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JOSE ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANETE INDICE I. Introducción 2 II. Objetivos 3 III. Fundamentos Teóricos 3 Oscilación de líquido en un tubo en U. 3 Oscilación de Depósitos. 6 Métodos de Runge-Kutta. 7 IV. Metodología 12 Planteamiento del problema. 12 Metodología de solución. 13 INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

Oscilacion de Depositos de Seccion Variable

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JOSE ALVITREZ BRAVO

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INDICE

I. Introduccin II. Objetivos III. Fundamentos Tericos y Oscilacin de lquido en un tubo en U. y Oscilacin de Depsitos. y Mtodos de Runge-Kutta. IV. Metodologa y Planteamiento del problema. y Metodologa de solucin. V. Clculos y Resultados y Tablas y Graficas VI. Conclusiones y/o Recomendaciones VII. Bibliografa

2 3 3 3 6 7 12 12 13 24 28 36 42 43

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VIII. Anexo

44

I.

INTRODUCCIONHasta este punto, todos los casos analizados de movimiento de fluidos han sido considerados a rgimen permanente. Sin embargo, existen casos en los que no es posible reducir a situaciones de rgimen permanente pues la variacin de los parmetros a travs del tiempo es considerable.

El anlisis de flujo no permanente es mucho ms complejo que en un flujo permanente, debido a que los parmetros no solo dependen de la posicin, sino tambin del tiempo; lo cual se introduce como una variable ms en la ecuacin diferencial que gobierna el movimiento del flujo. Debido a la complejidad, estas ecuaciones diferenciales en su mayora deben ser resueltas por mtodos numricos, debido a que las soluciones analticas son muy complejas o simplemente no es posible hallarlas.

Existen muchas aplicaciones del flujo no permanente a la ingeniera, uno de estos es la oscilacin de depsitos de seccin variable. El caso que se resolver a continuacin es un problema de oscilacin de depsitos con seccin transversal variable, para lo cual se proceden a igualar los volmenes de los depsitos a volmenes de tuberas equivalentes, con lo cual se obtienen las ecuaciones diferenciales que gobiernan el fenmeno, los cuales sern resueltas por el Mtodo de Runge-Kutta de 4 Orden.

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II. OBJETIVOS

a) Analizar y visualizar la variacin de la posicin y la velocidad con respecto al tiempo de un sistema compuesto de dos depsitos de seccin variable que para nuestro caso consta de de un tronco parbola-tronco de cono y semiesfera-tronco parbola b) Solucionar la ecuacin diferencial ordinaria que gobierna el fenmeno mediante mtodos numricos y la solucin analtica para una sola iteracin. c) Aplicar el mtodo de Runge-Kutta de 4 orden para el desarrollo del problema de depsitos d) Analizar las graficas que nos da el programa. e) Ver como es la oscilacin en los depsitos. f) Ver cmo se van modificando las alturas de los depsitos.

III. FUNDAMENTOS TEORICOS

Oscilacin de un lquido en un tubo de uConsideremos un lquido contenido en un tubo en forma de U de seccin uniforme S. La longitud del lquido es L, y su volumen SL. En la situacin de equilibrio la altura del lquido en ambas ramas es la misma. Supongamos que por algn procedimiento, se desnivela el lquido en las dos ramas. Si consideramos el lquido como un fluido ideal, libre de rozamiento con las paredes del recipiente que lo contiene, el lquido empezar a oscilar con un periodo que depende nicamente de la longitud L de de la columna de lquido.

Vamos a deducir la frmula del periodo de las oscilaciones de un lquido en un tubo en forma de U, a partir de las ecuaciones de la dinmica.

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Cuando el lquido se desplaza x hacia la derecha, el desnivel entre las dos ramas del tubo en forma de U es 2x, tal como se aprecia en la figura. La fuerza F que se opone al movimiento de todo el fluido, es el peso de la columna de fluido de seccin S y altura 2x.y y

La masa de todo el fluido es SL La fuerza F tiene por mdulo, S(2x) g, y es de sentido contrario al desplazamiento x.

La ecuacin del movimiento se escribe (masa por aceleracin igual a fuerza)

Se trata de la ecuacin diferencial de un MAS cuya frecuencia angular es periodo es

2

=2g/L o cuyo

La solucin de la ecuacin diferencial es x=Asen( t+ ). La velocidad de la columna de lquido en el instante t es v=dx/dt= A cos( t+ ). donde A y se determinan a partir de las condiciones iniciales.

Para conseguir un desnivel inicial entre las dos ramas del tubo, se pone un corcho en el extremo de una de las ramas, se extrae algo de aire, el lquido en esta rama se eleva h0 y desciende la misma longitud en la otra rama. Se descorcha la rama, y se empieza a contar el tiempo, en el instante inicial t=0, tenemos x=h0 y v=0.

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Con estas condiciones iniciales = /2, x=h0cos( t), y v=- h0sen( t) Utilizando la formula de Colebrook para sustituir la resistenciao

se tiene:

z v f .v 2 1 p +g v + =0 s s s 2.DIntegrando esta ecuacin entre las secciones 1 y 2, el primer trmino se elimina ya que los lmites son p = 0 en cada caso, el tercer trmino se elimina ya que trminos cuarto y quinto son independientes de s; por lo tanto,2. g dv f +vv + z =! 0 L dt 2.D

v

s

! 0 , y los

El signo de valor absoluto en la velocidad se requiere para que la resistencia se oponga a la velocidad, ya sea positiva o negativa. Expresando v ! dz dt d2z f dz dz 2 g z !0 2 dt 2 dt dt Debido al trmino en v cuadrado, la ecuacin diferencial no es lineal. Puede integrarse una vez con respecto a t, pero no se conoce una solucin cerrada para la segunda integracin. Si se conocen las condiciones iniciales: t = t o , z = = o , dz / dt = = este 0 z problema es fcilmente resuelto por el mtodo de Runge-Kutta de 4 orden. A continuacin se ve un breve ejemplo de la oscilacin de una tubera en u

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Oscilacin en Depsitos La oscilacin en dos depsitos conectados por una tubera puede ser representada por la misma ecuacin que rige el caso de la oscilacin en un tubo en U (con excepcin de los trminos constantes). Si z1 y z2 representan los desplazamientos de las superficies de los depsitos, desde su posicin de equilibrio y si z1 representa el desplazamiento de una partcula de agua de la tubera conectora, desde su posicin de equilibrio.

= A1 .z1 = A2 .z 2 = AzEn donde A1 y A2 son las reas de los depsitos, las cuales se supondrn constantes en esta derivacin. Tomando en consideracin las prdidas menores en el sistema a travs de una longitud equivalente Le de tuberas y accesorios, es posible escribir la ecuacin de Euler (incluyendo resistencia).

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f Le dz 2 g d2z + + + ( z1 + z2) = = + 0 2 DL dt L dt 2

f Le dz 2 d 2z gA 1 1 + + + ( + )z = = 0 2 + L A 1 A2 2 DL dt dt

La ecuacin ( ) es valida para depsitos cilndricos. Mtodo de Runge-Kutta

Runge-Kutta no es un solo mtodo iterativo, sino una familia de mtodos iterativos tanto implcitos como explcitos para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Estas tcnicas fueron desarrolladas aproximadamente en el ao 1900 por los matemticos David T. Runge y Martn W. Kutta. El miembro ms utilizado para la solucin numrica de ecuaciones diferenciales ordinarias es Mtodo de Runge-Kutta de 4 orden, la cual proporciona un margen aceptable de error respecto a la solucin analtica de la ecuacin diferencial. El Mtodo de Runge-Kutta de 4 orden resuelve ecuaciones diferenciales de la forma:dy (t ) = f (t , y ) dt y (t o ) = =y o

Para lo cual utiliza la siguiente relacin:yi+ 1 = yi + 1 (k 6 1 +2k 2 +2 k 3 +4 ) k

En donde los valores de las constantes son k1 , k 2 , k 3 y k 4 y h es el tamao de paso:k 1 = = . f (t i , y i ) h

k h k 2 = = . f (t i + + , y i + 1 ) h + 2 2 k h k 3 = = . f (t i + + , y i + + 2 ) h 2 2

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.( )

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k 4 = = . f (t i + +, y i + +1 ) h h k

Para el problema a resolver, la ecuacin diferencial es de la forma:dz F1 = = = = V dt F2 = - C1 ( Z 1 ( z ) - Z 2 ( z )) - C 2V .V

h= t Con lo cual, la relacin para el proceso iterativo ser:zn+ 1 =n z k + z1 2 + k z2 6 2 + k z3 + z4 k

k + + kV 2 + + kV 3 + + V 4 k 2 2 Vn + 1 = = n + + V 1 V + 6

Ejemplo de Runge kutta Determine y (0.5) utilizando el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de inters [0, 0.5], en 5 intervalos. PVI { y =4e0.8x 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =? } h =0.5 0 / 5 h =0.1

por lo tanto x0 =0, x1 =0.1, x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5 ITERACIN I i =0 ; x0 =0 ; y0 =2 K1 =f [0, 2] =4e(0.8*0) (0.5 * 2) K1 =3 K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e(0.8*0.05) (0.5 * 2.15) K2 =3.088243 K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412] K3 =4e(0.8*0.05) (0.5 * 2.154412) K3 =3.086037INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

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K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f [0.1, 2.308603] K4 =4e(0.8*0.1) (0.5 * 2.308603) K4 =3.178846 y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]} y1(0.1) =2.308790 ITERACIN II i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790 K1 =f [0.1, 2.308790] =4e(0.8*0.1) (0.5 * 2.308790) K1 =3.178753 K2 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.178753) /2] =f [0.15, 2.467727] K2 =4e(0.8*0.15) (0.5 * 2.467727) K2 =3.276123 K3 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.276123) /2] =f [0.15, 2.472596] K3 =4e(0.8*0.15) (0.5 * 2.472596) K3 =3.273689 K4 =f [0.1 +0.1, 2.308790 +(0.1 *3.273689)] =f [0.2, 2.636158] K4 =4e(0.8*0.2) (0.5 * 2.636158) K4 =3.375964 y2(0.2) =2.308790 +{0.1 /6 [3.178753 +(2 *3.276123) +(2 *3.273689) +3.375964]} y2(0.2) =2.636362 ITERACIN III i =2 ; x2 =0.2 ; y2 =2.636362

K1 =f [0.2, 2.636362] =4e(0.8*0.2) (0.5 * 2.636362) K1 =3.375862INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

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K2 =f [0.2 +0.1/2, 2.6366362 +(0.1 *3.375862) /2] =f [0.25, 2.805155] K2 =4e(0.8*0.25) (0.5 * 2.805155) K2 =3.483033 K3 =f [0.2 +0.1/2, 2.636362 +(0.1 *3.483033) /2] =f [0.25, 2.810513] K3 =4e(0.8*0.25) (0.5 * 2.810513) K3 =3.480354 K4 =f [0.2 +0.1, 2.636362 +(0.1 *3.480354)] =f [0.3, 2.984397] K4 =4e(0.8*0.3) (0.5 * 2.984397) K4 =3.592798 y3(0.3) =2.636362 +{0.1 /6 [3.375862 +(2 *3.483033) +(2 *3.480354) +3.592798]} y2(0.3) =2.984619 ITERACIN IV i =3 ; x3 =0.3 ; y3 =2.984619 K1 =f [0.3, 2.984619] =4e(0.8*0.3) (0.5 * 2.984619) K1 =3.592687 K2 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.592687) /2] =f [0.35, 3.164253] K2 =4e(0.8*0.35) (0.5 * 3.164253) K2 =3.710392 K3 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.710392) /2] =f [0.35, 3.170138] K3 =4e(0.8*0.35) (0.5 * 3.170138) K3 =3.707450 K4 =f [0.3 +0.1, 2.984619 +(0.1 *3.707450)] =f [0.4, 3.355364] K4 =4e(0.8*0.4) (0.5 * 3.355364)INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

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K4 =3.830829 y4(0.4) =2.984619 +{0.1 /6 [3.592687 +(2 *3.710392) +(2 *3.707450) +3.830829]} y2(0.4) =3.355606 ITERACIN V i =4 ; x4 =0.4 ; y4 =3.355606 K1 =f [0.4, 3.355606] =4e(0.8*0.4) (0.5 * 3.355606) K1 =3.830708 K2 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.830708) /2] =f [0.45, 3.547141] K2 =4e(0.8*0.45) (0.5 * 3.547141) K2 =3.959747 K3 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.959747) /2] =f [0.45, 3.553593] K3 =4e(0.8*0.45) (0.5 * 3.553593) K3 =3.956521 K4 =f [0.4 +0.1, 3.355606 +(0.1 *3.956521)] =f [0.5, 3.751258] K4 =4e(0.8*0.5) (0.5 * 3.751258) K4 =4.091669 y5(0.5) =3.355606 +{0.1 /6 [3.830708 +(2 *3.959747) +(2 *3.956521) +4.091669]} La solucin requerida es y5(0.5) =3.751521

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IV.METODOLOGIA

Planteamiento del Problema Se dispone de un sistema de depsitos conectado por una tubera larga de longitud de dimetro , con un factor de friccin y la suma total de perdidas es . Este sistema esta formado de dos depsitos (1 y 2), en el cual el depsito 1 est compuesto de dos secciones un tronco parablico y tronco de cono el depsito 2 de una seccin tronco parablico y semiesfera. Inicialmente el nivel de agua en el depsito 1, respecto al Nivel Aguas Tranquilas (N.A.T) es . Las dimensiones del sistema de depsitos son mostrados en la siguiente figura.

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Metodologa de Solucin En este punto se procede a calcular las ecuaciones que gobiernan las formas de los depsitos, tanto para el depsito 1 como para el depsito 2.DEPOSITO 1 TRONCO PARABOLA INVERTIDA

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De la relacin = Hallando la ecuacin de la parbola invertida La ecuacin es de la forma: Para Para

De y

De la relacin = = 0

La solucin de

en funcin

ser para

TRONCO DE CONO

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La ecuacin es de la siguiente forma: Para Para De los dos puntos que pertenecen a la recta hallo la pendiente la cual es:

La solucin de en funcin ser para

=

DEPOSITO 2INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

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TRONCO PARABOLA HACIA ARRIBA

De la relacin = Hallando la ecuacin de la parbola no invertida La ecuacin es de la forma: Para Para . De y

De la relacin =

La solucin de en funcin ser para

=0

ser

SEMIESFERAINGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

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La ecuacin de la esfera es de la siguiente forma: Ojo radio de la semiesfera

De la relacin

=

Z2 =-real(-1/4*(-3*DT^2*Z+(64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-R^2/(3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)1/2*i*3^(1/2)*(1/2*(-3*DT^2*Z+(64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-2*R^2/(3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)))

POR CONTINUIDAD SE HALLARAN LAS VELOCIDADES EN LOS DEPOSISTOS 1 Y 2 INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

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Hallando la velocidad en la esfera

Tenemos que para su velocidad en la esfera ser

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LAS ECUACIONES DE LAS POSICIONES HALLADAS EN FUNCION DE Z

< 0 < 0

=-real(-1/4*(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-R^2/(-3*DT^2*Z+(64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/2*(-3*DT^2*Z+(64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-2*R^2/(-3*DT^2*Z+(64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3))) > 0

LAS ECUACIONES HALLADAS DE LAS VELOCIDADES DE LOS DEPOSITOS 1 Y 2

< 0

< 0 > 0

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y

Hallando las celeridades

=

hallar el valor de de la tubera

De la siguiente ecuacin tenemos para = 0

Por dato tenemos que como est en la parte tronco parablico invertida del depsito 1 y de ah hallaremos de la siguiente ecuacin = 0 = 0

Como

tenemos la siguiente ecuacin

De la siguiente ecuacin para tenemos el tronco de cono del depsito 2 remplazando el valor de hallado anteriormente

Pero

debe ser negativo entonces

-3.5786

3.5786

Para el depsito 1 Para el depsito 2

-3.5786

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Condiciones inciales Se tiene la condicin inicial para . Se muestran los siguientes valores de las condiciones inciales a continuacin:

CONDICIONES INICIALES

n=9000

Altura de la tubera Velocidad inicial Nmero de iteraciones Diferencial del tiempo Tiempo final Dimetro de la tubera Altura del depsito 1 Altura del depsito 2 Velocidad en el depsito 1 Velocidad en el depsito 2

V.CALCULOS Y RESULTADOS

Nuestras ecuaciones a usar

=v = -

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Y finalmente Para los Nuevos y

y

Hallando los nuevos con el mtodo Runge-Kutta

Para la primera iteracin de las condiciones inciales

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50.3968m -0.0325m/s

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y y

Ahora hallamos las nuevas posiciones de los depsitos

Ahora hallamos las nuevas velocidades de los depsitos

= -0.0090 m/s

= 0.0027 m/s

Los resultados de las dems iteraciones se vern en las siguientes tablas

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TABLASv0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 6.4 6.6 6.8 0.0000 -0.0325 -0.0649 -0.0973 -0.1297 -0.1620 -0.1943 -0.2265 -0.2587 -0.2907 -0.3227 -0.3546 -0.3863 -0.4179 -0.4494 -0.4807 -0.5118 -0.5428 -0.5736 -0.6043 -0.6347 -0.6649 -0.6949 -0.7247 -0.7543 -0.7836 -0.8127 -0.8415 -0.8701 -0.8984 -0.9264 -0.9542 -0.9816 -1.0088 -1.0357

z50.4000 50.3968 50.3870 50.3708 50.3481 50.3189 50.2833 50.2412 50.1927 50.1377 50.0764 50.0087 49.9346 49.8541 49.7674 49.6744 49.5752 49.4697 49.3580 49.2403 49.1164 48.9864 48.8504 48.7084 48.5605 48.4068 48.2471 48.0817 47.9105 47.7337 47.5512 47.3632 47.1696 46.9705 46.7661

v10.0000 -0.0090 -0.0180 -0.0270 -0.0359 -0.0448 -0.0537 -0.0624 -0.0711 -0.0797 -0.0882 -0.0965 -0.1048 -0.1129 -0.1209 -0.1287 -0.1364 -0.1440 -0.1513 -0.1585 -0.1656 -0.1724 -0.1791 -0.1856 -0.1919 -0.1981 -0.2040 -0.2098 -0.2154 -0.2208 -0.2260 -0.2310 -0.2359 -0.2405 -0.2450

z18.0000 7.9964 7.9919 7.9856 7.9775 7.9677 7.9561

v20.0000 0.0027 0.0053 0.0080 0.0107 0.0133 0.0160

z2-3.5786 -3.5778 -3.5764 -3.5746 -3.5722 -3.5693 -3.5658

Tiempo7.9276 7.9109 7.8924 7.8722 7.8505 7.8271 7.8021 7.7756 7.7476 7.7180 7.6870 7.6546 7.6208 7.5857 7.5492 7.5114 7.4724 7.4322 7.3908 7.3483 7.3047 7.2600 7.2143 7.1676 7.1200 7.0714 7.0220

Tubera0.0212 0.0239 0.0265 0.0291 0.0316 0.0342 0.0368 0.0393 0.0418 0.0443 0.0468 0.0493 0.0517 0.0541 0.0565 0.0589 0.0612 0.0635 0.0658 0.0680 0.0703 0.0725 0.0746 0.0768 0.0789 0.0809 0.0830

Deposito1-3.5573 -3.5523 -3.5467 -3.5406 -3.5341 -3.5270 -3.5194 -3.5112 -3.5026 -3.4935 -3.4839 -3.4738 -3.4632 -3.4522 -3.4406 -3.4286 -3.4162 -3.4032 -3.3899 -3.3760 -3.3617 -3.3470 -3.3319 -3.3163 -3.3004 -3.2840 -3.2672

Deposito2

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

7

-1.0622

46.5563

-0.2493

6.9717

0.0850

-3.2500

24 24.2 24.4 24.6 24.8 25 25.2 25.4 25.6 25.8 26 26.2 26.4 26.6 26.8 27 27.2 27.4 27.6 27.8 28 28.2 28.4 28.6 28.8 29 29.2 29.4 29.6 29.8 30 30.2 30.4 30.6 30.8 31 31.2 31.4 31.6

-2.0810 -2.0801 -2.0790 -2.0777 -2.0762 -2.0745 -2.0725 -2.0704 -2.0680 -2.0655 -2.0627 -2.0598 -2.0566 -2.0533 -2.0498 -2.0461 -2.0422 -2.0382 -2.0339 -2.0295 -2.0249 -2.0202 -2.0153 -2.0102 -2.0050 -1.9996 -1.9940 -1.9883 -1.9824 -1.9764 -1.9702 -1.9639 -1.9575 -1.9509 -1.9442 -1.9373 -1.9303 -1.9232 -1.9159

16.4596 16.0434 15.6275 15.2119 14.7965 14.3814 13.9667 13.5524 13.1385 12.7252 12.3124 11.9001 11.4885 11.0775 10.6672 10.2576 9.8487 9.4407 9.0335 8.6271 8.2217 7.8172 7.4136 7.0111 6.6095 6.2091 5.8097 5.4115 5.0144 4.6185 4.2239 3.8305 3.4383 3.0475 2.6580 2.2698 1.8830 1.4977 1.1138

-0.2714 -0.2700 -0.2686 -0.2672 -0.2658 -0.2643 -0.2629 -0.2615 -0.2600 -0.2585 -0.2571 -0.2556 -0.2541 -0.2527 -0.2512 -0.2497 -0.2482 -0.2467 -0.2452 -0.2437 -0.2422 -0.2407 -0.2392 -0.2377 -0.2362 -0.2346 -0.2331 -0.2316 -0.2301 -0.2286 -0.2271 -0.2255 -0.2240 -0.2225 -0.2210 -0.2194 -0.2179 -0.2164 -0.2149

1.9210 1.8671 1.8135 1.7602 1.7072 1.6545 1.6021 1.5499 1.4981 1.4465 1.3952 1.3443 1.2936 1.2432 1.1931 1.1433 1.0938 1.0446 0.9958 0.9472 0.8989 0.8509 0.8032 0.7558 0.7087 0.6620 0.6155 0.5693 0.5234 0.4779 0.4326 0.3877 0.3430 0.2987 0.2546 0.2109 0.1675 0.1243 0.0815

0.1401 0.1397 0.1394 0.1390 0.1386 0.1382 0.1378 0.1374 0.1370 0.1366 0.1361 0.1357 0.1352 0.1347 0.1342 0.1338 0.1332 0.1327 0.1322 0.1317 0.1312 0.1306 0.1301 0.1295 0.1289 0.1284 0.1278 0.1272 0.1266 0.1260 0.1254 0.1248 0.1241 0.1235 0.1229 0.1222 0.1216 0.1210 0.1203

-1.0388 -1.0109 -0.9831 -0.9553 -0.9276 -0.9000 -0.8725 -0.8451 -0.8177 -0.7904 -0.7633 -0.7362 -0.7092 -0.6823 -0.6555 -0.6288 -0.6022 -0.5757 -0.5493 -0.5230 -0.4968 -0.4708 -0.4448 -0.4190 -0.3932 -0.3676 -0.3421 -0.3168 -0.2915 -0.2664 -0.2414 -0.2165 -0.1917 -0.1671 -0.1425 -0.1182 -0.0939 -0.0698 -0.0458

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

31.8 32

-1.9086 -1.9010

0.7313 0.3504

-0.2134 -0.2118

0.0390 -0.0032

0.1197 0.1190

-0.0219 0.0018

80 80.2 80.4 80.6 80.8 81 81.2 81.4 81.6 81.8 82 82.2 82.4 82.6 82.8 83 83.2 83.4 83.6 83.8 84 84.2 84.4 84.6 84.8 85 85.2 85.4 85.6 85.8 86 86.2 86.4 86.6 86.8 87 87.2 87.4

1.0430 1.0504 1.0577 1.0649 1.0720 1.0789 1.0857 1.0924 1.0989 1.1053 1.1116 1.1177 1.1238 1.1296 1.1354 1.1410 1.1465 1.1519 1.1571 1.1622 1.1672 1.1720 1.1767 1.1813 1.1857 1.1901 1.1942 1.1983 1.2022 1.2060 1.2097 1.2132 1.2166 1.2199 1.2231 1.2261 1.2290 1.2318

-21.1971 -20.9878 -20.7769 -20.5647 -20.3510 -20.1359 -19.9194 -19.7016 -19.4825 -19.2621 -19.0404 -18.8174 -18.5933 -18.3679 -18.1414 -17.9138 -17.6850 -17.4552 -17.2243 -16.9924 -16.7594 -16.5255 -16.2906 -16.0548 -15.8181 -15.5805 -15.3421 -15.1028 -14.8628 -14.6220 -14.3804 -14.1381 -13.8951 -13.6514 -13.4071 -13.1622 -12.9167 -12.6706

0.1435 0.1443 0.1450 0.1457 0.1463 0.1470 0.1476 0.1482 0.1487 0.1493 0.1498 0.1503 0.1508 0.1512 0.1517 0.1521 0.1525 0.1528 0.1532 0.1535 0.1538 0.1541 0.1544 0.1546 0.1548 0.1550 0.1552 0.1554 0.1555 0.1556 0.1557 0.1558 0.1559 0.1559 0.1559 0.1559 0.1559 0.1559

-2.1124 -2.0930 -2.0735 -2.0538 -2.0340 -2.0140 -1.9938 -1.9735 -1.9530 -1.9323 -1.9115 -1.8906 -1.8695 -1.8483 -1.8269 -1.8054 -1.7837 -1.7619 -1.7399 -1.7178 -1.6956 -1.6732 -1.6507 -1.6281 -1.6053 -1.5824 -1.5594 -1.5363 -1.5130 -1.4897 -1.4662 -1.4425 -1.4188 -1.3950 -1.3710 -1.3469 -1.3228 -1.2985

-0.0740 -0.0743 -0.0746 -0.0749 -0.0752 -0.0755 -0.0757 -0.0760 -0.0762 -0.0765 -0.0767 -0.0769 -0.0772 -0.0774 -0.0776 -0.0778 -0.0779 -0.0781 -0.0783 -0.0785 -0.0786 -0.0788 -0.0789 -0.0790 -0.0792 -0.0793 -0.0794 -0.0795 -0.0796 -0.0797 -0.0798 -0.0799 -0.0799 -0.0800 -0.0801 -0.0801 -0.0802 -0.0802

1.3647 1.3498 1.3348 1.3198 1.3048 1.2897 1.2745 1.2593 1.2440 1.2287 1.2133 1.1979 1.1824 1.1669 1.1514 1.1358 1.1202 1.1046 1.0889 1.0732 1.0575 1.0417 1.0259 1.0101 0.9943 0.9784 0.9625 0.9466 0.9307 0.9147 0.8988 0.8828 0.8668 0.8508 0.8348 0.8187 0.8027 0.7866

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

87.6 87.8 88

1.2344 1.2369 1.2393

-12.4240 -12.1769 -11.9292

0.1558 0.1558 0.1557

-1.2741 -1.2496 -1.2251

-0.0803 -0.0803 -0.0803

0.7706 0.7545 0.7385

200 200.2 200.4 200.6 200.8 201 201.2 201.4 201.6 201.8 202 202.2 202.4 202.6 202.8 203 203.2 203.4 203.6 203.8 204 204.2 204.4 204.6 204.8 205 205.2 205.4 205.6 205.8 206 206.2 206.4 206.6 206.8 207 207.2

0.3507 0.3574 0.3640 0.3705 0.3770 0.3835 0.3899 0.3963 0.4026 0.4089 0.4151 0.4213 0.4274 0.4335 0.4395 0.4455 0.4514 0.4573 0.4631 0.4688 0.4746 0.4802 0.4858 0.4913 0.4968 0.5023 0.5076 0.5129 0.5182 0.5234 0.5285 0.5336 0.5386 0.5436 0.5485 0.5533 0.5581

-14.7796 -14.7088 -14.6366 -14.5632 -14.4884 -14.4124 -14.3351 -14.2564 -14.1766 -14.0954 -14.0130 -13.9294 -13.8445 -13.7584 -13.6711 -13.5826 -13.4929 -13.4021 -13.3100 -13.2169 -13.1225 -13.0270 -12.9304 -12.8327 -12.7339 -12.6340 -12.5330 -12.4309 -12.3278 -12.2237 -12.1185 -12.0123 -11.9050 -11.7968 -11.6876 -11.5774 -11.4663

0.0453 0.0462 0.0470 0.0478 0.0486 0.0494 0.0502 0.0509 0.0517 0.0525 0.0532 0.0540 0.0547 0.0555 0.0562 0.0569 0.0576 0.0583 0.0590 0.0597 0.0603 0.0610 0.0616 0.0623 0.0629 0.0635 0.0642 0.0648 0.0654 0.0659 0.0665 0.0671 0.0676 0.0682 0.0687 0.0693 0.0698

-1.5214 -1.5145 -1.5073 -1.5001 -1.4928 -1.4853 -1.4776 -1.4699 -1.4620 -1.4540 -1.4459 -1.4376 -1.4292 -1.4207 -1.4121 -1.4033 -1.3945 -1.3855 -1.3764 -1.3671 -1.3578 -1.3483 -1.3387 -1.3290 -1.3192 -1.3092 -1.2992 -1.2890 -1.2787 -1.2683 -1.2578 -1.2472 -1.2365 -1.2257 -1.2148 -1.2037 -1.1926

-0.0232 -0.0236 -0.0241 -0.0245 -0.0249 -0.0253 -0.0257 -0.0261 -0.0265 -0.0269 -0.0273 -0.0277 -0.0281 -0.0284 -0.0288 -0.0292 -0.0296 -0.0299 -0.0303 -0.0306 -0.0310 -0.0313 -0.0317 -0.0320 -0.0324 -0.0327 -0.0330 -0.0334 -0.0337 -0.0340 -0.0343 -0.0346 -0.0349 -0.0352 -0.0355 -0.0358 -0.0361

0.9364 0.9316 0.9268 0.9218 0.9168 0.9117 0.9065 0.9013 0.8959 0.8905 0.8850 0.8795 0.8738 0.8681 0.8623 0.8564 0.8504 0.8444 0.8383 0.8322 0.8259 0.8196 0.8133 0.8068 0.8003 0.7937 0.7871 0.7804 0.7736 0.7668 0.7599 0.7530 0.7459 0.7389 0.7318 0.7246 0.7173

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

207.4 207.6 207.8 208

0.5628 0.5674 0.5720 0.5765

-11.3542 -11.2412 -11.1272 -11.0124

0.0703 0.0708 0.0713 0.0718

-1.1813 -1.1700 -1.1585 -1.1470

-0.0363 -0.0366 -0.0369 -0.0372

0.7100 0.7027 0.6953 0.6878

400 400.2 400.4 400.6 400.8 401 401.2 401.4 401.6 401.8 402 402.2 402.4 402.6 402.8 403 403.2 403.4 403.6 403.8 404 404.2 404.4 404.6 404.8 405 405.2 405.4 405.6 405.8 406 406.2 406.4 406.6 406.8 407

-0.3637 -0.3663 -0.3689 -0.3714 -0.3739 -0.3764 -0.3788 -0.3811 -0.3834 -0.3857 -0.3879 -0.3901 -0.3923 -0.3944 -0.3964 -0.3985 -0.4004 -0.4024 -0.4042 -0.4061 -0.4079 -0.4096 -0.4113 -0.4130 -0.4146 -0.4162 -0.4177 -0.4192 -0.4207 -0.4221 -0.4234 -0.4247 -0.4260 -0.4272 -0.4284 -0.4295

5.8633 5.7903 5.7167 5.6427 5.5682 5.4931 5.4176 5.3416 5.2652 5.1883 5.1109 5.0331 4.9549 4.8762 4.7971 4.7176 4.6377 4.5575 4.4768 4.3958 4.3144 4.2326 4.1505 4.0681 3.9853 3.9022 3.8188 3.7352 3.6512 3.5669 3.4823 3.3975 3.3125 3.2271 3.1416 3.0558

-0.0425 -0.0428 -0.0431 -0.0434 -0.0436 -0.0439 -0.0441 -0.0444 -0.0446 -0.0448 -0.0451 -0.0453 -0.0455 -0.0457 -0.0459 -0.0461 -0.0463 -0.0465 -0.0467 -0.0469 -0.0470 -0.0472 -0.0474 -0.0475 -0.0477 -0.0478 -0.0480 -0.0481 -0.0482 -0.0484 -0.0485 -0.0486 -0.0487 -0.0488 -0.0489 -0.0490

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0.0233 0.0235 0.0236 0.0238 0.0239 0.0241 0.0242 0.0244 0.0245 0.0246 0.0248 0.0249 0.0250 0.0252 0.0253 0.0254 0.0255 0.0256 0.0258 0.0259 0.0260 0.0261 0.0262 0.0263 0.0264 0.0264 0.0265 0.0266 0.0267 0.0268 0.0269 0.0269 0.0270 0.0271 0.0271 0.0272

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INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

407.2 407.4 407.6 407.8 408

-0.4306 -0.4316 -0.4326 -0.4336 -0.4345

2.9698 2.8836 2.7971 2.7105 2.6237

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INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

807 807.2 807.4 807.6 807.8 808

-0.2085 -0.2072 -0.2059 -0.2045 -0.2031 -0.2017

-2.5583 -2.5999 -2.6412 -2.6822 -2.7230 -2.7635

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INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

1006.8 1007 1007.2 1007.4 1007.6 1007.8 1008

0.1135 0.1119 0.1102 0.1085 0.1068 0.1051 0.1034

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-0.0056 -0.0057 -0.0058 -0.0060 -0.0061 -0.0062 -0.0063 -0.0064 -0.0065 -0.0066 -0.0068 -0.0069 -0.0070 -0.0071 -0.0072 -0.0073 -0.0074 -0.0075 -0.0076 -0.0077 -0.0078 -0.0079 -0.0080 -0.0081 -0.0082 -0.0084 -0.0084 -0.0085 -0.0086 -0.0087 -0.0088 -0.0089 -0.0090

0.2411 0.2399 0.2387 0.2375 0.2363 0.2350 0.2338 0.2325 0.2312 0.2298 0.2285 0.2271 0.2257 0.2242 0.2228 0.2213 0.2198 0.2183 0.2168 0.2152 0.2136 0.2120 0.2104 0.2088 0.2071 0.2054 0.2037 0.2020 0.2003 0.1985 0.1967 0.1949 0.1931

0.0031 0.0032 0.0033 0.0033 0.0034 0.0035 0.0035 0.0036 0.0036 0.0037 0.0038 0.0038 0.0039 0.0040 0.0040 0.0041 0.0041 0.0042 0.0043 0.0043 0.0044 0.0044 0.0045 0.0045 0.0046 0.0047 0.0047 0.0048 0.0048 0.0049 0.0049 0.0050 0.0050

-0.1350 -0.1343 -0.1337 -0.1330 -0.1323 -0.1316 -0.1309 -0.1302 -0.1295 -0.1287 -0.1280 -0.1272 -0.1264 -0.1256 -0.1248 -0.1240 -0.1231 -0.1223 -0.1214 -0.1206 -0.1197 -0.1188 -0.1179 -0.1170 -0.1160 -0.1151 -0.1142 -0.1132 -0.1122 -0.1112 -0.1103 -0.1093 -0.1082

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

1798.6 1798.8 1799 1799.2 1799.4 1799.6 1799.8 1800

-0.0809 -0.0817 -0.0825 -0.0833 -0.0841 -0.0849 -0.0857 -0.0865

1.7255 1.7093 1.6928 1.6763 1.6595 1.6426 1.6255 1.6083

-0.0091 -0.0092 -0.0093 -0.0094 -0.0095 -0.0096 -0.0097 -0.0097

0.1913 0.1894 0.1876 0.1857 0.1838 0.1819 0.1799 0.1799

0.0051 0.0051 0.0052 0.0052 0.0053 0.0053 0.0054 0.0054

-0.1072 -0.1062 -0.1051 -0.1041 -0.1030 -0.1019 -0.1009 -0.1009

GRAFICAS

TUBERIA

TI EM P O V s P OSI C I ON D E LA TU B ERI A 60 50 A l v i tr e z B r av o 40 30 20

A LTU RA S D E LA TU B ERIA

10 0 -10 -20 -30

-40 0 200 400 600 800 1000 1200 TI EM P O EN SEGU N D OS 1400 1600 1800

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

T

lv it e

1

0.5

R

T

0

0 .5

S

1

O

1.5

2

2 .5 0 200 400 S

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

!

1.5

av o

O s O T R 600 T 800 O 1000 1200 OS 1400 1600 1800

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JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

DEPOSITO1

T 8

lv it e

av o

6

OS TO 1

4

2

T R S

0

2

4 0 200 400

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

2 539 @39 8 27 2 5 6 5 43 2O s OS O

OS TO 1

9 8 FE 3 83 5 4 3 2

BD C B

A

1

1

S RQ P HQ P G I HG

600 T

800 O

1000 S

1200 OS

1400

1600

1800

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

T 0.3

lv it e

OS TO 1

0.1

0

S

0 .1

O

0 .2

0 .3

0 .4 0 200 400

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

b h pi V hV X W V U

eg f e

d

0.2

av o

U XV b `V b b c b U a `V Y Y X WV UO s O 600 T 800 O 1000 S 1200 OS

OS TO 1

T

T

T

T

u xr v sr v rv wv ut sr q

1400

1600

1800

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

DEPOSITO2

T 3

lv it e

av o

2

OS TO 2

1

0

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

y

T R S

1

2

3

4 0 200 400 600 T 800 O 1000 S 1200 OS 1400 1600 1800

O s OS O

O S TO 2

y y y e d

JOSE ALVITREZ BRAVO

FLUJO NO PERMANETE

T 0.15

lv it e

av o

0.1 OS TO 2

0.05

S

0

O

0 .05

0 .1 0 200 400

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

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VI.CONCLUSIONES Y/O RECOMENDACIONES

* En el anlisis de los resultados, perteneciente al depsito 1, se puede observar que en un estado permanente la altura inicial es de 8 metros y cuando se inicia la oscilacin despus de un determinado tiempo, se llega a una altura de -0.3834 debajo del nivel de aguas tranquilas para un tiempo de 163s. * En el anlisis de los resultados, perteneciente al depsito 2, se puede observar que en un estado permanente la altura inicial es de -3.5786 metros y cuando se inicia la oscilacin despus de un determinado tiempo, se llega a una altura de 0.2198 metros arriba del nivel de aguas tranquilas en un tiempo de 163 s. * Adems se puede observar del anlisis de los datos obtenidos, que en ambos depsitos cuando se llega a su mxima altura o mximo descenso, el valor de la velocidad tiende a ser muy pequea. * De los datos se observa que 30 minutos despus de iniciado el movimiento el depsito 1 llega a una altura de 0.1799 m sobre el nivel de aguas tranquilas, lo cual representa el 2.2487% de la altura en el inicio del movimiento, con lo cual se puede decir que se encuentra estable. * De la misma manera, se observa que 30 minutos despus de iniciado el movimiento en el depsito 2, se llego a una altura de -0.1009m sobre el nivel de aguas tranquilas, lo cual representa un 2.8195% de la altura inicial de este deposito * Se debe tener mucho cuidado al momento de reemplazar las expresiones en la ecuacin diferencial que gobierna elINGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS

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movimiento, ya que un reemplazo un inadecuado puede generar fenmenos que fsicamente no son viables. * Debido a que no se ha simplificado al mximo las expresiones, esto generara un margen de error lo cual se puede considerar despreciables.

* Se puede haber aplicado el mtodo de euler pero se procedi aplicar este mtodo funge kutta dando resultados ms exactos.

* vemos que segn la grafica para un tiempo 575.6s la velocidad de la tubera es 0.04274m/s

* vemos que segn la grafica para un tiempo 509.4s la velocidad del depsito 1 es -0.00021m/s * vemos en las graficas que segn va pasando el tiempo las alturas de las oscilaciones va reducindose asta que formen una lnea donde se interpretara que se a llegado a la estabilidad del movimiento del agua y quedara en estado permanente

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VII.BIBLIOGRAFIA* Vctor L. Streeter. Mecnica de Fluidos. Novena Edicin * Mtodo de Runge-Kutta. Wikipedia, CHAPRA * Apuntes de clase. Curso de Flujo No permanente * Cesar Prez Lpez. Matlab y sus aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniera. * Mtodos Numricos usando Matlab. Jhon H. Mathews. *Apuntes de clase. Curso de Mtodos Numricos II.

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VIII. ANEXO

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