Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas - esas.pt · Perpendicularidade de Rectas e Planos Se a recta é perpendicular ao plano, é paralela ao vector perpendicular ao plano vu

Jorge FreitasESAS 2006

Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas

( ) ( ) ( )0 0 1 2 3, , , , , , ,or x y z x y z v v vλ λ→ = + ∈ℜ

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 3, , , , , , ,s x y z x y z k u u u k→ = + ∈ℜ

( )1 2 3, ,v v v v

( )1 2 3, ,u u u ur s

1. Rectas Paralelas

Se as rectas são paralelasos vectores directores são

colinearesv ku=ou seja:

31 2

1 2 3

vv vu u u

= =


Exemplo 1

( ) ( ) ( ), , 1,0, 2 3, 2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ

( ) ( ) ( ), , 1,0,0 6, 4, 2 ,s x y z k k→ = + − − ∈ℜ

• São paralelas porque os vectores

( ) ( )3, 2, 1 e 6, 4, 2v u− − −

são colineares3 2 126 4 2

u v −= − ⇔ = =

− −


Exemplo 2

( ) ( ) ( ), , 1,0, 2 3, 2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ3 2 3

6 4 2x y zs − + −

→ = =− −

• São paralelas porque os vectores

( ) ( )3, 2, 1 e 6, 4, 2v u− − −


u v −= − ⇔ = =

− −


Paralelismo e Perpendicularidade de Rectas

( ) ( ) ( )0 0 1 2 3, , , , , , ,or x y z x y z v v vλ λ→ = + ∈ℜ

( ) ( ) ( )1 1 1 1 2 3, , , , , , ,s x y z x y z k u u u k→ = + ∈ℜ

( )1 2 3, ,v v v v ( )1 2 3, ,u u u u

rs

2. Rectas Perpendiculares

Se as rectas são perpendicularesos vectores directores são

perpendiculares

0v u⋅ =ou seja:

1 1 2 2 3 3 0v u v u v u+ + =1


Exemplo 1

( ) ( ) ( ), , 1,0, 2 3, 2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ

( ) ( ) ( ), , 1,0,0 1,0,3 ,s x y z k k→ = + ∈ℜ

• São perpendiculares porque os vectores

( ) ( )3, 2, 1 e 1,0,3v u−

são perpendiculares

( )0 3 1 2 0 1 3 0u v⋅ = ⇔ × + × + − × =


Exemplo 2

( ) ( ) ( ), , 1,0, 2 3, 2, 1 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ3 3

2 63

x zs

y

− −⎧ =⎪→ ⎨⎪ = −⎩

• São perpendiculares porque os vectores ( ) ( )3, 2, 1 e 2,0,6v u−

são perpendiculares( )0 3 2 2 0 1 6 0u v⋅ = ⇔ × + × + − × =


α

β

0=+++→ dczbyaxα0=′+′+′+′→ dzcybxaβ

),,( cbav

),,( cbau ′′′

Paralelismo e Perpendicularidade de Planos1. Planos Paralelos

Se os planos são paralelosos vectores perpendiculares

aos planos são colinearesv ku=

ou seja:

a b ca b c= =′ ′ ′


3 2 7 0x y zα → − + − =2 6 4 5 0x y zβ → − + − + =

Exemplo

• São paralelos porque os vectores

( ) ( )1, 3, 2 e 2,6, 4v u− − −


u v −= − ⇔ = =

− −

2


αβ

0=+++→ dczbyaxα0=′+′+′+′→ dzcybxaβ

),,( cbav

),,( cbau ′′′

Paralelismo e Perpendicularidade de Planos2. Planos Perpendiculares

Se os planos são perpendicularesos vectores perpendiculares aos

planos são perpendiculares entre si

. 0v u =ou seja:

0aa bb cc′ ′ ′+ + =Jorge Freitas

ESAS 2006

2 3 2 7 0x y zα → − + − =2 2 5 0x y zβ → − − − + =

Exemplo

• Os planos são perpendiculares porque os vectores

( ) ( )2, 3, 2 e 2, 2, 1v u− − − −


( ) ( ) ( ) ( )0 2 2 3 2 2 1 0u v⋅ = ⇔ × − + − × − + × − = ⇔0 4 6 2 0u v⋅ = ⇔ − + − =


α

0=+++→ dczbyaxα1 1 1

1 2 3

x x y y z zrv v v− − −

→ = =

( , , )u abc1 2 3( , , )v v v v

Perpendicularidade de Rectas e Planos

Se a recta é perpendicular aoplano, é paralela ao vector

perpendicular ao plano// ou v u v ku=

ou seja:

r

31 2 vv va b c= =


3 2 7 0x y zα → − + − =

Exemplo

• A recta é perpendicular ao plano porque os vectores

( ) ( )1, 3, 2 e 2, 6, 4v u− −

são colineares (ou paralelos)

( ) ( ) ( ), , 1,0, 2 2, 6, 4 ,r x y z λ λ→ = − + − ∈ℜ

1 3 222 6 4

u v −= ⇔ = =

−

3


α

0=+++→ dczbyaxα1 1 1

1 2 3

x x y y z zrv v v− − −

→ = =

( , , )u abc1 2 3( , , )v v v v

Paralelismo de Rectas e Planos

Se a recta é paralela ao plano,é perpendicular ao vectorperpendicular ao plano

ou 0v u v u⊥ ⋅ =ou seja:

1 2 3 0av bv cv+ + =


3 2 7 0x y zα → − + − =

Exemplo

• A recta é paralela ao plano porque os vectores

( ) ( )1, 3, 2 e 2, 2, 2v u−


( ) ( ) ( ), , 1,0, 2 2, 2, 2 ,r x y z λ λ→ = − + ∈ℜ

( )0 1 2 3 2 2 2 0u v⋅ = ⇔ × + − × + × = ⇔0 2 6 4 0u v⋅ = ⇔ − + =


Intersecção de planosIntersecção de planos


αβ

γ

Posição relativa de 3 planos

0ax by cz dα + + + =→0a x b y c z dβ ′ ′ ′ ′+ + + =→0a x b y c z dγ ′′ ′′ ′′ ′′+ + + =→

),,( cbav

( , , )u a b c′ ′ ′

( , , )w a b c′′ ′′ ′′

4


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=′′+′′+′′+′′=′+′+′+′

=+++

00

0

dzcybxadzcybxa

dczbyax

A intersecção de três planos obtém-seresolvendo o sistema:A intersecA intersecçção de três planos obtão de três planos obtéémm--seseresolvendo o sistema:resolvendo o sistema:


αβ

γA

Sistema possSistema possíível vel e determinado.e determinado.

A soluA soluçção ão éé(x(x00,y,y00,z,z00))

(coordenadas (coordenadas do ponto do ponto A)A)

),,( cbav),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

weuv,não são colineares


β

γA

Os 3 planos intersectamOs 3 planos intersectam--sesenum ponto. O sistemanum ponto. O sistemaéé posspossíível e determinado.vel e determinado.

A soluA soluçção ão éé(x(x00,y,y00,z,z00))

(coordenadas (coordenadas do ponto do ponto AA)) α

),,( cbav),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

weuv,não são colineares Jorge Freitas

ESAS 2006

2 6 03 4

3 2 1

x y zx y z

x y z

+ − + =⎧⎪ + + =⎨⎪ − − =⎩

Exemplo

• Os três planos intersectam-se num ponto.

Resolver o sistema:

• O sistema tem solução

12

3

xyz

=⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩

• na calculadora• método da substituição• método da redução

5


α

γ

β

rOs três planosOs três planosintersectamintersectam--se segundose segundouma recta.uma recta.O sistema O sistema éé posspossíível evel eindeterminado.indeterminado.

As soluAs soluçções sãoões sãotodos os pontos da rectatodos os pontos da recta rr

),,( cbav),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′



2 3 62 3

2 3

x y zx y z

x y z

+ − = −⎧⎪ − − =⎨⎪ + − = −⎩

Exemplo

• Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado

0 3 033 1 1 1

z x x y zx y zz y=⎧ − + −

⇔ = + = ⇔ = =⎨ = +⎩


α

β

γ

r

Dois dos planos sãoDois dos planos sãocoincidentes.coincidentes.O sistemaO sistemaéé posspossíível evel eindeterminado.indeterminado.

As soluAs soluççõesõessão as coordenadassão as coordenadasde cada um dos de cada um dos pontos da rectapontos da recta rr

),,( cbav

),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

wu//


2 3 62 4 6 12

2 3

x y zx y z

x y z

+ − = −⎧⎪ + − = −⎨⎪ + − = −⎩

Exemplo

• Os três planos intersectam-se numa recta. • O sistema é indeterminado

0 3 033 1 1 1

z x x y zx y zz y=⎧ − + −

⇔ = + = ⇔ = =⎨ = +⎩

• Dois dos planos são coincidentes

6


α

β

γ

Os 3 planos sãoOs 3 planos sãocoincidentescoincidentes

O sistema O sistema ééindeterminadoindeterminado

),,( cbav

),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

wuv ////

Qualquer ponto destesQualquer ponto destesplanos planos éé solusoluççãoãodo sistema.do sistema.


2 3 62 4 6 12

2 3 6

x y zx y zx y z

+ − = −⎧⎪ + − = −⎨⎪− − + =⎩

Exemplo

• Qualquer ponto de um dos planos pertence tambémaos outros planos

• O sistema é indeterminado

• Os três planos são coincidentes


α

β

γ

Os 3 planos sãoOs 3 planos sãoestritamenteestritamenteparalelosparalelos

O sistema O sistema ééimpossimpossíívelvel

Os planosOs planosnão se intersectamnão se intersectam

),,( cbav

),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′

wuv ////


2 3 62 3 02 3 5

x y zx y zx y z

+ − = −⎧⎪ + − =⎨⎪ + − =⎩

Exemplo

• O sistema é impossível

• Os três planos estritamente paralelos • Os três planos nunca se interceptam

7


α

β

γDois dos planos sãoDois dos planos sãoestritamenteestritamenteparalelosparalelos


Os 3 planosOs 3 planosnão senão seintersectamintersectam

),,( cbav

),,( cbau ′′′),,( cbaw ′′′′′′

uv//


2 3 62 3 0

2 3 2

x y zx y zx y z

+ − = −⎧⎪− − + =⎨⎪ + − =⎩

Exemplo

• O terceiro plano intersecta-os segundo rectasparalelas entre si


• Dois dos planos são estritamente paralelos

8 14 / 32 2 / 3

x y zx y z− = = −⎧

⎨ − = = −⎩


α

βγ

Os 3 planosOs 3 planosintersectamintersectam--sese2 a 2 segundo 2 a 2 segundo rectas rectas estritamenteestritamenteparalelasparalelas


),,( cbav),,( cbau ′′′

),,( cbaw ′′′′′′



62 13 2

x y zx yx z

+ + =⎧⎪ − = −⎨⎪ + =⎩

Exemplo

• Os planos interceptam-se dois a dois segundorectas paralelas


• Os três planos não são paralelos

• É possível determinar as rectas de intersecção…

8


Exemplo

• É a recta r :

plano α→plano β→plano γ→

• Intersecção dos planos e α β

1 1302 2

1 312 2

x zy+ −−= =

−

62 13 2

x y zx yx z

+ + =⎧⎪ − = −⎨⎪ + =⎩


Exemplo

• É a recta s :


• Intersecção dos planos e β γ

62 13 2

x y zx yx z

+ + =⎧⎪ − = −⎨⎪ + =⎩

1 22 3

y zx − −= =

−


Exemplo

• É a recta t :


• Intersecção dos planos e α γ

4 22 3

y zx − −= =

−

62 13 2

x y zx yx z

+ + =⎧⎪ − = −⎨⎪ + =⎩


Exemplo

• As três rectas (r, s e t) são paralelas :

4 22 3

y zxt − −= =

−→

1 22 3

y zxs − −= =

−→

1 1302 2

1 312 2

rx zy+ −−

= =−

→

// //r s t

( )1, 2, 3t→ −

1 3,1,2 2

r ⎛ ⎞−→ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1, 2, 3s→ −

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