A = (a

i,j

) B = (b

i,j

)

Mn

(K)

t

(A ·B) =

t

B ·t A t

(M

�1) = (

t

M)

�1M

E

i,j

E

kl

= �

k

j

E

i,l

n E n 2 6= 0

n E n

det(�A) det(

t

A) det(AB) det(A

�1)

c

n

, c

n�1, c0

f(x) = �x (P (f))(x) = P (�) · x

P1, . . . Pr

Ker ((

QP

i

)(f)) = �KerP

i

(f)

(x 7! exp(↵x))

↵2Rf g f g

P (f) = 0 f P P f

M 2 Mn

(K) K[M ]

M

Mn

(R)8x 2 E, 9�

x

, f(x) = �

x

· x f E

exp(A) A 2 Mn

(C)

�

A

Tr(A) det(A) A A

• A

�

A

A �

A

A �

A

A �

A

J

0 (n� 1) n

J �

J

= X

n�1(X � 1)

A A

• A

A = PDP

�1P

D A

P

• A

A

A

• n

A A = PDP

�1

D E

D

B = PEP

�1B

2= A

• v 2 L(E)

u v u E

u v u

v u

•Å0 1

0 0

ã

Å0 �1

1 0

ãR

C• A 2 Mn(K)

P A P

A

X

k

P X

k

= PQ+R

A

k

= R(A)

• A

A

A (X��1) · · · (X��

p

) �1, . . . ,�p

A

M

M

M2k+1(R)

(f

a

)

a2R

M 2 Mn

(K) � 2 K

~wwwwwwww�

• � M.

••••

M

�

M

=

Pa

k

X

k

a0, an�1 a

n

R[X]

A =

Ü0 0 0 �1

1 0 0 2

0 1 0 �3

0 0 1 4

ê

aI

n

a 2 K

E

i,j

E

k,l

aI

n

a 2 KÅ0 �1

1 1

ã

M 2 Mn

(K) (K[M ],+,⇥, ·)

M2k+1(R)

M

� 2 K � 2 Sp(M) , 9X 2 Mn,1(K) \ {0},MX = �X

E

�

= Ker(M � �I

n

) = {X 2 Mn,1(K)|MX = �X}

M

I

M

= {P 2 K[X]|P (M) = 0} K[X]

I

M

= {0K[X]} µ

M

M2k+1(R)deg(�

M

) �

M

RM

det(M) Tr(M) �

M

µ

M

Sp(M)

n p � : Z/npZ ! Z/nZ⇥Z/pZ �(x mod np) = (x mod n, x mod p)

nu+ pv = 1

ßx ⌘ a[n]

x ⌘ b[p]

x ⌘ x0[np] x0 = nub+ pva

(f

a

)

a2R KE

(f

a

)

a2R

8n 2 N⇤, 8(a1, . . . , an) 2 Rn

, 8(�1, . . .�n

) 2 Kn

,

X�

i

f

ai = 0 ) 8i 2 [1, n],�

i

= 0.

M 2 Mn

(K) � 2 K

~wwwwwwww�

• � M.

• M � �I

n

• Ker(M � �I

n

) 6= {0}• 9X0 6= 0,MX0 = �X0

• det(�I

n

�M) = 0

�

A

= det(XI

n

�A)

�

A

=

Pn

k=0 akXk

A a0, an�1 a

n

a0 = (�1)

n

det(A) a

n�1 = �Tr(A) a

n

= 1

R[X]

I P0 2 R[X] I = (P0)

�

M

=

Qn

i=1 ai,i

A =

Ü0 0 0 �1

1 0 0 2

0 1 0 �3

0 0 1 4

ê

�

A

= X

4 � 4X

3+ 3X

2 � 2X + 1

det((a

i,j

)) =

P�2⌃n

"(�)

Qn

i=1 ai,�(i)

P = P

�

0

�

� �

0P

�

0

�

�

0� X u

� X

0�

0X = PX

0

f � A �

0B B = P

�1AP

���������

1 a1 a

21 . . . a

n�11

1 a2 a

22 . . . a

n�12

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . .

.

.

.

1 a

n

a

2n

. . . a

n�1n

���������

=

Y

16i<j6n

(a

j

� a

i

).

Tn

n

An

n

�Tn = (E

i,j

)16j6i6n

dim(Tn

) =

n(n+ 1)

2

�An = (E

i,j

� E

j,i

)16i<j6n

dim(An

) =

n(n� 1)

2

M M {0}M

M

aI

n

a 2 Kµ

aIn = (X � a) a 2 K

µ

M

= �

M

=

Qn

i=1 ai,i

E

i,j

E

k,l

= �

k

j

E

i,l

E3,7E6,7 = 0 E3,7E7,6 = E3,6 E6,7E7,3 = E6,3

aI

n

a 2 K�

aIn = (X � a)

n

a 2 K Å0 �1

1 1

ã

M =

Å0 �1

1 1

ã�

M

= X

2 �X + 1 = (X � e

i⇡/3)(X � e

�i⇡/3) µ

M

|�M

µ

M

2 R[X]

µ

M

= �

M

M 2 Mn

(K) (K[M ],+,⇥, ·)dim(K[M ],+,⇥, ·) = d d = deg(µ

M

)

M2k+1(R)

M 2 M2k+1(R) �

M

�

M

SpR(M) = Racines(�

M

) M

M2k+1(R)

deg(�

M

) �

M

R

M

n p � : Z/npZ ! Z/nZ⇥Z/pZ �(x mod np) = (x mod n, x mod p)

nu+ pv = 1

ßx ⌘ a[n]

x ⌘ b[p]

x ⌘ x0[np] x0 = nub+ pva

n p '(np) = '(n)'(p)

K = R C P 2 K[X] �(P ) = (2X + 1)P � (X

2 � 1)P

0

� K[X]

P � P

0 6= 0 P

�

A 2 Mn

(C) det(exp(A)) = exp( (A))

n > 2 (a0, . . . an�1) 2 Kn

A(a0, . . . , an�1) =

0

BBBBBBB@

0 . . . . . . 0 a0

1

.

.

.

.

.

. a1

0

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0

.

.

.

0 . . . 0 1 a

n�1

1

CCCCCCCA

P = X

n � (a

n�1Xn�1

+ · · ·+ a1X + a0).

E K n f 2 L(E) P

E

p (x, f(x), . . . f

p

(x))

p 6= 0

F = V ect(x, f(x), . . . , f

p�1(x))

F f (x, f(x), . . . , f

p�1(x))

g F f

g F

Q g Q(g)(x) = 0

Q P P (f)(x) = 0

À rendre mardi 28 avril avant 20h

Partie I : EXERCICE 1

Soit les suites reelles (un), (vn) et (wn) definies par :

∀n ∈ N

⎧⎨

⎩

un+1 = un + 3vnvn+1 = 3un + vn + 4wn

wn+1 = 4vn + wn

et (u0, v0, w0) = (1, 0, 1).

I.1.

I.1.a Justifier sans calcul que la matrice A =

⎛

⎝1 3 03 1 40 4 1

⎞

⎠ ∈M3(R) est diagonalisable.

I.1.b Diagonaliser la matrice A ∈M3(R).I.1.c Determiner la matrice An pour tout n ∈ N. On pourra utiliser la calculatrice.

I.2. Expliciter les termes un, vn et wn en fonction de n.

Partie II : EXERCICE 2

Soit n un entier superieur a 2 et E un espace vectoriel sur R de dimension n. On appelleprojecteur de E, tout endomorphisme p de E verifiant p ◦ p = p.

II.1. Soit p un projecteur de E.

II.1.a Demontrer que les sous-espaces vectoriels Ker(p) et Im (p) sont supplementairesdans E.

II.1.b En deduire que la trace de p (notee Tr (p)) est egale au rang de p (note rg (p)).

II.1.c Un endomorphisme u de E verifiant Tr (u) = rg (u) est-il necessairement un projec-teur de E ?

II.2. Donner un exemple de deux matrices A et B de M3(R) de rang 1 telles que A soitdiagonalisable et B ne soit pas diagonalisable. Justifier la reponse.

II.3. Soit u un endomorphisme de E de rang 1.

II.3.a Demontrer qu’il existe une base β = (e1, · · · , en) de E telle que la matrice Matβ(u)de u dans β soit de la forme :

Matβ(u) =

⎛

⎜⎜⎜⎝

0 · · · 0 a10 · · · 0 a2...

......

0 · · · 0 an

⎞

⎟⎟⎟⎠∈Mn(R) ou a1, · · · , an sont n nombres reels.

II.3.b Demontrer que u est diagonalisable si, et seulement si, la trace de u est non nulle.

II.3.c On suppose que Tr (u) = rg (u) = 1. Demontrer que u est un projecteur.

II.3.d Soit la matrice A =

⎛

⎝1 1 −11 1 −11 1 −1

⎞

⎠ ∈M3(R). Demontrer que A est la matrice d’un

projecteur de R3 dont on determinera l’image et le noyau.

2/5

PROBLEME III. SURJECTIVITE DE L’APPLICATION EXPONEN-TIELLE DE!n (C) VERS GLn (R)

On note, pour n entier n ≥ 2,!n (C) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n à coefficientscomplexes.

On notera 1≤ i , j ≤n pour indiquer que : 1≤ i ≤n et 1≤ j ≤n .

Partie préliminaire

Une norme ∥.∥ sur l’espace vectoriel!n (C) est une norme d’algèbre si elle vérifie la propriété :pour tout couple de matrices (A,B ) de!n (C), ∥AB∥≤∥A∥∥B∥.

III.1. On note pour A= (ai , j ) élément de!n (C), ∥A∥∞= sup1≤i , j≤n

!!ai , j

!! et ∥A∥=n ∥A∥∞.

L’application ∥.∥ est une norme sur l’espace vectoriel!n (C). Démontrer que c’est une norme d’al-gèbre.

Dans la suite de cette partie préliminaire, on munit!n (C) de cette norme d’algèbre.

III.2. Justifier simplement qu’une série de vecteurs de!n (C) absolument convergente est conver-gente.

III.3. Si M est une matrice de!n (C), établir que la série de réels positifs∑## 1

k ! Mk## converge et

en déduire que la série de matrices∑

1k ! M

k converge.

Si M est une matrice de!n (C) , on notera exp(M ) =+∞∑

k=0

1k ! M

k , exponentielle de la matrice M .

Première partie

On pourra utiliser librement le résultat suivant :

si T est une matrice triangulaire de!n (C) dont les éléments diagonaux sont λ1,λ2,...,λn , alors lamatrice exp(T ) est une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont e λ1 ,e λ2 ,...,e λn .

III.4. Si M est une matrice de!n (C), rappeler pourquoi la matrice M est trigonalisable et déter-miner une relation entre det(exp(M )) et e tr(M ).

III.5. Soit la matrice A=

⎛⎝

3 6 − 6− 1 − 9 11

0 − 5 7

⎞⎠.

Donner le déterminant de la matrice A. En déduire qu’il n’existe aucune matrice B à coefficients réelsvérifiant B 2=A et qu’il n’existe aucune matrice M à coefficients réels vérifiant exp(M ) =A.

4/7

PROBLEME III. SURJECTIVITE DE L’APPLICATION EXPONEN-TIELLE DE!n (C) VERS GLn (R)

On note, pour n entier n ≥ 2,!n (C) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre n à coefficientscomplexes.

On notera 1≤ i , j ≤n pour indiquer que : 1≤ i ≤n et 1≤ j ≤n .

Partie préliminaire

Une norme ∥.∥ sur l’espace vectoriel!n (C) est une norme d’algèbre si elle vérifie la propriété :pour tout couple de matrices (A,B ) de!n (C), ∥AB∥≤∥A∥∥B∥.

III.1. On note pour A= (ai , j ) élément de!n (C), ∥A∥∞= sup1≤i , j≤n

!!ai , j

!! et ∥A∥=n ∥A∥∞.

L’application ∥.∥ est une norme sur l’espace vectoriel!n (C). Démontrer que c’est une norme d’al-gèbre.

Dans la suite de cette partie préliminaire, on munit!n (C) de cette norme d’algèbre.

III.2. Justifier simplement qu’une série de vecteurs de!n (C) absolument convergente est conver-gente.

III.3. Si M est une matrice de!n (C), établir que la série de réels positifs∑## 1

k ! Mk## converge et

en déduire que la série de matrices∑

1k ! M

k converge.

Si M est une matrice de!n (C) , on notera exp(M ) =+∞∑

k=0

1k ! M

k , exponentielle de la matrice M .

Première partie

On pourra utiliser librement le résultat suivant :

si T est une matrice triangulaire de!n (C) dont les éléments diagonaux sont λ1,λ2,...,λn , alors lamatrice exp(T ) est une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont e λ1 ,e λ2 ,...,e λn .

III.4. Si M est une matrice de!n (C), rappeler pourquoi la matrice M est trigonalisable et déter-miner une relation entre det(exp(M )) et e tr(M ).

III.5. Soit la matrice A=

⎛⎝

3 6 − 6− 1 − 9 11

0 − 5 7

⎞⎠.

Donner le déterminant de la matrice A. En déduire qu’il n’existe aucune matrice B à coefficients réelsvérifiant B 2=A et qu’il n’existe aucune matrice M à coefficients réels vérifiant exp(M ) =A.

4/7

Objectifs et exemple

Ce paragraphe ne comporte aucune question, il permet de se familiariser avec les objectifs du pro-blème.

Si A est une matrice carrée inversible à coefficients réels, nous allons démontrer dans ce problème :

• que pour tout entier naturel non nul p , il existe une matrice B de!n (C) vérifiant B p =A,• qu’il existe une matrice M de!n (C) vérifiant exp(M ) =A.

On se limitera dans ce sujet aux matrices carrées de taille 3.

Le problème a pour objectif de prouver l’existence de ces matrices et de les expliciter.

On commence par un exemple développé dont le candidat pourra s’inspirer notamment pour la troi-sième partie.

On utilise toujours la matrice A=

⎛⎝

3 6 − 6− 1 − 9 11

0 − 5 7

⎞⎠.

Le polynôme caractéristique de la matrice A est χA = (X −2)2(X +3).

On cherche le reste dans la division euclidienne du polynôme X n par le polynôme χA de la formea X 2+b X +c où a , b et c vont dépendre de n .

Pour cela on remplace dans la relation X n =χAQ +a X 2+b X +c , X par − 3, puis par 2. Ensuite, ondérive cette expression et on remplace à nouveau X par 2 (Q est le quotient).

On obtient le système suivant% 9a −3b +c = (− 3)n

4a +2b +c =2n

4a +b =n2n−1

admettant pour unique solution% a = 1

25

&(− 3)n − 2n +5n2n−1

'

b = 125

&− 4.(− 3)n +4.2n +5n2n−1

'

c = 125

&4.(− 3)n +21.2n − 30n2n−1

' .

On déduit du théorème de Cayley-Hamilton que pour tout entier naturel n ,

An =a A2+b A+c I3

=15

⎛⎝

− (− 3)n +6.2n − 6.(− 3)n +6.2n 6.(− 3)n − 6.2n

2.(− 3)n − 2.2n +5n2n−1 12.(− 3)n − 7.2n +5n2n−1 − 12.(− 3)n +12.2n − 5n2n−1

(− 3)n − 2n +5n2n−1 6.(− 3)n − 6.2n +5n2n−1 − 6.(− 3)n +11.2n − 5n2n−1

⎞⎠.

On pose alors, pour tout réel t , la matrice γ(t )∈!3(C) :

γ(t ) =15

⎛⎝

− 3t e iπt +6.2t − 6.3t e iπt +6.2t 6.3t e iπt − 6.2t

2.3t e iπt − 2.2t +5t 2t−1 12.3t e iπt − 7.2t +5t 2t−1 − 12.3t e iπt +12.2t − 5t 2t−1

3t e iπt − 2t +5t 2t−1 6.3t e iπt − 6.2t +5t 2t−1 − 6.3t e iπt +11.2t − 5t 2t−1

⎞⎠.

5/7

On a les résultats suivants :

• γ(−1) =A−1 ,

• pour tout entier naturel p non nul :!γ( 1

p )"p=A ,

• exp(γ′(0)) =A .

Par exemple,

B =γ(12 )= 15

⎛⎝− i#

3+6#

2 − 6i#

3+6#

2 6i#

3− 6#

2

2i#

3− 2#

2+5#

24 12i

#3− 7#

2+5#

24 − 12i

#3+12#

2− 5#

24

i#

3−#2+5#

24 6i

#3− 6#

2+5#

24 − 6i

#3+11#

2− 5#

24

⎞⎠

vérifie B 2=A.

Deuxième partie

On notera F l’espace vectoriel sur le corps C des applications de R dans C combinaisons linéairesd’applications du type x $−→ x kρx e iθ x où k ∈ {0,1,2}, ρ ∈ ]0,+∞[ et θ ∈ ]0,2π].

(Rappel : pour ρ ∈ ]0,+∞[, ρx = e x lnρ .)

III.6.

III.6.a. Déterminer un élément f de F vérifiant pour tout entier naturel n , f (n )=α(− 3)n+βn 22n ,si α et β sont deux constantes complexes.

III.6.b. Si f est un élément de F et si x0 est un réel, expliquer pourquoi x $−→ f (x +x0) est encoreun élément de F .

III.7.

III.7.a. Soit θ un réel. Démontrer que la suite de nombres complexes!n 2

'23

(ne iθn

"converge

vers 0.

III.7.b. Soit k1 ∈ {0,1,2}, ρ1 ∈ ]0,+∞[, θ1 ∈ ]0,2π], k2 ∈ {0,1,2}, ρ2 ∈ ]0,+∞[ et θ2 ∈ ]0,2π],θ1 =θ2.

Démontrer que si α et β sont deux constantes complexes vérifiant, pour tout entier naturel n ,

αn k1'ρ1

(ne iθ1n +βn k2

'ρ2

(ne iθ2n=0, alors α=β =0.

On pourra, par exemple, supposer ρ1≤ρ2 et commencer par examiner les cas ρ1<ρ2 et ρ1=ρ2.

III.7.c. On admet alors que si f est un élément de F vérifiant pour tout entier naturel n , f (n )=0,alors f est l’application nulle.

Que peut-on dire de deux applications f et g de F vérifiant pour tout entier naturel n , f (n ) = g (n )?

6/7

On a les résultats suivants :

• γ(−1) =A−1 ,

• pour tout entier naturel p non nul :!γ( 1

p )"p=A ,

• exp(γ′(0)) =A .

Par exemple,

B =γ(12 )= 15

⎛⎝− i#

3+6#

2 − 6i#

3+6#

2 6i#

3− 6#

2

2i#

3− 2#

2+5#

24 12i

#3− 7#

2+5#

24 − 12i

#3+12#

2− 5#

24

i#

3−#2+5#

24 6i

#3− 6#

2+5#

24 − 6i

#3+11#

2− 5#

24

⎞⎠

vérifie B 2=A.

Deuxième partie

On notera F l’espace vectoriel sur le corps C des applications de R dans C combinaisons linéairesd’applications du type x $−→ x kρx e iθ x où k ∈ {0,1,2}, ρ ∈ ]0,+∞[ et θ ∈ ]0,2π].

(Rappel : pour ρ ∈ ]0,+∞[, ρx = e x lnρ .)

III.6.

III.6.a. Déterminer un élément f de F vérifiant pour tout entier naturel n , f (n )=α(− 3)n+βn 22n ,si α et β sont deux constantes complexes.

III.6.b. Si f est un élément de F et si x0 est un réel, expliquer pourquoi x $−→ f (x +x0) est encoreun élément de F .

III.7.

III.7.a. Soit θ un réel. Démontrer que la suite de nombres complexes!n 2

'23

(ne iθn

"converge

vers 0.

III.7.b. Soit k1 ∈ {0,1,2}, ρ1 ∈ ]0,+∞[, θ1 ∈ ]0,2π], k2 ∈ {0,1,2}, ρ2 ∈ ]0,+∞[ et θ2 ∈ ]0,2π],θ1 =θ2.

Démontrer que si α et β sont deux constantes complexes vérifiant, pour tout entier naturel n ,

αn k1'ρ1

(ne iθ1n +βn k2

'ρ2

(ne iθ2n=0, alors α=β =0.

On pourra, par exemple, supposer ρ1≤ρ2 et commencer par examiner les cas ρ1<ρ2 et ρ1=ρ2.

III.7.c. On admet alors que si f est un élément de F vérifiant pour tout entier naturel n , f (n )=0,alors f est l’application nulle.

Que peut-on dire de deux applications f et g de F vérifiant pour tout entier naturel n , f (n ) = g (n )?

6/7

III.8. Dans la suite de cette partie, A est une matrice inversible de!3(R).

Expliquer pourquoi on peut trouver 9 applications ωi , j éléments de F telles que, pour tout entiernaturel n , An =

!ωi , j (n )

"1≤i , j≤3

.

Discuter en fonction du nombre de racines du polynôme caractéristique de la matrice A.

On ne demande pas de résoudre des systèmes, une explication de la méthode pourra suffire.

III.9. On pose pour tout réel t , la matrice γ(t ) =!ωi , j (t )

"1≤i , j≤3

∈!3(C).

III.9.a. Quelles sont les matrices γ(0) et γ(1)?

III.9.b. Justifier que, pour tout couple d’entiers naturels (n ,m ), on a la relation :γ(n+m ) =γ(n )γ(m ).

III.9.c. Pour x réel et m entier naturel, on pose f (x )=ωi , j (x +m ) et g (x )=3∑

k=1

ωi ,k (x )ωk , j (m ).

Démontrer que l’on a f =g et en déduire, pour tout entier naturel m , la relation γ(x +m )=γ(x )γ(m ).

III.9.d. En déduire que, pour tout couple (x ,y ) de réels, γ(x + y ) =γ(x )γ(y ).

III.10. Démontrer que γ(− 1) =A−1 et que, pour tout entier naturel p non nul,$γ( 1

p )%p=A.

III.11. Justifier que l’application γ définie pour tout réel t par γ(t )=!ωi , j (t )

"1≤i , j≤3

est dérivable

sur R et que la fonction γ est une solution de l’équation différentielle

u ′(t ) =γ′(0)u (t ) vérifiant u (0) = I3

où la fonction inconnue u vérifie, pour tout réel t , u (t )∈!3(C).

Trouver la solution sur R de l’équation différentielle u ′(t )=γ′(0)u (t ) vérifiant u (0)= I3 et en déduireque l’on a : exp(γ′(0)) =A.

Troisième partie : exemple

Soit la matrice A=

⎛⎝

3 0 11 − 1 − 2− 1 0 1

⎞⎠.

III.12. Donner le polynôme caractéristique de la matrice A.

La matrice A est-elle diagonalisable?

III.13. Déterminer, par la méthode développée dans ce problème, les éléments suivants :

III.13.a. La matrice A−1.

III.13.b. Une matrice B de!3(C) vérifiant B 2=A.

III.13.c. Une matrice M de!3(C) vérifiant exp(M ) =A.

Fin de l’énoncé

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