OPTIMIZACIÓNAplicaciones de la derivación

Optimización¿Qué es optimizar?

Método por el cual se encuentra la mejor forma de utilización de algún recurso ó mejora de proceso.

¿Cómo se optimiza?

No existe regla general, pero si se sugiere seguir los siguientes pasos:

1) Leer muy bien el problema.2) Plantear función a optimizar.3) Procesar función en términos de una sola

variable.4) Aplicar Criterio de Primera Derivada.5) Detectar Máximos ó Mínimos según el

problema.6) Interpretar la Solución.

Optimización

Ejemplo #1:

Mayra desea utilizar 100 metros de malla metálicaPara cercar un jardín rectangular.

Determine el área máxima posible del jardín.

𝑥

𝑦

𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

Optimización

Ejemplo #1:

Mayra desea utilizar 100 metros de malla metálicaPara cercar un jardín rectangular.

Determine el área máxima posible del jardín.

𝑥

𝑦𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

OptimizaciónEjemplo #1:Mayra desea utilizar 100 metros de malla metálicaPara cercar un jardín rectangular.Determine el área máxima posible del jardín.

𝑥

𝑦

𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

Ecuación a optimizar:

𝐴𝑚𝑎𝑥=𝑥𝑦Ecuación alterna en el problema:

𝑃=2𝑥+2 𝑦

OptimizaciónEjemplo #1:Mayra desea utilizar 100 metros de malla metálicaPara cercar un jardín rectangular.Determine el área máxima posible del jardín.

𝑥

𝑦

𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

Ecuación a optimizar:𝐴𝑚𝑎𝑥=𝑥𝑦

Ecuación alterna en el problema:

𝑃=2𝑥+2 𝑦100=2𝑥+2 𝑦100=2(𝑥+𝑦 )

50=𝑥+𝑦𝑦=50−𝑥

Optimización

𝑥

𝑦

𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

Ecuación a optimizar:

𝐴𝑚𝑎𝑥=𝑥 (50−𝑥)

DEJAR LA ECUACION A OPTIMIZAR EN UNA SOLA VARIABLE

𝐴𝑚𝑎𝑥=50 𝑥−𝑥2

𝐴 ′𝑚𝑎𝑥=50−2𝑥 50−2 𝑥=0Criterio de la primera derivada:

𝑥=25

Optimización

𝑥

𝑦

𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

𝐴 ′𝑚𝑎𝑥=50−2𝑥 50−2 𝑥=0Criterio de la primera derivada:

𝑥=25¿Será un Máximo ó un Mínimo?

Criterio de la segunda derivada:

𝐴 ′ ′𝑚𝑎𝑥=−2<0 esunmá ximo

Optimización

𝑥

𝑦

𝑥=𝑎𝑙𝑡𝑜𝑦=𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜

Interpretación:

𝐴𝑚𝑎𝑥=𝑥 (50−𝑥)El punto máximo de x es 25 entonces:

𝐴𝑚𝑎𝑥=25 (50−25)

𝐴𝑚𝑎𝑥=625𝑀𝑡𝑠2

Esta es el área máxima que se puede encerrar con 100 Metros de malla metálica

Ejemplo #2:

En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares.

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima?

Optimización

𝑦 𝑦𝑦

𝑥

𝑥

Ejemplo #2:En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares.

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima?

Optimización

𝑦 𝑦𝑦

𝑥

𝑥

Ecuación a optimizar:𝐴𝑚𝑎𝑥=𝑥𝑦

Ecuación alterna en el problema:

𝑃=2𝑥+3 𝑦150=2𝑥+3 𝑦

150−2 𝑥=3 𝑦𝑦=

150−2 𝑥3

Ejemplo #2:En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares.

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima?

Optimización

𝑦 𝑦𝑦

𝑥

𝑥

DEJAR LA ECUACION A OPTIMIZAR EN UNA SOLA VARIABLE

Ecuación a optimizar:

𝐴𝑚𝑎𝑥=𝑥 (150−2𝑥

3)

𝐴𝑚𝑎𝑥=1503

𝑥−23𝑥2 𝐴𝑚𝑎𝑥=50 𝑥−

23𝑥2

Ejemplo #2:En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares.

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima?

Optimización

𝑦 𝑦𝑦

𝑥

𝑥

Ecuación a optimizar:

𝐴𝑚𝑎𝑥=50 𝑥−23𝑥2

Criterio de la primera derivada:

𝐴 ′𝑚𝑎𝑥=50−43𝑥 50−

43𝑥=0

Ejemplo #2:En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares.

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima?

Optimización

𝑦 𝑦𝑦

𝑥

𝑥

50−43𝑥=0

50=43𝑥

5043

=𝑥 37,5=𝑥¿Será un Máximo ó un Mínimo?

Ejemplo #2:En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares.

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima?

Optimización

𝑦 𝑦𝑦

𝑥

𝑥

Criterio de la segunda derivada:

𝐴 ′ ′𝑚𝑎𝑥=−43<0esunmá ximo

𝐴 ′𝑚𝑎𝑥=50−43𝑥

Ejemplo #2:En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares.

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima?

Optimización

𝑦 𝑦𝑦

𝑥

𝑥

37,5=𝑥MAXIMO

Ya tengo la dimensión x, para la dimensión y remplazo en:

𝑦=150−2 𝑥

3𝑦=

150−2(37,5)3

𝑦=25

Ejemplo #2:En una exhibición Nicolás desea utilizar 150 metros de cerca para separar sus motos de sus autos, formando dos rectángulos similares.

¿Cuáles deben ser las dimensiones para que la superficie sea máxima?

Optimización

25 2525

37,5

37,5

Ejercicio :Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar un campo rectangular que limita con un rio recto. No necesita cercar a lo largo del rio. ¿Cuáles son las dimensiones del campo que tiene el área más grande?

Optimización

Tarea:Leer Ejemplo 2 de la

página 322, Cap 4, Sección 4.7