + 1 , x + 2) , a n d m u l t i p l y i n g a l l t h e e l e m e n t s o n t h e w a y d o w n t o (x + k 1, x + k)(x + k, x + k + 1) ) . I t t h e n f o l l o w s f r o m L e m m a 1 . 2 . 2 3 t h a t An c a n b e g e n e r a t e d b y t h e 3 - c y c l e s m e n t i o n e d a b o v e .

1 0


13/124

1 . 2 . 3 S u b g r o u p s

T h i s s e c t i o n w i l l d e a l w i t h t h e n o t i o n o f s u b g r o u p s a n d a s s o c i a t e d c o n c e p t s .

D e n i t i o n 1 . 2 . 2 5 . F o r a g r o u p (G,) , a s u b g r o u p (H, ) o f (G,) i s a s e t H G w h i c h i s a g r o u p u n d e r .

T h e o r e m 1 . 2 . 2 6 . A n o n e m p t y s u b s e t H G i s a s u b g r o u p o f G p r e c i s e l y i f

( 1 ) x, y H xy H a n d ( 2 ) x H x 1 H .

P r o o f . I f (H, ) i s a s u b g r o u p o f G , ( 1 ) a n d ( 2 ) w i l l h o l d b y d e n i t i o n . C o n - v e r s e l y ( f o r x H ) , i f ( 1 ) a n d ( 2 ) h o l d , xx 1 H . B u t xx 1 = id , s o id H . T h e a s s o c i a t i v i t y h o l d s , s i n c e t h e o p e r a t i o n i n H i s t h e s a m e a s f o r G . T h u s , (H, ) i s a g r o u p , a n d t h e r e f o r e a s u b g r o u p o f G .

C o r o l l a r y 1 . 2 . 2 7 . F o r a n i t e n o n e m p t y s e t H , ( 1 ) i s s u c i e n t .

P r o o f . I f a H n N , an H . B u t H i s n i t e , s o m > n N : am =an . C a n c e l i n g , am n = id , s o a 1 = am n 1 H . N o t e t h a t i f m = n + 1 , a = id .

T h e o r e m 1 . 2 . 2 8 . L e t G b e a g r o u p a n d l e t A b e a n o n e m p t y c o l l e c t i o n o f s u b g r o u p s o f G . T h e n H = H k A H k i s a s u b g r o u p o f G .

P r o o f . L e t a, b H . T h e n a H k f o r a l l H k A a n d b H k f o r a l l H k A . S i n c e H k i s a s u b g r o u p f o r e v e r y H k A a n d a, b H k w e m u s t h a v e ab H k f o r a l l H k A . M o r e o v e r , a 1 a n d b 1 a r e a l s o e l e m e n t s o f H k f o r a l l H k A . T h u s , ab H f o r a l l a, b H , s o H i s c l o s e d u n d e r t h e g r o u p o p e r a t i o n , a n d e v e r y e l e m e n t o f H h a s a n i n v e r s e i n H . H e n c e , H i s a s u b g r o u p o f G .

D e n i t i o n 1 . 2 . 2 9 . L e t G b e a g r o u p a n d l e t S b e a s u b s e t o f G . W e d e n e t h e s u b g r o u p g e n e r a t e d b y S , d e n o t e d < S > , a s t h e i n t e r s e c t i o n o f a l l s u b g r o u p s H i o f G c o n t a i n i n g S , i . e . < S > = H i .

D e n i t i o n 1 . 2 . 3 0 . L e t G b e a g r o u p a n d l e t S b e a s u b s e t o f G . I f < S > =G w e s a y t h a t G i s g e n e r a t e d b y t h e s u b s e t S a n d t h e e l e m e n t s o f S a r e c a l l e d g e n e r a t o r s o f G . I f S c o n s i s t s o f a s i n g l e e l e m e n t t h e n G i s s a i d t o b e c y c l i c .

R e m a r k 1 . 2 . 3 1 . T h e t e r m c y c l i c c o m e s f r o m t h e f a c t t h a t i n t h e n i t e c a s e

a c y c l i c g r o u p , g e n e r a t e d b y s , m a y b e w r i t t e n

{s0, s1, s2, . . . , s n }

w h e r e n i s t h e s m a l l e s t i n t e g e r s u c h t h a t sn +1 = id .W e s e e t h a t c y c l i c g r o u p s , b o t h n i t e a n d i n n i t e , m u s t b e a b e l i a n s i n c e

i f G i s a c y c l i c g r o u p g e n e r a t e d b y g a n d g1, g2 G w e m u s t h a v e g1 = gia n d g2 = g j , f o r s o m e i, j Z , s o g1g2 = gi g j = gi+ j = g j + i = g j gi = g2g1 .

1 1


14/124

1 . 2 . 4 H o m o m o r p h i s m s a n d I s o m o r p h i s m s

T h i s s u b s e c t i o n w i l l i n t r o d u c e t h e c o n c e p t s o f h o m o m o r p h i s m s a n d i s o m o r -

p h i s m s .

D e n i t i o n 1 . 2 . 3 2 . L e t (G,) a n d (H, ) b e g r o u p s . A f u n c t i o n : G H i s a h o m o m o r p h i s m i f , f o r a l l a, b G , (a b) = (a) (b) .

D e n i t i o n 1 . 2 . 3 3 . A h o m o m o r p h i s m w h i c h i s a l s o b i j e c t i v e i s c a l l e d a n

i s o m o r p h i s m . I f G a n d H a r e g r o u p s a n d t h e r e e x i s t s a n i s o m o r p h i s m b e t w e e n G a n d H w e s a y t h a t G a n d H a r e i s o m o r p h i c a n d w r i t e G = H .

E v e r y g r o u p i s , o f c o u r s e , i s o m o r p h i c t o i t s e l f s i n c e t h e i d e n t i t y m a p

c l e a r l y i s a n i s o m o r p h i s m f r o m t h e g r o u p t o i t s e l f . H o w e v e r , t h i s m a y n o t

b e t h e o n l y i s o m o r p h i s m f r o m t h e g r o u p t o i t s e l f . S u c h a n i s o m o r p h i s m i s

c a l l e d a n a u t o m o r p h i s m a n d t h e s e t o f a l l a u t o m o r p h i s m s o f a g r o u p G i s d e n o t e d Aut (G) .

D e n i t i o n 1 . 2 . 3 4 . F o r a h o m o m o r p h i s m : G H , t h e s e t

Ker () = {g G|(g) = idH }

i s c a l l e d t h e k e r n e l o f . T h e s e t

Im () = {(g) H |g G}

i s c a l l e d t h e i m a g e o f .

N o t e t h a t Ker () i s a s u b s e t o f G a n d t h a t Im () i s a s u b s e t o f H .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 3 5 . L e t b e a h o m o m o r p h i s m b e t w e e n g r o u p s G a n d H , l e t g b e a n e l e m e n t o f G a n d l e t idG a n d idH b e t h e i d e n t i t i e s o f G a n d H r e s p e c t i v e l y . T h e n t h e f o l l o w i n g i s t r u e :

( 1 ) (idG ) = idH . ( 2 ) (g 1) = (g) 1 . ( 3 ) (gn ) = (g)n . ( 4 ) Ker () i s a s u b g r o u p o f G a n d Im () i s a s u b g r o u p o f H .

P r o o f . ( 1 ) (idG idG ) = (idG )(idG ) . B u t idG idG = idG s o (idG idG ) =(idG ) . H e n c e , (idG )(idG ) = (idG ) . C a n c e l l a t i o n i m p l i e s (idG ) = idH .

( 2 ) (g 1g) = (g 1)(g) . B u t (g 1g) = (idG ) = idH s o (g 1)(g) =idH . C a n c e l l a t i o n g i v e s (g 1) = (g) 1 .

( 3 ) (gn ) = (g)(gn 1) = . . . =n

i=1(g) = (g)n .

( 4 ) W e n o t e t h a t Ker () i s n o n e m p t y , s i n c e idG Ker () . L e t g1 a n d g2 b e e l e m e n t s o f Ker () . (g1g2) = (g1)(g2) = idH idH = idH . H e n c e g1g2 Ker () .

1 2


15/124

W e n o w n e e d t o s h o w t h a t i f g Ker () t h e n g 1 Ker () . T a k e

g Ker () a n d g

1 G . (gg

1) = (g)(g

1) = idH . B u t g Ker () s o (g)(g 1) = idH (g 1) = (g 1) . H e n c e (g 1) = idH s o g 1 Ker () .

W e n o t e t h a t Im () i s n o n e m p t y , s i n c e idH = (idG ) Im () . T a k e h1, h2 Im () . T h e n t h e r e i s g1, g2 G s u c h t h a t (g1) = h1 a n d (g2) =h2 . B u t (g1g2) H a n d (g1g2) = (g1)(g2) = h1h2 s o h1h2 H .

N o w t a k e h Im () . H e n c e , t h e r e i s a g G : (g) = h . g 1 Gs o (g 1) Im () . B u t (gg 1) = (g)(g) 1 = idH s o h 1 = (g) 1 Im () . B y T h e o r e m 1 . 2 . 2 6 , Ker () a n d Im () a r e s u b g r o u p s o f G a n d H , r e s p e c t i v e l y .

1 3


16/124

1 . 2 . 5 G r o u p A c t i o n s

I n t h i s s e c t i o n t h e n o t i o n o f g r o u p a c t i o n s w i l l b e d e n e d .

D e n i t i o n 1 . 2 . 3 6 . L e t G b e a g r o u p a n d l e t A b e a s e t . A g r o u p a c t i o n o f G o n A i s a m a p f : G A A t h a t s a t i s e s :

( 1 ) f (g1, f (g2, a )) = f (g1g2, a ) , f o r a l l g1, g2 G a n d a A .( 2 ) f (id,a ) = a f o r a l l a A .

G i v e n a g r o u p a c t i o n f : G A A o n e s a y s t h a t t h e g r o u p G a c t s o n t h e s e t A . I t i s c u s t o m a r y t o w r i t e g.a , i n s t e a d o f f (g, a) , a n d s a y t h a t t h e e l e m e n t g G a c t s o n t h e e l e m e n t a A .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 3 7 . F o r x e d g G t h e m a p g : A A d e n e d b y g (a) = g.a d e n e s a p e r m u t a t i o n o f t h e s e t A .

P r o o f . A p e r m u t a t i o n o f a s e t A i s a b i j e c t i v e m a p f r o m A t o A . H e n c e , gi s a p e r m u t a t i o n i i t h a s a l e f t a n d a r i g h t i n v e r s e .

L e f t i n v e r s e : L e t a A . C o n s i d e r t h e m a p g 1 . N o w c o n s i d e r t h e c o m p o s i t i o n g 1 g (a) = f (g 1, f (g, a)) = g 1.(g.a ) = id.a = a . H e n c e , g 1 i s a l e f t i n v e r s e o f g .

R i g h t i n v e r s e : L e t a A . A g a i n , c o n s i d e r t h e m a p g 1 . N o w c o n s i d e r t h e c o m p o s i t i o n g g 1 (a) = g.(g 1.a ) = ( gg 1).a = id.a = a . H e n c e , g 1 i s a r i g h t i n v e r s e o f g .

T h u s , g S A .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 3 8 . D e n e a m a p : G S A b y (g) = g . T h i s m a p i s a h o m o m o r p h i s m .

P r o o f . L e t g, h G a n d l e t a A . T h e n

(gh)(a) = gh (a) = gh.a = g.(h.a ) = g (h.a ) = g h (a) = (g)(h)(a).

H e n c e i s a h o m o m o r p h i s m .

1 4


17/124

1 . 2 . 6 Q u o t i e n t G r o u p s

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l i n t r o d u c e t h e n o t i o n o f Q u o t i e n t G r o u p s .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 3 9 . L e t G a n d H b e g r o u p s a n d l e t : G H b e a h o m o m o r p h i s m . W e d e n e a r e l a t i o n , , o n G b y s a y i n g t h a t i f a, b Gt h e n a b p r e c i s e l y i f (a) = (b) . T h e r e l a t i o n , , i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n .

P r o o f . W e n e e d t o c h e c k t h e t h r e e e q u i v a l e n c e a x i o m s .

( 1 ) i s r e e x i v e s i n c e (a) = (a) .( 2 ) (a) = (b) (b) = (a) . T h u s , i s s y m m e t r i c .( 3 ) I f (a) = (b) a n d (b) = (c) t h i s i m p l i e s t h a t (a) = (c) . T h u s ,

i s t r a n s i t i v e .

H e n c e , i s a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n .

D e n i t i o n 1 . 2 . 4 0 . I f a a n d b a r e e q u i v a l e n c e c l a s s e s u n d e r w e d e n e t h e p r o d u c t ab a s t h e s e t {g G|(g) = (ab)} ( i . e . ab i s t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f ab, ab) .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 4 1 . L e t G , H , a n d b e d e n e d a s i n P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 3 9 . T h e s e t o f e q u i v a l e n c e c l a s s e s u n d e r f o r m s a g r o u p u n d e r t h e o p e r a t i o n

d e n e d i n D e n i t i o n 1 . 2 . 4 0 . T h i s g r o u p i s c a l l e d a q u o t i e n t g r o u p a n d i s

d e n o t e d G/Ker () .

P r o o f . L e t t h e e q u i v a l e n c e c l a s s o f a n e l e m e n t g G b e d e n o t e d b y g .( 1 ) a(bc) = abc = abc = ( ab)c = ( ab)c. H e n c e , a s s o c i a t i v i t y h o l d s .( 2 ) T h e i d e n t i t y i s id ( i . e . Ker () ) .( 3 ) I f g G i s o f e q u i v a l e n c e c l a s s g a n d g 1 o f e q u i v a l e n c e c l a s s g 1 w e s e e t h a t (g)(g 1) = (g)(g) 1 = idH . H e n c e , gg 1 = id .T h i s s h o w s t h a t G/ker () i s a g r o u p .

T h e o r e m 1 . 2 . 4 2 . L e t G a n d H b e g r o u p s a n d l e t b e a h o m o m o r p h i s m f r o m G t o H . T h e n G/Ker () = Im () .

P r o o f . D e n e : G/Ker () Im () b y (g) = (g) . I f g1 a n d g2 b o t h l i e s i n t h e e q u i v a l e n c e c l a s s g t h e n , b y d e n i t i o n , (g1) = (g2) s o (g) i s w e l l d e n e d ( i . e . i t d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f r e p r e s e n t a t i v e o f g) .

W e c l a i m t h a t

i s a n i s o m o r p h i s m .

i s a h o m o m o r p h i s m b e c a u s e (g1 g2) = (g1g2) = (g1g2) = (g1)(g2) =(g1)(g2) .

I f h Im () t h e n t h e r e i s a g G s u c h t h a t (g) = h . B u t t h e n (g) = h s o i s s u r j e c t i v e .

A s s u m e i s n o t i n j e c t i v e . T h e n t h e r e i s g1 = g2 s u c h t h a t (g1) = (g2) .B u t t h e n (g1) = (g2) w h i c h l e a d s u s t o c o n c l u d e t h a t g1 = g2 . T h i s i s a c o n t r a d i c t i o n s o m u s t b e i n j e c t i v e .

W e h a v e t h u s s h o w n t h a t i s a h o m o m o r p h i s m t h a t i s s u r j e c t i v e a n d

i n j e c t i v e , a n d t h u s b i j e c t i v e . H e n c e , G/Ker () i s i s o m o r p h i c t o Im () .

1 5


18/124

D e n i t i o n 1 . 2 . 4 3 . L e t N b e a s u b g r o u p o f a g r o u p G . N i s s a i d t o b e a n o r m a l s u b g r o u p i f gN g

1 = N f o r a l l g G . I f N i s a n o r m a l s u b g r o u p o f G w e w r i t e N G .

D e n i t i o n 1 . 2 . 4 4 . T h e l e f t c o s e t , gH , o f a s u b g r o u p H i n a g r o u p G , w h e r e g i s a n e l e m e n t o f G , i s d e n e d a s gH = {a G|a = gh,h H } , i . e .a l l e l e m e n t s i n G t h a t c a n b e w r i t t e n a s a p r o d u c t o f t h e e l e m e n t g a n d a n e l e m e n t i n H .

I t i s p o s s i b l e t o d e n e q u o t i e n t g r o u p s u s i n g t h e n o t i o n o f n o r m a l s u b -

g r o u p s . T h e f o l l o w i n g p r o p o s i t i o n c l a r i e s w h y .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 4 5 . A s u b g r o u p N o f a g r o u p G i s n o r m a l p r e c i s e l y i f i t i s t h e k e r n e l o f a h o m o m o r p h i s m .

P r o o f . F i r s t a s s u m e t h a t N i s t h e k e r n e l o f a h o m o m o r p h i s m : G H w h e r e H i s s o m e g r o u p . I f n N , t h e n (gng 1) = (g)(n)(g 1) =(g)idH (g) 1 = idH . H e n c e , gng 1 ker () = N f o r a l l g G s o N i s a n o r m a l s u b g r o u p o f G .

N o w a s s u m e t h a t N i s a n o r m a l s u b g r o u p o f G . W e m a y d e n e a b i n a r y o p e r a t i o n o n t h e c o s e t s o f N b y g1N g2N = ( g1g2)N . T h i s o p e r a t i o n i s w e l l d e n e d b e c a u s e i f a1, a aN a n d b1, b bN w e m a y w r i t e a1 = an a n d b1 = bn f o r s o m e n, n N ( s i n c e i f c1 cN w e h a v e c1n1 = cn f o r s o m e n1, n N ) . W h a t w e w a n t t o s h o w i s t h a t a1b1 abN :

a1b1 = ( an )(bn ) = a(bb 1)nbn =

= ab(b 1nb)n = ab(n n )

w h e r e n = b 1nb . H e n c e , a1b1 abN .W e n o w c l a i m t h a t t h e s e t o f a l l c o s e t s o f N f o r m a g r o u p , GN , u n d e r

t h e o p e r a t i o n d e n e d a b o v e .

( 1 ) A s s o c i a t i v i t y h o l d s b e c a u s e aN (bNcN ) = aNbcN = abcN = abNcN =(aNbN )cN . ( 2 ) T h e i d e n t i t y i s idN s i n c e gNidN = g idN = gN =idgN = idNgN . ( 3 ) T h e i n v e r s e o f gN i s g 1N s i n c e gN g 1N = gg 1N =idN .

W e n o w d e n e a f u n c t i o n : G GN b y (g) = gN f o r a l l g G . i s a h o m o m o r p h i s m b e c a u s e i f g1, g2 G t h e n (g1g2) = g1g2N = g1Ng2N =(g1)(g2) . W e n o w n o t e t h a t N ker () b e c a u s e i f n N t h e n (n) =nN = N . C o n v e r s e l y , i f g ker () t h e n gN = idN s o g = id n f o r s o m e n N . H e n c e , g N s o ker () N . T h i s s h o w s t h a t ker () = N a n d t h e p r o o f i s c o m p l e t e .

T h e a b o v e p r o p o s i t i o n s h o w s t h a t t h e n o t i o n o f a n o r m a l s u b g r o u p i s

t h e s a m e a s t h e n o t i o n o f a k e r n e l o f a h o m o m o r p h i s m . H e n c e , i t m a k e s

s e n c e t o t a l k a b o u t t h e q u o t i e n t g r o u p G/N a s w e l l a s t h e q u o t i e n t g r o u p G/ker () . N o t e t h a t G/N i s p r e c i s e l y t h e g r o u p GN i n t h e p r o o f a b o v e .

1 6


19/124

R e m a r k 1 . 2 . 4 6 . O n e m a y a s k w h e t h e r i t i s p o s s i b l e t o m a k e t h e c o n s t r u c t i o n

o f GN o f t h e p r o o f f o r s u b g r o u p s t h a t a r e n o t n o r m a l . I t t u r n s o u t t h a t t h i s i s n o t p o s s i b l e . T h i s i s b e c a u s e i f H i s a s u b g r o u p o f G a n d t h e o p e r a t i o n g1Hg2H = g1g2H i s w e l l d e n e d t h e n a1, a aH a n d b1, b bH i m p l i e s a1b1H = abH . N o w l e t g b e a n y e l e m e n t o f G a n d h b e a n y e l e m e n t o f H .L e t a1 = h , a = id a n d l e t b1 = b = g 1 . T h i s g i v e s id g 1H = hg 1H a n d g 1H = hg 1H . H e n c e , hg 1 g 1H s o hg 1 = g 1h f o r s o m e h H .H e n c e , ghg 1 = h H . T h i s s h o w s t h a t i t i s o n l y p o s s i b l e t o d e n e t h e b i n a r y o p e r a t i o n o f t h e p r o o f f o r n o r m a l s u b g r o u p s .

1 7


20/124

1 . 2 . 7 D i r e c t a n d S e m i - D i r e c t P r o d u c t s

I n t h i s s e c t i o n , w e w i l l i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f d i r e c t p r o d u c t s a n d s h o w

s o m e r e s u l t s a s s o c i a t e d w i t h t h i s n o t i o n .

D e n i t i o n 1 . 2 . 4 7 . L e t G1, G2, . . . , G n b e g r o u p s . D e n e t h e d i r e c t p r o d - u c t G1 G2 . . . Gn a s t h e s e t c o n s i s t i n g o f a l l n - t u p l e s (g1, g2, . . . , gn ) , w h e r e g1 G1, g2 G2, . . . , gn Gn .

D e n i t i o n 1 . 2 . 4 8 . L e t G1, G2, . . . , G n b e g r o u p s w i t h o p e r a t i o n s 1,2, . . . , n .W e d e n e a b i n a r y o p e r a t i o n o n G1 G2 . . . G n b y (g1, g2, . . . , gn ) (g1, g2, . . . , gn ) = ( g1 1 g1, g2 2 g2, . . . , gn n gn ) .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 4 9 . T h e d i r e c t p r o d u c t d e n e d i n D e n i t i o n 1 . 2 . 4 7 t o g e t h e r

w i t h t h e b i n a r y o p e r a t i o n d e n e d i n D e n i t i o n 1 . 2 . 4 8 f o r m s a g r o u p G .

P r o o f . L e t g = ( g1, . . . , gn ), h = ( h1, . . . , h n ), k = ( k1, . . . , k n ) G .

g(hk) = ( g1, g2, . . . , gn )[(h1, h2, . . . , h n )(k1, k2, . . . , k n )] =

= ( g1, g2, . . . , g n )(h1k1, . . . , h n kn ) = ( g1h1k1, . . . , gn hn kn ) =

(g1h1, . . . , gn hn )(k1, . . . , k n ) = [( g1, . . . , gn )(h1, . . . , h n )](k1, . . . , k n ) =

C o n s i d e r t h e e l e m e n t e = ( id1, . . . , i d n ) G a n d l e t g = ( g1, . . . , g n ) G .

eg = ( id1, id2, . . . , i d n )(g1, g2, . . . , gn ) =

= ( id1g1, . . . , i d n gn ) = ( g1, . . . , g n ) = g

H e n c e , e i s t h e i d e n t i t y o f G .L e t g = ( g1, . . . , gn ) G a n d c o n s i d e r t h e e l e m e n t l = ( g

11 , . . . , g

1n ) G .

gl = ( g1, g2, . . . , gn )(g 11 , g

12 , . . . , g

1n ) =

= ( g1g 11 , . . . , gn g

1n ) = ( id1, . . . , i d n ) = id

S i n c e g i s a n a r b i t r a r y e l e m e n t i n G , e v e r y e l e m e n t i n G h a s a n i n v e r s e .H e n c e , G i s a g r o u p .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 5 0 . T h e s u b g r o u p , G i , o f G = G1 G2 . . . Gn c o n s i s t i n g o f t h e e l e m e n t s (id1, . . . , i d i 1, gi , id i+1 , . . . , i d n ) i s a n i s o m o r p h i c c o p y o f G i . T h i s s u b g r o u p i s n o r m a l .

P r o o f . T h i s i s a s u b g r o u p b e c a u s e i f g1, g2 G i t h e n

(id1, . . . , g1, . . . , i d n )( id1, . . . , g2, . . . , i d n ) = ( id1, . . . , g1g2, . . . , i d n ) G i

a n d

(id1, . . . , g , . . . , i d n )( id1, . . . , g 1, . . . , i d n ) = ( id1, . . . , i d i , . . . , i d n ).

1 8


21/124

W e n o w d e n e a f u n c t i o n : G i G i b y (g) = ( id1, . . . , g , . . . , i d n ) . T h a t

i s a n i s o m o r p h i s m i s o b v i o u s .L e t g G a n d g G i .

gg g 1 = ( g1, . . . , g i , . . . , gn )( id1, . . . , g , . . . , i d n )(g 11 , . . . , g

1i , . . . , g

1n ) =

= ( id1, . . . , g i g g 1i , . . . , i d n ).

T h i s i s a g a i n a n e l e m e n t o f G i w h i c h s h o w s t h a t G i i s a n n o r m a l s u b g r o u p o f G .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 5 1 . T h e c a r d i n a l i t y , |G| , o f G = G1 G2 . . . G n i s e q u a l t o |G1 || G2 | . . . |Gn | .

P r o o f . E a c h e l e m e n t g G i s a n n - t u p l e o f t h e f o r m (g1, g2, . . . , gn ) w h e r e gi G i . W e m a y c h o o s e g1 i n |G1| w a y s , g2 i n |G2 | w a y s a n d s o o n . E a c h o f t h e s e c h o i s e s a r e i n d e p e n d e n t . H e n c e , |G| = |G1 || G2 | . . . |Gn | .

N o t e t h a t , b y t h e a b o v e p r o p o s i t i o n , t h e q u o t i e n t g r o u p G1 . . . Gn /G im a k e s s e n s e . Q u i t e n a t u r a l l y t h e q u o t i e n t g r o u p G1 . . . Gn /G i i s i s o - m o r p h i c t o t h e g r o u p G1 . . . G i 1 G i+1 . . . Gn ( n o t e t h e s t r i k i n g r e s e m b l a n c e t o m u l t i p l i c a t i o n a n d d i v i s i o n o f n u m b e r s ) .

O n e o f t h e r e a s o n s f o r i n t r o d u c i n g t h e n o t i o n s o f q u o t i e n t g r o u p s a n d

d i r e c t p r o d u c t s o f g r o u p s i s t h e p r o s p e c t o f d e c o m p o s i n g l a r g e a n d s e e m i n g l y

c o m p l e x g r o u p s i n t o s i m p l e r p a r t s ( t h e f a c t o r g r o u p s o f a p r o d u c t ) o r t o

u n r a v e l h i d d e n s i m i l a r i t i e s o f t h e e l e m e n t s o f a g r o u p t h r o u g h t h e e q u i v a l e n c e

c l a s s e s i n a q u o t i e n t g r o u p . H o w e v e r , b o t h c o n c e p t s e i t h e r r e q u i r e n o r m a l i t y

o f t h e s u b g r o u p ( i n t h e c a s e o f q u o t i e n t g r o u p s ) o r i m p o s e n o r m a l i t y o n t h e

s u b g r o u p ( i n t h e c a s e o f d i r e c t p r o d u c t s o f g r o u p s ) . T h i s i s a q u i t e s t r o n g

r e q u i r e m e n t t h a t i n g e n e r a l p r e v e n t s u s f r o m d e c o m p o s i n g a g r o u p i n t o a

p r o d u c t . W e t h e r e f o r e w i s h t o e x t e n d t h e c o n c e p t o f p r o d u c t s o f g r o u p s .

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 5 2 . L e t N a n d H b e g r o u p s a n d l e t : H Aut (N ) b e a h o m o m o r p h i s m w h e r e (h) i s d e n o t e d h . T h e s e t S = {(n, h )|n N, h H } w i t h t h e o p e r a t i o n (n, h ) (n , h ) = ( n h (n ), h h ) i s a g r o u p . T h i s g r o u p i s c a l l e d a s e m i d i r e c t p r o d u c t o f N a n d H a n d i s d e n o t e d N H .

P r o o f . S i n c e h Aut (N ) f o r a l l h H t h e p r o d u c t n h (n ) N s o i s a b i n a r y o p e r a t i o n o n S . W e m a y t h e r e f o r e p r o c e e d t o v e r i f y t h e g r o u p a x i o m s .

( 1 ) A s s o c i a t i v i t y h o l d s b e c a u s e :

(n, h ) ((n , h ) (n , h )) = ( n, h ) (n h (n ), h h ) =

= ( n h (n h (n )) , h h h ) = ( n h (n ) h (h (n )) , h h h ) =

= ( n h (n ) h h (n ), h h h )) = ( n h (n ), h h ) (n , h ) =

1 9


22/124

= (( n, h ) (n , h )) (n , h ).

( (h)((h )(n )) = (h h )(n ) f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t Aut (N ) a n d h e n c e i s a h o m o m o r p h i s m ) .

( 2 ) T h e i d e n t i t y i s (idn , id h ) s i n c e :

(idn , id h ) (n, h ) = ( idn (idh )(n), id h h),

a n d

(n, h ) (idn , id h ) = ( n h (idn ), h idh ).

S i n c e i s a h o m o m o r p h i s m w e k n o w t h a t idh = idAut (N ) a n d idAut (N )(n) =n s o (idn , id h ) (n, h ) = ( n, h ) . F u r t h e r , h i s a l s o a h o m o m o r p h i s m s o

h(id

n) = id

nw h i c h s h o w s t h a t (n, h ) (id

n, id

h) = ( n, h ) .

( 3 ) T h e i n v e r s e o f t h e e l e m e n t (n, h ) i s (h 1 (n 1), h 1) s i n c e :

(n, h ) (h 1 (n 1)) = ( n h (h 1 (n

1)) , h h 1) =

= ( n h h 1 (n 1)) , id h ) = ( n idAut (N ) (n

1)) , id h ) =

= ( n n 1, id h ) = ( idn , id h ).

a n d

(h 1 (n 1), h 1) (n, h ) = ( h 1 (n

1) h 1 (n), h 1 h) =

(h 1 (n 1

n), id h ) = ( h 1 (idn ), id h ) = ( idn , id h ).

P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 5 3 . T h e c a r d i n a l i t y o f N H i s |N || H | .

P r o o f . T h e p r o o f i s c o m p l e t e l y t h e s a m e a s f o r d i r e c t p r o d u c t s .

O n e m a y n o t e t h a t i f h = idAut (N ) f o r a l l h H t h e n N H i s j u s t N H .

2 0


23/124

1 . 3 T h e C u b e G r o u p

R u b i k ' s C u b e i s a t h r e e d i m e n s i o n a l m e c h a n i c a l p u z z l e . T h e g o a l o f t h e

p u z z l e i s t o r o t a t e t h e f a c e s o f t h e c u b e i n a s e q u e n c e s u c h t h a t a t t h e e n d

o f t h e s e q u e n c e e a c h f a c e i s c o l o u r e d i n a s i n g l e , d i s t i n c t c o l o u r .

W h e n d i s c u s s i n g t h e c u b e i t i s c o n v e n i e n t t o h a v e s o m e t e r m i n o l o g y . T h e

c u b e c o n s i s t s o f 26 s m a l l e r c u b e s w h i c h w e w i l l r e f e r t o a s c u b i e s . T h e c u b i e s a r e g r o u p e d i n s e t s o f 8 o r 9 t h a t c a n b e r o t a t e d t o g e t h e r . T h e s e s e t s w i l l b e r e f e r e d t o a s l a y e r s . E a c h f a c e o f t h e c u b e c o n s i s t s o f n i n e s m a l l , c o l o u r e d

s q u a r e s . W e w i l l r e f e r t o t h e s e s q u a r e s a s f a c e t s .

I n s t e a d o f r e f e r r i n g t o t h e f a c e s o f t h e c u b e b y t h e i r c o l o u r s w e c h o o s e t o

x t h e c u b e i n s p a c e , w i t h o n e f a c e f a c i n g u s , a n d c a l l t h a t s i d e t h e f r o n t

f a c e . T h e o t h e r s i d e s a r e t h e n c a l l e d t h e b a c k f a c e , u p f a c e , d o w n f a c e ,

r i g h t f a c e a n d l e f t f a c e . A 90 c l o c k w i s e r o t a t i o n , a s s e e n f r o m t h e f a c e , o f t h e f r o n t f a c e i s d e n o t e d b y F . R o t a t i o n s o f t h e o t h e r f a c e s a r e s i m i l a r l y d e n o t e d B , U , D , R a n d L a s s e e n f r o m t h e r e s p e c t i v e f a c e s . A 90 c o u n t e r - c l o c k w i s e r o t a t i o n w i l l b e d e n o t e d b y a 1 s u p e r s c r i p t . F o r i n s t a n c e , a 90c o u n t e r - c l o c k w i s e r o t a t i o n o f t h e f r o n t f a c e i s d e n o t e d F 1 .

F i g u r e 1 . 1 : A c u b i e o f t h e C u b e

R e m a r k 1 . 3 . 1 . O n e m i g h t t h i n k t h a t r o t a t i o n s o f t h e c e n t e r l a y e r s a r e a l s o

u s e f u l t o d e n e . T h e s e a r e h o w e v e r s u p e r u o u s , a s e a c h r o t a t i o n o f a c e n t e r

l a y e r i s e q u i v a l e n t t o r o t a t i n g t h e t w o a d j a c e n t f a c e l a y e r s .

2 1


24/124

F i g u r e 1 . 2 : A l a y e r o f t h e C u b e .

R e m a r k 1 . 3 . 2 . T h e r e l a t i v e c o n g u r a t i o n o f t h e c e n t e r f a c e t s o f e a c h f a c e

c a n n o t b e a l t e r e d b y a n y r o t a t i o n o f t h e l a y e r s .

1 . 3 . 1 T h e f r e e g r o u p

A n a t u r a l w a y t o s t a r t w h e n o n e w a n t s t o d e t e r m i n e t h e g r o u p s t r u c t u r e o f

R u b i k ' s C u b e i s t o c o n s i d e r a f r e e g r o u p c o n s i s t i n g o f t h e c o n c a t e n a t i o n s o f

r o t a t i o n s o f t h e f a c e s o f t h e c u b e .

D e n i t i o n 1 . 3 . 3 . W e d e n e t h e c o n c a t e n a t i o n o p e r a t o r o f t w o r o t a t i o n s

b y s a y i n g t h a t AB d e n o t e s t h e s e q u e n c e o f r o t a t i o n s o f r s t r o t a t i n g B t h e n A .

W e c a n f o r m s e q u e n c e s o f r o t a t i o n s o f a r b i t r a r y l e n g t h w i t h t h e c o n c a t e -

n a t i o n o p e r a t o r .

A n a t u r a l w a y t o d e n e a g r o u p i s t o c o n s i d e r s e q u e n c e s o f t h e a b o v e

r o t a t i o n s . S u c h s e q u e n c e s w i l l c o r r e s p o n d t o s c r a m b l i n g t h e C u b e , ( o r s o l v -

i n g i t ) . I n o r d e r t o f o r m a g r o u p , w e a l s o h a v e t o i n t r o d u c e t h e c o n c e p t o f

r e d u c i n g s e q u e n c e s .

D e n i t i o n 1 . 3 . 4 . I f x = a1a2 . . . a n i s a s e q u e n c e o f r o t a t i o n s t h e c o r r e - s p o n d i n g r e d u c e d s e q u e n c e x i s t h e s e q u e n c e o b t a i n e d f r o m x b y r e m o v i n g a l l p a r t i a l s e q u e n c e s o f t w o e l e m e n t s w h e r e a n e l e m e n t i s a d j a c e n t t o i t s

i n v e r s e .

P r o p o s i t i o n 1 . 3 . 5 . T h e s e t S c o n s i s t i n g o f a l l n i t e , r e d u c e d s e q u e n c e s o f r o t a t i o n s R,L,U,D,F,B a n d i n v e r s e s R 1, L 1, U 1, D 1, F 1, B 1 i s a g r o u p u n d e r t h e o p e r a t i o n o f c o n c a t e n a t i o n . W e d e n o t e t h i s g r o u p b y G R( r e a d f r a c - G - R ) a n d c a l l i t t h e f r e e R u b i k ' s G r o u p .

2 2


25/124

F i g u r e 1 . 3 : A f a c e t o f t h e C u b e .

P r o o f . W e c h e c k t h e g r o u p a x i o m s .

1 . A s s o c i a t i v i t y :a,b,c G R , a (bc) = ( ab)c b y t h e d e n i t i o n o f t h e c o n - c a t e n a t i o n o p e r a t o r .

2 . I d e n t i t y : T h e e m p t y s e q u e n c e i s t h e i d e n t i t y e l e m e n t , s i n c e

x G R ,x = x= x .3 . I n v e r s e : L e t x = a1a2 . . . a n b e a n e l e m e n t o f G R . T h e n x 1 = a 1n . . . a

12 a

11

s i n c e xx 1 = x 1x = .

W e n o t e t h a t t h i s d e n e s a g r o u p o f i n n i t e o r d e r . T h i s i s b e c a u s e i t

d e s c r i b e s t h e r o t a t i o n s o f t h e f a c e s o f t h e c u b e a n d n o t t h e s c r a m b l e d s t a t e ,

o r p e r m u t a t i o n s , o f t h e f a c e t s . T h e l a t t e r i s h o w e v e r w h a t w e a r e m o s t

i n t e r e s t e d i n a n d w e t h e r e f o r e w a n t G R t o a c t o n t h e s e t o f f a c e t s o f t h e

c u b e .

W e n o t e t h a t w e h a v e a t o t a l o f 54 f a c e t s o f t h e s t a n d a r d c u b e , s i n c e e a c h f a c e h a s n i n e f a c e t s , a n d t h e r e a r e a t o t a l o f s i x f a c e s . W e c a n t h u s g i v e

e a c h f a c e t a u n i q u e i n d e x f r o m 1 t o 54 s u c h a s t h e o n e s e e n i n F i g u r e 1 . 4 .

D e n i t i o n 1 . 3 . 6 . G i v e n a n i n d e x a t i o n s u c h a s t h e o n e i n F i g u r e 1 . 4 , w e c a n

d e n e a g r o u p a c t i o n : G R [54] [54]1 b y (g, x) = y, g G R , x [54]w h e r e y [54] i s t h e i n d e x o f t h e f a c e t t h a t x i s b r o u g h t t o b y t h e s e q u e n c e g .

N o t e t h a t b y P r o p o s i t i o n 1 . 2 . 3 8 t h e a b o v e g r o u p a c t i o n d e n e s a h o m o -

m o r p h i s m f r o m G R t o S 54 . H o w e v e r , S 54 i s r a t h e r c u m b e r s o m e t o w o r k w i t h , 1 [54] i s t h e s e t o f a l l n a t u r a l n u m b e r s 1 t o 54

2 3


26/124

F i g u r e 1 . 4 : E a c h f a c e t o f t h e c u b e g i v e n a n u m b e r 1, . . . , 54.

s o a s i m p l i c a t i o n o f t h e c u r r e n t s i t u a t i o n i s d e s i r a b l e . W e a l s o n o t e t h a t

t h e g r o u p o b t a i n e d f r o m t h i s g r o u p a c t i o n i s o n l y a s u b g r o u p o f S 54 , w h i c h w i l l b e s e e n b e l o w .

1 . 3 . 2 P o s i t i o n s o f e d g e p i e c e s a n d c o r n e r p i e c e s

C o n s i d e r t h e s e t o f e d g e p i e c e s , E , a n d t h e s e t o f c o r n e r p i e c e s , C , o f t h e c u b e . W e s e e t h a t e a c h s e q u e n c e o f r o t a t i o n s w i l l m a p c o r n e r p i e c e s t o

c o r n e r p i e c e s , a n d e d g e p i e c e s t o e d g e p i e c e s . H e n c e , a l l f a c e t p e r m u t a t i o n s

o f S 54 a r e n o t a l l o w e d , s i n c e o n e c a n n o t m a p a c o r n e r f a c e t t o a n e d g e f a c e t .W i t h t h i s i n m i n d , w e c a n a s s i g n e a c h e d g e p i e c e a n i n d e x b e t w e e n

1 a n d 1 2 , a n d e a c h c o r n e r p i e c e a n i n d e x b e t w e e n 1 a n d 8 , i . e .E ={e1, e2, e3 . . . , e 12}, C = {c1, c2, . . . , c 8} a s s e e n i n F i g u r e 1 . 5 .

W e l e t G R a c t o n E b y

g.x = y, g G R , x E

w h e r e y i s t h e i n d e x o f t h e e d g e p o s i t i o n t h a t x i s b r o u g h t t o b y g. W e m a y a l s o l e t G R a c t o n C b y

g.x = y, g G R , x C

w h e r e y i s t h e i n d e x o f t h e c o r n e r p o s i t i o n t h a t x i s b r o u g h t t o b y g. W e t h u s o b t a i n t w o h o m o m o r p h i s m s , E : G R S 12 a n d C : G R S 8 .

G i v e n t h e i n d e x a t i o n s h o w n i n F i g u r e 1 . 5 t h e r o t a t i o n s g e n e r a t i n g G Ra r e m a p p e d t o t h e f o l l o w i n g p e r m u t a t i o n s i n S 8 a n d S 12 , r e s p e c t i v e l y :

2 4


27/124

F i g u r e 1 . 5 : E a c h c o r n e r g i v e n a n u m b e r 1, . . . , 8 a n d e a c h e d g e g i v e n a n u m b e r 1, . . . , 12.

S 8 :C (U ) = ( c1c2c3c4) ; C (D ) = ( c5c8c7c6)C (F ) = ( c1c4c8c5) ; C (B ) = ( c3c2c6c7)C (R) = ( c3c7c8c4) ; C (L) = ( c1c5c6c2)

S 12 :E (U ) = ( e1e2e3e4) ; E (D ) = ( e9e12e11 e10)E (F ) = ( e4e8e12e5) ; E (B ) = ( e2e6e10e7)E (R) = ( e3e7e11 e8) ; E (L) = ( e1e5e9e6)

R e m a r k 1 . 3 . 7 . I t ' s w o r t h s t r e s s i n g t h a t t h e e d g e p i e c e s h a v e t w o o r i e n t a t i o n s ,

a n d t h e c o r n e r p i e c e s h a v e t h r e e , d u e t o t h e f a c t t h a t t h e y c o n s i s t o f t w o a n d

t h r e e f a c e t s , r e s p e c t i v e l y . T h i s o b s e r v a t i o n i s n o t c o n t a i n e d i n t h e d e s c r i p t i o n

o f t h e p o s i t i o n s o f t h e e d g e s a n d c o r n e r s , t h e r e b y m a k i n g i t i n c o m p l e t e f o r

d e s c r i b i n g t h e d i e r e n t s t a t e s o f t h e c u b e . W e w i l l c o m p l e t e o u r d e s c r i p t i o n

l a t e r i n t h e t e x t .

T h e o r e m 1 . 3 . 8 . C a n d E a r e s u r j e c t i v e m a p p i n g s .

P r o o f . W e h a v e t o n d a t r a n s p o s i t i o n o f t w o a d j a c e n t c o r n e r s i n C . B y t h e s y m m e t r y o f t h e c u b e i t f o l l o w s t h a t i f w e c a n t r a n s p o s e o n e p a i r o f a d j a c e n t

c o r n e r s t h e n w e c a n t r a n s p o s e a l l p a i r s o f a d j a c e n t c o r n e r s . T h i s w i l l t h u s

c o m p l e t e t h e p r o o f f o r C , s i n c e a n y p e r m u t a t i o n t h e r e o f c a n b e w r i t t e n a s a p r o d u c t o f t r a n s p o s i t i o n s o f a d j a c e n t c o r n e r s , s i n c e i f a,b,c C a n d a, ba r e a d j a c e n t a n d b, c a r e a d j a c e n t , t h e n (ab)(cb)(ab) = ( ac) . F u r t h e r , i f d i s a d j a c e n t t o c t h e n (ac)(cd)(ac) = ( ad) . A c o r n e r c a n n o t p o s s i b l y h a v e m o r e t h a n t w o c o r n e r s b e t w e e n i t s e l f a n d a n y o t h e r c o r n e r s o t h i s c o v e r s a l l c a s e s .

2 5


28/124

B u t C ((LBU )5) = (( c1c5c6c2)(c3c2c6c7)(c1c2c3c4))5 =

((c1c2)(c3c4c5c6c7))5 = ( c1c2) , h e n c e C i s s u r j e c t i v e .B y t h e s a m e r e a s o n i n g , i t i s s u c i e n t t o n d a t r a n s p o s i t i o n o f t w o

a d j a c e n t e d g e p i e c e s i n E . C o n s i d e r :

E (UR3U 3B 3UBR )

= ( e1e2e3e4)(e3e8e11 e7)(e1e4e3e2)( e2e7e10e6)(e1e2e3e4)(e2e6e10e7)( e3e7e11 e8)

= ( e1e4)

s o b o t h C a n d E a r e s u r j e c t i v e .

R e m a r k 1 . 3 . 9 . W e n o t e t h a t , b y T h e o r e m 1 . 3 . 8 , Im (E ) = S 12 , a n d Im (C ) =S 8 .

B u t C a n d E o n l y c o n s i d e r t h e p o s i t i o n s o f c o r n e r p i e c e s a n d e d g e p i e c e s i n d e p e n d e n t o f e a c h o t h e r . I n o r d e r t o d e t e r m i n e t h e f u l l s t r u c t u r e , w e

n e e d t o c o n s i d e r t h e p o s i t i o n s o f c o r n e r p i e c e s a n d e d g e p i e c e s s i m u l t a n e o u s l y .

D e n i t i o n 1 . 3 . 1 0 . W e d e n e C,E : G R S 8 S 12 a s C,E (X ) = ( C (X ), E (X )) .

P r o p o s i t i o n 1 . 3 . 1 1 . C,E i s a h o m o m o r p h i s m .

P r o o f . T h i s f o l l o w s i m m e d i a t e l y f r o m t h e f a c t t h a t C a n d E a r e h o m o - m o r p h i s m s .

O n e m i g h t t h i n k t h a t C,E i s s u r j e c t i v e s i n c e C a n d E a r e s u r j e c t i v e .T h i s i s h o w e v e r n o t t h e c a s e , a s t h e f o l l o w i n g t h e o r e m s h o w s .

T h e o r e m 1 . 3 . 1 2 . C,E i s n o t s u r j e c t i v e .

P r o o f . N o t e t h a t G R i s g e n e r a t e d b y S gen = {F,B,U,D,R,L } . F o r e a c h g e n e r a t o r X S gen C,E (X ) = ( C (X ), E (X )) w h e r e b o t h C (X ) a n d E (X ) a r e 4 - c y c l e s , i . e . C (X ) a n d E (X ) a r e b o t h o d d p e r m u t a t i o n s .I t f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t C,E i s a h o m o m o r p h i s m t h a t i f C,E (Y ) =(C (Y ), E (Y )) i s t h e i m a g e o f a n e l e m e n t Y G R t h e n C (Y ) a n d E (Y )a r e b o t h o d d o r b o t h e v e n .S 8 S 12 c o n t a i n s e l e m e n t s (, ) w h e r e i s o d d a n d

i s e v e n ( a n d t h e o t h e r w a y a r o u n d ) . T h e s e e l e m e n t s a r e c l e a r l y n o t i n

t h e i m a g e o f C,E . H e n c e , C,E i s n o t s u r j e c t i v e .

A n a t u r a l q u e s t i o n w o u l d b e i f a l l p a i r s o f a n e v e n c o r n e r p e r m u t a t i o n

a n d a n e v e n e d g e p e r m u t a t i o n c a n b e a c h i e v e d ( a n d t h e a n a l o g u e f o r o d d

p e r m u t a t i o n s ) .

L e m m a 1 . 3 . 1 3 . A l l p a i r s (C , E ) , C S 8, E S 12 , w h e r e C a n d E a r e b o t h e v e n o r b o t h o d d , l i e i n t h e i m a g e o f C,E .

2 6


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P r o o f . C o n s i d e r t h e s e t o f a l l p a i r s , (C , E ) Im (C,E ) , w h e r e b o t h C a n d E a r e e v e n . G i v e n s u c h a n e l e m e n t , (C , E ) , w e k n o w t h a t E i s a n e v e n p e r m u t a t i o n i n S 12 a n d t h e r e a r e e l e m e n t s i n Im (C,E ) t h a t x e s t h e e d g e s w h i l e p e r m u t i n g t h r e e o f t h e c o r n e r s c y c l i c a l l y . S u c h a n e l e m e n t i s

C,E (F RF 1LF R 1F 1L 1) =

((c1c4c8c5)(c3c7c8c4)(c1c5c8c4)(c1c5c6c2)

(c1c4c8c5)( c3c4c8c7)( c1c5c8c4)(c1c2c6c5),

(e4e8e12e5)(e3e7e11 e8)(e4e5e12e8)( e1e5e9e6)

(e4e8e12e5)( e3e8e11 e7)(e4e5e12e8)(e1e6e9e5)) =

= (( c1)(c2)(c3)(c4)(c5c8c6)(c7), id) = (( c5c8c6), id )B y t h e s y m m e t r y o f t h e c u b e , e v e r y 3 - c y c l e s u c h t h a t a l l t h r e e c o r n e r s l i e

i n t h e s a m e f a c e i s a n e l e m e n t o f t h e i m a g e o f C,E . F r o m T h e o r e m 1 . 2 . 2 4 w e k n o w t h a t t h e s e c y c l e s w i l l g e n e r a t e A8 , a n d t h u s e v e r y e v e n p e r m u t a t i o n o f t h e c o r n e r s l i e s i n t h e i m a g e o f C,E . B u t E i s a n a r b i t r a r y p e r m u t a t i o n i n A12 a n d h e n c e , e v e r y c o m b i n a t i o n (C , E ) s u c h t h a t b o t h C a n d E a r e e v e n l i e s i n Im (C,E ) .

N o w c o n s i d e r t h e p a i r s (C , E ) C,E s u c h t h a t b o t h C a n d E a r e o d d . C o n s i d e r a n o d d e l e m e n t E S 12 . T h i s e l e m e n t w i l l b e p a i r e d w i t h a n o d d e l e m e n t C S 8 . C i s a r e p r e s e n t a t i v e o f a c o s e t o f A8 . H e n c e w e h a v e , b y t h e s a m e r e a s o n i n g a s i n t h e p r e v i o u s c a s e , t h a t a l l o d d p e r m u t a t i o n s o f

S 8 c a n b e p a i r e d w i t h E , a n d s i n c e E i s a n a r b i t r a r y e l e m e n t e v e r y p a i r (C , E ) s u c h t h a t b o t h C a n d E a r e o d d l i e s i n t h e i m a g e o f C,E . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

1 . 3 . 3 O r i e n t a t i o n o f e d g e p i e c e s a n d c o r n e r p i e c e s

U n t i l n o w w e h a v e c o n s i d e r e d t h e p o s i t i o n i n g o f t h e c o r n e r s a n d e d g e s . T h e r e

i s h o w e v e r n o g u a r a n t e e t h a t t h e c u b e i s s o l v e d e v e n t h o u g h a l l e d g e s a n d

c o r n e r s a r e i n t h e i r c o r r e c t p o s i t i o n s . T h i s i s b e c a u s e t h e y m a y b e i p p e d .

T h e r e f o r e , a s m e n t i o n e d e a r l i e r , w e a l s o n e e d t o c o n s i d e r t h e o r i e n t a t i o n o f

t h e p i e c e s t o c o m p l e t e l y d e t e r m i n e t h e s t r u c t u r e o f t h e c u b e g r o u p , a n d i n

p a r t i c u l a r t h e c a r d i n a l i t y o f t h e g r o u p .

I n i t s c o r r e c t p o s i t i o n e a c h e d g e p i e c e c a n b e i p p e d i n t w o w a y s a n d

e a c h c o r n e r p i e c e i n t h r e e w a y s . H o w e v e r , w e w a n t t o d e n e t h e o r i e n t a t i o n

o f t h e p i e c e s i n s u c h a w a y t h a t i t i s p o s s i b l e t o d e t e r m i n e t h e o r i e n t a t i o n o f

a p i e c e i n d e p e n d e n t l y o f w h e t h e r i t i s i n i t s c o r r e c t p o s i t i o n o r n o t .

D e n i t i o n 1 . 3 . 1 4 . C o n s i d e r a c u b e i n i t s s o l v e d s t a t e o n w h i c h a c r o s s

h a s b e e n d r a w n o n p r e c i s e l y o n e s i d e o f e a c h e d g e a n d c o r n e r p i e c e . T h e s e

c r o s s e s d e t e r m i n e t h e m a p o f t h e o r i e n t a t i o n s o f t h e p o s i t i o n s o f t h e c u b e

( s e e F i g u r e 1 . 6 a n d F i g u r e 1 . 7 ) . A n e d g e p i e c e i n a n u n s o l v e d c u b e i s s a i d t o

2 7


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b e c o r r e c t l y o r i e n t e d i f i t s c r o s s c o i n c i d e s w i t h t h e c r o s s o f t h a t p o s i t i o n i n

t h e o r i e n t a t i o n m a p , a n d i n c o r r e c t l y o r i e n t e d o t h e r w i s e . S i m i l a r l y , a c o r n e r

p i e c e i n a n u n s o l v e d c u b e i s s a i d t o b e c o r r e c t l y o r i e n t e d i f i t s c r o s s c o i n c i d e s

w i t h t h e c r o s s o f t h a t p o s i t i o n i n t h e o r i e n t a t i o n m a p , i f i t i s r o t a t e d 120

c l o c k w i s e i t i s s a i d t o h a v e i n c o r r e c t o r i e n t a t i o n o f t h e r s t t y p e a n d i f i t

i s r o t a t e d 120 a n t i - c l o c k w i s e i t i s s a i d t o h a v e i n c o r r e c t o r i e n t a t i o n o f t h e s e c o n d t y p e .

F i g u r e 1 . 6 : O r i e n t a t i o n s o f t h e e d g e s .

W e m a y r e p r e s e n t t h e o r i e n t a t i o n o f t h e e d g e s o f t h e c u b e b y a 12- t u p l e o f z e r o s a n d o n e s w h e r e e a c h c o o r d i n a t e r e p r e s e n t s a n e d g e p o s i t i o n . A

c o o r d i n a t e i s 0 i f t h e e d g e p i e c e i n t h a t p o s i t i o n i s c o r r e c t l y o r i e n t e d a n d 1o t h e r w i s e . S i m i l a r l y , t h e o r i e n t a t i o n o f t h e c o r n e r s c a n b e r e p r e s e n t e d b y a n

8- t u p l e o f z e r o s , o n e s a n d t w o s w h e r e e a c h c o o r d i n a t e r e p r e s e n t s a c o r n e r p o s i t i o n . A c o o r d i n a t e i s 0 i f t h e c o r n e r p i e c e i n t h a t p o s i t i o n i s c o r r e c t , 1 i f i t i s o f i n c o r r e c t o r i e n t a t i o n o f t h e r s t t y p e a n d 2 i f i t i s o f i n c o r r e c t o r i e n t a t i o n o f t h e s e c o n d t y p e .

N o w c o n s i d e r h o w t h e o r i e n t a t i o n s o f t h e e d g e s c h a n g e w h e n w e p e r f o r m

a r o t a t i o n o f a s i n g l e f a c e , X := = ( x1x2x3x4) S 12 . B e f o r e p e r f o r m i n g X w e h a v e p e r f o r m e d s o m e s e q u e n c e Y t h a t h a s p e r m u t e d t h e e d g e s t o t h e s t a t e d e s c r i b e d b y S 12 a n d c h a n g e d t h e o r i e n t a t i o n s t o t h e s t a t e d e s c r i b e d b y t h e 12- t u p l e ( 1, . . . , 12), i {0, 1} . I f w e p e r f o r m X o n a s o l v e d c u b e t h e c h a n g e o f o r i e n t a t i o n s w i l l b e r e p r e s e n t e d b y t h e 12- t u p l e (1, . . . , 12) . W e n o w p e r f o r m X o n a c u b e w i t h o r i e n t a t i o n s = ( 1, . . . , 12) a n d t h u s o b t a i n

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F i g u r e 1 . 7 : O r i e n t a t i o n s o f t h e c o r n e r s .

a r e p r e s e n t a t i o n f o r t h e o r i e n t a t i o n s o f t h e n a l s t a t e , (1, . . . , 12) . W e n o t e t h a t i = i w h e n e v e r x i 1 = 0 ( x 1 1 = x 4 ) a n d t h a t i = i + 1( mod2) i f

x i 1 = 1 ( i f i 1 = 0 t h e r e w i l l b e n o d i e r e n c e t o t h e c a s e o f p e r f o r m i n g X o n a s o l v e d c u b e a n d i f i 1 = 1 t h e n a l s t a t e w i l l b e c o m p l e t e l y o p p o s i t e t o a s o l v e d c u b e . W e n o t e t h a t t h i s c a n b e s t a t e d a s

(1,..., 12) = ( 1, ..., x 4

p o s x 1, ..., x 1

p o s x 2, ..., x 2

p o s x 3, ..., x 3

p o s x 4,..., 12) + ( 1,..., 12)

w h e r e t h e s u m i s r e d u c e d mod2. W e s e e t h a t 1 h a s p e r m u t e d t h e i n d i c e s o f .

W e n o w t r y t o g e n e r a l i s e t h e d i s c u s s i o n a b o v e . T h e r e f o r e l e t X b e a n i t e s e q u e n c e o f r o t a t i o n s t h a t p e r m u t e s t h e e d g e s o f a s o l v e d c u b e i n a

w a y d e s c r i b e d b y S 12 a n d c h a n g e s t h e o r i e n t a t i o n s i n a w a y d e s c r i b e d b y t h e 12- t u p l e . W e p e r f o r m X o n a s o l v e d c u b e a f t e r r s t p e r f o r m i n g a s e q u e n c e Y t h a t p e r m u t e s t h e f a c e s o f a s o l v e d c u b e i n w a y d e s c r i b e d b y a n d t h e o r i e n t a t i o n s i n a w a y d e s c r i b e d b y . L e t t h e o r i e n t a t i o n s a f t e r a p p l y i n g XY b e d e s c r i b e d b y . W e a g a i n s e e t h a t i = i p r e c i s e l y i f

i 1 = 0 a n d i = i + 1( mod2) p r e c i s e l y i f i 1 = 1 . T h i s o b s e r v a t i o n c a n b e s u m m a r i s e d

= + .

w h e r e a c t s b y p e r m u t i n g t h e i n d i c e s o f a c c o r d i n g t o 1 a n d t h e s u m i s r e d u c e d mod2. W e h a v e t h u s s h o w n t h a t t h e p o s i t i o n s a n d o r i e n t a t i o n s o f t h e e d g e s , a n d h o w t h e y c h a n g e , a r e d e s c r i b e d b y ( s o m e s u b g r o u p o f ) t h e

2 9


32/124

g r o u p

S 12 Z 2 . . . Z 2

12 t i m e s = S 12 Z 122

w h e r e (, ) (, ) = ( , + ( )) , w h e r e ( ) i s t h e e l e m e n t o f Z 122o b t a i n e d f r o m b y p e r m u t i n g i t s i n d i c e s a c c o r d i n g t o 1 .

W e n o w w a n t t o d o s o m e t h i n g s i m i l a r w i t h t h e o r i e n t a t i o n s o f t h e c o r -

n e r s . T h e r e f o r e l e t X b e a n i t e s e q u e n c e o f r o t a t i o n s t h a t p e r m u t e s t h e c o r n e r s o f a s o l v e d c u b e i n a w a y d e s c r i b e d b y S 8 a n d c h a n g e s t h e o r i - e n t a t i o n s i n a w a y d e s c r i b e d b y t h e 8- t u p l e = ( 1, . . . , 8), i {0, 1, 2} .W e p e r f o r m X o n a s o l v e d c u b e a f t e r r s t p e r f o r m i n g t h e s e q u e n c e Y t h a t p e r m u t e s t h e c o r n e r s i n a w a y d e s c r i b e d b y a n d c h a n g e s t h e o r i e n t a t i o n s i n a w a y d e s c r i b e d b y = ( 1, . . . , 8) , i {0, 1, 2}. L e t t h e o r i e n t a t i o n s a f t e r a p p l y i n g XY b e d e s c r i b e d b y . W e s e e t h a t i = i p r e c i s e l y i f i 1 = 0( 1 1 = 8 ) , i = i + 1( mod3) p r e c i s e l y i f i 1 = 1 a n d i = i + 2( mod3)p r e c i s e l y i f i 1 = 2 . T h i s o b s e r v a t i o n m a y b e s u m m a r i s e d

= + .

w h e r e a c t s o n b y p e r m u t i n g t h e i n d i c e s a c c o r d i n g t o 1 a n d t h e s u m i s r e d u c e d m o d u l o 3. W e h a v e t h u s s h o w n t h a t t h e p o s i t i o n s a n d o r i e n t a t i o n s o f t h e e d g e s a n d h o w t h e y c h a n g e a r e d e s c r i b e d b y ( s o m e s u b g r o u p o f ) t h e

g r o u p

S 8 Z 3 Z 3

8 t i m e s = S 8 Z 83

w h e r e (, ) (, ) = ( , + ( )) , w h e r e ( ) i s t h e e l e m e n t o f Z 83 o b t a i n e d f r o m b y p e r m u t i n g i t s i n d i c e s a c c o r d i n g t o

1. F r o m t h e

d i s c u s s i o n a b o v e , w e m a y n o w d e n e a b i n a r y o p e r a t o r o n t h e s e t d e s c r i b i n g

t h e p o s i t i o n s a n d o r i e n t a t i o n s o f e d g e a n d c o r n e r p i e c e s r e s p e c t i v e l y .

D e n i t i o n 1 . 3 . 1 5 . L e t s1 a n d s2 b e t w o s c r a m b l i n g s o f t h e c u b e a n d l e t t h e m b e d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g 4- t u p l e s :

s1 = ( C , oC , E , oE ) : C S 8, oC Z 83 , E S 12 , oE Z

122

s2 = ( C , oC , E , oE ) : C S 8, oC Z 83 , E S 12 , oE Z

122

T h e r s t e l e m e n t d e s c r i b e s t h e p o s i t i o n o f t h e c o r n e r p i e c e s , t h e s e c o n d t h e

o r i e n t a t i o n o f t h e c o r n e r p i e c e s , t h e t h i r d e l e m e n t d e s c i b e s t h e p o s i t i o n o f

t h e e d g e p i e c e s a n d t h e f o u r t h t h e o r i e n t a t i o n o f t h e e d g e p i e c e s . A b i n a r y

o p e r a t o r o n t h e s e t o f s c r a m b l i n g s , , i s d e n e d a s f o l l o w s :

s1 s2 = ( C C , oC + C .oC , E E , oE + E .oE ).

3 0


33/124

F i g u r e 1 . 8 : H o w t o d i s t r i b u t e c r o s s e s o n o n e s i d e

D i e r e n t p l a c e m e n t s o f t h e e d g e c r o s s e s w i l l y i e l d d i e r e n t 12- t u p l e s f o r t h e g e n e r a t o r s . H o w e v e r , t h e f o l l o w i n g i s t r u e f o r a n y c h o i c e o f p l a c e m e n t o f

t h e c r o s s e s .

L e m m a 1 . 3 . 1 6 . R e g a r d l e s s o f p l a c e m e n t o f t h e c r o s s e s o n t h e e d g e s o f t h e

s o l v e d c u b e , t h e s u m o f t h e e l e m e n t s o f t h e 12- t u p l e s r e p r e s e n t i n g t h e e d g e o r i e n t a t i o n o f t h e g e n e r a t o r s w i l l a l w a y s b e a m u l t i p l e o f 2.

P r o o f . W e s t a r t b y n o t i n g t w o t h i n g s . F i r s t l y , a g e n e r a t o r w i l l o n l y c h a n g e

t h e o r i e n t a t i o n o f e d g e p i e c e s l y i n g i n t h a t p a r t i c u l a r f a c e . S e c o n d l y , t h e r e

a r e o n l y f o u r d i e r e n t w a y s i n w h i c h o n e c a n a r r a n g e t h e c r o s s e s o f t h e e d g e

p i e c e s i n a p a r t i c u l a r f a c e w i t h o u t g e t t i n g e q u i v a l e n t r e s u l t s . T h e s e f o u r

c o n g u r a t i o n s a r e s h o w n i n g u r e 1 . 8 . D e n o t e t h e e d g e p i e c e s o f t h e p a r t i c -

u l a r f a c e b y a,b,c,d a c c o r d i n g t o g u r e 1 . 8 a n d l e t t h e t u p l e (oa , ob, oc , od)d e n o t e t h e p a r t o f t h e 12- t u p l e t h a t r e p r e s e n t s t h e o r i e n t a t i o n o f t h e p a r - t i c u l a r e d g e s . N o w c o n s i d e r t h e d i e r e n t c r o s s c o n g u r a t i o n s a n d l e t G =(oa , ob, oc , od ) b e t h e e e c t o f t h e g e n e r a t o r r o t a t i n g t h e c o n s i d e r e d f a c e .

(1) : G = (0 , 0, 0, 0)(2) : G = (1 , 0, 0, 1)(3) : G = (0 , 1, 0, 1)(4) : G = (1 , 1, 1, 1)

S i n c e t h e r e s t o f t h e e d g e s w i l l b e u n c h a n g e d , t h e r e s t o f t h e 12- t u p l e s w i l l b e l l e d w i t h z e r o s . T h u s , t h e s u m o f t h e c h a n g e o f o r i e n t a t i o n s o f t h e e d g e

p i e c e s i n d u c e d b y a g e n e r a t o r w i l l b e a m u l t i p l e o f 2. T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

P r o p o s i t i o n 1 . 3 . 1 7 . T h e s u m o f t h e o r i e n t a t i o n s o f t h e e d g e s i s a m u l t i p l e

o f 2.

P r o o f . L e t i d e n o t e t h e s u m o f a l l e l e m e n t s o f t h e t u p l e . T h e p r o o f w i l l

u s e i n d u c t i o n o v e r t h e n u m b e r o f r o t a t i o n s o f t h e c u b e . F i r s t l y , c o n s i d e r t h e

e d g e s o f a c u b e i n t h e s o l v e d s t a t e , (id, 0) S 12 Z 122 . T h e r o t a t i o n o f o n e s i d e i s g i v e n b y (G , G ) w h e r e G d e n o t e s g e n e r a t o r . T h e n e w s t a t e o f t h e c u b e i s g i v e n b y :

(G , G ) (id, 0) = ( G id, G + G .0) = ( G , G )

3 1


34/124

F i g u r e 1 . 9 : S k e t c h t o h e l p e x p l a i n c r o s s d i s t r i b u t i o n o n t h e c o r n e r s o f o n e

s i d e

S i n c e t h e s u m o f a l l e l e m e n t s o f t h e 12- t u p l e , ( G )i , i s a m u l t i p l e o f 2 f o r a l l t h e g e n e r a t o r s , w e k n o w t h a t a f t e r o n e r o t a t i o n ( G )i = 0( mod2) . L e t

n d e n o t e t h e e d g e o r i e n t a t i o n a f t e r n r o t a t i o n s . A s s u m e t h a t ( n )i =0(mod2) . N o w c o n s i d e r t h e e d g e s o f t h e c u b e a f t e r n + 1 r o t a t i o n s . T h e s e a r e g i v e n b y :

(G , G ) (n , n ) = ( G n , G + G . n )

f o r s o m e g e n e r a t o r G . C o n s i d e r t h e e l e m e n t d e s c r i b i n g t h e e d g e o r i e n t a t i o n ;

G + G . n

W e k n o w t h a t ( G )i = 0( mod2) f o r a l l g e n e r a t o r s a n d ( n )i = 0( mod2)b y a s s u m p t i o n . W e n o t e t h a t t h e p e r m u t a t i o n o f t h e e l e m e n t s i n n d o e s n o t

c h a n g e ( n )i . T h u s ;

( G + G . n )i = ( G + n )i = ( G )i + ( n )i = 0( mod2)

B y i n d u c t i o n w e n o w k n o w t h a t ( ) i = 0( mod2) f o r a n y c o n g u r a t i o n o f t h e c u b e . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

W e n o w w a n t t o d o s o m e t h i n g s i m i l a r f o r t h e c o r n e r p i e c e s . W e n o t e t h a t

d i e r e n t p l a c e m e n t s o f t h e c o r n e r c r o s s e s w i l l y i e l d d i e r e n t 8- t u p l e s f o r t h e g e n e r a t o r s . H o w e v e r , t h e f o l l o w i n g i s t r u e f o r a n y c h o i c e o f p l a c e m e n t o f t h e

c r o s s e s .

L e m m a 1 . 3 . 1 8 . R e g a r d l e s s o f p l a c e m e n t o f t h e c r o s s e s o n t h e c o r n e r s o f t h e

s o l v e d c u b e , t h e s u m o f t h e e l e m e n t s o f t h e 8- t u p l e s r e p r e s e n t i n g t h e c o r n e r o r i e n t a t i o n o f t h e g e n e r a t o r s w i l l a l w a y s b e a m u l t i p l e o f 3.

P r o o f . W e n o t e t w o t h i n g s . F i r s t l y , t h e g e n e r a t o r s w i l l o n l y c h a n g e o r i e n t a -

t i o n o f t h e c o r n e r p i e c e s l y i n g i n t h a t p a r t i c u l a r f a c e . I t i s t h e r e f o r e e n o u g h

t o c o n s i d e r t h e f o u r e l e m e n t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e f o u r c o r n e r s o f t h e f a c e o f

t h e 8- t u p l e d e s c r i b i n g t h e o r i e n t a t i o n s o f t h e c o r n e r s w h e n s t a t i n g h o w t h e

3 2


35/124

g e n e r a t o r s w i l l c h a n g e t h e o r i e n t a t i o n o f t h e c o r n e r p i e c e s . S e c o n d l y , t h e r e

a r e o n l y s e v e n d i e r e n t w a y s i n w h i c h o n e c a n p u t c r o s s e s o n t h e c o r n e r s o f

o n e f a c e w i t h o u t o b t a i n i n g e q u i v a l e n t c o n g u r a t i o n s . T h e s e c o n g u r a t i o n s

a r e ( w i t h n o t a t i o n u s e d i n g u r e 1 . 9 ) :

(1) : C r o s s e s o n A1, A2, A3, A4(2) : C r o s s e s o n A1, A2, A3, B 4(3) : C r o s s e s o n A1, A2, A3, C 4(4) : C r o s s e s o n A1, A2, B 3, B 4(5) : C r o s s e s o n A1, A2, B 3, C 4(6) : C r o s s e s o n A1, B 2, A3, B 4(7) : C r o s s e s o n A1, B 2, A3, C 4

L e t G = ( oa , ob, oc, od ) d e n o t e t h e 4- t u p l e c o r r e s p o n d i n g t o t h e f o u r c o n s i d - e r e d c o r n e r s , w i t h a,b,c,d g i v e n b y g u r e 1 . 9 . T h e s e v e n c r o s s c o n g u r a t i o n s g i v e t h e f o l l o w i n g 4- t u p l e s f o r t h e g e n e r a t o r s :

(1) : G = (0 , 0, 0, 0)(2) : G = (1 , 0, 0, 2)(3) : G = (2 , 0, 0, 1)(4) : G = (1 , 0, 2, 0)(5) : G = (2 , 0, 2, 2)(6) : G = (2 , 1, 2, 1)(7) : G = (2 , 2, 1, 1)

T h e r e m a i n i n g c o r n e r p i e c e s w i l l n o t c h a n g e t h e i r o r i e n t a t i o n a n d t h u s , t h e

r e s t o f t h e

8- t u p l e w i l l c o n s i s t o f z e r o s . H e n c e , t h e c h a n g e o f o r i e n t a t i o n o f

t h e c o r n e r p i e c e s i n d u c e d b y a g e n e r a t o r w i l l a l w a y s b e a m u l t i p l e o f 3. T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .

P r o p o s i t i o n 1 . 3 . 1 9 . T h e s u m o f t h e o r i e n t a t i o n s o f t h e c o r n e r s i s a m u l t i p l e

o f 3.

P r o o f . L e t i d e n o t e t h e s u m o f a l l e l e m e n t s o f t h e t u p l e . T h i s p r o o f

w i l l u s e i n d u c t i o n o v e r t h e n u m b e r o f r o t a t i o n s o f t h e c u b e . F i r s t l y , c o n s i d e r

t h e c o r n e r s o f a s o l v e d c u b e , (id, 0) S 8 Z 83 . A g e n e r a t o r i s g i v e n b y t h e e l e m e n t (G , G ) w h e r e G d e n o t e s g e n e r a t o r . T h u s , t h e e l e m e n t o b t a i n e d a f t e r o n e r o t a t i o n i s :

(G , G ) (id, 0) = ( G id, G + G .0) = ( G , G )W e k n o w t h a t ( G )i = 0( mod3) f o r a l l g e n e r a t o r s . T h e r e f o r e t h e s u m o f t h e o r i e n t a t i o n s o f t h e c o r n e r s i s a m u l t i p l e o f 3 a f t e r o n e r o t a t i o n . L e t (n , n )d e s c r i b e t h e c o r n

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