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Versão On-line ISBN 978-85-8015-075-9Cadernos PDE
OS DESAFIOS DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSENA PERSPECTIVA DO PROFESSOR PDE
Produções Didático-Pedagógicas
FICHA PARA IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA
TURMA - PDE/2013
Título: Descobrindo os Poliedros de Platão e sua relação com o cotidiano
Autor Sueli de Souza Ladeia Cadamuro
Disciplina/Área Matemática
Escola de Implementação Colégio Estadual Santa Mônica- EFM
Município da Escola Santa Mônica
Núcleo Regional Loanda
Professor Orientador Prof.ª Dr.ª Nelma Sgarbosa Roman de Araújo
Instituto de Ensino Superior Universidade Estadual do Paraná - UNESPAR – Campus de Paranavaí
Relação Interdisciplinar Este item não será contemplado no trabalho.
Resumo
Esta Unidade Didática foi produzida com a intenção de
trabalhar conteúdos de geometria espacial, em especial,
os poliedros de Platão de forma interativa, dinâmica e
significativa, com a finalidade de aproximar os alunos do
conhecimento geométrico de forma prazerosa e
diferenciada. Tem como objetivo possibilitar o
aprimoramento da linguagem matemática dos alunos,
estabelecendo relação entre seu cotidiano e os Poliedros
de Platão. Desta forma, tentará suprir, pelo menos em
parte, as defasagens com relação ao conteúdo básico de
Geometria Espacial. Ao abordar os conteúdos, será
trabalhada primeiramente a música Aquarela de Toquinho
com o objetivo de relacionar a música com tudo que nos
cerca e como as formas geométricas se encontram
presentes em nossas vidas. Será realizado um resgate
histórico dos Poliedros de Platão proporcionando
atividades contextualizadas; oficinas com planificação e
construção dos sólidos geométricos; identificação e
classificação em imagens, figuras, fotos e objetos com a
utilização de materiais manipuláveis e multimídia,
possibilitando também a ampliação da visão espacial e a
resolução de problemas, que poderá contribuir para uma
aprendizagem eficaz com o desenvolvimento do
pensamento geométrico e a construção do conhecimento
matemático.
Palavras-chaves Educação Matemática; Geometria Espacial; Poliedros de Platão; Materiais Manipuláveis.
Formato do Material Didático Unidade Didática
Público Alvo Alunos do 3.º Ano do Ensino Médio
1
PRODUÇÃO DIDÁTICO PEDAGÓGICA
APRESENTAÇÃO
A produção didático-pedagógica que se apresenta vem ao encontro de uma
abordagem contextualizada e com uso de materiais manipuláveis, sendo também
comparados a uma variedade de situações do cotidiano onde se emprega a
geometria espacial para desenvolver o pensamento geométrico e a construção do
conhecimento matemático. Estas atividades foram elaboradas no Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE, com o formato de Unidade Didática e
vinculado ao Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola.
Esta produção permite ainda a visualização espacial e a construção de
maquetes promovendo a relação do abstrato com o real, possibilitando que o aluno
relacione o seu mundo com o estudo da geometria, buscando por meio de
resoluções de problemas, investigação e utilização de jogos, caminhos que motivem
e facilitem a aprendizagem, favorecendo a visualização e análise dos elementos que
compõe cada sólido geométrico. Esta produção será desenvolvida com os alunos do
3.º ano do Ensino Médio do Colégio Estadual de Santa Mônica – EFM. O objetivo
deste trabalho é amenizar as defasagens com relação ao conteúdo básico da
Geometria Espacial, proporcionando uma aprendizagem efetiva da linguagem
matemática envolvida, estabelecendo relações entre o cotidiano dos alunos e os
Poliedros de Platão, bem como observações que relacionam as características dos
poliedros pela relação de Euler.
Tem como proposta trabalhar os conteúdos de geometria espacial de forma
interativa, dinâmica e significativa, possibilitando aos alunos o conhecimento da
história da geometria, destacando sua importância para a compreensão dos
poliedros de Platão. Serão apresentadas situações problemas do cotidiano de forma
prazerosa e diferenciada, como a construção dos sólidos platônicos por meio de
oficinas utilizando materiais variados. Sendo assim, será oportunizado aos alunos
experimentar, analisar, levantar hipóteses e chegar a conclusões durante o processo
de construção de seu conhecimento matemático. Com esta proposta pretende-se
aproximá-los dos conhecimentos geométricos e incentivá-los a buscar respostas de
forma curiosa e diversificada por meio de pesquisas, observações, planificações e
2
construções. É um trabalho considerado importante porque pretende facilitar a
compreensão e a aprendizagem dos alunos, afim de que explorem a história e a
relacionem com o seu cotidiano. Por meio das oficinas, os alunos estarão diante de
problematizações de situações do cotidiano, o que vem valorizar o aluno no seu
contexto social, pois envolvem problemas que sugerem questionamentos de
situações que muitas vezes vivenciam. Desta forma, pensa-se que o trabalho
pedagógico com as oficinas possibilitará a intervenção do estudante nos problemas
reais do meio social e cultural em que vive contribuindo, assim, para a sua formação
como cidadão crítico.
3
UNIDADE DIDÁTICA
Descobrindo os Poliedros de Platão e sua relação com o cotidiano
Esta Unidade Didática, com ênfase em trabalhar as oficinas com materiais
manipuláveis no desenvolvimento dos poliedros platônicos e o conhecimento da
história da geometria, tem como propósito possibilitar que os alunos relacionem o
conhecimento empírico com o científico e, ao mesmo tempo, com o seu cotidiano.
Por meio do uso de materiais manipuláveis, propõe-se aos alunos uma melhor
compreensão do conteúdo de geometria espacial por meio de visualização, da
representação, da planificação e da construção dos poliedros de Platão. Desta
forma, pretende-se melhorar o processo ensino- aprendizagem de matemática,
favorecendo um estudo prazeroso, diversificado e principalmente com compreensão
dos conceitos geométricos envolvidos. Com este trabalho, espera-se que os alunos
se tornem mais participativos e críticos quando estiverem analisando cada situação
apresentada.
Aprender a utilizar adequadamente os materiais manipuláveis favorecerá o
processo ensino-aprendizagem, permitindo aos alunos o desenvolvimento do seu
pensamento, de sua compreensão, bem como da descrição e da representação, de
forma organizada, do mundo em que vive.
Esta Unidade Didática está organizada em oficinas, as quais estão
distribuídas em seis etapas.
A primeira etapa está dividida em quatro tarefas que compreendem:
- situação do cotidiano com apresentação de imagens, fotos e figuras e
utilização de materiais manipulável afim de que os alunos observem a importância e
a aplicação da geometria no meio em que se vive, desde tempos remotos;
- reconhecimento das formas geométricas sem o conhecimento científico;
- breve resgate histórico da geometria e pesquisa no laboratório de
informática sobre Platão;
- explanação e discussão do que foi desenvolvido até o momento para iniciar
o estudo em questão.
Na segunda etapa serão utilizados materiais diversificados para a planificação
e construção dos cinco poliedros platônicos. Esta contem três tarefas.
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Na terceira etapa serão trabalhados os principais conceitos de geometria
espacial com os materiais confeccionados anteriormente, como a comprovação da
relação de Euler.
A quarta etapa compreenderá a apresentação do software Poly (programa
educacional disponível em: <www.peda.com/poly>) para visualização, exploração,
investigação e análise dos sólidos platônicos ou geométricos.
Na quinta etapa os alunos farão exposição de seus trabalhos à comunidade
escolar e apresentação de algumas curiosidades sobre os poliedros platônicos.
A sexta e última etapa compreende uma atividade recreativa com a turma,
“Roleta de Platão”, com o intuito da socialização e, ao mesmo tempo, de verificar se
houve progresso dos alunos em sua aprendizagem no decorrer do projeto.
Os alunos serão avaliados no decorrer do projeto, por meio de observações
quanto a sua participação, sendo acompanhados pelo professor durante todo o
processo das oficinas. Assim, o professor como mediador estará esclarecendo
dificuldades apresentadas e verificando os avanços da turma. Além de todo este
processo, ao finalizar todas as etapas, será proposto aos alunos que participem de
um questionário para se auto avaliarem e apresentarem se houve ou não
dificuldades em cada oficina, para que possam ser retomadas.
5
1.ª ETAPA: Um olhar geométrico no nosso cotidiano
Materiais necessários: TV multimídia; fotos, imagens; objetos para serem
manipulados como: bolas, dadinhos, pirâmides de vidro, embalagens, caixas de
sapato, caixas de remédio, caleidoscópio, latas, casquinha de sorvete, entre outros.
Tarefa 1 – Assista ao vídeo “Geometria da Natureza”, disponível em:
<http://www.youtube.com/watch?v=8azgdSzGLdI>. Acesso em: 18 jul. 2013.
Observe a exposição de vários objetos na mesa do professor e manuseie-os.
Discuta com os colegas e o professor o que foi apresentado, o que pode ser
observado e pense nas seguintes questões:
- Qual a importância e a aplicação da geometria no meio em que vive?
- Quais foram às formas geométricas identificadas?
- Cite outros objetos que possuem a mesma forma.
- Cite outros exemplos que podem ser identificados na natureza.
Tarefa 2 – Depois de assistir o vídeo, produza desenhos livres de todas as formas
encontradas, com a utilização de papel e régua, procurando identificá-las e
compará-las.
Com base nos desenhos, pesquise em livros didáticos as seguintes definições:
a) O que são polígonos?
b) O que são faces?
c) O que são vértices?
d) O que são arestas?
Tarefa 3 – Assista o vídeo sobre a “Origem da Geometria”, disponível em:
<www.youtube.com/watch?v=awQvKJbPMqE>. Acesso em: 23 jul. 2013.
Reflita e discuta, juntamente com o professor e colegas, sobre:
a) O que mudou desde a origem da geometria até os dias atuais?
b) É importante conhecer a história da geometria para melhor entendê-la?
Tarefa 4 – Realize uma pesquisa no laboratório de informática sobre quem foi Platão
e a origem dos cinco poliedros platônicos.
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Assista o vídeo “Diálogo Geométrico” criado pela SEED/FNDE/MEC, TV
Escola, disponível em: <www.youtube.com/watch?v=_7yXoZnSTBM>. Acesso em:
23 jul. 2013. Realize discussão com seus colegas e professor.
Tarefa 5 – Observe a imagem (Figura 1) e responda:
Figura 1: Objetos que representam poliedros.
Fonte: <www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial11.php>. Acesso em: 06 set. 2013.
a) Quais são os poliedros que aparecem na imagem?
b) Os que não são poliedros, como são chamados na geometria?
2.ª ETAPA: Construção dos polígonos
Nesta etapa serão construídas, em cartolina, as figuras geométricas
chamadas de polígonos (triângulo equilátero, quadrado e pentágono) e também
serão resgatados alguns conceitos importantes que nos ajudarão nestas
construções.
Sólidos Platônicos são sólidos convexos cujas arestas formam polígonos planos regulares
congruentes.
Polígonos são figuras plana limitada por segmentos de reta.
Triângulo Equilátero é o triângulo que tem os três lados iguais e três ângulos de 60°.
Quadrado é o paralelogramo que tem os quatro lados iguais e os quatro ângulos retos (90°).
Pentágono é um polígono com cinco lados iguais. Seus ângulos internos medem 108°.
7
Materiais necessários: Compasso, régua, lápis, borracha, tesoura, cartolina
ou papelão.
Triângulo Equilátero
Na construção do triângulo equilátero, pode-se partir do seguinte princípio:
Dados os vértices A e B, basta desenhar um arco de circunferência com
centro em A e abertura até B e outro arco de circunferência, com centro em B e
abertura até A. A intersecção entre os dois arcos define o terceiro vértice do
triângulo equilátero.
Figura 2: Triângulo equilátero
Fonte: <http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=200>.
Acesso em: 29 jul. 2013.
Tarefa 6 - Dado um segmento AB, construa o triângulo equilátero ABC e sua altura.
Lembre-se que o triângulo ABC é equilátero e a reta CD é a mediatriz de AB.
Fonte: <http://www.veraviana.net/triangulos.html#triangulolado>. Acesso em: 25 jul. 2013.
Quadrado
Figura 3: Quadrado
Fonte da Figura 3: http://www.mundoeducacao.com/matematica/o-teorema-pitagoras-aplicado-no-estudo-trigonometria.htm>. Acesso 25 jul. 2013.
A B
8
Tarefa 7 - Dado o segmento AB, construa o quadrado ABCD.
Trace por A e B retas perpendiculares ao segmento AB. Trace as
circunferências de centro A, passando por B e de centro B passando por A. As
interseções dessas circunferências com as perpendiculares são os vértices C e D.
Pentágono
Tarefa 8 – Construa, juntamente com o professor e colegas, um pentágono
considerando que AB é o seu lado.
Figura 4: Pentágono Fonte:<http://es.wikipedia.org/wiki/Pent%C3%A1gono>. Acesso em: 29 out.2013.
1.º passo: Sendo AB=5 cm, fazer duas circunferências com centros em A e em B e
raio AB. Marque o ponto C no cruzamento das duas circunferências.
Figura 5: 1.º passo da construção do pentágono.
2.º passo: Marque o ponto D no cruzamento das duas circunferências. Coloque a
ponta seca do compasso em D e com abertura igual à DB ou DA, construa um arco
que encontra as duas circunferências em D e F. Em seguida, construa a mediatriz
de AB que passa pelos pontos C e D. Depois, marque o ponto G na interseção da
mediatriz com o arco EABF.
B
A B
A
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Figura 6: 2.º passo da construção do pentágono.
3.º passo: Ligue os pontos EG e prolongue até a circunferência de centro B
encontrando o ponto I na interseção da reta com a circunferência. Em seguida ligue
os pontos F e G e prolongue até a circunferência de centro A, encontrando o ponto
H na intersecção da reta com a circunferência.
Figura 7: 3.º passo da construção do pentágono.
4.º passo: Coloque a ponta seca do compasso no ponto H e com abertura igual à
AB trace um arco que intersecta a mediatriz no ponto J. Da mesma forma, coloque a
ponta seca do compasso em I e com abertura igual à AB trace outro arco que
intersecta a mediatriz no mesmo ponto J.
Figura 8: 4.º passo da construção do pentágono.
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5.º passo: Ligue os pontos A, B, I, J e H, obtendo assim o pentágono regular.
Figura 9: 5.º passo da construção do pentágono.
(Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ex_re/dg_ex_re11.php>. Acesso em: 25
jul. 2013).
3.ª ETAPA: Construção das representações e das estruturas dos Sólidos
Platônicos.
Figura 10: Sólidos Platônicos
Fonte: <http://www.brasilescola.com/matematica/os-solidos-platao.htm>. Acesso em: 29 jul. 2013.
Tarefa 9 – Assista ao vídeo “Construção dos Sólidos de Platão” (com os seus
devidos materiais), disponível em: <http://www.youtube.com/watch?v=TJj0F-
cRpqw>. Acesso em: 29 jul. 2013.
Em grupos de quatro alunos e com a orientação do professor, serão
construídos nas tarefas seguintes cinco sólidos platônicos: tetraedro, hexaedro,
octaedro, dodecaedro e icosaedro, com a utilização de materiais diversificados.
Materiais necessários: papelão (caixas de fogão, geladeira, de produtos de
mercado, etc.), fita crepe, solução de cola e água (meio a meio), tesoura, papel
higiênico, pincel, tinta acrilex ou guache e os moldes dos polígonos construídos nas
tarefas 6, 7 e 8 (triângulo equilátero, quadrado e pentágono).
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Tarefa 10: Construa a representação do tetraedro.
1.º passo - Riscar no papelão as quatro faces os quatro triângulos equiláteros que
serão as faces do tetraedro, recortá-los e unir as arestas duas a duas com a fita
crepe, formando um triângulo maior como na Figura 6.
Figura 11: Planificação do tetraedro.
(Fonte: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Tetraedro> Acesso em: 29 de jul.2013).
2.º passo – Fazer a estruturação do poliedro unindo duas arestas de cada vez com
a fita crepe, concluindo a construção.
3.º passo – Em cada face, colocar papel higiênico seco e passar a solução de cola e
água (com pincel) para fazer uma textura. Quando todas as faces já estiverem com
esta textura deixar secar.
4.º passo – Completando a secagem, passar a tinta sobre o papel higiênico seco e
deixar secar.
Na construção das representações dos demais poliedros, utilizar o mesmo
processo, considerando que:
- Hexaedro – tem 6 faces quadrangulares.
- Octaedro – tem 8 faces triangulares, o mesmo molde utilizado no tetraedro.
- Dodecaedro – tem 12 faces pentagonais.
- Icosaedro – tem 20 faces triangulares, o mesmo molde utilizado no tetraedro.
Construção das estruturas dos Sólidos de Platão com canudos
Tarefa 11 – Assista ao vídeo “Construindo Poliedros com Canudos”, disponível em:
<www.youtube.com/watch?v=FXcrq3QSAZI> ou <http://www.uff.br/cdme/poliedros_
platao_dual/aluno03.html>. Acesso em: 30 jul. 2013.
12
Tarefa 12 – Construção da estrutura do tetraedro regular.
Materiais necessários: 6 pedaços de canudo de refrigerante de mesma cor e
comprimento (sugere-se 8 cm), régua, tesoura, 1 metro de linha de pipa e agulha.
1.º passo - Tome o fio de linha, passe-o por dentro de três pedaços de canudo,
construa um triângulo e feche-o por meio de um nó.
Figura 12: 1.º passo da construção da estrutura do tetraedro regular.
2.º passo - Passe o restante de linha por mais dois pedaços de canudo, juntando-o
e formando mais um triângulo com um dos lados do primeiro triângulo.
Figura 13: 2.º passo da construção da estrutura do tetraedro regular.
3.º passo - Finalmente, passe a linha por um dos lados desse triângulo e pelo
pedaço de canudo que ainda resta, fechando a estrutura com um nó. Essa estrutura
representa as arestas de um tetraedro regular.
Figura 14: 3.º passo da construção da estrutura do tetraedro regular. Fonte: <http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/aluno03.html>. Acesso em 30 jul. 2013.
Tarefa 13: Construa a estrutura do octaedro regular.
Materiais necessários: dois metros de linha para pipa, doze pedaços de
canudo de mesma cor e comprimento (sugere-se a medida de 8 centímetros).
13
Passo único – Com os pedaços de canudos e o fio de linha de pipa, construa
quatro triângulos e os una, dois a dois. Em seguida faça a junção formando o
octaedro como ilustrado na Figura 10.
Figura 15: Detalhamento da construção da estrutura do octaedro regular.
(Fonte: <http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/aluno03.html>. Acesso em: 30 jul. 2013).
Tarefa 14: Construa a estrutura do icosaedro regular.
Materiais necessários: três metros de linha para pipa, trinta pedaços de
canudo de mesma cor e comprimento (sugere-se a medida de 7 centímetros).
1.º passo - Construa quatro triângulos e os una com mais um canudo, de forma a
obter uma pirâmide regular de base pentagonal.
Figura 16: 1.º passo para construção da estrutura do icosaedro regular.
2.º passo - Repita essa construção, obtendo mais uma pirâmide como essa.
3.º passo - Una as pirâmides pelos vértices das bases, por meio de pedaços de
canudos, de tal forma que em cada vértice se encontrem cinco canudos.
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Figura 17: 2.º passo para construção da estrutura do icosaedro regular. (Fonte: <http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/aluno03.html>. Acesso em: 30 jul. 2013).
Tarefa 15: Construa a estrutura do cubo e suas diagonais.
Materiais necessários: 2 metros de linha para pipa, doze pedaços de canudo
da mesma cor e medindo oito cm, seis canudos de outra cor ou de diâmetro menor
do que o anterior, e mais um canudo de cor diferente das demais.
1.º passo - Com pedaços de canudo da mesma cor construa um cubo de 8 cm de
aresta. Para isso, passe a linha pelos quatro canudos e passe a linha novamente por
dentro do primeiro canudo, construindo um quadrado (passos 1, 2, 3, 4 e 5).
Considerando um dos lados desse quadrado e passando a linha por mais três
canudos (passos 6, 7, 8), construa mais um quadrado. Observe que ainda faltam
cinco canudos para completar as arestas do cubo (passos 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
sendo o 16 no mesmo canudo 7, chegando ao 17). Prenda-os de maneira a
completa-la, conforme ilustrado na Figura 13.
Figura 18: 1.º Passo para construção da estrutura do cubo.
2.º passo – Observem que a estrutura construída ainda não ficou rígida. O que se
pode fazer para deixá-la rígida?
Agora, com pedaços de canudo de cor ou diâmetro diferente da usada para
representar as arestas do cubo, construa uma diagonal no interior da estrutura.
Ao final de sua construção, esta ficou rígida?
15
Figura 19: 2.º Passo para construção da estrutura do cubo.
(Fonte: <http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/aluno03.html>. Acesso em: 30 jul. 2013).
Tarefa 16: Construa a estrutura do dodecaedro.
Há muitas maneiras de se construir um dodecaedro. Uma forma seria a da
estrutura montada com canudos de refrigerante e barbante.
Nessa construção serão necessários trinta pedaços de canudo da mesma cor
e medindo 8 cm de comprimento, 6 m de linha e agulha para tapeçaria.
Figura 20: Passos da construção do dodecaedro.
(Fonte: <http://www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/desafio.html>. Acesso em: 28
out.2013).
Seguindo as orientações da Figura 20, construa o dodecaedro, observando
que para tal, teremos apenas 3 fases construídas com os 5 lados e a linha passa por
quase todos os canudos duas vezes. Em alguns trechos, a linha fica sem canudos
para que facilite na hora de fechar.
16
Construção das estruturas dos Sólidos de Platão com palitos
de dente e jujubas (balas de gomas).
Tarefa 17: Assista o vídeo “Construindo poliedros com jujubas e palitos de dente”.
Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=qI5agL6LngU>. Acesso em: 05 ago.
2013.
Materiais necessários: um saco de jujubas de 500 gramas e uma caixa de
palitos de dente.
Observe, na sequência, a quantidade de material necessário para a
construção de cada estrutura.
- Tetraedro: 6 palitos de dente e 4 jujubas.
- Cubo: 12 palitos de dente e 8 jujubas.
- Octaedro: 12 palitos de dente e 6 jujubas.
Figura 21: Estruturas dos Sólidos de Platão com palitos de dente e jujubas
Tarefa 18 – Construa a estrutura do cubo.
Materiais necessários: 8 jujubas e 12 palitos.
1.º passo - Comece com quatro palitos e quatro jujubas. Espete os palitos nas
jujubas para fazer a representação de um quadrado, com uma jujuba em cada
vértice (encontro das arestas), conforme Figura 16.
Figura 22: 1.º passo da construção da estrutura do cubo
2.º passo - Espete outro palito no topo de cada bala.
17
3.º passo - Coloque uma bala em cima de cada palito. Ligue estas balas de cima
com palitos de dente para fazer um cubo. Um cubo tem um quadrado em cada lado
(faces), conforme ilustrado na Figura 22.
Figura 23
(Fonte: <http://www.feiradeciencias.com.br/sala27/27_11.asp>. Acesso em: 07 ago. 2013).
Observe a estrutura do cubo montada e responda:
a) Quantas arestas (palitos) contêm?
b) Quantos vértices (encontro das arestas) possui?
Tarefa 19: Construa a estrutura de uma pirâmide.
Figuras 24, 25 e 26: Passos da construção da estrutura do Tetraedro
1.º passo - Comece com três jujubas e três palitos. Espete os palitos nas balas para
fazer um triângulo, com uma goma em cada vértice (encontro das arestas).
2.º passo - Espete outro palito no topo de cada goma. Dobre os 3 palitos de dente
em direção ao centro. (Os palitos podem ser espetados já um tanto inclinados).
3.º passo - Espete todos os 3 palitos em uma só goma para fazer
uma pirâmide de três lados. A pirâmide de três lados tem um triângulo de cada
lado (faces). Quantos vértices (gomas) tem esta pirâmide? E quantas arestas
(palitos)?
18
Figura 27
(Fonte: <http://www.feiradeciencias.com.br/sala27/27_11.asp>. Acesso em: 07 ago. 2013).
Tarefa 20 - Construa uma tabela, relacionando os nomes dos poliedros de Platão
com seus vértices (V), arestas (A), faces (F), número de lados (N), número de
arestas que convergem em cada vértice (C) desse poliedro e observe se existe
alguma relação entre eles.
Tarefa 21 - Faça uma pesquisa e um resumo sobre a comparação feita por Platão
entre os elementos do universo e suas respectivas figuras representativas.
(Disponível em: <http://www.webquestbrasil.org/criador/webquest/soporte_mondrian_w.php?
id_actividad=17533&id_pagina=2>. Acesso em: 09 ago. 2013).
4.ª ETAPA – Alguns conceitos de geometria espacial com os materiais
confeccionados anteriormente.
Tarefa 22 – Num poliedro convexo, o número de vértices é 8 e o número de arestas
é 16. Qual o número de faces desse poliedro?
Tarefa 23 – Um poliedro convexo apresenta 3 faces quadrangulares, 2 faces
hexagonais e 4 faces triangulares. Quantos vértices têm esse poliedro?
Tarefa 24 – Preencha o quadro:
Poliedro V F A V + F A + 2
Tetraedro
Cubo ou Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
A Relação de Euler é verificada para esses poliedros?
19
5.ª ETAPA – Estudando poliedros com auxílio do software Poly.
O software Poly é um programa educacional, desenvolvido pela Pedagoguery
Software Inc., (disponível no endereço eletrônico: <www.peda.com/poly>, acesso
em: 09 agosto de 2013).
Tarefa 25 – Dirija-se ao laboratório de informática, entre no software Poly e siga as
instruções:
1- Explore livremente o programa.
2- Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas
realçadas. Depois, clique em Sólidos Platônicos e selecione o tetraedro. Na tela já
aparecerá um tetraedro (um tetraedro regular). Com o botão direito (ou esquerdo) do
mouse pressionado, movimente o sólido e determine:
a) o número de faces:___________
b) o número de arestas:___________
c) o número de vértices:___________
3 - Planifique o sólido utilizando os recursos do software e confira suas respostas.
4 - Verifique se a relação V + F = A + 2 (relação de Euler), sendo V o número de
vértices, F o número de faces e A o número de arestas, é válida para o sólido
analisado.
5 - Repita a atividade 2 desta tarefa para o hexaedro e o octaedro.
6 - Clique no botão que permite visualizar o sólido montado com as arestas
realçadas. Depois, clique em Sólidos Platônicos e selecione Dodecaedro. Observe
que este sólido é composto de 12 pentágonos regulares.
a) determine o número de arestas desse sólido, sem contar uma a uma.
b) utilize a relação de Euler e determine o número de vértices.
7 – Repita a atividade desta tarefa para o icosaedro.
(Disponível em: <http://www.edumat.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostila_poliedros_poly
2006.pdf>. Acesso em: 09 ago. 2013).
6.ª ETAPA - Apresentação dos sólidos geométricos confeccionados nas
oficinas para a comunidade escolar.
20
7.ª ETAPA – Jogo
Tarefa 26 – Jogar a “Roleta de Platão”.
Regras do Jogo:
A sala será dividida em duas equipes, sendo A e B e cada equipe será
dividida em duplas. A cada envelope respondido, trocam as duplas.
Dois alunos se enfrentam para tentar descobrir, com o menor número de
pistas, qual é a palavra secreta. São 12 envelopes colocados sobre uma roleta e os
participantes se revezam na escolha de um deles. Dos 12 envelopes, 4 trazem
perguntas consideradas fáceis, 4 consideras moderadas e 4 difíceis.
Cada envelope traz 3 pistas, que o professor lê alternadamente, primeiro para quem
tirou o envelope e depois para o outro aluno. Se acertar a palavra secreta com a
primeira pista, o primeiro aluno que respondeu a pergunta ganha 10 pontos. Na
segunda, que será para o outro aluno, ganhará 9 e, na terceira, que retornará ao
primeiro obtém 8 pontos. Depois que o professor lê a pista, o aluno é obrigado a
responder, mesmo que errado, sob pena de perder 10 pontos. Se nenhum dos dois
acertarem a palavra secreta com as 3 pistas, o professor passa a chance para os
alunos da equipe A e B que estão na plateia. O aluno que responder primeiro
corretamente, seja este da equipe A ou B, receberá os 10 pontos para a equipe.
A equipe vencedora terá direito a um prêmio escolhido pelo professor.
(Adaptado do jogo das três pistas do Programa Silvio Santos).
1.º envelope:
1.ª pista – Estão relacionados à natureza.
2.ª pista – Todos possuem faces poligonais iguais.
3.ª pista – São cinco no total.
2.º envelope:
1.ª pista – Possui 30 arestas.
2.ª pista – Possui 12 vértices.
3.ª pista – Possui 20 faces.
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3.º envelope:
1.ª pista - É o poliedro mais pontiagudo.
2.ª pista – Arestas mais cortantes.
3.ª pista – Menor mobilidade e representa o fogo.
4.º envelope:
1.ª pista – Filósofo grego.
2.ª pista – Nasceu em Atenas.
3.ª pista – Discípulo de Sócrates.
5.º envelope:
1.ª pista – Sólido geométrico.
2.ª pista – Região do espaço limitada por uma superfície fechada.
3.ª pista – Composto por um número finito de faces.
6.º envelope:
1.ª pista – Utiliza a soma de faces mais vértices.
2.ª pista – Se iguala a arestas mais 2.
3.ª pista – Comprova a existência dos cinco poliedros platônicos.
7.º envelope:
1.ª pista – As faces são polígonos regulares.
2.ª pista – Todas as arestas são congruentes.
3.ª pista – Todos os vértices são congruentes.
8.º envelope:
1.ª pista – Quinto e último poliedro regular convexo.
2.ª pista – Representa o cosmos.
3.ª pista – Segundo Platão “alma do mundo”.
9.º envelope:
1.ª pista – Representa a Terra.
2.ª pista – Possui 8 vértices.
3.ª pista – Pode ser chamado de hexaedro.
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10.º envelope:
1.ª pista – Possuem três dimensões: comprimento, largura e altura.
2.ª pista – Suas superfícies podem ser planas e curvas.
3.ª pista – Suas superfícies são limitadas.
11.º envelope:
1.ª pista – Possui maior mobilidade crescente.
2.ª pista – Possui 6 vértices.
3.ª pista – Representa o ar na natureza.
12.º envelope:
1.ª pista – Possui 20 vértices.
2.ª pista – Tem 12 faces.
3.ª pista – Tem polígonos pentagonais.
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ORIENTAÇÕES METODOLÓGICAS
Na sequência serão apresentadas algumas sugestões e orientações aos
professores que pretendem utilizar esta U.D., referentes a algumas tarefas que se
pensou fazer necessárias. As tarefas não citadas foram consideradas
autoexplicativas.
1.ª ETAPA:
Tarefa 1 – Para esta tarefa o professor deve deixar exposto, em sua mesa, objetos e
fotos para os alunos observarem e manusearem após a apresentação do vídeo
“Geometria da Natureza”.
Sugestão: Este trabalho pode ser desenvolvido em aula de campo, onde os alunos
poderão observar tudo que os cercam para depois descrever, por meio de
desenhos, recorte, colagem ou oralidade, as formas geométricas encontradas.
Os alunos poderão ainda, em grupos, elaborar um vídeo com imagens de
tudo que os cercam, apresentarem para os colegas e justificarem as formas
geométricas encontradas.
Tarefa 2 – Esta atividade tem como objetivo enfatizar o interesse no estudo dos
poliedros e os conceitos de geometria como polígonos, vértices, ângulos, arestas e
faces.
Nesta atividade o professor deverá entregar aos alunos papel sulfite para que
desenhem todas as imagens que conseguiram identificar e observar na atividade
anterior. Poderá ainda utilizar como instrumento a régua e outro material que achar
necessário para que possam compará-las e pesquisar em livros didáticos ou na
internet sobre as questões propostas na atividade.
Tarefa 4 - O vídeo “Diálogo Geométrico”, proposto nesta tarefa apresenta uma série
de informações, principalmente a relação da geometria com o nosso cotidiano, como
também as formas geométricas que se encontram presentes em vários contextos do
dia a dia, inclusive na natureza e a origem dos sólidos platônicos.
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2.ª ETAPA:
O professor deve apresentar uma peça piloto de todas as construções
trabalhadas, para que os alunos possam visualizar e manusear.
Sugere-se trabalhar a construção dos polígonos como: triângulo equilátero,
quadrado e pentágono. Estas construções devem ser explicadas pelo professor, que
precisa intermediar todo o trabalho do aluno. Em seguida, a cada construção, o
aluno terá tarefas a serem realizadas (6, 7 e 8).
3.ª ETAPA:
Propõe-se que os alunos construam representações e estruturas dos sólidos
de Platão com papelão, canudos e palitos, assistindo, antecipadamente, vídeos
sobre suas construções. A sala é dividida em grupos, de forma que cada grupo
constrói a representação de um sólido platônico, trocando na próxima construção.
Assim, possibilita que todos conheçam os cinco poliedros.
Estas atividades têm objetivo de proporcionar ao aluno reconhecer os
Poliedros de Platão e suas particularidades. Pode-se dizer, ainda, que o aluno
poderá identificar as arestas, faces e vértices.
Para cada uma das tarefas desta etapa é viável que o professor entregue aos
alunos apostila com o passo-a-passo das construções.
A construção da representação dos sólidos de Platão com papelão tem como
objetivo destacar suas faces.
A construção da representação dos sólidos de Platão com canudos tem como
objetivo destacar suas arestas.
A construção da representação dos sólidos de Platão com palitos de dente e
jujubas tem o objetivo de destacar os vértices representados pelas jujubas.
Sugestão: esta atividade pode ser feita com palitos de churrasco e bolinhas de
isopor, utilizando o mesmo procedimento para construí-las.
4.ª ETAPA:
Nesta etapa sugere-se retomar o vídeo “Diálogo Geométrico”, (proposto na
tarefa 4), para trabalhar os conceitos da geometria espacial e a comprovação da
Relação de Euler, com a utilização dos materiais confeccionados nas tarefas de 10
a 19.
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Tarefas 22 a 24 – objetivam trabalhar os conceitos da geometria espacial e a
Relação de Euler.
5.ª ETAPA:
Nesta etapa é proposto o trabalho de informática com o software educacional
Poly (disponível no endereço eletrônico <www.peda.com/poly>, acesso em 09 de
agosto 2013). Este software auxilia o aluno a visualizar, reconhecer e analisar os
diferentes poliedros, possibilitando a manipulação das figuras em suas variadas
representações: tridimensionais, planificações e incrustações topológicas no plano.
Possui diversos recursos de computação gráfica que possibilitam girar as figuras
tridimensionais e planificá-las na velocidade desejada. Permite a impressão das
imagens e planificações.
6.ª ETAPA:
Sugere-se que seja organizada pelo professor e alunos uma exposição dos
trabalhos à comunidade escolar, apresentando o material confeccionado.
7.ª ETAPA:
Tarefa 26 – “Roleta de Platão” constitui-se como um desafio, ou seja, uma
competição para os alunos, de forma recreativa, apresentarem o que aprenderam
sobre os sólidos platônicos.
Respostas das palavras secretas de cada envelope:
1.º envelope - Poliedro de Platão.
2.º envelope – Icosaedro.
3.º envelope – Tetraedro.
4.º envelope – Platão.
5.º envelope – Poliedro.
6.º envelope Relação de Euler.
7.º envelope – Poliedro regular.
8.º envelope – Dodecaedro.
9.º envelope – Cubo.
10.º envelope – Sólidos Geométricos.
11.º envelope – Octaedro.
12.º envelope – Dodecaedro.
Estas são as sugestões e orientações que a autora pensa serem necessárias.
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AVALIAÇÃO
Os alunos serão avaliados no decorrer do projeto por meio de observações
quanto à participação.
Proposta de Atividade Avaliativa.
1 - Enumere os sólidos de Platão e relacione-os aos elementos naturais.
2 - Usando a Relação de Euler, resolva as questões abaixo.
a) Num poliedro convexo, o número de faces é 8 e o número de vértices é 12.
Quantas arestas têm esse poliedro?
b) (Unicap-PE) Um dodecaedro convexo possui todas as faces pentagonais.
Determine o número de vértices desse poliedro.
c) Um icosaedro convexo possui todas as faces triangulares. Quantas arestas
possui esse poliedro?
3 - Um sólido geométrico é composto por: _________, __________, ___________.
4 - Utilize um dos tetraedros confeccionados nas tarefas e responda:
a) Qual o nome do polígono que forma a base da pirâmide? ________________.
b) Quantas faces, arestas e vértices têm essa pirâmide? __________________.
5 - Complete a tabela abaixo:
Poliedro Regular Vértices (V) Faces (F) Arestas (A)
Tetraedro
Cubo ou Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
(Disponível em: <http://www.slideshare.net/gigilu/geometria-no-espacosolidos-geometricos>. Acesso
em: 09 ago. 2013).
Após estas atividades avaliativas quanto à aprendizagem, os alunos
indicarão, oralmente, as dificuldades encontradas para que o professor possa
retomá-las.
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SUGESTÕES DE LEITURA:
EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 2004.
PAIS, Luiz Carlos. Uma análise do significado da utilização de recursos didáticos no ensino da geometria. Reunião, Caxambu, 2000. Disponível em: <http://www.anped.org.br/reunioes/23/textos/1919t.PDF>. Acesso em: 18 jun. 2013.
SILVA, Valter Luna da; ASSUMPÇÃO, André Luiz M. de. Utilização de jogos e materiais manipuláveis para a construção de conhecimentos sobre poliedros regulares. Artigo on line da Facitec. 1º. 2011. Disponível em:
<http://www.facitec.br/revistamat/download/artigos/artigo_valter_utilizacao_de_jogos_e_materiais_manipulaveis_para_a_.pdf>. Acesso em: 30 mai. 2013. SITES UTILIZADOS PARA FIGURAS, OFICINAS, TAREFAS E VÍDEOS: Blog Matemática sem trauma. Atividades. Disponível em: <http://matematicasemtrauma.blogspot.com.br/>. Acesso em: 30 jul. 2013. Portal da SEED. Atividades e foto. Disponível em: <http://www.matematica.seed.
pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=3&start=200>. Acesso em: 29 jul. 2013. Site Brasilescola. Sólidos de Platão. Disponível em: <http://www.brasilescola. com/matematica/os-solidos-platao.htm>. Acesso em: 29 jul. 2013. Site Desafio - UFF. Disponível em:
www.uff.br/cdme/poliedros_platao_dual/desafio.htm. Acesso em: 28 out.2013.
Site domínio público. Vídeo Diálogo Geométrico. Disponível em:
<http://www.domíniopublico.gov.br/download/video/me001052.wmv>. Acesso em: 09 ago. 2013. Site Edumat. Atividades. Disponível em: <http://www.edumat.com.br/wp-content/uploads/2008/11/apostila_poliedros_poly2006.pdf>. Acesso em: 09 ago. 2013. Site Feira de Ciências. Imagens de Representação de Sólidos Geométricos. Disponível em: <http://www.feiradeciencias.com.br/sala27/27_11.asp>. Acesso em: 11 jun. 2013. Site Feira de Ciências. Imagens de Representação de Sólidos Geométricos. Disponível em: <http://www.feiradeciencias.com.br/sala27/27_11.asp>. Acesso em: 07 ago. 2013.
28
Site Jaymeprof. Imagem de Euler. Disponível em: http://www.jaymeprof.com. br/joomla/index.php/78-matematica?start=4>. Acesso em: 10 de ago. 2013. Site Oqueeh. Geometria Espacial: conceito e origem. Disponível em: <www.oqueeh.com.br/geometria-espacial-conceito-e-origem>. Acesso em: 30 abr. 2013. Site Peda. Software Poly. Disponível em: <http://www.peda.com/poly>. Acesso em: 09 ago. 2013. Site Slideshare. Atividades. Disponível em: <http://www.slideshare.net/gigilu/
geometria-no-espacosolidos-geometricos>. Acesso em: 09 ago. 2013. Site Somatematica. Figuras geométricas. Disponível em: <www.somatematica. com.br/emedio/espacial/espacial9.php>. Acesso em: 18 jul. 2013. Site Somatematica. Imagem de Embalagens e sólidos geométricos. Disponível em: <www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial11.php>. Acesso em: 06 set. 2013. Site UEL. Atividades. Disponível em: <http://www.mat.uel.br/geometrica/php/dg_ ex_re/dg_ex_re11.php>. Acesso em: 25 jul. 2013. Site UFSC Atividades. Disponível em: <http://mtm.ufsc.br/ensinomedio/jul-09/const-
geometricas.pdf>. Acesso em: 25 jul. 2013. Site Veraviana. Atividades. Disponível em: <http://www.veraviana.net/triangulos. html#triangulolado>. Acesso em: 25 jul. 2013. Site Tetraedro – Wikipédia, a enciclopédia livre. Disponível em:
<pt.wikipedia.org/wiki/Tetraedro>. Acesso em 18 jul.2013.
Site You Tube. Vídeo Construção dos sólidos de Platão em papelão. Disponível
em: <http://www.youtube.com/watch?v=TJj0F-cRpqw>. Acesso em: 29 jul. 2013. Site You Tube. Vídeo Aquarela de Toquinho. Disponível em: http:/www.youtube.com/watch?feature=fvwp&v=rtd-DFn1fzk&NR=1. Acesso em: 25 abr. 2013. Site You Tube. Vídeo Construção dos Sólidos de Platão com palito de dente e jujubas (goma). Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=qI5agL6LngU>.
Acesso em: 05 ago. 2013. Site You Tube. Vídeo Construção dos sólidos de Platão em canudos. Disponível em:<www.youtube.com/watch?v=FXcrq3QSAZI> ou <http://www.uff.br/cdme/ poliedros_platao_dual/aluno03.html>. Acesso em: 30 jul. 2013. Site You Tube. Vídeo Diálogo Geométrico. Criado pela SEED/FNDE/MEC, TV Escola. Disponível em: <www.youtube.com/watch?v=_7yXoZnSTBM>. Acesso em: 23 jul. 2013.
29
Site You Tube. Vídeo Geometria da Natureza. Disponível em: <http://www.youtube. com/watch?v=8azgdSzGLdI>. Acesso em: 18 jul. 2013. Site You Tube. Vídeo Origem da Geometria. Disponível em: <www.youtube.
com/watch?v=awQvKJbPMqE>. Acesso em: 23 jul. 2013.