1. LINEARNO PROGRAMIRANJE

Linearno programiranje je najpoznatija i najviše primenjivana metoda operacionih istraživanja. Ono omogućava rešavanje velikog broja složenih ekonomskih problema. Od svih metoda operacionog istraživanja linearno programiranje na najbolji način ilustruje sve faze metodološkog pristupa pri rešavanju ekonomskih problema i to počev od postavljanja problema, preko prikupljanja podataka, formiranja matematičkog modela, njegovog rešavanja odgovarajućim algoritmom, pa do analize stabilnosti pronadjenog optimalnog rešenja i uslova za njegovu primenu.

Linearno programiranje je matematička metoda pomoću koje se od većeg broja mogućih rešenja može izabrati optimalno rešenje. Linearno programiranje se može posmatrati kao grana primenjene matematike i kao oblik kvantitativne ekonomske analize.

U matematičkom smislu linearno programiranje predstavlja matematičke metode kojima se traži maksimalna (ili minimalna) vrednost jedne linearne funkcije, uz unapred data ograničenja koja su izražena sistemom linearnih jednačina i nejednačina.

U ekonomskom smislu linearno programiranje predstavlja matematičku tehniku koja služi da se od više mogućih ekonomskih odluka izabere ona koja će imati najveću efektivnost.

Veliki broj proizvodnih problema može se rešiti metodama linearnog programiranja sa tačnošću koja u velikoj meri zadovoljava zahteve prakse. Osnovno u rešavanju proizvodnih problema pomoću linearnog programiranja je to da se na bazi unapred izabranog kriterijuma odredjuju rešenja koja su u datim uslovima najbolja. Ali, pronadjenja rešenja su optimalnau odnosu na izabrani kriterijum. Promenom kriterijuma optimalnosti može se, pri istim ograničavajućim uslovima, odrediti potpuno različito rešenje. Izbor kriterijuma prema kome će se problem rešavati zavisi od vrste problema.

Linearno programiranje obuhvata sledeće metode:1) simpleks metodu,2) transportni problem i 3) metodu rasporedjivanja.

1.1. SIMPLEKS METODA

Od svih metoda koje se koriste za rešavanje problema linearnog programiranja najznačajnija je simpleks metoda. Simpleks metoda ima karakter opštosti jer se pomoću nje može rešiti svaki problem linearnog programiranja, ukoliko je problem postavljen u vidu pogodnog matematičkog modela.

5

1.1.1. PRIMERI LINEARNOG PROGRAMIRANJA

Pre nego što razmotrimo teorijske osnove simpleks metode, pokazaćemo na dva jednostavna primera kako se formira matematiči model za probleme linearnog programiranja.

PROBLEM 1.

Pretpostavimo da jedno preduzeće proizvodi dva proizvoda, P1 i P2. Proizvodnja se obavlja pomoću mašina M1, M2 i M3. Za proizvodnju jedne jedinice proizvoda P1

potrebno je 2 časa rada mašine M1, 1 čas mašine M2 i 2 časa mašine M3, a za proizvodnju jedne jedinice proizvoda P2 potrebno je 1 čas rada mašine M1, 3 časa rada mašine M2 i 2 časa rada mašine M3. Kapaciteti mašina iskazani su raspoloživim fondom časova svake mašine u posmatranom periodu i oni iznose: 100 časova za mašinu M1, 120 časova za mašinu M2 i 120 časova za mašinu M3. Po jedinici proizvoda P1 preduzeće ostvaruje dohodak od 6 dinara, a po jedinici proizvoda P2 od 4 dinara.

Problem se sastoji u sledećem: u kojim količinama treba proizvoditi proizvode P1

i P2, pa da se, pri datim ograničavajućim uslovima, ostvari maksimalni dohodak. Iz ovako postavljenog problema vidimo da su nepoznate količine proizvoda P1 i P2 koje treba proizvoditi prema optimalnom programu proizvodnje. Sa x1 ćemo označiti količinu proizvoda P1, a sa x2 količinu proizvoda P2 i formirati matematički model za ovaj problem.

Dohodak koji će se ostvariti na proizvodu P1 iznosi 6x1 , a na proizvodu P2 4x2, što ukupno daje

z0 = 6x1 + 4x2,

gde z0 označava ukupan dogodak, a čitavu jednačinu nazivamo funkcijom kriterijuma ili kriterijumom optimalnosti. Prema definisanom problemu tražimo maksimalnu vrednost ukupnog dohotka, tako da imamo sledeću funkciju kriterijuma

(max); z0 = 6x1 + 4x2. (1.1)

Mašini M1 potrebno je 2 časa rada da proizvede jednu jedinicu proizvoda P1, odnosno 2x1 časova da proizvede ukupnu količinu ovog proizvoda. Na ovoj mašini proizvodi se i proizvod P2, pa je za proizvodnju x2 jedinica ovog proizvoda potrebno 1 . x2

časova rada mašine M1. Ukupno potrebno vreme za proizvodnju celokupnih količina proizvoda P1 i P2 iznosi 2x1 + x2. Ukupno iskorišćeni fond časova mašine M1 za proizvodnju proizvoda P1 i P2 ne može biti veći od ukupno raspoloživog fonda, koji za posmatrani peiod iznosi 100 časova. Tako dobijamo nejednačinu

2x1 + x2 ≤ 100. (1.2.)

6

Na sličan način dolazimo do odgovarajućih nejednačina preko kojih iskazujemo kapacitete mašina M2 i M3:

x1 + 3x2 ≤ 120,2x1 +2x2 ≤ 120. (1.3.)

Obim proizvodnje ne može biti negativan, pa prethodnim uslovima treba dokazati i uslov da promenljive x1 i x2 ne mogu biti negativne, tj. x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Tako smo izrazima (1.1.), (1.2.) i (1.3.) došli do matematičkog modela za napred formulisani problem. On se sastoji od funkcije kriterijuma

z0 = 6x1 + 4x2 (1.1)

čiju maksimalnu vrednost treba pronaći uz sledeći sistem ograničenja:

2x1 + x2 ≤ 100,x1 + 3x2 ≤ 120, (1.4.)

2x1 + 2x2 ≤120,x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Zadatak je da se odrede takve vrednosti za promenljive x1 i x2 koje će zadovoljiti sistem nejednačina (1.4.) i obezbediti da funkcija kriterijuma (1.1) postigne svoju maksimalnu vrednost.

Problem se može rešiti grafičkom metodom jer nema više od dve promenljive. Sve nejednačine iz sistema ograničenja (1.4) predstavljaju se grafički u pravouglom koordinatnom sistemu. Pošto promenljive x1 i x2 ne mogu biti negativne, za grafičko prikazivanje sistema ograničenja uzimamo samo prvi kvadrant i svaku nejednačinu predstavimo posebno.

Prva nejednačina se odnosi na mašinu M1. Grafičkim prikazivanjem nacrtamo jednačinu 2x1 + x2 = 100. To je prava koja osu x1 seče u tački (50,0), a osu x2 u tački (0,100). Prava koja prolazi kroz ove dve tačke sa osama x1 i x2 formira trougao sa temenima O, A, M4 (na slici 1). Sve tačke trougla zadovoljavaju prvo ograničenje i ispunjavaju zahtev nenegativnosti promenljivih.

Drugo ograničenje seče osu x1 u tački (120,0), a osu x2 u tački (0,40) formirajući tako trougao OM2D. Treće ograničenje seče prvu osu u tački (60,0), a drugu osu u tački (0,60) i formira trougao OM1M3.

Rešenje mora zadovoljiti svako ograničenje posebno ali i sva ograničenja uzeta zajedno. Sva ograničenja sistema (1.4) formiraju zajedničko područje OABCD, koje je na slici 1. šrafirano. Svaka tačka zajedničkog područja zadovoljava postavljena ograničenja, pa prema tome one čine skup mogućih rešenja. Potrebno je iz skupa mogućih rešenja odrediti rešenje koje će obezbediti da funkcija kriterijuma (1.1) postigne svoju maksimalnu vrednost. Ekstremnim tačkama A, B, C i D zajedničkog područja odgovaraju sledeće vrednosti funkcije kriterijuma:

A: x1 = 50, x2 = 0, z0 = 300,B: x1 = 40, x2 = 20, z0 = 320,

7

C: x1 = 30, x2 = 30, z0 = 300,D: x1 = 0, x2 = 40, z0 = 160.

Tačka B, sa koordinatama x1 = 40 i x2 = 20, zadovoljava sistem ograničenja (1.4) i obezbedjuje maksimalnu vrednost funkcije kriterijuma (1.1.), pa ona predstavlja optimalno rešenje problema 1.

Da bi se odabralo optimalno rešenje koristi se grafičko predstavljanje funkcije kriterijuma z0 i njenim paralelnim pomeranjem. Najveću vrednost funkcija kriterijuma postići će kada je njen grafik najudaljeniji od koordinatnog početka i pritom prolazi bar kroz jednu tačku zajedničkog područja. Na slici 1 to je isprekidana prava i tačka B šrafiranog područja.

Možemo zaključiti da optimalno rešenje, x1 = 40 i x2 = 20, pokazuje da preduzeće treba da proizvodi 40 jedinica proizvoda P1 i 20 jedinica proizvoda P2, pa da ostvari najveći mogući dohodak pod datim uslovima od 320 dinara.

PROBLEM 2.

Poljoprivredno dobro, pored ostalog, tovi stoku. Ono hoće da odredi optimalnu mešavinu stočne hrane, koja će sadržati potrebne količine hranljivih sastojaka A, B i C. Prema nutricionim normama mešavina treba da sadrži najmanje 12 jedinica hranljivih sastojaka vrste A, najmanje 6 jedinica hranljivih sastojaka B i najmanje 10 jedinica hranljivih sastojaka C. Za pravljenje mešavine poljoprivredno dobro koristi dve različite vrste stočne hrane H1 i H2. Jedan kilogram hrane H1 u sebi sadrži jednu jedinicu hranljivih sastojaka A, 1 jedinicu sastojaka B i 5 jedinica sastojaka C. Jedan kilogram hrane H2

sadrži 4 jedinice sastojaka A, 1 jedinicu B i 1 jedinicu sastojaka C. Različite su i nabavne cene ovih hrana. Jedan kilogram hrane H1 može se nabaviti za 40 dinara, a kilogram hrane H2 za 80 dinara.

Treba odrediti mešavinu, kombinujući količine hrana H1 i H2, tako da nutricione norme ishrane budu zadovoljene, a troškovi hrana budu najmanji.

Označimo sa x1 upotrebljenu količinu hrane H1, a sa x2 upotrebljenu količinu hrane H2. Hoćemo da odredimo minimalne troškove ishrane stoke, pa formiramo sledeću funkciju kriterijuma

(min); z0 = 40x1 + 80x2 (1.5.)

i sistem ograničenja, u kome svaka jednačina treba da obezbedi zahteve za minimalne količine hranljivih sastojaka A, B i C:

x1 + 4x2 ≥ 12,x1 + x2 ≥6, (1.6.)

5x1 + x2 ≥ 10, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Problem se može rešiti grafičkim putem jer ima samo dve nepoznate. Sistem ograničenja (1.6.) grafički je predstavljen i pronadjeno je optimalno rešenje na slici 2.

8

Sa slike se vidi da sistem ograničenja ovog modela formira otvoreno zajedničko područje. Minimalna vrednost funkcije se postiže kada je grafik funkcije kriterijuma (isprekidana prava na slici 2) najbliži koordinatnom početku i da pri tom prolazi bar kroz jednu tačku zajedničkog područja. Tačka B, sa koordinatama x1 = 4 i x2 = 2, predstavlja optimalno rešenje problema mešavine. To znači da za mešavinu treba koristiti 4 kilograma hrane H1 i 2 kilograma hrane H2. Minimalni troškovi za nabavku ove hrane iznose 320 dinara (z0 = 320).

Grafičko rešavanje problema omogućava da se na očigledan način prikaže suština linearnog programiranja i neke karakteristike njegovih rešenja. Na osnovu rešenih primera izvlačimo sledeće zaključke:

1. Problemi linearnog programiranja formulišu se kao problemi u kojima se traži maksimalna vrednost funkcije kriterijuma i problemi u kojima se traži minimalna vrednost funkcije. Oblik i struktura matematičkih modela za ove probleme bitno se ne razlikuju, a jedine razlike javljaju se u smeru ograničenja kod nejednačina.

2. Skup ograničavajućih faktora, izražen sistemom ograničenja, formira zajedničko područje, koje odredjuje skup mogućih rešenja problema. Značajna karakteristika zajedničkog područja u linearnom programiranju je da je to konveksan skup. Po svom obliku zajedničko područje može biti zatvoreno (slika 1) i otvoreno (slika 2). Može se desiti da sistem ograničenja uopšte ne formira zajedničko područje. U tom slučaju problem nema moguće rešenje. Kod realnih problema ovaj slučaj se ne može pojaviti jer će ograničavajući faktori uvek formirati sistem neprotivuslovnih nejednačina. Kod otvorenog zajedničkog područja, ukoliko tražima maksimalnu vrednost funkcije kriterijuma, ova će biti beskonačna.

3. Optimalno rešenje problema uvek se nalazi u nekoj od ekstremnih tačaka zajedničkog područja (nekad i u više ekstremnih tačaka). Broj ekstremnih tačaka je uvek konačan, a optimalno rešenje problema pronalazi se preko ekstremnih tačaka u konačnom broju iteracija.

1.1.2. SIMPLEKS TABELA

Za rešavanje problema linearnog programiranja postavljeno je i razradjeno više algoritama simpleks metode. Osnovna ideja simpleks metode sastoji se u tome da se odredi neko početno moguće rešenje, koje se postepeno poboljšava dok se ne dobije optimalno rešenje.

Simpleks tabela predstavlja jedan od algoritama simpleks metode. Postupak koji se koristi u okviru simpleks tabele sastoji se u tome da se od koeficijenata funkcije kriterijuma i sestema ograničenja sastavi tabela, koja se prema odredjenim pravilima menja dok se ne dodje do optimalnog rešenja. Optimalno rešenje se dobija kada se sačini dovoljan broj simpleks tabela.

1.1.2.1. Rešavanje problema maksimuma

9

Uzećemo problem 1 i na njemu ilustrovati formiranje tabele i postupak rešavanja problema pomoću simpleks tabele. Matematički model za ovaj problem ima funkciju kriterijuma

(max); z0 = 6x1 + 4x2

i sistem ograničenja:

2x1 + x2 ≤ 100,x1 + 3x2 ≤ 120,

2x1 + 2x2 ≤ 120, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Primena bilo kojeg algoritma simpleks metode zahteva prilagodjavanje ovog modela. Prilagodjavanje modela vrši se prevodjenjem svih nejednačina u jednačine, uvodjenjem izravnjavajućih promenljivih. Kod prethodnog sistema ograničenja leve strane nejednačina manje su ili jednake desnoj strani, pa dodavanjem izravnjavajućih promenljivih levoj strani nejednačina dobijamo sledeći sestem jednačina:

2x1 + x2 + x3 = 100, x1 + 3x2 + x4 = 120, (2.1.) 2x1 + 2x2 + x5 = 120,

x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0.

Linearni model je prilagodjen za primenu simpleks algoritama kada su sve nejednačine pretvorene u jednačine (1) i kada se u tako prilagodjenjom sistemu može formirati jedinična matrica (2).

Realne promenljive x1 i x2 potiču iz osnovnog problema (i u našem primeru označavaju količine proizvoda P1 i P2 koje treba proizvoditi), značenje izravnavajućih promenljivih vezuje se za prirodu i značenje ograničenja kome je izravnavajuća promenljiva dodata. Kako se prvo ograničenje odnosi na kapacitet ove mašine za proizvodnju proizvoda P1 i P2, to će izravnavajuća promenljiva x3 predstavljati neiskorišćeni kapacitet (izražen u časovima) mašine M1. Promenljiva x4 označava neiskorišćeni kapacitet mašine M2, a x5 neiskorišćeni kapacitet mašine M3.

Izravnavajuće promenljive označavaju neiskorišćene kapacitete. Uz njih u funkciji kritrijuma su koeficijenti jednaki nuli, pa imamo sledeću funkciju:

(max); z0 = 6x1 + 4x2 + 0x3 +0x4 + 0x5 (2.2.)

čiju maksimalnu vrednost treba naći uz ograničenja (2.1.).Koeficijente iz prilagodjenog modela (2.1.) i (2.2.) unosimo u simpleks tabelu.

Simpleds tabela se sastoji iz sledećih delova:- posmatrano po redovima: iz zaglavlja, onoliko redova koliko sistem ograničenja

ima jednačina i iz dodatnog reda koji nosi naziv (zj – cj),- posmatrano po kolonama: iz tri stalne kolone (C, B i X0) i iz onoliko kolona

koliko nepoznatih ima u modelu.

10

Početna simpleks tabela ima sledeći oblik:

Tabela 1.

Prvi red zaglavlja sadrži koeficijente koji stoje uz promenljive u funkciji kriterijuma (2.2.). Ostali redovi odgovaraju jednačinama sistema (2.1) i nastali su tako što su koeficijenti, koji stoje uz promenljive u sistemu ograničenja, upisani u odgovarajuće kolone, s tim što se slobodni članovi unose u kolonu X0. Kolona B sadrži promenljive koje čine rešenje u svakoj iteraciji. U početnoj simpleks tabeli kolona B je odredjena na osnovu promenljivih iz kolona, koje u jednom redu imaju koeficifent +1, a u ostalim redovima nule. Promenljiva iz takve kolone upiše se u red u kome se nalazi jedinica. U kolonu C upisuju se koeficijenti koji stoje u funkciji kriterijuma uz promenljive koje čine rešenje problema u toj iteraciji, odnosno uz promenljive iz kolone B.

Red (zj – cj) ima veoma značajnu ulogu u postupku rešavanja problema pomoću simpleks tabele. Za početnu simpleks tabelu ovaj red se izračunava tako što se koeficijenti iz kolone C pomnože odgovarajućim koeficijentima odredjene kolone, pa se proizvodi saberu i od njih oduzme koeficijent iz zaglavlja. Pošto se, kod rešavanja problema maksimuma, polazi od rešenja koje čine izravnavajuće promenljive, to su svi koeficijenti kolone C u početnoj simpleks tabeli jednaki nuli. Zbog toga će u početnoj babeli u redu (zj – cj) u koloni X0 biti nula, a u ostalim kolonama koeficijenti iz zaglavlja sa promenjenim znakom.

Simpleks tabela sadrži kriterijum za ocenu da li je pronadjeno rešenje optimalno ili nije, i ukoliko nije optimalno, kako treba odrediti naredno rešenje. Promena rešenja mora da obezbedi da vrednost funkcije kriterijuma raste u svakoj narednof iteraciji da bi za optimalno rešenje postigla svoju maksimalnu vrednost.

Kolona B u simpleks tabeli sadrži promenljive koje čine rešenje problema za tu iteraciju. Kolona X0 sadrži odgovarajuće vrednosti tih promenljivih, a vrednost funkcije kriterijuma nalazi se u redu (zj – cj) kolone X0. Rešenje problema u prvoj iteraciji čine promenljive

x3 = 100, x4 = 120, x5 = 120,

C B X040 60 0 -M 0X1 X2 X3 X4 X5

000

X3X4X5

100120120

212

132

100

010

001

zj - cj 0 -6 -4 0 0 0

11

a odgovarajuća vrednost funkcije kriterijuma je z0 = 0. Promenljive koje nisu u koloni B ne nalaze se u rešenju, pa su njihove vrednosti jednake nuli, odnosno, x1 = 0 i x2 = 0.

Kapaciteti svih mašina ostaju neiskorišćeni (x3 = 100 – neiskorišćeni kapacitet mašine M1, x4 = 120 – neiskorišćeni kapacitet mašine M2 i x5 = 120 – neiskorišćeni kapacitet mašine M3), pa nema ni proizvodnje proizvoda P1 i P2 (x1 = 0, x2 = 0) i zbog toga se ne ostvaruje nikakav dohodak (z0 = 0). Ovo rešenje je praktično neupotrebljivo.

Promena rešenja vrši se na taj način što jedna promenljiva (od promenljivih koje su izvan rešenja) ulazi u rešenje, a jedna promenljiva izlazi iz rešenja. U svakoj iteraciji menjaju se promenljive koje čine rešenje problema, menjaju se vrednosti tih promenljivih, menja se vrednost funkcije kriterijuma, kao i vrednosti koeficijenata na osnovu kojih je sačinjena simpleks tabela.

Za pronalaženje optimalnog rešenja potrebno je formulisati sledeća pravila:1) kriterijum za ocenu da li je u nekoj iteraciji pronadjeno optimalno rešenje ili

nije,2) kriterijum za izbor promenljive koja ulazi u naredno rešenje,3) kriterijum za odredjivanje promenljive koja izlazi iz rešenja i 4) postupak odredjivanja vrednosti svih promenljivih i svih koeficienata za

narednu iteraciju (za narednu simpleks tabelu).Sve kriterijume ćemo formulisati i razmotriti rešavajući problem 1, pri čemu, za

sada, izostavljamo teorijske dokaze.1) Kriterijum za ispitivanje da li je pronadjeno optimalno rešenje, ili nije,

formuliše se pomoću reda (zj - cj).Izmedju vrednosti funkcija kriterijuma za bilo koje dve uzastopne iteracije postoji

veza . Ta veza se može izraziti pomoću relacije:

z0″ = z0′ - 0(zj –cj). (2.3.)

U ovoj relaciji je sa z0″ označena vrednost funkcije kriterijuma u narednoj iteraciji, sa z0′ vrednost funkcije kriterijuma u posmatranoj iteraciji i sa 0 vrednost promenljive koja ulazi u naredno rešenje. Kako je 0 > 0 (videli smo da sve promenljive moraju biti nenegativne1), to će vrednost funkcije kriterijuma u narednoj iteraciji zavisiti od vrednosti i znaka koeficijenta (zj – cj). Kada tražimo maksimalnu vrednost funkcije kriterijuma, promena nekog rešenja ima smisla samo ako se time povećava vrednost funkcije kriterijuma, odnosno ako je z0″ > z0′. Na osnovu relacije (2.3.) lako se može zaključiti da će se ovo desiti uvek kada je (zj – cj) < 0. To znači, sve dok u simpleks tabeli u redu (zj – cj) postoje negativni koeficijenti, može se odrediti novo rešenje za koje će vrednost funkcije kriterijuma biti veća od vrednosti za prethodno rešenje. Time smo utvrdili kriterijum za ocenu optimalnosti rešenja:

1 Ovo znači da 0 može biti jednako i nuli. To je sučaj degeneracije koji ne utiče na održivost kriterijuma koji želimo formulisati.

12

- Kada tražimo maksimalnu vrednost funkcije kriterijuma, sve dok u redu (zj – cj) postoje negativni koeficijenti, nije pronadjeno optimalno rešenje problema. Za probleme u kojima se traži minimalna vrednost funkcije kriterijuma važi suprotno, sve dok u redu (zj – cj) postoje pozitivni koeficijenti, nije pronadjeno optimalno rešenje.

- Može se desiti da, za neku nebazičnu promenljivu, vrednost ovog koeficijenta bude nula. Prema relaciji (2.3.) možemo zaključiti da, u tom slučaju možemo odrediti novo rešenje koje će imati istu vrednost funkcije kriterijuma jer će biti z0″= z0′. To znači da postoje dva različita optimalna rešenja, a njihovom konveksnom kombinacijom mogu se dobiti i druga, optimalna rešenja.

2) Kriterijum za odredjivanje promenljive koja ulazi u naredno rešenje:Pošto tražimo maksimalnu vrednost funkcije kriterijuma, promenljiva koja ulazi u naredno rešenje mora obezbediti da funkcija kriterijuma dobije što veću vrednost.

U početnoj simpleks tabeli za naš problem, izvan rešenja nalaze se samo promenljive x1 i x2. U narednoj iteraciji u rešenje može da udje ili promenljiva x1, ili promenljiva x2, a da izadje jedna od promenljivih x3, x4 ili x5. Za ulazak treba izabrati onu promenljivu koja obezbedjuje najveći porast funkcije kriterijuma. U početnoj simpleks tabeli ovaj izbor bi mogao da se izvrši na osnovu koeficijenata koji stoje uz promenljive u funkciji kriterijuma, tako što bi se prednost dala promenljivoj s najvećim koeficijentom. Taj kriterijum se ne može koristiti u ostalim iteracijama, pa je potrebno formulisati neki pogodniji kriterijum. Red (zj – cj) i njegov uticaj na kretanje vrednosti funkcije kriterijuma daju mogućnost za formiranje traženog kriterijuma.

Ovi koeficijenti ne samo što pokazuju da može doći do povećanja vrednosti funkcije kriterijuma u narednoj iteraciji, već i za koliko će se povećati vrednost te funkcije po jedinici promenljive koja je izabrana da udje u naredno rešenje. Pri izboru promenljive za ulazak u naredno rešenje prednost treba dati onoj promenljivoj kojoj odgovara najveći (po apsolutnoj vrednosti) negativni koeficijent u redu (zj – cj). Tako smo došli i do drugog kriterijuma, koji se može formulisati na sledeći način:

Ako se u problemu traži maksimalna vrednost funkcije kriterijuma, u naredno rešenje treba da udje ona promenljiva kojoj u simpleks tabeli odgovara najveća negativna vrednost koeficijenta iz reda (zj –cj).

Ukoliko je za dve, ili više promenljivih, ispunjen ovaj uslov, u tom slučaju, potrebno je uzeti u obzir i vrednost parametra 0, odnosno vrednost promenljive koja ulazi u nardno rešenje. Ako se za dve, ili više promenljivih, pojavi jednaka najveća negativna vrednost koeficijenata u redu (zj – cj), onda u naredno rešenje treba da udje ona promenljiva koja će dobiti najveću vrednost.

- u početnoj simpleks tabeli nije pronadjeno optimalno rešenje jer u redu (zj – cj) postoje negativni koeficijenti,

- u naredno rešenje treba da udje promenljiva x1 zato što njoj odgovara veći negativni koeficijent u redu (zj – cj).

3) Kriterijum za odredjivanje promenljive koja će izaći iz rešenja:Rešenje problema u svakoj iteraciji sačinjava onoliko promenljivih koliko

matematički model ima ograničenja. Pošto smo odredili da promenljiva x1 treba da udje u naredno rešenje, potrebno je da odredimo koja će promenljiva (x3, x4 ili x5) izaći iz rešenja. Izbor promenljive koja će izaći iz rešenja može se izvršiti kada se odredi koju vrednost može uzeti promenljiva koja je ušla u rešenje (promenljiva x1).

13

Posmatrajmo početnu simpleks tabelu i njene kolone X0 i X1. U prvom redu kolone X0 koeficijent 100 označava naiskorišćeni kapacitat mašine M1, a u prvom redu kolone X1 koeficijent 2 označava vreme koje je potrebno da se na mašini M1 proizvede jedinica proizvoda P1. Maksimalna količina proizvoda P1 koja se može proizvesti za 100 časova rada mašine M1 iznosi 100 : 2 = 50 jedinica. Možemo zaključiti da se na mašini M2 može proizvesti najviše 120 : 1 = 120 jedinica, a na mašini M3 najviše 120 :2 = 60 jedinica proizvoda P1. Kapacitet mašine M1 predstavlja ograničenje većoj proizvodnji proizvoda P1, pa zaključujemo da treba proizvoditi 50 jedinica ovog proizvoda. Time smo odredili vrednost promenljivoj x1, koja ulazi u rešenje, pa je x1 = 50.

Mašina M1 će za proizvodnju 50 jedinica proizvoda P1 utrošiti svih 100 časova raspoloživog kapaciteta. Prema ovom rešenju neće biti neiskorišćenog kapaciteta mašine M1, odnosno promenljiva x3 (koja označava neiskorišćeni kapacitet mašine M1)imati vrednost nula. Time smo odredili da promenljiva x3 treba da izadje iz rešenja.

4) Kriterijum za odredjivanje vrednosti ostalih koeficijenata za narednu simpleks tabelu:

Odredimo vrednost promenljivih x4 i x5 u drugoj iteraciji. Znamo da x4 označava neiskorišćeni kapacitet mašine M2. Ukupni kapacitet ove mašine iznosi 120 časova. Za proizvodnju 50 jedinica proizvoda P1 mašina M2 će raditi 50 . 1 = 50 časova, pa će ostati neiskorišćeno 70 časova. Promenljiva x4 imaće vrednost 70 u drugoj iteraciji.

Od ukupnog kapaciteta mašine M3 od 120 časova, za proizvodnju 50 jedinica proizvoda P1 biće utrošeno 50 . 2 = 100 časova, pa će 20 časova ostati neiskorišćeno. Promenljiva x5 u drugoj iteraciji ima vrednost 20.

Svi podaci za narednu simpleks tabelu izračunavaju se na osnovu prethodne tabele. Tako je prethodni postupak odredjivanja vrednosti promenljivih vodjen na sledeći način:

x4 = 120 – 50 . 1 = 70,x5 = 120 – 50 . 2 = 20.

U postupku računanja koriste se svi koeficijenti iz označene kolone. Za ovaj postupak značajni su i koeficijenti iz reda koji pripada promenljivoj koja izlazi iz rešenja, pa u simpleks tabeli treba označiti i ovaj red. Koeficijent koji se nalazi na preseku označenog reda i označene kolone naziva se karadterističan koeficijent (ili ključni, stožerni, generirajući, pivot).

Vrednost promenljivih za narednu iteraciju izračunavamo kada od njihove vrednosti iz prethodne iteracije oduzmemo proizvod izmedju vrednosti promenljive koja ulazi u rešenje i odgovarajućih koeficijenata iz označene kolone.

Na sličan način mogu se odrediti i svi ostali koeficijenti za drugu simpleks tabelu. Postupak računanja je sledeći:

- najpre se podele svi koeficijenti označenog reda karakterističnim koeficijentom,- koeficijent za i-ti red i j-tu kolonu naredne simpleks tabele izračunava tako što se od odgovarajućeg koeficijenta iz prethodne simpleks tabele oduzme proizvod koeficijenata iz i-tog reda označene kolone i koeficijenta iz j-te kolone označenog reda.Naredna simpleks tabela sadržaće rešenje problema za drugu iteraciju. Prethodno ćemo pripremiti početnu simpleks tabelu na sledeći način: označimo kolonu

14

tabele koja odgovara promenljivoj koja ulazi u naredno rešenje; označimo i red koji pripada promenljivoj koja izlazi iz rešenja; označimo (zaokruživanjem) koeficijent koji se nalazi na preseku označene kolone i označenog reda (to je karakteristični koeficijent).

Tabela 1.a.

Narednu drugu simpleks tabelu dobijamo na sledeći način- U kolonu B upišemo promenljive koje čine rešenje x1, x4 i x5.- U kolonu C upišemo koeficijente koji u funkciji kriterijuma stoje uz

promenljive iz kolone B. U odnosu na prvu tabelu, promenjena je samo promenljiva x1 pa će u prvom redu kolone C stajati 6.

- Koeficijent ozna~enog reda prethodne simpleks tabele podelimo sa 2 i upi{emo u narednu tabelu u red u kome se nalazi nova promenljiva x1. To su:

50, 1, ½, ½, 0, 0.

Sve ostale koeficijente izra~unavamo pomo}u definisanih kriterijuma na slede}i na~in:Kolona X0:

Drugi red: 120-100/2 1=70,Tre}i red: 120-100/2*2 = 20,Red (zj - cj) : 0 – 100/2 *(-6) = 300.

Kolona X1 odgovara promenljivoj koja je u{la u re{enje. U prvom redu ove kolone ve} je upisana jedinica, a svi ostali koeficijenti iz ove kolone jednaki su nuli. I tako }e biti u svim simpleks tabelama: promenljive iz kolone B ima}ce u preseku reda i odgovarajuce kolone jedinice, a svi ostali koeficijenti su nule.

Kolona X2:drugi red: 3 – ½ * 1 = 5/2tre}i red: 2 – ½ *2 =1red (zj – cj): -4-1/2 * (-6)= -1

Kolona X3:drugi red : 0-1/2*1 = -1/2,tre}i red: 0-1/2*2 = -1,red (zj – cj): 0- ½ * (-6) = 3.

Kolone X4 i X5 u ozna~enom redu pripremljene tabele imaju nule. Zbog toga u ovim kolonama ne}e do}i do promene koeficijenataw, pa ih pripisujemo iz prethodne tabele. Sli~no bi se dogodiloi kada u ozna~enoj koloni tabele imamo nulu. Tada se ne menjaju koeficijenti iz reda u kome se nalazi ta nula i oni se prepisuju iz prethodne tabele.

CB

X040600-M0X1X2X3X4X500

0X3X4

X51001201202

121321000100

01zj - cj0-6-4000

15

1.1.2.2. Rešavanje problema minimuma

Uzmimo sada problem u kome se tra`i minimalna vrednost funkcije kriterijuma razmotrimo postupak odre|ivanja optimanog re{enja za ove probleme.

PROBLEM 3.

Treba na}i minimalnu vrednost funkcije kriterijuma

Zo = 160x1 + 100x2 = 120x3

uz zadovoljenje slede}eg sistema ograni~enja:

2x1 + x2 + 2x3 ≥ 350, x1 + x2 + x3 ≥ 300, 4x1 + x2 + x3 ≥ 400, x1≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

Uvo|enje izravnavaju}ih promenljivih, prethodni sistem }emo izraziti u obliku jedna~ina. Po{to je leva strana nejedna~ina ovog sistema ve}a od desne, oduzimamo izravnavaju}e promenljive i dobijamo slede}i sistem jena~ina:

2x1 + x2 + 2x3 - x4 = 350,x1 + x2 + x3 -x5 = 300,4x1 + x2 + 2x3 -x6 =400.

Koeficijenti uz izra~unavanje promenljive su negativni. To zna~i da ne mo`emo odrediti po~etno nenegativno bazi~no re{enje u prvoj simpleks tabeli. Zbog toga uvodimo nove promenljive u model tzv. ve{ta~ke promenljive. Ove promenljive ne pripadaju sistemu ograni~enja i nemaju konkretno ekonomsko zna~enje. U postupku resavanja problema one se elimini{u iz re{enja, tako {to se u optimanom re{enju ne mo`e promeniti ni jedna ve{ta~ka promenljiva. Ako nenegativno bazi~no re{enje problema sadrzi bar jednu pozitivnu vestacku promenljivu, onda ne postoji moguce resenje.

Da se ve{ata~ke promenljive ne bi pojavile u optimalnom resenju, u funkciji kriterijuma uz ove promenljive uvodimo koeficijente obelezene sa M, gde je M relativno veliki pozitivni broj. Tako smo posle prosirenja problema sa ve{ta~kim promenljivm, dobili slede}i model:(min); z0 = 160x1 + 100x2 + 120x3 + 0x4 + 0x5 +0x6 + Mx7 + Mx8 + Mx9

2x1 +x2 + 2x3 - x4+ x7=350,x1 + x2 + x3 - x5+ x8 =300,4x1 + x2 + 2x3-x6+ x9 =400,

u kome sve promenljive moraju biti ne negativne.Sada se moze popuniti po~etna simpleks tabela i odrediti po~etno bazicno

resenje. Njega sa~injavaju ve{ta~ke promenljive.

16

CB

X0160100120000MMMX1X2X3X4X5X6X7X8X9MM

MX7X8

X9350300

40021411121

2-10

00-100

0-11

000

100

01Zj - CJ0-160-100-1200000001050735-1-1-1000

Simpleks tabela je popunjena na uobi~ajeni na~in. Jedino se koeficijenti u redu (Zj - Cj ) podeljeni na dva dela. U prvi deo reda unose se koeficijenti uz koje se ne javlja M. Tako je, na primer, koeficijent ( z1 - c1) = 7M - 160. Dobijen je mnozenjem kolone C i kolone X1, proizvodi su sabrani i od njih je oduzet koeficijent iz zaglavlja. Na isti na~in utvrdjeni su i koeficijenti za ostale kolone. Ova podela koeficijenata iz reda ( Zj - Cj) na dva dela izvrsena je samo iz prakti~nih razloga. Kako je M veoma veliki broj, to ce se , sve dok su i ve{ta~ke promenljive u re{enju, drugi deo reda odre|ivati koja promenljiva ulazi u naredno rer{enje.

Da li je u prvoj simpleks tabeli prona|eno optimalno re{enje i, ako nije, koju promenljivu treba izabrati da udje u naredno re{enje? Ovde je odgovor sasvim o~igledan: pocetno resenje cine vestacke promenljive, pa je sigurno da ono ne moze biti optimalno. Mi smo, medjutim, razmatrajuci re{enje problema maksimuma, ustanovili kriterijum za ocenu optimalnosti resenja. Prema tom kriterijumu, sve dok u redu (Zj - Cj) postoje

17

pozitivni koeficijenti (a trazimo minimalnu vrednost funkcije), nije pronadjeno optimalno re{enje. Dodajmo ovom i drugi kriterijum: u naredno re{enje treba da udje ona promenljiva kojoj u simpleks tabeli odgovara najveca (pozitivna) vrednost koeficijenta iz reda (Zj - Cj).

Prethodne 2 razlike u kori{}enju reda (Zj - Cj): pri oceni optimalnosti re{enja i pri izboru promenljive koja treba da udje u naredno re{enje, predstavljaju jedine razlike u postupcima resavanje problema minimuma i problema maksimuma. U racunskom postupku izracunavanja koeficijenata za narednu simpleks metodu nema nikakve razlike.

Vratimo se prvoj tabeli i konstantujmo da nije pronadjeno optimalno resenje, te da u naredno re{enje treba da udje promenjiva x1. Na osnovu koli~nika izme|u kolone X0 i kolone X1,iz resenja izlazi promenjiva x9. U prvoj simpleks tabeli ozna~ena je kolona X1, tre}i red u koma je promenljiva x9 i zaokru`en je karakteristican koeficijent. Na osnovu tako pripremljene simplekls tabele,dobijamo drugu simpleks tabelu.

Bazi~no re{emje u drugoj simpleks tabeli sa~injavaju promenljivex1 = 100, x7 = 150, x8 = 200,

a vrednost funkcije kriterijuma iznosi z0 = 16000 + 350M. Optimalno resenje nije prona|eno. U naredno re{enje treba da u|e promenjiva x3, a iz re{enje }e iza}i promenljiva x7. Zbog toga smo u drugoj tabeli ozna~ili kolonu X3, prvi red u kome je promenljiva x7 i zaokruzili karakteristican koeficijent.

Tabela 2.

CB

X0160100120000MMMX1X2X3X4X5X6X7X8X9MM

160X7X8

X1150200

100001½¾¼1½

½-1000

-10½

¼

18

-1/410

001

0-1/2-1/4

1/4Zj - CJ160000-60-4000-40004035005/43/2-1-1¾00-7/4Sastavljamo slede}u simpleks tabelu.

Tabela 3.

CB

X0160100120000MMMX1X2X3X4X5X6X7X8X9120M

160X3X8

X1150125

25001½½010

0-1½½0

-10½

0-1/21-1/2

-1/201

0-1/20

½Zj - CJ220000-400-400-20400201250½0½-10-3/20-1I u tre}oj simpleks tabeli nije pronadjeno optimano re{enje. U re{enju se nalazi

jo{ jedna ve{ta~ka promenljiva (x8 = 125), a u drugom delu (zj - cj) postoje pozitivni koeficijenti. Treba odrediti koja promenljiva ulazi u nardno re{enje. Vidimo da u trecoj simpleks tabeli dve promenljive (x2 i x4) ravnopravno konkuri{u za ulazak u nareno

19

re{enje jer imaju potpuno iste koeficijente. Prema dopunskom kriterijumu prednost ce dobiti ona promenljiva koja dobija vecu vrednost. Zato najpre delimo kolunu X0 kolonom X2 i oderedjujemo da ce promenljiva x2 , ukoliko udje u naredno re{enje, dobiti vrednost 250; zatim delimo kolonu X0 kolonom X4 i odredjujemo da ce promenljiva x4, ukoliko udje u resenje dobiti vrednost 50.

Prema tome, u naredno re{enje ulazi promenljiva koja dobija ve}u vrednost tj. promenljiva x2. U tre}oj tabeli ozna~ili smo kolonu X2, zatim drugi red i zaokru`ili karakteristi~an koeficijent.

Tabela 4.

CB

X0160100120000MMMX1X2X3X4X5X6X7X8X9120100

160X3X2

X125250

2500101010

0-3/21½1

-20½

0-1/23/2-1

-1/2-12

0-1/20

½Zj - CJ320000000-80-20080200000000-1-1-1U ~etvrtoj simpleks tabeli nema vesta~kih promenljivih u re{enju. To se mo`e zaklju~iti prema koloni B, ali i prema drugom delu reda. Po[to su ve{ta~ke promenljive iza[le iz re{enja, u ovom delu reda ispod svih kolona su nule, osim ispod kolone ve[ta~kih promenljivih gde su jedinice sa znakom minus.

20

Problem se dalje moze re[avati bez kolon akoje odgovaraju ve{ta~kim promenljivim i bez drugog dela reda (zj - cj). Ove kolone se mogu zanemarivati i odmah po{to ve{ta~ka promenljiva izadje iz re{enja. Postoji me|utim razlog da se zadr`e i ove kolone do kraja postupka, jer se u tom delu simpleks tabele nalaze podaci koji se mogu korisno upotrebiti za analizu optimalnog re{enja.

Re{avanje problema simpleks tabelom treba nastaviti tako [to se za ocenu optimalnosti re{enja i za izbor promenjive koja }e u}i u re{enje uzima u obzir prvi deo reda (zj - cj0. Posmatranjem ovog reda u ~etvrtoj simpleks tabeli, vidimo da ne postoje pozitivni koeficijenti, pa mo`emo zakljuciti da je re{enje iz ove tabele optimalno. Njega sa~injavaju promenljive:

x1 = 25, x2 = 250, x3 = 25,

a minimalna vrednost funkcije kriterijuma iznosi z0 = 32000.Rekli smo da je u ~etvrtoj simpleks tabeli pronadjeno optimalno re{enje. Me|utim

u redu (zj - cj) kolone x4 nalazi se koeficijent 0. Po[to promenljiva x4 ulazi u naredno re[enje, u ~etvrtoj tabeli ozna~ili smo kolonu X4. Iz re{enja izlazi promenljiva x1, pa smo ozna~ili i tre}i red i zaokru`ili karakteristi~an koeficijent. Sada mo`emo odrediti petu simpleks tabelu.

Tabela 5.

CB

X0160100120000MMMX1X2X3X4X5X6X7X8X91201000X3X2

X4100200

503-2201010

000

11-2

0-11

-100

-1-1

21

201-1

1Zj - CJ320000000-80-20080200000000-1-1-1U petoj simpleks tabeli dobili smo jos jedno optimalno re{enje. Njega sa~injavaju

promenljive:x2 = 200, x3 = 100, x4 = 50,

a minimalnu vrednost funcije kriterijuma, z0 = 32000, ista je kao i kod resenja iz ~etvrte simpleks tabele.

Obele`imo optimalno re{enje iz ~etvrte simpleks tabele sa X ۪¹, re{enje iz pete tabele sa X ۪², pa cemo dobiti sledeci izraz za konveksnu kombinaciju:

X۪³ = qX ۪¹ + (1 - q) X ۪², 0<q<1

Za problem minimuma koji smo re{avali bilo je potrebno da se u svakoj jedna~ini doda ve{ta~ka promenljiva.

1.1.2.3. Kada problem nema rešenje

Sve probleme koje smo do sada re{avali, imala su kona~na optimalna re{enja. U Grafi~kom re{avanju problema lako se moze uociti da li problem ima re{enje i kakvo je ono. Kada je zajedni~ko podru~je zatvoreno, problem ima kona~no optimalno re{enje. Ako je zajedni~ko podru~je otvoreno, problem mo`e imati kona~no optimalno re{enje, ali moze imati i neograniceno re{enje. Ovde ne razmatramo slucaj kada sistem ogranicenja uopste ne formira zajednicko podrucje jer tada problem nema resenja.

PROBLEM 4.

Treba odrediti nenegativne vrednosti promenljivih x1 i x2 koje ce obezbediti da funkcija kriterijuma

z0 = 40x1 + 60x2postigne svoju maksimalnu vrednost uz slede}i sistem ograni~enja:

- x1 + 4x2 ≥ 400,- 2x2 + 2x2 ≤ 500,

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Po{to problem pro{irimo i prilagodimo za re{avanje, dobijamo slede}i sistem:(max);

z0 = 40x1 + 60x2 + 0x3 - Mx4 + 0x5,- x1 + 4x2 - x3 + x4 = 400,- 2x1 + 2x2 + x5 + 500,

koji }emo re{avati pomo}u simpleks tabele. Prva simpleks tabela ima sledece elemente:

Tabela 1.

22

Re{enje nije optimalno. Trazi se maksimalna vrednost funkcije kriterijuma, pa u naredno re{enje treba da udje promenljiva x4.

Re{enje iz druge simpleks tabele nije optimalno. U naredno re{enje treba da udje promenljiva x1. Treba odrediti promenljivu koja ce izaci iz re{enja. to }emo odrediti na osnovu koli~nika izmedju kolone X0 i kolone X1. U koloni X1 nema, medjutim ni jednog pozitivnog koeficijenta pomo}u koga mo`emo odrediti pozitivnu vrednost koli~nika. To znaci da se ne moze odrediti promenljiva koja }e iza}i iz re{enja i pozitivna vrednost promenljive koja je u{la u re{penje. Ovo je znak da je re{enje problem neograni~enog i da se vrednost funkcije kriterijuma moze pove}ati preko svih granica. Ne mozemo sastaviti trecu simpleks tabelu ali cemo vrednost promenljivih odrediti na sledeci nacin.

Tabela 2.

Po{to ne mo`emo odrediti koja promenljiva treba da izadje iz re{enja, proizvoljno izaberemo jednu promenljivu iz kolone B da izadje iz re{enja. Neka to bude promenljiva x5. Sada takodje proizvoljno, odredimo sto vecu pozitivnu vrednost promenljivoj koja je usla u naredno re{enje x1. Vrednost druge promenljive izra~unavamo prema poznatom pravilux³ = x² - ( - ¼ ) x³

gde super indeks ozna~ava iteraciju za koju ra~unamo vrednost promenljive. Neka je proizvoljno izabrana vrednost za promenljivu x1 = 4000, pa za promenljivu x2 dobijamo:x³ = 100 + ¼ * 4000 = 1100

Mo`emo promenljivoj x1 izabrati i ve}u vrednost, promenljiva x2 ostaje pozitivna i takodje dobija ve}u vrednost. Zato i ka`emo da je vrednost promenljivih u ovom slu~aju neograni~ena, a maksimalna vrednost funkcije kriterijuma postize se negde u beskona~nosti.

CBX040600-M0X1X2X3X4X5-M0X4X5400500-1-242-101001zj - cj0-40-60000-4001-4100

CBX040600-M0X1X2X3X4X5600X2X5100300-1/4-3/210-1/4½¼-1/201zj - cj6000-550-15150000000

23