Upload
fikri17
View
630
Download
89
Embed Size (px)
DESCRIPTION
STATISTIK
Citation preview
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
P11. BENTUK
BILINIER DAN BENTUK
KUADRAT
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
1. Bentuk bilinier2. Bentuk kuadrat3. Reduksi Lagrange
Materi Pembelajaran
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BILANGAN REAL dan KOMPLEKS
Bilangan real (R) menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal.
Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan .
Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir.Bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang.
2
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Bilangan kompleks (C) adalah bilangan yang berbentuk a + bidimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner tertentu yang mempunyai sifat i 2 = −1.
Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan riil;
Bilangan real, R, dapat dinyatakan sebagai bagian dari himpunan C
BILANGAN REAL dan KOMPLEKS
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Misalkan V adalah ruang vektor. Bentuk bilinier
pada V adalah fungsi pemetaan f : V x V K,
sedemikian rupa sehingga untuk semua a, b K
dan semua ui, vi V.
(i)f(au1 + bu2, v) = a f (u1, v) + b f (u2, v)
(ii)f(u, av1 + av2) = a f (u, v1) + b f (u, v2)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
f (x, y) = x + y adalah fungsi LINEAR
f (x, y) = xy adalah fungsi BILINEAR
Secara umum:
f (x, y) = xy adalah fungsi bilinear untuk
semua ∈R
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Diberikan sebuah matriks bujur sangkar A,
maka bentuk bilinear adalah
n
1j,ijiji
t wavwAv)w,v(f
n
2
1
v
v
v
v
n
2
1
w
w
w
w
nn2n1n
n22221
n11211
a...aa
......................
a...aa
a...aa
A
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Contoh:
, maka bentuk bilinear-nya adalah
2
211
2
2
1
1
y
x
43
21yx
y
x,
y
xf
43
21A
= x1x2+2x1y2+3y1x2+4y1y2
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
1. Misalkan f adalah hasil kali titik pada Rn;
yaitu untuk u = (ai) dan v = (bi), maka
bentuk biliniernya adalah:
f(u, v) = u . v = a1b1 + a2b2 + …. + anbn
2. Misalkan dan adalah sebarang
fungsional linier pada V. Misalkan f : V x V
R, maka bentuk bilinier-nya adalah: f(u,
v) = (u) (v)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Matriks Bujur Sangkar A dapat diidentifikasi
sebagai BENTUK BILINEAR dimana X=[xi]
dan Y=[yi] adalah vektor-vektor kolom dalam
bentuk Polinomial Bilinear:
f (x,y) = a11x1y1 + a12x1y2 + ... + a1nx1yn +
a21x2y1 + a22x2y2 + ... + a2nx2yn +
.................................................. +
an1xny1 + an2xny2 + ... + annxnyn
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
n
1j,ijiij yxa)y,x(f
n
2
1
nn2n1n
n22221
n11211
n21
y
y
y
a...aa
......................
a...aa
a...aa
x....xx
AYX T
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
3
2
1
321
100
011
101
y
y
y
xxx
AYX T
Contoh1: Bentuk bilinear
x1y1 + x1y3 + x2y1 + x2y2 + x3y3
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Contoh 2:
Misalkan
Nyatakan dalam bentuk matriks, dimana
Jawab:
321321 yyyvdanxxxu
33233222123111 6487523),( yxyxyxyxyxyxyxvuf
3
2
1
321T
y
y
y
640
875
203
xxxAYXv,uf
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR SIMETRIS
Misalkan f adalah bentuk linier pada V,
maka f dikatakan simetris jika untuk setiap
u, v V,
f (u, v) = f (v, u)Misalkan A adalah matriks simetris atas K,
maka A kongruen terhadap suatu matriks
diagonal, yaitu terdapat matriks
nonsingular P sedemikian rupa sehingga D
= Pt AP (matriks diagonal)
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Perubahan BASIS
Misalkan P adalah matriks perubahan basis
dari basis S ke S’ yang berbeda. Jika A
adalah matriks yang merepresentasikan
bentuk bilinear f dalam basis asal S, maka B
= PtAP adalah matriks yang merepresenta-
sikan bilinear f dalam basis asal S’
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR Contoh 3:
Misalkan f adalah bentuk bilinear pada R2
yang definisikan oleh:
1.Tentukan matriks A dari f dalam basis
[u1 = (1, 0), u2 = (1, 1)]
2.Tentukan matriks B dari f dalam basis
[v1 = (2, 1), v2 = (1, -1)]
2221112121 yx4yx3yx2y,y,x,x f
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR Jawab:
1. A = [aij], dimana aij = f (ui, uj)
Ini menghasilkan: a11 = f (u1, u1) = f ((1, 0), (1, 0)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 0 x 0) + (4 x 0 x
0) = 2a12 = f (u1, u2) = f ((1, 0), (1, 1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 1) + (4 x 0 x
1) = -1a21 = f (u2, u1) = f ((1, 1), (1, 0)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 0) + (4 x 1 x
0) = 2a22 = f (u2, u2) = f ((1, 1), (1, 1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x 1) + (4 x 1 x
1) = 3
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Jadi:
adalah matriks f dalam
basis [u1, u2]
32
12A
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
2. B = [bij], dimana bij = f (vi, vj)
Ini menghasilkan: b11 = f (v1, v1) = f ((2, 1), (2, 1)) = (2 x 2 x 2) - (3 x 2 x 1) + (4 x 1 x
1) = 6b12 = f (v1, v2) = f ((2, 1), (1, -1)) = (2 x 2 x 1) - (3 x 2 x -1) + (4 x 1
x -1) = 6b21 = f (v2, v1) = f ((1, -1), (2, 1)) = (2 x 1 x 2) - (3 x 1 x 1) + (4 x -1
x 1) = -3b22 = f (v2, v2) = f ((1, -1), (1, -1)) = (2 x 1 x 1) - (3 x 1 x -1) + (4 x -1
x -1) = 9
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK BILINEAR
Jadi:
adalah matriks f dalam
basis [v1, v2]
93
66B
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Perubahan basis
Contoh :
Dari contoh di atas, tentukan matriks
perubahan basis P dari basis [ui] ke basis
[vi], dan buktikan bahwa B = PtAP.
Jawab:
Dengan menulis v1 dan v2 dalam suku ui,
akan diperoleh: v1 = u1 + u2 dan v2 = 2u1
– u2
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Perubahan basis
Maka:
Terbukti.
11
21P
12
11PT
B93
66
11
21
32
12
12
11APP t
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS
Dua matriks A dan B berordo nxn disebut kongruen (A B) jika terdapat suatu matriks non singular P sedemikian sehingga:
B = PTAPBila P diekspresikan sebagai hasilkali matriks kolom elementer, maka PT adalah hasilkali matriks elementer baris yg sama dalam urutan terbalik
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
A dan B kongruen dengan syarat A dapat
direduksi menjadi B dengan memakai
sebarisan pasangan transformasi
elementer.
Tiap pasang terdiri atas suatu
transformasi elementer baris yang diikuti
transformasi elementer kolom yang sama
DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Setiap matriks simetris A dengan rank r kongruen terhadap suatu matriks diagonal yang r elemen pertama adalah tak nol dan elemen lain nol.
Contoh: Tentukan matriks non singular P sehingga D =
PTAP adalah diagonal
843
452
321
A
DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
100
010
001
843
452
321
IA
103
012
001
120
210
321
-2b1 + b23b1 + b3
-2c1 + c2 3c1 + c3
OBE untuk A dan I
OKE untuk A saja
103
012
001
120
210
001
kmd
DIAGONALISASI KONGRUEN DARI MATRIKS SIMETRIS
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
KONGRUENSI
-2c2 + c3
103
012
001
120
210
001
kmd
-2b2 + b3
127
012
001
500
210
001
127
012
001
500
010
001
D PT
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
KONGRUENSI
127
012
001
PT
100
210
721
P
500
010
001
APPD T
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT Pemetaan q: V K berada dalam bentuk kuadratik
jika:q(v) = f (v, v)
Misalkan f merepresentasikan matriks simetris A = [aij] dan X =[xi] adalah vektor kolom, maka q :
ji
jiiji
2iii
j,ijiij
T xxa2xaxxaAXXX,XXq f
Yang koefisien-koefisien aij adalah elemen bentuk kuadrat dalam peubah-peubah x1, x2, …, xn.
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT Contoh:
q = x12 + 2x2
2 – 7x32 – 4x1x2 + 8x1x3
Matriks simetris A = [aij] disebut matriks dari bentuk kuadrat dan rank A disebut rank bentuk kuadrat. Jika rank r < n maka bentuk kuadrat singular dan jika tidak, non singular
XX T
704
022
421
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT
Latihan:Tentukan matriks invers yang yang bersesuaian dg setiap bentuk kuadratik berikut ini:
1. q(x, y, z) = 3x2 + 4xy – y2 + 8xz + 6yz + z2
2.q(x, y, z) = 3x2 + xz – 2yz3.q(x, y, z) = 2x2 - 5y2 - 7z2
Tentukan bentuk kuadrat q(X) yang bersesuaian dengan setiap matriks berikut ini:
83
35A
987
865
754
A
1985
0361
8674
5142
A
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT TRANSFORMASI
Transformasi X = BY akan membawa bentuk kuadrat dengan matriks A ke dalam bentuk kuadrat;
Dengan matriks simetris BTABContoh: reduksi
YABBYBYABYAXXq TTTT )()()(
XXq T
704
022
421
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT Contoh:
Bentuk kuadratik q(x, y) = 3x2 + 2xy - y2 dan subsitusi linier x = s - 3t dan y = 2s + ta.Nyatakan q (x, y) dalam notasi matriks, dan tentukan matriks A yang mempresentasikan q(x, y)b.Nyatakan subsitusi linier dengan notasi matriks, dan tentukan matriks P yang bersesuaian.c.Tentukan q(s,t) dengan menggunakan subsitusi langsungd.Tentukan q(s,t) dengan menggunakan notasi matriks
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRAT jawab:
a. Jadi dan q(X)=XtAX , dimana X = (x, y)
b.
jadi
y
xyxyxq
11
13,,
11
13A
t
s
y
x
12
31
PYX t
sY
y
xXP
dan ,dan
12
31
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
BENTUK KUADRATc. q(s,t) = 3(s-3t)2+2(s-3t)(2s+t)-(2s+t)2
= 3(s2-6ts+9t2) + 2(2s2-5ts-3t2) - (4s2+4ts+t2) = 3s2-32ts+20t2
d. Disini q(X)=XTAX dan X=PY, Jadi Xt =YtPt
22 20323s
2016
163,
12
31
11
13
13
21,
)(,
tst
t
sts
t
sts
APYPYYqtsq tt
Latihan
1. Misalkan f adalah bentuk bilinear pada R2
yang definisikan oleh:
Tentukan matriks A dari f dalam basis
[u1 = (1, 1), u2 = (1, 0)]
1221112211 yxyx3yx2y,x,y,x f
Agus Setiawan, M.Env.Sc.
Terima kasih
Sampai jumpa di pertemuan berikutnya