Projekcije

1

1) Mercatorova projekcija je cilindrična projekcija. 2) Lambertova projekcija (sekantna i tangentna)3) Polarna (stereografska) projekcija

http://www.o-4os.ce.edus.si/projekti/geo/kartografija/projekcije.htm

2

Prilikom razvoja modela potrebno je odrediti:� optimalnu aproksimativnu formu jednadžbi modela � domenu modela i strukturu mreže (mrežni korak, tip mreže, vremenski

korak, duljinu integracije)� Početne i rubne uvjete

Domena modela i struktura mreže su uobičajeno određeni sljedećim fizikalnim i numeričkim zahtjevima:

1) Prostornom skalom i dimenzijama osnovne pokretačke sile (forsiranja); 2) Vremenskom skalom forsiranja i odgovorom fluida na to forsiranje;3) Kriterijem stabilnosti odabrane numeričke sheme;4) Kapacitetom računala;

Za što točnije simuliranje meteoroloških procesa potrebno je svakako

� koristiti dovoljno malene prostorne i vremenske korake da se razluče procesi male skale;

te istovremeno

� obuhvatiti prostorne dimenzije osnovnih pokretačkih sila (procesa velike skale koji su odgovorni za modificiranje male-skale) i pojava koje proučavamo.

MREŽE MODELA

3

1. Korak ⇒ Odabir domene modela.

Problemi proizlaze ukoliko domena nije adekvatno odabrana:

(b)Promjena domene mijenja strukturu strujanja na vrhu prepreke (Pielke, 2002)

Brzina vjetra ~ 60 m/s =216 km/h

za slučaj obalne cirkulacije na obali Jadrana

Idealizirano silazno strujanje gdje se zrak na vrhu prepreke spušta s visina i s istog nivoa (Pielke, 2002)

4

2. Korak ⇒ odabir tipa mreže i koraka mreže.

Ovisi o prostornim skalama dominantnog forsiranja i proučavanih atmosferskih procesa

Mogu se koristiti:

� Uniformna mreža

� Mreža s rastezljivim korakom (eng. stretched grid)

� Ugniježđena mreža (eng. nested grid)

� Pomična mreža (eng. movable grid)

� Prilagodljiva mreža (eng. adaptive grid)

� Razmaknuta mreža (eng. staggered grid)

Neke od ovih mreža se mogu koristiti zajedno u modelu.

5

Uniformna mreža

Mrežni intervali su jednaki bilo po horizontali ili vertikali.

Prednosti:

� Jednostavno kodiranje� Jednostavno dodavanje geografskih karakteristika u model

Nedostaci:

Teško zadovoljiti točnu prezentaciju procesa velike i male skale unutar istedomene modela

Ako se koristi ∆x=∆z; iako se dobro razlučuju procesi u slobodnoj atmosferiteško je pravilno razlučiti PBL

http://www.crwr.utexas.edu/gis/gishydro03/Classroom/trmproj/Nopmongcol/report.htm

6

Mreža s rastezljivim korakom(eng. stretched grid)

Osnovna karakteristika:Promjena koraka mreže u prostoru

Prednosti:

� Moguće je pomaknuti granice modela daleko od područja interesa s jednakim brojem točaka mreže i istim računskim vremenom kao i kod uniformne mreže

Prostorni korak se mijenja od najfinijeg u području interesa (npr. blizu površine)prema sve većim koracima na rubovima mreže.

Nedostaci:

Ako se mrežni korak prenaglo mijenja može se pojaviti unutrašnja refleksija valova

(iz Pielke, 2002)

7

Mreža s rastezljivim korakom može se definirati:

1) Jednostavnim pridjeljivanjem vrijednosti

Npr., x1=0; x2=50 km x3=x2+40 kmx4=x3+30 kmx5=x4+20 km

…..xn-1=xn-2+40 kmxn=xn-1+50 km

2) Korištenjem neke matematičke relacije

Npr. s(x)=c{ax+th[(x-x0)/η]+b}

b=th x0/σ; x0=0.5; a=0.5; η=0.044; c=[a+b+th(1-x0)/η]-1

8

Ugniježđena mreža (eng. nested grid)

� Višestruke mreže različitih mrežnih koraka

� Najfinija mreža se postavlja u područje � najvećeg interesa

� alternativa mreži s rastezljivim korakom je korištenje finije mreže unutar grublje mreže

� Konstantni mrežni interval ∆ je okružen s mrežom n∆=δ, gdje je n>1.

� Mrežni korak nije definiran nekom kontinuiranom funkcijom već u ovom pristupu postoji diskontinuitet između fine i grublje mreže.

(iz Pielke, 2002)

9

Ugniježđena mreža

Različiti tipovi ugnježđivanja u modelu. (a) Teleskopsko ugnježđivanje. (b) Ugnježđivanje dviju ravnopravnih mreža u odnosu na početnu grublju mrežu. Nije dozvoljeno ⇒ (c) preklapanje ugniježđenih mreža (d) istovremeno ugnježđivanje najfinije mreže u dvije grublje mreže

Načini ugnježđivanja (npr. U WRF modelu; http://www2.mmm.ucar.edu/wrf/users/)

10

Problemi kod mreža s varijabilnim prostornim koracima (rastezljiva i ugniježđena mreža):

Npr. u slučaju odnosa mreža δ=4∆U finoj mreži (∆) U gruboj mreži (δ)

val 8∆ ⇒ val 2δ

Posljedica: 1) loša prezentacije 8∆ u gruboj mreži2) Valovi s valnim duljinama kraćim od 2δ uzrok su nelinearne

nestabilnosti u grubljoj mreži. 3) promjena u rezoluciji uzrokuje refleksiju i lom valova.

Ove mreže povećavaju domenu mreže, ali uzrokuju novi izvor računskih pogrešaka. Pogreške se minimaliziraju razumnom upotrebom filtriranja blizu granice grube i fine mreže uvažavajući korištene numeričke sheme.

11

MREŽE MODELA

12

Pomična mreža (eng. movable grid)

- može biti s konstantnim ili rastezljivim mrežnim korakom- Giba se relativno u odnosu na Zemljinu površinu- Sprečava da promatrani meteorološki proces izađe iz mreže modela

Primjer uragana Ivana (Sept 2004) za 48-satnu integraciju WRF modela napravljenu pomičnom mrežom na 4 km rezoluciji.http://www2.mmm.ucar.edu/wrf/WG2/wrf_moving_nest.gif

http://po.gso.uri.edu/Numerical/nested/nested.html

13

Prilagodljiva mreža (eng. adaptive grid)

�Algoritam započinje (npr. uniformnom Kartezijevom) osnovnom mrežom

�Identificiraju se područja gdje je potrebno uvesti finiju mrežu (npr. područja velikih lokalnih gradijenata, velikih diskontinuiteta itd.)

�Postavlja se finija mreža samo u tim odabranim područjima

�Rekurzivno se dodaje sve finija i finija mreža sve dok se ne postigne zadovoljavajući nivo poboljšanja

�Ako se na nekom nivou poboljšanje mreže veće od traženog, tada se finija mreža može zamijeniti grubljom mrežom.

http://www.mcs.anl.gov/~emconsta/AMR.php

B mreža C mreža

14

A. Arakawa (1997)

D mreža E mreža

Shematski prikaz računanja veličina u mrežnom volumenu za pomaknutu Arakawa C mrežu. Zonalna (u), merdionalna (v) i vertikalna (w) komponenta brzine vjetra su brzine vjetra u x-, y- i z- smjeru dok Ψ predstavlja skalare.

Očuvanje mase i energije u modelu postiže se korištenjem razmaknutih mreža.

U takvim mrežama, varijable diferencijalnih jednadžbi se definiraju u različitim

točkama mreže.

C-Grid E-Grid

15

O3 O3

16

Mreža globalnog modela

Tipične rezolucije AGCM su između 0.5° i 5° stupnjeva po geografskoj širini ili geografskoj dužini:

Jednadžbe fluida u AGCM se diskretiziraju

� konačnim razlikama (najčešće u pravilnoj mreži s konstantnim ili varijabilnim mrežnim intervalom prateći paralele i merdijane)

Problem: linije mreže konvergiraju prema polovima ⇒ vodi prema računskoj nestabilnosti (nije zadovoljen CFL uvjet) pa se modelske varijable filtriraju duž linija geografskih duljina blizu polova.

Rješenje: upotreba geodezijskih mreža

� spektralnom metodom (na gaussovskoj mreži; točke mreže su jednako smještene duž geografske dužine i nejednako duž geografske širine bez točaka mreže na polovima)

http://en.wikipedia.org/wiki/Geodesic_grid

http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_grid

17

Vertikalna mreža:

Uniformna vertikalna mreže nije poželjna zbog velikog broja točaka

Često se koristi vertikalna mreža s promjenjivim prostornim korakom; najmanjim pri površini u području interesa

Time se pokušava napraviti što je moguće glađi prijelaz s finije rezolucije na grublju rezoluciju

Potrebno voditi računa o vertikalnom odsijecanju u domeni modela (visini domene) osobito nad kompleksnim terenom.

Problemi uslijed kompleksnog terena rješavaju se korištenjem vertikalne σ-koordinate:

σ=p/ps na površini: σ=1, dσ/dt=0na vrhu: σ=0 , dσ/dt=0

gdje je ps površinski tlak

σ =p-pT/ps-pT σ =Θ- ΘS/ΘT- ΘSgdje je pT tlak na vrhu domene prednost vertikalne izentropske

koordinate: bolje razlučujevertikalnu strukturu npr.stratosferske intruzije ilifrontogeneze u gornjim slojevima atm.

;p

x

z

zz

z

x

p

x

p

;x

p

x

p

x

p

s

sT

T

z

zz

σσ

σσ

σ

σ

∂∂

∂∂

−−−

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂=

∂∂

18

Koordinata koja slijedi topografiju (eng. terrain-following coordinate):

σ=zT(z-zs)/(zT-zs)

gdje je zT visina domene a zs visina terena

Tada je sila gradijenta tlaka jednaka:

Problem: pogreške u dva člana sile gradijenta tlaka se ne poništavaju

Način da se ovo izbjegne ⇒ eta-koordinata

Veličina pogreške uslijed korištenja terrain-following coordinate (TFC) kao funkcija nagiba terena i odnosa dx/dz. Sivo područje označava gdje je primjena TFC upitna jer je promjena visine između 2 uzastopne horizontalne točke mreže veća od dz (Lundquist i sur., 2010).

;p)0(p

p)z(ps

;spp

pp

Tr

Tsr

Ts

T

−−

=

−−

=

η

ηη

;pp

pp

hths

hth

−−

=η

19

Eta-koordinata (Mesinger, 1988):

gdje se T i S indeksi odnose na vrh i površinumodela;z = geometrijska visina;pr(z)=referentni tlak

Rubni uvjeti za p=konst. na gornjoj granici, pT, η=0 ⇒ dη/dt=0na donjoj granici,ps, η= ηs ⇒ dη/dt=0

Prednost:

Osnovne jednadžbe s ovom vertikalnom koordinatom nemaju kompliciraniju formu

Nedostatak:

U ovom sustavu, predstavljanje terena je 1. reda točnosti

(manje je točan od “terrain-following” koordinate gdje jepredstavljanje terena 2. reda točnosti)

ph=hidrostatička komponenta tlaka

Laprise(1992)

20

3. Korak ⇒ POČETNI UVJETI

Svaki model zahtjeva početne uvjete za svoje zavisne varijable (npr. u, v, w, p, T, q, r).

Početni uvjeti mogu biti: 1) idealizirani 2) mjereni3) dobiveni iz nekog većeg modela (npr. globalnog) 4) kombinacija mjerenih i modeliranih podataka (asimilacija podataka)

Problem s mjerenim podacima je što:

� postoje područja koja su slabo pokrivena mjerenjima� postoje neke veličine koje se rutinski ne mjere (npr. vertikalna brzina)� mjerenja su opterećena pogreškama

Model koji se zasniva na setu primitivnih jednadžbi ima neka ograničenja:1) zbog toga što može prikazati svaki tip valova u atmosferi od izrazito brzih zvučnih i

težinskih do sporih Rossby-jevih valova-> postoje velika ograničenja kod korištenja vremenskog koraka.

2) vrlo velika osjetljivost na početne uvjete.

Početni uvjeti koji se interpoliraju na mrežu točaka, a isključivo se temelje na mjerenjima neće biti niti u hidrostatičkoj niti u geostrofičkoj ravnoteži. Rezultat će biti mnoštvo inercijalno-težinskih valova koji se generiraju tijekom integracije sve dok model ne postigne geostrofičku ravnotežu.

21

24-h prognoza ALADINAza 21.07.2001 00 UTC (izvor DHMZ)

Promjena u početnim uvjetima za isti dan

Na Jadranu NE ili SE vjetar?

22

Neke od metoda za inicijalizaciju modela su:

� Objektivna analiza

� Dinamička inicijalizacija

� Inicijalizacija normalnim modom(Uključuje razdvajanje visokofrekventnih od niskofrekventnih oscilacija početnih podataka. Koristi horizontalne i vertikalne strukturne funkcije za početnu atmosferu izbacujući težinske valove u potpunosti. Pretpostavka je da visoke frekvencije nemaju meteorološkog značaja, za razliku od nisko-frekventnih informacija).

� Metoda pridruživanja(eng. Adjoint metoda ) itd.

Inicijalizacija= postupak korekcije i prilagodbe početnih

ulaznih podataka tako da prognoza ima što je moguće manje šuma

23

Inicijalizacija & Asimilacija podataka

https://www.meted.ucar.edu/sign_in.php?go_back_to=http%253A%252F%252Fwww.meted.ucar.edu%252Foceans%252Focean_models%252Fprint.htm#

24

Objektivna analiza

Pomoću objektivne analize, mjerenja su ekstrapolirana na mrežu točaka.

Koriste se jednostavni težinski koeficijenti u kojima je početna ovisna varijabla ovisna o udaljenosti od mjerenja

⇒ iterativne korekcijske metode gdje su varijable modificirane mjerenjima iterativnim pristupom (npr. Cressmanova metoda).

Utjecaj mjerenja je određen empirički, bez uvažavanja statističke pogreške mjerenja ili osnovnog polja.

Polje u mrežnoj točki i se mijenja (iterira) prema formuli:

2

2ik

mik

mk

k

mi

2m

2ik

2m

2ik2

ik2m

2ik

2m

mikK

1k

2mik

K

1k

mkk

mik

mi

1mi

r

w

f

O

f

Rrza0

RrzarR

rR

w;

)(w

)fO(wff m

i

mi

ε

ε

>

≤+−

=+

−+=

∑

∑

=

=+

Varijabla (npr. T, u, q) u i-toj mrežnoj točki i u m-toj iteraciji

k-mjerenje koje okružuje mrežnu točku

Interpoliranja vrijednost varijable u točki mjerenja u m-toj iteraciji

Težinska funkcija koja ovisi o radijusu utjecaja, Rm

Udaljenost mjerenja od točke mreže (mjerenja van radijusa utjecaja se ne koriste u iteraciji)

Omjer pogreške mjerenja u odnosu na inicijalno polje modela; koristi se u asimilaciji podataka

25

Optimalna interpolacija (koristi se i u svrhu inicijalizacije i u svrhu asimilacije podataka)

Najčešća metoda najmanjih kvadrata. Od iterativne korekcijske metode se razlikuje po tome što su mjerenja “otežana” na temelju

poznatih ili procijenjenih statističkih parametara uvažavajući njihove pogreške (a ne koristeći samo empirijske vrijednosti).

Npr., temperatura izmjerena radiosondažom može imati mnogo veću težinu od temperatura na temelju satelitskih mjerenja.

Metoda optimalne interpolacije pokušava minimalizirati ukupnu pogrešku svih mjerenja te pokušava odrediti njihove “idealne” težinske koeficijente.

Uvjet: mjerenja moraju biti s identičnog instrumenta ili platforme (npr. temperatura i tlak). Npr. 1. mjerenje = mjerenje radiosondažom,

2. mjerenje = avionsko ili satelitsko mjerenje.

Analizirane vrijednosti tih varijabli će biti linearna kombinacija mjerenja kao npr.

indeks a se odnosi na analizirano polje, indeks b se odnosi na početno polje )pp(b)pp(bpp

)TT(a)TT(aTT

b22b11ba

b22b11ba

−+−+=−+−+=

( )2pii

2Tii b;a σσ ==

26

Optimalna interpolacija

Matrično:

d = matrica predstavlja razliku između mjerenog i osnovnog polja. W= matrica težina; njeni elementi su funkcije pogrešaka

Pogreške nastaju iz tri izvora:

1) Pogreška u osnovnom polju2) Pogreška mjerenja3) Pogreška što mjerenje u točki predstavlja vrijednost u volumenu mreže

Velike pogreške u osnovnom polju u odnosu na mjerenja ⇒ velike korekcijeMale pogreške osnovnog polja ⇒ opažanja imaju mali utjecaj na konačan rezultat analize.

Bit optimalne interpolacije je da odredi optimalne vrijednosti elemenata matrice W tako da ukupna pogreška analize bude minimalizirana.

Sličnost i razlika iterativne metode i optimalne interpolacije:

Npr, Cressman-ova shema će tretirati temperaturu dobivene satelitskim mjerenjima ekvivalentno kao i temperaturu iz radisondaže. Nasuprot tome, optimalna interpolacija će dati veću težinu radiosondažnim mjerenjima, jer ima manju pogrešku od satelitskih mjerenja.

dxxilippTT

ppTT

bb

aa

p

T

p

Tba

b2b2

b1b1

21

21

b

b

a

a W+=

−−−−

+

=

27

Cressmanova metoda

Primjer Cressman-ove analize 1-D polja. Osnovno pol je je nacrtano plavo, a mjerenja su ozna čena zeleno. Analizirano polje se dobiva interpolaci jom izme đu osnovnog polja i mjerenja u blizini svake mjerne to čke; što je mjerenje bliže to je veća njegova težina (utjecaj na kona čno polje).

21

2121

2222

22

22 22

22

23

2323

23 23

2324

24

24

24

lat (

°N)

lon (°E)

0600 h

16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 1743.1

43.15

43.2

43.25

43.3

43.35

43.4

43.45

43.5

43.55

43.6

28

Varijacijska analiza (koristi se i u svrhu inicijalizacije i u svrhu asimilacije podataka)

Varijacijska analiza naglo zamjenjuje metodu optimalne interpolacije, kao najčešće tehnike inicijalizacije.

U slučaju varijacijska analize za jednu točku i dvije varijable T i p ⇒ možemo definirati funkciju (eng. cost function) za T i p:

gdje se a i b odnose na pogreške u osnovnom polju i mjerenjima, indeks b se odnosi na početno polje

Potrebno pronaći vrijednosti T i p koji minimaliziraju gornju funkciju.

Ako se proširi metoda na velik broj točaka i veći broj varijabli tada u matričnoj formi:

J(x) =(1/2)(x-xb)TB-1(x-xb)+(1/2)(x-xo)TR-1(x-xo),

B i R ⇒ matrice koje sadrže informacije o statističkim pogreškama osnovnog polja i mjerenja.

Prednost varijacijske analize da se dinamička ograničenja kao što su geostrofička i hidrostatička ravnoteža mogu uključiti prilikom minimaliziranja funkcije J(x), tako da dodatnikorak inicijalizacije nije više potreban.

Ova tehnika se još naziva 3D-VAR

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2pii

2Tii

2

22

2

22

1

21

1

21

b

2b

b

2b b;a;

b

pp

a

TT

b

pp

a

TT

b

pp

a

TT

2

1)p,T(J σσ ==

−+

−+

−+

−+

−+

−=

29

Dinamička inicijalizacija (Nudging metoda; metoda guranja? metoda približavanja?)

Dinamička inicijalizacija koristi početne jednadžbe da rasporede početne vrijednosti u mreži točaka na fizikalno konzistentan način.

Dodaje korekcijske članove (Gu) u početne prognostičke jednadžbe.

Vrši se početna integracija, u kojem dodani članovi “guraju” rješenja prema mjerenjima.

Model se integrira neko kraće vrijeme (npr. 6 sati-12 sati) gdje se može koristiti početno inicijalno polje vjetra (npr. geostrofički vjetar). Time se smanjuje neravnoteža u rješenjute se izbjegavaju nerealne akceleracije tijekom “prave” integracije.

Korekcijski koeficijenti koji mogu biti funkcije• točnosti mjerenja, ili• udaljenosti između mjerenja i točke mreže

Ova metoda se također koristi i u asimilaciji podataka. Dobra je u slučaju asimilacije mjerenja na manjoj skali kao što su radarska mjerenja. Česta je i kod primjene regionalnih klimatskih modela.

[ ]uuGx

fvuVt

u)mjereno(u −+

∂∂−+∇⋅−=

∂∂ φv

30

4. Korak ⇒ RUBNI UVJETI

Osim globalnih modela, svaka domena manjeg modela ima svoje (umjetne) granice. Stoga je nužno odrediti vrijednosti na vanjskom rubu domene modela.

Obično kategoriziramo:� Bočni rubni uvjeti (na bočnim granicama modela)� Gornji rubni uvjeti (na vrhu domene)� Donji rubni uvjeti (na površini) – realna površina preko koje postoji

prijenos fizikalnih svojstava kao što su toplina i vlažnost

Rubni uvjeti -> well posed ili overspecified (ill-specified)

Izvori pogrešaka: � prevelik broj rubnih uvjeta (stvara lažna računska rješenja, a ovise o

formi korištenih diferencijalnih jednadžbi),� refleksija valnih rješenja na bočnim granicama i njihovo širenje natrag u

domenu modela (što se ne zbiva u prirodi)⇒ reflektirani val može rasti kod svake interakcije s granicama i destabilizirati modelsko rješenje.

� (pre)male domene, male pogreške u početnom vjetru i tlaku na bočnim granicama može uzrokovati značajne (nerealne) akceleracije vjetra unutar domene.

nemaju nikakvo fizikalno značenje

31

Bočni rubni uvjeti

Postoje 2 opća principa u vezi postavljanja granica modela:

1) Postaviti granice modela što je dalje moguće od područja kojeg želimo simulirati. Bočne granice u domeni modela finije rezolucije postoje jedino zbog ograničenih računalnih resursa.

2) Koristiti odgovarajuće rubne uvjete tako da se poremećaji koji se približavaju rubovima prolaze kroz rubove bez refleksije ili bivaju prigušeni.

Bočni rubni uvjeti mogu biti:

� Otvoreni (perturbacije mogu ući i izaći iz domene modela)� Zatvoreni (perturbacijama nije dozvoljen niti ulazak niti izlazak

iz domene modela)

32

Bočni rubni uvjeti

1. Tip rubnih uvjeta: na granici ulaska strujanja u model rubni uvjeti su konstantni, a na nasuprotnoj (izlaznoj) strani gradijenti veličina su očuvani.

Što je ulazna a što je izlazna bočna granica se procjenjuje na temelju smjera vjetra.

Zrak koji ulazi u domenu modela nije opterećen perturbacijama na osnovnoj struji (zatvorena granica). Za zrak koji izlazi iz domene vrijedi da sve veličine na bočnom rubu imaju istu vrijednost kao i u prethodnoj točki.

Npr. ∂η/∂x ≈ η(N-1)-η(N)=0 gdje je η bilo koja zavisna varijabla i N je bočna granica.

Nedostatak: Ovako definiran granični uvjet ne može spriječiti uzvodno širenje težinskih valova i istovremeno korektno mijenjati vrijednosti ulazne granice.

Modifikacija ovih rubnih uvjeta je

Prednosti: unatoč refleksiji na bočnim granicama, ovaj tip rubnih uvjeta je vrlo jednostavan, stabilan i djelotvoran

t3N

t1N

1tN u5.0u5.1u −−+ −=

33

2. Radijacijski rubni uvjeti(prvi uveo Orlanski(1976))

Izlazak poremećaja iz domene, bez ponovno refleksije u domenu ⇒ korištenje 1-D valne jednadžbe na svakoj granici.

Varijablama na bočnim granicama se mijenjaju vrijednost tako da se minimalizira refleksija valova koji izlaze iz domene.

Na istočnoj granici, npr., procjenjuje se c iz radijacijskog uvjeta:

S tom vrijednošću c prethodna diferencijalna jednadžba se ponovo koristi ali s pomakom za 1 u prostoru i vremenu, što opisuje rubnu vrijednost

Za izlazno širenje vala(c>0); je:

za 0≤c∆t/∆x ≤1.

kada c∆t/∆x >1,(stvara nestabilnost) ⇒ c= ∆x/∆t.

( );

x2

1c

t2

1n2j

2n1j

n1j

2n1j

n1j

∆−+

−=∆

− −−

−−−

−−− φφφφφ

;0n

ct

=∂∂+

∂∂ φφ

n1j

1nj

1nj

x

tc1

x

tc2

x

tc1

x

tc1

−−+

∆∆+

∆∆

+

∆∆+

∆∆−

= φφφ

1nj

+φ

34

2. Radijacijski rubni uvjeti

� za 1-D model uvijek znamo brzinu približavanja valova rubovima.

� U 2-D slučaju to više nije slučaj ⇒ valovi se približavaju pod raznim kutovima.

Navedeni radijacijski uvjet će vrijediti za valove koji dolaze pod kutom od 0°na rub domene, ali će istovremeno dopustiti istovremenu refleksiju valova za bilo koji drugi kut. Veći kut upada, uzrokuje veću refleksiju.

Higdon-ov rubni uvjet

gdje valovi pod kutom upada αi će biti u potpunosti nereflektirajući.

Ako je p=1 i αi=0°, tada imamo početni rubni uvjet prema Orlanskom.

U većini slučajeva p=2, α1=0°i α2=45° ili 60°.

0ux

ct

cos i

p

1i=

∂∂+

∂∂∏

=α

35

3. Upijajući rubni uvjeti (eng. sponge boundary conditions)

Advektivni i valni poremećaji se mogu pojačano filtrirati (a time i prigušiti) u neposrednoj blizini rubova domene.

Sloj s pojačanim filtriranjem treba biti tanak, bez naglih skokova da se izbjegne refleksija valova

Filtriranje se vrši:� bilo povećanjem vrijednosti K u (eksplicitnoj) horizontalnoj difuziji u

neposrednoj blizini rubova domene

� ili primjenom većeg izglađivanja u tom dijelu domene.

gdje je r = koeficijent relaksacije (Davis, 1983) i Φ0 je željena vrijednost Φ na granici.

r ≠0 na nekoj udaljenosti od ruba domene postižući maksimalnu vrijednost na samom rubu.

),(rx

ut 0φφφφ −−

∂∂−=

∂∂

,x

u)x(K

xu

t 2

2

∂∂−

∂∂−=

∂∂ φφ

36

ndamp = 10do i=1,npx

do j=1,npy

c Set to zeroc -----------

eps(i,j) = 0.Relaxation zone for lower y-boundaryc ------------------------------------

if(j.le.i.and.j.le.(npx-i)+1.and.j.le.npy/2) theneps(i,j) = 1.-tanh(2./real(ndamp-4)*real(j-1))

Model plitkog fluida

3. Upijajući rubni uvjeti (eng. sponge boundary conditions)

4. Periodički rubni uvjeti (mogućnost odabira i u WRF modelu)

Uzima se jednake vrijednosti zavisnih varijabli na nasuprotnim granicamadomene modela.

Φ(xD)=Φ(x0)

37

Rubni uvjeti kod korištenja ugniježđene mreže

Kod ugniježđene mreže, rubni uvjeti mogu dozvoliti jednosmjernu ili dvosmjernu komunikaciju između domena

Upotreba upijajućeg sloja koji dopušta prolazak valova niske frekvencije, ali ne i visokofrekventnim valovima (koji uzrokuju pogreške i refleksiju valova):

1) Kod jednosmjernog ugnježđivanja (eng. one-way nesting), rubni uvjeti fine mreže su interpolirani na temelju podataka grube mreže.

jedina informacija koja se izmjenjuje između mreža (gruba mreža ⇒ fina mreža)

2) Kod dvosmjernog ugnježđivanja (eng. two-way nesting), obje domene međudjeluju. Rješenje fine mreže zamjenjuje rješenje grube mreže u točkama grube mreže koje se nalaze unutar fine mreže.

(gruba mreža ⇒ fina mreža i fina mreža ⇒ gruba mreža).

http://www2.mmm.ucar.edu/wrf/users/)

Meso-NH

WRF

39

Gornji rubni uvjeti

Gornja kruta granica (sadrži w=0 i/ili p=konst).

I slučaj: na gornjoj graniciw = 0 i p ≠ konst

II slučaj: na gornjoj graniciw ≠ 0 i p= konst

Pitanje je koje je rješenje realističnije?Poželjno dizanje gornje granice u slučaju čvrstog gornjeg ruba domene

Polje vertikalne brzine u slučaju obalne cirkulacije u 2-D mezoskalnom modelu (iz Pielke, 2002)

40

Neprobojna materijalna gornja granica(eng. impervious material surface lid)

Suprotno krutoj gornjoj granici, materijalna površina:1) se giba kao odgovor na divergenciju u nižim slojevima 2) podudara se s izentropskom plohom na nivou tropopauze

Vertikalna brzina je tada definirana (pomoću nekompresibilne forme jednadžbe kontinuiteta)

Gdje je zt najviši fiksni modelski nivo sΘ materijalna površinawzt i ws vertikalne brzine na visinama zt i sΘ

Od ostalih veličina, na toj granici Θ je konstantna, a ostale veličine se moraju procijeniti.

,dzx

v

x

uww s

zzs tt

∂∂+

∂∂

∫−= θ

41

Upijajuća gornja granica

Slično bočnim rubnim granicama, vrh model može predstavljati upijajući sloj koji se sastoji od većeg broja nivoa.

Upijajući sloj je potrebno staviti pri vrhu domene modela gdje se vrši filtriranje i to povećavajući se od baze upijajućeg sloja prema samom vrhu modela, da se spriječi pogrešno reflektiranje energije natrag u unutrašnjost domene. Moguće refleksije uslijed filtriranja se smanjuju ukoliko se filtriranje radi postepeno.

Dubina upijajućeg sloja je funkcija vertikalne valne duljine (mezoskalnog) poremećaja u donjem dijelu domene.

Uvjet:

Dubina apsorbirajućeg sloja > vertikalne valne duljine (mezoskalnog) promatranog poremećaja.

42

DONJI RUBNI UVJET

Jedina ima fizikalan smisaoNa njoj se javljaju različiti gradijenti meteoroloških parametara koji mogu

generirati razne cirkulacije. Promjene ove granice u vremenu (od npr. ljudskog djelovanja ili dizanje prašine

migracijom životinja) može uzrokovati značajne klimatske promjene kao što širenje pustinja

Ova se granica mora predstaviti što je moguće točnije.

Zbog toga što sunčeve zrake prolaze kroz vodu, dosta je praktično promotriti odvojeno vodenu i kopnenu donju granicu.

Vodena donja granica:

Ukoliko se želi realistično prikazati jezera, mora i oceane tada se mora simulirati dinamička i termodinamičke interakcija između zraka i vode

S obzirom da ove interakcije općenito uključuju kompleksne nelinearne procese,nužno je koristiti oceanografski model (npr. Princeton Ocean Model; POM):� za valjano simuliranje ovih interakcija. � da omogući valjane donje rubne uvjete nad vodenom površinom za

meteorološki model.

43

Dinamička i termodinamičke interakcija između zraka i vode:� Povećanje u brzini vjetra proizvodi produbljivanje sloja miješanja u oceanu.

� Povećanje u brzini vjetra proizvodi lomljenje valova. To mijenja hrapavost vodene površine od gotovo glatke do znatno hrapave površine.

� Prostorne i vremenske promjene u brzini vjetra uzrokuju struje u obalnom dijelu.

� Promjene u brzini vjetra i smjeru duž obale mijenjaju izranjanje i poniranje morske vode (upwelling i downwelling).

� Promjene u brzini vjetra mijenjaju cirkulacije u ušćima i lukama kroz miješanje i i rezultante horizontalne gradijente temperature i saliniteta u vodi.

� Brzina vjetra utječe na pomicanje obalnog leda.

� Brzina vjetra utječe na gibanje onečišćujućih tvari u vodi.

� Orijentacija obale i batimetrija (struktura dna) oceana utječe na uzdizanje vode koje je potaknuto vjetrom. (pr. bura u Velebitskom kanalu).

� Na profil vjetra u neposrednoj blizini morske površine znatno utječe morski sprej i kišom tijekom jakog vjetra.

� Dnevna varijacija SST može rezultirati u značajnim promjenama površinskih turbulentnih tokova.

Telišman Prtenjak i sur. (2015)

Sensibilni tok topline Površinska temp.Radar+vjetar

Kehler-Poljak i sur. (2015)

46

Donja kopnena granica:

Golo tlo:� Obično se uzima da je brzina =0

na visini duljine hrapavosti z0.

Npr. z0 malen za golo tlo (jer stijene, kamenje i grude zemlje su male i predstavljaju malen otpor vjetru)

Na površini tla vrijedi:Za brzinu vjetrau(z0)=v(z0)=w(z0)=0Za vertikalne turbulentne tokovekoličine gibanja:

gdje je u*= brzina trenja, τ=stres napetosti

Golo tlo tlo s vegetacijom

W. Virginia

E.Tenn.

Appalaciangorje

Centri gradova s vrlo visokim zgradama. Vrlo bregovita podruèja ili gorje umjerene visine.

Centri velikih gradova.

Centri malih gradova.

Predgraða gradovaProsjeène nizine u U.S.A.

Guste šume

šume Prosjek Juž. AmerikeProsjek Juž. Azije

Prosjek Juž. AfrikeProsjek Sjev. AmerikeProsjek RusijeProsjek EuropeProsjek Australije

Mnogo drveæa, grmlja inekoliko zgrada.

Grmlje.Nekoliko stabla drveæa, ljetno doba.

Izolirana stabla drveæa.Nepokošena trava.

Farme

Rižina polja.Nekoliko stabala drveæa, zimsko doba.Pokošena trava (~3cm).

Podruèja prekrivena travom.

Podruèja prekrivena šumom.

Visoka trava (~60 cm), žitarice.

Aerodromi (prometnice).

Prosjek Sjev. Azije

Prosjek Sjev. Afrike

Površina prekrivena snijegom (farme).

Vjetar s mora u obalnom dijelu.

Mirno otvoreno more.

Ravna pustinja

Ravna površinaprekrivena snijegom.

Velike vodene površine.

Površine prekrivene ledom ili muljem.

.

[ ] )2/1(222*

2*

m2*

m2*

)'w'v()'w'u(u

ui)u

v(arctg

.z

vKsinu'w'v

;z

uKcosu'w'u

+=⇒

==

∂∂−=−=

∂∂−=−=

ρτµ

µ

µ

Telišman Prtenjak, (2002) prema Stull (1988)

47

Golo tlo:� Potrebno je definirati:� (Potencijalnu) temperaturu ovise o prijenosu tih svojstava prema� Vlažnost zraka i od površine tla� Koncentracije plinova i aerosola� Tlak

Ako je tlak hidrostatički:

Tada se tlak na z0 dijagnosticira gornjom jednadžbom ako se zna tlak na nekom proizvoljnom nivou iznad z0.

Često je u mezoskalnom modeliranju prikladno koristiti umjesto horizontalnog gradijenta tlaka:

Gdje je π = Exner-ova funkcijaPrednosti:1. Gustoća je uklonjena2. Vertikalni π gradijent je manji od ∂p/∂z i stoga ima manje pogrešaka

((∂ π /∂z)/ (∂p/∂z) = 1/(ρΘ) <<1)

ρα

gg

z

p −=−=∂∂

θπ

πθρ

vp

)C/R(

00p

ii

TC

p

pC

xx

p1

pd

=

=

∂∂=

∂∂

48

Površinska temperatura:Na površini, raniji modeli su opisivali potencijalnu temperaturu kao periodičkufunkciju zagrijavanja koja ne dopušta povratnu vezu između atmosfere itemperature na donjoj granici.

1)

gdje je dan=24 sata, t je vrijeme nakon izlaza sunca, , je potencijalna temperatura na z0 nakon izlaza sunca i maksimalna temepartura postignuta tijekom dana

2) Drugi pristup može biti zamijenjena funkcijom:

)z( 00θdan

t2sin)z()z( max000

πθθθ ∆+=

maxθ∆

N

)z(b,

T

nt2cos)z(

N

2b

0a,T

nt2sin)z(

N

2a

:jegdje

,T

nt2cosb

T

nt2sina)z()z(

02/N

1)2/N(

1n0n

2/N

1)2/N(

1n0n

2/N

1nnn0T0

θπθ

πθ

ππθθ

−==

==

++=

∑

∑

∑

−

=

−

=

=

gdje je T=1 dan,t = 0 odgovara ponoći N = broj mjerenja

Konstantna srednjatemperatura tijekom T

Odstupanje u vremenu t odΘT(z0)

Nedostatak:Ovakav pristup predstavlja neograničenizvor topline i NE DOZVOLJAVA povratnuvezu između tla i atmosfere

49

3) Neto bilanca zračenja na površini.

Dozvoljava izmjenu u temperaturi između tla i atmosfere

-QG+ QC+ QR=0

GG

GGGG

lWG

4GGlW

GmlWlW

DSWSWvpG

R)1(TR

)T(F0)Q(RR)RR)(A1('q'wL''wCQ

↓−+=↑

==+↑+↓−+↓−−+Θ+⇒

εσε

ρρ

Vrsta podloge Emisivnost (εG)-koeficijent sivoće

Svježi snijeg 0.99

Stari snijeg 0.82

Suhi pijesak 0.95

Bjelogorica 0.97-0.98, 0.95

Asfalt 0.95

Beton 0.71-0.90,0.966

Travnjak 0.97

Urbana površina 0.85-0.95

Vodena površina 0.993

QG=tok topline u tloQC=konvektivni prijenos toplineQG=radijacijski prijenos topline

Qm=antropogeni (ili dodatni prirodni; npr. požari) izvori ili ponori topline

Qm>400 W/m2

50

Tok topline u tlo:

tdifuzivnosatermak

tlagustoću

tlakapacitettoplinskispecificnic

vodljivostaterma

z

Tk

zz

T

czt

T

dzt

TcQili

z

TQ

s

s

z

GG

G

ln

ln

0

====

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂= ∫

−

ρ

νρν

ρνδ

Vođenju topline u tlu ovisi o:

1) Vodljivosti individualnih čestica tla

2) Veličini čestica tla (može varirati od 1μm za glinu i do 100 μm za pijesak)

3) Kompaktnosti tla gledajući kroz poroznost i vlažnost tla

4) Stanje tla-zamrzavanje i topljenje tla također igra ulogu u toku topline

Nivo z(cm)

1 0

2 0.5

3 1.5

4 3

5 5

6 8

7 12

8 18

9 26

10 36

11 48

12 62

13 79

14 100

Mjerenja srednje dnevne temp. ljeti za USA; (iz Pielke, 2002)

51

Albedo:

Dio ukupne sunčeve dozračene energije koja se reflektira

natrag u svemir

Ovisi o:

1) geog. širini,

2) naoblaci,

3) dobu godine,

4) dobu dana

5) nagibu terena

6) vlažnosti tla

Ovisi o sunčevom zenitnom kutu i vlažnosti

tla

Može se prikazati matematički:

A=Az+As

Albedo je veći kada je sunce niže na nebu i

za sušu podlogu

Albedo (%)

Zelena trava 16-27

Suha trava 16-19

Vlažno izorano polje

5-14

Žuto lišće u jesen 33-38

Crnogorična šuma 6-19

Bjelogorična šuma 16-27

Pijesak 13-18

Svježi snijeg 80-90

Oblaci 5-80

Najvažniji parametri koji određuju feedback atmosfere na golo tlo su ALBEDO ISADRŽAJ VLAGE u TLU

52

Sadržaj vlage u tlu:

Zahtjeva model toka vlažnosti u i iz tla

Iznos vlažnosti tla određuje dio topline koji ide u senzibilan i onog koji ide u

latentan turbulentan tok topline

⇒ Uvažavajući sve procese procjenjuje se eng. TG =SKIN TEMPERATURE

SNIJEG

- Posebno se tretira u modelima

- Može se opisati u 6 odvojenih kategorija prema tipičnom sezonskom intervalu prosječne gustoće u

g/cm3

tundra (0.38)

tajga (0.10-0.25)

planinski (0.20-0.35)

morski (0.15-0.40)

kratkotrajan (varijabilan)

livadni snijeg

Za dobro modeliranje snijega potrebno uvažiti procese: otapanje snijega, ponovo zamrzavanje,

isparavanje/sublimaciju

Modeliranje snijega može se primijeniti i na pomicanje vjetrom pijeska i prašine

53

VEGETACIJA

- Dodatno komplicira definiranje donjeg rubnog uvjeta

- Još uvijek nedovoljno poznavanje turbulentnih i radijacijskih tokova unutar sloja

vegetacije

-razlike golo-tlo/vegetacija u potencijalnoj temp. i do 3°C te visine sloja miješanja do

300 m

Postoje tri skale interakcije između vegetacije i atmosfere:

biofizički (odnosi se na prijenos vodene pare preko biljaka; transpiraciju)

biogeokemijska (odnosi se na rast vegetacije ispod i iznad tla)

biogeografska (odnosi se na promjene u miješanju vegetacije i prostorno pomicanje

biomase)

Deardorff (1978): izrađuje parametrizaciju za vegetaciju – SINGLE LEVEL CANOPY (ima

karakteristike velikog lišća)

- pretpostavio da je pohrana topline u vegetaciji zanemariva

- temp. Ravnoteže Tf se određuje na temelju doprinosa i gubitka topline na vrhu sloja

vegetacije i na samom tlu

- uvodi eng. SHIELDING faktor Sf (faktor pokrivenosti) predstavlja dio koji je pokriven u

području mreže gustom vegetacijom

- LA (eng. leaf area index) koji pokazuje koliko je kvadratnih metara pokriveno lišćem u

odnosu na površinu tla. (LA=7 Sf)

Unutar Canopy sloja posebno se procjenjuje brzina vjetra, temp i specifična vlažnost

54

EVALUACIJA MODELATreba provjeriti nekoliko zahtjeva prije nego se može govoriti o valjanim simulacijama:

(1) Model je potrebno usporediti s poznatim analitičkim rješenjima

(2) Nelinearne simulacije modela mogu se usporediti s drugim rezultatima numeričkih modela koji

se nezavisno razvijaju

(2a) Usporedba s drugim numeričkim modelima

(2b) Usporedba između različitih formulacija (istog i/ili drugih) modela

(3) Potrebno je izračunati i pratiti masu, srednje vrtložnost, enstrofiju, ukupnu energiju (KE+PE),

cirkulacije u modelu radi procjene očuvanja tih fizikalnih veličina

(4) Izlaz modela bi se trebao usporediti s mjerenjima

(4a) Subjektivna (kvalitativna) usporedba

(4b) Kvantitativna usporedba u točki prostora

� statistički parametri: MSE, RMSE, MAE, IOA, srednjak, standardna devijacija, pristranost,

koeficijent korelacije, …)

� tablice kontingencije (2x2, uspješna prognoza (hit rate), pogrešna detekcija (false alarm

rate), kritični indeks uspješnosti (critical success indeks, CSI)…)

� spektri

(4c) Usporedba oblika (uzoraka)-može se koristiti teorija skupova

55

EVALUACIJA MODELA

Usporedba potencijalne temperature za analitičko (crtkana linija) i ekvivalentno numeričko rješenje (puna linija) u slučaju idealizirane planine (iz Pielke, 2002)

Usporedba s analitičkom teorijom

� Idealno je usporediti numerički

model sa svojom analitičkom verzijom

� Jednadžbe u numeričkom modelu bi

trebale biti u istoj formi kao što su

korištene u analitičkoj verziji

� Razvoj analognog sustava jednadžbi

u numeričkom modelu obično traži

lineariziranje jednadžbi

56

EVALUACIJA MODELAUsporedba s drugim rezultatima numer. modela

(2a) Usporedba s drugim numeričkim modelima

Prilikom korištenja rezultata numeričkog modela, korisno ga je usporediti za određenu

simulaciju s onima dobivenih iz drugih modela

Iako svi modeli kreću od istih jednadžbi, modeli se razlikuju po:

� korištenim numeričkim shemama

� parametrizacijama

� korištenim pojednostavljenjima

� ulaznim(početnim) i rubnim uvjetima

� platformama gdje se računaju

Iako slični rezultati modela nužno ne znače realističnu reprodukciju aktualnog stanja

atmosfere, ovo je koristan način da se utvrdi je li nezavisni modeli mogu dati slične rezultate

(2b) Usporedba između različitih formulacija modela

Može se raditi usporedba istim modelom koristeći različite forme tog istog modela. Testovi

osjetljivosti mogu pokazati od kuda promjene u modelu i raspon tih promjena;

� uslijed različitih računskih shema

� uslijed različitih aproksimativnih formi osnovnih jednadžbi i/ili parametrizacija

(hidrostatička/nehidrostatička formulacija; lokalna/nelokalna shema za PBL…)

57

Izračunato horizontalno polje vjetra (a) na 50 m, 10 sati nakon izlaska sunca i (b) na 75 m, 12 sati

nakon izlaska sunca. Sinoptički geostrofički vjetar od 6 m/s za obje simulacije je bio iz SE smjera.

Maksimalna temperaturna razlika između kopna i mora tijekom dana je bila 10°C. (iz Pielke,

2002)

Model 1 Model 2

(2a) Usporedba s drugim numeričkim modelima

58

(2b) Usporedba između različitih formulacija modela

Usporedba nehidrostatičke i hidrostatičke verzije modela

Vertikalna brzina u cm/s (iz Pielke, 2002)

59

(2b) Usporedba između različitih formulacija modela

Usporedba 3 sheme graničnog sloja (Kvakić, 2012)

Brzina vjetra na 10 m iznad tla i prizemna temperatura na 2 m u 17 CET, 9.7.2006.

YSU_0nelokalna shema

MYJ_0lokalna shema

BL_0lokalna shema

60

Usporedba s mjerenjima – kvalitativna (Pielke, 2002)1.Koji dio simulirane konvergentne zone je pokriveno pljuskovima?

2.Koji dio opaženih pljuskova leži unutar simulirane konvergentne zone?

61

Usporedba s mjerenjima – kvalitativna

(a)

(Poljak i sur. , 2014)

Usporedba -> naoblake (satelit) & munja & oborine

(model)

62

Usporedba s mjerenjima

– spektralna analiza

Osnovno obilježje analiziranih spektara je nedostatak spektralne energije kraće za periode manje od 12 sati.

Model ALADIN ima teškoća s formiranjem dijela mezoskalne energije na malim vremenskim skalama. (Žagar i sur., 2006)