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III

IV ECOSAT

AcronimosAFSPC Air Force Space CommandAMSAT The Radio Amateur Satellite CorporationAOS Acquisition of sightCOFETEL Comision Federal de Telecomunicaciones, MexicoEEI Estacion Espacial InternacionalGPS Global Positioning System

Sistema de Posicionamiento GlobalGSFC Goddard Space Flight Center, NASAHEO Highly elliptical orbitIGS International GNSS Service, antes International GPS ServiceITU International Telecommunications Union, UN

Union Internacional de Telecomunicaciones, ONUIUS Inertial Upper StageLEO Low Earth OrbitLOS Loss of SightLOX Liquid oxygenMEO Medium Earth OrbitNASA National Aeronautics and Space AdministrationNOAA National Ocean and Air Administration, EUANORAD North American Aerospace Defense CommandOIG Orbital Information Group, GSFC,NASATLE Two line elements

V

Notaciont, T, T0 una epoca

r vector posicion

r norma de un vector posicion

v vector velocidad

v norma de un vector velocidad

h vector de momento angular

h norma de un vector de momento angular

n vector nodal de una orbita

e vector excentricidad de una orbita

rp vector en la direccion al perigeo

ra vector en la direccion del apogeo

vp vector velocidad en el perigeo

va vector velocidad en el apogeo

η movimiento medio de un satelite

a semieje mayor de una orbita

b semieje menor de una orbita

c distancia focal en una conica

e excentricidad orbital

p semilado recto de una orbita

φ angulo de vuelo

P, P′, P′′, P′′′ puntos en una orbita o en el espacio 3D

ν anomalıa verdadera

ν0 anomalıa verdadera en una epoca

E energıa mecanica total, tambien anomalıa excentrica

VI ECOSAT

rp, ra distancias al perigeo y al apogeo

vp, va velocidades lineales en el perigeo y el apogeo

τ tiempo de paso por el perigeo

G constante de gravitacion universal

µ constante geogravitacional

M, m masa principal y masa secundaria

P, S planeta y satelite

M anomalıa media

M⊕ masa de la Tierra

M0 anomalıa media en una epoca

χ anomalıa media en el perigeo

Ω ascension recta del nodo ascendente

ω argumento del perigeo

i inclinacion orbital

ω longitud del perigeo

L longitud verdadera, tambien coordenada equinoccial modificada

u argumento de latitud

l longitud media

Tabla de Contenido

Acr onimos IV

Notaci on V

1. Orbitas keplerianas y orbitas osculantes 11.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Puntos importantes en una orbita kepleriana, en la superficie de la Tie-

rra y en el espacio 3D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4. Algunos parametros orbitales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5. Elementos keplerianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.1. Definicion de un conjunto de elementos keplerianos. . . . . . . 121.5.2. Valores numericos de los elementos keplerianos. . . . . . . . . 151.5.3. Otros parametros orbitales angulares. . . . . . . . . . . . . . . 181.5.4. Otros conjuntos de elementos keplerianos. . . . . . . . . . . . 181.5.5. Otra informacion distribuida en los TLE . . . . . . . . . . . . . 19

1.6. Coordenadas equinocciales modificadas. . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7. Trabajo propuesto utilizando la teorıa desarrollada, las referencias y la

bibliografıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8. Trabajo propuesto utilizando la informacion de sitios de red en Internet. 21

2. Tipos de orbitas 232.1. Clasificacion de las orbitas por diversos criterios. . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.1. Por la consideracion de los efectos del medio ambiente espacialsobre el satelite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.1.2. Por el sentido de avance del satelite en la orbita. . . . . . . . . 232.1.3. Por su forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.1.4. Por la altura sobre el nivel del mar. . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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VIII ECOSAT

2.1.5. Por sus caracterısticas espaciales. . . . . . . . . . . . . . . . . 262.1.6. Por el valor de la inclinacion orbital. . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.7. Orbitas especializadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.8. Constelaciones de satelites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. Trabajo propuesto utilizando la informacion de sitios de red en Internet. 32

Soluci on a los ejercicios 35Solucion a los ejercicios del capıtulo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Trabajo propuesto utilizando la teorıa desarrollada, las referencias y labibliografıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Trabajo propuesto utilizando la informacion de sitios de red en Internet. . 39Solucion a los ejercicios del capıtulo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Trabajo propuesto utilizando la teorıa desarrollada, las referencias y labibliografıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Sitios de red en Internet 45

Constantes y rangos de valores num ericos 47

Bibliografıa 49

Indice analıtico 49

Capıtulo 1

Orbitas keplerianas y orbitasosculantes

1.1. Introducci on.

Entre las ciencias que estudian el movimiento de los satelites artificiales y de los cuer-pos celestes que orbitan estan, por ejemplo

La Mecanica Celeste es la ciencia que estudia los movimientos de cuerpos ce-lestes bajo la influencia de campos gravitacionales,

La Astronautica es la aplicacion practica de la Mecanica Celeste, de la Astro-balıstica, de la Teorıa de Propulsion y de muchos campos mas relacionados alproblema de planeacion y direccionamiento de trayectorias de vehıculos espacia-les

La Geodesia, en terminos simples, es la ciencia relacionada con la determinaciondel tamano y forma de la Tierra, y de su campo de gravedad,

La Geodesia Celeste es la rama de la Geodesia que utiliza observaciones decuerpos celestes cercanos, incluyendo a los satelites artificiales de la Tierra, paradeterminar el tamano y forma de la Tierra, y su campo de gravedad,

La Geodesia Fısica es la ciencia que utiliza mediciones y caracterısticas del cam-po de gravedad de la Tierra y las teorıas que las rigen para determinar el tamanoy forma de la Tierra.

1

2 ECOSAT

Todos los modelos fısicos y matematicos de que hablamos en este pequeno libro con-sideran el movimiento de un satelite artificial de la Tierra alrededor de ella como unproblema de dos cuerpos, en la terminologıa de la Fısica. En este problema de doscuerpos la masa principal es la Tierra y la masa secundaria es un satelite artificial deella. Se pueden considerar o no perturbaciones en este problema de dos cuerpos, estoes fuerzas que no son la fuerza gravitacional con que ambas masas son atraıdas. Losmodelos que seran descritos utilizan las leyes de Kepler o las leyes de Newton, o elprincipio de trabajo virtual de la Mecanica Analıtica.

Cuando se modela a la Tierra como una masa puntual que genera un campo centralgravitacional, si no se consideran las acciones de las perturbaciones del medio am-biente espacial sobre un satelite artificial, la trayectoria calculada que este sigue esuna orbita que es denominada orbita kepleriana. Cuando sı son consideradas las ac-ciones de las perturbaciones del medio ambiente espacial sobre el satelite artificial, latrayectoria calculada que este sigue es una orbita denominada orbita osculante.

Si no se modela a la Tierra como una masa puntual sino como un cuerpo extendido condistribucion no uniforme de masa y por lo tanto con un campo gravitacional no central,la trayectoria que un satelite artificial sigue tambien es una orbita osculante.

Dados los vectores posicion r y velocidad v de un satelite artificial de la Tierra en unpunto P de su orbita osculante, existe una orbita kepleriana en la cual esta el punto Py tal que los vectores posicion y velocidad de la orbita kepleriana en ese punto son losvectores posicion r y velocidad v del satelite artificial en el punto P de la orbita oscu-lante. Se puede decir que esta orbita kepleriana es una orbita kepleriana instantanea.Ası puede pensarse de una orbita osculante como una trayectoria compuesta de por-ciones infinitesimales de orbitas keplerianas instantaneas.

Las perturbaciones del medio ambiente espacial que actuan sobre un satelite artificialincluyen por ejemplo la influencia del campo gravitacional de un tercer cuerpo celeste yla fuerza de arrastre atmosferico. La presion por radiacion solar tambien es consideradacomo una perturbacion del medio ambiente espacial.

1.2. Leyes de Kepler

Primera ley de Kepler : si dos objetos en el espacio interactuan gravitacionalmente,cada uno de ellos describira una orbita que es una seccion conica con el centro demasa de los dos objetos en uno de los focos de la seccion conica. Si los cuerpos estan

Leyes de Kepler 3

permanentemente asociados, sus orbitas seran elipses, si no estan permanentementeasociados sus orbitas seran hiperbolas.

Segunda ley de Kepler : si dos objetos en el espacio interactuan gravitacionalmentela lınea que los une barre areas iguales de la seccion conica en intervalos de tiempoiguales.

Tercera ley de Kepler : si dos objetos en el espacio revolucionan alrededor uno del otrodebido a su atraccion gravitacional mutua, la suma de sus masas multiplicada por elcuadrado del perıodo de revolucion mutua es proporcional al cubo de la distancia mediaentre ellos.

La constante de proporcionalidad utilizada aquı en la tercera ley de Kepler es 4π2

G , conG la constante de gravitacional universal.

Con esta eleccion de valor numerico para la constante de proporcionalidad en la terceraley de Kepler, el concepto de movimiento medio η en el sentido de frecuencia angular(y no de una frecuencia) satisface la ecuacion µ = G(M + m) = η2a3 con M y m lasmasas de los objetos que interactuan gravitacionalmente, principal y secundaria. Estaecuacion es entonces equivalente a la tercera ley de Kepler y es una de las formasmas usuales en que nos encontramos esta ley. El uso de una frecuencia angular y nouna frecuencia es congruente con las ecuaciones usuales de la Mecanica Celeste. Eluso del movimiento medio como una frecuencia y no como una frecuencia angular escongruente con la distribucion de los elementos keplerianos en WWW.

De los dos objetos que interactuan gravitacionalmente, el mas masivo se llama masaprimaria o masa principal, el menos masivo se llama masa secundaria. El baricentroes el centro de masa del sistema mecanico de los dos cuerpos.

Se usa el termino satelite artificial para la masa secundaria cuando esta asociadapermanentemente con la masa principal.

Se puede utilizar el termino sonda para una masa secundaria no permanentementeasociada con la masa primaria. Una sonda sigue una trayectoria abierta, usualmentehiperbolica.

Se dice que una orbita es abierta si es hiperbolica o parabolica. Se dice que una orbitaes cerrada si es circular o elıptica.

4 ECOSAT

Johannes Kepler presento sus leyes en dos trabajos, uno en 1609 y el otro en 1619.La segunda ley de Kepler es equivalente a conservacion del momento angular de laorbita.

El area A barrida por un satelite artificial en una orbita elıptica en un intervalo δtse puede expresar de la forma siguiente. Sean vr y vθ las componentes del vectorvelocidad v del satelite artificial en el sistema polar con ejes determinados por r y θ ,h el vector de momento angular del satelite artificial de norma h. Se tiene que

h = r2θ = rvθ ⇒ A =h2

δt =12

r vθ δt

Se tiene por ejemplo que πab= h/2P para P el perıodo de la orbita, y h la norma delvector de momento angular del satelite artificial.

El valor numerico de la constante gravitacional universal G esta pobremente determi-nado. Lo usual al efectuar calculos numericos es establecer relaciones que involucrena las constantes gravitacionales de los objetos o cuerpos celestes definidas por el pro-ducto GM , con G la constante gravitacional universal y M la masa del objeto. Escostumbre denotar por la letra griega µ a las constantes gravitacionales de objetos.Las constantes gravitacionales de los cuerpos pueden ser medidas con considerableprecision por metodos observacionales.

1.3. Puntos importantes en una orbita kepleriana, en lasuperficie de la Tierra y en el espacio 3D.

Punto subsatelital y trayectoria subsatelital, latitud y lon gitud subsatelital Dadauna posicion de un satelite artificial en su orbita en una epoca, se acostumbra llamarpunto subsatelital al punto sobre la superficie de la Tierra que resulta de intersecar lavertical local determinada por la posicion del satelite con la superficie de la Tierra.

Todo punto subsatelital en la superficie de la Tierra puede entonces ser descrito poruna latitud y una longitud (geocentricas o geodesicas), a las cuales se llamara latitudy longitud subsatelitales.

Al conjunto de puntos subsatelitales en un intervalo de tiempo dado se llamara tra-yectoria subsatelital. En ocasiones se refiere al cırculo maximo en una esfera unitariadeterminado por la interseccion de la superficie de la Tierra con el plano orbital como latrayectoria subsatelital.

Algunos parametros orbitales 5

Perigeo y apogeo Dado un punto P en la orbita osculante seguida por un sateliteartificial, se tiene que al punto P ′ mas cercano a la Tierra en la orbita keplerianainstantanea determinada por P se le acostumbra llamar perigeo. Cuando la masaprincipal en el problema de dos cuerpos no es la Tierra, el termino en uso es periapsis.Al punto P ′′ de la orbita kepleriana instantanea determinada por el punto P masalejado de la superficie de la Tierra se le denomina apogeo, el termino general esapoapsis. Para una orbita osculante circular o casi circular, ni el perigeo ni el apogeoestan bien definidos.

Lınea de los nodos, nodo ascendente y nodo descendente Dado el plano de unaorbita osculante no coincidente con el plano geoecuatorial, se tiene que este intersecaal plano geoecuatorial en una lınea, y la orbita interseca a esta lınea en dos puntos:el nodo ascendente y el nodo descendente. La lınea en cuestion se conoce como lalınea de los nodos. El nodo ascendente es el punto en la orbita osculante cuando elsatelite cruza el plano geoecuatorial de sur a norte al desplazarse conforme transcurreel tiempo, con sur y norte referidos a las direcciones determinadas por los dos polosgeograficos de la Tierra. El nodo descendente es el otro punto de cruce de la orbi-ta osculante con el plano geoecuatorial, y consecuentemente, el satelite pasa por elnodo descendente en la direccion norte a sur. Cuando el plano de una orbita coincidecon el plano geoecuatorial no estan bien definidos ni la lınea de los nodos, ni el nodoascendente, ni el nodo descendente.

Se acostumbra enumerar las revoluciones de un satelite alrededor de la Tierra por elpaso consecutivo de este por el nodo ascendente de la orbita osculante.

1.4. Algunos par ametros orbitales.

Semieje mayor de una orbita kepleriana El semieje mayor de una orbita keplerianaes el semieje mayor de la seccion conica que describe la forma y tamano de la orbitakepleriana. Se acostumbra denotar al semieje mayor por a. El semieje mayor es unnumero real positivo para orbitas cerradas (circulares o elıpticas). Una unidad utilizadapara el semieje mayor es el kilometro.

Semieje menor de una orbita kepleriana El semieje menor de una orbita keplerianaes el semieje menor de la conica que describe la forma y tamano de la orbita kepleria-na. Se acostumbra denotar al semieje menor por b. El semieje menor es un numeroreal positivo para orbitas cerradas. Una unidad utilizada para el semieje menor es elkilometro.

6 ECOSAT

Excentricidad de una orbita kepleriana La excentricidad de una orbita kepleriana oexcentricidad orbital es la excentricidad de la seccion conica que describe la forma ytamano de una orbita kepleriana. Se acostumbra denotar a la excentricidad orbital pore. Su rango de valores es el intervalo [0,1]. Es una cantidad adimensional.

Distancia focal de una orbita kepleriana cerrada La distancia focal de una orbitakepleriana cerrada es la distancia que hay entre los focos de la orbita, y es cero en elcaso de orbitas circulares. Se acostumbra denotar por c a la mitad de la distancia focal.Es un numero real positivo para orbitas cerradas. Una unidad utilizada es el kilometro.

Semilado recto de una orbita kepleriana El semilado recto de una orbita keplerianaes el semilado recto de la seccion conica que describe la forma y tamano de la orbitakepleriana. Se acostumbra denotar al semilado recto de la orbita kepleriana por p. Elsemilado recto es un numero real positivo para orbitas cerradas. Una unidad utilizadapara el semilado recto es el kilometro.

Movimiento medio de un sat elite artificial en una orbita kepleriana El movimientomedio de un satelite en una orbita kepleriana queda determinado por la tercera ley deKepler como sigue. La tercera ley de Kepler determina el perıodo de la orbita keplerianay los valores de la frecuencia por dıa solar medio calculada a partir del perıodo de laorbita se distribuyen en Internet con el nombre de movimiento medio, que entoncespuede convertirse a una frecuencia angular si es necesario o de utilidad. Se acostumbrallamar movimiento medio a la cantidad obtenida, ya sea una frecuencia o una frecuenciaangular, lo que se obtiene por medio del uso de instrumentacion es una frecuencia. Seacostumbra denotar al movimiento medio en una orbita kepleriana con la letra griegaη .

El movimiento medio es o no una frecuencia angular dependiendo del valor de la cons-tante de proporcionalidad utilizada en la tercera ley de Kepler. Por ejemplo, si la cons-

tante utilizada es 4π2

G el movimiento medio resultante es una frecuencia angular, pero

si la constante es 1G el movimiento medio es una frecuencia. En las ecuaciones de

este texto el movimiento medio es una frecuencia angular, de acuerdo al uso en laAstronautica y en la Mecanica Celeste del termino movimiento medio, sin embargo enla distribucion de elementos keplerianos el movimiento medio es una frecuencia, porejemplo, en los TLE (por sus siglas en ingles, Two Line Elements).

Movimiento medio de un sat elite artificial en una orbita osculante El movimientomedio de un satelite en una orbita osculante como frecuencia es el numero de revolu-

Algunos parametros orbitales 7

ciones del satelite artificial alrededor de la Tierra, por dıa solar medio, por ejemplo, talcomo es distribuido en los TLE (Two Line Elements) en la red WWW. Se acostumbradenotar al movimiento medio en una orbita osculante con la letra griega η . El mo-vimiento medio es un numero real positivo. Las unidades utilizadas en este texto sonrevoluciones por dıa (datos observacionales) y radianes por segundo (para calculosnumericos).

Dada una epoca T , puede calcularse el movimiento medio del satelite en esa epoca,como el movimiento medio de la orbita kepleriana instantanea determinada por la po-sicion y velocidad del satelite en la epoca T . Ya que el movimiento medio del sateliteen una epoca depende de ella tiene sentido hablar de su variacion con respecto a elladη/dT que puede ser por ejemplo la cantidad obtenida observacional, experimental oanalıticamente, en primera instancia, y para calcular el movimiento medio tendrıa quellevarse a cabo una integracion. La integral de la derivada temporal dη/dT del movi-miento medio del satelite en la epoca calculada sobre un intervalo de tiempo igual a 1dıa solar medio es igual a la diferencia del movimiento medio del satelite en la orbitaosculante (tal cual descrito en el parrafo anterior) evaluado en los extremos del intervalode integracion. Estos dos valores numericos para el movimiento medio de los cuales secalcula la diferencia son el antiguo y el nuevo movimiento medio de la orbita osculante.La derivada dη/dT con respecto al tiempo (epoca) del movimiento medio esta da-da por una ecuacion planetaria de Lagrange (de seis de ellas correspondientes a seisgrados de libertad).

Perıodo anomalıstico y perıodo nodal El perıodo anomalıstico de una orbita ke-pleriana es el intervalo de tiempo que tarda un satelite artificial en completar una re-volucion alrededor de la Tierra, con posiciones inicial y final en el perigeo de la orbitakepleriana. El perıodo nodal de una orbita kepleriana es el tiempo que tarda un sateli-te artificial en completar una revolucion alrededor de la Tierra, de nodo ascendente anodo ascendente de la orbita kepleriana. Es comun utilizar la letra P para denotar aestos dos perıodos. Es un numero real positivo. Una de las unidades mas utilizada esel minuto (para orbitas bajas).

El perıodo anomalıstico de una orbita osculante en la epoca T es el perıodo anomalısti-co de la orbita kepleriana instantanea correspondiente a la epoca T. El perıodo nodalde una orbita osculante en la epoca T es el perıodo nodal de la orbita keplerianainstantanea correspondiente a la epoca T.

Dada la historia en el tiempo del perıodo, anomalıstico o nodal, puede calcularse la de-rivada con respecto al tiempo. El perıodo, anomalıstico o nodal, en una orbita osculante,

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es la integral en un cierto intervalo de tiempo del perıodo kepleriano instantaneo. El in-tervalo de integracion queda determinado por dos pasos consecutivos del satelite por elperigeo o por el nodo ascendente (no necesariamente el perigeo o el nodo ascendenteestaran en el mismo punto en el espacio 3D). La derivada con respecto al tiempo delperıodo, anomalıstico o nodal, esta dada por una ecuacion planetaria de Lagrange.

El tiempo de paso del sat elite por el perigeo Dada la epoca T y la ubicacion Pdel satelite artificial en una orbita osculante, el tiempo de paso del satelite por el perigeoes T − t con t el tiempo necesario para que el satelite llegue a la ubicacion P enla epoca T desde el perigeo, siguiendo la orbita kepleriana instantanea determinadapor la ubicacion P del satelite. Note que el satelite verdadero no tiene por que haberpasado por el perigeo de la orbita kepleriana instantanea de la epoca T , aun ası, seacostumbra llamar a T − t el tiempo de paso por el perigeo. Se acostumbra denotar altiempo de paso por el perigeo por la letra griega τ , esto es τ = T − t . Ni t ni τ secalculan modulo el perıodo del satelite, ya sea este nodal o anomalıstico.

El tiempo de paso por el perigeo en una orbita osculante, es la epoca en la que elsatelite esta en el perigeo, de modo que hay un tiempo de paso por el perigeo en cadarevolucion del satelite (siempre que el perigeo sea un punto bien definido en el espacio3D, lo cual no ocurre usualmente en las orbitas casi circulares). Este tiempo de paso secalcula integrando la derivada temporal dτ/ds del tiempo de paso por el perigeo en laepoca. La derivada temporal esta dada por una ecuacion planetaria de Lagrange.

El tiempo de paso por el nodo ascendente El tiempo de paso por el nodo as-cendente puede definirse de modo analogo al que se define el tiempo de paso por elperigeo, tanto para orbitas keplerianas como para orbitas osculantes.

Anomalıa verdadera de un sat elite artificial en un punto de la orbita osculanteLa anomalıa verdadera de un satelite artificial en un punto P de la orbita osculantees el angulo polar usual de las coordenadas polares, cuando los ejes x e y sonlos del sistema coordenado cartesiano perifocal con origen en el foco de la seccionconica que describe a la orbita kepleriana instantanea determinada por el punto P. Seacostumbra denotar a la anomalıa verdadera por la letra griega ν . Su rango de valoreses el intervalo [0,2π) . Las unidades utilizadas son grados o radianes.

Anomalıa media de un sat elite artificial en un punto de una orbita osculante Laanomalıa media de un satelite artificial en una posicion P de la orbita osculante es elangulo resultante de multiplicar el movimiento medio del satelite en la epoca T en que

Algunos parametros orbitales 9

el satelite se halla en la posicion P por el tiempo de traslacion del satelite transcurridodesde el supuesto paso de este por el perigeo de la orbita kepleriana instantanea hastallegar al punto P , este angulo es medido en el centro de la seccion conica que describea la orbita kepleriana instantanea determinada por el punto P (el movimiento mediocomo una frecuencia angular). Dicho brevemente, la anomalıa media es el productodel movimiento medio η por T − τ . La anomalıa media es un valor numerico en elintervalo [0,2π) . Se acostumbra denotar a la anomalıa media por M . Esta definiciones consistente con la ecuacion de Kepler que veremos mas adelante. Un concepto mascomplejo es el de la anomalıa media en el perigeo denotada usualmente por la letragriega χ . Las unidades utilizadas son grados o radianes.

Anomalıa media del sat elite en el perigeo para una orbita osculante La anomalıamedia del satelite en el perigeo para una orbita osculante es una anomalıa media,consecuentemente el valor numerico de la anomalıa media del satelite en el perigeo enla epoca T es el producto del movimiento medio del satelite η en la epoca T por eltiempo de paso τ del satelite por el perigeo en la epoca T . El signo es negativo, estoes, χ = −η τ . Note que esta anomalıa no tiene por que ser ni cero ni multiplo de 2π .Se acostumbra denotar a esta anomalıa por la letra griega χ .

Anomalıa media del sat elite en un punto (no el perigeo) para una orbita osculanteAdicionalmente a la anomalıa media del satelite y la anomalıa media del satelite enel perigeo, se considera a veces una anomalıa media mas ( M0 ) definida de modoanalogo al que se define la anomalıa media en el perigeo, cuando se considera enlugar del perigeo y el tiempo de paso por el perigeo, un punto P0 de la orbita osculantey la epoca de paso T0 por este punto, que es un concepto un poco mas complejo. Dehecho lo que se define y calcula es la diferencia de anomalıas medias con respectoal perigeo y el punto P0 . Este punto puede ser por ejemplo el nodo ascendente de laorbita y se hablarıa de la anomalıa media en el nodo ascendente. El punto de partidaes la epoca T0 y la ecuacion es M0 = M −η(T −T0) con M la anomalıa mediadel satelite en la epoca T. Efectuando los calculos, se tiene que M0 = −η(τ−T0)aunque en esta ultima forma no es muy clara la dependencia de la epoca T por estarincluida implıcitamente en τ (consultar [2]), pudiendose conservar la primera forma dela ecuacion.

Si la epoca T0 es una epoca en que se sabe que el satelite artificial esta en el nodoascendente de la orbita kepleriana instantanea de la epoca T : la anomalıa media M0

describe entonces la anomalıa media del nodo ascendente. Otra epoca de interes esla epoca de insercion del satelite en la orbita designada para su operacion, note que

10 ECOSAT

los vectores posicion y velocidad iniciales del satelite que determinan la ’primera’ orbitakepleriana instantanea no necesariamente corresponden a los vectores posicion y ve-locidad en el perigeo o en el nodo ascendente de la orbita si el satelite artificial no esinsertado en el perigeo o el nodo ascendente.

Anomalıa exc entrica de un sat elite artificial en una orbita osculante La anomalıaexcentrica de un satelite artificial en un punto P de una orbita osculante es un anguloutil en calculos numericos. Se define primero el cırculo excentrico como el cırculo concentro en el centro de la seccion conica que describe a la orbita kepleriana instantaneadeterminada por P y radio igual al semieje mayor a de la orbita kepleriana instantanea.El cırculo excentrico esta en el plano determinado por la orbita kepleriana. Asocie pun-tos de la orbita kepleriana con puntos del cırculo excentrico del siguiente modo: dado elpunto P en la orbita kepleriana, considere la direccion normal a la direccion al perigeoque pasa por P . Esta direccion normal determina dos puntos P ′′ y P ′′′ en el cırculoexcentrico. Escojase el punto P ′ como aquel punto de entre P ′′ y P ′′′ que satisfagaque el angulo medido en el centro del cırculo excentrico de la direccion al perigeo alpunto P ′ este en el intervalo [0,π) si la anomalıa verdadera ν del satelite esta endicho intervalo, o que este angulo este en el intervalo [π,2π) si la anomalıa verdaderaν del satelite esta en ese intervalo. Se dice que el punto P ′ es la proyeccion ortogonaldel punto P de la seccion conica al cırculo. Se define entonces la anomalıa excentricadel satelite como el angulo medido en el centro del cırculo excentrico, sobre este, desdela direccion al perigeo hasta el punto P ′ determinado por la posicion P del satelite. Seacostumbra denotar esta anomalıa por la letra E . La anomalıa excentrica toma valoresen el intervalo [0,2π) . Las unidades utilizadas son grados o radianes.

Altura sobre el nivel del mar del perigeo y el apogeo Las alturas sobre el nivel delmar del perigeo y el apogeo son las alturas ortogonales al nivel del mar del perigeo y delapogeo de la orbita kepleriana instantanea determinada por la posicion del satelite y laepoca de esa posicion. Es un numero real positivo. La unidad utilizada es el kilometro.

Otras alturas que pueden ser consideradas para el perigeo y el apogeo son la alturaelipsoidal y la altura geoidal.

Velocidad lineal en el perigeo y en el apogeo Las velocidades lineales en el peri-geo y en el apogeo son las velocidades lineales del satelite en el perigeo y en el apogeode la epoca calculables como la norma del vector velocidad del satelite artificial supo-niendo que se halla en el perigeo o el apogeo de la orbita kepleriana instantanea. Es un

Algunos parametros orbitales 11

numero real positivo. Por definicion, estas velocidades dependen del tiempo. La unidadfrecuentemente utilizada es el kilometro por segundo.

Vector de momento angular especıfico de un sat elite artificial El vector de mo-mento angular especıfico del satelite tiene sentido basado en el hecho de que todocuerpo con masa que gira alrededor de una direccion dada tiene un vector de momentoangular. Si se considera una masa unitaria, el vector de momento angular es especıfico.Es costumbre denotar al vector de momento angular como h . La posicion r y la veloci-dad v de un satelite artificial determinan el momento angular del satelite, pero tambiendeterminan una orbita kepleriana instantanea, por lo cual a veces se habla del vectorde momento angular de la orbita, y no del vector de momento angular del satelite (esteuso queda mas justificado por la conservacion de momento angular, segunda ley de Ke-pler). El vector de momento angular del satelite es una cantidad vectorial dependientedel tiempo.

Energıa mec anica total especıfica de un sat elite artificial La energıa mecanicatotal especıfica del satelite es la suma de sus energıas cinetica y potencial, conocidacomo la ecuacion vis-viva. La energıa es especıfica cuando se consideran masas unita-rias. En las orbitas keplerianas hay conservacion de energıa mecanica total. Denotandopor E esta energıa se tiene que E es negativa para orbitas cerradas (circulares y elıpti-cas), E es positiva para orbitas hiperbolicas y E es cero para orbitas parabolicas. Lasunidades utilizadas pueden ser kg km2/seg2 (unidades de masa por velocidad al cua-drado). A veces se habla de energıa mecanica total especıfica de una orbita en lugarde energıa mecanica total especıfica del satelite, debido a la conservacion de energıamecanica total en las orbitas keplerianas. La energıa mecanica total es un escalar de-pendiente del tiempo en orbitas osculantes.

Se habla de decaimiento orbital cuando hay perdida de energıa mecanica total es-pecıfica de una orbita. Cuando hay decaimiento orbital la altura sobre el nivel del mardel perigeo y/o del apogeo de la orbita decrecen (hay disminucion del tamano de laorbita, es decir de su semieje mayor).

Vector nodal de una orbita El vector nodal de la orbita es el vector unitario ancladoen el foco de la seccion conica que describe la orbita kepleriana instantanea, la direc-cion del vector es la direccion del nodo ascendente de la orbita. La notacion en estetexto para el vector nodal es n , y es una cantidad vectorial dependiente del tiempo.Una unidad utilizada es el kilometro.

12 ECOSAT

Vector excentricidad de una orbita El vector excentricidad de la orbitaes el vectoranclado en el foco de la seccion conica que describe a la orbita kepleriana instantanea,la direccion del vector es la direccion al perigeo y la norma es la excentricidad ede la orbita. La notacion en este libro para el vector excentricidad es e . El vectorexcentricidad de la orbita es una cantidad vectorial dependiente del tiempo. Una unidadutilizada es el kilometro.

Notas finales sobre par ametros orbitales De las tres anomalıas media, excentricay verdadera, la que es de interes fısico es la anomalıa verdadera. La anomalıa media seutiliza por razones practicas, es calculable a partir del tiempo de paso del satelite por elperigeo de la orbita. La anomalıa excentrica es una cantidad que nos permite calcularla anomalıa verdadera a partir de la anomalıa media, por ejemplo, ejemplo, por mediode las ecuaciones de Kepler y de Gauss.

El angulo de vuelo es el angulo φ =π2−arccos

(

r · vrv

)

∈[

−π2

,π2

]

, con r y v los

vectores posicion y velocidad del satelite artificial, de normas r y v respectivamente. Elangulo de vuelo φ es positivo cuando el satelite va del perigeo al apogeo y es negativocuando el satelite va del apogeo al perigeo, en orbitas elıpticas.

1.5. Elementos keplerianos.

1.5.1. Definici on de un conjunto de elementos keplerianos.

Se utilizan 6 cantidades para describir tanto la ubicacion de una orbita kepleriana enel espacio 3D como la ubicacion del satelite artificial dentro de esta, dada una epoca.Estas seis cantidades son conocidas como elementos keplerianos.

Conocer los vectores posicion y velocidad del satelite artificial en un punto del espa-cio 3D es equivalente a conocer un conjunto de elementos keplerianos. Otro conjuntode seis cantidades equivalente a los elementos keplerianos es el de las coordenadasequinocciales modificadas.

Se utilizan tres elementos keplerianos para describir la ubicacion de una orbita keple-riana en el espacio 3D, dos para determinar su forma y tamano, y uno mas para ubicaral satelite dentro de su orbita.

Definicion de los elementos keplerianos 13

Considere una orbita kepleriana inmersa en el espacio 3D en una ubicacion inicial yen el espacio 3D definimos el sistema coordenado cartesiano ecuatorial (origen delsistema cercano al geocentro).

Tres parametros o (elementos) keplerianos que determinan la ubicacion de una orbitakepleriana en el espacio 3D son tres angulos que determinan un conjunto de angulosde Euler asociados a una secuencia simetrica 3-1-3. El sistema coordenado al que seaplican las rotaciones definidas por los angulos de Euler es un sistema coordenadocartesiano ecuatorial con origen cercano al geocentro. En los sistemas ecuatoriales setiene que el eje x esta en la direccion del equinoccio vernal. Considere una copia de laorbita dada, inmersa de modo fijo en el sistema cartesiano ecuatorial haciendo coincidirel plano orbital con el plano x−y con la direccion al perigeo en la direccion del eje x ,y haciendo coincidir el origen del sistema coordenado ecuatorial con el foco principalde la orbita. La copia de la orbita ası inmersa en el sistema coordenado ecuatorial girajunto con este al aplicar las rotaciones asociadas a los angulos de Euler, y es de estemodo ubicada en el espacio 3D en la posicion original de la orbita.

Los seis elementos keplerianos

El primero de estos elementos keplerianos es un angulo, de hecho una ascensionrecta denotada por la letra griega mayuscula Ω o por las siglas RAAN (por sussiglas en ingles, right ascention of the ascending node). La ascension recta delnodo ascendente es el primero de los angulos en la secuencia simetrica 3-1-3de angulos de Euler. Rotando el sistema cartesiano ecuatorial alrededor del eje3 por un angulo de la magnitud de Ω se obtiene un nuevo sistema cartesianocon respecto al cual se definira el segundo de los elementos keplerianos que esel segundo de los angulos de Euler. La ascension recta del nodo ascendente semide desde la direccion al equinoccio vernal. La direccion del eje x despues dela primera rotacion se convierte en la direccion al nodo ascendente de la orbita yel primero de los elementos keplerianos justifica ası su nombre: ascension rectadel nodo ascendente

El segundo elemento kepleriano se llama inclinacion orbital (abreviacion de ’incli-nacion del plano orbital’) y es el angulo de rotacion alrededor del eje 1 de modotal que el plano fundamental obtenido despues de la primera rotacion y el planoorbital coincidan. La inclinacion orbital se denota usualmente por i. La inclinacionorbital es el segundo de los angulos de Euler en la secuencia simetrica 3-1-3.

El tercer elemento kepleriano es otro angulo llamado el argumento del perigeo(el termino general es argumento del periapsis) y se denota por la letra griega

14 ECOSAT

minuscula ω. El argumento del perigeo es el angulo por el que hay que rotaralrededor del eje 3 para lograr que el perigeo de la copia de la orbita llegue a laposicion del perigeo de la orbita real.

Note que el sistema cartesiano obtenido despues de estas tres rotaciones es el sistemacoordenado cartesiano perifocal con origen cercano al geocentro. Los tres elementoskeplerianos descritos son comunes a los conjuntos de elementos keplerianos distribui-dos por NASA, US Space Command y Amsat. Sin embargo, NASA utiliza el sistemacoordenado ecuatorial MOD (por sus siglas en ingles, modified of date) y US SpaceCommand utiliza el sistema coordenado ecuatorial TEMED (por sus siglas en ingles,true equator mean equinox of date). Es esta una de las razones por las cuales no sepuede usar arbitrariamente cualesquiera distribucion de TLE en cualquier software depropagacion de orbitas: las direcciones del eje x en estos sistemas coordenados difie-ren, aunque son muy cercanas.

Los elementos keplerianos cuarto y quinto pueden ser el semieje mayor a de laorbita y la excentricidad e de la conica que definen la forma y el tamano de laorbita, o cualesquiera dos cantidades o parametros orbitales equivalentes a ellos.La NASA, el US Space Command y Amsat utilizan en su conjunto de elementoskeplerianos el movimiento medio η (frecuencia) y la excentricidad orbital e .Existen muchas otras cantidades equivalentes al semieje mayor y excentricidadorbital, como lo son, por ejemplo, la energıa mecanica total especıfica E dela orbita y la norma h del vector de momento angular especıfico de la orbita.Otra eleccion posible de dos de estas cantidades son las asnm del perigeo ydel apogeo. Es equivalente conocer el semieje mayor de la orbita, a conocerel movimiento medio, a conocer el perıodo anomalıstico, a conocer la energıamecanica total especıfica: dado uno de estos valores los otros son calculables apartir de el.

El sexto elemento kepleriano puede ser la anomalıa verdadera ν del satelite ar-tificial. Esta es una eleccion usual en los textos de Astronautica o de MecanicaCeleste. La NASA, el US Space Command y Amsat distribuyen la anomalıa me-dia M del satelite artificial en su conjunto de elementos keplerianos (ya se habıaobservado que de las tres anomalıas, verdadera, media y excentrica, la de usopractico es la anomalıa media, siendo la anomalıa verdadera la de interes fısico).

Los primeros cinco elementos keplerianos son cantidades de variacion lenta, el sextosi es la anomalıa verdadera o la anomalıa media del satelite artificial, es de variacion

Valores numericos de los elementos keplerianos 15

rapida. Esto es importante en la integracion de ecuaciones de movimiento de un satelite,como las ecuaciones planetarias de Lagrange.

1.5.2. Valores num ericos de los elementos keplerianos.

En cuanto al rango de valores numericos de la seleccion hecha aquı para los elementoskeplerianos, se tiene :

(i) para la ascencion recta del nodo ascendente Ω es [0,2π)

(ii) para la inclinacion orbital i es [0,π)

(iii) para el argumento del perigeo ω es [0,2π)

(iv) para el semieje mayor a y la excentricidad e son los

usuales de las conicas

(v) para la anomalıa verdadera ν es [0,2π)

Adicionalmente,

(i) el movimiento medio η es una cantidad real positiva

(ii) la anomalıa media M esta en el intervalo [0,2π)

Algunas observaciones sobre los valores de los elementos kepl erianos

Por ejemplo, note que una orbita con ascencion recta del nodo ascendente Ωigual a 0 e inclinacion orbital igual a 45 tiene el mismo plano orbital que unaorbita con ascencion recta del nodo ascendente Ω igual a 180 e inclinacionorbital igual a 135, evocando el problema usual de la no unicidad de los angulosde Euler para determinar posiciones angulares. Sin embargo, los dos satelitescon estos elementos keplerianos recorren sus orbitas en sentido contrario (a favory en contra de la direccion de las manecillas de un reloj), ya que los vectores demomento angular son paralelos pero de direccion opuesta.

No hay satelites artificiales orbitando a la Tierra con inclinacion orbital mayor queπ/

2+ ε para una ε > 0 . El valor numerico de ε no es definido, pero se podrıaaceptar como el equivalente en radianes del valor 30.

16 ECOSAT

Cuando el argumento del perigeo ω tiene un valor numerico no cero menor queπ se tiene que el punto subsatelital del perigeo esta en el hemisferio norte de laTierra; cuando este valor numerico es mayor que π , el punto subsatelital esta enel hemisferio sur de la Tierra; cuando es exactamente igual a 0 o a π , el puntosubsatelital esta en la direccion radial determinada por uno de los dos nodos dela orbita, el nodo ascendente o el nodo descendente.

Si la inclinacion orbital es menor que π/2 se esperara, desde una estacion te-

rrena, ver aparecer el satelite por el oeste y no por el este (AOS Acquisition OfSight, Obtencion de Senal). Pero si la inclinacion orbital es mayor que π/

2 seesperara ver aparecer el satelite desde el este y no desde el oeste.

Observaciones como las anteriores relativas a que los elementos keplerianos tenganciertos valores numericos es muy util en el diseno de orbitas. Por ejemplo, la velocidadlineal del satelite en el perigeo es mayor que la velocidad lineal en el apogeo, y tantomayor es la diferencia en velocidades cuanto mas cercana sea la excentricidad orbitalal valor 1 (cuanto mas excentrica sea la orbita). Cuando el satelite artificial esta cercadel apogeo de la orbita y el punto subsatelital tiene velocidad lineal pequena, el sateliteartificial puede ser utilizado localmente por perıodos de tiempo mas largos en teleco-municaciones por estar mas tiempo al alcance de las antenas de una estacion terrena.Esta es la idea en el diseno de las orbitas Molniya, que seran descritas mas adelante.

Ejemplo

si quisiese uno determinar cuales son los valores numericos de los elementos ke-plerianos cuando se habla de una orbita con perigeo en el zenit de una estacionterrena ubicada en el hemisferio norte,

(i) la inclinacion orbital i puede ser la latitud geocentrica del observador (es-tacion terrena),(ii) la ascencion recta del nodo ascendente Ω puede tener el valor en radia-nes de TSL− 6 si esta cantidad es positiva, o el valor en radianes de 18+TSL (mod 24 hrs) si TSL−6 es una cantidad negativa, con TSL el tiemposidereo local,(iii) el argumento del perigeo ω puede ser π/

2(iv) los elementos keplerianos restantes no quedan fijos por la especificacion da-da.

Valores numericos de los elementos keplerianos 17

y si la estacion terrena esta en el hemisferio sur

(i) la inclinacion orbital i puede ser la latitud geocentrica del observador masπ radianes,(ii) la ascencion recta del nodo ascendente Ω puede ser el valor en radia-nes de TSL− 6 si esta cantidad es positiva, o el valor en radianes de 18+TSL(mod 24 hrs) si TSL−6 es una cantidad negativa, con TSL el tiemposidereo local,(iii) el argumento del perigeo ω puede ser 3π/

2

En el caso de la estacion terrena en el hemisferio norte el satelite artificial cruza el zenitde oeste a este; en el caso de la estacion terrena en el hemisferio sur el satelite artificialcruza el zenit de este a oeste. Este ejemplo es util cuando se quiere disenar una orbitaMolniya.

Distribuci on de valores de elementos keplerianos en Internet En cuanto a la cues-tion de obtencion de los valores numericos de un conjunto de elementos keplerianosasociados a un satelite artificial dada una epoca, puede una bajar de sitios de red enInternet esta informacion en varios formatos. Uno de estos formatos es el llamado TLE(two line elements) de NASA. Otro formato es el formato verboso Amsat.

El formato TLE de NASA consta de hecho de tres lıneas de informacion por cada sateli-te. Las ultimas dos lıneas, de 69 caracteres cada una, contienen los valores numericosde los elementos keplerianos.

El formato verboso Amsat puede ser consultado en el sitio de red en Internet de Amsat.

En noviembre de 2003 se establecen nuevas polıticas de distribucion de elementoskeplerianos en sitios de red de Internet en formato TLE, entrando en operacion enenero de 2005. El sitio de red en Internet del grupo OIG de GSFC-NASA no distribuyeya mas los elementos keplerianos y se establece un nuevo servicio piloto a cargo del USSpace Command de la AFSPC (Fuerza Aerea de los Estados Unidos). Los elementoskeplerianos que distribuidos por OIG-GSFC-NASA (Orbital Information Group, GoddardSpace Flight Center) hasta principios de 2005 estan referidos al plano ecuatorial medioy el equinoccio vernal medio, de la epoca.

La peticion de Amsat a AFSPC para redistribuir valores numericos de elementos keple-rianos es aprobada el 18 de marzo de 2005. La peticion de CelesTrak (sitio de red enInternet mantenido por el Dr. T.S. Kelso) de redistribuir valores numericos de elementoskeplerianos es aprobada el 24 de marzo de 2005.

18 ECOSAT

1.5.3. Otros par ametros orbitales angulares.

Es usual sumar angulos medidos sobre planos de referencia distintos tanto en trabajosde I + D Espacial como en trabajos de Mecanica Celeste y la suma puede o no sercalculada modulo 2π .

Este es el caso de angulos tales como la longitud del perigeo ω y la longitud ver-dadera L . La primera longitud es la suma de la ascencion recta del nodo ascendenteΩ y del argumento del perigeo ω , y la segunda longitud es la suma de la longitud delperigeo ω y de la anomalıa verdadera ν . La longitud media l es un angulo definidopor la suma de la longitud del perigeo ω y la anomalıa media M .

El argumento de latitud u es el angulo que se define como la suma del argumentodel perigeo ω y la anomalıa verdadera ν .

En Mecanica Celeste, la longitud media en la epoca usualmente denotada por laletra griega ε , es un concepto mas complejo que depende de la anomalıa media en elperigeo χ : es la suma de la longitud del perigeo ω y la anomalıa media en el perigeoχ (aunque es mas natural llamar a este angulo longitud media del perigeo). Se usa porejemplo la notacion l0 para el angulo Ω+ω+M0.

1.5.4. Otros conjuntos de elementos keplerianos.

Los conjuntos de elementos keplerianos mencionados aquı no siempre son los de uti-lizacion mas conveniente en cualquier problema de ubicacion / descripcion de orbitasen la I+D Espacial. Por el momento baste el ejemplo de una orbita con inclinacion orbi-tal cero (trayectoria subsatelital sobre el ecuador terrestre) con nodo ascendente de laorbita no bien definido, y por lo tanto, la ascencion recta del nodo ascendente y el argu-mento del perigeo no estan bien definidos. Una opcion alternativa son las coordenadasequinocciales modificadas.

Otra opcion para un elemento kepleriano es la longitud del perigeo ω . Aun mas, si laorbita es circular o casi circular el perigeo es un punto que no esta bien definido oca-sionando que la anomalıa verdadera ν del satelite no se pueda cuantificar facilmente.En este caso es conveniente por ejemplo utilizar la longitud verdadera L en lugar de lalongitud del perigeo ω .

Usualmente el angulo que se mide sobre el plano ecuatorial, medido desde el equinoc-cio vernal hasta una direccion dada que puede o no estar sobre el plano ecuatorial,

Otra informacion en los TLE 19

recibe el nombre de longitud, el angulo medido sobre el plano orbital desde el nodoascendente de la orbita hasta una direccion dada recibe el nombre de argumento, y elangulo medido sobre el plano orbital desde la direccion al perigeo de la orbita hastauna direccion dada recibe el nombre de anomalıa, son ejemplos de esto la longitud delperigeo ω , la longitud verdadera L y el argumento de latitud u.

1.5.5. Otra informaci on distribuida en los TLE

Tanto la NASA como el US Space Command antes NORAD (North American Aeros-pace Defense Command), como AMSAT (The Radio Amateur Satellite Corporation)utilizan un conjunto particular de seis elementos keplerianos para describir una orbita.De hecho el formato TLE contiene mas datos que simplemente los valores numericosde un conjunto de elementos keplerianos.

OOSA-ONU (Office of Outer Space Affairs) lleva un Registro de Objetos Lanzados alEspacio de acuerdo al Convenio de Registro accesible en Internet desde

http://www.oosa.unvienna.org/SORegister/regist.html,y un ındice en lınea de este Registro accesible tambien en Internet desde

http://www.oosa.unvienna.org/OSOIndex/index.html.

De acuerdo con el Convenio de Registro los paıses u organizaciones que orbitan sateli-tes artificiales deben de proveer la siguiente informacion: nombre del Estado origen dellanzamiento, un designador del objeto espacial o un numero de registro, fecha y terri-torio o localidad del lanzamiento, perıodo nodal, inclinacion orbital, asnm del perigeo ydel apogeo, y la funcion general del objeto espacial.

El ındice de objetos espaciales orbitados por Mexico puede consultarse en el sitio dered en Internet http://www.oosa.unvienna.org/Reports/docsmex.html, la lista de otrospaıses que proveen estos datos sobre sus lanzamientos orbitales puede consultarseen la pagina de red del Convenio del Registro.

1.6. Coordenadas equinocciales modificadas.

Las coordenadas equinocciales modificadas son, en terminos de los elementos keple-rianos Ω, ω, i, a, e y ν (consultar las referencias [3] y [7])

20 ECOSAT

p = a(

1−e2) ∈ [0,∞]

f = ecos(Ω+ω) ∈ [−e,e]

g = esen(Ω+ω) ∈ [−e,e]

h = tan

(

i2

)

cosΩ ∈ (−∞,∞)

k = tan

(

i2

)

senΩ ∈ (−∞,∞)

L = Ω+ω+ν ∈ [0,6π]

El conjunto de coordenadas equinocciales original esta dado por a, h, k, p, q y λ0 cona el semieje mayor de la orbita, h = g, k = f , p = k, q = h, y λ0 = M0 +ω+Ω (verlas referencias [4] y [1]).

1.7. Trabajo propuesto utilizando la teorıa desarrollada,las referencias y la bibliografıa.

Ejercicio 1 Estime la masa de un planeta P del sistema solar suponiendo que el pla-neta tiene un satelite artificial S. Hint: utilice la tercera ley de Kepler.

Ejercicio 2 Una estimacion del valor numerico de la constante geogravitacional esµ = GM⊕ = 3,986004418e14 m3/s2. Estime el valor de la constante geogravitacionalcuando las unidades para el semieje mayor de la orbita de la Tierra son unidades as-tronomicas UA y la unidad de tiempo es un ano sidereo. Hint: utilice la tercera ley deKepler.

Ejercicio 3 Diga cual es el rango de valores de la anomalıa media M de un sateliteartificial de la Tierra, cuando su anomalıa verdadera esta en el intervalo [0,π]. ¿Quienintroduce el concepto de anomalıa media? Describa el rango de valores del angulo devuelo φ cuando el satelite recorre su orbita del perigeo al apogeo.

Ejercicios propuestos 21

Ejercicio 4 ¿Por que la energıa mecanica total de una orbita kepleriana cerrada esnegativa? ¿Por que la energıa mecanica total de una orbita abierta es positiva o cero?

Ejercicio 5 * Se menciono que para determinar el tamano y forma de una orbita keple-riana instantanea se puede usar tanto el semieje mayor y la excentricidad orbital, comola energıa mecanica total y la norma del vector de momento angular, como las asnmdel perigeo y del apogeo. Mencione otros dos parametros que determinen el tamano yforma de una orbita kepleriana instantanea.

Ejercicio 6 Suponga que el movimiento medio de un satelite artificial de la Tierra esigual a 13 revoluciones por dıa sidereo. Calcule el espaciamiento que hay entre laslongitudes subsatelitales de dos nodos ascendentes consecutivos.

Ejercicio 7 Se vio que en un conjunto de elementos keplerianos asociados a la posi-cion y velocidad de un satelite artificial en una epoca dada, la anomalıa verdadera es elelemento kepleriano de variacion rapida. La anomalıa media del satelite tambien pue-de ser el elemento kepleriano de variacion rapida. ¿Cual es la coordenada equinoccialmodificada de variacion rapida?

Ejercicio 8 * ¿Existe alguna ventaja del uso de las coordenadas equinocciales modifi-cadas sobre el uso de coordenadas equinocciales?

1.8. Trabajo propuesto utilizando la informaci on de si-tios de red en Internet.

Ejercicio 1 Busque un sitio de red en Internet de distribucion de valores numericos deconjuntos de elementos keplerianos, en formato TLE o en formato Amsat.

Ejercicio 2 ¿Hay una frecuencia de distribucion de conjuntos de elementos kepleria-nos para los satelites artificiales? ¿Cual es la exactitud en el valor numerico distribuidopara la ascension recta del nodo ascendente? ¿Cual es la exactitud en el valor numeri-co distribuido para el movimiento medio?

22 ECOSAT

Ejercicio 3 ¿Cuales son los catalogos de satelites utilizados para la distribucion deconjuntos de elementos keplerianos de orbitas de satelites artificiales? ¿Tiene la ONUun catalogo particular de satelites artificiales, y en este caso, quien lo mantiene actua-lizado?

Ejercicio 4 ¿Que agencias espaciales utilizan coordenadas equinocciales o coorde-nadas equinocciales modificadas para determinar la orbita de un satelite artificial de laTierra?

Capıtulo 2

Tipos de orbitas

2.1. Clasificaci on de las orbitas por diversos criterios.

2.1.1. Por la consideraci on de los efectos del medio ambiente es-pacial sobre el sat elite.

De acuerdo con este criterio las orbitas pueden ser keplerianas u osculantes. Ya he-mos hablado de las orbitas keplerianas y las orbitas osculantes en el capıtulo 1 de estevolumen. Las orbitas keplerianas no existen en la realidad fısica, debido a las pertur-baciones causadas por el medio ambiente espacial que se reflejan en los cambios enlos vectores posicion y velocidad del satelite. Entre las perturbaciones ejercidas porel medio ambiente espacial sobre un satelite artificial estan por ejemplo, la fuerza dearrastre atmosferico ejercida por la atmosfera terrestre, la presion por radiacion solar,la atraccion gravitacional ejercida por terceros cuerpos.

2.1.2. Por el sentido de avance del sat elite en la orbita.

Si el valor de la inclinacion orbital i se mantiene en el intervalo[

0,π/

2]

se dice que laorbita es una orbita prograda, mas si el valor esta en el intervalo

(π/2,π

)

se dice quela orbita es una orbita retrograda.

En el caso de las orbitas progradas, el satelite artificial revoluciona alrededor del eje dela Tierra en el mismo sentido en que esta gira alrededor de dicho eje, mientras que enel caso de las orbitas retrogradas, el satelite revoluciona en el sentido contrario.

23

24 ECOSAT

Note que para las orbitas progradas, la longitud subsatelital crece y la latitud subsatelitalmaxima es la inclinacion orbital i, mientras que para las orbitas retrogradas se tiene quela longitud subsatelital decrece y π menos la latitud subsatelital maxima es la inclinacionorbital i.

Un valor grande para la inclinacion orbital i puede proveer latitud geocentrica del puntosubsatelital en un rango muy amplio.

2.1.3. Por su forma.

Las orbitas keplerianas instantaneas asociadas a satelites artificiales de la Tierra pue-den ser clasificadas por su forma en orbitas circulares y orbitas elıpticas, esto es, deacuerdo al valor de la excentricidad orbital e.

A veces se utiliza el termino orbita casi circular para aquellas orbitas con excentricidadorbital e pequena. En la practica, una orbita puede considerarse como una orbita casicircular si su excentricidad orbital es menor o igual que 0.001.

Se acostumbra decir que las orbitas con excentricidad orbital grande son orbitas excentri-cas. Por ejemplo, una orbita con excentricidad orbital e mayor o igual que 0.6 es unaorbita excentrica. Tambien son denominadas HEO (por sus siglas en ingles, highly ellip-tical orbit).

Las orbitas perfectamente circulares no existen en la naturaleza debido a las perturba-ciones del medio ambiente espacial.

Las orbitas osculantes casi circulares no tienen direccion al perigeo estable.

Las orbitas excentricas proveen gran cobertura, tanto como distancia y velocidad va-riables en un rango amplio. Cuando se selecciona este tipo de orbitas hay que poneratencion en los efectos que una Tierra no esferica causa en la posicion del perigeo(este punto tiende a rotar mas rapidamente).

Por ejemplo, si uno desea estudiar las capas de la atmosfera por medio de la recolec-cion de datos por un sensor abordo de un satelite artificial, la excentricidad orbital e yel semieje mayor de la orbita a deben ser tales que la altura sobre el nivel del mar delperigeo sea menor o igual que la mınima altura en estudio y la altura sobre el nivel delmar del apogeo sea mayor o igual que la altura maxima en estudio.

Clasificacion deorbitas 25

Se pueden utilizar las orbitas elıpticas en misiones de geodesia, donde se requiere queel perigeo este bien definido, lo cual no sucede para las orbitas circulares. Las misionesde monitoreo cientıfico utilizan este tipo de orbitas, que permiten sensado con alturavariable sobre el nivel del mar.

2.1.4. Por la altura sobre el nivel del mar.

Las orbitas tambien pueden ser clasificadas por la altura sobre el nivel del mar. Se diceque las orbitas casi circulares orbitas bajas (orbitas LEO, por sus siglas en ingles, lowEarth orbits) si su altura sobre el nivel del mar es menor que aproximadamente 1000kms. La asnm de 1000 kms para clasificar una orbita como una orbita baja es una asnmconvencional.

Los satelites de orbitas bajas con altura sobre el nivel del mar menor que los 500 o los600 kms reentran facilmente en la atmosfera de la Tierra debido al arrastre atmosferico,cuando no cuentan con actuadores (control activo) que los mantengan a dicha altura,con un tiempo de reentrada del orden de pocos meses, no mucho mas de un par deanos.

Las orbitas bajas son frecuentemente utilizadas por satelites de percepcion remota, enlos que la carga util es una camara de percepcion remota (un dispositivo CCD) capazde recolectar radiacion reflejada por un area fija dada en la superficie de la Tierra alre-dedor del punto subsatelital. Un dispositivo CCD (Charge-Coupled Device, Dispositivode Cargas Electricas Interconectadas) es un circuito integrado que contiene un numerodeterminado de condensadores enlazados o acoplados.

El termino cobertura se refiere a la parte de la Tierra que los instrumentos y/o antenadel satelite pueden ver ya sea en una epoca determinada, o en un perıodo extendidode tiempo.

La estacion espacial ISS (Estacion Espacial Internacional, EEI por sus siglas en es-panol) es mantenida a una altura aproximada sobre el nivel del mar de 350 kms.

Una orbita media (MEO, por sus siglas en ingles medium Earth orbit) es una orbita casicircular con altura sobre el nivel del mar por arriba del cinturon (interior) de radiacionVan Allen y muy por debajo de la altura geoestacionaria.

Usualmente los satelites con (carga util) equipo GPS (Global Positioning System), aveces abreviado a satelites GPS, estan en orbitas con semieje mayor aproximado de

26 ECOSAT

26 600 kms que en altura sobre el nivel del mar es aproximadamente 20 200 kms, einclinacion orbital aproximada de 60.

Las orbitas altas son usadas a veces para aplicaciones militares. Por ejemplo, su alturasobre el nivel del mar permite que las antenas tengan una gran cobertura de la Tierra.

2.1.5. Por sus caracterısticas espaciales.

Un satelite geoestacionario es un satelite en una orbita casi circular con inclinacionorbital casi cero y perıodo nodal un dıa sidereo medio.

Las orbitas geosıncronas tienen por perıodo nodal un dıa sidereo medio, esto es, ellapso de tiempo de una revolucion completa de la Tierra alrededor de su eje de rotacionen espacio inercial.

Las orbitas geoestacionarias tambien tienen este perıodo nodal pero adicionalmenteel punto subsatelital permanece casi fijo. Estas orbitas se asignan a satelites de comu-nicaciones ya que es deseable que estos siempre esten entre el AOS (Acquisition ofSight, Obtencion de Senal) y el LOS (Loss of Sight, Perdida de Senal) de las antenasde una estacion terrena.

El semieje mayor de una orbita geosıncrona o de una orbita geoestacionaria es aproxi-madamente 42,160 kms. La correspondiente altura sobre el nivel del mar es aproxima-damente 35,790 kms.

Por ejemplo, un satelite con inclinacion orbital no cercana a 0, digamos 30, y de ex-centricidad orbital casi cero, con perıodo anomalıstico de un dıa sidereo medio, tendra unatrayectoria subsatelital que recorre aproximadamente un mismo meridiano (el meridianolocal del punto subsatelital) desde los -30 hasta los 30, esto es, sera un satelitegeosıncrono pero no geoestacionario (para calcular con mucha precision la longitudsubsatelital hay que recordar que la velocidad angular de la Tierra no es exactamen-te uniforme, por ejemplo puede considerar una eleccion entre tiempo UT1 o tiempoUT1R).

La contribucion de los armonicos teserales del campo geogravitacional sobre la posicionen el anillo geoestacionario debe ser siempre considerada en trabajo numerico precisode la ubicacion del satelite.

Actualmente, el Sector de Radiocomunicaciones de la ITU de la ONU asigna las posi-ciones geoestacionarias de acuerdo a la satisfacion de los requerimientos necesarios.

Clasificacion deorbitas 27

El espaciamiento mutuo entre los satelites en el anillo geoestacionario es de aproxima-damente 2 debido a cuestiones tecnologicas en cuanto a antenas de comunicacionesse refiere.

Los satelites mexicanos Satmex 5, Solidaridad II y Morelos II ocupan las posiciones116,8W, 113W y 120,5W en el anillo geoestacionario, respectivamente. Desde agostode 1998 el satelite Morelos II opera en una orbita inclinada. El 25 de noviembre de 2004la Cofetel (Mexico) emitio el fallo para la licitacion publicada en el Diario Oficial de laCofetel el 9 de septiembre del mismo ano, para concesionar por 20 anos la posiciongeoestacionaria 77W, por un total de trece millones quinientos mil dolares a pagaren 30 dıas naturales, para prestar los servicios de radiodifusion por satelite y serviciosfijos por satelite, tambien se ofreceran desde esta posicion servicios nacionales y deseguridad nacional.

Ejemplos de satelites geoestacionarios son los satelites GOES (Geostationary Opera-tional Environmental Satellites) y los satelites SMS (Synchronous Meteorological Sate-llite).

Ejemplo de un satelite en orbita elıptica geosıncrona es el IUE (International UltravioletExplorer) con altura sobre el nivel del mar del perigeo en 24,300 kms y altura sobre elnivel del mar del apogeo en 47,300 kms.

En el caso de las orbitas solsıncronas o heliosıncronas (sunsynchronous orbits eningles) el plano orbital permanece aproximadamente en la misma posicion con respectoal Sol y la Tierra.

Para lograr esto se disenan los valores numericos de la precesion dΩ de la ascencionrecta del nodo ascendente Ω y de la precesion dω del argumento del perigeo ω ,demodo tal que el plano orbital permanezca en la posicion predeterminada. La precesionsobre el plano ecuatorial de la ascencion recta del nodo ascendente Ω y la precesiondel argumento del perigeo ω sobre el plano orbital son debidas a perturbaciones delmedio ambiente espacial y a la no esfericidad de la Tierra, y pueden ser calculadaspor medio de las ecuaciones planetarias de Lagrange. La ascencion recta del nodoascendente Ω debe preceder hacia el oeste la diferencia entre un dıa solar medio yun dıa sidereo medio (calculada en grados) por cada dıa solar medio, lo cual requiereque la orbita sea una orbita retrograda. La tasa de precesion necesaria es entoncesaproximadamente de 0,9856.

Las orbitas heliosıncronas son utilizadas para cargas utiles relacionadas con experi-mentacion cientıfica. Por ejemplo, debido a la permanencia en el espacio casi fija del

28 ECOSAT

plano orbital con respecto al Sol y la Tierra, el cruce del satelite por el nodo ascendentede la orbita ocurre a la misma hora de cada dıa solar medio, lo cual da las mismascondiciones de iluminacion, lo cual a su vez, permite estudiar regiones de la Tierra bajoesas condiciones.

Para satelites en orbitas heliosıncronas, es facilmente determinable la energıa que pue-de proveer la baterıa de a bordo a los diferentes subsistemas del satelite, ya que porejemplo, los rayos del Sol inciden sobre los paneles solares con el mismo angulo cada24 horas solares. La captacion de energıa por los paneles solares depende (aproxima-damente proporcional) entre otras cosas de este angulo de incidencia de los rayos delSol, y del material de que esten hechos los paneles (por ejemplo, arsenuro de galio).

Es claro que el paso del satelite artificial por el nodo ascendente de la orbita heliosıncro-na puede suceder a cualquier hora fija del dıa (segun valores numericos asignados aparametros orbitales de lanzamiento / orbitamiento), por ejemplo a las 12:00 AM o alas 4:00 PM. La hora de paso por el nodo ascendente influye en la cantidad de energıacaptada por los paneles solares. El buen funcionamiento de la carga util puede requerirque el paso por el nodo ascendente se haga a cierta hora del dıa. Las condiciones denubosidad tambien determinan la hora de paso por el nodo ascendente.

El satelite artificial Terra (antes EOS-AM1) del proyecto Earth Observing System de laNASA pasa por el nodo descendente de la orbita a las 10:30 de la manana, (y conse-cuentemente a cierta hora del dıa por el nodo ascendente), debido a que a dicha horahay un mınimo de nubes en el ecuador terrestre. Las cargas utiles de este satelite estandedicadas a colectar datos que permitan estudiar los cambios climaticos globales queexperimenta actualmente nuestro planeta.

Un ejemplo de una serie de satelites en orbitas heliosıncronas fue la serie de satelitesTiros (Television InfraRed Observation Satellite) construıdos por RCA en la decadade los ’60 del siglo pasado, y operados por NOAA.

Otra serie de satelites meteorologicos en orbita heliosıncrona con inclinacion orbitalaproximada de 99 grados y perıodo aproximado de 107 minutos es la serie de satelitesNimbus. Esta serie de satelites empezo a ser orbitada en 1964. El ultimo satelite de laserie fue el Nimbus 7 orbitado en octubre de 1978.

Los satelites de la serie Tiros-N fueron puestos en orbitas heliosıncronas, ocho de elloscon servicio operacional en el perıodo 1978-1984. El perıodo de la orbita heliosıncronaes de aproximadamente 102 minutos. La hora asignada al paso de los satelites por elnodo descendente es 0300 tiempo solar local.

Clasificacion deorbitas 29

El satelite HCMM (Heat Capacity Mapping Mission) fue asignado a una orbita he-liosıncrona de altura sobre el nivel del mar 620 kms e inclinacion 97.9 grados. La horade paso por el nodo ascendente: 2:00 PM tiempo solar local.

Una serie mas de satelites en este tipo de orbita: la serie Landsat. No olvidando la seriefrancesa de satelites SPOT.

2.1.6. Por el valor de la inclinaci on orbital.

Ya hemos hablado de las orbitas progradas y las orbitas retrogradas.

Si el valor de la inclinacion orbital esta en una vecindad[π/

2− ε,π/

2+ ε]

de π/2 con ε > 0 se dice que la orbita es una orbita polar. Las orbitas polares pueden

entonces ser orbitas progradas o pueden ser orbitas retrogradas.

Una orbita baja polar casi circular, debido a la gran inclinacion orbital, hace que unafranja de pocos grados de ancho alrededor de la trayectoria subsatelital sea capaz decubrir a la Tierra completa en cuestion de poco tiempo. Esto hace posible el saberque pasa en toda la Tierra en lapsos de tiempo de pocos meses, con respecto a unparametro dado con valor numerico entregado por un sensor a bordo del satelite, lo cuales completamente conveniente ya que permite determinar por ejemplo si el parametroes constante o no en toda la Tierra en el corto perıodo de tiempo en cuestion.

Las orbitas polares son frecuentemente utilizadas por satelites de percepcion remotaque analizan ya sea la superficie de la Tierra o su atmosfera.

Las orbitas polares tambien han sido utilizadas para misiones de percepcion remotaen el ultravioleta (que utilizan espectrometros), siendo las regiones polares las regio-nes de interes para estudios de fısica de la atmosfera. El sensado de los instrumentospuede basarse en reflectancia, polarizacion, emisividad o transmisividad. Un ejemplode un satelite que lleva a cabo estudios del contenido de ozono de la atmosfera esel Unisat. Otro ejemplo son los satelites de la serie POES (Polar-orbiting OperationalEnvironmental Satellite).

Las orbitas Molniya, utilizadas para satelites de comunicacion en Rusia, tienen unaexcentricidad orbital aproximada de 0.75, un semieje mayor aproximado de 26,600 kms,

30 ECOSAT

una inclinacion orbital aproximada de 63.4 y un argumento del perigeo aproximado de270. La eleccion de estos valores numericos para dichos keplerianos permite que elpunto subsatelital de un satelite artificial permaneza sobre territorio ruso por un perıodode varias horas, y que el satelite este al alcance de las estaciones terrenas en gran partedel territorio ruso (se aprovecha la baja velocidad lineal del satelite cerca del apogeode la orbita, con trayectoria subsatelital sobre territorio ruso, el punto subsatelital delperigeo esta en el hemisferio sur de la Tierra).

La altura sobre el nivel del mar del perigeo de este tipo de orbitas varıa entre los 200y los 1000 kms. El perıodo anomalıstico es de aproximadamente 12 horas. La inclina-cion orbital se escoge de modo que la precesion del argumento del perigeo debida alsegundo armonico de zona del campo geogravitacional sea lo mas cercana a cero. Unade estas inclinaciones orbitales es 63,4, la otra inclinacion orbital es 116,6.

2.1.7. Orbitas especializadas.

Las orbitas especializadas son aquellas con caracterısticas unicas, entre ellas se pue-den citar las espacio-referenciadas y los puntos u orbitas de Lagrange. Dos satelitescon orbitas alrededor del punto de libracion L1 son el satelite ACE (Advanced Compo-sition Explorer) y el satelite SOHO (Solar and Heliospheric Observatory).

Las sondas espaciales de exploracion del sistema solar siguen por ciertos periodosde tiempo trayectorias hiperbolicas, su velocidad lineal es mayor que la velocidad deescape de los planetas que van quedando atras.

Los satelites artificiales que llevan a bordo equipo GPS tienen orbitas tıpicas casi circu-lares con semieje mayor aproximado de 26,600 kms e inclinaciones orbitales cercanasa los 60.

La orbita tıpica utilizada por el STS (Space Transportation System, Sistema de Trans-portacion Espacial) en Estados Unidos es casi circular y con un semieje mayor aproxi-mado de 6700 kms. La inclinacion orbital aproximada es de 28.4. Los transbordadoresespaciales (Shuttle) llevan motores que queman como propelante hidrogeno lıquido yLOX (del ingles liquid oxygen). Los transbordadores espaciales tienen la capacidad deorbitar hasta 30 toneladas en orbitas bajas. Las sondas espaciales Galileo, Ulyssesy Magellan fueron orbitadas por los transbordadores espaciales utilizando una etapaadicional de propelante solido (etapa adicional IUS del ingles inertial upper stage).

Clasificacion deorbitas 31

Las orbitas congeladas (frozen orbits) son orbitas disenadas de modo que el cambioen el valor numerico de los o de ciertos elementos keplerianos debido a las perturba-ciones del medio ambiente espacial ejercidas sobre el satelite sea mınimo. Son orbitasutilizadas cuando se necesitan ciertas condiciones estables.

Las orbitas de estacionamiento y las orbitas de transferencia (parking orbits, transferorbits) son orbitas en las que el satelite permanece temporalmente, y usualmente noson las orbitas asignadas a la mision que debe llevar a cabo el satelite.

Frecuentemente el costo de orbitar un satelite hasta su orbita final o de operacion, esmas alto que el costo de orbitarlo a una altura menor en una orbita baja, de dondeposteriormente por medio de una maniobra de control puede ser transferido a la orbitafinal. La primera orbita se llama orbita de estacionamiento.

Se acostumbra llamar orbita de transferencia a la trayectoria de transferencia del sateliteartificial desde una orbita de estacionamiento hacia la orbita final. Un ejemplo de unaorbita de transferencia es la orbita resultante de una maniobra de control de posicion deun satelite conocida como transferencia de Hohmann (maniobra basada en el principiodescrito por Hohmann en 1925).

Por ejemplo los satelites geoestacionarios son orbitados a una orbita baja y de allı sontransferidos al anillo de satelites geoestacionarios por medio de una orbita de transfe-rencia gracias al empuje adquirido por la activacion de los motores del satelite.

2.1.8. Constelaciones de sat elites

Una constelacion de satelites consiste de dos o mas satelites en orbitas similares sincontrol activo en ellos para mantener sus posiciones relativas. Un vuelo en formacion(formation flying en ingles) son dos o mas satelites que utilizan esquemas de controlactivo para mantener sus posiciones relativas. Una formacion lıder-seguidor (leader-follower en ingles) son dos o mas satelites con la misma asnm, la misma velocidad y lamisma separacion radial, donde solo hay una separacion temporal. En una formacionlado-con-lado (side-by-side en ingles) los satelites tienen la misma asnm y velocidadlineal pero las inclinaciones orbitales son diferentes, y es necesario mantener las posi-ciones relativas por medio de control activo. Una formacion donde lo que coincide esla trayectoria subsatelital es simplemente llamada formacion con la misma trayectoriasubsatelital.

32 ECOSAT

Una caracterıstica importante de las constelaciones de satelites es su crecimiento y lareposicion de satelites cuya vida util ha terminado.

Es conveniente notar que debido a las perturbaciones en una orbita causadas por la noesfericidad de la Tierra, una clase de orbitas operacionalmente convenientes compartela altura sobre el nivel del mar y la inclinacion de los planos orbitales.

Constelaciones de Walker

En la decada de los ’70 del siglo pasado con los trabajos extensos de J. G. Walker enBritish RAE, se empezaron a considerar las orbitas casi circulares con altura sobre elnivel del mar e inclinacion orbital comunes para uso en constelaciones de satelites. Unade las conclusiones de Walker fue que son necesarios cinco satelites para tener unacobertura continua de la Tierra.

2.2. Trabajo propuesto utilizando la informaci on de si-tios de red en Internet.

Ejercicio 1 Describa la orbita polar de un satelite artificial de la Tierra.

Ejercicio 2 Describa la orbita geoestacionaria de un satelite de telecomunicaciones.

Ejercicio 3 Describa la orbita heliosıncrona de un satelite artificial de monitoreo cientıfi-co que haya sido orbitado.

Ejercicio 4 Describa al menos una constelacion de satelites que no sea la constelacionIridium (por ejemplo, las constelaciones de satelites GPS como Navstar y la constela-cion ICO).

Ejercicio 5 Mencione una carga util que haya sido orbitada en un satelite artificial dela Tierra.

Ejercicios propuestos 33

Ejercicio 6 Navegue en el sitio de red en Internet del Space Calendar del JPL Jet Pro-pulsion Laboratory de la NASA para saber que satelites artificiales de la Tierra fueronorbitados el mes de diciembre de 2004.

Ejercicio 7 Navegue en el sitio de red en Internet Spacewarn Bulletin (publicacionmensual de NSSDC y WDC for Satellite Information) para localizar el Boletn no. 613(diciembre 2004) y y la informacion que contiene sobre los satelites artificiales Swift yNavstar56.

Ejercicio 8 Navegue en el sitio de red en Internet Space Mission Acronym List andHyperLink Guide de la NASA para hallar informacion sobre satelites amateur.

Ejercicio 9 Localice el URL del sitio de red en Internet del servicio SSCWeb del centroSatellite Situation Center operado por GSFC Centro Goddard de Vuelos Espaciales deNASA y NSSDC, y describa una de sus funciones.

Ejercicio 10 Navegue en el sitio de red en Internet del centro Center for Orbital andReentry Debris Studies de The Aerospace Corporation para documentarse acerca dela basura espacial.

34

Soluci on a los ejercicios

Soluci on a los ejercicios del capıtulo I.

Trabajo propuesto utilizando la teorıa desarrollada, las referenciasy la bibliografıa

Ejercicio 1 Estime la masa de un planeta P del sistema solar suponiendo que el pla-neta tiene un satelite artificial S. Hint: utilice la tercera ley de Kepler.

Soluci on al ejercicio 1 Sea M la masa del Sol. Sea S un satelite artificial del plane-ta P. Sean mp la masa del planeta P y ms la masa del satelite S. Sean Pp y Ps losperıodos anomalısticos del planeta y satelite, ap y as los semiejes mayores de las orbi-tas del planeta P y satelite S, µ y µp las constantes gravitacionales del Sol y planeta P,respectivamente. De acuerdo a la tercera ley de Kepler:

µ=4π2

P2p

a3p

µp =4π2

P2s

a3s

y por lo tanto

G(M +mp)

G(mp +ms)=

µµp

=

(

ap

as

)3(

Ps

Pp

)2

⇒Mmp

≈(

ap

as

)3(

Ps

Pp

)2

donde se supone que la masa del planeta P es despreciable con respecto a la masadel Sol, y la masa del satelite Ses despreciable con respecto a la masa del planeta P.

35

36 ECOSAT

Se tiene entonces para la masa mp del planeta P que

mp ≈(

as

ap

)3(

Pp

Ps

)2

M.

Ejercicio 2 Una estimacion del valor numerico de la constante geogravitacional esµ = GM⊕ = 3,986004418e14 m3/s2. Estime el valor de la constante geogravitacionalcuando las unidades para el semieje mayor de la orbita de la Tierra son unidades as-tronomicas UA y la unidad de tiempo es un ano sidereo. Hint: utilice la tercera ley deKepler.

Soluci on al ejercicio 2 De la tercera ley de Kepler

P =2π√

µ(1UA)

3/2 ⇒ µ= 4π2

Ejercicio 3 Diga cual es el rango de valores de la anomalıa media M de un sateliteartificial de la Tierra, cuando su anomalıa verdadera esta en el intervalo [0,π]. ¿Quienintroduce el concepto de anomalıa media? Describa el rango de valores del angulo devuelo φ cuando el satelite recorre su orbita del perigeo al apogeo.

Soluci on al ejercicio 3 El rango de valores para la anomalıa media M es [0,π] cuandola anomalıa verdadera esta en ese intervalo . Johannes Kepler introdujo el concepto deanomalıa media. El rango de valores para el angulo de vuelo cuando el satelite recorresu orbita del perigeo al apogeo es el intervalo [0, π

2].

Ejercicio 4 ¿Por que la energıa mecanica total de una orbita kepleriana cerrada esnegativa? ¿Por que la energıa mecanica total de una orbita abierta es positiva o cero?

Solucion a los ejercicios 37

Soluci on al ejercicio 4 Para orbitas cerradas la energıa mecanica total es negativaporque la energıa cinetica es menor que el negativo de la energıa potencial. El sateli-te artificial esta permanentemente asociado a la masa primaria. Para orbitas abiertasla energıa potencial cinetica es mayor que el negativo de la energıa potencial. La ma-sa secundaria no esta permanentemente asociada a la masa primaria. Para orbitasparabolicas, la energıa cinetica es igual al negativo de la energıa potencial. La masasecundaria no esta permanentemente asociada con la masa primaria. Esto se concluyede la ecuacion vis-viva.

Ejercicio 5 * Se menciono que para determinar el tamano y forma de una orbita ke-pleriana instantanea se puede usar tanto el semieje mayor y la excentricidad orbital,como la energıa mecanica total y la norma del vector de momento angular. Mencio-ne otros dos parametros que determinen el tamano y forma de una orbita keplerianainstantanea.

Soluci on al ejercicio 5 Dos parametros que determinan el tamano y forma de unaorbita kepleriana instantanea son las alturas sobre el nivel del mar del perigeo y delapogeo. Los valores numericos de estos dos parametros son accesibles por tecnicas dealtimetrıa (no simultaneamente). La altura sobre el nivel del mar del perigeo (apogeo)es aproximadamente la distancia del foco principal de la orbita al perigeo (apogeo)menos el radio medio de la Tierra. La distancia del foco principal de la orbita al perigeo(apogeo) se conoce como la distancia del perigeo (apogeo) La aproximacion se vuelveuna expresion exacta si se utiliza el valor exacto del radio para la Tierra en la direccionde la vertical local definida por el satelite. El foco de la orbita es aproximadamenteel geocentro (centro de masa de la Tierra incluyendo la masa de su atmosfera). Ladistancia al perigeo se puede calcular como a(1−e) y la distancia al apogeo se puedecalcular como a(1+e) con a el semieje mayor de la orbita y e la excentricidad orbital.

Ejercicio 6 Suponga que el movimiento medio de un satelite artificial de la Tierra esigual a 13 revoluciones por dıa sidereo. Calcule el espaciamiento que hay entre laslongitudes subsatelitales de dos nodos ascendentes consecutivos.

Soluci on al ejercicio 6 El espaciamiento es igual a 360 divididos entre 13, ya que enespacio inercial la Tierra gira alrededor de su eje de rotacion exactamente una revolu-cion.

38 ECOSAT

Ejercicio 7 Se vio que en un conjunto de elementos keplerianos asociados a la posi-cion y velocidad de un satelite artificial en una epoca dada, la anomalıa verdadera es elelemento kepleriano de variacion rapida. La anomalıa media del satelite tambien pue-de ser el elemento kepleriano de variacion rapida. ¿Cual es la coordenada equinoccialmodificada de variacion rapida?

Soluci on al ejercicio 7 La longitud verdadera L = Ω+ω+ν.

Ejercicio 8 * ¿Existe alguna ventaja del uso de las coordenadas equinocciales modifi-cadas sobre el uso de elementos keplerianos?

Soluci on al ejercicio 8 Para orbitas keplerianas circulares, la excentricidad orbital ees cero. Para orbitas osculantes casi circulares, la excentricidad orbital varıa con eltiempo y es un valor cercano a cero. La solucion numerica de una ecuacion diferencialordinaria satisfecha por la excentricidad orbital puede dificultarse por no ser admisiblesvalores negativos para la excentricidad orbital. En el caso de las coordenadas equinoc-ciales modificadas f y g, se tiene que su rango de valores esta entre −e y e , y enprincipio, es mas sencillo resolver numericamente ecuaciones diferenciales ordinariassatisfechas por estas coordenadas equinocciales modificadas. La longitud verdaderaL esta bien definida para las orbitas con inclinacion orbital cero o casi cero, como yavimos. Si el perigeo de la orbita no esta bien definido, como en el caso de las orbitascirculares o casi circulares, es la coordenada rapida de los elementos keplerianos laque es dıficil dedeterminar pero en el caso de las coordenadas equinocciales modi-ficadas, la determinacion de la coordenada equinoccial rapida no presenta problemaalguno. En el caso de orbitas excentricas con inclinacion orbital casi cero, el nodo as-cendente puede no ser estable, lo que puede ser estable es el argumento de latitud,y las coordenadas equinocciales modificadas f y g son estables. Cuando el nodo as-cendente esta pobremente determinado, esto es, no es estable, el valor casi cero de lainclinacion orbital hace que los valores de las coordenadas equinocciales modificadash y k se mantenga cercano a cero, presentando solamente cambios de signo, esto es,h y k son estables. Es preferible utilizar en la definicion de h y k el valor de la inclinacionorbital dividido entre dos en lugar del valor de la inclinacion orbital, ya que de este modolos signos de h y k son los signos del coseno y seno de Ω por ser [0,π] el rango devalores de la inclinacion orbital. Aun ası, la vision espacial geometrica de lo que son lasorbitas osculantes y las orbitas keplerianas esta dada por los elementos keplerianos.

Solucion a los ejercicios 39

Trabajo propuesto utilizando la informaci on de sitios de red en In-ternet.

Ejercicio 1 Busque un sitio de red en Internet de distribucion de valores numericos deconjuntos de elementos keplerianos, en formato TLE o en formato Amsat.

Soluci on al ejercicio 1 Sitio de red en Internet de Amsat:http://www.amsat.org/amsat/keps/menu.html .

Ejercicio 2 ¿Hay una frecuencia de distribucion de conjuntos de elementos kepleria-nos para los satelites artificiales? ¿Cual es la exactitud en el valor numerico distribuidopara la ascension recta del nodo ascendente? ¿Cual es la exactitud en el valor numeri-co distribuido para el movimiento medio?

Soluci on al ejercicio 2 Usualmente, el intervalo de tiempo entre dos conjuntos de ele-mentos keplerianos distribuidos es menor a la de una semana. Sin embargo, los conjun-tos de elementos keplerianos se distribuyen cuando la precision del ultimo conjunto deelementos keplerianos distribuido ya no es satisfactoria. Una distribucion de cuatro po-siciones decimales para un dato en grados corresponden a una precision de diezmilesi-mas de grado. El valor numerico distribuido para el movimiento medio tiene unidadesde revoluciones por dıa solar medio, y por lo tanto, la precision es aproximadamente de3,24e−6 grados por dıa, o 1,1664e−2 segundos de arco por dıa.

Ejercicio 3 ¿Cuales son los catalogos de satelites artificiales utilizados para la distribu-cion de conjuntos de elementos keplerianos de orbitas de satelites artificiales? ¿Tienela ONU un catalogo particular de satelites artificiales, y en este caso, quien lo mantieneactualizado?

Soluci on al ejercicio 3 Un satelite artificial de la Tierra es especificado por medio deun nombre o ID, un numero de catalogo de cinco digitos, y un designador interna-cional. Todo objeto de un tamano mayor a los 10cm tiene asignado un numero decatalogo. El catalogo de satelites es mantenido por US Space Command. Hay sitiosde red en Internet que mantienen una version propia del catalogo de USSpaceCom-mand, e.g. http://www.planet4589.org/space/jsr/jsr.html . Otro catalogo de satelites esLAUNCHLOG, que incluye tambien los intentos de lanzamiento. La oficina Office for

40 ECOSAT

Outer Space Affairs de la ONU mantiene un catalogo en lınea de objetos lanzados alespacio exterior. El designador internacional ID es un dato con la informacion ano delanzamiento seguido del numero secuencial de lanzamiento en el ano de lanzamientoy un identificador de pieza que puede constar de hasta tres letras (frecuentemente uncohete orbita varios satelites, y cada uno de ellos tiene un identificador de pieza). El IDtambien es conocido como numero COSPAR (Committee of Space Research) y comonumero COSPAR/WWAS (Cospar World Warning Agency for Satellites). WWAS es elorganismo autorizado por la ONU para proveer los designadores internacionales ID.

Ejercicio 4 ¿Que agencias espaciales utilizan coordenadas equinocciales o coorde-nadas equinocciales modificadas para determinar la orbita de un satelite artificial de laTierra?

Soluci on al ejercicio 4 La Agencia Espacial Europea utiliza coordenadas equinoccia-les modificadas.

Soluci on a los ejercicios del capıtulo 2.

Trabajo propuesto utilizando la teorıa desarrollada, las referenciasy la bibliografıa

Ejercicio 1 Describa la orbita polar de un satelite artificial de la Tierra.

Soluci on al ejercicio 1 Los satelites artificiales de la Tierra Grace-1 y Grace-2 sonoperados por el centro CSR (Center for Space Research) de la Universidad de Texas,campus Austin, y fueron orbitados en marzo de 2002. Su objetivo es el estudio delcampo de gravedad de la Tierra. La orbita de Grace-1 tiene semieje mayor igual a6853.67933 kms, excentricidad orbital 0.000479, e inclinacion del plano orbital 89.011(epoca 13 de enero de 2005, 17:56:32). La altura aproximada sobre el nivel del mar esde 247 kms. El satelite artificial Grace-2 ocupa la misma orbita, a una distancia de 220kms. Grace es el acronimo de Gravity Recovery and Climate Experiment.

Ejercicio 2 Describa la orbita geoestacionaria de un satelite de telecomunicaciones.

Solucion a los ejercicios 41

Soluci on al ejercicio 2 El satelite mexicano Solidaridad II inicio operaciones en 1994,ocupa la posicion 113W en el anillo geoestacionario. En 2004 fue orbitado otro satelitegeoestacionario, espanol, de nombre Amazonas, que ocupa la posicion 61W en elanillo geoestacionario.

Ejercicio 3 Describa la orbita heliosıncrona de un satelite artificial de monitoreo cientıfi-co que haya sido orbitado.

Soluci on al ejercicio 3 El satelite EOS Aqua tiene un nodo ascendente a la 1:30 PM.La altura sobre el nivel del mar del perigeo es 673 kms y la altura sobre el nivel del mardel apogeo es de 686 kms. El perıodo es de 98.4 min y la inclinacion del plano orbitales 98.4.

Ejercicio 4 Describa al menos una constelacion de satelites que no sea la constelacionIridium (por ejemplo, las constelaciones de satelites GPS como Navstar y la constela-cion ICO).

Soluci on al ejercicio 4 La constelacion NAVSTAR de satelites GPS consta de 24 sateli-tes en seis planos orbitales con un mınimo de cuatro satelites por plano orbital. Elcohete utilizado para orbitar los satelites de esta constelacion es el cohete Delta II.Las orbitas que ocupan los satelites de esta constelacion son circulares a 11 000millas sobre el nivel del mar. Los satelites transmiten en banda L y tienen un pesode 1816 kgs. Se puede consultar informacion en Internet sobre esta constelacion enhttp://tycho.usno.navy.mil/gps.html y en http://tycho.usno.navy.mil/gpsinfo.html. La cons-telacion de satelites ICO consta de diez satelites que ocupan dos orbitas medias circu-lares inclinadas. La constelacion de satelites Globalstar consta de 48 satelites en ochoplanos ocupando orbitas bajas.

Ejercicio 5 Mencione una carga util que haya sido orbitada en un satelite artificial dela Tierra.

Soluci on al ejercicio 5 Navegue en el sitio de red en Internet de la CONABIO Comi-sion Nacional para el Uso y Conocimiento de la Diversidad (Mexico) (Conabio – Geo-informacion – Imagenes de Satelites – Preguntas mas frecuentes). CONABIO recibe

42 ECOSAT

imagenes (diariamente) del sensor AVHRR (Advanced Very High Resolution Radiome-ter) de satelites NOAA y del sensor MODIS (Moderate Resolution Imaging Spectrora-diometer) del satelite Terra-1 del programa EOS-NASA (las imagenes son accesiblesentre las 20 hrs y las 7 hrs del dıa siguiente). El sensor AVHRR esta descrito en el sitiode red en Internet http://edc.usgs.gov/products/satellite/avhrr.html .

Ejercicio 6 Navegue en el sitio de red en Internet del Calendario Espacial del Labora-torio de Propulsion a Chorro de la NASA para saber que satelites artificiales de la Tierrafueron orbitados el mes de diciembre de 2004.

Soluci on al ejercicio 6 Sitio de red en Internet http://www2.jpl.nasa.gov/calendar/ .Dos de los satelites artificiales orbitados en diciembre de 2004 fueron: Helios 2A yParasol. El satelite Helios 2A es un satelite militar frances, de reconocimiento. El coheteutilizado para orbitar Helios 2A fue un Arianne 5. Parasol es un microsatelite construi-do por EADS-Astrium para CNES, orbitado para estudiar las nubes y aerosoles de laatmosfera.

Ejercicio 7 Navegue en el sitio de red en Internet Spacewarn Bulletin (publicacionmensual de NSSDC y WDC for Satellite Information) para localizar el Boletın no. 613(diciembre 2004) y la informacion que contiene sobre los satelites artificiales Swift yNavstar56.

Soluci on al ejercicio 7 Sitio de red en Internet:http://nssdc.gsfc.nasa.gov/spacewarn/spacewarn.html. El satelite artificial Swift fue or-bitado el 20 de noviembre de 2004, su numero de catalogo USSpaceCom es 28485,su Designador Internacional Cospar es 2004-047A. El satelite Swift es un satelite dela NASA orbitado por un cohete Delta 2 desde Cabo Canaveral para alcanzar fines dela Astrofısica. Su peso es de 1470 kgs. Su carga util consiste de tres telescopios juntocon su electronica y detectores asociados. El satelite Navstar 56 fue orbitado el 6 denoviembre de 2004 con numero de catalogo USSpaceCom 28474, y Designador Inter-nacional Cospar 2004-045A. El satelite artificial Navstar 56 forma parte de la flota de24 satelites GPS y reemplazo al satelite mas antiguo de ella, el GPS 2A-11 orbitado en1991 (ubicado en el plano D, ranura 1).

Ejercicio 8 Navegue en el sitio de red en Internet Space Mission Acronym List andHyperLink Guide de la NASA para hallar informacion sobre satelites amateur.

Solucion a los ejercicios 43

Soluci on al ejercicio 8 Sitio de red en Internet:http://ranier.hq.nasa.gov/Sensors page/MissionLinks.html . OSCAR es el acronimo pa-ra Orbiting Satellite Carrying Amateur Radio. WARC World Administrative Radio Confe-rence otorgo frecuencias al servicio de satelites amateur. El primer satelite de la serieOSCAR fue orbitado en 1961. El satelite RS-15 tiene numero de catalogo NASA 23440,fue orbitado en diciembre de 1994, ocupa una orbita polar baja (2000 kms sobre el ni-vel del mar) con perıodo aproximado de 128 minutos. El satelite AMSAT-Oscar40 tienenumero de catalogo NASA 93400, orbitado en noviembre de 2000 desde Kourou. Ocu-pa una orbita Molniya. El satelite Unamsat-B (MO30) formo parte de la serie OSCAR desatelites. AMSAT-Chile esta construyendo su primer satelite artificial amateur Cesar-1.

Ejercicio 9 Localice el URL del sitio de red en Internet del servicio SSCWeb del centroSatellite Situation Center operado por GSFC Centro Goddard de Vuelos Espaciales deNASA Administracion Nacional de Aeronautica y el Espacio y NSSDC National SpaceSciences Data Center, y describa una de sus funciones.

Soluci on al ejercicio 9 Sitio de red en Internet: http://sscweb.gsfc.nasa.gov/ . Las fun-ciones de este servicio/centro son apoyar los programas cientıficos de la NASA y cum-plir con responsabilidades internacionales de la NASA (incluyendo las responsabilida-des de NSSDC y el Centro A de Datos Mundiales para Cohetes y Satelites).

Ejercicio 10 Navegue en el sitio de red en Internet del centro Center for Orbital andReentry Debris Studies de The Aerospace Corporation para documentarse acerca dela basura espacial.

Soluci on al ejercicio 10 Sitio de red en Internet:http://www.aero.org/capabilities/cords/index.html . El contenido en el sitio de red tieneDerechos Reservados, su objetivo es exclusivamente el de informacion.

44

Sitios de red en Internet

Informacion sobre la reentrada a la atmosfera de satelites artificiales:-Hypervelocity Reentries, AMES-NASA, http://reentry.arc.nasa.gov/conditions.html,

Informacion sobre el lanzamiento de satelites artificiales:- Space Archive http://www.spacearchive.info/index.htm,- Launch Schedule http://www.satelliteonthenet.co.uk/launch.html,- Launchlog http://www.planet4589.org/space/log/launch.html,- Launch Logs http://www.orbireport.com/Log.html,

http://www.orbireport.com/OtherLogs.html,- Spaceflight Now http://spaceflightnow.com/tracking/.

Informacion sobre constelaciones de satelites:- Galileo http://www.esa.int/esaNA/SEMW86M26WD index 0.html,- Iridium http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/L.Wood/constellations/iridium.html,- ST5 Space Technology 5 http://nmp.nasa.gov/st5/- Cosmic / Formosat 3 Constellation Observing System for Meteorology, Ionosphereand Climate http://www.cosmic.ucar.edu/,- IM Ionospheric Mappers sera orbitada en 2009,- ION-F Ionosphere Observation Nanosatellite - Formationhttp://cse.usu.edu/sil/satellites/ususatI.html,- http://ususat.usu.edu/ourpast.htm.

Informacion sobre la situacion de satelites artificiales:- Satellite Situation Center Web http://sscweb.gsfc.nasa.gov/,

Informacion sobre sondas espaciales:- Solar System Exploration http://solarsystem.nasa.gov/index.cfm,- NASA’s Vision for Space Exploration

45

46 ECOSAT

http://www.nasa.gov/mission pages/exploration/main/index.html,- SondasEspaciales.com http://www.sondasespaciales.com/

Misiones de NASA:- Misiones de NASA http://www.nasa.gov/missions/timeline/current/current missions.html,- Misiones del JPL http://www.jpl.nasa.gov/missions/,

Archivo Espacial Historico de NASA:- NASA History Division http://history.nasa.gov/,

Catalogos y ’Hotlists’ de satelites artificiales:- Satellite Catalog SATCAT http://celestrak.com/satcat/search.asp,- SSHP Small Satellite Home Page http://centaur.sstl.co.uk/SSHP/,- Unmanned spacecraft and satellite links http://roland.lerc.nasa.gov/ dglover/sat/craft.html,- Welcome to Brian’s Space Hotlist http://spacelist.org/,- Mission and Spacecraf Library http://msl.jpl.nasa.gov/.

Observacion visual de satelites artificiales:- Sky Watch, Human Space Flight, NASA http://spaceflight.nasa.gov/realdata/sightings/index.html,- Visual Satellite Observer’s Home Page http://www.satobs.org/satintro.html.

Basura espacial:- Inter-Agency Space Debris Coordination Committee http://www.iadc-online.org/.

Elementos keplerianos y vectores posicion y velocidad:- Celestrak http://celestrak.com/NORAD/documentation/tle-fmt.asp,- Amsat http://www.amsat.org/amsat-new/tools/keps.php- Amsat, state vectors http://www.amsat.org/amsat-new/information/faqs/sv keps.php,- SpaceTrak http://www.space-track.org/perl/login.pl.

Constantes y rangos de valoresnum ericos

Rango de valores numericos de los elementos keplerianos:

(i) para la ascencion recta del nodo ascendente Ω es [0,2π)

(ii) para la inclinacion orbital i es [0,π)

(iii) para el argumento del perigeo ω es [0,2π)

(iv) para el semieje mayor a y la excentricidad e son los

usuales de las conicas

(v) para la anomalıa verdadera ν es [0,2π)

Adicionalmente, se tienen los rangos de valores numericos

(i) para el movimiento medio η es una cantidad real positiva

(ii) para la anomalıa media M es [0,2π)

Definiciones de las coordenadas equinocciales modificadas y rango de valores:

p = a(

1−e2) ∈ [0,∞]

f = ecos(Ω+ω) ∈ [−e,e]

g = esen(Ω+ω) ∈ [−e,e]

47

48 ECOSAT

h = tan

(

i2

)

cosΩ ∈ (−∞,∞)

k = tan

(

i2

)

senΩ ∈ (−∞,∞)

L = Ω+ω+ν ∈ [0,6π]

Referencias y Bibliografıa

[1] Orbit determination using analytic partial derivatives of perturbed motion, Arsenault,J.L., Ford, K.C., Koskela, P.E., AIAA vol 8, pp 4-12 (1970).

[2] Fundamentals of Astrodynamics, R.G. Bate, D.D. Mueller, J.E. White, Dover Pub.Inc., 1971

[3] Optimal Interplanetary orbit transfers by direct transcription, Betts, J.T., J Ast Sci,Vol 42, no 3, Julio-Sept 1994, pp 247-268.

[4] On the equinoctial orbit elements, Broucke, R.A., Cefola, P.J., Celestial Mechanics,vol 5, pp 303-310 (1972).

[5] Concise Encyclopaedia of Aeronautics and Space Systems, ed by Pelegrin andHollister

[6] Satellite Geodesy, Seeber, Gunter, ed Walter de Gruyter, 1993.

[7] A set of modified equinoctial orbit elements, Walker, M.J.H., Ireland, B., Owens, J.,Cel Mech, vol 36 pp 409-419, (1985).

[8] Spacecraft attitude determination and control, Wertz, James R., Kluwer AcademicPublishers, reimpresion 1991.

[9] Mission Analysis and Design, Wertz, James R. y Larson, W. J., Microcosm Inc, 2aedicion, 1992.

49

Indice analıtico

angulo de vuelo, 12orbita abierta, 3orbita casi circular, 24orbita cerrada, 3orbita de estacionamiento, 31orbita kepleriana, 2orbita kepleriana instantanea, 2orbita media, 25orbita osculante, 2orbita polar, 29orbita prograda, 23orbita retrograda, 23orbitas Molniya, 29orbitas altas, 26orbitas bajas, 25orbitas circulares, 24orbitas congeladas, 31orbitas de transferencia, 31orbitas elıpticas, 24orbitas espacio-referenciadas, 30orbitas especializadas, 30orbitas excentricas, 24orbitas geoestacionarias, 26orbitas geosıncronas, 26orbitas sol-sıncronas o heliosıncronas, 27

altura sobre el nivel del mar del apogeo, 10altura sobre el nivel del mar del perigeo,

10anomalıa excentrica de un satelite artificial

en un puntoP de unaorbita os-

culante, 10anomalıa media, 12anomalıa media de un satelite artificial en

unaorbita osculante, 8anomalıa media del satelite en el perigeo

paraorbitas osculantes, 9anomalıa media del satelite en unaepoca

con respecto a otraepoca fija, 9anomalıa media en el nodo ascendente, 9anomalıa media en el perigeo, 18anomalıa verdadera, 12anomalıa verdadera de un satelite artificial

en un punto de laorbita osculante,8

apoapsis, 5apogeo, 5argumento de latitud, 18argumento del periapsis, 13argumento del perigeo, 13ascension recta del nodo ascendente, 13Astrobalıstica, 1Astronautica, 1

baricentro, 3

cırculo excentrico, 10cobertura, 25constante gravitacional de un cuerpo ce-

leste, 4

decaimiento orbital, 11

50

51

distancia focal de unaorbita kepleriana ce-rrada, 6

ecuacion de Gauss, 12ecuacion de Kepler, 12ecuacion planetaria de Lagrange, 7ecuacion vis-viva, 11energıa mecanica total especıfica de un sateli-

te artificial, 11enumeracion de las revoluciones de un sateli-

te, 5equipo GPS, 30excentricidad de unaorbita kepleriana, 6

Geodesia, 1Geodesia Celeste, 1Geodesia Fısica, 1

inclinacion orbital, 13

lınea de los nodos, 5latitud subsatelital, 4longitud del perigeo, 18longitud media, 18longitud media en laepoca, 18longitud subsatelital, 4longitud verdadera, 18

masa principal, 3masa secundaria, 3Mecanica Celeste, 1misiones de monitoreo cientıfico, 25movimiento medio de un satelite artificial

en unaorbita kepleriana, 6movimiento medio de un satelite artificial

en unaorbita osculante, 6

nodo ascendente, 5nodo descendente, 5

perıodo anomalıstico, 7

perıodo anomalıstico de unaorbita oscu-lante en unaorbita dada, 7

perıodo nodal, 7perıodo nodal de unaorbita osculante en

unaepoca dada, 7periapsis, 5perigeo, 5primera ley de Kepler, 2problema de dos cuerpos, 2proyeccion ortogonal de un punto en una

orbita kepleriana al cırculo excentri-co, 10

punto subsatelital, 4puntos uorbitas de Lagrange, 30puntosubsat2, 16

satelite artificial, 3satelite de percepcion remota, 25satelite geoestacionario, 26segunda ley de Kepler, 3semieje mayor de unaorbita kepleriana, 5semieje menor de unaorbita kepleriana, 5semilado recto de unaorbita kepleriana, 6sonda, 3sondas espaciales de exploracion del siste-

ma solar, 30

Teorıa de Propulsion, 1tercera ley de Kepler, 3tiempo de paso por el nodo ascendente, 8tiempo de paso por el perigeo de un sateli-

te artificial, 8tiempo de paso por el perigeo en unaorbita

osculante, 8transferencia de Hohmann, 31trayectoria subsatelital, 4

vector de momento angular especıfico deun satelite, 11

52

vector excentricidad de unaorbita, 12vector nodal de unaorbita, 11velocidad lineal de un satelite en el perigeo

y el apogeo, 10