Embed Size (px)
DESCRIPTION
Parameteriserte kurver. Parameterisert kurve i planet Def. En parameterisert kurve C i planet er et ordnet par (f,g) av kontinuerlige funksjoner hver definert på det samme intervallet I. Ligningene x = f(t)y = g(t)t I kalles for parametriske ligninger til kurven C. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Parameteriserte kurverParameteriserte kurver
Parameterisert kurve i planetDefParameterisert kurve i planetDef
En parameterisert kurve C i planet er et ordnet par (f,g) av kontinuerlige funksjonerhver definert på det samme intervallet I.
Ligningene
x = f(t) y = g(t) t I
kalles for parametriske ligninger til kurven C.Den uavhengige variabelen t kalles parameteren.
a t b
Pa
Pt
Pb
Den parameteriserte kurven Ctilordnes en retning svarende tiløkende verdi av parameteren t.
t benyttes ofte som notasjon på parameteren,og ofte (men ikke alltid) svarer denne til tiden t.
Parameterisert kurve i planetEks 1 - Rett linjestykkeParameterisert kurve i planetEks 1 - Rett linjestykke
5,0 ttytx
t tx ty
5
...
2
1
0
Tabell
Eliminasjon av parameteren t
Parameterisert kurve
xyxt
ttytx
5,0
Rett linjestykke gjennom origomed stigningstall 1
5
...
2
1
0
5
...
2
1
0
t = 0
t = 2
t = 5
Merk: Parameterisering av en kurveer ikke nødvendigvis entydig 5.2,0 2 2 ttytx
Parameterisert kurve i planetEks 2 - ParabelParameterisert kurve i planetEks 2 - Parabel
, 1 12 ttytx
t 12 tx 1 ty
...
2
1
0
1
2
...
...
3
0
1
0
3
...
...
3
2
1
0
1
...
Tabell Eliminasjon av parameteren t
Parameterisert kurve
1 4
1 )(
4
1
1)1(
21121)1(1
1
, 1 1
112
1
2
2222
2
xaxyya
x
yx
yyyyytx
yt
ttytx
t = -2
t = 0
t = 2
t = -1
t = 1
Parabel
Parameterisert kurve i planetEks 3 - Rett linjeParameterisert kurve i planetEks 3 - Rett linje
010
010
-yytyy
, t -xxtxx
StIgningstall
Parameterisert kurve
P0
P1
t = 0
t = 1
konstant01
01
0
0 -xx
-yy
x -x
y-y
(x0,y0)
(x1,y1)
Parameterisert kurve i planetEks 4 - SirkelParameterisert kurve i planetEks 4 - Sirkel
tay
tt ax
sin
2,0cos
Kommentar
Parameterisert kurve
222222222 1s inc o ss inc o s aattatatayx
a
t
t er vinkelen med 1.aksen
Parameterisert kurve i planetEks 5 - EllipseParameterisert kurve i planetEks 5 - Ellipse
tby
tt ax
sin
2,0cos
Kommentar
Parameterisert kurve
1sincos 222
2
2
2
ttb
y
a
x
a
b
a
b
Pt
Konstruksjon av en ellipse vha to sirkler
tbtbataktay
tatbatbktbx
yP
xP
sinsin)(sinsin
coscos)(coscos
Parameterisert kurve i planetEks 6Parameterisert kurve i planetEks 6
2
3 2,23
ty
tt tx
Parameterisert kurve
Tabell
Eliminasjon av t
22222 33 yyttxVanskelig gjenkjennbar
Merk:Kurven er symmetrisk om y-aksensiden x er odde funksjon av t x(-t) = -x(t)og y er en even funksjon av t y(-t) = y(t)
Skjæring med y-aksen:
0)3)(3(3
03
ttttt
x
Kurver i planetParameterisert kurvePlan kurve - Parameterisering av en plan kurve
Kurver i planetParameterisert kurvePlan kurve - Parameterisering av en plan kurve
Parameterisert kurve:
En parameterisert kurve C i planet er et ordnet par (f,g) av kontinuerlige funksjonerhver definert på det samme intervallet I.
Ligningene
x = f(t) y = g(t) t I
kalles for parametriske ligninger til kurven C.Den uavhengige variabelen t kalles parameteren.
En plan kurve C i planet er en mengde av punkter (x,y) i planet slik at x = f(t) and y = g(t) for en t i et intervall Ihvor f og g er kontinurlige funksjoner definert på I.Ethvert slik intervall og par (f,g) av funksjoner som genererer punktene på Ckalles en parameterisering av C.
En plan kurve involverer ingen spesifikk parameteriseringog kurven har ingen spesifikk retning.
Plan kurve - Parameterisering av en plan kurve
Kurver i planetFlere mulige parameteriseringerKurver i planetFlere mulige parameteriseringer
Rett linjestykke
Sirkel
1
5,0 5 5
5,0
5.2,0 2 2
5,0
5,0
ttytx
ttytx
ttytx
ttytx
xxy
Skifte av retning
2,2 2 1
1,1 )usin(y )ucos(
2,0 cos sin
,0 sin2t y cos2t
2,0 sint y cost
1
22
22
22
tttytx
ux
ttytx
tx
tx
yx
Kurver i planetParameterisering av en kurve som er grafen til en funksjonKurver i planetParameterisering av en kurve som er grafen til en funksjon
f er en kontinuerlig funksjon på et intervall I.Grafen til f er en plan kurve.
En mulig parameterisering er da gitt ved:
Ittfytx )(
4,4 22.0)(
4,4 22.0)(
3
3
Ittttfytx
Ixxxxfy
Eks:
CycloideRullende hjul som ruller uten å gli mot underlagetCycloideRullende hjul som ruller uten å gli mot underlaget
)cos1( cos )cos(
)sin(sin)sin(
tataataaCQTCy
ttataattaatPQOTx
Derivasjon viser at et periferipunkt i kontakt med underlaget har null hastighetog at et periferipunkt på toppen har dobbelt så stor hastighet som hjulsenteret.
Merk: Til tross for at både x og y er deriverbare funksjoner overalt,er ikke kurven det vi kaller en ‘glatt kurve’.
InvolusjonEn stram snor vikles av en fast sirkelInvolusjonEn stram snor vikles av en fast sirkel
En snor er viklet (nesten som helhet) rundt en fast sirkel.Den delen av snoren (TP) som ikke er viklet rundt sirkelener strukket ut til en rett linje tangentielt til sirkelen.Kurven som snorenden P følger når snoren vikles av sirkelenkalles for ‘involusjonen av sirkelen’.
222 ayx Sirkel:
)cos(sin )sin(cos
cossin sincos
tttattta
tattatatta
STRTySPORx
Parameterisering av involusjonskurven til sirkelen
Glatte parameteriserte kurverDefGlatte parameteriserte kurverDef
Vi sier at en plan kurve er glattnår kurven har en tangent linje i hvert punkt Pog denne tangentlinjen endrer seg på en kontinuerlig måtenår P beveger seg på kurven (dvs tangentvinkelen er en kontinerlig funksjon av posisjonen P).
En kurve C som er grafen til en kontinuerlig deriverbar funksjon fvil være en glatt kurve.
For parametriske kurver x = f(t), y = g(t)er situasjonen noe mer komplisert.En slik kurve trenger ikke være glattselv om begge funksjonen f og g er kontinuerlig deriverbare.Spesiell oppmerksomhet rettes mot punkter hvor f’(t) = g’(t) = 0.En partikkel som beveger seg på en slik kurve hvor t er tiden,vil ha null hastighet når f’(t) = g’(t) = 0,og partikkelen vil ikke nødvendigvis bevege seg slik atInngående og utgående retning er like.
t = 0
t = 1
t = -1
x = t2
y = t3
x = ty = t1/3
x = -ty = -t1/3
Ikke-glatt kurvef’(0) = g’(0) = 0
Glatt kurveSelv om f’(0) = g’(0) = 0
Glatte parameteriserte kurverTilstrekkelig betingelseGlatte parameteriserte kurverTilstrekkelig betingelse
Teorem:
La C cære en parameterisert kurve x = f(t), y = g(t)hvor f’(t) og g’(t) er kontinuerlige på et intervall I.Hvis f’(t) 0, så er kurven C glattog har for hver t en tangentlinje med stigning:
)('
)('
tf
tg
dx
dy
C er således glatt i punkter unntatt muligens i punkter hvor f’(t) og g’(t) begge er lik null.
Bevis:
Anta at f’(t) 0 på I.Da er f enten sterkt stigende eller sterkt synkende på Iog således en en-til-en-funksjon og derfor invertibel.Punktet på C som svarer til gitt t er gitt ved: y = g(t) = g(f-1(x)).Herav får vi at stigningen er gitt ved:
tf
tg
xff
xfg
xfdx
dxfg
xfgdx
d
dx
dy
'
'
)('
)('
)()('
)(
1
1
11
1
Denne stigningen er en kontinuerlig funksjon av t,slik at tangenten til C endres kontinuerlig for t i I.
Beviset for g’(t) 0 er analogt.I dette tilfellet er stigningen til normalenen kontinuerlig funksjon, dvs normalenendres kontinuerlig med t.Derfor endres tangenten også kontinuerlig.
)('
)('
)('
1)('
1)('
1)('
tf
tg
tftg
tfdtd
tg
dtdx
tg
dx
dttg
dt
d
tgdx
d
dx
dy
Glatte parameteriserte kurverTilstrekkelig betingelse - EksGlatte parameteriserte kurverTilstrekkelig betingelse - Eks
x = t3 y = t6
Kurven er parablen y = x2
Denne kurven er glatt overaltselv om dx/dt = 3t2 og dy/dt = 6t5 begge er lik null for t = 0.
)('
)('
tf
tg
dx
dy
02lim3
6lim
)('
)('lim 3
02
5
000
tt
t
tf
tg
dx
dyttt
t
Tangent og normal til parameterisert kurveTangent og normal til parameterisert kurve
010
010
-yytyy
, t -xxtxx
StIgningstallRett linje
P0
P1
t = 0
t = 1konstant01
01
0
0 -xx
-yy
x -x
y-y
Tangent
Normal
000
000
)(')(
)(')(
t-ttgtgy
t-ttftfx
Tangent i (x0,y0)
Parameterisert kurve
)(
)(
tgy
tfx
Går gjennom (x0,y0) = (f(t0),g(t0))
og har korrekt stigning dy / dx = (y(t)-y(t0)) / (x(t)-x(t0)) = g’(t0) / f’(t0))
000
000
)(')(
)(')(
t-ttftgy
t-ttgtfx
Normal i (x0,y0)
Går gjennom (x0,y0) = (f(t0),g(t0))og har korrekt stigning normalt på tangentensiden produktet av stigningen til tangenten og normalen er lik -1
[g’(t0) / f’(t0))] / [-f’(t0) / g’(t0))] = -1
Tangent / normalEksTangent / normalEks
tty
ttx
2
2
Bestem ligning for tangent og normal i punktet svarende til t = 2til følgende parameteriserte kurve:
123)2(36)2)(2(')2(
85)2(52)2)(2(')2(
:
45)2(56)2)(2(')2(
43)2(32)2)(2(')2(
:
5122)2(' 12)('
3122 )2(' 12)('
622)2( )(
222)2( )(
2
2
22
22
tttfgy
tttgfx
Normal
tttggy
tttffx
Tangent
dt
dygt
dt
dytg
dt
dxft
dt
dxtf
gtttg
ftttf
t
t
000
000
)(')(
)(')(
t-ttgtgy
t-ttftfx
Tangent i (x0,y0)
000
000
)(')(
)(')(
t-ttftgy
t-ttgtfx
Normal i (x0,y0)
KrumningDefKrumningDef
3
2
2
2
'
''''''
'
1
'
''''''
'
1
'
'
'
1
'
1'
11
f
fggf
ff
fggf
ff
g
dt
d
ffg
dt
d
dtdx
dtdxdt
dy
dt
d
dx
dt
dx
dt
dt
dy
dt
d
dx
dy
dx
d
dx
yd
Krumningen til en parameterisert kurvekan bestemmes ved å beregne den andre deriverte av y mht x fra de parametriske ligningene.
000
000
)(')(
)(')(
t-ttgtgy
t-ttftfx
Tangent i (x0,y0)
000
000
)(')(
)(')(
t-ttftgy
t-ttgtfx
Normal i (x0,y0)
)(
)(
tgy
tfx
32
2
'
''''''
f
fggf
dx
yd
Kurve-skisseEksKurve-skisseEks
000
000
)(')(
)(')(
t-ttgtgy
t-ttftfx
Tangent i (x0,y0)
000
000
)(')(
)(')(
t-ttftgy
t-ttgtfx
Normal i (x0,y0)
2
3
)(
2,2 3)(
ttgy
ttttfx
)(
)(
tgy
tfx
ttg
ttf
2)('
1)1)(t-3(t1)-(3)(' 2
Kurven har en horisontal tangent for t = 0, dvs i punktet (0,0)og vertikale tangenter for t = ±1, dvs i punktene (-2,1) og (2,1).Retningsinformasjon mellom disse punkteneer oppsummert i skjemaet nedenfor.Kurven er konkav oppover for -1 < t < 1, ellers konkav nedover.
32
2
'
''''''
f
fggf
dx
yd
Kurve-lengdeDefKurve-lengdeDef
)(
)(
tgy
tfx
b
a
b
a
b
a
dtdt
dy
dt
dxdt
dt
dsdss
22
dx
dyds
ds
a
b
Kurve-lengdeEksKurve-lengdeEks
tey
ttext
t
sin
2,0 cos
)1(2222
)cos(sin)sin(cos
)cos(sin
)sin(cos
22
0
2
0
2
22
22
eedtedte
dtttette
dtdt
dy
dt
dxdt
dt
dsdss
ttedt
dy
ttedt
dx
t
t
tt
t
tb
a
t
b
a
tt
b
a
b
a
b
a
t
t
s
b
a
b
a
b
a
dtdt
dy
dt
dxdt
dt
dsdss
22
RotasjonsflateDefRotasjonsflateDef
)(
, )(
tgy
battfx
b
a
b
a
b
a
x dtdt
dy
dt
dxydt
dt
dsydsyS
22
222
y
b
a
b
a
b
a
y dtdt
dy
dt
dxxdt
dt
dsxdsxS
22
222
Rotasjon om x-aksen
Rotasjon om y-aksen
x
RotasjonsflateEks – AstroidekurveRotasjonsflateEks – Astroidekurve
tsin
0at cos3
3
ay
ax
costtsin3
sinttcos3
2
2
dt
dydt
dx
t = 0
t = / 2
b
a
b
a
b
a
x dtdt
dy
dt
dxydt
dt
dsydsyS
22
222
5
12sin
5
112cossin12
sincos3cossin322
cossin3sincos3cossin322
222
22
0
522
0
42
2
0
2
2
0
22222
22
atatdtta
tdttatta
dtttattatta
dtdt
dy
dt
dxydt
dt
dsydsyS
t
t
t
t
t
t
t
t
b
a
b
a
b
a
x
a
a
-a
-a
Areal begrenset av parametriske kurverDef - [1/5]Areal begrenset av parametriske kurverDef - [1/5]
dx = f’(t)dt
f(t) f(b) xf(a)
t=b
t=a
y
)(
)(
tgy
tfx
b
a
b
a
b
a
dttftgydxdAA
batgtf
)(')(
, på 0)( 0)('
b
a
b
a
b
a
b
a
dttftgAbatgtf
dttftgAbatgtf
dttftgAbatgtf
dttftgAbatgtf
)(')( , på 0)( 0)('
)(')( , på 0)( 0)('
)(')( , på 0)( 0)('
)(')( , på 0)( 0)('
21)(')( AAdttftgb
a
A1 er arealet liggende vertikalt mellom Cog den delen av x-aksen x = f(t)slik at g(t)f’(t) ≥ 0A2 er arealet liggende vertikalt mellom Cog den delen av x-aksen x = f(t)slik at g(t)f’(t)<0
y = g(t)
C
Areal begrenset av parametriske kurverDef - [2/5]Areal begrenset av parametriske kurverDef - [2/5]
dx = f’(t)dt
f(t) f(b) xf(a)
g(t) t=b
t=a
y
)(
)(
tgy
tfx
21)(')( AAdttftgb
a
A1 er arealet liggende vertikalt mellom Cog den delen av x-aksen x = f(t)slik at g(t)f’(t) ≥ 0A2 er arealet liggende vertikalt mellom Cog den delen av x-aksen x = f(t)slik at g(t)f’(t)<0
Traverseringmed klokka
Traverseringmot klokka
A1
A2
y = g(t)
g(t) > 0 f(t) > 0 g(t) > 0 f(t) < 0
Areal begrenset av parametriske kurverDef - [3/5] - Lukket kurveAreal begrenset av parametriske kurverDef - [3/5] - Lukket kurve
)(
)(
tgy
tfx
b
a
dttftgA )(')(
Lukket, non-self-intersecting kurve
Traversering med klokka Traversering mot klokka
b
a
dttftgA )(')(
Areal begrenset av parametriske kurverDef - [4/5]Areal begrenset av parametriske kurverDef - [4/5]
)(
)(
tgy
tfx
21)(')( AAdttgtfxdyb
a
b
a
A1 er arealet liggende horisontalt mellom Cog den delen av y-aksen y = g(t)slik at f(t)g’t(t) ≥ 0A2 er arealet liggende horisontalt mellom Cog den delen av y-aksen y = g(t)slik at f(t)g’(t)<0
Traverseringmot klokka
f(t)
g(b)
x
g(a)
g(t)
t=b
t=a
y
A1 A2
dy = g’(t)dt
Areal begrenset av parametriske kurverDef - [5/5] - Lukket kurveAreal begrenset av parametriske kurverDef - [5/5] - Lukket kurve
)(
)(
tgy
tfx
b
a
dttftgA )(')(
Lukket, non-self-intersecting kurve
Traversering med klokka Traversering mot klokka
b
a
dttftgA )(')(
b
a
dttgtfA )(')( b
a
dttgtfA )(')(
Areal begrenset av parametriske kurverEks 1 - EllipseAreal begrenset av parametriske kurverEks 1 - Ellipse
)(
)(
tgy
tfx
abttab
dttab
dtt
ab
tdtab
dttatb
dttftgA
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
b
a
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2sin2
1
2)2cos1(
2
2
2cos1
sin
)sin(sin
)(')(
Bestem arealet avgrenset av ellipsenx = acost y = bsint
a
b
Traversering mot klokka
abttab
dttab
dtt
ab
tdtab
dttbta
dttgtfA
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
b
a
2
0
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2sin2
1
2)2cos1(
2
2
2cos1
cos
)coscos
)(')(
Eller:
Areal begrenset av parametriske kurverEks 2 - CycloideAreal begrenset av parametriske kurverEks 2 - Cycloide
)(
)(
tgy
tfx
2
2
0
2
2
0
2
2
0
22
2
0
22
2
0
32sin4
1
2
1sin2
)2
2cos1cos21(
)coscos21(
)cos1(
)cos1()cos1(
)(')(
atttta
dtt
ta
dttta
dtta
dttata
dttftgA
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
b
a
Bestem arealet avgrenset x-aksen og en sykloide-buex = a(t-sint) y = a(1-cost)
a bTraversering med klokka
A
ENDEND
