Operacionesaritmticassintablas

EduardoCarriazoPaz

IngenieroCivilUniversidadNacionalde

ColombiaBogot-Colombia

IngenieronuclearInstituteNationalede

SciencesetTechniquesNucleairesSaclay-Francia

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Copyright 2011 por EDUCAPAZS.A.S

Eduardo Carriazo Paz

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Multiplicacin sin tablas

Divisin sin tablas

Tareas

Bibliografa

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auxiliares, el punto y la raya y poryuxtaposicin se obtienen los veintesignos representativos equivalentes a losdecimales del cero al 19. Con estesistema slo es necesario recurrir a laimaginacin visualizando las figuras delos signos que los representan paraobtener el resultado de la suma (o de laresta) de dos de sus nmeros.

Para la multiplicacin, el mtodopropuesto aplica la duplicacinsucesiva, que deriva del sistemanumrico binario clsico, perosolamente hasta ocho (1, 2, 4 y 8)veces el multiplicando y con la suma delos productos de uno, 10, 100 vecesestos duplos se obtiene las vecesindicadas por el multiplicador.

Para la divisin se utilizan losmismos duplos, (1, 2, 4 y 8 veces eldivisor), con los ceros a la derecha quesean necesarios y con la resta sucesiva

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a partir del dividendo se obtiene unnmero menor que el divisor que es elresiduo. El cociente se determina por lacantidad de veces que se ha restado eldivisor.

En mi experiencia como profesor hecomprendido que casi la totalidad delos alumnos que aprenden y practicanlas matemticas as como los profesoresque la ensean, recurren a la memoriatanto para la captacin como para laaplicacin de frmulas y tablas que lepermiten resolver los problemas que seles plantean, resolucin que en lamayora de los casos est tambinsujeta a reglas invariables.

En este caso se utiliza el hemisferioizquierdo del cerebro del individuo y sedeja una mnima participacin a laimaginacin, con lo cual se inhibe elfuncionamiento del hemisferio derechoy se pierde habilidad, creatividad y

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comprensin.

Especficamente en la aritmtica yen el caso concreto de las operacionesfundamentales, los egipcios (Siglo XVIIa.C.) ejecutaban la multiplicacinmediante la duplicacin sucesiva,principio del sistema binario que vino aser enunciado catorce siglos despus.

Desde los tiempos de Pitgoras(Siglo VI a.C.) la suma, resta,multiplicacin y divisin se vienenejecutando mediante la aplicacin de lastablas de sumar y de multiplicar.

Tanto griegos como egipciosutilizaron el sistema de numeracindecimal, los primeros asignando el valordel signo segn la posicin relativa y lossegundos mediante la yuxtaposicin.

El sistema binario, enunciado porPingala (S III a.C.) vino a serdesarrollado y utilizado recientemente

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mediante la participacin de Leibniz enel S XVII.

En el siglo XIX el matemticobritnico George Boole introdujo elsistema que jugara un papelfundamental en el desarrollo del sistemabinario actual.

En el Siglo XX, Claude Shannonrealiz su tesis doctoral en elMassachusetts Institute of Tecnology(MIT) (1937), en la cual implementabael lgebra de Boole y la aritmticabinaria. En el mismo ao George Stibitzconstruy en un taller en la cocina de sucasa un ordenador que utilizaba la sumabinaria para realizar los clculos. En 1940 los Laboratorios Bell con Stibitz ala cabeza de una investigacinterminaron el diseo de unacalculadora, la cual era capaz de realizarclculos con nmeros complejos basadaen este sistema.

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El empleo de la calculadora y de loscomputadores modernos ha reducido lautilizacin de la imaginacin, de ladestreza en la ejecucin de lasoperaciones aritmticas y la importanciade la comprensin, razones por lascuales el presente escrito pretende dar aquienes hacen uso de la aritmtica unmedio para sentir esta ciencia comoalgo propio de su mentalidad y no comoel milagro de una mquina con la cuales imposible competir en velocidad.

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representa queda multiplicada por 10 oen otras palabras representa unacantidad 10 veces mayor. El sistemadecimal es el utilizado comnmente ysus propiedades son ampliamenteconocidas.

En el sistema decimal, los nmerospueden representarse de diversasmaneras como lo han propuestodistintas civilizaciones. A continuacinse presentan algunas de ellas, de entrelas cuales pueden seleccionarse aquellasque resulten ventajosas para realizaroperaciones aritmticas como se verms adelante.

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Aunque el sistema tambin esposicional, en este caso vertical, no seutilizar esta propiedad porque con lacombinacin de dgitos (suma) slo sellega hasta el nmero 18.

Solamente como ilustracin seincluyen a continuacin algunosnmeros iguales o superiores al 20representados en numeracin maya

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caso representaremos el nmero 82.

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Se han ideado muchas formas delograr este objetivo, por ejemplocantando la letra y hasta bailando al sonde la msica. En este escrito se proponeuna segunda manera de sumar, sinnecesidad de memorizar esta tabla.

Este mtodo consiste en imaginarseel primer sumando como un dgitorepresentado con una imagen quefacilite su representacin y combinacincon el segundo. Una buena alternativaes imaginar las fichas del domindecimal ilustrado anteriormente. Lasfichas pueden representar los diezdgitos, y la combinacin de puntosrellenos entre dos de ellas, el resultadode su suma. Esta tarea se efectautilizando la imaginacin: visualizandolas fichas y trasladando virtualmente loscrculos rellenos. Observa los ejemplosa continuacin:

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por resultado el mismo nmero,simplemente no se agrega cantidadalguna.

Siguiendo esta mecnica, quienejecuta la suma puede visualizar, a lavelocidad propia de la imaginacin, lassiguientes figuras: (no es necesariodibujar).

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unidades = una decena y dos unidades,(se acostumbra a escribir el 2 ya queno aparecen ms unidades en estaoperacin y decir dos y llevo una), ladecena pasa a ser sumada con las quetodava no han sido consideradas: unadecena + cuatro decenas + dos decenas= siete decenas (se acostumbra aescribir el 7 ya que no aparecen msdecenas en esta operacin) El resultadofinal es siete decenas y dos unidadesque es lo mismo que 72 unidades.

Para facilitar la operacin, yhacerla posible en nuestra mente sinnecesidad de escribir, se recomiendaefectuar la suma siguiendo el orden delenunciado de los sumandos: 40 + 5 +20 + 7. Esta suma conduce a lossubtotales 40 40 y 5 60 y 5 60 y 12.Subtotales que se retienen por muypoco tiempo en la memoria, para luego

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podra pensarse que desde 37 hay quecontar 50 para llegar a 82, pero deinmediato se ve que se llegara a 87 quesobrepasa el lmite fijado de 82,entonces se opta por contar solamente40 y llegar a 70 y 7. Cunto hay quecontar desde 70 y 7 para llegar a 70 y12 (al estilo francs)? Fcilmente se veque son 5 unidades. El conteo totalhacia adelante es entonces 40 y 5,escrito 45.

37 + 45 = 82 lo mismo que: 82 37= 45. 45 es la diferencia buscada.

Otro camino, con escalas enmltiplos de 10: de 37 a 40 hay 3, de40 a 80 hay 40, van 43 y de 80 a 82hay 2, en total 45 unidades para llegarde 37 a 82.

Ejemplo 2: 121 94 = ? o 94 + ? = 121

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Si se cuentan 20 unidades a partirde 94 se llega a 100 y 10 y 4. Cuntole falta a 100 y 10 y 4 para llegar a 100y 10 y 11 (al estilo francs)? 7 unidades(las unidades que le faltan a 4 parallegar a 11). Entonces el conteo totalpara llegar desde 94 a 121 es de 20 y 7unidades, la diferencia buscada es 27.

94 + 27 = 121 o 121 94 = 27

Otro camino para llegar de 94 a 121es hacer escalas en mltiplos de 10, as:De 94 a 100 hay 6, de 100 a 120 hay20, se completan 26, y de 120 a 121hay 1, en total son 27 unidades parapasar de 94 a 121.

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indica a continuacin. Quien realiza laoperacin debe aprender esta tabla dememoria:

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Si realizas esta suma de maneralineal como lo muestra la figurasuperior, contando hacia adelanteprimero los componentes de losnmeros en su orden de aparicin norequerirs escribir en el papel ningunaoperacin conforme adquieres prcticaen este ejercicio, ya que tu memoriatemporal te ayudar a retener el valorinmediatamente anterior en cada pasode la suma hasta llegar al ltimo. Con eltiempo, y con un poco de prctica,todos los nmeros en color existirnsolo en tu imaginacin y podrs deducirel resultado final sin escribir y sinrecurrir a las tablas de multiplicacin.

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divisin es restar del dividendo elproducto del divisor por la cantidad querepresenta la primera cifra del cocienteque pueden ser unidades, decenas,centenas, o cualquier otra de ordensuperior. Este producto debe sersiempre menor que el minuendo, paraeste primer paso es el dividendo. Ladiferencia debe ser siempre menor queel divisor multiplicado por uno, 10, 100,o 1000 segn el orden de lasunidades que este representando esaprimera cifra.

La diferencia obtenida o residuoparcial, pasa a ser un nuevo minuendo.Se le aplica el mismo procedimientoanterior para obtener un nuevo residuoparcial, Cuando la diferencia obtenidasea menor que el divisor se tiene elresiduo definitivo y se da por terminadala operacin.

Dos de las maneras tradicionales

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simultnea, lo que constituye unafrecuente fuente de error.

En el sistema que se propone, conel fin de no utilizar las tablas demultiplicacin, para hallar cualquiermltiplo del dividendo se recurre a laduplicacin sucesiva hasta ocho,partiendo de dos, y pasando por cuatro,como se realiz anteriormente para lamultiplicacin. Estos valores tepermitirn calcular fcilmente suscantidades aumentadas 10, 100, 1000 olas veces que sean necesarias para quealcances el mltiplo ms prximo aldividendo sin excederlo.

Al igual que en el mtodotradicional esos productos se vanrestando sucesivamente del dividendo ycuando el residuo provisional sea menorque el divisor se da por terminada laoperacin.

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El cociente es la suma de todas lascantidades por las cuales se multiplic eldivisor y fueron restadas sucesivamentedel dividendo. El residuo es el ltimoresiduo provisional que resulta menor aldivisor y por tanto pasa a ser definitivo.

Observa el siguiente ejemplo paraque comprendas el mecanismo de ladivisin sin el uso de las tablas demultiplicacin

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Observa las primeras casillas de latabla. En la primera casilla superiorencuentras el dividendo y bajo l, elmltiplo del divisor ms prximo con sucantidad equivalente en nmero deveces, hallados gracias a la duplicacinsucesiva. Este valor lo restas al divisory obtienes un residuo parcial queescribes a su derecha y sigues estemismo procedimiento avanzando haciala derecha en zig-zag (las flechasverdes de la tabla indican resta y lasazules conducen al resultado) hasta quealcanzas un residuo inferior al valor detu divisor. De esta manera encontrarasen la ltima casilla superior el residuofinal y para hallar el cociente solo debessumar el total de nmero de veces querestaste el dividendo al divisor.

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Jugador(a) B: Realiza la duplicacinsucesiva de los nmeros presentados enla parte superior de tu plantilla. Realizaesto, duplicando por separado losdistintos tipos de unidades de mayor amenor y combinando estos valores, talcomo lo muestra la plantilla superior deejemplo.

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Jugador(a) B: Realiza lamultiplicacin de la plantilla inferior,calculando los valores duplicados elmultiplicando en la primera columna,agrupndolos en la segunda paraobtener el valor equivalente almultiplicador y suma los resultados enla tercera columna para obtener elproducto, tal como lo muestra laplantilla superior, donde se muestra elejemplo

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Francisco Lpez

http://www.egiptologia.org/ciencia/matem

Sistema binario - Wikipedia

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_bina

Historia de las matemticas

http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/

Cuente rpido y fcil - EduardoCarriazo Paz. 2011 Educapaz

Combinacin de nmeros dgitos -Eduardo Carriazo Paz. 2011 Educapaz

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Suma y Resta sin tablas - EduardoCarriazo Paz. 2011 Educapaz

Multiplicacin y divisin sin tablas -Eduardo Carriazo Paz. 2011 Educapaz

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