· Introduzione I Come emerge dall’osservazione sperimentale, la struttura minimale del settore elettrodebole del Modello Standard e descritta da una teoria di gauge con` simmetria

I neutriniDinamica del Modello Standard

Dipartimento di Fisica e GeologiaUniversita degli Studi di Perugia

[email protected]

Novembre 2016

IntroduzioneI Come emerge dall’osservazione sperimentale, la struttura minimale del settore

elettrodebole del Modello Standard e descritta da una teoria di gauge consimmetria SU(2)L × U(1)Y .

I SU(2)L e U(1)Y rappresentano l’isospin debole e l’ipercarica.I Solo gli stati sinistrorsi (L) hanno isospin debole e quindi si trasformano come

elementi del gruppo SU(2)L

lL =

(νee

)L=

(νeLeL

),

νeL =

1+γ5

2νe

eL =1+γ5

2e

, γ5 = iγ0γ1γ2γ3 = −iγ0γ1γ2γ3 = γ5

I L’elicita dell’elettrone e del neutrino emessi nelleinterazioni di tipo corrente carica sono state misuratee sono risultate negative.

e−152Eu(J = 0)→152 Sm∗(J = 1) νe

→ γ152SmI La massa del neutrino elettronico e piu piccola

della sensibilita sperimentale (∆E = 2 eV).I Non esiste lo stato destrorso, νeR , del neutrino, l’unico leptone destrorso e il

singoletto di isospin deboleeR =

1−γ5

2e

S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia I neutrini, Dinamica del Modello Standard 2/48

Le Masse dei QuarkI termini di massa dei quark devono avere la ben nota forma bilineare nei campi

Lq,massa =∑

q=u,d,c,s,t,b

[−mq q q

]=

∑q=u,d,c,s,t,b

[−mq qL qR −mq qR qL

]

I campi sinistrorsi sono doppietti di SU(2)L mentre i destrorsi sono singoletti

⇓mqqq non e invariante per trasformazioni del gruppo SU(2)L × U(1)Y

Le fasi delle trasformazioni di gauge locali, diverse per i campi sinistrorsi edestrorsi, non si cancellerebbero nelle contrazioni

[qLqR + qRqL

]⇓

I Le masse anche per i fermioni sono generate dal meccanismo di Higgs.I A differenza della masse dei bosoni vettori, la teoria non pone alcun vincolo ai

valori delle masse fermioniche che sono, quindi, parametri liberi.


Masse dei Quark dal Meccanismo di Higgs1I Consideriamo l’interazione con la materia del campo Φ, che rompe la simmetria.I La forma piu generale per la lagrangiana di interazione, detta lagrangiana di

Yukawa, nel caso dei campi “down”, e

LdownY = −

√2

v

3∑k=1

∑D=d,s,b

Q′kL MdownkD D′R Φ + c.h.

il coefficiente√

2/v e posto solo per comodita.I Mdown e una matrice complessa 3× 3 nello spazio dei sapori.

I campi Q′kL e Φ sono doppietti di SU(2) e i campi D′R sono singoletti,quindi la lagrangiana di Yukawa e invariante sotto trasformazioni SU(2)L.

I L’invarianza per trasformazioni U(1)Y , si ottienerichiedendo la conservazione dell’ipercarica.

I LdownY descrive il processo.

D′R + Φ→ Q′kL

I L’ipercarica si conserva, infatti (Y = 2(Q − TW3))

Y downR + YΦ = −2/3 + 1 = 1/3 = YL

Φ

D′R

Q′kL


Masse dei Quark dal Meccanismo di Higgs2Con la rottura spontanea della simmetria il campo Φ,doppietto di isospin debole, ”oscilla per mezzo del campodi Higgs”, H, intorno all’autostato con TW3 = −1/2.

Φ→ Φ0 =

(0

v+H√2

)

LdownY =−

3∑k=1

∑D=d,s,b

(U′kL D′kL

)Mdown

kD D′R

(0

1 + Hv

)+ c.h.

=−3∑

k=1

∑D=d,s,b

D′kL MdownkD D′R

(1 +

Hv

)+ c.h.

=−(

d ′L s′L b′L)

Mdown

d ′Rs′Rb′R

(1 +Hv

)+ c.h.

=−D′L MdownD′R(

1 +Hv

)+ c.h. con: D′L,R =

d ′L,Rs′L,Rb′L,R

Il primo termine

−D′L MdownD′R + c.h.

ha la struttura bilineare nei campi tipica del termine di massa di Dirac.


Masse dei Quark dal Meccanismo di Higgs3Per i quark “up” possiamo utilizzare una procedura analoga con, in luogo del campoΦ0, il suo coniugato, ovvero

Φ0 ≡(

v+H√2

0

)= i σ2 Φ0 YΦ0

= −1

La lagrangiana d’interazione di Yukawa per i quark ”up”.

LupY = −

√2

v

3∑k=1

∑U=u,c,t

Q′kL MupkU U′R Φ + c.h.

La simmetria SU(2)L × U(1)Y e assicurata, per la parte SU(2), dalla stessa strutturache contiene la contrazione di due doppietti Q′kL e Φ, per la parte di U(1), dallaconservazione dell’ipercarica: Y up

R + YΦ0= 4/3 + (−1) = 1/3 = YL.

Con la rottura di simmetria si ha Φ→ Φ0 e la lagrangiana diventa:

LupY = −U ′L Mup U ′R

(1 +

Hv

)+ c.h. con: U ′L,R =

u′L,Rc′L,Rt ′L,R


Matrici di Massa “down” e “up”Applicando la procedura di diagonalizzazione bi-unitaria, le matrici di massa “down”e “up” possono essere poste nella forma

Mdown = V downL mdown V down†

R Mup = V upL mup V up†

R

V downL,R e V up

L,R sono matrici unitarie, mdown e mup sono diagonali con elementi positivi.

mdown = diag (md ,ms,mb) mup = diag (mu ,mc ,mt )

I termini di massa della lagrangiana diventano:

−D′LMdownD′R + c.h. = −DmdownD −U ′LMupU ′R + c.h. = −UmupU

Gli stati dei quark con masse definite e quelli “primati”, con simmetria SU(2)L×U(1)Y ,sono connessi dalle trasformazioni unitarie V up,down

L,R .

DL,R ≡ V down†L,R D′L,R

D = DL +DR =

dsb

UL,R ≡ V up†

L,R U′L,R

U = UL + UR =

uct


La Corrente Carica “Mescolata”In termini degli stati di massa, la corrente carica diventa

jµch = 2U ′LγµD′L = 2ULV up†L γµV down

L DL = 2ULγµV CKMDL

V CKM = V up†L V down

L

La matrice di Cabibbo-Kobayashi-Maskawa V CKM e unitaria, in quanto prodotto dimatrici unitarie. E interpretata come una matrice di mescolamento delle componentisinistrorse che definiscono la corrente carica.

jµch = 2[ul γ

µ dmixL + c l γ

µ smixL + t l γ

µ bmixL

]

dmixL = V CKM

ud dL + V CKMus sL + V CKM

ub bL

smixL = V CKM

dd dL + V CKMds sL + V CKM

db bL

bmixL = V CKM

bd dL + V CKMbs sL + V CKM

bb bL

Il mescolamento dei sapori, ovvero una matrice V CKM diversa dall’identita,e la conseguenza del fatto che le matrici unitarie V up

L e V downL sono diverse.


La Corrente Neutra “Mescolata”La corrente elettromagnetica in termini dei campi “non primati” e diagonale nei saporidei quark.

jµem = 23

∑U=u,c,t

U′γµU′+(− 1

3

) ∑D=d,s,b

D′γµD′

= 23

[U ′LγµU ′L +U ′RγµU ′R

]+(− 1

3

) [D′LγµD′L +D′RγµD′R

]= 2

3

[ULγ

µUL + URγµUR

]+(− 1

3

) [DLγ

µDL +DRγµDR

]jµem(x) =

∑q

eq q(x)γµq(x)

La corrente neutra.

jµn = 2 jµW3 − 2 sin2(θW )jµem = U ′LγµU ′L −D′LγµD′L − 2 sin2(θW )jµem

=ULγµUL −DLγ

µDL − 2 sin2(θW )jµem

E diagonale nei sapori dei quark.

jµn (x) =∑

q=u,c,t

qL(x)γµqL(x)−∑

q=d,s,b

qL(x)γµqL(x)− 2 sin2(θW )jµem(x)


Le Masse dei LeptoniLa lagrangiana di Yukawa per i campi dei leptoni.

LlepY = −

√2

v

∑l=e,µ,τ

3∑k=1

L′kL M lepkl l′R Φ + c.h.

M lep e una matrice complessa 3× 3.

Dopo la rottura di simmetria.

LlepY = −Λ′L M lep Λ′R

(1 +

Hv

)+ c.h. Λ′L,R =

e′L,Rµ′L,Rτ ′L,R

La matrice delle masse M lep e diagonalizzata delle matrici unitarie UL e UR .

M lep = ULmlepU†R mlep = diag (me,mµ,mτ )

Il termine di massa e il primodella lagrangiana.

LlepY = −ΛmlepΛ

(1+

Hv

)ΛL,R = U†L,RΛ′L,R

ΛL +ΛR = Λ =

eµτ


Le Correnti LeptonicheLa corrente carica negli autostati di massa e

jαch = 2∑

l=e,µ,τ

ν′ lLγαl′L ≡ 2 ν′LγαΛ′L

= 2 ν′LULγαU†L Λ′L = 2 νLγ

αΛL

νL = U†Lν′L =

νeLνµLντL

La correnteelettromagnetica

jαem =∑

l=e,µ,τ

(−1)l′γαl′ = −Λ′LγαΛ′L − Λ′Rγ

αΛ′R

=−Λ′LULγαU†L Λ′L − Λ′RURγ

αU†RΛ′R = −ΛγαΛ

La correnteneutra

jαn = ν′Lγαν′L − Λ′Lγ

αΛ′L − 2 sin2(θW ) jαem= ν′LULγ

αU†Lν′L − Λ′LULγ

αU†L Λ′L − 2 sin2(θW ) jαem= νLγ

ανL − ΛLγαΛL − 2 sin2(θW ) jαem

I termini cinetici della lagrangiana

Lcin = Λ′iγα∂αΛ′ + ν′Liγα∂αν′L = Λiγα∂αΛ + νLiγα∂ανL


Il Modello Standard con mν = 0I Nella lagrangiana del Modello Standard ci sono solo i neutrini sinistrorsi, quindi

con il meccanismo di Higgs non e possibile generarne la massa.I Il Modello Standard ”originale” e stato costruito per neutrini con massa nulla.

Ne consegue che la lagrangiana e invariante per trasformazioni di gauge globali ei∆k .

νkL(x)→ ei∆k νkL(x) l(x)→ ei∆k l(x) q(x)→ q(x)

Le fasi ∆k (k = e, µ, τ ) sono costanti e arbitrarie, diverse per le diverse famiglie.

L’invarianza implica la conservazione dei numeri quantici leptonici Lk .

∑i Li

e = cost.∑i Liµ = cost.∑

i Liτ = cost.

Numeri quantici leptoniciνe, e− νµ, µ− ντ , τ− quark, W , Z , γ

Le 1 0 0 0Lµ 0 1 0 0Lτ 0 0 1 0

I La legge di conservazione dei numeri quantici leptonici e violata dalleoscillazioni dei neutrini, ovvero dalla presenza di masse non nulle.

I Questo fenomeno rappresenta la prima evidenza di fisica oltre il ModelloStandard.


Generazione delle Masse dei Neutrini1La lagrangiana di Yukawa con i neutrini destrorsi.

LνY = −√

2v

∑l=e,µ,τ

3∑k=1

L′kL M′νkl ν′lR Φ + c.h.

M′ν e una matrice complessa 3× 3 e Φ e il coniugato del doppietto di Higgs.

Con la rottura di simmetria, Φ→ Φ0, la contrazione seleziona gli spinori conTW3 = +1/2.

LνY = −ν′L M′ν ν′R

(1 +

Hv

)+ c.h. ν′L,R =

ν′eL,eRν′µL,µRν′τL,τR

Il termine di massa di Dirac ottenuto usando la definizione νL = U†Lν′L.

LνY,Dirac =−ν′LM′νν′R+c.h.=−νLU†L M′νν′R+c.h.≡−νLMνν′R+c.h. Mν = U†L M′ν

La matrice Mν puo essere diagonalizzata con due opportune matrici unitarie U e V .

Mν = U mνV † mν = diag (m1,m2,m3) m1,m2,m3 > 0


Generazione delle Masse dei Neutrini2Lagrangiana con i termini di massa di Dirac dei quark.

LνY,Dirac = −νLMνν′R+c.h. = −νLU mνV †ν′R+c.h. ≡ −νmL mννm

R +c.h. = −νmmννm

Gli autostati di massa νmL,R si ottengono a partire dagli stati “primati” per mezzo delle

trasformazioni unitarie UL, U e V .

νmL = U†νL = U†U†Lν

′L νm

R = V †ν′R νm = νmL + νm

R

Gli autostati “di sapore” sinistrorsi sonocombinazioni lineari ”unitarie” degliautostati di massa.

νkL =3∑

i=1

UkiνmiL (k = e, µ, τ)

Anche gli autostati destrorsi “primati”sono combinazioni lineari ”unitarie”degli autostati di massa.

ν′kR =3∑

i=1

VkiνmiR (k = e, µ, τ)

La lagrangiana e invariante per trasformazioni di gauge globali.

νmlL (x)→ ei∆νm

lL (x) νmlR(x)→ ei∆νm

lR(x) l(x)→ ei∆l(x)

∆ e una fase arbitraria, costante e uguale per tutti i sapori.

Si conserva il numero leptonico totale∑

i

(Lie + Li

µ + Liτ ) ≡

∑i

Li = cost.


Alcune considerazioniIl Modello Standard non prevede vincoli per gli accoppiamenti di Yukawa

⇓Le masse fermioniche sono parametri liberi della teoria

Masse di quark e leptoniI mu = 1.5− 3.3 MeV md = 3.5− 6.0 MeV me = 0.511 MeV ν1 ≤ 2.2 eVII mc ' 1300 MeV ms ' 100 MeV mµ = 105.66 MeV ν2 ≤ 2.2 eVIII mt ' 173000 MeV mb ' 4300 MeV mτ = 1777 MeV ν3 ≤ 2.2 eV

I Gli ordini di grandezza di differenza tra le masse delle diverse famiglie rendonomolto improbabile l’ipotesi che il meccanismo di generazione delle masse deineutrini da una parte, e dei leptoni carichi e quark, dall’altra, sia lo stesso.

I Le masse dei neutrini potrebbero essere generate da meccanismi basati sufenomeni fisici non descritti dal Modello Standard.

La cancellazione delle anomalie chiarli del Modello Standard implica che la sommadelle cariche elettriche dei campi doppietti di SU(2)L sia nulla.

3[

23

+

(−

13

)]Nquark

f +[0+ (−1)

]N leptoni

f = 0 ⇒ Nquarkf = N leptoni

f

Nquarkf e N leptoni

f sono i numeri di famiglie di quark e leptoni.


Il termine di Massa di DiracAssumendo la presenza delle componenti destrorse dei campi di sapore dei neutrini,e possibile includere nella lagrangiana un termine di massa di Dirac, con una matricedi massa, MD, 3× 3 e complessa.

LD(x) = −∑

k,l=e,µ,τ

νkL(x)MDklνlR(x) + c.h.

La lagrangiana e invariante per trasformazioni di gauge globali (fase ∆).

νlL,R(x) → ei∆ νlL,R(x)l(x) → ei∆ l(x)

q(x) → q(x)

⇒Numero leptonico totale∑

i

(Lie +Li

µ+Liτ ) = cost.

Diagonalizzazione biunitaria: MD = U†mV , con U e V unitarie e mij = δij mi , mi > 0.Gli autostati di sapore sono rappresentati nella base degli autostati di massa.

νlL(x) =∑3

i=1 UliνiL(x)

νlR(x) =∑3

i=1 VliνiR(x)(l = e, µ, τ) ⇒ LD(x) = −

3∑k=1

mkνk (x)νk (x)

I I campi νi (x) (i = 1, 2, 3) rappresentano gli autostati di massa mi .I I campi νlL(x) (l = e, µ, τ ) che entrano nelle correnti sono mescolati.I La matrice U che mescola gli stati di massa per dare quelli di sapore e la matrice

di Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS).


Il Termine di Massa di Majorana1La matrice unitaria C, che rappresenta l’operatoreconiugazione di carica, e definita dalla sua azionesulle matrici di Dirac.

CγTµC−1 = −γµCT = −C

I campi coniugati delle componenti sinistrorse e destrorse sono ancora autostati conchiralita definita ma con autovalori inversi.

γ5νlL,lR = ∓νlL,lR νClL,lR = C νT

lL,lR γ5νClL,lR = ±νC

lL,lR

Un termine di massa e un bilineare, invariante di Lorentz, di componenti destrorse esinistrorse. Definiamo la lagrangiana di massa di Majorana.

LM = −12

∑k,l=e,µ,τ

νkLMMklν

ClL + c.h. = −

12

∑k,l=e,µ,τ

νkLMMklC νT

lL + c.h.

La matrice MM e simmetrica. MM =(MM)T

∑k,l νkLMM

klC νTlL =

∑k,l∑α,β (νkL)α MM

klCαβ (νlL)β= −

∑k,l∑α,β (νlL)β MM

klCαβ (νkL)α (νkL e νlL anticommutano)

= −∑

k,l∑α,β (νlL)β MM

kl

(CT )

βα(νkL)α

=∑

k,l∑α,β (νlL)β MM

klCβα (νkL)α (CT = −C)

=∑

k,l νkL

((MM)T

)kl

C νlL (l→ k , k → l)


Diagonalizzazione di una Matrice SimmetricaUn matrice complessa e simmetrica, M = MT , puo essere diagonalizzata per mezzodi due opportune matrici unitarie W e V , M = W m V†, con mij = δij mi e mi > 0.Consideriamo i prodotti

MT MT† = V †T mW (V †T mW )† = V †T mWW †mV †T† = V †T m2V †T† = V †T m2V T

MM† = UmV †VmW † = Wm2W †

M e simmetrica: V †T m2V T=Wm2W † ⇒ V †Tm2V TW =Wm2 ⇒ m2V TW =V TWm2

[V T W ,m2] = 0

La matrice S ≡ V T W e unitaria, in quanto prodotto di matrici unitarie. La condizione dicommutazione implica(

S m2)ij −

(m2 S

)ij = 0

Sik(m2)

kj −(m2)

il Slj = 0

Sij

(m2

j −m2i

)= 0

⇒Se mi 6= mj per i 6= j , S e diagonale, essendounitaria, si riduce ad una fase diagonale.

Sij (α) = eiαi δij

Dalla definizione di S si ottiene un’espressione per V† e la realzione tra M e m.

S = V T U ⇒ S W † = V T ⇒ W †T S = V ⇒ S†W T = S∗W T = V †

M =WmV †=WmS∗(α)UT=WS∗(α

2

)mS∗

(α2

)W T≡ UmUT U = WS∗

(α2

)S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia I neutrini, Dinamica del Modello Standard 18/48

Il Termine di Massa di Majorana2La matrice di massa simmetrica di Majorana e diagonalizzata dalla matrice unitaria U:MM = U m UT , mij = δij mi e mi > 0. Si ottiene la lagrangiana

LM =−12

∑k,l=e,µ,τ

νkL

(U m UT

)kl

C νTlL + c.h.

=− 12ν

M m νM = −12

3∑k=1

mk νkνk

νL=

νeLνµLντL

νM=U†νL +(U†νL)C =

ν1ν2ν3

Gli spinori νk sono gli autostati di massa mk e verificano la condizione di Majorana(

νM)C= νM ⇔ neutrino ≡ antineutrino

A differenza dai neutrini di Dirac che hanno componenti sinistrorse e destrorseindipendenti, per i neutrini di Majorana vale la relazione

νCkL=

( 1−γ5

2νk

)C= C

1+γ5T

2ν

Tk ={

Cγ5TC−1 = γ

5}

=1+γ5

2CνT

k =1+γ5

2ν

Ck =

1+γ5

2νk =νkR

I La lagrangiana di massa LM non e invariante per trasformazioni di gauge globaliνL → ei∆νL e νC

L → e−i∆νCL .

I Il numero leptonico, che permetteva nel caso di Dirac di distinguere tra neutrino eantineutrino, non e conservato.


Il Termine Cinetico di MajoranaIl termine cinetico e definito con sulla base degli autostati di massa di Majorana νM.

L0 =∑

k=e,µ,τ

νkLiγµ∂µνkL = νLiγµ∂µνL = νML iγµ∂µνM

L =3∑

i=1

ν iLiγµ∂µνiL

Sfruttando la relazione

ν iLiγµ∂µνiL = −∂µνTiL iγT

µνTiL = −∂µ νT

iLC†︸︷︷︸−νC

iL

i C γTµC−1︸︷︷︸−γµ

C νTiL︸︷︷︸

νCiL

= −∂µνCiL iγµνC

iL

= −∂µ(νC

iL iγµνCiL

)+ νC

iL iγµ∂µνCiL...= νC

iL iγµ∂µνCiL

la lagrangiana diventa

L0 =12

3∑i=1

ν iLiγµ∂µνiL+12

3∑i=1

νCiL iγµ∂µνC

iL =12

3∑i=1

ν i iγµ∂µνiCampi di Majoranaνi = νiL + νC

iL

La lagrangiana libera totale contiene solo campi sinistrorsi

L =12

3∑i=1

ν i (iγµ∂µ − mi ) νi


Termine di Massa di Dirac e MajoranaIl termine di massa piu generale con componenti sinistrorse “attive” e destrorse “sterili”.

LD+M = −12νLMM

L νCL − νLMDνR −

12νC

R MMR νR + c.h. = −

12

nLMD+MR nC

L + c.h.

nL =

(νLνC

R

)MD+M =

(MM

L MD(MD)T MM

R

) MML 3× 3 simmetrica

MMR 3× 3 simmetrica

MD 3× 3 non-diagonale

MD+M 6× 6 simmetrica

MD+M e simmetrica e diagonalizzabile con una sola matrice unitaria U, come:MD+M = U m UT , con mij = δij mi (i, j = 1, . . . , 6) e mi > 0. La lagrangiana diventa

LD+M = −12

nLMD+MR nC

L + c.h. = −12

nLUmUT nCL + c.h. = −

12

6∑i=1

miνiMνM

i

Campo di Majorana

νM = νML +

(νM

L

)C=

νM

1...νM

6

νM

L = U†nL(νM)C

= νM

I campi νlL e νClR sono legati alle componenti

sinistrorse dei campi di Majorana dalla trasfor-mazione unitaria U.

νlL =6∑

i=1

UliνMiL

(l = 1, 2, 3)

νClR =

6∑i=1

UliνMiL

(l = 4, 5, 6)


Il Meccanismo “Seesaw”1Basato sul concetto di massa Dirac-Majorana rappresenta uno deipiu naturali meccanismi per la generazione delle masse dei neutrini.

La matrice simmetrica MD+M nel caso di una sola famiglia hadimensione 2× 2 ha quindi 3 parametri: le masse sinistrorsee destrorse di Majorana ML e MR , e la massa di Dirac mD .

MD+M =

(ML mDmD MR

)Assumiamo che:

ML = 0 Non ci sono neutrini di Majorana sinistrorsi.

mD ∼ mq,l La massa di Dirac e generata dal meccanismo di Higgs.

MR � mD Il termine di massa MR di Majorana, non vincolato dalla teoria, viola laconservazione del numero leptonico alla scala elettrodebole.

Le masse di Majorana sono

m1 =−MR2 +

mR2

√1+

4m2D

m2R'

m2D

MR� mD

m2 =MR2 +

mR2

√1+

4m2D

m2R' MR � mD

I “mescolamenti”

nL =

νL

νCR

=

i νM

1L +mD

MRνM

2L

−imD

MRνM

1L + νM2L

N.B. L’unita immaginaria e conseguenza dellarichiesta di positivita del segno di m1.


Il Meccanismo “Seesaw”2

Il meccanismo seesaw mette in relazione la differenzatra le masse dei neutrini e dei fermioni carichi con unaviolazione della conservazione del numero leptonicoad una scala di energia data dal valore di MR .

Il fattore di soppressione mD/MR e dell’ordine del rapporto tra la scale elettrodebolee l’energia a cui si verifica la violazione.

Usando per la massa di Dirac MR la massa del quark “top”, mD ' 170 GeV, e permassa “leggera” di Majorana m1 = 0.05 eV, si ottiene

m2 ' MR =m2

Dm1' 0.6× 1015 GeV

Affinche il meccanismo seesaw sia realizzato in natura devono verificarsi le seguenticondizioni.I I neutrini sono particelle di Majorana.I Le masse dei neutrini sono molto piu piccole di quelle degli altri leptoni e quark.I Devono esistere i partner pesanti.


Cosa sappiamo

Gli autostati di sapore dei neutrini, νeL(x), νµL(x) e ντL(x), che entrano nella la-grangiana sono combinazioni lineari, “mescolamenti”, di autostati di massa νiL(x) conmassa mi (i = 1, 2, 3). Questo mescolamento e definito da una matrice unitaria U.

νkL(x) =3∑

i=1

Uki νiL(x) (k = e, µ, τ)

I Non conosciamo il meccanismo di generazione delle masse.

I Non sappiamo se i neutrini siano particelle di Dirac o di Majorana.

I Sappiamo pero, dalle osservazioni sperimentali, che ci sono fenomeni dimescolamento e quindi oscillazione dei sapori.

La matrice di mescolamento e una matrice unitaria 3 × 3 le sue proprieta giocanoun ruolo fondamentale nella comprensione dei fenomeni di oscillazione indipendente-mente dalla natura dei neutrini.


Parametrizzazione 3× 3La matrice 3× 3 di mescolamento deineutrini di Dirac ha, come la matriceCKM, 3 angoli ed una sola fase

nθ = n(n − 1)/2 = 3nDφ = (n − 1)(n − 2)/2 = 1

Dall’invarianza per trasformazioni di CP si ottiene che l’unica fase fisica deve esserenulla, quindi, se CP e conservata, la matrice di mescolamento e reale.

U=

c13c12 c13s12 s13e−iδ

−c23s12 − s23c12s13eiδ c23c12 − s23s12s13eiδ c13s23s23s12 − c23c12s13eiδ −s23c12 − c23s12s13eiδ c13c23

sij =sin θijcij =cos θijij = 12, 23, 13

I θ12, θ23 e θ13, sono gli angoli di “mixing” che variano nell’intervallo [0, π].I δ e la fase responsabile della conservazione di CP definita in [0, 2π].

La matrice di mescolamentodi Majorana e caratterizzatada 3 angoli e 3 fasi.

UM = U(θ12, θ23, θ13, δ)

eiα1 0 00 eiα2 00 0 1

I θ12, θ23 e θ13, sono gli angoli di “mixing” che variano nell’intervallo [0, π].I α1, α2 e δ sono le fasi responsabili della conservazione di CP definite in [0, 2π].

Si conserva CP se

e2iαj = ±1, (j = 1, 2) e2iδ = ±1


Stati di Sapore1

Consideriamo il decadimento debole di un adrone h1 in un adrone h2 con emissionedi un leptone l+ (l = e, µ, τ ) e un neutrino νl.

h1 → h2 + l+ + νl

La lagrangiana di interazione che descrive questo processo e

LI,ch =g

2√

2jµchWµ + c.h.

La corrente carica e scritta in termini degli autostati di sapore νlL (l = e, µ, τ ).

jµ†ch = 2∑l

lLγµνlL = 2

∑l

∑i

lLγµUliνiL

I campi νiL sono gli autostati di massa, U e la matrice di mixing.

Il vettore dello stato finale e una combinazione degli autostati di massa.

|stato finale〉 =3∑

i=1

〈νi l+h2|S|h1〉|νi l

+h2〉

S e la matrice dello scattering.


Stati di Sapore2I Il neutrino νi si trova in un autostato |νi 〉 di massa mi e quadrimomento pi = (Ei , ~pi ).I Dalle osservazioni sperimentali si ottiene il limite per la massa: mi . 2.2 eV.I Nella maggior parte dei processi del tipo considerato le energie sono > 1 MeV.

m2i

E2i∼ 10−12 ⇒ |~pi | ' Ei

(1−

m2i

2E2i

)' Ei

Gli autostati di sapore {|νk 〉}k=e,µ,τ e di massa{|νi 〉}i=1,2,3 sono basi ortonormali di unostesso spazio di Hilbert.

|νl〉 =3∑

i=1

U∗li |νi 〉〈νk |νl〉 = δkl

〈νi l+h2|S|h1〉 ' U∗li 〈νll

+h2|S|h1〉MS

A meno di termini di ordine O(m2i /E2

i ),l’ampiezza 〈νi l

+ h2|S|h1〉 e proporzionaleall’ampiezze 〈νll+h2|S|h1〉MS, calcolatanell’ambito del Modello Standard (mi = 0).

|stato finale〉 =3∑

i=1

〈νi l+h2|S|h1〉|νi l

+h2〉 ' 〈νll+h2|S|h1〉MS |νll+h2〉

L’autostato di sapore del neutrino e unasovrapposizione degli autostati di massa.

3∑i=1

U∗li |νi l+h2〉 = |νll+h2〉


Stati di Sapore3La relazione fondamentale della teoria delle oscillazioni |νl〉 =

∑3i=1 U∗li |νi 〉 vale solo

se si assume che le masse dei neutrini siano trascurabili. Si dimostra che in unprocesso debole e impossibile distinguere le masse dei neutrini emessi.

Si consideri ad esempio il decadimento a riposo del pione negativo: π− → µ− + νi .La differenza tra i momenti di due neutrini con masse diverse e

∆pij = |~pi − ~pj | ' |m2i −m2

j |mπ

m2π −m2

µ

≡ ∆m2ij

mπm2π −m2

µ

Dal principio di indeterminazione di Heisenberg, siottiene l’incertezza sul momento del neutrino in terminidella dimensione d del pacchetto d’onda del pione.

(∆p)H ∼ d−1H

Il valore sperimentale della piu grande differenza di massa e

∆m223 ' 2.4× 10−3 eV2 ⇒ d−1

23 = ∆p23 = (1.7× 102 km)−1

da cui∆p23 � (∆p)H

Il ∆p necessario per distinguere differenze di massa come quelle osservate e ordinidi grandezza piu grande di quello fisicamente ottenibile secondo il principi di indeter-minazione di Heisenberg.


Oscillazioni1In meccanica quantistica l’evoluzione temporale di una funzione d’onda e descrittadall’equazione di Schrodinger.

i∂|ψ(t)〉∂t

= H|ψ(t)〉 |ψ(t)〉 = e−iHt |ψ(0)〉

Nel caso dei neutrini (l = e, µ, τ )

|ψ(0)〉 = |νl〉 H|νi 〉 = Ei |νi 〉 Ei =√~p2

i + m2i

Dalle relazione

|νl〉 =3∑

i=1

U∗li |νi 〉

per neutrini sinistrorsi e antineutrini destrorsi si hanno

|νl〉t = e−iHt |νl〉 =3∑

i=1

e−iEi t U∗li |νi〉 |νl〉t = e−iHt |νl〉 =3∑

i=1

e−iEi t Uli |ν i〉

Le energie Ei sono in generale diverse, ovvero lefasi delle diverse componenti di massa cambianonel tempo =⇒ lo stato |νl〉t non e stazionario.


Oscillazioni2I neutrini vengono “osservati” attraverso la loro interazione con la materia che avvienecon processi di corrente carica e neutra. Ad esempio: un neutrino viene assorbito daun nucleo N con la produzione di un leptone l′ e un nuovo nucleo X : νi + N → l′ + X .Nel limite di massa nulla l’ampiezza per questo processo di corrente carica e

〈l′X |S|νi N〉 ' Ul′ i 〈l′X |S|νl′N〉MS

〈l′X |S|νl′N〉MS e l’ampiezza per il processo νl′ + N → l′ + X calcolato con mνl′ = 0.

L’ampiezza ditransizioneνl → νl′

A(νl→νl′) =〈νl′ |νl〉t =〈νl′ |3∑

i=1

e−iEi t U∗li |νi〉=3∑

i=1

Ul′ i e−iEi t U∗li

I U∗li descrive la transizione |νl〉 → |νi 〉.I e−iEi t descrive l’evoluzione temporale di |νi 〉.I Ul′i descrive la transizione |νi 〉 → |νl′ 〉.

Consideriamo l’ampiezza della reazione νl′ + N → l′′ + X nel limite di massa nulla〈l′′X |S|νl′N〉=

∑i 〈l ′′X |S|νi N〉U∗l′ i

' 〈l′′X |S|νl′′N〉MS∑

i Ul′′ i U∗l′ i = δl′l′′〈l′′X |S|νl′′N〉MS

Nel limite mi → 0 il numero leptonico e conservato famiglia per famiglia.


Oscillazioni3Ampiezza e probabilita di transizione nel caso in cui le energie Ei siano tutte uguali.

A(νl→νl′ )=3∑

i=1

Ul′ i e−iEi t U∗li =e−iEtδll′ P(νl→νl′ )=

∣∣∣∣∣3∑

i=1


∣∣∣∣∣2

=δll′

L’unitarieta, ovvero la conservazione della propabilita, si ottiene come conseguenzadell’unitarieta della matrice U.∑

l′P(νl → νl′) =

∑l′

3∑i,j=1

Ul′ i e−iEi t U∗li U

∗l′ j e

iEj t Ulj

=3∑

i,j=1

δij e−i(Ei−Ej )t U∗li Ulj =

3∑i=1

U∗li Uli = U†U = 1

Invarianza CPT: P(νl→νl′ ) = P(νl′→νl) =⇒l=l′

P(νl → νl) = P(νl → νl)

Invarianza CP: P(νl→νl′ ) = P(νl→νl′ ) ⇐=

{Uli = U∗li DiracUli = ±U∗li Majorana


Oscillazioni4La probabilita di transizione νl → νl′ puo essere posta nella forma (con j fissato)

P(νl → νl′ ) =

∣∣∣∣∣3∑

i=1


∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣3∑

i=1

Ul′ i e−i(Ei−Ej )t U∗li

∣∣∣∣∣2

Lo stato νi e caratterizzato dal quadrimomento pi = (Ei , ~pi ) poiche: m2i /~p

2i � 1

~p2i ' p2 = E2 ⇒ Ei ' p+

m2i

2p⇒ Ei−Ej '

∆m2ji

2E∆m2

ji = m2i −m2

j

Il tempo t rappresenta la differenza tra l’istante di produzione e quello di osservazione,quindi per un neutrino relativistico: t ∼ L . L e distanza tra il punto di produzione equello di osservazione. La probabilia di transizione diventa

P(νl → νl′ ) =

∣∣∣∣∣3∑

i=1

Ul′ i e−i

∆m2ji

2E LU∗li

∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∣δll′ +∑i 6=j

Ul′ i

(e−i

∆m2ji

2E L − 1

)U∗li

∣∣∣∣∣2

Ancora dall’espressione della probabilita

P(νl → νl′ ) =∑

n∑

i Ul′ i U∗l′nU∗li Ulne−i∆m2

ji2E Lei

∆m2jn

2E L =∑

n∑

i Ul′ i U∗l′nU∗li Ulne−i∆m2

ni2E L

=∑

i |Ul′ i |2 |Uli |2 + 2Re

∑i>n Ul′ i U∗l′nU∗li Ulne−i

∆m2ni

2E L


Oscillazioni di Due Neutrini1Consideriamo solo due autostati di massa con m1 < m2, la matrice unitaria di mixing Ue quindi 2× 2 e si ha: νl =

∑i=1,2 Uliνi . La probailita di transizione e

P(νl → νl′ ) =

∣∣∣∣δll′ + Ul′2

(e−i ∆m2

2E L − 1)

U∗l2

∣∣∣∣2 ∆m2 ≡ ∆m212 = m2

2 −m21

Nel caso l 6= l′

P(νl → νl′ ) = 2 |Ul′2|2 |Ul2|2[

1− cos(

∆m2

2EL)]

Se si hanno neutrini di Dirac, con n = 2 la matrice di mixing U e reale, non ci sono fasie CP e automaticamente conservata. Se i neutrini sono di Majorana si ha una solafase di CP. Tale fase non entra nella definizione della probabilita di transizione.

Nel caso in cui U sia reale e data da: U =

(cos(θ) sin(θ)− sin(θ) cos(θ)

)La probabilita per l 6= l′ e

P(νl → νl′ ) = sin2(2θ) sin2(

∆m2

4EL)

Quindi la probabilita di non oscillazione

P(νl → νl) = 1− P(νl → νl′ ) = 1−12

sin2(2θ)

[1− cos

(∆m2

2EL)]


Oscillazioni di Due Neutrini2Abbandonando le unita standard } = c = 1 si ottiene (l 6= l′)

P(νl → νl′ ) = sin2(2θ) sin2(

∆m2

4EL)

= sin2(2θ) sin2(

∆m2c4

4E}cL)

= sin2(2θ) sin2(

1.27∆m2

EL)

con ∆m2 espresso in eV2, E in MeV (GeV) e L in m (km).

Si puo inoltre definire

P(νl → νl′ ) = sin2(2θ)sin2(

2πL

Losc

) Lunghezza di oscillazione

Losc ≡ 4πE}c

∆m2c4= 2.47

E∆m2

m

Assumendo sin2(2θ) = 1 (valore in accordo con i dati sperimentali), la probabilita

P(νµ → νe) = sin2(

1.27∆m2

EL)

come funzione di L/E e massima e minima rispettivamente in

LE

=nπ

1.27∆m2LE

=(n + 1/2)π

1.27∆m2(n = 0, 1, . . .).


Neutrini nella Materia1I La presenza di materia e quindi l’interazione dei neutrini con essa possono

avere effetti importanti sul fenomeno di oscillazione.I L’hamiltoniana ha un termine d’interazione neutrino-materia Hm aggiuntivo.I Gli stati di massa del vuoto |νi〉 non sono piu autostati di Hm.

Nel caso di due sole famiglie νe,µ l’angolo di mescolamento e gli autostati di energiacambiano per effetto della materia, θ → θm e |ν1,2〉 → |νm

1,2〉 e gli stati di sapore sono

|νe〉 = cos θm|νm1 〉+ sin θm|νm

2 〉 |νµ〉 = − sin θm|νm1 〉+ cos θm|νm

2 〉

sin 2θm =tan 2θ√(

1−Ne/N rise)2

+tan2(2θ)cos 2θm =

1−Ne/N rise√(

1−Ne/N rise)2

+tan2(2θ)

Ne e la densita di elettroniN ris

e e la densita di risonanza(∆m2 cos 2θ > 0)

N rise =

∆m2 cos 2θ

2E√

GF'7·106 ∆m2[eV2]

2E [MeV]cos 2θ cm−3NA

La differenza tra le energiedegli stati |νm

1,2〉 e Em2 −Em

1 =∆m2

2E

√(1−Ne/N ris

e)2cos2(2θ)+sin2(2θ)

La probailita di transizionecon Lm = 2π/(Em

2 −Em1 )

Pm(νe → νµ)=12

sin2(2θm)

[1− cos

(2π

LLm

)]S. Pacetti, Dipartimento di Fisica e Geologia I neutrini, Dinamica del Modello Standard 35/48

Neutrini nella Materia2I sin 2θm ha un comportamento di tipo risonanza come funzione di Ne.I Per Ne = N ris

e si ha sin2(2θm) = 1 indipendentemente dal valore di θ (> 0).I Le oscillazioni νe ↔ νµ possono essere amplificate anche quando nel vuoto

sono soppresse da piccoli valori di θ.

Le condizioni di risonanza si raggiungono quando E = Eris e quindi

Ne = N rise ≡

∆m2 cos 2θ

2Eris√

GF, Lris

m =Lvuoto

sin 2θ

sin2(2θm), come funzione di E , ha uncomportamento risonante conI picco in E = Eris

I larghezza dipendente dall’angolo θ

Ne � Nrise ⇒ θm ' θ e Lm ' Lvuoto

I neutrini oscillano come nel vuoto

Ne � Nrise ⇒ θm ' π

2La presenza di materia sopprime

le oscillazioni infatti: Pm(νe→νµ)' 0|νe〉 ' |νm

2 〉 |νµ〉 ' −|νm1 〉

0

0.25

0.5

0.75

1

0 1 2 3E/Eris

sin2

(2θ

m)

��

θcre

scen

te

sin2(2θm) =tan2(2θ)(

1−Ne/Nrise)2

+tan2(2θ)


Migliori Valori dei Parametri (2012)Mettendo insieme i dati solari e quelli atmosferici si ottengono i seguenti valori.

∆m212 = 7.65× 10−5 eV2 7.05× 10−5 eV2 ≤ ∆m2

12 ≤ 8.34× 10−5 eV2

sin2 θ12 = 0.304 0.25 ≤ sin2 θ12 ≤ 0.37

∆m232 = 2.40× 10−3 eV2 2.07× 10−3 eV2 ≤ ∆m2

32 ≤ 2.75× 10−3 eV2

sin2 θ23 = 0.5 0.36 ≤ sin2 θ23 ≤ 0.67

|∆m213| ' 2.40× 10−3 eV2 90% L.C.

sin2 θ13 < 0.035 90% L.C.

Tutti i dati sono ancora compatibili con tre ipotesi di massa.

I Gerarchia normale: m1 � m2 < m3 m2 '√

∆m2�, m3 '

√|∆m2

A|

I Gerarchia inversa: m3 � m1 < m2 m1,2 '√|∆m2

A| ∼ 0.05 eV

I Masse quasi degeneri: m1 ' m2 ' m3 ' m0 m0 & 0.10 eV


Ampiezze di Dirac e MajoranaI Tutti i dati concordano con l’ipotesi che ci siano tre neutrini con massa cosı come

sone tre gli autostati di sapore.I Il mescolamento e descritto dalla matrice unitaria PMNS. Gli autostati sinistrorsi di

sapore νfL si ottengono da quelli di massa νiL.

νfL =∑3

i=1 Ufi νiL f = e, µ, τI Gli autostati di massa possono essere di Dirac o di Majorana o misti.

La matrice PMNS di Dirac UD dipendeda tre angoli ed una fase complessa. UD(θ12, θ23, θ13, δ)

La matrice PMNS di Majorana UM dipende da tre angoli ed tre fasi complesse.

UM(θ12, θ23, θ13, δ, α1, α2) = UD(θ12, θ23, θ13, δ) diag(

eiα1 , eiα2 , 1)

UMfi = UD

fi eiαi f = e, µ, τ i = 1, 2, 3 (α3 = 0)

L’ampiezza di Majorana dalla transizione νf → νf ′ coincide con quella di Dirac.

AM (νf → νf ′ ) =3∑

j=1

UMf ′ j e−iEj t UM∗

fj =3∑

j=1

UDf ′ j e

iαj e−iEj t e−iαj UD∗fj = AD (νf → νf ′ )

L’ampiezza non dipende dalla fasi di Majorana α1, α2.Lo studio delle oscillazioni non permette di stabilire la natura dei neutrini.


Violazione di CP1La probabilita di oscillazione Pνf νf ′

per gli antineutrini si ottiene da quella per ineutrini, Pνf νf ′ , con la sostituzione U → U∗.

Pνf νf ′=

∣∣∣∣∑i

Uf ′ i e−i

∆m2ki

2E LU∗fi

∣∣∣∣2 ⇒ Pνf νf ′=

∣∣∣∣∣∑i

U∗f ′ i e−i

∆m2ki

2E LUfi

∣∣∣∣∣2

Aff ′ = Pνf νf ′−Pνf νf ′= 2

∑i,j

Im(

Ufi U∗f ′ i Uf ′ j U∗fj

)sin

(∆m2

ij

2EL

)

Rff ′ =Pνf νf ′+Pνf νf ′

2−δff ′ =

∑i,j

Re(Ufi U∗f ′ i Uf ′ j U

∗fj

)[cos

(∆m2

ij

2EL

)−1

]AmpiezzaCP-odd

AmpiezzaCP-even

Con due sapori e due autostati di massa l’ampiezza dispari e nulla.

Aff ′=4Im(Uf1U∗f ′1Uf ′2U∗f2

)sin

(∆m2

122E

L

)= −4Im

(|Uf1U∗f ′1|

2)

sin

(∆m2

122E

L

)= 0

I La matrice di mescolamento 2× 2 di Dirac dipende da un solo angolo θ, non hafase complessa e quindi conserva CP.

I Le fasi aggiuntive di Majorana non influenzano le oscillazioni, quindi anche lamatrice di mescolamento 2× 2 di Majorana conserva CP.


Violazione di CP2L’ampiezza CP-odd con tre sapori e tre autostati di massa, per una oscillazione disapore effettiva, f → f ′ 6= f , ha la stessa forma per ogni coppia f , f ′.

Aff ′ = εsff ′sin (δ) sin (2θ12) sin (2θ23) sin (2θ13) cos (θ13)

[sin

(∆m2

21

2EL

)+sin

(∆m2

13

2EL

)+sin

(∆m2

32

2EL

)]

Contiene solo due differenze di massa indipendenti.Il tensore di Levi-Civita annulla l’ampiezza se f = f ′, definisce il ”segno” per f 6= f ′.

I Invarianza CPT. Pνf νf ′ = Pνf ′νf ⇒ Aff ′ = −Af ′f ⇒ Aff = 0

I Si ha una sola ampiezza CP-odd.

Aeµ = Aµτ = Aτe

∑f =e,µ,τ

Aff ′ = 0

I Il termine Im(

Ufi U∗f ′ i Uf ′ j U∗fj)

di Aff ′ e quindi l’ampiezza stessa sono invarianti per

trasformazioni Ufi → U′fi = e−iαf Ufi eiβi con αf e βi costanti arbitrarie.

I Associando a questa trasformazione della matrice U, le trasformazioni dei campi:

νi (x)→ ν′i (x) = e−iβνi (x) f (x)→ f ′(x) = e−iαf f (x)

La corrente caricarimane invariata.

Jµch = 2∑

if

ν iLU∗fi γµfL = 2

∑if

ν′ iLU′∗fi γµf ′L


Bariogenesi dalla Leptogenesi1La materia presente nell’Universo e predominantemente di un solo tipo, comunementedefinita materia ed e costituita da protoni, neutroni ed elettroni.

L’asimmetria barionica ηBquantifica questa realta.

ηb =nB − nB

nγ' 6×10−10

nB = densita di barionin

B= densita di antibarioni

nγ = densita di fotoni

Le densita sono determinate dalla misura dell’abbondanza di D, 3He, 4He e 7Li, edell’anisotropia della radiazione cosmica di fondo.

I Al momento del Big Bang c’era perfetta simmetria materia-antimateria.I L’asimmetria barionica attuale deve avere un’origine dinamica.I E necessaria un’interazione che non conservi il numero barionico e/o leptonico.

Nel 1967 il fisico russo Andrej Dmitrievic Sacharov definı tre con-dizioni necessarie affinche l’asimmetria barionica possa essere statagenerata dinamicamente. E necessario un processo che

I non conservi il numero barionico;I violi la simmetria CP;I si verifichi fuori dall’equilibrio termico.


Bariogenesi dalla Leptogenesi2B

ario

gene

sida

llaLe

ptog

enes

i I L’osservazione delle oscillazioni dei neutrini ha rafforzato l’ipotesi diesistenza dei neutrini di Majorana.

I Il meccanismo ”seesaw” genera le masse dei neutrini.I I neutrini di Majorana possono decadere violando la conservazione del

numero barionico e la simmetria CP.I L’eccesso di leptoni e convertito in un eccesso di barioni dall’anomalia

L + B del Modello Standard.

L’E

quili

brio

Term

ico

I I processi che violano CP producono asimmetria barionica.I L’invarianza CPT implica che barioni a anti barioni abbiamo la stessa massa.I All’equilibrio termico le densita di materia e antimateria sono uguali:

∆E = Mmateria − Mantimateria = 0.I Ogni processo di conversione barione→ antibarione e bilanciato da un

processo di ri-conversione antibarione→ barione.

Se il processo di conversione barione → antibarione si verifica fuori dall’equilibriotermico, ovvero prima che l’equilibrio sia raggiunto, in una fase di raffreddamento, alraggiungimento dell’equilibrio l’effetto di conversione verra ”congelato” e mantenuto.

Un esempio e la rottura spontanea della simmetria elettrodebole avvenuta duranteuna transizione di fase, quindi fuori dall’equilibrio, che si e avuta alla temperaturaT ∼ 100 GeV.


Bariogenesi dalla Leptogenesi3L’asimmetria barionica non e descritta dal Modello Standard

Il numero barionico e quello leptonico non si conservano in processi di transizione trastati di vuoto che hanno cariche topologiche diverse. A temperature T � 100 GeV laprobabilta di transizione e trascurabile Γ ' 10−160. A temperature maggiori cresce marimane insufficiente a giustificare l’asimmetria barionica osservata.

L’asimmetria CP del Modello Standard e soppressa dalle piccole masse dei quark leg-geri e dal valore ”naturale” degli angoli della matrice di mescolamento. Rappresenta uneffetto dell’ordine di 10−18, troppo piccolo per spiegare l’asimmetria barionica che siosserva.

La conservazione della differenza (B−L), grazie alla soppressione dei processi chenon conservano L e B, ovvero le transizioni tra stati di vuoto con cariche topologichediverse, previene la generazione di asimmetria barionica.

L’asimmetria barionica non puo essere spiegata dal Modello Standard.E necessario considerare effetti di Fisica non Standard che garantiscano:

I nuove sorgenti di violazione di CP;I non conservazione di B ed L;I processi non in equilibrio termico.


Bariogenesi dalla Leptogenesi4Sia Ni un neutrino di Majorana con massa Mi � v ' 246 GeV.Termine di massa e lagrangiana di Yukawa se il campo Ni (x) e unsingoletto di isospin debole.

L = −12

∑i

N i Mi Ni −

∑i,j

LLi ΦYij Nj + c.h.

LL =

(νLlL

), Φ =

(Φ∗0−Φ∗+

)Yij sono le costanti diaccoppiamento di Yukawa.

I Questa L non conserva il numero leptonico (neutrini di Majorana).I Se le costanti di accoppiamento Yij sono complesse, L viola CP.

La lagrangiana efficace di bassa energia(� Mi ) ha termini del secondo ordine chedescrivono gli accoppiamenti tra leptoni.

L(2)eff = −

∑i,j,k

LLi ΦYij1

MjYjk CΦT L

TLk + c.h.

Dopo la rottura di simmetria

LM = −12

∑i,j

νLi MMij CνT

Lj + c.h.

Matrice di massa ”seesaw”

MM ≡ Y T 1M

Yv2


Bariogenesi dalla Leptogenesi5I Nell’Universo primordiale, ad una temperatura T ' Mi , ha avuto inizio la

leptogenesi.

I I neutrini di Majorana possono decadere in stati finali con differente numeroquantico CP: Ni → L H e Ni → L H. Si definisce l’ampiezza CP-odd

ACPi =

Γ(Ni → L H)− Γ(Ni → L H)

Γ(Ni → L H) + Γ(Ni → L H)

I L’ampiezza all’ordine piu basso, che si ottiene daldiagramma ad albero, non dipende dalle fasi dellecostanti di accoppiamento si Yukawa Yij .

Γ0(Ni → L H) = Γ0(Ni → L H)

I Per evidenziare la violazione di CP e necessarioconsiderare le correzioni di ordine superiore.Le fasi di Y determinano l’interferenza tra le ampiezzedei diagrammi ad albero e quelle dei diagrammi a loop.

I Per il decadimento del piu leggero dei neutrini di Majorana, il contributo al secondoordine dell’asimmetria CP e dato dalle fasi degli elementi diagonali: Y1j Y∗ij , i 6= 1.

ACP1 =

316π

∑i

Im(YY †)21i

(YY †)11

M1

Mi

Ni L

H

Ni L

LH

H


Bariogenesi dalla Leptogenesi6I Il decadimento del neutrino N1 e un processo che avviene fuori dall’equilibrio

termico se il tasso di decadimento e minore alla costante di Hubble cherappresenta il tasso di espansione dell’Universo.

I Assumendo che l’asimmetria barionica sia data dall’ampiezza CP-odd ACP1 ,

moltiplicata per un fattore di conversione: asimmetria leptonica→ asimmetriabarionica, che si basa sulla conservazione di (B−L), si ottengono i limiti per lemasse dei neutrini di Majorana ”leggeri” e ”pesanti”

M1 ≥ 109 GeV m1 ≤ 10−1 eV

I La degenerazione delle masse dei neutrini di Majorana amplifica l’effetto diasimmetria leptonica a tal punto che l’asimmetria barionica puo essere spiegatada neutrini di Majorana di massa Mi ∼ 1 TeV.

La leptogenesi puo spiegare l’asimmetria barionica.

La leptogenesi e una conseguenza del meccanismo ”seesaw”.

Il meccanismo ”seesaw” e uno dei meccanismi piu plausibili che giustifica lepiccole masse dei neutrini osservati.

Le masse dei neutrini pesanti e le costanti di accoppiamento di Yukawa nonsono noti, sono parametri liberi.

Il processo di leptogenesi Ni → L H non puo essere riprodotto in laboratorio.


Decadimento doppio betaI Per alcuni nuclei il decadimento beta singolo e cinematicamente proibito

mentre il doppio beta, 2νββ, e permesso.ZA 6→Z+1A + e− + νe

ZA→Z+2A + e− + e− + νe + νe

L’ampiezza e proporzionale a G2F e avviene con lo scambio di due bosoni W−.

I Se 2νββ e cinematicamente permesso lo e anche il doppio decadimento betasenza neutrini, 0νββ, che viola la conservazione del numero leptonico.

Z A→Z+2A + e− + e−

Questo decadimento non e permesso se il neutrino non ha una componentedi Majorana.

I Il tasso del decadimento 2νββ e soppresso dallo spazio della fasi a 5 corpi edall’accoppiamento debole.La vita media e dell’ordine di 1020 anni.

I Se il neutrino ha una componente di Majoranail decadimento 0νββ puo avvenire. Il processoelementare e l’annichilazione W−W− → e−e−.

I L’ampiezza di decadimento 0νββ e proporzionaleal quadrato della massa di Majorana leggera.

I Non ci sono osservazioni sperimentali.Il limite sul valor medio della massa e: 〈mν〉 =

3∑i=1

U2iemi < 540 meV


Il numero di sapori dei neutrini leggeriI Nel Modello Standard i neutrini sono accoppiati ai leptoni carichi nei doppietti di

isospin debole. Tre leptoni carichi⇒ tre sapori di neutrini.I Sperimentalmente il numero di sapori dei neutrini, Nν , puo essere ottenuto

dalla misura della larghezza di decadimento del bosone vettore neutro Z0.I Poiche non sono rivelati, i neutrini contribuiscono alla larghezza ”invisibile”:

Γinv = ΓZ−(Γhad +Γee +Γµµ+Γττ )Γinv

Γll= Nν

(Γνν

Γll

)MS

Nν = 2.984± 0.008

I La radiazione cosmica di fondo dipende dal numero di sapori dei neutrini leggeri.La densita di energia della radiazione, ρr , ha un contributo dovuto ai fotoni, ργ , euno ai neutrini, ρν .

I La relazione che lega le densita ρr e ργ al numero efficace di sapori di neutri, Neff,che tiene conto di possibili altre forme di radiazione, e

ρr = ργ

[1 +

78

(4

11

)4/3Neff

]I Il valore sperimentale.

Neff = 3.30± 0.27


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· Introduzione I Come emerge dall’osservazione sperimentale, la struttura minimale del settore elettrodebole del Modello Standard e descritta da una teoria di gauge con` simmetria