OSNOVEROBOTIKE

ZDENKO KOVA^I]STJEPAN BOGDAN

VESNA KRAJ^I

PREDGOVOR XI

1. OP]ENITO O ROBOTIMA 11.1. Definicije robota 21.2. Podjela robota 3

1.2.1. Vrste pogona 31.2.2. Geometrija radnog prostora 31.2.3. Na~ini upravljanja kretanjem 7

1.3. Karakteristike robota 71.3.1. Broj osi 71.3.2. Nosivost i brzina 71.3.3. Dohvat i hod 81.3.4. Orijentacija alata 81.3.5. Ponovljivost, preciznost i to~nost 91.3.6. Radna okolina 101.3.7. Primjer: [kolski robot RHINO XR-3 10

1.4. Primjena robota 12Pitanja za provjeru znanja 14

2. DIREKTNA KINEMATIKA 152.1. Skalarni i vektorski produkti 162.2. Koordinatni sustavi 172.3. Rotacije 18

2.3.1. Osnovne rotacije 182.3.2. Slo`ene rotacije 19

2.4. Homogene koordinate 202.4.1. Sustavi homogenih koordinata 20

SADR@AJ

VI SADR@AJ

2.4.2. Translacije i rotacije 222.4.3. Slo`ene homogene transformacije 222.4.4. Slo`ene homogene rotacije i orijentacija alata 23

a) Orijentacija alata pomo}u skretanja, poniranja i valjanja 23b) Orijentacija alata pomo}u zavrtanja, nagibanja i zakretanja

(Eulerovi kutovi) 242.4.5. Transformacije koordinata kod spiralnog gibanja 25

2.5. Kinemati~ki parametri 252.5.1. Kinemati~ki parametri zgloba 252.5.2. Kinemati~ki parametri ~lanka 26

2.6. Denavit-Hartenbergova metoda 262.7. Jednad`ba manipulatora (ruke) 27

2.7.1. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot (direktna kinematika) 302.7.2. Primjer: Peteroosni rotacijski robot RHINO XR-3 (direktna

kinematika) 312.7.3. Primjer: ^etveroosni robot tipa SCARA-RRT (direktna kinematika) 332.7.4. Primjer: ^etveroosni robot tipa SCARA-RTR (direktna kinematika) 34

Pitanja za provjeru znanja 36

3. INVERZNA KINEMATIKA: RJE[AVANJE JEDNAD@BE MANIPULATORA 373.1. Vektor konfiguracije alata 373.2. Problem inverzne kinematike 39

3.2.1. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot (inverzna kinematika) 403.2.2. Primjer: Peteroosni rotacijski robot RHINO XR-3 (inverzna

kinematika) 423.2.3 Primjer: ^etveroosni robot tipa SCARA-RTR (inverzna kinematika) 44

Pitanja za provjeru znanja 46

4. DINAMIKA MANIPULATORA 474.1. Lagrangeova jednad`ba 474.2. Kineti~ka energija 48

4.2.1. Tenzor inercije ~lanka 494.2.2. Jacobijeva matrica ~lanaka 504.2.3. Tenzor inercije manipulatora 52

4.3. Potencijalna energija (gravitacija) 524.4. Poop}ena sila 53

4.4.1. Aktuatori 534.4.2. Trenje 53

4.5. Lagrange-Eulerov dinami~ki model 554.5.1. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot (dinamika) 574.5.2. Primjer: Peteroosni rotacijski robot RHINO XR-3 (dinamika) 61

4.6. Direktna i inverzna dinamika 64

SADR@AJ VII

4.7. Newton-Eulerov dinami~ki model 644.7.1. Newton-Eulerove jednad`be s ra~unanjem »prema naprijed« 644.7.2. Newton-Eulerove jednad`be s ra~unanjem »unatrag« 654.7.3. Rekurzivne Newton-Eulerove jednad`be 674.7.4. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot 67

Pitanja za provjeru znanja 70

5. PLANIRANJE TRAJEKTORIJE 715.1. Putanja i trajektorija 715.2. Gibanje manipulatora od to~ke do to~ke 72

5.2.1. Planiranje trajektorije za gibanje od to~ke do to~ke 735.2.2. Primjer planiranja trajektorije gibanja robota od to~ke do to~ke 74

5.3. Gibanje manipulatora kontinuirano po putanji 755.3.1. Primjer planiranja trajektorije za gibanje kontinuirano po putanji 76

5.4. Interpolirano kretanje 775.4.1. Interpolacija kubnim polinomima 77

5.5. Pravocrtno gibanje 785.5.1. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot (trajektorija) 815.5.2. Primjer: Peteroosni rotacijski robot RHINO XR-3 (trajektorija) 82

5.6. Interpolacija polinomima tre}eg i ~etvrtog stupnja 825.6.1. Ho-Cookova metoda 835.6.2. Primjer: Troosni planarni rotacijski robot (Ho-Cookova metoda) 92

Pitanja za provjeru znanja 101

6. POGONI U ROBOTICI 1026.1. Vrste i karakteristike elektri~nih strojeva i elektromotornih

pogona u robotici 1036.1.1. Istosmjerni motori za primjenu u slijednim sustavima robota 1056.1.2. Elektroni~ki komutirani istosmjerni motori za primjenu u

slijednim sustavima robota – sinkroni motori s permanentnim magnetima 109

6.1.3. Prijenos pomo}u reduktora 1136.2. Na~ini upravljanja slijednim sustavima robotskih mehanizama 114

6.2.1. Sustavi upravljanja zglobom robota uz upravljanje momentom 1166.2.2. Upravlja~ka petlja po momentu s kompenzacijskim pro{irenjem 1196.2.3. Robusno i adaptivno upravljanje polo`ajem uz upravljanje po

momentu 1236.2.4. Hsiaova metoda 1236.2.5. Prikaz sheme robusnog upravljanja u obliku sheme adaptivnog

upravljanja 1256.2.6. Prakti~na realizacija Hsiaova regulatora 1276.2.7. Sustavi upravljanja zglobom robota uz upravljanje brzinom vrtnje 1286.2.8. Regulacijske petlje robotskih sustava CNC tipa 131

Pitanja za provjeru znanja 133

VIII SADR@AJ

7. UPRAVLJANJE SILOM DODIRA MANIPULATORA 1357.1. Upravljanje silom dodira robotskog mehanizma s jednim stupnjem

slobode gibanja 1377.2. Sinteza regulatora brzine vrtnje i sile dodira 140Pitanja za provjeru znanja 145

8. FLEKSIBILNI PROIZVODNI SUSTAVI 1468.1. Osnovne strukture fleksibilnih proizvodnih sustava 147

8.1.1. Teku}e proizvodne linije 1478.1.2. Vi{eulazne proizvodne linije 1478.1.3. Proizvodne linije koje sadr`e operaciju sklapanja 1488.1.4. Proizvodne linije sa slobodnim odabiranjem operacija 148

8.2. Sustavi s diskretnim doga|ajima 1488.3. Elementi fleksibilnog proizvodnog sustava 1518.4. Petrijeve mre`e 152

8.4.1. Primjer: Petrijeva mre`a i njezin graf 1548.4.2. Pravilo okidanja Petrijeve mre`e 1548.4.3. Primjer: Promjena vektora stanja izazvana okidanjem prijelaza 155

8.5. Jednad`ba prijelaza stanja Pertijeve mre`e 1568.5.1. Primjer: Jednad`ba prijelaza stanja Petrijeve mre`e 156

8.6. Osnovna svojstva Petrijevih mre`a 1588.6.1. Dohvatljivost 1588.6.2. Ograni~enost 1588.6.3. @ivost 1588.6.4. Reverzibilnost 1588.6.5. Jednozna~nost 159

8.7. Strukturna svojstva Petrijevih mre`a 1598.7.1. Sifon 1598.7.2. Zamka 1598.7.3. p-invarijanta 160

8.8. Modeliranje FPS-a Petrijevim mre`ama 1608.8.1. Primjer: Modeliranje FPS-a Petrijevim mre`ama 161

8.9. Analiza FPS-a primjenom Petrijevih mre`a 1628.9.1. Konflikt 1628.9.2. Zaglavljenje 163

8.10. Upravljanje FPS-om uz pomo} Petrijevih mre`a 1648.10.1. Onemogu}avanje konflikta 1658.10.2. Onemogu}avanje zaglavljenja 1668.10.3. Odre|ivanje kriti~nog sifona u MRF1 1698.10.4. Uvjet stabilnosti MRF1 sustava 1708.10.5. Primjer: Odre|ivanje kriti~nog sifona u MRF1 1718.10.6. Primjer: FBFS i LBFS algoritmi upravljanja 172

Pitanja za provjeru znanja 173

SADR@AJ IX

9. MATRI^NI MODEL FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA 1759.1. Matrice fleksibilnog proizvodnog sustava 1759.2. Matri~ne jednad`be fleksibilnog proizvodnog sustava 177

9.2.1. Primjer: Logi~ko mno`enje 1779.3. Studijski primjer odre|ivanja matri~nih jednad`bi FPS-a 1789.4. Upravljanje fleksibilnim proizvodnim sustavom zasnovano na

matri~nim jednad`bama 1829.4.1. Primjer: Odre|ivanje upravlja~ke matrice i strukture

upravlja~kog vektora 1849.5. Odre|ivanje strukturnih svojstava MRF1 sustava pomo}u matrica 185

9.5.1. Odre|ivanje kru`nih ~ekanja 1859.5.2. Primjer: Odre|ivanje kru`nih ~ekanja pomo}u string-algebre 1869.5.3. Odre|ivanje kriti~nih sifona 187

9.6. Veza izme|u matri~nog modela i modela s Petrijevom mre`om 188Pitanja za provjeru znanja 189

LITERATURA 191

KAZALO POJMOVA 193

POPIS PRIMIJENJENIH OZNAKA 198

Robotika je vi{edisciplinarna znanstvena grana koja objedinjuje mnoga sustav-ska znanja iz podru~ja mehanike, elektronike, ra~unarstva i automatike, a zbog svogvelikog zna~enja u postindustrijskom dru{tvu, zadire i u podru~ja medicine, ekono-mije, sociologije i filozofije.

Robotika je istodobno vrlo privla~na, izazovna i ma{tovita disciplina. Ona naj-~e{}e kao svoj zadatak ima plemenit cilj – na primjer, zamijeniti ~ovjeka pri obav-ljanju zamornih i jednoli~nih, odnosno opasnih i po zdravlje {tetnih poslova.

Robotika je razmjerno mlada tehni~ka grana, ali koja ve} ima svoju bogatu tra-diciju. Pokazalo se da su roboti, ba{ kao i ljudi, prolazili generacijske cikluse. Svakanova generacija robota dobivala je naprednija obilje`ja u odnosu na prethodnu, {tose prije svega odnosilo na ostvareni stupanj inteligencije, prate}u ra~unalsku mo},pobolj{ane dinami~ke pokazatelje i naprednije algoritme upravljanja.

U ovisnosti o konstrukciji robota i njegovoj krajnjoj namjeni, robotika se obi~-no dijeli na industrijsku i mobilnu robotiku, ali pritom ne treba zaboraviti rastu}izna~aj mikrorobotike i osobito robotike u medicini.

U ovoj knjizi najvi{e }e biti rije~i o industrijskoj robotici, ~ije osnove moguposlu`iti kao polazna to~ka za izu~avanje i rje{avanje tehni~kih problema iz svihostalih podru~ja robotike. U sadr`aju je tako|er posve}ena posebna pa`nja modeli-ranju i upravljanju fleksibilnih proizvodnih sustava, ~iji zna~aj sve vi{e raste.

Ova knjiga nastala je kao rezultat dugogodi{njeg rada u ovom podru~ju u uvje-tima koji su bili sve samo ne stimulativni. Dok su samo vrlo rijetki pojedinci sporilizna~aj robotike kao pouzdanog pokazatelja tehnolo{ke razvijenosti neke sredine,ipak je prema robotici ustrajno njegovan specifi~an odnos kao prema elitnoj, ali zaHrvatsku nepotrebnoj tehni~koj disciplini. Tome je u mnogo ~emu kumovao izosta-nak razvoja hrvatske automobilske industrije te ve} kroni~ne pote{ko}e u radu hrvat-skih brodogradili{ta.

PREDGOVOR

XII PREDGOVOR

Proces globalizacije, usprkos rastu}em broju njegovih protivnika, donio je mo-gu}nost da se i u manjim zemljama robotika razvija istim tempom kao i u razvije-nim zemljama. Nove informacijske tehnologije mijenjaju u potpunosti na~in lokal-nog djelovanja, jer omogu}avaju brz prijenos znanja i tehnologija.

Rade}i tijekom vremena na sve ve}im i zna~ajnijim roboti~kim projektima,pokazalo se da je i u hrvatskom dru{tvu potreba i `elja za znanjima iz podru~ja robo-tike velika. Osnovana su granska dru{tva kao {to je npr. Hrvatsko dru{tvo za robo-tiku, organiziraju se {kole robotike za u~enike osnovnih i srednjih {kola, sve je vi{estudenata koji robotiku do`ivljavaju kao priliku za dokazivanje svojih sposobnosti.

Ova je knjiga namijenjena prije svega studentima svih tehni~kih fakulteta kojiu svojim programima imaju zastupljenu robotiku. Ovu knjigu mogu tako|er koristitiin`enjeri projektanti, nastavnici na {kolama i svi potencijalni i stvarni zaljubljeniciu robotiku. @elimo istaknuti da se tijekom pisanja rukopisa knjige, pazilo da svakaobra|ena nastavna cjelina zavr{i s jasno definiranim izra|enim primjerima i algorit-mima pripremljenim za mogu}u prakti~nu izvedbu.

Da bi to bilo mogu}e, mnogo je suradnika i studenata Fakulteta elektrotehnikei ra~unarstva u Zagrebu, smjera Automatika, u tome svojim radom na seminarskimi diplomskim zadacima pripomoglo pa im zbog toga od srca zahvaljujemo.

@elimo istaknuti posebnu zahvalnost recenzentima koji su svojim prijedlozimai konkretnom pripomo}i omogu}ili da ovaj rukopis bude {to a`urniji i kvalitetniji.

Posebno priznanje odajemo ljudima iz nakladne ku}e Graphis, koji su svojimtrudom i znanjem u~inili da ovaj rukopis bude ispravan i oku privla~an.

Posebnu zahvalu upu}ujemo tvrtkama koje su nov~ano poduprle ovo izdanje iomogu}ile da cijena svakog primjerka knjige bude pristupa~na svim ~itateljima.

I na kraju zahvala na{im najdra`ima, ~lanovima na{ih obitelji bez ~ije ustrajnepodr{ke ni{ta ne bi bilo niti tako lako, niti tako jednostavno.

Ugodno ~itanje!

Zagreb, listopada 2001.Autori

Naj~e{}e se pod pojmom robota razumije industrijski robot, koji se jo{ naziva robot-ski manipulator ili robotska ruka. Primjer industrijskog robota prikazan je na slici 1.1.Robot, odnosno robotska ruka mo`e se modelirati u obliku lanca krutih ~lanaka, koji sume|usobno povezani pokretljivim zglobovima. Tako se kod robota s rotacijskim zglobovi-ma mo`e uo~iti nagla{ena sli~nost s gra|om ljudske ruke, pa se takvi roboti nazivaju arti-kulirane robotske ruke. Pojedini ~lanci takvih robota odgovaraju ljudskim grudima, nad-laktici i podlaktici, a zglobovi ramenu, laktu i ru~nom zglobu.

1. OP]ENITO O ROBOTIMA

Sl. 1.1. Industrijski robot Arc Mate (Fanuc Ltd.)

2 1. OP]ENITO O ROBOTIMA

Na kraju robotske ruke nalazi se zavr{ni mehanizam, slika 1.2., koji se jo{ naziva alat,prihvatnica ili {aka. Prihvatnica naj~e{}e ima dva prsta ili vi{e prstiju, koji se otvaraju i za-tvaraju.

1.1. DEFINICIJE ROBOTA

Rije~ robot (~e{ki robota – rad) prvi je uveo pisac K. ^apek te je pomo}u nje opisaosljede}i stroj: »Stroj vje{t u radu, a pona{a se sli~no ~ovjeku te ponekad ispunjava funkcije~ovjeka.«

Manipulator (lat. manipulus – {aka; lat. manus – ruka) naj~e{}e je stroj za obavljanjepomo}nih operacija, koje se odnose na promjenu polo`aja materijala pri obradi i monta`i.Op}enito je prihva}eno da suvremeni manipulatori vuku porijeklo od izuma G. C. Devola iz1954. godine, koji je primijenio nov koncept upravljanja strojem za manipulaciju materi-jalima, zasnovan na u~enju manipulacijskog zadatka u po~etnoj fazi te uzastopnom ponav-ljanju nau~enog zadatka u fazi eksploatacije. U automatiziranim proizvodnim sustavimapod manipulatorom se razumije industrijski robot.

Osim naj~e{}e kori{tenih industrijskih robota ~esto se upotrebljavaju i medicinski ro-botski ure|aji, hodaju}i strojevi te roboti za podmorska, svemirska i ostala istra`ivanja.

Sl. 1.2.Razli~iti oblici zavr{nih mehanizama za poslove paleti-zacije (Euroimpianti s.p.a.)

1.2. PODJELA ROBOTA 3

Postoji mnogo razli~itih definicija robota, ovisno o mjestu i na~inu primjene. U Sjedi-njenim Ameri~kim Dr`avama robot se naj~e{}e definira kao automat prilago|en slo`enojokolini koji obavlja ili dopunjava jednu radnju ili vi{e radnji ~ovjeka, dok se u Japanu podrobotom razumije automat s promjenljivim programom koji se koristi za automatizacijuru~nih operacija.

Robot se u op}em slu~aju mo`e definirati kao tehni~ki ure|aj sa svrhom obavljanjanekih kretanja i funkcija koje obavlja ~ovjek, pri ~emu se odlikuje odre|enom samostal-no{}u, tj. autonomno{}u u radu. U tom smislu mo`e se koristiti i ova, ne{to konkretnijadefinicija robota 1 : Robot je programski upravljan mehani~ki ure|aj koji se koristi sen-zorima za vo|enje jednog zavr{nog mehanizma ili vi{e njih po unaprijed odre|enoj puta-nji u radnoj okolini s ciljem manipuliranja fizi~kim objektima.

1.2. PODJELA ROBOTA

Manipulatori se mogu podijeliti s obzirom na vrstu pogona, geometriju radnog pro-stora i na~ine upravljanja kretanjem.

1.2.1. Vrste pogonaZa pogon ve}ine dana{njih robotskih manipulatora koriste se elektri~ni motori – isto-

smjerni, izmjeni~ni i kora~ni, jer su relativno jeftini, s velikom brzinom i to~nosti, i u njihje mogu}a primjena slo`enih algoritama upravljanja.

Kod specifi~nih primjena (npr. rukovanje u`arenim ~elikom ili sastavljanje dijelovaautomobila), kada se zahtijeva manipulacija velikim teretima, ~e{}e se koriste roboti shidrauli~kim pogonima. Takvi pogoni imaju zadovoljavaju}u brzinu rada, a zbog nestla~i-vosti ulja mogu}e je mirno odr`avanje polo`aja. Glavni nedostatci tih motora njihove suvisoke cijene i one~i{}avanje okoline zbog buke i mogu}eg istjecanja ulja.

Tre}a vrsta pogona jesu pneumatski pogoni koji imaju relativno nisku cijenu i velikubrzinu rada a ne one~i{}uju okolinu pa su pogodni za laboratorijski rad. Takvi pogoni nisupogodni za rad s velikim teretima, jer je zbog stla~ivosti zraka nemogu}e mirno odr`avati`eljeni polo`aj. Uz to su bu~ni a potrebno je i dodatno filtriranje i su{enje zraka zbog nepo-`eljne pra{ine i vlage.

Ako se zahtijeva samo otvaranje i zatvaranje prihvatnice, tada se u zavr{nom meha-nizmu koristi pneumatski motor da se grubim stiskom ne bi o{tetio lomljiv predmet. Unajnovije vrijeme javljaju se rje{enja koja se koriste pneumatskim pogonima za realizacijupneumatskih mi{i}a pogodnih za operacije savijanja.

1.2.2. Geometrija radnog prostoraRadni prostor robota jest skup to~aka u trodimenzionalnom prostoru koje se mogu

dohvatiti ru~nim zglobom robota na koji je pri~vr{}en zavr{ni mehanizam. Veli~ina radnogprostora robota ovisi o broju i tipu zglobova robota, duljinama ~lanaka te o postoje}imfizi~kim ograni~enjima, koja su neposredno povezana s konkretnom gra|om i izgledomrobota. Na slici 1.3. prikazan je primjer radnog prostora industrijskog robota EuroimpiantiSkilled 504.

4 1. OP]ENITO O ROBOTIMA

Osi prvih triju zglobova robota odre|uju polo`aj ru~nog zgloba, a osi preostalih trijuzglobova utvr|uju orijentaciju alata. Tako tipovi zglobova upotrijebljenih za prve tri osiodre|uju geometriju radnog prostora robota. Kod industrijskih robota koriste se dva osnov-na tipa zglobova: rotacijski i translacijski. Rotacijski zglob rotira oko osi, a translacijski selinijski giba po osi.

Sl. 1.3. Radni prostor industrijskog robota tipa SCARA –Skilled 504 (Euroimpianti s.p.a.)

Razli~itim kombinacijama rotacijskih (R) i translacijskih (T) zglobova za prve tri osiodre|ene su ove konfiguracije robota:

a) pravokutna (TTT),b) cilindri~na (RTT),c) sferna (RRT),d) rotacijska (RRR),e) robot tipa SCARA (engl. selective compliance assembly robot arm) – RTR, TRR

ili RRT gra|e.

Radni prostor robota s pravokutnom konfiguraci-jom je prizma. Shematski takav je robot prikazan na slici1.4., dok je istovrsni industrijski robot prikazan na slici1.5. Kod tih robota postoji neposredna veza izme|u vari-jabli zglobova i prostornih koordinata alata.

Ako se prvi zglob kod pravokutne konfiguracijerobota zamijeni rotacijskim zglobom, dobiva se robotcilindri~ne konfiguracije, prikazan na slici 1.6. Radniprostor takvog robota zbog ograni~enog translacijskoggibanja jednak je volumenu izme|u dvaju vertikalnihkoncentri~nih pla{tova valjaka.

1.2. PODJELA ROBOTA 5

Sl. 1.4. Pravokutna konfiguracijarobota

Sl. 1.5. Industrijski robot s pravokutnom konfiguracijom C-100 (Fanuc Ltd.)

Sl. 1.6. Cilindri~na konfiguracijarobota

Ako se drugi zglob cilindri~ne konfiguracije robota zamijeni rotacijskim zglobom,dobiva se robot sferne konfiguracije, koji je prikazan na slici 1.7. Ako postoji ograni~enjetranslacijskog gibanja, radni je prostor tog tipa robota volumen izme|u dviju koncentri~nihsfera, a uz ograni~enje svih gibanja radni je prostor dio volumena izme|u dviju koncen-tri~nih sfera. Primjer industrijskog robota sa sfernom konfiguracijom prikazan je na slici1.8.

Robot tipa SCARA tako|er ima dva rotacijska i jedan translacijski zglob. Na slici1.9. shematski je prikazan robot s RRT konfiguracijom. Primjer industrijskog robota tipaSCARA s TRR konfiguracijom prikazan je na slici 1.10. Drugi primjer industrijskog robo-ta tipa SCARA s RTR konfiguracijom prikazan je na slici 1.3. Kod takvih su robota osi svihtriju zglobova vertikalne.

6 1. OP]ENITO O ROBOTIMA

Uza sva tri rotacijska zgloba, robot ima ro-tacijsku konfiguraciju, koja se jo{ naziva lakta-sta, antropomorfna ili zglobna. Takav robotshematski je prikazan na slici 1.11., dok je pri-mjer istovrsnog industrijskog robota ve} prijeprikazan na slici 1.1. Ako ne postoje ograni-~enja rotacijskih gibanja, tada je radni prostortog robota kugla, a uz ograni~enja to je diokugle slo`enog oblika ~iji je presjek sa stranenaj~e{}e u obliku polumjeseca.

Sl. 1.9. Robot tipa SCARA

Sl. 1.10. Industrijski robot tipa SCARA A-520i (Fanuc Ltd.)

Sl. 1.11. Rotacijska konfiguracija robota

Sl. 1.7. Sferna konfiguracija robota

Sl. 1.8. Industrijski robot sa sfernom konfigu-racijom L-1000 (Fanuc Ltd.)

1.3. KARAKTERISTIKE ROBOTA 7

1.2.3. Na~ini upravljanja kretanjem

Postoje dva osnovna na~ina kretanja zavr{nog mehanizma:– kretanje od to~ke do to~ke,– kontinuirano gibanje po putanji.

Pri gibanju od to~ke do to~ke alat se kre}e po ciljnim to~kama u radnom prostoru i pritome nije bitna putanja izme|u to~aka, ali je va`na to~nost pozicioniranja. Takav na~inkretanja koristi se za diskretne operacije kao {to su to~kasto zavarivanje te podizanje ispu{tanje predmeta.

Pri kontinuiranom kretanju po putanji zavr{ni mehanizam mora se gibati po unaprijedodre|enoj putanji u trodimenzionalnom prostoru i pri tome su bitne trajektorija i to~nostpozicioniranja. Roboti kod kojih se upravlja trajektorijom gibanja mogu se koristiti zabojenje, {avno zavarivanje ili lijepljenje.

1.3. KARAKTERISTIKE ROBOTA

Osim vrste pogona, geometrije radnog prostora i na~ina upravljanja kretanjem postojiniz dodatnih karakteristika robota: broj osi, nosivost (kg), maksimalna brzina (m/s) (mm/s),dohvat (m) (mm), hod (m) (mm), orijentacija alata (rad) (°), ponovljivost (m) (mm), pre-ciznost (m) (mm), to~nost (m) (mm) i radna okolina.

1.3.1. Broj osi

Za svaki robot karakteristi~an je broj osi za rotacijsko ili translacijsko gibanje njego-vih ~lanaka. Kako se gibanje robota odvija u trodimenzionalnom prostoru, prve tri osi naj-~e{}e se koriste za odre|ivanje polo`aja ru~nog zgloba robota. Preostale osi odre|uju ori-jentaciju zavr{nog mehanizma.

Op}eniti manipulator ima {est osi te mo`e dovesti prihvatnicu u bilo koji polo`aj i ori-jentaciju unutar radnog prostora. Pri tome se mehanizam otvaranja i zatvaranja prstiju nesmatra nezavisnom osi jer ne utje~e niti na polo`aj niti na orijentaciju alata.

Ako manipulator ima vi{e od {est osi, tada se redundantne osi mogu koristiti za izbje-gavanje prepreka unutar radnog prostora, optimiranje gibanja. Tako|er se mo`e pove}ativje{tina i spretnost gibanja.

1.3.2. Nosivost i brzinaMaksimalna masa tereta koju robot mo`e prenijeti i maksimalna brzina gibanja robo-

ta veoma ovise o tipu robota i njegovoj primjeni (nosivost mo`e biti od nekoliko kilogra-ma do nekoliko tona, a vrh alata mo`e se kretati brzinama od 10 cm/s do 10 m/s).

Va`no mjerilo brzine robota jest vrijeme radnog ciklusa, tj. vrijeme potrebno za izvo-|enje periodi~nog gibanja sli~nog jednostavnoj operaciji podizanja i spu{tanja predmeta naodre|eno mjesto. Tada se uz poznatu duljinu putanje mo`e izra~unati prosje~na brzina kre-tanja manipulatora.

8 1. OP]ENITO O ROBOTIMA

1.3.3. Dohvat i hodVeli~ina radnog prostora robota mo`e se pribli`no odrediti pomo}u dohvata i hoda.Horizontalni dohvat je maksimalna udaljenost koju mo`e dosegnuti ru~ni zglob, mje-

rena od vertikalne osi oko koje robot rotira. Horizontalni hod je ukupna udaljenost od ver-tikalne osi po kojoj se ru~ni zglob mo`e kretati. Razlika izme|u horizontalnog dohvata ihoda je minimalna udaljenost ru~nog zgloba od glavne vertikalne osi, a kako je ta veli~inapozitivna, dohvat je uvijek ve}i ili jednak hodu.

Vertikalni dohvat robota maksimalna je udaljenost ru~nog zgloba robota od baze, avertikalni se hod sli~no mo`e definirati kao ukupna vertikalna udaljenost po kojoj se ru~nizglob mo`e gibati. Pri tome je vertikalni hod robota manji ili jednak vertikalnom dohvatu.Na primjeru prikazanom na slici 1.12. mo`e se vidjeti da je horizontalni dohvat robotacilindri~ne konfiguracije polumjer vanjskog pla{ta valjka radnog prostora, a horizontalni jehod razlika polumjera vanjskog i unutra{njeg valjka. Tako|er se mo`e vidjeti da }e verti-kalni dohvat cilindri~nog robota biti ve}i od njegova vertikalnog hoda ako se, pomo}uograni~enja u kretanju drugom osi, ru~nom zglobu ne dopusti doticanje granice radnogprostora.

Sl. 1.12. Dohvat i hod cilindri~nog robota

Kod rotacijskih robota dohvat je ~esto jednak hodu, pa takvi roboti imaju pun radniprostor. Pri tome je potrebno za{tititi robot od samoo{te}ivanja, jer se rotacijski robot mo`eprogramirati tako da udari sam sebe ili da se sudari s predmetima u svojoj radnoj okolini.

1.3.4. Orijentacija alataPrve tri osi robota osim oblika radnog prostora odre|uju polo`aj kraja podlaktice i pri-

padaju}u orijentaciju zavr{nog mehanizma. Dodatne rotacijske osi kod neredundantnih ro-bota odre|uju djelomi~nu ili potpunu orijentaciju zavr{nog mehanizma. U uvjetima bezograni~enja, s tri dodatne osi alat mo`e tijekom gibanja robota posti}i bilo koju orijentaci-ju u trodimenzionalnom prostoru.

Definicija problema direktnekinematike: Ako je zadan vektor va-rijabli zglobova robotskog manipu-latora, tada treba odrediti polo`aj iorijentaciju alata u odnosu premakoordinatnom sustavu pridru`enombazi robota.

Za rje{avanje direktnog kine-mati~kog problema potrebno jeuvesti neke matemati~ke pojmove itransformacije vezane uz vektore,koordinatne sustave te rotacije itranslacije 1 .

Robotski manipulator mo`e se modelirati kao lanac krutih tijela – ~lanaka, koji su me-|usobno povezani zglobovima, kako je prikazano na slici 2.1. Nepomi~na baza robota na-lazi se na po~etku lanca, a zavr{ni mehanizam ili alat nalazi se na kraju lanca. Takav robotmo`e obavljati poslove kre}u}i se u trodimenzionalnom prostoru, pri ~emu je nu`no uprav-ljati polo`ajem i orijentacijom alata. Da bi se to moglo, potrebno je odrediti vezu izme|uvarijabli zglobova robota te polo`aja i orijentacije alata, tj. rije{iti direktni kinemati~kiproblem.

2. DIREKTNA KINEMATIKA

Sl. 2.1. Prikaz manipulatora u obliku lanca ~lana-ka povezanih zglobovima

16 2. DIREKTNA KINEMATIKA

2.1. SKALARNI I VEKTORSKI PRODUKTI

Vektori u n-dimenzionalnom prostoru Rn jesu orijentirane du`ine ~iji po~etak mo`ebiti u istom ishodi{tu, kako je prikazano za n 3 na slici 2.2. Za takve vektore mo`e sedefinirati skalarni produkt (rezultat je skalar) i vektorski produkt (rezultat je vektor).

Definicija 2.1.1. (skalarni produkt): Skalarni produkt vektora x i y u Rn definira se kao:

(2.1)

Skalarni produkt dvaju vektora mjera je orijentacije izme|u njih. Da bi se to moglopokazati, potrebno je definirati ortogonalnost i normu vektora.

Definicija 2.1.2. (ortogonalnost): Vektori x i y u Rn jesu ortogonalni ako i samo akoje x y 0.

Definicija 2.1.3. (potpunost): Skup ortogonalnih vektora x1, x2, ..., xn u Rn potpunje ako i samo ako iz y xk 0, za 1 k n, slijedi y 0.

Broj vektora potrebnih za stvaranje potpunog skupa u prostoru vektora naziva sedimenzija prostora.

Duljina ili norma proizvoljnog vektora u Rn mo`e se definirati pomo}u skalarnog pro-dukta.

Definicija 2.1.4. (norma): Norma vektora x u Rn ozna~ava se sa x i definira na slje-de}i na~in:

(2.2)x x x .xkk

n2

1

x y .x yk kk

n

1

Sl. 2.2. Ortonormiran koordinatni sustav u R3

Skup ortogonalnih jedini~nih vektora naziva seortonormirani skup.

Na slici 2.2. prikazan je desno orijentirani orto-normirani koordinatni sustav, {to se mo`e provjeritina sljede}i na~in: kada prsti desne ruke rotiraju odvektora i1 prema vektoru i2 (tj. u smjeru suprotnomod smjera kazaljke na satu), tada palac pokazuje usmjeru vektora i3.

Iz definicija 2.1.1. i 2.1.4. proizlazi da se pomo-}u skalarnog produkta i norme vektora x i y mo`e nasljede}i na~in odrediti kut izme|u tih vektora:

(2.3)

Tako skalarni produkt mo`e poslu`iti kao mjeraorijentacije izme|u dvaju vektora.

x y x y cos .

2.2. KOORDINATNI SUSTAVI 17

Definicija 2.1.5. (vektorski produkt): Vektorski produkt dvaju vektora u i v u R3 jestvektor w u v, koji je ortogonalan i desno orijentiran u odnosu prema vektorima u i v tese definira na sljede}i na~in:

(2.4)wi i i

det .L

NMMM

O

QPPP

F

HGGG

I

KJJJ

L

NMMM

O

QPPP

1 2 3

1 2 3

1 2 3

u u uv v v

u v u vu v u vu v u v

2 3 3 2

3 1 1 3

1 2 2 1

Sl. 2.3. Vektorski produkt vektorau i v

Takav vektorski produkt vektora u i v prikazan jena slici 2.3.

Sli~no kao i kod skalarnog produkta, duljina vek-torskog produkta u v ovisi o kutu izme|u vektorau i v na sljede}i na~in:

(2.5)

Tako i rezultat vektorskog produkta mo`e poslu-`iti kao mjera orijentacije izme|u dvaju vektora.

u v u v sin .

2.2. KOORDINATNI SUSTAVI

Skalarni produkt vektora mo`e se iskoristiti pri definiranju koordinata vektora dobi-venih projekcijom tog vektora.

Definicija 2.2.1. (koordinate): Neka je p vektor u Rn i neka je X x1, x2, ..., xn pot-pun ortonormiran skup za Rn. Koordinate vektora p u odnosu prema skupu X ozna~avajuse sa p X i definiraju na sljede}i na~in:

(2.6)

Potpun ortonormiran skup X naziva se ortonormirani koordinatni sustav ili ortonormi-rana baza za prostor Rn.

Kada su osi koordinatnog sustava ortonormirani vektori, tada se koordinate vektora uodnosu prema tom koordinatnom sustavu mogu izra~unati pomo}u pou~ka 2.2.1.

Pou~ak 2.2.1. (ortonormirane koordinate): Neka je p vektor u Rn i neka su p X koordi-nate vektora p u odnosu prema ortonormiranom koordinatnom sustavu X x1, x2, ..., xn .Tada je k-ta koordinata vektora p u odnosu prema X:

(2.7)

Iz pou~ka 2.2.1. mo`e se vidjeti da je k-ta koordinata vektora p u odnosu prema orto-normiranom koordinatnom sustavu X skalarni produkt vektora p i k-tog ~lana skupa X.

p k nkkX p x , .1

p x .p kk

k

n Xe j1

U prethodnom poglavlju prikazan je postupakodre|ivanja matri~ne jednad`be manipulatora, kojapolo`aj p i orijentaciju alata R prema koordinatnomsustavu baze L0 predstavlja kao jednozna~ne funk-cije varijabli zglobova, slika 3.1. Da bi se definiraozadatak koji robot mora obaviti, potrebno je zadatito~ke u prostoru kroz koje alat mora pro}i, a tozna~i da valja zadati polo`aj i orijentaciju alata utim to~kama prema koordinatnom sustavu baze L0.Polo`aj alata p i orijentacija alata R zajedno nazi-vaju se konfiguracija alata.

3.1. VEKTOR KONFIGURACIJE ALATA

Proizvoljna konfiguracija alata mo`e se u potpunosti opisati sa {est elemenata, kojiobuhva}aju tri kartezijske koordinate polo`aja (p1, p2, p3) i tri komponente orijentacije(npr. kutovi skretanja, poniranja, valjanja ili pak Eulerovi kutovi). Iz toga slijedi da se kodmatrice rotacije R dimenzije 3 3 ponavlja ~ak dvije tre}ine podataka. Zbog toga se uvodikompaktniji na~in zadavanja konfiguracije alata pomo}u vektora konfiguracije alata, kojise nalazi u prostoru konfiguracije alata R6, slika 3.2. Budu}i da se orijentacija mo`e zadatina razli~ite na~ine, oblik vektora konfiguracije alata izravno }e ovisiti o odabranom na~inuzadavanja orijentacije.

3. INVERZNA KINEMATIKA:RJE[AVANJE JEDNAD@BE MANIPULATORA

Sl. 3.1. Konfiguracija alata kao funk-cija varijabli zglobova

38 3. INVERZNA KINEMATIKA: RJE[AVANJE JEDNAD@BE MANIPULATORA

Imaju}i u vidu karakteristike De-navit-Hartenbergovog postupka, u slu-~aju zadavanja orijentacije alata po-mo}u kutova skretanja, poniranja i va-ljanja posljednji stupac matrice rotaci-je R, tj. vektor pribli`avanja, sadr`i in-formacije o kutovima skretanja i poni-ranja alata, ali ne i o valjanju alata, jerono predstavlja rotaciju oko vektorapribli`avanja. Zbog toga se ta nedo-staju}a informacija o kutu valjanjaalata mora dodati na neki drugi na~in.

Kako je vektor pribli`avanja r3 jedini~ni vektor, koji odre|uje samo smjer alata, njego-va se duljina mo`e mno`iti nekim pozitivnim brojem, a da se pri tome smjer na promijeni.

Ako se pretpostavi da je kut valjanja alata qn neograni~en, tada se mo`e uvesti ovaeksponencijalna, invertibilna i pozitivna funkcija skaliranja vektora r3 1 :

(3.1)

Kori{tenjem te funkcije skaliranja konfiguracija alata mo`e se prikazati u kompakt-nom obliku, kako je navedeno u definiciji 3.1.1.

Definicija 3.1.1. (vektor konfiguracije alata): Neka p ozna~ava polo`aj, a R orijen-taciju vrha alata (definiranu pomo}u rotacija skretanja, poniranja i valjanja) u odnosu pre-ma koordinatnom sustavu baze robota, pri ~emu je qn kut rotacije alata. Tada je vektor kon-figuracije alata u R6 oblika:

(3.2)

Na takav na~in posti`e se minimalni prikaz konfiguracije alata, jer vektor w ima samo{est komponenata. Prve tri komponente predstavljaju polo`aj vrha alata w1 p, a preostale

tri komponente odre|uju orijentaciju alata U slu~aju zadavanja orijentacije alata pomo}u Eulerovih kuova, tj. zavrtanja, nagiba-

nja i zakretanja, vrijednosti kutova zadaju se izravno jer je rije~ o vizualno jasnim zakreti-ma oko osi pokretnog koordinatnog sustava alata robota. Konfiguracija alata mo`e seprikazati u kompaktnom obliku, kako je navedeno u definiciji 3.1.2.

Definicija 3.1.2. (vektor konfiguracije alata): Neka p ozna~ava polo`aj, a R orijen-taciju vrha alata (definiranu pomo}u rotacija zavrtanja, nagibanja i zakretanja) prema koor-dinatnom sustavu baze robota. Tada je vektor konfiguracije alata u R6 ovog oblika:

(3.3)www

p.=

LNMMOQPP =LNM

OQP

1

2 T

w2 3eqn

r .

ww

w

p.

LNMMOQPPLNMMOQPP

1

2 3eqn

r

f qn

qnb g .e

Sl. 3.2. Direktna i inverzna kinematika

3.2. PROBLEM INVERZNE KINEMATIKE 39

3.2. PROBLEM INVERZNE KINEMATIKE

Da bi se robotom moglo upravljati, za zadane to~ke u prostoru definirane pripadaju}imvektorima konfiguracije alata potrebno je prona}i pripadaju}e vrijednosti varijabli zglobo-va, koje se nalaze u prostoru zglobova Rn, slika 3.2.

Definicija problema inverzne kinematike: Ako su zadane vrijednosti polo`aja p iorijentacije alata R, tada je potrebno prona}i vrijednosti varijabli u prostoru zglobovaRn (qi, 1 i n) koje zadovoljavaju jednad`bu manipulatora (2.22).

Treba istaknuti da je rje{enje direktnog kinemati~kog problema polazna osnova zarje{avanje inverznog kinemati~kog problema, jer ono sadr`i izravan opis veza izme|u pro-stora konfiguracije alata i prostora zglobova.

Do rje{enja inverznog kinemati~kog problema mogu}e je do}i iterativnim numeri~kimpostupcima ili pak analiti~ki. Prednosti numeri~kih postupaka sadr`ane su u mogu}nostiizrade univerzalnog programa za razli~ite konfiguracije robota, ali se pri izvo|enju takvihprograma javljaju problemi neprepoznavanja singularnih stanja robota i mogu}e divergen-cije postupka ra~unanja. Analiti~ko rje{enje omogu}ava izravan prora~un vrijednosti vari-jabli zglobova, ali je dolazak do rje{enja slo`eniji nego kod direktnog kinemati~kog proble-ma, jer ne postoji sustavan postupak rje{avanja za sve konfiguracije robota sli~an Denavit--Hartenbergovoj metodi.

Sada je potrebno definirati karakteristike rje{enja inverznog kinemati~kog problema.

Kada postoji rje{enje inverznog kinemati~kog problema, tj. kada je `eljeni polo`ajvrha alata unutar radnog prostora, a orijentacija alata je ostvariva, to rje{enje ~esto nijejedinstveno. Takva vi{ezna~na rje{enja javljaju se kod kinemati~ki redundantnih robota svi{e od {est osi, kod kojih se vi{ak stupnjeva slobode gibanja koristi za izbjegavanje pre-preka unutar radne okolice.

^ak i kad robot nije kinemati~ki redundantan,postoji mogu}nost pojavljivanja vi{e rje{enja inverz-nog kinemati~kog problema. Jedan je takav primjerrotacijski robot prikazan na slici 3.3. Iz te slike mo`ese vidjeti da postoje, uz odgovaraju}a ograni~enjagibanja ramena, lakta i poniranja alata, dva razli~itarje{enja koja se nazivaju gornjim i donjim polo`ajemlakta robota. Takva redundantnost ~esto se naziva ifunkcionalnom redundantno{}u.

Sada se mo`e pokazati postupak rje{avanja pro-blema inverzne kinematike u slu~aju zadavanja polo-`aja i orijentacije alata preko vektora konfiguracijealata (3.2) na tri odabrana primjera: troosnom planarnom rotacijskom robotu, peteroosnomrotacijskom robotu RHINO XR-3 i ~etveroosnom robotu tipa SCARA s RTR konfigura-cijom.

Sl. 3.3. Vi{ezna~no rje{enje kodneredundantnog robota

Za postizanje `eljenog gibanja vrha alata robota, uz kvalitetno upravljanje, potreban jerealni dinami~ki model robotske ruke. Postoje dva osnovna dinami~ka modela robota: La-grange-Eulerov i Newton-Eulerov model.

Osnovni pojmovi rabljeni za dobivanje Lagrange-Eulerovog dinami~kog modela ro-bota jesu: poop}ene koordinate, kineti~ka i potencijalna energija te poop}ena sila. Jed-nad`be koje se dobivaju kao rezultat primjene te metode mogu se fizikalno objasniti pomo}usljede}ih pojmova: inercije manipulatora, gravitacije, trenja, Coriolisove i centrifugalnesile.

Drugi postupak dobivanja dinami~kog modela robota, tj. rekurzivni Newton-Eulerovpostupak, vrlo je pogodan za prora~un dinami~kog modela na ra~unalu, posebno kod ro-bota s ve}im brojem osi.

4.1. LAGRANGEOVA JEDNAD@BA

Opis robotske ruke pomo}u Lagrange-Eulerovog dinami~kog modela temelji se napojmovima poop}enih koordinata (vektora n varijabli zglobova za n-osni manipulator),energije i poop}ene sile F. Poop}ena sila Fi predstavlja vanjske i nekonzervirane sile kojedjeluju na i-ti zglob manipulatora, a koje preostaju nakon uklanjanja inercijalnih sila i silete`e.

Neka T predstavlja kineti~ku energiju, koja ovisi o polo`aju i brzini manipulatora, a Upotencijalnu energiju, koja ovisi samo o polo`aju robotske ruke. Tada se Lagrangeovafunkcija L(q, q) mo`e definirati kao razlika izme|u kineti~ke i potencijalne energije:

(4.1)

gdje je q dq/d t vektor brzina zglobova.

L T Uq q q q q, , ,a f a f a f

4. DINAMIKA MANIPULATORA

48 4. DINAMIKA MANIPULATORA

Kori{tenjem Lagrangeove funkcije jednad`ba gibanja manipulatora poprima sljede}ioblik:

(4.2)

4.2. KINETI^KA ENERGIJA

Za odre|ivanje ukupne kineti~ke ener-gije robotske ruke najprije je potrebno odre-diti kineti~ku energiju k-tog ~lanka, koji segiba u trodimenzionalnom prostoru, kao {toje prikazano na slici 4.1. Neka je vk u R3

linijska brzina, a k u R3 kutna brzina cen-tra mase ~lanka k u odnosu prema koordi-natnom sustavu baze robota L0. Neka se samk ozna~i masa ~lanka k, a s Dk matrica di-menzije 3 3, koja se naziva tenzor inercije~lanka k oko njegova centra mase u odnosuprema koordinatnom sustavu baze L0 1 .Neka koordinatni sustav Lck xc

k, yck,zc

k

ima ishodi{te u centru mase ck.

Tada se ukupna kineti~ka energija manipulatora, koja obuhva}a i translacijska i rota-cijska gibanja, mo`e prikazati kao zbroj kineti~kih energija svih njegovih ~lanaka:

(4.3)

Smatraju}i da je masa ~lanaka poznata, potrebno je u jednad`bi za ra~unanje kineti~keenergije manipulatora odrediti tenzor inercije Dk.

U izrazu za kineti~ku energiju (4.3) tenzor inercije k-tog ~lanka Dk odre|en je u odno-su prema koordinatnom sustavu baze robota L0. Do tenzora inercije Dk mo`e se do}i takoda se kineti~ka energija izrazi u odnosu prema koordinatnom sustavu na kraju ~lanka Lk.

U tom slu~aju ishodi{te L0 translatira se u ishodi{te Lck (centar mase ck) te se zatim iz-ra~una tenzor inercije Dck oko tog centra mase. Tenzor inercije ~lanka k oko svoga centramase izra~unan u odnosu prema koordinatnom sustavu Lk ozna~ava se sa Dk , a dobiva setranslacijom Lk u Lck te izra~unavanjem Dck. Taj je tenzor inercije konstantan, jer koordi-natni sustav Lk rotira zajedno sa ~lankom k (Lk i Lck jesu jednako orijentirani).

Kako je u izrazu (4.3) kineti~ka energija izra`ena u odnosu prema koordinatnom su-stavu L0, potrebno je sada linijsku i kutnu brzinu ~lanka k izraziti u odnosu prema koordi-natnom sustavu Lk. Koordinatni sustavi Lk i L0 povezani su matricom homogene transfor-macije:

Tmk Tkk k T

kk

k

nq q

D, .b g e j e j

=+

=åv v

21

ddt q L q L F i n

i ii

¶¶

¶¶, , , .q q q qa f a f 1

Sl. 4.1. Gibanje ~lanka k

4.2. KINETI^KA ENERGIJA 49

(4.4)

Obrnuta veza izme|u koordinatnih sustava Lk i L0 odre|ena je inverznom matricomTk

0, koja je opisana izrazom (2.14). Iz toga slijedi da se pri ra~unanju tenzora inercije Dkpotrebno koristiti inverznom matricom rotacije R0

k(q) T, koja kutnu brzinu k definiranuu odnosu prema L0 transformira u kutnu brzinu izra`enu u odnosu prema Lk, tj. k 0

(R0k)T k k. Sada se kineti~ka energija ~lanka k u odnosu prema koordinatnom sustavu

Lk mo`e prikazati na sljede}i na~in:

(4.5)

Iz izraza (4.5) slijedi izraz za ra~unanje tenzora inercije Dk(q):

(4.6)

4.2.1. Tenzor inercije ~lanka

Najprije se tenzor inercije, koji odre|uje raspodjelu mase krutog ~lanka, definira s ob-zirom na koordinatni sustav, ~ije je ishodi{te u centru mase ~lanka. Ako je k gusto}a, a Vkvolumen ~lanka, tenzor inercije Dck tog ~lanka oko njegova centra mase, s obzirom nakoordinatni sustav Lck xck, yck, zck s ishodi{tem u centru mase, mo`e se izra~unati nasljede}i na~in 1 :

(4.7)

Tenzor inercije Dck simetri~na je ma-trica, koja se sastoji od {est razli~itih volum-nih integrala, pri ~emu se izrazi na dijago-nali te matrice nazivaju momenti inercije, apreostali su izrazi produkti inercije.

Ako se osi koordinatnog sustava Lckpodudaraju s osima ~lanka, tada }e produk-ti inercije biti jednaki nuli, {to je pokazanona primjeru krutog ~lanka u obliku prizmena slici 4.2. Ako se masa takvog prizmati~nog homogenog ~lanka ozna~i sa mk, tada mu segusto}a mo`e izra~unati na ovaj na~in:

DckV V V

V V V

V V V

y z V xy V xz V

xy V x z V yz V

xz V yz V x y V

k k k

k k k

k k k

L

N

MMMMMMM

O

Q

PPPPPPP

z z zz z zz z z

2 2

2 2

2 2

d id i

d i

d d d

d d d

d d d

.

D q R q D R qkk

kk Tb g b g b g= × ¢×0 0 .

k Tk

k k T kk

k T ke j e j e jD R D R

2 2

0 0=

LNM

OQP ¢LNM

OQP .

T qR q pv

v00

11

10 0 0 1k

k k

TT k nb g b g

=LNMM

OQPP = £ £, , .

Sl. 4.2. Kruti ~lanak u obliku prizme

Da bi robot mogao obaviti zami{ljeni zadatak, potrebno je zadati niz to~aka u prostorukroz koje vrh alata manipulatora mora pro}i. U tom pogledu mogu}e je robotske sustavepodijeliti na:1. sustave koji ostvaruju gibanje »od to~ke do to~ke« i sustave koji ostvaruju gibanje

»kontinuirano po putanji«;2. sustave s upravljanjem u otvorenoj petlji i sustave s upravljanjem u zatvorenoj petlji;3. sustave s razli~itom gra|om manipulatora (kartezijski, cilindri~ni, sferni i artikulirani).

Najprije je potrebno definirati dva osnovna pojma: putanju i trajektoriju gibanja.

5.1. PUTANJA I TRAJEKTORIJA

@eljena putanja pri upravljanju kontinuiranim gibanjem vrha alata robota mo`e sedefinirati u prostoru konfiguracije alata pomo}u vektora konfiguracije alata w opisanogizrazom (3.2) u poglavlju 3.1. Taj {esterodimenzionalni vektor w (w1, w2) predstavljapolo`aj vrha alata w1(q) i orijentaciju alata w2(q) na sljede}i na~in:

(5.1)

(5.2)

pri ~emu je q vektor varijabli zglobova.

Na takav na~in putanja alata mo`e se definirati kao krivulja u prostoru konfiguracijealata R6. Ako se pri tom zadaju trenuci u kojima alat mora biti u odgovaraju}im to~kamaputanje, tada ta putanja postaje trajektorija.

w q r q w q2 3 2a f a f a fe iliq

Tn

,

w q p q1a f a f,

5. PLANIRANJE TRAJEKTORIJE

72 5. PLANIRANJE TRAJEKTORIJE

Iz toga slijedi da je potrebno na}i funkciju koja }e opisati vezu izme|u to~aka na puta-nji i zadanih trenutaka dolaska alata u te to~ke. To je mogu}e u~initi pomo}u funkcije ras-podjele brzine s(t), ~ija derivacija s(t) predstavlja trenutnu brzinu vrha alata manipulatorau vremenu. Dakle, zadavanjem funkcije raspodjele brzine zadaje se brzina gibanja alata po`eljenoj krivulji.

Definicija trajektorije alata: Neka je krivulja u prostoru konfiguracije alata R6 pokojoj se vrh alata robota treba gibati te neka se sa s(t) ozna~i derivabilna funkcija raspo-djele brzine, koja interval potreban za prijelaz putanje 0,T preslikava u interval 0,1 , pri~emu je zadovoljeno: s(0) 0 i s(T ) 1. Tada za trajektoriju alata vrijedi:

(5.3)

gdje je T ukupno vrijeme, koje je potrebno za prijelaz putanje.

Parametar naziva se normirani parametar duljine putanje, pri ~emu vrijednost 0odgovara po~etku krivulje, a 1 kraju putanje.

Najjednostavniji primjer funkcijes(t) koji zadovoljava rubne uvjete jestfunkcija:

(5.4)

Graf funkcije s(t) naziva se profilbrzine. Tipi~an profil brzine prikazan jena slici 5.1., na kojoj se mo`e vidjeti darobot na po~etku trajektorije, tj. u vre-menskom intervalu 0,T2 , ubrzava svojegibanje do maksimalne brzine, zatim seodre|eno vrijeme giba tom brzinom te na kraju trajektorije, tj. u intervalu T–T2,T , uspo-rava kretanje i zaustavlja se u krajnjoj to~ki zadane krivulje.

5.2. GIBANJE MANIPULATORA OD TO^KE DO TO^KE

Mo`e se prona}i vrlo veliki broj operacija koje manipulator, odnosno vrh alata, obav-lja uz gibanje od to~ke do to~ke. Takve su operacije to~kasto zavarivanje, bu{enje, podiza-nje i spu{tanje itd. Osnovno na~elo gibanja od to~ke do to~ke uklju~uje ove korake:1. pomak u zadani polo`aj, npr. izme|u dviju elektroda,2. zaustavljanje u zadanom polo`aju,3. obavljanje zadatka (npr. zavarivanje),4. pomak u sljede}i polo`aj.

U velikom broju slu~ajeva pri gibanju od to~ke do to~ke trajektorija robota i brzinagibanja zapravo su neva`ne. Pri tome se na~elno gibanje robota mo`e odvijati na dvaosnovna na~ina 3 :

s t tT t Ta f , .0

wa fn s a fR s t t T6 0 1 0: , ,i

Sl. 5.1. Tipi~an profil brzine

5.2. GIBANJE MANIPULATORA OD TO^KE DO TO^KE 73

1. svaka os zasebno kre}e se maksimal-nom brzinom (slika 5.2.),

2. sve osi zavr{avaju gibanje istovremeno,{to zna~i da se maksimalnom brzinomkre}e ona os koja mora prevaliti najve-}u udaljenost (slika 5.3.), dok se ostaleosi gibaju sporije.

Sl. 5.2. Gibanje s maksimalnim brzinama

Sl. 5.3. Gibanje uz istovremeni ulazak u ciljni polo`aj po svim osima

5.2.1. Planiranje trajektorije za gibanje od to~ke do to~ke

Pod pojmom planiranja trajektorije razumije se prora~un ubrzanja, usporenja, sin-kronizacija gibanja me|u osima (uskla|ivanje brzina) te izra~unavanje polo`aja zglobovasvih osi gibanja u skladu sa zadanom putanjom gibanja vrha alata robota.

Prilikom zadavanja uzastopnih polo`aja taj se postupak cikli~ki ponavlja putem odgo-varaju}eg programa, koji izvr{ava ra~unalo za vo|enje robota. Uobi~ajeni na~in zadavanjapolo`aja jest kori{tenjem jedinice za poduku robota.

Pri planiranju trajektorije nu`no je u prora~une uklju~iti ograni~enja koja kod robotaobjektivno postoje zbog geometrije robota i ograni~enja radnog prostora te zbog realnihkarakteristika konstrukcije robota (~vrsto}a) i njegovih pogona (maksimalno dopu{tenoubrzanje i brzina gibanja svakog zgloba). Na~elna shema planiranja trajektorije za giba-nje od to~ke do to~ke prikazana je na slici 5.4.

74 5. PLANIRANJE TRAJEKTORIJE

5.2.2. Primjer planiranja trajektorije gibanja robota od to~ke do to~ke

Neka je zadatak robota koji se gibaod to~ke do to~ke sti}i u ciljni polo`aj s{to je br`e mogu}e, u skladu s maksimal-no dopu{tenim brzinama i akceleracijamazglobova. Prijelazna pojava zadanog giba-nja prikazana je na slici 5.5. Tijekom pri-jelazne pojave mogu se uo~iti tri tipi~naintervala: interval maksimalnog ubrzanja0,t1 , interval maksimalne brzine t1, t2

i interval maksimalnog usporenja t2, ts .Zbog maksimalne jednostavnosti neka jet1 ts t2, tj. neka je profil brzine simetri-~an, kako je prikazano na slici 5.5.

Zadatak upravlja~kog programa jestizra~unati trenutke t1 i t2 za koje vrijedit1, t2 f ( 0, s,vm, am).

U intervalu 0, t1 vrijede ove jedna-kosti 3 :

(5.5)

U intervalu t1, t2 dobiva se:

(5.6)t v t t

t v t t

m

m

a f b gb g b g

1 1

2 2 1 2 1

,

.

t a t t a t

v a t

m m

m m

a f b g2

1 112

1

2 2 ,

.

Sl. 5.4. Planiranje trajektorije za gibanje rotacijskog robota od to~ke do to~ke

Sl. 5.5. Zadana trajektorija gibanja rotacijskogrobota od to~ke do to~ke

Robot kao slo`eni mehanizam ostvaruje gibanje u prostoru zahvaljuju}i pogonima kojise nalaze u njegovim zglobovima. Izbor tipa pogona ovisit }e o dinami~kim svojstvimarobota, tra`enoj to~nosti i o samoj gra|i odnosno konfiguraciji robota. Svaka os gibanjarobotskog manipulatora uklju~uje pogon koji pretvara elektri~ne upravlja~ke signale izra~unala u mehani~ko gibanje. Gibanja osovina nadgledaju se i upravljaju pomo}u regu-lacijskih petlji, u kojima se uspore|uju referentni signali sa signalima povratnih veza radidetekcije pogre{aka gibanja. Signali pogre{aka obra|uju se u upravlja~kim algoritmima ikoriste za upravljanje gibanjima izvr{nih pogona. U op}em slu~aju, kao {to je prikazanona slici 6.1., pogon zgloba robota sastoji se od slijednog regulatora (npr. polo`aja, brzinevrtnje, momenta, sile dodira), poja~ala snage, izvr{nog elementa – motora te mjernog~lana. Mjerni ~lan mo`e biti kontinuiran (npr. potenciometar, tahogenerator) ili diskretan(npr. apsolutni i inkrementalni dava~i impulsa).

6. POGONI U ROBOTICI

Sl. 6.1. Op}i blokovski prikaz zgloba robota

U robotima se upotrebljavaju hidrauli~ki, pneumatski i elektri~ni aktuatori odnosnopogoni. Pogodnosti hidrauli~kih pogona, u usporedbi sa standardnim elektromotornimpogonima, sastoje se u velikoj brzini odziva (nekoliko puta manjoj vremenskoj konstanti),

6.1. VRSTE I KARAKTERISTIKE ELEKTRI^NIH STROJEVA I ELEKTROMOTORNIH POGONA U ROBOTICI 103

velikom koeficijentu poja~anja snage, stabilnosti brzine i manjem volumenu. Nedostacihidrauli~kih pogona jesu manja fleksibilnost, slo`enost konstrukcije, mogu}nost istjecanjateku}ine i relativno velik {um.

Pogodnosti pneumatskih pogona sastoje se u velikoj brzini odziva, relativno jednostav-noj konstrukciji i ekploataciji, pa se upotrebljavaju u jednostavnijim i jeftinijim robotima.Osnovni je nedostatak pneumatskih pogona u stla~ivosti zraka. Uslijed toga brzina gibanjamanipulatora ovisi o optere}enju, a to~nost pozicioniranja nije velika. Pneumatskim i hi-drauli~kim pogonima mo`e se ostvariti gibanje manipulatora bez mehani~kog prijenosa.

Od po~etka 80-ih godina stalno se pove}ava broj robota s elektromotornim pogonom.Zahvaljuju}i sve ve}em izboru kvalitetnih komponenti energetske elektronike omogu}en jerazvoj poja~ala velikih snaga, a zahvaljuju}i sve naprednijim generacijama mikrora~unala,omogu}en je razvoj mikroprocesorskih sustava upravljanja kojima se posti`u znatno boljestati~ke i dinami~ke karakteristike elektromotornih pogona. Tako|er su razvijeni i razvijajuse specijalni elektri~ni strojevi, upotrebom kojih se posti`u mnogo bolje dinami~ke karak-teristike pogona. Osim toga, elektromotorni pogoni imaju mnogo ve}i koeficijent koris-nosti, manju razinu {uma i niz drugih prednosti u odnosu prema hidrauli~kim i pneu-matskim pogonima (mogu}nost daljinskog prijenosa signala, jednostavnost monta`e zbogelasti~nosti vodi~a itd.).

6.1. VRSTE I KARAKTERISTIKE ELEKTRI^NIH STROJEVA I ELEKTROMOTORNIH POGONA U ROBOTICI

Elektri~ne pogone koji se koriste u robotskim slijednim sustavima odlikuje relativnoniska cijena, velika brzina i to~nost te mogu}a primjena slo`enijih algoritama upravljanja.Istodobno, u nedostatke elektri~nih pogona valja ubrojiti potrebu primjene prijenosnika sna-ge i zbog toga prisutnost ne`eljenog djelovanja zazora me|u zup~anicima u obliku histereze.Pri manipuliranju izrazito te{kim teretima do izra`aja dolazi i ograni~enje po snazi elek-tri~nih pogona pa se u tim slu~ajevima daje prednost sna`nijim hidrauli~kim pogonima.

U slijednim sustavima robota koriste se ove vrste elektri~nih motora:– istosmjerni motori s permanentnim magnetima,– sinkroni motori s permanentnim magnetima,– asinkroni motori,– kora~ni motori.

Istosmjerni motori pogodni su za upravljanje, a istosmjerni elektromotorni pogoni(motor s poja~alom snage i upravlja~kim ure|ajem) ne{to su jeftiniji od izmjeni~nih elek-tromotornih pogona. Snaga istosmjernih motora koji se upotrebljavaju u robotima reda jeveli~ine 100 W do 10 kW. Nominalna brzina vrtnje motora iznosi 1000 – 3000 min 1, araspon promjene brzine vrtnje elektromotornog pogona reda je veli~ine 103– 104. Maksi-malni moment motora 3 do 10 puta je ve}i od nominalnog, a grani~na frekvencija elektro-motornog pogona reda je veli~ine 10 – 100 Hz. Za napajanje armature upotrebljavaju setranzistorska i tiristorska poja~ala snage, a za uzbudu se u ve}ini slu~ajeva koriste perma-nentni magneti.

Ve}ina robotskih sustava projektirana je za upravljanje polo`ajem i orijentacijom vrhaprihvatnice. Zadatak je takvih sustava da {to to~nije prate zadanu trajektoriju gibanja.Op}enito su mogu}a dva osnovna na~ina planiranja kretanja manipulatora: bez ograni~enjaili s ograni~enjem polo`aja, orijentacije i brzine gibanja prihvatnice. Gibanje po povr{inistola, guranje i povla~enje pretinaca ili pak razli~iti zadaci monta`e primjeri su ograni-~enog kretanja. Zadavanje trajektorije gibanja pretpostavlja poznavanje radne okolice ro-botskog sustava u bilo kojem trenutku gibanja. Nepredvi|ene promjene u radnoj okolicimogu prouzro~iti neplanirani kontakt robotske ruke s okolicom. Ako postoji samo uprav-ljanje po polo`aju, tada zbog realno postoje}ih pogre{aka u planiranju `eljene operacije tezbog kona~ne to~nosti regulacijske petlje polo`aja manipulator mo`e udariti i o{tetiti sebeili elemente radne okoline. U tim slu~ajevima sustav je suvi{e krut.

To je jedan od razloga zbog kojih se robotskim sustavima u kojima mo`e do}i (ilidolazi) do kontakta robotske ruke i okoline dodaje upravlja~ki krug po sili. Drugi razlogdodavanja upravlja~kog kruga po sili su poslovi (bru{enje, rezanje, umetanje, bu{enje) kodkojih je potrebno da robotska ruka odre|enom silom djeluje na okolinu ili predmet obrade.

Senzori sile, koji se ugra|uju u prihvatnice robotske ruke, registriraju kontakt i iznossile kontakta, nakon ~ega se, ovisno o robotskom sustavu, donosi odluka o akciji. Akcijamo`e biti trenutno zaustavljanje gibanja robota ili isklju~enje upravljanja po trajektorijigibanja i uklju~enje upravljanja po sili.

Proces bru{enja predmeta nakon prethodno obavljenog rezanja primjer je posla pri ko-jem upravljanje po trajektoriji gibanja nije dovoljno, jer se alat kojim se brusi tro{i, pa senakon nekog vremena, ako se upravlja samo po trajektoriji gibanja, izgubi kontakt izme|u

7. UPRAVLJANJE SILOM DODIRAMANIPULATORA

136 7. UPRAVLJANJE SILOM DODIRA MANIPULATORA

predmeta i alata. Drugi razlog nedostatnosti upravljanja polo`ajem i potrebe za uvo|enjeupravljanja silom je u tome {to se ne mo`e unaprijed znati hrapavost i oblik ruba bru{enogpredmeta. Kompleksnost nekih predmeta dobivenih rezanjem zahtijeva vrlo slo`ene trajek-torije gibanja, ~ije je programiranje te{ko, {to je jo{ jedan razlog za uvo|enje upravljanjapo sili. Ako se zahtijeva konstantna sila dodira izme|u alata i predmeta, robotski sustavjednostavno }e slijediti rub predmeta. Dakle, kada je nu`no da pokret bude uskla|en s oko-linom, tada je potrebno regulirati istodobno i polo`aj i silu. Osim toga, za potrebe regulacijevalja osigurati kvalitetno mjerenje sile i momenta pomo}u odgovaraju}ih dava~a. Kodupravljanja silom i upravljanja polo`ajem dolazi do izra`aja njihova dualnost. Naime, akosu osigurani uvjeti slobodnog gibanja po svim osima, tada je dovoljna samo regulacijapolo`aja. Ako su, naprotiv, uvjeti ograni~enja prisutni po svim osima, tada je regulacija silejedino mogu}a. Izme|u dviju krajnosti, kombinacijom istodobne regulacije polo`aja i sileposti`e se tra`ena podatnost manipulatora. Podatnost kao mjera meko}e dodira mo`e bitipasivna ili aktivna. Pod pasivnom podatnosti razumije se svojstvo samog manipulatora (npr.prihvatnica presvu~ena gumom). Aktivna podatnost je podatnost koja se podr`ava pro-gramskom podr{kom, tj. ra~unalom. Prednosti aktivne podatnosti su mogu}nost prepro-gramiranja i prilago|avanja raznim primjenama.

Op}enito, velik broj na~ina uprav-ljanja silom dodira mo`e se svesti uokvire dvaju osnovnih pristupa. Prvi jepristup hibridno upravljanje polo`ajemi silom, koji se mo`e podijeliti na dvaupravlja~ka kruga: upravljanje polo-`ajem, koje se odvija u vremenu kadagibanje nije ograni~eno okolinom, iupravljanje silom, kada je gibanje ogra-ni~eno okolinom. Upravljanje polo`a-jem odvija se u tangencijalnoj ravnini, aupravljanje silom u ravnini okomitoj nasu~eljenu povr{inu (slika 7.1.).

Drugi pristup naziva se upravljanjeimpedancijom. Impedancija je fizi~kisustav koji je u stanju prihvatiti ulaznupobudu (nalog za gibanje) i odgovoritiostvarenim izlaznim u~inkom (npr. silom). Robotski manipulator pona{a se kao impedan-cija, a shodno tome radna okolica djeluje kao admitancija, tj. posjeduje suprotna svojstva.Impedancija robotskog manipulatora sastoji se od otpornosti (trenja), kapacitivnosti(elasti~nosti) i inercije (mase), koji su odre|eni mehani~kom konstrukcijom manipulatora.Parametri impedancije definiraju pasivnu podatnost manipulatora. Umetanjem gumenihdijelova u konstrukciju manipulatora mijenjat }e se pasivna podatnost. Upravljani robotskimanipulator pona{a se kao aktivna impedancija. Naime, kod upravljanja impedancijomparametri regulatora pode{avaju se tako da se uz zadanu konstrukciju robotskog manipula-tora dobije `eljena podatnost.

Sl. 7.1. Prikaz kontakta manipulatora i okoline

7.1. UPRAVLJANJE SILOM DODIRA ROBOTSKOG MEHANIZMA S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE GIBANJA 137

7.1. UPRAVLJANJE SILOM DODIRA ROBOTSKOG MEHANIZMA S JEDNIM STUPNJEM SLOBODE GIBANJA

Problem upravljanja silom dodira razmotrit }e se radi jednostavnosti za robotski me-hanizam s jednim stupnjem slobode gibanja, kao {to je prikazano na slici 7.2.

Sl. 7.2. Blokovska shema manipulatora s jednim stupnjem slobode gibanja

Sila dodira mjeri se senzorom koji je montiran na mjestu korijena {ake. U re`imu slo-bodnog gibanja po svim osima, mehanizam se upravlja po polo`aju, a u slu~aju dodira sokolinom, upravlja se po sili dodira. Razmatrani mehanizam pogonjen je vektorski uprav-ljanim, iz ~opera napajanim sinkronim motorom s permanentnim magnetima, ~ije su uprav-lja~ke karakteristike sli~ne karakteristikama istosmjernog motora. Kao {to je prikazano naslici 7.2., sustav upravljanja silom dodira sadr`i podre|enu petlju regulacije brzine vrtnje inadre|enu petlju neposrednog upravljanja po sili. Neposredno upravljanje silom dodirapodrazumijeva da se za upravljanje silom koristi samo mjereni signal dobiven iz senzorasile, a ne i podatak o polo`aju, kao kod hibridnog upravljanja.

Blokovska shema lineariziranog modela regulacijske petlje brzine vrtnje prikazana jena slici 7.3. Regulacijska petlja sadr`i PI regulator, koji je opisan sljede}om prijenosnomfunkcijom:

(7.1)G s K T sT srb Ra f 1 1

1.

138 7. UPRAVLJANJE SILOM DODIRA MANIPULATORA

Fazne struje statora reguliraju se pomo}u regulatora s impulsno {irinskom modula-cijom faznih napona statora. Tipi~ne vrijednosti frekvencije prekidanja ~opera u rasponu su5– 20 kHz, ~ime se posti`e gotovo trenuta~no upravljanje strujom. Zbog toga se zatvorenastrujna petlja vektorski upravljanog sinkronog motora mo`e opisati sljede}om prijenosnomfunkcijom:

(7.2)

gdje je: Kzi – poja~anje zatvorene strujne petlje, A/V, Tzi – vremenska konstanta zatvorene strujne petlje, s.

Prijenosna funkcija ~lana povratne veze brzine vrtnje odgovara prijenosnoj funkciji(6.73).

G sI s

U sK e

KT szi

q

szi

T s zi

zi

zia f a fa f 1,

Sl. 7.3. Blokovska shema lineariziranog modela regulacijske petlje brzine vrtnje pogona sa sinkronim motorom s permanentnim magnetima

Sl. 7.4. Model dodira manipulatora i radne okolice za jedan stupanjslobode gibanja (translacija)

Model dodira manipulatora i radne okolice, uz jedan stupanj slobode gibanja i transla-cijsko gibanje vrha alata, ima oblik kao {to je prikazano na slici 7.4.

Automatizirani proizvodni procesi su procesi u kojima se proizvodnja odvija bez su-djelovanja ili s vrlo malim sudjelovanjem ~ovjeka. Fleksibilni proizvodni sustavi (FPS),kao podskupina automatiziranih proizvodnih procesa, predstavljaju one proizvodne sustavekoji su sposobni, zahvaljuju}i uporabi vi{enamjenskih strojeva i odgovaraju}ih upravlja~-kih algoritama, prilagoditi se promijenjenim uvjetima i zahtjevima proizvodnje. Fleksibil-nost proizvodnih sustava mo`e se zasnivati na promjenama operacija, promjenama slijedatih operacija ili pak promjenama upravlja~kih algoritama, pomo}u kojih se s minimalnimzahvatima djeluje na veli~inu, oblik ili strukturu gotovog proizvoda, a samim time i na nje-govu kona~nu namjenu.

Radi jednostavnije analize i sinteze algoritama upravljanja vo|enje nekog fleksibilnogproizvodnog sustava raspodjeljuje se na vi{e razina: od najni`e razine na kojoj se rje{avajuproblemi pojedinih upravlja~kih petlji (brzina vrtnje, polo`aj, sila dodira), preko razine nakojoj se stroj (tokarilica, robot) promatra kao cjelina, a rje{avaju se problemi interakcijevi{e procesa karakteristi~nih za taj stroj (npr. odre|ivanje trajektorije), do razine na kojojse rje{avaju problemi vezani uz me|usobni odnos vi{e strojeva. Na toj razini upravljanjazanima nas koji uvjeti moraju biti ispunjeni da bi odre|ena operacija zapo~ela odnosno {toslijedi nakon zavr{etka te operacije. S tehni~kog stajali{ta upravljanje fleksibilnim proiz-vodnim sustavom najvi{a je razina upravljanja. Sljede}a razina upravljanja vezana je uzrje{avanje ekonomske problematike i tr`i{nog odnosa me|u proizvodima.

Osnovni dijelovi fleksibilnog proizvodnog sustava razli~ite su vrste strojeva, roboti,transportne trake, transportna vozila, alati i sl. Jednim imenom nazivaju se resursi. Resursiu FPS-u obavljaju zadatke. Pod zadatkom se razumije neka operacija odre|enog trajanjakoju jedan resurs mo`e izvr{avati nezavisno ili u kombiniranom djelovanju s ostalimuklju~enim resursima.

Operacije se obavljaju na predmetu ili, ako ih je vi{e, na predmetima obrade. Za svakipredmet koji ulazi u sustav odre|uje se redoslijed zadataka kojima }e se do}i do kona~nog

8. FLEKSIBILNI PROIZVODNI SUSTAVI

8.1. OSNOVNE STRUKTURE FLEKSIBILNIH PROIZVODNIH SUSTAVA 147

proizvoda. Redoslijed zadataka mo`e biti strogo odre|en (npr. predmet se prvo tokari patek onda bu{i) ili fleksibilan (npr. svejedno je da li se predmet prvo tokari ili bu{i).

Nakon {to je odre|en redoslijed zadataka, potrebno je odrediti koji je resurs zadu`enza pojedini zadatak. Taj postupak naziva se pridjeljivanje resursa. Kao i pri odre|ivanjuredoslijeda zadataka, pridjeljivanje resursa mo`e biti ili strogo odre|eno ili fleksibilno, tj.mo`e se strogo odrediti koji je resurs zadu`en za pojedinu operaciju ili je pak svejedno koji}e resurs obaviti odre|eni zadatak. Shodno tomu, fleksibilni proizvodni sustavi mogu imatiraznovrsne oblike struktura kojima se posti`u zadani proizvodni ciljevi.

Sintezi upravlja~kih algoritama prethodi analiza sustava. Budu}i da je karakter fleksi-bilnog proizvodnog sustava kao cjeline odre|en operacijama, resursima i njihovim odno-som, takvi sustavi pripadaju klasi sustava koji se nazivaju sustavi s diskretnim doga|ajima(SDD) ili sustavi vo|eni doga|ajima.

8.1. OSNOVNE STRUKTURE FLEKSIBILNIH PROIZVODNIH SUSTAVA

Struktura fleksibilnog proizvodnog sustava odre|ena je zahtjevima koji moraju bitizadovoljeni da bi kona~ni proizvod dobio `eljeni oblik. Kako se FPS mo`e sastojati od vi{eproizvodnih linija, struktura je zapravo definirana redoslijedom operacija i njima pridije-ljenim resursima u proizvodnim linijama. Postoji nekoliko standardnih struktura proizvod-nih linija, od kojih se naj~e{}e koriste teku}e proizvodne linije, vi{eulazne proizvodne li-nije, proizvodne linije koje sadr`e operaciju sklapanja te proizvodne linije sa slobodnimodabiranjem operacija.

8.1.1. Teku}e proizvodne linije

Redoslijed zadataka u teku}improizvodnim linijama strogo je od-re|en i svaki resurs obavlja samojedan zadatak. Struktura teku}e pro-izvodne linije prikazana je na slici8.1. Fleksibilni proizvodni sustavsastavljen od vi{e teku}ih proizvodnih linija jest sustav u kojem se paralelno (ne nu`no inezavisno) obra|uje nekoliko predmeta. U takvim sustavima mo`e se dogoditi da se dvijelinije ili vi{e njih koriste istim resursima.

8.1.2. Vi{eulazne proizvodne linije

U vi{eulaznim teku}im linija-ma predmet obrade nekoliko putaprolazi kroz isti resurs, {to zna~i dataj resurs obavlja vi{e zadataka. Naprimjer, stroj za rezanje mo`e oba-viti rezanje predmeta, nakon ~egapredmet putuje do stroja za finu

Sl. 8.1. Teku}a proizvodna linija

Sl. 8.2. Vi{eulazna proizvodna linija

U nekoliko prethodnih potpoglavlja opisan je postupak modeliranja i analize fleksi-bilnih proizvodnih sustava primjenom Petrijevih mre`a. Iako su Petrijeve mre`e alat kojise naj~e{}e koristi kada su u pitanju problemi vezani uz projektiranje fleksibilnih proizvod-nih sustava, u slu~aju velikih sustava grafovi mogu postati vrlo nepregledni, a prora~un ianaliza vrlo slo`eni i dugotrajni. Ba{ zbog tog razloga slo`enosti ra~unskih postupakarazvijena je metoda koja omogu}uje modeliranje fleksibilnih proizvodnih sustava pomo}umatrica 10 . Osim samog modeliranja, za MRF1 klasu sustava razra|ene su i metode kojeomogu}uju analizu i sintezu algoritama upravljanja. Sama analiza FPS-a i sinteza uprav-lja~kih algoritama obavlja se primjenom logi~kih operacija nad matricama.

9.1. MATRICE FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA

Kao {to je re~eno u potpoglavlju 8.3., analizom FPS-a `ele se opisati veze izme|udoga|aja koji ~ine taj sustav, odnosno valja odrediti koji uvjeti moraju biti ispunjeni da bineki doga|aj po~eo, odnosno {to se doga|a kad se on zavr{i. Ako se na taj na~in promatraFPS, tada modeliranje zapravo nije ni{ta drugo nego definiranje pravila oblika kao u ovomprimjeru:

AKO je tokarenje zavr{eno, I AKO je robot spreman, I AKO ..., ONDA je pra-vilo 1 ispunjeno.AKO je pravilo 1 ispunjeno, ONDA oslobodi tokarski stroj I zapo~ni prijenospredmeta I ...

Niz takvih pravila, koja zajedno ~ine vektor pravila x, opisuje fleksibilni proizvodnisustav. Svakom pravilu odgovara jedna komponenta vektora x.

9. MATRI^NI MODEL FLEKSIBILNOGPROIZVODNOG SUSTAVA

176 9. MATRI^NI MODEL FLEKSIBILNOG PROIZVODNOG SUSTAVA

Budu}i da nas u analizi fleksibilnih proizvodnih sustava zanimaju stanja operacija iresursa, kao i u slu~aju Petrijevih mre`a, definiramo vektor stanja m:

(9.1)

gdje je u ulazni vektor, v vektor operacija, r vektor resursa i y izlazni vektor. Komponentevektora u sadr`e broj predmeta koji ulaze u sustav na danom ulaznom mjestu. Vektor vsadr`i sve operacije danog sustava, dok vektor r sadr`i sve resurse u sustavu. Pozitivnakomponenta vektora y upu}uje na broj predmeta koji su napustili sustav na danom izlaz-nom mjestu. U slu~aju sustava s jednom proizvodnom linijom, vektor y postaje skalar.Komponente vektora stanja mogu biti samo nenegativni cijeli brojevi.

Kako se iz pravila odre|uju matrice sustava? Budu}i da se nad matricama koje opisu-ju FPS obavljaju logi~ke operacije, one kao elemente mogu imati samo 0 ili 1.

Prije je re~eno da elemente FPS-a ~ine i operacije kojih je cilj krajnji proizvod. Akoje slijed tih operacija odre|en, tada se definira matrica slijeda operacija Fv. Matrica Fv ima1 na mjestu (i, j) ako je zavr{etak operacije j uvjet da pravilo i bude ispunjeno (istinito).Ina~e je to mjesto jednako 0. Ta matrica povezuje vektor pravila x s vektorom operacija v.

Da bi neka operacija bila obavljena, treba raspolagati resursom. Matrica koja opisujeodnos operacija i resursa naziva se matrica zahtjeva za resursima i ozna~ava se sa Fr. Ma-trica Fr ima 1 na mjestu (i, j) ako je raspolo`ivost resursa j uvjet da pravilo i bude ispunjeno.Ina~e je to mjesto jednako 0. Ta matrica povezuje vektor pravila x s vektorom resursa r.

Matrica koja opisuje na koji na~in predmeti ulaze u FPS naziva se ulazna matrica Fu.Matrica Fu ima 1 na mjestu (i, j) ako je raspolo`ivost predmeta na ulaznom mjestu j uvjetda pravilo i bude ispunjeno. Ina~e je to mjesto jednako 0. Potrebno je napomenuti da uslu~aju FPS-a s jednom proizvodnom linijom (jednim ulaznim mjestom) matrica Fu postajevektor. Matrica Fu povezuje vektor pravila x s ulaznim vektorom u.

Postavlja se pitanje o ~emu ovise dimenzije matrica Fv, Fr i Fu. Budu}i da uz svakuoperaciju mora biti vezano barem jedno pravilo i budu}i da se pretpostavlja da }e predmetobrade u kona~nom vremenu napustiti fleksibilni proizvodni sustav, broj redaka matricajednak je broju operacija plus broj izlaznih mjesta sustava ({to predstavlja broj pravila).Broj stupaca matrice Fv jednak je broju operacija, matrice Fr broju resursa, a matrice Fubroju ulaznih mjesta.

Matricama Fv, Fr i Fu odre|en je samo uzro~ni dio pravila, odnosno one govore o tomekoje je uvjete potrebno ispuniti da bi neko pravilo bilo ispunjeno. Posljedi~ni dio pravila,koji govori o tome koje operacije treba zapo~eti ako je neko pravilo ispunjeno, modelira sedrugom skupinom matrica.

Matrica Sv, koja se naziva matrica pokretanja operacija, govori koje }e operacije bitizapo~ete ako je odre|eno pravilo ispunjeno. Tako }e se na mjestu (i, j) te matrice nalaziti1 ako ispunjenje pravila j zapo~inje operaciju i. Ina~e }e biti 0. Matrica Sv povezuje vek-tor operacija s vektorom pravila.

m

uvry

L

N

MMMM

O

Q

PPPP,