Oscilacion de Depositos de Seccion Variable

JOSE ALVITREZ BRAVO FLUJO NO PERMANETE

INDICE

I. Introducción 2

II. Objetivos 3

III. Fundamentos Teóricos 3

Oscilación de líquido en un tubo en U. 3 Oscilación de Depósitos. 6 Métodos de Runge-Kutta. 7

IV. Metodología 12

Planteamiento del problema. 12 Metodología de solución. 13

V. Cálculos y Resultados 24

Tablas 28 Graficas 36

VI. Conclusiones y/o Recomendaciones 42

VII. Bibliografía 43

VIII. Anexo 44INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS


I. INTRODUCCION

Hasta este punto, todos los casos analizados de movimiento de fluidos han sido considerados a régimen permanente. Sin embargo, existen casos en los que no es posible reducir a situaciones de régimen permanente pues la variación de los parámetros a través del tiempo es considerable.

El análisis de flujo no permanente es mucho más complejo que en un flujo permanente, debido a que los parámetros no solo dependen de la posición, sino también del tiempo; lo cual se introduce como una variable más en la ecuación diferencial que gobierna el movimiento del flujo. Debido a la complejidad, estas ecuaciones diferenciales en su mayoría deben ser resueltas por métodos numéricos, debido a que las soluciones analíticas son muy complejas o simplemente no es posible hallarlas.

Existen muchas aplicaciones del flujo no permanente a la ingeniería, uno de estos es la oscilación de depósitos de sección variable. El caso que se resolverá a continuación es un problema de oscilación de depósitos con sección transversal variable, para lo cual se proceden a igualar los volúmenes de los depósitos a volúmenes de tuberías equivalentes, con lo cual se obtienen las ecuaciones diferenciales que gobiernan el fenómeno, los cuales serán resueltas por el Método de Runge-Kutta de 4° Orden.

INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS


II. OBJETIVOS

a) Analizar y visualizar la variación de la posición y la velocidad con respecto al tiempo de un sistema compuesto de dos depósitos de sección variable que para nuestro caso consta de de un tronco parábola-tronco de cono y semiesfera-tronco parábola

b) Solucionar la ecuación diferencial ordinaria que gobierna el fenómeno mediante métodos numéricos y la solución analítica para una sola iteración.

c) Aplicar el método de Runge-Kutta de 4° orden para el desarrollo del problema de depósitos

d) Analizar las graficas que nos da el programa.e) Ver como es la oscilación en los depósitos.f) Ver cómo se van modificando las alturas de los depósitos.

III. FUNDAMENTOS TEORICOS

Oscilación de un líquido en un tubo de u

Consideremos un líquido contenido en un tubo en forma de U de sección uniforme S. La longitud del líquido es L, y su volumen S·L. En la situación de equilibrio la altura del líquido en ambas ramas es la misma. Supongamos que por algún procedimiento, se desnivela el líquido en las dos ramas.

Si consideramos el líquido como un fluido ideal, libre de rozamiento con las paredes del recipiente que lo contiene, el líquido empezará a oscilar con un periodo que depende únicamente de la longitud L de de la columna de líquido.

Vamos a deducir la fórmula del periodo de las oscilaciones de un líquido en un tubo en forma de U, a partir de las ecuaciones de la dinámica.



Cuando el líquido se desplaza x hacia la derecha, el desnivel entre las dos ramas del tubo en forma de U es 2x, tal como se aprecia en la figura. La fuerza F que se opone al movimiento de todo el fluido, es el peso de la columna de fluido de sección S y altura 2x.

La masa de todo el fluido es ρSL La fuerza F tiene por módulo, ρS(2x) g, y es de sentido

contrario al desplazamiento x.

La ecuación del movimiento se escribe (masa por aceleración igual a fuerza)

Se trata de la ecuación diferencial de un MAS cuya frecuencia angular es ω2=2g/L o cuyo periodo es

La solución de la ecuación diferencial es

x=Asen(ωt+φ).

La velocidad de la columna de líquido en el instante t es

v=dx/dt= Aωcos(ωt+φ).

donde A y φ se determinan a partir de las condiciones iniciales.

Para conseguir un desnivel inicial entre las dos ramas del tubo, se pone un corcho en el extremo de una de las ramas, se extrae algo de aire, el líquido en esta rama se eleva h0 y desciende la misma longitud en la otra rama. Se descorcha la rama, y se empieza a contar el tiempo, en el instante inicial t=0, tenemos x=h0 y v=0.



Con estas condiciones iniciales φ=π/2, x=h0cos(ωt), y v=-ωh0sen(ωt)

Utilizando la formula de Colebrook para sustituir la resistencia τ o se tiene:

1ρ

∂ p∂ s

+g ∂ z∂ s

+v ∂ v∂ s

+ f .v2

2 .D=0

Integrando esta ecuación entre las secciones 1 y 2, el primer término se elimina ya que los

límites son p = 0 en cada caso, el tercer término se elimina ya que ∂ v

∂ s=0

, y los términos cuarto y quinto son independientes de s; por lo tanto,

dvdt

+ f2 .D

+v|v|+ 2. gL

z=¿0

El signo de valor absoluto en la velocidad se requiere para que la resistencia se oponga a

la velocidad, ya sea positiva o negativa. Expresando v=dz

dt

d2 zdt2

+ f2D

dzdt

|dzdt

|+ 2gLz=¿0

Debido al término en v cuadrado, la ecuación diferencial no es lineal. Puede integrarse una vez con respecto a t, pero no se conoce una solución cerrada para la segunda

integración. Si se conocen las condiciones iniciales: t=¿ to , z=¿ zo , dz /dt=¿0 este problema es fácilmente resuelto por el método de Runge-Kutta de 4° orden.

A continuación se ve un breve ejemplo de la oscilación de una tubería en u



Oscilación en Depósitos

La oscilación en dos depósitos conectados por una tubería puede ser representada por la misma ecuación que rige el caso de la oscilación en un tubo en U (con excepción de los términos constantes). Si z1 y z2 representan los desplazamientos de las superficies de los depósitos, desde su posición de equilibrio y si z1 representa el desplazamiento de una partícula de agua de la tubería conectora, desde su posición de equilibrio.

∀=¿ A1 . z1=¿A2 . z2=Az

En donde A1 y A2 son las áreas de los depósitos, las cuales se supondrán constantes en esta derivación. Tomando en consideración las pérdidas menores en el sistema a través de una longitud equivalente Le de tuberías y accesorios, es posible escribir la ecuación de Euler (incluyendo resistencia).



d2 z

dt2++

f Le

2DLdzdt

2

++ gL( z 1+z2 )=¿0

d2 z

dt 2++

f Le

2DLdzdt

2

++ gAL

( 1A1

+ 1A2

)z==0……………….(α)

La ecuación (α) es valida para depósitos cilíndricos.

Método de Runge-Kutta

Runge-Kutta no es un solo método iterativo, sino una familia de métodos iterativos tanto implícitos como explícitos para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Estas técnicas fueron desarrolladas aproximadamente en el año 1900 por los matemáticos David T. Runge y Martín W. Kutta. El miembro más utilizado para la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias es Método de Runge-Kutta de 4° orden, la cual proporciona un margen aceptable de error respecto a la solución analítica de la ecuación diferencial.

El Método de Runge-Kutta de 4° orden resuelve ecuaciones diferenciales de la forma:

dy ( t )dt

=¿ f ( t , y )

y ( to )=¿ yo

Para lo cual utiliza la siguiente relación:

y i++1=¿ y i++ 16( (k1++2k2++2k3++k4 ) )

En donde los valores de las constantes son k 1 , k 2 , k 3 y k 4 y h es el tamaño de paso:

k 1=¿h . f ( t i , y i)

k 2=¿h . f ( ti++ h2, y i++

k1

2)

k 3=¿ h. f ( ti++ h2, y i++

k2

2)



k 4=¿h . f ( t i++h , y i++k 1)

Para el problema a resolver, la ecuación diferencial es de la forma:

F1=¿ dzdt

=¿V

F2=¿−−C1(Z1( z )−−Z2( z ) )−C2V .|V|

h=¿ Δt

Con lo cual, la relación para el proceso iterativo será:

zn++ 1=¿ zn+ +k z1+ +2k z 2 + +2k z3+ +k z 4

6

V n+ +1=¿V n+ +kV 1 + +2kV 2+ +2kV 3+ +kV 4

6

Ejemplo de Runge kutta

Determine y (0.5) utilizando el método de Runge-Kutta de cuarto orden, en el intervalo de interés [0, 0.5], en 5 intervalos.

PVI { y’ =4e0.8x – 0.5y ; y(0) =2 ; y(0.5) =? }

h =0.5 – 0 / 5 h =0.1

por lo tanto x0 =0, x1 =0.1, x2 =0.3, x4 =0.4, x5 =0.5

ITERACIÓN I i =0 ; x0 =0 ; y0 =2

K1 =f [0, 2] =4e(0.8*0) – (0.5 * 2)

K1 =3

K2 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3) /2] =f [0.05, 2.15] =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.15)

K2 =3.088243

K3 =f [0 +0.1/2, 2 +(0.1 *3.088243) /2] =f [0.05, 2.154412]

K3 =4e(0.8*0.05) – (0.5 * 2.154412)



K3 =3.086037

K4 =f [0 +0.1, 2 +(0.1 *3.086037)] =f [0.1, 2.308603]

K4 =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308603)

K4 =3.178846

y1(0.1) =2 +{0.1 /6 [3 +(2 *3.088243) +(2 *3.086037) +3.178846]}

y1(0.1) =2.308790

ITERACIÓN II i =1 ; x1 =0.1 ; y1 =2.308790

K1 =f [0.1, 2.308790] =4e(0.8*0.1) – (0.5 * 2.308790)

K1 =3.178753

K2 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.178753) /2] =f [0.15, 2.467727]

K2 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.467727)

K2 =3.276123

K3 =f [0.1 +0.1/2, 2.308790 +(0.1 *3.276123) /2] =f [0.15, 2.472596]

K3 =4e(0.8*0.15) – (0.5 * 2.472596)

K3 =3.273689

K4 =f [0.1 +0.1, 2.308790 +(0.1 *3.273689)] =f [0.2, 2.636158]

K4 =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636158)

K4 =3.375964

y2(0.2) =2.308790 +{0.1 /6 [3.178753 +(2 *3.276123) +(2 *3.273689) +3.375964]}

y2(0.2) =2.636362

ITERACIÓN III i =2 ; x2 =0.2 ; y2 =2.636362

K1 =f [0.2, 2.636362] =4e(0.8*0.2) – (0.5 * 2.636362)INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS


K1 =3.375862

K2 =f [0.2 +0.1/2, 2.6366362 +(0.1 *3.375862) /2] =f [0.25, 2.805155]

K2 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.805155)

K2 =3.483033

K3 =f [0.2 +0.1/2, 2.636362 +(0.1 *3.483033) /2] =f [0.25, 2.810513]

K3 =4e(0.8*0.25) – (0.5 * 2.810513)

K3 =3.480354

K4 =f [0.2 +0.1, 2.636362 +(0.1 *3.480354)] =f [0.3, 2.984397]

K4 =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984397)

K4 =3.592798

y3(0.3) =2.636362 +{0.1 /6 [3.375862 +(2 *3.483033) +(2 *3.480354) +3.592798]}

y2(0.3) =2.984619

ITERACIÓN IVi =3 ; x3 =0.3 ; y3 =2.984619

K1 =f [0.3, 2.984619] =4e(0.8*0.3) – (0.5 * 2.984619)

K1 =3.592687

K2 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.592687) /2] =f [0.35, 3.164253]

K2 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.164253)

K2 =3.710392

K3 =f [0.3 +0.1/2, 2.984619 +(0.1 *3.710392) /2] =f [0.35, 3.170138]

K3 =4e(0.8*0.35) – (0.5 * 3.170138)

K3 =3.707450

K4 =f [0.3 +0.1, 2.984619 +(0.1 *3.707450)] =f [0.4, 3.355364]INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS


K4 =4e(0.8*0.4) – (0.5 * 3.355364)

K4 =3.830829

y4(0.4) =2.984619 +{0.1 /6 [3.592687 +(2 *3.710392) +(2 *3.707450) +3.830829]}

y2(0.4) =3.355606

ITERACIÓN V i =4 ; x4 =0.4 ; y4 =3.355606

K1 =f [0.4, 3.355606] =4e(0.8*0.4) – (0.5 * 3.355606)

K1 =3.830708

K2 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.830708) /2] =f [0.45, 3.547141]

K2 =4e(0.8*0.45) – (0.5 * 3.547141)

K2 =3.959747

K3 =f [0.4 +0.1/2, 3.355606 +(0.1 *3.959747) /2] =f [0.45, 3.553593]

K3 =4e(0.8*0.45) – (0.5 * 3.553593)

K3 =3.956521

K4 =f [0.4 +0.1, 3.355606 +(0.1 *3.956521)] =f [0.5, 3.751258]

K4 =4e(0.8*0.5) – (0.5 * 3.751258)

K4 =4.091669

y5(0.5) =3.355606 +{0.1 /6 [3.830708 +(2 *3.959747) +(2 *3.956521) +4.091669]}

La solución requerida es y5(0.5) =3.751521



IV.METODOLOGIA

Planteamiento del Problema

Se dispone de un sistema de depósitos conectado por una tubería larga de longitud L=700m de diámetroDt=2m, con un factor de fricción f=0.02 y la suma total de perdidas es Σ k=8m. Este sistema esta formado de dos depósitos (1 y 2), en el cual el depósito 1 está compuesto de dos secciones un tronco parabólico y tronco de cono el depósito 2 de una sección tronco parabólico y semiesfera. Inicialmente el nivel de agua en el depósito 1, respecto al Nivel Aguas Tranquilas (N.A.T) es Z1=HA1=8m. Las dimensiones del sistema de depósitos son mostrados en la siguiente figura.



Metodología de Solución

En este punto se procede a calcular las ecuaciones que gobiernan las formas de los depósitos, tanto para el depósito 1 como para el depósito 2.

DEPOSITO 1

TRONCO PARABOLA INVERTIDA



De la relación ∀T = ∀PI

Hallando la ecuación de la parábola invertidaLa ecuación es de la forma:Z−¿

Para Z=0 , x=DAC

2→ [H PA+∆h ]=4 p [DAC

2 ]2

………… α

Para Z=HPA , x=DAP

2→ ∆ h=p DAP

2

………………………………βDe α y β

p=H PA

DAC2−DAP

2

hPA+∆h=HPA

D AC2−DAP

2 DAP2

→x2=−[DAC

2−D AP2 ]

4HPA

Z+DAC

2

4

De la relación

∀T = ∀PI→π DT2 z=π∫

0

Z 1 [−[DAC2−DAP

2 ]H PA

y+DAC2]dZ

z12−2

DAC2 HPA

DAC2−DAP

2 z1+2DT

2HPA

DAC2−DAP

2 z= 0

La solución de z1 en función z será para Z1≥0

z1=DAC

2H PA

DAC2−DAP

2−√[ DAC2 HPA

DAC2−DAP

2 ]2

−2DT

2H PA

DAC2−DAP

2 z

TRONCO DE CONO



La ecuación es de la siguiente forma:z−z0=m [ x−x0 ] Para z=0 , x=

DAC

2

Para z=−H A 2, x=DT

2De los dos puntos que pertenecen a la recta hallo la pendiente la cual es:

m=2H A2

DAC−DT

x=DAC

2+

[DAC−DT ]2H A2

z

→x2=14 [DAC+

[DAC−DT ]H A 2

z ]2

∀T = ∀trono decono→π DT2 z=π∫

−z1

0 [DAC+(DAC−DT )

H A 2

z ]2

dz

La solución de z2 en función z será para z1<0

z1=2H A2

DAC−DT{DAC

2−[[ DAC

2 ]3

−38

DT2 [DAC−DT ]H A2

z ]13 }

DEPOSITO 2



TRONCO PARABOLA HACIA ARRIBA

De la relación ∀T = ∀P

Hallando la ecuación de la parábola no invertidaLa ecuación es de la forma:z+(H ¿¿PB+∆h ')=4 p ' x2 ¿

Para z=0 , x=DPB

2→ [H PB+∆h ' ]=p ' DPB

2 ………… θ

Para z=−H PB , x=DT

2→ ∆ h'=p ' DT

2 …………………….

φDe θ y φ

p '=HPB

DPB2−DT

2

H PB+∆h '=H PB

DPB2−DT

2 DPB2

→x2=[DPB

2−DT2 ]

4H PB

z+¿ DPB

2

4

De la relación

∀T = ∀p→π DT2 z=π ∫

−z2

0 [ [DPB2−DT

2 ]H PB

z+DPB2]dz

z22−2

DPB2 HPB

DPB2−DT

2 z2+2DT

2H PB

DPB2−DT

2 z=0

La solución de z2en función z será para z2<0 será

z2=DPB

2H PB

DPB2−DT

2 −√(DPB

2H PB

DPB2−DT

2 )2

−2DT

2H PB

DPB2−DT

2 z



SEMIESFERA

La ecuación de la esfera es de la siguiente forma:

Ojo R=DPB2

radio de la semiesfera

x2+ z2=R2

→ x2=R2−z2

De la relación ∀t= ∀c→πDT2 z=π∫

0

Z2

(R2−z2 )dz

Z23−3R2Z2+

34DT

2

Z=0

Z2 =-real(-1/4*(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-R^2/(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/2*(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-2*R^2/(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)))



POR CONTINUIDAD SE HALLARAN LAS VELOCIDADES EN LOS DEPOSISTOS 1 Y 2

QT=QPI V T AT=V PI API

AT=πDT

2

4

API=π x2=π4 [−[DAC

2−D AP2 ]

HPA

z1+DAC2]

V PI=V T DT

2

[−[DAC2−DAP

2 ]HPA

z1+D AC2]

QT=Qtroncodecono V T AT=V troncode cono Atroncode cono

AT=DT

2

4

At .cono=π x2=π4 [DAC+

[DAC−DT ]H A2

z1]2

V troncodecono=V T DT

2

[D AC+[DAC−DT ]

H A 2

z1]2

QT=QP V T AT=V P AP

AT=DT

2

4

AP=π x2=π4 [ [DPB

2−DT2 ]

H PB

z2+DPB2]

Hallando la velocidad en la esferaQT=Qe V T At=V e Ae

V Tπ4DT

2=V e π x2 sabemos q x2+ y2=R2→x2=R2−Z2

2

Tenemos que para Z2 su velocidad en la esfera será



V P=V T DT

2

[DPB2−DT

2 ]H PB

z2+DPB2

V e=DT

2V T

4 [R2−Z22 ]

LAS ECUACIONES DE LAS POSICIONES HALLADAS EN FUNCION DE Z

z1=DAC

2H PA

DAC2−DAP

2−√[ DAC2 HPA

DAC2−DAP

2 ]2

−2DT

2H PA

DAC2−DAP

2 z z1≥0

z1=2H A2

DAC−DT{DAC

2−[[ DAC

2 ]3

−38

DT2 [DAC−DT ]H A2

z ]13 } z1 < 0

z2=DPB

2H PB

DPB2−DT

2 −√(DPB

2H PB

DPB2−DT

2 )2

−2DT

2H PB

DPB2−DT

2 z z2 < 0

z2 =-real(-1/4*(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-R^2/(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(1/2*(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3)-2*R^2/(-3*DT^2*Z+(-64*R^6+9*DT^4*Z^2)^(1/2))^(1/3))) z2 > 0

LAS ECUACIONES HALLADAS DE LAS VELOCIDADES DE LOS DEPOSITOS 1 Y 2

V 1=V T DT

2

[−[DAC2−DAP

2 ]H PA

z1+DAC2] z1≥0

V 1=V T DT

2

[DAC+[DAC−DT ]

H A2

z1]2 z1 < 0



V 2=V T DT

2

[DPB2−DT

2 ]H PB

z2+DPB2 z2 < 0

V 2=DT

2V T

4 [R2−Z22 ]

z2 > 0

Hallando las celeridades C1Y C2

c1=gL

=9.81700

=0.0140

c2=(L+

k DT

f) f

2DT L=

(700+ 8×20.02

)×0.02

2×2×700=0.0107

De la siguiente ecuación tenemos paraz1≥0 hallar el valor de z de la tubería

z12−2

DAC2 HPA

DAC2−DAP

2 z1+2DT

2HPA

DAC2−DAP

2 z= 0



Por dato tenemos que H A1=z1 ( z )=8m como z1 ( z )≥0 está en la parte tronco parabólico invertida del depósito 1 y de ahí hallaremos z de la siguiente ecuación

z12−2

DAC2 HPA

DAC2−DAP

2 z1+2DT

2HPA

DAC2−DAP

2 z= 0

82−262 x1062−32 x 8+2

22 x1062−32 z= 0 → z=z0=50.4m

Como z1>0→z2<0 tenemos la siguiente ecuación

De la siguiente ecuación para z2<0 tenemos el tronco de cono del depósito 2 remplazando el valor de z hallado anteriormente

z2=DPB

2H PB

DPB2−DT

2 −√(DPB

2H PB

DPB2−DT

2 )2

−2DT

2H PB

DPB2−DT

2 z

z2=8214

82−22−√( 82 14

82−22)

2

−222 14

82−2250.4 → z2=¿ 3.5786m

Pero z2 debe ser negativo entonces z2=¿ -3.5786m

Para el depósito 1 z1=8m

Para el depósito 2 z2=¿ -3.5786m

Condiciones iníciales

Se tiene la condición inicial paraz=z0. Se muestran los siguientes valores de las condiciones iníciales a continuación:

CONDICIONES INICIALES

z0=z=¿ 50.4m Altura de la tubería V 0=V=0 Velocidad inicial n=9000 Número de iteraciones∆ t=0.2 Diferencial del tiempot=30'=1800 s Tiempo finalDT=2 Diámetro de la tuberíaz1(1)=8m Altura del depósito 1z2(1)=−3.5786m Altura del depósito 2



V 1 (1 )=0 Velocidad en el depósito 1V 2 (1 )=0 Velocidad en el depósito 2

V.CALCULOS Y RESULTADOS

z=z0=50.4

v=v0=0

∆ t=0.2

Nuestras ecuaciones a usar

F1=dzdt

= v

F2=dvdt

= -c1 [z1 [z ]−z2 [z ]]−c2 v|v|

h=∆ t

k z1=∆ t F1 [V n ] k v 1=∆ t F2 [Zn ,V n ]

k z2=∆ t F1 [V n+0.5k v1 ] k v 2=∆ t F2 [Zn+0.5k z1 ,V n+0.5 kv 1 ]

k z3=∆ t F1 [V n+0.5k v 2 ] k v 3=∆ t F2 [Zn+0.5k z2 ,V n+0.5 kv 2 ]

k z4=∆ t F1 [V n+kv 3 ] k v 4=∆ t F2 [Zn+kz3 ,V n+k v3 ]

Y finalmente Para los Nuevos z y v



z=z0+kz1+2kz2+2kz3+kz4

6

V=V 0+kv1+2k v2+2kv3+kv4

6

Hallando los nuevos Z y V con el método Runge-Kutta

c1=0.0140

c2=0.0107

Para la primera iteración de las condiciones iníciales

z=z0=50.4

v=v0=0

∆ t=0.2

kz1=0.2×0=0

z1=62 10

62−32 −√ [ 621062−32 ]

2

−222 10

62−32 50.4→ z1=8m

z2=−[ 82 1482−22−√( 8214

82−22 )2

−22214

82−22 50.4 ]→ z2=−3.5786m

kv1=0.2 [−c1 [8−[−3.5786 ] ]−c2 0|0|]=−0.0325

kz2=0.2[0+−0.03252 ]=−0.0032

z1=62 10

62−32 −√ [ 621062−32 ]

2

−222 10

62−32 [50.4+ 02 ]→ z1=8m



z2=−[ 82 1482−22−√( 8214

82−22 )2

−22214

82−22 [50.4+ 02 ] ]→ z2=−3.5786m

kv2=0.2[−c1 [8−[−3.5786 ] ]−c2[0+−0.03252 ]|0+−0.0325

2 |]=−0.0325

kz3=0.2[0+−0.03252 ]=−0.0032

z1=62 10

62−32 −√ [ 621062−32 ]

2

−222 10

62−32 [50.4+−0.00322 ]→ z1≅ 8m

z2=−[ 82 1482−22−√( 8214

82−22 )2

−22214

82−22 [50.4+−0.00322 ]]→ z2≅−3.5786m

kv3=0.2[−c1 [8−[−3.5786 ] ]−c2[0+−0.03252 ]|0+−0.0325

2 |]=−0.0325

kz 4=0.2 [0+ [−0.0325 ] ]=−0.0065

z1=62 10

62−32 −√ [ 621062−32 ]

2

−222 10

62−32 [50.4+ [−0.0032 ] ]→ z1≅ 8m

z2=−[ 82 1482−22−√( 8214

82−22 )2

−22214

82−22 [50.4+ [−0.0032 ] ]]→ z2≅−3.5786m

kv 4=0.2 [−c1 [8−[−3.5786 ] ]−c2 [0+ [−0.0325 ] ]|0+ [−0.0325 ]|]=−0.0324

z=50.4+0+2 [−0.0032 ]+2 [−0.0032 ]+ [−0.0065 ]

6 ¿50.3968m

v=0+[−0.0325 ]+2 [−0.0325 ]+2 [−0.0325 ]+ [−0.0324 ]

6 ¿-0.0325m/s

Ahora hallamos las nuevas posiciones de los depósitos z1 y z2



z1=62 10

62−32 −√ [ 621062−32 ]

2

−222 10

62−32 50.3968→ z1=7.9964m

z2=−[ 82 1482−22−√( 8214

82−22 )2

−22214

82−22 50.3968]→ z2=−3.5778m

Ahora hallamos las nuevas velocidades de los depósitos v1 y v2

V 1=−0.0325m22

[−[62−32 ]10

7.9964+62] = -0.0090 m/s

V 2=−[ −0.0325m 22

[82−22 ]14

−3.5778+82 ] = 0.0027 m/s

Los resultados de las demás iteraciones se verán en las siguientes tablas



TABLAS ∆ t=0.2

v z v1 z1 v2 z2

0 0.0000 50.4000 0.0000 8.0000 0.0000 -3.5786

0.2 -0.0325 50.3968 -0.0090 7.9964 0.0027 -3.5778

0.4 -0.0649 50.3870 -0.0180 7.9919 0.0053 -3.5764

0.6 -0.0973 50.3708 -0.0270 7.9856 0.0080 -3.5746

0.8 -0.1297 50.3481 -0.0359 7.9775 0.0107 -3.5722

1 -0.1620 50.3189 -0.0448 7.9677 0.0133 -3.5693

1.2 -0.1943 50.2833 -0.0537 7.9561 0.0160 -3.5658

1.4 -0.2265 50.2412 -0.0624 Tiempo Tubería Deposito1 Deposito2

1.6 -0.2587 50.1927 -0.0711 7.9276 0.0212 -3.5573

1.8 -0.2907 50.1377 -0.0797 7.9109 0.0239 -3.5523

2 -0.3227 50.0764 -0.0882 7.8924 0.0265 -3.5467

2.2 -0.3546 50.0087 -0.0965 7.8722 0.0291 -3.5406

2.4 -0.3863 49.9346 -0.1048 7.8505 0.0316 -3.5341

2.6 -0.4179 49.8541 -0.1129 7.8271 0.0342 -3.5270

2.8 -0.4494 49.7674 -0.1209 7.8021 0.0368 -3.5194

3 -0.4807 49.6744 -0.1287 7.7756 0.0393 -3.5112

3.2 -0.5118 49.5752 -0.1364 7.7476 0.0418 -3.5026

3.4 -0.5428 49.4697 -0.1440 7.7180 0.0443 -3.4935

3.6 -0.5736 49.3580 -0.1513 7.6870 0.0468 -3.4839

3.8 -0.6043 49.2403 -0.1585 7.6546 0.0493 -3.4738

4 -0.6347 49.1164 -0.1656 7.6208 0.0517 -3.4632



4.2 -0.6649 48.9864 -0.1724 7.5857 0.0541 -3.4522

4.4 -0.6949 48.8504 -0.1791 7.5492 0.0565 -3.4406

4.6 -0.7247 48.7084 -0.1856 7.5114 0.0589 -3.4286

4.8 -0.7543 48.5605 -0.1919 7.4724 0.0612 -3.4162

5 -0.7836 48.4068 -0.1981 7.4322 0.0635 -3.4032

5.2 -0.8127 48.2471 -0.2040 7.3908 0.0658 -3.3899

5.4 -0.8415 48.0817 -0.2098 7.3483 0.0680 -3.3760

5.6 -0.8701 47.9105 -0.2154 7.3047 0.0703 -3.3617

5.8 -0.8984 47.7337 -0.2208 7.2600 0.0725 -3.3470

6 -0.9264 47.5512 -0.2260 7.2143 0.0746 -3.3319

6.2 -0.9542 47.3632 -0.2310 7.1676 0.0768 -3.3163

6.4 -0.9816 47.1696 -0.2359 7.1200 0.0789 -3.3004

6.6 -1.0088 46.9705 -0.2405 7.0714 0.0809 -3.2840

6.8 -1.0357 46.7661 -0.2450 7.0220 0.0830 -3.2672

7 -1.0622 46.5563 -0.2493 6.9717 0.0850 -3.2500

24 -2.0810 16.4596 -0.2714 1.9210 0.1401 -1.0388

24.2 -2.0801 16.0434 -0.2700 1.8671 0.1397 -1.0109

24.4 -2.0790 15.6275 -0.2686 1.8135 0.1394 -0.9831

24.6 -2.0777 15.2119 -0.2672 1.7602 0.1390 -0.9553

24.8 -2.0762 14.7965 -0.2658 1.7072 0.1386 -0.9276

25 -2.0745 14.3814 -0.2643 1.6545 0.1382 -0.9000

25.2 -2.0725 13.9667 -0.2629 1.6021 0.1378 -0.8725

25.4 -2.0704 13.5524 -0.2615 1.5499 0.1374 -0.8451

25.6 -2.0680 13.1385 -0.2600 1.4981 0.1370 -0.8177

25.8 -2.0655 12.7252 -0.2585 1.4465 0.1366 -0.7904

26 -2.0627 12.3124 -0.2571 1.3952 0.1361 -0.7633

26.2 -2.0598 11.9001 -0.2556 1.3443 0.1357 -0.7362

26.4 -2.0566 11.4885 -0.2541 1.2936 0.1352 -0.7092

26.6 -2.0533 11.0775 -0.2527 1.2432 0.1347 -0.6823

26.8 -2.0498 10.6672 -0.2512 1.1931 0.1342 -0.6555



27 -2.0461 10.2576 -0.2497 1.1433 0.1338 -0.6288

27.2 -2.0422 9.8487 -0.2482 1.0938 0.1332 -0.6022

27.4 -2.0382 9.4407 -0.2467 1.0446 0.1327 -0.5757

27.6 -2.0339 9.0335 -0.2452 0.9958 0.1322 -0.5493

27.8 -2.0295 8.6271 -0.2437 0.9472 0.1317 -0.5230

28 -2.0249 8.2217 -0.2422 0.8989 0.1312 -0.4968

28.2 -2.0202 7.8172 -0.2407 0.8509 0.1306 -0.4708

28.4 -2.0153 7.4136 -0.2392 0.8032 0.1301 -0.4448

28.6 -2.0102 7.0111 -0.2377 0.7558 0.1295 -0.4190

28.8 -2.0050 6.6095 -0.2362 0.7087 0.1289 -0.3932

29 -1.9996 6.2091 -0.2346 0.6620 0.1284 -0.3676

29.2 -1.9940 5.8097 -0.2331 0.6155 0.1278 -0.3421

29.4 -1.9883 5.4115 -0.2316 0.5693 0.1272 -0.3168

29.6 -1.9824 5.0144 -0.2301 0.5234 0.1266 -0.2915

29.8 -1.9764 4.6185 -0.2286 0.4779 0.1260 -0.2664

30 -1.9702 4.2239 -0.2271 0.4326 0.1254 -0.2414

30.2 -1.9639 3.8305 -0.2255 0.3877 0.1248 -0.2165

30.4 -1.9575 3.4383 -0.2240 0.3430 0.1241 -0.1917

30.6 -1.9509 3.0475 -0.2225 0.2987 0.1235 -0.1671

30.8 -1.9442 2.6580 -0.2210 0.2546 0.1229 -0.1425

31 -1.9373 2.2698 -0.2194 0.2109 0.1222 -0.1182

31.2 -1.9303 1.8830 -0.2179 0.1675 0.1216 -0.0939

31.4 -1.9232 1.4977 -0.2164 0.1243 0.1210 -0.0698

31.6 -1.9159 1.1138 -0.2149 0.0815 0.1203 -0.0458

31.8 -1.9086 0.7313 -0.2134 0.0390 0.1197 -0.0219

32 -1.9010 0.3504 -0.2118 -0.0032 0.1190 0.0018

80 1.0430 -21.1971 0.1435 -2.1124 -0.0740 1.3647

80.2 1.0504 -20.9878 0.1443 -2.0930 -0.0743 1.3498

80.4 1.0577 -20.7769 0.1450 -2.0735 -0.0746 1.3348

80.6 1.0649 -20.5647 0.1457 -2.0538 -0.0749 1.3198

80.8 1.0720 -20.3510 0.1463 -2.0340 -0.0752 1.3048

81 1.0789 -20.1359 0.1470 -2.0140 -0.0755 1.2897

81.2 1.0857 -19.9194 0.1476 -1.9938 -0.0757 1.2745

81.4 1.0924 -19.7016 0.1482 -1.9735 -0.0760 1.2593

81.6 1.0989 -19.4825 0.1487 -1.9530 -0.0762 1.2440

81.8 1.1053 -19.2621 0.1493 -1.9323 -0.0765 1.2287

82 1.1116 -19.0404 0.1498 -1.9115 -0.0767 1.2133

82.2 1.1177 -18.8174 0.1503 -1.8906 -0.0769 1.1979

82.4 1.1238 -18.5933 0.1508 -1.8695 -0.0772 1.1824

82.6 1.1296 -18.3679 0.1512 -1.8483 -0.0774 1.1669

82.8 1.1354 -18.1414 0.1517 -1.8269 -0.0776 1.1514



83 1.1410 -17.9138 0.1521 -1.8054 -0.0778 1.1358

83.2 1.1465 -17.6850 0.1525 -1.7837 -0.0779 1.1202

83.4 1.1519 -17.4552 0.1528 -1.7619 -0.0781 1.1046

83.6 1.1571 -17.2243 0.1532 -1.7399 -0.0783 1.0889

83.8 1.1622 -16.9924 0.1535 -1.7178 -0.0785 1.0732

84 1.1672 -16.7594 0.1538 -1.6956 -0.0786 1.0575

84.2 1.1720 -16.5255 0.1541 -1.6732 -0.0788 1.0417

84.4 1.1767 -16.2906 0.1544 -1.6507 -0.0789 1.0259

84.6 1.1813 -16.0548 0.1546 -1.6281 -0.0790 1.0101

84.8 1.1857 -15.8181 0.1548 -1.6053 -0.0792 0.9943

85 1.1901 -15.5805 0.1550 -1.5824 -0.0793 0.9784

85.2 1.1942 -15.3421 0.1552 -1.5594 -0.0794 0.9625

85.4 1.1983 -15.1028 0.1554 -1.5363 -0.0795 0.9466

85.6 1.2022 -14.8628 0.1555 -1.5130 -0.0796 0.9307

85.8 1.2060 -14.6220 0.1556 -1.4897 -0.0797 0.9147

86 1.2097 -14.3804 0.1557 -1.4662 -0.0798 0.8988

86.2 1.2132 -14.1381 0.1558 -1.4425 -0.0799 0.8828

86.4 1.2166 -13.8951 0.1559 -1.4188 -0.0799 0.8668

86.6 1.2199 -13.6514 0.1559 -1.3950 -0.0800 0.8508

86.8 1.2231 -13.4071 0.1559 -1.3710 -0.0801 0.8348

87 1.2261 -13.1622 0.1559 -1.3469 -0.0801 0.8187

87.2 1.2290 -12.9167 0.1559 -1.3228 -0.0802 0.8027

87.4 1.2318 -12.6706 0.1559 -1.2985 -0.0802 0.7866

87.6 1.2344 -12.4240 0.1558 -1.2741 -0.0803 0.7706

87.8 1.2369 -12.1769 0.1558 -1.2496 -0.0803 0.7545

88 1.2393 -11.9292 0.1557 -1.2251 -0.0803 0.7385

200 0.3507 -14.7796 0.0453 -1.5214 -0.0232 0.9364

200.2 0.3574 -14.7088 0.0462 -1.5145 -0.0236 0.9316

200.4 0.3640 -14.6366 0.0470 -1.5073 -0.0241 0.9268

200.6 0.3705 -14.5632 0.0478 -1.5001 -0.0245 0.9218

200.8 0.3770 -14.4884 0.0486 -1.4928 -0.0249 0.9168

201 0.3835 -14.4124 0.0494 -1.4853 -0.0253 0.9117

201.2 0.3899 -14.3351 0.0502 -1.4776 -0.0257 0.9065

201.4 0.3963 -14.2564 0.0509 -1.4699 -0.0261 0.9013

201.6 0.4026 -14.1766 0.0517 -1.4620 -0.0265 0.8959

201.8 0.4089 -14.0954 0.0525 -1.4540 -0.0269 0.8905

202 0.4151 -14.0130 0.0532 -1.4459 -0.0273 0.8850

202.2 0.4213 -13.9294 0.0540 -1.4376 -0.0277 0.8795

202.4 0.4274 -13.8445 0.0547 -1.4292 -0.0281 0.8738

202.6 0.4335 -13.7584 0.0555 -1.4207 -0.0284 0.8681

202.8 0.4395 -13.6711 0.0562 -1.4121 -0.0288 0.8623



203 0.4455 -13.5826 0.0569 -1.4033 -0.0292 0.8564

203.2 0.4514 -13.4929 0.0576 -1.3945 -0.0296 0.8504

203.4 0.4573 -13.4021 0.0583 -1.3855 -0.0299 0.8444

203.6 0.4631 -13.3100 0.0590 -1.3764 -0.0303 0.8383

203.8 0.4688 -13.2169 0.0597 -1.3671 -0.0306 0.8322

204 0.4746 -13.1225 0.0603 -1.3578 -0.0310 0.8259

204.2 0.4802 -13.0270 0.0610 -1.3483 -0.0313 0.8196

204.4 0.4858 -12.9304 0.0616 -1.3387 -0.0317 0.8133

204.6 0.4913 -12.8327 0.0623 -1.3290 -0.0320 0.8068

204.8 0.4968 -12.7339 0.0629 -1.3192 -0.0324 0.8003

205 0.5023 -12.6340 0.0635 -1.3092 -0.0327 0.7937

205.2 0.5076 -12.5330 0.0642 -1.2992 -0.0330 0.7871

205.4 0.5129 -12.4309 0.0648 -1.2890 -0.0334 0.7804

205.6 0.5182 -12.3278 0.0654 -1.2787 -0.0337 0.7736

205.8 0.5234 -12.2237 0.0659 -1.2683 -0.0340 0.7668

206 0.5285 -12.1185 0.0665 -1.2578 -0.0343 0.7599

206.2 0.5336 -12.0123 0.0671 -1.2472 -0.0346 0.7530

206.4 0.5386 -11.9050 0.0676 -1.2365 -0.0349 0.7459

206.6 0.5436 -11.7968 0.0682 -1.2257 -0.0352 0.7389

206.8 0.5485 -11.6876 0.0687 -1.2148 -0.0355 0.7318

207 0.5533 -11.5774 0.0693 -1.2037 -0.0358 0.7246

207.2 0.5581 -11.4663 0.0698 -1.1926 -0.0361 0.7173

207.4 0.5628 -11.3542 0.0703 -1.1813 -0.0363 0.7100

207.6 0.5674 -11.2412 0.0708 -1.1700 -0.0366 0.7027

207.8 0.5720 -11.1272 0.0713 -1.1585 -0.0369 0.6953

208 0.5765 -11.0124 0.0718 -1.1470 -0.0372 0.6878

400 -0.3637 5.8633 -0.0425 0.6597 0.0233 -0.3664

400.2 -0.3663 5.7903 -0.0428 0.6511 0.0235 -0.3617

400.4 -0.3689 5.7167 -0.0431 0.6424 0.0236 -0.3569

400.6 -0.3714 5.6427 -0.0434 0.6337 0.0238 -0.3522

400.8 -0.3739 5.5682 -0.0436 0.6250 0.0239 -0.3474

401 -0.3764 5.4931 -0.0439 0.6162 0.0241 -0.3425

401.2 -0.3788 5.4176 -0.0441 0.6073 0.0242 -0.3377

401.4 -0.3811 5.3416 -0.0444 0.5985 0.0244 -0.3328

401.6 -0.3834 5.2652 -0.0446 0.5895 0.0245 -0.3279

401.8 -0.3857 5.1883 -0.0448 0.5805 0.0246 -0.3229

402 -0.3879 5.1109 -0.0451 0.5715 0.0248 -0.3180

402.2 -0.3901 5.0331 -0.0453 0.5624 0.0249 -0.3130

402.4 -0.3923 4.9549 -0.0455 0.5533 0.0250 -0.3079

402.6 -0.3944 4.8762 -0.0457 0.5441 0.0252 -0.3029

402.8 -0.3964 4.7971 -0.0459 0.5349 0.0253 -0.2978



403 -0.3985 4.7176 -0.0461 0.5257 0.0254 -0.2927

403.2 -0.4004 4.6377 -0.0463 0.5164 0.0255 -0.2876

403.4 -0.4024 4.5575 -0.0465 0.5071 0.0256 -0.2825

403.6 -0.4042 4.4768 -0.0467 0.4977 0.0258 -0.2773

403.8 -0.4061 4.3958 -0.0469 0.4883 0.0259 -0.2721

404 -0.4079 4.3144 -0.0470 0.4789 0.0260 -0.2669

404.2 -0.4096 4.2326 -0.0472 0.4694 0.0261 -0.2617

404.4 -0.4113 4.1505 -0.0474 0.4599 0.0262 -0.2565

404.6 -0.4130 4.0681 -0.0475 0.4504 0.0263 -0.2512

404.8 -0.4146 3.9853 -0.0477 0.4409 0.0264 -0.2459

405 -0.4162 3.9022 -0.0478 0.4313 0.0264 -0.2406

405.2 -0.4177 3.8188 -0.0480 0.4217 0.0265 -0.2353

405.4 -0.4192 3.7352 -0.0481 0.4121 0.0266 -0.2300

405.6 -0.4207 3.6512 -0.0482 0.4024 0.0267 -0.2246

405.8 -0.4221 3.5669 -0.0484 0.3927 0.0268 -0.2193

406 -0.4234 3.4823 -0.0485 0.3830 0.0269 -0.2139

406.2 -0.4247 3.3975 -0.0486 0.3733 0.0269 -0.2085

406.4 -0.4260 3.3125 -0.0487 0.3635 0.0270 -0.2031

406.6 -0.4272 3.2271 -0.0488 0.3538 0.0271 -0.1977

406.8 -0.4284 3.1416 -0.0489 0.3440 0.0271 -0.1922

407 -0.4295 3.0558 -0.0490 0.3342 0.0272 -0.1868

407.2 -0.4306 2.9698 -0.0491 0.3243 0.0273 -0.1813

407.4 -0.4316 2.8836 -0.0492 0.3145 0.0273 -0.1759

407.6 -0.4326 2.7971 -0.0492 0.3046 0.0274 -0.1704

407.8 -0.4336 2.7105 -0.0493 0.2948 0.0274 -0.1649

408 -0.4345 2.6237 -0.0494 0.2849 0.0275 -0.1594

800 -0.2426 -0.9643 -0.0272 -0.1119 0.0152 0.0633

800.2 -0.2420 -1.0128 -0.0272 -0.1172 0.0151 0.0663

800.4 -0.2414 -1.0611 -0.0271 -0.1225 0.0151 0.0693

800.6 -0.2407 -1.1093 -0.0271 -0.1278 0.0150 0.0723

800.8 -0.2400 -1.1574 -0.0270 -0.1331 0.0150 0.0753

801 -0.2393 -1.2054 -0.0269 -0.1383 0.0150 0.0783

801.2 -0.2386 -1.2532 -0.0269 -0.1435 0.0149 0.0813

801.4 -0.2379 -1.3008 -0.0268 -0.1488 0.0149 0.0843

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801.8 -0.2363 -1.3956 -0.0266 -0.1591 0.0148 0.0902

802 -0.2355 -1.4428 -0.0266 -0.1643 0.0147 0.0931

802.2 -0.2347 -1.4899 -0.0265 -0.1694 0.0147 0.0961

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802.8 -0.2321 -1.6299 -0.0262 -0.1846 0.0145 0.1048



803 -0.2312 -1.6762 -0.0261 -0.1897 0.0145 0.1077

803.2 -0.2302 -1.7224 -0.0260 -0.1947 0.0144 0.1105

803.4 -0.2293 -1.7683 -0.0260 -0.1997 0.0143 0.1134

803.6 -0.2283 -1.8141 -0.0259 -0.2046 0.0143 0.1163

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804 -0.2263 -1.9050 -0.0257 -0.2145 0.0142 0.1219

804.2 -0.2252 -1.9501 -0.0255 -0.2194 0.0141 0.1247

804.4 -0.2242 -1.9951 -0.0254 -0.2242 0.0140 0.1275

804.6 -0.2231 -2.0398 -0.0253 -0.2291 0.0140 0.1303

804.8 -0.2220 -2.0843 -0.0252 -0.2339 0.0139 0.1331

805 -0.2209 -2.1286 -0.0251 -0.2387 0.0138 0.1358

805.2 -0.2197 -2.1727 -0.0250 -0.2434 0.0137 0.1386

805.4 -0.2186 -2.2165 -0.0249 -0.2482 0.0137 0.1413

805.6 -0.2174 -2.2601 -0.0247 -0.2529 0.0136 0.1440

805.8 -0.2162 -2.3034 -0.0246 -0.2576 0.0135 0.1467

806 -0.2149 -2.3465 -0.0245 -0.2622 0.0135 0.1494

806.2 -0.2137 -2.3894 -0.0243 -0.2668 0.0134 0.1521

806.4 -0.2124 -2.4320 -0.0242 -0.2714 0.0133 0.1547

806.6 -0.2112 -2.4744 -0.0241 -0.2760 0.0132 0.1574

806.8 -0.2099 -2.5165 -0.0239 -0.2805 0.0131 0.1600

807 -0.2085 -2.5583 -0.0238 -0.2850 0.0131 0.1626

807.2 -0.2072 -2.5999 -0.0237 -0.2895 0.0130 0.1652

807.4 -0.2059 -2.6412 -0.0235 -0.2939 0.0129 0.1677

807.6 -0.2045 -2.6822 -0.0234 -0.2983 0.0128 0.1703

807.8 -0.2031 -2.7230 -0.0232 -0.3027 0.0127 0.1728

808 -0.2017 -2.7635 -0.0231 -0.3070 0.0126 0.1753

1000 0.1629 2.3662 0.0185 0.2692 -0.0103 -0.1507

1000.2 0.1617 2.3987 0.0183 0.2729 -0.0102 -0.1527

1000.4 0.1605 2.4309 0.0182 0.2765 -0.0101 -0.1547

1000.6 0.1592 2.4628 0.0181 0.2801 -0.0101 -0.1567

1000.8 0.1579 2.4946 0.0179 0.2837 -0.0100 -0.1587

1001 0.1566 2.5260 0.0178 0.2872 -0.0099 -0.1607

1001.2 0.1553 2.5572 0.0176 0.2907 -0.0098 -0.1626

1001.4 0.1540 2.5881 0.0175 0.2942 -0.0097 -0.1646

1001.6 0.1527 2.6188 0.0173 0.2977 -0.0097 -0.1665

1001.8 0.1514 2.6492 0.0172 0.3011 -0.0096 -0.1684

1002 0.1500 2.6794 0.0171 0.3045 -0.0095 -0.1703

1002.2 0.1486 2.7092 0.0169 0.3079 -0.0094 -0.1722

1002.4 0.1472 2.7388 0.0167 0.3112 -0.0093 -0.1740

1002.6 0.1458 2.7681 0.0166 0.3145 -0.0092 -0.1759

1002.8 0.1444 2.7971 0.0164 0.3178 -0.0091 -0.1777



1003 0.1430 2.8259 0.0163 0.3210 -0.0090 -0.1795

1003.2 0.1416 2.8543 0.0161 0.3242 -0.0090 -0.1813

1003.4 0.1401 2.8825 0.0160 0.3274 -0.0089 -0.1830

1003.6 0.1386 2.9104 0.0158 0.3305 -0.0088 -0.1848

1003.8 0.1372 2.9380 0.0156 0.3336 -0.0087 -0.1865

1004 0.1357 2.9653 0.0155 0.3367 -0.0086 -0.1882

1004.2 0.1342 2.9922 0.0153 0.3398 -0.0085 -0.1899

1004.4 0.1327 3.0189 0.0151 0.3428 -0.0084 -0.1916

1004.6 0.1311 3.0453 0.0150 0.3457 -0.0083 -0.1932

1004.8 0.1296 3.0714 0.0148 0.3487 -0.0082 -0.1948

1005 0.1280 3.0971 0.0146 0.3516 -0.0081 -0.1965

1005.2 0.1265 3.1226 0.0144 0.3545 -0.0080 -0.1980

1005.4 0.1249 3.1477 0.0143 0.3573 -0.0079 -0.1996

1005.6 0.1233 3.1726 0.0141 0.3601 -0.0078 -0.2012

1005.8 0.1217 3.1971 0.0139 0.3629 -0.0077 -0.2027

1006 0.1201 3.2212 0.0137 0.3656 -0.0076 -0.2042

1006.2 0.1185 3.2451 0.0135 0.3683 -0.0075 -0.2057

1006.4 0.1168 3.2686 0.0134 0.3709 -0.0074 -0.2072

1006.6 0.1152 3.2918 0.0132 0.3735 -0.0073 -0.2086

1006.8 0.1135 3.3147 0.0130 0.3761 -0.0072 -0.2101

1007 0.1119 3.3373 0.0128 0.3787 -0.0071 -0.2115

1007.2 0.1102 3.3595 0.0126 0.3812 -0.0070 -0.2129

1007.4 0.1085 3.3813 0.0124 0.3836 -0.0069 -0.2142

1007.6 0.1068 3.4029 0.0122 0.3860 -0.0068 -0.2156

1007.8 0.1051 3.4241 0.0120 0.3884 -0.0067 -0.2169

1008 0.1034 3.4449 0.0118 0.3908 -0.0066 -0.2182

1792 -0.0495 2.1599 -0.0056 0.2411 0.0031 -0.1350

1792.2 -0.0506 2.1499 -0.0057 0.2399 0.0032 -0.1343

1792.4 -0.0516 2.1397 -0.0058 0.2387 0.0033 -0.1337

1792.6 -0.0526 2.1292 -0.0060 0.2375 0.0033 -0.1330

1792.8 -0.0537 2.1186 -0.0061 0.2363 0.0034 -0.1323

1793 -0.0547 2.1078 -0.0062 0.2350 0.0035 -0.1316

1793.2 -0.0557 2.0967 -0.0063 0.2338 0.0035 -0.1309

1793.4 -0.0568 2.0855 -0.0064 0.2325 0.0036 -0.1302

1793.6 -0.0578 2.0740 -0.0065 0.2312 0.0036 -0.1295

1793.8 -0.0588 2.0624 -0.0066 0.2298 0.0037 -0.1287

1794 -0.0598 2.0505 -0.0068 0.2285 0.0038 -0.1280

1794.2 -0.0608 2.0385 -0.0069 0.2271 0.0038 -0.1272

1794.4 -0.0618 2.0262 -0.0070 0.2257 0.0039 -0.1264

1794.6 -0.0627 2.0138 -0.0071 0.2242 0.0040 -0.1256

1794.8 -0.0637 2.0011 -0.0072 0.2228 0.0040 -0.1248



1795 -0.0647 1.9883 -0.0073 0.2213 0.0041 -0.1240

1795.2 -0.0656 1.9752 -0.0074 0.2198 0.0041 -0.1231

1795.4 -0.0666 1.9620 -0.0075 0.2183 0.0042 -0.1223

1795.6 -0.0675 1.9486 -0.0076 0.2168 0.0043 -0.1214

1795.8 -0.0685 1.9350 -0.0077 0.2152 0.0043 -0.1206

1796 -0.0694 1.9212 -0.0078 0.2136 0.0044 -0.1197

1796.2 -0.0703 1.9072 -0.0079 0.2120 0.0044 -0.1188

1796.4 -0.0713 1.8931 -0.0080 0.2104 0.0045 -0.1179

1796.6 -0.0722 1.8787 -0.0081 0.2088 0.0045 -0.1170

1796.8 -0.0731 1.8642 -0.0082 0.2071 0.0046 -0.1160

1797 -0.0740 1.8495 -0.0084 0.2054 0.0047 -0.1151

1797.2 -0.0749 1.8346 -0.0084 0.2037 0.0047 -0.1142

1797.4 -0.0758 1.8195 -0.0085 0.2020 0.0048 -0.1132

1797.6 -0.0766 1.8043 -0.0086 0.2003 0.0048 -0.1122

1797.8 -0.0775 1.7889 -0.0087 0.1985 0.0049 -0.1112

1798 -0.0784 1.7733 -0.0088 0.1967 0.0049 -0.1103

1798.2 -0.0792 1.7575 -0.0089 0.1949 0.0050 -0.1093

1798.4 -0.0801 1.7416 -0.0090 0.1931 0.0050 -0.1082

1798.6 -0.0809 1.7255 -0.0091 0.1913 0.0051 -0.1072

1798.8 -0.0817 1.7093 -0.0092 0.1894 0.0051 -0.1062

1799 -0.0825 1.6928 -0.0093 0.1876 0.0052 -0.1051

1799.2 -0.0833 1.6763 -0.0094 0.1857 0.0052 -0.1041

1799.4 -0.0841 1.6595 -0.0095 0.1838 0.0053 -0.1030

1799.6 -0.0849 1.6426 -0.0096 0.1819 0.0053 -0.1019

1799.8 -0.0857 1.6255 -0.0097 0.1799 0.0054 -0.1009

1800 -0.0865 1.6083 -0.0097 0.1799 0.0054 -0.1009

GRAFICAS

TUBERIA



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60TIEMPO Vs POSICION DE LA TUBERIA

Alvitrez Bravo

TIEMPO EN SEGUNDOS

ALT

UR

AS

DE L

A T

UBER

IA



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5TIEMPO Vs VELOCIDAD DE LA TUBERIA

Alvitrez Bravo

TIEMPO EN SEGUNDOS

VELO

CID

AD

ES

DE L

A T

UBER

IA

DEPOSITO1INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-4

-2

0

2

4

6

8TIEMPO Vs POSICION DEL DEPOSITO 1

Alvitrez Bravo

TIEMPO EN SEGUNDOS

ALT

UR

AS

DEL D

EPO

SIT

O 1



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3TIEMPO Vs VELOCIDAD DEL DEPOSITO 1

Alvitrez Bravo

TIEMPO EN SEGUNDOS

VELO

CID

AD

ES

DEL D

EPO

SIT

O 1

DEPOSITO2INGENIERIA MECANICA DE FLUIDOS


0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-4

-3

-2

-1

0

1

2

3TIEMPO Vs POSICION DEL DEPOSITO 2

Alvitrez Bravo

TIEMPO EN SEGUNDOS

ALT

UR

AS

DEL D

EPO

SIT

O 2



0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15TIEMPO Vs VELOCIDAD DEL DEPOSITO 2

Alvitrez Bravo

TIEMPO EN SEGUNDOS

VELO

CID

AD

ES

DEL D

EPO

SIT

O 2

VI.CONCLUSIONES Y/O RECOMENDACIONES

* En el análisis de los resultados, perteneciente al depósito 1, se puede observar que en un estado permanente la altura inicial es de 8 metros y cuando se inicia la oscilación después de un determinado tiempo, se



llega a una altura de -0.3834 debajo del nivel de aguas tranquilas para un tiempo de 163s.

* En el análisis de los resultados, perteneciente al depósito 2, se puede observar que en un estado permanente la altura inicial es de -3.5786 metros y cuando se inicia la oscilación después de un determinado tiempo, se llega a una altura de 0.2198 metros arriba del nivel de aguas tranquilas en un tiempo de 163 s.

* Además se puede observar del análisis de los datos obtenidos, que en ambos depósitos cuando se llega a su máxima altura o máximo descenso, el valor de la velocidad tiende a ser muy pequeña.

* De los datos se observa que 30 minutos después de iniciado el movimiento el depósito 1 llega a una altura de 0.1799 m sobre el nivel de aguas tranquilas, lo cual representa el 2.2487% de la altura en el inicio del movimiento, con lo cual se puede decir que se encuentra estable.

* De la misma manera, se observa que 30 minutos después de iniciado el movimiento en el depósito 2, se llego a una altura de -0.1009m sobre el nivel de aguas tranquilas, lo cual representa un 2.8195% de la altura inicial de este deposito

* Se debe tener mucho cuidado al momento de reemplazar las expresionesz1=f [ z ] y z2=g [z ] en la ecuación diferencial que gobierna el movimiento, ya que un reemplazo un inadecuado puede generar fenómenos que físicamente no son viables.

* Debido a que no se ha simplificado al máximo las expresiones, esto generara un margen de error lo cual se puede considerar despreciables.

* Se puede haber aplicado el método de euler pero se procedió aplicar este método funge kutta dando resultados más exactos.



* vemos que según la grafica para un tiempo 575.6s la velocidad de la tubería es 0.04274m/s

* vemos que según la grafica para un tiempo 509.4s la velocidad del depósito 1 es -0.00021m/s

* vemos en las graficas que según va pasando el tiempo las alturas de las oscilaciones va reduciéndose asta que formen una línea donde se interpretara que se a llegado a la estabilidad del movimiento del agua y quedara en estado permanente

VII.BIBLIOGRAFIA



* Víctor L. Streeter. Mecánica de Fluidos. Novena Edición

* Método de Runge-Kutta. Wikipedia, CHAPRA

* Apuntes de clase. Curso de Flujo No permanente

* Cesar Pérez López. Matlab y sus aplicaciones en las Ciencias y la Ingeniería.

* Métodos Numéricos usando Matlab. Jhon H. Mathews.

*Apuntes de clase. Curso de Métodos Numéricos II.



VIII. ANEXO








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Oscilacion de Depositos de Seccion Variable