OPTIMIRANJE NOSILNIH KONSTRUKCIJ LINEARNO PROGRAMIRANJElab.fs.uni-lj.si/lasok/index.html/gradivo_jerman_LASOK/ONK_P_11b... · 18.5.2016 1 LINEARNO PROGRAMIRANJE Reševanje. • grafično

18.5.2016

1

LINEARNO PROGRAMIRANJEReševanje.• grafično• analitično s pomočjo iskanja vršnjih vrednosti• simpleks metoda

Boris JermanIzdelano po viru: http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html

OPTIMIRANJE NOSILNIH KONSTRUKCIJ

� Linearno programiranje:

• matematična metoda iskanja optimuma (max ali min),

• tudi pri nalogah z omejitvam.

� CF je linearna.

� Omejitve so linearne (enakostni p. in neenakostne o.).

� Linearni program zapišemo v matematični obliki na naslednji način:

� cenilna oz. ciljna oz. namenska funkcija:

Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html

18.5.2016

2

� omejitve:

Povsod znak ≥. Če je znak ≤, neenačbe pomnožimo z (-1).

� pogoji nenegativnosti:


� Linearni program zapišemo v matrični obliki na naslednji način:

� kjer so:

• vektor koeficientov CF:

• matrika sistema neenačb omejitev:

• vektor prostih členov:

• vektor KS:


18.5.2016

3

PRIMERIzdelava velikih škatlastih in paličnih nosilcevv podjetju Nosilec d.o.o


� Podjetje Nosilec d.o.o. izdeluje velike škatlaste in palične nosilce.

� Izdelava poteka v treh fazah: razrez surovcev, varjenje in barvanje nosilca.

� Za škatlasti nosilec potrebujejo 1 uro za razrez, 2 uri za varjenje in 1 uro za barvanje.

� Za palični nosilec potrebujejo 2 uri za razrez, 1 uro za varjenje in 1 uro za barvanje.

� Stroj za razrez je na razpolago 40 ur v vsakem tednu.

� Tudi varilni stroj je na razpolago 40 ur v vsakem tednu.

� Ličarski robot je na razpolago le 25 ur v vsakem tednu.

� Podjetje ima pri prodaji:

• škatlastega nosilca dobiček 30 h€

• pri prodaji paličnega nosilca dobiček 20 h€.

� Podjetje želi doseči čim večji dobiček.Vir (10.05.2016): http://www.doba.si/egradiva/pms-df/Programiranje_male.html

18.5.2016

4

Zapis v obliki linearnega programa

Ureditev preglednice:

Ciljna funkcija je dobiček, ki naj bo maksimalen:

Škatlasti nosilec Palični nosilec Omejitve

Razrez 1 2 40

Varjenje 2 1 40

Barvanje 1 1 25

Dobiček 30 20

Kosov izdelka x y


Omejitve:

Za razrez polizdelkov za x škatlastih in y paličnih nosilcev potrebujemo:

ur, kar je lahko skupaj največ 40 ur na teden.

Za varjenje x škatlastih in y paličnih nosilcev potrebujemo:


Za barvanje x škatlastih in y paličnih nosilcev potrebujemo:



18.5.2016

5

Vse konstrukcijske spremenljivke so nenegativne:

Linearni program ima sledečo obliko:


Grafična rešitev:

- v koordinatni sistem xy vrišemo vse omejilne funkcije;

- dobimo konveksno dovoljeno območje;


18.5.2016

6

Grafična rešitev:

- v koordinatni sistem xy vrišemo ciljno funkcijo z vrednostjo 0:

oz.:

- narišemo vzporednico čim više, saj se v tej smeri vrednost CF povrčuje;

- maksimum je v točki C.


Točka C je presečišče premic:

iz česar sledi:

in:

ter maksimum:

h€


18.5.2016

7

Analitična rešitev:

- določimo koordinate vseh oglišč konveksnega dovoljenega območja:


Analitična rešitev:

- izračunamo vrednost CF v vseh ogliščih:

Največja vrednost CF=650 h€ (na teden) v točki C(15,10), torej pri izdelavi:

- x=15 škatlastih nosilcev in

- y=10 paličnih nosilcev

na teden.


18.5.2016

8

Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se maksimum):

V primeru, ko imamo več kot dve (tri) KS:

- grafična rešitev ni možna;

- zgoraj prikazana analitična pot ni več primerna.

Ena izmed možnih metod, ki jo lahko uporabimo v tem primeru, je metoda simpleksov.

Prikazan postopek je možen, ko:

- iščemo maksimum CF,

- neenačbe v omejitvah imajo znak ≤.


Rešitev po METODI SIMPLEKSOV:


18.5.2016

9





18.5.2016

10





18.5.2016

11

�




18.5.2016

12





18.5.2016

13



�


18.5.2016

14




� Postopek se ponavlja, dokler so v prvi vrstici negativne vrednosti.

� Ker v prvi vrstici ni več negativnih vrednosti, je postopek končan.

� Iz razširjene matrike preberemo rešitev:

� V zadnjem stolpcu prve vrstice preberemo maksimalno vrednost CF: 650 h€.

� V stolpcu x (drugi stolpec), poiščemo vrednost ena (1).

� Enka je v tretji vrstici - iz zadnjega stolpca tretje vrstice: x=15.

� V stolpcu y (tretji stolpec), poiščemo vrednost ena (1).

� Enka je v četrti vrstici - iz zadnjega stolpca četrte vrstice: y=10.

� To pomeni, da bo imelo podjetje maksimalni dobiček v primeru, če bo izdelalo x=15 škatlastih nosilcev in y=10 paličastih nosilcev na teden.

� Dobiček bo v tem primeru znašal f=650 h€.


18.5.2016

15

Opomba:

V primeru, da se išče minimum funkcije, je postopek

drugačen in zahtevnejši.

Primer sledi.

Rešitev po METODI SIMPLEKSOV (išče se minimum):

Primer LINEARNEGA PROGRAMA:


18.5.2016

16





18.5.2016

17





18.5.2016

18





18.5.2016

19





18.5.2016

20





18.5.2016

21





18.5.2016

22





18.5.2016

23

�




18.5.2016

24


� Opisan postopek se ponavljamo,

� dokler so v prvi vrstici (razen na prvem in zadnjem mestu) pozitivne vrednosti.

� V obravnavanem primeru v prvi vrstici (razen na 1. in zadnjem mestu) ni več pozitivnih vrednosti �postopek končan.

� Iz razširjene matrike preberemo rešitev:

� V zadnjem stolpcu prve vrstice

� preberemo minimalno vrednost CF: 440.




18.5.2016

25




� minimum obravnavanega optimizacijskega problema

� bo nastopil v primeru, če bo sta imeli KS vrednosti:

� x = 4 in

� y = 2.

� Optimalna vrednost bo znašala 440 €.


Documents

OPTIMIRANJE NOSILNIH KONSTRUKCIJ LINEARNO PROGRAMIRANJElab.fs.uni-lj.si/lasok/index.html/gradivo_jerman_LASOK/ONK_P_11b... · 18.5.2016 1 LINEARNO PROGRAMIRANJE Reševanje. • grafično