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Abstract— The field orientation and binarization in an image are widely used in authentication and identification of fingerprints and analysis of textures. The proposed algorithm reuses the operations of addition and multiplication to calculate the orientation field using the commutative property and uses Digital Differential Analyzer (DDA) algorithm in the generation of convolution masks for the binarization of fingerprint images. The performance of the processing time and the result of the binarization of proposed algorithm in respect to results of the algorithms that use convolution masks in binarization were satisfactory compared to other algorithms in the literature.
Keywords— Field orientation, commutative property, DDA algorithm, ridge extraction.
I. INTRODUÇÃO
ORIENTAÇÃO de campo em uma imagem é bastante utilizada em autenticação e identificação de impressões digitais, análise de texturas e em dinâmica de fluídos.
Wang [7] utilizou a orientação de campo para detectar a localização da região em uma imagem onde está localizada a placa do carro.
Em [8] a orientação de campo e Hidden Markov Models foram utilizados para realizar a identificação da impressão digital.
Ottino [2] e Pettersen [3] desenvolveram trabalhos, onde a partir da orientação de campo é possível realizar o estudo das propriedades do campo de velocidade dos fluídos.
Em [4] o algoritmo de orientação de campo auxiliou na identificação de imperfeições, tais como nós, buracos e grãos na madeira.
Nos trabalhos de Huang e outros [10] e Hiew e outros [11] foram feitos melhoramentos na imagem de impressão digital utilizando os filtros de Gabor.
O algoritmo proposto para o cálculo da orientação de campo é dividido em duas partes. Inspirado no trabalho de Rao [1], a primeira parte do algoritmo proposto calcula a orientação de campo de cada pixel da imagem utilizando os somatórios já realizados para o cálculo da orientação de
L. X. Medeiros, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, Minas
Gerais, Brasil, [email protected] E. L. Flôres, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, Minas
Gerais, Brasil, [email protected] G. A. Carrijo, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, Minas
Gerais, Brasil, [email protected] A. C. P. Veiga, Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, Minas
Gerais, Brasil, [email protected]
campo dos pixels anteriores. E inspirado no trabalho de Jain e outros [6], a segunda parte do algoritmo proposto utiliza o algoritmo Digital Differential Analyzer (DDA) na geração de máscaras de convolução para a binarização de imagens de impressão digital.
Neste artigo, a Seção II apresenta os algoritmos utilizados neste trabalho, a Seção III mostra os resultados obtidos nos dois algoritmos explicados na Seção II. Finalmente, a Seção IV conclui sobre os resultados obtidos.
II. EXTRAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS DE UMA IMAGEM DE
IMPRESSÃO DIGITAL
O cálculo da orientação de campo resulta em uma matriz, onde os elementos desta matriz são valores de ângulos e estes ângulos representam as inclinações das linhas da impressão digital em relação ao eixo x.
Duas técnicas utilizadas em reconhecimento de impressões digitais são a orientação de campo e a binarização da imagem. A primeira técnica auxilia na binarização e no alinhamento das imagens de impressão digital. E o resultado dessa binarização é utilizado no afinamento das linhas da impressão digital e na detecção de minucias. Alguns processos de identificação utilizam as posições das minucias no reconhecimento das imagens de impressões digitais.
Neste trabalho desenvolveu-se no algoritmo da orientação de campo [1] uma forma de reaproveitar os somatórios dos produtos já realizados em cálculos anteriores desse algoritmo. E é utilizado o algoritmo Digital Differential Analyzer (DDA) na geração de máscaras de convolução para a binarização das imagens de impressão digital.
Nas Subseções II-A e II-B são descritos os algoritmos do Cálculo da Orientação de Campo e de binarização, respectivamente.
A. Algoritmo do Cálculo da Orientação de Campo
O algoritmo de Rao [1] e o proposto neste trabalho para o cálculo da orientação de campo são apresentados, respectivamente, nas Seções II-A1 e II-A2. Os dois algoritmos possuem os dois primeiros passos iniciais iguais. No primeiro passo a imagem é dividida em blocos de tamanho W × W. O segundo passo calcula o gradiente da imagem. A diferença do algoritmo proposto em relação ao algoritmo de Rao [1], é que o algoritmo proposto calcula a orientação de campo de um pixel de coordenadas (x, y) utilizando os somatórios realizados para o pixel anterior em que já foi encontrada a orientação de
L. X. Medeiros, E. L. Flôres, G. A. Carrijo and A. C. P. Veiga
Optimization of the Calculation of Time Orientation Field and Binarization of
Fingerprint Images
A
campo. A reutilização desses somatórios utilizando a propriedade da comutação proporciona uma diminuição bastante elevada no tempo de processamento do algoritmo do cálculo da orientação de campo.
1) Cálculo da Orientação de Campo sem o Uso da Propriedade da Comutação
Os passos do algoritmo de Rao [1] para o cálculo da orientação de campo são: 1) Divide-se a imagem em blocos de tamanho W × W; 2) Para cada pixel de cada bloco da imagem obtido no passo 1, calcula-se as componentes x e y do gradiente; 3) A orientação de campo do pixel de coordenadas (x, y) é calculada utilizando-se as Equações (1), (2), e (3).
[ ] +
−=
+
−=
−=2
2
2
2
22 ),(),(),(
Wx
Wxu
Wy
Wyv
yxx vuGvuGyxV (1)
[ ] +
−=
+
−=
=2
2
2
2
),(),(2),(
Wx
Wxu
Wy
Wyv
yxy vuGvuGyxV (2)
2),(
),(tan
2
1),( 1 πθ +
= −
yxV
yxVyx
x
y (3)
Onde W é o tamanho do bloco; Gx e Gy são as componentes do gradiente nas direções x e y, respectivamente e θ(x, y) é a orientação de campo para o pixel de coordenadas (x, y).
A Fig. 1 ilustra o resultado da utilização das Equações (1) a (3) no cálculo da orientação de campo de uma imagem de impressão digital.
Figura 1. Orientação de campo de impressão digital
2) Utilização da Propriedade da Comutação no Cálculo da Orientação de Campo
O tempo de processamento gasto no cálculo da orientação de campo do algoritmo de Rao [1] (mostrado na Seção II-A1) é bastante elevado porque para cada pixel pertencente à imagem os dois somatórios das Equações (1) e (2) são calculados sem ser feito o reaproveitamento dos cálculos realizados.
Supondo que A, B e C são números reais; a propriedade da comutação pode ser exemplificada pela Equação (4). ACBBCACBA ++=++=++ )()()( (4)
A Equação (4) indica que o resultado de um somatório independe da ordem em que os elementos são somados, mas depende dos elementos utilizados no somatório. Considerando isso, desenvolvemos neste artigo um algoritmo para redução do número de adições e multiplicações em somatórios no cálculo da orientação de campo utilizando a propriedade da comutação.
Para mostrar o desperdício computacional quando não é utilizada a propriedade da comutação no cálculo da orientação de campo. Considere em uma imagem qualquer um bloco 5 × 5 e dois pixels vizinhos de coordenadas (2, 2) e (2, 3) nesse bloco, como mostrado na Fig. 2(a). Aplicando-se as Equações (1) e (2) para esses dois pixels pode-se observar que os pixels destacados na Fig. 2(b) são comuns aos somatórios utilizados para a obtenção da orientação de campo dos dois pixels destacados na Fig. 2(a).
Figura 2. (a) Dois pixels vizinhos; (b) Elementos comuns aos somatórios dos
pixels da Figura 2(a).
Considerando que os passos 1 e 2 do algoritmo descrito na
Seção II-A1 já foram executados, os passos do algoritmo proposto para o cálculo da orientação de campo são: 1) Considere dois vetores Vxs e Vys unidimensionais, cada um com comprimento igual a N (número de colunas da imagem), onde todos os elementos desses vetores são inicialmente iguais a zero. É necessário que eles satisfaçam as Equações (5) e (6).
−≤≤
=resto o todopara ,0
10 se ),( NvvVV
xs
xs (5)
−≤≤
=resto o todopara ,0
10 se ),( NvvV
Vys
ys (6)
2) Supondo quatro variáveis, i, j, Vx e Vy, com valores iguais à zero; 3) Calcula-se as somatórias das Equações (7) e (8) para j variando de zero a N – 1;
[ ]=
−=2
0
22 ),(),()(
W
uyxxs juGjuGjV (7)
[ ]=
=2
0
),(),(2)(
W
uyxys juGjuGjV (8)
onde Gx(x, y) e Gy(x, y) são os gradientes nas direções de x e y, respectivamente. 4) Considerando j = 0; 5) Calcula-se os valores de Vx e Vy utilizando as Equações (9) e (10) e vá para o passo 7;
=
=2
0
)(
W
vxsx vVV (9)
=
=2
0
)(
W
vysy vVV (10)
6) Calcula-se os valores de Vx e Vy utilizando-se as Equações (11) e (12)
−−−
++= 1
22'
WjV
WjVVV xsxsxx
(11)
−−−
++= 1
22'
WjV
WjVVV ysysyy
(12)
Onde Vxa e Vya são os valores de Vx e Vy antes do passo 6; 7) Calcula-se o valor de θ para as coordenadas (i, j) utilizando-se a Equação (13);
= −
x
y
V
Vji 1tan
2
1),(θ (13)
8) Incrementa-se j de um; 9) Se j < N vá para o passo 6. Caso contrário, vá para o passo 10; 10) Soma-se um ao valor de i e considera-se as variáveis Vx e Vy iguais a zero; 11) Se i < M vá para o passo 12. Caso contrário, o cálculo da orientação de campo está concluído; 12) Atualiza-se os valores de Vxs(j) e Vys(j) utilizando-se as Equações (14) e (15), para j variando de 0 a N – 1. Volta-se ao passo 4.
−−−
−−−
−
+−
++=
22
22
,12
,12
,2
,2
)(')(
jW
iGjW
iG
jW
iGjW
iGjVjV
yx
yxxsxs (14)
−−
−−−
−
+
++=
jW
iGjW
iG
jW
iGjW
iGjVjV
yx
yxysys
,12
,12
2
,2
,2
2)(')( (15)
onde Vxsa(j) e Vysa(j) são os valores de Vxs(j) e Vys(j) antes do passo 12. 3) Cálculo da Eficiência do Algoritmo
Para mostrar a eficiência do algoritmo proposto são deduzidas as expressões para o número de adições e multiplicações utilizadas nos algoritmos das Seções II-A1 e II-A2.
Para o algoritmo da Seção II-A1 que não utiliza a propriedade da comutação. O número de adições sem comutação (NSC) é determinado pela Equação (16).
posições de nº posiçãopor adições de nº ×=SCN (16)
Para cada coordenada (i, j), o número de elementos utilizados no somatório é igual a (W + 1)2, logo o número de
adições por posição é (W + 1)2 – 1 = W2 + 2W. Para uma imagem de M linhas e N colunas, o número de posições é igual a MN. O resultado da Equação (16) é mostrado na Equação (17).
MNWWNSC )2( 2 += (17)
O número de adições utilizando-se a propriedade da
comutação em um somatório bidimensional no algoritmo proposto (Seção II-A2) é obtido pela a Equação (18).
4321 SSSSNCC +++= (18)
onde S1 é no. de adições para calcular Vxs para todas as colunas da imagem; S2 é no. de adições para atualizar os valores de Vxs para as M – 1 linhas restantes da imagen; S3 é no. total de adições para todas as linhas da imagem e S4 é no. total de somas realizadas no passo 6 do algoritmo descrito na Seção II-A2.
O mesmo raciocínio feito para determinar a expressão do número de adições da Equação (16) é utilizado para determinar as expressões de S1, S2, S3 e S4 da Equação (18). Logo, o número de adições feitas pelo algoritmo que utiliza a propriedade da comutação é obtido pela Equação (19).
)2(2)(2
NMMNNMW
NCC −−++= (19)
O número de multiplicações é a(NSC + 1) ou a(NCC + 1),
onde a = 2 para o cálculo de Vy e a = 4 para o cálculo de Vx.
B. Binarização da Imagem
Uma imagem de impressão digital é constituída de dois tipos de linhas: as claras são os vales e as escuras são as saliências. A Fig. 3 mostra esses dois tipos em uma imagem de impressão digital.
Figura 3. Vale e saliência em uma impressão digital.
A binarização é realizada convoluindo a imagem com duas
máscaras, hb e ht. Para determinar os coeficientes dessas máscaras é necessário o cálculo da orientação de campo [1]. O algoritmo de orientação de campo proposto por Rao [1] e utilizado por Jain e outros [6] possui três passos. No primeiro
passo a imagem é dividida em blocos de tamanho W × W. No segundo passo calcula-se o gradiente de cada bloco da imagem. E finalmente no terceiro passo é calculada a orientação de campo de cada bloco utilizando-se as Equações (1) a (3). 1) Binarização da Imagem Utilizando Máscaras de Convolução Na binarização da imagem, Jain e outros [6] propuseram que a imagem de impressão digital fosse convoluída com duas máscaras hb e ht, definidas pelas Equações (20) a (22). A convolução dessa imagem com essas duas máscaras resulta em duas novas imagens. Se os níveis de cinza das coordenadas (i, j) nas imagens resultantes das convoluções forem maiores do que um limiar Tridge, então o pixel de coordenadas (i, j) recebe o valor igual a 1 (pixel de saliência), caso contrário ele recebe o valor igual a 0 (pixel de vale).
=
−
−=−
=−
−
resto o todopara0
)],(cot[ se2
1
)],(cos[2
)],(cot[ se
2
1
),;,(2
2
yxvue
yx
H
yxvu
e
vuyxh u
u
t
απδ
α
α
πδ
δ
δ
(20)
=
+
+=−
=−
−
resto o todopara0
)],(cot[ se2
1
)],(cos[2
)],(cot[ se
2
1
),;,(2
2
yxvue
yx
H
yxvu
e
vuyxh u
u
b
απδ
α
α
πδ
δ
δ
(21)
−∈2
)],([,
2
)],([ yxLsenyxLsenv
αα (22)
onde α(x, y) = θ(x, y) – 90º, H e L são os números de linhas e de colunas das máscaras de convolução, δ é uma constante muito grande e θ(x, y) é a orientação de campo para o pixel de coordenadas (x, y).
O tamanho das máscaras de convolução sugeridas por Jain e outros [6] e utilizado neste artigo é de 11 × 7.
2) Algoritmo de Geração das Máscaras de Convolução
Utilizando as Equações (20) a (22), os passos para gerar as máscaras de convolução utilizados neste artigo são: 1) Cria-se duas máscaras de tamanho H × L, onde todos os elementos são iguais a zero; 2) Determina-se os limites do intervalo de v pela Equação (22); 3) Calcula-se os valores de u (número de linhas da máscara) para os valores inteiros de v (número de colunas da máscara) que pertencem ao intervalo determinado no passo 2; 4) Para cada elemento de coordenadas (u, v) das máscaras hb e ht, onde o valor de u está no intervalo [–(H – 1)/2, (H – 1)/2]
são calculados os respectivos coeficientes dessas máscaras utilizando-se as Equações (20) e (21). 3) Aplicação do Algoritmo Digital Differential Analyzer na Geração das Máscaras de Convolução
Em dispositivos digitais como por exemplo monitores, ao se desenhar uma reta esta pode apresentar falhas dependendo do ângulo que ela forma com o eixo x. Um dos métodos de eliminar essas falhas é o algoritmo Digital Differential Analyzer (DDA) [9].
Os elementos diferentes de zero nas máscaras de convolução hb e ht, apresentam o mesmo comportamento que os pixels de uma reta desenhada em um monitor. Logo, neste artigo aplica-se o algoritmo DDA na geração dessas máscaras para melhorar o posicionamento dos elementos diferentes de zero.
Da mesma forma que no algoritmo DDA, para um pixel de coordenadas (x, y) se |α(x, y)| > 45º, ou seja, |cot[α(x, y)]| ≤ 1, utiliza-se as Equações (20) e (21) para gerar as máscaras de convolução hb e ht. Caso contrário, as Equações (20) a (22) são rearranjadas de forma a obter as Equações de (23) a (25).
A Equação (25) determina o intervalo de u e ela é obtida substituindo-se a Equação (22) na expressão u = v cot[α(x, y)].
=
+
+=−
=−
−
resto o todopara0
)],(tan[ se2
1
)],(cos[2
)],(tan[ se
2
1
),;,(2
2
yxuve
yx
H
yxuv
e
vuyxh u
u
t
απδ
α
α
πδ
δ
δ
(23)
=
−
−=−
=−
−
resto o todopara0
)],(tan[ se2
1
)],(cos[2
)],(tan[ se
2
1
),;,(2
2
yxuve
yx
H
yxuv
e
vuyxh u
u
b
απδ
α
α
πδ
δ
δ
(24)
−∈2
)],(cos[,
2
)],(cos[ yxLyxLv
αα (25)
III. RESULTADOS OBTIDOS
Os algoritmos foram implementados em Matlab 6.1 e executados utilizando-se um computador com um processador AMD Athlon 1.7 GHz.
A. Desempenhos Computacionais dos Algoritmos do Cálculo da Orientação de Campo
A Tabela I mostra o número de operações dos algoritmos de Rao [1] (sem comutação – NSC) e proposto (com comutação – NCC) calculados pelas Equações (17) e (19). Nestes cálculos os valores utilizados foram: números de linhas M e de colunas N da imagem iguais e tamanho da máscara W = 16.
TABELA I
NÚMERO DE ADIÇÕES COM E SEM UTILIZAR A PROPRIEDADE DA COMUTAÇÃO No de linhas da imagen
(M)
No de adições sem comutação
(NSC)
No de adições com comutação
(NCC) NSC/NCC
32 294.912 4.480 65,83 64 1.114.112 17.152 64,95
128 4.718.592 67.072 70,35 256 18.874.368 265.216 71,17 512 75.497.472 1.054.720 71,58 1024 301.989.888 4.206.592 71,78
Pode-se observar na Tabela I que mesmo aumentando o
tamanho da imagem o número de adições em Vx ou Vy realizadas pelo algoritmo proposto (Seção II-A2) é bem menor do que o número de adições do algoritmo da Seção II-A1. A diminuição do tempo de processamento do algoritmo proposto é porque o número de adições realizadas por esse algoritmo é aproximadamente 72 vezes menor do que o número de adições do algoritmo da Seção II-A1. Para uma imagem de 1024 × 1024 pixels, ocorre uma redução no número de adições de 297.783.296 em relação ao algoritmo da Seção II-A1. Essa redução é muito expressiva e consequentemente o tempo de processamento do algoritmo do cálculo da orientação de campo diminui bastante.
B. Tempos Obtidos com a Execução dos Algoritmos
A Tabela II mostra o tempo de processamento dos algoritmos das Seções II-A1 (tempo sem comutação – tSC) e II-A2 (tempo com comutação – tCC).
TABELA II NÚMERO DE ADIÇÕES COM E SEM UTILIZAR A PROPRIEDADE DA COMUTAÇÃO
Tamanho da imagem (M)
Tempo sem comutação tSC
(seg.)
Tempo com comutação tCC
(seg.) tSC/tCC
32 × 32 0,3910 0,0780 5,01 64 × 64 1,4380 0,2340 6,15
128 × 128 5,6550 0,9060 6,24 256 × 256 22,5310 3,6710 6,14 512 × 512 90,4100 10,7340 8,42
1024 × 1024 367,4220 35,9220 10,23
Pode-se verificar na Tabela II que quanto maior o tamanho
da imagem, maior o tempo de processamento e mais adições e multiplicações são realizadas no cálculo da orientação de campo. O aumento do número de operações com o tamanho da imagem mostrado na Tabela I é comprovado com o aumento do tempo de processamento ilustrado na Tabela II.
O gráfico da Fig. 4 ilustra os resultados obtidos na Tabela II.
Figura 4. Gráfico dos tempos de processamento do cálculo da orientação de
campo para imagens de tamanho N × N pixels.
C. Imagens Resultantes da Binarização
As Fig. 5 e Fig. 6 mostram os resultados obtidos dos algoritmos de Jain e outros [6] (Seções II-B1) e proposto (Seção II-B2) para duas impressões digitais diferentes de tamanho 256 × 256 pixels. A dimensão das máscaras de convolução utilizadas nesses algoritmos é 11 × 7.
Pode-se observar na Fig. 5 que os resultados obtidos ao utilizar o algoritmo DDA na geração das máscaras de convolução foram bem melhores do que os resultados obtidos quando não se utilizou esse algoritmo. Pode-se verificar nas Fig. 5(b) e Fig. 5(e) que para algumas linhas das imagens de impressão digital alguns pixels que deveriam ser pixels de vale resultaram em pixels de saliência. Isso ocorreu nessas figuras porque sem o uso do algoritmo DDA alguns coeficientes não nulos das máscaras de convolução são iguais a zero, com um valor de nível de cinza maior do que o limiar Tridge, resultando em saliências bastante borradas. O resultado obtido da binarização da imagem de impressão digital é melhor quando se utiliza o algoritmo proposto, como ilustrado nas Fig. 5(c) e Fig. 5(f).
As Fig. 6(a) e Fig. 6(c) mostram os resultados da binarização de uma região de uma imagem de impressão digital. Foi considerada somente essa região para melhor visualização dos resultados obtidos. E as Fig. 6(b) e Fig. 6(d) são os resultados do algoritmo de afinamento [9] das saliências das Fig. 6(a) e Fig. 6(c), respectivamente.
Como a Fig. 6(a) não apresenta pixels classificados erroneamente como pixels de saliência o processo de afinamento dessa imagem não detecta minúcias espúrias, como mostra a Fig. 6(b). O algoritmo de detecção de minúcias utilizado foi o mesmo que o proposto por Jain e outros [6]. A Fig. 6(c) é o resultado do processo de binarização da mesma imagem e mostra algumas linhas que não deveriam estar conectadas e a Fig. 6(d) é o resultado do afinamento da Fig. 6(c). A Fig. 6(d) também mostra destacado por pixels na cor vermelha as minúcias espúrias que foram geradas por causa do erro de binarização.
tSC tCC
Figura 5 (a) e (d). Imagens de duas impressões digitais; (b) e (c) Resultados das binarizações das Figuras 5(a) obtidas sem e com o uso do algoritmo DDA, respectivamente; e (e) e (f) Resultados das binarizações da Figura 5(d) obtidas
sem e com o uso do algoritmo DDA.
Figura 6 (a) e (c). Resultados da binarização com e sem borramento, respectivamente. (b) e (d) Resultados do algoritmo de afinamento das Figuras
6(a) e 6(c), respectivamente.
IV. CONCLUSÃO
A utilização do algoritmo proposto para o cálculo da orientação de campo em reconhecimento de impressão digital e em processamento de texturas resulta em benefícios bastante consideráveis, pois dependendo da aplicação o banco de imagens e as resoluções das imagens podem ser elevados.
O uso do algoritmo DDA na geração das máscaras de convolução utilizadas na binarização de uma impressão digital resulta em imagens de melhor qualidade do que as máscaras que não foram geradas a partir desse algoritmo.
O melhoramento na binarização das imagens é importante devido aos seguintes problemas: má qualidade das imagens proveniente de aparelhos que geram imagens de baixa resolução e baixo contraste; contato não uniforme com o sensor de aquisição da imagem, gerando imagens com regiões mais claras e outras mais escuras e doenças de pele e cicatrizes que danificam as saliências.
O aumento do número de pixels que são classificados erroneamente como pixels de vale no processo de binarização da imagem de impressão digital dificulta ou impossibilita o processo de reconhecimento dessa imagem, porque ocorre o aparecimento de muitas minúcias espúrias. Essas minúcias são geradas devido a conexão de duas ou mais saliências da impressão digital depois que a imagem foi binarizada.
REFERÊNCIAS
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Luciano Xavier Medeiros recebeu o título de bacharel e mestre em engenharia elétrica pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Brasil, em 2003 e 2006, respectivamente. Atualmente é aluno do doutorado da Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Brasil, e professor do curso de engenharia elétrica da Universidade Federal do Triângulo Mineiro (UFTM), Brasil. Suas áreas de interesse são em propagação
de ondas, sistemas de comunicações, circuitos eletrônicos, processamento digital de sinais e imagens.
Edna Lúcia Flôres recebeu os títulos de bacharel e mestre em engenharia elétrica pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Brasil, em 1982 e 1988, respectivamente, e o título de doutora em engenharia elétrica pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Brasil, em 1997. Atualmente é professora de engenharia elétrica na Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Brasil. Suas
áreas de interesse são em processamento digital de sinais e processamento digital de imagens.
Gilberto Arantes Carrijo é graduado em engenharia elétrica pela Universidade de Brasília (UnB), Brasil. Recebeu o título de mestre e doutor pelo Instituto Tecnológico da Aeronáutica (ITA), Brasil, em 1976 e 1983, respectivamente. Pós-doutorado pela University of Western Australia em 1990. Atualmente é professor de engenharia elétrica na Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Brasil. Suas
áreas de pesquisas são em processamento digital de sinais, processamento digital de imagens, propagação e comunicações móveis.
Antonio Cláudio Paschoarelli Veiga nasceu em Salvador, Bahia, Brasil. Recebeu título de bacharel em engenharia elétrica pela Faculdade de Engenharia de São Paulo, Brasil, em 1986, o título de mestre em engenharia elétrica pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Brasil, em 1988 e o título de doutor em 2002 pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), Brasil. Atualmente é professor de
engenharia elétrica da Universidade Federal de Uberlândia (UFU), Brasil. Suas áreas de interesse são em processamento digital de sinais, processamento digital de imagens e comunicações digitais.
