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Passive Tuned Mass Damper, un sujet qui secoue pas mal

(Comment faire de la physique à moindre coût)

Projet présenté par l’équipe Q :

Axelle Picard

Joséphine Marbot

Samy Rachati

Thien Thach Nguyen

Romain Andre

Encadrée par M. Rachid Zaid

Lycée Henri Poincaré

Nancy

2015/2016

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Plan d’étude

Table des matières

I) Introduction : résumé ...................................................................................................................3

1. Article de journal ........................................................................................................................3

2. Contexte .......................................................................................................................................4

II) Approche de la problématique .................................................................................................4

1. Pendule simple non amorti libre (oscillateur harmonique) ...............................................5

A. Etude théorique .........................................................................................................................5

B. Vérifions que x(t) = A.cos ( .t + ) est bien solution de l’équation différentielle d’un

oscillateur harmonique ....................................................................................................................6

C. Isochronisme des petites oscillations pour un pendule simple………………………………………………7

2. Oscillateur amorti par frottement fluide en régime libre expérimentale : exploitation

avec « Regavi » et « Regressi » ......................................................................................................8

III) Approche expérimentale de notre système d’étude : mât-pendule ........................ 11

1. Recherche de la fréquence propre du système ................................................................. 11

2. Présentation des résultats expérimentaux ........................................................................ 12

3. Conclusion ................................................................................................................................ 13

A. Limites du modèle ................................................................................................................ 13

B. Améliorations envisageables .............................................................................................. 14

IV) Amortisseur visqueux ...................................................................................................... 14

1. Principe du système ................................................................................................................ 14

2. Approche expérimentale ....................................................................................................... 14

A. Recherche de la viscosité dynamique de quelques fluides ..................................................... 15

B. Amortissement visqueux ......................................................................................................... 16

C. Viscosité et température d’un fluide visqueux ....................................................................... 17

D. Modélisation mathématique .................................................................................................. 18

V) Conclusion .......................................................................................................................... 19

Référence ............................................................................................................................ 20

Annexes ................................................................................................................................ 21

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I) Introduction : résumé

On assiste aujourd’hui à une course effrénée entre les pays asiatiques, ceux du golfe arabique et les Etats-Unis, à celui qui construira l’édifice le plus haut. Cependant, cette quête de prestige par la hauteur est dangereuse au vu du bouleversement climatique actuel et de la résistance de ces bâtiments.

Notre travail est axé sur l’étude d’une des techniques parasismiques adoptée

actuellement : le PTMD pour Passive Tuned Mass Damper. Il consiste à identifier les paramètres sur lesquels il faut intervenir afin d’optimiser la protection de ces hautes structures, en cas de séisme.

Cette étude sera prolongée par la réponse à la problématique posée par l’encombrement du pendule du PTMD : un système d’amortissement visqueux pourrait-il être envisageable ?

1. Article de journal : Nous avons été sensibilisés à la technique du PTMD, par la lecture d’un article paru sur :

4

2. Contexte : Dans les zones à risque sismique, les architectes ont recours à différentes techniques

parasismiques afin de protéger les bâtiments lors de tremblements de terre. La protection la mieux adaptée constitue ainsi un enjeu majeur dans la conception de ces bâtiments. Une des techniques couramment employée est celle du Passive Tuned Mass Damper (PTMD), dite de l’amortissement à masse accordée. Il s’agit d’un pendule fixé au sommet du bâtiment et qui va se mettre à osciller en présence de perturbations extérieures et limiter les déplacements du bâtiment en dissipant l’énergie apportée par les séismes. La tour Taipei 101, située à Taiwan, mesure 508 mètres de haut (93 étages) pour une masse totale de 70 000 tonnes. Elle fut achevée en 2003. Construite en zone sismique, cette tour a dû être munie d’un PTMD. Entre le 88ème et le 92ème étage, on peut donc observer un pendule d’acier sphérique de 660 tonnes pour un rayon de 2,7 mètres. Celui-ci est soutenu par quatre câbles de 4,5 cm d’épaisseur, et amorti par huit vérins hydrauliques qui permettent de dissiper l’énergie cinétique que le pendule acquiert pendant un séisme, puisqu’il est alors sujet à des oscillations d’amplitude 1,5 m en moyenne. L’intérêt est que les oscillations de la tour peuvent alors être atténuées de 30 % à 40 %. Son efficacité a été vérifiée lors du séisme Sichuan qui a frappé Taiwan en 2008 ; elle est d’autant plus remarquable que le coût du PTMD ne représente que 0,2 % du coût total de construction du bâtiment.

II) Approche de la problématique

Problématique Le PTMD a-t-il une quelconque influence sur les déplacements d’un immeuble

lorsque celui-ci est soumis à des actions naturelles extérieures (séisme, bourrasque de vent) ?

Dans l’affirmatif, identifier les paramètres du PTMD à affiner pour optimiser une protection de l’édifice.

L’amortisseur utilisé dans le PTMD est un pendule simple oscillant autour de sa position d’équilibre sous l’action d’une force extérieure.

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1. Pendule simple non amorti (oscillateur harmonique) :

A. Etude théorique du mouvement d’un pendule simple

Référentiel terrestre supposé galiléen Le système étudié est une masse m ponctuelle, suspendue à un point 0 par un fil inextensible, considéré sans masse et de longueur l (fig. 1) Le PFD appliqué à la masse m donne P + T = ma

fig.1 (les frottements de l’air sont négligés dans un premier temps).

La projection de sur les axes ux et uz fournit deux équations : - m.g =

On pose Sin et g / l = 02 pulsation propre du système

Dans le cas de l’approximation des petits angles (Θ ≈ 0) on pose T ≈ m.g (équilibre) Finalement s’écrit = 0 équation différentielle d’un oscillateur harmonique La résolution de cette équation différentielle consiste à établir une solution dont la forme générale est :

x(t) = A.cos ( .t + )

6

B. Vérifions que x(t) = A.cos ( .t + ) est bien solution de l’équation différentielle d’un oscillateur harmonique

- par une méthode analytique

x(t) = A.cos ( .t + )

s’écrit alors = 0 soit

La période des oscillations du pendule simple autour de sa position d’équilibre s’écrit

T = donc

- par une proche expérimentale

Fig. 2

La modélisation du mouvement de la masse m donne bien une sinusoïde de la forme

x’(t) = a + b.sin ( .t + )

On posera x(t) = x’(t) – a = b.sin ( .t + ) avec b = x0

(l’origine à l’équilibre n’a pas pu être définie de façon précise lors de l’étude sur Regavi + Regressi)

7

- Déterminons les constantes A et de cette solution : A l’instant initial t = 0

le pendule est écarté d’une amplitude x0 de sa position

d’équilibre

le pendule est immobile, sa vitesse est nulle

x(t) = A.cos ( .t + ) x(t = 0) = A.cos = x0

= 0

x0

Finalement x(t) = x0 .cos .t

C. Isochronisme des petites oscillations pour un pendule simple

8

2. Oscillateur amorti par frottement fluide en régime libre :

Les oscillateurs harmoniques non-amortis sont des systèmes conservatifs, mais idéaux, nos expériences répétées ont montré l’existence d’une perte d'énergie qui a accompagné notre processus physique étudié. Pour rendre compte de cette dissipation d'énergie, introduisons la force de frottement F.

D’après la loi de Stokes à très basse vitesse (vitesse de la masse m du pendule simple, mesurée à l’aide de Regavi < 5m/s dans l’air)

R Pour une boule de rayon R

Coefficient caractéristique de la géométrie du solide

Coefficient de viscosité du fluide (dépend de la température) k =

(source : owl-

ge.ch/IMG/pdf/frottement.pdf)

Cela se traduit par l’introduction d’un terme dissipatif dans l'équation du mouvement.

PFD : F = m.a P + T + F = ma projeté sur les deux axes, cela donne :

xmxkT ..sin.

zmgmT ..cos.

On pose et T ≈ m.g à l’équilibre (approximation des petites oscillations)

xmxkl

xgm .... 0..

xl

gx

m

kx

Le système d’oscillations amorties par frottement de fluide libre, a pour équation

différentielle régissant l’évolution de x(t) de forme canonique :

0..0

0

xxQ

x

On pose Qm

k 0 et l

g

2

0 Q étant le facteur de qualité et

la pulsation propre du

système

Ffrot = - v

0°C 20°C 40°C

(air) 0.017*10-3 0.018*10-3 0.019*10-3

(eau) 1.8*10-3 1.0*10-3 0.7*10-3

(glycérine) ----- 1490*10-3 -----

9

Divers régimes possibles :

L’équation différentielle 0..0

0

xxQ

x a pour équation caractéristique :

0 ²2

0

0

rQ

r

Le discriminant vaut : )11

(.4

42

2

0

Q Il existe 3 cas possibles selon le signe du

discriminant :

a. Régime apériodique : 2

1;0 Q

On obtient deux racines réelles et négatives

)11

2

1.(

)11

2

1.(

4

4

202

201

Qr

Qr

Q

Q

Car QQQ 2

111

1

4422

b. Régime critique : 2

1;0 Q

On obtient une racine double

0

0

2

Qr puisque Q = ½

c. Régime pseudo - périodique amorti : 2

1;0 Q

On obtient deux racines complexes :

j

Qj

Q Qr

2

11

2

0

20

0

4

Avec un terme réel Q2

0 et un terme complexe

Q420

11

10

L’enveloppe est représentée par )2

exp(2

exp 0

tt

Q où est un temps de

relaxation puisqu’au bout de quelques temps le régime libre devient négligeable et on obtient un état d'équilibre (ici x(∞)=0).

Si la force de frottement est faible : Q et sont grands.

Le régime pseudo périodique amorti a pour pseudo période T avec

Q420

11 si Q >> 1 (en pratique Q >> 5) alors

0 et T ≈ T0

Représentation graphique de x(t)

Fig. 3

On peut déterminer expérimentalement l’ordre de grandeur du facteur de qualité à

partir du décrément logarithmique, en comptant le nombre de maxima d’amplitude non négligeable. La courbe fig.3 en compte 6 maximas. Le décrément logarithmique s’écrit selon la littérature scientifique.

))(

)(ln(

1

nTtx

tx

n

avec n entier et ).cos(.).[2

exp()( 0 tt

Qtx X n

d’où )()...2

exp().( 0 txTnQ

Tntx

11

Finalement

QQQ

QQT

Q

442

0

00

0

11

)

2

11

12)(

2

1()

2)(

2

1(.

2

Si Q >> 1 (en pratique Q ≥ 5) on obtient δ = / Q

Le décrément logarithmique est défini pour le régime libre. (Source http://mawy33.free.fr/cours%20sup/33-109%20m%C3%A9ca%20oscillations%20libres.pdf)

III) Approche expérimentale de notre système d’étude: mât-pendule

La structure retenue est une maquette [Figure 4] d’immeuble en bois à laquelle est fixé un pendule. Un moteur avec excentrique simule les secousses sismiques (oscillateur amorti en régime forcé). Les paramètres de la maquette sont regroupés dans la [Table 1].

Notre dispositif parasismique

Fig.4

1. Recherche de la fréquence propre du système :

Fréquence propre : le système est soumis à une entrée échelon d’une dizaine de centimètres. L’acquisition de la position du toit par rapport au sol, avec un pas de temps d’acquisition de 0,1 s, est réalisée quatre fois consécutives [Figure 5]. La pseudo-période des oscillations amorties obtenues, que l’on peut assimiler à la période propre de la maquette, vaut 1 s ; sa fréquence propre vaut donc f0 = 1, 0 Hz. Mise en mouvement de notre dispositif (voir réponse graphique [figure 5])

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2. Présentation des résultats expérimentaux :

L’objectif est de déterminer les grandeurs caractéristiques du pendule (masse et longueur) réduisant au mieux les oscillations du toit de la maquette. Pour des raisons pratiques, la fréquence du moteur sera imposée durant toutes les expériences à f = 1, 0 Hz.

La longueur du pendule est d’abord fixée arbitrairement à l = 15 cm, pour étudier l’influence de la masse sur le comportement du bâtiment. Le logiciel « Atelier Scientifique », à l’aide d’une webcam fixée au sol, permet d’enregistrer la position du centre du toit de la maquette à chaque image. L’expérience est réitérée plusieurs fois pour affiner la précision des résultats et déterminer statistiquement l’incertitude sur les amplitudes des oscillations.

L’étude de chaque vidéo fournit une amplitude moyenne en fonction de la masse ; on peut ainsi rechercher la masse optimale pour l’amortissement des oscillations.

La [Figure 6] correspond aux oscillations du bâtiment en l’absence de pendule ; la

[Figure 7] à une masse de 200 g. La [Figure 8] représente l’amplitude moyenne des mouvements du toit de la maquette dans le référentiel du laboratoire en fonction de la masse m du pendule. Elle ne représente cependant pas les mouvements du pendule, qui jouent un rôle important dans la viabilité du système. On peut distinguer trois parties :

– m [0; 100] g : on constate que l’amplitude croît, variant entre 20 cm et 25 cm. En effet, le pendule est en phase avec le bâtiment et ne fait donc qu’amplifier ses oscillations De plus, les fortes oscillations du pendule risquent de détruire les éventuels murs de la maquette.

– m [100, 400] g : l’amplitude des déplacements du toit diminue fortement, passant à moins de 4 cm parfois. Le pendule est presque constamment en opposition de phase avec le bâtiment. Le TMD est donc particulièrement performant, pour une masse en outre raisonnable par rapport à la masse de l’ensemble.

– m [400, 700] g : la protection du bâtiment est encore efficace, mais la masse du pendule est manifestement bien trop grande pour la maquette, qui présente des risques de rupture.

La masse optimale pour cette maquette est donc m = 200 g pour une longueur l = 15 cm : les oscillations ont diminué d’un facteur 10 par rapport à l’expérience sans pendule et le rapport des masses est de 8 %. Une fois cette masse optimale déterminée, nous avons fait varier la longueur de la

corde à masse m = 200 g fixée. Le graphe [Figure 9] représente l’amplitude moyenne des oscillations du toit en fonction de la longueur du pendule : la longueur optimale est de 25 cm.

Pour améliorer ces résultats, il faudrait réitérer le processus en fixant l = 25 cm et rechercher plus finement la masse optimale, et ainsi de suite.

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3. Conclusion :

Les résultats expérimentaux obtenus mettent en évidence la diminution des amplitudes du bâtiment en présence d’un PTMD. Excité par le mouvement de la structure, le pendule s'oppose à ce mouvement et dissipe l’énergie reçue par les secousses extérieures au bâtiment.

Cet amortisseur à masse accordée s'avère être très performant lors d'un séisme et peut en effet de manière très efficace réduire la force des ondes reçues par l’édifice ; empêchant ainsi la structure de s’écrouler.

Il convient cependant de souligner quelques limites à ce système d’étude.

A. Limites du modèle :

– les écarts entre la réalité et une maquette idéale ; – les écarts entre les maquettes idéale et expérimentale ;

a. Ecarts entre la réalité et une maquette idéale

– La répartition des masses est très différente entre la réalité et notre maquette : (seuls les montants, le toit et le pendule sont présents dans notre modèle, ce qui est très différent de la réalité, où la masse totale est répartie de manière bien plus homogène entre les étages. La maquette est donc moins rigide et plus résistante à la rupture que dans le cas réel).

– La masse du pendule est généralement de l’ordre de 1 % de la masse totale du bâtiment, alors que pour la maquette ce rapport est plutôt de 8 %. En effet, une plus grande masse est requise pour réduire les oscillations de la maquette plus souple. Le risque encouru est une destruction d’un montant ou du PTMD lui-même.

– La maquette ne peut être en rapport d’homothétie avec une vraie tour à cause des trop grandes oscillations du pendule. Cela fait donc intervenir des considérations techniques de résistance des matériaux, dont notre modèle ne tient pas compte.

b. Ecarts entre les maquettes idéale et expérimentale

– Assimilation de la flexion des montants en bois à un ressort de torsion : cette approximation reste correcte aux petits angles mais devient discutable lorsque l’amplitude des oscillations augmente. Dans notre expérience, elle ne cause donc que des écarts faibles au modèle et reste donc valable

– Incertitudes dans la lecture de la position du toit lors du traitement des images. Un grand nombre de mesures nous a cependant permis de diminuer grandement les barres d’erreurs.

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B. Améliorations envisageables :

Représenter un bâtiment dans des proportions réelles, en prenant en compte, par exemple, la répartition des masses et d’autres paramètres propres à un bâtiment (ce qui se fait actuellement dans les différents bureaux d’études où on utilise, entre autre, la simulation avec « SolidWorks »). L’optimisation des grandeurs caractéristiques du pendule dans ces nouvelles conditions est aussi envisageable.

Conclusion :

L’utilisation de Tuned Mass Damper est certes répandue, mais sous différentes formes. Certains amortisseurs sont ainsi dits actifs : reliés à un réseau d’accéléromètres, le PTMD (éventuellement constitué de plusieurs masses au lieu d’une seule) peut se déplacer de façon motorisée et asservie afin d’atténuer les oscillations du sommet du bâtiment de manière optimale.

Nous avons aussi pensé à un autre système d’amortissement dont le rendement a été

prouvé et qui pourrait s’appliquer à notre modèle de hauts bâtiments : l’amortisseur visqueux afin de palier à l’encombrement du pendule dans le PTMD.

IV) Amortisseur visqueux 1. Principe du système : Le système retenu est celui d’une bille qui se déplace selon un mouvement de va-et-vient dans un cylindre contenant un liquide visqueux. Solidaire du bâtiment, il absorbe l'énergie induite lors d'un séisme au moyen d'une friction entre la bille, le cylindre et le liquide.

2. Approche expérimentale :

A. Recherche des viscosités dynamiques de quelques fluides :

On fait chuter une bille dans un fluide visqueux contenu dans une éprouvette graduée de diamètre très grand devant celui de la bille. En fonction de la viscosité du fluide, la bille atteint plus ou moins rapidement une vitesse limite de chute constante, assez faible pour introduire la force de frottement décrite par la Loi de Stokes :

f = 6. .r.m.vlimite La bille est lâchée sans vitesse initiale, au centre de la section de l’éprouvette utilisée, de manière à ne pas entrainer des effets perturbateurs, près des bords, qui modifieraient de manière non négligeable la mesure effectuée.

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Nous avons effectué un nombre suffisant de mesures de manière à pouvoir conduire une étude statistique convenable. μ = viscosité dynamique (Pa/s) m = masse de la bille (kg) r = rayon de la bille (m) ρ = masse volumique du liquide (kg/m3) V = Volume de la bille (m3) v = Vitesse limite (m/s) g = intensité de la pesanteur = 9,81 m/s2 (selon la littérature) et 9,88 m/s2 selon notre calcul lors de notre manipulation «isochronismes des petites oscillations» d’un pendule simple Chute verticale d’un solide soumis à des frottements Description :

- Système : le corps de masse m - Référentiel : terrestre considéré comme galiléen

On considère une masse m qui chute sans vitesse initiale dans un fluide. Les seules forces appliquées sont : le poids P = m.g

la force de frottement du fluide donnée par Stokes f = 6.π..r.v

et la poussée d’Archimède π = .V.g PFD F = P + f + π = m.a sa projection sur l’axe vertical donne

m.g - 6.π..r.v - .V.g = m

z.

On pose v =

z vitesse de la masse m dans le fluide

m

gVm )..( =

z + m

zr

....6

équation différentielle qui régit l’évolution de z(t)

Lorsque la vitesse limite est atteinte 0

z dans ce cas r

gVm

...6

)..(

=

v itez

lim

= constante

avec m = mbille = bille . Vbille

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Figure 10 :

Photo paraffine Figure 11 :

Photo huile d’olive

fluide Paraffine Huile d’olive

Température du fluide 20°C 20°C

(littérature scientifique) 110 – 230 mPa.s Environ 0,1 Pa.s

(valeur expérimentale) (206,86 ±5.50) mPa.s à 95 % (206,86 ± 9.09) mPa.s à 99 %

(0,095 ±0,011) Pa.s à 95 % (0,095 ± 0,016) Pa.s à 99 %

Sources http://www.columbiapetro.com/Our_Products/Light-Heavy_Liquid_Paraffin/light-heavy_liquid_paraffin.html

On suppose que la paraffine serait plus efficace que l’huile d’olive comme amortisseur visqueux, car il a une viscosité dynamique plus grande.

B. Amortissement visqueux :

Nous avons rendu solidaire à notre maquette un système formé d’un tube à essai

contenant un fluide visqueux + une bille et nous avons soumis l’ensemble à un régime forcé à l’aide de notre moteur à excentrique.

L’expérience est filmée avec une webcam fixée de face et associée au logiciel « Atelier scientifique ».

Une série de mesures est effectuée pour chaque fluide afin de faire une étude statistique pour tenir compte des erreurs expérimentales.

- le système visqueux paraffine (sans bille) : il amortit faiblement les oscillations de la maquette, on pense que cela est du à l’air laissé dans le tube à essai, la paraffine+air a agit en quelque sorte comme un PTMD (pendule) [figure 12]

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- le système visqueux huile d’olive + bille : les oscillations ont diminué d’un facteur de 1.6 par rapport à la maquette à vide [figure 13]

- le système visqueux paraffine + bille possède l’amortissement le plus élevé dans

notre expérience [figure 14]

- amplitude la maquette à vide (sans amortissement visqueux) [figure 15]

- le système visqueux optimal pour cette maquette est, paraffine + bille [figure 16]: les oscillations ont diminué d’un facteur 3 par rapport à l’expérience à vide

En réalisant plusieurs tests d’amortissement avec différents fluides visqueux, nous avons

pu constater que l’efficacité du système varie en fonction de sa viscosité [figure 17]. Or celle-ci a le désavantage de changer de propriétés si la température varie.

C. Viscosité et température d’un fluide visqueux

Pour des raisons de commodités, nous avons opté de tester la viscosité en fonction

de la température pour un fluide autre que ceux utilisés Une même bille en acier est lâchée à plusieurs reprises (pour une étude statistique) dans une éprouvette remplie de miel, chauffée à différentes températures à l’aide d’un bain-marie. Selon l’expérience de jackson Derock :

Source https://www.youtube.com/watch?v=AgB4KP2J07g

Cette courbe traduit la diminution de la viscosité du miel en fonction de l’augmentation de la température avec une étude statistique des erreurs d’expérimentation, traduite par les barres d’erreurs rouges.

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En effet comme lim

( . . . )

6. . .

fluide

ite

m g v g

r v

avec vlimite = constante

tandis ce

durée

( . . . )

tan6. . .

fluidem g v g

dis cer

durée

=

( . . . ). tan .

6. . . tan

fluidem g v g

durée cons te duréer dis ce

Pour une expérience réalisée dans les mêmes conditions, de façon répétitive. Donc la viscosité et la durée de chute de la bille sont proportionnelles

D. Modélisation mathématique

A l’aide du logiciel « Regressi » nous avons cherché à établir une loi mathématique

décrivant le comportement du miel en fonction de la température absolue (°K). La modélisation de d = f(T) donne avec un écart expérience/modèle de 1,2 %

d = a.exp (T/ ) + b avec a (s) = 3,7.1018 et (°k) = 7,8 constantes expérimentales d (s) durée de chute de la bille et T (°K) température du fluide b (s) ajustement par rapport à l’origine = 1,54 Ce modèle est cohérent avec celui donné par la littérature scientifique, en effet le modèle empirique qui traduit l’évolution de la viscosité d’un fluide en fonction de la température s’écrit :

= a’.exp (T/’) a’(s) et ’ (°k) constantes expérimentales Source formules http://www.formules-physique.com/categorie/1133 Source http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/divers/stokes.html

Sources d’erreurs :

- masse du miel qui change à chaque récupération de la bille - température varie sensiblement entre la sortie de l’éprouvette de miel du bain-marie

et le début de la manipulation - chronométrage entre lâcher et arrivée de la bille au fond de l’éprouvette - lâcher de la bille ne se fait pas à la même hauteur

Comment réduire les erreurs commises :

- peser systématiquement la masse de miel et compléter en cas de besoin - penser à un système de chauffage intégré

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- lâcher de bille avec un dispositif fixe - filmer l’expérience avec une caméra fixe entre deux intervalles de graduations au lieu

de chronométrer entre le lâcher et l’arrivée au fond de l’éprouvette - procéder à plus de lâcher pour une étude statistique plus poussée

V) Conclusion

Aujourd’hui encore, des articles sont écrits les journaux pour témoigner de la réussite technique du PTMD.

« A défaut d’avoir pu maintenir longtemps son statut de plus haut bâtiment au monde, la tour Taipei 101 à Taïwan vient d’établir un nouveau record. Son mécanisme interne d’absorption des chocs a effectué son plus important mouvement jamais enregistré, se déplaçant de plus d’un mètre. Un mouvement qui a permis au gratte-ciel de 510 mètres de haut de résister aux bourrasques à plus de 200 km/h du typhon Soudelor qui a traversé récemment l’Asie. Dans une région fortement exposée aux tempêtes comme aux risques de tremblements de terre, il a fallu particulièrement soigner le système d’amortisseur qui équipe toutes les tours vertigineuses. Ici, c’est un « amortisseur harmonique », une immense boule lestée de 6 mètres de diamètre pesant 660 tonnes et installée entre les 87e et 92e étages de la tour. Installé sur des cylindres hydrauliques et retenu par des câbles, cet immense contrepoids doit pouvoir osciller en opposition de phase lorsque le bâtiment fait face à des secousses (de vent ou sismique), récupérant ainsi de l’énergie.

Le système est étudié pour résister à un tremblement de terre de 7 sur l'échelle de Richter. Sous l'action des typhons, le déplacement des étages les plus hauts pourrait être de 3m ».

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Références [1] Physique 2 - MP, concours commun mines-ponts. 2007. [2] X. Bohan. Modélisation du comportement mécanique d’assemblages bois avec prise en compte de critères de rupture. PhD thesis, UBP Clermont-Ferrand, 2009. [3] M. Clotaire. Vulnérabilité Sismique de l’échelle du bâtiment à celle de la ville – Apport des techniques expérimentales in situ - Application à Grenoble. PhD thesis, UJF Grenoble, 2007. [4] J.J. Connor. Introduction to Structural Motion Control. Prentice Hall, 2002. [5] R. Jankowski, M. Kujawa, and C. Szymczak. Reduction of steel chimney vibrations with a pendulum damper.Task Quarterly, page 8, jan. 2004. [6] T. Nagase. World conference on earthquake engineering, fév. 2000. [7] T. Smail and M. Abed. Symposium international sur la construction en zone sismique, oct. 2013. [8] A.F. Vakakis and R.H. Rand. Normal modes and global dynamics of a two-degree-of- bfreedom non-linear system.International Journal of Non-Linear Mechanics, page 14, sep. 1992. [9] T. Smail and M. Abed. Symposium international sur la construction en zone sismique, oct. 2013. [10] http://bhernand.chez.com/jeunes.html [11] Oscillations amorties et forcées - Résonance, Ecole Nationale d'Ingénieurs de Tarbes, 2012-2013 [12] Le Figaro.fr [13] http://www.physagreg.fr/mecanique/m13/M13-oscillateurs.pdf [14] http://gilbert.gastebois.pagesperso-orange.fr/java/spherique/theorie_spherique.pdf [15] http://pcsi-unautreregard.over-blog.com/

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[Table 1]

Figure 5 : Position du toit en fonction du temps, en réponse à une entrée échelon d’environ 20 cm

Figure 6 : Position du toit en fonction du temps, à vide (m = 0 g) et l = 15 cm

22

Figure 7 : Position du toit en fonction du temps, à la masse optimale (m = 200 g) et l = 15 cm

Figure 8 : Amplitude moyenne des oscillations du toit en fonction de la masse du pendule

Figure 9 : Amplitude moyenne des oscillations du toit en fonction de la longueur du pendule

23

Figure 12 : amplitude de la maquette avec amortissement visqueux paraffine en fonction du temps

Figure 13 : amplitude de la maquette avec amortissement visqueux huile d’olive + bille en fonction du temps

24

Figure 14 : amplitude de la maquette avec amortissement visqueux paraffine + bille en fonction du temps

Figure 15 : amplitude de la maquette à vide

Figure 16 : moyenne des amplitudes de la maquette en fonction de l’amortisseur visqueux

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Figure 17 : amplitude de la maquette en fonction des amortisseurs visqueux