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Oscilaciones: Introducción Movimientos Periódicos

• Periódico: movimiento que se repite• Periodo: el tiempo necesario para que se produzca la

repetición• Ejemplos de movimientos periódicos– Rotación de la Tierra alrededor del Sol, período = 1 año– Oscilación de un péndulo– Movimiento de las manecillas de un reloj– Masa colgada de un muelle• Movimiento armónico simple (MAS):– Forma más sencilla de oscilación– En una dimensión, x

Movimiento armónico simple MAS

cos( )x A tω δ= +

Movimiento armónico simple: cuando el desplazamiento alrededor de la posición de equilibrio, x es

A= amplitud= máximo desplazamiento

δ= fase inicial, ω= frecuencia angular

T= periodo= tiempo que se necesita para que se repita el movimientoT = Tiempo que tarda en hacerse una oscilación

ω δ π ω δ+ + = + + ⇒cos( 2 ) cos( ( ) )t t T

υ= frecuencia = 1/T= número de oscilaciones por unidad de tiempo

πω

= 2T

2

MAS: movimiento circular uniforme

En el mov. circular uniforme, el ángulo barrido es θ= ωt

x=r cos θ=r cos ωt

y=r sen θ=r sen ωt

Velocidad y aceleración en un MAS

ω δ

ω ω δ

ω ω δ

= +

= = = − +

= = = = − +

ɺ

ɺɺ

22

2

cos( )

( )

cos( )

x A t

dxv x Asen t

dtdv d x

a x A tdt dt

ω= = −ɺɺ 2a x x Un MAS es un movimiento en el que la aceleración es proporcional y de sentido contrario al desplazamiento= = −ɺɺa x kx

3

m x

cos( )

a

x A t

x A

ω δ= += ±

ω ω δω

ω

= − += ±

= −max

2 2

( )v Asen t

v A

v A x

2

2

cos( )a A t

a x

ω ω δω

= − += −

2ª Ley de Newton F ma mx= = ɺɺ

En un MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesto a él.

ω ω= − ⇒ + =ɺɺ ɺɺ2 2( ) 0mx m x x x Ecuación diferencial de un MAS

ω, y por tanto T dependen del problema en cuestión (masa, longitud, fuerza,....). No depende de las condiciones iniciales

4

A y δ sólo dependen de las condiciones iniciales. Si en t=0, x=x0, v=v0

cos( 0 ) cos

( 0 )o

o

x x A A

v v Asen Asen

ω δ δω ω δ ω δ

= = + == = − + = −

cos( ) cos cos sen senα β α β α β+ = −Como

ω δ ω δ ω δ

ω ωω

ω ω ω

= + = −

= +

= = − +

cos( ) cos cos

cos

cos

oo

o o o

x A t A t A sen t sen

vx t sen t

v v x sen t v t

Ejemplos de MAS: masa conectada a un muelle horizontal

K= constante elástica del muelle

Fuerza elástica es proporcional al desplazamiento

ω

ω π

= −= = − ⇒ + =

+ =

= =

ɺɺ ɺɺ

ɺɺ 2

0

0

2

F kx

F mx kx mx kx

x x

k mT

m k

5

Energía PotencialLa fuerza elástica es conservativa

= − ⇔ = −dUF dU Fdx

dx

− = = +∫ ∫21

2Fdx kxdx kx cte

Si xo=0 y U(0)=0

= 212

U kx

Energía cinética y potencial

ω δ

ω ω ω δ

= = + =

= +

2 2

2 2 2 2 2

1 1( cos( ))

2 21 1

cos ( )2 2

U kx k A t

m x m A t

ω= =2 2 2max

1 12 2

U kA m AEn x=±A

ω ω δ

ω ω δ

= = − + =

= +

2 2

2 2 2

1 1( ( ))

2 21

( )2

T mv m A sen t

m A sen t

ω= =2 2 2max

1 12 2

T kA m AEn x=0

En x=0 Umax=0

En x=±A T=0

6

Energía Total

ω= =2 2 21 12 2totalE kA m A

= −2 21( )

2T k A x

= 212

U kxU(x)

T

U

ω ω δ ω ω δ

ω

= + = + + + =

=

2 2 2 2 2 2

2 2 2

1 1cos ( ) ( )

2 21 12 2

totalE T U m A t m A sen t

m A kA

Masa colgada de un muelle

ω δ= +

= + = 2

' cos( )

1'

2el gr

y A t

U U U ky

mgkydt

ydm +−=

2

2

No es la ecuación de un MAS

Si tomamos como variabley’=y-y0

0''

''

')'(

2

2

2

2

0

=+⇒−−−=

+=+=

kydt

ydmmgmgky

dt

ydm

mgkyyykky

7

La aceleración tangencial es d2s/dt2.

La componente tangencial de las fuerzas es

θ

θ

= −

+ = ⇔ + =ɺɺ ɺɺ

2

2

0 0

d sm mgsen

dts

s gsen s gsenL

Si θ= s/L es pequeño

⇒ sen s/L≈s/L MAS con solución

Péndulo simple

ω δ= +max cos( )s s t

No es MAS

ω

+ =

=

ɺɺ 0g

s sL

gL

El movimiento es MAS sólo para desplazamientos pequeños respecto de la posición de equilibrio (sólo para ángulos pequeños)

Péndulo simple

θ θ ω δ= +max cos( )tθ θ+ =ɺɺ 0

gL

Ya que s=Lθ Ecuación de un MAS

Si tomamos y=0 en θ=0 y U(0)=0

θ

θ θ

= = −

= + = + −ɺ2 2

( ) (1 cos )

1(1 cos )

2

U y mgy mgL

E T U mL mgL E=E(θ) no es cte

Si θ es pequeño cos θ≈1- θ2/2 θ θ= − ≈ 21( ) (1 cos )

2U y mgL mgL

θ θ θ ω δ

θ ω δ θ

= + = + = + +

+ ⇒ = =

ɺ2 2 2 2 2 2max

2 2 2max max

1 1 1( )

2 2 21 1

cos ( )2 2

gE T U mL mgL mL sen t

L

mgL t E mgL cte

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Movimiento en las proximidades del equilibrio

Si x1 es un punto de equilibrio estable, la fuerza es de signo contrario al desplazamiento (tiende a devolver a la partícula a x1)

ε= − − = −1( )F K x x k

Parábola aproximándose a U cerca del punto de equilibrio estable

x

x1 x2

F(x)

Oscilaciones amortiguadas• En todos los movimientos reales, incluidos los oscilantes,

se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fuerza de rozamiento.

• Cuando la energía mecánica del movimiento oscilante disminuye en el tiempo, se dice que este es amortiguado

• si las fuerzas de rozamiento o amortiguamiento son pequeñas, el movimiento es casi periódico excepto que la amplitud disminuye lentamente con el tiempo.

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• En muchas situaciones las fuerzas de amortiguamiento pueden aproximarse por

• El grado de amortiguamiento dependerá del valor de b. • Por oponerse estas fuerzas al sentido del movimiento estas

fuerzas producen siempre un trabajo negativo.• Sobre un sistema actúa una fuerza elástica y una fuerza de

amortiguamiento. Según la ley de Newton

Oscilaciones amortiguadas

vbF��

−=

∑∑

=−−=

==

xmxbkxF

xmmaF

ɺɺɺ

ɺɺ

0=++ kxxbxm ɺɺɺ

02 20 =++→ xxx ωγɺɺɺ

γ2=m

bm

k=20ωDividiendo por m y con

Ecuación del mov. Armónico amortiguado

Oscilaciones amortiguadas02 2

0 =++→ xxx ωγɺɺɺ

La solución cuando el amortiguamiento es pequeño , γ < ω0 es

)cos( αωγ += − tAex t

2

222

0 4m

b

m

k −=−= γωω

A y α son constantes que dependen de las condiciones iniciales

el amortiguamiento produce una disminución de la frecuencia (frecuencia disminuye y T aumenta).

la amplitud de las oscilaciones no es constante, A’ = A* e-γt

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Críticamente amortiguado

Sobreamortiguado

• Si el amortiguamiento es muy grande γ > ω0, y ω no es real: no hay oscilaciones y la partícula si se la desplaza y se deja libre, se aproxima a la posición de equilibrio sin pasarla o pasándola como mucho a la vez.

• Cuanto mayor sea el amortiguamiento b más tiempo tarda el sistema en volver a la posición de equilibrio.

• Si bc = 2mω0, entonces ω=0. A bc se la llama condición del amortiguamiento crítico.

• Cuando b=bc, la masa vuelve a la posición de eq en el menor tiempo posible sin realizar ninguna oscilación

• b < bc mov. amortiguado

• b = bc mov. amortiguado críticamente

• b > bc mov. Sobreamortiguado

Sobreamortiguamiento

• El trabajo realizado por la fuerza de amortiguamiento es negativo, así pues hace disminuir la energía mecánica del sistema.

• Esto lo podemos ver calculando la potencia que produce esta fuerza.

2coscos

bvvFvFdt

dsF

dt

dWP −===== ��φφ

Se dice que se disipa energía y potencia¿cuánto vale la variación de energía?

22

2

1

2

1kxmvE += kx

dt

dvmbvkxbv

dt

dvm +=−⇒−−=

2)()22

12(

2

1bvkx

dt

dvmv

dt

dxkx

dt

dvvm

dt

dE −=+=+=

La variación de la energía mecánica es igual a la potencia disipada. Esta energía es cedida al medio, normalmente como calor. Cuando el amortiguamiento es pequeño tmbeEtE )/(

0)( −=

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Oscilaciones Forzadas• Consideremos una fuerza externa adicional, además de la fuerza

amortiguadora y de la restauradora. • La fuerza externa aumenta la energía mecánica del oscilador si

actúa en el sentido del movimiento, y absorbe energía si lo hace en sentido contrario al movimiento.

• Esto es lo que ocurre en el caso de la masa suspendida de un muelle. El trabajo realizado por el peso es positivo cuando el muelle se estira, y negativo cuando el muelle se comprime.

• El trabajo neto realizado en un ciclo, en una oscilación es 0, y la fuerza constante no modifica la energía del sistema. Una fuerza constante sólo varía la posición de equilibrio del sistema.

• Un tipo particularmente importante de fuerza externa es aquella que varía sinusoidalmente con el tiempo

tsenFFext ω0=

• donde ω es la frecuencia angular de la fuerza externa que no tiene porqué estar relacionada con ω0.

• Una masa sujeta a un muelle de constante recuperadora K = m,sometido a una fuerza amortiguadora –bv y a una fuerza externa tiene como ecuación del movimiento

tsenFFext ω0=

2

2

020 dt

xdm

dt

dvmmatsenFbvxm ===+−−=Σ ωω

tsenFxmdt

dxb

dt

xdm ωω 0

202

2

=++

La solución de esta ecuación es

)()''cos(')( )2/( δωδω −++= − tAsenteAtx tmb

donde A’ y δ’ son constantes que pueden obtenerse de los valores

iniciales de x0 y v0.

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)()''cos(')( )2/( δωδω −++= − tAsenteAtx tmb

222220

2

0

)( ωωω bm

FA

+−=

)(tan

220 ωωωδ−

=m

b

022222

02 )( F

Ab

bm

bsen

ωωωω

ωδ =+−

=

El primer término se llama solución transitoria.

Después de un tiempo bt/2m>> 1 la exponencial se hace muy pequeña, y esta parte de la solución completa resulta despreciable debido a la disminución de la amplitud.

El segundo miembro de x(t) se llama solución estacionaria, en ella A no varía en función de t. Después de un tiempo t >> 2m/bpodemos despreciar la solución transitoria, y la posición de la partícula vendrá dada por

)()( δω −= tAsentxsin que importen las condiciones iniciales.

0

0,5

1

0 2 4 6 8 10

θθθθ (radianes)

sen

2 ( θθ θθ)

• La velocidad en el estado estacionario es )cos( δωω −== tAdt

dxv

La potencia que produce la fuerza impulsora

)cos()cos()( 00 δωωωδωωω −=−== ttsenFAtAtsenFFvP

δωδωδω tsensentt +=− coscos)cos(

20( cos cos )P A F sen tsen tsen tω ω δ δ ω ω= +

Teniendo en cuenta

La potencia producida varía con el tiempo a lo largo de un ciclo. Durante un ciclo, el coseno es tantas veces positivo como negativo y su valor medio es nulo. El valor medio del sen2 durante un ciclo es ½.

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• la potencia media durante un ciclo es2 2 2

2 2 20 00 2 2 2 2 2 2

0

0

2 2 2 2 20

1 1 1 1 1

2 2 2 2 ( ) 2

( )( )

m m

F b FP AF sen b A P b A

b sen m b

FA

m b

ωω δ ω ωδ ω ω ω

ω ω ω

= = = = =− +

=− +

La potencia máxima se tiene para ω=ω0, entonces .

201

2m

FP

b=

Se puede ver también que Pm es máxima cuando sen δ = 1

Cuando Pm es máxima se dice que hay resonancia δ=90º=π/2.

En la resonancia el desplazamiento está desfasado π/2 respecto de la F impulsora, pero la velocidad está en fase con la fuerza F, la partícula se mueve en el sentido de la F impulsora.

Cuando el amortiguamiento es pequeño (b <<), la potencia de entrada o en la resonancia es grande y la curva de resonancia es aguda, la potencia es grande sólo en la resonancia. Si b es grande la potencia en la resonancia es pequeña y la curva de resonancia es aplastada.

Amortiguamiento pequeño

Amortiguamiento grande