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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
OTIMIZ AÇÃO DA OPERAÇÃO DE USINAS CICLO COMBINADO ATRAV
NIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
FACULDADE DE ENGENHARIA
AÇÃO DA OPERAÇÃO DE USINAS TERMOELÉTRICASCICLO COMBINADO ATRAV ÉS DA TÉCNICA PARTICLE SWARM
OPTIMIZATION - PSO
TAMIRIS GOMES MOREIRA
Monografia apresentada ao Programa de
Humanos em Sistemas Elétricos Industriais
PB214 e ao Curso de Graduação
Elétrica da Faculdade de Engenharia da Universidade
Federal de Juiz de Fora como parte dos requisitos para
obtenção do Grau de Engenheira Eletricista.
Orientador: Leonardo Willer de Oliveira
JUIZ DE FORA
SETEMBRO DE 2013
NIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
TERMOELÉTRICAS DE PARTICLE SWARM
Programa de Recursos
Humanos em Sistemas Elétricos Industriais – PRH –
Curso de Graduação em Engenharia
Elétrica da Faculdade de Engenharia da Universidade
Federal de Juiz de Fora como parte dos requisitos para
obtenção do Grau de Engenheira Eletricista.
Leonardo Willer de Oliveira
ii
OTIMIZAÇÃO DA OPERAÇÃO DE USINAS TERMOELÉTRICAS DE CICLO COMBINADO ATRAVÉS DA TÉCNICA PARTICLE SWARM OPTIMIZATION- PSO
Tamiris Gomes Moreira
MONOGRAFIA APRESENTADA AO PROGRAMA DE RECURSOS HUMANOS EM
SISTEMAS ELÉTRICOS INDUSTRIAIS – PRH/ PB214 E AO CURSO DE GRADUAÇÃO EM
ENGENHARIA ELÉTRICA DA FACULDADE DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DE JUIZ DE FORA COMO PARTE DOS REQUISITOS PARA OBTENÇÃO DO
GRAU DE ENGENHEIRA ELETRICISTA.
Aprovada por:
Prof. Leonardo Willer de Oliveira, D. Sc.
Universidade Federal de Juiz de Fora, UFJF
Prof. Ivo Chaves da Silva Junior, D. Sc.
Universidade Federal de Juiz de Fora, UFJF
Prof. Leandro Ramos de Araujo, D. Sc.
Universidade Federal de Juiz de Fora, UFJF
JUIZ DE FORA, MG – BRASIL SETEMBRO DE 2013
iv
Agradecimentos
A Deus, por iluminar meus dias e me proporcionar grandes oportunidades.
À minha mãe, Aparecida, e a minha avó, Neuza, por abdicarem de muitos de seus sonhos
permitindo que os meus se concretizassem e por me acolherem sempre de braços abertos quando o
caminho aparentava-se tortuoso. Tenham a certeza: se cheguei até aqui a conquista também é de
vocês!
Aos verdadeiros mestres e excelentes profissionais que compartilharam seus
conhecimentos e experiências, contribuindo para a minha formação, não somente como
profissional, mas também como ser humano. Em especial, ao professor Leonardo Willer de
Oliveira, pela orientação neste trabalho e por sempre se dispor a ajudar, ao professor Ivo Chaves
da Silva Junior, pela primeira oportunidade concedida em bolsa de iniciação científica, anterior a
este projeto, e ao total incentivo e ao professor Leandro Ramos de Araujo, pela oportunidade e
confiança em meu trabalho.
À Patrícia Neves, que compartilhou juntamente comigo os desafios deste projeto de
pesquisa.
Aos meus amigos, que sonharam junto comigo e entendiam quando os compromissos da
Engenharia tornavam-se uma prioridade. Obrigada pela paciência!
À Petrobras pelo apoio financeiro e incentivo a pesquisa, por meio do Programa de
Formação de Recursos Humanos (PRH-PB214).
vi
Resumo
Esta monografia possui como objetivo a otimização da operação de usinas termoelétricas
(UTE) de ciclo combinado através do uso de uma técnica bioinspirada denominada Particle
Swarm Optimization.
O problema consiste em estabelecer uma estratégia operativa, equivalente à determinação
do consumo mensal de gás natural e à quantidade correspondente de dias de operação necessária
para que a usina possa cumprir as restrições de consumo do combustível estabelecidas em
ambiente contratual. No caso aqui apresentado, o ambiente de contratação baseia-se em cláusulas
do tipo “Take-or-Pay”.
O algoritmo PSO é inspirado no comportamento social de grupos de indivíduos de
determinadas espécies, tais como, aves e peixes, que computacionalmente são representados por
partículas que sobrevoam um determinado espaço de busca. De forma análoga, as partículas
representam soluções factíveis de operação e manutenção. Seguindo tal linha de pesquisa, busca-
se obter a solução capaz de minimizar o custo total de operação da UTE.
No presente estudo, também é avaliado o comportamento das soluções mediante o uso de
curvas de produtibilidade de característica linear e não linear, isto é, o impacto das funções que
relacionam o consumo de gás natural à geração de energia elétrica no valor da função objetivo.
PALAVRAS CHAVE: Otimização, Operação de Usinas Termoelétricas, Gás Natural, Particle
Swarm Optimization, Take-or-Pay.
vii
SUMÁRIO
Capítulo I ......................................................................................................................................... 11
Introdução ........................................................................................................................................ 12
I.1 – Considerações Iniciais ............................................................................................................ 12
I.2 – Características do Problema .................................................................................................... 14
I.3 – Revisão Bibliográfica .............................................................................................................. 14
I.4 – Motivação do Trabalho ........................................................................................................... 15
I.5 – Publicações e/ou Submissões Decorrentes Deste Trabalho .................................................... 16
I.6 – Estrutura do Trabalho ............................................................................................................. 16
Capítulo II ....................................................................................................................................... 18
Aspectos Associados às Usinas Termoelétricas .............................................................................. 19
II.1 – Considerações Iniciais ........................................................................................................... 19
II.2 – Configurações de Usinas ....................................................................................................... 20
II.3 – Breve Histórico do Gás Natural ............................................................................................. 24
II.4 – Impactos Socioambientais das Usinas Termoelétricas .......................................................... 27
II.5 – Vantagens do Uso do Gás Natural ......................................................................................... 28
II.6 – Ambientes de Contratação de Gás Natural ............................................................................ 28
II.7 – Conclusão .............................................................................................................................. 31
Capítulo III ...................................................................................................................................... 33
Metodologia Proposta ..................................................................................................................... 34
III.1 – Considerações Iniciais .......................................................................................................... 34
III.2 – Formulação do Problema de Otimização ............................................................................. 35
III.3 – Fundamentos da Técnica Particle Swarm Optimization (PSO) ........................................... 36
III.4 – Aplicação do PSO ao Problema de Otimização de Usinas Termoelétricas ......................... 40
III.5 – Conclusões ........................................................................................................................... 42
Capítulo IV ...................................................................................................................................... 44
Estudo de Casos .............................................................................................................................. 45
IV.1 – Considerações Iniciais .......................................................................................................... 45
IV.2 – Usina Termoelétrica BR - Configuração 2+1 ...................................................................... 47
IV.3 – Análise das Estratégias Operativas para Outras Funções de Produtibilidade ......................51
IV.4 – Conclusões ........................................................................................................................... 58
Capítulo V ....................................................................................................................................... 60
viii
Conclusões Finais e Trabalhos Futuros ........................................................................................... 61
V.1 – Conclusões Finais .................................................................................................................. 61
V.2 – Trabalhos Futuros .................................................................................................................. 62
Referências Bibliográficas .............................................................................................................. 64
Apêndice A – Ajuste Polinomial .................................................................................................... 67
ix
LISTA DE FIGURAS
Figura I.1 – Capacidade de Geração do Brasil - Potência % .......................................................... 12
Figura II.1 – Balanço Energético de um Sistema de Cogeração ..................................................... 21
Figura II.2 – Turbina a Gás Operando Sem e Com Cogeração, respectivamente ........................... 22
Figura II.3 – Fluxograma de Termoelétrica a Ciclo Combinado - Tipo 1+1 .................................. 23
Figura II.4 – Fluxograma de Termoelétrica a Ciclo Combinado - Tipo 2+1 .................................. 24
Figura II.5 – Matriz de Energia Elétrica por Fontes no Mundo ...................................................... 25
Figura II.6 – Matriz de Energia Elétrica por Fontes no Brasil ........................................................ 25
Figura III.1 – Movimento de uma Partícula [15] ........................................................................... 37
Figura III.2 – Fluxograma do PSO .................................................................................................. 39
Figura III.3 – Representação da Partícula ...................................................................................... 40
Figura III.4 – Fluxograma da Implementação da Técnica de Pequenos Ajustes ............................ 42
Figura IV.1 – Estratégias de Operação da UTE .............................................................................. 46
Figura IV.2 – Consumo percentual mensal de GN pela UTE para Curva de Produtibilidade �� ... 50
Figura IV.3 – Dias de Operação da UTE para Curva de Produtibilidade �� ................................... 50
Figura IV.4 – Consumo percentual mensal de GN pela UTE para Curva de Produtibilidade �� ... 53
Figura IV.5 – Dias de Operação da UTE para Curva de Produtibilidade �� ................................... 53
Figura IV.6 – Consumo percentual mensal de GN pela UTE para Curva de Produtibilidade �� ... 54
Figura IV.7 – Dias de Operação da UTE para Curva de Produtibilidade �� ................................... 55
Figura IV.8 – Consumo percentual mensal de GN pela UTE para Curva de Produtibilidade �� ... 56
Figura IV.9 – Dias de Operação da UTE para Curva de Produtibilidade �� ................................... 56
Figura IV.10 – Consumo percentual mensal de GN pela UTE para Curva de Produtibilidade �� .. 57
Figura IV.11 – Dias de Operação da UTE para Curva de Produtibilidade �� ................................. 58
Figura A.1 – Aproximações da função sen(x) com polinômios de graus 2, 3 e 5 ........................... 68
x
LISTA DE TABELAS
Tabela II.1 – Novas Modalidades de Contratos de Gás Natural .................................................... 31
Tabela IV.1 – Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade �� ................................... 48
Tabela IV.2 – Comparação entre os Custos de Operação .............................................................. 51
Tabela IV.3 – Funções de Produtibilidade de 1º a 4º Grau ............................................................ 52
Tabela IV.4 – Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade �� ................................... 52
Tabela IV.5 – Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade �� ................................... 54
Tabela IV.6 – Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade �� ................................... 55
Tabela IV.7 – Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade �� ................................... 57
Capítulo I
Introdução
I.1 – Considerações In
O Brasil caracteriza
elétrica altamente renovável, destacando
cenário, as fontes de energia hidráulica ocupam o primeiro lugar na geração de eletricidade
com o equivalente a 68,44% do total da capacidade instalada no país. Embora os combustíveis
responsáveis pela operação das unidades
recursos renováveis, o uso dessa fonte responde por 28,26% da produção de energia elétrica
em território nacional, segundo dados da Agência Nacional de Energia Elétri
A Figura I.1 apresenta a distribuição
geração da matriz energética brasileira.
Figura
Mediante a desregulamentação do setor elétrico brasileiro, a partir da década de 90
as usinas termoelétricas (UTE)
28,26%
Fonte: ANEEL, 2013
12
In iciais
O Brasil caracteriza-se pela predominância de uma matriz de geração de energia
elétrica altamente renovável, destacando-se em comparação com a matriz mundial.
o, as fontes de energia hidráulica ocupam o primeiro lugar na geração de eletricidade
% do total da capacidade instalada no país. Embora os combustíveis
responsáveis pela operação das unidades termoelétricas não se enquadrem na ca
recursos renováveis, o uso dessa fonte responde por 28,26% da produção de energia elétrica
em território nacional, segundo dados da Agência Nacional de Energia Elétri
1 apresenta a distribuição do percentual entre as potências das
geração da matriz energética brasileira.
Figura I.1 – Capacidade de Geração do Brasil - Potência %
Mediante a desregulamentação do setor elétrico brasileiro, a partir da década de 90
(UTE) de ciclo combinado começaram a ganhar destaque no setor de
0,20% 1,67% 3,58%
0,01%
64,66%
1,62% CGH - Central Geradora Hidrelétrica
EOL - Central Geradora Eólica
PCH - Pequena Central Hidrelétrica
UFV - Central Geradora Solar Fotovoltaica
UHE - Usina Hidrelétrica
UTE - Usina Temelétrica
2013
se pela predominância de uma matriz de geração de energia
se em comparação com a matriz mundial. Nesse
o, as fontes de energia hidráulica ocupam o primeiro lugar na geração de eletricidade,
% do total da capacidade instalada no país. Embora os combustíveis
não se enquadrem na categoria de
recursos renováveis, o uso dessa fonte responde por 28,26% da produção de energia elétrica
em território nacional, segundo dados da Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL) [1].
tências das modalidades de
Potência %
Mediante a desregulamentação do setor elétrico brasileiro, a partir da década de 90,
mbinado começaram a ganhar destaque no setor de
Central Geradora
Central Geradora
Pequena Central
Central Geradora Solar
Usina Hidrelétrica
Usina Temelétrica
13
energia. Aliada às descobertas de reservas de gás natural (GN), sobretudo na Bacia de
Campos, e ao racionamento de energia elétrica, no início do século XXI, tal modalidade de
geração teve sua participação aumentada na matriz energética brasileira, bem como
investimentos acumulados [2].
As usinas termoelétricas representam uma complementaridade aos aproveitamentos
hídricos a fim de garantir ao Setor Elétrico Brasileiro (SEB) o atendimento ininterrupto à
demanda. Em períodos de prolongada estiagem, quando os reservatórios hídricos encontram-
se próximos dos limites de segurança para o abastecimento do mercado, as térmicas são
solicitadas a entrarem em operação pelo Operador Nacional do Sistema (ONS), garantindo a
continuidade de atendimento.
A operação das unidades térmicas geradoras deve ser planejada de maneira
adequada, permitindo a alocação eficiente dos montantes de geração no tempo e a alocação
entre as unidades que se encontram em operação, sem desprezar as inúmeras restrições
operativas intrínsecas a geração termoelétrica de ciclo combinado [3]. As variáveis que
compõem o custo total de produção de energia devem ser consideradas no modelo, bem como
as cláusulas estipuladas em contratos bilaterais.
O problema referente à otimização da operação de usinas termoelétricas consiste em
determinar dentre as inúmeras configurações factíveis, que relacionam a quantidade de dias
de operação da UTE ao consumo mensal de gás natural, aquela que minimize o custo
necessário para sua operação. Assim, faz-se necessário o estudo e adequação de ferramentas
que permitam a tomada de decisão buscando uma solução para tal empreendimento.
Estudos relacionados às técnicas de otimização bioinspiradas, indicam que a
resolução do problema referente à operação de usinas termoelétricas por meio de algoritmos
biologicamente inspirados permite a obtenção de melhores soluções em um menor tempo de
processamento computacional [3]. Diante disso, o presente trabalho propõe a utilização da
técnica de otimização bioinspirada denominada Particle Swarm Optimization (PSO), também
conhecida como Enxame de Partículas (EP).
14
I.2 – Características do Problema
O problema tratado no presente trabalho consiste na determinação do consumo
mensal de gás natural por uma dada usina termoelétrica e do respectivo número de dias de
operação das turbinas de ciclo combinado, para um horizonte de operação, que no caso em
estudo corresponde a um ano. Tais processos de decisão dão origem a problemas de natureza
complexa a serem resolvidos por meio de técnicas de otimização, de tal forma a garantir que
as estratégias adotadas resultem na solução mais econômica ou mais próxima de tal resultado.
Tratando-se do problema em questão, que possui característica não linear inteira
mista, existem dificuldades para se chegar a um ponto de solução ótima, tais como: (i) Região
de solução não convexa, que equivale a inúmeros pontos de mínimos locais, levando o
algoritmo a convergir prematuramente em tais direções; (ii) Natureza combinatória,
responsável pela elevação do tempo computacional; (iii) Natureza dinâmica da operação, que
limita as decisões gerando incompatibilidade ao despacho [3]. O uso de técnicas de
inteligência artificial, bem como de técnicas meta-heurísticas, permite o alcance de soluções
compatíveis com a realidade operativa do sistema, sendo a técnica bioinspirada PSO escolhida
por se adequar a problemas dessa natureza.
I.3 – Revisão Bibliográfica
A implementação de algoritmos e técnicas de otimização vêm sendo aplicada ao
planejamento da operação de unidades termoelétricas de geração de forma diversificada.
Em [3] é aplicada a técnica meta-heurística, denominada Algoritmo Genético (AG),
para a resolução do problema referente à operação de usinas termoelétrica (UTE) de geração à
ciclo combinado. O trabalho propõe encontrar entre as diversas possibilidades de operação e
manutenção aquela que minimize o custo total de operação da UTE, levando em consideração
as restrições operacionais da usina. A função objetivo (FOB) é modelada por todos os custos
que envolvem a operação da unidade termoelétrica de geração. Inequações de restrição
correspondentes à aquisição de gás natural são estabelecidas por meio de cláusulas do tipo
“Take-or-Pay”, e o volume de consumo máximo e mínimo da UTE também são considerados
na modelagem do problema.
15
A técnica denominada Particle Swarm Optimization foi aplicada ao problema de
cogeração em sistemas de potência [4]. As unidades de ciclo combinado, funcionando de
forma otimizada, são capazes de reduzir consideravelmente os custos de produção de energia,
pois aproveitam ao máximo o conteúdo energético do combustível empregado. Objetivando
alcançar tal resultado, o algoritmo proposto em [4] busca determinar a produção de calor e
energia da unidade de forma a minimizar o custo de geração de energia elétrica, atendendo as
restrições de poder calorífico demandado e de balanço de potência.
A referência [5] aborda o problema de otimização da operação de uma usina
termoelétrica de ciclo combinado e utiliza-se da técnica de PSO para minimização da função
objetivo, que consiste no custo total referente à operação da unidade térmica. Para tanto, o
modelo proposto considera diversos custos associados à usina termoelétrica, como o custo do
gás natural, os custos referentes à emissão de efluentes, consumo de água, operação e
manutenção, além do custo fixo mensal da usina. Assim como em [3], a metodologia da
referência [5] busca alocar de forma adequada os montantes de gás natural contratado,
fazendo uma associação entre a quantidade de gás utilizada em um determinado mês e a
quantidade de dias necessária para o consumo do combustível.
I.4 – Motivação do Trabalho
A otimização da operação de unidades termoelétricas de ciclo combinado é modelada
como um problema de programação não-linear inteira mista (PNLIM). Problemas dessa
natureza envolvem variáveis inteiras e contínuas, assim como a não-linearidade presente na
função objetivo e/ou nas restrições operacionais.
A solução de problemas de programação não-linear inteira mista apresenta um grau
elevado de complexidade, sobretudo para problemas de grande porte. Isso se deve ao fato de
tais problemas possuírem características não convexas, ou seja, uma diversidade de pontos de
mínimos locais, além da natureza combinatória, responsável por levar a uma explosão
combinatorial devido às inúmeras possibilidades de operação.
O uso de técnicas de otimização baseadas em meta-heurísticas ou inteligência
artificial torna-se atrativo para o problema aqui apresentado. De forma geral, meta-heurísticas
16
evolutivas são empregadas em problemas de otimização, em que comportamentos sociais
presentes na natureza são utilizados como fonte de inspiração na criação de métodos
computacionais para a resolução de problemas complexos.
Outra motivação do trabalho consiste na expansão da geração termoelétrica prevista
no Plano Decenal de Expansão de Energia 2021, realizados pela Empresa de Pesquisa
Energética (EPE) em parceria com o Ministério de Minas e Energia (MME), visto que, os
resultados decorrentes dos leilões de energia nova, já realizados, não apresentaram oferta
suficiente de fontes renováveis para atender ao crescimento da demanda com preços
acessíveis. Atrelados aos leilões, optou-se pela expansão de termoelétricas de gás natural,
devido aos custos mais baixos deste combustível e ao seu potencial estimado [6].
Vale ressaltar que o presente trabalho não leva em consideração ordem de despacho
de usinas termoelétricas realizado pelo ONS, tratando-se somente da otimização para uma
usina em particular.
I.5 – Publicações e/ou Submissões Decorrentes Deste Trabalho
Este trabalho resultou em um artigo aprovado na 7ª edição do Congresso Brasileiro de
P&D em Petróleo e Gás – PDPETRO a ser realizado em Outubro de 2013, na cidade de
Aracaju, SE - Brasil.
• MOREIRA, T.G.; NEVES, P.S.; de OLIVEIRA, L.W.; SILVA JUNIOR, I.C..
Otimização da Operação de Usinas Termoelétrica de Ciclo Combinado Através da
Técnica Particle Swarm Optimization (PSO).
I.6 – Estrutura do Trabalho
Além do presente capítulo, esta monografia é composta por mais quatro capítulos.
O Capítulo II traz os aspectos associados às usinas termoelétricas, explicitando seu
funcionamento em ciclo combinado, bem como o ambiente de contratação de gás natural.
17
O Capítulo III apresenta os fundamentos referentes a técnica de inteligência artificial
PSO aplicada à otimização da operação de usinas termoelétricas. Também são descritas as
etapas e conceitos referentes à metodologia utilizada e à formulação adotada para a resolução
do problema.
O Capítulo IV contém um estudo de caso, apresentado e comparado aos resultados
obtidos por um sistema de duas turbinas a gás e uma turbina a vapor, presente na literatura.
Por último, no Capítulo V são apresentadas as conclusões decorrentes deste trabalho e
sugestões para trabalhos futuros.
19
Capítulo II
Aspectos Associados às Usinas Termoelétricas
II.1 – Considerações Iniciais
Em usinas termoelétricas (UTE), o gás natural vem tornando-se o principal
combustível empregado para a geração de eletricidade devido à disponibilidade desse
combustível no mercado e a existência de políticas energéticas de incentivo. Porém o uso de
um segundo combustível complementar, ou de backup, tais como: etanol, óleo combustível,
biomassa, dentre outros, torna-se interessante ao passo que evita possíveis interrupções de
geração, caso ocorra algum problema referente ao suprimento de gás.
A modalidade de usina flex-fuel, isto é, usina bicombustível, torna-se interessante no
que se refere à flexibilidade no intercâmbio de utilização de diferentes fontes energéticas.
Como exemplo, pode-se citar a Usina Termelétrica Juiz de Fora, situada na cidade de mesmo
nome, possui capacidade instalada de 87 MW. Tal empreendimento faz parte do parque
gerador da Petrobras e caracteriza-se como a primeira termoelétrica do mundo a utilizar o
etanol, combustível renovável, para a geração de energia elétrica [7].
As configurações disponíveis para as unidades termoelétricas são de extrema
importância para o aproveitamento energético da fonte utilizada. O emprego de ciclos
combinados começou a se desenvolver a partir do aperfeiçoamento tecnológico obtido nas
décadas de 70 e 80, sendo empregado principalmente na geração de eletricidade a partir das
centrais termoelétricas a gás natural [8]. Tal modelo permite um aumento substancial da
eficiência térmica do processo, ao passo que garante um melhor aproveitamento energético do
insumo em questão.
A crise energética que assolou o Brasil no final da década de 90 impulsionou o
governo a optar pelo incentivo a outras fontes de energia a fim de diversificar a matriz elétrica
brasileira. Com isso, foi lançado o Programa Prioritário de Termeletricidade (PPT),
objetivando ampliar a participação de termoelétricas a gás natural, com a vantagem de se
20
tratar de um combustível menos poluente e a construção das unidades dar-se com um menor
tempo e a custos iniciais mais baixos.
As incertezas associadas às condições meteorológicas influenciam diretamente no
despacho das usinas hidroelétricas e, consequentemente, na decisão de geração das centrais
termoelétricas em um cenário de despacho hidrotérmico coordenado. Assim sendo, viu-se a
necessidade da criação de contratos bilaterais que assegurassem a remuneração necessária
para que o produtor de gás natural pudesse desenvolver suas atividades de pesquisa e
prospecção. Tais contratos, com base em cláusulas inflexíveis, possibilitaram o
desenvolvimento da indústria de gás, ao mesmo tempo em que implicava gastos elevados para
a UTE. Neste contexto, viu-se a necessidade de modificações e adequações das cláusulas
antigas para o cenário atual [9].
II.2 – Configurações de Usinas
Nos processos convencionais de transformação do combustível em energia elétrica
realizado pelas centrais termoelétricas, grande parte da energia é transformada em calor,
liberado na exaustão ou na condensação do vapor. Assim sendo, a eficiência energética das
unidades térmicas é baixa, limitando-se a faixa de 30% a 40% segundo [8]. Uma forma de
otimizar o aproveitamento energético é utilizar-se do processo de cogeração de energia ou a
configuração de usinas à ciclo combinado.
Conforme [8], “os sistemas de cogeração são aqueles em que se faz,
simultaneamente, e de forma sequenciada, a geração de energia elétrica ou mecânica e energia
térmica (calor de processo e/ou frio), a partir da queima de um combustível, tal como os
derivados do petróleo, o gás natural, o carvão ou a biomassa”. A principal vantagem desse
processo é a minimização de custos, pois aproveita ao máximo o conteúdo energético da
fonte, levando a uma eficiência térmica de até 85%, além de proporcionar uma diminuição de
emissões gasosas, conforme ilustrado no esquema da Figura II.1.
21
Figura II.1 - Balanço Energético de um Sistema de Cogeração
Em linhas gerais, nos ciclos térmicos de cogeração, os gases ou vapor não
aproveitados para geração de eletricidade são convertidos em potência de eixo para
aproveitamento de uma demanda térmica. Desta forma, tem-se a produção combinada de
energia elétrica e de calor útil.
Os aspectos operacionais de cogeração com turbinas a gás são descritos a partir das
informações presentes em [8] e melhor compreendidos com a análise conjuntural da Figura
II.2.
De acordo com a Figura II.2, inicialmente, o ar atmosférico é absorvido pelo
compressor (1), comprimido e enviado à câmara de combustão (2). Nessa etapa, o ar mistura-
se ao combustível e sofre uma reação de combustão, liberando gases a temperaturas elevadas
que fluem para a turbina (3), expandindo-se e promovendo a rotação de rodas com palhetas. A
potência mecânica gerada encarrega-se em acionar o eixo do compressor de ar e de um
gerador elétrico, representados por (4). Em (5), ocorre a eliminação dos gases de exaustão que
podem ser utilizados diretamente em processos térmicos ou indiretamente na produção de
vapor, por meio de uma caldeira de recuperação associada em cascata com a turbina a gás,
elevando acentuadamente a eficiência térmica do processo.
22
Figura II.2 - Turbina a Gás Operando Sem e Com Cogeração, respectivamente
O sistema de cogeração de energia mais usual é constituído pela caldeira e turbina a
vapor, com aplicação maior em ciclo combinado. Nessas plantas, o combustível (carvão,
derivados do petróleo, lenha, etanol, etc.) é queimado em uma caldeira e o vapor produzido,
de elevada pressão e temperatura, é direcionado para a turbina a vapor acionando um gerador
elétrico [10]. O vapor não utilizável na produção de energia elétrica é aproveitado para o
atendimento ao consumidor sob a forma de energia térmica.
Uma turbina a vapor em condições regulares de manutenção preventiva pode
apresentar vida útil elevada (várias décadas), pois ao contrário de uma turbina a gás, recebe
fluidos limpos e em temperaturas menores [10].
O sistema de ciclo combinado consiste na associação de turbinas a gás e vapor, para a
geração de eletricidade, e vem sendo amplamente difundido em termoelétricas a gás natural.
Nesta configuração, há uma associação de dois ciclos termodinâmicos: ciclo Brayton, que
corresponde ao ciclo de uma turbina a gás, e o ciclo Rankine, que é o ciclo de geração de
potência a vapor [8]. O detalhamento de tais ciclos foge ao escopo deste trabalho e, portanto
não será apresentado.
As turbinas a gás presentes em unidades termoelétricas de ciclo combinado são
constituídas basicamente por três elementos: o compressor, o sistema de combustão e a
23
turbina propriamente dita. A turbina pode ser considerada o componente fundamental dessa
configuração, visto que é a principal responsável pelo acionamento do compressor e do
gerador de energia elétrica [8].
As centrais termoelétricas de ciclo combinado apresentam arranjos típicos que são
caracterizados conforme a quantidade de turbinas a gás presentes na planta. Conforme [11],
serão apresentadas duas configurações típicas: Instalações com uma turbina a gás e
instalações com duas ou mais turbinas a gás.
• Uma Turbina a Gás:
Neste tipo de configuração, com uma única turbina a gás, existe a possibilidade de
operar com um ou dois geradores. No caso da utilização de apenas um gerador, a turbina a gás
e a turbina a vapor são acopladas para acioná-lo. Se a geração envolver dois ou mais
geradores e se os eixos da turbina a gás e da turbina a vapor não são associados entre si, cada
uma destas turbinas ficará responsável por um gerador. A Figura II.3 ilustra esta
configuração.
Figura II.3 – Fluxograma de Termoelétrica a Ciclo Combinado - Tipo 1+1
• Duas ou Mais
Trata-se da configuração mais empregada em térmicas a gás natural. Neste arranjo,
utiliza-se duas turbinas ou mais, cada qual com sua própria caldeira de recuperação
associadas a uma turbina a vapor. O modelo permite o aumento da capacidade de geração,
uma vez que mais geradores podem ser acrescidos ao sistema.
configuração típica de duas turbinas a gás e uma turbina a vapor.
Figura II.4
II.3 – Breve Histórico
Desde a década de 80, o consumo de gás natural apresentou um elevado crescimento e
tornou-se a fonte de origem fóssil a apresentar maior
significativo aumento da participação do gás natural na produção de energia pode ser
observado por meio de dados comparativos
(IEA) e reproduzidos nos gráficos
24
Duas ou Mais Turbina a Gás:
se da configuração mais empregada em térmicas a gás natural. Neste arranjo,
binas ou mais, cada qual com sua própria caldeira de recuperação
associadas a uma turbina a vapor. O modelo permite o aumento da capacidade de geração,
uma vez que mais geradores podem ser acrescidos ao sistema. A F
ção típica de duas turbinas a gás e uma turbina a vapor.
II.4 - Fluxograma de Termoelétrica a Ciclo Combinado - Tipo 2+1
Histórico do Gás Natural
Desde a década de 80, o consumo de gás natural apresentou um elevado crescimento e
se a fonte de origem fóssil a apresentar maior elevação de consumo
significativo aumento da participação do gás natural na produção de energia pode ser
observado por meio de dados comparativos publicados pela International Energy Age
(IEA) e reproduzidos nos gráficos da Figura II.5.
se da configuração mais empregada em térmicas a gás natural. Neste arranjo,
binas ou mais, cada qual com sua própria caldeira de recuperação de calor
associadas a uma turbina a vapor. O modelo permite o aumento da capacidade de geração,
igura II.4 ilustra uma
Tipo 2+1
Desde a década de 80, o consumo de gás natural apresentou um elevado crescimento e
elevação de consumo a nível mundial. O
significativo aumento da participação do gás natural na produção de energia pode ser
International Energy Agency
Figura II.5
No Brasil, o gás natural possui uma participação de 10,32% na matriz de energia
elétrica, segundo dados da ANEEL
fonte de combustível para geração de eletricidade, perdendo apenas para fonte hidráulica.
Figura
A exploração de gás natural no Brasil teve início pouco expressiv
com as descobertas de gás associado
do Recôncavo Baiano. Posteriormente, a produção foi ampliada para
Alagoas [12].
A participação visível
combustível destinava-se à
1 Gás associado: O gás associado é
de gás.
64,32%
Fonte: ANEEL, 2013
21%
12,1%
24,7%
38,3%
0,6%
1973
Fonte: IEA, 2012
25
Figura II.5 - Matriz de Energia Elétrica por Fontes no Mundo
No Brasil, o gás natural possui uma participação de 10,32% na matriz de energia
segundo dados da ANEEL, conforme Figura II.6, o que equivale
fonte de combustível para geração de eletricidade, perdendo apenas para fonte hidráulica.
Figura II.6 - Matriz de Energia Elétrica por Fontes no Brasil
A exploração de gás natural no Brasil teve início pouco expressiv
com as descobertas de gás associado1 na Bahia, sendo destinado ao atendimento de indústrias
do Recôncavo Baiano. Posteriormente, a produção foi ampliada para as bacias de Sergipe e
visível do gás natural no Brasil só ocorreu em 1990. Anteriormente, tal
à demanda para o atendimento das necessidades de plataformas
O gás associado é aquele que se encontra dissolvido no petróleo ou sob a forma de uma capa
1,58% 8,14%1,51% 2,29%
10,32%
6,19%
5,65%
64,32%
Eólica
Biomassa
Nuclear
Carvão Mineral
Gás Natural
Importação
Petróleo
HidroFonte: ANEEL, 2013
16%
12,9%
22,2%
4,6%
40,6%
3,7%
2010
3%
12,1%
No Brasil, o gás natural possui uma participação de 10,32% na matriz de energia
, o que equivale à segunda maior
fonte de combustível para geração de eletricidade, perdendo apenas para fonte hidráulica.
A exploração de gás natural no Brasil teve início pouco expressivo na década de 40,
na Bahia, sendo destinado ao atendimento de indústrias
as bacias de Sergipe e
em 1990. Anteriormente, tal
as necessidades de plataformas do
dissolvido no petróleo ou sob a forma de uma capa
Biomassa
Nuclear
Carvão Mineral
Gás Natural
Importação
Petróleo
Hidroelétrica
Nuclear
Gás Natural
Petróleo
Carvão
Outro
26
tipo off-shore, e o gás associado era queimado em flares,2 respeitando os limites ambientais,
ou reinjetado nos poços mantendo a pressão dos reservatórios, ao passo que o mercado de gás
natural concentrava-se apenas em alguns estados, tais como Rio de Janeiro, São Paulo e
Bahia. Portanto, pode-se dizer que em tal período a exploração de gás era voltada
principalmente para o auxílio das atividades de produção de petróleo.
O marco do desenvolvimento da indústria de gás natural no Brasil teve início com as
negociações realizadas entre Brasil e Bolívia resultando na construção do Gasoduto Brasil-
Bolívia (GASBOL), que entrou em operação no ano de 1999. Inicialmente, buscando ampliar
a oferta de gás em território brasileiro, a importação de gás natural do país vizinho mostrou-se
como a melhor alternativa para complementar a produção nacional em grandes volumes.
As descobertas de gás não-associado na Bacia de Campos foram convenientes para
aumentar a disponibilidade de tal combustível para o mercado brasileiro. Dados do estudo
Anuário Estatístico Brasileiro do Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis, realizados pela
Agência Nacional de Petróleo, Gás Natural e Biocombustíveis (ANP) indicam um aumento de
produção de gás natural de pouco menos que 50%, passando de 7,7 bilhões de m³ em 2001
para 14,4 bilhões em 2010. No mesmo relatório, o volume total de reservas provadas de gás
natural chegou em 2010 a 423 bilhões de m³, estando as maiores parcelas concentradas nos
estados do Rio de Janeiro (52,1%), Amazonas (13,4%), São Paulo (11,7%) e Espírito Santo
(10,5%).
Mesmo com a descoberta de campos ricos em gás natural nos últimos anos, como o
Campo de Júpiter e o Campo de Tupi, ambos localizado na Bacia de Santos, o Brasil ainda
importa gás natural, sobretudo da Bolívia. As previsões futuras são otimistas, estudos
presentes no Plano Decenal de Energia 2021 apontam um aumento de 258% da produção
bruta potencial de gás para o horizonte de 2021 em relação à produção bruta efetiva realizada
em 2011, o que poderá tornar o país autosuficiente em gás nos próximos anos. Vale ressaltar
que, para tal meta ser alcançada, investimentos maciços deverão ser realizados no que tange a
implantação de toda tecnologia e infraestrutura necessárias para a exploração deste recurso.
2Flare: As torres de flares são sistemas de segurança presente em plantas industriais (on-shore, off -shore e
petroquímicas) responsáveis pela queima do gás necessário para a produção de petróleo. É composta normalmente por três equipamentos: chaminé, selo e queimador.
27
II. 4 – Impactos Socioambientais das Usinas Termoelétricas
O funcionamento das usinas termoelétricas é semelhante, independente da fonte
energética utilizada como insumo para a produção de energia elétrica. Dentre os principais
impactos socioambientais gerados pelas unidades térmicas, pode-se ressaltar:
� Emissões de material particulado poluente, originário do processo de combustão, o
que pode causar problemas respiratórios para a população e alterações na fauna e
flora;
� Possibilidade de aquecimento das águas próximas a região de instalação da usina,
pois, na etapa de resfriamento, a água em circulação responsável por resfriar o
condensador necessita ser escoada;
� Poluição sonora e eletromagnética;
� Emissões de gases CO2, NOX, SOX, CXHY.
Apesar dos impactos inerentes a qualquer forma de obtenção de energia elétrica, as
usinas termoelétricas a gás natural apresentam vantagens nos quesitos ambientais em relação
as termoelétricas a carvão. Em [13], afirma-se que uma central termoelétrica a gás natural de
ciclo combinado em comparação com uma térmica a carvão é capaz de reduzir a emissão de
gases de efeito estufa em 80%, produzir menos 55% de dióxido de carbono, responsável pela
intensificação do aquecimento global, minimizar em 95% a emissão de NOX, gás tóxico e que
também contribui nas reações de formação de chuva ácida e do efeito estufa, e reduzirem
100% a emissão de SOX.
Devido a questões ambientais, qualquer grande empreendimento, que possa alterar as
condições socioambientais de uma determinada região, necessita passar pela aprovação do
Estudo de Impacto Ambiental (EIA) e Relatório de Impacto Ambiental (RIMA), que
objetivam analisar o impacto socioeconômico-ambiental no meio de inserção do
empreendimento, bem como as medidas mitigadoras que se pretende tomar.
28
II. 5 – Vantagens do Uso do Gás Natural
O uso do gás natural como insumo energético mostra-se vantajoso sob determinados
aspectos em comparação com outras fontes fósseis, como carvão mineral, lenha e derivados
do petróleo assim apresentados em [8]. Dentre as principais vantagens pode-se citar:
� Ampla disponibilidade;
� Geração de energia elétrica nas proximidades dos centros de consumo;
� Tratamento somente de NOX, para limites de emissão acima das normas vigentes;
� Elevado rendimento energético;
� Densidade menor que o ar promovendo rápida dispersão em caso de vazamentos;
� Diminuição do desmatamento e desertificação, visto que pode substituir a lenha como
fonte energética;
� Dispensa estocagem, o que facilita o transporte e manuseio, promovendo a redução do
uso do transporte rodo-ferro-hidroviário e o risco de armazenamento;
� Diminuição da poluição urbana quando usado em veículos automotivos;
� Custo competitivo com outras fontes energéticas;
� Não ser quimicamente tóxico.
Percebe-se que o uso do gás natural proporciona vantagens não somente para a
indústria gasífera, mas também para a sociedade e o meio ambiente.
II.6 – Ambientes de Contratação de Gás Natural
O incentivo por fontes de complementaridade à matriz elétrica brasileira pode ser
considerado o combustível propulsor para que o mercado de gás natural no Brasil pudesse se
desenvolver. Anteriormente à construção de usinas termoelétricas, o uso de gás assumia uma
tímida parcela na matriz energética brasileira.
29
O consumo de gás mantém-se atrelado as indústrias e ao setor automotivo (GNV –
Gás Natural Veicular), porém, é no setor de energia que encontra o maior mercado potencial
responsável por viabilizar os recursos necessários para a implantação de infraestrutura
necessária para a sua produção, visto que onerosos investimentos são necessários para fixar a
cadeia produtiva de petróleo e gás natural [14].
Devido à natureza fortemente hidroelétrica da matriz energética brasileira, fez-se
necessário o estabelecimento de cláusulas contratuais rígidas e pouco flexíveis entre o
produtor e o consumidor de gás, de modo a garantir a estabilidade financeira necessária às
atividades de pesquisa e à implantação da infraestrutura para a exploração, produção,
comercialização e distribuição do insumo. No caso do GASBOL, a assinatura de contratos de
fornecimento de gás foi indispensável para financiar a construção dos dutos.
Nesse cenário, as usinas termoelétricas, sobretudo as de geração em ciclo combinado,
assumiram o papel de maiores consumidoras de gás natural tornando-se as principais
responsáveis pela garantia financeira de receitas compatíveis para o produtor do insumo. Em
contrapartida, no Brasil, a produção de energia de uma usina termoelétrica é instável e
irregular devido à grande oferta de geração hidroelétrica. Desta forma, uma usina
termoelétrica pode permanecer por meses ou anos sem entrar em operação, só sendo
solicitada em períodos de prolongada estiagem, quando os reservatórios encontram-se abaixo
do nível mínimo de segurança para operação.
A necessidade do produtor em manter um fluxo de caixa estável que remunere os
projetos, garantindo o financiamento para a instalação de toda a infraestrutura necessária a
exploração de gás natural em conjuntura com a volatilidade do consumo deste recurso pelas
unidades térmicas, fez despontar os contratos a longo prazo de compra de combustível
baseado na denominada cláusula do tipo Take-or-Pay (ToP). Essa cláusula é responsável por
garantir uma rentabilidade ao produtor, ao passo que onera em demasia os custos das unidades
térmicas.
As cláusulas de contrato Take-or-Pay figuram como um elemento puramente
financeiro, pois obrigam o consumidor a pagar uma quantia mínima para o fornecimento de
gás, mas não o obriga a consumi-lo. Em linhas gerais, as cláusulas estabelecidas em contrato,
podem ser resumidas conforme apresentado a seguir:
30
• ToP mensal – Por meio desta cláusula a usina térmica é obrigada a pagar
mensalmente um valor pré-estabelecido ao fornecedor do insumo para ter a
disponibilidade de uma porcentagem do montante de gás natural acessível para o
mês em questão. Vale ressaltar, que o gás adquirido pode permanecer armazenado
como “crédito” para uso futuro em um tempo estabelecido em contrato. No Brasil,
o percentual típico mensal é de 56%, ou seja, a unidade geradora é obrigada a
arcar com o pagamento de no mínimo 56% da quantidade de gás mensal
contratada, mesmo não a utilizando no mês corrente [14].
• ToP anual – Através desta cláusula a unidade térmica se compromete a pagar
anualmente um valor percentual referente ao montante de combustível
disponibilizado para o período de um ano. Assim como a cláusula anteriormente
citada, o ToP anual permite o armazenamento em forma de “crédito” para
posterior utilização do insumo. No Brasil, o percentual típico anual é de 70%, ou
seja, a unidade geradora é obrigada realizar o pagamento de no mínimo 70% da
quantidade de gás contratada anualmente, independente de utilizá-lo ou não [14].
Pode-se notar que embora as cláusulas sejam inflexíveis no que se refere ao
pagamento do combustível, elas são relativamente flexíveis em relação ao seu consumo.
Portanto, a adoção de técnicas de otimização torna-se necessária para estabelecer a melhor
estratégia para uma usina termoelétrica operar, de modo que o consumo planejado do gás
possa ampliar seus lucros.
Segundo informações apresentadas pela Petrobras [9], o novo modelo da indústria de
gás natural levou a produtora a ofertar contratos mais adequados às particularidades de seus
consumidores. Assim, foram criados os modelos de contrato Firme Flexível e Preferencial e
os antigos sofreram modificações. Em linhas gerais, as cláusulas a serem cumpridas
estabelecem:
• Firme Inflexível – Nova denominação dada aos antigos contratos baseados em
cláusulas Take-or-Pay.
31
• Firme Flexível – Neste tipo de contratação o consumidor bicombustível se dispõe
a utilizar um segundo combustível por algum período de tempo, o que permite um
intercâmbio entre fontes energéticas.
• Interruptível – Nesta modalidade, o fornecedor possui a liberdade de interromper
o suprimento de gás natural conforme condições estabelecidas em contrato.
• Preferencial – Estabelece que o consumidor pode interromper o fornecimento de
gás natural, porém o fornecedor deve providenciar o insumo quando solicitado.
As modalidades explicitadas anteriormente já são aplicáveis a contratos realizados
com a Petrobras, conforme mencionado em [9]. A Tabela II.1 sintetiza as informações
apresentadas previamente.
Tabela II.1 - Novas Modalidades de Contratos de Gás Natural
CLIENTE
FORNECEDOR
PODE INTERROMPER
NÃO PODE INTERROMPER
PODE INTERROMPER
NÃO SE APLICA
FIRME FLEXÍVEL/INTERRUPTÍVEL
NÃO PODE INTERROMPER
PREFERENCIAL
FIRME INFLEXÍVEL
FONTE: Adaptado de PETROBRAS – Novas Modalidades de Contratação de Gás Natural
A metodologia proposta neste trabalho baseia-se nas considerações apresentadas pelo
modelo clássico de contratação Inflexível, sendo adotadas as cláusulas de Take-or-Pay mensal
e anual para a modelagem matemática do caso em estudo.
II.7 – Conclusão
No presente capítulo, foram abordados os aspectos associados às usinas termoelétricas.
Neste contexto, informações referentes aos modelos de configuração das instalações das
UTEs, histórico de desenvolvimento da indústria de gás natural, os impactos ambientais
32
relativos à implantação das usinas térmicas e as vantagens do uso deste combustível em face
dos demais de natureza fóssil foram destacadas. Por fim, os ambientes de contratação
necessários ao desenvolvimento das atividades relacionadas ao uso de gás natural foram
apresentados de forma a destacar a importância da expansão da geração termoelétrica no
Brasil.
34
Capítulo III
Metodologia Proposta
III.1 – Considerações Iniciais
A otimização de usinas termoelétricas de ciclo combinado caracteriza-se como um
problema de programação não-linear de natureza combinatória. Problemas dessa natureza
estão muito comumente inseridos em situações reais e em geral apresentam elevada
complexidade de resolução. Os principais fatores que contribuem para a dificuldade de
obtenção da resposta ótima estão relacionados à região de solução não convexa,
caracterizando-se pela presença de inúmeras soluções sub-ótimas. A natureza combinatória
pode implicar em requisitos computacionais elevados para a solução deste problema.
Em decorrência deste fato, técnicas matemáticas e métodos heurísticos vêm sendo
estudados e aperfeiçoados nas últimas décadas. Os algoritmos heurísticos nem sempre
permitem encontrar a solução ótima global, mas aliam qualidade de resposta a um esforço
computacional razoável.
A partir dos anos 80, os métodos metaheurísticos passaram a ser frequentemente
aplicados em problemas com as características abordadas. Tais métodos fundamentam-se
principalmente na observação de fenômenos presentes na natureza e na reprodução de tal
comportamento por meio de programação computacional, dentre os quais se destacam: Busca
Tabu, Colônia de Formigas, Algoritmos Genéticos, Busca Harmônica, Simulated Annealing,
Particle Swarm Optimization (PSO), dentre outros.
O presente trabalho faz uso da metaheurística denominada PSO. A utilização deste
método mostra-se atrativa, pois apresenta fácil implementação e não necessita de informação
referente ao gradiente da função, conforme é descrito em [15]. Essa técnica baseia-se em uma
teoria sócio-cognitiva, em que cada indivíduo colabora com sua experiência individual e faz
uso do aprendizado do enxame para a tomada de decisão. Nesse capítulo, serão apresentadas a
modelagem matemática, características e adaptações do algoritmo para o problema proposto.
35
III.2 – Formulação do Problema de Otimização
Para a solução do problema de otimização da operação de uma usina termoelétrica de
ciclo combinado, os custos parciais que compõem o custo total de produção de energia, tais
como custo do gás natural, custos de emissão de efluentes e de consumo de água, custos
referentes às horas de operação e manutenção e a recursos humanos, devem ser considerados
no modelo matemático, bem como as cláusulas estipuladas em contratos bilaterais e as
flutuações do câmbio. Assim, o estudo e adequação de ferramentas que auxiliam na tomada
de decisão destes empreendimentos tornam-se um campo relevante de pesquisa [3].
O problema referente à otimização da operação de usinas termoelétricas de ciclo
combinado pode ser formulado como descrito a seguir:
� � [ × ������ + �� + �� × ����� × ℎ� + � × ℎ� + �]
!"#"#
�$�
(1)
� ������ ≥ 0,70
!"#"#
�$�× ) *+
(2)
������ ≥ 0,56 × )�*+ (3)
�!�. ≤ ������ × 24
ℎ�≤ �!2�
(4)
onde:
i Mês de operação;
A Custo do gás natural (R$/m³);
B Custo referente à emissão de efluentes em função da energia produzida pela UTE
(R$/MWh);
C Custo referente ao consumo de água em função da energia produzida pela UTE
(R$/MWh);
D Custo referente às horas de operação e manutenção da UTE (R$/h);
E Custo fixo da UTE (R$/mês);
ih Número de horas de operação da usina no mês i ;
36
Pgi Potência ativa despachada pela usina termoelétrica dada pela curva de produtibilidade
(MW);
UTEciV Volume consumido de gás natural pela UTE no mês i (m³/mês);
minV Volume mínimo (m³/dia) de consumo de gás natural pela UTE;
maxV Volume máximo (m³/dia) de consumo de gás natural pela UTE;
TAGN Consumo máximo anual de gás natural (m³/ano) da UTE;
TMGN Consumo máximo mensal de gás natural (m³/mês) da UTE.
A equação (1) representa a Função Objetivo (FOB) e pretende minimizar a totalidade
de custos referente à operação da unidade termoelétrica. A inequação (2) restringe o consumo
de gás natural anual por meio de cláusulas estipuladas em ambiente de contratação take-or-
pay, ou seja, essa inequação define o limite mínimo de gás que deve ser consumido durante o
ano de operação da UTE. A restrição (3) define o limite mínimo mensal de gás natural a ser
consumido pela usina, de acordo com o estabelecido em contrato (take-or-pay). Já as
restrições (4) correspondem aos limites, mínimo e máximo diários, referente ao volume de gás
natural que pode ser consumido pelas unidades geradoras da usina termoelétrica.
III.3 – Fundamentos da Técnica Particle Swarm Optimization (PSO)
Desenvolvida pelo biólogo James Kennedy e pelo engenheiro eletricista Russel
Eberhart em 1995, a técnica de otimização Particle Swarm Optimization baseia-se na
observação do comportamento biológico cooperativo entre determinadas populações, tais
como peixes e pássaros. A técnica de inteligência artificial explora um determinado espaço de
busca à procura da região mais promissora do ponto ótimo de um problema em questão. Cada
indivíduo da população recebe o nome de partícula (particle), enquanto o conjunto de
indivíduos é denominado de enxame (swarm) [16].
As partículas se comportam de forma análoga às revoadas de pássaros e aos cardumes
de peixes em busca de alimento ou ninho, fazendo uso do conhecimento individual e do
aprendizado adquirido pelo enxame para alcançar o objeto de busca.
Na modelagem do PSO, inicialmente um “enxame” é gerado de forma aleatória dentro
de um espaço de busca pré-determinado. Cada partícula, aqui representada pelo sub-índice i,
equivale a uma solução factível
vetor de posição Xi = [xi1, x
soma de três outros vetores, que representam a inércia, memória e
representa a dimensão do vetor de parâm
impulsionar a partícula a seguir a mesma direção p
denominado memória, encarrega
ocupada durante as etapas antecedentes
histórico de busca. Por fim, o vetor de
de conhecimento do “enxame
A melhor posição visitada
Personal Best ou simplesmente
armazena a melhor posição encontrada pelo enxame,
[g].
O vetor resultante da soma do vetor cooperação,
estabelece o direcionamento de cada partícula.
partícula de uma posição 3�
O algoritmo consiste primeiramente em gerar as
“enxame”, atribuindo a cada uma delas uma respectiva posição aleatória no espaço.
partícula é calculado o valor da função objetivo e
armazenado na variável Pbest
melhor que o valor armazenado, então se atualiza o valor de
mantém-se inalterado. Se for o caso, a melhor posição global
37
factível candidata ao problema proposto, tendo
, xi2,..., xij] e um vetor velocidade Vi = [vi1, vi2,..., v
soma de três outros vetores, que representam a inércia, memória e cooperação
representa a dimensão do vetor de parâmetros. O vetor de inércia é responsável por
impulsionar a partícula a seguir a mesma direção por ela adotada. O segundo vetor
encarrega-se de direcionar a partícula para a melhor região por ela
ocupada durante as etapas antecedentes, ou seja, armazenam as informações referentes a
. Por fim, o vetor de cooperação aproxima a partícula para a melhor posição
de conhecimento do “enxame” [17].
melhor posição visitada pela partícula é armazenada em um vetor denominado
simplesmente Pbest, dado por Pi = [p1, p2,..., pi]. Conjunta
armazena a melhor posição encontrada pelo enxame, chamada de Global Best
O vetor resultante da soma do vetor cooperação, do vetor memória e
estabelece o direcionamento de cada partícula. A Figura III.1 mostra o
�4� para a direção 3�.
Figura III.1 - Movimento de uma Partícula [15]
O algoritmo consiste primeiramente em gerar as In partículas que formarão o
“enxame”, atribuindo a cada uma delas uma respectiva posição aleatória no espaço.
cula é calculado o valor da função objetivo e compara-se tal
est, que inicialmente possui valor aleatório. Se o valor calculado for
melhor que o valor armazenado, então se atualiza o valor de Pbest, caso contrário
e for o caso, a melhor posição global, Gbest, também é atualizada
candidata ao problema proposto, tendo associada a si um
,..., vij] que é dado pela
cooperação. O sub-índice j
O vetor de inércia é responsável por
or ela adotada. O segundo vetor,
de direcionar a partícula para a melhor região por ela
as informações referentes ao seu
aproxima a partícula para a melhor posição
pela partícula é armazenada em um vetor denominado
]. Conjuntamente, o algoritmo
Global Best ou Gbest, G =
vetor memória e do vetor inércia
deslocamento de uma
partículas que formarão o
“enxame”, atribuindo a cada uma delas uma respectiva posição aleatória no espaço. Para cada
se tal valor com aquele
, que inicialmente possui valor aleatório. Se o valor calculado for
, caso contrário o valor
também é atualizada. O
38
critério de parada (número máximo de iterações atingido, tolerância ou aptidão desejada à
partícula) previamente estabelecido é analisado e caso não seja atendido, as posições e
velocidades de cada partícula são atualizadas e inicia-se uma nova iteração [17].
O vetor velocidade de cada partícula é atualizado através da equação (5). Baseada na
nova velocidade, cada partícula atualiza sua posição, de acordo com a equação (6) [18].
56� �78�� = :. 56� �7� + <�. =�. >�?6@"#7,� − 36�B + <�. =�. �*6@"#7 − 36��
(5)
36� �78�� = 36��7� + 56 ��78��
(6)
onde:
56� �7�: Velocidade atual da partícula i;
36��7�: Posição atual da partícula i;
�?6@"#7,�: Melhor posição encontrada pela partícula i;
*6@"#7: Melhor posição encontrada pelo enxame;
ω : Parâmetro que representa a inércia da partícula [0.4,1.4] ;
<�e <�: Parâmetros de confiança. O valor típico das duas constantes é 2;
=�e =�: Aceleração de busca, números aleatórios [0,1].
A primeira parcela, presente na equação 5, representa o momento de inércia da
partícula. A segunda parcela retrata o conhecimento adquirido pela partícula durante o
processo de busca e refere-se à parte “cognitiva” ou memória. Já a última, reflete o
comportamento “social” do enxame. As constantes CD e CE representam a ponderação dos
parâmetros “cognitivo” e “social” (cooperação), respectivamente.
O termo referente ao parâmetro de inércia da partícula, ω, é adicionado como um fator
de aceleração aplicado ao processo de atualização da velocidade das partículas. De acordo
com [16], valores fixos de ω podem impactar negativamente no comportamento do enxame.
Geralmente, aplica-se valor inicial mais alto ao parâmetro de inércia, permitindo ao enxame
explorar ao máximo o espaço de busca. Nas etapas finais de iteração, tal coeficiente sofre um
39
decaimento, pois se presume que neste instante o enxame encontra-se na região próxima ao
ponto mínimo da FOB. A equação (7) refere-se à atualização do parâmetro de inércia.
: = :!2� − [�:!2� − :!�.� FG=27H2IFG=J�.2I
] (7)
onde:
FG=27H2I: Iteração atual;
FG=J�.2I: Número total de iterações;
:!2�: Valor máximo do parâmetro de inércia;
:!�.: Valor mínimo do parâmetro de inércia.
O fluxograma apresentado na Figura III.2 resume as etapas que regem a
implementação do PSO. Para o trabalho aqui desenvolvido empregou-se a toolbox PSO, que
consiste em um conjunto de “arquivos .m” executáveis no software MATLAB ®.
Figura III.2 - Fluxograma do PSO
40
Necessitou-se incluir ao algoritmo, a fim de adaptá-lo ao problema em estudo,
algumas etapas adicionais, realizadas através da técnica de pequenos ajustes. Tais
intervenções serão explicitadas em III.4.
III.4 – Aplicação do PSO ao Problema de Otimização de Usinas
Termoelétricas
Neste trabalho, cada partícula é modelada por meio de um vetor de dimensão igual a
duas vezes o período de estudo considerado, que no estudo de caso apresentado nesta
monografia equivale a doze meses de operação. Assim sendo, trata-se de um vetor com vinte
e quatro posições, em que as doze primeiras (Parte A) carregam informações referentes ao
consumo percentual mensal de gás natural, enquanto a segunda metade (Parte B) traz
informações relativas ao número de dias de operação da usina durante o mês. A Figura III.3
ilustra a representação de um indivíduo, em um período anual de operação.
Figura III.3 - Representação da Partícula
Na etapa de geração das partículas deve-se garantir que as cláusulas estipuladas em
ambiente contratual sejam atendidas, ou seja, o percentual mensal de gás natural consumido
pela usina deve obedecer a inequação 3. Uma primeira análise referente ao cumprimento da
restrição de consumo mínimo anual de gás, representada pela inequação 2, deve ser realizada
a fim de assegurar que esta restrição seja cumprida. Se a soma dos valores da parte A de uma
determinada partícula não atender à meta de consumo estabelecida no contrato para todo o
período em análise, isto é, caso haja carência de gás natural, utiliza-se a técnica de pequenos
41
ajustes. Neste caso, sendo o consumo de gás natural do período inferior à meta estipulada,
aumenta-se o consumo, atuando em alguns meses, até que a meta seja atingida.
Após garantir a meta de consumo, um segundo ajuste deve ser aplicado objetivando
tornar equivalente o consumo mensal e os dias de operação da UTE, para que a operação seja
compatível com o funcionamento da usina e seus limites diários de consumo, estabelecidos
através das inequações 4. Utiliza-se de uma estratégia de ajuste do consumo diário a fim de
que o número de dias determinado via PSO seja compatível com o volume consumido no
mês, caso o consumo diário viole um de seus limites. Neste caso, este consumo é fixado no
limite violado (Vmin ou Vmax). Consequentemente, a potência gerada (Pgi) é fixada no
respectivo limite (���K�Lou ���KOP).
A obtenção dos dias correspondentes a potência máxima ou mínima da UTE dá-se em
função da razão entre o consumo de gás natural mensal (representado por M - m³/dia) pelo
consumo máximo ou mínimo de gás natural diário da UTE (dado por �!�.ou �!2� - m³/dia).
Assim, é possível assegurar que o volume consumido de combustível para um dado mês não
viole a capacidade máxima das turbinas.
Os ajustes implementados anteriormente são ilustrados com maiores detalhes na
Figura III.4.
42
Figura III.4 - Fluxograma da Implementação da Técnica de Pequenos Ajustes
Um importante ponto a ser avaliado no trabalho refere-se à análise da sensibilidade da
função objetivo mediante a variação da curva de produtibilidade, que relaciona a potência
gerada pela UTE (MW) ao consumo diário de gás natural (m³/dia). Assim, o elemento
correspondente a Pgi, expresso na FOB, foi modelado através de funções em que o consumo
de gás representa a variável independente. Tais funções serão melhor analisadas no capítulo
posterior.
III.5 – Conclusões
Nesse capítulo, foram abordados as informações relativas à metodologia de
otimização bioinspirada em enxame de partículas, tais como: inspiração biológica,
43
modelagem computacional, formulação matemática e intervenções no algoritmo proposto
visando à correta adequação ao problema referente à otimização da operação de usinas
termoelétricas a ciclo combinado. Estas intervenções incluem ajustes das decisões de
consumo mensal e número de dias de operação durante cada mês a fim de que estas decisões
sejam adequadas às restrições de consumo estabelecidas pelo ambiente de contratação take-
or-pay. Para tanto, uma técnica de pequenos ajustes foi aliada ao algoritmo de enxame de
partículas. Destaca-se que tal metodologia não apresenta restrições que impossibilite sua
aplicação em ciclo aberto.
45
Capítulo IV
Estudo de Casos
IV.1 – Considerações Iniciais
O algoritmo proposto no presente trabalho para otimização da operação de usinas
termoelétricas (UTE) de ciclo combinado foi empregado na resolução de uma UTE real
brasileira, genericamente denominada de "Usina BR", com as seguintes características: (i)
Termoelétrica composta por duas turbinas a gás natural e uma a vapor; (ii) Geração mínima
da UTE de 160 MW; (iii) Geração máxima da UTE de 320MW; (iv) Potência nominal de
cada turbina a gás 105 MW; (v) Potência nominal da turbina a vapor 110 MW; (vi) Consumo
máximo diário de cada turbina a gás natural de 775.000 m³; (vii) Período de operação anual.
Tal caso baseia-se no estudo apresentado em [3].
Os seguintes valores de custos inerentes a operação da UTE foram adotados: (i) Custo
do gás natural - 0,1637 R$/m³; (ii) Custo fixo da UTE referente a gastos com pessoal -
1.800.000,00 - R$/mês; (iii) Custo da água - 2,00 R$/MWh; (iv) Custo de emissão de
efluentes - 0,81 R$/MWh; (v) Custo referente as horas de operação e manutenção - 675,00
R$/h [3].
Quanto aos parâmetros utilizados na atualização de velocidade das partículas adotou-
se: (i) Inércia inicial – ω = 0,9; (ii) Inércia final – ω = 0,4; (iii) Influência do parâmetro
cognitivo – c1 = 2; (iv) Influência do parâmetro social – c2 = 2; (v) r1 = 1 e r2 = 1. Considerou-
se uma população constituída por 100 partículas e critério de convergência sendo dado pelo
número máximo de iterações, o que equivale a 100.
Definidos os custos e parâmetros anteriormente apresentados, cinco curvas distintas de
produtibilidade foram avaliadas. Em um primeiro momento realizou-se uma simulação
utilizando uma função de produtibilidade de sétima ordem, que será apresentada
posteriormente, específica da “Usina BR”. Posteriormente, a partir do conhecimento de
alguns pontos que relacionam o consumo de gás natural (m³) das turbinas à potência gerada
46
(MW) pela UTE, utilizou-se da técnica de regressão polinomial através do comando polyfit
(mais detalhes no APÊNDICE A) executado no MATLAB®, tornando-se possível obter
funções de produtibilidade de primeiro a quarto grau a fim de analisar o impacto das mesmas
no valor da função objetivo.
Uma questão relevante a ser apresentada no presente capítulo refere-se ao número de
estratégias de operações factíveis para a geração de energia pela UTE, conforme ilustrado na
figura IV.1.
Figura IV.1 - Estratégias de Operação da UTE
Uma análise desta figura retrata o elevado número de estratégias possíveis de operação
da UTE. Nota-se que embora o número de dias seja variável pode-se ajustar a capacidade de
operação da usina, ou seja, a potência despachada percentual em função da potência máxima
da UTE, de forma a garantir a mesma geração de energia, dada pelas áreas abaixo das curvas.
A estratégia operativa, considerando como exemplo a curva em azul, consiste na
usina operar a 50% da sua potência máxima, ou seja, com 160 MW, durante os 20 primeiros
dias de operação e no decorrer dos 5 dias restantes operar a 100% da capacidade máxima, isto
equivale a produção de um bloco de energia de 115.200 MWh (160 MW * 20 dias * 24 horas
+ 320 MW * 5 dias * 24 horas). O mesmo montante de energia pode ser obtido pela análise da
curva em verde, que considera a UTE operando inicialmente com uma potência de 90% da
capacidade máxima pelo período de 15 dias e posteriormente 2,14 dias a 70%.
47
Com a utilização das funções de produtibilidade pretende-se analisar o impacto no
valor da função objetivo (FOB), ou seja, no custo total de operação da UTE, avaliando a
existência ou não de uma relação entre o grau da função de produtibilidade e o valor obtido
para este custo. Este capítulo apresenta os resultados obtidos pelo uso da técnica de
otimização enxame de partículas ou PSO para o problema referente à otimização da operação
de usinas termoelétricas de ciclo combinado. Será analisado o caso da “Usina BR”, com as
características descritas anteriormente.
IV.2 – Usina Termoelétrica BR - Configuração 2+1
A usina termoelétrica em estudo apresenta em sua configuração duas turbinas a gás e
uma turbina a vapor (Configuração 2+1), caracterizando o processo de ciclo combinado,
conforme descrito em II.2.
A geração mínima da UTE equivale a 160 MW. Deste montante, 105 MW são
provenientes das turbinas a gás, enquanto que 55 MW devem ser gerados, no mínimo, pela
turbina a vapor. Os despachos mínimos da turbina a vapor e da UTE [3] são restrições do
problema de despacho termoelétrico ótimo.
A fim de efetuar as simulações de forma compatível com os resultados apresentados
na referência [3], o percentual de consumo mensal de gás natural foi discretizado em 0,5% e
os dias de operação em 0,1 dia. Ou seja, admite-se que a usina opere por um determinado
número de dias inteiros acrescido de uma fração de dia.
Neste subcapítulo serão avaliados os resultados obtidos para a “Usina BR”, utilizando
uma função de produtibilidade de sétimo grau, própria desta UTE.
�� = 3,2334 × 104�S × 3T − 1,987 × 104�W × 3X + 2,8838 × 104�� × 3W − 2,1911× 104S × 3� + 4,8471 × 104T × 3� + 1,3253 × 104� × 3� + 0,16203× 3 + 0,74691
onde:
3: Consumo de gás natural (m³)
��: Potência gerada (MW)
48
A tabela IV.1 resume os resultados obtidos utilizando a função ��. Para este caso,
foram realizadas dez simulações para a mesma curva de produtibilidade, a fim de avaliar a
robustez do algoritmo baseado em enxame de partículas proposto.
Tabela IV.1 - Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade ]^
Soluções
Percentuais de consumo
mensais (%)
Dias de operação
Potência
Gerada (MW)
Custo Total
(R$)
Solução 01
64,5; 68,0; 80,0; 59,5;
67,5; 72,0; 74,5; 78,5;
66,0; 67,5; 71,0; 71,0.
20,0; 22,9; 24,8; 19,9;
21,7; 22,3; 23,4; 25,3;
21,4; 20,9; 23,7; 22,9.
308,9
97.449.227,00
Solução 02
67,0; 75,5; 61,0; 79,5;
82,0; 70,0; 67,5; 71,0;
67,0; 65,0; 59,5; 75,0.
23,3; 23,4; 18,9; 24,9;
25,4; 26,9; 22,0; 22,0;
20,9; 20,2; 22,5; 23,3.
320,0
97.529.830,00
Solução 03
64,5; 68,0; 80,0; 59,5;
67,5; 72,0; 74,5; 78,5;
66,0; 67,5; 71,0; 71,0.
20,3; 25,7; 28,0; 23,9;
23,6; 18,0; 28,2; 24,1;
21,9; 22,0; 18,6; 18,2.
277,5
97.694.176,00
Solução 04
84,5; 68,0; 60,0; 72,0;
75,0; 61,5; 75,0; 62,0;
65,5; 77,5; 71,0; 68,0.
27,6; 22,1; 18,7; 22,9;
23,3; 19.3; 23,8; 19,5;
22,8; 24,0; 25.4; 21,1.
293,4
97.472.830,00
Solução 05
63,0; 68,5; 67,0; 71,0;
94,5; 68,0; 69,5; 71,5;
86,0; 61,5; 60,0; 59,5.
19,9; 21,2; 20,8; 22,0;
29,5; 21,1; 21,6; 22,2;
26,7; 19,1; 18,6; 18,4.
302,8
97.313.021,00
Solução 06
63,5; 88,5; 61,0; 73,5;
67,0; 71,5; 65,5; 66,0;
93,0; 63,5; 61,5; 65,5.
19,8; 27,4; 18,9; 22,8;
29,1; 22,2; 20,6; 20,5;
28,8; 19,7; 19,1; 20,3.
306,9
97.444.050,00
49
Solução 07
73,5; 59,0; 62,0; 71,0;
71,0; 63,5; 67,0; 82,0;
59,5; 75,0; 74,0; 82,5.
23,2; 18,3; 19,2; 22,0;
22,0; 20,1; 24,1; 25,4;
25,9; 24,1; 22,9; 25,6.
303,0
97.506.526,00
Solução 08
67,5; 61,0; 64,0; 78,5;
77,0; 62,5; 61,0; 78,5;
84,0; 61,0; 72,0; 73,0.
21,1; 19,3; 19,8; 24,9;
24,1; 19,4; 19,0; 27,3;
26,2; 19,1; 24,1; 23,4.
306,1
97.423.785,00
Solução 09
72,0; 91,5; 68,0; 67,5;
62,5; 70,0; 72,0; 70,0;
61,5; 72,0; 56,5; 76,5.
22,3; 28,4; 21,1; 21,0;
19,6; 21,7; 22,3; 24,0;
19,1; 22,3; 17,5; 23,7.
309,2
97.347.337,00
Solução 10
79,5; 74,0; 58,0; 88,0;
72,5; 61,5; 61,5; 69,5;
63,0; 57,0; 74,5; 81,0.
24,6; 22,9; 18,0; 27,3;
23,0; 19,1; 19,1; 21,5;
19,5; 17,7; 23,1; 25,1.
309,5
97.310.544,00
Na segunda coluna da tabela IV.1, são apresentados os percentuais mensais de
consumo de gás natural, referentes aos meses de Janeiro a Dezembro, obtidos pelo algoritmo
de otimização proposto. A terceira coluna equivale à quantidade de dias do mês respectivo em
que a UTE deve permanecer em operação para que o combustível possa ser consumido. Para
exemplificar, a melhor solução obtida, Solução 10, associada ao menor custo operativo total,
determina que a usina deverá consumir no mês de Janeiro 79,5 % do volume máximo de gás
natural disponível para este mês. Adicionalmente, a UTE deverá operar durante 24 dias
acrescidos de 0,6 dias (14 horas e 24 minutos) no mês de Janeiro. A quarta coluna apresenta a
potência média gerada pela usina de acordo com as condições operativas obtidas. Por fim, a
última coluna apresenta o valor da função objetivo que se deseja minimizar, ou seja, do custo
total de operação da UTE durante um período anual.
As figuras IV.2 e IV.3 apresentam, respectivamente, o percentual de consumo mensal
de gás natural e os dias de operação da UTE para a melhor solução obtida, Solução 10.
Figura IV.2 - Consumo percentual mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade
Figura IV.3
Os resultados obtidos para a melhor solução mostram
restrições de contrato Take
56% de consumo mensal foi garantido para todos os meses, assim como os 70%
máximo anual. O valor da FOB para
potência média de 309,5 MW por mês
A tabela IV.2 apresenta uma comparação entre o resultado obtido pela metodologia
proposta e o resultado obtido pelo Algoritmo Genético, proposto na literatura especializada
[3].
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
JAN FEV MAR
% 79,5 74
Po
rce
nta
ge
m d
e G
N
0
5
10
15
20
25
30
JAN FEV MAR
Dias 24,6 22,9
Dia
s d
e O
pe
raçã
o
50
Consumo percentual mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade
3 - Dias de Operação da UTE para curva de produtibilidade
Os resultados obtidos para a melhor solução mostram-se coerentes, visto que as
Take-or-Pay mensal e anual foram atendidas, isto é,
56% de consumo mensal foi garantido para todos os meses, assim como os 70%
da FOB para tal configuração é de R$ 97.310.544,00,
309,5 MW por mês, conforme Solução 10 da tabela IV.1
.2 apresenta uma comparação entre o resultado obtido pela metodologia
proposta e o resultado obtido pelo Algoritmo Genético, proposto na literatura especializada
MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT
58 88 72,5 61,5 61,5 69,5 63 57
MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT
18 27,3 23 19,1 19,1 21,5 19,5 17,7
Consumo percentual mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade ]^
Dias de Operação da UTE para curva de produtibilidade ]^
se coerentes, visto que as
mensal e anual foram atendidas, isto é, que o mínimo de
56% de consumo mensal foi garantido para todos os meses, assim como os 70% do consumo
97.310.544,00, gerando uma
, conforme Solução 10 da tabela IV.1.
.2 apresenta uma comparação entre o resultado obtido pela metodologia
proposta e o resultado obtido pelo Algoritmo Genético, proposto na literatura especializada
OUT NOV DEZ
74,5 81
OUT NOV DEZ
17,7 23,1 25,1
51
Tabela IV.2 - Comparação entre os Custos de Operação
Algoritmo Potência Gerada (MW) Custo Total de Operação (R$)
Algoritmo Genético [3] 316,5 97.181.130,00
PSO 309,5 97.310.544,00
Observa-se da tabela IV.2 que a solução proposta pelo algoritmo da literatura [3] tem
qualidade próxima à solução obtida pelo algoritmo PSO proposto no presente trabalho. Sendo
estas soluções compatíveis, verifica-se a aplicabilidade da técnica de enxame de partículas ao
problema de otimização de UTE. Adicionalmente, a função de produtividade (MW por m3)
utilizada na referência [3] não é conhecida e o presente trabalho utilizou uma função
aproximada obtida a partir de dados da “Usina BR”. Este fato pode justificar a diferença de
0,13% obtida entre os custos totais da tabela IV.2, tendo em vista que a função de
produtividade impacta no custo operativo total da UTE, conforme será mostrado no próximo
subcapítulo.
Da tabela IV.1, observa-se ainda que o algoritmo PSO proposto gerou dez soluções
candidatas diferentes para o problema de operação ótima da UTE. Estas soluções têm
qualidade compatível entre si, conforme se pode notar comparando-se os respectivos custos
totais. Conclui-se, portanto, que o algoritmo proposto é robusto para a obtenção de soluções
de boa qualidade e compatíveis entre si, embora não se possa garantir sempre a mesma
solução, devido à elevada natureza combinatória do problema em questão e à natureza
probabilística da técnica de enxame de partículas.
IV.3 – Análise das Estratégias Operativas para Outras Funções de
Produtibilidade
Conforme mencionado em IV.I, utilizou-se de regressão polinomial para se obter
novas funções de produtibilidade de primeiro a quarto grau que foram avaliadas na
metodologia proposta. As funções de primeiro a quarto grau, geradas por meio do comando
polyfit, são apresentadas na tabela IV.3.
52
Tabela IV.3 - Funções de Produtibilidade de 1º a 4º Grau
1° Grau �� = 0,20660 × 3 − 0,21246
2° Grau �� = 3,7605× 104_ × 3² + 0,20655 × 3 −0,20926
3° Grau �� = −8,5274× 104S × 3³ + 1,9906*104W × 3² + 0,19602 × 3 + 0,09744
4° Grau4° Grau4° Grau4° Grau �� = 5,3055 × 104�� × 3� − 1,3619 × 104T × 3� + 9,3699 × 104W × 3� + 0,19075 × 3 + 0,14810
Para cada uma das funções de produtibilidade mostradas na tabela IV.3, serão
apresentadas a melhor e pior solução obtidas de um total de 10 execuções do algoritmo
proposto, isto é, aquelas que apresentam o menor e o maior custo total de operação,
respectivamente.
A tabela IV.4 apresenta duas estratégias operativas (a melhor e a pior obtidas entre 10
soluções) considerando a função ��.
Tabela IV.4 - Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade ]D
Soluções
Percentuais de consumo
mensais (%)
Dias de operação
Potência
Gerada (MW)
Custo Total
(R$)
Solução 01
59,5; 68,5; 56,5; 70,0;
57,5; 71,0; 81,5; 93,0;
74,0; 69,0; 62,5; 77,0.
18,4; 21,4; 17,6; 21,7;
17,8; 22,0; 25,3; 28,8;
22,9; 21,4; 19,4; 23,9.
320,0
97.501.957,00
Solução 02
76,0; 76,5; 63,0; 62,0;
69,5; 81,5; 61,0; 59,0;
77,5; 58,0; 78,0; 78,0.
23,6; 23,7; 25,6; 19,2;
22,5; 25,3; 24,0; 21,8;
24,0; 25,5; 25,2; 24,2.
319,5
97.890.413,00
As figuras IV.4 e IV.5
dias de operação da UTE para a melhor solução obtida considerando a fun
produtibilidade de primeiro
Figura IV.4 - Consumo percentual mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produti
Figura IV.5
Para a estratégia operativa apresentada nos gráficos anteriores
operação equivale a R$ 97.501.957,00
MW médios, ou seja, admite
A tabela IV.5 apresenta respectivamente a melhor e pior estratégia operativa
considerando a função de produtibilidade
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
JAN FEV
% 59,5 68,5
Po
rce
nta
ge
m d
e G
N
0
5
10
15
20
25
30
JAN FEV
Dias 18,4 21,4
Dia
s d
e O
pe
raçã
o
53
IV.4 e IV.5 ilustram o percentual de consumo mensal de gás natural e os
dias de operação da UTE para a melhor solução obtida considerando a fun
o grau.
Consumo percentual mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produti
Figura IV.5 - Dias de Operação da UTE para curva de produtibilidade
Para a estratégia operativa apresentada nos gráficos anteriores
97.501.957,00. Para tal configuração a potência gerada
, ou seja, admite-se que a usina opera em sua capacidade máxima.
apresenta respectivamente a melhor e pior estratégia operativa
considerando a função de produtibilidade ��.
MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT
56,5 70 57,5 71 81,5 93 74 69
MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT
17,6 21,7 17,8 22 25,3 28,8 22,9 21,4
stram o percentual de consumo mensal de gás natural e os
dias de operação da UTE para a melhor solução obtida considerando a função de
Consumo percentual mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade ]D
Dias de Operação da UTE para curva de produtibilidade ]D
Para a estratégia operativa apresentada nos gráficos anteriores, o custo total de
. Para tal configuração a potência gerada equivale a 320
se que a usina opera em sua capacidade máxima.
apresenta respectivamente a melhor e pior estratégia operativa
OUT NOV DEZ
69 62,5 77
OUT NOV DEZ
21,4 19,4 23,9
Tabela IV.5
Soluções
Percentuais de consumo
mensais (%)
Solução 01
60,0; 84,0; 57,0
60,5; 95,0; 98,0
56,0; 58,0; 59,5
Solução 02
65,0; 62,0; 62,0
84,5; 61,0; 80,0;
64,0; 68,0; 87,0; 7
As figuras a seguir
de operação da UTE para a melhor solução obtida considerando a função de produtibilidade
de segunda ordem, ou seja,
Figura IV.6 - Consumo percentual mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
JAN FEV
% 60 84
Po
rce
nta
ge
m d
e G
N
54
5 - Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade
de consumo
mensais (%)
Dias de operação
Potência
Gerada (MW)
57,0; 56,5;
98,0; 75,0;
59,5; 80,5.
18,6; 26,0; 17,7; 17,6;
18,8; 29,5; 30,0; 25,4;
17,7; 18,0; 18,4; 25,0.
320,0
62,0; 57,0;
,0; 70,5;
,0; 79,0.
23,1; 23,1; 19,2; 17,7;
27,3; 18,9; 25,2; 28,2;
19,9; 21,1; 27,0; 24,5.
279,1
ilustram o percentual de consumo mensal de gás natural e os dias
de operação da UTE para a melhor solução obtida considerando a função de produtibilidade
, ��.
Consumo percentual mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade
MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT
57 56,5 60,5 95 98 75 56 58
zando a curva de produtibilidade ]E
Potência
erada (MW)
Custo Total
(R$)
320,0
97.542.553,00
1
97.738.343,00
ilustram o percentual de consumo mensal de gás natural e os dias
de operação da UTE para a melhor solução obtida considerando a função de produtibilidade
Consumo percentual mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade ]E
OUT NOV DEZ
59,5 80,5
Figura IV.7
Para a configuração ilustrada pelas figuras IV.6 e IV.7
minimizar apresenta valor
MW.
A tabela IV.6 apresenta
potência gerada e custos totais utilizando
Tabela IV.6
Soluções
Percentuais de consumo
mensais (%)
Solução 01
92,5; 57,5; 59,5
81,0; 63,0; 64,0
78,5; 63,0; 66,0
Solução 02
67,0; 66,0; 81,5
93,0; 75,5; 74,5
59,0; 57,5; 56,5;
0
5
10
15
20
25
30
JAN FEV MAR
Dias 18,6 26 17,7
Dia
s d
e O
pe
raçã
o
55
Figura IV.7 - Dias de Operação da UTE para curva de produtibilidade
Para a configuração ilustrada pelas figuras IV.6 e IV.7, a função custo
apresenta valor igual a R$ 97.542.553,00 para uma potência
apresenta o consumo mensal de gás natural, dias de operação da UTE
potência gerada e custos totais utilizando-se da curva de terceiro grau, ��
6 - Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade
de consumo
mensais (%)
Dias de operação
Potência
Gerada (MW)
59,5; 79,0;
64,0; 67,5;
66,0; 68,5.
28,7; 17,8; 18,5; 24,5;
26,2; 21,9; 19,8; 20,9;
24,3; 19,5; 20,5; 21,2.
319,7
6,0; 81,5; 65,0;
74,5; 60,0;
59,0; 57,5; 56,5; 84,5.
20,8; 27,9; 25,4; 20,7;
28,8; 23,4; 23,1; 25,9;
28,9; 17,8; 17,5; 26,5.
319,6
MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT
17,7 17,6 18,8 29,5 30 25,4 17,7 18
Dias de Operação da UTE para curva de produtibilidade ]E
ção custo que se deseja
para uma potência média gerada de 320
o consumo mensal de gás natural, dias de operação da UTE,
��.
de]g
Potência
erada (MW)
Custo Total
(R$)
319,7
97.556.187,00
6
97.932.431,00
OUT NOV DEZ
18,4 25
Para essa simulação do algoritmo proposto, tem
da UTE e os dias de operação da usina para cada mês de operação, ilustrado pelas figuras IV.
8 e IV.9, respectivamente.
Figura IV.8 - Consumo Percentual Mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade
Figura IV.9
O custo total para a configuração anteriormente apresentada é de R$
sendo a potência média mensal de geração da usina de
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
JAN FEV
% 92,5 57,5
Po
rce
nta
ge
m d
e G
N
0
5
10
15
20
25
30
JAN FEV
Dias 28,7 17,8
Dia
s d
e O
pe
raçã
o
56
a simulação do algoritmo proposto, tem-se o consumo mensal de gás natural
da UTE e os dias de operação da usina para cada mês de operação, ilustrado pelas figuras IV.
Consumo Percentual Mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade
Figura IV.9 - Dias de Operação da UTE para curva de produtibilidade
para a configuração anteriormente apresentada é de R$
sendo a potência média mensal de geração da usina de 319,7 MW.
MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT
59,5 79 81 63 64 67,5 78,5 63
MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT
18,5 24,5 26,2 21,9 19,8 20,9 24,3 19,5
se o consumo mensal de gás natural
da UTE e os dias de operação da usina para cada mês de operação, ilustrado pelas figuras IV.
Consumo Percentual Mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade ]g
Dias de Operação da UTE para curva de produtibilidade ]g
para a configuração anteriormente apresentada é de R$ 97.556.187,00,
OUT NOV DEZ
63 66 68,5
OUT NOV DEZ
19,5 20,5 21,2
Por fim, a tabela IV.
produtibilidade ��.
Tabela IV.7
Soluções
Percentuais de consumo
mensais (%)
Solução 01
57,5; 63,5; 90,0
63,0; 82,5; 57,5
81,5; 66,5; 64,0
Solução 02
68,5; 72,0; 65,0
72,0; 61,5; 63,5;
82,0; 79,0; 62,
As figuras IV.10 e IV.11 retrat
produtibilidade de quarto grau, sendo apresentado o consumo percentual mensal do
combustível e os dias de operação da usina.
Figura IV.10- Consumo Percentual Mensal de Gás Natural pela UTE para curva de pro
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
JAN FEV MAR
% 57,5 63,5
Po
rce
nta
ge
m d
e G
N
57
IV.7 apresenta as soluções obtidas com a implementação
7 - Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade
de consumo
mensais (%)
Dias de operação
Potência
Gerada (MW)
90,0; 74,0;
57,5; 81,5;
,0; 58,5.
17,9; 19,7; 27,9; 22,9;
20,7; 26,7; 17,8; 25,4;
25,3; 21,1; 19,8; 18,1.
318,1
,0; 70,5;
,5; 71,5;
0; 72,5.
21,2; 23,2; 20,2; 22,8;
28,2; 19,1; 19,7; 22,4;
25,4; 25,1; 25,6; 22,6.
320,0
IV.10 e IV.11 retratam a melhor solução obtida pelo uso da curva de
produtibilidade de quarto grau, sendo apresentado o consumo percentual mensal do
combustível e os dias de operação da usina.
Consumo Percentual Mensal de Gás Natural pela UTE para curva de pro
MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT
90 74 63 82,5 57,5 81,5 81,5 66,5
enta as soluções obtidas com a implementação da curva de
Resultados obtidos utilizando a curva de produtibilidade]h
Potência
erada (MW)
Custo Total
(R$)
1
97.524.394,00
320,0
97.688.778,00
am a melhor solução obtida pelo uso da curva de
produtibilidade de quarto grau, sendo apresentado o consumo percentual mensal do
Consumo Percentual Mensal de Gás Natural pela UTE para curva de produtibilidade ]h
OUT NOV DEZ
66,5 64 58,5
Figura IV.11
Os resultados obtidos p
de 318,1 MW, com um custo total de
Diante do melhor e pior
casos simulados, percebe-se que a maior variação percentual entre as soluções
pela função de produtibilidade de
custo equivalente a 0,40%.
problema de otimização apresentado.
IV.4 – Conclusões
O capítulo IV apresentou os resultados obtidos pela técnica de otimização
proposta para uma usina que apresenta uma planta de configuração 2+1. Para esta
configuração, cinco simulações foram avaliadas
produtibilidade característica
uso de funções de produtibilidade obtidas através d
polinomial, a partir da alguns pontos válidos para esta usina genérica
Diante dos resultados ilustrados no presente capítulo
otimização baseado em enxame de partículas proposto mostrou
0
5
10
15
20
25
30
JAN FEV MAR
Dias 17,9 19,7 27,9
Dia
s d
e O
pe
raçã
o
58
11- Dias de Operação da UTE para curva de produtibilidade
Os resultados obtidos para tal configuração apontam para uma geração média mensal
um custo total de operação equivalente a R$ 97.524.394,0
Diante do melhor e pior custo total obtidos para a função objetivo em cada um dos
se que a maior variação percentual entre as soluções
de produtibilidade de primeiro grau, sendo a diferença entre o men
0,40%. Assim, pode-se dizer que o algoritmo proposto é robusto para o
problema de otimização apresentado.
O capítulo IV apresentou os resultados obtidos pela técnica de otimização
ra uma usina que apresenta uma planta de configuração 2+1. Para esta
cinco simulações foram avaliadas. Na primeira, utilizou
produtibilidade característica da UTE em questão. Nas quatro simulações posteriores, fez
e funções de produtibilidade obtidas através da ferramenta matemática de
, a partir da alguns pontos válidos para esta usina genérica.
Diante dos resultados ilustrados no presente capítulo, verifica-se que
ado em enxame de partículas proposto mostrou-se robusto, pois não foram
MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT
27,9 22,9 20,7 26,7 17,8 25,4 25,3 21,1
Dias de Operação da UTE para curva de produtibilidade ]h
ra tal configuração apontam para uma geração média mensal
R$ 97.524.394,00.
para a função objetivo em cada um dos
se que a maior variação percentual entre as soluções é representada
a diferença entre o menor e o maior
se dizer que o algoritmo proposto é robusto para o
O capítulo IV apresentou os resultados obtidos pela técnica de otimização bioinspirada
ra uma usina que apresenta uma planta de configuração 2+1. Para esta
a, utilizou-se de uma função de
. Nas quatro simulações posteriores, fez-se
a ferramenta matemática de regressão
se que o algoritmo de
se robusto, pois não foram
OUT NOV DEZ
21,1 19,8 18,1
59
verificadas grandes variações percentuais de custos para diferentes execuções do algoritmo,
ou seja, todas as soluções obtidas apresentam qualidades compatíveis entre si.
61
Capítulo V
Conclusões Finais e Trabalhos Futuros
V.1 – Conclusões Finais
Esta monografia foi desenvolvida utilizando-se uma técnica de otimização baseada em
uma meta-heurística bioinspirada denominada enxame de partículas ou Particle Swarm
Optimization (PSO), para a resolução do problema referente a otimização da operação de
usinas termoelétricas de ciclo combinado. A metodologia proposta visa determinar o consumo
mensal de gás natural, assim como o número de dias de operação das turbinas a fim de que o
gás possa ser consumido em cumprimento com as cláusulas estipuladas em ambiente
contratual e que as restrições operativas de turbinas a gás e a vapor sejam atendidas.
A técnica PSO é adequada para resolução de problemas que apresentam grau de
complexidade elevado devido às inúmeras soluções factíveis possíveis que acarretam no
processo de explosão combinatória. Embora nem sempre a solução obtida possa ser
qualificada como ótima global, soluções de boa qualidade podem ser alcançadas, tornando os
resultados satisfatórios.
A etapa de pequenos ajustes, adicionada aos passos do algoritmo de PSO mostrou-se
necessária a fim de manter as soluções dentro de um determinado espaço de busca, isto é,
nessa etapa soluções que violavam as restrições de consumo mínimo mensal e anual de gás
natural eram eliminadas.
Para efeitos de avaliação do comportamento da função objetivo, associada ao custo
operativo total da UTE, funções de produtibilidade de primeiro, segundo, terceiro, quarto e
sétimo grau foram modeladas e testadas, buscando-se analisar a sensibilidade nos custos totais
de operação da UTE.
Quanto a análise dos resultados, pode-se enfatizar os seguintes aspectos:
62
• Foram obtidas soluções de qualidade, com garantia do cumprimento das
inequações (2), (3) e (4) referentes às cláusulas de contratação “Take-or-Pay”
com um baixíssimo esforço computacional;
• Validação da robustez do algoritmo, pois os valores obtidos para a função
objetivo e a potência média gerada são muito próximos entre si para todas as
funções de produtibilidade consideradas. A maior variação percentual ocorreu
para a função de primeiro grau, dando indícios de que uma otimização mais
efetiva pode ser obtida considerando-se o comportamento da geração em
função do volume consumido de forma mais realista, ou seja, considerando-se
funções de mais alto grau;
• A garantia de obtenção do ponto de mínimo global não pode ser dada, pois
seria necessário a avaliação de todas as combinações possíveis, o que tornar-
se-ia inviável devido à elevação do tempo de processamento.
V.2 – Trabalhos Futuros
Algumas possíveis sugestões para investigação em trabalhos futuros, visando dar
continuidade ao problema abordado, são:
• Desenvolvimento de um modelo computacional utilizando outra técnica de
inteligência artificial, sugere-se a implementação através da técnica de
otimização denominada Sistemas Imunológicos Artificiais;
• Estudo comparativo envolvendo as duas técnicas de otimização: Particle
Swarm Optimization e Sistemas Imunológicos Artificiais;
• Representação de outras restrições associadas à operação de usinas
termoelétricas de ciclo combinado, como os tempos mínimos de parada e de
partida das turbinas, a fim de uma abordagem mais realista;
63
• Inclusão dos custos referentes às paradas e partidas das turbinas a gás natural;
na função objetivo.
• Inserção na modelagem do problema das paradas programadas para realização
de manutenção;
• Obtenção das potências individuais geradas por cada turbina.
64
Referências Bibliográficas
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CITENEL, 2009, Belém.
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Swarm Optimization (PSO). In: 7º PDPETRO, 2013, Aracaju.
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Pesquisa Energética. Brasília: MME/EPE, 2012. pp. 84-87.
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<http://www.petrobras.com.br/pt/noticias/primeira-termica-do-mundo-a-operar-com-etanol/.>
Acesso em: 28 de maio de 2013.
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projeto e operação. Rio de Janeiro: Interciência, 2004. 2 volumes (1296p.).
65
[9] PETROBRAS – Novas Modalidades de Contratação de Gás Natural; Publicação na Área
de Negócios de Gás & Energia da Petrobras
[10] BRASIL, N.P.. Apostila de Co-geração. Curso de Engenharia de Equipamentos. 2005.
(Apostila)
[11] MELO, D.C.M de. Processos de Separação da Fração Pesada do Gás Natural para
Aplicação em Motores de Combustão Interna. Monografia. UFRN. Natal/RN, Brasil, 2005.
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<http://www.aneel.gov.br/arquivos/PDF/atlas_par3_cap6.pdf>. Acesso em: 02 de junho de
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[13] MENDES, L.G. .Análise da Viabilidade Econômica de uma Usina Termoelétrica usando
Modelagem Estocástica e Teoria de Opções Reais. UFRJ.Rio de Janeiro/RJ, Brasil, 2007.
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Contratos de Combustível com Cláusulas de Take-or-Pay. 2005. 74f. Dissertação (mestrado).
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Elétrica. Rio
de Janeiro, 2005.
[15] YANG X.S.; Nature-Inspired Metaheuristic Algorithms: Second Edition. Luniver Press,
2010.
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Conf. Neural Networks, Perth, Austrália (1995), pp. 1942-1948.
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Aplicações Problemas de Guerra Eletrônica. In: IX Simpósio de Guerra Eletrônica, São José
dos Campos (ITA), 2007.
66
[18] DIAS, B. H.; de OLIVEIRA, L.W.; GOMES, F.V.; SILVA JÚNIOR, I.C.; OLIVEIRA,
E.J. Hybrid Heuristic Optimization Approach for Optimal Distributed Generation Placement
and Sizing. In: IEEE Power and Energy Society General Meeting, 2002.
67
APÊNDICE A - Ajuste polinomial
A função polyfit presente no MATLAB® é responsável pelo ajuste ou regressão
polinomial com base no conhecimento de alguns pontos da curva que se deseja aproximar. Os
dados de entrada disponibilizados para a função consistem em dois vetores, x (abscissa) e y
(ordenadas) e um número, n, que corresponde ao grau do polinômio que se deseja obter.
Como resposta de saída tem-se o vetor de coeficientes referente ao polinômio de ajuste, p.
A função polyval utiliza dos pontos de abscissa para calcular os respectivos pontos de
ordenada, correspondente ao polinômio gerado.
Como exemplo para fins didáticos, é mostrado o ajuste de curvas polinomiais de 2º, 3º
e 5º grau, utilizando “arquivo .m”, objetivando aproximar a função ��3� = iG�3� por meio
da obtenção de polinômios.
clc clear all close all format long % Ajuste de curvas polinomiais com a função "polyfi t" x = 0:0.1:2*pi; % pontos de amostragem y = sin(x); % valor da função nos pontos plot(x,y, '*' ); % Plota a função original hold on; p2 = polyfit(x,y,2) % Obtém os coeficientes do polinômio de grau 2 ya = polyval(p2,x); % Obtém o valor da ordenada do polinômio de grau 2 plot(x,ya, 'r' ) % Plota o polinômio ajustado com linha vermelha hold on; p3 = polyfit(x,y,3) % Obtém os coeficientes do polinômio de grau 3 yb = polyval(p3,x); % Obtém o valor da ordenada do polinômio de grau 3 plot(x,yb, 'b' ) % Plota o polinômio ajustado com linha azul hold on; p5 = polyfit(x,y,5) % Obtém os coeficientes do polinômio de grau 5 yc = polyval(p5,x); % Obtém o valor da ordenada do polinômio de grau 5 plot(x,yc, 'g' ); % Plota o polinômio ajustado com linha verde hold on;
68
Os dados de saída, referentes aos coeficientes dos polinômios, são mostrados a seguir:
p2 = -0.0096 -0.2421 0.8741
p3 = 0.0931 -0.8754 1.8879 -0.1822
p5 = -0.0056 0.0884 -0.3998 0.2799 0.8701 0.0122
A figura A.1 representa a aproximação da função sen(x) para todos os polinômio
reproduzidos anteriormente.
Figura A.1 - Aproximações da função sen(x) com polinômios de graus 2, 3 e 5
Pela figura anterior observa-se que quanto maior o grau do polinômio, mais fidedigna
é a reprodução da curva em relação à função que se deseja aproximar. Neste caso, a curva em
verde, representada por um polinômio de quinto grau, passa por todos os pontos da senoide,
ao contrário da curva em vermelho que simboliza uma aproximação de grau dois.