Operaciones con raices

(Blitzer: 7.1, 7.3, 7.4)

Martin-Gay, Developmental Mathematics 2

Extracción de raíces

La operación inversa de elevar un número a

una potencia es extraer la raiz al número.

Para representar esta operación usamos el

símbolo llamado radical:

radical

radicando

índice

raíz

Martin-Gay, Developmental Mathematics 3

Raiz Cuadrada

La operación inversa de cuadrar es tomar la

raiz cuadrada de un número.

Un número b es una raiz cuadrada de otro

número a, si b2 = a.

93porque39 2

648porque864 2

Martin-Gay, Developmental Mathematics 4

La raiz cuadrada principal (positiva) se

denota a

La raiz cuadrada negativa se denota

a

Raiz Cuadrada Principal

9 de negativa cuadrada raiz la es39

NOTA: 9 no es un número real.

Martin-Gay, Developmental Mathematics 5

La raiz cúbica de un número real se define

ab si soloy si ba 33

Nota: Para las raíces cúbicas, NO se restringe

el valor del radicando a valores positivos.

Raíces cúbicas

3273

3 64

3 125

porque 33 = 27

porque (-4)3 = -64

porque (-5)3 = -125

4

5

Martin-Gay, Developmental Mathematics 6

ab si soloy si ,ba nn

En general,podemos determinar otras raíces.

La raiz enésima se define como:

Raiz enésima

Si el índice, n, es par, la raiz se define

sólo para a ≥ 0.

Si el índice, n, es impar, la raiz se define

para todo número real.

Martin-Gay, Developmental Mathematics 7

Raiz enésima - ejemplos

2325 porque (-2)5 = -32

4 256 porque _______________

6 729 porque _______________

Martin-Gay, Developmental Mathematics 8

Propiedad #1:

Si Ran Rbn y entonces,

n

n

n

b

a

b

a

Martin-Gay, Developmental Mathematics 9

Ejemplos:

a)

b)

c)

25

16

25

16

5

4

3

1000

8

3

3

16

2

Martin-Gay, Developmental Mathematics 10

Propiedad #2:

Si Ran entonces,

y aan

n aan n

99 ,33 :Ejemplo3

32

Martin-Gay, Developmental Mathematics 11

Propiedad #3:

Si Ran y Rbn entonces,

nnn baba

232929 : Ejemplo

Martin-Gay, Developmental Mathematics 12

Simplificación de radicales

Ejemplo: Simplificar 90

Solución:

Como 90 = 9 ∙ 10 podemos decir que

90 = 9 ∙ 10 y por la propiedad anterior

= 9 ∙ 10 = 9 10 = 3 10

Ejemplo: Simplificar 200

Solución:

Martin-Gay, Developmental Mathematics 13

Simplificación de radicales

Ejemplo: Simplificar 2503

Solución:

Como 250 = 125 ∙ 2 = 53 ∙ 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠

2503

= 125 ∙ 2 3

=

= 1253

23

= 5 23

Martin-Gay, Developmental Mathematics 14

Simplificación de radicales

Ejemplo: Simplificar 33 ∙ 53∙ 23

Solución:

Martin-Gay, Developmental Mathematics 15

Radicales semejantes

Decimos que dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando.

Ejemplo: 5853 y

Dos radicales semejantes se pueden sumar o restar usando la propiedad distributiva como se muestra.

nn aqap n aqp )(

Martin-Gay, Developmental Mathematics 16

Ejemplos: Simplifique cada expresión

a) 2225

b)

2)25( 23

33 3538

33222532c)

3 2 42

35

f)

g)

Martin-Gay, Developmental Mathematics 17

331275 ) a

3334325

3334325

333235

3325

36

Ejemplo

Realice las operaciones indicadas.

Martin-Gay, Developmental Mathematics 18

40390160 ) b

Ejemplo (continuación)

Martin-Gay, Developmental Mathematics 19

nnn abba

n a n bSi y son números reales,

Multiplicación de radicales

Martin-Gay, Developmental Mathematics 20

Simplifique cada multiplicación.

a)

b)

c)

6532 6352 1810 2910

2310

230

33 25352

6155

Martin-Gay, Developmental Mathematics 21

Multiplicación de binomios

)75)(71(

49745

7475

742

77757)5(1

Martin-Gay, Developmental Mathematics 22

Tenemos que hacer enfatizar, que estas dos propiedades aplican sólo a radicales con el mismo índice.

a)

b)

5

152

5

152 32

12

21

43

73

43

73

4

7

2

7

5

15232ó

5

352

Simplifique cada división.