VOLUME DARI KISI RESIPROK SEL PRIMITIFApabila v adalah volume dari sebuah sel primitif didalam sebuah kisi sebenarnya, maka sel primitif daripada kisi resiprok akan memiliki volume . Hal ini dibuktikan pada Problem 1.ZONA BRILLOUIN PERTAMASel Primitif Weigner-Seitz (hal. 73) dari sebuah kisi resiprok diketahui sebagai Zona Brillouin pertama. Sebagai sebuah nama yang disarankan, ada juga yang mendefinisikan sebagai Zona Brillouin lebih tinggi, yang mana sel-sel primitif dari tipe yang berbeda itu muncul pada teori tingkatan-tingkatan elektronika didalam sebuah potensial yang periodik. Hal ini digambarkan pada Bab 9.Meskipun istilah Sel Weigner-Seitz dan Zona Brillouin pertama merujuk kepada sebuah bangunan identitas geometri, pada prakteknya kedua istilah tersebut tadi digunakan hanya untuk sel ruang-k. Khususnya, ketika rujukan digunakan untuk Zona Brillouin pertama dari sebuah bagian kisi Bravais ruang-k tertentu (terkait dengan sebuah struktur kristal tertentu), apa yang selalu berarti adalah sebuah sel Weigner-Seitz dari sebuah kisi resiprok yang terkait. Demikian, karena resiprok dari sebuah kisi kubus BCC adalah kubus FCC, Zona Brillouin pertama dari sebuah kisi BCC (Figure 5.2a) hanyalah sebuah sel FCC Weigner-Seitz (Figure 4.16). Sebaliknya, Zona Brillouin pertama pada kubus FCC (Figure 5.2b) hanyalah sebuah Sel BBC Weigner-Seitz. (Gambar 4.15).

Gambar 5.2(a) Zona Brillouin pertama untuk kisi BCC(b) Zona Brillouin pertama untuk kisi FCC

BIDANG-BIDANG KISIAdalah sebuah hubungan yang mendalam antara vektor-vektor pada sebuah kisi resiprok dan bidang-bidang dari titik-titik pada kisi langsung. Hubungan ini adalah beberapa dari kepentingan didalam memahami peran yang mendasar dari sebuah kisi resiprok yang bermain dalam teori difraksi, dan akan digunakan untuk permasalahan seperti itu pada bab berikutnya. Disinin kita harus menggambarkan hubungan dalam istilah-istilah geometrikal yang umum.Diberikan sebuah kisi Bravais tertentu, sebuah kisi bidang didefinisikan untuk mejadi setiap bidang yang mengandung sedikitnya 3 titik-titik kisi Bravais yang nonkolinear. Dikarenakan dari simetri translasi dari kisi Bravais, setiap bidang tersebut akan berisi titik-titik kisi yang sangat banyak, yang mana bentuk dua-dimensional kisi bravais dengan bidang.beberapa kisi bidang pada sebuah kubik Bravais sederhana digambarkan pada Figure 5.3.

Gambar 5.3Beberapa bidang kisi (bagian yang diarsir) pada sebuah kisi bravais kubik sederhana; (a) dan (b) menunjukan dua buah perbedaan cara dari pada menunjukan kisi sebagai keluarga dari bidang kisi.Oleh sebuah kelarga dari kisi bidang yang kita maksud sebagai sebuah set paralel, kisi bidang dalam sebuah ruang yang sama, yang mana secara bersama-sama berisi semua titik dari kisi bravais tiga-dimensi. Setiap bidang kisi adalah bagian dari keluarga yang demikian/seperti itu. Nyatanya resolusi dari sebuah kisi bravais menyediakan cara yang sangat sederhana untuk mengklasifikasikan semua kemungkinan keluarga daripada bidang kisi ini yang mana ditunjukan pada teorema dibawah ini:Untuk setiap keluarga dari sebuah bidang kisi dipisahkan oleh sebuah jarak d, disana terdapat vektor-vektor kisi resiprok tegak lurus terhadap bidangnya, jarak terpendeknya memiliki panjang . Sebaliknya, untuk setiap kisi resiprok vektor K, terdapat sebuah keluarga dari kisi bidang yang normal untuk K dan dipisahkan oleh jarak d, yang mana adalah panjang dari vektor paralel kisi resiprok terpendek yang menuju ke K.Teorema tersebut merupakan konsekuensi langsung dari (a) definisi (5.2) dari vektor-vektor kisi resiprok sebagai vektor-vektor gelombang dari bidang gelombang yang menyatu pada situs semua kisi bravais dan (b) sebuah fakta bahwa bidang gelombang memiliki nilai yang sama pada setiap titik lying didalam sebuah keluarga bidang yang tegak lurus dengan vektor gelombang dan dipisahkan oleh sebuah jumlah integral dari panjang gelombangnya.Untuk membuktikan bagian pertama dari teorema tadi, diberikan sebuah keluarga dari kisi-kisi bidang, misalkan adalah unit vektor normal pada bidang. Dimana /d adalah sebuah vektor kisi resiprok mengikuti fakta bahwa bidang gelombang konstan pada bidang yang tegaklurus terhadap K dan memiliki nilai yang sama dalam bidang-bidang Cyang dipisahkan oleh . Pada saat salah satu dari kisi bidang berisikan titik kisi bravais r=0, haruslah merupakan sebuah kesatuan untuk setiap titik r didalam setiap bidang-bidang. Ketika bidang-bidang berisikan semua titik kisi bravais, untuk setiap R, maka daripada itu K memanglah sebuah vektor kisi resiprok. Selanjutnya, K adalah vektor kisi resiprok normal yang paling pendek pada bidang, untuk setiap vektor gelombang yang lebih pendek daripada K akan diberikan sebuah bidang gelombang dengan panjang gelombang lebbih besar dari . Dengan demikian sebuah bidang gelombang tidak dapat memiliki nilai yang sama untuk semua bidang didalam keluarganya, dan oleh karena itu tidak dapat memberikan sebuah bidang gelombang gelombang yang merupakan kesatuan dari seluruh titik-titik kisi bravais.Untuk membuktikan kebalikan dari teorema tadi, diberikan sebuah vektor kisi resiprok, misalkan K adalah vektor kisi resiprok paralel yang paling pendek. Mempertimbangkan sebuah set pada bidang ruang yang sesungguhnya pada bidang gelombang yang memiliki kesatuan nilai. Bidang-bidang ini (salah satunya berisikan titik r=0) yang tegak lurus terhadap K dan dipisahkan oleh jarak . Sejak vektor-vektor kisi bravais R semuanya memenuhi untuk setiap vektor kisi resiprok K, mereka semua harus berbohong? Dengan bidang ini; sebagai contoh, keluarga dari sebuah bidang harus berisikan oleh keluarga dari bidang-bidang kisi tersebut. Selanjutnya ruang diantara bidang-bidang kisi dan juga d(lebih dibandingkan beberapa integral berganda dari d) karena jika hanya setiap bidang nth didalam keluarga terkandung titik-titik kisi bravais, kemudian merujuk kepada bagian pertama dari teorema tadi, vektor normal untuk menuju bidang dari panjang , sebagai contoh, sebuah vektor K/n, akan menjadi sebuah vektor kisi resiprok. Hal ini akan bertentangan dengan asumsi awal yang menyebutkan bahwa tidak ada vektor kisi resiprok yang paralel menuju K yang lebih pendek daripada K.INDEKS MILLER DARI SEBUAH BIDANG KISIHubungan antara vektor-vektor kisi resiprok dan keluarga dari bidang kisi menyediakan sebuah cara yang mudah untuk menspesifikasikan orientasi dari sebuah bidang kisi. Satu hal yang umum digunakan untuk menggambarkan orientasi dari sebuah bidang yaitu dengan memberikan sebuah vektor normal menuju bidang tersebut. Sejak kita mengetahui bahwa terdapat sebuah sebuah vektor kisi resiprok normal untuk setiap keluarga dari bidang kisi, adalah lumrah untuk memilih sebuah vektor kisi resiprok untuk merepresntasikan vektor normal tadi. Dalam jalan ini satu tumbuh pada indeks miller dari bidang tersebut.Indeks miller dari sebuah sebuah bidang kisi adalah sebuah koordinat dari sebuah vektor normal kisi resiprok terpendek terhadap bidang, dengan mempertimbangkan set tertentu dari sebuah vektor kisi resiprok primitif. Demikian sebuah bidang dengan indeks miller h, k, l adalah normal menuju vektor kisi resiprok Seperti yang telah didefinisikan, indeks miller adalah sebuah bilangan bulat, ketika setiap vektor kisi resiprok adalah kombinasi linear dari tiga buah vektor primitif dengan koefisien integral. Ketika vektor normal menujubidang adalah tertentu oleh sebuah vektor kisi resiprok tegak lurus yang terpendek, bilangan bulat h, k, l dapat tidak memiliki faktor umum. Perlu dicatat pula bahwa sebuah indeks miller bergantung pada pilihan tertentu dari vektor-vektor primitifnya.Pada sebuah kisi bravais kubik sederhana, kisi resiprok juga sebuah kubik sederhana dan indeks miller adalah koordinat dari vektor normal menuju bidang didalam sistem koordinat kubik yang jelas. Sebagai aturan yang umum digunakan, kisi bravais FCC dan BCC digambarkan sebagai sebuah istilah dari sebuah sel kubik konvensional, sebagai contoh, sebagai sebuah kisi kubus sederhana dengan setiap basis. Sejak setiap bidang kisi pada kisi fcc atau bcc juga sebuah bidang kisi didalam kisi kubus sederhana, pengindeksan kubik dasar yang sama dapat digunakan untuk menentukan bidang kisi. Dalam prakteknya, ini hanyalah deskripsi dari kristal non kubus yang harus diingat bahwa indeks miller adalah sebuah koordinat dari vektor normal didalam sebuah sistem yang diberikan oleh kisi resiprok, daripada kisi langsungnya.Indeks miller dari sebuah bidang memiliki sebuah intrepetasi geometrical pada sebuah kisi langsung, yang mana terkadang ditawarkan sebagai sebuah jalan alternatif dalam mendefiniskan hal tersebut. Dikarenakan sebuah kisi bidang dengan indeks miller h, k, l adalah tegak lurus menuju kisi resiprok vektor , ini akan terkandung didalam sebuah bidang berkelanjutan , untuk pilihan yang tepat daripada konstanta A. Bidang ini berpotongan dengan sumbu yang telah ditentukan oleh vektor kisi langsung primitif pada titik (Gambar 5.4), yang mana x1 ditentukan oleh kondisi dimana memang memenuhi persamaan dari bidang: , karena , hal ini mengikuti

(5.13)Dengan demikian pencegatan dengan sebuah sumbu kristal dari sebuah bidang kisi adalah berbanding terbalik menuju indeks miller bidangnya. Gambar 5.4Sebuah ilustrasi definisi kristalografik dari sebuah indeks miller pada sebuah kisi bidang. Bidang yang diarsir dapat menjadi sebuah porsi dari sebuah bidang berkelanjutan yang mana titik dari bidang kisi yang terbaring, atau setiap bidang paralel menuju kisi bidang. Indeks miller berbanding terbalik terhadap x1.

Para ahli kristal mengambil sebuah grafik sebelum the horse?, definisi indeks miller untuk menjadi sebuah kesatuan dari bilangan bulat dengan tidak terdapat faktor yang umum, berbanding terbalik terhadap penghadang dari bidang kristal disepanjang sumbu kristal.

BEBERAPA KONVENSI UNTUK ATURAN PENSPESIFIKASIANBidang kisi biasa ditentukan dengan memberikan indeks millernya dalam sebuah tanda kurung; (h, k, l). Demikian, pada sistem kubik, sebuah bidang dengan sebuah vektor normal (4, -2, 1) (atau, dari sebuah sudut pandang kristalografik, sebuah bidang yang berpotongan (1, -2, 4) sepanjang sumbu kubik) disebut sebagai bidang (4, -2, 1). Tanda koma dihilangkan dengan tanpa kebingungan oleh penulisan malah dari n, penyederhanaan penggambaran (4 . Satu harus mengetahui apa kumpulan dari sumbu-seumbu tadgi digunakan untuk memotong simbol ersebut secara tidak ambigu. Sumbu kubik sederhana adalah selalu digunakan ketika kristal memiliki sebuah simetri kubik. Beberapa contoh dari bidang didalam sebuah kristal kubik ditunjukan pada gambar 5.5.Konvensi yang sama juga digunakan untuk menentukan sebuah bidang kisi, tetapi untuk menghindri kebingungan dengan indeks miller (aturan-aturan dalam sebuah kisi resiprok) kurung siku digunakan sebagai tanda kurungnya. Demikian diagonal bidang dari sebuah kisi kubus sederhana terletak didalam aturan [1 1 1] dan, secara umum titik kisi terletak didalam aturan [ dari keadaan sebenarnya.

Gambar 5.5Tiga buah bidang kisi dan indeks millernya pada sebuah kisi bravis kubik sederhana.Disana juga terdapat sebuah notasi untuk menentukan kedua dari keluarga bidang kisi dan setiap keluarga lainnya yang mana ekuivalen padanya berdasarkan kesimetrian dari sebuah kristal. Dengan demikian bidang (100), (010) dan (001) adalah sebanding didlam sebuah kristal kubik. Satu rujukan menuju kekolektifan mereka sebagai bidang {100}, dan secara umum digunakan aturan {hkl} untuk melihat bidang (hkl) dan untuk semuanya merupakan setara kepadanya berdasarkan kesimetrian dari sebuah kristal. Konvensi yang sama jga digunakan dengan aturan: aturan [100], [010], [001], [100], [010], [001] pada sebuah kristal kubik yang disebut, secara umum sebagai aturan .Kesimpulan dari diskusi mengenai geometrikal secara umum ini, dari sebuah kisi resiprok. Pada bab 6 kita akan melihat seberapa penting contoh dari kegunaan dan kekuatan dari sebuah konsep didalam teori difraksi sinar x oleh sebuah kristal.

BAB 6PENENTUAN DARI STRUKTUR KRISTALDENGAN BANTUAN DIFRAKSI SINAR X Perumusan dari Bragg dan von laue Kondisi laue dan konstruksi ewald Moteda eksperimental: Laue, perputaran kristal, bedak. Faktor struktur geometri Faktor bentuk atomikUntuk jarak interatomik yang khas pada sebuah padatan berada dalam orde angstrom (10-8 cm). Sebuah penyelidikan elektromagnetik dari sebuah struktur miskroskopik dari sebuah padatan maka daripada itu haruslah memiliki panjang gelombang tidak kurang , dihubungkan dengan energinya yaitu:

Energi seperti ini, dalam kaitannya untuk beberapa ribu dari elektron volt (kilovolt atau keV), adalah dikarakteristikan sebagai energi sinar-x.Pada bab ini kita akan menggambarkan bagaimana distribusi dari sinar-x tersebar secara kaku, susunan periodikdari ion-ion menyingkap lokasi dari ion-ion dengan strukturnya. Disana terdapat dua buah jalan yang sama untuk melihat penyebaran dari sinar-x oleh sebuah struktur periodik yang sempurna, karena untuk Bragg dan von Laue, sudut pandang keduanya tetaplah sangat dapat digunakan. Pendekatan von Laue, yang mana mengeksploitasi kisi resiprok, adalah semakin dekat menuju semangat fisika zat padat modern, akan tetapi pendekatan dari Bragg akan tetap digunakan secara luas oleh kristalografik sinar-x. Keduanya akan digambarkan setelah ini, bersamaan dengan bukti dari kesamaannya.PERUMUSAN BRAGG DARI DIFRAKSI SINAR-X OLEH SEBUAH KRISTAL.Pada tahun 1913, W.H dan W.L Bragg menemukan intisari dari sebuah bentuk makroskopik yang mana sebuah kristal dapat sungguh pola karakteristik dari pemantulan radiasi sinar x agak seperti diproduksi oleh cairan. Pada material kristal, untuk ketajaman tertentu didefinisikan panjang gelombang dan aturan kejadian, intensi puncak dari penyebaran radiasi (diketahui sebagai puncak Bragg) telah diamati.W.L Bragg diperhitungkan untuk ini perihal sebuah kristal yang dibuat dari bidang-bidang paralel dari ion-ion, dengan dipisahkan jarak sebesar d (sebagai contoh, bidang kisi digambarkan didalam bab 5). Kondisi untuk puncak ketajaman didalam intensitas sebuah penyebaran radiasi adalah: (1) sinar-x haruslah tepantulkan secara sempurna oleh ion di tiap bidangnya dan (2) pemantulan dari bidang berturut haruslah konstruktif menghalangi. Sinar terpantulakn secara spektakuler dari bidang berdampingan ditunjukan pada gambar 6.1. perbedaan jalan antara dua buah sinar hanyalah sebesar , dimana adalah sudut insidensi. Untuk sinar yang saling konstruktif menghalangi, perbedaan jalannya haruslah menjadi sebuah bilangan bulat sebuah panjang gelombang, yang mana hal ini disebut sebagai kondisi Bragg:

(6.2)Bilangan bulat n diketahui sebagai urutan dari pemantulan yang sesuai. Untuk sebuah sorotan sinar x berisi sebuah jarak dari perbedaan panjang gelombang (radiasi putih) banyak pemantulan yang teramati. Tidak hanya urutan pemantulan yang lebih tinggi dari sebuah kumpulan bidang kisi yang diberikan, tetapi didalam penambahannya satu haruslah mengenali bahwa disana terdapat banyak sekali jalan-jalan yang berbeda dalam mebelah kristal menjadi bidang, yang masing-masingnya, akan memproduksi sendiri pemantulan lebih lanjutnya (lihat, untuk contoh, gambar 5.3 atau gambar 6.3)

Gambar 6.1Pemantulan Bragg daripada keluarga tertentu dari sebuah bidang kisi, dipisahkan oleh jarak sejauh d. Peristiwa dan direfleksikannya cahaya ditunjukan oleh dua bidang tetangga. Perbedaan jalannya yaitu .

Gambar 6.2Sudut Bragg hanyalah setengah dari total sudut yang mana peristiwa sinar dipantulkan.

Gambar 6.3Sebuah porsi yang sama dari kisi bravais ditunjukan didalam gambar 6.1, dengan perbeaan resolusi menuju bidang kisi yang ditunjukan. Kejadian cahaya adalah sama seperti pada gambar 6.1. akan tetapi kedua arahnya (ditunjukan pada gambar) dan panjang gelombang (ditentukan oleh kondisi brag (6.2) dengan d digantikan oleh d) dari sinar yang dipantulakn adalah berbeda untuk pemantulan cahaya pada gambar 6.1. pemantulan adalah memungkinkan, secara umum, untuk setiap jalan yang begitu tidak berhingga dalam memecahkan kisi menuju bidang.